Dimensionering av höga balkar av armerad betong

Dimensionering av höga balkar av armerad

betongEn jämförelse mellan EK2, BBK, laboratorieförsök och ATENA 2D

Evelina Karlsson

Civilingenjör, Väg- och vattenbyggnad

2020

Luleå tekniska universitet

Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser

Titel: Dimensionering av höga balkar av armerad betong - En jämförelse mellan EK2, BBK, laboratorieförsök och ATENA 2D English title: Design of high beams of reinforced concrete - A comparison of EC2, BBK, laboratory tests and ATENA 2D

Författare: Evelina Karlsson År: 2020

Universitet: Luleå Tekniska Universitet Institution: Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser Avdelning: Avdelningen för byggkonstruktion och -produktion Utbildning: Civilingenjör Väg- och Vattenbyggnad, inriktning konstruktion Rapporttyp: Examensarbete, 30hp Handledare: Gabriel Sas, Luleå Tekniska Universitet Examinator: Lennart Elfgren, Luleå Tekniska Universitet

Publicerad och distribuerad

av Luleå tekniska universitet 971 87 Luleå, Sverige Telefon: +46 (0) 920 49 00 00

I

Förord

Examensarbetet utfördes under sommaren 2020 och utgör 30 poäng i utbildnings- programmet Civilin-genjör Väg- och Vattenbyggnad vid Luleå tekniska Universitet. Arbetet utfördes vid avdelningen för byggkonstruktion och -produktion vid institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser i samarbete med företaget Norconsult AB, avdelningen för Byggkonstruktion, Arkitektur & Byggkonstruktion.

Jag vill tacka min handledare Gabriel Sas samt examinator Lennart Elfgren, professorer på avdelningen för bygg- och brandteknik vid institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser vid Luleå tekniska Universitet, för hjälp och stöd under arbetets gång. Jag vill även tacka Björn Lidström, studioledare för

Byggkonstruktion på Norconsult, för förslag till ämne för arbetet samt för möjligheten att utföra arbetet på företagets kontor i Piteå.

Luleå i November 2020

Evelina Karlsson

III

Abstract

This Master of Science Thesis has been carried out at Luleå University of Technology in collaboration with the Nordic consulting company Norconsult AB. It started with a wish from Norconsult to develop a method for the design of deep beams based on Eurocode 2. The model should correspond to the method that is presented in the former Swedish codes for designing of concrete structures, BBK 04. Eurocode 2 lacks a clear method for the design of such beams. This may result in frustration and a feeling of uncertainty among structural designers. The method in BBK 04, on the other hand, was considered to be easy and direct to follow.

The work is limited to a study of 4+4 simply supported one and two-span deep beams loaded with a point load in the middle of each span. The geometry is the same for all studied beams and the reinforce-

ment varies with the maximum load.

The work started with a literature review of the studied area to achieve an understanding of the theory for deep beams and how the new strut and tie models for design in Eurocode 2 works in general. A review is given of a test report, Rogowsky et al. (1983), which presents an experimental laboratory test series, where deep beams were loaded to failure. Presented results are failure loads, strains in the concrete and reinforcement, crack patterns and deflections. Four simply supported and four continuous beams are chosen for further studies. Analyses are carried out with a non-linear calculation program called ATENA 2D, with which the studied beams are modelled and analysed. Calculations by hand according to Euro-code 2 and BBK 04 are also carried out for each beam to obtain the amount of required reinforcement for its failure load.

A maximal failure load is obtained by iterations for each beam and calculation method (Eurocode or BBK 04). The reinforcement that is obtained from these calculations is modelled in ATENA 2D and the beams

are analysed. The result, the failure load, is compared for the different results.

The failure loads from Rogowsky et al. (1983) are compared to the ones from ATENA 2D and from the hand calculations with Eurocode 2 and BBK 04. The comparison shows the two methods according to Eurocode 2 and BBK 04 to differ with respect to the reinforcement. The new EK2 method indicates a need for less reinforcement than the old more empirical BBK method. The study also indicates that ATENA 2D agrees well with the reality. The result also shows the behaviour according to Eurocode 2 to agree well to the real behaviour of the beams.

A straightforward design model that lives up to the simplicity of the earlier conservative code BBK was not possible to present within the limitations for this work. Instead a method is presented in the form of a to do list to clarify, guide and exemplify the closer-to-reality calculation of deep beams according to Eurocode 2.

Keywords: Deep beams, nonlinear analysis, Strut and tie model, ATENA, Eurocode 2, Calculation model, BBK 04

V

Sammanfattning

Detta examensarbete vid Luleå tekniska universitet har utförts i samarbete med avdelningen för byggkon-struktion vid det nordiska konsultföretaget Norconsult AB. Arbetet bygger på en önskan från Norconsult att ta fram en beräkningsmodell för höga balkar i överensstämmelse med Eurokod 2 motsvarande den som finns i BBK 04. Eurokod 2 har endast en knapphändig beskrivning av hur höga balkar bör dimens-ioneras. Detta skapar frustration och osäkerhet hos konstruktörer. Den tidigare svenska betongnormen, BBK 04, innehöll en tydlig och enkel mer empirisk beräkningsmetod för höga balkar, vilket gav en större säkerhet vid projekteringen.

Arbetet begränsas till att studera enkelt upplagda och kontinuerliga balkar i två spann belastade med en punktlast mitt i vartdera spannet. Geometrin är densamma för samtliga balkar och armeringsmängden varieras tillsammans med brottlasten.

Initialt utfördes en litteraturstudie för att erhålla en fördjupad kunskap om området samt att bygga upp en förståelse för teorin för höga balkar och den fackverksmodell som används i Eurokod 2. Vidare pre-senteras en försöksrapport, Rogowsky et al. (1983), som redovisar en experimentell laboratoriestudie där höga balkar belastas till brott. Resultaten som presenteras är brottlast, töjning i betong och armering, sprickmönster samt nedböjning. Fyra enkelt upplagda och fyra kontinuerliga balkar väljs ut för vidare jämförelse och analys. Härvid används det ickelinjära beräkningsprogrammet ATENA 2D, där studerade balkar modelleras. Handberäkningar enligt EK2 och BBK 04 utförs för respektive balk och tillhörande armeringsmängd beräknas.

En maximal brottlast itereras fram för respektive balk och beräkningsmetod (EK2 eller BBK 04). Arme-ringsmängden som ges av denna beräkning modelleras i ATENA 2D och motsvarande balk analyseras. Resultaten jämförs sedan.

Erhållna resultat sammanställs och jämförs med varandra: Rogowsky et al. (1983), ATENA 2D och hand-beräkningarna enligt både Eurokod 2 och BBK 04. Jämförelsen visar att det finns få likheter mellan EK2 och BKK 04, med avseende på erhållen armeringsmängd. BBK kräver generellt större armeringsmängd än Eurokod 2. Studien visar att beräkningarna med ATENA 2D stämmer väl överens med laboratorie-försöken. Resultaten visar även att antaganden enligt Eurokod 2 stämmer väl överens med hur de stude-rade balkarna beter sig i verkligheten.

En enkel beräkningsmodell som motsvarar BBKs konservativa modell är inte möjlig att ta fram inom de ramar och begränsningar som finns för detta examensarbete. Istället sammanställs en modell i form av en punktlista som förtydligar, sammanfattar och exemplifierar den mer verklighetstrogna beräkningsgången för höga balkar enligt Eurokod 2.

Nyckelord: Höga Balkar, Ickelinjär analys, Fackverksanalys, ATENA, Eurokod 2, Beräkningsmodell, BBK 04

VII

Teckenförklaring

Symbol Förklaring

Versaler

𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 Minsta tvärsnittsarea för armering (m2)

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑖 Dragarmeringsarea (m2)

𝐴𝑠𝑓 Erforderlig böjarmeringen i fält (m2)

𝐴𝑠ℎ Erforderlig horisontalarmering (m2/m)

𝐴𝑠𝑠 Erforderlig böjarmeringen över stöd (m2)

𝐴𝑠𝑣 Erforderlig vertikalarmering (m2/m)

𝐴∅𝑖 Area för ett armeringsjärn (m2)

𝐶𝑖 Kraft i trycksträva, i, (N)

𝐸𝑐𝑚 Elasticitetsmodul för betong (Pa)

𝐸𝑠 Elasticitetsmodul för armering (Pa)

F Dimensionerande last (N)

𝐿𝑖 Spannlängd, spann i (m)

𝑀𝐵 Moment över innerstöd (Nm)

𝑀𝑓 Fältmoment (Nm)

𝑀0 Maxmoment i fält (Nm)

𝑅𝑖 Reaktionskraft i stöd i (N)

𝑇𝑖 Kraft i dragstag, i, (N)

𝑉 Tvärkraft (N)

𝑉𝑑 Dimensionerande tvärkraft (N)

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 Maximal dimensionerande tvärkraft (N)

𝑉0 Maximal tvärkraft (N)

Gemener

𝑎𝑖 Trycksträvans bredd (m)

𝑎𝑠 Avstånd mellan kant av balk och tyngdpunkt för armering (m)

𝑐𝑛𝑜𝑚 Täckskikt av betong (m)

𝑑 Effektiv höjd (m)

𝑑𝑔 Största tillåtna kornstorlek på för ballast (m)

VIII

𝑓𝑏𝑑 Dimensionerande vidhäftningshållfasthet (N/m2)

𝑓𝑐𝑑 Dimensionerande tryckhållfasthet för betong (N/m2)

𝑓𝑐𝑘 Karakteristisk tryckhållfasthet för ett betongcylinderprov (N/m2)

𝑓𝑐𝑡𝑑 Dimensionerande axialtryckhållfasthet för betong (N/m2)

𝑓𝑐𝑡𝑘 Karakteristiskt värde för betongens axiella draghållfasthet (N/m2)

𝑓𝑐𝑡𝑚 Medelvärde för axiella draghållfastheten hos betong (N/m2)

𝑓𝑦𝑑 Dimensionerande flytgräns för armering (N/m2)

𝑓𝑦𝑘 Karakteristisk flytgräns för armering (N/m2)

ℎ Höjden (m)

ℎ𝑓 Verksam höjd i fält (m)

ℎ𝑠 Verksam höjd över stöd (m)

𝑘1 Nationell parameter enlig EKS (-)

𝑘2 Nationell parameter enlig EKS (-)

𝑙𝑏𝑑 Dimensionerande förankringslängd (m)

𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛 Minsta erforderliga förankringslängd (m)

𝑙𝑏,𝑝𝑟𝑜𝑣 Tillgänglig förankringslängd (m)

𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 Erforderlig förankringslängd (m)

𝑙𝑖 Längd av upplag i (m)

𝑙𝑚 Medelvärde på spännvidder (m)

𝑛𝑖 Antalet armeringsjärn (st)

𝑠𝑚𝑎𝑥 Maximalt avstånd mellan armering (m)

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 Minsta tillåtna avstånd mellan armering (m)

𝑡 Tjocklek (m)

𝑢 Dragstaget höjd (m)

𝑥 Läge där tvärkraften är noll (m)

𝑧 Inre hävarm (m)

Grekisk

𝛼1−5 Konstanter från EK2 (-)

𝛾𝑐 Partialkoefficient för betong från EK2 (-)

𝛾𝑠 Partialkoefficient för stål från EK2 (-)

𝜃𝑖 Vinkel (⁰)

IX

𝜌ℎ Horisontell armeringsmängd (%)

𝜌𝑣 Vertikal armeringsmängd (%)

𝜎𝑐𝑐,𝑖 Upplagstryck / Tryck från sned trycksträva, i, (Pa)

𝜎𝑠𝑑 Spänning i dragstag (Pa)

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 Dimensionerande maximal spänning (Pa)

∅ Armeringens diameter (m)

Förkortningar

a.a. anfört arbete

ASTM American Society for Testing and Material

BBK Boverkets Handbok om Betongkonstruktioner

BBK 04 Boverkets Handbok om Betongkonstruktioner 04

CSA Canadian Standards Association

B – zon Kontinuitetszon

D – zon Diskontinuitetszon

EK Eurokod

EK2 Eurokod 2

EKS Nationell bilaga till EK

et al. et alia (latin) = och andra

FEM Finit elementmetod

fib Féderation Internationale du Betón

MC Model Code

NA Nationell bilaga (annex)

SIS Swedish Standards Institute

SLS Last i bruksgränstillstånd (Serviceability Limit State)

ULS Last i brottgränstillstånd (Ultimate Limit State)

XI

Innehållsförteckning

1 INLEDNING .................................................................................................. 13

1.1 Bakgrund ........................................................................................................................... 13 1.2 Syfte och mål ..................................................................................................................... 14 1.3 Hypotes och frågeställningar ............................................................................................... 14 1.4 Metod ............................................................................................................................... 14 1.5 Begränsningar .................................................................................................................... 15 1.6 Uppbyggnad av rapport ...................................................................................................... 15

2 TEORETISK BAKGRUND ............................................................................... 17

2.1 Bakgrund till Eurokoder .................................................................................................... 17 2.2 Betong & Armering ........................................................................................................... 17

2.2.1 Egenskaper – Betong & Armering .................................................................................. 17 2.2.2 Dimensionering och analys - Betong & Armering ........................................................... 19

2.3 Fackverksanalogi ................................................................................................................ 20 2.3.1 Kraftlinjemetod .............................................................................................................. 21 2.3.2 Fackverksmetod ............................................................................................................. 23

2.4 Höga balkar ....................................................................................................................... 25 2.4.1 Kontinuerlig hög balk .................................................................................................... 27 2.4.2 Placering av armering ..................................................................................................... 28

2.5 Eurokod 2 och EKS ........................................................................................................... 28 2.6 BBK 04 ............................................................................................................................. 29 2.7 ” Tests of reinforced concrete deep beams” ........................................................................ 32

2.7.1 Metod för testet ............................................................................................................. 32 2.7.2 Resultat ......................................................................................................................... 33 2.7.3 Balk 1–1.0 ..................................................................................................................... 37 2.7.4 Balk 2–1.0 ..................................................................................................................... 39 2.7.5 Balk 3–1.0 ..................................................................................................................... 40 2.7.6 Balk 4–1.0 ..................................................................................................................... 40 2.7.7 Balk 1–1.1 ..................................................................................................................... 41 2.7.8 Balk 2–1.1 ..................................................................................................................... 43 2.7.9 BALK 3–1.1 .................................................................................................................. 44 2.7.10 BALK 4–1.1 ............................................................................................................... 46

2.8 ATENA ............................................................................................................................ 48 2.8.1 Val av ”Mesh” ............................................................................................................... 48 2.8.2 Newton – Raphson metoden ......................................................................................... 49

3 METOD ........................................................................................................ 51

3.1 ATENA ............................................................................................................................ 51 3.2 Beräkningar ....................................................................................................................... 52

3.2.1 EK2 – Enkelt upplagd balk ............................................................................................. 52 3.2.2 EK2 - Kontinuerlig balk ................................................................................................. 61 3.2.3 BBK04 – Enkelupplagd balk .......................................................................................... 65 3.2.4 BBK 04 – Kontinuerlig balk ........................................................................................... 68

4 RESULTAT ................................................................................................... 73

4.1 Resultat från ATENA ........................................................................................................ 73 4.2 Resultat från beräkningar ................................................................................................... 75

4.2.1 Enkelupplagd balk .......................................................................................................... 75 4.2.2 Kontinuerlig balk ........................................................................................................... 78

XII

4.2.3 Iteration av maximal last enligt EK och BBK .................................................................. 80

5 JÄMFÖRELSER .............................................................................................. 83

5.1 Laboratorieförsök vs ATENA ............................................................................................. 83 5.2 Laboratorieförsök vs BERÄKNINGAR ............................................................................. 89 5.3 ATENA vs beräkningar ...................................................................................................... 91 5.4 EK vs BBK ........................................................................................................................ 93

6 BERÄKNINGSMODELL .................................................................................. 97

7 ANALYS OCH DISKUSSION ........................................................................... 101

7.1 Laboratorieförsök vs ATENA ........................................................................................... 101 7.2 EK vs BBK ...................................................................................................................... 101 7.3 Beräkningar vs laboratorieförsök (inkl. ATENA) .............................................................. 102 7.4 Iteration av maximal last ................................................................................................... 102

8 SLUTSATSER OCH FÖRSLAG TILL FORTSATT ARBETE ................................. 105

REFERENSER ..................................................................................................... 107

Appendix A ............................................................................................................. i

Appendix B ......................................................................................................... xxxi

Om författaren ......................................................................................................... li

13

1 Inledning

1.1 Bakgrund

I dagens samhälle byggs det ständigt nya byggnader där krav ställs både på flexibilitet och utformning. Husbyggnader är ett bra exempel på byggnader där de kan finnas extra många krav på flexibilitet, utform-ning och funktion för att möjliggöra enklare ombyggnationer om byggnadens huvudfunktion skulle ändra syfte. Det är inte ovanligt att större husbyggnader byggs om invändigt efter en tid för att uppfylla krav och efterfrågan från en ny hyresgäst. För att möjliggöra flexibla lösningar där alla plan nödvändigtvis inte måste se lika ut eftersom verksamheten kan variera och där även kraven på utrymmena. För att uppfylla

efterfrågan på flexibilitet, utformning och funktion krävs ett genomtänkt förarbete och noga planerad projektering, såsom val av material och utförande.

Betong är ett av de vanligaste konstruktionsmaterialen när det kommer till husbyggnader men det är även ett material som ställer höga krav på konstruktören. Det är ett material som generell kräver plats och kan i vissa fall försvåra flexibiliteten i en byggnad. Behovet av stora spännvidder och placering av bärande element är några av de problem som konstruktörer möter när de arbetar med betong. För att bibehålla funktionen i ett betonghus är det därför vanligt att de olika planen inte ser lika ut, underliggande plan kan bestå av en bärande pelarrad för att skapa fri golvyta medan det övre planen består av en vägg. Vid ett sådant fall, för att spara både material och plats, så är det ofta till fördel att dimensionera den överlig-gande väggen som en bärande väggbalk, en så kallad hög balk. Möjligheten att förstärka och ta upp hål i befintliga höga balkar har studerats vid LTU av Popescu (2017) och Sabau (2019).

I den tidigare svenska betongnormen, BBK 04, finns en tydlig och relativt enkel dimensioneringsgång för höga balkar (enfälts, flerfälts, flaggor och horisontalstödda skivor) beskriven. Betongnormen slutade att gälla 2011 (Boverket, 2013) och saknas nu av konstruktörer i branschen.

Efter att BBK 04 slutade att gälla blev dagens gällande Eurokoder med tillhörande nationell bilaga giltiga. I gällande Eurokoder med svenska tillägget EKS finns en avsaknad, från konstruktörer, av en tydlig di-mensioneringsgång för det så kallade höga balkar. Dessa konstruktioner beskrivs inte på ett utförligt sätt i det gällande normerna, vilket skapar såväl en osäkerhet som en tidsförlust i projekteringsskedet för kon-struktören. Detta skapar en efterfrågan av en sammanställd modell av reglerna i Eurokod och EKS.

Trots att det tidigare funnits en tydlig bild över hur höga balkar ska dimensioneras och beräknas (BBK 04) är det idag en fråga som ständigt uppkommer och forskas kring. Samtidigt som forskningen har gått framåt så tydliggörs de att dimensioneringen enligt BBK 04 inte är den optimalaste med avseende på hur den höga balken egentligen beter sig. Grunden i det allra flesta forskningsrapporter som berör området höga balkar visar på att den höga betongbalken har ett annat beteende än vad man tidigare trott och

antagit.

Grunden i arbetet bygger på att konsultföretaget Norconsult vill ta fram en korrekt, systematiserad och följbar beräkningsmetod för höga balkar som bygger på EK2. Avsaknaden av normer och beräkningsmo-dell skapar osäkerheter för konstruktören vid beräkningar av dessa väggbalkar. I dagsläget anses euroko-derna allt för otydliga vilket är tidskrävande och medför även osäkerheter.

Vidare är det av intresse att jämföra armeringsmängder från beräkningar enligt Eurokod jämfört med BBK. Samt jämföra dessa mot tidigare tester av höga balkar och modeller från ett beräkningsprogram som med hjälp av ickelinjär analys analyser höga balkar. Detta för att möjliggöra jämförelser samt identifiera olikheter och osäkerheter i de olika sätten att dimensionera. Vilket kan vara av stor vikt att finnas i åtanke vid dimensionering av dessa bärverk.

14

1.2 Syfte och mål

Huvudsyftet med examensarbetet är att, inom de lagar och regler som ställs, kontrollera om processen vid dimensionering av höga balkar kan effektiviseras. Vidare är det nödvändigt att identifiera olikheter som finns mellan de olika dimensioneringssätten. Utifrån detta är målet att ta fram en generell beräkningsmo-dell för höga betongbalkar som kan användas vid projektering. Modellen bör vara uppdelad i steg, tydlig, följbar och anpassad för att nyttjas av konstruktörer i deras dagliga arbete. Om möjligt bör den även likna metoden i BBK 04.

Vidare är det av intresse att jämföra beräkningar enligt EK2 jämfört med BBK 04 samt att jämföra dessa mot tidigare laboratorieförsök med höga balkar och mot FEM analyser. Balkarna modelleras i ett beräk-ningsprogram, som med ickelinjär analys analyserar balken. Detta för att möjliggöra jämförelser samt identifiera olikheter och osäkerheter i de olika sätten att dimensionera. Detta kan vara av stor vikt vid dimensionering av höga balkar.

1.3 Hypotes och frågeställningar

Genom att utföra ”handberäkningar” på höga balkar enligt både EK2 och BBK 04, samt studera tidigare provade balkar med tillhörande brottmod samt armeringsmängd och modellera upp dessa laboratoriebal-kar i ett FEM program kan samtliga resultat jämföras. En jämförelse möjliggör en säker slutsats och sam-manställning av en beräkningsmodell som stämmer med EK2 och ”verkligheten”.

En beräkningsmodell ska vara såväl tillämpningsbar som följbar och ska på ett säkert sätt effektivisera och kvalitetssäkra konstruktörens arbete, modellen bör likna den som finns beskriven i BBK04.

För att uppnå det som efterfrågas ställs följande frågeställningar upp:

● Hur ser dagens normer och regler ut vid dimensionering av höga balkar och kan man utifrån dessa

ta fram en effektiviserad beräkningsmodell?

● Vad är skillnaden, med avseende på armeringsmängd, mellan dimensioneringsmetoderna för höga balkar enligt Eurokod och enligt BBK?

● Hur förhåller sig den handberäknade dimensioneringen i förhållande till utförda laboratorieförsök och FEM analyser?

1.4 Metod

Som start för arbetet ligger frågeställningen ”Är det möjligt att ta fram en beräkningsmetod för höga balkar, som stämmer överens med EK2, och som kan jämföras/liknas med den metod som finns presen-terad i BBK 04, med avseende på armeringsmängd?”. Detta medför en fördjupning i vad EK2 presenterar gällande dimensionering av höga balkar samt vad som återfinns i BBK 04. Vidare för att möjliggöra en analys mellan dessa två dimensioneringsmetoder krävs en bakgrundsstudie på hur höga balkar beter sig, bland annat vid olika laster, geometrier och armeringsutföranden. För att möjliggöra framtagandet av en modell bör bakgrunden till höga balkar vara väl identifierad, vilket erhålls genom en litteraturstudie och genom att studera resultat från tester samt FEM analyser. Modellen ska stämma överens med de krav och regler som presenteras i EK2 samt jämföras mot resultatet av tester och analyser.

Initialt utförs arbetet som en litteraturstudie för att erhålla en fördjupad kunskap om området, och bygga upp en förståelse för bakgrunden till höga balkar samt hur dimensioneringsmetoden i EK2 fungerar. Lit-teraturstudien kommer att både beröra litteratur inom områdena samt befintliga metoder och tidigare forskning som är relevant för området. Med litteraturstudien erhålls en djupare förståelse om bland annat Eurokoden samt de tidigare konstruktionsreglerna, BBK 04. Litteraturstudien kommer ligga som grund för beräkningar samt analyser av resultat för att förstå vad som är tillämpningsbart och ej. Huvudreferen-

serna som används i litteraturstudien är fibs Model code, volym 1 (fib, Model Code 2010, Volume 1,

15

2010a) och volym 2 (fib, Model Code 2010, Volume 2, 2010b). De och deras föregångare (CEB-FIP

Model Code 1990, 1990) är grunden till Eurokoderna och motiverar val av beräkningar. Även svenska betongföreningens handbok till EK2 (Betongföreningen, 2010) har legat som grund till arbetet.

Vidare valdes en väldokumenterad försöksrapport ut som presenterar och redovisar tester och resultat för höga balkar. Resultatet som presenteras är brottlast, töjning i betong och armering, sprickmönster och nedböjning. Rapporten Rogowsky et al. (1983) används och ett antal balkar väljs ut (fyra enkelt upplagda och fyra kontinuerliga) för att vidare kunna jämföra resultatet av testerna mot teorin som beskrivs i litte-raturstudien, mot beräkningar som utförs och mot FEM analysen.

Balkarna som valts ut från test-rapporten modellerades upp i ett FEM dataprogram som med hjälp av ickelinjär analys analyserar balkarna. Programmet som används är ATENA 2D. En jämförelse mellan resultatet som presenterats i Rogowsky et al. (1983) och resultat erhållet från ATENA 2D kartläggs för att identifiera beteendet hos balkarna, samt kontrollera trovärdigheten av de olika resultaten. I ATENA 2D modelleras balkarna upp på samma sätt som i Rogowsky et al. (1983) med avseende på geometri, armeringsmängd, dimensioner och materialparametrar. Vid analysen i ATENA erhålls en brottlast, töjning i betong och armering, sprickmönster och nedböjning.

