1J,"'e,t,""ent• • temtÍtlco$

8"..,,8./t

lttb.,

Divertimentos matemáticos

Brian Bolt

EDITORIAL LABOR, S.A.

Traducción de Mariano Martínez Pérez

La edición, 2. a reimpresión: 1990

Título de la edición original: The arnazing mathematical amusernent arcade

© Cambridge University Press, 1984 © de la edición en lengua castellana y de la traducción: Editorial Labor, S. A. - Calabria, 235-239 - 08029 Barcelona, 1987

El autor y los editores agradecen a la Mansel1 Collection el permiso para reproducir Melancolía de A. Durero

Depósito legal: B. 31345-1990 ISBN: 84-335-5111-6 Printed in Spain - Impreso en España Impreso en: Ingoprint, S. A. - Maracaibo, 11 - 08030 Barcelona

INTRODUCCIÓN

Mucha gente de todas las edades disfruta tratando de resolver rompecabezas de tipo matemático. Esta colección de pasatiempos y otras actividades ha sido seleccionada de un libro de complementos, escrito para profesores de matemáticas, y que alcanzó un éxito notable. Se han reunido aquí aquellas actividades creativas del libro anterior, que no requerían conocimientos matemáticos especiales, y un gran número de nuevas ideas. Muchos de estos pasatiempos tienen una larga historia, otros son originales, y algunos han tenido que esperar a la llegada de la calculadora de bolsillo para poder ser atacados de una manera factible y realista.

Aparecerán cerillas, monedas, complicados cruces de ríos, ingeniosas situaciones de maniobras de trenes, problemas de ajedrez, cuadrados mágicos, estrellas y circunferencias, billares, dardos y dianas, paradojas geométricas ... , ¡todo esto y mucho más tiene cabida en esta maravillosa galería! Quien nunca haya cortado en dos una banda de Mobius, tiene aquí la oportunidad de alcanzar la deliciosa sensación de la perplejidad.

La segunda parte del libro está.dedicada a dar, o sugerir, la solución de los rompecabezas y a comentarlos, de manera que el lector pueda comprobar si su solución es correcta o descubrir una pista, cuando se encuentre atascado en alguna dificultad. Pero le aconsejamos vivamente que persista en sus intentos de encontrar una solución. ¡Produce una gran satisfacción resolver un rompecabezas por sí mismo y, una vez resuelto, desafiar a los amigos a que hagan otro tanto!

Brian Bolt

ÍNDICE

El primer número, en negrita, se refiere a la página donde se plantea el pasatiempo; el segundo, a la página en la que se da la solución, comentarios, etcétera. Un asterisco indica la conveniencia de utilizar calculadora.

Introducción

1 Triángulos hechos a base de cerillas 1, 73 2 El embrollo del cruce del río 1, 73 3 El maquinista perplejo 2, 73 4 Hazte tus propios dados 2, 73 5 Plegando mapas 3, 74 6 El lechero ingenioso 3, 74 7 Los peones sobre el tablero de ajedrez 4, 74 8 Evitando tres en raya 4, 75 9 Dos mitades hacen un todo 5, 75

10 Cubismo 5, 75 11 Cuadrados construidos con cerillas 5, 75 12 Curvas de persecución 6, 75 13 Los misiles extraviados 7 14 Modelos 8 15 Soldados en apuros 8, 76 16 El granjero y el redil 9,76 17 La danza de los caballos 9, 77 18 Los apartaderos de la vía férrea 10, 77 19 El cubo multicolor 10, 77 20 Los maridos celosos 11, 78 21 La extensión de cable más barata posible 11, 79 22 El juego del «Hex» 13 23 El cuadrado, la cruz y el círculo 14, 80 24 La banda de M6biús 14, 80 25 Una jardinera ahorrativa 16, 80 26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar? 16, 81 27 Dos lanchas motoras poco amistosas 16, 81 28 Los caballos guardianes 17, 81 29 Invirtiendo el orden de los trenes 17, 82 30 Cuatro piezas iguales 18, 82 31 Complétese el cuadrado 18, 83 32 Monedas que dan vueltas 18, 83 33 Una red que va creciendo 19, 83 34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos 20, 83 35 Giros que parecen imposibles 21, 85 36 El cazador obstinado 21, 85 37 Cuatro puntos en un plano 21, 86 38 Dados de letras 22, 86 39 La defensa de la reina 22, 86

VI

40 Ver es creer 23, 88 41 La inspección de carreteras 23, 89 42 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez 23, 89 43 Caminando en zigzag 24 44 Un paseo a caballo 24, 89 45 Aserrando un cubo 27, 91 46 Un agujero imposible 27, 91 47 Dos gemelos idénticos 28, 91 48 El teorema de los cuatro colores 28, 91 49 Unas cerillas desconcertantes 28, 92 50 La cuadratura del triángulo equilátero 29, 92 51 La cuadratura de la tetera 29, 93 52 Un ama de casa perpleja 29, 93 53 Jugando a invertir el triángulo 30, 93 54 El billar americano 30, 94 55 Buscando cuadrados (para dos jugadores) 32, 94 56 La polilla hambrienta 33, 95 57 El desvío más barato 33, 95 58 Piezas que llenan todo un espacio 34, 95 59 Curvas formadas al cortarse circunferencias 34, 95 60 ¡El ultimátum de una amante! 36, 96 61 Sólo cuatro rectas 36, 96 62 ¿A qué velocidad eres capaz d.e pedalear? 37, 97 63 La pista de bobsleighs 37, 97 64 Cuestión de vocales 37, 98 65 Juegos con fichas para un solo jugador 38,98 66 Dos piezas iguales 40, 98 67 Cómo pintar un cubo 40, 99 68 Los problemas de la vía única 40, 100 69 Dos a la vez 41, 100 70 Cara y cruz 41, 100 71 La cuadratura de la cruz griega 41, 100 72 El reparto de gasolina 42, 100 73 Un reparto justo 42, 101 74 Magia con monedas 42, 101 75 La raüa obstinada 42; 101 76 Cómo ordenar una estantería 43, 101 77 Partiendo un círculo 43, 102 78 Números casi cuadrados'" 44, 103 79 Un jardinero aficionado a la matemátíca 44, 103 80 Triángulos mágícos 44, 103 81 Números curiosos * 45, 104 82 Unas restas chocantes * 46, 105 83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener? * 46, 106 84 Los cuatro cuatros 47, 106 85 ¿Cuáles eran los datos? * 47, 107 86 Un filón muy productivo * 48, 107 87 Centenas, decenas y unidades 49, 108

VIl

88 Círculos mágicos 49, 108 89 El número de teléfono de la doctora Numerati * 50, 110 90 Completa un siglo 50, 110 91 Ruedas de números 51, 110 92 Un reto a las calculadoras * 51, 111 93 Divisiones que se repiten * 52, 111 94 Algunos números distinguidos * 53, 113 95 Estrellas mágicas 54, 113 96 La seguridad lo primero 54, 114 97 La estrategia secreta del tahúr 55, 114 98 El problema del transporte 55, 115 99 Nuevos y curiosos esquemas numéricos * 56, 115

100 Las temas pitagóricas * 56, 116 101 Multiplicaciones misteriosas * 57, 116 102 Un diamante mágico 57, 116 103 Fechas capicúas 58, 117 104 Tarjetas numéricas adivinatorias 58, 117 105 Cuadrados mágicos 3 x 3 60, 118 106 Cuadrados mágicos 4 x 4, y mayores 62, 118 107 Un cubo mágico * 64, 119 108 Un problema con balanzas sin pesas 64, 119 109 Nuevos retos a la calculadora * 64, 119 110 Un problema de peso 65, 120 111 Rectángulos semejantes 65, 121 112 Inventando un nuevo tipo de diana * 65, 121 113 El único hexágono mágico 66, 121 114 El juego de Nim 66, 122 115 Triangulando el cuadrado 67, 123 116 ¿Quién la liga? 67, 123 117 Averigua qué cartas hay sobre la mesa 67, 123 118 El problema de dividir una herencia 68, 124 119 ¡El fin del mundo! 68, 124 120 Un maratón patrocinado * 69, 125 121 Los efectos de la inflación * 69, 125 122 Entretenimientos de octogenario * 69, 125 In Las moneoa" hoca arriha 70, 126 124 Colas de milano 71, 126 125 Más rompecabezas con cerillas 71, 127 126 Pontoneros de maniobras 72, 127

VIII

1

2

PASATIEMPOS Y OMPECABEZAS

Triángulos hechos a hase de cerillas

Coloca sobre la mesa nueve cerillas formando cuatro triángulos equiláteros. A continuación trata de construir cuatro triángulos de la misma forma y tamaño que los anteriores, utilizando sólo seis cerillas.

El embrollo del cruce del río

Este rompecabezas es muy antiguo. Se cuenta que había una vez un titiritero que recorría el país llevando consigo un lobo, una cabra y una col. Nuestro hombre llega a la orilla de un río y se encuentra con que la única manera de atravesarlo es utilizando una barca en la que sólo cabe él y el lobo, o él y la c~bra, o él y la col. Desgraciadamente no se atreve a dejar aliaba solo con la cabra, ni tampoco a la cabra sola con la col, porque en el primer caso el lobo se comería a la cabra, y en el segundo, la cabra se comería la col. Después de pensar un rato, llegó a la conclusión de que podría atravesar el río con todas sus pertenencias, con ayuda de la barca, sin perder ninguna de el1as en la operación. ¿Cómo 10 consiguió?

1

3

4

El maquinista perplejo

La figura nos muestra o

una vía muerta circular, al final de una línea de ferrocarril.

V representa un vagón de ganado vacuno, G un vagón de ganado lanar, Luna locomotora y PPun puente o para peatones sobre la vía férrea.

El problema, para el perplejo maquinista, es hacer las maniobras necesarias para intercambiar entre sí las posiciones de los vagones de ganado vacuno y lanar, y, al final, volver a colocar la locomotora en la vía principal.

Debes tener en cuenta, además, que la altura del puente PP es tal que la locomotora puede pasar por debajo, pero no los vagones, porque son demasiado altos. ¿Podrías ayudar al atribulado maquinista?

Hazte tus propios dados

Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y pegar para construir un dado. En cada una faltan tres números. Numéralas de manera que se cumpla la condición de que los números correspondientes a dos caras opuestas de cada uno de los dados siempre sumen siete.

MANiOBRAS pp

6 2

3

5

6

3

4

6

2 l. ­I

al b) el

2

5 Plegando mapas

Tenemos un mapa que es doble largo que ancho y, naturalmente, podemos plegarlo de muchas maneras distintas hasta que su tamaño quede reducido al de un cuadrado que sea la octava parte del mapa desplegado. Numera los ocho cuadrados tal como indica la figura, en un rectángulo de papel de las dimensiones adecuadas, y cuenta de cuántas maneras distintas puedes plegarlo. La mejor manera de ir llevando la cuenta de las distintas posibilidades es de anotar el orden en que se suceden los números del 1 al 8 en el mapa plegado.

Una buena prueba de tu habilidad puede ser la de plegar el mapa de manera que los números queden en el orden 1, 2, 3,4, 5,6,7,8.

El lechero ingenioso

Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y S litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes.

¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?

6

3

7 Los peones sobre el tablero de ajedrez

Éste es el clásico problema de colocar 16 peones sobre un tablero de ajedrez, de manera que no haya tres peones en línea recta. No se trata de ninguna situación complicada, pero lo cierto es que sobre un tablero de 8 X 8 cuadros no resulta tan fácil darse cuenta de cuándo tres peones están alineados (o no).

La figura muestra tres filas de peones alineados, a pesar de que, a primera vista, no sea evidente; los ABC, ECD y FCG.

Cuando creas que ya has colocado correctamente los 16 peones sobre el tablero 8 X 8 sin que haya tres alineados, pide a otra persona que compruebe si tu solución es correcta antes de mirar la que aparece en la segunda parte del libro.

8 Evitando tres en raya A este juego se puede jugar con peones o

con fichas del juego de las damas sobre un tablero de ajedrez, o bien con otras fichas sobre papel cuadriculado, etc.

Los jugadores van colocando, por turnos, sus fichas sobre el tablero. Pierde el jugador que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos.

Observa que el juego nunca puede sobrepasar los 17 movimientos, pues el máximo número de fichas que se pueden colocar sobre un tablero 8 X 8, sin que aparezcan tres alineadas, es 16. La astucia en este juego radica en seleccionar posiciones que fuercen al adversario a completar una línea de tres fichas.

En la figura hay sólo 12 fichas sobre el tablero, pero están colocadas con tan mala idea que el jugador, al que le toque poner la siguiente, irremediablemente hará tres en raya, y, por lo tanto, perderá. Comprueba, uno por uno, todos los cuadros vacíos para convencerte de que la situación es ésta. Una regla puede ayudarte en la comprobación.

4

9 Dos mitades hacen un todo

Muestra cómo se puede cortar la figura rayada A en dos e

partes, de manera que, al volver a reunirlas, se pueda formar cualquiera de las B

figuras B, e, D, E, F YG.

D

G

FE

10 Cubismo

A cuatro cubos de madera se les han cortado algunas esquinas.

Sólo quedan dos cubos que tengan exactamente la misma forma.

¿Cuáles son?

B e o

11 Cuadrados construidos con cerillas

Retira tres cerillas de las quince que forman esta figura, de manera que sólo queden tres cuadrados.

Intenta retirar sólo dos cerillas, y que queden también tres cuadrados. (Esta vez no se exige que los cuadrados sean del mismo tamaño.)

5

12 Curvas de persecución

Seguramente has visto alguna vez a un perro persiguiendo a un coche o a un ciclista, pero ¿te has parado a pensar en el camino que sigue? El perro no puede prever lo que va a ir ocurriendo y, en consecuencia, no corre hacia donde estaría el coche cuando él lo pudiera alcanzar, sino que suele correr hacia donde está el coche en el mismo instante en que lo ve.

La figura muestra la trayectoria que suele seguir un perro, en A, desde el momento en que ve un coche en la posición B. Supongamos que el coche sigue la línea recta Be a una velocidad constante y, supongamos, también, que la velocidad del coche es doble que la del perro.

El camino que recorre el perro lo podemos construir fácilmente. Traza la recta B I e, que representa la trayectoria del coche, y toma un punto Al que representa la posición inicial del perro (cualquiera puede valer, pero supondremos que no está sobre la recta B l e, ¿por qué?).

Une por una recta los puntos Al y 8 1; ésta es la dirección en la que el perro empieza a correr. Pero está claro que ningún perro puede cambiar fácilmente de dirección dando un salto en el aire, así que se moverá en esta misma dirección durante una corta distancia A¡A2, que en el dibujo representamos por ~ cm. e

Pero mientras el perro corre de A I a A 2, el coche se desplaza de BI a B2, recorriendo una distancia de 1 cm en la figura.

Al llegar a A2> el perro cambia de dirección hacia el coche, que ahora está en B2, y corre en esa dirección, mientras el coche se desplaza de B2 a B3• Repitiendo este proceso se puede ir construyendo la trayectoria que seguirá el perro.

Empieza por hacer un dibujo más o menos como el de la figura. Piensa luego qué ocurrirá si, por ejemplo, el coche recorre una circunferencia en vez de una recta, o si cambian las velocidades relativas del perro y del coche.

¡En realidad, hay infinitas posibilidades!

6

13 Los misiles extraviados al R

R

R

p ......------------"Q

P Q

p Q P,

El bonito dibujo que aparece en la figura resulta de otro problema de búsqueda de curvas de persecución. Imagínate el R

tres misiles teledirigidos P, Qy R, estacionados en tres bases que ocupan los vértices de un triángulo equilátero de 100 km de lado. Se lanzan los tres misiles en el mismo instante, de manera que el P se dirige a derribar al Q, el Q al R y el R al P. A intervalos de tiempo regulares (y muy cortos) cada uno de los tres misiles cambia de dirección para apuntar a la nueva posición que ocupa su blanco. Las figuras a), b), e), d) muestran cómo ir construyendo la trayectoria que va a seguir cada uno de los tres misiles en su intento por cazar a p Q

su vecmo. P2

Comienza dibujando un triángulo equilátero de 10 cm R de lado, y señala en él los puntos PI' Q¡ y RI, cada uno de dl ellos a 1 cm de los P, Qy R, respectivamente; dibuja el triángulo p¡ Q¡ R¡ Yseñala ahora en él los puntos P2, Q2 y R2 a 1 cm de los PI' QI y R¡; dibuja el triángulo P2Q2R2 y continúa el proceso de la misma manera, tomando siempre las distancias a lo largo de los lados del último triángulo que has construido ¡hasta que los tres misiles exploten juntos en el centro del triángulo!

¿Cuál sería el aspecto de las trayectorias, si hubiéramos partido de cuatro misiles situados en las esquinas de un cuadrado? P P3

Q

7

14 Modelos

Toda la matemática se refiere al estudio, análisis y utilización de modelos, que pueden ser numéricos o geométricos. El artístico dibujo que nos muestra la figura es la mera conjunción de cuatro dibujos análogos a los del número anterior. Partiendo de la misma idea se pueden construir muchos otros bellos e interesantes diseños. Todo lo que se necesita es un poco de paciencia y hacer los dibujos con mucho cuidado.

15 Soldados en apuros

Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo conseguirán los soldados atravesar el río sin «alimentar» a los cocodrilos?

8

16 El granjero y el redil

La figura nos muestra 'G

cómo pensaba arreglárselas un granjero para construir seis rediles idénticos donde guardar sus ovejas, utilizando trece vallas todas iguales. Al tratar de hacerlo descubre que, desgraciadamente, una de las vallas está rota y no ee::::::========:J ••t:::::==========:::::¡ ••t:::=======:::J sIrve.

Coge doce cerillas, que representarán las doce vallas aprovechables, y trata de mostrar cómo podría el granjero construir con ellas los seis rediles idénticos que desea.

17 La danza de los caballos

Sobre un tablero de ajedrez están colocados los dos caballos blancos y los dos negros, ocupando las esquinas de un cuadrado de dimensiones 3 X 3 tal como indica la figura.

¿Cómo se podrían intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros en el mínimo número de movimientos?

9

18 Los apartaderos de la vía férrea

Una vía de tren BCtiene dos apartaderos BA y CA a una vía muerta A muy corta. En cada apartadero está situado un vagón, representados por VI y V2 , y en la vía principal B C hay una locomotora. Debes ingeniártelas para intercambiar, con ayuda de la locomotora, las posiciones de los vagones VI y V2,

de manera que al final de la.s maniobras la locomotora pueda volver a la vía principal. Antes de intentarlo, ten en cuenta que la vía muerta A, común a los dos apartaderos, es tan corta

,. ~::'.. '" . . ,

v,

• co~~I)SA DE. F'ERHOr.4, t:f:s-~ A ~.f~

LOCOt'\01tIRA ~ Vz ,

que en ella sólo cabe un vagón como los VI y V2, pero no la locomotora, de manera que si la locomotora entra en A por CA, no puede salir por AB. Los vagones pueden engancharse uno al otro o a cualquiera de los dos extremos de la locomotora, pero ¡no se permite saltarse los parachoques situados en A!

19 El cubo multicolor

Imagínate que tienes ocho cubos de madera de 1 cm de arista; explica cómo se podrían pintar de manera que puedan

Rojoreunirse para formar otro cubo de 2 cm de arista, todo él de ocolor rojo o todo él de color azul. . azul

Considera ahora el problema análogo para 27 cubos de 1 cm. ¿Podrías colorearlos de manera que puedan formar otro cubo de 3 cm de arista todo rojo, o todo azulo todo amarillo?

10

20 Los maridos celosos

Tres matrimonios se encuentran en un hotel completamente rodeados de agua a causa de una inundación, y disponen de una barca para escapar, en la que sólo caben tres personas. Los maridos son tan celosos que no están dispuestos a permitir que sus esposas se encuentren en la barca, o en cualquiera de las dos orillas, con otro hombre u hombres, si no están presentes.

Trata de descubrir la manera en que pueden escapar las tres parejas, cumpliendo la condición anterior, y además la de que la barca haga el mínimo número posible de viajes. ¡No se permite ni salir nadando ni en helicóptero!

Una vez resuelto este caso inténtalo de nuevo, pero esta vez para el caso de cinco matrimonios.

21 La extensión de cable más barata posible

Una habitación tiene 10 m de largo, 4 ro de ancho y otros 4 m de alto. En el punto A, en el medio de la pared del fondo y a medio metro del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender un cable para conectar el enchufe A con una lámpara situada en el punto medio B de la pared de enfrente, a medio metro 4 m del techo.

Por evidentes razones de seguridad, el cable debe ir sujeto a las paredes, suelo o techo, y nunca por el aire. Calcula la longitud de cable mínima necesaria para resolver el problema. ¡No! La respuesta no es 14 m.

