光学超晶格中的玻色模型 - Shanxi...

山西大学

2009 届硕士研究生学位论文

光学超晶格中的玻色 t-J 模型

姓名梁成功

指导教师张云波教授

学科专业凝聚态物理

研究方向冷原子物理

培养单位理论物理研究所

学习年限 2006 年 9 月—2009 年 7 月

二 OO 九年六月

Dissertation for the Master’s Degree

of Shanxi University in 2009

Bosonic t-J Model in Optical Superlattices

Name Chenggong Liang

Supervisor Professor Yunbo Zhang

Major Condensed Matter Physics

Field of Research Cold Atom Physics

Department Institute of Theoretical Physics

Research Duration 2006.9－2009.7

June, 2009

目录

I

目录

中文摘要 ............................................................................................................................ III

ABSTRACT ...................................................................................................................... IV

第一章绪论 ........................................................................................................................ 1

1.1 引言 ............................................................................................................................. 1

1.2 光晶格中的超冷原子 ................................................................................................. 2

1.2.1 单分量玻色哈伯德模型………………… .................................................... 3

1.2.2 两分量玻色哈伯德模型 ................................................................................ 5

1.3 光晶格中的量子相变 ................................................................................................. 7

1.3.1 BOGOLIUBOV 方法 ......................................................................................... 8

1.3.2 退耦近似 ...................................................................................................... 11

第二章光学超晶格中冷原子的超交换相互作用 .......................................................... 14

2.1 光学超晶格的实验实现 .......................................................................................... 14

2.2 超交换相互作用的观测和控制 .............................................................................. 16

2.2.1 自旋动力学的研究 ...................................................................................... 16

2.2.2 超交换相互作用大小和符号的控制 ......................................................... 20

第三章光学超晶格中的玻色 t -J 模型 ............................................................................ 21

3.1 费米 t -J 模型 ........................................................................................................... 21

3.1.1 GUTZWILLER 投影算符法 ........................................................................... 21

3.1.2 二阶微扰方法 .............................................................................................. 23

3.1.3 光晶格中费米子的有效哈密顿量 ............................................................. 24

3.2 光学超晶格中的玻色子 ......................................................................................... 26

3.2.1 光学超晶格中玻色子的有效哈密顿量 ...................................................... 26

3.2.2 光学超晶格中硬核玻色子的有效哈密顿量 .............................................. 30

3.2.3 各向异性的海森堡模型 .............................................................................. 32

结论 .................................................................................................................................... 33

参考文献 ............................................................................................................................ 34

致谢 ............................................................................................................................................................. 37

CONTENTS

II

CONTENTS

Chinese Abstract........................................................................................................ III

Abstract.......................................................................................................................IV

Chapter 1 Introduction................................................................................................1

1.1 Overview..............................................................................................................1

1.2 Ultracold atoms in optical lattice………………….................................................2

1.2.1 Bose Hubbard model…..............................................................................3

1.2.2 Two-component Bose Hubbard model……...............................................5

1.3 Quantum phase transition for Bose gases in optical lattice…………….............7

1.3.1 Bogoliubov Approximation…...................................................................8

1.3.2 Decouping Approximation…………......................................................11

Chapter 2 Superexchange Interactions with Ultracold Atoms in Optical

Superlattices................................................................…….......14

2.1 Experimental realization of optical superlattices......................................14

2.2 Observation and control of superexchange interactions...............................16

2.2.1 Time-resolved observation of spin dynamics.......................................16

2.2.2 Control of superexchange interactions.............................................20

Chapter 3 Bosonic t-J Model in Optical Superlattices......................………….......21

3.1 Fermionic t-J model…………...............................................................................21

3.1.1 Guziwiller projection operator..................................................................21

3.1.2 Second-order perturbation method...........................................................23

3.1.3 Effective Hamiltonian of fermions in lattice...........................................24

3.2 Bosons in optical superlattices……………….………………………….............26

3.2.1 Effective Hamiltonian of bosons in optical superlattices.........................26

3.2.1 Effective Hamiltonian of hard-core bosons in superlattices.................... 30

3.2.2 Anisotropic Heisenberg model................................................................ 32

Conclusion.......................................................................................................................33

References.......................................................................................................................34

Acknowledgement....................................................................................................37

中文摘要

III

中文摘要

光晶格中超冷原子体系从超流到 Mott-绝缘相的转变翻开了可控环境下强关联

系统研究新的一页。理论研究已显示光晶格中与自旋相关的玻色子或费米子可用于

研究复杂的量子相变和新奇的超流动力学行为以及探测一维体系的自旋电荷分离。

超交互相互作用的理论是强关联电子领域中量子磁学的基础，实验研究发现束缚在

光晶格中原子间的相互作用，类似于磁性物质中原子的自旋相互作用。本文首先介

绍了光晶格中两分量玻色-哈伯德模型及其相变；接着引入了在光学超晶格中对超交

换相互作用的观测和控制方法，为我们研究光学超晶格中玻色 t-J 模型提供了理论依

据；后我们在理论上导出了光学超晶格中的玻色 t-J 模型和硬核玻色 t-J 模型以及

光学超晶格中玻色子的各向同性和各向异性的海森堡模型。

关键词: 光晶格；两分量冷原子；量子相变；自旋超交换相互作用；有效哈密顿量；

硬核玻色子；玻色 t-J 模型；

ABSTRACT

IV

Bosinic t-J Model in Optical Superlattices Chenggong Liang (Condensed Matter Physics)

Directed by Prof. Yunbo Zhang

ABSTRACT

Recent observations of the quantum phase transition from superfluid to Mott insulator in a system of ultra-cold atoms in an optical lattice open fascinating prospects for studying many-body phenomena associated with the strongly correlated systems in a highly controllable environment. For instance, theoretical studies have shown that, with spinor bosonic or fermionic atoms in optical lattices, it may be possible to observe complex quantum phase transitions, to realize novel superfluidity and to probe one-dimensional systems exhibiting spin charge separation. Quantum mechanical “super-exchange” interactions form the basis of quantum magnetism in strongly correlated electronic media. Interactions between atoms trapped in an optical lattice are analogous to the interactions between atomic spins in magnetic materials, a phenomenon called “super-exchange”. In this thesis, we first give a brief introduction to the two component Bose-Hubbard Model and quantum phase transition for ultracold atoms in optical lattice. In addition we analysis the time-resolved observation and control of super-exchange interactions with ultracold atoms in optical superlattices, an essential step toward theoretical realization of relevant models in optical superlattices. Finally, We derive an effective bosonic t-J model and its hard-core counterpart in optical superlattices and illustrate how these models can led to the anisotropic and isotropic Heisenberg model at different cases. Key Words: Optical lattices, Two-component ultra-cold atoms, Quantum phase transition, Spin super-exchange interaction, Effective Hamiltonian, Hard core Bosons, Bosonic t-J Model.

第一章绪论

1

第一章绪论

第一节引言

上个世纪二十年代，玻色和爱因斯坦在理论上预言了玻色-爱因斯坦凝聚（简写

为BEC）现象[1,2]，在粒子数守恒且温度足够低的玻色系统中，无相互作用的玻色子

会聚集到动量空间低能态，达到可观的数量。在这种状态下，所有的原子具有完

全相同的物理特性。然而直到1995年6月威依迈(Wieman)和科纳尔(Cornell)的研究小

组才在铷（87Rb）原子气体中首次实现了BEC，从此，超冷原子研究领域掀起了新的

热潮。实验技术的进步和BEC理论的日益成熟为我们对了解冷原子系统提供了依据。

二十世纪九十年代，使用光晶格束缚冷原子的技术已相当成熟，高维光晶格通

过不同方向传播的驻波叠加产生。Greiner 等用六束激光产生出类似于立方格子的三

维光晶格，在冷原子气体为超流时观测到了漂亮的干涉图样（长程干涉），但随着势

阱深度的加深干涉图样便随之消失，完美的证实了Jaksck提出的光晶格中玻色从超流

到Mott-绝缘体量子相变的预言[3]。接着Svidzinsky等人研究了外部磁场对量子相变

的影响[4]；Jin等人和Hou等人[5]分别研究了光晶格中超冷玻色原子的能谱和量子

相变；Pu等人[6]研究了磁偶极相互作用引发的光晶格中BEC的反铁磁相变和自发磁

化等现象。自此，光晶格中量子相变的研究已从单分量延伸至两分量超冷玻色原子、

旋量BEC以及超冷玻色—费米混合物等复杂领域。

因为光晶格的重要特的空间周期性，原子在光晶格中的运动类似于电子在固体

晶格场中的运动。同时，光晶格中的冷原子气体具有很好的可控性，所以光晶格中

冷原子气体很快成为实验和理论物理竞相研究的对象。Stoof[7]建议在 6Li简并气体

中使用Fechbach共振技术调节处于两个不同精细态的原子之间的相互作用，这有望用

于认识超冷费米气体的BCS对[7]。Olhanii(1998)[8]、Petrov、Shlyapnikov 和

Walraven(2000)[9] 对认识一维BEC的Tonks-Girardeau气体的建议开启了对强相互

作用极限区域的研究，Kinoshita（2004）等人[44]观测研究了一维的(Tonks-Girardeau)

