Doc Ingles POTENCIA 2

8/17/2019 Doc Ingles POTENCIA 2

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11.4 LINEARIZED MODELS

The static characteristics of power electronic circuits often epen nonlinearl! on the control "aria#les$ an their !na%ic

characteristics are e"en %ore li&el! to o so. 'ith linear or nonlinear fee#ac& control$ the close(loop s!ste% is t!picall!

also nonlinear. Assessin) *sta#ilit! an esi)nin) or e"aluatin) controllers with nonlinear %oels are usuall! ifficult. The

%ost co%%on$ s!ste%atic an )enerall! successful approach to these tas&s is lineari+ation$ It !iels linear %oels that

appro,i%atel! escri#e s%all e"iations or pertur#ations fro% no%inal operation of a s!ste%. Linear %oels are$ of

course$ far easier to anal!+e than nonlinear ones.

11.4 MODELOS lineali+ao

Las caracter-sticas estticas e los circuitos electr/nicos e potencia a %enuo epenen no lineal%ente e las

"aria#les e control$ ! sus caracter-sticas in%icas son incluso %s propensas a hacerlo. 0on el control e

reali%entaci/n lineal o no lineal$ el siste%a la+o cerrao es ta%#in t-pica%ente no lineal. E"aluar la esta#ilia

! el ise2o o la e"aluaci/n e los controlaores con %oelos no lineales son )eneral%ente if-ciles. El enfo3ue

%s co%n$ siste%tico ! )eneral%ente e,itoso para estas tareas es la lineali+aci/n$ prouce %oelos lineales

3ue escri#en apro,i%aa%ente pe3ue2as es"iaciones o pertur#aciones e la operaci/n no%inal e un siste%a

Los %oelos lineales son$ por supuesto$ %ucho %s fciles e anali+ar 3ue los no lineales.

Lineari+e %oels$ also calle s%all(si)nal %oels$ are crucial to e"aluatin) the sta#ilit! of a no%inal operatin)

conition. Sta#ilit! of the lineari+e %oel inicates that the no%inal operatin) conition is sta#le for s%all pertur#ationsat least. An initial )oal for control esi)n is therefore sta#ili+ation of the lineari+e %oel. This tas& is %uch easier than

irect sta#ili+ation of the nonlinear %oel. 'e outline the #asis of lineari+ation in this section an treat it in %ore etail in

0hapter 15. 'e iscuss the application of the resultin) linear %oels in sta#ilit! e"aluation an control esi)n in Section

11.6 an 0hapters 15 an 14.

Los %oelos lineali+aos$ ta%#in lla%aos %oelos e pe3ue2a se2al$ son cruciales para la e"aluaci/n e la

esta#ilia e una conici/n e funciona%iento no%inal. La esta#ilia el %oelo lineali+ao inica 3ue la

conici/n e funciona%iento no%inal es esta#le urante al %enos pe3ue2as pertur#aciones. 7or tanto$ un

o#8eti"o inicial para el ise2o e control es la esta#ili+aci/n el %oelo lineali+ao. Esta tarea es %ucho %s

fcil 3ue la esta#ili+aci/n irecta el %oelo no lineal. 7lantea%os la #ase e lineali+aci/n en esta secci/n ! la

trata%os con %s etalle en el cap-tulo 15. Se iscute la aplicaci/n e los %oelos lineales resultantes en elise2o e e"aluaci/n ! control e esta#ilia en la secci/n 11.6$ 9 los cap-tulos 15 ! 14

11.4.1 Lineari+ation

The place to start when lineari+in) a continuous(ti%e or iscrete(ti%e !na%ic %oel is with a no%inal solution$ usuall! a

stea!(state solution. E"en the stea! state in a t!pical !na%ic %oel for a power circuit %a! in"ol"e perioicall!


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"ar!in) rather than constant 3uantities. :or e,a%ple$ stea! state in the instantaneous %oel of an up;own con"erter

in"ol"es a perioic switchin) function an perioic wa"efor%s. One wa! to )et a constant stea! state rather than a

perioic stea! state in power circuit %oels is #! wor&in) with a iscrete(ti%e %oel that in"ol"es circuit "aria#les

sa%ple once per c!cle. The reason #eco%es clear in 0hapters 1< an 15.

