UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

Estadstica II

UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

CONTADURA PBLICA Y SISTEMAS

DOSSIERGESTIN II 2015ESTADISTICA IISEXTO SEMESTRE

PARALELO:

6C1Lic. Jorge Troche LunaINDICE

I. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

CONCEPTOS1PROBABILIDAD 1EXPERIMENTO.. 1ESPACIO MUESTRAL1EVENTO O SUCESO 1ISOMORFISMO ENTRE LAS PROBABILIDADES Y EL ALGEBRA1TECNICAS DE CONTEO..2COMBINACIONES 2COMBINACIONES CON REPETICIN ..3PERMUTACIONES 3PERMUTACIONES CON REPETICIN. . 4PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IDENTICOS.5PROBABILIDADES 6DEFINICION AXIOMATICA... 6TEOREMA DE PROBABILIDADES 6EXPERIMENTO ALEATORIO 6

DEFINICION CLASICA.. 7

DEFINICION FRECUENCIAL. 8PROBABILIDAD CONDICIONAL. 11PROBABILIDAD CONJUNTO.. 12

PROBABILIDAD TOTAL. 13APLICANDO PROBABILIDADES.. ..13 INDEPENDENCIA.. 15TEOREMA SI A O B SON INDEPENDIENTES..15II VARIABLE ALEATORIA 17CONCEPTO 17FUNCION DE PROBABILIDADES 17ESPERANZA MATEMTICA.. 20FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA (F.D.P) F(X).. 21VARIANZA. 22DESVIACION ESTANDAR. 23III DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES.. 24DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE VARIABLE DISCRETA 24DISTRIBUCION BINOMIAL.. 24INDEPENDENCIA.. 24DISTRIBUCION GEOMETRICA.. 25DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 27DISTRIBUCION DE POISSON 28DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES VARIABLE CONTINUA. 29DISTRIBUCION UNIFORME.. 29DISTRIBUCION NOMINAL. 29PROPIEDADES. 30IV INFERENCIA ESTADISTICA 31CONCEPTOS 31DISTRIBUCION MUESTRAL 32TEMA N1INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES1. CONCEPTOS1.1 Probabilidad: Es una medida de la ocurrencia o no ocurrencia de un evento o suceso en condicin de incertidumbre.

1.2 Experimento: Es una accin mediante la cual se desea obtener resultados, en algunos casos se puede manipular algunas variables para observar los resultados. Existen 2 tipos de experimentos:

Deterministicos: Que se caracterizan por tener un solo resultado posible.

Probabilisticos: Que se tienen mas de un resultado posible.

Ejemplo: De un grupo de 4 personas se desea premiar a 2 de ellos aleatoriamente P1, P2, P3, P4= {P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P3, P2P4, P3P4}1.3 ESPACIO MUESTRAL ()

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilstico.

1.4 Evento o Suceso.-

Es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: La 3 persona es premiada

A= {P1P3, P2P3, P3P4}

P(A)= 3/6 = 0.5

2. ISOMORFISMO ENTRE LAS PROBABILIDADES Y EL ALGEBRA

ALGEBRA

PROBABILIDADES

Conjunto A

Evento o suceso A

A

Ocurre A

Ac

No ocurre A

AUB

Ocurre el evento A ocurre el evento B

AB = AB

Ocurre le evento A y el evento B

Evento Imposible

= U

Evento seguro

3. TECNICAS DE CONTEO.-

Principio de la suma: Que se utiliza cuando est presente el conectivo .

Principio de la multiplicacin: Que se utiliza cuando est presente el conectivo y.

Ejemplo: Una persona tiene 5 trajes y 3 vestimentas informales. De cuntas maneras diferentes se puede vestir dicha persona?

5 + 3= 8

Ejemplo: Una persona ingresa a un restaurant y desea servirse un almuerzo que consta de una sopa y un segundo, si le ofrecen 3 sopas para elegir y 5 segundos De cuantas maneras diferentes podr elegir su almuerzo?

