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5 6 4 Nu c l e a r I n s t r u me n t s a n d Me t h o d s i n P hy s i c s Re s e a r c h A272 ( 1 9 8 8 ) 5 6 4 - 5 7 3No r t h - Ho l l a n d, Ams t e r d a m

THREEDMENSIONALSIMULATIONOFHGHHARMONCTRANSVERSEOPTICALKLYSTRON

S . K . DUTT, AFREDMAN t ) , AGOVER i and CPELLEGRNA l a n o n a l S y n ch r o t r o n L i g h t S o ur c e . Br o o k h av e n Na t i o na l L a b o r a t o r y , U p t o n , New Y or k 1 1 9 7 3 , L ' S Ai i S c i e n c e A p p l i c a t i o n s I n t e r n a t i o n a l C o r p o r a t i o n , 1 71 0 Go od r i d ge D r i o e , Mc L e a n , VA 2 2 1 0 2 , USA

We p r e s e n t t h e r e s u l t s o f a t h r e e d i me n s i o n al s i mu l a t i o n c o d e , wh i c h c a l c u l a t e s t h e p a r a me t e r s o f c o he r e n t s u p e r - r a d i a n th a r mo n i c f r e q ue n c y e mi s s i o n b y e l e c t r o n s wh i c h a r e b ei n g b u n c h e d b y a n e x t e r n a l l a s e r b e a m wh i l e p r o p a ga t i n g m p l a n aru n du l a t o r . T h i s c od e wa s w r i t t e n t o o r d e r t o s i m u l a t e t h e TOKe x p er i me n t , wh i c h i s p r e s e n t l y u n d e r wa y a t BNL . I n s t e a d o f a f u l ln u me r i c a l s i mu l a t i o n o f Ma x we l l ' s e qu at i on s a n d t h e e l e c t r o n f o r c e e q u a t i o n s , a s e mi - a n a l y t i c a l a p p r o a c h i s a d op t e d . E l e c t r o nt r a j e c t o r i e s a r e c o mp u t e d a n a l y t i c a l l y . a n d t h e r a d i a t i o n f i e l d s a r e e x p a n d e d i n t e r ms o f f r e e s p a c e e i g en mo de s Pha s e s p a c e a n de n e r g y p r o f i l e s o f t h e e l e c t r o n b e a m a r e i n c or p o r a t e d b y a v a r i a b l e s p a c e s a mp l i n g a cc or d i n g t o a g i v en d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , r a t h e rt h an v i a Mont e Ca r l o s i m u l a t i o n Co mp u t a t i o n t i me o f a b o u t 0 . 1 s / e l e c t r o n wa s a c h i e v e d wi t h t h e p r e s e n t v e r s i o n o f t h e c o d e o n t h eI BM 3 0 9 0 . We p r e s e n t t h e e x p ec t e d r a d i o me t r i c p a r a me t e r s a s a f u nc t i o n o f t h e e l e c t r o n b e a m p a r a me t e r s ( e r n i t t a n c e a n d e n er g ys p r e a d ) . a n d t h e mo du l a t i n g l a s e r b e a m p a r a me t e r s ( Ra y l e i g h l e n g t h , wa i s t p o s i t i o n a n d p o we r ) S t a t i s t i c a l a v er a g i n g i s c a r r i e d ou t b ywe i g h t e d a ve r a gi n g o f t h e i n i t i a l e l e c t r o n moment s a n d e n e r g y p h a s e s p a c e d i s t r i b u t i o n T h i s a p p r o a c h r e s u l t s i n t h e b es t p r e d i c t i o no f t h e e x p ec t e d e x p er i me nt a l me a s u r e me n t o f t h e o p t i c a l p a r a me t e r s wh i c h c a n b e a c hi e v ed w i t h a f i n i t e n u m b e r o f s a mp l i n ge l e c t r o n s ( mu c h s ma l l e r t h a n i n t h e e x p e r i me n t ) , wi t h ou t i n t r od uc i n g a r t i f i c i a l n o i s e a s i n t h e Mont e Ca r l o a p p r o a c h

1 . I n t r o d u c t i o nFEL3D i s a t h r e e d i me n s i o n a l s i mu l a t i o n c o d e f o r

t h e t r a n s v er s e o p t i c a l k l y s t r o n ( TOK) e x p e r i me n t p r e -s en t l y u n d e r wa y a t t h e Na t i o n a l S y n c hr o t r o n L i g htS ou r c e . Th e p r o g r am i s c a p a b l e o f s i mu l a t i n g t h e c o he r -e n t s u p e r - r a d i a n t h a r mo n i c f r e q ue n c y e mi s s i o n f r o me l e c t r o n s i n t e r a c t i n g wi t h a n e x t e r n a l l a s e r beam wh i l ep r o p a g a t i n g i n a n u n d u l a t o r . Th e c o d e i s based o n as emi - a n a l y t i c c o n c e p t : i n s t e ad o f a f u l l n u me r i c a l s o l u -t i o n o f t h e c o up l e d Ma x we l l - L o r e n t z e q ua t i o ns , e l e c -t r o n t r a j e c t o r i e s wi t h i n t h e u n d u l a t o r a r e a p p r o x i ma t e db y a n a l y t i c s ol u t i o n s , and t h e r a d i a t i o n f i e l d s a r e e x -panded i n t e r ms o f f r e e s p a c e e i g e n mo d e s ( He r mi t e -Gaus s m o d e s , o r p l a n e w a v e s ) . T hi s a p p r o a c h i s we l l

j u s t i f i e d i n t h e op t i c a l r e g i me [ 1 , 2 ] , and h a s t h e a d -v a n t a g e o f s ho r t e n i n g c omp u t a t i o n t i me . * * FEL3Di n c or p o r a t e s t h e i mp o r t a n t t h r e e d i me n s i o n a l f e at u r e so f- t h e e l e c t r on beam : s p r e a d i n t h e t r a n s v er s e c oo r d i -n a t e s and v e l o c i t i e s , a s we l l a s i n t h e beam e n e r g y , c anb e s p e c i f i e d a c c or d i n g t o a g i v e n p r ob a b i l i t y d i s t r i b u -t i o n f u nc t i o n ;- t h e mo du l a t i n g l a s er beam t h i s i s a c h i e v e d b y u s i n g

* Re s e a r c h c a r r i e d o u t u n d e r t h e a u s p i c e s o f t h e U . S De -p a r t me n t o f En e r g y Wor k s u p p or t e d m a r t b y ONRc o n t r a c t No . N0 0 0 1 4 - 8 7 - C - 0 3 6 2

* * S c a l a r i mp l e me n t a t i o ns o f FEL3D o n t h e BNL I BM 3 0 9 0y i e l d a n a v e r a g e CPU t i me o f < 0 . 1 s e c o n d s p e r e l e c t r o nThe v e c t o r i z e d c o d e i s e x p ec t e d t o r u n s i g n i f i c a n t l y f a s t e r

0 1 6 8 - 9 0 0 2/ 8 8 / $ 0 3 . 5 0 ~ El s e v i e r S c i e n c e Pu b l i s h er s B. V .( No r t h - Ho l l a n d Ph y s i c s Pu bl i s h i n g Di v i s i o n )

a f u n d ame n t a l He r mi t e - Gau s s mode wi t h i n d e p en d e n tt r a n s v er s e f o c u s i n g p a r a me t e r s .

