Direct Time Integration Methods

19
CHAPTER 4 DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 536 4.1 INTRODUCTION The behavior of many dynamic systems undergoing time-dependant changes (transients) can be described by ordinary differential equations. When the solution to the differential equation(s) of motion of a dynamic system cannot be obtained in closed form, a numerical procedure is warranted. Many numerical integration methods are available for the approximate solution of such equation(s) of motion. All the numerical integration methods have two basic characteris- tics. First, they do not satisfy the differential equation(s) at all time t, but only at discrete time intervals, say t apart. Secondly, within each time interval t , a specific type of variation of the displacement X, velocity X , and acceleration X is assumed. Thus several numerical inte- gration schemes are available depending on the type of variation assumed for X, X and X within each time interval t . In this chapter we discuss several widely used step-by-step numerical integration schemes for solutions of both single and multi degree of freedom systems. A brief description of these methods is presented for linear dynamic response analysis and their application is illustrated by several examples. 4.2 SINGLE DEGREE OF FREEDOM SYSTEM The general equation of a viscously damped single degree of freedom dynamical system, which is linear, can be expressed in the following general form: MX CX KX Ft () + + = (4.1) where M, C and K are the mass, damping and stiffness of the system; F (t) is the applied force; and X X X , and are the displacement, velocity and acceleration of the system. 4.2.1 Finite Difference Method If the equilibrium relation (4.1) is regarded as an ordinary differential equation with constant coefficients, it follows that any convenient finite difference expressions to approximate the velocities and accelerations in terms of displacements can be used. The central idea in the finite difference method is to use approximations to derivatives. Hence, the general differen- tial equation such as (4.1) and the associated boundary conditions, if any, are replaced by the corresponding finite difference equations. The continuous variable t is replaced by the discrete

Transcript of Direct Time Integration Methods

Page 1: Direct Time Integration Methods

CHAPTER 4

DIRECT NUMERICALINTEGRATION METHODS

536

��� ����������

��������������� ���� �������������� ���� ����������� �� ����� ������� ��� ������

����������������� ��������� ����������� ������� ���������� ������������� ����������� ���

����� ������� �������������� ��������� ���� ������������� ��������������� ��

��� ������� �� ��������� ������ ������������������������������ ����������� ��

����������� ��������� ��!������� ��������� ������ ��������������������������������

������"������������ �������������������� ����������� ����������������������� ������������������

� ������������ ∆� �������#�� ���������� ������������ ������ ∆� �������������������������� ���������������� ������������ �� ��� ����������� � ��� ������������������������� ��������� ���

���� �������������������������� �� �� � ���� ������������� ��������� �� �� �� �� �� ���

����� ������������ ������∆� �$ �������������������������������������������������������� ��������� ������ ��������

������� ���������� ����� �������������������������������!�������������� ��������

�������������� �������� ����� �������� ���� �������� ���������������� ��������������

����������� �������

��� ���������������������� � ���

������ ���������� ����������������������� �������������������� ��������������������

����� ������ ����� �������� ���������� ���� ������%

�� �� �� � ��� � � �+ + = �&�'�

����������� ���������������������� ��� ������� ����������������(�������������������������(

� �� � � �� � ��� � ����������������� ������������ ����������� ��������������

4.2.1 Finite Difference Method

$���������������������� ��&�'���������������� ��� ��������� ����������� ������� ��� �

�������� ���� ��� ������ ������ �� � �� �� �� ���� �������� � ����� �� �� ��� ������ ���

����������� ����������� �� � � ����������������� ��� �� �������������� �� ���� ����� � � ���

���� �������������������������� ����� ����������������)� ���������� ���������� �

����������� ����������&�'��� ������������������ ����� ���� ������� ��������������������

���� �� ���� ���������� ��������� �������� �� ���������������������������������������

Page 2: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 537

����������� ������������ ����������� ���������������������� ������� ���� ���� �= ∆ �����

� �����* � �� ������� ���� ������������ ����� ��������� �����������������������������

� ������������ ���� ������������������������� ��� �����������

$ �������������������������������� ����� ���������� ���� ��������� ����* � ���

������ ������ ���� � �� ���� � ���� ����� ���� �������� ������������� � ������ ��� ��

�� ������ �������� ������� �� �� ���� � ���� �� �� ��� ���� ��� ��� � � �"���� &�'��+� ���

������ ��������� ��������� ���������,��������� �� �� ��� � � + −' '� � �������������

�� ���

x(t)

Xi-2Xi-1

i – 1 i – 2 i i + 1 i + 2 i + 3

h h h h

Xi

Xi+1

Xi+2

Xi+3

x(t)

t0 ti–2 ti–1 ti ti+1 ti+2 ti+3

�t = h

Fig. 4.1

� � ���

��

� + = + + + + …'-

.

- /� �� ��� ��&�-�

� � ���

��

� − = − + − + …'-

.

