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DimensionamientodelotescondemandainciertaARTICLEJUNE2004

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VictorAlbornozUniversidadTcnicaFedericoSantaMara44PUBLICATIONS62CITATIONS

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Dimensionamiento de lotes con demanda incierta.1

Vctor M. Albornoz

Ingrid L. Bohn

Mara F. de la Maza

Departamento de Industrias

Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Av. Santa Mara 6400. Santiago

Resumen

En el presente trabajo se aborda la resolucin de un problema de dimensionamiento de lotes con incertidumbre en las demandas. Modelada la incertidumbre a travs de un conjunto finito de escenarios, definidos sobre todo el horizonte de planificacin, se propone un modelo de programacin estocstica para el problema abordado. El modelo propuesto resulta naturalmente de mucho mayor tamao que un modelo determinista para el mismo problema. De este modo, al hacer uso de un software estndar de programacin entera, el modelo no puede ser resuelto a optimalidad en su formulacin original, esencialmente por falta de memoria. Lo anterior motiva el estudio de estrategias alternativas de resolucin. En este artculo, en particular, se emplea la reformulacin equivalente propuesta por Eppen y Martin. Se muestra los resultados en la resolucin de un problema especfico bajo distintos conjuntos de escenarios, seguido del clculo del valor de la informacin y un anlisis de sensibilidad con diferentes distribuciones de probabilidad y con distintos costos de setup, empleando el software AMPL/CPLEX.

1 Trabajo parcialmente financiado por FONDECYT, Proyecto de Investigacin No.1990106, y por la

Universidad Tcnica Federico Santa Mara, Proyecto de Investigacin USM No. 28.02.21

1. Introduccin

En la actualidad, las empresas enfrentan mercados cada vez ms complejos y competitivos que permite observar un inters creciente por abordar diferentes problemas de logstica de la produccin y de los servicios mediante el uso de modelos de optimizacin, como parte de los sistemas integrados de planificacin y administracin. En particular, en problemas de planificacin de la produccin en procesos de manufactura, se contempla usualmente modelos de optimizacin que tienen por objetivo proveer una poltica ptima de produccin, sobre un cierto horizonte de planificacin, de modo tal de minimizar costos y, simultneamente, satisfacer ciertos requerimientos estimados de demanda.

Con el propsito de entregar una adecuada solucin al tomador de decisiones, en muchas situaciones se hace indispensable adems la incorporacin explcita de la incertidumbre presente en las demandas y costos del problema, para una correcta formulacin del mismo. La Programacin Estocstica, a travs de los modelos denominados con recurso, provee una metodologa para llevar a cabo este propsito, que mediante la resolucin de un modelo de optimizacin entrega una poltica ptima implementable, tomando en cuenta cada escenario particular.

En caso de considerar una demanda y costos conocidos, un modelo (determinista) de dimensionamiento de lotes provee una solucin ptima en los niveles de produccin de uno o mltiples productos, en un nmero finito y discreto de periodos, de modo de satisfacer los requerimientos de demanda. El modelo considera la minimizacin de los costos (variables) de produccin y mantenimiento de unidades en inventario y tambin ciertos costos fijos (setups), pudiendo considerar adicionalmente la disponibilidad de ciertos recursos escasos. En presencia de incertidumbre, modelada esta ltima a travs de un conjunto finito de escenarios definidos sobre todo el horizonte de planificacin, en este trabajo se formula y resuelve un modelo con recurso que provee una solucin ptima tomando en cuenta cada escenario de modo de minimizar los costos esperados de produccin, inventario y setup, y simultneamente dar cumplimiento a los requerimientos de demanda, limitaciones en la disponibilidad de recursos y un conjunto adicional de restricciones que dan origen a una solucin ptima implementable, en el sentido de que a escenarios de demanda idnticos hasta un cierto periodo, todas las decisiones adoptadas hasta ese periodo deben resultar tambin idnticas para los respectivos escenarios.

Enseguida, se extiende el uso de la redefinicin de variables desarrollada por Eppen y Martin, para un modelo determinista de dimensionamiento de lotes, a un modelo de programacin estocstica con recurso en variables entera-mixta. Como se podr apreciar, el empleo de la

reformulacin de Eppen y Martin resulta ms eficiente que la simple resolucin del modelo propuesto en su formulacin original, haciendo uso en ambas situaciones de un software de propsito general para problemas de programacin entera, como los que provee AMPL/CPLEX. Por ltimo, se muestra los resultados alcanzados en la resolucin de diferentes instancias de un problema de prueba con datos reales, que contempla escenarios de demanda, y se establecen las principales conclusiones y posibles extensiones del presente trabajo.