Handberäkningar enligt EK2 och BBK 04 utförs för respektive studerad balk, samma geometri och di-mensioner som Rogowsky et al. (1983) används, brottlasten som erhållits dels från test-rapporten men även den från ATENA används som dimensionerande brottlast i beräkningarna. Den armeringsmängd som erhålls från de olika beräkningssätten jämförs dels mot varandra, dels mot armeringsmängden som finns i balkarna från Rogowsky et al. (1983) och ATENA.

En maximal brottlast itereras fram för respektive balkgeometri och beräkningsmetod (EK2 eller BBK 04). Armeringsmängden som ges av denna beräkning modelleras upp i ATENA och balken analyseras. Re-sultaten, av brottlastena, jämförs sedan för en analys av det olika lasterna.

En jämförelse där resultat från ett laboratorieförsök, från en FEM analys och från handberäkningar för både EK2 och BBK 04 jämförs mot varandra. Denna jämförelse utförs för att identifiera samband, dra slutsatser om likheter mellan beräkningarna och beteendet hos balken. Detta avses vara till hjälp vid fram-tagandet av en modell. Samtliga resultat och jämförelser analyseras för att möjliggöra en sammanställning av en beräkningsmodell.

1.5 Begränsningar

Arbetet begränsar sig till gällande regler och normer för dimensionering av betongkonstruktioner. Vidare begränsas arbetet till höga balkar i form av enkelt upplagda och kontinuerliga balkar belastade med en punktlast i överkant i mitten av spannet. Balkarna är inte förspända. Vidare är det en och samma dimens-ion på balkarna, arbetet begränsas till att huvudfokus ligger på armeringsmängd och därför är det detta som kommer att varieras och jämföras. Materialparametrar för betong och armering hålls konstanta och lika vid samtliga beräkningar, analyser och balkar.

Sprickor, hoptryckning av betongen och töjning i armering beräknas inte. Dessa parametrar erhålls från laboratorieförsöken och ATENA och jämförs endas dessa emellan för att erhålla en uppfattning om bete-endet i balken.

BBK 04 beräknas inte enligt fackverksmodellen utan endast metoden i kap 6.6 används. Beräkningar enligt EK2 utförs med hjälp av fackverksmodellen.

1.6 Uppbyggnad av rapport

Första delen, kapitel 2 Teoretisk bakgrund, består av en sammanfattning av litteraturstudien som utförts för att få en djupare förståelse. Bakgrunden till Eurokoderna sammanfattas och varför en gemensam stan-dard efterfrågades mellan de europeiska länderna. Vidare presenteras egenskaper för betong och armering

samt hur resultat och dimensionering bör analyseras. Det ickelinjära beteendet hos en hög balk identifieras

16

tillsammans med fackverksanalogi och kraftlinjer för beräkningar. Beräkningar enligt EK2 och BBK 04

presenteras tillsammans med teorin bakom beräkningsprogrammet ATENA 2D. Resultatet från en expe-rimentellt laboratoriestudie från en väldokumenterad test-rapport ”Tests of reinforced concrete beams” av Rogowsky, et al. (1983) presenteras tillsammans med tillhörande geometri och armering av höga bal-kar, både enkelt upplagda och kontinuerliga balkar.

Kapitel 3 Metod, presenterar en metodbeskrivning av ATENA samt beräkningar. Antaganden, upplägg, val av materialparametrar sammanställs i form av en metod för hur beräkningar och analyser har utförts i ATENA. Desamma gäller för handberäkningar enligt både EK2 och BBK 04 för enkelt upplagda och kontinuerliga balkar. Beräkningar och analyser utförs för de balkar som valts ut från Rogowsky et al. (1983) och resultatet återfinns i kapitel 4. Resultat. I kapitlet sammanställer de resultat som anses vara viktigast i form av grafer och tabeller. Resterande resultat i sin grundform återfinns i bilagor.

Erhållna resultat jämförs mot varandra för att identifiera likheter och skillnader vilket presenteras i 5 Jäm-förelser. Resultaten från Rogowsky et al. (1983) jämförs mot ATENA och beräkningar, ATENA jämförs mot beräkningar, och beräkningar jämförs mot varandra (EK2 mot BBK 04). Likheter och skillnader, främst i armeringsmängden, för de olika balkarna och i de olika delarna av balken jämförs i syftet att identifiera eventuella samband mellan dimensioneringsmetoderna.

En beräkningsmodell som uppfyller det krav och regler som EK2 ställer på dimensioneringsprocessen och hållfastheten presenteras i kapitel 6 Beräkningsmodell i form av en punktlista. Listan är strukturerad som en metodbeskrivning med tillhörande ekvationer.

I kapitel 7 analyseras och diskuteras resultatet och jämförelser från tidigare kapitel. Resultaten kommen-teras och jämförelser diskuteras med avseende på bland annat olikheter, samband och trovärdighet. Fram-tagandet av beräkningsmodellen kommenteras i kapitel 8 Slutsatser och förslag till fortsatt arbete. Där presenteras hur och varför beräkningsmodellen struktureras upp som den gjorts. Vidare kommenteras hur begränsningar och metodval i rapporten har påverkat arbetet vid framtagande av en modell samt hur resultatet påverkas. Förslag till fortsatta arbeten och hur dessa möjligtvis skulle kunna utföras presenteras.

17

2 Teoretisk bakgrund

2.1 Bakgrund till Eurokoder

I mitten av 1900-talet ingås ett avtal mellan en rad olika länder i Europa, avtalet kommer att kallas för Romfördraget och består i stora drag av ett unionssamarbete mellan länderna i Europa (JCR, 2013). Delar av fördraget innehåller beslut som rör byggnadsområdet. Frågan om en gemensam standard inom området väcks för att förenkla samarbeten samt reducera hinder i handeln länderna emellan. Tekniska lösningar blir gällande i samtliga länder och en början till Eurokoder uppkom. I det första steget var tanken att Eurokoden skulle användas som ett alternativ till de nationella reglerna i medlemsstaterna för att senare under processens gång ersätta de nationella reglerna helt. I slutet av 1900-talet publicerades den första Eurokoden och med tiden utvidgades antalet koder. I anslutning till att Eurokoderna publicerades togs även nationella bilagor fram som ett komplement till koderna. De nationella bilagorna ser olika ut för olika länder och värden och metoder kan skilja sig från EK. Mellan 2006 till 2011 överlappade Euroko-derna de tidigare nationella reglerna. I börja av 2011 övergick alla berörda länder till att endast tillämpa Eurokoder (JCR, 2013).

Det finns idag 59 standarder som talar om hur vi skall dimensionera en rad olika konstruktioner, dessa sammanställs i 10 Eurokoder (Betongföreningen, 2010). En av dessa standarder är SS-EN 1992-1-1, Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner: Del 1–1: Allmänna regler och regler för byggna-der. Den är tillämplig vid projektering av konstruktioner i betong (SIS, 2008). Standarden behandlar dimensionering av oarmerad, armerad samt förspänd betong och förhåller sig till de grundläggande di-mensioneringsregler och krav som finns för bruksgränser och säkerhet i SS-EN 1990.

Del 1–1 av Eurokod 2: “Allmänna regler och regler för byggnader” är skriven och strukturerad så att grunderna i standarden generellt går att tillämpa på alla olika typer av betongelement (Beery & Narayanan,

2009). Dock består den av begränsad vägledning i och hur analyser av betongelement utförs och när dessa är tillämpliga. Eurokoderna är till för att underlätta dimensioneringsprocessen genom att presentera gäl-lande regler och riktlinjer med hjälp av de grundläggande teorierna (Dahlgren & Svensson, 2013). Emel-lertid kan de ibland uppfattas som kortfattade med liten eller obefintlig bakgrund samt opedagogisk vilket ibland kan göra koderna svårtolkade och svåranvända.

2.2 Betong & Armering

2.2.1 Egenskaper – Betong & Armering

Tryckhållfastheten hos betong anses vara den viktigaste egenskapen eftersom betong är starkast i tryck (Isaksson, Mårtensson, & Thelandersson, 2017). Betong har en väldigt låg draghållfasthet som i vissa di-mensioneringsberäkningar kan försummas (a.a.). Förhållandet mellan tryck- och draghållfastheten illu-streras i Figur 1.

18

Figur 1 Förhållandet mellan tryck- och draghållfasthet i betong (Dahlgren & Svensson, 2013).

Betongens låga draghållfasthet begränsar materialet och ställer krav på att dimensioneringen utförs korrekt (Gu, Jin, & Zhou, 2016). För att öka kapaciteten hos bärverket kan betongen armeras, genom att arme-ringsstål gjuts in i betongen ges en ökad kapacitet, främst i drag. När betong och armering kombineras möjliggörs ett utnyttjande av båda materialens kapacitet, förenklat, bär betongen tryckkrafter och arme-ringen dragkrafter (a.a.) Vid dimensionering av armerade betongkonstruktioner förenklas generellt för-hållandet mellan spänning- och töjningskurvan för betong och armering (Dahlgren & Svensson, 2013). Genom att anta att betongen tar tryck och armeringen drag.

Mellan betongen och armeringen uppstår ett band, detta band kan förenklat beskrivas som friktion och möjliggör att materialen kan samarbeta. Betongen och armeringen samarbetar när bandet mellan dem är tillräckligt stort, bandet bör vara så pass stort att skjuvspänningen från deformationsskillnaden mellan materialen bibehålls (Gu, Jin, & Zhou, 2016). Ett starkt band som fungerar som det ska överför spänningar från det ena materialet till det andra. Genom samarbetet, där materialen förankras ihop, deformeras de tillsammans och bär gemensamt upp last. Betongens och armeringsstålets termiska koefficienter är väldigt lika varandra vilket är en bidragande faktor till att materialen går att kombinera ihop eftersom termiska spänningar undviks. Ytterligare fördelar med samarbetet är att betongen skyddar armeringsjärnen från både rost och värme(a.a.).

I en osprucken betong har armeringen nästintill ingen påverkan på kapaciteten eftersom betongens drag-hållfasthet inte är uppnådd. Så fort den uppnås kommer betongen stegvis att spricka och armeringen kommer att ta över dragkrafterna (Dahlgren & Svensson, 2013). Tvärsnittets egenskaper hos en armerad betongkonstruktion är en avgörande faktor för hur lasten fördelar sig mellan armeringen och betongen (Gu, Jin, & Zhou, 2016). De verksamma lasterna i ett bärverk beter sig på ett visst sätt om tvärsnittet är sprucket och på ett annat om det är osprucket. I ett osprucket tvärsnitt verkar armeringen genom bandet som uppkommer på grund av spänningsskillnaden, mellan två fritt valda sektioner i böj-skjuvningsområ-det. Fördelningen av spänningen mellan bandet är densamma som skjuvkraften (a.a.).

Vid en lastökning på en konstruktion uppstår successivt sprickor i betongen och samspelet mellan be-tongen och armeringen förändras förhållandevis och verkar på två olika sätt beroende på läget i elementet (Gu, Jin, & Zhou, 2016). Förankringsband eller in- och ut- band är de två olika band som den spruckna armerade betongen utsätts för. En spricka i betong kan inte ta dragkrafter i betongen, utan all dragkraft i tvärsnittet tas upp av armeringen vilket medför att de kan bli stora dragspänningar i armeringen just vid sprickan. För att förhindra att armeringen glider ut på grund av det stora dragspänningarna samt bibehålla en samverkan mellan materialen måste betongen hålla fast armeringen hårt. Bandet som håller armeringen på plats just vid sprickorna kallas för förankringsband. In- och ut- band uppstår vid en sektion utsatt för

19

ren böjning och mellan två sprickor. Just vid sprickorna är dragspänningen begränsad av armeringen, men

mellan sprickorna finns det osprucken betong som hjälper till att ta upp spänningarna och möjliggör att dragspänningarna överförs mellan materialen. Detta medför att den ospruckna betongen kan bära delar av dragspänningen vilket förbättrar kapaciteten hos balken. En förlust av in- och ut- band kommer att minska styvheten och öka sprickbredden hos elementet (a.a.).

Armeringen bidrar i många fall till en ökad duktilitet hos bärverket, genom att omfördela krafterna inne i elementet (Dahlgren & Svensson, 2013). Duktiliteten är ett mått på segheten hos det studerade elementet (Betongföreningen, 2010). Armeringens seghet bestäms av töjningen vid maximal dragkraft och förhål-landet mellan stålets brottgränsspänning och flytgränsspänning. Sett till konstruktionsdelen påverkas seg-heten av andra faktorer så som vidhäftning mellan betong och stål, armeringsmängd samt stålets duktilitet (a.a.).

2.2.2 Dimensionering och analys - Betong & Armering

Betongens hållfasthet och deformationsegenskaper finns sammanställda i EK 2 och beror bland annat på betongens innehåll samt hantering innan och under gjutning (Isaksson, Mårtensson, & Thelandersson,

2017). Dimensionerande tryckhållfastheten, 𝑓𝑐𝑑, beräknas i brottgränstillstånd med hjälp av ekvation (1) enligt EK2

𝑓𝑐𝑑 = 𝛼𝑐𝑐𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐 (1)

𝑓𝑐𝑘 är karakteristiska cylindertryckhållfastheten för betong, och 𝛼𝑐𝑐och 𝛾𝑐 är partialkoefficienter som beaktar olikheter i tvärsnittet (Swedish Standards Institute, 2008).

Dimensionerande draghållfastheten, 𝑓𝑐𝑡𝑑, beräknas i brottgränstillstånd med ekvation (2) enligt EK2 där

𝑓𝑐𝑡𝑘,005 är betongen karakteristiskt axiella draghållfasthet.

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝛼𝑐𝑡𝑓𝑐𝑡𝑘,005

𝛾𝑐 (2)

Dimensionerande draghållfasthet hos armeringen i brottgränstillstånd beräknas med hjälp av ekvation (3)

enligt EK2 där 𝑓𝑦𝑘 är stålets karakteristiska flytgräns och 𝛾𝑠 partialkoefficient för stålet.

𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠 (3)

Beräkningar av betongkonstruktioner kräver en medvetenhet hos konstruktören, det är viktigt med en förståelse av hur geometrin fungerar samt påverkar beteendet i elementet (Beery & Narayanan, 2009). Genom olika analyser kan stabilitet, utbredning av interna krafter och moment fastställas i elementet vilket ger en överblick över konstruktionens beteende. Beroende på utformning och lastkombinationer efter-

frågas olika analysmetoder (a.a.):

● Elastisk analys

● Elastisk analys med begränsad omfördelning

● Plastisk analys

● Ickelinjär analys

Ovannämnda metoder, förutom plastisk analys, beräknas som en analys för hela elementet både i SLS och ULS medan plastisk analys endast beräknas i ULS (Beery & Narayanan, 2009).

Ett bärverk som belastas momentant kan utsättas för plastiska eller elastiska deformationer (Burström, 2006). Vid belastning av ett bärverk utsätts materialet i konstruktionen för spänningar, spänningarna består av ansträngningar i materialet som uppkommer av lasten. Vid låga spänningar, där atomerna i materialet förskjuts i förhållande till varandra men den kemiska bindningen emellan dem bibehålls, uppstår elastisk

20

deformation. När lasten sedan tas bort, och spänningarna försvinner, återgår atomerna till sitt ursprungs-

läge och materialet återgår till sin ursprungliga form. Belastas ett bärverk med en hög last så att stora spänningar uppkommer förskjuts atomerna så pass mycket i förhållande till varandra att de kemiska bind-ningarna emellan dem bryts. När den kemiska bindningen bryts tappar materialet sin förmåga att gå till-baka till sin ursprungsform även efter att bärverket lastats av, detta är plastisk deformation (a.a.).

En plastisk analys kan utföras på två olika sätt antingen med den undre eller övre teorin även kallat statisk analys eller kinematiks teori (fib, Model Code 2010, Volume 2, 2010b). En förutsättning för att tillämpa någon av det ovanstående metoderna är att duktiliteten i en tvärsektion är tillräckligt stor så att den tänkta mekaniken i elementet kan uppkomma. Den undre teorin bestäms fördelaktigt med hjälp av fackverks-metoden medan den övre med hjälp av rotationskapaciteten (a.a.).

Ickelinjär analys uppkommer när töjningen i elementet inte fördelar sig linjärt (Beery & Narayanan, 2009). I konstruktioner där detta fenomen uppkommer bör konstruktionen kontrolleras genom att delas upp i mindre elementet och beräknas var för sig, en vanligt förekommande metod för detta är fackverks-modellen (a.a.). Betongkonstruktioner kan delas in i olika typer av zoner som beror på spänningsfördel-ningen i elementet (Xia, Langelaar, & Hendriks, 2020). Det två främsta regionerna är så kallade B-zoner och D-zoner, där B-zonen är områden som består av linjär spänningsfördelning och D-zoner är områden med ickelinjära spänningszoner. B-zonerna beräknas vanligtvis med Bernoullis balkteori vilken tillämpas på vanliga balkar med elastisk analys medan de ickelinjära områdena som även kallas diskontinuitetszoner kräver en djupare analys. Fenomenet som uppstår i diskontinuitetsområdena är komplext viket har bidra-git till att det i dagens normer endast finns begränsad information om hur dessa områden ska dimension-eras. Fackverksmetoden är en accepterad metod för beräkning av diskontinuitetszoner (a.a.).

2.3 Fackverksanalogi

Generellt kan betongelement delas upp i två översiktliga modeller vid dimensionering, en när töjningen i elementet är linjär och en när töjningen är ickelinjär (Dahlgren & Svensson, 2013). Den icke-linjära

töjningen kan uppstå när ett element ändrar form eller belastas av en last. Idag är den effektivaste metoden att beräkna och dimensionera bärverk med ickelinjär töjning fackverksanalogi. Metoden går generellt ut på att utifrån sprickor i elementet identifiera tryckt betong som agerar tryckta stag, och armeringsjärn som agerar dragstag (a.a.).

Fackverksmodellen ska representera flödet av spänningar i konstruktionen genom att bära upp lasten och fördela om den till stöden (Xia, Langelaar, & Hendriks, 2020). Metoden ska motsvara en förenklad modell och illustration över hur spänningarna fördelar sig i en konstruktion (Birrcher, o.a., 2009). Tryckspän-ningarna i bärverket tas upp av betongen som verkar som tryckstag medan dragspänningarna tas upp av armeringen som verkar som dragstag. Ett fackverk binds ihop med hjälp av noder i de punkter där drag- och tryckstag möts. Dessa tre element är det som utgör fackverksmodellen och bör dimensioneras för att kunna bära den dimensionerande lasten (a.a.).

Metoden bygger på den nedre gränsen av plasticitetssteorin vilket medför att dimensionering med fack-

verksanalogi alltid ger en lägre kapacitet än vad konstruktionen egentligen klarar av, dimensioneringen är därför på säkra sidan (Birrcher, o.a., 2009). För att en modell baserat på fackverk ska vara säker bör modellen ha tillräckligt stor deformationsförmåga för att omfördela krafterna i det antagna fackverket. Spänningarna som uppstår på grund av lasten får inte överskrida flytgränsen eller plasticitetskapaciteten. Om statiken i konstruktionen uppfylls och inget av materialen flyter så är den uppskattade styrkan hos fackverksmodellen mindre eller lika den faktiska kapaciteten hos konstruktionen (a.a.).

Vanligaste brotten som uppkommer i ett element som dimensionerats med hjälp av fackverksmodellen är kross av betongen i upplag eller i en nod, att dragspänningarna är så stora att armeringen i dragstagen börjar flyta eller att förankringen av armeringen går sönder (Birrcher, o.a., 2009).

Fackverksmodellen är ett verktyg som går att använda på många olika sätt, resultatet av hur fackverksmo-dellen antas kan variera i evigheter beroende på konstruktören (Birrcher, o.a., 2009). Modellen är till-lämpningsbar för de olika fallen så länge fackverket uppfyller kraven på jämnvikt och stabilitet. Valfriheten kan dock i vissa fall ställa till det, eftersom vissa lösningar kan anses vara bättre än andra även om de andra

21

är tillämpningsbara. Som regel är de till fördel att börja med att identifiera och definiera krafterna i stöd-

reaktionerna för att sedan använda sig av någon typ av linjärelastiska analys för att identifiera krafter och spänningsflödet inom konstruktionen. Analysen används sedan som grund för framtagandet av fackverket. Tryck- och dragstagen placeras ut med hjälp av det framtagna fackverket och spänningsfördelningen i konstruktionen (a.a.).

2.3.1 Kraftlinjemetod

Kraftlinjer är ett förenklat sätt att visa spänningsfördelningen i en belastad betongkonstruktion (Betong-föreningen, 2010). På ett förenklat sätt läggs linjer in, som visar spänningsfördelningen, i elementets olika delar. Kraftlinjen sammanfogar verksam last med motsvarande reaktion och utgör resultanten av spän-ningsfältet. För att undvika överförenklingar bör spänningsfält i vissa element delas upp för att erhålla lämpliga kraftlinjer. Ett exempel på detta kan ses i Figur 2a, där spänningen i elementet fördelar sig likt de tunnare linjerna, som en flaska, och kraftlinjen överförenklas med ett rakt streck (tjock linje). Den raka kraftlinjen ger inte en rättvis bild av hur spänningen fördelar sig i verkligheten och blir därför oanvändbar. I Figur 2b har spänningszonerna delats upp i två delar, elementet delas i mitten, och två kraftlinjer ritas in, en i varje del. Delningen av elementet tillsammans med det två kraftlinjerna representerar spännings-zonerna med ett rättvisare resultat (a.a.).

Figur 2 Illustration av kraftlinjer; a, modell som förenklats för mycket, b, kraftlinjer som återspeg-lar spänningsfälten på ett förenklat sätt (Betongföreningen, 2010).

En konstruktion som lämpligtvis ska analyseras med kraftlinjer kan se olika ut sett till geometri, last och uppslagsformer. För att möjliggöra inritningen av kraftlinjer i dessa konstruktioner bör elementet delas upp i delar (Betongföreningen, 2010). Där tvärkraften i elementet är noll införts teoretiska snitt som delar elementet tillsammans med lasten. Indelningen gör det möjligt att analysera hur mycket last som tas upp i varje stöd. Ett statiskt bestämt element tillsammans med ett specifikt lastfall har en unik lösning på indelningen. Spänningsfördelningen i varje del ritas in som en lätt svängd kurva mellan ”kanten” av lasten och stödet. Efter lastindelningen kan spänningsfältet behöva delas upp ytterligare för en korrekt inritning av kraftlinjerna (a.a.), lika som i Figur 2.

Figur 3 visar indelning av ett element med två stöd, där ett snitt läggs till för att dela lasten och införa spänningsfälten. I a, ses en överförenklad skiss medan b, visas en skiss som är tillämpningsbar.

22

Figur 3 Illustration av lastuppdelning och kraftlinjer; a, Överförenklad modell, b, modell som de-las upp i delar för att återspegla lämplig indelning av kraftlinjer (Betongföreningen, 2010).

En kraftlinje kan ändra riktning om den påverkas av tvärgående krafter, i form av både inre och yttre krafter (Betongföreningen, 2010). Om inga yttre krafter läggs på elementet, balanseras de inre krafterna mellan kraftlinjerna och jämnar ut varandra. De inre krafterna kan uppstå som koncentrerad eller utbredd kraft beroende på utformningen av kraftlinjerna. En skarp böj i kraftlinjen ger en koncentrerad kraft medan en mjuk böj ger en utbredd last längst med böjen (a.a.), vilket visas i Figur 4.

Figur 4 Illustration av fördelning av inre tvärgående kraft mellan kraftlinjerna (Betongföreningen, 2010).

Vid inritning av kraftlinjer bör nedanstående steg beaktas och tillämpas (Betongföreningen, 2010):

1. Beräkna läget där tvärkraften är noll och rita in lastdelaren. Identifiera vilken last som hör ihop

med vilket stöd och dela eventuellt upp spänningsfält. 2. Rita en grov skiss på fördelningen av spänningen, att tänka på:

a. Spänningarna är parallella med last- och stödreaktionerna i diskontinuitetszonerna. b. Vid utbredd last eller stöd ska spänningsfältet ha samma bredd. c. Vid koncentrerad last börjar spänningsfältet på den bredden och sprids ut vidare upp i

elementet. 3. Kraftlinjer som motsvarar resultanten av spänningsfältet ritas in. Om det är nödvändigt, dela upp

fältet i delar för att erhålla en korrekt lösning. 4. Kontrollera att överförenklade lösningar inte finns med, att kraftlinjerna motsvarar spänningsfältens

resultant. Till exempel bör flaskformade spänningsfält, likt Figur 2 och Figur 3, innehålla minst två kraftlinjer.

5. Bestämma tvärgående krafter som behövs för att ändra riktningen på kraftlinjen. 6. Kraftlinjerna får inte korsa varandra.

23

7. Kraftlinjen ska vara kraftigt böjd nära en koncentrerad last i annat fall ändras kraftlinjen riktning

med en mjuk böj.

Kraftlinjerna tas fram i syftet att kunna vidareförenkla strukturen till ett fackverk för att underlätta beräk-ningar med hjälp av fackverksmetoden (Betongföreningen, 2010).

2.3.2 Fackverksmetod

Som första steg tas kraftlinjer fram i syftet att identifiera fördelningen av spänningar i konstruktionen (Betongföreningen, 2010). Där kraftlinjen ändrar riktning införs noder och mellan dessa ritas raka drag- eller tryckstag in så att jämvikt i systemet uppnås och ett fackverk bildas. Dragstag markeras med heldragna linjer och trycksträvor med streckade linjer, Figur 5 visar ett exempel på ett inritat fackverk från kraftlin-jerna som illustrerats i Figur 4. Stagen ritas in både längst med kraftlinjerna och längst riktningen efter de tvärgående krafterna (a.a.).

