Ebook miễn phí tại :  · 1. Phải chăng số 0 chỉ có nghĩa là không có? Ebook miễn...

Ebookmiễnphítại:www.Sachvui.Com

Mườivạncâuhỏivìsaolàbộsáchphổcậpkhoahọcdànhcholứatuổithanh,thiếuniên.Bộsáchnàydùnghìnhthứctrảlờihàngloạtcâuhỏi"Thếnào?","Tạisao?"đểtrìnhbàymộtcáchđơngiản,dễhiểumộtkhốilượnglớncáckháiniệm,cácphạmtrùkhoahọc,cácsựvật,hiệntượng,quátrìnhtrongtựnhiên,xãhộivàconngười.Mụcđíchcủacuốnsáchgiúpchongườiđọchiểuđượccáclílẽkhoahọctiềmẩntrongcáchiệntượng,quátrìnhquenthuộctrongđờisốngthườngnhật,tưởngnhưaicũngđãbiếtnhưngkhôngphảingườinàocũnggiảithíchđược.

BộsáchđượcdịchtừnguyênbảntiếngTrungQuốccủaNhàxuấtbảnThiếuniênNhiđồngTrungQuốc.DotínhthiếtthựctínhgầngũivềnộidungvàtínhđộcđáovềhìnhthứctrìnhbàymàngaykhivừamớixuấtbảnởTrungQuốc,bộsáchđãđượcbạnđọctiếpnhậnnồngnhiệt,nhấtlàthanhthiếuniên,tuổitrẻhọcđường.Dotácdụngtolớncủabộsáchtrongviệcphổcậpkhoahọctronggiớitrẻvàtrongxãhội,năm1998,BộsáchMườivạncâuhỏivìsaođãđượcNhànướcTrungQuốctrao"GiảithưởngTiếnbộkhoahọckĩthuậtQuốcgia",mộtgiảithưởngcaonhấtđốivớithểloạisáchphổcậpkhoahọccủaTrungQuốcvàđượcvinhdựchọnlàmộttrong"50cuốnsáchlàmcảmđộngNướcCộnghoà"kểtừngàythànhlậpnước.

BộsáchMườivạncâuhỏivìsaocó12tập,trongđó11tậptrìnhbàycáckháiniệmvàcáchiệntượngthuộc11lĩnhvựchaybộmôntươngứng:Toánhọc,Vậtlí,Hoáhọc,Tinhọc,Khoahọcmôitrường,Khoahọccôngtrình,TráiĐất,Cơthểngười,Khoahọcvũtrụ,Độngvật,ThựcvậtvàmộttậpHướngdẫntracứu.ởmỗilĩnhvực,cáctácgiảvừachúýcungcấpcáctrithứckhoahọccơbản,vừachútrọngphảnánhnhữngthànhquảvànhữngứngdụngmớinhấtcủalĩnhvựckhoahọckĩthuậtđó.Cáctậpsáchđềuđượcviếtvớilờivăndễhiểu,sinhđộng,hấpdẫn,hìnhvẽminhhoạchuẩnxác,tinhtế,rấtphùhợpvớiđộcgiảtrẻtuổivàmụcđíchphổcậpkhoahọccủabộsách.

Dochứađựngmộtkhốilượngkiếnthứckhoahọcđồsộ,thuộchầuhếtcáclĩnhvựckhoahọctựnhiênvàxãhội,lạiđượctrìnhbàyvớimộtvănphongdễhiểu,sinhđộng,Mườivạncâuhỏivìsaocóthểcoinhưlàbộsáchthamkhảobổtrợkiếnthứcrấtbổíchchogiáoviên,họcsinh,cácbậcphụhuynhvàđôngđảobạnđọcViệtNam.

Trongxãhộingàynay,conngườisốngkhôngthểthiếunhữngtrithứctốithiểuvềvănhóa,khoahọc.Sựhiểubiếtvềvănhóa,khoahọccủaconngườicàngrộng,càngsâuthìmứcsống,mứchưởngthụvănhóacủaconngườicàngcaovàkhảnănghợptác,chungsống,sựbìnhđẳnggiữaconngườicànglớn,càngđadạng,càngcóhiệuquảthiếtthực.Mặtkháckhoahọchiệnđạiđangpháttriểncựcnhanh,trithứckhoahọcmàconngườicầnnắmngàycàngnhiều,dođó,việcxuấtbảnTủsáchphổbiếnkhoahọcdànhchotuổitrẻhọcđườngViệtNamvàchotoànxãhộilàđiềuhếtsứccầnthiết,cấpbáchvàcóýnghĩaxãhội,ýnghĩanhânvănrộnglớn.Nhậnthứcđượcđiềunày,NhàxuấtbảnGiáodụcViệtNamchoxuấtbảnbộsáchMườivạncâuhỏivìsaovàtintưởngsâusắcrằng,bộsáchnàysẽlàngườithầytốt,ngườibạnchânchínhcủađôngđảothanh,thiếuniênViệtNam,đặcbiệtlàhọcsinh,sinhviêntrênconđườnghọctập,xáclậpnhâncách,bảnlĩnhđểtrởthànhcôngdânhiệnđại,mangtốchấtcôngdântoàncầu.

NHÀXUẤTBẢNGIÁODỤCVIỆTNAM

1.Phảichăngsố0chỉcónghĩalàkhôngcó?

Ebookmiễnphítại:www.Sachvui.Com

Trongmộtlớphọc,thầygiáodạytoánđặtrachohọcsinhmộtbàitoán:“ởmộtcửahàngbánmáytínhvàođầutuầncó20máytính.Trongsuốtmộttuầncửahàngchỉcóbánkiểumáytínhnàymàkhônghềnhậpmộtmáynào.Vậynếucửahàngsẽcònbaonhiêumáytínhkiểunàykhiđãbánhết20cái.Cáchọcsinhnhanhchóngchocâutrảlời:20cái-20cái=0.Ởđâytacómộtđịnhnghĩavềsố0:“số0cónghĩalàkhôngcógì”.

Nhưvậythôngthườngsố0cónghĩalàkhôngcó.Thếnhưngcóphảisố0chỉhàmýlàkhôngcó,liệungoàiýnghĩakhôngcó,sốkhôngcócònhàmýgìkhácnữakhông?

Trongcuộcsốnghàngngày,nhiệtđộkhôngkhíngoàitrờiluônthayđổitheothờitiết,theomùa.Vàomùađông,nhiệtđộngoàitrờiởcácxứlạnhthườngthayđổitrêndưới0°C.Vậythì0°Cliệucócòncónghĩalàkhôngcónhiệtđộ?Đươngnhiênkhôngphảinhưvậy.Nếunhư0°C(nhiệtđộtheothangđoCelsius)cónghĩalàkhôngcónhiệtđộthếthì0°F(nhiệtđộđotheothangFahrenheit)sẽhàmýđiềugì,cóphảilạicónghĩakhôngcónhiệtđộ?0°Fchínhlànhiệtđộthấphơn0°C177°/9,còn0°Clànhiệtđộcaohơn0°F177°/9màkhôngthểnói0°làkhôngcónhiệtđộ.Thếthìtaphảigiảiquyếtmâuthuẫnnàynhưthếnàođây?

Bảnthânsố0cóđầyrẫymâuthuẫn.Nếuđứngtừquanđiểmtácdụngcủasố0màxétthìkhilàmphéptínhcộngnhiềulầnsốkhôngvớinhauthìtổngsốthuđượcvẫnlàsố0.Thếcóphảisố0làsốquábékhông?Mặtkhácchúngtabiếtlàsố0cóảnhhưởngrấtlớn.Dùchomộttíchsốcóbaonhiêuthừasốđinữachỉcầncómộtthừasốlàsố0thìtíchsốthuđượcsẽbằng0.Bạnthấysố0ảnhhưởngcólớnkhông?Nhữngmâuthuẫnloạinàytrongtoánhọckhôngphảiít.Đểgiảiquyếtmâuthuẫnnày,chúngtacầnbiếttínhtươngđốicủacáckháiniệmtoánhọc,cáckháiniệmtoánhọckhôngphảilàbấtbiếnmà

luônthayđổi.Đốivớihọcsinhtiểuhọcthìsố0cónghĩalàkhôngcó,cònđốivớihọcsinhbậctrunghọcthìsố0cóthểhàmýmộtsựkhởiđầu.Khitiếnhànhcácphéptínhsốhọc,số0cóvaitròrấtlớn.Trongcácmáytínhđiệntửthìvaitròcủasố0lạicànglớnvìtrongmáytínhđiệntửcácphéptoánđượcthựchiệntheohệđếmcơsố2,bấtkìcácphéptínhnàođềuthựchiệndựavàosố0vàsố1.

Từkhoá:Số0.

2.Cóphảisố0làsốchẵn?Chúngtađãbiếttrongcácphéptoánởbậctiểuhọcngườitagọi

mộtsốchiahếtcho2làsốchẵn,mộtsốkhôngchiahếtcho2làsốlẻ.Thếthìsố0làsốchẵnhaysốlẻ.Khitanóiđếnsốchẵnhaysốlẻnóichunglàđểdànhchocácsốtựnhiên.Số0khôngphảilàsốtựnhiênnêntạmthờikhôngbànđến.Thếnhưngcóthểnghiêncứuvấnđềnàykhông?Câutrảlờilàkhôngchỉcóthểnghiêncứumàcầnphảinghiêncứu.Khôngnhữngcầnnghiêncứusố0khôngphảilàsốtựnhiênduynhấtđãhọctrongthuậttoánmàsaukhihọcđạisốởbậctrunghọccònphảimởrộngkháiniệmsốchẵn-lẻđếnphạmvicácsốâm.

Tiêuchuẩnxemxétcũngkháđơngiản:Phàmcácsốchiahếtđượccho2làsốchẵn,sốkhôngchiahếtcho2làsốlẻ.

Cầnnhấnmạnhkháiniệmchiahếtkhithươngsốlàsốnguyênmàphépchiakhôngcósốdư.Hiểnnhiên0:2=0,thươngsố0thu

đượclàsốnguyênnênsốkhônglàsốchẵn.Tươngtự,cácsố:-2,-4,-6,-8,-10,-360,-2578,...làcácsốchẵn,còncácsố-1,-3,-5,-7,-249,-1683v.v...làcácsốlẻ.

Từkhoá:Số0làsốchẵnhaysốlẻ.

3.Vìsaotrongcuộcsốnghằngngàyngườitalạidùnghệđếmthậpphân?Sốtựnhiênđượcrađờimộtcáchhếtsức“tựnhiên”.Từthờixa

xưanhândânlaođộngcầnđếmsốsúcvậtbắtđược“1,2,3,4,...”dầndầnxuấthiệnsốtựnhiên.Thếnhưnglàmthếnàođểgọitênvàghilạitừngsốtựnhiênriêngbiệtthìlạilàvấnđềkhôngtựnhiênchútnào.Khingườitanhậnbiếtcácsốđến“10”vàdùngcáctêngọivàghitừngsốriêngbiệtthìlàviệckhôngkhólắm.Thếnhưngkhingườitabiếtđếmđếnsố“trăm”,“ngàn”,“vạn”thìnếucứtheocáchcũmàgọitênchúnglà“mộttrămcái,mộtngàncái,mộtvạncáivàdùngcáckíhiệuriêngbiệtđểghilạithìhầunhưtrởnênkhôngthểđược.Đãkhôngítngườilaotâmkhổtứtìmcáchgọitênvàtìmcáckíhiệuđểghilại,thìngaybảnthânhọcũngkhôngnhớvàghiđượcchínhxáccáckíhiệuđó,chưanóilàdùngchúngtrongviệctínhtoán.Trongtìnhhìnhđóviệctìmracáchghivàgọitêntheocáchthức“hệđếmtheocơsố”làmộtphátminhvĩđại.

Theongônngữtoánhọchiệnđại,hệđếmtheocơsốlànếuchọntrướcmộtsốtựnhiênp>1vànếucómộtsốtựnhiênAthoảmãnđiềukiệnpn≤A≤pn+1,tacóthểbiểudiễnAdướidạng:

A=a0+a1p+a2p2+a3pn(an≠0).

trongđó0≤ai≤p

Vìpquyếtđịnhbướctiếncủadãysốnênngườitagọiplàcơsốcủahệđếm.Nếuchọntrướcpsốtựnhiênvàghitheothứtựtừ0đếnp-1,trongđóplàcơsốcủahệđếmtựnhiênthìtacóthểdùngphươngpháp“ghisốtheovịtrí”vàsốAđãchoởtrêncóthểviếtthànhA=anan-1...a1a0,trongđóailàmộttrongpkíhiệuđãchọn.Phươngpháp“ghitheovịtrí”đượcphátminhsớmnhấtởTrung

Quốc,làmộttrongnhữngcốnghiếnquantrọngcủacácnhàtoánhọccổTrungQuốc.

Cáchmôtảvừatrìnhbàytrênđâyquảthựckhôngdễhiểulắm.Thếnhưngcácbạnhãytưởngtượngpđượcchọnlà10.Bâygiờchúngtadùngcácconsố0,1,2,3,4,5,6,7,8,9làcáckíhiệucácchữsốtừ0đến10.Dùngcácchữsốnàytacóthểghibấtkìsốtựnhiênnàotheophươngpháp“ghitheovịtrí”.Vídụvớisố347804,thựctếđâychínhlàsố:

4+0×10+8×102+7×103+4×104+3×105

Dễdàngnhậnthấyđiềukìdiệucủahệđếmtheocơsốlàcóthểdùngmộtsốhữuhạncáckíhiệuđểbiểudiễnvôhạncácsốlớnđếnbaonhiêucũngđược,cũngnhưdễdàngnhậnbiếtcácsốlớnnhỏvàrấttiệnlợikhithựchiệncácphéptoánsốhọc.Việcphátminhhệđếmtheocơsốlàmchonhậnthứccủaloàingườivớicácconsốđạtđếnmộttrìnhđộmới.

Cácbạncũngdễdàngnhậnthấycóthểdùngbấtkìmộtsốtựnhiênpbấtkìđểlàmcơsốchomộthệđếmnhưngthôngthườngtrongcuộcsốnghằngngàyngườitavẫnhaydùng“hệđếmcơsố10”hay“hệđếmthậpphân”.Cácbạncũngdễdàngnhậnthấylàngườixưachắcđãkhôngdùngcáchmôtảtrừutượngnhưđãtrìnhbàyởtrênđểđịnhnghĩahệđếmthậpphân.Thếtạisaohệđếmthậpphânlạiđượctoànthểloàingườichấpnhậnngaytừđầu?

Thựcrađiềunàycólídohếtsứcđơngiản,đólàdohaitaycủachúngtacó10ngón.

Trongthờiđạixaxưa,trìnhđộsảnxuấtvốnrấtthấp,chỉcầnnhữngsốđếmđơngiản,10ngóntaytựnhiêntrởthànhmột“máytính”sớmnhất.Trongsáchxưatừngcóthànhngữ“đếmtrênđầungóntay”(congóntayđểđếm)nêncóthểthấy“congóntay”đếmsốlàcáchđếmrađờisớmnhất.Thóiquennàyvẫncònvếttíchtrongđờisốngxãhộingàynay:Cácemnhỏởcácvườntrẻvẫnthườngdùngngóntayđểđếmsố;nhữngngườilớnkhinóichuyệnvớinhauvẫndùngcácngóntayđểradấuvềcácconsốnàođó.Khitrìnhđộsảnxuấtđạtđếntrìnhđộcao,thànhtựulaođộngđãđạtđếnsốlớnvàvượtquaconsố10.Bấygiờviệcdùng“ngóntayđếmsố”đãkhôngcònthíchhợpnữa.Thếnhưngconngườivẫnchưatừbỏthóiquen

dùngngóntayđểđếmsốvàthườngthuậntaydùngngóntayđểlàm“máytính”vớiviệccóthểdùngthêmcôngcụđểtrợgiúp,vídụcóthểdùngnhữngviênđá,cànhcâythaythếkhicácngóntayđãsửdụnghếtđểcóthểdùnglạicácngóntayđểđếm.Saunhiềulầnlặpđi,lặplạicáchtínhtoán,tổngkếtkinhnghiệm,loàingườiđãphátminhhệđếmthậpphân.

Nhưvậycóthểthấytổtiêncủaconngười,donhucầucủađờisống,sảnxuất,xuấtpháttừđiềukiệncủabảnthânmình,khôngngừngtíchluỹkinhnghiệm,tổngkếtkinhnghiệmmàđãphátminhhệđếmthậpphân.Dohệđếmthậpphâncómốiliênhệtựnhiênvớicuộcsống,nênđãđượcxãhộiloàingườitiếpthu,truyềnbávàtrởthànhmộtbộphậnkhôngthểtáchrờivớicuộcsốngcủachúngta.

Tronglịchsửxãhộiloàingười,ngườitacònthấycónhiềuhệđếmkhác.Vídụkhinóiđếnviệcđođộ,ngườitahaydùng“hệđếmcơsố60”;mộtđộcó60phút,mộtphútcó60giây;TronghệthốngcânđocũởTrungQuốc,ngườitadùngđơnvịmộtcâncó16lạng-đólà“hệđếmcơsố16”;trongbátquáidùngcảhaihệđếm“nhịphân”và“hệđếmcơsố8”.Ởmộtsốnướccòncó“hệđếmcơsố12”:cứ12vậtphẩmgọilàmộttá,12tágọilàmột“rá”.Đươngnhiênlàcáchệđếmvừakểchỉđượcsửdụngtrongmộtsốlĩnhvựchẹpvàhạnchế(vềkhônggian,địađiểm),khôngđượchoànthiệnvàrộngrãinhưhệđếmthậpphân.

Ngàynayloàingườiđãbướcvàothờiđạicủacácmáytínhđiệntử,thờiđạicủacôngnghệthôngtin.Điềudễcảmnhậnlàmáytínhđiệntửkhôngcómốiliênhệtựnhiênvớihệđếmthậpphânnhưởconngườivớihệđếmthậpphân,máytínhđiệntửlạicómốiliênhệtựnhiênvớihệđếmcơsốhaihayhệđếmnhịphân.

Từkhoá:Hệđếmthậpphân.

4.Vìsaomáytínhđiệntửlạicầnhệđếmnhịphân?

Vìtrênhaibàntaycó10ngóntaymàloàingườiđãphátminhrahệđếmthậpphân.Máytínhđiệntửrõràngkhôngcómốiliênhệtựnhiênvớihệđếmthậpphânvìvềmặtlíluậncũngnhưứngdụngthật

khócómốiliênhệtrựctiếp,liênthôngvớihệđếmthậpphân.Nhưngtạisaomáytínhđiệntửvàhệđếmthậpphânkhôngcómốiliênhệtựnhiên?Mốiquanhệtựnhiêngiữamáytínhvàcáchghisốlàởchỗnào?

Đểgiảiđápcâuhỏinàytaphảixuấtpháttừnguyênlíhoạtđộngcủamáytính.Máytínhđiệntửlàmviệcđượcnhờcódòngđiện.Xétmộttiếpđiểmtrongmạchđiệntửchỉcóhaitrạngtháiliênquanđếnsựchodòngđiệnchạyquamạch:đóngmạchvàmởmạch.Máytínhlưugiữthôngtinnhờbăngtừhoặcđĩatừ:vớiđĩatừởmỗiđiểmghichỉcóhaitrạngthái:đượctừhoávàkhôngđượctừhoá.Trongnhữngnămgầnđâyphươngphápghithôngtintrênđĩaquangngàycàngphổbiến.Mỗiđiểmghitrênđĩaquangchỉcóhaitrạngthái:hoặclõmhoặclồicótácdụngkhácnhaurõrệthoặctụánhsánghoặcgâytánxạánhsáng.Dovậycóthểthấynếumáytínhghinhậnthôngtinthôngquacácphươngtiệntrunggianthìđềuthôngquahaitrạngtháicủacácphươngtiệntrunggian.Ngườitachứngminhđượcrằngnếudùngmáytinhghisốtheohệđếmthậpphânsẽgâykhánhiềulãngphí.(Vínhưđểghimộtsốcómộtchữsốtheohệđếmthậpphânítnhấtcầnđếnbốnđiểmghi-cóthểđến16trạngthái-vàcóđếnsáutrạngtháikhôngđượcsửdụng).

Thếthìmáytínhđiệntửcầnghisốtheohệđếmnào?Xuấtpháttừhệquảmỗiphươngtiệntrunggianđềucócácđiểmghithôngtinứngvớihaitrạngthái,nênđiềudễthấylàdùnghệđếmnhịphânsẽcósựthíchhợptựnhiên.

Tronghệđếmnhịphân,đểghicácconsốchỉcầnhaikíhiệu0và1.Cóthểdùngsố1biểudiễnchoquadòngđiệnvà0biểudiễnsựngắtdòngđiện;hoặc1làtrạngtháibịtừhoávà0làtrạngtháikhôngbịtừhoá;hoặc1chỉđiểmlõmvà0chỉđiểmlồi.Từđóchothấyhệđếmcơsố2thíchhợpchoviệcghinhậnthôngtintrongcácmáytínhkhicácthôngtinđượcmãhoábằngcácchữsố.Theongônngữmáytính,mộtconsốghitheohệđếmnhịphânlàmộtbit,támbitđượcgọilàmộtkítự(byte).

Việcdùnghệđếmnhịphântrongmáytínhquảlàrấttựnhiên,nhưngđứngvềphươngdiệngiaolưugiữamáyvàngườithìcũngcónhượcđiểmquantrọnglàcácsốtựnhiênghitheohệđếmnhịphânviếtrấtdài.Nhưconsố1000tronghệđếmthậpphânnếuviếtdưới

dạnghệđếmnhịphânsẽlà11000011010100000,quảlàrấtdài.

Đểgiảiquyếtkhókhănnày,tronglíthuyếtvềmáytínhngườitasửdụnghaihệđếmbổtrợlàcáchệđếmcơsốtámvàhệđếmcơsố16.Nhờđómộtconsốcóbachữsốtronghệđếmcơsốhaisẽlàmộtconsốcómộtchữsốtronghệđếmcơsốtámchỉbằng1/3độdàicủaconsốviếttheohệđếmcơsốhai,sovớiconsốviếttheohệđếmcơsốtámkhôngkhácmấysovớiconsốviếttheocơsố10.Vídụconsố100.000viếttheohệđếmcơsốtámsẽlà303240.Tươngtựmộtconsốcómộtchữsốviếttheohệđếmcơsố16đạidiệnchomộtconsốcó4chữsốtronghệđếmcơsốhai.Mộtkítựtươngứngvớimộtconsốcóhaichữsốtronghệđếmcơsố16.Tronghệđếmcơsố16cầncó16kíhiệuđộclập.Thựctếngườitadùngchữsốtựnhiên1,22,3,4,5,6,7,8vàcácchữcáiA,B,C,D,E,Fđạidiệnchocácsố10,11,12,13,14,15(cácchữsốtronghệđếmthậpphân).Nhưvậyconsố100.000đượcviếtlà186A0.Việcchuyểnđổitừhệđếmnhịphânsanghệđếmcơsốtámvàcơsố16kháđơngiản;vàviệcphốihợpsửdụnghệđếmcơsốtámvàcơsố16sẽtránhđượcphiềnphứckhiviếtnhữngconsốquádàitronghệđếmcơsốhai.Hệđếmcơsố8vàcơsố16đãtrợgiúpđắclựcchoviệcgiaolưugiữangườivàmáytính.

Từkhoá:Hệđếmcơsố10;Hệđếmcơsố2;Hệđếmcơsố8;Hệđếmcơsố6.

5.Vìsaokhiđogócvàđothờigianlạidùngđơnvịđotheohệcơsố60?Đơnvịđothờigianlàgiờ,đơnvịđogóclàđộ,nhìnbềngoài

chúngkhônghềcómốiliênquangìvớinhau.Thếtạisaochúnglạiđượcchiathànhcácđơnvịnhỏcótêngọigiốngnhaulàphútvàgiây?Tạisaochúnglạisửdụngcùnghệđếmcơsố60?

Nghiêncữukĩhơnmộtchúttasẽthấyhailoạiđơnvịđolườngnàyquảcómốiliênhệhếtsứcmậtthiếtvớinhau.Ngaytừthờicổđại,donhucầucủalaođộngsảnxuất,conngườiphảinghiêncứuthiênvănvàđặtralịchphápvàvìvậycósựđụngchạmtựnhiênvớiviệcđogócvàđothờigian.Khinghiêncứusựthayđổiđêmngày,ngườitaphảiquansátsựchuyểnđộngtựquaycủaTráiĐất.Vàrõrànggóccủachuyểnđộngtựquayvàthờigianlàcóliênquanmật

thiếtvớinhau.Vìtronglịchphápngườitacầnđộchínhxácrấtcaotrongkhiđóđơnvịđo“giờ”vàđơnvịđo“độ”làrấtlớnnêncầnphảitìmcácđơnvịđonhỏhơn.Cácđơnvịnhỏhơnđểđothờigianvàgócphảicótínhchấtchunglà:Đơnvịnhỏnàyphảicóbộisốlà1/2,1/3,1/4,1/5,1/6.Nếulấy1/60làmđơnvịthìhoàntoànđápứngđượcyêucầuđó.Vídụ1/2chínhlà30lầncủa1/60,1/3là20lầncủa1/60,1/4là15lầncủa1/60...

Trongtoánhọc,ngườitachọnđơnvị1/60gọilà“phút”vàkíhiệu“,”(dùngchođogóc)vàphhoặcmin(dùngchođothờigian)vàdùngđơnvị1/60củaphútlà“giây”,kíhiệu“,,”(dùngchođogóc)vàs(dùngchođothờigian).Thờigianvàgócđềulấyphútvàgiâylàmcácđơnvịnhỏlàvìthế.

Dùngcácđơnvịhệđếmcơsố60trongnhiềutrườnghợpcũngcónhiềuthuậnlợi.Vídụsố1/3nếudùnghệđếmthậpphânthìphảibiểudiễnthànhmộtsốlẻvôhạn,trongkhidùnghệđếmcơsố60thìđượcbiểudiễnbằngmộtsốnguyên.

Hệđếmcơsố60đãđượccácnhàkhoahọctrênthếgiớidùngtrongthiênvănvàlịchphápvàcònđượcduytrìchođếnngàynay.

Từkhoá:Đothờigian;Đogóc;Hệđếmcơsố60.

6.Làmthếnàođểnhậnbiếtmộtsốtựnhiênchiahếtcho2,3,4,5,7,9,11?Việcphánđoánvềtínhchiahếtcủamộtsốtựnhiênchomộtsố

tựnhiênkháclàmộtyêucầuthườnggặptrongcuộcsống.Đươngnhiênnếutrongtaybạncómộtmáytính,bạnchỉcầnđặtmộtphéptínhhợplýlàtínhtoánxong.Khisốchialàsốđơngiản(vídụsốcómộtchữsố)thìcóthểdùngmộtsốquytắcphánđoán.Khicácbạnnắmđượccácquytắcthìkhôngcầncómáytính,bạncũngcóthểgiảibàitoánvềtínhchiahếtkhánhanhchóng.

Quytắcphánđoánvềtínhchiahếtcóhailoại:Mộtlà,xemchữsốcuốihoặcmấychữsốcuốicủacácconsốnhưởcácmục1và2,sau

đây;hailàtínhtổngcácchữsốtrongconsốhoặcxemxétcáchệsốthíchhợpchocáctổngmàphánđoánnhưởcácmụctừ3đến6.

1.Mộtsốtựnhiênlàsốlẻsẽkhôngchiahếtcho2;mộtsốchẵnchiahếtcho2.Vídụcácsố0,2,4.6,...sẽchiahếtcho2,còncácsốlẻnhư1,3,5,7,...khôngchiahếtcho2.

2.Mộtsốtựnhiênsẽchiahếtcho5nếuchữsốcuốicủasốđólàsố0hoặc5;mộtsốtựnhiênchiahếtcho25nếuhaichữsốcuốicủasốđólà00,25,50hoặc75,vídụsố120795cóthểchiahếtcho5nhưngkhôngchiahếtcho25.

3.Mộtsốchiahếtcho3khitổngcácchữsốcủasốđóchiahếtcho3.Mộtsốchiahếtcho9nếutổngcácchữsốcủasốđóchiahếtcho9.Vínhưsố147345thìtổngcácchữsốcủasốđólà5+4+3+7+4+1=24chiahếtcho3màkhôngchiahếtcho9nênsốtrênchỉchiahếtcho3màkhôngchiahếtcho9.

Vìsaolạicóquytắcdựđoánkháđơngiảnnhưvậy?

Giảsửchosố:

A=a0+10a1+102a2+103a3+...

trongđóa0,a1,a2,a3...làchữsốhàngđơnvị,hàngchục,hàngtrăm,hàngnghìn...củasốA;tacóthểviết:

A=a0+10a1+102a2+103a3+...

=[(10-1)a1+(102-1)a2+(103-1)a3]+(a0+a1+a2+a3+...).

Dễdàngnhậnthấy10n-1làbộisốcủa3và9vìvậynếusốhạngthứhaicủabiểuthứcsốA(biểuthứctrongngoặcđơn)viếtởtrênlàbộisốcủa3và9thìsốAsẽchiahếtcho3và9.Từđótađiđếnquytắcnếua0+a1+a2+a3+...làbộisốcủa3hoặc9thìsốAchiahếtcho3hoặc9.

4.Mộtsốchiahếtcho4nếutổngcủachữsốhàngđơnvịvàchữsốhàngchụcnhânđôichiahếtcho4thìsốđóchiahếtcho4.Mộtsốtựnhiênchiahếtcho8nếutổngcủachữsốhàngđơnvịcộngvớichữ

sốhàngchụcnhânđôivàchữsốhàngtrămnhân4chiahếtcho8thìsốđóchiahếtcho8.Vídụsố1390276chiahếtcho4vì6+2x7=20chiahếtcho4nênsố1390276chiahếtcho4.Số1390276khôngchiahếtcho8vìtheoquytắc6+2x7+4x2=28khôngchiahếtcho8.

Cáchchứngminhquytắcvừanêucũngtươngtựnhưcáchchứngminhở3.

Taviếtvídụ:

A=[(10-2)a1+(102-4)a2+103a3+...]+(a0+2a1+4a2).

Dễdàngnhậnthấybiểuthứctrongngoặcvuônglàbộisốcủa8vàAsẽchiahếtcho8nếuhạngsốthứhaicủaAphíabênphải(biểuthứctrongngoặcđơn)làbộisốcủa8.

5.Mộtsốchiahếtcho11nếuhiệusốcủatổngcácsốchẵnvàtổngcácchữsốhànglẻlàbộisốcủa11.Vídụvớisố268829tổngcácchữsốởhànglẻ9+8+6=23,tổngcácchữsốhàngchẵnlà2+8+2=12hiệucủachúngđúngbằng11nênsốnàysẽchiahếtcho11.Lạinhưvớisố1257643thìhiệucủahaitổngcácchữsốlà(3+6+5+1)-(4+7+2)=2.Vìkhôngphảilàbộisốcủa11nênsốnàykhôngchiahếtcho11.Đểchứngminhquytắctaviết:

A=[(10+1)a1+(102-1)a2+(103+1)a3+(104-1)a4+...]+[(a0+a2+...)-(a1+a3+...)].

SốhạngthứnhấtcủaAlàbộisốcủa11nênnếusốhạngthứhailàbộisốcủa11(hiệucủatổngcácchữsốởhàngchẵnvàcácchữsốởhànglẻ)đươngnhiênlàAsẽchiahếtcho11.

6.Chứngminhquytắcchiahếtcho7kháphứctạpmàýnghĩathựctiễnlạihạnchếnênởđâychỉgiớithiệuquytắcmàkhôngđisâuvàocáchchứngminh.

Bạnhãynhớkĩdãyhệsốtuầnhoànsauđây:1,2,3,-1,-2,-3,1,3,2,...

Muốnphánđoánvềtínhchiahếtcủamộtsốtựnhiênbấtkìcóchiahếtcho7haykhôngcácbạnhãynhâncácchữsốvớidãysốđã

nêu,sauđótínhtổngsốcủachúng.Vídụ,bạnhãynhâncácchữsốbắtđầutừchữsốđơnvịlàhệsố1,chữsốhàngchụclàhệsố3,chữsốhàngtrămvớihệsố2,chữsốhàngngànvớihệsố-1,v.v.rồitínhtổngđạisốcủacáctíchthuđược.Nếutổngsốvừatínhđượcchiahếtcho7thìsốđósẽchiahếtcho7.Vídụxétsố5125764chiahếtcho7vì:

4+2x6+2x7-5-3x2-2x1+5=28chiahếtcho7.

Khixéttínhchiahếtcủamộtsốtựnhiêntacầnchúýđếntínhchấtquantrọngsauđây:NếumộtsốAđồngthờichiahếtchohaisốpvàqthìcũngchiahếtchotíchsốpxqcủahaisố.Vídụsố5125764đồngthờichiahếtchohaisố7và4nênsốnàysẽchiahếtchotíchsố7x4=28v.v...

Từkhoá:Tínhchiahết.

7.Vìsaocóthểtínhnhanhbìnhphươngcủamộtsốhaichữsốcóchữ

sốcuốilà5?Bạncóthểkhôngcầndùngbúttínhnhanhbìnhphươngcủamột

sốhaichữsốcóchữsốcuốilà5,vídụ35đượckhông?

Chúngtacóthểdùngcáckiếnthứcđạisốđểtiếnhànhtínhnhanhbìnhphươngcủacácsốloạinày.Đểtínhbìnhphươngmộtsốhaichữcóchữsốcuốilà5(chữsốhàngđơnvịlà5),talấychữsốhàngchụcnhânvớichữsốhàngchụccộng1,viếttiếptheotíchsốthuđượcsố25,tasẽcóbìnhphươngcầntính.Vídụtínhbìnhphươngcủasố35.Tatínhtíchsố(3+1)x3=12.Viếtsố12bêntráisố25tacósốcầntìmlà1225.

Tathửxétquytắctínhnàycóđúngkhông?

TaviếtconsốcầntínhdướidạngA=10a+5,alàconsốhàngchục.Theocôngthức(a+b)2=a2+2ab+b2,tacó:

(10a+5)2=100a2+2x5x10a+25

=100a2+100a+25

=100a(a+1)+25

=a(a+1)x100+25.

Nhưvậylấyanhânvớia+1rồiđặttíchsốthuđượcbêntráisố25làthuđượcsốbìnhphươngcầntính,đóchínhlàquytắcvừađềraởtrên.

Từkhoá:Vềcáchtínhnhanh.

8.Vìsaocóthểtínhnhanhmộtsốdạngtíchsố?

Cóngườicókhảnăngtínhnhẩmrấtnhanhnhờđóhọcóthểchođượcnhữngđápánđúng,nhanhcácvấnđề,cácđềánphứctạp.Đểcóthểcókĩnăngtínhnhanhngoàiviệccónhạycảmvớicácconsố,cótrínhớtốt,cònphảibiếtcácquytắcvàtrảiquarènluyện,luyệntập.

Sauđâylàvàiquytắctínhnhanhmộtsốdạngtíchsố.

Giảsửcầntínhtíchsốcủahaisốcóđặcđiểmcóchữsốhàngchụcgiốngnhauvàtổngcácchữsốhàngđơnvịbằng10.

Vídụcầntínhtíchsố74x76=?

Tatínhtíchcủachữsốhàngchụcnhânvớichữsốhàngchục+1,tứclàtích7x(7+1)=7x8=56.Sauđólậptíchsốcủahaichữsốhàngđơnvịtức6x4=24.Đặthaitíchsốthuđượckếtiếpnhauvàthuđượcsố5624.Đóchínhlàtíchsốcầntính.Tacóthểdễdàngchứngminhquytắcvừađưara.

Theođiềukiệnđặtratíchhaisốcầntínhcóthểbiểudiễndướidạng(10a+b)(10a+c)

(10a+b)(10a+c)=100a2+10ab+10ac+bc

=100a2+10ab+10a(10-b)+bc

=100a2+10ab+100a-10ab+bc

=100a(a+1)+bc

Tacóthểmởrộngquytắcnàychotíchcủacácsốcónhiềuchữsốhơn.Vídụtínhtíchsố497x493=?

Dựavàoquytắcđãnêu,trướchếttatính

49x50=2450và7x3=21.

Vàtíchsốcầntínhsẽlà245021.

Córấtnhiềuloạiquytắctínhnhanh,đểứngdụngtốtcácquytắccầncósựquansátvàcảmnhậnnhanh,nhạycácconsố.Nếukhôngthìdùđãbiếtrõcácquytắcthìcũngkhôngkịpnhậndạngvàsửdụngquytắcđúngchỗvàsẽkhôngđápứngđượcyêucầutínhnhanh,thậmchícókhisửdụngquytắctínhnhanhlạikhôngnhanhhơncáchtínhtoánthôngthườngnhiềulắm.

Lấythêmvídụkhác:Tacầntínhtíchsố72548x37=?

Nếubạnchúýmộtchútsẽthấy3lầnsố37làsố111,vìvậykhinhânmộtsốvớisố37cóthểlấysốđónhânvới111sauđólấytíchsốvừatínhchia3,kếtquảsẽchotatíchsốcầntính.Việcnhânmộtsốvới111kháđơngiản.

Thựchiệnphépnhânvới111

và72548x37=2684276.

Rõràngởđâytrínhớcóvaitròhếtsứcquantrọng.Muốncótrínhớtốtphảitrảiqualuyệntập.Cónhữngngườicókĩnăngtínhnhanhkìtài,họcóthểnhớchínhxácđầyđủbìnhphươngcủa1000sốnguyênđầutiên.

Mọibàitoánđềucóthểtínhnhanh,việctínhtoáncóthểtheocácquytắckhácnhau,tốcđộtínhtoánphụthuộcnhiềuvàoviệcsửdụnghợplícácquytắcvàphảithôngquaquátrìnhrènluyệnmớithuđượckếtquảtốt.

Từkhoá:Tínhnhanh.

9.Cáchtínhnhanhcáctíchsốcủacácconsốgầnvới10...,100...,1000...Cónhiềuloạiquytắctínhnhanh,riêngvớiphéptínhnhâncóthể

kểrahơn20loại.Dướiđâylàbaloạiquytắccónhiềuứngdụngtrongthựctếtínhtoán.Tachiathànhbatrườnghợp.

1.Trườnghợphaisốnhânhơilớnhơn10,100,1000.Tacóthểdùngphươngphápđơngiảnsauđây:

a)Trướchếtbỏsố1ởmộtthừasố,sauđócộngvớithừasốkia;

b)Thêmvàotổngsốthuđượccácchữsố0(nếucácthừasốlớnhơn100thìthêmvàohaisố;nếuhaithừasốlớnhơn1000thêmvàobasố0v.v...);

c)Sauđólậptíchsốlàtíchhaichữsốhàngđơnvị;

d)Tínhtổngsốcủacáckếtquảthuđượctừbướcbvàbướcc;

Vídụtínhtíchsố108x103=?

Vậy108x103=11124

Tacóthểgiảithíchquytắctínhtoánnhưsauđây:

Haisốđãchocóthểviếtdướidạng

10a+hvà10a+k,a,h,klàcácsốnguyên.

Tíchsốsẽlà:

(10a+h)(10a+k)=10a(10a+h+k)+hk

Mà10a+h+k=(10a+h)+(10a+k)-10a

Tíchsốthuđượcsẽcódạng:

(10a+h)(10a+k)=10a[(10a+h)+(10a+k)-10a]+hk

Vàvìvậytađãthựchiệnphépnhânhaisốnhưđãtrìnhbàyởtrên.

2.Tíchsốcóhaithừasố:mộtthừasốlớnhơn10...,100...,1000...cònmộtthừasốnhỏhơn10...,100...,1000...Việctínhtíchsốđượcthựchiệntheocácbướcsauđây:

a)Bỏchữsố1ởthừasốlớnhơn10...,100...,1000...rồiđemkếtquảcộngvàothừasốkia.

b)Thêmvàokếtquảthuđượccácchữsố0...(vớicácthừasốlớnhơn,nhỏhơn100thêm2chữsố0,vớithừasốlớnhơn,nhỏhơn1000thêmbachữsố0...v.v...).

c)Lậptíchsốlàhaichữsốhàngđơnvịcủasốlớnvàbù10củasốbé.

d)Trừkếtquảcácbướccvàokếtquảcủabướcb,tasẽthuđượctíchsốcầntính.

Vídụ:Tínhtíchsố1006x995=?

chữsốbùtròncủasốbélà5.

d,Vậy1006x995=10000970

Tổngquáthơntacó:

(10a+h)(10a-k)=10a(10a+h-k)-hk

Mà10a+h-k=(10a+h)(10a+k)-10a

Nên

(10a+h)(10a-k)=10a[(10a+h)+(10a-k)-10a]-h__k

3.Cảhaithừasốcủatíchsốđềunhỏhơn100,1000,10000v.v...

Cáchtínhthựchiệntheocácbước:

a,Lấyhaithừasốcộngvớinhau,bỏsố1ởphíabêntráicủatổngsốvừathuđược.

b,Thêmcácchữsố0vàokếtquảvừathuđược,nếucácthừasốnhỏhơn100thêmmộtsố0,thêmvàohaichữsố0nếucácthừasốnhỏhơn1000,thêmvàobachữsố0nếucácthừasốnhỏhơn10000v.v...

c,Lậptíchlàcácsốbùtròncủahaisố.

d,Lậptổngsốlàkếtquảcủabướcbvàbướcc,đóchínhlàtíchsốcầntìm.

Vídụ:Tínhtíchsố998x987=?

Tổngquáthơntacó:

(10a-h)(10a-k)=10a(10a-h-k)+h__kmà10a-h-k=(10a-h)+(10a-k)-10a.

và

(10a-h)x(10a-k)=10a[(10a+h)+(10a-k)-10a]+h__k

Từkhoá:Tínhtoánnhanh.

10.Thếnàolàhiệntượngtuầnhoàntrongcácdãysố?

Hiệntượngtuầnhoànkháphổbiếntrongmộtloạtcácdãysố,nếutachúýmộtchútcóthểpháthiệnđượccácchukìtuầnhoàntrongcácdãysố.

Vídụvớicácluỹthừacủacácsốtựnhiênvớisốmũlớnhơn5,ngườitathấycósựlặpđilặplạichữsốcuối.Luỹthừabậc5của2là32,chữsốcuốicùnglà2,luỹthừabậc5của3là243,chữsốcuốilà3;luỹthừabậc5của7,khôngcầntínhtacóthểdựđoánchữsốcuốilà7...

Quansátcácchữsốcuốicủacácbìnhphươngcácsốtừ1đến9tathấyxuấthiệndãysố1,4,9,6,5,6,9,4,1.Bìnhphươngcủa10là100,chữsốcuốilà0.Cácbìnhphươngcủacácsốtiếptheocũngcócácchữsốcuốilậpthànhdãysố1,4,9,6,5,6,9,4,1.Tấtcảcácbìnhphươngcủacácsốtựnhiêncócácchữsốcuốilặpđilặplạitrongvòngtuầnhoànnày,hiệntượnglặpđilặplạivôsốlần.Vònglặpđilặplạinàycósố0làmranhgiới.

Ngườitacònpháthiện“sốgốc”củacácbìnhphươngchỉcóthểlà1,4,7,9màkhôngthểlàcácchữsốkhác.Ngườitagọi“sốgốc”củamộtsốlàchỉconsốthuđượckhicộngdầncácchữsốcótrongconsố,khitổngsốgặpsố9thìbỏđivàtínhtổngtiếpnếugặpsố9lạibỏđiđếnkhicònlạisốcuốicùngnhỏhơn9thìgiữlại,chữsốcònlạilà“sốgốc”củaconsốđãxét.Nhưvậy“sốgốc”chínhlàkếtquảphéptínhcộngdồncácchữsốcótrongmộtconsố,lấysố9làmđiểmdừng.Vídụ“sốgốc”của135là9,sốgốccủasố246là3...

Ứngdụngtínhchấtvừanêutacóthểphánđoánmộtsốcóphảilàmộtsốchínhphương(bìnhphươngcủamộtsốnàođó)haykhông.Vídụxétxemsố98765432123456789cóphảilàmộtchínhphươnghaykhông?Tatìmsốgốccủaconsốvừađưaravàthấysốđócósốgốclà

8màkhôngphảilàmộttrongcácchữsố1,4,7,9.Vậyconsốvừanêukhôngphảilàsốchínhphương.

Sốgốccủamộtchínhphươngkhôngchỉcóđặctínhvừanêumàcònthànhlậpdãysốtuầnhoàn1,4,9,7,7,9,4,1.Ởđâychữsốranhgiớilà9chứkhôngphảisố0nhưởcácchukìkhác.Dướiđâylàmộtdãylàmvídụ:

100(bìnhphươngcủasố10)cósốgốclà1.

121(bìnhphươngcủasố11)cósốgốclà4.

144(bìnhphươngcủasố12)cósốgốclà9.

169(bìnhphươngcủasố13)cósốgốclà7.

196(bìnhphươngcủasố14)cósốgốclà7.

225(bìnhphươngcủasố15)cósốgốclà9.

256(bìnhphươngcủasố16)cósốgốclà4.

324(bìnhphươngcủasố18)cósốgốclà9(ranhgiớicủachukì).

361(bìnhphươngcủasố19)cósốgốclà1(chukìlặplại).

Tínhchấtnàycủacácbìnhphươngkhôngchỉrấtthúvịmàcógiátrịthựctiễnlớn.Vậndụnglinhhoạttínhchấtnàycóthểnắmchắcđượccácmẹonhỏtrongtínhtoánnhanh.

Từkhoá:Tínhtuầnhoàntrongcácbìnhphương.

Vàobuổitốikhibạnlùixangọnđèn,nếuchúý,bạnsẽquansátmộthiệntượnglíthúlàđộdàibóngcủachínhbạncóthayđổi.KhiđứngdướiánhMặtTrời,bạncũngcóthểnhậnthấylàbóngcủabạntuỳtừngthờigianmàcólúcdài,cólúcngắn.Bạncóbiếttạisaokhông?

Khingườiđangđi,thânngườiởtrạngtháiđứngthẳng.BạncóthểdùngmộtđoạnthẳngđứngABbiểudiễnthânngười,đườngngangX’Xbiểudiễnmặtđất,Slàvịtrínguồnsáng.TavẽtừScáctiasángchiếuxuốngmặtđất.

Phầnlớncáctiasángđềuđếnđượcmặtđất,chỉcócáctianằmtrongmiềntamgiácACBlàbịthânngườichắnmấtvàtrênmặtđấtsẽcóbóngngườilàBC.

AClàtiasángđầutiênbịchắnlại,nêncóthểxemđólàbiêngiớicủachùmtiabịchắn.Góccủatiagiớihạnvớimặtđấtsẽtạonêngócα,đượcgọilàgócchiếu.ChiềucaoABcủangườikhônghềthayđổi,thếnhưngkhingườichuyểnđộnghoặckhinguồnsángdiđộng,độdàicủabóngBCsẽthayđổi.CácbóngngườiởbêntráitrangsáchtừvịtríA][sub]_B_[đếnvịtríA2B2sangA3B3rồiđếnvịtríA4B4.CònởtrangtrênbiểuthịkhinguồnsángdiđộngtừvịtríS1đếnvịtríS2,S3rồiđếnS4.DựavàohaihìnhvẽtathấykhiABdiđộngvềphíabêntráithìbóngBCcàngngàycàngdài,cònkhinguồnsángSdichuyểntừdướilêntrênthìbóngsẽngàycàngngắn.ChodùABdiđộnghaynguồnsángSdiđộngđềucóđiểmchunglàgócchiếuαcànglớnthìảnhBCcàngngắn,gócchiếuαcàngbéthìbóngcàngdài.TuynhiêncóđiềucầnchúýlàgócαvàđộdàicủaBCkhôngcómốiquanhệtỉlệ,vídụαnhỏđi1/2thìBCkhôngphảitănggấpđôi.

Tabiếtrằngtrongtamgiácvuôngtacóhệthức:

AB=BCtangα

Đâylàhệthứctươngquanhếtsứccóích.Khiđođộdàicủabóngcủatoàlâuđài,đogócchiếungườitacóthểtínhđượcchiềucaocủatoàlâuđài.

Ởtạimộtcôngviênnọcómộtbứctượngcao3,5m,photượnglạiđặttrênbệcao2,46m.Bạncóbiếtđứngtạivịtrínàothìgócnhìnphotượnglàlớnnhất?

Chúngtacóthểgiảiđápcâuhỏinàybằngphươngpháphìnhhọc.Bạnhãyvẽtrênmặtgiấymộtđườngnằmngang1biểudiễnmặtđất,tavẽtrên1mộtđoạnthẳngđứnggốcA.TrênđườngthẳngđứngtachọnbađiểmA’,B,CtheomộttỉlệchọntrướcAA’cóđộdàibằngkhoảngcáchcủamắtngườiđếnmặtđất(giảsửchiềucaonàylà1,5m),ABcóđộdàibằngchiềucaocủabệlà2,46m,BCcóđộdàibằngchiềucaocủaphotượnglà3,5m.ChọnO’làđiểmgiữađoạnBC,vẽđườngvuônggócvớiBCquaO’làO’m.QuaA’vẽA’m’songsongvới

đườngnằmngang.LấyBhoặcClàmtâmvẽvòngtrònbánkínhO’A’,vòngtrònsẽcắtđườngthẳngmởđiểmObênphảiđiểmO’.LạilấyOlàmtâm,vẽvòngtrònbánkínhO’A’,vòngtrònsẽcắtđườngthẳngmởđiểmObênphảiđiểmO’.LạilấyOlàmtâm,vẽvòngtrònbánkínhO’A’,đườngtrònnàyphảiđiquahaiđiểmBvàCvàtiếpxúcvớiđườngm’tạiM’.QuaM’vẽđườngthẳngvuônggócvớiC,châncủađườngvuônggócnàylàM.Mchínhlàđiểmmàtạiđóngườitasẽnhìnphotượngvớigócnhìnlớnnhất.

Tạisaovậy?GiảsửcómộtngườiquansátđứngởbênphảiđiểmA,vídụtạiđiểmN.QuaNtavẽđườngvuônggóccắtm’tạiđiểmN’.GócBN’ClàgócnhìncủangườiquansátđứngtạiNquansátbứctượng.VẽBN’,BN’sẽcắtvòngtròntạiđiểmD,nốiCD,gócBDClàgócngoàicủatamgiácCDN’rõrànglàlớnhơngóctrongkhôngliềnkềlàBN’C.MặtkhácgócBM’C(củangườiquansátđứngtạiM)làgóccùngchắncungBCvớigócBDC,nênBM'C=BDC,vìvậyBM'C>BN'CnênMlàđiểmmàngườiquansátcógócnhìnphotượnglàlớnnhất.

TừhìnhvẽtacũngcóthểtínhđượcđộdàicủaAMlà2,1mvàlà40o.

Thếliệucóthểtìmcôngthứctínhtoánchínhxácđượckhông?GiảsửbứctượngcóchiềucaoBC=h,bệtượngcóchiềucaoAB=p.NgườiquansátcótianhìntừđộcaoMM’=e.Khie<pthìgócnhìnlớnnhấtcủangườiquansátvớiphotượngđứngtạiđiểmMthìkhoảngcáchMtừMđếnchânphotượngAsẽlà:

TheocôngthứcnàytatínhđượcAM≈2,07m.

Từkhoá:Gócnhìn.

Nếucóngườiyêucầubạnđochiềucaocủamộtđồvậtkhôngcaolắmnhưđochiềucaocủabànhọc,hoặcđochiềucaocủabảngđentronglớphọc,bạnlậptứclấythướcđongay.Thếnhưngnếucầnđochiềucaocủamộtcáicâycaothìvấnđềquảkhôngdễvàphảitốnnhiềucôngsức,suynghĩ.

Nhưởhình1,cóngườiđịnhdùngảnhcâyđểđochiềucaoABcủacây.ÔngtadùngmộtgậytreCDdài1m,dựngthẳngđứngtrênmặtđấtvàđođộdàibóngcủacâygậytrevàtìmthấy0,8m.ÔngtalạiđochiềudàicủabóngcâyAEvàtìmthấyđộdàicủabóngcâylà2,4m.Quamộtphéptínhđơngiảnôngđiđếnkếtluậnlàcâycao3m.

VìhaitamgiácABEvàCDEđồngdạngvớinhau,tacó:

Sauđó,ôngtalạimuốnđochiềucaocủamộtcáicâykhácởgầnmộttườngbao.Bấygiờ,bóngcâysẽkhônghoàntoànnằmtrênmặtđấtmàcómộtphầnchiếulêntrênbứctườngnhưởhình2.Ôngđođượcphầnbóngcâynằmtrênmặtđấtdài2,8m,phầnnằmtrênbứctườngdài1,2m.

Vìbâygiờcómộtphầnbóngcâyởtrêntường,nênôngtakhông

thểdùngphươngphápcũđểđochiềucaocủacây,nhưngnếuxemxétkĩbóngcâyđượchìnhthànhnhưthếnàothìvấnđềđượcgiảiquyết.

Nhưởhình3đoạnABbiểudiễnđộcaocủacây,AClàphầnbóngcâynằmtrênmặtđấtvàCDlàphầnbóngcâyrơilênbứctường,BDlàtiasángMặttrời.QuaCtavẽCE//BD,đườngsongsongnàycắtBDtạiE.

Vậychiềucaocủacâylà:AB=AE+EB.

Theonhưtrênkiatacó:

AE/AC=1/0,8;AE/2,8=1/0,8

AE=2,8x1/0,8=3,5m

ĐồngthờiEB=CD=1,2m.VìvậychiềucaocủacâysẽlàAB=3,5+1,2=4,7m.

44.Làmthếnàođểđođượcgócchânđê?

Ngườitathườngnói“nướclửavôtình”.Đểngănngừanạnlụtchođồngruộng,thônquê,thànhthịnhiềunơingười

taphảiđắpcácconđêđểchốnglụt.Mặtcắtthânđênóichunglàhìnhthangcân.NhưbiểudiễntrênhìnhvẽPQRSlàmặtcắtcódạnghìnhthangcân,αlàgócởchânđê.

Khiđêđắpxonglàmthếnàotacóthểđođượcgócchânđê?Cóngườichorằngđiềuđóquádễ,chỉcầnđàomộthốsâuởchânđê,đoPQ,SR

vàPSrồidựavàohệthức ,tasẽtínhđượcgócα.Thếnhưngnếuđàohốsâuởthânđêthìdễlàmhưhạiđêvàcóthểgâysựcố.Vậyphảilàmcáchnàomàkhôngcầnđàohốởthânđêmàvẫnđođượcgócchânđêα.

Theonhưhìnhvẽ,giảsửmặtđêvàmặtđấtcắtnhautheogiaotuyếnl,Alàđiểmtuỳýtrênl.QuaAtavẽABvuônggócvớil(AB⊥l).TrênmặtđêtavẽAC⊥l.Bấygiờα=180o-BAC.ChỉcầnđođượcgócBAC,tacóthểbiếtđượcgócα.

ĐểđogócBAC,quahaiđiểmC,Btacăngmộtdây,sẽhìnhthànhtamgiácABC,làgóctrongcủatamgiácABC.DùngthướcdâyđođượcđộdàicácđoạnBC,AC,AB,từđótínhđượcBAC.GiảsửđođượcBC=a,AC=b,AB=c,theohệthứclượngtrongtamgiáctacó:

từđótanhanhchóngtínhđượcgócBAC.

Vìvậydùngphươngphápđãtrìnhbàytrênđâytacóthểđođượcgócởchânđê.

Từkhoá:Hìnhtamgiác,hìnhthangcân.

Mộttrườnghọcđãxâydựngxongmộtthưviệnđẹpđẽnếutrêncáccầuthanglạitrảithảmthìsẽtăngphầnthanhkhiết,sangtrọng.Thếnhưngbạncóbiếtcáchtínhnhanhđượclượngthảmcầntrảiđủcáccầuthang?

Bạnsẽtrảlời,vấnđềquádễ:chỉcầnđochiềurộngchiềucaocủamỗibậcthangsauđótrừhaomộtítlàđượcngay.Bạnthửnghĩxemcáchgiảiquyếtnhưvậycógâylãngphíkhông?

Trênhình1biểudiễnmấybậcthangtạonêncầuthang.TrongđóAB,BClàtổngbềrộngvàchiềucao.ChỉcầnđođượcABvàBCsauđótrừhaođộdài,giátrịthuđượcsẽlàđộdàicủathảmcầnmua.

Giảsửrằngcầuthangchỉcóhaibậcthangnhưtrìnhbàyởhình2,khiđóđộdàicủatấmthảmcầnthiếtsẽlàABCDE.NếukéodàiABvàDEchúngsẽcắtnhautạiG,tacó:BC=GD,CD=BGnênđộdàicủađườnggãykhúcABCDEchínhbằngtổngcủaAG+GE,cũngchínhlàtổngcủaAF+FE.

Nếuxétcầuthangcóbabậcnhưbiểudiễnởhình3,takéodàiABvàGFvàIlàgiaođiểmcủacácđườngkéodài.Bạndễdàngnhậnthấy,độdàicủatấmthảmchínhlàtổngcủaAH+HG.Bằngcáchlàmtươngtựthìchodùcầuthangcóbaonhiêubậctacũngcóthểnhanhchóngtínhđượcngayđộdàitấmthảmcầnmua.

Chúngtathườngthấycáccụgiàkhiđọcsách,đọcbáothườngđeokínhlãohoặccầmkínhlúp(kínhphóngđại)đểđọcsáchbáo.Vìkínhlãohoặckínhphóngđạiđềucóthểlàmchochữviếthoặchìnhvẽđượcphóngtolênnhiềulầngiúpcáccụgiàđọc,nhìndễhơn.

Kínhlúp,kínhlãocóthểphóngtohìnhvẽ,chữviết,đồvậtlênnhiềulần,thậmchíđếnhàngchụclần.Cònmuốnphóngtolêngấphàngtrăm,hàngvạnthậmchíđếnhàngtriệulầnngườitaphảidùngkínhhiểnviquanghọchoặckínhhiểnviđiệntử.Thếnhưngcómộtthứmàkhôngcóbấtkìloạikínhphóngđạinàocóthểphóngtolênđược:đóchínhlàcác“góc”tronghìnhhọc.Góccóýnghĩarấtlớntrongthựctiễn.Trongđođạc,trongthiếtkếmáymócngườitađềucầnđếngóc.Góclàdohaitiathẳngxuấtpháttừmộtđiểmtạothành.NhưhìnhvẽởbênphảigócAOBlàdohaitiathẳngxuấtpháttừđiểnOlàOAvàOBtạora.Góctovànhỏđềudomứcđộmởcủahaitiamàcó.Chúngtađềubiếtđộtonhỏcủamộtgócđượcbiểudiễnbằngđộphútvàgiây.

Vídụnhưởhìnhbênphải,ởphíatrênlàgóc30o.Dướikínhphóngđạiđộlớncủagócvẫnlà30o.Chỉcóđiềulàkínhphóngđạilàmchocácchitiếttrênhìnhvẽsẽtohơn,cácđườngnétvẽsẽthôhơn,chữviết,chữsốtohơncòngócmởcủacácchitiếtvẫnkhôngthayđổi.

Vìsaovậy?

Mộtlàvìquakínhphóngđại,vịtrícủahaitiatạonêngócvẫngiữnguyênkhônghềthayđổi:ĐườngOBvẫngiữvịtrílàđườngnằmngang,cònOAvẫngiữnguyênđộnghiêngtrênOBsaukhiphóngđại.Vìvậyđộmởcủagóckhônghềthayđổi.Nênkínhphóngđạichỉcóthểphóngđạiđượckíchthướccácđồvậtsovớitrướckhiphóngđại,cònhìnhdángđồvậtvẫnkhôngthayđổi.

Trongtoánhọcngườitagọihiệntượng“hìnhtượngđồvậtkhôngthayđổisaukhiphóngđạilàhiệntượngđồngdạng”.Vớihìnhđồngdạng,cácgócđốixứngcủahìnhkhôngthayđổi.Vìvậygócnhìn

dướikínhphóngđạisovớigócthực vẽtrêngiấykhônghềthayđổivềđộlớn.

Mộtvídụrõnhấtlàbốngóccủabànhọc,bốngóccủamộtquyểnsáchchodùcóphóngđạilênbaonhiêulầnthìcácgócvẫnlàcácgócvuông.Nhưvậychodùkínhphóngđạicóđộphóngđạilớnđếnbaonhiêulầnthìcácgóccũngkhônghềthayđổi.Hìnhvẽthìđượcphóngđạinhưnggóckhônghềthayđổidướikínhphóngđại.

Từkhoá:Góc.

Nóichungvớimộtquyểnsáchthìbềdàivàbềrộngcótỉlệbằngbaonhiêu?Chắcchắnkhôngítngườivẫnhaynghĩđến“consốtỉlệvàng”1,618.Sựthựckhôngphảinhưvậy.

Kíchthướcmộtquyểnsáchnóichungdokíchthướccủatranggiấynguyên(cỡgiấytheotiêuchuẩnsảnxuấtgiấy:A0,A1...)cắtramàcó.

Vídụkhổgiấycỡ32làdogấptờgiấynguyênthànhđôirồilạitiếptụcgấpđôi,gấpđôitheocácchiềuđếnkhiđạtđượccỡđãchọn.Bằngcáchđóngườitasẽthuđượccácquyểnsáchcócáctranggiấyđồngdạngvàgiữnguyêntỉlệvềđộrộng,độdàicủatrangsáchdùcáctrangsáchcótonhỏkhácnhau.Giảsửtranggiấylàhìnhchữnhậtcóchiềudàilàa,chiềurộnglàb,saukhicắtđôitheochiềungang,tacóhìnhchữnhậtvớichiềudàibvàchiềurộng.Căncứtheoyêucầungườitatiếptụccắtngangvàthuđượctranggiấyvớikíchthướcđãchọnđồngdạngvớitranggiấybanđầunhưngcókíchthướctheotỉlệchọntrước.

vàdovậya2=2b2vàa/b=√2

Từđócóthểthấytỉlệcủabềdàivàbềrộngcủatrangsáchlà√2,nhờđómàsaukhicắtnhỏtừtranglớn,cáctrangnhỏsẽđồngdạng

vớitrangbanđầu.

Từkhoá:Hiệntượngđồngdạng.

Khibạnngồilênghếđẩuhoặcghếtựa,nếugặpphảichiếcghếbịxộcxệch,tựnhiênlàbạnsẽtìmítthanhgỗđểgiacốlại,thếnhưngtacầnđóngđinhnhưthếnàothìtốtnhất?

Nếubạnđemcácmảnhgỗđóngdọctheođầucácchânghếbịlong,thìchỉquaítngàysửdụng,ghếsẽlạibịxộcxệch,longra.

Nhưngnếubạnchọncácđiểmởchỗtiếpgiápcủamặtghếvàchânghếtạothànhmộthìnhtamgiác,đặtđầuthanhgỗgiacốvàocácđiểmđórồiđóngbachiếcđinhđểbachiếcđinhphânbốthànhhìnhtamgiác,saukhisửachữanhưvậychiếcghếsẽtrởnênchắcchắnnhưcũ.

Vìsaovớicùngcácthanhgỗgiacốmỏngnhưnhaumàviệcđặtthanhgỗsongsongvàtạogócxiênvớichânghếlạicóhiệuquảkhácnhaunhưvậy?Tạisaochỉ

dùngbachiếcđinhđóngphânbốtheohìnhtamgiáclạiđủbềnchắc.

Đólàdohìnhtamgiáccótínhchấtđặcthù:chỉcầnbacạnhtamgiáccóđộdàixácđịnhthìhìnhtháicủatamgiác,độlớnnhỏsẽkhôngthayđổi.Ngườitagọitínhchấtnàylàđỉnhổnđịnhcủahìnhtamgiác.Vìvậymàởcáccánhcửangườitathườngđóngmộtthanhgỗxiên,ởcácdầmcầungườitacũngdùngcácthanhđỡcókếtcấutamgiác.

Khiđidãngoạichắcbạnđãnhìnthấyngườitabuộcbacâycọcthànhmộtchùmrồixoèrathànhmộtgiáđỡrấtchắcchắn.Ngoàiviệcsửdụngtínhổnđịnhcủahìnhtamgiácngườitacònchúýđếntínhchấtlà:vớibađiểmkhôngthẳnghànglàcóthểxácđịnhmộtmặtphẳng,khiếnchobađiểmmútcủagiábachânlàmthànhmộtchânđếvữngchắc.

Từkhoá:Hìnhtamgiác.

Nếubạndùngđinhđểđóngghépbathanhgỗthànhhìnhtamgiác,thìhìnhdángcủakhunggỗnàysẽkhôngthayđổi.Đólànguyênlí“tínhổnđịnhcủahìnhtamgiác”.

Thếnhưngnếudùngđinhđểđóngghépbốnthanhgỗthànhmột

cáikhungcóbốncạnhlàABCD,hìnhdángcủakhungcóbốncạnhrấtdễbịbiếndạng.Vậyhìnhbốncạnhkhôngcótínhổnđịnh.

Nếumuốnkhungbốncạnhnàykhôngbịxộcxệch,talạisửdụngnguyênlítínhổnđịnhcủatamgiác,dùngmộtthanhgỗđóngthanhgỗđóngcốđịnhcácđỉnhđốinhaunhưởcácđiểmA,Cđểchiathànhhaihìnhtamgiáclàđược.Chúngtathườngthấykhingườitađóngcáccánhcửachấnsong,thườngcóđóngthêmthanhchéogóclàvìlídođó.Khôngchỉcáchìnhbốncạnhkhôngcótínhổnđịnhmàởcáchìnhcósốcạnhlớnhơnbốncũngkhôngcótínhổnđịnh.

NếubạnmuốndùngcácthanhgỗđểghépthànhmộtkhunglồiABCDEFnhưởhìnhbênliệubạncóthểdùngbathanhgỗđểgiacốlàmnókhôngxộcxệchđượckhông?

Theonguyênlí“tínhổnđịnhcủahìnhtamgiác”thìvấnđềnêutrênkhôngkhógiảiquyếtlắm.Trênhìnhvẽđãnêulêncáccáchgiacốđểkhunggỗđượccốđịnh.

Trênthựctếcóthểcónhiềucáchgiacốkhác,bạnthửnghĩxemcácgiảiphápkhác.

Từkhoá:Hìnhtamgiác;Hìnhnhiềucạnh.

Cácbạnsốngởthịtrấn,thànhphố,trênđườngđihọc,vềnhàquacácphố;chắcbạnthấycócửahiệu,nhàởcócáctấmcửaxếpbằngthépnặngnề.Nhưngnếulưuýbạnsẽthấychodùlàcáctấmcửaxếpcócấutrúcnặngnềnhưthếnàonhưngnếuchỉcầnkéo,đẩynhẹlàcóthểđóngmởdễdàng?Vìsaonhưvậy?Liệutấmcửaxếpdễđóngmởnhưvậycóbịxộcxệchkhôngbềnhaykhông?

Nếuchúýnghiêncứumộtchútbạnsẽthấycấutạocủacửakéo.Nguyêndolàcácthanhcủakhungcửaghéptheodạnghìnhthoihoặccáchìnhbìnhhành.

Thếnhưngtạisaobốnđầughépnốibằngchốtcủakhunghìnhthoihoặchìnhbìnhthànhlạicóthểkéomởtựdo?Nếudùngcáckhungcódạnghìnhkháccóđượckhông?

Tacóthểtrảlờingay:khôngđược,vìnhưthếsẽkhôngđóngmởđượccửaxếp.

Nguyêndolàkhácvớihìnhtamgiác,hìnhcóbốncạnhcóđộdàixácđịnhkhôngcóhìnhdángcốđịnh.Vớimộtkhunghìnhbốncạnh,ngườitacóthểdễdàngbópméo,ngườitanóihìnhbốncạnhkhôngcótínhổnđịnh.Mộtkhunggỗhìnhvuônghaymộthộpdiêmrấtdễbịbópbẹpcũngchínhvìlídođó.

Từđóchothấynếubiếtvậndụnghợplítínhkhôngổnđịnhcủahìnhbốncạnhvàomụcđíchsảnxuấtngườitađã

thuđượchiệuquảtốtnhưvớiviệcsảnxuấtcáccửaxếpbằngthép.

Từkhoá:Hìnhthoi;Hìnhbìnhhành.

11.“Thếnàolàsựnhảyvào“hốđen”củacácconsố?

Chúngtahãylàmmộtcuộcdulịchthúvịvàothếgiớinhữngconsố.Mờicácbạntuỳýviếtmộtconsốcóbachữsố(phảicócácchữsốkhônghoàntoàngiốngnhau)sauđósắpxếpcácchữsốtrongconsốtừlớnđếnbétasẽthuđượcmộtsốmới.Sauđólạisắpxếpcácchữsốtrongsốvừathuđượctheothứtựngượclạitừbéđếnlớntalạiđượcmộtsốkhác.Tìmhiệusốcủahaisốvừamớinhậnđược.Lặplạicácbướcnhưvừatiếnhànhvớihiệusốvừamớinhậnđược.Xétxembạnsẽnhậnđượckếtquảnhưthếnào:

Vídụchọnsố323.Saubướcsắpxếpthứnhấtracócácsố332,saubướcthứhaisẽlàsố233.Hiệusốcủahaisốnàysẽlà099.(Số099cũnglàsốcó3chữsố).Lạitiếptụcthaotáccácbướctiếptheovàtiếptụcthunhậnđượccácsố990-099=891;981-189=792;792-279=693;693-396=594;954-459=495;954-495=495...Saumộtsốbướcbiếnđổiconsốđưarabanđầuđãchuivào“túi”vàdừnglạiởsố495.

Thếvớicácsố4chữsốthìsẽrasao?Kếtquảđượckhẳngđịnhlàvớicácsốcó4chữsốthìcácbướcbiếnđổisẽdừnglạiởsố6174.Điềunàydườngnhưcácloạisốđãnêutrênđãchuivàocác“hốđen”trongtoánhọcvàkhôngrakhỏiđượcnữa.

NhàtoánhọcLiênXôcũKasimovtrongsách“Cảmnhậntoánhọc”đãtừngviết“Đâylàbímậtkhôngcólờigiải”.

Ngườitachorằng“hốđen”khôngchỉcómộtsốmàcóthểcónhiềusốxuấthiệnnhưcáchìnhtrongđènkéoquânhoặcgiốngnhưhìnhtượngTônNgộKhônglạcvàobàntaycủaPhậttổNhưLai.

Vínhưcácsốcónămchữsốngườitapháthiệnhai“dãy”đólà:{63954,61794,62962,75933}và{62964,71973,83952,74943}.Nếucácbạnthấycóhứngthúthìhãythửxem.

Từkhoá:Sốnhảyvàhốđen.

12.Vìsaongườitakhôngnóiđếnướcsốchungnhỏnhấtvàbộisốchunglớn

nhất?Khihọctoán,chúngtađãhọcướcsốchunglớnnhấtvàbộisố

chungnhỏnhất.Thếnhưngcácbạncóđặtracâuhỏitạisaongườitahaynóiđếnướcsốchunglớnnhấtvàbộisốchungnhỏnhấtmàkhôngnóiđếnướcsốchungnhỏnhấtvàbộisốchunglớnnhấtkhông?Liệucóphảikhôngcóướcsốchungnhỏnhấtvàbộisốchunglớnnhấtnênngườitakhôngbànđếnvấnđềđó?

Trướchếtchúngtaxemhaitìnhhuốngcụthểsauđây:

Xétcácsố16và24,chúngcócácướcsố1,2,4,8ướcsốlớnchungnhấtlà8vànhỏnhấtlà1.

Cònvớicácsốnguyên15và56chúngchỉcómộtướcsốlà1.

Ướcsốchunglớnnhấtcóvaitròquantrọngtrongphéptínhvớicácphânsố.Nhờcóướcsốchunglớnnhấtmàngườitacóthểthugọncácphânsốthànhcácphânsốtốigiản,cònướcsốchungnhỏnhấtthìchảdùngđểlàmgì,vìvậyngườitaítkhibànđếnướcsốchungnhỏnhất.

Thếnhưngcóphảihaisốnguyênbấtkìkhôngcóbộisốchunglớnnhất?Vídụxéthaisố16và24,bộisốchungnhỏnhấtcủahaisốnàylà48.Tấtcảcácbộisốcủa48đềulàbộisốchungcủahaisố16và24,

vínhư48x2=96,48x3=144,48x4=192,48x1000=48000

v.v..đềulàbộisốchungcủahaisố16và24.Vìvậycácsốtựnhiênkhôngcóbộisốchunglớnnhất.

Trongthựctếkhitínhtoánvớicácphânsố,ngườitachỉcầnđếnbộisốchungnhỏnhấtkhitiếnhànhquyđồngmẫusố.Khiđãkhôngcầnđếnbộisốchunglớnnhấtthìcũngchẳngcầnbànđếnbộisốchunglớnnhấtlàmgì.

Từkhoá:Ướcsốchungvàbộisốchung.

13.Vìsaosố1khôngphảilàsốnguyêntố?

Ngườitachiacácsốtựnhiênlàmbanhómsố:nhómsốthứnhấtthuộcloạisốnguyêntố;loạithứhailànhómcáchợpsố;số1khôngphảilàsốnguyêntốcũngkhôngthuộcloạihợpsố.Số

nguyêntốchỉcóthểchiahếtchosố1vàchínhbảnthânsốđó,cònhợpsốcóthểchiahếtchocácsốkhác.Vídụsố6làmộthợpsốvìngoàisố1vàbảnthânsố6,số6còncóthểchiahếtcho2và3,vìvậyviệcchiasốnguyêntốvàhợpsốthànhhainhómriêngbiệtlàhoàntoànhợplí.Số“1”chỉchiahếtcho1vàbảnthânnó(cũnglàsố1),vậytạisaolạikhôngghépnóvàonhómsốnguyêntốchẳngtiệnlợihơnhaysao,vìlúcbấygiờcácsốtựnhiênchỉcầnchiathànhhainhómsốlàđủ?

Đểgiảiđápcâuhỏinày,tacầnbắtđầubànvềsốnguyêntố.Vídụtacầnxemxétsố3003cóthểchiahếtchonhữngsốnào?Muốntrảlờicâuhỏinàytacầnphảixéttínhchiacủa3003chotấtcảcácsốtừ1chođến3003vàviệclàmđócũngtốnkhánhiềucôngsức.

Chúngtabiếtrằngmọisốtựnhiênđềucóthểbiểudiễnthànhtíchsốcủanhiềusốnguyêntố.Hiểnnhiênlàmọisốtựnhiênđềucóthểphântíchthànhmộttíchsốcủanhiềusốnguyêntốvàhơnthếnữaphảilàcáchduynhất.Tahãylấysố3003làmvídụ,tacóthểthấy:3003=3x7x11x13.

Bâygiờtaxétvìsaokhôngthểxemsố1làsốnguyêntố?

Nếuxem“1”làsốnguyêntốthìkhiphântíchmộtsốphứchợpthànhtíchcủanhiềusốnguyêntố,lúcbấygiờsẽkhông

cómộtlờigiảiduynhấtnữa.Vínhưvớisố3003tacóthểviếtthành:

3003=3x7x11x13

3003=1x3x7x11x13

3003=1x1x3x7x11x13

nghĩalàtacóthểthêmtíchsốtuỳýsốconsố1vànhưvậyviệcbiểudiễn3003thànhtíchcủacácsốnguyêntốđãkhôngphảilàduynhấtvàtrởthànhcóthểphântíchmộtsốthànhtíchcủacácsốnguyêntốtheonhiềucáchvàđósẽlàmộtphiềnphứclớn,vìvậykhôngthểxem1làmộtsốnguyêntố.

Từkhoá:Sốnguyêntốvàhợpsố.

14.Cóphảisốcácsốnguyêntốlàhữuhạn?

Trongcácsốtựnhiênthì2,3,5,7...chỉcóthểchiahếtchosố1vàbảnthânsốđó,đólàcácsốnguyêntố.Cácsố4,6,8,9...thìngoàisố1,cácsốnàycòncóthểchiahếtchonhiềusốkhác,cácsốnàythuộcloạicáchợpsố.Số1khôngphảilàsốnguyêntốcũngkhôngphảithuộcloạihợpsố.

Thếtrongcácsốtựnhiên,nhữngsốnàolàsốnguyêntố?Hơn300nămtrướcCôngnguyên,mộthọcgiảcổHylạpErathosThenesđãđưaramộtphươngpháp.

Ôngviếtdãycácsốtựnhiênlênmộttranggiấyrồidánlênmộtcáikhung,sauđólầnlượtkhoéthếtcáchợpsốtrongđóvàthuđượcmộtvậtgiốngnhưcáirây,cáclỗrâychínhlàchỗcáchợpsốđãbỏđi.Ngườitagọitranggiấynàylàchiếc“sàngEratosthenes”nổitiếng.

Bằngcáchnày,Eratosthenesđãthuđượccácsốnguyêntốtrongdãysố50sốnguyênđầutiên.Ôngviếtcácsốtừ1đến50,trướchếtđụcbỏsố1,giữlạisố2.Sauđóđụcbỏcácsốlàbộisốcủa2,đểlạisố3.Sauđóđụcbỏsốlàbộisốcủa3,đểlạisố5.Sauđóloạibỏcácbộisốcủa5...Nhờcáchnàyngườitathunhậnđượccácsốnguyêntốtrong50sốnguyênđầutiên.Đâychínhlà“phươngpháprây”nổitiếng.

Theophươngphápnày,taviếtcácconsốtừ1-100rồisàngracácsốnguyêntốtrongcácsốtựnhiêntừ1-100.

NhưngtheocáchcủaEratosthenes,liệucótìmđượcsốnguyêntốcuốicùnghaykhông?Vàliệucácsốnguyêntốcóphảilàhữuhạnhaykhông?Vàonăm275nămtrướcCôngnguyên,nhàtoánhọcHyLạpkiệtxuấtƠclit(Euclide)đãdùngmộtphươngphápkìdiệuđểchứngminhcácsốnguyêntốlàvôhạn.

Ơclitđãdùngphươngphápphảnchứngđểchứngminhluậnđềvừanêu.Trướchếtônggiảthiếtsốcácsốnguyêntốlàhữuhạnthìtoànbộcácsốnguyêntốsẽlà2,3,5,7...p,trongđóplàsốnguyêntốlớnnhất.SauđótalậpsốA=2.3.5.7...p+1.

VậychỉcóthểhoặcAchiahếtchocácsốnguyêntốhoặcbảnthânnólàmộtsốnguyêntố.VìtheocáchthànhlậpthìAkhôngchiahếtchobấtkìsốnguyêntốnàotừ2,3,...pvìsốAchiachocácsốbấtkì2,3,5...pthìđềucósốdưlà1tứclàAkhôngchiahếtchobấtkìsốnàotrongcácsố2,3,5...p,điềuđócónghĩalànósẽchiahếtchomộtsốnguyêntốkháclớnhơnpvàtráivớigiảthiếtđặtra.Vậysốcácsốnguyêntốlàvôhạn.

Đâylàmộtđịnhlíquantrọngtronglíthuyếtsố.Líthuyếtsốhaycòngọilàsốluậnlàngànhtoánhọcquantrọng,chủyếunghiêncứucáctínhchấtcủasố,trongđócónhiềudựđoán,nhiềuvấnđềhếtsứclíthú,cónhiềuvấnđềchođếnnayvẫncònchưađượcgiảiquyết.GiảthuyếtGoldbachlàmộttrongcácsốđó.

Từkhoá:Sốnguyêntố;SốluậnƠclitvàEratosthenes.

15.Liệucóthểcócôngthứctínhsốnguyêntố?

Tađãbiếtsốnguyêntốchỉcóthểchiahếtchosố1vàchínhsốđó.Chúngtacònbiếtlàcóthểnhậnbiếtsốnguyêntốqua“sàngEratosthenes”.Thếliệucóthểbiểudiễnsốnguyêntốbằngmộtbiểuthứcnàođókhônghoặcliệucócôngthứctuykhôngbiểudiễnđượchếtcácsốnguyêntố,nhưngcácsốtínhtheocôngthứcđóđềulàsốnguyêntố?

NhàtoánhọcPhápnổitiếngFecmađãđưaracôngthứcdựđoáncáchtínhmộtsốnguyêntố.Ôngđãtìmthấysố:

F(n)=22n+1

trongđókhin=0,1,2,3,4thìF(n)tínhđượclàmộtsốnguyêntố.

Nhưngvềsau,nhàtoánhọcThuỵsĩƠleđãchỉrarằngvớin=5thìsốF(5)=225+1=4294967297=641x6700417làmộthợpsốvìvậydựđoánFecmabịbácbỏ.Từđólạicónhiềungườitiếptụcđưaranhiềucôngthứcquađócóthểtínhracácsốnguyêntốmộtcáchtổngquát.

Tronglịchsửtoánhọc,đãtừngcónhiềucôngthứcđềnghịtínhsốnguyêntốnhư:

f(n)=n2+n+17

f(n)=n2-n+41

f(n)=n2-n+72491

f(n)=n2-79n+1601

Nhưngđángtiếclàcáccôngthứcđưaradầndầnđềubịbácbỏ.

Năm1983mộtngườiTrungQuốcđưaramộtdựđoánkhác.Nếuchoplàmộtsốlẻthìcóthểtínhsốnguyêntốtheopbằngcôngthức:

f(p)=1/3(2p+1)

Nhưngngườitađãtìmthấyvớip=29thìdựđoánbịbácbỏ.

Trongthờigianđóởcácnướckháccũngcóngườiđưaracôngthứctínhsốnguyêntốphụthuộchaithamsốmvàn:

f(m,n)=n-1/2{[m(n+1)-(n!+1)]2-[m(n+1)-(n!+1)]2+1}+2.

Trongđóm,nlàcácsốtựnhiênn!=1.2.3...nđọclàngiaithừa.Ngườitađãkiểmchứngđược

f(1,2)=3

f(3,4)=2

f(5,4)=5

f(103,6)=7

làcácsốnguyêntố.

Côngthứcđãđượcchứngminhbằnglíthuyếtnhờđócóthểbiểudiễnđượccácsốnguyêntốbằngcôngthứcnhưngcôngthứcquáphứctạpvàítcógiátrịthựctiễn.

Từkhoá:Côngthứctínhsốnguyêntố.

16.Vìsaotrongbasốlẻliêntiếpnhất

địnhcóhaisốnguyêntốcùngnhau?Vớihaisốnguyênbấtkìnếuchúngkhôngcóướcsốchungnào

khácngoàisố1,ngườitagọichúnglàcácsốnguyêntốcùngnhau.Nếutrongbasốcóhaisốbấtkìnguyêntốcùngnhauthìngườitagọichúnglàcácsốnguyêntốcùngnhausongsonghaycácsốnguyêntốcùngnhautừngđôimột.

Tạisaovới3sốlẻliêntiếpbấtkìnhấtđịnhcóhaisốnguyêntốcùngnhau?

Chúngtađãbiếtsốlẻlàsốkhôngchiahếtcho2vìvậyvớisốlẻtachỉcóướcsốlàcácsốlẻ.

Vídụsố15chỉcócácướcsố1,3,5,15làcácsốlẻ.

Nếuhaisốcùnglàbộisốcủamộtsốpthìhiệucủachúngcũnglàbộisốcủap.

Vídụ100và15đềulàbộisốcủa5thìhiệusốcủahaisốlà85cũnglàbộisốcủa5.

Từcáclíluậntrênđâychúngtacóthểgiảiđápcâuhỏi“vìsao”đãđềra.

Giảsửtacó3sốlẻliêntiếp,tachọnmộtsốlàathìsốlớnsẽlàb=a+2hoặcb=a+4.Nếuavàbcóướcsốchunglàpthìpphảilàướcsốcủahiệusốb-a,cónghĩalàpphảilàướcsốcủa2hoặc4.Vìp=1nênavàbchỉcóướcsốchunglà1.Từđónếua,blàsốlẻthìướcsốchungcủachúngchỉlà1.Vìavàblàcácsốlẻnênchúngkhôngcóướcsốchunglàsốchẵn.Chúngtađãchứngminhavàbchỉcóướcsốchunglà1nênavàbphảilàcácsốnguyêntốcùngnhau.Vớibasốlẻliêntiếpbấtkìluôncóhaisốnguyêntốcùngnhau.

Từkhoá:Ướcsố,ướcsốchung;Sốnguyêntốcùngnhau.

17.Vìsaohaisốhơnnhaukhôngquá2nlầntrong2n+1sốtựnhiênkhác

nhaunhấtđịnhcóhaisốnguyêntốcùngnhau?

Câutrảlờiđơngiảnnhấtlàtrongn+1sốtựnhiênlớnhơnnhaukhôngquá2nlầnnhấtđịnhsẽcóhaisốcạnhnhau,haisốcạnhnhautấtnhiênphảilàcácsốnguyêntốcùngnhau.Haisốcạnhnhaunếucóướcsốchunglàpthìpnhấtđịnhphảibằng1.Thếtạisaotrongn+1sốtựnhiênkhônglớnhơnnhauquá2nlầnnhấtđịnhphảicóhaisốcạnhnhau?Theođiềukiệnđặtratrongtậphợptừcácsốtựnhiênsốcácsốnguyêntốphảinhỏhơnhoặccùnglắmlàbằng2n.Vảlạitrongtậphợpkhôngcócácsốcạnhnhauthìsốcácsốnguyêntốtốiđachỉlàn.Vídụcáctậphợpkhôngcócácsốcạnhnhaulàcáctậphợp:{1,3,5,...2n-1}hoặc{2,4,6,...2n}.Nếutalạithêmvàocáctậphợptrênmộtsốnàođótheothứtựcácsốtựnhiênthìtấtnhiênphảilàsốcạnhnhaucủan+1sốtrongmỗitậphợpvàtậphợpmớisẽlàtậphợpcócácsốcạnhnhau.NgườichứngminhluậnđềnàylànhàtoánhọcHungariPotardlúcôngmới12tuổi.

18.Bàitoán“HànTínđiểmbinh”làthếnào?

Bàitoán“HánTínđiểmbinh”làmộttròchơidựđoánsốthúvị.Giảsửbạncầmtrongtaymộtsốlácờ(trêndưới100lá),trướchếtbạnchậpthànhnhóm3lá,sẽcònsốdưkhisốcònlạikhôngđủ3lá;sauđólạichậpthànhnhóm5lághilấysốdưởnhómkhôngđủ5;cuốicùngchậpthànhcácnhómcó7lá,ghilấysốởnhómkhôngđủ7lá.Dựavàosốlácờdưởcácnhómngườitacóthểđoánsốlácờđãcó.

Vídụ:Khichập3dư1lá,chập5dư2lá,chập7dư1lá,vậycóbaonhiêulácờ?

PhươngphápgiảikháđơngiảnvàngaytừthờicổđạiởTrungQuốcđãcólờigiải.VàothờinhàTốngChuMậtgọilà“BàitoánQuỉcốc”hoặc“ToánCáchtường”,DươngHuygọilà“bàitoánchémống”nhưngtêngọibàitoán“HànTínđiểmbinh”làtêngọiphổbiếnnhất.Cáchgiảiđượctrìnhbàytrongquyểnsáchtoáncổ“Tôntửtoánkinh”.Vềsau,TầnCữuThiềuthờinhàTốngđãcảitiếnvàphổbiếnrộngrãi

vớitên“ThuậttoánĐạidiễn”(giảnggiảivềcáchtínhtoán).Đóchínhlànộidungmàtronglịchsửtoánhọcngườitagọilàđịnhlí“thặngdưTrungQuốc”,mộtbàitoánkhánổitiếng.

Nộidungcủaphươngphápgiảibàitoáncóthểbiểudiễnbằngbiểuthứcdướiđây:

ax70+bx21+cx15-105

trongđóa,b,clàcácsốdưtươngứngkhichập3,chập5vàchập7cáclácờ.Nếuconsốtínhđượclớnhơn105thìtrừcho105đếnkhiđượcmộtsốnhỏhơn105thìdừnglại.Theocáchgiảinàybàitoánđoánsốlácờởtrênđâysẽcóđápán1x70+2x21+2x15-105=37lá.

Thếtạisaotrongbàitoán“HànTínđiểmbinh”làcầnbộbasố3,5và7,liệucóthểdùngcácbộbasốkhácđượckhông?Đểtrảlờicâuhỏinàytacầnnghiêncứukĩcáchgiảibàitoán“HànTínđiểmbinh”:“70a+21b+15c-105”.

Tacầnxemxétcácmốiquanhệcủa4số70,21,15và105vớicácsố3,5,7.

1)70=2x5x7;70=3x23+1nên70làbộisốchungcủa5và7vàkhichiacho3thìdư1.

2)21làbộisốchungcủa3và7,21chiacho5thìdư1.

3)15làbộisốchungcủa3và5,15chiacho7dư1.

4)105làbộisốchungnhỏnhấtcủabasố3,5,7.

Dựavàomốiquanhệtrênđâythì“70a+21b+15c-105”chínhlàsốphảitìm.Bởivì:

70a+21b+15c-105=

=(3x23+1)x1+(3x7x2)+(3x5x2)-(3x5x7)

=3x23x1+1x1+3x7x2+3x5x2-3x5x7

=3x(23x1+7x2+5x2-5x7)+1

Vìvậy70a+21b+15c-105chiacho3cósốdưlà1.Cũnglíluậntươngtựđemsốnàychiacho5vàcho7đềucósốdưlà2.

Thếtạisaotrongbàitoán“HànTínđiểmbinh”ngườitalạidùngbộbasố3,5,7.Chúngtabiếtrằnghaisốbấtkìtrongbasốlàcácsốnguyêntốtừngđôimột(sốnguyêntốcùngnhau,chỉcóướcsốchunglà1).Từđónếutìmđượcmộtsốcótínhchấtlàbộisốchungcủahaitrongbộbasốvàkhiđemchiachosốthứbamàcósốdưlà1nhưcácsố70,21,15thìđápứngyêucầucủabàitoán“HànTínđiểmbinh”.

Thếvớicácsốkhôngnguyêntốcùngnhauthìcóthểtìmđượccácsố70,21và15haykhông?Vídụchọnbasố4,6,7trongđóhaisố4và6khôngnguyêntốcùngnhau,cóướcsốchunglớnnhấtlà2.Màbộisốchungcủacácsố6,7đềulàcácsốchẵnnếuđemchiachosố4thìđềucósốdưlàsốchẵnmàkhôngthểlàsố1,vìvậychúngtasẽkhôngtìmđượcsựtươnghợpvới70,21,15.Nênbàitoán“HànTínđiểmbinh”khôngsửdụngđượcbasốkhôngnguyêntốcùngnhau.

Chúngtacóthểbỏbộbasốkhácvới3,5,7màdùngbộbasốnguyêntốcùngnhaukhác.Vídụ2,3,11biểuthứccủagiảipháplà“33a+22b+12c-66”.Trongđócácsố33,22,12và66thoảmãn4mốiquanhệnhưđãnêuởtrênvàcácbạndễdàngtìmthấysốphảitìmlà37.

Từkhoá:Bàitoán“HànTínđiểmbinh”,địnhlíthặngdưTrungQuốc,sốnguyêntốtừngđôimột,bộisốchungvàbộisốchungnhỏ

nhất.

19.VìsaođịnhlýthặngdưTrungQuốccóthểdùngđểmãhóamáy

tính?ChúngtađãbiếtđếnđịnhlíthặngdưTrungQuốc,tứcvấnđề

HànTínđiểmbinh,đólàmộtthànhtựuquantrọngtrongtoánhọcTrungQuốccổđại,vớinộidungthuộcvềgiảiphápdãyđồngdưmộtlầntronglíthuyếtsố.Hiệnnay,ngườitađãtìmracôngdụngmớicủa

thứkiếnthứccổxưanàytrongviệcmãhóamáytính.