I n s e c t i o n 2 o f t h i s p a p e r , we p r e s e n t a s ummar y o ft h e p hy s i c a l model o n wh i c h FEUDi s based . I n s e c -t i o n 3 , we d i s c us s t h e s t a t i s t i c a l a v er a g i n g me t hod u s e dt o d e t e r mi n e t h e phase s p a c e and e n er g y p r o f i l e s o f t h ee l e c t r o n beam a s i t e n t e r s t h e u n d u l a t o r I t i s i mp o r t a n tt o n ot e t h a t we d o no t u s e Mon t e Ca r l o met hods i nd e t e r mi n i n g t h es e d i s t r i b u t i on s , t h e r e by a v oi d i n g t h ei n t r o du c t i o n o f u np hy s i c a l n oi s e i n t h e s i mu l a t i o n . S e c -t i o n 4 d ea l s wi t h t h e u s er - i n t e r a c t i v e f e a t u r e s o f FEUDand d e t a i l s t h e c ap ab i l i t i e s o f t h e p r o g r am . Se c t i o n 5c o n c e r n s i t s e l f wi t h a number o f t e s t s wh i c h p r o b e t h ea c c u r a c y o f t h e s i mu l a t i o n c o d e , a n d , b y i mp l i c a t i o n ,t h e p hy s i c al model i t s e l f F i n a l l y , we p r o v i d e s a mp l eo u t p u t f r o m FEUDi n s e c t i o n 6 , and d i s c us s t h e s i g -n i f i c an ce o f o u r r e s u l t s f o r t h e B r o o k h a v e n TOKe x p er i -ment .

2 . Th e p hy s i c a l modelI n t h i s s e c t i o n we summar i ze t h e t he or e t i c al model

u nd e r l y i n g FEL3D A mor e d et a i l e d d e s c r i p t i o n d e -s c r i p t i o n o f t h e r e l e v an t t h eo r y c a n b e f o und i n e a r l i e rp ub l i c a t i o n s [ 3 , 4 ]2 1 S p o n t a n e o u s and s u p e r - r a d i a n t u nd u l a t o r e mi s s i o n

Th e TOKc on s i s t s e s s en t i a l l y o f a p er i o d i c ma g n e t i cs t r u c t u r e - t h e u n d u l a t o r , o r wi g g l e r , m a g n e t - wh i c h

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T a b l e 1D e f i n i t i o n s o f t h e v a r i o u s h a r m o n i c s i n v o l v e d i n u n d u l a t o r s y n c h r o t o n r a d i a t i o n a n d s u p e r - r a d i a n t e m i s s i o n .F r e q u e n c y d e f i n i t i o nf u n d a m e n t a l u n d u l a t o r f r e q u e n c y

m o d u l a t i n g l a s e r f r e q u e n c y wn , = m J

n t h o r d e r c o h e r e n t l a s e r h a r m o n i c

i n d u c e s t r a n s v e r s e q u i v e r mo t i o n i n t h e t r a j e c t o r y o fe l e c t r o n s p r o p a g a t i n g a l o n g i t . T h e t r a n s v e r s e q u i v e rmo t i o n o f a s i n g l e e l e c t r o n p r o d u c e s c o h e r e n t D o p p l e r -s h i f t e d r a d i a t i o n . T h i s r a d i a t i o n i s e m i t t e d p r e d o m i -

n a n t l y i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n a t a c e n t r a l f r e q u e n c ywu = k c - . 2 Y 2 k u c ,a n d a t a l l o d d h a r m o n i c s c o , = 1 w , o f t h e c e n t r a lf r e q u e n c y * . Wh i l e t h e u n d u l a t o r s y n c h r o t o n r a d i a t i o nf r o m a n y s i n g l e e l e c t r o n i s t e m p o r a l l y a nd s p a t i a l l yc o h e r e n t , i n d i v i d u a l e l e c t r o n s w i t h i n t h e u n d u l a t o r e m i ta t r a nd o m p h a s e r e l a t i v e t o e a c h o t h e r b e c a u s e t h e ye n t e r t h e u n d u l a t o r a t r a nd o m t i m e s . C o n s e q u e n t l y , t h eu n d u l a t o r s y n c h r o t o n r a d i a t i o n i s o n l y p a r t i a l l y c o h e r -e n t . T h i s r a d i a t i o n c a n b e made c o h e r e n t b y b u n c h i n gt h e e l e c t r o n s a l o n g t h e u n d u l a t o r a x i a l d i me n s i o n w i t ht h e a i d o f a n e x t e r n a l l a s e r b e a m o s c i l l a t i n g a t o n e o ft h e u n d u l a t o r h a r m o n i c s , a n d p r o p a g a t i n g c o l l i n e a r l yw i t h t h e e l e c t r o n b e a m . I f t h e d e n s i t y m o d u l a t i o n i st i g h t e n o u g h , i t c o n t a i n s h a r mo n i c s o f t h e l a s e rf r e q u e n c y , a nd t h e b u n c h e d e l e c t r o n s e m i t s u p e r - r a d i a n tc o h e r e n t r a d i a t i o n a t t h e l a s e r f r e q u e n c y w , a nd i t s o d d* N o t e t h a t k = 27 r / N.s t h e u n d u l a t o r w a v e n u m b e r , s =

v , / c , a n d y . - - - ( 1 - , z 2 ) i / 2 ; l i s a n o d d i n t e g e r .

F i g . 1 . A x i a l a n d t r a n s v e r s e c r o s s - s e c t i o n a l s c h e ma t i c s o f t h ee l e c t r o n b e a m a n d t h e m o d u l a t i n g l a s e r b e a m f o r t h eB r o o k h a v e n TOK e x p e r i m e n t .

SKDu t t e t a l . / Hi g h h a r mo ni c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o n

k i u c = 2 Y i k c- 1

" On = n c a n , = nm o ,

l t h o r d e r i n c o h e r e n t u n d u l a t o r h a r m o n i c wu , = 1 w , ,

z

dw ,w i n

T a b l e 2Summa r y o f e mi s s i o n s c h e m e s

l i n e w i d t h

w i

2 7 r / T i n s e rL o l l

Own 2 7 r / T p u i s ewn W

I U n d u l a t o r S y n c h r o t r o n R a d i a t i o n FEL S p o n t a n e o u s E mi s -s i o n ) :T h e t e m p o r a l l y i n c o h e r e n t r a d i a t i o n o f e l e c t r o n s p r o p a g a t -i n g i n a n u n d u l a t o r2 S u p e r - R a d i a n t F r e e E l e c t r o n R a d i a t i o nT h e t e m p o r a l l y c o h e r e n t r a d i a t i o n o f b u n c h e d e l e c t r o n s

o s c i l l a t i n g mp h a s e w i t h e a c h o t h e r ma n u n d u l a t o r .3 F r e e E l e c t r o n L a s i n g :T h e c o h e r e n t e m i s s i o n o f b u n c h e d e l e c t r o n s r a d i a t i n g mp h a s e i n t o t h e s a m e s p a t i a l a n d f r e q u e n c y d o m a i n a s t h er a d i a t i o n f i e l d w h i c h p r o d u c e d t h e b u n c h i n g .