Figur 5 Inritning av fackverksmodell från kraftlinjer i Figur 4 (Betongföreningen, 2010).

Jämvikt i fackverket kontrolleras genom att studera varje nod för sig och kontrollera att krafterna stämmer, sedan kan beräkningarna fortsätta (Betongföreningen, 2010). För att erhålla jämnvikt är det viktigt att noderna placeras ut rätt i förhållande till stödreaktionerna. Till exempel när ett spänningsfält delas upp i olika delar så att det finns två kraftlinjer i ett stöd, då ska det även finnas två noder, en i varje böj efter respektive kraftlinje. Stödreaktionen delas upp i delar och verkar med den kraft som är representerad för respektive del (a.a.).

För att undvika onödigt stora och extrema fackverksmodeller finns ett antal rekommenderade tillämp-

ningsregler gällande bestämning av geometrin (Betongföreningen, 2010):

● Vinkeln ut från en parallell linje dragen från last/stöd bör vara 30º dock ej över 45º

● Vinkel mellan trycksträva och dragstag i en riktning, bör vara 60º, inte mindre än 45º och inte större än 70º

● Vinklarna mellan trycksträva och dragstag åt två håll (vinkelräta). Där bör ena vinkeln vara 45º och ingen av vinklarna bör vara mindre än 30º

● Tillämpningsreglerna bör prioriteras så att de trycksträvorna med störst belastning upp-fyller kraven

En konstruktion där de yttre krafterna inte kan bestämmas enbart med hjälp av jämnviktsekvationer är statisk obestämd (Betongföreningen, 2010). Konstruktionen kan även vara statisk obestämd i den inre spänningsfördelningen och bestämd till det yttre. När spänningsfördelningen är obestämd krävs att fler

24

villkor än jämnvikt ställs upp, till exempel deformationsvillkor. I diskontinuitetszoner kan detta bli pro-

blematiskt och fackverksmetoden är lämplig att använda sig av för att undvika detta. Kraftfördelningen i diskontinuitetszoner är alltid statiskt obestämd vilket betyder att ingen unik lösning existerar utan resul-tatet varierar bland annat beroende på val av vinklar. En specifik brottlast kan bäras upp på många olika sätt beroende på val konstruktören gör under dimensioneringen. Vid dimensionering bestäms hur kon-struktionen fördelar och bär upp lasten, de kan därför finns många olika fackverksmodeller som uppfyller ställda villkor (a.a.).

Även om det finns många olika modeller som uppfyller ställda villkor kan vissa vara mer optimala än andra. Vid val av fackverksmodell är nedanstående punkter bra att ta hänsyn till (Betongföreningen, 2010):

● Utformningen av armering bör vara så enkel och praktisk som möjligt, den bör vara rak och inte sned eller böjd.

● En modell med så få trycksträvor och dragstag som möjligt bör i första hand väljas.

● Minimera antalet dragstag, lasten bärs fördelaktingen främst upp genom tryck. Att föredra är

att minimera den totala töjningsenergin i konstruktionen.

Tryckstagen har tidigare ritats in som raka streck men kommer i verkligheten att variera i storlek och form beroende på läget i konstruktionen (Birrcher, o.a., 2009). Det beror på att tryckspänningarna sprider ut sig i sidled i betongen allt längre ifrån kraften (a.a.). Generellt sker fördelningen likt Figur 6 där spän-ningarna fördelas ut allt efter kraften (som de heldragna böjda blå linjerna). I de flesta fallen förenklas dimensioneringen av fackverksmodellen genom att fördelningen av spänningarna försummas och antas vara en ”rak” sträva likt det streckade linjerna i Figur 6.

Figur 6 Illustration av fördelning av tryckspänningar och utbredning av betongens tryckstag.

Den utbredda spänningen ger upphov till dragspänningar vinkelrät mot fördelningen av trycksträvan vil-ket bidrar till sprickor längst med strävan (Birrcher, o.a., 2009). Dessa sprickor bör ses som kritiska då de kan leda till bott vid lägre last än vad som antagits. För att undvika dessa sprickor kan vertikal armering med fördel användas (a.a.).

Dragstagen i fackverket kommer vid dimensionering att bestå av armering som klarar av att ta upp drag-spänningar som beräknats uppstå (Birrcher, o.a., 2009). Armeringen placeras ut i bärverket i samma läge som dragstaget antagits verka, och dimensioneras för att ta upp dimensionerande dragspänningar. Täck-ande betongskikt, avstånd mellan armeringen och försäkringslängd är de faktorer som begränsar och på-verkar resultatet (a.a.)

25

Noder visas i fackverksmodellen som en punkt men består i verkligheten av zoner där trycksträvan och

dragstagen överlappar varandra (Birrcher, o.a., 2009). Skjuvkrafter i noden bör undvikas genom att spän-ningarna är lika på alla ytor som gränsar mot noden, en hydrostatisk nod. När spänningarna inte är jämnt fördelade över ytorna, icke-hydrostatisk nod, uppstår skjuvspänningar inom noden se Figur 7.

Figur 7 Fördelning av spänning inom noder, hydrostatisk och icke-hydrostatisk nod (Brown, o.a., 2006).

Det två fallen är förenklingar av hur noderna beter sig i verkligheten, detta för att underlätta och möjlig-göra för beräkningar av fackverksmodellen (Birrcher, o.a., 2009).

Tvärkrafterna i en konstruktion fördelas olika beroende på om betongen är hel eller uppsprucken (Be-tongföreningen, 2010). I den ospruckna betongen bärs tvärkraften i vertikalled upp av tryck och spän-ningar, de horisontella spänningarna verkar i motsatt riktning och balanserar därför upp varandra. Då betongen spricker fördelas istället den vertikala tvärkraften via sneda trycksträvor och den horisontella kraften fördelas genom drag i armeringen (a.a.).

2.4 Höga balkar

En hög betongbalk är ett element som till största del domineras av skjuvdeformationer vilket ställer andra

krav på dimensionering än de som ställs på en ”vanlig balk” (Birrcher, o.a., 2009). En ”vanlig balk” dimensioneras och armeras för att motstå böj- och skjuvkrafter under förutsättningar att spänningen i tvärsnittet kan antas vara linjär. Antagandet att en plan sektion i en konstruktionsdel förblir plan efter belastning är ett av de mekaniska villkoren som antas för en ”vanlig balk”, och möjliggör för dimension-ering med Bernoullis teori. När en plan sektion antas förbli plan och spänningen antas vara linjär kan den inre spänningen erhållas från sektionskrafter före och efter betongen spricker. För en hög balk är förhål-landet mellan längden och höjden så liten att ickelinjära skjuvspänningar dominerar i elementet vilket medför att Bernoullius hypotes inte är tillämpningsbar (a.a.).

Kvoten mellan spännvidden L och höjden H är det som definierar om en balk räknas som en hög balk eller ej. EK 2 definierar en hög balk om kvoten L/H är mindre eller lika med tre. När kvoten minskar ökar tvärkraften vilket betyder att en hög balk beter sig annorlunda i förhållande till en ”vanlig balk” (Gu, Jin, & Zhou, 2016). När kvoten minskar övergår brottmoden för balken från skjuv-tryck till ett ökat rent tryck och bidraget från betongens skjuvkapacitet ökar gradvis. Armeringens bidrag varierar beroende på

kvoten mellan spännvidd L och höjd H, vid en låg kvot L/H är vertikal armering mer verksam och vid

26

en hög kvot dominerar den horisontella. Armeringen ger ett begränsat bidrag till skjuvmotståndet. Bidra-

get från både de vertikala och horisontella skjuvarmeringen är begränsad, därför bör skjuvkapaciteten främst uppfyllas genom att justera tvärsnitt och betongklass på balken(a.a.).

Från olika tester och numeriska analyser baserat på elastisk mekanik erhålls en spänningsfördelning i en hög balk som visar hur tryck och drag fördelas. I Figur 8 a, visar de heldragna linjerna dragspänningar, där maxspänningen nästan är helt parallell med botten av balken, och det sträckande linjen visar tryck-spänningar som koncentrerar sig under lasten och breder ut sig mot stöden (Gu, Jin, & Zhou, 2016). Töjningen är inte linjär efter planet utan varierar vilket illustreras i Figur 8b.

Figur 8 Illustration av spänningsfördelning i en hög punktbelastad balk. a, spänningsfördelning b, Töjningsfördelning (Gu, Jin, & Zhou, 2016).

När den maximala dragspänningen blir högre än vad betongen klarar av kommer sprickor att uppstå (Gu, Jin, & Zhou, 2016). Första sprickan kan antas uppstå i underkant och leta sig uppåt i mitten av balken. När första sprickan identifieras ligger lasten generellt mellan en tredjedel till hälften av brottlasten, när

lasten sedan ökar kommer fler och fler sprickor att uppstå, likt Figur 9. Efter den första sprickan ändras förutsättningarna för balkens dimensionerande egenskaper ”balk mekanismen ” försvagas men ”valvver-kan” ökar (a.a.).

Figur 9 Brottmoder av punktlaster på en hög balk a, en koncentrerad last. b, Två koncentrerade laster (Gu, Jin, & Zhou, 2016).

Valvverkan fungerar som en samverkan mellan armeringen i botten som håller ihop ”bågen” av tryckt betong, det streckade linjerna i Figur 9 (Gu, Jin, & Zhou, 2016). Beroende på hur armeringen i botten är utformad och dimensionerad kan två olika brottsformer ske när balken lastas till sin maxlast. Om ar-meringsmängden är liten kommer böjbrott att ske eftersom armeringen i sprickorna kommer att flyta, är det däremot stor mängd armering kommer betongen i bågen att krossas innan armeringen i botten hinner nå sin flytgräns (a.a.).

27

En ökande last påförd en hög balk kommer att påverka balkens beteende i avseende på hur den bär upp

och fördelar ut lasten (Betongföreningen, 2010). Vid en låg last och osprucken betong är spänningarna och deformationen linjär i förhållande till lasten, balken beter sig linjärt och fördelningen av spänningen i balken kan erhållas genom linjärelastisk analys av ett homogent material. Detta eftersom armeringen har en obetydlig inverkan. När lasten ökar utsätts betongen för större drag i nederkant, vid tillräckligt stor last kommer betongens hållfasthet att överskridas och sprickor kommer att uppstå. Allt eftersom betongen spricker upp kommer balkens egenskaper att förändras, och lasten kommer att bäras upp annorlunda samtidigt som spänningen inte längre beter sig linjärt. Armeringen kommer att få en allt större inverkan, och i de uppspruckna delarna kommer armeringen vara avgörande för styvheten (a.a.).

Ett lämpligt fackverk måste bestämmas vid dimensionering av en hög balk, där den tryckta betongen blir stag som förankras med hjälp av armeringen för att föra lasten ut till stöden (Mosley, Bungey, & Hulse, 2012). Enligt Mosley, et al. (2012) måste konstruktören försäkra sig om att fackverket är rätt orienterat i förhållande till den troliga spänningsriktningen. Utformningen kommer att bero på erfarenheten och känslan hos konstruktören. Vidare kontrolleras krafterna i betongen och armeringen med hjälp av jämvikt

och jämförs med den dimensionerande hållfastheten för respektive material. Kontrollen utförs för att säkerställa att den höga balken håller. I noderna, de punkter där stag går ihop, kontrolleras både betongen och armeringen. Betongen kontrolleras mot krossning och armeringen kontrolleras mot förankringsvill-koren (a.a.).

2.4.1 Kontinuerlig hög balk

Kontinuerliga balkar är upplagda på fler än två stöd och fortsätter över innerstöden fram till dess ändstöd (Betongföreningen, 2010). En kontinuerlig balk är statiskt obestämd där lasten fördelas ut mellan och över stöd i förhållande till balkens styvhet. Balken är statiskt obestämd i det yttre, dvs den har för många okända parametrar, vilket bidrar till att den är svårdimensionerad. Som ett första steg vid beräkningen av en kontinuerlig balk bör därför en statisk obestämd parameter bestämmas (a.a.).

Generellt kan det vara enklast att börja med att anta att balken har en kraftfördelning som liknar den linjärelastiska analysen (Betongföreningen, 2010). I en hög balk kan dock en linjärelastisk momentfördel-ning skilja sig drastiskt från den verkliga fördelningen. Den linjärelastiska analysen med balkteorin antar att böjstyvheten är konstant, vilket inte alltid är sant för en hög balk. Att böjstyvheten inte är konstant beror på att skjuvdeformationerna i en hög balk inte kan försummas som i en ”vanlig balk”. Det är generellt svårt att i förväg säga hur kraften kommer att fördela sig i den kontinuerligt höga balken, men oftast blir fältmomenten större och stödmomenten mindre hos höga balkar jämfört med en ”vanlig balk”. Linjärelastisk kraftfördelning i en hög balk är en ”påhittad” fördelning som på ett enkelt sätt ska illustrera den verkliga fördelningen som succesivt påverkas av sprickbildning. En hög balk har därför en viss för-måga att anpassa sig till förändrade randvillkor, till exempel kan mycket små deformationer vara tillräckligt för att anpassa sig till den fördelning som antagits. En slutsats som kan dras från detta är att det i många fall inte är nödvändigt att göra en alltför noggrann kraftfördelning och bestämning av den inre hävarmen hos en hög balk. Det är av större vikt att dimensionera den höga balken med hjälp av jämviktsvillkor och

modeller för att ge balken ett segt brott, kraftfördelningen som antagits bör uppnås (a.a.).

Armeringen i dragstaget är av mindre betydelse i brottgränstillstånd vilket medför att den inre hävarmen kan bestämmas relativt fritt (Betongföreningen, 2010). Mängden armering i dragstagen kan däremot vara av större betydelse i bruksgränstillstånd vid beaktande av sprickor och dess krav. Det är viktigt att komma ihåg att det vid stödkonstruktioner eller upplag kan uppstå kritiska brott, så kallat spröda brott. Om den verkliga kraftfördelningen avviker från den som antagits i brottgränstillstånd kan dessa områden, där sprött brott kan uppstå, bli kritiska. Det kan därför vara till fördel att dimensionera de kritiska punkterna för en antagen ökad storlek på upplagsreaktionerna. BBK:s anvisningar om dimensionerande stödreaktioner kan anses vara en lämplig modell att utgå från för att erhålla en uppskattning på storleken av dimensionerande upplag (a.a.).

28

2.4.2 Placering av armering

Armeringen i dragstaget bör om möjligt placeras i flera lager för att ge en större bredd på noderna för att i sin tur generera en gynnsammare spännings- och tryckfördelning (Betongföreningen, 2010). Om arme-ringsjärnet inte kan dras genom hela noden och förankras bakom bör det i största möjliga mån undvikas att placera armeringen i endast ett lager (a.a.). Model Code rekommenderar att dragarmeringen placeras jämnt inom en höjd motsvarande det minsta av 12 % av totala höjden eller spännvidden i studerat span.

Armeringen över stöd möjliggör för en riktningsändring hos kraften som kommer från den sneda tryck-strävan, och måste därför placeras omlott med trycksträvan (Betongföreningen, 2010). Dragstaget kan därför inte placeras i angränsande bjälklag om inte samverkan mellan bjälklaget och den höga balken kan säkerhetsställas till fullo. Förankringen av järnen är därför av största vikt. När tillräckligt förankringslängd inte finns att tillgå kan dragstaget behövas förankras med hjälp av U-formade armeringsslingor, förank-ringsplattor eller bockning av järnet (a.a.).

Dragstag som uppkommer i utbredda spänningsfält bör armeras med armeringsjärn som är jämnt fördelade över ett område som motsvarar den inre hävarmen (Betongföreningen, 2010). Dragstagen i det utbredda spänningsfältet utgörs i de allra flesta fall av stödarmering. Stödarmeringen bör ha en minsta längd som motsvarar längden mellan lastdelarna, dvs. där tvärkraften är noll. Dragkraften i stödarmeringen växer oftast till allt eftersom fler kraftkomponenter avleds, generellt är det därför i många fall tillräckligt att endast armera med minimiarmeringen och skippa den extra stödarmeringen (a.a.).

2.5 Eurokod 2 och EKS

En hög balk definieras enlig EK2 5.3.1(3) som en bärverksdel med en spännvidd som är 3 gånger mindre än tvärsnittshöjden, enligt def (4):

𝐿

ℎ ≤ 3

(4)

I enlighet med EK2 kap. 5.6.4(5) kan en fackverksmodell med kraftlinjer användas vid dimensionering av höga balkar. Vidare är det även tillåtet att använda sig av ickelinjära FEM analyser som kan anses stämma med teorin.

Minimiarmering återfinns i EK2 9.7, en hög balk bör normalt dimensioneras med rutarmering längst

samtliga ytor med en minsta tvärsnittsarea, 𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛, samt ett maximalt centrumavstånd mellan järnen.

Centrumavståndet ges av det mindre avståndet, skivans dubbla tjocklek eller 300 mm. Enligt den nation-

ella bilagan EKS 11 ska 𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 sättas till det rekommenderade värdena enligt EK2 till 0,1% men minst

150 mm2/m i varje yta och riktning. Syftet med minimiarmeringen är att fördela uppkomsten av sprickor i den dragna zonen, fördela om koncentrerade krafter i tvärled samt hålla ihop skivan trots sprickor (Be-tongföreningen, 2010). Om lasterna kan föras över direkt till stöden genom tryck då spänningen i fält blir lutande krävs ingen tvärkraftsarmering. Blir däremot vinkeln för liten mellan den sneda trycksträvan och dragstaget bör tvärkraftsarmering användas och dimensioneras med hjälp av fackverksmodellen och tvär-kraftsarmeringen måste dimensioneras för hela tvärkraften (a.a.)

Det kan uppstå svåra böjsprickor nära dragstaget om stora dragspänningar uppstår, så även om dragstaget är kontrollerat mot tillåten sprickbredd kan vidare kontroll krävas (Betongföreningen, 2010). Om drag-spänningarna i bruksskedet bedöms vara så stora att det orsakar problem bör minimiarmeringen kontrol-leras mot kraven för sprickfördelning i EK2 7.3.2 (a.a.).

Vid en koncentrerad last går trycksträvor mellan koncentrerade noder mellan belastningen och upplagen, kraften i strävorna sprider ut sig i längdled mellan noderna som ger dragspänningar tvärs strävan och ger en risk för spjälksprickor, hur dragkrafterna fördelas kan ses i Figur 10 (Betongföreningen, 2010).

29

Figur 10 Illustration över fördelning av koncentrerad last mellan trycksträvor och noder samt para-metrar för dragkrafter i tvärled (SIS, 2008).

Enligt EK2 9.7 (3) ska dragstagen vara förankrade i jämvikt i noderna, om inte förankringslängden 𝑙𝑏𝑑 ryms inom noderna så krävs bockning, U-slingor eller andra speciella förankringar. Vidare ska förankring av armeringen i tryck-/drag-noder utföras enligt EK2 6.5.4(7) och förankras vid nodens början. Förank-

ringslängden bör sträcka sig genom hela noden eller i vissa fall genom hela och förankras bortom noden. Den dimensionerande förankringslängden beräknas enligt 8.4.

2.6 BBK 04

Avsnitt 6.6 Skivor i BBK 04 definierar skivor vars laster verkar i samma plan som skivans riktning. Med beaktande av de statiska verkningssätten behandlar detta kapitel fallen som presenteras i Figur 11, höga balkar samt horisontalstödd skiva (a.a.).

Figur 11 Illustration av skivor enligt BBK 04; a, exempel på hög balk. b, Exempel på horisontal-stödd skiva (Boverket., 2004).

En hög balk är enligt BBK 04 en balk som är upplagd på två eller fler stöd och uppfyller villkoret nedan ekv. (5) :

30

𝑀0

ℎ𝑉0 ≤ 1,5 (5)

där 𝑀0 är maximalt böjande moment i studerat spann, 𝑉0 är den största tvärkraften vid upplag, med

förutsättning att balken är fritt upplagd över stöd och h är den totala höjden på balken.

En hög balk anses vara extra känslig för stödförskjutningar vilket bör tas i beaktning vid dimensionering av stödreaktioner och kraftfördelningen i elementet (Boverket., 2004). Stödförskjutning bör ses som en stor osäkerhet vid dimensionering och för att säkerhetsställa konstruktionens beständighet är det av största vikt att utföra dimensioneringen av stödförskjutningen med marginal enligt BBK 04 (a.a.).

Krafter och moment beräknas på samma sätt som för en vanlig balk men hänsyn till förväntade stödför-skjutningar (Boverket., 2004). Det dimensionerande momentet över stöd är det beräknade momentet. Dimensionerande fältmoment är momentet i fält när det negativa stödmomentet är halverat eller när det positiva stödmomentet är maximalt. Upplagsreaktionen bör ökas med 10% för att erhålla den dimension-

erande upplagsreaktionen. Och den dimensionerande tvärkraften antas vara lika den beräknade (a.a.).

Armeringen i fält vars syfte är att ta emot krafterna som uppstår vid böjning, den så kallade böjarmeringen beräknas med ekvation (6) enligt BBK 04.

𝐴𝑠𝑓 =𝑀𝑓

𝑧𝑓𝑓𝑠𝑡 (6)

där, enligt BBK 04, 𝑀𝑓 är dimensionerande fältmoment och 𝑧𝑓 är den inre hävarmen i balken. Den inre

hävarmen är avståndet mellan tryckresultaten och fältarmeringens tyngdpunkt. 𝑓𝑠𝑡 är den dimension-

erande draghållfastheten hos armeringen (Boverket., 2004).

Den inre hävarmen beror på balkens egenskaper samt hur lasten angriper bärverket (Boverket., 2004).

Hur lasten angriper balken bör tas i beaktning vid beräkning av den inre hävarmen, 𝑧𝑓, för balkar där

𝑀0/(ℎ𝑓𝑉0) < 1 med ett lastangrepp i överkant beräknas ekvation (7)

𝑧𝑓 = (0,65 + 0,2𝑀0

ℎ𝑓𝑉0) 𝑑

(7)

där d är avståndet från armeringens tyngdpunkt till överkant av verksam höjd, ℎ𝑓 är verksam höjd i fält,

𝑀0 och 𝑉0 är största böjande moment i spann respektive största tvärkraft vid upplaget.

Den inre hävarmen för balkar 𝑀0/(ℎ𝑓𝑉0) ≥ 1 beräknas:

𝑧𝑓 = 0,85𝑑 (8)

Böjarmeringen i fält ska fördelas i den nedre delen av balken, inom en fjärdedel av den verksamma höjden (Boverket., 2004). Armeringen förankras eller skarvas genom att låta järnen löpa över stödet in i nästa fält. I ändarna av balken ska böjarmeringen förankras. För att avslutningen av armeringen i ändupplagen ska vara godkänd enligt BBK 04 ska armeringen gå över centrum av upplaget och sedan vidare minst en skarvlängd, dock alltid fram till upplagets bortre kant. Är ändupplaget för litet för att rymma en skarvlängd kan armeringen förses med ändankare eller bockas (Boverket., 2004).

Över stöd krävs böjarmering i balken som fördelas ut jämnt i höjd mellan 0,25𝑙𝑚 och ℎ𝑠 (Boverket., 2004). I Figur 12 visas ett exempel på en hög balk med stödarmenig över innerstöd. Där a) i figuren visar

ett exempel där totala höjden är större än 𝑙𝑚 och b) i figuren visar ett exempel där den totala höjden är

mindre än 𝑙𝑚. I figur b, dras järnen ut i minst en förankringslängd utanför lastresultanten och kräver en

minsta längd som uppfyller kraven i avsnitt 3.9.2 (a.a.).

31

Figur 12 Exempel på böjarmeringen över stöd samt hur den fördelas över höjden (Boverket., 2004).

Armeringsmängden ovan stöd beräknas för tryckresultaten mellan stöd och balk (Boverket., 2004). Re-

sultanten av trycket antag verka 0,1ℎ𝑠 över underkanten och dimensionerande armeringsmängd över stöd beräknas med ekvation (9) (a.a.).

𝐴𝑠𝑠 =𝑀𝑠

𝑧𝑠𝑓𝑠𝑡

(9)

där 𝑀𝑠 där dimensionerande fältmoment, 𝑓𝑠𝑡 är den dimensionerande draghållfastheten hos armeringen

och 𝑧𝑠 är den inre hävarmen över stöd (Boverket., 2004) och beräknas med ekvation (10).

𝑧𝑠 = 0,4ℎ𝑠 + 0,125𝑙𝑚 (10)

Utöver böjarmeringen i fält och över stöd så ska balken dimensioneras med en horisontalarmering som

läggs in i hela facket över hela höjden (Boverket., 2004). Om 𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 ≥ 𝑡ℎ𝑓𝑓𝑐𝑡 så krävs den övriga

armeringen; i övrigt fall kan den försummas. Om villkoret uppfylls och horisontalarmering erfordras be-räknas armeringsinnehållet med ekvation (11).

𝜌ℎ ≥𝑓𝑐𝑡

𝑓𝑠𝑡

(11)

Om 𝑀0 ≥ 0,5𝑡ℎ𝑓2𝑓𝑐𝑡 för en hög balk upplagd på två stöd eller ändfack hos en kontinuerlig balk ska

horisontalarmering med ett armeringsinnehåll på 2𝜌ℎ läggas in från balkens underkant upp till halva den verksamma fälthöjden (Boverket., 2004).

Vertikalarmering i balken erfordras om 𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 ≥ 𝑡ℎ𝑓𝑓𝑐𝑡 i annat fall behövs ingen vertikal armering.