11.4.1 Lineali+aci/n

El lu)ar para e%pe+ar cuano lineali+ano un %oelo in%ico e tie%po continuo o tie%po iscreto es e%pe+ar con una

soluci/n no%inal$ por lo )eneral una soluci/n e estao estacionario. Incluso el estao estacionario en un t-pico %oelo

in%ico para un circuito e potencia puee i%plicar "ariano peri/ica%ente en lu)ar e cantiaes constantes. 7ore8e%plo$ el estao estacionario en el %oelo instantneo e un con"ertior ascenente ; escenente i%plica una funci/n

e con%utaci/n peri/ica ! for%as e ona peri/icas. =na for%a e o#tener un estao e estacionario constante en lu)ar

e un estao estacionario peri/ico en %oelos circuitales e potencia es tra#a8ano con un %oelo en tie%po iscreto

3ue i%pli3ue "aria#les el circuito incluios en la %uestra una "e+ por ciclo. La ra+/n resulta e"iente en los cap-tulos 1<

! 15.

A"era)e %oels can also !iel constant stea! states. Stea! state in the a"era)e(circuit %oel )i"en in :i). 11.11$

when we i%pose a constant ut! ratio >t?$ correspons to the a"era)e "aria#les ta&in) constant "alues. @owe"er$ with

the hi)h(fre3uenc! 7'M in"erters escri#e in Section .5$ e"en an a"era)e %oel has a stea! state that "aries

perioicalB! rather than re%ainin) constant. 'e can now represent s%all e"iations fro% the no%inal #! e,panin) alB the

nonlinear ter%s of the %oel into Ta!lor series aroun the no%inal "alues. Retain in) onl! first(orer ter%s results in a

linear %oel that appro,irriatel! )o"erns s%all e"iationsC this is the lineari+e %oel. The para%eters of the lineari+e

%oel epen on the no%inal operatin) conition$ #ecause the Ta!lor series coefficients epen on the no%inal solution.

If the ori)inal nonlinear %oel is ti%e in"ariant an if the no%inal solution correspons to constant "alues of the

"aria#les$ the lineari+e %oel turns out to alwa!s #e LTI.

Los %oelos en pro%eio ta%#in pueen proucir estaos estacionarios constantes. El estao estacionario en

el %oelo el circuito pro%eio ao en la :i). 11.11$ al i%poner una relaci/n e tra#a8o constante >t?$

correspone a "aria#les pro%eio to%ano "alores constantes. Sin e%#ar)o$ con los in"ersores 7'M e alta

frecuencia 3ue se escri#en en la secci/n .5$ incluso un %oelo pro%eio tiene un estao e estacionario 3ue

"ar-a peri/ica%ente en lu)ar e per%anecer constante. Ahora pore%os representar pe3ue2as es"iaciones

respecto a la no%inal %eiante la a%pliaci/n e toos los tr%inos no lineales el %oelo en series e Ta!lor

alreeor e los "alores no%inales. 0onser"ano sola%ente e pri%er oren Los tr%inos resulta en un %oelo

lineal 3ue )o#ierna apro,i%aa%ente pe3ue2as es"iacionesC este es el %oelo lineali+ao. Los par%etros el

%oelo lineali+ao epenen e la conici/n e funciona%iento no%inal$ e#io a 3ue los coeficientes e la

serie e Ta!lor epenen e la soluci/n no%inal. Si el %oelo no lineal ori)inal es in"ariante en el tie%po ! si

la soluci/n no%inal correspone a "alores constantes e las "aria#les$ el %oelo lineali+ao resulta ser sie%pre

LTI.

11.4.< Lineari+in) a 0ircu-t

:or nonlinear %oels in circuit for%$ we can further si%plif! the process of lineari+ation. =sin) si%ple operations on the

nonlinear circuit$ we can o#tain the lineari+e %oel itself in circuit for%o The proceure an 8ustification are analo)ous

to those we use in Section 11.5.< to o#tain an a"era)e(circuit %oel fro% an instantaneous(circuit %oel. The

ar)u%ents shoul al so #e fa%iliar fro% s%all si)nal anal!sis of transistor a%plifier circuits$ for e,a%ple.

11.4.< Lineali+aci/n e un circuito

7ara los %oelos no lineales en for%a e circuito$ poe%os si%plificar an %s el proceso e lineali+aci/n.

