Dynamics Book

8/6/2019 Dynamics Book

1/24

V i b r a t i o n D a t a A n a l y s i s

D a n i e l R . K i r a c o f e

R e v i s i o n M a r c h 1 6 t h , 2 0 0 7

1 P r e f a c e

T h e r e a r e a g o o d n u m b e r o f b o o k s w h i c h d e a l w i t h v i b r a t i o n . B u t I h a v e n o t

f o u n d a s i n g l e b o o k w h i c h f o c u s e s o n t h e a n a l y s i s o f e x p e r i m e n t a l v i b r a t i o n

d a t a , w h i c h i s w h a t I n d m y s e l f d o i n g q u i t e a b i t o f . I h a v e p u t t h i s t o g e t h e r

t o s e r v e b o t h a s a r e f e r e n c e f o r m y s e l f ( e . g . c o l l e c t i n g v a r i o u s b i t s o f k n o w l e d g e

t o g e t h e r f o r e a s y a c c e s s ) a n d h o p e f u l l y a s a r e f e r e n c e f o r o t h e r s

. I h a v e d o n e

s i m i l a r w r i t e u p s o f o t h e r t o p i c s i n t h e p a s t a n d f o u n d t h e m t o b e v e r y w e l l

r e c e i v e d b y t h e I n t e r n e t c o m m u n i t y . T h i s i s g o i n g t o b e a w o r k i n p r o g r e s s f o r

s o m e t i m e . S o i f t h e r e i s a p a r t i c u l a r a r e a t h a t i s b l a n k w h i c h y o u h a v e a s p e c i c

q u e s t i o n a b o u t , p l e a s e e - m a i l m e ( k i r a c o f e . 8 @ o s u . e d u o r d r k @ c u r r e n t . n e t ) a n d

I w i l l t r y t o a n s w e r y o u r q u e s t i o n s . I f y o u h a v e m o r e e x t e n s i v e q u e s t i o n s o r

p r o b l e m s , I m a y b e a b l e t o p r o v i d e c o n s u l t i n g s e r v i c e s f o r a n o m i n a l f e e . A l s o ,

i f y o u w i s h t o m a k e a c o n t r i b u t i o n b y p r o v i d i n g t e x t , e x a m p l e s , o r r e f e r e n c e s

f r o m y o u r a r e a o f e x p e r t i s e , p l e a s e l e t m e k n o w .

O c c a s i o n a l l y I h a v e m a d e n o t e s t o m y s e l f o n a r e a s I w i s h t o c o m e b a c k t o .

T h i s a r e m a r k e d a s x m e . Y o u c a n i g n o r e t h o s e .

2 F i l t e r i n g

I r e m e m b e r t h a t w h e n I w a s r s t l e a r n i n g a b o u t s i g n a l p r o c e s s i n g I f o u n d a

b o o k f r o m t h e l i b r a r y a n d w a s i n t r i g u e d t h a t m o r e t h a n h a l f t h e b o o k d e a l t

w i t h l t e r i n g . B u t l t e r i n g i s s u c h a s i m p l e t h i n g , s u r e l y t h e r e i s m o r e t o

s i g n a l p r o c e s s i n g t h a n j u s t l t e r i n g I s a i d t o m y s e l f . A s I h a v e s i n c e l e a r n e d ,

a l t h o u g h t h e b a s i c c o n c e p t o f a l t e r i s f a i r l y s t r a i g h t f o w a r d , t h e c o r r e c t , e c i e n t

i m p l e m e n t a t i o n o f a l t e r c a n b e v e r y s u b t l e .

F u r t h e r , t h e a c t o f w r i t i n g t h i s d o w n h a s h e l p e d m e n d w h e r e t h e g a p s a r e i n m y

k n o w l e d g e a n d I h a v e s u b s e q u e n t l y l e a r n e d q u i t e a b i t l l i n g t h o s e i n . I n m y o p i n i o n , o n e o f

t h e b e s t w a y s t o l e a r n s o m e t h i n g i s t o t r y t o t e a c h i t t o s o m e o n e e l s e . I f y o u c a n ' t t e a c h i t ,

t h e n y o u d o n ' t k n o w i t .

1


2/24

2 . 1 B a s i c l t e r c o n c e p t s

2 . 1 . 1 B a n d p a s s l t e r s

O n e m i s c o n c e p t i o n t h a t I h a d e a r l y o n w i t h t h i s : s i n c e a l o w p a s s l t e r k e e p s

l o w f r e q u e n c i e s , a n d a h i g h p a s s l t e r k e e p s h i g h f r e q u e n c i e s , a n d a b a n d p a s s

l t e r k e e p s a r a n g e o f f r e q u e n c i e s , t h e n a b a n d p a s s l t e r i s e q u i v a l e n t t o s i m p l y

a h i g h p a s s a n d a l o w p a s s l t e r i n s e r i e s . F u r t h e r , I t h o u g h t , s i n c e a b a n d p a s s

l t e r a l w a y s h a s a n e v e n n u m b e r o f p o l e s , t h a t m u s t b e b e c a u s e t h e r e i s o n e

p o l e f o r t h e h i g h p a s s p a r t a n d o n e p o l e f o r t h e l o w p a s s p a r t . A l t h o u g h o n e c a n

c r e a t e s u c h a l t e r , a t r u e b a n d p a s s l t e r i s d i e r e n t t h a n j u s t a h i g h p a s s a n d

l o w p a s s l t e r , a n d t h e e v e n n u m b e r o f p o l e s h a s n o t h i n g t o d o w i t h o n e f o r

e a c h p a r t . P r a c t i c a l l y , i t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h i s d i s t i n c t i o n s i n c e a t w o

p o l e p a i r b a n d p a s s l t e r h a s a m u c h s h a r p e r c u t o t h a n a o n e p o l e l o w p a s s a n d

o n e p o l e h i g h p a s s l t e r c o m b i n e d i n s e r i e s .

A s i m p l e l o w p a s s l t e r i s a 1 s t o r d e r d e v i c e . T o b e s p e c i c , t h e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s i t h a s o n l y r s t d e r i v a t e s . E l e c t r i c a l l y , t h i s w o u l d b e

r e s i s t o r s a n d c a p a c i t o r s , b u t n o i n d u c t o r s . M e c h a n i c a l l y , t h i s w o u l d b e s p r i n g s

a n d d a s h p o t s , b u t n o m a s s e s . T o g e t a m u l t i - p o l e l t e r , o n e j u s t s t a c k s i n m o r e

s p r i n g s a n d d a s h p o t s , b u t n e v e r a d d s a n y m a s s . A s i m p l e b a n d p a s s l t e r , o n

t h e o t h e r h a n d , i s a 2 n d o r d e r d e v i c e . S o t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n h a s s e c o n d

d e r i v a t i v e s . E l e c t r i c a l l y , i t i n v o l v e s a n i n d u c t o r , a n d m e c h a n i c a l l y i t i n v o l v e s

a m a s s . T h e a d d i t i o n o f t h e 2 n d d e r i v a t i v e m e a n s t h a t t h e s y s t e m n o w h a s a

n a t u r a l f r e q u e n c y a n d c a n h a v e a r e s o n a n t r e s p o n s e . I t i s t h i s t h e o n - r e s o n a n c e

c o n d i t i o n t h a t i s t h e p a s s b a n d o f t h e l t e r a n d t h e o - r e s o n a n c e c o n d i t i o n i s

t h e s t o p b a n d .

F I X M E : e l a b o r a t e o n t h i s p o i n t , m a y b e a d d s o m e e x a m p l e s .

2 . 2 S t a n d a r d A n a l o g F i l t e r t o p o l o g i e s

T h e r e a r e m a n y d i e r e n t t r a d e o s t o b e m a d e i n l t e r d e s i g n . T h e r e a r e s e v -

e r a l d i e r e n t s t a n d a r d a n a l o g l t e r t o p o l o g i e s , e a c h o f w h i c h m a x i m i z e s s o m e

p r o p e r t i e s a t t h e e x p e n s e o f o t h e r s . H e r e i s a c o n c i s e s u m m a r y o f t h e i r c h a r a c -

t e r i s t i c s .

2 . 2 . 1 B u t t e r w o r t h

T h e b u t t e r w o r t h l t e r i s m a x i m a l l y a t i n t h e p a s s b a n d , b u t d o e s n o t h a v e

a v e r y s h a r p r o l l o . T h e b u t t e r w o r t h l t e r i s a n a l l - p o l e l t e r a n d i t h a s a

m o n t o n i c f r e q u e n c y r e s p o n s e ( i . e . i t k e e p s a t t e n u a t i n g m o r e a n d m o r e a s y o u

g o o u t i n f r e q u e n c y , i n c o n s t r a s t t o s a y a n e l l i p t i c a l l t e r , w h i c h r e a c h s o m e

m a x i m u m a t t e n t u a t i o n a n d t h e n s t o p ) .

P e r s o n a l l y , I u s e b u t t e r w o r t h l t e r s f r e q u e n t l y i n v i b r a t i o n a n a l y s i s b e c a u s e

t h e y a r e t h e e a s i e s t t o d e s i g n . Y o u s p e c i f y a l t e r o r d e r a n d a c u t o f r e q u e n c y

a n d M a t l a b c a n d o t h e r e s t . I n c o n s t r a s t , a n e l l i p t i c l t e r d e s i g n n e e d s t o

s p e c i f y t h e t r a d e o s b e t w e e n a t t e n u a t i o n a n d r i p p l e . A l o t o f t i m e s I d o n ' t

2


3/24

w a n t t o t h i n k a b o u t t h a t , I j u s t w a n t t o g e t r i d o f s o m e h i g h f r e q u e n c y n o i s e i n

m y s i g n a l .

2 . 2 . 2 C h e y s h e v

A c h e b y s h e v l t e r h a s a s h a r p e r r o l l o b u t m o r e r i p p l e t h a n a b u t t e r w o r t h l t e r .