Erfordras vertikal armering ska denna placeras ut i hela den studerade delen och över hela verksamma fälthöjden (Boverket., 2004). Armeringsmängden beräknas med ekvation (12).

𝜌𝑣 ≥𝑓𝑐𝑡

𝑓𝑠𝑡

(12)

32

Inom de områdena på balken där 𝑉𝑑 >𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥

3, erfordras en vertikal tilläggsarmering med armeringsinne-

hållet enligt ekvation (13).

𝜌𝑣 ≥𝑓𝑐𝑡

𝑓𝑠𝑡(

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥

𝑡ℎ𝑓𝑓𝑐𝑡−

1

2∙

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥ℎ𝑓

𝑀0)

(13)

Tvärkraften i balkens liv får inte överskrida olikheten i ekvation (14) för att undvika tryckbrott.

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,25𝑓𝑐𝑐𝑡ℎ𝑓 (14)

Samtliga upplag bör kontrollera för tryckbrott i betongen. I ytterstöd hos balken bör reaktionskraften i upplaget kontrolleras för tryckbrott i balken, upplagskaften begränsas enligt ekvation (15).

𝑅 ≤ 0,55𝜉𝑘1𝑓𝑐𝑐𝑏𝑡 (15)

Där,

𝜉 = {1,4

1,6 − 𝑡1,0

𝑓ö𝑟𝑓ö𝑟𝑓ö𝑟

𝑡 ≤ 0,2

0,2 < 𝑡 ≤ 0,6𝑡 > 0,6

(1)

För innerstöd begränsas den maximala upplagskraften enligt ekvation (17) för att förhindra att tryckbrott sker i balken.

𝑅 ≤ 0,65𝜉𝑓𝑐𝑐𝑏𝑡 (1 + 1,6ℎ1

𝑏)

(17)

2.7 ” Tests of reinforced concrete deep beams”

2.7.1 Metod för testet

Rapporten” Tests of reinforced concrete beams” av Rogowsky, MacGregor och Ong (1983) presenterar en laboratorieundersökning där armerade höga balkar provas, både enkelt upplagda balkar och kontinu-erliga balkar. Försöken utfördes vid det välutrustade laboratoriet vid University of Alberta i Edmonton, Canada, se t. ex. Elfgren (1975). Balkar med olika geometrier och armeringsinnehåll lastades till brott-gränsen för att kartlägga och identifiera hur höga balkar beter sig vid belastning. Rogowsky, et al. (1983) begränsade testerna till att studera fyra huvudparametrar; förhållandet mellan skjuvspannet och höjden, mängden vertikal armering, mängden horisontell armering och statiska förhållanden hos balken. Totalt provades 23 balkar varav 6 enkelt upplagda och resterande 17 kontinuerliga. Förhållandet mellan cent-rumlinjen hos lasten och upplagen var samma i samtliga tester. Höjden på balkarna samt bredden på lastplattan varierades för att justera förhållandet mellan skjuvspannet och höjden. Korta pelare armerades och göts samman med balken för att på ett realistiskt sätt motsvara stöd och belastning uppifrån i form av pelarlikande element. I slutet av varje pelarstump var en plåt fastsvetsad i armeringens för att undvika att alltför stora spänningar uppstår direkt i betongen. Samtliga balkar göts i samma form. Den vertikala ar-meringen hade ett täckskikt på 25 mm från kanten och den horisontella armeringen hade ett täckskikt på 35 mm för det allra flesta balkarna, med några undantag. All böjarmering i botten drogs längs med hela balken (a.a.).

Armeringen i balkarna uppfyllde kraven på armering i ASTM och/eller CSA standarder (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Den specifika sträckgränsen för armeringen var enligt Rogowsky, et al. (1983) 400 MPa, varje ny omgång stål provas dock innan användning för att notera den rätta sträckgränsen för det specifika järnet.

33

Rogowsky, et al. (1983) blandade betongen för att uppnå en hållfasthet på 30 MPa. Efter 28 dagar utfördes

tester på en cylindrisk provkropp för att dokumentera vad just den omgången av betong hade för håll-fasthet samt elasticitetsmodul (a.a.).

Rogowsky, et al. (1983) mätte last- och stödreaktioner med hjälp av lastceller vilket möjliggjorde fram-tagandet av moment- och tvärkraftsdiagram i varje laststeg. Enligt Rogowsky, et al. (1983) är det extra fördelaktigt att tillgå dessa diagram för det kontinuerliga balkarna då dessa är statiskt obestämda. Mätin-strumentet som dokumenterade lasten samt ändreaktionen hade en osäkerhet på +/- 1 kN medan instru-mentet som dokumenterade innerstöden hade en felmarginal på +/- 1,5 kN. Summan av uppmätta stö-dreaktioner låg aldrig utanför mer än 2% av lasten, för att uppfylla statisk jämnvikt justerades reaktions-krafterna för att motsvara lasten. Töjningen i armeringsjärnen samt i betongen mättes upp och dokumen-terades liksom nedböjning och sprickor i betongen (a.a.).

Lasten fördes på balken i ungefär sju steg innan brottgränsen nåddes (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Ett laststeg tog ungefär en timma att genomföra, först påfördes lasten stegvis efter det lämnades utrustningen orörd för att möjliggöra för nedböjningen och sprickorna att stabilisera sig. Efter detta no-terades data att för det laststeget, töjningen dokumenterades minst två gånger per laststeg, med ett mel-lanrum på flera minuter. Vissa tester tog mer än en arbetsdag att utföra vilket resulterade i att balken avlastades när dagen var slut för att sedan återigen belastas upp till samma last som vid avlastningen och försöket fortsatte. Varje balk belastades till brott två gånger, först som den var sedan med förstärkning med externa armeringsbyglar. Endast den första brottet kommer att studeras i denna rapport och jämföras med beräkningar och ATENA.

2.7.2 Resultat

Fyra enkelt upplagda balkar och fyra kontinuerliga balkar med olika armeringsinnehåll kommer att stu-deras vidare. Resultaten från Rogowsky, et al. (1983) presenteras nedan och kommer vidare att jämföras mot beräkningar i ATENA. Dessa två resultat kommer sedan att ligga som grund för en analys och jäm-

förelse av olika ”hand” beräkningsmetoder med avseendet (främst) på armeringsinnehåll och hur det på-verkar beteendet och hållfastheten hos balken. Balkarna numreras så att X-1.0 betecknar enkelt upplagda balkar medan X-1.1 betecknar kontinuerliga balkar. Balknumrering samt tvärsnitt för respektive studerad balk presenteras i Figur 13 och Figur 14.

Figur 13 Tvärsnitt för enkelt upplagda höga balkar, balk 1–1.0 till 4–1.0.

34

Figur 14 Tvärsnitt för kontinuerliga balkar, balk 1–1.1 och 4–1.1.

Geometrierna på balkarna presenteras i Figur 15 och Figur 16,

Figur 15 Geometri av enkelt upplagd balk (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Figur 16 Geometri av kontinuerlig balk (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Dimensionerna återfinns i Tabell 1 och tjockleken på samtliga balkar antas till 200 mm.

35

Tabell 1 Typ samt dimensioner på studerade balkar (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

BALK SPANN A [mm] B [mm] C [mm] D [mm]

1–1.0 Enkel 750 300 450 1000

2–1.0 Enkel 750 300 450 1000

3–1.0 Enkel 750 300 450 1000

4–1.0 Enkel 750 300 450 1000

1–1.1 Två 750 300 450 1000

2–1.1 Två 750 300 450 1000

3–1.1 Två 750 300 450 1000

4–1.1 Två 750 300 450 1000

Armeringsinnehållet presenteras i Tabell 2

Tabell 2 Armeringsinnehåll för respektive studerad balk (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

BALK ARMERING d [mm]

ÖK UK Vertikal Horisontell ÖK UK

1–1.0 - 6-20M - - - 950

2–1.0 2Ø6 6-20M - 4Ø6 980 950

3–1.0 - 6-20M 4Ø6 - - 950

4–1.0 2Ø6 6-20M 4Ø6 4Ø6 980 950

1–1.1 4-20M 3-20M 4Ø6 - 950 975

2–1.1 4-20M 3-20M - 4Ø6 950 975

3–1.1 4-20M 3-20M 16Ø6 - 950 975

4–1.1 4-20M 3-20M - 12Ø6 950 975

Resultatet från Rogowsky et al. (1983) dokumenteras och presenteras i rapporten ”Tests of reinforced

concrete deep beams”. Resultatet från mätutrustningen uppfyller inte de statiska förhållandena till hundra procent för alla balkar. Den påförda lasten och resultatet av stödreaktionerna kan för vissa balkar skilja sig, stödreaktionerna justeras för att uppfylla statisk jämvikt i balken (a.a.). Det justerade resultatet sammanställs i Tabell 3. Där är R1 reaktionskraften i stödet till vänster, R2 reaktionskraften i mitten och R3 reakt-ionskraften till höger. P1 är den pålagda lasten i vänster spann och P2 den pålagda lasten i höger spann. Det markerade fälten är visar var brott först skedde.

Tabell 3 Resultat i jämnvikt för studerade balkar, från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983)

Balk R1 [kN] P1 [kN] R2 [kN] P2 [kN] R3 [kN]

1–1.0 699 1397 - - 699

2–1.0 750 1500 - - 750

36

3–1.0 602 1204 - - 602

4–1.0 750 1500 - - 750

1–1.1 400 1085 1385 1082 393

2–1.1 420 1087 1330 1078 415

3–1.1 413 1286 1740 1271 405

4–1.1 461 1107 1280 1083 448

*Skuggade fält motsvarar spann där första brott sker

Deformationen i förhållande till lasten presenteras för samtliga studerade balkar i diagramform i Figur 17. Rogowsky, et al. (1983) noterade deformationen i mitten av spannet hos respektive balk, för enkelt upplagda balkar, och i mitten av det spann som först gick till brott för de kontinuerliga balkarna. Delar av deformationen som uppmäts antas enligt Rogowsky, et al. (1983) uppstå på grund av att stöden sätter sig, denna deformation kan ses i första grafen i diagrammet och kan vidare subtraheras bort ifrån deform-ationen för respektive balk för att uppnå ett så korrekt värde på nedböjningen i mitten som möjligt.

Figur 17 Graf över deformationen i förhållande till lasten för balk 1–1.0 till 2–1.1 och test, grafen är tagen från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983) med modifikation av balknummer för att

stämma överens med balkarna i denna rapport.

37

Figur 18 Graf över deformationen i förhållande till lasten för balk 3–1.1 och 4–1.1 och test, grafen är tagen från (Rogowsky, et al., 1983) med modifikation av balknummer för att stämma överens

med balkarna i denna rapport.

Nedan sammanfattas delar av resultatet som uppnåddes i Rogowsky et. al (1983). Resultatet presenteras för respektive balk som är aktuell i denna rapport. Bilder på sprickmönstret vid brott presenteras, de gråa zonerna i dessa bilder representerar kross av betong. En graf som visar brottet samt hur armeringen är placerad i balken med tillhörande mätpunkter för att mäta töjningen i armeringen presenteras i figurform nedan för respektive balk. Töjningen som mäts upp i dessa punkter presenteras ungefärligt och översiktligt i textform under respektive fall, endast maximala töjningen vid maxlasten presenteras. En illustration av hur mycket betongen trycks ihop presenteras där endas största hoptryckningen visas.

2.7.3 Balk 1–1.0

Balk 1–1.0 går till brott genom kross av betongen nära stödet vilket kan ses i Figur 19. Enligt Rogowsky, et al. (1983) uppstod brottet snabbt och våldsamt vid en konstant last, innan brott hade balken ett plastiskt beteende då armeringen överskrider sträckgränsen.

38

Figur 19 Bilder tagna från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). a, Illustration av sprickmöns-ter och kross av betong vid brott av balk 1–1.0. b, Placering av armering och mätpunkter av töj-

ningen i armering för balk 1–1.0.

Töjningen i mätpunkt 2 uppmäts till ungefär 1,70 ‰ för den ungefärliga maxlasten 1200 kN, och mät-punkt 3 till 2,1 ‰ för samma maxlast (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Rogowsky, et al. (1983) drar slutsatsen att både sprickmönstret och hoptryckningen av betongen, som kan ses i Figur 20, indikerar att det uppstår trycksträvor i betongen som går från lasten ut mot stöden.

Vidar menar Rogowsky, et al. (1983) att balken 1–1.0 uppförde sig som ett fackverk med två tryckta delar (tycksträva av betongen i riktning med hoptryckningen) och en dragen del (dragstag av armeringen i underkant). Testet visar att betongen klarade av tryckkraften lika som armeringen klarade dragkraften, i noden mellan sträva och stag blev dock deformationerna för stora för att betongen skulle hålla (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Figur 20 Höger sida visar hoptryckningen av betongen för balk 1–1.0 och vänster sida visar hop-tryckningen av betongen för balk 3–1.0, bild från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

a, b,

39

2.7.4 Balk 2–1.0

Balk 2–1.0 går till brott genom kross av betongen nära stödet vilket kan ses i Figur 21 genom att det uppstår breda och många sprickor precis intill stödet. Enligt Rogowsky et al (1983) uppnådde armeringen i botten sin sträckgräns innan brottet uppstod och därför uppstod ingen större töjning i armeringen i livet.



Töjningen i mätpunkt 2 och 3 uppgår båda till 1,7 ‰, punkt 2 vid en last på 1000 kN medan punkt 3 vid en last på 1200 kN.

Även här indikerar sprickmönstret och hoptryckningen av betongen att balken verkar om ett fackverk.

Figur 22 Höger sida visar hoptryckningen av betongen för balk 2–1.0 och vänster visar hoptryck-ningen av betongen för balk 4–1.0, bild från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983)

40

2.7.5 Balk 3–1.0

Balk 3–1.0 går till sprött brott genom kross av betongen nära den pålastade lasten samt att en relativt stor spricka spricker upp mellan lasten och stödet vilket kan ses i Figur 21. Enligt Rogowsky et al. (1983) uppnådde armeringen sin sträckgräns innan brottet uppstod. Vidare skedde brottet snabbt och våldsamt vid en konstant last även om det gick att förutse brottet genom sprickan.



Mätpunkt 1 har en töjning på 2,1 ‰ vid 1200 kN, mätpunkt 4 har en töjning på 3,7 ‰ och mätpunkt 5 har 3,3 ‰ båda för lasten 800 kN. Mätpunkt 6 har en töjning på 1,8 ‰ för lasten 1000 kN.

Liknande som för tidigare balkar drar Rogowsky et. al (1983) slutsatsen att både sprickmönstret och mönstret för hoptryckningen av betongen, som kan ses i Figur 20, indikerar att det uppstår trycksträvor i betongen som går från lasten ut mot stöden.

2.7.6 Balk 4–1.0

Balk 4–1.0 går till brott genom att betongen krossas nära upplaget (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Brottet uppstå på grund av att det uppkommer så pass stora tryckkrafter i betongen och i den ”formade” strävan att betongen inte längre klarar av trycket i noden. Brottet sker genom att betongen krossas och en rad små parallella sprickor bildas längst med sprickan som formats mellan lasten och stödet,

detta kan ses i Figur 24. Den vertikala - och långsgående armeringen når sin sträckgräns innan maxlasten är nådd vilket betyder att armeringen flyter. Den horisontella armeringen i livet hade dock inte några större töjning under pålastningen och når därför inte sträckgränsen (a.a.).

Balken deformeras plastiskt och deformationen ökar trots konstant last. Enligt Rogowsky et al. (1983) hade denna balk, med både vertikal och horisontell armering i livet, en bättre duktilitet än tidigare testade balkar.

41



Mätpunkt 1 har en töjning på 1,7 ‰ för en last på 1200 kN, mätpunkt 4 har en töjning på 2,9 ‰ för 1000 kN. Mätpunkt 5 har en töjning på 0,75 ‰ och mätpunkt 6 en töjning på 0,60 ‰ båda för lasten 1200 kN (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Liknande som för tidigare balkar dras slutsatsen att både sprickmönstret och hoptryckningen av betongen, som kan ses i Figur 22, indikerar att det uppstår trycksträvor i betongen som går från lasten ut mot stöden

(Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

2.7.7 Balk 1–1.1

Balk 1–1.1 går till brott genom att betongen i en trycksträva krossas (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Sprickan som går mellan lasten och stödet, som visar riktningen på trycksträvan, öppnar sig mer och mer i vertikalled vilket leder till att betongen separeras. Detta leder till att skjuvtrycket blir för stort så att betongen krossas närmast stödet, vilket kan ses i Figur 25. Som bilden visar är det vänster spann som går till brott först och är därmed det fall som kommer att användas vidare i denna rapport. Rogowsky et. al (1983) anser att balken har lagom duktilitet vilket kan ses i Figur 17, där huvudarmeringen flyter.

42

Figur 25 Illustration av sprickmönster och kross av betong vid brott av balk 1–1.1. Vänster sida visar första brottet vilket studeras i denna rapport, vänster sida används ej vidare. Bild från:

(Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983)

Liknande som för tidigare balkar drar Rogowsky et. al (1983) slutsatsen av sprickmönstret och Figur 26 att det uppstår trycksträvor i betongen som går från lasten ut mot stöden.

Figur 26 Figuren visar hoptryckning av betong för balk 1–1.1, bild från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

43

Figur 27 Placering av armering samt placering av mätpunkter för balk 1–1.1, bild från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Som kan ses i Figur 27 finns inga mätpunkter på vänster sida i balken, utan endast på höger sida. Eftersom balken är symmetrisk samt att den maximala lasten för mätpunkterna uppgår till 1000 kN så kan resultatet från denna sida användas även för vänster sida. Samtliga mätpunkter når en maxlast på 1000 kN. Mätpunkt 1 har en töjning på 1,6 ‰, mätpunkt 2 en töjning på 2,5 ‰, mätpunkt 3; 3,75 ‰, mätpunkt 4; 4,0 ‰, mätpunkt 5; 1,5 ‰ och mätpunkt 6; 1,1 ‰.

2.7.8 Balk 2–1.1

Armeringen i botten överskrider sin sträckgräns långt innan maxlasten är nådd och kommer därför att

flyta (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Även sträckgränsen i topparmeringen överskrids vilket medför att rotation i noderna uppstår. Betongsträvorna i överkantsnoden klarade inte av rotationen som uppstår och betongen krossas. Brottet i balk 2–1.1 är alltså kross av betongen vid den påförda lasten vil-ket kan ses i Figur 28.

Figur 28 Illustration av sprickmönster och kross av betong vid brott av balk 2–1.1. Höger sida vi-sar första brottet vilket studeras i denna rapport, vänster sida används ej vidare. Bild från:

(Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Liknande som för tidigare balkar bildas en trycksträva likt sprickmönstret och hoptryckningen av be-tongen som går från lasten ut mot stöden, dock bara till innerstödet (Rogowsky, MacGregor, & Ong,

1983). Både sprickmönstret och hoptryckningen visar inte någon tydlig sträva ut mot kantstöden, (a.a.).

44

Figur 29 Figuren visar hoptryckningen av betongen för balk 2–1.1, bild från (Rogowsky, MacGre-gor, & Ong, 1983).

Figur 30 Placering av armering samt placering av mätpunkter för balk 2–1.1, bild från (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983).

Hur armeringen och mätpunkter är placerad återfinns i Figur 30. Mätpunkt 1 har en töjning på 3,8 ‰ för en last på 900 kN och mätpunkt 5 en töjning på 4,0 ‰ för en last på 700 kN (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Resterande mätpunkter uppnår en maxlast på 1000 kN och töjningen för respektive punkt är för mätpunkt 2; 1,9 ‰, Mätpunkt 3; 1,3 ‰, Mätpunkt 4; 3,7 ‰, Mätpunkt 6; 1,6 ‰ och Mätpunkt 7; 2,1 ‰ (a.a.).

2.7.9 BALK 3–1.1

I balk 3–1.1 uppkommer böjsprickor i underkant, under lasten, och i överkant, över mittstödet (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). På vänster sida går trycksträvan till brott i överkant på grund av skjuvtryck, skjuvtrycket uppstår när vertikala sprickor öppnas upp längst trycksträvan och noden intill lasten dras sönder. Samtliga armeringsbyglar uppnår flytgränsen vilket medför drag i trycksträvan som till slut resulterar i toppen av strävan går till tryckskjuvbrott (a.a.) detta ses i Figur 31.

45

Figur 31 Illustration av sprickmönster och kross av betong vid brott av balk 3–1.1. Vänster sida visar första brottet vilket studeras i denna rapport, höger sida används ej vidare. Bild från:

(Rogowsky, et al., 1983).

I denna balk framkom, enligt Rogowsky et. al (1983), inte trycksträvorna lika tydligt som hos tidigare balkar. Sprickmönstret, som kan ses i Figur 31, har en bredare spridning av sprickorna jämfört med tidi-gare tester. Trots detta så har sprickorna en lutning som tenderar till att gå mellan last och stöd vilket indikerar på trycksträvor, dock är de inte lika definierad i bredd som hos tidigare balkar. Även hoptryck-ningen av betongen, Figur 32, indikerar en utbredd trycksträva främst mot innerstödet (a.a.).

Figur 32 Figuren visar hoptryckningen av betongen för balk 3–1.1, bild från (Rogowsky, et al., 1983).

46

Figur 33 Placering av armering samt placering av mätpunkter för balk 3–1.1, bild från (Rogowsky, et al., 1983).

Hur armeringen och mätpunkter är placerade återfinns i Figur 33. Samtliga mätpunkter uppgår till en maximal last lika brottlasten, dvs 1286 kN (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Mätpunkt 1 har en töjning på 1,2 ‰, mätpunkt 2 en töjning på 3,7 ‰, mätpunkt 3; 2,2 ‰, Mätpunkt 4; 3,6 ‰, Mätpunkt 5; 2,8 ‰, Mätpunkt 6; 2,3 ‰ och Mätpunkt 7; 1,3 ‰ (a.a.).

2.7.10 BALK 4–1.1

Enligt Rogowsky, et al. (1983) tappades balk 4–1.1 i marken när den skulle lyftas upp i testutrustningen, vilket bör beaktas vid analysen av resultatet, två vertikala sprickor uppkommer en på vardera sida om

innerstödet. Sprickorna brer ut sig i underkant av trycksträvorna och går upp till mitten av balken (a.a.).

De initiala sprickorna ökar i vertikalled vid belastning, vilket kan ses i Figur 34 (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Höger sida av balken går till brott genom att sprickan som orsakats av tappet öppnas upp ytterligare och vertikal skjuvning uppstår. Vänster sida av balken går till brott genom tryckskjuvning i överkant av trycksträvan, på liknande sätt som balk 3–1.1, med rotation i noden. Även om de två brott-moderna är helt olika så uppgår brottlasterna nästan till samma värde (a.a.). Vidare i analysen kommer väster sida att användas eftersom den inte påverkats (lika mycket) av tappet. Rogowsky et. al (1983) kommenterar att brottet i denna balk inte anses ha en hög duktilitet (a.a.).

47

Figur 34 Illustration av sprickmönster och kross av betong vid brott av balk 4–1.1. Vänster sida visar brott vid trycksträvan vilket kommer att studeras i denna rapport, höger sida används ej vi-

dare. Bild från: (Rogowsky, et al., 1983).

Trycksträvor formas vilket kan ses både från sprickmönstret och hoptryckningen i Figur 35. Båda dessa indikerar dock att trycksträvan ut mot ytterstödet är mindre än trycksträvan som uppstår mellan lasten och innerstödet.

Figur 35 Figuren visar hoptryckningen av betongen för balk 4–1.1, bild från (Rogowsky, et al., 1983).

48

Figur 36 Placering av armering samt placering av mätpunkter för balk 4–1.1, bild från (Rogowsky, et al., 1983).

Hur armeringen är utplacerad samt vart mätpunkterna är placerade återfinns i Figur 33. Samtliga mät-punkter uppgår till en maximal last på 1000 kN (Rogowsky, MacGregor, & Ong, 1983). Mätpunkt 1 har en töjning på 1,3 ‰, mätpunkt 2 en töjning på 2,7 ‰, mätpunkt 3; 0,8 ‰, Mätpunkt 4; 1,3 ‰, Mätpunkt 5; -0,3 ‰, Mätpunkt 6; 1,4 ‰, Mätpunkt 7; 3,6 ‰ och mätpunkt 8; 3,8 ‰ (a.a.).

2.8 ATENA

ATENA är ett dimensioneringsprogram som med hjälp av ickelinjär FEM analys analyserar och beräknar

beteende hos en armerad-/icke armerad betongkonstruktion (Červenka, Libor, & Červenka, 2015). Pro-grammet har speciella verktyg som möjliggör datasimulationer av betongelement. Programmet kan be-räkna såväl tvådimensionella, tredimensionella, som sammanhängande konstruktioner (a.a.).

ATEN 2D är en del av programmet där konstruktioner beräknas i två dimensioner. Den tvådimensionella konstruktionen kontrolleras genom att numeriskt lösa differentialekvationerna i programmet. Konstrukt-ionen delas upp i element som är sammankopplade och uppdelade av noder. Beräkningarna utförs på elementen, mellan respektive nod, och beräknas med hjälp av interpolering av formfunktioner som kan liknas vid deformationen (a.a.).

ATENA innehåller en rad olika beräkningsmetoder beroende på typ av konstruktion samt vad för resultat

som efterfrågas (Červenka, Libor, & Červenka, 2016). För analys av höga balkar samt det fall som studeras

i denna rapport kommer Newton-Raphson metoden att användas och presenteras närmare längre ned.

2.8.1 Val av ”Mesh”

Beräkningarna i ATENA utförs för mindre element som definierats innan beräkningarna (Červenka, Li-

bor, & Červenka, 2016). Ett element definieras genom att ett nät (“mesh”) genereras som delar konstrukt-ionen i mindre delar. Storlek på elementen bestäms manuellt. Sedan optimerar ATENA automatiskt en fördelning av element för den studerade konstruktionen (a.a.).