11

Q)

.s=. Q)

"'O

o Lo Q)

::c ro

1­

12

x

22 El juego del «Hex» El «hex» es un juego que inventó en 1942 un matemático danés

llamado Piet Hein. En la figura se muestra un típico tablero para jugar al «hex», en este caso en forma de «diamante», o rombo, formado por un «embaldosado» de hexágonos regulares. Para que vayas familiarizándote con el juego, este tablero tiene sólo seis hexágonos por lado, pero los buenos jugadores suelen usar un tablero bastante más grande, de once hexágonos de lado.

Uno de los dos jugadores tiene fichas negras, y el otro fichas blancas (cualquier clase de objetos pequeños y fáciles de distinguir también pueden servir: botones, chinchetas de dos colores, etc.). Los jugadores colocan, por turnos, sus fichas en cualquier hexágono del tablero que aún no esté ocupado. El objeto del juego es completar una cadena continua de fichas del mismo color que vaya de un borde del tablero al opuesto, no importa por dónde, y ganará el primer jugador que lo consiga. Las fichas negras juegan, por ejemplo, de A a A, y las blancas de B a B. Cada jugador, a la vez que intenta completar su propia cadena, tratará de bloquear al contrincante.

Los dibujos a) y b) muestran el final de dos partidas de «hex». Observa que los cuatro hexágonos de las esquinas, rayados, pueden

considerarse como pertenecientes, indistintamente, a los dos jugadores. Es un juego más complicado de lo que parece. ¡Desafía a tus amIgos

a jugar, diviértete y constrúyete un tablero más grande, «profesional»!

a)

b)

13

8

23 El cuadrado, la cruz y el círculo En una plancha metálica hay tres agujeros recortados como los de la

figura. ¿Cómo podrías tallar un bloque que pudiese pasar a través de cada uno

de estos agujeros, pero, en cada caso, llenando completamente el hueco en cuestión?

24 La banda de Mobius

Toma una tira de papel ABCD de unos 30 cm de largo y de unos 2 cm de ancho, y pega sus extremos como muestra a). No debes girar sobre sí misma la cinta de papel, es decir, A debe coincidir con D, y B con C. Esta banda cerrada tiene dos

A o A D

B

e

al

caras, la interior y la exterior; colorea, por ejemplo, la cara interior.

¿Cuántos bordes tiene esta banda? ¿Qué le ocurrirá a dicha banda si haces un corte, a lo

largo, como indica b)?

corte

bl

Las respuestas no tienen ningún misterio, pero lo que viene a continuación seguro que te va a sorprender, si no lo has visto antes.

14

e)

Coge otra tira de papel ABCD igual a la anterior. Gira uno de los extremos, por ejemplo el CD, 1800 antes de pegarlo al AB, y forma una banda en la que A coincida con C, y B con D, como se ve en d).

A e

d)

Este nuevo modelo de banda se conoce con el nombre de banda de Mübius, y tiene propiedades verdaderamente fascinantes.

Por ejemplo, intenta colorear el «interiOr» de la banda y descubrirás que ¡sólo tiene una cara! Los ingenieros suelen utilizarlo en las correas de transmisión de las máquinas; al hacer de la correa una banda de Mübius, el ingeniero se asegura de que el desgaste por el uso sea igual por las dos «caras». ¿Cuántos bordes tiene una banda de Mübius?

¡Otra sorpresa más! Corta la banda a lo largo, por el medio, hasta volver al punto de partida. ¿Cuál ha sido el resultado?

Construye ahora otra banda de Mübius y córtala de nuevo a lo largo, pero esta vez haciendo el corte a un tercio

e)

de su anchura (véase e). Después de ir cortando a Jo largo de dos vueltas, te encontrarás con que has vuelto al punto de partida.

¿Cuál ha sido esta vez el resultado? ¿Te lo imaginabas antes de hacerlo? Experimenta con bandas que tengan más giros sobre sí mismas, e intenta sacar algún tipo de conclusión general.

15

25 Una jardinera ahorrativa

Una jardinera quería sacar el mayor partido posible de las plantas que tenía, y un buen día descubrió, mientras plantaba un macizo de rosas, que había colocado siete plantones de rosas de manera que formaban seis líneas con tres rosales en cada una de ellas. ¿Cómo lo consiguió?

Muy contenta con este resultado, la jardinera trató de encontrar otras distribuciones interesantes, y descubrió la manera de plantar diez rosales de modo que formaran cinco líneas y que hubiera cuatro rosales en cada línea.

Adivina cómo lo logró e investiga por tu cuenta otras ordenaciones «económicas».

26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar?

Esta figura contiene muchos triángulos, de los que algunos se solapan entre sí.

Cópiala en un papel, y trata de inventarte una manera sistemática de contar todos los triángulos, sin olvidar ninguno.

27 Dos lanchas motoras poco amistosas Dos lanchas motoras controladas por radio se hallan en los puntos A y

B de un gran lago, a 200 m de distancia una de otra. Las dos están controladas por un mismo radiotransmisor y pueden moverse a la misma velocidad. Sin embargo, la lancha que parte de B tiene estropeado el mecanismo del timón y se mueve en una dirección que forma un ángulo de 90° con la dirección de la lancha que parte de A. ¿Cómo conseguirá el controlador gobernar las dos lanchas para que lleguen a encontrarse?

16

28 Los caballos guardianes

Muestra cómo se podrían colocar doce caballos sobre un tablero de ajedrez, de manera que cada cuadro esté ocupado o amenazado por un caballo.

29 Invirtiendo el orden de los trenes

La figura nos muestra el plano de la red del metro de una gran ciudad. Cada círculo pequeño representa una estación y cada número un tren. En la estación inferior no hay ningún tren.

Demuestra que se pueden hacer maniobras con los trenes, moviendo un tren cada vez a la estación que esté vacía, en ese momento, hasta colocarlos en orden inverso, es decir, pasar ella la posición del 7, el 2 a la del 6, y así sucesivamente.

El primer movimiento habrá que hacerlo con uno de los trenes 1,2,6 o 7.

La inversión del orden de los trenes puede hacerse en 15 movimientos.

17

30 Cuatro piezas iguales

Muestra cómo puede dividirse esta figura en cuatro piezas idénticas.

31 Complétese el cuadrado

Dibuja cuidadosamente sobre papel cuadriculado las cinco piezas de la figura, recórtalas y trata de formar con ellas un cuadrado. Es posible hacerlo, ¡no te desesperes!

32 Monedas que dan vueltas

Dos monedas idénticas A y B parten de la posición que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

18

33 Una red que va creciendo Éste es un interesante juego para dos jugadores que a

veces recibe el nombre de «los retoños». Todo lo que se necesita para jugar es una hoja de papel y un lápiz.

Señala sobre el papel tres puntos cualesquiera, a).

·C ·C

a) b)

Estos puntos se convertirán en nudos de una red, a medida que avanza el juego. El primer jugador debe unir con un arco dos de estos puntos y marcar otro punto en medio de dicho arco, que será un nuevo nudo de la red, b). Puede también dibujar un arco que empiece y termine en el mismo nudo, pero debe añadir un nudo nuevo en medio, e).

El otro jugador añade, a su vez, un nuevo arco a la red y un nuevo nudo en medio del arco. Puede utilizar como extremo de su arco cualquier nudo, salvo que a él vayan a parar ya tres arcos; en cuanto a un nudo lleguen tres arcos, queda excluido de cualquier unión futura, y, para indicarlo, se le rodea de un circulito.

Los dibujos de la figura d) muestran algunos de los posibles «movimientos» del segundo jugador, si el primero ha unido A con B.

--e---B

AA

C

CO nuevo nudo

e)

B

A

._..--_B

·C C

O d)

19

El objetivo del juego es dejar al adversario sin posibilidad de movimiento. Gana el último jugador que consiga dibujar un arco. Una última regla: los arcos no pueden cruzarse.

Vale la pena no olvidar esta última regla, ya que a veces puede haber nudos que queden aislados de los otros y no sean ya utilizables, a pesar de que de ellos no partan tres ramas o arcos.

La figura e) muestra cómo puede quedar la red al final de una partida, y en ella se ve que, si bien quedan dos nudos, X e y, en los que no terminan tres ramas, no se pueden unir.

Juega a este juego con tus amigos e intenta resolver las siguientes cuestiones:

1) Trata de explicar por qué este juego debe terminar siempre después de un número limitado de movimientos (¿cuántos?).

2) Haz la prueba de comenzar con cuatro o cinco puntos. 3) Investiga las consecuencias que tendría el admitir

nudos de cuatro en la red (es decir, nudos en los que terminen cuatro arcos) en vez de nudos de tres.

34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos

El dibujo a) representa un mapa de una red de carreteras. Un ingeniero de caminos planea recorrer cada carretera una sola vez partiendo de A y regresando otra vez a A. ¿Cómo lo podrá hacer?

La red b) no puede dibujarse con un lápiz sin levantarlo del papel y comenzar por otro punto, salvo que recorramos algunos de los trazos dos veces.

Calcula el mínimo número de veces que es necesario levantar el lápiz del papel para dibujar b).

8

e)

eA

b)

E a)

o

20

38 Dados de letras Un juego de palabras utiliza dados con una letra en cada

cara. En la figura se ven tres aspectos distintos de uno de estos dados.

¿Qué letra es la que figura en la cara opuesta a la que ocupa la m

39 La defensa de la reina

¿Cuál es el mínimo número de reinas que se necesita colocar sobre un tablero de ajedrez n X n, de manera que ocupen o controlen todos los cuadros del tablero?

En la figura puede verse una solución para el tablero 4 X 4 (dos reinas), y otra para el tablero 5 X 5 (tres reinas).

Busca otras soluciones para estos tableros 4 x 4 y 5 x 5, y después trata de hallar una solución para el tablero 6 X 6 con sólo tres reinas. ¿Cuántas reinas se necesitarán para n = 7 Yn=8?

En 1862 Jaenisch propuso una variante de este problema: no sólo debían estar ocupados o controlados todos los cuadros del tablero, sino que, además, ninguna reina debía ocupar un cuadro que estuviera atacado por otra.

Otro problema parecido: halla el mínimo número de reinas necesario para ocupar o controlar todos los cuadros del tablero, con la restricción adicional de que cada reina esté protegida por otra.

Problemas análogos se pueden proponer para otras piezas del ajedrez.

22

43 Caminando en zigzag

A o e ePara este juego se G • 1~ necesita un cuadrado de 7 X 7 o 9 X 9 puntos.

El juego comienza en el centro S. El primer jugador dibuja una flecha que va de S a uno de los puntos situados inmediatamente encima,

•

•

e

•

e

•

•

e

•

I 1

t-­I

-1 I

0---~ S

I

1__._. I I

t• •

1• debajo, a su derecha o a su izquierda. El segundo • • • • • • • jugador prolonga esta flecha un paso más en una de las • • • • • • • cuatro direcciones, formando un camino continuo.

• • • • • G El objeto del juego es B

construir un camino desde S hasta la casa de cada jugador (A para el primero y B para el segundo), sin pasar dos veces por el mismo punto. Ganará la partida el primer jugador que consiga alcanzar su casa.

44 Un paseo a caballo

Uno de los problemas más antiguos de la matemática recreativa es el que consiste en averiguar qué camino debe seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez todos los cuadros del tablero. Durante los últimos 200 años han sido muchos los matemáticos famosos que se han ocupado de este problema, entre ellos De Moivre, Euler y Vandermonde; pero siempre queda algo nuevo por descubrir.

Una solución para el tablero 8 X 8, debida a De Moivre, aparece en a). En b) puede verse otra manera de representarla. Cada una de ellas tiene sus ventajas y debes decidir cuál es la que te parece mejor para tus investigaciones. (En cualquier caso, lo que sí vas a necesitar es una buena cantidad de papel cuadriculado, si de verdad quieres avanzar en la resolución del problema, elijas el método que elijas). El segundo método no aparece terminado en la figura, pero ya se puede ver claramente la estrategia seguida por De Moivre, que se reduce a moverse alrededor del tablero en una

24

a) b)

dirección determinada, manteniéndose siempre tan cerca como se pueda del borde. Copia la figura b) en un papel cuadriculado y termina de dibujar la solución de De Moivre antes de empezar a buscar otra original.

En este tipo de problemas suele ayudar comenzar con un tablero más pequeño.

En un tablero 3 X 3 se capta de inmediato que el problema no tiene solución. Una de dos, o el caballo parte de uno de los cuadros del borde del tablero, en cuyo caso puede recorrer fácilmente todos los cuadros exteriores pero no el

Inicio tliJíi~

Final

e)

central, o bien parte de este cuadro central, en cuyo caso no puede hacer ni un solo movimiento, y se frustra el paseo e).

¿Es posible en un tablero 4 X 4? La figura d) nos muestra un camino equivocado que acaba en la casilla 4 ante la imposibilidad de seguir haciendo movimientos. Si no consigues recorrer los 16 cuadros, ¿cuál será el número máximo que puedas visitar sin pasar dos veces por el mismo?

Investiga los recorridos sobre tableros 5 X 5, 6 X 6 Y 7 X 7.

d)

25

La figura e) muestra un recorrido del caballo en un tablero 8 X 4. ¿Se puede encontrar un recorrido completo en un tablero rectangular más pequeño?

el

Resulta interesante investigar la posibilidad de recorrer a caballo tableros de formas más raras. El de la figura 1) se puede, ja pesar de que el propio autor llegó a convencerse de que no era posible, cuando lo estudió por primera vez!

f)Sin embargo, y volviendo al clásico tablero cuadrado, los matemáticos que lo estudiaron intentaron hallar soluciones que tuvieran propiedades especiales. Una era encontrar un recorrido que termine justo a un movimiento de caballo del cuadro en que comenzó. En la figura g) puede verse una solución de este tipo (Euler). Se suele decir que tal solución constituye un camino «con vuelta a casa». La solución g) tiene otra propiedad extremadamente sorprendente: se ha recorrido toda la mitad inferior del tablero antes de comenzar con la mitad superior.

g) Solución de Euler de los semitableros h) Cuadrado mágico de Euler «con vuelta a casa»

26

I ---L I

I ---i-_.... / I I

---t--_.... I , r_.... I

Trata de construir un camino «con vuelta a casa» sobre un tablero 6 X 6.

Hay una elegante demostración de que en cualquier tablero con un número impar de cuadros es completamente imposible encontrar un camino «con vuelta a casa». Trata de averiguar por qué. Sin embargo, son posibles sobre una gran variedad de tableros. Inténtalo sobre el de la figura i).

Otra solución sumamente ingeniosa, también de Euler, con la que venció a muchos otros competidores, fue encontrar un recorrido del caballo tal que los números que van correspondiendo a los cuadros formen un cuadrado mágico 8 X 8, es decir, que las sumas de los números de cada fila y de cada columna (no de las diagonales) den siempre el mismo resultado, en este caso 260. Lo ofrecemos en h). Comprueba su carácter «mágico» e investiga la simetría del camino seguido.

Hay un interesante juego de estrategia para dos jugadores: partiendo de un cuadro cualquiera de un tablero 5 X 5, cada jugador, por tumos, hace un movimiento de caballo a partir de la posición en que lo dejó el otro i)jugador. Los movimientos no deben llevar nunca a un cuadro ya recorrido, y ganará el jugador que haya podido mover por última vez.

·45 Aserrando un cubo

Nos han pedido aserrar un cubo de madera de 3 cm de arista para obtener 27 cubitos de 1 cm. ¿Será posible hacerlo con menos de seis cortes?

46 Un agujero imposible

Por difícil que parezca, es posible hacer un agujero atravesando un cubo sólido de manera que pueda pasar, de un extremo al otro, un segundo cubo mayor que el pnmero.

¿Cómo harías el agujero?

47

Divide cada una de las figuras X e Yen dos partes iguales.

Invéntate otros casos análogos.

Dos gemelos idénticos

48 El teorema de los cuatro colores

¿Cuántos colores se necesitan para colorear un mapa, de manera que dos países, que tengan frontera común, aparezcan pintados de distinto color? Dos países que tengan sólo un punto de frontera común sí pueden tener el mismo color.

En el mapa de la figura se han utilizado cinco colores, numerados y que parecen indispensables, pero uno se podría arreglar con sólo cuatro. ¿De qué manera?

Desde que se hacen mapas, los cartógrafos han creído que se podrían colorear con sólo cuatro colores. Los matemáticos han estado intentando resolver teóricamente este problema desde que en 1840 Mobius lo presentó en una de sus lecciones. Sin embargo, el problema resistió todos los esfuerzos de los matemáticos, hasta que en 1978 dos americanos utilizaron un potente ordenador para analizar la situación. Pero muchos tienen aún la secreta sospecha (¿o esperanza?) de que alguien aparezca un buen día con un mapa bajo el brazo que no se pueda colorear sólo con cuatro colores ... ¿Podrías encontrar uno?

49

28

50 La cuadratura. del triángulo equilátero B

Construye de cartulina o madera un triángulo equilátero ABCy divídelo en cuatro partes tal como indica la figura, siendo

AP=BP, CQ=BQ,AR=iAC, CS=i CA

y PMy SNperpendiculares a RQ. Una buena longitud para el lado A C puede ser 8 o 10 cm.

Recorta las cuatro piezas y reordénalas para formar con ellas un cuadrado.

A R s e

51 La cuadratura de la tetera

En esta figura, el rayado representa la sección transversal de una tetera, que está limitada por arcos de cuatro circunferencias iguales. Muestra cómo dos rectas podrían dividir dicha sección en tres trozos, de modo que, con ellos, se pueda formar un cuadrado.

52 Un ama de casa perpleja

La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los horarios, porque le servía igual un autobús de la línea P que uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho.

Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q aproximadamente sólo una vez de cada diez.

¡La señora Paca estaba completamente perpleja! ¿Podrías ayudarla a entender lo que pasaba?

29

53 Jugando a invertir el triángulo Se tiene un triángulo formado por diez monedas iguales a). ¿Cuál es el mínimo número de monedas que hay que

cambiar de sitio para que el triángulo quede en posición invertida, como en b)?

a) b)

54 El billar americano

A B

e a)

En el billar, cuando se golpea con el taco una bola P hacia una banda lateral de la mesa, la bola rebota en ella lo mismo que si la banda fuera un espejo. En a) puede verse el camino que seguirá la bola P lanzada contra la banda AB. Suponiendo que no se encuentra con ninguna otra bola en su camino, la bola P se «reflejará» en la banda BC, y después en la otra banda CD, y así sucesivamente, hasta que, por fin, se detenga.

En el billar americano, la bola P ha de chocar con una bola determinada, que el contrincante ha escondido intencionadamente entre otras. Si se toca cualquier otra bola, se pierden puntos. En este juego, la habilidad consiste en saber cómo utilizar las bandas para, haciendo rebotar en ellas la bola lanzada por el taco, conseguir que llegue a chocar con la bola deseada.

30

A B

P

o

Imagen de Q en Be

--- --- -----o a'o a

eD

b)

La figura b) representa una situación en la que la bola «blanco» Q está escondida entre otras tres bolas. En este caso, se puede hacer rebotar la bola P en la banda Be. Para elegir correctamente el punto de la banda BC al que debe dirigirse la bola P, imagínate el punto Q, que sería la imagen reflejada del Q si BCfuera un espejo, y golpea P en la dirección PQ. Entonces P se «reflejará» en el punto E y se dirigirá hacia Q..

Se puede fácilmente generalizar este mismo método para salir de situaciones más difíciles (¡al menos en teoría!), recurriendo a hacer rebotar la bola en dos o más bandas. La figura e) nos muestra cómo puede llegar la bola P al blanco T, después de rebotar, primero en la banda AB, y después en la Be. ~o

~------ T" ~

A ~~B

p

o T

D e e)

Puesto que P, al rebotar en BC ha de dirigirse hacia T, debe dirigirse a Be en la dirección de T', que es la imagen especular de T en Be. Para ello tiene que dirigirse antes a la banda AB en la dirección de T", que es la imagen especular de T' respecto a AB.

31

Averigua en qué dirección habría que golpeClr la bola Pen cada una de las tres situaciones d), e), 1) para que choque con la bola T

o T O •

O 00 O T

• o p

• o

o O

O • P00

• O

• O T

P

d) e) f)

SS Buscando cuadrados (para dos jugadores) Otra versión del juego

del «tres en raya», que puede jugarse sobre una hoja de papel cuadriculado. Dibuja un cuadrado 6 X 6, o más grande.

Los dos jugadores irán poniendo en las cuadrículas, círculos y cruces alternativamente, y ganará la partida el primer jugador que consiga que cuatro de sus señales ocupen los vértices de un cuadrado. En la partida representada, ha ganado el jugador que ponía círculos.

/0"" )( X

c(.", [P

"'cr O X

X

¿De cuántas maneras se puede formar un cuadrado en un tablero 6 X 6?