ĐápánchobàitoánHànTínđiểmbinhcóthểlàrấtnhiều,giữachúnglạicótươngsailà105(tức3x5x7),songđápántrongvòng105thìlạichỉcómột.Bâygiờchúngtahãygiảnhóachúng:nhữngsốnguyênnàocóthểchia3thìdư2,chia5thìdư3?Khôngkhóđểtìmralà8,23,38,53,...,giữachúngcótươngsai15(tức3x5).Cònđápánchotrongvòng15chỉcómột:8.Vậythì,vớiđềbàinhưvậycóthểcóbaonhiêubàitoán?Bàitoánchia3,sốdưcóthểlà0,1,2,tổngcộng3loại;Bàitoánchia5,sốdưcóthểlà0,1,2,3,4,tổngcộng5loại,hợplạitổngcộng3x5,tức15loại.Nghĩalàcóthểcó15đềbàinhưvậy,đápánkhônggiốngnhau,hơnnữađápántrongvòng15thìlạichỉcómột.Cóthểthấy,đápáncho15đềbàinàyvừavặntươngứngvới1,2,3,...,15.

Bâygiờ,điền15sốnàyvàohìnhvuông3hàng5cột(3x5),saochohàngnganglàcácsốchiacho3códư;hàngdọclàcácsốchiacho5códư.Vídụ8làsốchiacho3dư2,thìđiềnvàohàngthứhai,nólạilàsốchia5dư3,thìđiềnvàocộtthứba.

Bấtcứmộtmáytínhnàocũngđềucómộtđộdàitừ(wordlength)nhấtđịnh.Độdàitừchínhlàconsố(digit)lớnnhấtmàmáytínhcóthểxửlíđược.Vậythì,khichúngtacầnsửdụngmáytínhđểxửlímộtdữliệucócácsốvượtquáđộdàitừđãđịnhthìlàmthếnào?Biệnphápthôngthườnglàbiểuthịsốlớnấybằnghaisốnhỏhơn.Biệnphápđơngiảnnhấtlàchiasốlớnthànhhaiđoạn,nhưcóthểchia3517thànhhaisốnhỏhơnlà35và17.Nhưnglàmnhưvậythìmáytínhkhithaotácsẽkhóhơn,chonênngườitathườngcholàkhôngnênápdụng.

SửdụngđịnhlíthặngdưcủaTrungQuốccóthểbiểuthị(hoặcmã

hóa)mộtsốlớnbằnghaisốnhỏhơn,đồngthờilạikhiếnchomáytínhthaotáchếtsứcthuậntiện.Chúngtahãynhìnlạihìnhvuông3x5ởtrên,8đượcsắpvàhàng2cột3,nócóthểbiểuthịbằng2và3;tươngtự15cóthểbiểuthịbằng3và5...Nếunhưmáytínhcủachúngtavốnchỉcóthểxửlíđượccácsốtrongvòng15,thìhiệntạicóthểxửlíđượcđến15.Hơnnữa,saukhimãhóanhưvậythaotáccũngsẽrấtthuậntiện.

Vídụ,lấysố2ởcộthai,lấysố3ởcộtba,tíchcủachúnglà6,nằmởcộtmột.Hơnnữa,tíchcủabấtcứsốnàoởcộthaivớibấtcứsốnàoởcộtbacũngnhấtđịnhlànằmởcộtmột(khitíchlớnhơn15,cóthểtiếptụcđiền16,17...vàotronghìnhvuông3x5dựatheophươngphápnóitrên).

Vìsaolạinhưvậy?Thìra,tronglíthuyếtđồngdưthức,nếu

x1≡x2(mod5),y1≡y2(mod5)

(tứcx1vàx2cósốdưgiốngnhausaukhitrừđi5;y1vày2cósốdưgiốngnhausaukhitrừđi5),vậy

x1y1≡x2y2(mod5),

cũngtứclàx1y1vàx2y2cósốdưgiốngnhausaukhitrừđi5.Sửdụngtínhchấtnàythìsẽchứngminhđược,tíchcủasố(cùnghàngcósốdưgiốngnhausaukhitrừđi5)cùngcộtvới2và3phảicóđồngdư6,tứcởcùngcột.

Hàngđốicũngcókếtquảtươngtự.

Cứnhưvậy,máytínhkhithaotácvớicácsốlớnsẽrấtthuậntiện.Chẳnghạn,chúngtamuốnlàmphépnhân26,thìtrướctiênphảitiếnhànhmãhóachohaisố:

2-(hànghai,cộthai)

6-(hàngba,cộtmột)

Cóthểchứngminh,tíchcủasốởhànghaicộtbaphảiởhàngba;tíchcủasốởhànghaicộtmộtphảiởhànghai.Thếlà,tíchcóthể

dùng3và2đểbiểuthị(hoặcmãhóa).Tratrongbảngsẽbiếtđượctíchcủa26là12.

Cũngcónghĩalà,đầutiênbiểuthịsốlớnbằnghaisốnhỏ(cókíhiệuthứtựhàng,cộttrongbảng);sauđócăncứtheokíhiệuthứtựcủahaihàngđểđịnhrakíhiệuthứtựhàngcủatíchhaisốlớn,căncứtheokíhiệuthứtựcủahaicộtđểđịnhrakíhiệuthứtựcộtcủatích;cuốicùngcăncứtheokíhiệuthứtựhàngvàcộttrongbảngsẽtrarađượctrịsốcủatích.Nhưvậy,máytínhsẽrấtdễdàngtìmrađượctíchsốcủacácsốlớn.

Vìthế,việcsửdụngđịnhlíthặngdưcủaTrungQuốcđểtiếnhànhmãhóachomáytínhlàhếtsứchữuích,trítuệcủatổtiênchúngtađãđượcthểhiệnthêmtrongkhoahọckĩthuậthiệnđại.

Từkhóa:Địnhlýthặngdư,đồngdư,mãhóa.

20.Làmthếnàobiểudiễnmộtsốthậpphântuầnhoàndướidạngphânsố?Tấtcảcácphânsốđềulàcácsốlẻthậpphânhữuhạn,hoặcsố

thậpphânvôhạntuầnhoàn.Cácsốlẻcómộtsốhữuhạncácchữsốgọilàsốlẻthậpphânhữuhạn,vínhưphânsố1/4=0,25.Cònsố33/99lạilàsốthậpphânvôhạntuầnhoàn,sốcácchữsốtrongsốlẻnàylàvôhạn,trongđósố3đượclặpđilặplạivôsốlần.Ngườitagọinhómsố3lànhómchữsốtuầnhoàn.

Việcbiểudiễnmộtsốlẻthậpphânhữuhạndướidạngmộtphânsốđượcthựchiệnkháđơngiản;chỉcầnlấynhómchữsốsaudấuphảylàmtửsốcònlấysố10nlàmmẫusố(nlàsốchữsốsaudấuphảythậpphân)

Vídụsố0,4713=4713/10000

Thếcònvớicácsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoànthìsẽrasao?Thoạtnhìnthìvấnđềtrôngcóvẻphứctạpnhưngnếunắmđượcquytắcthìviệcbiểudiễnmộtsốthậpphânvôhạntuầnhoàndướidạngphânsốcũngkháđơngiản.

Trướchếttaxétcácvídụ:

0,333...=3/9=1/3,

0,212121...=21/99=7/33

0,324324324...=324/999=36/111

Từđótacóthểrútraquyluật:Lấynhómsốtuầnhoànlàmtửsố,cònnhómsốgồmcácconsố9:99...9làmmẫusố,sốchữsố9trongnhómphụthuộcsốcácconsốtrongnhómsốtuầnhoàn.Cácbạncóthểtựmìnhkiểmtratínhđúngđắncủaquytắcnày.

Nếugặptrườnghợpmộtsốlẻthậpphânhỗnhợpgồmhaiphầnsốlẻthậpphânhữuhạnvàphầnvôhạntuầnhoàn,trướchếttacắtsốlẻthànhtổngcủahaiphần,mộtphầnlàmộtsốlẻthậpphânhữuhạnvàmộtphầnlàsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàn.Vídụ:Xétsố3,14212121...

3,14212121=3,14+0,212121/102=3,14+21/99x1/102=314/100+7/3300=10369/3300

Mờicácbạnthửbiếnđổicácsốsauđâythànhphânsố:

1,42272727...=?

0,00313131...=?

2,043521521521...=?

Từkhoá:Sốlẻthậpphânhữuhạn;Sốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàn;Nhómsốtuầnhoàn;Phânsố.

Khôngítngườichorằngsố9(dấuchấmtrênchữsố9hàmýlàsố9đượclặpđilặplạinhiềulầnởsaudấuphảythậpphân).Chodùconsố9cólặpđilặplạibaonhiêulầnđinữathìsốchỉtiếndầnđến1màkhôngbaogiờbằng1.Thếnhưngđẳngthức=1cóđúngkhông?Trướchếttaxétmộtvàivídụ.

Taxétmộtchuỗisốgồmsố1/2,sốđứngsaulạilấysốđứngtrướcchiađôi,vàcứthếtiếptục...tứclàchuỗisốgồmcáchạngsốlà1/2n.ncóthểlớntuỳý,vídụn=1000000v.v...Talậptổngsốcácsốhạng,tứctínhtổngSn.

RõrànglàSnnhỏhơn1mộtđạilượng.VàvìvậynlớnđếnvôhạnthìSntiếnđếngần1.Và1làcậntrêncủaSn.Taviết

Rõràngđâylàtổngcácsốhạngcủamộtcấpsốnhâncócôngbộilàqvới|q|<1.ứngdụngcôngthứctínhtổngsốhạngcủacấpsốnhân(cộngbộiq)tacó:

Từđónhanhchóngtínhđược:

Tươngtự,ứngdụngcôngthức(3)tacóthểtínhđược:

Từkhoá:Cấpsốnhân.

Taxétviệcthựchiệnphépcộnghaisốthậpphânvôhạntuầnhoàn.Vídụ:0,142857+0,285714.Đâychínhlàhaisốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàncóthểbiểudiễnthànhhaiphânsố1/7và2/7,tổngcủachúngdĩnhiênlàvà3/7tổngnàyđượcbiểudiễnthànhsốlẻthập

phânvôhạntuầnhoànlà .Thếnhưngliệucóthểthựchiệnphépcộngcácsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàntrựctiếpmàkhôngthôngquaconđườngbiểudiễnthànhphânsốđượckhông?Tasẽxétmộtsốvídụsauđây.

1)Phépcộngcácsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàncócácnhómsốtuầnhoàngiốngnhau.Vídụđãxéttrênkiachínhthuộcvàotrường

hợpnày.Thậtvậysố làdophépcộngtrựctiếpcácsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàncónhómsốtuầnhoàncósốchữsốbằngnhau

Nguyêntắcchunglàcóthểcộngtrựctiếpcácvịtrícủacácchữsốtrongnhómsốtuầnhoàntheonhưbìnhthườngvàthuđượctổngsố.

2)Cộngcácsốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàncócácnhómchữsố

tuầnhoànkhônggiốngnhau.Vídụxétphépcộngcácsố

.Trướchếttaviết thành vàsố thành ,ngườitagọiđólàcáchbiểudiễnthànhdạng“nhómsốtuầnhoànmởrộng”.Thôngquanhómsốtuầnhoànmởrộng,haisốtuầnhoànvôhạncóthểđượccộngtrựctiếpvà

Cộngcácsốlẻthậpphântuầnhoàn

0,43+0,123=0,434343+0,123123=0,557466

3)Cộngcácsốlẻthậpphântuầnhoànhỗnhợp.

Vídụvớicácsố .Ởhaisốnàycócácsốlẻsaudấuphảythậpphânbằngnhautừngđôi,haibộphậntuầnhoànvàkhôngtuầnhoàncócácnhómchữsốtuầnhoàncósốcácconsốgiốngnhautươngứngtừngđôinêncóthểápdụngnguyêntắccộngcácsốlẻthậpphânhữuhạnđểthựchiệnphépcộng,kếtquảnhậnđượctổngsố

.

Vớicácsốcócácbộphậnkhôngtuầnhoànvàtuầnhoànkhôngbằng

nhautừngđôithìsẽrasao?Vídụvớitổng .Trướchết

tabiếnđổi0,13thành ,ngườitagọiđólànhómsốtuầnhoànlặp.Thôngquanhómsốtuầnhoànlặptacóthểthựchiệnviệccộngcácsốtuầnhoànhỗnhợp.

Cókhingườitasửdụngcảnhómsốtuầnhoànmởrộngkếthợpnhómsốtuầnhoànlặpđểthựchiệnphépcộng.Vídụ:

Ởđâytrongphépcộngcácsốlẻthậpphântacóthểgặpvấnđềthayđổivịtrícủacácchữsố,vídụvịtríchữsốcủacácnhómsốtuầnhoàncóthayđổisauphépcộnghaykhông?Vídụkhithựchiệnphépcộng

,tacóthunhậnđượckếtquảlà1,15.

Vì

Ởđâytagặphiệntượngtăngvịtrícủachữsốđầutrongnhómsốtuầnhoàn,chữsốtuầnhoànởcuốicũngcóhiệntượngtăngvịtrívàđềutăngmộtvịtrí.

Ngườitacũngcóthểthựchiệnphéptrừcácsốlẻthậpphântuầnhoàn.Cácbạncóthểtựthểnghiệm.

Từkhoá:Sốlẻthậpphânvôhạntuầnhoàn;Nhómsốtuầnhoàn.

Câuhỏinàyliênquanđếnmộtcâuchuyệncổlíthú.

VàothếkỉthứVItrướcCôngnguyêncónhàtoánhọccổHyLạplàPithagore,ôngchorằngtrênđờichỉcóloạisốnguyênvàtỉsốgiữahaisốnguyên(phânsố).Vídụngườitacóthểdùngsốnguyênhoặctỉsốgiữahaisốnguyênđểbiểudiễnđộdàicủamộtđoạnthẳng.Khidùnglựcnhưnhauđểgảylêncácdâyđàncótỉsốđộdàibằngtỉsốcácsốnguyênnhư2:3hoặc3:4thìsẽphátracáchàiâm(âmgiai:âmthanhêmtai).TómlạitheoquanđiểmcủaPithagore,“vạnvậttrongvũtrụđềuliênquanvớisốnguyên”.

Thếnhưngthựctếlạikhôngphảinhưvậy.

Mộtngàykia,cómộthọcsinhđặtrachoPithagoremộtcâuhỏi:Liệucóthểdùngsốnguyênhaytỉsốgiữahaisốnguyênđểbiểudiễnđườngchéocủahìnhvuôngmàcạnhhìnhvuôngbằng1?Đểtrảlờicâuhỏinàycầnphảichứngminh.Pithagoređãtiếnhànhphươngphápchứngminhnhưsauđây:

Trênhìnhvẽtrìnhbàyhìnhvuôngcạnhbằng1vàđườngchéogiảsửđượcbiểudiễnbằngsốnguyênhaytỉsốcủahaisốnguyênp/q.

TheođịnhlíPithagoretacó:

(p/q)2=12+12=2

hayp2=2q2

Theokếtquảtrênvì2q2làsốchẵnnênp2làsốchẵn(pkhôngthểlàsốlẻvìmộtsốlẻbấtkì,vídụ2n+1khinânglênbìnhphươngphảilàsốlẻ:(2n+1)2=4n2+2n2+1.

Vảlạipvàqkhôngcóướcsốchungnênpđãlàsốchẵnthìqphảilàsốlẻ.

Nếuplàsốchẵn,tacóthểđặtp=2adovậy

p2=4a2=2q2hay

q2=2a2

điềuđóchứngminhq2làsốchẵnvànhưvậyqcũngphảilàsốchẵn;nhưvậytráivớigiảthiếtđặtratừbanđầuvàxuấthiệnmâuthuẫnlàqvừalàsốlẻvừalàsốchẵn.MâuthuẫnvừanêuđãđẩyPithagorevàochỗbínhưngcũnglàmnhậnthứcvềsốcủaloàingườitiếnlênmộtbước.

Việckhôngthểdùngsốnguyênhoặcphânsốđểđođộdàicủađườngchéohìnhvuôngcạnhbằng1khôngcónghĩalàđộdàicủađườngchéonàykhôngtồntại.ThựcraứngdụngđịnhlíPithagoretadễdàngtìmthấyđộdàicủađườngchéolàcănsốbậchaicủasố2,tứcsố√2.Nhưvậy

ngoàisốnguyênvàphânsố(tỉsốhaisốnguyên)ngườitapháthiệnmộtloạisốmớimàthờiđócònchưabiết.Dosố√2khôngbiểudiễnđượcthànhtỉsốcủahaisốnguyênnênngườixưagọiđólàsốvôtỉ(khôngbiểudiễnđượcdướidạngmộttỉsốcủahaisốnguyên).

Từkhoá:Sốhữutỉ;Sốvôtỉ.

Tabiếtrằngtrongphạmvicácsốthựcthìcănbậchaicủamộtsốâmkhôngcónghĩa,bởivìsố+2nânglênbìnhphươnglà+4vàsố-2nânglênbìnhphươngcũnglà+4,khôngcósốthựcnàomàkhinânglênbìnhphươnglàbằng-4.Từđóngườitađiđếnkháiniệmsốảo.Thôngthườngngườitachọnikíhiệuchođơnvịảo.Tạisaolạidùng

chữcáiilàmđơnvịảo?

ĐólàdothuậtngữtrongtiếngAnhsốảođượcviếtlàimaginary,ilàchữcáiđầucủatừnàynênngườitachọnikíhiệuchođơnvịảo.Thếgiátrịcủailàbaonhiêu?icómốiliênquanvớisốthựctheohệthức:

i2=-1

Tạisaongườitakhôngchọnkíhiệu√-1làmđơnvịảo?√-1làmộtsốkhôngphảilàchữcái,nhưvậycóđỡrắcrốihơnkhông?Trongtoánhọc,chúngtacóquyước√4=2,√1=1gọilàthuậttoánkhaicănvàthuậtkhaicănlàchỉkhaicănbậchaicủamộtsốdương,còn√-1lạilàcănbậchaicủamộtsốâm,nênkhôngphùhợpvớiđịnhnghĩacủaphépkhaicănbậchai.Chonênđểđượcchặtchẽ,-1làbìnhphươngcủahaisố+ivà-itức√-1=±i.

Vì√-1khôngcóquyđịnhlàđơnvịtrongthuậttoánkhaicănvàvì√-1cóthểđượcbiểudiễnhoặclà+ihoặclà-inênngườitakhôngdùngkíhiệu√-1.

Trongkhigiảiphươngtrìnhbậchaix2=-2ngườitabiểudiễnkếtquảnghiệmởdạngsốphứclàx=±√-2=±√2i.Cóthểđượcvìởđâykíhiệudươngvàâmđồngthờixuấthiện.

Giảsửtalạigiảiphươngtrìnhx2+x+1=0,nghiệmcủaphương

trìnhđượcbiểudiễnởdạng:

ởđâycáckíhiệudươngvàâmcũngđồngthờixuấthiệnnênkhônggâynhầmlẫn.

Thếnhưngnếuviết√-2=√2ilạikhôngthíchhợpvìthiếugiátrịâm.

Từkhoá:Sốảo.

Tahãyquayvềlailịchcủasốảo.VàothếkỉXVI,cácnhàtoánhọcChâuÂuđangcócuộctranhluậnsôinổivềviệccónêntiếnhànhcácphéptoánvớicácsốâmhaykhông,mộtcuộctranhluậnkháccũngđượccuốnvàodòngxoáy,đólàviệckhaicănbậchaimộtsốâm.

Sốâmcócănbậchaihaykhông,cóthểcómộtsốmàbìnhphươngcủanólàsốâmhaykhông?Saunàydosựpháttriểncủatoánhọc,mộtsốnhàtoánhọcđãpháthiệncómộtsốphươngtrìnhbậcbacónghiệmkhôngthểkhôngbiểudiễnởdạngcănbậchaicủacácsốâm.Nếuchấpnhậncócănbậchaicủasốâmthìvấnđềgiảicácphươngtrìnhcódùngcănthứchaykhôngdùngcănthứcđãđượcgiảiquyết.Khôngnhữngthế,khigiải“phươngtrìnhbậcncónnghiệm”ngườitathuđượckếtquảđầyđủnhất.Ngoàiracănbậchaicủamộtsốâmđượcchấpnhậnvàocácphéptoánthìcũngchocáckếtquảchínhxác.

Vàonăm1545,nhàtoánhọcItaliaCardanđưaracáchbiểudiễncótínhthoảhiệplàgọicănbậchaicủamộtsốâmlàsốcóphầnảo,vớiýnghĩalàmặcdùthừanhậnchúnglàcácsốnhưnglàsốkhôngthực,“sốảo”,khônggiốngnhưsốthựclàsốcóthểdùngđểđođếmcácđồvậtthực.Đếnnăm1632,nhàtoánhọcPhápDescartesđãchínhthứcchocănbậchaicủamộtsốâmđượcmọingườithừanhậnđólàsốảo.

Vàonăm1768,nhàtoánhọcThuỵsĩEulerlạichogiảithíchvềsốảo:“Dosốảokhôngnhỏhơnsố0,khônglớnhơnsố0cũngkhôngbằngsố0nênnókhôngtồntạitrongphạmvicácsốtrongthựctế,nóchỉtồntạitrongtưởngtượng”.ĐólàđạibiểuchotháiđộvànhậnthứccủacácnhàtoánhọcthếkỉXVIIIđốivớivấnđềcănbậchaicủasốâm,đócũnglàphảnảnhýnghĩachữ“ảo”trongkháiniệmsốảo.

Chodùlàtrongthuậtngữsốảocóchữ“ảo”vàcácnhàtoánhọckhônghềbỏquamàtiếptụcđàosâu,nghiêncứu.VàothếkỉXVIII-XIXcácnhàtoánhọcđãpháthiệnnhiềutínhchấtvàứngdụng.Đặcbiệtvàonăm1777,Eulerđưarakháiniệm“đơnvịảo”,ôngchọn√-1làmđơnvịảovàdùngchữiđểbiểuthịđơnvịảonày,giốngnhưsố1làđơnvịcủacácsốthực.Vàvìvậybấtkìmộtsốảonàocũngđượcbiểudiễnlàbộisốcủađơnvịảogiốngnhưsốthực.Vídụ:

Nhờvậycácnhàtoánhọckhôngchỉxemsốthựcvàsốảolàđồngdạngvớinhauvàcònthốngnhấtthànhtêngọisốphức,vàsốphứcbaogồmcảsốthựcvàsốảo.Nếudùngkíhiệua+bi,trongđóavàblàcácsốthực,ilàđơnvịảo.Khia=0thìa+bi=bivàlàsốảo,nếub=0thìa+bi=athìsốđãcholàsốthực.Sốphứclàdosốthựcvàsốảobổsungchonhaumàthành,khôngthểthiếumộtphần.

VàocuốithếkỉXVIIInhàtoánhọcNaUyWilser,nhàtoánhọcThuỵSĩAliamvànhàtoánhọcĐứcGaussđãphátminhphươngphápbiểudiễnsốphứctrênbằngcácđiểmđốiứngmột-mộttrênôvuông.Trênhệtrụctoạđộ,trụchoànhlàtrụcthực,trụctunglàtrụcảo.Trênmỗitrụcđượcchiatheođơnvịđộdài.ChỗhaitrụctoạđộgiaonhauchọnlàgốctrụcO.TínhtừO,trêntrụcthựctachiathànhcácđiểmađơnvị,trêntrụctungchiathànhbđơnvị.Nhờđóvớimỗisốphứcbấtkìa+biđềucóthểbiểudiễnbằngmộtđiểmđốixứng.Loạitrụctoạđộmôtảđượcgọilàhệtrụcsốphức,cógốctrụclàO.Nhờcóhệtrụctoạđộphứcngườitapháthiệnđượcnhiềutínhchấtcủasốphứcvàchấpnhậnsựtồntạicủasốphứctrênthựctế.Từđóđịavịcủasốphứcđượcxáclậpvàtồntạithuậtngữsốphức.

Từkhoá:Sốảo,sốthực,sốphức,toạđộsốphức.

Sốphứca+bicóthểđượcxemlàcặpsốthựctheothứtự(a,b),nóđốiứngnhauởmộtđiểmtrênhệtọađộvuônggóc.Theogợiýtừtưtưởngnày,nhàtoánhọcAilenlàHamiltonđãcóýđồcấutạonênmộtloạisốmới,loạisốnàybaohàm3phầntử(a,b,c).Trảiquanhiềunămthửnghiệm,Hamiltonpháthiệnthấyloạisốmớimàôngmuốntìmmàchỉcó3phầntửlàkhôngđược,nóbuộcphảicó4phầntử.Đóchínhlàbộbốn.

Nóimộtcáchđơngiản,bộbốnlàmộtloạisốcódạnga+bi+cj+dk,a,b,c,dởđâylàcácsốthực,l,i,j,klàcácphầntửđơnvị,mài,j,klàlàcáchưsốthỏamãnvớii2=j2=k2=-1,đồngthờikhii,j,knhânvớinhauthìbuộcphảithỏamãnquitắcsau:ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.Cảphépcộngvàphépnhâncủabộbốncũngđềucóđịnhnghĩatheohệthống.

Sốphứca+bi,khib=0sẽlàsốthựca,cũngtứclà,sốthựccóthểcoilàmộtloạisốphứcđặcthù;tươngtự,bộbốna+bi+cj+dkkhic=d=0thìsẽlàsốphứca+bi,thếlàsốphứccũngcóthểgánvàotrongbộbốn.Từsốthực,sốphứcđếnbộbốn,hệsốđượcmởrộng.Vậythì,tínhchấtthuậttoáncủasốthực,sốphứctrongbộbốncóthayđổigìkhông?

Thựctế,từđịnhnghĩavềbộbốncóthểthấy,cácphầntửđơnvịi,j,knhânvớinhaukhôngthỏamãnluậtgiaohoáncủaphépcộng,tứcij≠ji,jk≠kj,ki≠ik,vìthếphépnhâncủabộbốncũngkhôngthỏamãnvớiluậtgiaohoán.Đâylàsựkhácbiệtcơbảnnhấtgiữabộbốnvớicácsốtrướcđây.

Việcsánglậprabộbốnđãmởrộngkháiniệmvềsố,đãlàsâuthêmnhậnthứcvềcácphéptắcthuậttoán,cóảnhhưởngnhấtđịnhđếnđạisốlượngvàphântíchlượng.Nókhiếnchocácnhàtoánhọcýthứcđượcrằngcóthểtạoranhữngsốmớicónghĩavớitưcáchlàđốitượngnghiêncứucủatoánhọc,loạisốmớinàykhôngnhấtđịnh

mangtoànbộnhữngtínhchấtđãcóởcácsốthường.

Từkhóa:Bộbốn.

Nếucóngườihỏibạn“nămnaybạnbaonhiêutuổi”.Bạntrảlời“tôi15tuổi”.Câutrảlờinàyhoàntoànchínhxác,nhưngconsố15chỉlàconsốgầnđúng,khôngphảilàsốchínhxác.Giảsửbạnlạicóngườibạncũngởđộtuổi15vànếumuốnbiếtchínhxácaicóđộtuổilớnhơnthìbạnphảibiếtbạnmìnhsinhvàothángnào,nênđểnóituổichínhxácbạnphảinóilà15tuổi,mấythángmớitươngđốichínhxáchơnmộtchút.

Cònmuốnchínhxáchơnphảinóicảngàysinh,tứcbạnphảitrảlời15tuổi,mấythángmấyngàythìmớibiếtailớntuổihơn.Giảsửcóhaichịemsinhđôithìmuốnbiếttuổichịemlạiphảibiếthơnnhaumấygiờhoặcmấyphút.Thựctếkhinóiđộtuổikhôngmấyaicầnbiếtđếnmấynăm,mấytháng,mấyngày,mấygiờ.

Mọingườiđềubiếtmộtgiờchiathành60phút,mỗiphútchiathành60giây,mộtgiâylạichiathành1/10,1/100,1/1000...giâyvàcóthểtiếptụcchianhỏnữa.

Đươngnhiênđểnóiđộtuổithìkhôngnhấtthiếtphảicầnbiếtchínhxácđếnnhưvậy,thườngngườitachỉcầnnóigầnđúngmấynămlàđủ.

Nhưngtrongcôngtáckhoahọccónhiềuvấnđềcầnđếnthờigianrấtchínhxác.Khinghethuthanhchúngtathườngnghethấytínhiệubáogiờ“tút,tút,tút...tút”từnggiâyrấtchínhxác,saikhôngđếnmấyphầnnghìngiây.Cácnhânviênhànghảidựavàotínhiệubáogiờnàyđểxácđịnhvịtrítàuthuyền.Trongvậtlínguyêntửlạicóloại“siêuhạt”thờigiansốngchỉtínhbằng10-20giây,đươngnhiênlàkhinóiđếnđộtuổicủa“siêuhạt”phảitínhđếntừng10-20giây.Trongđờisốngthườngngàykhinóiđếngiờkhắccólúcgầnđúng,cólúcchínhxác,cólúcướclượnggầnđúng.Khixétđếnđộchínhxácđếnđộtuổinàolàdoyêucầuthựctếđặtra.Khinóiđếnđộtuổicủangườithìkhôngcầnchínhxácđếntừnggiây,thếnhưngkhinóiđến“siêuhạt”thìngườitaphảitínhđộtuổiđến10-20giây.

Vìvậy,vớicácvấnđềkhácnhau,việcchọnđộchínhxácvềcácsốđolàkhácnhau.Cácbạnthửxemkhiđođộdàicủavảivàđộdàicủađườngcáiquanthìrõrànglàđộchínhxáccũngcầnkhácnhaurồi.

Từkhoá:Giátrịgầnđúng.

Khimớihọcsốthậpphânđúng,dườngnhưcâuhỏitrênlàhơithừa.Vì0,1=1/10và0,10=10/100.Nếuướclượcsố10/100thìđóchínhlà1/10nêncóthểđiđếnkếtluậnhaicáchviếthoàntoàngiốngnhau.Nóichungtathấycáchviết0,10khôngphảilàcáchviếtphânsốtốigiảnnênconsố0cuốicùngkhôngcầnviết.

Thếnhưngkhibànđếnsốlẻthậpphângầnđúngvấnđềlạicókhác.Khibiểudiễnmộtsốlẻthậpphângầnđúng,trênthựctếlàbànvềphạmvigiátrịcủamộtsố.Khicầnbànđếnđộchínhxáccủamộtsốlẻthậpphântacầngiátrịthựcsailệchtrongphạmvinhỏnhấtcóthểđược.

Theonguyêntắclàmtrònsốlẻthậpphân“bỏbốnlấynăm”thì0,1cóthểtừsốlẻthậpphân0,05đượclàmtrònmàcó,cũngcóthểtừsố0,14“bỏbốn”mànhậnđượcsố0,1.Vìvậysốlẻthậpphângầnđúngsố0,1cóthểbiểudiễntừ0,05-0,15vànếuxlàsốlẻthậpphângầnđúngđó,tacóthểviết:

0,05≤x<0,15.

Thếnếuviết0,10thìsẽnhưthếnào?Sốlẻthậpphângầnđúngnàysẽlàtừsố0,095theoquytắclàmtròn“lấynăm”màcócũngtừquytắc“bỏbốn”từsố0,104.Nếutadùngxđểbiểudiễnsốđóthì

0,095≤x<0,105

Vàphạmvicủaconsốsẽnhỏhơn0,1nhiều.

Nếuquansáttrêntrụcsốthìhiểnnhiênphạmvicủa0,10sẽnhỏhơn0,1nhiều.Vìvậykhixửlícácsốlẻthậpphầngầnđúngthì0,1và0,10hoàntoànkhácnhau.

Khiviếtsốlẻthậpphânđúngthìnênviết0,10là0,1,consốkhôngởcuốilàthừavàkhôngcầnthiết.

Trongkhixửlísốlẻthậpphângầnđúngthìconsố0ởsố0,10làrấtquantrọng.

Từkhoá:Sốlẻthậpphânchínhxácvàsốlẻthậpphângầnđúng.

Cácphéptoánsốhọcđượcchialàmbacấp:phépcộng,phéptrừlàcấpmột,phépnhân,phépchiathuộccấphai,phépluỹthừavàkhaiphươngthuộccấpba.

Cấpmộtlàcấpthấpnhất,cấphaicaohơncấpmộtvàcấpbalàcấpcaonhất.Thứtựtiếnhànhcácphéptoáncóliênquanchặtchẽvớicáccấpcủacácphéptoán.Vớicácphéptoánđồngcấpthìưutiêntheothứtựtừtráisangphải.Còncácphéptoánkhôngđồngcấpthìthựchiệnưutiêntừcấpcaođếncấpthấp.

Vìsaolạiphảichiacácphéptoánsốhọcthànhbacấp?

Trongphéptoánsốhọccó5quytắctrongthựchiệncácphéptoán:Luậtkếthợp,luậtgiaohoántrongphépcộng,luậtgiaohoánvàkếthợptrongkhithựchiệnphépnhân,luậtphânbốkhithựchiện

phépnhânkếthợpphépcộng.Trướchếttaxemxétluậtphânbốkhikếthợpphépcộngvớiphépnhân:

(a+b)xc=axc+bxc

phépnhâncũngcóluậtphânbốkhikếthợpvớiphéptrừ

(a-b)xc=axc-bxc

Phépchiacũngcóluậtphânbốkhikếthợpvớiphépcộngvàphéptrừ

Từđócóthểkháiquátphéptínhcấphaicótínhchấtphânbốvớicácphéptínhcấpmột.

Chúngtađềubiếtphéptínhtrừchínhlàphépcộngvớimộtsốtráidấu.Vídụ3-2=3+(-2).Nhưvậyphéptínhtrừcóthểquyvềphéptínhcộng.Cònphépchiachínhlàphépnhânvớimộtnghịchđảocủamộtsố.Vídụ:3:2=3x1/2

Vậyvớiphéptínhchiatacóthểquyvềphéptínhnhân.Vìvậytínhchấtphânbốcủaphéptínhnhânvớiphéptínhcộnglàmộtquyluậtcótínhcơbảntrongkhitiếnhànhtínhtoán.

Rõrànglà(ab)n=anbn

Như(3.2)4=(3.2).(3.2).(3.2).(3.2)

=(3.3.3.3).(2.2.2.2)

=34.24

Vìvậyphéptínhluỹthừacũngthểhiệnluậtphânbốvớiphéptínhnhân.Tươngtựphéptínhluỹthừacũngcótínhchấtphânbốvớiphéptínhchia

(a:b)n=an:bn

Vìvậytathấycácphéptínhcấpbathểhiệnluậtphânbốvớiphéptínhcấphai.Tacóthểtiếnlênkháiquátcaohơnmộtbước.Cácphéptoáncaohơnmộtcấpthểhiệnluậtphânbốchocácphéptoáncấpthấphơnmộtcấp.Khiđãnhậnthứcđượccáccấpcủaphéptínhsốhọctacóthểnhanhchóngtiếnhànhchínhxáccácphéptoánsốhọc.Cóđiềucầnchúýlàcácphéptínhsốhọccấpbakhôngcóluậtphânbốvớicácphéptoáncấpmột.

Từkhoá:Thứtựthựchiệncácphéptínhsốhọc.

Bạnchọntuỳýbốnsốtựnhiênliêntiếp,thànhlậptíchcủachúng

vàcộngthêm1,khôngkểkếtquảphéptínhlàbaonhiêunhưngđiềuchắcchắnsốnhậnđượcsẽlàmộtchínhphương.

Bạncótinkhông?Hãyxemcáckếtquảsauđây:

1.2.3.4+1=25=52

2.3.4.5+1=121=112

3.4.5.6+1=361=192

4.5.6.7+1=841=292

.........................

Bạncóthểtiếptụctínhtoánvàkếtquảtấtyếusẽlàcácsốchínhphương.Vìsaolạinhậnđượckếtquảnhưvậy?

Giảsửtrongsốbốntựnhiênliêntiếptachọnsốnhỏnhấtlàa,taxétxemtíchsốsauđâycóphảilàsốchínhphươnghaykhông:

a(a+1)(a+2)(a+3)+1

Tabiết

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

=(a2+3a+1)2

Vìalàsốtựnhiênnên(a2+3a+1)2phảilàmộtchínhphương.Thôngquaphépdẫngiảitrêntakhôngchỉbiếtsốa(a+1)(a+2)(a+3+1)làmộtchínhphươngmàcònbiếtsốchínhphươnglàbìnhphươngcủasốnào?

Vídụ10x11x12x13=?

Biếta=10nêna2+3a+1=131

nên10x11x12x13+1=(131)2

Tươngtựbạncũngcóthểtìmthấy

15x16x17x18+1=?

Vớicùnglíluậntươngtựbạncũngcóthểtìmthấytíchcủa4sốchẵnliêntục(4sốlẻliêntục)cộngvới16cũnglàmộtsốchínhphương.

Từkhoá:Sốchínhphươnghoàntoàn.

31.Thếnàolàbàitoánbứcmànđẳngthứccủacáctổngsố?

Tahãyxétxemhaitổngmỗitổnglàsáusốtựnhiên:

1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22

Bạnsẽthốtlênthếthìcógìlàlạ

12+62+72+172+182+232=22+32+112+132+212+222

Bâygiờchắcbạnsẽcảmthấycóđiềukhácthường.Quảlàbạnsẽthấyhếtsứcthúvịkhitatiếptục:

13+63+73+173+183+233=23+33+113+133+213+223

14+64+74+174+184+234=24+34+114+134+214+224

15+65+75+175+185+235=25+35+115+135+215+225

Thếnhưngliệucóđiểmdừnghaykhông?Cácđẳngthứcbậc6bậc7v.v...dùcóthựchiệnkhókhănbạncũngcóthểtìmđượcvàtấmmànđẳngthứcchỉdừnglạiởluỹthừabậc9.

Vídụởbậc 1 Sốthuđượcsẽlà 2852 11.6853 536.0854 26.043.8135 1.309.753.1256 67.334.006.8057 3.512.261.547.7658 185.039.471.773.893

HainhómsốnàydoFuyinghĩra.Quảlàkìdiệu.Thếnhưngcơsởcủachúnglàgì,dựavàođâungườitanghĩra.Ngoàihainhómsốnày

cònconsốnàokháckhông?

NhàtoánhọcnổitiếngLiênXôtrướcđây-Gelfanđãgiảiđápcâuhỏinày.Nguyêndocácnhómsốnàyxuấtpháttừcáchằngđẳngthứcsauđây:

an+a(a+4b+c)n+(a+b+2c)n+(a+9b+4c)n+(a+6b+5c)n+(a+10b+6c)n=

=(a+b)n+(a+c)n+(a+6b+2c)n+(a+4b+4c)n+(a+10b+5c)n+(a+9b+6c)n

Trongđón=1,2,3,4,5.Cácnhómsốvừanêutrêntạothànhtừa=1,b=1,vàc=2.Nếuchọna,b,clàcácsốkhácngườitasẽnhậnđượccácnhómsốkháccótínhchấttươngtựvàkhôngkểhếtđược.

Vấnđềtươngtựgọilà“vấnđềbứcmànđẳngthứccáctổngsốluỹthừak”,gọivắntắtlà“vấnđềbứcmànđẳngthứccáctổngsố”.

NhàtoánhọcTrungQuốcquácốHoaLaCanhđãtừngnghiêncứuvàđãđạtđượcnhiềuthànhquả.Hiệntạingườitađãtínhđếncácluỹthừabậc9,bậc10,thếnhưngvấnđềcònchưađượcgiảiquyếtđếncùng.Luỹthừabậccaonhấtvẫnchưatìmthấy.Liệukcógiớihạntrênkhông?Vượtquagiớihạnđóliệucóthểđẳngthứccònđúngkhông?

Từkhoá:Bứcmànđẳngthứclũythừak.

32.Thêmdấuvàocácchữsốcủađồnghồđểtổngđạisốcủacácconsốbằng

0?Trongmộtquyểnsáchtoáncấphaicómộtbàitoánkhálíthúsau

đây:Trênmặtđồnghồcó12consố,bạnhãyđặtcácdấucộng(+)dấutrừ(-)trướccácconsốđểtổngđạisốcủacácconsốbằngkhông.Bạncóthểthựchiệnđượcyêucầuđókhông?

Thựcrabạnchỉcầnsuynghĩmộtchútcóthểtìmngayđượcmộtđápán:Trướccácconsố1,2,3,4,5,7,8,9đặtdấucộng(+)còntrướccácconsố6,10,11,12đặtdấutrừ(-),dođótacó:1+2+3+4+5+7+8+9+(-6,-10,-11,-12)=39-39=0.Dođótathấyđólàđápánđúng.

Bàitoánnàycó124đápánnênviệctìmhếtđượccácđápánkhôngphảimộtviệcdễ.Nhưngnếuchúýbạncóthểtìmđượcquyluậtvàcóthểtìmđượcnhiềuđápán.

Trướchếttabiếtrằngmộtcặpsốcùnggiátrịbằngsốnhưngtráidấuthìtổngcủachúngbằngkhông.Talạibiết1+2+3+...+12=78nênchỉcầnphân12sốthànhhainhóm,mỗinhómcótổngbằng39,sauđótađặtdấungượcnhautrướcmỗinhóm:trướcmộtnhómtađặtdấudương(+)còntrướcnhómkiatađặtdấuâm(-)thìsẽlàmtổngđạisốcủa12consốsẽbằngkhông.

Hailàbasốlớnnhấttrong12consốcótổngsốlà10+11+12=33nhỏhơn39;còntổngcủacácsốnhỏcònlạilà1+2+3+...+9=45lớnhơn39nênkhichiacácsốthànhnhómthìítnhấtcóthểlàbốnsốvàsốconsốtốiđatrongmộtnhómsốlàtám,nhưvậysốcácconsốtrongmộtnhómchỉcóthểlà4và8,5và7,6và6.

Balàgiảsửtachia12consốnàythànhhainhómlàAvàBmỗinhómcótổngcácsốlà39,vớinhómAtađánhdấucộng(+)trướcmỗiconsốvànhómkiatađặtdấutrừ(-),nhưvậytasẽcóhaiđápán.Vínhư(+1,+2,+3,+4,+6,+11,+12);(-5,-7,-8,-9,-10)và(-1,-2,-3,-4,-6,-11,-12);(+5,+7,+8,+9,+10)

Bạnhãydựavàoquyluậttrênvàthửtìmxem.

Từkhoá:Tổngđạisố.

33.CậubéKarl(Gauss)làmthếnàođểtínhtổngdãysố1+2+3+...+100?

TruyệnkểrằngnhàtoánhọcĐứcKarl-Frederich.Gaussngaytừlúccònrấtbéđãbiểuhiệnkhảnăngtínhtoánphithường.Khilàhọcsinhtiểuhọc,vàonăm10tuổi,thầygiáoramộtđềtoán1+2+3+...+100bằngbaonhiêu?Đểxemaitínhnhanhhơn.Khithầyvừađọcxongđềtoán,cậubéGaussđãtrảlờingaytổngcủa100sốđólà5050.

CácbạnhọcnghecâutrảlờicủaKarlvừakinhngạcvừatỏýnghingờ.Chỉthầygiáomớibiếtchắcchắnđólàđápsốđúng.ThếcậubéKarlđãtínhnhưthếnào?

CậubéKarlechobiết100consốtừ1đến100cóđặctínhlàtổngconsốđầuvàconsốcuốilà101,sốthứhaivàsốápcuốicùngcũngcótổngbằng101,cótấtcả50đôisốnhưvậytừsố1đếnsố100.Tổngcủa50đôisốnàysẽlà101x50=5050

Tasẽxemcụthể50đôisốnhưsau:

NgườitacònkểnhiềuchuyệnvềtàiquansáttinhtếcủaGauss.VínhưcólầnkhicậubéKarlđứnggầnchavàxemchatínhsổthunhập.Khichaôngtínhxong,ôngnhìnchavànói“Chatínhsairồi...Kếtquảphảilà...”Chacậulấylàmkinhngạcvàthấyconmìnhđãnóiđúng.LúcđócậubéCarlđãhọctoánchưa?Chưa,vìlúcđócậubéCarlmớibatuổichưađầy3tuổi!Docậuyêuthích“consố”vàtínhtoánngaytừlúccònnhỏnênđãhọcđượccáchtínhtoánkhimàngườilớncònchưachúý.

VềsauGaussđãchuyêntâmhọctoán,đếnđộtuổithanhniênôngđãtrởthànhnhàtoánhọcnổitiếng.Ôngquantâmnghiêncứuvàhứngthúvớinhiềulĩnhvực:ngônngữcổđại,thiênvăn,vậtlíôngđềuquantâmnghiêncứu,đãcónhiềupháthiệnvàphátminh.Ônglànhàthiênvănhọc,nhàvậtlílỗilạc.

Gausscũngnhưnhiềunhàkhoahọckhác,ngaytừnhỏđãcóócquansáttinhtế,chúýđếnmọihiệntượngxảyraxungquanh,từđóđãkhaisángvàcócáccốnghiếnvĩđại.

Từkhoá:Gauss.

34.Cóphảicácphươngtrìnhđềucóthểgiảibằngcôngthứckhông?

Nhiềungườithíchdùngcôngthứckhigiảicácphươngtrìnhvìchỉcầntheocácquátrìnhvàquyphạmkhôngcầnphảitốnnhiềusuynghĩ.Vínhưgiảiphươngtrìnhbậchaiax2+bx+c=0(trongđóa≠0)tachỉcầndùngcôngthức:

tacóthểđưarahainghiệmcủaphươngtrình.Vìvậytrongthờigiandài,ngườitabỏcôngtìmcáccôngthứcđểgiảiphươngtrìnhcácbậc,vàtrởthànhmộtvấnđềquantâmtrọngđiểmcủađạisốhọc.

Vàonăm1535,nhàtoánhọcItalialầnđầutiêntìmracôngthứcđểgiảiphươngtrìnhbậcba.Họtìmcáchbiếnđổiphươngtrìnhbậcbathànhphươngtrìnhbậchai,sauđónhờgiảiphươngtrìnhđểtìmcácnghiệm.Nhờýtưởngcủaphươngphápnày,vềsaunhàtoánhọcItaliaFeraliđãtìmcôngthứcđểgiảiphươngtrìnhbậc4vàlầnnữachứngminhtínhhữuhiệucủaýtưởngnày.

Nhưvậycácphươngtrìnhbậchai,bậcba,bậcbốnđềucóthểgiảiquacáccôngthức.Vậyvớicácphươngtrìnhbậcnăm,bậcsáuvàbậccaohơncóthểdùngcôngthứcđểgiảiđượckhông?Xuấtpháttừ

nhậnthứcnàytừthếkỉXVIItrởđi,cácnhàtoánhọcđềurasứctìmcáccôngthứcđểgiảicácphươngtrìnhbậcnămvàbậccaohơn.

CóđiềulạlàvàothếkỉXVI,nhàtoánhọcFerali20tuổi,khôngtốnnhiềuthờigianlắmđãtìmracôngthứcgiảiphươngtrìnhbậcbốn,điềumàtrongsuốthaithếkỉXVI,XVIIkhôngítnhàtoánhọctàibađãnghiêncứumongtìmcáchgiảiphươngtrìnhcaohơnmộtbậclàphươngtrìnhbậcnămnhưngkhôngtìmthấycôngthức.

Thếcóphảivớicácphươngtrìnhtừbậc5trởlênkhônggiảiđượcbằngcôngthức?Vấnđềnàyđượcđặtravàonăm1824.NhàtoánhọcNauy22tuổilàAbelsaubốnnămnỗlựcđãchứngminh:vớicácphươngtrìnhcóbậcbằng5hoặclớnhơnkhôngthểbiểudiễncácnghiệmcủachúngquacáchệsốbằngcácphéptínhsốhọccơbản(cộng,trừ,nhân,chia,khaicăn,luỹthừa..).Từđóvấnđềtìmcôngthứcđểgiảiphươngtrìnhbậccaotừbậc5trởđimớikếtthúc.

Thếnhưnglíluậnvềgiảicácphươngtrìnhchưachấmdứt.NhữngkếtquảcủaAbelkhônghềnóilàkhôngcócôngthứcđểbiểudiễncácphươngtrìnhcóbậclớnhơnhoặcbằng5.Vídụvớiphươngtrìnhx5=N,vớiphươngtrìnhđơngiảnnàytacóthểtínhtrựctiếpnghiệmbằngphéptoánkhaicăn.Dođóvấnđềđượcđẩylênmộtbướcmới.Cácnhàtoánhọcđưaraluậnđềvớiphươngtrìnhbậccaophảicódạngnhưthếnàothìcóthểbiểudiễnnghiệmquacáchệsốphươngtrìnhthôngquacácphéptoánsốhọc?Sovớiluậnđềtrướcđây,vấnđềđặtraởđâyđãsâusắchơn.

Vàonăm1831,nhàtoánhọcPháp20tuổilàGaloisđãđưaramộthìnhthứctrảlờivấnđềđặtramộtcáchsắcbénvànhanhchóng.GaloisđãxâydựngnênlíthuyếtnhómGaloislàcơsởchođạisốhọchiệnđại.DựavàolíthuyếtnhómGalois,Galoisđãđưarađiềukiệnđểmộtphươngtrìnhđạisốbậccaocóthểgiảiđượcbằngcănthứcđólà“phánđoánGalois”.Từ“phánđoánGalois”cũngđiđếnkếtluậnlàcácphươngtrìnhtổngquátbậclớnhơnhoặcbằng5(bậcn≥5)khônggiảiđượcbằngcănthức.TừđócóthểthấyrằngđịnhlíAbelchỉlàmộthệquảcủalíthuyếtGalois.

Từkhoá:PhánđoánGaloisvàlíthuyếtnhóm.

35.Thếnàolànhómsốtamgiác?TrongbộsáchtoáncổnổitiếngcủaTrungQuốc“ChuBìtoán

kinh”ởchươngIcónêulênbộsốtamgiác3,4,5.Sởdĩgọilàbộsốtamgiáclàbachữsốnàybiểudiễnmốiliênquangiữahaicạnhcủatamgiácvuôngvớicạnhhuyềncóđộdàitươngứnglà3,4,5.Basố3,4,5làbộsốtamgiácvìđólàbasốcủacáccạnhcủagócvuôngvớicạnhhuyềntheođúngđịnhlímàngườitathườnggọilàđịnhlíPitago(Pythagore).

Ngoàibasố3,4,5còncónhiềubộbasốkháctuântheođịnhlíPitagonhư:5,12,13;8,15,17v.v...Cácbộbasốnàythoảmãnphươngtrìnhx2+y2=z2;cácsốx,y,zthoảmãnphươngtrìnhnàygọilàbộsốtamgiác.Vìphươngtrìnhtrênlàphươngtrìnhcóbaẩnsố,nêncóvôsốnghiệm,ngườitagọiđâylàloạiphươngtrìnhvôđịnh.Rõrànglànếu3sốx,y,zlàbộsốPitagothìbộbasố(kx,ky,kz)cũnglàbộsốPitago.Vànếuhaisốx,ycóướcsốchunglàd,thìdcũnglàướcsốcủaz.NóicáchkhácbộsốPitagonếucóướcsốchungthìcácướcsốphảibằngnhau.Vìvậykhixemxéttachỉchúýđếncácsốnguyêntốcùngnhau.

VậycácsốtrongbộsốPitagocómốiquanhệgìvớinhaukhông,haynóicáchkhác,bộsốPitagođượccấutạonhưthếnào?

VàothếkỉthứVItrướcCôngnguyên,nhàtoánhọccổHyLạpPitagođãđưaraphươngpháp:lấymộtsốlẻtuỳýnânglênluỹthừabậchairồiphânchiathànhhaisốsaikhácnhau1đơnvịthìsốthuđượclàmộtbộbasốPitago.Vídụlấysố2x+1,nânglênluỹthừahaitacó4x2+4x+1,chiasốvừathuđượcthànhhaisốsaikhácnhau1đơnvịlà2x2+2xvà2x2+2x+1.

Vậybasố2x+1,2x2+2xvà2x2+2x+1làmộtbộsốPitago.Vínhưbộsố67,2244và2245làbộsốPitago.

VàothếkỉthứnhấtsauCôngnguyên,trong“Sáchtoánchínchương”cònđưaramộtphươngphápkhéoléohơn;tachọncácsốm,nthếthì(m2-n2),mnvà1/2(m2+n2)sẽlàmộtbộsốPitago.Vídụm=7,n=3,tacóthểtínhracácsố20,21,29làmộtbộsốPitago;Khim=5vàn=3,tatínhra8,15,17.VàothếkỉthứbasauCôngnguyên,nhàtoánhọcTrungQuốcLưuHuyđãchứngminhphươngphápnàybằngphươngpháphìnhhọc.

CũngvàothếkỉIII,nhàtoánhọccổHyLạpDiophanđãđưaracông

thức:

Nếuchọnm=u/v,z=u2+v2,tasẽnhậnđượccácsố2uv,u2-v2,u2+v2.Bạncóthểtìmthấycôngthứcnàychỉkháccôngthứctrong“Sáchtoánchínchương”ởhệsố2,còncôngthứcPitagocũngchínhlàtrườnghợpđặcbiệtcủacôngthứcnày.u=z+1,v=z.

Vậynếutuỳýchọnhaisốm,nhoặcu,vliệucóthểdùngcôngthứcnêutrênđểtínhcácbộsốPitagođượckhông?Đươngnhiênlàkhông.Vậythêmđiềukiệnchohaisốmvànlàchúngphảilàcácsốnguyêntốcùngnhau.Vớiđiềukiệnđặtrathìdùngcôngthứcnêutrong“Sáchtoánchínchương”tacóthểtìmrabộsốPitago,vìvậyngườitagọichúnglàcôngthứcchungđểbiểudiễnnghiệmcủaphươngtrìnhx2+y2=z2.ĐươngnhiêncóthểdùngcáccôngthứckhácnhauđểtínhbộsốPitago.

Quansátkĩbộsốtamgiáctathấychúngcómốitươngquannhấtđịnhvềtínhchẵnlẻcủacácsố,vídụcóthểlàhailẻmộtchẵn.Nhưx,y,zlàbộsốPitagothìhaisốx,yphảilàsốchẵn,mộtlẻ,thìzphảilàsốlẻ.Tạisaonhưvậycácbạnhãytựsuynghĩvàchứngminh.

Từkhoá:Địnhlítamgiác;Bộsốtamgiác.

36.TamgiácPascallàgì?

Vàonăm1261,nhàtoánhọcTrungQuốcthờiNamTốnglàDươngHuytrongtácphẩm“Giảithíchsáchtoánchínchương”đãtrìnhbàymộtbảngsốmàcácsốđượctrìnhbàytrênmộthìnhtamgiác(xemhìnhvẽ).

TheoDươngHuybảngsốnàyôngđãdẫnratừbộsáchcủaGiảHiến“Nguồngốccủaphéptoánkhaiphương”và“Phươngphápnângluỹthừavàkhaiphương”,vìvậytamgiácnàyđượcgọilà“TamgiácGiảHiến”.ỞChâuÂubảngtamgiácđượcPascalnghiêncứuvàtìmranăm1654,sovớiGiảHiếnthìchậmhơn600năm.

ThếnhưngtamgiácGiảHiếncótácdụnggì?CácconsốtrongtamgiácGiảHiếnchínhlàhệsốcủacácluỹthừacủanhịthứca+bkhikhaitriển.Vídụ”

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a2+3a2b+3ab2+b3

........................................

Dựavàobảngsốtamgiácnàytacóthểbiết

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

Hàngthứnhấtcủabảngcũngcóýnghĩavìchỉcầna+b≠0thì(a+b)0=1.

Quansátkĩcácsốởtrongbảng,tacóthểnhậnbiếtquyluậtsắpxếp:Cácsốởngoàibiênbaogiờcũnglà1,cácsốđứnggiữaởhàngdướilàtổngcủahaisốkèmhaibênởhàngtrên.Theoquyluậtnàytacócácsốởcáchàngtiếpsau,vàchúngtasẽnhậnđượccáchệsốcủacáckhaitriểncủaluỹthừabậcncủanhịthức(a+b)n.

Vậybanđầungườitađãlậpnênbảngsốnhưthếnào?TheocácghichépcònlạitronglịchsửphươngphápcủaGiảHiếnchínhlàphươngpháp“Nângdầnluỹthừa”.Sởdĩgọilàphươngphápnângdầnluỹthừavìcácconsốđượcthunhậntừcáchnângdầnluỹthừacủanhịthức.Vídụđểlậpmột“TamgiácGiảHiến”cótámhàngtrướchếttaviếtbảngsốdướiđây:

Theobảngsốtrêntacóthểnêulênbaquytắcthiếtlậpnênbảngsố:1)Hàngthứnhấtcótámsố1;2)Bắtđầutừhàngthứhaiởphíabêntráiíthơnhàngtrênmộtconsố;3)ởmỗihàngbắtđầutừbiênbênphảibằng1,consốtiếptheolàtổngcủaconsốởbênphảivớiconsốởliềnhàngtrên(cùngcột).Vídụcácconsốởhàngthứhailà2=1+1;3=2+1;4=3+1...5,6,7;cònởhàngthứbalà1;3=2+1;6=3+3...

Khiquaybảngtrênmộtgóc45otasẽthuđượcmộtbảngtamgiáctámhànglà“TamgiácGiảHiến”.

Cùngvớiphươngpháp“Nângdầnluỹthừa”còncóphươngpháp“Khaicăndầndần”cóthểgiúptagiảiđượccácphươngtrìnhbậccao.

Từkhoá:TamgiácGiảHiếnvàtamgiácPascal.

37.Vìsaotrongmáytínhđiệntửngườitaxửlíthôngtindựavàocácsố

hệđếmcơsốhai?Hệđếmthườngdùnglàhệđếmcơsố10,nếu10x=ythìtacó

log10y=x,thếnhưngtronglíthuyếtthôngtin,cácloạimáytínhlớnnhỏđềudùngcácsốởhệđếmcơsốhai.

ởTrungQuốcthờicổđại,ngườitađãdùngđàilửa(phonghoảđài)đểlàmcôngcụtruyềntin.Khiđốtlửaởphonghoảđàilàbáohiệucókẻđịchxâmphạm.Nếukhôngcókhóilửalàđịchchưađến.Đàilửachỉtruyềnđihailoạitìnhhuống“có”hoặc“khôngcó”.Đólàcáchthôngtinđơngiảnngườitalấyđólàmđơnvịtruyềntinvàđượcgọilà“1bit”.Nếudùngchữsốđểmôtảtacóthểviết0(làkhôngcókhói)và1(cókhói)làchỉhaitìnhhuốngthôngtin,theođịnhnghĩacôngnghệthôngtinlog22=1.

Giảthiếtđàikhóicóhaiốngkhói:ốngAđểchỉtìnhhìnhđịch:cókẻđịchxâmphạm(1)hoặckẻđịchchưaxâmphạm(0);ốngBđểchỉtìnhhìnhta:(1)cầntăngcườngbốphòng,(0)chưacầntăngcườngbốphòng.Theođótacóbốnloạitìnhhuống:

A B(0 0) Kẻđịchchưađếnkhôngcầnbốphòng.(0 1) Kẻđịchchưađến,cầntăngcườngbốphòng.(1 0) Kẻđịchxâmphạm,chưacóbốphòng.(1 1) Kẻđịchxâmphạm,cầntăngcườngbốphòng.

Nhưvậychúngtađãthunhậnđượclượngthôngtinlớnhơn,hàmlượngthôngtinlàlog24=2bit.

Chúngtacũngdễtưởngtượngthấynếuđàicóbaốngkhóithìtacóthểtruyềnđi8tìnhhuốngthôngtin(0,0,0);(0,0,1);(0,1,0);(0,1,1);(1,0,0);(1,0,1);(1,1,0);(1,1,1)vàhàmlượngthôngtinlàlog28=3bit.

Cáctìnhhuốngthôngtinphứctạpkhácđềucóthểchếbiếntừcáchtruyềntinđơngiảnnhưtrên.Chínhvìviệctruyềntinchủyếuchỉcóhaikhảnăngnêncácmáytínhthunhậnthôngtintrêncácsốtheohệđếmcơsốhaivàthuđượclượngthôngtincơsởlà1.Vànếukhithunhậnthôngtiny=2xthìkhibiếnđổisẽdùnglog2y=xmáytínhsẽphảnánhchínhxáclượngthôngtinthực.

Từkhoá:Lượngthôngtin.

38.Làmthếnàođểđođượcbềrộngmộtconsônglớn?

Làmcầuquasônglàmộtviệchếtsứcquantrọngtrongngànhgiaothôngvậntải.Muốnlàmcầuquasônglớnphảibiếtchínhxácbềrộngcủaconsông.Nhưnglàmthếnàođođượcbềrộngconsôngmộtcáchchínhxác?GiảsửtacầnđobềrộngcủaconsôngtừđiểmAđếnđiểmB.Trướchếttachọnmộtđiểmtrênbờ,vídụđiểmCcùngphíavớiđiểmBvàbađiểmA,B,Csẽtạonênmộttamgiác.VìB,CcùngmộtphíatrênbờnênngườitacóthểđotrựctiếpchiềudàicủacạnhBC.Giảsửkhiđo,tađượcchiềudàicạnhBC=521,12m.CácgócAvàgócCcóthểđođượcchínhxácnhờcótoạđộkinhvĩvà

TrongtamgiácABC,tabiếtchiềudàicạnhBCvàcácgócAvàC.

Theohệthứclượngtrongtamgiáctacó:

Vậyviệcđođộrộngcủaconsônglớnđãđượcđorấtchínhxác.

Từkhoá:Địnhlítrongtamgiác.

39.LàmthếnàođểđođượcchiềucaocủaKimtựtháp?

CácbạncóbiếtcácKimtựthápAiCậpkhông?KimtựtháplàcáccôngtrìnhkiếntrúchùngvĩcổAiCập,làcácphầnmộcủacácquốcvươngcổaicập.

Vàohơn2600nămtrướccómộtquốcvươngAiCập,muốnbiếtKimtựtháplớncóđộcaochínhxáclàbaonhiêu,thếnhưngkhôngcóaibiếtđượcphảiđođộcaoKimtựthápnhưthếnào.

Chongườibòlênđỉnhtháp,khôngthểlàmđược.Bởivìthápcóđộnghiêngnênchodùcóthểbòlênđếnđỉnhthìđobằngphươngphápnào?

VềsauvịquốcvươngmờimộthọcgiảnổitiếnglàFaresđểgiảiquyếtvấnđềnày.Faresđãchọnmộtngàyđẹptrời,vớisựcómặtcủaquốcvươngvàcácthàytưtế,Faresbắtđầuđochiềucaocủatháp.

Ngườixemrấtđôngđảo,náonhiệt,ngườitavừaxôđẩyvừatranhluận.Thờigiờđãkhôngcònsớmnữa,Mặttrờiđãlêncaokhiếnchobóngngườivàbóngthápđãkhádài.KhiFaresđãbiếtthờiđiểmmàđộdàicủabóngcủachínhmìnhbằngđộcaothựccủamình,ôngralệnhđochiềudàicủatháp.Bấygiờcáctrợthủđãđođượcchiều

dàicủabóngthápcóđộdàilàDB.NhờvàoDB,Faresđãđođượcđộcaochínhxáccủatháp.

BấygiờmọingườimớihếtsứcthánphụcvềsựthôngminhcủaFares.

Faresquảlàđángnểvìtừhơn2000nămtrướcôngđãbiếtứngdụngđịnhlíhìnhđồngdạngđểđođộcaocủaKimtựtháp.CònmônhìnhhọcƠclidmàchúngtahọcngàynayđượcƠclidsánglậpsauFaresnhiềunăm.

ThếFareslàmthếnàođođượcchiềucaoKimtựtháp?VìFareschờchochínhlúcbóngcủamìnhđúngbằngchiềucaocủamìnhmớibắtđầuđochiềucaocủatháp.ĐólàthờiđiểmmàánhsángMặttrờichiếunghiêngđúngmộtgócbằng45oxuốngmặtđất.

Tức:

GócCBA=45o

GócACB=90o

GócBAC=45o

Vàothờiđiểmđó,đỉnhtháp,tâmcủađáythápvàđiểmmútcủabóngtháptạothànhtamgiácvuôngcânvàhaicạnhbênACvàCBphảibằngnhauAC=CB.Faresdễdàngđođượcđộdàicủađáytháp.ĐộdàimộtnửacạnhbênlàCDvàDBđãđođược;chiềucaocủathápsẽbằng:

AC=CD+DB

Từkhoá:Hìnhđồngdạng.

40.Luyệntầmnhìnthiênlí-Dấnthêmmộttầnglầunhưthếnào?

NhàthơnổitiếngthờiĐườnglàVươngChiHoán,trongbàithơ“Lênlầuquántước”1đãviết:

Mặttrờiđàgácnúi

Hoànghànhậpbiểnkhơi

Luyệntầmnhìnthiênlí

Dấnthêmmộttầnglầu.

Trongbàithơcónói“thiênlí”làcáchnóikhoatrương,ýnóilàcótầmnhìnxa.Thếnhưngnếubạncóhứngthúbạnthửtưởngtượngđểcótầmnhìnthiênlí-tầmnhìnngàndặm(500km)tathửxemphảilêntoànhàcóbaonhiêutầng,caobaonhiêu?

Theonhưhìnhvẽ,giảsử đạidiệnchomặtđất,0làtrungtâmTráiĐất,ClàđiểmcáchA500000m,dĩnhiênngườiđứngtạiđiểmAsẽkhôngnhìnthấyđiểmC,màmuốnnhìnthấyđiểmCthìbắtbuộcphảitừđiểmBởxamặtđất.TianhìnBCcóliênquanchặtchẽvớicungAC,ABchínhlàtầnglầucóchiềucaothấpnhấtmàđứngtừđócóthểquansátthấyđiểmC.

VìAB=OB-OA,OAlàbánkínhTráiĐấtvàbằng6370km,nênđểtínhABtachỉcầntínhOB.

TrongtamgiácvuôngOCB

Và

AB=OB-OA=6390km-6370km=20km

Từcáctínhtoánchothấyítnhấtthìtoàlâuđàicũngcaođến20km,caohơnđỉnhnúicaonhấtthếgiớilàđỉnhChômôlungma(tứcđỉnhEvrest)nhiều.Tầnglầucaođếnnhưvậyquảlàchưatừngcó.

Từkhoá:Tầmnhìnthiênlí.

Gạchhoalátnhàcónhiềuloạinhưngnóichungđềucódạnghìnhvuônghoặchìnhlụcgiác.Tạisaovậy?

Trongcáchìnhphẳngnhiềucạnhđềuchỉcóbaloạihìnhcóthểlắpkínmộtmặtphẳngkhôngcókhehởlàcáchìnhtamgiác,hìnhvuôngvàhìnhlụcgiác.Vớihìnhtamgiácđềucóbagócđềubằng60o,khighépsáuhìnhtamgiácđềulạivớinhautasẽcómộtđỉnhchunglà360o.Hìnhvuôngcómỗigóclà90o,ghépbốnhìnhvuôngvớinhau,tacũngcómộtđỉnhchunglà360o.Vớihìnhlụcgiáccócácgóclà120o,khighépbalụcgiáclạivớinhautacũngthuđượcmộthìnhcóđỉnhchunglà360o.

Nếudùngcáchìnhnhiềucạnhđềukhácthìkhôngđạtđượcyêucầuđó.Vídụnếudùnghìnhngũgiácđềuchẳnghạn.Mỗigóccủahìnhngũgiácđềulà180o.Nếughépbangũgiáclạivớinhau,tasẽcóđỉnhchunglà324o,nhỏhơn360onêncókhehở.Nếudùngbốnhìnhngũgiácghéplạivớinhauthìcógócchunglà108ox4=432olớnhơn

360o.

Ghépcáchìnhtamgiácđềuvớinhautuykhôngcókhehởnhưnggạchhoacóhìnhtamgiácthìtrôngkhôngđẹpbằnghìnhvuônghoặchìnhlụcgiácđều.Nêntrongnghệthuậtthiếtkếngườitahaydùngcáchìnhvuônghoặchìnhlụcgiác.

Từkhoá:Hìnhvuông,hìnhtamgiácđều,hìnhlụcgiácđều.

Chúngtasaukhiđãhọcxongmộtđịnhlítoánhọc,thìnênchúýliênhệchúngvớithựctiễncuộcsống,sảnxuất.Hãyxemxétmộtvídụsau.

Trongmộtnhàmáycómộtđốngphếliệu,trongđócónhiềutấmgỗhình4cạnh,cáctấmgỗphếliệunàycókíchthướchoàntoàngiốngnhaudùhìnhdángcókhácnhau:cótấmhìnhvuông,cótấmchữnhật,đềulàcáchình4cạnhkhácnhau.Nếuđemchúngxửlívàchếtácthànhnhữnghìnhcóquycủthìsẽcắtbỏnhiềumảnhnhỏvụn,lãngphígỗ.Nhiềungườiđãtínhtoántìmcáchtậndụngthậttốtphếliệu.

Saunàycóngườidùngcácgỗphếliệunàyđểphủsànnhà,nhờvậybấtkểcáctấmlớnnhỏđềucóthểtậndụnglàmvánsàn,chỉcầngiacônghaiđầuchútítlàđược.

Tạisaovậy?Vìtổngcácgóctrongcủacáctứgiácđềulà360o.Theocáclídonhưtrêntacóthểcắtđểlắpkínmặtbằngkhôngcókhehở.Theocáchnày,tacóthểchếtáccáctấmgỗthànhbăngdài,đươngnhiêncũngcóthểghépchúngthànhmảngcókíchthướclớn.

Nhờvậycóthểsửdụngcáctấmgỗhìnhbốncạnhbấtkìghépthànhtấmphủmặtđất.

Dùngmáytínhđiệntửngườitacóthểtìmđượcnhiềuphươngánlắpghéptrướcnaychưatừngcó.

Từkhoá:Hìnhnhiềucạnh.

Bạncóchúýtrongđờisốnghàngngàycóbaonhiêuloạihìnhkhảm,đólàcácmảnhhìnhkhảmghéplạivớinhaumàthành.

Yêucầucủacáchìnhkhảmlàkhicácđườngchuvigặpnhautổngcácgócphảibằng360o,nhờvậykhighépchúnglạisẽkhôngcókhehở.Nếudùngcácmảnhkhảmgồmcáchìnhnhiềucạnhthìcóbaonhiêucáchlắpghép?

Trướchếtxemxéttừkhíacạnhcácđiểmgặpnhaucủacáchìnhcónhiềucạnh.Docácgóctrongcủacácđagiácnhỏnhấtlà60o,lớnnhấtlà180onênchỉcócáchình3,4,5,6cạnhlàcóthểsửdụng.Tathửxétbatìnhhuống.Tagọicáchìnhđagiáccócácsốcạnhlàx,y,zthìcácgóctrongsẽlà:

Khighépchúnglạivớinhauđểkhảmthì

Bởivì1/x+1/y+1/z=1/2

Khôngkểtrậttựsắpxếpcủacácsốx,y,zthìphươngtrìnhnàycó10nhómnghiệmlà:

(3,7,42);(3,8,24);(3,9,18);(3,10,15);(3,12,12);(4,5,20);(4,6,12);(4,8,8);(5,5,10);(6,6,6).

Cũngvớilíluậntươngtựkhichọnphươngánbốnloạiđagiáctacóbốnnhómnghiệm:(3,3,4,12);(3,3,6,6);(3,4,4,6);(4,4,4,4).Vớiphươngánnămloạiđagiácsẽcóhainhómnghiệm(3,3,3,3,6)và(3,3,3,4,4),cònnếudùngsáuloạiđagiácthìchỉcómộtnhómnghiệm(3,3,3,3,3,3).

Nhưvậynếuxéttheoquanđiểm,điểmgiaonhaucủacácđagiácđềucó17loạicáchphốitríkhácnhau.Thếnhưngcóphảicả17phươngánnàyđềucóthểsửdụngtrongkĩthuậtnạmkhảm.Thựctếchỉcócácđagiácđềucó3,4,6,8,12cạnhlàcóthểghépnốivàonhauđểkhảmlàm11loạikhảmghépđểlấpkínbềmặtmàkhôngcókhehở,cònsáuloạiđagiáckhácchưatìmđượccáchghépthànhcông.

Thếthìtừ11loạitìnhhuốngcóthểcócáchsắpxếpnào?Chúngtacóthểbànđếnbốnloạisắpxếpchính:

1.Cáchìnhkhảmđều:Tứclàdùngcáchlắpghépcácđagiáccùngloạinhưởcáchìnhvẽ1-3.Chỉcó3loạilắpghép(6,6,6);(4,4,4,4)và(3,3,3,3,3).

2.Cáchìnhkhảmnửađều:Dùngcáchlắpghépcáchìnhđagiáckhôngđồngnhấtnhưngsốđiểmgiaonhaucủađườngbiêncácđagiácđềugiốngnhaunhưởcáchìnhvẽtừ4-9.Có6loại(3,12,12);(4,8,8);(3,3,6,6);(3,4,4,6);(3,3,3,6)và(3,3,3,4,4).

3.Cáchìnhkhảmđềuđặn:Sốgiaođiểmcủacácđườngbiêncác

đagiáclàgiốngnhau,chỉcóthứtựsắpxếpkhácnhaunhưởcáchìnhvẽ10-13.Loạikhảmnàydựavàogiaođiểmcácđườngbiêncủacácđagiáctheomộtthứtựnhấtđịnh,nhưngvịtrítươngđốicủacácgiaođiểmlàvôhạn.Vídụnếudịchchuyểnôgiữacủahình11sangbênphảimộtôtasẽcómộtloạiđồhìnhkhảmkhác.Nếucách1,2,3...hàngdichuyểnsangphảimộtôsẽđượcmộthìnhkhảmkhác.Vìvậyởhìnhkhảmnàytasẽthuđượcnhiềuloại.

4.Cáchìnhkhảmkhôngđềuđặn:Cácgiaođiểmcủacácđườngbiêncủacácđagiáckhônggiốngnhau,sốgiaođiểmcũngkhônggiốngnhau.Cáchìnhkhảmnàycũngcóvôsốloại.

Ngoàicácphươngánkểtrênngườitacóthểsửdụngcáchìnhtamgiác,hìnhbốncạnhkhôngđềuhoặccácđườnggấpkhúc,cũngnhậnđượccáchìnhkhảmtinhxảo.

Từkhoá:Hìnhkhảm;Hìnhđagiácđều.

Nếuquansátkĩcáctổong,bạnsẽthấycónhiềuđiềuđángkinhngạc.Kếtcấucủatổongquảlàkìtíchtrongtựnhiên.Cáctổongởdonhiềutấmváchngăncóđộlớnnhỏgiốngnhautạothành,nhưngnhìntừchínhdiệnchúngđềulàhìnhsáucạnh,sắpxếpđềuđặn.Nhưngnếunhìnnghiêngthìđólàcáchìnhlăngtrụlụcgiácsắpxếpkhítnhau.Nhưngđáycủacáclăngtrụlạilàmchongườitakinhngạchơn!Cácđáykhôngbằngcũngkhôngphảilàmặthìnhtròn,cũngkhôngnhọnmàlàdobahìnhthoihoàntoànđồngnhấtghéplạithànhmộtđáynhọn.

Dạnglụcgiáckìdiệucủacáctổonggợisựchúýcủanhiềungười.Tạisaocácváchngăncủatổongtạothànhhìnhlụcgiácmàkhôngtạothànhhìnhtamgiác,hìnhvuông,hìnhngũgiác.

Vìcácvậtthểhìnhlăngtrụkhichịuáplựcbốnbên:trái,phải,trước,sautiếtdiệnsẽbiếnthànhhìnhlụcgiácđều.Vìvậytheoquanđiểmlựchọc,hìnhlụcgiáclàhìnhcótínhổnđịnhcaonhất.Thếkhiongxâytổcóphảichúngđãbịloạisứcépnhưvậytácđộng?Đươngnhiênkhôngphảinhưvậy.

Hìnhlụcgiáccủatổongngaytừđầuđãliềnphiếnnhưvậy.

VàothếkỉXVIII,mộthọcgiảngườiPháplàMoraltiđãtiếnhànhđođạccẩnthậncácgóctrongtổongvàpháthiệnramộtquyluậtlíthú:Cáchìnhthoiởmặtđáycủatổongcógóctùlà109o28'còngócnhọnlà70o32'.HiệntượngnàygợiýchonhàvậtlíReaumurliệuđócóphảilàgiảiphápxâytổongchophéptiếtkiệmnguyênliệunhấtmàdungtíchchỗởlạilớnnhất?DođóôngđãtraođổiýkiếnvớinhàtoánhọcThuỵsĩlàKoenig.Quatínhtoáncẩnthận,KoenigđãkhẳngđịnhcácphánđoáncủaReaumur.Thếnhưngtheocáctínhtoán

chínhxáccủaKoenigthìcácgóccủahìnhthoiphảilà109o26'và70o34',sovớicácsốliệuđođạcởtổongthờiđóthìsaikháchaiphút.

Vàonăm1743,nhàtoánhọcAnhlàMaclaurinlạinghiêncứucấutrúctổong.Ôngđãdùngmộtphươngphápmớitínhtoánvàđiđếnkếtluậnlàcácgóctrongtổonghoàntoànphùhợpvớicáckếtquảtínhtoán.NguyêndocủasailệchđãnêutrênlàdoKoenigđãdùngmộtbảngsốinsai.

Quamấythếkỉnghiêncứucấutrúctổong,cuốicùngngườitatìmthấylàchínhcấutrúctổonghữuhiệunhấtvềmặttiếtkiệmnguyênliệuvàkhônggian.Ngoàirangườitacòntìmthấyloạicấutrúcnàycòncónhiềutínhnăngkìdiệukhác.Ngàynaykiểucấutrúctổongđượcứngdụngnhiềutrongkiếntrúc,tronghàngkhôngvàvôtuyếnđiệnthoại.Cáckếtcấu“tầngtổong”cólợivềmặtcáchnhiệt,cáchâmtrongkiếntrúc,cũngnhưtrongthiếtkếcácốngthoátkhíchocácđộngcơhàngkhông.

Từkhoá:Kếtcấutổong;Hìnhlụcgiác;Lăngtrụlụcgiácđều.

Bànthấtxảolàloạibàndãchiếnlắpghéptừnămhìnhtamgiác(haihìnhlớn,haihìnhnhỏ,mộthìnhkíchthướctrungbình),mộthìnhbìnhhành,mộthìnhvuông,tấtcảlàbảytấmghép,ghéplạimàthành.Nhưởhình7tấmghépđãghépnốilạithànhmộthìnhvuông.Giảsửchúngtachọnđểbànhìnhvuôngđượcghéplạicócạnhbằngbốn,chúngtacóthểtínhtoánkíchthướccủamỗimảnhghép.Bảngmảnhghépsẽcó5x3+4+4=23đườngbiên.Độdàicủamỗiđườngbiênsẽcó4loại:2,4,√2và2√2.Vảlại2√2và4làgấpđôicủa√2và2nênchiềudàicủacácmảnhghépcủabànthấtxảothựctếchỉcóhailoại.Chínhvìvậytừcácmảnhdễdànglắpghépthànhcácloạibàncóhìnhdạngkhácnhau.

LoạibànthấtxảođãxuấthiệnởTrungQuốchơnngànnămtrước,vàothờiđóbànthấtxảomangtênlà“Kỉyến”bàntiệc,làmộtloạibànchânthấpsửdụngkhibàycácbàntiệc.Điềulíthúlàmỗichiếcbànlắpghéptheocácquycáchkhácnhausẽcókíchthướcnhấtđịnhchọntrước,tháorờiralạicóthểsửdụngriêngbiệt.Khicóđông

khách,tuỳtheonhucầucóthểlàmmặtbànghéplạikíchthướctohơn,mặtbàncóthểbiếnđổinhanhchóng.Vìvậyđượcmọingườiưathích.VàothờiTốngloạibàntiệcchỉcósáumảnh,saunàymớithêmmộtmảnhnữathànhbảy.

Bànthấtxảocótừcácbuổiyếntiệc,saunàylantruyền

ranướcngoàivàđượcgọilà“bànNhàĐường”.Bànthấtxảođượclưutruyềnchođếnngàynayvìchỉvớibảymảnhgỗcóthểsắpxếpthànhnhiềukiểumặtbànkhácnhau,hơnnữavớicùngmộtkiểumặtbànlạicóthểđượclắpghéptheonhiềucáchkhácnhau.

Thếnhưngdiệntíchlớnnhấtcủabànthấtxảocóthểthuđượclàbaonhiêu?Tathửtínhxem.Haitamgiácnhỏ,mỗihìnhchỉcódiệntíchbằng1.Diệntíchhìnhtamgiáctrungbình,diệntíchhìnhbìnhhànhvàdiệntíchhìnhvuôngdohaitamgiácnhỏghéplại,diệntíchcủachúnglà2.Haihìnhtamgiáclớncódiệntíchbằng4.Hìnhtamgiáclớncóthểdohaihìnhtamgiácnhỏghépvớihìnhbìnhhành;cũngcóthểdohaitamgiácnhỏvàhìnhvuôngghéplại,lạicũngcóthểdohaitamgiácnhỏghépvớitamgiáctrungbình.Diệntíchcủabảymảnhghépsẽlà:

1+1+2+2+2+4+4=16,đócũngchínhlàdiệntíchlớnnhấtmàbànthấtxảochophéplắpghépđược.

Bạnhãythửxemvớibànthấtxảobạncóthểthuđượcbaonhiêukiểumặtbàn?

Từkhoá:Bànthấtxảo.

Ngôisaonămcánhlàloạihìnhvẽmàmọingườikháquenthuộc.Thếnhưngbạncóbiếtcáchvẽchínhxácmộtngôisaonămcánh?Dướiđâychúngtôixingiớithiệumộtphươngphápvẽngôisaonămcánhchínhxác.

1.VẽmộtvòngtròntâmO.

2.VẽhaiđườngkínhcủavòngtrònAZvàXYvuônggócvớinhau.

3.ChọnMlàđiểmgiữacủaOY.

4.LấyMlàmtâm,MAlàmbánkính,vẽcungtrònAN,cungtròncắtOXtạiđiểmN.

5.LấyAlàmtâm,MAlàmbánkínhcắttrênvòngtròncáccungtrònliêntiếpbằngnhau:AB=BC=CD=DE=EA.

6.NốiliêntiếpcácđỉnhAD,AC,EB,EC,BD,tađãvẽxongngôisaonămcánh.

Dướiđâytasẽchứngminhtínhchínhxáccủacáchvẽvừatrìnhbày.ChovòngtròncóbánkínhR.Từcáchvẽtrênđâyrathấy:

AN2=AO2+ON2=AO2+(AM-OM)2

Vìvậy

NếuquảhìnhngôisaovừavẽlàchínhxácthìnămđỉnhcủangôisaophảinộitiếptrongvòngtrònbánkínhR.Nóikhácđi,taphảichứngminhANchínhbằngđộdàicạnhcủangũgiácđềunộitiếptrongbánkínhvòngtrònngoạitiếpcủangôisaonămcánh.

Theocáckiếnthứcđãhọcởbậctrunghọc,tabiếtcạnhcủahìnhthậpgiácđềunộitiếptronghìnhtrònbánkínhRsẽbằng

a10=1/2(√5-1)R

a10làđộdàicạnhcủathậpgiácđềunộitiếptrongvòngtrònbánkínhR.

DướiđâytasẽtínhcạnhcủangũgiácđềunộitiếptrongvòngtrònbánkínhR.GiảsửDZ=ZC=a10làcạnhcủathậpgiácđềunộitiếpcònDC=a5làcạnhcủangũgiácđềunộitiếp.

TamgiáccânODZcódiệntích

RõrànglàAN=a5.Vìvậyphươngpháptavẽngôisaonămcánhtrìnhbàyởtrênlàchínhxác.

Khôngphảibấtkìđagiácđềunàonộitiếptrongvòngtrònđềucóthểvẽđượcbằngthướcvàcompa.Cáchìnhtamgiácđều,ngũgiácđều,thậpgiácđềucũngnhưcácđagiácđềucónguồngốctrựctiếptừchúngnhưcáchìnhcósốcạnh2n,2nx3,2nx5,2nx15(nlàsốdương)lànhữngđagiácđềumàtừhơn2000nămvềtrướcvàothờiđạiƠclitngườitađãbiết.Từđórấtnhiềunămsauchưahềcóbướcđộtphánào,mãiđếnthếkỉXVIIIGaussmớilầnđầutiêntìmracách

vẽđagiác17cạnh.Cóthểphánđoán:mộtđagiácđềuncạnhthìn=2m.P1.P2...Pmớicóthểvẽđượcbằngthướcvàcompa.TrongđóP1,P2...Plàcácsố22k+1,mlàsốdươngbấtkìhoặcbằng0.LờidựđoántrênđâydoGaussđưaravàđãcùngchứngminhvớimộtnhàtoánhọckhác.

Từkhoá:Hìnhnhiềucạnh.

Giảsửcómảnhvánhìnhchữnhật,hìnhchữnhậtnàycóhaicạnhsongsongđãhoànhảo,haicạnhđốidiệncònlạilạinhamnhở,làmthếnàobạncóthểtạođượcmộthìnhchữnhậthoànchỉnh.Đểtạohìnhchữnhật,taphảicắtđườngbiênnhamnhởtheomộtđườngvuônggócvớihaicạnhsongsong,nhưnglạikhôngcóêke.Vậylàmthếnàođểvẽđườngthẳngvuônggócvớihaiđườngkia.Tahãylấymộtchiếcthướccóchiađộ.TrướchếttachọntrênđườngbiênABmộtđoạnEFbằng30mmnhưởhìnhvẽ.SauđódùngEvàFlàmtâmvẽhaicungtrònmộtcunglàthuộcđườngcótâmtạiEbánkính50mmvàmộtcungthuộcvòngtròntâmFbánkính40mm.HaicungtrònsẽcắtnhautạiđiểmG.NốiFG,gócEFG=90o.CắtbỏphầnmảnhgỗởphíadướiFGtasẽcómộtđườngbiênhoànchỉnhcủahìnhchữnhật.Dùngphươngpháptươngtựtasẽcóđượcđườngbiênphíatrênhoànchỉnh.

ThếtạisaotakhẳngđịnhEFG=90o.BởivìtỉsốcáccạnhEF:FG:EC=3:4:5đâylàtamgiácđồngdạngvớitamgiácvuôngcóbacạnh3,4,5trongcạnhdàiEGđốidiệnvớigócvuôngEFG.

Bâygiờnếuthướcchiađộcũngkhôngcóthìtasẽlàmthếnào?

Chúngtasẽchọnmộtthanhgỗtươngđốithẳng,dùngbútchìđánhdấuhaiđiểmM,Ntrênthanhgỗ(nhưhìnhvẽ).Sauđóđặtthanhgỗtrêntấmgỗ,đặtđiểmMởméptấmgỗ.DùngbútchìđánhdấuhaiđiểmPvàQngayởcácvịtríMvàNtrêntấmgỗ.

Sauđóthayđổiphươngcủathanhgỗ.GiữchođiểmNbấtđộng.ChođiểmMdiđộngtrênbiêncủatấmgỗ.DướiđiểmMtađánhdấuđiểmR.KéodàiRQ,trênphầnkéodàitađặtQS=MN.NốiPS,gócRPS=90o.Dùngphươngphápđơngiảnnhưvừamôtảtavẽđượcđườngvuônggóc,cắttấmgỗtheođườngvuônggócvừavẽ,tasẽcómộtcạnhhìnhchữnhật.

ĐểchứngminhRPSlàgócvuông,tanốiPQ.VìRQ=PQ=QSnêncáctamgiácRQPvàSQPlànhữngtamgiáccân.Dođó:

RPS=RPQ+QPS=PRQ+QSP

VìcácgócRPS,PRS,RSPlàcácgóctrongcủatamgiácRPS,tổngcủachúnglà180o,vìvậygóc=90o.

VềvấnđềnàynhàtoánhọcTrungQuốcHoaLaCanhđãtừngbànđến.Điềunàyhoàntoànhiểnnhiênđốivớihìnhvuônghoặchìnhchữnhật.Nhưngđốivớimộttứgiácbấtkìthìliệuđiềuđócóchínhxáckhông?

XétmộttứgiácABCDbấtkì,cácđoạnnốicácđiểmgiữacáccạnhlàEGvàFHcắtnhautạiP,PsẽlàtrungđiểmcủaEGvàFH.Tahãytưởngtượngcó4quảcầunhỏđặttạicácđỉnhA,B,C,D,mỗiquảcầucho1lựctácdụnglà10N(N:đơnvịđolực,đọclàniutơn).HợplựccủahaiquảcầuđặttạiA,BsẽchohợplựctácdụngtạiđiểmE,hợplựctácdụngkhoảngtrêndưới20N;cácquảcầunhỏC,DchohợplựcđặttạiđiểmGcógiátrịgần20N.NhưvậybốnquảcầusẽchohợplựcđặttạitrungđiểmcủaEGlàđườngnốicáctrungđiểmvớihợplựcgần40N.Cùnglídotươngtự,bốnquảcầucũngchohợplựctácdụngtạitrungđiểmcủaFHgần40N.NhưvậybốnquảcầusẽchohợplựctácdụngtạitrungđiểmcủaEGvàFHlàđiểmduynhấtvàđiểmPlàtrungđiểmcủaEGvàFH.

LạigiảsửtadùngkéocắttứgiáctheocácđườngEG,FHthànhbốnmảnhvàlấycácđiểmH,G,Flàmbảnlề,kéocăngcácmảnhđểAHtrùngvớiDHvàDGtrùngvớiCG.Dotổngbốngóctrongcủatứgiác

là360o,nên .LúccạnhAEcủamảnhItrùngvớicạnhBEcủamảnhthứII,dễthấylàlúcbấygiờtalạinhậnmộthìnhtứgiácmớilàmộthìnhbìnhhành,màcáccạnhđốitừngđôibằngtổngcủaEG+FH,vàbốngóctronglàcácgóckềbùnhau.Diệntíchhìnhbìnhhànhmớinàyrõràngbằngdiệntíchcủahìnhtứgiáccũnên:

Trongbiểuthứcởtrêndấu=chỉxuấthiệnkhi

Vìvậytíchcủahaiđườngnốicáctrungđiểmrõrànglớnhơndiệntíchcủatứgiác.

Từkhoá:Hìnhtứgiácvàdiệntích.

Ởmộtkhuxâydựngmớicóhainhàmáylớn,vịtrícácnhàmáynhưbiểudiễntrênhìnhvẽ,đặttạihaiđiểmAvàB.Sảnphẩmcủacácnhàmáyphảiđượcvậnchuyểnđếnbờsông,trênhìnhvẽđượcbiểudiễnbằngđườngthẳngXY,sauđóđưalênthuyềnvàvậnchuyểnđinơikhác.Hiệntạingườitachuẩnbịxâydựngtrênbờsôngmộtbến

phà,sauđóxâydựnghaiconđườngtừcácnhàmáyđếnbếnphà.Địađiểmcủabếnphàphảiđượcchọnthếnàođểchiphíxâydựnglàíttốnkémnhất?

Vìchiphíxâydựngconđườngliênquantrựctiếpđếnđộdàicủaconđường.Đểchiphíxâydựngconđườngíttốnkémnhấtthìphảichọnđểtổngchiềudàicủahaiconđườngngắnnhất.NhưvậyvấnđềđặtrachotoánhọcgiảiquyếtlàphảichọnmộtđiểmCthếnàochoAC+BClàngắnnhất.