h a r m o n i c s n c o _ . F i g . 1 i l l u s t r a t e s t h e e x p e r i m e n t a l s e t u po f t h e B r o o k h a v e n TOK e x p enmen t . T h e e x t e r n a l l a s e rb e a m i s f o c u s e d a t t h e u n d u l a t o r e n t r a n c e , a nd d e n s i t ym o d u l a t i o n o f t h e e l e c t r o n b e a m i s a c h i e v e d t o w a r d st h e e nd o f t h e u n d u l a t o r . T a b l e 1 s u m m a r i z e s t h e d e f i -n i t i o n s o f t h e v a r i o u s h a r mo n i c s i n v o l v e d i n u n d u l a t o rs y n c h r o t o n r a d i a t i o n a n d s u p e r - r a d i a n t e mi s s i o n .T h e TOK r e p r e s e n t s a s c h e m e f o r g r e a t l y e n h a n c i n gt h e s p e c t r a l b r i g h t n e s s o f u n d u l a t o r h a r mo n i c r a d i a t i o n .Wh i l e t h e t o t a l p owe r r a d i a t e d i s n o t d i f f e r e n t , i t c a n b emad e s u b s t a n t i a l l y mo r e c o h e r e n t w i t h o u t i n v o l v i n g a n ys t i m u l a t e d r a d i a t i o n a s i n t h e c a s e o f a f r e e e l e c t r o nl a s e r ( F EL ) . F u r t h e r , i n c o n t r a s t t o t h e FEL, t h e r e i s n oo s c i l l a t i o n t h r e s h o l d c o n d i t i o n t o b e s a t i s f i e d i n o r d e r t oo b t a i n c o h e r e n t h a r mo n i c e m i s s i o n . C o n s e q u e n t l y , t h eo p t i c a l k l y s t r o n i s o f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i n t h e s h o r tw a v e l e n g t h ( VUV ) r a n g e , wh e r e t h e FEL o s c i l l a t i o nc o n d i t i o n i s h a r d t o s a t i s f y . Th e d i f f e r e n t e m i s s i o ns c h e m e s wh i c h a p p l y t o t h e e l e c t r o n b e a m a r e s u m -m a r i z e d i n t a b l e 2 .2 2 E l e c t r o n t r a j e c t o r i e s a nd e q u a t i o n s o f mo t i o n

5 6 5

F o r p r a c t i c a l e x p e r i m e n t a l p a r a m e t e r s i n t h e o p t i c a lr e g i m e , t h e d e t a i l e d s o l u t i o n o f t h e c o u p l e d s y s t e m o f

I V . SI MULATI ON

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5 6 6Ma x we l l - L o r e n t z e q u a t i o n s c a n b e s u b s t a n t i a l l y s i m -

p l i f i e d b y t h r e e a s s u mp t i o n s :- S p a c e c h a r g e e f f e c t s may b e i g n o r e d s i n c e t h e e l e c -t r o n b e am o p e r a t e s mh e e x t r e m e - r e l a t i v i s t i c r e g i m e .- E l e c t r o n t r a j e c t o r i e s a r e n o t a f f e c t e d b y t h e e m i t t e dr a d i a t i o n f i e l d s s i n c e t h e e l e c t r o n b e a m l o s e s o n l y as m a l l f r a c t i o n o f i t s e n e r g y v i a u n d u l a t o r s u p e r - r a d i a n te m i s s i o n- E l e c t r o n t r a n s o e r s e t r a j e c t o r i e s a r e d e t e r m i n e d s o l e l yb y t h e u n d u l a t o r f i e l d . Th e t r a n s v e r s e f i e l d o f t h e mod-u l a t i n g l a s e r b e a m p r o d u c e s h i g h - f r e q u e n c y , s m a l l - a m -p l i t u d e q u i v e r i n e l e c t r o n t r a n s v e r s e m o t i o n , wh i c h mayb e i g n o r e d m o m p a r i s o n t o t h e s l o we r l o n g i t u d i n a lq u i v e r a r i s i n g f r o m t h e b e a t i n g o f t h e l a s e r f i e l d w i t ht h e u n d u l a t o r f i e l d .T h e s e a s s u mp t i o n s e f f e c t i v e l y d e c o u p l e t h e e l e c t r o nr a d i a t i o n a n d m o d u l a t i o n p r o b l e ms . I f , md d i t i o n , o n ea v e r a g e s o v e r t h e l o n g i t u d i n a l q u i v e r m o t i o n , a n a p -p r o x i m a t e s e t o f e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e e n e r g y an dp h a s e o f t h e e l e c t r o n s i s o b t a i n e d . By e x p r e s s i n g t h ef o r c e e q u a t i o n s i n t e r m s o f t h e r e l a t i v i s t i c p r o p e r t i m eT , = f , ` d t ' / y ) ( t ' ) f o r t h e j t h e l e c t r o n , t h e e q u a t i o n sc an b e r e d u c e d i n t o a p e n d u l u m - l i k e e q u a t i o n f o r t h ee l e c t r o n p h a s e s [ 1 , 2 ] :d y i = ) / 2 e E( x _ , , t , z . ,d T ,

d d T ,

mcXK [ j ( - 1 ) / 2 ( U) - J ( + ) ) / 2 ( u ) ]x s l n [ ~ m + 0 . , ( x _ y ~ , Z , ) ] ,_ k _ + mk M, P - W Y , .

K- - e Bu / m e c 2 k i s t h e u n d u l a t o r( k , +mk ) z , ( t ) - c o . t , an dc o , K m Ku _8 k ~ c z y 2 y 4 1 + K2 / 2

E( x , y , z , t ) =Qx Eow x ( 0 ) w y ( 0 )w . r ( Z ) w y ( z )

y ,

S K D u t t e t a l . / H i g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o n

p a r a m e t e r ,

t o b e t h emo d e , w i t h i n d e p e n d e n tz a . an d z , , , a n d b e a m

Th e m o d u l a t i n g l a s e r b e a m f i e l d i s t a k e nf u n d a m e n t a l He r m t e - Gaus st r a v e r s e f o c u s i n g p a r a m e t e r sw a i s t s i z e s w , ( 0 ) , w , , ( 0 ):

x z zx Re ~ e x p ( - - y ,Wx ( z ) w 2 ( z )c JZ) +1 - - Z- i w, t

No t e t h a t0m ( x , y , z )

zw n ' x + y ,4 c ( R, ( z ) R, ( z )

- 1 I t a n2

R, , = ( z - z w, , ) 1+

_ 2

N, = 4 n m a x -

T h i s 3 - D mod e l f i e l d a f f e c t s e v e n e l e c t r o n s o n a x i s ,s i n c e t h e y e x p e r i e n c e a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e w i t hv a r y i n g a m p l i t u d e a n d p h a s e a l o n g t h e i n t e r a c t i o nl e n g t h . T h e l o n g i t u d i n a l q u i v e r h a s b e e n a v e r a g e d a w a y ,l e a v i n g t h e v a r i o u s B e s s e l f u n c t i o n f a c t o r s , an d p r o d u c -i n g t h e a v e r a g e c o n s t a n t o f t h e mo t i o n ( 5 ] :[ J c n - ] ) / 2 ( u ) - J ( + 1 ) / z ( u ) ] Wm P , _

- [ ( k m+k u ) J ( - t ) l 2 ( u )- ( k m- k . ) J ( , , l ) , 2 4 ) ] m , C 2 y ) - c o n s t a n t , .

T h e s c h e m a t i c l a s e r b e a m an d e l e c t r o n b e a m f o c u s s i n gp a r a m e t e r s a r e i l l u s t r a t e d i n f i g . 1 . T h e l a s e r b e am, a tt h e f r e q u e n c y o f a d o u b l e d Nd- YAG l a s e r , i s i l l u m i n a t -i n g t h e e l e c t r o n b e a m a t t h e t h i r d ( m= 3 ) h a r mo n i c o ft h e f u n d a me n t a l u n d u l a t o r f r e q u e n c y w .