Storleken på elementen/nätet har stor betydelse för hur resultatet blir (Červenka, Libor, & Červenka, 2016). En liten ”mesh” ger ett korrektare resultat men både analystiden och lagringsutrymmet ökar. En stor ”mesh”, vilket genererar ett litet antal element, kan ge en orättvis och felaktig bild av hur konstrukt-ionen beter sig vid pålastning. Vid en viss storlek kommer resultatet inte att ändras nämnvärt i och med en minskad ”mesh”, vid denna punkt är det lämpligt att stanna och använda sig av det antalet element. Då erhålls ett ok resultat samtidigt som tiden och lagringsutrymmet kortas ner (a.a.).

49

2.8.2 Newton – Raphson metoden

En så kallad full Newton-Raphson metod är en vanligt förekommande beräkningsmetod för ickelinjära

konstruktioner och element (Červenka, Libor, & Červenka, 2016). Metoden bygger på en ickelinjär ek-vation som tar hänsyn till;

● Vektorerna för den totala pålastade lasten och de interna krafterna,

● deformationsökning som uppkommer i och med lastökningen,

● deformationen av elementet innan lastökningen samt styvhetsmatrisen för konstruktionen.

Både de inre krafterna och styvhetsmatrisen har ett ickelinjärt beteende vilket medför att den är lämplig vid beräkning av ickelinjära element (a.a.). Figur 37 visar hur ekvationen för full Newton-Raphson me-toden beter sig.

Figur 37 Graf över lösningen av ekvationen för full Newton-Raphson (Červenka, Libor, & Čer-venka, 2016).

Att räkna om styvhetsmatrisen i varje steg kräver mycket tid vid en körning i ATENA, detta kan undvikas

genom att använda samma matris som beräknades i första steget (Červenka, Libor, & Červenka, 2016). I det allra flesta fall är detta tillämpningsbart och är grunden till den modifierade Newton-Raphson meto-den. Denna metod ger dock inte ett resultat som är fullt lika rättvisande som det som erhålls med full Newton-Raphson (a.a.). Figur 38 visar hur den modifierad Newton-Raphson metoden beter sig vilket sedan kan jämföras mot Figur 37.

50

Figur 38 Graf över lösning av ekvationen för modifierad Newton-Raphson metoden (Červenka, Li-

bor, & Červenka, 2016).

Červenka, et al., (2016) rekommenderar att använda den modifierade metoden i kombination med full Newton-Raphson. Vidare menar de att på detta sätt sparas tid samtidigt som ett resultat som anses vara rättvist uppnås.

51

3 Metod

3.1 ATENA

De balkar som testats av Rogowsky et al. (1983) och presenteras i 2.7 modelleras upp i ett datorprogram, ATENA 2D, som beräknar och analyserar konstruktioner med hjälp av ickelinjär FEM analys.

Geometrin på studerad konstruktion definieras manuell för att möjliggöra att geometrin, materialets egen-

skaper och randvillkoren uppfylls (Červenka, Libor, & Červenka, 2015). Formen på konstruktionen byggs upp genom noder som sammankopplas med hjälp av linjer, linjerna används sedan av programmet för att ta fram makroelement inom det definierade området. Dessa element används vid vidare analys och be-räkningar av den studerade konstruktionen (a.a.).

ATENA innehåller en rad olika beräkningsmetoder beroende på typ av konstruktion samt vad för resultat

som efterfrågas (Červenka, Libor, & Červenka, 2016). För analysen av höga balkar samt det fall som stu-deras i denna rapport kommer Newton-Raphson metoden att användas.

Geometrin på balkarna som givits i Tabell 1 modelleras upp i ATENA. På grund av symmetri kommer endast halva balken, vänster sida, att studeras och analyseras. Det fastgjutna ”pelarstumparna” försummas i ATENA och endast stålplattor används vid upplag och stöd. Stålplåtarnas funktion är att fördela ut de stora spänningar som uppstår runt krafterna för att undvika att betongen krossas just vid kraften. Noder för samtliga hörn i modellen placeras ut på rätt position, sedan sammanbinds noderna med hjälp av linjer som då bildar ett stort element som tilldelas ett material.

Materialet som används i ATENA motsvarar det som används vid testet från Rogowsky et. al (1983). Betongens materialparametrar samt beteendet kan ses i Figur 39 från ATENA.

Figur 39 Val av materialparametrar för betongen i ATENA

Materialparametrar för armeringen som används i ATENA är desamma som det som uppmätts i testet från Rogwsky et. al (1983). Förankringen mellan betongen och armeringen antas vara perfekt. Arme-ringen antas ha ett bi linjär beteende likt Figur 40.

52

Figur 40 Spänning och töjnings-diagram för armeringen

I analysen varierar valet av storleken på ”meshen” mellan de enkelt upplagda balkarna och de kontinuer-liga. För de enkel upplaga balkarna väljs nätet till 0,08 m per ruta och för de kontinuerliga till 0,100 m. Valet tas genom att prova sig fram till en storlek som ger ett likande resultat av det som eftersökts samt att körningen inte ska ta allt för lång tid.

Vid analysen i ATENA lastas en last på i steg, för varje steg dokumenteras resultatet, vidare kommer till största del endast resultatet från brottlasten att användas med några undantag. Samtliga resultat som an-vänds återfinns i Appendix A. Sammanställning av de viktigaste resultaten tillsammans med jämförelser återfinns i avsnitt 4.1 nedan.

3.2 Beräkningar

3.2.1 EK2 – Enkelt upplagd balk

Beräkningar av enkelt upplagd balk enligt EK2 presenteras nedan som ett exempel för balk 1–1.0 med brottlasten given från Rogowsky et. al (1983). Resultatet av beräkningar för resterande enkelt upplagda balkar återfinns i Appendix B och beräknas på samma sätt som balk 1–1.0 med ekvation (18) till (45). Eftersom geometrin är densamma för samtliga enkelt upplagda balkar är det endast den dimensionerande lasten som ändras i beräkningarna för resterande balkar.

Som första steg bör balken kontrolleras om den klassas som en hög balk vilket beräknas med ekvation (18).

𝐿

ℎ ≤ 3

(18)

Geometrin för balk 1–1.0 återfinns i Tabell 1, där 𝐿 = 2000 𝑚𝑚 och är den fria spännvidden från mit-

ten av stöd till mitt stöd och ℎ, är höjden 1000 mm. Definitionen i ekvation (18) kontrolleras: 2000

1000= 2 ≤ 3 → 𝐻ö𝑔 𝐵𝑎𝑙𝑘 !

Enligt 5.6.4(5) i EK2 får höga balka beräknas med hjälp av fackverksmetoden, som presenterats i kapitel 2.3. Ett troligt fackverk ställs upp efter hur krafterna kan antas fördela sig samt med tillhörande krav och regler enligt 2.5.

53

Figur 41 Fördelning av krafter i balken samt beteckningar på det olika komponenterna för en en-kelt upplagd balk.

Med jämvikt i balken ges villkoret i ekvation (19) för lastfördelningen och stödreaktionerna.

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =𝐹2

(19)

På grund av symmetri kommer endast ena halvan av balken att studeras, vidare kommer endast vänster sida av balken att beräknas.

Trigonometri ger vinkeln 𝜃𝐴 med hjälp av ekvation (20)

𝜃𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1 (2ℎ

𝐿)

(20)

Med hjälp av reaktionskraften samt den beräknade geometrin på fackverket kan krafter i dragstag och trycksträva beräknas i nod A med hjälp av ekvation (21) och (22)

54

Figur 42 Illustration av verksamma krafter i nod A.

Jämvikt i nod A ställs upp i både vertikal (ekvation (21)) och horisontalled (ekvation (22)) med hjälp av Figur 42.

↑: 𝑅𝐴 − 𝐶1𝑠𝑖𝑛(𝜃1) = 0

(21)

→: 𝑇1 − 𝐶1𝑐𝑜𝑠(𝜃1) = 0

(22)

De sökta krafterna i nod A kan lösas ut och beräknas med ekvation (23) och (24):

𝐶1 =𝑅𝐴

𝑠𝑖𝑛(𝜃1)

(23)

𝑇1 =𝑅𝐴

𝑡𝑎𝑛(𝜃1)

(24)

När dragkraften, T1, i armeringen erhållits kan den dimensionerande armeringsmängden som krävs i un-derkant beräknas med ekvation (25) till (27). Den erforderliga armeringsmängden som behövs beräknas med ekvation (25)

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔 =𝑇

𝑓𝑦𝑑

(25)

En armeringstyp antas och arean för ett järn beräknas med ekvation (26).

𝐴∅𝑖 =𝜋𝑑𝑖

2

4

(26)

Antalet järn av den antagna armeringen beräknas med hjälp av ekvation (27).

𝑛𝑖 =𝐴𝑠,𝑖

𝐴∅𝑖

(27)

55

Hur armeringsstängerna placeras ut i balken beräknas genom att beräkna hur många järn som är tillåtna i

ett lager. Avståndet beräknas enligt kapitel 8.2 EK2 och ekvation (28).

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘1 ∙ ∅; 𝑑𝑔 + 𝑘2; 20}

(28)

Vidare beräknas det maximala antalet stänger i ett lager med ekvation (29).

𝑛𝑠𝑡/𝑟𝑎𝑑 =𝑡 − 2(𝑐𝑛𝑜𝑚 +

∅2)

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 + ∅+ 1

(29)

9.7 EK2 definierar kravet på miniarmeringen i höga balkar till ekvation (30), dock med ett minsta mini-

mumvärde på 150[𝑚𝑚2/𝑚]. Denna mängd ska finnas i hela balken.

𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 = 𝑡 ∙ 0,001

(30)

För minimiarmeringen finns ett maximalt avstånd mellan stängerna vilket definieras i ekvation (31).

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{2 ∙ 𝑡; 300}

(31)

Spänningarna som uppstår i betongen vid stöd, lastupplag samt i trycksträvan bör kontrolleras mot den tillåtna spänningen i betongen. EK2 6.5.4 definierar den maximala tillåtna spänningen i en nod med ar-mering i ena riktningen, likt Figur 43 och ekvation (32) och utan armering likt Figur 44 och ekvation (33).

Figur 43 Illustration av drag och tryck i nod med armering i en riktning, från (SIS, 2008)

56

Figur 44 Illustration av tryckt nod utan armering eller dragband, från (SIS, 2008).

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝑘2 (1 −𝑓𝑐𝑘

250) 𝑓𝑐𝑑

(32)

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝑘1 (1 −𝑓𝑐𝑘

250) 𝑓𝑐𝑑

(33)

Upplagstrycket som uppstår efter pålastning beräknas med ekvation (34).

𝜎𝑐𝑐,𝑖 =𝑅𝑖

𝐿𝑠𝑡ö𝑑 ∙ 𝑡

(34)

Sedan kontrolleras uttrycket i ekvation (35) och måste vara uppfyllt för att den dimensionerande lasten ska var okej.

𝜎𝑐𝑐,𝑖 < 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥

(35)

Detsamma gäller för trycket i trycksträvan, där olikheten i ekvation (36) ska vara uppfylld.

𝜎𝑐𝑐,1 < 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 (36)

Trycket i strävan beräknas för kraften som antas gå igenom den, samt arean som verkar vid strävas höjd med ekvation (37).

𝜎𝑐𝑐1 =𝐶1

𝑎1 ∙ 𝑡

(37)

Bredden å trycksträvan, 𝑎𝑖, beräknas med ekvation (38)

57

𝑎𝑖 = 𝐿𝑠𝑡ö𝑑 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖) + 𝑢 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜃𝑖)

(38)

Där u är höjden på noden och beräknas med (39)

𝑢 = 2𝑎 (39)

I EK2 8.4.2 återfinns hur armeringen bör förankras för att klara den dimensionerande lasten. Vidhäft-ningshållfastheten beräknas med ekvation (40)

𝑓𝑏𝑑 = 2,25𝜂1𝜂2𝑓𝑐𝑡𝑑

(40)

Där faktorerna 𝜂1 = 1 och 𝜂2 = 1 i detta fall, enligt EK2.

Erforderlig armeringsmängd beräknas med ekvation (41)

𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 =∅

4∙

𝜎𝑠𝑑

𝑓𝑏𝑑

(41)

Där spänningen i armeringen beräknas med ekvation (42)

𝜎𝑠𝑑 =𝑇

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔

(42)

Den dimensionerande förankringlängden bestäms med ekvation (43)

𝑙𝑏𝑑 = 𝛼1 ∙ 𝛼2 ∙ 𝛼3 ∙ 𝛼4 ∙ 𝛼5 ∙ 𝑙𝑏𝑑,𝑟𝑞𝑑

(43)

Och den minsta erforderliga förankringslängden med ekvation (44)

𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{0,3 ∙ 𝑙𝑏,𝑟𝑒𝑞; 10 ∙ ∅; 100}

(44)

Vid stöd beräknas den längd som är tillgänglig att förankra armeringen i med hjälp av ekvation (45).

𝑙𝑏,𝑝𝑟𝑜𝑣 = 𝐿𝑠𝑡ö𝑑 +𝑐𝑛𝑜𝑚 +

∅2

𝑡𝑎𝑛 (𝜃𝑖)− 𝑐𝑛𝑜𝑚

(45)

Beräkning av balk 1–1.0 med brottlasten från Tabell 3 och geometri från Tabell 1, materialparametrar för balken är given och antas till hållfastheten som givits av Rogowsky et.al (1983), betongklass C30 samt flytgränsen hos armeringen till 400 MPa. Ekvation (1) till (3) beräknar dimensionerande materialparamet-rar:

𝑓𝑐𝑑 =30

1,5= 20 [𝑀𝑃𝑎]

𝑓𝑐𝑡𝑑 =2

1,5= 1,3 [𝑀𝑃𝑎]

58

𝑓𝑦𝑑 =400

1,15= 348 [𝑀𝑃𝑎]

Ekvation (19) beräknar stödreaktionerna för kraften F=1398 kN,

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =1398

2= 699 [𝑘𝑁]

Vinkeln 𝜃𝐴 beräknas med ekvation (20), där h=1000mm och L=2000 mm.

𝜃𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1 (2 ∗ 2000

1000) = 45 [°]

Krafterna i nod A beräknas med ekvation (23) och (24) givna från jämvikten, tillsammans med beräknad stödreaktion och vinkel.

𝐶1 =699

𝑠𝑖𝑛 (45)= 989 [𝑘𝑁]

𝑇1 =699

𝑡𝑎𝑛 (45)= 699 [𝑘𝑁]

Tillsammans med kraften i dragstaget och dimensionerande flytgräns för armeringen beräknas den erfor-

derliga armeringsarean med ekvation (25)

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔 =699 ∗ 103

348= 2009 [𝑚𝑚2]

Ø20 antas och arean för ett järn beräknas med ekvation (26)

𝐴∅𝑖 =𝜋 ∗ 202

4= 314 [𝑚𝑚2]

Antalet järn av den antagna armeringen beräknas med hjälp av ekvation (27).

𝑛𝑖 =2009

314= 6,4 = 7[𝑠𝑡]

Avståndet beräknas med ekvation (28) där 𝑘1 = 1, 𝑑𝑔 = 10 och 𝑘2 = 5 från EK och EKS.

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{1 ∙ 20; 10 + 5; 20} = 20 [𝑚𝑚]

Vidare beräknas det maximala antalet stänger i ett lager med ekvation (29), tjockleken, t=200 mm och

täcksiktet, 𝑐𝑛𝑜𝑚 = 25 𝑚𝑚.

𝑛𝑠𝑡/𝑟𝑎𝑑 =200 − 2(25 +

202 )

20 + 10+ 1 = 4 [𝑠𝑡]

59

Miniarmeringen beräknas med ekvation (30), dock med ett minsta minimumvärde på 150[𝑚𝑚2/𝑚].

𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 = 200 ∗ 0,001 ∗ 103 = 200 [𝑚𝑚2/𝑚] > 150 [𝑚𝑚2/𝑚] → 𝑂𝐾!

Maximalt avstånd mellan stängerna i ekvation (31) beräknas

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{2 ∙ 200; 300} = 300 𝑚𝑚

Armering Ø10 antas som minimiarmering och arean för den beräknas med ekvation (26)

𝐴∅𝑖 =𝜋 ∗ 102

4= 79 [𝑚𝑚2]

Antalet järn av den antagna armeringen per meter beräknas med hjälp av ekvation (27).

𝑛𝑖 =200

79= 2,5 = 3 [𝑠𝑡/𝑚]

Avståndet mellan dessa kontrolleras genom att dividera antalet med stänger med en meter:

𝑠 =1000

3= 333 → 300 𝑚𝑚

Minimiarmeringen väljs till rutarmering Ø10 s300.

Den maximala tillåtna spänningen vid stöd beräknas med ekvation (32) där parametern 𝑘2 = 0,85 enl. EKS samt materialparametrar för betongen.

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 = 0,85 (1 −30

250) 20 = 15 [𝑀𝑃𝑎]

Den maximala tillåtna spänningen vid lastupplaget beräknas med ekvation (33) där parametern 𝑘1 = 1 enl. EKS samt materialparametrar för betongen.

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 = 1 (1 −30

250) 20 = 17,6 [𝑀𝑃𝑎]

Upplagstrycket som uppstår efter pålastning beräknas med ekvation (34) för reaktionskraften samt arean på stödet.

𝜎𝑐𝑐,𝐴 =699 ∙ 103

200 ∙ 200= 17,5 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝐸𝐽 𝑂𝐾!

Upplagstrycket som uppstår vid kraften beräknas med ekvation (34) för den pålastade lasten samt arean på upplaget.

𝜎𝑐𝑐,𝐹 =1398 ∙ 103

300 ∙ 200= 23,3 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 → 𝐸𝐽 𝑂𝐾!

60

Avståndet mellan tyngdpunkt och armering beräknas som a till 55 mm. Höjden på noden kan då beräk-

nas med (39) till

𝑢 = 2 ∗ 55 = 110 [𝑚𝑚]

Bredden på trycksträvan i underkant, 𝑎1, kan då beräknas med ekvation (38)

𝑎1 = 200 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 (45) + 110 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (45) = 219 [𝑚𝑚]

Bredden på trycksträvan i överkant, 𝑎𝐹, beräknas med ekvation (38), där finns ingen armering vilket

medför att u är noll.

𝑎𝐹 = 300 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 (45) = 212 [𝑚𝑚]

Beräknad kraft samt bredd på trycksträvan tillsammans med ekvation (37) beräknas trycket i trycksträvan ner mot stödet.

𝜎𝑐𝑐1 =989 ∗ 103

219 ∙ 200= 22,6 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝐸𝐽 𝑂𝐾!

Vid lasten beräknas trycket med ekvation (37) för trycksträvan

𝜎𝑐𝑐1 =989 ∗ 103

212 ∙ 300= 23,3 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 → 𝐸𝐽 𝑂𝐾!

Vidhäftningshållfastheten beräknas med ekvation (40) där faktorerna 𝜂1 = 1 och 𝜂2 = 1, enligt EK2.

𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,33 = 3 [𝑀𝑃𝑎]

spänningen i armeringen beräknas med ekvation (42) för de fem stängerna

𝜎𝑠𝑑 =511 ∗ 103

314 ∗ 5= 325 [𝑀𝑃𝑎]

Med vidhäftningshållfastheten och spänningen i armeringen kan erforderlig förankringslängden beräknas med ekvation (41)

𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 =20

4∙

325

3= 542 [𝑚𝑚]

Den dimensionerande förankringlängden bestäms med ekvation (43) där 𝛼1 = 1, 𝛼2 = 1, 𝛼3 = 1, 𝛼4 =0,7, 𝛼5 = 1 − 0,04𝑝 dock mellan 0,7 ≤ 𝛼5 ≤ 1,0 givet från EK2. Och 𝑝 = 𝜎𝑐𝑐,𝑖.

𝑙𝑏𝑑 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0,7 ∙ (1 − 0,01 ∙ 325) ∙ 542 = 186 [𝑚𝑚]


𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{0,3 ∙ 542; 10 ∙ 20; 100} = 200 [𝑚𝑚]

61


𝑙𝑏,𝑝𝑟𝑜𝑣 = 200 +25 +

202

𝑡𝑎𝑛 (45)− 25 = 210 [𝑚𝑚] > 200 [𝑚𝑚] → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!

3.2.2 EK2 - Kontinuerlig balk

Beräkningar av kontinuerlig balk enligt EK2 presenteras nedan som ett exempel för balk 1–1.1 med brottlast från Rogowsky et. al (1983). Beräkningar för resterande kontinuerliga balkar återfinns i Appendix B och beräknas på samma sätt för balk 1–1.1 ekvation (18) till (47). Eftersom geometrin är samma för samtliga kontinuerliga balkar är det endast den dimensionerande lasten som ändras i beräkningarna för resterande balkar.

Balken kontrolleras för klassning av en hög balk med ekvation (18) för vardera spann men på grund av symmetri studeras endast vänster sida vidare. Längden på spannet, L=2000 mm och höjden h=1000mm givet Tabell 1.

2000

1000= 2 ≤ 3 → 𝐻ö𝑔 𝐵𝑎𝑙𝑘!

Symmetrier och vinklar i den kontinuerliga balken illustreras i Figur 45.

Figur 45 Fördelning av krafter i balken samt beteckningar på det olika komponenterna för en kon-tinuerlig balk.

Reaktionskraften i vartdera stödet för denna beräkning och balk bestäms från upplagskrafterna givna i Tabell 3. Den sida av balken som först går till brott studeras och dessa krafter verkar i båda spannen vil-ket medför att reaktionskraften på mittenstödet ändras något, samt att ytterstöden antas vara lika.

𝑅𝐴 = 𝑅𝑐 = 400 [𝑘𝑁]

𝑅𝐵 = 1370 [𝑘𝑁]

Eftersom balken är symmetrisk både i avseende på geometri samt last så tar stöd B upp lika mycket last från vardera sida. Lasten är placerad i mitten av vardera spann vilket medför att samtliga vinklar kommer att vara lika stora. Vinklarna beräknas med ekvation (20).

62

𝜃𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1 (2 ∗ 1000

2000) = 45 [°]

I nod A verkar krafterna lika som för den enkelupplagda balken i Figur 42, krafter i dragstaget och trycksträvan ut mot ytterstöd beräknas med ekvation (21) och (22):

𝐶1 =400

𝑠𝑖𝑛 (45)= 566 [𝑘𝑁]

𝑇1 =400

𝑡𝑎𝑛 (45)= 400 [𝑘𝑁]

Krafter och jämnvikt i nod B illustreras i Figur 46.

Figur 46 Illustration av krafter för vänster sida i nod B

Jämnvikt i nod B ställs upp med hjälp av ekvation (46) och (47),

↑: 𝑅𝐵 − 𝐶2𝑠𝑖𝑛(𝜃𝐵) = 0

(46)

→: −𝐶3 − 𝑇1 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐵) = 0 (47)

Ur dessa ekvationer kan de sökta krafterna lösas ut och beräknas, där 𝑅𝐵 är halva stödkraften i stöd B, eftersom endast ena sidan av upplag B studeras.

𝐶2 =𝑅𝐵

𝑠𝑖𝑛(𝜃𝐵)=

1370/2

𝑠𝑖𝑛 (45)= 969 [𝑘𝑁]

𝐶3 =𝑅𝐵

𝑡𝑎𝑛(𝜃2)− 𝑇1 =

1370/2

𝑡𝑎𝑛 (45)− 400 = 285 [𝑘𝑁]

På grund av jämvikt mellan det inre krafterna så är den horisontella trycksträvan 𝐶3 lika stor som drags-

taget 𝑇2, dvs,

𝑇2 = 𝐶3 = 285 [𝑘𝑁]

Böjarmeringen i underkant beräknas med ekvation (25) till (27) för dragkraften i dragstaget, 𝑇1, samt armeringstyp Ø20,

63

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔,𝑢𝑘 =400 ∗ 103

348= 1149 [𝑚𝑚2]

𝐴∅20 =𝜋 ∗ 202

4= 314 [𝑚𝑚2]

𝑛𝑢𝑘 =1149

314= 3,7 → 4 [𝑠𝑡]

Armering i överkant beräknas med ekvation (25) till (27) för dragkraften i dragstaget, 𝑇2, samt arme-

ringstyp Ø20,

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔,ö𝑘 =285 ∗ 103

348= 819 [𝑚𝑚2]

𝑛ö𝑘 =819

314= 2,6 → 3 [𝑠𝑡]

Det tillåtna minsta avståndet mellan stängerna beräknas med ekvation (28) där 𝑘1 = 1, 𝑑𝑔 = 10 och

𝑘2 = 5 från EK och EKS.

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{1 ∙ 20; 10 + 5; 20} = 20 [𝑚𝑚]

Vidare beräknas det maximala antalet stänger i ett lager med ekvation (29), tjockleken, t=200 mm och

täcksiktet, 𝑐𝑛𝑜𝑚 = 25 𝑚𝑚.

𝑛𝑠𝑡/𝑟𝑎𝑑 =200 − 2(25 +

202

)

20 + 10+ 1 = 4 [𝑠𝑡]

Miniarmeringen beräknas lika som för den enkelupplagda balken med ekvation (30)

𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 = 200 ∗ 0,001 ∗ 103 = 200 [𝑚𝑚2/𝑚] > 150 [𝑚𝑚2/𝑚] → 𝑂𝐾!

