8/17/2019 Dp - Calculo 3

1/25

  FACULDADE ANHANGUERA EDUCACIONAL LTDA

Curso: Engenharia Civil - 4º Semestre

Unidade: Marte

Atividades Práticas Supervisionadas

 

Etapas nº III e I

Aula !ema: Cálculo de "rea e olume de S#lido de $evolu%&o'

(isciplina: Cálculo III

Pro)essor: Paulo *ordá

  Alunos $A

 

EDVALDO DOS SANTOS JÚNIOR RA 1299129749

ÉLINCON PISSININ DE ALMEIDA RA 1299128374

JEFFERSON CINTRA BARRA RA 1299128111

MATHEUS AMADOR CARVALHO SOUZA RA 129912834

 

1

8/17/2019 Dp - Calculo 3

2/25

 

S!O PAULO 

2"1 

FACULDADE ANHANGUERA EDUCACIONAL LTDA

 

ATPS 

C#$%&$' III

2

8/17/2019 Dp - Calculo 3

3/25

 

!ra+alho apresentado, como reuisito de pontua%&o para aprova%&o da disciplinade .C($%&$' III) / 0aculdade deEngenharia Civil, da AnhangueraEducacional 1tda', orientada

 pelo Pro)essor Paulo *ordá'

 22222222222222222222222222

Pro)essor: Paulo *orda

Anhanguera Educacional 1tda'

3

8/17/2019 Dp - Calculo 3

4/25

 

S!O PAULO 

2"1 

*+,-%.

Introdu%&o''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''34

Etapa III'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''3

Passo 35'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''3

Passo 36'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''37

Passo 38'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''53

Passo 34'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''53

Etapa I''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''55

Passo 35'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''55Passo 36'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''5

Passo 38'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''59

Passo 34'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''59

Conclus&o''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''63

i+liogra)ia''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''65

4

8/17/2019 Dp - Calculo 3

5/25

I+/0',&'

Com +ase nesse tra+alho de cálculo III, ;atividades práticas supervisionadas< ue iremos

comentar so+re Cálculo e olume de área' Iremos )alar so+re suas import=ncias

aplicadas no dia a dia, e principalmente nos ramos de curso de engenharia onde o )oco >

o principal do conte?do' A atividade prática supervisionada ;A!PS< > um m>todo de

ensino-aprendi@agem desenvolvido por meio de um conunto de atividades programadas

e supervisionadas e ue tem por o+etivos, )avorecer a aprendi@agem, estimular a

responsa+ilidade do aluno pelo aprendi@ado e)iciente e e)ica@, promover o estudo, a

convivBncia e o tra+alho em grupo, desenvolver os estudos independentes, sistemáticos

e o autoaprendi@ado, o)erecer di)erenciados am+ientes de aprendi@agem, auiliar no

desenvolvimento das competBncias reueridas pelas diretri@es curriculares nacionais dos

cursos de gradua%&o, promover a aplica%&o da teoria e conceitos para a solu%&o de

 pro+lemas relativos / pro)iss&o'

5

8/17/2019 Dp - Calculo 3

6/25

E/(( III

P(' 1

Parece ue o primeiro a calcular a área eata de uma )igura limitada por curvas )oiDip#crates de Chios, o mais )amoso matemático grego do s>culo A'C'' Ele calculou a

área de uma )igura em )orma de lua crescente ;ou minguante igual / área do uadrado cuo lado > o raio do crculo'

F pro+lema da uadratura de um crculo, isto >, de achar um uadrado de área

euivalente a de um crculo de raio dado, > um dos pro+lemas clássicos da Geometria a

ue muitos matemáticos dedicaram aten%&o, desde a Antiguidade' Dip#crates Huadrou

a l?nula, em+ora )osse incapa@ de resolver o pro+lema da uadratura do crculo'

Fs geJmetras, desde o tempo de Euclides, entendem ue resolver um pro+lema >

construir a sua solu%&o utili@ando somente uma r>gua n&o graduada e um compasso'

Doe, sa+emos ue o pro+lema da uadratura do crculo > impossvel de resolver 

utili@ando-se apenas r>gua e compasso'

