Econometria con Series de Fourier

Francisco Parra

14/10/2020

ANALISIS ESPECTRAL

Series estacionaria.

Sea un conjunto de observaciones de una variable aleatoria x, en distintos momentos del tiempo. Cadaobservación de x, es considerada como una realización de un proceso estocástico ergódico, debido a que solodisponemos de una realización del proceso estocástico que ha generado la serie de datos, dada la imposibilidadde observar distintas realizaciones de x(t) a lo largo de un periodo de tiempo.

Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto, cuando para todo n > 0 la función de distribuciónconjunta de:

F (xt+1, xt+2, ..., xt+n) = F (xt+1+k, xt+2+k, ..., xt+n+k),∨k

Es decir; la función de distribución conjunta es independiente de t e invariante ante translaciones de tiempo.

En un sentido amplio, para que un proceso sea estacionario, es suficiente que su esperanza y su función deautocovarianza sea independiente de t.

Es decir,

E(xt) = E(xt+k),∨k

Si xt es un proceso es estacionario en media entonces µt = 1n

∑nt=1 xt es un estimador insesgado y consistente

de E(xt).

Si xt es un proceso es estacionario en covarianza, se cumple la siguiente igualdad

γ(t, τ) = E([xt − E(xt)][xt+τ − E(xt+τ )]) = γ(τ)

que significa que la función de autocovarianza no depende de t,γ(τ) = γ(−τ), y el estimador de γ(τ) vienedado por

C(K) = 1n− k

n−k∑t=1

([xt − µ][xt+k − µ])

La varianza, γ = 0, se estimaría a partir de:

C(0) = 1n

n∑t=1

([xt − µ][xt − µ])

.

1

Ejemplo 1

Generamos una serie aleatoria de 100 datos, con media 0 y desviación típica 1, que representamos en la figurasiguiente:x=rnorm(100,0,1)plot(x,type='l')

0 20 40 60 80 100

−3

−2

−1

01

2

Index

x

Se comprueba que se trata de una serie estacionaria en media; ya que cualquier promedio que calculemos condichos datos dará un resultado cercano a cero:data.frame("media 1 a 25"= mean(x[1:25]),"media 26 a 50"= mean(x[26:50]),"media 51 a 75"= mean(x[51:75]),"media 76 a 100"= mean(x[76:100]))

## media.1.a.25 media.26.a.50 media.51.a.75 media.76.a.100## 1 -0.4044872 -0.1406953 -0.05579686 0.1723447

Dado que el valor esperado es cero, el estimador de la función de autocovarianza será: C(K) =1

n−k∑n−kt=1 ([xt][xt+k])

Calculado para diferentes valores de kautocov= function(x,k) sum(x[1:(100-k)]*x[(1+k):100])/(100-k)K=seq(1:10)C_K=autocov(x,1)for (i in 2 :10) C=autocov(x,i)C_K=c(C_K,C)data.frame(K,C_K)

## K C_K## 1 1 0.01679829## 2 2 0.10113637## 3 3 0.21749873## 4 4 0.05181485## 5 5 -0.02271368## 6 6 -0.08785947## 7 7 0.05275167

2

## 8 8 0.04525362## 9 9 -0.16358785## 10 10 0.04520627plot(K,C_K,type="h")

2 4 6 8 10

−0.

10.

00.

10.

2

K

C_K

Como se puede apreciar el valor de C(K) es independiente de K, tanto en su valor como en su signo. De estaforma que el proceso aleatorio que ha generado nuestros datos es estacionario.

Si generamos a partir de estos datos una serie del tipo: yt = 0.5 + yt−1:x0=0.5 #punto inicial 0.5T=100x=c(x0,rnorm(T-1))y=cumsum(x)plot(y,type="l")

3

0 20 40 60 80 100

05

1015

20

Index

y

Obtenemos una serie que no es estacionaria; ya que los promedios que obtenemos son diferentes:data.frame("media 1 a 25"= mean(y[1:25]),"media 26 a 50"= mean(y[26:50]),"media 51 a 75"= mean(y[51:75]),"media 76 a 100"= mean(y[76:100]))

## media.1.a.25 media.26.a.50 media.51.a.75 media.76.a.100## 1 -0.7371036 2.451839 11.80124 17.55763

Y una función C(K) = 1n−k

∑n−kt=1 ([xt − µ][xt+k − µ]) dependiente del tiempo:

autocov= function(y,k) sum(y[1:(100-k)]*y[(1+k):100])/(100-k)K=seq(1:10)C_K=autocov(y,1)for (i in 2 :10) C=autocov(y,i)C_K=c(C_K,C)plot(K,C_K,type="h")

4

2 4 6 8 10

104

108

112

116

K

C_K

Análisis espectral

Una serie temporal Xt,es decir, una realización de un proceso estocástico puede escribirse como suma desenos y cosenos de la forma siguiente:

Xt = η +N∑n=1

[ancos(wnt) + bnsin(wnt)]

donde η es la media de la serie, wn = 2πnT son las frecuencias naturales, cuando T es par N = T

2 , y cuando Tes impar entonces N = T−1

2 .

Los coeficientes an y bj son su amplitud y t es un indice de tiempo que va de 1 a N .

Los coeficientes an y bj , se pueden obtener como:

an = 2T

∑Tt=1(Xt − η)cos(wnt) y bn = 2

T

∑Tt=1(Xt − η)sin(wnt)

Considerando que la mayor frecuencia que se puede observar en la serie Xt es la que corresponde a mediociclo por unidad de tiempo (frecuencia de Nyquist). Una sucesiónn se puede representar como un conjunto depares (t,Xt) o como un conjunto de pares (wn, a2

n + b2n). La primera representación se llama en el dominio

del tiempo y la segunda en el dominio de la frecuencia. A la dinámica de las altas frecuencias (los valoresmas altos de wn ) corresponden a los ciclos cortos en tanto que la dinámica de la bajas frecuencias (pequeñosvalores de wn) van a corresponder con los ciclos largos.

El análisis espectral se utiliza para identificar y cuantificar, en procesos aparentemente aperiodicos, sucesionesde ciclos de corto y largo plazo. Una serie dada Xt puede contener diversos ciclos de diferentes frecuencias yamplitudes, y esa combinación de frecuencias y amplitudes de carácter cíclico la hacen aparecer como unaserie no periódica e irregular. De hecho, la ecuación muestra que cada observación t de una serie de tiempo,es el resultado de sumar los valores en t que resultan de N ciclos de diferente longitud y amplitud, a los quehabría que añadir, si cabe, un término de error.

Un armónico de frecuencia w es por tanto una función de la forma:

5

aw cos(wt) + bw sin(wt)

que da lugar a una función periódica de periodo 2πw .

En el análisis armónico, las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal, sino que seobtienen a partir de una suma de n ciclos con una amplitud y un periodo determinado.

En el análisis armónioco an y bn son variables aleatorias con:

E(an) = E(bn) = 0

E(aman) = E(bmbn) =σ2n si m = n

0 si n 6= m

E(an, bm) = 0,∀nm

En este tipo de procesos la función de autocovarianza γ(τ) se obtiene:

γ(τ) =N∑n=1

σ2n cos(wnτ)

donde σ2n es la varianza del armónico j-th. De manera que en γ(0) =

∑Nn=1 σ

2n se muestra que la varianza

total del proceso es la suma de las varianzas de cada armónico.

Una manera practica de transformar una serie temporal al dominio de la frecuencia es premultiplicando losdatos originales por una matriz ortogonal, W , sugerida por Harvey (1978), con el elemento (j,t)th:

wjt =

( 1T

) 12 ∀j = 1( 2

T

) 12 cos

[πj(t−1)

T

]∀j = 2, 4, 6, .. (T−2)

(T−1)( 2T

) 12 sin

[π(j−1)(t−1)

T

]∀j = 3, 5, 7, .. (T−2)

T( 1T

) 12 (−1)t+1 ∀j = T

La matriz W tiene la ventaja de ser ortogonal por lo que WWT = I.

A continuación se presentan varias funciones R para calcular la matriz ortogonal W , para pasar del dominiodel tiempo al dominio de la frecuencia, y viceversa:

Función MW(a)

Obtiene la matriz ortogonal, W , sugerida por Harvey (1978) para una serie deMW <- function(n) # Author: Francisco Parra Rodr?guez# Some ideas from: Harvey, A.C. (1978), Linear Regression in the Frequency Domain, International Economic Review, 19, 507-512.# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/uno <- as.numeric (1:n)A <- matrix(rep(sqrt(1/n),n), nrow=1)if(n%%2==0)for(i in 3:n-1)if(i%%2==0) A1 <- matrix(sqrt(2/n)*cos(pi*(i)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A1)else

6

A2 <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(i-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A2)AN <- matrix(sqrt(1/n)*(-1)^(uno+1), nrow=1)A <- rbind(A,AN)A else for(i in 3:n-1)if(i%%2==0) A1 <- matrix(sqrt(2/n)*cos(pi*(i)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A1)else

A2 <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(i-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A2)AN <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(n-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,AN)

Función gdf(a)

Transforma los datos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia pre-multiplicandolos por la matrizortogonal,W , sugerida por Harvey (1978).gdf <- function(y) a <- matrix(y,nrow=1)n <- length(y)A <- MW(n)A%*%t(a)

Función gdt(a)

Transforma los datos del dominio de frecuencias al dominio del tiempo pre-multiplicandolos por la matrizortogonal, A, sugerida por Harvey (1978).gdt <- function(y) # Author: Francisco Parra Rodr?guez# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/a <- matrix(y,nrow=1)n <- length(y)A <- MW(n)t(A)%*%t(a)

7

ESTIMACIÓN DEL PERIODOGRAMA DE UNAS SERIE AR-MONICA

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica.

f(t) = 12a0 +

∞∑n=1

an cos(nw0t) + bn sin(nw0t)

donde w0 = 2πT se denomina frecuencia fundamental, y an y bn se les denomina coeficientes de fourier, y

la gama total de frecuencias es el Ancho de Banda de la señal.

Los coeficientes de una serie de fourier pueden calcularse gracias a la ortogonalidad de las funciones seno ycoseno.

Una manera alternativa de presentar una la serie de Fourier es:

f(t) = c0 +∞∑n=1

cn cos(nw0t− θn)

siendo: c0 = a02 , cn =

√a2n + b2

n y θn = arctan anbn

.

Partiendo de la expresión:an cos(nw0t) + bn sin(nw0t)

operando:

√a2n + b2

n[ an√a2n + b2

n

cos(nw0t) + bn√a2n + b2

n

sin(nw0t)]

haciendo:

an√a2n+b2

n

= cos(θn)bn√a2n+b2

n

= sin(θn)

y

θn = arctan anbn

la suma se expresa solo en función del coseno:

cn[cos(θn) cos(nw0t) + sin(θn) sin(nw0t)] = cn cos(nw0t− θn)

Ortogonalidad

Se dicen que las funciones del conjunto fk(t) son ortogonales en el intervalo a < t < b, si dos fuencionescualesquiera, fm(t) y fn(t), de dicho conjunto, cumplen:

8

∫ b

a

fm(t)fn(t)dt =

0 si n 6= m

rn si n = m

Las funciones sen(t) y cos(t) son ortogonales en el intervalo −π < t < π, ya que :

∫ π

−πsen(t)cons(t)dt = sen2(t)

2 [ π−π = 0

Las funciones del conjunto:

1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t), ..., sen(w0t), sen(2w0t), sen(3w0t), ...

donde w0 = 2πT son ortogonales en el inervalo −T2 < t < T

2 , se verifica probandolo a pares:

a) fn(t) = 1 y fm(t) = cos(mw0t)

∫ T2

−T2

1cos(mw0t)dt = sen(mw0t)mw0

[T2−T

2=

2sen(mw0T2 )

mw0−

2sen(mw0T2 )

mw0= 0

b) fn(t) = 1 y fm(t) = sen(mw0t)

∫ T2

−T2

1sen(mw0t)dt = −cos(mw0t)mw0

[T2−T

2= −1mw0

[cos(mw0T

2 )− cos(mw0T

2 )] = 0

c) fn(t) = cos(nw0t) y fm(t) = cos(mw0t)

∫ T2

−T2

cos(nw0t)cos(mw0t)dt =

0 si n 6= mT2 si n = m 6= 0

d) fn(t) = sen(nw0t) y fm(t) = sen(mw0t)

∫ T2

−T2

sen(nw0t)sen(mw0t)dt =

0 si n 6= mT2 si n = m 6= 0

d) fn(t) = sen(nw0t) y fm(t) = sen(mw0t)

∫ T2

−T2

sen(nw0t)cos(mw0t)dt = 0

para cualquier m y n.

Cálculo de los coeficientes Fourier

Los coeficientes de fourier se calculan multiplicando f(t) por cos(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2:

∫ T2

−T2

f(t)cos(mw0t)dt = 12a0

∫ T2

−T2

cos(mw0t)dt+∞∑n=1

an

∫ T2

−T2

cos(nw0t)cos(mw0t)dt+∞∑n=1

bn

∫ T2

−T2

sen(nw0t)cos(mw0t)dt

que dada la ortogonalidad de las funciones de seno y coseno implica que:

9

a0 = 2T

∫ T2

−T2

f(t)dt

am = 2T

∫ T2

−T2

f(t)cos(mw0t)dt

, m = 1, 2, 3...

bm = 2T

∫ T2

−T2

f(t)sen(mw0t)dt

Forma compleja de la serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2πw0

:

f(t) = 12a0 +

∞∑n=1

an cos(nw0t) + bn sin(nw0t)

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

cos(nw0t) = 12(einw0t + e−inw0t)

sin(nw0t) = 12i (e

inw0t − e−inw0t)

sustituyendo:

f(t) = 12a0 +

∞∑n=1

an12(einw0t + e−inw0t) + bn

12i (e

inw0t − e−inw0t)

dado que 1i = −i:

f(t) = 12a0 +

∞∑n=1

[ 12(an − ibn)einw0t + 12(an + ibn)e−inw0t]

definiendo:

c0 = 12a0, cn = 1

2 (an − ibn) y c−n = 12 (an + ibn)

quedaría como:

f(t) =∞∑−∞

cneinw0t

expresión que se conoce como forma compleja de fourier.

Y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an y bn, o bien a partir de :

cn = 1T

∫ T

0f(t)einw0tdt

10

## Transformada de Fourier.

La Transformada de Fourier, F (w) , se define para una función continua de variable real, f(t) , mediante lasiguiente formula:

F (w) =∫ ∞−∞

f(t)e2πiwtdt

siendo i =√−1, e2πiwt = cos(2πwt) + isin(2πwt) y w una variable que representa las distintas frecuencias.

La Transformada de Fourier es una función compleja con una parte real y otra parte imaginaria, es decir:

F (w) = R(w) + I(w)

donde R(w) es la parte real e I(w) es la parte imaginaria.

La representación gráfica de la función de magnitud F (w) se le denomina Espectro de Fourier y se expresa entérminos del modulo del número complejo:

F (w) =√R2(w) + I2(w)

y al cuadrado de dicha función F (w)2 se le denomina Espectro de potencias o Espectro de Amplitud.

El gráfico de los módulos al cuadrado frente a la frecuencia es el periodograma o espectro empírico de lasucesión f(x).