- /� �� ��� ��&�.�

����� � � � � = =� ��� ������� ������� � � � = − =+' ∆ ��0����*� ������������������� ���� �

�������� ��1����&�.������&�-����������

� � ���

� � = −+ −'

-' ' ���&�&�

!��� ��1�����&�.��� ���&�-���������

�� � ���

� � � = − +− +'

-- ' ' ���&�2�

!������������� ������ ��������� ���������� �������������������� ����� �����

������������������������������������������������� ���������� ���������� ������3� ���

4�����������

Page 3: Direct Time Integration Methods

538 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

4.2.2 Central Difference Method

5������������ �������������� ������������� ���1����&�'������������������������ ��

�������������� ������� �= ∆ ������������ ������� ���� ���������������������� ���

� � � � � ��� � � � � � �= = = =6 6 6� �

����������������������� ������������ ��� �������7������������������������������

����������������� ����∆��� = τ π8 �������τ �������� �������������������������$��∆� ������������������������ � ∆��� �������������������� ���������������������� ���� �����������

������� �� ������ ���������������������������� ����*��������� �������� ��

��������� ����� � �������9������������������������������������������������� t∆ ������

��� � ������������ ���������� ∆��� � ��� ����� ����� � ���� ����� ��������!� ����� ���� ������ ��� �

����� ≤ τ 8 �'6 �#��������� ��1�����&�2��� ���&�&���� ��� �� ���� �������������� �1����&�'����

������������ �������

�� � �

��

� �

��� �

+ − + −− +RST

UVW+

−RSTUVW + =' '

-

' '-

-� �∆ ∆�&�/�

����� � � � = � � �� ��� � � = � � ��#��� ��1����&�/���� �+'������

��

�� �

�� � + −=

+

RS||

T||

UV||

W||

−RST

UVW+ −RST

UVW+

LNM

OQP'

-

- - '

'

-

-

-

� �

� �: ;

� �

∆ ∆∆ ∆ ∆

�&�<�

���������* � ������������ ���������

������������������� �������������� �+'���� ������������������ ��1����&�<��������* �

��������������������� ���� � � � −' �� ���������� ��� �� ������� ���3�����������������

��1����&�<������������������ �����������������������������������������#� ������������

����'����� �� �1����&�<����������� ���������������������� ���

����� �� �1����&�/�������� ���

���� �����������* � ����� �� �������� ������ ��������9��������� ������������

�'�������

��� ���

='�������������������� ������� ���� �������� �����������������

��� �� ��� �

������������� ���������� ������������ ������������ ���)�������������������−'��� ���

���� ������1�����&�&��� ���&�2������������"�������������������������� ���� �������������� �����

���� ����������� �� �� � � �� �1����&�'�����������

�� > � � � ?��

� � �� ��� � �= = − −'6 ���&�@�

�������������='������� ����� ������������������� ���1�����&�&��� ���&�2������A�6�

� � � ��

�� � �− = − +'

-

-∆ ∆

�� �

�� ���&�B�

Page 4: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 539

4.2.3 Runge-Kutta Method

$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���� � �� �+∆ �������� ���������� ����������������

��������������� �� �� ���������� ����� ��� �������������������������� ����� �∆� �

� ����������� ������∆� ������������������������������ �� �� ������C�∆���� ��������∆� �������������������� ������������� ���������������������������� ��������� ����������

����3� ���4������������������������ ��� �������������� ���������� �� ������������

��� ��������� �����������������������!�������������� ��������������������� ���������$

����3� ���4������������������ ����������� ����������� ��������������������������

��������� ���+ ����� ���������� ����������� � �� ������ ������������ ������������

���� �� �1����&�'���1����� ��&�'���� ���������� ���

�� > � � � ? � � � � ���

� � �� �� � � � �= − − ='�&�'6�

0������� ��� � � �' -= =� � � ��1����&�'6���� ���������������������� ������������

������ �%

�� �' -=

� � � ��� � � � �- ' -= �&�''�

0������ � �

� �� �

� �� �

� �

� �= RST

UVW'

-

� � � ��

� � � �� �

� � � �= RST

UVW-

' -

��������� ������ ���������������� ������� ���������������� �� � ����������������� ��

������� ����������������3� ���4�������������������������������������������� ��

����������

� � � � � � + = + + + +' ' - . &

'

/- -> ?