2 . 2 . 3 E l l i p t i c ( C a u e r )

T h e e l l i p t i c l t e r i s e q u i r i p p l e a n d h a s a v e r y s h a r p r o l l o .

2 . 2 . 4 B e s s e l

T h e B e s s e l l t e r h a s a m a x i m a l l y a t g r o u p d e l a y . T h a t i s , i t ' s p h a s e r e s p o n s e

i s m a x i m a l l y l i n e a r . T h i s i s i m p o r t a n t i f o n e s d o e s n o t w a n t t o d i s t o r t t h e s h a p e

o f s i g n a l s w i t h c o n t e n t a t d i e r e n t f r e q u e n c i e s ( e . g . s q u a r e w a v e s ) .

2 . 3 D i g i t a l F i l t e r s

T h e r e a r e t w o t y p e s o f d i g i t i a l l t e r s , c o m m o n l y c a l l e d I I R a n d F I R , w h i c h s t a n d

f o r I n n i t e I m p u l s e R e s p o n s e a n d F i n i t e I m p u l s e r e s p o n s e r e s p e c t i v e l y . W h a t

t h i s d e n i t i o n m e a n s i t t h a t i f y o u p i n g a n I I R l t e r , a s t h e r e s p o n s e d e c a y s

i t w i l l a s y m p o t i t i c a l l y a p p r o a c h z e r o b u t n e v e r q u i t e r e a c h i t ( e . g . 0 . 1 , 0 . 0 1 ,

0 . 0 0 1 , 0 . 0 0 0 1 , e t c . , e t c . b u t n e v e r e x a c t l y 0 ) . T h e F I R l t e r , o n t h e o t h e r h a n d ,

w i l l a t s o m e p o i n t r e a c h z e r o . P r a c t i c a l l y , w h a t t h i s m e a n s i n t h e I I R l t e r u s e s

f e e d b a c k -

t h e o u t p u t a t t i m e t i s d e p e n d e n t o n t h e i n p u t a t t i m e t a s w e l l a s

t h e o u t p u t a t t i m e t - 1 b u t t h e F I R l t e r i s o n l y d e p e n d e n t o n t h e i n p u t s . W e

c a r e a b o u t t h i s b e c a u s e d i g i t a l m a t h c a n n e v e r h a v e i n n i t e p r e c i s i o n - t h e r e i s

a l w a y s s o m e r o u n d i n g e r r o r . F e e d b a c k c a n t e n d t o c o m p o u n d r o u n d i n g e r r o r s .

T h u s I I R l t e r s c a n s o m e t i m e s b e u n s t a b l e .

2 . 3 . 1 I I R F i l t e r s

I I R l t e r s a r e t y p i c a l l y d e s i g n e d b y d e s i g n i n g a n a n a l o g l t e r a n d t h e n c o n v e r t -

i n g t o a n e q u i v a l e n t d i g i t a l l t e r .

2 . 3 . 2 F I R F i l t e r s

W i n d o w e d D e s i g n

R e m e z E x c h a n g e ( P a r k s - M c C l e l l a n )

3 T h e a n a l o g t o d i g i t a l c o n v e r s i o n p r o c e s s

3 . 1 A l i a s i n g a n d t h e N y q u i s t f r e q u e n c y

3 . 2 T h e d e l t a - s i g m a A D C

h t t p : / / w w w . b e i s . d e / E l e k t r o n i k / D e l t a S i g m a / D e l t a S i g m a . h t m l

3


4/24

3 . 3 o v e r s a m p l i n g [ x m e , n e e d t o t h i n k a b o u t t h i s o n e

m o r e . h o w d o e s i t r e l a t e t o z e r o - p a d d i n g F F T s ]

h t t p : / / w w w . b k s v . c o m / p d f / B v 0 0 4 7 . p d f

4 I n s t r u m e n t a t i o n

A s f a r a s I a m c o n c e r n e d ,

t h e

d e n i t i v e b o o k o n i n s t r u m e n t a t i o n i s M e a s u r e m e n t

S y s t e m s b y E r n e s t D o e b e l i n [ 1 ] . I h a d t h e p l e a s u r e o f t a k i n g a c l a s s f r o m h i m

i n g r a d u a t e s c h o o l a n d h e i s a g o d a m o n g m e n ( o r , a t l e a s t , a m o n g e n g i n e e r s ) .

T h i s b o o k h a s i n f o r m a t i o n o n e v e r y k i n d o f m e a s u r i n g d e v i c e s t h a t a m e c h a n i c a l

e n g i n e e r w o u l d w a n t t o u s e . I w i l l g o o v e r t h e h i g h l i g h t s o f c o m m o n v i b r a t i o n

i n s t r u m e n t s h e r e .

4 . 1 A c c e l e r o m e t e r s

4 . 1 . 1 L o w i m p e d a n c e ( c h a r g e t y p e ) v e r s u s h i g h i m p e d a n c e ( I C P )

p i e z o e l e c t r i c a c c e l e r o m e t e r s

T h e p l a i n p i e z o e l e c t r i c a c c e l e r o m e t e r h a s a n o u t p u t o f c h a r g e p r o p o r t i o n a l t o

a c c e l e r a t i o n s . M o s t a n a l o g t o d i g i t a l c o n v e r t e r s a r e

4 . 2 S t r a i n g a g e s

4 . 3 T a c h o m e t e r s a n d e n c o d e r s

4 . 3 . 1 I n t r o d u c t i o n t o t a c h o m e t e r s

T h e t a c h o m e t e r i s a v e r y i m p o r t a n t s e n s o r i n v i b r a t i o n a n a l y s i s o f r o t a t i n g

m a c h i n e s , s i n c e m a n y o f t h e i m p o r t a n t e x c i t a t i o n s a n d n a t u r a l f r e q u e n c i e s d e -

p e n d o n s p e e d . A t a c h o m e t e r w i l l o u t p u t e i t h e r a s i n e w a v e o r a s q u a r e w a v e

w h e r e t h e f r e q u e n c y ( a n d s o m e t i m e s t h e a m p l i t u d e ) w i l l b e d e p e n d e n t o n t h e

s h a f t s p e e d . F o r s t e a d y - s t a t e c o n d i t i o n s , o n e c a n g e t a w a y w i t h f a i r l y s i m p l e

t a c h o m e t e r p r o c e s s i n g . B u t f o r t r a n s i e n t s w h e r e t h e s p e e d c h a n g e s v e r y q u i c k l y ,

s o m e f a i r l y c o m p l i c a t e d p r o c e s s i n g m a y b e n e e d e d t o g e t t h e d a t a y o u w a n t .

F i r s t , l e t ' s i n t r o d u c e s o m e o f t h e i m p o r t a n t p a r a m e t e r s a n d t r a d e o s i n

d e s i g n i n g a t a c h o m e t e r a l g o r i t h m .

1 . U p d a t e r a t e . H o w o f t e n d o e s t h e t a c h o m e t e r a l g o r i t h m g i v e y o u a n e w

s p e e d ? O n c e a s e c o n d , a h u n d r e d t i m e s a s e c o n d ?

2 . S p e e d p r e c i s i o n / n u m b e r o f s i g n i c a n t d i g i t s . C a n t h e t a c h o m e t e r a l g o -

r i t h m d i s t i n g u i s h b e t w e e n 6 0 R P M a n d 6 1 R P M ? B e t w e e n 6 0 R P M a n d

6 0 . 0 0 0 1 R P M ?

3 . L a g t i m e . W h e n t h e r e i s a s u d d e n c h a n g e i n t h e s p e e d , s a y f r o m 1 0 0 R P M

t o 2 0 0 R P M , h o w l o n g i s i t b e f o r e t h e t a c h o m e t e r a l g o r i t h m r e a c h e s t h e

n e w s p e e d ( e . g . s u c c e s s i v e s a m p l e s m a y s a y 1 0 0 , 1 5 0 , 1 7 5 , 2 0 0 . W e w a n t

4


5/24

t o k n o w h o w l o n g b e f o r e w e g e t 2 0 0 ) . T h i s i s d i e r e n t f r o m u p d a t e r a t e .

Y o u m a y b e g e t t i n g a n e w s p e e d a h u n d r e d t i m e s a s e c o n d , b u t t h a t s p e e d

m a y b e h a l f a s e c o n d b e h i n d t h e a c t u a l s h a f t s p e e d .

4 . A c c u r a c y . I f t h e s p e e d i s a c o n s t a n t 1 0 0 R P M , d o e s t h e t a c h o m e t e r r e p o r t

t h a t , o r d o e s i t r e p o r t 1 0 1 o r 9 9 ?

5 . C o m p u t a t i o n a l c o s t . F o r p o s t - p r o c e s s i n g , t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t i s u s u -

a l l y n o t i m p o r t a n t , b u t f o r o n l i n e a p p l i c a t i o n s i t m a y b e a l i m i t i n g f a c t o r .

V a r i o u s t a c h o m e t e r a l g o r i t h m s w i l l b e d e v e l o p e d , a n d t h e t r a d e o s i n t h e s e

p a r a m e t e r s w i l l b e d i s c u s s e d . I w i l l f o c u s o n a l g o r i t h m s f o r d i g i t a l s i g n a l p r o -

c e s s i n g , b u t a n a l o g p r o c e s s i n g i s a l s o a v a i l a b l e ( f r e q u e n c y t o v o l t a g e c o n v e r t e r s ) .

F o r t h e v a r i o u s e x a m p l e s , a s s u m e a t a c h o m e t e r w h i c h g i v e s 6 0 p u l s e s p e r

r e v o l u t i o n . T h e p e r f o r m o f t h e a l g o r i t h m s w i l l b e e x a m i n e d o n a s i m u l a t e d

s i g n a l w h i c h s t a r t s a t 1 0 . 5 R P M a n d t h e n i n c r e a s e s t o 2 0 . 5 R P M i n 1 s e c o n d .

