dinamicaespaol.pdf

2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

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2009 Ing. talo Mendoza, UNEMI

Vectores mecnicos para Ingenieros: Dinmica

11 - 1

DINMICA



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11 - 2

DINMICA

INGENIERA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: Dinmica

NMERO DE HORAS SEMANALES: 3 Horas

PROFESOR: Ing. Mecnico Italo Mendoza Haro, Mba

HORARIO: Jueves, de 18H00-21H00 (3 Horas)

BIBLIOGRAFA:

1. Mecnica vectorial para ingenieros de Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston

2. Mecnica para ingenieros de Ferdinand L. Singer

3. Dinmica de J. L. Meriam



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Presentacin del profesor

Italo Mendoza H. Ingeniero mecnico, ESPOL. Ao 1986.

Mba. en Administracin y Direccin de Empresas.- UTEG.

Universidad Tecnolgica Empresarial de Guayaquil. Ao

2008

Supervisor de fabrica en Sociedad Agrcola e Industrial San

Carlos. (1986-1991)

Jefe de planta en fabrica de caramelos y galletas Guayaquil

Loor Rigal (1991-1993)



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Presentacin del profesor

Director de mantenimiento en fabrica de

Compaa Azucarera Valdez S.A. desde el ao

1993.

Catedrtico en el SECAP (1985)

Catedrtico en la Escuela Superior Naval (1984-

1993)

Catedrtico en la UNEMI desde el ao 2006



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PROCEDIMIENTO DE EVALUACIONESLas pruebas de aportes y especialmente las evaluaciones finales tienen que ser

documentadas; es decir, escritas a base de preguntas y respuestas valorativascuantificables.

MECANICA TEORICA I INGENIERA INDUSTRIAL MENCIN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.

Se tomaran 2 evaluaciones/30 puntos en el semestre = 60 puntosSe calificaran trabajos de investigacin 20 puntos en el semestre = 20 puntosSe calificaran Gestin en el aula 20 puntos en el semestre= 20 puntosTotal .. = 100 puntosLas evaluaciones sobre gestin en el aula 20 puntos estn divididas: 50% puntos de asistencia a clases; 50 puntos por actuacin y participacin en clasesAlumnos con puntajes < 34/100 puntos pierden el semestreAlumnos con puntajes (35-70)/100 puntos con opcin recuperacinAlumnos con puntajes (70-100)/100 aprobados

DINMICA



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11 - 6

EVALUACIONES LAS EVALUACIONES SOBRE 15 PUNTOS TIENEN LA

SIGUIENTE PLANIFICACIN

Evaluacin sobre cinemtica y cintica de partculas Segunda Ley

de Newton; fecha: Jueves,26 de Jun./14

Evaluacin sobre cintica partculas mtodo de la energa y

cantidad de movimiento; fecha: Jueves, 31 de Julio/14.

Evaluacin sobre cinemtica de los cuerpos rgidos, movimiento

general en el plano; Fecha: Jueves, 28 de Agosto/14

Evaluacin sobre movimiento general en el plano mtodo de la

energa y cantidad de movimiento; Fecha: Jueves, 25 Sept./14



Se

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11 - 7

OBJETIVOS DEL CURSO

Liderar la investigacin y la enseanza. Adems de

producir los futuros lideres de la industria, universidad,

gobierno y la sociedad cuya perspectiva se sustente en el

conocimiento fundamental, las capacidades, creatividad,

la amplitud de miras y tica. Intentamos desarrollar la

ciencia y combinar el conocimiento bsico con la

aplicacin innovadora de los principios de ingeniera,

tratamos de enriquecer nuestros programas educativos.

Nuestra misin preparar estudiantes para unas

trayectorias profesionales que requieran alta tecnologa y

liderazgo.



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SILABO SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA II.pdf

11 - 8



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11 - 9

MECANICA PARA INGENIEROS

MECANICA DE SLIDOS MECANICA DE LOS FLUDOS

CUERPOS RIGDOS

FLUDOS DEFORMABLES

FLUDOS VISCOSOS

FLUDOS COMPRESIBLES

CUERPOS DEFORMABLES

ESTTICA.

DINMICA

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEORA DE LA ELASTICIDAD

TEORA DE LA PLASTICIDAD

CINEMTICA

CINTICA



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11 - 10

PRESENTACIN INICIAL.

Una de las caractersticas del planteamiento que se utiliza en este curso es que la

mecnica de partculas est separada claramente de la mecnica de cuerpos

rgidos.

Esttica.- En esttica se trata primero la esttica de partculas, y el principio de

equilibrio de una partcula se aplica de inmediato a situaciones prcticas que

implican nicamente fuerzas concurrentes.

La esttica de cuerpos rgidos se considera despus, momento en que se

introducen los productos vectoriales y escalares de dos vectores que se

utilizaron para definir el momento de una fuerza alrededor de un punto y un

eje.

Dinmica.- Se observa la misma divisin. Los conceptos bsicos de fuerza, masa y

aceleracin, de trabajo y energa e impulso y cantidad de movimiento se

introducen y aplican primero a problemas que implican nicamente a

partculas as, los estudiantes pueden familiarizarse con los tres mtodos

bsicos utilizados en dinmica y conocer sus respectivas ventajas antes de

enfrentarse a las dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rgidos.



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11 - 11

Introduccin

La dinmica incluye:

Las cinemticas: el estudio de la geometra de movimiento. La cinemtica

se usa para relacionar desplazamiento, velocidad, aceleracin, y tiempo sin la

referencia a la causa de movimiento.

Las cintica: el estudio de las relaciones que existen entre las fuerzas que

actan en un cuerpo, la masa del cuerpo, y el movimiento del cuerpo. Se

usan las cintica para predecir el movimiento causado por las fuerzas dadas o

para determinar las fuerzas exigidas producir un movimiento dado.

El movimiento rectilneo: la posicin, velocidad, y aceleracin de una

partcula como l siguen una lnea recta.

El movimiento curvilneo: la posicin, velocidad, y aceleracin de una

partcula como l siguen una lnea encorvada en dos o tres dimensiones.



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CAPITULO # 1

CINEMATICA DE LA PARTCULA

11 - 12



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11 - 13

Contenidos

La introduccin

El Movimiento rectilneo: Posicin,

el Velocidad & Aceleracin

La determinacin del Movimiento de

una Partcula

Pruebe Problema 11.2


El Rectilneo-movimiento uniforme

El Rectilneo-movimiento

uniformemente Acelerado

El movimiento de Varias Partculas:

El Movimiento relativo


El movimiento de Varias Partculas:

El Movimiento dependiente


La Solucin grfica de Problemas del

Rectilneo-movimiento

Otros Mtodos Grficos

El Movimiento curvilneo: Posicin, el

Velocidad & Aceleracin

Los derivado de Funciones del Vector

Los Componentes rectangulares de

Velocidad y Aceleracin

El Pariente del movimiento a un Marco en

la Traduccin

Los Componentes tangenciales y

Normales

Los Componentes radiales y Transversos





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11 - 14

El Movimiento rectilneo: Posicin, la Velocidad & Aceleracin

Se dice que partcula que sigue una lnea

recta est en el movimiento rectilneo.

