Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

128

description

by Masayuki OhzekiDepartment of Physics, Tokyo Institute of Technology

Transcript of Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

Page 1: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������

������� � �� ��� � �����

� ���� �� �����

�� ����� ���� �������

�������� ����

�� ������� �� ������� ����� ��������� �� ���������

������� ����

Page 2: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 3: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

����� �

�� ������ ��� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� �� ������� ���� � ��� ��������� ��� �� ����� � ���� ��� �������� � ���� ��� ��� � ��� ��� ����� � ��������� ������� ��� ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ������� � ������ ����������� �������� ������ � ����� �� ����������� �� ��������� � ���� � ������������ �������� ���� �� �� ����� � �� �� � ���� ����� �������� ��� �������� ������� ��������� ����� � � ������ � ��� ������� ��� ����� ��� �!�� � ���� ���"������ � ������� �������� ��� ���� � ��� ��� ������� ��� � ��� �� � ��������� ���� �� ������� ��� ������� ���� ���� � ������� # ����� � �� �������� �� ���� �������� � � � �� � � � ���������� ���� �!������ ������� �� ������������

�� �� ��� ��� ���� �� ��� � ��������� ������� � � � ��� � ���� �� ��������� � ����� ��� ��� ��� �����$��� � �� � ��������� � ������� ��� ����� � ���� ������ �� ��� �� � ������ ��� ��������� ��� �������� �� �� ������� ��������� ��� ������ �������� � � ��� ���� � ��� ������� � ����� ������� ����� �������� �������� � � ��� ������� �� ��� ���������� �������� �� �������������� ��� �� � � ��������� ���� ��� �!������ ������� �� ���� �� ����� ����� ������ � ����� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� �� ������� ���� � ���������� ��%��� � ������� ������� ��� �� ��� ������� ����������� ��� ��!�� ����������� �� �������� ����������� �� ���� ������ ��� ������� � ������ � � � ������������ ������ ��� � ��� � � ��� ������ ���� �� ��� %������������ ��� ���� ���� ��������

&

Page 4: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 5: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ������������

'���� � ���� �� �� � ����� ������� � �!���� �� ��������� � �� ������� � �� ���� �#���� ��� (����� �� � � ��� �� ���������� �������� ��� �������� �� ���

� ��� �)� ������ ������� ��� �������� �������� ������� ��� ��� )������� ��� ���� � �� (���� *��)�� � + , -��������� ��� '�$� �.����� ��������� �� ��)������� � ������� ��� �� � �� ��)��� �� �� � ������� � ����) /�� 0����� #��$���)� � '�$� �.����� ��������� � � ������ ������ ����� � ��� �� ��)�� ��� �� ������� �� �� �� 0������ � + , -��������� ��� '�$� �.����� ��������� �� ��)�� ������ ��� ����������� ��� ����� ��� �� ���������� � �������� ����) �� ���� �1���)� 2)��� � )� 0��� ����� -��������� � � ������� �������� ���� ��� ����������� � �!����� ��� �������� � �� ��� ��� � �)� ������ ��� ��� ������� ����� ��� �� ��������� �� ��� ������� � ��� (����� �� �� � ��� ��� ������� ������ ��� �� �� � � )� ��������� � ��� � ���

��� � �) ��� %�������� �� ���� �� 3"45 � 65 � �� ��� 78�� 3������ 324�� ���� �� )� ��������� � ��� � �� 9(�� ������5��� :������ ������;���� �� ��� ������������ � � 5�����% "������ � ��� ��� ���� ���� </���������� 4!���� � � 5��������� 0������� ��� ������= �� ��� 0������� � 4����� ��3������� 5 ���� 5���� ��� ��� � ���

� ����) �� ������ � � �������� �� ��� ��� � ��� ���� �� ������;� � �� �� ��� � �� ���� 0��� ��� ���� �� ���� '������� � �� � ��� � ���� �� �� ��� ����� � 0�� ����� 5�)��� �� �� � ����� ������ � ���� �� � ��� ������� #� ��� � ������ ������ � ���� � ���� >��� %������ ������� ���� ������� � ������� ���� ������� ����

?

Page 6: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 7: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

���� � �����

8� ������������� ���� ��� ��� ���� �� ����� �� ���������� ������� �

0�����)� 2�$�)�� #���� ��� (����� ��� ��� �� (���� *��)������� "��� 4 �� @A888A B7@@CD�

7� ������������� ���� �� ��� ��� ���� �� � �� ��� ��������

�������

0�����)� 2�$�)�6� ����� 5 � 6�� �� 88E@@& B7@@FD�

&� ������������� ���� �� ��� ��� ���� �� � �� ��� ��������

�������

0�����)� 2�$�)������� 4 �� &GE B7@@FD�

E� �������� ����! �� ��� ��� ����� �� ��� �������� ������ "����"�� �� ������#��! ���������� �

0�����)� 2�$�)� ��� #���� ��� (����� ��6� ����� 5 � 6�� �$ 88E@@& B7@@AD�

?� �������� �� ��� ������������ ���� ��� ��� � ��� ���� �� �� ����������� �� ��%���� ������ �

#���� ��� (����� �� ��� 0�����)� 2�$�)�6� ����� 5 � 6�� �$ @&E@@E B7@@AD�

F

Page 8: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 9: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�������

& ������������ &&

8�8 5�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 888�7 ���� '����� /������ ��� 5�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � 8F8�& ����� /������ ��� 0���������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � 8G8�E 3 �>����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 778�? 2������� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7&

' (����! ��� ���)���� '$

7�8 5������� � ������� � '���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7?7�7 ������� ' ������� � � /������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7C

7�7�8 3������ � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &@7�7�7 4!�� H���� � �������� 4����� � � � � � � � � � � � � � � � � � &@7�7�& 5��% #��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &8

7�& /������ � ��� 5����� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &87�&�8 5���� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &77�&�7 5����� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &A7�&�& ����� 0 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &F7�&�E � ��� 0 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &G

7�E /������ � ��� ��������� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � E@7�E�8 5���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � E@7�E�7 ��������� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � E77�E�& ����� 0 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EE7�E�E � ��� 0 ��� ���� � � ��� �����* �� �������� �� � � � � � E?

* +��!��� �������� �� ,���) ���� �! ��) $&

&�8 "��� � * �� ����� 0 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?8&�8�8 3 �%������ ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?7&�8�7 "���� 0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?&&�8�& ����� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ??&�8�E 4!�� 5 ���� � � � ��� �������� 4����� � � � � � � � � � � � � � ?A&�8�? -�� * ��� � � ��� 5��% #��� � � � � � � � � � � � � � � � ?F

G

Page 10: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ��������

&�8�A '�������� � 4��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?C&�7 /������ � � "��� � 5�� 5������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ?G

&�7�8 "����� ���� ������� "������� 0 ���� � � � � � � � � � � � � A8&�7�7 5���� 3���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A7&�7�& ������� 3���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A?

� -��.������ �� ��� ������� �� ��� ������������ ���� �/

E�8 /������ � ��� (����� �� I��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � AGE�7 0���������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � F&

E�7�8 "��� ��* �� ����� 0 ��� � ��� 5����� I����� � � � � � � � F&E�7�7 � ��� 5�� ����� � ��� 5����� I����� � � � � � � � � � � � � � FEE�7�& "��� ��* �� ����� 0 ��� � ��� ��������� I����� � � � � � F?E�7�E #��������� I������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � FF

E�& ����� * ������ ��� #��� ���� "����)� � � � � � � � � � � � � � � � � C7

$ �)���0�� -��.������ ��� ���������� ������ 1$

?�8 /������ ��� "�� �����$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � C??�7 ��� ������ �� "�� �����$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � G@?�& ��� ������ � � "������� 5������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � G8?�E ��� ������ � � :������ 5������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � G8

� �)���0�� -��.������ ��� ,����� ������ /�

A�8 ' ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GCA�8�8 5����� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GCA�8�7 ��������� I����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8@@

A�7 '�������� � 4��� � ��� 0���������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � 8@&A�& /������� �� � 0���������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8@A

A�&�8 '���� �� !����� � � � ��� 5����� I����� � � � � � � � � � � � 8@AA�&�7 '���� �� !����� � � � ��� ��������� I����� � � � � � � � � � 8@GA�&�& '���� �� !����� � � � ��� � ��� 5�� ����� � � � � � � � � � 888

A�E /������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 887

� ��))�! &&/

Page 11: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ �

����� ���

�� ���� ���� ��� ���� � ��� ������� �� ���� ��� �������� � �������� �� ���������� � ���$�� ����� � ���� ��� � � ���� �� �� ���� �� ��� ����� � �������� ��������� �� ���� ��� � � �������� ��%����� �� %�� �J��� ������� �� ���� � ������ ���� ���� ���� �� ������� ��� ����������� ������ ��� �� ���� ��������������� �� ��� �� �������� ������� �������� ��� ����������� *����� � ��� ������� �������� ��� �� �� ��� � ������ ��� ��� � �� � � ������������ ���� ����� ���� ����� ���� �� ����� � �������� ���� �� � ��� ���� ������� ���� ������ ���������� ���� � ��� �� � ���� ������� ��������� ����� �� ��� ����������� �� ���� � ��� ������� ��� � ������ ��� �������� ��� ��� ������ ����������� ���� ��� ������ ���� �������� �� ��� ��� ������ ��� ����� "��� ���� ������� �� �� � ��� � �� ��������� ������ � � ��� �� �� �������� � ���� � ���������� ��� �������� ������ �� ������������ �� ��� ������� ���� ���� ������� � �� �� ���� �� ��� ���� ������ ��� ��� �� ������ �� � ���� %���� ��� ������� K8� 7� &L�

�� ��� � ���� ������ �� � ������ ��� ����� � ��� �� � ������ ���� ���� ���� �������� �� ���� � ��� �������� ��� ����� �� � ������ �� ������ � �������� ������� ���� ����� ������ � ��� ������ ���� ���� �������)� � ���� �������� �������� �� ��� ������� ��������� � �������� ��� ������ �! �������������$��� ��� ������ ��� �����

*�� �� � ��� ��� �������� ��� ������ ������� ��� �� %��� ������ � �� ��� ����� �� � ��� ��������

��� ���� ��

� ������� ��� � ��)� 3�0�� ���� �� �� � ��� ��� ����� ��������� �������� �� ��� ������ B��� ��� 3�� ��D ���)�� ������� ���� �������� � ������ B'�� 0�D� ������ �� �������� �� ������� � ���$�� ���� ���� � ������� ���� �������� �� �

88

Page 12: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ���� ����

'����� 8�8M ������ �� ��� ���������� ������� ����� �� ��� � �� ����� ��� ���� ���

�������� ��� ��� �� ��� ����������� ������ ����� �������� �� ��� ����� ��� ���� ���

�� ����� ��� ������ �� ��� �� �� � ����� ���� ��� ������ ���� �� �� ��

� ����� �� ���������� ����� �� ��� ����� ��� � �� ���� �������� ��� ����

�� ������ �� ����

����� � � ��� ������� � � ��� ���� �� ��� �������� � ������ ��� �������� � ��)� �� �� ��� "++1 B"��������+������+������1 ����D �������� � KE� ?� AL ��� ��������� ���

��� N � 7�����

����� B8�8D

����� ��� �� ��� �������� � �������� � ������� �� ����� ��� ������� �� ��� ������ ������ � ���� �� ��� �������� � ������ ��� ��� �� ��� ������� ������� �� ����� �� �������� �� �� ��� '���� ���� ������� ��� ������ �������� � ��������� � ������ � ������� ������� ��� ����������� ������� ����� � � ��� ������ � � ���� ���$�� ���� ��� ����� � � �������� ������ � �� ��� � ������������ ���� �� ������� ����� 5������ ����������� ��� ���� ������� �� ��������� ��������� ����!������ ��� �� �� �� �� ��� ����������������� ������������ �� � � %������ �� �� �� '��� 8�8 ��� %��� ������� �� � ������ ������ � � ��� ��� ������� 3������� ��� 0�� �� KFL� ��� ��� ��� � � ��� �� ��� ��� � ��� �� ���������� � 4��5����5 KCL �� ���� �� �� ��� ������ ������� ��� ��� 5��% ���� � ������ ������� �� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ����� ��� ���������� �������� ��� ������ � � � ������ �� �� ��)� ���� �� �������� �� � �� ������� ������� ������� ��� ���������� ����� KG� 8@L�

���� ���� ���� � ��� ������� ���� �������� � ������ �� �������� ��� ��

Page 13: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ���� ����� ��

'����� 8�7M ��� � � ����� � ��� ������� ����������� � ��� ����� ���� ��

�������� ������ ���� ������ ������������� ���������� ��� � ������� ������ ���

��������� ����� ���� ������ ���� ����� �������� � � � ��� ������ ���� �������

��� ��� ���� ��� ������������� �����������

���� � ������ � ����������� � ���� ������ ��� �� ������ ����� �� �� ���%��� ��� ��� ��� #����� �����

� N ������

�������� B8�7D

����� �� �� ��� ����� ��� ��)��� ��� ������� ����� �8� ��� ��� �!������ ��� �������� � �������� �� ������� �� �����

�� ��� ��������������� ���� �� �� �� ������� ��� �!������ � � ��������������� ��������� � ��� ���� ������� ��������� �� ��� � ������ � ����� � ���� 2���� ���� ����� �� %�� ���� ��� �� ��� ����� ������� �� ������$��� ��� #������ ���� �� �� ����� � �������� ������ � �� � ��� � ������ � ����� � ���� 5���������� ��� "++1 �������� �� �� ������ ��� �������� � �������� �� ��� ���� ����!������ �� � � ��� ��� ��� ����� ��� � ������ �� �� ���� ������ ��� ����� ��� � ��� ��� ����� �� ������ �������� �� ������� ���� ������� ��� ��������� ������� ��� �� �!������ ��� �� ��� �� ����� ��� �� ����� � ���� �� �� �� ��'��� 8�7� � ������ �������� ������� �������� � ������ ������� ����������� �� ������

Page 14: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���� ����

'����� 8�&M ��� ������� �� ��� ��� ������ ��� ���� ��� �� ����� ��� ���� ���

������ � �� ��� ���������� ������ ��� ���� ��� ������� ��������� �������

�� ��� � �� �����

�� ��� ������� # ����� �� �������� ������� ��� � � � ��� � ��� �%������ ���!�� � � ��� �� ��� ������� � ���������� �� �� )� �� ���� �� ������� � ��������� ������� �������� �� ��������� ��� ����������� � ��� �� ��� ����� ��� ���!������ �� ��� ��� � ��� ���������� K88� 87L� ��� ��������� �� ������ �� ����� ���� ���� ������ � ��� ���� ������ ��� ����� �� ��� ���� ������� ���� ���� ������ �� �� ��� � ������������ ���� �� ����� �� �� ��� ������ � ���������� � ��������� ��� ���� ������ ��� ������� ����������� �������� �� �� '��� 8�&K8?� 8A� 8F� 8CL� ��� ��� ���� ������� ������ ����� �� �� ������

# ����� �� �� ������ ��� ������ � � ����� � ��� �������� �� � � � � ������� ���� � ���� � � � ������ ��� ��� �� $��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ����� ��� ���� �� ����� �� ����� ��� ��� ����� ����� -������ ��� ������ ���� ����������$�� �� �� ���� ��������� �� ��� ����� ���� �������� �� ��%��� ���

N��������� � B8�&D

����� �� ���)��� �� � � � ��� K� � � L ��� ������� ��� �%������ ��� �������� � � ������� � ������ ���� ����������� ��� ���� �������� ��������� �� �!��������� �� ��� ������ � ����$��� � ��� ������ ������ � ������ �� � � ��� � ���� ���� ����������� �������� � ��� ���� ������� �� ��� ��� ����� ����� ��� ���� �� ����� ���� ��� �� $��� ��� ��� �������� ���� � �� � � ������ �� ��� ���� ������ ������ � �� � � J������ �����%����� �� ����� 2� ��� ���� ����� ��� �%������ ����������� ����� K����L �� ��� $�� � ������ ��� �%������ ��� ������� � � ��� ���J��� ��� ������� ��� ���� �� ����� ������ �� � ����� ��� ��� ������ � �� � ���

Page 15: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ���� ����� ��

������ ��� �������� ������ � � ����� �� ��� ���� ������� �� ��� ��� ����� ��������� �� � � ������ ������ � ��� ������� � � ��$�� ������ ������ �� ��� ����� ������ ���� ����� �� ��� ����� � ���� ��� ��������� �������� ��� � � ��$�� �����B �N @D� ����� ��� ������ ��� ������� ���� �������� �� $�� B N K����L N @D�

I�� �� ������� ������ ��� ��� ����� ����� �� � � ��� � ���� � ��� ������������ �������� � ��� ���� ������� ������� ���� �� ���� ��� ���� � ������ ��!��������� �� ��� ��� ������ ����! � ��� ������� ������������ 4�� �!����������� �� ��������$�� �� � �� ����������� ������ � ��� � �� ��� �������$��� ���

� � ����� � �!������ ��� ����! � ��� �!�������� �� ���� ��%�� ��� � �� ������������ ���� �������� � � ��� ������ ��� � �� � ��� ���� ������� �� ���������!���������

�� N8

��

��

�� � B8�ED

����� ��� ������� � ���� ��� ��� ������ ��� �������� ��� ��� ��!���� ������� �� ������ �� ��� �!�������� � ��� ������ �� ���� ��� ��� ���������� ������ � � BD � ������ ��� ���������� � ������ � ��� ������ ���

� BD N���

ÆB�� � D� B8�?D

�� ���������� ���� �� �!������ �� ��� ������ �� ��� ������� � ��� ����������� �� ���� ��� ������� �������$��� �� �� ��� �!�������� �� �� $�� � �� ������� ������ ��� � ����� �������� � �� ������� ���� ��� �������$��� � � � � ������� ������� ���� �� �� '��� 8�&� ��� ���������� � � BD �� ��������� ��� �� �� ����� ����� �� �� N �� �� �� '��� 8�E� 2� ��� ���� ����� � � ��� ��� ���� ����� ���� �� ������� � BD ��� � ����� �� ��� �� �� '��� 8�E

(�!� � �� � ������� ������� � � ��� ��� ����� ��� ���� ����� �� ���� ��� �� ����� � ��� �� ��� ����� ��� 4������������� � � ��� K8&L� 4������ ��������� � ��� �������� ���� ��� ��� ����� ���� ��� ������ � � ��� � �� ���� � �������%��� ��� �� B3���������� ��� ��D� I���� 5�������� � ��� +��)����)� ��� � ������� � ��� 4������������� � � ���� ���� �� �� �!���� � �������� ��� �����%��� ��� �� K8EL� ��� � ������� � �) �� ��� �����%��� ��� ������ ��� ���� ������� � ��� ��%������������ ��� 4������������� � � ��� ������� �������� ���������� � � � ��� �� �� '��� 8�?� �� ��� �����%��� ��������� ������ ����� ���� �������� ������� ��� ��� ��� � ������� � �� ��� ������ �����

K8G� 7@� 78� 77L� �� ����� ���� � ������� �� � �������� ��� �%������ ����������� ����� � � ��� ���� �� ���������� �� � ��� ���� � ������ ���� �� �������� � ����� ��� � ��� ���� � ��� ������ ���� ��� ����� ���� ��

� �� ��

Page 16: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���� ����

'����� 8�EM ��� ����������� �� ��� ���� �� ��� ���� ��� ����� ��� ��� �� ���

������� ��� ��� ������ ��� ������� ��� �� ��� ���������� ��� �� ���

���� ��� ����� ��� �� ��� � �� ���� ����

'����� 8�?M ��� ��� ���� ������� �� ��� �������� ������ ��� �������

��� �� ������� � !" ��� ���������� ��� �� �� #" ��� � �� ���� ��� �� �� �����

�� �$� ��� ��������� �� %�� ���� �������� ����� ��� ��� ������ ������� ���

���������� �� ��� � ������� ���� ������� �� ��� ����� ����� ��� !��� ��������

������ �� �� ��� ����� � �� ��� � ��� ������� ������ ����� ��� ����� ���� �

������� ������ �����

Page 17: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����� ����� ����������� ���� ����� ��

��� �������� �� ��� �����%��� ��� ��� �� ���� � ��� ���� ��������� ��� ��%����

N K��� �L�� B8�AD

� N���

� ��� ����� B8�FD

����� ��� ������ � ��� � ��� �� �������� ��� �� ��� ����� ���� �� -������� �������������� ������� � � N � 5�������� � ��� +��)����) � ���� ��������� �� � ��� ����� ��� ���� ������ � � ���� � ���� ��� ��� ����� ����� N @ ��� � @� # ����� ���� 5�������� ��+��)����) � ���� � ��� � � ���� ���� ������������ �� ������ ���� ��� ��� � ��� ����� �������� ����)��� K7&� 7E� 7?L� ���������� ���� � � ���� � � ��� ������ �� � ��� ����� �� ����� �� � �����! � � ���� ������ ��������� � ���� ���� � ���� ��� �� �� ��� ��� ���� ���� ������� ���� '��� 8�?�

����� ����� ������ ��� ��� �������� �� ��� �����%��� ��� ��� ���� ����������� ���� ��� ��� ����� ��� ���� ��������� ��������� � � �������� � ������ ���� ��� ��� ����� ���� � ��� ��� ������������ B��� �� )�� ��� ����� K7AL� ������ ������������� K7F� 7CL� ��� �� ������ � K7GL� ��� ��� ��� �����$��� � �� ��������� K&@� &8� &7� &&L�D

��� � ��� ������ ������ �� ���� ��

�� �����%��� ��� �� ������ �� ��� ��� �!������ � ��� ��� ����� ���� K8EL� ������ �� ���� ������� ��� ���������� ����� �� �� '��� 8�?� � ������� ������� � �� ������� ��� � ��� �������� � ��� ���� ��� ����� � � � �� %������������ ��� �������� ���� �!������ � �� �������� ������� ��� �� �� �� ������� ��������� � ����������� �� � ��� ������ ������� ��� ������� �� ��������� ���� ���3������ ������� ��� ��� �������� �� ��� �������� ���� ��� H��� �� ���������� ���� �� ��� ����� ����� ���� � ��� ������ ��� ��� ���� ���� ���������� ��� ��������� ��� ��� � �� ���� � ��� �������� 2���� � ��� �� �� ����� �������� �� ����� �� ���� � ��� ���� ��� ��� ����� ���� �� ����� �� � �%��������������� ���� � �� ������������� ��� ������� �� �� '��� 8�A K&?� &A� &F� &CL�2� ��� ���� ����� �� �� �������� ��� �������� ����� �� � ������� ������� ������� ��� ����� ���� �!���� ��� �� ��� �� ��� ����� K&A� &G� E@� E8� E7L�

� ��� �� �!������ ��� ������� � ��� ��� ����� �� ��� �� ���� ������� ������ �������� � �� � � ��� ������� �� ������ � ��� � ������ ��� ��� �!������ � ������ ����� ���� �� %���� ������� ��� �� ������� ���� �������� �������� � �������� ����������� � � ��� �������� � ���� ������� � %������������ ��� ����������� ��� ����� �� � ������ �� ����� � � �������� ������� ����� �� ��������� �������� �� � ���� �!��������� ��� ��������� � ���������� �� ����� ��������� ��� ��� �!��� ������ � ��� ����� ������ ����� �� �� ������� ����������

Page 18: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���� ����

��� �������� � �� �����)���� � � ��� �������� �� ���� ����� ��� ������ ���������������� ' � �������� ����� ��� � �� ����������� � ����� ��� �������� � ������� ��� ���� �����$��� �� � ��� ���� � ������� � ��)� ��� � ���� ����� �� ���� ���� � ����� ��)� �� � ����� ���� ������� � ���������� ����� ��$� �� ��������� �� ����� ����� �� �!�� ������ � ������ ���� ������� ��������� ����������������� � ������ �! ����� �� %�������$� ������� �� ������ �� �� �� � � ��� ����� � �������� ��� �������� ������� ���� ' � �������� ��� �������� �� � �� � ��������� �! ������ �� � � ��� ������������� ��� �� ����� � ��� ���� �����%����������� ������ ��� ����� �� �������$�� �� "��� KE&L� � �!����� � ��� ������������� �� �� � ������� �� �� � N 7�F7BCD KEEL ��� 7�&GB?D KE&L� 5�� � � ���� � ��� ����������� � ��� �������� �������� �� ����� �� �� � ��� � �� ����������� ������ ������� � ��� ��� ������ �� ������ � ������� �� ��� ����� ����� � ������������� ��� ������ ������� � ��� ������� ����� ���� ��� �� ��� ��� ��KE?� EA� EFL� ��� ��� ����� �������� ����)��� ��� �� K7&� 7E� 7?L ���� ���� �� ����� ����� � � ��� ������� � � ��� ��� ����� ����� �� ����� �������� ������������ ��� ���� ����� ��� �������� �� � � � ������ �!����� �� � � ��� ����������������� � ��� ��� � �� �� ����� ����� � ��� ��� ����� �� ��� ������� �������������� � ��� �������� �������� �� �� ������� ��������

�� ��� ������ �������� �� �� �� � � ��������� �������� ������� ���� ��� ����������� � ��� ��� ������ ���� �� ��� ������� �� ���� �� ���� � ��� ��������-�� ��������� �� ��� � ���� � ����� � ���� � � ��� ����� ����� ��� �� �� � ������ ������ ��� �� �������� � ��� ����� ���� � ��� �������� �� ���� ������� � ������� ��� �������)� � � ����� ������������ H��� ������ ��������� ���������� �) �!���� �� ��� ���� � ��� �������� �������� � � ��� ��� ������ �� �!��� ��� � �������� �������� ����� ����� ���������� �� ���� � �� ��� � �� ������� ��� ������� ������ ���� ��� ����� �������� � ��� ���� �������� ��� ���������

����� � � ������� ���� � ��� ���� � ��� ������� K&EL� ���� �!�� ��� ��� � ��������� ���� ������� �� ��������� � ��� � � ����� ������� ���� ��� �������� ���� ���� ������� � � ������� ���� ��� �� ����� � ����� 2�� � ��� ������������ � ��� ������������� � ��� ��������� ��� �� �� �������� � �������� ��� ���������� � ��� � �� � ��� ����� ��������� � � ��� ��� ������ �� ���� ������� ����������� ��� �� ����� � ���� ���� ��� (����� �� ���� ��� �����$�� �� ��� ������� ��� � � ��������� ��� ����� �� �!������ ��� � ��� ���� �� ��������� �� ������������������ �� �� � � ��� ���� �������� � �� ��� ��� ����� �� ��� ����� ���� � ��� ��� �� ����� ��� ����� ��������� � ��� (����� �� �����

�� %��� ������� �������� � ��� �� ����� � ���� ���� �� �� ���� ���� ��� ��������� � ��� ���� �� '���� �� �!���� ��� �������� ������� ������� ���� ����������� � ��� ���� ������� �������� �� �� �������� ��� ������ �� ��� ��!����� ��

Page 19: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����� ��� �� ��� ! �������� ���� �

'����� 8�AM ��� ������� ��� ����� �� ��� �� &���� ������ ��� ���� ��� �����

��� ��� �� �� �� �� '��� ������ ������(� ��� ���� ��� �� �� �� � �� '��� ������

������(� ��� ����� ���� ����� �� ��� )������� ����� ��� ���� ������� � "*! ��

��� ����������� �����

��� ��� ����� �� ������������ � ���

� ����� ������ � ����������� �� � ��� ���� ������� � ��� ���� ��� �� ������ ��� �� ��� �� � ��� ������������� ��� ������� ���� ���� ������ �� ������ ���������� �� ���� ��� �� ������ �!���� �� �������� �����!� ��� 0 ����3��� �������� � � � ��� %��������������� ���� �� �� ������ �� � �� ������ ��� ������� � � �� ����$��� � � ���� ��� ����� � ��� �������� � � ��� ������������ � �� ��� �� ��� ������

�� ���� ������� � ��� �� ����� � ��� �� ��������� � �� ������ ������ ����� ��� ��������� ��� ������� ���� � �������� �� �� '��� 8�A �� � ��� ������ ��� � ������� � ���������� ���� ��� ����� ���������� �� ������ ���� ��� ��� �������� ���� ���� ��� ����� ��������� ������ ��� (����� �� ���� K&� &EL� 2� ���(����� �� ����� �� �� ����� ��� �!�� �������� ������� ��� ��� � ��� � � ������% ����� ��� ������� ���� � ������� � ������������� ��� �� � ��� � ��� �!��������� � � %������������ ��� �������� �� ������ �� ��� ���� ������ � ��� �� ������ ��� � ��� (����� �� ���� ��� � ������ ���� ���� ��� ���������� � � ��������� �

Page 20: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ���� ����

�� H���� 0��� � 5�$� 1���5: �� @�CGB8D 03"� AE AE 2$�)�� ��! �! B8GCFD K?7L5: �� @�CCGB7D ������� 0����! 8E 8@� 2$�)�� ��! �! B8GCFD K?&L5: �� @�CCAB&D 5����� 4!���� � 8G�� ���� 5����� ��! �! B8GGAD K?EL5: �� @�CCF7BCD ( ������������� 7?@8 7?@@� 2$�)�� ��! �! B8GGCD K??L5: �� @�CG@?B?D ������� 0����! 8E 8@� ���� "���� ��! �! B8GGGD K?AL5: �� @�CG@AB7D ������� 0����! 87 8@ # ��)��� ��! �! B7@@8D K?FL5: �� @�CG@FB7D '���� �� 0 &7 7 8@� 0��$� ��! �! B7@@7D K?CL5: �� @�CG@@B?D ������� 0����! 87 8@ �� :���� $ B7@@&D K?GL5: �� @�CCGEBGD ( ������������� 8@@@8 8@@@@� �� � ��! �! B7@@&D KA@L5: �� @�CG@AB7D ������� 0����! 87 8@ �� � ��! �! B7@@AD KA8L5: �� @�CG@C8BFD 0 ����3��� AE AE #��������� ��! �! B7@@CD KA7L3��� �� @�FAFBED 03"� &7 &7 &7 2$�)�� ��! �! B8GCFD K?7L3��� �� @�FA?AB7@D 5����� 4!���� � 8F�� ���� 5���� B8GG8D KA&L3��� �� @�FAF&B&D ( ������������� 8A8 8A8 8A7 2$�)�� ��! �! B8GGCD K??L3��� �� @�FAC7@BED 0 ����3��� C@ C@ C@ #��������� ��! �! B7@@FD KAEL

���� 8�8M ��� ������� �� ��� ����������� ���� �� �� ��� �� &���� ����� ��������

�� ����� ������ "*+$ ���� ��� "�����*�� ������,���� ��� �� �"

�� ����� ��� ����� �����

KECL� �� �������� � ��� (����� �� ���� � �� �������� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �������� �� ��������� ����� ��� �����$��� � KEG� ?@� ?8L� �� �� ��� ����� ��� ���� ������� � '��� 8�A� �� %�� ���� ��� ��������� � � ���� � �������� ������� ����� ������� � ���� � ��� (����� �� ����� ��� �� ��� ������������ ������ �� ����������� ��� �� � � �������� �������� %!�� ��� �� � � ��� � ���� � ��� ��� �����$��� ��� � KEG� ?@� ?8L� *����� � ��� ����� � �� � ��� #����� ���� ��� ���������� �� � ��� ���� � ������ ��� � ��� �� ����� � ���� � ������ � �������� �� �!������ ����� ������� ��� ������ �� ���� 8�8� �� �� ���� � � ���� �������� ���� ������ ������ � ��� ������� ��� �� ������� ���� ��� ���� �������� � �� ���� ���� �������� ������ �� ���� ���� ��������� �� �� ���� 8�8� ��� � ��� �� ���� ����������� ���� � � ��� �������� � ��� ��� �� ���� ���� �� ����������� ������ ������� �� ������ �� ��� ����������� ��� �� � ���� � ��� (����� �� ����� ����� ��� ����� ��������� ��� ������� �!�� ��� ��� � �� ������� ��� ���������� ��������� � ��� (����� �� ���� ���� ����� � � �� � ��� >������� � ��� ����������� ���� �������� ���� ��� "���� ����� ���� � ��� ������ ��� ��� ��� ���������� �� ��� � ������ � ��� (����� �� ���� ���� ����� ����� � ����� � ����������� ���� �� �� ��� ���� � ��� �������� 3 ��������� �� ���� ������� �� ������� ������� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��� �������� �� ������ ��������� � �������� � �� ������ �� ���� ����� �� ���� � �� ��������� � ����� ����� �������� ������� �� ������ �� ��� �������� �������� ���

Page 21: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����� ��� �� ��� ! �������� ���� �

(������������ ��� ���������� ��� �������� �������� �� ������ � �� �J������� ��� ����������� ��� �� �!���� � �� � ���� �� �� �� �� @�CG@@ K?G� A@L � �� @�CG@C K?F� ?C� A8� A7L � ��� �� �������� ��� ������ ������� �� �J�� � �� @�CG@@ ������ �� @�CG@C ���� �� ����� � ��� ��� � ���� �� ���� �������� � ���� �� � ���� � ��� ����������� � ��� �������� ������� �� �� �� ����� �������� � ��������� � �������� � ������ ��� � ��� � � ��� ����������� ������� ��� ������ ����� � � ��� � ���� ����� ���� ��� ������ �������� �������� ��� � ��� ���� �J�� ��� � � ���� � ��� �������� �������� � � ��� ������������ �� �� ��� �������

�� �� ��� �����) ���� �� ����� �� ��������� �� � � ��� ��� � ����� � ��� ������������ � ��� �������� �������� �� ��� ��� �� �������� �������� �� ��� ����������� ��� ��� ��� ����� ������ ��� � ����� /����� ����� ��������� �� ���� �������������� KA?L� ��� �!�� ��������$��� � � ��� ������������ ���� � ��� ������������ ��� �� ��� ����� ��)� ��� ' � ������ �������� � ��� ������ ������ ���� ��� ��� ����������� ��� ��� ����� �������� �� � ��� ������ �! ������ ������������ � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��������� ��� �� ����� � �)��� �� ���� ������ '������ �������� �� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ������� � ���� ���� ���� ��� ������� #��� �������� � KA?� AA� AF� ACL ��� ������ ���� ���� ��� �� � � ��� ������� KAG� F@� F8� F7L ��� ������� KF&� FEL ��� ����� �� �������

I�� �� ��)� � � ) ��� �� ��� �� ��� ����� ����J�� �� ���� �� '��� 8�7� ��������� ���������� �������%�� � �� ���� ��� �!��� ������ ��� �� �������� N � � �� ������ ����� � ��� ��������� ����� ��������� � ������ ��>������ � �� �������� �������� ��� ����� �� �� ���� � %�� ��� ��� � �������������� ������� ������� ����������� ��������� � ������$� ��� �� �� ������ � ��� �� ����� � ���� 5���������� �� ��� ����� � ��� �� ����� � ��� �� �� � ��� ������ � ��� ����$��� �� ������ �� ������� � �������� � � ��� �������� ���� � � ��� � ��� �� ������ ��� �!������ �� ��� ����� � 8 � � ����� �� ������ ������ �� � ��� � � ��������� ��� �� ��� �� ��� ����� �� �!������ �� �� �� �� '��� 8�A� �� ���� ��� ����� ���� �������� ������� � ��� � ��� � � �� �� ���� 8�7� �� � ��� � � ��� ��������� � ��� �� �� �� � ��� ������� � ������� � ��� ���� ��� �� ����� � ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ����� � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ���� ��� � �� ���� ������ � ����$��� � � ������ ���� �� ��� 3������ �����;� � ���� ���� ���� �� �� ����� ��� ����� KC8� C7� C&L� � ������� ����������� ���� � �� � ��������� ���������� � ��� ���!�� � ��� ���� � ������ �� ��� ���� � ����� ��� (����� ������ �� �� '��� 8�A� ���� �� ������� �� �� �������� �� � � ��� � ���� � ������� � � ��� ���������� � � ��������� � KECL� ��� �!���� �� ��� ������ � ������������ �� � � ��%�� ����������� � ��� �� � ��� �� ����� � ��� KCEL� ����� ���� ���� ������� ���� ���� ����� � � � ��� � ��� �� � ��� ����������� ��� �� ������ ������ ��� �� �� ��� �� ��� ����� � >���� �� ������ ������ � � ��� ����� ������ ����� ��� (����� �� �����

Page 22: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

���� ����

�� H���� 0��� � 1���5: �� � @�G@8 5����� 4!���� � ��������� ��! �! B8GFGD KF?L5: �� @�CG?B8D 0������ ��� ����� '����� ��! �! B8GCGD KFAL5: �� @�CG7 � �� � @�G@? 0������ ��� ����� *������ ��! �! B8GGED KFFL5: �� @�CGAB8D� @�CGEB7D 4!�� �� ��� 5���� +�������� ��! �! B8GGFD KFCL5: �� @�CC? �� ��� 5���� 4������ � *��)��� ��! �! B8GGCD KFGL5: �� @�CGAGB8D 4!�� �� ��� 5���� ���� ��! �! B7@@&D KFEL5: �� @�CGFB8D 4!�� �� ��� 5���� �� ��� ��! �! B7@@ED KC@L

���� 8�7M ��� ������� �� ��� ������ ���� �� �� ��� ����� �����

*�� �� � ���� ���� ���� �� ����� �� ������$� ���� ��� ������� �� �� �� �� ����� �������� �������� �� ��� �������� �� ������� � � %������������ ��� ������� ������ ������ ������� ��� ��������� �� ����� �� �� � � ��� ��������� ��������������� ����� ��� �������� � ������ ��� �!��� � ������ ������ � ��� � � ��� ������ ����� �������� ��� ����������� ��� ����� � ��� (����� �� ����� � ��� ���� ��� �� ����� � ��� �� ��� ������ �������� �� �� ������ ��� �� �� � ���� ����� ��� � ���� ��� �������� �������� � � ��� ����������� � ���� �� �������� �� ������� ���� �� ��� ���� � � ���� ��� �J�� ������� �� @�CG@@ ��� �� @�CG@C� ��������� ������� �� ���� ������ �� � ������ ��� ���� � �� ������� � � ��� ���� ������ �������� �������� ��� ���� ��� �������� � �� ���� �������� �������� ���� ����� ��

��� � ��������

�� ��� ���� �� ���� �� �� �������� ��� �������� ������� � ��� � ��� � � ��������� ���� � ��� �� ����� � ���� �������� ��� ����������� ��� � ��� ������������� �� ����� ��� ���� �� �� �� �� � ������ ��� � ��� � � ��� ������ ���� �� ���� � ��� ��������

�� ���� ���� ��� ����������� ��� ������ �� � �������� � � ��������� ��������� �������� ���� ��� ���� �� � ��� ��������� � �� � ����� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ���� �� � ������ � ��� ������� KC?� CAL� ' � ��� ���� ��������� �>����� � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ��� ���� � ��� KCF�CCL� �� �>����� �� ����������� �� ��� ������� ���� ��� ����� ���� � ��� �������� �������� � ��� (����� �� ����� �� �>����� ������ ��� � ��� � � �������������� ��� � � ��� �� ����� � ��� � ��� ������ ������ �� �� N @�CCGGF7KCF� CCL� ��� ������ � �� �� � � ��������� ���� � ��� � ��� �������� ������������� ����� ��� � ���� �� ���� �� ���� 8�8� �� ��� %��� �������� ���� ��� �>������� N @�CCGGF7 �� ��� �!�� � ���� �� # ������ � �� ���� �� � ���� ��� �>������� ������ ��� ����� ����� � �������� �������� �� ������ �� ����� �� � � ��

Page 23: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��" �#�#��� �$ ������ �

���� �� � ���� � ��� �������� � ��� �>������ �� �>����� ��� ����� � �������������� ���� � ���������� ������� ���� ������� ����� � � ���� � ������� ��� �����$��� � �� � �������� �� ��� �� �!�� KCG� G@� G8L� �� �>������������ �������� ������� �� � ��� �!�� ������� ������� �� ��� ��� �����$��� ��� � �������� KG7L�

�� �� ���� �� ����� � �) � �������� ��� ���� �� ��� ��� ������� �� �!���������� ��� �>����� ��� ��� �!�� ������� � ��� ���������� �������� �� �� ����� ������ ��� �������� � ��� �>����� �������� � ��� ���������� �������� �������������� � ��� ��� ��� ������ ��� �>����� � ��� ���������� ������ ����� �� ���� ����� � ������ ��� � ����������� ������ ��� ����� � ��� �� � �������������� ��� � � ��� �� ����� � ��� ��� � ��� ������� ������� ��� �� ���������� ����������� ��!�� ��� �������� �� �� ���� ����� �� � �� �� ����������������� � ������ ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ���� ����� � � ��� � ��������� ��� �� � � ��� � ����� �� �!�� � ���� � � � ���� � �� �������� � � ��� ������ �� %������������ ��� ���� � ��� ������� �� ���� �������

�� !"��"��� # ����

�� ������� ��� �����$��� � � ���� ������ ��� ���� ��� ��!� ������ ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ��������� �� ���

� � � ������ ��� ������ ��� �� � ������ � ��� ������� �� ����� �� ���� �� ��������� � � ��� �������O ��� ������� � � ��� �!�� ����� � ��� �������� ��������� ���� ������ �� ��� �� � ������ �� � ��� ������� � ���� ������� ���� ��������� �������

�� 3����� &� ����� ��� ���� ������ ���� �� � � ��� ���� ��� �� ����� � ������ ��� ����� ���� �� �� �!���� ��� ����� ������ ����� � ��� ������ ��� ������� ������� � ��� (����� �� ����� �� ������� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� �� �������� ���� ��� ������� � ����� ��� ��� ����� ���

3����� E �� ������� �� �� ��� �>����� � ��� � ��� � � ��� ����������� ���� �� � �� � ��� ������� � ��� (����� �� ����� ��� � ��� ������� ���� ���� ������� �� ��� �>����� ��� �� �� ��� ����� ���� ��� �!������ ������� �� ���� �� ����� ����� ����� �� �� � ��� ���� � ��� ���������� ������� ����������� �� ������� ��� �>����� ��� ��� �!�� ������� �� ��� ��� �����$��� ��� � ���������

3����� ? �� �� � ��� � �� �� ����� ���� � ���� ������� �� ��� ��� �>����� � � ��� ���������� ������� �� �������� �� ���� ������ �� ���� � ���� ������ �� ������� �� ��� ��� �����$��� � �� � �������� � ��� ������������������ �� �� � ���� ��� ������� � ��� �� � ��� ����������� ���� �� ������ ��� ����� � � ��� �>����� ��� �� ������ ��������� ���� ��� �!�� ������� ����� ��� �����$��� � �� � �������� ���� �� �� �� ��� ������ ��� �>������ ��

Page 24: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ���� ����

��� ������ ��J����� ��� ������� �� ���� ���� �� �� ���� �� ��� (����� �� ����� �� �� � � ��� ������ ��� � ��� ���� ������� �� ��������� ��� �� � ��� � ����!�� � ���� � ���� ��� ������ ��� �>������ ���� ��� ������ � ������ � ������� ��

�� 3����� A� �� ��������� ��� ��� ��� �>����� �� � �������� � � � ������ �������� � ��� � � ��� ����������� ���� � ��� ������� ������� �� �� ���������������� ��� ����� � ��� ������ �� �� � ��������� ���� ����� ��� �� ���������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��� ��������� ���� ��� �������� ��� �� � ��� ����������� ���� ������ � � �� ���� ���� �� �!���� � �� ��� �!�� � ���� �� �� �� � ���� ���� ��� ������ �� ��� �������� �� ����������� �� �� ���� �� ��� (����� �� ����� ��� ���� ���� � ��� ������� ���� ��� ��������� � �����

�� ��� ���� ������ �� �������$� �� ������� ��� ��� � ������ � ��� ��� ��� �>������

Page 25: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ �

������� ���������

2�� � �� �� ���� ������ �� � ������ ��� ������ ���� �� ���� � ��� �������� 2�� ���� ������ � �� � ����� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ��� �� ��� �������� ����������� ��� ���� ����� � ��� � ���� ���� �� ���� ������ �� ������� � � ������� � ��� ������� ��� ���� ��� ��������� 2�� � ��� ������ �� � ��� �������� � ��� ���� � ��� ������� �� ��� �>����� � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��� ���� � ��� ������� �� �������� �� 3����� E� *�� �� � ��� ��� ��������� � � ��� ���� � ��� �������� �� ������ �������� � ������� �� ��� � ��� � ��� ������� �� ���� ������

��� �$�����$ # ������ � ������ �

�� %��� �����) ���� �� �� ������ �� � ��� ������� ��� �� ��� �������� ������� �� �� ������� �� ���� ������ �������� �� ��� ������� ��%��� � �� �������� ��������� � �����$� ��� � ��� � � ��� ������ ����� ������ ��� ������ �� ������ �������� � � ��� �!�� ����� � ��� �������� ������ ��� ��� �������� � � ��������� � � ��� ���% ���� �� ��� ��������

2��������� ��� ������� ��� � ��� �� ��� �������� � ��� ������� ��� ��������������� ��� � ������������ �!���� � � ��� ������ � ����� � � ��� � ������ � ����� � ��� � ��� ������ ������ KC?L� I�� �� %��� ��)� � � ) �� ��� �!����� �� � ��� ��������������� �!���� � � ��� ����� � ���� �� #����� ���� � ���� ������ � ����� � ��� �� ��%��� ���

� N ������

������ B7�8D

����� �� ��)�� �������� �8� ��� � ��� ��� ��� ���� �� �������� � ������� �� ����� �� ������� � �� ��)�� ��� ��� ������� ������ ���� ���� � ����� ��

7?

Page 26: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� � ���% ����$������

������ � ����� � �� ����� ���

�B�D N�����

�����

� ���� � B7�7D

#��� �� ��� ��� ����� ������ � ��%��� �� � N �� � � ��������� �� ��� ���������� � ������ ��� ��������������� �!���� ��

� ���� N ��� P ���� ������ B7�&D

-���� ���� ��������� �� ��� � ��������� ��� ��������������� �!���� � B����� �8D �� � �� ���

�B�D N B ���D��

���

�8 P

�����

�������

� �� ��

�� ����

����

�� B7�ED

#��� ��� ������� � ���� ��� ������� < � ���= �� ��� ��� ��� �%������ ������ � ��� ��� ��� � ��� �� ��� ���� � ����� �� �������� �� ��� ��� ��������� � ��� � ���� # ����� ��� ����� ���� �� ��������� � ��� ��� ����������� ��� ������� � ��� ����� ������ � ��� � ���� ����

���� N @ �� �� ��

�� '��� 7�8� ����� �� �� ����� ��� � �� ���� �!����� � � ��� ����������������!���� �� �� � �������

�B�D N 7��B ���D��

��

������� B7�?D

����� �� �� ��� ������ � ��� ������ � ��� ��� ��� ������� � ��� ��� � ��� ������� �!������ ��� ������ � ��� � ��� ���� �� ������� ������ � ��� � ������ �� N E ��� � ��� ��� ���������� ������� �� ������ � ��� � ��� ��� �����

2� ��� ���� ����� ��� � � ���������� �!���� � B��� � 8D �� ����� ��� �� ��������� � � �������� �� �� J��� ���� �� � ��� �� ��� ����� �� �� '��� 7�7�

�B�D N 7��� 8 P���

�� P � � � � � B7�AD

����� 7��� ���� ��� � ��� ������ � ����� � � � ��� �� ��� ������ �� ������� ������ �� � ��� �������� � � E � ��� ���� ������ �� J��� ��� ��� ���� %�� �� ������ ���� ��� ������� � ��� � ��� �����

�� �� ���� �� �������� �!���� ��� �� %�� ��� ���� ����� �������� ��� ���� �� ��� ��� ��������� ��� � ��� �� ��� J��� ���� �� ������ �������� �� �� ����� �� ������ � ����� �� �B��D ��� �B�D �� � � ��� ��������������� ���� ��� ����������� �� � ������������ �!���� � � � �B��D ���

Page 27: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� �%���% �$ ������ � ������ �

'����� 7�8M ��� �������� ���� �� ������ -�� ������ �� ��� ���� ����� ���

����� ��� ��� �� �� ��� ���������� ���� �� -�� '.�/(� 0��� ��� �����

���� ��� � �� ������ ���� �� ����� ��� ��������� ���� '(�

�������� � 1

'�(�

����'����('����('���('���( � .�� �� '�(

�����

'����('����( � 1� �����

��� ��� �������� ���� �� ����� ���� ���� �� ��� ���������� �� ��� ������������ ��

��� ������� ������ ��� �� ��� ���� ������ � �� ��� ���� ����

'����� 7�7M ��� ������� ���� �� ������ ��� ����� ������ � � � ������� � ��� ��

��� ����� ���� ������� 2� �� � �� ��� ��� ����� ����� ��� ���� ����� �� ��� ���

������� ����� ���� ��� ����������� ��� � ���� ����������� �� �������� � ������

�� �� ����� ������ � �� ��� ���� ����

Page 28: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� � ���% ����$������

��� ��������������� �!���� �� � � �B�D ��������� ��� ������ ���� ������� �� �������� �������

��� �

N ������ B7�FD

-���� ���� ������ �� �� �� ������ �� ������ ��

�B�D N7��B ���D��

7��� ��B��D� B7�CD

����� �� �� �� %�� � ������ ���� ������� ��� � ������������ ������ � ����� ���%��� � ��� ������� ������ ������ ��� ��� ��������������� ������ � ����� ���%��� � �� ���� ������ ������� �� �� �������� �� ������ ������� ���������� ��� ����� ������ ����� B�� �D� �� ��� ���� ��� �������� �� � � ����� �������� �� �� ��� ���� �������� � ����� ��� ������ � ��� ��� ������� �� ���� �� ���� ������� ���

# ����� �� �� �������� �� �������� � ��� ��� �������� ��� ������ ���� ���������� � � ��� ��������������� �!���� ��� � ���� ���� � ��� � ���� ��� ��������� ��� � ��� �������� �� ��� ��!� ���� �� �� ���� ��� � ������� � ������� � � ���������� � � ��� ������ �� �� ��� � ��� ' ����� ������ ����� � KCAL�

��� ������ � ������ � # �����$

�� ������� �������� � ��� ������ � � ��� ������� � � �� �������� ��� ��� ��������� �� ������� ����� � ������ ���� ������� �� �������� � ������ � ��� ��������� �� ����� � ������ � ����� �� ��� �������� � �������� �� �!���� ��� ������� ����� � � ��� ������ �� '��� 7�&� �� ������� ������ � ����� � ��� ������ ������������ ������� ����� � ��� ������� ������ B���) � ��� �����D ��� ��������� � �� ���� ������ ��� ��������� �� ���� �� ��� ���� �� ���� �� �� ���) � �������� ��� ��� ��� � ��� ������� ������� ���� ���� �� � ��� ��������� � ��� ���� ������� ��� ��� ������ � ��� ����� ��� ��� ��� � �� ���� ������� ���� ��� ��������� � ���� �� ��� ��������� � ��� ������� ������� �� � ������� ����� ������� � �� � � ������ �� ��� �� ��� �� ��� ������ � � ��� �������� 5�� � �������� ����� ��� ����� �� ������� ' � �!����� ��� ������ ������ �� �� � ��� ���������������� �� �� '��� 7�&� �� ���������� ������ �� � � ��������� ��� ������� ���� �����!�� ��� ������ �� �� '��� 7�&� 5�� ��� � ��� ������� �� ����� ��� ������� ��

������ ���� ������ ����� � �� ��� ������� �� � � ������ � ����� �� ���

�B�D N Q���B�D� B7�GD

����� �B�D �� ��� ������ � ����� � ���� � ����� ������ � � � ��� ���������� ������ ��%��� � ��� ������� ������ �� ��� � %����� �� '��� 7�&� ��� ��

� ��

Page 29: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ������ ��� ����� �$ � ���%

'����� 7�&M ��� �� ����� � ��� ������ �������� ��� ���� ���� �� ��� ���� ������

��� ������ ��� �� ��� ������ ������ �� ��� ���� ��� �� ��� ������� ������� ���

������ ����� � ��� ��� ��������

���� � � �� ���� ��� ������ ��%��� � �� ���� ������ �� ��� � �� � %����� �� '���7�&� �� ������� </= � ��� ���������� ���� �!������ ���� ��� � �� � ��� �������� �������� �� � ��� ������� ������� ��� ��� �������) ����� ���� ��� ����� ��� � �� � ��� ������ � ����� � � ��� ���������� ���� �� �������� �� � ��� ������� ����� ���� �� ��� ���� �� ���� �� ��� � ������������ ������ � ����� � � ��� ������ ��� � ��� ������ ������ ���� ��� � ��� ��������������� ��� # ����� ����� � ������ %�� ��� � ����� ���� ����� ������� �� ������ � ����� ����� �� ��� ����� ��� �������� �� ����� Q �� �� �� ����� ��� � � ������ ��������� ��� �� �������� �� ��� � �� ���� ���� ��

�� ��� ��� � � ��� ��������� ������� �� ��� ������ ������� ��� ������ � �� ������� ��

�B�D N ��B�D� �� �� ������ ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ��� � �������� �� ��� �������� ���� ��� ������ � ����� � �� ������� �� � �������������������� �� �� ���� � ���� ��� ��������� ������ � ����� � ����� ��� ������� ��� ������� �������� � ��� ����� ������� � ������������ ��� ����������� �� ��� ������� ������ � ����� �� ��� �� �� ��������� ��� � �� ���� ������ ��

��B�D N �B��D� B7�8@D

����� �� ������ � � �� ���� ����� ������� 3 ����������� ��� ������ ���� ��

Page 30: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

'����� 7�EM ��� �������� ��������� ������� � �� ���

4�� B7�GD �� �� ������� ���

�B�D N Q�B��D� B7�88D

��� �� ����� ��� ����� �������� /������� ������� �� � � ������� �!����� �������� �� � �� ���� ���� ��� ( � �� �� � ��� ������ � ������ � � �������� � ���������� ������� �� � ��� ������� ������ � B7�88D�

����� ������ ��� �

�� ��� ������ ����� ��������� � ��� � ������ ������ ���� ��� ������� ������ �B7�88D �� ���� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ���� �� ������� ������ � B7�88D����������� ��� ������ ���� ������� ��� �� ������ � ��� ����� ������� ����B�D� ���� � � � �� ������� � �� � � ��� ������� � � �� �����%��� B������ @ � � � �D ��� ������� ������ � ����� � ����� � ������� ��� ������ ������ �� �� ���� ��� � ������������ ���� �� � � ��� ��� � ��� ����� ��������� ��� �� '��� 7�E� �� �� ���� %�� ��� %!�� ��� �� ��� � ������ ������� ��� � ���� ��������������� ���� �� ���� ����� ��� � ��� � � ��� ������ ��� ���

� N �� � ��� B7�87D

��� ��� ����� Q � ��� ������� ������ � � � ��� ������ � ����� �� �� ��4�� B7�88D� �� ��� ������ ��� �� � ����� ������� � ��� ������� ������ � � ���� ������ � ����� �� B7�88D ��� �� ��� %!�� ��� � ��� �������� ���� �� ������� ��� �� ���� �������

����� ���� ��� �� � ��� � ����

�� �������� ������ �� ����� �� ��� ���������� � ��� ���� ������� �� �� %�� ���������� ������ � �� ����� � ��� ������ � ����� � �� �� 4�� B7�88D� �� ����� ���

Page 31: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% �� �� �& �� '���� ��

� �� ���� ������ � �� ��)��� � � �������� ���������� � ��� ������� ������ � ���

��� ��B�D

����

N8

Q

�Q

��P

��� ��B�D

���� �

���

��� B7�8&D

��� ������ � ����� � ������ � ������� ��� �������� �������� �� �������� ����������� ���� ����� � � ��� ��� 5������ � N �� N ��� �� ����� ��� �!�� ����� ���� �������� ������ �� ��� ������ ��� �� 4�� B7�8&D �� � �� ��� �� ��� �������������� �� ����� ���

�B��D N � �

��� ��B�D

���� �

N � 8� ���

��

���� �

����Q

��

���� �

� B7�8ED

����� �� ���� ��� �������� Q N 8 �� ��� ������ ����

����� ������� ���

�� �� ����� ��� ������ � � ��� ���% ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ������������� � B7�88D� ���� �� ������� �� �� ����� �� � � �� �� ����� ��� ������ � � �� ���% ����� �� ��� ���������� � ��� ���� ������� ��������� � ��� �������� ������� �� ���������� �� � � 4�� B7�8&D �����

�� ��B�D N 8

Q�

�Q

��

��� 8

Q

��Q

���� � ���B��D P �B��D

����

���� B7�8?D

����� ��� ���� ��� ������ ��� �!������ �� � N �� P Æ ��� �� N �� � Æ� ����������� ������� ��� ���% ���� �� � � ��� ��������������� ���� �� �� ����� ��

�� � ��B�� P ÆD� �B�� � ÆD�

N

�Q

��

���� �

��� ��Q

���

���� �

� 8� ���

��

���� �

����Q

��

���� �

����

���

���� �

� B7�8AD

�� ���% ���� ���� �� ��������� ���� ��� ������ ��� � ���� �� ����� ����� ��� ��� ������ ��� ���� ��� ��� ����� � ��� ���������� ���� ������� 2���� ���� ����� ��� ���% ���� ���� �� ��� ����� �� �� ��� ���������� ���� ������ ��$�� ������

�� �� � ������� �������� ������� �� � ����� ��� ������� ������ � ��� ��� �������� ��� �� �� ���� ���� ������ �� �� ��� � �� ���� ���� ���

��� �����$ � ��� �%��� &�����

�� ���� ������� �!����� � ������� �� � ��� ������� � ��� ������ ������ ����� �� ����� � ��� ��� ��� � ��� � ��� � ��� ������ ������ ��� ���������

Page 32: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� � ���% ����$������

'����� 7�?M ��� ������ �� ��� ��� �� ��� ������ ��� ����� ������ �� ��� ��� ������

� ��� �� ��� �������� �� ��� ������ ���������

����� ����� ������

I�� �� ������ ��� ������� � � ����� ������ �� �� '��� 7�?� ��� �� � ��� ��� ������ � ��� ������ ������� �� �� %�� � �����%��� ������� � ��� ������� ��� ������� ����� ���� �� �� ������ � � � ���� ��� ������ �� ���� �� ��� ����� � ���B N 7D � � ������� ������ �� � ��� ������� � ���� ��� �������� �� ������ ������ � � � ��� ������� ��� ���� ������� ������ ���� �������� �� �� ����� ���

� N�����

�����

�B�� � ��D� B7�8FD

����� ���� ��� ��� ��� ������� � ��� ��� ��� ��� ��������� ������� @ ��� � 8���� ��� � ��� ���� ��� ��� ��� � ��� � ��� ������� �� �������� � �� �������� ���� * ��$���� ��� �� ��� ���� * ��$���� ��� � ��� �������� ��� ��� ���B@D� �B8D� � � � � �B � 8D� ��� ������ � ��� �������� ������� ������ ���� ������� ������ �� �� ������ ���� ���� � � ���� ��� ������ ��� ��� ���� * ��$������� � ���� � ��� � � ���� �� ��� � ������ �� � ���� ' � �!����� ��� � ������ ������ � ���� ��� #����� ���� �� ������� ������� �� �� 4�� B7�8D� �� ���� ��� �� �����!����� � � � �������� �� � �� ���

� N �������

� ����� B7�8CD

����� ��� � �� � ��� ��� ��� �������� �� ��)�� ��� ������� � @ ��� 8� ����� ������ ��� ��� ��� �������� � ��� ����� ������� ��� ������ ���� ����� �� ��)� ����������� � ���� ��� �� � � � � �� � ��� N �� � �� ��� ��� N �� � ��� ���

Page 33: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% �� �� �& �� '���� ��

�� � ���� � ����� ��� N �� � �� ��� ��� N �� � �� �� '��� 7�?� ��� ��� ������ ������ � �� ������� ���

� N�����

�����

� ��� ���� � B7�8GD

����� �� ��� ����� ���� ��� ����� ������ � ���� �� ��� � ��� �� � ������ * ��$���� ��� � � � ��� ����� � ��� ���

� B���D N �! �� � B����D� � B7�7@D

�� ������ ��� ������ � ����� � �� � �������������� ����� � � ��� ��� � ��� ������ � ��� ���� * ��$���� ��� �� �� �!���� ���� ��� �� ��� ������� ���)��� �� �K�L�� ���� ������ � � ��������� �� ������ �� � � ��� � ��� � ���� ��� #����� ���� ����%��� ��

� N �������

ÆB���D� B7�78D

����� ��� ��� �!������ ��� �������� � �������� � ������� ��� ������ ���� ��������� ��)�� ��� ������� �� � @ � � 8� �� �� ����� ��� ���� * ��$���� ��� ���� � � � � ������� ����� ��� 8 � � ��� ������

� B���D N �! ��Æ B���D� � B7�77D

�� ��%�� ��� ���� * ��$���� ��� � ��� �� ��� ' ����� ������ ����� ��

��B���D N8�

��������

�B���D �!

�7�

������

�� B7�7&D

���� �� ��� ������� ������ ����� ��

�B���D N8�

��������

��B���D �!

�7�

������

�� B7�7ED

����� �� ��� ��� ������� � ������ � ��� ������ � ����� ���� ����� ��� ������ � ����� � � � � ������ ���� � �� � ��� ��� ���� � � ��

����� � ��� N @� �� �� '��� 7�?�

�K�L N

�������

��B��D� B7�7?D

Page 34: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

����� � �� ��� ���� * ��$���� ��� � � � � ������ � ��� �� ���� ��� ��� � �� � ���' ����� ������ ����� � � ��� ���� * ��$���� ��� � B7�7ED ��� ���������� �� ��� ��� �� �� ������ ��

�K�L N

8�

��������

��B���D��B���D�

�B���D��B���D

�������

�!

��7�

B��� P ��� P ��� P ���D��

��

B7�7AD

�� ������� � ��� ��� ���� ��������� �� ����� ��� +� ��)��;� ������

�K�L N

8�

��������

��B���D��B���D�

�B���D��B���DÆ B��� P ��� P ��� P ���D � B7�7FD

����� �� ��� ������ � ����� � �� ������ ���� ��� ��� ������� � ��� � �� ���������� ��� ���� �������� �� �� ��� +� ��)��;� ����� ���� � ����� � �� ���� ������ ��������� ����� ���� ������� ��� �������� �� ��� +� ��)��;� ������

��� N �� � ��� ��� N �� � ��� ��� N �� � ��� ��� N �� � ��� B7�7CD

2�� � ���� ���� ��� �������� � � ��� ������ � ����� � �� ��������� �� �� ���������� ��������� ���� � ��� P �� �� �� ������� � �� � @ � � 8� �� �� ��� ��� ������ ������������� �� �������� ��� ������ � ����� � �� � �� ���� %�� ���� ��������� � ����� � �� ������ ���� ��� ��� �� ���� ��� ���� ���� * ��$���� ��� ��� ��� ���� ���� ��������� �����

�K�L N8

8�

�������

��B�� � ��D��B�� � ��D�

�B�� � ��D��B�� � ��D�

�� ������$� ��� � �� ���� �������� � ��� �� ���� ������ �� �� ��� � 8 ���� ���������� ���� �� �� ������������� � ��� ���� ���� ��������� ����� �� ��!���� � �� ������� �� ��� ������� � ��� ��� ��� �������� �� � ��� ������� �����

�� �� �! ���� �� ����� �� ��� ���� ������ �� N 8� �� ������ ��8 ����� �����

�� ��� ��� �� �� ��� ' ����� ������ ����� � � � ��� ���� * ��$���� ��� ��� �������� E ����� �� � ��� ������ � ��� � ��� �� N E � ��� ������� ������ �� ��'��� 7�?� �� ��� � �� �� ����� ���� �� � ) �� ��� � ��� ��� � �� ���� ����* ��$���� ��� �� �� ��� ��� ������� ����� ���� ��������� �!���� ���� ��� ���������� ������ � � �� � ��� ��� � �� ����� ������ ���� ��� ���� �� �� '��� 7�?��� ���� %�� ���� ��� � �� � ��� ������ �� ������ �� � ��� ��������� ���� %����� ��� ���������� ���� �� �� '��� 7�?� ��� ��� ������� ������ ��� ��� ������� ����* ��$���� ��� � � ��� ��� ���� �� ��� �� ������ � ��� ������ ��� ���������� ��� ����������� ������� ��� ������� ����� ��� ��� ���� ��������� ��� �������

Page 35: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% �� �� �& �� '���� ��

'����� 7�AM ��� ��� ��� �� ��� ������� ��� �� ����� �� ��� ��� ������ ������� ��

��� ������ ����� � ���� ��� �������� ��� ����� ����� � ��� ���� �� ��� ��������

����� ����� ���� � ���� �� � ����������

��� ������� ��������� ��� ��� ���� ������ �� ������ �� ��� �������� �� � ��� � ���� ���� G@ �������� ���� � ������ � ��� ������� � ��� �� ��� ��� ������� KCAL� ���� � �� ������� �!����� ��������� ��� ����� � ��� ������ �� '��� 7�A�

�� �!�� ���� ��� ������� � � � ������� ������ ����� � ������ � ��� �� ��� ���������!������ �� ���

�K�L N ����������K�

�L� B7�7GD

����� / �!������ ��� ������ �� � �������� � �� �� � ��� ������� �������

Page 36: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

'����� 7�FM ��� ����� �� �������� �� ��� ���� �������

����� ����� ������

�� ����� ��� ������ � ����� � � � � ������ ��%��� � ��� ������ ������ ���

�K�L N�����

�����������

�B�� � ��D� B7�&@D

5����������� ��� � �� � ��� ' ����� ������ ����� � � ��� ���� * ��$���� ��� �B7�7ED ��� ��� ������ � ����� �� �� �� ������� 4�� B7�&@D ���

�K�L N

8�

��� ������

�����������

��B���D�����

�����������

�!