Maximalt avstånd mellan stängerna för minimiarmeringen beräknas med ekvation (31)

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{2 ∙ 200; 300} = 300 𝑚𝑚

Armering Ø10 antas som minimiarmering och arean för den beräknas med ekvation (26)

𝐴∅𝑖 =𝜋 ∗ 102

4= 79 [𝑚𝑚2]

Antalet järn av den antagna armeringen per meter beräknas med hjälp av ekvation (27).

𝑛𝑖 =200

79= 2,5 = 3 [𝑠𝑡/𝑚]

Avståndet mellan dessa kontrolleras genom att dividera antalet stänger med en meter:

64

𝑠 =1000

3= 333 → 300 𝑚𝑚

Minimiarmeringen väljs till rutarmering Ø10 s300.

Den maximala tillåtna spänningen för både stöd och lastupplag beräknas med ekvation (32) där parame-

tern 𝑘2 = 0,85 enl. EKS samt materialparametrar för betongen. Spänningen är den dimensionerande spänningen i noder som har armering i en riktning, vilket för den kontinuerliga balken uppkommer i både över- och underkant.

𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 = 0,85 (1 −30

250) 20 = 15 [𝑀𝑃𝑎]

Upplagstrycket som uppstår efter pålastning beräknas med ekvation (34) för reaktionskraften i ytterstöd samt arean på stödet.

𝜎𝑐𝑐,1 =400 ∙ 103

200 ∙ 200= 10 [𝑀𝑃𝑎] < 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝑂𝐾!

Upplagstrycket som uppstår efter pålastning beräknas med ekvation (34) för reaktionskraften i innerstöd samt arean på stödet.

𝜎𝑐𝑐,2 =685 ∙ 103

200 ∙ 200= 17 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!

Upplagstrycket som uppstår vid kraften beräknas med ekvation (34) för den pålastade lasten samt arean på upplaget.

𝜎𝑐𝑐,𝐹 =1085 ∙ 103

300 ∙ 200= 18,0 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!

Avståndet mellan tyngdpunkt och armering antas var noll enlig EK2, ty endast en rad med armering. Detta medför även att höjden på noden sätts till noll enligt ekvation (39). Bredden på trycksträvan i un-

derkant, 𝑎1, kan då beräknas med ekvation (38), detta gäller för både inner och ytter stöd.

𝑎1/2 = 200 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 (45) + 0 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 (45) = 141 [𝑚𝑚]

Även i överkant finns endast en rad med armering och höjden av noden antas vara noll. Bredden på

trycksträvan i överkant, 𝑎𝐹, beräknas med ekvation (38),

𝑎𝐹 = 300 ∙𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 (45) = 212 [𝑚𝑚]

Beräknad kraft i trycksträvan samt bredd på trycksträvan tillsammans med ekvation (37) beräknas trycket

i trycksträvan ner mot stödet, för både yttre- (𝜎𝑐𝑐1) och inrestöd (𝜎𝑐𝑐2).

𝜎𝑐𝑐1 =566 ∗ 103

141 ∙ 200= 20 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝐸𝑗𝑂𝐾!

𝜎𝑐𝑐2 =969 ∗ 103

141 ∙ 200= 34 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝑅 → 𝐸𝑗𝑂𝐾!

65

Vid lasten beräknas trycket med ekvation (37) för trycksträvan

𝜎𝑐𝑐1 =566 ∗ 103

212 ∙ 300= 8,9 [𝑀𝑃𝑎] < 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 → 𝑂𝐾!!

𝜎𝑐𝑐1 =969 ∗ 103

212 ∙ 300= 15,2 [𝑀𝑃𝑎] > 𝜎𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥,𝐹 → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!!

Vidhäftningshållfastheten beräknas med ekvation (40) där faktorerna 𝜂1 = 1 och 𝜂2 = 1, enligt EK2. Förankringen kontrolleras endast i underkant eftersom överkantsarmeringen antas ha tillräckligt stor yta att förankra i utanför noden.

𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,33 = 3 [𝑀𝑃𝑎]

spänningen i underkantsarmeringen beräknas med ekvation (42) för det fyra järnen

𝜎𝑠𝑑 =400 ∗ 103

314 ∗ 4= 318 [𝑀𝑃𝑎]

Med vidhäftningshållfastheten och spänningen i armeringen kan den erforderlig förankringslängden be-räknas med ekvation (41)

𝑙𝑏,𝑟𝑞𝑑 =20

4∙

318

3= 530 [𝑚𝑚]

Den dimensionerande förankringlängden bestäms med ekvation (43) där 𝛼1 = 1, 𝛼2 = 1, 𝛼3 = 1, 𝛼4 =0,7, 𝛼5 = 1 − 0,04𝑝 dock mellan 0,7 ≤ 𝛼5 ≤ 1,0 givet från EK2. Och 𝑝 = 𝜎𝑐𝑐,1.

𝑙𝑏𝑑 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0,7 ∙ (1 − 0,04 ∙ 10) ∙ 530 = 223 [𝑚𝑚]


𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{0,3 ∙ 542; 10 ∙ 20; 100} = 200 [𝑚𝑚]


𝑙𝑏,𝑝𝑟𝑜𝑣 = 200 +25 +

202

𝑡𝑎𝑛 (45)− 25 = 210[𝑚𝑚] > 200 [𝑚𝑚] → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!

3.2.3 BBK04 – Enkelupplagd balk

Nedan visas ett beräkningsexempel enligt regler och tillämpningar från BBK 04 för en enkelt upplagd balk 1–1.0 med tillhörande last givet från Rogowsky et. al (1983). Resultat av beräkningar för resterande enkelt upplagda balkar presenteras i Appendix B där tillvägagångssättet är lika som det som presenteras nedan.

I kapitel 2.6 presenteras beräkningsmetoden, antaganden samt dimensioneringsregler för höga balkar från BBK 04. En hög balk avses i BBK 04 vara en balk vars villkoret i ekvation (5) kapitel 2.6 uppfylls för en

66

balk med höjden, h. Lasten från testet återfinns i Tabell 3 till F=1398 [kN] och dimensionerna på balken

i Tabell 1 där L=2000 [mm] och h=1000 [mm].

𝑀0 =𝐹𝐿

4

(48)

Största böjande moment beräknas med ekvation (48)

och störat tvärkraft över stöd med ekvation (49)

𝑉0 =𝐹

2

(49)

Moment och tvärkraft beräknas med ovanstående ekvationer till:

𝑀0 =1398 ∗ 2

4= 699 [𝑘𝑁/𝑚]

𝑉0 =1398

2= 699 [𝑘𝑁]

Beräknat moment och tvärkraft sätts in i ekvation (5) och villkoret för hög balk kontrolleras

699

1 ∙ 699= 1 ≤ 1,5 → 𝐻ö𝑔 𝑏𝑎𝑙𝑘!

Erforderlig böjarmering beräknas med ekvation (6) där den inre hävarmen beräknas med ekvation (8). Avståndet mellan tyngdpunkt av armering och överkantbalk, d, antas var 0,945 m, antaget att det är två rader armering med Ø20 samt ett avstånd på 20mm mellan stängerna.

𝑧𝑓 = 0,85 ∗ 0,945 = 0,8 [𝑚]

Momentet i fält, 𝑀𝑓 , är den samma som den beräknade största momentet och 𝑓𝑦𝑑 dimensionerande

flytmoment hos armeringen beräknat med ekvation (3).

𝑓𝑦𝑑 =400

1,15= 348 [𝑀𝑃𝑎]

Erforderlig böjarmeringsarean,

𝐴𝑠𝑓 =699 ∗ 103

0,8 ∗ 348= 2510 [𝑚𝑚2]

Böjarmeringen i underkant anats var Ø20 och arean för ett järn beräknas med ekvation (26) antalet er-forderliga järn beräknas sedan med ekvation (27)

𝐴∅20 =𝜋 ∗ 202

4= 314 [𝑚𝑚2]

67

𝑛𝑓 =2510

314= 8,0 → 8 [𝑠𝑡]

Övrig horisontalarmering i balken beräknas genom att kontrollera olikheterna i ekvation (50) och (51).

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 ≥ 𝑡ℎ𝑓𝑓𝑐𝑡𝑑 (50)

𝑀0 ≥ 0,5𝑡ℎ𝑓2𝑓𝑐𝑡𝑑 (51)

Ekvation (50) kontrollers och uppfylls den krävs horisontalarmering i hela balken:

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 699 [𝑘𝑁] ≥ 200 ∗ 1000 ∗ 1,33 ∗ 10−3 = 266 [𝑘𝑁]

→ ö𝑣𝑟𝑖𝑔 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑟ä𝑣𝑠!

Armeringsmängden beräknas med ekvation (11)

𝜌ℎ ≥1,33

348= 0,0038 [−]

Ekvation (51) kontrolleras för ytterligare armering i underkant upp till halva höjden med dubbla arme-ringsmängden,

𝑀0 = 699 [𝑘𝑁𝑚] ≥ 0,5 ∗ 200 ∗ 10002 ∗ 1,33 ∗ 10−6 = 133 [𝑘𝑁𝑚]→ ö𝑣𝑟𝑖𝑔 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑟ä𝑣𝑠!

Armeringsinnehållet 𝜌ℎ räknas om till en armeringsarea genom att multiplicera ytarean av balken med armeringsinnehållet:

𝐴ℎ =200 ∗ 1000 ∗ 0,0038

2= 380 [𝑚𝑚2/𝑚]

Horisontalarmeringen antas till Ø10 och arean för ett järn beräknas med ekvation (26) antalet erforder-liga järn beräknas sedan med ekvation (27) och fördelas sedan jämt ut över en meter.

𝐴∅10 =𝜋 ∗ 102

4= 79[𝑚𝑚2]

𝑛ℎ =380

79= 4,8 → 5 [𝑠𝑡]

𝑠ℎ =1000

5= 200 [𝑚𝑚]

I nedre halvan erfordras dubbla mängden armering vilket medför att centrumavståndet mellan järnen i den nedre halvan av balken minskas till 100 mm. Uppfylls olikheten i ekvation (50) krävs även vertikalarmering vilket beräknas med hjälp av ekvation (12)

68

𝜌𝑣 ≥1,33

348= 0,0038 [−]

Vilket motsvara Ø10 s200 samma som för den horisontella armeringen.

Dock ska tilläggsarmeringen läggas in i de områden där 𝑉𝑑 >𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥

3 vilket i detta fall motsvarar en längd

på 0,83 m. Tilläggsarmeringen beräknas med ekvation (13),

𝜌𝑣𝑡 ≥1,33

348(

699 ∗ 103

200 ∗ 1000 ∗ 1,33−

1

2∙

699 ∗ 103 ∗ 1000

699 ∗ 106 ) = 0,0081 [−]

Armeringsinnehållet 𝜌𝑣 räknas om till en armeringsarea genom att multiplicera ytarean av balken med

armeringsinnehållet:

𝐴𝑣𝑡 =200 ∗ 1000 ∗ 0,0081

2= 813[𝑚𝑚2/𝑚]

Tilläggsarmeringen i vertikalled antas till Ø10 och antalet erforderliga järn beräknas sedan med ekvation (27) och fördelas sedan jämt ut över en meter.

𝑛𝑣𝑡 =813

79= 10,3 → 11 [𝑠𝑡]

𝑠𝑣𝑡 =1000

10= 90 [𝑚𝑚]

Tryckbrott i balken kontrolleras med ekvation (14)

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 699 [𝑘𝑁] ≤ 0,25 ∗ 20 ∗ 200 ∗ 1000 ∗ 10−3 = 1000 [𝑘𝑁] → 𝑂𝐾!

Tryckbrott i upplagen kontrolleras. För ytterstöd beräknas ekvation (15) där 𝜉 bestäms ut ekvation (16)

till 1,4 för tjockleken 200 mm, 𝑘1 = 0,9 för balk utan infästning i betongplatta.

𝑅 = 699 [𝑘𝑁] ≤ 0,55 ∗ 1,4 ∗ 0,9 ∗ 20 ∗ 200 ∗ 200 ∗ 10−3 = 554 [𝑘𝑁] → 𝐸𝑗 𝑂𝐾!

3.2.4 BBK 04 – Kontinuerlig balk

Nedan visas ett beräkningsexempel enligt regler och tillämpningar från BBK 04 för en kontinuerlig balk 1–1.1 med tillhörande last givet från Rogowsky et. al (1983). Beräkningar för resterande kontinuerliga balkar presentera i Appendix B där tillvägagångssättet är lika som det som presenteras nedan.

I kapitel 2.6 presenteras beräkningsmetoden, antaganden samt dimensioneringsregler för höga balkar från BBK 04. En hög balk avses i BBK 04 vara en balk vars villkoret i ekvation (5) uppfylls för vardera spann för en balk med höjden, h. Lasten från testet återfinns i Tabell 3 till F=1085 [kN] tillsammans med uppmätta reaktionskrafter. Dimensionerna på balken i Tabell 1 där L=2000 [mm] och h=1000 [mm].

Eftersom balken är symmetrisk på båda sidor om innerstödet så kommer endast en sida att studeras.

69

Moment och tvärkraft beräknas med ekvation (52) till (54) vilket är givna typfall för ”vanliga” kontinu-

erliga balkar och antas vara tillämpliga i detta fall utifrån givna förutsättningar i BBK 04. Största böjande moment i fält beräknas med ekvation (52)

𝑀0 = 0,1562 ∗ 𝐹 ∗ 𝐿 (52)

Moment över stöd beräknas med ekvation (53)

𝑀𝑠 = −0,1875 ∗ 𝐹 ∗ 𝐿 (53)

och störat tvärkraft över stöd med ekvation

𝑉0 = 0,6875 ∗ 𝐹 (54)

Moment och tvärkraft beräknas med ovanstående ekvationer till:

𝑀0 = 0,1562 ∗ 1085 ∗ 2,1 = 356 [𝑘𝑁𝑚]

𝑀𝑠 = −0,1875 ∗ 1085 ∗ 2,1 = −427 [𝑘𝑁𝑚]

𝑉0 = 0,6875 ∗ 1085 = 746 [𝑘𝑁]

Beräknat moment i fält och tvärkraft sätts in i ekvation (5) och villkoret för hög balk kontrolleras

356

1 ∙ 746= 0,477 ≤ 1,5 → 𝐻ö𝑔 𝐵𝑎𝑙𝑘!

Erforderlig böjarmering beräknas med ekvation (6) där den inre hävarmen beräknas med ekvation (7)(8). Avståndet mellan tyngdpunkt av armering och överkantbalk, d, antas var 0,945 m, antaget att det är två rader armering med Ø20 samt ett avstånd på 20mm mellan stängerna. (7)

𝑧𝑓 = (0,65 + 0,2356 ∗ 103

1 ∗ 746 ∗ 103) ∗ 0945 = 0,71 [𝑚]

Momentet i fält, 𝑀𝑓 , är densamma som det största beräknade momentet och 𝑓𝑦𝑑 dimensionerande flyt-

gräns hos armeringen beräknat med ekvation (3).

𝑓𝑦𝑑 =400

1,15= 348 [𝑀𝑃𝑎]

Erforderlig böjarmeringsarean,

𝐴𝑠𝑓 =356 ∗ 103

0,71 ∗ 348= 1440 [𝑚𝑚2]

Böjarmeringen i underkant anats var Ø20 och arean för ett järn beräknas med ekvation (26) antalet er-forderliga järn beräknas sedan med ekvation (27)

70

𝐴∅20 =𝜋 ∗ 202

4= 314 [𝑚𝑚2]

𝑛𝑓 =1440

314= 4,6 → 5 [𝑠𝑡]

Övrig horisontalarmering i balken beräknas genom att kontrollera olikheterna i ekvation (50) och (51). Ekvation (50) kontrollers och uppfylls den krävs horisontalarmering i hela balken:

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 746 [𝑘𝑁] ≥ 200 ∗ 1000 ∗ 1,33 ∗ 10−3 = 266 [𝑘𝑁] → ö𝑣𝑟𝑖𝑔 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑟ä𝑣𝑠!

Armeringsmängden beräknas med ekvation (11)

𝜌ℎ ≥1,33

348= 0,0038 [−]

Ekvation (51) kontrolleras för ytterligare armering i underkant upp till halva höjden med dubbla arme-ringsmängden,

𝑀0 = 356 [𝑘𝑁𝑚] ≥ 0,5 ∗ 200 ∗ 10002 ∗ 1,33 ∗ 10−6 = 133 [𝑘𝑁𝑚]→ ö𝑣𝑟𝑖𝑔 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑟ä𝑣𝑠!

Armeringsinnehållet 𝜌ℎ räknas om till en armeringsarea genom att multiplicera ytarean av balken med

armeringsinnehållet:

𝐴ℎ =200 ∗ 1000 ∗ 0,0038

2= 380 [𝑚𝑚2/𝑚]

Horisontalarmeringen antas till Ø10 och arean för ett järn beräknas med ekvation (26) antalet erforder-liga järn beräknas sedan med ekvation (27) och fördelas sedan jämt ut över en meter.

𝐴∅10 =𝜋 ∗ 102

4= 79[𝑚𝑚2]

𝑛ℎ =380

79= 4,8 → 5 [𝑠𝑡]

𝑠ℎ =1000

5= 200 [𝑚𝑚]

I nedre halvan erfordras dubbla mängden armering vilket medför att centrumavståndet mellan järnen i den nedre halvan av balken minskas till 100 mm. Uppfylls olikheten i ekvation (50) krävs även vertikalarmering vilket beräknas med hjälp av ekvation (12)

𝜌𝑣 ≥1,33

348= 0,0038 [−]

Vilket motsvara Ø10 s200 samma som för den horisontella armeringen.

71

Dock ska tilläggsarmeringen läggas in i de områden där 𝑉𝑑 >𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥

3 vilket i detta fall motsvarar en längd

på 0,83 m. Tilläggsarmeringen beräknas med ekvation (13),

𝜌𝑣𝑡 ≥1,33

348(

746 ∗ 103

200 ∗ 1000 ∗ 1,33−

1

2∙

746 ∗ 103 ∗ 1000

356 ∗ 106 ) = 0,0067 [−]

Armeringsinnehållet 𝜌𝑣𝑡 räknas om till en armeringsarea genom att multiplicera ytarean av balken med armeringsinnehållet:

𝐴𝑣𝑡 =200 ∗ 1000 ∗ 0,0067

2= 671[𝑚𝑚2/𝑚]

Tilläggsarmeringen i vertikalled antas till Ø10 och antalet erforderliga järn beräknas sedan med ekvation (27) och fördelas sedan jämt ut över en meter.

𝑛𝑣𝑡 =671

79= 8,5 → 9 [𝑠𝑡]

𝑠𝑣𝑡 =1000

9= 110 [𝑚𝑚]

Tryckbrott i balken kontrolleras med ekvation (14)

𝑉𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 746 [𝑘𝑁] ≤ 0,25 ∗ 20 ∗ 200 ∗ 1000 ∗ 10−3 = 1000 [𝑘𝑁] → 𝑂𝐾!

Tryckbrott i upplagen kontrolleras, för ytterstöd beräknas ekvation (15) där 𝜉 bestäms ut ekvation (16)

till 1,4 för tjockleken 200 mm, 𝑘1 = 0,9 för balk utan infästning i betongplatta.

𝑅 = 400 [𝑘𝑁] ≤ 0,55 ∗ 1,4 ∗ 0,9 ∗ 20 ∗ 200 ∗ 200 ∗ 10−3 = 554 [𝑘𝑁] → 𝑂𝐾!

Tryckbrott i innerstödet kontrolleras med ekvation (20) där 𝜉 bestäms ut ekvation (16) till 1,4 för tjock-

leken 200 mm

𝑅 = 1370 [𝑘𝑁] ≤ 0,65 ∗ 1,4 ∗ 20 ∗ 200 ∗ 200 ∗ (1 + 1,61000

400) = 2621 [𝑘𝑁] → 𝑂𝐾!

73

4 Resultat

4.1 Resultat från ATENA

Reaktionskrafter samt brottlast som erhålls från ATENA presenteras i Tabell 4. Utskrift av resultatet från ATENA återfinns i sin grundform i Appendix A. Sprickmönster, sprickbredd, hoptryckning av betongen och töjning i armeringen tas ut från ATENA och återfinns för respektive balk i Appendix A.

Tabell 4 Stödreaktioner och laster för samtliga balkar från resultatet i ATENA


1–1.0 689 1378 - - 689

2–1.0 664 1328 - - 664

3–1.0 628 1256 - - 628

4–1.0 726 1452 - - 726

1–1.1 626 1395 1538 1395 626

2–1.1 427 969 854 969 427

3–1.1 810 1639 829 1639 810

4–1.1 395 879 484 879 395

Last-deformationskruvan presenteras för resultatet erhållet från ATENA, från Appendix A, samt itererade grafer från testet. Från Figur 17 och Figur 18 väljs lämpliga punkter ut och läses av för att sedan ritas upp i grafer tillsammans med erhållna värden från ATENA. Figur 47 visar graferna för de enkelupplagda balkarna 1–1.0 till och med 4–1.0, heldragna linjer motsvarar resultat från ATENA och streckade linjer motsvarar resultat från Rogowsky et al. 1983).

74

Figur 47 Last-deformationsdiagram för resultatet från ATENA för enkel upplagda balkar.

För de kontinuerliga balkarna 1–1.1 till och med 4–1.1 plottas grafer för last-deformation upp i Figur 48. Deformationen mäts efter varje laststeg och grundresultatet från ATENA återfinns i Appendix A. Resul-tatet från Rogowsky et al. (1983) läses av från Figur 17 och Figur 18.

Figur 48 Last-deformationsdiagram för resultatet från ATENA för kontinuerliga balkar.

Last-deformationskurvor för balkarna EK-1.0 och BBK-1.0 kan ses i Figur 49 och för balk EK-1.1 och BBK-1.1 i Figur 50.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,000,00

Last

[kN

]

Nedböjning [mm]

Last-deformationsdiagram: Enkelupplagda balkar

Balk 1-1.0

Balk 2-1.0

Balk 3-1.0

Balk 4-1.0

Test 1-1.0

Test 2-1.0

Test 3-1.0

Test 4-1.0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

-16,00-14,00-12,00-10,00-8,00-6,00-4,00-2,000,00

Last

[kN

]

Nedböjning [mm]

Last-deformationsdiagram: Kontinuerliga balkarBalk 1-1.1

Balk 2-1.1

Balk 3-1.1

Balk 4-1.1

Test 1-1.1

Test 2-1.1

Test 3-1.1

Test 4-1.1

75

Figur 49 Last-deformationsdiagram för resultatet från ATENA för enkel upplagda balkar arme-rade efter beräkningar.

Figur 50 Last-deformationsdiagram för resultatet från ATENA för kontinuerliga balkar armerade efter beräkningar.

4.2 Resultat från beräkningar

4.2.1 Enkelupplagd balk

Beräkningar enligt kap. 3.2.1 och 3.2.3 för respektive enkelupplagd balk sammanställs i grafer nedan för den erforderliga armeringsmängden samt upplagskontroll. Figur 51 visar erforderlig böjarmering i under-kant, dimensionerat enligt EK2 och BBK 04, för det enkelupplagda balkarna för respektive brottlast givet från Rogowsky et. al (1983) samt ATENA.

0

200

400

600

800

1000

1200

-9,00-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,000,00

Last

[kN

]

Nedböjning [mm]

Enkelupplagda balk dimimensionerad enlig EK2 & BBK 04

EK-1.0

BBK-1.0

0

500

1000

1500

2000

-8,00-7,00-6,00-5,00-4,00-3,00-2,00-1,000,00

Last

[kN

]

Nedböjning [mm]

Kontinuerliga balkar dimensionerad enligt EK2 & BBK 04

Balk enl. EK

Balk enl. BBK

76

Figur 51 Erforderlig böjarmering i enkelupplagd balk enligt EK och BBK i underkant beräknat för respektive brottlast.

Den krävda minimiarmeringen för respektive dimensioneringsmetod presenteras i Figur 52 för den hori-sontella armeringen och Figur 53 för den vertikala armeringen.

Figur 52 Erforderlig horisontalarmering i enkelupplagd balk enligt EK och BBK beräknat för re-spektive brottlast.

5

6

7

8

9

10

1204 1256 1328 1378 1398 1452 1500 1500

An

tal [

st]

Last [kN]

Armering UKEnkelupplagd balk

EK

BBK

0

100

200

300

400

500

600

1100 1200 1300 1400 1500 1600

Män

gd [

mm

^2/m

]

Last [kN]

HorisontalnätarmeringEnkelupplagd balk

EK

BBK

77

Figur 53 Erforderlig vertikalarmering i enkelupplagd balk enligt EK och BBK beräknat för respek-tive brottlast.

Näst intill samtliga enkelupplagda balkar klarar inte av den dimensionerande brottlasten som uppmätts i test eller ATENA (dvs. resultatet från beräkningarna begränsar). Det är utformningen av balken och stö-den som begränsar beräkningen och dimensioneringen av balken enligt både EK och BBK. Spänningarna som uppstår vid upplag samt i betongen vid tryckta noder blir för stora hos de studerade balkarna, större än den spänning som betongen klarar. Tabell 5 visar en enklare illustration över vart tryckspänningarna enligt beräkningarna överskrids.

Tabell 5 Illustration över när spänningarna överskrider dimensionerande spänning.

Stöd-upplag Stöd-trycksträva Last-upplag Last-trycksträva

Last EK BBK EK BBK EK BBK EK BBK

699 - - -

750 - - -

602 - - -

750 - - -

689 - - -

664 - - -

628 - - -

726 - - -

* = Risk för brott

* = Ingen risk för brott

* - = Ingår ej i dimensioneringsmetoden

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1100 1200 1300 1400 1500 1600

Män

gd [

mm

^2/m

]

Last [kN]

Vertikalnätarmering Enkelupplagd balk

EK

BBK

78

4.2.2 Kontinuerlig balk

Beräkningar enligt kap. 3.2.3 och 3.2.4 för respektive kontinuerlig balk sammanställs i grafer nedan för den erforderliga armeringsmängden och upplagsreaktioner. Figur 54 visar erforderlig böjarmering i un-derkant och överkant, dimensionerat enligt EK2 och BBK 04, för det kontinuerliga balkarna för respek-tive brottlast givet från Rogowsky et. al (1983) samt ATENA.