La coordenada de la posicin de una

partcula se define por positivo o la distancia

negativa de partcula de un origen fijo en la

lnea.

El movimiento de una partcula es conocido

si la coordenada de la posicin para la

partcula es conocida por cada valor de

tiempo t. el Movimiento de la partcula puede

expresarse en el formulario de una funcin,

por ejemplo, 326 ttx o en el formulario de un grfico x contra t.



Se

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11 - 15


La velocidad instantnea puede ser positiva

o negativo. La magnitud de velocidad est

llamado la velocidad de la partcula.

Considere partcula que ocupa la posicin P

en momento t y P ' al t+Dt,

t

xv

t

x

t

0lim

La media velocidad

La velocidad instantnea

De la definicin de un derivado,

dt

dx

t

xv

t

0lim

e.g.,

2

32

312

6

ttdt

dxv

ttx



Se

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11 - 16


Considere la partcula con la velocidad v en

momento t y v ' al t+Dt,

Aceleracin Instantneat

va

t

0lim

tdt

dva

ttv

dt

xd

dt

dv

t

va

t

612

312e.g.

lim

2

2

2

0

De la definicin de un derivado,

La aceleracin instantnea puede ser:

- positivo: la velocidad positiva creciente o

la velocidad negativa decreciente

- el negativo: la velocidad positiva

decreciente o la velocidad negativa

creciente.



Se

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11 - 17


Considere la partcula con movimiento

dado por326 ttx

2312 ttdt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2



Se

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11 - 18

La determinacin del Movimiento de una Partcula

Revoque, el movimiento de una partcula es conocido si la posicin es

conocida por todo el tiempo t.

Tpicamente, las condiciones de movimiento son especificadas por el tipo de

aceleracin experimentado por la partcula. La determinacin de velocidad y

posicin requiere dos integraciones sucesivas.

Tres clases de movimiento pueden definirse para:

aceleracin dada como una funcin de tiempo, un = el f(t)

- aceleracin dada como una funcin de posicin, un = el f(x)

- aceleracin dada como una funcin de velocidad, un = el f(v)



Se

ve

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Ed

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11 - 19


Aceleracin dada como una funcin de tiempo, un = el f(t):

tttx

x

tttv

v

dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt

dx

dttfvtvdttfdvdttfdvtfadt

dv

00

0

00

0

0

0

Aceleracin dada como una funcin de posicin, un = el f(x):

x

x

x

x

xv

v

dxxfvxvdxxfdvvdxxfdvv

xfdx

dvva

dt

dva

v

dxdt

dt

dxv

000

202

12

21

or or



Se

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11 - 20


Aceleracin dada como una funcin de velocidad, un = el f(v):

tv

v

tv

v

tx

x

tv

v

ttv

v

vf

dvvxtx

vf

dvvdx

vf

dvvdxvfa

dx

dvv

tvf

dv

dtvf

dvdt

vf

dvvfa

dt

dv

0

00

0

0

0

0



Se

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11 - 21


Determine:

la velocidad y elevacin sobre la tierra en

momento t,

la elevacin ms alta alcanz por la pelota

y el tiempo correspondiente, y

tiempo cuando la pelota pegar la

velocidad molida y correspondiente.

La pelota ech con 10 m/s la velocidad

vertical de la ventana 20 m sobre la

tierra.

LA SOLUCIN:

Integre para encontrar el v(t dos veces)

y y(t).

Resuelva para t a que la velocidad

iguala ceros (tiempo para la elevacin

mxima) y evala la altitud

correspondiente.

Resuelva para t a que la altitud iguala

ceros (tiempo para el impacto de

tierra) y evala la velocidad

correspondiente.



Se

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nth

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11 - 22


tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdt

dy

tty

y

22s

m905.4

s

m10m20 ttty

LA SOLUCIN:

Integre para encontrar el v(t dos veces) y y(t).



Se

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nth

Ed

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11 - 23


Resuelva para t a que la velocidad iguala ceros y

evala la altitud correspondiente.

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y evala la

velocidad correspondiente.

22

2

2

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y



Se

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11 - 24


Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y

evala la velocidad correspondiente.

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

smeaningles s243.1

t

t

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v



Se

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11 - 25


El mecanismo del freno reduca que el

retroceso del arma consiste en pistn atado

para embarrilar entrando el cilindro fijo

llenado del aceite. Cuando los retrocesos

del barril con el v0 de velocidad inicial, el

pistn mueve y se fuerza el aceite a travs

de los orificios en el pistn, mientras

causando pistn y cilindro para disminuir

la velocidad a la proporcin proporcional

a su velocidad.

Determine el v(t), x(t), y v(x).

kva

LA SOLUCIN:

Integre a = el dv/dt = - el kv para

encontrar el v(t).

Integre el v(t) = el dx/dt para

encontrar el x(t).

Integre a = el dv/dx de v = - el kv

para encontrar el v(x).



Se

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Ed

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11 - 26


LA SOLUCIN:

Integre a = el dv/dt = - el kv para encontrar el v(t).

kt

v

tvdtk

v

dvkv

dt

dva

ttv

v

00

ln

0

ktevtv 0

Integre el v(t) = el dx/dt para encontrar el x(t).

tkt

tkt

tx

kt

ek

vtxdtevdx

evdt

dxtv

00

00

0

0

1

ktek

vtx 10



Se

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11 - 27


Integre un = el dv/dx de v = - el kv para

encontrar el v(x).

kxvv

dxkdvdxkdvkvdx

dvva

xv

v

0

00

kxvv 0

Alternativamente,

0

0 1v

tv

k

vtx

kxvv 0

00 or

v

tveevtv ktkt

ktek

vtx 10con

y

entonces



Se

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11 - 28

El Movimiento Rectilneo uniforme

Para la partcula en el movimiento rectilneo uniforme, la aceleracin

es el cero y la velocidad es constante.

vtxx

vtxx

dtvdx

vdt

dx

tx

x

0

0

00

constant



Se

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11 - 29

El Movimiento Rectilneo uniformemente Acelerado

For particle in uniformly accelerated rectilinear motion, the acceleration of

the particle is constant.

atvv

atvvdtadvadt

dv tv

v

0

000

constant

221

00

221

000

00

0

attvxx

attvxxdtatvdxatvdt

dx tx

x

020

2

020

221

2

constant

00

xxavv

xxavvdxadvvadx

dvv

x

x

v

v



Se

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11 - 30

El movimiento de Varias Partculas: El Movimiento relativo

Para partculas que siguen la misma lnea,

tiempo debe grabarse del mismo momento de

arranque y deben medirse los desplazamientos

del mismo origen en la misma direccin.