��7�

���B�� � ��D

�� B7�&8D

#��� �� ������ ��� � ��� � ��� �! ������� ����� ��� ��� ��� � ��� � ������������� ����� ��������� � ��� ��� � ��� ����� ������� �� �� '��� 7�F� �� ��������� ��>���� � �� � ��� � ��� ���� ��� ��� ��)� ��� ������� � ��� ���� ���� ���������� � �� ���

�����

�����������

�!

��7�

���B�� � ��D

N���

��

�!

��7�

B���� P ��� P ��� � ���D��

�N ��

��

Æ B���� P ��� P ��� � ���D �

B7�&7D

�� ������ � ����� � �� �� �������� �� ��� ������� � ��� � �� ��������� ������� �������� �� �� ��� +� ��)��;� ����� ���� � ����� �� �� 4�� B7�7FD� ������ ��� ����� ��� ��������� ����� ��������� � ��� ����� ����

��� N �� � ��� ��� N �B�� � ��D� ��� N �B�� � ��D� ��� N �� � ��� B7�&&D

Page 37: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% �� �� �& �� '���� ��

���� ��������� ������� ��� ��������� �!������ �� ��� +� ��)��;� ����� �� 4��B7�&7D� �� � ������� �� ����� � ������ � ���� �� ���� ������ � ����� � ���� ������� ���� * ��$���� ��� � ���

�K�L N �������������

��������������

��B�� � ��D

N ����������K�

�L� B7�&ED

����� <������B/D= ��� ��� ���� ��� � ��� � ��� ���� ���� * ��$���� ��� �� �� ��� ��� � ��� � ��� ������ ������ ��� ���� ��� �������� � ������ ����� � �� �������� �� �� �� �� '���� 7�? ��� 7�A� �� ������� / � ��� ������ � ����� ���� �!������ ��� � �������� � ��� ������� #��� �� ��� �� �� ��� �! ���� ���� ��� �!������ ��� ������ � ��� ����� ��� � ���� ����������� ��� �8 ������ � ��� ��� ��� � ��� ������������� � ����� ��������� � ��� ����� ������� �� �� ������ ��� ����� ������ ����� � �� �� ��� �! ���� � �8 �� ����������� �������� �� ��� �������� � ��� � ������ ����� �� � �� ������ ������� �� ��� �� ��� ���� �� �� �������� � ���� ���

�� ������� ������ � B7�&ED � � ��� ������ ������ �� ���� ������ � � �������� N 7���

�K�L N �K��L� B7�&?D

����� ��� � �!�

�� ������ ��� ����� � ��� �� �� �!���� �!���� � ��� �������� �� ���� * ��$����� ��� � �� ����� �� 4�� B7�7@D� �� ���� * ��$���� ��� � ��� �� �������� ��4�� B7�7&D�

�� B���D N8�7

� P �� � ����

�� B7�&AD

�� ���� ��� ��� ������ * ��$���� ��� � ������� �� ��B�D� ���� �� ��%��� ����� ���� * ��$���� ��� � � ��� ����� ���� ���� ���� ������� ��� N @� �� ��� ��� � ��� ����� � ���� ��B�D N �

�� � 4�� B7�7@D ��� ���B�D N B� P �� D

�7 �� �

4�� B7�&AD� �� �!���� ����� ������ * ��$���� ��� �� �� � ��� ������ � ���� �� ������� ��� ������ �� � ��� ����� ���� ��� N @ �� �������� ��� ���� * ��$������� � � �� ��B�D� �� � �� ���

��B�D��!

��

��B�D

�N ���B�D

��!

���

���B�D

�� B7�&FD

Page 38: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

����� ! �� ��� � �����$�� ������ � ����� �� 3 ��������� ��������� � �� � ������$�� ������ � ����� ��� �� %�� �� �� ����� ������ ���� � � �������� ��� � ��� � � ��� ������ ����

!

��

��B�D

�N !

8� ���

�B7�&CD

!

���

���B�D

�N ! B8� �����D � B7�&GD

2��� ��� ��������� � B8D ��B�D N ��� ��� �� B8D ���B�D N ����� ��� ��������

������� � �� � �����$�� ������ � ����� ��� �� �� ��� �� ���� ����� �� ����������� ���

N ������ ��� ������� ������ � B7�&FD ������ ��� ������ ���� ���������� �� ����� � ���� ���� �������� ������ ��

��B�D��!B8� ��� D N ���B�D

��!B8� ��� �

D

�� �K� L N

����B�D

��B��D

���

��B��D��!B8� ���

D

�� �K� L N

����B�D

��B��D

���

�K� �L� B7�E@D

����� �� ������� ��� � �����$�� ������ � ����� � �� ��� ������ * ��$������� � ��B�D � ��� ��������� ���� �� ��� �� �� ���� ��� �� ��� ������ ������B�

�D ���� �� ���� ����� �� ��) ��� ������ � ����� � � ��� ���������� ������ ��� ���� ����� �� �!��� ����� Q �� ���� ������ � �� �!������ ��������� ���

Q N

����B�D

��B��D

���

N B���� 7�D��� � B7�E8D

�� ������ �� ��� ������ � ��� �

N ����� �� �� � � � � �� ������� � �� � �������� � �� �� ��� %�� ���� � @ � � �� �� ��� ��������� � �� � �� @ ��� �����%��� ����� �� �� �� �������� ���� ��� ������ � ���

N����� ����� � ����� � ������� ��� �� ������ � ����� �� �� ���� ��� � ������������� �� �� �� �� 4�� B7�CD� �� � ������� �� �� ����� ��� ������ ����� ��� � N

�7� 8 N @�E8E78E� � ������������ �� N 7�7AG8G �� � ��� %!�� ��� �

��� ������� ��� � N ������� �� �� ��� �%�� ��� ��� ���� Q �� ��� ����� �������������� �� ��� 4�� B7�E8D�

�� �!�� ����� � ��� �������� ������ �� ��� ������ ��� �� ��� ������� ����7�� �� � 4�� B7�8ED� 0 �� ��� ��� ���% ���� �� �������� � �� ����� �� � ��������� �� ��� ������ ��� �� ��� ���������� � ��� ���������� ���� � 4��B7�8AD �� � N ��� ���� ������ �� �� ��� ������� ��� �������� ���� ��� �!��� ���� �� KG&� GEL�

Page 39: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% �� �� �& �� '���� �

����" ����� �!�

' � ��� � ��� � ���� ��� ���� * ��$���� ��� � �� ��%��� �� �� 4�� B7�77D� ��� ������� * ��$���� ��� � �� ����� ���

�� B���D N8�

�� � 8 P Æ B���D

�� B7�E7D

5�������� � ��� ��� � ��� ����� � ���� �� ������ ��� ������ � B7�&FD � �� � �����$�� ������ � ����� �� �� ��� ������ * ��$���� ��� ��� 2��� ��� ���������� � B8D ��B�D N � B7D ��B�D N � � � N � B � 8D ��B�D N �� ����� B8D �

��B�D N �� B7D �

��B�D N � � � N �� B� 8D ���B�D N B� � 8D B� P � 8D ���

�������� ������� ��� �� � �����$�� ������ � ����� �� �� ��� ������� ������ � � ���� � ��� � ��� ���

!

��

��B�D

�N !

8� �� � � � � � �� � B7�E&D

!

���

���B�D

�N !

8�

� � 8� P � 8 � � � � �

� � 8� P � 8

�� B7�EED

�� �� ���� ��� ��� ���� ����� ���������� ��� ������ � ����� ��

�� �

N� � 8

� P � 8 � B7�E?D

�� �� ����� � ������� ������ ���� ������� �� � ��� � ���� ���� �������� ������� � ��� �� � ��� �� �� �� 4�� B7�E@D� �� �!��� ����� Q �������� � ��� ��� � ��� ����� � ��� ��� �� �������� ��� �� � ��B�

�D N � �

������B�D N B�

P � 8D ��

Q N

����B�D

��B��D

���

N

� � 8�

���

� B7�EAD

��� �!��� ����� �� ��� ����� �� ��� ������ ��� ����� ��� �� ������� � N�� N ��

� � N� P 8� B7�EFD

�� �������� ������ �� ����� �� �B��D N ���B8 P 8 �D� ' � ��� � ��� � ���

���� ��� ����� ������ � E� ���� ����� ������ ����� ��� �!�� ����� � ��� �������������� KG?L� 2� ��� ���� ����� ��� � ��� � ��� ���� � E ������ �� � ������������ �������� �� ��� %���� ���� �������� �� ���� ��� �������� � ��� �������� �������

Page 40: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

���� �� �B�� � ÆD �N �B�� P ÆD � � ��%��������� Æ KG?L� �� ��� � � ��%�� ������ � � 4�� B7�8ED ����� ��� � � ��� �����

�B�� P ÆD� ���

��

���� �

�B�� � ÆD N � �Q

��

���� �

� B7�ECD

' ��������� ��� ����� � ��� ��� ��� ��� �8 �� ��� �������� � ���� �����

� �� �� �� ����� ��� ����� � ��� ������� ������� �� �������� �������� �� ��� � ������ ����������������� ���� �� � ��� �������� � ���� �� ����� � ��� ������� � ���� � ��� � ��� ���� � E ���

���B��D N ��B8 P 8 �D� B7�EGD

��� ������ ������ ���� ��� �!�� � ���� � KG?L�

��� �����$ � ��� �������� &�����

�� ������� �� ��� ������� � ��� ���������� ������ ��������� � ��� ��� � ��������� ������ ��� ��� ��������� ������� ������ � � ��� ������ � ����� �� �� ���������� �� 4�� B7�&ED� # ����� ��� ���� ������ �� �������� �� � ��� ������� ��� �� ���� ������ � � ��� ���������� ������ �� ��� ��!�� ��� ������ �� �� '��� 7�&� ����� �� �� ��� � ��������� � ������ ���� ������� �� ������ � ����� �� � ������� ���������� ������� �� ��� �� ���� �������� ���� ��� ������� � ���� � ����������� ����� � �� � ��� ���������� ������ ��� �� ���� ���������� ������ KG?L� I���� ������� ���� ������ ����� � ��� � ��� ��� ������ ��

��"�� ����� #�� ��

'���� �� �!���� �� ���� �������� � ������ �� ������ � ����� �� ��%��� � ������������� ������ ��� ��� ��� ��������� � � � ������ � ��� ������ �������� �� ��'��� 7�C� �� ������ ��� ������ � ����� � � � ���� ������ ���� ����� � ��� �������� ������

���K�L N�����

�B�� � ��D�B�� � ��D�B�� � ��D� B7�?@D

�� %�� ���� ��� ��� � ��� ���������� �� � ��� �� � �� ��� �� � ��� �� ����� ����* ��$���� ��� �� ������ � $�� � �� �� ���� ������� ���� ������ � ����� � �������� ��� ��� ��������� ����� ��)��� ������ �� � @ � � 8 ��� +� ��)��;� ������

���K�L N ������

�B���D�B���D�B���DÆB��� P ��� P ���D� B7�?8D

Page 41: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��( � ���% �� �� ���� �� '���� ��

'����� 7�CM ��� ������ �� ������ ����� ������� ������� ��� ����� ������ � ���

����� �� ��� �������� �� ��� ��������� �� ��� ������ ��������� ��� ������ ���� ��

��� ������ ��� ��� ������ �� ��� ���� ���� �� ����� ��� ������ ��� ��� ���������

�����������

����� ��� ������ ��� � � ��� ���������� ���� ��J��� ��� ��������� � ��� ����������� ��� ���� �� ����� �� �� P " B� � �� @ � " � � 8D� �� ������� ���+� ��)��;� ����� �� �� �! ������� � ���

���K�L N 8

�������

������

�B���D�B���D�B���D�� ������������������ � B7�?7D

�� �� ��)� ��� ������� �� ��� ������ �� ' ����� ������ ����� � � ��� ����* ��$���� ��� � � �� 4�� B7�7ED ������� �� � ������� ���� ������ � ���

���K�L N 8

B�D�

�������

���B��D�� � B7�?&D

�� ���� %�� ���� ��� ������ � ����� � �� ������ ���� ��� ��� �� ���� ��� �������� * ��$���� ��� � �� ��� ���� ���� ��������� ��� �� �� �������� ���� ��������� � ����� � �� ������ ���� ��� ��� �� � � ������ ���� ����� � ��� ��� ������ �� � ���� ���� �� �� '��� 7�C �� � ������� ������ � ����� � ��� ������ � ��� ��� � ��� ������ ������� �� �� ������� ��� ������� � ��� ��� ������ ������������ ��� �� ����� �� ���� ������ � ����� � ���� ��� ���� ���� * ��$������� �� � ��� �� ������ �������� �� �� '��� 7�C� ��� ������� � �� ����� ��� ������������� ������ ����� �� �� ���� ����� ��� � �� ���� ������ � � � ��� �� ������ ������ ���

���K�L N 8

B�D� ����K�

�L� B7�?ED

���� ������ � ����� �� ��� ��%��� � ��� ���������� ������� ��� ����� � ������ ����� �� ��� �������� �� ��� ��� �� /� 2�� %��� ���� ��� ��� � � ��� ���������� ���� ��J��� � �������� � ��� ��������� � ��� ���� �� ����� � �� ��P "�

Page 42: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� � ���% ����$������

'����� 7�GM ��� ������ �� ��� ������ ������� 0��� ��� ������ ��� ������ ��������

�� ��� ������ ������ �� �������� ���� ����� ������ �������� �� ��� �������

�������

��� �! ���� � 8 �!������ ��� ������ � ��� �������� ��� ��� �� �� ��� ���� �� ����� ��� ������ � ��� � ���� �� ����� ���� � ���� ����� ��� ��������

���� ��� ������� � � ��� ���������� ������ �� ����� �� � ������ ��

���K�L N ������� ����K�

�L� B7�??D

��� �� ������ � � �� ��� 4����;� ������ � �� P�� N �� P 8�

���K�L N ������ ����K�

�L� B7�?AD

�� ������� ������ � �� ����� ������� ��������� � ��� ��� � ��� ������ �������

��"�� #�� ��� ������

�� ���� �� ��� ���� �� �!����� � ��� � ����� ���� * ��$���� ��� �� ���������� �� ��� ������� � � ��� ������� � � ��� ���������� ������� �� �� ���� ������� ���� ��� ��� ��� * ��$���� ��� � � � ����� � ��� � �� ���������� ��������������� �� # B���� ���� ���D� ' � �!����� ��� ��� * ��$���� ��� � � � ��� ������ ��� ��

# B���� ���� ���D N �! �� B � ���� P � ���� P � ����D� � B7�?FD

����� ��� N �� � �� ��� ��� �������� ��� �� ����� � ��� ���������� �������� ���� '��� 7�G� �� ��� � ��� ��� * ��$���� ��� � ������� �� � ���� ���� � �������� ������� �� �������� �� � ��� ���������� �������� �� �� �� ��� ��

�� ��� ��� ������� �!������� ��� ����� ������ � ��� � ������ � ��������� � ����� �� -�� � ��� ��� * ��$���� ��� � ������ �� � ����� ���

Page 43: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��( � ���% �� �� ���� �� '���� ��

������ � ����� � � � ��� ���������� ������ ���

���K#L N�����

��

#B�� � ��� �� � ��� �� � ��D� B7�?CD

����� ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � ��� ���� ��� ��� �� �� ������ ����������� �� '��� 7�G� �� ������ � ����� �� �� ����� � ��� �� ������ ��������� �� � ����� '��� 7�G� �� ������ ��� ������� � ��� ��� * ��$���� ��� �� �� ���� �������� ��������� ����� ��� +� ��)��;� ����� � � ��� ���������

���K#L N ������

��

#B���� ���� ���DÆB��� P ��� P ���D��

Æ

����

���

�� B7�?GD

����� ��� ���� � � �!������ ���� ��� � ��� ���� ��� ��� � ��� ������ ����������� ��� ��� �� ����� ��� ������� � ����� ��� ������� � ��� ��� � ��� � ���� ��� ������ ��������� 5�������� � ��� ����� ���� �� ������� ��� +� ��)��;������ ��� ��� �! ������� � �� ��� ����� ��������� �� � � ��� �� ������ ������������ $� � � ��� � ��� ������ ����������

���K#L N

8

�������

�����

������

��

#B���� ���� ���D�� ��������������������������������������

B7�A@D

����� �� �� ��� ������ � ��� ���������� ���� ������ � 7��� �� ���� � ������������ ���� ��� �$�� �������� ��� ���� ��������� � ��� ���� ��!�� ��� �������� �� '��� 7�G� #��� �� �� ������ ���� ������ � ����� � �� �� ���� ������ ������ � ��%��� � ��� ���� ��!�� ��� ������� �� ������� � ��� $� ����� ������ ������ ���� ������� ��� �� ������ � ����� �� ��%��� � ��� �����������������

���K#L N �����

8

�������

������

��

#B���� ���� ���D�� ����������������������ÆB��� P ��� P ���D�

B7�A8D

��� ������� � �� ����� ��� ������������� ������ ����� �� ����� �� �� ������� ���� ������ � ����� � � ��� �� � ��� ������ ���������� �� ���� ��%�� ������� ��� * ��$���� ��� � ��� �� �������� ��� ��� � �� ���� ���� ��� � ������ � ��� � ��� ������ ��� ���

#�B���� ���� ���D N ��������

#B���� ���� ���D�� ����������������������ÆB��� P ��� P ���D�

B7�A7D

Page 44: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

� ������������� ����� ��� �! ������� � �� � ��� +� ��)��;� ������

#�B���� ���� ���D N �������

#B���� ���� ���D�� ����������������������� B7�A&D

����� ��� � �� � ��� ��� �� �� ��������� � ����� ������ ���� ������� ��� �� � ���� ��%��� � ��� ���������� ������ ���� �� �� ���� � ��� ��!�� ��� ���������

���K#L N ����K#�L� B7�AED

����� ���� �� ��� ������ � ����� � ���� ��� ���� ��� * ��$���� ��� � ��%��� ���� � ��� ������ �������� �� �� '��� 7�G� 5�������� � ��� ��� � ��� ������ ���������� �!��� ����� ��� ��� �������� � ��� � ������ ����� �� ��� ������������� �� ������ ��� ����� ������ ������ �� ���� ��� ��� � �� ���� ������ � �������� �� � ��� ������� ��� ��

���K#L N ���K#�L� B7�A?D

�� �� ��� ����� ��� ����������� � � ��� ���� * ��$���� ��� �� � ��� ��� �� � 4��B7�A7D ��� ��� �! ������� � �� � ��� +� ��)��;� ������

#�B���� ���� ���D N �������

�������

�B���D�B���D�B���D�� �������������������������������������

N ���

�������

��B�� � $�D��B�� � $�D�

�B�� � $�D� B7�AAD

����� ��� ������� � ��� $� ����� ��� ������������� ������ ����� �� �� �������� ���� ������� ������ � �� 4�� B7�?AD �� ��������� ���� �!����� � ��� ��� ������������� � B7�AED�

��"�� ��� � �!�

�� ��� * ��$���� ��� � � � ��� � ������ � ����� � ��� �� ����� �� 4�� B7�?FD�2� ��� ���� ����� ��� ���� ��� * ��$���� ��� � �� ����� �� 4�� B7�A&D ���

#� B���� ���� ���D N

8

7

��� P �

��

� ����

�� B7�AFD

����� ��� �� ������ �������� ����� ��� ������� � ��� � ��� 87� 7&� ��� &8���� ������ ��� �� ������ �������� �� �� '��� 7�G� �� �� ������� ��� �������

Page 45: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��( � ���% �� �� ���� �� '���� ��

������ � B7�A?D �� �!������� ��� ������ * ��$���� ��� �� #� ��� #�� � � ��

������ ���������� �� ���� ���� ��� ��� �� ��

#�B�D��!��

�#

#�B�D

�N #�

�B�D��!��

�#�

#��B�D

�� B7�ACD

����� !�� �� ��� � �����$�� ������ � ����� � �� ��� ������ * ��$���� ��� �� ���� � �����$�� ������ � ����� �� ���� ��� ��� � �� ���� �������� �� ����� �����������

��� N# B@� 8� 8D

#�B�DN

# B8� @� 8D

#�B�DN

# B8� 8� @D

#�B�DB7�AGD

8� ��� 8 P & ���

N#� B@� 8� 8D

#��B�D

N#� B8� @� 8D

#��B�D

N#� B8� 8� @D

#��B�D

� B7�F@D

�� �� ������ ��� �%������ �� � � ����� ����� � ��� ���������� ��������� �������� ��� ����� ��� * ��$���� ��� �� �!�� � � ��� ������ * ��$���� ��� ��� ����� �� �� %�� ��� ������� ������ � � ��� ����� ��������

��� �

N8� ��� 8 P & ���

� B7�F8D

-���� ���� ���� ������ �� ������ ��� ������ � ������� �� ����� � ���� � ������������� ������ ���� �������� ������ ��

���K# L N

�#��B�D

#�B��D

���

���K# �L� B7�F7D

�� �!��� ����� Q �� �!������ ����� ���

Q N

�#��B�D

#�B��D

���

N

8

7

��� �� P &��

������ � �� � ���� � B7�F&D

5�������� � ��� ��� � ��� ����� � ��� � ��� ������ ������� �� ����� ��� ������ ��� �� N &�AE@GA� �� � ��� %!�� ��� ��� � N 8 & � 4�� B7�F8D �� �������� N �� N ��� �� �!��� ����� Q ����� �� 4�� B7�F&D ��� �� ��� ����� ����� ������ ���� �� �� ����� ���� ��� �������� ������ � ��� ����� � ��� � ������������� ������ �� �B��D N �E�� ����� �� 4�� B7�8ED ��� ��� ���% ���� ���� �� ����� �� � ��������� ��� ��� ��� ������ ��� �� ��������� �� 4�� B7�8AD�

��"�" ����� �!� $��% #$�& ! #%���&'�!� � ������� �

�� ��� ��� ������� ��� ��� ������������� ������ ����� � � ��� ������� ��� ���������� ��� � ��� � ��� ��� ���� �� �� �� �������� ��� ������ ��� � ��� � ��� ����

Page 46: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

�� � ��� ������� �� �������� �� KGAL� �� �� � ��� ������� � � ��� �!�� ����� ���� �������� ������ � ���� � ��� ��� �� �� � ��� � ��� ���� �� � ��� ������� ���������� �� �� ��%��� �� ��� � �� ���� ��� * ��$���� ��� ��

# � �B���� ���� ���D N �!

���

��

ÆB���D P��

��

ÆB���D

�� B7�FED

����� ��� �� ������ �������� �!������ ���� ��� ������� � ��� � ��� ��� ���� ��� 87� 7&� ��� &8 ���� ������ ��� �� ������ �������� �� �� '��� 7�G� �� �� �������� � ������� ���� * ��$���� ��� � �� ��� � �� ���� ������� ��� � �� ������� �� �������� � Æ��� N 8 P %ÆB�D�

# � �B���� ���� ���D N 8 P %���

ÆB���D P�&%�� P %�� P B8 P %�D

�%���

ÆB���D

N 8 P %���

ÆB���D P &��

ÆB���D� B7�F?D

����� %� � � � � 8 � � � N 7 ��� & ��� & � � ��� � � &� � P 7� ��� ��� ���� ���* ��$���� ��� � �� ������� �� ������ 4�� B7�A&D �� � �� ���

#� � �

B���� ���� ���D N&

�8 P %�

��

ÆB���D P &���

ÆB���D

N&

# �

� �

�B���� ���� ���D� B7�FAD

����� %� N % & ��� &� N � &� ����� �� �� �� ��������� ��� ������ � ��������� � ��� � ���� ���� �� � ��� ������� �� �������� �� ���� �������� ������ ���

���K# � �L N

&

���

���K# �

� �

�L� B7�FFD

�� ������ � ����� � � ��� ���������� � ���� ��� � ��� � ��� ���� �� � ��� ������� �� �������� ��� ��� �� ��������� �� ��� ����� � � ������� 5������ �� N ��

��� �� N ��� � �� ����� ��� ���� � ��� %!�� ���� �������� �� & N � ������ ����

���� ����� � ��� � ��� ������ ���� �� �� �� �� �� ��� R��� ��� ������ ������� ���� & N ��������� ��� ������ ������ �� �� P &�� � @ ��� �� P 7�� � @ KGFL�

�� �� ��)� ��� � �������� ���������� � ��� ���� ������ �� �� ��� ��� ����� �������� ����������� ����� �� ������ �� ������� ��� �������� ������ �� � �� ���

8� '���

'��

����

ÆB���D

�� '��

'��

���

ÆB���D

�N

��

&

'&

'��B7�FCD

�'���

'��

���

ÆB���D

�P

8� '��

'��

����

ÆB���D

�N

��

&

'&

'��� B7�FGD

Page 47: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��( � ���% �� �� ���� �� '���� ��

�� �� ( ������7 @�&F??&@ @�&EF??7 @�G7?EGF �&�8GE87& @�7G8A77 @�F&FF7E 7�?7GF& �&�G?&&AE �@�@A78FF 8�F?G8& �7C�7G7E �8?�?CCEE �8�@GCA8 E�&GEE? �E �@�?

���� 7�8M ��������� �� ��� '.�3.( �� � � �� 4�� � � �����

������

� ÆB���D��� ��� � �������� ���������� � ��� ���� ������ �� �� �����

� ÆB���D��� �� ��� �� ����� �� ���� ����� �� ������ �� ��� � � �������

���� � ��� ����� # ����� �� �� ���� ��� �!�� ����� � ��� �������� ������ ��� ��������� ������ � B��� ��D� �� ��%�� ��� �������� ������ ��� � � ��� � ���� ��� ���� �� � ��� ������� �� �������� ��� ��������� ��� ������� ���������� �����

�B��� ��D N

���

ÆB���D

�P

��

��

���

ÆB���D

�� B7�C@D

����� �� �� �� ����� ��� �!�� ����� � ��� �������� ������ �� �������� ��� ����

� �� ��� ������� �� �������� �� ���� ��� ���� � � ��� ������ ��

� ÆB���D�

�����

� ÆB���D��� 4��� B7�FCD ��� B7�FCD� �� ����� � � � ��������� ��� �!��

����� � ��� �������� ������ ��

��

��N

'���

'��

8� '���

'��

� B7�C8D

��� ����� � �� ������ �

B�� P &��DB&� � P � 7DB� � � 8D N ���

�B&� � P 7 � &D� B7�C7D

���� ��� � ���� �� � ���� ������ � � � ��� ��� ���� ��� ����� ������ N 7� &� E���� � AG� # ����� ��� � ��� � ��� ��� � ��������� � � %���� ���� �������� � � � � ? KG?L� �� ������ �� ���� ��� � ���� �� ��� � � N 7� &� ��� E ��� ������ � ����������� ������ � � ����� ���� �� � 4��� B7�FCD ��� B7�FGD �� ���� 7�8�

�� ��� ���� 0 ����3��� �������� �� �� �%����� �� ���� ������ ������ ��$�8@@ ��� 8@?@@ 035 �� ��� � � � �� ����� �� ������� �� � ��� �������� � ���������� � � ��� ������ � ����� � ���� �� ����� ������� �� �� ��� ������

Page 48: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

-3.5

-3.4

-3.3

-3.2

-3.1

-3

-2.9

0.96 0.98 1 1.02 1.04

E/J

2

T/Tc

q=2τ=0.925497

incdecdual

-4.8

-4.6

-4.4

-4.2

-4

-3.8

-3.6

-3.4

-3.2

0.96 0.98 1 1.02 1.04

E/J

2

T/Tc

q=3τ=2.52973

incdecdual

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

0.96 0.98 1 1.02 1.04

E/J

3

T/Tc

q=4τ=-28.2924

incdecdual

'����� 7�8@M ��� ������ ������� � ��� ���� ����� �� ������ � �� ���� .�5 ���� �

�� � � / � � �/ �� ���� ������� ���������� �� ��� "�����*�� ���������� ���

������ 6���7 �� ����� ��� ������ ����� ������ �� �������� ��� ��� ���� 6���7

����� �� ��� ������ �� �������� ��� ���� �� 6���7 �� �� �� ������ �� ��� ������

�� ��� ��������� �����������

��� �� �� '��� 7�8@� �� ���� ���� ���� �������� ��� 8@@ ���������� ����� �� ��� ���� N E ��� ( N �� �� N �E �� �� �!��� �� �� ���� �� � )7?@ ���������� ���� � E?@@ 035� ��� ��� �� �� ��� ���������� ������ � � ���%���� ���� �������� � �� �� '��� 7�88�

�� �� ������ � ���������� ��� ����� � B7�C8D � � ��� �������� ������ � ���������� �� � � ������ �������� ��� � ����� �� � � ( N �� �� ��� ��� ����( � N ��

� ��� �� ����� �� � �� �� '��� 7�87� �� ���� ������ ��� �� ����� ���� ���

���� �� � B���� � �� ��� J��D �� ��� %!�� ��� & N � ��� ������� ���� ��

�� N

��� ��� �� �� �� �� �� � ����� ��������� � � ��� ����� � � � ������� � ���� �������� ������ B7�C8D�

Page 49: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��( � ���% �� �� ���� �� '���� �

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.96 0.98 1 1.02 1.04

E/J

2

T/Tc

q=4τ=-4

incdecdual

'����� 7�88M ��� ������ ����� � ��� ���� ����� �� ������ �� � � / � � �/ �����

����� ���������� ��������� ������ ����� �� ������� �� ��� ������� ���������

��� ������� � ������� �� ���� ���� �� #��� .�51�

Page 50: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���% ����$������

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

τ

K2

q=2τ=0.925497

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

τ

K2

q=3τ=2.52973

-28.34

-28.32

-28.3

-28.28

-28.26

-28.24

-0.08 -0.04

τ

K2

q=4τ=-28.2924

-5

-4

-3

-2

-1

0

-5 -4 -3 -2 -1 0

τ

K2

q=4τ=-4

'����� 7�87M ��� ������� ���� ��� ��������� �� -�� '.�35(� ��� ���,���� ����� ����

�� ��� ��� ���� �� ��� ������ ����� �� ��� ����� ���� �� �� ��� ��� ��� ����

�� �

����� ��� ����� �������� � ��� ���� ���� '� � �( ����� �� ���� ����

Page 51: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ !

������� ������� � �����

���� �������

�� ���� ������ �� %��� ������ ��������� � ������ � ��� ���� ��� �� ����� � ����� %���� ������� ��� �������� �� ���� ��� �� ����� � ��� �� � �������� � ���� ����� ��� ��� ������ ��� ��� ����� � ������ ��������� ��� ����� ���������� ��������� � ����� ��������� ������� ��� �� ��� �������� ������ ��� ��� ���� ��� � � ��� ���% ���� ���� �� ��� �� !����� ��� ����� ����� �� ��������� ������� � � ��� ���� ��� �� ����� � ���� �� �� ����� � ������� ��� ���������� ������ ����� � � ��� ���� ��� �� ����� � ���� ������ � ��� �!������ � �������� ������� �������� ��� ����� �� �� ��� � �� � ��� ������ ���������� �����$� ��� ���� � ��� �������� ��� ����� ���� �� � �� ��� ���� � ���������� ��� ������� � ������ � � ���� ��� ���� ��������� �������� ��� �� �������� ��� ����� ���� � ������� �� � ��� ��� ������� � ���� ��� �� ������ ���� # ����� �� ���� %�� � �� � ����� � ������ ��� ������ ���� �� ��� ������� � ����� �� ���� ���� �� ��� ���� �� ������

��� '�� � ( �� )��� � ���

�� ���� ��� �� ����� � ��� �� ��%��� �� ���� ��$��� ��� ����� � ��� ����� ������ � ��� � �� � ��� � ������ � ����� � ��� ���

� N ������

�������� B&�8D

����� �� ��� ��� ����� ��� �������� ��)��� �8 � ��� ���� �� ��� ��� �!������ ������� � ����� ������� ��� ���� � ����� ������ ��� ������ �� ��� ������� � �� � � J���� � ���� �� ������� J������ �� ��� ��� � ���� �����

?8

Page 52: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

�� ����� <�������= ���� ������ ��� � ��� �� �� � ��� ��� ������ � ���� � ��������� � ��������� ������ ��

��� ��������� ������ � �� ����� �� ��� �� ������� ����� #��� �� ��� �������������� �������� ��%��� �� K88� 87L�

)B�D N������

(��� B&�7D

����� (�� �!������ ��� ���� � ��� ���� � ����� ��� � ��� ��� ���� ��� � ����� ��������� ��� ���������� � �� ���������� ��������� ���� ���� �������� ��� ��� ��������� ��� ��� �%������ � � ��� �������� �� ����� ��������� �� ��������� �����)���� ��� ��������� ������ �� �� �� ������ � ������� ���� � ������� ���� � ������ � ��� ���������� ��� ��������� � ��� �� ��� ������ ��������� �� ���� ��� ���� � � � ������ ���� �� ��� ���� ������ � �� ��� �� ���� ������������ ���� �� ��� ��� ���� ���� �� ����� �� ��� �� ����� � ���� �������� ���� � ������ �� ���� 2� ��� ���� ����� ������������� � �� � ����� � � � � �� ����� �� %�� � �������� ������ � �� �� $�� �� ����� ��� �� ������������ ������ � ��� ��� � ���� �� ����� ��� ��� ����� �����

����� �� ������� ()����

�� ���� ������� �� ������ ������ �� ���� � ��� ���������� � ����� �� � � ������� � ����� ��� � ��� ���� ��� �� ����� � ���� 2�� �� ��� �� ����� � �������

� B���D N �ÆB��� � �D P B8� �DÆB��� P �D� B&�&D

����� � ��� ��� ��� � �������� � ��� ���� ������� ����� � � ��� � ��� ������������� � ����� � �� ��������� ��� � � ���������

� B���D N�����

7 ������ B&�ED

����� ����� N B8��D �� �� ���� �� ��� �������� ����� � ��� ���� ��� ���������� ������ �

� B���D N8�7���

�!

�� 8

7��B��� � ��D

�� B&�?D

#��� �� ��������� ��� ������� ��� �� �� ��� ������� � ��� �������� ���������� ��' � ��������� �� ����� ���� ���������� � ����� � �� � �� ��� ������� � N 8�

� B���D N8�7��!

��87B���� P ��� D P �����

�� B&�AD

Page 53: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� *����� +��� ���� !���� ��

�� ������ �������� �� ��� ����������� ����� �� � � ��� ����� �� ��� �������������� �� �� ��� ��� � ��� � ������ � ����� � ���� ���� � ��� �!������ �������� ���� � ������ � �� ���� ���� �� ���������� � ����� �� �� ���� ������ ��� �� ���� � �������� ��� �%������ ��� ������� �� ���� �� � ���� ���������������� ��� �%������ ��� ��������� ��)� �� ����� � � �� � ������� �����$���� ���� ��� �� ����� � ���� �� ������� ������� �� ������� �� ��� ������� � � ��� ���� ������ � � ��� ���������� � � ���� ����� ����� �� ���� � �������� ��� �%������ ��� ������� � ��� ���� ������ �� ��� ��� ��� ��� � �������� ����������������� ��� ���� ������ �� ����� �� ��� � ������� � ��� ������ � ����� �� ���������� � ��� � � ���� �!���� �������� �� �� ��� ��� � ��� � ������ � ������ ��� ����

����� *���� ��%�!

2�� � ��� ������ ��������� � � ��� �������� � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ���� ��� �%������ ��� ������� �� ��� ����� ���� �� -���� ��� �������� �����B�

��8D $ N� � �� �� ������ � ������ �

�� K* L�� N �����

K��L�� � 8$

� B&�FD

������� � ������� � � ��� � �������� �������� � � ��� �������� � � ��� ���� ��������� ������ � ������� ��� ������ � ����� � � ��� ��� � $� �� �� ������ ���� $�� �� �������� �� ��������� ��� ������ � ����� � � � � ������� ��� ������� ������� �������� $� ��� ���� ��

� � B� N 8� 7� � � � � $D ��� ������ ������� ���� � ������ ����� ���

�� N����� �

�����

�!

�����

���

�� �

�� B&�CD

�� �)��� � ��� ����� ���� � �� ����� �� '��� &�8� �� %�� ��� $��������������� � ����� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ����� ��� �%������ ��� ���������������� �!������ ��

K��L�� N����� �

�����

������� B���D �!

�����

���

�� �

��� B&�GD

' � �!����� �� �� ����� � �� �!������ ��� $��������� ������ � ����� � � ���� ��� � ��� �� ����� � ��� ����� ��� �%������ ��� ������� ���

K��L�� N

8

�� ���

��� ����� �

�����

��

���� P ��

���

�� �

�� B&�8@D

Page 54: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

'����� &�8M ������ �� ��� � ������ ������� ��� ����� ����� � �������������

���������� �� ��� ����� ����� � ���������� ���� �� ��� �� &���� ������

�� ���� �� ���� ������ �� ��� ����� ���� � ��)�� �� ������ � �� � ���� ���� ������ ��� �� ������� � ������ � ������ �� ���������� ��� �%������ ���������� � � ��� * ��$���� ��� � �� ������� �� ������� ���� * ��$���� ��� ��� ���� ����� ���

��B��� �D N

������ B���D �!

�����

���

�� �

�� B&�88D

�� ����� ���� � ��� ���� � ������� �������� � � �� ��� ������ � � ��������%��� ��� �� � ���� � ��� �������� ������ ��� 5�������� ��+��)����)� ��� K8EL� �� ��� ��� $��������� ������ � ����� � � ��� %���� ������� ������� ��� �� ����� � ��� ��� � � ���� �!���� ��������� ���� �������� � ���5�������� ��+��)����) � ��� �� ��� ����� ���� � ��� �� �� ��� �!������ ���� ��� ����� ����� �� �����) ���� ������� ��� ��������� ���� �!���� ���� �� �%������������ ��� ������ ��� � � ���� �� �� ��� � �����

Page 55: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� *����� +��� ���� !���� ��

����� +��� #� ��������

�� #����� ���� � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ��� � ����� �������� )� ���� ��� ���� ��������� �� ��%�� � � �� ������ ����� � �� � �� ���

��� ���+�+� B&�87D

�� ��+�� B&�8&D

����� +� ��)�� ������ �8 � P8� ����� �� +�� N 8� �� �� ������ %�� ���� ���#����� ���� �� B&�8D ��������� � � ���� ����� ������ ����� � �� � �� ���

�� N ������

���+�+���+���+� N �� B&�8ED

����� ��� ������� , ��� ��� ���� ��� #����� ���� �� ������ �� ��� ����� ������� ����� �� 2� ��� ���� ����� ��� ���������� � ����� � � � ��� �� � � ��������� ������� �� �� �� ��� ��

�� � ��� )���� �� ���������� � ����� � � ��� �� ����� � ��� �� 4�� B&�ED �� ������ ��� � �������� ����� ������ ����� ��

��B���D N���������

7 �� ���� B&�8?D

�� �� � ��� )����

�� ��� ��� ����� ������ ����� � � ��� ���������� � ����� � ��� �����

��B���D N8�7��!

��87

���� P ���

�P �����+�+�

�� B&�8AD

* �� ���������� � ����� �� ���� ������� � ��� � ��� ���� * ��$���� ��� � ���� ���� ��� �� ����� � ��� �! B��������D ���� ��� �������� � ��� ���������� � �� � � ��� �� ����� � ��� � � �� � � ��� �������� ����� � ���� ���������� �� �� ��������� �� ��� � �� ���� �������� � ��� ���� ��� �� ����� � ����

�� ������ �� ��� ����� ������ ����� � ������ ��� ���������� � � ��������� � ����������� �� �������� ��%��� �� 4�� B&�7D �� ������ ���� ��

)�B�D ������

(��+�+� N )B�D� B&�8FD

Page 56: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

4�� ����� �������� +� ����� ���� ��� � ��� ���� ������ ��� ��������� ������ �� ��� ���������� � � ��������� � �� � � ������ �� ��� ����� ������ ����� �� ������� � +�� N 8�

�� ������ � �������� ��� �%������ ��� ������� ��� ������� ������� � ������ ��������� ��������� ������� �� -� ��)� ��� #����� ���� B&�8D ���

K�-�L�� N� �

����

� B���D����8

�B�D

�����

-�����

��������� � B&�8CD

#��� �� ������ ��� ����� ������ ����� �� �� ���������� � ����� � � B���D �������� �� 4��� B&�8?D ��� B&�8AD� ����� - �� ���������� �� ����� ������ ����� � >��������� ��� ���� � ��� ���� ��� ����� � � ��� �� ����� � ��� ��� ��� ���� ��� ��� ��� ����� � ����� �� ��������� � ��� ����� � � ��� �������� ����� � ���� ' ��!����� ��� ������� � ��� ��� N �8 �� ��� ���� 9%��� P8 ��� ���� �8; �� ��������� ��� ���� 9%��� �8 ��� ���� P8; �� ��� ����� ������ ����� � ��� ���+�+� ����+�+� N �8� ����� �� ��� ����� ������ ����� �� �� ��� �%������ �� �+�� � � ������ ��� ����� � K�-�L��� �� ���� ������ ��� ������� � ��� ��� �%������ �� � ��� ����� ��������� �+��� ���� ����� 7�� K�-�L�� ����� �� ��� ��� ��� ������ ������� �� �� ���� �������� K�-�L�� � � ��� �� ����� � ��� �� � �� ���

K�-�L�� N8

7��B7 �����D��

������

�����

�����

���������8

�B�D

�����

-�����

���������

N8

7��B7 �����D��

������

�B��D

�B�D

�����

-�����

��������� � B&�8GD

����� �� ������ � � ��� ������ � � ���� ��� ��������� � � ��� �������� � ����

K�-�L�� N8

7��

� �����

.B���D�����B��D

�B�D

�����

-�����

��������� � B&�7@D

����� �� ������� ��� � ��� ������ ����� � ��� ��������� � ��� ��� ��� .B���D ������� ���

.B���D N8�7��!

��87

���� P ���

��� B&�78D

����" ���� ������ ��� �%� � ��� � ����

-���� ��� ����� ������ ����� �� �� �� ������� ��� � ��� � ��� ���������� ������ � ��� ��� � ��� �� ��� ������ � ����� � � ��� ���� ��� �� ����� � ���

Page 57: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� *����� +��� ���� !���� ��

�� �� 4��� B&�8GD ��� B&�7@D� �� �� ��� � N �� �� ��� �� ����� � ��� ��� � N ���� ��� �������� ����� � ���� � �� � ��� ���� � �B�D �B��D ��� �B�D �B��D ��� ������ � ����� �� �� �� ����� �� 4��� B&�8GD ��� B&�7@D� ����� �� �� ��������� ��� �!�� ����� � ��� �������� ������ ����� ����� ����� ��� ' � ��� ��� � ��� �� ����� � ���� ��� �������� ������ �� ������ � �

K���L�� N8

7��B7 �� ���D��

������

�����

� ��

����

�������

!"�

����

���������

N � 8

7��B7 �� ���D��

���

�����

������

�����

���������

N ���� ���� ���� B&�77D

�� �������� ������ � ��� �������� ����� � ��� �� ��� ��������� ���

K���L�� N � 8

7��

� �����

.B���D�����

���

�����

����������

N ������ B&�7&D

�� �� �� ������� �� � �� � � ��� �������� �� ������� � ��� ������ �� ��J���� ��� �� ��� ������ � � ��� ���

�� ����� ��� � N �� � � ��� �� ����� � ��� ��� � N �� � � ��� �������� ������ ���� ������� � �������� ���� �� ��� B�� � D ���� � � �� ����� � ��� ��� �� ���B��� � D ���� � � ��� �������� � ���� �� ���� � ���� �� %�� � ����� ������ ���� ���� �������� �� ����� ���� � ��� ���� ������� �� ����� ��� ���������

����� -���� ��� (����� ������� ����� �� �� %�� � ��� � ��� � ���� �������� �������� ������ �� ���� �� ��� �!�� �������� ������ �� �� �� ��� ��

����, -���� '�� ! ��� �%� ������� ���

-���� ��� (����� ������� ����� �� � �������� � � �� ��� �� �!������ �� ��������� � ����� �� ���� �������� ������ ��� �� �� 4��� B&�8GD ��� B&�7@D� ����� �� �� �� ������� ��� �!�� �������� ������� �� ������ �� �� �� ����������� ��� � ��� � � ��� ���% ���� ��������� � ��� ��� � ��� �������� ������� �� ���% ���� �� ����� ���

� �� N � '

'�K���L��

N����� � �����

��� B&�7ED

#��� �� ��� ��� * ��$���� ������ �� N 8� �� %��� ���� � ��� ���� �!����� � ���� �������� ��� ��������� � ��� ���� �� ��� ���� � �������� � � �� ������ �

Page 58: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

����� ���

��������

N8

7��B7 �� ���D��

������

�����

� ��

����

�������

!"������

���������

N8

7��B7 �� ���D��

��

����

�����

������

�����

���������

N �� ��� ������� P��

8

��� ���

�� B&�7?D

�� �� �� ���� �� ��� �� �� ���� � 4�� B&�7ED ��� � ��� ����� � �!������ �� ���������� ������ � ����� � ���� ����� ��� � ��� �������� � ����� ��� (����� ������� ����� �� ����� �� �� ��� � ������� ���� ���� �!���� ��� �� ��������� ���� ��� � ��� �� ��� 5����$ ���������� �� � �� ���������

��� K���L��� N ��

��� ����� ���� B&�7AD

*� �������� 4��� B&�7?D ��� B&�7AD � ������� �� ����� ��� ��� � ��� � � ������% ���� ���

� �� � ���� 8

��� ���� B&�7FD

5�������� ��� ��� � ��� � ��� ���% ���� � � ��� �������� ����� � ��� �� ����������� ���

� �� � ����� B&�7CD

����. /�������� � �����

-���� ��� ����� ������ ����� �� �� %�� �� ���� �!����� � � ��� ���� ������� ������ ������ � ��� ���� ��� �� ����� � ��� �� ������� �� � �� ���

�� K* L�� N� �

����

� B���D���� � ��B�� �����D� B&�7GD

������ ��� ����� ������ ����� �� �� ��)� ��� ������� � ��� ��� �%������ �� � ��� ����� ��������� �+�� ��� ����� �� ���� �!����� �� �!������ � � ��� �� ������ ����

�� K* L�� N8

7��B7 �����D��

������

�B��� �����D � ��B�� �����D� B&�&@D

Page 59: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% $� *����� ���� �%���� �

��� � � ��� �������� ����� � ����

�� K* L�� N8

7��

� �

�����

.B���D�����B��� �����D � ��B�� �����D� B&�&8D

4�� ��� �� �� ���� ��� ���� ������ ����� ��� ����� � �� N � � �� N � ��������� � ��� ���� � �B�D � � � � ��� �� ������ � ��� ����� ������ ����� ������� ��� ���������� � � ��������� � ��������� �� �� 4�� B&�8FD� ����� �� �� %������ ��� ���� ������ ����� ��� (����� ������� ����� � ����� ��� ��� � ��� � ����������� � � ���� �� � �� �%������ �� ���� ��� ���� ���������� � � ��������� ��5����� ����������� �!����� �� B&�&@D ��� B&�&8D � ��� ���� ������� �� ������ ������� ������ �� ��� ���� � � ��� ���������� � � ��������� �� �� ���� �������� ��� ����� �� ��� ����������� � ��� ���� ������� ����� �� �� �� ������ ���� �������������� � ��� ���������� � � ��������� � ����� ��� � ��� � � ��� ������ ��� ���� (����� �� ����� '�������� � �� � �� ������� � ���� � ��� ���� ��� �� ������ ���� � ���� �������� � �� ��� �� ��� ������ ����� ����� ��� ��� �� ������������ ���� �� ��� ������� J������ �� �� �!���� � �� ��������� �� ��� �� �������� ����������� � ��������� �� �� ���� �!�� ��� �!������ � � ���� � ������������� � ��� � ��!�� � ��� ���� ������� ����� ��� (����� �� ���� � ������������� ������� ���� � ������ � ���!�� � � ��� �� ����� � ���� ��� � ����!�� � � ����������� � ���� ��� �� ��� ������� ������ �� �� '��� 8�A� ��� �!����� � ���� � ���� ��� � ���� � ��� ��� ��� �%���� �� ��� �����%��� ��� �� K8EL� �� ������� �� ��� ���� � ���� ��� ����� ������ ����� � ��� ������� �� ���������� �� ����������� � ��� ���� � ������ ����� ��� (����� �� ���� � � %������������ ���������� �� �� ���������� � � ��� ������� � ����� ���

�K������L� ���K�+�+��L !�� � B&�&7D

�� ���� � ������ �� ��� �� ������ ������� � � ��� ����!�� � ��������� � ������� ���� ������� ���� ����� ��� (����� �� ���� �� �� '��� 8�A K&EL�

��� �����$ # � '�� � ���� �$���

I�� �� ������ ��� ������ � � ��� ������� � ��� ������ � ����� � � � ������� ��� �� ����� � ���� �� ���� ��� �� ����� � ��� ��� ������� ���� � ������� �� ��������� ��� �������� ������� �������� � ��� �� ��� N �� �������� ��� ������� �� � ��������� � ������ ���� ������� ��� ������� ������ ����� ���� ������� �� �� ������ ��� ������� ��������� � ��� � ������ � ����� � ������� ������� ������ � � � ��� �������� ������� �������� � � ���� �� ����������������� �� �� �!������ ����� ���� ������� � ��

��� �

N � ������ B&�&&D

Page 60: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

����� � � �� ��� ���� ����� � � ��� �������� ������� �������� �� ��� ��� � ����! ������ ����� �� �� ��� � ��� ����� ���� � � �� ��� ���� ��� �� ������ ��� ��� �� ������� � ������ � ����� � ��� ���� ��������� �������� ��� �� �%������ ������������ ���� * ��$���� ��� � � ��� �������� ���� ��� �� ������ ��� �� 4�� B&�88D �� � � ��������� ���

��B�����D N�

����� B���D �!

�����

���

�����

��� B&�&ED

����� ��� N �� � �� ��� ��� �!������ ��� ����� � ��� ��� � ��� ���� ���� �������� ����! �� �� ����� ���� � ����� � ��� ��� � ���� � ������ ���� ���� ������� �� �� ���� � ��� ���� $� ��� ������� ������� �� � �������� ���� �� '��� &�8� �� ������ �!����� � �� �� 4�� B&�&ED ������ �� � ������ ��� ����* ��$���� ��� � �� � ����� � � ��� ��������� ���� ����� �� ��� ���� * ��$������� � � ��� �������� ���� ��� �� ����� � ��� �� ����� ��� ��������� � ��� � ������ � ��� �� �� 4�� B7�7&D�

���B�����D N 8�7

�� �������

��B�����D �!���

���

������

�� B&�&?D

�� �� ��������� ����� � �!���� ���� ������ � � � ��� ������ � � � � ���� ���� ���� ���� ���� ����� ��)� ��� � ��� � ����

���B�����D N 8�

���������

��B�����D �!��7�

���

������

�� B&�&AD

�� ���� ��� �� ����� � ��� �� ��� ����� ��� � N 7� �� �� ��������� ��� �������� ������ � � � ��� ������ � ����� � � ��� ���� � ��� ������ ���� � �������� �� �������� � �� ������� � ��� � ������ � ��� B7�&ED� ��

��K��L N ��������

����K���L� B&�&FD

' � ��� ������ ������� ���� ������� ������ � �� ������ � � �� �� N 7�� ��� �������� ������ ������

��K��L N ��K���L� B&�&CD

�� �� ������ ��� ������� ������ � � � ��� �������� ��� ������� ��%��� ���� ���������� ������� ��� �� ��� ��� ��� * ��$���� ��� � � � ��������� ' ���� ��� � ��� ���� ��� �� ����� � ���� ��� ��� * ��$���� ��� � �� ����� ���

Page 61: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% $� *����� ���� �%���� ��

����� ��� �%������ ��� ������� � � ��� �������� ���� * ��$���� ��� �� �� �� 4��B&�&ED�

#�B����� ���� ����D N ��B�����D��B�����D��B�����D� B&�&GD

5�������� � ��� ��� ���� �� ���� ������ �� ���� ��� ������������� ������ ����� �� ��������� � ����� ������ ���� ������� �� � ���� ���� ���� ����� ��%��� ���� ���������� ������ �� ���� �� ��� �������� �� ����� � ������ ���� ������� ����������� ��� * ��$���� ��� �� ��� ��������� � 4�� B7�A&D�

#��B����� ���� ����D N

8

��

�������

#�B����� ���� ����D�����

�����B����������������������D� B&�E@D

' � ��� ���� ��� �� ����� � ���� ���� ���� ��� * ��$���� ��� � �� ������ � �

#��B����� ���� ����D N 7�

�������� �

���B��� � $� �D���B��� � $� �D���B��� � $� �D� B&�E8D

5�������� � ��� ������ ������� �� �� ����� ��� ������� ������ � � � ��� ������ ������ � ���

����K#�L N ����K#��L� B&�E7D

����� *���� �%�� 0��$�� *������! �!��

�� ������ ��� ������ ���� ������� �� ������ � ����� �� ������� ���� ��� ��������� ���� � ��� �������� �� ������ ��� ��� � ��� ������ ������� �� ������������� � �� ����� �� �� 4�� B&�&CD �� �� ��� ��� � ��� � ������ � ����� � ���� �� ������ ��� � �����$��� � �� ��� ������ * ��$���� ��� �� ���

���

� !�

�����

�N ����

� !�

�������

�� B&�E&D

����� �� ��� ��� ��� ��� ������ * ��$���� ��� �� � ��� ������� ��� ��� ������ ����� � ����� ����������� #��� �� ��� ����� ��� � �����$�� ������ � ����� �!�� �� ������ * ��$���� ��� �� ��� ����� ��

�� N�������

���

B&�EED

��� N

� ����� P �������

7

�����

� B&�E?D

�� ������� �������� � ��� ��� � ��� �� ����� � ��� � ��� ������ ������ ����� � ��������� �� ���� �!������ ��� ���� * ��$���� ��� �� � � ��� �� ����� � ���

Page 62: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

�� � 4��� B&�&ED ��� B&�&?D ���

��B�����D N ��

��� P�

�� � ��

��

� ����

B&�EAD

���B�����D N�� �

� �

7 ����

���

�� � P �� � � ����

�� B&�EFD

#��� �� ��� �!����� �� �� ����� � ��� ����� ������� �� �� N ��� � ���� N �� � ����� ��� N B8 � �D �� �� �������� ( �!������ ��� ���� � ��� ������ � � ��� �� ����� � ���� �� ��%�� ��� �������� * ��$���� ��� � ��� ���B�D ��B��� �D � � �������� � � ��� � �� ���� ������� �� ����� ��B�D ��� ������ * ��$���� ��� � ���� � ����������� ���� � ��� $������ ������ * �� � ��� ������� ��� ��� ���� �������� * ��$���� ��� �� ��� �!������ ������� ��

���B��� �D N �� ��� P B$� 7�D��

��B�� P $�DB&�ECD

����B��� �D N

������� ����

� � � � ������� � � � ���� � B&�EGD

�� ������ � ������ ���� ������� �� � �����$�� ������ � ����� ��� ��� ���������� ���� ���� ��� ����� ������ � � ��� $�������� ��� ���� ���� �� ��������� � � ����� � ����� ��������� ������ ' �� ���� ��� ����� ���� �� �� ���� � ������� ��� ������� � � ��� ������ � ����� � � ��� $��������� ������ ���� ��������������� � $� ����� ����� �� ������ �� �!��� ���� � � ��� ������� ����� $ @�I�� �� ������ ������� ���� ���� ���� �� ����� ������� ��� � ��� �� ��)��� ���$ @ ������

����� ����� ����

�� ������ ���� ��� ����� ������ �� ���� ���� ������ ' � $ N 8� ��� � �����$�������� � ����� � ��� � ������ �������� ��������� � ��� ��� � ��� � ������ ������ � ���� �� �������� * ��$���� ��� �� � � ��� 8��������� �� ����� � ��� ������� ���

���B��� �D N �� B�� ��D

��B�� P�DB&�?@D

����B��� �D N ������ ������ B&�?8D

����� �� �� �� ��������� ��� ������� ������ � � � �� ��� � �� � � ��� � ������ ������ � ����

����

� ����

��B��� P��D

N ������ ������ B&�?7D

Page 63: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% $� *����� ���� �%���� ��

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0p

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0p

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T

'����� &�7M ��� ��� ���� ������ ��� ��� ������ �� ��� � ��� ����� 5 ��

.� ��� ����� ���� �� ��� )������� ����� ��� ����� �� ��� )������� ���� �� ��� ���

����������� ����� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� �� ��� ���� ��� �� ����� ���

��� ������ �� ��� � ������ �� &���� ����� ���� � 5� ��� ���� ���� �� ��� ����

��� �� ����� ��� ��� ������ �� ��� � ������ �� &���� ����� ���� � . �����

��� ���� ����� ��� )������� ����� ��� ������ ����� �� ��� ���� ��� �� ��� ���� ���

�������� �� ��� ����� ���� ��� )������� �����

�� ������ � ���� �� � ��� %!�� ���� ����� �� ������� � N �� ��� �� N ��� � ���

���� �!������ ��� ���� � ������ � � ��� 8��������� �� ����� � ��� �� �� '���&�7�

I�� �� ��!� ������ ��� ��� ���� $ N 7� �� �������� * ��$���� ��� �� � ���7��������� �� ����� � ��� ���

���B��� �D N ����

�� B�� P 7�DB&�?&D

���B��� �D N �� B�� � 7�D �� B�� P 7�D

� B&�?ED

�� ����� ��� ��� ���� ����

����B��� �D N ������ ����� B&�??D

����B��� �D N ������� B&�?AD

�� ���� �� � ��� ������ ���� ������� ����� �������� * ��$���� ��� �� ���������� �� ����� �� ��� �� �������� ��� ���� B���� ���D �� '��� &�&� �� ��� ����������� ������ �� � @ � �� ��� ��� ����������� B���� ���D � ��� � ���� B8� 8D�

Page 64: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u2,1

u 2,2

p � 0.90.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u2,1

u 2,2

p � 0.8

'����� &�&M 8������ �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� .�� ������ �� &����

����� ���� ����������� � � 1�9 �� � � 1�3� ��� ������ ���� � �� ����� �� ���

����� ����� �� ��� ��� ���� � �� ����� �� ��� ����� ������ ��� ���� ����� � ���

������������ ����� � ��� ���� ����� �� ��� ������� ��� ���� ����� ������ ��� ����

����� �� ��� ������ �� �� ��

���� ���� ��� ��� ��������������� ������ �� �� ��� � ��� ������ ��� ��� ����� ����� ���� ��� B����� �

���D � ��� �� �� ��� ������ ����� �� ��� ���� ������ �

� ���� B@� @D �� �� '��� &�&� ���� ������ �� ��� ���� � � ��� ����� � �� �� ������ � � N 8� ���� �� ��� � ������ � ����� � ���� ��� � ��� ���� ������� ������� ���� ��� ������ ���� �� �� '��� &�E� ����� �� �� �� %�� � ������ ����� �����B�D ���B�

�D� '� � ���� ������ ����� �� ����� ����� ��� ������� ������ ���� N ����� � � ��� � ������ � ����� � ���� 2� ��� ���� ����� ����� ��� ������������ �� � �� ����� �� �� '��� &�&� �� ��� �� %�� ���� ��� � ��� ���� � ��� � ����� ��� ������ ���� � � � � 8� ���� ���� �� � ��� %!�� ���� � ����������� ���� ��� ����� �� ���B��D N ����B��D� �� � � ����� %!�� ���� � ����� �� ������ � � � � ��� 7��������� �� ����� � ��� �� �� '��� &�7� ������� ���%!�� ���� �!���� ��� ������ ���� �� �� ��� (����� �� ����� # ������ ����� ���(����� �� ����� ��� %!�� ���� � ��� ������� ���� � ���� ��� ������ ����� � ���� � �������� ����� ��� (����� �� ���� �!���� ���� �� )� �� �� ��� ���� ������������ ������ KGCL� ����� �� ��� %!�� ���� � ��� ������� ��� � � ���� ����!�� � ��� � � ��� ������ ���� �� ��� ���� � ����� ��� (����� �� �����

�� ��� �� ���� ���� ��� ����� ������ 8 ��� 7� �� ����� ���� ��� ��������� ���� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ���� � � ��� �������� �� ����� � ����� ��� ��������� ���� �� �� ������ �� �� ���� � �����) ���� �� �� ������ ����� %!�� ���� �� � ������ ������ � ��B��� �D N ���B��� �D ��������� � ��� � ������ � ���� ���� �� ���� ���� �����

Page 65: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% $� *����� ���� �%���� ��

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u2,1

u 2,2

p � 1.0

'����� &�EM 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� .�� ������ ��������

&���� ������ ��� ����� ���� � �� ����� �� ��� ����� ����� ��� ���� ���� ������� ���

���� ���� �� ��� �������

����� +� �� ����

�� ������ ��� ��� � ��� &��������� �� ����� � ���� �� ��� � %�� ���������� ��� ���� ��� ��� %!�� ���� � ��� �������� �� � ��� �� ��� �� �� ���� �!��� � � N 8� �� ��� ����� ������ �� ��� ����� ��� ��� ��� �� �������� * ��$������� �� ��� ����� ��

���B��� �D N �� B� P��D

�� B&� P��DB&�?FD

���B��� �D N �� B�� P��D

�� B&� P��DB&�?CD

���B��� �D N �� B�&� P��D

�� B&� P��D� B&�?GD

�� ����� ��� ��� ���� ����

����B��� �D N ������ ����� B&�A@D

����B��� �D N ������ B&�A8D

����B��� �D N ������ ������� B&�A7D

�� ������� ���� ���� ����� � ����� �������� * ��$���� ��� �� � �� �������� �������� B���� ���D ��� B���� ���D �� �� '��� &�?� �� ���� �� '��� &�?� �� ��� � ������ ��� %!�� ���� � ��� ������� � � ��� &��������� �� ����� � ��� ���� � �N 8� ����� �� �� %�� ���� ��� ������� ��� � ����� ��� ������ ���� �� ��� %!�� ����� 2��� � � ��� ��� � ��� � ������ � ����� � ��� B� N 8D �� �� '��� &�A�

Page 66: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� )���%�� ������� �$ *����� ���� �%����

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,2

p � 0.80.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,3

p � 0.8

'����� &�?M 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� :�� ������ �� &����

������ ��� ������ ���� � �� ����� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� � �� ����� �� ���

����� ����� �����

��� � ��� ���� �!������� B���� ���� ���D ������ ���� ��� ������ ���� �����������B����� �

���� �

���D ��������� � ��� ���� �� ����� �� � ���� � ��� ������ � ���

%!�� ��� ������� � � ��� $��������� �� ����� � ��� ���� ��� ����� ������ $��� �� ����� ��� � � ��� �������� ����� � ����

�� ������� �� � ���� ������ � � � ������ ��� �!�� � ��� �� � ��� ������ ����� � � ������ � ��� �������� ��� ��� � � �� ������� � ���� � ��� �������� ��� �� ���� ���� �� �� ��������� ��� �� ��������� �!��� ���� � � ��� �����$ @� �� %�� ���� ��� ������� ���� ��� ����� ���� � � �� � � ������ ���� ���%!�� ����

�� ��� ��!� ������ ��� �>����� � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ������ ����� ' � � ������ � � ��� ����� � ��� � � ��� ����������� ���� �� ������ ��� ������� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� (����� �� ���� �� �����!� ������ 2� ���� ����� � �� ���������� � � ��� ������ � � ��� ������� ���� ����

Page 67: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� � ���% $� *����� ���� �%���� ��

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,2

p � 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,3

p � 1.0

'����� &�AM 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� :�� ������ ��������

&���� ������ ��� ����� � ���� � �� ����� �� ��� ����� �����

Page 68: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 69: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ "

��#� ��� � ��� � ���� � ���

$���� ��� �� ����

�� ��� ���� �� ������ �� �������� ��� ��������� � ��������� ��� � ��� � ���� ������ ���� � � ��� �� ����� � ��� �� ��� �������� -�� ��������� �� ����� �� ������ � ������ � ���� � ������ � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� �� ���������� ���� ��� ����� ���� �� �� ����� ������ � ��� ��� ������� � ������� ��� �� ����� � ��� �� ��� ��� � ��� ����� �������� �� ���� ������ �� ������ ��� ������� � ������ ��� � ��� � � ��� ������ ��� � ��� (����� ������� ��� ����������� ���� � � ��� ���� ��� �� ����� � ���� ���� � ������ ���� ������ � �� �� ������� �� ���� ��� �� �� ����� ���� ��� �>������ � � ��������� ��� ���������� ������� ��� �� � � ��������� ���� ��� �!������ ������� ������� ����� � � ��� ����� ������ ���� (����������� ��� �>������ � � ��� ���� � ��� ���������� ������� ������ ������� �� ���������� ���� �������� �������� ������� ��� �� ��� �!�� ��� �����$��� � �� � �������� � ��� ���������� ��������� ������ ��� ���� �� ��� ��� ������� �� ������� ��� �>������ ��� ��� �!��������� �!��� �� ���� ������

��� �����$ � ��� *���� �� &���

�� ����� �� � ��� �!�� ������� ������ � � � ��� �������� ������ � ����� �� ���� ���� ��� �� ����� � ��� �� 4�� B&�E&D� �� �� �� �� ��� ���� �� ������ ���������� � �� �������� �� � ��� ������� ������ � � � ��� � ������ � ����� � ��� ��������� �������� ������ � ����� � �� � �������������� ����� � � ����� � ������������ * ��$���� ��� ��� #��� �� ������ ��� ������� ������ � � � ��� ���������� ����� � ��� � ��� (����� �� ���� �� ������� �� N ��

�� ����� ��� ��� �������� * ��$���� ��� �� � �������� ��� ������ ���� ��������� � �����$�� ������ � ����� ��� ���� ��� N ��� N � � � N ��� N 8� ����

AG

Page 70: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u2,1

u 2,2

'����� E�8M 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� .�� ������ �� &���� �����

�� ��� )������� ����� ��� ����� ��������� ��� ������ �� ��� ������ 8���,��� �����

��� ������ �������� � �� ����� �� ��� ���� �����

���� ��� � ��� ��������������� ����� � � B� @D� ��� ��� �%������ ���� � � ���� ����� � ��������� ����� �� ��� � �����$�� ������ � ����� � >��� ���� ��� ������ � ��� ��� ������ ��� �%������ ��� 7���� 2� ��� ���� ������� ��� � ������������ ������ ���� �� �!������ �� ��� N ��� N � � � N ��� N @���� ��� ��� ��� �%������ � �� ��� ����������� ������ � � ���� �� ���� ��� ��������� @� ���� ��� ������ �� �������� �� � ��� ����������� ����� �� �������� ������� * ��$���� ��� � �� ��� ������ * ��$���� ��� � ��� 3 ��������� ��� �� ���������� � ���������� �� ����� ���� ��� ������ � ����� � �� ��� 7� �� ������ ����� � �����$�� ������ � ����� � �� � � � � ������ ��������� ����� � � � ���� �� �� "��� KGGL�

' � ��� ��� ���� $ N 8� �� �� %�� ��� ������� ������ � � � ��� ����� �������� �� 4�� B&�?7D� 2� ��� ���� ����� �� ��� � ����� ��� � ������� ������ � � �$ N 7 ������ �� ����� ���� ������� ������ � �������� * ��$���� ��� �� �� ��������� ������ ��� # ������ � ��� (����� �� ����� �� ����� ����� ��������� �� '��� E�8� ����� �� �� �� ��������� ��� ������� ������ � � � ��� ����� �������� �� �� ����� ��� �� � ���� ����� ������� 4��� B&�?&D ��� B&�??D �� �������� N ���

����

�� &��N ������� BE�8D

��� ������ � �� ��� ������� �� � 4��� B&�?ED ��� B&�?AD� �� �� ���� ����� �������������� ��� �� ��� %!�� ��� � ��� �������� �� %!�� ��� �� ��� ����������� �� � � ������ ������ � �� ��� ������ * ��$���� ��� ��� ��������� � ���

Page 71: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� � ���% �� �� �������� '��� ��

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,3

'����� E�7M 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� :�� ������ �� &����

����� �� ��� )������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ��� �;����� �� ��� ������ ������

8���,��� ���� �� ��� ����� ���� ������� ��� �� ��� ��� ���� -�� ��� �� �����

��� �������� �� -�� '/�.(�

� ������ � ��� ��������

��B���D N ���B���D� BE�7D

������ �� � 4��� B&�EED ��� B&�E?D

��B��� �D N �� B�� P 7�D

����BE�&D

���B��� �D N 7 ����� BE�ED

���� ��� �!���� �!����� �� � � ��� �� ����� � ��� � 4��� B&�EED ��� B&�E?D� ������ �!�� ���� ��� ������� ���� ��� ����� ���� � �� ����� � ������ ��� ����!�� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� ������ � $ �� ��� ��� � ��� ������������� �� � ����� ������� � ��� (����� �� ����� 4����� � BE�7D ���� ����� ���� ��� � � ��� ����������� ����

(�������� �� ������� � ������ ��� ��� � � ��� �������� �� ����� � ������� $ N &� �� �� � ��� ������ � � ��� �������� * ��$���� ��� �� �� �� ���(����� �� ���� �� '��� E�7� -�� ��������� �� %�� ���� �� ����� � � � ����� ������ ����

������� �� ��� � %�� ��� ������� ������ � � � ��� ����� ���� � ��� (������ �� ���� ������ � ��� ������ � ������� � �� ������ ��� �������� �������� ��� ��� ��� ����������� ��� ��� �� ��� ����� ��� �� 4�� BE�7D ������ ��� � ����KCCL� 0�������� (�� � � ��� (����� �� ���� ���� ������� ���� 4�� BE�7D ����� ���� ��� � � ��� ����������� ��� � ��� �� ����� � ���� ��� �� ��� �>����� �

Page 72: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,3

'����� E�&M 8����� �� ��� ������ 8���,��� ����� �� ��� :�� ������ $�����

&���� ����� �� ��� )������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ����� �� ��� ������ ������

8���,��� ���� �� ��� ����� ���� ������� ��� �� ��� ��� ���� -�� ��� �� �����

��� �������� �� -�� '/�.(�

������ ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� �� ����� � ���� �� �� �� ��'��� E�7� �� �����) ���� ��� � ���� � � 4�� BE�7D �� � � ���� ��� %!�� ��� � ����������� �� �� ������ ��� ������ * ��$���� ��� �� ���������� �� �� ��������� �>����� � � ���� ���� ��� �� ����� � ����� 2�� %��� ����� ���� �� ����� ���� ������� ��� ���� �������� * ��$���� ��� �� � � � ������ �� �� ������� ����������� ������ � � ��� �������� ����� � ��� ���� $ N &� ����� �� ��� � ���� � � 4�� BE�7D � � ��� �������� ����� � ��� �� ��� � � ��� %!�� ��� � ��� ��������# ����� �� ���� ���� � ��� �� � �����%��� ��� ���� ��� ������� ������� ����� ���� ����������� ��� � ���� � � 4�� BE�7D �� ������� ���� ���� � � ��� ������� � ��� �� �� �� �� '��� E�&�

�� ���� �� � ��� �������� � � ��� �>����� � ��� ������� ����� B$ @D � ���� ��� � ��� ���� � � �� ����� � ��� ���� ��� ������� ���������� � ����� � ����� �� ������ ���� ��� �>����� � ��� ����� �� ��� ������� ����� � $ @ �� ������ ������ � �� N ��� ��������� � 4�� BE�7D� ����� ��%���� �� � ��� ������* ��$���� ��� �� B&�EED ��� B&�E?D�

�������

���N

� ����� P �������

7

�����

� BE�?D

�� �������� ��� ������� ���� � ��� ����� ������ $ �� ���� ������ � ���

8 P $ K����L�� N 8�$

7� � 7 P $

�� ������ P ������

����� BE�AD

Page 73: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ! �������� ���� ��

'� � ���� ������ �� �� ����� �� ������ � � � ��� ����������� ��� � ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��������� ������� ���

�� �8 P �������

����N8

7� � 7� BE�FD

�� ���� �������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ������� ���� ��� ������� � ���� �� ��� ��!� ���� ��

' � ��� �������� �������� ������� �� ��� ���������� ��� ��� ��!�� ��� ���������� �� ��������� ��� ������ � ������� � ��� �� � ��� ����������� ���� � � ��������� ���� �� ������ ��� � ��� � �� ������ � ����� �� ���� �������� ������ �� ��K�B��DL���K�B��DL� #��� �� ��� �� � � ��� ������ � ����� � ��%��� � ��� ������� ������ ��� ��� �� ��� �� � ��� ���� ������� �� ��� ��� �������� ���� � ��� � ��� ������ � ����� �� ��� ����� ��� ������ � K8@@L�

��K�B��DL���K�B��DL N ���K��B��DL��K�

�B��DL� BE�CD

�� ����� � ������ � ������� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � ��� ������������ ��� � ��������

��B��D��B��D N ���B��D���B��D� BE�GD

����� �� �!������ ��� ������� ���������� ���� ����� � ��� � ��� � � �������������� ��� � � ��� ������� ��� ������ � ������� �� ��)��� ��� ������� ���� � $� ��������� � ��� ��� � ��� ��������� �������

����

�� �8 P ���� ���

����N � � 7� BE�8@D

��� ������������ � ���

�� ���� ���� �� �� �� � ��� ��� ������� ������� �� ��� �>����� BE�FD ��� BE�8@D�

"���� * !��&'� ! ��� � �!� � �%� ����� ������

�� �� ������� 4�� BE�FD � � ��� �� ����� � ��� �� ����� � ��� � �������� � � ���� N � ���

�� � �� �� B8� �D � ��B8� �D N8

7� BE�88D

�� ��������� ���� � ���� ������ � �� ��� ������ ���� � ��%��� �� �B�D� 4����� �BE�88D ����� �� N @�CCGGF7 �� ��� ������ � � � ��� � ��� � � ��� ����������� ���KCF� CCL�

Page 74: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

�� 3 �>����� (������� ������5: �� �� N @�CCGGF7 KCF� CCL @�CG@?B?D K?AL

@�CG@AB7D K?FL@�CG@FB7D K?CL@�CG@@B?D K?GL@�CCGEBGD KA@L@�CG@FBED KA8L@�CG@C8BFD KA7L

5: �������� �� N 8�@78FF@ KCF� CCL 8�@7@GCBED KA8L " �� �� N @�C&?C@A K8@8L @�C&??B?D K?GL " �������� �� N @�FGC8FE S#4T �� �� N @�G&7F@E K8@8L @�G&7?B?D K?GL#4T �������� �� N 8�7F@A8? S5: � ���B N &D �� N @�@FGF&8 KCF� CCL @�@FG�@�@C@ K8@7L

���� E�8M *�� ����� ������� ��� ���;����� �� ��� �������� ������� ������� �<

������� ��� ���� ������� �+ �� ����� ��� ������ ������ �� 4-� �� ��� �������

�������

' � ��� �������� ����� � ���� �� ��� � ����� �� ������� �!����� � ����� ��� � � ��� �� ����� � ���� # ����� �� �� �������� ��� � ��� � � �������������� ��� �� ��� �������� �������� � � ��� � �� ���� ������ ��� �

��

� B���D � ��8 P ��������

�N8

7� BE�87D

����� � B���D �� ��� ���������� � ����� � � ��� �������� ����� � ��� ��%��� �� 4��B&�?D� �� ��������� ���� � ���� ������ � �� �!������ ��� � �� ,B��D� �� � ���� � � ,B��D N 8 7 ����� �� N 8�@78FF@ KCF� CCL� �� �� �� �>������ � � ��� �� ������ ��� ��� ��� �������� � ��� ��� ����� ���� ���� ������� �� ���� �� ���������� ���� �� ���� E�8� ��� ��� �� � � ��������� � ��� ����� ����� � � ��� ������� � ��� ��� � ��� �� �� ����� � � ��� �������� � ��� ���� ��� �!������ ��������� �� ���� E�8�

"���� ����� ��� +�� � �%� ����� ������

�� �>����� �� ������� � ��� � ��� ��� ����� ��%��� �� ��� #����� �����

� N �������

Æ B��� P "��D � BE�8&D

Page 75: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ! �������� ���� ��

����� ��� � ��� �� �!������ ��� �������� ������� ��>���� � ��� ���� ��)��� ��������� ����� ������� @ ��� � 8� �� �������� "�� �� ��� ���� � �������� � �� ������� ���������� � ����� � ����� ��

� B"��D N

�8� B � 8D� B"�� N @D� B"�� �N @D

�N

� ���� �

� P � 8 � BE�8ED

����� � � �8�B�8D�� �� �� � ��� ��� ����� ��� ��� ����� �������� ���������� ��� ���� ��� �� ����� � ���� ' � ��� � ��� ��� ��������� ��� ���� � ������������ ��%�� ��� ����� ������ ����� � ���

�� �� P /� BE�8?D

"�� "�� � B/� � /�D� BE�8AD

#��� /� �� �� ������� ������� @ ��� � 8� ����� �� �� �� ��������� ��� (����� ������ �� ������� �� N ��� ����� ��� �������� ������ �� �� �������� �!���� ������ ���% ���� �� �� � ����� �� �� ��� ��� � ��� ���� ��� �� ����� � ���K8@&L�

�� ���� ��� �>����� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� � 4�� BE�7D���������� � ��� ��� BE�88D � ��� ���� ��� �� ����� � ��� KCF� CCL�

��8� B � 8D�� � � �8� B � 8D�� � B � 8D� � � � N 8

7� � � BE�8FD

�� � ���� �� ��� ������� �� �� N @�@FGF&8 � � N &� �� N @�@A&@GF � � N E� ����� N @�@?7EAF � � N ?� �� ���� ��� �>����� � � N & �� ����� � ���� ����!������ ������ � � N & �� ���� E�8� � ��� �� �� � � ����� � � � �� �!������ ��� � ��� ��� ����� ������ � ������ � ���� �������� �� %�� ��� �>������ �)� ���� � ��� ����� ����� ��� � � ���� � ����

"���� * !��&'� ! ��� � �!� � �%� #�� ��� ������

�� ���������� ������ �� � � � ��������� ������� ����� �� �� ���� � ��� ��� ��������������� ������ ����� � � ������ ��� ����� ������ ���� ������� ��� ����������������� ������ ��� �� ���� ���������� ������� ��� �� ������ ���� � ������������ � ������� �� ��� � ������ � ����� � ��� � ��� ���������� ������ �� �� 4��B7�F&D� ��������� � ��� ��� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� ������ ���������

#� N #��� BE�8CD

���� ������ * ��$���� ��� �� ��� � � ��� �������� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ������� ��� ��� ����� �� ������ �� � ��� ����� ���� � ���

Page 76: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

�%������ ��� ������� � ��� ��%���� � � ��� ��� * ��$���� ��� � ��� ��� ���� �� �� �� 4��� B&�&GD ��� B&�E8D ���� ��� ���� � �������� �� ���

#� N�����������������

���

BE�8GD

#�� N

#$7��

����

����

����� P ���������

7

��%&��

N 7�

������

�� ���� P����

��������

�����

� BE�7@D

�� ������� � ��� �� ���� ��� � ��� ������������� ������ ����� �� �� ������� ��� ��� � ����� � ��� �>����� � ��� ��� ������ * ��$���� ��� �� ��4��� BE�8GD ��� BE�7@D� ' �� ���� ��� ����� ���� �� �� ��)� ��� ������� ����� ���� ����� ������ $ ��� ����� ��� ������ ��

� �

�����

�� ���� P����

��������

����

� � KB��� P ��� P ���DL�� N � � � 7� BE�78D

��� ������ � ����� �� ������ � � ����� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ���� �� ����� � ��� � ��� ���������� ������ ���

7��B&� 7�D � � �P 7B8� �D�B8 P 7�D � �B8� �D P � � 7

N �BE�� A�P &D � �BE�� A�P &DPB8� �DBE�� � 7�P 8D � �BE�� � 7�P 8D� BE�77D

�� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��������� �� �� N @�C&?C@A K8@8L� ����� �� ������� ���� ��� �� � ��� ��!�� ��� ������ �� ��� ������ � BE�8@D� ���� �������� � � � � ��� ��� � ��� �� ����� � ����

�B���D P�B�"#$D N 8� BE�7&D

����� ��� ��� �"#$ ��� �� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � ��� ������������� ��!�� ��� �������� ����������� �� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ����� ����� � ��� � ��� ��!�� ��� ������ �� ������� �� �� N @�G&7F@E K8@8L� * �� ���� ������� � � ��� ���������� ��� ��!�� ��� ������� ��� ����� ���� ��� ���������� N @�C&??B?D ��� �"#$ N @�G&7?B?D ������������ ���� ��� ��� � %�������$������� ��� �� �������������� ���� K?GL� �� ��� ��� � ��� �� ����� � ��� ���� ���������� ��� ��!�� ��� �������� ��� �>����� �� ��������� ���� ��� ����� �� ��� ����� ������ ���� �� �������� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� �� �� ���� E�8�

Page 77: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ! �������� ���� ��

�� ���� ��� �� ������ �� � � ��� �������� ����� � ��� � ���������� �������� �������� �������� �� � ��� ������ � BE�78D� �� ��� ����� ��������� � ��� �������� � �

��

����

� B���D���� � �

�����

�� ���� P����

���� ����

�� &��� N � � � 7� BE�7ED

����� �� ��� ��� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ��� � B���D �� ��� ���������� ������ � ��%��� �� 4�� B&�?D� �� ������ �� ���� N @�FGC8F ��� ���� �� ������� ������"#$ N 8�7F@A8 ��� � ��� � � ��� �������� ����� � ��� � ��� ��!�� ��� �������� ��� ������ � BE�GD� �� ���� � � � ��� �������� ������� �� ���� �� ���� � ���� �������� ����� � ��� � ��� ���������� ��� ��!�� ��� �������� ����� �� ����� � ����� ������� ��� �>����� �� ����� � � ��

3 ������ ��� �>����� ��� ���� ������� �� �� ���� E�8� �� ��� ������� �>����� �� ������ ������ ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� ���� �������� � � ��� ����� ����� �������� � � ��� �� ����� � ���� � �� ����� �� �� ������ � ��� �������� ����� � ���� ���� ��� �� ����� � ��� �������� ��� ������� � ���� ������� ��� ���� ���� � ��� ������� � � � ������ -�� ���������� �������� ��� ������� ���� ���� ��� �>����� � �� � � ������ � �) ���� � ��� ����������� ���������� �� � ��� �� �� ����� �� �� � ������� �� �������� ���� ��� ����� �>����� � � ��� ���������� ��������

"���" ������%�� �������

���� �� ��� ��� ��� �����$��� � �� � �������� � ��� ������� ������� �� ����� �� �� !����� �� � ������� ��� � ����� � ��� ��� �����$��� � �� ��������# ����� ��� ����� �������� � ���������� ������� ���� ��� ��� �����$��� � �� ��������� � ���� ��� �!�� ������� 3 ������� � � � ���������� ������ ������ �� �� ������ � ��� ��� �� ������� ��� � ��� � ���������� ��� ������ � �� ���� � ������� � � �� ���! �������� �� �� '��� E�E� *����� � ���������� ������ ������ �� ��������� �������� �������� � ���� ���� �� �� �� �� '���� E�E� �� ����� ����� ��� ���� �������� ����� �� ���� �� ��� ������� � ����� �� �� ��� ��� ������� ������ � ��� ���� ��� �� ��� �����$��� � �� � ������� ��� ���� ��� ���������� � ����� � ��� ������� �� ����� �� ��� ��� �����$��� � �� ������� � ��� ������ � ��� ����� �� ��� ���� ��� ����� �� ���� ������� ����� ������ ��� ������ ��

#� ������� N

��� �

� �������������������������������� BE�7?D

����� ��� �������� � ��� ����� ������ ��� ��� ��� ��� � ��� �����$��� ���� ��� ������ � ���� �!���� ����� �� ������� �� '��� E�E� ��� �� ������ � ���

Page 78: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

'����� E�EM 0 �������� �������� �������

� �� ���� ������ � ������ � � � ��� ����� ������ � ��� ����� � ��� ��%��� ���� ���������� ������ �� �� '��� E�E�

��� ���

NE ��������

�� ����� P 7�� ����� P ��� ������ BE�7AD

��� ������ � ������ � ������ ��� J � � ��� ��� �����$��� � �� �� '��� E�?� /�������� � ��� ������� ����������� ��� ����� ������ ������ ��� �� ��������%!�� ���� � N @ ��� � N � � ��� ��� �����$��� �� ���� %!�� ���� ����� �� � ���������� ��� ���� ������� ������ �� �������� %!�� ��� �� ������� �� N @�EE@ACF� � ������������ ��� � N

�7 � 8� �� ������ ��� � ��� �����

������ ������ �� �� '��� E�E �� ��� ���� �� ��� %!�� ��� � ��� �������� ���������� ���������� ������ �� � ��������� ������� �� �� �� �� ��� ��� �������� � ������������� ������ ������� �� � ����� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ��� �� ���� �������� � � ��� ����� ������ � ������ � �� �� 4�� BE�7AD�

4��� � � ��� ���� � ��� �������� ���� ��������� � ��� ��� �����$��� � � ��� � ���������� �������� 2�� ���) �� � �������� ������ � ������ �� � ����� �������� � �� ���� ��� ���������� � ����� � � � ���� ���� ������� ��� ���� � ��� ����� ������� �����

�� � ����� ��� �����$��� � ���� ��������� � ��� �� ��� �����$��

�� �� �� �!������� � � ��������� � ��������� ����� ������� ������� �� � ����� �� ���� ���������� � �������� � ��� ������� ���������� ��� ���� ������

Page 79: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ! �������� ���� �

'����� E�?M #��� �� ��� ������,���� �� ��� �������� &���� ����� �� ��� ����

����� ������ �� #��� /�/�

1-(b)1-(a) 2-(b)2-(a)

3-(b)3-(a)

'����� E�AM ���� ������� ��� �� �� �������� ��������

�� ��� �����$�� ����� ������� ��J�� ��� ���� � ��� ���� � ��� ����������� ��������� ��

#��$���)� ��� *��)�� ������������ ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� ������ �������� ���� ���� � ���������� ������� �� �� '��� E�A KG7L� ��� �!��������� �>������ ������ � � � ��� �������� ���� ����� ���� �� �!���� � �� �����%����������� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ���������� ��� ��!�� ��� ��������

�B��D P�B��D N 8� BE�7FD

����� �� ��� �� ��� �� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� ������������������ �� ������� ���� � � ������� �������� ���� ��� �� �� ������ � �� �B��DP�B��D N 8�@8F� @�GC& ��� @�GG8� 5�������� � ����� �%����� ��� ���� �� �� ������������ �� � ��� �������� � ��� ������ � BE�7FD � � ��� �� ����� � ��� ��� ���

Page 80: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

4-(b)4-(a) 5-(b)5-(a) 6-(b)6-(a)

7-(b)7-(a) 8-(b)8-(a)

'����� E�FM 0�������� ��� ������� ��� �� �� �������� �������� 8���� �������

�� ��� ����� ����� ��� ��������,�� ����� ����� �� ����� �� ��� ����� ����� �

� ���� �� ��� ������,�� ���������� � ��� ������,�����

�������� ����� � ��� � � ���� %�� �������� ���� ���� �� �� '��� E�F K8@EL� ��� ����� ������� � � ��� ��� �����$��� � �� � ��������� � ��� �� ( ���K8@?L �� ������ �� � � ��� �������� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ���� � ���� �������� ���� ����� �� �������� ����� � ��� �� �!���� � ������� ��� ������������� � � ��� ��� � � ��� �� ����� � ���

,B��D P,B��D N 8� BE�7CD

����� �� ��� �� �!���� ��� ������� � ��� �������� ���������� � ���� ����� � ��� � ��� �� � ��� ����������� ����� �� �%����� �� � ��� ������ � BE�7FD � ���� �� ����� � ��� ��� � ���� ������ � � � ��� �������� ����� � ��� ��� �� �� �� ���� E�7� �� %�� ����� ��� � ������������ ������� �� �� � �� ����� "����)����������� ��� � ��� �� ��� ���� � � ��� �������� ����� � ���� �� ���������� �� ���� �>������ ������ � ��� ��� ������� ���� �� �� � � ��� �� ����� � ����

H���%��� �� � ��� �>����� �� �� �� �� �� ��� ������ �� ��� � � ��� ��������� ���������� ������� ���� ���� �� ���� � ��� ���� ��� �� �� '��� E�C K8@EL� �� �>����� ����� ��� ���� � ��� �� �� ���� � ��� ������ ������� ������ ��� �>������ � �� � � ����� � �������� �������� � ��� ���������� �������� ��� � ������� �������� (����������� ��� � ��� �� � ��� ����������� ��� �� �� �� �� ����E�& ��� �������� �������� �� �� ��� ����� ���� ��J�� ��� ���������� ��������� � ��� ���� ���� � ��� ���������� �������� ����� �� �� ���� � �� ������ ����������� � ��� ���������� �� ������ � ��� �>������ ��� ��������� � ���� ������ ��� � ��� �� ��� �>����� � ������ � �� ����� � ��� �� � ��� ����������� ��� �� �� �� �� ��� � �� ���� �������

Page 81: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ! �������� ���� ��

I����� �� �� �B��D P�B��D �� �� ,B��D P,B��D8 @�G&&CBFD @�C7A?BAD 8�@8FBED @�FA@?B?D 8�&8FEBGD 8�@@@?BCD7 @�C8EGBAD @�GECFBFD @�GC&BED @�FA??B?D 8�&88CBGD 8�@@@@BCD& @�F?7AB?D @�GF7@BFD @�GG8B?D @�??AGBED 8�A8?8B88D @�GGGGBFDE @�CF87BAD @�G@FGBAD @�GGCBED @�GF@EBFD 8�@F&@BCD 8�@@@GB8@D? @�CF@@BAD @�G@C8BFD 8�@@@BED @�GF@8BFD 8�@F&&BCD 8�@@@GB8@DA @�G&&FBFD @�C7AABAD 8�@8FBED 8�&8F?BGD @�FA@AB?D 8�@@@&BCDF @�G@CEBAD @�CAFCBAD 8�@@?BED 8�8E?@BCD @�G@E@BAD 8�@@@8BGDC @�G@A?BAD @�CACABAD 8�@@GBED 8�8E&ABCD @�G@??BAD 8�@@@?BGD

���� E�7M ��� �������� �� ��� ����������� ����� �� ��� �� �� $����� &���� ������

�� ������� ��� �� �� �������� �������� ��� ������ �� ������� ����� 5 �� :

� ����� ��� ������ �� 4���,����� �� 8����

I����� �� 7�B��D N 7 5/B��D @�CG8?BAD @�GG8BED N & 5/B��D @�CG@&B7D @�GGCB8D N E 5/B��D @�CCG7BAD 8�@@?BED N ? 5/B��D @�CCG?BAD 8�@@&BED N A 5/B��D @�CCG@BAD 8�@@ABED N F 5/B��D @�CCG8BAD 8�@@?BED N C 5/B��D @�CCCGBAD 8�@@ABEDI����� �� 7,B��D N & 5/B��������D 8�@7@GB&D 8�@@88BED

���� E�&M ��� �������� �� ��� ����������� ����� �� ��� �� &���� �� $����� ������

�� ��� �������� �������� �������� 0��� ����� � ��� ����� .�'��( �� . '��( �����

������ �� ����� ������� �� ��� ���;������

Page 82: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

'����� E�CM ����� �������� �������� �������� ��� ����� �� ����� �� �� ����� ��

��� ���� ���� ��

��� ��� ( ����$ �� +�� ���� '���,

*�� �� � ���� ��� ������ ������ �� �!���� � �� ���� ���� �����)� ��� ����� � ��� ��������� � �������� � � ��� ������ ����� �!�� � � ��� ����������� ������ ���� � ��� ������� �� ��� ������� �� �>���� � ���� ��� ����� ���� �� �� �>����� ���� �� �������� � � ��� (����� ������� ����� � ����� ������ �� � ���� ������ ����� 0 �� �!������� ��� � �� ���� ������ � �� ��� �>����� � ������� � ������ � � ��� �� ����� � ����

��B��� �D N ���B��� �D� BE�7GD

3 ��������� ��� �!��� ���� � � ��� $ @ ������ �� ����� �� ������ � �� � ���������� ���� � ��� ����� ������ $�

� � �8 P �����

�P B8� �D � �

8 P ����

�N8

7� � 7� BE�&@D

# ����� ���� ������ � ����� ����� � �������� ���� � ������ �� � ��� �!���� ��� � ��� �� ����� � ��� �� �� '��� E�G� ������� ��� �>������ ����������� ����� � ���� �� ��� � ���� ����� � ��� �������� � � �� �� ��� � ���� �� ��� ������������� K&EL� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� ������ ��� ������� �� ���� ��� �!�������� ��� ���� �� ��� �������� � ��� � ��� � ������ � ����� � ���� ����� ���� ��������� �!�� ���� ��� ������� �� ��� ������ ��� ���� � ������ ���� ��������� ��� �� � ��� � ������ � ����� � ���� ������ ��� ���� �� ���� ����� �����) ���� ��� �� �� � � �� � � ��� �� ����� � ��� �� ��������� �� ��� �>������

Page 83: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

(�� ����� +� ���% ��� -������� *���.� ��

0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98p

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9p

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T

'����� E�GM *��;������ ��� ���� �� ��� �� &���� ����� �� ��� ������ &���� ������

��� ����� ����� ������� ��� ���;������ ��� �������� �� ��� ����� ����� �� ��� ���

��� � ��� ��� ������ ���� �� ��� �������� &���� ����� ������ �� ��� ��������

������ #� ��� �� &���� ����� ��� ������ ���� �� ����� ��� )������� ���� �� ���

������ ���� ���� �� �� ����� ��� ������ �� ��� ������� ���� ������

������ � BE�7GD ���� �� �������� � � N �� ���

8

��

��

��

���� �

N &�E8E78� BE�&8D

# ����� ��� ��������� � ��� �� �� �� ���� ���� ������ �� �������� K8@AL� ��������� �� � �� ��� �� ��

8

��

��

��

���� �

N &�7@G88� BE�&7D

�� %�� ���� ��� �>����� ����� � ������ ��� ����� ���� � ������ ���� ���� ��� �� �>����� ��� � ��� ��� �� ��� ��� ���� � ��� (����� �� ���� K8@F� 8@CL����� ��� �>����� ������� ��� �>����� ��� �������� � �� ����� � ������� ��� ���� � ������ � � ��� ���� ��� �� ����� � ���� �������� ��� ������������ � ��� ��%��� �� ��� ���������� � ����� ��

� B���D N �ÆB��� � �D P B8� �DÆB���D� BE�&&D

����� �� ��� �>����� BE�FD ������ ��� ������ � � � ��� ���� � ������ ��

� � �8 P �����

�P B8� �D � � 7 N

8

7� � 7� BE�&ED

Page 84: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ���,�� � �� �� '������ �$ �� ! �������� ����

��� ������ � �������� ��� ���� � ������ �� �� '��� E�G� # ����� ���� ������ ��� ��� �� �������� � ���� � ���� ��� ������� ��� �>����� ������� �� ����������� �!�� � ���� � � � ��� ������ ��� �� N @�? �� ��� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� ��� �� K8@F� 8@G� 88@L �� �� '��� E�G� �� �� � � �� � � ��� ������� ����� � ����� ��� �>����� �� ��������� ���

8

��

��

��

���� �

N 8�&E7?E� BE�&?D

2� ��� ���� ����� ��� ��������� � ��� �� ����� ����� ��� �� �������� ������ �������� ����� K88@L�

8

��

��

��

���� �

N 8�&7G7A� BE�&AD

�� ��� ��� � � ��� � ��� ������� � ���� �� ��� ��� �� ���� ���� ��� ������� �� � ���� �� � �� � ��� � ������ � ��� ������ ������� ��� ������ �� ��� �>�������� ��� �� �� ��� ��������� � ��� �� �� �� �� �� �� K888� 887L� ����� �� ��� �>������ �� ������ � � ��� ������� ���� ��� ����� ���� �� ��� ��������� � � �� � �������� �� �� � ������� �����$� ��� ���� �������� �� �� ���� ���� �������� �� ������� ���� ��� ����� ���� � ��� ������ �� ���� �� ���5����� K88&L� ��� ������ ���� ��� ������� �� �>���� � ���� ��� ��������� � � � ��� ���� � ��� ������� ����� � � �� ������� � ��� ���� � ����������� ������ ��� ������ �� � ��� ���� * ��$���� ��� �� � � ��� ������� ������� �������� ���� � ��� ������� ��� � � ����� �� ������� �� �� ������� � ����� ���� �� ������

# ������ � � ��� ���� ������ �� ���� � ��� ��� ��������� ���� ��� ����� ��������� � ��� (����� �� ���� ������� �� � ����� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� � � ��������� ���� ���� �������� ����%��� �� KCF� CC� GG� 8@@� 8@8L� �� �>����� �� ����� ������� �� � ��� �� � ������ ��� ������ ���� �� ���� ���� �������� 2� ��� ���� ���� ��� ���������� ���� ��� ���� � ��� �� ��� ���� � ��� ���������� ������� �� ���� �� ��� ���� �� ���� �� ���� ��� � ������������� ����� � ��� �>������ �� �� ���� �������� � �� ������ ��� �������� � ��� �>����� ��� � ����������� ���� �� ���������� ��� ������� �� ������� ��� ��>����� ��� �!�� � ���� �� � ��� ���������� �������� �� ����������� � � � ������� �������� �� �� ���� � ��� ������� � ���������� ������� ��� ����� ��� ���� ��� �� ��� �>����� � ������ � �� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� ����� � ��� �� � � �� �� ���� �� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� �� �� �� ��!�������

Page 85: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ %

���&�� ��#� ��� �

'��� �� �� ����� ��

�� � ��� ��� ������� �� ������� ��� ������� �� ��� �>����� ��� ��� ��� �����$��� ���� � �������� ���� ��� ��!���� �������� � 7U � � ��� ���� � ��� �� ������ ��� � ��� �������� ���� ���� � ��� ���������� ������� ������� �� 8 ��� A ��'���� E�A ��� E�F �� �� ���� E�7� �� �� �������� ���� ����� ����� ��������� �������� �� ��� ��� ���� �� ����� � ��� �������� * ��$���� ��� �� � � � ������ ��� �� 3����� &� �� �� ������ ��� ������� ���� ��� ����� ���� � � � ������� ��� �� ����� � ��� �������� �� 3����� & �� � � ��� � ���� � ��� ��� ������$��� � �� �� 2� ��� ���������� �������� �� �� ���� ���� ��� ��� �����$��� ��� � �������� �� ��� �������� � � ������ � ������ �� �� �� 4�� BE�7?D� �� ������ ���� ������ �� ����� �!������� ������ � ��� �������� * ��$���� ��� �� �� �������� � �� �� � �� � ��� �����$�� ������ ����� � ������ ������ ���� �����$��� � ����� ��� ��� ������� �� � �������� ��� ����������� ��� �� ���%!�� ��� � ��� ��������

�� �����$ �� '�� ����-�� �

�� ������� �������� � ��� $��������� �� ����� � ��� ��%��� � ���������� ��������� ����� ��� �%������ ��� �������� ��� �������� ���� � ��� ������� �� ��������� � ������ � ��� ������� ���� �� ��� ���� ������ ' � �!����� �� ������� ��� &��������� �� ����� � ��� ����� ��� (����� ������� ����� � �� N ����� ��� � �� ���� �������� * ��$���� ��� ��� �� � ��� �������� � � 4��� B&�&ED

C?