El periodograma recoge la contribución que tiene cada armónico a la hora de explicar la varianza de cadaserie; y cada armónico esta caracterizado por la frecuencia en que tienen lugar los ciclos. Los ciclos que tienenun elevado periodo (desde que tiene lugar un máximo al siguiente máximo) tendrán una baja frecuencia yviceversa.

Se denomina esprectro de fase a:

φ(w) = artg

[−I(w)R(w)

]

Cálculo del periodograma.

Consideremos la serie temporal Xt de la que disponemos de un conjunto discreto y finito de observaciones Tobservaciones, generadas por un proceso aleatorio x(t) como el descrito en el tema 1. Dado que se busca unarepresentación de Xt que correspondiente a T observaciones, ajustamos los datos a un polígono trigonométricoque se asemeje a una serie de fourier, escogiendo wn como: wn = 2πn

T .

Es decir,

Xt = 12a0 +

N∑n=1

an cos(2πntT

) + bn sin(2πntT

)

xt = (Xt −12a0) = (Xt − µ) =

N∑n=1

an cos(2πntT

) + bn sin(2πntT

)

Siendo a0 = − 2T

∑Tt=1 Xt

11

La forma habitual de obtener el periodograma, es estimar por mínimos cuadrados ordinarios los coeficientesan y bn para cada N = T

2 armónico, si el número de observaciones T es par, para cada N = T−12 si el numero

de observaciones es impar, en un modelo especificado de la siguiente forma:

xt = acos(w)t+ bsin(w)t+ vt

en la que xt sería la serie armónica, w = wn = 2πnT , T es el tamaño de la serie y coincide con el periodo de

mayor ciclo que es posible estimar con el tamaño de la serie, p indica el orden del armónico de los T2 ciclos,

vt es un residuo no explicado al que se puede considerar irrelevante (caso determinístico) o que verifica laspropiedades clásicas de la perturbación de los modelos econométricos.

El periodograma o estimador del espectro se obtendría entonces a partir de la representación de I(wi) =T (a2

n+b2n)

4π frente a los n armónicos, en tanto que la contribución a la varianza por cada armónico sería: (a2n+b2

n)2 .

Si una serie temporal de ciclos empíricos presenta en su periodograma unos pocos ciclos que explican unporcentaje significativo de su varianza, se puede obtener el ciclo teórico de dicha serie temporal a partir delos armónicos correspondientes a dichos ciclos.

Teorema de Paserval

Sea f(x) una función continua en el intervalo [−π, π] de periodo 2π, con desarrollo de Fourier:

f(x) =∞∑

x=−∞cne

inx

donde, cn han sido obtenidos a partir de los coeficientes an y bn.

Entonces se verifica que:

∞∑n=−∞

| cn |2= 12π

∫ π

−π| f(x) |2 dx

Particularizando a la serie función periódica f(t) , con periodo T = 2πwo

:

f(t) = 12a0 +

∞∑n=1

an cos(w0nt) + bn sin(w0nt)

La identidad de Paaserval quedaría:

12π

∫ π

−π[f(t)]2 = 1

2a20 +

∞∑n=−∞

(a2n + b2

n)

Las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal, sino muestras de señales continuastomadas a una misma distancia temporal a partir de un valor inicial X0 y siendo T el tamaño de la serie. Deacuerdo a lo anterior; en la función periódica f(t) la potencia promedio está dada por:

1T

∫ T2

−T2[f(t)]2 = 1

4a20 + 1

2

T2∑

n=1(a2n + b2

n)

que muestra así que el periodograma estudia de hecho la distribución de la varianza o potencia de la serie enfunción de los diversos armónicos:

12

σ2 = a2T2

+ 12

T2∑

n=t(a2n + b2

n)

Test sobre el periodograma

Una forma de contrastar la existencia de algún ciclo en el periodograma de una serie temporal es el test deFisher, estadístico g (Fisher, 1929) o relación entre la mayor varianza asociada a una determinada frecuencia(wi) y la varianza total de la serie:

g = max | wn |2

T2∑T

2n=1 | wn |2

Para probar la significación del periodo p se contrasta el estadístico g contra la z de una distribución normal(0,1), siendo la regla de decisión rechazar la hipótesis nula sobre un componente periódico en Xt si la gcalculada excede de la z en un nivel de significación del 100α.

La manera habitual de contrastar la existencia de algún ciclo en el periodograma de una serie temporal através del estadístico es calculando:

G = maxS2

2S2

El ciclo es significativo si el valor G de esta relación es igual al valor crítico calculado según la siguientefórmula:

Gc = 1− eln(p)−ln(T )

T−1

Siendo ln(p) el logaritmo neperiano del nivel de probabilidad elegido y T el número total de datos de la serie(en series de más de 30 datos).

Una prueba para estudiar la dependencia serial (Durbin; 1969) en series de observaciones estacionarias(x0, ..., xT ) se realiza sobre la grafica del periodograma acumulado:

sj =∑jn=1 pn∑Nn=1 pn

donde n = 1, ..., N y pn el periodograma ordinario:

pn = 2T

∣∣∣∣∣T∑t=1

xtei2πntT

∣∣∣∣∣2

Se presupone que cuando Xt esta independientemente y normalmente distribuida, sj se distribuye igual queel orden estadístico de N − 1 muestras independientes de la distribución uniforme (0,1). Bartlett’s (1954,1966p 361) sugiere para probar la independencia serial; probar la máxima discrepancia entre sj y su expectativa,ie. j

N . Para una probar un exceso de bajas frecuencias relativas frente a altas frecuencias que equivaldría a laexpectativa de presencia de correlación serial positiva este enfoque conduce al estadístico:

C+ = max(sj −j

N)

Por el contrario un test contra excesos de variaciones de alta frecuencia el estadístico apropiado es:

13

C− = max( jN− sj)

El estadístico correspondiente a las dos partes de la prueba sería:

C = max(C+, C−)

Los valores críticos para estos estadísticos están dado en la Tabla siguiente:

14

15

Ejemplo 2

Partimos de una serie temporal generada a partir de un paseo aleatorio o random walk:Xt = 0.5 +Xt−1 + ut.

La serie Xt presenta una tendencia estocástica, y vamos a descomponerla utilizando un modelo armónico,partiendo de una representación de la tendencia ó movimiento relevante de la serie temporal obtenida a partirde una tendencia cuadrática, k = T

2 ciclos armónicos y un residuo aleatorio vt:

Xt = a+ bt+ ct2 +N∑n=1

an cos(w0nt) + bn sin(w0nt) + vt

de manera que:

xt = Xt − a+ bt+ ct2 =N∑n=1

an cos(w0nt) + bp sin(w0nt) + vt

set.seed(50)n=100w = rnorm(n)x = 0.5+cumsum (w)plot(x,t="l")

0 20 40 60 80 100

−15

−10

−5

0

Index

x

t=seq(1:n)tendencia=lm(x~t+t^2)$fittedplot(t,x,type="l")lines(t,tendencia,col="red")

16

0 20 40 60 80 100

−15

−10

−5

0

t

x

El armónico de periodo 1 (el que tinen un mínimo y un máximo en el espacio temporal de la serie) se elaboraa partir de cos(2πt)

100 y sin(2πt)100 para t = 1, ..., 100. La representación gráfica de ambas series aparece en la

figura siguiente:armo1.1=cos(2*pi*t/n)armo1.2=sin(2*pi*t/n)

plot(t,armo1.1,type="l")lines(t,armo1.2,col="red")

0 20 40 60 80 100

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

t

arm

o1.1

La regresión minimo cuadrática entre ambas series y la serie libre de tendencia (xt); ofrece el siguienteresultado que se acompaña con su representación gráfica:

17

lm((x-tendencia)~0+armo1.1+armo1.2)

#### Call:## lm(formula = (x - tendencia) ~ 0 + armo1.1 + armo1.2)#### Coefficients:## armo1.1 armo1.2## -0.8196 1.6038armo1=lm((x-tendencia)~0+armo1.1+armo1.2)$fittedplot(t,armo1,type="l")

0 20 40 60 80 100

−1.

5−

0.5

0.5

1.5

t

arm

o1

Este proceso repetido para los 50 periodos permite obtener los coeficientes con los que elaborar el peridogramay obtener la contribución de cada armónico a la varianza de la serie:armo=function(a,b) t=seq(1:length(a))p=length(a)/btendencia=lm(a~t+t^2)$fittedarmo.1=cos(2*pi*t/p)armo.2=sin(2*pi*t/p)reg=lm((a-tendencia)~0+cos(2*pi*t/p)+sin(2*pi*t/p))data.frame(frecuencia=b,periodo=p,a=coef(reg)[1],b=coef(reg)[2])res=armo(x,1)for(i in 2:20)

res=rbind(res,armo(x,i))

periodogr=data.frame(frecuencia=res$frecuencia,periodo=res$period,a=res$a,b=res$b,Pr=n*(res$a^2+res$b^2)/(4*pi),contribución=(res$a^2+res$b^2)/(2))

periodogr

## frecuencia periodo a b Pr contribución

18

## 1 1 100.000000 -0.81955539 1.603756807 25.81259964 1.6218534683## 2 2 50.000000 2.32667743 -1.554643932 62.31191040 3.9151727990## 3 3 33.333333 0.84435020 -0.111193759 5.77168491 0.3626456583## 4 4 25.000000 0.07134080 -0.699086441 3.92962596 0.2469056812## 5 5 20.000000 0.04605747 -0.325094722 0.85790777 0.0539039347## 6 6 16.666667 0.35212968 -0.872266756 7.04136964 0.4424223027## 7 7 14.285714 0.72134651 -0.459005208 5.81732456 0.3655132820## 8 8 12.500000 0.03514291 0.017685607 0.01231704 0.0007739023## 9 9 11.111111 -0.31723145 -0.523382452 2.98069342 0.1872824908## 10 10 10.000000 0.08707847 -0.420452596 1.46711450 0.0921815225## 11 11 9.090909 -0.13988519 0.007170838 0.15612532 0.0098096434## 12 12 8.333333 -0.03667392 -0.073060020 0.05317958 0.0033413716## 13 13 7.692308 0.04226489 0.204201892 0.34604051 0.0217423667## 14 14 7.142857 0.13214521 -0.240579621 0.59954392 0.0376704558## 15 15 6.666667 0.16110274 -0.083340076 0.26180717 0.0164498298## 16 16 6.250000 0.13108038 0.016066559 0.13878471 0.0087201003## 17 17 5.882353 -0.02683302 -0.267789409 0.57638900 0.0362155892## 18 18 5.555556 -0.06243762 -0.038746417 0.04296977 0.0026998705## 19 19 5.263158 0.18952061 -0.264605838 0.84299846 0.0529671552## 20 20 5.000000 -0.14339838 0.131332526 0.30089298 0.0189056633plot(periodogr$Pr,type="l",col="red")

5 10 15 20

010

2030

4050

60

Index

perio

dogr

$Pr

Para comprobar la significación estadística del ciclo de o periodo 50, calculamos el estadístico G = maxS2

2S2 :G=max(periodogr$Pr)^2/(2*periodogr$Pr[2]^2)G

## [1] 0.5

El ciclo es significativo para un nivel de probabilidad del 95% ya que el valor del estadístico es superior alvalor crítico Gc = 1− e

ln(0,05)−ln(50)99

Gc=1-exp((log(0.05)-log(50))/49)Gc

19

## [1] 0.1314886

Calculo del periodograma a través de la Transformada Discreta de Fourier

Tomando N muestras de una señal periodica xk = f(tk) de periodo T en instantes separados por intervalosregulares:

t0 = 0, t1 = T

N, t2 = 2T

N, ..., tk = kT

N, ..., tN−1 = (N − 1)T

N

Cabe aproximarla mediante una combinación g(t) de funciones T-periódicas conocidas que tome en dichospuntos el mismo valor que f . Este procedimiento se conoce como interpolación trigonométrica. Las funcionesT-periódicas que se utilizan son los armónicos complejos einwt con w = 2π

T y puesto que hay N puntos, si elproblema tiene solución única hay que combinar un total de N armónicos.

La función g(t) utilizada en la aproximación, toma entonces la forma general:

g(t) = 1N

(β0 + β1eiwt + β2e

i2wt + ....+ βkeikwt + ...+ βN−1e

i(N−1)wt) = 1N

N−1∑n=0

βieinwt

tal que Xk = g(tk) para cada k = 0, 1, ..., N − 1.

Entonces,

xk = 1N

N−1∑η=0

βηeiηwtk = 1

N

N−1∑η=0

βηeiηw2πN = 1

N

N−1∑η=0

βηwnkN

siendo wN = ei2πN la raiz primitiva N-esima de la unidad.

En forma matricial se expresa:

x0x1x2.xη.

xN−1

= 1

2

1 1 1 ... 1 ... 11 w w2 ... wη ... wN−1

1 w2 w4 ... w2η ... w2(N−1)

. . . ... . ... .1 wk w2k ... wηk ... w(N−1)k

. . . ... . ... .

1 wN−1 w2(N−1) ... wη(N−1) ... w(N−1)(N−1)

β0β1β2.βη.

βN−1

donde FN = [wnk]N−1

n,k=0 es la matriz de Fourier de orden N.

Al vector β se le denomina transformada discreta de Fourier del vector x, denotandose como : β = DFT (x).

Una forma de obtener la DFT es a través del algoritmo FFT (Fast Fourier Transform), desarrollado pordiseñado por J.W. Cooley y John Tukey en 1965.

Si la función que interpolamos es una función real de periodo T , xk = g(tk), donde k = 0, 1, ..., N − 1, queutiliza la forma general:

g(t) =∑n

ancos(nwt) + bnsin(nwt)

con w = 2πT suponiendo que M = 2N ,si β = DFT (x), entonces:

20

a0 = β0

N; an = 2RE(βn)

N; bn = −2IM(βn)

N,N = 1, ...,M − 1; aM = βM

Ny el poligono trigonométrico quedaría:

g(t) = a0 +M−1∑n=1

ancos(nwt) + bnsin(nwt) + aMcos(Mwt)

Si se desea hacer una gráfica acumulativa del periodograma (B.D. Ripley), existe la función “cpgram”, enesta prueba se utilizan como bandas de frecuencia máxima y mínima las siguientes:

max = c+ ( tn

);min = −c+ ( tn

)

donde c = 1.358√n−1+0.12+ 0.11√

n−1y n el número de frecuencias que se utilizan en el periodograma.

Si la representación grafica acumulativa del periodograma situada entre situada las bandas de frecuenciamáxima y mínima, indicaría la no presencia de ciclos dominantes en la serie temporal.

Ejemplo 3

Utilizamos la serie ajustada a tendencia del Ejemplo 1, calculamos la tranformada de fourier con la funcióngenerica de R “fft”, la serie se obtendría a través de la inversa:x.1=x-tendenciaz <- fft(x.1)

Para obtener el periodograma:CF = abs(z/sqrt(100))^2P = (4/100)*CF[1:51] # Solo se necesitan los (n/2)+1 valores de la FFT .f=(0:50)/16 # Para crear las frecuencias armónicas de 1/100 en pasos de 0 a 0.5plot(f,P,type="l") # gráfica del periodograma; tipo = “l” gráficos de línea.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

02

46

8

f

P

21

Se puede calcular directamente el periodograma utilizando la transformada de Fourier con las funcion de R:“spec.pgram”:spec.pgram(x.1)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

5e−

025e

−01

5e+

005e

+01

frequency

spec

trum

Series: x.1Raw Periodogram

bandwidth = 0.00289

Realizamos la representación gráfica del periodograma a través de "cpgram$.cpgram(x.1)

22

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

frequency

Series: x.1

Cálculo del peridograma transformando la serie al dominio de la frecuencia.