硬核玻色气体，Paredes（2004）等人[45]首次建立了波色Luttinger液体，Wilkin和

Gunn(2000)[10] 研究快速旋转BEC的量子Hall效应。受早期理论的影响，人们逐渐

利用Fechbach共振技术和光晶格探索强相互作用的超冷气体的性质。

根据 Jan Hubbard 命名的 Hubbad 模型用于模拟窄带中的电子关联。在氧化物

高温超导体发现的初期安德逊假定掺杂后进入氧化铜平面的多余空穴主要在铜上，

但是实验事实却与假定相反，多余的空穴不是位于铜离子上，而主要是位于氧离子


2

上。于是张和莱斯在 1988[11]提出推广的 t-J 模型来描述这一现象，许多用于 t-J

模型解的数值方法也随之诞生，特别是各种 Monte Carlo 方法。另外在有限温度下，

基于自旋和载核（空穴）分离的可解玻色场方法和规范场方法预言了共振价健态

（RVB）的单自旋存在交叠特征温度,说明了大多数高温超导态和正常态的特征。

但是 RVB 理论的基本假定在两维情况下尚无定论。所以当前强关联电子系统的热

点是二维的拉亭格液体理论。

2008 年 Trotzky 等人研究了在超晶格中两分量超冷原子的超交换相互作用的测

量方法[22]。他们动态地改变近邻格点间的偏置势，直接观测了自旋超交换相互作

用的存在并且实现了对超交换相互作用的大小和符号的控制，实现了系统在反铁磁

和铁磁自旋相互作用间转换。通过调节不同原子间的散射长度可使超交换相互作用

变成 Ising 型[12],用于在脱离初的分离对的情况下产生大的纠缠态[42,43]；

另外在不同方向控制超交换相互作用使量子信息传输过程中产生拓扑（Topological）

多体态[12,13]成为可能。鉴于对超交换相互作用的控制技术和在实验上玻色子更

容易制冷和控制，我们希望通过研究和认识光学超晶格中玻色子的 t-J 模型来解决

费米 t-J 模型的中遇到的困难。

本文第一章详细介绍了光晶格中的超冷玻色子，由布洛赫定理出发在理论上推

导出单分量和两分量玻色哈伯德模型；接着利用波戈留波夫变换方法得到超冷玻色

子的激发谱，并使用退耦近似方法研究了超冷原子从超流到 Mott-绝缘相的转变；

第二章介绍了实验上对超晶格中玻色子量子对隧穿的观测和对自旋超交换作用大

小和符号的控制；第三章我们在费米 t-J 模型的基础上得到一个有效的光学超晶格

中的玻色 t-J 模型。

第二节光晶格中的冷原子

光晶格是由一组相干光束产生的周期势，其中的原子能感到交流Stark效应（光

频移）。原子囚禁在该势能中成为类晶体结构，所以冷原子在光晶格中的运动与电

子在固体晶体中的运动极其相似。光晶格势是由激光干涉所形成的，所以即使格点

上没有原子也不会有缺陷，这里晶格常数是光波波长的数量级（微米的量级），而

不是固体晶体中原子间的距离（埃的量级）。虽然系统本质上没有强相互作用，但

是将原子囚禁在光晶格中便减少了原子的动能，从而等效地增加了原子间的相互作

第一章绪论

3

用，这样光晶格便为研究强关联的原子体系搭建了一个非常有价值的实验平台。

光晶格对原子的操控技术，不但可以用来研究 BEC 的自旋和磁性等特性，而

且还可进行量子计算，对量子信息存储亦有重要意义。由于光晶格的周期性结构以

及势阱深度可以人为地调节，能够改变凝聚体原有的相干性质，从而可用于研究系

统的量子相变问题。

1.2.1 单分量 Bose-Hubbard 模型

引进Hubbard 模型是考虑到用窄带中电子的关联效应来解释一些过渡金属氧化

物在温度升高时会从绝缘体变为金属，而玻色哈伯德 (Bose-Hubbard ) 模型初则用

来研究纳米管中惰性气体的吸收或具有强电荷效应的超导薄膜中的库伯(Copper)对

[14]等等。光晶格中原子的运动与固体晶体中电子的运动极其相似，所以可以用玻

色哈伯德模型很好的描述，Jaksch等人[15]正是从该模型出发预言了单分量玻色冷原

子气体从超流到Mott绝缘相的转变。这一预言已于2002年由Greiner等人[3]在实验上

予以证实。

我们从光晶格束缚势场下的 N 个玻色子系统的哈密顿量开始讨论 22

3 2 30

41( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

sT

aH d x V V d xm m

πψ ψ ψ ψ ψ ψ+ + +⎛ ⎞= − ∇ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫X X X X X X X X （1.1）

其中 ( )ψ X 是玻色子场算符， 0 ( )V X 是光晶格周期势， ( )TV X 描述一个外加（缓慢变

化）的束缚势，如图（1.1）所示。在简单的情况下，光晶格势有下面的形式

20 0

1( ) sin ( )

d

j jj

V V kx=

= ∑X (1.2)

0V 正比于原子激化率和激光强度的乘积，波矢为2k πλ

= ，相应的晶格常数为 / 2a λ= 。

原子间的相互作用势 ( )U X 是短程相互作用，远小于晶格常数，可以近似用一个δ 势

来代替24( ) ( )saU

mπ δ=X X ，其中 sa 表示低能 s 波散射长度，m表示原子的质量。

对于单个原子的能量本征态是布洛赫(Bloch)波函数，适当叠加的布洛赫(Bloch)

波可以构成一套瓦尼尔（Wannier）波函数基 ( )iw −X X ，它们很好的局域在单个格点


4

上，为研究问题的方便我们采用瓦尼尔（Wannier）表象。假定系统的低能带远低

于第二个能带，在低能带的瓦尼尔（Wannier）基中展开玻色场算符：

( ) ( )i ii

a wψ = −∑X X X (1.3)

图 1.1 Bose-Hubbard 模型在光晶格中示意图，势阱底部的能级由束缚势 TV 产生

文献 PRL81,(1998)3108]。

其中 ia 是第 i个格点上玻色子的湮灭算符，满足玻色对易关系[ , ]i j ija a δ+ = 。利用玻色

场算符的展开式，则方程（1.1）可化为玻色 -哈伯德哈密顿量（Bose-Hubbard

Hamiltonian）[15]：

( ) 1. . ( 1)2i j i i i i

ij i iH t a a h c n U n nε+

< >

= − + + + −∑ ∑ ∑ (1.4)

其中算符 i i in a a+= 是第 i个格点的粒子数算符， ij< >表示近邻的一对格点 i 和 j ，并

约定对于每个对求和只进行一次。隧穿耦合的强弱由隧穿矩阵元

3 20( )[ / 2 ( )] ( )i jt d xw m V w∗= − − − ∇ + −∫ X X X X X (1.5)

表示， iε 描述由外加缓慢势而引起的不同格点间的能级差

23 ( ) ( ) ( )i T i T id xV w Vε = − ≈∫ X X X X (1.6)

不同的格点 iε 是一个常数。单个格点上粒子间的相互作用由参数U 来描述：

424 ( ) /sU a dr w mπ= ∫ X (1.7)

其中U 随势阱深度 0V 增加而增加，隧穿矩阵元 t呈指数减小。如图（1.2）所示[15].

第一章绪论

5

图 1.2 相互作用矩阵元U 、隧穿矩阵元 t 随阱深 latV 的变化（图中左边纵轴为U ,

变化曲线为虚线;右边纵轴为 t ,变化曲线为实线）

我们可以通过调节U 和 t的相对大小实现光晶格中由超流到Mott绝缘的量子相变。

1.2.2 两分量 Bose-Hubbard 模型

当光晶格中束缚两种不同原子或原子的两种内部态时，我们通过二次量子化的

算符 aσ （ ,σ =↑ ↓ ）来标记两分量玻色算符[16]。每一束激光在各自的方向产生一

个周期势 2sin ( )V k xασ α ， kα 为波失，α 为不同的方向（三维分别取 , ,x y z ）。在温度

足够低时，原子在势垒的作用下将被束缚在低的布洛赫带( Bloch band )，以

低能带的瓦尼尔(Wannier)基展开玻色场算符

( ) ( ),

i ii

a wσσ

ψ = −∑X X X (1.8)

ia σ 是第 i个格点上处于σ 态玻色子的湮灭算符满足玻色对易关系 ' ',i j ija aσ σ σσδ δ+⎡ ⎤ =⎣ ⎦

利用上面玻色场算符的展开式（1.8），在只考虑同一格点上原子间的相互作用的情

况下，哈密顿量（1.1）便可约化为两分量的玻色哈伯德模型[12,17,31]：

( ) ( ),

1. . 12i j i i ii i

ij i iH t a a hc U n n U n n nσ σ σ σσ σ σ σ σ

σ σ σ

μ+↑↓ ↑ ↓=− + + − + −∑ ∑ ∑ ∑ (1.9)