4 . 3 . 2 S o m e s i m p l e a l g o r i t h m s

T h e m o s t b a s i c a l g o r i t h m i s t o s i m p l y c o u n t t h e n u m b e r o f c y c l e s ( z e r o c r o s s i n g s )

o f t h e s i n e w a v e o v e r s o m e t i m e p e r i o d a n d t h e n d i v i d e t o g e t c y c l e s p e r s e c o n d .

S o i f w e c o u n t f o r 1 s e c o n d , a n d s e e 6 0 0 p u l s e s , t h e n w e h a v e 1 0 r e v o l u t i o n s p e r

s e c o n d , o r 6 0 0 R P M ( n o t e t h e i m m e d i a t e a t t r a c t i o n o f t h e 6 0 t o o t h w h e e l - 6 0 0

R P M g i v e s 6 0 0 H z , n o c o n v e r s i o n i s n e c e s s a r y s o t h i s i s a p o p u l a r n u m b e r ) . S e e

1 f o r t h e p e r f o r m a n c e o f t h i s a l g o r i t h m o n t h e e x a m p l e . T h e t r u e s p e e d i s b l u e

a n d t h i s a l g o r i t h m i s r e d . N o t e t h e r e d d o t s s h o w t h e u p d a t e r a t e i s o n c e p e r

s e c o n d . T h e s p e e d b o u n c e s b a c g 4 . 3 . e p s k a n d f o r t h f r o m 1 0 t o 1 1 - t h e p r e c i s i o n

i s 1 R P M s o t h e t r u e s p e e d c a n n o t b e d i s p l a y e d . O n t h e t r a n s i e n t , t h e l a g t i m e

i s 2 s e c o n d s . U p d a t e r a t e a n d l a g t i m e c o u l d b e d e c r e a s e d b y c o u n t i n g o v e r ,

s a y , 0 . 5 s , b u t t h e n t h e p r e c i s i o n i s o n l y 2 R P M .

T h e p r e c i s i o n c o u l d b e i n c r e a s e d b y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f p u l s e s p e r

s e c o n d . T h i s w i l l b e t r u e o f a l l t h e a l g o r i t h m s a n d s o w i l l n o t b e m e n t i o n e d

a g a i n .

T h i s a p p r o a c h i s a d e q u a t e o n l y f o r s l o w l y v a r y i n g s p e e d s o r w h e r e t h e t r a n -

s i e n t b e h a v i o r i s n o t o f i n t e r e s t .

T h e m o s t s i m p l e e x t e n s i o n i s t o a d d o v e r l a p . F o r e x a m p l e , c o u n t h o w m a n y

p u l s e s a r e s e e n i n a b l o c k o f 0 . 1 s e c o n d . T h e n , r e p o r t t h e a v e r a g e o v e r t h e p a s t

1 0 b l o c k s . W e a r e s t i l l a v e r a g i n g o v e r 1 s e c o n d , b u t n o w t h e u p d a t e r a t e i s 1 0

t i m e s / s . S e e t h e g r e e n l i n e i n 1 . T h e p r e c i s i o n i s s t i l l 1 R P M , b u t t h e l a g t i m e

i s n o w o n l y 1 . 7 s e c o n d .

4 . 3 . 3 T o o t h - t o - t o o t h c o u n t i n g

I n t h i s m e t h o d , i n s t e a d o f r e c o r d i n g t h e n u m b e r o f z e r o - c r o s s i n g s o v e r a t i m e

p e r i o d , w e i n s t e a d r e c o r d t h e t i m e s a t w h i c h e a c h z e r o c r o s s i n g h a p p e n s . T h e n ,

s u b t r a c t s u b s e q u e n t t i m e p e r i o d s t o n d a v e l o c i t y . F o r e x a m p l e , i f o n e t o o t h

c r o s s e s a t t = 0 a n d t h e n n e x t a t t = 0 . 0 0 1 , t h e n w e h a v e 1 0 0 0 p u l s e s / s e c o n d ,

5


6/24

0 1 2 3 4 5 610

12

14

16

18

20

22

time (s)

RPM

actual speedoverlapped averageaverage

F i g u r e 1 : C o m p a r i s o n o f s i m p l e t a c h o m e t e r a l g o r i t h m s

6


7/24

o r 1 6 . 6 6 R P M . S e e 2 f o r t h e p e r f o m a n c e o f t h i s a l g o r i t h m . C o m p a r e d t o t h e

p r e v i o u s o n e i t l o o k s a l m o s t p e r f e c t . L a g t i m e i s a m e r e 0 . 0 5 0 s a n d t h e p r e c i s i o n

i s a p p r o x 0 . 1 R P M .

T h e s p e e d p r e c i s i o n i n t h i s c a s e i s d r i v e n b y t h e t i m e r e s o l u t i o n o f t h e s i g n a l

p r o c e s s o r . A t 2 0 . 5 R P M w i t h 6 0 t e e t h , a z e r o - c r o s s i n g h a p p e n s e v e r y 0 . 0 4 8 7 5 s .

I n t h i s e x a m p l e , I a s s u m e d a n A / D w i t h a 4 k H z s a m p l e r a t e a n d a s s i g n e d t h e

t i m e o f t h e z e r o c r o s s i n g a s t h e t i m e o f t h e s a m p l e n e a r e s t w h e r e t h e s i g n a l

c r o s s e d . S o , t h e t i m e r e s o l u t i o n i s . 0 0 0 2 5 s . S o t h e a l g o r i t h m c a n n o t t e l l t h e

d i e r e n c e b e t w e e n a n i n t e r v a l o f 0 . 0 4 8 7 5 s a n d a n i n t e r v a l o f 0 . 0 4 9 0 0 s . T h e

d i e r e n c e b e t w e e n t h e s e t w o i n t e r v a l s w o r k s o u t t o b e a p p r o x 0 . 1 R P M . A s

s h a f t s p e e d i n c r e a s e s , t h e i n t e r v a l d e c r e a s e s , s o a n e r r o r o f . 0 0 0 2 5 s b e c o m e s a

l a r g e r p e r c e n t a g e o f t h e i n t e r v a l . A t 2 0 0 R P M , t h e p r e c i s i o n o f t h i s e x a m p l e

w o u l d b e o n l y 1 0 R P M ; a t 2 0 0 0 R P M , t h e p r e c i s i o n i s a h o r r i b l e 7 0 0 R P M . T h i s

w i l l b e i l l u s t r a t e d i n a n e x a m p l e i n t h e n e x t s e c t i o n .

T o g e t a c c e p t a b l e p r e c i s i o n a t h i g h s p e e d s , i n c r e a s i n g t h e s a m p l i n g r a t e

b e c o m e p r o h i b i t i v e . T h e r e a r e t w o s o l u t i o n s w h i c h a r e n o r m a l l y e m p l o y e d . T h e

r s t i s t o u s e i n t e r p o l a t i o n t o d e t e r m i n e t h e z e r o c r o s s i n g t i m e m o r e a c c u r a t e l y

i n s t e a d o f r o u n d i n g t o t h e n e a r e s t s a m p l e . T h e s e c o n d i s t o u s e a h a r d w a r e

t i m e r d e v i c e i n s t e a d o f a n A / D c o n v e r t e r . F o r e x a m p l e , t h e N I - 6 6 0 2 c a r d c a n

r e t u r n t h e t i m e o f z e r o - c r o s s i n g s b a s e d o n a v e r y a c c u r a t e t i m e b a s e ( s o m e t h i n g

l i k e 1 0 M H z i f I r e m e m b e r c o r r e c t l y ) .

S i n c e t h e a l g o r i t h m r e t u r n s a s p e e d p o i n t a t e v e r y z e r o c r o s s i n g , t h e u p d a t e

r a t e i n c r e a s e s w i t h s h a f t s p e e d a n d t h e l a g t i m e w i l l d e c r e a s e w i t h s h a f t s p e e d .

4 . 3 . 4 R e a l - w o r l d p r o b l e m s w i t h t h e t o o t h - t o - t o o t h a l g o r i t h m a n d

t h e t o o t h - t o - n e x t - r e v o l u t i o n a l g o r i t h m

T h e t o o t h - t o - t o o t h t i m i n g a l g o r i t h m o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n l o o k s g o o d , b u t o n l y

b e c a u s e w e a r e u s i n g i t o n s i m u l a t e d s i n e w a v e s . O n r e a l d a t a , i t d o e s n o t f a i r

a s w e l l . T o u n d e r s t a n d t h i s , c o n s i d e r t h a t f a c t t h a t w h e n w e s e e a t a c h o m e t e r

t o o t h c o m e b y , t h a t d o e s n o t t e l l u s t h e s h a f t s p e e d , b u t a c t u a l l y t h e s h a f t

p o s i t i o n . S o t h e t a c h o m e t e r p u l s e s g i v e u s a r e c o r d o f t h e t a , t h e s h a f t p o s i t i o n

a n g u l a r v e r s u s t i m e . T h e n w e d i e r e n t i a t e t h a t s i g n a l t o g e t v e l o c i t y . A s a n y

g o o d n u m e r i c a l m e t h o d s b o o k w i l l t e l l y o u , d i e r e n t i a t i o n i s a n i l l - c o n d i t i o n e d

a l g o r i t h m . T h a t i s , a v e r y s m a l l c h a n g e i n t h e i n p u t ( f r o m n o i s e ) w i l l c a u s e a

v e r y l a r g e c h a n g e i n t h e o u t p u t .

T h e r e a r e m a n y d i e r e n t s o u r c e s o f n o i s e t h a t c a n a e c t t h i s a l g o r i t h m , b u t

o n e o f t h e b i g g e s t p r o b l e m i s t o o t h s p a c i n g e r r o r s o n t h e t a c h o m e t e r w h e e l .

