Dinamica español

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Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

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© 2009 – Ing. Ítalo Mendoza, UNEMI

Vectores mecánicos para Ingenieros: Dinámica

11 - 1

DINÁMICA



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11 - 2

DINÁMICA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: Dinámica

• NÚMERO DE HORAS SEMANALES: 3 Horas

• PROFESOR: Ing. Mecánico Italo Mendoza Haro, Mba

• HORARIO: Jueves, de 18H00-21H00 (3 Horas)

BIBLIOGRAFÍA:

1. Mecánica vectorial para ingenieros de Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston

2. Mecánica para ingenieros de Ferdinand L. Singer

3. Dinámica de J. L. Meriam



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Presentación del profesor

• Italo Mendoza H. Ingeniero mecánico, ESPOL. Año 1986.

• Mba. en Administración y Dirección de Empresas.- UTEG.

Universidad Tecnológica Empresarial de Guayaquil. Año

2008

• Supervisor de fabrica en Sociedad Agrícola e Industrial San

Carlos. (1986-1991)

• Jefe de planta en fabrica de caramelos y galletas Guayaquil

Loor Rigaíl (1991-1993)



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Presentación del profesor

• Director de mantenimiento en fabrica de

Compañía Azucarera Valdez S.A. desde el año

1993.

• Catedrático en el SECAP (1985)

• Catedrático en la Escuela Superior Naval (1984-

1993)

• Catedrático en la UNEMI desde el año 2006



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PROCEDIMIENTO DE EVALUACIONESLas pruebas de aportes y especialmente las evaluaciones finales tienen que ser

documentadas; es decir, escritas a base de preguntas y respuestas valorativascuantificables.

MECANICA TEORICA I INGENIERÍA INDUSTRIAL MENCIÓN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL.

Se tomaran 2 evaluaciones/30 puntos en el semestre = 60 puntosSe calificaran trabajos de investigación 20 puntos en el semestre = 20 puntosSe calificaran Gestión en el aula 20 puntos en el semestre= 20 puntosTotal …………………………………………………….. = 100 puntosLas evaluaciones sobre gestión en el aula 20 puntos están divididas: 50% puntos de asistencia a clases; 50 puntos por actuación y participación en clasesAlumnos con puntajes < 34/100 puntos pierden el semestreAlumnos con puntajes (35-70)/100 puntos con opción recuperaciónAlumnos con puntajes (70-100)/100 aprobados

DINÁMICA



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11 - 6

EVALUACIONES• LAS EVALUACIONES SOBRE 15 PUNTOS TIENEN LA

SIGUIENTE PLANIFICACIÓN

• Evaluación sobre cinemática y cinética de partículas Segunda Ley

de Newton; fecha: Jueves,26 de Jun./14

• Evaluación sobre cinética partículas método de la energía y

cantidad de movimiento; fecha: Jueves, 31 de Julio/14.

• Evaluación sobre cinemática de los cuerpos rígidos, movimiento

general en el plano; Fecha: Jueves, 28 de Agosto/14

• Evaluación sobre movimiento general en el plano método de la

energía y cantidad de movimiento; Fecha: Jueves, 25 Sept./14



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11 - 7

OBJETIVOS DEL CURSO

Liderar la investigación y la enseñanza. Además de

producir los futuros lideres de la industria, universidad,

gobierno y la sociedad cuya perspectiva se sustente en el

conocimiento fundamental, las capacidades, creatividad,

la amplitud de miras y ética. Intentamos desarrollar la

ciencia y combinar el conocimiento básico con la

aplicación innovadora de los principios de ingeniería,

tratamos de enriquecer nuestros programas educativos.

Nuestra misión preparar estudiantes para unas

trayectorias profesionales que requieran alta tecnología y

liderazgo.



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SILABO• SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA II.pdf

11 - 8

SYLLABUS ASIGNATURA MECANICA TEORICA II.pdf



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11 - 9

MECANICA PARA INGENIEROS

MECANICA DE SÓLIDOS MECANICA DE LOS FLUÍDOS

CUERPOS RIGÍDOS

FLUÍDOS DEFORMABLES

FLUÍDOS VISCOSOS

FLUÍDOS COMPRESIBLES

CUERPOS DEFORMABLES

ESTÁTICA.

DINÁMICA

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

TEORÍA DE LA PLASTICIDAD

CINEMÁTICA

CINÉTICA



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11 - 10

PRESENTACIÓN INICIAL.

Una de las características del planteamiento que se utiliza en este curso es que la

mecánica de partículas está separada claramente de la mecánica de cuerpos

rígidos.

Estática.- En estática se trata primero la estática de partículas, y el principio de

equilibrio de una partícula se aplica de inmediato a situaciones prácticas que

implican únicamente fuerzas concurrentes.

La estática de cuerpos rígidos se considera después, momento en que se

introducen los productos vectoriales y escalares de dos vectores que se

utilizaron para definir el momento de una fuerza alrededor de un punto y un

eje.

Dinámica.- Se observa la misma división. Los conceptos básicos de fuerza, masa y

aceleración, de trabajo y energía e impulso y cantidad de movimiento se

introducen y aplican primero a problemas que implican únicamente a

partículas así, los estudiantes pueden familiarizarse con los tres métodos

básicos utilizados en dinámica y conocer sus respectivas ventajas antes de

enfrentarse a las dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rígidos.



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11 - 11

Introducción

• La dinámica incluye:

• Las cinemáticas: el estudio de la geometría de movimiento. La cinemática

se usa para relacionar desplazamiento, velocidad, aceleración, y tiempo sin la

referencia a la causa de movimiento.

• Las cinética: el estudio de las relaciones que existen entre las fuerzas que

actúan en un cuerpo, la masa del cuerpo, y el movimiento del cuerpo. Se

usan las cinética para predecir el movimiento causado por las fuerzas dadas o

para determinar las fuerzas exigidas producir un movimiento dado.

• El movimiento rectilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una

partícula como él siguen una línea recta.

• El movimiento curvilíneo: la posición, velocidad, y aceleración de una

partícula como él siguen una línea encorvada en dos o tres dimensiones.



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CAPITULO # 1

•CINEMATICA DE LA PARTÍCULA

11 - 12



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11 - 13

Contenidos

La introducción

El Movimiento rectilíneo: Posición,

el Velocidad & Aceleración

La determinación del Movimiento de

una Partícula

Pruebe Problema 11.2


El Rectilíneo-movimiento uniforme

El Rectilíneo-movimiento

uniformemente Acelerado

El movimiento de Varias Partículas:

El Movimiento relativo


El movimiento de Varias Partículas:

El Movimiento dependiente


La Solución gráfica de Problemas del

Rectilíneo-movimiento

Otros Métodos Gráficos

El Movimiento curvilíneo: Posición, el

Velocidad & Aceleración

Los derivado de Funciones del Vector

Los Componentes rectangulares de

Velocidad y Aceleración

El Pariente del movimiento a un Marco en

la Traducción

Los Componentes tangenciales y

Normales

Los Componentes radiales y Transversos





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11 - 14

El Movimiento rectilíneo: Posición, la Velocidad & Aceleración

• Se dice que partícula que sigue una línea

recta está en el movimiento rectilíneo.

• La coordenada de la posición de una

partícula se define por positivo o la distancia

negativa de partícula de un origen fijo en la

línea.

• El movimiento de una partícula es conocido

si la coordenada de la posición para la

partícula es conocida por cada valor de

tiempo t. el Movimiento de la partícula puede

expresarse en el formulario de una función,

por ejemplo, 326 ttx o en el formulario de un gráfico x contra t.



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11 - 15


• La velocidad instantánea puede ser positiva

o negativo. La magnitud de velocidad está

llamado la velocidad de la partícula.

• Considere partícula que ocupa la posición P

en momento t y P ' al t+Dt,

t

xv

t

x

t

0lim

La media velocidad

La velocidad instantánea

• De la definición de un derivado,

dt

dx

t

xv

t

0lim

e.g.,

2

32

312

6

ttdt

dxv

ttx



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11 - 16


• Considere la partícula con la velocidad v en

momento t y v ' al t+Dt,

Aceleración Instantáneat

va

t

0lim

tdt

dva

ttv

dt

xd

dt

dv

t

va

t

612

312e.g.

lim

2

2

2

0

• De la definición de un derivado,

•La aceleración instantánea puede ser:

- positivo: la velocidad positiva creciente o

la velocidad negativa decreciente

- el negativo: la velocidad positiva

decreciente o la velocidad negativa

creciente.



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11 - 17


• Considere la partícula con movimiento

dado por326 ttx

2312 ttdt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

• at t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• at t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2



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11 - 18

La determinación del Movimiento de una Partícula

• Revoque, el movimiento de una partícula es conocido si la posición es

conocida por todo el tiempo t.

• Típicamente, las condiciones de movimiento son especificadas por el tipo de

aceleración experimentado por la partícula. La determinación de velocidad y

posición requiere dos integraciones sucesivas.

• Tres clases de movimiento pueden definirse para:

• aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t)

• - aceleración dada como una función de posición, un = el f(x)

• - aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v)



Se

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11 - 19


• Aceleración dada como una función de tiempo, un = el f(t):

tttx

x

tttv

v

dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt

dx

dttfvtvdttfdvdttfdvtfadt

dv

00

0

00

0

0

0

• Aceleración dada como una función de posición, un = el f(x):

x

x

x

x

xv

v

dxxfvxvdxxfdvvdxxfdvv

xfdx

dvva

dt

dva

v

dxdt

dt

dxv

000

202

12

21

or or



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11 - 20


• Aceleración dada como una función de velocidad, un = el f(v):

tv

v

tv

v

tx

x

tv

v

ttv

v

vf

dvvxtx

vf

dvvdx

vf

dvvdxvfa

dx

dvv

tvf

dv

dtvf

dvdt

vf

dvvfa

dt

dv

0

00

0

0

0

0



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11 - 21


Determine:

la velocidad y elevación sobre la tierra en

momento t,

la elevación más alta alcanzó por la pelota

y el tiempo correspondiente, y

tiempo cuando la pelota pegará la

velocidad molida y correspondiente.

La pelota echó con 10 m/s la velocidad

vertical de la ventana 20 m sobre la

tierra.

LA SOLUCIÓN:

Integre para encontrar el v(t dos veces)

y y(t).

• Resuelva para t a que la velocidad

iguala ceros (tiempo para la elevación

máxima) y evalúa la altitud

correspondiente.

• Resuelva para t a que la altitud iguala

ceros (tiempo para el impacto de

tierra) y evalúa la velocidad

correspondiente.



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11 - 22


tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdt

dy

tty

y

2

2s

m905.4

s

m10m20 ttty

LA SOLUCIÓN:

Integre para encontrar el v(t dos veces) y y(t).



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11 - 23


• Resuelva para t a que la velocidad iguala ceros y

evalúa la altitud correspondiente.

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y evalúa la

velocidad correspondiente.

2

2

2

2

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y



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11 - 24


• Resuelva para t a que la altitud iguala ceros y

evalúa la velocidad correspondiente.

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

smeaningles s243.1

t

t

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v



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11 - 25


El mecanismo del freno reducía que el

retroceso del arma consiste en pistón atado

para embarrilar entrando el cilindro fijo

llenado del aceite. Cuando los retrocesos

del barril con el v0 de velocidad inicial, el

pistón mueve y se fuerza el aceite a través

de los orificios en el pistón, mientras

causando pistón y cilindro para disminuir

la velocidad a la proporción proporcional

a su velocidad.

Determine el v(t), x(t), y v(x).

kva

LA SOLUCIÓN:

Integre a = el dv/dt = - el kv para

encontrar el v(t).

• Integre el v(t) = el dx/dt para

encontrar el x(t).

• Integre a = el dv/dx de v = - el kv

para encontrar el v(x).



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11 - 26


LA SOLUCIÓN:

Integre a = el dv/dt = - el kv para encontrar el v(t).

kt

v

tvdtk

v

dvkv

dt

dva

ttv

v

00

ln

0

ktevtv 0

• Integre el v(t) = el dx/dt para encontrar el x(t).

tkt

tkt

tx

kt

ek

vtxdtevdx

evdt

dxtv

00

00

0

0

1

ktek

vtx 10



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11 - 27


• Integre un = el dv/dx de v = - el kv para

encontrar el v(x).

kxvv

dxkdvdxkdvkvdx

dvva

xv

v

0

00

kxvv 0

• Alternativamente,

0

0 1v

tv

k

vtx

kxvv 0

00 or

v

tveevtv ktkt

ktek

vtx 10con

y

entonces



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11 - 28

El Movimiento Rectilíneo uniforme

Para la partícula en el movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración

es el cero y la velocidad es constante.

vtxx

vtxx

dtvdx

vdt

dx

tx

x

0

0

00

constant



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11 - 29

El Movimiento Rectilíneo uniformemente Acelerado

For particle in uniformly accelerated rectilinear motion, the acceleration of

the particle is constant.

atvv

atvvdtadvadt

dv tv

v

0

000

constant

221

00

221

000

00

0

attvxx

attvxxdtatvdxatvdt

dx tx

x

020

2

020

221

2

constant

00

xxavv

xxavvdxadvvadx

dvv

x

x

v

v



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11 - 30

El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento relativo

• Para partículas que siguen la misma línea,

tiempo debe grabarse del mismo momento de

arranque y deben medirse los desplazamientos

del mismo origen en la misma dirección.

ABAB xxx la posición relativa de B

con respecto a AABAB xxx

ABAB vvv la velocidad relativa de B

con respecto a AABAB vvv

ABAB aaa la aceleración relativa de

B con respecto a AABAB aaa



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11 - 31


Pelota tirada verticalmente de 12 m nivela

en el pozo de elevador con la velocidad

inicial de 18 m/s. Al mismo momento, el

ascensor de la abrir-plataforma les pasa la

mudanza nivelada hacia arriba a 5 m a 2

m/s.

Determine (a) cuando y donde el ascensor

de golpes de pelota y (b) la velocidad

relativa de pelota y ascensor al contacto.

LA SOLUCIÓN:

Suplente la posición inicial y velocidad y

aceleración constante de pelota en las

ecuaciones generales para el movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado.

•Suplente la posición inicial y la velocidad

constante de ascensor en la ecuación para

el movimiento rectilíneo uniforme.

•Escriba la ecuación para la posición del

pariente de pelota con respecto al

ascensor y resuelva para cera posición

relativa, es decir, impacto.

•Tiempo de impacto de suplente en la

ecuación para la posición de ascensor y

velocidad del pariente de pelota con

respecto al ascensor.



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11 - 32

Pruebe Problema 11.4LA SOLUCIÓN:

Suplente la posición inicial y velocidad y aceleración

constante de pelota en las ecuaciones generales para el

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

2

2

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

• Suplente la posición inicial y la velocidad constante

de ascensor en la ecuación para el movimiento

rectilíneo uniforme.

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0



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11 - 33

Pruebe Problema 11.4• Escriba la ecuación para la posición del pariente de pelota

con respecto al ascensor y resuelva para cera posición

relativa, es decir, impacto.

025905.41812 2 ttty EB

s65.3

smeaningles s39.0

t

t

• Tiempo de impacto de suplente en las ecuaciones para la

posición de ascensor y velocidad del pariente de pelota con

respecto al ascensor.

65.325 Ey

m3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv



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11 - 34

El movimiento de Varias Partículas: El Movimiento dependiente

• La posición de una partícula puede depender de la

posición de uno o más otras partículas.

• La posición de bloque que B depende de la posición de

bloque A. Desde que la soga es de longitud constante,

sigue esa suma de longitudes de segmentos debe ser

constante. BA xx 2 constante (un grado de libertad)

• Las posiciones de tres bloques son dependientes.

CBA xxx 22 constante (dos grados de libertad)

• Para las posiciones linealmente relacionadas, las

relaciones similares sostienen entre las velocidades y

aceleraciones.

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx



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11 - 35


La polea D se ata a un cuello en que se

tira abajo a las 3. / s. At t = 0, agarre

por el cuello A salidas que bajan de K

con la aceleración constante y cera

velocidad inicial. Sabiendo que la

velocidad de cuello A es 12 en. / s

como él pasa L, determine el cambio

en la elevación, velocidad, y

aceleración de bloque B cuando

bloquea A está a L.

LA SOLUCIÓN:

Defina el origen que se extiende hacia abajo a la

superficie horizontal superior con el

desplazamiento positivo.

• Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento

rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la

aceleración y tiempo t para localizar L.

• La polea D tiene el movimiento rectilíneo

uniforme. Calcule cambio de posición en

momento t.

• El bloque el movimiento de B es dependiente

en los movimientos de cuello A y polea D.

Escriba la relación del movimiento y resuelve

para el cambio de bloque que B posicionan en

momento t.

• Diferencie la relación del movimiento dos veces

para desarrollar las ecuaciones para la velocidad

y aceleración de bloque B.



Se

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11 - 36


Defina el origen que se extiende hacia abajo a la

superficie horizontal superior con el desplazamiento

positivo.

• Agarre por el cuello A ha acelerado el movimiento

rectilíneo uniformemente. Resuelva durante la

aceleración y tiempo t para localizar L.

2

2

020

2

s

in.9in.82

s

in.12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

in.9

s

in.12

2

0

tt

tavv AAA



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11 - 37

Pruebe Problema 11.5• La polea D tiene el movimiento rectilíneo uniforme.

Calcule cambio de posición en momento t.

in. 4s333.1s

in.30

0

DD

DDD

xx

tvxx

• El bloque el movimiento de B es dependiente en los

movimientos de cuello A y polea D. Escriba la

relación del movimiento y resuelve para el cambio

de bloque que B posicionan en momento t.

La longitud total de restos del cable constante,

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

in.160 BB xx



Se

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11 - 38


• Diferencie la relación del movimiento dos veces para

desarrollar las ecuaciones para la velocidad y

aceleración de bloque B.

0s

in.32

s

in.12

02

constant2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

s

in.18Bv

0s

in.9

02

2

B

BDA

v

aaa

2s

in.9Ba



Se

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11 - 39

La Solución gráfica de Problemas del Rectilíneo-movimiento

• Dado los x-t encorvan, la curva del v-t es igual

a la cuesta de curva de x-t.

• Dado los v-t encorvan, el a-t la curva es igual

a la cuesta de curva de v-t.



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11 - 40

La Solución gráfica de Problemas del Rectilíneo-movimiento

• Dado el a-t la curva, el cambio en la velocidad entre el t1 y el t2 es

igual al área bajo el a-t la curva entre el t1 y t2.

• Dado los v-t encorvan, el cambio en la posición entre el t1 y el t2 es

igual al área bajo la curva del v-t entre el t1 y t2.



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11 - 41


• El método del momento-área para determinar la

posición de la partícula directamente en momento t

del a-t la curva:

1

0

110

01 curve under area

v

v

dvtttv

tvxx

usando dv = a dt,

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1

0

1

v

v

dtattprimero el momento de área bajo a-t

la curva con respecto a t = la línea

del t1.

Ct

tta-ttvxx

centroid of abscissa

curve under area 11001



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11 - 42


• El método para determinar la aceleración de

la partícula de la curva del v-x:

BC

AB

dx

dvva

tan

subnormal a la curva del v-x



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11 - 43

El Movimiento curvilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración

• Partícula que sigue una curva de otra manera que una

línea recta está en el movimiento curvilíneo.

• Posición vector de una partícula en momento t se

define por un vector entre el origen O de una

referencia fija idean y la posición ocupó por la

partícula.

• Considere partícula que ocupa la posición P

definida por en momento t y P ' definieron por

a t + t,

r

r

dt

ds

t

sv

dt

rd

t

rv

t

t

0

0

lim

lim

la velocidad instantánea (el vector)

la velocidad instantánea (el escalar)



Se

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11 - 44

El Movimiento curvilíneo: Posición, el Velocidad & Aceleración

dt

vd

t

va

t

0lim

la aceleración instantánea (el vector)

• Considere la velocidad de partícula en momento t

y velocidad a t + t,

v

v

• En general, el vector de aceleración no es

tangente al camino de la partícula y vector de

velocidad.



Se

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11 - 45

Los derivados de las Funciones del Vector uP

• Permita sea una función del vector de escalar variable

u, u

uPuuP

u

P

du

Pd

uu

00limlim

• Derivativo de suma del vector,

du

Qd

du

Pd

du

QPd

du

PdfP

du

df

du

Pfd

• Derivativo de producto de escalar y vector funciona,

• Derivativo de producto del escalar y producto del vector,

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd



Se

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11 - 46

Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración

• Cuando posiciona el vector de partícula que P se

da por sus componentes rectangulares,

kzjyixr

• El vector de velocidad,

kvjviv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

zyx

• El vector de aceleración

kajaia

kzjyixkdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

zyx

2

2

2

2

2

2



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 47

Los Componentes rectangulares del Velocidad & Aceleración • Los componentes rectangulares particularmente

eficaz cuando pueden integrarse las aceleraciones del

componente independientemente, por ejemplo,

movimiento de un proyectil,00 zagyaxa zyx

con las condiciones de la inicial,

0,,0 000000 zyx vvvzyx

Integrando los rendimientos dos veces

0

0

221

00

00

zgtyvytvx

vgtvvvv

yx

zyyxx

• Haga señas en la dirección horizontal es uniforme.