6

其中 i i in a aσ σ σ+= 是第 i格点的粒子数算符，模型中的第一项是隧穿项，描述玻色子在

相邻格点间的隧穿。对于立方格子，在势能小值附近作简谐近似[15]，则考虑自

旋的隧穿矩阵元[17]为

( ) ( ) ( )3/ 4 1/ 21/ 44 / exp 2 /R Rt E V V Eσ σ σπ ⎡ ⎤≈ −⎣ ⎦ （1.10）

同种原子间的相互作用则通过参数 ( ) ( )( ) ( )( )1 41 2 38 / RsU U U ka Eπ υ↑↑ ↓↓ ↑ ↓ ↑ ↓= = ≈ 来定

量描述；不同原子间相互作用的参数为 ( ) ( )( )1 41 2 38 / RSU ka Eπ υ↑↓ ↑↓ ↑↓≈ 。其中

2 2 / 2R aE k m= 是原子的反冲能量， ,sa σ 是不同自旋原子的短波散射长度。 ,υ↑ ↓ 是光

晶格对不同的原子↑和↓ 的阱深， ( )21/ 2 1/ 24 /υ υ υ υ υ↑↓ ↑ ↓ ↑ ↓= + 是在各个方向上自旋的平

均势。不同原子间的相互作用U↑↓ 的大小能够如前边实验所述的通过移动两个晶格

在很大范围内调节 /U U↑↓ 的取值。依赖于自旋分量的跃迁矩阵元 tσ 能够很容易的通

过势阱深度 v↑ 和 v↓ 改变，而阱深则可通过控制形成束缚阱的激光强度来调节。

在半满的情况下，类似于单分量玻色哈伯德模型从超流到 Mott 绝缘转变一样

会发生量子相变。但在两分量玻色体系中，出现了和赝自旋自由度相关的磁序。

Mott 绝缘体极限下 ,t U U↑↓ ↑↑ ↑↓<< 时，方程（1.9）可以投影到 Mott 绝缘体区域，有

效哈密顿量为[12，17，31]

( )z z x x y y zeff z i j i j i j i

ij ij i

H J S S J S S S S h S⊥< > < >

= − + −∑ ∑ ∑ （1.11）

其中，2 2 2 24 4

2z

t t t tJ

U U U↑ ↓ ↑ ↓

↑↓ ↑↑ ↓↓

+= − − ，

4t tJ

U↑ ↓

⊥↑↓

= ，2 22 2

ext

t th h

U U↑ ↓

↑↑ ↓↓

= − + 。我们假定引入的

有效磁场 h随外加场 exth 而改变。在这种情形，模型（1.11）[17]出现了 0zJ J⊥ > >

为 x y− 铁磁序和 Ising 型 z-Néel 反铁磁序之间的转变，如图（1.3）所示。

第一章绪论

7

图（1.3）有效自旋哈密顿量（1.9）的相图

在不考虑光晶格中同一格点相同原子间的相互作用，即硬核玻色子的情况下，文献

[41]利用 Monte Carlo 方法给出了模型（1.9）在硬核极限条件下的相图（图 1.4）。

图（1.4）单占据立方格子的相图

从上图看出两分量玻色-哈伯德模型中的量子相变比单分量更加丰富，出现了

2CB(Z- Néel)-SCF(XY 铁磁)（一阶）、SCF-2SF(超流)（二阶）、2CB-2SF（一阶）、

2CB-CB+SF（二阶）和（CB+ SF-2SF）（一阶）等量子相和量子相变。

第三节光晶格中的量子相变

相变是自然界普遍存在的一类突变现象。通常将与温度有关的相变称作热力学

相变，一般可以分为一级相变和连续相变。在系统的绝对温度趋于零时，所有的热

运动将逐渐消失，但是由于海森堡（Heisenberg）不确定关系便会有量子涨落的存

在，当涨落足够强时，就会促使系统从一个相向另一个相转变，即发生量子相变。


8

一个突出的例子就是光晶格中超冷原子从超流到 Mott 绝缘相的量子相变。光晶格

中的超冷原子通过调节光晶格势阱深使得相互“竞争”的两种相互作用的比值 /U t

达到某一量子临界点，此时量子涨落将导致这种连续量子相变。

1.3.1 Bogoliubov 方法

假定原子束缚在光晶格周期势的低布洛赫能带，可用玻色-哈伯德模型描述：

1( . .)2i j i i i i i i

ij i i

H t a a h c U a a a a a aμ+ + + +

< >

= − + + −∑ ∑ ∑ (1.12)

接下来用 Bogoliubov 方法来研究光格子中玻色子的能谱，利用变换关系

1

1

ii k

k

ii k

k

a e aN

a e aN

⋅

+ − ⋅ +

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑

k r

k r (1.13)

哈密顿量可以写成

' '' ''' ' '' '''' '' '''

,( )

2k k k k k k k k k k kk k k k ks

UH a a a a a aN

ε μ σ+ + ++ +

= − − +∑ ∑∑∑∑ (1.14)

这里我们定义1

2 cos( )dk jj

t k aε=

= ∑ ， d 是维数。对于玻色凝聚气体，当平均凝聚原

子数 0 1N >> 时，可以取 0 0 0 0 0N a a a a+ +=< >≈< > ，这样就有 0 0 0N a a+=< >< > 。其中

0a< >和 0a+< >互为复共轭，所以我们就可以用经典数 0N 来代替 0a 和 0a+ ，将期望

值取为实数，Bogoliubov 近似由产生和湮灭算符加一个小量构成

0 0 0

0 0 0

a N a

a N a

+ +⎧ → +⎪⎨

→ +⎪⎩ (1.15)

将（1.15）带入（1.14），取关于小量 0a+ 和 0a 的线性部分

(1)0 0 0 0 0( ) ( )

s

UH N N a aN

ε μ += − − + +

(1.16)

为使凝聚原子数为 0N 气体的能量小，关于小量线性部分的哈密顿量必须为零

则有

第一章绪论

9

0 0s

U NN

μ ε= − + (1.17a)

012 cos( ) 2d

k j kjt k a dtε ==

= =∑ ,在低阶近似情形下则有

0Un ztμ = − (1.17b)

其中 μ 为化学势即在体系中增加一个粒子需要的能量， 0 0 / sn N N= 为凝聚密度，

/ dsN V a= 为总的格点数， 2z d= 为配位数。

接下来我们考虑有效哈密顿量 effH ，其中只包含有小量的零阶项和二阶项。把

算符 0a+ 和 0a 用经典数 0N 来代替则有

' '0

1 1 1( ) ( , )2 2 2

k o o keffo k o k k

k k o k o k

Un Un aH Un N Un a a

Un Un aε

εε

+− +

−

+⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠

∑ ∑ (1.18)

这里 '∑ 表示不包括 0k = 的对 k 求和, k kztε ε= − 。通过 Bogoliubov 变换将有效哈密

顿量对角化，定义准粒子的产生和湮灭算符 kb+ 和 kb 。

* *k k k k k

k k k k k

b u v a aB

b v u a a+ + +− − −

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.19)

kb+ 和 kb 满足玻色子的对易关系 , 1k kb b+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ，系数 ku 和 kv 必须满足如下的关系

2 2 1k ku v− = (1.20)

将（1.19）代入（1.18）消去非对角部分，我们可以将有效哈密顿量对角化为：

' '0

1 1 [ ( )]2 2

effo k k o k k k

k kH Un N Un b bω ε ω += − + − + +∑ ∑ (1.21)

我们发现 ku 和 kv 是方程组

2 20 0

2 2 * *0 0

[( ) ( ) ] 2 ( ) 0

[ ]( ) ( )k k k k k

k k k k k k k k

u v Un u v Un

u v Un u v u v Un

ε

ε ω

⎧ + − + =⎪⎨

+ + − + =⎪⎩ (1.22)

的解，利用（1.20）和（1.22）我们很容易得到准粒子的能谱以及 ku 和 kv 的关系式

20

2 2 0

211 ( 1)2

k k k

kk k

k

UnUnv u

ω ε εε

ω

⎧ = +⎪⎨ +

= − = −⎪⎩

(1.23)


10

激发谱的能隙为

00

0

12

cg

E N Un zJN

ε−Δ = = − （1.24）

对于色散关系，我们看到当 0k → 时，能隙 0gΔ = ，则有

2 1/ 2

0~ ( )kE zJUn d k (1.25)

它和存在弱相互作用下无周期势时的超流理论相一致，满足线性色散关系。

为获得凝聚密度 0n 我们需要从有效哈密顿量出发来计算总的粒子密度n

1

e f fk k Hks

n a aN

+= ⟨ ⟩∑ (1.26)

其中 effH<> 指在有效哈密顿量下的期望值，对于玻色凝聚气体包括两部分：凝聚

部分 0n 和由二阶小量决定的非凝聚部分，非凝聚部分为 0n 的函数。将方程（1.19）

代入（1.26）得到

22' * * *0

1 ( ) effk k k k k k k k k k k k k k Hks

n n u b b u v b b v u b b v b bN

+ + + +− − − −= + ⟨ − − + ⟩∑ (1.27)

