Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song...

Hai Đường Thẳng S.Song – Đường Thẳng S.Song Mặt Phẳng GV. Đỗ Văn Thọ

1

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song * Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song - Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (định lý Ta-let đảo trong mặt phẳng, tính chất đường trung bình…) Định lý ta-let đảo trong mặt phẳng (lớp 8): Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với một cạnh còn lại của tam giác

N

B

A

C

M

AM ANAB AC MN BCAM ANBM CD

O

A B

C D OA OBAB CDOD OC


2

P

O

A B

C D

PC PD CDCD ABPA PB AB

- Cách 2: Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến của hai mặt phẳng

,

P Q

a P b Qa b c

a bP Q c

- Cách 3: Chứng minh đường thẳng đó song song với đường thẳng thứ 3

Bài tập:

Bài 3.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD, đáy nhỏ BC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SCD a. Chứng minh EF AD BC b. Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (ABF) với SD và K là

giao điểm của mặt phẳng (CDE) với SA. Chứng minh HK AD

Bài 3.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao


3

điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ MN và PQ AC Bài 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB a. Chứng minh MN CD b. Tìm giao điểm K của SC với (AND). Kéo dài AN và DK cắt

nhau tại I. Chứng minh SI AB CD Bài 3.4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho P A và P B . Gọi I PD AN và J PC AM . Chứng minh rằng IJ CD (Định lý giao tuyến) Bài 3.5: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD với mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau: a. PR song song với AC b. PR cắt AC Bài 3.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN BD (dùng định lý Ta-let đảo) Bài 3.7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh JI CD Bài 3.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q a. Chứng minh MN song song với PQ b. Giả sử AM BP E và CQ DN F . Chứng minh rằng

EF MN PQ .


4

Bài 3.9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho

; ;MN BS NP CD MQ CD a. Chứng minh PQ SA (dùng Ta-let) b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh

SK AD BC (Hệ quả định lý giao tuyến) Bài 3.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm AB và BC, I là giao điểm của DM và AC, J là điểm trên đoạn SM sao cho SJ=2JM a. Chứng minh JI SD b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJK) Bài 3.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SB a. Chứng minh HK CD b. Gọi M là điểm trên cạnh SC và không trùng với S. Tìm giao

tuyến của (HKM) và (SCD) * Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

- Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nào đó

d'

d

P

'

'

d Pd d d Pd P

- Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một


5

mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho

Qd

P

d Q

d PP Q

Bài 4.1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB=2MC. Chứng minh rằng MG ACD Bài 4.2: Cho tứ diện ABCD. Gọi 1G và 2G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng 1 2G G song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) Bài 4.3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt . Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF a. Chứng minh OO' ADF và OO' BCE b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE.

Chứng minh rằng IJ EFC Bài 4.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD=3AM a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N.

Chứng minh rằng NG SCD c. Chứng minh rằng MG SCD Bài 4.5*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. G là trọng tâm của tam giác SCD


6

a. Chứng minh rằng OG SBC b. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM SAB

c. Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho 32

SC SI . Chứng

minh rằng SA BID Bài 4.6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC, K là điểm thuộc đoạn SI sao cho KI=2KS. Chứng minh rằng OK SAB Bài 4.7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam

giác SAB, N là điểm trên đoạn AC sao cho 13

ANAC

. Chứng

minh GN song song với (SCD) Bài 4.8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, AB CD và AB=2CD. Cho M, N là hai điểm trên cạnh AB và CD sao cho AM=2DN. Gọi E là trung điểm của SM. Chứng minh

EN SAD và EN SBC Bài 4.9: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD a. Chứng minh rằng AD SBC và CD SAB b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABD.

