Dimension Induced Clusteringtsap/publications/kdd05_dic.pdf · &3vt1 < z.0 1 `* !' b ! i % u v ' v...

10
Dimension Induced Clustering Aristides Gionis Basic Research Unit, HIIT University of Helsinki, Finland Alexander Hinneburg * Department of Computer Science Martin-Luther-University Halle, Germany Spiros Papadimitriou Department of Computer Science Carnegie Mellon University, USA Panayiotis Tsaparas Basic Research Unit, HIIT University of Helsinki, Finland ABSTRACT m 1. INTRODUCTION * Permission to make digital or hard copies of all or part of this work for personal or classroom use is granted without fee provided that copies are not made or distributed for profit or commercial advantage and that copies bear this notice and the full citation on the first page. To copy otherwise, to republish, to post on servers or to redistribute to lists, requires prior specific permission and/or a fee. KDD’05, August 21–24, 2005, Chicago, Illinois, USA. Copyright 2005 ACM 1-59593-135-X/05/0008 ...$5.00.

Transcript of Dimension Induced Clusteringtsap/publications/kdd05_dic.pdf · &3vt1 < z.0 1 `* !' b ! i % u v ' v...

Dimension Induced Clustering

Aristides GionisBasic Research Unit, HIIT

University of Helsinki, Finland

Alexander Hinneburg∗

Department of Computer ScienceMartin-Luther-University Halle, Germany

Spiros Papadimitriou†

Department of Computer ScienceCarnegie Mellon University, USA

Panayiotis TsaparasBasic Research Unit, HIIT

University of Helsinki, Finland

ABSTRACT��������������� ���������������������������������! "�!���� !���#�� ����$�����%�����&������� ! �%���� (')���� *���+����,�+��-/.0�����1�2��3��4�#�*��������5�� (����.6 7�8���� ������� ����9�� ���-:���#�!�;=<>�1����&������ ?��-@����.6 "�!���� !���#�� ����A������,���13��B���B�� ?�&C$ ��3��&�����=�����&-D���E�%����FG-:��3�')�&3�-:��3���� ��H��')�&3%�����#�� ������!�1�I���J������, ���13��# !�I�� ��K�&�L��������M��������#�� ONP����.Q�&RS�&3�NT���U���U�V�%�������#�& ����� !�W���U '!�!�%�����#�� ����E'!3���X����V;Q�" G�������Y'���')�&[email protected]�Z�,�����8�9�����/'83���X����[��-M� ��8�# !�V����X!���&���\��-0')���� *����.0�����?�#��.]�� $��3��� !���#�H�8�#��& ������� ��������7�*;^ �83U9���# _��� *��3��#X!�!������ `���B���I�&C$��� ��a���!�V�!�1M� ��������� _��-@-L3%���& �%���6���3�3��&�L�������� b�!���� ������� ONT.0�����%�`�������!3��&�B��RS�&3%�����+RS����������3���.6���43%������N)�� =��3%�8�&3Y������,����9�����������/�� *��3��# !�����Z�8���� ������� ����� ���"����-c�����Y�����%�\�� 9���*�����d !������$X)��3��!�*�$�!�;�eK�Y'!3���R$�#�!�Y�/����3��&-D����� ������8�����A��-d���RS�&3%����FS�&�\�&C!���'�����T�� ���3%�!�13f���/�8���� !�,��3%�����Q���!�'83���')�&3�������6��-E���!36��������!3���;�gQ�������H�� H���836'!3���')�������9��������83���N.A���� $��3��$�8����J�Z !��R���c��'�'83��S���1�H���B�8�#���&��R��&30������,���&3��6.0�����G����.�8���� ������� ��������7�*;ihQ���=3�����!�����# !�?��������3���������H�&C$��� ��`'!3��R$�����!��8� ������"�4X�������I��������!3���Nd.0�!�#�%�I����RS�\X)�� I�������&���,-:�������I�������-D��3\������,���13��# !�!;9eK�U�!���� ��,��3%�����\�����U�1jd��&����RS� !����/��-6���!3Z���� ����3���������6-D��3J�!�������RS�&3��� ��B�#��.6 "�!���� !������ ����

m �k������6�ZX)�����8���

�� +�������=�8���� ������� ����d��'������N��� ��H-:��3@�!�&����1���# !�B����.6 l3%�� �FH����X8 9����3������;

