Dispense di Dinamica dei Sistemi MeccaniciParte Prima: Vibrazioni

Testi Consigliati: E. Funaioli ed altri, "Meccanica applicata alle macchine", vol. II, Ed. Patron Bologna D.J. Ewins, "Modal Testing - Theory, Practice and Application", Second Edition, Research Studies Press LTD. G. Genta, "Vibration of Structures and Machines - Practical Aspects", Second Edition, Springer-Verlag Cyril M. Harris, "Shock and Vibration Handbook", Fourth Edition, Mc.GRAW-HILL

1

1.

DINAMICA DI SISTEMI LINEARI CON 1 GRADO DI LIBERT......................6 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. POSIZIONE DI EQUILIBRIO .........................................................................................7 EQUAZIONI DI MOTO NEI SISTEMI LINEARI................................................................7 FORZE ELASTICHE .....................................................................................................9 FORZE SMORZANTI..................................................................................................11 Smorzamento viscoso .....................................................................................12 Smorzamento strutturale ................................................................................13 Comportamento libero di un sistema con 1 GdL con smorzamento viscoso .15 Parametri adimensionali................................................................................22 Decremento logaritmico.................................................................................24 Moto forzato del sistema senza lutilizzo dei numeri complessi ....................28 Moto forzato del sistema con i numeri complessi ..........................................30 Rappresentazione della ricettanza .................................................................34 Andamenti asintotici e risonanza ...................................................................38 Andamenti asintotici delle altre FRFs dirette................................................44 Alcuni passaggi algebrici...............................................................................47 Metodo di Mezza Potenza ..............................................................................52 Rappresentazione delle FRFs sul piano di Nyquist .......................................56 Metodo di Mezza Potenza sul piano di Nyquist .............................................61 Accelerometro piezoelettrico .........................................................................75

1.4.1. 1.4.2. 1.5. 1.6. 1.5.1. 1.6.1. 1.6.2. 1.7. 1.7.1. 1.7.2. 1.8. 1.9. 1.8.1. 1.9.1. 1.9.2. 1.9.3. 1.10. 1.10.1. 1.10.2. 1.10.3. 1.11. 1.12. 1.11.1.

EQUAZIONI DI MOTO ...............................................................................................15 MOTO LIBERO .........................................................................................................18

MOTO FORZATO ......................................................................................................26

RICETTANZA ...........................................................................................................32 ALTRE FUNZIONI DI RISPOSTA IN FREQUENZA .......................................................36

FUNZIONI DI RISPOSTA IN FREQUENZA CON SMORZAMENTO STRUTTURALE .........49

STRUMENTI SISMICI ................................................................................................66 ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI E EFFICIENZA DELLE SOSPENSIONI .....................81

2

2.

SISTEMI CON N GRADI DI LIBERT...................................................................85 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. EQUAZIONI DI MOTO ...............................................................................................86 COMPORTAMENTO LIBERO DI SISTEMI NON SMORZATI...........................................88 Esempio numerico ..........................................................................................91 MATRICE MODALE E PROPRIET DI ORTOGONALIT DEI MODI PROPRI ..................92 DISACCOPPIAMENTO DELLE EQUAZIONI DI MOTO: .................................................96 Esempio numerico ........................................................................................100 SMORZAMENTO PROPORZIONALE .........................................................................101 MOTO FORZATO ....................................................................................................103 Esempio numerico ........................................................................................105 Risonanze ed antirisonanze..........................................................................109 Esercizio numerico .......................................................................................113 Autovalori e autovettori nei sistemi con smorzamento proporzionale ........124 Esercizio numerico: smorzatore dinamico...................................................126 SIGNIFICATO DELLE FRFS ....................................................................................107 FORMA ANALITICA E RAPPRESENTAZIONE DELLE FRFS .......................................111 MOTO FORZATO DI SISTEMI CON SMORZAMENTO PROPORZIONALE .....................120

2.2.1.

2.4.1.

2.6.1. 2.7.1. 2.8.1. 2.9.1. 2.9.2. 3.

COMPORTAMENTO DEI SISTEMI MDOF SMORZATI .................................132 3.1. SMORZAMENTO PROPORZIONALE .........................................................................132 Calcolo delle pulsazioni proprie: smorzamento strutturale ........................133 Calcolo delle pulsazioni proprie: smorzamento viscoso .............................134 Moto forzato: smorzamento strutturale .......................................................136 Moto forzato: smorzamento viscoso.............................................................137 Significato dei modi propri complessi..........................................................139 Calcolo delle pulsazioni proprie: smorzamento strutturale ........................140 Moto forzato: smorzamento strutturale .......................................................142 Calcolo delle pulsazioni proprie: smorzamento viscoso .............................144 Moto forzato: smorzamento viscoso.............................................................147

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.3.

SMORZAMENTO GENERALE ...................................................................................139

CONCLUSIONI........................................................................................................155 3

4.

MODELLAZIONE CON MATRICI DI TRASFERIMENTO .............................155 4.1. 4.2. METODO DI HOLTZER ...........................................................................................156 METODO DI MIKLESTADT .....................................................................................159

5.

MODELLI A PARAMETRI DISTRIBUITI...........................................................162 5.1. 5.2. 5.3. VIBRAZIONI TRASVERSALI NELLE FUNI ...................................................162 VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI UNA TRAVE CONTINUA....................165 VIBRAZIONI FLESSIONALI DI UNA TRAVE CONTINUA ..........................167

6.

ELEMENTI FINITI...................................................................................................169 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. ALCUNI TIPI DI ELEMENTI FINITI ..........................................................................169 FUNZIONI DI FORMA .............................................................................................172 EQUAZIONI DI MOTO DELLELEMENTO ................................................................175 ROTAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO .............................................................178 ASSEMBLAGGIO DELLE EQUAZIONI DI MOTO.......................................................181 INTRODUZIONE DEI VINCOLI.................................................................................184 UN ESEMPIO PRATICO: TRAVE INCASTRATA TRAMITE ELEMENTI BAR ................186 Funzioni di Forma dellElemento BAR........................................................187 Rotazione e Assemblaggio............................................................................190 Imposizione delle Condizioni di Vincolo......................................................192

6.7.1. 6.7.2. 6.7.3. 7.

TECNICHE DI RIDUZIONE ...................................................................................193 7.1. 7.2. CRITERIO DI CONDENSAZIONE STATICA (O DI GUYAN)........................................194 TRONCAMENTO MODALE .....................................................................................196

8.

LINEE GUIDA PER LALLESTIMENTO DI PROVE SPERIMENTALI ........197 8.1. 8.2. OBIETTIVO DELLA ATTIVIT SPERIMENTALE .......................................................197 SCELTA DEL LAYOUT............................................................................................199 Montaggio del sistema da sperimentare ......................................................201 Montaggio FREE..........................................................................................202 Montaggio Ground.......................................................................................204 Collegamento degli Attuatori al Sistema .....................................................207 4

8.2.1. 8.2.2. 8.2.3. 8.3. 8.3.1.

MONTAGGIO DEGLI ATTUATORI ...........................................................................205

8.4.

PRINCIPALI TIPI DI ATTUATORI ............................................................................207 Shaker Elettromagnetico ..............................................................................208 Attuatore Oleodinamico ...............................................................................209 Vibrodina......................................................................................................210 Martello Strumentato ...................................................................................211 Eccitazione Monofrequenziale .....................................................................213 Sweep in Frequenza .....................................................................................214 Eccitazione Impulsiva ..................................................................................215 Eccitazione Random.....................................................................................217

8.4.1. 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4. 8.5. 8.5.1. 8.5.2. 8.5.3. 8.5.4. 8.6. 9.

TECNICHE DI ECCITAZIONE PER ANALISI MODALE ..............................................212

METODO DI DUHAMEL..........................................................................................220

SISTEMI NON LINEARI .........................................................................................224 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. INTRODUZIONE .....................................................................................................224 EQUAZIONE DI MOTO ............................................................................................225 SISTEMI NON LINEARI CONSERVATIVI: MOTO LIBERO ...........................................228 Esempio ........................................................................................................232 Tecnica del bilanciamento delle armoniche ................................................237 Metodo di Ritz ..............................................................................................239 TECNICHE DI APPROSSIMAZIONE ..........................................................................237

9.3.1. 9.4.1. 9.4.2. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9.

VARIABILI DI STATO .............................................................................................242 SISTEMI NON LINEARI CONSERVATIVI: MOTO FORZATO .......................................244 SISTEMI NON LINEARI SMORZATI: MOTO LIBERO ..................................................249 SMORZAMENTO EQUIVALENTE .............................................................................253 SISTEMI NON LINEARI NON CONSERVATIVI: MOTO FORZATO................................254

5

1. Dinamica di sistemi lineari con 1 Grado di libertIn questa parte del Corso verr studiato il comportamento libero e forzato di sistemi meccanici lineari caratterizzati da un solo grado di libert. Le equazioni che regolano la dinamica di tali sistemi sono dunque equazioni differenziali lineari, a coefficienti costanti di secondo ordine1 (i termini dellequazione contengono solo la funzione incognita e le due derivate elevate ad esponente 1 ad es. x2, ex, termini lineari). Nel caso in cui il sistema non sia sottoposto a forzanti (f(t)=0), si analizzer il comportamento libero del sistema. Qualora invece vi siano forzanti (f(t)0), si parler di comportamento forzato. Nellambito del comportamento forzato di un sistema necessario fare una ulteriore distinzione. In effetti infatti la risposta forzata di un qualsiasi sistema lineare costituita dalla somma di due funzioni che rappresentano luna il cosiddetto transitorio e laltra il comportamento a regime. Il transitorio quella parte del comportamento del sistema che tende ad estinguersi con il passare del tempo in funzione dello smorzamento del sistema. Il comportamento a regime del sistema viceversa quella parte del comportamento che non si estingue (ed anzi rimane inalterata se la forzante periodica) finch la forzante non cessi oppure vari il suo contributo. Per quanto riguarda le azioni forzanti, ci si riferir sempre a forzanti di tipo armonico2 in quanto, come gi visto nel modulo di analisi armonica, tutte le funzioni di interesse tecnico (forzanti periodiche e transitorie) possono essere espresse in termini di sommatorie o integrali di funzioni armoniche. Poich inoltre le equazioni sono esclusivamente lineari, possibile sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui lo studio esclusivo di tale tipo di funzione forzante non risulta riduttivo. Nel caso di una forzante non armonica, siLe equazioni differenziali che regolano la dinamica del sistema saranno del tipo A&&(t ) + Bx (t ) + Cx (t ) = f (t ) con A, & x B e C costanti e f(t) funzione nota. La soluzione dellequazione differenziale la funzione incognita x(t). 2 Per indicare una funzione armonica, si far da qui in poi riferimento alla notazione esponenziale gi introdotta nel modulo di Analisi Armonica. Lintroduzione della notazione esponenziale, e quindi dei numeri complessi, semplifica notevolmente la risoluzione delle equazioni differenziali, inoltre sottoporre il sistema alla forzante f0=Acos(t), del tutto equivalente (e quindi fornisce la medesima soluzione, sia i termini di ampiezza che di fase) a sottoporre il sistema alla forzante f0= Aet.1

x non sono

6

scompone quindi la forzante stessa nelle sue componenti armoniche (f1, f2,.., fi) e si trovano le soluzioni delle equazioni del sistema sottoposto alle singole componenti armoniche (x1, x2,.., xi); la soluzione generale la somma delle soluzioni del sistema sottoposto alle singole componenti armoniche x=x1+x2+..+xi. Nel caso in cui le equazioni differenziali non fossero lineari, per la conoscenza completa del comportamento del sistema, necessario fare ricorso a tecniche pi avanzate. Tuttavia, per ottenere una prima stima del comportamento del sistema, potrebbe essere utile effettuare una linearizzazione del sistema attraverso lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine. Il comportamento del sistema linearizzato sar tanto pi simile a quello del sistema originale (non lineare), quanto pi piccola sar lentit degli spostamenti nellintorno della posizione di equilibrio.