Chứng minh MN SAD Bài 4.10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, BD a. Chứng minh rằng BD CMN b. Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho AI=2IC, MI cắt BC tại

K. Chứng minh rằng DK CPN Bài 4.11: (Cơ Bản) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, CD. Chứng minh rằng


7

a. MNP AB b. MNP AD c. MNP BD Bài 4.12: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC a. Tìm giao tuyến của (SIJ) với các mặt phẳng (SAD), (SBC), (ABCD), (SAB) và (SCD) b. Chứng minh rằng IJAB S và IJCD S Bài 4.13: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau a. Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD) b. Tìm giao tuyến của (SCD) với (SAB) c. Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC) d. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và K là điểm bất kỳ trên SD. Tìm giao điểm của IJ với (SCD) e. Chứng minh rằng IJAB D f. Tìm giao điểm KJ với (SAC) g. Tìm giao tuyến của (IJK) với (SAC) Bài 4.14: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SB và điểm I là điểm bất kỳ trên cạnh CD sao cho I không trùng với trung điểm của CD, và trùng C, D. a. Tìm giao điểm của SD với (IMN) b. Chứng minh ( )IMN AD Bài 4.15: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB a. Chứng minh MN CD b. Tìm giao điểm P của SC với (AND) c. Gọi I là giao điểm AN với DP. Chứng minh SI AB CD


8

* Dựng thiết diện song song với một đường thẳng Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d

Bài 5.1: Cho tứ diện ABCD. Một điểm M trên cạnh AC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AB và CD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD

Bài 5.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB và (P) là mặt phẳng qua M song song với AD và SB

a. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp

b. Chứng minh rằng SC song song với (P)

Bài 5.3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG)

Bài 5.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM)


9

Hướng Dẫn Giải: Bài 3.1:

a. Chứng minh EF AD BC

F

N

E

M

A D

B C

S

Ta có E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, SCD nên

2 2;3 3

SE SF SE SFSM SN SM SN

Theo định lý ta-let đảo trong tam giác SMN thì EF MN (1) Lại có MN là đường trung bình của hình thanh ABCD nên MN BC AD (2) Từ (1), (2) suy ra EF BC AD * Cách khác: Áp dụng hệ quả về giao tuyến của 3 mặt phẳng

EF

; EF

AEFD BCFE

AD AEFD BC BCFE BC ADAD BC

b. * Xác định H, ABF SD H

( )F SN SCD

SCD ABF FF ABF

(1)

Trong mặt phẳng (ABCD), AB CD P


10

P AB ABF

ABF SCD PP CD SCD

(2)

Từ (1), (2) suy ra ABF SCD PF Trong mặt phẳng (SCD), PF SD H

SD ABF H * Xác định K, CDE SA K

K H

P

E F

NM

A D

B C

S

Tương tự trên ta có CDE SAB E (3)

P AB SAB

SAB CDE PP CD CDE

(4)

Từ (3), (4) suy ra CDE SAB PE Trong mặt phẳng (SAB), PE SA K

CDE SA K * Chứng minh HK AD


11

Ta có

EF

EF ; AD EFEF

P SAD KH

EF P AD S KH ADAD

(đpcm)

* Cách khác: Áp dụng hệ quả về định lý giao tuyến 3 mặt phẳng

;

ADHK BCHK KH

AD ADHK BC BCHK HK AD BCAD BC

Bài 3.2:

P

M N

A C

B

D

Q

Để xác định điểm P ta dựa vào hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng. Mặt phẳng (MNQ) và (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và AC song song với nhau nên giao tuyến cũng song song với MN và AC. Từ Q ta vẽ đường thẳng song song với AC cắt CD tại P. Rõ ràng PQ MN và PQ AC


12

Bài 3.3:

M N

A B

D C

S

a. Chứng minh MN CD Trong tam giác SAB, MN AB (theo tính chất đường trung bình) Lại có AB CD (theo ABCD là hình bình hành)

MN ABMN CD

AB CD

b.

K

P

N

A B

D C

S

* Xác định giao điểm của (AND) và SC Ta có AD BC P


13

P CD SBC

SBC AND PP AD AND

Lại có SBC AND N Do đó SBC AND NP Trong mặt phẳng (SBC), NP SC K

K SC

SC AND KK NP AND

Vậy K là giao điểm cần tìm I

K

P

N

A B

D C

S

Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến, ta có

IS

;

SICD AB SI

AB ABIS CD SICD SI AB CDAB CD

(đpcm)


14

Bài 3.4:

J

IN

M

A C

B

D

P

Ta có

,

AMN PCD JI

CD PCD MN AMN

Lại có MN CD (MN là đường trung bình BCD ) Theo hệ quả định lý giao tuyến của ba mặt phẳng ta suy ra JI MN CD (điều phải chứng minh)