3 x 5 = 154. COMBINACIONES: Son arreglos u ordenaciones de n elementos tomados de r en r donde no nos importa el orden y de define:

Crn= nCr = n!/(n-r)! r!Ejemplo: De un grupo de 15 personas, 10 mujeres y 5 hombres se elige a tres de ellos de cuantas maneras diferentes se puede elegir a 2 mujeres y 1 hombre?

Ejemplo: Cinco contadores pblicos y 4 economistas pugnan por 3 cargos similares.

a) De cuantas maneras diferentes se puede asignar los 3 cargos? C1, C2, C3, C4, C5, E1, E2, E3, E4

b) De cuntas maneras si al menos debe haber un contador pblico?

c) De cuantas maneras si deben ser asignados 2 cargos a los economistas?

Ejemplo: Cuatro turistas llegan a una ciudad que tienen 3 alojamientos.

a) De cuantas maneras diferentes se pueden alojar si al menos un turista se debe quedar en cada alojamiento?TURISTAS: A, B, C, D

ALOJAMIENTOS: A1, A2, A3

b) De cuantas maneras si un alojamiento queda vacio?

4.1 COMBINACIONES CON REPETICION

Son combinaciones donde se puede repetir los elementos y se definen como:

Ejemplo: De cuantas maneras diferentes se puede pedir un postre que consta de tres porciones de helado si existen 6 sabores diferentes

5. PERMUTACIONES: Son ordenaciones de n elementos tomados de r en r donde nos importa el orden y se define como:

Ejemplo: En una carrera de caballos compiten 6. De cuantas maneras diferentes pueden ser ocupados los tres primeros lugares?

Ejemplo: De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar 4 personas en una fila?

Ejemplo: En un minibs de 7 asientos de cuntas maneras diferentes se pueden sentar 3 personas?

Ejemplo: De un grupo de 5 mujeres y 3 hombres ingresan a un aula. De cuantas maneras diferentes pueden ingresar:

Ejemplo: En un librero contiene tres enciclopedias, una enciclopedia roja de 4 tomos, una verdece 3 tomos y una amarilla de 2 tomos.a) De cuantas maneras diferentes se puede ubicar en el librero los tomos, si en cada enciclopedia se debe mantener los tomos juntos?

5.1 Permutaciones con repeticin.- Son permutaciones donde pueden repetir los elementos y se define como:

Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces. De cuantas maneras diferentespueden salir los resultados?

Ejemplo: De una urna que contiene 4 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Se extrae aleatoriamente con reposicin 2 de ellas. De cuantas maneras diferentes se podr extraer?

Ejemplo: 5 turistas llegan a una ciudad que tiene 3 alojamientos de cuntas maneras diferentes se pueden hospedar estos 5 turistas en los 3 alojamientos?

Ejemplo: Una moneda se lanza:

a) Una vezRP21 = 21 = 2

= {c,s}

b) 2 veces RP 22 = 22 = 4

= {cc,cs,sc,ss}

c) 3 veces RP23 = 23 = 8

= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss}

d) 4 vecesRP24 = 24 = 16

Ejemplo: Se lanza un dado 3 veces

5.2 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IDENTICOS

Si n elementos de los cuales n1 son idnticos, n2 son idnticos nk son idnticos, dando: n1+n2+..+nk = n

Entonces el total de permutaciones ser:

Ejemplo: Cuantas palabras diferentes con la palabra ANAP32,1 = = 3Ejemplo: De cuantas maneras diferentes se puede obtener 5 caras, cuando se lanza una moneda 8 veces?

P (5 caras) = 6. PROBABILIDADES1. 6.1 DEFINICION AXIOMATICA

2. P(A) 0

3. P() = 1

= evento seguro

4. Si A1, A2An son eventos mutuamente excluyentes

P(A1 U A2 U..U An) = P(A1) + P(A2)+ ..+ P(An)6.2 TEOREMA DE PROBABILIDADES

1) P(Ac) = 1- P(A)

2) P() = 0

3) 0 P(A) 1

4) P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

5) Si A B = P(A) P(B)

6) P(A Bc) = P(A) P(A B)