• Haga señas en la dirección vertical se acelera

uniformemente. • El movimiento de proyectil podría reemplazarse por

dos movimientos rectilíneos independientes.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 48

El Pariente del movimiento a un Marco en la Traducción

• Designe un marco como el marco fijo de referencia.

Todos los otros marcos ataron no rígidamente al

marco de la referencia fijo es marcos mudanza de

referencia. • Posicione los vectores para las partículas A y B con

respecto al marco fijo de referencia Oxyz son . and BA rr

• Vector uniendo A y B define la posición de B

con respecto al marco mudanza Ax'y'z ' yABr

ABAB rrr

• Diferenciando dos veces,

ABv la velocidad de pariente de

B a A.ABAB vvv

ABa

la aceleración de pariente

de B a A.ABAB aaa

• El movimiento absoluto de B puede obtenerse combinando el

movimiento de A con el movimiento del pariente de B con respecto a

marco de la referencia mudanza atado a A.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 49

Los Componentes tangenciales y Normales

• El vector de velocidad de partícula es tangente al

camino de partícula. En general, el vector de

aceleración no es. Desee expresar el vector de

aceleración por lo que se refiere a los

componentes tangenciales y normales.

• es los vectores de la unidad

tangenciales para el camino de la partícula a P y

P '. Cuando arrastrado con respecto al mismo

origen, y es el ángulo entre

ellos.

tt ee and

ttt eee

d

ede

eee

e

tn

nnt

t

2

2sinlimlim

2sin2

00



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 50


tevv

• Con el vector de velocidad expresado como

la aceleración de la partícula puede escribirse como

dt

ds

ds

d

d

edve

dt

dv

dt

edve

dt

dv

dt

vda tt

pero

vdt

dsdsde

d

edn

t

Después de sustituir,

22 va

dt

dvae

ve

dt

dva ntnt

• El componente tangencial de aceleración refleja

que el cambio de velocidad y el componente

normal refleja cambio de dirección.

• El componente tangencial puede ser positivo o

negativo. El componente normal siempre

apunta hacia el centro de curvatura del camino.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 51


22 va

dt

dvae

ve

dt

dva ntnt

• Las relaciones para la aceleración tangencial y

normal también solicitan partícula que sigue la

curva del espacio.

• Avión que contiene los vectores de la unidad

tangenciales y normales se llama el avión

besando.

ntb eee

• Normal al avión besando se encuentra de

binormale

normalprincipal e

b

n

• La aceleración no tiene ningún componente a lo

largo del binormal.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 52

Los Componentes radiales y Transversos• Cuando la posición de la partícula se da en las

coordenadas polares, es conveniente expresar

velocidad y aceleración con los componentes

paralelos y perpendicular a OP.

rr e

d

ede

d

ed

dt

de

dt

d

d

ed

dt

ed rr

dt

de

dt

d

d

ed

dt

edr

erer

edt

dre

dt

dr

dt

edre

dt

drer

dt

dv

r

rr

rr

• El vector de velocidad de partícula es

• Semejantemente, el vector de aceleración de

partícula es

errerr

dt

ed

dt

dre

dt

dre

dt

d

dt

dr

dt

ed

dt

dre

dt

rd

edt

dre

dt

dr

dt

da

r

rr

r

22

2

2

2

2

rerr



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 53

Los Componentes radiales y Transversos

• Cuando la posición de la partícula se da en las

coordenadas cilíndricas, es conveniente expresar

la velocidad y vectores de aceleración que usan

los vectores de la unidad . and ,, keeR

• Posición del vector,

kzeRr R

• Velocidad del vector,

kzeReRdt

rdv R

• Aceleración del vector,

kzeRReRRdt

vda R

22



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 54


Un motorista está viajando en la

sección encorvada de carretera a 60

mph. El motorista aplica frenos que

causan una proporción de

desaceleración constante.

Sabiendo que después de 8 s la

velocidad se ha reducido a 45 mph,

determina la aceleración del

automóvil inmediatamente después

de que los frenos son aplicados.

LA SOLUCIÓN:

Calcule componentes tangenciales y

normales de aceleración.

• Determine magnitud de aceleración y

dirección con respecto a la tangente

encorvar.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 55


ft/s66mph45

ft/s88mph60

LA SOLUCIÓN:

Calcule componentes tangenciales y normales de

aceleración.

2

22

2

s

ft10.3

ft2500

sft88

s

ft75.2

s 8

sft8866

va

t

va

n

t

• Determine magnitud de aceleración y dirección

con respecto a la tangente encorvar.

2222 10.375.2 nt aaa 2s

ft14.4a

75.2

10.3tantan 11

t

n

a

a 4.48



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 56


La rotación del brazo sobre O se define

por q = 0.15t2 dónde q está en los radianes

y t en segundos. El cuello las diapositivas

de B a lo largo del brazo tal ese r = 0.9 -

0.12t2 dónde r está en los metros.

Después de que el brazo ha girado a través

de 30o, determine (un) la velocidad total

del cuello, (b) la aceleración total del

cuello, y (c) la aceleración relativa del

cuello con respecto al brazo.

LA SOLUCIÓN:

Evalúe tiempo t para = 30o.

• Evalúe las posiciones radiales y

angulares, y primero y segundos

derivado en momento t.

• Calcule velocidad y aceleración en las

coordenadas cilíndricas.

• Evalúe la aceleración con respecto al

brazo.



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 57


LA SOLUCIÓN:

Evalúe tiempo t para = 30o.

s 869.1rad524.030

0.15 2

t

t

• Evalúe las posiciones radiales y angulares, y

primero y segundos derivado en momento t.

2

2

sm24.0

sm449.024.0

m 481.012.09.0

r

tr

tr

2

2

srad30.0

srad561.030.0

rad524.015.0

t

t



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 58

Pruebe Problema 11.12• Calcule velocidad y aceleración.

rr

r

v

vvvv

rv

srv

122 tan

sm270.0srad561.0m481.0

m449.0

0.31sm524.0 v

rr

r

a

aaaa

rra

rra

122

2

2

2

22

2

tan

sm359.0

srad561.0sm449.02srad3.0m481.0

2

sm391.0

srad561.0m481.0sm240.0

6.42sm531.0 a



Se

ve

nth

Ed

ition



11 - 59


• Evalúe la aceleración con respecto al brazo.

• El movimiento de cuello con respecto al brazo es

rectilíneo y definió por la coordenada r.

2sm240.0 ra OAB



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #12

•CINETICA DE PARTÍCULAS:

SEGUNDA LEY DE NEWTÓN

11 - 60



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 61

CINETICA DE LA PARTICULA

LEYES DE NEWTON.

PRIMERA LEY DE NEWTON:

Todo cuerpo sigue en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme,

salvo que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo;

y tiene lugar en la dirección en que se aplica la fuerza.

TERCERA LEY DE NEWTON

A cada acción se le opone una reacción igual, a, las acciones mutuas entre dos

cuerpos siempre son iguales, y dirigidas en sentidos opuestos.



Se

ve

nth

Ed

ition



Bibliografía ser Sir Isaac Newton• Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre

de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano),

en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su

padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a

comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril

del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una

familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac

acababa de cumplir tres años, su madre contrajo de nuevo

matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North

Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría

decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah

se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en

Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

• Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y

el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de

«pecados» de los que se autoinculpó a los diecinueve años, el

número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con

ellos dentro. Cuando Newton contaba doce años, su madre,

otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una

sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y

de la que Newton se beneficiaría a la muerte de ella en 1679),

además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas y un niño.

1 - 62

http://images.google.com.ec/imgres?imgurl=http://www.portalciencia.net/images/newton1.jpg&imgrefurl=http://www.portalciencia.net/geniosnewton.html&usg=__3FNupsqM5A0YROA-W7cpEGd1swc=&h=590&w=600&sz=16&hl=es&start=12&tbnid=uBD3t3EOIP8fVM:&tbnh=133&tbnw=135&prev=/images?q=isaac+newton&gbv=2&hl=es&sa=G

http://images.google.com.ec/imgres?imgurl=http://www.portalciencia.net/images/newton1.jpg&imgrefurl=http://www.portalciencia.net/geniosnewton.html&usg=__3FNupsqM5A0YROA-W7cpEGd1swc=&h=590&w=600&sz=16&hl=es&start=12&tbnid=uBD3t3EOIP8fVM:&tbnh=133&tbnw=135&prev=/images?q=isaac+newton&gbv=2&hl=es&sa=G



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 63

Introducción

• Las primero y terceras leyes de Newton son en reposo suficientes para

el estudio de cuerpos (las estáticas) o cuerpos en el movimiento sin la

aceleración.

• Cuando un cuerpo acelera (los cambios en magnitud de velocidad o

dirección), la segunda ley de Newton se exige relacionar el movimiento

del cuerpo a las fuerzas que actúan en él.

• La segunda ley de Newton:

- Una partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de

la fuerza del resultante que actúa en él y en la dirección de la fuerza

del resultante.

- El resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es igual a la

proporción de cambio de velocidad adquirida lineal de la partícula.

- La suma de los momentos sobre O de las fuerzas que actúan en una

partícula es igual a la proporción de cambio de velocidad adquirida

angular de la partícula sobre O.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 64

• Un carro de una montaña rusa puede viajar sobre una trayectoria

recta, una trayectoria curva en un plano horizontal, o en una

trayectoria curva en un plano vertical. En cada caso deben

considerarse la fuerza de la gravedad y las fuerzas que ejerce sobre

el carro, así como la aceleración de este último, como se estudió en

el capitulo anterior. La relación que existe entre fuerza, masa y

aceleración se estudiará en este capitulo.

• La primera y tercera ley de Newton fueron utilizadas ampliamente

en el estudio de la estática de los cuerpos en reposo y las fuerzas

que actuaban sobre ellos, estas dos leyes son suficiente para

estudiar el movimiento de los cuerpos que no tienen aceleración.

Sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es, cuando

cambia la magnitud o la dirección de su velocidades necesario

recurrir a la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento

del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 65

La Segunda Ley de Newton de Movimiento• La segunda ley de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente

experimento: una partícula se somete a una fuerza F1 de dirección

constante y magnitud constante F1. bajo la acción de esa fuerza se

observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la

fuerza

• Considerar a la particula sometida a distintas fuerzas.

ma

F

a

F

a

F mass,constant

3

3

2

2

1

1

• Cuando sobre la particula de masa m actúa una

fuerza la celeración de la partícula viene dada por:

,F

amF

• La aceleración debe evaluarse con respecto a un marco de

Newtonian de referencia, es decir, uno que no está

acelerando o está girando.

• Si fuerza que actúa en la partícula es el cero, la partícula

no acelerará, es decir, permanecerá estacionario o

continuará en una línea recta a la velocidad constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 66

La Velocidad adquirida lineal de una Partícula

• Reemplazando la aceleración por la derivada de la

velocidad tenemos:

particle theof momentumlinear

L

dt

Ldvm

dt

d

dt

vdmF

• Princio de la conservación del momentun lineal:

Si el resultado de la fuerza sobre la partícula es cero,

el momentun linel de la particula se mantiene

constante en dirección y sentido..



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 67

Los sistemas de Unidades• De las unidades para las cuatro dimensiones primarias (la

fuerza, masa, longitud, y tiempo), pueden escogerse tres

arbitrariamente. El cuarto debe ser compatible con la 2

Ley de Newton.

• El Sistema internacional de Unidades (las Unidades de

SI): las unidades bajas son las unidades de longitud (m),

masa (el kg), y tiempo (segundo). La unidad de fuerza se

deriva,

22 s

mkg1

s

m1kg1N1

• Las Unidades De costumbre americanas: las unidades

bajas son las unidades de fuerza (el lb), longitud (m), y

tiempo (segundo). La unidad de masa se deriva,

ft

slb1

sft1

lb1slug1

sft32.2

lb1lbm1

2

22



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 68

Las ecuaciones de Movimiento• La segunda ley de Newton proporciona

amF

• La solución para el movimiento de la partícula se

facilita resolviéndose la ecuación del vector en las

ecuaciones de componente de escalar, el ej., para los

componentes rectangulares,

zmFymFxmF

maFmaFmaF

kajaiamkFjFiF

zyx

zzyyxx

zyxzyx

• Para los componentes tangenciales y normales,

2vmF

dt

dvmF

maFmaF

nt

nntt



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 69

El Equilibrio dinámico

• La expresión alternada de la segunda ley de Newton,

ectorinertial vam

amF

0

• Con la inclusión del vector inercial, el sistema de

fuerzas que actúan en la partícula es equivalente

poner a cero. La partícula está en el equilibrio

dinámico.• Pueden aplicarse métodos desarrollados para las

partículas en el equilibrio estático, por ejemplo,

pueden representarse las fuerzas de coplanar con un

polígono del vector cerrado. • Se llaman a menudo los vectores de inercia las fuerzas

inerciales cuando ellos miden la resistencia que las

partículas ofrecen a los cambios en el movimiento, es

decir, cambios en velocidad o dirección.

• Las fuerzas inerciales pueden ser conceptualmente

útiles pero no pueden estar como el contacto y las

fuerzas gravitatorias encontraron en las estáticas.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 70


Un 200-lb restos del bloque en un avión

horizontal. Encuentre la magnitud de la

fuerza que P exigió dar una aceleración

o 10 ft/s2 al bloque al derecho. El

coeficiente de fricción cinética entre el

bloque y el avión es el mk = 0.25.

LA SOLUCIÓN:

Resuélvase la ecuación de movimiento

para el bloque en dos ecuaciones del

componente rectangulares.

• Los desconocidos consisten en la fuerza

aplicada P y la reacción normal N del

avión. Las dos ecuaciones pueden

resolverse para estas desconocidas.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 71


N

NF

g

Wm

k

25.0

ft

slb21.6

sft2.32

lb200

2

2

x

y

O

LA SOLUCIÓN:

Resuélvase la ecuación de movimiento para el bloque

en dos ecuaciones del componente rectangulares.

:maFx

lb1.62

sft10ftslb21.625.030cos 22

NP

:0 yF

0lb20030sin PN• Los desconocidos consisten en la fuerza aplicada

P y la reacción normal N del avión. Las dos

ecuaciones pueden resolverse para estas

desconocidas.

lb1.62lb20030sin25.030cos

lb20030sin

PP

PN

lb151P



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 72


Los dos bloques mostrados la salida

del resto. El avión horizontal y la

polea son la fricción menos, y se

asume que la polea es de masa

despreciable. Determine la

aceleración de cada bloque y la tensión

en el cordón.

LA SOLUCIÓN:

Escriba las relaciones de la cinemática

para los movimientos dependientes y

aceleraciones de los bloques.

• Escriba las ecuaciones de movimiento

para los bloques y polea.

• Combine las relaciones de la cinemática

con las ecuaciones de movimiento

resolver para las aceleraciones y tensión

del cordón.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 73


• Escriba ecuaciones de movimiento para los bloques

y polea.:AAx amF

AaT kg1001

:BBy amF

B

B

BBB

aT

aT

amTgm

kg300-N2940

kg300sm81.9kg300

2

22

2

:0 CCy amF

02 12 TT

LA SOLUCIÓN:

Escriba las relaciones de la cinemática para los

movimientos dependientes y aceleraciones de los

bloques. ABAB aaxy21

21

x

y

O



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 74


N16802

N840kg100

sm20.4

sm40.8

12

1

221

2

TT

aT

aa

a

A

AB

A

• Combine las relaciones de la cinemática con las ecuaciones

de movimiento resolver para las aceleraciones y tensión del

cordón.ABAB aaxy

21

21

AaT kg1001

A

B

a

aT

21

2

kg300-N2940

kg300-N2940

0kg1002kg150N2940

02 12

AA aa

TT

x

y

O



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 75


El 12-lb bloque B empieza del resto y

diapositivas en la 30-lb cuña A que se

apoya por una superficie horizontal.

La fricción descuidando, determine (a)

la aceleración de la cuña, y (b) la

aceleración del pariente del bloque a la

cuña.

LA SOLUCIÓN:

El bloque se reprime para resbalar abajo la

cuña. Por consiguiente, sus

movimientos son dependientes. Exprese

la aceleración de bloque como la

aceleración de cuña más la aceleración

del pariente del bloque a la cuña.

• Escriba las ecuaciones de movimiento

para la cuña y bloque.

• Resuelva para las aceleraciones.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 76


El bloque se reprime para resbalar abajo la cuña. Por

consiguiente, sus movimientos son dependientes.

ABAB aaa

• Escriba ecuaciones de movimiento para la cuña y

bloque.

x

y

:AAx amF

AA

AA

agWN

amN

1

1

5.0

30sin

:30cos ABABxBx aamamF

30sin30cos

30cos30sin

gaa

aagWW

AAB

ABABB

:30sin AByBy amamF

30sin30cos1 ABB agWWN



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 77


AA agWN 15.0

• Resuelva para las aceleraciones.

30sinlb12lb302

30coslb12sft2.32

30sin2

30cos

30sin30cos2

30sin30cos

2

1

A

BA

BA

ABBAA

ABB

a

WW

gWa

agWWagW

agWWN

2sft07.5Aa

30sinsft2.3230cossft07.5

30sin30cos

22AB

AAB

a

gaa

2sft5.20ABa



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 78


El cogote de un 2-m péndulo describe

un arco de un círculo en un avión

vertical. Si la tensión en el cordón es

2.5 veces el peso del cogote para la

posición mostrada, encuentre la

velocidad y aceleración del cogote en

esa posición.

LA SOLUCIÓN:

Resuélvase la ecuación de movimiento

para el cogote en los componentes

tangenciales y normales.

• Resuelva las ecuaciones del componente

para las aceleraciones normales y

tangenciales.

• Resuelva para la velocidad por lo que se

refiere a la aceleración normal.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 79


Resuélvase la ecuación de movimiento para el cogote

en los componentes tangenciales y normales.• Resuelva las ecuaciones del componente para las

aceleraciones normales y tangenciales.

:tt maF

30sin

30sin

ga

mamg

t

t

2sm9.4ta

:nn maF

30cos5.2

30cos5.2

ga

mamgmg

n

n

2sm03.16na

• Resuelva para la velocidad por lo que se refiere a la

aceleración normal.

22

sm03.16m2 nn avv

a

sm66.5v



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 80


Determine la velocidad tasada de una

curva de la carretera de radio r = 400

pies amontonaron a través de un

ángulo q = 18o. La velocidad tasada

de una curva de la carretera

amontonada es la velocidad a que un

automóvil debe viajar si ninguna

fuerza de fricción lateral será ejercida

a sus ruedas.

LA SOLUCIÓN:

El automóvil viaja en un camino redondo

horizontal con un componente normal

de aceleración dirigido hacia el centro

del camino. Las fuerzas que actúan en

el automóvil son su peso y una

reacción normal de la superficie del

camino.

• Resuélvase la ecuación de

movimiento para el automóvil en los

componentes verticales y normales.

• Resuelva para la velocidad del

vehículo.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 81


LA SOLUCIÓN:

El automóvil viaja en un camino

redondo horizontal con un componente

normal de aceleración dirigido hacia el

centro del camino. Las fuerzas que

actúan en el automóvil son su peso y

una reacción normal de la superficie

del camino.

• Resuélvase la ecuación de

movimiento para el automóvil en los

componentes verticales y normales.

:0 yF

cos

0cos

WR

WR

:nn maF

2

sincos

sin

v

g

WW

ag

WR n

• Resuelva para la velocidad del vehículo.

18tanft400sft2.32

tan

2

2 gv

hmi1.44sft7.64 v



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 82

La Velocidad adquirida angular de una Partícula

• el momento de velocidad adquirida o

la velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.