����� � �� � � ' = � � �

� �� � � � � - '

'

-

'

-= + +� � �

� �� � � � � . -

'

-

'

-= + +� � � �&�'-�

� � � �� � � � & . '

'

-= + +� � �

!�����������3� ���4��������������� �������������������� �����������������

� ������������ ������������������������� ����������������� �������������������������

���� ������� ��������������������������� ������������������& ��#� �����������

���3� ���4��������������� �� �������������������� ����������������������������� ��

Page 5: Direct Time Integration Methods

540 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

�������������� ������� ���������� ���� ������������� ������������������ ���������� ������

�� ��� ���� ��������������� ����� ����������� �� ��� ������������������������� �����

���*���������������������������������������������������������� ���������� ��� �

����� � ����� �������������� ������������3� ���4����������� ��������������� ��� �� ��

������������������������ ����������� ��

��� ��������������������� � ���

������ ������������������� ������� ����������������������������������������

��

> ? : ��; > ? : � ; > ? : ; : � �;� � � � � � � �+ + = ��&�'.�

����� > ?� > ?� > ?� � �� � ���� ���������� ����� �� � �� ����� ������������ �� ���� �������� �

> ��?� > � ?� > ?� � �� � � ���� �� ������������� �� ��������� � ������������ �� ������� ������������

: � �;� � � ��� ���� ���� ������ #������ �������� ������ � ������ �� �������� ��� ���������� �

������ ��������� ����������� �������������������� ������� ��"����� ����� ����

���������������� > ?� > ? > ?� � �� � ����� ���� �� ���������� ������������� �� ��� ���

��� �� ���� � ������ ����������������������� ��������� ����� �� �� �� ����� ����

�������� ��������������������� ������� ������ ��������� ������� ��"���������� ��

������ ������� ������� ����� ����������������������� ����������������� ������

���� ������ �������������� �������� � ������ ���������� ����������)������ �� ���

����� ��� �� ��������� ������� �������� ��������� ������ ������������� �����

����� ����

$ ���������� ������ ��������������������������� ������� ����� ���������������

������������� ���� ������������� � ����������������9� �� ������ ��� ���������� ���

��� ���� ������������ ������ �� ����� �������� ���������������� ����� �����

� ���� ��������������������� ������������������������0���������������������� �����

��������������� ������������ ������ ������%�� �������� ��������������������$ �� �� ������

�������� ���� ��� ������ ���������� � ������� � � ���������������������� ���������� �

���������� ������������ ����������� �� $ �� � ����������������� ���������� ��������� ����

���� ������������������ ������� ��� ���������������� ��������������������������������

� ������������ ��

$ ����������� �� ������������ ��������� ������ ������������������������� ���� �

�� ����� ������ ����������� �������������� �������� ��������������������� ������

������������ ��� ����!�������������� ������������������������ ����� ����������������

��� ���������������� � ������� ������������ ������� ���� �� ���� ������ ���������� ��������

������ ����������7����������� ����������3� ���4���������������������������� �����

����)���������� ��������9���*�0������ ��D�*�#���������������������������������������

��������� ��������� ����������������������� ��� ����������� �������������������������

�����

��� ��������� �����

!���� �� ��� ������� � � � � � ������� ������� �� ���� ��� ������ ������� ��� � ������� �

���������������������� ���������������������� ������������ ����������� �

Page 6: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 541

4.4.1 Central Difference Method

����������� � �������� �� ���� ����� �� �� �� ���� ������ �� ������������� �� �����������

� �� �����������������+ ����������������� ������������������������ �� �"����&�-��!�����

������������������� ������∆� ��������������������� ���

��� �

++=

−'

-

'

∆��������&�'&�

� � ��� �

−−=

−'

-

'

∆�����&�'2�

xi–1 xi xi+1

�t �t

Fig 4.2

������������� ���

����A�

� �� �

+ −−'

-

'

-

∆�&�'/�

#��������� �� ��+

'

-

�� �� ��− '

-

��������1�����&�'&��� ���&�'2��� ��1����&�'/���������

��� �A�1

∆�-���

C'�=�-�

�C��

='� �&�'<�

���������� ����������� ������� ���������� �������������������� �����������

�������� �� ������������������ ����

: � ;�� �A�'

-∆��>:�

�C∆�;�=�:��=∆�;? �&�'@�

: �� ; >: ; : ; : ;?��

�� � �� � � � � �= − ++ −∆ ∆ ∆-

- ��&�'B�

#��������� �� : � ; : �� ;� �� �� � ����1�����&�'@��� ���&�'B���������������� ��1����&�'.�����

���

> ? : ; : ;� � �� � �+ =∆ ��&�-6�

�����> ?� ������������������������� ��� ��> ?�� ��������������������������������� ���

> ? > ? > ?��

���=

' '

--∆ ∆�&�-'�

> ? : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � ��

� ��

��� �� � � � �= − − − − −

- ' '

-- -∆ ∆ ∆ ∆ �&�--�

Page 7: Direct Time Integration Methods

542 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

!�������� �+ ∆ ���������������� ���: ;�� �+∆ ��� ������������������� ��1����&�-6���� �����

����������� ����������� ���������� ����������� ���������������� ����������������� : ;�� �+∆

� ��1���� �&�'@�� � �� �&�'B���9��� ����� ���� ��������� � �� : ;�� �+∆ � � ������ : ;�� �� �� : ;�� �− ∆ �

)� ����� ���������� ���������� ���������∆� ����������������� ������������ ������������&�'�������7������������� ������ ������������������������� ������ �� ������������

��������

!�������������� ������� ���������� ��������

��� $ ������ �������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?���������

-� $ ������7��:�6;� : � ;�6 ��� �� : �� ;�6 �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ����%

�6�A�

' '

--

'- ' - 6 .