Una variante del juego consiste en seguir jugando hasta que todo el tablero esté marcado, y después contar qué jugador ha hecho más cuadrados.

Otra alternativa es jugar a no formar cuadrados. Pierde el primer jugador que se vea forzado a construir un cuadrado.

32

56 La polilla ham.brienta

Una polilla hambrienta ataca una enciclopedia de cinco volúmenes, La polilla empieza a comer y a abrirse camino a través de los libros,

desde la cubierta anterior del volumen I hasta la cubierta posterior del volumen V. Si cada tomo tiene 3 cm de grueso, ¿qué distancia ha recorrido la polilla en su alimenticio destrozo?

57 El desvío más barato

La construcción de carreteras resulta muy cara, y por este motivo los ingenieros de caminos tratan de hacerlas lo más cortas que sea posible. Una nueva autopista en construcción va a pasar en línea recta cerca de los pueblos de Villafranca y Villavieja, tal como indica la figura. Los ingenieros se proponen hacer un desvío en un punto D de la autopista para unirla a Villafranca y a Villavieja por dos carreteras rectas DF y D V ¿Dónde deberá estar situado el desvío D para que sea mínima la longitud total de las dos carreteras DFy D V?

Autopista

;;;;~~~3~~~~;;~::::::::1f::::::-41<rn en construcción \~ \ \ \\

\ 1

\ 1 km \\ 2 km

\ \\ \\ \

F • \ \

Vi Ilafranca \

-d;;;;:::::::::::::::::::::==­

• V

Villavieja

33

58 Pieza.s que llenan todo un espacio

Un cubo de arista unidad puede acoplarse a otros siete cubos idénticos para formar otro cubo mayor de dos unidades de arista. ¿Cuántos cubos son necesarios para construir un cubo de arista tres unidades?

Dada una colección de tetraedros regulares idénticos, ¿podrías construir con ellos un tetraedro más grande, de arista doble que los primeros? En caso afirmativo ¿cuántos necesitarías?

59 Curvas formadas al cortarse circunferencias

Dibujando sistemas de circunferencias que se corten pueden obtenerse muchas curvas y dibujos interesantes. La figura nos muestra dos ejemplos.

En el primero se han dibujado dos conjuntos de circunferencias con centros en A yen B. El dibujo original, antes de reducirlo, se hizo tomando una distancia AB de 12 cm y aumentando el radio en 1 cm cada vez. Un conjunto de circunferencias con el mismo centro, y que parecen las ondas que se forman al arrojar una piedra en un estanque de aguas tranquilas, se llaman circunferencias concéntricas. Cuando se dibujan dos sistemas de circunferencias concéntricas como éstos, entonces sus intersecciones determinan una familia de elipses. En la figura aparecen dibujadas cuatro de estas elipses: para el caso de la elipse etiquetada con el número 20 es fácil ver que cualquiera de sus puntos P cumple la condición de que AP+ BP= 20.

Esta propiedad se puede comprobar fácilmente. Toma, por ejemplo, el punto Pque está en la octava circunferencia de centro A y comprobarás que está a la vez en la número 12 de las de centro B.

Intenta dibujar las elipses correspondientes a los números 18 y 26.

34

35

Si tienes a mano una fotocopiadora, dibuja los dos sistemas de circunferencias concéntricas y haz varias fotocopias antes de empezar a dibujar las elipses. En la figura inferior puede verse la manera de hacer resaltar las distintas elipses pintando de negro una sí y otra no las regiones en que quedó dividida la primera figura, como en un tablero de ajedrez. El resultado nos ofrece, de propina, un bonito diseño. ¿Puedes identificar otra familia de curvas en este mismo dibujo?

La tercera figurá nos muestra otro ejemplo; la curva que aparece envolviendo a todas las circunferencias se llama una cardioide.

Para reconstruir esta figura se toma una «circunferencia base» cualquiera, y sobre ella un punto A. Las restantes circunferencias son todas las que tienen como centro un punto cualquiera de la circunferencia base y que pasan por A. Dibuja una cantidad de circunferencias suficiente para que la curva envolvente se vea con claridad.

¿Qué ocurriría si hiciéramos lo mismo pero a partir de un punto A que no estuviera en la circunferencia base?

60 ¡El ultimátum de una amante!

Un bosquecillo habéis de plantar, mi senor, si queréis demostrar que soy vuestro amor. Esta arboleda, aunque pequeña, ha de estar compuesta por veinticinco arbolitos en doce filas bien dispuestas, yen cada fila cinco árboles plantaréis o mi lindo rostro nunca más veréis.

61 Sólo cuatro rectas

• • • • • • Traza cuatro rectas, sin levantar el

• • • lápiz del papel, de manera que pasen por los nueve puntos del cuadrado de la figura.

36

62 ¿A qué velocidad eres capa.z de pedalear? En la etapa contra reloj de una carrera ciclista, un

corredor quiere alcanzar una velocidad media de 40 km por hora entre dos ciudades A y eque distan 10 km. A medio camino entre A y Chay otra ciudad B que se encuentra en el punto más alto del recorrido. Al llegar a B el ciclista calcula que hasta ese momento su velocidad media ha sido sólo de 20 km por hora. ¿A qué velocidad debe pedalear en la bajada de B a C, si quiere conseguir el objetivo de alcanzar una velocidad media de 40 km por hora entre A y C?

B

63 L'a pista de bobsleighs

En una conocida estación de esquí han decidido construir una s nueva pista de bobsleighs. Esta pista __I(.......({((~ comenzará en la cumbre S de una colina, al lado de los remontes, y terminará 500 m más abajo, en el pueblo V. SOOm

No se escatimarán gastos para conseguir que el descenso sea Jo más rápido posible. ¿Qué curva ha L-... ~:-=-::--=-- --.JV de seguir el camino de 5 a V para JOOom lograr este objetivo?

64 Cuestión de vocales

El tablero contiene las cinco vocales repetidas cinco veces. Corta el cuadrado 5 x 5 en cinco trozos de manera que en cada uno aparezcan las cinco vocales.

Una vez resuelto, intenta construir otros rompecabezas parecidos.

E A 1 O 1

U E U E O

O 1 A O A

1 U E A 1

A O U E U

37

65 Juegos con fichas para un solo jugador

Con un tablero de agujeros y varios juegos de clavijas de distintos colores, puedes pasártelo bien durante horas, jugando a alguno de los siguientes solitarios. (Puedes usar fichas o peones sobre un tablero de ajedrez.)

El salto de la rana

Para jugar al primer solitario se necesitan siete agujeros (o cuadros) en fila, tres fichas de un color (rojo), y otras tres de otro color (negro). Coloca estas seis fichas como indica la figura, dejando un agujero vacío entre las negras y las rojas. Los movimientos del juego consistirán en:

1) mover una ficha al agujero contiguo, si está vacío; o 2) saltar sobre otra ficha a un agujero vacío situado inmediatamente

tras ésta, de la misma manera que se «come» en el juego de damas.

Los dos tipos de movimientos aparecen ilustrados en la figura, y se alternan desde el primer movimiento.

El objeto del juego es hallar el mínimo número de movimientos que permita intercambiar las posiciones de las fichas negras y rojas.

Estudia también otras variantes con distinto número de fichas negras y rojas, e intenta hallar una fórmula para el mínimo número de movimientos necesarios para intercambiar, de los extremos del tablero, x fichas negras e y rojas.

Todo cambia

El segundo juego se parece bastante al primero, pero se juega en un tablero cuadrado. La figura muestra un tablero S X S con la posición inicial de las fichas; hay 12 fichas negras, 12 rojas, y un agujero vacío en el centro del tablero.

Los movimientos permitidos son los mismos que en el «salto de la rana», salvo que ahora las fichas pueden moverse en cualquier fila horizontal o vertical, pero nunca en diagonal.

Se trata, una vez más, de intercambiar las posiciones de las fichas negras y las rojas en 48 movimientos.

38

• • •

•

Otro solitario

El tercer juego tiene una larga historia y se juega en todo el mundo. Se suele encontrar a la venta en las más variadas formas.

E] tablero tiene 33 agujeros dispuestos en forma de cruz griega como indica la figura. Hay 32 fichas, esta vez todas del mismo color,

fij

• que al comienzo del juego ocupan todos los agujeros • menos el centra!.

En este caso el único movimiento permitido es saltar sobre otra ficha a un agujero vacío al otro lado; al mismo tiempo se «come», y se retira del tablero, la ficha sobre la • que se ha saltado. Las fichas sólo pueden moverse en filas horizontales y verticales, y el objetivo del juego es el de terminar con una única ficha en el tablero.

Hay muchas soluciones posibles, pero se suelen considerar las mejores aquellas en las que el juego termina • • con la última ficha en el centro del tablero. ¡Intenta conseguirlo!

o O O O O O O@O O~O O ~O ~~~

O O ~~®O O O O~~@O O O ~~~~~ O O O O ~ O O O O~~~~~O O O O~O O O O O O~OO O ~~®~~~~ O O O ~ O O O

O O O O O O ~~~ O O O O O O ~~~ Cruz latina Pirámide Lámpar~

Sobre este mismo tablero pueden plantearse otros muchos problemas, en los que ya no se trata de terminar con una única ficha en el centro del tablero, sino con varias fichas que formen una figura convenida de antemano.

Como los tres ejemplos anteriores.

39

66 Dos piezas iguales

Las figuras Py Q se pueden dividir, cada una de ellas, en dos piezas idénticas. Las dos se han dibujado siguiendo el mismo principio, de modo que, si encuentras la solución para una, la otra tampoco se te resistirá mucho.

p Q

67 Cómo pintar un cubo

¿Cuál es el mínimo de colores que se necesitan para pintar un cubo de manera que dos caras adyacentes tengan siempre distinto color?

¿Cuántos cubos diferentes se pueden obtener usando cuatro colores? (Recuerda que cada cara ha de ir pintada sólo de un color y, naturalmente, caras adyacentes de colores distintos).

68 Los problemas de la vía única APARíAP~RO

LI'N!:A PRINCIPAl-

Dos trenes de viajeros, cada uno con cuatro vagones, se encuentran enfrentados en sentidos opuestos en una línea que tiene vía única. La vía principal tiene un apartadero a una vía muerta en la que desgraciadamente sólo cabe una locomotora con dos vagones. Estudia cuál será la mejor manera de hacer maniobras con los vagones para que los dos trenes púedan cruzarse y continuar su viaje.

40

69 Dos a la vez

Coloca diez monedas iguales en fila. Un movimiento del juego consiste en coger una moneda, saltar dos y ponerla sobre la tercera. Muestra cómo se podrían agrupar las monedas en cinco parejas igualmente espaciadas en sólo cinco movimientos. ¡Atención, que no es tan fácil como parece!

70 Cara y cruz

Coloca ocho monedas iguales en fila, alternativamente cara H y cruz T, como en la figura. Un movimiento consistirá en coger dos monedas seguidas de la fila y llevarlas a un extremo o a cualquier lugar de la fila en que haya un hueco, sin alterar nunca el orden en que estaban.

Es posible colocarlas alineadas, en cuatro movimientos, en el orden TTTTHHHH sin dejar ningún hueco entre ellas.

71 La cuadratura de la cruz griega

Recorta una cruz griega como la de la figura. Divídela, con dos cortes rectilíneos, en cuatro trozos, de manera que, con las cuatro piezas resultantes, se pueda formar un cuadrado.

41

72 El reparto de gasolina YefÓSllo centra!

Una gran ciudad tiene un sistema de calles circulares y transversales, como indica la figura. En cada empalme de calles la Compañía de Gasolinas tiene una gasolinera,

Demuestra que el conductor de un camión cisterna puede salir del depósito central, recorrer todas las gasolineras y regresar al depósito sin pasar dos veces por el mismo punto.

Dos granjeros amigos compraron, entre los dos, un barril de sidra de ocho cántaros, y querían repartírselo a partes iguales, pero sólo disponían de dos recipientes para medirla, uno de 5 cántaros y otro de 3. ¿Cómo lo consiguieron?

73 Un reparto justo :-r T j ¡ "T"fs\1) R,A EX1l{A'.. "-." ,,­ '~

o o o

74 o o

Coloca ocho monedas iguales formando un cuadrado de tres monedas de lado, como indica la figura. o Mueve cuatro monedas para formar un cuadrado ¡con cuatro monedas en cada lado!

o o 75 La rana obstinada

Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30 m de hondo. En su intento de volver a salir, la obstinada rana no hacía grandes progresos, ya que cada día conseguía subir tres metros, pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros.

¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?

42

76 Cómo ordenar una estantería

Volver a ordenar los libros en los estantes de una biblioteca es un trabajo pesado, y la bibliotecaria quería hacerlo con el mínimo esfuerzo posible. Descubrió que la mejor manera de ordenarlos era intercambiar dos libros entre sí. Es decir, sacar dos libros cualesquiera mal colocados de la estantería y volver a colocarlos en orden inverso.

¿Cuántos intercambios tendrá que hacer para colocar los volúmenes de la enciclopedia de la figura en el orden 1,2,3,4,5,6,7,8 Y9?

¿Cuál sería la mejor manera de reordenarla, si los volúmenes hubieran estado en el orden 4, 5, 7, 6, 8, 1,9,2 Y3?

Propón una estrategia para reordenar, de la manera más rápida posible, una enciclopedia desordenada, independientemente del orden en que hayan quedado sus volúmenes.

77 Partiendo un círculo

Estas figuras muestran lo que ocurre cuando tomamos varios puntos sobre una circunferencia y trazamos todas las cuerdas posibles que unan dos puntos distintos. Si coges unas tijeras y recortas cada uno de los c~rculos por las cuerdas dibujadas, obtendrás, respectivamente, 2, 4, 8 Y16 pIezas.

¿Cuántas piezas calculas que resultarán si repetimos el proceso con seis puntos distintos de la circunferencia?

¡No te precipites en tus generalizaciones!

43

78 Números casi cuadrados El número 24 tiene la propiedad de que es «casi» un cuadrado perfecto,

y de que su doble también es «casi» un cuadrado:

24 + 1 = 25 = 52 (24 X 2) + 1 = 49 = 72

¿Cuál es el siguiente número con esta misma propiedad?

79 Un jardinero aficionado a la matemática Un jardinero disponía de cierto número de losetas cuadradas, todas

iguales, con las que pudo formar dos embaldosados, también cuadrados, y casi del mismo tamaño uno que otro. Como era tan aficionado a los problemas matemáticos, se dio cuenta de que con el mismo número de losetas podría haber hecho dos embaldosados cuadrados distintos de los anteriores, y, esta vez, uno mucho más grande que el otro.

~ ~ (~.

80 Triángulos mágicos Los números 1,2,3,4,5 Y6 forman un triángulo en el que la suma de los

tres números que están sobre cada lado da siempre el mismo resultado, 10. Comprueba que los mismos números se pueden colocar en el triángulo en otro orden, de manera que las sumas sigan siendo iguales, pero distintas de 10; hay otras tres posibilidades. Los números que se pueden colocar formando un triángulo de este tipo se llaman números mágicos.

Intenta formar triángulos mágicos con los dos conjuntos de números siguientes:

1) 1 2 3 5 6 7 2) 1 2 3 4 6 7

Hay dos maneras diferentes de hacerlo en ambos casos.

44

81 Números curiosos

Hay muchos números que tienen una curiosa distribución de sus cifras, y cuya formación vale la pena investigar. Aquí van unos cuantos ejemplos, para empezar a pensar en ello. 1 Elige un dígito cualquiera, por ejemplo el 5. Multiplica 5

por 9 y con resultado, 45, haz la siguiente multiplicación:

12345679 X 45

¿No te sorprende el resultado? Probemos con otro dígito, por ejemplo el 3; multiplica

3 por 9, que da 27, y a continuación haz la multiplicación

12345679 X 27

¿Podrías explicar por qué sale ese resultado? 2 Otro caso parecido. Elige un dígito, por ejemplo el 2;

multiplica 2 por 7, Ycon el resultado, 14, efectúa el producto

15873 X 14

Investiga lo que pasa con otros dígitos, y da una explicación de los resultados obtenidos.

3 Haz las operaciones siguientes y explica el modelo:

143 X 2 X 7 =

143 X 3 X 7 = 143 X 4 X 7 = 143 X 5 X 7 = 143 X 6 X 7 = 143 X 7 X 7 =

143 X 8 X 7 = 143 X 9 X 7 =

4 ¿Podrías explicar la forma de los números que se obtienen haciendo estas operaciones?

1) (O X 9) + 1 = 2) 6X7 (1 x 9) + 2 = 66 x 67

(12X9)+3= 666 X 667 (123 X 9) + 4 = 6666 X 6667

(1234 X 9) + 5 = 66666 X 66667

45

82 Unas restas chocantes

Elige cuatro dígitos cualesquiera, por ejemplo, 3,6, 2 Y8, Yescribe con ellos el número de cuatro cifras más grande y el más pequeño posibles, en nuestro caso 8632 y 2368.

Resta ahora el menor del mayor y, con los cuatro dígitos del resultado repite el proceso anterior, una y otra vez:

8632 6642 7641 - 2368 - 2466 - 1467

6264 4176 6174

En el ejemplo, los dígitos 1, 4, 6 y 7 aparecen en el resultado en la segunda etapa, y, a partir de la tercera, no aparece ningún otro número nuevo.

Investiga lo que ocurre partiendo de distintos conjuntos de cuatro dígitos, y continúa el proceso haciendo las restas indicadas hasta que ya no salga ningún número nuevo. ¿Qué se puede observar?

¿Cuál es la cadena de restas más larga que puedes encontrar hasta que no aparece ningún número nuevo?

83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener?

Toma seis dígitos cualesquiera, como 5,3,9, 7, 4 Y2, Y forma con ellos dos números de tres dígitos sin usar dos veces el mismo dígito, por ejemplo, 324 y 579.

Ahora suma y multiplica estos dos números:

324 + 579 = 903 324 X 579 = 187 596

El objetivo es obtener una suma y un producto tan grandes como sea posible.

¿Puedes inventarte una estrategia que te dé siempre los resultados máximos a la primera? Si es así, puedes desafiar a alguno de tus amigos a ver quién es el primero en obtener el número máximo posible a partir del conjunto de seis dígitos dado.

Este problema admite diversas variantes, como puede ser la de formar tres números de dos dígitos y tratar de que su suma y su producto sean lo más grandes posible, o bien partir de siete dígitos y formar dos números, uno de tres dígitos y el otro de cuatro.

46

84 Los cuatro cuatros

Éste es un problema muy conocido, que ha sido el culpable de muchas horas de entretenimiento y de frustración para mucha gente. Se trata de expresar tantos números como sea posible entre 1 y 100, utilizando sólo cuatro cuatros y cualquier símbolo de operación matemática conocido.

Por ejemplo:

44 4 15= --- + 4 o bien = 4 X 4 -- ­

4 4 16=(4X4)+4-4 o bien = (4 x f4 + (4 x f4)

Algunos números se pueden expresar de varias maneras, como se ve en los dos ejemplos anteriores, pero otros puede resultar difícil expresarlos. Además de las cuatro operaciones aritméticas básicas +, -, x,: y ¡ ­puede que te sean útiles estas observaciones:

4 !, o «cuatro factoriab), es 4 X 3 X 2 X 1 = 24 admitiremos también 0,4 = 4 : 10,

4 por tanto, = 10 0,4

n 0,4 significa 0,4444444 ... , que es igual a 4 : 9, de manera que se puede escribir

4 --n- 9

0,4 Con esta ayuda deberías ser capaz de encontrar, al menos, una manera

de expresar la mayoría de los números del 1 al 100, si no todos. Puede ser divertido jugar a este juego con un compañero, y desafiar a

otro par de amigos a ver cuál de los dos equipos puede encontrar más soluciones en un intervalo de tiempo prefijado.

85 ¿Cuáles eran los datos?

El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha sido:

¿Cuáles eran esos dos números?

,-, I , , , ,-, ,,-, ,- ,-, '_'. - ., CJ e '::'"

47

86 Un filón muy productivo

Una compañía minera, que trabaja en los desiertos australianos, ha hecho una serie de perforaciones para comprobar la riqueza de un gran yacimiento de mineral. Los resultados de esta prospección se han representado en un mapa rectangular dividido en cuadros iguales, indicando en cada uno de ellos el valor de los depósitos de mineral que contiene esa zona en millones de pesetas, como indica la figura.

Debido a la estructura del terreno y al método de explotación al aire libre, la empresa debe comenzar por el cuadrado señalado Inicio, e ir avanzando de parcela en parcela, hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, pero nunca en diagonal. Una misma parcela no puede ser perforada dos veces.

Halla el recorrido más rentable en los 13 primeros cuadrados que exploten.