利用 kω 代替 effk k Hb b+ ，我们得到

0 00

0

1 1( )1 2k

k k k

ks k k

Un Unn nN eβ ω

ε ε ωω ω≠

+ + −= + +

−∑ (1.28)

在零温极限条件下即 β → ∞ ，求和号里的第一项为零，进一步利用极限

/

//(2 )

a dk a

V dkπ

ππ

−→∑ ∫ ，系统从动量空间变换到实空间 2 /q k aπ= ，我们得到总的粒

子数

01/ 20 1/ 2

1 ( 1)2

q

q

Unn n dq

εω−

+= + ∫ − (1.29)

其中1

2 [1 cos(2 )]dq jj

t qε π=

= −∑ ， 2 1/ 20( 2 )q q qUnω ε ε= + ，我们通过 0n 取不同的值来解

方程（1.29）得到凝聚密度。在图（1.5）我们分别画出了两维和三维光晶格在 0.5n = ，

1n = 情形下凝聚密度图

第一章绪论

11

图(1.5) 凝聚密度分布图 (a)两维晶格 (b) 三维晶格[18]

分析上图我们看到用这种近似方法并不能够看到相图转变，即也就是说该近似方法

只用于超流理论不能说明相变，所以接下来我们将介绍另外一种描述相变的近似方

法即退耦近似。

1.3.2 退耦近似

在 Mott 绝缘区域即在强耦合 t U<< 极限情况下可用平均场近似。类似于

Bogoliubov 近似，我们引入超流的序参量 i i in c cψ += = = ，其中 in 是 i格点粒子

数的期望值。现在我们通过 2( )i j i j i j i j i jc c c c c c c c c cψ ψ+ + + + += ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩⟨ ⟩ = + − 代换，代

入方程（1.12）可得

2( )2

effi j s i i i i i i

i i i

UH t z c c tzN c c c c c cψ ψ μ+ + + += − + + + − −∑ ∑ ∑ (1.30)

该哈密顿量是关于格点 i对角化的，引入 /U U zt= , / ztμ μ= 和粒子数 ˆi i in c c+=

我们得到

21 ( 1) ( )2

effi i i i i iH Un n n c cμ ψ ψ+= − − − + + (1.31)

该哈密顿量对每一个格点都是适用的，接下来通过二阶微扰理论来研究分析相图。

我们把有效哈密顿量写成

(0)effH H Vψ= + (1.32)

其中 (0) 21 ˆ ˆ ˆ( 1)2

H Un n nμ ψ= − − + ，微扰项 ( )V c c+= − + 。非微扰基态能量为


12

{ }(0) (0)

min0,1, 2,...g nE E n= = （1.33）

比较 (0)nE 和 0

1nE + 得到

(0)0 0

1 ( 1) ( 1)2

gEUg g g U g Ug

μ

μ μ

<⎧⎪= ⎨

− − − < < ⎪⎩

当

当（1.34）

利用二阶微扰公式

2

(2) 2(0) (0)g

n g g n

g V nE

E Eψ

≠

⟨ ⟩=

−∑

(1.35)

其中 n 为非微扰波函数， n g= 的态为基态。因为相互作用V 的作用是使基态多一

个或者少一个粒子，所以有

(2) 2 1( )( 1)g

g gEU g Ug

ψμ μ

+= +

− + − − (1.36)

为研究二阶相图转变，将基态能量写成ψ 的函数

2 40 2( ) ( , , ) ( , , ) ( )gE a g U a g Uψ μ μ ψ ο ψ= + + （1.37）

根据朗道理论求解基态能量的小值我们发现当 2 ( , , ) 0a g U μ > 时 0ψ = ，当

2 ( , , ) 0a g U μ < 时 0ψ ≠ ，即 2 ( , , ) 0a g U μ = 为超流和绝缘相的边界条件。解

2 ( , , ) 0a g U μ = 可得

21 1[ (2 1) 1] 1 2 (2 1) 12 2

U g U U gμ± = − − − ± − + + （1.38）

其中 /U U zt= 。相图如（1.4）所示，对应填充因子 1, 2, 3g = 的情况

图(1.6) 超流-Mott 绝缘相变图[18]

第一章绪论

13

其中下脚标± 指相空间 Mott 绝缘区域的上下边界，通过求μ μ+ −= 可以得到每个凸

点U 的小值 cU 我们有 22 1 (2 1) 1cU g g= + + + − (1.39)

对于 1g = 的绝缘体， 5.83cU ≈ ，同样可以在参考文献[40] 中可以找到。

光晶格中量子相变的研究已经从单分量超冷玻色原子延伸到双分量超冷玻色

原子、旋量玻色—爱因斯坦凝聚体以及超冷玻色—费米混合物等复杂体系。当然，

对于光晶格和量子相变的实际应用仍在不断的探索中，不过有一点可以肯定，超冷

原子、玻色—爱因斯坦凝聚体和高度相干的原子激射束的发展与激光的问世一样将

对科技和人类的生产和生活带来不可估量的深远影响。在这个全新而又充满活力的

研究领域还有许多奥秘和惊奇等待我们去发现！


14

第二章光学超晶格中冷原子的超交换相互作用

自从 1995 年在实验上实现 BEC[19，20，21]以来，超冷原子的研究领域进一

步拓展， 2008 年 Trotzky 等人研究了光晶格中两分量超冷原子的超交换作用测量

方法[22]，这是实验研究量子自旋序的关键一步。这些相对简单的模型将帮助我们

研究和理解量子磁序、量子相变等重要的物理问题。本章将介绍在超晶格中通过调

节近邻格点间偏置势的大小从而改变超交换相互作用的大小及符号，我们通过研究

Néel 序参数随时间的演化可以观测到这一点。

第一节光学超晶格的实验实现

为了产生双阱，我们以周期为 d （长晶格）的驻波开始，这样束缚原子的势为

21 1( ) cos ( / )V x V x dπ= (2.1)

其中 1V 为势阱深度，对于特殊的光晶格来说它是一关键的参数。接下来我们叠加一

周期为 / 2d （短晶格）在第一驻波上，如图（2.1）所示。这样将产生对称的双阱超

晶格[22,23]，对于整个光晶格来说其束缚势为

21 2( ) ( ) cos [2 / ]V x V x V x dπ= + (2.2)

在这样一个光学超晶格中，我们可以通过操作和控制两晶格深度来构造和调节被测

哈密顿量的参数空间。例如我们通过增加长晶格势 1V ，能够得到从超流到 Mott-绝

缘区域，便于研究局域双阱中的少体现象；可以通过调节短晶格势 2V 来控制势垒的

高度。如果在 1 24V V> 的情况下构造有效双阱，则低点便是长晶格的底端。我们

将（2.2）式中的 cos(2 / )x dπ 展开成

2

2 1 1 12

2 2

1( ) 4 cos 1 22 4 4 4

V V VxV x Vd V V

π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.3)

从（2.3）看到在 2cos 0z ≥ 情况下，有 min 2( )V x V= 也就是光晶格小值是长晶格加

一 2V 的提升；另一方面如果在 1 24V V< 时产生一个有效的双阱，从

21 2cos ( / ) [1 /(4 )] / 2x d V Vπ = − 可以得出 ( )V x 的小值，在势能小处作幂级数展开，

初束缚在任意势阱中的质量为m的原子将以频率


15

2 22 1 2/ (16 ) / 2w d V V mVπ= − (2.4)

来回隧穿。该频率不仅依赖于晶格深度 1V 和 2V ，而且依赖于晶格长度 d 。尽管可以

通过改变 1 2/ 4V V 的比值来限制频率，但一般情形下较短的晶格隧穿频率较大，所以

用短晶格的反冲能作为光晶格的深度，2

22rhEmλ

= 其中λ 为短晶格波长。

例如在实验[22]中，长晶格深度为10 rE 同时短晶格深度 26 44r rE V E< < ，这样

振荡频率满足 119 77193 22

r rE Ewd m d mπ π

< < 。对于 87Rb ， 765d nmλ= = ，我们得到

302.596 10rE J−= × ，其频率为109 326kHz kHzλ< < 。现在我们定义哈密顿量的散射

长度 0 /a mω= ，散射长度的范围 0118.6 204.5nm a nm< < 。比较短晶格的周期

/ 2 382.5d nm= ，我们可以得到基态波函数为局域波函数。

图(2.1) (a) 相反方向周期为 d 和 / 2d 的两驻波叠加 (b) 叠加后产

生的双阱链 (c) 对称双阱

后我们介绍如何产生非对称双阱（图 2.2），双阱的偏置势Δ 通过改变两种势

（长晶格和短晶格势）的相对相位，即加一个磁场梯度 'B [22]来实现。因此，调节

'B 可以使两阱的小势不同。我们可以通过调节 'B 的速度[24]来实现双阱偏置的绝

热和非绝热操作，这样便产生了如下图所示的光学超晶格[25]。


16

图(2.2) 超晶格链

第二节超交换相互作用的观测和控制

光晶格中的量子自旋体系早已用于凝聚态和统计物理的研究，同时用来说明相

变的基本参数和在强关联极限情形下量子磁现象出现的模型。在所有这些情况中，

体系主要依赖于近邻格点粒子自旋-自旋相互作用，例如 Ising 和 Heisenberg 模型。

本节首先制备 87Rb 的两种自旋态的反铁磁序[26]来研究超交换相互作用，然后记录

在孤立双阱[27-29]中近邻原子在由弱耦合到强耦合情形下随时间的演化。在同一

格点原子间的相互作用大于格点间隧穿耦合时，由于有效海森堡（Heisenberg）型

的自旋哈密顿量可以观测到关于自旋的显著的正弦振荡，然而在强耦合隧穿时出现

了更加复杂的动力学。另外，本节还讨论了通过引入相邻格点间的偏置势来直接控

制和改变超交换相互作用的大小和符号。

2.2.1 自旋动力学的研究

作为一个孤立体系的耦合双势阱反映了研究近邻原子间超交换过程中自旋动

力学的基本概念。我们考虑一个分别由不同自旋态 ↑ 和 ↓ 占据的双势阱，原子以

反铁磁序排列，体系用两分量玻色哈伯德模型来表示，其哈密顿量为[22]：

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2

1( ) ( ) ( )2

H t a a a a n n U n n n nσ σ σ σ σ σσ

+ +↑ ↓ ↑ ↓

=↑↓

= − + − Δ − + +∑

(2.5)