C o n s i d e r a n e x a m p l e i n w h i c h 1 t o o t h o u t o f 6 0 i s 0 . 0 7 % a h e a d o f w h e r e i s

s h o u l d b e a n d t h e t o o t h t w o p l a c e s d o w n i s 0 . 0 7 % b e h i n d w h e r e i s s h o u l d b e .

T h i s i s t h e c a s e i n 3 f o r t h e r e d t r a c e . T h e r e a d e r c a n s e e t h a t t h e r e i s a + / -

1 R P M s p i k e t h a t h a p p e n s p e r i o d i c a l l y . F o r a n o m i n a l s h a f t s p e e d o f 4 5 R P M ,

t h i s i s a 2 . 2 % e r r o r i n t h e o u p u t f o r a 0 . 0 7 % e r r o r i n t h e i n p u t , a n a m p l i c a t i o n

o f 3 1 t i m e s . S h a f t r u n o u t a n d r o t a t i n g u n b a l a n c e c a n a l s o c a u s e p r o b l e m s ( g r e e n

t r a c e ) .

O n e o f t e n u s e d a n d s t r a i g h t f o r w a r d w a y t o c o r r e c t t h e s e p r o b l e m s i s t o l o w

7


8/24

0 1 2 3 4 5 610

12

14

16

18

20

22

time (s)

RPM

actual stooth to

F i g u r e 2 : T o o t h - t o - t o o t h t i m i n g a l g o r i t h m

8


9/24

p a s s l t e r t h e o u t p u t . O f c o u r s e , t h i s w i l l i n t r o d u c e s o m e l a g t i m e . A n o t h e r w a y

i s t o d e t e r m i n e t h e r e p e t i t i v e e r r o r s a h e a d o f t i m e ( p r e s u m a b l y a t l o w s p e e d s

w h e r e t h e r e a r e n o d y n a m i c e e c t s ) a n d t h e n s u b t r a c t t h e r e p t i t i v e e r r o r s o u t .

T h i s r e q u i r e s s o m e w h a t m o r e c o m p u t a t i o n a l e o r t ( I p e r s o n a l l y h a v e n e v e r d o n e

t h i s , n o r f o u n d i t t o b e n e c e s s a r y . I f a n y o n e h a s d o n e t h i s , I w o u l d l i k e t o

h e a r a b o u t y o u r a p p l i c a t i o n ) . T h e w a y I u s e m o s t f r e q u e n t l y i s t o t a k e t h e

t i m e d i e r e n c e n o t b e t w e e n t h e z e r o c r o s s i n g s o f s u c e s s i v e t e e t h b u t b e t w e e n

a t o o t h ' s z e r o c r o s s i n g a n d t h e z e r o c r o s s i n g o f t h a t s a m e t o o t h t h e n e x t t i m e

i t c o m e s a r o u n d . T h u s t h e r e p e t i t i v e e r r o r s a r e a u t o m a t i c a l l y c a n c e l l e d o u t , a t

t h e e x p e n s e o f a d d i n g o n e r e v o l u t i o n ' s w o r t h o f l a g t i m e . A t l o w s h a f t s p e e d s ,

o n e r e v o l u t i o n i s a l o n g t i m e c o m p a r e d t o t h e l a g i n t r o d u c e d t o t h e d e l a y o f a

l o w p a s s l t e r . B u t a t h i g h s h a f t s p e e d s , i t c a n b e m u c h s h o r t e r . F o r e x a m p l e ,

i n 4 a t 3 0 - 4 0 R P M , a 3 H z l o w p a s s l t e r g i v e s t h e b e t t e r r e s p o n s e , b u t a t

5 0 0 R P M ( 5 ) , t h e t o o t h - t o - n e x t - r e v o l u t i o n a l g o r i t h m i s b e t t e r . N o t i c e t h a t t h e

s p e e d p r e c i s i o n o f t h e t o o t h - t o - n e x t - r e v a l g o r i t h m i s w o r s e a t h i g h e r s p e e d s , a s

w a s m e n t i o n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h i s e x a m p l e w a s u s i n g a 1 0 k H z s a m p l e

r a t e .

4 . 3 . 5 U s i n g f r e q u e n c y d e m o d u l a t i o n t o d e t e c t s p e e d o s c i l l a t i o n s ?

4 . 3 . 6 U s i n g p r o x i m i t y - t y p e t a c h o m e t e r s t o d e t e c t s h a f t w h i r l

5 T i m e d o m a i n a n a l y s i s

5 . 1 T i m e d o m a i n d i e r e n t i a t i o n a n d i n t e g r a t i o n

6 F r e q u e n c y d o m a i n a n a l y s i s

6 . 1 T h e D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m a n d F a s t F o u r i e r T r a n s -

f o r m

L e t u s e x a m i n e t h e f o u r d i e r e n t t h i n g s t h a t w e a t t a c h F o u r i e r ' s n a m e t o ( s e e

1 ) . T h e r s t o n e y o u p r o b a b l y l e a r n e d a b o u t i n y o u r c l a s s e s w a s t h e F o u r i e r

s e r i e s . T h i s t a k e s a p e r i o d i c s i g n a l w i t h a c o n t i n u o u s t i m e i n p u t a n d g i v e s

a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y t e r m s ( t e c h n i c a l l y , a c o u n t a b l e i n n i t y ) . A n d

t h e n y o u l e a r n e d a b o u t t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w h i c h t a k e s a n n o n - p e r i o d i c ( i . e .

i n n i t e e x t e n t ) s i g n a l w i t h c o n t i n u o u s t i m e i n p u t a n d g i v e s a n i n n i t e n u m b e r

o f f r e q u e n c y t e r m s ( t e c h n i c a l l y , a n u n c o u n t a b l e i n n i t y ) . B u t n e i t h e r o f t h e s e

i s v e r y u s e f u l f o r d i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g . W e n e v e r h a v e a c o n t i n u o u s t i m e

i n p u t , a l l w e h a v e i s a d i s c r e t e l y s a m p l e d t i m e i n p u t . S o , w e m i g h t w i s h t o

d o t h e D i s c r e t e t i m e - F o u r i e r t r a n s f o r m , w h i c h t a k e s a n o n - p e r i o d i c s i g n a l w i t h

d i s c r e t e t i m e t o a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y t e r m s ( a c o u n t a b l e i n n i t y ) .

B u t t h a t i s n o g o o d e i t h e r , s i n c e w e n e v e r h a v e a n i n n i t e l e n g t h d a t a s a m p l e .

T h e b e s t D S P m o n e y c a n b u y o n l y h a s a n i t e l e n g t h b u e r . S o w e m u s t r e s o r t

t o t h e D F T . O n e c a n t h i n k o f t h e D F T a s s a m p l i n g t h e D T F T . T h e D T F T

9


10/24

0 1 2 3 4 5 634

36

38

40

42

44

46

48

time (s)

RPM

true speed0.2% runouttooth error

F i g u r e 3 : R e a l w o r l d e e c t s o n t h e t o o t h - t o - t o o t h a l g o r i t h m

1 0


11/24

1 2 3 4 5 634

36

38

40

42

44

46

48

time(s)

RPM

true speedtooth to next revtoothtooth low pass filter 3 Hz

F i g u r e 4 : T h e t o o t h t o n e x t r e v o l u t i o n a l g o r i t h m v e r s u s a l o w p a s s l t e r o n t h e

t o o t h t o t o o t h a l g o r i t h m f o r a l o w s p e e d .

1 1


12/24

1 2 3 4 5 6498

500

502

504

506

508

510

512

time(s)

RPM

true speedtooth to next revtoothtooth low pass filter 3 Hz

F i g u r e 5 : T h e t o o t h t o n e x t r e v o l u t i o n a l g o r i t h m v e r s u s a l o w p a s s l t e r o n t h e

t o o t h t o t o o t h a l g o r i t h m f o r a h i g h s p e e d .

1 2


13/24

T a b l e 1 : 6 . 1

C o n t i n u o u s t i m e i n p u t D i s c r e t e l y s a m p l e d t i m e i n p u t

P e r i o d i c i n p u t s i g n a l F o u r i e r S e r i e s D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D F T )

N o n - p e r i o d i c s i g n a l F o u r i e r T r a n s f o r m D i s c r e t e t i m e - F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T )

c o m p u t e s a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y b i n s , a n d t h e D F T p i c k s o u t a n i t e

n u m b e r o f t h o s e .

T h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) i s s i m p l y a n e c i e n t m e t h o d f o r c o m -

p u t i n g t h e D F T . T h e t w o t e r m s a r e o f t e n u s e d i n t e r c h a n g e a b l y , a n d o f t e n t h e

t e r m i n o l o g y i s a b u s e d ( w h i c h i s p a r f o r t h e c o u r s e ) . T h e F F T i s a r e c u r s i v e

a l g o r i t h m - i t u s e s t h e d i v i d e - a n d - c o n q u e r s t r a t e g y . F o r a p r o b l e m o f s i z e N ,

t h e F F T s p l i t s t h e p r o b l e m i n t o s e v e r a l s m a l l e r p r o b l e m s , s o l v e s t h e s m a l l e r

p r o b l e m s ( r e c u r s i v e l y ) , a n d t h e n a s s e m b l e s t h e r e s u l t s i n t o t h e s o l u t i o n o f t h e

o r i g i n a l p r o b l e m . F o r t h i s r e a s o n , t h e F F T i s m o s t e c i e n t f o r p r o b l e m s w e r e

N i s a p o w e r o f t w o ( o r , a t l e a s t , t h e p r o d u c t o f s e v e r a l s m a l l f a c t o r s s u c h a s 3

o r 5 ) . T h e F F T i s n o t f a s t f o r p r o b l e m s w h e r e N i s a l a r g e p r i m e n u m b e r , s i n c e

t h a t c a n n o t b e s p l i t u p i n t o s m a l l e r p r o b l e m s . F o r e x a m p l e , i n M a t l a b v 6 . 5 ,

a n F F T o f l e n g t h 1 2 1 , 0 0 0 ( h a v i n g f a c t o r s 2 , 5 , 1 1 ) i s 2 t o 3 t i m e s f a s t e r t h a n a n

F F T o f l e n g t h 1 2 1 , 0 0 1 ( p r i m e ) .