Bâygiờtasẽdùngcáctrithứctoánhọcđểgiảiquyếtvấnđềnày.TrướchếttừđiểmBtavẽđườngvuônggócvớiđườngthẳngXY,gặpXYtạiE.KéodàiBEmộtđoạnED=BE.NốiAD,ADsẽcắtXYtạiđiểmC.DướiđâytasẽchứngminhAC+BClàngắnnhất.VìBvàDđốixứngvớinhauquaXY,nênkhoảngcáchtừBvàDđếnbấtkìđiểmnàotrênXYcũngbằngnhau(vìXYlàđườngtrungtrựccủaBD).VìvậytổngchiềudàicủađiểmAđếnmộtđiểmtrênXYvàtừđiểmđóđếnđiểmBcũngbằngtổngchiềudàitừđiểmAđếnXYrồiđếnD.NóicáchkháclàAC+BC=ADlàkhoảngcáchngắnnhấttừAđếnrồiđếnB.

Vìvậyvớinhiềuvấnđềthựctếnếuchịukhósuynghĩ,tacóthểvậndụngtoánhọcđểgiảiquyếtđược.

Trướcđâychúngtađãbànvềviệcdùngthướcvàcompađểvẽhình.Cólúcngườitacóthểdùngcompađểvẽhìnhcũngchínhxáckhôngkémkhidùngthước.Việcchỉsửdụngcompađểvẽhìnhđượcthựchiệnnhưthếnào?Đólàvấnđềchỉdùngcompađểvẽhình.Trongđóvấnđềtìmtâmvòngtrònchỉdùngcompalàmộtvấnđềkhánổitiếng.

Cáchvẽtiếnhànhnhưsau:

TrướchếttachọntrênvòngtrònmộtđiểmA.LấyAlàmtâmvẽmộtvòngtròncắtvòngtrònđãchotạihaiđiểmBvàC.LấyBlàmtâmvàABlàmbánkínhvẽvòngtrònthứba,cắtABtạiđiểmthứbaD.LấyA,Dlàmtâm,lấyCDlàmbánkínhvẽhaicungtròn,haicungtròncắtnhautạiE.LạilấyElàmtâm,EAlàmbánkínhvẽcungtròncắtvòngtrònAtạiF.LạilấyA,BlàmtâmvàFBlàmbánkínhvẽhaicungtròncắtnhautạiO,đólàtâmcủavòngtròncầntìm.

Thếtạisaovớicáchvẽnhưvậytalạinhậnđượctâmvòngtròn?VìquabađiểmA,B,Ckhôngthẳnghàngchỉcóvòngtrònduynhất,đểchứngminhOlàtâmcủavòngtròntacầnchứngminhOA=OB=OC.TađãbiếtOB=OA(theocáchvẽ)tachỉcầnchứngminhhoặcOB=OC(hoặcOA=OC)làđủ.

DoAD=AF,AE=DE=EFnênhaitamgiácAEDvàAEFbằngnhau,.Vì3điểmD,A,BnằmtrênmộtđườngthẳngnêncácgócDAF=AFB+ABF,EAD=AFB,EDA=ABFnêntamgiácEADđồngdạngvớitamgiácAFBvàAD:BF=EA:EF.

MặtkhácBF=OB,EA=DC,AF=ABnênAD:OB=DC:AB,tamgiácABCvàtamgiácOABlàhaitamgiácđồngdạngvà.VìvậyDC//AO.

OAC=ACD=ADC=OAB

MàOAB=OAC,AB=AC

vậy

ΔOAB=ΔOACvàOB=OC.

Đólàđiềuphảichứngminh.

Trongthựctếngườitacóthểdùngmộtphươngphápkháđơngiảngầngiốngvớiphươngphápđãmôtả.Trướchếttachọnbốnđiểmtrênvòngtròncáchđềunhau.Lấycácđiểmđãchọnlàmtâm,chọnmộtbánkínhthíchhợpvẽbốncungtròncắtnhauthànhmộthìnhbốncạnhcong.Cóthểđiềuchỉnhbánkínhcủacácvòngtrònđểcáccungtròntạothànhtứgiáccongnhỏ.SauđótachọnbêntrongtứgiáccongmộtđiểmO,lấyOlàmtâmvẽvòngtrònbánkínhOAxemvòngtròncótrùngvớivòngtrònđãchohaykhông.Nếukhôngtrùngngườitalạiđiềuchỉnhchotrùng,bằngcáchđóngườitacóthểnhanhchóngxácđịnhđượctâmvòngtròn.

Từkhoá:Vòngtròn;Tâmvòngtròn.

61.Vìsaobánhxelạiphảilàhìnhtròn?

Vìsaobánhxelạicódạnghìnhtròn?Đâykhôngchỉđơngiảnlàđểxechạybonbontrênđườngđượcdễdàng.Dĩnhiênlàchưahềaithấymộtchiếcxelạicóthểchạyvớibánhxehìnhtamgiác.

Nóinhưthếquảlàkhôngsai,nhưngchưađủđểthuyếtphục,vìđóchỉlànóitheocảmgiáckinhnghiệmcủachúngtamàchưađứngtrêntínhchấtcủavòngtrònmàxemxét.

Thếvòngtròncótínhchấtgì?Taxétxemhìnhtrònvẽởtrên.Đểvẽvòngtròntadùngcompaquayquanhtâmđiểmgọilàtâmvòngtròn.Bấtkìđiểmnàotrênvòngtrònđềucáchtâmvòngtrònmộtđộdàikhôngđổi,làbánkínhvòngtròn.Đólàtínhchấtquantrọngcủavòngtròn.

Nếubánhxehìnhtròn,trụcxelắpởtâmcủavòngtròn,thìkhixechuyểnđộngtrênmặtđất,trụcxecáchmặtđấtmộtkhoảngbằngbánkínhbánhxe.Vìvậyngườingồitrongthùngxesẽthấyyênổnkhixechạytrênđường.Giảsửnếubánhxebiếndạngvàkhôngcódạnghìnhtròn,vànhxesẽcóchỗcao,chỗthấpvàsànxekhôngcáchđềuvớitâmvòngtròn.Vớiloạixenhưvậy,khixechạy,bạnsẽcảmthấyxócđếnđầuvángmắthoa.

Việcchếtạobánhxehìnhtròncòndomộtnguyênnhânkhác.Nếusovớimộtvậtbấtkìchuyểnđộngtrênmặtđườngthìkéoxeđỡtốnsứchơn,đólàdoởbánhxetrởlựcmasátbéhơncáctrườnghợpkhác.

Từkhoá:Hìnhtròn.

62.Cóphảimọiloạibánhxeđềulàhìnhtrònkhông?

Chúngtađãbiếtbánhxethườngcódạnghìnhtròn,vìvậytừcácđiểmởvànhbánhxeđếntâmbánhxecókhoảngcáchbằngnhau.

Thếnhưngcóphảimọiloạibánhxebắtbuộcđềuphảilàhìnhtròn?

Tronghệthốngbánhxerăng,nếunhưcảđôibánhxeđềuhìnhtrònthìthôngquasựtruyềnđộngcủabánhxerăng,ngườitacóthểthayđổitốcđộ.Vídụnếubánhchủđộngcó50răngcònbánhbịđộngcó100răng,thìkhibánhchủđộngquay100vòngthìbánhbịđộngsẽquayđượcsốvònglà50.Bánhbịđộngchuyểnđộngvớitốcđộchậmnhưngchuyểnđộngđólàchuyểnđộngđều.

Nhưngtamuốnbánhxechuyểnđộngkhôngđềuthìphảilàmthếnào?Bấygiờchúngtasẽsửdụngbánhxekhôngphảihìnhtròn.

Bánhxerănghìnheliplàmộtloạibánhrăngnhưvậy,Dohìnhelipcótínhchấtlàtổngcủacáckhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkìđếncáctiêuđiểmlàmộtsốkhôngđổi(vídụbằng2a).Nếuhaibánhxerăngelipcókíchthướcbằngnhau,thìchỉcầnđiềuchỉnhgiữcho

khoảngcáchhaitrụcquahaitiêuđiểmlà2a,vàcốđịnhmộttrụctạimộttiêuđiểmthìkhoảngcáchtừđiểmtiếpxúccủacácrăngđếntâmcủahaitrụcbằng2a.Nóicáchkháclàbánhxerăngcóthểchuyểnđộngbìnhthường.Sauđótaxét,giảsửbánhxebênphảilàbánhbịđộngvàthayđổitốcđộkhiđượctruyềnđộng.Từhình1đếnhình2,bánhchủđộngchuyểnđộngmộtgóc24othìbánhbịđộngsẽchuyểnđộngmộtgóc45o.Từhình2đếnhình3bánhchủđộngchuyểnđộng90othìbánhbịđộngchuyểnđộng140o,từhình3đếnhình4,bánhchủđộngchuyểnđộng90othìbánhbịđộngquaymộtgóc40o.Nhưvậykhiquayhếtnửavòngthìbánhbịđộngchuyểnđộngbanđầunhanh,vềsauthìchậm.

Trongsảnxuấttựđộnghoángườitathườngdùngmộtloạibánhxeđượcgọilà“bánhlồi”(loạilinhkiệncam).Trongvòngchuyểnđộngcácđiểmcókhoảngcáchđếntrụcbánhxekhôngđềunhau,nhưởhình5.TrênbiêncủabánhxecómộtcơcấutựaG.Khibánhxechuyểnđộngtừ(1)-(4),cơcấutựaGđẩyởvòngngoài,khiđến(5)độtnhiênbịngậmvào,sauđóchuyểnđộngtiếptụclặplại,nhờđócóthểthựchiệnmộtsựđiềukhiểntựđộngnàođó.

Nhưvậy,khôngcóbấtkìsựvậtnàolàtuyệtđối;cácbánhxecũngnhưvậy.Trongkhoahọckhiphátminh,sángtạonếugặpđiềugìkhácthường,thìphảisuynghĩtìmcáchkhaithông.

Từkhoá:Hìnhtròn;hìnhelip;Bánhxelồi.

63.Nướcđựngtrongthùnglăngtrụ,chữnhậtkhiđểnghiêngsẽcóhình

dạngthếnào?Xincácbạnhãyđổvàomộtthùngđựnghìnhlăngtrụchữnhật

mộtlượngnướccómàu(đểdễnhìnthấy),hãycốđịnhthùnglăngtrụchữnhậttheomộtcạnhđáy.Nghiêngtừtừthùngnướcnhưnggiữkhôngchonướcđổrangoài.Tuỳtheođộnghiêngcủathùng,bạnsẽthấykhốinướctrongthùngcónhiềuhìnhdạngkhácnhau.Bạnhãyquansátkĩxemhìnhdạngkhốinướcthayđổitheoquyluậtnào?

TrướchếttađểthùngđứngthẳngtrênmặtbàntheomặtđáyABCDnhưởhình1.BấygiờmặtbênsẽcódạngmộthìnhchữnhậtBCFE.ThểtíchcủakhốinướcsẽbằngdiệntíchmặtđáyBCFEnhânvớichiềucaoCD.

TiếptheotacốđịnhthùngvàgiữđáyABCDtheocạnhCD.Nghiêngthùngtừtừtheonhưvịtríchoởhìnhvẽbêndưới.BấygiờdiệntíchmặtbênBCFEsẽlàhìnhthang.HìnhthangnàycómộtcạnhđáyBE=avàmộtcạnhđáylàCF=bvàa+bsẽlàmộtsốkhôngđổi.Bâygiờtiếptụcchothùngnghiênghơnnữa,nhưngvẫngiữmặtbêncódạnghìnhthangthìtổngsốa+bvẫnkhôngthayđổi.Đồngthờikhiagiảmbaonhiêuđộdàithìbtăngđộdàibấynhiêu.Bạncóbiếttạisaokhông?

KhốinướcvẫnlấyBCFElàmđáyvàCDlàmchiềucaocủahìnhlăngtrụtứgiácvàthểtíchkhốinướcsẽlàtíchsốcủadiệntíchđáynhânvớichiềucaoCD.Dodiệntíchhìnhthangkhôngthayđổi,chiềucaoCDcũngkhôngthayđổi,cũnglàthểtíchnướcnhưởhìnhtrên.NếutiếptụclàmnghiêngthùngthìmặtbênsẽcódạnghìnhtamgiácECF.ThểtíchkhốinướcsẽlàhìnhlăngtrụđáytamgiácECFvàchiềucaoCD.ThểtíchkhốinướcvẫnlàthểtíchkhốilăngtrụchữnhậtđáychữnhậtBCFEhoặcđáyhìnhthangBCFE.GiảsửCE=c,CF=b,diệntíchhìnhtamgiácECFlà1/2bxcvàbxclàkhôngthayđổi.

Khinghiêngthùngthìkhốinướcthayđổitừkhốilăngtrụchữnhật,đếnlăngtrụđáyhìnhthang,rồiđếnlăngtrụđáytamgiác,nhưngnếukhôngđểnướcchảyrangoàithìthểtíchnướcvẫnkhôngthayđổichodùhìnhdángkhốinướccóthayđổi(xemhình1,2,3).

64.Vìsaothùngđựngdầu,phíchđựngnướcnóngđềucódạnghình

trụ?Thùngdầu,phíchnướcđềulàcácthùng,bìnhđựngchấtlỏng.

Bạncóchúýcácđồđựngchấtlỏngđềucódạnghìnhtrụ,điềunàycóliênquangìđếntoánhọckhông?

Khisảnxuấtcácđồđựngngườitathườngchúýđếnviệctiếtkiệmvậtliệu:Vớicùngmộtlượngvậtliệulàmthếnàosảnxuấtđượcbìnhđựngchấtlỏngvớidungtíchlớnnhất.

Tađãbiếttronghìnhhọcphẳng,trongcáchìnhđagiácđềuvàhìnhtròncócùngchuvithìhìnhtròncódiệntíchlớnnhất.Vídụvớidiệntích100mm2thìhìnhvuôngcóchuvi40mm,hìnhtamgiácđềuchuvi45,6mm.Nhưvậyvớicùngmộtdiệntíchthìtamgiácđềucóchuvilớnnhất,hìnhvuôngchochuvibéhơnvàhìnhtròncóchuvibénhất.Vìvậyvớicácdụngcụđựngchấtlỏng,nếucácđồđựngcócùngchiềucaothìlăngtrụtròncódungtíchlớnnhất,vàviệcsảnxuấtcáclăngtrụtrònsẽtốnítnguyênliệunhất.Dovậycácthùngđựngdầu,phíchnướclànhữngđồđựngchấtlỏngthườngcódạnglăngtrụtròn.

Thếcóloạibìnhđựngdạngnàotiếtkiệmnguyênvậtliệuhơnlăngtrụtrònkhông?Có.Đóchínhlàhìnhcầu.Vớicùngmộtlượngvậtliệuthìđồđựnghìnhcầusảnxuấtrasẽcódungtíchlớnnhất.Nóicáchkhácsảnxuấtcácđồđựngchấtlỏnghìnhcầutiếtkiệmđượcvậtliệunhiềunhất.Tuynhiên,docácđồđựnghìnhcầudễbịlănđi,lănlại,khóđứngyên;việcsảnxuấtcácvậtdụnghìnhcầucũngkhóhơn,khóđậynắphơnnênbìnhhìnhcầukhôngcóýnghĩathựctế.

Tuynhiêncácđồđựngvậtrắnnhưhòm,rươngsaolạikhôngsảnxuấtcódạnghìnhtrụ?Chodùcácđồđựnghìnhtrụtiếtkiệmđượcnguyênvậtliệunhưngđựngcácvậtrắnlạikhôngthuậntiệnlắmnênngườitathườngsảnxuấtchúngởdạngkhốilăngtrụchữnhật.

Từkhoá:Lăngtrụtròn;Hìnhcầu.

65.Vìsaokhehởcủahaiquảcầulạibằngnhau?

Mộtthầygiáodạytoánđãđặtrachohọcsinhmộtbàitoán.GiảsửtaphảiđánhđaiTráiĐấtvàmộtquảcầunhỏ.Haicáiđainàyphảikhônglớn,khôngnhỏquámàphảilồngkhítvàohaiquảcầu.Dokhôngcẩnthậnnênngườitađãlàmtăngđộdàicủamỗiđailên1mét.Nếuđánhđaihaiquảcầubằngcáccáiđainóitrênthìkhehở(giữađaivàquảcầu)ởquảcầunàolớnhơn:ởTráiĐấthayởquảcầunhỏ.

Nhiềuhọcsinhđãnhaonhaotrảlời“đườngnhiênlàởquảcầunhỏcókhehởlớnhơn”.Cáchọcsinhđãgiảithíchlídovềsựkhẳngđịnhcủahọnhưsau:TráiĐấtcóbánkínhrấtlớnnênđườngchuvicủaTráiĐấtởđườngxíchđạosẽrấtdài,chonênnếutăngđộdàicủachuvi1métthìsovớibánkínhTráiĐấtchiềudài1métcónghĩagì?Cònvớimộtquảcầunhỏbánkínhchưađến1métmàchuvităngthêmđộdài1mét,thìrõràngvớicáiđainàythìkhehởgiữacáiđaivàquảcầuchắcsẽlớnlắm.

Nhưngcâutrảlờinàylàhoàntoànsai.ThựctếkhehởgiữađaivàquảcầuởTráiĐấtvàquảcầunhỏlànhưnhau.Tạisaovậy?Tasẽtiếnhànhvàiphéptínhtoánthìsẽthấyngay:

GiảsửTráiĐấtcóchuviL;cònvớiquảcầunhỏcóchuvi .Khităngđộdàicủamỗicáiđaithêm1métthìchuvicủaTráiĐấtvàquả

cầunhỏlàL+1và +1.Khichuvităngthêm1métđườngkínhcủa

mỗiquảcầulà và vàsựsaikháccủađườngkínhcủađaivàđườngkínhcủacácquảcầusẽtạonênkhehởgiữacáiđaivàquảcầu.Tasẽthấy

ởTráiĐấtthìkhehởsẽlà

Cònởquảcầuthì

Bạnxemcóphảicáckhehởlànhưnhaukhông?

Từkhoá:Hìnhcầu;Chuvi;Đườngkính.

66.Vìsaotrênđườngchạyđua,điểmxuấtphátcủađườngngoàilạivượtlênđườngđuaphíatrongkháxa?Trêncáccuộcthiđấuđiềnkinhthườngcóđườngchạy200m.

Đoạnđầucủacácđườngđuanàythườngcódạngnửahìnhtròn.Nếucósáungườichạyđồngthờithìhọsẽxuấtpháttrênsáuđườngđuakhácnhau.Điểmkhởiđầucủađườngchạyngoàivượtlênphíatrướckháxasovớiđườngphíatrong.

Tạisaovậy?Điểmxuấtphátnàyđượcquyếtđịnhdođâu?

Chúngtađềubiếtgiữachuviđườngtrònvàđườngkínhcómộttỉlệxácđịnh,đóchínhlàsốπ(sốpi),sốπcógiátrịgầnđúnglà3,14.Vàchuvicủađườngtròncóđộdàigấp3,14lầnđườngkínhhaycũngbằng6,28lầnbánkínhcủavòngtrònđó.VàC≈6,28R(Clàđộdàicủađườngchuvi,Rlàbánkínhvòngtròn).Nếubánkínhtăng1métthìđườngchuvităngthêm6,28m.

Trongcácđườngchạyđua,thìcácđườngđuađềurộng1,2m.Haiđườngđuacạnhnhaucóbánkínhsaikhácnhau1,2m,vìvậyđườngchạyngoàidàihơnđườngtrongkềđó7,54m.Theotiêuchuẩnchung,vòngchạyngoàithườngdài400m,trênđườngchạyđua200m,ngườitaphảitínhthếnàođiểmkếtthúccácđườngphảinằmtrênmộtđườngthẳng.Thôngthườngngườitabốtríđầuđườngchạylànửacungtròn(thườngdàikhoảng114m)sauđósẽnhậpvàođườngthẳng(khoảng86m).Ởphầncong,đườngtrongcùngcóbánkính36m,ngườichạyởđườngđuathứnhấtthườngxuấtphátởđiểmcáchvòngtronglà0,3m,nênđộdàithựctếcủađoạnchạyvònglà36,3mx3,14≈114m.Điểmxuấtphátcủamỗivòngngoàiphảidịchlênphíatrướckhoảng1,2mx3,14=3,77msovớiđiểmxuấtphátcủavòngtrong.Nếutrênđườngchạycósáuđườngthìcácđiểmxuấtphátsẽhìnhbậcthang,điểmxuấtphátcủađườngchạyngoàicùngsẽdịchlênphíatrước18,85msovớiđườngchạytrongcùng,nhờcáchsắpxếpnàymàđíchcủasáuđườngchạysẽnằmtrêncùngmộtđườngthẳng.Hiểuđượcquytắcnày,khichuẩnbịsânvậnđộngnóichungngườita

chỉcầnđođườngchạytrongcùngdàiđúng200m,xácđịnhđiểmxuấtphátcủađườngtrongcùng,sauđócácđiểmxuấtphátcủacácvòngngoàiđượcdịchlênphíatrướcmộtđộdàinhưđãtínhtrênkiamàkhôngcầnphảiđotừngđườngchạy.

67.Sứcnổicủaphaocứusinhbằngbaonhiêu?

Khibạnmangchiếcphaocứusinhxinhxắnvàvuivẻvẫyvùngtrongnướcbạncónghĩđếnđiềunày:Sứcnổicủaphaocứusinhlàbaonhiêu?

Làmthếnàođểtìmđượccâutrảlời?

Phươngpháptốiưulàdùngcáctrithứctoánhọcđểtínhtoán:tínhthểtíchkhícủaphaocứusinhrồinhânvớikhốilượngriêngcủanướctrừđikhốilượngcủaphao,kếtquảsẽlàsứcnổicủaphaocứusinh.

Mọingườiđềubiếtkhốilượngriêngcủanướclà1g/cm3(tức1cm3nặng1g).Dướiđâysẽgiớithiệuphươngpháptínhthểtíchcủaphaocứusinh.

Theonhưhìnhvẽ,hìnhchiếuphẳngcủavòngcứusinhcótâmO,vòngcứusinhcóhaitiếtdiện.HaitiếtdiệnnàyđềulàhìnheliptrongđócómộtelipquabốnđiểmA,B,C,D.TrongtoánhọcngườitagọiABlàtrụcdàicủahìnhelip,CDlàchiềucaocủavòngcứusinh,đó

chínhlàtrụcngắncủahìnhelip;OAlàđườngkínhtrongcủaphaocứusinhsaukhiđãbơmkhí.Dođóngườitacóthểtínhthểtíchcủavòngcứusinhtheocôngthức:

πlàsốpivàbằng3,14,AB,CD,OAdễdàngđođượcsaukhiphaođãđượcbơmcăng.Tathửtínhtoánlựcnổichomộtphaocứusinhcụthể.Trênthịtrườngngườitathườngbánmộtloạiphaocóđườngkínhvòngtrònlớn(đườngkínhngoài)khichưabơmkhílà65cm,làmbằngchấtdẻo.SaukhibơmkhíđođượcAB=13cm,CD=12,5cm.OA=12cm.Khốilượngcủaphaolà150g.ứngdụngcôngthứcnêutrêntadễdàngtínhđượcV≈14.835cm3.Dođóloạiphaocứusinhnàycólựcnổilà145.383N(N:đơnvịđolực,đọclàniutơn).

Lựcnổinàycógiữđượccơthểngườinổitrênmặtnướckhông?Cóthể,vìkhingườitachìmvàonướcsẽchịulựcđẩycủanướcbằnglựcnổi.Bạnhãythửxem.

Từkhoá:Hìnhelip.

68.Bithéplăntheoconđườngnàothìnhanhnhất?

GiảsửcóviênbikimloạicholăntừđiểmAđếnđiểmBtheomộtđườngmángkimloạiđượcđánhbóngtrơn,xétxemphảichếtạođườngmángnhưthếnàothìthờigianđểviênbilăntừAđếnBlàngắnnhất?

Mớinhìnquathìvấnđềkhôngcógìkhó,cóbạnsẽchorằngtốtnhấtchoviênbilăntừAđếnBtheomộtđườngthẳngvìđườngthẳnglàđườngngắnnhấtnốitừđiểmAđếnđiểmB.NhưngvấnđềởđâykhôngphảilàđoạnđườngngắnnhấttừAđếnBmàvấnđềlàthờigianđểbilănngắnnhất.Chúngtacầnbiếtrằngthờigianrơicủaviênbikhôngquyếtđịnhdođoạnđườngmàbilănmàcònđượcquyếtđịnhdotốcđộlăncủabi.

NếutachếtạomángkimloạicongxuốngởphầngiữathìkhibilăntừAxuốngphầncongsẽcótốcđộnhanhhơntừAxuốngđườnglăndốchơnvàtốcđộlăncủaviênbisẽlớnhơnkhilăntheomángthẳngcócùngđộdài.Thếnhưngcóđiềucầnchúýnếuởphầnđầucủamángcóđộdốcquálớnthìởphầndướimángsẽgầnnằmngangnêntốcđộlăncủaviênbiởphầnnàysẽrấtchậm.Chonênnếuchếtạomángnhưvừatrìnhbàythìởphầnđầutốcđộviênbisẽlớnnhưngởphầncuốitốcđộlănlạichậm,thờigianlăncủaviênbitừAđếnBchưahẳnđãngắnnhất.

Nhưvậyphảichếtácđườngmángcódạngthếnàothìthờigianlăncủaviênbilàngắnnhất.

NhàvậtlíkiêmthiênvănhọcItalialàGalilêđãtừngnghiêncứuvấnđềnàyvàôngchorằngmángcầnđượcchếtạodướidạngcung

tròn.Thếnhưng50nămsauvàokhoảngnăm1700,nhàtoánhọcThuỵSĩBernoulliđãtínhtoánchínhxácvàđiđếnkếtluậnlàmángkhôngphảilàhìnhtrònmàphảicódạngmộtxycloit.Từđóđườngxycloitđượcgọilàđườnglănnhanhnhất.

Nhưngđườngxycloitlàgì?Nếutrênmộtđườngtròn,tacholănmàkhôngtrượt,tađánhdấumộtđiểmcốđịnhtrênvòngtrònthìkhichovòngtrònlănkhôngtrượttrênmộtđoạnđường,điểmcốđịnhtrênvòngtrònsẽvẽnênđườngxycloit.Đólàlờigiảicủabàitoánđặtra.Saunàyphươngphápnàypháttriểntrởthànhngànhphéptínhbiếnphân,cótácdụngrấtlớntronglịchsửtoánhọc.

Dosựpháttriểncủakĩthuậthệthốngvàvậntrùhọc,sứcthanhxuâncủaphéptínhbiếnphânđãđượckhôiphục.

Từkhoá:Xycloit;Phéptínhbiếnphân.

69.Tròchơigấpgiấycóthểgấpđượcnhữngđườnghìnhhọcnào?

Vớimộttờgiấy,bạncóthểthựchiệnmộtsốtròchơitoánhọcthúvụdướiđây.Bạnthửthựchiệnxem.

1.Cắtđườnghìnhsin(đườnglượnsóng).Cuộnchặtmộttờgiấyhìnhchữnhậtvàomộtviênphấn,sauđódùngdaocắtnghiêngmộtnhát.Tiếptheomởtranggiấyra,bạnsẽđượcmộtđườnglượnsónglàđườnghìnhsin.

2.Gấpđườngparabôn.LấymảnhgiấyhìnhchữnhậtABCD.GậpnghiênggócmảnhgiấysaochođỉnhCnằmtrêncạnhAB,lặplạinhiềulầntasẽnhậnđượcmộtđườngbaolàparabôn.

3.Gậpđườngelip.Dùngmảnhgiấyhìnhtròn,chọnđiểmAtuỳýbêntrongvòngtrònnhưngkhôngtrùngvớitâm.SauđógậpmépgiấysaochocácmépcungtrònluônquađiểmA.Lặplạinhiềulầnđường

baocủamépgấpthẳngsẽlàđườngbaocủamộtelip.(Xemhìnhtrangsau)

Đườngbaolàđốitượngnghiêncứucủamộtngànhtoánhọclàhìnhhọcviphân,đâylàngànhtoánhọccóliênquanđếnnhiềuvấnđềthựctế.Chắcbạnđãtừngthấycácvòiphunnướcởcáccôngviên,cáctianướcphuntừvòigiếngphunvẽlênmộthọđườngcongnằmtrêncùngmộtmặtphẳng,cácđườngcongphẳngnàygiốnghìnhmộtđườngcongparabôn.Trêncácbứcảnhphongcảnhbạnsẽnhìnthấyrõhìnhbaocủachúng.

Từkhoá:Đườnghìnhsin;Đườngparabôn;Elip;Vấnđềhìnhbao.

70.Vìsaochỉcónămloạikhốiđadiệnđều?

Trongcáctinhthểngườitathườngthấycáckhốiđadiệnđặcthù:

cácmặtcủatinhthểlànhữngđadiệnđều,mọigóccủađadiệnđềuhoàntoànbằngnhau.Đóchínhlàcáckhốiđadiệnđều.Córấtnhiềukhốiđadiệnđều,nhưngthựcrachúngđượcxếpthànhnămloại.Tạisaovậy?

TrướchếtchúngtôixingiớithiệucôngthứcƠle.VàothếkỉXVII,nhàtoánhọckiệtxuấtThuỵSĩƠleđãchỉramốiquanhệràngbuộcgiữasốmặt,sốcạnhvàsốđỉnhcủakhốiđadiệnnóichung.Ôngnêurahệthứcgiảitích

E=V+F-2

trongđó,Elàsốcạnh,Flàsốmặt,Vlàsốđỉnhcủakhốiđadiện.

TrongtoánhọcngườitagọilàcôngthứcƠleđểghinhớcônglaocủaông.BâygiờchúngtasẽvậndụngcôngthứcƠleđểchứngminhchỉcónămloạikhốiđadiện.

Giảsửkhốiđadiệnđềuđượchìnhthànhtừcácmặt,mỗimặtcómcạnh,sốmặtcủakhốiđadiệnlàF,thếthìFmặtsẽcómFcạnh,mỗicạnhlạilàcạnhchungcủahaimặtlâncận,vìvậymF=2E.

Giảsửmỗiđadiệnđềucócácđỉnhmàmỗiđỉnhlạilàđỉnhcủamộtđagiácđềucóncạnh,nếukhốiđadiệncóVđỉnhsẽcónVcạnh,mỗicạnhlạithuộchaiđỉnhnênnV=2E.

ThaycácgiátrịcủaVvàFtínhtừhaihệthứcvừanêuvàocôngthứcƠleởtrêntacó:

Vàsaukhibiếnđổitacó:

Tasẽbắtđầuxétkhốiđadiệntạonêntừcáctamgiácđều.Vìcácgóccủamặtđadiệntốiđakhôngthểvượtquá360o,màmỗigóccủatamgiácđềulà60o,nênkhốiđadiệndocáctamgiácđềutạonênchỉcóthểcóbaloại:góctamdiệnđều,góctứdiệnvàgócngũdiện.Cònvớicáclụcgiácđềuthìsẽrasao?Do60o6=360othìchỉcóthểtạomộtmặtđagiácmàkhôngtạođượckhốiđadiện.Cònvớim=3tachỉcóbaloạitìnhhuống:

Vớin=3,tatínhđượcE=6,F=4làmộttứdiệnđều.

n=4,tatínhđượcE=12,F=8làmộtkhốibátdiệnđều.

n=5,tatínhđượcE=30,F=20làmộtkhối20mặt.

Nhưvậy,vớimặttamgiácđềutachỉcóbaloại:khốitứdiệnđều,khốibátdiệnđiều,khối20mặt.Dovậykhim=4vàn=3thayvàocôngthứcƠletacó:

E=12,F=6.

Nghĩalàvớicácmặthìnhvuôngtachỉtạođượckhốilụcdiệnđều.

Thếthìvớicácmặtngũgiácđềuthìsẽrasao?Vìcácgóctrongcủangũgiácđềubằng108onêntừcácngũgiácđềutachỉcóthểtạođượcgóctamdiệnđều.Vìvậykhi

m=5,n=3thayvàocôngthứcƠletasẽtínhđược:

E=30vàF=12

Nghĩalàvớicácmặtngũgiácđềuchỉcóthểtạothànhmộtkhối12mặt.

Dođócóthểthấykhốiđadiệnđềuchỉcónămloại:Khốitứdiệnđều,khốilụcdiệnđều,khốibátdiệnđều,khối12mặtđềuvàkhối20mặtđều.

Cònvớimộtlụcgiácđềuthìdolụcgiácđềucógóctrong120onênkhôngtạođượcmộtgócđadiệnnênkhôngtạođượckhốiđadiệnđều.

Từkhoá:Khốiđadiệnđều;Hìnhđagiácđều;CôngthứcƠle.

Vàonhữngđêmmùahè,chúngtathườngthấycácngôisaobăngtrênbầutrờisao.Cácngôisaobăngdịchchuyểntrênbầutrờidướidạngcácđườngcong.Nếubạnđốtmộtnénhươngtrừmuỗi(tốtnhấtvàobanđêm)rồidiđộng,đốmlửaởđầunénhươngsẽvẽthànhđườngconggiốngnhưsaobăng.Chínhtừgợiýnàymàcácnhàtoánhọcđãnghĩraphươngpháp“vẽbằngđiểm”đểvẽcácđườngcong.Đườngtròn,đườngparabôn,đườnghypecbôn,đườnghìnhsinv.v...đềuđượcvẽtheophươngphápvẽđiểm.

Thếnhưngliệucóphảimọiđườngcongphẳngđềucóthểđượcvẽbằngphươngphápvẽđiểm?Tiếnthêmmộtbướccóthểđặtcâuhỏiliệucóthểcócácđườngcongphẳngnhấtđịnhcầnphảiđượcvẽrakhông?

Đếnđâytalạicầnphảiđịnhnghĩavềđườngcongphẳng.Thựcratừnăm1893,nhàtoánhọcPhápGiocđan(Jordan)đãđưarađịnhnghĩarõràngvềđườngcongmàtrướcđócácnhàtoánhọcchưahềđưarađịnhnghĩachínhthứcvềđườngcong.Đườngconglàmộtkháiniệmmàhìnhhọcsửdụngnhưmộtkháiniệmbanđầu.Trongkháiniệmbanđầunày,đườngconglàđườngđượcvẽrachỉcóđộdàimàkhôngcóbềrộng,vàmộtđườngđượctựnhiênvẽrasẽlàmộtloạiđườngcong.

Từsaukhicóđịnhnghĩarõràngvềđườngcong,tuỳtheosựpháttriểncủatoánhọc,đặcbiệtvớisựpháttriểncủacácngànhhìnhhọcviphân,tôpôhọc,kháiniệmđườngcongngàycàngđượcmởrộng.Việcvẽđượchaykhôngvẽđượckhôngcònlàtiêuchuẩnđểphânbiệtcácđườngcong.Cácnhàtoánhọcthựcsựđãnghĩrakhôngítloạiđườngcongkhôngthểvẽrađược.VídụnhàtoánhọcBaLanSerfinskiđãđưarađịnhnghĩa“thảmSerfinski”làmộtloạiđườngcongphẳng.Serfinskiđãlàmnhưsau:

ChọnmộthìnhvuôngAchiathành9hìnhvuôngnhỏbằngnhausauđókhoétbỏhìnhvuôngởgiữanhưởhình1.Sauđólạitiếptụcchia8hìnhvuôngởngoàibiênnày(ngườitagọichúnglàhìnhvuôngcấpmột),mỗihìnhvuôngthành9hìnhvuôngnhỏkhácbằngnhau,sauđó

lạikhoétbỏhìnhvuôngnhỏởgiữa(hình2)vànhậnđược82=64hìnhvuôngbaongoàibiên(tagọichúnglàcáchìnhvuôngcấphai).Sauđólạitiếptụcchiacáchìnhvuôngcấphaitheophươngpháptươngtựnhưđãmôtảởtrên,tasẽđược83=512hìnhvuôngbaoquanhkhác(tagọiđólàcáchìnhvuôngcấpba)(hình3).Tiếptụcquátrìnhnhưvừamôtảđếnvôhạnlần,cuốicùnghìnhvuôngchỉcònlạitậphợpcácđiểmCđượcgọilà“ThảmSerfinski”.“Tấmthảm”nàyphùhợpvớiđịnhnghĩamộtđườngcongphẳng.Đườngcongphẳngloạinàyrõràngkhácvớiđườngcongphẳngthôngthườngkhác,đườngcongloạinàykhôngvẽđượcbằngphươngphápvẽđiểm.Loạiđườngcongphẳngnàycótácdụngquantrọngtrongquátrìnhnghiêncứukháiniệmvẽđườngcong.

Từkhoá:Đườngcong;ThảmSerfinski.

Khiđọcđềmụcnàychắcbạnsẽtựhỏitạisaolạiđặtracâuhỏi?Tổngcácgóctrongcủamộttamgiácbằng180ochẳnglàmộtđịnhlíđãđượcchứngminhrồisao?Liệucóthểcókếtluậnkháckhông?

Trênthựctế,hơn100nămtrướcđãcóngườinghiêncứuvấnđề

nàyvàđãđưara2kếtluậnkháchẳnnhau:“Tổngcácgóctrongcủamộttamgiáclớnhơn180o”vàkếtluận“tổngcácgóctrongcủamộttamgiácnhỏhơn180o”.

Thếnhưngliệubakếtluậnhoàntoànmâuthuẫnnhaunàyliệucóđồngthờiđúngcảkhông?Sựthậtcuốicùngsẽthếnào?

Chúngtađềubiếtcácchứngminhtrongtoánhọcđượcthànhlậpđềuxuấtpháttừnhữngtiênđềvàđịnhđềlànhữngmệnhđềkhôngyêucầuphảichứngminh.Chínhtừcáctiênđề,địnhđề,ngườitasuydiễn,suyluậnmàthiếtlập,chứngminhcácđịnhlí.Vídụtrongchươngtrìnhmônhìnhhọcphẳngcủabậctrunghọcngườitađềranămtiênđềvànămđịnhđềlàmcơsởchocácphépchứngminhđịnhlí:

Tiênđề1:Haiđạilượngbằngnhauvớiđạilượngthứbathìhaiđạilượngđóbằngnhau.

Tiênđề2:Thêmmộtđạilượngvàohaiđạilượngbằngnhauthìcáctổngthuđượcsẽbằngnhau.

Tiênđề3:Trừmộtđạilượngvàohaiđạilượngbằngnhauthìhiệucủachúngsẽbằngnhau.

Tiênđề4:Haihìnhtrùngnhauthìbằngnhau.

Tiênđề5:Cáitoànthểlớnhơncáibộphận.

Địnhđề1:Từhaiđiểmbấtkìcóthểnốinhaubằngmộtđườngthẳng.

Địnhđề2:Đườngthẳngcóđộdàivôhạn.

Địnhđề3:Từmộtđiểmbấtkìchọnlàmtâm,cóthểvẽvòngtròncóbánkínhlớnbấtkì.

Địnhđề4:Cácgócvuôngđềubằngnhau.

Địnhđề5:Nếuhaiđườngthẳngcắtnhauvớimộtđườngthẳngkhácthìtổngcácgóctrongđồngvịsẽnhỏhơnhaigócvuông,hai

đườngthẳngởcùngmộtphíasovớiđườngthẳngkiaắtphảicắtnhau.

Trongsố5tiênđềvàđịnhđềnêutrên,trừđịnhđềsố5đềuđượcthểhiệntrongphạmvihữuhạn,cóthểdùngthựcnghiệmđểkiểmchứng.Riêngđịnhđềthứ5cóphạmvimởrộngđếnvôhạnnênngaytừthếkỉthứXIVtrướcCôngnguyênđãnhiềulầnđưaracáchoàinghi.Nhiềunhàtoánhọcđãquahàngngànnămnỗlựcđịnhnhờcáctiênđề,địnhđềkhácđểchứngminhđịnhđề5songchưađạtđượcthànhcông,nhưngđãthuđượcnhiềusựkiệnthúvị:Mộtlàđịnhđề5vàmệnhđề“tổngcácgóctrongcủamộttamgiácbằng180o”làtươngđươngnhau,từmệnhđềnàycóthểsuyramệnhđềkia.Hailànếubácbỏđịnhđềsố5vàdùngmộtmệnhđềđốilậpkhácthaythế:vídụdùngmệnhđề“tổngcácgóctrongmộttamgiáclớnhơn180o”hoặc“tổngcácgóctrongmộttamgiácnhỏhơn180o”thaythếđịnhđề5,thìkếthợpđịnhđềmớivớicáctiênđềvàđịnhđềkhácngườitacóthểsuydiễn,chứngminhchínhxáccácmệnhđềkhác.

Nóicáchkhác,ngườitacóthểxâydựngmộtmônhìnhhọckhácchodùmônhìnhhọcnàyngườitakhôngthểquakinhnghiệmmànhậnbiết,nhưngcóthểquachứngminhđểchứngtỏđólàchânlí.

Trongtoánhọcngườitagọimônhìnhhọcchấpnhậnmệnhđề“tổngcácgóctrongcủamộttamgiácbằng180o”làhìnhhọcƠclid(Euclide),cònhìnhhọcchấpnhận“tổngcácgóctrongcủatamgiáclớnhơnhoặcnhỏhơn180o”là“hìnhhọcphiƠclid”.“HìnhhọcphiƠclid”đãđượccácnhàtoánhọcNgalàLôbasepskivàtoánhọcĐứclàRimansánglậpvàothếkỉXIX,vàđượcgọilàhìnhhọcLôbasepskivàhìnhhọcRiman.VàothếkỉXX,hìnhhọcphiƠclidbắtđầuđượcứngdụngtrongnghiêncứucơhọcvàvậtlíhọc.Vàonăm1915,hìnhhọcphiƠclidđãđượcEinsteinứngdụngvàohọcthuyếttươngđốirộng,điềuđókhôngchỉlàmngườitahiểusâuhơnvềhìnhhọcphiƠclidmàcònthúcđẩysựpháttriểncủahìnhhọcphiƠclid.

Từkhoá:Tiênđề;Địnhđề;HìnhhọcƠclid,phiƠclid.

MộthànhkháchbaytừBắckinhđếnSans-Francisco,máybaycấtcánhtạisânbaylênchíntầngmâycaođếnhàngvạnmét.Hànhkháchmớilầnđầuđimáybayđườngdàinêncảmthấyhếtsứcthúvị.Thếnhưngkhiquansáthànhtrìnhbaytrênmànhìnhmáythuhìnhanhtalạilấylàmlolắng:VìBắcKinhvàSans-Franciscocóvĩđộgầnnhau,Sans-Franciscolạihơilệchvềphíanam,nhưngsaukhicấtcánh,máybaylạibaylệchvềhướngĐôngBắc,vềmiềnAlaska.Liệucóphảiphihànhđoànđãnhầmđường?Chànghànhkháchtrẻđemthắcmắchỏimộtvịgiáosưtoánhọcngồibêncạnh.Vịgiáosưcảcườivàtrảlời“chínhmáybayhiệnđangbaytheođườngbayngắnnhấtđó”

Anhbạnđồnghànhngơngác“Thưagiáosư,thếchẳngphảigiáosưthườnggiảngtrênlớp:đườngngắnnhấtnốiliềnhaiđiểmlàđườngthẳngkiamà.Anhbạntrẻchỉmànhìnhvànói“thầyxemchẳngphảibâygiờđườngbaycủamáybayngàycàngtáchxaconđườngngắnnhấtđósao”Vịgiáosưkiêntrìgiảithích:Đúnglàgiữahaiđiểmtrênmặtphẳngthìđườngthẳnglàđườngngắnnhấtnốiliềnhaiđiểmđó.Thếnhưngmặtđấtlạikhôngphảilàmặtphẳngmàlàmộtmặtgiốngmặtcầu.Trênmặtcầuthìđườngngắnnhấtnốihaiđiểmlàcungcủavòngtrònlớnnốihaiđiểmđó.Vòngtrònlớnlàgiaotuyếncủamặtphẳngquatâmhìnhcầuvàmặtcầu.Haiđiểmtrênmặtcầuvàtâmđiểmcủamặtcầuxácđịnhmặtphẳngquatâmmặtcầuvìvậyhaiđiểmtrênmặtcầuphảinằmtrênmộtvòngtrònlớnxácđịnh.Haiđiểmnàyxácđịnhmộtcungxácđịnhtrênvòngtrònlớn,đólàđoạnđườngngắnnhấtnốihaiđiểmtrênmặtcầu.VídụcácđườngkinhtuyếntrênTráiĐấtđềuquahaicựcBắc-NamcủaTráiĐấtnêncáckinhtuyếnđềulàcácvòngtrònlớn.Đườngxíchđạocũnglàmộtvòngtrònlớn.Còncácvĩtuyếnthìchỉlàcácđườngsonghànhvớiđườngxíchđạomàkhôngphảilàvòngtrònlớnnêntrừđườngxíchđạora,cácvĩtuyếnkháckhôngphảilàvòngtrònlớn.TừđócóthểthấymặcdùBắcKinhvàSans-FranciscocóvĩđộgầnnhaunhưngđườngngắnnhấtnốihaiđịađiểmkhôngphảilàvĩtuyếnmàlàcungtrònlớnquaAlaska.

Cậuhànhkháchtrẻtuổihiểuravàtrảlời:Thưathầyemrõrồi!Anhbạntrẻthíchthúkêulên“Tốtquá,thếlàhômnaychúngtalại

đượcdịpbayđếnvòngcựcBắc”.“Đúngđấy”.Cóaiđấytrảlời.Bỗngnghethấymộtgiọngnữbìnhtĩnhnói:Giáosưgiảngrấtđúng.Nhưngchúngtacòncầnchúýthêmmộtđiềunữa:Trênmộttuyếnbayxácđịnhtacònphảichịusựquảnlítrênkhôngtrunglàmộtnhântốbảođảmantoàncủađoànbay,nênthựctếtuyếnbaythườngchỉchọnmentheocáccungtròntrênvòngtrònlớn.

Nhưngkhianhbạntrẻtheodõitrênmànhìnhlạinảyramộtthắcmắcmới:“Thếcóphảitrênđịađồcáccựlykhôngtheođúngtỉlệvớikhoảngcáchtrênthựcđịa”,vìtheobảnđồthìcựlygầnnhấtkhôngphảilàmentheocungtròncủavòngtrònlớn?“Giáosưtiếptụcgiảnggiảithêm:Bềmặtđịacầunếukhôngthayđổithìkhôngthểdánphẳngđượcbảnđồbiểudiễnmặtđấthoặcmộtphầnmặtđấttrênmộttấmảnhphẳngnênkhôngthểbiểudiễntrungthựcđượccựlytrênbảnđồ.Trêntấmbảnđồcủaphạmvinhỏ(nhưbảnđồmộtthànhphố,mộttỉnh)thìngườitakhónhậnbiếtđượcsựsailệchnày.Trêntấmbảnđồcủaphạmvinhỏcựlytrênbảnđồvềcơbảnvẫnphảnảnhcựlythựctếtheomộttỉlệxíchquyđịnh.Trêntấmbảnđồtrongphạmvilớnthìkhôngthểbỏquasựsailệchđãnêutrên.VídụtheotấmbảnđồthếgiớitrênmànhìnhthìởBắccực,mộtcựlycủahaivùngphụcậnsovớicựlyđồngdạngởxíchđạocóđộdàilớnhơnnhiềulần.TỉlệxíchcủatấmbảnđồnàychỉthíchhợpchomiềnXíchđạo.Vìvậyvớitấmbảnđồchophạmvilớntakhôngthểcăncứcựlytrênbảnđồđểphánđoáncựlytrênthựctế.Thếnhưngvớiquảcầuđịalídùngmặtcầuđểbiểudiễnmặtđấtthìcựlytrênmặtquảcầuphảnánhchínhxáccựlythực.

MáybayđãbayđếnkhôngphậnAlaska,cậuhànhkháchtrẻtuổihếtsứcthúvịvìđãhọchỏiđượcnhiềuđiềuquachuyếnbay.

Từkhoá:Vòngtrònlớn.

Đâylàbàitoáncổnổitiếngđượcghitrongsách“SáchtoánTôntử”.Nộidungbàitoánnhưsau:

“Mộtsốgàvàthỏđượcnhốtchungtrongmộtlồng,đếmsốđầu

thìđược35đầu,nếuđếmchânthìcó94cáichân.Hỏitronglồngnhốtbaonhiêugà,baonhiêuthỏ”.

Ngườiđờisaugọiloạibàitoánnàylà“Bàitoángàthỏchunglồng”.Nếubâygiờdùngkiếnthứcgiảihệphươngtrìnhthìviệcgiảibàitoánlàkhádễdàng.Nếugọixlàsốgàvàylàsốthỏ,dựatheođềtoántaviếthệphươngtrình

x+y=35

2x+4y=94

Giảihệphươngtrìnhhaiẩnsốtadễdàngtìmthấyx=23,y=12.

Trong“SáchtoánTôntử”ngườitađãsửdụnglíluậnsauđâyđểđưaralờigiải:Mộtnửasốchântrừđisốđầusẽbằngsốthỏtức

94/2-35=12thỏ.

Lấysốđầutrừsốthỏsẽlàsốgà:35-12=23.

Cáchgiảitựnhiênvàcũnghợplôgic.

Trongsáchkhônghềđưaranguyênnhânđưaralờigiải,nhưngconđườngđểđưaralờigiảicũngdễthấy.

Vìgàchỉcóhaichân,thỏcóbốnchân,sốchânthỏgấpđôisốchângà.Nếulấymộtnửasốchântrừđisốđầu(củacảthỏvàgà)tathấyđượcsốđầuthỏvàtừđódễdàngtìmthấysốđầugà(tứcsốgàtronglồng).Nếudùngkíhiệuthaythếtasẽdễdàngthấyrõcáchlậpluậnvừanêu.Nếugọixlàsốgà,ylàsốthỏthì

1/2(2x+4y)-(x+y)=y

Lấytổngsốthỏvàgàtrừđisốthỏtacó(x+y)-y=x

Bàitoánthỏ-gàvềsauxuấthiệnnhiềuphươngán,cáchgiảicũngkhácnhau.Ngoàicáchgiảitrênđâycóthểcócáchgiảikhác.Vídụgiảthiếttoànbộsốđầutronglồngđềulàđầuthỏthìsốchânắtphảicólàgấpbốnlầnsốđầutứcphảicó140chân.Thựctếlạichỉcó

94chânnênsốchânthừalà46dongộnhậngàthànhthỏ,màgàcóhaichân,sốgàphảilàmộtnửasốchânthừavàlà23.Vàsốđầuthỏphảilàtổngsốđầutrừđisốđầugàtứcsốđầuthỏlà12.

Từkhoá:Bàitoángàvàthỏchunglồng.

VàothếkỉthứVởTrungQuốccóbộsáchtoánnổitiếnglà“SáchtoánTrươngKhâuKiện”trongđócóbàitoántrămcongà.Đem100đồngmua100congà,gàtrốnggiá5đ1con,gàmáigiá3đmộtcon,3gàcongiá1đồng.Hỏimuađượcmấygàtrống,mấygàmái,mấygàcon.Đâylàloạibàitoáncongànổitiếng.

Làmthếnàođểgiảibàitoàn100congà?Ngàynaythôngthườngngườitadùngphươngphápđạisốđểgiảibàitoánnày.

Giảsửgọixlàsốgàtrống,ylàsốgàmái,zlàsốgàconmuađược.Theođiềukiệncủabàitoántađặtcácphươngtrình:

x+y+z=100 (1)

5x+3y+z/3=100 (2)

Trongđạisốtađãhọcquacáchgiảihệphươngtrìnhbậcnhấtnhiềuẩnsố,nhưngđiềukhácởđâylàsốphươngtrìnhíthơnsốẩnsố.Vớicácbàitoángiảihệphươngtrình,nếusốphươngtrìnhbằngsốẩnsốthìbàitoánsẽchohệnghiệmduynhất.Ởđâysốphươngtrìnhíthơnsốẩnsốmộtphươngtrình,đâylàloạiphươngtrìnhvôđịnhnênbàitoán100congàlàbàitoánphươngtrìnhvôđịnh.Nóichungvớiphươngtrìnhvôđịnh,khigiảisẽchonhiềuhệnghiệm.Trong“SáchtoánTrươngKhâuKiện”khôngđưaracáchgiảicụthểmàchỉra3hệđápán:

x=4 x=8 x=12

y=8 y=11 y=4z=78 z=81 z=84

Từcáchệnghiệmnàycóthểthấy,nếutăngsốgàtrống4conthìkhigiảmsốgàmái7convàtăngsốgàcon3con,tathuđượchệnghiệmmới.Tathửxemxétkếtluậnvừađưara.

Lấyphươngtrình(2)nhâncho3rồiđemkếtquảtrừchophươngtrình(1)tacó.

14x+8y=200

hay7x+4y=100(3)

Trongphươngtrình(3),4yvà100đềulàbộisốcủa4hay

7x=100-4y=4(25-y)

Vìvậy7xcũngphảilàbộisốcủa4(nếukhôngxsẽkhôngphảilàsốnguyênvàxsẽkhôngphảilànghiệmcủabàitoán),haynóicáchkhácxphảilàbộisốcủa4,nênxchỉcóthểlàx=4,8,12.

Vàtươngứngtasẽtínhray=18,11,4vàz=78,81,84.Vìx,y,zphảilàcácsốnguyênnhỏhơn100nênchodùphươngtrìnhvôđịnhcóvôsốhệnghiệmnhưngdosựràngbuộccủabàitoán100congà,bàitoántrênchỉcóbahệnghiệmphùhợpvớiđiềukiệncủađềtoán.

Từkhoá:Bàitoán100congà.

Đâylànộidungcủatròđốvuicổ:Cóngườicầnchởmộtconsói,mộtcondêvàmộtsọtraucảiquasông(ởđâygiảthiếtlàsóikhôngănthịtngười).Bênbờsôngchỉcómộtconthuyềnnhỏ.Ngườinọmuốnđưacảsói,dêvàrausangbờbênkianhưngthuyềnlạiquánhỏ,mỗilầnchỉcóthểchởquamộtđồvật,nếuchởhaiđồvậttrởlênthìthuyềnsẽchìm.Mặtkhácnếukhôngcósựgiámsátcủangườithìsói

sẽănthịtdêhoặcdêsẽănhếtraucải,nênnếudê,sói,raucảimàkhôngcósựgiámsátcủangườithìkhôngthểđểchúngởcùngnhau.Vậyphảilàmthếnào?Cầnphảitìmphươngánquasôngđểdê,sóivàrauđềuantoànquasông?

Đâychínhlà“bàitoánchởquasông”haycòngọilàbàitoán“Sói,dê,rau”.Đốivớinhiềungườithìđâylàbàitoánkhôngkhó,chỉcầnthửmấylầnlàsẽtìmđượcđápáncầnthiết.Thếnhưngnếulạiđặtcâuhỏibàitoáncóbaonhiêulờigiảithìđãlàcâuhỏikhó.

Suynghĩmộtchútbạnsẽđưarađượcnhiềuphươngánchởquasôngmàsói,dê,rausẽkhôngbịgâyhại.Cáctìnhhuốngđượcliệtkênhưdướiđây:

Trạngthái Bờsôngbênnày Bờsôngđốidiện1 Người,sói,dê,rau2 Người,sói,dê rau3 Người,sói,rau dê4 Người,dê,rau sói5 Người,dê sói,rau6 Sói,rau Người,dê7 Sói Người,dê,rau8 Dê Người,sói,rau9 Rau Người,dê,sói10 Người,sói,dê,rau

Trạngthái1làtrạngtháiđầu,trạngthái10làtrạngtháicuốicùngcầnđạtđược.Ngườichởthuyềnmỗilầnđưasangsôngmộtthứvàlàmộtlầnthayđổitrạngthái.Bướcthứnhất,ngườicầnmangmộtthứtảiquasông,nênbênnàysôngcònlạihaithứ(trạngthái5,6ởtrongbảng)chỉcóthểởtrạngthái6ngườichởdêquasông.

Bướcthứhai,ngườiđưathuyềntrởvềtứcởtrạngtháithứba.Bướcthứbangườilạimangmộtthứtảiquasông,bờbênkiachỉxuấthiệnhailoạitìnhhuống(trạngthái7,9trongbảng)tứccóhailoạiphươngán.Chúngtahãyxemloạitìnhhuốngthứnhất,ngườimangrauquasông,tứcloạitrạngtháithứbảy.Bướcthứtư,lầnnàyngườikhôngthểđưathuyềnkhôngtrởvềvìdêsẽănmấtrau,vìvậyngườiphảimangmộtthứtrởvề,đươngnhiênkhôngthểlàrau,nếukhôngthìcoinhưlàbỏmấtbướcthứbavàsẽquaytrởlạitrạngtháiba.Nênngườilạiphảimangdêtrởvề,nênlạixuấthiệntrởlạitrạngtháithứhai.Bướcthứnămngườilạimangsóiquasông(ngườiđãmangdêtrởvềbênbờnày,nếulạimangtrởlạichẳngphảilạilặplạisao).Bâygiờtasangtrạngtháithứtám.Bướcthứsáungườicóthểđưathuyềnvềkhôngvìsóivàraucóthểởcùngnhautứcởtrạngtháithứnăm.Bướcthứbảyngườilạimangdêquasông,vàđãhoànthànhđượccôngviệc.

Theophươngphápnàybạncóthểtựhoànthànhphươngánhai.Vàbạnđãpháthiệnchỉcầnquabảybướclàphươngánhaiđượchoànthành.Vàđểđưađượcsói,dêvàrausangsôngcầnítnhấtlàbảylần,vànếuyêucầukhônglặplạimỗiloạitrạngtháithìbàitoánsangsôngchỉcóhailờigiải.

Từkhoá:Bàitoánquasông.

Trongmộtbuổilênlớp,thầygiáođãđưarachohọcsinhmộtđềtoánsauđây:Trênmộtchiếcthuyềncó75contrâu,32condê,hỏithuyềntrưởngbaonhiêutuổi.

Mấyphútsau,cáchọcsinhđãlàmxong.ThầygiáoyêucầubéHoađưaralờigiảicủamình,bạnHoatrảlời“Thuyềntrưởng43tuổi”.ThầygiáolạigọibạnLâmnóikếtquả,bạnLâmtrảlời“Thuyềntrưởng53,5tuổi”.Nghehaicâutrảlời,bạnDũngnói“Bàitoánnàykhônggiảiđược”.Cácbạnnghĩxemtrongbabạnhọcsinh,bạnnàođãnóiđúng?

Sựthựcthìsốtuổicủathuyềntrưởngkhônghềcómốiliênquannàovớisốtrâu,dêtrênthuyền.Vìthếtừ75contrâuvà32condêkhôngthểnàotínhđượctuổicủathuyềntrưởng.

ThếtạisaobạnHoavàbạnLâmđềuđưaralờigiảiđápchomộtbàitoánkhôngcólờigiải.Nguyêndolàcácemcũngnghĩđếnviệcbàitoánkhôngcólờigiảinhưnglạinghĩrằngphàmthầygiáođãrađềlẽnàolạilàbàitoánkhôngcólờigiải.VìthếbéHoađãgiảmbớtconsốlớncònbạnLâmlạilấytrungbìnhcủahaisốlàmlờigiải.

TrongcuộcthiOlympictoánquốctếnăm1947ởHungaricómộtbàitoánnhưsau:Chứngminhrằngtrongmộtnhómsáungườibấtkìítnhấtcóbađãtừngbắttaynhauhoặcítnhấtcóbangườichưatừngbắttaynhau”.Tháng6-1956mộttờnguyệtsantoáncủaMỹđãchuyểnmệnhđềnàythànhmộttròchơitoánhọc,từđóhaibàitoántrởthànhmộtđềtoánlíthúmàngườitathườnggọilà“bàitoánnhómsáungười”.

Làmthếnàochứngminhmệnhđềđó?TrướchếttacóthểsắpxếpnhómsáungườibấtkìnàytrênsáuđiểmđỉnhkhácnhauvàđạidiệnbằngcácchữcáiA,B,C,D,E,F,dùngcácnétliềnđểnốicácđỉnhbiểudiễnlàngườibắttaynhau,vàdùngnétđứtđểbiểudiễn

việchaingườichưahềbắttaynhau.Nhờđótabiểudiễnđượctrạngtháibắttay(vàkhôngbắttaynhau)củanhómsáungườithànhgiảnđồ.Trênhình1môtảtrạngtháibắttaycủasáungười.

Theonhưhình1cóbaonhiêutrạngthái?Trongmỗiquanhệbắttaynhau,từmỗiđiểmđỉnhcóthểvẽ5đườngthẳngnốiliềnvớicácđỉnhkháctứclà6x5=30cạnh,nhưngtrongđócómộtnửalàtrùngnhau.Vànhưvậytrạngtháibắttaynhaucó30:2=15cạnh,mỗicạnhlạicóhailoạinétliềnvànétđứtvànhưvậytrongmốiquanhệbắttaynhaucủasáungườicó215tìnhhuốngkhácnhau.Dướiđâytasẽchứngminhluậnđềnêutrên.

TrướchếttaxétmộtđiểmđỉnhnhưAchẳnghạnítnhấtcóthểbắttayvớibangười,vàítnhấtcũngcóbangườikhôngbắttayvớiA.CũngtươngtựtasẽtìmthấytrạngtháikhôngbắttaycủaAvớibangười.Trướchếttaxéttìnhhuống1,ítnhấtcóbangườibắttayvớiA.

VídụB,C,Dchẳnghạn.Nhưtìnhhuốngởhình2biểudiễnítnhấtcóbangườiB,C,DchưabắttayvớiA(đườngnốilànétđứt),nếukhôngsốngườibắttayvàkhôngbắttaynhausẽnhỏhơn5.Trướchếttaxéttìnhhuống1trongtrạngtháinày.AítnhấtbắttayvớibangườivídụvớiB,C,Dchẳnghạn.NếuB,C,Dlàbangườichưahềbắttaynhau(hình2)nênđâylàtìnhhuốngcóngườichưahềbắttaynhau.Nếukhông,trongbangườiítnhấtcóhaingườibắttaynhau,vídụgiữaCvàD(hình3)nhưvậyđãđápứngvớimệnhđềítnhấtcóbangườibắttaynhau.Tahãyxétloạitìnhhuốngthứhai,ítnhấtAchưahềbắttayvớibangườikhác,giảsửvớiB,C,D;bấygiờtachỉcầnthaynétliềnthànhnétđứttrênhình2.Cácchứngminhtươngtự,cácbạncóthểtựtiếptụcvàsẽtìmđượckếtluậncầnthiết.Từcáclíluậntrênđâychúngtacóthểchứngminh,trongnhómsáu

ngườibấtkì,ítnhấtcóbangườibắttaynhauhoặcítnhấtcóbangườichưahềbắttaynhau.

Ngườitacóthểtiếnthêmmộtbướcnữa,trongnhómcósáungườiítnhấtcóbangườitừngbắttaynhau,hoặcítnhấtbangườichưahềbắttaynhau.Thếnhưngnếusốngườiíthơnsáuthìkếtluậnsẽkhôngphùhợp.Hình4biểudiễnđiềuđó:trongnhómsáungườikhôngcóbangườiđãbắttaynhau,cũngkhôngcóbangườichưahềbắttaynhau.

Từkhoá:Bàitoánnhómsáungười.

Nếubạnmuốnbiếtngàynàođótronglịchsửhoặctrongtươnglailàngàythứmấy,nếukhôngdùnglịch,bạncótínhrađượckhông?

Trongthựctếcónhiềuloạicôngthứcdùngđểtínhtoánngàynào,thángnàocủamộtnămnàođólàngàythứmấy?

Vídụ:

Trongđóxlànămdươnglịch.Clàsốngàytínhtừngày1thánggiêngnămđóđếnngàycầntính(gồmcảngàycầntínhtrongđó).

Cácsốhạnglàphânsốkhitínhxongchỉlấyphầnnguyên.SaukhitínhđượcS,đemSchiacho7.Nếusốdưcủaphépchiabằng0,sốngàycầntínhlàngàychủnhật,nếusốdưlà1thìlàngàythứhaiv.v...

Vídụcầnxemngày1-7-1921làngàythứmấy?

Tatính

=1920+480-19+4+182=2567

ChiaScho7tađượcsốdưlà5.Vậyngày1-7-1921làngàythứsáu.

Côngthứctrênđâykhôngđưangày,tháng,trựctiếpvàocôngthứcmàphảitínhngàycầntínhlàngàythứmấytrongnăm.CôngthứcTaylordướiđâychophéptatránhđượcđiềuđó.

TrongđóClàhaisốđầucủanămdươnglịch;ylàhaisốsaucủanămdươnglịch,mlàsốtháng,dlàsốngày;điềucầnchúýlàvớitháng1vàtháng2thìngườitaxemlàtháng13vàtháng14.SaukhitínhđượcWtheocôngthứcTaylor,đemchiaWcho7,sốdưchotangàythứmấynhưởcôngthứctrước.

Vídụ:1.Thửtínhngày1-10-1949làngàythứmấy?

TheotrêntacóC=19,y=49,m=10,d=1

DùngcôngthứcTaylortacó:

=4-38+12+28

=55

Lấy55chiacho7dư6nênngày1-10-1949làngàythứbảy.

2.Ngày13-1-1999làngàythứmấy?

C=19,y=99,m=13,d=13.ỨngdụngcôngthứcTaylortacó:

=4-38+99+24+36+12=137

chia137cho7dư4,vậyngày13-1-1999làngàythứnăm.

Từkhoá:CôngthứcTaylor.

Bàitoánnàygầnnhưkháđơngiản:cóthểdùngphươngpháptínhtrựctiếplàtìmra.Cáccáchtínhtoánđượcsẽlà:

1.Nếuchỉdùngđồng1xu.Chỉcómộtcách.

2.Dùngđồng2xukếthợpđồng1xu.Việcsửdụngđồng2xucóthểdùngtừngđồngkếthợpvớiđồng1xu,dùnghaiđồng2xukếthợp,dùngbađồng2xukếthợp,dùngbốnđồng2xukếthợpđồng1xuvàdùngnămđồng2xu.Nhưvậytấtcảcónămcách.

3.Dùngmộtđồng5xukếthợpvớidùngnămđồng1xu;dùngmộtđồng2xuvàbađồng1xu;dùnghaiđồng2xuvà1đồngmộtxu.Nhưvậycótấtcảbacách.

4.Dùnghaiđồng5xu,chỉcómộtcách.

Theonhưmôtảtổngsốcáchsắpxếpsẽlà1+5+3+1=10cách.

Thếnhưngngoàicáchphântíchtrựctiếpnhưtrênliệucòncóphươngpháptổngquáthơnkhông?Có.BạnchỉcầntínhhệsốA10củasốhạngx10củacôngthứcdướiđây:

(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10).

(1+x+x2+x4+x6+x8+x10).

1+x5+x10=1+A1x+A2x+...A10x10+...+x30

ThếA10bằngbaonhiêuvậy?

1.Haisốhạngx10ởhainhântửtrướcnhânvớisố1,ởnhântửthứ3làsốhạngchứax10,cácluỹthừax2nhânvớix8vàx4nhânvớix6đềuđượcx10tấtcảcósáusốhạngchứax10.

2.Haisốhạngchứax5ởnhântửđầu,vớiởnhântửthứ3tacũngthuđượcx10.Bởivìởnhântửthứhai,tấtcảcácluỹthừacủaxđềulàsốchẵnnênchỉcóx5vàx3vàx2,x1vàx4là3cáchtạođượcx5,nêntachỉcó3x10.

3.Cuốicùngsố1ởhainhântửcònlạinhânvớix10làđượcmộtsốhạngchứax10.Tổngcácsốhạngcóchứax10nhưvừamôtảởtrêntacó

A10=6+3+1=10.

Talặplạikếtquảđãnhậnđượcởphươngphápphântíchtrựctiếptrênkia.

Phươngphápvừatrìnhbàyđượcgọilà“phéptoánhàmsốgốc”.PhươngphápquantrọngnàyđượcnhàtoánhọcThuỵSĩƠleđưara.

Nếunhưcầntìmcáchsắpxếpcácđồng1xu,2xu,5xu,1hào,2hào,5hàođểđượcđủ1đồng(100xu)hỏiphảicóbaonhiêucáchsắpxếp,vớitrườnghợpnàyviệctínhdựavàophântíchtrựctiếpđãtrởnênrấtkhókhăn.Nhưngnếudùng“phươngpháphàmsốgốc”tasẽcócôngthức.

(1+x+x2+x3+...+x100).(1+x2+x4+...+x100)

(1+x5+x10+...+x100).(1+x10+x20+...+x100)

(1+x20+x40+...+x100).(1+x50+x100)

TachỉcầnkhaitriểnchúngvàtìmhệsốA100củasốhạngchứa

x100.Nhờthaotácmáymócnày,nhờcácmáytínhđiệntửtacóthểdễdàngthựchiệnvàtìmđượcgiảipháp.

Từkhoá:Hàmsốgốc.

81.Vìsaocon“mã”lạicóthểđiđếnvịtríbấtkìtrênbàncờtướng?

TrongbàncờtướngTrungQuốccon“mã”đitheoquytắclànhảyđếnđỉnhđốidiệncủachữnhật.Liệucon“mã”cóthểđiđếnvịtríbấtkìtrênbàncờkhông?Câukếtluậnlà“có”,cóthểchứngminhkháđơngiản.

Hiểnnhiênchỉcầncon“mã”điđếnđượchaivịtríởcạnhnhautrênbàncờ.Nhưtrênhình1giảđịnhvịtríbanđầucủacon“mã”tạiđiểmA,tacầnđưaconmãđếnvịtríBcạnhđó.ChúngtacóthểthấyAhoặcBởtrênkhuvựcmộtchữđiền⽥trênbàncờ.Tacóthểchứngminhcon“mã”cóthểdựatheoquytắcđinhảytrongphạmvichữđiềnđãchọnlàcóthểđếnđượcđiểmBởlâncậnA.Cáckhuvựccóthểđượcchọnlàmộttronghaikhuvựcđốixứngnhưởhình1vàhình2.ConmãtừAđiđếnBởhình1hoàntoàngiốngnhưởhình2,vìvậytachỉcầnxéttrườnghợpnhưhình1.

Tacóthểdùnghệtoạđộvuônggóc.GiảsửtoạđộcủaAđượcbiểudiễnA(0,0)điđếnđiểmB(0,1)tacóthểdùngbanướcđiA(0,0)→(1,2)→(2,0)→B(0,1).

Điềuđóchứngminhkếtluậnđãnêutrên.

Nhưvậyvấnđềđặtrađãđượctrảlời.Nhưvậytừphươngphápđơngiảnlàdùnghệtoạđộvuônggócđểgiảiquyếtbàitoán,tacóthểbiếnvấnđềchodùnhìnquakháphứctạpthànhvấnđềcóthểgiảiquyếtđượcbằngbiệnphápđơngiản.

82.Cầnbaonhiêuphépthửđểtìmđượcmộtphếphẩmtrong81sản

phẩmsảnxuấtra?Có81sảnphẩmđượcsảnxuấtranhưngtrongđócómộtsản

phẩmcóvếtrỗngbằnghạtcátnêntrởthànhphếphẩm,cầnphảitìmraphếphẩmđó.Đươngnhiênlànhìnbằngmắtthườngngườitakhôngthểnhậnraphếphẩmđó,dovếtrỗngởbêntrongphếphẩm,nênphếphẩmsẽnhẹhơnchínhphẩm.Nhưvậytacóthểdùngcáchcânđểtìmraphếphẩm.Nhưngvấnđềđặtralàphảithựchiệnbaonhiêuphépcânthìmớitìmđượcphếphẩm.

Phươngphápkiểmtrachunglàbỏhaisảnphẩmvàohaiđĩacân,nếucânkhôngbịlệchthìđólàhaichínhphẩm,nếukhôngthìvậtnhẹhơnsẽlàphếphẩm.Nhưvậyvớilầncânđầutiêntacóthểpháthiệnđượclàcóphếphẩmhaykhông?Nếunhưcóbasảnphẩmtacóthểpháthiệnraphếphẩmvớimộtlầncân.Bởivìnếuchỉcóbavậtphẩmmànếucómộtphếphẩmthìkhiđặthaivậtphẩmlêncânnếucânthăngbằngthìphếphẩmlàvậtchưađưalêncân,cònnếucânbịlệchthìphếphẩmlàvậtnhẹhơn.

Thếnếucóchínvậtphẩmliệucóphảicânđếnchínlầnkhông?Trướchếttachiasảnphẩmthànhbađống,mỗiđốngcóbasảnphẩm.Tuỳýchọnhaitrongbađốngđặtlênhaiđĩacân.Vớimộtlầncânbạncóthểpháthiệnphếphẩmởđốngnào.Sauđólạichọnphếphẩmtừđốngcóchứaphếphẩm.Sauđódùngbiệnphápnhưtrêntacóthểtìmđượcphếphẩm,nhưvậychỉcầnhailầncân.

Dựatheolíluậntươngtự,tachia81sảnphẩmthànhbađống,mỗiđống27sảnphẩm.Sauđóchọnhaiđốngbấtkìtrongbađống,đặtlênhaiđĩacân,nhờđócóthểxácđịnhphếphẩmchialàmbanhómmỗinhómchíncái,lạilấyhaitrongbanhómđemcân.Đếnđâytađãthựchiệnbốnlầncân,nhờđócóthểtìmđượcphếphẩmtrong81sảnphẩm.

Nếunhưsốsảnphẩmnhiềuhơnvínhư243,729...tacầntìmquyluật.Nếunhưbạnđãtìmrathìnếusốlinhkiệnlà3n,thìnsẽlàsốlầncânđểtìmphếphẩm.Vídụ81=3nthìnếucầntìmphếphẩmtrong81sảnphẩmtacầnbốnlầncân.Còn243=35,729=36thìnếucầntìmphếphẩmtrong243,729sảnphẩmthìsốlầncânítnhấtlànămlầnvàsáulần.Nếusốlinhkiệnkhôngbằng3nthìphảilàmthếnào?Xincácbạntựtìmgiảipháp.

83.Làmthếnàođểsắpxếpkhéoléo250quảtáovàotámchiếcgiỏ?

Vấnđềnhưsau:giảthiếtdungtíchcủacácchiếcgiỏđủlớnđểcóthểxếpsốlượngbấtkìcácquảtáovàogiỏ,làmthếnàoxếp250quảtáovàotámchiếcgiỏmàkhicầnlấysốtáobấtkểlàbaonhiêutacũngkhôngcầnphảiđếmtừngquảmàchỉcầnchọnsốgiỏlàđược.

Vậyphảilàmthếnào?Suynghĩkĩmộtchúttasẽthấythựcchấtcủavấnđềnhưsau:Làmthếnàochia250thànhtámsốtựnhiêntừ1đến250saochocóthểbiểudiễnsố250bằngtổngcủatámsốđó.

Trướchếttađánhsốgiỏtừ,,,...,.Sauđóchovàogiỏsốquảtáotươngứng1,2,4,8,16,32,64,123,nhờđótacóthểbỏtoànbộsốtáovàocácgiỏ.Bâygiờbấtluậnbạncầnlấybaonhiêuquảtáo,bạnchỉcầnlấycácsốgiỏthíchhợpmàkhôngcầnđếmtừngquả.Vídụnhưcầnlấy55quả,tabiết55=32+16+4+2+1vàtachỉcầnlấycácgiỏsố,,,,làđủsốquảtáolà55màkhôngcầnđếmtừngquảtáo.Khôngtinbạnthửtínhvàthấybấtkìsốnàotừ1đến250đềucóthểchọntừtổngcácsốkhácnhautừtámsốnêutrên.

Nếubạncầnlấy255quảtáothìđươngnhiêntachỉcómộtđápánlà:

1+2+4+8+16+32+64+128=255.

Thếdãysốtrênđâytừđâumàcó?Đểgiảiđápcâuhỏinàytacầnquaylạicáchghisốtrongcáchệđếm.

Thôngthườngngườitaghisốtheohệđếmthậpphângồm10chữsố:

0,1,2,...,9.Dùnghệđếmthậpphântacóthểghilạibấtkìsốtự

nhiênnào.

Trongmáytínhngườitalạidùngcáchghisốtheohệđếmnhịphân.Cácchữsốdùngđểghisốtronghệnhịphânlàhaichữsố0và1.Dùngcáchghisốtheohệđếmnhịphânngườitacũngcóthểghibấtkìmộtsốtựnhiênnào.

Chúngtacóthểtheoquytắc,chuyểncáchghisốtừhệđếmthậpphânsanghệđếmnhịphânvàngượclại.Vídụsố55làtổngcủacácsố32,16,4,2,1ghitheohệđếmnhịphânlà110111.Màsố110111viếttheohệđếmcơsố10là

1x20+1x21x1x22+0x23+1x24+1x25

=1+2+4+16+32=55

Bâygiờtađãthấyrõđượclídocủađápántrênkia,vìcáchchia255thành8số20,21,22,23,24...nhờcáchphânchianày,mỗisốcủamỗigiỏtươngđươngvớimộtvịtrítrongcáchghisốtheocơsốhaigồmhaichữsố1và0vàdựavàođómàchọnhaykhôngchọn.Nếusốhiệucủacácgiỏcúngchínhlàsốvịtrícủacácsốtheohệđếmcơsốhaitừphảisangtráivídụ55thìtươngđươngvới110111tronghệđếmcơsố2tứclàchọncácgiỏcósốthứtự1,2,3,5và6tasẽnhậnđược55quảtáonhưđápánđãnêu.Ởđâytakhôngchọngiỏsốbốnvìtheocáchghisố55theocơsốhai,giỏsốbốnởvịtrícóchữsố0.

Từkhoá:Hệđếmcơsố1;Hệđếmcơsố2.

84.Làmthếnàotừsố7côlậpcóthểkhôiphụclạitoànbộcảphéptính?

Xétxemphéptínhsauđâychỉcómỗisố7còncácvịtrícácchữsốkhácđềubỏtrống.Làmthếnàocóthểkhôiphụcđượctoànbộphéptínhchiađãcho.Sốbịchialàconsốcó8chữsố,thươngsốcó5chữsố,cònsốchiacó3chữsố.Nhìnvàocáchàngsốtậncùngrõràngđâylàphépchiahết.Sốcácchữsốtrongphéptínhnàycóđến41chữsốmàtachỉbiếtcómỗichữsố7.Bạncóthểdựavàomỗiconsố7khôiphụclạitoànbộcácchữsốcònbỏtrống:

Hiệntạitacóthểdùngphươngphápsuyluậnlôgic,lấyconsố7làmđiểmđộtpháđểsuyratoànbộcácchữsốtrongphéptính.

Đểtiệndiễngiải,chúngtanêutoànbộkíhiệuphépchiadướiđây:

Trướchếtxéthàngthứbavàhàngthứtư.Doconsốcóbachữsốthìconsốtốiđakhôngquá999,cònbachữsốởhàngthứtưthìchữsốđầunhấtđịnhkhôngvượtquásố8.

Chữsốthứtưởthươngsốrõrànglàsố0(vìconsốởhàngthứbảycónhiềuhơnởhàngthứsáuhaichữsốvềphíabênphải).Hiệntạivẫnchưacócáchpháthiệnchữsốthứbaởthươngsố,tứcconsốđứngcạnhsố7ởbênphải.Chỉcầnsosánhcáchàngthứba,thứtư

vớihàngthứnăm,hàngthứsáubạnsẽpháthiệnđượclàchữsốnàyphảilớnhơn7,nênchỉcóthểlàchữsố8hoặcchữsố9.

Lạixétchữsốởbêntráichữsố7,chữsốnàykhinhânvớisốchiasẽđượcmộtsốcóbốnchữsố,cònchữsốởbênphảisố7khinhânvớisốchialạiđượcmộtsốcóbachữsố,vảlạiconsốcóbachữsốnàyphảikhôngquábé,khôngnhữngthếphảilàconsốlớnhơnconsốởhàngthứtư.Từđócóthểđiđếnphánđoán:chữsốởbênphảisố7phảilàsố8,chữsốởbêntráisố7phảilàsố9vàtoànbộthươngsốsẽlà97809.

Lạixétđếnhàngthứsáu.Dotíchsốcủasốchiavớisố8làmộtsốchỉcóbachữsố,nêncóthểphánđoánsốchiaphảinhỏhơn125.Nếunhưvậytabắtđầuthửvớisố124.Lấysố124nhâncho97809,saukhitínhđượcsốbịchiatalạithựchiệnphépchia:

Đâycóphảilàlờigiảiduynhấtkhông?Bâygiờtalạithửphépchiavớisốchia123:

Consốtrongôchữnhậtcóbachữsốtrongkhitheosơđồthìconsốởđócóbốnchữsố(hàngthứnăm),nênsốchia123bịloạitrừ.Rõràngkhôngcầnphảithửtiếpcácsốchianhỏhơn123.

Việctừmộtđầumốimongmanhmàpháthiệnđượctoànbộđãcungcấpchongườitamộtphươngphápsuynghĩcóích.Gọitheotừchuyênmônlà“bàitoánsâugặm”.Banđầuphươngphápnàyđượcdùngđểpháthiệncácchữsốtrongtàiliệu,sáchvởđãbịmối,mọtgặmmất,hiệnnayphươngphápđãđượcsửdụngrộngrãitrongkhoahọckĩthuật.Bàitoánconsố7côđộcnêutrênchínhlàmộtloại“bàitoánsâugặm”,làkiệttáccủaAudling.

Từkhoá:Bàitoánsâugặm.

85.Thếnàolànguyêntắcôkéo?Cósáuquyểnsáchcầnxếpvàonămôkéo.Cónhiềucáchxếpsách

vàocácôkéo,cóôkéokhôngcóquyểnsáchnào,cóôkéocómộtquyểnsách,haiquyểnsách,...thậmchíxếpđếnsáuquyểnsách.Thếnhưngchodùcáchxếpthếnàocũngcóthểcómộtôkéoítnhấtcóhaiquyểnsách.

Nếuxemmỗiôkéođạidiệnchomộttậphợp,mỗiquyểnsáchlàmộtphầntửcủatậphợp.Giảsửcón+1hoặchơnn+1phầntửxếpvàontậphợp,thìrõràngtrongđóítnhấtcómộttậphợpcóhaiyếutố.Đóchínhlàýnghĩatrừutượngcủanguyêntắcôkéo.

Taxétmộtsốvídụsauđây:Trongmộtlớpcó54họcsinh,giảthiếtcáchọcsinhđềusinhratrongcùngmộtnăm,thếthìítnhấtcóhaihọcsinhđượcsinhratrongcùngmộttuầnlễ.Vìsaolạinhưvậy?Dùngnguyêntắcôkéochúngtalígiảiđiềuđókhádễdàng.

Vìmỗinămcó53tuầnlễ,taxemmỗituầnlễnhưmộtôkéo,xemmỗihọcsinhnhưmộtquyểnsách.Nhưvậytrong53ôkéoítnhấtcómộtôkéocóhaiquyểnsách,nênítnhấtcóthểcóhaihọcsinhsinhratrongcùngmộttuầnlễ.

Nóichungsốquyểnsáchkhôngnhấtthiếtchỉnhiềuhơnsốôkéomộtquyển,màcóthểnhiềuhơn.Vídụcó31quyểnsáchxếpvàonămôkéo.Bấtkểlàcáchxếpsáchnhư

thếnào,ítnhấtcómộtôkéođượcxếpđếnbảyquyểnsách.Tổngquáthơnnếucómxn+1hoặclớnhơnmxn+1phầntửxếpvàontậphợp,thìchodùchọncáchxếpnhưthếnào,trongđóítnhấtcó1tậphợpcóm+1yếutố.

Vậndụngnguyêntắcôkéotacóthểgiải“bàitoánnhóm6người”.Trongnhóm6ngườibấtkìítnhấtcó3ngườinắmtaynhau,hoặcítnhấtcó3ngườichưahềnắmtaynhau.Xincácbạnthửxem.

Từkhoá:Nguyêntắcôkéo.

86.Thếnàolàbàitoán3x+1?

Bạntuỳchọnmộtsốxlàsốtựnhiênbấtkì,ứngdụngtínhchấtcủasốtựnhiên,ngườitacóthểtạonênmộtsốtựnhiênymới,theophươngphápsau:

Trongsốhọc,từmộtsốtựnhiênchọntuỳý,theomộtquytắcnhấtđịnhtạođượcmộtsốtựnhiênkhác(sốmớinàycóthểbằngsốbanđầuhoặckhôngbằngsốbanđầu),ngườitagọiđólàphépbiếnđổi.Vídụdựavàoquytắcbiếnđổicóthểbiếnsố18thành9,9hoặcbằng28v.v...Vấnđềlàxuấtpháttừmộtsốtựnhiên,biếnđổiliêntục

tasẽthuđượckếtquảnhưthếnào?Đólàcâuhỏikhálíthúhếtsứchấpdẫncủatròchơitoánhọc.

Dướiđâytalấysốtựnhiên18làmvídụ.Tathửxemphépbiếnđổiliêntụcsẽnhưthếnào?Nhưthểhiệnởhình1cuốicùngxuấthiệnvòngtuầnhoàn4214.Trênhình2thểhiệnphépbiếnđổicủamộtsốlẻ,số21cuốicùngcũngxuấthiệnvòngtuầnhoàntươngtự.

Banđầuchỉthuầntuýlàmộttròchơisốhọc,lưuhànhởđịaphươngnàođócủanướcMỹ.NgàynaytròchơiđãphổbiếnrộngrãisangChâuÂu,sauđótheongườiNhậtmàlưutruyềnsangChâuá.Hiệntạitròchơiđãlưutruyềnrộngrãiởnhiềunướctrênthếgiới.Thậmchíngàynayngườitađãdùngmáytínhđiệntửđểxemxétcácbiếnđổicácsốtừ1đến7x1011kếtquảcũngđềunhậnđượcvòng4214.Đóchínhlàbàitoán3x+1haycòngọilàvấnđềKolaxi...Thếnhưngkếtluậncònchưacócáchchứngminhvàcònbóhẹptrongphạmvisốtựnhiên.

Từkhoá:Bàitoán3x+1.

87.Từmộtđôithỏbanđầusẽsinhđượcbaonhiêuđôithỏnữatrongmột

năm?Mờicácbạnxemxétnhómsốdướiđây:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.

DãysốnàyđượcgọilàdãysốPhibônaxi,mỗiconsốtrongdãysốđượcgọilàsốhạngPhibônaxi.

PhibônaxilànhàtoánhọcItalia,vàothờitrungcổ.SaukhiđidulịchởphươngĐôngôngđãviếtmộtquyểnsáchtoán“Sáchtoánpháp”.Trongsáchcóđưaramộtbàitoánvềkhảnăngsinhđẻcủamộtđôithỏ:Nếumỗiđôithỏtrongmộtthángsinhđượcmộtđôithỏcon,màmỗiđôithỏmớisinhsaukhisinhđượcbathángsẽlạiđẻđượcmộtđôithỏmới.Giảsửkhôngcótửvongcủathỏtrongthờigianđangxét,nhưvậymộtđôithỏmớisinhthìsaumộtnămsảnsinhđượcbaonhiêuđôithỏmới?

Giảthiếttháng12nămtrước,đôithỏnonrađời.Vàotháng1nămmớivẫnchỉcómộtđôithỏ.Đếntháng2,đôithỏnàylạisinhmộtđôithỏmới,tổngcộngcóhaiđôi.Đếntháng3,đươngnhiênchỉcóđôithỏsinhvàotháng12nămtrướcsinhmộtđôithỏmới,nêntổngcộngvàotháng3tacóbađôithỏ.Đếntháng4,đôithỏởđộtuổihaithángsẽsinhmộtđôithỏmới,vìvậycóhaiđôithỏmớisinh,thêmvàobađôithỏđãcónênvàolúcnàytacótấtcảlànămđôithỏ.Đếntháng5lạicóđôithỏsinhvàotháng3lạisinhmộtđôithỏmới,nêncóbađôithỏmớisinhthêmvàonămđôithỏvốncó,vậyvàotháng5tacótấtcảlàtámđôithỏ.Cứsuyluậntínhtoánliêntiếpnhưđãtrìnhbàyởtrên,tasẽcósốcácđôithỏmớisinhsẽtheođúngdãysốPhibônaxivàởsốhạngthứ13,sốđôithỏsẽlà233đôi.Nhưvậytađãtìmđượclờigiảichobàitoánđãnêutrên.

Nghiêncứudãysốtasẽtìmthấyquyluậttạonêndãysố:Consốđứngsaubằngtổnghaisốliêntiếptrướcđó.Dùngphươngphápquynạptoánhọctacóthểtínhđượcsốhạngthứ(m+n)củadãysốtheocôngthức

am+n=am-1.an+am.an+1

DùngquytắcnàytacóthểtínhsốhạngbấtkìcủadãysốPhibônaxi.Vídụkhicầntínhsốhạngthứ25làa25.Tađặtm=13,n=12.Từđótacó:

a13+2=a13.1.a12+a13.a12+1=

=1442+2332=75025

Bạnhãythửtínhsốhạnga24

Từkhoá:DãysốPhibônaxi;SốhạngPhibônaxi.

88.Cóbaonhiêutìnhhuốngxuấthiện24điểmvới40lábài?

Tròchơibài“24điểm”làloạibàichơiđấutrí.Cáchchơinhưsau:Mỗibộbàitúlơkhơ,nếulấycácconbàicósốA,2,3,4,5,6,7,8,9,10vớicảbốnloạihoathìtấtcảcó40conbài,conAđượcxemlàsố1.Chiađềutoànbộbàichobốnngườichơi.Mỗingườiúpsốlábàicủamìnhtrênbàn.Sauđóbắtđầucuộcchơi,bốnngườiđồngthờilậtmộtlábàitrongsốbàicủamình.Yêucầumỗingườichơicăncứtheosốcủalábài(khôngkểhoa)tiếnhànhcộng,trừ,nhân,chiacácconsốđểnhậnđượcsố24.Aithựchiệnxongtrướcngườiđósẽthắng.Vídụvớibốnlábài:Con4rô,4cơ,3nhépvàAbích.Dùngcáccáchsauđâysẽnhậnđượcsố24:4x(4+3-1)hoặc3x(4+4)x

Nhưvậykhicóbốnlábàixuấthiệntrênmặtbànthìcóbaonhiêutìnhhuốngcóthểthựchiệncácphéptínhđểnhậnđượcsố24?

Dokhôngcầnđểýđếnloạihoacủacácconbàicũngnhưthứtựphânbốlábàitrênmặtbàn,nênbàitoánnêutrênthựctếlàtrongcácsốtừ1-10,lấytuỳýbốnsốtrong10sốthànhtừngtổhợp(chophépcósựtrùngsố).Đểtiệnviệctínhtoán,tacóthể

chọncáchxửlínhómsốtheonhưdướiđây:Sắpxếpcácsốtheothứtựtừnhỏđếnlớn0,1,2,3,...,sauđólậpmộtbộbốnsốtươngứngmột-mộtđểlậpthànhmộtbộbốnsốmới.Nếukhôngkểsựtrùnglặpcủacácsốcũngnhưthứtựsắpxếpcácsốtrongbộsố,cácbộsốtạothànhmộttổhợpchậpbốncủanyếutố.Nếuchọnn=10nhưđiềukiệnbàitoánđặtrathìsốtìnhhuốngtheonhưbàitoánđặtrasẽlà:

Nhưvậytrongtròchơi24điểmvới40lábàisẽlà210trườnghợp.

Từkhoá:Tổhợp.

