Discreate 02 1 Algorithms Integers and...

อ.สขสนต บวฉม

โปรแกรมวชาคอมพวเตอร มหาวทยาลยราชภฎลาปาง

E-mail : [email protected]

Tel. 0-19524746

Algorithms

21/08/49 บทท 2, อ.สขสนต บวฉม หนา 3

• คาวา “Algorithm” นน ศพทบญญตของราชบณฑตยสถานใชคาวา

“ขนตอน” ซงถาจะขยายความอยางไมเปนทางการ กคอขนตอนวธการ

แกไขปญหาเชงคานวณดวยดอมพวเตอร

• ถงแมวา “Algorithm” มความหมายดงกลาว แตเปนคาทมาจากคาวา

“Al-Khwarizmi” ซงเปนนกคณตศาสตร เพอเปนใหเกยรตนก

คณตศาสตรทานน


• คาวา “Algorithm” มาจากชอของนกคณตศาสตรชาว

เปอรเซย Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi

เกดเมอประมาณป 780 ในเมอง Baghdad (now in Iraq)

เสยชวตเมอประมาณป 850 เปนผเขยนหนงสอเกยวกบ

เรองของจานวนของชาวฮนดและอาหรบ “Algoritmi de

numero Indorum” (ภาษาลาตน) ซงแปรวา “Al-khwarizmi

on the Hindu Art of Reckoning” (ภาษาองกฤษ) เขาเปนผ

เรมใชเลขศนยในระบบทศนยม นอกจากนคาวา “algebra”

กมาจากคาวา “al-jabr” ซงเปนคาในชอหนงสอทาง

พชคณตของเขาอกเลมหนง เชนกน

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html


• ศกษาจากตวอยาง

• ขอด กคอ ยงรตวอยางมาก กรแนวทางหลากหลายซงพรอมทจะประยกตกบ

ปญหาใหมทจะพบในอนาคต แตกม

• ขอเสย ทวาจะยดตดกบกลวธเกา ๆ ไมคอยยอมคดอะไรแผลง ๆ ใหม ๆ

(จงมกพบบอย ๆ แนวคดแปลก ๆ ใหม ๆ มาจากคนนอกวงการ)


• รจกขอปญหาทสนใจ

• รจกเลอกกลวธการออกแบบ

• รจกเลอกใชโครงสรางขอมลทเหมาะสม

• และทสาคญ ตองรจกวเคราะหดวยวาผลทไดออกแบบไวดเลวเพยงใด

• ดงนนกอนทจะเขาสเรองราวทางอลกอรทมนน ผเรยนจะตองมพนฐาน

ทางการเขยนโปรแกรม โครงสรางขอมล และ คณตศาสตรดสครต


• “อาน + คด + ทา + ถาม” ใหมากกวา “ฟง + บน + สอบ + ทง”

• วชาทางสาขานไมใชมานงฟง จา และกสอบ การศกษาจะไดผลด (ตอตว

นกเรยนเอง) กคอตองอาน คด ทา และถาม (สวนการเขาเรยนและการเขา

สอบนนเปนเรองของระเบยบและกฎเกณฑ) เราสามารถเจาะเนอหาใน

รายละเอยดจากการอานตารา ฝกสมองจากการคดระหวางการทาแบบฝกหด

ฝกฝมอจากการทาการบานการเขยนโปรแกรม และสรางความกระจางใน

เนอหาจากการถามและถกเถยงกบผอน



• ทเราจะพดกนเปนปญหาทคานวณหาคาตอบได (computational problem)

หรออกนกหนงกคอปญหาทใชคอมพวเตอรแกไขหาคาตอบใหได

• อาทเชน ปญหาการหาตวนอยสด ปญหารการทดสอบจานวนเฉพาะ ปญหา

การใหสจดยอกของกราฟ ปญหาการหาตวหมมาก การเรยงลาดบขอมล และ

อน ๆ อกสารพด

• การบรรยายลกษณะของปญหา จะตอง

– ระบลกษณะของขอมลขาเขา (ขอมลทใชประมวลผล)

– ระบลกษณะของผลทตองการใหชดเจน


• ปญหาการหาคานอยทสด :