Bài 3.5: a. PR song song với AC

M

A C

B

D

P

Q

R

Ta có mặt phẳng PQR ACD Q


15

Lại có PR AC Theo định lý đảo về giao tuyến thì giao tuyến của (PQR) và (ACD) sẽ song song với AC và PR. Do đó từ Q ta vẽ đường thẳng song song với AC hoặc PR và cắt AD tại điểm M Nên PQR ACD QM

M AD

AD PQR MM PQR

b. PR cắt AC

N

HA

C

B

D

P

Q

R

Rõ ràng ta có MNP ACD HQ Trong mặt phẳng (ACD), HQ AD N

N AD

AD PQR NN HQ PQR

Vậy N là điểm cần tìm


16

Bài 3.6: Chứng minh rằng MN BD

N

Q

M

P

D

C

A

B

S

Trong tam giác SQP, 2

3SN SMSQ SP

. Theo định lý Ta-let đảo

thì MN PQ Lại có trong tam giác ABD, PQ BD (đường trung bình)

Do đó, MN PQ

MN BDBD PQ

Bài 3.7:

J

IH

AC

B

D


17

Ta có J, I là trọng tâm của tam giác ABD và ABC nên ta có HD=3HJ và HC=3HI

Hay 13

HI HJHC HD

Theo định lý ta-let đảo trong tam giác HCD, ta có JI CD Bài 3.8:

QP

NM J

I

A D

B C

S

a. Chứng minh MN PQ Ta có

;

ADJ SBC J

AD ADJ BC SBCAD BC

Theo hệ quả của định lý giao tuyến thì giao tuyến của (ADJ) và (SBC) đi qua J và song song với BC, AD và cắt SB, SC lần lượt tại M, N Do đó, ADJ SBC MN

MN BC AD (1)


18

Lại có

AD

;

BCI S I

BC BCI AD SADBC AD

Tương tự, giao tuyến của hai mặt phẳng (BCI), (SAD) đi qua I, song song với BC, AD và cắt SA, SD lần lượt P, Q Do đó, BCI SAD PQ

PQ BC AD (2) Từ (1) và (2), suy ra MN PQ b.

FE

QP

NM J

I

A D

B C

S

Ta có EFAMND BCQP

PQ MNBC AD

EF MN PQ Bài 3.9:

a.


19

C

AD

B

S

M

N

P

Q

Trong tam giác SCD, NP CD theo định lý Ta-let ta có DP CNDS CS

(1)

Trong tam giác SBC, MN BS CN CMCS CB

(2)

Lại có MQ CD AB nên CM DQCB DA

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra DP DQDS DA

Theo định lý ta-let đảo trong tam giác SAD thì PQ SA (đpcm)


20

b. K

C

AD

B

S

M

N

P

Q

Ta có

ADK MN SBC

SBC S KK PQ SAD

Lại có SBC SAD S SBC SAD KS

;

SBC SAD KS

BC SBC AD SAD SK BC ADBC AD

(đpcm)

Bài 3.10: a.

OI

K

M

C

AD

B

S

J


21

Rõ ràng ta thấy J là trọng tâm của tam giác SAB, I là trọng tâm của tam giác ABD nên

1 1;3 3

MJ MIMS MD

MJ MIMS MD

Theo định lý Ta-let đảo trong tam giác SMD, suy ra JI SD b.

P

Q FH

I

K

M

C

AD

B

S

J

IJKI AD P K ABCD KP (1) IJKKI AB H SAB HJ (2)

Trong mặt phẳng (SAB), IJHJ SA F K SAB F IJJF SB Q SAB K FQ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra thiết diện là tứ giác KPFQ


22

Bài 3.11 a. Chứng minh HK CD

PK

H

C

AD

B

S

M

Ta có HK AB (HK là đường trung bình tam giác SAB) AB CD (ABCD là hình bình hành)

KH CD (đpcm) b. Ta có HKM SCD M

HK HKM

CD SCDHK CD

Suy ra giao tuyến của (HKM) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với HK, CD và cắt SD tại điểm P Vậy HKM SCD MP