Page 86: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u3,1

u 3,3

0.0 0.5 1.0u3,1

0.0

0.51.0

u3,2

0.0

0.5

1.0

u3,3

'����� ?�8M ��� ������,���� 2�� �� ��� :�� ������ �� &���� ������ ��� ������

��� �� ��� ����� �� ������ ��� ������,�� ������ 8���,��� ����� �� ���� �� ���

������ �� ��� ������� � ��� ������,���� ��� � ��� ����� ����� � ����� ���

������,���� 2��� �� ��� ��� ���� �� ��� �� � ��� ����� ����� �� ��� ��� �����

�� ��� ������ 8���,��� ������ '��� ��� #��� /�.�(

��� B&�&?D�

��B�����D N ��

��B8 P

�� � ��

����

�� E�B?�8D

���B�����D N�� �

� �

7� ����

���

� � P �� � � ����

�� B?�7D

����� ��� N �� � �� � �� ����������� ��� � � ��� &��������� �� ����� � �����%��� � ��� ������ ������ �� �%���� � �� � ���� �� ��� ������� ��� �� ��� �>����� BE�7D ������ ��� ��� � ���� �� "��� KCCL� ��� � ���������� �������� ����������� �� ��� � �������� � �� ��������� �� ������� ���������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� �������� �� ����� � ��� � �� ���� ��� � ����� � ��� ��� �����$��� � �� � � ��� ���������� ������� �� ���� ���� �� ' � �!�����

Page 87: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

"�� � ���% ��� *�������/���� ��

�� ������ ��� � �� ���� ������ � ������ � � � ��� &��������� �� ����� � ��� � �� � ��� ��������� ���������� ������� ������ �� '��� E�E� ��������� � ��� ��� ���� � ������ � ����� � ��� �� �� 4�� BE�7?D�

#����� B�����D N

����

������� B���D�

������ B���D�

������ B���D�

������

�����������

�����

B?�&D

�� �������� �������� � � ���� ������ � ������ � � � � �� ��� ������� ��� ������������ * ��$���� ��� �� ����� �� ��� ��� �����$��� � J � �������� �� �� '��� ?�8�

�� ������� � ��� ���������� ������ � �� � � ����� ��� ����� ��� � �� � ��������� � ����� � �� ��� ��� �����$��� �� ��� ������ �� � ������� ��� ��� ������$��� � J � �� ��� ���� ��� B���� ���� ���D �!������� ��� ����� � ��� ��������* ��$���� ��� �� ��� �� ��� ��� �����$��� �� 2� ���� �� �������� ��� �������� ���� ���� � �������� �� ��� ��������� ����� ��� ��� �����$��� �� ����� �� ����� � ������� ��� ����� � ��� �������� * ��$���� ��� �� �� ��� ���� ���� �� J � �� � �� ����� � � ���� %!�� ���� � ���� ���� �� � ����� �������� � ��� ����� � ��� ����� ����� �� ���� �� ��� ������� ����� �� 2�� %!�� ����� B���� ���� ���D N B8� 8� 8D �!������ ��� ��� ���� ����� � ��� ��������������� ����� �� ��� ��� �����$��� � J � �� ��� ���� ��� ���� ���� ����� ������������������ ������� ����� � �� �� '��� ?�8� 2� ��� ���� ����� ��� ����� ����� ���� ��� � ��� � ���� �� ���� %!�� ��� �� B���� ���� ���D N B@� @� @D ���� ��� � ��� ���� ������� ���� �� �� '��� ?�8�

'� � ��� �������� � � ��� ������ �� � ��� ��� �����$��� � J �� ������� ����� �������� �� �� ���$� ��� �!������ � �� �������� %!�� ��� � � ��� ������� ������ ���� $��������� �� ����� � ��� �� �� '��� ?�7� �� ������ ��� ���>�� �� ���� �������� * ��$���� ��� �� ���� ��� ����� ������ $� ' � ��������� �� �������� ������������� ��� � ��� �������� * ��$���� ��� � �� B��� ��� � � � � ��D� �� �������� ����� ��� ��� ������� �������� * ��$���� ��� �� B��� ��� � � � � ��D� ��� ��� ����� ��� � ��� ���� �� '��� ?�7 ��� ��� ���� ����� ��� ���� ��� B���� �

��� � � � � ���D

��� �!������ �� ��� ������ ���� � ��� ���� ��� �� �� '��� ?�7� �� ������ ���� >��� �� � ��� �� �������� ��� ���� B��� ��D � � ��� �������� * ��$���� ��� ���� �� '��� ?�7� � � ��������� �� ��� �����$�� ������ ��� ��� � ������������� ��� �� ��� ���� ��� �� �� '��� ?�7� ������ � ��� ������� � ��� ����������������� �� �!���� ��� � ����� ���� � �������� * ��$���� ��� �� �� ��� ��� ������$��� � ��� � ��� $�������� ��� ������� �� B�

���� � �

���� � � � � � ����� D� ����� ���

�������� ����� ��� ������ � ��� �����$��� � ����� ����� �� �� �� ������� ��� �����$��� � J � � �� ���� ��� ��� �� ��������� �� � �� ��� �� � 3� �!��� �� � �� ��� �� ��� �! � '� #��� * �� ��� %!�� ��� ���� ����� � ��� � ������������ ������ ��� � �!������ ��� %!�� ��� � ��� ��������������� ������ �� ��� �����$��� � J � �� � ��� ����������� ��� �� ������ ��� �������� %!��

Page 88: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

'����� ?�7M 0 �������� ����� �� ������� ��� ������,���� 2�� �� ��� ������ ��

��� � ������ �� &���� ������

��� 3� B����� � �

���� � � � � � ����� D� 2� ��� ���� ����� ����� �� ��� ��� �� �������

���� �� �� ��� �������� �� �!�� ���� ��� ��� �����$��� � J � �� � ���� ���� ��� �� ��� ������ ��� ���� �������� %!�� ��� 3 ������ �� ��� �� ����������� ���� ����������� ���� 3 ��������� ��� �� �� � ���� � ��� ��� �����$��� �J � �� ���� �� ��� �������� �� %�� ���� ��� ������� ������� �� ���>�� ���� � ������ �����$��� � J � �� � �� ��� �� � ��� ������ ��� ��� �����$��� � J �� �� ������ �����$��� �� �� ���� � ���� ����� � ������ ������ � ��� �����$��� � �������� ���� ���� ����������� ��� ������� ������ ��� ��� ������ ���� � � ��� ���������� � �� �� �� ��� �� � ��� �����$�� ������ ������ �� ��� � �� ������ '��� ?�7� ���� � �� ��� ��� ��� %!�� ��� 3� �� �������� ��� ������� ����� ������� �� ���� �������� %!�� ��� � ��������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� �������� �� ����� � ��� ��� �� �� � ��� ������� ������� � � ���������������� ���������� ������� ���� ��� ����� ������ & �� ���� �� E �� ���� ?�8�

5�������� � ��� ������� � � ��� ������� ����� $ @ ������� �� ��� ���� �������� ��� ����������� ��� � �� � � ������� ��� � ���� � ���� �� ��� ��>������ ��� �� 4�� BE�7D � � ��� ����� ������ & ��� ��� �� �� �� ���� ?�8� ����� �� ��� �>����� BE�7D �� � � ������ �����%�� � � ��������� ����� ������� � ��� ���������� �������� ��� �� �������� � �� �� � ��� ���� �� ��� �������������� ��� � � ��� �� ����� � ��� �� �������� ���� �� � ��� �>����� ��� ��� �� ��� ���� �� ������

Page 89: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

"�� � ���% ��� *�������/���� �

$ �� � �%�����& �� � � �%�����&7 $ @ @�CCGGF7 @�CG8?BAD �@�@@8?BAD

8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG?A& @�FACC?8 @�@@@F8&E @�F?F&EC @�F??E?8 @�@@8CGF

& $ @ @�CCGGF7 @�CG@&B7D �@�@@@&B7D8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG?A& @�FAG@77 @�@@@?E7E @�F?F&EC @�F??GE7 @�@@8E@A

E $ @ @�CCGGF7 @�CCG7BAD @�@@@FBAD8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG?A& @�FAGAEG �@�@@@@CAE @�F?F&EC @�F?FFA& �@�@@@E8?

? $ @ @�CCGGF7 @�CCG?BAD @�@@@EBAD8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG?A& @�FF@?@7@ �@�@@@G&GE @�F?F&EC @�FA@8&7C �@�@@7FC?

A $ @ @�CCGGF7 @�CCG@BAD @�@@8@BAD8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG?A& @�FF8&FA �@�@@8C8&E @�F?F&EC @�FA7&8& �@�@@EGA?

���� ?�8M =�>������ ������� �� �� ��� ���;����� ������� ��'���( � ���'���( ��

� �%�����& �� ��� ���� ������,���� ������ �� ��� �� ������ �� &���� ����� ��

����� �������� �������� �������� #� � 1 � �%�����& ������� ��� ������ ������� ��

+��� ?51/@ �� )���7� ��������� ?51A@ ��� ����� �� ��� �����

Page 90: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

�� ��� � ��� �� ��� �>����� �� ������� �� ���� �������� � � ��� ��� ������$��� � J �� �� ���� �� '��� ?�8� ��� ������� ��� ���� �������� * ��$���� ��� ������ ��� ������� ����� �� � � ��� ������ � ������ � � ��� ��� �����$��� � J �� �������� �� � ������ �������� � � ��� ��� �����$��� � J � �� '��� ?�8 ������� ��� �� ���$� ��� ��� ����� ����� ��� ��� � ��� �����$��� �� ��� ��� �����$��� �J � � �� �� � �� ������ � �� B� ���� ��� �������� %!�� ��� 3 �� �� '��� ?�7D���� ���� �� ��� ���� ��� ��� %!�� ��� �������� � ��� ������� ����� �� �� ���� � ���� �� ���� � ��� �������� * ��$���� ��� �� ����� ��� ��� �����$��� ��� �� ��� �������� %!�� ��� � ��� ���� �� �� ��� �� ��� ��� �����$��� �� �������� �� �� ��� �� ��� ����� � � ��� �>������ �� �� ������ ��� ���� � � ���� ������� � ��� ����� ������ � �� ��� �>����� �� ������ �� ��� ��� ������ ����� �!������� ��� �������� * ��$���� ��� �� � � � ������ ����� � � ����������� ��� �������� '� � ���� ������� �� �� ������� � ��� � ��� �� ��� �>����� � ������ � � �� ����� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��� ��!����� ��

�� )��� "����� .$ '�� ����-�� �

�� ��� ���� �� ���� �� �� ������� ��� ����� � ��� �������� * ��$���� ��� ���� ��� ��� �����$��� � � ��� ���������� �������� ��� �� � ��� ��� ��� ������ ���� ��������� ��� ������� ��� ���� �������� * ��$���� ��� �� ���� �������������� ��� �� �� ��� ���� ����� ��� ��� �����$��� � �� �� '��� ?�7� �� �������� %!�� ��� � ��� ��� �����$��� � �� � ���� ������� ����� ����� ���� ���� � ��� �������� * ��$���� ��� �� ������ �� �� ����� ��� ������ ��� �� ��� � ���� � � 4�� BE�7D �� ��� %!�� ��� � ��� �������� ��������� � ��� � ������ � ����� � ���� �� ���� � �� ���� �� ��� ��� ����� � � ��� �>����� �� � �� ���

������ B���D N �

������ B���D� B?�ED

����� ����� ��� �

����� ��� ��� ������� ��� ���� ������ * ��$���� ��� �� ����� ��

��� ��� �����$��� �� ����������� # ����� ��� ��%�������� ��� �����$��� � �� � �� ���� � �� ����������

�� �� ����� ���� �� ��� ����� ��� � �� ��� � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� ���������� ������� ���� �� ��� ������ ��� ����� � � ��� �>�����BE�7D� �� ������ ���� 4�� BE�7D �� �� �� !����� � � � ��� � ��� � � ��� ������������ ���� �� �!�� ���� ��� ��� ��� �>����� �� ��� ������ B� N 8D��� �����$��� �� ���� �� �� ������ �������� ����������� � ����������� �� ���� � �� ����� �� !����� �� �� �������� � � ��� ��� �����$��� � J � �� �� '���B?�8D ������ �� ���� ��� ������������� ���� � ��� �������� * ��$���� ��� ����� � ��� � ��� �������� %!�� ��� ����� ��� ������ ��� �����$��� �� ����� ��

Page 91: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

"�� ����#���� $� *�������� �%���� �

�� ������ ��� ��� ��� �>����� �� ��� ������ ��� �����$��� � ��� �� ����� � ������� ������� �� ���� ������� ��

�� )��� "����� # � '�������� �$���

�� ���������� �������� ��� �������� ������ � ������ � � � ��� ��������� ����������������� ��������� � 4�� B?�&D� *� �������� ��� ������� ������ * ��$���� ��� ��� � ��� ������� ��� ���� �������� �� ����� � �����

����� B���D N �

����� B���D� B?�?D

�� ����� ��� ������� �� �� �� �� ���� ?�7� ��� ������� ��� �� � � ��������� ������� �������� �������� �� �� �� ���� ?�7� 3 ����� � � ���� ?�7 ���� ����?�8 ������ �������� �����)���� ��� �������� ����� �� ��� ��� ������ � ��� �>����� �� �������� ���� �� �� ��� � ��� ��� �����$��� ��

�� ��� ��!� ���� �� �� �� � ��� ������� �� ��� ��� ��� �>����� � � ���������� ���� � ��� ������� � ��� ���������� ������� �� ��� �!��� ���� � � ��� ����� $ @�

�� )��� "����� # � /������� �$���

�� ���� ���� �� �� �� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� �>����� �� 4�� B?�?D��� �������� ��� ��� ����� ����� ���� ��� ������ ��� �>����� � � ���������� ������� B$ @D�

�� ������ ��� �>����� �� �� 4�� BE�7D ������ �� ������ � ���� ��� ������ ����� � �B�D ������ � 8 7 � � ��������� ���������� ������� �� �� 4�� BE�88D� 5��������� ���� ������ �� ��� ��� ��� �>����� ����� �� ������ � �� ����� ���� ��� ���� ������ �� ��� ������ � ��� ��� �����$�� ������ ��)�� � �� ����� �� �������� ���� �� ����� � ������ ��� �����$��� �� �� ����� ����� ��� �������� ���� ��� ������� � ��� � ��� ���������� ������ ���� ��� ��� �����$�� ������ �����

�� � �������� ���������� � ����� � � ���B���D� �� ������� ��� ���� ������ * ��$������� �� � � ��� �������� ���� ��� �� ����� � ��� ����� ������ ��� �����$��� ���� ����� ��

����� B���D N

������

���B���D�� �� B?�AD

������ B���D N

������

���B���D

� �� P �� ��

�7

��

� B?�FD

Page 92: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

$ ����� � �%�����& ����� � � �%�����&7 8 @�C78FGF @�C78FGF @

7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG@EC @�FACC?8 @�@@@8GFE @�F??GCA @�F??E?8 @�@@@?&?

& 8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAG8&C @�FAG@77 @�@@@88AE @�F?A7?@ @�F??GE7 @�@@@&@C

E 8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAGA7G @�FAGAEG �@�@@@@7@E @�F?FA8G @�F?FFA& �@�@@@8EE

? 8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAGGAC @�FF@?@7 �@�@@@?&EE @�F?CEA8 @�FA@8&& �@�@@8AF7

A 8 @�C78FGF @�C78FGF @7 @�FCCAF? @�FCCAF? @& @�FAGGEF @�FF8&FA �@�@@8E7GE @�F?C&@@ @�FA7&8& �@�@@E@8&

���� ?�7M ��� ������ �� ��� �� ���� ���;����� ����� '�( � ���

���'�(�

Page 93: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

"�( ����#���� $� 0 ������ �%���� �

�� ����� � �%�����& �

���� � � �%�����&

7 @�CCGGF7 @�CG7@7? @�CG8?BAD �@�@@@?BAD& @�CCGGF7 @�CG@&E@ @�CG@&B7D @�@@@@B7DE @�CCGGF7 @�CCG7@E @�CCG7BAD @�@@@@BAD? @�CCGGF7 @�CCG?77 @�CCG?BAD @�@@@@BADA @�CCGGF7 @�CCG@G? @�CCG@BAD @�@@@@BAD

���� ?�&M ��� ������ �� ��� �������� ����� '� 1( �� ��� �� ���� ���;����� �� ���

�������� �������� ��������

����� ��� ���������� � ����� � �� ����� ���

� ���B���D

N

� ��� �'

������� � B�

����� D

�ÆB��� ��

����� B�����

�� �DD�

B?�CD

#��� �� ��� ��� ������ ������� � ������� �� ��� ������� � � ��� ������ � ���

4�� BE�7?D� �� � ��� ���� ��� ��� � ��� � ��� ���� ��� � ��� ����������������� �� ������� ����� � B���D �� ����� �� ��� ��� � ��� (����� �� �����-���� ��� ������ * ��$���� ��� �� ��%��� �� 4��� B?�AD ��� B?�FD� �� ��)� ���

������� ���� � ��� ����� ������ $ @ � ��� ������ � ����� B���D N ��

����B���D��� ����� ��� ��� ��� �>����� � � ��� ������� ���� � ��� ������ ���

��������B���D � �� �8 P �! B�7���D� N 8

7� B?�GD

�� ��������� ���� � ���� ������ � �� ������� �� ����B�D� 4����� � B?�GD ����� ���������� �� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � � ��� ��������� ���������� �������� �� �� �� ���� ?�&� �� ��� %�� ���� ��� ��� ��� �>����� ����� ��������������� � ��� ������� � ��� ���������� ������ ������ ��� ������ � � � ������������ ���������� ������ �� �������� �� � ��� ����� ���� ��� � � � ��� �� ������ �� ��� ������ ��� �>������

�� ��� ��� �>����� ��� ������ �� ������� � ��� ������ � ������� �������������� ���� � ��� �������� ���� ����� �� �� ��������� ����� � ��� ������ ��� �>����� � ��� �������� ���� ����� ��������� � ��� ��� � ��� ������� ��� �>����� K8@@L ��� �� ��������� � � ��� � ��� � �� ������ � ����� ���

����B��D P����B��D N 8� B?�8@D

����� �� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � �������� ��������� �� �������� ��� ������ � ��� ��������� ���� � 4�� B?�8@D � � ������� ���� �

Page 94: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

I����� �� �� �����8 @�G&&CBFD @�C7A?BAD 8�@@7BFD7 @�C8EGBAD @�GECFBFD @�GCEBGD& @�F?7AB?D @�GF7@BFD @�GG&BGDE @�CF87BAD @�G@FGBAD 8�@@FBAD? @�CF@@BAD @�G@C8BFD 8�@88BADA @�G&&FBFD @�C7AABAD 8�@@&BFDF @�G@CEBAD @�CAFCBAD @�GGABADC @�G@A?BAD @�CACABAD 8�@@&BAD

���� ?�EM ��� ������ �� ��� �� ���� ���;����� �� ��� ������� ��� ��� B�

������� ����� �� ��� �������� ���� �� -�� 'A�51( �� ��� �� ���� ���;����� ����� ��

��� ��������� ������ �� ���� �����

���������� ������� �� '���� E�A ��� E�F� �� ������� ������� ��� ����� �� ���� ?�E��� ��� ��� ������ � ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� ������� �� ( ���;����� �� �� �� ���� E�7� � ���� ��� ��� ����� � ��� ��� ��� �>��������� ���� � ��� ������ ��� �>����� �� 4�� BE�7FD� �� ��� � %�� ��� ������� � ��� ��� ����� ������ �� �������� ��� ��������� ���� � 4�� B?�8@D �� ��� � ��������� � � �!�� � ��� �� � �� ����������� ���� ����� �� �� ����� �� �����4����� � B?�8@D �� � � ��������� �� � ������ ������ � ��� ��� �����$��� � �������� ��� %��� �� !����� � � � ��� ����������� ��� � ��� ���������� ������� ����� �� ��� ��� ������ � �� � � ������ � �) ����� (������������ �������� � ���� ������ 8 ��� A � ��� ���������� ������� ���� ��� ��!���� ��������� 7U ���� ���� E�7� ��� ��� ������ �� ������� �������� ������ � �� � ��� ������� ���� �� ���� ���� @�&U �� �� ���� ?�E�

�� �� ��� ��� ��� ��� ����� � ��� ��� ��� �>����� �� � �� ���� ��� � ����� ��� ���� � ������� �� �� ����� ��� ���� � ������ �� ��� ��� ��� �>����� ���� �� ��� (����� ������� ����� � �� N �� ���� ���

����� B��� �D N �

����� B��� �D� B?�88D

�� ���� � ������ �� �������� � � ��� �� ����� � ��� � ��� ��������� ���������������� ���� N & ���� ������ �� '��� ?�&� �� ������ ��� �� N 7�7AG8G � � ���� ������ � ����� � ��� �� �!���� ��� ���� �� ���� ������ �� �� �� � �� � ���� ��� �� ��������� ��

8

��

��

��

���� �

N &�&@F87� B?�87D

��� ����� �� � ��� � ��� �������� ������ &�7&B&D �� ( ��� K8@?L ���� ��� �����&�E8E78 �� ��� ������ ��� �>������ ����� �� �� �� ������ ���� �� �� ������

Page 95: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

"�( ����#���� $� 0 ������ �%���� �

0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00p

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T

'����� ?�&M *��;������ ��� ���� �� ����� &���� ����� �� ��� �������� ��������

������ ���� ��� ���� ���� � � :���� ����� ���� ������� ��� ���;������ ��� ������

�� ��� �� ���� ������ �� ��� ����� ���� �� ����� ��� �� ��� ����������� ���� ���

���� ����� ���� �� ��� )������� �����

��� � ������ � � �� �������� ���� � ������ ���� ��� �� ������� �� �� ����������� (����������� ��� �>������ ���� � ������ �� �������� �������� �� ���� ������������ ���� � ����� ��� (����� �� ����� �� ���� � ������ �� �!����� �� ������� � �� � ��� ������ ������ �� �� '��� 8�A� � �������� ��������� � ������� ���� ������� ���� �� ��� ���� � ����� ��� (����� �� ���� K8@?L� �� ��� �%�� ��� ������ ��� �� ���� � � ��$�� ����� �� ��� �� ��� ������ � � ���� ����!������ ������� ��� ������ �� ���� 8�7� �� ��� ��� ��� �>����� �� �� '��� ?�&�( ��� ���������� ������������ ��� � ��� � � �� ��� ��������� �� �� N @�CG?8B&DK8@?L� ����� �� �� ���� � ������� ����� � ��� �� ���� � � ��� � ���������������� � �� ��� ������ ��� �� �� ��� �� ������$�� ���� �� ���� ������� �� ����������� �� � ������ �� �� !����� ��� ������ � ��� � � ��� ����������� ������� ����� ������ ��� � ��� (����� �� ����� ��� ��� �� � � ��� ������ ���� � ��� �� ���� � � ���� � ��� �� � ������ ��� � ��� �� � ��� ����� ������ ������ ��� � ����� ������ � �� 4�� B?�88D�

�� ��� ��!� ������ �� ����� �� ��� ��� ����� � � ��� �>����� �������

Page 96: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ����#�� ���,�� � $� -��������� '�����

� ������� ������� ��� �� ������� ����������� ��!�� ��� ��������

Page 97: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ (

���&�� ��#� ��� � ������

����� ��

�� ���� ����� �� � �� �� ��� ��� ����� � � ��� �>����� � � ��� �������� � � � �� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� � ��� ������� �������� �� ��� ���� �������� ��� �������� � ��� ���������� ������� ������� ��� ��� �����$��� � �� ��������� � ���� ��� �!�� ������� �� 2� ��� ���� ���� ��� ��� �����$��� � �� ��������� � � ��� ������� ������ �� ������� ������ � �� �� !����� � � � ��������� � ��� � � ��� ������ ���� ������ ������ �� �������� �� ���� ����� ������ �����$��� � � ������ �� �� � ��������� ��� ��� �����$��� �� �� �� ������� ������ ��� ������ � ������ � � � ��� ����� �������� �� ���� ��� � ���� !����� �� ��� �� ��� ����� ����� � ��� ������ �� �������� ��� �� ���� ��� �>����� � � ��� ���������� ������ ��� ���� �������� ������ �������� ������� � ���� �� � ������ ��� �����$��� �� ����� �� �� ��� � � ���� � ���������� ��� �����$��� �� �������� � ������� ����� �� �� ������ �� �� ���� �� ������� �� ������ �� ��� ��� �������� ����� ��� �� � ���� ��� � ��� ����������������� ��� ������� � ����� �� ���������� �������� � ��� ������ � ����� � � � ������ ������� ���� ������ � ��� � ��� ��� ��� ���� * ��$���� ��� �� ��� � ��� ���� ��� � ��� ���������� ������� ����� �� �� �!�� � �� ���� � ��� ������ ��� ��� ��� �>����� � � ��� ������� ������� �� �� ������ ��� �������� � � ��� ������ � ����� � � � ������� ����� � ��� ������� �������� �� ���������� �������� �� ��� ������ * ��$���� ��� � � � ��� ��� ��� �>����� � ���������� �������� �� ������� ������� �� ���� �� ���� ��� � ���� �� ������ � � ���� ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� �� ����� � ��� � ��� ������ ������ ������� ����� � � ��� � ���� ������ ����

GF

Page 98: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

0�� � �����

�� %��� ������ ��� ��� ��� �>����� � � ��� ���������� ������ ��� ��������� ������ � � � ��� ������� �������� �� ��� ���� �� ������ �� � ��� ���� ��� ������ ��� �>����� ��� � � ���� ��� �!�� � ���� �� �� ���� � ���� � � ��������� ������ �� ��� ��� ��� �>����� �� ��� ������ ��� �����$��� � �� ���� !����� � ���� ������ ����� � ���� ��� ������ ��� ��� �� ���� ������� ���� ������ ��� ������� � ��� ��� �������� ����� � ��� ���� ��� � ��� ����������������� � � ������� ���� �� � �� ����� ��� �� ��� ������ * ��$���� ��� � �������� ��� �����$��� �� �� �� ������ ���� ��� �����$�� ������ * ��$���� ��� ��� ��� ������ � ����� � ��%��� � ��� ���� ��� � ��� ���������� ������ �������� �������� ���� ��� ���� �� � �� ���� ��� �������� ' � �!����� �� %�� ������������� �!������ � � ��� ����� � ��� � ��� ��������� ���������� ������ �� '���E�E� �� � 4�� BE�7?D� ��

#� ���

N�����

� ��������������������� BA�8D

�� �B�D N�����

� �'�����

� ������� BA�7D

����� ��� ������� ����� ��� ������� � ��� �������� ���� �� ��� �� � ��� ������� � ��� ���������� ������ �� '��� E�E ���� ��� ���� ���� � �� ��� �� N 8� �� � ��� ���� ��� ��� ������� ������ ���� ���� � ��� ���� � ��� �����������������

� ��� ��) � �� �� ��� �� ������ � ������ ��� ��� ��� �>����� � ���� ���� � ��� ������� � ��� ������� ������� �� �� ������ ��� ����� ���� � ��� �>����� �� ��� ���� ������ � �� ��� ��� ������ � ��� ���������� �������� ������ ��� ������ * ��$���� ��� � ����� ��� ������� � ��� �������� ����� ��������� � ������� ����� � ��� ������� ������� �� ��� ��� ������� ����� � ��� ������������� � ����� ������ �� ���� ������� ���� �� ��)� ��� ������� � ��� ��� �������������� �� �� �� ��� %!�� � ������ ����� � � ��� ��� ���� � ��� � ������ ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ��� ����� � � ��� �>����� � ��� ������������� ��� �� � �� ���� ��� �� �� ��������� ��

.���� ����� ������

�� �������� ��� � ��� ������������� � ��� ��� ��� �>����� �� ��� �!��������� ������ � � � ��� $��������� ������ � ����� �� �� %��� ������� �������� � ��� ��� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� ������ ������ �� �� 4�� B&�&CD � ���������� �� �� ��������� ����� � �!���� ��� � �� ���� � ����� � ���� ���� ���� ������� ��� ���� �������� �� �� �� �� '��� A�8� �� ������ � ���� �� �

Page 99: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� ��������

'����� A�8M ��� ��� �� �� ��� �������� �� ��� ���� ������ �� ��� ���� �������

��� �� ����� ������� ��� �� ��� �� �� �� ��� �������� �� ��� ���� ������� ���

������ ����� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� �������� �� ��� ���� � 8���,���

�����

��� � ��� ���� � ��� ������ ������� ��� ��� �!�� ������� ������ � B&�&CD �������� �

����� B����� � �

���� � � � � � ����� D N ����� B�

����� � �

����� � � � � � ������ D� BA�&D

#��� ����� ��������� ��� ������ ������ � ����� � �� ��� ������� � � � ��� �

���� � ��� ������ ������� �� �������� / ������������� ��� ��� � ��� ��� !����� ��� ���� ��� �������� ���� � ��� ������� � �� �������� ��� �� ���������� �

���� �� ��� ���� * ��$���� ��� � �������� ������ �� �������� �� ������

���� ����� ��� ������� �� �� ��)� � ����� ������ � ��� ������ ������ �� �� '���A�8 ��� ��%�� ��� ������ * ��$���� ��� �� ����� ��� ������� � � ��������� ������ ��� ����� � � ��� �>������ � �� ���� ��� ���� ���� �������� �����

����� N

#$'()�����

���'�����

���������

*+,

�%&��

BA�ED

������ N

#$'()�����

���'�����

8�7

����� P ����������

�*+,�%&��

� BA�?D

Page 100: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

����� ��� ������� ����� ��� ������� � ��� �������� ���� �� ��� ����� ������ ���� ������ ������ �� ��� %���� ���� �� '��� A�8 ���� ��� ���� ���� %!�� �� � ������� �� ���� N 8� �� � �� <���= ��������� ���� ��� � ��� ���� ��� ��� � ��� � ��� ����� ������ ����� ��������� �� ���� ������ * ��$���� ��� �� �� ���������� �� ������ � ����� �� ����� ��� �%������ ��� ������� ��� ������ � ���� ����� ���� � ��%��� � ��� ����� ������ ����� ��� %!�� � ������ ����� ��� �� �� �� '��� A�8�

�� ���� ������ ���� � ������ ������ � ����� ��� ������ ���� � � ��� ������ � $� ��������� � ��� ������ ��� �>������

����� N �

����� � BA�AD

*� ��� �!��� ���� � � ��� ������� ����� $ @ � ���� ������ �� �� ����� ������ ��� �>����� � � ��� ������ ������ �� � �� ����

� ������B�� �����D���� �� �����B�� �����D��� N @� BA�FD

�� ���� ��� �%������ ��� ������� � � ��� � ��� � ������� ����� �� �� ������ ������ �� ���� ��� ����� ��%��� � ��� ����� �������

����B�� �����D N�����

���'�����

��������� BA�CD

�����B�� �����D N�����

���'�����

8�7

����� P ����������

�� BA�GD

����� ��� �������) ��������� ���� ��� ���� * ��$���� ��� � �� ����� �� � ��������� �� ������� ����� ��� ������� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� �� �� �� �� ����� �� �������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ��� ���� ������ ���� ����� �� �� ������ � BA�FD �� �������� ��� �� 5�������� � ��� �� �� ��� � ��� ������������� �� �� ������ ��� ��� ��� ����� � � ��� ���������� �������

.���� #�� ��� ������

�� ��� ��� �������� ����� � � ��� ������� ������ � � � �� ������ � ����� �� � ��� ���������� ������ �� 4�� B&�E7D � ��������� ��� ��� ��� �>����� � � ������������� ������� �� ������� �������� � ��� ��� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ������� �� ���� ������� �����)� � ��� ��� * ��$���� ��� � ���� ���������� ������� �� ������� ��� * ��$���� ��� � ��� ����� ���� * ��$������� �� ��� ��� �� � ��%��� � ��� � ��� � ��� ���������� �������� �� �� 4�� B&�&GD�2� ��� ���� ����� ��� ���� ��� * ��$���� ��� � ��� ����� ���� ���� * ��$������� �� �� �� �� 4�� B&�E8D� �� ������ � ���� ��� * ��$���� ��� � �� ��%��� �

Page 101: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� �������� ���

'����� A�7M ��� ��� �� �� ��� �������� �� ��� ������ ������ �� ��� ���� �������

��� �� ����� �� ��� ��� �� ��� �� �� �� ��� �������� �� ��� ������ ������� ���

������ ����� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� �������� �� ��� ���� � 8���,���

�����

��� � ��� � ��� ���� ���� �� �� '��� 7�G� �� ��� ���� ��� * ��$���� ��� �� ���������� � ��� ��� ��� �� ��� ����� � ��� ���� �� �������� ���� ���� ��� ���������������� ������ ����� ��

5�������� � ��� ��� � ��� ������ ������� �� ������ ��� ������� � ��� � ��� � ��� ���� � ��� ���������� ������ �� �� '��� A�7� ��� ��� �!�� ������� ������ �B&�E7D � � ��� ���������� ������ �� ������ � �

�������B#

���� � #

���� � � � � � #���� D N �

������B#

����� � #

����� � � � � � #����

� D� BA�8@D

����� ������� ��������� ��� ������ ������ � ����� � �� ��� ������� � ��� � ���

� ���� � ��� ���������� ������� �� �������� #���� �� ��� ��� * ��$���� ��� �

����� ��� ������� �� �� ��%�� ��� ������ * ��$���� ��� � ����� ��� ������� �

Page 102: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

��� � ��� � ��� ���������� ������� ���

#���� N

#$'()�����

���'��

�! B�������� P �������� P ��������D

*+,

�%&��

BA�88D

#����� N

#$7��

������

'()�����

�����

���'��

8�7

����� P ����������

8�7

����� P ����������

� 8�7

����� P ����������

������

� BA�87D

����� ����� �� ����� � ��� ������ � ��� �� ������ ��������� ������� �� ��� �����

������� �� ������� ����� ��� ������� � ��� �������� ���� ������� �� �������� ������ � ��� ���������� ������ �� ��� %���� ����� �� '��� A�7 ���� ��� �������� B��� ������ � ��� �����D � ���� N 8� �� � �� <���= �� �� ��� � ������� � ��������� ��� ��� �� ������ ��������� �� ��� ����� ������ �� �� '��� A�7� �� ������� � ��� � � ����� ��� ������������� ������ ����� �� �� �� ������������ ��� ��� �>����� � � ��� ���������� ������ �� �� ������ � � ����� ������* ��$���� ��� �� ����� ��� ������� � #

���� N #

����� ��� �� ��� �!��� ���� � � ���

������� ����� � $ @��� ��

������ B�� �����D

������ ��

�����B�� �����D

���N @� BA�8&D

����� �� ������ ��� �%������ ��� ������� � � ��� � ��� � �������� ����� ��

��� ������ � ����� �� ������� ��� �

������ ��%��� � ��� ����� ������ � ��� ����������

������ ���

������B�� �����D N

#$�����

���'��

�! B�������� P �������� P ��������D

%&��

BA�8ED

������� B�� �����D N

#$7� �

������

�����

�����

���'��

8�7

����� P ����������

8�7

����� P ����������

� 8�7

����� P ����������

����

BA�8?D

*�� �� �������� ������� �� � � ��� ����������� � � ��� � ��� �� � ��� ������ ����� �� ������ ��� ������ ������� � ��� ��� ��� �>����� �� � � �������� ��� � �����

Page 103: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� � ����� ����% ��� ! �������� ���� ���

0�� ������� � 1��� �$ �� ������������ � ���

#��� �� ������ ��� ������ ������� � ��� ��� ��� �>������ �������� �� ��������� � � ��� ��� � ��� ������ ������ � � ��������� �� �� �� ���� ����

� ��� ��������� ���� � 4�� BA�FD �� �� ������ � ��� ���� � � ���������� � ���������� � ����� ��� (����� ������� ����� � � N �� � � ��� ����� ������ �������� %!�� � ������ ����� � �� �� '��� A�8� ������ ��� �� �� ���� ���� � ������������ ���� � 4�� BA�FD �� ��� ���� �� ��� ���� ������ � � ��� ���� ��� �� ������ ��� ��%��� � ��� ����� ������ �� �� 4�� B&�7GD� ����� �� �� �� ����� �� �����!����� � � ��� �� �� ���� ���� � ��� ��������� ���� � 4�� BA�FD ��� � � ��� ��� � ��� �� ����� � ��� � � �������� ��������� � 4�� B&�&@D��

� �����B�� �����D���

N �� �* ������N

8

7����� B7 �� ���D�

����

������

����B��� �����D � �����B�� �����D�

BA�8AD

2� ��� ���� ����� ��� %��� ���� ����� � ��� ��������� ���� � 4�� BA�FD� ���� ����������� �� � ��� ���� ������ * ��$���� ��� � ����� ��� ������� �� �� � � ��� ����� ��������� � ��� ������ ��� ����� ������ ����� � ��%��� �� �� 4��� B&�87D��� B&�8&D ����� �� ���� �!����� � � ������

������ B�� �����D N

�����

���'�����

8�7

��������� P ������������+���+�

��

BA�8FD

��� �� �������� �� � ��� ��� � � ��� �� �� ���� ���� � ��� ��������� ���� � 4��BA�FD� �� �������� � ������ ������ ��� ��� %��� ���� ����� � ��� ��������� ���� �4�� BA�FD ��� �� ���� ������ � ����� � �� ��� ����� ��������� � ��� ' � ���������� ��� ��� � ��� ����� ������ �� �� '��� A�&� ��� ������� �� ��� ���� �� ��� �������� �� �� �� �� '��� 7�?� ����� �� �� �� ��� ��� ������ � B7�7GD �� � �� ��� ��������� N 7�

����K��L N 7����� �

���������

���� K�L� BA�8CD

����� ����� �� ��� ������ � � ���� ��� �

���� �� ���� � ����� �� ��� ����� ������ �

��� ������� ������ ������� �� ���� � �����) ���� �� ��� ���� �� � ��� ������������� � ���� ������ �� �� ������ � ����� � �!������ �� 4�� BA�GD �� ��%��� ���� ����� ������ �� �� '��� A�& ��� ��� ��� ���� ���� * ��$���� ��� � ��� ����� ��� ������� � ���� ������ � ����� �� ����� �� ��� ������ � ����� � BA�GD

Page 104: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

'����� A�&M ��� ��� ������ �� ��� ���� ������ �� #��� C�5� ��� ���� ������ ����� �

��� � ��� � ��� ����� �� ��� �������� �� ��� ����� ���� � ���� �� ��� � � �������

����������

�� ��� ����� ��� � ��� ������� ��� �� ��� �� � ��� ��������� ���� � 4�� BA�8CD� �� ������ � � ��� ������� � � ��� ����� ������ �� �� 4�� BA�8CD ������� �� � �!������ ����� ��� ��������� ������ � ����� � ��K�L �� ��� � �� ���� � ��� ������ ����� ����������

����� B�� �����D N

�����

���'��������

��������� � BA�8GD

����� ��� 9���B/D; �!������ ��� � ��� ��� ��� � ��� � ��� ���� ������ � � �������� ������ �� �� '��� A�&� ��� ������ � ����� � �� �� � ����� ��������� � �� ������ �%������ ������������ �������� � ��� � ������� �� ��� ���� �� ��� ���� ������ � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ��%��� � ��� ���� ������ � � ��� ����� ������� ����� ��� ������ � BA�8CD ��� ������� ��� %��� ���� ����� � ��� ��������� ���� � 4��BA�FD ���

�� ������B�� �����D

���N�� ��

���� B�� �����D

���P

�� ���� � �

����

7� 8�� � 7� BA�7@D

�� %��� ���� � ��� ���������� ���� � ���� ������ � �� �� ������ � ��� ���� � � ��� ���������� � � ��������� �� ������ ���� �� ��� ���� ������ � ��� ���� ��� ������� � ��� ��%��� � ��� ���� ������ � � ��� ����� ������� ��� ��������� � 4��B&�&@D��

� ������ B�� �����D

���

N ���*����

���N

8

7���� B7 �� ���D�

����

������

����� B��� �����D � ������ B�� �����D�

BA�78D

Page 105: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� � ����� ����% ��� ! �������� ���� ���

#��� ����� �!������ ��� ������ � ����� � ��� ���� ������ � ��� ����� ������� ����

�� ����� � ���� � ��� ��������� � ��� ������� ����� ������� �� ��� ��� � �������� ������ � ��� ������ ������ �� �� '��� A�&� �

���� N 8� �

���� N E� �

���� N E� ��

�� �� ��������� �� ������ �� � ������� 4�� BA�FD ���

8

7����

����� B��� �D�

8

7�����

����B��� �D N

������

7�� ���

� P 8

�� � 7� BA�77D

�����

����� B��� �D N

������

����� B��� �����D

B7 �� ���D�����

� ������ B�� �����D

B7 �� ��D�����

BA�7&D

����B��� �D N������

����B��� �����DB7 �� ���D

�����

� �����B�� �����DB7 �� ��D�

����

� BA�7ED

�� �� ��������� ����� � ����� ��� ���� ������ � � � ��� �������� ����� � ��� ����� � ��� � �� ���� �����������

����� B��� �D N

� ���'��������

����.B���D����� B��� �����D � ������ B�� �����D

BA�7?D

����B��� �D N

� ���'�����

����.B���D����B��� �����D � �����B�� �����D�

BA�7AD

����� .B���D �� ��%��� �� 4�� B&�78D��� �� ��� � N �� � � ��� �� ����� � ��� ��� � N �� � � ��� �������� ����� � ����

�� %�� ���� ������ � BA�77D ������ ���� ��� ����������� ��� �� � ���� ����� ����������� ������� �� ���� ��� � ��� ���������� � � ��������� � ��)�� � ����������� ��� ������ ������� �� � � ��� �� ���� ��� � ���� �� ��� �� ���������� ��� �������

�� ��� ��� ������ ����� ��� ������ �� � � ��� � ��� ����������� ��� ������ ��� ������ ���� �� �� �� �� ��� ��� � � ��� �� � � ��� ������ ���� �� ������� �� ������ �� �� ��� ��� ��� ��� �>����� � ��� ���� � ��� ����������� �� ����� ��������� �� ������ � ��� (����� �� ���� � ��� ���� �������� �� � � ����� �� � ������� 4�� BA�FD �� ���� � ��� ���� � � ��� ���������� � � ��������� � �� �� 4�� BA�77D� # ����� ��� �� �� ������� �� �� ��� ������� � ���� ����� ������ ��� ������� � ��� ���� � ��� �������� �� �� ���� ���� ���

Page 106: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

������ ���� �� ��� � �� ���� ������ � � � ��� ���� � ��� ������� ���� �� ���(����� �� �����

��-�

*����

���� �* ����

��

.N

������

7�� ���

� P 8

�� � 7� BA�7FD

����� �� �� ���) � ����������� ������ ��� ������ ���� �� ���� � ��� ��������� � �������� ��� �������� ������� ��� �� ���� �������� � ��� ����� ������ ������ ���� ��� �� �� ��������� ����� � ��������� ��� �!����� � �� �� 4��� BA�77D ���BA�7FD ��� � � ��� ��� � ��� ���������� �������

�� ��� ��!� ���� �� �� �� � ��� ������� � � ��� ����� � ��� �� � ��� ������������ ���� ������� �� ������ 4�� BA�FD � � ��� ������ ������ ��� 4�� BA�8&D� � ��� ���������� �������

0�� ����"�� � # ������������ � ���

�� ������ ��� � ��� � � ��� ����������� ��� �� ��� ��� ��� �>����� � ���� ������� �������� 5������ �� N �� ��� (����� ������� ����� �� � � 4�� BA�FD ������������� BA�77D� �� �� ����� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ����� ����� � ��� �� ���� �� ��� �������� ����� � ��� � ��� ������ ������� �� �� ������ � ������ ����� � ��� ������� � � ����� B�� ��� ��� ����� ������ �������� �� � ��� ��� ������D �� �� �!���� ���� ��� ����� � � ��� ��� ��� �>������� ��� ������� 2�� � ��� ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �>����� �� ������� �� ����� � �������� � ������ �� �������� ��� ���� ��� ��������� �������� ������ � ��� �������� �� ���� � ���� ��� ������ ��� �>����� ��� ���� ���$�� �� �� !����� � ���� �� ��������� � � � � �� � ��� ������ ��� � ������ ���������� �� �� ���� �� ��� ��� �>����� �� ��� �� �� !����� � ��� ������ �� ����� ������� ���� ��� ������ ��� �>������ ������ �� �� � �������� ������� ��������� � � �� ���������� ����������� � ��� ������ ��������� � ��� ��� � ��� ���������� �������� �� �!���� ��� ��� � ��� �� !����� �� �� ��� ����� � /� ���� ��� ���������� ��� �������� � �� � ��� ����� ������� �� ���� ��������� �� � ��� ������� � ����� ���� � �� !����� �� � � ��� ����� � ��� � � �������������� ��� � ��� ������ ������ �� ����� �������� ��$�� � ��� ����� ��������� �� '��� A�E ��� �� ���� � �� !����� �� � ��� ���������� ������ ��������� � ��� �� ����� � ��� �� �� '��� A�?�

.���� /���� (���������� ��� �%� ����� ������

�� ������ ��� %��� �� !����� � � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ���� ������ ������ �� ��� / N 8 ����� ������ �� �� �� �� '��� A�E� ��������

Page 107: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� ���#����� �$ ! �������� ����� ���

'����� A�EM ���� ����� �� ��� ���� ������� �� ��� �� ���� ���;����� �� ��� ����

������� ��� �� ����� �� ��� ��� ���� ������� �� ��� ��������� �� ���� �� ������

��� ������ ����� � ����� ��� ��� ������� �� ��� ���� ������� �� ����� ��� ������

��������� � ������� �� ��� ��� ����� ������ � ��� ����� �� ��� �������� �� �����

���� � ���� �� � ��������� ���� � 5�

��� ����������� ���� �� �������� ��� ���������� �� 4�� BA�FD� �� ������� ��������� � ����� � � ��� / N 8 ����� ������ � � ��� ������ ������ �� 4�� BA�CD ����� ������� � ��� ��� ������ ���� �� ��� ����� ���� ����� �� � �� � ��� ���� � ������ �� ������ � ��� %!�� � ������ ����� �� �� ������ �� ����� ��

����B�� �����D N��� �

���������������������

N 7 ����B��� P ��� P ��� P ���D� BA�7CD

Page 108: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

'����� A�?M ��� ����� �� ��� ���� ������� �� ��� �� ���� ���;����� �� ��� ����

��� ������� ��� �������� ���� �� ��� �� � �� ��� ��������� �� �� ��� ������

�������� ������ �� ��� �������� ���� �� �� ��� ��� ������ �������� �

������ �� �����

��� ��������� ���������� �� ������� B� ��� ��� ��� ������� �� #��� .�C�

�� ���� ������ � ����� � ��%��� � ��� / N 8 ����� ������ �� 4�� BA�GD �� ��������� ���

�����B�� �����D N

8�7

�� ��� �

����

����� P ���

������

N

8�7

��� ����

B7 �� ����D P����

B7 ��������D

�� BA�7GD

��� �������� �� ��� ������� �� � ��� �������� � � ��� ������ � ����� � ����%��� � ��� ���� ����� ������ �� ��� � ��� ������ � BA�8CD� ��� �� �� �!����������� � �� ��� ��� ��� �>����� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ���� �� ����� � ��� � ��� ������ ������ ��� �� � 4�� BA�FD�

����

8

7�

�8 P �������

����

(��

�� �

�8 P ������

����

(��

�����

8

7

7 �����

��� (��

�B7 ����D

� � �7 ��

���

�� (���

B7 ���D�N 7 � � 7� BA�&@D

����� �� ���� ��� ����� ������ � N �� ��� ��� ���� (��� 5������ � N ���

�� � ��� ���� ������ � ��� ����� ����� N @�CG@F7?� ��� ������ �� ������ �� ���� A�8

���� ���� �� !����� �� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ���� � ��� ������������ � ��� ��� ��� ����� � ��� ��� ������ ��� � ���� ��� ��� ��� �>����� ���� ��� �!������ ��������

Page 109: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� ���#����� �$ ! �������� ����� ��

' � ��� �������� ����� � ���� �� ���� � �������� ��� �������� ��������� � ���� �� � ��� ����� ���

� �

��

����

� B���D���� � �

�����

B7 �� ����D P����

B7 ��������D

�� �

��

����

� B���D���� � � �7 ����B��� P ��� P ��� P ���D� N 7 � � 7�

BA�&8D

����� � B���D �� ��� ���������� � ����� � ��%��� �� 4�� B&�?D� �� �������� ���������� � � ���� ������ � ����� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� ������������� � ��� � ��� ������ ������ �� �

���� N 8�@78?AE�

2���� �� !����� �� � � ��� ������ ������ �� ��� ����� ������� ������� ��/ N 7 ��� & ��� ��������� ����� � �� ���������� �� �������� ��������� � ������ �� !����� �� ���� ��� ������ �� � ��� � ��� � � ��� ����������� ���� � ��� ������ ������ �� ����� N @�CG@C7E ��� ����� N @�CG@C77 �� ������ �� ���� A�8�

.���� /���� (���������� ��� �%� #�� ��� ������

�� �� � ��� ������� � � ��� %��� �� !����� � � ��� ��� ��� �>����� � ���� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ��������� ������ ��� ����� ������ ������� �� / N 8 ���� ����� �� ������ ��������� ���� '��� A�?� �� ���� ���� �� �� �������� � ��%�� ��� � �� ���� �����������

0 B�� �����D N ����������������� BA�&7D

0 �B�� �����D N8

E

��� �

����

����� P � �������

� ����� P � ��������

N8

E

�����

B7 �� ����D����� P �������

P����

B7 ��������D����� � �������

��� BA�&&D

����� ��� � ��� �� � ��� ���� � �� �� ��� ��� ���� � ����� ��� �������� �� '���A�A� �� ������� � ��� � � ���� ��� � ��� ������������� ������ ����� �� ��������� �� ������ � ����� �� � � ��� ����� ������ � ��� ���������� ������ �� ��

Page 110: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

'����� A�AM ��� ��������� � ������� � �� ������ �� ������� � � �� �

������ � ��

��� � � �� ��� ����� � ��� ���� ���� �� � ��� ������� � � � ��� ������������������� ����� ��

'��� A�? ��� �� ��� � ����� �����������

������B�� �����D N

��� �

����

0 B��� ������D

N 7 ����

�� � ��� ������

��

B���� P ����D� BA�&ED

������� B�� �����D N

��� �

����

0 �B��� ������D

N 7�

���

��

�����

�� ����� P����

���������

P��

��

�����

�� ����� ��������� P����

��������� �� �����

���

BA�&?D

Page 111: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�� ���#����� �$ ! �������� ����� ���

5����������� ����� ���������� ��� 4�� BA�8&D� �� �� ����� ��� %��� �� !����� � � ��� ��� ��� �>����� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� �� ������ ��� � ��� ���������� ������� �� ������ �� ����� �� �

���� N @�C&?G?F� ���� ��

��� ������ �� ���� A�8 ���� ��� �� �� �� ���� �� !����� � �� ��� ����������������� � � ��� / N 7 ����� ������ �� '��� A�?�

.���� /���� (���������� ��� �%� ����� ��� +��

�� �� ���� ������ � � ��� ��� ��� �>������ ��� �� ������ ��� � ��� �������� ��%��� �� 4�� BE�8&D� �� �������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ���� � ��� ��� ����� �� ��� %��� �� !����� � � � ��� ������ ������ �� ��� � ���/ N 8 ����� ������� �� � ��� ��� ����� ��� ��� ���� * ��$���� ��� � ���

�B���D N ������������� BA�&AD

��� ��� ���� ���

��B���D N%�

/��

��������� P

%ÆB���D

0� BA�&FD

����� % � � �8� ��� ��������� ��� �������� ������� ��� ������� ������ ���� ����������� @ ��� �8 ��� "�� �� ��� ���� � �������� � �� ���� ��� ���������� � ����� �BE�8ED� ����� �� ��� ������ � ����� �� �� �� 4�� BA�FD � � ��� ����� ������ �������� ���

����B�O �"���D N

#$�����

���'�����

������������

%&��

BA�&CD

�����B�O �"���D N

#$�����

���'�����

%�

/��

��������� P

%ÆB���D

0%&��

� BA�&GD

�� �� ���� �� ��� ������� � ��� �� �� ��� ����� � ��� / N 8 ����� ������ ���� '��� BA�ED ���

����B�� �"���D N

�������

����������������������������������������

N P E% P %�����

ÆB"��� "��D P %����� ��

ÆB"��� "��� "��D P %�ÆB"��� "��� "��� "��D�

BA�E@D

Page 112: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

����� � �N � ����� ��� ������� � ��� �������� ���� �� �� � �� � ���� ���� �N � �N � �!������ ��� ������� � ��� ��� ������� �� � �������� ����� � ����� �� � �� � ����

�����B�� �"���D N

%�

�� �������

����

/��

�������� P

%ÆB��D

0

N%�

�-8 P

%

.�� 8 P Æ

�����

"��

��� BA�E8D

�� ������� 4�� BA�FD �� � �� ��� �� � ����� �����������#11$� �

'22(22)

B P %D� � %� P %��

�� "���

P E% P %�����

ÆB"��� "��D P %����� ��

ÆB"��� "��� "��D P %�ÆB"��� "��� "��� "��D

*22+22,

%33&��

N 7 � � � BA�E7D

����� ��� �%������ ��� ������� � � ��� ���� � ��������� �"��� � ��� � �� � ���� �� �� ��� ���������� � ����� � �� �� 4�� BE�8ED� �� �� �������� ��� � ��� � � ���

����������� ��� � � ��� � ��� ��� ����� � ��� ������ ������ �� ����� N @�@FG8EA7

� � N &� ����� N @�@A7A8?F � � N E� ��� �

���� N @�@?7@?FC � � N ?� ���� �������

��� �� �� �� ���� A�8 �� ����� � ���� �� �� �� ��� ������ ��� �>������

0�� ����� �

�� ������ ��� ��� ����� � ��� ��� ��� �>����� ��� �!���� ��� ��������� ��� �� ���� A�8 ����� ��� ��� ������� ������� �� ��� ��� ��� �>����� �� ���������� ��� �� ���

�� %���� �� �����) ��� ������ �� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� ���� �� ����� � ���� ��� � ��� ��� ��� ������� � � ��� �� ����� � ��� � ��������� ������ ������� ������ ������ �� �� �� @�CG@C ���� �

���� N @�CG@@ �� ���

������ ��� �>������ �� ��� ��$� � ��� ����� ������ ��������� ��� ������ � � �� ������� � � �� ����� �� �� �� N @�CG@C� �� �� ���� ��� ������� �� ���/ N 7 ��� / N & ����� �������� ��� �������� ������� �� �� !����� �� �� � ����� ��� ��!�� ������ ���� �� ������ ��� ����� � � ��� � ���� ����� �� ��� ����� �� ����� ��� �J��� � ������� �� @�CG@@ ��� �� @�CG@C� ' � ���� �� ������ ��� ��� �>����� ����� � �������� �� ������ ���� ��� ����������� ��� ��� ���� �� �� @�CG@C7� ��� �������� �� � � � ���� �� ������ �� ��� � ����������� ��� ��������� ���� ��� ����������� ��� � ���� �� �� @�CG@@ �� ���������

Page 113: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�( ���� ����� ���

�� 3 �>����� (������� ������

5: �� ����� N @�CCGGF7 KCF� CCL @�CG@?B?D K?AL

����� N @�CG@F7? @�CG@AB7D K?FL

����� N @�CG@C7E @�CG@FB7D K?CL

����� N @�CG@C77 @�CG@@B?D K?GL

@�CCGEBGD KA@L@�CG@C8BFD KA7L

5: �������� ����� N 8�@78FF@ KCF� CCL 8�@7@GCBED KA8L

����� N 8�@78?AE

" �� ����� N @�C&?C@A K8@8L @�C&??B?D K?GL

����� N @�C&?G?A

����� N @�C&?GC?