– ขอมลขาเขา : เซตของจานวนจรง S ={a1, a2, …, an}

– ผลทตองการ : ak โดยท ak ≤ aj สาหรบคา j =1, 2, …, n (คาทนอยทสดจากกลม

ของขอมลขาเขา)

• เชน

– ขอมลขาเขา : 1, 3, 2, 7, 9, 0, 3, 5

– ผลทตองการ : 0


• 1. ปญหาทางเซต ลาดบ และสตรง (set sequence and string problems) เชน

การเรยงลาดบ(sorting) การคน(searching) การเลอก(selection) การแบงสวน

(partitioning) เปนตน

• 2. ปญหาเชงจานวน (numerical problems) เชน การทดสอบความเปน

จานวนเฉพาะ(primality testing) การแยกตวประกอบ(factorization) การยก

กาลง(exponentiation) การคณเมทรกซ(matrix multiplication) การสราง

จานวนสม(random number generation) เปนตน


• 3. ปญหาทางกราฟ (graph problems) เชน สภาพเชอมโยง(connectivity)

ตนไมแบบทอดขามเลกสด(minimum spanning tree) วถสนสด(shortest path)

การไหลในขายงาน(network flow) การเดนทางของพนกงานขาย(traveling

salesperson) การใหสกราฟ(graph coloring) เปนตน

• 4. ปญหาทางเรขาคณตเชงคานวณ (computational geometry problems) เชน

เปลอกนน(convex hull) จดใกลกนทสด(closest point) การสามเหลยม

(triangulation) เปนตน


• http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/ConvexHull.html

• http://www.cse.unsw.edu.au/~lambert/java/3d/hull.html


• ถาอลกอรทม a ถกออกแบบไวแกปญหา p สงท a รบเปนขอมลขาเขา กคอ

ขอมลทเปนไปไดของ p

• ขอมลขาเขาตวหนง ๆ ของ p วาเปน “ตวอยางปญหา” หรอ “ตวอยางขอมล

ขาเขา” หรอ “Instance”

• เชน

{4, 3, 6, 7, 10, 44, 2, 5, 9} เปนตวอยางหนงของปญหาการหาคามากทสด


• ให f(n) เปนฟงกชนทแทนประสทธภาพของอลกอรทมหนง ดงนน

n คอ ขนาดของตวอยางปญหาทอลกอรทมนนนาไปใชประมวลผล

• ตวอยาง

{4, 3, 6, 7, 10, 44, 2, 5, 9} เปนตวอยางปญหาหนงทม n เทากบ 9 ตว

• ปญหาการหาคานอยทสด

– ขอมลขาเขา : {a1, a2, a3,…, an}

– ขนาดของตวอยางปญหา : ______n


• คอ ลาดบของขนตอนเชงคานวณซงแปลงตวอยางขอมลขาเขาของปญหา ไป

เปนผลลพธทตองการ

“ขนตอนตาง ๆ ตองสามารถแปลงไปเปนคาสงททางานดวยคอมพวเตอรได”

• อลกอรทมทด

– ใชสาหรบแกไขปญหาได

– ทางานไดถกตองเสมอทกกรณ

– การทางานตองมประสทธภาพ(มองเรองของเวลาทใชในการทางาน)

– งายตอการนาไปเขยนเปนโปรแกรม


• สาหรบจานวนเตมบวก

01: findmin(int A[1..n])02: {03: min = A[1]04:05: for (i = 2 to n)06: if (A[i]<min) then min = A[i]07: Return min08: }


21/08/49 บทท 2, อ.สขสนต บวฉม หนา 19 21/08/49 บทท 2, อ.สขสนต บวฉม หนา 20

ทง 3 โปรแกรมนไดผลลพธ

เหมอนกน แตโปรแกรมไหน

นาใชมากทสด และ มหลกการ

พจารณาอยางไร


• Linear search หรอ Sequential search



• ใหคนหา 19 จากเทอมตอไปน 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22,

• แบงเทอมออกเปน 2 เทอม

• 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22, นาคาทมากทสดจากเทอมแรกมาเปรยบเทยบกบคาทเราตองการคนหา 10 < 19 จรง ใหขยบไปทเทอมสอง และกนามาแบงครงอก จะได

• 12 13 15 16 18 19 20 22, เปรยบเทยบ 16 < 19

• 18 19 20 22, เปรยบเทยบ 19 < 19

• 18 19, เปรยบเทยบ 18 < 19 ซงเปนเทอมสดทาย กทาใหออกจากวงรอบ และนามาเปรยบเทยบกบคา x วาเทากนหรอเปลา ถาเทากนก return คา ตาแหนงออกมา ถาไมเทา return คา 0 ออกมา


• List all the steps used by Algorithm 1 to find the maximum of the list

1, 8, 12, 9, 11, 2, 14, 5, 10, 4.