6 . 2 Z e r o - P a d d i n g o f F F T s

Z e r o - p a d d i n g m e a n s a d d i n g a d d i t i o n a l z e r o s t o a s a m p l e o f d a t a (

a f t e r

t h e

d a t a h a s b e e n w i n d o w e d , i f a p p l i c a b l e ) . F o r e x a m p l e , y o u m a y h a v e 1 0 2 3 d a t a

p o i n t s , b u t y o u m i g h t w a n t t o r u n a 1 0 2 4 p o i n t F F T o r e v e n a 2 0 4 8 p o i n t F F T .

T h e r e a r e t w o r e a s o n s w h y y o u m i g h t d o t h i s . F i r s t , f r o m s e c t i o n 6 . 1 w e r e c a l l

t h a t t h e F F T i s s l o w f o r p r i m e n u m b e r s , b u t m u c h f a s t e r f o r p o w e r s o f t w o .

W e c a n a d d a n e x t r a z e r o t o t h e e n d o f t h e s a m p l e a n d t h u s g e t m u c h b e t t e r

p e r f o r m a n c e . O n a m o d e r n P C , o n e n e e d n o t b e t o o c o n c e r n e d w i t h t h i s f o r

m o d e r a t e s a m p l e s i z e s . 1 0 2 3 i s n o t n o t i c e a b l y s l o w e r t h a n 1 0 2 4 . B u t i f o n e

i s r u n n i n g v e r y b i g F F T s ( 1 0 0 , 0 0 0 o r m o r e ) o r u s i n g l o w e r p o w e r e d e m b e d d e d

d e v i c e s , o n e m i g h t b e v e r y c o n c e r n e d a b o u t t h i s .

T h e o t h e r r e a s o n t h a t z e r o - p a d d i n g i s u s e d i s t o g e t b e t t e r f r e q u e n c y r e s o -

l u t i o n . T h e r e i s s o m e t h i n g t o b e g a i n e d h e r e , b u t i t i s v e r y s u b t l e . N a t i o n a l

I n s t r u m e n t s h a s a g o o d w r i t e u p o n t h i s [ 4 ] . H e r e i s a s u m m a r y . R e c a l l f r o m 6 . 1

t h a t t h e D F T i s a s a m p l i n g o f t h e D T F T . Z e r o p a d d i n g a l l o w s u s t o t a k e m o r e

s a m p l e s o f t h e D T F T . F o r e x a m p l e , i f w e h a v e 1 0 0 0 p o i n t s o f d a t a , s a m p l e d a t

1 0 0 0 H z , a n d p e r f o r m t h e s t a n d a r d F F T , I g e t a f r e q u e n c y b i n e v e r y 1 H z . B u t

i f I p a d w i t h 1 0 0 0 z e r o s a n d t h e n r u n a 2 0 0 0 p o i n t F F T , n o w I g e t f r e q u e n c y

b i n s e v e r y 0 . 5 H z . T h i s a l l o w s u s t o g e t a r o u n d s o m e o f t h e d i s a d v a n t a g e s o f

t h e D F T ( e . g . i t m a y a l l o w u s t o r e a d a m p l i t u d e s m o r e a c c u r a t e l y - r e d u c i n g

t h e s p a c i n g b e t w e e n b i n s m a y p u t a b i n c l o s e r t o t r u e f r e q u e n c y o f a s i g n a l a n d

t h o s e a v o i d t h e p i c k e t f e n c e e e c t . B u t , s i n c e a l l t h i s d o e s i s s a m p l e t h e D T F T

m o r e n e l y , w e c a n n o t g e t a r o u n d a n y i n h e r e n t l i m i t a t i o n s o f t h e D T F T i t s e l f .

1 3


14/24

M o s t n o t e a b l e , i f y o u r c h o i c e o f w i n d o w t y p e a n d l e n g t h d o n o t a l l o w y o u t o

r e s o l v e t w o c l o s e l y s p a c e d f r e q u e n c y c o m p o n e n t s , t h e n z e r o p a d d i n g i s n o t g o i n g

t o h e l p . S e e o n t h e f o l l o w i n g p a g e .

N o t e t h a t i n c r e a s i n g t h e s a m p l i n g r a t e d o e s n o t c o n f e r t h e s a m e t y p e o f

b e n e t s t h a t z e r o p a d d i n g d o e s .

6 . 3 T h e w i n d o w e d D F T

6 . 3 . 1 M o t i v a t i o n a n d t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d

T h e c o n c e p t o f a w i n d o w w a s o n e t h a t I f o u n d v e r y d i c u l t t o l e a r n . A t t h e

b e g i n i n g , a l l I r e a l l y w a n t e d t o k n o w i s ' i n w h a t s i t u a t i o n s s h o u l d I u s e w h i c h

w i n d o w ? ' O n l y l a t e r d i d I t a k e t h e t i m e t o l e a r n a l l o f t h e d e t a i l s . I f y o u a r e i n

t h a t s i t u a t i o n , s k i p t h i s s e c t i o n a n d g o t o t h e n e x t . O r , W i k i p e d i a [ 2 ] h a s s o m e

g o o d i n f o r m a t i o n o n w i n d o w s a n d s h o w s t h e f o r m u l a s a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e

o f m a n y o f t h e m . N a t i o n a l I n s t r u m e n t s a l s o h a s a g o o d p a g e [ 3 ] .

F i r s t , t h e m o t i v a t i o n f o r D F T w i n d o w s : t h e D F T i s l i k e a s e t o f p a s s b a n d

l t e r s . . . b u t n o t a v e r y g o o d o n e . F o r e x a m p l e , a t a s a m p l i n g f r e q u e n c y o f 1 0 0 0

H z w i t h a 1 0 0 0 p o i n t D F T , t h e r s t f r e q u e n c y b i n i s l i k e a b a n d p a s s l t e r f r o m

0 t o 1 H z , t h e s e c o n d b i n i s a b a n d p a s s l t e r f r o m 1 t o 2 H z , t h e t h i r d 2 t o 3 ,

e t c . B u t , i f w e h a v e a s i g n a l o f 1 . 1 H z , w e w o u l d e x p e c t a r e s p o n s e i n t h e 2 n d

b i n , b u t i n r e a l i t y w e m a y a l s o s e e a r e s p o n s e i n t h e 1 s t a n d t h e 3 r d b i n s . T h i s

i s c a l l e d

s p e c t r a l l e a k a g e

.

T o s e e t h i s , r e m e m b e r f r o m s e c t i o n 6 . 1 t h a t t h e D F T , l i k e t h e F o u r i e r s e r i e s ,

a s s u m e s t h a t t h e i n p u t s i g n a l i s p e r i o d i c e v e n i f i t i s n o t . B u t t h a t i s n o p r o b l e m

y o u s a y , w e a r e d o i n g v i b r a t i o n w o r k h e r e , o f c o u r s e o u r s i g n a l i s p e r i o d i c . Y e s ,

b u t t h e r e i s a s u b t l e c a t c h . I f t h e l e n g t h o f o u r d a t a s a m p l e i s n o t m a t c h e d t o

a n i n t e g e r n u m b e r o f p e r i o d s o f t h e s i g n a l , t h e n w e g e t l e a k a g e . C o n s i d e r 7 . O n

t h e f a r l e f t w e h a v e a 1 s e c o n d l o n g s a m p l e o f a p u r e s i n e w a v e s i g n a l . T h e t o p

i s 4 H z a n d t h e b o t t o m i s 4 . 2 5 H z . N o t e t h a t a n i n t e g e r n u m b e r o f c y c l e s t i n t o

t h e t o p s a m p l e , b u t n o t t h e b o t t o m s a m p l e . I n t h e n e x t c o l u m n i s a p e r i o d i c

e x t e n s i o n , w h i c h i s w h a t t h e D F T a s s u m e s . N o t e t h e d i s c o n t i n u i t y . O n t h e n e x t

c o l u m n i s t h e r e s u l t o f a D F T . T h e t o p s p e c t r a i s w h a t w e w o u l d e x p e c t . B u t

t h e b o t t o m s i g n a l s h o w s n o n - z e r o v a l u e s a t m a n y d i e r e n t f r e q u e n c i e s . T h i s i s

c a u s e d b y t h e d i s c o n t i n u i t y . N o w , i n t h e n e x t c o l u m n w e i n t r o d u c e a w i n d o w i n g

f u n c t i o n t o t h e F F T . P r i o r t o t h e F F T t h e r a w s i g n a l i s m u l t i p l i e d b y a H a n n

w i n d o w ( d a s h e d l i n e s ) s u c h t h a t t h e f u n c t i o n i s z e r o v a l u e d a t t h e b e g i n i n g a n d

e n d o f t h e i n t e r v a l . T h u s , t h e p e r i o d i c e x t e n s i o n w i l l h a v e n o d i s c o n t i n u i t i e s .

T h e f a r r i g h t c o l u m n s h o w s t h e w i n d o w e d D F T . N o t e t h e f o l l o w i n g t h i n g s : i n

t h e b o t t o m r o w , t h e H a n n w i n d o w h a s r e d u c e d t h e l e a k a g e i n t h e b i n s f a r a w a y

f r o m t h e s i g n a l f r e q u e n c y , b u t i t i s h a s i n t r o d u c e d a s i g n i c a n t e r r o r i n t h e

a m p l i t u d e o f t h e m a i n b i n . Y o u c a n t h i n k o f t h i s a s t h e w i n d o w t h r o w i n g

a w a y s o m e o f t h e e n e r g y t h a t i s a t t h e b e g i n i n g a n d e n d s o f t h e i n t e r v a l .