32 80 19 98 1 90 14 85

66 22 73 52 72 57 83 31

30 84 41 73 16 74 45 92

77 6 70 24 Inicio 28 67 11

32 99 44 81 27 75 42 98

68 21 72 56 59 42 75 17

34 87 19 92 5 99 27 88

Por ejemplo, un camino posible sería: 2470677306622 73 1998 1 90 14

que daría un beneficio global de 590 millones. ¡Lo puedes mejorar mucho, sin gran esfuerzo!

48

87 Centenas, decenas y unidades

Torna un número cualquiera de tres cifras, por ejemplo, 235. Escribe el que resulta de invertir el orden de sus cifras, 532; resta el menor del mayor:

532 -235

297

Al número obtenido súmale el que resulta de invertir el orden de sus cifras:

297 + 792

1089

Cuando lo hayas repetido varias veces con distintos números, podrás predecir, sin dificultad, el resultado y sorprender a tus amigos.

88 Círculos mágicos

Coloca los números 1,2,3,4,5 Y6 en los cuadraditos, de manera que los números situados sobre cada una de las tres circunferencias sumen lo mismo. Cuando se da esta situación se dice que tenemos un conjunto de círculos mágicos.

¿Podrías dar una regla sencilla para encontrar otros seis números que, colocados en los cuadrados, hicieran mágicos a los círculos?

Si es así, podrás resolver el siguiente problema, ya que se basa en la misma idea. Coloca cada uno de los números 1, 2,3, ..... , 10,11 Y12 en una de las intersecciones de las cuatro circunferencias de la figura, de manera que resulten círculos mágicos.

¿Es evidente que el número mágico para cada círculo ha de ser el 39?

49

89 El número de teléfono de la doctora Numerati

La doctora Numerati era una de esas personas que siempre andan buscando relaciones entre números. Por ejemplo, un buen día se dio cuenta de que los números de su casa y de las de dos de sus amigas eran tres números primos consecutivos tales que multiplicados los tres daban su número de teléfono. _.

La doctora Numerati vivía entre sus dos amigas y tenía un número de teléfono de cinco cifras que empezaba por 6.

Averigua el número de la casa de la doctora Numerati, así como su número de teléfono.

90 Completa un siglo

Coloca entre las nueve cifras siguientes signos de las cuatro operaciones aritméticas en los lugares adecuados (no necesariamente en todos), para que esta expresión sea una igualdad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 Hay más de una solución, así que a ver cuántas puedes

encontrar.

50

91 Ruedas de números Los tres números sobre cada lado y sobre cada radio de la

rueda de la figura dan como suma el mismo número. ¿Cuál es .. este número? Completa los números que faltan.

Coloca los números del 1 al 19 en otra rueda análoga de manera que la suma sobre cada una de las doce líneas sea 22.

92 Un reto a las calculadoras

1) 56 406 es el producto de dos números consecutivos ¿cuáles?

2) 357 627 ~s el producto de tres números impares consecutivos. Halla dichos números.

3) 1 405 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos. ¿Cuáles son estos cuadrados?

4) Un cubo tiene un volumen de 200 cm3. Calcula la longitud de su arista con toda la exactitud que permita tu calculadora de bolsillo.

51

93 Divisiones que se repiten

1) Utiliza tu calculadora para expresar en forma decimal

1 2 3 4 5 6

777 7 7 7

¿Qué ocurre con los seis primeros dígitos a partir de la coma7 Escribe, sin utilizar la calculadora, las expresiones decimales de 8/7, 9/7 Y16/7 con seis decimales.

Si dispones de una calculadora más potente, ¿cuáles serían los 12 primeros decimales de 1/77 ¿Podrías escribir directamente el esquema repetitivo que resulta en las divisiones por 77

Para toda división se verifica que, o bien la división se termina o bien genera una serie recurrente, lo que en matemáticas se llama un número decimal periódico; por ejemplo:

3 0,1875

16

3 0,428 571 428 571 428 571...

7

Al dividir un número cualquiera por otro que se pueda expresar como una potencia de 2 por una potencia de 5, como 16,20,64,125, 320, etc., la división siempre se termina. ¿Por qué? En cambio, si dividimos por cualquier otro número, la operación nos conduce siempre a un número decimal periódico. Al dividir por 7 nos encontraremos con un período de seis dígitos y, en general, al dividir por n el período que se repite estará formado por n-l dígitos o menos. ¿Cómo lo explicarías?

2) Para investigar el esquema que siguen los dígitos al dividir por 17, se utilizó una calculadora, pero su capacidad no era suficiente como para mostrar el período completo. Los primeros resultados fueron:

1 0,058 823 5

17

2 4 0,117647 1 D,235 294 1

17 17

3 5 0,1764705 0,294 117 6

.17 17

6

52

Sabiendo que en este caso el período consta de 16 cifras, escribe el que corresponde a cada una de las divisiones anteriores, expresando 5/17 con 20 decimales exactos. Intenta averiguar cuál sería el resultado de hacer las divisiones 6/17, 7/17, etc., antes de comprobarlo con la calculadora.

3) Trata de averiguar el período al dividir por 19, utilizando lo menos posible la calculadora.

4) Por último, trata de hallarlos períodos correspondientes a divisiones por otros números; por ejemplo, los casos del 11 y del 13 son especialmente interesantes.

94 Algunos números distinguidos

Números capicúas

Se leen igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como el 25452.

Si descontamos los números de una sola cifra, ¿cuál es el menor número primo capicúa, y cuál el mínimo cuadrado perfecto capicúa? ¿Cuántos cuadrados perfectos capicúas hay menores que 1 OOO?

Hay cinco primos capicúas entre 100 y 200. ¿Cuáles son? ¿Por qué no hay ningún primo capicúa entre 400 y 700? Demuestra que todos los números capicúas entre 1 000 Y2 000 tienen un factor común.

Pares de números amigos

Algunas parejas de números tienen la interesante propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de ellos (excluido él mismo) da como resultado el otro. Esta relación recíproca tan curiosa ha llamado la atención de muchos matemáticos, que les dieron el nombre de números amigos. La pareja de números más pequeños con esta propiedad es la formada por 220 y 284. En efecto:

220: 1+2+4+ 5+ 10+ 11 +20+22+44+ 55+ 110=284 284: 1+2+4+71+142=220

Euler hizo un estudio de estas parejas y público en 1750 una lista de 60. Resulta bastante sorprendente que se le escapara la segunda en el orden creciente, 1 184 Y 1 210, que no se conoció hasta el año 1866, en que la descubrió un muchacho italiano de 16 años llamado Paganini.

Calcula los divisores de estos dos números y comprueba que cumplen las condiciones para ser amigos.

He aquí otras parejas que puedes investigar:

2620 6232 17296 2924 6368 18416

53

95 Estrellas mágicas

Coloca números en los círculos de las estrellas a) y b), de manera que cada línea recta en las dos estrellas sume lo mismo.

a) b)

Las estrellas e) y d) también son mágicas y, además, tienen el mismo número mágico. Los números que faltan en las dos estrellas son los mismos: 1,3,4,5 Y7.

¿Qué más ayuda quieres?

e) d)

CROSS +ROADS

96 La seguridad lo primero SEND

+MOREEl mensaje a) es una suma en cla'(e, cada letra representa un dígito distinto; por ejemplo, la S representa al 3. ¿Qué DANGER MONEY dígitos representan las demás letras?

a) b)b) es otro problema clásico del mismo tipo.

S4

97 La. estrategia secreta del tahúr

Un tahúr se fabricó tres dados de diferentes colores. El rojo tenía en sus caras, repetidos, los números 2, 4 Y9. El azul los números 3, 5 Y7 duplicados, y el amarillo los números 1, 6 Y8.

La suma total es la misma en los tres, pero, aun asÍ, el tahúr cree que si su contrincante es el primero en elegir y lanzar uno de los dados, él puede elegir otro que le dará mayores probabilidades de superar su puntuación. ¡Explica por qué!

98 El problema del transporte

Tres compañías de autobuses A, By Catienden el transporte de los escolares de cuatro colegios P, Q, R YS, desde el colegio a casa.

Para transportar a todos los niños, el número de autobuses que se necesita en cada colegio es A

P:8 Q:5 R:7 s: 5 B

y cada una de las tres compañías de autobuses dispone en sus cocheras del siguiente número de autobuses:

A:9 B:6 C: 10

La primera tabla muestra una de las muchas maneras en que se podrían distribuir los autobuses disponibles por colegios.

La tabla siguiente nos muestra las distancias en kilómetros de las estaciones de autobuses a los colegios; por ejemplo, la distancia de la cochera C al colegio Q es de 6 km.

Como es lógico, las autoridades educativas quieren que el coste global del transporte sea lo menor posible, de manera que su intención es la de hacer la distribución de autobuses por los colegios de forma que el total de kilómetros recorridos desde las cocheras sea el mínimo posible.

Así, por ejemplo, la distribución de la primera tabla nos daría un total de kilómetros recorridos de

(3X3)+(1 X2)+(5X5)+(2X3)+(4X4)+(5X5)+ (4X6)+(1 X8) = 9 + 2 + 25 + 6 + 16 + 25 + 24 + 8

= 115 km.

Haciendo una mejor distribución, puede reducirse este número sustancialmente. De hecho, puede reducirse a 67 km.

¿Cómo habría que hacer la distribución?

p Q R s

3 1 5

2 4

5 4 1

8 5 7 5

Autobuses necesarios

p Q R

A

B

e

3 2 5 1

2 1 3 4

5 6 4 8

(/l Q,l

::c9 e

o c. (/l

6 "O en Q,l en ~

10 .c o.... ::l

<!

s

55

8 r 8

99 Nuevos y curiosos esquemas numerlCOS

1) 32- 22= 9 - 4 = 5 = 3 + 2 42- 32= 16 - 9 = 7 = 4 + 3 52 - 42= 25 - 16 = 9 = 5 + 4

~

Explica el modelo y demuestra que siempre se cumple.

2) 32= 9 2X4= 8 42=16 3X5=15 52 = 25 4 X 6 = 24 Generaliza el esquema.

3) Investiga las potencias sucesivas de un número natural, como 3, 32, 33, 34, 35,... Ytrata de descubrir de acuerdo con qué ley va apareciendo el último dígito.

4) Completa la tabla siguiente y prolóngala dos líneas más:

1= 3+5=

7+9+11= 13+15+17+19=

¿Podrías descubrir el esquema que sigue estas sumas?

5) Completa la tabla siguiente y trata de sacar una ley general de lo que observes:

1 = 13= 1+2= P+23 =

1+2+3= 13+23 +33 = 1+2+3+4= 13+23 +3 3 +43 =

100 Las ternas pitagóricas

El teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, es bien conocido. También se sabe que si los lados de un triángulo están en la razón 3, 4, 5 Yel triángulo es necesariamente rectángulo, pues

a32+ 42= 52. Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números

2 + b2 2naturales que, como 3, 4 Y5, satisfacen la relación a = e •

Utiliza tu calculadora para formar una tabla de los cuadrados de los números del 1 al 50 y encontrar todas las ternas pitagóricas.

¿Podrías encontrar dos triángulos rectángulos distintos cuyos lados sean números enteros y que tengan áreas iguales?

56

Un problema análogo en tres dimensiones es el de hallar las longitudes de las aristas de un paralelepípedo, siendo las aristas y la diagonal todos ellos nlÍmeros enteros. Los cuatro números tienen que cumplir

2a 2 + b 2 + e = d 2

Una solución es

¿Podrías encontrar otras?

101 Multiplicaciones misteriosas

Jugando un buen día con su calculadora, multiplicó Rosa Mari los números 159 y 48, lo que le dio como resultado 7632. Observó que en la igualdad 159 X 48 = 7 632 aparecían la cifras 1,2,3,4,5,6, 7, 8 Y9 una y sólo una vez, en el primer miembro o en el segundo. Rosa Mari apenas podía creérselo y pensó que debía ser un resultado único. ¡Sin embargo, se equivocaba! Hay otras parejas de números que, al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez. ¿Puedes encontrar algunas?

Otra multiplicación sorprendente es

16583742 x 9 = 149 253 678

en la que todos los dígitos aparecen una y sólo una vez a cada lado del signo igual. ¿Podrías encontrar otros productos con esta propiedad?

102 Un diamante mágico

15 9

Averigua qué números debes colocar en los círculos en blanco, para que la suma de los números sobre una

12 6 misma recta del «diamante» sea la misma.

57

103 Fechas capicúas El28 de septiembre de 1982, un locutor de

radio hizo observar a sus oyentes que las cifras de la fecha tenían una distribución curiosa, si se escribían en la forma abreviada usual: 28-9-82, es decir, era una fecha capicúa. Este hecho hizo pensar a Susan Nasus, la empollona de la clase, en cómo estarían distribuidas estas fechas capicúas. No tardó en llegar a la conclusión de que algunos años tienen más que otros, y se puso a buscar las dos fechas capicúas más próximas una de otra de este siglo. ¿Tú cómo lo harías?

104 Tarjetas numéricas adivinatorias

Imagínate que dispones, para pesar, de una y sólo una pesa de cada uno de los tamaños 1 kg 2 kg 4 kg 8 kg 16 kg

Con ellas se puede pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 31 kg. Copia y completa la siguiente tabla hasta la fila 31, indicando en cada paso las pesas necesarias de las que figuran en la cabecera de la tabla.

16 8 4 2

1 ./

2 ,/

3 ,/ ,/

4 ,/

5 ,/ ./

6 ,/ ,/

7 ,/ ./ ./

8 ./

9 ,/ ./

10 ,/ ./

11 ,/ ,/ ,/

12 ,/ ./

13 ./ ./ ,/

14 ../ ,/ ,/

15 ./ ,/ ,/ ./

16 ,/

17 ./ ,/

58

1 3 5 7

q 11 J3 15

11 lq 21 23

15 17 2q 31

A continuación recorta cinco tarjetas cuadradas idénticas, digamos de 10 por 10 cm, y apunta en la primera los pesos de la tabla para los que se necesita la pesa de 1 kg; el resultado, si lo has hecho con cuidado, debe ser como el de la figura.

En la segunda tarjeta escribe los números correspondientes a los pesos para cuya pesada fue necesario utilizar la pesa de 2 kg (es decir 2,3,6, 7,10, 11, etc.). En la tercera tarjeta escribe todos los números correspondientes a pesos para los que se necesitó la pesa de 45 kg, y así en las siguentes.

Así pues, tienes cinco tarjetas con dieciséis números en cada una. Comprueba si las has hecho bien, consultando la segunda parte del libro.

El juego consiste en pedir a un amigo que piense un número del 1 al 31, y, a continuación, mostrarle por orden las cinco tarjetas anteriores. Al ver cada tarjeta debe decir «sí» o «no» según figure o no en ella el número pensado. «¿Cómo?», te preguntarás sorprendido.

Supón que tu amigo ha pensado el número 21; entonces aparecerá en tres tarjetas, la correspondiente a la pesa de 1 kg, la de 4 kg y la ,de 16 kg. Todo lo que tienes que hacer es sumar 1 + 4 + 16, los números correspondientes a las tarjetas a las que tu amigo ha respondido «sí», para hallar el número pensado, 21. Es conveniente, para no hacerse un lío, apuntar por detrás de cada tarjeta el número correspondiente 1,2,4,80 16, de manera que tú puedas verlo, pero lo más pequeño posible para que tus amigos no se den cuenta.

Después puedes ir enseñando las tarjetas en cualquier orden, y sin ver siquiera la cara de la tarjeta que enseñas a tu amigo, cosa que le sorprenderá aún más.

Practica antes con alguien de tu familia, para coger soltura y dominar bien la técnica.

Puedes repetir todo lo que hemos hecho, pero partiendo de una pesa adicional de 32 kg Yprolongando la lista hasta el número 63. En este caso te saldrán seis tarjetas de 32 números cada una, pero todo lo demás es igual. 59

105 Cuadrados mágicos 3 X 3 Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal que

todas las filas, columnas y diagonales den la misma suma. Así, el cuadrado a) es mágico, porque todas sus líneas suman 24, su número mágico.

Completa los cuadrados mágicos b) Y e), empezando por calcular su número mágico a partir de alguna de sus líneas que esté completa. a)

6

7 5 3

10

7

4 5

b) e)

Intenta ahora lo mismo con los cuadrados d) y e), en los que conoces más números, pero también hay que pensar algo más.

14 3

13

8 15

11 1

9 7

15 5

d) el

11 3 10

7 8 9

6 13 5

La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo antiquísirno que se remonta a la antigua China. Así, por ejemplo, se atribuye el cuadrado mágico básico f) al emperador chino Yu, que reinó hacia el 2200 a. de C. La fascinación que ejercen estos cuadrados no ha disminuido con el paso del tiempo, como vienen a demostrar las publicaciones recientes sobre el tema.

Todos los cuadrados mágicos 3 X 3 obedecen esencialmente al mismo esquema, el de la distribución de los nueve dígitos 1, 2, 3'00" 9 en el cuadrado básico f). f)

A partir de éste se pueden formar otros cuadrados mágicos aumentando todos los números en un número dado, por ejemplo el 6. Otra alternativa es sustituir los números 1 a 9 por los nueve primeros impares 1,3,5,..., 17.

Hay otra manera muy interesante de generar un conjunto de nueve números que puedan formar un cuadrado mágico 3 X 3 y que no es tan secilla.

8 1 6

3 5 7

4 9 2

60

Escoge un número cualquiera, por ejemplo el 3, y otros dos números distintos, por ejemplo el 2 y el 5, que se le irán sumando repetidamente a13 (el 5 por filas y el 2 por columnas) tal como se indica.

+5 +5 ~~

+2t3 8 13

+2~5 10 15

7 12 17

Ordénalos de menor a mayor, por filas,

3,8,13,5,10,15,7,12,17

los colocas, por este orden, en lugar de 1, 2, 3, ..., 9 del cuadrado básico, y obtendrás el cuadrado mágico g), cuyo número mágico es 30.

Ahora ya puedes construir otros cuadrados mágicos. ¿Crees que este método valdría para números decimales o

negativos? ¿Podrías demostrar que el método es válido en general? g)

12 3 15

13 10 7

5 17 8

61

106 Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores

La primera prueba de que en Europa se estudiaban los cuadrados mágicos es de comienzos del siglo xv. Agrippa construyó cuadrados mágicos de todos los tamaños del 3 X 3 al 9 X 9, asociándolos a los planetas de nuestro sistema solar. Las gentes de todas las épocas han cultivado siempre un cierto misticismo numérico (muchos creen que el 13 trae mala suerte), y los cuadrados mágicos han tenido también su particular aureola. El famoso pintor Durero hizo un grabado en madera titulado Melancolía, en el que la fecha de su ejecución, 1S14, aparece formando parte de un cuadrado mágico 4 X 4 incluido en el grabado.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 1

15 14 1

1

En este cuadrado mágico las filas, columnas y diagonales principales suman todas ellas 34. Hay, en este cuadrado mágico, otros muchos conjuntos de cuatro números, colocados simétricamente, que suman 34

16,13,4,1 y 3,8,14,9

¿Puedes encontrar otros? Con los números 1, 2,3,4,... , 16 se pueden formar 880 cuadrados

mágicos 4 X 4 distintos. Frénicle los publicó todos en 1693. No todos tienen simetría del cuadrado de Durero; algunos, llamados simples, cumplen únicamente la condición de ser mágicos, mientras que otros, llamados nasik, se suelen considerar como los más perfectos, porque gozan de más propiedades de simetría incluso que el de Durero. He aquí un ejemplo de cada uno.

62

7 6 11 10

14 9 8 3

12 15 2 5

1 4 13 16

1 14 7 12

15 4 9 6

10 5 16 3

8 11 2 13

Simple Nasik

Trata de encontrar tantos conjuntos de cuatro números simétricamente situados como puedas, que sumen 34. Constrúyete 16 fichas cuadradas, y numeradas del 1 al 16, para ver cuántos cuadrados mágicos 4 X 4 diferentes puedes formar.

No hay ningún método sencillo para construir cuadrados mágicos de dimensión par, pero para los de dimensión impar vale la pena recordar el método siguiente, debido a Bachet de Méziriac. Nuestro ejemplo es para un cu 5 X 5, pero se puede aplicar a cualquier Impar.

3 16 9 22 15

20 8 21 14 > ,}

7 25 13 •• »

1 19

1 624 12 5 18

11 4 17 10 23

. 12

<1

[/6i

Primero amplía el cuadrado 5 X 5 P ara formar el nuevo cuadrado «en diamante». Numera después las «diagonales» paralelas a la que va del ex extremo superior en la forma que indica la figura ( del 1 al 5). Imagina ahora que los tres números que quedan fuera del cuadrado inicial por cada lado, los introduces, sin alterar su orden, por el lado opuesto (como con cuadrados punteados en la figura para uno de los cuatro pasos). El resultado es un cuadrado mágico 5 X 5.