7) P( A U B U C)=P(A)+ P(B)+P(C) P(A B)-P(A C)-P(BC) + P(A B C )Ejemplo: Juan y Pedro son 2 estudiantes de la Salesiana la probabilidad de que Juan viaje este fin de semana al corso de corsos es de 0.15 y la probabilidad de que viaje Pedro es de 0.23 y lo probabilidad de que ambos viajen es de solo 0.5.

a) Cual es la probabilidad de que viajen ambos:

P(J) = 0.15

P(P) = 0.23P(J P) = 0.05

P(Jc) = 1-P(J)= 1-0.15= 0.85

b) Cual es la probabilidad de que ninguno viaje

P(Jc Pc) = P(Jc U Pc) = 1- (J U P)

= 1- (P(J)+P(P)-P(J U P))

= 1- (0.15 + 0.23 - 0.05)

= 0.67

c) Cual es la probabilidad de que solo viaje Pedro?

P(Jc P) = P(P) P(P J)

= 0.23 0.05

= 0.18

d) Cual es la probabilidad de que al menos uno viaje?P ((J U Pc) U (JcP) U (JP))

P (J U P) = P(J) + P(P) P(J P)

= 0.15 + 0.23 -0.05 = 0.33

6.3 Experimento aleatorio

6.3.1 DEFINICION CLASICA.- Si un experimento aleatorio tiene definido un evento A asociado al espacio muestral Omega cuyos elementos son equiprobables entonces la probabilidad de que ocurra el evento A, se define como:

P(A) = QUOTE

(Equiprobable = misma probabilidad)Ejemplo: De un grupo de 8 personas (5 mujeres y 3 hombres) se elige a 2 representantes aleatoriamente. Cul es la probabilidad de que ambas sean mujeres? (La eleccin de una persona es equiprobable)Total casos = # () = C82 = 28

A: Se selecciona a dos mujeres

# (A) = C52 * C30 = 10

B: Al menos es elegida una mujer

# (B) = C51* C31+C52* C30 = 25

Ejemplo: De una urna que contiene 5 bolas blancas y 8 negras se extrae con reposicin 2 de ellas aleatoriamente.

a) Cual es la probabilidad de que la 1 bola extrada sea blanca?

# () = 169

b) La segunda bola extrada es blanca

# (A) = 13*5 = 65

c) Cual es la probabilidad que salga una de cada color?

Ejemplo: Se lanza una moneda 6 veces Cul es la probabilidad de que nos salga 4 caras?

6.3.2 DEFINICION FRECUENCIAL.- Si un experimento aleatorio se repite n veces en las mismas condiciones (n - ) de los cuales nA veces son favorable al evento A entonces la probabilidad de que suceda el evento A. Se de fine como:

Ejemplo: De 20 estudiantes de los cuales 8 estudian Contadura Publica y 12 Derecho. Se elige aleatoriamente a un estudiante Cul es la probabilidad que estudie Contadura Publica?

A: Estudia Contadura pblica

Ejemplo: De una caja que contiene 5 fichas rojas y 10 azules se extrae sin reposicin aleatoriamente 2 de ellos. Cul es la probabilidad de que ambas sean rojas?A: Salen dos fichas rojas Definicin clsica:

Definicin frecuencial:

B: Sale una de cada color Definicin clsica:

Definicin frecuencial:

Ejemplo: A los estudiantes de una cierta universidad se los clasifica de acuerdo a las siguientes variables de acuerdo a la cantidad de los mismos.CARRERAHOMBREMUJERTOTAL

A203050

B502070

C152540

TOTAL8575160

Ejemplo: Se elige un estudiante al azar:

a) Cual es la probabilidad que sea mujer?

b) Cual es la probabilidad que sea hombre y de la carrera A?

c) Cual es la probabilidad que sea mujer o de la carrera B?

d) Cul es la probabilidad que no sea mujer, ni sea de la carrera C?

Se eligen a 2 estudiantes al azar. Cul es la probabilidad que ambos sean de la misma carrera?