2. Problema de dimensionamiento de lotes

La planificacin de la produccin tiene por propsito proveer una poltica de produccin que permita decidir cundo y cunto elaborar cada producto frente a una demanda comnmente fluctuante en el tiempo. Estos planes pueden desarrollarse en horizontes de planificacin de largo, mediano y corto plazo, cada uno de los cuales es subdividido en un cierto nmero de periodos. En cualquiera de los casos, estos planes se usan comnmente en un esquema de horizonte rodante, que si bien considera todos los periodos del horizonte de planificacin, slo recoge las soluciones del primer periodo. Una vez concluido este, el modelo se vuelve a resolver agregando un nuevo periodo al final del horizonte (manteniendo fijo as el nmero total de periodos), lo cual permite introducir, de ser necesarios, cambios en los parmetros asociados a periodos futuros que enfrentan una incertidumbre creciente conforme se alejan del primer periodo de planificacin.

En un horizonte de planificacin de largo plazo, los periodos son anuales y las decisiones se relacionan principalmente con la capacidad, como construir una nueva planta o expandir una existente, y con los productos, si se eliminan o se crean determinadas lneas de productos. Por su parte, en un horizonte de mediano plazo los periodos generalmente son meses o trimestres y las decisiones estn vinculadas a niveles de elaboracin de productos finales o familias de productos, niveles de inventario, cambios en la fuerza de trabajo, subcontratacin y tiempos extras. Esto permite adicionalmente conocer los requerimientos de materia prima para as firmar contratos con los principales proveedores. Estos planes de mediano plazo se conocen como Planificacin Agregada de la Produccin y corresponden a decisiones a un nivel tctico en la firma. Por ltimo, en un horizonte de corto plazo comnmente los periodos corresponden a das o semanas y las decisiones (operacionales) se relacionan con en las cantidades de cada producto final, subensambladas y partes, se dan detalles a los proveedores para que entreguen las cantidades establecidas de materias primas en fechas especficas y se decide qu hacer en cada mquina o

taller. Los sistemas modernos de planificacin de la produccin llaman a esto un Plan Maestro de la Produccin (MPS), cuyo desglose para cada componente de un producto final se hace usando la Planificacin de Requerimientos de Materiales (MRP).

En la actualidad, y debido principalmente a los recientes avances en Tecnologas de la Informacin, las compaas llevan a cabo estos planes en un esquema integrado de planificacin y administracin con el resto de la organizacin, incluyendo a veces hasta los mismos proveedores. Los sistemas ms estudiados y utilizados como parte de este esquema ms global de planificacin son el MRP II, la Produccin Justo a Tiempo (Just In Time, JIT), la Tecnologa de Produccin Optimizada (OPT) y ERP (Enterprise Resource Planning). Ahora bien, los modelos de optimizacin, como los de dimensionamiento de lotes estudiados en el presente artculo, son fundamentales para identificar planes ptimos de produccin y, de hecho, estn siendo incluidos en forma creciente a travs de mdulos en software desarrollados para implementar estos sistemas.

Si la produccin es para inventario, como es el caso de una empresa de electrodomsticos como CTI (ver Gazmuri et al. 1992 y Gazmuri y Maturana, 2001), la compaa elabora esencialmente un nmero no muy elevado de productos finales muy estndares y debe dimensionar los lotes de productos finales, manteniendo existencias de la mayor parte de sus productos. Existen diversos modelos de optimizacin para hallar lotes ptimos de produccin de uno o mltiples productos sobre un cierto horizonte de planificacin. En este artculo, para simplificar su presentacin, se considera un modelo bsico no capacitado de dimensionamiento de lotes, conocido como el modelo de Wagner-Whitin (1958), que ser extendido para las distintas formulaciones que incluyen la presencia de escenarios de demanda.

El modelo de Wagner-Whitin asume un horizonte de planificacin finito y discreto, con demandas, costos marginales de produccin e inventario y/o costos de setup constantes pero variando en el tiempo y, supone que no existe ningn tipo de restriccin en cuanto a la utilizacin de recursos como maquinaria y/o mano de obra. La solucin ptima propuesta para este problema, busca por una parte resolver el conflicto entre producir grandes lotes, para amortizar los costos de setup, o producir pequeas cantidades ajustadas a la demanda, para tener bajo costo de inventario, de modo que los costos de setup y manejo de inventario sean pequeos. No existiendo interdependencia entre tems, debido a la ausencia de restricciones de capacidad, el dimensionamiento de lotes puede ser realizado para cada tem separadamente.

Ms precisamente, el objetivo principal del problema consiste en determinar los lotes de produccin para un producto en T periodos, de modo de minimizar los costos de produccin, inventario y setup y, simultneamente, satisfacer la demanda del producto en cada periodo. La demanda es conocida y se asume que debe ser satisfecha completamente en cada uno de los

periodos, no permitindose la existencia de unidades de faltante o de demanda pendiente. Las variables de decisin del modelo corresponden a:

:x t produccin en el periodo t, con t=1,...,T.

:I t nivel de inventario al final del periodo t, con t=1,...,T.