ABAB xxx la posicin relativa de B

con respecto a AABAB xxx

ABAB vvv la velocidad relativa de B

con respecto a AABAB vvv

ABAB aaa la aceleracin relativa de

B con respecto a AABAB aaa



Se

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11 - 31


Pelota tirada verticalmente de 12 m nivela

en el pozo de elevador con la velocidad

inicial de 18 m/s. Al mismo momento, el

ascensor de la abrir-plataforma les pasa la

mudanza nivelada hacia arriba a 5 m a 2

m/s.

Determine (a) cuando y donde el ascensor

de golpes de pelota y (b) la velocidad

relativa de pelota y ascensor al contacto.

LA SOLUCIN:

Suplente la posicin inicial y velocidad y

aceleracin constante de pelota en las

ecuaciones generales para el movimiento

rectilneo uniformemente acelerado.

Suplente la posicin inicial y la velocidad

constante de ascensor en la ecuacin para

el movimiento rectilneo uniforme.

Escriba la ecuacin para la posicin del

pariente de pelota con respecto al

ascensor y resuelva para cera posicin

relativa, es decir, impacto.

Tiempo de impacto de suplente en la

ecuacin para la posicin de ascensor y

velocidad del pariente de pelota con

respecto al ascensor.



Se

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11 - 32

Pruebe Problema 11.4LA SOLUCIN:

Suplente la posicin inicial y velocidad y aceleracin

constante de pelota en las ecuaciones generales para el

movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

2

2

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

Suplente la posicin inicial y la velocidad constante

de ascensor en la ecuacin para el movimiento

rectilneo uniforme.

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0



Se

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11 - 33

Pruebe Problema 11.4 Escriba la ecuacin para la posicin del pariente de pelota

con respecto al ascensor y resuelva para cera posicin

relativa, es decir, impacto.

025905.41812 2 ttty EB

s65.3

smeaningles s39.0

t

t

Tiempo de impacto de suplente en las ecuaciones para la

posicin de ascensor y velocidad del pariente de pelota con

respecto al ascensor.

65.325 Eym3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv



Se

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11 - 34

El movimiento de Varias Partculas: El Movimiento dependiente

La posicin de una partcula puede depender de la

posicin de uno o ms otras partculas.

La posicin de bloque que B depende de la posicin de

bloque A. Desde que la soga es de longitud constante,

sigue esa suma de longitudes de segmentos debe ser

constante. BA xx 2 constante (un grado de libertad)

Las posiciones de tres bloques son dependientes.

CBA xxx 22 constante (dos grados de libertad)

Para las posiciones linealmente relacionadas, las

relaciones similares sostienen entre las velocidades y

aceleraciones.

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx



Se

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11 - 35


La polea D se ata a un cuello en que se

tira abajo a las 3. / s. At t = 0, agarre

por el cuello A salidas que bajan de K

con la aceleracin constante y cera

velocidad inicial. Sabiendo que la

velocidad de cuello A es 12 en. / s

como l pasa L, determine el cambio

en la elevacin, velocidad, y

aceleracin de bloque B cuando

bloquea A est a L.

LA SOLUCIN:

Defina el origen que se extiende hacia abajo a la

superficie horizontal superior con el

desplazamiento positivo.

Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento

rectilneo uniformemente. Resuelva durante la

aceleracin y tiempo t para localizar L.

La polea D tiene el movimiento rectilneo

uniforme. Calcule cambio de posicin en

momento t.

El bloque el movimiento de B es dependiente

en los movimientos de cuello A y polea D.

Escriba la relacin del movimiento y resuelve

para el cambio de bloque que B posicionan en

momento t.

Diferencie la relacin del movimiento dos veces

para desarrollar las ecuaciones para la velocidad

y aceleracin de bloque B.



Se

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11 - 36


Defina el origen que se extiende hacia abajo a la

superficie horizontal superior con el desplazamiento

positivo.

Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento

rectilneo uniformemente. Resuelva durante la

aceleracin y tiempo t para localizar L.

2

2

020

2

s

in.9in.82

s

in.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

in.9

s

in.12

2

0

tt

tavv AAA



Se

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11 - 37

Pruebe Problema 11.5 La polea D tiene el movimiento rectilneo uniforme.

Calcule cambio de posicin en momento t.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

El bloque el movimiento de B es dependiente en los

movimientos de cuello A y polea D. Escriba la

relacin del movimiento y resuelve para el cambio

de bloque que B posicionan en momento t.

La longitud total de restos del cable constante,

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx



Se

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11 - 38


Diferencie la relacin del movimiento dos veces para

desarrollar las ecuaciones para la velocidad y

aceleracin de bloque B.

0s

in.32

s

in.12

02

constant2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

s

in.18Bv

0s

in.9

02

2

B

BDA

v

aaa

2s

in.9Ba



Se

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11 - 39

La Solucin grfica de Problemas del Rectilneo-movimiento

Dado los x-t encorvan, la curva del v-t es igual

a la cuesta de curva de x-t.

Dado los v-t encorvan, el a-t la curva es igual

a la cuesta de curva de v-t.



Se

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11 - 40

La Solucin grfica de Problemas del Rectilneo-movimiento

Dado el a-t la curva, el cambio en la velocidad entre el t1 y el t2 es

igual al rea bajo el a-t la curva entre el t1 y t2.

Dado los v-t encorvan, el cambio en la posicin entre el t1 y el t2 es

igual al rea bajo la curva del v-t entre el t1 y t2.



Se

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11 - 41


El mtodo del momento-rea para determinar la

posicin de la partcula directamente en momento t

del a-t la curva:

1

0

110

01 curve under area

v

v

dvtttv

tvxx

usando dv = a dt,

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1

0

1

v

v

dtattprimero el momento de rea bajo a-t

la curva con respecto a t = la lnea

del t1.

Ct

tta-ttvxx

centroid of abscissa

curve under area 11001



Se

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11 - 42


El mtodo para determinar la aceleracin de

la partcula de la curva del v-x:

BC

AB

dx

dvva

tan

subnormal a la curva del v-x



Se

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11 - 43

El Movimiento curvilneo: Posicin, el Velocidad & Aceleracin

Partcula que sigue una curva de otra manera que una

lnea recta est en el movimiento curvilneo.

Posicin vector de una partcula en momento t se

define por un vector entre el origen O de una

referencia fija idean y la posicin ocup por la

partcula.