89.Thếnàolàhìnhvuôngbíẩn?TheotruyềnthuyếtvàothờivuaĐạiVũtrịthuỷ(23thếkỉtrước

CôngNguyên),cómộtconrùalớnnổilêntrênsôngLạc,trênlưngconrùacóchínloạihoavăn,ngườiđờisaugọiđólà“Lạcthư”.Trênthựctếđólàchínsốtựnhiênliêntụcđượcxếptrênbahàngvớichínô.Điềukìdiệulàởchỗtổngtấtcảsốtrênmộthànghoặcmộtcột,trênđườngchéođềubằng15,vảlạichínsốtựnhiênnàykhôngcósựlặplạitrongcácô,cũngkhôngbỏsót.

HơnnữacácnhànghiêncứulạithấylàkhôngchỉởLạcthưmớicócácôvuôngbíẩnnày.Nếuxếpcácsốtựnhiêntừ1đếnn2trêncácôvuôngthìngườitacũngthuđượccáchìnhvuôngcótínhchấttươngtựvàđượcgọilà“biểuđồngangdọc”(đồthị2chiều),cònởphươngTâyngườitagọilà“matrậnvuôngảo”.Cáchìnhvuôngcóhàngvàcộtvàsốhàngvàcộtlànthìgọilàbậccủahìnhvuôngảohay“matrận1bậcn”.Bậccủahìnhvuôngtrong“Lạcthư”làbậcba(xemhìnhdưới),đâychínhlàloạimatrậnđơngiảnnhất.

Ngườitacòntìmthấycácsốtrongmatrậnchỉcầnlàn2sốbấtkìmàkhôngnhấtthiếtphảilàcácsốtựnhiêntừ1đếnn2.Cácsốtựnhiênđượcxếpvàocácôvuônggọilàcácmatrậncóncột,nhàng.Ngàynaycácmatrậncóbậcnngàycànglớn.MatrậnbậcbahiệnkhôngchỉcómộtmatrậntrongLạcthư.XuấtpháttừmatrậnLạc

thưnếuthêmvàocácsốmộtsố,tasẽđượcmộtmatrậnmới.Vớimộtmatrậncấpbavớimộtsốkchotrướcnếuthêmvàosố(k-1)d(dlàsốbấtkì)tacũngnhậnđượcmộtmatrậnbậcbamới:

9 14 78 10 1213 16 11

10 25 47 13 1922 1 16

Cácbạncóthểtìmxemcácmatrậnnàyđượccấutạonhưthếnàokhông?

Gầnđâyngườitađãmởrộngýnghĩacủamatrận.Cácmatrậnnàykhôngchỉcótổngcácsốtheohàngngang,hàngdọc,theođườngchéobằngnhaumàtíchcácsốcũngbằngnhau,ngườitagọiđólàcác“matrậnképmởrộng”.Haimatrậnkép,mộtmatrậncótámhàng,támcột,cònmatrậnkiacósốhàngsốcộtgấpđôi.

Thếliệucácmatrậncóứngdụnggìtrongthựctiễn?Trướchếttathửxemlsythuyết“thiđấucờđồngđội”.Mọingườiđềubiết,trongthiđấucờvây,đấuthủởđẳngcấpthấpkhôngthểthắngđượcđấuthủđẳngcấpcaohơn.GiảsửthamdựthiđấucờvâycóbađộiA,B,C,mỗiđộicóbakìthủ.ThựclựccủamỗiđộicóthểnhưsắpxếpởLạcthư.ĐộiAcómộtkìthủcấpbốn,cấpchínvàcấphai;Bcócáckìthủởcácđẳngcấpcấpba,cấpnămvàcấpbảy;ĐộiCcócáckìthủởcácđẳngcấpcấpsáu,cấpmộtvàcấpsáu.Nếucáccuộcthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònthìcầnphảitiếnhànhchíntrậnđấumớiphânthắngbại.TathửxemxéttìnhhìnhthiđấucủahaiđộiAvàB.Theonhưcáchsắpxếplựclượngnhưhìnhvẽ,AcóthểthắngbốntrậncònBcóthểthắngnămtrậnvànhưvậyB>A.CăncứlíluậntươngtựtathấyC>B.TheotiênđềvềđạilượngkhôngbằngnhautrongtoánhọctacóC>A.ThếnhưngphântíchtheoLạcthưthìcũngdễthấyCthắngbốntrậncònđộiAthắngnămtrậnvàtacóA>C,vìvậyởđâykhôngthểứngdụngđượctiênđềvềđạilượngkhôngbằngnhau.

Vớisựpháttriểncủamáytínhđiệntử,matrậnlạicóthêmmộtýnghĩamới.Trướcmắt,đốivớicácmặtphântíchtổhợp,líthuyếtđồthị,trítuệnhântạomatrậnđềucótácdụngtolớn.HiệphộimáytínhMỹkhisoạnthảotrợgiúptrậttựbộnhớ(CACM)đãsoạnthảoviệcđưamatrậnvàoviệctạotrìnhtự.KiếntrúcsưBộtLaĐôngđãpháthiệntínhđốixứnghếtsứcphongphúcủacácmatrận,trongđócónhiềuđồánrấtđẹp,cóthểsửdụngvàocácngànhcôngnghiệpnhẹ,trongthiếtkếcácbaobì.

Matrậnngàycàngđượcngườitacoitrọng.Ởnướcngoàiđãxuấtbảnmộtcuốnsáchnổitiếnglà“Đạisốhọchiệnđạivàứngdụng”cuốnsáchđãmởralĩnhvựcchuyênmônmàtrướcđâyngườitacholàtròtỉatótvôbổ.

Từkhoá:Hìnhvuôngảo;Đồthịhaichiều..

90.Làmthếnàođểtạonênmộtmatrận?

Trênđâychúngtađãbiếtthếnàolàmatrậnnhưnglàmthếnàođểtạonênmộtmatrậncấpn.Dướiđâyxingiớithiệuphươngpháptạonênmộtmatrậncấplẻ.MatrậnnàydoLoblaithiếtlậpvàothếkỉXVII.Hìnhphíabênphảitrìnhbàyphươngphápcấutạomatrậncấpbảy.Dướiđâylàcácbướclàmcụthể.

Bướcthứnhất:Đặtsố1vàoôchínhgiữacủahàngtrêncùng.

30 39 48 1 10 19 2838 47 7 9 18 27 2946 6 8 17 26 35 375 14 16 25 34 36 4513 15 24 33 42 44 421 23 32 41 43 3 1222 31 40 49 2 11 20

Bướcthứhai:Chiếutheothứtựcácsốtựnhiên,sốlớnđặtởôvuôngphíabênphảiliềnhàngtrên,vídụsố3phảiởôvuôngbên

phảiphíatrênsố2,số4ởôvuôngbênphảiphíatrênsố3.Thếnhưngkhigặptìnhhìnhdướiđâytaphảithayđổi:

1.Nếusốađãởhàngtrêncùng,thìa+1phảiđặtởhàngdướicùngthuộccộtliềnphíabênphải.Nhưsố2phảiđặtởhàngcuốicộtbênphảicộtcósố1,số11ởhàngcuốicủacộtphíaphảiliềnvớicộtsố10.

2.Nếubđãđặtởôcựcbênphảicủamộthàngthìsốb+1phảiđặtởôcựcbêntráicủahàngphíatrên.Vídụsố4đãđặtởcựcbênphảicủamộthàng,thìsố5phảiđặtởvịtrícựcbêntráicủahàngliềnphíatrên.Vídụvịtrícácsố12vàsố13.

3.Khiđãđếnôvuônggóctrênbênphảihoặcđếnôvuôngmàôphíatrênđãcóconsốchiếmgiữthìđặtconsốlớnhơnvàoôởcùngcộtliềnphíadưới.Nhưvớicácô29và28,số8vàsố7.

Theoquytắcđãmôtảởtrêntacóthểnhậnđượcmatrậncấpbảy.Bạnthửdùngquytắcnàyđểtạonêncácmatrậncấpnăm,cấpchín,cấpmườimột.

Từkhoá:Matrận(matrậnvuông).

Truyềnthuyếtxưakểlạirằng:Cómộtthuậtsĩđãphátminhchoquốcvươngnọmộtbàncờvàcáchchơicờhếtsứclíthú.Nhàvuamuốnthưởngchothuậtsĩmộtphầnthưởngvàrađặcânđểthuậtsĩtựchọnlấymộtphầnthưởng.Thuậtsĩđưarayêucầutrênôthứnhấtđểmộthạtlúa,ôthứhaiđểhaihạtlúa,ôthứbađểbốnhạtlúavàcứthếôsauđểsốhạtlúagấpđôiôđứngtrướcchođếnhết64ô.Nhàvuachorằngsốlúakhôngđánglàbaonhiêunênthuậnmiệngchấpnhận.Aingờkhinhờngườitínhlạimớithấysốlúacủaquốcvươngcònxamớiđủđểchovào64ô.

Tạisaovậy?Sựthựcthìtheocáchđóquốcvươngphảitrảchothuậtsĩbaonhiêulúa?

Tathửtínhxemlàbaonhiêu.Ôthứnhấtmộthạtlúa,ôthứhai2hạtlúa,tổngsốlúahaiôlà3hạttứclà2x2-1=22-1.Ôthứbalà4hạt,tổngsốhạtlúacủacảbaôlà7hạttức2x2x2-1=23-1.Ôthứtưcó8hạtvàtổngsốhạtlúacủacảbốnôlà15hạttức2x2x2x2-1=24-1.Vàtổngsốcáchạtlúatừôthứnhấtđếnôthứ64là264-1=18446744073709551615.

Vìsaoconsốnàylạilớnđếnkinhngườinhưvậy?Nguyêndolàvịthuậtsĩthôngminhnàyđãdùngcấpsốnhântrongtoánhọcvớicôngbộibằng2vàlấysốôcủabàncờlàmbậccủaluỹthừa.Cấpsốnhânđãxuấtpháttừ1hạtlúa,2hạtlúanhanhchóngbiếnthànhconsốkhổnglồkhótưởngtượngnổi.Vịquốcvươngcóítkiếnthứctoánhọclàmthếnàocóthểhiểuđượctínhchấtkìdiệucủacấpsốnhân.

Từkhoá:Cấpsốnhân.

ChuỗichínvònglàtròchơidângiancổcủaTrungQuốcthịnhhànhvàođờinhàMinh,NhàThanh,ởnướcngườitagọiđóvòngTrungQuốc“Chinesering”.Khôngcótàiliệunàonóivềxuấtxứ,thờiđiểmxuấthiệncủachuỗichínvòng.NhàtoánhọcnổitiếngCardanđãtừngđềcậpđếnchuỗichínvòng.NhàtoánhọcWalliscũngđãcócácphântíchtinhtế.

Chuỗichínvòngcócấutạonhưsau:Đólàchuỗicóchínvòngtròn,mỗivòngđềucócánthẳng(thườngbằngdâythép),xuyênquavòngsauvàxuyênquamộtlỗnhỏtrênmộttấmgỗ(haythép).Đầudướimỗicáncómộtvòngnhỏđểkhichuyểnđộnglênxuốngcánkhôngtuộtrakhỏitấmgỗ.Ngoàiracòncómộtchạcbằngdâythép.

Mụcđíchtròchơilàxâulầnlượtchíncáivòngvàocáichạchoặctháochíncáivòngđãxâu.Xâuvàohoặctháorađềukhôngdễmàphảilàmmấytrămđộngtáctheomộtquyluậtnhấtđịnh,tứcphảicómộtthuậttoán.

Trướchếtxingiớithiệucácđộngtáccơbản.

Nếumuốnxâuvòngvàokẹptrướchếtphảiđưavòngtừdướilêntrênquatâmchạc(theođườngnétđứttronghìnhA)rồixâuvàođầuchạcnhưhìnhB.Độngtácnàytrừvòngthứnhấtthựchiệnkhádễdàngcòncácvòngsaudobịvướngcácvòngkhácnênkhôngthểthựchiệnmộtcáchtrựctiếp.Nhưngcóđiềucầnchúýlà:nếuchiếcvòngsátngaytrướcđãxâuvàochạcmàkhôngvướngvòngnàokhácnữaphíatrước,thìchỉcầnnângvòngđólêntạmthời(nhưhìnhC)vàvòngsaucóthểxâuvàođược,sauđóđưavòngtrướctrởvềvịtrícũ(xemhìnhD).Cònnếuđểtháocácvòngtachỉcầnlàmcácbướcngượclạikhixâuvòng.

Saukhinắmđượchaiđộngtáccơbản,phảiluyệntậpnhiềulầnmớicóthểxâuvàotháoratuỳýđược.Bâygiờtathấy,nếuchỉxâuvòngthứnhấtthìchỉcầnmộtbướclàđược.Muốnxâuhaivòng(thứnhấtvàthứhai)phảixâuvòngthứnhấttrướcrồimớixâuvòngthứhai,vìvậyphảithựchiệnhaibước.Muốnxâubavòngthìphứctạphơn.

Trướchếtphảixâuđượcvòngthứnhấtvàvòngthứhai,rồilạiphảitháovòngthứnhấtramớixâuđượcvòngthứba,saucùngphảixâulạivòngthứnhất.Nhưvậyvẫnphảithựchiệnnămbước.

Khisốvòngcầnxâucàngnhiềuthìcácbướccầnphảithựchiệncàngnhiều,nếukhôngchúýthìsẽbịnhầmvàrốiloạntoànbộ.Từthờixưangườitađãnghĩđếnđiềuđóvàđặtramộtcâuvènêucácbướccầnthiếtkhitháolắpvòng:Cứtámbướclàmộtkhâu,trongđóbảybướctrướcphảitheolà:”mộthaimộtbamộthaimột(còn“lên”hay“xuống”làtuỳtìnhhình:Tứcchưaởtrênchạcthì“lên”,đãởtrên

chạcthì“xuống”).Bướcthứtámthìtuỳtìnhhìnhđầuchạcmàquyếtđịnh.Nếuđãcóhaivòngliềnnhaurồithìnhấtđịnhphảitháovòngsaura,nếuchỉcómộtvòng,nhấtđịnhphảixâuvòngsaulên.Toànbộsựkhéoléođềubaogồmtrongcâuvètrênđây.Theobacâuvè,đểcởihoặclắpchíncáivòngcầnđến431bước,nhưngthựcracũngkhôngtốnnhiềusứckhiđãthuộcvàquencácthaotác.

Vàonăm1975xuấthiệnmộtquyểnsáchchuyênmôn,bêntrongcómộtchuỗisố1,2,5,10,21,42,85,170,341.

Chuỗisốkhôngphảilàcấpsốcộng,cũngkhôngphảilàcấpsốnhân?Thựcrađólàchuỗisốgì?Đóchínhlà“chuỗisốchínvòng”,consốnchỉsốbướccầnthựchiệnkhisốvòngcầntháo,gỡcàngtăng.

Thếcácsốxuấthiệncótheoquyluậtkhông?Quanghiêncứungườitatìmthấyquyluậtlậpdãysố.NếukíhiệuUnlàsốhạngthứntrongdãysố,tacócôngthức:

NếunlàsốchẵnthìUn=2Un-1

NếunlàsốlẻthìUn=2Un-1+1

TheocôngthứctrênrõràngnếucóU1,nhấtđịnhsẽtínhđượcU2,U3...Ngườitagọicáchsuyluậntrênđâylàphươngpháp“đệquy”.NgoàiracòncócôngthứctínhtrựctiếpUnnhưsau:

Từkhoá:Chuỗichínvòng,chuỗisốchínvòng.

Mờibạntrảlờicâuhỏisauđây:10oC(báchphân)tươngđương

vớibaonhiêuđộFahreheit.Thôngthường,đểtrảlờicâuhỏinàybạnphảibiếtmốiquanhệgiữanhiệtđộCvànhiệtđộF:

F=9/5C+32

ThayC=10vàocôngthứctatínhđượcF=50.ThếnhưngnếubạndùngloạinhiệtkếcóchiađộtheonhiệtđộFbạncóthểđọctrựctiếpkếtquả.Nhưngcũngcóthểsửdụngphươngpháptínhtoánnhờcáchệđườngđặcbiệtgọilàtoánđồthìsẽvôcùngthuậntiện:Nhờtoánđồtakhôngphảidùngcôngthứctínhtoánmàđọcđượckếtquảtrựctiếptrêntoánđồ.Đólàưuđiểmnổibậtcủaphươngpháptoánđồ.Toánđồdùngchonhiệtkếlàloạitoánđồđơngiảnnhất,ngườitacũnggọilàđồthịNômô.

Tahãyxétmộtvídụkhác:Khiđấusongsonghaiđiệntrở5kΩvà7,5kΩ,tínhđiệntrởtươngđươngcủamạchđó?

Tatínhđiệntrởtươngđươngtheocôngthức:

1/R=1/R1+1/R2vàcóthểtínhđượcngayR=3KΩ.

Thếliệucóthểthiếtlậpmộttoánđồđểtínhkhông?

Trướchếttavẽmộtgóc120ovàđườngphângiáccủagóc.Chiađộvớiđơnvịdàinhưnhautrênhaicạnhvàtrênphângiác,tađượcmộttoánđồđơngiản.Khisửdụngchỉcầndùngthướcnốihaiđiểm7,5và

5trênhaicạnh.Đườngthẳngcắtphângiáctạiđiểmnào,đóchínhlàgiátrịRcầntìm.TheođồthịtacóthểtìmthấyR=3.

Chắccácbạncũngsẽchúýmộtđiềulàkhiđọctrênđồthịloạinàythìviệcđọccácsốlẻkhóchínhxác,vìvậygiátrịtìmđượcchỉlàgầnđúng.Nhưngtrongthựctếthìcácgiátrịgầnđúngnàycũngđủđểlàmviệc.

Từkhoá:Phươngpháptoánđồ;ĐồthịNômô.

SôngHoàngPhốchảyquathànhphốThượngHải,chiaThượnghảithànhhaiphầnlàPhốĐôngvàPhốTây.Vàođầunhữngnăm90,TrungươngquyếtđịnhpháttriểnPhốĐông,PhốĐôngmỗingàymộtđổithay.Mộtkhuphốmớihiệnđạiđãhiểnhiệnuynghi.

ĐểgiảiquyếtđượckhâugiaothôngngàycàngdàyđặcgiữaPhốTâyvàPhốĐông,ngườitađãlầnlượtxâydựngcácđườnghầmquasôngnhưđườnghầmPhốLộ,ĐôngLộ...cùngnhữngchiếccầulớnbắcquahaibờnhưcầuNamPhố,DươngPhố...trênsôngHoàngPhố.Trướcngày1tháng5năm2000,ôtôquacầuphảithuphí.NhữngngườidânsốngởThườngHảiđềucókinhnghiệm:ÔtôđitừPhốTâysangPhốĐông,bấtkểlàđitrêncầuhaydướiđườnghầm,đượcthôngmộtlèo;nhưng,nếuđitừPhốĐôngsangPhốTây,thìnhấtđịnhphảiquatrạmthuphí,nộpphíxongmớiđượcđi.

Xâycầuvàđườnghầmphảitốnmộtkhoảntiềncựclớn,thuphílàđểbùđắp,mọingườiđềuthấyhợplí.Nhưng,vìsaochỉđặtcửathuphíởPhốĐôngmàkhôngcócủathuphíđặtởPhốTây,cảđilẫnvềđềuthuphícơmà?Lậpluậnthựcrahếtsứcđơngiản,vớixecộ(chỉtrừmộtsốrấtítxequácảnhxongkhôngquaytrởlại),khiđãláiquacầurồithìbaogiờcũngquayvề(đươngnhiêncũngcóthểđiquatheongảđườngnày,quayvềtheongảđườngkia,hoặchômnayđiquasôngrồiđếnmấyngàysaumớiquaylại).Bấtkểlàchỉđặtcửathuphímộtchiềutrênsôngrồithuphíquasôngkhứhồi,haylàđặtcửathuphícảhaichiềutrênsôngrồithuphíquasôngriêngtừngchiều,thìvớixecộ,phícầnphảinộplànhưnhau;vớicơquanthuphí,tổng

lượngthuphícũngnhưnhau.Nghĩalà,chỉcầnđặtcửathuphímộtchiềutrênsônglàcũngcóthểđạtđượchiệuquảthuphítươngtựvớiđặtcửathuphíhaichiềutrênsông.Song,nếuchỉđặtcửathuphímộtchiềuthìsẽtiếtkiệmđượcmộtnửachiphídànhchoxâydựngcửathuphívàvậndoanhthườngngày.

Lậpluậnmàmọingườiđềucóthểhiểuđượctrênđâythựcralàmộtvídụcủanguyêntắcđốingẫutrongtoánhọc.Nguyêntắcđốingẫulàmộtquanhệđốiứng1-1nàođóđượcthiếtlậpgiữahainguyêntố(chẳnghạntậphợpxecộtừPhốTâysangPhốĐôngvàtậphợpxecộtừPhốĐôngsangPhốTây),chứngtỏcácsốnguyêntốnằmtronghaitậphợplànhưnhau.

Nguyêntắcđốingẫutuyđơngiản,nhưnglạilàmộtcăncứsuyluậnhếtsứcquantrọng,nếusuyrộngrachocáctậphợpvôhạn,thìsẽlậpđượclíthuyếtcơsốcủatậphợp.

Dùngnguyêntắcđốingẫucòncóthểgiảiquyếtđượccácnanđềtoánhọcnổitiếngtronglịchsử,vídụnhưBàitoánđivòngquanhđườngvànhđai.

Bàitoánnhưsau:Trênđườngvànhđaicónbếnxe,vớiđộcaosovớimựcnướcbiểnlầnlượtlà100mvà200m,chobiếtnếuđộcaocủahaibếnxecạnhnhaulànhưnhau,thìđườngquốclộnốiliềnchúnglàhoàntoànbằngphẳng.Cóhànhkháchxuấtpháttừmộtbếnxenàođóthửđimộtvòngquanhđườngvànhđai,pháthiệnthấysốđoạnđườngdốcvàsốđoạnđườnghoàntoànbằngphẳnglànhưnhau,thếlàanhtakếtluận:nsốbếnxelàbộisốcủa4.

Lídorấtđơngiản:Theođiềukiệngiảthiết,mỗimộtđoạnđườngdốcsẽhoặclàtừđộcao100mlênđộcao200m,hoặclàtừđộcao200mxuốngđộcao100m.Đithửquanhđườngvànhđaimộtvòng,cóthểthiếtlậpsựđốiứng1-1giữacácđoạnlêndốcvớicácđoạnxuốngdốcđãđi,nếukhôngthìsẽkhôngthểquayđượcvềđộcaobanđầu.Vìthế,nếuđoạnlêndốccómđoạn,thìđoạnxuốngdốccũngcómđoạn,từđócósốđoạnđườngdốck=2mlàsốchẵn;bâygiờlạichobiếtsốđoạnđườnghoàntoànbằngphẳngcũnglàk,chonêntổngsốcácđoạnđườnglà2k=4m.Hiểnnhiêntổngsốđoạnđườngchínhlàsốbếnxe,chonênsốbếnxen=4mlàbộisốcủa4.

Từkhóa:Nguyênlýđốingẫu.

Chắcnhiềungườiđãquendùnggiấyrápđểđánhbóngcácđồvật.Giấyráplàloạigiấytrênmặtgiấycótrảimộtlớpcát,bềmặtgiấythôráp,nhưngkhidùnggiấyrápxátlêncácvậtcóbềmặtphẳngthìbềmặtđồvậtsẽsángloáng.Thếtạisaogiấyráplạimàibóngđượcbềmặt?

Điềunàyliênquanđếnbàitoánthốngkê.

Tachiabềmặtvậtthểbịmàibóngthànhnhữngkhốilồilõmnhỏ.Khichogiấyrápchàxátlênvậtthểmộtlần.Mỗikhốinhỏtrênbềmặtvậtthểcóthểbịhạtcátmàimònbớtmộtít,takíhiệuphầnbịmàinàylà1,vàcũngcóthểkhôngbịmàimòn,kíhiệulà0.Khảnăngchỗlồinhỏbịmàimònvàkhôngbịmàimònlànhưnhau.Mỗichỗlồitrênbềmặtvậtthểcóthểbịmàimònhoặckhibịmàimòntheobốnkhảnăngkhibịmàimộtlần

(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)

tứcmàiđimộtbộphậncủa0,màimộtbộphậnnhỏcủa1hoặc2.Khảnăngcủacáctrườnghợptươngứnglà.Quabalầnmàithìcóthểcócáckhảnăng

(0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(0,1,1)

(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1)

Nhưvậyquabalầnchàxátcócáckhảnăngkhôngbịmàimònlà0,bịmàimònmộtchỗ,bịmàimònhaivàbịmàimònởbachỗ,cáckhảnăngchomỗitrườnghợptươngứnglà1/8;3/8;3/8và1/8.Quasựmasátcủanhạtcát,mỗichỗlồitrênbềmặtvậtthểcũngcó2nloạitrườnghợp,vàmỗiloạitrườnghợplàcókhảnăngnhưnhau.Nhưvậycácchỗlồibịmàimòncóthểlà0,1,...n-1,hoặcchỗlồinvàkhảnăngn+1,mỗiloạitrườnghợpcókhảnăng1/2n,n/2n.Bởivìkhibịhạtcátchàxáttrungbìnhcó1/2chỗlồibịmàimòn,khimasátvớinhạtcátthìtrungbìnhcón/2chỗlồibịmài.Đứngvềkhảnăngbịmàimòn

thìkhảnăngn/2chỗlồibịmàimònlàkhálớn.Vínhưkhin=10thìkhảnăngcó4đến6chỗlồibịmàimònlà672/1024.Khin=10.000thìkhảnăngcó4900-5100chỗlồibịmàimònđến84%,cònkhảnăng4800đến5200chỗlồibịmàimònđến99,54%.

Dotrênmộttờgiấyrápcóvôsốhạtcát,nênquamộtlầnbịchàxát,cácchỗlồitrênbềmặtbịnhiềuhạtcátmàimòn,saunhiềulầnchàxátthìnrấtlớn.Màmỗichỗlồilạihếtsứcnhỏ,nênsốmasátcủacáchạtcátlàkhôngđếmđược.Vìvậygiấyrápcóthểđánhbóngđượccácbềmặtvậtthể.

ởcácđôthị,thànhphốlớn,ởcácđịaphươngdâncưđôngđúc,sốhộcưdânlớn,đòihỏisốthuêbaođiệnthoạilớn,ởnhiềuthànhphốlớnsốthuêbaođiệnthoạilênđếnbảy,támchữsố.Tathửtínhvớicácsốđiệnthoạiđếnbảy,támchữsốcóthểđượcsửdụngchobaonhiêuthuêbao.

Cácmãsốđiệnthoạithườngchọntrongcácsốtừ0đến9tổhợplạimàthành,chữsốđầutiêncủamộtsốđiệnthoạikhôngthểlàsố0.Nếudùngsốcóbảychữsốlàmsốthuêbaođiệnthoạithìchữsốđầucóthểlàcácsốtừ1đến9cho

nên9loạichọnlựakhácnhautrongviệcchọnchữsốđầu.Bắtđầutừchữsốthứhaitrởđi,ngườitacóthểđượcchọntrongcácsốtừ0đến9,vàcácchữsốnàycóthểlặpđi,lặplạinhiềulầnnênchọncácchữsốtrongsáuchữsốliêntiếpsaulà10loạivàkhảnăngtạocáctổhợpđểchọnsốđiệnthoại9x106.ứngdụngphươngpháptươngtựtacóthểtínhsốđiệnthoạicó8chữsốlà9x107.

Vàtừsốđiệnthoạicó7chữsốtăngđến8chữsốthìsốthuêbaođượctăngthêmsẽlà

9x107-8x106=8,1x107

Vìvậykhităngsốđiệnthoạitừbảychữsốđếntámchữsốthìsốthuêbaotănglêntốiđađến81triệusố.

Thựctếthìsốđiệnthoạitănglêncóthểkhôngnhiềuđếnnhưvậyvìcóthểcócácsốthuêbaobắtđầutừsố1nhưcácsố110,114,119...cóthểdànhriêngđểsửdụngvàocácmụcđíchđặcbiệtnênsốthuêbaotăngthêmcũngkhôngđến81triệu.

Trongcuộcsốnghàngngàyngườitathườngcóyêucầuướclượngcácsảnphẩmnôngnghiệp,vídụướclượngsảnlượnglúa.

Ngườitathườngdùngbiệnpháplàthuhoạchsảnphẩmtrongmộtphầnnhỏdiệntích,vídụtrong1/10mẫu,saukhiđosảnlượngthuđượctrongphầnnhỏdiệntích,ngườitacóthểtínhchodiệntíchlớnvídụnhânvới10đểđượcsảnlượngchomộtmẫuv.v..Đểgiảmbớtsaisốkhiướclượng,ngườitathườngchọncácmảnhruộngkhaithácởnhiềuchỗkhácnhau,sauđólấytrungbìnhvàtínhsảnlượngchomộtvùnglớn.

Việcướclượngsảnlượnglúachomộtvùngthườngcósaisốkhônglớnsovớisảnlượngthực.Thếnhưngkhicầntínhướclượngsốcátrongmộtcáiao,ngườitakhôngthểdùngphươngphápnhưkhiướclượngsảnlượnglúa.Bởivìcábơilộikhắpnơivàởcácnơikhácnhautrongaosẽcósốcákhácnhau,cũngkhôngthểbắttoànbộsốcátrongaođểđếm.Nhưvậylàmthếnàođểướclượngsốcátrongao?Cómộtcáchhếtsứckhéoléođểướclượngsốcátrongao.

Trướchếtngườitabắtmộtsốcábấtkìtrongaovídụ100con.Sauđóđánhdấurồilạithảxuốngao.Saumộtthờigianngườitacóthểnhậnbiếtđượcsốcáđánhdấuphânbốnhưthếnàotrongbầycáởtrongao.Muốnlàmđượcviệcđó

talạibắtmộtsốcávídụ50con,rồitìmsốcáđượcđánhdấutrongsốđó,vídụtrongsố50conđãbắtcóhaiconbịđánhdấu,tứctỉ

lệsốcábịđánhdấutrongsốcábắtởlầnnàylà2/50.Vậytổngsốcátrongaotínhtheotỉlệnàysovớisốcáđãđánhdấusẽlà100:2/50=2500con.Vàcátrongaocóthểướctínhlà2500con.

Đểgiảmbớtsailầmkhiướclượng,ngườitacóthểchọncácthờigiankhácnhau,ởcácđịađiểmkhácnhauđểbắtmộtsốcávàtìmsốcáđãđánhdấutrongmỗilôcáđãbắt.Vídụcónămlầnbắtcáởcácvịtríkhácnhauvàthuđượccáctỉlệsốcáđánhdấulà:

2/50,3/70,5/100,3/80và4/75

và

Tỉlệtrungbìnhtrongnămlầnbắtcálà:

Vàsốcátrongaosẽlà100:0,047≈2237con

Vậysốcácótrongaoướccó2237con.

Nếucóngườihỏibạn“mộtngườicao1,50mcóthểbịchếtđuốitronghồsâu1mhaykhông?”.Nhấtđịnhbạnsẽtrảlời:không.Thếnhưnglạiđặtcâuhỏi“mộtngườicao1,5mcóbịchếtđuốitronghồnướccóđộsâutrungbìnhmộtmétkhông?”Bạncóthểtrảlờikhôngthểđượckhông?Rõrànglàkhôngthể.

Việctrảlờicâuhỏinàycóliênquanđếnkháiniệmtrungbình.Khitachọnmộtnhómsố,gọisốtrungbìnhlàtrungbìnhcộngcủacácsố.Vídụchonhómsố3,4,5thìsốtrungbìnhchínhlà

(3+4+5)/3=4

Sốtrungbìnhcógiátrịlớnhơnsốnhỏnhấtnhưnglạinhỏhơnsốlớnnhất.

Vìvậynóiđộsâutrungbìnhcủahồnướclàmộtmétthìởchỗcạnnhấtcóthểcóđộsâunhỏhơnmộtmétnhưngchỗsâunhấtcóthểlớnhơn1,5m.Vìvậymộtngườicao1,5mkhirơivàochỗsâunhấtcóthểbịngậpđầuvàcónguycơbịchếtđuối.

Trongcuộcsốngthườngngàychúngtathườnggặpkháiniệmsốtrungbình.Vídụkhinóituổithọtrungbìnhcủamộtthànhphốlà70tuổimàcóngườisốngquá80tuổi,cũngcóngườisốngchưađến40tuổi.

Từkhoá:Sốtrungbình.

Khichúngtađihọc,đilàmviệc,đimuahàng,tathườngphảiđixecôngcộng.Cóngườiởgầnbếnxe,cóngườiởxa.Vậynênđặtbếnxeởđịađiểmnàolàtốtnhất?Việcbốtrícácbếnxephảidựatrênnguyêntắcnào?

Việcbốtríbếnxetạiđịađiểmnàodĩnhiênkhôngthểthuậntiện

chotấtcảmọingười.Việcchọnđịađiểmcủabếnxephảidựatrênnguyêntắclàthuậntiệnchosốđôngngườiđixe.

Tathửxemxétmộtvídụđơngiảnnhất:ĐặtmộtbếnxetrênđườnggiữahaiđầumộtđoạnđườngA,Bởmỗiđiểmđầucómộtxưởngmáy.Hàngngàycó20ngườivà30ngườiđilàmviệcbằngxetươngứngchomỗinhàmáy.Cầnbốtrímộtbếnxegiữahainhàmáy,xétxemcầnbốtríbếnxeởđịađiểmnàođểchongườiđixecảmthấythuậntiện,vàmỗingườiđixekhiđilàmviệcbằngxecôngcộng(từbếnxeđếnnhàmáy)làngắnnhất.GiảsửbếnxeđặtởđiểmCcáchAlàxm(0≤x≤a)vàcáchBlàa-xmét,alàkhoảngcáchgiữahaiđiểmAvàB.NếuSlàtổngđoạnđườngđicủatoànbộcôngnhânởhainhàmáythì

Scàngbénếuxcànglớn,tứclàCphảicáchđiểmAlớnnhất,khiấyđiểmCtrùngvớiB,nghĩalàbếnxeđặtởngangcổngnhàmáyBlàtốtnhất.

Từkếtluậntrêncóthểthấynguyêntắcchunglàbếnxenênbốtríởnơinàocóngườiđixenhiềunhất.Nếuđườngđikhôngphảiởgầnchỉhainhàmáy(hoặctrườnghọc)màcóthểnhiềuhơnthìnguyêntắcgiảiquyếtcũngtươngtự.Chúngtathửxétmộtvídụphứctạphơnmộtchút.GiảsửconđườngnốinămnhàmáyA,B,C,D,E.Mỗingàyởmỗinhàmáytươngứngcó25,30,20,17,20côngnhâncầnđixeđếnchỗlàmviệc.VậybếnxephảiđặttạiđiểmFnàođólàtốtnhất?

Phươngpháptínhtoánnhưsau:

TrướchếttatínhtổngsốngườicầnđixePvànửasốngườiđólàP/2.

P=25+30+20+17+20=112người

P/2=56người

Sauđótínhtoántổngcáccôngnhâncầnđixerồisosánhvớisố.

SốngườiởnhàmáyAlà25<56.

SốngườiởcácnhàmáyA,Blà25+30=55<56.

Sốngườiở3nhàmáyA+B+Clà25+30+20=75>56.

SốngườiởnhàmáyAcầnđixenhỏhơnmộtnửasốngườicầnđixenóichung,tứcsốngườiđixeởnhàmáyAnhỏhơntổngsốngườiđixeở4nhàmáyB,C,D,Ecộnglại,nhưvậybếnxecầnđặtgầnhơnvềhướng4nhàmáyB,C,D,E.MặtkháctổngsốngườicầnđixeởhainhàmáyAvàBnhỏhơnmộtnửasốngườicầnđixe,nênbếnxenênbốtríởgầnhơnvềphíanhàmáyC,D,E;màtổngsốngườiđixeởbanhàmáyA,B,ClớnhơnmộtnửasốngườicầnđixenênbếnxenênđặtởgầnhơnvềphíabanhàmáyA,B,C.TheocáctrậttựưutiênnêutrênthìbếnxevừaphảigầnvềphíanhàmáyA,B,ClạivừaphảigầnbanhàmáyC,D,E,vìvậyđịađiểmbếnxetốtnhấtlàtạiđiểmC,làởcổngnhàmáyC.

Ởnhữngnướccóhệthốngytếtiêntiến,đểsớmchẩnđoánvàđiềutrịbệnh,ngườitathườngtổchứckiểmtrađịnhkìbệnhungthư.Kếtquảcáclầnkiểmtra,cóngườicóthểphảnứngdươngtínhvềbệnhungthư,liệucóphảinhữngngườinàycóthểthựcsựbịungthưkhông?

Thựcratrongmỗiđợtkiểmtrahoặcnhiềuhoặcítđềucóthểcósailầm.Ởđâycóthểcóhailoạisailầm:Mộtloạilàđốitượngkiểmtrathựctếkhôngcóbệnhnhưngkếtquảkiểmtralạichobiếtlàcóbệnh(phảnứngdươngtính),đâylàloạisailầmphóngđạikếtquả.Mộtloạisailầmkháclàđốitượngkiểmtrathựctếcóbệnh,nhưngkếtquảkiểmtralạibáokhôngcóbệnh(phảnứngâmtính),đâylàloạisailầmgiảmnhỏkếtquả.Ngườibịkiểmtradươngtínhcóthểthực

sựbịbệnhnhưngcóthểkhôngdomắcsailầmphóngđạikếtquả.Tươngtựvớingườiquakiểmtrachophảnứngâmtínhcóthểthựcsựkhôngbịbệnhhoặccóthểlàngườithựcsựcóbệnhnhưngkếtquảbáosaidoviệckiểmtramắcphảisailầmgiảmnhỏkếtquả.

Thếkhảnăngmắchailoạisailầmnhưvừanêutrêncólớnkhông?Giảsửởmộtcơsởytếnàođósửdụngphươngphápkiểmtraungthưgan,độtincậycủaphươngphápkiểmtralà99%,nhưvậyởđâykhảnăngxuấthiệnkếtluậnsailà1%.Nênnếungườinàođócókếtquảkiểmtradươngtínhthìkhảnăngmắcbệnhcủangườiđólớnkhông?

Theoướctínhthườngthìtỉlệngườiphátbệnhungthưlà0,04%.Giảthiếtđợtkiểmtrathựchiệntrêntổngsốmộttriệungười,khảnăngsốngườimắcbệnhungthưtrongsốđócóthểđến400người,sốngườikhôngmắcbệnhướckhoảng999.600người.Nhưngđộtincậycủaphươngphápkiểmtralà99%,nêntrongsố400ngườiungthưgan400x99%=396ngườikiểmtradươngtínhvàkiểmtraâmtínhlàbốnngười.Còntrongsốngườikhôngbịungthưsốngườikiểmtrachokếtquảdươngtínhlà999.600x1/100=9996người(dosailầm),cònlạithìchokếtquảâmtính.Kếtquảlàsốngườikiểmtrachokếtquảdươngtínhlà396+9996=10392người,trongđósốngườithựcsựbịungthưchỉlà396người,chiếm3,81%sốngườikiểmtrachokếtquảdươngtính.Nóicáchkhác,trongsốngườikiểmtrachokếtquảdươngtính,thựcsựướckhoảng3,81%thựcsựbịungthư.Nhưvậydosailầmphóngđạikếtquảlàmchocácphánđoánbịlệchlạc.

Vìvậynhữngngườiquakiểmtrachokếtquảdươngtínhkhôngnênhoangmang.Chodùphươngphápkiểmtrakhôngcósailầm,độtincậyrấtcao,nhưngởnhữngngườicókếtquảkiểmtradươngtínhkhảnăngmắcbệnhungthưcũngkhôngphảilàquálớn.

Từkhoá:Sailầm;Sailầmphóngđại;Sailầmgiảmnhỏ.

101.Làmthếnàođểviệckiểmtrabệnhđịnhkìíttốnkémnhất?

Ởmộtsốnướccónềnyhọctiêntiếnthườngcóviệckiểmtrađịnhkìmộtsốbệnhxãhội.Mộtphươngphápkiểmtrabệnhthôngthườnglàphươngphápthửmáu.Thôngquaviệcthửmáucóthểpháthiệnsớmcácloạibệnhviêmgan,tả,nhiễmtrùngmáuvànhiềubệnhkhác,nhờđócóthểchẩnđoánvàchữatrịbệnhsớm.

Phươngphápthựchiệnkiểmtrathườnglà:Cácnhânviênytếđếncácđiểmkiểmtragọimỗingườilấymộtítmáu,ghiphiếu,nhânviênytếđemvềcơquankiểmtra,nghiêncứu,cuốicùngthôngbáokếtquảkiểmtrachotừngngườiđượckiểmtra.Phươngphápkiểmtranàycóhiệuquả,tuynhiênquátrìnhkiểmtrakhátốncôngsức.Liệucóphươngphápnàotiếtkiệmđượcsứclựchaykhông?Câutrảlờilàcó.Chúngtanêulênmộtvídụđểthuyếtminhvấnđềnày.

Ởmộtthànhphốlớnnọngườitalấyđượcmộtsốlượnglớnmẫumáutrongmộtcuộckiểmtrađịnhkì.Đểxửlísốlượngmẫumáurấtlớnnàycóthểcóhaiphươngán:Phươngánthôngthườnglàtiếnhànhnghiêncứutừngmẫumáu.Phươngánkhácchiacácmẫumáuthànhtừngnhóm,mỗinhóm100mẫu.Sauđótừmỗinhómlấymỗimẫumộtlượngnhỏmáu(sốlượngmáuít)đemtrộnlẫnvớinhau,saođótiếnhànhkiểmtrahỗnhợpmáuđãtrộn.Nếukếtquảkiểmtratrongmẫuhỗnhợpnàylàâmtính,chứngtỏở100mẫumáuvừaxétlàkhôngcómầmbệnh.Nếukếtquảkiểmtramẫumáuhỗnhợplàdươngtính(vídụbệnhviêmgan)thìtrongnhómmáuđãchọnmẫuhỗnhợpítnhấtcómộtmẫumáucómầmbệnh.Đểkiểmtramẫumáunàocómầmbệnhtrong100mẫumáunàyphảitiếnhànhkiểmtracụthểtừngmẫumáutrongnhómnày.Thếdùngphươngánkiểmtranàothìtốthơn?

Nếudùngphươngánthứnhất,phảithựchiện100lầnkiểmtrachomỗinhómmẫumáu;nếudùngphươngánhaithìcókhảnăngchỉtiếnhànhmộtlầnkiểmtra,hoặccóthểcókhảnăngphảilàm101lầnkiểmtra.Đểlàmphépsosánh,cầnphảixemxétsốlầntrungbìnhcầntiếnhànhkiểmtrachomỗinhómmẫumáu,nhờđómàtronghailoạiphươngánthìphươngánnàophảithựchiệnsốlầnkiểmtranhiều

hơnvànhiềuhơnbaonhiêulần?

Dựavàosốliệukiểmtrasơbộtrướcđó(trướckhilàmkiểmtrađạitràphảilàmthínghiệmkiểmtrachomộtphạmvinhỏ)vànhậnđượctỉlệviêmgantrungbìnhlà0,1%,tứccứ1000ngườicómộtngườibịlâynhiễmbệnhviêmgan,hoặccóthểnóiởmỗinhómmẫumáukhảnăngcó0,1%sốmẫumáucóbệnhviêmgan.Vìvậyởmỗinhóm100mẫumáukhảnăngđểmộtmẫumáukhôngmangbệnhlà:

(1-0,1%)100≈90,48%.

vàkhảnăngcómẫumáumangbệnhlà

1-90,48%=9,52%.

Vìvậynếudùngphươngánkiểmtrahaithìsốlầntrungbìnhcầnthựchiệnchomộtnhómmáulà:

1x90,48%+101x9,52%=10,52lần.

Sovớiphươngánđầuthìtiếtkiệmđược89,48%.Nếumỗilầnthửmáucần10.000đthìđểthửmộttriệumẫumáutheophươngánmộtphảitốnđến1,4tỉđồng,trongkhidùngphươngánhaichỉtốn1.472.800đ,nhưvậysovớiphươngánmộtthìtiếtkiệmđếnhơn10triệuđồng.

Trongthựctế,khixétnghiệmmáutheophươngánhaikhôngnhấtthiếtphânchiathànhnhóm100mẫumáu,màcóthểchiathànhnhóm,mỗinhómcó50mẫu,150mẫutuỳsốlượngmẫumáuđãthuthậpđược.Cácbạnthửtínhxemsovớiphươngánmộtthìphươngánhaitiếtkiệmđượcbaonhiêunếusốmẫumáulà10.000mẫu.

102.Làmthếnàođểtínhsốlượttrậnđấuchothểthứcthiđấuloạitrực

tiếp?Giảsửởtrườngbạnđangtổchứcmộtcuộcthiđấucờtheothểlệ

đấuloạitrựctiếp,vídụsốngườighitênthiđấulà50,bạncóthểtính

đượcsốtrậnđấuđểdựavàođóbốtrílịchthiđấu,sốđấutrường.Nếubạnđượcgiaotổchứccuộcthiđấu,bạncótínhđượckhông?

Bởivìtrậnđấuchungkếtchỉxảyragiữahaingườicuốicùng,haingườinàylạichọntừ22=4ngườitrongtrậnđấutrướcđó,màbốnngườinàylạiđượcchọntrựctiếptừ33=8ngườitrongcuộcđấutrướcđó...Nếusốngườighitênđúngbằngcácluỹthừacủa2như2,4(22),8(23),16(24),32(25)...thìchỉcầntheosốngườighitênthànhnhómtiếnhànhthiđấuchotừngnhóm,sauđóloạidầntừngbướclàđược.Giảsửsốngườighitênkhôngđúngbằngluỹthừanguyêncủa2thìtrongthiđấucóvòngđượcmiễn.Nếutaxếp2ngườimộtthiđấungaytừđầuthìsẽcómộtsốvòngđượcmiễnthiđấuởgiaiđoạngiữahoặcgiaiđoạncuối,màcáctrậnđấuởgiaiđoạnnàythườngkhácăngthẳngvìcácđấuthủngàycàngmạnh,cơhộiđượcmiễnhaykhông,rõràngkhôngbìnhđẳng.Đểchocơhộitươngđốiđồngđềukhiếnthiđấungàycàngsôinổi,nóichungngườitathườngmiễnthiđấuởvòngmột.Vì50làtrunggiangiữa32(25)và64(26)mà50-32=18nênvòngđầucầnloại18đấuthủ,tứccầntiếnhànhthiđấu18trậnđấuchovòngđầutứccó36ngườithamgiathiđấuvà14ngườimiễnthiđấu.Sauloạttrậnthiđấuởvòngmộtsẽloại18đấuthủvàcònlại32người.Từvòngđấuthứhaisẽkhôngcòntrườnghợpmiễnthiđấunữa.Vàởvònghaisẽcó16trậnđấu,vòngthứbacó8trậnđấu,vòngđấuthứtưcóbốntrậnđấu,vòngđấuthứnămsẽcóhaitrậnđấu.Vòngđấuthứsáusẽlàtrậnchungkếtđểgiànhchứcvôđịch.Vậytổngcộngsốcáctrậnđấusẽlà18+16+8+4+2+1=49trậnsovớisốđấuthủ50thìnhỏhơn1.

Talạixétvídụvềtrậnthiđấuquốctếvềbóngđánăm1998ởPháp,tổngsốcó32độibóngđáthamgiavòngchungkếtgiảibóngđáthếgiớinăm1998.Phươngthứcthiđấuởvòngchungkếtchialàmhaigiaiđoạn.Giaiđoạnđầuchiabảng,đấuvòngtròntínhđiểm,sauđótheothểthứcđấuloạitrựctiếp.Nếutiếnhànhthiđấutheothểthứcđấuloạitrựctiếpngaytừvòngđầuthìphảixếpbaonhiêutrậnđấu?Vì32chínhbằng25nêntổngsốcáctrậnđấutheothểthứcđấuloạitrựctiếpsẽlà16+8+4+2+1=31trận,íthơnsốđộithamgialà1.

BâygiờtaxéttrườnghợpchungcóMngườithamgiathiđấu.GiảsửMlớnhơn2nvànhỏhơn2n+1,thếthìcầnn+1vòngthiđấu,trongđósốvòngthiđấuđầutiênsẽlàM-2n.Sauvòngđầu,sốngườicòn

chưathiđấusẽlàM-(m-2n)=2n.Trongnvòngthiđấutiếpsau,tổngsốcáctrậnthiđấusẽlà:

2n-1+2n-2+2n-3+...+23+22+2+1

=(2n-1+2n-2+2n-3+...+23+22+2)+1x(2-1)

=(2n+2n-1+2n-2+...+23+22+2)-(2n-1+2n-2+2n-3+...+23+22+2+1)=2n-1

Vàtổngsốcáctrậnthiđấusẽlà:

(M-2n)+2n-1=M-1

Nghĩalàíthơnsốđộithamgialà1.

Thựcra,trongmỗitrậnthiđấusẽloạibỏmộtđấuthủ.TrongMngườithamgiathiđấusẽchọnđược1vôđịchvàloạibỏM-1đấuthủvìvậysốtrậnthiđấulàM-1.Bạnhãytheocáchtrìnhbày,tínhsốtrậnthiđấubóngbàncó158đấuthủnamvà96đấuthủnữthamgia.

Từkhoá:Thểthứcđấuloại.

103.Tínhsốtrậnthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượtnhưthế

nào?Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếpsốtrậnthiđấutươngđốiít,thời

gianthiđấungắn.Khisốngườighitênthiđấunhiềuthườngdùngthểthứcnày.Thếnhưngthểthứcthiđấunàycónhượcđiểmlànếumuốnđạtchứcvôđịchthìkhôngđượcphépcótrậnthuagiữachừng.Vảlạinếucótrườnghợpdobốcthăm,cácđấuthủmạnhgặpnhautrựctiếpquásớmmộtsốđộimạnhcóthểbịloạiquásớm,nênlàmchoáquânvàcácthứbậctiếpsaucókhicótrìnhđộchưaphùhợpvớitrìnhđộthựctế.Vìvậytrongmộtsốcuộcthiđấugiảiđồngđội,sốđơnvịghitênthiđấukhôngnhiều,ngườitathườngkhôngdùngthểthứcđấuloạitrựctiếpmàdùngthểthứcthiđấukhác:thểthứcthi

đấuvòngtròn.

Làmthếnàođểtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòngtròn?Dướiđâytasẽxemmộtvídụ,vídụởmộttrườnghọccó15lớp,mỗilớpcómộtđộibóngthamgiathiđấu,nếucuộcthiđấuđượcthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,xemxétcầntiếnhànhtổchứcbaonhiêutrậnđấu?

Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt,mỗiđộisẽlầnlượtthiđấumộttrậnvớimộtđộikhác.Nếucó15độithiđấu,mỗiđộiphảithiđấuvới14độikhác,nênvới15độithiđấusẽcó15x14trậnđấu.Nhưngmỗitrậncóhaiđộithiđấuvớinhaunênsốtrậnđấuchỉcònmộtnửanênsốtrậnđấuthựctếsẽlà(15x14)/2=105trận.

Talạixétsốtrậnđấutronggiảivôđịchbóngđáthếgiớinăm1998ởPháp.Vòngchungkếtnàycó32độithamgia.Nếusuốttừđầuđếncuốiđềuthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònthìsốtrậnđấuphảitổchứclà(32x31)/2=496trận.

Nóichungnếucuộcthiđấuvòngtrònmộtlượttínhchonđộithamgiathìsốtrậnthiđấusẽlànx(n-1)/2.

Nhưvậysốtrậnthiđấusẽrấtnhiều,thờigianthiđấusẽrấtdài.Vìvậynhiềucuộcthiđấuthườngtổchứcthiđấukếthợpgiữahaithểthức:thiđấuvòngtrònvàđấuloạitrựctiếp.Giaiđoạnđầuchiabảngđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònchotừngbảng,sauđóởgiaiđoạnhaingườitachotiếnhànhthiđấutheothểthứcđấuloạitrựctiếp.

Nếuvới15độithiđấutachialàmbanhóm,mỗinhómnămđội.

Trongtừngnhómsẽtổchứcthiđấuvòngtròn.Tathửxemởgiaiđoạnnàycầnphảitiếnhànhbaonhiêutrậnđấu?

Từbanhómthiđấuvòngtrònsẽtìmđượcbađộiđầubảng,bađộiđầubảngnàysẽtiếptụcthiđấuvònghaiđểchọncácáquân.Nhưvậy:

Trongvòng1:5x4/2+5x4/2+5x4/2=30trận.

Trongvòng2:3x2/2=3trậnđấu

Tổngsốcáctrậnthiđấusẽlà30+3=33trận.

Lạixétcáctrậnthiđấutrongvòngchungkếtvôđịchbóngđáthếgiớinăm1998.Trongvòngchungkếtnàycó32độithamgiathiđấu.Ởgiaiđoạnđầu,32độiđượcchiathànhtámbảng,mỗibảngcóbốnđội.Trongmỗibảnglạitiếnhànhthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt.Nhưvậyởvòngthứnhấtsẽchọnđượctámđộiđầubảng,ởvònghaitámđộinàylạitiếnhànhthiđấuđểtìmcácáquân.Nhưvậysốtrậnthiđấuởgiaiđoạnđầusẽlà:

Vòngđầu:4x3/2x8trận.

Vònghai:támđộiđầubảngsẽthiđấuđểchọncácđộiáquân:8x7/2=28.

Xinmờicácbạnứngdụngphươngpháptươngtựđểtínhsốtrậnđấucủacuộcthiđấuvôđịchbóngbànvới26độinamvà15độinữthamgia.Nếudùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt.Nếuchiathànhbabảng.Cácđộinamchiathànhhaibảngmỗibảngchínđộivàmộtbảngtámđội,cácđộinữchiathànhhaibảngmỗibảngsáuđộivàmộtbảngbảyđội.

Thựctếnhiềutrậnđấuđãkếthợphaithểthứcthiđấu.

Vòngchungkếtbóngđáthếgiớinăm1998,32độithiđấuđượcchiathànhtámbảng,trongmỗibảngdùngthểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượtvàtiếnhành48trậnthiđấu.Mỗibảnglạichọnmộtđộiđầubảngvàđộithứhaitấtcảcó16đội.Dùngthểthứcđấuloạitrựctiếpđểchọntámđộimạnh.Sauđólạichọnthểthứcđấuloạitrựctiếptiếnhànhbốntrậnđấuchọnrabốnđộivào,lạidùngthểthứcđấuloạitrựctiếptiếnhànhhaitrậnđấuđểchọnhaiđộimạnhnhấtvàochungkết:độivôđịchvàđộiáquân.Ngoàirangườitacònchothiđấumộttrậnđểchọnđội3và4.Nhưvậytổngsốcáctrậnđấusẽlà48+8+4+2+1+1=64trậnđấu.

Từkhoá:Thểthứcđấuloạitrựctiếp;Thểthứcthiđấuvòngtrònmộtlượt.

104.Sắpxếplịchthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtrònnhưthếnào?

Chúngtađãbiếtcáchtínhsốtrậnđấutheothểthứcthiđấuvòngtròn.Thếnhưngviệcsắpxếplịchthiđấuthếnàođểcácđấuthủcóthểgặpcácđấuthủkhácnhautrongcácvòngđấu?Taxemxétvídụvềcácđộinữtrongcuộcthiđấubóngbàntrongđócóhaibảng:mộtbảngcósáuđội,mộtbảngbảyđội.Tathửsắpxếplịchthiđấuchobảngcósáuđội,sáuđộinàythiđấutheothểthứcđấuvòngtrònmộtlượt.Kíhiệuxlàsốphiênhiệucácđộix∈{1,2,...,6},rkíhiệuxvòngthiđấur∈{1,2,...,5}nhưvậymỗiđộiphảitiếnhànhnămvòngđấu.Dướiđâylàbảngsắpxếplịchthiđấuchosáuđộitrongnămvòngthiđấu.Trongbảngcórhàng,xcột,sốphiênhiệumỗiđộilày,sốvòngđấulàr.

Bảnglịchthiđấuđượcsắpxếpnhưthếnào?

Trướchếtxingiớithiệukháiniệm“đồngdư”.Vớihaisốnguyêna,b,nếuchọnđượcmộtsốmsaochokhia,bchiachom(sốchia)thìtađượcmộtthươngsốlàsốnguyênnhưngphépchiacósốdưbằngnhau.Vídụvớihaisốa=34vàb=12vànếuchọnm=11thìsốdưcủahaiphépchiabằngnhauvàbằng1.Ngườitanóiavàbcómốiliênquanvớinhauquađồngdưmvàviết:a≡b(modm).Tađọcavàbđồngdưtheomođunm.KháiniệmđồngdưrađờirấtsớmtừthếkỉthứV.ỞTrungQuốckháiniệmđồngdưxuấthiệnđầutiêntrongbộsách“SáchtoánTônTử”.Trongđờisốnghằngngàychúngtacũngthườnggặphiệntượngđồngdư.Vídụtrongmộtthángnàođónếungày2làthứtưthìcácngày9,16,23cũnglàngàythứtư.Vìthếcác

số9,16,23liênquanvớinhauquađồngdưtheomođun7.

NóichungđểxếplịchthiđấutheothểthứcthiđấuvòngtròncóNđộithamgiachỉcầnởvòngđấuthứrtachọngiátrịythếnàochox+y=r(modN-1)làđược.

Nhưtrongvídụtrên,taphảichọnythếnàođểx+ychia5cósốdưbằngrlàđược.

Vídụởvòngđấuthứnhất(r=1,x+y=6)nênvớicácgiátrịx=1;y=5;x=2;y=4thìđềuđápứngđượcyêucầu.Nhưngx=3;y=3thìgặptrườnghợpđộithứbalạiđấuvớichínhmìnhnênkhôngthểđược.Vìvậytrongtrườnghợpnày,taquyướcchọnđộicuốicùnglàđộisố6thiđấuvớiđội3.Nhưvậyởhàngthứnhấttagiảiquyếtxong.

Ởvòngthiđấuthứhai(r=2,x+y=7),ởhàngthứhaikhônggặptrởngạigì.

Ởvòngđấuthứba(r=3;x+y=8),khix=1,y=7vìkhôngcóđộibóngcóphiênhiệunày,nêntrongtrườnghợpnàytachọnx+y=rthìx=1,y=2;x=2,y=1.Sauđólạiquayvềx+y=8thìx=3,y=5;khix=4thìy=4nênbâygiờykhôngthểbằng4màlấybằng6.

Bằngcáchtươngtựngườitacóthểlậplịchthiđấuchothểthức

thiđấuvòngtròncủamộtbảngcó6đội.

Nhưvậynếusốcácđộighitênthiđấulàsốchẵn,thìmỗiđộitrongmộtvòngđấuđềucóđấuthủkhácnhau.Tuynhiênđâykhôngphảilàlịchđấuduynhất.Nếusốđộithamgiathiđấulàsốlẻ,thìcáchxếplịchthiđấunhưvừatrìnhbàysẽkhôngthíchhợp.

Từkhoá:Kháiniệmđồngdư.

105.Vìsaotrongcácbuổithiđấu,khitínhđiểmtrungbìnhngườitaphảiloạibỏcácđiểmsốquácaohoặcquá

thấp?Trongmộtcuộcthihát,uỷviênchấmthithườngtuyênbốđiểm

số9,00,9,50,9,55,9,6,9,75,9,90.Nhưngkhitínhđiểmbìnhquânngườitađãbỏcácđiểmsốquábévàquálớnvàtínhđiểmbìnhquânnhưsau:

Vìsaongườitalạibỏđicácđiểmquácaovàquáthấp?Đólàđểloạibỏcácđiểmkhácthường.Điểmkhácthườnglànhữngsốquálớnhoặcquábésovớisốbìnhquân.

Thôngthườngcácđiểmkhácthườnglàdotrọngtàisơývàcácyếutốtâmlíhoặcquáphẫnnộhoặcquáphấnchấngâynên.Đểgiảmbớtcácđiểmkhácthườnglàmảnhhưởngđếnđộchínhxáccủakếtquảđiểmbìnhquân,việcloạibỏcácđiểmkhácquácaohoặcquáthấplàhợplí.

Điềunàycóliênquanđếnkháiniệmsốtrungvịtrongtoánhọc.Nhưngthếnàolàsốtrungvị?Talạithửxemxétvídụtrênkia,cứtheothứtựsắpxếpcủasáusốnhưtrêntalấybìnhquâncủabasốhoặcbốnsốthìđiểmbìnhquânsẽlàsốtrungbình.

(9,55+9,6)/2=9,575

Nếusốuỷviêncủahộiđồngchấmthilàsốlẻ,nếulấytrungbìnhtừnămsốđứngtrước,thìsốtrungvịsẽlà9,55tứclàđiểmsốthứba.Khixửlítìmsốtrungvịvớicácconsốởbêntráisốtrungbình,chỉcầnkhônglớnhơnsốtrungvịthìcũngkhônglàmthayđổisốtrungvị.Khixửlívớicácsốởbênphảisốtrungvị,chỉcầnkhôngcầnnhỏhơnsốtrungvịthìcũngkhônglàmthayđổigiátrịsốtrungvị.Từđócóthểthấy,sốtrungvịkhôngchịuảnhhưởngcủacácsốquálớnhoặcquábécựcđoan,cònđiểmbìnhquânthìchịuảnhhưởngcủamỗigiátrịtrongcácsố.Vìvậysốtrungvịcólúcphảnảnhmứcđộbìnhquân.Vídụtrongmộtlớphọccó10bạnthamgiamộtcuộcthi,cóhaingườibịđiểm0.Sốđiểmcủanhómngườisắpxếpnhưsau:

0,0,65,69,70,72,78,81,85,89.

Điểmbìnhquânsẽlà:

Nhưvậyngaybạncóđiểmsố65đãvượtđiểmbìnhquânnhưvậylàcóđiểmsốtrêntrungbình.

Đươngnhiênkhôngphảinhưvậy.Nếuloạibỏhaingườibịhỏngthi,thìanhchàngcóđiểmthi65sẽởvịtrícuốibảng.Nhưvậyđiểmbìnhquânkhôngphảnánhđúngmứcđộtrungbình.Thếnhưngnếuloạibỏđiểmhỏngthìlấyđiểmbìnhquâncủatámsốcònlạiliệucóđượckhông?Đươngnhiênkhôngđược.Bâygiờchỉlấyđiểmtrungvịlàthíchhợp.Điểmtrungvịlàtrungbìnhgiữađiểmsốthứnămvàđiểmsốthứsáu,tức70+72/2=71.

Sốđiểmlớnhơn71làtrêntrungbình,nhỏhơn71làdướitrungbình.Nhưvậyđiểmtrungvịmớiphảnánhđúngmứctrungbình.

Đươngnhiênsốtrungbìnhcũngcóưuđiểmriêngtứclàcầnphảichúýđếntấtcảcácsố.Việcloạibỏcácđiểmquálớnvàquábélàđãkếthợpđượcưuđiểmcủahaiphươngpháp:vừaloạibỏgiátrịdịthườngvừapháthuyđượctácdụngcủapheđasốtronghộiđồngchấmthinênđólàphươngpháphợplí.

Từkhoá:Sốbìnhquân;Điểmtrungvị.

106.Vìsaothànhtíchchạy400mtiếpsứclạicaohơnkhichạycựly100m?Tháng10năm1968,tạiOlimpicmùahèMexico,namvậnđộng

viênMỹHayenxơđãchạy100méthết9,9”,lầnđầutiênđãchạy100mdưới10”,đâylàmộtmốcquantrọngtronglịchsửđiềnkinh.Cũngtạithếvậnhộinày,độichạytiếpsức400mnamcủaMỹvớithànhtích38”2,trungbìnhchạy100mhết9”6.

Điềurõrànglàcuộcchạytiếpsức400mlàdobốnngườikhácnhauthựchiệnchạycựly100mkếtiếpnhau.NếubốnvậnđộngviênthựchiệncùngvớithànhtíchcủaHayenxơ,tứcthànhtíchchạy100mhết9,9”thìbốnngườinàyphảichạyvớithờigian39,6”.Tạisaovậy?Đểgiảiđápcâuhỏinày,ngườitaphảinhờcácnhàtoánhọc.

Vàonăm1973,nhàtoánhọcMỹđãxâydựngmôhìnhtoánhọcchomônchạytốcđộcựly100m.Đâylàđườngbiểudiễntốcđộchạycủavậnđộngviênchạy100mtrongsuốtlộtrìnhthiđấu.Từđườngbiểudiễnnày,vớicácvậnđộngviênchạytốcđộcựly100mthìở30mđầu,tốcđộcủavậnđộngviêntăngrấtnhanh;trongkhoảngtừ30m-100mvậnđộngviênduytrìchạyvớitốcđộlớnnhất,trongkhoảngthờigiannàytốcđộchạycủavậnđộngviêncóthểcóthayđổinhưngkhôngthayđổinhiềulắm;khoảngbắtđầu80mvìthểlựcgiảmnêntốcđộcủavậnđộngviêncóthểgiảm,nhưngởgầnđíchtốcđộlạimộtlầnnữatănglên.

Điềuđóchothấyvớibấtkìvậnđộngviênchạy100mnào,tốcđộchạycaonhấtkhôngthểxuấthiệnngaytừlúcmớibắtđầuchạy,màphảivàokhoảngsau30mchạyđầutiênlàmiềncầnđểanhtahoànthànhviệctăngtốcđộđếntốcđộchạycaonhất,đóchínhlàquãngđườngđểvậnđộngviênchạytiếpsức4.100mchạylấyđà.

Trongcuộcchạythitiếpsức4.100m,cácvậnđộngviêncầmgậychạyởchặng2,3,4đãcóquãngđườngchạylấyđà,trongđó10mđầuthuầnđểlấyđà,20msaukhuvựcchuẩnbịchoviệctiếpsức.Vìvậy

chỉcầnpháthuytốtkĩthuậtchạylấyđàvàkĩthuậttraogậytiếpsức,nhờvậyvớicácvậnđộngviêncầmgậytiếpsứctừchặngthứhaitrởđi,khivàođườngchạylàởvàođộchạyvớitốcđộnhanhnhất;khôngnhưvậnđộngviênchạyởchặngmộtnhấtthiếtphảicóchặngchạytốcđộ30mbanđầu.Vìvậytrừvậnđộngviêncầmgậytiếpsứcbanđầuthànhtíchkhôngthểvượtvậnđộngviênchạy100mtốtnhất;cácvậnđộngviêncầmgậytiếpsứcởcácchặngsauđềucókhảnăngvượtquáthànhtíchchạy100mtốtnhấtcủachínhhọ.

Từkhoá:Tốcđộvàmôhìnhtoánhọc.

107.Làmthếnàotìmconđườngngắnnhất?

Trongcuộcsốnghằngngàychúngtathườnggặpvấnđềsauđây:CầntìmconđườngngắnnhấtđitừđiểmAđếnđiểmEnhưởhìnhvẽ.Trênhìnhvẽcácđiểmcuốimỗiđoạnđườnglàmộtđịađiểm,đoạnthẳngchỉconđườngnốigiữahaiđiểm,consốtrênmỗiđoạnthẳngchỉcựlycủađoạnđường.

Trướchếtxindẫnraphươngphápthôngthường.Xemxéttấtcảcáctuyếnđườngcóthểđi,tínhtoántổngcáccựly,từđóchọnđượctuyếnđườngngắnnhất.TừAđếnEcó3.3.3.1đoạnđườngcóthểđi,mỗituyếnđicầnthựchiệnbalầnphépcộng,cầnphảithựchiện81phépcộng.Ngoàiracònphảitiếnhành26lầnphépsosánh,cuốicùngsẽtìmđượctuyếnđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3→E.Cựlytươngứngbằng15.

Tadễdàngnhậnthấythựchiệnnhưphươngphápthôngthườngquảlàđơngiảnnhưngđểthựchiệnlạikhôngdễvìphảiquanhiềuđịađiểm,thựchiệnquánhiềuphéptính.

Vậyliệucóphươngphápnàokháckhông?

GiảsửtachọnđượcconđườngngắnnhấtlàA→B2→C2→D3→Ethìđoạnđườngnhỏtrongđóđitừhaiđiểmcủatuyếnđườngcũngphảilàngắnnhất,vídụC2→D3→EcũngphảilàconđườngngắnnhấttừC2đếnE.Nếukhông,khidùngphảnchứngtaphảitìmđượcmộttuyếnđườngkhácngắnhơnvàđiềuđótráivớigiảthiết.Tuyếnđườngngắnnhấtnhưmôtảởtrên,chúngtacóthểbắtđầutừcuốituyếnđườngtruydầntừngbướctasẽtìmđượctuyếnđườngngắnnhấttừAđếnE.

Bướcthứnhất:TìmđoạnđườngngắnnhấttừDđếnE.

TừD1,D2,D3đếnEcócáctuyếnf(D1)=5,f(D2)=8,f(D3)=1.f(xi)biểudiễncựlyngắnnhấttừxiđếnE.

Bướcthứhai:XétđoạnđườngngắnnhấttừCđếnE.

XuấtpháttừC1cókhảnăngchọnđếnD1,D2hoặcD3.

trongđó,d(C1,D1)biểudiễnkhoảngcáchtừC1đếnD1,dễdàngtìmthấykhoảngcáchngắnnhấtlàtheotuyếnC1→D3→E.

TươngtựxuấtpháttừC2tacó

VàtuyếnngắnnhấtlàC2→D3→E.Tươngtự

TừC3tuyếnngắnnhấtlàC3→D3→Evớif(C3)=6

Cũngvớilídotươngtự,tatìmthấyf(B1)=12chođoạnđườngconB1→C2→D3→E

vàf(B2)=7chođoạnđườngconB2→C2→D3→E

f(B3)=12chođoạnđườngconB1→C__1(hoặcC2)→D3→E

XuấtpháttừAtacó:

Dựavàoquátrìnhtínhtoán,tathấysốlượngphéptoángiảmđirấtnhiều:chỉcần3.3+3.3+3=21phépcộngvà3.2+3.2+2=14

phépsosánh.Nếusốđịađiểmcànglớnthìưuđiểmcủaphươngphápcàngrõrệt.DùngphươngphápnàykhôngchỉchothấytìmđượcđườngtừAđếnEngắnnhấtmàcònbiếtđượccựlytừđiểmnàyđếnđiểmkháccủatuyếnđường.Trongtoánhọc,ngườitagọiđâylàphươngpháp“giảipháptheoquytắcđộngthái”.

“Quytắcđộngthái”làphươngphápchophépgiảiquyếtnhanhbàitoántốiưu,donhàtoánhọcMỹBellmanđưaranăm1959.Đâylàbàitoán“tốiưuhoá”đãđượcpháttriểnthànhngànhtoánhọcmới.Phươngphápquytắcđộngtháiđượcpháthuyrộngrãitrongcácngànhkĩthuậtcôngtrình,quảnlíkinhtế,trongsảnxuấtcôngnghiệpvàkĩthuậtquânsựvàngàycàngđượccoitrọng,thậmchícònđượcdùngtrongviệcchọnphạmvitrongmáytính.Bởivìnếudùngphươngphápthôngthườngthìđếncảmáytínhcũngkhóthựchiệnhếtđượccácphéptính.

Từkhoá:Phươngpháptrậttựthường;Quytắcđộngthái.

108.Vìsaocálạihaynổilênlặnxuốngkhibơitrongnước?

Nếuchúýquansátđàncábơilộitrongbểcábạnsẽthấychúngluônlúcnổilênlúclặnxuống.Đóchínhlàcáchcáthựchiệnviệctiếtkiệmnănglượng.Thếtạisaocáchbơilộinàylạitiếtkiệmđượcnănglượng?

Giảsửcábơivớitốcđộkhôngđổiv.ChoDlàlựccảnmàcáphảichịukhilặnvớitốcđộđó.ChoWlàkhốilượngtĩnhcủacá,αlàgóclặnxuốngcủacásovớiđườngnằmngang,βlàgóckhicánổilên.TheocơhọckhicálặnsẽchịulựccảnthẳngđứnghướnglênbằngphânlựccủakhốilượngtĩnhWkhichuyểnđộng.

D=Wsinα

KhicálặnlựccảnsẽbằngklầnlựcđẩytứclàbằngkD.KhicánổilênsẽcầnmộtlựcbằngtổngcủalựcnổivàphânlựccủalựccảnhướnglêndolựcđẩyKvớikhốilượngtĩnhW,tức

KD+Wsinβ=W(Ksinα+sinβ)

Khicálộitheophươngnằmngang,phânlựcdochuyểnđộnghướnglênbằng0,lựccầnthiếtsẽlà

KD=WKsinα

Cònkhicálặnkhôngcầnlực.DođókhicábơitheođườngtừAđếnClạilặnxuốngđiểmBtheohìnhrăngcưasovớiviệcbơitheophươngnằmngangABthìtỉsốnănglượngtiêutốnchohaitrườnghợpsẽlà(côngđượctínhbằngtíchsốcủalựcnhânvớiđoạnđườngđiểmđặtcủalựcdịchchuyển):

MàAB=ACcosβ+CDcotgα=AC(cosβ+sinβ+cotgα)

Nên

Theoquansátthựctếthìthôngthườngα=11,20o,

K=3nên

Theohìnhvẽtathấy11,2o+β<π/2nênβ<78,4o

thìP<1tứckhicábơilộitheođườngrăngcưathìtiêutốnítnănglượnghơnkhibơingang.Đặcbiệtkhiβ=59,15othìP=0,51nênkhicábơitheohìnhrăngcưathìtiêuhaonănglượngchỉgầnbằngnửanănglượngkhicábơingang.Chonên,cáđươngnhiênlàbơilộitheokiểuhìnhrăngcưa.

Từkhoá:Lựccản;Tiêuhaonănglượng;Hìnhrăngcưa.

109.Tạisaocácchỗđườngsắtuốncongkhôngthểghépliềnđườngthẳng

vớicungtròn?Bạncóbiếtchỗđườngsắtuốncongcódạngnhưthếnàokhông?

Khichiếctàucaotốctừđoạnđườngthẳngđivàođoạnđườngcong,đườngsắtphảinhưthếnàođểkhitàuđổihướngmàkhônggâylênsựcố?Câutrảlờilàphảicóđoạnđườngtrunggianđểgiảmbớtchấnđộng.Ởnhiềunước,ngườitadùngđoạnđườngtrunggiannàycódạngmộtđườngparabondạngy=kx3(klàhằngsố)làđoạncungsauđóđếnđoạncungtròn.

Vìsaongườitalạidùngloạiparabonbậcbay=kx3làmđoạntrunggian?Đólàđặcđiểmvềđộcongcủacácloạiđườngcong.Thếnàolàđộcongcủacácđườngcong?NhưởhìnhvẽhaiđoạnđườngcongC1vàC2cócùngđộdàilàA1B1vàA2B2,rõrànglàđộcongởA1B1lớnhơnởA2B2nhiều.

Tavẽhaitiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcong.Cáctiếptuyếntạicácđiểmđầuvàcuốicủacácđườngcongtạothành

cácgócα1vàα2tươngứng.Rõrànglàα1>α2cónghĩalà,nếuđộcongcủađườngcongcànglớnthìgóccủacáctiếptuyếnởđiểmđầuvàđiểmcuốicủacácđườngcongcànglớn.Vậytacóthểdùnggóccủacáctiếptuyếntạiđiểmđầuvàđiểmcuốicủađườngcongđểđođộcong.

Vídụvớicácđườngthẳngthìđườngtiếptuyếntạicácmútcủađườngthẳngđềutrùngnhaunêngóccáctiếptuyếnbằng0,nênđộcongcủađườngthẳngbằng0.

VớiđườngtrònbánkínhR,tiếptuyếntạihaimútcủacungtrònbằngvớigócαcủahaibánkínhOPvàOQ.Nếuαđobằngđơnvị

rađianthì =Rα

nênđộcongcủacung là: .

Nhưvậyvớiđườngtrònthìđộcongtạimọiđiểmlà1/R.

Khitadùngđườngcongbậcba:y=kx3từ0đếnBđểnốiđoạnthẳngvớicungtròntứcchođộcongcủađườngsắtthayđổitừ0đến1/R,khônglàmđộcongcủađườngsắtthayđổiđộtngộtnênkhônggâyrasựcố.

Từkhoá:Đoạnđườngsắttiếpnốithẳng;Độcong;ĐườngcongParabonbậcba.

110.Cóphảikhimưa,càngđinhanhcàngítbịướtđẫmnướcmưa?

Thôngthườngkhiđitrongmưangườitacốgắngchạythậtnhanhvìchorằngđicàngnhanhthìcàngítbịướtđẫmnướcmưa.Thựctếcóphảinhưvậykhông?

Giảsửthânngườilàmộtcộtvuôngdàithì,diệntíchcủacácmặttrước,mặtbênvàđỉnhđầutỉlệ1:a:b,thânngườichuyểnđộngtheophươngtrụcxvớitốcđộv,đoạnđườngdichuyểnlàL.

GiảsửmưarơivớivậntốcucócácthànhphầntốcđộtheocáctrụcOx,Oy,trênmặtbằngvàtrụcthẳngđứngOzlàUx,Uy,Uz.

Trongđơnvịthờigian,nướcmưarơivàotrướcmặt,mặtbênvàđỉnhđầulàmướtđẫmnướcmưa,cóliênquanđếndiệntíchcácmặt,phươnghướngchuyểnđộngvàtốcđộtuyệtđốicủanướcmưa,vìvậy

trongđơnvịthờigianthìđộđẫmnướcmưacóthểbiểudiễnbằng:

trongđó,Klàhệsốtỉlệ.Vìvậytrongkhoảngthờigian1/v,tổnglượngnướcmưaướtđẫmvàongườisẽbằng:

Trongđó,vlàbiếnsố,Slàcácđạilượngphụthuộcv.Sauđâytasẽxétcáctrườnghợpkhiv<Ux,tứckhivậntốcngườinhỏhơntốcđộcủamưa

HiểnnhiênvcànglớnthìS(v)càngbéhaynóicáchkhác,trongtrườnghợpnàythìđicàngnhanhcàngbịướtđẫmnướcmưa.

Cũngtheocôngthứctrênchúngtacóthểtìmthấyv≥uv,nếuUx<a|ux|+b|uz|thìnếuchạycàngnhanhcàngítbịđẫmnướcmưa.NhưngnếuUx>a|ux|+b|uz|thìchạycàngnhanhcàngđẫmnhiềunướcmưa.Thựcradotrongtrườnghợpnàytốcđộcủamưatheophươngtrụcx,lượngmưarơivàongườichủyếutừphươngnày,vìthếtrườnghợpnàyvkhôngnênquálớn.Tráilạitrongtrườnghợpnàytốcđộdichuyểncủangườivànướcmưabằngnhautứclà

v=Ux

thìlượngnướcmưađếntừphíatrướcbằng0.

Mọingườiđềubiếtchiềucaocủangườicóliênquanchặtchẽvớitínhditruyền.Thôngthườngnếuchamẹcaotothìsinhraconcáicũngcótầmvóccaoto.Thếnhưngtrongcuộcsốngthườngngàycũngcónhiềungoạilệ.Vìsaovậy?

Sauđâychúngtôixintrìnhbàymộtsốkháiniệmvềtoánthốngkê.

Giảsửx1,x2,...xnlàchiềucaocủanngười.

Thếthìchiềucaotrungbìnhcủanhómngườinàysẽlà

vàđộlệchquânphương

Phảnánhsựsailệchcủacácgiátrịxisovớisốtrungbình.

Đểphảnánhmốiquanhệditruyềncủabốmẹvàconcáivềphươngdiệntầmvóccơthể,ngườitađãtiếnhànhnghiêncứu1000đôichaconvềmốitươngquanchiềucaocủahọ.Giảsửxvàybiểudiễnchiềucaocủachavàcon,vàchọnxlàchiềucaocủabốđặttrêntrụchoành,cònylàchiềucaocủaconđặttrêntrụcy.Đặtcáccặpsố(xi,yi)trêntoạđộphẳng(i-1,...,1000)tacóthểtìmthấytoànbộquangcảnhcủamốiliênquannàybằngđámtươngquancódạnghìnhbầudục,hìnhbầudụccótrụcnghiêng45o.

VìvậyđườngbiểudiễnđộtảnmạnSDsẽlàđườngthẳngcắttrụchoànhmộtgóc45o.Vàbởivìsovớichathìconthườngcaohơnchakhoảng2cmvàđườngbiểudiễnđộtảnmạnsẽxuấtpháttừđiểm158cmtrêntrụchoành.

Tathửxétcáctrườnghợpcácôngbốcao182cmtrởlênthìcácđứaconđạiđasốphânbốởphíadướiđườngtảnmạn.Tráilạivớicácôngbốcóchiềucaothấphơn166cmthìnhữngđứaconthườngcóchiềucaophânbốphíatrênđườngSD.Trênhìnhvẽđườngthẳngbiểudiễnbằngnétđứtlàđườnghồiquy.Dựavàođườnghồiquycóthểbiếtchiềucaobìnhquâncủanhữngđứaconsovớichiềucaocủacácôngbố.Vídụvớicácôngbốcao182cmthìconcaotrungbình180cm;cònvớicácôngbốcao166cmthìconcaobìnhquân171cm.

Trênđâychúngtavừaxét“hiệuứnghồiquy”.Căncứhiệuứnghồiquychúngtacóthểtìmkhuynhhướngchiềucaotrungbìnhcủanhữngđứaconsovớichiềucaotrungbìnhcủacácôngbố.Vớicácôngbốcóchiềucaonàođóthìchiềucaocủaconcóhướngngượcvớiđườnghồiquy.

Theonhưphântíchởtrên,chamẹcaotosẽsinhconcóxuhướnglàconcótầmvócthấpvàngượclạikhichamẹlùnsẽsinhconcaoto.Khôngchỉvềtínhtrạngchiềucaomànhiềuloạitínhtrạngditruyềnởloàingườicũngcóxuhướnghồiquy,docótácdụngđiềutiếttrongcácditruyềntínhtrạng,màlàmchocácloạitínhtrạngditruyềnở

loàingườiđượcổnđịnhquanhiềuthếhệ.

Từkhoá:Đườngthẳnghồiquy;Hiệuứnghồiquy;Độlệchbìnhphương.

Trongcáckhudâncư,ngườitathườngbốtrícácbồnhoa,thảmcỏlàmchokhudâncưđượcđẹpđẽ,vuimắt.Thếcácbạncóbiếtcáchthiếtkếcáckiểubồnhoanàykhông?

Tháng7-1993,mộtthầygiáodạytoánlớpbađãrachohọcsinhmộtđềtoánnhưsau:Cómộtkhuđấthìnhchữnhậtdài4m,rộng3m,cầnbốtrítrênkhuđấtmộtsốbồnhoanàođểchodiệntíchcácbồnhoachiếmnửadiệntíchkhuđất?Bạnhãyđưaracácphươngán.

Cácbạntrẻđãpháthuyhếtkhảnăngvàthiếtkế,nhiềuđồánkhôngchỉtrôngrấtđẹpmàcòncóthểtínhđượcdiệntíchcácbồnhoa.Cáchìnhvẽởbêntrìnhbàytámloạiđồán.Bạncóthểthiếtkếcácbồnhoađẹphơnkhông?

Đốivớitámđồánnêutrên,đềucóthểdễdàngtínhđượcdiệntíchcácbồnhoa,khixâydựngcóthểchọnđượcchỗđấtvàbốtrítrênmặtbằng.Vídụnhưởhình6cấutạotừmộthìnhtrònvàbốnquạttròn,mỗiquạttrònđúngbằng1/4diệntíchhìnhtròn,cácquạttrònvà

hìnhtròncóbánkínhbằngnhauvàbằngR.Tadễdàngtínhđượcbánkínhcủahìnhtrònnày.Theoyêucầucủađồántacóphươngtrình:2(πR)2=1/2.4.3,πR2=3,

Nhưvậychỉcầnchọnvòngtròncóbánkínhbằng0,977mthìcácbồnhoathựchiệnnhưởđồán6sẽcódiệntíchbằngnửadiệntíchcủakhuđấtđãchọn.

Thônnọ,mộtkhuđấthìnhtamgiáccómộtcạnhtiếpgiápvớimộtmươngnướcnhưởhìnhvẽ.Cácnhàchứctráchtrongthônmuốnchiakhuđấtchonămhộdâncư.Đểviệctướinướcđượctốt,mỗikhuđấtcủamỗihộdâncưphảinốivớimươngnước.Bạnhãycăncứtheosốnhânkhẩucủamỗihộđểviệcphânchiakhuđấtnhưthếnàothìtốt.Sốnhânkhẩutrongmỗihộdâncưđượcliệtkêtrongbảngdướiđây:

Hộdâncư 1 2 3 4 5Sốnhânkhẩu 5 2 4 8 6

Tabiếtrằngdiệntíchhìnhtamgiácbằngmộtnửatíchsốcủađáynhânvớichiềucao.Nếucáchìnhtamgiáccóchiềucaobằngnhauthìdiệntíchtamgiácsẽtỉlệvớiđộdàicủađáytamgiác.Giảsửcó2hìnhtamgiácAvàBnếucạnhđáycủaAgấpđôicạnhđáycủaBthìdiệntíchcủaAgấpđôidiệntíchcủaB.

Tổngsốnhânkhẩucủanămhộdânlà25.CáchộdânđềunằmtrênABlàmươngnước.BắtđầutừA(hoặcB)lấy300/25làmđơnvịsauđótheosốnhânkhẩunhânvớiđơnvịvừatínhđượclàđượcphầnđấtchohộtươngứng.

Vídụvớihộsố1talấynămđơnvịđộdài12.5=60m.TừAđặtđoạnAA1=60m,tađượckhuđấtgiớihạnchohộsố1làtamgiácAA1C.Nếucáchộdâncưcảmthấykhuđấthìnhtamgiáckhôngthuậntiệnchoviệccanhtáccóthểlựachọnnhiềuphươngánphânchiakháctheoquanđiểmnàođóthíchhợp.

Từkhoá:Hìnhtamgiácvàdiệntíchtamgiác.

Trongcuộcsốnghàngngàychúngtathườnghaygặpcáckiểuvésốcóthưởngnhưvéxổsố,xổsốthểthao,xổsốgửitiềntiếtkiệmv.v..Vậykhichọnsốđểmuanênchọncácsốliềnnhauhaykhôngliềnnhau?Chọnmuakiểunàothìkhảnăngtrúngthưởnglớnhơn?

Trướchếttaxétmộtvídụđơngiản.Giảsửtrongmộtkìxổsố,cácvétrúngthưởngcóchữsốcuốilàsố0,cơhộitrúngthưởnglà10%(tứcxácsuấttrúngthưởng).Tađãmuahaivésố.Nếumuahaivécósốliềnnhauthìcó10loạikhảnănglà(0,1),(1,2),(2,3)...(9,0).Khảnăngxuấthiệncáctìnhhuống(xácsuất)lànhưnhau.Trongmườitìnhhuốngchỉcóhaitìnhhuống(0,1)và(9,0)làcóxuấthiệnsố0.Tronghailoạitìnhhuốngchỉcómộtvésốlàtrúngthưởng.Do

đótổngcácxácsuấttrúngthưởnglà20%,bìnhquântrongmộtlầnmuavésốcó1.20%=0,2.Nếumuahaivésốbấtkìkhôngliềnnhauthìcó100loạikhảnăngxuấthiệncácchữsốcuối,khảnăngxuấthiệnmỗitìnhhuốnglànhưnhauvàbằng1%.Cáctìnhhuốngsẽlà:

(0,0),(0,1),(0,2)...(0,9)

(1,0),(1,1),(1,2)...(9,9)

.....

(9,0),(9,1),(9,2)...(9,9)

Trong100tìnhhuốngliệtkêchỉcótìnhhuống(0,1)làtrúngsố,nênxácsuấttrúngthưởngcáctìnhhuốnglà1%;còntrongcáctìnhhuống(0,1)...(0,9)đến(1,0)...(9,0)tấtcảcó18tìnhhuốngchỉcómộtvétrúngthưởngnêncóxácsuất18%;cáctìnhhuốngkhácđềukhôngtrúngthưởng.Vìvậytổngxácsuấttrúngthưởngtrongcáctìnhhuốnglà1%+18%=19%,sovới20%thìnhỏhơn1%.Thếnhưngbìnhquânkhảnăngtrúngsốchomộtlầnmuavésốvẫnlà2.1%+1.18%=0,2lầncũngbằngkhảnăngmuacácvésốliềnnhau.Vìvậytacóthểnóidẫuchomuacácvésốliềnnhauhoặckhôngliềnnhauthìkhảnăngtrúngthưởnglànhưnhau.

Nếumộtlầnmuabavésốthìcáchtínhtoáncũngthựchiệntheophươngpháptrìnhbàyởtrên.Khimuavésốcósốliềnnhauthìxácsuấttrúngsốlà30%bìnhquânkhảnăngtrúngsốchomộtlầnmualà0,3%.Khimuavésốkhôngliềnsốthìkhảnăngđểbavésốđềutrúngthưởnglà0,1%,đểcóhaivétrúngthưởngthìcóxácsuất2,7%,khảnăngchỉcómộtvétrúngthưởnglà24,3%.Tổngcácxácsuấtlà27,1%<30%.Khảnăngbìnhquâncủamộtvétrúngsốsẽlà:3.0,1%+2.2,7%+1.24,3%=0,3lầnsovớicáchmualiềnsốthìkhảnăngtrúngthưởngchomộtvémualànhưnhau.

Bấtkểmỗilầnmuabaonhiêuvésốthìkhảnăngbìnhquântrúngthưởngchomộtvémuacủahaiphươngthứcmuavélànhưnhau.

Bâygiờtathửthayđổimộtchútvềthểthứcvétrúngthưởng.Thaychothểthứctrúngsốlàchữsốcuốilàsố0,tachọnvétrúngthưởnglàvécóhaichữsốcuốilàhaisố00chomộtlô.Giảthiếttamuangẫunhiênhaivésốbấtkìgiốngnhưcáchtínhtoántrìnhbàyở

trên,khảnăngtrúngthưởngbìnhquâncủahaiphươngthứcmuavésốlà2%,khảnăngtrúngthưởngbìnhquânchomộtvésốlà0,02%.Muatheophươngthứckhôngliềnsốthìkhảnăngđểhaivésốđềutrúngthưởnglà1%.1%=0,01%,chỉcómộtvésốtrúngthưởngcóxácsuất1.99%+99%.1%=1,98%vàtổngcácxácsuấttrúngthưởnglà1,99%<2%vàbìnhquânchotrúngthưởngchomộtvésốlà:

2.0,01%+1.1,98%=0,02lần.

Vàkhảnăngtrúngthưởngchomộtvésốởhaiphươngthứcmualànhưnhau.

Nóitómlạidùmuabaonhiêulô,xácsuấttrúngthưởnglàbaonhiêu,muanhiềuhayítvésốthìhaiphươngthứcmuavécósốliềnnhauhoặccáchxanhauđềuchocácvésốcókhảnăngtrúngthưởngnhưnhau.

Từkhoá:Xácsuất,sốbìnhquân.

Khicầnquyếtđịnhchọnmộtphươngántrongnhiềuphươngánđưara,ngườitahaydùngbiệnphápbốcthăm.Vídụtrongtrậnthiđấubóngbàn,ngườitadùngbiệnphápbốcthămđểchọnvậnđộngviêngiaobóngtrước.Trongcáccuộcthiđấu,ngườitahaychọncáchbốcthămđểxếpthứtựcáctrậnđấu.