:y t variable binaria de setup del periodo t, que toma el valor 1 si se fabrica el producto

en el periodo t y 0 sino, con t=1,...,T.

En consecuencia, el modelo de Wagner-Whitin puede ser formulado de acuerdo al siguiente modelo lineal de programacin entera-mixta:

Min = = =

++T

1t

T

1t

T

1ttttttt yrIhxv (1)

s.a. ttt1t dIxI =+ T,..1t = (2) ttTt ydx T,..1t = (3) 0I0 = (4) { }1,0y,0I,0x ttt T,..1t = (5)

En el modelo (1)-(5), la funcin objetivo contempla la suma de los costos totales de produccin, con un costo unitario tv de produccin en el periodo t, de inventario, con un costo th

de mantenimiento de inventario de una unidad al final del periodo t, y de setup, con tr el costo de

setup para el periodo t, con t=1,...,T. La restriccin (2) establece, mediante la produccin de unidades y las existencias en inventario, el cumplimiento de los requerimientos de demanda td en

cada periodo del horizonte de planificacin t=1,...,T. En la restriccin (3), el trmino tTd representa

una cota superior del nivel de produccin en el periodo t, considerando en este caso =

=T

ti itTdd ,

que corresponde a la demanda acumulada desde el periodo t hasta T. Este valor provee, en ausencia de restricciones de capacidad y bajo el supuesto de no permitir unidades de faltante, la mejor cota superior para el nivel de produccin en cada periodo t. La inclusin de esta restriccin permite

representar la insercin de los costos fijos de setup en la funcin objetivo para cada periodo. En efecto, si la produccin 0x t > , para el cumplimiento de (3) necesariamente la variable binaria

1y t = , en caso contrario, si 0x t = , por costos 0y t = . Adicionalmente, la restriccin (4) supone

Figura 1. Problema de ruta ms corta.

0 1 2 3

un nivel de inventario inicial nulo y la restriccin (5) impone decisiones no negativas de produccin e inventario.

Por otra parte, el modelo (1)-(5) fue reformulado por Eppen y Martin esencialmente como un problema de Ruta ms Corta. Esta reformulacin hace uso de la estructura especial que posee la solucin ptima del problema determinista de dimensionamiento lotes no capacitado: primero, que las decisiones (ptimas) no nulas de produccin estn asociadas a periodos en los cuales el inventario al inicio del periodo es cero y, segundo, como consecuencia de lo anterior, que la produccin (ptima) en un determinado periodo t es nula o corresponde a la demanda acumulada desde el periodo t hasta algn periodo (futuro) k, con tkT, es decir { }tTt1t d,...,d,0x para t=1,...,T con

=

=

k

tj jtk dd para tkT.

A modo de ejemplo, se considera un problema con T=3 periodos de planificacin. El respectivo problema de ruta ms corta est asociado a una determinada red dirigida (Figura 1), con un nodo auxiliar 0 de origen y nodos 1, 2 y 3 que representan los respectivos periodos de produccin. Usando la mencionada estructura que posee la solucin ptima, se asocia al arco (0,1) una decisin de produccin del periodo 1 que equivale a la demanda de ese periodo, al arco (0,2) una decisin de produccin en el periodo 1 que equivale a la demanda del periodo 1 y 2, al arco (0,3) una decisin de produccin en el periodo 1 que equivale a la demanda del periodo 1, 2 y 3, a su vez al arco (1,2) una decisin de produccin en el periodo 2 que equivale a la demanda del periodo 2, al arco (1,3) una decisin de produccin en el periodo 2 que satisface la demanda del periodo 2 y 3 y, finalmente, al arco (2,3) una decisin de produccin en el periodo 3 que equivale a la demanda del periodo 3. Dado lo anterior, para cada uno de los arcos (i,j) de la red se puede definir un costo positivo (de produccin, inventario y setup) asociado a la respectiva decisin de produccin en dicho arco. De este modo, la ruta ms corta del nodo 0 al nodo 3 provee precisamente la solucin ptima del problema.

Ms generalmente, para el modelo (1)-(5) se define una red con un conjunto de nodos 0,1,...,T y un conjunto de arcos (i,k) para i=0,1,...,T-1 y k=i+1,...,T; asociado a cada uno de estos arcos (i,k) hay un costo tkT tj jtik d)h(vc =+= , correspondiente al costo de producir (y almacenar)

tkd unidades en el periodo t=i+1 para satisfacer las respectivas demandas desde el periodo t hasta el

periodo (futuro) k. Por otra parte, el modelo reformulado contempla, por cada arco (i,k) de la red, una variable de decisin binaria zik, que indica si la ruta ms corta del nodo 0 al nodo T pasa o no por el arco (i,k), o en otras palabras si la produccin en t=i+1 equivale a la demanda del periodo t hasta el periodo k, y conserva la variable binaria de setup yt para cada periodo t=1,...,T. Con todo lo anterior, el modelo propuesto para el problema no capacitado de dimensionamiento de lotes, segn la redefinicin de Eppen y Martin, resulta ser:

Min KyrzcT

1iii

1T

0i

T

1ikikik +

=

= +=

(6)

s.a. 1zT

1kk0 =

=

(7)

0zz1i

0jji

T

1ikik =

=+=

1T,...0i = (8)

1i

T

1ikik yz +

+=

1T,...0i = (9)

}1,0{z ik ; }1,0{y i (10)

La funcin objetivo (6) minimiza los costos de produccin, inventario y setup, donde la constante K=t=1,T htd1t. La restriccin (7), obliga a definir una solucin de produccin en el primer periodo, o equivalentemente a definir una ruta que salga del nodo cero (origen) a travs de un slo arco. La restriccin (8), corresponde a este mismo hecho para los periodos intermedios t=1,...,T-1, que en trminos de un problema de ruta ms corta establece que si una ruta llega a un nodo intermedio tambin debe salir una ruta desde ese nodo. La restriccin (9), relaciona la decisin de produccin en un periodo particular con la correspondiente variable de setup. Adems, impone que fijado el valor de i, a lo ms slo una de las variable zik tome el valor 1 de entre todos los valores posibles de k, que define, en caso de producir, aquella nica decisin no nula de produccin en el periodo t=i+1, de acuerdo a los posibles valores que puede tomar la solucin ptima en ese periodo.

La ventaja que presenta esta nueva formulacin es que permite recuperar la solucin ptima al modelo (1)-(5) mediante la simple resolucin de la relajacin lineal del modelo (6)-(10), como consecuencia del resultado establecido en la proposicin 4.1 del citado artculo de Eppen y Martin y

el hecho que xt = k=t,T dtk zt-1 k e It = ( i=1,t xi ) - d1t para cada t=1,...,T. Cabe hacer notar que un resultado similar puede ser obtenido para el problema con restricciones de capacidad, pero en este caso la equivalencia se logra conservando ahora la integralidad de la variable de setup.

Por otra parte, diversos autores han considerado extensiones al modelo (1)-(5). As por ejemplo entre una larga lista de artculos, Manne (1958) formul el problema capacitado de dimensionamiento de lotes para mltiples productos, esto es un modelo que considera la elaboracin de varios productos y que, al mismo tiempo, toma en cuenta la disponibilidad en cada periodo de uno o ms recursos limitados que se usan para elaborar todos o una parte de los productos considerados en el problema. Zangwill (1966) extendi (1)-(5) a un modelo con demanda pendiente, esto es un modelo donde en cada periodo no necesariamente se satisface toda la demanda pudiendo dejar unidades pendientes para un periodo futuro, considerando por supuesto un costo en cada periodo por total de unidades no satisfechas hasta ese periodo. Crowston y Wagner (1973) lo extendieron a un modelo de dimensionamiento de lotes con mltiples niveles de ensamblaje, esto es un modelo donde no slo se consideran decisiones (niveles produccin e inventario) respecto de productos finales sino tambin sobre partes y componentes, conocida la estructura de cada item en trminos de la interdependencia entre ellos. Karmarkar et al. (1987) y, ms recientemente, Wolsey (1989) lo extendieron a uno que adems contabiliza costos fijos de puesta en marcha cada vez que se inicia la produccin de un producto sobre un intervalo de periodos consecutivos, esto es un modelo en que si se elabora por ejemplo un mismo producto en cada uno de los primeros cinco periodos, se paga adems del costo fijo de producir en cada uno de los cinco periodos un costo fijo de puesta en marcha en el primer periodo. Otras referencias de inters pueden consultarse

adicionalmente en Salomn (1991), Graves et al. (1993) y Drexl and Kimms (1997). En este trabajo, en cambio, se considera a continuacin un modelo de dimensionamiento de lotes que incorpora explcitamente la presencia de un nmero finito de escenarios de demanda que extiende el modelo (1)-(5) y cuya posterior extensin a algunas situaciones ms generales como las descritas arriba resulta natural.

3. Modelo de dimensionamiento de lotes bajo incertidumbre

En diversas situaciones resulta ms realista considerar las demandas futuras como un parmetro bajo condiciones de incertidumbre y, en consecuencia, se busca incorporar por ejemplo diversos escenarios y, por lo mismo, estudiar una manera de formular, resolver y analizar modelos de optimizacin con parmetros no determinista. La Programacin Estocstica agrupa la literatura

relacionada con la incorporacin explcita de la incertidumbre y el riesgo en modelos de optimizacin, ver por ejemplo Birge and Louveaux (1997), Sen and Higle (1999), para un tutorial en el caso de modelos lineales, y Ruszczynski and Shapiro (2003) para una revisin ms

recientemente de modelos, mtodos y aplicaciones. Esta rea extiende los modelos deterministas de