A l s o , o n t h e t o p , t h e H a n n w i n d o w h a s a c t u a l l y i n t r o d u c e d s o m e l e a k a g e t h a t

w a s n o t p r e s e n t b e f o r e . W h e t h e r t h e H a n n w i n d o w e d D F T i s b e t t e r o r w o r s e

t h a n t h e u n w i n d o w e d D F T d e p e n d s o n y o u r a p p l i c a t i o n . I f y o u c a r e a b o u t

1 4


15/24

8 9 10 11 12 130

0.05

0.1

0.15

0.2

freq (Hz)

10.3 Hz and 10.8 Hz, rect wind, len = 2s

8 9 10 11 12 130

0.05

0.1

0.15

0.2

freq (Hz)

10.4 Hz and 10.7 Hz, rect wind, len = 2s

F i g u r e 6 : E x a m p l e o f t h e b e n e t s a n d l i m i t a t i o n s o f z e r o p a d d i n g F F T s . T o p :

U s i n g a r e c t a n g u l a r w i n d o w , a t w o s e c o n d s a m p l e a t 1 0 0 0 S / s c o n s i s t i n g o f a

1 0 . 3 H z t o n e a n d a 1 0 . 8 H z t o n e i s c o m p u t e d u s i n g a 2 0 0 0 s a m p l e F F T , a s

w e l l a s z e r o p a d d e d F F T s f o r a t o t a l l e n g t h o f 4 0 0 0 , 8 0 0 0 , a n d 1 6 0 0 0 . W i t h t h e

s t a n d a r d F F T , t h e t w o s i g n a l s a r e d i s t i n g u i s h a b l e , b u t t h e p i c k e t f e n c e e e c t h a s

d i s t o r t e d t h e i r m a g n i t u d e s . T h e z e r o - p a d d e d F F T s a l l o w a b e t t e r e s t i m a t i o n

o f t h e a m p l i t u d e s a n d f r e q u e n c i e s . B o t t o m : t h e s a m e p r o c e d u r e i s u s e d , b u t

w i t h t o n e s a t 1 0 . 4 H z a n d 1 0 . 7 H z . T h e s e t o n e s a r e n o t d i s t i n g u i s h a b l e a n d z e r o

p a d d i n g t h e F F T d o e s n o t h e l p t h e s i t u t a t i o n . T o r e s o l v e t h e s e , o n e m u s t t a k e

a l o n g e r d a t a s a m p l e .

1 5


16/24

a c c u r a t e l y r e s o l v i n g a m p l i t u d e , t h e n i t i s n o t g o o d . B u t f o r o t h e r a p p l i c a t i o n s ,

i t i s v e r y d e s i r a b l e . T h e f o l l o w i n g s e c t i o n s d e s c r i b e d i e r e n t a p p l i c a t i o n s t h a t

a r i s e c o m m o n l y a n d d e s c r i b e t h e b e s t w i n d o w s t o u s e f o r t h o s e t a s k s .

F I X M E : n e e d t o t a l k a b o u t n o r m a l i z i n g t h e r e s u l t s b a s e d o n t h e n o r m o f

t h e w i n d o w f u n c t i o n .

F I X M E : n e e d t o t a l k a b o u t c o r r e c t i o n f a c t o r s f o r t h e p i c k e t f e n c e e e c t .

6 . 3 . 2 A p p l i c a t i o n : g e n e r a l p u r p o s e s i g n a l p r o c e s s i n g

T h e H a n n w i n d o w i s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d w i n d o w . I t h a s a g o o d b a l a n c e

b e t w e e n r e s o l u t i o n a n d d y n a m i c r a n g e . I f y o u d o n ' t k n o w w h a t t o u s e , s t a r t

w i t h t h i s o n e . Y o u w i l l o f t e n s e e t h i s r e f e r r e d t o a s t h e H a n n i n g w i n d o w , b u t

t h a t i s t e c h n i c a l l y n o t c o r r e c t , s i n c e i t w a s n a m e d f o r J u l i u s v o n H a n n ( [ 2 ] )

6 . 3 . 3 A p p l i c a t i o n : d i s t i n g u i s h v e r y s m a l l s i g n a l s f r o m w h i t e n o i s e -

h i g h d y n a m i c r a n g e w i n d o w s

6 . 3 . 4 A p p l i c a t i o n : d i s t i n g u i s h t w o s i g n a l s t h a t a r e v e r y c l o s e i n f r e -

q u e n c y - h i g h r e s o l u t i o n w i n d o w s

A c c o r d i n g t o R a n d a l l [ 2 ] , t h e t h e m o s t s e l e c t i v e w i n d o w i s t h e K a i s e r - B e s s e l

w i n d o w . H e a l s o n o t e s , h o w e v e r , t h a t r e s o l u t i o n o f c l o s e f r e q u e n c i e s c a n a l s o

b e p e r f o r m e d w i t h z o o m F F T s 6 . 4 . T h e Z o o m F F T , h o w e v e r , i s m o s t u s e f u l

w h e n l a r g e s a m p l e s o f d a t a a r e a v a i l a b l e . F o r t r a n s i e n t a n a l y s i s , s o m e t i m e s t h e

s a m p l e l e n g t h a v a i l a b l e i s l i m i t e d a n d h i g h r e s o l u t i o n w i n d o w s a r e n e c e s s a r y .

T h e r e c t a n g u l a r w i n d o w ( w h i c h i s b a s i c a l l y n o w i n d o w a t a l l ) a l s o h a s h i g h

r e s o l u t i o n .

6 . 3 . 5 A p p l i c a t i o n : a n a l y z e s h o r t t r a n s i e n t s

6 . 3 . 6 A p p l i c a t i o n : a c c u r a t e l y d e t e r m i n e a m p l i t u d e / o r d e r t r a c k i n g

/ a v o i d p i c k e t f e n c e e e c t - t h e a t t o p w i n d o w

T h e a t t o p w i n d o w i s e x p l i c i t l y d e s i g n e d t o a v o i d t h e p i c k e t f e n c e e e c t . O n e

s i t u a t i o n w h e r e t h i s i s u s e f u l i s i f y o u a r e t r y i n g t o b u i l d a t r a c k i n g l t e r o u t o f

a n F F T . F o r e x a m p l e , i f y o u h a v e s i g n a l t h a t c h a n g e s i n f r e q u e n c y ( s a y t h e r s t

o r d e r o f a r o t a t i n g m a c h i n e ) , a n d y o u w a n t t o t r a c k t h a t s i g n a l s a m p l i t u d e a s

a f u n c t i o n o f t i m e , t h e a t t o p w i n d o w w i l l g i v e y o u t h e m o s t a c c u r a t e r e s u l t s .

6 . 4 Z o o m F F T s

T h e Z o o m F F T i s a w a y o f s p e e d i n g u p s o m e c o m p u t a t i o n s . D e s p i t e t h e n a m e , i t

d o e s n ' t a l l o w y o u t o z o o m i n o n a s i g n a l a n y c l o s e r t h a n y o u c o u l d w i t h a r e g u l a r

F F T . B u t , i t d o e s a l l o w y o u t o z o o m i n o n a s i g n a l w i t h a l o t l e s s c o m p u t a t i o n

t h a n y o u m i g h t o t h e r w i s e . L e t u s t a k e a s a n e x a m p l e a w a v e f o r m s a m p l e d a t

1 0 , 0 0 0 s a m p l e s / s w h i c h w e s u s p e c t ( f o r s o m e r e a s o n ) h a s t w o c o m p o n e n t s , o n e

a t 4 0 0 0 H z a n d o n e a t 3 9 9 9 H z . I n o r d e r t o d i s t i n g u i s h t h e s e t w o c o m p o n e n t s ,

w e w i l l n e e d a f r e q u e n c y r e s o l u t i o n o f a t l e a s t 0 . 5 H z , w h i c h c a l l s f o r a 2 s e c o n d

1 6


17/24

0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

time(s)

Raw signal

0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

time(s)

Periodic extension

0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

freq (Hz)

DFT

0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

time(s)

Windowed signal

0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

freq (H

DFT w/ Han

0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

time(s)0.5 0 0.5 1 1.51

0.5

0

0.5

1

time(s)0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

freq (Hz)0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

time(s)

Windowed signal

0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

freq (H

F i g u r e 7 : E x a m p l e o f s p e c t r a l l e a k a g e . C o l u m n s f r o m l e f t t o r i g h t : o r i g i n a l

s i g n a l s , p e r i o d i c e x t e n s i o n , D F T , w i n d o w e d s i g n a l s , D F T w / H a n n w i n d o w .

T o p : 4 H z . B o t t o m : 4 . 2 5 H z .

1 7


18/24

w i n d o w . T h a t r e q u i r e s a 2 0 , 0 0 0 p o i n t F F T . A c t u a l l y , w i t h a m o d e r n P C , t h a t

r e a l l y d o e s n ' t t a k e t h a t l o n g . B u t m a y b e w e w a n t t o d o a s h o r t t i m e f o u r i e r

t r a n s f o r m 8 . 1 o v e r a f e w m i n u t e s w o r t h o f d a t a ( t h i s h a p p e n s q u i t e f r e q u e n t l y ) , o r

m a y b e w e h a v e a n e m b e d d e d d e v i c e t h a t h a s l i m i t e d c o m p u t a t i o n a l c a p a b i l i t i e s

( t h i s a l s o h a p p e n s q u i t e f r e q u e n t l y ) . L e t u s a s s u m e t h a t w e n e e d t o b e a b l e t o

u s e a 2 0 0 0 p o i n t F F T . T h e n w e e m p l o y t h e z o o m F F T . T h e r e a r e t h r e e s t e p s :

f r e q u e n c y s h i f t , l o w p a s s l t e r , a n d d e c i m a t e . F i r s t , a f r e q u e n c y s h i f t . W e

m u l t i p l y t h e s i g n a l b y t h e c o m p l e x p h a s o r

exp(it)w h e r e

i s c h o o s e n t o b e

3 9 0 0 . I t s h o u l d b e e a s y t o s e e t h a t t h i s w i l l s h i f t t h e s i g n a l a t 4 0 0 0 H z d o w n

t o 1 0 0 H z ( r e m e m b e r , w h e n t w o e x p o n e n t i a l e x p r e s s i o n s a r e m u l t i p l i e d , t h e i r

e x p o n e n t s a d d ) . O f c o u r s e i t h a s a l s o m a d e t h e s i g n a l c o m p l e x , b u t t h a t ' s o k a y .