Meiante operaciones si%ples en el circuito no lineal$ se puee o#tener el %oelo lineali+ao en s- en for%a e

circuito. El procei%iento ! la 8ustificaci/n son anlo)as a los 3ue se utili+/ en la Secci/n 11.5.< para o#tener


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un %oelo e circuito pro%eio e un %oelo circuito instantaneo. Los ar)u%entos ta%#in e#en estar

fa%iliari+aos ese el anlisis e pe3ue2a se2al e los circuitos a%plificaores e transistores$ por e8e%plo.

.

'e #e)in #! replacin) e"er! "olta)e in the nonlinear circuit #! -ts e"iation fro% the no%inal. This step results in "olta)e

e"iations that satisf! irchhoff*s "olta)e law e3uations on the )i"en circuit topolo)!. The reason L is satisfie is that

we o#tain the e"iations #! ta&in) the ifference #etween two sets of "olta)es(the pertur#e set an the no%inal(that each

satisf! the sa%e linear e3uations. Si%ilarl!$ we replace e"er! current in the nonlinear circuit #! its e"iation fro% the

no%inal to o#tain current e"iations that satisf! irchhoff*s current law on the )i"en circuit topolo)!.

0o%en+a%os por ree%pla+ano caa "olta8e en el circuito no lineal por su es"iaci/n el no%inal. Este paso a

lu)ar a es"iaciones e tensi/n 3ue satisfacen las ecuaciones e le! e "olta8e e irchhoff en la topolo)-a e

circuito ao. La ra+/n L se satisface es 3ue se o#tienen las es"iaciones e to%ano la iferencia entre os

series e tensiones e la serie pertur#aa ! el no%inal 3ue caa uno satisface las %is%as ecuaciones lineales.

Del %is%o %oo$ ree%pla+a%os caa corriente en el circuito no lineal por su es"iaci/n e la no%inal para

o#tener es"iaciones e corriente 3ue cu%plen la le! e irchhoff e la topolo)-a e circuito ao.

The final step is to replace e"er! nonlinear co%ponent in the circuit with its lineari+e "ersion. >The linear co%ponents o

not nee replace%ent$ #ecause the! i%pose the sa%e constraints on the e"iations as the! o on the ori)inal "aria#les.?

The lineari+ation of a nonlinear co%ponent is o#taine #! Ta!lor e,pansion of its characteri+in) e3uations up to first(

orer ter%s. The lineari+e co%ponent i%poses linear constraints that appro,i%atel! )o"ern s%all e"iations of the

"aria#les at the co%ponent*s ter%inals an s%all e"iations of an! control "aria#les that )o"ern the co%ponent. The result

of all these %anipulations is a linear circuit that )o"erns s%all e"iations fro% the no%inal.

El paso final es ree%pla+ar caa co%ponente no lineal en el circuito con su "ersi/n lineali+aa. >Los

co%ponentes lineales no necesitan ree%pla+o$ por3ue i%ponen las %is%as restricciones so#re las es"iaciones

e co%o lo hacen en las "aria#les ori)inales.? La lineali+aci/n e un co%ponente no lineal se o#tiene %eiante

la e,pansi/n e Ta!lor e las ecuaciones e caracteri+aci/n hasta tr%inos e pri%er oren. El co%ponente

lineali+ao i%pone restricciones lineales 3ue apro,i%aa%ente )o#iernan pe3ue2as "ariaciones e las "aria#les

en los ter%inales el co%ponente ! las pe3ue2as es"iaciones e las "aria#les e control 3ue re)ulan el

co%ponente. El resultao e toas e estas %anipulaciones es un circuito lineal 3ue ri)e las pe3ue2as

es"iaciones el la no%inal.

The nonlinear a"era)e circuits that we escri#e earlier are ti%e in"ariant$ an the no%inal solution of interest is usuall!

the constant stea! state. The lineari+ation in these cases is an LTI circuit. In the case of a"era)e(circuit %oels for the

7'M wa"eshapin) in"erters in Section .5$ the no%inal stea! state is perioicall! "ar!in)$ an the corresponin)

lineari+ation is a perioicall! "ar!in) circuit.