Thếviệcbốcthămtrướchoặcsauliệucóthểđưađếncáccơhộinhưnhaukhông?Vídụcầnchọnmộttrongbabạnthithamdựmộtbuổisinhhoạtnghệthuậtnàođó,ngườitadùngbiệnphápbốcthămxemlàcáchchọncôngbằngnhất.Trướchếtngườitachọnbamảnhgiấynhỏ,đánhmộtkíhiệuriêngvàomộtmảnhgiấy,sauđóxáotrộnvàđểmỗingườibốcmộtmảnhgiấy.Cóbạnnhỏchorằngbốcthămtrướccólợihơnnêntranhquyềnbốctrước.Sựthựccóphảinhưvậykhông?Chúngtahãyxemxácsuấtđểmỗingườicóthểnhậnđượcmảnhgiấycóghikíhiệu.

GiảsửchobạnnhỏA,B,Cbốcthămtheothứtự:Athứnhất,B

thứnhì,Cthứba.Mộttrongbamảnhgiấycóđánhdấu(*)cònhaimảnhkiađánhdấu“O1”và“O2”.

Tasẽbiểudiễncáctìnhhuốngbốcthămtrênhìnhvẽởtrên,vìhìnhvẽcódạnggiốngnhưmộtcáicâychonênngườitagọihìnhvẽnàylà“câytìnhhuống”.

TheohìnhvẽA,B,Cthứtựbốcthămcóthểcósáutìnhhuống,xácsuấtxuấthiệncáctìnhhuốnghoàntoànnhưnhau.Trongcáctìnhhuống(1)và(2),Atrúngcáchvớixácsuất1/3.Trongcáctìnhhuống(3)và(4),Bbốcđượcthămtrúngcáchcũngvớixácsuất1/3.Trongcáctìnhhuống(5)và(6)thìCtrúngcáchcũngvớixácsuấtlà1/3.

Từđósuyrabốcthămtrướchaysauđềucólợithếnhưnhau,khôngcầnphảitranhbốctrướcbốcsau.

Từkhoá:Xácsuất.

Nhiềungườichorằngtròđánhbạctheokiểugieoconxúcxắc,việcthắngbạilàdothờivận,điềuđólôicuốnnhiềubạntrẻthamgia.Vềmặtkháchquan,trongtròđánhbạcnàycơhộiđượclànhưnhau,thậmchícòncólợichongườithamgiađánhbạc(conbạc).Nhưngsựthựcthìtrongtròđánhbạckiểugieoconxúcxắc,cơhộiđượcbạckhôngnhưnhau,màkếtcụclànhàcáicólợivàbaogiờcũngthắng.Tathửxemxéttạisaolạinhưvậy?

Xétmộttròđánhbạc“thửvậnmay”kháthịnhhànhởnhiềunước.Quytắcđánhbạcnhưsau:Mỗingườithamgiaphảibỏ1đồngđặtcọc,sauđógieobaconxúcxắcđồngthời.Bạncóthểnhậnđượcmộtđiểmsốnàođó,vídụbạnchọnsốđánhlà“1”điểm.Nếucảbaconxúcxắcđềuxuấthiệnmộtđiểm“1”,nhàcáiphảitrả1đồngđặtcọc,đồngthờicòntrảthêm1đồngnữa.Nếuxuấthiệnhaiđiểm“1”thìngoàitiềnđặtphảitrảlại,nhàcáicònphảitrảthêm2đồngnữa;nếucảbaconxúcxắcđềuxuấthiệnsố“1”thìngoàitiềnđặtcọc,nhàcáiphảitrảthêm3đồng.

Thìra,sựxuấthiệnkhigieothìkhảnăngxuấthiệnsố“1”là1/6,khigieohaiconxúcxắcthìkhảnăngxuấthiệnsố“1”là1/3,khigieobaconxúcxắcthìkhảnăngxuấthiệnsố“1”là1/2,tứckhảnăngđặtcọc1đồngđểnhậnđượcthêm1đồnghoặcmất1đồngđặtcọclànhưnhau,huốnghồlạicókhảnănggấpđôi,gấpbavàvớingườithamgiachơisẽlàcólợi.Thựcrađóchỉlànhìnbềngoài.

Tathửxemxétsựxuấthiệncáctìnhhuốngkhigieo3conxúcxắcmộtlần?Khigieomộtconxúcxắctacóthểnhậnđượcsáukhảnăngxuấthiệncácsốđiểm,vớiconxúcxắcthứhaicũngcósáuloạikhảnăngvàvớiconxúcxắcthứbacũngvậyvàvớibaconxúcxắcthìcóthểcó6x6x6=216kếtquả.Trong216khảnăng,xácsuấtđểbaconxúcxắcxuấthiệncácsốđiểmkhônggiốngnhaulà6x5x4=120,vàđểbaconxúcxắcxuấthiệnsốđiểmhoàntoàngiốngnhaulà6loạikếtquả,làđồngthờixuấthiệncácsố“1”.“2”...”6”.Nhưvậycònlại216-120-6=90loạikhảnăngđểchoconxúcxắcxuấthiệnhaiđiểmsốgiốngnhau.

Giảsửngườichơinàođóthửvậnmayvớiconsố“1”.Nếuanhtađánhđố216lầnthửxemanhtasẽđượcbạcbaonhiêulần?

Trướchếttaxétsốtìnhhuốngđểconxúcxắcxuấthiện“1”điểm.Việcxuấthiệnconđiểm“1”cóthểchỉởmộtconxúcxắc,ởhaiconxúcxắchoặccảbaconxúcxắc,tứclàcó3loạikhảnăng;ngoàirasốtìnhhuốngđểhaiconxúcxắccònlạikhôngxuấthiệnsố“1”là5x5=25loại,tổngcộngcó3x25loạikhảnăng.Trong75loạikhảnăngxuấthiệnnàythìcókhảnăngđểconbạcnhậnđược2đồng,vàtổngsốtiềnanhtanhậnđượctrongtrườnghợpnàylà75x2=150đồng.Nhưvậykhảnăngxuấthiệnsố“1”ởmộtconxúcxắc,xuấthiệnởconsố1vàconsố2cũngcóthểxuấthiệnởconsố1vàconsố3,cũngcóthểlàconsố2vàconsố3hoặccả3khảnăng.Ngoàiravớimỗiconxúcxắccó5loạikhảnăngkhôngxuấthiệnsố“1”vàởcảbaconxúcxắcthìtấtcảcó15loạikhảnăng.Nênvớimỗilầnnhậnđược3conxúcxắcvớibasố“1”thìsốtiềnanhtanhậnđượclà45đồng.Cuối

cùngsốtìnhhuốngđểbaconxúcxắcchỉxuấthiệnmộtđiểm“1”chỉcó1loạikhảnăng,bấygiờanhtachỉnhậnđược4đồng.

Nhưvậytrong216lầngieo,conbạcchỉnhậnđược150+45+4=199đồng.Trongkhianhtaphảiđặtcọc216đồngnênrốtcuộcconbạcđãbịlỗ19đồng.

Bâygiờtaxétcáctìnhhuốngcủanhàcái.

Giảsửcó6ngườithamgiađánhbạc,đánhcượcvớicácsố“1”,“2”...”6”,giảsửhọcũngtiếnhành216lầngieoxúcxắc.Nhàcáimỗilầnnhậnđược6đồngđặtcọcvàsốtiềnđặtcọccho216lầnchơisẽlà6x216=1296đồng.Thửxemnhàcáisẽthuđượcbaonhiêu?

Theonhưphântíchđãtrìnhbàytrênđây,trong216lầngieo,có120lầnsốđiểmởbaconxúcxắckhônggiốngnhau.Vínhưởcácconxúcxắcxuấthiệncácsố“1”,“2”,“3”thìcácconbạcđánhcượcchobasố“4”,“5”,“6”bịthua.Nhàcáiphảitrảchocácconbạcthắnglà2đồngx3=6đồng,vàvới120lầnnhàcáiphảitrảchocácconbạcởtìnhhuốngnàylà6x120=720đồng.Ngoàiracòncó90lầncácconxúcxắcxuấthiệnsốđiểmgiốngnhauởhaiconxúcxắc,vínhưxuấthiệncácđiểm“1”,“1”,“2”,vậythìbaconbạcđánhcượcsố“4”,“5”,“6”bịthuacuộc.Ngườiđánhcượcsố“2”được2đồng,ngườiđánhcượcsố“1”được3đồng,nhàcáiđược5đồng,90lầnnhàcáiđược5x90=450đồng.Cuốicùngsáulầncảbaconxúcxắccósốđiểmgiốngnhau,vínhưđềunhậnđượcsố“1”,bấygiờngườiđánhcượcsố“1”thắngvànhậnđược4đồng,6lầnđược24đồng.

Cuốicùngnhàcáiphảichira720+450+24=1194đồng.Kếtquảlànhàcáilãiđược1296-1194=102đồng,tấtcảlãiđược7,9%.

Bâygiờchắccácbạnđãthấycácconbạckhônghềthuđượclợilộcgì,vìvậyđừngcóbaogiờthamgiađánhbạc.

Từkhoá:Xácsuất.

Khôngbiếtcácbạncónhậnthấytrongcùngmộtlớp,sốngườicócùngngàysinhnhậtquảlànhiều.Nếukhôngtinbạnthửlàmmộtphépthốngkê.Thếnhưngbạncóbiếttạisaokhông?Sốbạncùnghọctrongcùnglớpkhoảng40-50người,màmộtnămcó365ngày,tạisaocácngàysinhnhậtlạicóthể“chụm”nhaumộtchỗ.

Tathửtínhtoánmộtchútxemđểsinhnhậtcủabốnngườikhôngtrùngvàomộtngàycóxácsuất(khảnăng)bằngbaonhiêu.TuỳýchọnmộtbạnA,sinhnhậtcủaanhtacóthểvàomộtngàynàođótrong365ngàyhaynóicáchkháccó365khảnăng.NgườithứhailàB,ngườithứba,ngườithứtưlàCvàDcũngcócùngtìnhtrạngtươngtự.Nhưvậytìnhtrạngvềngàysinhnhậtcủabốnngườicóđến(365)4tìnhhuống.Thếthìsốngườicósinhnhậtkhácnhausẽlàbaonhiêu?ĐểsinhnhậtcủaAvàBkhácnhauthìvớiBphảitrừđi1ngàycùngvớingàysinhcủaAtứccònlại364ngàykhôngtrùngvớiA,tứccó364khảnăngkhôngcùngngàysinhnhậtvớiA.Cũngvớilídotươngtự,sốkhảnăngđểCkhôngcùngngàysinhvớiAvàBlà363khảnăng,sốkhảnăngđểDkhôngcùngngàysinhvớiA,B,Clà362.VìvậysốkhảnăngđểA,B,C,Dkhôngsinhcùngmộtngàylà

TráilạiđểbốnbạnA,B,C,Dítnhấtcóhaingườicócùngngàysinhlà1-0,98=0,02=2%.

Bâygiờtamởrộngcho40ngườithìsốkhảnăngđể40ngườikhôngsinhtrongcùngmộtngàylà

Dovậytrongsố“40ngườiítnhấtcóhaingườicócùngngàysinh”cókhảnăng:1-0,1088=0,8912=89,12%.Khoảng9/10Giảsửlớphọccủabạncó45ngườithìhaingườicócùngngàysinhítnhấtcóđến94,1%;cònnếulớpcủabạncó50ngườithìsốhaingườicócùngngàysinhcóthểlênđến97,04%.

Bạnthửtínhxemởlớpbạnthựctếcóbaonhiêungườivàconsốcóhaingườicùngsinhmộtngàyítnhấtlàbaonhiêu?

Từkhoá:Xácsuất.

Bóngrổlàmônthểthaođượckhánhiềubạntrẻưathích.Trongtìnhthếhếtsứckhẩntrươngchạyvềphíarổ,vớiđộngtácđẹpnémtrúngvàorổđốiphươngđượccảcầutrườnghoanhôvangdậythìquảlàđiềuhếtsứcphấnkích.Thếnhưngviệcnémtrúngliềnhaiquảvàorổđốiphươngkhôngphảilàchuyệndễ.Vìsaovậy?

Giảsửcóngườinémrổvớixácsuấttrúngđíchlà1/2thìtrungbìnhcứhailầnnémrổsẽcómộtlầntrúngđích.Nếunémliềnhaiquảthìcóthểcó4tìnhhuốngxảyra:trúng,trúng;khôngtrúng,trúng;khôngtrúng,khôngtrúng;trúng;khôngtrúng.Cơhộixuấthiệncáctìnhhuốnglànhưnhau.Cũnglíluậntươngtựkhinémliềnbaquảvềphíarổthìxuấthiệntámtìnhhuốngcócơhộixuấthiệnnhưnhau.

Nóichungkhinémnlầnliềnthìcó2ntìnhhuốngcócơhộixuấthiệnnhưnhau.Khảnăngxuấthiệnhailầnnémtrúngrổliêntiếptrong2nlầnnémsẽlà1/2n.Nếuném10lầnthìkhảnăngnémtrúnghailầnliêntiếplà1/210=1/1024tứckhảnăngchưađếnmộtlầntrong1000lầnném,từđóchothấymứcđộkhóthựchiệncủasựkiệnđưara.

Cũngcóngườichưathựcsựtinvàokếtluậnđó,chorằngđiềuđóchỉđúngđốivớiđấuthủnémrổkém,còncácđấuthủnémrổtốtchắckhôngđếnnỗinhưvậy.

Xincácbạnchúý,đốivớicácđấuthủxácsuấtnémtrúngđíchlà1/2,thìsaunlầnnémkhảnăngnémtrúnghailầnliềnlà1/2ntức(1/2)n.Nếuvớimộtđấuthủnémrổgiỏicóxácsuấtnémtrúngrổđến9/10(!)thìsau10lầnnémrổxácsuấtnémtrúngđíchhailầnliềnlà

(9/10)n≈0,34867844,ướckhoảngđạtđược1/3,khảnăngthànhcôngcủahailầnnémtrúngrổliêntiếpcũngkhôngđến1/2.Dođóngayvớicácđấuthủnémrổrấtgiỏithìkhảnăngnémrổtrúngđíchhailầnliêntiếpkhôngphảilàviệcdễthựchiện.

Sựkiệntrênđâygợiýchotatrongnhiềucôngviệchàngngày.Vídụkhibắnbia,việcbắntrúngmấyphátđạnliềnvàođíchlàviệckhôngkhólắmnhưngnếumuốntrởthànhmộtngườibắntrămpháttrămtrúngthìquảlàđiềukhôngdễlàm.Vídụvớimộtláixe,láimộtvạnkilômét,2vạnkilometantoànlàdễthấynhưngláixeđược40vạnkilometantoànthìlàđiềukháhiếm.

Từkhoá:Xácsuất.

Chúngtathườngthíchđánhcờ.Thếtronghàngngàn,hàngvạncuộccờliệucóthểcóhaicuộccờgiốngnhautừđầuđếncuối?Chúngtathửlàmmộtbướcphánđoántừgócđộtoánhọc.

Vídụkhiđánhcờvây,trênbàncờcó361vịtrí.Vềlíthuyếtvớiconcờđầutiêncóđến361nướcđi(khiđibốnconcờđầutiêncó357cáchđặtconcờ).Đươngnhiên,concờđầutiênkhôngthểđặtbênngoàibiênxa,nênsựthựccácvịtríđikhôngđếnnỗiquánhiềunhưvậy.Chúngtachỉcầntínhlà50khảnăng.Trênthựctếconcờthứhaisốvịtrícóthểđặtđượckhôngchỉởtrongphạmvi50vịtrí,chúngtachỉchọn50khảnăng.

Nhưvậyhaibênquânđentrắngcóthểthayđổivàcóđến50x50=2500loại.Nếuhaibênđentrắngđi50concờ,giảsửrằngmỗiconcờcó50cáchđikhácnhau,thếthìcóđến50100cáchbiếnhoá.50100làconsốcóđến170vịtrí.Nếuchúngtadùngcácsố1vạn,10vạnlàmđơnvịđothìcũngkhôngthểđếmxuể.Chưanóiđếnviệcđánhcờ,chỉcầnkhiđếmtừmộtđến100tacókhoảngthờigian50giây,vớicácsốtừ100trởlênthìviệcđếmsốcầntốnnhiềuthờigianhơn,sốcànglớnthìthờigianđếmcànglâu.Khiđếmđến1000thìcần500giây,đếmđến100triệucầnđến50triệugiây(cầnkhoảng14.000giờ).Mỗingàycó24giờ,đểđếmđếnconsố100triệu,cầnđến500ngàykhôngănkhônguống.Mộtngườisốngđến100tuổi,bắtđầuđếmtừlúcmớisinhđếmliêntụcđến100tuổi,tứckhôngquá36525ngày,thìcũngchưađếmđếnconsố10tỉ(mộtconsốcó11chữsố!),cònđổichỗcho170vịtrícácsốnguyênsovớiconsố10159thìcònlớnhơnnhiều!Bạnxemcơhộilặplạilàbaonhiêuphần.

Tathửxemcáctìnhhuốngchomộtcuộccờtướng.Trongphépđicờtướnglúcmớichơitìnhthếbiếnhoákhôngquánhiều.Thếnhưngcàngvềsaukhisốquâncờbịloạikhỏibàncờcàngnhiềuthìsốbiếnhoácàngnhiều.Vớiconxecóthểcó10loạinướcđitiến,lùi,quatrái,quaphải.Vìvậykhiđimộtnướccờcóthểcó10đến20loạibiếnhoá.Nếucảhaibêntiếnhành30nướcđithìđãcóđến1060cáchbiếnđổi,tứclàconsốcó61chữsố.Sovớiconsốcó11chữsốthìconsốnàylớnđếnkhótưởngtượngnổi.

Vìvậykhiđánhcờkhảnăngcócáccuộccờgiốngnhauhoàntoàntừđầuđếncuốiquảlàquábé.

Từkhoá:Xácsuất.

TừnhàbạnMinhđếntrườnghọccóhaituyếnxecôngcộngđềucóthểđiđếntrường,tuyếnxe101vàtuyếnxe105.Cácxetrênhaituyếnxeđượcđánhsốnhưnhau,tuyếnxetừnhàđếntrườnghọccũngnhưnhauvàcứcách15phútlạicómộtchuyếnxe.HầunhưbạnMinhngàynàocũngđếntrườngbằngxebuýt,thờigianbạnlênxe

cũngkhôngnhấtđịnh,xenàođếntrướclàMinhlênxe.Theolímànói,cơhộiđểbạnMinhlênhaituyếnxelànhưnhau(xácsuất),nêncácsốlầnđixemàMinhđitrênhaituyếnxeắtphảinhưnhau,nếukhônghoàntoàngiốngnhauthìcũngkhôngkhácnhauquánhiều.Nhưngthựctếkhôngphảinhưvậy.Minhđãghilạitìnhhìnhđixecủamìnhhàngngàyvàsaumấythángcậutapháthiệnsốlầnmàcậutađituyếnxe105đến80%cònsốlầnđituyến101chỉcó20%.Lịchtrìnhchạycủahaituyếnxelàhoàntoànnhưnhau,tạisaolạicótìnhhuốngđó.

Nguyêndolàsaukhixe101khởihànhthì12phútsauchiếcxe105mớikhởihành,cònsaukhixe105khởihànhbaphútlạicómộtchiếcxetuyến101khởihành.Bâygiờtachiathờigianthànhtừngkhoảng15phút(khôngtínhđếnviệcbạnMinhđếnbếnxevàolúcnàotrongkhoảng15phútđó).NếuMinhđếnbếnxetrướcphútthứ12trongkhoảng15phútthìMinhnhấtđịnhphảiđituyếnxe105.Minhchỉđituyếnxe101nếuđếnbếnsautrongvòngbaphútsauđó.CơhộiđểMinhđếnbếntrước12phútlà12/15=80%còncơhộiđếnbếnở3phútsauđólà3/15=20%.VìvậykhảnăngMinhđituyếnxe105gấp4lầnkhảnăngđixetrêntuyến101.

Tacóthểlậpthờigianbiểucủacáctuyếnxe.Giảsửthờigianđếnbếncủacácxethuộctuyến101là6,00;6,15;6,30;6,45;7,00...thìthờigianđếnbếncủatuyếnxe105là6,12;6,27;6,42;6,57;7,12...NhưvậynếuMinhđếnbếntừ6,00đến6,12thìcậutasẽđituyếnxe105;chỉkhiMinhđếnbếnxetừ6,12-6,15thìmớiđituyếnxe101.Cũngcùnglídotươngtự,khiMinhđếnbếntrongkhoảngtừ6,15-6,27;6,30-6,42;6,45-6,57...thìsẽđituyếnxe105;cònnếuđếnbếntrongkhoảng6,27-6,30;6,42-6,45;6,57-7,00...thìsẽđituyến101v.v...khảnăngđihaituyếnxecủaMinhtheotỉlệ4:1.

Từkhoá:Xácsuất.

121.Vìsaonói"Bangườicùngđivớita,ắtcómộtngườilàthầyta"?

Chắccácbạnđãtừngnghecâunói:“Bangườicùngđivớitaắtcóngườilàthầyta”.Đólàcâunóitrongsách“Luậnngữ”tríchlờinóicủaKhổngTử,mộthọcgiảlớnthờicổđại.TuyKhổngTửlàmộtngườicóhọcvấnrấtcaonhưngôngvẫnhaykhiêmnhườngmànóivớimọingườinhưvậy.Thếnhưngthựctếthìthếnào?

Cầnphảilàmrõvấnđềnày:Khôngcầnphảimọimặtđềulàưutúhơnmọingườimớilà“ngườithầy”.Nếucóngườinàođócómộtmặtnàođótỏraưutúhơnngườikhácthìngườiđócóthểlàthầyvềphươngdiệnđó.ÝcủaKhổngTửcũngchínhlànhưvậy.

Tachiatàinăngcủangườilàmbaphươngdiện;đức,trí,thể.Nếunhưtrongcảbaphươngdiện,KhổngTửđềuthuộcloạiưutú;nóicáchkháctrongsốbangười,KhổngTửđềulàhàngđầu,thìhaingườikiakhôngaixứngđánglàthầycủaKhổngTửcả.NếuđánhgiátàinăngcủaKhổngTửvềbamặt:đức,trí,thểthìcóthểcó33=27cáchphânloạisauđây:

Đức 111111111 2222222223...Trí 111222333 1112223331...Thể 123123123 1231231231...

Trong27loạikhảnăngnàythìKhổngTửđượcởhàngđầucảbaphươngdiện,chỉcómộtloạichiếm1/27cònở26loạikhácKhổngTửđượcxếpởhàngđầuởmộtsốmặtmàkhôngphảicảbamặt,trongcáccáchsắpxếpthìcó26loạinhưvậytứcchiếm26/27,nhưvậytrongsố2ngườicùngđingườicótưcáchlàmthầy

KhổngTửcókhảnăng(xácsuất)đến1/27≈96,3%.

Còncócáchtínhtoánkhácđểtínhcáckhảnăngnày.KhảnăngđểvềphươngdiệnĐức,KhổngTửxếphàngđầulà1/3,vềmặtTrí,khảnăngđểKhổngTửđượcxếpởhàngđầulà1/3,vìvậyởcảhaimặtĐứcvàTríđểKhổngTửđềuđượcxếphàngđầuthìkhảnăngcóthểlà1/3x1/3.Líluậntươngtựđểcảbamặt:Đức,Trí,Thể,KhổngTửđềuxếpởhàngđầucókhảnănglà1/3x1/3x1/3=(1/3)2.

Đươngnhiênviệcchúngtađánhgiákhảnăngcủamộtngườichỉdựavào3mặtlàcònquásơlược.Tụcngữcócâu“Có360conđường,đichohếtngảrồicũngtrởthànhxuấtchúng”.Tacũngthửchiatàinăngcủangườithành360phươngdiện.Ngoàira,KhổngTửlàmộthọcgiảlớn,nênvớibấtkìnhómbangườinào,khảnăngđểKhổngTửxếpởhàngđầukhôngchỉở1/3.Chúngtagiảthiếtvớimỗingườibấtkỳ,khảnăngđểKhổngTửnhườngbướckhônglớnhơn1%,nóicáchkhác,vớimộtphươngdiệnbấtkìnàođókhảnăngđểanhtathuaKhổngTửphảiđến99%.Chúngtalạithửtínhtoánkhảnăngvềcâunói“Bangườicùngđiắtcóngườilàthầyta”.VớihaingườicùngđikhảnăngđểhọkhônghơnKhổngTửlà99%x99%=98.01%.Trong360phươngdiệnkhảnăngđểhaingườikiakhônghơnKhổngTửlà(98,01)360=0,07%.Ngượclạivớihaingườicònlại,trongmộtphươngdiệnnàođóđểhọhơnKhổngTửlà1-(98,01)360=99,93%;nênvớihaingườicònlại,trongmộtphươngdiệnnàođóđểhọvượtKhổngTửlà99,93%.

Chúngtabiếttuycâunói“Bangườicùngđiắtcómộtngườilàthầyta”làcâunóikhiêmnhườngcủaKhổngTử,nhưngthựctếcũngcónhiềuýnghĩa.

Từkhoá:Xácsuất.

122.Vìsaonóitrongâmnhạccũngcầnđếntoánhọc?

Chúngtađềubiếtâmthanhlàdochấnđộngsinhra,âmthanh

caohaythấplàdotầnsốcủachấnđộngquyếtđịnh.Nétđẹpcủamộtkhúcnhạclà“giaiđiệu”,làsựphốihợplẫnnhaugiữanhiềuâmthanhvềđộdài,cườngđộhoặcphátrađồngthờihoặctheothứtựtrướcsauđemlại.Giaiđiệulàsựcảmnhậnvềtâmlí,nhưngngườitacũngnhanhchóngnhậnracơsởvậtchấtthựcsựcủagiaiđiệu.Hoặcnếudùngtoánhọcđểgiảithích:khihaihoặcnhiềuâmthanhcótỉsốcáctầnsốlàtỉsốcủahaisốnguyêntốigiảnthìchúnglàgiaiđiệu.Tỉsốtốigiảnđươngnhiênlà1/2.Trongâmnhạc,nếutỉsốtầnsốhaiâmthanhbằng1/2thìâmthanhcótầnsốcaolàâmcócùngtênvàcáchnhaumộtbátđộhaycòngọilàquãngtám.Nhưâm(nốt)đôvàâmcótầnsốcaogấpđôilàâm“đố”làhaiâmcótênnhưnhaunhưngâmđốcóđộcaocaohơnâmđômộtquãngtám.Xétvềtínhđơngiảnthìtỉsố2/3đứngsautỉsố1/2.Âmthanhcótầnsốgấp3/2lầntầnsốâmđôlàâmsol...Theocùngmộtýtưởngđó,loàingườiđãphátminhraâmgiaibảyâmtrongâmnhạcgọilà“âmluật”bảyâm.Trongbảngdướiđâysẽdẫnratầnsốâmgiaibảyâmtrong“âmluật”bảyâm(giảthiếttầnsốâmđôlà520hec,cáctầnsốchỉghiphầnchẵn,bỏquaphầnlẻ)cũngnhưtỉsốgiữatầnsốcácâmsovớiâm“đô”tươngứng:

Âmgiai Đô Rê Mi Pha Sol La Si "Đố"Tầnsố 520 585 650 693 780 867 975 1040Tỉsốcủatầnsốsovớiâm"đô" 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Từbảngnàychúngtathấycáchợpâmthườngdùngtrongâmnhạclànhómbaâm(nốt),baâmnàytậphợpthànhnhómbanốtgọilàhợpâm(vídụcáchợpâmđô-mi-solvàsol-si-rê),tỉsốcáctầnsốbaâmtronghợpâmtỉlệvới4:5:6lànhữnghợpâmtạonêncảmgiáchùngmạnh,trongsáng.Hợpâmkhácchocảmgiácđẹpđẽ,thâmtrầm,tinhtếlàcáchợpâmla-đố-mívàmi-sol-sicótỉsốcáctầnsốtỉlệvới3số10:12:15.Cácloạihợpâmtạothànhcócáctỉsốtầnsốcủachungtỉlệvớicáctỉsốđơngiảnnhưtrêntạonêncảmgiácêmtai,hếtsứcdễchịu.

“Âmluật”âmgiaibảyâmđượcphátminhởTrungQuốckhoảng1200nămtrướcCôngnguyênvàothờivuaVũVươngnhàChu.VềsauởTrungQuốccònphátminhquytắchếtsứcđơngiảnđểtínhtầnsốcácnốttrongâmgiai,đólàphươngpháp“chiabakếthợptănggiảm”đượcngườiđờisaucholàmộtpháthiệntàitìnhtronglịchsử

âmnhạc.Phươngpháptínhtầnsốcácnốttrongâmgiaitheoquytắc“chiaba-tăng-giảm”đượcthựchiệnnhưsau:chọnmộtdâyđànphátraâm“đô”khidùngcảđộdàicủadây.Cắtbỏ1/3độdàicủadây(“chiababỏ1”)cònlại2/3,tầnsốcủaâmdodâymớiphátrasẽlà3/2tầnsốâm“đô”,đóchínhlàâm“sol”(nốtsol).Lạilấydâyphátâmsollàmgốc,tăngđộdàicủadây1/3(tức“chiabatăngmột”)nghĩalàdâymớicóđộdàibằng4/3độdàidâyphátâmsol,tầnsốdodâymớiphátrachỉbằng3/4tầnsốâmsol,tứcdâymớiphátraâm“rê”.Sovớiâm“đô”thìâm“rê”cótầnsố3/2x3/4=9/8;sauđólại“chiababớtmột”talạiđượcâm“la”,tiếptục“chiabatăngmột”tađượcâm“mi”...Nhưvậybằngcáchsửdụngxenkẽquytắc“chiaba-tăng-giảm”tacóthểnhậnđượctầnsốtoànbộcácnốttrongâmgiaitheo“âmluậtbảyâm”.Tínhtoántầnsốtheoquytắcnàysovớiâmluậtbảyâm,chỉmắcsaisốnhỏhơn2,5%.

Âmluậtcủaâmgiaibảyâmgiảiquyếtrấttốtvấnđề“giaiâm”nhưngkhônggiảiquyếtđượcvấnđềchuyểnâmđiệu,bởivìkhithựchiệnchuyểnâmđiệusẽxuấthiệncáctầnsốsovớitầnsốgiaiđiệugốccósựkhácbiệtnhỏ.Đểgiảiquyếtvấnđềchuyểnâmđiệumàvẫnbảođảmđượctầnsốcơbảncủaâmgiaitheoâmluậtbảyâm,ngườitaphátminhquytắc“luậtbìnhquânmườihai”.Theoluậtnày,ngườitachiaquãngtámtừđôđếnđốthành12bánâmbằngnhau(bìnhquântheo12).Từđótacócácâmgiaicácbánâmlà:đô,đô#(đôthăng),rê,rê#,mi,fa,fa#,sol,sol#,la,sib(sigiáng),sivàđố.(Dấu#gọilàdấuthăngbiểuthịâmcódấuthăngđượctăngđộcaomộtbánâm;dấublàdấugiángbiểuthịâmcódấubgiảmđộcaomộtbánâm,đươngnhiênlàvídụĐo#=Rebvv...).Ởđâydùngthuậtngữbìnhquântheonghĩalàtrungbìnhnhân,nghĩalàtỉsốcủamộttầnsốâmnàođóvớimộttầnsốcủaâmđứngliềntrướcđóđềubằngnhau.Ngườitadễdàngtínhđượctỉsốnàylà12√2=1,059463.Dướiđâytrìnhbàytầnsốcácâm(nốt)trongâmgiaitínhtheoâmluậtbảyâmvà“luậtbìnhquântheo12”.Sosánhtầnsốcácnốttínhtheohaiâmluậttathấychúngsaikhácnhautrongkhoảng0,8%.

Âmgiai Đô Rê Mi Pha Sol La Si ĐôTầnsốtínhtheoâmluậtbảyâm 520 585 650 693 780 867 975 1040

Tỉsốtínhtheo"bìnhquân 520 584 655 694 779 874 982 1040

theo12"520 584 655 694 779 874 982 1040

CácloạiđànnhưPianô,thụcầm(đànharpe)cócácnốtấnđịnhđộcaotheoluật“bìnhquântheo12”,cònđộcaocủasáođồngcóđộcaocácnốttheoâmluậtbảyâm.Docácnốtcủahailoạiâmgiaicótầnsốkhôngkhácnhaunhiềunêncảhailoạinhạckhíđềucóthểhoàtấuvớinhautrongdànnhạc.

Từkhoá:Âmnhạc;Tầnsốâm;âmgiai;âmluậtbảyâm.

123.Vìsaodùngtoánhọccóthểphánđoántácgiảcủatácphẩm"HồngLâu

Mộng"?“HồngLâuMộng”làmộttácphẩmvănhọccổđiểnnổitiếngcủa

TrungQuốc.TheonhiềunhàHồnghọc(chỉcáctácgiảchuyênnghiêncứutácphẩm“HồngLâuMộng”),80hồiđầucủatácphẩmnàydoTàoTuyếtCầnsángtác,còntácgiảcủa40hồicuốilàCaoNgạc.Ýkiếnnàycóđúngkhông?Cácnhàtoánhọcđãdùngtoánhọcđểphánđoán.

Dùngtoánhọcđểphánđoántácgiảmộttácphẩmvănhọcđãcótiềnlệởnhiềunước.VídụởLiênXôtrướcđâyđãtừngcócuộctranhluận:LiệucóphảiSôlôkhôvlàtácgiảbộtiểuthuyếtvĩđại“SôngĐôngêmđềm”không?CuốicùngnhờlíluậncủaphươngpháptoánhọcthốngkêngườitađãkhẳngđịnhchínhSôlôkhôvlàtácgiảcủabộtiểuthuyếtnày.

Chúngtađãbiết,từxưađếnnay,mỗitácgiảđềucóphongcáchviếtriêng.VídụtrongvănphongTrungQuốccổ,cóngườithíchdùnghưtừ“chi”,“hồ”,cóngườithíchdùng“giả”,“dã”.Dựavàotầnsốxuấthiệncủacáctừnhiềuhayítngườitacóthểnhậnrađượccácphongcáchviếtvănkhácnhaucủacáctácgiả,nhờđóngườitanhậndạngđượctácgiảcủatừngtácphẩm.

Dựavàolíluậnđó,họcgiảTrungQuốcLíHiềnBìnhđãvậndụng47hưtừ,tìmtầnsuấtxuấthiệncủamỗihưtừtrongtừnghồi,thôngquacácsốliệuthốngkêđãtìmrađặcđiểmphongcáchviếtcủacác

hồi,vàngườitìmthấykếtluậncủacácnhàHồnghọclàchínhxác.ĐâylàlầnđầutiêndùngphươngpháptoánhọcđãchứngminhchoýkiếncácnhàHồnghọc.

Đâylàkếtquảđượccôngbốtrongbàibáo“ýkiếnmớivềtácphẩmHồngLâuMộng”đăngtrong“PhụcĐánhọcbáo”củaNhàxuấtbảnKhoahọcxãhộisốtháng3-1987.ĐâylàthànhtựunổibậtđầutiêncủaviệcvậndụngtoánhọcđểnghiêncứuvănhọctronglịchsửvănhọcTrungQuốc.

Từkhoá:Phươngpháptoánhọc;Thốngkê;Tầnsố.

124.Hiệubuônmỗilầnnhậpbaonhiêuhànglàhợplí?

Cáchiệubuônbánhàngchokháchđồngthờiphảinhậnhàngtừcácnhàsảnxuất,nhàmáyhoặcmuatừcáccửahiệukhác.Thôngthườngkhibuônbánmộtkiệnhàng,ngoàimụcđíchthuhồivốncòncómụcđíchthuvềmộtmóntiềnlãinàođó.Vớimỗihiệubuôn,việcnhậphàngthườngthựchiệnđịnhkìtrongtừngkhoảngthờigiannhấtđịnh(vídụtrongthờihạnmộttháng).Nếumộtlầnnhậpquáíthànghoáthìsẽthiếuhàngbánvàsẽbỏlỡcơhộithulãi.Tráilạinếulượnghàngnhậpvàoquálớnthìhàngkhôngkịpbánhếtsẽgâynêntìnhtrạngthừaứhàngvàgâytổnthấtchocửahàng.Vìvậyviệccửahàngnhậnlượnghàngnhiềuítcóliênquanmậtthiếtvớikhảnăngtiêuthụhànghoátrongmộtkhoảngthờigian.Thếnhưngmứcđộtiêuthụhànghoálạikhôngdocácchủhiệubuônbánquyếtđịnh,khảnăngtiêuthụhànghoálàmộtđạilượngkhôngxácđịnhđượcmàchỉcóthểướclượng.Vậycáccửahiệuphảinhậplượnghàngbaonhiêuthìđạtđượclợinhuậntốiđa?

Chúngtasẽgiảiđápcâuhỏinàyquamộtvídụcụthểdướiđây:

Mộtcửahàngthờitrangchuẩnbịnhậpmộtlôhàngvềđểbán.Khibuônbánthịnhvượng,mỗikiệnhàngbánđượcsẽthuvề50đồngtiềnlãi.Khithờivụquađi,đểtránhviệclàmchậmchuchuyểnvốn,đọngvốn,ngườitakhôngthểkhônggiảmgiábán;ngoàiracònphảitínhđếnhaophídobảoquản,lưukho,ướclượngmỗikiệnhàngcóthểbịlỗ10đồng.Trướckhinhậphàng,cửahàngphảilàmmột

cuộcđiềutravàướclượngkhảnăngcóthểbánđược40-50kiệnhàng.Cụthểkhảnăngcóthểbánhàngnhưsau:

Tổngsốkiệnhàngbánra Nhỏhơn40 40 41 42 43 44Khảnăng(%) 0 5 7 8 10 12Tổngsốkiệnhàngbánra 45 46 47 48 49 50Khảnăng(%) 15 12 10 9 7 5

Đểcửahàngnhậnđượclợinhuậntốiđa,cầnphảinhậpbaonhiêuhàng?

Giảsửxlàsốkiệnhàngcầnnhập,đươngnhiênlàxphảitrongkhoảng40-50kiện.Nếux<40thìtấtnhiênsẽđưađếntìnhtrạngthiếuhàngđểbán.Nếux>50cóthểđưađếnsựthừaứhàng.Cảhaitrườnghợpđềukhôngnên.Dướiđâytasẽxétcáctrườnghợpcửahàngnhậnxkiệnhàngtrongkhoảngtừ40-50vàtínhtoánlợinhuậnbìnhquânmàcửahàngnhậnđượctươngứng.Khix=40hàngbánhếtvàkhônghềbịthừaế,lợitứcmàcửahàngnhậnđượcsẽlà:

50đồngx40=2000đồng

Nếux=41,thìkhảnăngbánđượchếtlà40,thừa1kiệnvàcókhảnăng1-5%=95%bánhếttoànbộvàkhôngcótìnhtrạngếhàng.Vìvậylợinhuậnbìnhquânsẽlà:

(50x40-10x1)x5%+(50+41)x95%=2047đồng

Khix=42có5%bánhết40kiệnvàếhaikiện,có7%bánhết41kiệnthừamộtkiện,cònlạithìcókhảnăngbán

hếthàngvàkhôngếkiệnnào.Khảnăngbánhếthànglà

1-5%-7%=88%.Vìvậylợinhuậnbìnhquânthuđượcsẽlà:

(50x40-10x2)x5%+(50x41-10x1)x7%+(50x42)x88%=2089,8đồng.

Bảngdướiđâytrìnhbàykếtquảtínhtoánlợinhuậnkhisốkiệnhàngnhậpvàotừ40-50.

Từkếtquảtínhtoánchothấykhicửahiệunhập48kiệnhàngthìsẽnhậnđượclợinhuậntốiđa.

Sốkiệnhàngnhập 40 41 42 43 44 45Lợinhuận(đ) 2000 2047 2089,8 2127,8 2159,8 2184,6Sốkiệnhàngnhập 46 47 48 49 50Lợinhuận(đ) 2200,4 2209 2211,6 2208,6 2201,8

125.Làmthếnàomàcáccửahiệucóthểkhốngchếchấtlượnghànghoá

nhập?Khiđimuahàngngườitahyvọngmuađượchànghoáchấtlượng

tốtnênkhichọnhàng,nóichunghọphảiđọckĩgiấychứngnhậnchấtlượnghànghoá.Vềmặtcửahàng,nhằmgiữgìnuytíncủakháchhàngvớicửahàng,trướckhinhậphàngchủcửahiệucũngphảikiểmtracẩnthậnchấtlượnghànghoánhập.Làmthếnàomàcửahàngcóthểnắmchắcđượcchấtlượnghànghoánhập?

Trênthựctế,trướckhicửahiệunhậphànghọcũngphảiđọckĩcácchứngchỉchấtlượngthươngphẩm,đồngthờiphảikiểmtrachấtlượngthựccủathươngphẩm.Chúngtôixinnêuramộtvídụđểthuyếtminhcửahiệukiểmtrachấtlượnghànghoábằngcáchnào?

Giảsửcửahàngnhậntiêuthụsảnphẩmbóngđènchomộtnhàmáynàođó.Nhàmáycungcấpchứngchỉchấtlượngghituổithọbóngđènkhôngíthơn2000giờchophépsai200giờ.Chủhiệumuốnbiếtthựcsựbóngđèncóphùhợpvớichứngchỉchấtlượnghaykhông,liềnchọnlấy10bóngđènđểkiểmtra.Việcđotuổithọcủabóngđènđượcthểhiệntrênbảngsốliệusau(đơnvị:giờ).

2250,1580,1790,3020,1850,2360,1430,2050,1960,1690.Tínhratuổithọtrungbìnhcủa10bóngđènlà1998giờnhỏhơn2000giờ.Liệucóphảituổithọbóngđènkhôngphùhợpvớichứngchỉchấtlượngcủanhàmáykhông?Vàcửahàngkhôngnênnhậnlôhàngnàykhông?

Khôngphảivậy,giấychứngchỉchấtlượngcủanhàmáylàchỉtuổithọtrungbìnhcủabóngđènkhôngíthơn2000giờlàchotoànlôbóngđèncủanhàmáy.Khitiếnhànhkiểmtrachỉlấy10bóngđènđểkiểmtra,cáckếtquảkiểmtratấtnhiêncótínhngẫunhiênvàkhônghoàntoànđạidiệnchobóngđèncủanhàmáy.Giảsửnếusựthựcbóngđèncủanhàmáycóthểlớnhơn2000giờ.Nếunhưchủcửahàngvìtuổithọtrungbìnhcủa10bóngđènnhỏhơn2000giờmàkhôngnhậphàngthìcóthểsẽmắcphảisailầm.Vìtuổithọcủabóngđènlàkhônggiốngnhau,khikiểmtrahàngmẫucũngmangtínhngẫunhiên,vìthếkhôngthểtránhkhỏisaisót.Cảhaiphíanhàmáyvàcửahiệuđềumongmuốnkhảnăngphạmphảisailầmloạinàylànhỏnhất,vàkhốngchếloạisailầmnàykhôngquá10%.Muốnlàmđượcviệcđóphảidùngphươngphápthốngkê.

Theocáckinhnghiệmtrongquákhứ,đạiđasốlôbóngđèncótuổithọtiếpcậnvớituổithọtrungbình,cácbóngđèncótuổithọkhácvớituổithọtrungbìnhlàrấtít.Theongônngữthốngkêtuổithọcủabóngđèntuântheoluậtphânbốchuẩn.Vìvậynếuđứngvềphíanhàmáythìviệclấy10bóngđènđểkiểmtra,tuổithọtrungbìnhcủachúngphảitiếpcậntuổithọtrungbìnhlà2000giờ.Theokếtquảtínhtoán,tuổithọtrungbìnhcủacácbóngđènnhỏhơn1919giờcókhảnăngkhôngquá10%.Nếukếtquảkiểmtranhỏhơn1919giờ,cửahiệusẽđánhgiálàlôhàngkhôngđủtiêuchuẩnvàkhôngnhậnlôhàng.Khiđósailầmloạibỏsựthậtbảođảmkhôngquá10%.Hiệntạikếtquảkiểmtrachothấytuổithọtrungbìnhcủabóngđènlà1998giờvìvậycửahàngsẽkhôngcựtuyệtviệcnhậnlôhàng.

Đươngnhiênngoàinguycơloạibỏcáitốtcònđềphòngviệcnhận

nhầmcáixấu.Việcnhậnnhầmlàchỉviệcnhậnnhầmphảisảnphẩmkémchấtlượng,nhậnsảnphẩmkhônghợpcáchdokếtquảkiểmtranhầm,sảnphẩmxấulạitrởthànhtốt.Trongkiểmtrasảnphẩmcũngkhôngloạibỏđượchoàntoànsailầmkiểmtranhầmmàchỉcóthểkhốngchếđểsailầmcóthểbịhạnchếtrongmộtgiớihạnnàođó.

Từkhoá:Độlệchchuẩn;Loạibỏcáithật;Nhậnnhầm.

126.Vìsaotrongcáctúiđựngthựcphẩmngườitathườngghixxg±xg?

Trongcuộcsống,chúngtathườngcầnphảimuabánhngọt,sữabột,đường,muốiănvànhữngthựcphẩmthườngdùnghàngngàykhác.Tathườngthấytrênbaobìcóghitrọnglượngròngghirõkhốilượngvậtphẩm.Nhưngcũngcócácbaobìghitrọnglượngtinh500±2gv.v...Nhưvậycónghĩalàgì?Consố500và2cógìkhácnhau?

Trongcuộcsốnghiệnđại,cácthươngphẩmthườngđượcđónggóihoànchỉnhbằngmáyđónggói.Vídụtheoquyđịnhcáctúisữaphảiđượcđóng500g.Nhưngdomáyđónggóicókhiếmkhuyết,dodòngchảykhôngđềucũngnhưthaotáccủacácnhânviênđónggóivànhiềunguyênnhânkhác,trọnglượngsữatrongtúisữacóthểcósaikhácvớiquyđịnhchútít.Nóichungtrênbaobìghi500gchỉtrọnglượngròngtrungbình,còn“±”chỉrarằngsựsailệchcóthểvềhaiphíadươnghoặcâm,2gamlàchỉsaisốtrungbìnhtheotiêuchuẩncóthểmắcphải.

Khitalấybấtkì100túiđểkiểmtrathìchấtlượngtinhmỗitúicóthểlàXg,Xlàmộtconsốkhôngxácđịnhcóthểlà501g,hoặc498g,hoặccóthểlà500g.Xđượcgọilàđạilượngthayđổi.Kếtquảcânđođượcdẫnratrongbảngdướiđây:

Trọnglượngròng

495 496 497 498 499 500 501 502 503 504

Sốtúi 1 2 8 13 15 22 17 11 6 4Tỉlệ 0,01 0,02 0,08 0,13 0,15 0,22 0,17 0,11 0,06 0,04

Vìvậyvớimộttúisữabấtkì,khảnăngđểtrọnglượngròngcủasữaX=495gchỉlà1%,X=496chỉlà2%v.v...tươngứngvớicáctỉlệ(xácsuất)p=0,01.0,02...hayngườitacóthểviếtp(X=495)=0,01v.v...vàtổngcácxácsuấtphảibằng1.GiátrịpđượcgọilàxácsuấtcủabiếnsốXđểXlấymộtgiátrịnàođóhaynóicáchkhácđólàluậtphânbốcủabiếnsốX.DựavàoluậtphânbốngườitacóthểtínhgiátrịtrungbìnhacủađạilượngbiếnthiênX.

a=495x0,01+406x0,02+...+504x0,04+505x0,01=500

vàgiátrịtrungbìnhlà500g.

TalạitínhsaisốcủađạilượngXvớisốtrungbìnhX-a,ởđâycó11loạisaisố-5,-4,...4và5.Saisốlớnnhấtlà5.Saisốbìnhquânbsẽlà:

b=|-5|x0,01+|-4|x0,02+..+(4)x0,04+(5)x0,01=1,56

Tứcsaisốtrungbìnhlà1,56.

Mộtphươngpháptínhsaisốkháclàtínhphươngsaiσ2.

σ2=(-5)2x0,01+(-4)2x0,03+...+42x0,03+52x0,01=4vàσ=2.Ngườitagọiσlàđộlệchchuẩn.Phươngsaivàđộlệchchuẩnphảnánhsaisốcủaphépđo.

Vìvậyđểbiểudiễnrõràngtrọnglượngtịnhphảibiểudiễn500±5gvớisaisốlớnnhấthoặc500±1,56vớisaisốtuyệtđốihoặc500±2gbiểudiễnvớiđộlệchchuẩn.

Từkhoá:Biếnsố;Xácsuất;Luậtphânbốsaisố;Saisốtrungbình;Độlệchchuẩn;Saisốcựcđại.

127.Vìsaomuahàngtrongbaohànglớnrẻhơntrongbaohàngnhỏ?

Khôngbiếtcácbạncóchúýđếnviệchànghoátrongcácsiêuthị,nếuhàngtrongbaolớnsẽcóđơngiárẻhơntrongbaohàngnhỏvớicùngmộtloạihàng.Trướctiênđólàdochủhàngmuốnkhuyếnkhíchkháchhàngmuahàngtrongtúihànglớn,hàngsẽbánđượcnhiềuhơn.Nhưngđókhôngphảilàtấtcả.

Cónhiềuyếutốảnhhưởngđếnđơngiácácloạihàng.Nóichungđơngiácủacácloạihànghoábaogồm:giáthànhsảnxuất,phílưuthông,baobì,nhucầucủathịtrường.Trongđógiáthànhsảnxuất,phílưuthôngđượcxemlàyếutốchínhảnhhưởngđếnđơngiáhànghoátínhtheotrọnglượng.Giáthànhcủavậtliệusảnxuấtbaobìkhôngđóngvaitròchínhtrongđơngiátínhtheotrọnglượng,nhưng

cóvaitròlớntrongđơngiá,tínhtheodiệntíchbềmặtcủahànghoá.Vìvậychúngtacầnlàmrõhơnmốiquanhệgiữakhốilượngvàdiệntíchbềmặtcủahànghoá.

Vídụcáchộpđựngốngnghenhạcthườngcódạnghìnhtrụ.GiảsửđườngkínhđáyhìnhtrụlàD,chiềucaohthìthểtíchvàdiệntíchhìnhhộpđượctínhtheo:

ThểtíchV=π/4D2hvàdiệntíchD=π/4D2+πDh.Nếutalạithiếtkếcácchiếchộpcóđườngkínhđáybằngchiềucaothì

V=π/4D23vàS=3/2πD2

Vìkhốilượngcủahànghoáđượctínhtheo:

KhốilượngW=K1V=π/4K1D3

K1làkhốilượngriêngcủahànghoá.Vìvậytacó:

trongđó, làmộthằngsốlớnhơn0.

Diệntíchbềmặtcủahànghoátrênmộtđơnvịtrọnglượnghànghoásẽlà

ĐươngnhiênsốdiệntíchbềmặttheođơnvịkhốilượnghànghoásẽgiảmkhiWtăng.Khikhốilượngcủahànghoátăngthìdiệntíchbềmặtcủamộtđơnvịkhốilượnghànghoágiảm,vàsốđơnvịbaobìchomộtđơnvịhànghoásẽgiảm.

Dođóvớihànghoáđựngtrongbaobìlớnthìgiáthànhcủabaobìtrênđơnvịkhốilượnghànghoágiảm,vìvậyđơngiátheokhốilượngđựngtrongbaolớnsẽthấphơnhànghoáđựngtrongbaonhỏ.Bêncạnhđógiáthànhchoviệcđónggóihàngthấphơnkhiđónggóicácbaohàngbé.

Vìvậykhimuahàngnếumualoạihàngcósốlượngcầnsửdụnglớnnênmuahàngđựngtrongcáctúilớn.

Từkhoá:Thểtích,diệntíchbềmặt.

128.Vìsaonhiềucửahiệubánhàngcóthưởnglạikhôngbịthiệtnhiều

lắm?Chúngtahọctoánnênthườngxuyênliênhệnhữngkiếnthứcđã

họcvớimọihoạtđộngtrongcuộcsống,dùngphươngpháptoánhọcđểgiảithíchnhiềuhiệntượngtrongcuộcsốngxungquanh.Nếucóngườichorằngbánhàngcóthưởngvừamuađượchànglạivừađượctiềnthưởngthìquảlàquátốt.Thếnhưnghọkhôngbiếtrằng,trongthựctế,vớikiểubánhàngcóthưởng,chủcửahàngkhôngbịthiệtnhiềulắm.

Dướiđâylànộidungcủamộtquảngcáođăngtrongbáo“Tândânbuổichiều”ởThượngHảinăm1993vềviệcbánhàngcóthưởng.

Thểlệhìnhthứcbánhàngcóthưởngbắtđầuvàonăm1993:

1.Ngàybắtđầuvàkếtthúchìnhthứcbánhàngcóthưởng:

1-4-1993.Sốphiếucóthưởng10.000phiếu,pháthếtthìdừng.

2.Doanhsốbánbuônđạt1000nhândântệ(RMB)thìphátmộtphiếuthưởngvàdoanhsốbánlẻđạt400RMBthìphátmộtphiếuthưởng.

3.Ngàymởthưởng:trênbáo“Tândânbuổichiều”sốravàotrungtuầntháng5.

4.Cơcấugiảithưởng:

2giảiđặcbiệt,mỗigiảitrịgiá2000RMB(tặngphẩm).

10giảinhất,mỗigiảitrịgiá800RMB(tặngphẩm).

20giảinhì,mỗigiảitrịgiá200RMB(tặngphẩm).

50giảiba,mỗigiảitrịgiá100RMB(tặngphẩm).

200giảitư,mỗigiảitrịgiá50RMB(tặngphẩm).

1000giảinăm,mỗigiảitrịgiá20RMB(tặngphẩm).

Tổnggiátrịcácgiảithưởnglà51000RMB,tỉlệtrúngsốlà12,82%.

Chúngtacóthểtínhtỉlệtổnggiátrịtiềnthưởngvớitổngdoanhthubánhàngnhưsau:

1.Nếusốphiếuphátgiảithưởnglàdựavàodoanhthubánbuônthìtiềndoanhthubánbuônsẽlà:1000x10000=10.000.000(RMB)

Vàtỉlệtổngtiềnthưởngđốivớitổngdoanhthubánbuônsẽlà:

51.000/10.000.000x100%=0,51%

2.Nếu10.000phiếuthưởngphátralàdựavàodoanhthubánlẻ,thìsốdoanhthubánlẻtươngứngsẽlà:

400x10.000=4.000.000(RMB)

Vìtỉlệgiữatiềnthưởngvàsốdoanhthusẽlà:

51.000/400.000x100%=1,275%

Nhưvậykhihìnhthứcbánhàngcóthưởnghoạtđộngthìnhàhàngđãtặngchokháchgiảithưởngtrịgiátừ0,51-1,275%.Sovớihìnhthứcbánkhuyếnmạivàhoahồngmàcáccôngtychấpnhậnđến2%thìởđâytiềnthưởngchokháchhàngdướihìnhthứctiềnthưởng

còníthơn.Hìnhthứcbánhàngcóthưởngkhácvớihìnhthứcbánhàngchiếtkhấulợitứclàphầnlợiíchchiađềuchocáckháchhàng,cònởhìnhthứcbánhàngcóthưởnglànguồnlợiởbộphậnnhỏcấptậptrungchomộtbộphậnrấtnhỏtrongsốkháchhàngđượcthưởng.

129.Dùngtoánhọcđánhgiáhiệuquảquảngcáonhưthếnào?

Trongcuộcsốnghàngngàychúngtarấtquenthuộcvớicáchìnhthứcquảngcáo:Quảngcáotrênbáochí,quảngcáotrêntruyềnhình,quảngcáotrênđàiphátthanh,quảngcáotrênbảngv.v...Trongmỗiloạiphátthanh,quảngcáongườitacốtạocácđiểmmớilạvềthiếtkế,ýtưởngnhưngnóichungđềuphảiqualờivăndiễnđạt.

Thếmộtquảngcáotốtphảiđápứngcácyêucầunào?Cácnhàquảngcáoởnướcngoàithườngquyquảngcáovềcácđiểmsauđây:

Hấpdẫn(attention)

Kíchthíchhứngthú(interest)

Gợisựhamthích(desire)

Thúcđẩyviệcmuacủakhách(action)

Khimuahàngxongcảmthấyvừaý(satisfactory)

CácchữcáiđầucủatiếngAnhtạonêncôngthức“AIDAS”làcácyêucầuchomộtquảngcáotheongônngữcủagiớiquảngcáonóichung.Tuynhiêntrongquảngcáocònphảichúýđếntínhchânthực,tínhđơngiản,tínhsinhđộng.Chỉnhưvậycácquảngcáomớicóhiệuquả.

Làmthếnàocóthểướclượnghiệuquảquảngcáobằngtoánhọc?Đóchínhlà“phươngpháptínhlợiíchquảngcảo”đểđohiệuquảthựctếcủaquảngcáo.

Côngthứctínhnhưsau:

R:đánhgiáhiệuquảcủaquảngcáo(biểuthịlợiíchgiatăngứngvới1đồngphíquảngcáo);S2:sốlượngsảnphẩmtiêuthụsaukhiđăngquảngcáo;S1:sốlượngsảnphẩmtiêuthụtrướckhichođăngquảngcáo;P1đơngiásảnphẩm;P2phíquảngcáo.

Vídụmộtloạisảnphẩmhàngthángtiêuthụ8000kiệnsaukhiđăngquảngcáo,trướckhiđăngquảngcáohàngthángtiêuthụ6000kiện.Hàngthángchiphíquảngcáohết5000đồng.Đơngiásảnphẩmlà1000đồng.Theocôngthứctrêntatính:

Haynóicáchkhácmỗiđồngchiphíquảngcáothuvềđược400đồng.

Côngthứctrênđâyđểtínhchotrườnghợpcáchoạtđộngthươngmạitiếnhànhbìnhthường.Trongtìnhhìnhcócácbiếnđộngngẫunhiênvềthịtrườngcóthểcósựsailệchnàođótrongkếtquảtínhtoán.

Từkhoá:Phươngpháptoánhọc.

130.Làmthếnàodùngtoánhọclạichọnđượchànghoávừaý?

Trongcuộcsốngngườitahaygặptìnhhuốngsauđây:Trongvôvàncácloạihànghoábàybán,làmthếnàochọnđượcmónhàngvừaýnhất?Đươngnhiênlànhữngngườibánhàngsẽđemcácloạihànghoáđểcácbạncóthểchọn.Chúngtakhôngcónhiềucơhộiđểchọnvìhànghoáđembàykhánhiềuloại,bạnsẽkhôngđủthờigiờđểlàmviệcchọnlựa.Lạinhưcótrườnghợpcácnhàsảnxuấtchọncácsản

phẩmtốtnhấtcủamìnhđembàyra,làmthếnàochọnđượccáitốtnhấttrongnhữngmặthàngđãtrìnhbày?

Cókhánhiềutiêuchuẩnđểđánhgiámộtmặthàngtốt.Đứngvềphíakháchhàng,cóbatiêuchuẩnđểđánhgiámộtmặthàngtốt:1.chấtlượnghànghoá,2.hìnhthứcbênngoàisảnphẩm,3.giácả.Vớibatiêuchuẩnnàykhôngdễnhânnhượnglẫnnhau.Tâmlícủakháchhàngcũngcónhiềuxuhướng:cóngườicóyêucầucaovềchấtlượng,cóngườilạiđánhgiácaovềhìnhthức,cóngườilạichúýnhiềuvềgiácả.

Chúngtagiảthiếtkháchhàngđãcómộtđịnhhướngvềtiêuchuẩnchọnhàng,cóthểchọnhànghoátốtxấutừhaivậtphẩmđemsosánhvớinhau.

Bâygiờgiảthiếtcónvậtphẩmđểbạnchọnlựa.Phươngphápchunglànhặtlấyhaisảnphẩmrồisosánhvớinhau.Sauđólạiđổihaisảnphẩmkhácvàlạitiếnhànhsosánh.Việclựachọncứthếtiếptụcchođếnkhichọnđượcsảnphẩmvừaýnhất.Thếthìtừnsảnphẩmtacầntiếnhànhbaonhiêulầnchọnlựađểđượcsảnphẩmtốt.Đểtiệntheodõitagọisốlầntiếnhànhchọnlàf(n).

Giảsửkhin=2tứcchọnsảnphẩmtốttừhaisảnphẩm,rõràngchỉcần1lầnchọnlàchọnđượcsảnphẩmtốt,vìvậytacóf(2)=1

Khin=3,trướchếttachọnhaitrongbasảnphẩmđemsosánh,saukhichọnđượcsảnphẩmtốttừhaisảnphẩm,talạiđemsảnphẩmvừađượcchọnsovớisảnphẩmcònlại,nhờvậytachọnđược

sảnphẩmtốttừbasảnphẩmvàchỉquahailầnchọn,nêntacóf(3)=2.

Talạixemxéttiếptrườnghợpnlàsốbấtkì:Trướchếttachọnhaisảnphẩmđemsosánhrồichọn1,sauđólạiđemsảnphẩmđượcchọnsosánhvới1trongcácsảnphẩmcònlạichođếnkhichỉcòn1sảnphẩmchọnđượccuốicùng.Rõràngđểđạtđếnkếtquảtaphảitiếnhànhn-1lầnchọn.Phươngánlựachọnnàyrõràngkhôngnhỏhơnsốf(n)nênf(n)≤n-1.

Khiđãcóphươngántachỉcầntiếnhànhf(n)lầnchọn.Đểthựchiệntabắtđầuthựchiệnlầnsosánhđầutiên;chọnhaitrongnsảnphẩmđểsosánh.Saukhiđãloạibỏmộtsảnphẩmtốtnhấttừn-2sảnphẩmcònlạisẽđượctìmthấykhithựchiệnsốlầnthửf(n-1)tứclàthựchiệnviệctuyểnchọnsảnphẩmtốttừn-1sảnphẩmcònlại.Dof(n)-1≥f(n-1)nênf(n)≥f(n-1)+1≥f(n-2)+1+1

≥f(n-3)+3≥f(n-(n-2))+n-2

=f(2)+n-2=1+n-2=n-1

Từkếtquảtrướcđâytacóbấtđẳngthứcf(n)≤n-1sovớikếtquảsuyluậnvừarồitalạicó(f(n)≥n-1,dođóf(n)=n-1.Từđócóthểthấyđểchọnđượcsảnphẩmtốttừnsảnphẩmtaphảitiếnhànhn-1lầnsosánh.Trênđâychúngtađãđưaraphươngánchọnsảnphẩmtốttừnsảnphẩmvàthấyrằngphảitiếnhànhn-1lầnsosánh.Đươngnhiêncóthểcòncócácphươngánkhác.Vídụtrướchếttachiacácsảnphẩmthànhtừngnhómsauđólạiđemcácsảnphẩmtốtđượctuyểnchọntừcácnhómđemsosánhvớinhauv.v..

Sauđâychúngtalạixétcáchchọnhaisảnphẩmtốtnhấttừnsảnphẩm.Chúngtachỉđặtyêucầulàchọnđượchaisảnphẩmvừaýtừnsảnphẩm.Tathửxétxemphảitiếnhànhbaonhiêulầnsosánhthìđạtđượcyêucầuđặtra.Trướchết,đểchọnđượcmộtsảnphẩmtừnsảnphẩmtaphảithựchiệnn-1lầnsosánh.Sauđóloạibỏsảnphẩmtốtnàyra,lạitiếnhànhchọnmộtsảnphẩmtốttừn-1sảnphẩmcònlại.Muốnlàmđượcviệcđóphảithựchiệnn-2lầnsosánh.Nhờđóchúngtađãchọnđượchaisảnphẩmtốttừnsảnphẩmvàbảođảmđólàhaisảnphẩmtốttừnsảnphẩm.Nếukhôngcầntìmsảnphẩmđứngđầutrongnsảnphẩmtachỉcầnthựchiện2n-3lầnsosánh,bớtđilầnsosánhchọncáisảnphẩmthứhai,tứcphảitiếnhành2n-

4lầnsosánh.

Từkhoá:Phươngpháptoánhọc.

Mộtnhàdoanhnghiệpkhitiếnhànhđầutưthườngcóthểphảirấtmạohiểm.Vídụ,khiđầutưvàohạngmụcAnếuthànhcôngcóthểthuđượcmộttriệuđồngtiềnlãi,nhưngkhảnăngđạtthànhcônglạihơithấp,khoảng80%.NếuđầutưvàohạngmụcBthìkhithànhcôngthuđược800.000đồngtiềnlãinhưngtỉsuấtthànhcônglạicaođến90%.Bâygiờnênchọnphươngánnào.Muốnchọnlựađúngtaphảiứngdụngkháiniệmkìvọngtoánhọc.

Ngườitagọikìvọngtoánhọclàtíchcủagiátrịmụctiêuthànhcôngvớikhảnăngthuđượcthànhcông.Trongvídụnêutrên,kìvọngtoánhọccủahạngmụcAvàhạngmụcBcủanhàdoanhnghiệpsẽlà:

A:1triệux80%=800.000

B:800.000x90%=720.000

VìvậynếuđầutưchohạngmụcAsẽcókìvọngcaohơn.

Trongcuộcsốnghàngngàytavẫnhaygặpcácvấnđềcóliênquanđếnkìvọngtoánhọc.

Khiđitrênđườngphốcácbạnchắchẳngặpnhiềuquảngcáotrênxeôtô,bếnxeđiện...nàolàvéxổsốloạiA,véxổsốloạiBcùngnhữnglờiraotươngtựcủangườibánvésố.VéloạiAgiảinhất100triệu,cơhộitrúngsốlớnv.v...Bấygiờbạncóthểcóhứngmuốnmuathửmộtvé...Thếcầnchọnloạinào?Đểchọnlựatốtbạncóthểtínhkìvọngtoánhọcvàsẽcócáchchọnmộtcáchthôngminh.

Sốtiềnthưởngkhitrúngsố

KhảnăngtrúngsốKìvọngtoán

học:tiềnthưởng(khảnăngtrúng)

VésốloạiA

3.000.000đ2.000.000vécó1vétrúngthưởngtứckhảnăngtrúngsố1/2000.000

3000.000x1/2000.000=1,5đ

VésốloạiB

1.000.000đ500.000vécó1vétrúngthưởng,khảnăngtrúngsô1/500.000

1000.000x1/500.000=2đ

TừcáckếtquảtínhtoánghitrongbảngtathấyởloạivésốBcókìvọnglớnhơnA.

Khimớiđượcpháthiện,“kìvọngtoánhọc”thựcsựgiúpngườitagiảiquyếtnhiềuvấnđềkhólựachọnnênđượcngườitatándươnglà“kìvọngtoánhọcvĩđại”.Ngàynaykìvọngđãgiúpngườitagiảiquyếtnhiềuvấnđềhóchiểmđặcbiệttrongviệclựachọnphươngánđầutưtrongkinhdoanh.

Từkhoá:Kìvọngtoánhọc.

Trongcuộcsốnghằngngày,chúngtathườnggặpphảirấtnhiềuvấnđềvềkinhtế,vídụ,làmsaocóthểmuađượcđồvớigiácảhợplýnhất,làmsaocóthếtínhtoánđượclãisuấttiếtkiệmngânhàng,làmsaocóthểdựđoántìnhhìnhlênxuốngcủathịtrườngchứngkhoán,làmsaođểtínhtoánđượckếhoạchchitiêucánhân…Tấtcảvấnđềnàyđềuliênquantớitoánhọc.

Lấyvídụmộtloạirượunàođótrênthịtrường.Khinhucầurượutrênthịtrườnglớnhơnnhiềusovớilượngcungcấp,giárượusẽtăngcao.Vàvớitìnhhìnhngượclại,giárượusẽxuốngthấp.Tahoàntoàncóthểgiảithíchlượngcungcầunàybằngmộthàmsốtoánhọc.Đơngiảnnhất,coilượngcungvàlượngcầulàmộtgiátrịhàmsốcủagiá.Thôngthường,giáthấp,ngườimuasẽnhiều,lượngcầucũnglớn;Giáđắt,nhàsảnxuấtsẽthuđượclợinhuậnlớn,lượngcungcũnglớn.Vìthế,cóthểcoilượngcầulàhàmgiảmcủagiá.Ngượclại,lượngcunglạilàhàmtăngcủagiá(nhưhìnhvẽ).Khigiárượulà4RMB/lít,lượngcunglà90.000lít,lượngcầu180.000lít,lượngcầulớnhơncungrấtnhiều,íttrởthànhhiếm,giárượulúcnàylậptứctăngcao.Đểđápứngnhucầucủathịtrường,đồngthờicũnglàthulợinhuậnchodoanhnghiệp,cácnhàsảnxuấtlạimởrộngsảnxuất,nângcaolượngcung,khiếncungvàcầudầntrởnêncânđối.Khigiárượulà8RMB/lít,lượngcầulà90.000lít,lượngcunglạilớntới150.000lít,cungvượtxacầu,rượutrênthịtrườngthừathãi,cáccửahàngbánkhôngđược,giárượulạiphảihạxuống,cácnhàsảnxuấtcũngcắtgiảmlượngcung,đồngthờicónhiềuđộngtháikíchcầu,thuhútkháchhàngmuarượu,đểcânbằngcungcầu.Quátrìnhđiềuchỉnhthịtrườngnàysẽdiễnraliêntụcchođếnkhicungvàcầubằngnhau.Dùngquanđiểmhàmsốđểgiảithíchquyluậtcungcầucóthểbiểudiễnvàphântíchđượcsựthayđổivềgiácả,đồngthờicóthểdựđoánđượcxuthếbiếnđộngcủathịtrường.

Đươngnhiên,đâychỉlàmộtvídụrấtđơngiản,sửdụngkiếnthứctoánphổthôngmàthôi.Nhưngtừđó,tacũngcóthểthấytoánhọccóthểlàmchínhxác,rõràngquanhệgiữacácđạilượngkinhtế.

Cùngvớisựpháttriểncủakinhtếhọchiệnđại,toánhọcthâmnhậpmỗilúcmộtsâuhơnvàolĩnhvựckinhtế.Ngônngữchínhxác,cụthểcủatoáncóthểkhắchọađượccáckháiniệmkinhtế,đồngthờicũnglàcôngcụxâydựngnhữnglíluậnlôgic,đểgiảithích,phântích,dựbáocácvấnđềkinhtế.TừkhicóGiảithưởngNobelvềKinhtế,côngviệccủahơnmộtnửasốngườinhậngiảithưởngđềuliênquanmậtthiếttớitoánhọc.Chảtráchnhiềungườichorằng,mộtnhàkinhtếtàibanhấtđịnhcũngphảilàmộtchuyêngiatoánhọcưutú.

Từkhóa:Toánhọc:Kinhtếhọc.

Khôngbiếtbạncóchúýlàtrênbaobì,hộpđựngnhiềuthươngphẩmnhưthuốclá,rượuthườngcóbốtrímộtnhómvạchxếpthànhhìnhchữnhật.Nhómvạchgồmnhiềuvạchđentrắng,tonhỏkhácnhau.Thựcra,trongđờisốnghàngngàymãvạchđượcsửdụngkhárộngrãi:Trongcáchànghoá,sáchbáoxuấtbản,ởtrangbìacuốithườngcómãvạch.

Thếmãvạchcócôngdụnggì?Vìsaotrênhànghoá,bìasách,tạpchílạicómãvạch.Trênthựctế,mãvạchlàngườibạnđườngcủamáytính,tuỳthuộcsựpháttriểncủakĩthuậtmáytínhvàtuỳthuộctìnhtrạnggiaolưukinhtếmàsinhramộtkĩthuậtthôngtinmớiđólàkĩthuậtmãvạch.Mãvạchhộiđủcácyếutố:rấttiếtkiệm,nhanhchóng,chínhxáckhithuthậpvàtruyềnđạtcácthôngtin.Nóivắntắt,chỗđặcdụngcủamãvạchlàtruyềnđạtcácthôngtin.

Khảnăngtruyềnđạtthôngtincủanhómvạchcóđộrộngtonhỏkhácnhaulàđiềukhôngcònphảibàncãi.Dướiđâysẽgiớithiệumộtcáchvắntắt.Mãvạchcóthểtruyềnđạtthôngtinquađộrộng,hẹp,đậm,nhạtcủacácvạch,cácđặcđiểmnàycủamãvạchcóthểnhậnbiếtnhờcácvạch,độrộngcủakhe,cáchbốtrícácvạchmàmãvạchcóthểtruyềnđạtcácloạithôngtinkhácnhau.Quansátkĩcácmãvạchkhácnhau,bạncóthểthấytuytrôngbềngoàichúnghầunhưgiốngnhau,tuynhiênthựcsựchúngcócáckhácbiệtnhỏ.Cácsaibiệtnàytakhôngnhậnthấyđượcbằngmắt,nhưngvớimáytínhthìcácsaibiệtnàylàrấtlớn.

Mớinhìnthìmãvạchlàcácvạchcóđộrộngtonhỏkhácnhau,thựcranólàmộtloạtcácchữsốtheohệđếmnhịphân.Mọingườiđềubiếttronghệđếmnhịphânchỉcóhaichữsố:1và0màtronghệmãvạchsố1vàsố0đượcphânbiệttheohìnhdángcủavạchliềnvàkhetrống,hoặcvạchrỗnglàsố1cònvạchmảnhlàsốkhôngv.v...Hoặccũngcóthểdùngmàuđen,màutrắng,vạchmàuđenlàsố1,vạchtrắnglàsố0v.v...Máytínhsẽdùngđầuđọcquanghọcnhưcácbútquangđiệnđểđọcmãvạch.Khichiếuánhsánglênmãvạch,giữavạchđenvàvạchtrắngcósựphânbiệtrấtrõ,cácnétphânbiệtnàysẽđượcbiểuhiệnbằngcácdòngquangđiệnlớn,nhỏ;còngiữanétvạchvàkhehởlàmtínhiệuxuấthiệntrongcácthờigiandài,ngắnkhác

nhau.Nhưvậybútquangđiệncóthểnhậnbiếtđượcmãvạch.Thôngthườngcóthểđọcmãvạchtheokiểuquétsongsongvớivạch,cóthểquétngangtừtráisangphảihoặcngượclại.

Mãvạchcóthểđọcđượcbằngmáy,nhưngcóphảingườitakhôngthểnàonhậnđượcbằngmắt?Thựcranhìnvàocáchsắpxếpcácnhómvạchngườitacóthểhiểusơlượcđượcphạmvicủacácmãvạch.

Thôngthườngthìmãvạchtruyềnđạtthôngtinquamáytính,quamộtquyphạmphiêndịchthốngnhất.Vídụtrongsảnxuấtôtôngườitadùnghệmã“cốt39”,đólàloạikĩthuậtmàlĩnhvựcsảnxuấtôtôquyđịnhsửdụngmộtcáchphổbiến.Trênthếgiớikhôngítcácnghiệpđoàn,đoànthểquyđịnhhệmãvạchtheomộtquyphạmriêng.Tuynhiêncũngcóhệmãvạchchỉlưuhànhtrongphạmvinộibộkhôngcầncósựphổbiếnvớibênngoàinhưcáchệmãvạchriêngchonộibộmộtsiêuthịkhôngcầnphảiphùhợpvớicácquyphạmthôngdụng.

Sựpháttriểncủakĩthuậtmáytínhđãtrựctiếpđưađếncácngônngữmáylàmviệcứngdụngmãvạchngàycàngrộngrãi.

Từkhoá:Mãvạchvàthôngtin.

Ởcácnhàmáyngoàicácbộphậnquảnlí,sảnxuất,tiêuthụsảnphẩmcòncóbộphậnchuyênviệcbảodưỡngsửachữamáymócthiếtbị,đểcóthểkịpthờipháthiệnsựcốgâyhậuquảđángtiếc.Việcbốtrícôngnhânvàoviệcsửachữabảodưỡngđươngnhiênphảikèmtiềnlươngtươngứngvìvậynếubốtrídưthừathìsẽgâylãngphí.Nhưngnếubốtríquáítthìkhimáymóccósựcốkĩthuậtsẽkhôngsửachữađượckịpthờicũngsẽảnhhưởngđếnsảnxuất.Vậycầnphảibốtríbaonhiêucôngnhânsửachữabảodưỡngthìhợplí?Đâylàvấnđềphảituỳtìnhhìnhcủanhàmáymàchọnphươngánthíchhợp.

Giảsửnhàmáycó100cỗmáythamgiasảnxuất.Mỗingàycóthểxảyrasựcốkĩthuậttheocáckhảnăng(xácsuất)nêutrongbảngdướiđây:

Sốmáyxảyrasựcốkĩthuật 0 1 2 3 4 5Khảnăng(%) 70 15 8 4 2 1

Giảsửvớimỗicỗmáyxảyrasựcốkĩthuậtcầnmộtcôngnhânsửachữatrongmộtngày.Nếumáykhôngkịpsửachữatrongngàysẽgâytổnthất1000đ,tiềnlươngchocôngnhânsửachữalà35đ/ngày.

Hiểnnhiên,sựcốkĩthuậtxảyrahằngngày(cóthểdựđoán)ítnhấtcầnmộtcôngnhân,nhiềunhấtcầnnămcôngnhânsửachữa.Dướiđâytasẽxétxemviệcbốtrítừ1-5côngnhânsửachữavàsốtiềnbìnhquânmànhàmáyphảibỏra(kểcảtổnthấtdodựcốkĩthuật)baonhiêutiền.

Nếubốtrímộtcôngnhânsửachữa,mỗingàynhàmáyphảibỏra35đtiềnlương.Khicósựcốkĩthuật,sốmáycósựcốkĩthuậtkhôngkịpthờisửachữacóthểlà:

Sốmáykhôngkịpsửachữa 0 1 2 3 4Khảnăng(%) 85 8 4 2 1

Tổnthấtbìnhquândosựkiệnđósẽlà:

1000(1x8%+2x4%+3x2%+4x1%)=260đ

Vàmỗingàynhàmáyphảibỏrasốtiền(kểcảtổnthất)làA1

A1=35+260=295đ.

Tươngtựtacóthểtínhsốtiềnnhàmáybỏramỗingàykhibốtrítừ2,3,4,5thợsửachữa:

Bốtríhaicôngnhânsửachữa:

A2=35x2+1000x(1x4%+2x2%+3x1%)=180đ.

Bốtríbacôngnhânsửachữa

A3=35x3+1000x(1x2%+2x1%)=145đ

Bốtríbốncôngnhânsửachữa

A4=35x4+1000x(1x1%)=150đ

Bốtrínămcôngnhânsửachữa

A5=35x5=175đ

Từcáctínhtoánởtrêntathấynếunhàmáybốtríbacôngnhânsửachữahàngngàythìsốtiềnphảibỏra(kểcảtổnthấtdosựcố)làítnhất.

Trênđâychúngtađãnghiêncứuvấnđềbốtrísốcôngnhânbảodưỡng,sửachữachomộtnhàmáy,bâygiờchúngtanghiêncứucáchsắpxếpđểchocáccôngnhânbảodưỡng,sửachữalàmviệchợplínhất,đểcáccôngnhânsửachữalàmviệcvớihiệusuấtcaonhất.

GiảsửnhàmáycóhaiphânxưởngAvàB,mỗiphânxưởngcó100cỗmáylàmviệc.Cácsựcốkĩthuậtvàtổnthấtcóthểxảyraởmỗiphânxưởngcũnggiốngnhưởvídụtrước.Dựavàokếtquảtínhtoánởmụctrước,mỗiphânxưởngcầnbốtríbacôngnhânchuyênbảodưỡng,sửachữamáymócđểnhàmáyíttổnthấtkhixảyrasựcốkĩthuật.Bâygiờtổnthấttrungbìnhcủahaiphânxưởngsẽlà:

1000x(1x2%+2x1%)x2=80đ.

Mộtcáchsắpxếpkhácđểsáucôngnhâncùngphụcvụchungchocả200cỗmáytrongviệcsửachữa,bảodưỡng.Trướchếtchúngtathửtínhtoáncácsựcốkĩthuậtcóthểxảyrachocả200cỗmáycũngnhưnhữngtổnthấtdocácsựcỗkĩthuậtđógâyra.Khảnăngkhôngxảyrasựcốởcảhaiphânxưởngsẽlà:

70%x70%=47%.

NghĩalàcókhảnăngcómộtsựcốxảyraởmộttronghaiphânxưởngAhoặcB,cũngcókhảnăngcảhaiphânxưởngcómộtsựcốkĩthuậtvàvìvậycókhảnănglà:

70%x15%+15%x70%=21%.

Nghĩalàcókhảnăng21%sựcốxảyratronghaisựcốkĩthuậtởhaicỗmáyhoặctạiphânxưởngAhoặctạiphânxưởngBhoặcởmỗiphânxưởngcóxảyramộtsựcốkĩthuậtvàtổngcácsựcốkĩthuậtsẽlà:

8%x70%+70%x80%+15%x15%=13,45%.

Bằngcáchtínhtươngtựchúngtacóthểtìmthấykhảnăngcủacáctìnhhuốngkhác.Cáckếtquảtínhđượcdẫnraởbảngsau:

Sốsựcốkĩthuật

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Khảnăng(%) 49 21 13,45 8 4,14 2,64 0,78 0,32 0,12 0,04 0,01

Nếucảsáucôngnhâncùnglàmviệcchungthìtổnthấtbìnhquânsẽlà:

1000x(1x0,32%+2x0,12%+3x0,04%+4x0,01%)=7,2đ

Hiểnnhiêntrongphươngánsắpxếpnhưphươngánhaitổnthấtcủanhàmáylàthấpnhất.

Dùngphươngánđãtrìnhbàyởmụctrướctacóthểsửdụngphươngánhaikhibốtrítừ5côngnhânsửachữa,nhàmáysẽchịutổnthấttrungbìnhvàtiềnlươngcôngnhânlàítnhất:

A5=35x5+1000x(1x0,78%+2x0,32%+...+5x0,01%)=194,9đ

Bấygiờtổnthấttrungbìnhsẽlà

1000x(1x0,78%+2x0,32%+...+5x0,01%)=19,9đ.

Từkếtquảtínhtoántrênđâychothấykhidùngphươngánhaikhôngchỉtiếtkiệmđượctiềnlươngchitrảchocôngnhânmàcòncóthểgiảmbớtcáctổnthấtdosựcốkĩthuậtđưalại(từ80đcòn19,9đ)nênnângcaođượchiệusuấtcôngtác.

Mộtxínghiệpnọđónggóiđườngglucozabằngmộtcỗmáy.Tiêuchuẩnđểmáyđónggóilàmỗigóiđườngnặng500g.Khimáyđónggóilàmviệcbìnhthường,mỗitúibìnhquânlà500gnhưngcóthểdonhiềunguyênnhânmàcóthểcósaisố±5g.Đểbảođảmchấtlượngsảnphẩm,hàngngàytrướckhilàmviệc,côngnhânphảitiếnhànhkiểmtramáymóc.Thếnhưngviệckiểmtrahàngngàynêntiếnhànhnhưthếnào?

Giảsửtrongmộtngàynàođó,máyđónggóilàmviệckhôngđượcbìnhthường,trướckhilàmviệc,côngnhânthửđóng10góiđườngvàtìmthấycácbaođườngcócáctrọnglượngsau:

496,506,508,498,492,495,511,503,500,491

Nhưvậymáylàmviệccóbìnhthườngkhông?

Phươngphápkiểmtralàtínhxem10góiđườngcótrọnglượngtrungbìnhcónằmtronggiớihạnsaisốchophépkhông.10góiđườngtrêncókhốilượngtrungbìnhchínhbằng500gnhưquyđịnh,vàsaisốtrọnglượngmỗigóisovớisốtrungbìnhsẽlà(đơnvịgam)-4,6,8,-2,-8,-5,11,3,0,-9

Saisốtrungbìnhsẽlà:

Saisốnàyvượtquátiêuchuẩnsaisốchophép,nhưngcũngkhôngloạitrừcácloạinhântốngẫunhiênkhitiếnhànhkiểmtra,nênchúngtachỉcóthểnóimáycóthểcósựcố.

Nóichungkhitiếnhànhkiểmtra,nhàmáycầnloạibỏcácnhântốkhôngxácđịnhđược,đểtránhvấpphảicáctổnthấtkhôngnhấtthiếtphảicó.Bởivìnếumáykhôngcósựcốkĩthuậtmàkhitiếnhànhkiểmtralạingộnhậnlàcósựcốvàđemsửachữathìsẽlỡkếhoạchsảnxuất.Trongkiểmtracóthểxuấthiệnhailoạisailầm:làbỏquasaisóthoặcnhậnnhầmlàsaisóttứclàbỏquathựcchấtcủasựviệc,chấpnhậnsựvậtgiả.

Trongkhikiểmtra,việctránhhoàntoànhailoạisailầmnêutrênlàkhôngthểđượcmàchỉtìmcáchgiảmkhảnăngcácsailầmđóđếnmứcthấpnhấtvàcốgắnghạnchếtrongtỉlệnhỏnhất(phầntrăm).Muốnthựchiệnđượcviệcđó,khiđặttiêuchuẩnsaisốnênđặtcậntrênvàcậndướicủasaisố.Khitiếnhànhkiểmtranếusaisốvượtcậntrênthìchắcchắnmáycósựcốvàcầnchongừnglàmviệcđểsửachữa.Nếusaisốnhỏhơngiớihạndướithìchắcchắnmáykhôngcósựcốkĩthuậtvàcóthểchotiếptụclàmviệc.Cònnếusaisốnằmtrunggiangiữacậndướivàcậntrênthìcầnphảilặplạikiểmtramộtlầnnữađểkhẳngđịnh.

Trongkhikiểmtraviệcquyđịnhgiớihạntrênvàdướiliênquanđếnviệckhốngchếkếtluậnsailầm.Vídụkhiquyđịnh20%tứckhốngchếsailầmmắcphảitrongkếtluậnnhỏhơn10%.Vídụkhichọngiớihạntrênvàgiớihạndướilà6,06gvà3,23gthìvì6,48>6,06nêntakếtluậnlàmáycósựcốvàcầnphảichongừnglàmviệcđểsửachữa.

Chúthích:ởđâyđềcậpđếnmộtvấnđềcóliênquanđếnmộtbàitoánquantrọngcủatoánthốngkê:Bàitoánkiểmđịnhgiảthiết.Sailầmnóitrênchínhlàsailầmloạimộtvàsailầmloạihaitrongbàitoánthốngkêtươngứng.Đểgiảmsailầmloạimộtcầntăngđộtincậycủaphépthử,ởđâylàmứcđộsailầmnhỏhơn20%.Vìbàitoánkháphứctạpnênchúngtôikhôngcóđiềukiệntrìnhbàychorõhơn(N.D).

Trênmộttuyếnđườngcóbacỗmáycáiđanglàmviệc.TacầnbốtrímộttrạmcungứngphụtùngmáyAtrêntuyếnđường.VấnđềđặtralàđặttrạmcungứngởđâuthìtổngđoạnđườngmàtừvịtrícáccỗmáycáiđếnAlànhỏnhất?

TacóthểphánđoánngaylàAnênđặttạivịtríởcỗmáysốlàhợplínhất.Tạisaovậy?BởivìnếuđặtAtạivịtríthìtổngcựlyđểvàđếnvịtríbằngđoạnđườngtừđếnvàbằngđoạnđườnga+c.NếubốtríAtạiđiểmkhác,vídụđặttạidchẳnghạnthìtừvàđếndlàbằnga+c.Nhưngtổngđoạnđườngdàitừ,,đếndngoàitổnga+clạiphảithêmđoạnđườngtừ2đếnd;rõrànglàtổngđoạnđườngtừ,,đếndsẽlớnhơna+c.

ThếnếutrêntuyếnđườngchỉcóhaicỗmáythìnênbốtríAởđâu?RõràngtrongtrườnghợpnàyđặtAtạivịtrínàogiữavàđềuđượcvìbâygiờtổngđoạnđườngđiđếnAbằngđoạnđườnga+b

Bâygiờtamởrộngbàitoánthêmmộtchút.

NếutrêntuyếnđườngcónămcỗmáythìnênđặtAtạiđâu?CósáucỗmáythìnênđặtởđâuvàtổngquáthơncóncỗmáythìnênđặtAởđâu?

Nếun=5thìAnênđặttạivịtrícỗmáysố.

Nếun=6thìAnênđặtởgiữaởgiữacỗmáysốvàsố.NếunlàsốlẻthìAnênđặtởcỗmáythứn+1/2.NếunlàsốchẵnthìAnênđặtởvịtrícỗmáysốn/2vàn/2+1.

Trongthựctếnhiềukhingườitacầndùngđồthịđểbiểudiễndiễnbiếnsựviệctheomộtsốsốliệubằngcáchnàođó.Đólàphươngphápdùngđồthịđểbiểuđạtmộtsốmặtthựcnàođócủasựviệc.

Vìvậyvớicùngmộtnhómsốliệu,tuỳthuộcyêucầuthựctiễnmàngườitacóthểbiểuđạtmộtmặtthựcnàođócủasựviệc;nóicách

kháctừcùngmộtnhómsốliệutuỳtheoyêucầu,tacóthểvẽcácđồthịkhácnhau.Tathửxétmộtvídụsauđây:

Mộtnhàmáynọdo5chủđầutưvànhàmáycó100côngnhân.Thuthậpcủacácnhàđầutưvàcôngnhânđượctrìnhbàytrongbảngsauđây:

Năm Tổngtiềnlươngtrảchocôngnhân

Tổngthunhậpcủanhàđầutư

1990 100.000RMB 50.000RMB1991 125.000RMB 75.000RMB1992 150.000RMB 100.000RMB

Cácôngchủdùngbảngsốliệunàyđểvẽcácđồthịbiểudiễnsựphụthuộcvềviệctăngthunhậpcủachủđầutưvàtiềnlươngcôngnhântrongbanăm.Theođồthịnàythìhìnhnhưlợinhuậncủachủđầutưtăngsongsongvớitiềnlươngcủacôngnhân,làtrongcảnh“cóphướccùnghưởngcónạncùngchịu”vàcôngnhâncầnchấpnhậnthoảimáitìnhtrạnghiệncó.Vìvậyrõràngđồthịloạitrênlàhợpývớicácôngchủ(hình1).

Tổchứccôngđoàncũngdựavàobảngsốliệunàyvẽnênđồthịbiểudiễnsựtăngtrưởngcủalợinhuậncácnhàđầutưvàtìnhhìnhtăngtiềnlươngcủacôngnhântrongcácnămđó.

Nhưtrênhình2(lấynăm1990là100%).Theođồthịnàytốcđộtăngtrưởnglợinhuậncủanhàđầutưlớnhơntốcđộtăngtiềnlươngcủacôngnhân.Côngđoànđãnhằmlợiíchcủacôngnhânđểvẽnênđồthịnàychodùcùngxuấtpháttừmộtnhómsốliệu.Hình2làhìnhbiểuđạtlợiíchcủacôngnhânsovớinhàđầutư.

Mộtcôngnhânnàođócũngdựavàobảngsốliệunàyvẽđồthịsosánhmứctăngtrưởngthunhậpcủanhàđầutưvàcủacôngnhântrongcácnămtươngứngnhưtrênhình3.

Hình3chứngtỏlợinhuậncủatừngôngchủtănglớnhơnnhiềusovớimứcthunhậpcánhâncủatừngcôngnhânhàngnăm.Mứctăngthunhậphằngnămcủahaibêncáchbiệthàngchụclần.Vìvậycôngnhânphảivìlợiíchbảnthânmìnhđấutranhvớichủđểđòitănglương.Đồthịnàyphùhợpvớicôngnhânvàvìmụcđíchphụcvụlợiíchcủagiớilàmcông.

Bađồthịđềuvẽđúng,chỉcóphụcvụcácmụcđíchkhácnhau,vàđềucólí.Đúngnhưngườitanói“Ôngnóiôngphải,bànóibàhay”.Thếmớibiếtsốliệutuynhưnhaunhưngviệcvậndụngnhưthếnàolàtuỳyêucầuthựctế.