23

Bài 4.1

G

I

BD

C

A

M

Ta có

2 2;3 3

23

BM BGBC BI

BM BGBC BI

Theo định lý Talet đảo, ta có MG CI

MG CI

MG ACDCI ACD

(đpcm)

Bài 4.2

N G1

G2M P

BD

C

A

* Chứng minh 1 2G G ABC


24

Ta có 1 2 23

DG DGDN DM

Theo định lý Talet trong tam giác DMN suy ra 1 2G G MN

1 21 2

G G MNG G ABC

MN ABC

(đpcm)

* Chứng minh 1 2G G ABD

2 1 13

PG PGPB PA

Theo định lý Talet trong tam giác ABP suy ra 1 2G G AB

1 21 2

G G ABG G ABD

AB ABD

(đpcm)

Bài 4.3

O'

O

F

D

BC

A

E

a. * Chứng minh OO' ADF

Ta có ' 12

BO BOBD BF

Theo định lý talet trong tam giác BFD, suy ra OO' DF

'

OO 'OO DF

ADFDF ADF


25

* Chứng minh OO' BCE ' 1

2AO AOAC AE

Theo định lý talet trong tam giác ACE, suy ra OO' CE

'

OO 'OO CE

BCECE BCE

b.

J

H

I

F

D

BC

A

E

Ta có 1

3HJ HIHE HD

Theo định lý talet trong tam giác HDE, suy ra JI ED Từ hai hình bình hành ABCD, ABEF suy ra

EF;CD=AB=EFCD AB Suy ra tứ giác CDFE là hình bình hành

IJ EF

EF

JI EDED CDEF C

C CDFE


26

Bài 4.4

d

PN

G

I B

DC

A

S

M

a. Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và

song song với AD, BC b. Chứng minh NG SCD Ta có NP IB . Theo định lý talet trong tam giác IBC, suy ra

23

CN CPCI CB

(Vì AD BC và 23

DMDA

)

13

INIC

Lại có 1IS 3IG IN

IC NG SC

NG SC

NG SCDSC SCD

c. Chứng minh MG SCD

( )NG SC

GMN SCDMN CD

Mà MG GMN MG SCD


27

Bài 4.5

HG

O

A D

B C

S

Gọi H là trung điểm của SC, ta có tam giác OAD đồng dạng với tam giác OCB nên

22 23

OD OA AD DOOD OBOB OC BC DB

Và 23

DGDH

DO DGDB DH

Theo định lý talet trong tam giác BDH, OG BH mà BH SBC nên OG SBC

b.

HG

O

MM'

A D

B C

S


28

Gọi M’ là trung điểm của SA, '

1'2

MM AD

MM AD

(1)

Lại có 12

BC AD

BC AD

(2)

''

MM BCMM BC

'BCMM là hình bình hành 'MC M B

'

'MC BM

MC SABBM SAB

(đpcm)

c.

O

A D

B C

S

I

Ta có 1 1

2 3OC COOA CA

Mặt khác, 3 12 3

CISC SICS

13

CO CI OI SACA CS

OI SA

SA BIDOI BID

(đpcm)


29

Bài 4.6:

F

E

I

O

A B

D C

S

K

Từ AB CD và 2AB CD , ta có OF IF 1

2CD

OE IE AB

1 1IF2 2

1 1 12 2 2

3 22 3

IO FO IE OE

IE IE IO IE IO

IOIO IEIE

Lại có 2IS 3IK

ISIO IKIE

Theo định lý talet trong tam giác IES, suy ra ESKO

ES

ESKO

KO SABSAB

(đpcm)


30

Bài 4.7:

NO

G

I B

D C

A

S

Gọi O AC BD

2 1 22.1 3 32

AN AN ANAO ACAC

N là trọng tâm của tam giác ABD

Gọi I là trung điểm của AB, do đó N nằm trên DI và 13

INID

.