Programacin Lineal, Entera y No-Lineal al incluir explcitamente variables aleatorias en los parmetros del modelo, considerando tpicamente la maximizacin o minimizacin de funciones en valor esperado y/o de varianzas o momentos de segundo orden. En particular, un modelo con recurso de programacin estocstica calcula una solucin ptima en la cual es posible distinguir, en cada etapa, variables de decisin cuyo valor debe ser obtenido antes de la realizacin del parmetro aleatorio al final de la etapa, esto es independiente de la realizacin de cada escenario particular y variables llamadas de recurso, cuyo valor depende tanto de las variables ya mencionadas como del escenario particular. Todo lo anterior permite dar la flexibilidad necesaria al modelo propuesto

como una manera de enfrentar esta incertidumbre. El modelo (1)-(5), o su reformulacin equivalente (6)-(10), puede ser visto como un modelo resultante al reemplazar el valor de la demanda aleatoria por su valor esperado. Por su parte, los resultados alcanzados pueden ser muy diferentes de los que arrojara un modelo de programacin estocstica, lo cual es particularmente notorio cuando existen importantes variaciones en torno del valor esperado. De este modo, al no incluir explcitamente estas variaciones en un modelo se obtiene soluciones muy optimistas que en la prctica invalidan su implementacin de resultar finalmente escenarios de demandas futuras muy diferentes del promedio. En lo que sigue, se formula un modelo de programacin estocstica que extiende el modelo

(1)-(5) al considerar la presencia de diversos escenarios de demanda, definidos sobre todo el horizonte de planificacin. Para este propsito, se considera un nmero finito de escenarios

={1,...,S}, denotando por std la demanda para el periodo t, con t=1,..,T, bajo el escenario s. Cada escenario s tiene a su vez una probabilidad de ocurrencia que se denotar por ps, valores

que naturalmente satisfacen 1ps

s= , con 0p

s .

Adicionalmente, se definen nuevas variables de produccin, inventario y setup para cada escenario de demanda. Al escoger las decisiones por escenario, se tiene un modelo que permite una

mayor flexibilidad al tomador de decisiones y, al mismo tiempo, permite la existencia de soluciones factibles. Ms especficamente, el modelo propuesto para el problema de dimensionamiento de lotes no capacitado con escenarios de demanda, contempla las siguientes variables de decisin:

:x st produccin en el periodo t para el escenario s, con t=1,...,T y s ,

:I st inventario al final del periodo t para el escenario s, con t=1,...,T y s ,

:y st variable binaria de setup del periodo t para el escenario s, con t=1,...,T y s ,

Escenario 1

Escenario 2

Escenario 3

Escenario 4

Escenario 8

Escenario 7

Escenario 6

Escenario 5

Escenario 9

Figura 2: Arbol de 9 escenarios de demanda

Etapa 1 Etapa 3Etapa 2

y corresponde al siguiente modelo lineal de programacin estocstica con recurso:

Min )yrIhxv(pT

1t

T

1t

T

1t

stt

stt

stt

n

1s

s = = ==

++ (11)

s.a. st

st

st

s1t dIxI =+ s,...,T;1t = (12)

sttT

st ydx s,...,T;1t = (13)

0I s0 = s (14) NN,yIN,x sss (15)

{ }1,0y,0I,0x ststst s,...,T;1t = (16)

La funcin objetivo en (11) corresponde a minimizar el valor esperado de los costos de produccin, inventario y setup. Como antes, la restriccin (12) representa los requerimientos de demanda, definidos ahora para cada periodo y escenario, la restriccin (13) permite la inclusin de los costos fijos de setup, (14) asume un inventario inicial nulo para cada escenario y (16) la no-negatividad de las variables de decisin. En tanto, (15) seala que las decisiones adoptadas debern satisfacer un conjunto de restricciones adicionales llamadas de no-anticipatividad, que no permiten la separabilidad del modelo por escenarios. Introducidas originalmente por Wets (1975), estas restricciones permiten obtener soluciones implementables en el siguiente sentido: si dos escenarios

diferentes s y s, son idnticos hasta la etapa , con 1 , entonces hasta esa etapa las decisiones

de produccin, de inventario y de setup, para t=1,...,, debern ser idnticas y se denota por N el

conjunto de las decisiones que satisfacen dichas restricciones.

As por ejemplo, en un problema de produccin con tres etapas y 9 escenarios de demanda, ver Figura 2, en la primera etapa se toma la misma demanda para los 9 escenarios, en la segunda se asume tres valores diferentes de la demanda, uno de cuyos valores es el mismo para los escenarios

1, 2 y 3 y anlogamente para los escenarios 4, 5 y 6 y los escenarios 7, 8 y 9. En el ejemplo, las restricciones de no-anticipatividad imponen que en la primera etapa la produccin de esa etapa sea la misma para cualquier escenario. Por su parte, en la segunda etapa la produccin debe ser la misma para los escenarios 1, 2 y 3 y anlogamente para los escenarios 4, 5 y 6 y los escenarios 7, 8 y 9 con los respectivos valores de demanda en ese periodo.