1.1. Posizione di equilibrioNello studio della dinamica, e quindi delle vibrazioni di un sistema, le forzanti costanti (o la componente costante valor medio della forzante) non vengono generalmente considerate in quanto nei sistemi lineari queste determinano esclusivamente la posizione di equilibrio del sistema, ma non le vibrazioni nellintorno della stessa. E per tale motivo che in tutte le applicazioni che seguiranno si trascura la forza peso (se si ritiene costante la accelerazione di gravit g, la forza peso e infatti costante e pari a mg). Le implicazioni di quanto detto sopra saranno esplicitate nel seguito.

1.2. Equazioni di moto nei sistemi lineari.Le equazioni di moto dei sistemi vibranti con uno o pi gradi di libert discendono direttamente dalle Equazioni Cardinali della Dinamica. Tuttavia una forma assai pi comune delle suddette, che si applica a corpi rigidi che si muovono di moto puramente traslatorio3 quella nota comunemente come Legge di Newton, che discende direttamente dalle Equazioni Cardinali, applicando il Principio di DAlambert4: F=ma.

3

Se il moto non puramente traslatorio questa equazione ancora valida, ma descrive esclusivamente il moto del baricentro del corpo. Per lo studio completo del moto del corpo necessario introdurre altre equazioni che permettono di descrivere il moto di rotazione del corpo attorno al suo baricentro. 4 In pratica il Principio si sintetizza nel fatto di poter utilizzare anche per la dinamica le stesse leggi della statica, avendo la cura di introdurre le cosiddette azioni di inerzia o forze apparenti.

7

F rappresenta la risultante delle forze (esterne) applicate al corpo in analisi, m la sua massa, a la sua accelerazione assoluta (rispetto a un riferimento inerziale: fisso, o mobile con velocit costante rispetto ad un riferimento fisso). La precedente una equazione vettoriale nello spazio cartesiano a 3 dimensioni (F ed a sono vettori). Se ci si limita al caso di moti piani, allora anche F ed a sono vettori sul medesimo piano del moto, e se si esprimono tramite le rispettive componenti in un sistema di riferimento (x,y) F(Fx, Fy), a(ax, ay) -, lequazione vettoriale precedente pu essere sostituita dalle due equazioni scalari: Fx=max; Fy=may. Ovviamente, se il moto oltre che essere traslatorio anche rettilineo, se si prende lasse x del sistema di riferimento parallelo alla traiettoria di un qualunque punto del corpo, allora lo studio del moto del sistema pu essere effettuato tramite la risoluzione dellunica equazione scalare: Fx=max. Poich inoltre la accelerazione assoluta del corpo ax altro non che la derivata seconda della sua posizione x rispetto al tempo (si ricorda che la derivazione di una funzione rispetto al tempo si indica aggiungendo un punto sopra la funzione stessa), e considerando tra le forze esterne solo quelle che hanno componenti lungo la direzione x, la precedente pu essere riscritta nella pi consueta forma:

F = m&& . xNella suddetta formula (solo formalmente identica alla formula F=ma presentata in precedenza), a primo membro il termine F rappresenta la risultante delle forze esterne aventi sul sistema in direzione x. Poich si premesso che lequazione differenziale che consentir lo studio del moto del sistema dovr risultare lineare (nella funzione incognita x(t)), allinterno del termine F potemmo trovare esclusivamente: Funzioni di qualunque tipo ma dipendenti esclusivamente dal tempo F(t), che chiameremo forzanti; Forze elastiche; Forze smorzanti. 8

Delle forzanti si gi parlato: possono esservi (e quindi si studia il moto forzato del sistema), oppure no (e si studia quindi il moto libero). Pur essendo teoricamente di forma qualsiasi (deterministiche o aleatorie, periodiche o aperiodiche, transitorie, ecc) sfruttando i risultati dellAnalisi Armonica e le propriet derivanti dalla linearit delle equazioni, ci si limiter allo studio di forzanti armoniche (del tipo f=f0 eit).

1.3. Forze elasticheLe forze elastiche sono forze conservative che tendono ad opporsi alle cause che le determinano. E per tale motivo che vengono anche dette forze di richiamo. Si parler di forza elastica come di una forza che ha un modulo proporzionale (tramite la costante di elasticit generalmente indicata con k) allo spostamento del corpo rispetto alla sua posizione di equilibrio. Il verso della forza (e quindi il suo segno), sar quello che contribuir a far ritornare il corpo nella sua posizione di equilibrio. Indicando con x lasse lungo cui avviene il moto, se si indica con x0 la posizione di equilibrio (statico) del corpo, la forza elastica varr quindi: Fel(t)=-k(x(t)-x0).Fel x0 Fel x0 x x x(t)

x(t)

Tuttavia, se si prende la posizione di equilibrio (statico) come origine del sistema di riferimento, allora x0=0, e quindi si ottiene la pi classica forma: Fel=-kx.5

In ogni caso si gi detto come le forze costanti (o le componenti costanti delle forze) non determinano variazioni del comportamento dinamico del sistema, ma solo della sua posizione di equilibrio. Se si osserva quindi la forma pi completa della forza elastica Fel(t)=-k(x(t)-x0), si ha anche che Fel(t)=-k x(t)+ k x0. La seconda parte delle forza elastica (k x0) risulta quindi costante e pu essere trascurata se interessa esclusivamente lanalisi del comportamento dinamico del sistema. Se viceversa interessa anche la determinazione della posizione di equilibrio, anche la parte costante deve essere considerata.

5

9

Va tuttavia rimarcato che in questo caso (diversamente da quanto scritto in precedenza), la variabile x(t) rappresenta lo spostamento del corpo rispetto alla posizione di equilibrio, e non pi semplicemente la posizione del corpo rispetto ad un riferimento qualsiasi. Il caso pi comune di forza elastica quello della forza sviluppata da una molla a spirale (a patto che non sia n troppo compressa n troppo allungata). E proprio da questo componente che trae origine il simbolo grafico convenzionale per tale tipo di forze.

A

B

Da quanto detto in precedenza risulta chiaro che la forza sviluppata da un tale elemento proporzionale tramite la costante di elasticit k (N/m) alla distanza tra gli estremi indicati con le lettere A e B.x xB B xB x0 xB B x0 x0 B

O

xA

A

xA

A

xA

A

Molla a riposo

Molla compressa

Molla tesa

La molla possiede una propria lunghezza a riposo indicata in questo caso con x0. Le forze generate dalla molla e scambiate con i corpi ad essa connessi in corrispondenza degli estremi hanno versi opposti a seconda che la distanza tra gli estremi A e B sia superiore (molla tesa) o inferiore (molla compressa) alla lunghezza a riposo. E facile verificare che la forza scambiata in corrispondenza dellestremo B varr: Fel B=-k(xB-xA-x0). Poich inoltre si gi detto che le componenti costanti non influenzano la dinamica del sistema, solo per quello che riguarda il comportamento dinamico, anche possibile scrivere: Fel B=-k(xB-xA). 10

Inoltre solo nel caso in cui lestremo A sia fisso (xA costante) possibile scrivere Fel B=-k xB. Soltanto nel caso in cui con s si intenda la deformazione della molla rispetto alle sue condizioni a riposo, sempre possibile indicare la forza elastica di una molla tramite: Fel B=-k s. E infine utile ricordare che una forza elastica anche conservativa: per deformare la molla necessario compiere lavoro (fornire energia) che viene accumulata come energia potenziale (di deformazione). Tale energia pu essere trasformata in energia cinetica (durante il moto) e viene restituita integralmente se si riporta la molla alla sua lunghezza di riposo in condizioni di velocit nulla.

1.4. Forze smorzantiA differenza delle forze elastiche, le forze smorzanti sono forze dissipative, che consumano energia. E proprio a causa dellinevitabile presenza di forze di questo tipo che un corpo, una volta posto in movimento e lasciato muoversi senza ulteriori apporti energetici, inesorabilmente destinato a fermarsi dopo un tempo pi o meno lungo. Se gli spostamenti sono di tipo armonico si osserva che, in corrispondenza del massimo (o minimo) spostamento la forza smorzante nulla; la forza smorzante massima (in modulo), si ha invece quando gli spostamenti sono nulli. Le forze smorzanti sono caratterizzate dal fatto di essere in quadratura con gli spostamenti del sistema. Facendo riferimento alla notazione vettoriale, le forze smorzanti sono sempre sfasate di 90 (/2) rispetto alle forze elastiche (che sono in controfasce con gli spostamenti sfasati di , proporzionali a meno di una costante negativa). Le forze smorzanti che verranno prese in considerazione (e che permettono di soddisfare lipotesi di linearit dellequazione di moto) sono: smorzamento viscoso; smorzamento strutturale. Le forze di smorzamento viscoso modellano assai bene le forze che agiscono su un corpo che si muove con velocit relativamente basse allinterno di un fluido. Con la forze di smorzamento strutturale si modella invece lo smorzamento interno di una struttura generalmente non metallica (ad esempio le forze smorzanti che si originano allinterno di una trave in cemento armato). 11

Deve essere comunque ricordato che si sta parlando esclusivamente di modelli, per cui non esiste un sistema reale con smorzamento esclusivamente viscoso o strutturale, e questo anche in dipendenza delle caratteristiche del moto di tali sistemi. E tuttavia evidente che per modellare le caratteristiche di una sospensione automobilistica opportuno utilizzare (almeno in prima battuta) uno smorzamento di tipo viscoso, mentre per modellare il comportamento dinamico si un ponte in cemento armato, assai pi indicato utilizzare un modello con lo smorzamento strutturale. 1.4.1. Smorzamento viscoso Si definisce forza di smorzamento viscoso, una forza il cui modulo direttamente proporzionale (tramite la costante c detta coefficiente di smorzamento viscoso Ns/m) alla velocit di deformazione. Un elemento a cui ben applicabile tale modello uno smorzatore oleodinamico, come quello presente nelle sospensioni automobilistiche. Da tale elemento trae origine il simbolo convenzionale di una forza di tale tipo.x A B

Poich anche tale forza tende ad opporsi alla variazione della velocit di deformazione, ed in analogia a quanto gi detto per la forza elastica, se si indica con s la distanza tra gli occhielli A e B dello smorzatore, la forza di smorzamento viscoso vale quindi