3 . T h e s t a t i s t i c a l a v e r a g i n g me t h o dTh e p r i n c i p a l f e a t u r e s o f t h e s t a t i s t i c a l a v e r a g i n gp r o c e d u r e i n FEUD a r e d e t a i l e d b e l o w:( 1 ) We a s s u m e t h a t e l e c t r o n s a r e i n j e c t e d i n t o t h eu n d u l a t o r w i t h a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n i n t h e t i m e d o -ma i n . F o r a g i v e n c h o i c e N, o f e l e c t r o n s r e p r e s e n t i n g

t h e i n i t i a l p h a s e d i s t r i b u t i o n i n a n o p t i c a l p e r i o d , ao n e - p e r i o d p h a s e r e g i o n - 9 7 / 2 < ~ J o < 3 7 7 / 2 i s d i v i d e di n t o N , , e q u a l s e g me n t s , an d o n e e l e c t r o n i s p l a c e d i nt h e c e n t e r o f e a c h s e g m e n t . T h i s p r o c e d u r e e n s u r e s t h a tu n i n t e n d e d p r e - b u n c h i n g e f f e c t s d o n o t s h o w u p i n t h es i m u l a t i o n r e s u l t s . T he n umb e r o f e l e c t r o n s N, i s c h o -s e n a c c o r d i n g t o t h e h i g h e s t h a r mo n i c f r e q u e n c y f o rwh i c h b un c h i n g an d r a d i a t i o n d a t a a r e t o b e c omp u t e d .Th e N y q u i s t t h e o r e m s u g g e s t s t h a t t h e m n i mum num-b e r o f s a mp l i n g e l e c t r o n s r e q u i r e d f o r s i m u l a t i n g l a s e rh a r m o n i c s u p t o a n d i n c l u d i n g n . , , i s g i v e n b y

T h i s numbe r s h o u l d a l s o b e s u f f i c i e n t , a s i s i n d e e d t h ec a s e f o r o u t p u t f r o m FEUD, w h i c h r e m a i n s u n c h a n g e d

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SK D u t t e t a l / Hi g h h a r m o n i c t r a n s o e r s e o p t i c a l k l y s t r o n

F i g . 2 . S a mp l i n g a l g o r i t h m : T h e d i s t r i b u t i o n i s s p l i t i n t o N= 8e q u a l s a r e a s e c t i o n s a n d t h e s a mp l i n g e l e c t r o n s a r e l o c a t e d i nt h e c e n t e r o f g r a v i t y o f e a c h s e c t i o n .

i f t h e n umb e r o f p h a s e s i s i n c r e a s e d b e y o n d t h e N y q u i s tc r i t e r i o n .

( 2 ) A r b i t r a r y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s c a n b e u s e d f o rs a mp l i n g t h e e l e c t r o n i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t h e t r a n s v e r s ec o o r d i n a t e s x . , y , , a n g l e s 4 ) x , , $ y . , a n d e n e r g y y , . Th ep r e s e n t p r o g r a m i s w r i t t e n w i t h t h e a s s u mp t i o n o f aG a u s s i a n d i s t r i b u t i o n i n a l l f i v e v a r i a b l e s , wh i c h i s ag o o d a p p r o x i m a t i o n f o r s t o r a g e r i n g b e ams . F o r p r o p e rs a mp l i n g o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n t h e n o r -ma l i z e d Ga u s s i a n F ( z ) =e - z ' /Fi s d i v i d e d i n t o Ne q u a l - a r e a s e g m e n t s a s s h o w n i n f i g . 2 , wh e r e N i s t h en um b e r o f e l e c t r o n s b e i n g s a mp l e d i n a g i v e n d i m e n -s i o n o f t h e 5 - D s p a c e ( x , y , ( p x , c py , y ) . On e s a m p l ee l e c t r o n i s t h e n p l a c e d i n t h e c e n t e r o f g r a v i t y o f e a c ho f t h e Ne q u a l - a r e a s e g m e n t s . T h e r e i s n o s i m p l e e s t i -ma t e o f t h e n umb e r o f e l e c t r o n s r e q u i r e d f o r r e p r e s e n t a -t i v e s a mp l i n g i n e a c h p h a s e s p a c e d i me n s i o n . A c h o i c eo f 8 e l e c t r o n s p e r d i me n s i o n g a v e c o n s i s t e n t r e s u l t s f o rc o m p u t a t i o n o f o n - a x i s r a d i a t i v e e mi s s i o n , a l t h o u g hmo r e s a mp l i n g p o i n t s ma y b e r e q u i r e d f o r a r e l i a b l ee s t i ma t e o f o f f - a x i s r a d i a t i o n p a r a m e t e r s .

( 3 ) S i n c e t h e u n d u l a t o r s t r u c t u r e , t h e mo d u l a t i n gl a s e r b e a m, a n d t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a l l s a t i s f ys y mme t r y o f r e f l e c t i o n x - - x a n d y - - y , t h e d y -n a mi c s o f a n e l e c t r o n w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s ( x o , o x o ) i si d e n t i c a l t o t h a t o f a n e l e c t r o n a t ( - x o , - ( x 0 ) " C o n s e -q u e n t l y , t h e s i m u l a t i o n c o d e c a n t a k e a d v a n t a g e o f t h i ss y mme t r y b y s a mp l i n g o n l y h a l f o f t h e p h a s e s p a c ed i s t r i b u t i o n i n t h e ( x , f i x ) a n d ( y , $ y ) p l a n e s , r e s u l t i n gi n a t w o - f o l d r e d u c t i o n i n c o m p u t a t i o n t i m e . T h e s y m -me t r i c s a mp l i n g p r o c e d u r e i s i l l u s t r a t e d i n f i g . 3 .( 4 ) T h e f i v e - d i m e n s i o n a l e l e c t r o n d i s t r i b u t i o n f u n c -t i o n f a c t o r i z e s a t a n y t r a n s v e r s e p l a n e w i t h i n t h e u n d u -l a t o r a c c o r d i n g t of ( x , $ x , Y , $y , Y ) = f x l x , $x ) f y ( Y , $ y ) f r ( Y ) -Th e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s f x , f y o f e a c h o f t h e c o n -

X , ( 0 ) = x , o - z E< Px , o ,4 ~ x , ( 0 ) = 1 " x , 0

5 6 7j u g a t e p h a s e s p a c e v a r i a b l e s ( x , 4 ) x ) , ( y , 0y ) f a c t o r i z e a tw a i s t p o s i t i o n s Z E , , z E . T h e s e ma y b e d i f f e r e n t i f t h ef o c u s i n g p a r a m e t e r s o f t h e e l e c t r o n b e a m a r e d i f f e r e n ti n t h e t wo t r a n s v e r s e d i me n s i o n s , a s i s u s u a l l y t h e c a s ew i t h s t o r a g e r i n g b e ams T h e s a mp l i n g p r o c e d u r e d e -s c r i b e d a b o v e i s c a r r i e d o u t f o r e a c h p h a s e s p a c e d i m e n -s i o n a t i t s c o r r e s p o n d i n g w a i s t p o s i t i o n , a n d t h e i n i t i a lc o n d i t i o n s a t t h e u n d u l a t o r e n t r a n c e ( z = 0 ) a r e c o m -p u t e d b y t h e t r a c e b a c k t r a n s f o r m a t i o n

