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Marina Cobal - Dipt.di Fisica -Universita' di Udine 1

Dinamica dei fluidi


Caratteristiche di un fluidoIn generale:

FLUIDO à sostanza senza “forma” propria(assume la forma del recipiente che la contiene)

à liquidoà volume limitato dalla superficie liberagas à diffusione nell’intero volume disponibile

Un fluido puo’ essere:omogeneo à caratteristiche fisiche costanti

per qualsiasi volumedisomogeneoà caratteristiche fisiche non costanti

Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organicheomogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico

Es.


Portata di un fluido

V

∆t

Q= V/∆t

m3/sportata = volume di liquido

intervallo di tempo

SI cgs praticom3/s cm3/s l/min

Portata del sangue: 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s

Es.


Moto in un condottoTipo di moto:

stazionario à portata costante nel tempopulsatile à portata variabile in modo periodico

Tipo di condotto:rigido à non cambia forma sotto qualunque forzadeformabileà cambia forma sotto una forza

à deformaz.elasticaà deformaz.non elastica à arterie e vene

Tipo di fluido:ideale à senza attriti (non viscoso)reale à con attriti (viscoso)


Flusso Laminare e Turbolenton Flusso laminare:

n Gli elementi di fluido si muovono su traiettorie che non si intersecano

n L’ attrito nei flussi laminari e’ detto viscosita’n Flusso turbolento

n Traiettorie irregolarin Si verifica in presenza di gradienti elevati (alte velocita’ o

tubi piccoli)


Regime laminare

v1

v2δ

A→

→

A

Modello di liquido comelamine che scorronole une sulle altre

Forza di attrito:si oppone al moto à FA ∝ - v

FA = – η A vδ

→ →

v=v1-v2= velocita’ relativa tra lamineA = area lamineδ = distanza tra lamineη = coefficiente di viscosita’


Moto in regime laminarer

p1

p2

p1 > p2

Q

hQ = π r4

8 η h(p1 – p2) Q ∝ ∆p

Q = ∆p/RResistenza meccanicadi un condottodipende da:raggio-lunghezza del tuboviscosità del liquido

Condizione per il motodi un liquido:

differenza di pressione

v→asse delcondotto

La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione

La velocità è maggioreal centro del condotto(profilo parabolico)Il moto è silenzioso


Regime turbolentoQuando la velocità del liquido supera una certa velocità critica,

il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si creano vortici.

velocità criticav>vc

La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q ∝ ∆p

Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore!

La velocità non ha più un profilo regolareIl moto è rumoroso


Moto dei fluidi: sintesiMOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE

e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO

REGIME LAMINARE

- lamine e profilo velocità parabolico- Q ∝ ∆p - silenzioso (conservazione dell’energia)

approx.iniziale

v > vc

REGIME TURBOLENTO

- vortici- Q ∝- rumoroso

∆p(alta dissipazione di energia per attrito)


Fluidi Ideali

n Flusso laminaren Velocita’ in un qualsiasi punto costante. Non ci

sono turbolenzen Non-viscoson Non ci sono attriti tra gli strati di fluidonIncompressibilen La densita’ e’ la stessa dappertutton Flusso non-rotazionale: non c’e’ un flusso a traiettoria circolare (quindi: flusso non turbolento)


Linee di flusso

Linea di flusso: traiettoria seguita da unaparticella nel condotto

Il vettore velocita’ della particella e’ sempre tangente alla linea di flusso.


Sistema circolatorio - 1

ARTERIE

CUORE

AORTA

CAPILLARIARTERIOLE

VENA CAVA

VENE

VENULE

valvole

POLMONI

pressione media

velocità media(nel tempo)

(nel tempo)

AORTAARTERIEARTERIOLECAPILLARIVENULEVENEVENA CAVA


Sistema circolatorio - 2CUORE

POLMONI

CAPILLARI

GRANDE CIRCOLO

AD VD AS VS

100mmHg

5 litri/min

40mmHg

4mmHg

5 litri/min

10mmHg

8mmHg

25mmHg

Circuitochiuso

Portatacostante

(no immissioni,no fuoruscite)


Sistema circolatorio – 3pressione mediavelocità media

(nel tempo)

(nel tempo)

velocità media(cm/s)

pressione media(mmHg)

100100÷40

40÷2525÷12

12÷88÷32

50÷4040÷10

10÷0.1<0.1

<0.30.3÷5

5÷25

CAPILLARIARTERIOLE

VENULE

VENA CAVA

CUORE

AORTAARTERIE

VENE

deve sempre diminuirediminuisce poi aumenta


Equazione di continuita’ - 1MOTO STAZIONARIOQ = costante

nel tempo in ogni sezione

senza SORGENTI senza BUCHI

Nello stesso intervallo di tempo ∆t: Sv∆t = S’v’∆t

S S'vv'∆tv'

v ∆t

Q =V∆t

S v ∆t∆t= S v = costante=


Equazione di continuita’Si consideri un tubo di flusso:

Fluido incomprimibile: in un piccolo intervallo di tempo ∆t, il volume di fluido che passaattraverso A1, A1v1∆t, e’ pari al volume di fluidoche passa attraverso A2, A2v2 ∆t

O: costante == AvR Equazione di continuita’

2211 vAvA = Conservazione massa

R: flusso volumico [m3/s]Alta densita’ di linee di flusso (piccolo A)

Alta velocita’del fluido (v)


Equazione di continuita’ - 2

S1 = 5 cm2

v1 = 20 cm/sS2 = 1.25 cm2

v2 = 80 cm/s

Q = 100 cm3/s

A

S1 = 5 cm2

BS2 = 1.25 cm2

CS3 = 0.5 cm2

S3 = 2.5 cm2

v3 = 40 cm/s

Se il condotto si apre in piu’ diramazioni,bisogna considerare la superficie totale.


Velocita’ del sangue - 1

50004000300020001000

S cm2

50004000300020001000

cm2

25 400

4500+4000

60

totale

1020304050

1020304050

vcm/s cm/s

ARTERIOLE

CAPILLARI

VENULE

VENEARTERIE

ARTERIE

ARTERIOLE

CAPILLARI

VENULE

VENE

4 miliardi

160140mila 300 milioni

200

Paradossalmente, al contrario di quanto prevederebbe l’equazione di continuita’, la velocita’e’ bassissima nei capillari perche’ il loro numero e’altissimo!


Velocita’ del sangue - 2Portata del sangue:

Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s

Es.

Velocita’ del sangue nei vari distretti:

AORTA (r=0.8 cm) S = π r2 ≈ 2 cm2 v = Q/S ≈ 40 cm/sARTERIOLE S ≈ 400 cm2 v = Q/S ≈ 0.2 cm/sCAPILLARI S ≈ 4000 cm2 v = Q/S ≈ 0.02 cm/sVENA CAVA (r=1.1 cm) S = π r2 ≈ 4 cm2 v = Q/S ≈ 20 cm/s

Es.

La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permettegli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita.


Equazione di Bernoulli

costante=++ gyvP ρρ 2

21

n Contenuto fisico: La somma della pressione, dell’energiacinetica per unita’ di volume e dellaenergia potenziale per unita’ di volume ha lo stesso valore in tutti I punti di unalinea di flusso.

How can we derive this?


Equazione di Bernoulli

Considerate un elemento di massa ∆m = θ∆Vche passa attraverso un tubo. Si applichi ilprincipio di conservazione dell’energia del fluidoai punti 1 e 2

222221

2111 2

121

mghmvLFmghmvLF ∆+∆+∆=∆+∆+∆

Lavoro Cinetico Potenziale

VLp

ApF ∆∆

=∆⋅=

Vm ∆=∆ ρ

constant21 2 =++ ghvp ρρ Equazione

di Bernoulli

A livello costante,Velocita’ piu’ alta Pressione piu’ bassa


Derivazione equazione BernoulliPhysical basis: Work-energy relation

All together now:

With

We get:


Un esempio

Si consideri una tanica di acqua che presenta un foro sul lato a distanza h dalla superficie.

shh gygyv ρρρ =+2

21

ghyygv hsh 2)(2 =−=

Si assuma che la tanica sia grande abbastanza che la superficie libera dell’ acqua risulti ferma.

const.21 2 =++ ghvp ρρ

Le pressioni alla superficie ed al foro sono p0:

E’ la stessa velocita’ di un oggetto che cade nel vuoto


Tre nuovi Tre nuovi terminitermini

•Viscosita’•Diffusione•Osmosi


Viscosita’

nLa viscosita’ si riferisce all’attrito tra strati adiacenti di fluidonE’ richiesto un calo di pressione per forzare il passaggio dell’acqua attraverso I tubi (legge di Poiselle’s)nA velocita’ sufficientemente grandi si creano turbolenze

dAv

F η=


Viscosita’

FA = – η A vδ

→ →

η coefficiente di viscosità

Unita’ di misura cgs:poise = g/(s•cm)

La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura.

Acquaa 0o ηacqua = 0.0178 poise a 20o η acqua = 0.0100 poiseSanguePlasma à ηplasma = 1.5 η acqua

Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% à ηsangue = 5 η acqua

Es.


Diffusione

n Le molecole si muovono dalle regioni a piu’ alta concentrazione alle regioni a bassa concentrazione.

n Legge di Fick:

n D = coefficiente di diffusione

−==

LCC

DATempoMassa 12diffusione di Rate


Osmosi

n L’ Osmosi e’ il moto dell’acqua attraverso un setto, che invece impedisce il passaggio di altre specifich molecole, come per esempio sali etc…


Osmosi

nPressione osmotica: spinge l’acqua (solvente) dal lato della membrana in cui vi sono più soluti (ioni/biomolecole) rispetto che acqua.L’osmosi di acqua non è“diffusione” ma “pressione”perché non dipende dallaconcentrazione assoluta diacqua ma da quella dei solutirispetto all’acqua

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