VmrHO

• Derivativo de velocidad adquirida angular con respecto

a tiempo,

O

O

M

Fr

amrVmVVmrVmrH

• Sigue de la segunda ley de Newton que la suma de los

momentos sobre O de las fuerzas que actúan en la

partícula es igual a la proporción de cambio de la

velocidad adquirida angular de la partícula sobre O.

zyx

O

mvmvmv

zyx

kji

H

• es perpendicular allanar conteniendoOH

Vmr

and

2

sin

mr

vrm

rmVHO



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 83

Equalidades de Movimiento en Radial & los Componentes Transversos

rrmmaF

rrmmaF rr

2

2

• Considere la partícula a r y , en las coordenadas

polares,

rrmF

rrrm

mrdt

dFr

mrHO

2

22

2

2

• Este resultado también puede derivarse de la

conservación de velocidad adquirida angular,



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 84

La conservación de Velocidad adquirida Angular• Cuando sólo fuerza que actúa en la partícula se

dirige hacia o fuera de un punto fijo O, se dice

que la partícula está moviendo bajo una fuerza

central. • Desde la línea de acción de los pasos de fuerza

centrales a través de O, and 0 OO HM

constant OHVmr

• Posición que el vector y movimiento de partícula

están en un perpendicular plano a .OH

• La magnitud de velocidad adquirida angular,

000 sin

constantsin

Vmr

VrmHO

massunit

momentumangular

constant

2

2

hrm

H

mrH

O

O

or



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 85

La conservación de Velocidad adquirida Angular

• El vector del radio OP barre el área infinitesimal

drdA 221

• Define 2

212

21 r

dt

dr

dt

dAVelocidad

areal

• Revoque, para un cuerpo que mueve bajo una

fuerza central,

constant2 rh

• Cuando una partícula mueve bajo una fuerza

central, su velocidad areal es constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 86

La Ley de Newton de Gravitación

• Fuerza gravitatoria ejercida por el sol en un planeta o

por la tierra en un satélite un ejemplo importante de

fuerza gravitatoria está. • La ley de newton de gravitación universal - dos

partículas de masa M y m nos atraen con el igual y la

fuerza opuesta dirigidas a lo largo de la línea que

conecta las partículas,

4

49

2

312

2

slb

ft104.34

skg

m1073.66

ngravitatio ofconstant

G

r

MmGF

• Para la partícula de masa m en la superficie de la tierra,

222 s

ft2.32

s

m81.9 gmg

R

MGmW



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 87


Un bloque B de masa que m puede

resbalar libremente en una fricción

menos brazo OA que gira en un avión

horizontal a una proporción constante .0

a) el componente vr de la velocidad de

B a lo largo de OA.

b) la magnitud de la fuerza horizontal

ejerció en B por el brazo OA.

Sabiendo que B se suelta a una distancia

r0 de O, exprese como una función de r

LA SOLUCIÓN:

Escriba las ecuaciones radiales y

transversas de movimiento para el

bloque.

• Integre la ecuación radial para

encontrar una expresión para la

velocidad radial.

• Suplente la información conocida en

la ecuación transversa para encontrar

una expresión para la fuerza en el

bloque.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 88


LA SOLUCIÓN:

Escriba las ecuaciones radiales y

transversas de movimiento para el

bloque.

:

:

amF

amF rr

rrmF

rrm

2

0 2

• Integre la ecuación radial para encontrar

una expresión para la velocidad radial.

r

r

v

rr

rr

rr

rrr

drrdvv

drrdrrdvv

dr

dvv

dt

dr

dr

dv

dt

dvvr

r

0

20

0

20

2

dr

dvv

dt

dr

dr

dv

dt

dvvr r

rrr

r

20

220

2 rrvr

• Suplente la información conocida en la

ecuación transversa para encontrar una

expresión para la fuerza en el bloque.

2120

2202 rrmF



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 89


Un satélite se lanza en una dirección

paralelo a la superficie de la tierra

con una velocidad de 18820 mi/h de

una altitud de 240 mi. Determine la

velocidad del satélite como él lo

alcanza la altitud máxima de 2340

mi. El radio de la tierra es 3960 mi.

LA SOLUCIÓN:

Desde que el satélite está moviendo bajo

una fuerza central, su velocidad adquirida

angular es constante. Iguale la velocidad

adquirida angular a A y B y resuelve para

la velocidad a B.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 90


LA SOLUCIÓN:

Desde que el satélite está moviendo bajo

una fuerza central, su velocidad adquirida

angular es constante. Iguale la velocidad

adquirida angular a A y B y resuelve para la

velocidad a B.

mi23403960

mi2403960hmi18820

constantesin

B

AAB

BBAA

O

r

rvv

vmrvmr

Hvrm

hmi12550Bv



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 91

La trayectoria de una Partícula Bajo una Fuerza Central

• Para partícula que mueve bajo la fuerza central dirigida hacia el centro de fuerza,

022 FrrmFFrrm r

• Segunda expresión es equivalente a de que,constante,2 hr

rd

d

r

hr

r

h 1y

2

2

2

2

2

• Después de sustituir en la ecuación radial de movimiento y simplificar,

rudonde

umh

Fu

d

ud 1222

2

• Si F es una función conocida de r o u, entonces la trayectoria de la

partícula puede encontrarse integrando para u = f(), con las

constantes de integración determinadas de las condiciones de la

inicial.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 92

La aplicación para Espaciar las Mecánicas

constant

1where

22

2

2

2222

2

h

GMu

d

ud

GMmur

GMmF

ru

umh

Fu

d

ud

• Considere satélites de tierra sujetados a sólo tirón gravitatorio

de la tierra,

• La solución es ecuación de sección cónica,

adscentricidGM

hC

h

GM

ru ecos1

1 2

2

• El origen, localizado al centro de tierra, es un enfoque de la

sección cónica.

• La trayectoria puede ser la elipse, parábola, o hipérbola que

dependen del valor de excentricidad.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 93

La aplicación para Espaciar las Mecánicas

tyeccentricicos11 2

2

GM

hC

h

GM

r

• La trayectoria de satélite de tierra se define por

• la hipérbola, > 1 o C > GM/h2. El vector del radio se

pone infinito para

2

1111 cos

1cos0cos1

hC

GM

• la parábola, = 1 or C = GM/h2. El vector del radio se

pone infinito para

1800cos1 22

• la elipse, < 1 or C < GM/h2. El vector del radio es finito

para y es constante, es decir, un círculo, para < 0.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 94

La aplicación para Espaciar las Mecánicas• La integración el C constante está determinado por las

condiciones en empezar de vuelo libre, =0, r = r0 ,

2000

20

2

20

11

0cos11

vr

GM

rh

GM

rC

GM

Ch

h

GM

r

00

200

2

2

or 1

r

GMvv

vrGMhGMC

esc

• El satélite escapa la órbita de tierra para

• La trayectoria es elíptica para v0 < vesc y se pone

redondo para = 0 or C = 0,

0r

GMvcirc



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 95

La aplicación para Espaciar las Mecánicas• Revoque que para una partícula que mueve bajo una

fuerza central, la velocidad areal es constante, es

decir,

constante212

21 hr

dt

dA

• Tiempo periódico o tiempo requeridos para un

satélite para completar una órbita son iguales al

área dentro de la órbita dividida por la velocidad

areal,

h

ab

h

ab

2

2

where

10

1021

rrb

rra



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 96


Determine:

a) la altitud máxima alcanzada por el

satélite.

b) el tiempo periódico del satélite.


paralelo a la superficie de la tierra

con una velocidad de 36,900 km/h a

una altitud de 500 km.

LA SOLUCIÓN:

La trayectoria del satélite se describe por

cos1

2C

h

GM

r

Evalúe C que usa las condiciones

iniciales a = 0.

• Determine la altitud máxima

encontrando r a = 180o.

• Con las altitudes al perigeo y apogeo

conocido, el tiempo periódico puede

evaluarse.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 97


La trayectoria del satélite se describe por

cos1

2C

h

GM

r

Evalúe C que usa las condiciones

iniciales a = 0.

2312

2622

29

3600

3

0

6

0

sm10398

m1037.6sm81.9

sm104.70

sm1025.10m106.87

sm1025.10

s/h3600

m/km1000

h

km36900

m106.87

km5006370

gRGM

vrh

v

r

1-9

22

2312

6

20

m103.65

sm4.70

sm10398

m1087.6

1

1

h

GM

rC



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 98


• Determine la altitud máxima encontrando r1 a

= 180o.

km 66700m107.66

m

1103.65

sm4.70

sm103981

61

9

22

2312

21

r

Ch

GM

r

km 60300km6370-66700 máxima altitud

• Con las altitudes al perigeo y apogeo conocido, el

tiempo periódico puede evaluarse.

sm1070.4

m1021.4m1036.82

h

2

m1021.4m107.6687.6

m1036.8m107.6687.6

29

66

6610

66

21

1021

ab

rrb

rra

min31h 19s103.70 3



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 99

Las Leyes de Kepler de Movimiento Planetario

• También pueden aplicarse resultados obtenidos para las trayectorias de

satélites alrededor de la tierra a las trayectorias de planetas alrededor del

sol. • Las propiedades de órbitas planetarias alrededor del sol eran las

observaciones astronómicas determinadas por Johann Kepler (1571-

1630) antes de que el Newton hubiera desarrollado su teoría

fundamental.

1) Cada planeta describe una elipse, con el sol localizado a uno de su

focos.

2) El vector del radio deducido del sol a un barridos planetarios las

áreas iguales en tiempos del igual.

3) Los cuadrados de los tiempos periódicos de los planetas son

proporcionales a los cubos de las hachas mayores de sus órbitas.



Se

ve

nth

Ed

ition


Vectores mecánicos para Ingenieros: DINÁMICA

12 - 100

Hay cuatro volúmenes de tapa dura, todos del

mismo tamaño y con el mismo numero de

pagina. Las cubiertas y los lomos están hechos

de una tira de 0.4 cm. de ancho. Las paginas de

cada uno de los cuatro libros ocupan

exactamente 5 cm. de ancho.

¿SI UN GUSANO DE PAPEL COMIENZA A

COMER EN LA PAGINA UNO DEL PRIMER

VOLUMEN Y TERMINA EN LA ULTIMA

PAGINAS DEL VOLUMEN 4. CUANTO A

VIAJADO?

D.O

D.O

D.O

D.O

El sistema de informaciones y el

mantenimiento



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #13

•CINETICA DE PARTÍCULAS:

MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

11 - 101



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 102

ContenidosIntroducción

El trabajo de una Fuerza

El principio del trabajo & Energía

Las aplicaciones del Principio del

trabajo & Energía

Poder y Eficacia






La Energía potencial

Las Fuerzas conservadoras

La conservación de Energía

Haga señas Bajo una Fuerza Central

Conservadora




El principio de Impulso y Velocidad adquirida

El Movimiento impulsivo




El impacto

El Impacto Central directo

El Impacto Central oblicuo

Problemas que Involucran Energía y

Velocidad adquirida



Pruebe Problemas 13.16

Pruebe Problema !3.17



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 103

Introducción

• Previamente, se resolvieron problemas que tratan con el

movimiento de partículas a través de la ecuación fundamental de

movimiento,

El capítulo actual introduce dos métodos adicionales de análisis.

.amF

• El método de trabajo y energía: directamente relaciona fuerza,

masa, velocidad y desplazamiento.

• El método de impulso y velocidad adquirida:

directamente relaciona fuerza, masa, velocidad, y tiempo.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 104


• El vector diferencial es el desplazamiento de la

partícula.

rd

• El trabajo de la fuerza es

dzFdyFdxF

dsF

rdFdU

zyx

cos

• El trabajo es una cantidad del escalar, es decir, tiene

la magnitud y firma pero no la dirección.

force. length • Las dimensiones de trabajo son Las unidades

son J 1.356lb1ftm 1N 1 J 1 joule



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 105


• El trabajo de una fuerza durante un

desplazamiento finito,

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

21

A

Azyx

s

st

s

s

A

A

dzFdyFdxF

dsFdsF

rdFU

• El trabajo se representa por el área bajo la

curva de Ft trazado contra s.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 106


• El trabajo de una fuerza constante en el movimiento

rectilíneo, xFU cos21

• El trabajo de la fuerza de gravedad,

yWyyW

dyWU

dyW

dzFdyFdxFdU

y

y

zyx

12

21

2

1

• El trabajo del peso es igual al producto de

peso W y el desplazamiento vertical y.

• El trabajo del peso es positivo cuando y <

0, es decir, cuando el peso baja.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 107

El trabajo de una Fuerza• La magnitud de la fuerza ejercida por una

primavera es proporcional a la desviación,

lb/in.or N/mconstant spring

k

kxF

• El trabajo de la fuerza ejerció por primavera,

222

1212

121

2

1

kxkxdxkxU

dxkxdxFdU

x

x

• El trabajo de la fuerza ejercido por primavera es positivo

cuando el x2 < x1, es decir, cuando la primavera está

devolviendo a su posición del no deformado.

• El trabajo de la fuerza ejercido por la primavera es igual

negar de área bajo la curva de F trazó contra x,

xFFU 2121

21



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 108


El trabajo de una fuerza gravitatoria (asuma la partícula

M ocupa la posición fija O mientras la partícula m sigue

camino mostrado),

12221

2

2

1r

MmG

r

MmGdr

r

MmGU

drr

MmGFdrdU

r

r



Se

ve

nth

Ed

ition


Vectores mecánicos para Ingenieros: DINÁMICA

13 - 109

• LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON

Es la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre un planeta o

por parte de la Tierra sobre un Satélite el órbita.

En su Ley de Gravitación Universal, Newton Postulo que dos

partículas de masa M y m a una distancia r una de otra se

atraen con fuerzas iguales y opuestas F y –F dirigida a lo

largo de la línea que las une.

G es una constante universal llamada constante de gravitación

y los experimentos indican G= (66.73±0.03)X 10ˉ¹² m³/Kg.s²

2r

GMmF



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 110

• LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON

Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par

de cuerpos, pero su efecto sólo es apreciable cuando

uno de los cuerpos tiene una masa muy grande. El

efecto de las fuerzas de las fuerzas gravitacionales es

evidente en los casos de movimiento de un planeta

alrededor del Sol, de satélites que orbitan alrededor

de la tierra o de cuerpos que caen sobre la superficie

de la Tierra.

W=mg=

g=GM/r²

2r

GMm



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 111


Fuerzas que no hace trabajan (ds = 0 o cos 0:

• el peso de un cuerpo cuando su centro de movimientos de

gravedad horizontalmente.

• la reacción a un rodillo que sigue su huella, y

• A reacción a la fricción menos superficie cuando el

cuerpo en los movimientos del contacto a lo largo de la

superficie,

• La reacción a la fricción menos alfiler apoyando que gira el cuerpo,



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 112

La partícula la Energía Cinética: El principio del Trabajo & Energía

dvmvdsF

ds

dvmv

dt

ds

ds

dvm

dt

dvmmaF

t

tt

• Considere una partícula de masa que m actuó en por la fuerza F

• Integrando de A1 a A2 ,

energykineticmvTTTU

mvmvdvvmdsFv

v

s

st

221

1221

212

1222

12

1

2

1

• El trabajo de la fuerza es igual al cambio en la

energía cinética de la partícula.

F

• Las unidades de trabajo y la energía cinética son el mismo:

JmNms

mkg

s

mkg

2

22

21

mvT



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 113

Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía

• Desee determinar velocidad de cogote del

péndulo a A2. Considere el trabajo & la

energía cinética.• La fuerza los actos normal al camino y no

hace el trabajo.

P

glv

vg

WWl

TUT

2

2

10

2

22

2211

• La velocidad encontró sin determinar la

expresión para la aceleración e integrar.

• Todo las cantidades son los escalares y

pueden agregarse directamente.

• Se eliminan fuerzas que no hacen el trabajo

del problema.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 114

Las aplicaciones del Principio de Trabajo y Energía

• El principio de trabajo y energía no puede

aplicarse para determinar la aceleración del

cogote del péndulo directamente.

• Calculando la tensión en el cordón requiere

complementando el método de trabajo y

energía con una aplicación de la segunda ley

de Newton. • Como los pasos del cogote a través de A2

,

Wl

gl

g

WWP

l

v

g

WWP

amF nn

32

22

glv 22



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 115

Poder y Eficiencia

• tase a que el trabajo se hace.

vF

dt

rdF

dt

dU

Power

• Las dimensiones de poder son el trabajo / tiempo o fuerza

* la velocidad. las Unidades para el poder son

W746s

lbft550 hp 1or

s

mN 1

s

J1 (watt) W 1

entrada depoder

salida depoder

entrada de trabajo

salida de trabajo

eficiencia



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 116


Un peso automovilístico que 4000 lb

se maneja abajo una 5o cuesta a una

velocidad de 60 mi/h cuando los frenos

son los causando aplicados una fuerza

de la ruptura total constante de 1500

lb.

Determine que la distancia viajada por

el automóvil como él viene a una

parada.

LA SOLUCIÓN:

Evalúe el cambio en la energía cinética.

• Determine la distancia requerida para el

trabajo para igualar el cambio de

energía cinético.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 117


LA SOLUCIÓN:

Evalúe el cambio en la energía cinética.

lbft481000882.324000

sft88s 3600

h

mi

ft 5280

h

mi60

2

212

121

1

1

mvT

v

0lb1151lbft481000

2211

x

TUT

ft 418x

• Determine la distancia requerida para el trabajo

para igualar el cambio de energía cinético.

x

xxU

lb1151

5sinlb4000lb150021

00 22 Tv



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 118


Dos bloques son unidos por un cable

improrrogable como mostrado. Si el

sistema se suelta del resto, determine la

velocidad de bloque A después de que ha

movido 2 m. Asuma que el coeficiente de

fricción entre el bloque A y el avión es el

mk = 0.25 y que la polea es ingrávida y

fricción menos.

LA SOLUCIÓN:

Aplique el principio de trabajo y energía

separadamente a los bloques A y B.

• Cuando las dos relaciones se

combinan, el trabajo del cable fuerza

la cancelación. Resuelva para la

velocidad.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 119



separadamente a los bloques A y B.

221

221

2211

2

kg200m2N490m2

m2m20

:

N490N196225.0

N1962sm81.9kg200

vF

vmFF

TUT

WNF

W

C

AAC

AkAkA

A

221

221

2211

2

kg300m2N2940m2

m2m20

:

N2940sm81.9kg300

vF

vmWF

TUT

W

c

BBc

B



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 120

Pruebe Problema 13.2• Cuando las dos relaciones se combinan, el trabajo del

cable fuerza la cancelación. Resuelva para la

velocidad. 2

21 kg200m2N490m2 vFC

221 kg300m2N2940m2 vFc

221

221

kg500J 4900

kg300kg200m2N490m2N2940

v

v

sm 43.4v



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 121


Una primavera se usa para detener un 60

kg paquete que está resbalando en una

superficie horizontal. La primavera tiene

un k constante = 20 kN/m y se sostiene

por los cables para que sea el 120 mm.

inicialmente comprimido que El paquete

tiene una velocidad de 2.5 m/s en la

posición mostrada y la desviación

máxima de la primavera es 40 mm.

Determine (un) el coeficiente de fricción

cinética entre el paquete y superficie y (b)

la velocidad del paquete como él

atraviesa la posición mostrada de nuevo.

LA SOLUCIÓN:


entre la posición inicial y el punto en

que la primavera está totalmente

comprimida y la velocidad es el cero.

El único desconocido en la relación es

el coeficiente de fricción.

• Aplique el principio de trabajo y

energía para el rebote del paquete. El

único desconocido en la relación está la

velocidad en la último posición.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 122


Aplique principio de trabajo y energía entre la posición de la

inicial y el punto en que primavera está totalmente comprimida.

0J5.187sm5.2kg60 22

212

121

1 TmvT

kk

kfxWU

J377m640.0sm81.9kg60 2

21

J0.112m040.0N3200N2400

N3200m160.0mkN20

N2400m120.0mkN20

21

maxmin21

21

0max

0min

xPPU

xxkP

kxP

e

J112J377212121 kefUUU

0J112J 377-J5.187

:2211

k

TUT

20.0k



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 123


• Aplique el principio de trabajo y energía para el rebote

del paquete.

232

1232

132 kg600 vmvTT

J36.5

J112J377323232

kefUUU

232

1

3322

kg60J5.360

:

v

TUT

sm103.13 v



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 124


Un 2000 automóvil del lb empieza del resto

a punto 1 y movimientos sin la fricción

abajo la huella mostrada.

Determine:

a) la fuerza ejercida por el trayecto en

el automóvil al punto 2, y

b) el valor seguro mínimo del radio de

curvatura a punto 3.

SOLUCIÓN:

• Aplique principio de trabajo y energía para

determinar la velocidad a punto 2.

• Aplique la segunda ley de Newton para

encontrar la fuerza normal por el trayecto al

punto 2.

• Aplique principio de trabajo y energía para

determinar la velocidad a punto 3.

• Aplique la segunda ley de Newton para

encontrar radio mínimo de curvatura a punto

3 tal que una fuerza normal positiva se ejerce

por el trayecto.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 125


• Aplique principio de trabajo y energía para determinar

la velocidad a punto 2.

sft8.50ft2.32ft402ft402

2

1ft400:

ft40

2

10

222

2

222211

21

22

222

121

vsgv

vg

WWTUT

WU

vg

WmvTT

• Aplique la segunda ley de Newton para encontrar la

fuerza normal por el trayecto al punto 2.

:nn amF

WN

g

g

Wv

g

WamNW n

5

ft20

ft402

2

22

lb10000N



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 126

Pruebe Problema 13.4• Aplique principio de trabajo y energía para determinar la

velocidad a punto 3.

sft1.40sft2.32ft252ft252

2

1ft250

323

233311

vgv

vg

WWTUT

• Aplique la segunda ley de Newton para encontrar radio

mínimo de curvatura a punto 3 tal que una fuerza normal

positiva se ejerce por el trayecto.

:nn amF

33

23 ft252

g

g

Wv

g

W

amW n

ft503



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 127


El montaplatos D y su carga tienen un peso

combinado de 600 lb, mientras el C del

contrapeso pesa 800 lb.