( x , o , $ x , o ) a r e t h e c o o r d i n a t e s a t t h e w a i s t , a n d( x ( 0 ) , 0 x , ( 0 ) ) a r e t h e c o o r d i n a t e s a t z = 0 . C o r r e s p o n d -i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e y - d i m e n s i o n ma y b e o b t a i n e dw i t h t h e s u b s t i t u t i o n x ~y .T h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a v e r a g i n g a d o p t e d h e r e i smo r e a p p r o p r i a t e t h a n t h e Mo n t e C a r l o a p p r o a c h wh i c hi s s o me t i me s t a k e n i n s i m u l a t i o n p r o g r a m s . I n t h e Mo n t eC a r l o a p p r o a c h o n e d i s t r i b u t e s e l e c t r o n i n i t i a l c o n d i -t i o n s v i a a r a n d o m n u mb e r g e n e r a t o r we i g h e d b y t h ek n o w n s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n . T h i s i n t r o d u c e sa n amo u n t o f n o i s e i n t h e c o mp u t e d v a l u e s o f t h ep h y s i c a l p a r a m e t e r s . S i n c e t h e n o i s e i n t h e m e a s u r e dp a r a m e t e r s i s d e t e r m i n e d b y f l u c t u a t i o n s i n t h e a c t u a le l e c t r o n b e a m ( s h o t n o i s e ) d u e t o t h e l a r g e n umb e r o fe l e c t r o n s i n t h e b e a m , a n d s i n c e t h e s e f l u c t u a t i o n s a r ee x p e c t e d t o b e s m a l l e r t h a n t h o s e i n d u c e d b y t h e Mo n t eC a r l o me t h o d , we e x p e c t o u r a p p r o a c h t o p r o d u c e ac l o s e r ma t c h b e t we e n s i m u l a t e d a n d m e a s u r e d v a l u e s o ft h e r a d i a t i v e e m i s s i o n p a r a m e t e r s . We n o t e f i n a l l y t h a t

i f , m h e e x p e r i m e n t , t h e me a s u r e d p a r a m e t e r v a l u e sf l u c t u a t e b e c a u s e o f f l u c t u a t i o n s i n t h e e l e c t r o n b e a m ,t h e s i m u l a t e d p a r a m e t e r v a l u e s s h o u l d c o r r e s p o n d t ot h e me a s u r e d p a r a me t e r s a v e r a g e d o v e r man y e x p e r i -me n t s .

F i g . 3 . T h e me a n i n g o f s y m m e t r y m i n i t i a l c o n d i t i o n s : w h e ns y m m e t r y ( x - - x , x ' - > - x ' ) i s t a k e n a d v a n t a g e o f , o n l yt h e s h a d e d p a r t o f t h e d i s t r i b u t i o n i s s a mp l e d , r e p r e s e n t i n g t h ee n t i r e d i s t r i b u t i o n .

I V . SI MULATI ON

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5 6 84 . FEUD p r o g r a m f e a t u r e sFEUD i s d e s i g n e d t o i n t e r a c t w i t h t h e u s e r a t l u st e r m i n a l . Th e c o d e c o n s i s t s o f t wo s e p a r a t e p r o g r a m sc a l l e d PI NPUT a n d PENTOK . I n t h i s s e c t i o n we d e t a i l

t h e u s e r - i n t e r a c t i v e f e a t u r e s o f t h e c o d e , a n d d e s c r i b et h e p a r a m e t e r s wh i c h i t c o mp u t e s .4 . I Pr o g r a m PI NPUT

P r o g r a m PI NPUT c o n t a i n s a l l t h e u s e r - i n t e r a c t i v ef e a t u r e s o f FEUD . I t s p u r p o s e i s t o p r e p a r e a d a t a f i l ec o n t a i n i n g- t h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s wh i c h c h a r a c t e r i z e t h e u n d u -l a t o r , t h e m o d u l a t i n g l a s e r b e a m , a n d t h e e l e c t r o n b e a m ;- t h e p h a s e s p a c e a n d e n e r g y p r o f i l e s o f t h e e l e c t r o nb e a m a t t h e u n d u l a t o r e n t r a n c e , u s i n g t h e me t h o d d e -s c r i b e d i n s e c t i o n 3 .PI NPUT c o n t a i n s a n i n t e r n a l d a t a b a s e w i t h r e p r e -s e n t a t i v e v a l u e s f o r a l l u s e r - c h a n g e a b l e p a r a m e t e r s . T h i sd a t a b a s e i s i n v o k e d t h e f i r s t t i m e FEUD i s r u n .S u b s e q u e n t r u n s d o n o t i n v o k e t h e i n t e r n a l d a t a i f t h eu s e r i n s t r u c t s PI NPUT a t t h e e n d o f a t e r m i n a l s e s s i o nt o p r e p a r e a f i l e c o n t a i n i n g t h e v a l u e s g e n e r a t e d b y t h eu s e r . T h u s f i l e c a n b e u p d a t e d e v e r y t i m e FEUD i s r u n ,a n d s e r v e s a s t h e p r i m a r y f i l e r e a d b y PI NPUT . Th ef i r s t s e t o f p a r a m e t e r s d i s p l a y e d b y PI NPUT i s s h o w ni n t a b l e 3 .T h e u s e r ma y c h a n g e a n y o r a l l o f t h e a b o v e p a r a me -t e r s b y f i r s t e n t e r i n g t h e n umbe r n e x t t o a p a r t i c u l a rp a r a m e t e r . PI NPUT p r o v i d e s t h e c u r r e n t v a l u e o f t h a tp a r a m e t e r , a n d p r o mp t s t h e u s e r f o r t h e n e w v a l u e . T h u sp r o c e s s o f c h a n g i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e u n d u l a t o ra n d t h e mo d u l a t i n g l a s e r b e a m ma y b e t e r m i n a t e d a f t e ra n y n umbe r o f e n t r i e s . A l t e r n a t i v e l y , t h e u s e r ma y e l e c t

T a b l e 4E l e c t r o n b e a m p a r a me t e r g r o u p

S K . D u t t e t a l . / Hi g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y r t r o n

( 1 ) X ( 2 ) X ' ( 3 ) Y ( 4 ) Y 'Y Y N N( 6 ) N ( 7 ) N , , -

1 0 1 0 1 1( 1 3 ) Sy n i m X ( 1 4 ) Symm YY Y( 1 5 ) a , ( 1 6 ) a , ,(17, , ( 1 8 )0 9 1 2 6 E- 0 2 0 . 1 1 57 E- 0 3 0 . 1 3 68 E- 0 2

T a b l e 3FEL p a r a m e t e r g r o u p( 1 ) X w ( m) ( 2 ) N, ( 3 ) w0 1 2 2 4 3 1( 4 ) [ . ( n i ) ( 5 ) ZR m) ( 6 ) Z, ( n i )

0 5 3 2 x 1 0 - F 0 . 5 0 3( 7 ) P i ( W) ( 8 ) y ( 9 ) n R , , ,0 6 x 1 0 ' 7 8 3 . 1 4 9

( 1 0 ) 4 Z ( m ) ( 1 1 ) N , , e 1 , ( 1 2 ) E

( 2 0 ) X , ( 2 1 ) Xb ( 2 2 ) Y b ( 2 3 ) Yb ( 2 4 ) l ' b0 . 2 7 24 E- 0 2 0 . 1 6 36 E- 0 3 0 1 9 6 0 E- 0 2 0 . 1 5 3 1E- 0 3 0 . 2 5 0 0E- 0 3

0 0 5 4 4 0 0 . 1 x1 0 - `

t o c h a n g e a l l t h e p a r a m e t e r s o n e b y o n e . T h e c o d e w i l lt h e n l e a d t h e u s e r t h r o u g h t h e e n t i r e t a b l e s h o w n a b o v e .A b r i e f d e s c r i p t i o n o f e a c h p a r a m e t e r f o l l o w s :( 1 ) Th e u n d u l a t o r p e r i o d ( m e t e r s ) .( 2 ) Number o f u n d u l a t o r p e r i o d s .( 3 ) R. M . S . u n d u l a t o r p a r a m e t e r .( 4 ) Mo d u l a t i n g l a s e r w a v e l e n g t h ( m e t e r s ) .( 5 ) Mo d u l a t i n g l a s e r R a y l e i g h l e n g t h ( m e t e r s ) .( 6 ) Mo d u l a t i n g l a s e r w a i s t p o s i t i o n ( m e t e r s ) .( 7 ) Mo d u l a t i n g l a s e r p owe r ( w a t t s ) .( 8 ) E l e c t r o n b e a m e n e r g y . I f t h e b e a m i s n o t mon o -c h r o m a t i c , t h i s i s t h e c e n t r a l v a l u e o f a Ga u s s i a n d i s t r i -b u t i o n .( 9 ) H i g h e s t h a r mo n i c o f t h e o u t p u t r a d i a t i o n f i e l d f o rwh i c h b u n c h i n g a n d s u p e r - r a d i a n t h a r m o n i c e n u s s i o nd a t a a r e t o b e c o mp u t e d .( 1 0 ) I n t e g r a t i o n s t e p s i z e ( m e t e r s ) .( 1 1 ) T o t a l n umbe r o f i n t e g r a t i o n s t e p s t a k e n a l o n g t h eu n d u l a t o r l e n g t h . No t e t h a t p a r a m e t e r s 1 0 a n d 1 1 a r en o t i n d e p e n d e n t . S p e c i f y i n g a n y o n e l e a d s t o t h e o t h e rb e i n g c a l c u l a t e d i n t e r n a l l y .