6.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL.- Si A o B son dos eventos o sucesos donde la probabilidad P(B) > 0. Se denota como el evento A que ocurra dado el evento B, A B cuya probabilidad se defina como la probabilidad:

P (A B) = P(A B) / P(B)Ejemplo: Se lanza una moneda 2 veces Cul es la probabilidad de que en el 2 lanzamiento nos salga cara dado que en el 1 lanzamiento nos salio sello?

= { cc, ss, cs, sc}

A: Sale cara en el 2 lanzamiento B: Sale sello en el 1 lanzamiento

P(A | B) =?

A = {cc, sc} # (A) = 2

B = {sc, ss} # (B) = 2

A B= {sc} # (A B) = 1 Ejemplo: De una urna que contiene 3 fichas rojas y 6 azules se extrae el azar 2, una tras otra sin reposicin. Si la primera ficha extrada es roja. Cul es la probabilidad de que la 2 ficha tambin sea roja?# () = = 72R1: La 1 ficha extraida fue roja

R2: La 2 ficha extraida fue roja

Ejemplo: Un seor tiene 2 carros y se sabe la probabilidad que arranque el carro rojo es de 0.7 y la probabilidad que arranque el carro azul dado que arrancado el carro rojo es 0.3. Cul es la probabilidad de que ambos carros arranquen?Cr: Arranca el carro rojo

P(Cr) = 0.7

Ca: Arranca el carro azul

P(Ca|Cr) = 0.3

6.5 PROBABILIDAD CONJUNTA.- Si A1, A2, ., An son eventos o sucesos entonces la probabilidad que todos los eventos A, ocurran se define como:

P(Ejemplo: De 10 artculos se sabe que 7 estn en buen estado y el resto son defectuosos. Se elige al azar 3 artculos Cul es la probabilidad de que todos estn en buen estado?

6.6 PROBABILIDAD TOTAL.- Si A1, A2,..An es una particin del espacio muestral y B un evento cualquiera, entonces:

Particion.-

a) Los Ai son mutuamente excluyentes

b) Los Ai son colectivamente exahustivos6.7 APLICANDO PROBABILIDADES

Como las eventos A1 son n excluyentes entonces:

)

Ejemplo: 3 empresas cubren el Mercado de un cierto producto. La empresa 1 interviene en el mercado el doble que la empresa 2 y la empresa 2 interviene mas que la empresa 3. Ademas se sabe que la cantidad de productos defectuosos de la Emp.1, Emp.2 y la Emp.3 son el 5%, 6% y el 9% respectivamente. Del mercado se extrae un producto Cul es la probabilidad de que dicho producto sea defectuoso?Datos:

E1: El producto es elaborado por la Emp 1

E2: El producto es elaborado por la Emp 2

E3: El producto esta elaborado por la Emp 3

D: El producto es defectuoso

1) P(E1)+ P(E2)+P(E3)= P()= 1

2) P(E1)= 2 P(E2)3) P(E2)= 3 P(E3)Reemplazando 2 y 3 en 1

Ejemplo: De un grupo de 4 mujeres y 2 hombres se desea elegir a un representante aleatoriamente. El dia de la eleccin solo asisten 4 personas. Cul es la probabilidad de que la representante sea , mujer?

6.7.1 INDEPENDENCIA.- Dos eventos son independientes si:

P(A|B)= P(A) P(B|A)=P(B)

En general si los eventos A son independientes:

6.7.2 TEOREMA SI A O B SON INDEPENDIENTES:

1) P(ABc) = P(A) * P(Bc)2) P(AcB) = P(Ac)*P(B)3) P(AcBc) = P(Ac)*P(Bc)

Ejemplo: Si A, B, y C son 3 empresas cuyas probabilidades de que sus acciones suban son 0.78; 0.65 y 0.41 respectivamente. Cual es la probabilidad de que:

a) Las acciones de las empresas suban

P(A) = 0.78

P(B) = 0.65

P(C) = 0.41

b) Solo suba de la empresa A c) Suban de 2 empresas Ejemplo: Un cazador tiene en su rifle 3 balas y se encuentra al frente de un tigre, tal vez sino mata al tigre lo mate a el. Si la probabilidad de que el cazador le de al blanco es 0.7 en cada tiro es decir, asumimos su independencia de tiro a tiro. Cual es la probabilidad de que el cazador viva?