T h e n , w e l o w p a s s l t e r w i t h a c u t o l t e r o f , s a y , 3 0 0 H z ( t h i s i s 3 7 0 0 - 4 3 0 0

H z i n t h e o r i g i n a l s i g n a l , r e m e m b e r ) . N o w , s i n c e w e h a v e n o f r e q u e n c y c o n t e n t

a b o v e 3 0 0 H z , a s a m p l i n g r a t e o f 1 0 , 0 0 0 H z i s u n n e c e s s a r y . S o w e d e c i m a t e b y

a f a c t o r o f 1 0 . N o w t h e s i g n a l i s s a m p l e d a t 1 0 0 0 H z . S o a 2 s e c o n d w i n d o w

r e q u i r e s o n l y a 2 0 0 0 p o i n t F F T . A f t e r t h e F F T , w e s i m p l y s h i f t t h e f r e q u e n c i e s

b a c k u p b y a d d i n g 3 9 0 0 H z t o t h e r e s u l t . N o w w e h a v e 0 . 5 H z r e s o l u t i o n b e t w e e n

3 7 0 0 H z a n d 4 3 0 0 h z w i t h 1 0 t i m e s l e s s c o m p u t a t i o n .

R e m e m b e r , w e s t i l l n e e d 2 s e c o n d s w o r t h o f d a t a t o g e t a 0 . 5 H z r e s o l u -

t i o n . T h i s i s n o b e t t e r t h a n w e c o u l d d o w i t h o u t a z o o m . A l l w e d i d w a s s a v e

c o m p u t a t i o n t i m e .

F I X M E : a d d s o m e g r a p h s o r c h a r t s s h o w i n g t h i s e x a m p l e

6 . 5 F r e q u e n c y D o m a i n i n t e g r a t i o n a n d d i e r e n t i a t i o n

6 . 6 E n v e l o p e d F F T

T h e s o - c a l l e d e n v o l o p e d F F T ( s o m e t i m e s c a l l e d t h e a c c e l e r a t i o n e n v e l o p e d F F T

b e c a u s e i t i s m o s t c o m m o n l y u s e d o n a c c e l e r o m e t e r d a t a ) i s a t e c h n i q u e f o r

a n a l y z i n g r e p e t i t i v e i m p a c t s . T h e c a n o n i c a l e x a m p l e i s a d e f e c t o n a r o l l i n g

e l e m e n t b e a r i n g , b u t i t m i g h t a l s o b e a p l i c a b l e t o o t h e r s i t u t a t i o n s - g e a r t o o t h

d e f e c t s p e r h a p s . B e n t l e y N e v a d a h a s a g o o d a p p l i c a t i o n n o t e o n t h i s [ 5 ] . I w i l l

g i v e a v e r y s h o r t s u m m a r y h e r e .

T a k e a s a n e x a m p l e a b a l l b e a r i n g w h e r e t h e r e i s a d e f e c t o n o n e r a c e s u c h

t h a t a b a l l p a s s e s t h i s d e f e c t a t a r a t e o f 5 H z . F u r t h e r , a s s u m e t h a t t h e b e a r i n g

h o u s i n g h a s a n a t u r a l f r e q u e n c y o f 1 0 0 H z . E v e r y t i m e t h e b a l l p a s s e s t h e

d e f e c t , t h e i m p a c t w i l l r i n g t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e h o u s i n g - a s e r i e s o f

s m a l l p i n g s . T h i s i s s h o w n i n 8 . T h e t i m e h i s t o r y i s f a i r l y e a s y t o i n t e r p r e t s i n c e

t h i s o n e s i m u l a t e d d e f e c t i s t h e o n l y s i g n a l p r e s e n t . I n a r e a l s i t u a t i o n , t h e r e

w i l l b e m a n y o t h e r e e c t s ( s h a f t u n b a l a n c e , o t h e r b e a r i n g f r e q u e n c i e s , e t c . ) .

W h e n t h e s i t u a t i o n g e t s c o m p l i c a t e d , w e m i g h t l i k e t o t u r n t o a f r e q u e n c y

d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n , a n d p u l l o u t t h e c o m p o n e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e d e f e c t

f r e q u e n c y . W e c o u l d t h e n t r e n d o n t h i s c o m p o n e n t o v e r t i m e t o s e e i f t h e d e f e c t

i s g e t t i n g w o r s e . B u t l o o k a t t h e s p e c t r u m i n t h i s g u r e . I t i s n o t g o i n g t o b e

e a s y t o i n t e r p r e t . T h e r e i s e n e r g y a t 5 H z a n d 1 0 0 H z , b u t a l s o a t m a n y o t h e r

f r e q u e n c i e s . T h e d o m i n a n t c o m p o n e n t i s a t 1 0 0 H z , n o t 5 H z . T h i s w i l l n o t b e

1 8


19/24

e a s y t o t r e n d o n .

T h e e n v e l o p i n g p r o c e s s i s a s f o l l o w s : r s t w e b a n d p a s s l t e r a r o u n d 1 0 0

H z t o r e m o v e n o i s e . T h e n w e r e c t i f y t h e s i g n a l ( t a k e a b s o l u t e v a l u e ) , a n d

n d t h e e n v e l o p e ( e . g . n d t h e p e a k s , t h e n t a c u b i c s p l i n e t o t h e m ) . T h e n

t h e s p e c t r u m o f t h e e n v e l o p e d s i g n a l i s f o u n d . N o w t h e s t r o n g e s t c o m p o n e n t

i s a t t h e d e f e c t f r e q u e n c y ( a n d a f e w h a r m o n i c s ) . E e c t i v e l y , w e h a v e t a k e n

e n e r g y w h i c h w a s s p r e a d o u t o v e r t h e s p e c t r u m a n d m o v e d i t d o w n t o t h e

d e f e c t f r e q u e n c y . N o w i t w i l l b e e a s i e r t o t r e n d u p o n t h i s c o m p o n e n t a n d s e e i f

i t i n c r e a s e s w i t h t i m e .

7 R a n d o m v i b r a t i o n s

T h e w h o l e a r e a o f r a n d o m v i b r a t i o n s i s n o t o n e t h a t I a m v e r y f a m i l i a r w i t h .

M o s t o f t h i s s e c t i o n i s j u s t m e t r y i n g t o g e t m y t h o u g h t s o n p a p e r t o s e e i f I

u n d e r s t a n d t h e c o n c e p t s . I m a y h a v e g o t t e n t h i n g s w r o n g . I f s o , p l e a s e c o r r e c t

m e .

7 . 0 . 1 P o w e r s p e c t r u m s

I n s o m e p r a c t i c a l p r o b l e m s , t h e q u a n t i t y o f i n t e r e s t i s n o t t h e m e a s u r e d s i g n a l ,

b u t t h e p o w e r o f t h e m e a s u r e d s i g n a l . I n e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g , t h e m e a s u r e d

q u a n t i t y m a y b e v o l t a g e , a n d f o r r e s i s t i v e l o a d s p o w e r i s p r o p o r t i o n a l t o v o l t a g e

s q u a r e d . F o r m e c h a n i c a l v i b r a t i o n s , w e r e c a l l e n e r g y = f o r c e * d i s p l a c e m e n t . S o

p o w e r = f o r c e * v e l o c i t y . F o r a v i s c o u s d a m p e r , f o r c e = c * v e l o c i t y . T h u s p o w e r

d i s s a p a t e d = c * v e l o c i t y ^ 2 . B y s i m i l a r m e a n s w e c a n g e t a s i g n a l p r o p o r t i o n a l

t o p o w e r b y s q u a r i n g t h e s i g n a l o f i n t e r e s t . T h u s , t h e p o w e r s p e c t r u m o f a

s i g n a l i s d e n e d t o b e t h e

7 . 0 . 2 P o w e r s p e c t r a l d e n s i t y

A g o o d i n t r o d u c t i o n t o t h e n e e d f o r t h e c o n c e p t o f p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y i s

p r e s e n t e d b y T u s t i n [ 1 ] .

h t t p : / / w w w . s t a t . u n c . e d u / f a c u l t y / h u r d / p a p e r s / p e r i o d . p s

7 . 0 . 3 B a r l e t t ' s m e t h o d / W e l c h ' s m e t h o d

8 T i m e - S p e c t r a l A n a l y s i s

F o r a s t e a d y - s t a t e p e r i o d i c v i b r a t i o n , s a y a m o t o r r u n n i n g a t a c o n s t a n t s p e e d ,

t h e m e t h o d s p r e s e n t e d t h u s f a r a r e s u c i e n t . B u t f o r t r a n s i e n t ( i . e . n o n -

s t a t i o n a r y ) o n e i s c o n c e r n e d w i t h h o w t h e v i b r a t i o n c h a n g e s w i t h t i m e . T a k i n g

a n F F T o f t h e e n t i r e t i m e r a n g e w i l l n o t b e s u c i e n t .