Los circuitos no lineales pro%eio 3ue escri#i%os anterior%ente son in"ariantes en el tie%po$ ! la soluci/n

no%inal e inters es por lo )eneral el estao e estacionario constante. La lineali+aci/n en estos casos es un

circuito LTI. En el caso e %oelos e circuitos pro%eio para el confor%aor e ona 7'M in"ersores en laSecci/n .5$ el estao estacionario no%inal est "ariano peri/ica%ente$ ! la lineali+aci/n corresponiente es

un circuito 3ue "ar-a peri/ica%ente.

EFAM7LE 11..

Lineari+e 0ircuit for an =p;Down 0on"erter in Discontinuous 0onuction.

A nonlinear a"era)e(circuitG%oel for the up;own con"erter in iscontinuous conuction was o#taine in E,a%ple 11.6$

:i). 11G.H>#?.Our eri"ation of the %oel there allows the ut! ratio an input "olta)e to #e slowl! "ar!in) rather than

constant. 'e can therefore rewrite >11.4? with >t? instea of D an "in instea of in*. 'e reser"e D an in to enote

the constant no%inal "alues.


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E8e%plo 11..

Lineali+ao circuito para un con"ertior arri#a(a#a8o en conucci/n iscontinua.

=n %oelo e circuito e pro%eio no lineal para el con"ertior ascenente ; escenente en la conucci/n iscontinua se

o#tu"o en el E8e%plo 11.6$ fi). 11.H >#?. Nuestra eucci/n el %oelo all- per%ite la relaci/n e tra#a8o ! el "olta8e e

entraa a ser e "ariaci/n lenta en lu)ar e constante. 7or tanto$ poe%os reescri#ir >11.4? con >t? en lu)ar e D !*"in* en

lu)ar e*in *. Reser"a%os D ! in para enotar los "alores no%inales constantes.

The no%inal stea!(state solution correspons to constant "alues of the a"era)e 3uantities. In particular$ i>t? J I an"o>t? J "o. The capacitor in the a"era)e circuit acts as an open circuit in the stea! state$ so we see fro% :i). 11.H>#?

thatK

La soluci/n e estao estacionario no%inal correspone a "alores constantes e las cantiaes pro%eio. En particular$ i

>t? J I ! "o >t? J "o. El conensaor el circuito pro%eio acta co%o un circuito a#ierto en el estao estacionario$ lo

3ue "e%os en la :i). 11.H >#? 3ueK

Rearran)in) an ta&in) the s3uare root !iels . >'ith our si)n con"ention$ we nee the

ne)ati"e s3uare root.?

Reor)ani+aci/n ! to%ano los reni%ientos e ra-ces cuaraas. >0on nuestra con"enci/n e si)nos$ necesita%os la ra-+

cuaraa ne)ati"a.?

Now let the ut! ratio #e pertur#e fro% D to >t? J D >t?$ #ut assu%e for si%plicit! that the input "olta)e is fi,e at

in. 0orresponin)l! let i>t? J I i>t? an "o>t? J o "o>t?. The superscript enotes a pertur#ation fro% the

no%inal. Lineari+in) the current source in the a"era)e circuit #! a Ta!lor series e,pansion up to linear ter%s$ we fin

Sea ahora la relaci/n e tra#a8o pertur#arse e D a >t? J D >t?$ pero asu%e por si%plicia$ 3ue la tensi/n e entraase fi8a en in. En consecuencia e8ar i >t? J I i >t? ! "o >t? J o "o >t?. El e,ponente enota una pertur#aci/n en el

no%inal. Lineali+ano la fuente e corriente el circuito pro%eio %eiante un esarrollo en serie e Ta!lor a tr%inos

lineales$ encontra%os

The partial eri"ati"es in >11.14? are e"aluate at the no%inal solution. =sin) >11.15? to si%plif! >11.14?$ we ha"e

Las eri"aas parciales en la >11.14? se e"alan en la soluci/n no%inal. =sano >11.15? para si%plificar >11.14?$ tene%os

The resultin) lineari+e a"era)e circuit is shown in :i). 11.1


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El circuito pro%eio lineari+ao resultante se %uestra en la :i). 11.1#? se efecta fcil%ente. a%os a enotar los

"alores no%inales por las letras %a!sculas ! las es"iaciones el no%inal por el e,ponente$ co%o en el e8e%plo 11..