Sea x un vector T x 1, el modelo transformado en el dominio de la frecuencia por la matriz ortogonal W ,esta dado por:

x = Wx

Transformado las series del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, puede obtenerse un estimadorconsistente del periodograma de x.

Denominando pn el ordinal del periodograma de x en la frecuencia λn = 2πjT , y xn el enesimo elemento de x :

p2n = x2

2n + x22n+1 ∀n = 1, ...T−1

2p2n = x2

2n ∀n = T−12

p1 = x21

Las siguientes funciones R calculan y representan gráficamente el periodograma:

Función periodograma (a)

Calcula y presenta el espectro de la serie “a”periodograma <- function(y) # Author: Francisco Parra Rodríguez# Some ideas from Gretl# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/cf <- gdf(y)n <- length(y)

23

if (n%%2==0) m1 <- c(0)m2 <- c()for(i in 1:n)if(i%%2==0) m1 <-c(m1,cf[i]) else m2 <-c(m2,cf[i])m2 <-c(m2,0)frecuencia <- seq(0:(n/2))frecuencia <- frecuencia-1omega <- pi*frecuencia/(n/2)periodos <- n/frecuenciadensidad <- (m1^2+m2^2)/(4*pi)tabla <- data.frame(omega,frecuencia, periodos,densidad)tabla$densidad[(n/2+1)] <- 4*tabla$densidad[(n/2+1)]data.frame(tabla[2:(n/2+1),])else m1 <- c(0)m2 <- c()for(i in 1:(n-1))if(i%%2==0) m1 <-c(m1,cf[i]) else m2 <-c(m2,cf[i])m2 <-c(m2,cf[n])frecuencia <- seq(0:((n-1)/2))frecuencia <- frecuencia-1omega <- pi*frecuencia/(n/2)periodos <- n/frecuenciadensidad <- (m1^2+m2^2)/(4*pi)tabla <- data.frame(omega,frecuencia, periodos,densidad)data.frame(tabla[2:((n+1)/2),])

Función gperiodograma (a)

Presenta gráficamente el espectro de la variable agperiodograma <- function(y) # Author: Francisco Parra Rodr?guez# Some ideas from Gretl# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/tabla <- periodograma(y)plot(tabla$frecuencia,tabla$densidad,main = "Espectro",ylab = "densidad",xlab="frecuencia",type = "l",col="#ff0000")

Las funciones R para realizar el test de Durbin sobre el periodograma son:

Función td (y,significance)

El test de Durbin esta basado en el siguiente estadistico: sj =∑j

n=1pn∑N

n=1pn

donde N = T2 para T par y T−1

2 para T impar.

El estadístico sj ha en encontrarse entre unos límites inferior y superior de valores críticos que han sidotabulados por Durbin (1969). Si bien hay que tener presente que el valor po no se considera en el cálculo del

24

estadístico esto es, po = v1 = 0

En la función se utilizan las bandas de frecuencia de la función cpgram de B. D. Ripley.td <- function(y) # Author: Francisco Parra Rodríguez# Some ideas from:#Harvey, A.C. (1978), Linear Regression in the Frequency Domain, International Economic Review, 19, 507-512.# DURBIN, J., "Tests for Serial Correlation in Regression Analysis based on the Periodogram ofLeast-Squares Residuals," Biometrika, 56, (No. 1, 1969), 1-15.# Venables and Ripley, "Modern Applied Statistics with S" (4th edition, 2002).# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/per <- periodograma(y)p <- as.numeric(per$densidad)n <- length(p)s <- p[1]t <- 1:nfor(i in 2:n) s1 <-p[i]+s[(i-1)]s <- c(s,s1)s2 <- s/s[n]xm <- frequency(y)/2c <- 1.358/(sqrt(n-1)+0.12+0.11/sqrt(n-1))min <- -c+(t/length(p))max <- c+(t/length(p))data.frame(s2,min,max)

Función gtd (a)

Presenta gráficamente los resultados de la prueba de Durbin (Durbin; 1969) :gtd <- function (y) S <- td(y)plot(ts(S), plot.type="single", lty=1:3,main = "Test Durbin",ylab = "densidad acumulada",xlab="frecuencia")

Ejemplo 4

Obtenemos el periodograma, su representación gráfica y el test de Durbin sobre el periodograma utilizandode la serie creada en del ejemplo2.periodograma(x.1)

## omega frecuencia periodos densidad## 2 0.06283185 1 100.000000 1.290630e+01## 3 0.12566371 2 50.000000 3.115596e+01## 4 0.18849556 3 33.333333 2.885842e+00## 5 0.25132741 4 25.000000 1.964813e+00## 6 0.31415927 5 20.000000 4.289539e-01## 7 0.37699112 6 16.666667 3.520685e+00## 8 0.43982297 7 14.285714 2.908662e+00## 9 0.50265482 8 12.500000 6.158519e-03

25

## 10 0.56548668 9 11.111111 1.490347e+00## 11 0.62831853 10 10.000000 7.335572e-01## 12 0.69115038 11 9.090909 7.806266e-02## 13 0.75398224 12 8.333333 2.658979e-02## 14 0.81681409 13 7.692308 1.730203e-01## 15 0.87964594 14 7.142857 2.997720e-01## 16 0.94247780 15 6.666667 1.309036e-01## 17 1.00530965 16 6.250000 6.939235e-02## 18 1.06814150 17 5.882353 2.881945e-01## 19 1.13097336 18 5.555556 2.148489e-02## 20 1.19380521 19 5.263158 4.214992e-01## 21 1.25663706 20 5.000000 1.504465e-01## 22 1.31946891 21 4.761905 1.798089e-01## 23 1.38230077 22 4.545455 1.673123e-02## 24 1.44513262 23 4.347826 5.822690e-01## 25 1.50796447 24 4.166667 1.364430e-01## 26 1.57079633 25 4.000000 1.932048e-01## 27 1.63362818 26 3.846154 5.732373e-03## 28 1.69646003 27 3.703704 8.312120e-02## 29 1.75929189 28 3.571429 1.134812e-01## 30 1.82212374 29 3.448276 1.975984e-02## 31 1.88495559 30 3.333333 2.045660e-02## 32 1.94778745 31 3.225806 1.900729e-02## 33 2.01061930 32 3.125000 7.589156e-02## 34 2.07345115 33 3.030303 7.107889e-02## 35 2.13628300 34 2.941176 8.303240e-02## 36 2.19911486 35 2.857143 1.216226e-01## 37 2.26194671 36 2.777778 4.915373e-02## 38 2.32477856 37 2.702703 4.859259e-02## 39 2.38761042 38 2.631579 2.036695e-02## 40 2.45044227 39 2.564103 5.476973e-03## 41 2.51327412 40 2.500000 1.581200e-02## 42 2.57610598 41 2.439024 5.910273e-02## 43 2.63893783 42 2.380952 1.466372e-01## 44 2.70176968 43 2.325581 7.117237e-04## 45 2.76460154 44 2.272727 2.598291e-02## 46 2.82743339 45 2.222222 1.473444e-01## 47 2.89026524 46 2.173913 7.863477e-02## 48 2.95309709 47 2.127660 7.153018e-02## 49 3.01592895 48 2.083333 2.445113e-02## 50 3.07876080 49 2.040816 1.296646e-01## 51 3.14159265 50 2.000000 2.956689e-01gperiodograma(x.1)

26

0 10 20 30 40 50

05

1015

2025

30

Espectro

frecuencia

dens

idad

td(x.1)

## s2 min max## 1 0.2064961 -0.17031031 0.2103103## 2 0.7049802 -0.15031031 0.2303103## 3 0.7511526 -0.13031031 0.2503103## 4 0.7825889 -0.11031031 0.2703103## 5 0.7894520 -0.09031031 0.2903103## 6 0.8457817 -0.07031031 0.3103103## 7 0.8923192 -0.05031031 0.3303103## 8 0.8924178 -0.03031031 0.3503103## 9 0.9162628 -0.01031031 0.3703103## 10 0.9279994 0.00968969 0.3903103## 11 0.9292484 0.02968969 0.4103103## 12 0.9296738 0.04968969 0.4303103## 13 0.9324421 0.06968969 0.4503103## 14 0.9372383 0.08968969 0.4703103## 15 0.9393327 0.10968969 0.4903103## 16 0.9404430 0.12968969 0.5103103## 17 0.9450540 0.14968969 0.5303103## 18 0.9453978 0.16968969 0.5503103## 19 0.9521416 0.18968969 0.5703103## 20 0.9545487 0.20968969 0.5903103## 21 0.9574256 0.22968969 0.6103103## 22 0.9576933 0.24968969 0.6303103## 23 0.9670093 0.26968969 0.6503103## 24 0.9691924 0.28968969 0.6703103## 25 0.9722836 0.30968969 0.6903103## 26 0.9723753 0.32968969 0.7103103## 27 0.9737052 0.34968969 0.7303103

27

## 28 0.9755209 0.36968969 0.7503103## 29 0.9758370 0.38968969 0.7703103## 30 0.9761643 0.40968969 0.7903103## 31 0.9764684 0.42968969 0.8103103## 32 0.9776827 0.44968969 0.8303103## 33 0.9788199 0.46968969 0.8503103## 34 0.9801484 0.48968969 0.8703103## 35 0.9820943 0.50968969 0.8903103## 36 0.9828808 0.52968969 0.9103103## 37 0.9836582 0.54968969 0.9303103## 38 0.9839841 0.56968969 0.9503103## 39 0.9840717 0.58968969 0.9703103## 40 0.9843247 0.60968969 0.9903103## 41 0.9852703 0.62968969 1.0103103## 42 0.9876165 0.64968969 1.0303103## 43 0.9876278 0.66968969 1.0503103## 44 0.9880436 0.68968969 1.0703103## 45 0.9904010 0.70968969 1.0903103## 46 0.9916592 0.72968969 1.1103103## 47 0.9928036 0.74968969 1.1303103## 48 0.9931948 0.76968969 1.1503103## 49 0.9952694 0.78968969 1.1703103## 50 1.0000000 0.80968969 1.1903103gtd(x.1)

Test Durbin

frecuencia

dens

idad

acu

mul

ada

0 10 20 30 40 50

−0.

20.

20.

61.

0

28

Ventanas

Hasta ahora hemos supuesto que las frecuencias eran frecuencias de Fourier y por tanto w = wn = 2πnT , donde

n indica el orden del armónico. Se y se interpreta como el número de veces que un sinusoide (un armónico) defrecuencia wn ejecuta un ciclo completo en la muestra considerada. Es decir, si n = 4, la frecuencia asociadaal armónico (w4 = 2π4

T ), determinara que este ejecute 4 ciclos completos a lo largo de T . A este tipo defrecuencias se denominan frecuencias de Fourier.

Si suponemos que existe un armónico que se repite cuatro veces y media,dicha frecuencia no produciráciclos enteros en la muestra y nos encontramos con una frecuencia que no es de Fourier. Estas frecuenciasoriginan un problema que se denomina leakage o distorsión, que determina que los pesos significativos delperiodograma se repartan entre frecuencias contiguas.

Una de las maneras de solucionar el leakage consiste en aplicar transformar la serie original multiplicándolapor una expresión que se denominan Data Windows o taper, y obtener el periodograma a partir de laserie transformada. Así es estimador de la función de densidad espectral puede considerarse como:

f(w) = I(w)ω

DoDonde ω es la función de pesos o ventana espectral y I(W ) es el periodograma.

Dado de que lo que se trata es de promediar algunos valores contiguos del periodograma, podría utilizarseuna media móvil de amplitud m:

ωt = 1

m∀t = 0± 1± 2± ...± m−12

0

Entre las ventanas más utilizadas citar:

a) Tukey

ωt = 1− 2a+ 2acos(πt

T

)si a = 1

4 se denomina ventana de Tukey-Hammond

b) Parcen

ωt =

1− 6( tT )2 + 6 | tT |3 ∀t = 1, 2, ..., T22(1− | tT |)3∀t = T

2 , ..., T

c) Boxcar

ωt =

12

[1− cos

(π t+1

2m

)]∀t = 1, 2, ...,m

1,m12

[1− cos

(2π t+1

2m

)]∀t = T −m+ 1, ..., T

donde m es arbitrario, si bien suele elegirse un valor de m tal que 2mT se sitúe entre 0.1 y 0.2.

29

ANALISIS ARMONICO DE PROCESOS BIVARIANTES

Proceso bivariante

Un proceso bivariante z(t) es un par formado por dos procesos univariantes, x(t) y y(t), donde E[x(t)] = µx(t)y E[y(t)] = µy(t).

La función de autocovarianza de x(t) será:

γx(t, τ) = E[(x(t)− µx(t))(x(t+ τ)− µx(t+ τ))]

en tanto que la función de autocovarianza de y(t) será:

γy(t, τ) = E[(y(t)− µy(t))(y(t+ τ)− µy(t+ τ))]

Se denomina función de cross-varianza o covarianza cruzada a:

γx,y(t, τ) = E[(x(t)− µx(t))(y(t+ τ)− µy(t+ τ))]

Hay que señalar que γx,y(t, τ) no es igual a γy,x(t, τ), pero existe una relación entre las dos funciones ya que:

γx,y(t, τ) = γy,x(t+ τ,−τ)

Señalar, por último; que la covarianza entre x(t) y y(t) sería γx,y(t, 0).

Si se asume la estacionariedad de x(t) y y(t), entonces E[x(t)] = µx y E[y(t)] = µy, y la función decross-varianza no dependerá más que del retardo τ .

Suponiendo que µx = µy = 0, se comprueba que γx,y, no depende mas que del retardo τ , es decir queγx,y(t, τ) = γx,y(τ):

γx,y(t, τ) = E[x(t)y(t+ τ)] = E[x(t+ s)y(t+ s+ τ)],∀s, t

La función de correlación cruzada se define como:

ρxy(τ) = γx,y(τ)γx(0)γy(0)

Cuando t = 0 , γx,y(0) es la covarianza habitual y

ρxy(0) = γx,y(0)γx(0)γy(0)

sería el coeficiente de correlación de Pearson entre x(t) e y(t).

Los estimadores de γx,y(τ) y ρx,y(τ) se calculan:

Cx,y(k) =

1T

∑T−kt=1 (x(t)− µx)(y(t+ k)− µy) si k = 0, 1, ..., T − 1

1T

∑T−kt=1 (x(t+ k)− µx)(y(t)− µy) si k = −1,−2, ...,−(T − 1)

rxy(k) = Cx,y(k)√Cx(0)Cy(0)

## Análisis armónico de un proceso bivariante.

30

La función de autocovarianza que obtenemos en el dominio temporal, tiene también su correspondienterepresentación en el dominio frecuencial; esta es el cross-espectro o espectro cruzado. Así, si partimos de dosprocesos estacionarios x(t) y y(t), con la siguiente representación espectral:

x(t) =∫ π

0cos(wt)dUx(w) +

∫ π

0sin(wt)dVx(w)

y(t) =∫ π

0cos(wt)dUy(w) +

∫ π

0sin(wt)dVy(w)

donde Ui(w) e Vi(w), i = x, y son procesos estocásticos con dominio definido en (0, π), con media 0 y deincrementos incorrelacionados.