-∆ ∆��

�� � �

�( ( (= = = �

&��+��������� : ; : ; : � ; : �� ;�� � � � � ��− = − +∆ ∆6 6 . 6

2� "��������������������� � � � � � �= +6 '> ? > ?�

/� ��� �����7�� > ? % > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +������������������������������������ �%

: ; : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � � � � � � � � � �� � � �= − − − − −- 6 ' ∆

-� #���������������� ����������� � �+ ∆ �%� � � �� � �: ;+ =∆

.� +��������� : � ; : �� ;� �� � ����������%

: � ; � : ; : ;�� � � �� � � � �= − −− +' ∆ ∆

: �� ; �: ; : ; : ;�� � � � �� � � � � �= − +− +6 -∆ ∆

����������� ���� ������������������������������∆�- ��! ������ ��� ������

�� �� ����������������� ���������� ���������������������� ������ ������������������

��������������∆� ����������� ������������������∆��� ��������������������������������������� ����

�������������������ω�� ������

∆��≤�∆����≤�

-

ω��

����&�-.�

$�������������������� ������ �∆��� ������� ������ ����� ����������� � �������� ����

������ �� ��� ���� �������� � ������ � �� � �� ��� � � ���� ������� ���� ����*�� ���

�� �������� ������������ �������� �����

4.4.2 Two-Cycle Iteration with Trapezoidal Rule

���������� ������� ����� ������������� �������� ������ ���� ���������

> ? : �� ; : ; > ? : ; > ? : � ;� � � � � � �� � � �∆ ∆ ∆ ∆= − − �&�-&�

Page 8: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 543

���� � ���� ��� � � ���� ���������� � ������������ ��� ��� ������������� �������� �� ���

����� ������� ������� ���������������� ������%

"�������������������%

: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= − �&�-2�

"���������������%

: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −- �&�-/�

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�-<�

: ; >: �� ; : � ;?∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-���&�-@�

0������������ ����������� ��: � ; : ;∆ ∆� �� �� � ����1�����&�-/��� ���&�-@��� ��1����&�-&�

������� ������ ���� ���� �������������� ����

: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−' �&�-B�

������������ ��������������� ����������������������������� �������������

: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.6�

$ �������� �������� ������������� ���� ���� ���������������� ��������������� ����

��� �����

: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-�&�.'�

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.-�

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'

-�&�..�

"� ��������������� ���� : � ; : ;∆ ∆� �� �� � �� �1�����&�.'��� ���&�..������������������ �

1��� �&�-B�� �� ������� ���� ��� � ���� ��� � � ������������� ������������ ��� ������ � �1��

�&�.6��������������������������� ������������������������� ����������������� �����������

���������7���� �������&�-�

��������

!������������� ���������������� ����������7��������

'��"������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-��$ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� �

.��#���������������� ∆ ��� ���������������������������������� ���������������� ������%

: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= −

&��"���������������%

: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −-

: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= −−

-

Page 9: Direct Time Integration Methods

544 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

2��+������ : �� ; : � ;∆� �� �� � ��������� �%

: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−'

: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆/��#�� �������� ������%

: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= +−

-

�: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆

: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�

�� �� � � �= +−

-

<��+������ :�� ;∆�� �� ������2���� �� :

� ;� : � ; : ;∆ ∆� � �� � �� � ���������/�

@��"� ������������� :�� ;�� ���������2����� �� :

�� ; : �� ;� �� �� � ∆ ���������<�

4.4.3 Fourth Order Runge-Kutta Method

$ �������������3� ���4���������������������������� ����������� �����1����&�'.����

� ������� ����������������������������������������������� ���� ���������������������

���� * � ��:�;����� �����

:�;�A�: ;

: � ;

RSTUVW �&�.&�

E�� ��1����&�..���1���&�'.���� ���������� ���

: �� ;� �A�=�>�?='�>�?�:F;�=�>�?='�>�?�: � ;� �C�>�?='�:����; �&�.2�

E�� ��������� ����

: �; : �;� �= �&�./�

������� ����1�����&�.2��� ���&�./�

: �;: � ;

: ��;

>6?

> ? > ?

> ?

> ? > ?

