Econometria I · 2013-2014

Tema 3: Model multiple: estimacio

Guia de respostes a alguns exercicis

1. a. El guio de comandes de Gretl:

Output del guio de comandes:

1

b. Gretl output:

Com veiem en els resultats de l’estimacio utilitzant matrius coincideix amb l’estimaciopels menus. Podem guardar els residus amb l’opcio del menu de la output:Save→ Residuals

c. Podem calcular u1 = y1− β0− β1x1− β2x2 = 2−5.37−0.74 ·(−1)+1.68 ·2 = 0.74.El valor del residu coincideix amb la que obtidrem utilitzant el guio de Gretl.

d. Com tenim els residus guardats, podem utlitzar el guio de Gretl per comprovar

que5∑i=1

ui = 0 o escrivint en el guio la comanda: scalars = sum(uhat).

En efecte, s = 0.74 + 0− 1.105 + 1.47− 1.105 = 0

4. a. Gretl output:

b. Guio de comandes:

2

Output:

Nota: Tot i que no era una part de la pregunta, podem veure que aquest guio decomandes fa tots els calculs seguents:

X =

1 1 01 3 −11 4 01 5 11 7 −11 8 01 10 −11 10 2

y =

1025324358626771

Llavors:

β = (X ′X)−1X ′y

=

8 48 048 364 50 5 8

−1 368271035

=

0, 62 −0, 08 0, 05−0, 08 0, 01 −0, 0080, 05 −0, 008 0, 13

368271035

=

6, 476, 590, 26

3

u = y − y = y −Xβ

=

1025324358626771

−

1 1 01 3 −11 4 01 5 11 7 −11 8 01 10 −11 10 2

6, 476, 590, 26

=

1025324358626771

−

13, 0625, 9832, 8239, 6752, 3359, 1872, 1072, 87

=

−3, 06−0, 98−0, 823, 335, 672, 82−5, 10−1, 87

Aixı, l’estimacio de la variancia de les pertorbacions es:

σ2 =SSR

n−K=

u′u

8− 3=

91, 65

5= 18, 33

La matriu de variancies estimada de β es:

var(β) = σ2(X ′X)−1

= 18, 33 ·

0, 62 −0, 08 0, 05−0, 08 0, 01 −0, 0080, 05 −0, 008 0, 13

=

11, 34 −1, 51 0, 94−1, 51 0, 25 −0, 160, 94 −0, 16 2, 39

La variancia estimada de β0, β1 i β2 es:

V ar(β0) = 11, 34 V ar(β1) = 0, 25 V ar(β2) = 2, 39

Consequentment,

ee(β0) =√

11, 34 = 3, 67 ee(β1) =√

0, 25 = 0, 5 ee(β2) =√

2, 39 = 1, 55

4

c. El model ajustat es:

yi = 6, 47(3,37)

+ 6, 59(0,5)

·xi1 + 0, 26(1,55)

·xi2 R2 = 0, 97

5. a. Utilizant menus de Gretl fem el siguent estimcaio:

b. El guio de comandes de Gretl:

c. El guio de comandes output:

5

Com veiem els resultats de l’estimacio en forma matricial y utilizant Gretl menuscoincideix.

7. a. Per un model amb K = 3, SCR associada a l’estimacio d’aquest model es:

Minβ0,β1,β2

n∑i=1

u2i =n∑i=1

(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2)2 ,

i les equacions normals venen donades per:

−2n∑i=1

(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (1)

−2n∑i=1

xi1(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (2)

−2n∑i=1

xi2(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (3)

Anem a reorganitzar aquestes equacions una mica:n∑i=1

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 (1)

n∑i=1

yixi1 = β0xi1 + β1x2i1 + β2xi2xi1 (2)

n∑i=1

yixi2 = β0xi2 + β1xi1xi2 + β3x2i2 (3)

Si xi2 = 2xi1, podem substituir xi2 per xi1 en les equacions 1, 2 i 3. Obtenim:n∑i=1

yi = β0 + β1xi1 + 2β2xi1 (1’)

n∑i=1

yixi1 = β0xi1 + β1x2i1 + 2β2x

2i1 (2’)

2n∑i=1

yixi1 = 2β0xi1 + 2β1x2i1 + 4β3x

2i1 (3’)

Podem veure que les equacions 2’ i 3’ son els mateixos. Aixı, tenim nomes duesequacions rellevants i tres incognites: β0, β1 i β2. El sistema es indeterminat, teinfinites solucions. Per tant, no es pot obtenir una solucio unica per β0, β1 i β2.

b. Fixem-nos que si xi3 = 2xi2, llavors la matriu X te dues columnes en combinaciolineal perfecte.

X =

1 x11 x121 x21 x22...

......

1 xn1 xn2

=

1 x11 2 · x111 x21 2 · x21...