& Fsm vis = -c s ,oppure anche

& & Fsm vis = -c(v B - v A ) = -c(x B - x A ) .Se locchiello A fisso, e se si indica con x la posizione dellocchiello B, la forza che lo smorzatore applica al corpo adiacente in corrispondenza dellocchiello B vale:

& Fsm vis B = -c x .Se si fa lipotesi di spostamenti armonici del tipo x=x0 eit, si ha allora:

& x = i x0 e it .Poich inoltre anche i=ei/2 e (-1)=ei, 12

(

)

& x = i x0 e it = e i / 2 x0 e it = x0 e i (t + / 2 ) ;quindi

(

)

(

)

Fsm vis B = -c x0 e i (t + / 2 ) = e i c x0 e i (t + / 2 ) = c x0 e i (t +3 / 2 ) = c x0 e i (t / 2 ) ;da cui si osserva che la forza di smorzamento viscoso sfasata di 3/2 (ovvero anche di /2 in ritardo), e quindi in quadratura rispetto agli spostamenti. Si osservi inoltre che a parit di ampiezza di spostamenti (a parit di x0), la forza smorzante aumenta linearmente con la pulsazione degli spostamenti stessi. Se quindi il sistema compie vibrazioni caratterizzate da frequenze molto basse (spostamenti quasi-statici), a volte pu anche essere accettabile trascurare tali forze. Se viceversa gli spostamenti sono caratterizzati da frequenze piuttosto elevate, non considerare tali forze pu portare ad errori del tutto inaccettabili. Si aggiunge infine che non possibile definire un limite unico per differenziare le frequenze alte o basse: il tutto dipende dallinsieme delle caratteristiche del sistema, tra cui massa e rigidezza. 1.4.2. Smorzamento strutturale Si dice forza di smorzamento strutturale, una forza dissipativa il cui modulo direttamente proporzionale alla ampiezza degli spostamenti (tramite la costante h detta coefficiente di smorzamento strutturale N/m del tutto analoga alla costante di rigidezza di una molla) allampiezza delle vibrazioni. Da quanto appena detto non appaiono ancora evidenti le differenze dalla forza elastica (anchessa direttamente proporzionale agli spostamenti, ma forza conservativa). Per chiarire meglio tale apparente incongruenza, si faccia riferimento alla forza di smorzamento viscoso. Si infatti dimostrato che, essendo in quadratura con gli spostamenti, chiaramente di tipo dissipativo. Tuttavia si gi messo in evidenza che la forza di smorzamento viscoso proporzionale alla velocit di deformazione, e non alla deformazione stessa. Tuttavia, se si applica al sistema una forzante di tipo armonico, a regime anche le deformazioni saranno armoniche del tipo s=s0eit. In tale caso sussiste la relazione:

& s = i s 0 e it = i sche lega tra loro deformazione e velocit di deformazione. 13

(

)

Quindi una forza di modulo:

& F = c s = c i s0 e it = c i s , una forza direttamente proporzionale alla velocit ci deformazione se c una costante. Viceversa, se gli spostamenti sono di tipo armonico e se c non costante, ma una funzione inversamente proporzionale alla pulsazione degli spostamenti stessi (c=h/), si ha:

(

)

& F = cs =

h

& s =

h

i s0 e it = ih s = h s0 e i (t + / 2 ) ,

(

)

ovvero una forza di tipo dissipativo (per la presenza dellunit immaginaria che indica la quadratura tra la deformazione e la forza), ma con ampiezza direttamente proporzionale alla deformazione. E quindi per questo motivo che, partendo dal modello della forza di tipo viscoso, uno smorzatore di tipo strutturale genera una forza che pu essere espressa come:

Fsm_str = -

h & s ovvero Fsm_str = -ihs.

Va ben inteso che lunit immaginaria i presente nella seconda forma non sta a significare che la forza di smorzamento strutturale sia puramente immaginaria (non avrebbe molto senso in termini di equilibrio delle forze). Tale termine sta quindi unicamente a significare che la forza smorzante in quadratura (in ritardo per la presenza del segno -) rispetto agli spostamenti, e quindi una forza dissipativa, ed inoltre proporzionale in modulo agli spostamenti stessi. E per tali motivi che la costante di rigidezza di una molla k e la costante di smorzamento viscoso h, pur avendo le medesime dimensioni fisiche, hanno un significato e danno origine a forze completamente differenti: conservative le prime, dissipative le seconde. Come simbolo di uno smorzatore di tipo strutturale potremo quindi adottare quello riportato nel seguente disegno.x A B

14

Facendo riferimento a tale schema si avr quindi6:

Fsm_str = -

h (v B v A ) ovvero Fsm_str = -ih( x B x A ), h & x ovvero Fsm_str = -ihx.

o anche, se lestremo A fisso e si indica con x la posizione dellestremo B:

Fsm_str = -

1.5. Equazioni di motoIn sostanza, le pi generiche equazioni di moto a cui un sistema con un solo grado di libert potrebbe essere ricondotto sono del tipo:

& x smorzamento viscoso: m&& = kx cx + f (t ) ;

x smorzamento strutturale: m&& = kx

h

& x + f (t ) oppure m&& = kx ihx + f (t ) . x

Dallo studio delle soluzioni delle precedenti equazioni differenziali lineari possono essere determinati il comportamento libero (se f(t)=0) ovvero quello forzato (se f(t)0) di un qualsiasi sistema con un solo grado di libert. 1.5.1. Comportamento libero di un sistema con 1 GdL con smorzamento viscoso Un sistema di tale tipo pu essere schematizzato attraverso il seguente disegno:x

m

c

k

6

Le seguenti formulazioni dello smorzamento strutturale in dipendenza dagli spostamenti trascurano volutamente la posizione di riposo dello smorzatore strutturale x0. Se invece dei soli effetti dinamici, fosse anche di interesse la posizione di equilibrio del sistema, le seguenti andrebbero modificate come segue:

Fsm_str = -ih( x B x A x0 ) = -ih( x x0 ).

15

Un corpo rigido di massa m collegato a un basamento fisso tramite una molla di costante di rigidezza k e uno smorzatore viscoso di costante c. Il corpo rigido pu solo compiere traslazioni nella direzione verticale per cui, per descriverne il moto, si sceglie di utilizzare un sistema di riferimento inerziale monoassiale x, rivolto verso lalto, e con origine in corrispondenza del baricentro del corpo nella posizione di equilibrio del sistema, supposta nota. In questo caso, poich non sono presenti forzanti e uno degli estremi sia dello smorzatore che della molla sono fissi (al basamento), lequazione che regola le vibrazioni del sistema :

& & m&& = kx cx , ovvero m&& + cx + kx = 0 . x xPrima osservazione: chiaro che la soluzione x(t)=0 soddisfa lequazione differenziale, il che giustifica il fatto, noto a tutti, che un corpo non sottoposto ad alcuna forzante pu rimanere fermo nella sua posizione di equilibrio. Tuttavia vedremo che questa non lunica soluzione possibile, in quanto non detto che allistante iniziale (per t=0) il corpo si trovi nella posizione di equilibrio (x=0) e con

& velocit nulla ( x = 0 ). Se infatti la posizione iniziale oppure la velocit sono non nulle, evidente che il sistema si muover, tendendo peraltro a ritornare sempre nella sua posizione di equilibrio. Il modo con cui il sistema, ovvero il corpo di massa m, cercher di ritornare nella sua posizione di equilibrio, sar completamente individuato attraverso lo studio dellequazione

& x differenziale lineare m&& + cx + kx = 0 .Seconda osservazione: qualora il sistema di riferimento non avesse origine in corrispondenza del baricentro bel corpo rigido, e qualora la posizione di equilibrio statico del sistema (sotto lazione del solo peso) non fosse a priori nota, le equazioni del sistema ed il relativo schema potrebbero essere le seguenti:

16

m

cx

k

& m&& + cx + k ( x x0 ) = mg xcon x0 lunghezza a riposo della molla e g accelerazione di gravit. Con una piccola trasformazione algebrica si ottiene la seguente equazione:

& m&& + cx + kx = mg + kx0 , xil cui primo membro esattamente identico alla equazione precedente, mentre a secondo membro lequazione presenta un termine forzante costante. E noto a tutti che la soluzione di una equazione differenziale completa sostituita dalla somma delle infinite soluzioni

& x della equazione omogenea ( m&& + cx + kx = 0 ), la stessa che si sarebbe dovuta risolverecon il sistema di riferimento baricentrico e trascurando la forza peso), con una unica

& x soluzione dellequazione completa ( m&& + cx + kx = mg + kx0 ).E altres evidente che la soluzione

x(t) = x 0

mg = costante k

soddisfa perfettamente lequazione differenziale (si osservi che se x(t)=costante allora

&& = x = 0 ). x &Da ci si evince che, considerando un sistema di riferimento generico e non trascurando la forza peso (e come questa, tutte le forze costanti), si ottengono le stesse soluzioni che avremmo potuto trovare con un riferimento baricentrico e trascurando la forza peso, a meno di una costante additiva. Tale termine costante (un termine che quindi non viene generalmente tenuto in considerazione nello studio dinamico del sistema), altro non che la posizione di equilibrio del sistema sottoposto alla forza peso. In pratica tale termine ci dice che le vibrazioni del 17

punto in cui si connettono massa e molla, avverranno nellintorno si una posizione posta di mg/k metri al di sotto della posizione in cui si troverebbe lo stesso punto della molla in condizioni di assenza di peso (in condizioni di riposo). La grandezza mg/k viene generalmente indicata come deflessione statica della molla. Tale grandezza si pu trovare ancor pi facilmente facendo riferimento alle equazioni della statica applicate alla molla, per cui devono farsi equilibrio la forza elastica generata dalla molla e la forza peso agente sulla stessa (kx=mg da cui x=mg/k).

1.6. Moto liberoPer conoscere come si possa muovere un sistema con 1 GdL in assenza di forzanti, sufficiente risolvere la semplice equazione differenziale ordinaria, del secondo ordine, omogenea. Lequazione dunque:

& m&& + cx + kx = 0 . xE noto che se una funzione x(t) effettivamente una soluzione dellequazione differenziale, questa, introdotta nellequazione stessa insieme alle sue derivate, deve dar luogo ad una identit. Dalle teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari e omogenee, risulta che tutte soluzioni dellequazione omogenea sono una combinazione lineare secondo due costanti arbitrarie reali (che chiameremo A e B), delle due funzioni

x1 = e 1t e x 2 = e 2tquindi

x(t ) = Ae 1t + Be 2t ,in cui 1 e 2 sono le due soluzioni dellequazione caratteristica:

m 2 + c + k = 0 7 .Sfruttando le ben note formule risolutive si ha che:

1, 2 =

c 1 c 2 4mk . 2 m 2m

A questo punto si presentano 3 possibilit in funzione del valore del radicando (c2-4mk).7

In effetti se lequazione caratteristica ha una soluzione doppia (=1=2), la soluzione generale una combinazione

delle due funzioni

x1 = e t e x2 = te t .