: ;

: � ; > ? : � �;�

� � �

� �

� � � �=RS|T|

UV|W|

=−LNM

OQP −LNM

OQPRST

UVW+RST

UVW− − −' ' '

6�&�.<�

: �; > ? : ; : G � �;� � � � �= + �&�.@�

������� : �; : � � �;� � � �= �&�.B�

$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���: ;�� �+∆ �������� ������:��;�� �������

������������������������ �� �� ���������� ����� ��� �����������������������������

����∆����� ����������� ������∆������������������������������� �� �� ������C�∆���� �������∆�������������������������� ���������� �� �������������������������� ��������������

���������� ������������������������������ ����������������

:���∆�;�A�:��;�C�∆����'

�C���-�C���

.�C� �

&� �&�&6�

�������������� �� ����� ��� ���� ���'���

-���

.��� ���

&������������ ����������������������

��������� ������ ������ ���H� ��H� �

��∆���#������������������������������� �������

��������� �����������3� ���4������ ������������� �� ��������������������������� �

Page 10: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 545

:���C∆��;�A�:��;�C�

∆�/�>�

'�C�-�

-�C�-�

.�C��

&? �&�&'�

� ������

�'�A�������

��

�-�A�����C�

∆�-���

��C��

'�∆�-�

�.�A�����C�

∆�-���

��C��

-�∆�-�

�&�A�����C�∆����

��C��

.∆�� �&�&-�

����3� ���4����������������� ��������������������� �������������������������

����������������������������� ��� �������������7���� ������� ����������������� ������� �

� ���� ��� ���������� �� ���� � ������� � ��� ���� ������������ �� ���� ��� te �� ���

��������3� ���4�����������������������

���A���∆��2 �&�&.�

����������� ��� ������������� ��� � ��������� ����������������������������������3� ���

4������������� ������� ���������������� �������� ����������������������������������

��� ��������� ������������������� �� ��

��� ��������� �����

$ �� � ��������������������������� ��������� ��������� ������������������ ������� �

� ���������������� �������������������������������� ������������ ��

4.5.1 Houbolt Method

����)�������������������� ���������� ������� ������������� �������� ���������������

������������������ � ��� �� �� � �������� ���� ����������������� �����*���������� ����

���������� �������������������7���� ���������� ����������� �����"����&�.��0�

� ����� ���� ������ ����� ������������ ������ ���� ��� ����������� �� ������ ���� ����� �

������ ���� �������� ��%

xt–2 t� xt– t� xt xt+ t�

�t �t �t

Fig. 4.3

� � ���

��

�� � � � � � � � �= − + −− + + +∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆

� �� ���

- .

- /�&�&&�

Page 11: Direct Time Integration Methods

546 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

� � � ��

��

�� � � � � � � � � �− + + + += − + −∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆� � �

� ���

� ����-

-

-

-

/

- .

�&�&2�

� � � ��

��

�� � � � � � � � � �− + + + += − + −-

- .

..

-

.

/∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆

� � � � � �� � � ��� �&�&/�

#��� ��1�����&�&&�����&�&/���� �� �� �� � � �+ +∆ ∆� � �������

�� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

- 2 &- - �&�&<�

� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�&@�

���������� ����������� �����)��������������������������� ���

: �� ; > : ; : ; : ; : ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

- 2 &- - �&�&B�

: � ; > : ; : ; : ; : ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�26�

0������������ �� ����� ����� �� �� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � � ��� �&�&B��� �� �&�26��� ������

���������� ���&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�2'�

����� � ��������������������������� �� ��: ;�� �+∆ ���������������������������

�> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

- ''

/-∆ ∆ �&�2-�

: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��

��� �� � � � �+ += + +∆ ∆ ∆ ∆

2 .-

− + + +− −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;& .

-

' '

.- - -∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆�

��� �

��

�� �� � � � ��&�2.�

9��� ����� ���� ����������������� ���� ����� �� C� ∆�� ��1��� �&�2'�� �������� � � �� �� �� �������� ���:�

��C�∆�;��"��������� ������������������������ ����������� ������ ��������$����

������ ��������������������� ����������� ���������� �� C� ∆��������� ���������������� ���:�

�C∆�;�� ��&�26��� ���&�&B���������������!����������* ��������������

�=∆���� �����-∆����� �������

�� ������� ���:��C∆�;��#� ����������� ��������������������������� �� : ; : ;� �� � � �− −∆ ∆� � - �

� ��������������������� ���������� ������������� ������� ���������∆ ∆� �� � - ���������*��

���������� ����������� ��� ���������� ���� ������� ����� ������� ������ �� ���

���������� ��������������������������������������������������������������� �����)����

���������������7���� �������&�.��!������������� ��������� �����)������������ ������

&�.�� �������� ���������� ���������� �������&�-�������������� �������������� �������� ��

��������������������������������� ����� �+∆ �������������� �+∆ ����������������������������

�������� �����������������C�∆��� �� ���������������� ������� ���������� �����������������

��������������������������� ��∆�� �� �� ��� ����������������������������� ���������� ��

������ ���������� ���������

Page 12: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 547

���������

!������������� �)����������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #���������������� ∆��� ������������� ������ �� ��� ��%

��

���

��

�� � �

�6 - ' - - . & 6 2

.- ''

/

2 .-

-= = = = = − = −

∆ ∆ ∆ ∆( ( ( ( ( (

��

��

/6

<.