Dado que dichos procesos son conjuntamente estacionarios en covarianza, se demuestra que:

E[dUx(w)dUy(w′)] = E[dVx(w)dVy(w′)] = E[dUx(w)dVy(w′)] = E[dVx(w)dUy(w′)] = 0,∀w 6= w′

E[dUx(w)dUy(w)] = E[dVx(w)dVy(w)] = C(w)dw

E[dUx(w)dVy(w)] = E[dVx(w)dUy(w)] = q(w)dw

De manera que la notación de la cross-varianza quedaría como:

γx,y(τ) =∫ π

0cos(wt)C(w)dw +

∫ π

0sin(wt)q(w)dw

Que implica que la covarianza entre x(t) e y(t) sea:

γx,y(0) =∫ π

0C(w)dw

El cross-espectro se formula como:

fxy(w) = 1π

∞∑π=−∞

γxy(τ)e−iwτ , 0 ≤ w ≤ π

Dado que en general el cross-espectro es complejo; se define el cross-espectro (C) como la parte real decross-espectro y el espectro de cuadratura (Q) como la parte imaginaria, que además coinciden con C(w) yq(w):

fxy(w) = C(w)− iq(W )

Se deduce que:

C(w) = 1π

∞∑π=−∞

γxy(τ)cos(wτ)

y

q(w) = 1π

∞∑π=−∞

γxy(τ)sin(wτ)

La representación trigonométrica del cross-espectro será:

31

fxy(w) = αxy(w)eiφxi(w)

siendo

αxy(w) =√C2(w) + q2(w)

que se conoce como espectro de cross-amplitud.

φxy = artg

[−q(w)C(w)

]que se denomina espectro de fase.

Del cross-espectro y de la función de densidad espectral individual de las dos series x(t) e y(t) se obtiene lafunción de coherencia:

R(w) = C2(w) + q2(w)fx(w)fy(w)

El cross-espectro representa la aportación a la covarianza entre x(t) e y(t) de sus diversos componentesarmónicos. Como su interpretación no es simple, se utilizan las funciones de espectro de fase y coherencia, yaque el espectro de fase revela el desfase o retardo que en el comportamiento cíclico sigue una serie respectoa la otra; y el análisis de la función de coherencia permite identificar si la correlación que se da entre lasdos series se debe a que ambas siguen un comportamiento cíclico en determinados periodos, permitiendoidentificar la duración o periodo de los armónicos que dominan en ambas series a la vez y que producen unaalta correlación.

La construcción del cross-espectro cuando τ = 0 y γxy(0) es la covarianza habitual, da lugar a las siguientesfunciones C(w) y q(w) :

C(w) = γxy(0)2π

q(w) = 0

Si E[x(t)] = µx = 0 y E[y(t)] = µy = 0, la covarianza entre x(t) = xt e y(t) = yt se reducuría aγxy(0) =

∑Tt=1 xtyt, y la parte real del cross-espectro se reduce a :

C(w) = 12π

T∑t=1

xtyt

Teorema de Plancharel

Sean A(x) y B(x) dos funciones continuas de periodo 2π cuyos desarrollos de Fourier son:

A(x) =∞∑

x=−∞ane

inx

B(x) =∞∑

x=−∞bne

inx

Entonces se verifica la relación de Plancharel entre los correspondientes productos escalares:

32

∞∑n=−∞

anbn = 12π

∫ π

−πA(x)B(X)dx

Si A(x) = B(x) se obtiene la identidad de Parseval:

∞∑n=−∞

|an|2 = 12π

∫ π

−π|A(x)|2dx

De igual manera que la identidad de Parseval estudia la distribución de la varianza de una serie desarrolladaen sus armónicos, la de Plancharel estudia la covarianza entre dos series desarrolladas en sus armónicos.

Partiendo de una serie armónica x(t) =∑kn=1 an cos(nw0t) + bn sin(nw0t) y otra y(t) =

∑kn=1 a

∗n cos(nw0t) +

b∗n sin(nw0t), en donde k = T2 si el numero de observaciones T es par, o k = T−1

2 si el numero de observacionesT es impar, la expresión de igualdad de plancharel sería:

12

T2∑

n=1ana

∗n + bnb

∗n = 1

T

∫ T2

−T2x(t)y(t)dx

El producto escalar de x(t) e y(t):

T∑t=1

x(t)y(t) =T∑t=1

(k∑

n=1[an cos(nw0t) + bn sin(nw0t)][a∗n cos(nw0t) + b∗n sin(nw0t)])

da como resultado: 12∑T

2n=1(ana∗n + bnb

∗n), en base a la ortogonalidad de las series de seno y coseno.

Coeficiente de correlación de Pearson

Dado que la covarianza entre las series armónicas x(t) e y(t) se desarrolla a partir de los coeficientes deFourier:

σ2xy = 1

2

T2∑

n=1ana

∗n + bnb

∗n

cabe considerar a cada expresión ana∗n+bnb∗n

2 como la contribución del armónico n a la formación de lacovarianza, de manera que la representación de Cxy(wn) = T (ana∗n+bnb∗n)

4π frente a los n armónicos permiteapreciar las frecuencias entre las que las series x(t) e y(t) covarían en sentido positivo o negativo. Se puedeobservar que un ciclo relevante en ambas series originará un valor alto en Cxy(wn), en tanto que un ciclopoco relevante en alguna de las dos series dará lugar a un valor bajo en Cxy(wn).

En tanto que el coeficiente de correlación de pearson se obtendría a partir de:

ρxy(0) =∑T

2n=1 ana

∗n + bnb

∗n√

(∑T

2n=1 a

2n + b2

n)(∑T

2n=1 a

∗2n + b∗2n )

Utilizando la definición alternativa de las series de fourier, tenemos que x(t) = C0 +∑kn=1 Cn(cos(nw0t− θn)

e y(t) = C∗0 +∑kn=1 C

∗n(cos(nw0t− θ∗n), en donde C0 = a0

2 , Cn =√a2n + b2

m, y θn = arctan bnan

; y C∗0 = a∗02 ,

C∗n =√a∗2n + b∗2n , y θn = arctan b∗n

a∗n.

33

Se aprecia entonces que en cada armónico n , θn determinara el ángulo de desfase en radianes de cada serie defourier, si queremos obtener el desfase en unidades de tiempo, hay que dividirlo por la frecuencia fundamental(w0), θn

w0, entonces la diferencia θn

w0− θ∗n

w0= θn−θ∗n

wodeterminara el desfase entre los armónicos n de las dos

series.

En definitiva, los coeficientes de Fourier también permiten analizar la covarianza cruzada y los desfases quese dan entre las frecuencias relevantes de dos series armónicas.

Ejemplo 5

Se realiza una representacion del cross-espectrum de las series datos anuales del PIB en Indices de Volumen yel consumo de energia final en España, correspondientes al periodo 1995-2018.

Se utiliza la función “crossSpectrum” de la libreria IRISSeismic, la función tiene una opción, spans, donde sepuede incluir el vector de enteros impares que se utilizarán para suavizar el periodograma (anchos modificadosde Daniels).

En el ejemplo se representan las funciones de espectro de fase y coherencialibrary(IRISSeismic)library(vars)

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## The following objects are masked from 'package:base':#### as.Date, as.Date.numeric

## Loading required package: sandwich

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## Loading required package: lmtest# Lectura de datos

energia <-read.csv("energia.csv",header=TRUE,sep=";")E=energia$CEEFP=energia$PIB_IV

ts1=ts(P,frequency = 1, start = 1995)ts2=ts(E,frequency = 1, start = 1995)

# Calculate the cross spectrumDF <- crossSpectrum(ts.union(ts1,ts2),spans=4)

# Calculate the transfer functiontransferFunction <- DF$Pxy / DF$PxxtransferAmp <- Mod(transferFunction)transferPhase <- pracma::mod(Arg(transferFunction) * 180/pi,360)

34

# 2 rowslayout(matrix(seq(2)))

# Plotplot(1/DF$freq,transferAmp,type='l',log='x',

xlab="Period",main="Transfer Function Amplitude")

plot(1/DF$freq,transferPhase,type='l',log='x',xlab="Periodo", ylab="degrees",main="Transfer Function Phase")

2 5 10 20

200

Transfer Function Amplitude

Period

tran

sfer

Am

p

2 5 10 20

035

0

Transfer Function Phase

Periodo

degr

ees

Producto escalar de dos series armónicas.

El producto de dos series armónicas de diferente frecuencia: x(t) = [aj cos(ωj) + bj sin(ωj)] e y(t) =[ai cos(ωi) + bi sin(ωi)]

da como resultado la siguiente suma:

ajai cos(ωj) cos(ωi) + ajbi cos(ωj) sin(ωi)+aibj sin(ωj) cos(ωi)bi sin(ωi) + bjbi sin(ωj) sin(ωi)

considerando las identidades del producto de senos y cosenos, quedaría:

ajai+bjbi2 cos(ωj − ωi) + bjai−bjaj

2 sin(ωj − ωi)+ajai−bjbi

2 cos(ωj + ωi) + bjai+bjai2 sin(ωj + ωi)

La circularidad de ω determina que la serie producto de dos series en t, resulte una nueva serie cuyoscoeficientes de Fourier sean una combinación lineal de los coeficientes de Fourier de las series multiplos.

35

Partiendo de las dos series siguientes:

yt = ηy + ay0 cos(ω0) + by0 sin(ω0) + ay1 cos(ω1) + by1 sin(ω1) + ay2 cos(ω2) + by2 sin(ω2) + ay3 cos(ω3)xt = ηx + ax0 cos(ω0) + bx0 sin(ω0) + ax1 cos(ω1) + bx1 sin(ω1) + ax2 cos(ω2) + bx2 sin(ω2) + ax3 cos(ω3)

Dada una matriz Θxx de tamaño 8x8 :

Θxx = ηxI8 + 12

0 ax0 bx0 ax1 bx1 ax2 bx2 2ax32ax0 ax1 bx1 ax0 + ax2 bx0 + bx2 ax1 + 2ax3 bx1 2ax22bx0 bx1 −ax1 −bx0 + bx2 ax0 − ax2 −bx1 ax1 − ax3 −2bx22ax1 ax0 + ax2 −bx0 + bx2 2ax3 0 ax0 + ax2 bx0 − bx2 2ax12bx1 ax0 + bx2 −bx0 − ax2 0 −2ax3 −bx0 + bx2 ax0 − ax2 −2bx12ax2 ax1 + 2ax3 −bx1 ax0 + ax2 −bx0 − bx2 ax1 −bx1 2ax02bx2 bx1 ax1 − 2ax3 bx0 − bx2 ax0 − ax2 −bx1 −ax1 −2bx02ax3 ax2 −bx2 ax1 −bx1 ax0 −bx0 0

Se demuestra que:

z = Θxxy

donde y = Wy,x = Wx, y z = Wz.

En el dominio del tiempo:

zt = xtyt = WT xWT y = WTWxtWT y = xtInW

T y

WT z = xtInWT y

z = WxtInWT y

Entonces:

Θxx = WTxtInW

La matriz cuadrada Θxx puede ser utilizada para obtener los resultados en el dominio de la frecuencia dediversas funciones de series de tiempo . Por ejemplo, si se desea obtener el desarrollo de los coeficientes enfourier de zt = x2

t , entonces:

z = WxtInWT x

En consecuencia, si zt = xnt

z = Wxn−1t InW

T x

Si ahora queremos obtener el desarrollo en coeficientes de fourier de zt = xtyt, entonces:

z = W [ 1y t

]InWT x

Función cdf(a)

Obtiene la matriz auxiliar para operaciones con vectores en dominio de tiempo y dominio de la frecuencia,pre-multiplica un vector por la matriz ortogonal, W y por su transpuesta, Parra F. (2013)cdf <- function(y) # Author: Francisco Parra Rodríguez# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/a <- matrix(y, nrow=1)n <- length(y)uno <- as.numeric (1:n)

36

A <- MW(n)I<- diag(c(a))B <- A%*%IB%*%t(A)

Aproximación bivariada con series de Fourier: Forma Flexible de Fourier (FFF)

Gallant (1981;1982) introdujo una forma funcional con capacidades muy distintas a las propuestas hasta elmomento; cuyas propiedades de flexibilidad eran en todos los casos locales. La forma de Fourier que utilizaGallant posee la propiedad de flexibilidad global; es decir; permite aproximar arbitrariamente cerca tanto a lafunción como a sus derivadas sobre todo el dominio de definición de las mismas. La idea que subyace en estetipo de aproximaciones (que podrían denominarse semi-no-paramétricas) es ampliar el orden de la base deexpansión; cuando el tamaño de la muestra aumenta; hasta conseguir la convergencia asintótica de la funciónaproximante a la verdadera función generadora de los datos y a sus derivadas.

Por tratarse de una forma Sobolev-flexible (frente a la Diewert-flexibilidad de las anteriores) es capaz deestimar consistentemente las elasticidades precio y renta sobre todo el espacio de datos (ElBadawi, Gallanty Souza; 1983); además; asintóticamente pueden conseguirse contrastes estadísticos insesgados (Gallant;1981 y 1982) y la eliminación del problema de inferencias aumentadas provocado por la especificación deun determinado modelo. Por último; Gallant y Souza (1991) han mostrado la normalidad asintótica de lasestimaciones derivadas de la forma de Fourier.

En la parte negativa, el modelo de Fourier puede conseguir la regularidad global, pero las restriccionesparamétricas que ello implica son excesivamente fuertes (Gallant, 1981); sin embargo, existen condiciones másdébiles (que no destruyen ni la flexibilidad ni la consistencia de los estimadores) con las que se puede conseguirla regularidad teórica al menos sobre un conjunto finito de puntos (Gallant y Golub, 1983); aunque laimplementación de tales restricciones resulta compleja (McFadden; 1985). En cualquier caso, las simulacionesde Monte Carlo realizadas por Fleissig, Kastens y Terrell (1997) y Chalfant y Gallant (1985) han mostradoque la región de regularidad de la forma de Fourier libre -sin restricciones de ningún tipo- es mucho mayorque la correspondiente a las formas Leontief-Generalizada o Translog.

Un polinomio de Fourier viene dado por la expresión:

Xt = η +N∑j=1

[aj cos

(2πft

n

)+ bj sin

(2πft

n

)](1)

donde η es la media de la serie, aj y bj son su amplitud,f son las frecuencias que del conjunto de las nobservaciones,t es un indice de tiempo que va de 1 a N, siendo N el numero de periodos para los cualestenemos observaciones en el conjunto de datos, el cociente ft

n ) convierte cada valor de t en escala de tiempoen proporciones de 2n y rango j desde 1 hasta n siendo n = N

2 (es decir, 0,5 ciclos por intervalo de tiempo).La dinámica de las altas frecuencias (los valores más altos de f) corresponden a los ciclos cortos en tantoque la dinámica de las bajas frecuencias (pequeños valores de f) van a corresponder con los ciclos largos. Sinosotros hacemos que ft

n = w la ecuación (1) quedaría, asi :

Xt = η +N∑j=1

[aj cos(ωj) + bj sin(ωj)](2)

La aproximación a una función no periódica g(x) por una serie de expansión de Fourier se realiza en Gallant(1981) añadiendo es esta un término lineal y cuadrático. De esta forma que la aproximación univariada seescribe como:

37

g(x/θ) = α+ βx+ 12δx

2 + 2J∑j=1

[aj cos(jx) + bj sin(jx)](3)

El vector de parámetros es (θ) = (α, β, δ, a1, ..., aJ , b1, ...., bJ ) de longitud K = 3 + 2J , siendo siendo J ≈√n .

