Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα
DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι...
Transcript of DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι...
![Page 1: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/1.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων1
ρυθμός αύξησης συναρτήσεων
Παύλος Εφραιμίδης
![Page 2: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/2.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων2
περιεχόμενα
Ασυμπτωτικός συμβολισμόςΚαθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθειςσυναρτήσεις
![Page 3: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/3.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων3
ασυμπτωτική πολυπλοκότητα
Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης– Συγχωνευτική ταξινόμηση: Θ(nlgn)– Ενθετική ταξινόμηση: Θ(n2)Για αρκετά μεγάλο μέγεθος εισόδου n, ησυγχωνευτική ταξινόμηση υπερτερεί της ενθετικήςΤο παραπάνω συμπέρασμα προκύπτει ανεξάρτητααπό τις πολλαπλασιαστικές σταθερές και τους όρουςκατώτερης τάξης στην πολυπλοκότητα χρόνου
![Page 4: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/4.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων4
ασυμπτωτική επίδοση
Δεδομένου ενός αλγορίθμου,– για μεγάλα μεγέθη εισόδου μας ενδιαφέρει ο αυξητικόςχαρακτήρας του χρόνου εκτέλεσης,
– δηλαδή ουσιαστικά η ασυμπτωτική επίδοση τουαλγορίθμου.
Ασχολούμαστε δηλαδή με το ρυθμό αύξησης τουχρόνου εκτέλεσης
– στην οριακή περίπτωση που το μέγεθος της εισόδουαυξάνει απεριόριστα.
![Page 5: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/5.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων5
ασυμπτωτικός συμβολισμος
Χρησιμοποιούμε διάφορους συμβολισμούςγια την ασυμπτωτικό χρόνο εκτέλεσης ενόςαλγορίθμουΧρησιμοποιούμε συναρτήσεις με πεδίοορισμού τους φυσικούς αριθμούςΝ=0,1,2,...Καταχρηστικά μπορεί να το χρησιμοποιούμεγια διαφορετικά πεδία ορισμού
![Page 6: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/6.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων6
ασυμπτωτικοί΄συμβολισμοί
Συμβολισμός ΘΣυμβολισμός ΟΣυμβολισμός ΩΣυμβολισμός οΣυμβολισμός ω
![Page 7: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/7.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων7
συμβολισμός Θ
Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Θ(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Θ(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Θ(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c1,c2 καιn0: 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) ∀n≥n0
![Page 8: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/8.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων8
f(n)=Θ(g(n))Η συνάρτηση f(n) είναι ασυμπτωτικά φραγμένη από επάνω καιαπό κάτω από τη συνάρτηση g(n).
f(n)
c1·g(n)
c2·g(n)
n0
![Page 9: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/9.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων9
συμβολισμός Ο
Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Ο(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Ο(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Ο(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c και n0: 0≤f(n)≤cg(n) ∀n≥n0
![Page 10: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/10.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων10
f(n)=Ο(g(n))Η συνάρτηση g(n) είναι ένα ασυμπτωτικό άνω φράγμαγια τη συνάρτηση f(n).
f(n)
c·g(n)
n0
![Page 11: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/11.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων11
συμβολισμός Ω
Ο χρόνος εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσηςτης ενθετικής ταξινόμησης είναι T(n)=Ω(n2)Τι σημαίνει αυτό;Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το Ω(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:Ω(g(n)) = f(n): ∃ θετικές σταθερές c και n0: 0≤cg(n)≤f(n) ∀n≥n0
![Page 12: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/12.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων12
f(n)=Ω(g(n))Η συνάρτηση g(n) είναι ένα ασυμπτωτικό κάτω φράγμαγια τη συνάρτηση f(n).
f(n)
c·g(n)
n0
![Page 13: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/13.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων13
Συμβολισμός ο
Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το ο(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:ο(g(n)) = f(n): για οποιαδήποτε θετικήσταθερά c, υπάρχει σταθερά n0: 0≤f(n)<cg(n) ∀n≥n0Το ο() δηλώνει ένα ασυμπτωτικά μη σφιχτό(tight) άνω όριο ή αλλιώς μη αυστηρό άνωόριο
![Page 14: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/14.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων14
μια ερμηνεία του ο()
Μια διαφορετική ερμηνεία του συμβολισμού ο() είναι:Το f(n) = o(g(n)) σημαίνει ότι η συνάρτηση f(n) γίνεται αμελητέα σε σχέση με την g(n) καθώς το n τείνει προς το άπειρο:
( )lim 0( )n
f ng n→∞
=
![Page 15: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/15.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων15
Συμβολισμός ω
Για δεδομένη συνάρτηση g(n), το ω(g(n))δηλώνει το σύνολο των συναρτήσεων:ω(g(n)) = f(n): για οποιαδήποτε θετικήσταθερά c, υπάρχει σταθερά n0: 0≤cg(n)<f(n)∀n≥n0Το ο() δηλώνει ένα ασυμπτωτικά μη σφιχτό(tight) κάτω όριο ή αλλιώς μη αυστηρό κάτωόριο
![Page 16: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/16.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων16
μια ερμηνεία του ω()
Μια διαφορετική ερμηνεία του συμβολισμού ς() είναι:Το f(n) = ς(g(n)) σημαίνει ότι η συνάρτηση f(n) γίνεται αυθαίρετα μεγάλη σε σχέση με την g(n) καθώς το n τείνει προς το άπειρο:
( )lim( )n
f ng n→∞
= ∞ ,εάν υπάρχει το όριο.