Considere partcula que ocupa la posicin P

definida por en momento t y P ' definieron por

a t + t, r

r

dt

ds

t

sv

dt

rd

t

rv

t

t

0

0

lim

lim

la velocidad instantnea (el vector)

la velocidad instantnea (el escalar)



Se

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11 - 44

El Movimiento curvilneo: Posicin, el Velocidad & Aceleracin

dt

vd

t

va

t

0lim

la aceleracin instantnea (el vector)

Considere la velocidad de partcula en momento t

y velocidad a t + t,

v

v

En general, el vector de aceleracin no es

tangente al camino de la partcula y vector de

velocidad.



Se

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11 - 45

Los derivados de las Funciones del Vector uP

Permita sea una funcin del vector de escalar variable

u, u

uPuuP

u

P

du

Pd

uu

00limlim

Derivativo de suma del vector,

du

Qd

du

Pd

du

QPd

du

PdfP

du

df

du

Pfd

Derivativo de producto de escalar y vector funciona,

Derivativo de producto del escalar y producto del vector,

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd



Se

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11 - 46

Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleracin

Cuando posiciona el vector de partcula que P se

da por sus componentes rectangulares,

kzjyixr

El vector de velocidad,

kvjviv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

zyx

El vector de aceleracin

kajaia

kzjyixkdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

zyx

2

2

2

2

2

2



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 47

Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleracin Los componentes rectangulares particularmente

eficaz cuando pueden integrarse las aceleraciones del

componente independientemente, por ejemplo,

movimiento de un proyectil,00 zagyaxa zyx

con las condiciones de la inicial,

0,,0 000000 zyx vvvzyx

Integrando los rendimientos dos veces

0

0

221

00

00

zgtyvytvx

vgtvvvv

yx

zyyxx

Haga seas en la direccin horizontal es uniforme.

Haga seas en la direccin vertical se acelera

uniformemente. El movimiento de proyectil podra reemplazarse por

dos movimientos rectilneos independientes.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 48

El Pariente del movimiento a un Marco en la Traduccin

Designe un marco como el marco fijo de referencia.

Todos los otros marcos ataron no rgidamente al

marco de la referencia fijo es marcos mudanza de

referencia. Posicione los vectores para las partculas A y B con

respecto al marco fijo de referencia Oxyz son . and BA rr

Vector uniendo A y B define la posicin de B

con respecto al marco mudanza Ax'y'z ' yABr

ABAB rrr

Diferenciando dos veces,

ABv la velocidad de pariente de

B a A.ABAB vvv

ABa

la aceleracin de pariente

de B a A.ABAB aaa

El movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el

movimiento de A con el movimiento del pariente de B con respecto a

marco de la referencia mudanza atado a A.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 49

Los Componentes tangenciales y Normales

El vector de velocidad de partcula es tangente al

camino de partcula. En general, el vector de

aceleracin no es. Desee expresar el vector de

aceleracin por lo que se refiere a los

componentes tangenciales y normales.

es los vectores de la unidad

tangenciales para el camino de la partcula a P y

P '. Cuando arrastrado con respecto al mismo

origen, y es el ngulo entre

ellos.

tt ee and

ttt eee

d

ede

eee

e

tn

nnt

t

2

2sinlimlim

2sin2

00



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 50


tevv

Con el vector de velocidad expresado como

la aceleracin de la partcula puede escribirse como

dt

ds

ds

d

d

edve

dt

dv

dt

edve

dt

dv

dt

vda tt

pero

vdt

dsdsde

d

edn

t

Despus de sustituir,

22 va

dt

dvae

ve

dt

dva ntnt

El componente tangencial de aceleracin refleja

que el cambio de velocidad y el componente

normal refleja cambio de direccin.

El componente tangencial puede ser positivo o

negativo. El componente normal siempre

apunta hacia el centro de curvatura del camino.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 51


22 va

dt

dvae

ve

dt

dva ntnt

Las relaciones para la aceleracin tangencial y

normal tambin solicitan partcula que sigue la

curva del espacio.

Avin que contiene los vectores de la unidad

tangenciales y normales se llama el avin

besando.

ntb eee

Normal al avin besando se encuentra de

binormale

normalprincipal e

b

n

La aceleracin no tiene ningn componente a lo

largo del binormal.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 52

Los Componentes radiales y Transversos Cuando la posicin de la partcula se da en las

coordenadas polares, es conveniente expresar

velocidad y aceleracin con los componentes

paralelos y perpendicular a OP.

rr e

d

ede

d

ed

dt

de

dt

d

d

ed

dt

ed rr

dt

de

dt

d

d

ed

dt

edr

erer

edt

dre

dt

dr

dt

edre

dt

drer

dt

dv

r

rr

rr

El vector de velocidad de partcula es

Semejantemente, el vector de aceleracin de

partcula es

errerr

dt

ed

dt

dre

dt

dre

dt

d

dt

dr

dt

ed

dt

dre

dt

rd

edt

dre

dt

dr

dt

da

r

rr

r

22

2

2

2

2

rerr



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 53

Los Componentes radiales y Transversos

Cuando la posicin de la partcula se da en las

coordenadas cilndricas, es conveniente expresar

la velocidad y vectores de aceleracin que usan

los vectores de la unidad . and ,, keeR

Posicin del vector,

kzeRr R

Velocidad del vector,

kzeReRdt

rdv R

Aceleracin del vector,

kzeRReRRdt

vda R

2

2



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 54


Un motorista est viajando en la

seccin encorvada de carretera a 60

mph. El motorista aplica frenos que

causan una proporcin de

desaceleracin constante.

Sabiendo que despus de 8 s la

velocidad se ha reducido a 45 mph,

determina la aceleracin del

automvil inmediatamente despus

de que los frenos son aplicados.

LA SOLUCIN:

Calcule componentes tangenciales y

normales de aceleracin.

Determine magnitud de aceleracin y

direccin con respecto a la tangente

encorvar.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 55


ft/s66mph45

ft/s88mph60

LA SOLUCIN:

Calcule componentes tangenciales y normales de

aceleracin.

2

22

2

s

ft10.3

ft2500

sft88

s

ft75.2

s 8

sft8866

va

t

va

n

t

Determine magnitud de aceleracin y direccin

con respecto a la tangente encorvar.

2222 10.375.2 nt aaa 2s

ft14.4a

75.2

10.3tantan 11

t

n

a

a 4.48



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 56


La rotacin del brazo sobre O se define

por q = 0.15t2 dnde q est en los radianes

y t en segundos. El cuello las diapositivas

de B a lo largo del brazo tal ese r = 0.9 -

0.12t2 dnde r est en los metros.