La expresión de la primera y segunda derivada de la función (3) son las siguientes:

Dxg(x/θ) = β + δx+J∑j=1

[−aj sin(jx)− bj cos(jx)]j

D2xg(x/θ) = δ +

J∑j=1

[−aj cos(jx) + bj sin(jx)]j2

Dado que la variable exógena x no está expresada en forma periódica, debe de transformase o normalizarseen un intervalo de longitud menor que 2π;[0, 2π].

Función FFF(y,x)

La función realiza la aproximación de la expansión en series de fourier descrita en Gallant (1981) para unavariable dependiente (y) y otra independiente (x).# Funcion FFFFFF=function(y,x)z=2*pi*x/max(x)n=3+2*abs(sqrt(length(x)))X=data.frame(X=x,X2=(x^2)/2,X3=cos(z),X4=sin(z))m=trunc((n-5)/2)for(i in (1:m))X5=cos(2*i*z)X6=sin(2*i*z)X=cbind(X,X5,X6)list(fitted=lm(y~as.matrix(X))$fitted,X=X,residuals=lm(y~as.matrix(X))$residuals)

Ejemplo 6

A continuación va a realizarse una FFF con datos anuales del PIB en Indices de Volumen y el consumo deenergia final en España, correspondientes al periodo 1995-2018.

Dado que la longitud de los datos del ejemplo son 24, la expansión considera que K = 3 + 2 ∗ 5 = 13energia <-read.csv("energia.csv",header=TRUE,sep=";")E=energia$CEEFP=energia$PIB_IVfff.E=FFF(E,P)plot(ts(E,frequency = 1, start = 1995),type="l",main="Consumo Energia Final (Ktep).España",ylab="")lines(ts(lm(E~P)$fitted, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=2)lines(ts(fff.E$fitted, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=3)legend("top", ncol=3, c("CEF","Estimado LM","Estimado FFF"), cex=0.6, bty="n", fill=c(1,2,3))

38

Consumo Energia Final (Ktep).España

Time

1995 2000 2005 2010 2015

1200

016

000

2000

0

CEF Estimado LM Estimado FFF

Aproximación FFF multivariada:

La aproximación multivariada se describe en Gallant (1984):

g(x/θ) = u0 + b′x+ 12x′Cx+

A∑α=1

u0α + 2J∑j=1

mjα cos(jk′αz) + njα sin(jk′αz)

Donde, x es un vector de Nx1 variables, b es un vector de Nx1 coeficientes, C es una matriz simétricade de NxN coeficientes, z es un vector Nx1 de valores transformados de x ; mjα y njα son coeficientes,k′α = [kx1 , kx2 , ..., kxN ] son multi-índices; vectores de 1xN elementos que representan a la derivadas parcialesde una función de producción de Fourier para los diferentes tipos de expansión.

Dado que las variable exógenas no están expresada en forma periódica, deben de transformase o normalizarseen un intervalo de longitud menor que 2π. Fulginiti et all (2003) sugieren transformar el vector de variables xdefiniendo:

li = log(ai) + log(xi); i = 1, 2, ..., Nsiendo ai = Min[log(xi)] + 10−5

Entonces el valor de las variable transformada sería:

zit = jλk′α[log(at) + log(xt)]

siendo λ = 2π−εmax(li)

donde ε es valor positivo arbitrario y pequeño, si bien se recomienda escoger: 2π − ε = 6.

La forma flexible que aproxima a una ecuación con tres variables exógenas, y j = 1 sería:

39

g(x/θ) = u0 +3∑i=1

bixit + 12

3∑i=1

ciix2it +

3∑i=1

3∑k>1

cikxitxkt + [mtcos(zt) + ntsin(zt)]+

+3∑i=1

3∑k>1

[mikcos(zit − zkt) + niksin(zit − zkt)] +3∑i=1

3∑k>1

[mik1cos(zit − zkt − zt) + nik1sin(zit − zkt − zt)]+

+3∑i=1

3∑k>1

[mik2cos(zit − zkt + zt) + nik2sin(zit − zkt + zt)]

Es habitual en este tipo de trabajos incluir una tendencia temporal como variable exógena, en cuyo caso laforma flexible sería:

g(x/θ) = u0 +3∑i=1

bixit + 12

3∑i=1

ciix2it +

3∑i=1

3∑k>1

cikxitxkt + bt + 12bttt

2 +3∑i=1

bitxitt+ [mtcos(zt) + ntsin(zt)]+

+3∑i=1

3∑k>1

[mikcos(zit − zkt) + niksin(zit − zkt)] +3∑i=1

3∑k>1

[mik1cos(zit − zkt − zt) + nik1sin(zit − zkt − zt)]+

+3∑i=1

3∑k>1

[mik2cos(zit − zkt + zt) + nik2sin(zit − zkt + zt)]

## Ejemplo 7

La función de Coob-Douglas una de las funciones de producción más empleadas en el ámbito de la economía,la función fue estimada por Paul Douglas y Charles Cobb en 1927. Se expresa:

yt = Akαt lβt

siendo yt la producción nacional, kt el stock de capital, y lt el empleo.

Con los datos de la economía americana de 1899 a 1922, estimamos la aproximación FFF multivariada:

Ln(yt) = µo+b1Ln(kt)+b2Ln(lt)+b11(Ln(kt))2+b22(Ln(lt))2+b12(Ln(kt)Ln(lt))+[m1cos(k∗t)+n1sin(k∗t)]+[m2cos(l∗t)+n2sin(l∗t)]+[m11cos(2k∗t)+n11sin(2k∗t)]+[m22cos(2l∗t)+n22sin(2l∗t)]+[m12cos(k∗t+l∗t)+n12sin(k∗t+l∗t)]

datos <-read.csv("coob_douglas.csv",header=TRUE,sep=";")y=log(datos$Y)k=log(datos$K)l=log(datos$L)k.2=k^2l.2=l^2kl.2=k*lk2=2*pi*k/max(k)l2=2*pi*l/max(l)k.3.1=cos(k2)k.3.2=sin(k2)l.3.1=cos(l2)l.3.2=sin(l2)k.4.1=cos(2*k2)k.4.2=sin(2*k2)

40

l.4.1=cos(2*l2)l.4.2=sin(2*l2)kl.4.1=cos(k2+l2)kl.4.2=sin(k2+l2)X=data.frame(y,k,l,k.2,l.2,kl.2,k.3.1,k.3.2,l.3.1,l.3.2,k.4.1,k.4.2,l.4.1,l.4.2,kl.4.1,kl.4.2)mod1=lm(y~.,data=X)summary(mod1)

#### Call:## lm(formula = y ~ ., data = X)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -0.037278 -0.004165 0.000928 0.009010 0.020974#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) 4.208e+05 2.463e+05 1.709 0.12588## k -1.735e+04 3.969e+03 -4.370 0.00238 **## l -1.687e+05 1.082e+05 -1.560 0.15740## k.2 1.593e+03 3.662e+02 4.351 0.00244 **## l.2 1.737e+04 1.091e+04 1.593 0.14986## kl.2 2.634e+01 1.322e+01 1.993 0.08143 .## k.3.1 3.119e+03 6.972e+02 4.473 0.00207 **## k.3.2 -2.569e+03 6.163e+02 -4.168 0.00313 **## l.3.1 2.937e+04 1.923e+04 1.528 0.16514## l.3.2 -1.703e+04 8.298e+03 -2.053 0.07421 .## k.4.1 -5.488e+01 1.403e+01 -3.912 0.00447 **## k.4.2 2.675e+02 6.249e+01 4.281 0.00268 **## l.4.1 -1.189e+03 9.406e+02 -1.265 0.24163## l.4.2 1.983e+03 9.824e+02 2.019 0.07819 .## kl.4.1 1.711e+01 7.908e+00 2.163 0.06250 .## kl.4.2 -1.332e+01 9.337e+00 -1.427 0.19155## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 0.02246 on 8 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9976, Adjusted R-squared: 0.993## F-statistic: 219.8 on 15 and 8 DF, p-value: 8.989e-09plot(ts(exp(y),frequency = 1, start = 1889),type="l",main="Y",ylab="")lines(ts(exp(lm(y~k+l)$fitted), frequency = 1, start = 1889), type="l", col=2)lines(ts(exp(mod1$fitted), frequency = 1, start = 1889), type="l", col=3)legend("top", ncol=3, c("Y","Estimado LM","Estimado FFF"), cex=0.6, bty="n", fill=c(1,2,3))

41

Y

Time

1890 1895 1900 1905 1910

100

140

180

220

Y Estimado LM Estimado FFF

Aproximación multivariada FFF utilizando funciones paramétricas

La aproximación FFF multivariada de Gallant (1981,1983) presenta dificultades prácticas ya que precisa deuna gran cantidad de datos para ser estimada por los métodos convencionales, la reducción de grados delibertad que ocasiona el utilizar secuencias de series de senos y cosenos en una regla de difícil aplicaciónpráctica, puede solventarse parametrizando los ángulos que determinan la relación polar en un eje de tresdimensiones.

Se denominan ecuaciones paramétrica a aquellas ecuaciones en que las variables X e Y , cada una separada-mente, están expresadas en función de la misma tercera variable, t, a la que se denomina variable paramétrica,estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

X = u(t)Y = v(t)

Una ecuación paramétrica permite representar curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valoresarbitrarios (parámetros). En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendode si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes,mientras que la restante, a la que se denomina variable dependiente, toma un valor en función de los valoresque toman las variable(s) independiente(s). Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x, y)equivale a la expresión (x, f(x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y , es decir quetodos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y , y no todas las curvas cumplen condicha condición. En una ecuación paramétrica, tanto X como Y son considerados variables dependientes,cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro, lo que larepresentación de funciones circulares en donde un valor de X puede dar lugar a dos valores de Y .

42

Por ejemplo, la posible parametrización de la expresión Y = X2, de la forma

X = u(t)Y = v(t)

, sería

X = t

Y = t2.

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X2 +Y 2 = r2, y su expresión

paramétrica sería

X = rcos(t)Y = rsin(t)

.

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste por tanto en “n” funcionesde una variable t que actúa como variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t esun número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), dela forma:

ei = fi(t), fi : [a.b]→ <

donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Porejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones X = u(t) , Y = v(t) y Z = g(t).

Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a ≤ y ≤ b le corresponda un punto distintode la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente at = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si lasderivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave. Es común resumirlas ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial:

~rt =n∑i=1

fi(t)ei = f1(t)e1 + f2(t)e2 + ...+ fn(t)en

donde ei representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.

Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son X = cos(t),Y = sen(t). Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma:

~rt = cos(t)i+ sin(t)j

Una superficie parametrizada en <3 es la imagen de una función continua S definida en una región D ⊆ <2

que toma valores en <3, esto es,

S : (u, v) ∈ D ⊆ <2 → S(n, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⊆ <3

Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la superficie y la propia función Srecibe el nombre de parametrización de la superficie. La imagen por S de la frontera de la región D se llamaborde o contorno de la superficie. Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos dobles, entonces sedice que la superficie es simple.

Dadas n observaciones de la variable aleatoria xt → N(µx, σ2x), a cada obseración (t, xt) le corresponde un

punto Pt en el eje cartesiano, de forma que:

P1 ⇒ (1, x1), P2 ⇒ (2, x2), ..., Pn ⇒ (n, xn)

que a su vez, se hace corresponder con una forma polar rt, para cada par (t, xt), siendo:

rt =√t2 + x2

t y γt = arctanxtt

Dado Pt(t, xt) = t+ ixt = [rtcos(γt)] + i[rtsin(γt)], se deduce que xt = rtsin(γt) y xt = tan(γt)t.

43

Si se estima la variable γt a partir de la expansión FFF de la forma:

γt(t/θ) = α+ βt+ 12δ

2t +

J∑j=1

[ajcos(jw0t) + bjsin(jwot)])

siendo w0 = 2πn , la función xt quedaría parametrizada en función de t con la siguiente expresión:

xt = tan(γt)t

Tenemos ahora n observaciones de la variable aleatoria xt → N(µx, σ2x) e yt → N(µy, σ2

y), a cada obseración(xt, yt) le corresponde un punto Pt en el eje cartesiano, de forma que:

P1 ⇒ (x1, y1), P2 ⇒ (x2, y2), ..., Pn ⇒ (xn, yn)

que a su vez, se hace corresponder con una forma polar rt, para cada par (xt, yt), siendo:

rt =√x2t + y2

t y αt = arctan ytxt

Dado Pt(xt, yt) = xt + iyt = [rtcos(αt)] + i[rtsin(αt)], se deduce que yt = rtcos(αt) , xt = rtcos(αt) yyt = tan(αt)xt.

La variable aleatoria yt puede parametrizarse como:

yt = tan(αt)tan(γt)t

Las ecuaciones paramétricas serían entonces:

X = xt = tan(γt)tY = yt = tan(αt)tan(γt)t

estimandose el ángulo αt con una expansión FFF, al igual que γt:

αt(t/θ) = α′ + β′t+ 12δ′2t +

J∑j=1

[a′jcos(jw0t) + b′jsin(jwot)])

Tenemos ahora n observaciones de la variable aleatoria xt → N(µx, σ2x) , yt → N(µy, σ2

y) y zt → N(µz, σ2z).

En este caso las relaciones geométricas a considerar son las que aparecen en la figura adjunta:

44

Se parte ahora de la representación polar entre cada par xt y zt, que vendrá dada por el modulo rt =√x2t + z2

t

y el argmento αt = arctan ztxt . Construimos ahora un nuevo plano entre rt e yt.

Dado que el modulo rt puede tener un valor diferente según se cambie el nivel de la variable parece aconsejablenormalizar las variables.

En consecuencia ahora tenemos dos variables rt e yt cuya representación polar tendrá a su vez un móduloϕt =

√r2t + y2

t y el argumento βt = arctanytrt .

Operando ϕt =√z2t + x2

t + y2t , y la representación polar del sistema vendría dada por : rt = ϕtcos(βt),yt =

ϕtsin(βt), e yt = tan(βt)√x2t + z2

t .

Dado que zt = tan(αt)xt, entonces:

yt = tan(βt)√x2t + [tan(αt)xt]2 = xt

√tan2(βt)[1 + tan2(αt)]

considerando tanto la sucesión de ángulos βt y αt como series de Fourier, se puede afirmar que el conjunto dedatos (xt, yt, zt), puede parametrizarse en función de una de ellas cualesquiera, y t.

Supongamos que en nuestro conjunto de datos la dimensión xt, es exógena, entonces:X = xt

Z = zt = tan(αt)xtY = yt =

√tan2(βt)[1 + tan2(αt)]xt

siendo:

βt(t/θ) = α∗ + β∗t+ 12δ∗2t +

J∑j=1

[a∗jcos(jw0t) + b∗jsin(jwot)])

45

La parametrización del sistema a la dimensión zt:Z = zt

X = xt = tan(π2 − αt)ztY = yt =

√tan2(βt)[1 + tan2(π2 − αt)xt]zt

ya que π2 − αt = arctanxtzt .