Determine el poder entregado por el M de

motor eléctrico cuando el montaplatos (un)

está subiendo a una velocidad constante de 8

ft/s y (b) tiene una velocidad instantánea de 8

ft/s y una aceleración de 2.5 ft/s2, los dos

dirigieron más de.

LA SOLUCIÓN:

Fuerza ejercida por el cable de

motor tiene la misma dirección

como la velocidad de

montaplatos. Power entregó por

el motor es igual a FvD, vD = 8

ft/s.

• En el primer caso, los cuerpos están en el

movimiento del uniforme. Determine

fuerza ejercida por el cable del motor de

las condiciones para el equilibrio estático.

• En el segundo caso, ambos cuerpos están

acelerando. Aplique la segunda ley de

Newton a cada cuerpo determinar la

fuerza del cable de motor requerida.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 128


• En el primer caso, los cuerpos están en el movimiento

del uniforme. Determine fuerza ejercida por el cable

del motor de las condiciones para el equilibrio estático.

slbft1600

sft8lb 200

DFvPoder

hp 91.2slbft550

hp 1slbft1600

Poder

Cuerpo libre C:

:0 yF lb 4000lb8002 TT

Cuerpo libre D:

:0 yF

lb 200lb 400lb 600lb 600

0lb 600

TF

TF



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 129


• En el segundo caso, ambos cuerpos están acelerando.

Aplique la segunda ley de Newton a cada cuerpo determinar

la fuerza del cable de motor requerida.

2212 sft25.1sft5.2 DCD aaa

Cuerpo libre C:

:CCy amF lb5.38425.12.32

8002800 TT

Cuerpo libre D:

:DDy amF

lb 1.2626.466005.384

5.22.32

600600

FF

TF

slbft2097sft8lb 1.262 DFvPoder

hp 81.3slbft550

hp 1slbft2097

Poder



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 130

Energía potencial

2121 yWyWU

• El trabajo de la fuerza de gravedad, W

• El trabajo es independiente de camino seguido;

sólo depende de los valores iniciales y finales de

Wy. WyVg

la energía potencial del cuerpo con respecto a la

fuerza de gravedad.

2121 gg VVU

• Las unidades de trabajo y la energía potencial son el

mismo: JmN WyVg

• La opción de dato de que la elevación y es

moderado es arbitrario.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 131

Energía potencial

• La expresión anterior para la energía potencial de

un cuerpo con respecto a la gravedad sólo es válida

cuando el peso del cuerpo puede asumirse

constante.

• Para un vehículo espacial, la variación de la fuerza

de gravedad con la distancia del centro de la tierra

debe ser considerada.

• El trabajo de una fuerza gravitatoria,

1221

r

GMm

r

GMmU

• a energía potencial Vg cuando la variación en

la fuerza de gravedad no puede descuidarse,

r

WR

r

GMmVg

2



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 132

Energía potencial

• El trabajo de la fuerza ejercido por una

primavera sólo depende adelante el inicial y

último desviaciones de la primavera,

222

1212

121 kxkxU

• La energía potencial del cuerpo con respecto a

la fuerza elástica,

2121

221

ee

e

VVU

kxV

• La nota que la expresión precedente para Ve

sólo es válido si la desviación de la primavera

es moderada de su posición del no deformado.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 133

Fuerzas conservadas• El concepto de energía potencial puede aplicarse si el

trabajo de la fuerza es independiente del camino seguido

por su punto de aplicación.

22211121 ,,,, zyxVzyxVU

Se describen las tales fuerzas como las fuerzas

conservadoras.• Para cualquier fuerza conservadora aplicada en un camino

cerrado, 0 rdF

• Trabajo elemental que corresponde al desplazamiento

entre dos puntos vecinos,

zyxdV

dzzdyydxxVzyxVdU

,,

,,,,

Vz

V

y

V

x

VF

dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdzFdyFdxF zyx

grad



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 134

Conservación de la energía• El trabajo de una fuerza conservadora,

2121 VVU

• El concepto de trabajo y energía,

1221 TTU

• Sigue eso

constante

2211

VTE

VTVT

• Cuando una partícula mueve bajo la acción de

fuerzas conservadoras, la energía mecánica total es

constante.

WVT

WVT

11

11 0

WVT

VWgg

WmvT

22

2222

12 02

2

1• Las fuerzas de fricción no son conservadoras. La

energía mecánica total de un sistema que involucra

las disminuciones de fricción.

• La energía mecánica es disipado por la fricción en

la energía termal. La energía total es constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 135

Haga señas Bajo una Fuerza Central Conservadora• Cuando una partícula mueve bajo una fuerza central

conservadora, ambos el principio de conservación de

velocidad adquirida angular,

y el principio de conservación de energía

puede ser aplicado.

sinsin 000 rmvmvr

r

GMmmv

r

GMmmv

VTVT

221

0

202

1

00

• Dado r, las ecuaciones pueden resolverse para v y j.

• Al mínimo y máximo r, j 90o. Dado el lanzamiento

condiciona, las ecuaciones pueden resolverse para

rmin, rmax, vmin, y vmax.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 136


Un 20 lb agarran por el cuello las

diapositivas sin la fricción a lo largo de una

vara vertical como mostrado. La primavera

atada al cuello tiene una longitud del no

desviado de 4 en. y una constante de 3

lb/in.

Si el cuello se suelta del resto a posición 1,

determina su velocidad después de que ha

entrado 6. para posicionar 2.

SOLUCIÓN:

• Aplique el principio de conservación de

energía entre las posiciones 1 y 2.

• Se evalúan las energías potenciales elásticos

y gravitatorios a la 1 y 2 de la información

dada. La energía cinética inicial es el cero.

• Resuelva para la energía cinética y velocidad

a las 2.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 137

Pruebe Problema 13.6SOLUCIÓN:

• Aplique el principio de conservación de energía entre las

posiciones 1 y 2.

Posición 1:

0

lbft20lbin.24

lbin.24in. 4in. 8in.lb3

1

1

2

212

121

T

VVV

kxV

ge

e

Posición 2:

22

22

222

12

2

2

212

221

311.02.32

20

2

1

lbft 5.5lbin. 6612054

lbin. 120in. 6lb 20

lbin.54in. 4in. 01in.lb3

vvmvT

VVV

WyV

kxV

ge

g

e

Conservación de la energía:

lbft 5.50.311lbft 20 22

2211

v

VTVT

sft91.42v



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 138


La 0.5 pelotilla del lb se empuja contra la

primavera y soltó del resto a A.

Descuidando la fricción, determine la

desviación más pequeña de la primavera

para que la pelotilla viajará alrededor de la

vuelta y permanecerá en todo momento en

el contacto con la vuelta.

SOLUCIÓN:

• Desde que la pelotilla debe permanecer en el

contacto con la vuelta, la fuerza ejercida en la

pelotilla debe ser mayor que o iguala para

poner a cero. Poniendo la fuerza ejercida por

la vuelta para poner a cero, resuelva para la

velocidad mínima a D.


energía entre los puntos UN y D. Solve para

la desviación de la primavera exigió

producir la velocidad requerida y la energía

cinética a D.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 139

Pruebe Problema 13.7SOLUCIÓN:

• Poniendo la fuerza ejercida por la vuelta para poner a cero,

resuelva para la velocidad mínima a D.

:nn maF

222

2

sft4.64sft32.2ft 2

rgv

rvmmgmaW

D

Dn

• Aplique el principio de conservación de energía entre los

puntos A y D.

0

18ftlb360

1

22

212

21

1

T

xxkxVVV ge

lbft5.0sft4.64sft2.32

lb5.0

2

1

lbft2ft4lb5.00

22

2

2

21

2

2

D

ge

mvT

WyVVV

25.0180 2

2211

x

VTVT

in. 47.4ft 3727.0 x



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 140



paralelo a la superficie de la tierra con

una velocidad de 36900 km/h de una

altitud de 500 km.

Determine (un) la altitud máxima

alcanzada por el satélite, y (b) el error

aceptable máximo en la dirección de

lanzar si el satélite es venir ningún más

íntimo que 200 km a la superficie de la

tierra

SOLUCIÓN:

• Para el movimiento bajo una fuerza central

conservadora, pueden aplicarse los principios de

conservación de energía y conservación de

velocidad adquirida angular simultáneamente.

• Aplique los principios a los puntos de mínimo y

la altitud máxima determinar la altitud máxima.

• Aplique los principios al punto de inserción de

órbita y el punto de altitud mínima determinar

el órbita inserción ángulo error aceptable

máximo.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 141

Pruebe Problema 13.9• Aplique los principios de conservación de energía y

conservación de velocidad adquirida angular a los puntos de

mínimo y la altitud máxima determinar la altitud máxima.

Conservación de energíA:

1

212

1

0

202

1

r

GMmmv

r

GMmmvVTVT AAAA

La conservación de velocidad adquirida angular:

1

0011100

r

rvvmvrmvr

Combinando,

2001

0

1

0

02

1

202

021 2

111vr

GM

r

r

r

r

r

GM

r

rv

23122622

60

0

sm10398m1037.6sm81.9

sm1025.10hkm36900

km6870km500km6370

gRGM

v

r

km 60400m104.60 61 r



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 142

Pruebe Problema 13.9• Aplique los principios al punto de inserción de órbita y el

punto de altitud mínima determinar el órbita inserción ángulo

error aceptable máximo.

Conservación de energía:

min

2max2

1

0

202

100

r

GMmmv

r

GMmmvVTVT AA

La conservación de velocidad adquirida angular :

min

000maxmaxmin000 sinsin

r

rvvmvrmvr

Combinando y resolviendo para sin j0,

5.1190

9801.0sin

0

0

j

5.11error allowable



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 143


• De la segunda ley de Newton,

vmvmdt

dF

la velocidad adquirida

lineal

2211

21 force theof impulse 2

1

vmvm

FdtFt

t

Imp

Imp

• La último velocidad adquirida de la partícula

puede obtenerse agregando su velocidad

adquirida inicial y el impulso de la fuerza

vectorialmente durante el intervalo de tiempo.

12

2

1

vmvmdtF

vmddtF

t

t

• Las dimensiones del impulso

de una fuerza son

force*time.

• Las unidades para el impulso

de una fuerza son

smkgssmkgsN 2



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 144

El Movimiento impulsivo

• Se llama fuerza que actúa en una partícula durante

un intervalo de tiempo muy corto que es grande

bastante para causar un cambio significante en la

velocidad adquirida una fuerza impulsiva.

• Cuando el acto de fuerzas impulsivo en una partícula,

21 vmtFvm

• Cuando un béisbol se golpea por un palo, el

contacto ocurre encima de un intervalo de tiempo

corto pero la fuerza es grande bastante para

cambiar sentido de movimiento de la pelota.

• las fuerzas no impulsivas son las fuerzas para que

es pequeño y por consiguiente, puede

descuidarse.tF



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 145

Pruebe el Problema 13.10

Un peso automovilístico que 4000 lb se

maneja abajo una 5o cuesta a una

velocidad de 60 mi/h cuando los frenos

son aplicados, mientras causando un

total constante que frena fuerza de 1500

lb.

Determine el tiempo requerido para el

automóvil para venir a una parada.

SOLUCIÓN:

• Aplique el principio de impulso y

velocidad adquirida. El impulso es igual

al producto de las fuerzas constantes y el

intervalo de tiempo.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 146


SOLUCIÓN:


velocidad adquirida.

2211 vmvm

Imp

Los componentes tomando

parangonan a la cuesta,

015005sin4000sft882.32

4000

05sin1

tt

FttWmv

s49.9t



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 147


Un 4 onz. béisbol se tira con una

velocidad de 80 ft/s. después de que la

pelota se pega por el palo, tiene una

velocidad de 120 ft/s en la dirección

mostrada. Si el palo y pelota están en

el contacto para 0.015 s, determine la

media fuerza impulsiva ejercida en la

pelota durante el impacto.

SOLUCIÓN:


velocidad adquirida por lo que se refiere

a las ecuaciones del componente

horizontales y verticales.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 148

Pruebe el Problema 13.11SOLUCIÓN:

• Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida por

lo que se refiere a las ecuaciones del componente

horizontales y verticales.

2211 vmvm

Imp

x

y

la componente x de la ecuación :

lb89

40cos1202.32

16415.080

2.32

164

40cos21

x

x

x

F

F

mvtFmv

la componente y de la ecuación :

lb9.39

40cos1202.32

16415.0

40sin0 2

y

y

y

F

F

mvtF

lb5.97,lb9.39lb89 FjiF



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 149


Un 10 kg gotas del paquete de una

cascada en una 24 kg carreta con una

velocidad de 3 m/s. Sabiendo que la

carreta es inicialmente en reposo y

puede rodar libremente, determine (un)

la último velocidad de la carreta, (b) el

impulso ejercido por la carreta en el

paquete, y (c) el fragmento de la

energía inicial perdió en el impacto.

LA SOLUCIÓN:

Aplique el principio de impulso y

velocidad adquirida al sistema del

paquete-carreta determinar la último

velocidad.

• Aplique el mismo principio al paquete

solo determinar el impulso ejercido en él

del cambio en su velocidad adquirida.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 150


Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida al sistema del

paquete-carreta determinar la último velocidad.

2211 vmmvm cpp

Imp

x

y

los componentes

de x:

2

21

kg 25kg 1030cosm/s 3kg 10

030cos

v

vmmvm cpp

m/s 742.02 v



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 151


• Aplique el mismo principio al paquete solo determinar el impulso ejercido

en él del cambio en su velocidad adquirida.

x

y

2211 vmvm pp

Imp

los componentes

de x: 2

21

kg 1030cosm/s 3kg 10

30cos

vtF

vmtFvm

x

pxp

sN56.18 tFx

los componentes

de y: 030sinm/s 3kg 10

030sin1

tF

tFvm

y

yp

sN15 tFy

sN 9.23sN 51sN 56.1821 tFjitF

Imp



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 152


Para determinar el fragmento de energía perdido,

J 63.9sm742.0kg 25kg 10

J 45sm3kg 10

2

212

221

1

2

212

121

1

vmmT

vmT

cp

p

786.0J 45

J 9.63J 45

1

21

T

TT



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 153

El Impacto• El impacto: La colisión entre dos cuerpos que

ocurren durante un intervalo de tiempo pequeño y

durante que los cuerpos ejercen las fuerzas

grandes en nosotros.

• La línea de Impacto: El normal común a las

superficies en el contacto durante el impacto.

• El Impacto central: Impacte para que la masa

centra de los dos cuerpos quede en la línea de

impacto; por otra parte, es un impacto excéntrico.

El Impacto Central

directo

• El Impacto directo: Impacte para que se dirigen

las velocidades de los dos cuerpos a lo largo de la

línea de impacto.

El Impacto Central

oblicuo

• El Impacto oblicuo: Impacte para cuál o los dos

de los cuerpos sigan una línea de otra manera que

la línea de impacto.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 154


• Cuerpos que entran la misma línea recta, vA

> vB .

• En el impacto los cuerpos sufren un

período de deformación al final de que,

ellos están en el contacto y moviendo a una

velocidad común.

• Un período de restitución sigue durante

que los cuerpos o recobran su forma

original o permanecen permanentemente

deformado. • Desee determinar las último velocidades de

los dos cuerpos. La velocidad adquirida

total del dos sistema del cuerpo es en

conserva, BBBBBBAA vmvmvmvm

• Una segunda relación entre las último

velocidades se requiere.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 155


• Periodo de deformación: umPdtvm AAA

• Periodo de restitución: AAA vmRdtum

10

e

uv

vu

Pdt

Rdt

nrestitutio of tcoefficien e

A

A

• Un análisis similar de partícula los rendimientos

de B B

B

vu

uv e

• Combinando las primacías de las relaciones a los

deseamos segunda relación entre las último

velocidades.

BAAB vvevv

• Perfectamente el impacto

plástico, e = 0: vvv AB vmmvmvm BABBAA

• El impacto absolutamente elástico, e = 1:

La energía total y velocidad adquirida del total

conservaron.

BAAB vvvv



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 156

El Impacto Central Oblícuo

• Último velocidades

son desconocidas en la

magnitud y dirección.

Se requieren cuatro

ecuaciones.

• Ningún componente de impulso

tangencial; el componente tangencial

de velocidad adquirida para cada

partícula se conserva.

tBtBtAtA vvvv

• El componente normal de velocidad

adquirida total de las dos partículas

se conserva.

nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm

• Los componentes normales de

velocidades relativas antes de y después

del impacto está relacionado por el

coeficiente de restitución.

nBnAnAnB vvevv



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 157


• El bloque reprimió para seguir la superficie

horizontal.

• Los impulsos de las fuerzas interiores

a lo largo del eje de n y de la fuerza externa

ejercido por la superficie horizontal y dirigió a

lo largo del vertical a la superficie.

FF

and

extF

• Último velocidad de pelota desconocido en la

dirección y magnitud y desconocido la

magnitud de velocidad de bloque final. Tres

ecuaciones requirieron.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 158


• F que la velocidad adquirida

Tangencial de pelota se conserva.

tBtB vv

• Total que la velocidad adquirida

horizontal de bloque y pelota se

conserva.

xBBAAxBBAA vmvmvmvm

• El componente normal de velocidades

relativas de bloque y pelota está

relacionado por el coeficiente de

restitución.

nBnAnAnB vvevv

• La nota: La validez de última expresión no sigue de la relación anterior para

el coeficiente de restitución. Una derivación similar pero separada se

requiere.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 159

Problemas que Involucran Energía y Velocidad adquirida

•Tres métodos para el análisis de problemas de las

cinética:

•La aplicación directa de la segunda ley de Newton

•El método de trabajo y energía

•El método de impulso y velocidad adquirida

• Seleccione el mejor el método satisfecho para el problema o parte de un

problema bajo la consideración.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 160


Una pelota se tira contra una fricción

menos, la pared vertical.

Inmediatamente antes de las huelgas

de la pelota la pared, su velocidad

tiene una magnitud v y ángulo de los

formularios de 30o con el horizontal.

Sabiendo que e = 0.90, determine la

magnitud y dirección de la velocidad

de la pelota como él rebota de la

pared.

LA SOLUCIÓN:

La velocidad de pelota de resolución en

los componentes normal y tangencial a la

pared.

• Impulso ejercido por la pared es normal

a la pared. El componente de velocidad

adquirida de la pelota tangencial a la

pared se conserva.

• Asuma que la pared tiene la masa

infinita para que la velocidad de la

pared antes de y después de que el

impacto es el cero. Aplique coeficiente

de relación de la restitución para

encontrar el cambio en la velocidad del

pariente normal entre la pared y ovillar,

es decir, la velocidad de la pelota

normal.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 161


• El componente de velocidad adquirida de la pelota tangencial

a la pared se conserva.

vvv tt 500.0

• Aplique coeficiente de relación de la restitución con cera

velocidad de la pared.

vvv

vev

n

nn

779.0866.09.0

00

LA SOLUCIÓN:

La velocidad de pelota de resolución en los componentes

parangona y perpendicular a la pared.

vvvvvv tn 500.030sin866.030cos

n

t

7.32500.0

779.0tan926.0

500.0779.0

1vv

vvv tn



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 162


La magnitud y dirección de las

velocidades de dos fricción idéntica

menos pelotas antes de que ellos

nos golpeen es como mostrado. E

arrogante = 0.9, determine la

magnitud y dirección de la

velocidad de cada pelota después

del impacto.

LA SOLUCIÓN:

Resuélvase las velocidades de la pelota en los

componentes normal y tangencial al avión del

contacto. • El componente tangencial de velocidad

adquirida para cada pelota se conserva.

• El componente normal total de la

velocidad adquirida del dos sistema de la

pelota se conserva.

• Las velocidades relativas normales

de las pelotas están relacionadas por

el coeficiente de restitución.

• Resuelva las últimas dos ecuaciones

simultáneamente para las velocidades

normales de las pelotas después del

impacto.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 163


Resuélvase las velocidades de la pelota en los componentes

normal y tangencial al avión del contacto.

sft0.2630cos AnA vv sft0.1530sin AtA vv

sft0.2060cos BnB vv sft6.3460sin BtB vv

• El componente tangencial de velocidad adquirida para

cada pelota se conserva.

sft0.15tAtA vv sft6.34

tBtB vv

• El componente normal total de la velocidad adquirida

del dos sistema de la pelota se conserva.

0.6

0.200.26

nBnA

nBnA

nBBnAAnBBnAA

vv

vmvmmm

vmvmvmvm



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 164


6.557.23

6.34tansft9.41

6.347.23

3.407.17

0.15tansft2.23

0.157.17

1

1

B

ntB

A

ntA

v

v

v

v

t

n

• Las velocidades relativas normales de las pelotas están

relacionadas por el coeficiente de restitución.

4.410.200.2690.0

nBnAnBnA vvevv

• Resuelva las últimas dos ecuaciones simultáneamente para

las velocidades normales de las pelotas después del impacto.

sft7.17nAv sft7.23

nBv



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 165


Pelota que B está colgando de un

cordón improrrogable. Una pelota

idéntica A se suelta del resto cuando

está tocando simplemente el cordón y

adquiere un v0 de velocidad antes de la

pelota llamativa B. Asumiendo el

impacto absolutamente elástico (e = 1)

y ninguna fricción, determine la

velocidad de cada pelota

inmediatamente después del impacto.