Despus de que el brazo ha girado a travs

de 30o, determine (un) la velocidad total

del cuello, (b) la aceleracin total del

cuello, y (c) la aceleracin relativa del

cuello con respecto al brazo.

LA SOLUCIN:

Evale tiempo t para = 30o.

Evale las posiciones radiales y

angulares, y primero y segundos

derivado en momento t.

Calcule velocidad y aceleracin en las

coordenadas cilndricas.

Evale la aceleracin con respecto al

brazo.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 57


LA SOLUCIN:

Evale tiempo t para = 30o.

s 869.1rad524.030

0.15 2

t

t

Evale las posiciones radiales y angulares, y

primero y segundos derivado en momento t.

2

2

sm24.0

sm449.024.0

m 481.012.09.0

r

tr

tr

2

2

srad30.0

srad561.030.0

rad524.015.0

t

t



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 58

Pruebe Problema 11.12 Calcule velocidad y aceleracin.

rr

r

v

vvvv

rv

srv

122 tan

sm270.0srad561.0m481.0

m449.0

0.31sm524.0 v

rr

r

a

aaaa

rra

rra

122

2

2

2

22

2

tan

sm359.0

srad561.0sm449.02srad3.0m481.0

2

sm391.0

srad561.0m481.0sm240.0

6.42sm531.0 a



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 59


Evale la aceleracin con respecto al brazo.

El movimiento de cuello con respecto al brazo es

rectilneo y defini por la coordenada r.

2sm240.0 ra OAB



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #12

CINETICA DE PARTCULAS:

SEGUNDA LEY DE NEWTN

11 - 60



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 61

CINETICA DE LA PARTICULA

LEYES DE NEWTON.

PRIMERA LEY DE NEWTON:

Todo cuerpo sigue en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme,

salvo que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que acta sobre el cuerpo;

y tiene lugar en la direccin en que se aplica la fuerza.

TERCERA LEY DE NEWTON

A cada accin se le opone una reaccin igual, a, las acciones mutuas entre dos

cuerpos siempre son iguales, y dirigidas en sentidos opuestos.



Se

ve

nth

Ed

ition



Bibliografa ser Sir Isaac Newton Isaac Newton naci en las primeras horas del 25 de diciembre

de 1642 (4 de enero de 1643, segn el calendario gregoriano),

en la pequea aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su

padre, un pequeo terrateniente, acababa de fallecer a

comienzos de octubre, tras haber contrado matrimonio en abril

del mismo ao con Hannah Ayscough, procedente de una

familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeo Isaac

acababa de cumplir tres aos, su madre contrajo de nuevo

matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North

Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influira

decisivamente en el desarrollo del carcter de Newton: Hannah

se traslad a la casa de su nuevo marido y su hijo qued en

Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y

el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de

pecados de los que se autoinculp a los diecinueve aos, el

nmero trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con

ellos dentro. Cuando Newton contaba doce aos, su madre,

otra vez viuda, regres a Woolsthorpe, trayendo consigo una

sustanciosa herencia que le haba legado su segundo marido (y

de la que Newton se beneficiara a la muerte de ella en 1679),

adems de tres hermanastros para Isaac, dos nias y un nio.

1 - 62



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 63

Introduccin

Las primero y terceras leyes de Newton son en reposo suficientes para

el estudio de cuerpos (las estticas) o cuerpos en el movimiento sin la

aceleracin.

Cuando un cuerpo acelera (los cambios en magnitud de velocidad o

direccin), la segunda ley de Newton se exige relacionar el movimiento

del cuerpo a las fuerzas que actan en l.

La segunda ley de Newton:

- Una partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de

la fuerza del resultante que acta en l y en la direccin de la fuerza

del resultante.

- El resultante de las fuerzas que actan en una partcula es igual a la

proporcin de cambio de velocidad adquirida lineal de la partcula.

- La suma de los momentos sobre O de las fuerzas que actan en una

partcula es igual a la proporcin de cambio de velocidad adquirida

angular de la partcula sobre O.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 64

Un carro de una montaa rusa puede viajar sobre una trayectoria

recta, una trayectoria curva en un plano horizontal, o en una

trayectoria curva en un plano vertical. En cada caso deben

considerarse la fuerza de la gravedad y las fuerzas que ejerce sobre

el carro, as como la aceleracin de este ltimo, como se estudi en

el capitulo anterior. La relacin que existe entre fuerza, masa y

aceleracin se estudiar en este capitulo.

La primera y tercera ley de Newton fueron utilizadas ampliamente

en el estudio de la esttica de los cuerpos en reposo y las fuerzas

que actuaban sobre ellos, estas dos leyes son suficiente para

estudiar el movimiento de los cuerpos que no tienen aceleracin.

Sin embargo, cuando los cuerpos estn acelerados, esto es, cuando

cambia la magnitud o la direccin de su velocidades necesario

recurrir a la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento

del cuerpo con las fuerzas que actan sobre l.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 65

La Segunda Ley de Newton de Movimiento La segunda ley de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente

experimento: una partcula se somete a una fuerza F1 de direccin

constante y magnitud constante F1. bajo la accin de esa fuerza se

observa que la partcula se mueve en lnea recta y en la direccin de la

fuerza

Considerar a la particula sometida a distintas fuerzas.

ma

F

a

F

a

F mass,constant

3

3

2

2

1

1

Cuando sobre la particula de masa m acta una

fuerza la celeracin de la partcula viene dada por:

,F

amF

La aceleracin debe evaluarse con respecto a un marco de

Newtonian de referencia, es decir, uno que no est

acelerando o est girando.

Si fuerza que acta en la partcula es el cero, la partcula

no acelerar, es decir, permanecer estacionario o

continuar en una lnea recta a la velocidad constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 66

La Velocidad adquirida lineal de una Partcula

Reemplazando la aceleracin por la derivada de la

velocidad tenemos:

particle theof momentumlinear

L

dt

Ldvm

dt

d

dt

vdmF

Princio de la conservacin del momentun lineal:

Si el resultado de la fuerza sobre la partcula es cero,

el momentun linel de la particula se mantiene

constante en direccin y sentido..



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 67

Los sistemas de Unidades De las unidades para las cuatro dimensiones primarias (la

fuerza, masa, longitud, y tiempo), pueden escogerse tres

arbitrariamente. El cuarto debe ser compatible con la 2

Ley de Newton.