其中 Δ 为相邻格点之间的偏置势， 4 31,2 ( )U U g w d x↑↓= = × ∫ x 是同一格上处于 ↑ 和


17

↓ 原子之间的相互作用， 1,2 ( )w x 指局域在左阱或者右阱中的波函数，体系的态函

数是 , , , , , 0 , 0,↑ ↓ ↓ ↑ ↑↓ ↑↓ 四个 Fock 态的叠加。下面我将研究占据非平衡

L Rx n n= − 和 Néel 序参数从初在双阱中制备的 ,↑ ↓ 开始的动力学演化。其中

Néel 序参数为

1 2 2 1( ) / 2zN n n n n↑ ↓ ↑ ↓= + − − (2.6)

这里 , ;1,2 , ;1,2n n↑ ↓ ↑ ↓= 对应量子力学的期望值，有 1,2 1,2 1,2n n n↑ ↓= + 。在U t>> 的极限条

件下，单占据子空间为{ } , , ,a = ↑ ↓ ↓ ↑ ，双占据子空间为{ } ,0 , 0,r = ↑↓ ↑↓ 。把

1 2' ( . .)H t a a h cσ σσ

+

=↑↓

= − +∑ 作为微扰，如图（2.3）中 I为一阶隧穿过程即交换相互作用，

隧穿矩阵元为 'a H r ；在二阶隧穿过程 II 中，激发态{ }r 由于受极限条件的限制

只能作为一种中间过程的虚态，如文献[29]即一级隧穿过程被压制，这样的隧穿过

程将导致一种非局域的超交换相互作用，对应的态为 ,↑ ↓ 和 ,↓ ↑ 。如图(2.3)

图(2.3) 超交换相互作用过程[22]

在更一般的情形，任意自旋态之间的相互作用U U U↑↑ ↑↓ ↓↓= = ，其二阶隧穿过程可

以用U t 极限下各向同性的Heisenberg 模型来描述，其哈密顿量为[17,30,12,31]

1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 z zeff ex ex exH J J S S S S J S S+ − − += − = + −S Si (2.7)

其中 1,2 1,2S + = ↑ ↓ ， 1,2 1,2

S − = ↓ ↑ ， 1,2 1,2 1,2( ) / 2ZS n n↑ ↓= − ，利用微扰计算保留到二阶

的超交换耦合强度为 22 /exJ t U= （详见第三章）。


18

对于对称双阱 ( )0Δ = ，利用精确对角化的方法可以解出体系的的本征能量和

对应本征态为

( ) ( )

( )

( )

2 22

1 1

2

3

4

4 2 161 1 ( ) , , , ,0 0,2 2 4

20 , ,22 ,0 0,

2

U t U U tEU t

E

E U

UE

ψ

ψ

ψ

2

3

⎛ ⎞ − += − + = ↑ ↓ + ↓ ↑ + ↑↓ + ↑↓⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= , = ↑ ↓ − ↓ ↑

= , = ↑↓ − ↑↓

= ( ) ( )2 2

24

4 16 21 1 ( ) , , , ,0 0,2 4 2

t U U tU t

ψ

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎛ ⎞ − +⎪− + = − ↑ ↓ + ↓ ↑ + ↑↓ + ↑↓ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

（2.8a）

重新定义基失， ( )/ , , / 2t s = ↑ ↓ ± ↓ ↑ 为自旋单态， ( ),0 0, / 2± ≡ ↑↓ ± ↑↓ 为自

旋三重态（2.8）中的本征态可简化为

1

2

3

4 '

t

s

t

ψ α

ψ

ψ

ψ α

⎧ = + +⎪

=⎪⎨

= −⎪⎪ = + +⎩

（2.8b）

其中( ) ( )2 2 2 22 16 2 16

, '4 4

U U t U U t

t tα α

− + − += = − 。这样我们便得到如图

（2.4）所示的能级图[22]

图 (2.4) 在 0,U tΔ = 时的能级图及不同态间的演化 (i) 原子对关联隧穿

(ii)超交换作用过程 (iii) 一级隧穿过程

本征态中有两个态是 t 和 s 的线性组合，其中与 t 有较大重叠的是基态，单态 s

和另一个态 − 分别是能量为 0 和 U 的本征态，其中态 − 不能由初的态


19

( ), / 2s t↑ ↓ = + 得到，所以自旋非平衡的动力学演化只包含两个频率

2

1,24 1 1

2U t

Uω

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.9)

我们考虑到单带哈伯德模型中 1 22t ω ω= 和 ( )1 2U ω ω= − ，因为频率可以很精确

地测量，所以可以观测到单带哈伯德模型的偏移。下面是在不同势阱深度画出的自

旋和占据非平衡随时间演化图[22]。

图（2.5）在对称双阱中自旋和占据非平衡的动力学图

图中是在三种不同势阱深度下平均自旋 ( )zN t （蓝圈）和占据非平衡 ( )x t （棕色

圈）随时间的演化（A） 6 , / 1.25short rV E t U= = ；（B） 11 , / 0.26short rV E t U= = ；（C）

17 , / 0.048short rV E t U= = 。通过分析发现(A)和(B)自旋非平衡是两种不同振幅正弦

波的叠加，占据非平衡在所有的时间里保持不变。也就是说在U 相对于 t 增大时一

阶隧穿不断减小，在U t>> 时完全被压制，这时只有一种自旋超交换碰撞。


20

2.2.2 自旋超交换作用大小和符号的控制

为了说明超交换相互作用的可控性，我们在双阱中加一偏置势Δ，用同样的方

法可以算出其有效哈密顿量为 '1 22eff exH J S S= − i ，有效耦合强度 [12]

' 2 2 2 2 2/( ) /( ) 2 /( )exJ t U t U t U U= + Δ + − Δ = − Δ (2.10)

通过改变偏置Δ 到 UΔ > ， exJ 的符号改变，从而实现超交相互作用由铁磁到反铁

磁间的转变。对于 t U − Δ 时，在 2UΔ = ，通过两个虚中间态的有效自旋耦合

将再次出现。只是此时的自旋耦合强度 22 /exJ t U= − ，Néel 序参数动力学振荡将发

生反转如图（2.6）所示[22]。

图（2.6）超交换耦合的反转

图中描述的是对于两个不同的偏置能 UΔ > ，自旋动力学振荡发生了反转。我们已

经证明了超晶格中近邻格点原子间超交换相互作用的时间可测。改变超交换相互作

用耦合强度的大小和符号同样可用于一维链，为光晶格中自旋-自旋相互作用工程提

供可能。在原则上通过改变内部散射长度可将超交换相互作用改变成 Ising 型的，

因此可以用于脱离初分离对的情况下产生大的纠缠态，另外，沿不同晶格方向的

超交换作用大小的控制为量子信息过程产生拓扑（Topological）多体态提供了可能。

第三章光学超晶格中的玻色 t-J 模型

21

第三章光学超晶格中的玻色t-J模型

在强关联极限下可以由哈伯德模型导出费米 t-J 模型，而在此基础上张-莱斯的

推广 t-J[11]模型对铜氧化物的高温超导的成功应用早已受到超导理论研究者的普

遍关注。近光学超晶格的成功引入在实验上已观测到了原子对的隧穿，同时通过

调节偏置势的大小实现了对超交换相互作用的控制[22]。这样我们就可以通过改变

超交换相互作用的大小来实现空穴运动背景由反铁磁到铁磁之间的转变。鉴于费米

t-J 模型在解析和数值上的困难，我们导出超晶格中玻色子的 t-J 模型，希望能用于

费米子相关性质的研究。

第一节费米 t-J 模型

强关联极限下的费米 t-J 模型在铜氧化物高温超导机理的研究中起着关键作用。

自从发现高温 cT 铜酸盐，人们开始花大量的精力去研究该模型，其实质是内部存在

自旋超交换作用和载流子（空穴）输运竞争的强关联电子体系。我们利用投影算符

的方法，从光晶格中费米子的哈伯德模型出发，在强关联极限和平均占据数小于1的

情形下导出费米 t-J 模型。

3.1.1 Gutzwiller 投影算符

引入 Gutzwiller 投影算符的生成函数[32]