- B= =( �

&� E���������������� �������������������� ���������� ��������������������

: ; : ;� �� �∆ ∆� � -�

2� +������������������������ �������� %

� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

/� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; > ? � : ; : ; : ;�� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆- & / -

+ + +− −> ? � : ; : ; : ;�� � � � � � �� � � � �. 2 < -∆ ∆

-� #���������������� �������������C ∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆' . 2 < -

: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆6 - & / -

4.5.2 Wilson Theta Method

�������� ��������������������������������������� ���������������������� �����������

���� ��� �����������3���� ����"����&�&��������������� ������������������� ������������

������ � ��A� ∆�� ������� � � � + = +θ θ∆ ������� θ ≥ '�6��0��������� �������� �� ���������� ��

* � ������������ �������������

$��τ �������� ������� �������������� ���� ����C�θ∆� (0 ≤ τ ≤ θ∆�)����� ��������� ���������

��C�θ∆��������� ����������������

�� �� � �� �� �� ��� �� � � � �+ += + −τ θ∆

τθ∆

�&�2&�

Page 13: Direct Time Integration Methods

548 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

Xt

..Xt+ t�

..Xt+ t�

..

t

t + t� t + t�

Fig. 4.4

#����������� ������ ���1����&�2&����������������� ��� ����� ���� ��� �� �+ +τ τ� � %

� � �� � �� �� �� � ��� �� � � � � �+ += + + −τ θ∆τ τ

θ∆

-

-�&�22�

� � � ��� �� � � � � � �+ += + + + −τ θ∆τ τ

τθ∆

� �� � �� �� �'

- /

-.

��&�2/�

#��������� ��τ A θ∆��� �����������1�����&�22��� ���&�2/���������� ���������� ��� ������ ���� �� � ������������ ��C θ∆��%

� � � �� �� �� ��� �� � � � � �+ += + +θ∆ θ∆

θ∆-

�&�2<�

� � � ��

� �� � � � � � �+ += + + +θ∆ θ∆θ∆θ

� � �� �� �- -

/-

∆�&�2@�

#��� ��1�����&�2<��� ���&�2@���� �� �� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � � �������� �� �+θ∆ ��������

�� � � � � � � �� ���

� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆

/ /-

- -∆

� � � � ����� � �

��� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆

θ∆.-

-�&�2B�

���������� ����������� ��������� ��������������������� ����� ���

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆

/ /-

- -∆�&�/6�

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� � ���� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆

θ∆.-

-�&�/'�

���������1����&�'.����������τ + ∆�������� �������� ������������� ������������� �

��������� �����������C�∆���#� ������������ �������� ���������� ����I�������������������������������

> ? : �� ; > ? : � ; > ? : ; : ;� � � � � � �� � � � � � � �+ + + ++ + =θ∆ θ∆ θ∆ θ∆ �&�/-�

Page 14: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 549

����� : ; : ; �: ; : ;�� � � � �� � � � � �+ += + −θ∆ θ∆θ∆ �

0������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � ����1����&�/6��� ���&�/'�����

������������� ��1���&�/-���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ ∆ �&�/.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

/ .- -θ θ∆∆

�&�/&�

: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��

��� �� � � � �+ += + +θ∆ θ∆ θ θ∆

/ .- -∆

+ + + +� > ? > ?� : � ; � > ? > ?� : �� ;/

- --θ∆

θ∆�� � � �

�� �� � ��&�/2�

��������� ���1����&�/.��������:��Cθ∆�;������������� �������������� ����������� ������

�� ������������ ��������������� ���������������� ����������� ������������C�∆��

: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − + −∆ ∆ ∆

/ /'

.- - -θ θ θθ∆ �&�//�

: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� ��

� �� � � � � �+ += + −∆ ∆∆-

�&�/<�

: ; : ; �: � ; : �� ; : �� ;�� � � ��

� �� � � � � � �+ += + + −∆ ∆∆∆ -

/- �&�/@�

��� � θ� A� '�6�� ���������� ������� �� ���� �� ������������ � ������������������ ��

� � ���� ���������������� ����� ���������������� �θ ≥�'�.<��� ������������θ�A�'�&������� ������� �� ����� ��������������$������������� ��������� �������������� ���������

��� ��������� ����� � ��� �� � ����� ���������������∆ C ∆��� �������������������� ���������

������� ������������������������������ ��������� �������������������� �� �������&�&�

���������

!������������� ����� ������������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ; : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ���θ�A�'�&������%

��

��� � �

��

��

�6 - ' - ' . &

62

-/ --

-= = = = = = −� �

( ( ( ( ( (θ∆ θ∆

θ∆θ θ

� ���

�/ < @

-

'.