LA SOLUCIÓN:

Determine orientación de línea de impacto

de acción.

• El componente de velocidad adquirida de

pelota Atangencial al avión del contacto

se conserva.

• La velocidad adquirida horizontal total

del dos sistema de la pelota se conserva.

• Las velocidades relativas a lo largo de la

línea de acción antes de y después del

impacto está relacionado por el

coeficiente de restitución.

• Resuelva las últimas dos expresiones

para la velocidad de pelota A a lo largo

de la línea de acción y la velocidad de

pelota B que está horizontal.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 166


Determine orientación de línea de impacto de

acción.

30

5.02

sin

r

r

• El componente de velocidad adquirida de

pelota A tangencial al avión del contacto

se conserva.

0

0

5.0

030sin

vv

vmmv

vmtFvm

tA

tA

AA

• El total horizontal (el componente de x) la

velocidad adquirida del dos sistema de la

pelota se conserva.

0

0

433.05.0

30sin30cos5.00

30sin30cos0

vvv

vvv

vmvmvm

vmvmtTvm

BnA

BnA

BnAtA

BAA



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 167

Pruebe Problema 13.16• Las velocidades relativas a lo largo de la línea de

acción antes de y después del impacto está

relacionado por el coeficiente de restitución.

0

0

866.05.0

030cos30sin

vvv

vvv

vvevv

nAB

nAB

nBnAnAnB

• Resuelva las últimas dos expresiones para la

velocidad de pelota A a lo largo de la línea de acción

y la velocidad de pelota B que está horizontal.

00 693.0520.0 vvvv BnA

0

10

00

693.0

1.16301.46

1.465.0

52.0tan721.0

520.05.0

vv

vv

vvv

B

A

ntA



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 168


Un 30 kg bloque se deja caer de una

altura de 2 m hacia el la 10 kg cacerola

de una balanza primaveral. Asumiendo

el impacto para ser absolutamente

plástico, determine la desviación

máxima de la cacerola. La constante de

la primavera es k = 20 kN/m.

LA SOLUCIÓN:

Aplique el principio de conservación de

energía para determinar la velocidad del

bloque al momento de impacto.

• Desde que el impacto es absolutamente

plástico, el bloque y movimiento de la

cacerola juntos a la misma velocidad

después del impacto. Determine esa

velocidad del requisito que la velocidad

adquirida total del bloque y cacerola se

conserva.


energía para determinar la desviación

máxima de la primavera.



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 169


Aplique principio de conservación de energía para

determinar velocidad del bloque al momento de impacto.

sm26.6030 J 5880

030

J 588281.9300

2222

1

2211

2222

1222

12

11

AA

AAA

A

vv

VTVT

VvvmT

yWVT

• Determine la velocidad después del impacto de

requisito que la velocidad adquirida total del bloque y

cacerola se conserva.

sm70.41030026.630 33

322

vv

vmmvmvm BABBAA



Se

ve

nth

Ed

ition



13 - 170


La desviación primaveral inicial

debido al peso de la cacerola:

m1091.4

1020

81.910 3

33

k

Wx B

• Aplique el principio de conservación de energía para

determinar la desviación máxima de la primavera.

2

43

213

4

24

3

21

34

242

14

4

233

212

321

3

2

212

321

3

10201091.4392

1020392

0

J 241.01091.410200

J 4427.41030

xx

xxx

kxhWWVVV

T

kx

VVV

vmmT

BAeg

eg

BA

m 230.0

10201091.43920241.0442

4

24

3

213

4

4433

x

xx

VTVT

m 1091.4m 230.0 334

xxh m 225.0h



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #14

•SISTEMAS DE PARTÍCULAS

11 - 171



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 172

Contenidos

Introducción

La aplicación de las Leyes de

Newton: Las Fuerzas eficaces

La Velocidad adquirida lineal y

Angular

El movimiento de Centro de Masa de

Sistema de Partículas

La Velocidad adquirida angular Sobre

el Centro de Masa

La conservación de Velocidad

adquirida


La Energía cinética

El Principio de trabajo-energía. La

conservación de Energía

El principio de Impulso y Velocidad

adquirida



Los Sistemas inconstantes de Partículas

El Arroyo firme de Partículas

El Arroyo firme de Partículas. Las

aplicaciones

Los arroyos Ganando o Perdiendo la

Masa




Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 173

Introducción

• En el capítulo actual, usted estudiará el movimiento de

sistemas de partículas.

• Se define la fuerza eficaz de una partícula como el producto

de él la masa y aceleración. Se mostrará que el sistema de

fuerzas externas que actúan en un sistema de partículas es el

equipollent con el sistema de fuerzas eficaces del sistema.

• El centro de masa de un sistema de partículas se definirá y

su movimiento describió.

• a aplicación del principio de trabajo-energía y el principio

del impulso-velocidad adquirida a un sistema de partículas

se describirá. Resultado obtenido también es aplicable a un

sistema de partículas rígidamente conectadas, es decir, un

cuerpo rígido.

• Se presentarán los métodos del análisis para los sistemas

inconstantes de partículas, es decir, sistemas en que las

partículas incluyeron en el cambio del sistema.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 174

La aplicación de las Leyes de Newton. Las Fuerzas eficaces• La segunda ley de newton para cada Pi de la

partícula en un sistema de partículas de n,

force effective

forces internal force external

1

1

ii

iji

iii

n

jijiii

ii

n

jiji

am

fF

amrfrFr

amfF

• El sistema de fuerzas externas e interiores en

una partícula es equivalente a la fuerza

eficaz de la partícula.

• El sistema de fuerzas externas e interiores

que actúan en el sistema entero de

partículas es equivalente al sistema de

fuerzas eficaces.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 175

La aplicación de las Leyes de Newton. Las Fuerzas eficaces

• Sumando encima de todos los elementos,

n

iiii

n

i

n

jiji

n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

ii

amrfrFr

amfF

11 11

11 11

• Desde que las fuerzas interiores ocurren

en el igual y el choque opuesto aparea, la

fuerza del resultante y pareja debido a las

fuerzas interiores es el cero,

iiiii

iii

amrFr

amF

• El sistema de fuerzas externas y el

sistema de fuerzas eficaces no es los

equipollent por equivalente.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 176

Lineal & la Velocidad adquirida Angular

• La velocidad adquirida lineal del

sistema de partículas,

n

iii

n

iii

n

iii

amvmL

vmL

11

1

• La velocidad adquirida angular sobre el

punto fijo O de sistema de partículas,

n

iiii

n

iiii

n

iiiiO

n

iiiiO

amr

vmrvmrH

vmrH

1

11

1

• El resultante de las fuerzas

externas es igual tasar de cambio

de velocidad adquirida lineal del

sistema de partículas,

LF

OO HM

• El resultante del momento sobre el

punto fijo O de las fuerzas externas es

igual a la proporción de cambio de

velocidad adquirida angular del sistema

de partículas,



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 177

El movimiento del Centro de Masa de un Sistema de Partículas

• Centro de masa que G de sistema de partículas

se define por vector de la posición que satisfaceGr

n

iiiG rmrm

1

• Diferenciando dos veces,

FLam

Lvmvm

rmrm

G

n

iiiG

n

iiiG

1

1

• Los movimientos de centro de masa como si se

concentraran la masa entera y todo las fuerzas

externas a ese punto.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 178

La Velocidad adquirida angular Sobre el Centro de Masa

G

n

iii

n

iiii

G

n

ii

n

iiii

n

iGiii

n

iiiiG

n

iiiiG

M

Framr

armamr

aamramrH

vmrH

11

11

11

1

• La velocidad adquirida angular del sistema de

partículas sobre el centro de masa,

• El resultante del momento sobre G de las fuerzas

externas es igual a la proporción de cambio de

velocidad adquirida angular sobre G del sistema

de partículas.

• En general, el marco del

centroidal no es un marco de

Newtonian.

• Considere que los centroidal

idean de referencia Gx'y'z '

que traduce con respecto al

marco de Newtonian Oxyz.

iGi aaa



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 179

La Velocidad adquirida angular Sobre el Centro de Masa• La velocidad adquirida angular sobre G de

partículas en su pariente del movimiento

absoluto al Newtonian Oxyz idea de

referencia.

GGG

n

iiiiG

n

iii

n

iiGii

n

iiiiG

MHH

vmrvrm

vvmr

vmrH

11

1

1

• La velocidad adquirida angular

sobre G de las partículas en su

pariente del movimiento al

centroidal Gx'y'z ' idean de

referencia,

n

iiiiG vmrH

1

GGi vvv

• La velocidad adquirida angular sobre G de las

velocidad adquirida de la partícula o puede

calcularse con respecto al Newtonian o el

centroidal idea de referencia.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 180

La conservación de Velocidad adquirida

• Si ningún acto de fuerzas externo en

las partículas de un sistema,

entonces la velocidad adquirida

lineal y la velocidad adquirida

angular sobre el punto fijo se

conservan O.

constant constant

00

O

OO

HL

MHFL

• En algunas aplicaciones, como

problemas que involucran las fuerzas

centrales,

constant constant

00

O

OO

HL

MHFL

• El concepto de conservación de

velocidad adquirida también aplica al

análisis del movimiento de centro de

masa,

constant constant

constant

00

GG

G

GG

Hv

vmL

MHFL



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 181


Un 20-lb proyectil está moviendo con

una velocidad de 100 ft/s cuando explota

en 5 y 15-lb fragmentos.

Inmediatamente después de la explosión,

los fragmentos viajan en las direcciones

A = 45o y B = 30o.

Determine la velocidad de cada

fragmento.

LA SOLUCIÓN:

No hay fuerzas externas

subsecuentemente, la velocidad

adquirida lineal del sistema se

conserva.• Escriba las ecuaciones del

componente separadas para la

conservación de velocidad adquirida

lineal.

• Resuelva las ecuaciones

simultáneamente para las

velocidades del fragmento.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 182


LA SOLUCIÓN:

No hay fuerzas externas

subsecuentemente, la velocidad

adquirida lineal del sistema se

conserva.

x

y

• Escriba las ecuaciones del componente

separadas para la conservación de

velocidad adquirida lineal.

0

0

20155 vgvgvg

vmvmvm

BA

BBAA

los componentes

de x: 1002030cos1545cos5 BA vv

los componentes de

y:030sin1545sin5 BA vv

• Resuelva las ecuaciones simultáneamente

para las velocidades del fragmento.

sft6.97sft207 BA vv



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 183

La Energía cinética

• La energía cinética de un sistema de

partículas,

n

iii

n

iiii vmvvmT

1

221

121

iGi vvv

• Expresando la velocidad por lo que se refiere al

marco de referencia de centroidal,

n

iiiG

n

iii

n

iiiGG

n

ii

n

iiGiGi

vmvm

vmvmvvm

vvvvmT

1

2

212

21

1

2

21

1

2

121

121

• La energía cinética es igual a la energía cinética

de centro de masa más el pariente de energía

cinético al marco del centroidal.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 184

El Principio de trabajo-energía. La conservación de Energía

• El principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada partícula

Pi ,2211 TUT

donde representa el trabajo hecho por las fuerzas interiores

y el resultante la fuerza externa actuando adelante Pi .ijf

iF21U

• El principio de trabajo y energía puede aplicarse al sistema entero

agregando el energies cinético de todas las partículas y considerado

el trabajo hecho por las fuerzas todo externas e interiores.

• Aunque es igual y en situación opuesta, el trabajo de

estas fuerzas no quiere, en general, cancele fuera.jiij ff

and

• Si las fuerzas que actúan en las partículas son conservadoras, el

trabajo es igual al cambio en la energía potencial y

2211 VTVT

qué expresa el principio de conservación de energía para el

sistema de partículas.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 185


21

12

2

1

2

1

LdtFL

LLdtF

LF

t

t

t

t

21

12

2

1

2

1

HdtMH

HHdtM

HM

t

tO

t

tO

OO

• Las velocidad adquirida de las partículas al t1 de tiempo y el impulso

de las fuerzas del t1 al t2 forman un sistema de equipollent de los

vectores al sistema de velocidad adquirida de las partículas en

momento t2 .



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 186


La pelota B, de mB,is de masa suspendido

de un cordón, de longitud l, ató para

carretear A, de masa MA que puede rodar

libremente en un frictionless el tracto

horizontal. Mientras la carreta es en reposo,

la pelota se da una velocidad inicial

Determine (A) la velocidad de B como él lo

alcanza la elevación máxima, y (b) la

distancia vertical máxima h a través de que

B subirá.

.20 glv

LA SOLUCIÓN:

• Sin las fuerzas horizontales externas, sigue

del principio del impulso-velocidad

adquirida que el componente horizontal de

velocidad adquirida se conserva. Esta

relación puede resolverse para la velocidad

de B a su elevación máxima.

• La conservación de principio de energía

puede aplicarse para relacionar la energía

cinética inicial a la energía potencial

máxima. La distancia vertical máxima es

determinada de esta relación.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 187


• Sin las fuerzas horizontales externas, sigue del principio del

impulso-velocidad adquirida que el componente horizontal de

velocidad adquirida se conserva. Esta relación puede

resolverse para la velocidad de B a su elevación máxima.

21

2

1

LdtFL

t

t

(la velocidad de pariente de

B a A es el cero a

posición 2)

2,2,2,2,

01,1, 0

AABAB

BA

vvvv

vvv

Las velocidades a las posiciones 1 y 2 son

2,0 ABAB vmmvm

02,2, vmm

mvv

BA

BBA

la x componente ecuación:

2,2,1,1, BBAABBAA vmvmvmvm x

y



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 188


• La conservación de principio de energía puede aplicarse para

relacionar la energía cinética inicial a la energía potencial

máxima. 2211 VTVT

Posición 1 - la Energía Potencial:

La Energía cinética:

Posición 2 - la Energía Potencial:

La Energía cinética:

glmV A1

202

11 vmT B

ghmglmV BA 2

22,2

12 ABA vmmT

ghmglmvmmglmvm BAABAAB 22,2

1202

1

g

v

mm

mh

BA

A

2

20

2

0

20

22,

20

2222

v

mm

m

mg

mm

g

v

g

v

m

mm

g

vh

BA

B

B

BAA

B

BA

g

v

mm

m

g

vh

BA

B

22

20

20



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 189


Oville A tiene la velocidad inicial v0 = 10

ft/s paralelos al eje de la tabla. Este golpea

la bola B y entonces la bola C el cual ambos

se restan. Las bolas A y C golpea los lados

de la mesa en ángulos rectos en A’ y C’ y la

bola B golpea oblicuamente en B’.

Las colisiones absolutamente elásticas

asumiendo, determine las velocidades vA, vB,

y vC con el cual las bolas golpean los lados

de la tabla.

SOLUCIÓN:

• Hay cuatro desconocidos: vA, vB,x, vB,y, y vC.

• Escriba las ecuaciones de conservación por

lo que se refiere a las velocidades

desconocidas y resuelva simultáneamente.

• La solución requiere cuatro ecuaciones: los

principios de conservación para la

velocidad adquirida lineal (dos ecuaciones

del componente), la velocidad adquirida

angular, y energía.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 190


x

y

ivv

jvivv

jvv

CC

yBxBB

AA

,,

SOLUCIÓN:

• Hay cuatro desconocidos: vA, vB,x,

vB,y, y vC.

• La conservación de velocidad adquirida y ecuaciones de

energía,

yBACxB mvmvmvmvmv

LdtFL

,,0

21

0

2

212

,2

,212

212

021

2211

CyBxBA mvvvmmvmv

VTVT

CyBA

OOO

mvmvmvmv

HdtMH

ft3ft7ft8ft2 ,0

2,1,

Resolviendo las primeras tres ecuaciones por lo que se refiere a

vC,CxBCyBA vvvvv 10203 ,,

Sustituyendo en la ecuación de energía,

080026020

100102032

2

222

CC

CCC

vv

vvv

sft47.4sft42

sft8sft4

BB

CA

vjiv

vv



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 191

Los Sistemas inconstantes de Partículas

• Se derivaron principios de las cinética establecidos hasta

ahora para los sistemas constantes de partículas, es decir,

sistemas que ni no ganan ni pierden las partículas.

• Un número grande de diseñar las aplicaciones requiere la

consideración de sistemas inconstantes de partículas, por

ejemplo, turbina hidráulica, el artefacto del cohete, etc.,

• Para los análisis, considere sistemas auxiliares que consisten

instantáneamente en las partículas dentro del sistema más las

partículas que entran o dejan el sistema durante un intervalo

de tiempo corto. Los sistemas auxiliares, así definió, es

sistemas constantes de partículas.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 192

Arroyo firme de Partículas

• El sistema consiste en un arroyo firme de partículas

contra una veleta o a través de un conducto.

BiiAii

t

t

vmvmtFvmvm

LdtFL

21

2

1

• El sistema auxiliar ha terminado un sistema

constante de partículas t.

• Defina sistema auxiliar que incluye partículas en

que fluyen y fuera encima de t.

AB vvdt

dmF



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 193

Arroyo firme de Partículas. Las aplicaciones

• Fluido que Fluye A través de

una Cañería

• El Artefacto del motor de

reacción

• El ventilador

• Arroyo fluido Desviado por

Veleta o Conducto

• Helicóptero



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 194

Arroyos Ganando o Perdiendo la Masa• Defina el sistema auxiliar para incluir partículas

de masa m dentro del sistema en momento t más

las partículas de masa m qué entra en el sistema

con el tiempo el intervalo t.

21

2

1

LdtFL

t

t

• El sistema auxiliar es un sistema constante de

partículas.

udt

dmFam

udt

dm

dt

vdmF

vmvvmvmtF

vvmmtFvmvm

a

a



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 195


El grano se cae a razón de hacia una

cascada 240 lb/s. pega la cascada con

una velocidad de 20 ft/s y hojas con

una velocidad de 15 ft/s. El peso

combinado de la cascada y el grano que

lleva está 600 lb con el centro de

gravedad en G.

Determine las reacciones al C y B.

SOLUCIÓN:

• Defina un sistema que consiste en la

masa de grano en la cascada más la

masa que se agrega y quitó durante el

intervalo de tiempo t.

• Aplique los principios de conservación

de velocidad adquirida lineal y angular

para tres ecuaciones para las tres

reacciones desconocidas.



Se

ve

nth

Ed

ition



14 - 196


SOLUCIÓN:

• Defina un sistema que consiste en

la masa de grano en la cascada

más la masa que se agrega y quitó

durante el intervalo de tiempo t.

• Aplique los principios de

conservación de velocidad adquirida

lineal y angular para tres ecuaciones

para las tres reacciones

desconocidas.

10sin

10cos

21

ByA

Bx

vmtBWCvm

vmtC

LdtFL

10sin1210cos6

1273

2,1,

BB

A

CCC

vmvm

tBWvm

HdtMH

Solve for Cx, Cy, and B with

sslug45.7sft32.2

slb2402

t

m

lb 3071.110 lb 423 jiCB



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #15

• CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

11 - 197



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 198

ContenidosLa introducción

La traducción

La rotación Sobre un Eje Fijo: La velocidad

La rotación Sobre un Eje Fijo: La

aceleración

La rotación Sobre un Eje Fijo: La Tabla

representativa

Ecuaciones que Definen la Rotación de un

Cuerpo Rígido Sobre un Eje Fijo

Pruebe Problema 5.1

El Movimiento del Avión general

La Velocidad absoluta y Relativa en el

Movimiento del Avión



El Centro instantáneo de Rotación en el




La Aceleración absoluta y Relativa en el


El análisis de Movimiento Plano por lo que se

refiere a un Parámetro




La proporción de Cambio con respecto a un

Marco Girando

La Aceleración de Coriolis



Haga señas Sobre un Punto Fijo

El Movimiento general


Tres Movimiento Dimensional. La Aceleración

de Coriolis

El marco de Referencia en general el

Movimiento




Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 199

Introducción

A1

A2

B1

B2

A1

A2

B1

B2

a) b)



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 200

• TRASLACIÓN.- Se afirma que un movimiento será de traslación

si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección

durante el movimiento. También puede observarse que en la

traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven

a lo lardo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas

rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea

figura a): si las trayectorias sin líneas curvas el movimiento es una

traslación curvilínea figura b).

• ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.- En este

movimiento, las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven

en planos paralelos a lo largo de círculos centrales sobre el mismo

eje fijo como se muestra en la figura c): si este eje, llamado eje de

rotación, intercepta al cuerpo rígido, las partículas localizadas

sobre el eje tienen velocidad cero y aceleración cero. La rotación

no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilíneas.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 201

• Por ejemplo la placa que se en la figura d): es una traslación

curvilínea, con todas sus partículas moviéndose a lo largo de

círculos paralelos, mientras que la placa que se muestra en la figura

e) esta en rotación, con todas sus partículas moviéndose a lo largo

de círculos concéntricos.