( 5 ) YY( 1 0 ) NY11 ( 1 2 ) m( 1 9 ) a Y

0 1 0 8 3 E - 0 3 0 1 7 6 8 E- 0 3

( 2 5 ) x(26, ( 2 7 ) EX ( 2 8) , 8 , ( 2 9 ) E, ( 3 0 ) E, *0 . 1 1 2 0E+ 0 2 0 1 5 0 0 E- 0 6 0 . 9 4 25 E- 0 6 0 . 1 2 8 0 E+ 0 2 0 . 1 5 0 0E- 0 6 0 . 9 4 25 E- 0 6

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( 1 2 ) Ac c u r a c y d e s i r e d o f t h e c o mp u t a t i o n . T h i s p a r a m-e t e r i s d e f i n e d b y t h e n u me r i c a l i n t e g r a t i o n r o u t i n ewh i c h i s u s e d t o c a l c u l a t e e l e c t r o n t r a j e c t o r i e s [ 6 , 7 ] .PI NPUT n e x t d i s p l a y s a s e c o n d t a b l e o f p a r a me t e r s ,

s e e t a b l e 4 , wh i c h a l l o w o n e t o s p e c i f y t h e c h a r a c t e r i s -t i c s o f t h e e l e c t r o n b e a m . A b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h ea b o v e p a r a me t e r s f o l l o w s :( 1 - 5 ) Sp r e a d i n t h e t r a n s v e r s e c o o r d i n a t e s a n d v e l o c -i t i e s , a n d i n t h e b e a m e n e r g y a r e i n d i c a t e d b y e n t e r i n gY o r N( 6 - 1 0 ) Th e n u m b e r o f Ga u s s i a n d i s t r i b u t e d t r a n s -v e r s e c o o r d i n a t e s , v e l o c i t i e s , a n d e n e r g i e s .

( 1 1 ) Number o f e l e c t r o n s p e r wa v e l e n g t h . As me n -t i o n e d i n s e c t i o n 3 , b y t h e Ny q u i s t c r i t e r i o n o n e s h ou l dc h o o s e N= 4 n , . X a t t h e mi n i mum. Th i s s h ou l d a l s ob e s u f f i c i e n t .

( 1 2 ) Ha r mo n i c o f t h e f u n d a me n t a l u nd u l a t o rf r e q u en c y a t wh i c h t h e mo d ul a t i n g l a s e r b e a m i s o p e r a t -i n g . F o r t h e TOK e x p e r i me n t a t BNL, t h i s v a l u e i s 3 .

( 1 3 , 1 4 ) I n d i c a t e s wh e t h e r t h e p h a s e s p a c e d i s t r i b u -t i o n i s t a k e n t o b e s y mme t r i c , a s s h o w n i n f i g . 3 .Ch o o s i n g s y mme t r y l e a d s t o a t wo - f o l d r e d u c t i o n i nc o mp u t a t i o n t i me .( 1 5 - 1 9 ) St a nd a r d d e v i a t i o n v a l u e s f o r s p r e a d i n ag i v e n d i me n s i o n .( 2 0 - 3 0 ) Th e p a r a me t e r s i n t h i s s u b g r o u p a l l o w o n et o u s e a l t e r n a t i v e me t h o d s o f c h a r a c t e r i z i n g t h e G a u s -s i a n s p r e a d . Th e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s a r e o f r e l e v an c e :Xb =VGax , b =VLax ' ,Y, _ ~ 2_ a y ,Yb - 2 a y ,Rx-ax2 l E x ,Ny

Yb - VLaY . ,

y , E y =ay ay , ,Fo r a n y i n d e p en d e n t c ho i c e o f s p r e a d p a r a m e t e r s , s u c ha s a x a n d a x - , PI NPUT c o mp u t e s a n d d i s p l a y s t h ec o r r e s p on d i n g v a l u e s o f t h e o t h e r p o s s i b l e c h o i c e s . Th eu s e r ma y c h a n g e t h e p a r a me t e r s i n t h e e l e c t r o n b e a mg r o u p a cc o r d i n g t o t h e s c h e m e d e s c r i b e d e a r l i e r f o r t h ef i r s t p a r a me t e r g r o u p .

4 . 2 . Pr o g r a m PENTOK

S . K . D u t t e t a l / Hi g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o n

E x ` = 2 7 T E x ,Ey = 2 7 7 E y .

T h i s i s t h e s e c o n d p r o g r a m i n t h e s i mu l a t i o n c o d ef o r t h e BNL TOK . PENTOK d o e s n o t r e q u i r e a n y u s e ri n t e r a c t i o n . I t r e a d s t h e d a t a f i l e p r e p a r e d b y PI NPUTa n d i n v ok e s a n u me r i c a l i n t e g r a t i o n r o u t i n e [ 6 , 7 ] t oc o mp u t e e l e c t r o n p h a s e s p a c e t r a j e c t o r i e s . Th e t r a j e c -t o r y d a t a i s u s e d t o c o mp u t e t h e h a r mo n i c f r e q ue n c y

b un c h i n g J T l n 1 , r a d i a t e d p o w e r Pn , a n d b r i g h t n e s s Ba s d e f i n e d b e l o w : aT l n = (e` " ' ) , , wh e r e ~ ( ) ) - N ) i >=tr . ( Z ) - - -~f o ~ r l ( z ' ) d z ' ,Pn ( z ) _ _ 1 d P s R1 0 d~ ) o =o

2 21 6 E 0

( nm) ( K)

[ J J ] r 1 r n ( z ) 1 2 ,

B, ( z ) - 1 ( d PS Rl d S2 ) o = o = 1 W,4 ( dPUR/ d2) = 0 4 e c zNo t e t h a t [ J J ] , =J ( , 1 ) / 2 ( l u ) - J ( 1 + t ) / 2 ( 1 u ) , wh e r e 1=mn w i t h m= 3 . Th e i n de x n c h a r a c t e r i z e s t h e h a r mo n i co f t h e l a s e r f u n d ame n t a l f r e q u en c y w , . I 0 i s t h e e l e c -t r o n b e a m p e a k c u r r e n t . F o r t h e BNL TOK e x p e r i me n t ,I 0 i s e x p ec t e d t o b e a b o u t 3 0 A

5 . FEL3D c o d e t e s t sTh e s i mu l a t i o n c o d e h a s b e e n t e s t e d b y e x a mi n i n g

t h e s c a l i n g l a ws f o r b u n c h i n g a n d s u p e r - r a d i a n th a r mo n i c p o w e r e mi s s i o n a s a f u n c t i o n o f u nd u l a t o rl e n g t h . Fo r t h e c a s e o f a l o w p o w e r l a s e r b e a m ( P L = 1 0MW wi t h a Ra y l e i g h l e n g t h c o mp a r a b l e t o t h e l e n g t ho f t h e u n d u l a t o r , a n d f o r a mo n o c h r o ma t i c e l e c t r o nb e a m w i t h n o t r a n s v e r s e s p r e a d , o n e e x p e c t s t h e r e s u l t so f a o n e - d i me n s i o n al a n a l y s i s t o b e v a l i d . Th e s c a l i n g

T a b l e 5L e a s t s q u a r e f i t o f s c a l i n g l a w s . T h e o r e t i c a l v a l u e s f o r b u n c h -i n g a n d r a d i a t i o n : I T l i I c c z 2 , P , a z b ; I T i 3 I z b , P 3 c c z t 4 ;

1 1 7 5 1 z ' 0 , P 5 az 2 2 .P L =10 MW z R = 2 m, z w = 0 . 5 m .No t r a n s v e r s e o r e n e r g y s p r e a d .