Ms co%n%ente la soluci/n no%inal correspone a un estao e e3uili#rio constante o peri/ica$ pero no re3uiere esto

para la lineali+aci/n 3ue si)ue. 7oe%os escri#ir

an si%ilarl! for the other "aria#les. 'e now e,pan the source ter%s in :i).11.1>#?$ na%el!$ >t?i,>t? an >t?!+>t?$ to

first(orer or linear ter%s in the pertur#ations. That is$ we ne)lect ter%s that in"ol"e s3uares or proucts of the s%all

pertur#ations. This lineari+e e,pansion !iels the followin) first(orer pertur#ations in the source ter%sK

! si%ilar%ente para el resto e "aria#les. Ahora e,pani%os la tr%inos fuente en :i).11.1 >#?$ es ecir$ >t? i, >t? ! >t?

!+ >t?$ para pri%er oren o tr%inos lineales en la pertur#aciones. Es ecir$ 3ue esprecia%os tr%inos 3ue i%plican

cuaraos o prouctos e la pe3ue2as pertur#aciones. Esta e,pansi/n lineali+aa proporciona los si)uientes

pertur#aciones e pri%er oren en la tr%inos fuente


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The results of this calculation are represente in the lineari+e circuit in :i). 11.15>a?$ with an e3ui"alent representation in

:i) 11.15>#?.

Los resultaos e este clculo se representan en el circuito lineali+ao en la :i). 11$15 >a?$ con una representaci/n

e3ui"alente en la fi)ura 11.15 >#?.

:i)ure 11.15 >a? L-neari+e a"era)e %oel of the canonical switchin) cell.

:i)ura 11.15 >a? lineali+ao pro%eio %oelo e la cela e con%utaci/n can/nica.


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:i)ure 11.15 >cont.? >#? Alternati"e representation.

:i)ure 11.15 >cont.? >#? Alternati"e representation.

EFAM7LE 11.

Lineari+e 0ircuit for an =p;Down 0on"erter in 0ontinuous 0onuction

'e return once %ore to the up;own con"erter of E,a%ples 11.1$ 11.5$ an 11.H to o#tain a lineari+e a"era)e %oel

that.escri#es s%all pertur#ations fro% the no%inal stea! state in the continuous conuction %oe.

E8e%plo 11.

Lineali+ao circuito para un con"ertior ascenente; escenente en conucci/n continua

ol"e%os una "e+ %s para el con"ertior ascenente; escenente e los E8e%plos 11.1$ 11.5$ ! 11.H para o#tener un

%oelo pro%eiao lineali+ao 3ue escri#a pe3ue2as pertur#aciones e la estao estacionario no%inal en el %oo e

conucci/n continua.

The lineari+e "ersion of :i). 11.11 is o#taine #! replacin) alB "olta)es an currents #! their pertur#ations fro% the

no%inal an replacin) the a"era)e canonical cell #! its lineari+e "ersion$ usin) :i). 11. 15>#?.( AlB other con"erter

ele%ents are linear an are therefore preser"e intact in the lineari+e circuit. The result is shown in :i).11.14$ with "in

representin) e"iations of the a"era)e input source fro% its no%inal e "alue.

La "ersi/n lineal e la :i). 11.11 se o#tiene %eiante la sustituci/n e toos los "olta8es ! las corrientes por sus

pertur#aciones e la no%inal ! la sustituci/n e la cela can/nica pro%eio por su "ersi/n lineal$ utili+ano la :i). 11. 15

>#?. Toos los e%s ele%entos con"ertiores son lineales ! por lo tanto se %antienen intactos en el circuito lineali+ao.

El resultao se %uestra en :i).11.14$ con "in representano es"iaciones e la fuente e entraa pro%eio a partir e su

"alor no%inal e.