......

1 xn1 2 · xn1

6

Aquesta caracterıstica es traspassa a la matriu X ′X, fent que dues columnes idues files guardin tambe una relacio lineal perfecte.

X ′X =

n

∑ni=1 xi1 2 ·

∑ni=1 xi1∑n

i=1 xi1∑n

i=1 x2i1 2 ·

∑ni=1 x

2i1

2 ·∑n

i=1 xi1 2 ·∑n

i=1 x2i1 4 ·

∑ni=1 x

2i1

Aixı, aquesta matriu no tindra rang complet. Es una matriu sngular.

det(X ′X) = 0 ⇐⇒ rang(X ′X) < 3

Donat que X ′X no te rang complet,

@(X ′X)−1 ⇒ @β

c. Sota col·linealitat perfecta, com es aquest cas, la mostra no permet estimar elsparametres associats als regressors col·linelas de forma unica. La seva estimacioes indeterminada. Existeix infinites estimacions MQO dels parametres β1 i β2que minimitzen la SCR. V ar(β1/x) i V ar(β2/x) es infinita. Fixem-nos que unaaltra forma de veure-ho es que:

V ar(β1|x) = σ2 · 1

SST1· 1

1−R21

= σ2 · 1

SST1· 1

1− 1=∞ (4)

Doncs R21, que es el coeficient de determinacio de la regressio auxiliar xi1 =

α0 + α1xi2 + ui

8. a. L’ output d’aquesta estimacio es:

b.bwghti = 116, 974

(1,04898)

− 0, 4634(0,0915)

cigsi + 0, 093(0,0292)

faminci R2 = 0, 0298

7

c. Sota el suposit de que podem interpretar els parametres en termes de causalitat,el signe de l’estimacio obtinguda de β1 es l’esperat si creiem que un augment delconsum de tabac durant l’embarac tendeix a perjudicar la salut de la mare i per-tant el pes del nado. Sota el mateix suposit, el signe de l’estimacio obtinguda deβ2 es l’esperat si creiem que un millor nivell de renda tendeix a beneficiar la dietade la mare i consequentment, el pes del nado.

El coeficient de determinacio es 0,0298. Es a dir, nomes prop d’un 3% de lavariabilitat observada en el pes dels nadons en aquesta mostra es pot explicar perdiferencies en el consum de cigarrets de les seves mares i de les diferencies en laseva renda.

d. Els regressors cigs i faminc podrıen estar correlacionats positivament si consid-erem que a l’augmentar el nivell de renda de la familia, el consum de tabac pujalinealment. Podrıen estar correlacionats negativament si considerem que el tabaces un be inferior. Per altra banda, si considerem que son variables independents,que no guarden cap relacio, llavors la seva correlacio seria zero.

e. Per analitzar la correlacio dins d’una mostra entre dues variables podem utilitzarel coeficient de correlacio mostral. En aquest cas, utilitzant Gretl:

Sembla presentar una correlacio negativa, pero baixa.

f. Utilitzant l’opcio del menu de Gretl:

Fixem-nos que tant FIV2 com FIV3 son molt propers a 1, que es el valor mınimque pot prendre aquest estadıstic. Aixı no sembla que la col·linearitat sigui unproblema en aquest cas.

g. Necessitem estimar la regressio auxiliar:

cigsi = α1 + α2faminci + vi

8

Aixı:

FIV2 =1

1− 0.029945= 1, 031

El valor de FIV2 (V IF2) coincideix amb el trobat en l’apartat anterior.

h. Gretl output associat a l’estimacio del Model(2):

Podem veure que l’estimacio de β1 quasi no ha variat en relacio a l’obtingudaestimant el Model(1), cosa que indica que la correlacio present a la mostra entreel regressor inclos, cigs i l’exclos, faminc es baixa.

i. Definim R2(1) i R2(2) com el coeficient de determinacio associat a l’estimacio delModel(1) i Model(2) respectivament:

R2(1) ≡ 1− SCR(1)

SCT (1)

R2(2) ≡ 1− SCR(2)

SCT (2)

Donat que els dos models tenen la mateixa variable depenent i s’estimen amb lamateixa mostra, SCT (1) = SCT (2). Aixı:

R2(1) ≡ 1− SCR(1)

SCT

R2(2) ≡ 1− SCR(2)

SCT

Fixem-nos que el Model(2) es una versio restringida del Model(1). Es a dir,el Model(2) es un cas especial del Model(1) quan imposem que β2 = 0, aixı,a l’estimar el segon model per MQO es equivalent a dir que estem estimant elprimer model sota la restriccio β2 = 0, fent que:

SCR(1) ≤ SCR(2) → R2(1) ≥ R2(2)

Es doncs facil veure que en general, el coeficient de determinacio baixa quantreiem regressors d’un determinat model.