#4T �� ����� N @�G&7F@E K8@8L @�G&7?B?D K?GL

����� N @�G&7A88

����� N @�G&7?G&

5: � ���B N &D ����� N @�@FGF&8 KCF� CCL @�@FG�@�@C@ K8@7L

����� N @�@FG8EA

5: � ���B N ED ����� N @�@A&@GF KCCL

����� N @�@A7A8A

5: � ���B N ?D ����� N @�@?7EAF KCCL

����� N @�@?7@?C

���� A�8M �< ������� ��� ���� ������ �+ �� ����� ��� ������ ������ �� 4-�

���� ��� ������� �������

Page 114: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

'����� A�FM #���� ��������� �� ���������� �� ��� � �� ��� ��� ������ �� �����

�� ��� ���� � ./ '� � /( :C '� � A( /1 '� � C( C/ '� � D( �� C1 '� � 3(�

�� ���� ������� K?G� A@L� # ����� ��� � �� ���� ������� �� �� �� �� ����� ��� @�CG@C7 �� � � �������� ��� � �����

�� ���� � ������ �� �� ������� �� ��� ��� ��� �>����� ���� �� ����������� � � ��� (����� ������� ����� �� ��������� � ��� ������ ��� �>������-�� ��������� ��� ��� ��� �>����� ����� ����� � ������ � ����� ���� � �������������� ����� ��� (����� �� ���� ��������� � ��� ��� � ��� ���������� ������ ���� '��� ?�&� (����������� �� %�� ��� ��� ������ � �������� �� � ��� �� � � ��������� ��� �� � ��� � ������ � ����� � ���� �� �������� � ��� �������� �� � ��� �� � ��� �� � ��� ������� ��� � �� ��� � � � ��� / N 8� / N 7� ��� / N &����� ������� ��� ��� ���� �� ��� �� �� '��� A�F� �� ������ ���� � ��� ����

� 1B7����� D �� ������ �� ������� � � ��� ������� � � ��� ��� ��� �>������ ��

�������� � � ���� � ��� �%������ ��� ������� � ������ �� �� ������ �� ����� ������� � # ������ ��� �%������ ��� ������� �� ��� ��� ������� ���� �� ������

� ������� � ��� �� ��� �� � �������� ��� �� � � ��� �� ���� ��� � ������ � ���� � �� �� ��� ��� �������� ������� �������� �� ����� �� �� �� ���� ����������� �� !����� �� � �������� ��� ����� � ��� �� � � �� �� ���� �� ������������ �� �� '��� A�F� �� ������� ������ ��� ������ �� ���� A�7� �� ��� �� �� ���� � ��� �� !����� �� �� ��� �������� � ��� � ��� ����� ������� ���� ����� �� ����� ��� ���� ���� ������� �� �� '��� A�F� � ���� � ��� �� !����� ������ �������� ������ ���� �� ��� ����� ��� ������� � ��� ��$� � ��� ����� ������

Page 115: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�( ���� ����� ���

(����� H���� � �� �/ N @ &�E8E78/ N 8 &�&&A?C/ N & &�&87F7/ N ? &�7G&?7/ N F &�7C8A8�!�� &�7@G88 K8@AL

(����� H���� � �� �/ N @ &�E8E78/ N 7 &�&@7AF/ N E &�7CEA8/ N A &�7F&E?/ N C &�7A?CA�!�� &�7@G88 K8@AL

���� A�7M ��� ��� � �� ��� ������ ���� �� �� �� ��� �� &���� ����� �� ��� ����

������� B� ����������� ��� ��������� �� ��� ��� �� ��� ���� ������ � �� #��� C�D�

��� �������� ���� ���� ����� ��� ������ �� ��� ���� ������� ���� ��� ���� �� ���

��� �������� ���� ���� ����� ��� ���� ���� ��� ������ #� ��� ��� ���� ��

���� ��� ����� �� ��� ����������� ���;����� ������� �� � � 1�

�� �� ��� ������ � � �������� � ��� �!�� � ���� � &�7@G88 � ��� �� � � ���� / ���� K8@AL� ����� �� �� �� �������� ���� ��� ��� ��� �>����� ����� ���������� ��� � ������ ��� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� �� ���� � ����������� �� ���� � ������ ��� �� !����� � �� ��� ��� � ��� ����� ��$� ���� ����� ������� �������� � ��� ��������� ����� �� � ��� ��) � ��� � ��� � � ��� ����������� ���� �� ������ ��� �������� ������� �� �� !����� ���� / N 7 ��� / N & ��� %�� ������ � � ��� %��� ������ �� � ����� �� ������ ��� �>����� �� �������� �� ������ ��� ����� ������ � ��� � ��� � � �������������� ��� ���� ��� ����� � � ��� %��� ������ �� @�CG@C7�

�� ��� ��� �>����� �� ������� � ��� ������� ����� � ��� �� ��� ��������� � � 4�� BA�FD ��� ��� � ��� ���������� � ����� � �� 4�� BE�&&D� �� �������������� ������ � ��� �� � � �� ��������� � ��� ��� � ��� �� ����� � ���� � ����������� ��� ����� � ��� ��� ������� �� �� � ��� ������� � � ��� �� � � ��� ������� ���� �� � � ��� ������� ����� � ��� �� ���� A�&� ���� ������ ��� ������� ��� �!�� � ���� � 8�&7G7A K88@L� ��������� � ��� ��� � � ��� �� ����� � ����'� � ���� ��� � ����� ��� ��� ��� �>����� �� � ��������� �� �� � ����� ��� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� �� ���� � ��� ������� �� ���� �� ���� ����� ��� �� ��� ����������� ����

�� ��� ��� �>����� ����� ��� ������ �� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ������ �� ��������� � � �� ������������� ������� �� �� '��� A�? �� �� �� �� ���� A�8� �� ������� � � ��� ��!�� ��������� ��� ��������� �� ��� � ��� ������ � BE�8@D �� ������ �� ���� A�8� '� � ����������� ��� �� ����� ��� � ��� � � ��� ����������� ���� ���� ��� ����� �� ��� � ���� ������ � � ��� ���������� ������ �� ��� N @�C&A@ ��� � � ��� ��!�� ��������� �� �"#$ N @�G&7A� � �����)���� �� �� � � ����� ������� �� ��� � ��� �� ����� � � �� � � ��� ���������� ������� �� �������� ��� ������ � ��� �� � � �� � �

Page 116: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

(����� H���� � �� �/ N @ 8�&E7?E/ N 8 8�&&FC@/ N & 8�&&A7A/ N ? 8�&&?@@/ N F 8�&&E7@�!�� 8�&7G7A K88@L

(����� H���� � �� �/ N @ 8�&E7?E/ N 7 8�&&?A8/ N E 8�&&EE7/ N A 8�&&&AF/ N C 8�&&&8A�!�� 8�&7G7A K88@L

���� A�&M ��� ��� � �� ��� ������ ���� �� �� �� ��� ������� &���� ����� �� ��� ����

������� ��� �������� ���� ���� ����� ��� ������ �� ��� ���� ������� ���� ��� ����

�� ��� ��� �������� ���� ���� ����� ��� ���� ���� ��� ������ #� ��� ��� ����

�� ���� ��� ����� �� ��� ����������� ���;����� ������� �� � � 1�

(����� H���� � �� �/ N @ 7�FCGCE/ N 8 7�FF?AA/ N 7 7�FF8EA�!�� 7�F&@F7

(����� H���� � �� �/ N @ 8�8G7EC/ N 8 8�8G8&F/ N 7 8�8G8@E�!�� 8�8CFFF

���� A�EM ��� ��� � �� ��� ������ ���� �� �� �� ��� �� &���� ����� �� ��� ������

������ �� ��� �������� ���� �� �� ��� ������� &���� ����� �� ��� ������ ������ �� ���

�������� ����� ��� ������ �� ��� ����������� ���;����� � �� ����� �� � � 1�

��� ����� ������� �� �!�� ����� � ��� �� � � �� �� �� ��������� �� 7�F&@F7�� ��� ���� ������� � �� ��� ��� � ��� ������ ������ K8@AL� �� ������� ��� �� ���� ���� A�E� ���� �������� �� ��� �� � ���� ��� ��� ��� �>����� �� ������� ����� � ��� �� � ��� ������ ���� ���� ��� ������ � � ��� �������� � ��� �!�� � ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �>����� � ��� ������� ����� � ��� � ��� ���������� ������ ��� ������� ��� ����� � ��� �� � � ��� ������ ����� �� ������� �� � ����� ��� ������� ������ � �������� � ��� �!�� � ���� �� ������ ������� �� ��� ���� � ����� �� ��� ��� � ��� ������ ������ K88@L� �� �� ���� ���� A�E�

�� ��� ��� ��� ��� ��� �>����� � ��� �������� ����� � ��� � ��������� ������ ��� �� ��� ��� � ��� / N 8 ����� ������� �� ��������� ����� ������� N 8�@78?A� ���� �� �������� � ��%��� �� �� @�7U� �� � ��� %���� �� ��� ��

����� ��� �>����� ����� N 8�@78FF@� ����� �� �� ���� ������� �� !����� �� � �

��� ����������� � � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� �������� ������ ��� ���� ��� ����� � � ��� � ���� ������ �� �� ���� ��� ������������ ��������� � ��� ������ � � ��� �� ����� � ��� ���� ��� �� � � ��� �������� �����

Page 117: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

1�( ���� ����� ���

� ���� �� %�� ��� ��� ������ � � ��� �������� � ��� �� � ������� ����� ������� �� @�CU � � ��� �� ����� � ���� ��� �� ��� ��� ������� ������� �� ���� � � ���� �� �� ��� ������ ��� �>����� � � ��� �������� ������ � � ��� ��������� ����� � ��� �� � ��� ���� ���� � � ��� �� ����� � ��� �� �� '���� E�7 ��� E�&��� ���� � ���� ��� ������ ��� �>����� ��� ���� �������� � ���� ��� � ��� ��� � � ��� ������ � � ��� ����������� ��� � ��� �������� ����� � ���� �� ����)� � ��� ��� ���� �������� � ��� ��� ��� ��� �>����� � ��� ������������������ ��� ������� �� ���� ��� �!�� � ��� � � ��� ������ ��� ���� �� ���� ������� ��� ���� �������� * ��$���� ��� �� ����� ������� � ���� �� ���������� � �� ��� %!�� ��� �� � ��� � � ��� 7��������� �� ����� � ��� �� �� '���&�&� �� �� ���� ���� � ����� � ���� ��� ������ ��� �>����� ��� � ���� ���!�� � ���� �� ��� �� �� �� !����� � � � ��� � ��� � � ��� ������ ���� �� ����� � ��� �������� ��� ��� ����� �� �������� � �� ���������� �� ��� ������� �������� ��� �� ������������� ���� � ��� ������� ��� ���� �������� * ��$������� �� � � ��� � ���� � � ��� ������ ��� �>������

�� ������� ��� ��� ����� � � ��� � ��� ��� ������� �� �� ���� A�8� ������ � ��� ������� �� �� ��� � ���� ����� �� � ��� ������ �� �� ��� ������ ��� �>����� �� � ��� ������� ����� N @�@FGF&8 ��� ����� N @�@FG8EA � � N &� ������������ N @�@A&@GF ��� �

���� N @�@A7A8A � � N E� ��� ������� �

���� N @�@?7EAF ���

����� N @�@?7@?C � � N ?� �� �� ���� � ���� ��� ����� �� � � ��� � ��� �� ���� ����������� ���� � � ��� � ��� ��� ������� � ��� ������ ������� �� �����)�� N @�@FG� @�@C@ � � N &� �� N @�@A7� @�@A& � � N E� ��� �� N @�@?7 � � N ?�'������ �� !����� �� ��� ������ � � ��� ������� ����� � � ��� � ���� ������ ����

�� ������ �� �� �����) ���� ��� ��� ��� �>����� � �)� ���� � � ��� �������H������ � ��� �� ���� �� �� �� ���� �� �� K88EL�

�� �� ���� ��� ����� � ��� � � ��� ������ ���� �� ��� ���� � ��� ���������� ������ ��� ������� � ��� ���� �� ��� ����� ������ ��)�� �� � ��� ��������������� ��� ��� ��� �>������ ��� ��� �� � ������ ��� � ����������� ��������� � ��� � � ��� ������ ���� �� ���� � ��� ������� ���� ���� ���� ����� ���� ������ �� � ������ ��� � ��� ������ � � ��� ��� ��� �>����� �� � ��������� ����������� � �� ��������� �� ��� ����� �� ���� ������ �� ����������� �������� ������� ��� ���� �������� ���� �������� ���� * ��$���� ��� �� �� ��4�� BA�FD � ������������ ������� ��� ��� ��%��� � �� �������� ������� �� ��4�� BA�7FD� 0 �� ��� �� �� ������ � ������� �����$� ��� ���������� � ��� ����� ������ ����� ��� (����� �� ���� �� �� '��� 8�A� 2� ����� �� ��� � ���������������� � ����� ��� (����� �� ����� ��� ��� ��� �>����� �� ����� � � � �������� ��� �� �� �� ������ � �������� ����� ��$� � ��� ����� ������� �� ��� ����� ��������� ��� �� �� ��� �� ��� ������ �� �� ���� ������ �� �� ��� ��� � ������ ���� (����� �� ���� ��� ������ ��� ������ ���� ������� ��� ��� ��� �>�������� ��� �������� 2�� � ��� ������ ����� �� � ��� �� ��� �!����� � �� ����� � ���

Page 118: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��� ����#�� ���,�� � $� *� �� '�����

���� � � ��� ���������� � � ���� �� �� �� ��� ����� ���� ������ ������� ����� �������

�� ���� ������� �� ������� �������� � ��������� ��� ���� � ��� ������� ���� �������� ��� �������� # ����� �� �� ��� ��� ������� � ���� ������� ����������� ' � �!����� ��� ������� �� �� ������ �� ��� ���� ��� �� ����� � ��� � ��� ������������� ��� ��� ������ ��� ��� ���� ���������� ����� � ��� � ���������������� ��� ��� ������� �� ���� ���������� ����� � ��� �� �� ��������� �� �� ����� � ��� ������� � �� �� KF&� FEL� �� ����� ������ �� � ������� � � ��� ������� � �� �� ���� ��� � ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� ���� ���������� ����� � ��� ���� ��� ���� � ������ � �� ������ ���������� � ����� � � ��� ������������� ��� ��� ������� �� ������ ��� �>����� ������� ���� ������ �� ���� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � ��� ������� � ��� � ��� ������������� ��� ��� ������ K88?L� �� ��� ��� �>�������� ��� � ������� ������ ��� �� ����� ������ ��� ��� �� ��)� � �� ����������� ���� ������� ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � ��� ���� ��� ������� � ��� ��� ��� ���� ���������� ����� � ��� ���� ��� ������ ��� �>������ ��� 5�������� � ��� ���� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� �>����� �������� ������ ����� � ��� ��� ��� ����� � �������� � � � �� � ��� ������� ��� ���������� ����� � ��� �����

Page 119: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

������ )

������

5��� ��� � ������� ������ �� ��� �����%��� ��� �� � ��� 5�������� � ��� +��)�����) � ���� �� ���� ���� ���������� �� ��� ���� � ��� ������� ��� ���� �!����� ��� �!������ � ��� ��� ����� ���� ���� � � %���� ������� ��� �������� ' �%������������ ��� �������� �� ��� ���� ����� � �������� � ������ �� ��� ���� ���� ������� ������ ���� ������ ��������� ��������� � �) �!����� �� ������ ���� � ��� �� !����� ��� ��� ��� ��� � ���� ��������� ��� ��� �������� ��� ��������� �������� ��� �� ��������� � ����� ������ � �������� ������� ���� ������������ �� ��������� ��� ������ ��� ���� �� ��� ������ ����� ���������� ��������� �! ������ ��� ���� ��$��� ��� ������������ ������ �� ���� � ��� ��������-�� ��������� �������� ������� � ������� ���� ���� �� ���� ��� ����� �������� �������� ��������� ������ ��� ����������� � ���� �� �������� �� ����� �� ����� ������ ��� �!�� � ������ ����� � ���� ���

�� ���� ������� �� ���� �� �� �� ������� ����� � ������������� ������ ���� ��� � � ��� ������ ���� � � %������������ ��� ���� � ��� �������� �������� �� � ������ �� ����� � ������� ��������� ��� �������� � � ��� �������! ����� ��� � ���� �������)� � � ��� ����������� � ��� �������� �� �����' � ����� �� ���� �� �������� ��� ������� ���� ��� ����� ���� � �� ���� ���� ������� ������ ��� ��� ����������� �� � ��� �� ����� � ����

�� ������� ��� ���� � ������ �������� � ��������� ��� ������ ���� ��������� �������� � ���� �� � ������ � ��� ������� �� �� 3����� 7� 3 ������� � �� ����� �!������� ��� ������������� ���� � ��� �������� * ��$���� ��� �������� ���� ��� ���� �� ��� ������� ������ �� � ������ ��� �!�� � ��� � � ��������� ���� 2� ��� ���� ����� �� ��� � ����� ��� � �������� �� ������ ������ ���� � ��� ������� ��� �� ��� ����� ��� ��������

�� �������� ����� ��� ����� �������� �� � ��� � ��� ��� � �� ��� �!������������ �� ��� ����� ������ � ��� ���� �������� ��� (����� �� ����� ���� ������� ��� �!�� ����� � ��� �������� ������� �������� ��� ��� � ��� � ���� ���% ���� ��� � �� ������� ������� � ������������� � ��� ��� ������� � ��

88G

Page 120: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� � ���%

� � ������ � �) ���� � � ��� ���� � ��� �������� �� ������ ���� � ������ ������ ������ ��� ������ � � ��� ������ ��� ��������� � ��� � ������ � ��� ��������� ����� ��� �� 3����� E� ��� ������ ��� �>������ ��� �����$ ��� ������ �� ������� �� � � ��������� � ��� ����� ����� ���� �!������ ������� �� ���������������� �� ��� �������� ��� ���� �������� ������ �� ���� ���� �������� � �� >����%�� �� � ����� � ���� � ��� (����� �� ����� ��� ������� ���� � ������������� ������� �� � ���� ��� �>����� �� � � ������ ������

�� ���� ���� ��������� �� 3����� ?� � ������ ��� ��� ��� �>����� �������� ����� � ��� �� ��� ������ ��� �>����� ����� ��� ���� � ��� ��� ������$��� � �� � ��������� ���� �� � ��� ��� � ��� � ������� � ����� � � ��������������� � ������ ���� ��� ������ ���� ��� ��� ��� �>����� ����� ������� �� � ��� � ��� � ��� �� � ��� ����������� ���� � �!�� ������� ������� ����� ��� �����$��� � �� � �������� � ��� ���������� ������� ���� ��� ������ ��� �>������ �� ��� ��� �>����� ����� � �� ���� � ������ ��� ������ ������ ������� ���� ��� �� ���� �� ��� ����������� ��� � ��� (����� �� ����� �� ��� ����� ��������� ��� � ����� ����� ������� � � ��� � ��� �� � ��� ������ ������������� �� ��� � ������������ ���� �� # ����� ���� ����� ��� ����� � ����� � ���� ��� ������ � ��� �>����� � ������� ��������

�� ��� ��� �>����� ��� ���� � ��� � � ��� ������� ������� �� 3�����A� �� ���� ���� ��� ��� �����$��� � �� � �������� � �� � � � �) ���� ������������ �� �������� �� ��� ��������� ����� ��� ��� �����$��� �� ����� �� �� � � � ������� ��� ��� �����$��� � ��� ������ � ��� �� ��� ������� � ��� ���������� � ����� � �� � ������� ����� � ��� ������� ������ ����� ��� ��������� ��������� � ��� ������� � � ��� ��� �����$��� �� �� ������ ��� ������� � ������ ������ ��$� � ��� ����� �������� �� ���� � ������� �� ��� ��� ��� �>�������� �� ������� ������� ���� ��� ���� �������� � �� �� ��� ����������� ��� ��� ���� ��� ���� � � ��� ���������� � � ��������� � ��)�� � ����� ������ ��� ������ ������� ���� �� �� � �����%��� � ���� � ��� ���� �������� ��� ��� ���� � ��� �������� � ��� ��� ��� ������ � ��� ������ ���� �� ���� ������������ ���� � ����� ��� (����� �� ���� ��� ���� ���������� ��� �� ���� ������� ��� � ��� � � ��� ����������� ��� � � ��� �� ����� � ��� � ��� ���������� ����������� ��� ��� ��!�� ��� ������� ���� ��� ����� � � ��� � ���� ������ �������� �� ��� �� �� � ��� ������ ���� � � ������� ���� ��� �� ����� � ���� �������� ��������� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �������� � ��� �!�� � ���� ���'� � ����� �������� ��� ��� ��� �>����� �� �������� �� �������� ��� ������ ��� � � ��� ������ ���� �� ������� ���� �� �� ���� � ��� ��������

�� ��� ��� �>����� �� � ���������� ���� ���� ��� ���� � ��� (����� ������� � ������ �� ������� ��� ��� ���� ��� �� � ������ ��� � ���� �� � �!��� � ���� �� �� %������������ ��� ���� � ��� �������� �� �� ��� �� ������$������ �� ���� � ��� � ��������� �� �� � ������ ��� � ��� � � ��� ������ ����� ������ �� �� � �� ��� �������� �� !����� � �� ��� �������� � ���

Page 121: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

��

����� ������� ��� �� ���� ��� ������ ���� ��� ������� ����� �� 2�� � ��� ������� ������ �� � ��� ��� ��� �>����� �� ���� �������� � �� � ������������������� � � �������� ��� ����� � ��� � � ��� ������ ���� ��� �� ���� ����� � �������� ����� ����� � �� �������� �� ��� �!�� � ���� �� �� ���� ����� �������) � ��� ����������� � ���� �� �������� �� ���� ��� �� ���������� ���� ��� ��� ���� � ����� ������� ���� ��� ������ � ��� ��� ��������

�� ������ �� ��� ����� � ���� ��� ����� ��������� �� �� �� ������� ���� � ��� ��� ��� �>������ �� ����� � ��� ���� � � ��� ���������� � � ��������� ���������$�� ��� ���� �������� � � ��� (����� �� ����� ����� �� ��� ��� ��� �>����� ����� ������ ��� �� ���� ��� � ���������� ��� ��� ������� � ��� �������������� �� ��� ��� ������ ���� �� � ������� ����������� � ���� ���� ��� ������������ � � ��� (����� �� ���� �� ������� ���� � ����� � � �� � ��� ������� ���������� ��� ����� � � ������� ������� � ������ � ��� ��� ��� �>��������� �������� � � ��� ������ ���� �� �� ����� �������� %����� ��� ���������� ���������� ��� ��� ������� ��� ����� � ��� ����� 5�� ������ � ������ ������ ��������� � ��� ��� ����� ��� ������ ����%�� ��� ��� ��� ��� �!�� � ���� �� ���������� ��������� �� ���� � �� ����� �� ��������� � ����� ���������� ��� ����� � ��� ��� ����� ��� ��� ���

Page 122: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems
Page 123: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

*���������

K8L +� *����� ��� �� �� 1 ���� "��� 0 �� ����� $1� C@8 B8GCAD�

K7L 0� 0V�$���� �� ������� ��� 0� H���� � � "��� #��� $����� � %���� B� ���5�����%� 8GCAD �

K&L #� (����� ��� "�������� &������ �� "��� #����� � ���������� &���������'

(� ����� ������ B2!� �� -���� ������ 2!� ��� 7@@8D�

KEL 0� �� "������� ��� 3� +������ /�� GG B8G?ED�

K?L � +������ �� �� �� �� ����� &�� E? B8G?AD�

KAL +� 1 ����� ����� "��� &��� CG& B8G?FD�

KFL H� 3������� ��� 6� �� 0�� ��� ����� "��� * �� E77@ B8GF7D�

KCL #� 0������ ��� �� '����� ����� "��� * '�� 87E? B8GFGD

KGL 2� 0������� '� 5������� �� '����� ��� #� 0������� ��� �� R���� ����� "���I���� ��� 8@7 B8GC@D�

K8@L �� 4� *� ����� "� �� '������ �� 4� ' ���� (� 4� ������� ��� 6� ��� 3���� 6�0���� 0��� 0��� *&�*�� 8&&8 B8GC&D�

K88L �� �� ����� 3 ����� ����� '� 88? B8GFFD�

K87L 6 H��������� ��� �� �� ����� 6� ����� 3M 5 ��� 5���� ����� &�� I?&F B8GFFD�

K8&L 5� '� 4������ ��� �� �� ������ �� 6� ����� ' $� GA? B8GF?D�

K8EL /� 5�������� � ��� 5� +��)����)� ����� "��� I���� *$� 8FG7 B8GF?D�

K8?L 5� +��)����) ��� /� 5�������� �� ����� "��� * &�� E&CE B8GC8D�

K8AL 3� /�� / ������� 0� ������ #� 2������ ��� � ������ 6� ����� B�����D �&� G7&B8GC@D�

87&

Page 124: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� +�+'���*)�-2

K8FL �� 6� *��� ��� 0� �� 0 ��� 6� ����� 3M 5 ��� 5���� ����� &*� IEAG B8GC@D�

K8CL �� 6� *��� ��� 0� �� 0 ��� 6� ����� 3M 5 ��� 5���� ����� &*� IG@F B8GC@D�

K8GL 0� +�� � ������ �� ������ ������ 5������� ( ������ ����� ( � 7CAB8GACD�

K7@L 5� '� 4������� �� &����� ���� �� ��� $��� ����������� )��������� �� (����

����� *������� ������ �� "� �� / ����� ��� *� 4����� B������ (�� 1 �)D� �7FG B8GF@D�

K78L � '� I��� 6� 0���� ����� &&� 8?CE B8GF@D�

K77L 5� '� 4������� �� &������ ���+��,�� ������ �� �� 6� 3� �� ��� 5� (������B������� (�� 1 �)D� � C& B8GF8D�

K7&L �� *������ 6� �������� 3 �� 8?AC B8GFCD�

K7EL �� 6� *��� ��� 0� �� 0 ��� ���� "��� I���� �&� 8@AG B8GFCD�

K7?L �� ������� ����� "��� I���� �*� 8F?E B8GFGD�

K7AL "� �� ������� ���� ����� *&� AAG B8GC7D�

K7FL 0� 0V�$���� �� ������� (� 5 ������ �� �� ���� ��� 0� H���� � � ����� "���I���� $'� 88?A B8GCED�

K7CL 0� 0V�$���� �� ������� (� 5 ������ �� �� ���� ��� 0� H���� � � 6� �����B�����D �$� CE& B8GCED�

K7GL /� 6� � ������ �� �� ������ �� ��� "� �� ������� ���� �� 0��� *$� ?G& B8GFFD�

K&@L � 3� I�����)�� ����� "��� * &&� &?F& B8GF?D�

K&8L �� �� 1 ��� ��� "� *� 5���� ���� 6� ����� 3 1� I?&? B8GF?D�

K&7L �� *� #������ � 3� I�����)�� ��� "� 6� 3���� ����� "��� I���� *�� E8? B8GFAD�

K&&L "� 6� 3��� ��� � 3� I�����)�� ����� "��� * &�� 78@A B8GFFD�

K&EL #� (����� ��� �� �� �� �� ����� ��� 88AG B8GC8D�

K&?L "� (� *���� ��� �� �� 1 ���� ����� "��� I���� $�� G7E B8GC?D�

K&AL "� (� *���� ��� �� �� 1 ���� ����� "��� * *�� ?A@A B8GCCD�

K&FL �� � 2�����)� ��� �� 0 ���������� ����� "��� I���� $�� G7C B8GC?D�

Page 125: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

+�+'���*)�-2 ��

K&CL �� � 2�����)� ��� �� 0 ���������� ����� "��� * *'� F&CE B8GC?D�

K&GL �� 0 ��������� ��� +� *������ ����� "��� * ''� 7CC B8GC@D�

KE@L �� 6� *��� ��� 0� �� 0 ��� 6� ����� 3 &�� IEA& B8GCED�

KE8L "� "� �� 5���� ��� 5� 3��)�������� ����� "��� I���� $�� 7E? B8GCAD�

KE7L 1� 2$�)�� 6� ����� 5 � 6�� $/� &?&8 B8GG@D�

KE&L #� �� +��$������� 0� +. ���� ��� �� �� 1 ���� ����� "��� * �* 77EE&7 B7@@AD�

KEEL �� �� 3������� +� #�)������ ��� #� �)������ ����� "��� * �� 8&EE7 B7@@FD�

KE?L /� 5� '����� ��� /� �� #���� 6� ����� �� '� IGGF B8GCFD�

KEAL /� �� #��� ��� /� 5� '������ 6� ����� �� '� I8@@? B8GCFD�

KEFL /� 5� '����� ��� /� �� #���� ����� "��� * *1 &CA B8GCCD�

KECL #� (����� ��� 6� ����� 5 � $$� &&@? B8GCAD�

KEGL �� �� ���� ��� �� I� / ������ ���������� &������� B8GCCD�

K?@L �� I� / ����� ��� �� *� #������ ����� "��� I���� �& A7? B8GCCD�

K?8L �� I� / ����� ��� �� *� #������ ����� "��� * �� G7EG B8GCGD�

K?7L 1� 2$�)� ��� #� (����� ��� 6� ���� 5 � 6�� $� 8?AC B8GCFD� B��������M $�7GG7 B8GCFD�D

K?&L 1� 2$�)� ��� #� (����� ��� 6� ����� 5 � 6�� $� &7A? B8GCFD�

K?EL "� "� �� 5���� ��� 6� ������ ����� "��� * $�� &AE B8GGAD�

K??L 1� 2$�)� ��� (� �� � 6� ����� �M 0���� ���� *&� ?E?8 B8GGCD�

K?AL '� /� �� ���W� "���� 5� I� �� �� :���� $� ��� "� "� � � 5��� �� ����� "��� *��� AFE@ B8GGGD�

K?FL �� # ��)��� 0� �� � ��� �� ��> �� ����� "��� I���� 1�� @EF7@8 B7@@8D�

K?CL '� 0��$ ��� 6� � 3���)��� ����� "��� * �$� @?EE7? B7@@7D�

K?GL 5� I� �� �� :���� $� ����� "��� * �*� @AEE8@ B7@@AD�

KA@L (� �� ��� 1� 2$�)�� ������ � *'&� 7A7 B7@@&D�

Page 126: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� +�+'���*)�-2

KA8L 0� �� � �� # ��)��� ��� �� ��> �� 6� 5���� 0��� �@G@@A B7@@AD�

KA7L 0� #��������� '� �� ����� �� ��������� � ��� 4� H����� ����� "��� 4 ���@?888? B7@@CD�

KA&L "� "� �� 5����� ����� "��� I���� ��� CGG B8GG8D�

KAEL 0� #��������� '� �� ����� �� ��������� � ��� 4� H����� ����� "��� * ���8CE7@7 B7@@FD�

KA?L �� �� ���$����� (� "���� ��� �� �� �� I������ ����� "��� * �*� 8@EE77B7@@8D�

KAAL 5� 3� ��� 0� �� �� '������ ����� "��� * $$� 8@7? B8GGFD�

KAFL 6� � 3���)��� (� "���� H� +���� ��)�� *� # � ���$� 1� �������� ��� �� �� ��I������ ����� "��� * �$� @87?@A B7@@8D�

KACL �� 0������������ '� 4����� "� (��������� �� /� 0������ ��� +� /����� �����"��� * �*� 878&@8B"D B7@@AD�

KAGL (� 5 ������ 4�� ���� I���� '$� 8?G B8GGED�

KF@L #� (����� ��� ������ � '�$� 8 B8GGED�

KF8L 1� ���� 6� ����� �M 0���� ���� *'� &CF? B8GGGD�

KF7L #� (����� ��� ������ � *&$� 7E& B7@@7D�

KF&L 4� /������ �� +������ �� I������� ��� 6� ����)���� 6� 0���� ����� �*� EE?7B7@@7D�

KFEL 3� ����� 6� #������� �� ��� 6� ����)���� ���� ����� B(1D *�*� &8 B7@@&D�

KF?L �� ���������� 3� 6�����)���� ��� 0����� � ����� ����� "��� * &/� 7A@ B8GFGD�

KFAL #� '����� ��� �� ������������ 6� ����� �M 0���� ���� ''� E@E? B8GCGD�

KFFL 6� *������� -� /����� ��� �� 0��$� /������ ����� 0��������� ''� 8&GB8GGED�

KFCL (� +�������� ��� #� "������ 4�� ���� I���� */� C? B8GGFD�

KFGL 6� �� *��)���� 6� "� � �,������ ��� 6� � ������ ����� "��� 4 $1� 8?@7 B8GGCD�

KC@L 3� �� ��� ��� �� +� #�������� ����� "��� * ��� 8&EE7? B7@@ED�

Page 127: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

+�+'���*)�-2 ��

KC8L 6� 4�� ���� 3��� 6� 0���� &�� EEG B8GA?D�

KC7L '� *���� ��� "� 0������� "� "������ ��� 6� �� -���� 6� ����� �� &$� AF&B8GC7D�

KC&L '� *���� ��� 6� ����� � &$� &7E8 B8GC7D�

KCEL #� +�������� 6� ����� 5 � 6�� �&� E@EG B8GG7D�

KC?L #� �� +������ ��� �� #� �������� ����� "��� ��� 7?7 B8GE8D�

KCAL '� 1� �� ��� 1� +� ����� 6� 0���� ����� &�� E&G B8GFAD�

KCFL #� (����� �� ��� +� (�� � � 6� ����� 5 � 6�� �&� 88GC B7@@7D�

KCCL 6��0� 0�������� +� (�� � ��� #� (����� ��� 6� ����� � *�� GFGG B7@@&D�

KCGL �� (� *��)�� ��� 5� 2������� 6� ����� 3 &'� EGA8 B8GFGD�

KG@L "� *� ������ ��� 0� +������� ����� "��� * '�� ?@77" B8GC7D�

KG8L 0� +������ ��� "� *� ������� ����� "��� * *�� 7EE B8GCED�

KG7L 0� #��$���)� ��� �� (� *��)��� ����� "��� * �'� 8EEE@7 B7@@?D�

KG&L I� 2������� ����� "��� �$� 88F B8GEED�

KGEL "� 6� *�!���� -.���� ���/� �� ��� �� ��������� �������� B������ ������I �� �� 8GC7D�

KG?L '� 1� ��� "��� 0 �� ����� $�� 7&? B8GC7D�

KGAL 0� 2�$�)� ��� #� (����� ��� 6� ����� 5 � 6�� &'�� GFF B7@@FD�

KGFL '� 1� �� ��� "� +� �� R��� 6� ����� �M 0���� ���� &� F78 B8GC8D�

KGCL �� �� ����� /� #������ �� I� / ����� ��� 6� �0� 0�������� 6� �������� �1� 8B8GCFD�

KGGL #� (����� ��� 6� 5���� ����� &'�� GFF B7@@FD�

K8@@L +� �)���� � 5���� � ��� #� (����� ��� 6� ����� � *1� &F?8 B7@@?D�

K8@8L #� (����� �� ��� 0� 2�$�)�� 6� ����� 5 � 6�� �$� @&E@@E B7@@AD�

K8@7L 6� I� 6� ���� ��� 0� �� � ����� "��� 4 �$� @7A88& B7@@7D�

K8@&L #� (����� �� ��� 0� 6� 5������ ����� "��� * '�� ?AEE B8GC&D�

Page 128: Duality for Precise Locations of Critical Points in Random Spin Systems

�� +�+'���*)�-2

K8@EL 0� 2�$�)�� #� (����� �� ��� �� (���� *��)��� ����� "��� 4 ��� @A888@ B7@@CD�

K8@?L '� /� ( ���� ����� "��� 4 ��� @EA8@C B7@@8D�

K8@AL 4� / ����� 6� ����� 3 &'� I88G B8GFGD�

K8@FL #� (����� ��� 6� ����� 3 &'� IG@? B8GFGD�

K8@CL #� (����� ��� 6� ����� 3 &'� IAE8 B8GFGD�

K8@GL /� 5������� ����� ������ �� &��������� $����� B ��� � X '������ I �� ��8GC?D�

K88@L 4� / ����� 6� ����� 3 &&� I&&F B8GFCD�

K888L *� �� 5 ������ ��� 0� '� �� �� 6� ����� 3M 5 ��� 5���� ����� &'� ?&?8B8GFGD�

K887L *� �� 5 ������� 6� ����� 3M 5 ��� 5���� ����� &*� I7C? B8GC@D�

K88&L �� ���� �� ��� 0� 6� 5������ 6� ����� 3� 5 ��� 5���� ����� &* IE@F B8GC@D�

K88EL 1� 2)���� ������ �������� ��

K88?L +� �)��� ��� #� (����� ��� (��� ����� * �1� &FF B7@@ED