Un cuadrado mágico que merece ser mencionado es el cuadrado 8 X 8 de Euler, que es a la vez solución del «paseo a caballo» (véase n.O 44). Evidentemente esta solución le era desconocida a H. E. Dudeney, el famoso inventor de rompecabezas de la época victoriana, quien, escribiendo acerca de la posibilidad de que existiera un tal cuadrado mágico decía: «¿Se podrá encontrar una solución perfecta? Yo estoy convencido de que no, pero se trata de una simple opinión». 63

.---­adrado mágico 5 otra dimensión

4 10

153 9

14 208

7 1913

2412 18

11 17 23

16 22

tremo izquierdo al 21 ~numeradas

25

107 Un cubo mágico

Nos dan 27 cubitos numerados del 1 al 27, cada uno con su número escrito en todas sus caras. Hay diversas maneras de formar con ellos un cubo más grande de tamaño 3 X 3 X 3, de forma que los números de cada fila de cubos pequeños, paralela a una arista del cubo grande, sumen siempre 42. Las diagonales del cubo también suman 42, pero no las diagonales de las caras. La figura muestra la colocación de la capa superior en una de las soluciones. ¿Podrías completarla indicando los números correspondientes a las otras dos caras?

108 Un problema con balanzas sin pesas Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin

embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con sólo tres pesadas.

109 Nuevos retos a la calculadora

1) ¿Cuál es el resto de dividir 89328 por 729? 2) Trata de descubrir una manera de utilizar la función r- que sirva

para calcular aproximadamente ?)200. 3) ¿Cuál es el más pequeño número x que da resultado cero al hacer la

división f con tu calculadora de bolsillo?

64

1

'1·1·0· U bl dn pro ema e peso

Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas Clistintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar !correctamente cualquier número exacto de kilogramos desde l a 40.

¿Qué pesa cada una, y cómo se las puede arreglar para ¡pesar todos esos pesos diferentes?

1111 Rectángulos semejantes

Tenemos una hoja de papel de forma rectangular tal que ,si la doblamos por la mitad se forman dos rectángulos igualesiy semejantes al primero. ¿Qué se puede decir de las ilongitudes de los lados de la hoja?

112 Inventando un nuevo tipo de diana

Si observamos cómo están distribuidos los números alrededor de una diana de dardos, no parece haber en ella lógica ni matemática alguna. Una manera de corregir este aparente desorden sería volver a distribuir los números de manera que la suma de los saltos de cada número al siguiente fuera la máxima posible, al recorrer toda la diana ¡Investiga cuál sería el resultado!

65

113 El único hexágono mágico

Distribuye los números 1,2, 3,... , 19 por los hexágonos de la figura (conservando en su lugar los que ya están colocados), de manera que cada fila vertical y cada diagonal den siempre la misma suma.

114 El juego de Nim

El juego de Nim es un juego para dos personas, y es de una gran sencillez. Para jugar se necesita únicamente cierta cantidad de fichas, todas iguales (pueden servir cerillas o palillos) y el juego comienza con las fichas distribuidas en un cierto número de montones. En la figura hay tres montones de 7,9 Y6 fichas.

Cada jugador puede retirar tantas fichas como desee, pero de un solo montón (puede llevarse un montón entero si quiere, pero ha de llevarse al menos una ficha). Ganará el jugador que se lleve la última ficha.

Este juego tiene mucha más miga de la que parece a primera vista. Trata de inventarte una estrategia para ganar.

o O OO OO OOO OO O OO OO O O O O OO

7 9 6

66

115 Triangulando el cuadrado

El cuadrado de la figura aparece dividido en cuatro triángulos, de los que todos menos uno tienen sus tres ángulos agudos.

¿Será posible dividir un cuadrado en triángulos de manera que todos ellos tengan sus tres ángulos agudos? Puedes utilizar tantos triángulos como consideres necesarios.

116 ¿Quién la liga?

En un juego infantil se echa a suertes quién la liga, poniéndose todos en corro y contando a la vez que se va recitando una cantinela que consta de trece palabras, y salvándose aquel al que le toca el número trece.

Sabiendo que en el corro la cuenta se hizo en el sentido de las agujas del reloj, que había ocho niños a, b, e, ... , h, y que, después de eliminar siete veces seguidas a los que les tocó el lugar trece, la ligó al fin el niño e, ¿por cuál de ellos se empezó a contar?

117 Averigua qué cartas hay sobre la mesa

Sobre una mesa hay colocadas en círculo cierto número de cartas de una baraja, todas del mismo palo y ordenadas de tal manera que la suma de los puntos de tres cualesquiera seguidas, difiere en uno como máximo de la suma análoga para cualquier otra terna de cartas consecutivas. La carta más alta y la más baja son ellO Yel 2 de oros. El 6 de oros también está incluida en el CÍrculo.

¿Qué cartas están sobre la mesa y en qué orden? 67

118 El problema de dividir una herencia

2,5 km

Carlos

2kmEduardo

Carmen 1 km

Luisa

2,5 km

Un ganadero dejó en herencia, a su muerte, todas sus tierras a sus cuatro hijos Carlos, Luisa, Eduardo y Carmen. Para evitar posibles disputas hizo en el mismo testamento un plano de sus tierras, que tenían la forma de un cuadrilátero y dejó mandado que se dividieran en cuatro partes de forma triangular y de igual área, pero exactamente como indicaba la figura.

La reacción inicial de los hijos fue muy favorable, pero cuando intentaron llevar a cabo la última voluntad de su padre se dieron cuenta de que se les planteaba un serio problema. ¿Cuál?

119 ¡El fin del mundo!

Cierto grupo de fanáticos religiosos decidió, después de estudiar a fondo sus libros sagrados y de muchas horas de uso de un moderno y potente ordenador, que el fin del mundo ocurriría cuando el primer día de un próximo siglo cayera en domingo.

¿Cuánto tiempo nos garantizarían?

68

120 Un maratón patrocinado

En un maratón de 40 km en el que los corredores estaban patrocinados por distintas marcas comerciales, a uno de ellos se le ocurrió la brillante idea de pedir a sus patrocinadores, en lugar de una cantidad de dinero fija, que modificasen el sistema con objeto de mejorar un poco sus ganancias. Consiguió convencerlos de que cada kilómetro va siendo cada vez más duro de superar, y que se daría por satisfecho si le pagaban una peseta por el primer km, dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente doblando la cantidad por cada nuevo kilómetro recorrido.

A los organizadores les pareció razonable la petición del corredor y la aceptaron, pero al finalizar el maratón y presentarse a cobrar el atleta, los patrocinadores se llevaron la gran sorpresa. ¿Por qué')

121 Los efectos de la inflación Una casa que se vendió, recién construida, en 1961 por 700 000

pesetas, se volvió a vender en 1981 por 6 800 000 pesetas. La casa estaba en perfecto estado, pero no había sufrido transformación ni mejora alguna en esos 20 años. ¿Qué tasa de inflación anual revelan estos datos, suponiendo que dicha tasa anual haya permanecido constante?

En 1965 la gasolina costaba 16,50 pesetas el litro, mientras que en el verano de 1982 su precio alcanzó las 92 pesetas por litro. Esta subida ¿representa una media anual de inflación mayor o menor que la subida de precio de la vivienda mencionada?

Suponiendo que, por desgracia, sigan las mismas tasas de inflación hasta finales de siglo, ¿cuál será el precio de la casa y del litro de gasolina en el año 2000?

122 Entretenimientos de octogenario un profesor de matemáticas ya jubilado y octogenario, jugando con la

calculadora de bolsillo de su biznieta, descubrió que la diferencia entre los cubos de las dos cifras de su edad era igual al cuadrado de la edad de su biznieta.

¿Podrías decirnos cuáles eran las edades de ambos?

69

123 Las monedas boca arriba Vamos a proponer tres rompecabezas muy parecidos, a base de

monedas, pero, ¡ojo!, que no todos son iguales. De hecho, dos son posibles y uno no. ¿Cuál?

8 88

1) Coloca tres monedas sobre la mesa con sus caras H hacia arriba. Un movimiento consiste en darle la vuelta a dos monedas a la vez. ¿Cuántos movimientos serán necesarios para poner todas las monedas con su cruz T hacia arriba?

8888 2) Coloca sobre la mesa cuatro monedas, todas ellas con sus caras H hacia

arriba. Un movimiento consistirá en darle la vuelta a tres monedas cualesquiera a la vez. ¿Cuántos movimientos necesitarías para poner todas las monedas con su cruz T hacia arriba?

888 888 888

3) Coloca nueve monedas formando un cuadrado, todas con su cruz T hacia arriba, excepto la del centro. Un movimiento consistirá en darle la vuelta a las tres monedas de una fila cualquiera, o bien de cualquier columna o de las dos diagonales. ¿Cuántos movimientos se necesitarán para llegar a poner todas las monedas con su cruz hacia arriba?

70

124 Colas de milano

U n maestro carpintero había estado enseñando a sus aprendices a hacer ensamblajes de piezas de madera por el método llamado de «colas de milano». Una vez que consiguieron hacer bien varios ejercicios, el maestro les enseñó un cubo hecho de dos piezas de madera, en el que, al parecer, había juntas de cola de milano en la cuatro caras laterales.

El carpintero desafió a sus aprendices a copiar este cubo, pero todos ellos fracasaron y pensaron que era imposible.

Sin embargo, se puede hacer, pero ¿cómo?

125 Más rompecabezas con cerillas

Transform.a la espiral de la figura en tres cuadrados (no necesariamente todos iguales), moviendo sólo cuatro cerillas.

e:==_====::J~:c::==:::::::::e.

~ ~ 1 ~ ~ ~

]

Convierte esta iglesiá, con su torre, en tres cuadrados iguales, moviendo l J sólo cinco cerillas. 11

71

126 Pontoneros de maniobras

En unos ejercicios para desarrollar la iniciativa, se les pidió a dos equipos de cadetes de una academia militar que construyeran un «puente» sobre un río de 5 ID de ancho. Para hacerlo disponían de tantas vigas como quisieran de 4 ID Y sólo se les permitía ir apilando las vigas unas sobre otras, sin unirlas entre sí.

¿Hasta qué distancia del borde del río se puede llegar utilizando sólo tres vigas?

¿Cuál será el número mínimo de vigas que se necesiten para realizar el ejercicio propuesto a los cadetes?

72

-- --

4

s LUCI NES COME TARI s 1 Triángulos hechos a ba.se de cerillas

El secreto está en pensar «tridimensionalmente» y construir un tetraedro.

2 El embrollo del cruce del río

El titiritero cruza primero con la cabra. Regresa solo, cruza de nuevo con el lobo y vuelve con la cabra. Deja la cabra y vuelve a cruzar el río con la col. Regresa otra vez, recoge la cabra y cruza por última vez el río.

3 El maquinista perplejo

Este rompecabezas puede parecer completamente imposible si no se encuentra la solución. Se parece mucho al

18. Hay que situar el vagQón ~Ven la vía PrinCiPaal. Q V G V V L V

~ . ~el LG G LG

Hazte tus propios dados

Si eres capaz de resolver el problema sin construir el modelo, tienes una buena intuición espacial.

4

5 6 2

3

4

I 5 4

6 2

3 1 1

5

3 6

2

al b) e)

73

5 Plegando mapas

Numera el mapa por las dos caras y dóblalo dos veces por la mitad como indican las dos primeras figuras.

GEJ l!J!J

Abre un poco los pliegues y, manteniendo juntos 4 y 5, dóblalos como indica la tercera figura, de manera que el 5 vaya sobre el 6; el 4 seguirá al 3, y es fácil terminar, doblando juntos el 1 y el 2 de izquierda a derecha, de manera que el 1 quede antes del 2 y éste antes del 3.

6 El lechero ingenioso

Llena primero la jarra de 3 litros, y la vacías en la de 5. Vuelve a llenarla y vacía todo lo que quede en la de 5, ya parcialmente llena. Lo que sobra en la jarra de 3 litros es exactamente 1 litro.

Podría medir así, de uno en uno, cualquier cantidad de litros Sin embargo, hay maneras más rápidas de medir cantidades exactas de leche sin marearla tanto. Por ejemplo, 3 y 5 litros se pueden medir directamente y 6 = 3 + 3 litros o bien 8 = 5 + 3 litros también son muy fáciles de medir, pero ¿y 4 Y7 litros?

7 Los peones sobre el tablero de ajedrez

La solución de la figura es un caso especial de la posibilidad de situar 2n fichas sobre un tablero n X n, de manera que no haya tres fichas alineadas.

Obsérvese el eje de simetría horizontal que suele ser una de las características de la solución de problemas de este tipo.

74

8

9

Evitando tres en raya

Este juego está relacionado con el anterior, y a la vez lo complementa. En este caso, la estrategia de un jugador es ir colocando las fichas de manera que limiten las posibilidades del contrincante, intentando forzarlo a que coloque tres fichas en línea.

Dos mitades hacen un todo

Éste es un problema fácil entre los muchos del mismo tipo. Cada una de las dos piezas es equivalente a un cuadrado ya la mitad de dicho cuadrado.

Resulta sorprendente el número de figuras que se pueden formar con ellas. Para conseguir algunas de las que hemos mostrado es necesario darle la vuelta a una de las dos piezas. ¿Cuáles son las que se pueden construir sin hacer este movimiento?

10 Cubismo

No es difícil ver que las que son iguales son A y D.

11 Cuadrados construidos con cerillas

l,eo======:~~eo======:-----~:-===='~

i i i L

12 Curvas de persecución

El método que consiste en aproximar un camino curvilíneo por medio de una sucesión de pequeños pasos rectilíneos tiene en matemáticas una gran importancia y en él se basan las ideas esenciales del cálculo infinitesimal y de los métodos numéricos. Se obtienen, además, bellos dibujos, que también se pueden conseguir con hilos o lanas de colores, o bien 1) cosidos convenientemente en una cartulina, o 2) tensados haciéndolos pasar por chinchetas clavadas en un panel. En cualquier caso no se puede trazar una nueva línea hasta que la anterior no esté completa. No hay que confundir estos dibujos con otros más conocidos que se obtienen tomando un número igual de puntos sobre dos rectas o curvas, y uniéndolos de dos en dos como indica la figura.

75

15 Soldados en apuros

Este rompecabezas se parece mucho al 2 y 20, Yes conocido al menos desde principios de siglo. La clave de la solución depende del hecho de que la canoa pueda transportar a los dos muchachos, pero sólo se necesita a uno de ellos para llevar la canoa de una orilla a la otra del río. Así pues, uno de los muchachos lleva la canoa hasta la orilla en que se encuentran los soldados. A continuación este muchacho se baja y el primer soldado con todo su equipo cruza el río; allí desembarca y el segundo muchacho regresa con la canoa y recoge de vuelta a su compañero. Ya están los dos muchachos y la canoa como al principio; basta repetir la maniobra tantas veces como soldados haya, hasta que el último haya cruzado el río.

16 El granjero y el redil

Es posible que rediles de forma ,1\triangular no sean muy corrientes, pero lo cierto es que resuelven el problema.

\:~/\7 t •

76

17. La d.anza de los caballos

Se necesitan 16 movimientos. La mejor manera de verlo es la de descomponerlos en cuatro grupos de cuatro movimientos simultáneos de los cuatro caballos, que los llevan de las esquinas a la mitad de los lados y de nuevo a las esquinas, en una especie de danza circular alrededor del cuadro central. La primera mención en Europa de este antiguo problema se remonta a 1512.

18. Los apartaderos de la vía férrea Éste es otro rompecabezas que también se hizo famoso a

comienzos de siglo. Le pasa lo que a la mayoría de los de este tipo: es muy fácil de plantear, pero hasta que se da con la solución, puede parecer imposible. Suele ayudar a resolverlo utilizar fichas de colores o cajas de cerillas que representen los vagones y la locomotora.

~

" -----J- L V, V2

v, --------.- V, ~-------JI-­

LL ~ V2 LV2 L

H~ El cubo multicolor Pinta cada cubo de 1 cm de manera que las tres caras que

tienen un vértice común sean todas rojas, mientras que las que comparten el vértice opuesto sean todas azules. Entonces se pueden reunir los ocho cubos para fomar otro mayor de 2 cm de arista y todo él rojo o todo él azul, según, se coloquen.

El caso del cubo de 3 cm es mucho más difícil y puede que necesites visualizarlo, por ejemplo coloreando cubos de azúcar. El problema tiene solución. Los 27 cubos de 1 cm tienen en total 27 X 6 caras, mientras que los tres cubos grandes de 3 cm tendrán en total 3 X 6 caras, cada una formada por nueve cuadrados pequeños. Hay, pues, la cantidad justa de cuadrados para conseguirlo, si es que logramos colorearlos adecuadamente.

77

En uno de los cubos de 3 cm, el rojo, los cubos pequeños aparecen en cuatro posiciones distintas:

• 6 tubos de los centrosal 8 cubos de las esquinas, con el de las caras, con unaGiltres caras adyacentes de color rojo

CD sola cara de color rojo

bl 12 cubos de mitad de las aristas, con dos caras adyacentes de color rojo dl El cubo central, con ninguna

cara de color rojoiD Para que tenga solución, debe haber el mismo número de cubos azules

y amarillos, así que una clasificación de los casos posibles nos conduce a la solución siguiente:

6 cubos coloreados de la forma RzAzMz Donde R indica rojo, A azul y 3 cubos coloreados de la forma R3A zM) M amarillo, y el subíndice el 3 cubos coloreados de la forma R3A¡Mz número de caras con ese color. 3 cubos coloreados de la forma RzA 3M) Cuando hay dos o tres caras 3 cubos coloreados de la forma RZA 3M¡ del mismo color, se entiende 3 cubos coloreados de la forma R¡A3MZ que han de ser siempre 3 cubos coloreados de la forma RzA¡M3 adyacentes (si son dos, con 3 cubos coloreados de la forma R¡AZM) una arista común, y si tres, 1 cubo de cada tipo R3A 3 A 3M 3 M 3R3 con un vértice común).

Hemos inventado esta notación para este problema, y permite explicar de una manera clara y sencilla cómo deben ser los diferentes cubos. Se trata de un recurso muy utilizado por los matemáticos.

20 Los maridos celosos

También aquí es conveniente elegir un simbolismo cómodo para describir la situación. Vamos a representar a los tres matrimonios por Aa, Eb, Ce, donde la letra mayúscula representa al marido y la minúscula a su esposa.

Para el caso de tres parejas se necesita hacer cinco viajes con la barca. He aquí la solución:

abe a ABC A Aa

Aa A a Aa a A Aa Aa

Bb B b B b Bb Bb Bb

Ce C e C e Ce Ce Ce

1 2 3 4 5

78

Primero parten las tres mujeres abe; a continuación la esposa a regresa al hotel con la barca, donde se queda, mientras los tres maridos ABC reman hasta ponerse a salvo; el marido A regresa solo a recoger a su valiente esposa. Te puede ayudar si usas pequeños trozos de papel que representen a cada persona.

La solución siguiente, para el caso de cinco parejas, cumple las condiciones exigidas, pero requiere 13 viajes. Puede que encuentres otra solución mejor; si es así, al autor le gustaría conocerla.

abe Aa ABC ADE A D E

a A Aa Aa Dd Ee

Aa A a Aa

Bb B b B b

Ce C e C e

Dd Dd Dd Dd

Ee Ee Ee Ee

a A

Bb Bb

Ce Ce

d D d

e E e

Aa Aa Aa

Bb Bb Bb

Ce Ce Ce

D Dd Dd

E e E Ee

Cruzan primero tres mujeres, abe, y regresa la a. A continuación cruza A Con su esposa a, la deja y regresa con la barca (jA no debe salir de la barca, de lo contrario se encontraría con las mujeres b y e sin estar sus maridos!). Cruzan ABC y regresan Aa, dejando en seguridad a Bb yaCe. Los tres maridos ADE cruzan después dejando a sus esposas ade en el hotel; A regresa a por su esposa a, y a continuación hacen lo mismo D y E.

21 La extensión de cable más barata posible Esta es una versión nueva de otro rompecabezas muy

conocido. Imagínate la habitación como si fuera una ca zapatos que puedes extender como indica la figura. La distancia más corta entre A y B irá en línea recta, atravesando el suelo, una de las paredes largas (en diagonal) y, por último, el techo. La longitud total del cable es de unos 13 m 60 cm.

10 m

4m

ja de

; 'rt' Vi

;1 Suelo

i" o~ ~ CJ IUTecho I

I

I

/I I I I4m

______ J.... ­8m8

4m 79

23 El cuadrado, la cruz y el círculo

CírculoCuadrado

Cruz

24 La banda de Mobius

La banda de Mobius sorprende siempre a quien se encuentra con esta superficie por primera vez. Si hiciéramos un estudio un poco más sistemático, sería imposible descubrir I~ relaciones entre el número de vueltas que da la banda y el resultado al cortarla por la mitad. La banda de Mobius resulta, pues, divertida e interesante, pero tiene, a su vez, un aspecto matemáticamente serio e importante en el estudio de las propiedades de las superficies y su clasificación. Para más detalles, pueden verse los libros Mathematics and the Imagination de E. Kasner y J. Newman (Bell) y Experiments in Top%gyde S. Barr (John Murray).