Chúngtađềubiếttiềngửingânhàngsaumộtthờigiansẽsinhlãi.Nhưngcáchtínhtiềnlãithựchiệnnhưthếnào?

Cóhaiphươngpháptínhlãi:Tínhtheochếđộđơngiảnvàtínhtheochếđộphứctạp.

Đặcđiểmcủaphươngpháptínhtheochếđộđơngiảnlàlấytiềnvốngửilàmcơsởđểtínhlãi,cònsốtiềnlãithunhậpđượcdotiềnvốngửikhôngđượcnhậpvàođểtínhlãiquatừngkìtínhlãi.Vídụcácbạnđem2000đồnggửivàongânhàng,thờihạngửibanăm,lãisuất5%mộtnăm.Việctínhlãiđượcthựchiệntheotừngkìmỗinămmộtlần.Saumộtnămbạnđược2100đồng,nhưng100đồngtiềnlãinàysẽkhôngđượcnhậpvàotiềnvốngửiđểtínhlãichonămthứhai,thứba,vàvìvậytiềnvốnđểtínhlãichonămthứhaivẫnlà2000đồng.Mỗinămbạnsẽđược100đồngtiềnlãivàcảbanămsẽnhậnđược300đồngtiềnlãi.

Theochếđộtínhlãiđơngiản,nếumỗichukìtínhlãivớilãisuấtp%,vìvớisốvốngửilàasaunchukìtínhtoántasẽcósốtiềntổngcộngAlà:

A=a(1+np%).

Đặcđiểmcủachếđộtínhlãiphứctạplàtiềnlãithuđượcsaumộtchukìtínhlãiđượcnhậpvàovốnvàlàmcơsởđểtínhlãichochukìtínhlãilầnsau.Nhưvậyvớicáchtínhlãinàynhưngườitathườngnói“lãimẹđẻlãicon”.Vìvớicũngvớivốngửi2000đồngghibanđầu,cũngvớilãisuất5%.Theochếđộtínhlãiphứctạpthìsaunămđầuphầnlãicũngvẫnlà100đồng,nhưngởlầntínhlãithứhai,vốnđểtínhlãilạilà2100đồngvàtiềnlãiởlầntínhlãithứhaisẽlà2100đồngx5%=105đồng.Tronglầntínhlãithứbavốnđểtínhlãilạilà2205đvàtiềnlãiởkìtínhlãithứbasẽlà2205x5%=110,25đồng.Tổngtiềnlãicảbanămsẽlà315,25đồng.Nhưvậyvớicùngmộtlãisuất,vớicùngvốngửibanđầunhưnhau,tiềnlãitínhtheochếđộphứctạpsẽđượcnhiềuhơn.

Vớisốvốngửibanđầulàa,lãisuấtởmỗichukìtínhlãivẫnlàp%vàsaunlầntínhlãithìsốtiềnthuđượcsẽlàA:

A=a(1+p%)n

Ởnhiềungânhàngngườitakếthợpchếđộtínhlãiđơngiảnvớichếđộtínhlãiphứctạp.Nóicụthể,trongmộtthờigianướcđịnhngườitatínhlãitheochếđộđơngiản.Nhưngnếusauthờigianướcđịnh(saumộtsốchukìtínhlãi)ngườigửivẫnkhôngnhậnlạitiền,ngânhànglạichuyểnsốdưsangchukìtínhlãisauvớisốgốctínhcảvốnlẫnlãicủakìgửitrước(tínhtheochếđộđơngiản)làmcơsởtính

lãichocácchukìtínhlãisau.

Vídụcũngvớivốngửi2000đồngbanđầucũngvớilãisuất5%.Chukìướcđịnhbanăm.Nhưngsausáunămngườigửimớinhậntiềngửi.Giảsửtrongsuốtthờigiannàylãisuấtkhôngthayđổi.Sốdưtiềngửicảgốclẫnlãisẽlà:

2000x(1+3x5%)2=2645đồng

Nhưvậycóphảiviệcdùngchếđộtínhlãisaumộtthờikìnhấtđịnhtínhtheochếđộđơngiảnngắnhạnrồichuyểnsangchếđộtínhlãiphứctạpthìcólợihơnchếđộtínhlãiphứctạp?Thựctếthìkhingânhàngquyđịnhlãisuấtchochếđộgửitiềndàihạn,ngắnhạnđãcócânnhắcvấnđềđó.Lãisuấtgửitiềndàihạnbaogiờcũngcaohơnchếđộgửingắnhạn.Vídụngườitacóthểquyđịnhlãisuấtchocáckìhạngửimộtnăm,hainăm,nămnămtươngứnglà:

2,16%;2,25%,2,43%;2,7%và2,88%.

Nhưvậygửitiềntheochếđộngắnhạncóthểđượclợinhiềukhitínhlãitheochếđộphứctạp;nhưngvìkhigửingắnhạnthìlãisuấtthấpnênchưachắcđãthuđượclợinhiềuhơn.Vìvậykhixétviệcchọngửitiềntheochếđộdàihạnhayngắnhạnchủyếudựavàokếhoạchsửdụngtiềnmàlựachọn.Đươngnhiênvềphíangânhàng,họphảidựatheothờihạngửitiềnmàđịnhlãisuất,cũngkhôngthểvớicùngmộtsốvốngửi,theochếđộgửikhácnhauvàcáchtínhlãikhácmànhậnđượccùngmộtsốtiềnlãi.Thựctếthìkhidùngchếđộgửitiềnkhácnhauthìvớicáchtínhlãitheochếđộkhácnhaulợitứcnhậnđượccóthểkhácnhau.Vídụkhiđem1000đồnggửivàongânhàngcóthểcóbốnphươngthứcgửikhácnhau:1.Tínhtiềnlãitừngnămmộttrongthờihạnquyđịnhhainăm;2.Tínhlãihainămmộtlần;3.Tínhtheochếđộmỗinămmộtlầnvàhaikìmộtnăm;4.Tínhtiềndưbốnlầntronghainăm.Tiềnlãitínhtheobốnchếđộnhưsau:

A1=1000x(1+2x2,43%)=1048,60đ.

A2=1000x(1+2,25%)2=1045,51đ

A3=1000x(1+2,25%)x(1+0,5x2,16%)2=1044,71đ

A4=1000x(1+0,5x2,16%)4=1043,90đ

Từđócóthểthấytheophươngthứcmột,làcólợinhất.Vìvậynếubạncósốtiềndưnhiềucóthểgửidàihạnởngânhàng,bạncóthểchọncácphươngángửitiềnđểthuđượclãisuấtnhiềunhất.Tuynhiênviệcchọnphươngánđểthuđượcnhiềulợiíchnhất,nêntheophươngánnàokhôngthểchỉdựavàotoánhọcvàquyếtđịnhmàphảikếthợpnhiềuyếutố.

Từkhoá:Tiềnlãi;Chếđộtínhlãiđơngiản;Chếđộtínhlãiphứctạp.

Ởnhiềunướccóhìnhthứcgửitiếtkiệmlấygọn.Theohìnhthứcgửitiềnnày,ngườigửisẽhàngthángđếnngânhànggửimộtsốtiềntheođịnhmức.Saumộtthờigianquyđịnhchọntrướcngườigửitiềnsẽđếnngânhàngnhậnmộtlầncảgốclẫnlãi.Đóchínhlàcáchgửitiềntheohìnhthứcgửitiếtkiệm.Mỗithángngườigửiđemđếnngânhàngmộtsốtiềnkhônglớnlắmtheoquyđịnhđólàsốtiềngửigóp.Saumộtthờigiantheothờihạnquyước,ngườigửisẽđếnngânhàngnhậncảgốclẫnlãi.

Vídụngườitacóthểquyđịnhgửitiềnlàmộtnăm,banămvànămnămvớilãisuấttươngứnghàngnămlà1,98%,2,16%và2,25%.Đồngthờingânhàngcôngbốchokháchhàngsốtiềnlãitươngứngvới100đồngvốnchothờihạnmộtnăm,banăm,nămnămlàsẽcótiềnlãitươngứngkhiđếnkìhạnlà12,87đồng,119,88đồngvà343,93đồng.Vậycáchtínhlãisốtiềngửigópnàyđượcthựchiệnnhưthếnào?

Tasẽlấyvídụvới100đồngvốnđểthuyếtminhcáchtínhlãichothểthứcgửigóplấygọnnày.Bởivìviệcgửitiềntheođịnhkì,mỗithángmộtlần,mỗilần100đồng,trongmộtnăm(12tháng)sốtiềngửitấtcảsẽlà1200đồng.Nhưngtiềngửivàotheotừngthángmộtmàkhôngphảingaythángđầuđãgửihết,cũngkhôngphảiđợiđếnkìcuốimớigửimộtlầnnênkhôngthểtínhlãitheocáchthôngthường.Vídụsốtiền100đồnggửitừthángđầusẽtínhlãicả12tháng,100đồnggửithángthứhaisẽtínhlãicho11tháng,tiềngửithángthứba

sẽtínhlãicho10thángv.v...vàtổngcộngsốthángđãgửitiềnlà:

12+11+10+...+2+1=(12+1)x12:2=78tháng=6,5năm.

Xemcáchtínhvừatrìnhbàyquảlàđơngiản,thuậntiện,nhưngtạisaolạicóthểtínhnhưvậy(bạnđọcdễdàngtìmthấylờigiảiđáp)vàtổngsốtiềnlãiphảitrảsẽlà:

100x1,98%x6,5=12,87đồngđóchínhlàconsốtiềnlãimàngânhàngcôngbố.

Tươngtựkhitínhlãichotiềngửikìhạnbanămsẽđượctínhchovốngửi100đồnglà:

36+35+34+...+2+1-(36+1)x36:2=666thángbằng55,5năm.Vàtổngsốtiềnlãitínhcho100đồngsẽlà:

100x2,16%x55x5=119,88đồng

Cònvớithờihạngửinămnămsẽlà:

60+59+58+...+2+1=(60+1)x60:2=1830tháng=152,5năm.

Tổngsốtiềnlãiđượcnhậnsẽlà:

100x2,25%x152,5=343,13đồng.

Kếtquảtínhtoángiốngnhưconsốcôngbốcủangânhàng.

Từkhoá:Tiềnlãi;Lãisuất;Gửigóplấygọn.

141.Cáchsosánhđểlựachọnhìnhthứcgửitiềntiếtkiệmcóthưởngcó

lợinhấtchongườigửi?Đểhấpdẫnngườigửitiếtkiệm,ngânhàngđặtracáchìnhthức

gửitiềntiếtkiệmcóthưởng.Làmthếnàođểxácđịnhđượchìnhthứcgửitiếtkiệmcóthưởngcólợinhấtchongườigửi?

Dướiđâytasẽbànđếnphươngphápsosánhchọnhìnhthứccólợinhấtchongườigửi.Nhiềungườichorằngviệccótrúngthưởnghaykhônglànhờvậnmaycủangườigửi.Thếnhưngcũngcónhiềungườilạichorằngviệctrúngthưởngcóthểdùngphươngphápsosánhlựachọnmàcókhảnăngtrúngnhiềuhơn.Đứngvềgócđộđó,dướiđâynghiêncứuviệcchọnthểthứcgửicólợinhấtchongườigửi.

Vídụcóhailoạigửitiếtkiệmcóthưởng.Giảsửmỗingườigửi100đồngvàcứ100.000sốgửilạitiếnhànhmộtlầnmởthưởng.Ngườitachọncácchữsốcuốivàchữsốgiữacủacácsốsổlàmtiêuchuẩnđểchọnngườiđượcthưởng.Kếtquảmởthưởngnhưsau:

Giảiđặcbiệt:vớicácsổcóchữsốởgiữahoặcởcuốicónhómsố83317.Trúngthưởng30.000đ.

Giảiđặcbiệt:lưuđộng32901ởbấtkìvịtrínào,tiềnthưởng28.000đ.

Giảinhất sốsổ98101:10.000đGiảinhì sốsổ86447,46447,26447,06447,trúngthưởng5000đGiảiba 7144,2144,mỗigiải1000đGiảitư 096,mỗigiải100đGiảinăm 56,mỗigiải20đGiảisáu 1,3,5,7,9mỗigiải2đ

Hìnhthứcgửitiếtkiệmthứhaitheothểlệ:

Sốcốđịnh 19722 80.000đGiảilưuđộng 8584,mỗigiải 7500đGiảinhất 50652,00652,mỗigiải 10.000đGiảinhì 6316,mỗigiải 1000đGiảiba 305,mỗigiải 100đGiảitư 63,mỗigiải 10đGiảinăm 1,3,5,7,9mỗigiải 4đ.

Giảsửcácsốtrong10vạnsốđượcđánhsốtừ000001đến10.000;cácsốtrunggiancócácsốphânbốgiữahaisốnàylà10vạnsố.Dotừcácsố000000đến099999cóthểtuỳýchọnmộttrongcácchữsốtừ0-9.Trong10chữsố0-9cóthểcó10loạikhảnăng,10vạnchữsốchỉcósố0cómộtloại,vìvậycácsốtừ000000đến099999cócáctổhợp1x10x10x10x10x10=100.000loại,cónghĩalàcó100.000sốcócácchữsốkhácnhau.Bởivìtừ1-100.000cácchữsốcóthểchọnlà100.000+1tức100.000số-1(tứcsố000000)=100.000

Nắmchắcđượcphươngphápnàytacóthểtínhđượcsốngườitrúngthưởngchomỗihìnhthức.Trướchếttabànđếnhìnhthứcgửithứnhất.Giảisáulàvớinhữngsốcócácchữsốcuốilà1,3,5,7,9,tứcởchữsốhàngđơnvịchỉcónămloạikhảnăngtrúngthưởng,còncácchữsốởcácvịtríkháckhôngcóảnhhưởnggìnêncóthểcó1x10x10x10x10x5=50.000loạitìnhhuống.Sốngườicóthểtrúnggiảisáulà50.000người.Cũngvớicùnglídosốngườitrúnggiảinămsẽlà1x10x10x10x1x1=1000người,sốngườitrúnggiảitư100người,sốngườicóthểtrúnggiảiba20người,trúnggiảinhìnămngười,trúnggiảinhấtmộtngười,trúnggiảiđặcbiệtlưuđộngmộtngười,trúnggiảiđặcbiệtmộtngười.Từđótasẽtínhđượctổngtiềnthưởnglà:

50.000x2+1000x20+100x100+20x1000+5x5000+1x100.000+1x28.000+1x30.000=243.000đ.Tổngcộngtiềngửimàngânhàngnhậnđượclà100.000x100=10.000.000đ.Vàtỉlệtiềnthưởngsovớitiềngửilà243.000/10.000.000=2,43%.

Theophươngpháptínhtoánvừatrìnhbàyvớicáchgửitiềncóthưởngtheohìnhthứchai,tỉlệsốtiềnthưởngsovớitiềngửilà4,05%.Theocáchtínhtoánvừatrìnhbàytathấyhìnhthứcgửihaicó

lợichongườigửihơnhìnhthứcmộtvàngườigửicókhảnăngđượclợinhiềuhơn.

142.Quyđịnhchếđộmuahàngtrảchậmđịnhkìnhưthếnào?

Ởmộtsốnước,đểtăngcườngkhảnăngcạnhtranhtiêuthụhànghoángườitađềrahìnhthứcbánhàngtrảchậm.Trongnhữngnămgầnđây,trongtìnhhìnhcảicáchkinhtếcủathờikìmởcửa,ởTrungQuốccũngđãxuấthiệnhìnhthứcbánhàngtrảchậmtheođịnhkì.

Bánhàngtrảchậmthựcchấtlàhìnhthứcmuachịuhànghoá.

Giảsửcómộtkiệnhànggiá1000đồng.Nếudùnghìnhthứcmuatrảchậm,kháchhàngnhậnhàngtrước,hẹnsaumộtthờigian,vídụnhưmộtnămchẳnghạnmớitrảtiền.Thếnhưngmộtnămsauphảitrảbaonhiêutiền.Cóthểtrả1000đồngkhông?Tấtnhiênlàkhông.Bởivìnếuđem1000đồngđếngửingânhàngthìsau1nămắtphảicótiềnlãi,giảsửlãisuấtngânhànglà5%mộtnămthìsaumộtnămsẽtrởthành1050đồng.Nếunămnaymuahàngtrảchậmmàsangnămchỉtrả1000đồngthìlàquátiệnlợinhưngchủhàngsẽbịthiệt.Vìvậysaumộtnămtiềntrảchocửahàngphảihơn1000đồng,ítnhấtphảigồmcảlãitheonhưlãingânhàngthìcũngphảitrảđến1050đồng.

Nhưvậysốtiền1050nămsautươngđươngvới1000đồngthờihiệntại.

Dựavàocôngthứctínhtiềnlãingườitasẽtínhgiátrịtươngđươngmộtmóntiềnchomộtnămsau(cảvốnlẫnlãi).Nhưvậynếubiếtgiátrịtươngđươngvàothờiđiểmmộtnămsau(1050đ)thìphảitínhgiátrịhiệntại?

Chúngtacóthểdùngcácphươngtrìnhsauđâyđểgiảiđápcâuhỏinày.

Giảsửxlàsốvốnmàđểmộtnămsaucảvốnlẫnlãisẽlà1050đồng.Tasẽcóphươngtrình:

x(1+5%)=1050đ

Giảiphươngtrìnhtacó:

x=1050/1+5%đ

Vìvậysốvốnhiệntạiđể1nămsaunhậnđượccảvốnlẫnlãi1050đồnglà1000đồng.

Vậyvớisốvốnlàbaonhiêuđểsauhainămsẽnhậnđượccảvốnlẫnlãilà1100đ.

Giảsửxlàsốvốnbỏrađểsauhainămnhậnđượcsốtiềncảvốnlẫnlãi1100đồng,tacóphươngtrình

x(1+2x5%)=1100đ

Từđóx=1100/1+2x5%đ

Nhưvậysốtiền1100đồngvàohainămsaucógiátrịtươngđươngvới1000đồngvàohiệntại.

Tấtcảcácphéptínhtrênđềudựavàogiảthiếtlàlãisuấthàngnămlà5%.Nếuvớilãisuấtp%thìcôngthứcsauđâychophéptínhsốvốnxcầnbỏrađểsaunnămnhậnđượcsốtiềncảvốnlẫnlãilàb:

Giảithíchýnghĩagiátrịhiệntạivàphươngpháptínhtoán,tacóthểbànđếnvấnđềbánhàngtrảchậm.

Xétchocùngthìhìnhthứcbánhàngtrảchậmcókháchìnhthứcbánchịu.Tronghìnhthứcbánhàngtrảchậm,khinhậnhàng,kháchhàngđãcótrảmộtphầntiềnhànghoáhọđãmua.Ngoàiratronghìnhthứctrảchậmgiữachủhàngvàkháchhàngcóthoảthuậnrõràngvềthờihạntrảtiềntheokếhoạchđãđịnh.Vậydựavàođâungườitađặtkếhoạchbánhàngtrảchậm?Sauđâytaxétmộtvídụ.

Cómộtmặthàngđồđiệndândụngđơngiálà2180đồng.Mộtcửahiệumuốnđặtkếhoạchbánhàngtheochếđộtrảdầnkếhoạchtrảtiềnnhưsau:

Lầnđầutiêntrả1000đồngchocửahàngvànhậnhàng.Sauđómỗithángtrả200đồng,quyđịnhtrảsáulầntrongthờihạnsáuthángliền.

Theokếhoạch,cáclầntrảtiềnsauđềudựavàoviệctínhgiátrịhiệntạitươngđươngvớisốtiềnphảitrảtrongcáclầntrảsau.

Giảsửcũngvớilãisuất5%,mỗikìtrảhàng200đồng.

Giátrịhiệntạitươngđươngvới200đkhitrảhànglà:

200đồngtrảtrongkìthứhaitươngđươngvớisốtiềnthờihiệntạix2là:

Cáclầntrảthứba,thứtư...sẽlà

Tổngcộngcảsốtiềnđãtrảtrước1000đồngthìgiátrịphảitrảchomónhàngởcáclầnsautươngđươngvới:

1000+199+198,01+197,04+196,08+195,12+197,12=2179,12đ

Nhưvậytổngcộngsốtiềnmàkháchhàngphảitrảđểmuamónhànglà:

1000+6x200=2.200đ

Nhưngsốtiềnchỉtươngđươngvới2179,12đồngthờihiệntạisovớisốtiềnphảitrảnếutrảtiềnngaylà2180đồngkhôngsaikhácbaonhiêu.

Từkhoá:Trảhàngchậmđịnhkì.

143.Thếnàolàlợiíchgiaodịchtráiphiếu?

Tráiphiếudonhànước,chínhquyềnđịaphươnghoặccácxínghiệppháthànhlàmchứngtừchịutráchnhiệmtrảnợ.Vídụvớitráiphiếucómệnhgiá100đồngthờihạnbanăm,đếnkìhạnsẽphảitrả115đồng.Tráiphiếulàloạichứngtừcómệnhgiá.Tráiphiếukhôngphảilàtiền,khôngthểtrựctiếplưuthôngtrênthịtrườngtrongviệcmuabán.Tráiphiếucũngkhôngphảilàsổtiếtkiệm,khôngthểđemđổichác.Cóhailoạitráiphiếu,cóloạicóthểđembán,cóloạicóthểkhôngbánđược.Loạitráiphiếumuốnbánđược,saukhipháthànhphảiđemchàovàcôngbốtrênthịtrường,nếuđượcphêchuẩncóthểđemgiaodịchtrênthịtrườngchứngkhoán.

Ởnhữngnướccónềnkinhtếthịtrườngpháttriển,trênthịtrườnggiaodịchchứngkhoánthườngcórấtnhiềuloạitráiphiếu.Nếumuốnmuabántráiphiếu,bạncóthểtìmhiểugiácảcủacácloạitráiphiếutrênbáochí,tìmhiểugiátrịcủatráiphiếutừngngày.

Nếumuốnmuatráiphiếu,bạnphảidựavàolợiíchgiaodịchcủatráiphiếu.

Thếlợiíchgiaodịchcủatráiphiếulàgì?

Xinnêumộtvídụ:Mỗiloạitráiphiếu,trêntờtráiphiếucóghimệnhgiávídụ100đồng,thờihạnhoàntrảlàbanăm,lãisuấtmỗinămlà5%.Nếutínhđơngiảnthìsaubanămcảvốnlẫnlãisẽlà:

100(1+3x5%)=115đ.

Trongthờihạnpháthànhmộtnăm,mệnhgiágiaodịchcủatráiphiếusẽlà103đồng.Nếumệnhgiátráiphiếunàyđượclênđiểmvídụ(10điểm),giảthiếtcôngtychứngkhoánchimỗiphân0,20đồng,thìkhiđếnkìhọsẽphảichitrả(quahainăm)thìdựkiếnsẽthulợiđượclà:

(115-103,2)x10=118đ

Tínhramỗinămthulợiđược

118:2=59đ

Vớigốc1032đồngthulợi59đồngthìlãisuấttínhrasẽlà:

59/1032=5,72%

Đólàlợiíchgiaodịchhằngnămcủatráiphiếu.Giátrịlợiíchđãvượtquálợiíchquyđịnh.Nóichunglúcnàyngườimuatráiphiếucólợivàngườibánthìbịthiệt.Tuynhiênđókhôngphảilàtuyệtđối,bởivìgiátrịcủatráiphiếucóthểthayđổituỳlúc.Trongcácngàygiaodịch,giágiaodịchcủatráiphiếubịgiảm,bấygiờngườibánlạiđượclợi.

Dễdàngtìmthấycôngthứctínhlợiíchgiaodịchsẽlà

Từkhoá:Tráiphiếu;Lợiíchgiaodịchtráiphiếu.

144.Vìsaomuacổphầnđầutưđộmạohiểmthấphơnmuacổphiếu?Từkhinềnkinhtếthịtrườngbắtđầupháttriển,việclưuthông

tiềntệtrongnướckhôngngừngxáođộng,tăngtrưởng.Tầnglớpthịdânởcácthànhphốtìmmọicáchđầutưnhằmmụcđíchngàythêmgiàucó.Conđườngđầutưngàycàngnhiều,càngxuấthiệnnhiềuđườngngangngõtắt.Ngườitađãkhôngcònthoảmãnvớicáchthứcgửitiềnngânhànglấylãimàcònmuacổphiếu,tráiphiếu,buônbánnhàđấtv.v...hyvọngsẽthulợinhiềuhơnviệcgửitiềnchongânhàng.Nhưngvớicácloạiđầutưkểtrênđềuítnhiềumangtínhrủiro:cólúccóthểđemlạilợinhuậnrấtcao,nhưngkhigặprủirocókhikhôngthuđượcđồnglợinhuậnnàomàcóthểbịmấttrắng.Đểviệcđầutưtiềnđỡgặprủiro,cầnchọnhìnhthứcđầutư.Việcmuabánchứngkhoáncũnglàmộtconđườngđầutư.Muốnmuachứngkhoáncầnchọnloạihoặcđầuphiếuhoặctráiphiếu,hoặcmuacổphầnđầutư,nênmualúcnào,bánlúcnàov.v...đólànhữngvấnđềcầncânnhắckĩlưỡng.Hiệncónhiềuhìnhthứcmuachứngkhoánnhưngnênchọnhìnhthứcnàoítrủironhất:muađầuphiếuhaymuacổphầnđầutư.

Trướchếttaxétmộtvídụđơngiản,giảsửcóhaingườilàAvàB

cùngchơitròđánhbạchoàntoànmayrủi(ýnóikhôngchơigian).Mỗilầnchơi1đồng.CơhộiđểAhoặcBthắng1đồnghaythua1đồnglànhưnhau,vàđềubằng1/2.Giảsửlúcbắtđầuchơi,AvàBđềucósẵnsốtiềnlàavàbtươngứng.Tròchơiđượctiếnhànhđếnkhicómộtbênthuasạchthìngừng.Hỏiđếnlúcngừngchơi,khảnăngđểAsạchtúilàbaonhiêu?

TathửtínhsaumộtlầnchơibạctrungbìnhcáckếtquảmàAchờđợilàbaonhiêu?Saumộtlầnchơi,khảnăngđểAcóhoặca+1đhoặca-1đlànhưnhauvàbằng1/2,vìvậybìnhquânsaumộtlầnchơiAcóthểvẫncóađồng.Quahailầnchơi,tìnhhuốngđượcthuabạccủaAcóthểcóbốnloại.

(được,được)(được,thua)(thua,được)(thua,thua).

Cảbốntìnhhuốngđềucókhảnăngngangnhau.VìvậysauhailầnchơisốtiềncủaAcóthểlàa+2đhoặca-2đ(cảhailầnđềuđượchoặccảhailầnđềuthua)đềucókhảnăngbằng,cònkhảnăngAcóađồng(mộtđược,mộtthuahoặcmộtthua,mộtđược)cókhảnăngbằng.VìvậysốtiềnbìnhquânAcóthểcólà:

(a+2)1/4+ax1/2+(a-2)1/4=ađồng

Quacáchtínhtoántươngtựtacóthểtìmthấydùquabaonhiềulầnchơi,sốtiềnbìnhquânmàAnhậnđượcvẫnlàađồng.

Cũnglíluậntươngtự,Bcũngsẽcóbđồngsaumộtsốlầnchơi.

KếtthúccuộcđánhbạcvớiAcóthểcóhailoạikếtcục:có0đtứcAbịthuasạchtúihoặca+bđồngkhiBbịthuasạchtúi.GiảsửkhảnăngđểAthuasạchlàx,khảnăngđểBthuasạchtúilà1-x.ThếnhưngkếtquảtrungbìnhmàAchờđợilạilàađồngnên

0xx+(a+b)x(1-x)=a.

Từđótacó:x=b/a+b.TứckhảnăngđểAthuasạchtúilàb/a+b.Tươngtựkhảnăngđểbthuasạchtúilàa/a+b.Tứckhảnăngđểhaingườithuasạchtúilàtỉlệngượcvớisốtiềnhọcóbanđầu.

Talạiquayvềviệctrúngquảtrongthịtrườngchứngkhoán.Thịtrườngchứngkhoánchínhlàmộtsòngbạckhôngcóchơigian(sòngbạccôngbằng)trongđócócảcơmaylẫnrủiro.Vớimỗingườiđầutưthìcơmayvàrủirolànhưnhau.Mộtngườithamgiamuađầuphiếulàthamgiamộtcuộcđánhbạccôngbằng.Cácđấuthủcóthểcócáchđầutưgiốngcácđấuthủkhác,nhưngcũngcónhữngngườicóvaivế:đầutưvốnvàocơcấuquảnlíđòihỏivốnđầutưlớn,cókhảnăngvượtxanhữngđốitượngkhác.Vìvậytrongcuộcchơibạc“côngbằng”nàykhảnăngthuasạchtúicủaôngtaíthơncácđấuthủkhácnhiều,nóicáchkhácngườinàycóđảmbảođểrủirothấphơncácđốithủbìnhthườngkhác.

Từgócđộđócóthểnóiđầutưmuavốncóưuthếhơnmuađầuphiếu.

Từkhoá:Vềtròđánhbạc.

145.Phântíchmốitươngquangiữacácthịtrườngchứngkhoánkhácnhau

nhưthếnào?Nhiềungườiđầutưchứngkhoánthườngquantâmđếnvấnđề

sau:

Cácthịtrườngkhácnhaucómốiliênquangìvớinhaukhông?ởnhữngnướclớncónềnkinhtếthịtrườngpháttriểnthườngcónhiềuthịtrườngchứngkhoánsongsongtồntại,liệucácthịtrườngchứngkhoánnàycómốiliênquannàovớinhaukhông?

Phươngphápđơngiảnđểxemxéthaithịtrườngchứngkhoáncóliênquangìvớinhaukhônglàxétchỉsốđầuphiếucóđồngtăngđồnggiảm,hoặccáinàytăngcáikiagiảm,hoặckhôngkểởmộtthịtrườngtănggiảmnhưthếnào,ởthịtrườngkiakhônghềchịuảnhhưởng.

Trongbảngdướiđâyliệtkêsựtănggiảmtăng“+”hoặcgiảm“-”ởhaithịtrườngchứngkhoánAvàBtrong10phiêngiaodịch:

Thị Thị Thị

Phiêngiaodịch

trườngA

trườngB

Phiêngiaodịch

trườngA

ThịtrườngB

1 +9,21 +2,43 6 +22,61 +7,612 +26,96 +9,05 7 -0,49 +0,593 -7,62 -3,10 8 +10,49 +4,864 -9,39 -2,92 9 +9,48 +7,365 -4,97 -1,99 10 -0,41 +2,23

Từbảngtrênđâychothấy,trong10phiêngiaodịchcónămngàycảhaithịtrườngđềucóchỉsốđầuphiếucùngtăng,bangàycảhaithịtrườngcùngcóchỉsốđầuphiếugiảm,chỉcóhaingàycómộttăngmộtgiảm,nênvớihaithịtrườngchứngkhoánđãxéttínhđồngbộkhátốt.Tuynhiênkhiởhaithịtrườngđồngtănghoặcđồnggiảmcũngkhôngđủđểkhẳngđịnhhaithịtrườngchứngkhoáncómốiliênquanlớn.Tacầnphảixemchỉsốtănggiảmcókhácnhaunhiềukhông?Trong10ngàygiaodịchnày,chỉsốđầuphiếutrungbìnhlà+5,651và+2,612.Sựsaikhácchotrongbảng:

Phiêngiaodịch

Thịtrường

A

Thịtrường

B

Phiêngiaodịch

Thịtrường

A

ThịtrườngB

1 +3,559 -0,182 6 +16,959 +4,9982 +21,309 +6,438 7 -6,142 -2,0223 -13,275 -5,712 8 +5,299 +2,2484 -15,041 -5,532 9 +3,829 +4,7485 -10,441 -4,602 10 -6,061 -0,382

Chúngtathấyrằngchỉsốtănggiảmcủahaithịtrườngcùngdươnghoặccùngâmxuấthiệnởchínngày,chỉcómộtngàycómộtdươngvàmộtâm.

Đểđánhgiátínhđồngbộmộtcáchđịnhlượng,chúngtacóthểdùngcácconsốđểsosánh.Tacầnlấysốtrungbìnhcủađộtănggiảmcủamỗithịtrườngcủa10phiêngiaodịch.Nếunhưcáctìnhtrạngđồngdươnghoặcđồngâmnhiềuthìtínhđồngbộkhátốt.Nếunhưđồngdươnghoặcđồngâmnhiềuthìtíchcủachúngsẽlàdương.Nhưngnếumộtdươngmộtâmnhiều(tínhsaikháccàngrõ)tíchâmsẽnhiềuhơn.Nếunhưdương,âmkhôngcóliênquangìnhiều,thìsố

trungbìnhdầntiếnđến0.Tatínhđượcchỉsốtănggiảmbìnhquâncủacáctíchsốlà:

C=[3,559x(-0,182)+...+(-6,601)x(-0,382)]:10=47,32.

Đâylàgiátrịtrungbìnhvềsựsailệchgiữahaichỉsốtănggiảmcủahaithịtrường.Doởhaichỉsốđượctínhtoánkhôngthốngnhấtđểlàmrõtínhtươngquantacầnxemxétđộlệchchuẩncủachỉsốtănggiảmcủahaithịtrườnglà11,76và4,27.Chiađộlệchbìnhquânchođộlệchchuẩntacó:

p=47,32:(11,76x4,27)≈0,94

Thươngsốnàyđánhgiáđộtươngquancủahaithịtrường,ngườitagọiđólàhệsốtươngquan.Nếusốnàylàdươngchỉrarằngmốitươngquangiữahaithịtrườnglàlớn(vàlớnnhấtkhip=1)vàrõrệt.Nếuhệsốtươngquanlàâmchứngtỏthịtrườngkhôngđồngbộvàmốiquanhệlàphụ;giátrịâmcàngbéthìmốitươngquangiữahaithịtrườngcàngít.Khihệsốtươngquanbằng0thìhaithịtrườnghoàntoànkhôngtươngquan.

Dùcáchệsốtrênđâygiảithíchmốitươngquangiữahaithịtrường.Cácsốliệunàychỉtínhtheosốliệucủa10phiêngiaodịchnêncònxamớicóthểkháiquátđượctìnhhìnhphứctạpcủathịtrườngchứngkhoán.

Từkhoá:Phươngsaichung;Hệsốtươngquan.

146.Xuấtxứcủakíhiệubốnphéptínhsốhọc+,-,x,÷vàdấu=ởđâu?

Mọingườiđềurấtquenthuộcvớibốnphéptínhsốhọcvàdấubằng.Thếbạncóbiếtlailịchcủacáckíhiệunàykhông?

Vàothờixaxưa,ởHyLạpvàấnĐộngườitathườngviếtcácsốởcạnhnhauđểbiểudiễnphépcộng.Vídụnhư3+1/4sẽviếtlà31/4.Ngàynayngườitacònthấyvếttíchcủacáchviếtnàykhiviếtsốphânsố.Họcùngviếthaisốcáchxanhaumộtkhoảngđểbiểudiễnphép

trừ,vídụviết61/5chínhlàđểbiểudiễn6-1/5.

VàothờiTrungCổ,thươngnghiệpChâuÂurấtphátđạt.Mộtsốthươngnhânthườngđánhdấu“+”trêncáchòmđểbiểuthịtrọnglượngquánặng,cònvẽdấu“-“đểchỉcáithùnglànhẹvàkhôngđủtrọnglượng.ThờiPhụchưngởItalia,LeonardodeVinciđãghicácdấu“+”vàdấu“-”lêncáctácphẩmcủamình.Năm1489,mộtngườiĐứclàWidemanđãchínhthứcdùngcáckíhiệu“+”và“-”đểbiểudiễnphéptínhcộngvàphéptínhtrừtrongtácphẩmcủamình.VềsaunhờnhàtoánhọcPhápVietehếtsứctuyêntruyềnvàcổvũ,haikíhiệunàymớiđượcphổcậpvàđếnnăm1603mớiđượcmọingườithừanhận.

ỞTrungQuốcthờixưangườitađãdùngthẻtínhvàbitínhđểtiếnhànhcácphépcộng,trừ,nhânvàchianhưngchưađặtracáckíhiệuchuyênmônđểkíhiệucácphéptính.Hãylấyđẳngthức“LýThiệnLan”nổitiếngcủanhàtoánhọcLýThiệnLanlàmvídụ.LýThiệnLanđãdùngkíhiệu“⊥”đểbiểudiễndấu“+”vàdấuTđểbiểudiễndấu“-”.NhưngởcácsáchtoánxuấtbảnvàocuốiđờiThanh,ngườitađãdùngcáchmôtảthaychokíhiệu.SauCáchmạngTânHợi,ngườitamớidùngkíhiệunhưngàynay.

Cònviệcsửdụngdấuxvàdấu÷thìphảiđến300nămsaunữa.Năm1631WiliamAutelitelàngườiđầutiênđãdùngdấu“x”đểbiểudiễnphépnhân,saunàyngườitamớisửdụngphổbiếnchođếnngàynay.

VàothờiTrungCổ,toánhọcởcácnướcArậptươngđốipháttriển.NhàtoánhọclớnWatmetđãdùngkíhiệu“3/4”đểbiểudiễn

phépchiacủa3cho4.Nhiềungườichorằngcáchviếtphânsốnhưngàynaylàxuấtpháttừcáchviếtđó.Mãiđếnnăm1630mớixuấthiệndấu“÷”đểbiểudiễnphéptínhchia.

Ngàynayởđasốcácquốcgia,ngườitadùngcáckíhiệu“+”và“-”đểbiểudiễnphéptínhcộngvàphéptínhtrừ.Còndấu“x”vàdấu“÷”khôngphảiđượcdùngthậtphổbiếnởnhiềunướcngườitadùngdấu“.”thaychodấu“x”vàdấu“:”thaychodấu÷.

Còndấu“=”đượcrađờitừbaogiờvàởđâu?NgườiBabilonvàAiCậpđãtừngdùngcáckíhiệukhácnhauđểbiểudiễnsựbằngnhau.Còndấu“=”đượcsửdụngsớmnhấttrongtácphẩm“Hònđámàitrítuệ”củaReked.Thếnhưngdấu“=”mãiđếnthếkỉXVIIImớiđượcphổbiếnrộngrãi.

Từkhoá:Kíhiệuphéptínhsốhọc.

147.Sốπđượctínhnhưthếnào?Sốpi(π)làgì?

Sốpilàtỉsốgiữachuvivòngtrònvớiđườngkính.Chodùvòngtròncótođếnmấythìtỉsốnàyvẫnnhưvậy,nênđólàmộthằngsố.Trongtoánhọcngườitagọilàsốpi.πlàchữcáiđầutiêntrongtừchuvicủatiếngHyLạp.

Trongcuộcsốnghàngngày,tronghoạtđộngsảnxuất,sốπđượcsửdụngrấtrộngrãivàcũnglàmộtsốrấtđặcbiệt.

Nhưnggiátrịcủasốπbằngbaonhiêu?

Từxưađếnnay,khôngbiếtcóbaonhiêunhàtoánhọcđãlaotâmkhổtứđểtínhsốπvàtínhgiátrịsốπngàycàngchínhxáchơn.Nóichungđểtínhsốπngườitalợidụngchuvicủacácđagiácđềunộitiếphoặcngoạitiếpvòngtrònđểthaythếgầnđúngchuvicủavòngtròn.Banđầungườitachorằngcóthểtínhđượcđếncùngtoànbộgiátrịcủasốπ.Thếnhưngtínhđitínhlại,càngtínhlạicàngthấykhôngthểtínhđượcđếncùng.MãiđếnthếkỉthứXIX,nhàtoánhọcĐứcLindeman(1882)mớichứngminhđượcsốπlàsốvôtỉ(sốthập

phânvôhạn,khôngtuầnhoàn)theomộtquytắcnhấtđịnhcóthểtínhđếnvôhạn,khônggiốngnhưphânsốnhư1/3,tuylà“vôtận”nhưnglạiđơngiản.Dướiđâychúngtasẽxemxétcốnghiếncủacácnhàtoánhọcvềcáchtínhsốπ.

TừxaxưaởTrungQuốcđãcócâu“chuviba,đườngkínhmột”(tứcπ=3).Ngaytừnăm100trướcCôngnguyên(vàothờiTâyHán)trongsách“Chubìtoánkinh”đãcónóivềvấnđềnày.ĐếnthờiĐôngHán,nhàtoánhọc,thiênvănhọcTrươngHoành(năm78-139)đãdùngmộtsốkìdiệulàcănbậchaicủasố10làmsốπ(√10=3,16).Đâylàconsốrấtdễnhớ.VàothờiNguỵ-Tấn,nhàtoánhọcLưuHuy,vàonăm263trongtácphẩm“Sáchtoánchínchương”đãchỉrarằng“Chuviba,đườngkínhmột”chỉlàtỉsốgiữachuvicủahìnhlụcgiácđềunộitiếptrongvòngtrònvớiđườngkínhcủavòngtròn,dođóchỉcóthểdùngđểtínhdiệntíchcủahìnhđagiácđều12cạnhnộitiếptrongvòngtròn.Đểtínhđượcdiệntíchhìnhtrònchínhxáchơn,ôngđãsángtạophươngphápcắtnhỏvòngtròn.Dùngphươngphápchianhỏvòngtrònôngđãtínhdiệntíchcủahình192cạnhđềunộitiếptrongvòngtrònvàtìmđượcsốπ=157/30=3,14.VềsauLưuHuylạitiếptụctínhdiệntíchcủahìnhđagiác3072cạnhđềunộitiếptrongvòngtrònvàtínhđượcsốπđếnđộchínhxácπ=3927/1250=3,1416.LưuHuyđãdùngphươngpháptínhdiệntíchcủacácđagiácđềunộitiếptrongvòngtrònđểtìmgiátrịgầnđúngdiệntíchcủahìnhtrònchínhlàquanniệmgiớihạn,mộtsángtạorấtlớntrongtoánhọc.

ThànhtíchtínhsốπrựcrỡhơnlàcủaTổXungChithờiNam-BắcTriều(năm429-500).Ôngđãtínhđượcsốπlàsốởgiữahaisố3,1415925và3,1415927,khônghềcóchữsốnàosai.Đâychínhlàsốπvớibảysốlẻđầutiêntrênthếgiới.ThànhquảnàycủaTổXungChiđượcghitrongsách“Xuyếtthuật”.VềsauTổXungChicònđưarahaigiátrịsốπkhácviếtdướidạngphânsốđólà“ướcsố”π=22/7=3,14và“mậtsố”π=355/113=3,1415929.ướcsốchínhbằngsốπdoArchimède,nhàtoánhọcHyLạpđãtínhratrướcđó.ThếnhưngmậtsốthìmãiđếnthếkỉXVImớiđượcxuấthiệnởChâuÂudonhàtoánhọcPhápOtto(1550-1605)vànhàtoánhọcHàLanAntoniss(1527-1607)tínhra.SovớiTổXungChithìmuộnhơnđếnhơn1000năm.HiệnnaycómộtdãynúiởphíasauMặtTrăngđượcđặttênlàTổXungChiđểtỏlòngngưỡngmộcủathếgiớiđốivớiông.

TừsauthếkỉXV,khoahọckĩthuậtởChâuÂupháttriểnhếtsứcmạnhmẽ.Cácnhànghiêncứuvềcầuphương(tìmmộthìnhvuôngcódiệntíchtươngđươngvớihìnhtròn)ngàycàngnhiều,nhờvậygiátrịsốπngàycàngđượctínhchínhxáchơn.Ngườitachorằngsốπcàngtínhđượcvớinhiềusốlẻchừngnàothìcàngquí.PhátminhnàyđãđượcnhàtoánhọcĐứcRudolph(1540-1610)tínhra.Quaviệctínhchuvicủahình262cạnhđềunộitiếp,ôngđãtínhrasốπvới35sốlẻ,quakiểmtracủanhàtoánhọckhôngcóchữsốnàobịsai.Ôngthấyrấttựhàovàđểlạidichúckhắc35chữsốnàylênbiamộcủaông.VìvậychođếnnaycóngườiĐứcvẫngọisốπlà“sốRudolph”.

TừsauthếkỉXVII,vớisựpháttriểnvàhoànthiệncủaphéptínhviphân,tíchphân,cáchtínhsốπcósựthayđổivềbảnchất.Từviệctínhsốπdựavàotínhđộdàicủacáchìnhnhiềucạnhđểchuyểnsangviệctínhtổngcácchuỗisốgiảmdần.Đâylàphươngpháptínhtoándựavàokhaitriểntheocấpsốcủacáchàmlượnggiácngược.

Vídụ:Hàmarctan

(|x|≤1)

Vàchúrằngarctan1=π/4.Trongcôngthứctrênnếu

x=1tasẽthuđượccôngthứcLeibnitz

Đâylàcáchdùngchuỗisốvôhạnđểtínhsốπđơngiảnnhất,nhưngrấtkhótínhtoánvìcácsốhạnggiảmdầnvớitốcđộrấtnhỏ,chodùdùngsốcácsốhạngcủachuỗiđếnrấtlớn.Dovậyngườitađãkhôngngừngđisâutìmcáchàmsốlượnggiácngượccóthểtìmđượccôngthứctínhsốπhữuhiệunhất.Vídụcáccôngthức.

Nhờcácthànhquảcủaphéptínhviphân,tíchphân,việctínhsốπđãbướcvàothờikìmới.Sốcácconsốlẻsaudấuphảyđượctăngrấtnhanh:Vàonăm1706đạtđến100chữsố(Martin),năm1794đến140chữsố(Weija),năm1824đến152chữsố(Rutherford),năm1844đạtđến205chữsố(Daize),năm1853đến400chữsố(Rutherford),năm1855đãđến500chữsố(Leibauder).KỉlụcvềsốπởcuốithếkỉXIXdomộtnhàtoánhọcAnhW.Schankscó707chữsốthậpphân,tínhvàcôngbốvàonăm1874.Điềucầnchúýlàsốπdoôngtínhđượcchỉchínhxácđếnchữsố528,còncácchữsốphíasauthìsai.Đếnnăm1947sốπđượctínhđến808chữsốlẻ(Fuchlin).Đólàkỉlụccaonhấtđượcghilạitrướckhimáytínhđiệntửrađời.

Từkhixuấthiệnmáytínhđiệntử,việcdùngmáytínhđiệntửđãlàmchosốchữsốlẻthậpphâncủasốπtăngnhanhvớitốcđộkinhngười.Ngaytừnăm1949đãcóngườitrongvòngmộtngàyđêmđãtínhđượcsốπvới2048chữsốlẻ(trongđócó2037chữsốchínhxác);đếnnăm1967,sốπđãcó50vạnchữsố,năm1988đạtđến200triệuchữsố,năm1989đến1tỉchữsố.

Việctínhsốπđếnđộchínhxácnhưvậythìtổtiêncủachúngtathậtkhómànghĩtớivàvượtramọikhuônkhổchocácứngdựngvàothựctiễn.Cáctínhtoánnhưthếnàychứngtỏtínhkìlạcủasốπ,khôngphảiđểchứngtỏkhảnăngcủamáytính.

Từkhoá:Sốπ;Thuậtchiavòngtròn;LưuHuy;TổXungChi;Cấpsố.

148.Giảithưởngquốctếvềtoánhọclàgì?

Nobellàgiảithưởngkhoahọckĩthuậtquốctếdanhvọnglớnnhấtthếgiới.ĐâylàgiảithưởngđượcNobel,nhàhoáhọclừngdanhđemmộtphầndisảncủamìnhlàmvốnđểthiếtlậpgiải.CáchạngmụccủagiảiNobelkhôngít,baogồmnhiềungành:Vậtlí,hoáhọc,sinhlíhọchoặcyhọc,vănhọc,sựnghiệphoàbình,kinhtếhọcv.v...nhưngkhôngcógiảidànhchotoánhọc.

TrongtoánhọccũngcógiảithưởngquốctếdànhchocácnhàtoánhọcưutúdonhàtoánhọcFieldsđặtra.

FieldslànhàtoánhọcCanada,sinhnăm1863,mấtnăm1932.Vềmặthọcthuật,Fieldskhôngcócốnghiếngìđộtxuấtnhưngônglànhàtổchứcnghiêncứutoánhọcgiỏi,cóuytínlớntronggiớikhoahọc.Năm1924,trongmộthộinghịkhoahọctổchứcởToronto,Fieldsđãkiếnnghịđạihộitríchkinhphíđểlậpnênmộtgiảithưởngtoánhọc.Khiquađờiôngđãdichúcđểlạigiasảnlàmphầntiềnvốnlàmcơsởcấpcácgiảithưởng.Fieldscũngkiếnnghịkhônglấytêncủabấtkìtổchức,cơcấunhànướchoặccánhânđặttênchogiảithưởngkhoahọcnày.Thếnhưngđạihộicủacácnhàtoánhọcthếgiớiquyếtđịnhđặttênchogiảithưởngnàylà“giảithưởngFields”đểghinhớcônglaocủaông.

Vàonăm1936,tạiĐạihộiQuốctếCácnhàtoánhọclầnthứ10ởAuslin,giảithưởngFieldsđầutiênđượctraochocácnhàtoánhọctrẻquốctịchMỹgốcPhầnLanAlfusvànhàtoánhọcMỹTocaras.TừđóvềsaucứmỗilầnđạihộicácnhàtoánhọcquốctếthìhạngmụcđầutiênlàviệcxéttặnggiảithưởngFields.Đốivớigiớitoánhọcquốctếnhữngngườiđượctặnggiảithườngcóuytínrấtcao,đượcgiớibáochíchămsóc,theodõiquantâm.ChođếnnaygiảithưởngFieldsđượccôngnhậnlàgiảithưởngkhoahọccódanhtiếngcao,cóngườicònchođóchínhlà“giảiNobelchogiớitoánhọc”.

ChođếnnayđãcómấychụcngườiđượctặnggiảithưởngFields.NhàtoánhọcquốctịchMỹgốcHoaKhưuThànhĐồnglàmộttrongnhữngngườiđó:KhưuThànhĐồngsinhraởtỉnhQuảngĐôngnăm1949,sauđótheogiađìnhdicưsangHồngCông.Năm1965thivào

trườngĐạihọc,khoatoánhệtrungvăn.Họcđếnnămthứba,tàinăngtoánhọccủaKhưuThànhĐồngđượcnhàtoánhọcnổitiếngTrầnTĩnhThânpháthiện.VềsauKhưuThànhĐồngtheoTrầnTĩnhThânđếnbangCalifornialàmnghiêncứusinhtạitrườngĐạihọcBerkeley.DướisựbồidưỡngcủaTrầnTĩnhThân,KhưuThànhĐồngtiếnbộrấtnhanh,năm22tuổinhậnhọcvịtiếnsĩ,năm28tuổiđượcphonghọchàmgiáosư.Donhữngthànhtíchxuấtsắccủamình,năm1978,tạiĐạihộiCácnhàtoánhọcquốctế,KhưuThànhĐồngđượcmờiđọcmộtbáocáokhoahọctrongmộtgiờ.Năm1981,ôngđượcnhậngiảithưởngPhạmHiLuân;năm1982,ôngđãđượctặnggiảithưởngFields.

NgoàigiảiFields,giớitoánhọccòncógiảithưởngWolf.Vàonăm1976,WoflcùngdònghọhiếntiềncủađểlậpgiảithưởngWolf.GiảithưởngWolfcónămloại:vậtlí,hoáhọc,yhọc,nôngnghiệpvàtoánhọc.Đếnnăm1981lạithêmgiảithưởngnghệthuật.Việcxéttặnggiảithưởngdocácnhàkhoahọcnổitiếngtrênthếgiớitổchứctiếnhànhmỗinămmộtlần.Giảithưởngbắtđầuxéttặngtừnăm1978vàđếnnăm1985thìngừng.Đãcó74nhàkhoahọcđượctặnggiảithưởngWolf,trongsốđócó14nhàtoánhọc.NhàtoánhọcquốctịchMỹgốcHoaTrầnTĩnhThânđượctặnggiảithưởngWolfvàonăm1984.

Từkhoá:GiảithưởngFields,giảithưởngWolf.

149.Cuộcthitoánrađờitừbaogiờ?Nhữngngườiyêuthíchtoánhọcđềubiếtcáccuộcthitoánhọc.

Thếnhưngcácbạncóbiếtcáccuộcthitoánbắtđầutừbaogiờkhông?

ỞTrungQuốccáccuộcthitoánbắtđầutừnăm1956.Bấygiờchínhlàlúcbắtđầuthựchiệnkếhoạch5nămlầnthứnhất(1953-1957).Nhànướchếtsứccoitrọngvănhoá-khoahọc,vàđưarakhẩuhiệu“tiếnquânvàokhoahọckĩthuật”.

DướisựlãnhđạocủanhàtoánhọclãothànhHoaLaCanh,ởhaithànhphốBắcKinh,ThượngHảibắtđầucócáchoạtđộngtriểnkhaicuộcthi.Bấygiờquymôcáccuộcthikhônglớn,chỉtổchứcchocáchọcsinhcấpbathamgia.NgườiđạtgiảinhấttrongcuộcthinămđólàUôngGiaCangmộthọcsinhtrườngphổthôngcấpbaThượngHải.HiệnnayUôngGiaCanglàgiáosưtrườngĐạihọcCơLíHoaĐông,làchuyêngiavềxácsuấtvàthốngkê.

Trênphạmvithếgiới,nơitổchứccuộcthitoánsớmnhấtlàHungari.Từnăm1894,ởHungariđãbắtđầucáccuộcthitoánchođếnnayđãhơn100năm.ChínhnhờcáccuộcthitoánnàymàởHungariđãxuấthiệnnhiềunhàtoánhọcưutú,Hungarinhờđótrởthànhcườngquốcvềtoánhọc.

CácbiệnphápthựchiệncủaHungariđượcnhiềunướckháccoitrọng,nhiềuquốcgiacũngtheobướcHunggarimởcáccuộcthitoán:

Tênnước NămRumania 1902LiênXô 1934Bungari 1949

BaLan 1950Tiệpkhắc(naylànướcCộnghòaSecvàSlovai) 1951TrungQuốc 1956CộnghòadânchủĐức(trướcđây) 1961ViệtNam 1962NamTư 1962HàLan 1962MôngCổ 1963Anh 1965PhầnLan 1965Israel 1968Canađa 1969CộnghòaLiênbangĐức(trướcđây) 1970Ôxtraylia 1971Mỹ 1972

Từnăm1959ởmộtsốnướcĐôngÂubắtđầucáccuộcthitoánquốctế(thitoánquốctếOlympic),đếnnăm1960cuộcthimởrộngđếncácnướcphươngTây.

Trênđâychúngtavừanóiđếncáccuộcthitoántổchứcchocáchọcsinhtrunghọcphổthông.Ngàynayquymôcáccuộcthitoánngàycàngmởrộngchonhiềubậchọctừhọcsinhtiểuhọc,phổthôngcơsở,chocáccuộcthichuyêntoán.ỞTrungQuốccócuộcthitoánmangtên“CuộcthiHoaLaCanh”nổitiếng.

Ngườitacũngđãtổchứccuộcthitoánchocácsinhviênnhữngnămđầubậcđạihọc.VídụnhưcuộcthiPudnanbắtđầuởMỹnăm1938.PudnanlàhiệutrưởngtrườngĐạihọcHarvardnướcMỹ,kinhphíchocuộcthilàdoPudnancungcấp.

Cáccuộcthiđãđàotạokhôngítnhântài,đâylàđiềuđượcmọingườinhấttrícôngnhận.Đươngnhiênkhôngphảibấtcứngườinàođạtgiảithưởngcũngđềucócácthànhtựuxuấtsắctrongtươnglai,ởđâycóthểdokhôngítnguyênnhânkháchquan,nhưngcũngnóilênmộtđiềulàkhôngphảimọiđềtoánchocuộcthihẳnđãđođượctoànbộnănglựcđểcóthểthànhtài.

Từkhoá:Cáccuộcthitoán.

150.Vìsaomôntoánđượctấtcảcácnướctrênthếgiớichọnlàmmônhọc

chínhởbậcphổthông?Trongchươngtrìnhhọccủabậchọcphổthông,toán,vănvà

ngoạingữđượcxemlàbamônhọcchính.Trongcácnămhọctừcấpmộtđếncấpba,nămnàocũngcómôntoán.Vìsaoởtấtcảcácnước,môntoánđượcxemlàmônhọcchínhởcácnămhọcởbậcphổthông?

Trướchếtphảinóitoán,vănvàngoạingữcũngđềulàtiếngnói.Toánhọccũnglàtiếngnói.Toánhọcdùngcáckíhiệu,chữsố,côngthức,hìnhvẽ,kháiniệm,mệnhđềvàluậnchứngcùngcácthủthuậtđãdiễntảhếtsứcchínhxácvềthếgiớitrongmốiquanhệvềsốlượngcũngnhưmốiquanhệvịtrítrongkhônggian.Khônghiểutoánhọc,khôngthểlígiảimọivấnđềkhoahọc.

Mặtkhác,toánhọcgiúpngườitanănglựctưduy.Nếunóingônngữlàphươngthứcđểbiểudiễntìnhcảm,nguyệnvọng,ýchítưduybằnghìnhtượng,thìtoánhọcgiúpngườitatưduybằngcáchkháiquáttrừutượng,suyđoánbằnglíluận.Tưduytoánhọccótínhchất1là1mà2là2,hếtsứcchínhxáckhôngcólầmlẫn,vìvậytoánhọcbồidưỡngnănglựctưduycủaconngườitahếtsứccóhiệuquả.

Cuốicùngtoánhọccóphạmviứngdụnghếtsứcrộngrãi.Từviệcnhỏnhưtínhtoánđểmuahànghoáchođếnviệclớnnhưthiếtkếcáchìnhdángtênlửa,điềukhiểncácvệtinhnhântạov.v...đềuphảisửdụngtoánhọc.

Vìvậytấtcảchúngtađãhọctoántừbé.

Từkhoá:Toánhọc.

CácnhàkhoahọcnhậnđượcgiảithưởngNobelthuộcnhiềulĩnhvực:Vậtlí,hoáhọc,yhọc,kinhtếhọcv.v..thếnhưngkhôngcógiảiNobelchotoánhọc.Lídotạisaothìchođếnnayngườitavẫnchưabiết.CóngườidựđoánNobelchorằngtoánhọcvàcáckhoahọccónhiềuđiểmkhácnhau:khoahọcnghiêncứuhiệnthựckháchquan,quansátđượcchínhxáccáchìnhtháicủasựvật,còntoánhọcnghiêncứucácconsố,cáchình,cáckháiniệmtrừutượngvàhaibênrõrànglàcónhiềukhácbiệt.

Đươngnhiênđóchỉhoàntoànlàcácdựđoán.

Tuynhiên,toánhọclàcôngcụnghiêncứukhoahọccónănglựcrấtmạnh,nhiềuthànhquảtrọngđạitrongkhoahọcchủyếudựavàotoánhọcmàtìmra,vìvậycónhiềunhàtoánhọcđãnhậngiảithưởng

Nobel.VídụnhàtoánhọcnổitiếngcủaLiênXôtrướcđâyKantorovitchnhờphươngphápquyhoạchtuyếntínhđãnhậnđượcgiảithưởngNobelvềkinhtếnăm1971.NhàtoánhọcAmahevàHounsfieldđãdùngphươngpháptoánhọchoànthànhkĩthuậtcắtlớpcócốnghiếntolớntrongchẩnđoányhọcnênđãnhậnđượcgiảiNobelyhọcnăm1979.HoftonđãdùngphươngpháptoánhọctrongnghiêncứucấutrúctinhthểvàđãnhậnđượcgiảithưởngNobelhoáhọcnăm1985.

Dođócóthểthấytoánhọcvàkhoahọclàkhôngthểtáchrờinhauđược.Muốnđạtđượcthànhtíchkiệtxuấttrongkhoahọckhôngthểthiếucôngcụtoánhọc.

Khicòntrẻtuổinêncốgắnghọctốttoánđểlàmcơsởchắcchắnchotươnglai.

Từkhoá:GiảithưởngNobel;Nhàtoánhọc;Toánhọc.

Từkhixãhộiloàingườichuyểntừchếđộmẫuhệsangchếđộphụhệ,cácnướctrênthếgiớithịnhhànhtâmlí“namgiớilàcaoquí,nữgiớilàthấphèn”,“trọngnamkhinhnữ”.Ngườiphụnữkhôngcóđịavịcaotrongxãhội,dođócóítcácnhàkhoahọcnữ.

Docôngcuộccảicách“bìnhđẳngnamnữ”từcuốithếkỉXIXvàđầuthếkỉXXtìnhhìnhcóthayđổichútít.NhàbáchọcnữBaLanMarieCuriehailầnnhậnđượcgiảithưởngNobel;mộtgiảivềvậtlí,mộtgiảihoáhọc.NhànữvậtlíTrungQuốcNgôKiênHùnglàhộitrưởngđầutiêncủahộivậtlíMỹ.Họlàđạibiểuchocácnhàkhoahọcnữkiệtxuất.Nhiềunữthanhniênđãlấyhọlàmtấmgươngchobướcđườngkhoahọccủamình.

Cácnhàbáchọcnữthuộccácngànhvậtlí,hoáhọc,yhọcv.v...đãđạtđượcnhữngthànhtựutươngđốilớn,nhưngtronglĩnhvựctoánhọcthìthànhtựucủacácnhàkhoahọcnữvẫncònkháít.Điềuđóliênquanđếnsựkìthịcủagiớitoánhọcđốivớinữgiới.NữgiáosưtoánhọcđầutiêntrênthếgiớilànhàtoánhọcnữngườiNga

Kovalevkaia.ThếnhưngbàđãkhôngtìmđượcviệclàmởNga,vềsau,vàonăm1889trởthànhgiáosưtrườngĐạihọcKalma,ThuỵĐiển.VàothếkỉXXcónhànữtoánhọcvĩđạiNoetherngườiĐức,làngườiđãđặtcơsởchomônđạisốtrừutượng.NhưngbàchỉđượclàgiảngviêntrườngĐạihọcGottingenchứkhôngđượclàgiáosư.

SauĐạichiếnthếgiớithứhai,tìnhhìnhđãcónhiềuthayđổiRobinsonđượcbầulàmHộitrưởngHộitoánhọccủaMỹ.GiáosưHồHoàSinhlànữviệnsĩđầutiêncủaViệnhànlâmkhoahọcTrungQuốc.Năm1998,ởMỹcó1216tiếnsĩtoánhọc,trongđócó919ngườilànamgiớicònlại297lànữgiới,sốnữtiếnsĩtoánhọcchiếmtỉlệ1/4.

Theocácnghiêncứugiáodụcchứngminhrằngkhảnăngvềtoánhọccủanữgiớikhôngcógìkhácbiệtsovớinamgiới.Việcchorằngnữgiớikhônghợpvớitoánhọchoàntoànkhôngcócăncứ.Chonêncóthểdựđoántuỳtheosựtiếnbộxãhộivàquanniệmnamnữbìnhđẳng,trongtươnglaisốcácnhàtoánhọcnữsẽkhônghềthuakémsốcácnhàtoánhọcnam.

Từkhoá:Cácnhàkhoahọc.

Cócâuchuyệnvuicòntruyềnlại.Ngàyxưacómộtphúôngmờithầygiáovềdạychoconhọcchữ.Ngàythứnhấtthầydạychocậuhọcsinhviếtchữ“nhất”(-)làmột(cómộtnétgạchngang).Ngàythứhaithầydạycậubéviếtchữ“nhị”(=)làhai(cóhainétgạchngang).Ngàythứbathầydạycậubéviếtchữ“tam”(≡)làba(cóbanétgạchngang).Cậubéliềnbáovớichalàđãhọchếtvốnliếngcủathầy.Dovậyphúôngchothầythôiviệcluôn.ítlâusau,phúôngmuốnmờicơmmộtvịkháchhọ“vạn”(cónghĩalàmộtchụcnghìn).Phúôngbảocậucontraiviếtthưmời.Kếtquảlàcậubéngồiviếttừsángđếntrưamàchưaxongcáithư.Phúôngsốtruộtliềnmởcửathưphòng(phòngđọcsách)đểxemtìnhhình.Ôngtanhìnthấytrênmặtđấtlaliệtcáctờgiấycóvẽmộtnétgạchngang.Cậubébuồnrườirượinóivớibố

“Kháchcủabốchảrasao,viếtsuốtnửangàyvẫnchưaxongđượchọVạncủaôngta.Cảchụcnghìnnétgạchngangchắccảngàyconcũngvẽchưaxong”.

Sựthựctừbuổisơkhainềnvănminhcủaloàingười,loàingườiđãtìmcáchghicácconsốbằngcáchviếtquảkhôngđơngiản,cũnggiốngnhưcậubéconnhàgiàunọviếtchữ“vạn”vậy.Cùngvớiviệccảithiệnđờisốngcủangườinguyênthủyvàsựhìnhthànhcácbộlạc,nhucầucáchoạtđộngcóquymôlớnvớimộtsốlượnglớncácđốitượngthamgialầnlượtxuấthiện.Loàingườimongtìmcáchghilạiđượccácconsốbằngcácchữsốđểbiểuthịcácsố.

NgườicổLaMãđãtìmđượcbảykíhiệuđểbiểudiễncácchữsố.VídụIbiểudiễnsố1,kíhiệuVbiểudiễnsốnăm,Xbiểudiễnsố10,Lbiểudiễnsố50,Csố100,Dbiểudiễnconsố500,Mlàsố1000.Đểviếtcácchữsốkhác,ngườitadựavàoquytắcởbêntráithìtrừ,ởbênphảithìcộngmàviếtcácsốphứchợp.Vídụvớisốcóhaichữsố,chữsốbênphảicógiátrịnhỏhơnchữsốbêntrái,thìsốthuđượcsẽlàtổnggiátrịhaichữsốcộnglại.Nếungượclại,chữsốbênphảicógiátrịlớnhơnchữsốbêntrái,thìsốphứchợpsẽlàhiệucủasốlớntrừsốnhỏ.VídụvớichữsốLaMãMCCXLchínhlàsố1240.NgườicổAiCậpdùngcáchviếtlặplạitheothứtựnhấtđịnhđểghisố.Vídụsố1241viếttheocáchcủangườiAiCậpcổlà theoquytắctừphảisangtráicủacáckíhiệu“gặp10thêm1”làtiếpcậnvớicáchghisốhiệnđại“đếmtheohệcơsố10”.CáchghisốcủangườiAiCậpquảlàđộcđáo,thếnhưngchưađủtiệnlợi.Vớicáchghinày,vớicácconsốcànglớnthìviếtcácdãykíhiệucàngdài.Liệucóphươngphápghisốnàođơngiảnhơnkhông?

Đươngnhiênlàcó,ướcvàokhoảngnăm770-221trướcCôngnguyêntứclàvàothờiXuânThu-ChiếnQuốcxuấthiệnphươngphápghisốbằngcácquetính.Quetínhlàloạicôngcụbằngtre,dùngđểghisốvàtínhtoán,cócôngdụnggiốngnhưbàntính.Phươngphápghisốtheovịtrícácchữsốlàýnghĩasốđơnvị,hàngchục,hàngtrăm,hàngngàn,hàngvạn...củacácchữsốtrongconsốghiấnđịnhtheovịtrícácchữsốtrongsốghi.CáchbiểudiễnmộtsốcónhiềuchữsốgiốngnhưcáchghibằngcácchữsốArậphiệntại,vịtrícácchữsốđượcsắpxếptừphảisangtrái.Cóhaicáchghisốbằngquetínhdọcvàngang.Cácchữsốhàngđơnvị,hàngtrăm,hàngvạnghitheophươngthứcdọc,cácchữsốhàngchục,hàngnghìnđượcghitheo

phươngthứcngang.

Vàsố1241đượcghibằngquetínhlà

Từcáchbiểudiễnsố1241tacóthểthấycáchghisốtheovịtrícủacácchữsốcủaTrungQuốcthậtgiảntiện,khéoléo.Chỉcầnchínkíhiệukếthợpvớivịtríđãtạonêncáchghisốtiệnlợivìcóthểghiđượccácconsốlớnbấtkìchỉcầnchínkíhiệukếthợpvịtrícáckíhiệulàđủ.Phươngphápghisốnàyđượcsửdụngrộngrãitrongcáchoạtđộngsảnxuất,trongthựctiễn,đểtiếnhànhcácphéptínhcộng,trừ,nhân,chia.ĐólàcơsởđãgiúpchoTrungQuốccónềntoánhọcpháttriểnkhásớm.

Cáchghisốtheovịtrícùngvớithuốcnổ,labàn,nghềinlàcácthànhtựuxuấtsắccủanềnvănminhTrungQuốcđónggópchonhânloại.

Từkhoá:Ghisốtheovịtrí.

Tronghìnhhọcphẳngcóđịnhlínổitiếng:Trongmộttamgiác

vuôngtổngbìnhphươngcáccạnhcủagócvuôngbằngbìnhphươngcạnhhuyền.

ChotamgiácABC(nhưhìnhvẽ)gócC=90o.GiảsửBC=a;AC=b(a<b);AB=c,tacóa2+b2=c2.

ởphươngTâyngườitagọiđâylàđịnhlíPithagore,cònởTrungQuốcngườitagọilà“Địnhlítamgiác”.Vìsaovậy?

NguyênnhânlàởphươngTâyngườitachorằngđịnhlínàyđượcPitagophátminhvàokhoảng500nămtrướcCôngnguyên,sớmhơnởTrungQuốc.ThếnhưngởTrungQuốctrongsách“Chubìtoánkinh”đãghilạicâuchuyệntraođổigiữaChuCôngvàThươngDaotrongđócónêubậtmốitươngquangiữabacạnhmộttamgiácvuôngtỉlệvớibasố:a:b:c=3:4:5(nhưhìnhvẽ).MàChuCôngvàThươngDaolàvàokhoảngthếkỉXIItrướcCôngnguyên,sovớiPithagorethìsớmhơnnhiều.DođóđãcónhiềungườiTrungQuốcgọiđịnhlíPitagolàđịnhlítamgiácthaychotênđịnhlíPitago.

Từkhoá:ĐịnhlíPitago,địnhlítamgiác.

“Cửuchươngtoánthuật”(“Sáchtoánchínchương”)làbộsáchtoáncổcủaTrungQuốc.BộsáchrađờivàođầunhàĐôngHán(khoảngtừnăm50-100sauCôngnguyên).BộsáchnàydựavàocơsởcủasáchtoántừđờinhàTầncòntruyềnlại,đượcsửachữavàthốngnhấtđểđápứngđượcnhữngnhucầucủaxãhộithờibấygiờ.Trongsáchtậphợp246vấnđềtoánhọcvàcácgiảiphápchocácvấnđềđó.Bộsáchđượcxếpthành9chươngliênquanđến9vấnđề:1.Phươngđiền(haycòngọilàruộngđất:trìnhbàybốnphéptínhphânsố,cáchtínhdiệntíchcáchìnhphẳng).2.Tômễ(hạtngô:trìnhbàycáchchiavàtraođổilươngthực);3.Chianhỏ(trìnhbàyphéptínhtỉ

lệ).4.Thiếuquảng(trìnhbàyphéptínhkhaicănbậchaivàbậcba).5.Phươngcông(cáchtínhthểtíchcáchình).6.Cácbàitoánvềquảnlívàvậnchuyểnlươngthực.7.Thừavàthiếu(vềphéptínhchiacósốdư);8.Phươngtrình;9.Địnhlítamgiác.

Nhưvậytrong“Sáchtoánchínchương”đềcậpđếnnhiềulĩnhvựctoánhọcnhưcáchgiảitoán(thuậttoán),hìnhhọc,đạisố.

Vềphươngdiệnthuậttoántrongsáchtrìnhbàycóhệthốngcácphéptínhphânsố,phéptínhtỉlệ,cácphéptínhchiacósốdư.

Vềphươngdiệnhìnhhọctrong“Sáchtoánchínchương”chútrọngcáchtínhdiệntíchcáchìnhtamgiác,hìnhthang,hìnhtròn,hìnhxuyến,diệntíchcácquạttròn,cũngnhưcáchtínhthểtíchcáchìnhthườnggặp(hìnhtrụcácloại,hìnhchóp,hìnhlăngtrụvàứngdụngđịnhlítamgiác).

Vềphươngdiệnđạisốtrongsáchcóđềcậpđếnsốdương,sốâm,phépnânglênbìnhphương,lậpphương,khaicănbậchai,bậcbavàphươngphápgiảihệphươngtrìnhbậcnhất.

“Sáchtoánchínchương”đãtậphợpđượcnhiềuthànhtựutoánhọcthờiđó.Cónhiềunộidungđượcsáchđềcậpđầutiêntrênthếgiới.VìvậysáchkhôngchỉlàtranghuyhoàngtronglịchsửtoánhọcTrungQuốcthờicổmàcònlàviênngọcquítrongdisảntoánhọcthếgiới.“Sáchtoánchínchương”cóảnhhưởnglớnchohậuthế.Trảiquagần2000năm,“Sáchtoánchínchương”đãnhiềulầnđượcdịch,giảithích,truyềnbá.NhàtoánhọclớnthờiNguỵTấnlàLưuHuyđãgiảithíchvề“Sáchtoánchínchương”.LưuHuyđãpháthiệnnhiềuđiểmtinhtuýcủatoánhọc.NhữngsáchtoáncủaTrungQuốctrướcthếkỉXVIthườngđượckhaitháctừ“Sáchtoánchínchương”.

Từkhoá:Sáchtoánchínchương.

Vàonăm332trướcCôngnguyên,quốcvươngMaxeđoanAlexandređạiđếchínhphụcAiCậpvàđãxâydựngthànhphốlớn

AlexandriatrêncửasôngNin.Thànhphốnàypháttriểnnhanhchóngtrởthànhtrungtâmhọcthuậtquantrọng.

Vàokhoảng300nămtrướcCôngNguyên,đôngđảocáchọcgiảtậphợptạiAlexandre,trongsốđócóEuclide.BấygiờôngđãlậpmộttrườnghọcdạytoántạiAlexandria.NgườitabiếtrấtítvềcuộcsốngcủaEuclidetrongthờigiantrướckhiôngđếnAlexandria.HìnhnhưôngđãtiếpthuhọcvấntừnhàhiềntriếtPlaton.Euclidecóảnhhưởngsâurộngtrongtoánhọc.Mãichođếnngàynay,têntuổicủaEuclidevẫnđượccácnhàtoánhọcnhắcđếnthườngxuyên.

DanhtiếngcủaEucliderấthiểnháchchủyếudotácphẩm“Nguyênlí”củaông.Tácphẩm“Nguyênlí”làmộtbộsáchđồsộ,toànbộsáchcó15quyểnđềcậpđếnhìnhhọcphẳng,hìnhhọckhônggianvàphầnlớnnộidungcủalíthuyếtvềsố.TuynhiêntrongsốnhiềuđịnhlíchỉcómộtphầnlàkếtquảcủaEuclide.NhưngcônglaolớnnhấtcủaEuclidelàôngđãđưaracáctiênđềvàcácdẫngiảivềcáctiênđềđó.Ôngđãthànhcôngtrongviệcbiếncáclíluậntoánhọctảnmạn,từcáccơsởgiảđịnhthànhcáckếtluậnchặtchẽ.Ngàynayphươngpháptiênđềđượcứngdụngrộngrãitrongnhiềungànhtoánhọchiệnđạinhưtopo,đạisốtrừutượng.Trongcáclĩnhvựctoánhọcnày,trướctiênngườitađưaratiênđề,sauđódiễngiảicáctiênđềđểđiđếnxâydựngcáclíthuyếttuyệtđẹp.

Tácphẩm“Nguyênlí”cóảnhhưởngsâusắcđốivớinềntưtưởngphươngTây.Từthếhệnàyđếnthếhệkhác,từthếkỉnàyđếnthếkỉkhácngườitađãnghiêncứu,phântích,giảithíchnộidungcủasáchmãichođếnngàynay.CóngườichorằngnềnvănminhChâuÂuchỉcó“Kinhthánh”mớisánhđượcvới“Nguyênlí”.

Tácphẩm“Nguyênlí”đượcđưavàoTrungQuốcdonhàkhoahọcTừQuangKhảivàocuốiđờinhàMinh.TừQuangKhải(1562-1633)tựlàTửQuang,ngườithuộckhuNgôTùngthànhphốThượngHải.KhoảngtriềuvuaVạnLịchnhàMinhnăm1597đỗcửnhân,đỗtiếnsĩnăm1604.TrongtriềuvuaSùngTrinhđãquacácchứcquanThượngthưbộLễ,HànLâmviệnhọcsĩ,Đôngcáchọcsĩ,cuốicùngđếnnăm1632làVăncácĐạihọcsĩ.Ôngcócáccốnghiếntolớntrongviệctăngcườngquốcphòng,pháttriểnnôngnghiệp,chấnhưngthuỷlợi,cảitiếnlịchpháp.ÔngđãkhôngtiếcsứcdunhậptoánhọcvàlịchphápTâyphươngvàoTrungQuốc.KhiôngđãquenbiếtnhàtruyềngiáoItaliaLimadou,ôngquyếtđịnhphiêndịchcáctácphẩmkhoahọc

phươngTây.Limadouchủtrươngtrướchếtdịchcáctácphẩmvềlịchpháp,thiênvănchonhàvuathưởngthức.NhưngTừQuangKhảivẫnkiêntrìthứtựtheologictrướchếtphảidịch“Nguyênlí”.TừQuangKhảivàLimadouđặttênchobảndịch“Nguyênlí”raTrungvănlà“Nguyênlíhìnhhọc”.Đếnnăm1606đãdịchxong6quyển,đếnnăm1607invàpháthànhtạiBắcKinh.

Cùngvớiviệcphiêndịch,TừQuangKhảiđãbìnhgiảivàgiớithiệutácphẩm“Nguyênlíhìnhhọc”.Trongtácphẩm“Nguyênlíhìnhhọcgiảnggiải”ôngđãnói“đốivớiquyểnsáchnàycầncóbốnkhông:khôngnghingờ,khôngdấugiếm,khôngthửnghiệm,khôngthayđổi,hoàntoàntuyệtđốichínhxác”.Do“tínhlôgic”của“Nguyênlíhìnhhọc”rấtchặtchẽnênTừQuangKhảicònnói:Sáchnàycóbốncáikhôngthểđượctứclàbốncáikhôngthể:Khôngthểbỏsótmộtchữ,khôngthểcósailầm,khôngthểbỏđimộtđoạn,khôngthểđảolộnthứtựtrướcsau.NhữnglờibìnhluậnnhưthếvềhìnhhọcởTrungQuốccáchđây400nămthựclàđiềukhôngdễdàng.

CốnghiếncủaTừQuangKhảivàLimadoutrongbảndịch“Nguyênlíhìnhhọc”làhếtsứcvĩđạikhiđãđịnhranộidungkhoahọc“HìnhhọccủaNguyênlí”,dịchđúngthuậtngữ“Hìnhhọc”chotácphẩm.“Hìnhhọc”làdịchtừthuậtngữ“Geometrie”.Trongbảndịch,TừQuangKhảivàLimadoudịch“geo”thành“kỉhà”làhìnhhọcđểdịchgeometriequảlàchínhxác,thầntình.Trongkỉhàhọccácthuậtngữđiểm,đường,đườngthẳng,đườngsongsong,góc,tamgiác,hìnhbốncạnhđềuđượcdịchratừnguyênbản.TấtcảcácthuậtngữnàyđượclưutruyềnđếnngàynayởcácnướcphươngĐôngnhưNhậtBản,ViệtNamv.v...vàcóảnhhưởngsâuxa.

TừQuangKhảiyêucầudịchtoànbộ“Nguyênlíhìnhhọc”nhưngLimadouchorằngthếlàđủvàđãdừnglại.Dođó9quyểnsáchcuốicủa“Nguyênlíhìnhhọc”mãihơn200nămsaumớiđượcdịchra.DonhàtoánhọcnhàThanhlàLýThiệnLanvàngườiAnhlàWiliahợptáchoànthành.LýThiệnLan(1811-1882)tựNhâmThúc,hiệuThuNhẫn,ngườiHảiNinhtỉnhTriếtGiang,ngaytừnhỏđãyêuthíchtoánhọc.Năm1852,saukhiđếnThượngHải,LýThiệnLanđãcùngvớiWiliatiếptụchoànthànhsựnghiệpcủaTừQuangKhảivàLimadou.Đếnnăm1856đãhoànthànhmọicôngviệc.BấygiờtácphẩmvĩđạicủaEuclideđãđượcdunhậpđầyđủvàoTrungQuốc,cótácdụngquantrọngđốivớisựpháttriểntoánhọcvềsaunàycủaTrungQuốc.

Ngoàiviệcdịch“Nguyênlíhìnhhọc”LýThiệnLancònphiêndịch“Đạisốhọc”có13quyển.“LượmlặtvềĐạisố,viphân,tíchphân”có18quyểnvà“Bànvềtrời”có18quyển.Hợptácvớingườikhácđểdịch“Họcthuyếtvềtrọnglực”20quyểnvà“Đườngelip”cóbaquyển,cùngmộtlượnglớntácphẩmtoánhọckhác.Nhiềuthuậtngữtoánhọcnhưviphân,tíchphânđềudoôngđặtra.

TừQuangKhảitrongtácphẩmbìnhluận“Nguyênlíhìnhhọc”đãtừngnói“Quyểnsáchsẽgiúpíchchongườiđọcloạibỏtínhkhíxốcnổi,rènluyệntĩnhtâm,ngườiđọcsẽtìmđượccáchổnđịnh,suynghĩkhéoléonênkhôngaikhôngthểkhônghọc”.Ýnóilàđọc“Nguyênlíhìnhhọc”giúpngườitatrừbỏtínhxốcnổi,luyệnđượctậpquántĩnhtâm,theomộtphươngphápnhấtđịnhđểbồidưỡngsựkhéoléovềsuynghĩ.Vìvậymọingườitrêntoànthếgiớinênhọchìnhhọc.

HiệnnaytađangbướcvàothếkỉXXI,nhưlờiTừQuangKhảiđãnói,mọingườitrêntoànthếgiớiđềuthấyhoặcíthoặcnhiềucầnphảihọctậphìnhhọc.

Từkhoá:"Nguyênlí";Euclide;"Nguyênlíhìnhhọc";TừQuangKhải;LíThiệnLan".

SựgiaolưuvănhóagiữahainướcTrungNhậtcónguồngốctừdàilâu.ToánhọcởNhậtBảnđượcgọilàwasan,trướcđâytoànhọctừcácđiểntịchtoánhọccủaTrungQuốccổđại,đồngthờikhôngngừngpháttriểnnhữngmặtmạnhcủamình.CácsáchKỉhànguyênbản(năm1607)doTừQuangKhảivàMatteoRiccidịchvàĐạivitíchthậpcấp(năm1859)doLýThiệnLanvàAlexanderWyliedịchluônlànhữngđiểntịchchủyếuđểNhậtBảntìmhiểuvềtoánhọcPhươngTây.Chođếnnhữngnăm70củathếkỉ19,NhậtBảnvẫncòncửngườiđếnTrungQuốcthuthậpcácthưtịchtoánhọcTrungQuốcđểthamkhảo.

Nhưngtừnăm1868,sauthờiDuyTânMinhTrịcủaNhậtBản,chínhphủNhậtBảnmộtmặthọckĩthuậtcủaPhươngTâyđểpháttriểncôngnghiệp,mặtkhácvềtronggiáodụcchủtrươngphếbỏtoán

Tàu,chuyêndùngtoánTây,phổcậptoánhọcPhươngTây.Đồngthời,liêntụccửngườiđếnAnh,Đứcchuyênhọcvềtoán,đểkhivềnướctăngcườnggiảngdạytoánhọcPhươngTây.NhữngbiệnphápnàykhiếnchotrìnhđộtoánhọccủaNhậtBảnnângcaonhanhchóng.

NhìnlạiTrungQuốc,chủtrươngTrunghọcvithể,TâyhọcvidụngnhấnmạnhdùngTứthưNgũkinhcủaTrungQuốclàchính,cònkhoahọckĩthuậtcủaPhươngTây,baogồmcảtoánhọc,thìchỉlấyvềđểdùng.Khônghềcóýđịnhxếptoánhọcvàomônhọcchínhtrongtrường,lạicàngchưacóýthứcphảidùngtoánhọcđểdạythanhthiếuniên.Vìthế,tinhthầnkhoahọckhiấykhôngđượcđềcao,toánhọcPhươngTâycũngkhôngđượcphổcập.Mặtkhác,rấtnhiềutríthứccònchorằnghìnhhọc,đạisốcủaPhươngTây,TrungQuốcđãcótừthờicổxưa,nênđãkhôngbỏcôngsứchọctậpvànghiêncứu.ChínhtháiđộgiậmchântạichỗnàyđãkhiếnchotoánhọcTrungQuốckểtừsaunăm1870đãkhôngtiếnlênđược.KếtquảlàsaukhiChiếntranhGiápNgọnăm1894thấtbại,TrungQuốclạiphảiquayngượctrởlạihọctoántừNhậtBản,đãliêntụccửlưuhọcsinhtớiNhậtBản.Chỉtrongvòng20năm,thựclựctoánhọcgiữahainướcTrungNhậtđãphátsinhsựnghịchchuyển,đâylàmộtbàihọclịchsửđauđớn.

Vìthế,vớitấtcảnhữngthứgìlàtiêntiếncủanướcngoài,chỉcầnhữudụngđốivớiTrungQuốclànênthựchànhchủnghĩacầmvề,mạnhdạnđưavào,rồiquahấpthụtiêuhóamàcuốicùnghìnhthànhnênbảnsắccủamình,đểvượtlêntiềnnhân.

TiếnsĩtoánđầutiêncủaTrungQuốcthờihiệnđạitênlàHồMinhPhục,ôngsinhvàotháng5năm1891tạiVôTích,tỉnhGiangTô.Năm14tuổi,ôngthiđỗvàoThượngHảiThươngnghiệpHọchiệu,sauđóhọctiếplênNamKinhCaođẳngThươngnghiệphọcđườngvớithànhtíchxuấtsắc.Năm19tuổi,ôngtrúngtuyểnlàlưuhọcsinhthếhệhaiởMĩtheoChươngtrìnhBoxerHealth,theohọcchươngtrìnhtoánlíởĐạihọcCornell.Năm25tuổi,ôngvàohọcchuyênvềtoánởViệnnghiêncứusinhTrườngĐạihọcHarvarddanhtiếng.Năm26tuổi,luậnvăntiếnsĩPhươngtrìnhtíchphân-viphântuyếntínhcóđiềukiệnbiêncủaôngđượcthôngqua,ôngđượctraohọcvịtiếnsĩvàtrở

thànhtiếnsĩđầutiêntrongsốlưuhọcsinhTrungQuốcởtrườngnày,đồngthờicũngtrởthànhtiếnsĩtoánhọcđầutiêncủaTrungQuốcthờihiệnđại.BảnluậnántiếnsĩcủaôngđãđượccôngbốtrênTransactionsofAmericanMathematicalSociety,dâycũnglàbảnluậnvănđầutiênvềtoánhọchiệnđạicủaTrungQuốc.

HồMinhPhụclàmộtchísĩbiếtnhìnxa.Ngaytừnăm1915,ôngđãcùngvớicáclưuhọcsinhkhácsánglậptờtạpchíKhoahọcvớimụcđíchtruyềnbákhoahọcvàkiếnthứcmớinhấtcủathếgiới,đồngthờitíchcựcviếtbài,chỉtrong3sốđầumàôngđãcótới47bài.Tháng10cùngnăm,ôngcònphụtráchviệcmởTrungQuốckhoahọcxã.Saukhivềnướcvàonăm1918,ôngvừalàmchủnhiệmkhoatoánởĐạihọcĐạiĐồng,lạivừachủtrìbiêntậptạpchíKhoahọcvàcôngviệcởTrungQuốckhoahọcxã,đãtậntụyhếtlòngvớinềnkhoahọcvàgiáodụcnướcnhà.Năm1927,ôngkhôngmaybịchếtđuốitrongmộtlầnđibơi,khimớichỉ36tuổi.

ĐểtưởngniệmHồiMinhPhục,năm1929,TrungQuốckhoahọcxãđãchoxâymộtthưviệncótênHồMinhPhụcđồthưquánởsố235đườngThiểmTâyNam,ThượngHải.HồMinhPhụcđồthưquánvềsautừngcómộtdạobịđổitên,đếnnăm1998theokiếnnghịcủacácviệnsĩnhưĐàmGiaTrinh...,têncũđãđượcphụchồi,ViệnsĩChuQuangTriệuđíchthângỡbiểncũ.Tháng5năm1999,ĐàitruyềnhìnhtrungươngđãtiếnhànhquayvàphátsóngbộphimchuyênđềĐếnvớikhoahọc,đểônlạicuộcđờicủaông.

Từkhóa:HồMinhPhục.

Sựthậtlịchsửchứngminhrằngnếunướcnhàhùngmạnh,kinhtếpháttriển,thếnướcphồnvinh,tấtnhiêntrìnhđộtoánhọcsẽtheođómàpháttriểncao.

VàothếkỉXVII,ởnướcAnhđãtiếnhànhcuộccáchmạngvềsảnxuất,Newtonđãcónhữngcốnghiếncótínhchấtcáchmạngtrong

toánhọcvàcơhọc.NềnsảnxuấtlớntưbảnchủnghĩađãkhiếnchínhquyềnNapoleonmườiphầnlớnmạnh,bấygiờtrungtâmtoánhọcthếgiớidichuyểnđếnnướcPháp.VàonửasauthếkỉXIX,nướcĐứcđãvượtlên,trìnhđộsảnxuấthơnnướcPháp,tronggiớitoánhọccũngđãxuấthiệncácnhàtoánhọckiệtxuấtnhưGauss,thựclựctoánhọcdầndầnvượthơnnướcPháp.VàođầuthếkỉXX,nềnkinhtếnướcMỹpháttriểnhếtsứcnhanh,vìvậytừnăm1930toánhọcnướcMỹđãdẫnđầuthếgiới,ViệnnghiêncứutoánhọcPrincetontrởthànhtrungtâmtoánhọcthếgiới.BêncạnhđóLiênXôtrướcđâyvàogiữathếkỉXX,đãtrởthànhmộtsiêucường,trìnhđộtoánhọccủaTrườngĐạihọcMatxcơvađãsánhnganghàngvớiViệnPrincetoncủanướcMỹ.

Trongthờikìchiếntranhlạnhtìnhhình,toánhọcthếgiớilàdoLiênXôvàMỹdẫnđầu,cácnướcTâyÂutiếpsauđóvàNhậtBảnthìcốgắngđuổitheo.

Toánhọclàcơsởchokhoahọcpháttriển.Kinhtếpháttriển,khoahọckĩthuậttiếnbộsẽđưarachotoánhọcnhiềuvấnđềtrọngđại,khuyếnkhíchcácnhàtoánhọcsángtạo.

Nhiềuvấnđềtrọngyếutrongquốcphòngcũngcầnnhờsựgiúpđỡcủatoánhọc.Ngườitathườngvẫnnói,trongthờiđạicôngnghệthôngtin,nhiềuvấnđềkhoahọckĩthuậtcaocấpsuyđếncùngcũnglàmộtloạikĩthuậttoánhọc.

TrungQuốccũnglàmộtnướccótruyềnthốngtoánhọcưutú.Tuỳsựlớnmạnhcủaquốcgia,trìnhđộtoánhọccũng

đượcnângcaonhanhchóng.CácnhàtoánhọcTrungQuốcđãthamgianghiêncứuchếtạobomnguyêntử,bomkhinhkhí,vệtinhnhântạovàcónhiềucốnghiếnquantrọng.ViệcnghiêncứutoánhọcthuầntuýởTrungQuốccũngtheođómàcónhữngbướctiếnlớn.Nhữngnghiêncứuvềcácphânngànhtoánkhácđãcónhữngthànhquảngangtầmtiêntiếncủathếgiới.NhưngnóimộtcáchtoàndiệnthìtrìnhđộtoánhọccủaTrungQuốccònchưađạttrìnhđộloạimộtcủathếgiới.