The lineari+e %oel corresponin) ro the constant no%inal stea! state is an LTI circuit. @ence sol"in) for the "alues of

all circuit "aria#les is strai)htforwar >for e,a%ple$ usin) i%peance %ethos?. :or control esi)n purposes$ we %ust

&now the transfer function fro% pertur#ations in the ut! c!cle$ which constitutes our control input$ to pertur#ati/ns o


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in the output "olta)e. Settin) "in J O$ a strai)htforwar cornputation with the circuit in :i). 1l.14 shows the transfer

function to #e

El %oelo lineali+ao corresponiente al estao estacionario no%inal constante es un circuito LTI. 7or lo tanto la soluci/n

para los "alores e toas las "aria#les el circuito es irecta >por e8e%plo$ usano %toos e i%peancia?. 7ara fines e

ise2o e control$ e#e%os conocer la funci/n e transferencia e pertur#aciones D en el ciclo e tra#a8o$ lo 3ue

constitu!e nuestra entraa e control$ a las pertur#aciones o en la tensi/n e salia. A8uste "in J O$ un clculo irecto

con el circuito e la fi)ura. 11.14 se %uestra la funci/n e transferencia e ser

>'e ha"e use the stea!(state relationships in >11.H? to si%plif! the constant in the nu%erator.? This is the transfer

function we referre to at the en ilf E,a%ple 11.H$ in connection

>@e%os usao las relaciones e estao esta#le en >11.H? para si%plificar la constante en el nu%eraor.? Esta es la funci/n

e transferencia nos referi%os al final el E8e%plo 11.H$ respecto

:i)ure 11.14 Lineari+e a"era)e %oel of an up;own con"erter.

:i)ure 11.14 Lineari+e a"era)e %oel of an up;own con"erter.

with eter%inin) the effect of feeforwar in E,a%ple 11.1. This transfer function also pro"ies a )oo startin) point for

an e,planation of wh! the proportional fee#ac& sche%e in E,a%ple 11.5 le to the #eha"ior o#ser"e there. 'e pursue

this e,planation further in E,a%ple 11.11.

con la eter%inaci/n el efecto e ali%entaci/n irecta en el E8e%plo 11.1. Esta funci/n e transferencia ta%#in ofrece

un #uen punto e partia para una e,plicaci/n e por 3u el es3ue%a e retroali%entaci/n proporcional en el E8e%plo

11.5 conu8o al co%porta%iento o#ser"ao all-. usca%os esta e,plicaci/n an %s en el e8e%plo 11.11.

The transfer function co%putation in E,a%ple 11. illustrates the a"anta)es of ha"in) an LTI circuit %oel for power

circuit !na%ics. Such a %oel allows us to appl! the e,tensi"e arra! of concepts an techni3ues a"aila#le for LTI

circuits to the stu! of e"iations fro% no%inal operation in a power circuit. These concepts an techni3ues inclue

superposition$ i%peance %ethos$ Norton an Th"enin e3ui"alents an their %ultiport )enerali+ations$ networ&

interconnections$ sensiti"ities$ an so on$ :or instance$ in aition to the transfer function cornpute in E,a%ple 11.$ we

coul eter%ine input an output i%peances or a%ittances$ as well as "arious other rele"ant transfer ratios. These

transfer ratios are i%portant in escri#in) how !na%ic #eha"ior epens on characteristics of the source$ the loa$ the

circuit itself$ an the control esi)n.

La funci/n e clculo e transferencia en el E8e%plo 11. ilustra las "enta8as e tener un %oelo e circuito LTI para la

in%ica el circuito e potencia. Este %oelo nos per%ite aplicar la a%plia )a%a e conceptos ! tcnicas isponi#les

para circuitos LTI al el estuio e es"iaciones el la operaci/n no%inal en un circuito e potencia. Estos conceptos !


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tcnicas inclu!en la superposici/n$ %toos e i%peancia$ Norton ! e3ui"alentes Th"enin ! sus )enerali+aciones

%ultipuerto$ intercone,iones e rees$ las sensi#iliaes$ ! as- sucesi"a%ente$ por e8e%plo$ ae%s e la funci/n e

transferencia calculaa en el E8e%plo 11.$ pui%os eter%inar i%peancias e entraa ! e salia o a%itancias$ as-

co%o i"ersas otras relaciones e transferencia pertinentes. Estas relaciones e transferencia son i%portantes en la

escripci/n e c/%o el co%porta%iento in%ico epene e las caracter-sticas e la fuente$ la car)a$ el propio circuito$ !

el ise2o e control.

Apart fro% ser"in) as a #asis for co%putations that support the tas&s of sta#ilit! anal!sis an control esi)n$ a circuit

%oel can so%eti%es irectl! su))est control esi)ns. :or e,a%ple$ consier a)ain the circuit in :i). 11.1

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