El modelo propuesto est muy relacionado con algunos trabajos previos en el mbito de problemas de planificacin de la produccin, como por ejemplo el artculo de Escudero et al. (1993), que presenta diversos modelos de programacin estocstica en problemas capacitados de produccin, y el artculo de Albornoz y Contesse (1999), que considera diferentes modelos de programacin estocstica para problemas de planificacin agregada de la produccin, todos los cuales presentan adicionalmente algunas estrategias algortmicas de resolucin.

Una caracterstica comn de esta clase de modelos de optimizacin bajo condiciones de incertidumbre, como el formulado en (11)-(16), es el nmero mucho mayor tanto de variables como de restricciones respecto de un modelo determinista, como el modelo (1)-(5). Esto hace necesario considerar estrategias adecuadas de resolucin y, de hecho, existe un gran nmero de algoritmos que pueden ser empleados para esta clase de problemas, ver por ejemplo Ermoliev and Wets (1988), Birge and Louveaux (1997) y Ruszcynski and Shapiro (2003), todas como alternativas al empleo de un software de propsito general para problemas en variables entera-mixta.

En este artculo, en cambio, se extiende el uso de la redefinicin de variables propuesta por Eppen y Martin para el problema determinista, introducida en la seccin 2, a un modelo con escenarios de demanda. La reformulacin considerada es tal que los valores de las nuevas variables corresponden a una solucin factible de produccin, inventario y setup, es decir no se crean nuevas soluciones factibles a travs de la redefinicin, al redefinir las variables no se pierde la solucin ptima del problema original y, por ltimo la redefinicin constituye una mejor aproximacin del modelo original en variables entera-mixta, en el sentido que la relajacin lineal del problema reformulado (aplicando una transformacin al espacio correspondiente de las variables originales) resulta una mejor aproximacin de la envoltura convexa del problema, respecto de la relajacin lineal del modelo en su formulacin original.

Basados en el modelo (6)-(10), se contempla las siguientes variables de decisin:

=

+==

+=

sy T ..., 1, con t s,escenarioelentperiododelsetupdebinariavariable:sty

sT;1,..,ik1;T0,..,isino0

sescenarioel parak,periodoelhastademandalasatisfacerpara1itperiodoelenproducesesi1

:sikz

de donde el modelo reformulado para el problema con escenarios de demanda, basado en la redefinicin de Eppen y Martin, resulta ser:

Min K)yrzc(pT

1t

stt

1T

0i

T

1ik

sik

sik

n

1s

s+

=

= +==

(17)

s.a. =

=

T

1k

sk0 1z s (18)

0zz1T

0j

sjt

T

1ik

sik =

=+=

s;1,...,T1i = (19)

+=

+T

1ik

s1i

sik yz

s;1,...,T0i = (20)

=

=

=

T

tl

s'l,1ttl

T

tk

sk,1ttk zdzd

T,...,1tconthastaidnticoss'ys = (21)

{ } { }1,0y,1,0z stsik s,T,...,1ik,1,...,T0i +== (22)

Como en (11), la funcin objetivo (17) incluye los costos esperados de produccin, inventario y setup, donde stk

T

tj jtsik d)h(vc

=

+= para t = i + 1, con i = 0,...,T-1, k = i + 1,....,T y

la constante )dh(pK T1t 1tts

s =

= . Las restricciones (18), (19) y (20) simplemente expresan lo

mismo que (12), (13) y (14) ahora para cada escenario, respectivamente. Por su parte, la restriccin (21) representa de manera explcita las restricciones de no-anticipatividad para las decisiones asociadas a la produccin en cada periodo o etapa donde coincidan dos o ms escenarios de demanda hasta dicho periodo o etapa. Se ha omitido las restricciones de no-anticipatividad sobre la variable de setup pues estas naturalmente se cumplen al ser impuestas sobre las decisiones de produccin. Como se seal anteriormente, la redefinicin de variables de Eppen y Martin permite recuperar la solucin ptima del problema determinista mediante la resolucin de la relajacin lineal del modelo (6)-(11). Es importante hacer notar que en presencia de las restricciones de no-anticipatividad como de restricciones de capacidad este ya no es el caso. Sin embargo, la solucin ptima del problema en estos casos puede ser obtenida a partir de (17)-(22) relajando al menos la integralidad de las variables ziks, resultado que se deduce a partir de la proposicin 2.2 en Eppen y Martin (1987). Las experiencias numricas, resumidas en la siguiente seccin, confirman esto ltimo de modo que el modelo reformulado provee una mejor aproximacin de la envoltura convexa del problema (11)-(16), hecha la respectiva transformacin al espacio que definen las

variables de produccin, inventario y setup, respecto de la relajacin lineal del modelo en su reformulacin original.