![Page 17: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/17.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων17
καθιερωμένη συμβολισμοίκαι συνήθεις συναρτήσεις
![Page 18: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/18.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων18
μονοτονία
Αύξουσες συναρτήσεις:– συνάρτηση f(n) μονότονα αύξουσα: ∀m≤n, f(m)≤f(n)– συνάρτηση f(n) γνησίως αύξουσα: ∀m<n, f(m)<f(n)
Όμοια, φθίνουσες συναρτήσεις:– f(n) μονότονα φθίνουσα– f(n) γνησίως φθίνουσα
![Page 19: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/19.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων19
κατώφλι και ανώφλι
x πραγματικός αριθμός– κατώφλι του x: ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι
μικρότερος ή ίσος του x– ανώφλι του x: ο μικρότερος ακέραιος που είναι
μεγαλύτερος ή ίσος του x
Ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x:
⎣ ⎦x
x⎡ ⎤⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 11 +<≤≤<− xxxxx
![Page 20: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/20.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων20
υπολοιπική αριθμητική
υπολοιπική αριθμητική (modular arithmetic)υπόλοιπο διαίρεσης:
– α: οποιοσδήποτε ακέραιος– n: οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος– τότε: ⎣ ⎦ nnaana ⋅−= /mod
Αν (α mod n) = (b mod n), γράφουμε
)(mod nba ≡
![Page 21: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/21.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων21
πολυώνυμα
Δοθέντος μη αρνητικού ακεραίου d, μια συνάρτησηp(n) της μορφής
είναι ένα πολυώνυμο του n βαθμού d.Όταν f(n)=O(nk) για κάποια σταθερά k, λέμε ότι ησυνάρτηση f(n) είναι πολυωνυμικά φραγμένη
∑=
=d
i
ii nanp
0)(
![Page 22: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/22.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων22
εκθετικές συναρτήσεις
Για κάθε α≥1, η συνάρτηση αn είναι μονότονα αύξουσα ως προς n.Συγκρίνετε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της 2n με την n15.Αν α και b πραγματικές σταθερές με α>1, τι ισχύει γενικά για τιςσυναρτήσεις αn και nb;
( ) ( )nmnm
nmmnnm
aaaaaa
aa
aaa
+
⋅
−
=⋅
==
=
=
=
1
1
1
1
0
![Page 23: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/23.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων23
λογάριθμοι
lg n=log2n (δυαδικός λογάριθμος)ln n=logen (φυσικός λογάριθμος)lgkn = (lgn)k (ύψωση σε δύναμη)lg lg n = lg( lg n)) (σύνθεση)
![Page 24: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/24.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων24
ιδιότητες λογαρίθμων
Για πραγματικούς α>0,b>0,c>0 και n:
aca
b
bb
c
cb
bn
b
ccc
a
bb
b
ca
ba
aabaa
ana
baabba
loglog
log
log1log
log)/1(loglogloglog
loglog
loglog)(log
=
=
−=
=
=
+==
![Page 25: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/25.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων25
παραγοντικά
Για ακέραιο n≥0, το n! (διαβάζεται «n παραγοντικό») ορίζεται ως:n!=– 1, για n = 0– n·(n-1)!, για n > 0Επομένως
n! = 1·2·... ·n
![Page 26: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/26.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων26
επαναληπτική εφαρμογή συνάρτησης
Για συνάρτηση f(n) επί των πραγματικώναριθμών και μη αρνητικό ακέριαο i, ορίζουμεαναδρομικά:f(i)(n)=– n, εάν i = 0,– f(f(i-1)(n)), εάν i > 0
![Page 27: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/27.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων27
επαναληπτική εφαρμογή λογαρίθμου
lg*n: «λογάριθμος αστερίσκος του n»Ορισμός:Η συνάρτηση αυξάνεται με πολύ αργό ρυθμό:
Αν λάβουμε υπόψη ότι ο αριθμός των ατόμων στοπαρατηρήσιμο σύμπαν εκτιμάται ότι είναι της τάξης του 1080, αντιλαμβανόμαστε ότι είναι μάλλον απίθανο νασυναντήσουμε τέτοιο n ώστε lg*n > 5.
1lg:0minlg* )( ≤≥= nin i
5)2(lg*465536lg* ,316lg*
24log* ,12lg*
65536 =
====
![Page 28: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/28.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων28
αριθμοί Fibonacci
Οι αριθμοί Fibonacci ορίζονται με την ακόλουθηαναδρομική σχέση:F0=0, F1=1, Fi=Fi-1+Fi-2, για i≥2Προκύπτει ότι:
,5
όπου είνα ι ο λόγος της χρυσής τομής (go lden ratio ):
1 5 1 5,2 2
ii
iF φ φ
φ
φ φ
−=
+ −= =
![Page 29: DSAlg Lec03 Growth - Euclid...ΔομέςΔεδομένωνκαι 24 Αλγόριθμοι ρυθιμόςαύξησηςσυναρτήσεων ιδιότητεςλογαρίθμων ...](https://reader033.fdocuments.us/reader033/viewer/2022041909/5e66abc7deae2610cf49d846/html5/thumbnails/29.jpg)
Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ρυθιμός αύξησης συναρτήσεων29
Αναφορές/Πηγές
Εισαγωγή στους αλγόριθμους, Κεφάλαιο 3