A primeira vista parece ue o pro+lema de calcular áreas > um assunto de interesseapenas para geJmetras, sem aplica%Kes na vida prática )ora da Matemática' Isto n&o >

verdade, veremos ue muitos conceitos importantes de 0sica, tais como tra+alho,

energia e o pro+lema de engenharia de achar a )or%a total ue age so+re uma +arragem

em virtude da press&o de água no reservat#rio, por eemplo, dependem das mesmas

ideias utili@adas para o cálculo de áreas'

Fs dois conceitos principais do cálculo s&o desenvolvidos a partir de ideias geom>tricas

relativas a curvas' A derivada prov>m da constru%&o das tangentes a uma dada curva, o

6

8/17/2019 Dp - Calculo 3

7/25

 pro+lema era o cálculo de áreas de )iguras planas serem conhecidas desde esta >poca, e

at> mesmo pro+lemas do cálculo de áreas de regiKes limitadas por segmentos de retas e

algumas curvas, como a pará+ola, terem sido estudados e resolvidos, para casos

 particulares, at> o s>culo LII, uando )oram esta+elecidos os )undamentos do Cálculo

(i)erencial e Integral como uma teoria matemática digna de cr>dito, n&o se conhecia

nenhuma )#rmula ou m>todo geral ue se pudesse aplicar para resolver o pro+lema de

calcular áreas de regiKes limitadas por curvas uaisuer'

 os meados do s>culo LII, vários estudiosos europeus, entre eles 0ermat e Pascal,

 passaram a usar nos seus tra+alhos o m>todo da eaust&o, empregado por Aruimedes

no cálculo de áreas de segmentos para+#licos' Mais tarde, eNton e 1ei+ni@ mostraram

como este m>todo estava relacionado com o Cálculo (i)erencial este importanteresultado > denominado teorema )undamental do cálculo e > um dos resultados mais

importantes de toda a matemática'

U/-$-5(+,' ( -+/.60($ ,.-+-,( (0( %($%&$(0 ( #0.( .+/0. ,&( %&0(

*á vimos ue a integral de)inida > utili@ada para calcular a área entre uma curva O 

geralmente o grá)ico de uma )un%&o O e o eio em um intervalo a, +Q, mas ela

tam+>m pode ser utili@ada para calcular a área entre duas curvas ue esteam no mesmo plano cartesiano'

(adas duas )un%Kes, );< e g;

8/17/2019 Dp - Calculo 3

8/25

T de )undamental import=ncia ue sai+amos os valores de a e de + para ue possamos

calcular a integral de)inida' Em alguns pro+lemas, esse valor poderá ser dado, mas, na

maioria das ve@es, apenas ser&o in)ormadas as leis das )un%Kes' Como encontrar a e +

neste caso 1em+re-se ue, como );< R g;

8/17/2019 Dp - Calculo 3

9/25

 

 Assim, para obtermos o resultado desejado, basta fazer:

P(' 2

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As reas de S1 e S2 s!o,

respe"ti#amente $,%&'1 u.a. e %,'%' u.a.

 

(Figura 1) (Figura 2)

R.'$&' ,( -6&0( "1

9

8/17/2019 Dp - Calculo 3

10/25

 Para resolver precisamos dividir em duas áreas¿

 A1 ¿ de 3 at> 5< e¿

 A2 ¿ de 5 at> 6'<

¿ A1 ¿ ,. " (/ 1:

 A1  W

 x− x

4¿

∫0

1

¿ < d W ; -

 x

4   < W4 x− x

4  W3 x

4

 A1  W

3 x

4

¿∫0

1

¿ < d

 A1  W3

4   ∫0

1

 xdx  

 A1

 W

3

4  

 x2

2⌉1

0

∙ ¿

 A1  W

3 x2

8⌉1

0¿

 A1  W3 ∙1

2

8  -3 ∙0

2

8  W3

8  

 A1  ;  "