• En el primer caso, cualquier línea recta dada dibujada sobre la

placa mantendrá la misma dirección, e tanto que en el segundo

caso, el punto o permanece fijo.

• MOVIMIENTO PLANO GENERAL.- Hay muchos otros tipos de

movimiento plano, esto es movimiento en los cuales todas las

partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos, cualquier

movimiento plano que no s ni una rotación ni una traslación se

conoce como un movimiento plano general. En la figura f) se dan

dos ejemplos de movimiento plano general.



Se

ve

nth

Ed

ition



12 - 202

Introducción

B

A

c) d)

B

A



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 203

La Aceleración de Coriolis • El marco OXY es fijo y marco que Oxy gira con la velocidad

angular .

• La posición del vector para la partícula P es el mismo en

ambos marcos pero la proporción de cambio depende de la

opción de marco.

Pr

• La velocidad absoluta de la partícula que P es

OxyOXYP rrrv

• Imagine una tabla rígida atada al marco girando Oxy o F para

el corto. Permita a P ' ser un punto en la tabla que

corresponde para posicionar de partícula P. instantáneamente

OxyP rv F

la velocidad de P a lo largo de su camino

en la tabla'Pv

la velocidad absoluta de punto P ' en la tabla

• La velocidad absoluta para la partícula P puede escribirse

comoFPPP vvv



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 204


FPP

OxyP

vv

rrv

• La aceleración absoluta para la partícula P es

OxyOXYP rdt

drra

OxyOxyP rrrra

2

OxyOxyOxy

OxyOXY

rrrdt

d

rrr

but,

OxyP

P

ra

rra

F

• Utilizando el punto conceptual P ' en la tabla,

• La aceleración absoluta para la partícula P se vuelve

22

2

F

F

F

POxyc

cPP

OxyPPP

vra

aaa

raaa

La aceleración de

Coriolis



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 205

La Aceleración de Coriolis • Considere un cuello P que se hace resbalar a la velocidad del

pariente constante u a lo largo de la vara OB. La vara está

girando a una velocidad angular constante w. El punto A en la

vara corresponde a la posición instantánea de P.

cPAP aaaa

F

• La aceleración absoluta del cuello es

0 OxyP ra F

uava cPc w22 F

• La aceleración absoluta consiste en los vectores radiales y

tangenciales mostrados

2wrarra AA

donde



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 206


uvvtt

uvvt

A

A

,at

,at

• Cambie en la velocidad encima de t se

representa por la suma de tres vectores

TTTTRRv

2wrarra AA renombra,

• es debido al cambio en la dirección de la

velocidad de punto A en la vara,

AAtt

arrt

vt

TT

2

00limlim www

TT

• sea el resultado de los efectos

combinados de movimiento relativo de P y rotación de

la vara

TTRR and

uuu

t

r

tu

t

TT

t

RR

tt

www

w

2

limlim00

uava cPc w22 F

renombra,



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 207


Disco que D del mecanismo de Ginebra gira

en sentido contrario a las agujas del reloj con

la constante la velocidad angular wD = 10

rad/s.

Al momento cuando = 150o, determine (A)

la velocidad angular de disco S, y (b) la

velocidad de alfiler el pariente de P al disco

S.

SOLUCIÓN:

• La velocidad absoluta del punto como que

P puede escribirse

sPPP vvv

• La magnitud y dirección de velocidad de

alfiler P son calculados del radio y la

velocidad angular de disco D.

Pv

• La dirección de velocidad de punto P '

en S que coincide con P es perpendicular al

radio OP.

Pv

• La dirección de velocidad de P con

respecto a S es paralelo a la hendedura.sPv

• Resuelva el triángulo del vector para la

velocidad angular de S y velocidad del

pariente de P.



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 208


SOLUCIÓN:

• La velocidad absoluta del punto como que P puede

escribirsesPPP vvv

• La magnitud y dirección de velocidad absoluta de alfiler P

son calculados del radio y la velocidad angular de disco D.

smm500srad 10mm 50 DP Rv w

• La dirección de velocidad de P con respecto a S es paralela a

la hendedura.De la ley de cosenos,

mm 1.37551.030cos2 2222 rRRllRr

De la ley de cosenos,

4.42742.0

30sinsin

30sin

R

sin

r

6.17304.4290

El ángulo interior del triángulo del vector es



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 209


• La dirección de velocidad de punto P ' en S que coincide con

P es perpendicular al radio OP. Del triángulo de velocidad,

mm 1.37

smm2.151

smm2.1516.17sinsmm500sin

ss

PP

r

vv

ww

ks

srad08.4w

6.17cossm500cosPsP vv

jiv sP

4.42sin4.42cossm477

smm 500Pv



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 210


En el mecanismo de Ginebra, disco

D gira en sentido contrario a las

agujas del reloj con una constante la

velocidad angular de 10 rad/s. Al

momento cuando j = 150o,

determine aceleración angular de

disco S.

SOLUCIÓN:

• La aceleración absoluta del alfiler como

que P puede expresarse

csPPP aaaa

• La velocidad angular instantánea de Disco

S es determinado como en el Problema de

la Muestra 15.9.

• El único desconocido involucrado en la

ecuación de aceleración es la aceleración

angular instantánea de Disco S.

• Resuélvase cada término de aceleración en

el componente paralelo a la hendedura.

Resuelva para la aceleración angular de

Disco S.



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 211


• La aceleración absoluta del alfiler como que P puede

expresarse csPPP aaaa

• De la Muestra Problema 15.9.

jiv

k

sP

S

4.42sin4.42cossmm477

srad08.44.42 w

• Considerando cada término en la ecuación de

aceleración,

jia

Ra

P

DP

30sin30cossmm5000

smm5000srad10mm500

2

222w

jia

jira

jira

aaa

StP

StP

SnP

tPnPP

4.42cos4.42sinmm1.37

4.42cos4.42sin

4.42sin4.42cos2

w

nota: S puede ser positivo o negativo



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 212

• La aceleración relativa debe ser paralela a la

hendedura.sPa


sPv

• La dirección de la aceleración de Coriolis se

obtiene girando la dirección de la velocidad

relativa

por 90o en el sentido de wS.

ji

ji

jiva sPSc

4.42cos4.42sinsmm3890

4.42cos4.42sinsmm477srad08.42

4.42cos4.42sin2

2

w

• Los componentes igualando del perpendicular de

condiciones de aceleración a la hendedura,

srad233

07.17cos500038901.37

S

S

kS

srad233



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 213

Haga señas Sobre un Punto Fijo• El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un

punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo sobre

un eje a través de O.

• Con el eje instantáneo de rotación y la velocidad angular la

velocidad de una partícula que P del cuerpo es,w

rdt

rdv

w

y la aceleración de la partícula que P es

.dt

drra

www

• Las velocidades angulares tienen magnitud y dirección y

obedecen ley del paralelogramo de suma. Ellos son los vectores.

• Como el vector los movimientos dentro del cuerpo y en el

espacio, genera un cono del cuerpo y cono del espacio que

son tangente a lo largo del eje instantáneo de rotación.

w

• La aceleración angular representa la velocidad de la

punta de .w



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 214

El Movimiento general• Para las partículas A y B de un cuerpo rígido,

ABAB vvv

• La partícula A es fijo dentro del cuerpo y movimiento

del pariente del cuerpo a AX'Y'Z ' es el movimiento de

un cuerpo con un punto fijo

ABAB rvv

w

• Semejantemente, la aceleración de la partícula que P

es

ABABA

ABAB

rra

aaa

ww

• Más movimiento general de un cuerpo rígido es equivalente a:

• una traducción en que todas las partículas tienen la misma

velocidad y aceleración de una partícula de la referencia A, y

• de un movimiento en que la partícula A es supuesto fijo.



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 215


La grúa gira con una velocidad angular

constante w1 = 0.30 rad/s y el estampido

está levantándose con una velocidad

angular constante w2 = 0.50 rad/s. La

longitud del estampido es l = 12 m.

Determine:

• la velocidad angular del estampido,

• la aceleración angular del estampido,

• la velocidad de la punta del estampido,

y

• la aceleración de la punta del estampido.

• La aceleración angular del estampido,

21

22221

ww

wwwww

Oxyz

• La velocidad de punta del estampido,

rv

w

• La aceleración de punta del

estampido, vrrra

www

SOLUCIÓN:

Con

• La velocidad angular del estampido,

21 www

ji

jir

kj

639.10

30sin30cos12

50.030.0 21

ww



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 216


jir

kj

639.10

50.030.0 21

ww

SOLUCIÓN:

• La velocidad angular del estampido,

21 www

kj

srad50.0srad30.0 w

• La aceleración angular del estampido,

kj

Oxyz

srad50.0srad30.021

22221

ww

wwwww

i 2srad15.0

• La velocidad de punta del estampido,

0639.10

5.03.00

kji

rv

w

kjiv

sm12.3sm20.5sm54.3



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 217


jir

kj

639.10

50.030.0 21

ww

• La aceleración de punta del estampido,

kjiik

kjikji

a

vrrra

90.050.160.294.090.0

12.320.53

50.030.00

0639.10

0015.0

www

kjia 222 sm80.1sm50.1sm54.3



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 218

El Movimiento tridimensional. La Aceleración de Coriolis

• Con respecto al marco fijo OXYZ y el marco

girando Oxyz,

QQQ OxyzOXYZ

• Considere movimiento de partícula el pariente de P a un marco girando Oxyz o F para cortos. La velocidad

absoluta puede expresarse como

FPP

OxyzP

vv

rrv

• La aceleración absoluta puede expresarse como

onaccelerati Coriolis 22

2

F

F

POxyzc

cPp

OxyzOxyzP

vra

aaa

rrrra



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 219

El marco de Referencia en general el Movimiento

• Considere:

• el marco arreglado OXYZ,

• el marco traduciendo AX'Y'Z ', y

• traduciendo y girando el marco Axyz o

F.

• Con respecto a OXYZ y AX'Y'Z ',

APAP

APAP

APAP

aaa

vvv

rrr

• The pueden encontrarse la velocidad y aceleración

de pariente de P a AX'Y'Z ' por lo que se refiere a

la velocidad y aceleración de pariente de P a Axyz.

FPP

AxyzAPAPAP

vv

rrvv

cPP

AxyzAPAxyzAP

APAPAP

aaa

rr

rraa

F

2



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 220


Para el disco montado en el brazo,

las proporciones de la rotación

angulares indicadas son constantes.

Determine:

• la velocidad del punto P,

• la aceleración de P, y

• la velocidad angular y la

aceleración angular del disco.

SOLUCIÓN:

• Defina un marco de la referencia fijo

OXYZ a O y un marco de la referencia mudanza Axyz o F atado al brazo a A.

• Con P ' de la referencia mudanza idee

coincidiendo con P, la velocidad del punto

de que P se encuentra,

FPPP vvv

• La aceleración de P se encuentra de

cPPP aaaa

F

• La velocidad angular y la aceleración

angular del disco son

ww

ww

F

FD



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 221


• Defina un marco de la referencia fijo OXYZ a

O y un marco de la referencia mudanza Axyz o F atado al brazo a A.

j

jRiLr

1w

k

jRr

D

AP

2ww

F

• Con P ' de la referencia mudanza idee

coincidiendo con P, la velocidad del punto de

que P se encuentra,

iRjRkrv

kLjRiLjrv

vvv

APDP

P

PPP

22

11

www

ww

FF

F

kLiRvP

12 ww



Se

ve

nth

Ed

ition



15 - 222

Pruebe el Problema 15.15• La aceleración de P se encuentra de

cPPP aaaa

F

iLkLjraP

2111 www

jRiRk

ra APDDP

2222 www

ww

FFF

kRiRj

va Pc

2121 22

2

wwww

F

kRjRiLaP

21

22

21 2 wwww

• La velocidad angular y aceleración del disco,

FDww

kj

21 www

kjj

211 www

ww

F

i

21ww



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #16

•MOVIMIENTO PLANO DE

CUERPOS RÍGIDOS: FUERZAS

Y ACELERACIONES

11 - 223



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 224

Contenidos

Introducción

Las ecuaciones de Movimiento de un

Cuerpo Rígido

La Velocidad adquirida angular de un

Cuerpo Rígido en el Movimiento del

Avión

El Movimiento plano de un Cuerpo

Rígido: el Principio de d'Alembert

Los axiomas de las Mecánicas de

Cuerpos Rígidos

Problemas que Involucran el

Movimiento de un Cuerpo Rígido






El Movimiento Plano reprimido

El Movimiento Plano reprimido:

La Rotación de Noncentroidal

El Movimiento Plano reprimido:

El Movimiento rodante







Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 225

Introducción• En este capítulo y en los Capítulos 17 y 18, nosotros tendremos

relación con las cinética de cuerpos rígidos, es decir, relaciones entre

las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, la forma y masa del

cuerpo, y el movimiento produjo.

• Nuestro acercamiento será considerar los cuerpos rígidos como

hecho de números grandes de partículas y usar los resultados de

Capítulo 14 para el movimiento de sistemas de partículas.

Específicamente,

GG HMamF and

• Los resultados de este capítulo se restringirán a:

• el movimiento plano de cuerpos rígidos, y

• cuerpos rígidos que consisten en tablas planas o cuerpos

que son simétrico con respecto al avión de la referencia.

• El principio de D'Alembert se aplica para demostrar que las

fuerzas externas que actúan en un cuerpo rígido son equivalentes

un vector atado al centro de masa y un par de momentoam

.I



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 226

Las ecuaciones de Movimiento para un Cuerpo Rígido• Considere que un cuerpo rígido actuó

en por varias fuerzas externas.

• Asuma que el cuerpo es hecho de un

número grande de partículas.

• Para el movimiento del centro de

masa G del cuerpo con respecto al

marco de Newtonian Oxyz,

amF

• Para el movimiento del cuerpo con

respecto al marco del centroidal

Gx'y'z ',

GG HM

• El sistema de fuerzas externas es el

equipollent al sistema que consiste de

. and GHam



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 227

La Velocidad adquirida angular de un Cuerpo Rígido en el Movimiento del Avión

• Considere una tabla

rígida en el movimiento

del avión.

• La velocidad adquirida angular de la tabla

puede computarse por

w

w

w

I

mr

mrr

mvrH

ii

n

iiii

n

iiiiG

Δ

Δ

Δ

2

1

1

• Después de la diferenciación,

w IIHG

• Los resultados también son válidos para el

movimiento del avión de cuerpos que son

simétrico con respecto al avión de la referencia.

• Los resultados no son válidos para cuerpos

asimétricos o el movimiento tridimensional.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 228

El Movimiento plano de un Cuerpo Rígido: El Principio de D'Alembert

IMamFamF Gyyxx

• El movimiento de un cuerpo rígido en el movimiento

plano es completamente definido por el resultante y

resultante del momento sobre G de las fuerzas

externas.

• Las fuerzas externas y las fuerzas eficaces colectivas de

las partículas de la tabla son los equipollent (reduzca al

mismo resultante y resultante del momento) y

equivalente (tiene el mismo efecto en el cuerpo).

• El movimiento más general de un cuerpo rígido que es

simétrico con respecto al avión de la referencia puede

reemplazarse por la suma de una traducción y una

rotación del centroidal.

• el Principio de d'Alembert: Las fuerzas externas que

actúan en un cuerpo rígido son equivalentes a las

fuerzas eficaces de las varias partículas que forman el

cuerpo.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 229

Los axiomas de las Mecánicas de Cuerpos Rígidos

• Las fuerzas actúe a los puntos

diferentes en un cuerpo rígido pero tiene la

misma magnitud, dirección, y línea de acción.

FFy

• Las fuerzas producen el mismo momento

sobre cualquier punto y son por consiguiente,

equipollent las fuerzas externas.

• Esto demuestra el principio de transmisibilidad

considerando que se declaró previamente como

un axioma.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 230

Problemas que Involucran el Movimiento de un Cuerpo Rígido

• La relación fundamental entre las fuerzas que

actúan en un cuerpo rígido en el movimiento del

avión y la aceleración de su centro de masa y la

aceleración angular del cuerpo se ilustra en una

ecuación del libre-cuerpo-diagrama.

• Pueden aplicarse las técnicas por resolver

problemas de equilibrio estático para resolver

problemas de movimiento plano utilizando

• el principio de d'Alembert, o

• el principio de equilibrio dinámico

• Estas técnicas también pueden aplicarse a

problemas que involucran movimiento plano de

cuerpos rígidos conectados dibujando una

ecuación del libre-cuerpo-diagrama para cada

cuerpo y resolviendo las ecuaciones

correspondientes de movimiento

simultáneamente.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 231


En una velocidad delantera de 30 ft/s, los

frenos del camión estaban aplicados,

mientras causando las ruedas para dejar

de girar. Fue observado que el camión a

derrapó a una parada en 20 pies

Determine la magnitud de la reacción

normal y la fricción fuerce a cada rueda

como el camión derrapado a una parada.

SOLUCIÓN:

• Calcule la aceleración durante la parada

derrapando asumiendo la aceleración

uniforme.

• Aplique las tres ecuaciones del escalar

correspondientes para resolver para la

rueda normal desconocida fuerza al

frente y trasero y el coeficiente de

fricción entre las ruedas y superficie del

camino.

• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-

diagrama que expresa la equivalencia de

las fuerzas externas y eficaces.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 232


ft20s

ft300 xv

SOLUCIÓN:

• Calcule la aceleración durante la parada derrapando

asumiendo la aceleración uniforme.

ft202s

ft300

2

2

020

2

a

xxavv

s

ft5.22a

• Dibuje una ecuación del libre-cuerpo-diagrama que

expresa la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces.

• Aplique las ecuaciones del escalar correspondientes.

0 WNN BA

effyy FF

699.02.32

5.22

g

a

agWW

NN

amFF

k

k

BAk

BA

effxx FF



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 233


WNWN BA 350.0

WNN Arear 350.021

21 WNrear 175.0

WNN Vfront 650.021

21 WN front 325.0

WNF rearkrear 175.0690.0 WFrear 122.0

WNF frontkfront 325.0690.0

WFfront 227.0.0

• Aplique las ecuaciones del escalar correspondientes.

WN

g

aWa

g

WWN

amNW

B

B

B

650.0

4512

4512

1

ft4ft12ft5

effAA MM



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 234


El plato delgado de masa 8 kg se

sostiene en el lugar como mostrado.

Descuidando la masa de los eslabones,

determine inmediatamente después del

alambre ha estado cortado (un) la

aceleración del plato, y (b) la fuerza en

cada eslabón.

SOLUCIÓN:

• Note que después de que el alambre está

cortado, todas las partículas del movimiento

del plato a lo largo de los caminos redondos

paralelos de radio 150 mm. que El plato está

en la traducción curvilínea.

• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama

que expresa la equivalencia de las fuerzas

externas y eficaces.

• Resuélvase en las ecuaciones de componente

de scalar parangone y perpendicular al

camino del centro de masa.

• Resuelva las ecuaciones del componente y la

ecuación del momento para la aceleración

desconocida y fuerzas del eslabón.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 235


• Note que después de que el alambre está cortado, todas

las partículas del movimiento del plato a lo largo de los

caminos redondos paralelos de radio 150 mm. que El

plato está en la traducción curvilínea.

• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que

expresa la equivalencia de las fuerzas externas y

eficaces.

• Resuélvase la ecuación del diagrama en los

componentes parangone y perpendicular al camino del

centro de masa.

efftt FF

30cos

30cos

mg

amW

30cosm/s81.9 2a

2sm50.8a 60o



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 236


2sm50.8a 60o

• Resuelva las ecuaciones del componente y la

ecuación del momento para la aceleración

desconocida y fuerzas del eslabón.

effGG MM

0mm10030cosmm25030sin

mm10030cosmm25030sin

DFDF

AEAE

FF

FF

AEDF

DFAE

FF

FF

1815.0

06.2114.38

effnn FF

2sm81.9kg8619.0

030sin1815.0

030sin

AE

AEAE

DFAE

F

WFF

WFF

TFAE N9.47

N9.471815.0DFF CFDF N70.8



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 237


Una polea pesando 12 lb y teniendo un radio de

giro de 8 en. se conecta a dos bloques como

mostrado.

No asumiendo la fricción del eje, determine la

aceleración angular de la polea y la aceleración

de cada bloque.

SOLUCIÓN:

• Determine la dirección de rotación

evaluando el momento neto en la polea

debido a los dos bloques.

• Relacione la aceleración de los bloques a la

aceleración angular de la polea.


diagrama que expresa la equivalencia de las

fuerzas externas y eficaces en la polea

completa más el sistema de los bloques.

• Resuelva la ecuación del momento

correspondiente para la polea la aceleración

angular.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 238


• Relacione la aceleración de los bloques a la

aceleración angular de la polea.

ft1210

AA ra

ft126

BB ra

2

2

2

22

sftlb1656.0

ft12

8

sft32.2

lb12

kg

WkmInote:

SOLUCIÓN:

• Determine la dirección de rotación evaluando el

momento neto en la polea debido a los dos bloques.

lbin10in10lb5in6lb10 GM

la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 239

Pruebe el Problema 16.3• Dibuje la ecuación del libre-cuerpo-diagrama que

expresa la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces

en la polea completa y sistema de los bloques.