El Sistema internacional de Unidades (las Unidades de

SI): las unidades bajas son las unidades de longitud (m),

masa (el kg), y tiempo (segundo). La unidad de fuerza se

deriva,

22 s

mkg1

s

m1kg1N1

Las Unidades De costumbre americanas: las unidades

bajas son las unidades de fuerza (el lb), longitud (m), y

tiempo (segundo). La unidad de masa se deriva,

ft

slb1

sft1

lb1slug1

sft32.2

lb1lbm1

2

22



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 68

Las ecuaciones de Movimiento La segunda ley de Newton proporciona

amF

La solucin para el movimiento de la partcula se

facilita resolvindose la ecuacin del vector en las

ecuaciones de componente de escalar, el ej., para los

componentes rectangulares,

zmFymFxmF

maFmaFmaF

kajaiamkFjFiF

zyx

zzyyxx

zyxzyx

Para los componentes tangenciales y normales,

2vmF

dt

dvmF

maFmaF

nt

nntt



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 69

El Equilibrio dinmico

La expresin alternada de la segunda ley de Newton,

ectorinertial vam

amF

0

Con la inclusin del vector inercial, el sistema de

fuerzas que actan en la partcula es equivalente

poner a cero. La partcula est en el equilibrio

dinmico. Pueden aplicarse mtodos desarrollados para las

partculas en el equilibrio esttico, por ejemplo,

pueden representarse las fuerzas de coplanar con un

polgono del vector cerrado. Se llaman a menudo los vectores de inercia las fuerzas

inerciales cuando ellos miden la resistencia que las

partculas ofrecen a los cambios en el movimiento, es

decir, cambios en velocidad o direccin.

Las fuerzas inerciales pueden ser conceptualmente

tiles pero no pueden estar como el contacto y las

fuerzas gravitatorias encontraron en las estticas.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 70


Un 200-lb restos del bloque en un avin

horizontal. Encuentre la magnitud de la

fuerza que P exigi dar una aceleracin

o 10 ft/s2 al bloque al derecho. El

coeficiente de friccin cintica entre el

bloque y el avin es el mk = 0.25.

LA SOLUCIN:

Resulvase la ecuacin de movimiento

para el bloque en dos ecuaciones del

componente rectangulares.

Los desconocidos consisten en la fuerza

aplicada P y la reaccin normal N del

avin. Las dos ecuaciones pueden

resolverse para estas desconocidas.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 71


N

NF

g

Wm

k

25.0

ft

slb21.6

sft2.32

lb200

2

2

x

y

O

LA SOLUCIN:

Resulvase la ecuacin de movimiento para el bloque

en dos ecuaciones del componente rectangulares.

:maFx

lb1.62

sft10ftslb21.625.030cos 22

NP

:0 yF

0lb20030sin PN Los desconocidos consisten en la fuerza aplicada

P y la reaccin normal N del avin. Las dos

ecuaciones pueden resolverse para estas

desconocidas.

lb1.62lb20030sin25.030cos

lb20030sin

PP

PN

lb151P



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 72


Los dos bloques mostrados la salida

del resto. El avin horizontal y la

polea son la friccin menos, y se

asume que la polea es de masa

despreciable. Determine la

aceleracin de cada bloque y la tensin

en el cordn.

LA SOLUCIN:

Escriba las relaciones de la cinemtica

para los movimientos dependientes y

aceleraciones de los bloques.

Escriba las ecuaciones de movimiento

para los bloques y polea.

Combine las relaciones de la cinemtica

con las ecuaciones de movimiento

resolver para las aceleraciones y tensin

del cordn.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 73


Escriba ecuaciones de movimiento para los bloques

y polea.:AAx amF

AaT kg1001

:BBy amF

B

B

BBB

aT

aT

amTgm

kg300-N2940

kg300sm81.9kg300

2

22

2

:0 CCy amF

02 12 TT

LA SOLUCIN:

Escriba las relaciones de la cinemtica para los

movimientos dependientes y aceleraciones de los

bloques. ABAB aaxy 21

21

x

y

O



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 74


N16802

N840kg100

sm20.4

sm40.8

12

1

221

2

TT

aT

aa

a

A

AB

A

Combine las relaciones de la cinemtica con las ecuaciones

de movimiento resolver para las aceleraciones y tensin del

cordn.ABAB aaxy 2

121

AaT kg1001

AB

a

aT

21

2

kg300-N2940

kg300-N2940

0kg1002kg150N2940

02 12

AA aa

TT

x

y

O



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 75


El 12-lb bloque B empieza del resto y

diapositivas en la 30-lb cua A que se

apoya por una superficie horizontal.

La friccin descuidando, determine (a)

la aceleracin de la cua, y (b) la

aceleracin del pariente del bloque a la

cua.

LA SOLUCIN:

El bloque se reprime para resbalar abajo la

cua. Por consiguiente, sus

movimientos son dependientes. Exprese

la aceleracin de bloque como la

aceleracin de cua ms la aceleracin

del pariente del bloque a la cua.

Escriba las ecuaciones de movimiento

para la cua y bloque.

Resuelva para las aceleraciones.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 76


El bloque se reprime para resbalar abajo la cua. Por

consiguiente, sus movimientos son dependientes.

ABAB aaa

Escriba ecuaciones de movimiento para la cua y

bloque.

x

y

:AAx amF

AA

AA

agWN

amN

1

1

5.0

30sin

:30cos ABABxBx aamamF

30sin30cos

30cos30sin

gaa

aagWW

AAB

ABABB

:30sin AByBy amamF

30sin30cos1 ABB agWWN



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 77


AA agWN 15.0 Resuelva para las aceleraciones.

30sinlb12lb302

30coslb12sft2.32

30sin2

30cos

30sin30cos2

30sin30cos

2

1

A

BA

BA

ABBAA

ABB

a

WW

gWa

agWWagW

agWWN

2sft07.5Aa

30sinsft2.3230cossft07.5

30sin30cos

22AB

AAB

a

gaa

2sft5.20ABa



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 78


El cogote de un 2-m pndulo describe

un arco de un crculo en un avin

vertical. Si la tensin en el cordn es

2.5 veces el peso del cogote para la

posicin mostrada, encuentre la

velocidad y aceleracin del cogote en

esa posicin.

LA SOLUCIN:

Resulvase la ecuacin de movimiento

para el cogote en los componentes

tangenciales y normales.

Resuelva las ecuaciones del componente

para las aceleraciones normales y

tangenciales.

Resuelva para la velocidad por lo que se

refiere a la aceleracin normal.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 79


Resulvase la ecuacin de movimiento para el cogote

en los componentes tangenciales y normales. Resuelva las ecuaciones del componente para las

aceleraciones normales y tangenciales.

:tt maF

30sin

30sin

ga

mamg

t

t

2sm9.4ta

:nn maF

30cos5.2

30cos5.2

ga

mamgmg

n

n

2sm03.16na

Resuelva para la velocidad por lo que se refiere a la

aceleracin normal.