5 6 9

I V . SI MULATI ON

Ha r mo n i cn umb e r

Wi g g l e r l e n g t h( m e t e r s )

L . S . F .T i n

v a l u e o f e x p o n e n tPn

1 0 . 0 - 0 . 6 2 . 2 4 6 . 6 30 . 0 - 2 . 2 2 . 1 0 6 . 2 91 . 0 - 2 . 2 1 . 9 2 5 . 9 6

3 0 . 0 - 0 . 6 3 . 3 4 7 . 3 00 . 0 - 2 . 2 5 . 0 5 1 1 . 4 61 . 0 - 2 . 2 5 . 7 8 1 3 . 7 5

5 0 . 0 - 0 . 6 0 . 1 5 2 . 4 80 . 0 - 2 . 2 4 . 5 6 9 . 3 71 . 0 - 2 . 2 9 . 6 4 2 1 . 4 6

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7/10

5 7 0

a

z ( m e t e r s ]E ne r g y S pr e a d w i t h n o T r a n s v e r s e S p r e a d

1 ' n n a Z Z ,P , aZ4+2 n =1 3 . . . .

S K D u t t e t a l / Hi g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o nNo T r a n s v e r s e o r E ne r g y S p r e a d

0 0 0 0 4 4 0 8 8 1 3 2 1 7 6z [ m e t e r s ]

l a w s f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e c a n b e c a l c u l a t e da n a l y t i c a l l y , l e a d i n g t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t s :

I n t a b l e 5 we d i s p l a y t h e r e s u l t s f r o m a l e a s t s q u a r e f i ta n a l y s i s o f t h e d a t a o b t a i n e d b y f i t t i n g l o g 7 1 n I , a n dl o g P , v e r s u s l o g z .No t e t h a t t h e s i m u l a t i o n d a t a i n t h e f i r s t h a l f o f t h eu n d u l a t o r i s a t o r b e l o w t h e n o i s e l e v e l f o r t h e c o m p u t a -t i o n a l p r o c e s s . T h i s i s i n d i c a t e d b y t h e f a c t t h a t t h ev a l u e s o f t h e s c a l i n g e x p o n e n t s c a l c u l a t e d f r o m t h e l e a s ts q u a r e f i t a n a l y s i s ma t c h t h e o n e - d i m e n s i o n a l p r e d i c t -i o n s f o r t h e h i g h e r o r d e r h a r m o n i c s o n l y p o o r l y . I n t h es e c o n d h a l f o f t h e u n d u l a t o r , h o w e v e r , t h e s c a l i n g e x p o -n e n t s a r e v e r y c l o s e t o t h e p r e d i c t e d v a l u e s e v e n f o r t h eh i g h e r o r d e r h a r m o n i c s . We me n t i o n t h a t w h i l e t h e d a t a

2 2 0

2 1 2 0

T r a n s v e r s e S p r e a d w i t h n o E ne r g y S pr e a d

0 0 0 0 4 4 0 8 8 1 . 3 2 1 . 7 6 2 2 0z [ m e t e r s ]Pr = 6 0 MW z ~ r = 0 2 7 2 r n - 0 5 0 m Y 7 8 3 1 4 ~ -- 1 13m e ~= 5x 1 0 - s m r a d , = 1 3 - c v = 5 . 1 0 em r a 1

1 0 - ,

6 . S i m u l a t i o n r e s u l t s a n d d i s c u s s i o n

F i g 4 . S i m u l a t i o n r e s u l t s f o r t h e t h i r d h a r m o n i c . T h e f i g u r e d i s p l a y s t h e r e l a t i v e e f f e c t o f t r a n s v e r s e s p r e a d ( b ) , e n e r g y s p r e a d ( c ) , a n dt h e i r c o m b i n e d e f f e c t ( d ) o n t h e i d e a l b e a m ( a )

f o r b u n c h i n g d o e s n o t d e p e n d s i g n i f i c a n t l y o n t h e s t e ps i z e c h o s e n w i t h i n t h e u n d u l a t o r , t h e r a d i a t i o n d a t ad o e s . T h i s i s b e c a u s e t h e r a d i a t i o n i s c o mp u t e d f r o m t h eb u n c h i n g b y s i m p l e T r a p e z o i d a l i n t e g r a t i o n . I f o n ec h o o s e s a v e r y s m a l l s t e p s i z e w i t h i n t h e u n d u l a t o r ,

h o w e v e r , o n e f i n d s t h a t t h e b r i g h t n e s s f a c t o r i n c r e a s e sb y a s m u c h a s 2 0 % f o r t h e h i g h e r o r d e r h a r m o n i c s . T h i si n c r e a s e i n a c c u r a c y i s p a i d f o r b y a p r o p o r t i o n a t ei n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n t i m e .

S i m u l a t i o n r e s u l t s f o r t h e t h i r d , f i f t h a n d s e v e n t hh a r m o n i c s a r e d i s p l a y e d i n f i g s . 4 , 5 , a n d 6 r e s p e c t i v e l y .E a c h f i g u r e i s s u b d i v i d e d i n t o f o u r p a r t s t o s h o w t h er e l a t i v e e f f e c t s o f e n e r g y s p r e a d a n d t r a n s v e r s e s p r e a d

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8/10

Er o

r o

S. K . D u t t e t a l / Hi g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o nT r a n s v e r s e S p r e a d w i t h n o E n e r g y S p r e a d

C

No T r a n s v e r s e o r E n e r g y S p r e a d

08 8 1 3 2Z [ m e t e r s ]

E n e r g y S p r e a d w i t h n o T r a n s v e r s e S p r e a d

000 044 08 8 1 3 2 1 7 6Z [ m e t e r s ]

u p o n t h e b r i g h t n e s s r a t i o , a s w e l l a s t h e c o mb i n e d e f f e c to f t h e t wo * .

As i s e v i d e n t f r o m t h e f i g u r e s d i s p l a y e d , t h e e f f e c t o ft r a n s v e r s e s p r e a d d o m i n a t e s o v e r t h e e f f e c t o f e n e r g ys p r e a d , b u t i n a ma r k e d l y d i f f e r e n t l y ma n n e r . No t e t h a tw h i l e t h e e f f e c t o f t r a n s v e r s e s p r e a d r e d u c e s t h e i d e a lb r i g h t n e s s r a t i o s i n f i g s . 4 a , 5 a , a n d 6 a b y a f a c t o rr a n g i n g b e t w e e n 1 0 2 a n d 1 0 5 , i t l e a v e s t h e q u a l i t a t i v en a t u r e o f t h e g r o w t h i n b r i g h t n e s s u n c h a n g e d . T h ee f f e c t o f e n e r g y s p r e a d , o n t h e o t h e r h a n d , i s q u a l i t a -t i v e l y v e r y s i g n i f i c a n t . T h e b u n c h i n g p e a k s n e a r t h e e n d* I t i s p e r t i n e n t t o me n t i o n t h a t t h e u n d u l a t o r s p o n t a n e o u sr a d i a t i o n ( d P U " R / d l ) B - o u s e d i n c o mp u t i n g t h e b r i g h t n e s sr a t i o i s c a l c u l a t e d w i t h o u t t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e e f f e c t o fs p r e a d i n e n e r g y a n d 1 n t r a n s v e r s e p o s i t i o n s a n d v e l o c i t i e s .A c c o r d i n g l y , t h e b r i g h t n e s s r a t i o s h o u l d i n c r e a s e w h e n t h e s e

e f f e c t s a r e a c c o u n t e d f o r .