Por ultimo la parametrización sobre yt:

Y = yt

X = xt = yt√tan2(βt)[1+tan2(αt)]

Z = zt = yt√tan2(βt)[1+tan2(π2−αt)]

Considerando la parametrización en t de xt, el sistema quedaría:

X = xt = tan(γt)tZ = zt = tan(αt)tan(γt)tY = yt =

√tan2(γt)tan2(βt)[1 + tan2(αt)t

Ejemplo 8

Utilizando los datos del Ejemplo 7, estimamos una función FFF para el argumento γt.# Calculo del angulart=seq(1:length(y))g=atan(l/t)# Expansión del angularfff.g=FFF(g,t)# Estimación de Ll.fitted=tan(fff.g$fitted)*t# Representación gráficaplot(ts(g,frequency=1,start=1899),type="l",main="Angular",ylab="")lines(ts(fff.g$fitted,frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

46

Angular

Time

1900 1905 1910 1915 1920

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

plot(ts(exp(l),frequency=1,start=1899),type="l",main="Empleo",ylab="")lines(ts(exp(l.fitted),frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

Empleo

Time

1900 1905 1910 1915 1920

100

120

140

160

180

200

La estimación del stock de capital a partir del empleo, utilizando funciones paramétricas y una expansiónFFF para el argumento αt:

47

# Calculo del angulara=atan(k/l)# Expansión del angularfff.a=FFF(a,t)# Estimación de Kk.fitted=tan(fff.a$fitted)*l# Representación gráficaplot(ts(a,frequency=1,start=1899),type="l",main="Angular",ylab="")lines(ts(fff.a$fitted,frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

Angular

Time

1900 1905 1910 1915 1920

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

plot(ts(exp(k),frequency=1,start=1899),type="l",main="Stock Capital",ylab="")lines(ts(exp(k.fitted),frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

48

Stock Capital

Time

1900 1905 1910 1915 1920

100

200

300

400

# Calculo del angularr=sqrt(l^2+k^2)b=atan(y/r)# Expansión del angularfff.b=FFF(b,t)# Estimación de Yy.fitted=sqrt(1+(tan(fff.a$fitted))^2)*l*tan(fff.b$fitted)# Representación gráficaplot(ts(b,frequency=1,start=1899),type="l",main="Angular",ylab="")lines(ts(fff.b$fitted,frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

49

Angular

Time

1900 1905 1910 1915 1920

0.58

50.

595

0.60

50.

615

plot(ts(exp(y),frequency=1,start=1899),type="l",main="Producción",ylab="")lines(ts(exp(y.fitted),frequency=1,start=1899),type="p",col=2)

Producción

Time

1900 1905 1910 1915 1920

100

140

180

220

50

Regresión band spectrum

Nerlove (1964) y Granger (1969) fueron los primeros investigadores en aplicar el analisis espectral a las seriesde tiempo en economía.

Engle (1974), demostró que una regresión realizada con las series transformadas en el dominio de la frecuencia,Regresión Band Spectrum (RBS), no alteraba los supuestos básicos de la regresión clásica, cuyos estimadoreseran Estimadores Lineales, Insesgados y Optimos (ELIO).

y = Xβ + u (1)

donde X es una matriz nxk de observaciones de k variables independientes, β es un vector kxI de parámetros,y es un vector nx1 de observaciones de la variable dependiente, y u en un vector nxI de pertubacciones demedia cero y varianza constante, σ2.

El modelo se expresaría en el dominio de la frecuencia aplicando una transformación lineal a las variablesdependiente e independientes, por ejemplo, premultiplicando todas las variables por la matriz ortogonal W .La técnica de la RBS consiste en realizar el analisis de regresión en el dominio de la frecuencia, pero omitinedodeterminadas oscilaciones periodicas. Con este procedimiento pueden tratarse problemas derivados de laestacionalidad de las series o de la autocorrelación en los residuos. Engle (1974) muestra que si los residuosestán correlacionados serialmente y son generados por un procieso estacionario estocástico, la regresión en eldominio de la frecuencia es el estimador asintóticamente más eficiente de β.

La transformación de la ecuación (1) del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia en Engle (1974), apartir de la matriz W (Ver Análisis Espectral), cuyo elemento (t, s) esta dado por:

wts = 1√neiλts s = 0, 1, ..., n− 1

donde λt = 2π tn , t = 0, 1, ..., n− 1, y i =√−1.

Premultiplicando las observaciones de x y por W (ver apartado), obtenemos:

y = Xβ + u (2)

donde y = Wy, X = WX,ç y u = Wu.

Si el vector de las perturbaciones en (1) cumple las hipótesis clásicas del modelo de regresión: E[u] = 0 yE[uu′] = σ2In, entonces el vector de perturbaciones transformado al dominio de la frecuencia, u, tendrá lasmimas propiedades.

Por otro lado, dado que la matriz W es ortogonal, WWT = I, entonces WT sería la transpuesta de lacompleta conjugada de W , de forma que las observaciones del modelo (2) acaban conteniendo el mismo tipode información que las observaciones del modelo inicialmente planteado.

var(u) = E(uuT ) = E(Wuu′WT ) = WE(uu′)WT = σ2WΩWT

si Ω = I entonces var(u) = σ2I.

Asuminendo que x es independiente de u, el toerema de Gauss-Markov implicaría que:

β = (x′x)−1x′y

es el mejor estimador lineal insesgando (ELIO) de β. El estimador obtenido sería de hecho idéntico alestimador MCO de (1).

51

Estimar (2) manteniendo únicamente determinadas frecuencias, puede llevarse a cabo omitiendo las observa-ciones correspondientes a las restantes frecuencias, si bien, dado que las variables en (4) son complejas, Engle(1974) sugiere la transformada inversa de Fourier para recomponer el modelo estimado en términos de tiempo.

Ejemplo 9

Utilizando el IPI de Cantabria se comprueba que los estimadores MCO coinciden con los estimadores de laregresión en el dominio de la frecuencia:# DATOS IPI CANTABRIAlibrary(descomponer)

#### Attaching package: 'descomponer'

## The following objects are masked _by_ '.GlobalEnv':#### cdf, gdf, gdt, gperiodograma, gtd, MW, periodograma, tddata("ipi")t=seq(1:length(ipi))t2=t^2

# REGRESIÓN MINIMO CUADRADAsummary(lm(ipi~t+t2))

#### Call:## lm(formula = ipi ~ t + t2)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -42.468 -4.931 2.215 6.942 23.111#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) 95.2675702 2.9250060 32.570 < 2e-16 ***## t 0.3413570 0.0906335 3.766 0.00024 ***## t2 -0.0025658 0.0005892 -4.355 2.5e-05 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 11.7 on 145 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.1331, Adjusted R-squared: 0.1212## F-statistic: 11.14 on 2 and 145 DF, p-value: 3.169e-05# TRANSFORMACION SERIES AL DOMINIO DE LA FRECUENCIAK <- c(rep(1,length(ipi)))ipi.1 = gdf(ipi)t.1=gdf(t)t.2=gdf(t2)K.1=gdf(K)

# REGRESIÓN EN EL DOMININO DE LA FRECUENCIAsummary(lm(ipi.1~0+K.1+t.1+t.2))

52

#### Call:## lm(formula = ipi.1 ~ 0 + K.1 + t.1 + t.2)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -60.195 -5.415 -0.469 2.552 65.236#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## K.1 95.2675702 2.9250060 32.570 < 2e-16 ***## t.1 0.3413570 0.0906335 3.766 0.00024 ***## t.2 -0.0025658 0.0005892 -4.355 2.5e-05 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 11.7 on 145 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9872, Adjusted R-squared: 0.987## F-statistic: 3739 on 3 and 145 DF, p-value: < 2.2e-16

Definiendo una matriz A de tamaño n x n de ceros excepto en las posiciones de la diagonal principal,correspondientes a las frecuencias que queremos incluir en la regresión, y premultiplicando y y X por Aeleminamos determindas observaciones y las reemplazamos por ceros para realizar la regresión band spectrum.Devolver al dominio del tiempo a estas observaciones requiere:

y∗ = WTAy = WTAWy

x∗ = WTAx = WTAWx (3)

Al regresar y∗ sobre x∗ obtenemos un β idéntico al estimador que obtendríamos al estimar por MCO y frentea x.

Cuando se realiza la regresión band spectrum de esta manera, ocurre un problema asociado a los grados delibertad de la regresión de y∗ sobre x∗ que asumen los programas estadisticos convencionales, n − k. Losgrados de libertad reales serían únicamente n′ − k, donde n′ es el numero de frecuencias incluidas en laregresión band spectrum.

Tan H.B and Ashley R (1999), señalan que el procedimiento de elaboración de una RBS consta de tres etapas:

1.- Transformar los datos originales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia utilizando series finitasde senos y cosenos. Implicaría premultiplicar los datos originales por la matriz ortogonal W sugerida porHarvey (1978).

2.- Permitir la variación a través de m bandas de frecuencia usando variables Dummy D1j , ..D

mj . Estas

variables se elaboran a partir de submuestras de las n observaciones del dominio de frecuencias. De estaforma, Ds

j = xj,k si la observación j está en la banda de frecuencias s y Dsj = 0, en el resto de los casos.

3.- Re-estimar el resultado del modelo de regresión en el dominio del tiempo con las estimaciones y loscoeficientes de las m variables Dummy. Implicaría premultiplicar la ecuación de regresión ampliada por lasvariables Dummy por la transpuesta de W .

Asumiendo entonces que las series, yt, xt, βt y ut pueden ser transformadas en el dominio de la frecuencia:

yt = ηy +N∑j=1

[ayj cos(ωj) + byj sin(ωj)

53

xt = ηx +N∑j=1

[ayj cos(ωj) + byj sin(ωj)]

βt = ηβ +N∑j=1

[aβj cos(ωj) + bβj sin(ωj)]

Premultiplicando por W obtenemos:

y = xβ + u (4)

donde y = Wy,x = Wx, β = Wβ y u = Wu

El sistema (4) puede reescribirse como:

y = WxtInWT β +WInW

T u

Si denominamos e = WInWT u, podrían buscarse los β que minimizaran la suma cuadrática de los errores

et = WT e.

Una vez encontrada la solución a dicha optimización, se transformarían las series al dominio del tiempo paraobtener el sistema (6).

Para obtener una solución a la minimización de los errores que ofrezca el mismo resultado que la regresiónlineal por mínimos cuadrados ordinarios, requiere utilizar una matriz de regresores cuya primera columnasería el vector de tamaño N , (1, 0, 0, ...), la segunda columna sería la primera fila de la matriz WINXtW

T , ylas columnas siguientes, corresponderían las a las frecuencias de senos o cósenos que queremos regresar.

Denominando a esta nueva matriz, de tamaño (Nxp), X, donde p = 2 + j, siendo j las frecuencias de seno ycoseno elegidas como explicativas, los coeficientes de la solución MCO serían:

β = (X ′X)−1X ′y

donde β0,1 sería el parámetro asociado a la constante, β1,1 el asociado a la pendiente, y β1,j los asociados alas frecuencias de senos y cósenos elegidas.

Ejemplo 10

La regresión en el dominio de la frecuencia para el IPI de Cantabria realizado con un filtrado de altasfrecuencias, se muestra aqui:# CREAMOS LA MATRIZ DE REGRESORES FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIAS CON LA MATRIZ DE HARVEYn=length(ipi)M <- MW(length(ipi))z <- lm(ipi~t+t2)$fittedcx <- M%*%diag(z)cx <- cx%*%t(M)id <- seq(1,n)S1 <- data.frame(cx)S2 <- S1[1:(2+(n/12)),]X <- as.matrix(S2)X <- t(X)

54

# REGRESION FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIASrbs.fit=lm(ipi.1~0+X)summary(rbs.fit)

#### Call:## lm(formula = ipi.1 ~ 0 + X)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -60.204 -4.326 -0.237 1.651 65.231#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## X1 12.16502 0.10704 113.646 < 2e-16 ***## X2 -0.01543 0.10793 -0.143 0.8865## X3 0.16244 0.10615 1.530 0.1283## X4 0.06540 0.10725 0.610 0.5430## X5 -0.44072 0.10683 -4.125 6.46e-05 ***## X6 -0.05344 0.10711 -0.499 0.6186## X7 0.26225 0.10697 2.452 0.0155 *## X8 0.19221 0.10706 1.795 0.0748 .## X9 -0.12187 0.10701 -1.139 0.2568## X10 -0.08563 0.10703 -0.800 0.4251## X11 0.03593 0.10702 0.336 0.7376## X12 0.05775 0.10698 0.540 0.5902## X13 0.05649 0.10685 0.529 0.5979## X14 -0.04020 0.10680 -0.376 0.7072## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 10.86 on 134 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9898, Adjusted R-squared: 0.9888## F-statistic: 932.6 on 14 and 134 DF, p-value: < 2.2e-16plot(ts(ipi,frequency = 12, start = c(2002, 1)),type="l",main="IPI.Cantabria",ylab="")lines(ts(lm(ipi~t+t2)$fitted,frequency = 4, start = c(1980, 1)),type="l",col=2)lines(ts(gdt(rbs.fit$fitted),frequency = 4, start = c(1980, 1)),type="l",col=3)legend("top", ncol=3,c("ipi","Estimado LM","Estimado RBS"),cex=0.6,bty="n",fill=c(1,2,3))

55

IPI.Cantabria

Time

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

6070

8090

110

130

ipi Estimado LM Estimado RBS

Una manera de obtener pronosticos en el caso de la regresión RBS, es generar los correspondientes armónicosy utilizar los coeficientes de la regresión RBS para componer el pronostico.

Por pasos:

a) Convertimos al dominio de tiempo cada regresor (cada columna de la matriz X)

b) Se reliza la estimación en el dominio del tiempo la regresión MCO X1t = β0 + β1t+ β1t2 y su pronóstico

c) Se reliza la estimación en el dominio del tiempo la regresión MCO X2t = β0 +β1cos( 2∗πtT ) y su pronóstico

d) Se reliza la estimación en el dominio del tiempo la regresión MCO X3t = β0 +β1sin( 2∗πtT ) y su pronostico

e) Se reliza la estimación en el dominio del tiempo la regresión MCO X4t = β0 +β1cos( 4∗πtT ) y su pronóstico

f) Se reliza la estimación en el dominio del tiempo la regresión MCO X5t = β0 +β1sin( 4∗πtT ) y su pronostico

g) y sucesivamente . . . .

h) Se combinan las series pronosticadas con los coeficientes que resultan de la regresión en el dominio dela frecuencia.

