Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
-
Upload
pavo-pavlovic -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
Transcript of Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 1/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Ako se vlastiti oblici (prirodni modovi) vibracijasustava s n stupnjeva slobode upotrijebe kaogeneralizirane koordinate s ciljem definiranjanjegova odziva, n jednadžbi gibanja postaje
neovisno. S takvim koordinatama svaka odneovisnih jednadžbi rješava se zasebno kao daodgovara pojedinom sustavu s jednim stupnjemslobode (SDOF).
Odziv sustava s n stupnjeva slobode (MDOF)metodom superpozicije oblika određuje sesumiranjem odziva pojedinih oblika.
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 2/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 3/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Početni proračuni:
Formiranje matrice masa [m], matrice popustljivosti [a] ilimatrice krutosti [k] i vektora vanjskih sila {F(t)}
Određivanje vlastitih frekvencija i vektora oblika {u} (rješenjem
problema vlastitih vrijednosti):a) metoda karakterističnog polinoma ili determinante
• Problem vlastitih vrijednosti definiran je jednadžbom
[ ]{ } [ ]{ } { }
[ ] [ ]( ){ } { } [ ] [ ][ ][ ] [ ]( )
niT
ni
i
i
i ,...,2,1 ,2
,1
,...,2,1 , 0Iλ Ddet
maD ,0uIλ D
1 ,0uk λ um
i
2
===
=⇒=−
==−
==−
ω
π
λ ω
λ
ω λ &&
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 4/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Početni proračuni:
• Vektori oblika vibriranja su međusobno ortogonalni vektori u odnosuna matricu masa. Ukoliko njihov umnožak normiramo, tada kažemoda su vektori ortonormirani u odnosu na matricu masa i vrijedi:
• Modalna matrica (matrica transformacije) skup je vektora oblika:
{ } [ ]{ }{ } { }
{ } [ ]{ }iT
i
i
ii j
j
T
i
umu
1α
uαu
,0
,1umu
=
=
≠
==
ji
ji
[ ] { } { } { }[ ]n21 u...uuΦ =
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 5/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Početni proračuni:
b) metoda matrične iteracije• Polazimo od jednadžbe:
• Pretpostavimo prvi vektor pomaka {u}i
• Iteriramo dok rezultantni vektor pomaka ne bude jednak početnom
• Ortonormiramo vektore oblika
• Formiramo modalnu matricu
Provjera ortogonalnosti normiranih vektora oblika
[ ]{ } { } { }0uω
1uD
2 =−
[ ] [ ][ ]
=
1...00............
0...10
0...01
ΦmΦT [ ] [ ] [ ]
ω
ω
ω
=
2
n
2
2
2
1
T
...00............
0...0
0...0
Φk Φ
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 6/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Početni proračuni:
Transformacija sustava u sustav nezavisnih diferencijalnih jednadžbi pomoću modalne matrice [Φ]
Odabir odgovarajućeg vremenskog intervala numeričkeintegracije
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ } [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ][ ][ ] { } [ ] [ ][ ][ ] { } [ ] ( ){ }[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]2TTT
T1T1T1T
1T
Φk Φ 2ΦcΦ ,IΦmΦ
tFΦxΦΦk ΦxΦΦcΦxΦΦmΦ
ΦΦ /Φ /tFxk xcxm
ω=ξω===++
=++−−−
−
&&&
&&&
{ } [ ]{ } { } ( ){ }t f =ηω+ηξω+η2
2 &&&
10n
T t ≤∆
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 7/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom
vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA
Proračuni za svaki pojedinačni vremenski korak:
Zasebni iterativni proračuni svake pojedinačne nezavisne jednadžbe nekom od numeričkih metoda (metoda inetrpolacijeuzbude, metoda konačnih diferenci, Newmarkova metoda)
Određivanje tzv. modalnih veličina (pomaka, brzina i ubrzanja)
Transformacija modalnih u stvarne pomake, brzine i ubrzanjacjelokupnog sustava
{ } { } { } 111 , , +++ ηηη iii &&&
[ ] { } { } { } [ ]{ }
[ ] { } { } { } [ ]{ }
[ ] { } { } { } [ ]{ }ηΦx ηxΦ
ηΦx ηxΦ
ηΦx ηxΦ
1
1
1
=⇒=
=⇒=
=⇒=
−
−
−
&&&&
&&&&&&&&
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 8/12
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 9/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
10.1 Metoda centralnih diferenci 10.1 Metoda centralnih diferenci
Poč etni prorač uni:
Formiranje matrice krutosti [k], matrice masa [m] i matrice
prigušenja [c]
Definiranje početnih uvjeta {x}0 i {x}0
Proračun početnog ubrzanja {x}0:
{ } [ ] ( ){ } [ ]{ } [ ]{ }( )001
0 0 x xF x kcm +−= −&&&
Odabir koraka integracije t, tako da je t<
tcr=Tn / π i
proračun konstanti integracije
( )20
1
t a ∆= t a ∆= 2
11 02 2aa =
23
1
aa =
Proračun pomaka {x}- t
{ } { } { } { }0300 xa xt x x t &&& +∆−=∆−
Formiranje efektivne matrice masa[ ] [ ] [ ]cmm 10 aaˆ +=
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 10/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
10.1 Metoda centralnih diferenci 10.1 Metoda centralnih diferenci
Za svaki korak integracije:
Proračun efektivnog vektora sila u trenutku vremena t
{ } { } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } t t t t t xaa xaF F ˆ ∆−−−−−= cmmk 102
Određivanje pomaka u trenutku vremena t+
t
[ ]{ } { } { } [ ] { }t t t t t t F ˆ ˆ xF ˆ xˆ 1−∆+∆+ =→= mm
Određivanje ubrzanja i brzina u trenutku t
{ } { } { } { }( ){ } { } { }( )t t t t t
t t t t t t
x xa x
x x xa x
∆+∆−
∆+∆−
+−=
+−=
1
0 2
&
&&
.
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 11/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
10.2 Newmarkova integracijska metoda10.2 Newmarkova integracijska metoda
Poč etni prorač uni:
Formiranje matrice krutosti [k], matrice masa [m] i matrice
prigušenja [c]
Definiranje početnih uvjeta {x}0 i {x}0
Proračun početnog ubrzanja {x}0:
{ } [ ] ( ){ } [ ]{ } [ ]{ }( )0010 0 x xF x kcm +−= −&&&
Odabir koraka integracije t, parametara iδ
te proračun
konstanti integracije
500 ,≥δ ( )2500250 δ+≥α , ,
( )20
1
t a
∆α=
t a
∆αδ=
1 t
a∆α
=
12 1
2
13 −
α=a
14 −αδ
=a
−αδ∆
= 22
5
t a ( )δ−∆= 16 t a t a ∆δ=7
Formiranje efektivne matrice krutosti
[ ] [ ] [ ] [ ]cmkk 10 aaˆ ++=
8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza
http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 12/12
SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE
10.2 Newmarkova integracijska metoda10.2 Newmarkova integracijska metoda
Za svaki korak integracije:
Proračun efektivnog vektora sila u trenutku vremena t+
t
{ } { } [ ] { } { } { }( )
[ ] { } { } { }( )t t t
t t t t t t t
xa xa xa
xa xa xaF F ˆ
&&&
&&&
541
220
+++
+++= ∆+∆+
c
m
Određivanje pomaka u trenutku vremena t+
t
[ ]{ } { } { } [ ] { } t t t t t t t t F ˆ ˆ xF ˆ xˆ ∆+
−∆+∆+∆+ =→=
1kk
Određivanje ubrzanja i brzina u trenutku t+ t
{ } { } { }( ) { } { }
{ } { } { } { } t t t t t t
t t t t t t t
xa xa x x
xa xa x xa x
∆+∆+
∆+∆+
++=
−−−=
&&&&&&
&&&&&
76
320
.