18

Primo caso: c2-4mk=0 In questo caso, assai difficile da realizzarsi nella pratica, utile da analizzare solo per via del suo carattere di confine. In tale caso si ha che vi due radici reali coincidenti (una unica radice reale doppia), peraltro negative, che valgono:

=

c . 2m

In questo caso quindi la soluzione generale

x(t ) = Ae t + Bte tcon A e B costanti arbitrarie (che saranno determinate solo tramite le condizioni iniziali). Poich negativa la soluzione una funzione monotona decrescente (essendo somma di due funzioni esponenziali negative). Si pu quindi concludere che il moto libero di un sistema con smorzamento viscoso per cui c2=4mk un transitorio aperiodico: il sistema quindi tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio senza alcuna oscillazione. La costante di smorzamento viscoso c che determina, a parit di massa e rigidezza, una soluzione di tale tipo viene detta costante di smorzamento critico del sistema. Risulta quindi:

c c = 2 km .Secondo caso: c2-4mk>0 In questo caso, che si verifica quindi quando lo smorzamento del sistema elevato, ovvero maggiore dello smorzamento critico, si ha che lequazione caratteristica ammette due soluzioni reali negative in quanto risulta sempre:

c > c 2 4mk .In questo caso quindi la soluzione generale :

x(t ) = Ae 1t + Be 2tcon A e B costanti arbitrarie. Poich entrambe le funzione esponenziali sono negative, la soluzione totale ancora una volta una funzione monotona decrescente. Anche in questo caso si pu concludere che il moto libero di un sistema con smorzamento viscoso per cui c2>4mk un transitorio aperiodico: il sistema quindi tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio senza alcuna oscillazione. 19

Terzo caso: c2-4mk 1 / 2 = 0.707...102

10

1

10

0

10

-1

10

-2

10

-2

10

-1

10

0

10

1

Diagramma del modulo in scala Decibel al variare dello smorzamento con n=1

43

30

25

20 x 0 k / f0

15

10

5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

/ n

Diagramma del modulo in scala lineare al variare dello smorzamento0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Diagramma della fase in scala lineare al variare dello smorzamento

1.9.2. Andamenti asintotici delle altre FRFs dirette

Anche le altre FRFs hanno andamenti asintotici caratteristici. In questo paragrafo verranno brevemente mostrati gli andamenti delle due rimanenti FRSs dirette. Per queste risulta:

Y ( ) =

i (k m 2 ) + ic

44

A( ) =

2 (k m 2 ) + ic

Y () =

i i = = (k m 2 ) + ic (k m 2 ) + ic

(k m 2 ) 2 + (c ) 2

2 2 2 A( ) = = = ( k m 2 ) + ic (k m 2 ) + ic ( k m 2 ) 2 + ( c ) 2 i 2 fase(Y ( ) ) = fase 2 (k m ) + ic = fase(i ) fase (k m ) + ic =

(

)

=

c arctan ( k m 2 ) 2

2 = fase 2 fase (k m 2 ) + ic = fase( A( ) ) = fase 2 (k m ) + ic c = arctan ( k m 2 )

(

)

(

)

Analizzando dapprima la fase della mobilit e dellinertanza, si osserva subito che queste sono assai simili a quelle della ricettanza ancorch sfasate rispettivamente di /2 e rispettivamente. Quindi la fase della mobilit ha un asintoto sinistro che vale /2, un asintoto destro che vale -/2, e in corrispondenza della pulsazione naturale n assume fase nulla. La fase della inertanza ha un asintoto sinistro che vale , un asintoto destro che vale 0, e in corrispondenza della pulsazione naturale n assume fase /2. Per quanto riguarda il modulo della mobilit si ha che:

lim(Y ( ) ) = lim 2 2 2 0 0 ( k m ) + (c ) lim (Y ( ) ) = lim 2 2 2 (k m ) + (c )e anche:

lim = 0 ; 0 k lim = 0 . m 2

45

lim(20 * log10 (Y ( ) )) lim 20 * log10 = 0 0 k ; = lim(20 * log10 ( ) 20 * log10 (k )) = 0

lim (20 * log10 (Y ( ) )) lim 20 * log10 = 2 m . = lim ( 20 * log10 ( ) 20 * log10 (m )) =

Si verifica quindi che per le basse frequenze si ha un asintoto inclinato con pendenza positiva di 20(dB/decade) e intercetta con le ordinate dipendente dalla rigidezza. Per le alte frequenze si ha un asintoto inclinato con pendenza negativa di 20(dB/decade) e intercetta con le ordinate dipendente dalla massa. Per quanto riguarda la identificazione del comportamento per le frequenze intermedie, si verifica che esiste un solo massimo relativo della funzione, questo massimo si verifica sempre in corrispondenza della pulsazione naturale (pulsazione di risonanza per la mobilit), inoltre il valore del massimo diminuisce con laumentare dello smorzamento, ma esister per qualunque valore di .-40 100 80 -50 60 40 -60 Modulo (dB) Fase (deg)0 1 2

20 0 -20 -40 -60 -80

-70

-80

-90

-100 -1 10

10

10 Pulsazione (rad/s)

10

-100 -1 10

10

0

10 Pulsazione (rad/s)

1

10

2

Per quanto riguarda il modulo della inertanza si ha che:

2 lim( A( ) ) = lim 2 2 2 0 0 ( k m ) + (c ) 2 lim ( A( ) ) = lim 2 2 2 (k m ) + (c )

2 lim = 0 ; 0 k 2 lim = 1 m 2 m .

46

e anche:

2 20 * log10 lim (20 * log10 ( A( ) )) lim k = 0 0 ; = lim (40 * log10 ( ) 20 * log10 (k )) = 0

1 lim (20 * log10 (Y ( ) )) lim 20 * log10 = 20 * log10 (m ) . m Si verifica quindi che per le basse frequenze si ha un asintoto inclinato con pendenza positiva di 40(dB/decade) e intercetta con le ordinate dipendente dalla rigidezza. Per le alte frequenze si ha un asintoto orizzontale con valore dipendente dalla massa. Per quanto riguarda la identificazione del comportamento per le frequenze intermedie, si verifica che esiste un solo massimo relativo della funzione, questo massimo si verifica in corrispondenza della pulsazione (pulsazione di risonanza per la inertanza):

r = n

1 1 2 2

La posizione della risonanza allaumentare dello smorzamento tende a spostarsi verso destra, contemporaneamente il valore del massimo diminuisce; per valori dello smorzamento > 1 / 2 = 0.707... , la risonanza scompare e la inertanza in questo caso una funzione monotona crescente..-20 -30 -40 -50 120 Modulo (dB) Fase (deg)0 1 2

180 160 140

-60 -70 -80 -90 -100 -110 -120 -1 10

100 80 60 40 20 0 -1 10

10

10 Pulsazione (rad/s)

10

10

0

10 Pulsazione (rad/s)

1

10

2

1.9.3. Alcuni passaggi algebrici

Si riportano quindi di seguito alcuni risultati dei passaggi algebrici appena sviluppati, sia in termini di costanti meccaniche del sistema, che di parametri dimensionali. 47

( ) =

(k m ) + ic2

1

=

1 1 2 k 1 2 + 2 i n n

Y ( ) =

(k m ) + ic2

i

=

i k 2 1 2 + 2 i n n 2 2 1 2 + 2 i n n

A( ) =

1 2 = 2 (k m ) + ic k

( ) =

1 m2 4 + 2 (c 2 2km) + k 2

=

1 k

1

2 4 + 2(2 2 1) 2 + 1 4 n n 2 2 4 + 2(2 2 1) 2 + 1 4 n n 2 2 4 2 + 2(2 1) 2 + 1 4 n n

Y ( ) =

m2 4 + 2 (c 2 2km) + k 2

=

1 k

A( ) =

2m 2 4 + 2 (c 2 2km) + k 2

=

1 k

( ( ) ) 2 2m2 2 + (c 2 2km) = = 3 3 k 4 k 2 + m2 4 + 2 (c 2 2km) 2 2 2 2 4 + 2(2 1) 2 + 1 n n

[

[

]

]

3 (2 2 1) 2 4 n n

( Y ( ) ) m2 4 k 2 1 = = 3 3 k 4 k 2 + m2 4 + 2 (c 2 2km) 2 2 2 2 4 + 2(2 1) 2 + 1 n n

[

]

4 1 4 n

( A( ) ) 2 (c 2km) + 2k = = 3 3 k 4 k 2 + m2 4 + 2 (c 2 2km) 2 2 2 2 4 + 2(2 1) 2 + 1 n n 2 2 2

[

[

]

22 n

]

(2 2 1) 1

48

( ( ) ) ( Y ( ) )

=0 = =0 =

k c2 = n 1 2 2 m 2m 2 k = n m

( A( ) )

=0 =

k m

1 k c m 2m 22

= n

1 1 2 2

1.10. Funzioni di Risposta in Frequenza con smorzamento strutturaleUn sistema con un solo grado di libert con smorzamento strutturale su cui agisce una forzante di tipo armonico pu essere schematizzato attraverso il seguente disegno:x F(t)

m

c

k

Anche in questo caso si considera la presenza di una forzante armonica che supporremo di pulsazione generica e ampiezza generica F0. Per la soluzione di tale problema faremo in questo caso riferimento unicamente ai numeri complessi, per cui supporremo la forzante del tipo: F(t)=F0eit. Poich anche in questo caso il basamento fisso, lequazione che regola le vibrazioni del sistema :

m&& = kx ihx + F (t ) = kx xovvero,

h

& x + F (t ) ,

m&& + ihx + kx = m&& + x x

h

& x + kx = F (t ) .49

Anche in questo caso, sfruttando la linearit del sistema, facile verificare che, dato il tipo della forzante applicata, la soluzione dovr essere del tipo x(t)=X0eit. In ogni caso, se x(t)=X0eit soluzione del sistema, risultano anche:

& x(t) = iX 0 e it ;&&(t ) = 2 X 0 e it . xIntroducendo le precedenti in una qualsiasi delle equazioni differenziali che descrivono il moto del sistema (del tutto equivalenti per forzanti armoniche) si ottiene:

m 2X 0 e it + ihX 0 e it + kX 0 e it = F0 e ito anche:

[(m

2

+ ih + k )X 0 F0 e it = 0 .

]

Poich la precedente deve essere verificata in ogni istante, allora dovr essere:

[ m 2 + (k + ih )]X 0 F0 = 0 .Dalla precedente quindi possibile ricavare direttamente la ricettanza del sistema:

( ) =

X0 1 ( ) = . (k + ih ) m 2 F0

Sfruttando le relazioni gi evidenziate tra le FRFs dirette, quindi possibile anche determinare la mobilit e linertanza. Queste risultano infatti:

Y ( ) =

& X0 i ( ) = ; F0 (k + ih) m 2

&& X0 2 A( ) = ( ) = . F0 ( k + ih ) m 2Seguendo ragionamenti del tutto identici a quelli gi effettuati nel caso di sistemi con smorzamento viscoso, si pu verificare che gli andamenti asintotici sono sostanzialmente identici a quelli gi trovati in precedenza (tranne ovviamente qualche differenza nel valore delle pulsazioni di risonanza). Le uniche differenze di rilievo si possono trovare nei diagrammi della fase; ad esempio per quanto riguarda la ricettanza si ha:

1 h 2 fase( ( ) ) = fase ( k m 2 ) + ih = fase (k m ) + ih = arctan ( k m 2 ) .