, ,1

( ) (1 )L

i ii

G n nα α ↑ ↓=

= −∏ (3.1)

考虑 ( )G α 对 Wannier 态的作用

, ,, ,1

, i , ,

0 k li x i xi ik l N

x an n x a x aδ δ↑ ↓

≤ ≤ ≤

⎧= = ⎨

⎩∑

如果格点是双占据

其它情况（3.2）

其中 Wannier 态 ,x a 描述电子和自旋相结合的态， ( )1,..., Nx x x= ， ( )1,..., Na a a= 。

x 为电子数 { }1,...,jx L∈ ，a为电子自旋 ,a =↑ ↓。1 1, ,, ... 0

N Nx a x ax a a a+ += 。由（3.2）


22

得到

( ) , (1 ) ,nG x a x aα α= − (3.3)

其中 n 表示态 ,x a 的双占据格点数目，例如， , ,D x a n x a= ，从方程（3.3）

得( 1) ( ) , ,

!

kk

knG x a x ak α αα δ−

∂ = 这样就有

1( 1) ( )

!

n

nnP G

n α αα =

−= ∂ (3.4)

以后我们是将体系投影到非双占据的空间进行研究即 0n = ，由方程（3.3）得

到

0 , ,1

(1) (1 )N

i ii

P P G n n↑ ↓=

= = = −∏ （3.5）

现在我们考虑任意的哈密顿量H ，作用的希尔伯特（Hilbert）空间为Η ，P 的

作用是将空间 H 投影在其子空间PΗ ，与P 正交的算符为 1Q P= − 。ψ 为全

空间的波函数，满足薛定鄂方程

H Eψ ψ= (3.6)

利用定义 1Q P= − ，我们能将方程写为：

( ) ( )H P Q E P Qψ ψ+ = + (3.7)

因为 P 、Q为投影算符所以有：

2 2, , 0P P Q Q PQ QP= = = = (3.8)

用Q左乘方程（3.7）通过运算可以得到

( ) ( )QHP QHQ QEP QEQψ ψ+ = + (3.9)

( )QHQ E Q QHPψ ψ− = − (3.10)


23

将 1( )Q QHQ E QHPψ ψ−= − − 插入方程（3.7）用P 左乘可得

( )1( )PHP PHQ QHQ E QHP P EPψ ψ−− − =

(3.11)

即对于子空间有

( ) ( )effH P E Pψ ψ=

(3.12)

其有效哈密顿量为

1( )effH PHP PHQ QHQ E QHP−= − − (3.13)

通过迭代法我们可以算出准确到二阶的有效哈密顿量

1( )effH PHP PHQ QHQ PHP QHP−= − − （3.14）

该方程是在一般情形推导得到，将用于费米和玻色系统有效哈密顿量的计算。

3.1.2 二阶简并微扰方法

现在我们利用微扰理论，将H 写为[32]：

0 1H H Hλ= +

(3.15)

其中 0H 可以分解成已知能谱 0 n nn

H E P= ∑ ，微扰项 1H 通过一个耦合参数λ 逐级考虑

进去。将P 用 nP 代替，我们得到

1( ) (1 ( ) )n n n n nH E P H E Q H Q H P−= + − (3.16)

由投影算符的性质 m n mn nP P Pδ= ， 0 0n n n nP H H P E P= = ， 0 0n n m mm n

Q H H Q E P≠

= = ∑ ，

1n n n nP HQ P H Qλ= ， 1n n n nQ HP Q H Pλ=

(3.17)

可以得到

1 11

0

( )k

k mn n n n

k m n m

P HH E E P H PE E

λ∞

+

= ≠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ （3.18）


24

因此方程（3.6）可以写成

1 11

0( )

kk m

n nk m n m

P HP H E EE E

λ ϕ ϕ∞

+

= ≠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∑ （3.19）

其中 nP Hϕ ∈ 将能量E 展开为 (1) 2 (2) 3( )n n nE E E Eλ λ ο λ= + + + 代入（3.19）我们

得到关于λ 的二级线性谱问题

1 11

n m n nn n

m n n m

P H P H P E EP H PE E

λ ϕ ϕλ≠

⎡ ⎤ −+ =⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑

(3.20)

左边方括号中的便是将系统投影在子空间D中的有效哈密顿量。

3.1.3 光晶格中费米子的有效哈密顿量

在一维光晶格中的费米子，体系的哈密顿量为[32]

,

ik i k i iik i

H t a a U n nσ σσ

+↑ ↓= − +∑ ∑

(3.21)

其中 ,σ =↑ ↓，跃迁矩阵元 0,jj kj jkt t t= = ，U 为相互作用项，在强相互作用极限U t ，

两边除以U 将哈密顿量重新写为 / /H U D T U= + ，这样 /H U 便是方程（3.15）的

形式，其中 0H D= ， 1H T= ，和 1/Uλ = ，算符 i ii

D n n↑ ↓= ∑ 的能量本征值为 nE n=

其中 0,1,...,n L= 。在方程（3.20），设 0n = 插入上面的数据我们有

0 00 0

1

1 m

m

PTP TPPTP EU m

ϕ ϕ=

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦∑

(3.22)

其中投影算符 mP 由方程（3.4）给出， 0,...,m L= ，其中有 01

(1 )L

i ii

P n n↑ ↓=

= −∏ 表示投

影到非双占据子空间。由投影算符的性质 0 0 0i i i in n P P n n↑ ↓ ↑ ↓= = ，其中 0,...,i L= ，得

( )0 ,( ) 1ik i ki iik

G TP t n n a aσ σα α +↑ ↓= −∑ ，再利用方程（3.4）可以求得

00

1

mik i ki i

m ik

P TP t n n a a Pm σ σ

+↑ ↓

=

=∑ ∑

(3.23)

所以在任意占据数情形下，光晶格中费米子的有效哈密顿量为


25

0 ' ' ' ' 0' ', , , ', , , '

1eff ik i k ik k l i k k lk k

ik j k k l

H P t a a t t a a n n a a PUσ σ σ σ σ σ

σ σ σ

+ + +↑ ↓

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑

(3.24)

由 0 0 0i i i in n P P n n↑ ↓ ↑ ↓= = 我们可以看到只有在 'k k= 的项才会保留。所以上式

可以简化为

2

0 , ' 0, , ,

2 1 14 2

jk i keff ik i k i k jk kl i ab l k i l k

i k i k i k l

t nnH P t a a S S t t a a S a a n PU U

α α α ασ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ+ + +

≠ ≠ ≠ ≠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (3.25)

其中1 , , ,2i iiS S x y zα α α= = ，是局域自旋算符， i i in n n↑ ↓= + 是局域粒子数算符。这样

上式可以写为

( ) ( )2

, ', , ,

2 1 11 14 2

jk i keff ik i k i i k jk kl i ab l k i l k i

i k i k i k l

t nnH t a a n S S t t a a S a a n nU U

α α α ασ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ+ + +

≠ ≠ ≠ ≠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

(3.26)

即光晶格中费米子在任意占据数情形下的 t-J 模型。

在接近半满的情况下，三格点相互作用较两格点相互作用小，我们忽略三格点

隧穿项[33]得到

( )2

,, ,

21

4jk i k

eff ik i k i i ki k i k

t nnH t a a n S SU

α ασ σ

σ σ

+

≠ ≠

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (3.27)

在费米液体理论中经常见到[34]。在一般情形方程（3.27）用 Bethe ansatz[35]是不

可解的，但在特殊值4 / 2t U = 和4 / 0t U = 的耦合常数下 Bethe ansatz 解存在。对于

半满情形，粒子数 N 等于格点数 L ， t JH − 一定是纯自旋态11 , 1,,..., ,..., 0

LL L c cc c a a+ += 。

在这些态中每一个格点占据一个费米子， 1(1 ) ,..., 0i Ln c c− = ，方程（3.27）变为

2

,

2 14

jkspin i k

i k

tH S S

Uα α

σ≠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (3.28)

其超交换耦合系数为22 /ik ikJ t U= ，只考虑近邻格点间的跃迁 , 1 , 1( )ik i k i kt t δ δ− += +

2

1,

4 14spin i i

i

tH S SU

α α

σ+

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (3.29)