25 Una jardinera ahorrativa

80

26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar?

Seguramente te ayudará poner una letra mayúscula en cada punto de intersección, y designar con estas letras los triángulos. Aunque a primera vista este problema pueda parecer análogo al anterior, exige otro planteamiento distinto. Podemos empezar, por ejemplo, contando todos los triángulos que tienen el lado AB, después los que tienen el lado AC, etc.

ABE ABG ABH ABI A

ACD ACE ACG AC! ADE AEI AGH AGI BCE BCF BCG BC! BEF BEG BGI BHI CDI CEG CEI CFG DEI DFH EFG EGI GH!

Si respetas el orden alfabético, te será fácil evitar el error de contar dos veces el mismo triángulo

27 Dos lanchas motoras poco amistosas

Se trata de un rompecabezas muy interesante, y que a primera vista podría parecer imposible de resolver.

Las dos lanchas no llegarán a encontrarse a menos que el controlador consiga dirigirlas al punto C de la figura. Este punto cumple las dos condiciones: 1) la distancia ACes igual c a la BC; y 2) la dirección BCforma un ángulo de 90" con la A C. Así pues, cuando la lancha A llegue al punto C, sea cual sea el camino que recorra, la lancha B también estará en C.

28 Los caballos guardianes

C"------'------'I.--------=.F D

En la figura puedes ver la solución a este problema. Comprueba que todos los cuadros están ocupados o amenazados.

Se pueden plantear problemas análogos con otras piezas de ajedrez. Por ejemplo, puede conseguirse el mismo resultado con cinco reinas, nueve reyes u ocho

.

• • •

'. . • •

• •

• • • • •

alfiles. ¡Compruébalo!

81

29 Invirtiendo el orden de los trenes

Para abordar este problema con éxito es necesario, una vez más, inventarse algún método para llevar la cuenta de los movimientos que se van haciendo con los trenes. También puede ser útil copiar el plano de la red a mayor escala y utilizar fichas numeradas para representar los trenes. Esta solución exige 15 movimientos, que van indicados en el diagrama por las correspondientes flechas.

Posición después partida Posición de

de tres movimientos

6 7

Posición 5 2 3 Posición después 5 después de seis de nueve movimientos movimientos

D~ 4 6

1 • 6 7 7

~

Posición 5 4 2 Posición después 5 4 3después de doce de quince movimientos movimientos

6 6 2¿) 7 • 3 7 O

30. Cuatro piezas iguales

No sólo son iguales entre sí, sino que las cuatro tienen la misma forma que la figura original.

82

31 Com.plétese el cuadrado

Muchos rompecabezas de este tipo están ya comercializados en formas muy variadas, pero no te costará mucho hacerte uno de cartulina.

32 Monedas que dan vueltas

La moneda A da dos vueltas. La efigie aparecerá invertida, cuando la moneda A haya rodado hasta colocarse en la parte superior de la B; en su posición de partida, cuando pase exactamente a la derecha de la B; de nuevo invertida, al pasar por debajo de B; y en la posición de partida al volver a situarse a la izquierda de B.

33 Una red que va creciendo

Este juego terminará en un número finito de movimientos, pues al comienzo hay nueve ramas disponibles (tres puntos con tres ramas cada uno), y en cada movimiento se inutilizan dos ramas y se introduce un punto nuevo con otra rama utilizable. El resultado de un movimiento cualquiera es, pues, reducir en una el número total de ramas disponibles, y, por lo tanto, se podrán hacer ocho movimientos como máximo. Podrían resultar menos, si una rama queda aislada del resto de la red.

Estas redes tienen una interpretación científica interesante, ya que corresponden a las diferentes maneras en que pueden combinarse átomos de valencia 3 para formar moléculas más complejas.

34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos

A-C-E-B-D-A-B-C-D-E-A Hay otras muchas soluciones, por ejemplo:

A-B-C-D-A-C-E-B-D-E-A Una red o grafo se llama euleriano cuando se puede

dibujar sin levantar el lápiz del papel ni recorrer dos veces una misma línea. La primera de las dos redes es euleriana, pero la segunda sólo se puede dibujar en cuatro partes; es necesario levantar tres veces el lápiz de la figura.

83

El primero en hacer un estudio sistemático de estas redes fue el matemático suizo Leonhard Euler (y de ahí su nombre), hacia mediados del siglo XVIII, al estudiar el famoso problema de los «puentes de Konigsberg». Konigsberg era una ciudad alemana edificada sobre las dos orillas y las dos islas del río Pregel. Las islas estaban conectadas entre sí y con las orillas del río por siete puentes, y sus habitarites habían estado intentando encontrar una manera de cruzar todos los puentes una y sólo una vez, partiendo de un punto y regresando a él al final del recorrido. No la habían podido hallar y Euler consiguió demostrar que no existía. Sustituyó el mapa por una red, en la que cada parte de la ciudad estaba representada por un punto, y los puentes por arcos que unían dichos puntos. El problema quedaba reducido a demostrar que esta red no se podía dibujar sin levantar el lápiz del papel ni recorrer dos veces un mismo arco.

Euler se dio cuenta de que la clave del problema estaba en el hecho de que el número de arcos que iban a parar a cada punto era impar: 3 a B, Cy D, Y5 a A. Demostró que un vértice de una red al que llega un número impar de arcos (o «vértice impar») sólo podía ser uno de los posibles puntos de partida o de llegada para dibujar la red, de manera que el problema de Konigsberg, con cuatro vértices impares, es imposible de resolver.

Para ver por qué un vértice impar no puede ser uno de los vértices intermedios en el recorrido de una red euleriana, considérese el vértice impar de la figura, con las ramas 1, 2 Y 3. Supongamos que se llega a P, por primera vez, por la rama 1 y que se sigue por la 2. Al regresar a P, por segunda vez, por la rama 3, ya no nos queda ningún camino libre para salir de P. Un razonamiento análogo sirve para cualquier vértice impar, de donde se sigue que un vértice impar sólo puede ser utilizado como punto de partida o de llegada. Así pues, una red sólo puede ser euleriana si: 1) todos sus vértices son

A)a('-------........ B

e

D

3

84

pares, o si 2) todos sus nodos son pares excepto dos que son impares, que deben ser el punto de partida y el de llegada. Los ciudadanos de Konigsberg podrían resolver, pues, su poblema dinamitando, por ejemplo, el puente AB, o bien construyendo un segundo puente de A a B. Una buena referencia sobre este problema y otros análogos es el libro Mathematical Recreations and Essays, de W. W. Rouse BaH (MacMillan).

35 Giros que parecen imposibles

Gira primero el libro 1800 alrededor del lado vertical opuesto al lomo, y a continuación otros 180 o

alrededor de una recta que forme un ángulo de 45° con el eje anterior, como indica la figura, para conseguir que el libro quede girado 90° en su propio plano.

En general, un giro de 180° alrededor de un cierto eje, seguido por otro giro de

'" ::! ~~ o

<tI ~ ~ "-MAGIA '",

,&180°

'"

180° alrededor de otro eje que forme un ángulo x con el primero, resulta ser equivalente a una rotación de ángulo 2x alrededor de un eje perpendicular a los dos pnmeros y que pasa por su punto de interseccióh.

a) Polo N

36 El cazador obstinado

¡Un oso blanco! Efectivamente, una posible solución comienza en el polo

norte (a). Hay, sin embargo, infinitas posibilidadeS cerca del polo sur.

b)Por ejemplo, el cazador podría comenzar en cualquier punto situado 3 km al norte del paralelo que tiene exactamente 3 km de longitud (b )... o bien 3 km al norte del paralelo de longitud 1,5 km... etc. ¿Qué pieza cobraría, en cualquiera de las soluciones, el cazador antártico? Polo S

3

85

37 Cuatro puntos en un plano

No deja de resultar sorprendente que sólo haya seis posibilidades, y muy bien puedes haberte dado por vencido antes de encontrarlas todas.

38 Dados de letras

La letra opuesta a la H tiene que ser la S. En la figura se muestra el desarrollo plano del cubo, en el que puede verse que la letra S aparece dos veces.

39 La defensa de la reina

Las otras dos únicas soluciones para el tablero 4 x 4 son las que aparecen en la figura.

o

E H

s

Soluciones 4 x 4

86

------------------

Para un tablero 5 X 5 hay muchas soluciones con tres reinas. Aquí reproducimos otras dos soluciones distintas. ¿Cuántas has encontrado tú?

En el tablero 6 X 6 se puede resolver el problema con sólo tres reinas, pero esencialmente de una única manera; mientras que en el tablero 7 X 7 son necesarias cuatro reinas para resolverlo.

Una solución 6 x 6

Una solución 7 x 7

87

•••••••

•••••

En el tablero 8 X 8 la solución requiere cinco reinas, y la que damos aquí satisface, además, la condición de Jaenisch de que ninguna reina esté amenazada por otra.

...........

••••• •••••••••

• • . .

8 x 8

Ninguna reina amenazada

•••

....

•

...

..

• lit

t... ....

.. >..............

/

1> ........... r k·> ••

F··· ••

.......

.............. ...

¡ . ¡•••.

• ..••.. ·i>

.... ... .

• .... .......

..

8 x 8

Todas las reinas protegidas

Para más detalles sobre rompecabezas de este tipo véase el libro Mathematical Recreations and Essays de W. W. Rouse Sall (Macmillan).

40 Ver es creer

Área igual a 1 Se trata de una paradoja muy antigua. El truco está en que la aparente diagonal del rectángulo 13 X 5 es, en realidad, un paralelogramo muy estrecho de área 1.

88

41 La inspección de carreteras

Los vértices A, e, E, G, He l son impares, y por tanto una de las carreteras que llegan a ellos tiene que ser recorrida dos veces. Para que la distancia total sea mínima, pueden elegirse, como carreteras a recorrer dos veces, las AG, HC e lE. Una posible ruta es, pues, la siguiente:

A--+ B--+ C--+ D--+ E--+ F--+A--+ G--+ F--+ f--+ E--+ f--+ D--+ H- C- H- B - G- H- 1- G--+ A

con una distancia total de

(6 x 13) + (9 x 12) + (6 x 5) = 216 km

42 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez

¡El problema propuesto es imposible! Imagínate cada ficha del dominó pintada, la mitad blanca y la otra

mitad negra, según los cuadros del tablero que ocupe. Al quitar dos cuadros opuestos el tablero pierde dos del mismo color y quedan, por ejemplo, 30 negros y 32 blancos. No hay manera de colocar las fichas del dominó cubriendo el tablero, puesto que cada flecha cubre inevitablemente un cuadro blanco y otro negro.

44 Un paseo a caballo En un tablero 4 x 4 es

imposible un paseo a caballo, pero sí es posible encontrar un camino que recorra 15 de los 16 cuadrados. Los paseos a caballo sobre tableros 5 x 5,6 x 6 y 7 x 7 siempre son posibles, y la figura muestra una solución para cada caso.

[6 .·.·9 2 I 5

•

1I .

1 12 1 .. 5 8 24

13

'.'13'" 4 .. 11

10 7 .•• 14 ••. 3

1 18 •

No hay solución 7 4x4

14 9 t< ''' ...

.. 20. 3

19

........ .

·.·.··2 ...' 15

. ..... 10

8 •

23

25 . .. < • 4 ..

11

21 o,

6 .. ".. ~ ..~

16

12 17 22 5

Una solución 5 x 5

l.··.... ! . 11 f~, 33 '." 1324·· 3 ,......... .......... .

t"'''·''''·. V:::::::::· ... 9 • 20 41 38 35 t26 5

............ ............ . ... ..... 30 • 49 .. 18 7 28 47 16

19 I"B" 29 1....

17 ..... ~.....:

27.' 48, 1....6 .•.• . ~... ' ..

l, .

. 40. 15 . 46"

21 [10 39 • 34 ••

•. 42" 31 C~6.

........ 1 32 9 ·.22" 7 ¡.30.

'. ~ 10 23 36 31 16 .• 21

............ ~.....33 t 2 ••• 17 8 29

l.>: ..·.... :·:· t..

24 11 • 26 35 120 15 .' .....

V· .... ••• 1;'

~

3 34 13 5 28 .... · .. ~0

12 25 . 4 27 ,14 19

Una solución 7 x 7 Una solución 6 x 6

89

Después de practicar un poco, descubrirás, lo mismo que el autor y mucha gente antes que él, que este juego es un entretenimiento fascinante al que siempre se puede volver.

Tableros rectangulares en los que se pueden hacer paseos a caballo SOI1, por ejemplo, los 5 X 4 Y4 X 3.

.............. :;:::::::::.;.

20 7 J6; 3

...............

:;12.:

5

:JO:

Una solución 5 x 4 Una solución 4 x 3

Para los tableros en forma de cruz la figura siguiente muestra dos soluciones; la segunda es un camino «con vuelta a casa».

La solución para el tablero 6 X 6 también es un camino «con vuelta a casa», pues desde el último cuadro, el 36, se puede volver all con un único salto de caballo.

La razón de que no sea posible un camino «con vuelta a casa» sobre un tablero con un número impar de cuadros, radica en el hecho de que en cada movimiento el caballo pasa de un cuadro a otro de distinto color. Supongamos que el recorrido comienza en un cuadro negro; el número impar de cuadros del tablero se habrá recorrido en un número par de saltos de caballo, al cabo de los cuales ocupará de nuevo un cuadro negro, y por ser este cuadro del mismo color que el de partida es imposible pasar de uno al otro mediante un único salto del caballo.

Una buena referencia sobre el tema es el libro Mathematical Recreation and Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan).

90

45 Aserrando un cubo

Independientemente de cómo trates de cortar el cubo grande, no hay manera de evitar que el cubo central de 1 cm tenga sus seis caras, y que todas hayan de ser cortadas por cortes distintos. Así pues, es imposible cortar los 27 cubitos pequeños con menos de seis cortes.

46 Un agujero imposible

Para demostrar que en un cubo es posible hacer un agujero lo suficientemente grande como para que a través de él pueda pasar otro cubo mayor, sólo hay que demostrar que el primer cubo tiene una sección mayor que su arista. Considérese el rectángulo ABCD, cuyos vértices A, B, Cy D equidistan del vértice del cubo más próximo. AB es mayor que la arista PQ; BC es casi igual a la diagonal QR, luego también es mayor que la arista PQ. Es posible, pues, imaginarse un agujero de sección cuadrada atravesando el cubo, de manera que el lado de dicha sección sea mayor que la arista del cubo.

47 Dos gemelos idénticos

¡Qué fácil es, cuando ya se sabe hacer!

48 El teorema de los cuatro colores

La experiencia enseña que a la mayoría de la gente le gusta intentar encontrar un mapa que no se pueda colorear con menos de cinco colores, ya menudo cree que lo ha conseguido, hasta que alguien le dice cómo volver a colorearlo con sólo cuatro colores. La figura muestra cómo se puede pintar el mapa dado con cuatro colores.

Es curioso que sobre la superficie de un toro (que tiene la forma de salvavidas) es posible dibujar un mapa que no puede ser coloreado con menos de siete colores. Véase, por ejemplo, ¿ Qué es la Matemática? de R. Courant y H. Rob bins (Aguilar), y Riddles in Mathematicsde E. P. Northrop (Pelican). 91

50 La cuadratura del triángulo equilátero

U na manera clara de ver cómo se pueden reordenar las e piezas para formar el cuadrado, es imaginarlas articuladas en P, Qy R, e ir girándolas hasta cerrar completamente el cuadrado, como indica la figura. Y(l: S

B

QN M

S p

A .~_---r

N R M

S

92

51 La cuadratura de la tetera

La clave para resolver este rompecabezas está en la peculiar posición de las circunferencias que forman \a sección de la tetera.

52 Un ama de casa perpleja

La aparente paradoja quedó completamente aclarada cuando la señora Paca vio un horario en el que figuraban las horas a las que pasaban los autobuses Py Q por su parada:

Línea P Línea Q 10,09 10,10 10,19 10,20 10,29 10,30 10,39 10,40 10,49 10,50 10,59 11,00

Desde que pasa un autobús Ptranscurre sólo un minuto hasta que aparece un Q, y nueve hasta que pasa el siguiente P. Así pues, por cada 1°minutos pueden pasar nueve esperando un Py sólo uno esperando un Q. Tendríamos, pues, que una persona que utilice frecuentemente esta parada vería llegar primero el autobus Pnueve veces de cada diez.

53 Jugando a invertir el triángulo I

Hay que mover las tres monedas de los vértices del I

triángulo tal como indica la figura. \(-­./ - -- '"

I \

I I

I /

93

54 El billar americano

Los buenos jugadores le dan a la bola un movimiento de rotación adicional que puede alterar sensiblemente el rebote al chocar con la banda. Sin embargo, la manera simplificada que hemos explicado da una idea de la dirección correcta en la que hay que golpear la bola para sortear el escondite.

~O

O

f)d)

55 Buscando cuadrados (para dos jugadores)

Hay que tener muy en cuenta no sólo los cuadrados de lados paralelos a los bordes del tablero, sino también los inclinados. Véanse dos ejemplos de estos últimos en la figura.

x O

X

O

X o

, X

O

:94

-- --

56 La polilla hambrienta

¡La respuesta correcta no es 15 cm! La figura representa los cinco volúmenes vistos desde arriba, y las líneas punteadas el camino seguido por la polilla, y sólo tiene 9 cm de longitud.

I

f- ­'- ­

II

-

III

1-­

IV V

57 El desvío más barato ,

L " , Imagínate que la carretera I ' ',,_ O Q

fuese un espejo y dibuja la -¡..Li-------"..,~"_----- .. i·----------,- ­imagen reflejada F de F; une ~ , I

Iesta imagen F con V mediante I

I una recta, y el punto donde I

Iesta recta corte a la carretera (!) Iserá la posición de D. F , I

"- ,Para convencerse basta observar que , I "- , I

FD +DV =FD +DV =F V '® Si Q fuera cualquier otro punto de la carretera, entonces V

FQ + QV = F Q + QV > F V

porque F Q V es un triángulo, y la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero.

58 Piezas que llenan todo un espacio

El tetraedro grande no se puede formar de los tetraedros pequeños. Si se quita un tetraedro pequeño de cada vértice del tetraedro grande, lo que queda de él es un octaedro de sección cuadrada, que no puede construirse con los tetraedros pequeños.

59 Curvas formadas al cortarse circunferencias

Con ayuda del compás, este ejercicio te resultará muy entretenido. Comienza dibujando una recta en mitad de la hoja de papel y señala intervalos de 0,5 cm para que los radios de las circunferencias sean los correctos. Algunos consejos útiles para el manejo del compás: 1) asegúrate de que las patas del compás queden bien bloqueadas y no puedan abrirse o cerrarse solas; 2) asegúrate también de que las dos patas son igual de largas, cerrándolo y graduando la longitud de la mina utilizada; 3) al dibujar, no dejes de ejercer presión sobre la punta del compás clavada en el papel en el centro de la circunferencia, y 4) no trates de mover el compás, empujando la punta trazadora.

95

Probablemente la familia de curvas más sencilla, además de las elipses, sea la de las hipérbolas.

~

Un buen libro en el que se pueden ver muchos otros dibujos de curvas es A Book 01 Curves de E. H. Lockwood (Cambridge University Press).

60 ¡El ultimátum de una amante!

61 Sólo cuatro rectas

Intenta después desconectar los 16 puntos de un cuadrado 4 por 4, utilizando seis rectas y sin levantar el lápiz del papel.

96

62 ¿A qué velocidad eres capaz de pedalear?

Independientemente de la velocidad que pueda desarrollar el ciclista bajando de la ciudad B a la e, no puede conseguir una velocidad media de 40 km/h, puesto que debería recorrer los diez km de A a een un cuarto de hora, y ya ha consumido ese cuarto de hora subiendo de A a B.

63 La pista de bobsleighs

Contrariamente a lo que, a primera s vista, podría parecer el camino buscado no es la línea recta de S a V. El camino de descenso más rápido es un arco de ~vuna curva llamada cicloide y, cosa ~ extraña, puede incluso subir, en vez de bajar, en parte del recorrido. Una cicloide es la trayectoria que describe un punto del borde de una rueda al desplazarse rodando, sin deslizar, sobre una recta.

Para dibujar una cicloide coloca una regla sobre una hoja de papel blanco, y haz rodar sobre el borde de la regla (sin deslizar) la tapa circular de una lata o un plato pequeño, marcando sobre una hoja de papel el camino que va recorriendo un punto concreto del borde. Puedes hacer una buena demostración de que éste es el camino más rápido, construyendo dos pequeñas rampas de madera o plástico, una de ellas rectilínea y la otra en forma de arco de cicloide invertida, las dos con los mismos extremos, y dejando caer por ellas dos bolas simultáneamente.