P(vivo) = P(B1) + P(Bc1B2)+ P(Bc1Bc2B3)

= P(B1) + P(Bc1)*P(B2)+ P(Bc1)*P(Bc2)*P(B3)

= 0.7+0.3*0.7+0.3*0.3*0.7 = 0.973

TEMA N 2

VARIABLE ALEATORIA

1. CONCEPTO: Es una funcin x cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo dominio son los nmeros reales

Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces y se define la variable aleatoria x como el N de caras obtenidas.

= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss}

X: es el numero de caras

X(sss) = 0

X(ssc)=x(scs)=x(css) = 1

X(scc)=x(csc)=x(ccs)=2

X(ccc)=3

Recorrido: (Rx) (0,1,2,3) Es el conjunto generado por la variable aleatoria de un experimento probabilstico. Si el recorrido es finito o infinito numerable entonces la variable aleatoria es discreta; si el recorrido es infinito entonces la variable es continua.2. FUNCION DE PROBABILIDADES (f.d.p) una funcin de probabilidades debe cumplir:

Si la variable aleatoria es discreta:

1) P(X=x) 0 x pertenece a los reales

2)

Si la variable aleatoria es continua:

1) (x) 0 x pertenece a los reales

Para encontrar la funcin de probabilidad de un problema de variable aleatoria discreta se debe calcular las probabilidades de todos los elementos del recorrido.Ejemplo anterior:

= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss}

X: N caras obtenidas

Rx = (0,1,2,3)

Ejemplo: En una rifa que consta de 1000 boletos se tiene los siguientes premios:

1 premio 1 TV de Bs 2000

2 premio 1 Dvd de Bs 500

3 premio 2 canastones de Bs 50

4 premio 1 canaston de Bs 50

Si la variable se define como la ganancia obtenida sabiendo que cada boleto cuesta Bs 5. Cul es la funcin de probabilidad de una persona que compra un boleto?

= {1,2,..1000}

X: Ganancia de una persona que compra un boleto

Ganancia = Premio Costo del boleto

Rx: (-5, 45, 495, 1995)

Funcion de probabilidad

= 0

e.o.c

Cual es la probabilidad que gane la persona algn premio?

Ejemplo: De una urna que contiene 5 fichas blancas y 2 fichas negras, se extrae 3 a la vez. Sea x la variable aleatoria como el N de fichas blancas extraidas

X: N de fichas blancas extraidas

Rx = (1,2,3)

Ejemplo: De 100 productos de los cuales 30 son defectuosos y 70 buenos. Se extrae un producto a la vez con reposicin hasta encontrar un producto defectuoso. Sea x la variable aleatoria definida como el N de extracciones hasta encontrar el producto defectuoso.X: N de extracciones hasta encontrar el producto defectuoso.Rx = (1,2,3,4,5)

e.o.c. = 03.Esperanza matemtica.- (Ex).- Es el promedio ponderado de una variable aleatoria y se define como:

Si la variable aleatoria es discreta

Si la variable aleatoria es continua

Ejemplo: Dada la funcin de probabilidad (f.d.p.)

= 0e.o.c.

Ejemplo: Sea x la variable aleatoria definida como tiempo que dura un foco hasta que falle. Dada por la funcin de probabilidad:

f(x) = 3x2 0 x 1

= 0 e.o.c.

Sabemos que:

Comprobando:

5. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA (f.d.p) F(x)

F(x) = P (X=x)

En el ejemplo:

Entonces:

Ejemplo: Una lotera instantnea consiste en raspar una casilla de cada fila de una tarjeta tiene 3 filas y en cada fila dos casillas de los cuales existe un numero oculto de 5 Bs y 10 Bs en un orden aleatorio en cada fila.El juego consiste para ganar en raspar de cada fila una casilla similar en las tres filas y gana ese monto. Si la tarjeta cuesta 9 Bs. Cunto espera ganar una persona que compra una tarjeta?