8/17/2019 Dp - Calculo 3

11/25

 A2  W

1

 x− x

4¿

∫1

2

¿ < d

 A2  W -1

4   ∫1

2

 xdx  X ∫1

21

 x  d

 A2  W -1

4   x

2

2⌉2

1

∙ ¿  X ∫

1

21

 x  d

 A2  W - x28

  ⌉ 21

¿W -

22

8   - -12

8   W -3

8  X ∫1

2 1

 x  d

 A2  W -

3

8+ ln| x|⌉ 2

1¿

 

Wln| x|⌉2

1

¿ W ln   |2|  - ln |1|  W ln   |2|

 A2  W ln   |2|  -3

8  

 A2  ; "=3181471 &

8/17/2019 Dp - Calculo 3

12/25

 A r ; 4 &

8/17/2019 Dp - Calculo 3

13/25

A'%-. ' +.0' 8= . ( 0.'/( %'00./( '0 ( ($/.0+(/-( @%:<

Associem o n?mero 6, se a resposta correta )or a alternativa ;dm antes ue a teoria do Cálculo )osse ela+orada os volumes eram

calculados por aproima%Kes' Doe podemos o+ter muitos dos volumes de corpos

sinuosos pelo Cálculo, os m>todos descritos a seguir s&o os mais +ásicos para curvas

ue podem ser determinadas matematicamente, no decorrer dos pr#imos volumes

aprenderemos a calcular )ormas mais compleas' Por hora, os cálculos ue aui ser&o

apresentados á )ornecem uma gama de aplica%Kes +em ampla no nosso mundo onde a

ind?stria usa cada ve@ mais curvas em seus produtos, o+viamente teremos curvas

13

8/17/2019 Dp - Calculo 3

14/25

matematicamente determináveis para estes casos, uma ve@ ue o homem geralmente usa

m>todos de computa%&o para criar seus produtos hoe em dia'

C&0( 0'/(%-'+(,(

Imaginemos ue tenhamos uma curva matematicamente determinável, uma pará+ola,

 por eemplo, e tenhamos a área delimitada pela mesma e o eio , se )i@ermos com ue

o eio V servisse de mastro e girássemos a pará+ola em torno do mesmo, o ue

teramos !eramos um s#lido )ormado pelas in)initas l=minas em )orma de pará+ola'

F e)eito da rota%&o de uma pará+ola pode ser visuali@ado pelo grá)ico tridimensional, o

ue vemos > o ue chamados de para+oloide, um s#lido semelhante ao recipiente de

luido de uma ta%a' Considerando a parte interna preenchida teremos um volume a ser 

calculado, o ue podemos )a@er utili@ando o .Cálculo.'

F e)eito da rota%&o de uma elipse pode ser visuali@ado da mesma )orma, o ue nos

 possi+ilita ver o ue chamados de elipsoide, um s#lido semelhante a um ovo de r>ptil' F

volume a ser calculado tam+>m pode ser conseguido atrav>s do .Cálculo.'

Sólidos delimitados por uma curva

14

8/17/2019 Dp - Calculo 3

15/25

F m>todo para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas, como epostas

acima, consiste na divis&o do s#lido em discos com raio igual ao valor da )un%&o ue

está sendo rotacionada, ou sea, para cada ponto da )un%&o teremos um disco de raio

determinado pela mesma, o ue nos permite )a@er uma somat#ria de discos ue

acompanham o contorno da curva, veamos o desenho a+aio:

!emos a )un%&o variando ao longo do eio , o ue nos permite di@er ue uma reta

 perpendicular ao eio ue passa por um ponto do grá)ico > um raio de um disco''' Em

um intervalo a,+Q onde , no ual

, agrupemos pares de valores nas a+scissas, de )orma ue o valor m>dio da

)un%&o sea . !omando cada disco com um volume aproimado de:

Considerando ue a precis&o do cálculo aumenta uando os discos se tornam menos

espessos, temos ue admitir ue eiste uma norma de parti%&o ue pode ser de)inida

 para o intervalo ue pretendemos calcular, portanto podemos )a@er:

Fnde temos um volume de disco para cada ponto da curva e a norma pode ser 

inversamente proporcional ao n?mero n' 1ogo, veri)icamos ue:

15

8/17/2019 Dp - Calculo 3

16/25

Fu

F intervalo re)ere-se a uma parte do s#lido, da ual ueremos calcular o volume'