Từkhoá:Toánhọc.

Nếuđặtcâuhỏivìsaophảihọctoán?Nhiềubạntrẻsẽtrảlời“vìđiểmtoánđượcđánhgiácaotrongcáckìthi”.Nhưngmụcđíchthựccủaviệchọctoánkhôngphảinhằmđểđốiphóvớithicửmàlàđểcóthểvậndụngtoánhọcđểgiảiquyếtnhiềuvấnđềquantrọngtrongsinhhoạtxãhội,trongcáchoạtđộngsảnxuấtsaunày.Nộidungcủamôntoánởcácchươngtrìnhhọcsinhtrunghọc,tiểuhọcrấtcơbản.Vídụnhưcácphépcộng,trừ,nhân,chialànhữngphéptínhrấtquenthuộccóthểđượcsửdụngtrongnhiềulĩnhvực,hoạtđộngthựctiễn.Khimuađồđạc,đếnngânhàngnhậntiềnlãi,đođấtđai,làmcácthiếtkếđềukhôngthểkhôngsửdụngđếntoánhọc.

Cácnộidungtoánhọckháccũnggiốngnhưvậy?Vídụvào300nămtrướcCôngnguyên,nhàtoánhọcHyLạpApdoniusnghiêncứuđườngelip.Bấygiờngườitachưabiếtdùngđểlàmgì?MãiđếnthếkỉXVI-XVIIkhiKêplenghiêncứuchuyểnđộngcủacáchànhtinh,pháthiệnthấyquỹđạochuyểnđộngcủaTráiĐấtquanhMặtTrờilàmộtđườngelip,từđóđườngellipmớiđượcchúýnghiêncứu,sửdụng.Dođótừkhinghiêncứuđếnsửdụngphảiđếngần2000năm!

LíthuyếtvềsốcủaHoaLaCanhvàTrầnCảnhUyênnghiêncứu,trướcđâyítđượcsửdụng,vềsaumớithấylíthuyếtnàyliênquanchặtchẽđến“khoahọcmậtmã”.Mỗiquốcgiakhipháttincónhiềutintứccơmậtcầntruyềnđi,đặcbiệtlàtintứcvềquânsựtrongchiếntranh.TrongĐạichiếnthếgiớithứII,ngườiAnhđãdựavàoviệcphântíchcácmậtmãcủaĐứcnênđãđánhđắmnhiềutàungầmcủaphátxítĐức.VàothờiđóngườiMỹcũngdựavàoviệcdịchđượccácmậtmãcủaNhật,nênđãbắnhạmáybaycủađạitướngIamakenđangâmmưuxâydựnglạihạmđộiTháiBìnhDương.

Toánhọclàkhoahọcnghiêncứusốvàhìnhhọc.Tấtcảcáigìcóliênquanđến“độtonhỏ”và,vịtríhìnhdángđềucóliênquanđếntoánhọc.Từnhữngvídụnêutrêntathấycónhữngvấnđềtoánhọchoàntoànlàtoánhọcthuầntuývìnórấttrừutượngnênlàmchongườitakhôngbiếtsẽsửdụngchúngvàođâu.Vìvậychúngtakhôngnênsợmôntoán,cũngkhôngnêndèbỉutoánhọc.Toánhọcgiốngnhưmộtconchónhỏ,nếubạndèbỉunó,nósẽnhằmvàobạnmàsủa,vàcóthểnócòncắnbạnmộtmiếng.Bạnphảigầngũinó,hamthíchnó,nósẽlàngườibạntrungthựccủabạn,giúpbạnvượtquagiannanhiểmtrở,đếnbênbờkhoahọc,giúpchobạnđượcnhiềuđiều.

Từkhoá:Toánhọc.

161.Vìsaovậntrùhọclạiđượcsinhratrênchiếntrường?

VàothờigianChiếntranhThếgiớithứhai,bọnphátxítmuốnđánhgụcnướcAnhđãpháimộtđộimáybaychiếnđấuhùnghậuđánhphábahònđảocủanướcAnh.

BấygiờnướcAnhvàđãphátminhracácthiếtbịra-đađãdựđoánkịpthờisựxâmphạmcủamáybayđịch.CácnhàchứctráchquânsựcủaAnhnhậnthứcđượcrằng,thiếtbịtiêntiếnlàrấtcần,nhưngthiếtbịcònphảidựavàongườiquảnlí.Nếucósáchlượcđúng,quảnlítốtthìhiệunăngcủathiếtbịđượcđềcaohơn.Dovậyhọđãmờinhiềunhàkhoahọcthànhlậpmộttổvậntrù.Thôngquacácphântíchtoánhọcvàcáchtínhtoánđểgiúpchoquânđộidùngra-đaxácđịnhvịtrícủamáybayđịch.

Dướisựhiệpđồngcủanhómvậntrùhọc,khôngquânAnhđãđánhlùihếtđợtmáybaynàyđếnđợtmáybaykháccũngnhưđãbắnrơinhiềumáybaycủaĐức,làmcơsởchochiếnthắngcuốicùngcủacuộcchiếntranhchốngphátxítĐức.

VềsauởnhiềunướcnhưAnh,Mỹ,Canađakhiphốihợpcácloạibinhchủngchủyếuvậndụngcáctổvậntrù.Vậntrùhọcgiúpchoviệckhốngchếhoảlựckhidãngoại,tổchứcvậnchuyểnquânsự,cácsáchlượcchốngtàungầm,nghiêncứuviệcpháthiệnbommìn,ngưlôi.Vậntrùhọccũnggiúpchoviệcphânphốimộtcáchtốiưucáctânbinhvàđãthuđượccáchiệuquảtốtđẹp,cónhiềuứngdụngtốttrongthựctếchiếntrường.VídụtrongmộtlầntácchiếnbắnchìmhạmtàucủaNhậttạihảiphậnTânGhinê(NewGuinea),Anhđãvậndụngthànhcôngcácnghiêncứucủanhómvậntrù.

TrongthờigianChiếntranhThếgiớithứhaingườitađãvậndụnglượnghữuhạnnhânlực,vậtlực,tậndụngđượckhảnăngcủathiếtbịlànhờsựpháttriểncủangànhtoánvậntrùhọc.DovậntrùhọcđượcsửdụngsớmnhấttrongChiếntranhThếgiớithứhainêncóthểnóivậntrùhọcđãđượcsinhratừchiếntrường.Sauchiếntranh,vậntrùhọcđượcsửdụngrấtrộngrãi,đượcứngdụngtrongsảnxuất,hoạchđịnhchínhsách,quyếtsáchquảnlí.Trướcmắtvận

trùhọclàmộtngànhtoánhọcvừacótínhhọcthuậtvừacótínhứngdụng.

Từkhoá:Vậntrùhọc.

162.SaoHảivươngđượcpháthiệnnhờtoánhọcnhưthếnào?CóchínhànhtinhlớntronghệMặt

Trời.Hầunhưviệcpháthiệnmỗihànhtinhđềugợisựchúýđặcbiệtcủamọingười.

Ngaytừthờicổđại,ngườitađãdựavàomắtthườngđểpháthiệncáchànhtinh:SaoHoả,SaoKim,SaoMộc,SaoThổ,SaoThuỷ.Vàonăm1781,nhàthiênvănchuyênnghiêncứucáchànhtinhcủanướcAnhlàWiliamHershelnhờmộtkínhviễnvọngcóđộphóngđạilớntựchếtạođãquansáthệMặtTrờivàtìmthấymộthànhtinhmớiđólàsaoThiênvương.SaukhipháthiệnThiênvươngtinhlàsựpháthiệnsaoHảivương.

ĐiềurấtthúvịlàviệcpháthiệnsaoHảivươngkhôngphảiquaquantrắcmàdohainhàthiênvăndùng“phươngpháptoánhọc”tínhrađược.

KhiHersheldùngkínhviễnvọngngẫunhiênpháthiệnđượcsaoThiênvươngđãđemlạinhiềulolắngchocácnhàthiênvănhơnlàvuimừng,bởivìhànhtinhnàythườngxuyênvượtrangoàiquỹđạo.Sao“Thiênvương”nhưanhchàngsayrượu,luônlảođảo,chaođảotrênđườngđi.

Vàonăm1845,nhàthiênvănPhápLeVerrierngheđượcthôngtinnày,dựavàocáctưliệuthuthậpđược,vàcácsốliệuquantrắc,ôngđãlậpđượcchínphươngtrìnhvàđếnngày31-8-1846tínhraquỹđạocủamộthànhtinhchưabiếtcũngnhưtínhtoánsẵnvịtrímàhànhtinhđósẽxuấthiện.KếtluậnnàyđượctrưởngđàithiênvănBerlinlàGalechúývàvềsauchínhGaleđãpháthiệnsaoHảivương.

Songngườitínhra“Hảivươngtinh”sớmnhấtkhôngphảilàLeveriermàlànhàthiênvănngườiAnhAđemthựchiệnvàongày10.9.1845vàđãgửicácbáocáođếnchomộtgiáosưởđàithiênvănCambridge,nhờhọquantrắcvàtìmhànhtinhbímậtnọ.

CóthểbấygiờAđemvẫncònlàngườichưacótiếngtămgìtronggiớithiênvănnêncácýkiếncủaanhthanhniên20tuổinàychưađượcchúý.

VềsaucácnhàthiênvănởAnhvàPháptranhnhauquyềnpháthiệnsaoHảivương,nhưngGalevàAđemđãđứng

ngoàicuộctranhchấpvàhọtrởthànhđôibạnthân.

ViệcdùngtoánhọcchứngminhsựtồntạicủasaoHảivươngđãchứngminhuylựcmạnhmẽcủatoánhọc.

Từkhoá:Phươngpháptoánhọc;SaoHảiVương.

163.VìsaoHiLạpcổđạilạiđạtđượcthànhtựutoánhọchếtsứcrựcrỡ?NóiđếntoánhọccổđạilàphảinhắcđếnHiLạpcổđại.Bộsách

Kỉhànguyênbản(Anh:“Euclid'sElements)đãđượcrađờiởHiLạpcổđại.Côngtrìnhlớnđượcgiớitoánhọcđánhgiácaosuốthơn2000nămquađãtrởthànhchađẻcủamônhìnhhọcmộtcáchkhôngcógì.Ngoàira,nócònkhiếnchosốhọcđượctáchrakhỏihìnhhọcđểtrởthànhbộmônkhoahọcđộclập,đồngthờigiảiquyếtđượcmộtlượnglớnnhữngvấnđềvềphươngtrìnhđạisố,bộmôntoánhọccaocấpcũngđãbắtđầuđượcmanhnha.

Tuycóthểchứngthựcđượcnhữngluậnđoánnàybằngcácthựcnghiệmgấpgiấyđơngiản,nhưngngườitavẫnmongmuốncóđượcnhữngluậnchứnglogichơn.CứnhưvậymànềntoánhọcHiLạpcổđạiđãđượcpháttriểnhoàntoànmớitrênmộthệthốnglogic,từđó

đãthúcđẩysựtiếntriểntolớncủamônhìnhhọc.

Thứhai,sựpháttriểncủabấtcứmônkhoahọcnàocũngkhôngthểtáchrờiđượcvớisựgiaolưu.ToánhọcHiLạpcổđạicũngđãthuhútđượcnhữngmặtmạnhcủangườikhác,rồitừđómàcóđượcsựtiếnbộvàsángtạo.TaletđượccoilàthủytổcủamônhìnhhọcHiLạplàngườitừngsinhsốngvàhọctậpởAiCập.Khitrởvềquêhương,ôngchoxâydựngtrườnghọcđểtruyềndạymôntoánhọcmìnhđemvềvàcáckiếnthứckhoahọckhác.ÔngcùngmộtvàihọcsinhcủamìnhđãnhanhchóngvượtlêntrêntrìnhđộcủaAiCập,đóngvaitròthúcđẩycựclớntrongsựpháttriểnnềntoánhọccủaHiLạp.

Thứba,nềnsảnxuấtvàthựctếcủaxãhộixưanayđềulàđộnglựcchủyếucủasựpháttriểnkhoahọc.HiLạpcổđạikhiấyđãcóđượcquốclựctươngđốihùnghậuvànềnkhoahọckĩthuậtkhátiêntiến,sựpháttriểnvềhànghảivàthươngnghiệpcũngliêntụcđưaranhữngchủđềnghiêncứumớichotoánhọc,còntoánhọclạicũngđạtđượcsựpháttriểnmớinhờkhôngngừngđượcứngdụng.

SựđạtđượcnhữngthànhtựutoánhọccủaHiLạpcổđạikhôngthểtáchrờiyếutốconngười.Việcgiảiquyếtrấtnhiềuvấnđềtoánhọcthườnglàtâmhuyếtcủacảmấythếhệ,bướctiếntriểnmangtínhđộtphácuốicùngthườnglàdomộthoặcmộtvàingườihoànthành.ỞtrungtâmvănhóakhoahọccủaHiLạpcổđạiBáchọcviệnAlexander,tậptrungđôngđảonhữngnhântàikiệtxuất,tạotiènđềcầnthiếtchobướcđộtphátoánhọc.CácnhàtoánhọcmãimãiđượcghidanhtrongsửsáchnhưPythagoras,Hippocrates,Helen,Diophantine...đềulànhữngngườiđạtnềnmóngchothànhtựutoánhọccủaHiLạpcổđại.

ỞTrungQuốcngàynay,sựpháttriểncủakhoahọckĩthuậtđãđặtranhữngyêucầumớiđốivớitoánhọc,tạocơhộitốtchosựhọctậpvàpháttriểnnhằmtăngcườngmởcửavớibênngoàivàtổnghợptiềmnăngđấtnước.Việccóthểtạorađượcvẻrựcrỡchonềntoán

họcTrungQuốcđượchaykhônglànằmởsựtìmtòivànỗlựccủamỗimộtngười.

Từkhóa:HyLạpcổđại;Toánhọc.

164.VìsaolạisinhrahìnhhọcphiEuclide?

Quamộtđiểmởngoàimộtđườngthẳngcóthểvẽvôsốđườngthẳngkhôngcắtnhau.Cácbạncótinkhông?Chodùđâylàmệnhđềmâuthuẫnvớicácgiáotrìnhtoánhọcởbậctrunghọc,songđólàmộtloạihìnhhọckhác,hìnhhọcphiEuclide.

Từxưađếnnayngườitachorằngtừmộtđiểmởngoàiđườngthẳngtachỉcóthểvẽmộtđườngthẳngsongsongvớiđườngthẳngđóvà

chỉmộtmàthôi.ĐólàmệnhđềdoEuclide,nhàtoánhọccổHyLạp,đãphátbiểutrongsách“Nguyênlíhìnhhọc”củaông.Năm1826,Lobasevskiđãđưaramộtmônhìnhhọcmới,trongcómộtđịnhđềgọilàĐịnhđềphiEuclide:Quamộtđiểmởngoàimộtđườngthẳngítnhấtcóthểvẽhaiđườngthẳngkhôngcắtđườngthẳngđó.ĐịnhđềnàykếthợpvớicácđịnhđềEuclidekhác,pháttriểnthànhhìnhhọcphiEuclide.ĐólàmộtloạihìnhhọccóquymôgiốngnhưhìnhhọcEuclidevàchưapháthiệnrahệthốnghìnhhọcmớinàocómâuthuânbởichínhchúngtacóthểdùngmộtmôhìnhđểgiảithíchhìnhhọcLobasevski.HìnhphẳngtronghìnhhọcLobasevskicũnggiốnghìnhphẳngtronghìnhhọcthường,địnhnghĩavềđiểmtronghaimônhìnhhọccũnghoàntoàngiốngnhau.Nhưtrênhình1,vớimộthìnhphẳngαtacóthểdùngmộtđườngthẳngachiahìnhđólàmhaiphầnbằngnhau.Mộtđườngtròncótâmatrênđườngthẳngsẽnhậnđườngthẳnglàmđườngkínhlàchungchocảhailoạihìnhhọc.Nhưởhình2tachọnmộtđườngthẳngABtronghìnhhọcLobasevski,vàchọntuỳýmộtđiểmP,tacóthểvẽnhiềuđườngthẳngkhôngcắtAB.Bởivìvớivòngtròncótâmtrêna,quađiểmPtacóthểvẽnhiềunửađườngtrònkhôngcắtnửavòngtrònđườngkínhAB.

TừkhixuấthiệnhìnhhọcLobasevski,đãxuấthiệnnhiềuloạihìnhhọcmớinhưhìnhhọcRiemanlàmộtloạihìnhhọcphiEuclide.HìnhhọcphiEuclidevàhìnhhọcEuclidephảnánhmộttồntạikháchquan,chỉcóđiềulàphảnánhhiệnthựckháchquankhôngởtrongcùngmộtphạmvi.VídụEinstintronghọcthuyếttươngđốirộngđãdùnghìnhhọcRiemanlàmkhônggianvậtlí.ĐươngnhiênlàtrongcuộcsốnghàngngàychúngtatoàndùnghìnhhọcEuclide.

Từkhoá:HìnhhọcEuclide;HìnhhọcphiEuclide.

165.ThếnàolàdựđoánGoldbach?Vàongày7-6-1742,nhàtoánhọcĐứcGoldbachđãgửichogiáosư

Eulermộtdựđoán“Bấtkìmộtsốlẻnàolớnhơn5đềulàtổngcủa3sốnguyêntố”.Ngày30-6nămđó,EulerđãviếtthưtrảlờiGoldbachchorằngdựđoánlàchínhxácvàđưaramộtdựđoán“Bấtkìmộtsốchẵnnàolớnhơnhaiđềulàtổngcủahaisốnguyêntố",nhưngbấygiờhọđãkhôngchứngminhđượccácmệnhđềđó.

Haivấnđềnàyđãlôicuốnsựhứngthúcủađôngđảocácnhàtoánhọc,đóchínhlà“dựđoánGoldbach”nổitiếng.Từđóđãbắtđầumộtcôngcuộcchứngminhgiannan“dựđoánGoldbach”.

DodựđoánGoldbachmộtthờigiandàichưađượcchứngminhnêntạiHộinghịquốctếtoánhọcnăm1912đưaramộtdựđoányếuớthơn:TồntạimộtsốnguyênCđểchomộtsốnguyênlớnhơnhoặcbằng2sẽđượcbiểudiễnbằngtổnghaisốnguyêntốkhônglớnhơnC.

Năm1930,nhàtoánhọcLiênXô25tuổilàSineyrilmanđãđưarachứngminhchomệnhđềC.ÔngcònđưaramệnhđềvớiđiềukiệnCkhônglớnhơnS,S≤800.000.SaunàySđượcgọilàsốSineyrilman.ĐâylàbướcđộtphátrongquátrìnhchứngminhdựđoánGoldbach.

Năm1937,nhàtoánhọcLiênXôVinogradovđãdùngphươngpháp“viênchu”vàphươngphápdoôngsángtạolàphươngphápphốihợpđãchứngminhrằng:Vớimộtsốlẻđủlớnđềucóthểbiểudiễnbằngtổngcủabasốnguyêntốlẻ.

ĐâylạilàbướcđộtphálớnnhấtđểgiảiquyếtdựđoánGoldbachvàđóđượcgọilàđịnhlíbasốnguyêntố.

TrongquátrìnhchứngminhdựđoánGoldbachngườiđãđưaramệnhđề,vớimộtsốchẵnđủlớn,tacóthểbiểudiễnbằngcácnhântửvàkhôngvượtquátổngcácnhântửlàmvànnhânvớihaisốnàođó.

Mệnhđềnàyđượcghilà“m+n”.Vídụ“3+4”làphảichứngminhvớisốchẵnđủlớnthìcóthểbiểudiễnbằngtổngcácnhântửlà3,nhânvớimộtsốvà4nhânvớimộtsốkhác.Còn“1+1”cónghĩavớisốchẵnđủlớnthìcóthểbiểudiễnbằngtổnghaisốnguyêntố.Nếuchứngminhđược“1+1”thìtrêncơbảnlàchứngminhđượcdựđoánGoldbach“Địnhlíbasốnguyêntố”chỉlàloạisuyđoánquantrọngtừdựđoánGoldbach.

Năm1920,nhàtoánhọcNaUyđãcảitiến“phươngpháprây”chứngminhđược“9+9”.Năm1924,nhàtoánhọcĐứcRadamachứngminh“7+7”.Năm1932,nhàtoánhọcAnhEistmanđãchứngminh“6+6”.Vềsau,năm1938vànăm1940,Buhaxitabovđãchứngminh“5+5”và“4+4”.Vàonăm1956,nhàtoánhọcTrungQuốcVươngNguyênđãchứngminh“3+4”,nhàtoánhọcLiênXôVinogradovchứngminh“3+3”.Năm1957,VươngNguyênchứngminh“2+3”.

Việcchứngminhcó“1”đầutiênrađờisớmnhấtvàonăm1848donhàtoánhọcHungariRenythựchiện.Renyđãchứngminh“1+c”,trongđóclàhằngsốrấtlớn.Năm1962,nhàtoánhọcTrungQuốcPhanThừaĐộngchứngminh“1+5”.CùngnămđónhàtoánhọcLiên

XôBarbaencũngchứngminhđược“1+5”.Vàonăm1963,VươngNguyênvàPhanThừaĐộng,Barbaencùnglúcchứngminh“1+4”.Năm1965,VinogradovvàBuagaxitabovvànhàtoánhọcItaliaBenpinichứngminhđược“1+3”.

Năm1966,nhàtoánhọcTrungQuốcTrầnCảnhNhuậnlạimộtlầnnữacảitiến“phươngpháprây”vàđãchứngminh“1+2”,nhưngchưaphátbiểurõràngcácchứngminhcủamìnhnênkhôngcótiếngvanglớntrênthếgiới.Vàonăm1973,TrầnCảnhNhuậnlạisửachữalạiluậnvăncủamìnhvàphátbiểu“mộtsốchẵnlớnđềucóthểbiểudiễnbằngtổnghaisốtrongđócómộtsốnguyêntốcònsốkiahoặclàmộtsốnguyêntốhoặclàtíchhaisốnguyêntố”.ChứngminhcủaTrầnCảnhNhuậnđượcgọilàđịnhlíhọTrần.LuậnvăncủaTrầnCảnhNhuậnđượcgiớitoánhọchưởngứngnhiệtliệt.Khôngítnhàtoánhọcđãcốgắngchứngminhđịnhlímộtcáchđơngiảnhơn.CácchứngminhđơngiảnlàcủacácnhàtoánhọcVươngNguyên,ĐịnhHạHuề,PhanThừaĐộng,cùngcáccộngtácviêntiếnhành.

DựđoánGoldbachlàdựđoánquantrọngcủalíthuyếtvềsốđượcđưaracáchđâyđãhơn250năm,nhưngvẫncònchưachứngminhđượcđếncùngvàchưathànhđịnhlí.Quagần70nămnỗlực,cácnhàtoánhọctrêntoànthếgiớiđãthuđượcnhữngbướctiếnrấtlớnvàhiệnnayngườitađangtiếnquânvào“1+1”.

Từkhoá:Sốnguyêntố;DựđoánGoldbach;Địnhlíbanguyêntố;ĐịnhlíhọTrần.

166.ThếnàolàđịnhlílớnFerma?Chúngtađềubiếtphươngtrìnhx2+y2=z2cóvôsốnghiệmkhác

không.

VídụbộbasốgọilàbộsốtamgiácthờiTrungQuốccổđạicócạnhgócvuônglà3,4,đườnghuyềnlà5lànghiệmcủaphươngtrìnhx=3;y=4,z=5.

Vấnđềđặtralàliệubàitoánmởrộngxn+yn=znkhin>2cónghiệmkhác0haykhông?Nghiệmkhác0ýnóicảbax,y,zđềuphảikhác0.Nếukhôngchỉcầnvídụx=0thìy=zcóthểnghiệmđúngvới

bấtkìsốnguyênnào.

Ferma,nhàtoánhọcPhápvàothếkỉXVIIđãtừngnghiêncứuvấnđềnày.Fermalàmộtluậtsưnổitiếngđồngthờilànhàtoánhọc.Tuyôngchưahềđượchọcmôntoánmộtcáchchínhquynhưngôngcóniềmhamthíchtoánhọcvàcónhữngsángtạophiphàm.Fermacóthóiquenlàkhiđọcsáchôngthườngghinhữngnhậnxétcủamìnhởbênlềvàcácchỗgiấytrắngtrongsách.Khiôngquađời,conôngđãxemlạicácbúttíchvàthưtừcủachađểlạivàtìmthấyởmộtgóctrangcóghi“Khôngthểmộtsốmàkhinânglênluỹthừabậcbalạibằngtổngluỹthừabậcbacủahaisốkhác.Khôngcómộtsốmàluỹthừabậcbốnlạibằngtổngluỹthừabậcbốncủahaisốkhác.Nóichungkhôngthểtìmđượcmộtsốmàkhinânglênluỹthừalớnhơn2lạibằngtổngluỹthừacùngbậccủahaisốkhác.Tôiđãcómộtchứngminhđầyđủvàtuyệtđẹpvềmệnhđềnàynhưngtiếcrằngkhôngđủchỗgiấytrốngđểviếtrađược”.NhưvậytheocáchnóicủaFermathìphươngtrìnhxn+yn=znvớin>2khôngcónghiệmkháckhông.CácnhàtoánhọcđươngthờiđềutinFermacóthểchứngminhđượckếtluậnnàygọiđólà“địnhlíFermalớn”.

NhiềunhàtoánhọccẩnthậnkhônghoàntoàntincậyvàocácghichúcủaFermanênhọhếtsứctìmhiểusâuhơnvàmongtìmlạiđượccác“chứngminhtuyệtđẹpvàđầyđủcủaFerma”.Thếnhưngtrảiqua300nămvấnđềtưởngnhưđơngiảnđãlàmđiênđảocácnhàtoánhọckiệtxuấttrongđócócảEuler,Dirichlet,Legendre,v.v...lànhữngngườimàtêntuổicủahọđãlừngdanhtrêncáctácphẩmvềtoánhọc.Nhưngcôngsứccủahọbỏrakhôngphảilàvôích.Năm1770,Eulerchứngminhvớin=3vàn=4,địnhlíFermalàđúng.Năm1825,DirichlervàLegendrechứngminhvớin=5thìkếtluậnchínhxác.Năm1839,Lamaychứngminhkếtluậnđúngvớin=7.Khomolkhibắtđầunghiêncứu“sốlítưởng”vàonăm1874đãchứngminhtrừcácsố37,59và67thìvớicácsốnhỏhơn100kếtluậncủaFermalàchínhxác...Chođếnnăm1976,cóngườidùngmáytínhđiệntửchứngminhvớin<125.000thìđịnhlíFermahoàntoànđúng.Nhữngkếtquảvừanêuđãcổvũmọingười,nhưngnếucứtiếptụctheođànàythì“địnhlílớnFerma”vĩnhviễnkhôngcócơhộitrởthànhmộtđịnhlíthựcthụbởivìnlàmộtsốtựnhiênvôcùngvôtận.

NhưngđếnnhữngnămcuốithếkỉXXvấnđềđãcóchuyểnbiếncơbảnđểđếnhồikếtthúc.Vàotháng9-1994nhàtoánhọcAnhAndrewWilesđãhoàntoànchứngminhđượcđịnhlíFermavàbước

sangthếkỉXXIđịnhlíFermađãtrởthànhmộtđịnhlíthựcthụ.ConđườngmàcácnhàtoánhọchiệnđạigiảiquyếtbàitoánkhônggiốngvớiconđườngcủabảnthânFerma,Eulervàcácnhàtoánhọckiệtxuấttiềnbốikhác.Toánhọchiệnđạiđãcónhiềuphânngành(líluậnđườngelip,líthuyếtmôhình,líthuyếtbiểudiễnCanbiv.v..)pháthuyđượctácdụngtổnghợpvàđưalíthuyếtsốhọcđếnchỗcaosiêunhờnhữngcốnghiếnxuấtsắccủanhiềunhàtoánhọc.Dùcónhữngcốnghiếnxuấtsắc,nhưngdovấnđềtuổitácnênWileskhôngđượcHộinghịToánhọcQuốctếnăm1998tặnggiảithưởngFields,nhưngđãđặccáchđểôngbáocáochuyênđềtronghộinghịlớn.Vàobuổitốihômđó,nhiềunhàtoánhọcđãđếnhộitrườngsớmhànggiờđềnghịôngbáocáo.

ĐịnhlílớnFermađãcóhồikếtcục.TrongquátrìnhchứngminhđịnhlílớnFermađãphátsinhnhiềutưtưởngtoánhọcvàcácthànhquảtoánhọcmới,đãthúcđẩytoánhọcpháttriển,điềuđókhiếnýnghĩacủađịnhlíFermavượtrakhỏikhuônkhổcủamộtđịnhlí.

Từkhoá:ĐịnhlílớnFerma.

167.Thếnàolàbàitoánbảnđồcóbốnmàu?

Năm1852,CôxuritốtnghiệpđạihọcởLuânĐôn.Khivẽđịađồ,ôngnhậnthấy:vớimộttấmbảnđồchỉcầndùngtốiđabốnmàulàcóthểtôđủđểphânbiệtđượccácquốcgiacóchungbiêngiới,tứclàmàucủacácquốcgiacóchungbiêngiớisẽkhônggiốngnhau.

Ôngliềnđặtrachocácanhemcủaôngđangcôngtácởtrườngđạihọclàliệucóthểchứngminhđượcđiềuđókhông?

CácanhemcủaôngliềnhỏinhàtoánhọcMôcan,Môcanthừanhậnlàôngtakhôngthểphánđoánđượcđúngsai.

Thoạtnhìn,bàitoánbốnmàukháđơngiản.Bạnchỉcầnlấymộttấmbảnđồchưatômàuvàchuẩnbịbốnloạimàu.Trướchếtbạncóthểtômộtquốcgianàođóvídụmàuđỏ,sauđóbạntôcácquốcgialâncậnbằngcácmàukhácvàtheo“nguyêntắcbốnmàu”bạnsẽthấyquốcgiacóbiêngiớichungsẽcómàukhácnhau,khônggiốngnhau.

Quảlàviệcđósẽđượcthựchiệnkhádễdàng.Tuynhiên,đóchỉlàsựkiểmchứngmàkhôngphảilàchứngminhtoánhọc.Vấnđềbảnđồcóbốnmàuđượcđặtranhưmộtbàitoánlàmộtcáchphánđoánchungmàkhônghềchỉmộttấmbảnđồcụthểnào,làmộtkháiquátchobấtkìmộtbảnđồnàođượcvẽtrêngiấy.Tấmđịađồởđâycóthểlàtấmđịađồthựcmàcũngcóthểlàmộttấmđịađồtưởngtượng,thậmchíkểcảnhữngcáimàngườitachưahềnghĩđólàbảnđồ.Cũngcóngườinghĩđếncáctấmbảnđồmàkhôngđủnămmàuthìkhôngthểtôđược.

Nhưvậycóthểthấybảnđồbốnmàutưởngnhưđơngiản,màchứngminhthìlạirấtkhó.SaunàybàitoánbảnđồbốnmàucùngvớiđịnhlílớnFecma(Fermat)vàbàitoánGônbach(Goldbach)đượcxemlàbabàitoánkhólớncủathờicậnđại.

Năm1879,Kenputuyênbốđãchứngminhđượcbàitoánbốnmàu.Mườimộtnămsau,nhàtoánhọcHaut(Hawood)chỉrarằng,cáchchứngminhcủaKenpucóchỗkhôngchặtchẽ,nêncáchchứngminhđươngnhiênkhôngđượcchấpnhận.HautđãứngdụngphươngphápcủaKenpuvàchứngminhđượcrằng,cầncónămmàuthìcóthểtôđượcbảnđồthếgiớiđểchocácquốcgiacóbiêngiới

chungkhôngbịtrùngmàu.Bàitoánnàycótênlà“bàitoánnămmàu”.

TừđầuthếkỉXXtrởlạiđây,nhiềunhàtoánhọcđãđitheoconđườngcủaKenpuđểnghiêncứugiảibàitoánbốnmàuvàđãthuđượcnhiềuthànhtựu.Ngườitachứngminhlàđểgiảibàitoánnàytakhôngchỉnghĩđếnmộttấmbảnđồđãvẽsẵnmàphảinghĩđểvẽravôsốtấmbảnđồ.Đểkiểmnghiệmsốlớnbảnđồnhưvậyquảlàmộtviệccókhốilượnglớnquásứcngườivàkhóthựchiệnđược.

Vàonăm1970đãcóphươngándùngmáytínhđiệntửđểgiảibàitoánnày,vàngườitađãphảitínhtoán11nămliêntụcmớitìmđượckếtluận.

Saunăm1970,nhiềungườiđãcảitiếnphươngángiảibàitoánbốnmàukếthợpvớisựtăngnhanhtốcđộtínhcủamáyđiệntoánđãmởrakhảnănggiảiđượcbàitoánbốnmàubằngmáytính.

Vàonăm1976,hainhàtoánhọcHoaKìlàApin(Apeil)vàHakan(Hakan)đãdùngbamáyđiệntoánkhácnhauvàđãdùngđến1200giờđểhoànchỉnhviệcchứngminhđịnhlívềbàitoánbốnmàu.

Bàitoánbốnmàutừkhiđặtrachođếnkhipháttriểnthànhđịnhlíđãtrảiqua120nămlàmviệcliêntụccủanhiềuthếhệcácnhàtoánhọcmớiđượchoànthành.Chođếnngàynay,nhiềunhàkhoahọcvẫnđangtìmkiếmlờigiảibằngtínhtoántrênmặtgiấy.

Từkhoá:Bảnđồbốnmàu;Bàitoánbốnmàu;Địnhlíbốnmàu.

168.Thếnàolàbàitoán"NữsinhCachơman"?

Năm1850,CachơmanngườiAnhđãđưaramộtbàitoánkhálíthú:Mộtbàxơdẫn15nữsinhhàngngàyxếphàngdạochơi.

Bàchiacáchọcsinhlàmnămtổ,mỗitổcóbanữsinhtheobàđidạo.Bàkhôngmuốnngàynàocũngđidạovớicùngmộtnhómbanữsinhcốđịnhmàmỗingàyvớimộttổđểchomỗinữsinhtrongsuốtmỗituầnlễđềucócơhộitiếpxúcvớibà.Đóchínhlàbàitoán“cácnữsinhcachơman”.

Vàonămsau,Cachơmanđãcôngbốtrêntạpchíđápáncủaôngvềbàitoán.Trướchếtôngđánhsốcácnữsinhtừ1đến15,cáchsắpxếpcácđộitrongmộttuầnsẽnhưsau:

Chủnhật

Thứhai

Thứba

Thứtư

Thứnăm

Thứsáu Thứbảy

123 145 167 189 11011 11213 114154812 2810 2911 21214 21315 246 25751015 31314 31215 356 347 3910 381161113 6915 41014 41115 5912 51114 59137914 71112 5813 71013 6814 7815 61012

Thếnhưngvớicácnhàtoánhọcthìđápánnàylàchưađủ.Họđặtracâuhỏi:liệucòncócácđápánnàokhácnữakhông,vàliệucócáchgiảitổngquáthơnkhông?

Cũngnămđó,cácnhàtoánhọcAnhToenuâydơ(Twelweis)và

Kaixây(Kaisei)đãthêmmộtbướcvàobàitoánnày.

Liệucóthểvạchramộtcáchsắpxếptrongvòng13tuần,khôngchỉtrongmỗituầnphùhợpvớicácquyđịnhđặtrachobàitoánởtrênmàcònphảilàmthếnàochomỗihọcsinhtrongvòng13tuầnlạicóthểquayvềởmộttổcùngvớicáchọcsinhtrongmộtngàytrướcđótrongchutrìnhnày.

Bàitoánđãhếtsứckhó,mãiđếnnăm1979mớiđượcĐana(Dangars)giảiđượcnhờmáytínhđiệntử.

Cachơmanchỉđặtrabàitoánvới15nữsinh,nhưngcácnhàtoánhọcđãmởrộngđến3knữhọcsinhvàbàitoánnữsinhđãđượcmởrộngrấtnhiều.

LờigiảitổngquátcủabàitoánđượcmộtsinhviênhệtoáncủatrườngĐạihọcsưphạmCátLâm(TrungQuốc)làLụcGiaHiđưaranăm1961.Nhưngđángtiếccáchgiảivẫnchưađượccôngbố.

Năm1971,mộthọcgiảItalialàXcathari(Scathari)vàUynxơn(Wilson),mộtgiáosưtoánhọctrườngĐạihọcCacha(Cachar),đãcôngbốlờigiảivềbàitoánCachơmanvàgiảiquyếttrọnvẹnbàitoánnày.

Năm1981,LụcGiaHiđãtrởthànhmộtnhàtoánhọcxuấtsắcnhưngvẫnđểtâmnghiêncứubàitoánnữsinhCachơman.ViệcgiảibàitoánnữsinhCachơmanmộtcáchcơbảncóliênquanvớimộtsốbàitoánphứctạphơnlàbàitoánnhómbaStanay.Bàigiảiđượccôngbốtrênmộttậpsáchcóuytíncủatoánhọcthếgiớivàonăm1983“Líthuyếttổhợp”.

NhưngbàitoánnhómbaStanaylúcđócònchưađượcgiảiquyếttrọnvẹn.BàitoánđượcnhàtoánhọcHàLanlàTalin(Thalins)hoànthànhvàotháng10năm1989.

CầnnóithêmrằngbàitoánnữsinhCachơmankhôngcólờigiảiduynhấtmàcóthểcónhiềulờigiảikhácnhau.

Từkhoá:BàitoánnữsinhCachơman.

169.Bàitoán36sĩquanlàgì?Bàitoán36sĩquanbắtnguồntừmộttruyềnthuyết.Truyệnkể

rằngcólầnmộtquốcvươngnướcPhổtiếnhànhmộtcuộcduyệtbinhlớn,truyềnlệnhchosáuchiđộilínhthamgiađểduyệtbinh.Quốcvươngquyđịnhmỗichiđộiphảichọnsáusĩquancóquânhàmkhácnhau(vídụcóthểchọnsĩquanthượngtá,trungtá,thiếutá,vàthượnguý,trunguý,thiếuuý).Vậymỗichiđộichọnsáusĩquanthìsáuchiđộisẽcó36sĩquan.Quốcvươngyêucầusĩquanxếpthànhđộihìnhsáuhàngngangvàsáuhàngdọc,ởmỗihàngngangvàhàngdọc,cácsĩquanphảikhôngcùnghàmvàkhôngcùngđơnvị.Viênsĩquanđiềuhànhbàyđi,xếplạivẫnkhôngđạtđượcđộihìnhtheođúngyêucầucủaQuốcvương.Vềsau,câuchuyệnlantruyềnrangoài,mọingườiainấycũngđềutìmcácphươngánsắpxếpđộihìnhnhưngrốtcuộckhôngaithuđượckếtquả.Vấnđềnàyđượcgọilà“vấnđề36sĩquan”vàlưutruyềnrộngrãi.Vấnđềkhónàyđãthuhútnhiềutâmlựccủanhiềunhàtoánhọcnổitiếng.

Ngườitatìmthấyrằng,nếuQuốcvươngđềrayêucầuíthơnhoặcnhiềuhơnmộtchút,vídụyêucầubàythànhnămhàngngang,nămhàngdọchoặcbảyhàngngangbảyhàngdọcthìcóthểđược,nhưngvớisáuhàngngangsáuhàngdọcthìkhôngthểđược.Tathửxéttrườnghợpxếpthànhbảyhàngngangbảyhàngdọc.

A,B,C,D,E,F,G,biểudiễncácđơnvịbộđội,cácchỉsố1,2,3,4,

5,6,7chỉcáccấpquânhàmcủacácsĩquan.Ởmỗihàngngang,hàngdọcđềucóchữcáiA,B,C,D,E,F,Gbiểudiễnđólàcácsĩquantừ7đơnvị,cácchỉsố1,2,3,4,5,6,7chỉcáccấpquânhàmcủacáccấpsĩquankhácnhau.

Ngàynaybàitoán36sĩquanthuộcmộtbàitoáncủaphéptoántổhợp.Cácđộihìnhsắpxếpđượcgọilàmatrậnhoặcmatrậnchữnhật,vídụcáchxếpsáuhàngngangsáuhàngdọcgọilàmatrậnvuôngcấpsáu.DotừbanđầucácyếutốcủamatrậnđềubiểudiễnnhờcácchữcáiLatinhA,B,C,D...nêncácmatrậnnàythườngđượcgọilàcácôvuôngLatinh.BảngvuôngLatinhphùhợpvớiđiềukiệntrựcgiaogọilà“bảngvuôngtrựcgiao”.Bàitoán36sĩquanthuộcloạibàitoáncủaphéptoántổhợpcủabảngvuôngLatinhtrựcgiao.Nhàtoánhọckiệtxuấtơle(L.Euler)đãchứngminhlàmatrậnvuôngcấpsáutheoyêucầucủaQuốcvươngPhổlàkhôngthểđược,kếtluậnnàyđãđượcnhàtoánhọcPhápThalichứngminhvàonăm1901.Thếlàbàitoán36sĩquanđãđượcgiảiquyết.ĐóchínhlàcácmatrậnvuôngLatinhtrựcgiao.Cácmatrậnnàyđượcứngdụngrộngrãitrongcôngtácthiếtkế,thínghiệm.Trongcôngnghiệp,nôngnghiệp,trongkhoahọckĩthuậtluôncầnphảitiếnhànhmộtsốlớnviệcsắpxếptổchứccáctổthựcnghiệm.ViệcsửdụngcácbảngvuôngLatinhtrongcôngtácthiếtkế,thựcnghiệmcóthểgiảmđinhiềucôngsứctrongviệcsắpxếp,tiếtkiệmđượcnhiềusứcngười,sứccủa,tăngđượchiệuquảcôngviệc.

Từkhoá:Bàitoán36sĩquan;MatrậnvuôngLatinh.

170.Thếnàolàbàitoánvẽliềnmộtnét?

Nếucómộtmêcungnhưởhìnhvẽ,Aơ1làđiểmvào,cònbêntronglàđườngđóngkín.BạnxétxemcóthểxuấtpháttừđiểmA1khôngđilặplạivàđiđếnlốira?Đólàtròchơitoánhọccổ:bàitoán“vẽliềnmộtnét”,tứclàtừmộtđiểmtheocáclốitrênhìnhvẽ,vẽliềnmộtnét,khôngcósựlặpđilặplại,màrađếnđiểmcuối.

Thếvớiloạiđồhìnhnhưthếnàothìvẽliềnđượcmộtnét?Liệucócácquyluậtgìvềcácđồhìnhnàykhông?Dướiđâytaxétmộthình(nhưhình1).Tacóthểdùngbútnốiliềnhaiđiểmbấtkìtrênhìnhvẽ,cáchìnhvẽnhưvậylàcáchình“liênthông”.Ngườitacóthểchiacácđiểmtrênhìnhvẽthànhhailoại:cónhữngđiểmnốivớimộtsốlẻcácđườngthẳng(nhưcácđiểmAvàB);cónhữngđiểmnốivớisốchẵncácđườngthẳnglàcácđiểmchẵn(nhưvớicácđiểmC,D,E,F,G,H).Tuycónhiềuloạihìnhvẽnhưngđểcóthểvẽliềnthànhmộtnétchỉcóhailoại:

1.Trênhìnhvẽchỉcócácđiểmchẵn,vớicáchìnhloạinàytacóthểnốiliềnhaiđiểmbấtkìtrênhìnhvẽbằngmộtnétliền.

2.Trênhìnhvẽchỉcóhaiđiểmlẻ,cóthểdùngbútnốihaiđiểmlẻbằngmộtnétliền.

Taxéthìnhvẽliênthôngkhônghềcócácđiểmvẽnhưởhình2.Tathấycóthểnốihaiđiểmbấtkìcủahìnhbằngmộtnétliềncóthểquayvềđiểmbanđầu.VídụnhưxuấtpháttừA1quaA2,A5,A6cuốicùngquayvềA1(theođườngnétđứttrênhìnhvẽ).Bâygiờtabỏbớtmộtbộphậncủahìnhvẽvàsẽthuđượchìnhvẽ3.Hình3vẫnlàhìnhcóđiểmchẵn.Vớihìnhnàytacũngcóthểxuấtpháttừmộtđiểmbấtkì,vídụA6tavẽliềnmộtnétlạiquayvềA6theoconđườngvídụA6,A7,A3,A6.

Từhìnhvẽ2tacũngcóthểcóđườngkhépkínrộnghơnvídụ

theoconđường:A2,A5,A6,A7,A3,A6,A1.Bằngcáchtươngtựtacóthểcóđượcconđườngkhépkíntừmộtbộphậncủahìnhvẽthànhhìnhvẽliềnmộtnét.

Bâygiờtasẽbànđếnloạitìnhhuốngthứhaitrênhình4tachỉcóhaiđiểmlẻ;cònlạithìtoànlàchẵn.Tachỉcầnvẽthêmmộtđườngphụnốihaiđiểmlẻlậptứcchúngbiếnthànhhaiđiểmchẵnvàsẽtrởthànhcácđiểmliênthôngnhưởtrườnghợp1.Vàcóthểbằngmộtnétliềnkểcảtheođườngnétđứt:NhưtheoconđườngA6,A4,A2,A1,A6,A5,A4,A3,A2,A6.SauđóbỏnétđầutiêntacóconđườngA4,A2,A1,A6,A5,A4,A2,A6.

Đếnđâychúngtacóthểgiảiquyếtvấnđềmêcungđặtratừbanđầu.Bởivìcácđườngtrênhìnhnàyđềuliênthôngvìcácđiểmgiaonhautoànlàđiểmchẵn,nêncóđườngnốithànhnétliềnmàkhôngcầncósựđilặpkhixuấtpháttừmộtđiểmđihếttoànbộđoạnđường

vàquayvềđiểmxuấtphát.TrongđócómộtđoạnlịchtrìnhcóthểlàA1,B2,C1,C2,D2,D1,E1,E2,F1,F2,E3,E2,D2,D3,C3,C2,B2,B3,C3,C4,D4,D3,E3,E4,F3,F4,E5,E4,D4,D5,D6,E6,E5,D5,C5,C4,B4,B5,B6,C6,C5,B5,A4,A3,B4,B3,A2,A1.

Thựcracòncóthểcónhiềucáchđikhác.Cácbạnhãythửxem.

Từkhoá:Vấnđềvẽmộtnét;Hìnhliênthông;Điểmlẻđiểmchẵn.

VấnđềbảychiếccầunảysinhvàothếkỉXVIIItạithànhphốKơnichxbec(Kửnigsberg),vàothờiđóKơnichxbecthuộcĐức,cònngàynaylàthànhphốKaliningrat(Kaliningrad)thuộcCộnghoàLiênbangNga.

VàothờiđóởthànhphốKơnichxbeccómộtconsôngcóhaihònđảonhỏ.Cáchònđảonốivớibờnhờbảychiếccầunhưởhìnhvẽ1.TrênhìnhA,Dlàhaihònđảo,cònC,Blàđôibờ.CưdâncủathànhphốKơnichxbecthườngđếndạochơitrênđảo.Lâudầnnảysinhcâuhỏi:Liệucóthểxuấtpháttừmộtđiểm,khôngbỏsótcũngkhôngđiquacầuhailầnmàtrởvềchỗcũ?Vấnđềnàyvềsauđượcgọilàbàitoánbảycâycầu.

Nếulượcbỏđiềukiện“lạitrởvềchốncũ”màchỉcònhỏi:“Liệumộtdukháchcóthểkhôngbỏsótmàlạicóthểchỉquacầumộtlần?thìsẽbiếnthànhvấnđềvẽliềnmộtnét.

Nếuvấnđềgiảiđược,tanóibàitoán“cólờigiải”;nếungượclại,

tanóivấnđề“khôngcólờigiải”.

Vàothờiđó,nhàtoánhọcThuỵSĩƠle(L.Euler)đangsốngtạiKơnichxbecvàbàitoánbảycâycầuđãgâychoôngnhiềuhứngthú.Năm1736,Ơleđãcôngbốluậnvăngiảiquyếtđượcbàitoánbảycâycầuvàsángtạorangành“toánđồ”làmộtngànhcủatoánhọc.LuậnvănnàycủaƠlelàluậnvănđầutiênvềtoánđồ.

Theophươngpháptoánđồ,đểdễxemxétthảoluậnthườngngườitadùngphươngphápđơngiảnhoácáchìnhvẽ.TabiểudiễncácđảoA,DvàđôibờC,Bthànhcácđiểmđỉnhnhưhình2.Bảycâycầuđượcbiểudiễnbằngbảynétliền,cũngđượcgọilàbảyđườngviền.Nếumộtđỉnhcónốivớisốlẻcácđườngviềntagọiđólàđỉnhlẻ,cònđỉnhnốivớicácsốchẵncácđườngviền,tagọiđólàđỉnhchẵn.Nếutừhìnhvẽtabắtđầutừmộtđiểmđỉnhliêntiếpquađiểm,đường,điểm...đếnliêntiếpmộtđỉnhđiểmbấtkì,ngườitanóihìnhnàylàliênthông.Ơleđãchứngminh“quytắcphánđịnh”.

Vớimộthìnhvẽđượcbằngmộtnétliềnthìhìnhđólàliênthôngvàlànhữnghìnhmàtrừđiểmđầuvàđiểmcuốithìcácđiểmkhácphảilàđiểmchẵn.

Yêucầuđểmộtbàitoánđivềvẽliềnmộtnétcólờigiảilàphảiliênthôngvàbấtkìđiểmđỉnhnàocũngphảilàđiểmchẵn.

Bàitoánbảycâycầulàbàitoánvẽnétliềnđivàvề,vìbốnđỉnhA,B,C,Dcủahình2đềulàđỉnhlẻnênbàitoánkhôngcólờigiải.Bấtkìmộtkháchdulịchnàocũngkhôngthểtừmộtđiểmxuấtphátlạiquayvềchốncũmàkhôngbỏsóthoặcđiquamộtcâycầunàođóhailần.

Vớihình2khôngchỉlàviệcyêucầuquayvềchốncũmàngayviệcvẽnétliềncũngkhôngthựchiệnđượcmàkhôngbỏquahoặclặplạihailần.

Nhưvậytừbàitoánbảycâycầu,chúngtôiđãgiớithiệubàitoánvẽnétliền.Bàitoánvẽnétliềnnếuđặtmộtcáchchínhxácthìphảiphátbiểunhưsau:Chomộthìnhphẳng,liệucóthểgiữchobútkhôngrờimặtgiấymàxuấtpháttừmộtđiểm,cácđườngchỉđượcbútvẽmộtlầnmàhoànthànhđượchìnhvẽ.Cònnếuyêucầusaukhivẽxonghìnhthìbútphảiquayvềvịtríbanđầuthìđólàbàitoánvẽnétliềnđivàvề.BạnhãytheoquytắcƠleđểphánđoánxemhình3có

thểlàmộthình:1)Vẽliềnđượcmộtnét;2)Nếulàhìnhvẽđượcmộtnétthìcóthểđivàvềđượckhông?Mờicácbạnlàmthử.

Từkhoá:Bàitoánbảychiếccầu.

Vàonăm1859,nhàtoánhọcAnhHamintơn(Hamilton)đãcôngbốmộtbàitoánkhálíthúlàmnhiềungườiđãphảibỏnhiềucôngsứcđểgiảinó.

Bàitoánnhưsau:Mộtkháchdulịchmuốnđithăm20thànhphốtrênthếgiới,mỗithànhphốđềucóbađườngđinốivớithànhphốbêncạnh.Kháchmuốnđithămtấtcảcácthànhphốđãchọn,lạimuốnvớimỗithànhphốchỉghéquamộtlần.Yêucầuđặtralàchọnđiểmxuấtphátnhưthếnàođểsaukhiđithăm20thànhphốôngtalạiquayvềđượcđiểmxuấtphát.

Vậyphảisắpxếpchuyếndulịchnhưthếnào?

Tasẽđúckếtbàitoánbằngcáchvẽmộtkhốilậpthểnhưhình1,tronghìnhcó20đỉnhđiểm,mỗiđỉnhđạidiệnchođườngđigiữacácthànhphố(mỗiđỉnhcóbađường).Vấnđềcủachúngtatheohìnhvẽxácđịnhđượcmộtđườnggấpkhúckhépkíncóthểchạyquađượchếtcácđỉnh.

Chúngtatưởngtượngnhưkhốilậpthểđượclàmbằngdâycaosunốilạivớinhau,nhờvậytacóthểtriểnkhaikhốilậpthểthànhhìnhphẳng(hình2)vàchúngtadễdàngtìmthấyconđườngphảichọn(đườngnétliềntrênhình2).Đươngnhiênđóchỉlàmộtgiảipháp,còncóthểcónhiềucáchgiảikhác.

Bàitoánnàybanđầuchỉlàmộttròchơi,mộtbàitoánvui,đếnthếkỉXXđãpháttriểnthànhnộidungchủyếucủamộtngànhtoánhọclà“đồluận”,màphươngphápgiảilạithuộcmộtngànhtoánhọckhác“tôpôhọc”.

Từkhoá:HìnhvẽHaminlton;BàitoánHaminltơn.

Ngườibưutáởmộtbưucụcthườngphảiphátthưtừ,bưukiện,báochíđếncácđịaphươnglâncậnmộttrạmbưuđiệnnàođóvídụnhưtrìnhbàyởhình1.HằngngàyôngtaxuấtpháttừtrạmbưuđiệnđặttạiđiểmO,điquahếtcácđoạnđườnglớn,đườngngangngõtắtđểphânpháttớicácbưuđiện.

Đểgiảmbớtviệcđilặplạinhiềulầnmộtđoạnđường,ngườibưutáphảinghĩcáchđểtìmrađườngngắnnhất.Trênthựctế,đóchínhlàvấnđềvẽmộtnét.Điểmkhởiđầuvàđiểmkếtthúcđềulàtrạmbưuđiện(điểmO).Dựavàonguyênlígiảibàitoánvẽmộtnét,khôngđilặplạiconđườngnhiềulần,thìtrênhìnhvẽnàytốiđachỉphảicó2điểmlẻ.

NhưngtrênhìnhvẽnàylạicóbốnđiểmA,C,E,Glàcácđiểmlẻnênđểtrênlộtrìnhkhôngđilặplạimộtđoạnđườngnàolàkhôngthểđược.Thếnhưngcũngcóthểchọncáchđinàođómàsựlặplạilàítnhất.

Cáchthứnhất:Theohình1tasẽvẽtuyếnđườngđinhưởhình2.Nếutavẽthêmmộtvàiđoạnmớivàohìnhvẽtrên.Nếutínhcảnhữngđoạnmớivẽthìmỗiđiểmlẻtrênhìnhvẽtrởthànhđiểmchẵn,dođócóthểvẽbằngmộtnét.Cáchvẽlà:O→B→C→G→A→B→C→D→E→F→O.Theocáchvẽnàyởnhữngđoạncóvẽthêmlàđoạnđườngphảilặplại.Nhưngcáchđinàyđãlàtốtnhấtchưa?Chưa,vìtrongABCGAđộdàicácđoạntrùnglặplạidàihơncácđoạnkhác.

Cáchđithứhai:TaxoácácđoạnAB,BC,CGởhình2nhưnglại

vẽthêmA,Gnhưhình3.Tuyhìnhnàykhôngthểkhôngcósựtrùnglặpbằngmộtnét,nhưngđoạnvẽthêmnghĩalàđoạnđitrùnglặplạingắnhơn.BâygiờcáchđisẽlàO→A→C→D→E→G→A→G→C→D→E→F→O.

Rõràngsovớicáchthứnhất,cáchthứhaigiảmbớtsốđoạntrùnglặp,đâylàcáchđitrùnglặpcóđoạnđườngđingắnnhất.Đâylàcáchđimàtronglộtrìnhphầntrùnglặpkhôngvượtquáphầnkhôngtrùnglặp.

VàothờiChiếnQuốcởTrungQuốc,cólầnvuaTềcùngvớiĐiềnKỵđãchotiếnhànhmộtcuộcđuangựa.Đôibênđềucóbaloạingựa;loạimột,loạihai,vàloạiba.Cuộcđuađượctiếnhànhbavòng,aithắngsẽđược1000lạngvàngtiềnthưởng.

Lúckhaicuộcđôibênđềudùngloạingựađồngcấpđểđuavớinhau.TrongcùngmộtloạingựathìngựaĐiềnKỵđềukémngựacủanhàvua,nênkhiđuangựacùngcấpĐiềnKỵđềuthua.BấygiờTônTẫnmộtngườibạncủaĐiềnKỵđãnêuchoôngmộtýkiến:ĐiềnKỵnêndùngngựaloạibađuavớingựaloạimộtcủanhàvua,dùngngựaloạimộtđuavớihạnghaivàdùngloạihạnghaiđấuvớingựahạngbacủanhàvua.NhưvậythìtrừcuộcđuacủangựaloạibacủaĐiềnKỵvớingựaloạimộtcủaNhàvua,ĐiềnKỵthuacuộccònởhaicuộcđuakhácĐiềnKỵđềuthắng.KếtquảĐiềnkỵđãthuđượcthắnglợivớitỉsố2:1.

ÝkiếncủangườibạnĐiềnKỵngàynayđượcxemlàmộtbàitoán.ĐiềuquantrọnglàtrongcuộcđuathứhaiĐiềnKỵđãchọnđúngđốisách.Thựcratrongthựctếcuộcsống,trongcáccuộcđấutranhđốikhángnhưcáccuộcthiđấuthểthaohaycáccuộcchiếnđấuđềucầnphảichọnđốisáchđểcóthểthuđượcthắnglợitrongcuộcđấu,màmuốnchọnđúngđốisáchphảithôngquatoánhọcđểtìmgiảipháp.Ngànhtoánhọcnghiêncứuvấnđềnàylàngànhtoánhọcmới,đólà“Đốisáchluận”.

Từkhoá:Đốisách.

Ngàynaylíthuyếttậphợpđãtrởthànhcáchdẫndắtcáckếtluậntoánhọc,trởthànhcôngcụquantrọngchocácluậnchứngtoánhọctrongcácsáchtoánbậctrunghọc.Nhiềubạnhọcsinhđãquenthuộcvànắmchắclíthuyếttậphợp.Thếnhưngchắccácbạnchưahềbiếtlàtrongquátrìnhpháttriểnlíthuyếttậphợpđãgặpphảinguycơnghiêmtrọngthậmchílàmlunglaycáccơsởcủatoánhọc.

Vàonhữngnăm70củathếkỉXIXkhicácnhàtoánhọcĐứcđặtcơsởcholíthuyếttậphợp,cácnhàtoánhọcđãchorằngtoánhọcđãbướcđếnchỗtuyệtvời.TrongĐạihộiToánhọcQuốctếnăm1900,nhàlãnhđạogiớitoánhọcPanjalaiđãcaohứngtuyênbố:“Toánhọcđãđếnchỗhoàntoànchặtchẽ”.

Thếnhưngvàonămthứhai,nhàtoánhọc,nhàtriếthọcAnhRusselđãpháthiệnmộtmâuthuẫnhếtsứctolớntronglíthuyếttậphợp.

Cóthểchiatậphợpthànhhailoại:Loạitậphợpthứnhấtcóđặctrưnglàbảnthântậphợplàphầntửcủatậphợpđó.Vínhưcóngườiđươngthờiđãtừngnói“cáimàtậphợpcóchínhlàđãtạonêntậphợp”.Đặctrưngthứhaicủatậphợplà:“Bảnthântậphợpkhôngphảilàphầntửcủatậphợp”,vídụtậphợpcácđiểmtrênmộtđườngthẳng.Đươngnhiêntậphợpchỉcóthểthuộcmộttronghailoại.BâygiờgiảsửRlàthuộctậphợpthứhai.ThếthìRcóphảithuộctậphợpđókhông?

NếuRlàtậphợploại1:thìRphảilàphầntửcủatậphợpđó,nhưngtheođịnhnghĩaRchỉdoloạitậphợpthứhaitạonên.NhưngnếuRthuộcloạitậphợploạihai,thìtheođịnhnghĩacủaR,RphảilàphầntửcủaRvàrõrànglàRlạithuộcloạitậphợpthứnhất.Nhưvậyquayđiquaylạiđềukhó,khôngcócâutrảlời.Đóchínhlà“nghịchlíRusselnổitiếng”.

DonghịchlíRusselhếtsứckhólígiải,nênngườitalạidùngsựviệchàngngàyđểsosánhvàđưaralogic“nghịchlíngườithợcắttóc”.Ởmộtthônnọcóngườithợcắttócnổitiếngvớilậpluậnanhta

chỉchophépngườikhôngtựcạomặtcạomặtchomình.Khituyênbốnhưvậyngườithợcắttócđãlâmvàothếbí:Anhtacótựcạomặtchomìnhkhông?Nếuanhtatựcạomặtthìlạingượclạilờituyênbố“chỉđểchoaikhôngcạomặtcạomặtchomình”.Nhưngnếukhôngcạomặtthìlạitráivớinguyêntắc“đểchongườikhôngcạomặtmìnhđicạomặt”.

SựpháthiệnnghịchlíRussellàmlunglaycơsởlíthuyếttậphợpvàcơsởtoánhọcbịmộtchấnđộngrấtlớnvàngườitagọiđólà“nguycơlầnthứba”củatoánhọc.Đểgiảiquyếtmâuthuẫnnày,cácnhàtoánhọcđãtiếnhànhcácnỗlựchếtsứckhókhănbiếnlíthuyếttậphợptừhìnhthứcdẫnchứngtiếnđếnphươngpháptiênđềvànăm1908ngàiMeilorđãđưaraphươngántiênđềhoálíthuyếttậphợp.Tônchỉcủaônglàcầncó“hạnchếvềđịnhnghĩatậphợp”đảmbảoloạibỏcácmâuthuẫn,lạicóthểbảotồnđược“cácnộidungcógiátrịlớncủalíthuyếttậphợpCanto”.TrongcáctiênđềMeilorvềtậphợpkhôngcócáchnói“cáimàtậphợpcóchínhlàđãtạonêntậphợp”.PhươngántiênđềhoácáccảitiếnbổsungcủaFlunkelvàSkelandtạonênhệtiênđềZFtronglíthuyếttậphợphiệnđại.ĐươngnhiênngoàihệtiênđềZFcòncócáchệtiênđềkhác.

Nghịchlívànguycơkhônghềlàmnghiêngngảcơsởcủatoánhọcmàtrongquátrìnhxâydựnghệthốngtiênđềđãgiúploạibỏcácnghịchlí,líthuyếttậphợpđãđượcpháttriểnvàhoànthiệnvàcơsởcủatoánhọcngàycàngcócơsởvữngchắc.

Từkhoá:NghịchlíRussel;Nghịchlíngườithợcắttóc;Nguycơcủatoánhọc;Líthuyếttậphợp.

Cũngnhưnhiềukhoahọctựnhiênkhác,toánhọcđượcsinhradonhucầuthựctiễncủacuộcsốngloàingười.VàothếkỉXVItrởvềtrước,đạiđasốcácngànhkhoahọctựnhiêncũngnhưtoánhọc,phảnánhtrạngtháiổnđịnhvàítbiếnđổicủanhiềusựvật.Docácvấnđềtươngđốiđơngiảnhoặcyêucầugiảiquyếtkhôngquácao,nênnóichungthườngsửdụngcácsốkhôngđổi(toánhọcsơcấp),cácphéptínhsốhọc,đạisốsơcấphoặchìnhhọcsơcấplàcóthểgiải

quyếtđược.Vídụkhinghiêncứuchuyểnđộngtìmramốiliênquangiữaquãngđườngđivàtốcđộ.TừthếkỉthứXVItrởvềtrước,mọivấnđềtốcđộđềulàtốcđộkhôngthayđổi,nênmốitươngquangiữaquãngđườngđivàtốcđộkhôngcógìquáphứctạp.Khidùnghệthức:quãngđường=tốcđộxthờigian,dễdàngtínhđượcquãngđườngđiởmọithờigianbấtkì.

Khicầntínhdiệntíchvàchuvicủađườngtròndokhôngcầnkếtquảquáchínhxácnênchỉcầntínhdiệntích,chuvicủacácđagiácđềunộitiếphoặcngoạitiếpvòngtrònthaychodiệntích,chuvivòngtròn.

TừthếkỉXVItrởvềsau,chủnghĩatưbảnpháttriểnởChâuÂu,khoahọctựnhiênvàtoánhọcdođócũngpháttriểntheo.Thựctiễnsảnxuấtđưakhoahọctựnhiênvàtoánhọcđếnvớinhiềuvấnđềnghiêncứumới.Vídụyêucầunghiêncứucácchuyểnđộngcótốcđộthayđổi,yêucầutínhchínhxácdiệntích,chuvicáchìnhtrònv.v...Từđócácbàitoánđãđượcnghiêncứurộngrãithờicổđạinhưcáchìnhelip,parabon,hypecboncũngnhưđườngxoắnốcđượcxemxétvànghiêncứulạitheoquanđiểmmới.Chẳnghạnngườixưachocáchìnhnàylàđứngyên,ổnđịnhthìnayvídụhìnheliplàquỹđạochuyểnđộngcủacáchànhtinhquanhMặtTrời,cònđườngparabonlàquỹđạocácvậtthểchuyểnđộngnghiêng,cácđườngcongnàyphảnánhchuyểnđộngvớitốcđộthayđổi.Rõrànglàthựctiễnsảnxuấtđãđặtrachokhoahọctựnhiênvàtoánhọcnhiềuvấnđềnghiêncứumớilànghiêncứuchuyểnđộngvàsựthayđổicủachuyểnđộng.Đểgiảiquyếtcácvấnđềnàyrõrànglàsửdụngcácphươngphápcũvớicácđạilượngkhôngthayđổilàkhôngthểđược.Cácđạilượngbiếnthiên,cácbiếnsốdođóđượcđưavàotrongtoánhọcmộtcáchtựnhiên.

Vàonăm1637,nhàtoánhọcPháplàDescartes(1596-1650)lầnđầutiênđãđưarakháiniệm“đạilượngthayđổi”đểbiểudiễncácđạilượngcógiátrịthayđổitrongmộtquátrìnhnàođóvàkíhiệulàxvày.Nhờkháiniệmđạilượngbiếnthiên(biếnsố)vớimộthìnhvídụhìnhelipkhigánvàomộthệtrụctoạđộtrục(y-x)cóthểbiểudiễndướidạngphươngtrìnhx2/a+y2/b=1đểbiểudiễntínhchấtcủahìnhelip.NếumộtelipđượcmôtảchuyểnđộngcủamộthànhtinhnàođóquanhMặtTrờithìtínhchấtcủahànhtinhđượcmôtảtrêntoànbộcácthamsốcủahìnhelip.

Liênquanđếnkháiniệmđạilượngbiếnthiên,Enghenđãviết“CácchấtđiểmtrongtoánhọcchínhlàbiếnlượngcủaDescartes.Cókháiniệmđạilượngbiếnthiên(tứcbiếnlượng)sựchuyểnđộngđãthâmnhậpđượcvàotoánhọc,cóbiếnlượnglàphươngphápbiệnchứngđãthâmnhậpvàotoánhọc.Cóbiếnlượngcácphéptínhviphân,tíchphânđãtrởthànhtấtyếu”.

Từkhoá:Đạilượngbiếnthiên(Biếnlượng).

Toánhọcnóichunglàtìmcácmốiliênquangiữasốvàhình,thôngquacácmốiquanhệđặcbiệtđểnhậnthứccácquyluậtkháchquan.Vìvậychúngtacóthểnóitoánhọclàmônkhoahọcnghiêncứuvềcácmốiquanhệ,tức“quanhệhọc”.

Ởbậctiểuhọc,chúngtađãnghiêncứucácphéptínhcộng,trừ,nhân,chiagiữahaisố.Nắmchắcmốiquanhệđóchúngtacóthểápdụngvàocácvậnđộngtrongcuộcsốngđờithườngvàcóthểtìmthấycácvấnđềcóliênquanđếncácconsố.

Khichúngtasosánhcácvậttadùngkháiniệmto,nhỏ,bằngnhautalạisửdụngmộtloạiquanhệkhác:quanhệsosánhhaivật.Khiđánhgiákhảnănghọctậpcủamộthọcsinhngườitadùngbiệnpháp

thicửđểđánhgiáthànhtíchcủatừnghọcsinh.Khicầnsosánhhìnhdạnghoặcdungtíchcủahaihình,ngườitacóthểdùngcáctrithứcvềhìnhhọcđểtínhtoándiệntích,thểtích,sauđómớisosánhcácvật,cáchìnhliênquan.

Cácloạiđịnhlítrongtoánhọccóthểnêurõđượccácmốiquanhệnộitạicủacácvật:Vídụđịnhlívềtổngbìnhphươngcáccạnhvuônggócbằngbìnhphươngđườnghuyềncủatamgiácvuôngnêulênmốiquanhệvềđộdàicáccạnhgócvuôngvớiđộdàicủađườnghuyền.

Cáccôngthứctínhtoán,vídụcôngthứctínhdiệntíchScủatamgiácS=1/2đáyxchiềucao,phảnánhmốiquanhệgiữadiệntíchcủahìnhtamgiácvớiđộdàicủacạnhđáyvàchiềucaocủahìnhtamgiác.

Hàmsốcũnglàphảnánhmộtmốiquanhệtrựctiếpgiữacácđạilượngbiếnthiênvớinhau,vídụy=f(x1,x2...xn)phảnánhmốiquanhệgiữađạilượngbiếnthiênyvớimộtnhómcácđạilượngbiếnthiênkhácx1,x2...xn.

Trongtoánhọckhôngcóchỗnàokhôngtồntại“quanhệ”.Vấnđềmàtoánhọcnghiêncứuchínhlànghiêncứucácmốiquanhệ.

Từkhoá:Toánhọc;Quanhệhọc.

Toánhọclàngànhhọcnghiêncứutính“chặtchẽ”vàtính“chuẩnxác”.Trongcácphéptínhtoánđềuphảithựchiệntừngbướctheocácquytắctính.Trongcácchứngminhhìnhhọcmỗibướcsuyluậnphảicólído,cócăncứ.Cácquytắc,lído,căncứlàcácyêucầu“logic”.Mặcdùchúngtachưahềhọcquamộtgiáotrìnhvề“logic”nhưngtoánhọcđãđemlạichotacáchtưduylôgicmộtcáchtựnhiên,vôthức.Cácđịnhlítoánhọcđãđượcdùngphươngpháplogicđểchứngminh,từngbước,từngbướcmộtcáchcócăncứ,cócơsởlíluận,suyracáckếtquảhoàntoànchínhxác,khôngcógìnghingờ.Đólàđặcđiểmchínhcủatoánhọc.Vìvậyhọccáchsuyluậnlôgic,đóchínhlàmộttrongnhữngmụctiêukhihọctoán.

Thựcrathìsuyluậnlôgictoánhọclàloạitưduyhìnhthứcmàkhôngphảilàtoànbộ.Toánhọccòncầncóquansáttrựcquan,cầncódựđoán,cầncótưởngtượng.Vớiphươngphápsuyluậnlôgic:vớicáctiênđềchínhxáccácsuyluậnsẽdẫnđếnkếtluậnchínhxác.Thếnhưngtiềnđềđếntừđâuvàcóchínhxáckhôngvàsuyluậntheophươngnàovàtiếnhànhnhưthếnàothìsuyluậnlôgickhôngcócáchnàoxácđịnhđược.Vídụ“giữahaiđiểmtachỉcóthểvẽmộtđườngthẳng”,“quamộtđiểmchotrướctachỉcóthểvẽmộtđườngthẳngsongsongvớimộtđườngthẳngchotrước”,cácmệnhđềtrênđềuphảiquaquansátphântíchhiệnthựcmànhậnđược.Cáckháiniệmsốπ,sốlẻvôhạntuầnhoàn,sốdương,sốâmđềubắtnguồntừviệcquansát,khảosáthiệnthực,kinhquatưduysángtạomàrútrađược.Chonêncóthểnóilôgicrấtquantrọng,toánhọccầnđếnlôgic,nhưngtoánhọckhôngđồngnhấtvớilôgichọc.

Từkhoá:Toánhọc;Suyluậnlôgic.

Ởtoánhọcsơcấp,chúngtađãbiết1+1=2.Nhưngkhihọcđếnhệđếmcơsố2thì1+1=10màkhôngphảilà1+1=2,bởivìtronghệđếmcơsố2khôngcóchữsố2.

Vànhưvậytaphảiviết1+1=1.Tạisaovậy?Đólàphépcộnglôgic.

Trongđạisốlôgictachỉcóhaikíhiệu1và0,giốngnhưởhệđếmcơsốhai.Thếnhưngởhệđếmcơsố2thìchữsố1chínhlàchữsố1,

cònsố0chínhlàchữsố0.Còntrongđạisốlôgic1và0khôngphảilàchữsốmàchỉlàkíhiệu.Trongmạchlôgicthôngthườngthì1biểuhiệndòngđiệnđãthông,còn0biểuhiệndòngđiệnbịngắt.

Giảsửcómạchđiện;trongmạchđiệnnày:Enguồnđiện(giảsửđólàcácpinkhô),Plàbóngđènnhỏ.KhimạchđiệnthôngthìbóngđènPsẽsángứngvớikíhiệu1.Khimạchđiệnbịngắt,bóngđènPsẽtắtứngvớikíhiệu0.

Trênhìnhvẽ,AvàBlàhaicôngtắc.Khicôngtắcđóngthìmạchthông,khicôngtắcngắt,mạchhở.

NếubâygiờtađóngcôngtắcAvàngắtcôngtắcB.MạchđiệnsẽthôngquacôngtắcAvàbóngđènPsẽsáng,tađược1.

NếutangắtcôngtắcA,mởcôngtắcBthìmạchcũngsẽthôngquacôngtắcBvàbóngđènPcũngsẽsáng,tacũngđược1.

GiảsửbâygiờcảhaicôngtắcAvàBđềumở,cảhaimạchđiệnđềuthôngtứcứngvới1+1.ThếnhưngbóngđènPcũngchỉsángvớimứcđộbìnhthườngnêncũngchỉlà1.

Nếubiểudiễnbằngcôngthứctoánhọcthì1+1=1.

Nhưvậycóchínhxáckhông?

Theocáctìnhhuốngvừatrìnhbàyởtrên,khiđóngcôngtắcAthìđược1,khiđóngcôngtắcBcũngđượckíhiệu1.KhiđóngđồngthờicảhaicôngtắcAvàBtacũngchỉđược1.Tạisaovậy?Đóchínhlàphépcộngtheođạisốlogic.

Từkhoá:Đạisốlôgic.

Nóiđếntoánhọclànóiđếncáigìđóthậntrọng,chínhxác.Cáckiếnthứcđưavàosáchtoánđềuphảitrảiquacácchứngminhchặtchẽ,chínhxác100%.Thếtạisaotrongtoánhọclạicóvấnđề“dựđoán”.Đólàvì“trongsángtạotoánhọccũnggiốngvớibấtkìloại

sángtạokhoahọcnào.Trướckhichứngminhmộtđịnhlítoánhọc,trướchếtbạnphảidựđoánnộidungđịnhlíđó.Trướckhibạnchocácchứngminhrõràngđịnhlí,bạnphảinghĩconđườngchứngminh.Bạnphảitừcácquansát,suyluận,tổnghợp,sosánh.Bạnphải“lặpđi,lặplạinhiềulần”.

ĐoạnvăntrênlàcủanhàtoánhọcMỹG.Bonia.Từđoạnvăntrêntacóthểthấybấtkìkếtluậnnàotrongtoánhọcđềudocácnhàtoánhọcvậndụngcácloạidựđoánkhácnhau.Trongtoánhọc,dựđoánchínhlàphươngpháppháthiệnlàmộtphươngpháp,phươngthứctưduysángtạo.

Đươngnhiênvớicácdựđoáncóthểcóhaikhảnăng:

Mộtlàdựđoánđượcchứngminhlàchínhxácvànhưvậytừdựđoántanhậnđượcmộtđịnhlí.

Hailàdựđoánbịchứngminhlàsailầm.VídụđịnhlíFerma(1601-1665).Dựavàovớin=0,1,2,3,4thì22n+1làmộtsốnguyêntốđãđưaradựđoánvớicácsốtínhtheocôngthức22n+1làmộtsốnguyêntố.KếtquảlàdựđoánđãbịEulerbácbỏvìn=5thìsố232+1=641x6700414làmộthợpsố.Cóphảimộtdựđoánbịchứngminhlàsailầmcóphảihoàntoànvôích?Đươngnhiênlàkhông.Bởivìkhidựđoánđangcòncógiátrịthìđươngnhiêntrongdựđoáncóhàmchứamộttínhquyluậtnàođómànhờđótrongcáctìnhhuốngthíchhợpcóthểcócáccảitiếncóích,cóthểcócácứngdụngvàocácmụcđíchnghiêncứukhác.

Đươngnhiêncũngcónhữngdựđoánchưađượcchứngminhtoànvẹnnhưngđãhấpdẫnsựchúýliêntụccủanhiềuhọcgiả.Trongquátrìnhnghiêncứucáchchứngminhđãsinhranhiềuphươngpháplíluậnmới,thúcđẩytoánhọcpháttriển.“DựđoánGoldbach”nổitiếnglàmộtvídụ.Tuydựđoánđượcnhậnđịnhlàchínhxácnhưngchưađượcchứngminhhoàntoàn.

Vìvậydựđoánlàmộtvấnđềkhó.Cũngcónhữngvấnđềkhótạmthờicònchưađưarađượcdựđoán.Vídụviệcđưaramộtsốnguyêntốrấtlớnchođếnnayvẫnchưacódựđoán,ngaycảliêntưởngđếnsốnguyêntốlớnnàyvẫnchưacó,nêncònchưacócáchđểratay.

Chúngtahọctoánkhôngchỉhọctậpcáckếtquảcủangườiđitrướcmàchủyếulàhọctậpphươngpháptưduy.

Từkhoá:Dựđoán.

181.Sốnguyênvàsốchẵncónhiềunhưnhaukhông?

Sốchẵnvàsốnguyêncónhiềunhưnhaukhông?Nhiềubạnchưakịpsuynghĩđãtrảlời“không,khôngnhưnhau,bởivìsốchẵnlàmộtbộphậncủasốnguyên”.Hoặccũngkhôngítngườitỏýhoàinghivềcâuhỏinày,khôngnắmchắclắmnêntrảlời:“cóthểnhiềunhưnhauvìsốnguyênvàsốchẵncóđốiứng1-1”,Trongsốđócóbạnviếtlênbảngđốiứng1-1giữasốnguyênvàsốchẵn:

... -n ... -2 -1 0 1 2... m ...

... -2n -4 2 0 2 4... 2m ...

Tronghailoạiýkiếnthìaiđúng,aisai?

Bảnchấtvấnđềnêutrênchínhlàviệcsosánhsựtonhỏcủahaitậphợp:tậphợpsốnguyênvàtậphợpsốchẵn.Việcsosánhđộto,nhỏcủahaitậphợphữuhạnkháđơngiản,nhưngvớicáctậphợpvôhạnthìthếnàolà“tonhỏ”sovớinhau,vàsosánhđượcthựchiệnnhưthếnào?

Đốivớimộttậphợphữuhạnthìdựavàosốphầntửcótrongmỗitậphợpđểsosánhvàlàmthướcđochođộto,nhỏ.Vídụ:

1.Mộtbộphậnsovớitoànthể(theolậpluậncủalíthuyếttậphợp)thìbộphậnnhỏhơntoànthể.

2.Nếugiữahaitậphợpcóthểthiếtlậpđốiứng1-1giữacácphầntửcủahaitậphợpthìchúngcóđộlớnnhưnhau.

Haicáchtrảlờitrìnhbàytrênkiachínhlàhaikếtquảdựavàohaitiêuchuẩnkhácnhauđốivớimộttậphợpđơngiảnsuyrachomộttậphợpvôhạn.

Thựcratronghaitiêuchuẩnthìtiêuchuẩnhailàbảnchất.Tahãysuynghĩmộtchúttừ“ba”cóthểđượctrừutượnghoátừnhữngsựvậtgì?Mọingườiđềubiếtcóthểcó“tậphợpbaconchó”,“tậphợpba

người”,“tậphợpbaquyểnsách”v.v...Nhưvậythôngquaviệcquansátcácsựvậtkhácnhautrênthựctiễntacóthểđưaratậphợp“ba”trừutượngcócùngđặctính.

Tạisaotậphợp“ba”lạicócùngtínhchấtmà“tậphợpbốnngười”lạikhôngcócùngtínhchất?Điểmchủyếucủa“ba”làcócùngtínhchấtcóthểthiếtlậpđốiứng1-1giữachúng:bangườichăndắtbaconchóthànhđốiứnggiữa“tậphợpbaconngười”với“tậphợpcủabaconchó”.Bangườiđọcbaquyểnsáchtathiếtlậpđốiứng1-1giữa“tậphợpbangười”với“tậphợpcủabaquyểnsách”.

Theophươngthứctưduynàytacóthểmởrộngchotậphợpvôhạnvàthànhlậplíluận“độtonhỏ”củatậphợpvôhạn.Vớihaitậphợp(hữuhạnhayvôhạn)tacóthểthiếtlậpsựđốiứng1-2tanóihaitậphợpcócơsốnhưnhau.Nếunhưmộttậphợpcóthểthiếtlậpmốiquanhệđốiứng1-2vớimộttậphợpkhácthìngườitanóitậphợpthứnhấtcócơsốkhônglớnhơntậphợpthứhai.Từkháiniệmkhátrừutượnglà“cơsố”tacóthểsosánhđộlớnnhỏcủacơsố.Cơsốchínhlàđượcsuyrộngtừkháiniệmphầntửcủatậphợphữuhạnchotậphợpvôhạn.

Theođịnhnghĩađó,tậphợpcócơsốnhỏnhấttrongcáctậphợpvôhạnchínhlàtậphợpcácsốtựnhiên.Bởivìnếucómộttậphợpvôhạn,cứmỗilầntarútramộtphầntửtừtậphợpđó,trongtậphợpvẫntồntại(dĩnhiênkhôngcóphầntửbịrútra),quátrìnhrútracácphầntửcủatậphợpcóthểliêntụcđượcthựchiện,vànhưvậycóthểthiếtlậpmốiquanhệ1-1giữacácphầntửtậphợpvôhạnđãxétvớitậphợpcácsốtựnhiên.TrongtoánhọcngườitadùngchữHyLạpXđểkíhiệutậphợpvôhạn(XđọclàKhi)vàdùngkíhiệuX0đểkíhiệutậphợpcácsốtựnhiên.

Quaylạivấnđềđặtratừbanđầutacóthểsuyratậphợpcácsốnguyênvàsốchẵncócùngmộtsốgiốngnhau,tứcsốnguyênvàsốchẵncócùngmộtsốvàtừđócócùngđộlớnnhưnhau,tứcsốnguyênvàsốchẵnnhiềunhưnhau.SựthựcthìcảhaitậphợpđềucócơsốlàX0.Tachỉcầnsắpxếpcácsốnguyênthànhdãy0,1,-1,2,-2,3,-3...khôngmộtsốnguyênnàocóthểlọtrangoàibảngsắpxếp,vàdođótađãthiếtlậpmộtđốiứng1-1giữatậphợpsốnguyênvàtậphợpsốtựnhiên.TừđócóthểchứngminhcácsốhữutỉcũngcócơsốlàX0.Cácbạncóthểsắpxếpđểthấycơsốcủatậphợpcácsốhữutỉlà

X0.

ĐươngnhiêncũngcócáctậphợpcócơsốkhácX0.Dướiđâytasẽchứngminhtậphợpcácsốthựclàloạitậphợpnhưvậy.

Chúngtađãthấytậphợpvôhạnđượcmởrộngtừcơsốtậphợphữuhạnnhưnggiữacơsốcủatậphợpvôhạnvàtậphợphữuhạncósựkhácbiệtrấtlớn.

Từkhoá:Sốnguyên;Sốchẵn;Tậphợp;Cơsố.

182.Thếnàolà“giảthiếtliêntục”?Trênđâychúngtavừanghiêncứutậphợpsốthựccócơsốkhông

phảilàX0.Đểđưarakếtluậnnày,điểmchủyếulàkhôngthểsắpxếpcácsốthựctheobấtkìthứtựnào.Thậmchítakhôngthểsắpxếpcácsốthựctrongkhoảng0và1theothứtự.Tacóthểdùngphảnchứngđểchứngminhkếtluậnnày.Giảsửtacóthểsắpxếpcácsốthựctừ0-1thànhdãyvàghiđược:

xi=0,ai1ai2ai3ai4...

trongđóaijlàsốlẻthậpphânởvịtríj,đươngnhiênlàaijlấycácgiátrịtừ0đến9là10số.

Giảsửtalạichọnsốy=0,b1b2b3b4...vàbi≠ai(việcnàydễdàngthựchiện)bởivìchỉcầnlấymộtsốlẻởykhácvớixilàtacóy≠xivàdođóysẽkhôngthuộcnhómsốđãsắpxếp(tứcnhómxy).Từmâuthuẫnnàytathấykhôngthểdùngbấtkìcáchnàođểnhậnđượcsựđốiứng1-1giữacácsốxyvớitậphợpsốtựnhiên.

CơsốcủatậphợpsốthựclàX1.NhưvậyliệucócòncơsốnàotrunggiangiữaA0vàX1?TheoCanter,ngườisánglậplíthuyếttậphợpkhôngcócơsốnàokhácX0vàX1ơ,nóicáchkháctậphợpvôhạncácsốthựcchỉcóthểlàX0vàX1.Đóchínhlàvấnđề“hệthốngliêntục”.(Ngườitaxemtậphợpsốthựccũngnhưtậphợpcácđiểmtrênđườngthẳnglà“hệthốngliêntục”,đóchínhlàvấnđề“hệthốngliêntục”).

Vấnđềhệthốngliêntụccóýnghĩaquantrọngtrongnhiềungànhtoánhọc.Từkhivấnđềhệthốngliêntụcđượcđưara,nhiềunhàtoánhọchếtsứccốgắngđểchứngminhhoặcphủđịnhnó.Tạihộinghịtoánhọcquốctếnăm1900,nhàtoánhọcnổitiếngBordadđưara23bàitoánđượcsựchúýcủanhiềunhàtoánhọcđươngthời,trongđóbàitoánhệthốngliêntụclàmộttrongcácbàitoánđó.ThếnhưngcũnggiốngnhưtiênđềsongsongtronghìnhhọcEuclide,cácnhàtoánhọcpháthiệnkhôngcócơsởđểbácbỏnó,cũngkhôngchứngminhđượcnó.Chođếnnăm1938,CadelchứngminhhệtiênđềZFcủalíthuyếttậphợpthuộcvấnđềhệthốngliêntụclàkhôngthểphủđịnh.25nămsau,CohenlạichứngminhhệtiênđềZFthuộchệthốngvấnđềliêntụclàkhôngthểchứngminhđược.ThànhtựucủaCadelvàCohenđượcxemlàhaithànhtựulớntrongcôngtácnghiêncứutoánhọccủathếkỉXX.NócũngbàytỏhệtiênđềZFvàvấnđề“hệthốngliêntục”làđộclậpvớinhauvàbiến“vấnđềliêntục”thành“giảthiếtliêntục”.Cũngcónhiềunhàtoánhọccònchưayênlòngvới“giảthiếtliêntục”vàhếtsứctìmcáctiênđềmớiđểthaythế.Hiệnnaymọingườiđanghếtsứccốgắngtrongcôngcuộctìmtòiđó.

Từkhoá:Tậphợp;Cơsố;Giảthiếthệthốngliêntục.

183.Vìsaocácđộngtác“đứngnghiêm,quayphải,quaytrái,đằngsauquay”lạicóthểlàđốitượngcủatoán

học?“Đứngnghiêm,quaytrái,quayphải,quayđằngsau”làbốnđộng

táckhôngphảilàconsố,khôngphảilàhìnhvẽvìsaolạitrởthànhđốitượngcủatoánhọc?Nhiềungườikhôngrõtạisao.

Trướchếttathửphântíchmốiquanhệnộitạicủabốnđộngtác!Đểdễdàngtheodõi,tadùngcáckíhiệuI,R,L,Hđểbiểudiễnbốnđộngtác:đứngnghiêm,quaytrái,quayphải,quayđằngsautheothứtự.TalậptậphợpM={I,R,L,H}.Nếubanđầutachoquayphải,sauđótachoquaytrái,kếtquảlàđượctưthếnhưbanđầu(nhưkhichưathựchiệnđộngtácquay)tứcđộngtácđứngnghiêmnhưbanđầu.Nếutadùng“o”biểudiễnviệcthựchiệnhaiđộngtácliêntiếp.Như

vậytasẽcóLoR=I.TươngtựRoLbiểudiễntrướcthựchiệnquaytrái,sauthựchiệnquayphải,kếtquảđượcI.HoLbiểudiễntrướchếtthựchiệnđộngtácquaytrái,sauđóthựchiệnđộngtácquayđằngsau,kếtquảđượcR.Tiếptụccáchsuyluậntươngtự,tacóthểnhậnđượcbảngsơđồquanhệsauđây.Theođịnhnghĩa,phéptính“o”chocácyếutốcủatậphợpM,bốnphầntửcủacáctậphợpcómốiliênquan:

o I L R HI I L R HL L H I RR R I H LH H R L I

Trướchết,vớibấtkìphầntửnàocủaMkhithựchiệnđộngtácIcũnglàchínhđộngtácđó.1,bởivìkhinhânbấtkìsốnàovớisố1cũngđượcchínhsốđó.DođóIgọilàphầntửđơnvị.

Mặtkháccũngnhưmộtsốtựnhiêna,đềucósốnghịchđảo1/a,vớibấtkỳmộtphầntửnàocủaMtacũngcóthểtìmđượcmộtphầntửđốiứngđểkhithựchiệnliêntiếphaiđộngtácđótalạiđượcI.Haiđộngtácnhưvậyđượcgọilàhaiđộngtácnghịchđảotươngứngvớinhau.

ThôngquabảngsơđồquanhệtrênđâytacóthểthấyL,Rlànghịchđảotươngứngvớinhau,IvàHlàhaiphầntửtựnghịchđảođốivớibảnthânmình.Mặtkhác,cácphéptínhcủacácphầntửcủatậphợpMcũngcómộtsốtínhchất:vídụvớiphéptínhtinhtacũngcóquyluậtkếthợp.Vídụ(LoR)oH=IoH=H,cònLo(RoH)=LoL=H,vìvậy(LoR)oH=Lo(RoH).

TómlạivớibốnyếutốcủatậphợpM:I,R,L,Hkhithựchiệnphéptính0,cóyếutốđơnvịI,mỗiyếutốđềucóyếutốnghịchđảo,khithựchiệncácphéptínhvớicácyếutốcủaMcácphéptínhcũngcóquyluậtkếthợp.TấtcảcácquanhệvàcácphéptínhxácđịnhkếtcấucủatậphợpM.Toánhọcthườngđượctrừutượnghoádoviệcnghiêncứucácđốitượngcụthểnhưvậy.Vìvậychúngtanóicácđộngtác“đứngnghiêm,quayphải,quaytrái,quayđằngsau”tạo

thànhđốitượngcủatoánhọc.Môntoánhọclấycácđốitượngthựctếnàyđượctrừutượnghoáthànhđạisố“nhóm”.MờicácbạnxemxétsẽthấynhưcácphầntửcủaMsốnguyên,sốhữutỉcũngtạonêncấutrúcnhómtrongphéptínhnhân.