Figur 54 Erforderlig böjarmering i kontinuerlig balk enligt EK och BBK i underkant och överkant beräknat för respektive brottlast.

Den krävda minimiarmeringen för respektive dimensioneringsmetod presenteras i Figur 55 för den hori-sontella armeringen och Figur 56 för den vertikala armeringen.

Figur 55 Erforderlig horisontalarmering i kontinuerlig balk enligt EK och BBK beräknat för re-spektive brottlast.

0123456789

10

879 969 1078 1083 1085 1286 1395 1639

An

tal [

st]

Last [kN]

Armering UK & ÖKKontinuerlig balk

EK (UK)

BBK (UK)

EK (ÖK)

BBK (ÖK)

0

100

200

300

400

500

600

800 1000 1200 1400 1600 1800

Män

gd [

mm

^2/m

]

Last [kN]

Horisontalnätarmering Kontinuerlig balk

EK

BBK

79

Figur 56 Erforderlig vertikalarmering i kontinuerlig balk enligt EK och BBK beräknat för respek-tive brottlast.

Trycket i trycksträvan nära lasten är för de flesta kontinuerliga balkarna en kritisk punkt. Trycket i noden är större än det dimensionerande trycket. Noden klarar inte av den dimensionerande brottlasten som getts av test eller ATENA (dvs. resultatet från beräkningarna begränsar). Det är utformningen av balken och stöden som begränsar beräkningen och dimensioneringen av balken enligt både EK och BBK. Spänning-arna som uppstår vid upplag samt i betongen vid tryckta noder blir för stora hos de studerade balkarna, större än den spänning som betongen klarar. För resterande noder varierar tycken från balk till balk be-roende på last samt lastfördelningen i balken. Tabell 6 visar en enklare illustration över vart tryckspän-

ningarna enligt beräkningarna överskrids.

Tabell 6 Illustration över när spänningarna överskrider dimensionerande spänning.

Stöd Upplag Stöd trycksträva

Ytterstöd Innerstöd Ytterstöd Innerstöd Last upplag Last trycksträva

Last EK BBK EK BBK EK BBK EK BBK EK BBK EK BBK

1085 - - - -

1078 - - - -

1286 - - - -

1083 - - - -

1395 - - - -

969 - - - -

1639 - - - -

879 - - - -

* =Risk för brott

* = Ingen risk för brott

* - = Ingår ej i dimensioneringsmetoden

0

200

400

600

800

1000

800 1000 1200 1400 1600 1800

Män

gd [

mm

^2/m

]

Last [kN]

VertikalnätarmeringKontinuerlig balk

EK

BBK

80

4.2.3 Iteration av maximal last enligt EK och BBK

Med hjälp av beräkningarna i kap. 3.2 itereras en maximal tillåten last med tillhörande armeringsmängd fram för respektive balk (enkel/kontinuerlig) och respektive dimensioneringsmetod. Den maximalt till-låtna lasten och stödkrafter presenteras i Tabell 7 och samtliga resultat återfinns i Appendix B.

Tabell 7 Maximal last enligt dimensioneringsmetoder med tillhörande stödkrafter.


EK-1.0 511 1022 - - 511

BBK-1.0 677 1354 - - 677

EK-1.1 218 698 960 698 218

BBK-1.1 454 1453 1998 1453 454

Armeringsmängden i respektive balk för den maximala tillåtna lasten presenteras i Tabell 8. För det en-kelupplagda balkarna är avståndet för 𝑉𝑑 >


3 , 0,67 m, och för det kontinuerliga 0,82 m.

Tabell 8 Armeringsinnehåll för itererade balkar för max tillåtna lasten.

Balk

ÖK

UK

Vertikal Horisontell

Resterande 𝑉𝑑 >


3

Resterande 𝑈𝐾 →

ℎ

2

EK-1.0 - 5Ø20 Ø10s300 - Ø10s300 -

BBK-1.0 - 5Ø20 Ø10s200 Ø10s50 Ø10s200 Ø10s100

EK-1.1 3Ø20 3Ø20 Ø10s300 - Ø10s300 -

BBK-1.1 8Ø20 7Ø20 Ø10s200 Ø10s70 Ø10s200 Ø10s100

Ovanstående balkar modellerades upp i ATENA och resultatet av brottlasterna presenteras i Tabell 9. Övrigt resultat från ATENA återfinns i Appendix A, så som laster, maximal nedböjning, sprickmönster, hoptryckning av betongen och töjning i armering.

Tabell 9 Brottlaster erhållna från ATENA


EK-1.0 915 1830 - - 915

BBK-1.0 1107 2214 - - 1107

EK-1.1 548 1282 1468 1282 548

BBK-1.1 1043 1814 1542 1814 1043

81

Figur 57 Jämförelse mellan brottlast från ATENA och beräknad dimensionerande last.

Figur 57 visar hur brottlasten för de beräknade balkarna förhåller sig till brottlasten från ATENA, Brott-lasten i ATENA är högre, för vissa balkar nästan dubbelt så stor, för samtliga balkar men grafen visar att förhållandet mellan dessa varierar väldigt liknande, graferna följer varandra även om det är skillnad mellan dessa.

0

500

1000

1500

2000

2500

EK-1.0 BBK-1.0 EK-1.1 BKK-1.1

Bro

ttla

st [

kN]

Balk

Lastjämförelse mellan ATENA och beräkningar

Beräknat

ATENA

83

5 Jämförelser

Punkterna i diagrammen som presenteras i kommande kapitel är baserade på beräkningar och mätningar medan linjerna mellan dessa punkter endast är draget linjärt mellan punkterna, och behöver nödvändigtvis inte motsvara verkligheten. Linjerna dras in endast för att förenkla läsningen av resultaten. Fokus kommer att ligga på att jämföra punkterna och inte linjerna vid analys av resultaten.

5.1 Laboratorieförsök vs ATENA

Resultatet av nedböjningen för brottlasten från ATENA tillsammans med nedböjningen för brottlasten från Rogowsky et. al (1983) plottas upp i ett diagram för respektive balk, detta ses i Figur 58. I figuren

ses att resultatet från ATENA förhåller sig jämt emot Rogowsky et al. (1983), vissa mindre avvikelser finns men generellt så stämmer de väl överens.

Figur 58 Skillnaden i nedböjning mellan testet och ATENA

Figur 59 visar skillnaden mellan brottlasten från Rogowsky et. al (1983) och ATENA för respektive balk. För de enkelupplagda balkarna stämmer resultaten väl överens med varandra, en liten skillnad uppstår hos balk 2–1.0 med horisontalarmering där ATENA lasten är något mindre än den från testet.

De kontinuerliga balkarna skiljer sig desto mer, där de vertikalarmerade balkarna 1–1.1 och 3–1.1 har en betydligt större brottlast i ATENA än vad som uppmäts i Rogowsky et. al (1983). Balkarna 2–1.1 och 4–1.1 med horisontalarmering har en mindre brottlast i ATENA än Rogowsky. Förhållandet mellan

ATENA och testen där dock jämt i förhållande till varandra för samtliga kontinuerliga balkar, även om det enskilda resultaten skiljer sig åt.

0

5

10

15

20

1-1.0 2-1.0 3-1.0 4-1.0 1-1.1 2-1.1 3-1.1 4-1.1

Ned

bö

jnin

g [m

m]

Balk

Nedböjning [mm]

TEST

ATENA

84

Figur 59 Skillnaden i brottlast mellan test och ATENA

Sprickmönster i samtliga balkar återfinns som resultat från både Rogowsky et. al (1983) och ATENA. Sprickorna som presenteras nedan är det sprickmönster som uppkommer vid brottlasten hos respektive balk. För resultatet från ATENA så är sprickorna begränsade så att endast sprickor större än 0,5 mm visas, desto tjockare linje som är utritad i resultatet från ATENA desto bredare är sprickan. Detsamma gäller för resultatet från testet. Generellt förhåller sig lutning och sprickmönstret sig väl överens då det två resultaten jämförs. De bredare sprickorna uppkommer övervägande på liknande sätt i både testbalken och ATENA.

Att mönstren stämmer väl överens för Figur 60 till Figur 67 indikerar på att liknande tyckstävor uppstår i ATENA som det som antas uppstå enligt Rogowsky et. al (1983). Slutsatsen att det bör uppstå tryck-strävor i denna lutning bör då med stor sannolikhet kunna säkerhetsställas.

Figur 60 Jämförelse mellan sprickbredd i balk 1–1.0 för resultat från test och ATENA

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1-1.0 2-1.0 3-1.0 4-1.0 1-1.1 2-1.1 3-1.1 4-1.1

Last

[kN

]

Balk

Maximal last [kN]

TEST

ATENA

85




86





87

Jämförelse av hoptryckningen av betongen för respektive balk presenteras nedan, i Figur 68 till Figur 75,

för given last från testet Rogowsky et. al (1983). Generellt finns vissa avvikelser för den maximala hop-tryckningen när testresultatet jämförs mot resultatet från ATENA, riktning och läge är i sin helhet den-samma. Storleken på den maximala hoptryckningen kan skilja sig åt för vissa balkar, vilket kan bero på att lasten i vissa fall skiljer sig något i förhållande till varandra. Även hoptryckningen indikerar på att tycksträvorna som antas uppstå i Rogowsky et. al (1982) stämmer överens med ATENA.

Figur 68 Jämförelse mellan hoptryckningen av betongen i balk 1–1.0 för resultat från test och ATENA



88




89



Med ovanstående jämförelser kan slutsatsen dras att resultat från ATENA och Rogowsky et. al (1983) generellt stämmer väl överens med varandra. Där avvikelser finns kan ett mönster ses, till exempel för maxlasten hos de kontinuerliga balkarna. Skillnader och likheter bör finnas i åtanke vid vidare jämförelser och analyser. Resultatet och jämförelsen ger en bra indikation på beteendet hos de studerade balkarna, vilket är fördelaktigt vid framtagandet av modellen och vidare jämförelser.

5.2 Laboratorieförsök vs BERÄKNINGAR

Beräkningarna av armeringsmängden enligt EK2 och BBK 04 beräknas för brottlasten som ges av Rogowsky et. al (1983) för respektive balk. Förhållandet mellan beräknad armeringsmängd och arme-ringsmängden som finns i testbalken beräknas genom att dividera mängderna med varandra. En faktor mellan förhållandet erhålls och grafer ritas sedan upp mot brottlasten för respektive balk i ett diagram för att möjliggöra för samband och skillnader mellan dimensioneringsmetoderna och armeringen i testbal-karna. Motsvarar kvoten en faktor lägre än 1[-] är den beräknade armeringsmängden mindre än arme-ringsmängden i testet.

90

Figur 76 Graf över förhållandet mellan beräknad böjarmeringsmängd och böjarmeringsmängd i testbalken för respektive brottlast.

Dimensionerande böjarmering i överkant för de kontinuerliga balkarna enlig EK2 är minde än den ar-mering som finns i testbalken, för tre av fallen, vilket ses i Figur 76. Resterande dimensionerande böjar-meringsmängd som beräknas enligt både EK2 och BBK 04 är större än den armeringsmängd som finns i testbalken. Att överkantsarmeringen i de kontinuerliga balkarna (enl. EK) skiljer sig från resterande be-räkningar har med hur stödreaktionerna, antas och bestäms. I detta fall har stödreaktionerna tagits från resultatet erhållet från Rogowsky et. al (1983), vilket bör antas stämma överens med hur krafterna fördelar sig i balken. En annan fördelning av stödkrafterna hade påverkat resultatet av böjarmeringsmängden. Vidare hur fördelningen av stötkrafterna ska bestämmas bör analyseras vidare eftersom EK2 inte har en klar definition på hur dessa ska identifieras.

I Figur 76 framgår även att kvoten mellan dimensionerande armeringsmängd enligt BBK 04 och testet är större än kvoten mellan dimensionerande armeringsmängd enligt EK2 och testet för samtliga böjarmering och laster. Vilket indikerar att det inte finns några större likheter mellan resultaten av dimensionerings-metoderna.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1050 1150 1250 1350 1450

Ber

äkn

a/te

st [

-]

Max last [kN]

Böjarmering: BERÄKNINGAR i förhållande till TESTEK (enkel)

BBK (enkel)

EK-ÖK(Kontinuerlig)BBK-ÖK(Kontinuerlig)EK-UK(Kontinuerlig)BBK-UK(Kontinuerlig)

91

Figur 77 Graf över hur förhållandet mellan beräknad min. armeringsmängd och min. armerings-mängd i test-balken för respektive brottlast.

Figur 77 visar hur den dimensionerande minimiarmeringen för EK2 resp. BBK 04 förhåller sig till den minimiarmering som finns i testbalken. Det finns två balkar med vertikal armering och två balkar med

horisontalarmering för respektive balktyp (enkelupplagd/kontinuerlig). Eftersom de olika balktyperna har olika beteenden så bör dessa skiljas åt vid jämförelsen, vilket är gjort i figuren. Även här syns indikationer på att BBK 04 dimensionerar med en högre armeringsmängd än EK 2, båda metoderna dimensionerar dock väl över den mängd som finns i samtliga testbalkar. Värt att notera är att båda dimensioneringsme-toderna ger minimiarmering i både vertikal och horisontalled vilket Figur 77 inte visar då denna endast jämför mängden armering mot den som finns i testbalken.

5.3 ATENA vs beräkningar

Beräkningarna av armeringsmängden enligt EK2 och BBK 04 beräknas för brottlasten som ges av ATENA för respektive balk. Förhållandet mellan beräknad armeringsmängd och armeringsmängden som finns i testbalken beräkna genom att dividera mängderna med varandra. En faktor för förhållandet erhålls och ritas upp i en graf mot brottlasten för respektive balk i ett diagram för att möjliggöra för samband och

skillnader mellan dimensioneringsmetoderna och armeringen i testbalkarna. Är faktorn lägre än 1 [-] är den beräknade armeringsmängden mindre än armeringsmängden i ATENA.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Ber

äkn

at/t

est

[-]

Max last [kN]

Minimiarmering: BERÄKNINGAR i förhållande till TEST

EK horis. (enkel)

BBK horis. (enkel)

EK vert. (enkel)

BBK vert. (enkel)

EK horis. (konti.)

BKK hori. (konti.)

EK vert. (konti.)

BBK vert. (konti.)

92

Figur 78 Graf över hur förhållandet mellan beräknad böjarmeringsmängd och böjarmeringsmängd i ATENA för respektive brottlast.

Böjarmeringen i överkant för kontinuerliga balk dimensionerat enlig EK2 är minde än den armering som finns i ATENA-balkarna. Detta beror på, som tidigare nämnts, fördelningen av lasten ut till stödreakt-ionen. Noteras att ATENA fördelar ut lasten annorlunda än det som uppmäts av Rogowsky et. al (1983). Resterande dimensionerande böjarmeringsmängd som beräknas enligt både EK2 och BBK 04 är större

än den armeringsmängd som finns i ATENA-balken.

I Figur 78 framgår att kvoten mellan dimensionerande armeringsmängd enligt BBK 04 och ATENA är större än kvoten mellan dimensionerande armeringsmängd enligt EK2 och ATENA för de låga lasterna, men i och med att lasten ökar så ökar mängden armering i EK mer än vad BBK ökar. Detta gäller dock för de kontinuerliga balkarna, och värt att notera även här är att fördelningen av lasterna spelar en stor roll i dimensioneringen enligt EK2. Detta gör det svårt att dra tydliga och korrekta slutsatser vad gäller böjarmering enligt EK2.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

Ber

äkn

at/A

TEN

A [

-]

Max last [kN]

Böjarmering: BERÄKNINGAR i förhållande till ATENA

EK (enkel)

BBK (enkel)

EK-ÖK (konti.)

BBK-ÖK (konti.)

EK-UK (konti.)

BBK-UK (konti.)

93

Figur 79 Graf över hur förhållandet mellan beräknad min. armeringsmängd och min. armerings-mängd i ATENA till respektive brottlast.

Figur 79 visar hur den dimensionerande minimiarmeringen för EK2 resp. BBK 04 förhåller sig till den minimiarmering som finns i balkarna från ATENA. Två balkar med vertikal armering och två balkar med horisontalarmering för respektive balktyp (enkelupplagd/kontinuerlig). Indikationer på att BBK 04 di-mensionerar med en högre armeringsmängd än EK 2 kan läsas ur grafen. EK2 ger för två fall lägre arme-ringsmängd än den som finns i balken, för horisontal- och vertikalarmering i det kontinuerliga balkarna. Värt att notera är att båda dimensioneringsmetoderna ger minimiarmering i både vertikal och horisontal-led vilket inte visas i Figur 79.

5.4 EK vs BBK

Beräkningarna av armeringsmängden enligt EK2 och BBK 04 beräknas för brottlasten som ges av Rogowsky et. al (1983) samt ATENA för respektive balk. Förhållandet mellan beräknad armeringsmängd enligt EK2 och BBK 04 beräknas till en faktor genom att dividera mängderna med varandra. Förhållandet i förhållande till brottlasten ritas upp i grafer för respektive balk i ett diagram för att möjliggöra för sam-

band och skillnader mellan dimensioneringsmetoderna. Motsvarar kvoten en faktor som är lägre än 1 [-] är den beräknade armeringsmängden enligt EK2 lägre än armeringsmängden i BBK 04, och vise versa.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

Ber

äkn

at/A

TEN

A [

-]

Max last [kN]

Minimiarmerining: BERÄKNINGAR i förhållande till ATENA

EK horis. (enkel)

BBK hori. (enkel)

EK vert. (enkel)

BBK vert. (enkel)

EK horis. (konti.)

BBK horis. (konti.)

EK vert. (konti.)

BBK vert. (konti.)

94

Figur 80 Graf över jämförelse mellan armeringsmängd beräknat enligt EK och BBK hos enkel-upplagd balk.

Figur 80 visar skillnaden mellan armeringsmängderna erhållna av de två olika dimensioneringsmetoderna för de enkelupplagda balkarna. För samtliga laster och armeringstyper ger BBK 04 en större armerings-mängd än EK2, eftersom samtliga resultat ligger under 1. Störst skillnad i mängden armering ges för vertikalarmeringen, där BBK är nästan 3 gånger så stort jämfört med EK. Horisontalarmeringen enligt

BBK är det dubbla i förhållande till EK2. Böjarmeringen är den armering vars dimensioneringsmetoderna skiljer sig minst sinns emellan.

Figur 81 Graf över jämförelse mellan armeringsmängd beräknat enligt EK och BBK hos enkel-upplagd balk.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1200 1300 1400 1500

EK/B

BK

[-]

Dimensionerande last [kN]

Jämförelse av armeringsmängd mellan beräkningar enligt EK och BBKEnkelupplagd balk

Böjarmering i UK

Horisontalarmering

Vertikalarmering

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700

EK/B

BK

[-]

Dimensionerande last [kN]

Jämförelse av armeringsmängd mellan beräkningar enligt EK och BBK Kontinuerlig balk

Böjarmering i UK

Böjarmering i ÖK

Horisontalarmering

Vertikalarmering

95

Figur 81 visar att BBK 04 dimensionerar horisontalarmeringen med dubbla armeringsmängden i förhål-

lande till EK2. Vertikalarmeringen enligt BBK förhåller sig inom ett spann på ca en tredjedel till två tredjedelar över den mängd armering EK2 dimensionerar för. Graferna i Figur 81 tydliggör ytterligare för problematiken att dimensionera böjarmeringen i kontinuerliga balkar enligt EK2. Förhållandet mellan de två dimensioneringsmetoderna med avseende på böjarmering ger inget lämpligt och tydligt samband. Det som går att utläsa är att vid en hög böjarmeringsmängd i underkant enligt EK ges en låg böjarmerings-mängd i överkant enligt EK, och vise versa. Detta återspeglas även i resultatdelens Figur 54.

Näst intill samtliga enkelupplagda balkar klarar inte av den dimensionerande brottlasten från Rogowsky et. al (1983) eller ATENA (dvs. resultatet från beräkningarna begränsas i förhållande till upplagsreaktion-erna). Utformningen av balken och stöden begränsar beräkningen och dimensioneringen av balken för både EK och BBK. Trycken som uppstår vid upplag och i noder blir större än dimensionerande tryck-hållfastheten hos betongen. Brott på grund av att trycket i upplag eller noder blir för stort är det som kommer att begränsa beräkningarna. För att uppnå en högre kapacitet hos balken så bör tjockleken på balken ökas alternativt kan det för vissa balkar räcka med att öka bredden på stödet, vilket inte genomförs

i denna studie.

97

6 Beräkningsmodell

Beräknade och analyserade resultat ligger till grund för en beräkningsmodell som bygger på EK2. Tanken är att förtydliga och förenkla de beräkningar som presenterats. Målet med metoden var från början en beräkningsmetod som motsvarar/liknar den som finns i BBK 04. Jämförelser mellan dimensioneringsme-toderna visar dock att den empiriska BBK-modellen är mer konservativ än fackverksmodellen i EK2. Beräkningar enligt EK2 tyder på att det är svårt att generalisera beräkningarna på ett sådant sätt att en lika enkel modell som den i BBK erhålls. Istället presenteras här en modell vars mål är att förtydliga och tjäna som guide och exempel vid projektering av höga balkar.

Höga balkar enligt EK2 beräknas enligt kapitel 3.2.1 och 3.2.2 med ekvation (18) till (45). Med dessa beräkningsexempel samt nedanstående punktlista, med kommentarer och faktorer att ha i åtanke vid

dimensionering, bör dimensioneringen förenklas något, jämfört med en direkt användning av EK2.

Metoden bör läsas tillsammans med EK2 samt beräkningsexempel 3.2.1 och 3.2.2 med tillhörande ekvat-ioner (18) till (45).

● Som första steg är det lämpligt att se över utformning, geometrier och dimensioner på balken. Om geometrin är komplicerad kan FEM-beräkningar behöva användas (med fördel ickelinjära). Vik-tigt är att förstå beräkningsprogrammets och balkens beteende.

● Identifiera laster som angriper balken, och utför en analys över hur lasterna troligtvis fördelar sig över och i balken.

● Spänningsfördelningen i balken bör tas fram med hjälp av kraftlinjer eller med hjälp av datasimu-lering. I detta steg är det extra viktigt att fördelningen blir korrekt och att konstruktören förstår

sig på den höga balkens beteende. Vid användning av kraftlinjemetoden:

o identifiera lastdelare och fördelning av lasten ut till stöd,

o rita en grov skiss på fördelningen av spänningen i balken,

o kontrollera om det är nödvändigt att dela upp spänningsfälten i delar för att undvika överförenklingar,

o identifiera tvärgående krafter.

● Överför spänningsfördelningen till en fackverksmodell där nedanstående uppfylls (Detta görs obe-roende av hur framtagandet av spänningsfördelningen skett)

o välj att i första hand bära lasten genom tryck,

o minimera antalet stag och strävor,

o dragstagen ska vara enkla, praktiska och raka,

o vinkel mellan last/stöd och trycksträva bör vara 30º (dock θ≤45º),

o vinkel mellan trycksträva och dragstag i en riktning bör vara 60º (dock 45º≤ θ ≤ 70º),

o vinkeln mellan trycksträva och vinkelräta dragstag bör ena vinkeln vara 45º och ingen av vinklarna mindre än 30º,

o prioriteras så att åtminstone trycksträvorna med störst belastning uppfyller kraven.

98

● Spänningsfördelningen i balken ger en indikation på hur lasten fördelar sig. Denna fördelning upp-

står i form av fackverk, där betongen är tryckta strävor som binds ihop med hjälp av armering i form av dragstag. Fackverket gör det möjligt att identifiera var i balken armering erfordras, ge-nerellt gäller det i underkant för enkelt upplagda balkar och i under- och överkant för kontinu-erliga balkar. Beroende på lastfall samt höjd på balken kan dragstag erfordras även på andra ställen, detta bör framgå från fackverksmodellen. Trycksträvor och dragstag urskiljs från varandra och lämpliga noder bestäms.

● Storleken på krafterna i tryck och dragstagen beräknas genom att ställa upp jämvikt i noderna. För att möjliggöra jämvikt i noderna bör stödreaktionerna bestämmas. För en enkelt upplagd balk fördelar sig lasten jämnt, men för en kontinuerlig balk som är statiskt obestämd, är fördelningen desto svårare att bestämma. Eftersom en hög balk är ickelinjär kan balkteorin inte tillämpas, Svenska Betongföreningar (2010) rekommenderar att beräkningar för stödkrafterna kan bestäm-mas på liknande sätt som i BBK 04,

o moment och tvärkraft beräknas enligt balkteorin men,

o dimensionerande stödmoment är lika beräknat moment,

o dimensionerande fältmoment är beräknat moment när det negativa stödmomentet är halverat eller beräknat moment när det positiva stödmomentet är maximalt,

o dimensionerande tvärkraften antas vara lika den beräknade,

o upplagsreaktionen ökas med 10%.

Det erhållna resultatet bör dock diskuteras vidare med avseende på lämplighet. Att rekommen-dera är att modellera upp balken i ett datorprogram för att erhålla rätt fördelning över stöd. I

detta steg och vidare är det extra viktigt att analysera beräkningarna för att säkerhetsställa att balken dimensioneras rätt.