Primes Number


• นยาม จานวนเตมบวก p ทมคามากกวา 1 เปนจานวนเฉพาะ กตอเมอมแต 1

และ p เทานนทหาร p ลงตว

• สวนจานวนเตมทมคามากกวา 1 ทไมใชจานวนเฉพาะนน เรยกวา

จานวนประกอบ (Composite Number)

• เชน จานวนเฉพาะท นอยกวา 100 คอ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97.


• ถา n เปนจานวนประกอบแลว n ตองมตวประกอบเฉพาะตวหนงทมคา

ไมมากกวา

• พสจน : เนองจาก n เปนจานวนประกอบ เราสามารถเขยน n=ab ไดโดย

ท a และ b เปนจานวนเตม ≤ b < n จะพบวา a ≤ เพราะวา ถา

a > และ a ≤ b แลว ab > n ดงนน a ≤ ถา a เปนจานวนประกอบ

ตวประกอบเฉพาะของ a ยอมเปนตวประกอบเฉพาะของ n ดวย ดงนน

ตวประกอบเฉพาะของ n ตองมคาไมเกน

n

n

n

n

n


• จานวนเฉพาะเปนองคประกอบพนฐานของจานวนเตมทงหลาย กลาวคอ

เราสามารถเขยนจานวนเตมใดๆ ไดดวยผลคณของจานวนเฉพาะ (เรยกวา

เปนการแยกตวประกอบแบบจานวนเฉพาะ – prime factorization)

• เชน 15 = 3*5

1000 = 2 * 2 * 2 * 5 * 5 = 23 52


• จงแยกจานวนเฉพาะทตวประกอบกนแลวไดจานวนตอไปน 100, 641, 999

และ 1024

• 100 = 2 ∗ 2 ∗ 5 ∗ 5 = 2 5

• 641 = 641

• 999 = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 37 = 3 ∗• 1024 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 10


• จงแยกจานวนเฉพาะทตวประกอบกนแลวได 7007

ตอบ

• 7007 / 7 = 1001

• 1001 / 7 = 143

• 143 / 11 = 13

• ∴ 7007 = 7 ∗ 7 ∗ 11 ∗ 13 = 2∗ ∗

Greatest Common Divisors&

Least Common Multiples


• กาหนดให a และ b เปนจานวนเตม a หาร b ลงตว เมอ b = am โดยท m เปน

จานวนเตมจานวนหนง เราเรยก a วาตวหาร(divisor)

เราใชสญลกษณ

b / a หมายความวา ผลลพธของการหาร b ดวย a

a | b หมายความวา a หาร b ลงตว

a | b หมายความวา a หาร b ไมลงตว หมายความวา b = ma + r โดยท r

เปนเศษของการหาร 0 < r < a


• เราเรยก a วาเปนตวหารรวม (common divisor) ของจานวนเตม b และ c เมอ

a | b และ a | c สาหรบกรณท a เปนตวหารรวมทมคามากทสด เราเรยก a วา

ตวหารรวมมาก (Greatest Common Divisors) ของจานวนเตม b และ c เขยน

ยอ ๆ วา gcd(b, c)


gcd(20, 15) = 5

gcd(13, 31) = 1

gcd(420, 21) = 21


• ในกรณท gcd(m, n) =1 หมายความวา m และ n ไมมตวหารทมากกวา 1

รวมกนเลยนน เราเรยก m และ n วา เฉพาะสมพทธ (relatively prime)


gcd(84, 125) เปนจานวนเฉพาะสมพทธเพราะ

84 = 22 * 3 * 7

125 = 53


• จงหา gcd(420, 21), gcd(15, 20) และ gcd(34, 55)