9

10. Anem a estimar el seguent model:

educi = β0 + β1sibsi + β2meduci + β3feduci + ui

on educi=anys d’educacio d’una persona i, sibsi=numero de germans de la persona i,meduci=numero d’anys d’educacio de la mare i feduci=numero d’anys d’educacio delpare.

a. Gretl output per a l’estimacio:

b. Lınia ajustada de regressio:

educi = 10, 364(0,359)

− 0, 094(0,034)

· sibsi + 0, 131(0,033)

·meduci + 0, 210(0,027)

· feduci R2 = 0, 214

c. El signe positiu de l’educacio dels pares sobre els fill es l’esperat. De fet, l’educaciodels nens depen molt de l’educacio dels seus pares. Els pares amb mes educaciotendeixen fills amb mes educacio. La relacio amb el nombre de dels germans noera tan clara. D’una banda,quants mes germans menys recursos poden destinarels pares (tant en temps com en diners) i podria afectar negativament el nivelld’educacio d’una persona. Des de l’altre banda, tenir germans pot tenir un efectepositiu si considerem que els germans ensenyen els uns als altres. El primer efectesembla prevaler en la nostra mostra de la que disposem.La bondat d’ajust es 21,4% sembla baix, assenylant altres factors que no tenimen compte, pero son importants en la determinacio de l’educacio.

d. L’educacio de la mare i el pare podrıen estar correlacionats si hi ha per aparella-ment selectiu. Nombre de germans tambe es podria correlacionar amb l’educaciodels pares com a pares.

e. Utilizant menus de Gretl, calculem factors d’inflacio de variancia associats a cadaregressor:

10

En general, presencia de col·linealitat afecta els valors de les estimacions i intro-dueix biaix. En el nostre Model els valors de FIV s estan entre 1 i 1,5, que significaque no hi ha multicol·linealitat en el Model. Tenim la sospita de multicol·linealitatquan FIV > 10.

f. Ara calcularem FIVsibs nosaltres mateixos:

(a) En primer lloc, s’estima la regressio auxiliar per sibs:

sibsi = α0 + α1 ·meduci + α2 · feduci + ui

(b) Ara calculem:

FIVsibs =1

1−R2=

1

1− 0, 09= 1, 099

Aquest valor coincideix amb el valor del que tenim a la part anterior de laestimacio amb menus de Gretl.

11. Anem a estimar el seguent model:

Model(1) lnSi = β0 + β1 · edi + β2 · exi + ui

0n lnSi=el logaritme natural dels salaris de persona i, edi=anys d’educacio, exi=anysd’experiencia en el mercat laboral.

a. Gretl output per estimacio:

Lınia ajustada analıtica:

lnSi = 4, 666(0,0638)

+ 0, 0932(0,0036)

· edi + 0, 0407(0,0023)

· exi R2 = 0, 1813

Els signes son els esperats, ambdos, educacio i experiencia es relacionen positiva-ment amb el salari. Bondat d’ajust es 18,13%, es baixa.

11

b. Un any addicional d’educacio s’espera que estigui associat a un salari un 9,3%mes alt:

∆lnS ≈ β1 ·∆ed = 0, 093 · 1 = 0, 093(9, 3%)

c. Un any addicional d’experiencia s’espera que augmenti el salari per 4,1% :

∆lnS ≈ β2 ·∆ex = 0, 041 · 1 = 0, 041(4, 1%)

d. La diferencia entre els Model(1) i Model(2) es troba en els suposits de coml’experiencia es relaciona amb el salari. En Model(1) se suposa que l’efectemarginal de l’experiencia sobre els salaris (en forma de taxa) es constant, mentreque a Model(2) l’efecte marginal de l’experiencia sobre els salaris varia depenentdel nivell d’experiencia.

e. El output per estimacio de Model(2):

Lınia ajustada de regressio:

lnSi = 4, 469(0,0687)

+ 0, 0932(0,0036)

· edi + 0, 0898(0,0071)

· exi − 0, 0025(0,0004)

· ex2i R2 = 0, 1958

f. L’efecte marginal de l’experiencia sobre els salaris (com una taxa), per a un nivelldonat de l’educacio, es pot estimar:

∂S

∂ex= β2 + 2 · β3 · ex

Per tant, l’efecte marginal depen de l’experiencia. Ates que β3 < 0, podem veureque l’efecte marginal de l’experiencia sobre els salaris disminueix amb l’experiencia:

Anys d’experiencia Efecte marginal

ex=0 0, 0898(8, 98%)ex=1 0, 0898− 0, 0025 · 1 = 0, 0873(8, 73%)ex=2 0, 0898− 0, 0025 · 2 = 0, 0848(8, 48%)... ...ex=10 0, 0898− 0, 0025 · 10 = 0, 0406(4, 06%)

12