Sobre este tema pueden verse los libros Machines, Mechanisms and Mathematics de A. B. Bolt y J. E. Hiscocks (Chatto and Windus), y Riddles in Mathematics, de E. P. Northrop (Pelican).

97

64 Cuestión de vocales

Para construirte tu propio rompecabezas, lo más fácil es partir del cuadrado vacío, dividirlo en trozos de cinco cuadros cada uno, y por último colocar las letras u otros motivos análogos en cada trozo.

E A 1 o 1

U E U E o

o 1 A o A

1 U E A 1

A o U E U

65 Juegos con fichas para un solo jugador

Estos juegos son muy antiguos, pero no han sido demasiado apreciados, porque parecen engañosamente sencillos.

El mínimo número de movimientos en el «salto de la rana)) es quince. Numera los agujeros de 1 a 7, de izquierda a derecha; entonces, una solución en 15 movimientos es la siguiente, donde el número corresponde al hueco vacío en cada etapa:

356421357642354

La estrategia consiste en maximizar el número de saltos, y en esta solución hay nueve.

Con x fichas negras e y rojas para intercambiarlas de extremo, puede lograrse la solución en xy + x + y movimientos, siendo xyel número de saltos.

Los solitarios anteriores y muchos otros vienen analizados en el libro de W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (Macmillan); puede consultarse también Winning Ways, vol. 2, de E. R. Berlekamp, J. H. Conway y R. K. Guy (Academic Press), y Further Mathematical diversions de Martin Gardner (Pelican).

66 Dos piezas iguales

Q

98

67 Cómo pintar un cubo

El mínimo número de colores es tres, ya que las tres caras que concurren en un vértice son, dos a dos, adyacentes y deben ir pintadas de distintos colores, pero las tres parejas de caras opuestas pueden ir del mismo color cada una.

Si disponemos de cuatro colores A, B, Cy D, tenemos cuatro maneras distintas de elegir tres, ABC, ABD, ACD y BCD, y una sola manera de colorear el cubo con esos tres colores a la vez. No es fácil distinguir las diferentes posibilidades sin utilizar un modelo (varios terrones de azúcar pueden servir). Advierte que no puedes pintar del mismo color tres caras cualesquiera porque habría dos contiguas iguales; como hay seis caras y cuatro colores, se han de usar dos colores en dos caras cada uno, y los otros dos en una cada uno. Esto nos lleva a las seis soluciones representadas:

8

e A e D

8

8

DAD e

8

e

DAD 8

e

A

e 8 e D

A

A

D 8 D e

A

A

8 e 8 D

A

En cada caso, los dos colores que se repiten han de ir en caras opuestas.

Estas seis soluciones, junto con las cuatro anteriores, que utilizaban sólo tres colores cada una, nos dan un total de diez maneras distintas de colorear el cubo.

99

68 Los problemas de la vía única

a4a3aZa¡A / Bb¡bzb3b4

a4a3 a2a l A ~''b'Q" b3b4

Bb¡b2

Bb¡ b2a4a3a2a¡

/;y~"

a4a3a2a¡Ab3b4

Bb¡b2 ~'Q" a4a3a2a¡A

Eb, b2b3b4 / a4a3aZa¡A

69 Dos a la vez Coloca el 7 sobre ellO, el 5 sobre el 2, el 3 sobre el 8, el 1

sobre el 4 y el 9 sobre el 6.

70 Cara y cruz

Posición inicial HTHTHTHT Primer movimiento THHTHTH T Segundo movimiento THHT HHTT Tercer movimiento T THHHHTT Cuarto movimiento TTTTHHHH

71 La cuadratura de la cruz griega

2

72 El reparto de gasolina

He aquí una solución: Depósito PIHONMDEFGSRQCBLKJA Depósito

100

73 Un reparto justo

Llénese el recipiente 5 del 8; llénese el 3 del 5, dejando dos en 5; vacíese 3 en 8; traspásense los dos de 5 a 3 y lIénese de nuevo 5 de 8; viértase parte de 5 en 3, con lo que quedan cuatro en 5; y, por último, vacíese 3 en 8, con Jo que quedarán también cuatro cántaros en 8.

74 Magia con monedas

Recorriendo el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj, toma la moneda del centro de un lado y colócala encima de la que ocupa la esquina siguiente. El resultado obtenido es, pues, un cuadrado con dos monedas apiladas en cada vértice, con cuatro monedas en cada lado.

¡Qué fácil resulta cuando se sabe!

75 La rana obstinada

La respuesta correcta es 28 días.

76 Cómo ordenar una estantería

El número de intercambios que habrá que hacer dependerá de lo desordenados que estén los libros, y una de las maneras de analizarlo es ésta: Primero escnbase el orden correcto en que deberían estar los libros, y debajo el orden en que están:

Orden correcto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Orden dado 657 1 893 2 4

Entonces se ve claramente que algunos libros están intercambiados entre sí, como el 3 yel 7, de manera que un simple cambio entre los dos, representado por (37) los pondrá en su lugar.

En los demás casos no es tan sencillo. Pero vemos que:

el 6 está en la posición 1 el 1 está en la posición 4 el 4 está en la posición 9

yel 9 está en la posición 6

de manera que sólo es necesario intercambiarlos entre sí. Podemos representar sus posiciones relativas por (6149), y colocarlos en sus lugares correctos con un mínimo de tres intercambios, el (49), seguido del (14) y del (61).

101

Las posiciones relativas de los otros tres libros se representan por (528), dado que

el 5 está en la posición 2 el 2 está en la posición 8

y el 8 está en la posición 5

Así pues, los podemos colocar en orden por medio del intercambio (28) seguido del (52).

En resumen, la enciclopedia de nuestro caso puede ordenarse con los seis intercambios siguientes:

(37) (49) (14) (61) (28) (52)

La solución no es única, pero lo que sí es cierto es que seis es el mínimo número de movimientos necesarios a partir de la posición dada.

Aplicando el mismo método al segundo caso, tenemos

Orden correcto 1 234 5 6 789 Orden dado 4 5 768 1 923

y ahora podemos describir el desorden que nos dan de la forma

(416) (528) (739) Ypuede ordenarse por medio de una sucesión de los intercambios

(16) (41) (28) (52) (39) (73).

Investiga cuál será el mínimo número de intercambios necesarios para poner en orden la sucesión

235941867.

77 Partiendo un círculo

Parece que la solución va a ser 32, pero no es cierto; el resultado correcto es 31. Éste es un buen ejemplo de que no es fácil predecir el término siguiente en una sucesión dada de números, si no se dispone de pruebas suficientes.

Para quienes saben algo de combinatoria, el número de partes correspondiente a n puntos cualesquiera viene dado por

Cl+ C2'+ 1

102

78 Números casi cuadrados

Éste es un buen ejercicio para hacerlo con ayuda de una calculadora de bolsillo. Forma una tabla con los datos

y tendrás una solución cuando halles un número en la columna n2 - 1 que aparezca también en la columna ~(n2 - 1). La solución a nuestra pregunta es 840, ya que

840 + 1 = 841 = 292

Y(840 X 2) + 1 = 1681 = 4 I2.

79 Un jardinero aficionado a la matemática

Lo mismo que en el problema anterior, necesitarás una tabla de cuadrados. Se trata de hallar soluciones enteras de la ecuación

La primera solución es

Otras posibles soluciones son

82 + 11 2 =42 + 132 = 185 Y15 2 + 202 = 72 + 242 = 625

80 Triángulos mágicos

Resuélvelo por el clásico método de ensayo y error. Con 1,2,3,4,5 y 6las cuatro posibilidades son

y

103

y

Observa que las soluciones vienen por parejas, en las que los números de los vértices de los triángulos se permutan con los del medio de los lados opuestos.

Con 1,2,3,5,6 Y7 las soluciones son

y

que están muy relacionadas con las dos últimas del caso anterior. ¿De qué manera?

Con 1,2,3,4,6 Y7 las soluciones son

y

81 Números curiosos

1) Si el dígito elegido es d, la respuesta es ddd ddd ddd, debido a que 12345 679 = 111 111 111 : 9

2) Si el dígito es d, entonces la respuesta es ddd ddd. En este caso 15 873 =111111:7

3) Como 143 X 7 = 1 001, se tiene que 143 x d x 7 = 1 001 x d = d 00 d.

104

4) Probablemente se puedan dar varias explicaciones lógicas para cada uno de estos casos:

1234 = 1111 + 111 + 11 + 1 + O

a) (1111 X9)+1=10000 ( 111 x 9) + 1 = 1 000 ( 11 X 9) + 1 = 100 ( 1 X 9) + 1 = 10 ( OX 9) + 1 = 1

Este ejemplo puede explicar por qué salen las formas que salen.

b) 66x67 =2x3xllx67 = 22 X 201 =4422

666 X 67 = 2 X 3 X 111 X 67 = 222 X 2001 =444222

y así sucesivamente.

82 Unas restas chocantes

Lo sorprendente es que, no importa de qué cuatro dígitos hayas partido, el resultado final será 6 174. He aquí una cadena más larga

1)_7432 2)_ 8550 3) _ 9972 4)_7731 2347 558 2799 1377 5085 7992 7173 6354

5)_ 6543 6) _ 8730 7) _ 8532 8) _ 7641 3456 378 2358 1467 3087 8352 6174 6174

El autor ha llegado a encontrar cadenas de ocho restas necesarias para que a.parezca el número 6 174, pero estaría interesado en saber si alguien consigue una cadena más larga.

Una calculadora facilita mucho este tipo de investigación; en cualquier caso conviene ir anotando los resultados parciales de las restas, para evitar que, si una cadena es larga, cuando aparezca el6 174 te hayas olvidado ya del número de partida.

Estudia qué ocurre con números de cinco o más dígitos.

105

83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener?

Pon los dígitos elegidos en orden decreciente 9 7 5 432

Para obtener la suma máxima sólo necesitas tomar los dos primeros dígitos como cifras de las centenas, los dos siguientes como decenas y los dos últimos como unidades; resultan cuatro pares posibles:

+953 + 943 + 952 + 942 742 752 743 753

1695 1695 1695 1695

Sin embargo, el producto máximo se obtiene tomando, de los cuatro pares anteriores, el que consta de los dos números más próximos, es decir

942 X 753 = 709326

Una manera sencilla de entender el porqué, es imaginar que las distintas parejas de números son los lados de un rectángulo. Como la suma de todas las parejas es la misma, todos estos rectángulos tendrán el mismo perímetro, mientras que el producto de cada pareja corresponde al área del rectángulo, y se da el caso de que, para rectángulos de igual perímetro, el área máxima corresponde al más parecido a un cuadrado.

84 Los cuatro cuatros

Éste es un tipo de problema al que vale la pena dedicarle tiempo. Si se toma como actividad escolar, se pueden escribir los resultados en una pizarra y animar a los participantes a que a lo largo de la semana pongan expresiones alternativas. Los números que parecen difíciles de expresar varían de una persona a otra, pero hay dos o tres verdaderamente difíciles. ¡Date por contento si consigues expresar 95, o más!

41 + 4,4 0,4/4 + O4' 71 73 ---=--v_::---"_ donde 0,414 = 4512 = i = 32O~ y'+0,4 ,

4! 4'+/485 = t;¡) J (,/\ + 4 89 =' + 4!

O,"t X O,"t 0,4

106

85 ¿Cuáles eran los datos?

13: 29 = 0,4482758 ¡Este tipo de problemas son muy fáciles de plantear!

86 Un filón muy productivo

Éste es un problema interesante para proponer a un grupo de personas y ver quién consigue encontrar el camino más productivo. La idea la tomé de un artículo del número 418 de Mathematical Gazette, y de la campaña de propaganda de un fabricante de detergentes australiano. Se trata de un problema que despierta un interés especial en el caso de una competición entre varios jugadores, pero, hasta el momento, nadie parece haber encontrado la. solución óptima sin ayuda de un ordenador; quizás porque el camino óptimo

28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56

que da unos beneficios de 776 millones, no incluye a ninguno de los once cuadrados con beneficios mayores de 83 millones.

Utilizando esta misma tabla de números es fácil proponer otros rompecabezas análogos. Por ejemplo, ¿cuál será el camino más corto que recorra todos los cuadrados que pueden dar un beneficio de, al menos, 80 millones?

107

87 Centenas, decenas y unidades

El resultado final es siempre 1 089, salvo que en el primer número elegido la cifra de las centenas sea la misma que la de las unidades, es decir, un capicúa como 525, pues entonces la primera resta dará cero.

88 Círculos mágicos

Las posibles soluciones dependen todas ellas de que 1 +6=2+5=3+4=7. En cada caso, el par de cuadrados correspondientes a las intersecciones de dos circunferencias deben contener un par de números que sumen 7. Así pues, el número mágico para cada círculo es 14.

Para encontrar otro conjunto de seis números que se puedan usar para formar un conjunto de círculos mágicos, elíjase un número Ny tres parejas de números (a, b), (e, d), (e, f) cuya suma sea N Por ejemplo, si N = 15, entonces las tres parejas de números podrían ser

(5,10) (7,8) (2,13)

y una solución sería entonces:

donde 2N= 30 es el número mágico.

108

La solución del rompecabezas de los cuatro círculos depende de

1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13.

7 8

Cualquier par de circunferencias se cortan sólo en dos puntos, de manera que basta poner en esos dos puntos un par de números que sumen 13. Es fácil, pues, encontrar una solución. He aquí una de ellas

1 + 2 + 5 + 12 + 11 + 8 = 39 2 + 3 + 9 + 11 + 10 + 4 = 39 1 + 3 + 6 + 12 + 10 + 7 = 39 7 + 4 + 5 + 6 + 9 + 8 = 39

109

89 El número de teléfono de la doctora Numerati

37 x 41 x 43 = 65231

por tanto, la doctora Numerati vivía en el número 41 y su número de teléfono era el 65 231.

90 Completa un siglo

He aquí cuatro soluciones

123 - 4 - 5 - 6 -7 + 8 - 9 = 100 123 - 45 - 67 + 89 = 100

[1 X (2 + 3) X 4 X 5] + 6 - 7 - 8 + 9 = 100 (1 X 2 X 3) - (4 X 5) + (6 X 7) + (8 X 9)= 100

91 Ruedas de números

El lado inferior tiene escritos sus tres números, que suman 23. El número central será, pues, 23 - 15 - 2 = 6, Y los demás van cayendo todos ellos, uno tras otro, fácilmente.

Número mágico 23 Número mágico 22

110

92 Un reto a las calculadoras Gracias a que las calculadoras se encargan del, digamos, «trabajo

sucio)) aritmético, estos retos son en realidad bastante fáciles.

1) 237 x 238 Calcula primero /56406.

2) Una utilización inteligente del principio de ensayo y error te conducirá al resultado 69 X 71 X 73 = 357 406

3) 262 + 272 = 1 405

4) El método a seguir es tantear diferentes números para irse acercando gradualmente a la longitud buscada.

5x5x5=125 y 6X6X6=216

Por tanto, la longitud buscada estará entre 5 y 6, pero más cerca de seis que de cinco. Por comprobaciones sucesivas tenemos

5,9 5,9 X 5,9 X 5,9 = 205,379 5,8 5,8 X 5,8 X 5,8 = 195,112 5,85 5,85 X 5,85 X 5,85 = 200,20162 5,845 5,8453 = 199,68872 5,848 5,848 3 = 199,99636 5,848 1 5,848 13 = 200,00661 5,84804 5,848043 = 200,00045 5,848035 : 5,8480353 = 199,99994

En muchas calculadoras puede obtenerse el resultado

5,8480355 3 = 200

aunque no es la respuesta exacta, sino sólo la que los límites de la calculadora permiten.

93 Divisiones que se repiten

Antes de la llegada de las calculadoras no solían sacarse más de cuatro o cinco decimales al hacer una división que no fuera exacta. Sólo se solía ver el comportamiento recurrente al dividir por números pequeños, como el 3 o el 11. Éste es el motivo de que para mucha gente resulte una sorpresa que prácticamente cualquier división dé como resultado un número decimal periódico.

1) Al dividir por 7 se obtiene siempre una sucesión recurrente de seis cifras:

8/7 = 1 1/7 = 1,142857 9/7 = 1 2/7 = 1,285714

16/7 = 2 2/7 = 2,285714 1/7 = 0,142857 142857...

2

111

Para ver por qué al dividir por un número como 64 o 320 siempre se termina la división, probablemente lo mejor sea analizar un ejemplo. Consideremos

73 73 73 X 56 1 140625 64 =26= 26 X 56 = 1000000 = 1,140625

Si el denominador no es un producto de una potencia de 2 por una potencia de 5, entonces es imposible convertirlo en una potencia de 10.

Al dividir por un número como 31, si la división no es exacta hay 30 restos posibles, es decir, 1, 2, 3, .... que, en el peor de los casos, pueden aparecer todos ellos, antes de empezar a repetirse. Da lo mismo, pues, estudiar la sucesión de repeticiones de cifras decimales en el cociente, que la de los restos. Todo esto está estrechamente relacionado con la teoría de congruencias y de grupos cocientes, temas que podrían interesar al lector.

2) En el caso de las divisiones por 17 la sucesión es

C29411764;05882351

517 = 0,29411 7647 0588235294 1

6 17 = 0,35294 11 7647 °5 8 8 23529

717 = 0,4 1 1 7 6 4 7 O5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7

3) Al dividir por 19 la sucesión de cifras es la siguiente

4) Las divisiones por 11 siempre conducen a una sucesión de dos dígitos, que puede ser cualquiera de las siguientes:

09 18 27 36 4S 90 81 72 63 54

Las divisiones por 13 conducen a una de estas dos sucesiones de seis cifras

112

94 Algunos números distinguidos Números capicúas

El mínimo número primo capicúa es el 11, y el mínimo cuadrado perfecto capicúa e1121. Sólo hay otros dos cuadrados perfectos capicúas menores que 1 000:

484 = 22 2 Y 676 = 26 2

Los primos capicúas entre 100 y 200 son

101131 151 181 191

Todos los capicúas entre 400 y 500 terminarán en 4, luego serán par; entre 500 y 600 terminarán en 5, luego tendrán el factor 5; entre 500 y 700 terminarán en 6, luego también serán par. De hecho, entre el 383 y el 727 no hay ningún primo capicúa. El factor común pedido es el 11.

95 Estrellas mágicas El número mágico es 40 en los dos casos.

8

Se llega a las soluciones por el clásico método de la «cuenta de la vieja» o bien utilizando un sistema de ecuaciones lineales.

Una buena referencia sobre estrellas mágicas es el libro Magic Sqllares and Cubes de W. S. Andrews (Dover).

113

- - -

- -

96 La seguridad lo primero

Ambos problemas son muy conocidos, pero si no te los habías encontrado antes, ofrecen un interesante reto a tu capacidad de razonamiento aritmético. La clave está en comenzar por la izquierda del resultado, dado que los posibles valores de D y de M son, más bien, pocos.

a) 9 6 2 3 3 +62513

b) 9 567 + 1 O 8 S

1 S 8 746 10652

Otros problemas parecidos:

THREE T H 1 S +THREE + 1 S SANTA

FOUR VERY -CLAUS

ELEVEN EASY XMAS

97 La estrategia secreta del tahúr

Si el contrincante elige el dado rojo, el tahúr elige el azul. Si el contrincante elige el dado azul, el tahúr elige el

amarillo. Si el contrincante elige el dado amarillo, el tahúr elige el

rojo. En todos los casos, el tahúr tiene unas probabilidades de

ganar, por término medio, en cinco tiradas de cada nueve. Es una situación sorprendente. Los números de las caras

de cada dado suman lo mismo y ningún dado es mejor que los otros dos.

Para ver por qué el dado azul es mejor que el rojo basta considerar los posibles resultados de una tirada:

Puntuación Posibles puntuaciones del dado rojo del dado azul

2 357 4 357 9 357

donde se han subrayado las posibles puntuaciones del dado azul que ganarían a las del rojo: en total 5 de 9 casos, siendo todos ellos equiprobables. De manera análoga se puede ver por qué el dado amarillo es mejor que el azul, y el rojo mejor que el amarillo.

114

SPEND MORE

MONEY

98 El problema del transporte

p Q R s p Q R s

A A

o bien BB

e e

4 5

1 5

3 7

4 5

5 1

3 7

Ambas distribuciones corresponden a una distancia de 67 km. Éste es un problema sencillo de un tipo muy general para el que hay un método específico de resolución, aunque se trataba de resolverlo utilizando inteligentemente el tradicional procedimiento de la «cuenta de la vieja».