(

)

Eseguendo il limite per la pulsazione che tende a zero si ottiene: 50

h h lim (fase( ( )) ) = lim arctan ( k m 2 ) arctan k = costante ; 0 0 quindi anche per nei sistemi con smorzamento strutturale la ricettanza ha un asintoto sinistro orizzontale, ma il suo valore non pi zero come nei sistemi con smorzamento viscoso. Inoltre, come per i sistemi con smorzamento viscoso sono stati introdotti i parametri adimensionali n e , anche nel caso dello smorzamento strutturale si seguir la medesima strada. Naturalmente si conserver la definizione della pulsazione naturale, ma si introdurr un nuovo parametro adimensionale dipendente dalla costante di smorzamento strutturale. Tale nuovo parametro si chiamer parametro (adimensionale) di smorzamento strutturale o fattore di perdita, e assume la forma di:

=

h . k

Introducendo tale parametro nella funzione i ricettanza si ottiene:

1 X 1 1 1 1 k ( ) = 0 ( ) = = = 1 2 k h m 2 k F0 2 . k (1 + i ) 2 (1 + i ) 2 +i n k k n kOsservando la precedente espressione si pu inoltre rapidamente determinare la pulsazione di risonanza senza ricorrere a ulteriori calcoli: infatti il massimo della ricettanza si avr quando il denominatore raggiunger il valore minimo. Tale valore si raggiunger infatti quando si annuller la parte reale del denominatore (visto che la parte immaginaria fissa), ovvero quando:

k 2 1 2 = 0 = r = n = , m nin corrispondenza del quale la ricettanza assume il valore di:

( ) =n

X0 1 1 ( ) = = . F0 ik ih

Con analoghi passaggi possono essere ottenute senza difficolt sia le forme dimensionali che i valori delle risonanze di mobilit e inertanza. Tali calcoli possono essere svolti dagli studenti con funzione di esercizio,

51

1.10.1.

Metodo di Mezza Potenza

Si gi detto della difficolt di stimare lo smorzamento presente in un sistema. Si gi mostrato come, analizzando il comportamento libero tramite il metodo del decremento logaritmico, possibile effettuarne con facilit (almeno teorica) una stima abbastanza precisa. Tramite il cosiddetto Metodo di Mezza Potenza possibile effettuare una ulteriore stima che si basa invece sul comportamento forzato del sistema, e quindi sulle Funzioni di Risposta in Frequenza. Tale metodo, almeno in via di principio, anche se con errori pi o meno ridotti, pu essere applicato sia a sistemi con smorzamento viscoso che strutturale, e facendo riferimento a tutte le FRFs dirette (naturalmente dando origine a formule solo leggermente diverse, ma concettualmente simili). Si prenda ad esempio la ricettanza di un sistema con smorzamento viscoso. Il valore che questa assume in corrispondenza della pulsazione di risonanza r riportato qui a seguito sia in funzione dei parametri di sistema che dei parametri admensionali:

( ) = = 2r

m 1 1 1 = . c c + i 4km 2c 2 2k + i 1 2 2 m c 1 4km c 2 1 1 . 2k 1 2

In risonanza quindi assume un modulo pari a:

( ) = = 2r

=

Si consideri ora il cosiddetto valore di mezza potenza, ovvero il valore pari al valore massimo diviso la radice di 2. Tale valore dunque:

12

POW

= 2

m c

1 4km c 2

=

1 1 . 2 2k 1 2

52

-60 Ymax -70 Y1/2 POW

-80 Modulo (dB)

-90

-100

-110

-120 -1 10

1 100

2 101

Pulsazione (rad/s)

r

10

2

Il metodo di mezza potenza consente di stimare il parametro dimensionale di smorzamento viscoso sulla base della conoscenza della pulsazione di risonanza r e dei due valori della pulsazione, che chiameremo 1 e 2, per cui la ricettanza assume modulo pari al valore di mezza potenza. Occorre quindi verificare per quali valori della pulsazione, il modulo assuma il valore desiderato. Si ha quindi:

( ) = 12

POW

1 k

1 m 2 4 + 2 (c 2 2km) + k 2 1

= 2

m c

1 4km c 2

;

( ) = 12

POW

4 2 2 + 2(2 1) 2 + 1 4 n n

=

1 1 2 2k 1 2 .

Quadrando ed effettuando il reciproco di entrambi i membri delle due espressioni precedenti si ottengono due polinomi di quarto ordine, in cui non compaiono termini con esponente dispari. Gli zeri di tali polinomi possono dunque essere ricercati semplicemente risolvendo i polinomi di secondo ordine nella incognita 2. Risolvendo tali equazioni si ottiene: 53

12, 2 =

1 c 4km 2c 2 2 4m 2m 2

(

)

4km c 2 ;

2 2 12, 2 = n (1 2 2 ) 2 n (1 2 ) .

Dalle precedenti, effettuando la differenza tra i quadrati delle due pulsazioni per cui il modulo della ricettanza pari al valore di mezza potenza si ottiene con facili passaggi:2 2 12 =

c m2

2 4km c 2 = 4 n 1 2 ;

(

)

2 2 12 = 1 2 . 2 4n

(

)

Inoltre, se il sistema poco smorzato (e quindi anche lapprossimazione ancora pi accettabile), si verifica inoltre che:

(1 ) 12

2 + 12

n ,

e quindi anche:2 2 12 2 1 2 + 1 2 1 = . 2 4 n 2 n 2 n 2 n

La precedente lespressione del metodo di mezza potenza per la ricettanza dei sistemi con smorzamento viscoso: tramite la semplice conoscenza delle pulsazioni nr, 1 e 2 (desumibile dal diagramma di Bode) si stima il parametro di smorzamento viscoso. Si riportano di seguito, in maniera molto sintetica, alcuni calcoli che riguardano il metodo di mezza potenza applicato alla mobilit di sistemi con smorzamento viscoso. Valore della mobilit in risonanza:

Y ( ) = = =r n

1 1 n = . c 2k

Valore di mezza potenza:

Y12

POW

=

1 1 n = . 2c 2 2 k

Equazioni per la determinazione delle pulsazioni di mezza potenza: 54

Y ( ) = Y12

POW

m 2 4 + 2 (c 2 2km) + k 2 1 k 4

=

1 ; 2c

Y ( ) = Y12

2

POW

2 + 2( 1) 2 + 1 4 n n

=

1 n 2 2k .

Le precedenti danno origine alle seguenti soluzioni:

12, 2 =

1 c c 2 + 2km c 2 + 4km ; 2 2 2m 2m

(

)

2 2 12, 2 = n (1 + 2 2 ) 2 n (1 + 2 ) .

Ancora sommando i quadrati delle pulsazioni si ottiene:2 2 12 =

c 2 c 2 + 4km = 4 n 1 + 2 ; 2 m

(

)

da cui:2 2 12 = (1 + 2 ) . 2 4 n

Sempre nel caso di sistema poco smorzato, si ha che la media tra pu essere confusa con la pulsazione di risonanza (pari anche a quella naturale), per cui:2 2 12 2 1 2 + 1 2 1 = ; 2 4 n 2 n 2 n 2 n

dalla quale si ottiene infine:

2 1 . 2 n

55

-40 Ymax -50 Y1/2 POW

-60 Modulo (dB)

-70

-80

-90

-100 -1 10

1 100

2 101

Pulsazione (rad/s)

r

10

2

Si lascia agli studenti la possibilit di esercitarsi ricavando le formulazioni del metodo di mezza potenza con la inertanza, e nel caso di sistemi con smorzamento strutturale.1.10.2. Rappresentazione delle FRFs sul piano di Nyquist

Si gi accennato al fatto che, oltre alle usuali rappresentazioni esplicite, vi anche la possibilit di rappresentare le Funzioni di Risposta in Frequenza su un unico diagramma, detto Diagramma di Nyquist. Tale rappresentazione risulta tuttavia di tipo implicito, ovvero la variabile indipendente non compare esplicitamente nel diagramma. In sostanza, ogni sistema e ogni FRFs ha un suo diagramma (una sua curva) caratteristico nel piano di Nyquist (piano complesso: Reale-Immaginario). Le curve si ottengono facendo variare la tra 0 e infinito, contemporaneamente tutti i valori (complessi) assunti dalla FRF tracciano una curva. Quindi ogni punto della curva rappresenta un valore assunto dalla FRF in corrispondenza ad un particolare valore di , ma dalla sola analisi del grafico non assolutamente possibile risalire a tale valore.

56

In ogni caso, la distanza di tale punto dallorigine del piano complesso rappresenta il modulo della FRF; langolo che si stacca tra il semiasse reale positivo e il segmento che congiunge il punto allorigine rappresenta la fase della FRF. Per i sistemi con pi gradi di libert le curve possono avere forme assai diverse, e ad esempio tramite la forma della curva si pu avere interessanti informazioni sulla stabilit di un sistema in anello chiuso. Per i sistemi con 1 GdL tutte le FRFs dirette hanno curve che si approssimano molto a circonferenze. Sia i sistemi con smorzamento sia viscoso che strutturale sono caratterizzati da curve molto simili a circonferenze passanti per lorigine, che poi diventano vere e proprie circonferenze nel caso della mobilit nei sistemi con smorzamento viscoso e nel caso della ricettanza nei sistemi con smorzamento strutturale. Negli altri casi le differenze comunque sono minime, ad esempio nel caso della ricettanza per nei sistemi con smorzamento viscoso si ha che: 0

lim ( ( ) ) =

1 e lim ( ( ) ) = 0 ; k

questo fa s che la curva non sia perfettamente chiusa (e quindi non pu essere una circonferenza), tuttavia poich nei sistemi meccanici la rigidezza assume con facilit valori di almeno 105-106 N/m, facile vedere che se la curva non si chiude, la chiusura viene mancata davvero di poco. I grafici delle varie FRFs dirette sono riportati schematicamente qui di seguito.