• ใชขนตอนวธแบบยคลคจะไดลาดบการหาดงน

gcd(420, 21) = gcd(21, 420) = gcd(0, 21) = 21

gcd(15, 20) =

gcd(34, 55)

gcd(5, 15) = gcd(0, 5) = 5

= gcd(21, 34) = gcd(13, 21) = gcd(8, 13) = gcd(5, 8)

= gcd(3, 5) = gcd(2, 3) = gcd(1, 2) = gcd(0, 1) = 1


• จงหา

• gcd(24, 36)

• gcd (17, 22)

• gcd(111, 201)

• gcd(1001, 1331)

• จงเขยน pseudo code หา Euclidean algorithm


Procedure gcd(a, b: positive integers)x := ay := bwhile x <> 0begin

y := xr := y mod xx := r

end {gcd(a, b) is y}


),min(),min(2

),min(1 ...),gcd( 2211 nn ba

nbaba pppba =


• จากการแยกจานวนเฉพาะทเปนตวประกอบของ 120 และ 500 ได

120 = 23 *3*5 และ 500 = 22 * 53 นามาหา ห.ร.ม(gcd) ได

min(3, 2) min(1, 0) min(1, 3) 2 0 1


• .

),max(),max(2

),max(1 ...),( 2211 nn ba

nbaba pppbalcm =


• อะไรคอ ค.ร.น (lcm) ของ 23 35 72 และ 24 33

• ตอบ

3 5 2 4 3 max(3, 4) max(5, 3) max(2, 0) 4 5 2


• What are the greatest common divisors and least common multiples of the

following pairs of integers?

• A. 22 * 33 * 55 , 25 * 33 * 52

• B. 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 , 211 * 39 * 11 * 1714

• C. 17, 1717

• D. 22 * 7 , 53 * 13

Representations of Integers


• ตวอยางเลขฐานทเราใชอยทกวนนคอ ฐาน 10

• 965 = 9*102 + 6*101 + 5*100

• จากฐาน 8 เปน ฐาน 10

• (245)8 = 2*82 + 4*8 + 5

= 128 + 32 + 5

= 165 ฐาน 10

ไมนยมเขยน


• (101011111)2 มคาเทาไหรในฐาน 10

• Solution:

(101011111)2 = 28 + 26 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1

= 256 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 351


• (2AEOB)16 มคาเทาไหรในฐาน 10

• Solution :

(2AEOB)16 = 2*164 + 10*163 + 14*162 + 0*16 + 11

= 175627


• (12345)10 มคาเทาไหรในฐาน 8

• Solution :

12345 = 8 * 1543 + 1

1543 = 8 * 192 + 7

192 = 8 * 24 + 0

24 = 8 * 3 + 0

3 = 8 * 0 + 3

∴ (12345)10 = (30071)8


Procedure base b expansions (n : positive integers)q := nk := 0while q <> 0begin

ak := q mod bq := ⎣q/b⎦

k := k + 1end {the base b expansions of n is (ak-1, …, a1, a0)b }


• สาหรบเลขฐาน 2 นน ในชดขอมลหนง ๆ เราจะเรยกวาเปนเซตของชด

ขอมล เชน a = (1101)2

b = (0101)2

• เราสามารถกระจายตาแหนงใหอยในรปของ array ไดดงน

n-1 n-2 1 0 2

n-1 n-2 1 0 2


• ในการบวกเลขฐานทกชนดตองมตวทด (carry) ฐาน 2 ก เชนกน ในการบวก

เลขในเซต a และ b ให c คอ ตวทด และ s คอ ตวเกบคาตอบของ ai + bi

0 0 0 0

1 1 0 0 1

ไมมตวทด

มตวทด


• Add a = (1)2 and b = (0)2

จากสตร 0 0 0 0

1 + 0 = 0 * 2 +1

S0 = 1


• Add a = (110)2 , and b = (011)2

Solution: a0 + b0 = 0 + 1 = 0 * 2 + 1 | c0 = 0 , s0 = 1

a1 + b1 + c0 = 1 + 1 + 0 = 1 * 2 + 0 | c1 = 1 , s1 = 0

a2 + b2 + c1 = 1 + 0 + 1 = 1 * 2 + 0 | c2 = 1 , s2 = 0

s3 = c2 = 1

∴ a + b = (1001)2

a0 + b0 = c0 * 2 + s0

a1 + b1 + c0 = c1 * 2 + s1

1 1

1 1 0

0 1 1

1 0 0 121/08/49 บทท 2, อ.สขสนต บวฉม หนา 56

procedure add(a, b: จานวนเตมบวก (positive integers)){เราสามารถกระจายตาแหนงของเลขฐาน 2 ของ a และ b ได (an-1, an-2, …, a1, a0)2 และ (bn-1, bn-2, …, b1, b0)2 }