这样我们便得到了海森堡（Heisenberg）模型[34]。


26

第二节光学超晶格中的玻色子

近在实验上已经实现了对光晶格中冷原子的超交换相互作用的调控以及对

其动力学的研究，同时通过改变近邻晶格的偏置势Δ实现了系统由反铁磁到铁磁的

转变[22]。因为磁量子相互作用是我们理解复杂序和关联的基础，以上的突破有助

于我们研究凝聚态物理中的量子磁序、量子相变以及量子相的奇异性等。本节在强

关联极限条件下分别导出光学超晶格中玻色子和硬核玻色子的 t-J 模型，并讨论得

出了光学超晶格中玻色子的各向同性和各向异性的海森堡模型。

3.2.1 光学超晶格中玻色子的有效哈密顿量

类似于费米子用反铁磁海森堡模型来描述窄带 Hubbard 模型的有效哈密顿

量，我们研究超晶格中的两分量玻色气体，该系统可用两分量 Bose-Hubbard 模型

[36]描述，其哈密顿量为

, , ,( . .) ( / 2) ( 1)ij i j i i s i ii i

ij i i iH t a a h c n U n n U n nσ σ σ σ σ

σ σ σ

+↑ ↓= − + + Δ + + −∑ ∑ ∑ ∑ (3.30)

ijt 为格点 i格点 j 之间的跃迁矩阵元， iΔ 为相邻格点之间的偏置势，不同格点取值

分别为

/ 2 i

/ 2 i

−Δ⎧⎨

Δ⎩

当为偶数

当为奇数（3.31）

2 2 3, ,( ) ( )i j i jU g w w d x↑ ↑ ↓ ↓= ×∫ X X 是同一格上处在 ↑ 和 ↓ 两原子之间的相互作用，

2 2 3( ), ( ) ( ), ( )( ) ( )s i j i jU g w w d x↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= ×∫ X X 为同一格点上处在 ↑ 和 ↑ （或者 ↓ 和 ↓ ）两

原子之间的相互作用。

为了研究问题的方便，对于一般的玻色气体我们考虑两格点的情形且 12 21t t= ，

其方程（3.30）可简化为：

( )

0

1 2 2 1 2 1 1 1 2 2

1 1 2 2

1 1( ) ( ) ( 1) ( 1)2 2

( )

s

H V H

t a a a a n n U n n n n

U n n n n

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σσ

+ +

=↑↓

↑ ↓ ↑ ↓

= +

⎡ ⎤= − + − Δ − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦+ +

∑

（3.32）


27

在 , sU U t 即强关联极限条件下，

( )0 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1( ) ( 1) ( 1) ( )2 2 sH n n U n n n n U n n n nσ σ σ σ σ σ

σ↑ ↓ ↑ ↓

=↑↓

⎡ ⎤= − Δ − + − + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ （3.33）

把跃迁项 1 2 2 1( )V t a a a aσ σ σ σσ

+ +

=↑↓

= − +∑ 看成微扰，体系的状态是以下 Fock 态

{ }, , , , , , , , ,0 , 0, 0 0 , ,0 , 0,↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑↓ ↑↓ ↑↑ ↑↑ ↓↓ ↓↓，，，，的叠加态。那

么体系的其哈密顿量以这些 Fock 态为基底展开为

s

s

s

s

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 2 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2 20 0 U+ 0 0 0 0 00 0 0 U 0 0 0 0

0 0 2 0 0 0 U 0 0 0

0 0 2 0 0 0 0 U 0 0

0 0 0 2 0 0 0 0 U 0

0 0 0 2 0 0 0 0 0 U

t tt t

t t

t tt t

H t t

t

t

t

t

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟

− − Δ⎜ ⎟= ⎜ ⎟− − − Δ

⎜ ⎟⎜ ⎟− + Δ⎜ ⎟

− − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟− + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟− − Δ⎝ ⎠

（3.34）

当平均占据数 / 1N Mν = = 的情况下,其中 N 为总的原子数，M 为总的格点

数，用狄拉克符号定义投影算符a p

P a a∈ Η

= ∑ 其中{ }a 取{ }, , , , , , ,↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓

为单占据子空间，与其正交的空间定义为 1Q P= − 。现在我们研究单占据空间的有

效哈密顿量。由方程（3.14）我们得到

( )

'

' '

, 0

2 21 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

effr Pa a P r

s s

r rH a a V V a a

E E

t tU U

t tU U

∉ Η< >∈ Η

=−

⎡ ⎤⎛ ⎞↑ ↑ ⊗ ↓ ↓ + ↑ ↓ ⊗ ↓ ↑⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ Δ − Δ + ↓ ↑ ⊗ ↑ ↓ + ↓ ↓ ⊗ ↑ ↑⎝ ⎠⎝ ⎠= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥+ + ↑ ↓ ⊗ ↓ ↑ + ↑ ↓ ⊗ ↓ ↑⎜ ⎟+ Δ − Δ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

（3.35）


28

类似于电子的自旋算符，我们定义玻色子的赝自旋算符

1 1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

1, , ( )21ˆ, , ( )2

z

zR

S S S

S S S

+ −

+ −

= ↑ ↓ = ↓ ↑ = ↑ ↑ − ↓ ↓

= ↑ ↓ = ↓ ↑ = ↑ ↑ − ↓ ↓

（3.36）

由平均占据数为1的条件我们有

1 1

2 2

1

1

⎧ ↑ ↑ + ↓ ↓ =⎪⎨

↑ ↑ + ↓ ↓ =⎪⎩

（3.37）

由方程（3.36）和（3.37）可得

1 11 1

2 22 2

1 1,2 21 1,2 2

z z

z z

S S

S S

⎧ ↑ ↑ = + ↓ ↓ = −⎪⎪⎨⎪ ↑ ↑ = + ↓ ↓ = −⎪⎩

（3.38）

带入方程（3.35）略去常数项，可得有效哈密顿量为

1 2 1 2 1 1( ) ( )x x y y z zeff sH J S S S S J J S S= − + + −

（3.39）

其中超交换耦合项

22

2 2 2 2

44 2 ss

s

t Ut UJ JU U

= , =− Δ − Δ

（3.40）

在同一格点上同种原子间的相互作用和不同种原子间的相互作用相等即 sU U= 时，

由（3.40）得到 2sJ J= 即同种原子间的相互耦合强度为不同种原子间耦合强度的

两倍，方程（3.39）可化简为

1 2effH J= − ⋅S S

(3.41)

这样就得到了光学超晶格中玻色子的各项同性的海森堡模型，与文献[22]一致。

在平均占据 1ν < 的情况下，体系会有另外的四个非双占据态{ },0 , 0, , ,0 , 0,↑ ↑ ↓ ↓ 。

我们将体系投影到非双占据子空间{ }a ，{ }a 取{ },0 , 0, , ,0 , 0, , , , , , , , ,↑ ↑ ↓ ↓ ↑↓ ↓↑ ↑↑ ↓↓

那么（3.14）中的 PHP 为


29

( )( ) ( ),0 0, 0, ,0 ,0 0, 0, ,0

/ 2 ,0 ,0 ,0 ,0 / 2 0, 0, 0, 0,

PHP t= − ↑ ↑ + ↑ ↑ + ↓ ↓ + ↓ ↓

+Δ ↑ ↑ + ↓ ↓ − Δ ↑ ↑ + ↓ ↓

(3.42)

定义态和算符间的关系

1 2 1

2 1 1

1 2 2

2 1 2

,0 0, ,0 ,0

0, ,0 ,0 ,0

,0 0, 0, 0,

0, ,0 0, 0,

a a n

a a n

a a n

a a n

+↑ ↑ ↑

+↑ ↑ ↓

+↓ ↓ ↑

+↓ ↓ ↓

↑ ↑ = ↑ ↑ =

↑ ↑ = ↓ ↓ =

↓ ↓ = ↑ ↑ =

↓ ↓ = ↓ ↓ =

(3.43)

则（3.42）可化简为算符的形式

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2/ 2 / 2PHP t a a a a a a a a n n n n+ + + +↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= − + + + + Δ + − Δ +

(3.44)

粒子数算符在平均占据数小于 1时，有以下关系式

11 1 1 1

22 2 2 2

n n n

n n n

↑ ↓

↑ ↓

+ = ↑ ↑ + ↓ ↓ =

+ = ↑ ↑ + ↓ ↓ = (3.45)

由方程（3.45）可以得到投影算符和自旋算符间的关系式

1 11 11 1

1 12 22 2

2 2

2 2

z z

z z

n nS S

n nS S

↑ ↑ = + ↓ ↓ = −

↑ ↑ = + ↓ ↓ = − (3.46)

将方程（3.46）代入（3.35）结合（3.44）可得光学超晶格中玻色子的有效哈密顿

量为

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 21 2 1 2 1 2

/ 2 / 2

( ) ( ) ( )4

eff

x x y y z zs s

H t a a a a a a a a n n n n

n nJ S S S S J J S S J J

+ + + +↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= − + + + + Δ + − Δ +

− + + − − + (3.47)

在平均占据数接近 1的情况下，忽略三格点隧穿项，将其推广到整个光学超晶格，

便得到了光学超晶格中玻色子的 t-J 模型

( ), ,

. .

( ) ( ) ( )4

eff i j i iij i

i jx x y y z zi j i j s i j s

ij

H t a a h c n

n nJ S S S S J J S S J J

σ σ σσ σ

+

< >

< >

= − + + Δ

⎛ ⎞+ − + + − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ (3.48)

在同一格点原子间的相互作用相等即 sU U= 时，有 2sJ J= 光学超晶格中玻色 t-J 模

型（3.48）可简化为


30

( ), ,

3. .