Por ltimo, hacemos notar que a partir de la solucin ptima del modelo (17)-(22) puede obtenerse fcilmente la solucin ptima en las variables originales, definiendo simplemente en cada

periodo t la solucin ptima de produccin por s k,1tT

tks

tks

t zdx =

= y el nivel de inventario al final

del periodo t por st1t

1is

is

t dxI ==

, para cada t=1,...T.

4. Ejemplo computacional

A fin de poder comparar la calidad de la reformulacin utilizada en la resolucin de un modelo de dimensionamiento de lotes con escenarios de demanda, se tomar un ejemplo con un horizonte de planificacin de T= 6 meses que contempla la elaboracin de 9 productos, conocidos los costos unitarios de produccin, de mantenimiento de una unidad en inventario y de setup, para cada producto y en cada periodo del horizonte considerado. Los datos fueron tomados de un problema de naturaleza real y corresponde a la planificacin de una planta de refrigeradores de la empresa CTI, estudiado originalmente para el caso determinista en Gazmuri et al. (1993). Los distintos modelos estocsticos resueltos en este trabajo contemplan el uso de diferentes conjuntos de escenarios de demanda. En cada caso, los escenarios resultan de hacer todas las combinaciones posibles considerando tres posibilidades en cada una de las etapas en las cuales se han reagrupado los diferentes periodos del horizonte de planificacin, con excepcin de la primera etapa que siempre corresponder al primer periodo y cuyo valor asumimos est exento de incertidumbre. De igual modo, se supone conocidas las probabilidades para cada una de estas tres posibilidades por etapa, que podramos asociar como demandas alta, media y baja, asumiendo adicionalmente la independencia de estas demandas entre etapas. Se consideran modelos estocsticos con 3 y 9 escenarios de demanda, correspondientes a problemas con 2 y 3 etapas, respectivamente. Estas etapas resultan de agrupar en la ltima los 5 y 4 ltimos meses del horizonte de planificacin, respectivamente. Por ejemplo, en un problema con 9 escenarios de demanda, ver figura 2, en la etapa 1 (periodo 1) se asume slo un valor para la demanda, en la etapa 2 (periodo 2) se considera tres posibilidades (una demanda alta, media y baja) y en la etapa 3 (periodo 3 en adelante) se consideran nuevamente tres posibilidades para las demandas de toda la etapa. Asumiendo la independencia de las demandas entre etapas, al hacer

todas las combinaciones posibles de los diferentes valores entre las tres etapas resultan los nueve

escenarios que aparecen en la Figura 2.

La Tabla 1 muestra como fueron agrupadas las distintas etapas, en trmino de los periodos que incluyen, meses numerados del 1 al 6, y el tamao de los modelos abordados.

Determinista 3 escenarios 9 escenarios Nmero de etapas 1 2 3

Meses en cada etapa 1 - 6 1, 2 - 6 1, 2, 3 - 6

162 variables 486 variables 1.458 variables Modelo formulacin original 54 binarias 162 binarias 486 binarias

177 restricciones 585 restricciones 1.908 restricciones

378 variables 1.134 variables 3.402 variables Modelo de Eppen-Martin 54 binarias 162 binarias 486 binarias

168 restricciones 540 restricciones 1.359 restricciones

Tabla 1. Tamao de los problemas resueltos

Los diferentes modelos considerados en este trabajo fueron formulados empleando el lenguaje de modelado algebraico AMPL, Fourer et al. (2003), utilizando en todos los casos el solver CPLEX 6.0 para la resolucin de los distintos modelos lineales en variable entera-mixta. Por su parte, la Tabla 2 muestra los valores de la funcin objetivo alcanzados en la evaluacin de la mejor solucin entera encontrada por el solver CPLEX, correspondiendo ms especficamente al valor

ptimo en el caso del modelo reformulado, de acuerdo a la redefinicin de Eppen y Martin (17)-(22), y a un valor con un cierto error respecto del valor ptimo, gap de dualidad, para los problemas en su formulacin original (11)-(16), que no pudieron ser resueltos a optimalidad con escenarios.

Determinista 3 escenarios 9 escenarios Modelo Original 7.103.615 7.104.383 7.105.456

Modelo de Eppen-Martin 7.103.615 7.104.308 7.105.451 Tabla 2. Valor de la funcin objetivo (en M$)

Por otra parte, la Tabla 3 resume los tiempos de ejecucin requeridos por el solver CPLEX, para alcanzar los valores dados en la tabla anterior, usando un computador Cluster 8 AXP 3700.