1 9


20/24

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

time (s)

g

time history

0 100 2000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Frequency (Hz)

spectra

F i g u r e 8 : S i m u l a t e d b e a r i n g d e f e c t s i g n a l a n d s p e c t r u m

2 0


21/24

0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

time (s)

g

time history

0 20 40 60 80

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Frequency (Hz)

spectra

F i g u r e 9 : ( l e f t ) S i m u l a t e d b e a r i n g d e f e c t s i g n a l a f t e r l o w p a s s l t e r i n g , r e c t i f y -

i n g , a n d e n v e l o p i n g . ( r i g h t ) F F T o f e n v e l o p e d s i g n a l

2 1


22/24

8 . 1 S h o r t t i m e F o u r i e r t r a n s f o r m

T h e s i m p l e s t m e t h o d i s t o s i m p l y s p l i t t h e s a m p l e o f i n t e r e s t u p i n t o m u l t i p l e

b l o c k s a n d p e r f o r m a n d F F T o n e a c h b l o c k . T h e s e b l o c k s a r e o f t e n o v e r l a p p e d .

8 . 2 V i s u a l i z a t i o n m e t h o d s f o r t h e S T F T

8 . 3 C a m p b e l l d i a g r a m s

8 . 4 T h e r e a s s i g n m e n t m e t h o d

g o o d s u m m a r y h e r e [ 7 ]

8 . 5 O r d e r t r a c k i n g

O r d e r t r a c k i n g i s o n e t h i n g f o r w h i c h I h a v e n o t f o u n d a g o o d a l l - i n - o n e r e f e r e n c e .

T h e r e a r e v a r i o u s r e s o u r c e s o n s p e c i c m e t h o d s , b u t n o o n e r e s o u r c e w i t h a l l a t

o n c e . I f y o u k n o w o f s u c h a r e s o u r c e , p l e a s e l e t m e k n o w .

O r d e r t r a c k i n g i s a m e t h o d o f a n a l y s i s u s e d f o r a n a l y z i n g r o t a t i n g m a c h i n e r y .

T y p i c a l l y s u c h a m a c h i n e w i l l h a v e o n e o r m o r e s h a f t s a n d t h e f r e q u e n c y o f

v i b r a t i o n w i l l d e p e n d o n s o m e w a y o n t h e s p e e d o f t h e s h a f t . F o r e x a m p l e , i f a

t u r b i n e s h a f t h a s 2 0 b l a d e s a n d r u n s a t 1 0 H z , w e m a y n d a v i b r a t i o n s i g n a l

a t 2 0 0 H z . B u t i f t h e s p e e d i n c r e a s e s t o 2 0 H z , w e w i l l n o t b e s u r p r i s e d t o n d

t h a t t h e v i b r a t i o n i s n o w a t 4 0 0 H z .

8 . 5 . 1 N a i v e S T F T m e t h o d s

8 . 5 . 2 N a i v e A d a p t i v e F i l t e r i n g

8 . 5 . 3 V o l d - K a l m a n l t e r i n g

h t t p : / / w w w . b k s v . c o m / p d f / B v 0 0 5 2 . p d f

w w w . v o l d . c o m / V o l d K a l m a n . h t m

8 . 5 . 4 R e s a m p l e

8 . 5 . 5 G a b o r T r a n s f o r m

8 . 5 . 6 T i m e V a r i a n t d i s c r e a t e f o u r i e r t r a n s f o r m o r d e r t r a c k i n g

h t t p : / / w w w . m o d a l s h o p . c o m / t e c h l i b r a r y / M i l u t - T a c h o m e t e r O r d e r T r a c k i n g . p d f

2 2


23/24

8 . 6 W a v e l e t a n a l y s i s

9 A n a l y s i s o f I m p a c t s

1 0 A n a l y s i s o f N o n - l i n e a r v i b r a t i o n

1 1 A C u n i t s C o n v e r s i o n

W e a r e o f t e n c o n c e r n e d w i t h t h e a v e r a g e v a l u e o r l e v e l o f a s i g n a l o v e r s o m e

t i m e p e r i o d . V i b r a t i o n s o f c o u r s e , t e n d t o p r o d u c e s i g n a l s t h a t l o o k l i k e s i n e

w a v e s . B u t t h e a v e r a g e v a l u e o f a n y s i n e w a v e o v e r o n e c y c l e i s z e r o . S o t h a t i s

n o t v e r y u s e f u l . I f w e j u s t d e a l t w i t h p u r e s i n e w a v e s , w e c o u l d s i m p l y r e p o r t

t h e

p e a k

v a l u e . E . g . f o r x = Asin(t) w e c o u l d j u s t r e p o r t A ( s o m e t i m e s c a l l e d s i n g l e a m p l i t u d e

, a n d a b b r e v i a t e d a s

p

,

p k

, o r

S A

) . O r w e c o u l d r e p o r t t h e

p e a k -

t o - p e a k ,

w h i c h w o u l d b e 2 A i n t h i s c a s e ( s o m e t i m e s c a l l e d

d o u b l e a m p l i t u d e

, a n d

a b b r e v i a t e d a s

p p

,

p k - p k

, o r

D A

) . M a n y t i m e s , o f c o u r s e , w e d o n o t h a v e p u r e

s i n e w a v e s , a n d i t i s u s e f u l t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n s i g n a l s w h i c h s p e n t a l o t o f

t i m e a t t h e p e a k v a l u e a n d o n l y a l i t t l e t i m e n e a r z e r o a n d t h o s e w h i c h s p e n d a

l o t o f t i m e n e a r z e r o a n d o n l y a l i t t l e t i m e n e a r t h e p e a k . A s i m p l e m e t h o d i s

t o s i m p l y t a k e t h e a v e r a g e o f t h e a b s o l u t e v a l u e , n a m e l y

1

T

| f(t) | dt. T h i s h a s t h e a d v a n t a g e t h a t i t i s e a s y t o d o i n h a r d w a r e - a b s o l u t e v a l u e i s a r e c t i e r

( a f e w d i o d e s ) a n d a v e r a g i n g i s a l o w p a s s l t e r ( a f e w r e s i s t o r s a n d c a p a c i t o r s ) .

S o m e c o m p a n i e s r e f e r t o t h i s v a l u e v a l u e a s t h e

a v e r a g e

v a l u e o f t h e s i g n a l ,

a l t h o u g h i t i s n o t t h e s a m e a s a n a r i t h m e t i c m e a n . T h e m o s t c o m m o n m e t h o d

o f r e p o r t i n g l e v e l s i s t h e

R M S

l e v e l , w h i c h s t a n d s f o r r o o t - m e a n - s q u a r e . T h i s i s

d e n e d a s

1

T

f(t)2dt. F o r a p u r e s i n e w a v e , t h e r e i s a o n e - t o - o n e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t h e s e f o u r d i e r e n t m e a s u r e s , a s d e n e d i n t h e t a b l e b e l o w . F I X M E :

c h e c k t h e t a b l e f o r c o r r e c t n e s s .

T o - > R M S P e a k P P A v g

f r o m

R M S 1

2 2

2 2

2

P e a k

2

21 2

2

P e a k - t o - P e a k

2

40 . 5 1

1

A v e r a g e

22

2

1

1 2 M i s c

1 2 . 0 . 1 N o i s e

H e r e i s a n i n t e r e s t i n g a r t i c l e o n t h e c o l o r s o f n o i s e . Y o u ' v e p r o b a b l y u s e d t h e

t e r m w h i t e n o i s e h u n d r e d s o f t i m e s w i t h o u t r e a l i z i n g w h y i t i s c a l l e d w h i t e .

h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / C o l o r s _ o f _ n o i s e

2 3


24/24

R e f e r e n c e s

[ 1 ] D o e b e l i n , E r n e s t . M e a s u r e m e n t S y s t e m s : A p p l i c a t i o n a n d D e s i g n . M c G r a w -

H i l l . 5 t h e d . 2 0 0 3 .

[ 2 ] h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / W i n d o w _ f u n c t i o n

[ 3 ] h t t p : / / z o n e . n i . c o m / d e v z o n e / c d a / t u t / p / i d / 4 8 4 4 # 3

[ 4 ] h t t p : / / z o n e . n i . c o m / d e v z o n e / c d a / t u t / p / i d / 4 8 8 0 Z e r o P a d d i n g D o e s N o t

B u y S p e c t r a l R e s o l u t i o n

[ 5 ] h t t p : / / w w w . b e n t l y . c o m / a r t i c l e s / a r t i c l e p d f / 2 Q 0 4 A c c e l E n v e l . p d f a n d

h t t p : / / w w w . b e n t l y . c o m / a r t i c l e s / a r t i c l e p d f / 2 Q 0 4 W i n d T u r b C o n d M o n . p d f

[ 7 ] J a n E . O d e g a r d , R i c h a r d G . B a r a n i u k a n d K u r t L . O e h l e r . P r o c e e d i n g s o f

t h e 6 8 t h S E G M e e t i n g , N e w O r l e a n s , L o u i s i a n a , U S A , 1 9 9 8 . h t t p : / / w w w -

d s p . r i c e . e d u / p u b l i c a t i o n s o l d / p u b / o d e g a r d - s e g 9 7 . p d f

[ 1 ] T u s t i n , W a y n e . W h a t i s t h e m e a n i n g o f P S D i n g ^ 2 / H z u n i t s ?

h t t p : / / w w w . v m e b u s - s y s t e m s . c o m / p d f / E q u i p m e n t R e l i a b i l i t y . D e c 0 5 . p d f

[ 2 ] R a n d a l l , R o b e r t B . V i b r a t i o n A n a l y z e r s a n d T h e i r U s e . C h a p t e r 1 4 i n

H a r r i s ' s S h o c k a n d V i b r a t i o n H a n d b o o k , e d i t e d b y H a r r i s , C y r i l M . a n d

P i e r s o l , A l l a n G . 5 t h e d i t i o n . 2 0 0 2 . M c G r a w H i l l . N e w Y o r k .

2 4

Dynamics Book

Documents

Transcript of Dynamics Book