X: Ganancia = Premio costo

123456

555101010

510101055

101055105

Rx = (-6,-1, -4)

= 4.125

6. VARIANZA.- Mide el grado de dispersin de una variable aleatoria y se define como:

V(x) = E(x E(x))2Para fines prcticos:

V(x) = E(x2) E2(x) donde: =E2(x) = (E(x))2En el ejemplo:V(x) = 2.2

7. DESVIACION ESTANDAR.-

En el ejemplo:

TEMA N 3

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

1.DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE VARIABLE DISCRETA.-

1.1DISTRIBUCION BINOMIAL.- Se caracteriza por estar definida la variable aleatoria como # de exitos en n ensayos tiene dos parmetros:

n: # de ensayos o tamao de la muestra

p: Probabilidad de xito

Decimos que una variable aleatoria tiene una distribucin binomial con parmetros (x ~ B(n,p)) si su funcion de probabilidad esta dad por:

x = 0,1,2 n

Con E(x) = n*p

V(x) = n*p*q

Donde: q es la probabilidad del fracaso

q = 1-p

1.1.1 Independencia: En general existe independencia cuando la probabilidad e xito o de fracaso no cambia.

Lanzamiento de objetos

Cuando se extrae con reposicin

Cuando se extrae sin reposicion

De una poblacin finita (expresada en porcentaje)

Ejemplo: Se lanza 3 dados se x la variable aleatoria establecida como: # de cincos que se obtiene. Cul es la probabilidad de que ninguno sea 5?x: # de cincos obtenidos cuando se lanza 3 dados

entonces: (x ~ B(n,p) ~ B (3, 1/6)

QUOTE

1.2 DISTRIBUCION GEOMETRICA.-Se caracteriza por estar definida como # de ensayos hasta que salga el primer xito donde los ensayos son independientes. Tiene un solo parmetro:P = probabilidad de xito(x ~ G(p))

Cuya funcion de probabilidad esta dada por:

P(X = x) = qx-1p

x = 1,2,3,.

Donde: Con:

Ejemplo: Se lanza un dado hasta que salga 3 Cul es la probabilidad de que salga despus del 5 lanzamiento?

x: N de lanzamientos hasta que salga el 3

los lanzamientos son independientes entonces: (x ~ G(p)) ~ G (1/6)

= 0

e.o.c.

P(x > 5) = 1- p (x 5)

= 1- (P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)+P(x=5))

Ejemplo:

x: N de personas seleccionadas hasta encontrar a una persona con problemas renales

Los ensayos son independientes entonces:(x ~ G(p)) ~ G (0.05)

Luego:

P(X = x) = 0.45x-1 * 0.05

x = 1,2,3

= 0

P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + ..

= 1 p(x 2)

= 1 (P(x = 1)+P(x = 2))

= 1 (0.951-1* 0.05 + 0.952-1 * 0.05)

= 0.9025

Ejemplo: De una poblacin se sabe que el 30 % goza de un seguro de salud. Se elige a 5 personas de la poblacin Cul es la probabilidad que se hayan elegido mas personas aseguradas que personas no aseguradas?

x = 0,1,2,3,4,5

= 5*0.30 = 1.5

= 10*0.027*0.49

= 0.1323

1.3 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.-N: Tamao de la poblacin

n: # de ensayos tamao de la muestra

M: # de elementos con la caracterstica de xito

x ~H(N,n,M) cuya f.d.p. es:

x=0,1,2,3,4,5,,min(n;M) = 0 e.o.c.

Con:

Ejemplo: De un grupo de 10 mujeres y 6 hombres se selecciona a 4 de ellos aleatoriamente, cul es la probabilidad de seleccionar:

a) 3 mujeres

b) Que haya ms hombres que mujeres

c) Cuantas mujeres se espera que sean seleccionadas

x: N de mujeres seleccionadas = xito

x = (0.4- (16-10))= (0,-2) = 0

x = 0,1,2,3,4

1.4 DISTRIBUCION DE POISSON.-Se caracteriza por estar definida la variable aleatoria como el # de xitos en T unidades de medida, donde los ensayos se asumen independientes. Tiene un solo parmetro que representa el # promedio de xitos en las T unidades de medida cuya funcin de probabilidad esta dada por:

(x~P())

x = 0,1,2,3

= 0

e.o.c.