Lại có G là trọng tâm của tam giác SAB nên 1IS 3IG

ISIN IGID

. Theo định lý talet đảo trong tam giác SDI suy ra

NG DS

NG DS

NG SCDDS SCD

(đpcm)


31

Bài 4.8:

P

E

A B

D C

S

M

N

Trong mặt phẳng (ABCD), AD MN P Ta có DN AM , theo định lý talet trong tam giác APM

12

PD PN DNPA PM AM

N là trung điểm của PM nên 12

MNMP

(1)

Lại có 12

MEMS

(2)

Từ (1), (2) MN MEMP MS

. Theo định lý Talet trong tam giác SPM,

suy ra EN SP

EN SP

EN SADSP SAD

(đpcm)

* Chứng minh EN SBC

Từ 12

PDPA

D là trung điểm của AP


32

12

DC ABDC

DC AB

là đường trung bình của tam giác ABP

P BC hay SP SBC

EN SP

EN SBCSP SBC

(đpcm)

Bài 4.9: a. * Chứng minh AD SBC

AD BC

AD SBCBC SBC

* Chứng minh CD SAB

CD AB

CD SABAB SAB

b.

N

M

I B

D C

A

S

N là trọng tâm của tam giác ABD nên 1

3INID

M là trọng tâm của tam giác SAB nên 1IS 3IM


33

Suy ra IS

IN IMID

Theo định lý talet đảo trong tam giác IDS suy ra MN SD

MN SD

MN SCDSD SCD

(đpcm)

Bài 4.10: a.

P

N

M

AC

B

D

MN là đường trung bình của tam giác ABD nên MN BD

MN BD

BD CMNMN CMN

b.

J K

P

N

M

A

C

B

D

I


34

Gọi J điểm trên MK sao cho JC AB 12

CI CJCA AB

12

JC AB JC là đường trung bình của tam giác ABK

C là trung điểm BK Từ đó CP là đường trung bình của tam giác BDK

CP DK

CP DK

DK CPNCP CPN

(đpcm)

Bài 4.11:

P

NM

C

BA

D

a. MNP AB

Ta có

MN ABMNP AB

MN MNP

Câu b, c tương tự


35

Bài 5.1:

PQ

N

B

DC

A

M

Ta có

P ABC M

P AB P ABC MQ

AB ABC

P ABCD MQ (1)

P ACD

P CD P ACD MN

CD ACD

P ABCD MN (2) Tương tự

P BCD Q

CD P P BCD QP

CD BCD

P ABCD QP (3)

Và

P ABD N

P AB P ABD PN

AB ABD


36

P ABCD PN (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra thiết diện là hình bình hành MNPQ Bài 5.2 a.

PQ

N

A D

B C

S

M

Ta có

P AD

AD ABCD

P ABCD M

Giao tuyến của (P) với (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AD cắt CD tại N

P ABCD MN (1) Tương tự

P SB

SB SAB

P SAB M

Giao tuyến của (P) với (SAB) là đường thẳng qua M và song song với SB cắt SA tại Q

P SAB MQ (2) Tương tự


37

AD P

AD SAD

P SAD Q

Giao tuyến của (P) với (SAD) là đường thẳng qua Q và song song với AD cắt SD tại P

P SAD MP (3) Lại có P SCD NP (4) Từ (1), (2), (3), (4) thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ b. Chứng minh SC MNPQ Ta có

PN SC

SC MNPQPN MNPQ

(đpcm)

Bài 5.3 a.

M NG

I J

A B

D C

S

IJ

IJ ABAB SAB

SAB G


38

Giao tuyến của (IJG) với (SAB) là đường thẳng đi qua G song song với AB, IJ và cắt SA, SB lần lượt tại M, N

IJG SAB MN b.

M NG

I J

A B

D C

S

Ta có

IJ

IJIJG .

IJ

IJ

G SAD MI

G SAB MNS ABCD IMNJ

G SBC NJ

G ABCD JI

Vậy thiết diện là hình thang IMNJ


39

Bài 5.4

E

T

R

Q NP

K

M

J

H

I

I B

DC

A

S

Trong mặt phẳng (ABCD), DI HM K Suy ra SHM SDI SK Trong mặt phẳng (SHM), SK MJ P Trong mặt phẳng (SDI), IP SD N Trong mặt phẳng (SAD), JN SA Q IJM SAD NQ Trong mặt phẳng (SAB), QI SB R

IJM SAB QR Trong mặt phẳng (SAB), QR AB T Trong mặt phẳng (ABCD), MT BC E

IJM SBC RE Vậy thiết diện là ngũ giác MNQRE


40

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song...

Documents

Transcript of Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song...