3 escenarios 9 escenarios Modelo en su formulacin original 10,237 9,768 Modelo redefinido Eppen-Martin 0,930 6,750

Tabla 3. Tiempo de CPU (en segundos)

Modelo estocstico con 9 escenariosVariaciones en el costo de setup

7.060.0007.070.0007.080.0007.090.0007.100.0007.110.0007.120.0007.130.000

Caso1

Caso2

Caso3

Caso4

Caso0

Caso5

Caso6

Caso7

Caso8

Modelo estocstico con 9 escenariosVariacin en la distribucin de probabilidad

7.104.6007.104.8007.105.0007.105.2007.105.4007.105.6007.105.800

Caso 1 Caso 2 Caso 0 Caso 3 Caso 4

A continuacin, se muestran algunas grficas que permiten apreciar la robustez de esta clase de modelos, al llevar a cabo un anlisis de sensibilidad respecto tanto de las probabilidades consideradas como de los costos de setup usados en los distintos modelos.

Figura 3. Valores de la funcin objetivo para 5 distribuciones de probabilidad (M$).

En efecto, la Figura 3 muestra que el valor ptimo es poco sensible a los cambios en la distribucin de probabilidad asignadas a la demanda aleatoria. Estos valores son los arrojados para el modelo con 9 escenarios considerando 5 elecciones de las mismas.

Figura 4. Valores de la funcin objetivo para 9 costos de setup (M$). De igual forma, la Figura 4 permite observar que las variaciones porcentuales de la funcin

objetivo frente a cambios en el setup no son significativas, ya que ante un aumento del 130% en el valor del setup (respecto del menor valor considerado), la funcin objetivo solo vara un 0,5%. Por ltimo, es posible calcular el Valor Esperado de la Informacin Perfecta, que denotamos por EVPI (expected value of perfect information), definido como la diferencia entre el promedio de los valores alcanzados por la funcin objetivo del modelo determinista para cada escenario particular y

el valor ptimo del modelo estocstico que incluye estos mismos escenarios. Esta expresin

corresponde al mximo valor que est dispuesto a pagar el tomador de decisiones por conocer la informacin del futuro, Birge (1995). La tabla que sigue resume los valores ptimos del modelo determinista para cada uno de los nueve escenarios considerados en este trabajo, junto con el promedio de estos valores, el valor ptimo del modelo estocstico y el valor esperado de la informacin perfecta.

Valor ptimo Modelo demanda extremadamente baja 6.291.643 Modelo demanda muy baja 6.464.038 Modelo demanda baja 6.634.981 Modelo demanda regularmente baja 6.932.223 Modelo demanda media 7.103.615 Modelo demanda regularmente alta 7.275.823 Modelo demanda alta 7.573.398 Modelo demanda muy alta 7.742.477 Modelo demanda extremadamente alta 7.917.451 Promedio (WS) 7.103.961 Modelo Estocstico (RP) 7.105.451 EVPI = RP - WS 1.490

Tabla 4. Valor de la Funcin Objetivo para 9 escenarios (en M$)

Los resultados alcanzados establecen, por una parte, la validez de esta clase de modelos para enfrentar la incertidumbre en las demandas futuras del problema y, por otra parte, la conveniencia de la utilizacin de una tcnica especfica como la redefinicin de variables de Eppen y Martin. Lo anterior se hace ms evidente al destacar que slo se pudo resolver a optimalidad los modelos con tres y nueve escenarios empleando la tcnica de redefinicin de variables, en tanto con la formulacin original esto no fue posible por falta de memoria en la aplicacin del algoritmo de Branch and Bound con que cuenta el solver CPLEX. De igual modo, los resultados coinciden de alguna forma con lo obtenido por Albornoz et al. (2001) que aplicaron otra conocida redefinicin de variables a diversos problemas de dimensionamiento de lotes.

5. Conclusiones

En este artculo se formula y resuelve problemas de dimensionamiento de lotes con demanda bajo incertidumbre, mediante el uso de la redefinicin de variables propuesta por Eppen y

Martin, extendiendo as su aplicacin del caso determinista a modelos lineales de programacin

estocstica, con un nmero finito de escenarios. Los resultados obtenidos muestran que la utilizacin de la redefinicin de Eppen y Martin permite resolver modelos de mayor tamao, en menor tiempo y alcanzando la solucin ptima del problema respecto de la resolucin del modelo en su formulacin original, empleando en ambos casos un solver estndar de problemas lineales en variable entera-mixta.

El anlisis de sensibilidad realizado con uno de los modelos abordados tambin muestra que los valores ptimos no cambian significativamente al modificar, por separado, tanto las probabilidades de los escenarios como los costos de setup y de inventario, que muestran la

estabilidad de esta clase de modelos frente a perturbaciones en alguno de los parmetros del modelo.

Posibles extensiones del presente trabajo consisten en aplicar la redefinicin de variables de Eppen y Martin a la resolucin de modelos de dimensionamiento de lotes con demandas pendientes, mltiples productos y restricciones de capacidad sobre los recursos disponibles, como as tambin la combinacin de estas tcnicas de redefinicin de variables con mtodos de descomposicin por escenarios, que a nivel de subproblemas permitan recuperar modelos similares a los modelos determinista de dimensionamiento de lotes.

6. Referencias Bibliogrficas

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