Ejemplo 11

A continuación se realiza un ejemplo para el IPI de Cantabria, utilizando los dos primeros armónicos.# REGRESION FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIASS2 <- S1[1:5,]X <- as.matrix(S2)X <- t(X)rbs.fit.2=lm(ipi.1~0+X)summary(rbs.fit)

56

#### Call:## lm(formula = ipi.1 ~ 0 + X)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -60.204 -4.326 -0.237 1.651 65.231#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## X1 12.16502 0.10704 113.646 < 2e-16 ***## X2 -0.01543 0.10793 -0.143 0.8865## X3 0.16244 0.10615 1.530 0.1283## X4 0.06540 0.10725 0.610 0.5430## X5 -0.44072 0.10683 -4.125 6.46e-05 ***## X6 -0.05344 0.10711 -0.499 0.6186## X7 0.26225 0.10697 2.452 0.0155 *## X8 0.19221 0.10706 1.795 0.0748 .## X9 -0.12187 0.10701 -1.139 0.2568## X10 -0.08563 0.10703 -0.800 0.4251## X11 0.03593 0.10702 0.336 0.7376## X12 0.05775 0.10698 0.540 0.5902## X13 0.05649 0.10685 0.529 0.5979## X14 -0.04020 0.10680 -0.376 0.7072## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 10.86 on 134 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9898, Adjusted R-squared: 0.9888## F-statistic: 932.6 on 14 and 134 DF, p-value: < 2.2e-16# Tendencia cuadráticaT=148n=12X.1=gdt(X[,1])z.1=c(lm(X.1~t+t2)$fitted,predict(lm(X.1~t+t2),data.frame(t=seq(from=T+1, to=T+n),t2=seq(from=T+1, to=T+n)^2)))plot(z.1,type="l", col="red")lines(X.1, type="p")

57

0 50 100 150

7.0

7.5

8.0

8.5

Index

z.1

# Armonico 1X.2.1=gdt(X[,2])z.2.1=c(lm(X.2.1~cos(2*pi*t/T))$fitted,predict(lm(X.2.1~cos(2*pi*t/T)),data.frame(t=seq(from=T+1, to=T+n))))plot(z.2.1,type="l", col="red")lines(X.2.1, type="p")

0 50 100 150

−10

−5

05

10

Index

z.2.

1

X.2.2=gdt(X[,3])z.2.2=c(lm(X.2.2~sin(2*pi*t/T))$fitted,predict(lm(X.2.2~sin(2*pi*t/T)),data.frame(t=seq(from=T+1, to=T+n))))plot(z.2.2,type="l", col="red")lines(X.2.2, type="p")

58

0 50 100 150

−10

−5

05

10

Index

z.2.

2

# Armónico 2X.3.1=gdt(X[,4])z.3.1=c(lm(X.3.1~cos(4*pi*t/T))$fitted,predict(lm(X.3.1~cos(4*pi*t/T)),data.frame(t=seq(from=T+1, to=T+n))))plot(z.3.1,type="l", col="red")lines(X.3.1, type="p")

0 50 100 150

−10

−5

05

10

Index

z.3.

1

X.3.2=gdt(X[,5])z.3.2=c(lm(X.3.2~sin(4*pi*t/T))$fitted,predict(lm(X.3.2~sin(4*pi*t/T)),data.frame(t=seq(from=T+1, to=T+n))))plot(z.3.2,type="l", col="red")lines(X.3.2, type="p")

59

0 50 100 150

−10

−5

05

10

Index

z.3.

2

# Pronostico serie de dos armónicosfit.2=rbs.fit.2$coefficients[1]*z.1+rbs.fit.2$coefficients[2]*z.2.1+rbs.fit.2$coefficients[3]*z.2.2+rbs.fit.2$coefficients[4]*z.3.1+rbs.fit.2$coefficients[5]*z.3.2plot(ipi)lines(fit.2,col="red")

0 50 100 150

6070

8090

110

130

Index

ipi

Para obtener pronosticos con mayor precision, vamos a crea una serie de funciones que lo que hacer es generarindices para matriz ortogonal, W , con m adelantos.

Funcion MW2 (n,m)

La función MW2, obtiene la Matriz W desfasada m periodos de una serie temporal de tamaño n.

60

MW2 <- function(n,m) # Author: Francisco Parra Rodriguez# Some ideas from: Harvey, A.C. (1978), Linear Regression in the Frequency Domain, International Economic Review, 19, 507-512.# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/uno <- as.numeric (m:(n+m-1))A <- matrix(rep(sqrt(1/n),n), nrow=1)if(n%%2==0)for(i in 3:n-1)if(i%%2==0) A1 <- matrix(sqrt(2/n)*cos(pi*(i)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A1)else

A2 <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(i-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A2)AN <- matrix(sqrt(1/n)*(-1)^(uno+1), nrow=1)A <- rbind(A,AN)A else for(i in 3:n-1)if(i%%2==0) A1 <- matrix(sqrt(2/n)*cos(pi*(i)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A1)else

A2 <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(i-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,A2)AN <- matrix(sqrt(2/n)*sin(pi*(n-1)*(uno-1)/n), nrow=1)A <- rbind(A,AN)

función gdf2(y,m)

La función gdf2, transforma al dominio de la frecuencia la serie temporal y adelanta en m periodos.gdf2 <- function(y,m)

a <- matrix(y,nrow=1)n <- length(y)A <- MW2(n,m)A%*%t(a)

función gdt2(y,m)

La función gdf2, transforma al dominio del tiempo la serie temporal y presentada en el dominio de lafrecuencia, y adelantada en m periodos.gdt2 <- function(y,m)

# Author: Francisco Parra Rodriguez# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/

61

a <- matrix(y,nrow=1)n <- length(y)A <- MW2(n,m)t(A)%*%t(a)

Ejemplo 12

Utilizando estas nuevas matrices, la serie del IPI regional de Cantabria se pronosticaria con las altas frecuenciasde esta forma:# CREAMOS LA MATRIZ DE REGRESORES FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIAS CON LA MATRIZ DE HARVEYn=length(ipi)M2 <- MW2(length(ipi),12)z <- predict(lm(ipi~t+t2),data.frame(t=seq(from=11, to=n+10),t2=seq(from=11, to=n+10)^2))cx <- M2%*%diag(z)cx <- cx%*%t(M2)id <- seq(1,n)S1 <- data.frame(cx)S2 <- S1[1:abs(2+(n/12)),]X <- as.matrix(S2)X <- t(X)

# PRONOSTICO FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIAScoef=t(as.matrix(rbs.fit$coefficients))rbs.fit.3=coef%*%t(X)dim(rbs.fit.3)

## [1] 1 148fit.3=gdt2(rbs.fit.3,12)plot(window(ts(ipi,frequency = 12, start = c(2002, 1)),start = c(2003,1)),type="l",main="IPI.Cantabria",ylab="")lines(ts(z,frequency = 12, start = c(2003, 1)),type="l",col=2)lines(ts(fit.3,frequency = 12, start = c(2003, 1)),type="l",col=3)legend("top", ncol=3,c("ipi","Estimado LM","Estimado RBS"),cex=0.6,bty="n",fill=c(1,2,3))

62

IPI.Cantabria

Time

2004 2006 2008 2010 2012 2014

6070

8090

110

130

ipi Estimado LM Estimado RBS

La regresión en el dominio de la frecuencia tambien puede utilizarse para modelos bivariados, la función “rdf”permite realizar dicha regresión.

funcion rdf(x,y)

El algoritmo de calculo “rdf” se realiza en las siguentes fases:

a) Calcula el co-espectro de la serie “x” e “y”

Sea x un vector n x 1 el modelo transformado en el dominio de la frecuencia esta dado por: x = Wx.

Sea y un vector n x 1 el modelo transformado en el dominio de la frecuencia esta dado por: y = Wy

Denominando pj el ordinal del cross-periodograma de x y y en la frecuencia λj = 2πj/n, y xj el j-th elementode x y yj el j-th elemento de y, entonces

pj = x2j y2j + x2j+1y2j+1 ∀j = 1, ...n−1

2pj = x2j y2j ∀j = n

2 − 1

p0 = x1y1

b) Ordena el co-espectro en base al valor absoluto de |pj | y genera un índice en base a ese orden para cadacoeficiente de fourier.

c) Calcula la matriz WxtInWT y la ordena en base al indice anterior.

d) Obtiene e = WInWT u, incluyendo el vector correspondiente al parámetro constante, (1, 0, ...0)n, y

calucula el modelo utilizando los dos primeros regresores de la matrizWxtInWT reordenada y ampliada,

calcula el modelo para los 4 primeros, para los 6 primeros, hasta completar los n regresores de la matriz.

e) Realiza el Test de Durbin (1967) a los modelos estimados, y selecciona aquellos en donde los et = WT eestán dentro de las bandas elegidas.

63

Denominando pj al ordinal del periodograma de a en la frecuencia λj = 2πj/n, y aj el j-th elemento de a,entonces

pj = a2

2j + a22j+1 ∀j = 1, ...n−1

2pj = a2

2j ∀j = n2 − 1

p0 = a21

Entonces, el cuadrado de a puede ser utilizado como un estimador consistente del periodograma de a.

El test de Durbin está basado en el siguiente estadistico:

sj =∑jr=1 pr∑mr=1 pr

donde m = 12n para n par y 1

2 (n− 1) para n impar.

El estadístico sj ha de encontrarse entre unos límites inferior y superior de valores críticos que han sidotabulados por Durbin (1969). Si bien, hay que tener presente que el valor p0 no se considera en el cálculo delestadístico, esto es, p0 = v1 = 0.

f) De todos ellos, elige aquél que tiene menos regresores. Si no encuentra modelo, devuelve la soluciónMCO.

rdf <- function (y,x) # Author: Francisco Parra Rodriguez# http://rpubs.com/PacoParra/24432# Leemos datos en forma matriza <- matrix(y, nrow=1)b <- matrix(x, nrow=1)n <- length(a)# calculamos el cros espectro mediante la funcion cperiodogramacperiodograma <- function(y,x)

# Author: Francisco Parra Rodriguez# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/cfx <- gdf(y)n <- length(y)cfy <- gdf(x)if (n%%2==0)

m1x <- c(0)m2x <- c()for(i in 1:n)

if(i%%2==0) m1x <-c(m1x,cfx[i]) else m2x <-c(m2x,cfx[i])m2x <- c(m2x,0)m1y <- c(0)m2y <- c()for(i in 1:n)

if(i%%2==0) m1y <-c(m1y,cfy[i]) else m2y <-c(m2y,cfy[i])m2y <-c(m2y,0)frecuencia <- seq(0:(n/2))frecuencia <- frecuencia-1omega <- pi*frecuencia/(n/2)periodos <- n/frecuenciadensidad <- (m1x*m1y+m2x*m2y)/(4*pi)tabla <- data.frame(omega,frecuencia, periodos,densidad)

64

tabla$densidad[(n/2+1)] <- 4*tabla$densidad[(n/2+1)]data.frame(tabla[2:(n/2+1),])

else m1x <- c(0)m2x <- c()for(i in 1:(n-1))

if(i%%2==0) m1x <-c(m1x,cfx[i]) else m2x <-c(m2x,cfx[i])m2x <-c(m2x,cfx[n])m1y <- c(0)m2y <- c()for(i in 1:(n-1))

if(i%%2==0) m1y <-c(m1y,cfy[i]) else m2y <-c(m2y,cfy[i])m2y <-c(m2y,cfy[n])frecuencia <- seq(0:((n-1)/2))frecuencia <- frecuencia-1omega <- pi*frecuencia/(n/2)periodos <- n/frecuenciadensidad <- (m1x*m1y+m2x*m2y)/(4*pi)tabla <- data.frame(omega,frecuencia, periodos,densidad)data.frame(tabla[2:((n+1)/2),])

cper <- cperiodograma(a,b)S1 <- data.frame(f1=cper$frecuencia,p=abs(cper$densidad))S <- S1[with(S1, order(-p)), ]id <- seq(2,n)fpart = function(vec)

ret = vec - as.integer(vec)ret

evens=function(vec)

stopifnot(class(vec)=="integer")ret = vec[fpart(vec/2)==0]ret

odds=function(vec)

stopifnot(class(vec)=="integer")ret = vec[fpart(vec/2)!=0]ret

m1 <- cbind(S$f1*2,evens(id))if (n%%2==0) m2 <- cbind(S$f1[1:(n/2-1)]*2+1,odds(id)) elsem2 <- cbind(S$f1*2+1,odds(id))m <- rbind(m1,m2)colnames(m) <- c("f1","id")m <- data.frame(m)M=m[with(m, order(id)), ]M <- rbind(c(1,1),M)# Obtenemos la funcion auxiliar (cdf) del predictor y se ordena segun el indice de las mayores densidades absolutas del co-espectro.cx <- cdf(b)id <- seq(1,n)S1 <- data.frame(cx,c=id)S2 <- merge(M,S1,by.x="id",by.y="c")S3=S2[with(S2, order(f1)), ]m <- n+2

65

X1 <- S3[,3:m]X1 <- rbind(C=c(1,rep(0,(n-1))),S3[,3:m])# Se realizan las regresiones en el dominio de la frecuencia utilizando un modelo con constante, pendiente y los armonicos correspondientes a las frecuencias mas altas de la densidad del coespectro. Se realiza un test de durbin para el residuo y se seleccionan aquellas que son significativas.par <- evens(id)i <- 1D <- 1resultado <- cbind(i,D)for (i in par)

X <- as.matrix(X1[1:i,])cy <- gdf(a)B1 <- solve(X%*%t(X))%*%(X%*%cy)Y <- t(X)%*%B1F <- gdt(Y)res <- (t(a) - F)T <- td(res)L <- as.numeric(c(T$min<T$s2,T$s2<T$max))LT <- sum(L)D <- LT-(n-1)resultado1 <- cbind(i,D)resultado <- rbind(resultado,resultado1)resultado

resultado2 <-data.frame(resultado)criterio <- resultado2[which(resultado2$D==0),]sol <- as.numeric(is.na(criterio$i[1]))if (sol==1)

X <- as.matrix(X1[1:2,])cy <- gdf(a)B1 <- solve(X%*%t(X))%*%(X%*%cy)Y <- t(X)%*%B1F <- gdt(Y)res <- (t(a) - F)datos <- data.frame(cbind(t(a),t(b),F,res))colnames(datos) <- c("Y","X","F","res")list(datos=datos,Fregresores=t(X),Tregresores= t(MW(n))%*%t(X),Nregresores=criterio$i[1])

else X <- as.matrix(X1[1:criterio$i[1],])cy <- gdf(a)B1 <- solve(X%*%t(X))%*%(X%*%cy)Y <- t(X)%*%B1F <- gdt(Y)res <- (t(a) - F)datos <- data.frame(cbind(t(a),t(b),F,res))colnames(datos) <- c("Y","X","F","res")sse=sum(res^2)gcv=length(res)*sse/((length(res)-dim(X)[1])^2)list(datos=datos,Fregresores=t(X),Tregresores= t(MW(n))%*%t(X),Nregresores=criterio$i[1],sse=sse,gcv=gcv)

funcion rdf2(y,x)

Realiza una aproximación entre la serie x e y con la tecnica RBS, utilizando como regresores una tendenciacuadráticas y los armónicos correspondientes a las K =

√n

2 frecuencias mas bajas.