57

Naturalmente si nota subito che indipendentemente dal tipo di smorzamento, i diagrammi di ricettanza, mobilit e inertanza risultano ruotati di 90 luno rispetto allaltro (e si pu notare anche un aumento delle scale negli assi Re-Im). Tutto ci lo si poteva tranquillamente desumere dai ragionamenti gi fatti sulla fase delle FRFs e, soprattutto, dallosservazione che le tre FRFs dirette si ottengono luna dallaltra tramite moltiplicazione del termine (i): lunit immaginaria quindi responsabile della rotazione dei grafici, la presenza della pulsazione , invece responsabile dellaumento del modulo

58

Si gi detto che alcune FRFs sono esattamente circonferenze: questo lo si pu facilmente dimostrare se si ricorda lequazione di una circonferenza nel piano:

(x xc )2 + ( y yc )2 = (rc )2 ,in cui x e y sono le variabili in ordinata e ascissa, (xc , yc) sono le coordinate del centro della circonferenza, rc il centro della circonferenza. Si pu quindi dimostrare che la mobilit di un sistema con smorzamento viscoso soddisfa una equazione di tale tipo. E infatti:

(k m 2 ) ic i (k m 2 ) ic Y ( ) = = = = (k m 2 ) + ic (k m 2 ) + ic (k m 2 ) ic (k m 2 ) 2 + 2 c 2 =

i

i

[

]

2 c + i (k m 2 ) 2c (k m 2 ) = +i (k m 2 ) 2 + 2 c 2 (k m 2 ) 2 + 2 c 2 (k m 2 ) 2 + 2 c 2

E quindi possibile esplicitare la parte reale e quella immaginaria della mobilit che risultano:

2c Re(Y ( )) = ; (k m 2 ) 2 + 2 c 2 (k m 2 ) Im(Y ( )) = . (k m 2 ) 2 + 2c 2Si dimostra adesso piuttosto facilmente che parte reale e immaginaria soddisfano perfettamente la seguente equazione:

1 1 2 Re(Y ( )) + (Im(Y ( )) ) = , 2c 2c ovvero che la mobilit fa parte di una circonferenza di raggio 1/(2c) e centro sullasse reale nella posizione di coordinate (1/(2c) , 0). I calcoli algebrici sono relativamente semplici e si riportano qui a seguito.2 2

2

2

2c 1 ( k m 2 ) 1 + ( k m 2 ) 2 + 2 c 2 2 c ( k m 2 ) 2 + 2 c 2 = 2 c 2 2 c 2 (k m 2 ) 2 + 2 c 2 2 c ( k m 2 ) 2 + 2 c 2

2

[

[

]

]

2 2 ( k m 2 ) 1 + = ( k m 2 ) 2 + 2 c 2 2c

2

59

2 2 c 2 (k m 2 ) 2 + 2 c 2 2 c ( k m 2 ) 2 + 2 c 2

[

(

]

)

2 ( k m 2 ) 1 + = ( k m 2 ) 2 + 2 c 2 2c 2 2

2

2

(k m 2 )2 2 c 2 2 c ( k m 2 ) 2 + 2 c 2

( [

) ]

2

(k m 2 ) 1 + (k m 2 )2 + 2 c 2 = 2c

(k m 2 ) 2 2 c 2 2 + 4c 2 2 (k m 2 ) 2 1 2 = 2 2 2 2 2 2 2c 4c (k m ) + c

(

[

)

]

(k m 2 ) 4 + 4 c 4 2 2 c 2 (k m 2 ) 2 + 4c 2 2 (k m 2 ) 2 1 2 = 2 2 2 2 2 2 2c 4c (k m ) + c

[

]

(k m 2 ) 4 + 4 c 4 + 2 2 c 2 (k m 2 ) 2 1 2 = 2 2 2 2 2 2 2c 4c (k m ) + c

[

]

(k m 2 ) 2 + 2 c 2 2 4c 2 (k m 2 ) 2 + 2 c 2

[

[

]

]

1 2 = 2 2c

da cui si ha ovviamente:

1 1 2= 4c 2c

2

e quindi la verifica di quanto su detto. Lo stesso tipo di verifica pu essere effettuata anche per la ricettanza dei sistemi con smorzamento strutturale per i quali risulta:

(k m 2 ) ih ( k m 2 ) ih = = = ( ) = (k m 2 ) + ih (k m 2 ) + ih (k m 2 ) ih (k m 2 ) 2 + h 2 1 1 (k m 2 ) h = i 2 2 2 ( k m ) + h ( k m 2 ) 2 + h 2E quindi possibile esplicitare la parte reale e quella immaginaria della ricettanza che sono:

(k m 2 ) Re( ( )) = ; (k m 2 ) 2 + h 2

60

Im( ( )) =

h ( k m 2 ) 2 + h 2

.

Si dimostra adesso piuttosto facilmente che parte reale e immaginaria soddisfano perfettamente la seguente equazione:

(Re( ( ))) + Im( ( )) + 1 = 1 , 2h 2h 2

2

2

ovvero che la ricettanza fa parte di una circonferenza di raggio 1/(2h) e centro sullasse immaginario nella posizione di coordinate (0 , -1/(2h)). I calcoli per la dimostrazione della precedete sono lasciati allo studente.1.10.3. Metodo di Mezza Potenza sul piano di Nyquist

Sfruttando la rappresentazione delle FRFs dirette sul piano di Nyquist, possibile ritrovare le stesse formule ottenibili con il metodo di mezza potenza sul piano di Bode. Nel caso della ricettanza nei sistemi con smorzamento strutturale (di cui si gi detto che la rappresentazione nel diagramma di Nyquist fa parte di una circonferenza), prendendo come riferimento la figura sottostante, possibile ottenere una relazione tra la fase della FRF e langolo riportato nella figura sottostante.

Si ricorda infatti che per la ricettanza valgono le seguenti relazioni:

( ) =

1 k m 2 + ih

=

m 2 ; 1 2 + i n 2 n

61

tan( ) =

2 . 1 2 n

Nella precedente si ricordi che si indicato con il fattore di perdita. Risulta tuttavia evidente che, essendo (/2-) e angoli rispettivamente alla circonferenza e al centro insistenti sullo stesso arco ,vale anche:

2 1 2 n tan = tan = . 2 2Si comunque detto che la determinazione del valore della tangente non consente di trovare univocamente la fase, a causa della periodicit di della funzione tangente. Si ha comunque che se si indicano con a e b, due pulsazioni rispettivamente pi grande e pi piccola della pulsazione di risonanza (pari a quella naturale), si ha che valgono le seguenti relazioni:

b2 1 2 n b tan = ; 22 a 1 2 a n tan = . 2

Dalle precedenti si ottiene facilmente:

=

2 n tan

2 a b2 a b ;

+ tan 2 2

da cui, se il sistema poco smorzato, si pu passare alla seguente espressione:

=

2 n tan

2 a b2 a b

2( a b )

+ tan 2 2

n tan

a . + tan b 2 2

Tale relazione vale qualunque siano le pulsazioni a e b, ma se si considerano le pulsazioni di mezza potenza, per le quali si dimostra semplicemente che vale a=b=/2, si ottiene: 62

( a b )

n

;

che la stessa espressione del metodo di mezza potenza che si sarebbe ottenuta facendo riferimento al piano di Bode. Nel caso della mobilit dei sistemi con smorzamento viscoso, con procedimenti del tutto analoghi ai precedenti, possibile ottenere una relazione tra la fase della FRF e langolo al centro caratteristico di ogni punto della mobilit. Per tale sistema risulta infatti:

Y ( ) =

i i = = 2 (k m) + ic ( k m) + ic2

i ( k 2 m ) i c 2 c + i ( k 2 m ) = = ; (k 2 m) + ic ( k 2 m) ic ( k 2 m) 2 + 2 c 2

(

( )(

) ) (

)

ed quindi evidente che, essendo la parte reale di Y() sempre maggiore di zero, la sua fase compresa nellintervallo [-/2, /2] e quindi non c ambiguit di segno nella arcotangente (cos come invece succede per la ricettanza ()). Quindi:

k m 2 2 2 Im(Y ( )) k m m m = n = = tan( ) = c Re(Y ( )) 2n ; c m2

2 n 2 k 2m = arctan c = arctan 2 n

.

Le precedenti relazioni valgono senza restrizioni per tutte le . Inoltre, riferendosi alla figura nella pagina successiva, facile verificare che:

tan( ) = tan ; 2e quindi anche:2 2 n tan = . 2 n 2

63

Im(Y)

crescentiY()

Re(Y)

Dimostrazione semplice:

Considerando ancora una volta a e b, due pulsazioni rispettivamente pi grande e pi piccola della pulsazione di risonanza (pari a quella naturale), si ha che valgono le seguenti relazioni:

a a = b b = 2

2

a =

4

tan( a ) = 1 ;

b =

4

tan( b ) = 1 ;

Da cui seguono immediatamente le seguenti:2 2 n a 2 2 a 1 = 2 a n = n a 2 a n

2 n b2 2 2 b 1 = 2b n = n b 2b n

Sottraendo le due precedenti:2 b2 a = 2 n ( a + b )

Da cui2 a b2 1 ( a b ) = = 2 n ( a + b ) 2 n

Dimostrazione generale

64

Si definiscono due valori qualsiasi di , indicati come a e b, a cui corrispondono le fasi a e b. Sottraendo la tangente della fase a dalla tangente di b si ottiene:2 2 n b2 n2 a tan( b ) tan( a ) = . 2b n 2 a n

Eseguendo semplici passaggi algebrici si ha che:

2 2 2 a ( n b2 ) b ( n a ) tan( b ) tan( a ) = ; 2 a b n

2 2 2 2 2 a b n (tan( b ) tan( a ) ) = a ( n b ) b ( n a ) ; 2 2 a ( n b2 ) b ( n2 a ) 1 = ; (tan( b ) tan( a )) 2 a b n 2 a n a b2 b n2 + b a2 1 = ; (tan( b ) tan( a ) ) 2 a b n

a b ( a b ) + n2 ( a b ) 1 = ; (tan( b ) tan( a ) ) 2 a b n2 ( a b )( a b + n ) 1 = ; (tan( b ) tan( a )) 2 a b n 2 ( a b ) ( a b + n ) 1 = . (tan( b ) tan( a ) ) n 2 a b

Infine si ottiene la seguente relazione:

n2 1 + ( a b ) a b 1 = (tan( b ) tan( a )) n 2

.

Quando a e b sono quelle di mezza potenza, si dimostra facilmente che il primo fattore vale 1/2. Si pu inoltre dimostrare senza troppa fatica (riferendosi alla terza e quarta formula dallalto a pagina 53 al posto di a e b ci sono 1 e 2) che:2 ab = n .

Quindi dalla formulazione precedente si ottiene che:

65

=

1 ( a b ) ; 2 n

che la stessa espressione del metodo di mezza potenza che ottenuta facendo riferimento al piano di Bode.