2 2 0

PL =60MW z , , = 02 72 , n z =056n , 7=78 31 4

5 7 1

0 , _ - - 1 1 3 ~ n c ~ = 5 x 1 0 - a m r a d 0 , = 1 3 m e y = 5 x 1 0 - a n , r a d 7 ~ 7 = 1 0 - a

0 . 0 0 044 088 1 3 2 1 . 7 6 2 2 0Z [ m e t e r s ]

F i g . 5 . S i mu l a t i o n r e s u l t s f o r t h e f i f t h h a r m o n i c . T h e f i g u r e d i s p l a y s t h e r e l a t i v e e f f e c t o f t r a n s v e r s e s p r e a d ( b ) , e n e r g y s p r e a d ( c ) , a n dt h e i r c o mb i n e d e f f e c t ( d ) o n t h e i d e a l b e a m ( a ) .

o f t h e u n d u l a t o r f o r t h e t h i r d h a r m o n i c , a s i s s e e n i n f i g .7 a . F o r t h e f i f t h h a r mo n i c t h e b u n c h i n g r e a c h e s ar e l a t i v e ma x i mu m n e a r t h e e n d o f t h e u n d u l a t o r , r e -d u c e s s h a r p l y a n d t h e n b u i l d s u p r a p i d l y i n t h e r e ma i n -i n g l e n g t h , a s i s s h o w n i n f i g . 7 b . T h e s e v e n t h h a r m o n i c ,o n t h e o t h e r h a n d , g r o ws s m o o t h l y w i t h i n t h e u n d u l a -t o r . T h e c o r r e s p o n d i n g b r i g h t n e s s r a t i o s i n f i g s . 4 c , 5 c ,a n d 6 c a r e s mo o t h e r a s t h e y a r e o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n gt h e b u n c h i n g f a c t o r a l o n g t h e u n d u l a t o r l e n g t h . No t et h a t q u a n t i t a t i v e l y t h e e f f e c t o f e n e r g y s p r e a d i s c o n s i d -e r a b l y l e s s s i g n i f i c a n t t h a n t r a n s v e r s e s p r e a d , l e a d i n g t oa r e d u c t i o n i n t h e b r i g h t n e s s n o t e x c e e d i n g a f a c t o r o f1 0 1 .Wh e n b o t h t r a n s v e r s e a n d e n e r g y s p r e a d a r e t a k e ni n t o a c c o u n t , t h e f i f t h h a r mo n i c i s s e e n i n f i g . 5 d t op e a k a r o u n d t h e mi d d l e o f t h e u n d u l a t o r , a n d t o b e c o m -i n g i n s i g n i f i c a n t a t i t s e n d . T h e s e v e n t h h a r m o n i c , o nt h e o t h e r h a n d , s h o u l d b e o b s e r v a b l e f o r t h e e x p e r i me n -

I V . SI MULATI ON

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9/10

5 7 2

a

z [ m e t e r s ]E n e r g y S p r e a d w i t h n o T r a n s v e r s e S p r e a d

S K D u t t e t a l . / Hi g h h a r m o n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o nNo T r a n s v e r s e o r E n e r g y S p r e a d

70 .

T r a n s v e r s e S p r e a d w i t h n o E n e r g y S p r e a d

b

b

d

E n e r g y S p r e a d w i t h n o T r a n s v e r s e S p r e a d E n e r g y S p r e a d w i t h n o T r a n s v e r s e S p r e a d

I0

0. 0 0 0 4 4 0 . 8 8 1 . 3 2 1 7 6 2 20 0. 0 0 0 44 0 8 8 1 3 2 1 7 0z [ m e t e r s ] z [ m e t e r s ]F i g . 7 . E f f e c t o f e n e r g y s p r e a d o n t h e b u n c h i n g p r o f i l e f o r t h e t h i r d h a r mo n i c ( a ) a n d t h e f i f t h h a r m o n i c ( b ) .

2 2 0

0 0 0 0 44 0 8 8 1 3 2 1 . 7 8 2 20z [ m e t e r s )1 " - G O 1 NW z , , - 0 2 7 2 m 0 SO m y - 7 8 3 1 48 ~ - 1 1 3 u1 c r = 5 x 1 0 - a m r a d w = 1 3 1 n c y = 5 x 1 0 e m r a d , / 7 = 1 0 - a

00 0 0 0 4 4 0 88 1 3 2 1 7 6 220 000 04 4 0 8 8 1 3 2 1 7 6 22 0z [ m e t e r s ] z [ m e t e r s ]

F i g . 6 . S i mu l a t i o n r e s u l t s f o r t h e s e v e n t h h a r m o n i c . T h e f i g u r e d i s p l a y s t h e r e l a t i v e e f f e c t o f t r a n s v e r s e s p r e a d ( b ) , e n e r g y s p r e a d ( c )a n d t h e i r c o mb i n ed e f f e c t ( d ) o n t h e i d e a l b e a m ( a ) .

_ 7

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10/10

t a l c o n di t i o ns o bt a i n i n g f o r t he Br o o k h a v e n TOKe x -p e r i me n t . Th i s o f f e r s t h e p r o s p e c t o f v al i d a t i n g o u rp h y s i c a l mod el f r o m t h e e x p er i me n t a l r e s u l t s .

Re f e r e n c es[ 1 1 A Go v e r , A F r i e d ma n a n d A L u c i o , P r o c . 8 t h I n t . FEL

Con f . Gl a s g o w, UK( 1 9 8 6 ) e d MWP o o l e , Nuc l . I n s t r .a n d Me t h . A259 ( 1 9 8 7 ) 1 6 3

[ 2 l AGo v e r , AL v c c i o , A F r i e d ma n a n d A. M F au c h e t , AI PCon f . P r o c . 1 4 7 ( 1 9 8 6 ) 21 9 .

[ 3 l GVi g n o l a , R R . F r e ema n , B . M Ki n ca i d , C P e l l e g r n i i , A

S K Du t t e t a l / Hi g h h a r mo n i c t r a n s v e r s e o p t i c a l k l y s t r o n 57 3

L u c i o , J . Mu r p h y , J . Ga l a y d a a n d A v a n S t e e n b e r g e n ,Nuc l . I n s t r , a n d Me t h . A239 ( 1 98 5) 4 3 .

[ 4 l B . Gi r a r d , Y L a p i e r r e , J . M . Or t e g a, C B az i n , MB i l l a r -d o n , P . E l l e a u me , MB e r g h e r , MV el g h e and Y P e t r o f f ,P h y s . L e t t . 53 ( 1 9 8 4 ) 2 4 0 5 .

[ 5 l NS . Gr a s b ur g a n dMD . To k man , S o v . P h y s . - T e c h P h y s .29 ( 6 ) ( 1 9 8 4 ) 6 0 4 .

f 6 l CW Ge a r , Nume r i c a l I n i t i a l Va l u e P r o b l e msmr d i n ar yD i f f e r e n t i a l E qu at i o n s ( P r e n t i c e - H a l l , E n g l e wo o d s C l i f f s ,NJ , 1 9 7 1 ) .

[ 7 l WH . P r e s s , B. P . F l a nn er y , S . A . T eu ko l s k y a n d WT .Ve t t e r l mg , Nume r i c a l Re c i p e s ( Ca mb r i d g e Umv . P r e s s ,Me l b o u r n e , 1 9 8 6 ) .

I V . SI MULATI ON