Si el lector quiere introducirse más a fondo, puede consultar, por ejemplo, An Introduction to Linear Programming and the Theory ofGames de S. W. Vajda (Methuen-Wiley) o Mathematics in Managementde A. Battersby (Pelican).

99 Nuevos y curiosos esquemas numéricos

1) x 2 - y2 = (x + y) (x - y). En este caso x - y = 1, luego x 2 - y2 = X + y.

2) Si el número elevado al cuadrado es n entonces los otros dos números multiplicados son n - 1 Y n + 1. Ahora bien (n - 1) (n + 1) = n2

- 1, luego el producto es siempre una unidad menor que n2•

3) Para el caso de las potencias de 3, el último dígito repite el ciclo 3, 9, 7,1. Para las potencias de 2, la sucesión es 2, 4,8,6. Para las potencias de 4, la sucesión es 4, 6. Para las potencias de 5 y de 6 dan 5 y 6. Para las potencias de 7, la sucesión es 7, 9, 3, 1. Para las potencias de 8, la sucesión es 8, 4, 2, 6. Para las potencias de 9, la sucesión es 9, 1.

4) La línea n-ésima consiste en la suma de n números impares consecutivos, terminando en el número impar de lugadn(n+ 1), suma igual a n3•

5) La suma de los cubos de los n primeros números naturales es igual al cuadrado de la suma de dichos números. Por ejemplo

13 + 23 + 33 + 4 3 = (1 + 2 + 3 + 4)2

115

100 Las ternas pitagóricas Las principales ternas formadas por números menores que 50 son:

3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41

12 35 37 } triángulos de área 210 20 21 29

Otras ternas posibles son las proporcionales a alguna de las anteriores,

6 8 10 o 15 36 39 o 16 30 34

Utilizando la identidad

(m2- n2)2 + (2mn)2 = (m2+ n2)2

pueden construirse fácilmente tantas ternas pitagóricas como se desee, sin más que darle valores enteros a m ya n, y calculando los números

m2- n2 2 mn m2+ n2

Unos cuantos ejemplos, en tres dimensiones, son:

2 3 6 7 1 4 8 9 3 16 24 29

101 Multiplicaciones misteriosas

138 x 42 = 5 796 198 x 27 = 5 346 483 x 12 = 5 796 297 x 18 = 5 346 186 x 39 = 7 254 1 738 x 4 = 6952 157 x 28 = 4 396 1 963 x 4 = 7 852

51 249876 x 3 = 153 749 628 32547891 x 6= 195 287 346

Una buena referencia sobre este problema y sobre muchas otras relaciones interesantes entre números, es el libro Recreations in the Theory 01 Numbers de A. H. Beiler (Dover).

102 Un diamante mágico Los números han de ser de la forma

a=x b=S+x 15 9

c=3+x d= 11 +x

con x arbitrario, y la suma sobre cada línea será entonces igual a 20 + 2x. 12 6

Por ejemplo, si x= 1, entonces a = 1, b = 6, c= 4, d= 12, Yla suma de cada línea será igual a 22.

116

103 Fechas capicúas

: En un año como el 1982 todos los meses, salvo octubre y diciembre, presentan una fecha capicúa precisamente el día 28 de dicho mes; por ejemplo, 28-6-82. Además 1982 incluye la fecha capicúa del 2-8-82, de manera que contiene en total once fechas capicúas.

Pero, a partir de ese año, las fechas capicúas empiezan a escasear, ya que la única en 1983 es 3-8-83, y fechas análogas en años sucesivos, todas en agosto, hasta llegar a la 9-8-89.

Las fechas capicúas más próximas se obtendrán ajustando correctamente un día de dos dígitos y otro día de un solo dígito de un mismo mes o de dos meses seguidos. Dos soluciones bastante buenas son

1-2-21 seguida de la 12-2-21 y la 22-1-22 seguida de la 2-2-22

separadas por intervalos de once días, pero las mejores posibles parecen ser

29-8-92 seguida de la 2-9-82

separadas por sólo cuatro días.

104 Tarjetas numéricas adivinatorias

Las otras cuatro tarjetas son:

Este juego y las tarjetas utilizadas se basan en la representación de los números naturales en base 2. Lo cierto es que estas tarjetas suelen despertar un gran interés, aunque los dos participantes en el juego estén en el secreto de cómo funcionan.

1 3 6 7

10 11 14­ 15

18 le¡ II 23

2& 27 3D 31

8 '1 1D 11

12 13 14 15

24 25 lb 17 1~ 2q 30 31

4­

12

lO

28

lb

10

24

28

5

13

21

lCl

17

21

25 2q

6 7

1.f 15

22 23

30 31

18 1q

22 1'3

26 17 30 31

117

105 Cuadrados mágicos 3 X 3

6 1 8

7 5 3

2 9 4

9 2 10

8 7 6

4 12 5

14

5

8

3

9

15

10 I

13

4

11 1 12

9 8 7

4 15 5

b) e) d) el

Al utilizar el método que hemos explicado para construir nuevos cuadrados mágicos, hay que tener la precaución de elegir las diferencias de tal manera que todos los números que vayan saliendo sean distintos. El método funciona cualesquiera que sean los números.

Sea a el primer número y p y q las diferencias; entonces los números que se van generando y el cuadrado mágico resultante son los siguientes:

a a+P

a+q a+p+q

a+2q a+p+2q

a+2p

a+2p+q

a+2p+2q

a+p+2p a a+2p+q

a+2p a+p+q a+2q

a+q a+2p+2q a+p

El número mágico es 3(a + p + q), lo que demuestra que para cualquier cuadrado mágico 3 X 3 de números enteros, el número mágico es un múltiplo de 3.

¿Podrías encontrar valores de a, p y q tales que todos los números del correspondiente cuadrado mágico sean primos?

106 Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores

Otros conjuntos de cuatro números que suman 34 en el cuadrado mágico de Durero son los siguientes:

3 2 15 14 5 9 8 12 10 11 6 7 2 12 15 5 16 3 10 5 2 13 11 8 9 6 4 15 7 12 14 1 9 4 13 8 16 5 12 1

16 3 14 1 2 13 4 15 3 10 7 14 6 15 2 11 5 10 7 12 9 6 11 8

118

En el cuadrado mágico nasik también se dan la mayoría de las simetrías del cuadrado de Durero, pero hay, además, diagonales interesantes, como

14 14 2 3 10 11 7 6 10 4 7 13 11 16 6 1 14 9 3 8 15 5 2 12

La referencia más completa sobre cuadernos mágicos es probablemente el libro de W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes (Dover); véase también Mathematical Recreations and Essays de W. W. Rouse BaH (MacmiHan), y Amusements in Mathematics, de H. E. Dudeney (Dover).

107 Un cubo mágico

Capa intermedia 23 3 16

7 14 21

12 25 5

Capa inferior 18 22 2

20 9 13

4 11 27

Para una información mucho más completa acerca de cubos mágicos, véase Magic Squares and Cubes, de W. S. Andrews.

loa Un problema con balanzas sin pesas

Compara 9 bolas cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la caja. Si la balanza se equilibra, ya sabemos que la bola más pesada está en la caja y si no es así, estará entre las 9 del platillo que incline hacia su lado la balanza. Hemos conseguido, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con sólo una pesada. Dividamos ahora este conjunto de 9 bolas en tres de 3 cada uno y repitamos la operación anterior con ellos. Después de la segunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un conjunto de tres concretas, y repitiendo una vez más el proceso con ellas tendremos localizada la bola en cuestión a la tercera pesada y sin error posible.

Un problema análogo, pero mucho más difícil, es localizar una bola defectuosa entre 13, con sólo tres pesadas, y sabiendo únicamente que dicha bola tiene un peso distinto del de las otras 12.

109 Nuevos retos a la calculadora

1) Haz la división, réstale al cociente su parte entera y multiplica el número decimal resultante por 729. La calculadora nos da

89328: 729 = 122,53497 0,53497 X 729 = 389, 99313

119

Debido a las limitaciones de la calculadora hay cierto error en las últimas cifras, pero aun así puede asegurarse que el resto correcto es el número entero más próximo al resultado, es decir, 390.

Compruébalo viendo que (729 X 122) + 390 = 89328

De otra manera puedes obtener el resto a partir de la primera división

89328 - (729 X 122) = 390

evitando la necesidad de redondear.

2) Como x 3 = 200, lo podemos escribir en la forma

2 200 x =-­

x

se sigue que si x es una aproximación de la raíz cúbica de 200, entonces ¡200/xes- una aproximación mejor. Por ejemplo, si tomamos Xl = 6 como primera aproximación de ~200, entonces vamos obteniendo la siguiente sucesión de aproximaciones:

200 x ~ j 200 == 5,82931== 5,7735 5,885662 6

H OO200 == 5,88566 Xs = == 5,85742 etc.

5,829315,7735

El método converge hacia el número buscado. Puede no resultar tan rápido como un calculista avezado que utilice el socorrido método de «ensayo y error», pero en cualquier caso es muy fácil de programar.

3) ¿Qué es «infinito» para tu calculadora? Comienza con una sucesión de nueves, y vete reduciéndolo hasta que no obtengas más que cero como respuesta.

110 Un problema de peso

La~ pesas eran de 1 k~, 3 kg, 9 kg Y27 kg. Colocando estas pesas en c~alqU1era de los dos plat1l1os de la balanza se consigue pesar cualquier numero exacto de kg de 1 a 40. Por ejemplo:

11 = 9 + 3 + 1 20 = 27 + 3 - 9 - 1

120

x

111 Rectángulos semejantes Las longitudes han de estar en la razón de)2 a 1,

puesto que

x 1

1 x/2

es decir

de donde x = 'yf2

112 Inventando un nuevo tipo de diana

x/2 x/2

La solución de la figura hace máxima la suma de las diferencias entre números adyacentes. Tenemos

10 saltos de 10 9 saltos de 9

y 1 salto de 19

lo que da una suma de 200 unidades.

En general, si JI es un número par, podemos colocar los números 1,2, 3, ... , JI en torno a un círculo de manera que la suma de Jos sucesivos saltos sea igual a

2±11 .

¿Qué distribución de los mismos números haría mínima la suma de las diferencias?

113 El único hexágono mágico

Este hexágono mágico fue hallado por un inglés, T. Vickers, que lo publicó en el número de diciembre de 1958 de Mathematica! Gazetre.

121

114 El juego de Nim

Puede verse un análisis del juego de Nim en el libro Mathematical Recreatiol1s alld Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan), así como en We Bllilt Ol/r OWI1 Compllters. de A. B. BoH (Cambridge University Press), en el que hay un interesante capítulo donde se describe una máquina que puede jugar a este juego.

El interés especial del juego deriva de que sus posiciones pueden ser clasificadas como «seguras» o «inseguras».

A partir de una posición segura, un jugador sólo puede crear una posición insegura. independientemente de las fichas que retire. Sin embargo, desde una posición insegura se puede pasar a otra segura o insegura. Así pues. un jugador que haya analizado el juego siempre puede pasar de una posición insegura a otra segura y derrotar a su oponente.

Hay muchas más posiciones inseguras que seguras, pero para poder aprovechar este hecho es necesario saber distinguir entre unas y otras.

En nuestro ejemplo, pon en base dos el número de fichas de cada montón y suma los dígitos de cada columna (sin «llevar»):

En base dos 7 111 9 1001 6 110

suma de los dígitos 1222

En una posición segura. la suma de los dígitos de cada columna tiene que ser par. Por lo tanto, esta posición es insegura.

Para pasar a una posición segura se podría reducir el segundo montón a 1. Entonces

7 11 1 1 1 6 110

222

es una posición segura. ¿Por qué es éste el único movimiento seguro a partir de esta posición? Otras posiciones seguras son. por ejemplo, (2, 4, 6), (2, 5.7). (1, 2. 3), (7, lO. 13).

Jugando contra un jugador inexperto, un jugador que conozca esta estrategia ganaría nueve veces de cada diez. pero no puede ganar si la posición de partida es insegura y su oponente hace lIn movimiento seguro en todas las etapas siguientes.

Ante una posición segura la mejor estrategia es la de retirar exactamente la ficha (es decir, hacer 10 menos posible). en la esperanza de que el siguiente movimiento del adversario sea una posición insegura.

122

115 Triangulando el cuadrado

El autor de este libro estaba convencido de que era imposible triangular un cuadrado por medio de triángulos que tuvieran todos sus ángulos agudos, hasta que recibió, del Dr. Hugh L. Porteous, de la Sheffield City Polytechnic, la solución de la figura. Obsérvese la simetría respecto a sus dos diagonales.

116 ¿Quién la liga?

Comienza por a y vete contando 13 y tachando la letra en la que caiga. El resultado final será que la liga g. Para que la ligue e, que está opuesto a g, la cuenta ha tenido que comenzar por e.

117 A verigua qué cartas hay sobre la mesa

La solución es la que muestra la figura, y se puede obtener de la manera siguiente.

Supongamos que los números correspondientes a cuatro cartas seguidas son a, b, e y d. Entonces

b+e+d=a+b+e ob+e+d=a+b+e+l ob+e+d=a+b+c-l

La primera de estas tres alternativas implica que a = d, por tanto, imposible; mientras que las otras dan d= a + 1 o d = a - 1. Si tomamos d = a + 1 (la otra alternativa conduce a la misma solución final) tendremos cuatro cartas seguidas de números

a, b, c, a+ 1 9

Utilizando el mismo razonamiento para determinar el número de la carta siguiente, resulta que ha de ser b - 1, la siguiente e+ 1, y la carta siguiente ha de ser de nuevo a; así pues, estamos otra vez donde habíamos comenzado, con las seis cartas

a, b, C, a+ 1, b+l c+ 1

colocadas en ese mismo orden alrededor de la mesa. Como (a, a + 1), (b, b + 1), (e, e + 1) son parejas de números consecutivos, y como las cartas números 2,5,6 Y lOnas 10

vienen ya dadas, resulta que las cartas que faltan son la 3 y la 9.

123

118 El problema de dividir una herencia

No hay ningún punto en el interior del rancho que, al unirlo con las cuatro esquinas, se formen otros tantos triángulos de áreas iguales. La única posibilidad de dividir un cuadrilátero de esta manera se da cuando una de sus diagonales AClo divide en dos triángulos ABCy ADCde áreas iguales, puesto que entonces el punto medio M de la diagonal es el punto buscado.

119 ¡El fin del mundo!

Por sorprendente que pueda parecer, el primer día de un siglo nunca puede caer en domingo ni en martes ni en jueves. En 1582 el Papa Gregorio XI!!, con la intención de mejorar la exactitud del calendario, decretó que habría un año bisiesto cada cuatro años, pero quedarían excluidos de esta cuenta los años múltiplos de 100 pero no de 400. Así pues, el año 2000 será bisiesto, p~ro no lo serán los años 2100, 2200 ni el 2300 a pesar de ser múltiplos de 4.

Para ver qué efecto tiene sobre el primer día de un siglo, consideremos el número de días que van desde elIde enero del primer año de un siglo hasta elIde enero del primer año del siglo siguiente. Son 100 años, entre los que normalmente hay 25 bisiestos, y por lo tanto 36 525 días, lo que equivale a 5 217 semanas y 6 días. Así pues, antes de la reforma gregoriana, desde el primer día de un siglo al siguiente, el día de la semana se desplazaría 6 días. Sin embargo, esto sólo sucede cuando el primer año de ese siglo es divisible por 400. Si no es asÍ, sólo habrá 24 años bisiestos en el siglo, de manera que el día de la semana sólo se correrá 5. Un cálculo sencillo nos dice que el primer día del año 2000 será sábado. Así pues,

Año: 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 Primer día: Sab. Vier. Miér. Lun. Sáb. Vier. Miér.

+6 +5 +5 +5 +5 +6 +5

y este ciclo se repite indefinidamente, de manera que el primer día de un siglo nunca caerá en domingo, martes o jueves.

¡Afortunadamente el fin del mundo no está al caer!

124

120 Un maratón patrocinado Los patrocinadores se han mostrado (¡inconscientemente!) de acuerdo

en pagar.

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 239) pesetas

Esta inocente suma da un total

240 - 1 = 1 099511 627775 pesetas

es decir, 27 487 790 694 pesetas por km. ¡Es de suponer que el patrocinador de nuestro astuto atleta sería

archimillonario!

121 Los efectos de la inflación La fórmula que relaciona la tasa de inflación r % con el precio inicial P y

el precio final Pn después de n años de inflación constante, es

Así que, para el precio de la casa

6 800 000 = (1 + l~O?O X 700 000

y utilizando la calculadora se obtiene

1 + 1ÓO = 1,1203934

de donde resulta una tasa de inflación de aproximadamente un 12%. Análogamente para el precio de la gasolina

92 = (1 + 1~0)18 X 16,50

lo que nos da

r1 + 100 = 1,1001739

es decir, una tasa de inflación dell0% aproximadamente. Si estas tasas de inflación continuasen invariables hasta el año 2000,

ese año la casa valdría 58 959 800, mientras que el litro de gasolina costaría 466,50 pesetas

122 Entretenimientos de octogenario

83 -7 3 = 512 - 343 = 169 = 13 2

El anciano profesor tenía 87 años y su biznieta 13.

125

123 Las monedas boca arriba

No es posible el primero.

1) Cualquier movimiento a partir de la posición inicial de tres caras (H3)

nos lleva a una cara y dos cruces (HT2), mientras que cualquier movimiento a partir de (HT2) nos conduce a (H3) o a (HT2) de nuevo, así que únicamente son posibles dos posiciones básicas, y los únicos movimientos a partir de ellas pueden resumirse en la forma

2) Es posible hacerlo en cuatro movimientos. Una solución es la siguiente

H H H H H* T T T T T* H H H H H* T T T T T*

donde la estrella indica la moneda que no ha sido vuelta en ese movimiento.

Ahora puedes investigar el caso de cinco monedas, en el que un movimiento consiste en dar la vuelta a cuatro cualesquiera, etc.

3) Es posible hacerlo en cinco movimientos. Representemos las monedas por letras

a b e d e f g h

Una solución posible consiste en:

a) volver a e i b) volver be h c) volver e e g d) volver a b e e) volver g h i

¿Qué distribuciones de caras y cruces son posibles? ¿Sería posible aún resolver este rompecabezas, si excluyéramos los movimientos de las diagonales?

124 Colas de milano

Las colas de milano están cortadas en diagonal, y no paralelamente a las caras, como pensaban todos los aprendices.

12fi

125 Más rompecabezas con cerillas

~===-====o====-=-

,J i ~ ~ rl : ~

o

~ r=~~ ~ ~ L~ __~ i

e=-=-=-=~ Espiral convertida en cuadrados

126 Pontoneros de maniobras Experimenta con fichas de dominó que representen las

vigas. Evidentemente, con tres vigas lo más que se puede alcanzar es 3 2/3 m.

El mínimo número de vigas que permitirá hacer una estructura que alcance al otro borde del río, de 5 m de anchura, es de 7.

rJ-= ==P

~~~11l

[--=~ : I I f i I IL ~

Iglesia en cuadrados

Para entender cómo se puede llegar a la solución, observa la figura. Una sola viga puede alcanzar una distancia de 2 m sobre el río, es decir, hasta el punto en que su centro de gravedad queda justo al borde del río. Con dos vigas, la de encima puede sobrepasar a la inferior en 2 m antes de caerse, por la misma razón, y la viga inferior sigue permaneciendo estable en tanto que el centro de gravedad del sistema de las dos (representado por una cruz en la figura) caiga sobre tierra firme. Se ve fácilmente que esto nos permite avanzar otro metro, con un total de 3 m suspendidos sobre el río.

Al añadir una tercera viga, las dos de encima pueden1---'~"-'--:. ~":.: ~.:' >

'~- ~ -­sobrepasar a la inferior en 3 m, y la inferior debe quedar¡d~ _., .. manera que el centro de gravedad del sistema de las tres ~,~,_,_,

permanezca sobre el borde del río. En este caso la viga inferior puede avanzar sobre el río 2/3 m.

127

Así pues, cada nueva viga añadida permite extender el puente, pero cada vez en menor longitud, lo que nos conduce a la siguiente fórmula para la distancia máxima alcanzable al utilizar n vigas:

d = 2(1 + 112 + 1/3 + 114 + 115 + ... + lIn) metros

Para n = 6

d = 2(1 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116) = 4,9 metros

lo cual es ya casi la anchura del río, y con n = 7 se tiene por fin

d = 4,9 + 2/7 == 5,19 metros

Para el matemático, la fórmula anterior resulta realmente fascinante, porque indica que, dado un número de vigas suficientemente grande, es posible teóricamente construir una estructura que alcance la-otra orilla de un río, independi"lllcmente de lo ancho que éste sea.

El lector puede ver discutidos problemas parecidos a éste en Pllzzlellliu/¡ de G. Gamow y M. Stern (Macmillan), así como en lngelzious Mathematical Problems de L. A. Graham (Dover).

128