1.11. Strumenti sismiciPer capire leffettivo utilizzo delle Funzioni di Risposta in Frequenza, seguono alcuni esempi di applicazioni che possono fornire le linee guida per la realizzazione di strumenti di misura di spostamenti e accelerazioni e per una valutazione dellefficacia delle sospensioni. Prima di parlare pi in dettaglio delle prime applicazioni necessario premettere la definizione di strumento di misura: Se si indica con ingresso il valore della grandezza da misurare (spostamenti, velocit temperatura, differenza di potenziale, ecc), e con uscita la grandezza che si va a leggere per determinare il valore numerico della grandezza misurata (la posizione angolare della lancetta del contachilometri, laltezza del mercurio in un termometro, il tracciato di un grafico su carta, ecc), uno strumento di misura perfetto quello strumento che assicura una relazione di perfetta proporzionalit tra ingresso e uscita. Ovvero anche in termini numerici: u(t)=ki(t), ovvero ancheu (t ) =k i (t ) o i (t ) 1 = = k' . u (t ) k

La stessa costanza del rapporto tra ingresso e uscita deve valere naturalmente anche nel dominio delle frequenze (ovvero I()/U()=cost.). A esempio, ad ogni cm di innalzamento del livello di mercurio corrisponde un aumento della temperatura di 1oC, per cui se ci sono 20oC la colonna di mercurio alta 20 cm, se ci sono 30oC la colonna di mercurio alta 30 cm, se ci sono 40oC (il doppio di 20oC) la colonna di mercurio alta 40 cm (il doppio della altezza del mercurio quando cerano 20oC).o i (t ) 20 o C 30 o C C 40 o C = = o = o =1 '. u (t ) 20cm 30 cm 40 cm cm

In pratica, misurando (anche visivamente tramite laiuto di scale graduate) la grandezza di uscita e moltiplicandola per la costante precedentemente individuata (compresa di unit di 66

misura) si ottiene il valore la grandezza che si vuole misurare. La costante si chiama sensibilit dello strumento. Praticamente nessuno strumento pu soddisfare perfettamente questa relazione, sia al variare del valore della grandezza da misurare, sia al variare del contenuto in frequenza di questultima. Tuttavia vi sono delle considerazioni che ci permettono di sapere in che condizioni uno strumento pu considerarsi uno strumento di misura (ammettendo un errore massimo), o anche di scegliere (o di dimensionare) lo strumento giusto a seconda di cosa si vuole misurare. Uno strumento sismico pu essere modellato come un semplice sistema massa-mollasmorzatore viscoso; tale sistema fissato ad un basamento mobile. Sono proprio le caratteristiche del moto del basamento le grandezze di ingresso dello strumento (di solito spostamento e accelerazione). La grandezza di uscita il grafico lasciato da un pennino solidale alla massa su un nastro di carta che scorre su un supporto solidale al basamento. La grandezza di uscita dunque la differenza (x-y), ovvero il grafico che riporta gli spostamenti (relativo) della massa rispetto al basamento. Se ci si ripropone di misurare lampiezza delle vibrazioni del terreno, allora si intende dimensionare (ovvero scegliere opportunamente m, k e c) lo strumento sismico affinch funzioni come un sismografo. Se invece lintenzione quella di misurare laccelerazione del basamento, allora lo strumento si chiamer accelerometro. Si vedr che con lo stesso modello matematico, ma per diversi valori delle costanti del sistema, si pu dimensionare sia un sismografo che un accelerometro, ma il loro funzionamento sar ottimale solo per ingressi caratterizzati da particolari contenuti in frequenza. Inoltre, dalle stesse applicazioni, appariranno chiari i limiti della realizzazione pratica di strumenti di tale tipo; tuttavia i risultati di tali analisi saranno importanti per la realizzazione di strumenti che lavorano con principi di funzionamento diversi (es. piezoelettrici), ma con le medesime caratteristiche meccaniche.

67

m

x

x-y c ky=Y0e i t

Per dimensionare uno strumento sismico affinch funzioni da sismografo si avr che lingresso del sistema sar lo spostamento del basamento y, mentre luscita sar il grafico su carta (x-y). Come spostamenti si considerano solo funzioni armoniche, in quanto comunque possibile scomporre il generico tipo di spostamento in somme o integrali di spostamenti armonici, e sfruttando le propriet di linearit del sistema trovare cos la soluzione. Per determinare le equazioni di moto del sistema, poich il basamento si muove, basta osservare che le forze esercitate da molla e smorzatore dipendono dalla loro deformazione& & (x-y) e velocit di deformazione (x-y) . Si ha quindi che:

& & m&& = k (x-y ) c( x-y ) ; xSi noti che, anche in questo caso lequazione lineare. Da quanto detto in precedenza si dovr verificare quando la seguente relazione:I0 I e i t Y0 e it Y0 e it Y0 i (t ) y (t ) = = = = ( ) = 0 it = ( ) . i t i t i t U0 u (t ) (x y )(t ) ( X 0 Y0 ) ( X 0 Y0 )e U 0e X 0 e Y0 e

(

)

Si ha infatti che se y(t)=i(t) una funzione armonica di pulsazione , per la linearit del sistema anche x(t) dovr essere armonica alla stessa frequenza (lampiezza delle oscillazioni assolute della massa naturalmente sar funzione della pulsazione ), e cos pure luscita u(t), essendo somma di due funzioni armoniche alla medesima frequenza. Inserendo nellequazione di moto le ipotesi sugli spostamenti si ha che:

2 mX 0 e i t = k ( X 0 -Y 0 )e i t ic ( X 0 -Y 0 )e i t ;da cui si ha che la relazione seguente deve sempre essere verificata: 68

2 mX 0 + ic ( X 0 -Y0 ) + k ( X 0 -Y0 ) = 0 .Ma dalle precedenti risulta anche:Y0 = I 0 , U 0 = X 0 Y0 X 0 = U 0 + Y0 ,

per cui la precedente relazione si pu riscrivere come segue:

2 m(U 0 + I 0 ) + icU 0 + kU 0 = 0 .Da cui seguono direttamente:

2 mU 0 + icU 0 + kU 0 = 2 mI 0 ;U0 I0 2m k 2 m + ic ( ) = ( ) = e . I0 2 m + ic + k U 0 2mDa questa relazione discende immediatamente che il rapporto tra ingresso e uscita dello strumento sismico non pu mai essere costante, ma si rivela una funzione della pulsazione

. Se quindi uno strumento cos fatto non pu essere un perfetto strumento di misura, possibile trovare un campo di frequenze per cui il sistema si comporti praticamente come tale (con errori massimi controllabili, ad es. 1-2% della lettura). Inoltre, con la conoscenza delle precedenti relazioni, anche possibile adattare tale intervallo di frequenze, che viene detto campo di linearit dello strumento, alle esigenze della specifica operazione di misura. In ogni caso, per fare si che uno dei precedenti rapporti (ad es. il primo) sia pressoch costante, necessario che il numeratore risulti dello stesso ordine del denominatore. Daltra parte il numeratore del rapporto U0/I0 evidentemente del secondo ordine, e nessuna manipolazione algebrica potr cambiare tale fatto. Per quanto riguarda il denominatore, esso invece la somma di 3 termini: del secondo e primo ordine rispetto alla pulsazione, e un termine costante. Se il termine del secondo ordine fosse dominante rispetto agli altri due, allora anche il denominatore sarebbe, senza commettere errori troppo elevati, assimilabile ad un termine del secondo ordine, per cui si avrebbe:

U0 2m 2m ( ) = = 1 . se m>>c e m>>k I0 2 m + ic + k 2 m2 2

Daltronde le precedenti condizioni si esplicitano anche in:

2 m >> k 2 >>

k 2 = n ; m69

ovvero tale condizione equivale a dire che lo strumento si comporta bene come sismografo se le pulsazioni caratteristiche degli spostamenti del terreno sono molto maggiori della pulsazione naturale del sistema. Inoltre, se lobiettivo di abbassare al massimo tale limite, opportuno costruire un sismografo con bassa rigidezza e una grande massa. Laltra condizione (2m>>c ) pu essere molto bene soddisfatta se si limita al massimo lo smorzamento del sistema, al limite imponendo c=0. Quando parleremo dellaccelerometro si capir anche come una scelta di questo tipo potrebbe non essere ottimale, ma comunque questo di solito quello che si ricerca effettivamente per i sismografi. In pratica, se queste condizioni sono soddisfatte, il rapporto tra ingresso e uscita vale 1, il che significa che sul tracciato sulla carta si ritrover lesatto diagramma degli spostamenti del terreno, ma rovesciato (ad es. il massimo innalzamento del terreno, corrisponde al minimo del tracciato). La precedente osservazione si giustifica con il fatto che se la massa grande, e rigidezza piccola, lo smorzamento nullo, gli spostamenti del terreno non riescono ad eccitare a sufficienza la massa (attraverso la molla e lo smorzatore), per cui questa, dotata tra laltro di grande inerzia, funge da riferimento inerziale (fisso). Quindi in pratica la massa con il pennino sono praticamente fissi nello spazio, mentre il terreno con la carta si muovono sotto di essi. E per questo che il diagramma su carta una perfetta riproduzione rovesciata degli spostamenti del terreno. Tutti i sismografi seguono queste indicazioni generali sulle caratteristiche meccaniche (massa, rigidezza e spostamento), ma una realizzazione che segua fedelmente il nostro schema in effetti non pu soddisfare le normali esigenze di misura. Infatti se volessimo andare a misurare con precisione spostamenti caratterizzati dalla frequenza di 1 Hz, si avrebbe che essendo =2f=21=2 rad/s, la pulsazione naturale del sistema dovrebbe essere molto inferiore a tale valore. Imponendo ad esempio n =2 rad/s, valore che poi non tanto pi piccolo della pulsazione degli spostamenti del terreno, si avrebbe:2= k k = 4m . m

Se la massa del sismografo fosse ad esempio 1 kg, allora la rigidezza della molla dovrebbe essere di 4 N/m (che un valore estremamente basso). I problemi derivano dal fatto che se pensiamo di porre una massa di 1 kg sopra una molla di 4 N/m, vuol dire esercitare su essa una forza pari a mg10 N, il che determina una compressione della molla di ben 2.5 m (pari 70

alla deflessione statica (mg)/k). In pratica quindi, se il sismografo per funzionare bene deve avere un basso valore della sua pulsazione naturale, allora il valore m/k deve essere alto, e quindi notevole anche la sua deflessione statica. E per tale motivo che difficilmente si vedr un sismografo costituito da una massa posta sopra una molla ad elica come nel nostro modello, tuttavia tutti i sismografi saranno sistemi con una notevole massa, uno smorzamento quasi nullo, e una rigidezza molto, molto bassa nel senso del moto. Si inoltre individuata anche la curva caratteristica dello strumento, ovvero la legge17:

U0 2m ( ) = . I0 2 m + ic + kTale funzione non altro che una nuova Funzione di Risposta in Frequenza (o di Trasferimento) del sistema. Si pu inoltre facilmente osservare che a meno del termine moltiplicativo (-m), tale FRF identica alla inertanza. Gli andamenti asintotici sono quindi gli stessi, anche se il diagramma del modulo sar traslato verso lalto della quantit 20log10(m), mentre la presenza del segno meno (-) ci fa capire come la fase di tale funzione dar sfasata di rispetto a quella dellinertanza. Si pu quindi notare come, dai ragionamenti svolti in precedenza, come la zona delle alte sia quella ottimale per il funzionamento dello strumento; lo stesso avremmo potuto capirlo semplicemente analizzando il diagramma di Bode (diagramma del modulo). Troviamo infatti che la zona delle alte frequenze caratterizzata da un asintoto orizzontale, il che ci fa capire come pi la pulsazione cresce, pi il rapporto tra uscita e ingresso tende ad un valore costante.

17

In effetti la curva caratteristica sarebbe la funzione inversa

(I 0

U 0 )( ) , ma si scelto di ragionare sulla funzione

su riportata per la sua somiglianza con linertanza. Se poi si conosce landamento di una funzione, trovare landamento della reciproca un esercizio molto semplice.