KháiniệmnhómdonhàtoánhọcPhápGaloisđưara,ngàynayđãthâmnhậpvàomọilĩnhvựckhácnhưvậtlí,hoáhọccũngnhưnhiềungànhkhoahọckhác.Ngaycảđịnhlívềviệckhônggiảiđượccácphươngtrìnhcóbậctừnămtrởlênbằngphươngphápcầuphươngcũngphảidùnglíthuyếtnhómmớichứngminhđược.

Từkhoá:Đốitượnghoáhọc;Yếutốđơnvị;Đơnvịnghịchđảo;Nhóm.

184.Vìsaokhitungđồngxu,sốlầnxuấthiệnmặtsấp,mặtngửanhư

nhau?Trướckhitiếnhànhcáctrậnđấubóngđá,ngườitrọngtàithường

ném(tung)đồngxuđểxemsựxuấthiệnmặtsấphayngửalêntrênmàquyếtđịnhđộigiaobóngtrước.

Vớimộtđộiđithiđấubóngđáthìviệcgiaobóngtrướchaysaukhôngcógìquantrọng.Tuynhiênnênchúýviệckhinémđồngxunhiềulầntasẽthấysốlầnxuấthiệnmặttráivàmặtphảinhưnhau.Vìsaovậy?

Đóchínhlàdotácđộngcủaquyluậttoánthốngkê.Tathửnémđồngxumộtlần,trướckhinémđồngxutachưathểnóigìvềkếtquảcủaphépthử(mặttráihaymặtphảiởphíatrên).Nhưngnếutanémđồngxunhiềulầnthìlạicóthểtiênđoánkếtquảcủacácphépnémthử(gọitắtlàphépthử).

Giảsửtrongphépthửtrênđây,tagọisựkiệnxuấthiệnmặtngửacủađồngxulêntrên,tagọilàsựkiệnA,cònviệcxuấthiệnmặtsấplêntrênlàsựkiệnB.KhảnăngxuấthiệnsựkiệnAhoặcsựkiệnBkhinémđồngxuđượcgọilàxácsuấtP(A)vàP(B).ViệclặplạinhiềulầnphépthửthìviệcxuấthiệnsựkiệnAhayBcótínhquyluậtgọilàtính

thốngkê.Giảsửsaunhiềulầnnémđồngxuvídụnlần,sựxuấthiệnsựkiệnAcónAlần,cònxuấthiệnsựkiệnBlànBlần,nAlàtầnsốxuấthiệnsựkiệnA,nBlàtầnsốxuấthiệnsựkiệnB,tagọifn(A)=nA/nlàtầnsuấtxuấthiệnsựkiệnA.Nếufn(A)cànglớnthìsựxuấthiệnsựkiệnAcàngdàyvàtrongmộtphépthửkhảnăngxuấthiệnsựkiệnAcànglớn.Khithựchiệnphépthửnhiềulầnthìtầnsuấtfn(A)càngdầntiếnđếnxácsuấtP(A)củasựkiệnA.

Quacáctínhtoáncụthểtacóthểnhậnrõđượctínhquyluậtnày.Giảsửcáchnémđồngxulàthựchiệnnhưnhautrongcáclầnném,sựxuấthiệnsựkiệnAhayBtrongmỗilầnnémlànhưnhau(đồngkhảnăng)nênP(A)=P(B)=0,5,hoặccóthểviếtP(nA=1)=P(nA=0)=0,5.Nếuthựchiệnnhiềulầnphépthửcóthểxuấthiệnbốnloạikếtquả:

(A,A)(A,B)(B,A)(B,B).

dễdàngtìmthấy

P(nA=2)=0,25

P(nA=1)=0,5

P(nA=0)=0,25

Vídụsau10.000lầnthựchiệnphépthửngườitaghilạiđượcsựkiệnAxuấthiện4900-5100và4800-5200

VàxácsuấtcủasựkiệnP(4900≤nA≤5100)≈84,26%

P(4800≤nA≤5200)≈99,54%.

hayxácsuấtđể

P(0,49≤fn(A)≤0,51≈84,26%

P(0,48≤fn(A)≤0,52≈99,54%

Đãcókhánhiềungườithựchiệnloạiphépthửkểtrên.

Ngườithínghiệm nA nA fn(A)

Magan 2048 1061 0,5181Phổphong 4040 2048 0,5069K.Borsun 12.000 6019 0,5016L.Borsun 24.000 12012 0,5005

Từkhoá:Xácxuất;Quyluậtthốngkê;Tầnsố;Tầnsuất.

185.Vìsaodùngphươngphápxácsuấtcóthểtínhđượcgiátrịgầnđúng

củasốπ?Bạnđãtừngnghenóiđếnviệcdùngthínghiệmđểtínhdiệntíchhìnhtrònchưa?Lấymộttờgiấytrắngdiệntích1m2.Trongtờgiấytavẽvòngtrònđườngkính1m(nhưhìnhvẽ).Vòngtrònsẽtiếpxúcvớihìnhvuôngtạimộtđiểmtrênmỗicạnhcủahìnhvuông.Diệntíchcủa

hìnhtrònsẽlà .Sauđóbạnnémtừnghạt,từnghạtvừngvàotờgiấymộtcáchtuỳý.

Khibạnnémcáchạtvừng,bạncóthểnhờmộtbạnkhácghilại:Tổngcóbaonhiêulầnném,cóbaonhiêuhạtvừngrơivàovòngtròn?

Saukhithínghiệmkếtthúcbạnchỉcầnlấysốhạtvừngrơivàobêntrongvòngtrònchiachotổngsốhạtvừngđãném.

Kếtquảtínhđượcchínhlàdiệntíchcủahìnhtròn.Ngườitađã

nhậnđượckếtquảnhưsautrong2000lầnnémhạtvừngcó1572hạtrơivàobêntrongvòngtrònvàtacódiệntíchhìnhtrònlà1572/2000=0,786m2.Consốnàyrấtgầnvớidiệntíchhìnhtrònlàπ/4.Từdiệntíchnàysẽtínhđượcsốπ=4x0,768=3,144.Nếusốhạtvừngđượcnémđicànglớnthìkếtquảtínhsẽcàngchínhxác.

Thínghiệmkìlạnàykhôngphảiđượctiếnhànhmộtcáchvôcăncứ.Chúngtabiếtkhảnăngđểhạtvừngrơivàobêntrongvòngtròn

Vìdiệntíchhìnhvuônglà1m2nên

Diệntíchhìnhtrònbằngxácsuấtsốhạtvừngrơivàobêntrongvòngtròn

Việcsửdụngmộtphươngphápmangtínhmayrủi(phươngphápngẫunhiên)đểxácđịnhmộtvấnđềtoánhọcxácđịnhđượcgọilàphươngphápMontecarlonổitiếng.CóđượcphươngphápMontecarlongườitacóthểquamôhìnhsựkiệnmayrủiđểxácđịnhcácquyluậttoánhọcxácđịnh.

Từkhoá:Xácsuất;PhươngphápMontecarlo.

186.Vìsaodùngphươngphápthí

nghiệmchéocóthểtăngcaohiệusuấtthínghiệm?

Cóhailoạihạtgiống1và2,cầntìmhiểuxemloạihạtgiốngnàochosảnlượngcaongườitaphảitiếnhànhcácthínghiệm.Nếuđemhạtgiống1gieovàomảnhđấtAcònhạtgiống2gieovàomảnhđấtB.Kếtquảthuhoạchcóthểchobiếtloạihạtgiốngnàochosảnlượngcaovàdựavàođóđánhgiáchấtlượngcao,ắtcóngườinóiđólàmảnhđấtAphìnhiêuhơn,tốthơnmảnhđấtB.Từđócóthểcáchthínghiệmnhưvừamôtảkhôngcóhiệuquảmongmuốn.

Chỉcầnthayđổiphươngánthínghiệmmộtchút:TrêncácmảnhđấtAvàBtađềuchiathànhhainửa:mộtnửagieotrồnghạtgiống1,mộtnửagieotrồnghạtgiống2.Kếtquảthựcnghiệmsẽkhônglàmchúngtathấtvọng.

Dựavàokếtquảthínghiệm(nhưởhìnhbêndưới)takhôngchỉnhậnbiếtđượchạtgiống2chosảnlượngcaohơnhạtgiống1,màcònchobiếtlàmảnhđấtBphùhợpvớisựsinhtrưởngcủacâyhơnmảnhđấtA.

Từcáckếtquảchothấy:cáchbốtríthínghiệmtốtthìchodùsốlầnthínghiệmkhôngnhiềucũngcóthểđạtđượckếtquảvừaý.Nhưngnếubốtríthínghiệmkhôngtốt,chodùcótiếnhànhnhiềuthínghiệmthìkếtquảthínghiệmsẽkhôngđápứngđượcyêucầu.Phươngphápthínghiệmchéolàmộtcáchbốtríthínghiệmchophép

tiếtkiệmđượcthờigian,tiềncủamàkếtquảlạiđạthiệuquảtốtnhất.

Vídụcầnnghiêncứuảnhhưởngcủabayếutốtuổimạ,sốlượngdảnhmạvàphânbónđốivớicâylúanước.Tacóthểchọnhaimức:vềtuổimạchiathànhhaimứcnon,trưởngthành,vềsốdảnhmạchialàm150.000/havà250.000/ha;phânbón4tấn/mẫuvà6tấn/mẫu.Đốivớibayếutốnàykếthợpvớihaimứctheocáchlàmnhưtrêntacó23=8cáchphốihợp.Cócáchnàotiếtkiệmđượcsứclựchơnkhông?Cầnxemxétcáchthínghiệmchéotacóthểchỉcầnlàmbốnthínghiệmlàcóthểđạtđượcmụcđích.Phươngphápthựchiệnvàkếtquảđượctrìnhtrongbảngsau:

Tathửxemxéthailầnthínghiệmvớihaimứcthínghiệm,tathấyđược595kgcònvớimạtrưởngthànhđược720kg.Trongđóbaogồmcảsốdảnhmạvàphânđạm.

Từđócóthểthấyvớimạtrưởngthànhcaohơnmạnon125kg.Tươngtựkhixétảnhhưởngsốdảnhmạlà(295+375)-(3000+345)=25kg.Từđóchothấyvớisốdảnhmạ150.000/mẫucaohơn250.000/ha.Cònvớiphânđạmthìmức600kg/hacaohơn800kg/ha(300+375)-(295+345)=35kg.

Từcáckếtquảthínghiệmchothấysửdụngcácchếđộcanhtác:mạtrưởngthành,sốdảnhmạ150.000/mẫu,phânđạm600kg/mẫuchosảnlượngcaonhất.Từkếtquảthínghiệmcũngcóthểđiđếnkếtluận:Nhântốảnhhưởngđếnsảnlượngchủyếulàtuổimạ,tiếpđếnlàlượngphânbón,thứbamớiđếnsốdảnhmạ.

Dùngphươngphápthínghiệmchéocóthểgiảmsốlầnthínghiệm,lạicóthểđạtđượchiệuquảdựđịnh.Nếusốnhântốvàmứcthínghiệmcàngnhiềuthìphươngphápthínghiệmchéocàngtiếtkiệmđượcnhiềuhơn.Vídụkhithínghiệmvớitámnhântốvàbảymứcthínghiệmthìbìnhthườngphảitiếnhànhđến78=5.764.801lần,nếudùngphươngphápthínghiệmchéochỉcần49lầnthínghiệmchứngtỏhiệusuấtthínghiệmđượctăngcaorấtnhiềulần.

Từkhoá:Phươngphápthínghiệmchéo.

187.Dùngphươngphápgấpgiấyđểtiếnhànhthínghiệmnhưthếnào?Trongthựctiễnsảnxuấtvàsinhhoạthằngngàyngườitahaygặp

vấnđề“chọnlựatốiưu”.Vídụtrongphươngphápluyệnthép,ngườitacóthểđưathêmmộtloạinguyêntốhoáhọcnàođóđểtăngcườngđộcủathép,ngườitaướctínhcầnphảithêmtừ1000gđến2000gcủanguyêntốnọchomộttấnthép.Thếthìlượngtốiưucủanguyêntốđưavàolàbaonhiêu?Chúngtacầnphảiquathínghiệmđểxácđịnh.Nếumỗilầnthínghiệmtatăngtừng10gmộtthìcầnphảitiếnhành100thínghiệm.Thếnhưngcócáchnàotiếtkiệmđượckhông?

Dướiđâychúngtôixingiớithiệu“phươngphápgấpgiấy”.Dùngmộtbănggiấy,tavạchlênđó1000đến2000vạch.Tínhtoánđểghicácvạchlàbộisốcủa0,618,1000+(2000-1000)x0,618=1618.Sauđótachọnlấy1618glượngnguyêntốhoáhọclàmmộtthínghiệmchomộttấnthép.

Sauđótalạigấpđôibănggiấy,vạchmộtvạchđốixứngvớivạch1618quavếtgấp.Vạchmớinàysẽởvịtrí1000+(2000-1618)=1382.Talạilấy1382gnguyêntốhoáhọccholàmthínghiệmvớimộttấnthépkhác.Sauhailầnthínghiệm,đemsosánhkếtquả.Nếuvớithínghiệm1382glạithuđượcloạithépcócườngđộcao,tacắtbỏđoạngiấyởbênphảivạch1618(nếutráilạithìcắtbỏphầnbêntráivạch1382).Lạigấpđôiphầnbănggiấycònlại.Lạivạchmộtvạchđốixứngvớivạch1382quavếtgấp,vạchnàysẽlàvạch1000+(1618-1382)=1236.

Lạilấy1236gnguyêntốhoáhọcđemlàmthínghiệm,rồilạisosánhcáckếtquảnhậnđược.Cácthínghiệmlạiđượctiếnhànhtheo

thủtụcvừamôtả.Nhưvậycứmỗilầnthínghiệmđoạngiấycònlạisẽlàbộisốcủa0,618.

Cứtiếptụctiếnhànhthínghiệmtheophươngánđãchọnvàsẽchọnđượclượngtốiưunguyêntốhoáhọcđưavàoluyệnthép.

Việcchọnphạmvithínghiệmlàđiềuhếtsứcquantrọngchophươngphápgấpgiấyđểchọntốiưu.Đểlàmđượcviệcđócầndựavàokinhnghiệmhoặccáctưliệuthựcnghiệmđểướclượngphạmvithínghiệm.Nếugặpphảitrườnghợpđiểmtốiưunằmngoàiphạmviướclượngthìsẽrasao?Đươngnhiêncũngkhôngquantrọnglắm.Bởivìkhiđóthìkhungthínghiệmcũngsẽtiếndầnđếnđiểmtốiưu,quamỗilầnthínghiệmcũngsẽtiếnhànhsosánhcuốicùngsẽxácđịnhđượcđiểmtốiưu.Đươngnhiênkhiđóphạmvithínghiệmsẽmởrộngdầnvềphíađiểmtốiưu.

Theotínhtoánthìsau16lầnthínghiệmthựchiệntheophươngángấpgiấytươngđươngvới2500lầnthínghiệm,theophươngánthường.Thựctiễnchứngminhdùngphươngphápgấpgiấyvàoviệcsảnxuấtcácsảnphẩmmớisẽthuđượchiệuquảrấtlớn.

Từkhoá:Phươngphápchọntốiưu;Phươngphápgấpgiấy.

188.Vìsaokhidùngphươngphápgấpgiấytalạidùngconsố0,618?

Trênđâychúngtavừanghiêncứucáchthứctiếnhànhthínghiệmtheophươngángấpgiấy.Thếtạisaotrongphươngánthínghiệmnàytalạidùngconsố0,618?

Trongcáchchọntốiưu,chúngtađãxửlícáctìnhhuốngsau:Vớimộtnhântốnàođóvàtạimộtđiểmnàođónhântốđóchứngtỏcóảnhhưởngtốtnhất,màkhitănghoặcgiảmgiátrịcủanhântốthìcácchỉtiêuđềugiảm.GiảsửkhichọnhaiđiểmbấtkìX1vàX2làmthínghiệmtanhậnđượckếtquảY1kémhơnY2,tacóthểbỏđicácgiátrịởbêntráiX1ơmàkhôngbỏmấtđiểmtốiưu.Trongphươngángấpgiấyviệccắtbỏphầnbănggiấycũngchínhlàvìlídođó.

Đểgiảmbớtsốlầnthínghiệmphảixétchọnđiểmthínghiệmđầutiên?

Nếutadùng(0,1)đểbiểudiễnphạmvithínghiệm,trướchếttachọnđiểmXnhưhìnhvẽ,lạichọnđiểmYtiếnhànhthínghiệmsosánh.Dosựxuấthiệntínhiệutốtởhaiđiểmlàcókhảnăngnhưnhau,thìviệccắtbỏphần(0,Y)hoặc(X,1)làcókhảnăngnhưnhau.VìcácphầncắtlàcóđộdàinhưnhaunênY=1-X

Nếucắtbỏphần(X,1)giữlạiphần(0,X)trongđócóđiểmYcũngtươngđươngvớiđiểmXtrongkhoảng(0,1).Dođó:

Y/X=X/1hayY=X2thayY=1-X

tacóphươngtrìnhX2+X-1=0

Nghiệmcủaphươngtrìnhsẽlà:

Consố0,618trongphươngthứccắtgiấychínhlàgiátrịgầnđúngcủaconsốnày.Trongphươngphápcắtgiấytalấymộtđộdàixácđịnhchialàmhaiphần,trongđócómộtphầncóđộdàibằngbộisốcủa0,618.Theogiácđộhìnhhọcngườitagọiđâylàconsốvàng(hoàngkim),cònđiểmchiaứngvớiconsốđólàđiểmchiacắtvàng.Vìvậy,phươngpháptuyểnchọnnàylà“phươngphápchiacắtvàng”hay“tiếtdiệnvàng”(btv).

Từkhoá:Phươngphápgấpgiấy;Phươngphápchọntốiưu;Điểmchiacắtvàng(hoàngkim);Phươngphápchiacắtvàng.

189.Vìsao“thanhgỗdài1m,mỗi

ngàylấymộtnửa”sẽmuônđờikhônglấyhết?

ThờiChiếnQuốcởTrungQuốc,CôngTônLongđãđưaramộtcâunóiquantrọng“Thanhgỗdài1thước,mỗingàylấyđimộtnửa,muônđờikhônglấyhếtđược”.

Câunóiđócónghĩagì?

Thanhgỗdài1thước,ngàythứnhấtlấyđimộtnửasẽcònlại1/2,ngàythứhailạilấytiếp1/2phầncònlạitứclấyđi1/2x1/2=1/4thước...cứtiếptụcnhưthếsẽtiếptụclấy1/8thước...tấtcảsẽthànhchuỗisố.

Rõràngkhintăngđếnvôhạnthì2nsẽlớnđếnvôhạncòn1/2ngiảmnhỏđếnvôhạn,nhưngchodùnlớnđếnbaonhiêuthì1/2nvẫnkhôngthểbằng0được.Vìvậycâunóilấymãikhônghếthàmýkháiniệmgiớihạn.Dùngkíhiệucủatoánhọchiệnđạitacóthểviết

.

Giớihạnlàkháiniệmquantrọngtrongtoánhọc.VàothếkỉthứbaLưuHuyđãsángtạophươngphápchiacắtvòngtròn.Ôngđãpháthiệnkhităngsốcạnhcủađagiácđềunộitiếptrongvòngtrònđếnvôhạn,thìdiệntíchcủađagiácđềunộitiếpsẽtiếngầnđếndiệntíchcủahìnhtrònvàôngđãdùngphươngphápnàyđểtínhsốπ.SaunàyTổXungChiđãdùngphươngphápnàyđểtínhsốπcó7sốlẻsaudấuphảy.

Kháiniệmgiớihạnchínhlàcơsởchophéptínhviphân,tíchphânhiệnđại.

Từkhoá:Giớihạn.

190.Câuchuyệnvềsốvôcùngbévàsố0nhưthếnào?

Thếnàolàsốvôcùngbé?Taxétmộtvídụhàmsốf(x)=1/x.Khixlấygiátrịcàngngàycànglớnthìhàmf(x)sẽngàycàngbévàtiếndầnđến0.Tanóihàmf(x)tiếndầnđếnsốvôcùngbékhix→∞(dấu“→”chỉtiếnđến).

Ngườitanóihàmf(x)tiếnđếngiátrịvôcùngbékhix→x0(hayx→∞)vàviếtlimf(x)=0khix→x0(haykhix→∞).Nóimộtcách

đơngiản0làgiớihạncủasốvôcùngbé.Từđótacóthểthấyvôcùngbélàmộtđạilượngbiếnthiênliêntục,khôngngừnggiảmđếngiátrịcàngnhỏvàtiếpcậndầnvớisố0.Vídụf(x)=x-1khix→1cũnglàsốvôcùngbé.

Thếcóphảisốvôcùngbélàmộtsốrấtbé,vídụsố1phầntriệu?Cũngkhôngphải,vìsốvôcùngbélàmộtđạilượngbiếnthiên,làmộthàmsốkhix→x0(hoặcx→∞),làmộtquátrìnhtiếnđếnsốrấtbé,giátrịtuyệtđốicủahàmsốnàylàmộtsốrấtbétuỳý,vídụsốε;mộtsốdùbéđếnmấycũngkhôngcótínhchấtnhưvậy.

Thếsốvôcùngbésovớisố0thìsẽrasao?Số0làsốxácđịnh,làmộthằngsố,cònsốvôcùngbénhưtavừathảoluậnởtrênlạilàmộtđạilượngbiếnthiên.Cóthểlấysố0làhìnhảnhcủasốvôcùngbévìf(x)≡0,thếthìvớisốεbấtkìvớiε>0tacó.Vìvậybảnthânsố0làsốvôcùngbénhưngsốvôcùngbéchưahẳnlàsố0.

Khixétviệcthựchiệnbốnphéptínhsốhọcvớisố0,cóthểthựchiệncácphéptínhcộng,trừ,nhân,chiavớisố0nhưngbảnthânsố0khôngthểlàmsốchiachomộtphéptínhchia.Vớisốvôcùngbéngườitacũngthựchiệnđượcbốnphéptínhsốhọc.Nhưngcũngkhôngthểdùngsốvôcùngbélàmsốchiachomộtphéptínhchiahaylàmmẫusốởmộtphânsố.Tổnghiệucủahaisốvôcùngbélàmộtsốvôcùngbé,thếnhưngvớiphépchiahaisốvôcùngbéthìsẽcómấytìnhhuốngkhácnhau.Vídụvớihaisốvôcùngbélàα,βlàhaiđạilượngbiếnthiêndầnđếngiátrịnhỏvôcùng(trừtrườnghợpα=0),nếutồntạigiớihạnlimβ/αthìlimβ/αcóthểlàhằngsố,cóthểlàsốvôcùngbéhoặcmộtsốvôcùnglớn.

Nếulimβ/α=0thìβlàsốvôcùngbébậccaohơnα.

Nếulimβ/α=∞thìβlàvôcùngbébậcthấphơnα.

Nếulimβ/α=c(làhằngsố≠0)thìβvàαlàvôcùngbéđồngcấp.Đặcbiệtkhic=1thìβvàαlàcácsốvôcùngbécócấpbằngnhau.

Vìcácvôcùngbécòncóphânbiệtlớn,nhỏnêncóthểtiếnhànhcácphéptínhvớicácvôcùngbé.

Từkhoá:Vôcùngbé;Hằngsố;Đạilượngbiếnthiên;Giớihạn.

Trongcuộcsốnghàngngày,khinóiđếnkhônggianlànóiđến“khônggianthực”,nóiđếnhìnhthứctồntạikháchquancủasựvậtxácđịnhbằngchiềudài,chiềurộng,chiềucaocủacácvậtthể.Vídụkhônggianmàcáibàn,cáitủchiếmlĩnhv.v...Còn“khônggian”trongtoánhọcvừacóýlàtrừutượnghoáhiệnthựcnhưđiểm,đường,mặtphẳng,khốiv.v...lạivừadoyêucầucủabảnthântoánhọchoặccủacácngànhkhoahọctựnhiênkhácmàcácnhàtoánhọcsángtạora.

Vídụtronghìnhhọckhônggianđượcxemlàcáctậphợpđiểm,cáctậphợpđiểmnàycóthểlàhữuhạn,vôhạnđiểm.Dođó,“điểm”chỉcóvịtrí,khôngcó“điểm”to,nhỏđượctrừutượnghoávàxemlàmộtkhônggian.Thếlàmthếnàocóthểphânbiệtđượccácloạikhônggian:đườngthẳng,mặtphẳng,khốiđềulànhữngkhônggiancóvôsốđiểm?Đâychínhlàvaitròcủasốchiềucủakhônggian-khônggiannhiềuchiềuđượcphátsinhtừđầuthếkỉXX,đượcpháttriểnvàhoànthiệntrongquátrìnhxuấthiệnvàpháttriểncủalýthuyếttopo.Trongquátrìnhphátsinhvàpháttriểnlýthuyếttopođãxuấthiệnlíthuyếtvềsốchiềukhônggianđượcchỉđịnhbằngcácsốnguyênvàđólàđịnhnghĩavềsốchiềucủakhônggian.

Sốchiềulàsốthựcđểmôtảvịtríđiểmtrongkhônggian.Cácsốchiềukhácnhauphảnánhcácloạikhônggiankhácnhau.Vídụtanóiđườnglà“khônggianmộtchiều”,vìvậykhidùngmộtsốthựcxtadễdàngxácđịnhvịtrímộtđiểmtrênmộtđườngthẳng.Đểxácđịnhcácđiểmtrongmặtphẳngcầncóhaisốthực(x,y)nêntagọimặtphẳnglàkhônggianhaichiều.Tươngtựđểxácđịnhmộtđiểmtrongmộtkhốinàođó,tacầnbasốthực(x,y,z)nênkhônggiancáchìnhkhốiđượcgọilàkhônggian3chiều.Cònvớimộthìnhchỉcómộtđiểmsốchiềuđượcxembằng0.

Cáckhônggianmộtchiều,haichiềuvàbachiềuđềucócơsởtrựcgiác.Cáckhônggiantừbốnchiềutrởlênđãtrởthànhtrừutượng.Loạikhônggiantrừutượngnàyđượcgọichunglà“khônggiannhiềuchiều”.

Tuy“khônggiannhiềuchiều”làtrừutượngnhưngrấtcóích.Vídụkhinghiêncứumộtchiếcmáybaytrongkhôngtrung,cácnhàkhoahọccầnxácđịnhvịtrítrọngtâmcủamáybayđồngthờiphảibiếtphươngvịcủamáybay.Đểxácđịnhvịtrítrọngtâmcủamáybayngườitadùngcáctoạđộkhônggianx,y,z.ĐểxácđịnhphươngvịcủamáybaytạithờiđiểmnàođóngườitaphảidùngcácgócphươngvịΦ,θ,Ψ.Nhưvậyđểxácđịnhvịtrícủamáybaytacần6thamsố(x,y,z,Φ,θ,Ψ).Đểviệcnghiêncứuđượcthuậntiện,ngườitathườngsắpxếpcácthamsốtheomộtthứtựxácđịnhgồmsáutrịsố.Nhờsáutrịsốnàytacóthểxácđịnhmột“điểm”trongkhônggiansáuchiều.Và“điểm”ởđâyđãtrởthànhmộttrạngtháicủahệthốngvậtlí(nhưmáybayđangbay).Hệthốngvậtlínàythayđổitheothờigian,nhờhệ“điểm”củakhônggiansáuchiềungườitacóthểmôtảđượctrạngtháicủahệthống.Phươngphápmiêutảcáchệthốngđộngbằnghìnhtượnghoánàyhếtsứctiệnlợikhôngchỉtrongkĩthuậtcôngtrìnhmàcònhếtsứcbổíchtrongnghiêncứulíluậnkhoahọc.

Từkhoá:Khônggian;Sốchiều;Khônggiannhiềuchiều.

Bạnthửtưởngtượngtrênmặtbàntrướcmặtbạncóđặtmộtquảbóngdavàmộtchiếcbánhmìvòng.Mộtchúkiếnbòquabòlạihếtsứclanhlẹntrênchiếcbánhmìvòng.Trongtâmtríchúkiếnnghĩ“Ôi,quảlàmộtchỗtốt,vừatrơn,lạivừaphẳng,chỉhơimấpmômộttíxíu”.Mộtlúcsauchúkiếnbòđếnchỗquảbóngda,liệuchúkiếncóbiếtlàmìnhđãđổichỗkhông?Sựthựcthìchúkiếnnhỏrấtkhópháthiệnrađiềuđó?Vìchúkiếncóbòởnơinàotrênquảbóngthìtìnhhìnhxungquanhvẫngiốngkhibòtrênchiếcbánhmìvòng,khôngphânbiệtđược.

Vớiloàingườichúngtathìcâutrảlờiđốivớivấnđềnêutrênhoàntoànkhác.Chúngtanóiởchiếcbánhmìtrongphầnởgiữalàlỗtrống,cònởquảbóngdakhônghềcólỗtrống.Vảlạinếudùngdaocắtmộtnhátthìquảbóngsẽchiathànhhainửa,cònvớichiếcbánhmìvòngsựviệcchưahẳnsẽnhưvậymàvẫnnguyênlà“mộtchiếc”bánh.

Vìsaogiữachúkiếnnhỏvàchúngtalạicócáchnhìnkhácnhaunhưvậy?Bởivìdướimắtchúkiếnchỉlàmộtbộphậncủasựvật,cònmắtchúngtacóthểnhìntoàncụcmộtquảbóngda(mặtcầu)vàcáibánhmìvòng(mặtxuyến).HọcthuyếttopopháttriểntừđầuthếkỉXXchínhlàtừcáchnhìnnhưvậyvàđãtrởthànhmộtngànhkhoahọcmớinghiêncứusựvậttrêntoànthể.

Bàitoán“bảychiếccầu”đãnêuởmục164làmộtvấnđềcủalýthuyếttopo.CáchònđảoởthànhphốKoenisbergcóthểtonhỏkhácnhau,nhiềuhìnhnhiềuvẻ,bảychiếccầucũngdàingắnkhácnhau,cónhiềuđiểmkhác

nhau.Nhưngchúngtađãkhôngquantâmđếncáckhácbiệtcụcbộđó.Chúngtaxemcácđảonhưcácđiểm,cácchiếccầuthànhcácđườngnốicácđiểmđểgiảiquyếtbàitoán.Mặtcầuvàmặtxuyếnxétvềcụcbộthìgiốngnhaunhưngtrêntoànthểlạicóthểkhácnhau.Lýthuyếttopodùng“tiêuchíEuler”đểchứngminhsựkhácbiệtgiữahaiđốitượngđãxét.TiêuchíEulerởmặtcầulà2cònởmặtxuyếnlà0.VảlạinếuthêmmộtchiếccánvòngvàovòngxuyếnthìsốtiêuchíEulersẽgiảmđi2.Vídụnếughéphaivòngxuyếnđểtạothànhsố8thìsốtiêuchíEulersẽlà-2.

Từkhoá:Mặtcầu;Mặtxuyến;Topohọc;SốtiêuchíEuler.

Mộtbănggiấythườngcómặttráivàmặtphải.Nếutađemmộtbănggiấymộtmặtvẫnđểtrắngcònmặtkia(vídụmặttrái)thìbôiđen,rồikẻmộtđườngthẳngởchínhgiữabănggiấy,sauđódùnghồdánhaiméplạivớinhau,mặttrắngởphíangoài,đenởphíatrong.Tasẽcómộtcuộngiấymặtngoàimàutrắngcònmặttrongmàuđen.

Bâygiờnếubắtmộtconkiếnchobòởmặtmàutrắngvàkhôngchobòvượtmépgiấy,thìchodùconkiếnbòlui,bòtớiđếnbaonhiêulượt,conkiếnchỉởbênmặtgiấytrắng.Ngượclạinếuchokiếnbòở

mặtđenthìconkiếnchỉcóthểbòởtrênmặtđencủacuộngiấy.

Bâygiờchúngtalạidùngmộtbănggiấykháccũngsơnmộtmặtđencònmặtđểtrắng.Khidánhaimépbănggiấyvớinhau,talậtmặtđencủabănggiấyrangoàitrướckhidánvớimépkiacủabănggiấy,tứcmặtđencủađầunàydánvàomặttrắngcủađầukia.Tađượcmộtvònggiấymàkhôngthểphânbiệtđượcđâulàmặttráiđâulàmặtphải.Nếuthảconkiếnlênmặtgiấy,conkiếncóthểbòđếnbấtkìđiểmnàotrêngiấycảmặtđenlẫnmặttrắngmàkhôngcầnbòvượtquamépgiấy.Nóicáchkhác,vònggiấyđãtrởthànhchỉcómộtmặt.

Khôngchỉcóthế,vònggiấynàylạicómộtđặctínhkìlạnữa!Nếubạndùngkéocắtbănggiấytheođườngkẻởgiữa,bạnsẽkhôngđượchaivònggiấymàlạiđượcmộtvònggiấycóđộdàihơnvòngcũ.Nếubạnlạicắtvònggiấymớinàytheomộtđườngkẻởgiữabănggiấymớibạnsẽđượchaivònggiấylồngvàonhau.Nếukhôngtinbạnthửthựchiệnxem.

Bạnxemcókìlạkhông?ĐâylàmộtsựthựcmàtoánhọcđãnghiêncứuvàđượcgọitênlàvònggiấyMobiusnổitiếng.

Từkhoá:VònggiấyMobius.

NhàtriếthọcHiLạpcổđạiPythagorascáchđâyhơn2500nămđãtừngnói:“Tấtcảđềulàconsố.Đếnngàyhômnaysau25thếkỉ,câunàyđãcóđượcsựgiảithíchmớimẻhơn.

Thếgiớiđãpháttriểnđếnngàyhômnay,điệnthoạidiđộng,máy

ảnhsố,hộpthưđiệntửđangngàycàngtrởthànhmộtphầnkhôngthểthiếutrongđờisốnghàngngày.Chỉtrongnháymắt,chúngtađãcóthểgửithư,muahàng,mượnsách...,nhữngviệcmàtrướcđâyphảimấtrấtnhiềuthờigianmớicóthểlàmđược.Cuộcsốngthayđổimộtcáchnhẹnhàng,màtấtcảnhữngthayđổiấylàđềubắtnguồntừconsố,nóđanglặnglẽđivàothếgiớimàchúngtađangsinhtồn,đồngthờiđãnắmđượcvậnmệnhvàhuyếtmạchcủaxãhộihiệnđạikhirấtnhiềungườicònchưacảmnhậnthấy

Sựrađờicủamáytínhđãdẫnđếnhếtlànsóngcáchmạngsốnàyđếnlànsóngcáchmạngsốkhác.Consốđầutiênđãtuyênbốthắnglợicủamìnhsovớicácchữcái,trongnộibộmáytính,cácchữcáiđượcchuyểnhóathànhmộtdãycácsố0”,“1dàidài.Vớiphươngthứctươngtự,consốđãchiếnthắngcảâmthanhvàhìnhảnhmôphỏng,đemlạichoconngườisựhưởngthụnghenhìnrónétvàchânthựchơn.Đồngthời,kĩthuậtsốđãmởramộtcánhcửatiệndụngchoviệclưutrữdữliệuvàthôngtin:Vềbộnhớ,nóvượtcảnãongười;vềtốcđộ,nódườngnhưcóthểđịchđượcvớiphaánhsáng.

Consốđãchiếmlĩnhcáclĩnhvựccủađờisống,sảnxuất,nghiêncứukhoahọc...vớitưthếkhôngthểcảnbước,khiếnchongườitaphảiýthứcđượcrằngnếukhôngcóngônngữsốtinhxáccủatoánhọc,thìthếgiớisinhtồncủaloàingườisẽtrởnênkhôngchịunổigiốngnhưkhôngcónước,khôngcóđiệnvậy.

Từkhóa:Toánhọc;Cáchmạngsố;Kỹthuậtsố.

Vàonăm1976từtrườngđạihọcIlinoiởnướcMỹđãtruyềnđimộtnguồntinlàmkinhđộngmọingười.HainhàtoánhọcAbelvàHakanđãchứngminhđượcmộtbàitoánmàđãhơn100nămquachưacólờigiải:“Dựđoánbốnmàu”.Điềuhếtsứcthúvịlàhọđãdựavàomáytínhđểchứngminhdựđoánnày.

Chúngtabiếtmáytínhcóđiểmmạnhlàcóthểlặpđi,lặplạicác

thaotácđơngiản,nếuđembiếncácchứngminhtoánhọcphứctạpthànhcácthaotácmáymócrồigiaochomáytínhthìsẽgiảiphóngchocácnhàtoánhọckhỏinhiềucôngviệcrắcrối.

NhàtoánhọcGiáosưNgôTuấncủaTrungQuốccùngcáccộngsựđãnghiêncứucáchcơgiớihoácácchứngminhđịnhlítoánhọc.Trêncơsởcủahìnhhọcgiảitíchôngđãđạisốhoácácđịnhlí,tiếnhànhcơgiớihoáđểmáytínhcóthểtiếpnhậngiảiquyết,chứngminhcácđịnhlítronghìnhhọcphẳng.

Đếnnăm1978,NgôTuấncùngcácđồngnghiệpđãhoànthànhviệcchứngminhcácđịnhlíhìnhhọcsơcấpcũngnhưnhiềubàitoánhìnhhọcviphânbằngchứngminhcơgiớihoábằngmáytínhđiệntử.Từđóđãmởraconđườngdùngmáytínhđiệntửđểchứngminhnhiềuđịnhlítoánhọcphứctạp.

Nhưvậynhờmộtcôngviệcchưacótiềnlệ,nghiêncứuthànhcôngmàđãcóthểdùngmáytínhđểthaythếcholaođộngtrínãocựcnhọcgiảiquyếtmộtbộphậncôngtáctrongtoánhọc,mởraconđườngmớichotoánhọcpháttriển.

Từkhoá:Máytínhvàđịnhlítoánhọc.

Chúngtabiếtdùngtoánhọccóthểmôphỏngnhiềuhiệntượngtrongđờisống.Thếnhưngliệucóthểdùngtoánhọcđểmôphỏngchiếntranhkhông?

Đánhcờtướnglàhìnhthứcmôphỏngchiếntranhsớmnhất.Khôngkểlàmôncờtướnghaymôncờvua(cờquốctế)ngườichơiphảisửdụngcácquâncờđạidiệnchovua,tướng,xe,mã,tốtvàtiếnhànhcáccuộctruysátcácquâncờtrênbàncờ.Vàonăm1996,ởMỹngườitađãdùngmáytínhcỡlớngiànhvôđịchcờvuathếgiới.Nhưvậymáytínhđãdựavàoquyluật“chiếntranh”trongmôncờvuađãgiànhphầnthắngtrongcuộcđấucờvớingười.

Mộtkiểumôphỏngcáchoạtđộngquânsựthườngdùnglà“diễntập”thếnhưngviệcdùngngườithật,súngthậttrongdiễntậpphảitiêutốnnhiềutàilực,nhânlựcmàcũngchỉlàlàmgiả,khôngthểđểxảyra“thươngvong”thật.

Vàonhữngnăm70củathếkỉXV,trongcuộcchiếntranhĐức-Phổ,ngườitađãdùngsabànđểmôphỏng.Sabànchỉlàđểcungcấpđịahình,bốicảnhvàviệcbốtríbinhlựccủađôibênthamchiến.Cácchỉhuycủađôibêncóthểthảoluậndựavàomôhìnhmàkhôngthểcó“quátrìnhchiếntranh”thực.Khôngcócáchnàođểthểhiệncácthươngvong,cáchưhaovềvũkhícũngnhưcácbiếnđổitrênchiếntrường.Từlâucácnhàquânsựhivọngcóthểcómôhìnhchiếntrườngmộtkiểu“phòngthựcnghiệmquânsự”.Từnăm1950trởvềsau,việcdùngmáytínhmôphỏngcáchoạtđộngquânsựđãbiếnhivọngthànhhiệnthực.

Cácbướcmôphỏngchiếntranhđượcthựchiệntheocácbước:

1.Cácnhàquânsựchếđịnhkếhoạchchiếnđấu,cácnhàtoánhọcdựavàođótạothànhcácmôhình.

2.Dựavàocácsốliệu:sốngười,vũkhí,đạndượchậucần.

3.Theohiệulệnhchỉhuycủađôibêntiếnhànhđiềukhiển,tínhtoánquansátcáckếtquảtínhtoán.

4.Phântíchcáckếtquả,đưaracácýkiếncảitiến.

Nhiềubạnnhỏđãchơitrò“đánhtrận”trênmáytính.Cáchsoạnthảocácphầnmềmcáctròchơinàycóphầnnàogiốngvớicácmôphỏngquânsự.

Vàonăm1944,NormanvàOrameytrongkhithiếtkếbomnguyêntửđãlợidụngmáytínhđểmôphỏngcáchgâytánxạcácnơtron,mởđầuchoviệcdùngmáytínhđiệntửtrongkĩthuậtmôphỏngtrongcác

nghiêncứuquânsự.Mọingườiđềubiếtngàynaycácvụthửbomhạtnhânđãbịcấmtrêntoànthếgiới,nênmuốntiếnhànhnghiêncứu,phântíchvũkhínguyêntửngườitachỉcócáchdùngmáytínhđiệntử.Hiệnnay,từviệcthiếtkếôtô,đếnviệcphóngtênlửa,từviệcluyệnthépchođếnviệcđiềutraphântíchmôitrườngđềucóthểdùngmáytínhđểmôphỏngthaychomộtphầncôngtácthựcnghiệm.Ngàynayviệcdùngcácmáytínhđểthiếtkếcácloạimáybaysiêutốc,siêunặngđãgiảmbớtthờigian,chukìnghiêncứu.Kĩthuậttínhtoán,líthuyếtchỉđạovàthựcnghiệmkhoahọcđãtrởthànhbaloạiphươngphápkhoahọctrongnghiêncứukhoahọc.

Từkhoá:Toánhọctínhtoán;Môphỏng.

Trênđâychúngtavừanóiđếnviệcdùngtínhtoántoánhọcthaychodiễntậpquânsựvàthiếtkếcácloạisảnphẩm.Tấtcảcáccôngviệctrênkhôngthểtáchkhỏiviệcxâydựngcác“môhìnhtoánhọc”.Chúngtađềubiếtmôhìnhlàmộtcáchmôphỏngcácsựvậtkháchquan.Tuynhiênđókhôngphảilàcáchmôphỏngđơngiản,cácmôphỏngphảigâyđượcsựhứngthúởchúngta.Nhưvớicácmôhìnhmáybaytrìnhbàyởphòngtriểnlãmthìhìnhthứclàđiểmquantrọngnhất.Tuynhiênvớicácmôhìnhthamgiacuộcthimôhìnhmáybaythìhìnhthứcbênngoàikhôngphảilàđiềuquantrọngnữamàchủyếulàtínhnăngbaycủamôhình.Môhìnhcònphảicómộtthuộctínhtrừutượngnàođó.Vídụmộttấmbảnđồđịachấtvàmộttấmbảnđồgiaothôngcủacùngmộtkhuvực,haitấmbảnđồkhônghềphảnánhcùngmộtnộidungmàlàcónộidunghoàntoànkhácnhau.

Trênđâychúngtađãđềcậpđếnmôhìnhcủacácvậtthực,thếthìmôhìnhtoánhọclàgì?Theonhưtêngọi,môhìnhtoánhọclàdùngphươngpháptoánhọcđểcấutrúcnênmôhình.Đócũngchínhlàdùngtoánhọcđểbiểuđạtcácvấnđềthựctếphứctạp.Môhìnhchínhlàcáchgiảnhoácácvấnđềthựctế.Môhìnhcácvậtthựclànhưvậymàmôhìnhtoánhọccũnglànhưvậy.Nếukhôngdùngcáchgiảnhoámàmuốndùngtoánhọcđểbiểuđạtrõràngmộtvấnđềthựctếphứctạplàkhôngcókhảnăng.Vídụvớimộtđoàntàutacóthểthôngquatốcđộchuyểnđộnggiảđịnhđểlậplộtrìnhchotàuchạyhoặctínhthờigianđểtàuthựchiệnthờigianchạyhếtlộtrình.Làmnhưvậy

chúngtađãgiảnhoátốcđộchuyểnđộngcủatàu,bởivìtrongsuốthànhtrình,tàukhôngthểluôngiữmộttốcđộxácđịnh.Thậmchíkhitínhtoántacũngkhônghềtínhtoánđếntốcđộkhởiđộngchậmbanđầumàxemnónhưchuyểnđộngvớitốcđộlớnngaytừbanđầu.

Tuynhiên,trongmôhìnhtoánhọccũngcósựgiảnhoá,thếnhưngcùngmộtvấnđềcóthểcómứcgiảnhoákhácnhau,cóloạimôhìnhthôsơ,cóloạimôhìnhphứctạp.

Vídụvớimôhìnhtăngtrưởngnhânkhẩu.TheonhưmôhìnhcủagiáosĩMalthus(năm1798)thìgiảsửsốngườisinhlàbvàsốngườichếtlàdthìsốnhânkhẩugiatăngtươngđốirsẽlàr=b-dcũnglàmộthằngsố.Giảsửlúcbanđầu(t=0)sốnhânkhẩulàN0thìsauthờigiant,sốnhânkhẩuởthờiđiểmđóNtsẽlà:

Nt=N0.ert

Haynóicáchkhác,nhânkhẩutăngtheocấpsốnhân.Dựavàocácsốliệuthốngkê,ngườitathấy,từthếkỉXIXvềtrước,ởmộtsốđịaphương,thìsựtăngdânsốphùhợpvớimôhìnhMalthus,cònđạiđasốcácđịaphươngkháckháxamôhìnhnày.DođómôhìnhMalthushoàntoànkhôngxétđếnviệckhinhânkhẩutăngthìhoàncảnhsinhhoạt,

tàinguyênthiênnhiênsẽhạnchếviệctăngtrưởngnhânkhẩu.Khităngsốnhânkhẩuthìthựcphẩmgiảm,điềukiệncưtrú,cácvấnđềônhiễmmôitrườnglàmchotỉlệsinhgiảmvàtỉlệchếttăng.

MộtmôhìnhkháclàmôhìnhLogistic,nếugọirlàhàmsốcủasốnhânkhẩuNtacómôhình:

TheomôhìnhLogistic,sựtăngnhânkhẩucóràngbuộchằngsốổnđịnhK.Vềmôhìnhnàycóđiểmđángchúýlàphùhợpthựctế,phùhợpvớicácsốliệuthốngkê.Vìvậymôhìnhnàyđãđượcứngdụngrộngrãitrongviệcdựđoánsựpháttriểnsốlượngcácsinhvật.

Vậychẳngphảicàngxemxétkĩlưỡngthìmôhìnhcàngtốthơnchăng?Điềuđócũngchưachắc.Khicàngxemxétkĩlưỡng,càngtiếpcậnvớitìnhhìnhthựctế,môhìnhcàngphứctạpthìviệcsửdụngmôhìnhcàngkhókhănvàsẽkhôngthểđượcápdụngmộtcáchthíchhợp.Vìvậymộtmôhìnhtoánhọctốt,cầnphảiphảnánhchuẩnxáctìnhhìnhthựctế,nhưngkhôngnênquáphứctạp.

Việcxâydựngđượcmộtmôhìnhtoánhọcthíchhợpsẽđemlạichocôngtáchàngngàycủachúngtađượcthuậntiệnhơn.Muốnxâydựngmộtmôhìnhtoánhọctốtcầnphảichuẩnbịcơsởtoánhọctốtchomôhình,cầnphảiđisâuđểgiảithích.Môhìnhtoánhọclàmộttrithứcđadạng,làchỗgiaolưucủanhiềungành.

Từkhoá:Môhìnhtoánhọc.

Thôngthườngkhinóiđếnphéptoánlànóiđếnphươngphápgiảitoán.Khicầngiảimộtbàitoáncóthểdùngnhiềuloạiphéptoánkhácnhau.Sauđâytaxétmộtvídụđơngiản.

Cónsốa1,a2...,ancầntìmsốlớnnhấttrongcácsốđó.Cóhaicáchlàm:

Phươngpháp1:Theocáchsắpxếpcácsốthứtự,bắtđầusosánhsốa1vớin-1sốcònlại,nếupháthiệnthấycómộtsốlớnhơna1thìrõrànga1khôngphảilàsốlớnnhất.Lạilấysốa2sovớin-1sốcònlại....cứthếtiếnhànhcuốicùngsẽtìmđượcsốlớnnhất.

Phươngpháp2:Trướchếtđema1sovớia2,nếua1>a2,talạiđemsoa1vớia3,khôngcầnphảisosánha2vớia3.Khisoa1vớia2hoặca2sovớia3,tatìmđượcsốlớnnhất,trongbasốđemsovớia4.Trongkhisosánhhaisốắttìmđượcmộtsốlớnhơntronghaisốđóvàcuốicùngsẽtìmđượcsốlớnnhấttrongcácsốđãđemso.Vìvậychỉcầnn-1lầnsolàcóthểtìmđượcsốlớnnhấttrongcácsốđãxét.

Tronghaiphươngphápthìphươngphápnàohợplíhơn?Rõ

rànglàphươngpháphai.Vớiphươngpháphai,sốlầntiếnhànhsosánhcácsốíthơnphươngphápmột.Vớisốnlớnthìthựchiệntheophươngpháp2sẽthuđượckếtquảnhanhhơn.Dovậyphéptoáncóthểtốtcóthểxấu.Dođókhithiếtkếcácphéptoánđểgiảiquyếtmộtvấnđềcụthể,ngườitahivọngtìmđượcmộtphéptoánthựchiệnbàitoánnhanhnhất.Thếlàmthếnàođểđánhgiáđượcphéptoánlàtốthayxấu?

Mộttrongcáctiêuchuẩnđểđánhgiáphéptoánlàtốthayxấulàkhimáytínhchấphànhphéptoánđểgiảiquyếtmộtvấnđềnàođóthìtiêuphíthờigiandàihayngắn.Trongvídụnêutrên,vớisốnrấtlớnhiểnnhiêndùngphươngpháp2thờigiansửdụngđểgiảibàitoánsẽngắnhơnkhidùngphươngpháp1.Nóichungkhichọnphéptoánđểgiảiquyếtmộtvấnđềnàođó,căncứđầutiênphảicânnhắclàquymô.Ởvídụnêutrên,quymôcủabàitoánlàn.Thờigiansửdụngphéptoánđểgiảibàitoánđượcquyếtđịnhdon.Vớiphươngpháp2,thờigiantiêuphíđượcđánhgiábằngn-1.

Thôngthườngmụctiêutìmkiếmlàchọncácphéptoáncónhiềusốhạng.Vớicácphéptoánnhiềusốhạng,thờigiantiêuphíchoquymônlàmộthạngthứcnhiềusốhạng.Sovớiphéptoántheochỉsố(thờigiantiêuchíchoquymôđượcbiểudiễntheochỉsố)thìphéptoántheohạngthứcnhiềusốhạngtiếtkiệmthờigianhơn,trongđónbiểudiễnquymôcủabàitoán:

Thờigiantiêutốn n=2 n=4 n=10 n=30

n5(phéptoánnhiềusốhạng) 32 1024 105 2,4.107

2n(phéptoántheochỉsố) 4 16 1024 khoảng1,07x109

Từđócóthểthấykhincànglớnthìtiêutốnthờigiancủaphéptoántheochỉsốcàngnhiều.Chodùtốcđộcủamáytínhrấtlớn(vídụcỡmộttỉphéptính/giây)thìhàmchỉsốđãtăngvớitốcđộkinhngườikhintăngvàmáytínhsẽkhôngđảmnhiệmnổi.Giảsửchúngtasửdụngmáytínhcótốcđộ100.000phéptính/giâythìvớiphéptoán230cầnthờigianlàmviệc104giâytứckhoảng3giờ.Vớithờigiannhưvậycòncóthểchấpnhậnđược.Nhưngvớiphéptoánhaophíthờigiancỡ2150,21000thìsẽrasao?Rõrànglàcácmáytínhsẽbótay.

Domáytínhkhôngthểgiảiquyếtcácvấnđềcócơsởdữliệuquálớn,nênkhigiảiquyếtcácbàitoánphứctạpcầntìmcácphéptoán(haythuậttoán)màmáytínhcóthểcókhảnăngtiếpthuđược.Đólàlídotạisaotacầntìmcácphéptoán(thuậttoán)nhiềusốhạng.

Từkhoá:Phéptoán(thuậttoán);Phéptoánhạngthứcnhiềusốhạng.

Mọitrithứckhoahọcđềunhằmpháthiện,phátbiểu,dựkiếncácquyluậtpháttriểncủasựvật.Cáctínhtoántoánhọcvàphươngphápsuyluậnlàphươngtiệnchủyếuđểpháthiệncáctrithứckhoahọc.Vídụchúngtacóthểdùngphươngpháptoánhọcđểdựbáochínhxácnhậtthực,nguyệtthực,MặtTrờimọc,MặtTrờilặn,sựthayđổibốnmùa;dùngphươngpháptoánhọcđểdựbáopháttriểndânsốcủamộtnước;thậmchídùngphươngphápmôphỏngtoánhọcđểthiếtkếcácloạiôtô,máybay...

Liệucóphảiphươngpháptoánhọclàtấtcả,cóthểdùngphươngpháptoánhọcthaychothựcnghiệmkhoahọc?

Rõràngkhôngphảilànhưvậy.

Trướchếtphươngpháptoánhọcphảidựavàothựcnghiệmvàkếtquảquansát.Phươngpháptoánhọcđượcsửdụngđểgiảithíchbảnchấtsựvật,màđểgiảithíchbảnchấtsựvật,phảidựavàokếtquảquansátvàthựcnghiệm.Vídụđểdựbáochínhxácnhậtthực,nguyệtthực,MặtTrờimọc,MặtTrờilặn,sựthayđổibốnmùa,chúngtaphảibiếtquyluậtchuyểnđộngcủaTráiĐấtquanhMặtTrời,quyluậtchuyểnđộngcũngnhưquỹđạochuyểnđộngcủaMặtTrăngquanhTráiĐất.Tấtcảnhữngcáiđóphảidựavàoquantrắcthiênvăn.Haynhưmuốndùngtoánhọcđểthiếtkếcácloạiôtô,máybaymớitrướchếtphảidựavàosốlớncáctrithứcđãđượctíchluỹtrongquákhứ,sauđótoánhọchoácáctrithứcđãđượctíchluỹ(tứcxâydựng“môhìnhtoánhọc”)sauđómớidùngmáytínhkiểmnghiệmvàthiếtkế

cáctínhnăngmới.

Mặtkháccáckếtluậncủaphươngpháptoánhọccầnphảiđượckiểmnghiệmthôngquathựctiễn.Trongkhixâydựngmôhình,chínhlàquátrìnhlítưởnghoáhiệntượngkháchquan,thườngcóthểbỏquacácnhântốthứyếu.Dođókếtquảtínhtoánsuyluậntoánhọccóthểcósailệchvớitìnhhìnhthựctế.Liệucácsailệchnàycónằmtrongphạmvichophéphaykhông?Liệutrongcácnhântốbỏquacóphảilànhântốchủyếuvàcóthểdẫnđếnsựphủđịnhcáckếtquảsuyluậntoánhọchaykhông?Đểđánhgiáđúngsaichỉcóthểkiểmnghiệmthôngquathựctiễn.Vídụdùngphươngpháptoánhọcđểthiếtkếmộtloạisảnphẩm,thếnhưngsảnphẩmcóđápứngđượcyêucầumongmuốnhaykhôngthìphảiquakiểmnghiệmthựctiễn.Khôngthểtưởngtượngđượcsựviệcmộtloạimáybaythiếtkếquamôphỏngtoánhọckhôngquacáckiểmnghiệmcụcbộ,kiểmnghiệmtoànthể,baythửv.v..lạidámđemsửdụngđểchởkhách.

Ngoàiratrongnhiềulĩnhvực,phươngpháptoánhọccònđangởbướcđóngvaitròphụtrợ.Đólàdotrongcáclĩnhvựcnàychưacócácgiảithíchchínhxácbảnchấtsựvậtkháchquan,đểcóthểtừđólậpđượcmôhìnhtoánhọcchínhxác,đểdựavàođótiếnhànhquansátthựchiệncácthựcnghiệm.Mặtkháccóthểtrongphươngpháptoánhọcvẫncònnhiềuhạnchế,dođóchưacóđượcgiảipháphữuhiệu.Cónhiềuvấnđềcóthểgiảiquyếtđượctrênlíthuyết,nhưngtrướcmắtcònkhóthựchiệnđượccáctínhtoáncụthểtrênmáytínhv.v...Vídụdothờitiếtchịuảnhhưởngnhiềunhântốcònchưabiếtrõnêntrướcmắtviệcdựbáochínhxácthờitiếtcònlàvấnđềkhákhó.(Nêndựavàocácđiềukiệncònthiếusótnhiềuđểlậpcácmôhìnhtoánhọc,trướcmắtmáytínhchỉđưađượccáckếtquảcònnhiềulệchlạcsovớithựctế).Vìvậyngườitađãphảisửdụngnhiềubiệnpháp:bốtrícácmạnglướitrạmkhítượngdàyđặcnhưmạngnhện.Cácsốliệuquantrắcsẽđượcsosánh,đánhgiá,thamkhảocáctưliệulịchsử,sửdụngcácbóngthámkhôngkhítượng,cácvệtinhkhítượngđểquansát,giámsátsựthayđổicủabầutrờisauđómớidùngphươngpháptoánhọctínhtoánđểđưaracácdựbáokhítượng(nhưthếkhôngtráchngườitathườngthanphiềndựbáokhítượngkhôngchínhxác).Tươngtựvaitròcủatoánhọctrongdựbáođộngđấtcònquánhỏbé.

Ngoàira,vớicáchiệntượngxãhộiphứctạpthìmôhìnhtoánhọcvẫncònlàkháthôxơ,việctoánhọchoácácvấnđềxãhộicònlàmộtvấnđềkhákhó.Ngaycảdùngphươngpháptoánhọcđểkhốngchế

dânsốchomộtquốcgiakhiđưarayêucầu:“Mỗicặpvợchồngchỉcóhaicon”thìđểthựchiệnđượcyêucầunàylàkhákhóvàvìvậycácdựbáolàkhóchínhxác...

Từkhoá:Phươngpháptoánhọc;Môhìnhtoánhọc.

Nóiđếnmậtmãtựnhiênmọingườiliêntưởngđếncáchoạtđộngchínhtrị,quânsự,nghĩđếncácnhânviênđiệpbáo.Sựthựcthìngàynaymậtmãđãcómốiliênhệhếtsứcchặtchẽvớicuộcsốnghàngngày.Vídụbạnđếnngânhàngđểgửihoặclĩnhtiềnbạnphảiquyđịnhmậtmã.Cácđơnvịmuốnlưugiữcácvănkiệnquantrọngcầnphảicótừđóngmởbằngmậtmã.Cácmạnglướimáytínhcủangânhàngcầncóhệthốngmậtmãđểgìngiữantoàncácsốliệu.

Doviệcsửdụngcácmáytínhngàycàngrộngrãi,pháttriểntừmáy,mạngvàmáychủ,đốivớiviệcgiữgìnantoànsốliệuđãdầndầnvượtxakháiniệmbảomậttheotruyềnthống,hìnhthànhloạithuậttoánmậtmãvàquảnlíkhoámậtmãkếthợpthànhmộtngànhhọchoàntoànmới:mậtmãhọc.Mậtmãhọchiệnđạikhácvớimậtmãtruyềnthốnglàcógiáthànhthấpnhấtvàhiệusuấtcaonhất,dùngphươngphápxửlísốliệuđiệntử(EDP=electronicdataprocessing)làphươngphápthuthậpthôngtinkếthợpkĩthuậtsốhoánêncótínhbảohộcao.

Vấnđềcơbảncủamậtmãhọclàthiếtkếmộtcáchchuyểnđổi“lờithường”(cóthểhiểuđượcnhưbìnhthường)thànhcác“mậtngữ”(khônghiểuđượctheocáchthôngthường).Đểhiểucácmậtngữphảiquacáchphântíchtheoquytắcngượcvớikhitiếnhànhmãhoámớikhôiphụclạithôngtinbanđầu.Đểthựchiệnphươngphápbiếnđổiphảinhờhệthốngdịchmậtmã.Đểdịchmậtmãngườitacầnmộtbảnmãgốchoặctựđiểnbêntrongcóthuyếtminh,làmthếnàođểphiêndịchcácchữ,lờithànhcâu,thànhcácnhómmậtngữ.Hệthốngmậtmãcóhaibộphậncơbản:mộtlàthuậttoánmậtmã,đólàquátrìnhhoặclàmộtnhómquytắc,mộtsốbướcđi;hailànhómkhoámậtmãdongườisửdụngmậtmãlàcácchữsốbímật,cáchsắpxếpthứtự.

Thuậttoánmậtmãlànhómcácphépbiếnđổi,cáchbiếnđổiđượcquyđịnhdựavàokhoámậtmã.Mỗicáchbiếnđổicóthểbiếnđổitừlờinóithườngsangmậtngữđượcgọilàsựmãhoá.Mỗiphépđổicócáchbiếnđổingượcduynhất,phépbiểnđổingượcnàyđượcgọilàsựgiảimã.Đểthựchiệnviệcgiảimãcũngcầnmộtkhoágiảimãtươngứng.Toànbộquátrìnhtrêntacóthểdùngngônngữtoánhọcđểmôtả.ChoPđạidiệntậphợpcácphầntửcủalờinóithườngP={P1,P2,...Pn};cònClàtậphợpcácphầntửcủamậtngữC={C1,C2,...Cn}.TrongquátrìnhmãhoátadùngquytắcEđểthuyếtminh.VớimỗiphầntửpcủaP,tacóthểtìmphầntửđốiứngtrongClàc,tacóc=E(p).Elàhàmbiếnđổi.TậphợpPlàhàmkhuvực,tậphợpClàhàmkhuvựcliênhợp.

Trongnhữngnăm70củathếkỉXXđãcósựhoànthiệntrongquytrìnhmãhoá.Ngày15-1-1977hiệphộitiêuchuẩnhoácủanướcMỹđãđưaratiêuchuẩnquốcgiavềmậtmãchonướcMỹ.

Từkhoá:Mậtmã;Mãhoá;Giảimã;Khoámậtmã.

201.Vìsaophươngphápthaythếdầnngàycàngtỏraquantrọng?

Thếnàolàphươngphápthaythếdần?Trướchếttagiảiphươngtrìnhx2=2.Thếchẳngphảinghiệmcủaphươngtrìnhlà√2sao?Khôngsai.Thếnhưng√2bằngbaonhiêu,cóthểbiểudiễnbằngmộtsốlẻthậpphânkhông?

√2làmộtsốvôtỉ.Chúngtahivọngkhôngcầnphéptínhkhaicăncũngcóthểtìmđượcgiátrịgầnđúngcủa√2dướidạngmộtsốlẻthậpphâncóđộchínhxácbaonhiêucũngđược.Tabiếnđổix2=2thànhx=1/2(x+2/x).Talàmphéptínhướclượngchọnx1=1.Đưavàobiểuthứcvàtínhx2=1/2(1+2/1).Lạiđưax2thayvàobiểuthứcvàtínhx3=1/2(1,5+2/1,5)≈1,41666

Tacóthểthaydầncácgiátrịxnvàobiểuthứcvàtínhxn+1=1/2(xn+2/xn);n=1,2,3,...,ntạothànhmộtdãysốlàcácgiátrịgầnđúngcủa√2.Từtínhtoáncóthểtìmđượcx4=1,414215686,x5=1,414213562.Giátrịcủax5đạtđếnđộchínhxáccủasốlẻthứ9,sovớiphươngphápkhaicănởđâycáctínhtoánthựchiệndễdàngvànhanhchónghơn.Nhưvậyởđâyđãđưasốxnvàocôngthứcđểtínhgiátrịsốxn+1,lạiđưasốxn+2thayvàocôngthứcđểtínhxn+2...vàcóthểtiếptụccácgiátrịxntiếpsau,từđónhậnđượcdãysốx1,x2,..,x3.Ởđâyđểtínhgiátrịxntađãđưagiátrịx=x1vàohàmf(x)thaythếdầnvàof(x)vàxn+1=f(x)n=1,2,3...nđếnkhiđạtđượcgiátrịcóđộchínhxáccầnthiết.Đấychínhlàphươngphápthaythếdần.

Xemrathìphươngphápthaythếdầncóthểcóchútítphiềnphứckhitínhtoán.Thaythế,rồilạitính,cứtiếptụcliệucóthểtạođiềukiệnxuấthiệntínhsaichăng?Thựcrangàynayvớisựxuấthiệnmáytínhcótốcđộtínhnhanhvàchínhxácnêncóthểápdụngđểgiảicácphươngtrìnhphứctạphơnphươngtrìnhx2=2nhiềumàkhônghềgặpkhókhăngì,vìvậyphươngphápthaythếdầncónhiềulợiíchđểgiảiquyếtnhiềuvấnđềthựctế.

Từkhoá:Phươngphápthaythếdần.

202.Vìsaophươngphápthaythếdầnlạichomộtconsốcótínhngẫunhiên?

Hìnhvẽởbêndướilàmộthàmbậchaiy=ax(1-x);0<x<1,alàmộtthamsố.Vớix=1/2tanhậnđượccựctrịcủađườngparabon.Vớimỗigiátrị0<x<1,tasẽnhậnđượcmộtđiểmyduynhấttrênđườngparabon.Vớimộtsốx00<x0<1tanhậnđượcsốy0.Lạiđemthayy0vàohàmbậchaitađượcgiátrịmớiy1.Lạiđemy1thayvàohàm,talạiđượcy2,lạitiếptụcđưay2vàothay...tasẽthuđượcdãysốy0,y1,y2....quátrìnhnàytrongtoánhọcgọilàphươngphápthaydần.

Xuấtpháttừhàmbậchai,tachọnsốx0bấtkì(0<x0<1)làmgiátrịthaythếbanđầu,vớicácthamsốakhácnhau,tasẽnhậnđượccáckếtquảđángchúý.

Khichọna=2vàx0=0,2tiếnhànhviệcthaythếdần,tasẽnhậnđượcdãysốyilà0,18;0,2952;0,4161140;0,485926;0,499604;0,50000.Cuốicùngdãysốsẽdừnglạiởconsố0,50000.

Khia=3,2vàchọngiátrịbanđầulà,x0=0,2tasẽnhậnđượcdãysố:0,512;0,799539;0,512840;0,7994690;0,530190;0,7994580;0,5130400;0,7994560;0,51304403;0,7994560;0,5130440;0,7994560;0,5130440...,dãytrịsốthaythếdầncuốicùngsẽdừnglạiởhaisố:0,7884560và0,5130440chúngsẽthay

phiênnhauxuấthiện.

Vớia=3,5vàgiátrịbanđầux0=0,2tiếnhànhthaythếdầnđến30lầncuốicùngxuấthiệncácsố0,3828200;0,8269410;0,500840;0,8749970,từđó4sốnàythaynhauxuấthiện.Khichoatăngdầnthìcuốicùngsẽxuấthiện8sốthaynhauxuấthiệnkhitiếnhànhcuộcthaydầntiếptục,...rồilạixuấthiện16sốthaynhauxuấthiện...

Nhưngkhichoatăngđếna>3,57vídụa=3,58thìdãysốdokếtquảcácthaythếdầnlà:0,572800;0,8760270;0,388020;0,8507340;0,4546100;0,8876240;0,3570966;0,8218190;0,5240630;0,892927;0,3422780;0,8059430...vàhiệntượngquyluậtmấthẳn,ngườitakhôngnhậnđượcbấtkìgiátrịnàođượclặplại,khônghềcótínhquyluật,tráilạicácsốxuấthiệnđềucótínhngẫunhiên.Cácbạnthửtiếptụcthaythếsẽthấy.

Xuấtpháttừmộthàmbậchai,chọncácthamsốavàtiếnhànhphépthaythếdầntasẽnhậnđượcdãysốkhônglườngtrướcđược,làmmọingườikhótinnhưngđólàsựthựccóthểkiểmnghiệmbằngmáytính.Đólàmộtđặctínhcốhữucủacáchệphituyến,đượcgọilàtínhngẫunhiênnộitại.Tínhngẫunhiênnộitạilàđặctrưngcủamộtngànhkhoahọcmới:líluậnvềtrạngtháihỗnđộn.

Tínhxácđịnhcóbaohàmtínhngẫunhiên.Ởđâyxuấthiệnquyluậtthốngnhấtgiữacácmặtđốilập.Dophépthaythếdầncóbaohàmcácsựkiệnngoàisựtiênliệu.Sựxuấthiệncácsốngẫunhiêngiúpngườitanhậnthứcsâuhơnvềtựnhiên.

Từkhoá:Sựthaythếdần;Sốngẫunhiên.

203.Vìsaodùngphươngphápthaythếdầntalạinhậnđượccáchìnhvẽ

cóhoạtiếtđẹp?Trướchếttaxétchínhìnhvẽ.Bạnthấycóđiềugìđángnóikhông?

Sựthựcchínhìnhvẽnàychỉlàchụplạitừmộthìnhvẽ.Hình1làbứctoàncảnh.Từhình2trởđilànhữnghìnhphóngđạimộtbộphậncủahìnhtrước.Hình9làhìnhcóđộphóngđạiđến300triệulần.

Saukhixem9bứchìnhnày,tacóthểtinrằngmỗingườisẽcócảmnhậnriêngvềcáiđẹp.Trênhình1tachỉthấymột“đámđenngòm”.Saukhiphóngđạidầndần,hìnhvẽbắtđầuxuấthiệnbộmặtthậtcủanó,dầndầnmởrộngđượctầmnhìnsâuvàosựvật.Đólàsựxuấthiệndầncácnéttinhxảongoàiýnghĩcủangườita.

Thếcóphảihìnhvẽnàydomộtdanhhoạnàođóvẽra.Nóiracácbạnlạikhôngtin.HìnhvẽdomộtnhàtoánhọclàBenoitMandelbrotdùngphươngphápthaythếdầnvàthiếtkếtrênmáytính.TrongtoánhọcngườitagọiđólàtậpMandelbrot,trênthựctếcócấutrúckháđơngiản.Tưtưởngchủyếucủatậpnàylàthaythếdần.Khácvớiphươngphápthaythếtrước,ởđâydùngphươngphápthaythếđiểm.

TaxétđiểmA(toạđộc,d).Điểmbanđầucótoạđộsố(an,bn),tatiếnhànhquátrìnhthaythếđểnhậnđượcđiểm(an+1,bn+1).Côngthứcthaythếsẽlàhệhaiphươngtrìnhhaiẩn:

Quaviệcthaythếtasẽđượcmộthệcácđiểmcóđườngbiên,quacáchthaythếsẽchuyểnđiểmA(c,d)banđầuthànhđiểmAcómàutrắng.Bằngcáchđócóthểchuyểnđổibấtkìđiểmnàotrênhìnhphẳngthànhcácđiểmtươngứng.Dựavàophươngphápmiêutảtacóthểvẽranhiềuhìnhvẽphongphúvàtạođượccáchìnhvẽcóhoạtiếtđẹpđẽ.

Nhưvậytừngànhtoánhọcnghiêmtúclạitạoracáccảmhứngđầytínhnghệthuật.ViệccảmnhậnvẽđẹpcáctậpMandelbrotlàmchúngtanhậnrõđượcmalựcphiphàmcủatoánhọc.

Từkhoá:Phươngphápthaythế;TậpMandelbrot.

204.“Toánhọcmờ”cómơhồkhông?Trongcuộcsốnghằngngàytathườnggặpnhiềukháiniệmmơ

hồ,vínhưkhinấucơmđổnướcnhiềuhayít,khigiặtquầnáothêmnhiềuhayítbộtgiặt.Cácgiớihạnítnhiềunàythậtkhôngrõràng,thậtmơhồ.Vớikinhnghiệmngườitacóthểphânđịnhđượcmứcđộnàođónhưngkhixửlíbằngmáytínhsẽgặpkhôngítkhókhăn.Vìvậytìmcôngcụtoánhọcthíchhợpchoviệcxửlícácsựviệcmơhồtựnhiêntrởthànhđiểmnóngcủacácnghiêncứutoánhọc.

Từnăm1937,Blackđãtừngbànđếnhiệntượngmơhồtrênphươngdiệnlôgic.Vàonăm1951,trongmộtluậnvăn,mộtngườiPhápđãtừngđưarathuậtngữ“tậphợpmơhồ”hay“tậpmờ”.Năm1965,giáosưZadehthuộcphânhiệuđạihọcBerkleyởbangCalifornianướcMỹđãcôngbốluậnvănvề“tậpmờ”.Từđómộtngànhtoánhọcmới:toánhọcmơhồhaytoánhọcmờbắtđầupháttriểnmạnhmẽ.

Toánhọcmờlàngànhkhoahọcdùngcôngcụtoánhọcđểnghiêncứucácsựvậtmơhồ.Toánhọclàngànhkhoahọcchínhxác,còntoánhọcmờkhônghềgiảmđitínàotínhchínhxáccủatoánhọc.

Toánhọcmờthửdùngtínhđịnhlượng,tínhchínhxácđểxửlítínhmơhồ,mởrộngphạmviứngdụngcủatoánhọc.Tậphợpmờlàkháiniệmcơbảncủatoánhọcmờ.Điểmkhácbiệtcủacáctậphợpmờ(haycòngọilàtậpmờ)làcácphầntửcủatậphợpmờcótínhchấtmơhồởmứcđộnàođó.Trêncơsởcủatậpmờtacóthểthảoluậnvềquanhệmờ,matrậnmờvàsốmờ.

Toánhọcmờpháttriểndựavàocơsởcủatoánhọctruyềnthống.Toánhọcmờkhôngphảilàtoánhọctruyềnthốngnhưngcómốiliênhệvớitoánhọctruyềnthống.Dướiđâytasẽxemxétmộtvídụ.

Tronghìnhhọccóđịnhnghĩavềvòngtròn“Hìnhtrònlàtậphợpcácđiểmtrênmặtphẳngcókhoảngcáchkhôngthayđổitớimộtđiểmcốđịnhtrongvòngtròn”.Thếnhưngtrongcuộcsốnghằngngàytìmđượcmộthìnhtrònhoàntoànphùhợpvớiđịnhnghĩatoánhọclàrấtkhó.Ngườitathườngnói“Mặttrăngtròn”,“Quảtrứngtròn”,“Gươngmặttròn”v.v...đềulàcáckháiniệmmơhồ.Nếucóaiđóđưachobạnmộttấmảnhtrongđócóảnhcủanhiềungười,ngườitayêucầubạnchọntrongsốđómộtgươngmặttrònnhất.Nếuchỉdùngtrựcgiácthậtkhóthựchiệnđược.Chỉcódùngmáytínhkếthợpvớicácdụngcụđođạcmayracóthểhoànthànhđược.

Trongtoánhọctruyềnthốngcóđịnhlí:Vớicáchìnhcócùngchuvithìhìnhtròncódiệntíchlớnnhất.TabiếtcôngthứctínhdiệntíchhìnhtrònlàS=πR2,côngthứctínhđườngchuvilàl=2πR(Rlàbánkínhcủahìnhtròn).TatínhtỉsốcủadiệntíchhìnhtrònvớibìnhphươngđườngchuvihìnhtrònsẽlàS/l2=1/4π.Vớicáchìnhkhácthìtỉsốgiữadiệntíchvàbìnhphươngchuvisẽnhỏhơnhằngsốnày.

VớimộthìnhtiếpcậnvớivòngtrònthìtỉsốS/l2sẽtiếndầnđếnsố1/4π.Nhưvậytacóthểdùng4πS/l2đểbiểudiễnmứcđộtròncủamộthình.Bâygiờvớicáchìnhngườitrongtấmảnhtachỉcầnđodiệntíchvàđườngchuvicủacácgươngmặttacóthểđánhgiámứcđộtròncủacácgươngmặttheogiátrịtỉsố4πS/l2.Cáctỉsốnàysẽcógiátrịtrongkhoảng0-1.Nếutỉsốcànggầnvới1thìgươngmặtcàngtròn.Dùngphươngphápnàymáytínhcóthểchọnđượcgươngmặttrònnhấttrongcácgươngmặttrongtấmảnh.

Toánhọcmờđãđưaraphươngphápmiêutảđịnhlượngcho

ngônngữtựnhiênđểngônngữtựnhiênchuyểnhoáthànhngônngữmáy,nhờđónângcaođộlinhhoạtcủamáytính.Toánhọcmờkếthợpvớimáytínhđãcóứngdụngrộngrãivàđạtnhiềukếtquả.VídụPabisvàcáccộngsựởnướcAnhđãdùngtoánhọcmờđểchếtạocácthiếtbịđiềukhiểnđiểmnútgiaothôngngãmười.PaelcủaấnĐộvàcácđồngsựđãdùngtoánhọcmờđểphânbiệtlờinóicủangườinói.NgườiNhậtBảnđãdùngtoánhọcmờđểchẩnđoánbệnhcổtrướng,đểđiềukhiểntàuđiệnngầm,máygiặtquầnáo,máyhútbụi,máyđiềuhoàkhôngkhí,nồicơmđiệnv.v...NgườiTrungQuốcđãdùngtoánhọcmờđểdùngvàoviệcdựbáokhítượng,chẩnđoányhọc,trongcôngtáctìnhbáo,chẩnđoánbệnhcổtrướng,côngtácquyhoạch,điềukhiểnnhiệtđộlò,quảnlíkinhdoanh…

Toánhọcmờkhôngchỉlàkhôngmơhồmàcòndùngphươngphápchínhxácđểnghiêncứusựvậtmơhồ,làmộtmônkhoahọccónhiềuứngdụnglíthú.

Từkhoá:Toánhọcmờ.

205.Hìnhhoatuyếtcóbaonhiêuchiều?

Mọingườiđềubiếtcâuchuyệnngườimùsờvoi.Theotruyềnthuyết,cóbangườimùchưatừngthấymộtconvoilớn,thếnhưnghọlạimuốnbiếtconvoilớnnhỏrasao,dođóhọnghĩcáchđisờvoi.Mộtngườisờtrúngđuôivoi,anhtachorằngconvoigiốngmộtconrắn.Ngườithứhaisờđúngtaivoi,anhtachorằngconvoigiốngnhưchiếcquạtlớn.Ngườithứbasờđúngchânvoi,anhtanghĩngayđếnviệcconvoigiốngnhưmộtcâycộtđình.

Câuchuyệnvềngườimùsờvoicảnhbáochochúngtavềviệcnhậnthứcsựvậtkhôngđượcđạikháimàphảinhìntừnhiềuphía.Nếuchúngtadùngconmắthìnhhọctrừutượngđểxemxét,tacóthểgiảiquyếtvấnđềkháiniệmsốchiều.Đuôivoichỉcóthểphânbiệtđượctrêndướilàcómộtchiều.Taivoinhưcáiquạtcóchiềutrêndưới,cóchiềutrướcsaunêncóhaichiều.Chânvoicóthểphânbiệttrêndưới,trướcsau,tráiphảinêncóbachiều.Tronghìnhhọccácloạiđườngnhưđườngthẳng,đườngchuvi,chúngchỉcómộtphươnghướngđộclậpđềucómộtchiều.Chỉcóthểhướngtớitrước

vàhướngvềsau.Đườngcongcóhaichiềuphảicóhaiphươnghướngđộclập:phươnghướngchuyểnđộngtrướcsau,hướngtráivàhướngphảilàhaihướngđộclập.Cònkhônggianmàngườitasinhsốngcóbaphươnghướngđộclập:trướcsau,trêndướivàtráiphảitứccóbachiều.Vậytiêuchíđểđặctrưngchosốchiềuthựctếlàtiêuchíđặctrưngchosựvật.

Thếđốivớiđườngvẽhoatuyếtsẽrasao?VấnđềnàyđượcnhàtoánhọcThuỵĐiểnlàAheđãđưavàomôhìnhcủagiớitựnhiênđểđưarasốchiềucủađườngvẽhoatuyết.Quátrìnhthựchiệnnhưsau:

GiảsửE0làtamgiácđềucócạnhbằng1.TachiacạnhE0củatamgiácthànhbaphầnđềunhau.Mỗiđộdàibằng1/3cạnhtamgiáccũsẽlàcạnhcủatamgiácđều.TagọihìnhtamgiáctrunggiancócạnhbằnglàE1.TalạilàmnhưđãthựchiệnvớihìnhE,lạichiacạnhcủaE1thành3phầnđềunhau,tađượctamgiácE2...vàcứthếtiếptục.KháiquátlạivớitamgiácEk+1sẽcócạnhbằng1/3K+1cạnhcủatamgiácEK.NếuKcàngngàycànglớnthìEKsẽngàycàngphứctạpvàsốrăngcủahoatuyếtsẽtrởnênngàycàngdàyđặc.Sựthựcthìcấutạocủahoatuyếtsẽtrởnênvôhạn.Chỉcóđiềuvĩnhviễnngườitasẽkhôngđạtđếntrạngtháilítưởng.

Hiểnnhiên“cáiđiềuvĩnhviễnkhôngthểđạtđượcđườngconglítưởng”làkhôngthểbàncãi.Thếvớimộtđườngcongnóichungcòncóđiềugìđặcbiệtnữa?Có.Trướchếtđólàđườngcongkhépkín,giớihạnmộtkhuvựcmặtphẳng,códiệntíchxácđịnh.Thếcuốicùngđườngấycóđộdàibằngbaonhiêu?Xéttheoquátrìnhcấutạotacóthểthấymỗibướcthaotácđềulàmtăngđộdàicủađườngcongthêm1/3tứccóđộdàibằng4/3độdàibanđầu.Tuỳtheosốbướcthaotáctiếptụcsẽlàmchođộdàicủađườngvẽngôisaolớnđếnvôhạn.Cuốicùngnếutathuhẹptầmnhìn,tậptrungánhmắtvàomộtbộphậncủađườngvẽhoatuyếttasẽpháthiệnmộtđiềukìlạlàđườngvẽbanđầuvàphầncụcbộgiốngnhau.Đườngvẽhoatuyếtcónhữngđiểmđặcbiệtnhưvậychứngtỏnókhôngphảilàđườngbìnhthường.Thựctếnólàmộtđườngcongchianhỏhình(hayđườngphânhình,hayfractan-btv).

Đốivớimộtđườngcongphânchiahình,takhôngxemlàđườngcongcómộtchiều.Vìvớiđườngcongvẽhoatuyếtcóthểnóiđólà

đườngcongkhôngcóphươnghướng.Phươnghướngcủađườngcongtuỳthuộccáchcấutạomàthayđổivôsốlần.Thếsẽđịnhnghĩasốchiềucủađườngnàynhưthếnào?Chúngtabắtđầubằngviệcnhìncụcbộkếthợpvớitoànthể.

Nếutatăngđộdàicạnhcủamộthìnhvuôngcócạnhbằng1lêngấpđôithìsẽcó32=9hìnhvuôngcạnhbằng1.SốchiềucủahìnhsẽlàD(Q)=ln9/ln3=2.Nếutăngđộdàicủakhốilậpphươngcạnhbằng1lêngấpđôithìsẽcó33hìnhlậpphươngcạnhbằng1vàsốchiềuD(C)=ln27/ln3=3.Điềunàyhoàntoànphùhợpvớiquanniệmvềsốchiềuđềratừbanđầu.Đốivớiđườngcongvẽhoatuyếttacóthểxemxéttheocáchtươngtự,ápdụngchođườngcongvẽhoatuyếtcấpK.Klàdohìnhtamgiácđềucạnh1đơnvịtạonên(nhưhình1).Nếutăngđộdàicủatamgiáclêngấpđôinhưởhình2thìđườngvẽhoatuyếtsẽtạonênbốnhìnhcấpKvàD(K)=ln4/ln3=1,26.Nếutăngđộdàicạnhđếngấpbasẽđượcđườngvẽngôisaonhưởhình3.Nhưvậyđườngvẽngôisaotheokiểuphânhìnhđãđượctạorabằngcáchnhưtrìnhbày.

Cáchvẽraphươngthứcphânchiahìnhcủaconđườngvẽhoatuyếtvạchrõtínhkìlạcủađườnghoatuyết.

Từkhoá:Hìnhhoatuyết.

Đườngnguyêncòngọilàđườngglucogen–sinhthànhtừđườngglucozamấtnước–làmộtloạihidratcacbonquantrọngcungcấpnănglượngchocơthể.2trườnghợpcầnphânbiệt:1.trứngphânđôithành2bàothai2.2trứngriêngthành2bàothaiđộclập.MẫuTrungQuốckhoảngbằng667m2;1hagầnbằng15mẫuTrungQuốcMộtsốsáchcủaTrungQuốcvàthếgiớilạichứngminhrằngchữHán'Long'(rồng)làtượnghìnhcủacácconcásấu.VídụxemChuyệnđôngchuyệntâytập1củaAnChi.Cácchấtxúctácsinhhọcphiprotêinđượcgọilàco-factor.Co-factorcóbảnchấthữucơđợcgọilàco-enzim.Hầuhếtco-enzimlàcáchợpchấtdocácvitamintạothànhhoặctựthânnólàvitamin.MộtloàigiốngcôntrùngxéntócởViệtNam,thuộchọcánhcứng.TiếngHángọiénvàyếnđềulàyến.TiếngViệtphânbiệtchimén(chimditrú)vàyến(chimlàmtổyếnởphíaNamViệtNamnhưNhaTrang...khôngdicưnhưchimén).SangthếkỉXXIngànhKỹthuậtđiệntửđểtìmravàđưavàoứngdụngloạivậtliệucáchđiệnchocácmạchtíchhợptốthơnsilicđioxit,đólàvậtliệuhighk(hằngsốđiệnmôicao)nhưhafinioxit,hafinisilicat.LoạinàyđãđượchngIntelsửdụngtrongCPUAtomcóbánởViệtNamtừ2009-btv.SangthếkỉXXI,PinNiken-Cađimikhôngđượcưachuộngnữavìnócócađimilàkimloạinặng,gâyđộchại.Nhiềunướcđãcấmdùngloạipin(ăcquy)này.HiệnnaynướcPhápkhôngdùngđồngfrăng.Từ“đạnđạo”ởđâythựcralàdotừ“đạođạn”nóingượclại,cónghĩalà“đạncódẫnđường”,hay“đạntựhành”,“đạntựđẩy”nókhácvớitừ“đạnđạo”trongcụmtừ“tênlửađạnđạo”màtheotiếngTrungQuốclà“đạnđạođạođạn”,haichữ“đạo”ởđâykhácnhau,mộtchữcónghĩalà“đường”,chữthứhaicónghĩalà“dẫn(đường)”,nghĩađencủacụmtừ“đạnđạođạođạn”là“đạndẫnđườngchođầuđạn(hoặcbom)lắpởtrênnó,màtavẫngọilà“tênlửađạnđạo”-ND.Toànhànàyđãbịcácphầntửkhủngbốdùngmáybayđánhsậpngày11/9/2001-NDToànhànàyđãbịcácphầntửkhủngbốdùngmáybayđánhsậpngày11/9/2001-NDGeorgéPompidou(1911-1974),làmTổngthốngcộnghoàPháptrongcácnămtừ1969đến1974-NDBệnhmụnnhỏngoàidathànhtừngmảng,cómàuđỏgọilàxíchđiến,màutrắnglàbạchđiến,màutímlàtửđiếnXemchúthíchvềradvàGytạimục180trang371Sinhquyểnsố2(Biosphere2)theoWikipediacódiệntíchxâydựnglà

12.700m2,chiphíkhoảng200triệuUSD;cómụcđíchnghiêncứukhảnăngconngườisốngvàlàmviệcđượctrongsinhquyểnkín,tiếnhànhnhữngthínghiệmkhoahọc.ỞViệtNam,theochỉthị20/2000/CT-TTg,đãcấmdùngxăngphachìtrêntoànquốctừngày01/11/2001.Ngàynay(từtháng8năm2006)DiêmVươngTinhbịgiángcấpxuốngthànhhànhtinhlùnNgàynayHộiThiênvănQuốcTếđãkhôngcòncoinólàhànhtinhnữa.ỞViệtNamgọicâynàylàcâydâyleovạnniênthanh,thườngtrồngđểtrangtrí.Theoquanniệmmớinhấtthìnấmthuộcmộtgiớiriêng,độclậpvớigiớithựcvật.Đólàgiớinấm.Nhiễmsắcthể.Thểnhỏởdạnglôngquexuấthiệnkhitếbàophânchiagiántiếp(phânchiacólông)vàdễbịnhuốmmàubởichấtnhuộmkiềmtính.Đượctạonênbởisựcuốnquanhxếpchồnglênnhaucủasợitơchấtnhiễmsắcdàivàmảnh.Vàdoaxitnucleiccùngproteintạothành,làcơsởvậtchấtchủyếucủaditruyền.Nhiễmsắcthểcủacácloạisinhvậtcósốlượng,hìnhdáng,kíchthướcnhấtđịnh.Tếbàothểthườnglàsongbộithể,cóhainhómnhiễmsắcthể.Tinhvànoãnlàđơnbộithể,chỉcómộtnhómnhiễmsắcthể.Trongcáthểđựccáikhácnhauthìnhiễmsắcthểchiarahailoại:nhiễmsắcthểgiớitínhquyếtđịnhđếntínhtrạnggiớitínhvànhiễmsắcthểthường.Vídụtếbàothếcủangườicó46nhiễmsắcthể,trongđócó44cáilànhiễmsắcthểthường,2cáilànhiễmsắcthểgiớitính.Namcó1nhiễmsắcthểXvà1làY.Nữcó2nhiễmsắcthểgiớitínhX.ATP(adenozintriphotphat)C10H16N5O12P3:co-enzim,làhợpchấtcaonănglượngcủatếbàoBâygiờRAMcỡ1GBlàbìnhthường(btv).HiệnnayđangdùngloạipinLi-ionkhôngnạpđểcấpnguồnchoCMOS.Cácloạipin(ắcquy)Ni-Cdđượckhuyếncáogâyđộchạikhôngsửdụngnữa(Btv).Mạngtrungkế:Mạngtiếpsức,chuyểntiếpsóng(Relay).“Kế”ởđâylàkếtục,từHánnàyhiệnnayởViệtNamítdùng,nóchỉcònlưuhànhtrongnhữngngườilớntuổingànhbưuđiện.LầuQuanTước:NhàlầucạnhbatầngởphíaTâyNamhuyệnVĩnhTố,tỉnhSơnTây,TrungQuốcBànthấtxảo:bàncó7điểmtinhxảoMatrậncònđượcgọilàmatrậnvuôngSéthaychớplàhiệntượngphóngđiệngiữacácđámmâyhoặcgiữamâyvàmặtđất.TrongtiếngViệtcóchỗphảidùngsétnhư“sétđánh”,“sétcầu”...,cóchỗphảidùngchớpnhư“mưagiôngchớpgiật”...Ba:chỉBaThục,làtêngọicủatỉnhTrùngKhánh,TứXuyêntrướckia

NướctacógiànđànđáđượcpháthiệntạihuyệnKhánhSơn,tỉnhKhánhHoàcũnglàmộtnhạccụcổxưaquýhiếm,tươngtựnhưgiànđànchuôngnóitrêncủaTrungQuốc(ChúthíchcủaND).Tốcđộtruyềnâmtrongkhôngkhíkhoảng331m/sởđiềukiệnnhiệtđộ0°C,độcaotrênmựcnướcbiển.Âmthanhvòng(âmthanhvòm)tạochongườinghecảmnhậnrõrệtvềâmthanh3chiềucóchuyểnđộngvòng.