Sólidos delimitados por duas curvas

Agora podemos defnir um sólido oco! ou se"a! para #ue um sólido

ten$a uma a%ertura devemos delimitar uma &ace e'terna e outra

interna! o #ue nos pede #ue ten$amos uma curva para cada &ace(

Para a determina%&o das duas )aces considere as duas )un%Kes e sendo ue,

 para determinar o s#lido de )orma regular, esta+elecemos o seguinte conunto de regras:

5'

6'

8'

F+servemos a ilustra%&o a seguir:

16

8/17/2019 Dp - Calculo 3

17/25

Consideremos um corte ue nos permita o+servar uma )atia do s#lido, como podemos

ver o ret=ngulo ue tomamos no centro do desenho representa uma )atia de um disco

.oco.'

Agora podemos encontrar o volume ocupado pelo s#lido, no espa%o delimitado pelas

duas )un%Kes, considerando ue as duas so)rem rota%&o, mantendo o eio como +ase

de rota%&o, con)orme )i@emos no caso do t#pico anterior com uma )un%&o, a ?nica

di)eren%a > ue temos um volume ue deverá ser su+trado do outro'

Segundo o mesmo raciocnio da análise anterior, veri)icamos ue o volume de um disco

de se%&o do s#lido no intervalo a,+Q pode ser determinado como seue:

Inevitavelmente vemos a correspondBncia entre os dois casos, simplesmente há uma

su+tra%&o de volumes, ue veremos re)letida no resultado )inal''' Prosseguindo, )a%amosa somat#ria dos valores das se%Kes dentro do intervalo a,+Q uando as parcelas

diminuem in)initesimalmente:

0inalmente encontramos o volume:

17

8/17/2019 Dp - Calculo 3

18/25

3u

P(' 2

D.(-' A

A área da super)cie de revolu%&o o+tida pela rota%&o, em torno do eio , da curva dada

 por  y=4√  x   de 14 ≤ x ≤2π 3   >:

2 π 3   (128√ 2−17√ 17)  u'a' Está correta essa

a)irma%&o

R.'$&'

A W

¿¿

∫1

4

4

¿ 4   √  x   ¿2

 d W 5Y∫1

4

4

d

A W 5Y ∙   x

2

2

 ] 

4

1

4

  W 8 x2 ]  

4

1

4

 

18

8/17/2019 Dp - Calculo 3

19/25

A W ; 7 ∙42

 < O ; 7 ( 14 )2

 <

A ;

255

2  ≅

127=∴

 Esta afirmaçã oé ∈correta

D.(-' B

\ual > o volume do s#lido de revolu%&o o+tido pela rota%&o, em torno da reta  y=2 ,

da regi&o $ delimitada pelos grá)icos das eua%Kes  y=senx , y=cos x de  x=0

at>  x=π 4  

;a< 6,3Y u'v' ;+< ,5Y u'v' ;c< 5Y,59 u'v' @,: 3=3 &

8/17/2019 Dp - Calculo 3

20/25

−4 π 

sen2 ( x )dx+(¿)∫

0

π 

4

sen ( x ) dx+4 π ∫0

π 

4

1dx

π ∫0

π 

4

¿

π ∫0

π 

4

(12−12 cos  (2 x))dx+ (−4 π )∫0π 

4

sen ( x ) dx+4 π ∫0

π 

4

1dx

−π 2  ∫0

π 

4

cos (2 x )dx+

9 π 

2 ∫0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

sen ( x )dx

u W 6

du W 6d

cos (u ) du+¿ 9π 2 ∫

0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

sen ( x )dx

−π 4 ∫

0

π 2

¿

(−14  π sen (u))⌉π 2

0

+9π 2 ∫

0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

sen ( x ) dx

¿

−π 4

+9 πx

2⌉

π 

4

0

+(−4 π )∫0

π 

4

sen ( x ) dx

¿

−π 4  +

9 π 2

8  + (−4π  )∫

0

π 

4

sen ( x )dx

20

8/17/2019 Dp - Calculo 3

21/25

4 π cos  ( x )⌉π 4

0

−π 4  +

9π 2

8  +¿

−π 4  +2 (√ 2−2 ) π +

9π 2

8

π (−174   2√ 2+ 9π 8 )≅6,63u .a

R.'$.+,' %'@?:

(¿2−cos  ( x ))²dx

π ∫0

π 

4

¿

π ∫0

π 

4

(cos2 ( x )−4cos ( x )+4 )dx

π ∫0

π 4

cos2 ( x ) d x+(−4π )∫

0

π 4

cos ( x ) dx+4 π ∫0

π 4

1dx

π ∫0

π 

4

(12cos (2 x )+ 12 )

dx+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x )dx+4π ∫0

π 

4

1dx

π 

2∫0

π 4

cos (2 x ) dx+ 9π 

2 ∫

0

π 4

1dx+(−4π )∫0

π 4

cos ( x ) dx

u W 6

du W 6d

21

8/17/2019 Dp - Calculo 3

22/25

π 

4∫0

π 

2

cos (u )du+9π 

2 ∫

0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x )dx

1

4 πsen (u)⌉

π 2

0

+9π 

2 ∫

0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x ) dx

¿

1

4πsen (u)⌉

π 

2

0

=1

4πen( π 2 )−14 πsen (0 )=

π 

4

¿

π 

4+9π 

2 ∫

0

π 

4

1dx+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x )dx

π 

4+9πx

2⌉

π 

4

0

+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x )dx

¿

9πx

2  ⌉

π 4

0

=9 ππ 

4 ∙2 −

9 π 02  =

9π ²8

¿

π 4 +

9π ²8

  ⌉

π 

4

0

+(−4 π )∫0

π 

4

cos ( x ) dx

¿

π 

4+9π ²

8+(−4 πsen ( x ))⌉

π 

4

0

¿

(−4 πsen ( x ))⌉π 

4

0

=(−4 πsen( π 4 ))−(−4 πsen (0 ))=−2!2π ¿

22

8/17/2019 Dp - Calculo 3

23/25

π 4−2!2 π +

9π ²8

π 

(1

4−2√ 2+

9π 

8

 )≅3.0029u .a

Valor total do volume6 ,63−3.00=3,63u .a

Podemos di@er ue a alternativa correta > a ;,<

P(' 3

P(0( ' ,.(-' A

Associem o n?mero 4, se a resposta estiver certa'

A'%-. ' +.0' 9= . ( 0.'/( ./-.0 .00(,(<

P(0( ' ,.(-' B

Associem o n?mero 7, se a resposta correta )or a alternativa ;a

8/17/2019 Dp - Calculo 3

24/25

A seuBncia dos n?meros encontrados, ap#s a associa%&o )eita no passo 8 )oi 892

milhKes de metros c?+icos ue poder&o ser etrados do novo po%o de petr#leo rec>m-

desco+erto pela empresa Petro)uels'

C'+%$&'

Ao concluir este desa)io podemos veri)icar ue sem o m>todo de cálculo de área e

cálculo do volume de um s#lido de revolu%&o seria muito di)cil calcular as diversas

)iguras, pois eistem muitas )ormas regulares, di)icilmente poderamos encontrar o

volume de um corpo s#lido encontrado comumente na nature@a por meio da geometria

euclidiana, as curvas s&o comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser 

determinadas por eua%Kes, por>m antes ue a teoria do Cálculo )osse ela+orada os

volumes eram calculados por aproima%Kes' Assim, o o+etivo deste tra+alho )oi

identi)icar algumas destas aplica%Kes nas di)erentes áreas do conhecimento, seguido da

resolu%&o das mesmas'

24

8/17/2019 Dp - Calculo 3

25/25

B->$-'60(-(

• (isponvel em: DUGDES-DA11E!!, (>+orahZ Matemática Aplicada IZ

!erceira Edi%&oZ $io de *aneiroZ GEZ 6337'p'57-65Y'• http:]]pessoal'sercomtel'com'+r]matematica]superior]calculo]integral]integral'ht

m' Acesso em 54]55]6354 /s 39:5 hrs'• http:]]NNN'pro)essores'u))'+r]salete]cdii]aY'pd)'

Acesso em 54]55]6354 /s 53:6 hrs'