71

20

10

0 Modulo (Uo/Io)

-10

-20

-30

-40 0 10

10

1

10 Pulsazione (rad/s)

2

10

3

Per quanto riguarda laccelerometro, lo schema di riferimento per lo strumento lo stesso, e quindi pure lequazione di moto la stessa. Varia invece la grandezza che si vuole misurare, ovvero lingresso che deve essere riportato tramite un diagramma perfettamente proporzionale sul grafico su carta (x-y). Anche in questo caso si considerano solo spostamenti armonici, peri i quali risulta:

x (t ) = X 0 e it e &&(t ) = 2 X 0 e it = 2 x (t ) . x Si ha quindi che per quello che riguarda luscita dello strumento, non ci sono differenze rispetto al caso del sismografo:

u (t ) = (x y )(t ) = ( X 0 Y0 )e it = U 0 e it .Nel caso dellaccelerometro invece lingresso sar laccelerazione per cui si avr:

i (t ) = &&(t ) = 2Y0 e it = ( 2Y0 )e it = I 0 e it . yDalle pretendenti si avr quindi:&&(t ) 2Y0 e it I0 I 0 e i t 2Y0 e it Y0 i (t ) y = = = = = 2 ( ) = ( ) , i t i t i t i t U0 u (t ) (x y )(t ) ( X 0 Y0 ) ( X 0 Y0 )e U 0e X 0 e Y0 e

(

)

con la quale si potrebbe gi concludere poich, a meno del termine 2, la precedente funzione la si era determinata gi nel caso del sismografo. In ogni caso si gi detto che lequazione di moto sempre la seguente:72

& & m&& = k (x-y ) c( x-y ) . xDallequazione di moto, inserendo le ipotesi fatte sugli spostamenti, si ottengono ancora:

2 mX 0 e it = k ( X 0 -Y0 )e it ic ( X 0 -Y0 )eit ; 2 mX 0 + ic ( X 0 -Y0 ) + k ( X 0 -Y0 ) = 0 .Ma dalle precedenti risulta anche:

2Y0 = I 0

, U 0 = X 0 Y0 X 0 = U 0 + Y0 = U 0

I0

2

,

per cui la precedente relazione si pu riscrivere come segue:

I 2 mU 0 02 + icU 0 + kU 0 = 0 . Da cui seguono:

2 mU 0 + icU 0 + kU 0 = mI 0 ;I0 U0 m k 2 m + ic ( ) = ( ) = e . I0 2 m + ic + k U 0 mAnalizzando la prima relazione, si pu facilmente vedere che se i termini di primo e secondo ordine del denominatore fossero trascurabili rispetto al termine costante, allora lintero rapporto sarebbe costante. Le precedenti ipotesi sono esplicitate dalle seguenti formulazioni: k>>2m; k>>c. Per quanto riguarda o smorzamento, come nel caso del sismografo, potrebbe dirsi in prima approssimazione che un buon accelerometro potrebbe essere un sistema con smorzamento nullo. Inoltre la prima condizione ci direbbe che:k >> 2 m 2 >4m2 (del tutto equivalente a k>>2m, relazione gi trovata in precedenza); c2-2km=0 (se viene verificata tale condizione, i termini in 2 si elidono perfettamente). La seconda relazione equivale a dire:c 2 = 2km c = 2km c 2km =1 = c 2 km = 1 2 = 0.707... ;

ovvero significa che lo smorzamento ottimale per un accelerometro sarebbe quello che consente di avere uno smorzamento adimensionale del sistema pari a circa 0.7. In sostanza un accelerometro funziona bene se le pulsazioni caratteristiche degli spostamenti sono basse rispetto alla pulsazione naturale. Per ampliare quindi il campo di funzionamento dello strumento sarebbe quindi necessario aumentare il pi possibile il valore della pulsazione naturale del sistema, ovvero costruire uno strumento sismico 74

(accelerometro) costituito da una molla molto rigida e caratterizzato da una massa molto bassa. Sono quindi evidenti i motivi per cui uno strumento sismico non viene di solito utilizzato per misurare le accelerazioni. Risulta infatti, se lo strumento fosse costruito correttamente:

U0 m m ( ) = . I0 2 m + ic + k kSe la pulsazione naturale deve essere molto elevata, allora il rapporto m/k deve essere molto basso, il che significa che per un accelerometro sismico risulta molto basso il rapporto uscita/ingresso, ovvero che ci vogliono segnali in ingresso (accelerazioni) molto grandi, per provocare una uscita (un tracciato su carta) che sia leggibile. Tanto per fornire qualche valore numerico: se la massa dellaccelerometro fosse di 10 g (molto bassa), e la rigidezza della molla fosse di 105 N/m (non troppo elevata), la pulsazione naturale sarebbe di circa 3000 rad/s (circa 500 Hz). Ci vuol dire che lo strumento difficilmente potrebbe essere utilizzato per misurare accelerazioni con frequenza superiore a poche decine di Hz (mentre di solito nelle misurazioni meccaniche necessario arrivare almeno a 200-500 Hz). Quindi, nonostante lo strumento abbia scadenti prestazioni dinamiche per le alte frequenze, il rapporto ingresso uscita varrebbe 107 m/(m/s2) ovvero circa 103 mm/g, il che significa che una accelerazione armonica di modulo pari a g (accelerazione di gravit non eccessivamente bassa) determinerebbe grafici su carta dellampiezza del micron (millesimo di millimetro). E per questo motivo che gli accelerometri reali non sono mai costituiti effettivamente da una massa e una molla sovrapposti, ma sono comunque strumenti caratterizzati da una massa molto bassa e da una rigidezza molto elevata.1.11.1. Accelerometro piezoelettrico

Laccelerometro piezoelettrico uno degli strumenti pi utilizzati per le misure meccaniche di tipo dinamico. Prima di analizzare nel dettaglio il funzionamento di questo strumento necessario descrivere la propriet di piezoelettricit caratteristica di alcuni cristalli (es. quarzo) e di molti altri materiali sintetici: tale propriet si esplica nel fatto che sulle superfici esterne di tali materiali, quando sottoposti a sforzi di trazione o compressione, si determinano delle distribuzioni di cariche non globalmente neutre. 75

Un materiale piezoelettrico infatti costituito da un insieme di molecole polari; quando il cristallo non sottoposto ad alcuno sforzo lorientazione delle molecole del tutto casuale, per cui sulle superfici esterne si affacciano molecole con i dipoli orientati in maniera casuale, e quindi questa sono elettricamente neutre. Quando invece il cristallo sottoposto ad uno sforzo, ad es. di compressione, le molecole tendono ad assumere una orientazione caratteristica, per cui vi saranno zone della superficie esterna in cui ci sar un eccesso di cariche negative, mentre su altre vi sar una prevalenza di cariche positive (anche se globalmente il cristallo rimane neutro). Inoltre, pi aumenta la sollecitazione applicata al cristallo, maggiore sar il numero di molecole che si allineano. Da quanto detto esiste una forza limite che determina la saturazione del cristallo, ovvero una forza per la quale tutte le molecole sono allineate.

Eccesso di cariche positive+ +

+

+

+ +

+

+ +

+

Eccesso di cariche negative+ + +

-

-

-

+

+

+

-

+

+

-

-

Eccesso di cariche negative

-

-

Eccesso di cariche positive

Cristallo piezoelettrico non caricato

Cristallo piezoelettrico compresso

Cristallo piezoelettrico teso

Polarizzazione in alcuni materiali sintetici

Polarizzazione nei materiali naturali

Sfruttando tale propriet si riesce a misurare laccelerazione infatti laccelerometro piezoelettrico pu essere schematizzato sfruttando lo schema riportato di seguito.

76

Molla di precarico

Massa sismica

Cassa

++ + + + + + + ++ + + + + + + ++

Amplificatore di carica Polo positivo

Cristallo pie zoelettrico 1-- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -

VPolo negativo

Cristallo pie zoelettrico 2++ + + + + + + ++ + + + + + + ++

Alime ntazione

Laccelerometro costituto da una scatola metallica o cassa (conduttrice) che va fissata tramite colla, cera dapi, magneti o collegamento filettato alloggetto di cui si vuole misurare laccelerazione (monoassiale). Allinterno della cassa ci sono due cristalli metallici contrapposti separati da una lamina metallica. Al di sopra dei cristalli vi una ulteriore lamina metallica a contatto con la massa sismica (piccola, e di materiale conduttore). Questo pacchetto viene tenuto compresso da una molla anchessa in materiale conduttore. Va subito osservato che la rigidezza del sistema elevata in quanto questa dipende dalla rigidezza dei cristalli, della scatola e dalla molla di precarico, e questultima viene progettata proprio per essere estremamente rigida (non a caso non si usano molle a spirale). Si gi detto che la massa della massa sismica molto bassa (a volte frazioni di grammo), e non sono presenti elementi smorzanti. Quindi il sistema soddisfa perfettamente tutte le caratteristiche meccaniche che servono per realizzare un buon accelerometro. Si frutta quindi la propriet dei cristalli piezoelettrici per evitare il problema di dover leggere laccelerazione su grafici microscopici (vedi accelerometro sismico): in questo caso lo strumento ha in uscita la carica elettrica che si dispone sulla lamina intermedia tra i due cristalli. In pratica si ha che, essendo il sistema molto rigido, il moto del corpo di cui si vuole misurare laccelerazione viene impresso tale e quale anche alla massa sismica. Tale massa 77

quindi sottoposta alla sua forza di inerzia, proporzionale alla accelerazione tramite la costante m. Tale forza si scarica quindi, insieme alla forza di precarico, sui cristalli piezoelettrici e quindi sulle superfici si determinano distribuzioni di carica (tra le facce) proporzionali alla forza applicata. Misurando quindi la carica elettrica, si pu misurare la forza di inerzia; essendo questultima perfettamente proporzionale alla accelerazione, lo stesso strumento che misura la forza di inerzia pu essere quindi utilizzato per misurare laccelerazione. Laccoppiamento di due cristalli piezoelettrici contrapposti (invece che uno solo) serve per isolare elettricamente la lamina intermedia dal mondo esterno (a contatto con la cassa). Va inoltre chiarito che quindi il pacchetto lamine-cristalli si comporta meccanicamente come una serie di due condensatori (elettricamente in parallelo); da ci segue che: forze a bassa frequenza, quasi statiche o statiche come la forza di precarico non possono essere misurate. In particolare le forze costanti determinerebbero in teoria distribuzioni di carica costanti che tuttavia, poich i cristalli piezoelettrici costituiscono dei dielettrici non perfetti, tendono a scomparire assai rapidamente. Lo stesso accade per forze che variano molto lentamente. se le distribuzioni di carica determinano una differenza di potenziale a circuito aperto tra i capi dei poli positivo e negativo, non per possibile misurare tale grandezza direttamente con un voltmetro. Il voltmetro infatti chiuderebbe il circuito e quindi in una frazione infinitesimale di secondo gli elettroni in eccesso sulla lamina negativa (sulla scatola) verrebbero richiamati a neutralizzare le cariche positive sulla lamina tra i cristalli. In un istante quindi il condensatore si scaricherebbe. E quindi necessario utilizzare un amplificatore di carica, ovvero uno strumento in grado di leggere le cariche mantenendo ape