- /= − = =

θ( (

∆ ∆

&����"����������������� �������� %� � � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

2����� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

Page 15: Direct Time Integration Methods

550 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; �: ; : ;� > ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � �� � � � � � � � �+ += + − + + +θ∆ θ ∆ 6 - -

+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � �� �' ' .-

-� �#���������������� �������������C�θ ∆��%

� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ θ∆

.� +���������� : ;� : � ; : ��;� � �� � �����������C�∆�� %

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − + +∆ & 2 /θ∆

: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � �� � � � � �+ += + +∆ ∆<

: ; : ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � � � �� � � � � � �+ += + + +∆ ∆∆ @ -

4.5.3 Newmark Beta Method

����9����*�0����� ������ �������������������� ������������� �������������������

�������� ����������� ����� ��� ����������������������� � and � ��������� ������������

�������� ������� ���������������������� ���������������������������� ����� ���

��������� ������������ ���������� ���

� � >� � �� �� ?� � � �� �� � � � � �+ += + − +∆ ∆ ∆' α �&�/B�

� � � � � � �� � � � � � �+ += + + − +LNM

OQP∆ ∆∆ ∆� � � �� ��

'

-

-β β �&�<6�

������������� � and � � ���������������������������� �� ����� ��������������� �

���������� �������� ���������� ��������� ������∆����������� � and � ������� ������� ����

������� � ������ ���������� ���������������� � � �A'8/�� �� � A'8-��1���� �&�/B��� �� �&�<6�

���� ���������� ������������ ���������������� ������������ ������ ��θ�A�'�� �����

����������� �� A�'8-�� ��� A�6��������������� ����� ��� ��� ���������� ������� �����������

� ������ ∆� ��$�� � A'8-�� �� � A�'8@��������������� ����� ��� ������������� � ����� ���� �� �

��� ���� ������ ���� �+∆ � � � ������������� ���� ����� � ������ ∆������ � � A'8-�� �� � A�'8&�� ����

���� ����������������� ������������������� ����� ��� ��� ������ ���������������

� �� �� � 8� �� � �+ +∆ - �������� ���������� ����������������9����*�0�������������

: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��

� ��� �� � � � � � �+ += − − − −∆ ∆

' ' '

-'

-β∆ β∆ β �&�<'�

: � ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��

� � � � �� � � � � � �+ += − − −FHG

IKJ − −

FHG

IKJ∆ ∆ ∆'

'-

'β∆

αβ

αβ �&�<-�

Page 16: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 551

1����� � �&�'.�� �� ������������ ������ ��� ����� � ������������ ������������� �

��������� ���������� ��C�∆������������������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� �

���1�����&�<'��� ���&�<-����������������� ��1����&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�<.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= + +

'-β∆

αβ∆ �&�<&�

: ; : ; � � > ? � � > ? : �� ;� � � � � �� � � � �+ += + − + −LNM

OQP∆ ∆ ∆'

-'

-'

βαβ

+ + −LNM

OQP

''

β∆αβ�

� � ��> ? � � > ? : � ;

+ +LNM

OQP

'-β∆

αβ∆�

��� ��> ? > ? : ; �&�<2�

#���� ���1����&�<.�������� : ;�� �+∆ �������������� �������������� ���&�<'��� ���&�<-���

��������� �������������� ��� ����������������������C�∆���J ������������������9����*

0���������������������� ����������������������������� ������� ��������� ������� � �

���� �������������������������α β α≥ ≥ +'

-

'

&

'

-

-� � � � ��"����������α β= ='

-

'

&� � ���������

������ ���� ��������� ���������� ������������ ������������������� ���������$����

��������� ���� ��������� �����β = '

-������������������������ ��� ������������ ��

�� � �β − '

-��$�� 0� = ���� ������������� ��������(������� �������������� ������������ ����� �

������������� ����������������$ �����*�������� ������ � ������������� �'

-�����������

����� ������ ��������������������������� ��������������� ������ �����������������

� ��� ������������"������������������������������ ��������� ������������� ����

����������������� �����������*��������������� ���������������������������������� �

����9����*�0����� ������ �������������� �� �������&�2�

���������

!������������� �9����*�0���������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆������������α�� ��β��� ������������� ������ �� ��� ���β�≥�6�2(�α�≥�6�-2�6�2�C�β�-

Page 17: Direct Time Integration Methods

552 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��

���

�� � �6 - ' - . . &

' ' '

-

'

-' '= = = = = − = −

βα

β∆ β∆ β βαβ� �

( ( ( ( ( (∆

��

� � � �2 / <-

- '= −FHG

IKJ = − =∆ ∆α

ββ β∆( � �(

&� "����������������� �������� %

� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '

2� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; : ; > ? � : ; : � ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � � �� � � � � � � �+ += + + + +∆ ∆ 6 - - .

+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � �� � �' & 2

-� #���������������� ����������� ��C∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆6 - .