4i j

eff i j i i i jij i ij

n nH t a a h c n Jσ σ σ

σ σ

+

< > < >

⎛ ⎞= − + + Δ − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ S S （3.49）

3.2.2 光学超晶格中硬核玻色子的有效哈密顿量

在得出光学超晶格中的玻色 t-J 模型之后，现在讨论光学超晶格中玻色气体的

一种特殊情况，在 sU → ∞时，同一格点同种玻色子之间排斥相互作用很强，为硬

核玻色子[37]。这时我们不考虑同一格点相同原子间的相互作用，哈密顿量（3.30）

可写为

, ,

( . .)ij i j i i i iij i i

H t a a h c n U n nσ σ σσ σ

+↑ ↓= − + + Δ +∑ ∑ ∑ (3.50)

当平均占据数 / 1N Mν = < 情况下,跃迁矩阵元 t远小于相互作用强度U 时，利用

Gutzwiller 投影算符[32] (1 )i ii

P n n↑ ↓= −∏ 将系统投影到不含任何双占格点子空间，

与其正交的空间称为 1Q P= − 。重新把哈密顿量写为：

0H H V= + (3.51a)

0,

i ii ii i

H U n n nσσ

↑ ↓= + Δ∑ ∑ (3.51b)

,( . .)i j

ij

V t a a h cσ σσ

+ = − +∑ (3.51c)

跃迁项V 为微扰，利用恒等式 ( )(1 ) )i i i i i ia a n n n n↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↓= − + 可以将V 分为三项

(1 ) ] [(1 ) ] . .)ij h d mixi i i i i j j j j jij

V t n n n n a a n n n n h c V V V+↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

⎛ ⎞= − − + − + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ （3.52）

其中，

( )(1 ) (1 ) . .h ij i i i j j jij

V t n n a a n n h c+↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= − − − +∑ （3.53a）

( ). .d ij i i i j j jij

V t n n a a n n h c+↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= − +∑ (3.53b)

( )(1 ) (1 ) . .mix ij iji i i j j j i i i j j jij

V t t n n a a n n t n n a a n n h c+ +↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓= − − + − +∑ （3.53c）

hV 表示玻色子从单占格点 j 向空占格点 i的跃迁，只发生在 P 空间，描述的是空穴

运动项，所以就有 h hPV P V= ； dV 表示玻色子从双占格点 j 向单占格点 i的跃迁，只


31

发生在Q 空间，描述的是双占格点的转移所以有 0d d dPV P PV Q QV P= = = 和 d dV QVQ= ；

mixV 表示原子从双占格点 j 向空格点 i 的跃迁，代表的是玻色子在 P 和Q 空间的跃

迁，有 0mix mixPV P QV Q= = 。在硬核极限条件下，利用 1P Q+ = 能够得到

mix mix mixV PV Q QV P PTQ QTP= + = + 。以上结果[38]进一步表明 mixV 代表原子在两个子空

间P 和Q之间的跃迁。为了研究 mixV 的影响，将哈密顿量作如下划分

' '0 0 0mix h dH H V H V V H= + , = + + (3.54)

利用正则变换[38]消去 mixV 的一阶项，求得准确到二阶的有效哈密顿

'0

1 [ , ]2eff mixH H V S= + (3.55)

其中母函数 S 满足 '0[ , ] 0mixV H S+ = ，经过简单的运算消去 Q 空间部分得到在 P 空

间的有效哈密顿量

2 2,

2 ( )Peff h i i

i

UH V n PVQVPUσ

σ

= + Δ −− Δ∑ (3.56)

(a)

(b)

(c)

格点 i 格点 j 格点 k

图（3.1）在小于半满情形下窄带体系的各种隧穿过程[33]

进一步计算 P 空间的有效哈密顿量，忽略三格点隧穿项[33，39]，因为终要将结

果投影到非双占据子空间，所以当 ij jit t t= = 时有

( )2

,2 i j i j i i

ijPVQVP t n n a a a aσ σ σ σ σ σ

σ

+ += +∑ (3.57)

这样我们得到了超晶格中硬核玻色子的 t-J 模型


32

( ), , ,

1( . .)2eff i j i i i j ij

ij i ij

H t a a hc n J n n Pσ σ σ σ σσ σ σ

+= − + + Δ − +∑ ∑ ∑ (3.58)

其中有效耦合强度2

2 2

4UtJU

=− Δ

， ij i j i iP a a a aσ σ σ σ+ += 是格点 i和格点 j 不同原子的交换算

符，当 0Δ = 时该模型可用于研究硬核玻色子的相分离[36]。

3.2.3 各向异性的海森堡模型

定义自旋算符12i i ia aα αβ βαβ

σ+= ∑S ，其中σ 为 Pauli 矩阵 ( , , )x y zσ σ σ σ= 。利用

恒等式 i i i i in a a a a+ +↑ ↑ ↓ ↓= + 可以得到

1 ; (1 )2 2

ll l l l l l l

na a n S a a Sα β αβ βα α β βα αβσ σ σ σ+ += + ⋅ = − − ⋅ (3.59)

22 2 2( )4i j z z x x y y

i j i j i jij

n nPVQVP t S S S S S S

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (3.60)

这样超晶格中硬核玻色子的 t-J 模型也可以表示为

, ,

( . .) 24i jz z

eff i j i i i j i jij i ij

n nH t a a h c n J S Sσ σ σ

σ σ

+ ⎛ ⎞= − + + Δ − ⋅ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ S S (3.61)

其中 t 项表示原子通过空占格点的跃迁运动； iΔ 为空穴的运动引起的偏置势；

i i in n n↑ ↓= + 表示 i格点的原子密度算符； J 为自旋超交换相互作用。当 1ν = 即系统

为半满填充时，系统将被投影到只有单占据的子空间，这时没有空穴的运动项，所

以有效哈密顿量约化为各项异性的海森堡模型[12,17]

( )2 z zeff i j i j

ijH J S S= − ⋅ −∑ S S (3.62)

该模型可用于自旋超交换作用和自旋动力学方面的研究。

结论

33

结论

本文从描述光晶格中超冷原子的玻色哈伯德模型出发，讨论了光晶格中为两种

不同的原子或者考虑原子的两种内部态时的两分量玻色哈伯德模型，通过两种不同

的近似方法我们研究了其中的有效哈密顿量。超晶格中通过调节偏置势自旋超交换

相互作用可以在铁磁和反铁磁间转变。鉴于玻色子在解析和数值近似处理上都比费

米子容易，例如用 GFMC(Green function Monte Carlo)方法去解玻色 t-J 模型不存在

符号问题。本文从超晶格中两分量玻色哈伯德模型出发导出了超晶格中的硬核玻色

子 t-J 模型和一般情形的 t-J 模型。我们可以通过调节Δ来改变超交换作用[12,22]

的符号，当 UΔ > ， 0J < 空穴将在反铁磁背景下运动，这与费米 t-J 模型极其相

似，因此我们就可以通过研究玻色 t-J 模型来研究费米 t-J 模型的一些特性。另外通

过求解各项异性的海森堡模型可以研究超晶格中原子间磁性和多粒子动力学及其

原子之间的关联[36]。下一步我们将利用 Bethe-Ansatz 及数值计算方法对超晶格中

玻色子的 t-J 模型进行求解。


34

参考文献

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致谢

37

致谢

论文的写作终于接近了尾声，我已经没有了疲惫，也没有因此而长舒一口气，

而是百感交集。三年的硕士研究生学习即将画上一个完满的句号，在这期间，老师、

同学以及身边的朋友给予了我无私的关怀和鼓励，在此我对他们表示忠心的感谢。

首先感谢我的导师张云波教授，学习之初，张老师并没因我的基础薄弱而放弃对

我的希望相反是倾注了更多的心血。每每想起张老师一句句、一字字、一个个标点的为

我修改文章的情景，我内心有种说不出的滋味。这篇论文是在张老师的悉心指导下完

成的，从选题、构思到定稿无不渗透着张老师的心血和汗水。张老师渊博的知识和

严谨的学风使我受益终身，在此表示深深的敬意和感谢！

感谢硕士其间的带课老师梁九卿教授、李卫东教授、李录教授、张素英教授、

李志坚教授、姜晓庶副教授，是你们耐心的讲解和严格的要求让我对物理知识有了

更为全面的认识和产生了浓厚的兴趣。另外特别感谢聂一行教授和梁军军副教授在

我学习和论文写作期间给予的指导和帮助。

感谢郭丽萍、尹相国、杜磊、张杰、王红梅、张彦伟、蔚晓红、吕晓龙、郭红

丽、陈星、李花、梁晋菊、毛丽君、睢晓红、韩艳良等学友的无私帮助和友好合作，

是你们让我有了不畏艰难的信心和勇气。

感谢我挚爱的亲人们，谢谢你们始终如一的关怀、理解和付出。

感谢在山西大学研究生学习阶段所有物电学院的领导和前辈以及和我一起生活

学习过的同学们，在这里我度过了一段人生中美好的时光！感谢山大，感谢物电！

梁成功

2009 年 6 月于山西大学理论物理研究所

承诺书

本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指

导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大

学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论

文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引

用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或

集体已经发表或撰写过的成果。

学位论文作者（签章）：

2009 年月日

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