● Kraften i dragstaget/krafterna i dragstagen är den kraft armeringen ska klara av. Erforderlig arme-ringsmängd beräknas för respektive dragstag, beräknas med

𝐴𝑠,𝑑𝑟𝑎𝑔 =𝑇𝑖

𝑓𝑦𝑑 .

● Avståndet mellan armeringen bör bestämmas för att identifiera antalet tillåtna järn i ett lager för att sedan bestämma hur många lager armering som krävs. Antalet lager armering, av böjarmering, påverkar storleken på noden vilket har en betydande roll vid kontrollen av trycket i noderna.

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘1 ∙ ∅; 𝑑𝑔 + 𝑘2; 20}

𝑛𝑠𝑡/𝑟𝑎𝑑 =𝑡 − 2(𝑐𝑛𝑜𝑚 +

∅2)

𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙 + ∅+ 1

● Minimiarmeringen för den höga balken beräknas och kontrolleras,

𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛{𝑡 ∙ 0,001; 150} ,

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛{2 ∙ 𝑡; 300}.

99

● Tryckhållfastheten i noderna kontrolleras mot de tryckspänningar som uppstår. Hur dessa beräknas

beror på typ av nod, om noden är med/utan armering, armering åt ett eller två håll mm. Di-mensionering för samtliga noder återfinns tydligt i EK2 6.5.4.

● Förankringen av armeringen kontrolleras så att tillräcklig längd att förankra i finns inom noden alternativt förbi noden. Om detta inte är fallet, bör åtgärder tas enligt EK2 8.4 och 8.6. Bland annat bocka upp och förankra.

Sprickor kan i vissa fall behöva beaktas, och då främst i SLS. Denna rapport berör endast brottlaster och därför har ingen kontroll av sprickor gjorts.

101

7 Analys och diskussion

7.1 Laboratorieförsök vs ATENA

Jämförelsen mellan laboratorieförsöken enligt Rogowsky et. al (1983) och beräkningarna med ATENA ger liknande resultat för samtliga studerade parametrar för de enkelt upplagda balkarna. Nedböjningarna i Figur 58 och brottlasterna i Figur 59 stämmer väl överens. För de kontinuerliga balkarna stämmer ned-böjningarna väl överens, men lasten för de vertikalarmerade balkarna i ATENA ger en brottlast som är högre än den som uppmäts av Rogowsky et. al. De horisontalarmerade balkarna i ATENA ger en lägre last än Rogowsky et. al (1983), dock bör den kunna anses som försumbart.

Skillnaden i last för de kontinuerliga balkarna kan bero av att lasten i Rogowsky et al. är olika stor i de två spannen, se Tabell 3. I ATENA görs antagandet att lasten är densamma i båda spannen och de mo-delleras därför bara upp som ett spann. En fast inspänning vid ena sidan läggs in för att motsvara att balken fortsätter. Antagande kan vara en bidragande faktor till att stödförskjutningar som uppstår i laboratorie-försöket inte modelleras korrekt i ATENA vilket ändrar kapaciteten i balken.

Last-nedböjningsdiagrammen skiljer sig något i form av brottyp vilket med stor sannolikhet beror på att ATENA fortsätter mätningarna efter brott. Dessa mätpunkter har tagits med i grafen för att underlätta avläsandet av maximal last och nedböjning vilket i sin tur resulterar i ett annat utseende på grafen. Gene-rellt har ATENA fler laststeg i förhållande till Rogowsky et. al (1983) vilket kan medföra olikheter i last-nedböjningsdiagrammen. Rogowsky et. al låter även ett laststeg verka under en viss tid, vilket inte görs i ATENA. Vid en översiktlig studie av diagrammen kan slutsatsen dras att Rogowsky et. al och ATENA stämmer överens, båda metoderna ger en överblick över brottmoderna. Balk 2–1.0 och 3–1.0 ger plötsliga brott medan 1–1.0 ger en svag indikation strax innan brott. Balk 4–1.0, med rutarmering, ger ett brott med förvarning vilket syns för båda fallen. Formen på diagrammen för de kontinuerliga balkarna stämmer

väl överens med varandra för samtliga balkar trots en viss skillnad i brottlast.

Sprickmönster samt läge och riktning på hoptryckningen av betongen är något olika. Överlag är dock resultaten enligt Rogowsky et. al och ATENA väldigt lika. Att de stämmer väl överens ger en tydlig indikation på hur spänningarna i balken fördelar sig samt hur ett fackverk i balken breder ut sig. Tryck-strävan blidas tydligt i riktning med sprickmönstret.

Inget större fokus läggs på töjningar i armeringen annat än att storlekarna jämföras för att få en bekräftelse på att modelleringen i ATENA stämmer.

Resultatet som ges av ATENA stämmer väl överens med vad som händer i ”verkligheten” vid ett labo-ratorieförsök. Dock är det värt att notera att resultatet från ATENA motsvarar det resultat som bör komma från ett ”perfekt” försök vilket kan medföra vissa skillnader vid en jämförelse, dock inom rimliga felmar-ginaler.

7.2 EK vs BBK

Beräkningarna enligt EK2 och BBK 04 har skett för samma laster vilket medför att det till största del är armeringsutformningen och armeringsmängden som kommer att skilja sig åt och därför är de faktorer som kommer att jämföras vidare. För de enkelt upplagda balkarna finns böjarmeringen i underkant samt minimiarmering i resterande delar av balken. De kontinuerliga balkarna har böjarmering i under- och överkant samt minimiarmering. BBK dimensionerar med mer armering än EK2, för de balkar som är studerade i denna rapport. Att dra slutsatserna att det alltid är så, går dock inte att göra i detta fall eftersom samma dimension på balken används för samtliga fall. Men detta visar att EK och BBK skiljer sig åt. I dessa fall är det främst vertikalarmeringen som är betydligt större i BBK än EK. Detta tyder på att BBK överdimensionerar armeringsmängden om vi antar att mängden som EK ger är tillräcklig. På grund av de stora skillnaderna i resultatet av det två dimensioneringsmetoderna är det inte lämpligt att använda sig av

delar från BBK till en beräkningsmodell, och eftersom modellerna bygger på helt olika grunder är kanske

102

detta inte så förvånande. BBK 04 bygger på erfarenhet och beprövade metoder medan EK2 bygger på

balkens beteende. När beteendet är kartlagt är det enklare att dimensionera mer korrekt och undvika överdimensionering.

EK2 kontrollerar trycket i noder och upplagstrycket mot tillåten spänning, i BBK kontrolleras upplags-trycket mot stödkraften och tvärkraften i balken kontrolleras. Resultaten av dessa skiljer sig då EK har en lägre tolerans för trycken än BBK. För de allra flesta kontrollerade fallen är brottlasten för stor för att klara av det dimensionerande trycket i noder och upplag räknat med EK, medan det tillåts enligt BBK. Denna faktor är den som till största delen begränsar balkens kapacitet, men har vid jämförelsen lagts något åt sidan för att möjliggöra en jämförelse mellan armeringsmängderna.

7.3 Beräkningar vs laboratorieförsök (inkl. ATENA)

Syftet att jämföra mängden armering i laboratoriebalkarna med erforderlig mängd enligt beräkningarna är

främst för att bilda sig en uppfattning om hur de olika armeringarna påverkar balken. Eftersom dimens-ioneringsmetoderna beräknas för en given brottlast samt dimensioneras med en minimiarmering, vilket inte motsvara samma armeringstyp som i försöksbalkarna, kommer jämförelsen inte att ge ett helt rättvist resultat.

Endast en armeringstyp jämförs i taget, till exempel böjarmering mot böjarmering osv, därför tas ingen hänsyn till ytterligare armering i balken. Detta betyder att om beräkningarna ger ett armeringsinnehåll på 4 böjarmeringsjärn i underkant och laboratoriebalken har 6 stycken järn så behöver det inte betyda att beräkningarna underdimensionerar kapaciteten hos balken, eftersom beräkningarna ger annan ytterligare armering som kan bidra till att balken klarar den beräknade brottlasten, men detta tas inte i beaktning vid jämförelsen.

Figur 76 till Figur 79 visar att mängden armering beräknat med BBK alltid är större än den mängd arme-ring som finns i laboratoriebalkarna och för respektive brottlast. Vid antagandet att ytterligare armering

inte minskar kapaciteten hos balken kan man därmed dra slutsatsen att BBK 04 överdimensionerar arme-ringsmängden för en viss brottlast. Detsamma gäller för de enkelt upplagda balkarna beräknad med EK2, dock ligger mängden dimensionerande armering närmare den mängd som är i laboratoriebalken.

För de kontinuerliga balkarna beräknat med EK2 är resultatet av jämförelsen något varierande, mängden armering är både mer och mindre än den mängd som finns i laboratoriebalken. Nödvändigtvis behöver det inte betyda att EK underdimensionerar, enligt tidigare resonemang, utan detta gör det endast svårt att dra någon slutsats för hur armeringsmängden förhåller sig till vad balken enligt försök klarat av.

7.4 Iteration av maximal last

ATENA har en betydligt högre brottlast än den som itereras fram för den armeringsmängd som beräknats, både för EK och BBK, och är som högst för de enkelt upplagda balkarna och något lägre för de konti-

nuerliga. Det som dock är värt att notera och syns i grafen i Figur 57 är att skillnaden mellan resultatet (beräkningar/ATENA) förhåller sig väldigt likt, oberoende om det är beräknat med EK eller BBK. Detta tyder på att den höga armeringsmängd som kommer från BBK inte ger en kapacitetsökning som motsvarar den ytterligare mängden armering. En viss del armering från BBK bör därför vara ”överflödig”, men för att dra en slutsats om hur mycket bör detta studeras vidare.

Värt att notera för dessa fall är att det är upplagstrycken samt trycken i noderna som begränsar balkens maxima kapacitet. Resultatet ger en indikation på att båda beräkningsmetoderna överdimensionerar bal-ken, då främst med avseende på upplagstrycken och trycken i noderna. Troligtvis är detta tanken eftersom detta brott vill undvikas in i det sista.

Last-nedböjningsdiagrammen som erhålls för balkarna EK-1.0 och BBK-1.0 ger indikationer att ett brott kommer att ske, detta är något som efterfrågas, att få en varning innan brottet sker. Detta beteende kan även ses för balk 4–1.0, som är rutarmerad. Detta påvisar att armering i både horisontell och vertikal riktning är att föredra, för att undvika ett allt för plötsligt brott. För de kontinuerliga balkarna uppstår inte

103

en lika tydlig indikation, även om den finns där och brottet inte sker lika drastiskt som för laboratoriebal-

karna.

105

8 Slutsatser och förslag till fortsatt arbete

Målet var att se om det gick att använda sig av delar eller modifierade delar av BBK för att ta fram en lämplig beräkningsmodell som stöttas av EK och som motsvarar den som finns i BBK. Efter en ingående studie av de båda metoderna samt beteendet hos höga balkar kan slutsatsen dras, att detta inte är möjligt. Det två metoderna bygger på olika synsätt och bakgrund. Beräkningsmodellen i BBK är empirisk medan den enligt EK2 bygger på en fackverksmodell, vilket medför att varje enskild balk bör analyseras och kontrolleras för varje specifikt tillfälle. Första steget vid beräkning enligt EK2, att identifiera tryck- och dragsträvor, är det steg som är det mest kritiska och även det svåraste. Detta är även de steg som är svårast att generalisera i en beräkningsmetodik enligt EK2.

Jämförelser mellan Rogowsky et al. (1983) och ATENA visar på att de ickelinjära beräkningarna som används är att föredra vid en dimensionering. Resultaten visar att ATENA stämmer väl överens med hur en hög balk beter sig. ATENA används vidare för att kontrollera hur balkar som armeras enligt EK och BBK beter sig samt skillnaden mellan vad den dimensionerande brottlasten är jämfört med vad ATENA klarar för last. Detta för att påvisa att BBK överdimensionerar i förhållande till EK, vilket även kan påvisas från teorin. Rättare sagt, ATENA samt laboratorieförsöken visar att teorin för hur balkarna beter sig stämmer och därför är dimensionering enligt BBK, i de fall som testats i denna rapport, konservativ. EK2 bygger på en metod som antar att betongen utsätts för mycket tryck och armering krävs bara i kritiska delar.

Beräkningar, analyser och jämförelser av resultat som återfinns ovan i rapporten ligger som grund till en beräkningsmodell som bygger på EK2 vars tanke är att förtydliga och förenkla de beräkningar som idag finns presenterade. Jämförelser mellan dimensioneringsmetoderna, EK2 och BBK 04, indikerar att det är svårt att se likheter mellan de två metoderna inom ramen för detta arbete, med de begränsningar som satts gällande resultat, tid och metodval. Istället tas en modell fram, i form av sammanställning vars mål är att

som en guide förtydliga projekteringen av höga balkar.

Modellen är stegvis och sammanfattar de moment som bör utföras vid dimensionering av en hög balk enligt EK2. Som komplement till modellen kan EK2 samt beräkningsexempel från 3.2.1 och 3.2.2 med fördel användas.

Jämförelser mellan laboratorieförsök, datasimuleringar samt beräkningar enligt EK och BBK visar att di-mensionering av höga balkar är en komplex process där resultatet till stor del bygger på att kraftfördel-ningen antas på ett korrekt sätt och att bakgrunden till dimensioneringen är känd. Metodvalet i rapporten visar tydligt komplexiteten men skapar samtidigt en förståelse vilket i slutsteget underlättar framtagandet av en modell. Om denna metod kan anses vara den mest effektiva och framgångsrika kan analyseras vidare, metoden kan stundvis kännas lite spretig och bred men ger ett gott resultat. Liknande resultat kan sannolikt uppnås genom effektivare metoder men bör inte gå att säkerhetsställa på samma sätt.

Vid vidare arbete med en beräkningsmetod bör man utgå ifrån ytterligare försök alternativt beräkningar med ATENA (eller annat lämpligt FEM-program) samt beräkningar enligt EK2. Detta eftersom en slutsats från detta arbete är att laboratorieförsök stämmer väl överens med ATENA samt, att för berörda fall i denna rapport, beräkningar enligt BBK ger mer konservativa resultat än EK2. Dock bör noteras att detta nödvändigtvis inte gäller för andra antaganden.

107

Referenser

Asin, M. (1999). The behaviour of reinforced concrete continuous deep beams. Netherlands: Delft uni-versity press.

Beery, A., & Narayanan, R. (2009). Designers' Guide to Eurocode 2: Design of concrete structures (ISBN:978-0-7277-3150-0 uppl.). London: Thomas Telford Publishing.

Betongföreningen, S. (2010). Svenska Betongföreningens handbok till Eurokod 2 (Volym 1) (nr 15 uppl.). Stockholm: Svenska Betongföreningen.

Birrcher, D., Tuchscherer, R., Huizinga, M., Bayrak, O., Wood, S., & Jirsa, J. (2009). Strength and Serviceability Design of Reinforced Concrete. Austin: The University of Texas at Austin.

Boverket. (2013). Handbok om Betongkonstruktioner, BBK04 Hämtat 2020-06-12 från https://www.boverket.se/sv/om-boverket/publicerat-av-boverket/publikationer/2004/bover-kets-handbok-om-betongkonstruktioner-bbk-04-/

Boverket. (2019). Boverkets konstruktionsregler, EKS 11. Karlskrona: Boverkat.

Boverket, .. (2004). Boverkets handbok om betongkonstruktioner, BBK 04. ISBN: 91-7147-816-7. Hämtat från https://www.boverket.se/globalassets/publikationer/dokument/2004/bover-kets_handbok_om_betongkonstruktioner_bbk_04.pdf den 12 06 2020

Brown, M., Sankovich, C., Bayrak, O., Jirsa, J., Breen, J., & Wood, S. (2006). Design for Shear in Reinforced Concrete Using Strut and Tie-. Austin: The University of Texas at Austin.

Burström, P. (2006). Byggnadsmaterial: uppbyggnad, tillverkning och egenskaper (andra upplagan uppl.).

Lund: Studentlitteratur.

CEB-FIP Model Code 1990 (1990). CEB-FIP Model Code 1990. Comité Euro-International du Béton, Bulletin d'Information No 213/214, Thomas Telford, London 1993, pp. 437, ISBN 0-2777-1696-4.

Červenka, V., Libor , J., & Červenka, J. (2015). ATENA Program Documentation Part 2-1 User's Manual for ATENA 2D. Prague: Červenka Consulting s.r.o.

Červenka, V., Libor , J., & Červenka, J. (2016). ATENA program Documentation Part 1 Theory. Prague:

Červenka Consulting s.r.o.

Dahlgren, A., & Svensson, L. (2013). Guidelines and Rules for Detailing of Reinforcement in Concrete Structures. Göteborg: Chalmers University of Technology, Department of Civil and Environ-

mental Engineering.

Elfgren, L. (1975). American Structural Engineering Research : A report form an academic year in the United States and Canada 1972-73. Teknisk rapport / Högskolan i Luleå, 66p. http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:995945/FULLTEXT01.pdf

fib (2010a). Model Code 2010, Volume 1. Lausanne: International Federation for Structural Concrete (fib).

fib (2010b). Model Code 2010, Volume 2. Lausanne: International Federation for Structural Concrete (fib).

Gu, X., Jin, X., & Zhou, Y. (2016). Basic Principles of Concrete Structures (Third edition uppl.). Shang-hai: Tongji University Press.

108

Isaksson, T., Mårtensson, A., & Thelandersson, S. (2017). Byggkonstruktion (3:e upplagan uppl.).

Lund: Studentlitteratur AB.

JCR. (2013). Eurocodes, Joint Reserch Center. Hämtat från https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu/show-page.php?id=12 den 17 06 2020

Mosley, B., Bungey, J., & Hulse, R. (2012). Reinforced Concrete Design to Eurocode 2 (seventh Ed.). China: Palgrave Macmillan.

Popescu, C. (2017). Carbon Fibre Reinforced Polymer (CFRP) Strengthening of Cut-Out Openings in Concrete Walls – Analysis and Laboratory Tests. PhD dissertation. Luleå University of Technol-ogy, 165 p.

http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1066546/FULLTEXT01.pdf

Rogowsky, David M., MacGregor, James G. , & Ong, S. Y. (1983). Tests of reinforced concrete deep beams. Structural Engineering Report 109. Alberta: The University of Alberta. https://era.li-brary.ualberta.ca/items/5a4a5c7b-4a7d-4b03-8493-be7b9d95c97f/view/bf8d7a71-dadd-4e44-b262-cee5deaa2203/SER109.pdf

Sabau, C. (2018). Fabric Reinforced Cement Matrix (FRCM) Composites for Strengthening Concrete Walls with Openings : Experimental and Numerical Analysis PhD dissertation. Luleå University of Technology, 258 p.

http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1249211/FULLTEXT01.pdf

SIS. (2008). Svensk Standard SS-EN 1992-1-1:2005 (1 uppl.). Stockholm: SIS Förlag AB.

Swedish Standards Institute. (2008). Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner - Del 1-1: Allmänna regler för byggnader. Stockholm: SIS förlag AB.

Xia, Y., Langelaar, M., & Hendriks, M. (2020). A critical evaluation of topology optimization results for strut-and-tie modeling of reinforced concrete. Wiley Periodicals.

i

Appendix A

Resultat utskrivet från ATENA presenteras nedan balk för balk i form av nedböjning, graf över last-nedböjning, töjning i armering, sprickor och hoptryckning av betongen.

Balk 1–1.0

Figur 82 Nedböjning av balk 1–1.0

Figur 83 Graf över nedböjning beroende på last för balk 1–1.0

F

R

ii

Figur 84 Töjningen i armeringen balk 1–1.0

Figur 85 Sprickbredd, balk 1–1.0

b, a,

a, b,

F

R

F

R

F

R

iii

Figur 86 Hoptryckning av betongen i balk 1–1.0.

Balk 2–1.0

Figur 87 Nedböjning i balk 2–1.0 för brottlast.

F

R

F

R

iv

Figur 88 Graf över nedböjning beroende av last, balk 2–1.0

Figur 89 Armering och utbredning av töjningen i balk 2–1.0 för brottlast.

F

R

v

Figur 90 Töjningen i armeringen hos balk 2–1.0 för brottlast. a, Övre del av balken. b, Undre del av balk.

Figur 91 Sprickor i balk 2–1.0 för brottlast. a, Illustration av sprickmönster. b, Illustration av sprickbredder.

a,

b,

a, b,

F

R

F

R

vi

Figur 92 Hoptryckning av betongen balk 2–1.0 för last given från Rogowsky et. al.

Balk 3–1.0

Figur 93 Nedböjning balk 3–1.0 för brottlast.

F

R

F

R

vii

Figur 94 Graf över nedböjning beroende av last för balk 3–1.0.

viii

Figur 95 Armering och fördelning av töjning i balk 3–1.0 för brottlast.

Figur 96 Töjning i armering balk 3–1.0 för brottlast. a, Överdel av balk. b, Vänster sida av un-derdel. c, Höger sida av underdel.

a,

b,

c,

F

R

ix


Figur 98 Hoptryckning av betongen i balk 3–1.0 för ca 58% av maxlasten enligt Rogowsky et al.

Balk 4–1.0

a, b,

F

R

F

R

F

R

x

Figur 99 Nedböjning i balk 4–1.0 för brottlasten.

Figur 100 Graf över nedböjning och last hos balk 4–1.0

F

R

xi

Figur 101 Armering och utbredning av töjning i balk 4–1.0 för brottlasten.

Figur 102 Töjning i armering balk 4–1.0 för brottlasten. a, Överdel av balk. b, Vänster sida av underdel. c, Höger sida av underdel.

a,

b,

c,

F

R

xii


Figur 104 Hoptryckning av betongen i balk 4–1.0 för lasten enligt Rogowsky et. al.

Balk 1–1.1

a, b,

F

R

F

R

F

R

xiii

Figur 105 Nedböjning balk 1–1.1 för brottlasten.

Figur 106 Graf över nedböjning i förhållande till last för balk 1–1.1

F

R R

xiv

Figur 107 Armering och fördelning i balk 1–1.1 för brottlasten.

F

R R

xv

Figur 108 Töjning i armeringen i balk 1–1.1 för brottlasten. a, Förtydligande av vänster överkant. b, Förtydligande av höger överkant.

Figur 109 Sprickbredd i balk 1–1.1 för brottlast.

a,

b,

c,

F

R R

xvi

Figur 110 Sprickmönster i balk 1–1.1 för brottlast.

Figur 111 Hoptryckning av i balk 1–1.1 för given last enligt Rogowsky et. al.

Balk 2–1.1

F

R R

F

R R

xvii

Figur 112 Nedböjning av balk 2–1.1 för brottlast.

Figur 113 Graf över hur lasten påverkar nedböjningen för balk 2–1.1

Figur 114 Armering och töjning av armeringen i balk 2–1.1 för brottlasten.

F

R R

xviii

§Figur 115 Sprickor i balk 2–1.1 för brottlast. a, Illustration av sprickmönster. b, Illustration av sprickbredder.

Figur 116 Hoptryckning av betongen för balk 2–1.1 för given last enligt Rogowsky et. al.

Balk 3–1.1


a, b,

F

R R

F

R R

F

R R

F

R R

xix

Figur 118 Graf nedböjning beroende av last för balk 3–1.1

Figur 119 Placering av armering och fördelning av töjningen i balk 3–1.1 för brottlasten.

F

R R

xx

Figur 120 Töjning i armering för höger sida av balk 3–1.1 för brottlasten. a, Överdel av höger sida. b, Nederdel av höger sida.

Figur 121 Sprickmönster i balk 3–1.1 för brottlasten.

a, b,

F

R R

xxi

Figur 122 Illustration av sprickbredd i balk 3–1.1 för brottlasten.

Figur 123 Hoptryckningen av betong i balk 3–1.1 för given last enligt Rogowsky et al.

Balk 4–1.1

F

R R

F

R R

xxii


Figur 125 Graf över nedböjning beroende på last för balk 4–1.1

Figur 126 Armering och töjning i balk 4–1.1 för brottlasten.

F

R R

xxiii

Figur 127 Sprickmönster i balk 4–1.1 för brottlasten.

Figur 128 Sprickbredd i balk 4–1.1 för brottlasten.

F

R R

F

R R

xxiv

Figur 129 Hoptryckning av betongen i balk 4–1.1 för given last enligt Rogowsky et. al.

F

R R

xxv

Nedan följer last och nedböjning för respektive laststeg och balk. Resultatet är utskrift från ATENA.

xxviii

xxxi

Appendix B

Samtliga beräkningar beräknas lika som presenteras i 3.2 med tillhörande ekvationer. Beräkningarna ut-förs med hjälp av Excel. Resultatet presenteras nedan i form av utskrift från excel. Förutsättningar för enkelupplagda balkar:

xxxii

Balk 1–1.0:

xxxiii

xxxiv

Balk 2–1.0:

xxxvi

Balk 3–1.0:

xxxvii

xxxviii

Balk 4–1.0:

xl

Balk EK-1.0:

Balk BBK-1.0:

xli

Förutsättningar kontinuerliga balkar:

xlii

Balk 1–1.1:

xliv

Balk 2–1.1:

xlvi

Balk 3–1.1:

xlviii

Balk 4–1.1:

l

Balk EK-1.1:

Balk BBK-1.1:

li

Om författaren

Evelina Karlsson är född den tredje maj 1996 och är uppvuxen i Piteå, Sverige. Evelina har genomgått grundutbildning i form av grundskola och gymnasium i Piteå. Hon har där-efter studerat på Luleå Tekniska Universitet, där hon läst programmet Civilingenjör väg- och vat-tenbyggnad med inriktning mot konstruktion.

Dimensionering av höga balkar av armerad betong

Documents

Transcript of Dimensionering av höga balkar av armerad betong