: � ; �: ; : ; : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆' & 2

4.5.4 Park Stiffly Stable Method

����D�*�#�������#���������������� ������������������������� ���� ����� ����������

��������������� ������ � ����E�� ������ ������� ��� ������������ ����������� ��

��������������������������� �����D�*�#�������#�����������%

� > ?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'' '@ B - - �&�</�

� > ?��

� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'

-- & �&�<<�

������ ������� ��� ����&�</��� ���&�<<�������

� >. ���

� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'

&&

+ − + −+ − −'

'-'' '@ B - -∆ ∆ ∆ ∆

�� � � �� � � � � � �� � ��&�<@�

� � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�<B�

#������������������������ ��������

�� � � � � � ���

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�@6�

Page 18: Direct Time Integration Methods

DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 553

���������� ����������� �����D�*�#�������������������� ���

: �� ; > : � ; : � ; : � ; : � ;?��

� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'

/'6 '2 / - �&�@'�

{ } { } { } { } { }[ ]t2t��tt��t��t XX6X15X10t6

1X ∆−−++ −+−

∆=� �&�@-�

��� � ����� 1��� �&�'.�� �� ���� � ����� � �� ���� ���������� ���� ���������� � �

��������� ������������C�∆���0������������ ������� ����� ����: �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � �����&�@'�

� ���&�@-����������������� ���&�'.���������

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�@.�

���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���

> ? > ? > ? > ?��

��� �= − +

'66

./

'6

/-∆ ∆ �&�@&�

: ; > ? : � ; > ? : � ; > ? : � ;��� �

�� �

�� �� � � � � � �+ − −= − +∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

'2

/

' '

/-

�+ + − + −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;'26

./

'2

/

'6

/

'- -∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

��� �

��

�� �� � �

�+ + −� > ? > ?� : ;'

./

'

/- -∆ ∆ ∆�

��� �� � �&�@2�

��������� ���1���&�@.��������:��C∆�;�������������� �������������� �1���&�@-��������

������������������������: �� ;�� �+∆ ������� ����� ����������������1���&�@'���9��������� �����D�*

#���������������������������������� ���:��C∆�;���������������������� ���� ��������������� ��

��=�∆��� ����=�-∆������������ ���������� ���������� ���������∆��� ��-∆������������������ ����������� ���������������*������������� ����������� ����������������������������

�D�*�#�������������������������� ������ ������ �������� �� �������&�/������������������

�������������������� ������������������������ ���� ���������������������������

�����������

��������

!������������� �D�*�#�������������������

��� $ ������+������� �%

'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?��������

-� $ ������7�� : ;� : � ;� : �� ;� � �6 6 6� � �

.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ��%

�6�A�'6

/

'2

/

' '

/' - .∆ ∆ ∆ ∆��

��

��

�( ( (= − = = −

&� "����������������� �������� %

� � � � � �= − +6-

6> ? > ? > ?

2� ��� �����7��> ?% > ?� � �A�>�?�>�?�>�?�

Page 19: Direct Time Integration Methods

554 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS

��� "���������������%

'� +��������������������������������������C�∆�%

: ; � : � ; : � ; : � ; : ; : ;� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �+ − − −= − − − − −∆ ∆ ∆ ∆' - . - 6 ' 6 -

+ − + +− − −� � � � � � � � � �� � � � � � �.-

- ' - . -: ;� > ? � : ; : ; : ;� > ?∆ ∆ ∆

-� #���������������� �������������C ∆�

� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆

.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%

: � ;� �� �+ =∆ 6 �:��C∆�;�C��'�:��;�C��

-�:�

�=∆�;�C��.�:��=-∆�;

: �� ; : � ; : � ; : � ; : � ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆6 ' - . -

��� �����

$ � ����� ���������������������� �������� ���������� �������� � ������ �������� �� ���

����� ������� �������������������� ����������� ����� ��� ���������������������������

����������� ����������� ������� ��������������������������������������������������

������������� �������� � ������ �������� �� �� ��� �� ����� ��� ��� � ��������!� ����

�������� ���������� ������ ��������������� ����� ���������������� �������������������

� ������ ���������� ����������������� �������� ����� ����������������������������

� ������� �������� ����� �� ���������� ���������� ��������� � ������ ������ ����7����� ���

� ����������3� ���4������������� �����������������������)���������������� ������

�������9����*�0����������� ������D�*�#����������������������!�������� ��������������

�������� � ������ �������� ��� ���������������� ��������� ������� ���� �� ����� ����

�������

��������������������� � ������ ������������� ������� �� �� ����� ����������

������� �������� ����������������������������� ���������

��� ��������������� ���� ������ � ����������

������������� ���������������������� �!�� ���� ��"!�� �"����������� ���������

� �#���� �����������

�����A��$�% �

&�$−

FHG

IKJ

π

'���������!!�'"� ���(��$�)�&�*��

$)���� �*���)�&�+"*���)�$,-����.��� �+�)�%��.�,����

��! ���������� ��!�������� ���!����������������������)�$�����/���,�0������������!� �������

����� ,��������∆��)�%*�$,%�� �$,1����� ��� ���������������� !������������

������������ ����������������������������������������� ������� ���� ��7������

����� ���!�5!0���������� ������������� ������������

% INITIAL VALUES