22

sm03.16m2 nn avv

a

sm66.5v



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 80


Determine la velocidad tasada de una

curva de la carretera de radio r = 400

pies amontonaron a travs de un

ngulo q = 18o. La velocidad tasada

de una curva de la carretera

amontonada es la velocidad a que un

automvil debe viajar si ninguna

fuerza de friccin lateral ser ejercida

a sus ruedas.

LA SOLUCIN:

El automvil viaja en un camino redondo

horizontal con un componente normal

de aceleracin dirigido hacia el centro

del camino. Las fuerzas que actan en

el automvil son su peso y una

reaccin normal de la superficie del

camino.

Resulvase la ecuacin de

movimiento para el automvil en los

componentes verticales y normales.

Resuelva para la velocidad del

vehculo.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 81


LA SOLUCIN:

El automvil viaja en un camino

redondo horizontal con un componente

normal de aceleracin dirigido hacia el

centro del camino. Las fuerzas que

actan en el automvil son su peso y

una reaccin normal de la superficie

del camino.

Resulvase la ecuacin de

movimiento para el automvil en los

componentes verticales y normales.

:0 yF

cos

0cos

WR

WR

:nn maF

2

sincos

sin

v

g

WW

ag

WR n

Resuelva para la velocidad del vehculo.

18tanft400sft2.32

tan

2

2 gv

hmi1.44sft7.64 v



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 82

La Velocidad adquirida angular de una Partcula

el momento de velocidad adquirida o

la velocidad adquirida angular de la partcula sobre O.

VmrHO

Derivativo de velocidad adquirida angular con respecto

a tiempo,

O

O

M

Fr

amrVmVVmrVmrH

Sigue de la segunda ley de Newton que la suma de los

momentos sobre O de las fuerzas que actan en la

partcula es igual a la proporcin de cambio de la

velocidad adquirida angular de la partcula sobre O.

zyx

O

mvmvmv

zyx

kji

H

es perpendicular allanar conteniendoOH

Vmr

and

2

sin

mr

vrm

rmVHO



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 83

Equalidades de Movimiento en Radial & los Componentes Transversos

rrmmaF

rrmmaF rr

2

2

Considere la partcula a r y , en las coordenadas polares,

rrmF

rrrm

mrdt

dFr

mrHO

2

22

2

2

Este resultado tambin puede derivarse de la

conservacin de velocidad adquirida angular,



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 84

La conservacin de Velocidad adquirida Angular Cuando slo fuerza que acta en la partcula se

dirige hacia o fuera de un punto fijo O, se dice

que la partcula est moviendo bajo una fuerza

central. Desde la lnea de accin de los pasos de fuerza

centrales a travs de O, and 0 OO HM

constant OHVmr

Posicin que el vector y movimiento de partcula

estn en un perpendicular plano a .OH

La magnitud de velocidad adquirida angular,

000 sin

constantsin

Vmr

VrmHO

massunit

momentumangular

constant

2

2

hrm

H

mrH

O

O

or



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 85

La conservacin de Velocidad adquirida Angular

El vector del radio OP barre el rea infinitesimal

drdA 221

Define 2

212

21 r

dt

dr

dt

dAVelocidad

areal

Revoque, para un cuerpo que mueve bajo una

fuerza central,

constant2 rh

Cuando una partcula mueve bajo una fuerza

central, su velocidad areal es constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 86

La Ley de Newton de Gravitacin

Fuerza gravitatoria ejercida por el sol en un planeta o

por la tierra en un satlite un ejemplo importante de

fuerza gravitatoria est. La ley de newton de gravitacin universal - dos

partculas de masa M y m nos atraen con el igual y la

fuerza opuesta dirigidas a lo largo de la lnea que

conecta las partculas,

4

49

2

312

2

slb

ft104.34

skg

m1073.66

ngravitatio ofconstant

G

r

MmGF

Para la partcula de masa m en la superficie de la tierra,

222 s

ft2.32

s

m81.9 gmg

R

MGmW



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 87


Un bloque B de masa que m puede

resbalar libremente en una friccin

menos brazo OA que gira en un avin

horizontal a una proporcin constante .0

a) el componente vr de la velocidad de

B a lo largo de OA.

b) la magnitud de la fuerza horizontal

ejerci en B por el brazo OA.

Sabiendo que B se suelta a una distancia

r0 de O, exprese como una funcin de r

LA SOLUCIN:

Escriba las ecuaciones radiales y

transversas de movimiento para el

bloque.

Integre la ecuacin radial para

encontrar una expresin para la

velocidad radial.

Suplente la informacin conocida en

la ecuacin transversa para encontrar

una expresin para la fuerza en el

bloque.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 88


LA SOLUCIN:

Escriba las ecuaciones radiales y

transversas de movimiento para el

bloque.

:

:

amF

amF rr

rrmF

rrm

2

0 2

Integre la ecuacin radial para encontrar

una expresin para la velocidad radial.

r

r

v

rr

rr

rr

rrr

drrdvv

drrdrrdvv

dr

dvv

dt

dr

dr

dv

dt

dvvr

r

0

20

0

20

2

dr

dvv

dt

dr

dr

dv

dt

dvvr rr

rrr

202202 rrvr

Suplente la informacin conocida en la

ecuacin transversa para encontrar una

expresin para la fuerza en el bloque.

21202202 rrmF



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 89


Un satlite se lanza en una direccin

paralelo a la superficie de la tierra

con una velocidad de 18820 mi/h de

una altitud de 240 mi. Determine la

velocidad del satlite como l lo

alcanza la altitud mxima de 2340

mi. El radio de la tierra es 3960 mi.

LA SOLUCIN:

Desde que el satlite est moviendo bajo

una fuerza central, su velocidad adquirida

angular es constante. Iguale la velocidad

adquirida angular a A y B y resuelve para

la velocidad a B.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 90


LA SOLUCIN:

Desde que el satlite est moviendo bajo

una fuerza central, su velocidad adquirida

angular es constante. Iguale la velocidad

adquirida angular a A y B y resuelve para la

velocidad a B.

mi23403960mi2403960

hmi18820

constantesin

B

AAB

BBAA

O

r

rvv

vmrvmr

Hvrm

hmi12550Bv



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 91

La trayectoria de una Partcula Bajo una Fuerza Central

Para partcula que mueve bajo la fuerza central dirigida hacia el centro de fuerza,

022 FrrmFFrrm r

Segunda expresin es equivalente a de que,constante,2 hr

rd

d

r

hr

r

h 1y

2

2

2

2

2

Despus de sustituir en la ecuacin radial de movimiento y simplificar,

rudonde

umh

Fu

d

ud 1222

2

Si F es una funcin conocida de r o u, entonces la trayectoria de la

partcula puede encontrarse integrando para u = f(), con las constantes de integracin determinadas de las condiciones de la

inicial.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 92

La aplicacin para Espaciar las Mecnicas

constant

1where

22

2

2

2222

2

h

GMu

d

ud

GMmur

GMmF

ru

umh

Fu

d

ud

Considere satlites de tierra sujetados a slo tirn gravitatorio

de la tierra,

La solucin es ecuacin de seccin cnica,

adscentricidGM

hC

h

GM

ru ecos1

1 2

2

El origen, localizado al centro de tierra, es un enfoque de la

seccin cnica.