2

126

2

1210

2

sft

sft

sftlb1656.0

B

A

a

a

I

effGG MM

1210

1210

2.325

126

126

2.3210

1210

126

1210

126

1210

126

1656.0510

ftftftlb5ftlb10

AABB amamI

• Resuelva la ecuación del momento correspondiente para

la polea la aceleración angular.

2srad374.2

2

126 srad2.374ft

BB ra2sft187.1Ba

2

1210 srad2.374ft

AA ra

2sft978.1Aa

Entonces,



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 240


Un cordón se envuelve alrededor de

un disco homogéneo de masa 15 kg.

El cordón se tira más de con una

fuerza T = 180 N.

Determine: (a) la aceleración del

centro del disco, (b) la aceleración

angular del disco, y (c) la aceleración

del cordón.

SOLUCIÓN:


diagrama que expresa la equivalencia de

las fuerzas externas y eficaces en el disco.

• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio

de escalar correspondientes para las

aceleraciones horizontales, verticales, y

angulares del disco.

• Determine la aceleración del cordón

evaluando la aceleración tangencial del

punto A en el disco.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 241



expresa la equivalencia de las fuerzas externas y

eficaces en el disco.

effyy FF

kg15

sm81.9kg15-N180 2

m

WTa

amWT

y

y

2sm19.2ya

effGG MM

m5.0kg15

N18022

2

21

mr

T

mrITr

2srad0.48

effxx FF

xam0 0xa

• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio del escalar.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 242


2sm19.2ya

2srad0.48

0xa

• Determine la aceleración del cordón evaluando la

aceleración tangencial del punto A en el disco.

22 srad48m5.0sm19.2

tGAtAcord aaaa

2sm2.26corda



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 243


Una esfera uniforme de masa m y radio que

r se proyecta a lo largo de una superficie

horizontal áspera con una velocidad lineal

v0. El coeficiente de fricción cinética entre

la esfera y la superficie es k.

Determine: (a) el t1 de tiempo a que la

esfera empezará rodando sin resbalar, y (b)

las velocidades lineales y angulares de la

esfera al t1 de tiempo.

SOLUCIÓN:


diagrama que expresa la equivalencia de las

fuerzas externas y eficaces en la esfera

• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio de

escalar correspondientes para la reacción

normal de la superficie y las aceleraciones

lineales y angulares de la esfera.

• Aplique las relaciones de la cinemática para

el movimiento uniformemente acelerado

determinar el tiempo en que la velocidad

tangencial de la esfera a la superficie está el

cero, es decir, cuando la esfera deja de

resbalar.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 244



expresa la equivalencia de fuerzas externas y eficaces

en la esfera.

• Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio de escalar.

effyy FF

0WN mgWN

effxx FF

mg

amF

k ga k

2

32 mrrmg

IFr

k

r

gk

2

5

effGG MM

NOTA: Con tal de que la esfera gire y resbala, sus

movimientos lineales y angulares se aceleran

uniformemente.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 245


ga k

r

gk

2

5

• Aplique las relaciones de la cinemática para el movimiento

uniformemente acelerado determinar el tiempo en que la

velocidad tangencial de la esfera a la superficie está el cero,

es decir, cuando la esfera deja de resbalar.

tgvtavv k 00

tr

gt k

ww

2

500

1102

5t

r

grgtv k

k

g

vt

k0

17

2

g

v

r

gt

r

g

k

kk

w 0

117

2

2

5

2

5

r

v01

7

5w

r

vrrv 0

117

5w 07

51 vv

En el instante t1 cuando la esfera deja de resbalar,

11 wrv



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 246

El Movimiento Plano reprimido• Más aplicaciones de la ingeniería involucran

cuerpos rígidos que están moviendo bajo los

constreñimientos dados, el ej., los cigüeñales, las

bielas, y no resbalan las ruedas.

• El movimiento plano reprimido: los movimientos

con las relaciones definidas entre los componentes

de aceleración del centro de masa y la aceleración

angular del cuerpo.

• La solución de un problema que involucra el

movimiento plano encogido empieza con un

análisis de la cinemática

• e.g., dado , w, y , encuentre P, NA, y NB.

- los rendimientos de análisis de cinemática

- la aplicación de los rendimientos del principio de

d'Alembert P, NA, y NB.

. and yx aa



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 247

El Movimiento reprimido: La Rotación de No centroidal

• La rotación de No centroidal: el movimiento de

un cuerpo se reprime para girar sobre un eje fijo

que no atraviesa su centro de masa.

• La relación de la cinemática entre el movimiento

del centro de masa G y el movimiento del cuerpo

sobre G, 2w rara nt

• Las relaciones de la cinemática se usan para

eliminar de ecuaciones derivadas del

principio de d'Alembert o del método de

equilibrio dinámico.

nt aa and



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 248

El Movimiento Plano reprimido: El Movimiento rodante

• Para un disco equilibrado rodar sin

resbalar reprimieron,

rarx

• Rodando, ningún corredizo:

NF s ra

Rodando, resbalando amenazando:

NF s ra

Girando y resbalando :

NF k ra , independent

• Para el centro geométrico de un

disco desequilibrado,

raO

La aceleración del centro de masa,

nOGtOGO

OGOG

aaa

aaa



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 249


La porción AOB del mecanismo se actúa

por el vestido D y al momento mostrado

tiene un en el sentido de las agujas del reloj

la velocidad angular de 8 rad/s y un en

sentido contrario a las agujas del reloj la

aceleración angular de 40 rad/s2.

Determine: a) fuerza tangencial ejercida por

el vestido D, y b) los componentes de la

reacción al árbol O.

kg 3

mm 85

kg 4

OB

E

E

m

k

m

SOLUCIÓN:

• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para AOB,

mientras expresando la equivalencia de las

fuerzas externas y eficaces.

• Evalúe las fuerzas externas debido a los

pesos de vestido E y brazo que OB y las

fuerzas eficaces asociaron con la velocidad

angular y aceleración.

• Resuelva las tres ecuaciones del escalar

derivadas de la libre-cuerpo-ecuación para

la fuerza tangencial a A y los componentes

horizontales y verticales de reacción al

árbol O.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 250


rad/s 8w

2srad40

kg 3

mm 85

kg 4

OB

E

E

m

k

m

SOLUCIÓN:

• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para AOB.

• Evalúe las fuerzas externas debido a los pesos de

vestido E y brazo OB y las fuerzas eficaces.

N4.29sm81.9kg3

N2.39sm81.9kg4

2

2

OB

E

W

W

mN156.1

srad40m085.0kg4 222

EEE kmI

N0.24

srad40m200.0kg3 2

rmam OBtOBOB

N4.38

srad8m200.0kg322

wrmam OBnOBOB

mN600.1

srad40m.4000kg3 22

1212

121

LmI OBOB



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 251


N4.29

N2.39

OB

E

W

W

mN156.1 EI

N0.24tOBOB am

N4.38nOBOB am

mN600.1 OBI

• Resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la libre-

cuerpo-ecuación para la fuerza tangencial a A y los

componentes horizontales y verticales de reacción a O.

effOO MM

mN600.1m200.0N0.24mN156.1

m200.0m120.0

OBtOBOBE IamIF

N0.63F

effxx FF

N0.24tOBOBx amR

N0.24xR

effyy FF

N4.38N4.29N2.39N0.63

y

OBOBOBEy

R

amWWFR

N0.24yR



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 252


Una esfera de peso que W se suelta sin la

velocidad inicial y rollos sin resbalarse en

la cuesta.

Determine: a) el valor mínimo del

coeficiente de fricción, b) la velocidad de

G después de que la esfera ha rodado 10

pies y c) la velocidad de G si la esfera

fuera mover 10 pies abajo una cuesta del

de menos fricción.

SOLUCIÓN:

• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la esfera,



• Con las aceleraciones lineales y angulares

relacionadas, resuelva las tres ecuaciones del

escalar derivadas de la libre-cuerpo-ecuación

para la aceleración angular y las reacciones

normales y tangenciales a C.

• Calcule la velocidad después de 10 pies de

movimiento uniformemente acelerado.

• No asumiendo la fricción, calcule la

aceleración lineal abajo la cuesta y la

velocidad correspondiente después de 10 pies

• Calcule el coeficiente de fricción requerido

para la reacción tangencial indicada a C.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 253


• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la esfera, mientras

expresando la equivalencia de las fuerzas externas y eficaces.

ra

• Con las aceleraciones lineales y angulares relacionadas,

resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la libre-

cuerpo-ecuación para la aceleración angular y las reacciones

normales y tangenciales a C.

effCC MM

2

2

52

5

2

sin

rg

Wrr

g

W

mrrmr

IramrW

r

g

7

sin5

7

30sinsft2.325

7

30sin5

2

gra

2sft50.11a



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 254

Pruebe el Problema 16.8• Resuelva las tres ecuaciones del escalar derivadas de la

libre-cuerpo-ecuación para la aceleración angular y las

reacciones normales y tangenciales a C.

r

g

7

sin5

2sft50.11 ra

effxx FF

WWF

g

g

W

amFW

143.030sin7

2

7

sin5

sin

effyy FF

WWN

WN

866.030cos

0cos

• Calcule el coeficiente de fricción requerido para la

reacción tangencial indicada a C.

W

W

N

F

NF

s

s

866.0

143.0

165.0s



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 255


r

g

7

sin5

2sft50.11 ra

• Calcule la velocidad después de 10 pies de

movimiento uniformemente acelerado.

ft10sft50.1120

2

2

020

2

xxavv

sft17.15v

effGG MM 00 I

• No asumiendo la fricción, calcule la aceleración lineal

y la velocidad correspondiente después de 10 pies

effxx FF

22 sft1.1630sinsft2.32

sin

a

ag

WamW

ft10sft1.1620

2

2

020

2

xxavv

sft94.17v



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 256


Un cordón se envuelve alrededor del cubo

interno de una rueda y tiró

horizontalmente con una fuerza de 200 N.

La rueda tiene una masa de 50 kg y un

radio de giro de 70 mm. ms Inteligente =

0.20 y mk = 0.15, determine la

aceleración de G y la aceleración angular

de la rueda.

SOLUCIÓN:

• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la rueda,



• Asumiendo rodando sin resbalarse y por

consiguiente, las aceleraciones lineales y

angulares relacionadas, resuelva las ecuaciones

del escalar para la aceleración y las reacciones

normales y tangenciales a la tierra.

• Compare la reacción tangencial requerida a la

posible fuerza de fricción máxima.

• Si resbalándose ocurre, calcula la fuerza de

fricción cinética y entonces resuelve las

ecuaciones del scalar para las aceleraciones

lineales y angulares.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 257


• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la rueda.

Asuma rodando sin resbalarse,

m100.0

ra

2

22

mkg245.0

m70.0kg50

kmI

• Asumiendo rodando sin resbalarse, resuelva las

ecuaciones del scalar para la aceleración y reacciones

de tierra.

22

2

22

sm074.1srad74.10m100.0

srad74.10

mkg245.0m100.0kg50mN0.8

m100.0m040.0N200

a

Iam

effCC MM

effxx FF

N5.490sm074.1kg50

0

2

mgN

WN

effxx FF

N3.146

sm074.1kg50N200 2

F

amF



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 258


N3.146F N5.490N

Sin resbalarse,

• Compare la reacción tangencial requerida a la posible

fuerza de fricción máxima.

N1.98N5.49020.0max NF s

F > Fmax , rolling without slipping is impossible.

• Calcule la fuerza de fricción con resbalarse y resuelva

las ecuaciones del scalar para las aceleraciones lineales

y angulares. N6.73N5.49015.0 NFF kk

effGG MM

2

2

srad94.18

mkg245.0

m060.0.0N200m100.0N6.73

2srad94.18

effxx FF

akg50N6.73N200 2sm53.2a



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 259


Las extremidades de un 4-pie vara

que pesa 50 lb puede mover

libremente y sin la fricción a lo

largo de dos huellas rectas. La vara

se suelta sin la velocidad de la

posición mostrada.

Determine: a) la aceleración

angular de la vara, y b) las

reacciones a A y B.

SOLUCIÓN:

• Basado en las cinemáticas del movimiento

encogido, exprese las aceleraciones de A,

B, y G por lo que se refiere a la aceleración

angular.

• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la

vara, mientras expresando la

equivalencia de las fuerzas externas y

eficaces. • Resuelva las tres ecuaciones del escalar

correspondientes para la aceleración

angular y las reacciones a A y B.



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 260


• Basado en las cinemáticas del movimiento encogido,

exprese las aceleraciones de A, B, y G por lo que se

refiere a la aceleración angular.

Exprese la aceleración de B como

ABAB aaa

Con el triángulo del vector

correspondiente y la ley de rendimientos de las señales

,4ABa

90.446.5 BA aa

La aceleración de G se obtiene ahora de

AGAG aaaa

2 where AGa

Resolviéndose en x y componentes de y,

732.160sin2

46.460cos246.5

y

x

a

a



Se

ve

nth

Ed

ition



16 - 261

Pruebe el Problema 16.10• Dibuje la libre-cuerpo-ecuación para la vara, mientras

expresando la equivalencia de las fuerzas externas y

eficaces.

69.2732.12.32

50

93.646.42.32

50

07.2

sftlb07.2

ft4sft32.2

lb50

12

1

2

2

2

2

121

y

x

am

am

I

mlI

• Resuelva las tres ecuaciones del escalar correspondientes

para la aceleración angular y las reacciones a A y B.

2srad30.2

07.2732.169.246.493.6732.150

effEE MM

2srad30.2

effxx FF

lb5.22

30.293.645sin

B

B

R

R

lb5.22BR

45o

effyy FF

30.269.25045cos5.22 AR

lb9.27AR



Se

ve

nth

Ed

ition



CAPITULO #17

•MOVIMIENTO PLANO DE

CUERPOS RIGÍDOS: MÉTODOS

DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

11 - 262

LAS MECÁNICAS DEL VECTOR PARA INGENIEROS:

LA DINÁMICA

Séptima edición

Ing. Ítalo Mendoza

UNEMI

Capítulo


11El Movimiento plano de los

cuerpos: Energía Rígida y

Métodos de Velocidad

adquirida



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 264

Contenidos

La introducción

El principio de Trabajo y Energía para un

Cuerpo Rígido

El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo

Rígido

La Energía cinética de un Cuerpo Rígido en el


Los sistemas de Cuerpos Rígidos

La conservación de Energía

Power








La conservación de Velocidad adquirida

Angular




El Impacto excéntrico






Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 265

Introducción

• El método de trabajo y energía y el método de impulso y velocidad

adquirida se usará para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos

y sistemas de cuerpos rígidos.

• El principio de trabajo y energía se satisface bien a la solución de

problemas que involucran desplazamientos y velocidades.

2211 TUT

• El principio de impulso y velocidad adquirida es apropiado para

problemas que involucran velocidades y tiempo.

2121

2

1

2

1

O

t

tOO

t

t

HdtMHLdtFL

• Problemas que involucran el impacto excéntrico son resueltos

complementando el principio de impulso y velocidad adquirida con la

aplicación del coeficiente de restitución.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 266

El principio de Trabajo y Energía para un Cuerpo Rígido

• El método de trabajo y energía se adapta bien a

problemas que involucran velocidades y

desplazamientos. La ventaja principal es que el trabajo

y la energía cinética son las cantidades del escalar.

• Asuma que el cuerpo rígido es hecho de un número

grande de partículas.

2211 TUT

21, TT

21U

el total inicial y final la energía cinética de

partículas que forman el cuerpo

el trabajo total de fuerzas interiores y externas

que actúan en las partículas de cuerpo.

• Las fuerzas interiores entre las partículas A y B son

iguales y en situación opuesta.

• Por consiguiente, el trabajo neto de fuerzas interiores es

el cero.

• En general, desplazamientos pequeños de las partículas

A y B no son iguales pero los componentes de los

desplazamientos a lo largo de AB son iguales.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 267

El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo Rígido• El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento de

su punto de aplicación,

2

1

2

1

cos21

s

s

A

A

dsFrdFU

• Considere el trabajo neto de dos fuerzas

el un par de momento formando durante un

desplazamiento de sus puntos de aplicación.

FF

y M

dM

dFrdsF

rdFrdFrdFdU

2

211

12

21

2

1

M

dMU

si M es constante.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 268

El trabajo de Fuerzas que Actúan en un Cuerpo Rígido

Fuerzas que actúan en cuerpos rígidos que no hacen el trabajo:

• Las fuerzas aplicaron a los puntos fijos:

• las reacciones a un alfiler del de menos fricción cuando el

cuerpo apoyado gira sobre el alfiler.

• Forces acting in a direction perpendicular to the displacement

of their point of application:

- reaction at a frictionless surface to a body moving along

the surface

- weight of a body when its center of gravity moves

horizontally

• Friction force at the point of contact of a body rolling without

sliding on a fixed surface.

0 dtvFdsFdU cC



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 269

La Energía cinética de un Cuerpo Rígido en el Movimiento del Avión

• Considere un cuerpo rígido de masa m en el movimiento

del avión.

2

212

21

22

212

21

2

212

21

Δ

Δ

w

w

Ivm

mrvm

vmvmT

ii

ii

• La energía cinética de un cuerpo rígido puede separarse

en:

• la energía cinética asoció con el movimiento del

centro de masa G y

• la energía cinética asoció con la rotación del cuerpo

sobre G.

• Considere un cuerpo rígido que gira sobre un eje fijo a

través de O.

2

21

22

212

212

21 ΔΔΔ

w

ww

O

iiiiii

I

mrrmvmT



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 270

Systems of Rigid Bodies

• Para problemas que involucran sistemas que consisten en varios cuerpos rígidos, el

principio de trabajo y energía puede aplicarse a cada cuerpo.

• Nosotros también podemos aplicar el principio de trabajo y energía al sistema

entero,

2211 TUT = la suma aritmética del energies cinético de

todos los cuerpos que forman el sistema

= el trabajo de todo las fuerzas que actúan en

los varios cuerpos, si estas fuerzas son en

conjunto interiores o externas al sistema.

21,TT

21U

• Para problemas que involucran el alfiler los miembros, bloques y poleas

conectadas por los cordones improrrogables conectaron, y enredó los vestidos,

• las fuerzas interiores ocurren en los pares de igual y las fuerzas opuestas

• los puntos de aplicación de cada movimiento del par a través de las

distancias del igual

• el trabajo neto de las fuerzas interiores es el cero

• trabaje en el sistema reduce al trabajo de las fuerzas externas



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 271

Conservation of Energy• Expresando el trabajo de fuerzas conservadoras

como un cambio en la energía potencial, el

principio de trabajo y energía se vuelve

2211 VTVT

w

w

sin3

sin2

1

32

10 2

22211

l

g

mglml

VTVT

0,0 11 VT

22

22121

212

21

21

222

1222

12

32

1www

w

mlmllm

IvmT

sinsin21

21

2 mglWlV

• nsidere la vara delgada de masa m.

• masa m

• soltado con cera

velocidad

• determine w en



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 272

Power

• Poder = tase a que el trabajo se hace

• Para un cuerpo actuó en por la fuerza y moviendo con la velocidad ,F

v

vFdt

dU Poder

• Para un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular y actuó en

por un par de momento parangone al eje de rotación,

w

M

w

Mdt

dM

dt

dUPoder



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 273


Para el tambor y volante,

La fricción productiva está equivalente a un par

de En el momento mostrado, el

bloque está moviendo que se extiende hacia

abajo a 6 ft/s.

.sftlb5.10 2I

ft.lb60

Determine la velocidad del bloque después de

que ha movido 4 pies que se extiende hacia

abajo.

SOLUCIÓN:

• Considere el sistema del volante y

bloque. El trabajo hecho por las

fuerzas interiores ejercidas por las

cancelaciones del cable.

• Aplique el principio de trabajo y la

energía cinética para desarrollar una

expresión para la último velocidad.

• La nota que la velocidad del bloque y

la velocidad angular del tambor y

volante está relacionada por

wrv



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 274


• Considere el sistema del volante y bloque. El trabajo hecho

por las fuerzas interiores ejercidas por las cancelaciones del

cable.• La nota que la velocidad del bloque y la velocidad angular del

tambor y volante está relacionada por

1.25srad80.4

ft1.25

sft6 222

11

v

r

v

r

vrv www

• Aplique el principio de trabajo y la energía cinética para

desarrollar una expresión para la último velocidad.

lbft255

srad80.4sftlb5.102

1sft6

sft32.2

lb240

2

1 22

2

212

1212

11

wImvT

22

222

2

222

1222

12

09.725.1

5.102

1

2.32

240

2

1v

vv

IvmT

w



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 275


lbft255212

1212

11 wImvT

22

222

1222

12 09.7 vIvmT w

• La nota que el desplazamiento del bloque y la rotación

de la polea está relacionada por

rad20.3ft25.1

ft422

r

s

• El principio de trabajo y energía:

sft01.12

7.09lbft768lbft255

2

22

2211

v

v

TUT

sft01.122 v

lbft768

rad20.3ftlb60ft4lb240

121221

MssWU

Then,



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 276


mm80kg3

mm200kg10

BB

AA

km

km

El sistema es en reposo cuando un

momento de se aplica para

engranar B.

