8/18/2019 Documento 7 Usando El Valor Absoluto

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Profesorado del CONSUDEC Materia: Matemática Año: 2015 Modalidad a Distancia

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real x se denota por |x| y se define como sigue:

x, si x ≥ 0 

|x| =

−x, si x < 0

Por ejemplo, 

|3| = 3, pues 3 ≥ 0

|0| = 0, pues 0 ≥ 0

|- 2| = -(-2) = 2, pues -2 < 0

Noten que el valor absoluto siempre toma valores positivos o cero, pero nunca

toma valores negativos.

Si lo vemos sobre la recta real, el valor absoluto nos cuenta la distancia del punto alorigen ( 0 ).

-2 0

La distancia entre 0 y -2 es de dos unidades.

Propiedades del valor absoluto de números reales:

a) a + b   a + b 

b) a . b = a . b 

c) a  =- a 

d) a : b = a :b 

e) a  0

Ejemplos:

8 + 3  8 - 3 

5 . (-2) = 5 . -2 

Distancia entre dos números de la recta real

Vamos a definir distancia entre dos números de la recta real al valor absoluto de su

diferencia.

Dados dos puntos de la recta real, a y b, se define dist(ab) =a – b  

Por ejemplo la distancia del 2 al 5 es 2 – 5= 3 (Noten que es indistinto tomar 2  – 5 otomar 5 – 2 ya que en valor absoluto nos da el mismo resultado).

2 3 4 5

La distancia es de 3 unidades

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Juntando los conceptos de valor absoluto y distancia, surgen las siguientes propiedades

que nos servirán para resolver inecuaciones.

Para cualquier par de números reales x y a, (a positivo): ´

1. |x|= a ←→ −a = x o x = a

Los números reales cuya distancia a cero |x – 0| es “a unidades” 

2. |x| < a ←→ −a < x a ←→ -a > x ∨  x > a

Los números reales cuya distancia a cero |x – 0| es mayor a “a unidades” 

) (-a 0 a

(Si tuviéramos ≤ ≥ la diferencia sería que incluiríamos a los valores  –a y a en la

solución y en la recta numérica pondríamos corchetes)

 Ahora bien, si generalizamos esto y en lugar de x ponemos cualquier expresión α,

entonces nos quedaría:

1) |α| = a ←→ −a = α ∨  α = a

2) |α| a ←→ -a > α ∨ α > a

Esto nos lleva a comprender que si tenemos | − | = k, con c cualquier número real y k

un real positivo, podemos aplicar la propiedad (1) entendiendo que x – c hace las veces

de α. Entonces nos quedaría:

-k = x – c ∨  x – c = a que equivale a

c – k = x ∨  x = c + k , pasando de término c.

Es decir el conjunto formado por los dos puntos que se encuentran a una distancia k de c.

K K

C – K C C + K

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De la misma manera, si tenemos | − |  k , con c cualquier número real y k

un real positivo, podemos aplicar la propiedad (2) entendiendo que x – c hace las veces

de α. Entonces nos quedaría:

-k > x – c ∨  x – c > k , pasando de término c, nos queda

c – k > x ∨  x > c + k

Es decir el conjunto formado por los puntos de la recta real que se encuentran a una

distancia mayor que k de c. Esto es (-∞;c-k) ∪ (c+k; ∞) 

K K

) (C – K C C + K

Ejemplo de aplicación para resolver inecuaciones con valor absoluto:

Hallar todos los números reales tales que |2 + 4| > 6

entonces tomando 2x +4 como α, y aplicando la propiedad (3) nos queda:

-6 > 2x +4 ∨  2x +4> 6 ahora procedemos a despejar y nos queda

-6-4 > 2x ∨  2x > 6-4

-10/2 > x ∨ 

x > 2/2

-5 > x ∨  x > 1

) (-5 1

Solución = (-∞;-5) ∪ (1; ∞) 

Recuerden que si aparece un ≥ ≤ lo único que cambia es que los extremos ahora

pertenecen al conjunto solución y se marcan con corchetes.

De esta forma pueden resolver inecuaciones con valor absoluto sin usar distancia.

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Ejercicios:

1) Hallen los números reales que cumplen:

a) x = 4b) - x = 4

c) x < 4

d) x    4

e) x – 3 = 4f) x +3 = 4

g) x – 3 < 4

h) x – 3  4

i) 4x +2 = 6 j) 2x – 4  6

k) 1/2 x – 3/2   5/2

l) x – 3= 0

2) Escriban la expresión usando valor absoluto y hallen todos los números reales

a) cuya distancia a 0 sea 5.

b) cuya distancia a 2 sea 5.

c) cuya distancia a – 2 sea 5.

d) cuya distancia a 0 sea menor que 5.

e) cuya distancia a 0 sea mayor que 5.

f) cuya distancia a 2 sea como máximo 5.

g) cuya distancia a 2 sea al menos 5.

h) cuya distancia a – 2 sea 5.

i) cuya distancia a – 2 sea 0.

 j) cuya distancia a – 2 sea a lo sumo 5

 

3) Completen la tabla escribiendo el subconjunto de R dado, en las formas que faltan.

ENTORNO

Se denomina entorno simétrico de radio k>0 de un punto “a” al conjunto de puntos x

tales que x - a < k o sea que verifica la desigualdad a - k < x < a + k donde a-k y a+kson los extremos, a es el centro y k es el radio.

k k

( )a –k a a + k

Noten que x - a expresa la distancia entre los puntos de abscisas x y a.

En símbolos: E(a;k) = {x  / x - a< k} = {x  / a - k< x < a + k}

ENTORNO REDUCIDO

Es el mismo concepto anterior pero ahora el centro no pertenece al conjunto, es decir quex no puede ser a, por lo tantox-a no puede ser 0 y luego la distancia entre ellos debe sersiempre mayor que cero.

Entorno reducido de un punto a y de radio k es el conjunto de puntos determinados por

0 < x - a < k o sea que verifica la desigualdad a - k < x < a + k pero además el punto a no pertenece al conjunto.

Ejemplo:  0 < x - 2 < 4

Es el entorno de centro 2 y radio 4, y además el centro 2 no pertenece al conjunto.

En símbolos: E* (2;4) = {x  /0 < x - 2 < 4} = {x  /-2 < x < 6  x  2}

Notación deIntervalo

Inecuación Representación en larecta R

Notación con valorabsoluto

(-3;3)

-5 < x < 5

-4 ≥ x ∨ x  4

(-∞; -10] U [10; +∞)0 < x < 4

[2;8]

x – 1 < 5

x +4  2