La trayectoria puede ser la elipse, parbola, o hiprbola que

dependen del valor de excentricidad.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 93

La aplicacin para Espaciar las Mecnicas

tyeccentricicos11 2

2

GM

hC

h

GM

r

La trayectoria de satlite de tierra se define por

la hiprbola, > 1 o C > GM/h2. El vector del radio se pone infinito para

2

1111 cos

1cos0cos1

hC

GM

la parbola, = 1 or C = GM/h2. El vector del radio se pone infinito para

1800cos1 22

la elipse, < 1 or C < GM/h2. El vector del radio es finito para y es constante, es decir, un crculo, para < 0.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 94

La aplicacin para Espaciar las Mecnicas La integracin el C constante est determinado por las

condiciones en empezar de vuelo libre, =0, r = r0 ,

20002

0

2

20

11

0cos11

vr

GM

rh

GM

rC

GM

Ch

h

GM

r

00

200

2

2

or 1

r

GMvv

vrGMhGMC

esc

El satlite escapa la rbita de tierra para

La trayectoria es elptica para v0 < vesc y se pone

redondo para = 0 or C = 0,

0r

GMvcirc



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 95

La aplicacin para Espaciar las Mecnicas Revoque que para una partcula que mueve bajo una

fuerza central, la velocidad areal es constante, es

decir,

constante212

21 hr

dt

dA

Tiempo peridico o tiempo requeridos para un

satlite para completar una rbita son iguales al

rea dentro de la rbita dividida por la velocidad

areal,

h

ab

h

ab

2

2

where

10

1021

rrb

rra



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 96


Determine:

a) la altitud mxima alcanzada por el

satlite.

b) el tiempo peridico del satlite.

Un satlite se lanza en una direccin

paralelo a la superficie de la tierra

con una velocidad de 36,900 km/h a

una altitud de 500 km.

LA SOLUCIN:

La trayectoria del satlite se describe por

cos1

2C

h

GM

r

Evale C que usa las condiciones

iniciales a = 0.

Determine la altitud mxima

encontrando r a = 180o.

Con las altitudes al perigeo y apogeo

conocido, el tiempo peridico puede

evaluarse.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 97


La trayectoria del satlite se describe por

cos1

2C

h

GM

r

Evale C que usa las condiciones

iniciales a = 0.

2312

2622

29

3600

3

0

6

0

sm10398

m1037.6sm81.9

sm104.70

sm1025.10m106.87

sm1025.10

s/h3600

m/km1000

h

km36900

m106.87

km5006370

gRGM

vrh

v

r

1-9

22

2312

6

20

m103.65

sm4.70

sm10398

m1087.6

1

1

h

GM

rC



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 98


Determine la altitud mxima encontrando r1 a = 180o.

km 66700m107.66

m

1103.65

sm4.70

sm103981

61

9

22

2312

21

r

Ch

GM

r

km 60300km6370-66700 mxima altitud

Con las altitudes al perigeo y apogeo conocido, el

tiempo peridico puede evaluarse.

sm1070.4

m1021.4m1036.82

h

2

m1021.4m107.6687.6

m1036.8m107.6687.6

29

66

6610

66

21

1021

ab

rrb

rra

min31h 19s103.70 3



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 99

Las Leyes de Kepler de Movimiento Planetario

Tambin pueden aplicarse resultados obtenidos para las trayectorias de

satlites alrededor de la tierra a las trayectorias de planetas alrededor del

sol. Las propiedades de rbitas planetarias alrededor del sol eran las

observaciones astronmicas determinadas por Johann Kepler (1571-

1630) antes de que el Newton hubiera desarrollado su teora

fundamental.

1) Cada planeta describe una elipse, con el sol localizado a uno de su

focos.

2) El vector del radio deducido del sol a un barridos planetarios las

reas iguales en tiempos del igual.

3) Los cuadrados de los tiempos peridicos de los planetas son

proporcionales a los cubos de las hachas mayores de sus rbitas.



Se

ve

nth

Ed

ition


Vectores mecnicos para Ingenieros: DINMICA

12 - 100

Hay cuatro volmenes de tapa dura, todos del

mismo tamao y con el mismo numero de

pagina. Las cubiertas y los lomos estn hechos

de una tira de 0.4 cm. de ancho. Las paginas de

cada uno de los cuatro libros ocupan

exactamente 5 cm. de ancho.

SI UN GUSANO DE PAPEL COMIENZA A

COMER EN LA PAGINA UNO DEL PRIMER

VOLUMEN Y TERMINA EN LA ULTIMA

PAGINAS DEL VOLUMEN 4. CUANTO A

VIAJADO?

D.O

D.O

D.O

D.O

El sistema de informaciones y el

mantenimiento



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #13

CINETICA DE PARTCULAS:

MTODOS DE LA ENERGA Y LA

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

11 - 101



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 102

ContenidosIntroduccin

El trabajo de una Fuerza

El principio del trabajo & Energa

Las aplicaciones del Principio del

trabajo & Energa

Poder y Eficacia






La Energa potencial

Las Fuerzas conservadoras

La conservacin de Energa

Haga seas Bajo una Fuerza Central

Conservadora




El principio de Impulso y Velocidad adquirida

El Movimiento impulsivo




El impacto

El Impacto Central directo

El Impacto Central oblicuo

Problemas que Involucran Energa y

Velocidad adquirida



Pruebe Problemas 13.16

Pruebe Problema !3.17



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 103

Introduccin

Previamente, se resolvieron problemas que tratan con el

movimiento de partculas a travs de la ecuacin fundamental de

movimiento,

El captulo actual introduce dos mtodos adicionales de anlisis.

.amF

El mtodo de trabajo y energa: directamente relaciona fuerza,

masa, velocidad y desplazamiento.

El mtodo de impulso y velocidad adquirida:

directamente relaciona fuerza, masa, velocidad, y tiempo.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 104

El trabajo de una Fuerza

El vector diferencial es el desplazamiento de la

partcula.

rd

El trabajo de la fuerza es

dzFdyFdxF

dsF

rdFdU

zyx

cos

El trabajo es una cantidad del escalar, es decir, tiene

la magnitud y firma pero no la direccin.

force. length Las dimensiones de trabajo son Las unidades

son J 1.356lb1ftm 1N 1 J 1 joule



Se

ve

nth

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