c := 0for j := 0 to n-1begin

d := ⎣(aj + bj + c)/2⎦

sj : = aj + bj + c - 2dc :=d

endsn := c{กระจายตาแหนงของผลรวม s คอ (sn, sn-1, …, s1, s0)2 }


• จงเปลยนเลขตอไปนจากฐาน 10 เปน ฐาน 2

a. 231 b. 45 c. 532


a. 1 1111 b. 10 0000 0001 c. 1 0101 0101


a. 80E b. 135AB c. ABBA

Matrices


• นยาม คอ จานวนทจดอยในรปสเหลยมตามแนวนอนซงเรยกวา แถว

และแนวตง เมตรกซทมแนวนอน m แถว และมแนวตง n แนวตง เรา

เรยกวา เมตรกซขนาด m x n สญลกษณของเมตรกซ A คอ A = [aij]m x n

เมอ 1 <= i <= m, 1 <= j <= n และ aij คอ สมาชกทอยในตาแหนงท ( i, j)


• เมตรกซทจะบวก หรอลบกนนน จะตองเปนเมตรกซทมขนาดเทากน

เทานน เชน เมตรกซขนาด 3 x 3 บวกกน


• นยาม ให A เปนเมตรกซขนาด m x k และ B เปนเมตรกซขนาด k x n ซง A

มจานวนเสนแนวตงเทากบจานวนแถวของ B ดงนน ผลคณของ A และ B

คอ เมตรกซทมาจากสมาชกจากเมตรกซ A แถวท i และ เมตรกซ B

เสนแนวตงท j




• ไดแก เมตรกซทไดจากการเขยนเมตรกซ A ใหม โดยนาสมาชกในแถวท 1

ของ A ทงแถวมาเรยงเปนแนวตงท 1 ของเมตรกซใหม และนาสมาชกใน

แถวท 2 ของ A ทงแถวมาเรยงเปนแนวตงท 2 ของเมตรกซใหม และตอ ๆ

ไป เขยนแทนดวย

t

A At


• คอ เมตรกซทมลกษณะเปน 0 และ 1 เราเรยกวา Zero – One Matrix โดย Zero

– One Matrix นจะเปนพนฐานของ สญลกษณทางบลลน คอ ⋀ และ ⋁


• นยาม ให A = [aij] และ B = [bij] เปน เมตรกซขนาด m x n การ join ของ A

และ B ในตาแหนงท ( i, j) , aij bij การ join ของเมตรกซสามารถเขยนได

A B

• การ meet ของเมตรกซ ในตาแหนงท ( i, j) , aij bij เราสามารถได คอ

A B



• นยาม ให A = [aij] เปนเมตรกซศนยหนงขนาด m x k และ B = [bij] เปน

เมตรกซศนยหนงขนาด k x n Boolean product ของ A และ B สามารถ

เขยนเปนสญลกษณได A B คอ เมตรกซขนาด m x n โดย ( i, j) ได [cij]



• นยาม ให A คอ เมตรกซศนยหนงทยกกาลง โดยให r คอ ตวเลขจานวนเตม

บวกทเปนกาลงของ A ซงเราเขยนได


• Find A + B

• Find AB if


• ให

จงหา

a. A B

b. A B

c. A B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0110

,1011

BA


• ให

จงหา

a. A B

b. A B

c. A B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

101101110

,100011101

BA


• ให

จงหา

a. A[2]

b. A[3]

c. A ⋁ A[2] ⋁ A[3]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010101001

A

Discreate 02 1 Algorithms Integers and...

Documents

Transcript of Discreate 02 1 Algorithms Integers and...