66

Dado que la variable exógena x no está expresada en forma periódica, debe de transformase o normalizarseen un intervalo de longitud menor que 2π;[0, 2π].rdf2 <- function (y,x) # Author: Francisco Parra Rodríguez# Leemos datos en forma matriza <- matrix(y, nrow=1)b <- matrix(x, nrow=1)

n=ifelse(length(a)%%2==0,round(2*sqrt(length(a))),round(2*sqrt(length(a)-1)))# Obtenemos la funcion auxiliar (cdf) del predictor y se ordena segun el indice de las mayores densidades absolutas del co-espectro.

cx <- cdf(b)cx <- cx[1:(n+1),]cx.2=t(gdf(b^2))/10X <- rbind(C=c(1,rep(0,(n-1))),cx,cx.2)# Se realizan las regresiones en el dominio de la frecuencia utilizando un modelo con constante, pendiente y los arm?nicos correspondientes a las raiz de n frecuencias mas altascy <- gdf(a)B1 <- solve(X%*%t(X))%*%(X%*%cy)Y <- t(X)%*%B1F <- gdt(Y)res <- (t(a) - F)datos <- data.frame(cbind(t(a),t(b),F,res))colnames(datos) <- c("Y","X","F","res")

list(datos=datos,Fregresores=t(X),Tregresores= t(MW(length(a)))%*%t(X),Nregresores=n+3,Betas=B1)

Ejemplo 13

A continuación va a realizarse una RBS con con datos anuales del PIB en Indices de Volumen y el consumo deenergia final en España, correspondientes al periodo 1995-2018. En la libreria “descomponer”, las funciones“gdf” y “gdt” transforman las series del tiempo a la frecuencia y de la frecuencia al tiempo, siguiendo latransformación sugerida por Harvey (1978).# REGRESIÓN MINIMO CUADRADAsummary(lm(E~P))

#### Call:## lm(formula = E ~ P)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -2040.3 -415.2 117.2 503.3 1314.2#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## (Intercept) -2395.15 1266.05 -1.892 0.0718 .## P 229.49 13.71 16.741 5.28e-14 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 827.2 on 22 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9272, Adjusted R-squared: 0.9239## F-statistic: 280.3 on 1 and 22 DF, p-value: 5.285e-14

67

# TRANSFORMACION SERIES AL DOMINIO DE LA FRECUENCIAK <- c(rep(1,24))P.1 = gdf(P)E.1=gdf(E)K.1=gdf(K)

# REGRESIÓN EN EL DOMININO DE LA FRECUENCIAsummary(lm(E.1~0+K.1+P.1))

#### Call:## lm(formula = E.1 ~ 0 + K.1 + P.1)#### Residuals:## Min 1Q Median 3Q Max## -3143.99 -37.02 149.20 307.14 1519.82#### Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)## K.1 -2395.15 1266.05 -1.892 0.0718 .## P.1 229.49 13.71 16.741 5.28e-14 ***## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#### Residual standard error: 827.2 on 22 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.9982, Adjusted R-squared: 0.9981## F-statistic: 6215 on 2 and 22 DF, p-value: < 2.2e-16# REGRESION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA FILTRANDO LAS FRECUENCIAS RELEVANTESrdf.mod=rdf(E,P)str(rdf.mod)

## List of 6## $ datos :'data.frame': 24 obs. of 4 variables:## ..$ Y : num [1:24] 12116 12655 13674 14202 15241 ...## ..$ X : num [1:24] 66.5 68.2 70.8 73.9 77.2 ...## ..$ F : num [1:24] 12181 12666 13436 14364 15269 ...## ..$ res: num [1:24] -65.3 -11.2 238.2 -161.5 -28.3 ...## $ Fregresores: num [1:24, 1:10] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2## .. ..$ : chr [1:24] "X1" "X2" "X3" "X4" ...## .. ..$ : chr [1:10] "C" "1" "2" "3" ...## $ Tregresores: num [1:24, 1:10] 0.204 0.204 0.204 0.204 0.204 ...## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2## .. ..$ : NULL## .. ..$ : chr [1:10] "C" "1" "2" "3" ...## $ Nregresores: num 10## $ sse : num 532799## $ gcv : num 65241plot(ts(E,frequency = 1, start = 1995),type="l",main="Consumo Energia Final (Ktep).España",ylab="")lines(ts(fff.E$fitted, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=2)lines(ts(rdf.mod$datos$F, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=3)legend("top", ncol=3, c("CEF","Estimado FFF","Estimado RBS"), cex=0.6, bty="n", fill=c(1,2,3))

68

Consumo Energia Final (Ktep).España

Time

1995 2000 2005 2010 2015

1200

016

000

2000

0

CEF Estimado FFF Estimado RBS

# REGRESION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA FILTRANDO LAS ALTAS FRECUENCIASrdf2.mod=rdf2(E,P)

## Warning in rbind(C = c(1, rep(0, (n - 1))), cx, cx.2): number of columns of## result is not a multiple of vector length (arg 1)str(rdf2.mod)

## List of 5## $ datos :'data.frame': 24 obs. of 4 variables:## ..$ Y : num [1:24] 12116 12655 13674 14202 15241 ...## ..$ X : num [1:24] 66.5 68.2 70.8 73.9 77.2 ...## ..$ F : num [1:24] 12166 12698 13383 14455 15204 ...## ..$ res: num [1:24] -50.4 -43.4 291 -253.4 36.5 ...## $ Fregresores: num [1:24, 1:13] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2## .. ..$ : NULL## .. ..$ : chr [1:13] "C" "" "" "" ...## $ Tregresores: num [1:24, 1:13] 0.2041 0.6273 0.0985 0.2887 -0.2959 ...## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2## .. ..$ : NULL## .. ..$ : chr [1:13] "C" "" "" "" ...## $ Nregresores: num 13## $ Betas : num [1:13, 1] 262.96 927.13 -40.19 1.21 -13.11 ...## ..- attr(*, "dimnames")=List of 2## .. ..$ : chr [1:13] "C" "" "" "" ...## .. ..$ : NULLplot(ts(E,frequency = 1, start = 1995),type="l",main="Consumo Energia Final (Ktep).España",ylab="")lines(ts(rdf.mod$datos$F, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=2)lines(ts(rdf2.mod$datos$F, frequency = 1, start = 1995), type="l", col=3)

69

legend("top", ncol=3, c("CEF","Estimado RBS","Estimado RBS2"), cex=0.6, bty="n", fill=c(1,2,3))

Consumo Energia Final (Ktep).España

Time

1995 2000 2005 2010 2015

1200

016

000

2000

0

CEF Estimado RBS Estimado RBS2

Descomposición de una serie temporal en el dominio de la frecuencia.

El método de regresión de en el dominio de la frecuencia puede usarse para descomponer una serie de tiempoen componentes estacionales, de tendencia e irregulares de una serie de tiempo yt de frecuencia b o númerode veces en cada intervalo de tiempo unitario. Un valor de 7 para la frecuencia indicaría que los datos semuestrean diariamente y el período de tiempo natural es una semana, o 4 y 12 cuando los datos se muestreantrimestral y mensualmente y el período de tiempo natural es un año.

Si las observaciones se toman a intervalos iguales de longitud, 4t, entonces la frecuencia angular es ω = π4t .

La frecuencia equivalente expresada en ciclos por unidad de tiempo es f = ω2π = 1

2 4 t. Con solo unaobservación por año, ω = π radianes por año o f = 1

2 ciclo por año (1 ciclo por dos años), la variación conuna longitud de onda de un año tiene frecuencia ω = 2π radianes por año o f = 1 ciclo por año.

Por ejemplo, en una serie de tiempo mensual de observación $N = 100 $, los ciclos estacionales o la longitudde onda de un año tienen una frecuencia f = 100

12 = 8.33 ciclos para 100 fechas. Si las series de tiempo son8 años completos, la frecuencia menos estacional es 1 ciclo por año u 8 ciclos para 96 observaciones. Losnúmeros enteros multiplicados son 2N12 , 3N12 . . . ., y la longitud de onda mínima de un año tiene frecuenciason f ≤ N

12 .

La serie de tiempo yt puede estimarse utilizando la RBS y una variable auxiliar o indice temporal t:

y = WxtInWT β +WInW

T u

donde xt = a+ bt siendo t = (1, 2, 3, ....N)N .

Las frecuencias asociadas a la tendencia, o a los ciclos estacionales se pueden filtran para obtener la estimaciónRBS de las señales de tendencia y estacionales. Las primeros 2N12 − 1 filas de la matriz en una serie de

70

frecue4ncia mensual, se utilizan para estimar los coeficientes de Fourier correspondientes a ciclos de bajafrecuencia, ciclos de tendencia y filas 2N12 y 2N12 + 1 se utilizan para estimar los coeficientes de Fourier de 1ciclo por año. El número entero se multiplica por las filas 6N12 , 6N12 + 1, 8N12 se usar para estimar la serieestacional.

En la libreria R “descomponer” encontramos las funciones para realizar este tipo de descomposición temporal.

Función descomponer(y,frequency,type)

En base al modelo de regresión en el dominio de la frecuencia descompone una serie yt en los factores detendencia TD, estacionales ST , e irregulares IR.

La función se desarrolla en los siguientes pasos:

1) Se calcula el periodograma de la serie, y se ordena según el vector de frecuencias para crear diferentesindices de orden.

2) Se obtiene un modelo de tendencia, a partir de las frecuencias mayores que n2∗frequency si la serie es par

y las mayores que n−12∗frequency si la serie es impar. Para ello, se realiza la regresión en domininio de la

frecuencia entre la serie yt y los regresores que se obtienen con la matriz auxiliar WxtInWT , donde xt es

el resultado de ajustar un modelo lineal del tipo yt = a+ bt+et a la serie de datos (tipo=1) ó un modelocuadrático del tipo yt = a+ bt+ ct2 + et, en donde solo se consideran los regresores correspondientes alas diferentes frecuencias seleccionadas. Una vez obtenidos los parámetros del modelo, se calcula laserie en el dominio de la frecuencia que una vez convierten al dominio del tiempo da como resultado laserie de tendencia TD.

3) Se obtiene la serie residual IRST = yt − TD, se y sobre esa serie se realiza una nueva selección defrecuencias, las correspondientes a los factores estacionales es decir: n

2∗frequency ,2n

2∗frequency ,3n

2∗frequency ,etc. . . .. Se realiza la regresión en el dominio de la frecuencia entre IRST y los regresores correspondientesa las frecuencias seleccionadas obtenidas a partir de a matriz auxiliarWxtInW

T , donde xt es el resultadode ajustar un modelo lineal del tipo IRST = a + bt + et a la serie de datos (tipo=1) ? un modelocuadr?tico del tipo IRST = a+ bt+ ct2 + et. Una vez obtenidos los parámetros del modelo, se calculala serie en el dominio de la frecuencia que una vez convierten al dominio del tiempo da como resultadola serie de tendencia ST .

4) Se obtiene la serie irregular a partir de IR = IRST − ST .y=BJsales.leadfrequency=4type=2descomponer <- function (y,frequency,type) # Author: Francisco Parra Rodriguez# http://rpubs.com/PacoParra/24432# date:"y", frequency:"frequency".# Use 7 for frequency when the data are sampled daily, and the natural time period is a week,# or 4 and 12 when the data are sampled quarterly and monthly and the natural time period is a year.n <- length(y)y <- matrix(y,ncol=1)M <- MW(n) #crea la matriz de harvey para los n datosf1 <- NULLif(n%%2==0) f2 <- n/(2*frequency) else

f2 <- (n-1)/(2*frequency)#Modelo para obtener serie con tendenciac <- seq(from=2, to=(2+(n/frequency) ))i <- seq(1:n)

i2 <- i*i

71

i <- seq(1:n)i2 <- i*iif (type==1)eq <- lm(y~i)z <- eq$fitted else

if (type==2) eq <- lm(y~i+i2)z <- eq$fittedcx <- M%*%diag(z)cx <- cx%*%t(M)

id <- seq(1,n)S1 <- data.frame(cx)S2 <- S1[1:(2+(n/frequency)),]X <- as.matrix(S2)cy <- M%*%yB <- solve(X%*%t(X))%*%(X%*%cy)Y <- t(X)%*%BBTD <- BXTD <- t(M)%*%t(X)TD <- t(M)%*%Y# Genero la serie residualIRST <- y-TD# Realizo la regresion dependiente de la frecuenca utilizando como explicativa IRST.# modelo para obtener serie con estacionalidad con trunc.frecuencia <- seq(0:(n/2))frecuencia <- frecuencia-1S <- data.frame(f1=frecuencia)sel <- subset(S,f1==trunc(2*f2))c <- seq(from=2,to=(n/f2))for (i in c) sel1 <- subset(S,f1==i*trunc(2*f2))

sel <- rbind(sel,sel1)m1 <- c(sel$f1 * 2)m2 <- c(m1+1)c <- c(m1,m2)n3 <- length(c)d <- rep(1,n3)s <- data.frame(c,d)S=s[with(s, order(c)), ]l <- frequency*trunc(n/frequency)ML <- MW(l)i <- seq(1:l)i2 <- i*iif (type==1)eq <- lm(y[1:l]~i)z <- eq$fitted else

if (type==2) eq <- lm(y[1:l]~i+i2)z <- eq$fitted

cx <- ML%*%diag(z) #problemacx <- cx%*%t(ML)

id <- seq(1,l)S1 <- data.frame(cx,c=id)S2 <- merge(S,S1,by.x="c",by.y="c")S3 <- rbind(c(1,1,cx[1,]),S2)m <- l+2

72

X1 <- S3[,3:m]# matriz de regresores a lX1 <- as.matrix(X1)# la paso al dominio del tiempoX2 <- data.frame(t(ML)%*%t(X1))if (n==l) X3 <- X2 elseX3 <- rbind(X2,X2[1:(n-l),])# la paso al dominio de la frecuenciaX4 <-M%*%as.matrix(X3)cy <- M%*%IRSTB1 <- solve(t(X4)%*%X4)%*%(t(X4)%*%cy)Y <- X4%*%B1BST <- B1XST <- M%*%X4ST <- t(M)%*%YTDST <- TD+STIR <- IRST-STdata <- data.frame(y,TDST,TD,ST,IR)regresoresTD <- data.frame(XTD)regresoresST <- data.frame(XST)

list(datos=data,regresoresTD=regresoresTD,regresoresST=regresoresST,coeficientesTD=BTD,coeficientesST=BST)

Función gdescomponer (y,freq,type,year,q))

Gráfico de la función descomponer.gdescomponer <- function(y,freq,type,year,q)

# Author: Francisco Parra Rodriguez# http://econometria.wordpress.com/2013/08/21/estimation-of-time-varying-regression-coefficients/serie <- descomponer (y,freq,type)TdsT <- c(serie$datos$TDST)Td <- c(serie$datos$TD)sT <- c(serie$datos$ST)TDST <- ts(TdsT,frequency=freq,start = c(year,q))TD <- ts(Td,frequency=freq,start = c(year,q))ST <- ts(sT,frequency=freq,start = c(year,q))par(mfrow=c(3,1))plot (TDST)plot (TD)plot (ST)

Ejemplo 14

Realizamos una descomposicion temporal para el IPI de Cantabria, con una asociacion quadratica.library(descomponer)data(ipi)datos <- descomponer(ipi,12,2)plot(ts(datos$datos,frequency=12))

73

6080

100

130

y

7090

110

TD

ST

9010

011

0

2 4 6 8 10 12

TD

Time

−25

−10

010

ST

−10

05

2 4 6 8 10 12

IR

Time

ts(datos$datos, frequency = 12)

gdescomponer(ipi,12,1,2002,1)

Time

TD

ST

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

70

Time

TD

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

95

Time

ST

2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

−25

5

74

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