Con: E(x) =

V(x) =

Ejemplo: A cierta telefnica llega un promedio de 30 llamadas cada 15 min. Cual es la probabilidad de que no ingrese ninguna llamada en los prximos 20 segundos? Se sabe que la central telefnica hay 15

Si asumimos que existe independencia entre llamadas

x: N de llamadas que ingresan a la central telefnica en 20 segundos

= (30 Llamadas / 15 min)*(1min/60 Seg)*20 seg = 1/3 * 30 / 15

= 0.67entonces: (x~P()~P(0.67))

luego: x = 0,1,2

2. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES VARIABLE CONTINUA

2.1 DISTRIBUCION UNIFORME.-Si la variable aleatoria continua x con rango Rx (a,b); ab |R; a 0, se dice que se distribuye de forma aproximadamente normal su funcin de densidad esta dada por:

La media puede tomar cualquier numero real

- < <

2 > 0

Donde: x ~N(,)

Caso particular: Si una variable aleatoria continua se distribuye de forma normal con media a 0 y varianza 2 = 1; = 0 a esta variable se la denominara variable normal estndar o equivalentemente que esta variable aleatoria se distribuye de forma normal estndar.

= 0 y 2 = 1normal estndarDefinicin: Una variable aleatoria continua z con media = 0 y 2 = 1 exactamente uno, se dice que se distribuye de forma normal estandar. Si su funcin de densidad esta dada por:

2.2.1 PROPIEDADES.-Si z es una variable distribuida de forma normal estandar y sean:

Z~N(0,1) y z1, z2 pertenecen a los reales; z1 < z2 entonces las siguientes propiedades:1) P(Z > z1) = 1- p(Z z1) Complemento

2) P(z1 Z z2) = P(Z z1) P(Z z2)

3) P(-z1 Z z1) = 2P (Z z1)-1

Estandarizacin: Se parte de cualquier variable si su comportamiento es de forma normal, se vuelve magnitud, lo que pasa en la normal. Sea la variable aleatoria continua x distribuida de forma normal estandar, donde la media es y la varianza 2; si se puede definir una nueva variable aleatoria continua x como:

Z = x /

TEMA N 4

INFERENCIA ESTADISTICA

a) Estimacin

b) Prueba de hiptesis1. CONCEPTOS

Poblacin.- Un conjunto de observaciones mas grande imaginable constituida una variable asociado a una variable de inters.

Muestra.- Una parte representativa de la poblacin conjunto finito. Muestra aleatoria.- Una coleccin de variables aleatorias x1,x2, xnSe denominara muestra aleatoria de tamao n, si y solamente si cumplen con las siguientes condiciones: cada una de estas variables en independencia, cada una de estas variables tiene la misma distribucin de probabilidad. x ~ b, x ~ H

iid = independiente e idnticamente distribuidas

Parmetro: Es una funcin definida con todos los elementos de la

poblacin.

5) Estadstico.- Se denomina estadstico a cualquier funcin definida con todos los elementos aleatorios

a) Los estadsticos son variables aleatorias

b) La distribucin de probabilidad (funcin de cuanta o funcin de

densidad) de un estadstico se denominara distribucin muestral. Estimados.- Un estimado es una funcin de una realizacin en parti-

cular de una muestra aleatoria.

Este estimado puede ser un nico valor (Estimado puntual) o puede ser un conjunto de valores (estimados por intervalos); cuya funcin principal es de aproximarse al valor verdadero del parmetro de inters.2. DISTRIBUCION MUESTRAL.-Una media estadstica de posicin central es la media aritmtica definida por:

si es con reposicin

si es sin reposicinEjemplo: Se extrae una muestra de tamao 2 (n = 2) con reposicin para encontrar la media aritmtica muestral

2 ext1 ext123

1-1.52

21.5-2.5

322.5-

Rx = (1.5, 2, 2.5)

Por otro lado:

Donde: N = tamao de poblacin

Luego:

Caso sin reposicin:

Entonces:

2 = 2

Luego:

1