La fricción descuidando, a) determina el

número de revoluciones de vestido B antes

de que su velocidad angular alcance 600

rpm, y b) fuerza tangencial ejercida por el

vestido B en el vestido A.

mN6 M

SOLUCIÓN:

• Considere un sistema que consiste en los dos

vestidos. Notando que el vestido las

velocidades rotatorias están relacionadas,

evalúe la energía cinética final del sistema.

• Aplique el principio de trabajo y energía.

Calcule el número de revoluciones requerido

para el trabajo del momento aplicado para

igualar la energía cinética final del sistema.

• Aplique el principio de trabajo y energía a un

sistema que consiste en vestido A. Con la

energía cinética final y número de

revoluciones conocido, calcule el momento y

la fuerza tangencial requirió para el trabajo

indicado.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 277


• Considere un sistema que consiste en los dos vestidos.

Notando que el vestido las velocidades rotatorias están

relacionadas, evalúe la energía cinética final del

sistema.

srad1.25250.0

100.08.62

srad8.62mins60

revrad2rpm600

A

BBA

B

r

rww

w

222

222

mkg0192.0m080.0kg3

mkg400.0m200.0kg10

BBB

AAA

kmI

kmI

J9.163

8.620192.01.25400.02

212

21

2

212

21

2

BBAA IIT ww



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 278

Pruebe el Problema 17.2• Aplique el principio de trabajo y energía. Calcule el

número de revoluciones requerido para el trabajo.

rad32.27

163.9JJ60

2211

B

B

TUT

rev35.42

32.27

B

• Aplique el principio de trabajo y energía a un sistema

que consiste en vestido A. Calculate el momento y la

fuerza tangencial requirió para el trabajo indicado.

J0.1261.25400.02

212

21

2 AAIT w

mN52.11

J0.261rad10.930

2211

FrM

M

TUT

AA

A

rad93.10250.0

100.032.27

A

BBA

r

r

N2.46250.0

52.11F



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 279


Una esfera, el cilindro, y aro, cada uno

que tiene la misma masa y radio, se

suelta del resto en una cuesta. Determine

la velocidad de cada cuerpo después de

que ha rodado a través de una distancia

que corresponde a un cambio de

elevación h.

SOLUCIÓN:

• El trabajo hecho por el peso de los

cuerpos es el mismo. Del principio de

trabajo y energía, sigue que cada cuerpo

tendrá la misma energía cinética después

del cambio de elevación.

• Porque cada uno de los cuerpos tiene un

momento del centroidal diferente de

inercia, la distribución de la energía

cinética total entre los componentes

lineales y rotatorios también será

diferente.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 280


• El trabajo hecho por el peso de los cuerpos es

el mismo. Del principio de trabajo y energía,

sigue que cada cuerpo tendrá la misma energía

cinética después del cambio de elevación.

r

vwCon

2

221

2

212

212

212

21

2

vr

Im

r

vIvmIvmT

w

22

2

2

221

2211

1

22

0

mrI

gh

rIm

Whv

vr

ImWh

TUT



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 281


2

2

1

2

mrI

ghv

ghvmrIAro

ghvmrICilindro

ghvmrIEsfera

2707.0:

2816.0:

2845.0:

2

2

21

2

52

• Porque cada uno de los cuerpos tiene un momento

del centroidal diferente de inercia, la distribución de

la energía cinética total entre los componentes

lineales y rotatorios también será diferente.

• La velocidad del cuerpo es independiente de su

masa y radio.

NOTA:

• Para un bloque del de menos fricción que resbala

a través de la misma distancia, ghv 2,0 w

• La velocidad del cuerpo depende adelante

2

2

2 rk

mrI



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 282


Una 30-lb vara delgada monta sobre un eje

sobre el punto O. El otro fin se aprieta

contra una primavera (k = 1800 lb/in) hasta

que la primavera sea la una pulgada

comprimida y la vara está en una posición

horizontal.

Si la vara se suelta de esta posición,

determine su velocidad angular y la

reacción al pivote como la vara atraviesa

una posición vertical.

SOLUCIÓN:

• El peso y las fuerzas primaverales son

conservadoras. El principio de trabajo y

energía puede expresarse como

2211 VTVT

• Evalúe la energía potencial inicial y final.

• Exprese la energía cinética final por lo que

se refiere a la velocidad angular final de la

vara.

• Basado en la ecuación del libre-cuerpo-

diagrama, resuelva para las reacciones al

pivote.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 283


• El peso y las fuerzas primaverales son

conservadoras. El principio de trabajo y energía

puede expresarse como 2211 VTVT


lbft75lbin900

in.1in.lb180002

212

121

1

kxVVV eg

lbft45

ft1.5lb3002

WhVVV eg

• Exprese la energía cinética final por lo que se

refiere a la velocidad angular de la vara.

2

2

2

2

121

sftlb941.1

ft5sft32.2

lb30

12

1

mlI

22

222

122

222

1222

1222

1222

12

019.2941.15.12.32

30

2

1www

www

IrmIvmT



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 284


srad86.32 wlbft452.019lbft750 22

2211

w

VTVT

Del principio de trabajo y energía,

• Basado en la ecuación del libre-cuerpo-diagrama,

resuelva para las reacciones al pivote.

w

ra

ra

t

n

2222 sft3.22srad86.3ft5.1

ra

a

t

n

2sft3.22

effOO MM rrmI 0 0

effxx FF rmRx 0xR

effyy FF

lb22.9

sft3.22sft32.2

lb30

lb30

2

2

y

ny

R

maR

22.9R



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 285


Cada uno de las dos varas delgadas tiene

una masa de 6 kg. El sistema se suelta del

resto con = 60o.

Determine a) la velocidad angular de vara

AB cuando = 20o, y b) la velocidad del

punto D al mismo momento.

SOLUCIÓN:

• Considere un sistema que consiste en las dos

varas. Con la fuerza de peso conservadora,

2211 VTVT

• Exprese la energía cinética final del sistema por

lo que se refiere a las velocidades angulares de

las varas.


• Resuelva la ecuación de energía para la

velocidad angular, entonces evalúe la velocidad

del punto D.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 286



J26.38

m325.0N86.5822 11

WyV

J10.15

m1283.0N86.5822 22

WyV

SOLUCIÓN:

• Considere un sistema que consiste en las dos

varas. Con la fuerza de peso conservadora,

2211 VTVT

N86.58

sm81.9kg6 2

mgW



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 287


subsecuentemente es perpendicular a AB y es

horizontal, el centro instantáneo de rotación para la vara

BD es C. m75.0BC m513.020sinm75.02 CD

y aplicando la ley de cosenos a CDE, EC = 0.522 m

Bv

Dv

• Exprese la energía cinética final del sistema por lo que

se refiere a las velocidades angulares de las varas.

wm375.0ABv

ABB BCABv ww ww BD

Considere la velocidad de punto B

wm522.0BDv

22

1212

121 mkg281.0m75.0kg6 mlII BDAB

Para la energía cinética final,

2

2

212

1212

212

121

2

212

1212

212

121

2

520.1

281.0522.06281.0375.06

w

wwww

ww

BDBDBDABABAB IvmIvmT



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 288


srad3.90

J10.151.520J26.380 2

2211

w

w

VTVT

• Resuelva la ecuación de energía para la

velocidad angular, entonces evalúe la velocidad

del punto D.

srad90.3ABw

sm00.2

srad90.3m513.0

wCDvD

sm00.2Dv



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 289


• El método de impulso y velocidad adquirida:

• bien satisfecho a la solución de problemas que involucran tiempo y

velocidad

• el único método factible para problemas que involucran

movimiento impulsivo e impacto.

Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys Momenta2



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 290


vmmvL ii

Δ

• Pueden reducirse las velocidad adquirida de las partículas de un sistema

a un vector atado al igual de centro de masa a su suma,

iiiG mvrH Δ

y un igual de la pareja a la suma de sus momentos sobre el centro de

masa,

wIHG

• Para el movimiento plano de una tabla rígida o de un cuerpo rígido

simétrico con respecto al avión de la referencia,



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 291

El principio de Impulso y Velocidad adquirida• Principio de impulso y velocidad adquirida para el movimiento plano de una

tabla rígida o de un cuerpo rígido simétrico con respecto al avión de la referencia

expresado como una ecuación del libre-cuerpo-diagrama,

• Las primacías a tres ecuaciones de movimiento:

• sumando e igualando velocidad adquirida e impulsos en los x y direcciones de y

• sumando e igualando los momentos de las velocidad adquirida e impulsos con

respecto a cualquier punto dado



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 292


• La rotación No centroidal:

• La velocidad adquirida angular sobre O

www

ww

2rmI

rrmI

rvmIIO

- Igualando los momentos de las velocidad

adquirida e impulsos sobre O,

21

2

1

ww O

t

tOO IdtMI



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 293


• El movimiento de varios cuerpos rígidos puede analizarse

aplicando el principio de impulso y velocidad adquirida

separadamente a cada cuerpo.

• Para problemas que involucran ningún más de tres

desconocidos, puede ser conveniente aplicar el principio de

impulso y velocidad adquirida en conjunto al sistema.

• Para cada parte mudanza del sistema, los diagramas de velocidad

adquirida deben incluir a un vector de velocidad adquirida y/o

una pareja de velocidad adquirida.

• Las fuerzas interiores ocurren en el igual y los pares opuestos

de vectores y no generan el no cero los impulsos netos.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 294

La conservación de Velocidad adquirida Angular

• Cuando la suma del paso de impulsos angular a través de O, la

velocidad adquirida lineal no puede conservarse, todavía la

velocidad adquirida angular sobre O se conserva,

2010 HH

• Dos ecuaciones adicionales pueden ser escritas sumando x y

componentes de y de velocidad adquirida y pueden usarse

determinar dos impulsos lineales desconocidos, como los

impulsos de los componentes de la reacción a un punto fijo.

• Cuando ningún acto de fuerza externo en un cuerpo rígido o un

sistema de cuerpos rígidos, el sistema de velocidad adquirida al t1

está el equipollent al sistema en el t2. Se conservan la velocidad

adquirida lineal total y la velocidad adquirida angular sobre cualquier

punto,

2010 HH 21 LL



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 295


El sistema es en reposo cuando un momento

de se aplica para engranar B

La fricción descuidando, a) determine el

tiempo requerido para el vestido B para

alcanzar una velocidad angular de 600 rpm, y

b) la fuerza tangencial ejercida por el vestido

B en el vestido A.

mN6 M

mm80kg3

mm200kg10

BB

AA

km

km

SOLUCIÓN:

• Considerando cada vestido separadamente,

aplique el método de impulso y velocidad

adquirida.

• Resuelva las ecuaciones de velocidad

adquirida angulares simultáneamente para los

dos vestidos para el tiempo desconocido y la

fuerza tangencial.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 296


• Considerando cada vestido separadamente, aplique el

método de impulso y velocidad adquirida.

sN2.40

srad1.25mkg400.0m250.0

0 2

Ft

Ft

IFtr AAA w

los momentos sobre A:

los momentos sobre B:

srad8.62mkg0192.0

m100.0mN6

0

2

2

Ftt

IFtrMt BBB w

• Resuelva las ecuaciones de velocidad adquirida angulares

simultáneamente para los dos vestidos para el tiempo desconocido y la

fuerza tangencial. N 46.2s 871.0 Ft



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 297


La esfera uniforme de masa m y

radio que r se proyecta a lo largo de

una superficie horizontal áspera con

una velocidad lineal y ninguna

velocidad angular. El coeficiente de

fricción cinética es

Determine a) el t2 de tiempo a que la

esfera empezará rodando sin

resbalar y b) las velocidades lineales

y angulares de la esfera al t2 de

tiempo.

.k

1v

SOLUCIÓN:

• Aplique principio de impulso y velocidad

adquirida para encontrar variación de

velocidades lineales y angulares con tiempo.

• Relaciona las velocidades lineales y angulares

cuando la esfera deja de resbalar notando que

la velocidad del punto de contacto está el cero

en ese momento.

• Sustituya para las velocidades lineales y

angulares y resuelva durante el tiempo a que las

paradas corredizas.

• Evalúe las velocidades lineales y angulares a

ese momento.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 298


• Aplique principio de impulso y velocidad

adquirida para encontrar variación de

velocidades lineales y angulares con

tiempo.

0WtNt

Componentes y:

Componentes x:

21

21

vmmgtvm

vmFtvm

k

gtvv k 12

mgWN

Los momentos sobre G:

22

52

2

w

w

mrtrmg

IFtr

k

tr

gkw

2

52

Sys Momenta1 + Sys Ext Imp1-2 = Sys

Momenta2

• Relacione las velocidades lineales y

angulares que cuando la esfera deja de

resbalar notando esa velocidad de punto de

contacto es el cero a ese momento.

tr

grgtv

rv

kk

w

2

51

22

• Sustituya para las velocidades lineales y

angulares y resuelva durante el tiempo a

que las paradas corredizas.

g

vt

k1

7

2



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 299


Componentes x: gtvv k 12

Componentes y: mgWN

Momentos sobre G: tr

gkw

2

52


Momenta2

tr

grgtv

rv

kk

w

2

51

22

g

vt

k1

7

2

• Evalúe las velocidades lineales y

angulares a ese momento.

g

vgvv

kk

1

127

2

g

v

r

g

k

k

w 1

27

2

2

5

127

5vv

r

v12

7

5w



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 300


Dos esferas sólidas (el radio = 3 en., W =

2 lb) está montado en una vara horizontal

que hila (

w = 6 rad/sec) como mostrado. Las

pelotas se unen por un cordón que está

repentinamente cortado. Determine un)

la velocidad angular de la vara después

de que las pelotas han movido a A ' y B ',

y b) la energía perdió debido al impacto

plástico de las esferas y paradas.

,sftlb 0.25 2RI

SOLUCIÓN:

• Observando que ninguno de las fuerzas

externas produce un momento sobre el eje de

y, la velocidad adquirida angular se conserva.

• Iguale la inicial y las velocidad adquirida

angulares finales. Resuelva para la velocidad

angular final.

• La energía perdida debido al impacto plástico

es igual al cambio en la energía cinética del

sistema.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 301



Momenta2 2222211111 22 wwwwww RSsRSs IIrrmIIrrm

SOLUCIÓN:

• Observando que ninguno de

las fuerzas externas produce

un momento sobre el eje de

y, la velocidad adquirida

angular se conserva.

• Iguale la inicial y las

velocidad adquirida

angulares finales. Resuelva

para la velocidad angular

final.

22

2522

52 sftlb00155.0ft

12

2

sft32.2

lb2

maIS

2696.012

25

2.32

20108.0

12

5

2.32

22

22

22

1

rmrm SS

RSs

RSs

IIrm

IIrm

22

21

12 ww

srad61 w2sftlb 25.0 RI

srad08.22 w



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 302


• La energía perdida debido al

impacto plástico es igual al

cambio en la energía cinética

del sistema.

2sftlb00155.0 SI

221 sftlb0108.0 rmS

srad61 w

2sftlb 25.0 RI

srad08.22 w

222 sftlb2696.0 rmS

22

212

212

212

21 222 www RSSRSS IIrmIIvmT

95.471.1

lbft71.108.2792.0

lbft95.46275.0

12

2

21

2

2

21

1

TTΔT

T

T

lbft 24.3 T



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 303

El Impacto excéntrico

Período de deformación El período de restitución

dtRImpulse

dtPImpulse

nBnA uu

• El principio de impulso y velocidad adquirida se complementa por

nBnA

nAnB

vv

vv

dtP

dtRnrestitutiooftcoefficiene



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 304


Una bala de 0.05-lb se dispara en el lado

de un 20-lb tablero del cuadrado que es

inicialmente en reposo.

Determine a) la velocidad angular del

tablero inmediatamente después de que

la bala se empotra y b) la reacción

impulsiva a A, asumiendo que la bala se

empotra en 0.0006 s.

SOLUCIÓN:

• Considere un sistema que consiste en la

bala y tablero. Aplique el principio de

impulso y velocidad adquirida.

• La velocidad angular final se encuentra

de los momentos de las velocidad

adquirida e impulsos sobre A.

• La reacción a A se encuentra de las

velocidad adquirida horizontales y

verticales e impulsos.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 305


SOLUCIÓN:

• Considere un sistema que

consiste en la bala y tablero.

Aplique el principio de

impulso y velocidad

adquirida.

• La velocidad angular final se

encuentra de los momentos de

las velocidad adquirida e

impulsos sobre A.

Momentos sobre A:

2129

21214 ft0ft wPPBB Ivmvm

2129

2 ft wv 22

2

61 sftlb2329.0

12

18

2.32

20

6

1

bmI PP

2129

2129

1214 2329.0

2.32

201500

2.32

05.0ww

sft50.3

srad67.4

2129

2

2

w

w

v

srad67.42 w



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 306


sft50.3srad67.4 2129

22 ww v

• Las reacciones a A se

encuentra de las velocidad

adquirida horizontales y

verticales e impulsos.

Componentes x:

50.32.32

200006.01500

2.32

05.0

2

x

pxBB

A

vmtAvm

lb259xA lb259xA

Componentes y:

00 tAy 0yA



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 307


Un 2-kg la esfera con una velocidad

inicial de 5 m/s golpea el más bajo fin

de un 8-kg la vara AB. La vara es de

bisagra a A e inicialmente en reposo.

El coeficiente de restitución entre la

vara y la esfera es 0.8.

Determine la velocidad angular de la

vara y la velocidad de la esfera

inmediatamente después del impacto.

SOLUCIÓN:

• Considere la esfera y vara como un solo

sistema. Aplique el principio de

impulso y velocidad adquirida.

• Los momentos sobre A de las velocidad

adquirida e impulsos proporcione una

relación entre la velocidad angular final

de la vara y velocidad de la esfera.

• La definición del coeficiente de

restitución proporciona una segunda

relación entre la velocidad angular final

de la vara y velocidad de la esfera.

• Resuelva las dos relaciones

simultáneamente para la velocidad

angular de la vara y velocidad de la

esfera.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 308


• Considere la esfera y vara como

un solo sistema. Aplique el

principio de impulso y

velocidad adquirida.

• Los momentos sobre A de las

velocidad adquirida e impulsos

proporcione una relación entre la

velocidad angular final de la

vara y velocidad de la vara.

Momentos sobre A:

w Ivmvmvm RRssss m6.0m2.1m2.1

22

1212

121 mkg96.0m2.1kg8

m6.0

mLI

rvR ww

ww

2mkg96.0

m6.0m6.0kg8m2.1kg2m2.1sm5kg2 sv

w 84.34.212 sv



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 309


Momentos sobre A:

w 84.34.212 sv

• La definición del coeficiente

de restitución proporciona

una segunda relación entre la

velocidad angular final de la

vara y velocidad de la esfera.

sm58.0m2.1

s

sBsB

v

vvevv

w

Velocidades relativas:

• Resuelva las dos relaciones

simultáneamente para la

velocidad angular de la vara

y velocidad de la esfera.

Resolviendo,

sm143.0sv sm143.0sv

rad/s21.3w rad/s21.3w



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 310


Un paquete cuadrado de masa los

movimientos de m abajo la banda

transportadora A con la velocidad

constante. Al final del portador, la esquina

del paquete golpea un apoyo rígido a B. El

impacto es absolutamente plástico.

Derive una expresión para la velocidad

mínima de banda transportadora A porque

que el paquete girará sobre B y banda

transportadora del alcance C.

SOLUCIÓN:

• Aplique el principio de impulso y velocidad

adquirida para relacionar la velocidad del

paquete en la banda transportadora A antes

de que el impacto a B a la velocidad angular

sobre B después del impacto.


energía para determinar la inicial mínima la

velocidad angular tal que el centro de masa

del paquete alcanzará una posición

directamente sobre B.

• Relacione la velocidad angular requerida a

la velocidad de banda transportadora A.



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 311


• Aplique el principio de impulso y velocidad adquirida para relacionar la

velocidad del paquete en la banda transportadora A antes de que el impacto a

B a la velocidad angular sobre B después del impacto.

Momentos sobre B:

222

221

1 0 wIavmavm 2

61

222

2 amIav w

22

61

22

222

21

1 0 ww amaamavm

234

1 wav



Se

ve

nth

Ed

ition



17 - 312

Pruebe el Problema 17.11• Aplique el principio de conservación de energía para determinar

la velocidad mínima inicial angular tal que el centro de masa del

paquete alcanzará una posición directamente sobre B.

3322 VTVT

22 WhV

22

2

312

22

61

21

2

222

21

222

1222

12

www

w

mamaam

ImvT

33 WhV

03 T (resolviendo para el mínimo w2)

aa

GBh

612.060sin

1545sin

22

2

aah 707.022

3

agaaa

ghh

ma

W

WhWhma

285.0612.0707.033

0

2232

22

3222

2

31

w

w

agaav 285.034

234

1 w gav 712.01

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