1. INTRODUCTIONmY�������!���%�����1���f�1C!�!��X�����'��������&3� ��T�� ��/3�����!�L��3������#�&�;AnY�T�@9���# �&�� ����o$�!� ��&��NE')���# *�����7�8'!�#��������a�������� K����.6 "�!���� !���#�� ����P9�� ��� -D���#�!�NO3%�����!�&3>������ WX)�&�# !�+�&RS� ����=��'83������I���8��;/<>�&����&���� !�G����X8 ���1���\��-6')���� *���>.0�����a����.p�# *��3��� ������9�8�#��& ������� ��������7�I���������&-D���f�# �%����F$�+���!�1�(���+�� ��!�&C8�� ��?�� ��q�&�L��������M��������#�� O;r���+�����93���� *�����X)�&� +'83���RS���Vs�t�u�vd�������Q���!�@.Q�&�#�� �F$ ���.0 Bw��&�!3����Y��-��8���� ������� ����� ���"�$xT��3%�� ����#�����&�E������ *���#�����������J�fw,��83����P��-��� *��3��� ������A�8���� ������� ����� ���"�*N xJ�� G���&3���Q��-�M� ��!�� ��\�&y����� *�@��'!'!3���C8��9�������� !�Q���U �����3���,�� !������$X)��3�o$�!�&3�����;\z��83������&3����3���N)���'���3%������ !�+')���# *���>X��������4�� ������A !�������� \��-*w����*�����8�!���� ������� ��������7�*xf�������&�#'8-:�!�*�# \�#�!� *����-D�8�� ��

∗ hQ�����P.A��3�FB.Q���Q�8�� !�Y.0�!�#���0�����Y���8������3A.6���P.A��3�F$�� ��Z���AgQ�������mY�������3��1�G{J �����N8|J���7hJN�{@ ���RS�&3������"�9��-T|J�&�#���� !F8�}N�zE�� ��#�� ��c;† ~ ��3��\��-Q���!���/.A��3�F4.6���B�8�� ��Z.0�������9���!�����8������3\.Q���/R$���������� !�gA�������/m@������3��%�G{J !����N!|@���,hJN${@ ���RS�&3������7�9��-�|J�&�#���� !F8�}N!zE�� ��#�� ��c;

Permission to make digital or hard copies of all or part of this work forpersonal or classroom use is granted without fee provided that copies arenot made or distributed for profit or commercial advantage and that copiesbear this notice and the full citation on the first page. To copy otherwise, torepublish, to post on servers or to redistribute to lists, requires prior specificpermission and/or a fee.KDD’05, August 21–24, 2005, Chicago, Illinois, USA.Copyright 2005 ACM 1-59593-135-X/05/0008 ...$5.00.

����X!���&���6��-T')���� $���Q�������Y��3��/o$���������%������RS����+�!��jd�&3��& $��;fz!��30�&C!��U '����\�������!��� ��9�U���&����3%��'��!�#����E���&������ !�!N)���*�������#�� ��������� ��H�B3���RS�&3X)����� !�����/�Bt& �<(9�� !��-D���#�cN�.0���&3������A���*�������#�� ��P�� 9�>�#��FS�6.A�����#�X)����� !�B���U�B�� �<�9�� ���-:���#�W�:-:��3Y�&C!���'����JzE�#���!3��Bt��%;A�8������L��3����*N3��S���a�� *���&3�����&������ !�B������ ��4�+�������*.6��a��3��9�� a�at& �<�9�� ���-:���L�dN.0�������U�� *���&3�����&������ ��>.0�������� K�9����7�4X)�&�#�� ��H���V�+�� �<�9�� ���-:���L�d;hQ�$���NP�!�������RS�13��# !�W����.6 "�!���� !���#�� ����69�� ���-D���#�!�Z�#�U�������W�!���&-:�!��� V�����0��.0 +3��#���*��;|J��.A�RS�&3�NE.A�H��3���-}������K.0�����a���!3���99���# a�1��������� �����;4hQ���

M�3��,��o$�!��,������ I�������> ������83%�������W��3�������/���>.0�����@w��8�#��& ������� $x\�&C$ ���1�����+����� ��;f<����%�Z'��������13� ��69��HX)�J-}����3����G����'!�#�����������c;PnY�, ������� !�I��������')���# *���U-D��������.����� �����3H��3��& ��!�U�� ��`����.Q���8�9�����=�� �*�8')�&3� �'��#�� !��J���J-:����3����I3��&�,��3��#�1���#R������� =-}���&��Nc�����&�+�7�8'��������#���=-D���� ����.r����'!�#�1C=������')��Nd.0�����I�����������4�1C8���& $���;�z���3��1C����'�����Nd�� �4���3��+��X��,��3%���&�U���1�����# !�I���!�+�#��FS�V�� ��a3���RS�&3�9��a�#���+�� ?�����������B�� �<r'��#�� ���NdX!�!�Y�����&�G�,���#���T�8��jd�13>�� I�!���� ������� O;>�8���� ��dN���a�&���'������������V9�������&3����&RS� _-:�!3����!�&3�NA���!�G��X����&3�R��������� !�99��� ����\�RS� IX)����� !�V���V�GRS�&�&����3\��'������;��P�&��N�.A�����������#�WX)���,���������X!���@���Z�!�&M� ��0�����@�!���� ������� H��-E�/����X!��'������;fzE�� ����#���*N$�� H'!3%���1 ���������E��'�'!���#��������� !�Nc���!�\�!���� ������� V��-T�����/�ZX)�����8�� ��U��'�����\����#��3�����NS�� Z���!�A��3%�!�&3���-������������� ��!�;En@ *����&���!�$����-�'83%���&���������!�� 8 ���&3���,�Y���!�����#�GX)�>��X����>�����8�����d.0�����V��'������Y��-T��3�X�����3%��3������V�!������!���� !������ (�� ��q�,�������J���!������,-D�������qM� ��b����.6 "�!���� ������� ����@����X8 ���&���>�&BX)���!�!���H�# =���!�Z��3��#���� ����T��'������;@�"�J���@���$���J�!�����3%��X!���\����%����3%���&���&3�����H9�� !��-D���#�!�Z��-0����'����&CW������')�H�&BX)���!�!���I�# _�� *���'�����>��-E�������G�8�#��& ������� cN��� ��H�!�R$�����>��������3������!��Q-:��30�#�8� *����-L�$ �� ��\�����V;En@�Q.Q�@�������#�c�����N8���0���6')��������X����J���Z�� $���!�����#R�����9�!�&M� ���V����')���#�����������Y !�������� _��-J�8���� ������� cN�.0�����%�b�8�*��B !���U�!�')� ���� b�����V !�������� b��-\�W���� ����3+����X���'������;�z��!3����!�&3����3���NA���83H���� ����3���������>-:��3/�#�!� *����-D�8�� ��+�#��.6 "�!���� !������ ����T9�� ���-D���#�!�\��3��B ������� !��������RS�����V���!�+�8���� ������� a��-0��������3��#���� ����6��'�����+�� ��cNE���$�!�N�!�B ����0���8jd�&30-D3���������0w,��83�������-T�8�#��& ������� ��������7�*x%;�7 2��3%�!�&3V���q��3������K��X)���8�4�� ��i�8�&����&�V���!�W�1C!���,��� !��a��-��

����.6 7�8���� ������� ����@9�� ���-D���#�q�� q���!3+�����%�8N6�����13��=B���,�U�&C8�#�,�+����!yU���� *�����4�#��3����U $��ZX)�&3>��-Q')���# *���J�������/��3����!�& �������='����%FS����� K���!���\9�� ���-:���#�c;=hQ�!�&3��&-D��3���Nf���B���&����3��������� ���X!����NT�������\�!�, �� ��a�!� !�����"�`X�������b��&���!�$�!�U����.Q�����#�bX)�G')��������X����V���K�8�&����&������%�U���!X���'������;T|@��.A�RS�&3�N�.Q�Y��3������6�������P�!� !�����"�U������ ��0���f ����� !�������V-:��3J�������0�%����F);@z���3Y�����/����FS�/��-f�&C!���'!�#���&�� ����#�8�&3>����"����*���������� ��4�� $���13���')�&3������������ !�_�������*.6��2�� *���&3�����&������ ��;�hQ������������N����8�� ��Y�� \�@�� �<`���!3�-}�����N�-:��3�������TM�3��,��������,���&3�;ThQ�!�f3�������� *���&3�����&������ !�6-:��3�]�����>����&�� ��H������,���&3�N!���@�\����'!���&C9 ��&�".Q��3�F��-J�!�& ����&3Vt1 �<����� ���Z.0�����1�`�*���!'�����B���!�I�%���U�V��'�����V���B���������7�I9�� ���-:���L�W������,���&3�;9<>�& ������7�$ �X��������I�&�#�!�,���&3��� ��=��'�'83��S���%���&�����RS�B�H������������I��X��������7�4���+�!�&����1��������,���&3��, l.0�������� 8 "�&�#�!�,���&3��;Z�7 �������>�����'!�#�\�&C!���'!����N������1�V.Q�����#�V�7�8'��������#���4'83��$�!���&�Z������!�&3���#��3����+ $��ZX)�&3���-@���&'���3%�����9����7�K�&�#�!�,���&3��H�}�� ��U-D��3B�����%�?��3�����'

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

������������ �������������������������! �"#�����$"%���'&( �����)%��*���� �+���-,.��/*"0�1�$"0����$"%���$�2�%�$34*"%���� �"���5$���76

��->����������� !����������_X*�K3��S���!�1�%NP��3��� ��+���# !�����V����!�,���&3���� $�%���� ! �� !�+X)�����W�� *���&3�����&������ ��/�� ��=������#�&�NE�8�')� ��8�� ��9�� 4�����B�!� !�����"����83���������#�!�;8 �� ����#�!�139�������4�����H�&C!���'����9�� `zE�#���!3��It�;K�" K�������B������+.A�

����RS�����!3���+o*���������%������RS�&���K�!��jd�&3�� *�\�7�8')��\��-Y')���� *���;ahQ���H���&���-0')���� *���>�������Z�������� I�����U�&�!3�RS���_t& �<����� ���NO���������&�/��-0')���� *����������P���#�0�� U�����Y�� �<(��������cN*�� ��B���!�6 ����#���0')���# *���T�������A��3��@������� ���13����=�# =���!�B�� �<]'!�L�� ���;@�"-T���!�\���� ��Z�� ��V�����/��o*����3��\����RS�����!�������B�8� ������"�*N)������ ��H�9�!�& ������7�GX�������4��1�����$�V���J !���>')��������X�������G�!�&���&�&�\���������!3���B��-A���!����U���!X����&���;Un@ *�4�!�& ������7�=���83���������L�.0������9��!�,�>���'���3%�����\�����\ ����#���Z')���� *���@-L3�������!��3���,��;;:@�����Z��������������>�!���� ������� ��������7�VX$�G���������-A.Q�����#�= ����>X)�Z��X����\���H���&'���3%��������!�/��o$����3���-D3�������!�/ ��������/')���� *���N)���� ��&�\���!�� ��������\')���� *���J��3���������9�� "�!���� !������ ����};AhQ�!�>�,�8 ��&3����9��-T�8� ������"�H�� ��9�� *��3��# !�������!�� ��& ������� ��������7�_����RS�&�9�I�������3H���'���3%�������� b��-J���!�+���83���V�8�#�,���� !�&��!���%�����&���N)���Y���Y���0������.0 V�� G�����@M����83���;�" ����!���V'���')�&3=.Q�W'!3���')�����a�����W�#�!���`��-��&3�������� ��q�b���*������

��3���.6���Z��$�8���-:��3T�����%�/')���� *��;�hQ�!�#����3���.6���Z��$�8��*�8�')� ��8�N��# '83��� ����'�����N��� !���Z�� Z'�����3�.0�����0')���� *�P�!���,�%�� !���f�� ��Z����'!���83��������.����%�+')���# *�fw,R$���&.0�7x@�����Q���*�����d ��&�#���$X)��3����*�$�d;f{J���� ����������Q��$�8��.A�@��� ��%����3%���&���&3�����Y�����%��')���� *�

xi.0�����U�".Q��R���3��#��X!�#�&�

(di, ci)N

.0�!�&3��di���P�����=<?>�@��A<�BDC:���FE!�'C�>!E��A< C�G�H0��-d�����0')���� *�

xiN$�� ��

ci���

���!�1<?>�@��A<0B*�FE��IC$G�H�;f�7 *����������RS����*Ndi�8�')� ��8�Q�� 9�����@��3���.6���+3%�����

��-������� $��ZX)�&36��-T')���� *���@�� G���!�� �������$X)��3����*�$�V��-xiN�.0�������

ci�8�')� ��!�Q�� +�����J�!� !�����7�9��-E')���� *���6�# 9�����J �������$X)��3����*�$�+��-xi;

gP�����\R���3��L��X�����T��3��A��,����9������/-L3���J<?>�@��A<K!LM>DNOGQPR@�S�L7T��&��;VUc�� �������3���.6���4��83�RS��Y���� =X)�\����'!�!�����+�!��3���&�����V-L3���[�����\�����%�8;^ �839��������3���������U3���o*�!��3��G�� ����`�I�#����������_ $��BX)�13B��-� �����3���,�� !������$X)��39�$:W:/�@o*�!�&3�����;UhQ�!����9��3��Z.Q����� ��,�����!�����W�� ��I���R��&3%����1y����� *�Q��������3������!��A�&C8���,�P���\�� ��,.Q�13P���!�V;�z���3Q�����1��')���� $�

xiN

���!�>���*�����c��3���.6���!��!3�RS�J��-xi���0����'��!����cN$�� ��G�\���# !�>���6M��������

�� V�B���!X����&�Q��-E���!�>')���� *���6��-O�����>��83�RS�@�������0���3�3����')�� ��!�Q���B����*�����E ��&�#���$X)��3����*�$�+��-

xi;PhQ��� cN!���!�����*�������!���� ������� ��������7�

di���0�8�&M� !���9���A���!�J������')�>��-O���!�@M!���������#�� !��N$.0�������J�����Y���*�����O�!� 8 �����"�

ci���@�!�&M� ����+���6������R��������J��-������@M��������H�#�� !�/-D��3@�B��')��&��M��

3%���!�����r∗;PeK���%���*�����

r∗���9���Y����9��C8�#�����@�������� !-D��3�9��������

���'!���83����=X*�V�����\���&����-P-D�������83��B'�����3��(di, ci)

Nd�� I���!�Z��� !���B��-��� !�#������ !�Z�����J���3�3���#�����#�� 4X)�&�7.A��

di�� ��

ci;

{@���� ��Q�����T���*�����$�!� !�����"�>�� ��>���*�����$�!���� ������� ��������7�*N�����%��')���� *�xi���@3��'83����� *�����=X*�G������-D�������83��Z'�����3

(di, ci);JhQ���&3��1-:��3���Nc.A�

9��'4���!3������%�����&�/�� a���7.A�V�8�#��& ������� �������'������;ZhQ�����������J���!�-D��������.0�# !�����8R��� *�%�����&�;�zE��3��,��N�.A�A���� /�����������\������,���&3O�����P�����%�����&��!���� ��/�� ���j) l�����& ������&��-"NS�7.A�� "�!���� !������ ���������!�,���&3��� ��/��������3�������VN����FS�YXOZW;$�8�&��� ��cNS�� ��@�����&3f�� *���&3%���&����RS�0�,�8�,���VN������6 $��ZX)�&3���-�&�#�!�,���&3��>�� ��G���!�����3�3���1�>'���3��������#�� 4���� =X)�/�#�!� *����M���+���!3��������R$���������O�� !��')��&������ c;^ �8309���� G�&�� *��3���X��!������ ��Y��3��>���!�J-:���#����.0�� ��*[

•<J3%�.0�� ��0��')�� ��#�!�����O-D3���i-L3%���&�%���#�N�.Q�f'!3���')�����P�6��� !�&3%���

.6��9���B�%����3%���&���&3�����>���!�1<?>�@��A<E�8���� ������� ��������7�9��-�')���� *���;^ �!3A�!�&M� ��������� ��P��3��Y����')���#�����������O�� ��U�� ��8�')� ��!� *�f��-c����� ��������� W��-Q�9���# !����3>����X���'������; ^ �!3J��&�����$�8�J���� WX)�Z��'8 '��������W���=�!���%�����1���Z��-Y��3�X�����3%��3��K�8�#��& ������� ��������7�a�� ��W���!3��������3������!��U��3��H�� ��!�')� ��!� *�\��-0���!�� 8�!BX)�&3/��-@�!���� ! ���#�� ��0�� G�����J��3������� ����������%�����&��;

•^ �!3+��&�����$�59��'��9�����I�����%�����&�G�# *���`�b�� "�!���� !���#�� ������'����&��;�eK�0������.b����.q�����%�������Y���!�6-:�������!3��Y'�����3��

(di, ci)N

���4�������V9��C8�������B���!���# 8-:��3�9�������� a���!�&�43��&�%���� _��X)���!������Z�����%�����&��N��� ��=� !���� ���\�����\R8����������3��'!3��&��� *�%�������� I��-�������!���%�����1��;

•eK�W�!���� ��,��3%�����4�!��. �#�*����/�!���� !������ ��������"�2�� ��(�#�*�����!� !�����"�H���� VX)�J�������+���B�!�&���&�&�Y�#��.i�!���� !������ ����

m lk)�����

�� ��W�#��.6 l3%�� !FK����X8 �9����3������; ^ �!3Z��������3���������B��� ?�����1 �����,-:�!�����?�!�&����1�B����.6 "�!���� ������� ����P9�� !��-D���#�!�Z�BX)����!���# _�!�#���! "�!���� !������ ����A��'������NP�RS�& K.0��� ?�����1�?��3��+��'��� ���L�������+��RS�&3��#��'!'��� ��

n0���8�������� ��������*NE���!3/��&���!�$�a�8�*��/ ����Z����������B�������������B')���� *��������>�� G�/RS��&����36��'�����>�� ��9���� HX)�>�������U��'!'������������B��&��3����@�����%�$N.0���& B�8�#��& ������� ��������7�/���� ����T�!��3���&�����/��X!�%���� ���X����A-L3�������!�A�!���%�3��'83����� *�%�������� G�������&��-";hQ���U3��&�,�B��-6������'���')�&3\���Z��3��S�� !������_���/-:���#����.0�;W�8�&�&������ _�

�!������!������JX83����&k��+������3���#�������V.A��3�F);J�8��&������ ]\9�� *��3��$�!�!���0�����FS�&�H��� ���&'!���0�� ��G�8�&M� !�������� ��;A�8��1���#�� _^U�1C!'!�#���� ��6�����&��30'83���'8 �&3�������+�� ��q��#��X)��3%������+�� 5�&jd�&�&����RS����q���&�#�&�&���� ��?-:�������!3��4'�����3��(di, ci)

;[�$��&������ a`?'!3�����& $���+���83=��������3���������=�� ��(����&������ cb��'!'�����������������+���!�B'!3���X������>��-0�!�1����&���� ��+�#��.6 "�!���� !������ ����m lk������@�� ��=����.6 l3%�� �FG����X! �9����3��#�&��;@zE�# ��������*N).Q�\��� !������8�Z��

����&������ ]d$;

2. RELATED WORK�7 b�������9����&������ 5.A�IX83����&k��q�!������!���H3���#�������q.Q��3�FdNYX83��S���8����!��R$�#�!���H�� G�7.A�U�������&����3������[P��&���!�$�!�Q�������Y�����>������� ��������� V��-�!�& ������7�*N!�� ��+��&���!�$�!�6X��������G�� G�� *��3��� ������/�!���� !���#�� ����#���"�*;e2*"%�����'6#fg)%����*�h�A5$�%�������$"��� P�$����#�#��3O���6���!3O��&�����$�dN��!� !�����7�$ X��������+�&�#�!�,���&3��� �����'�'83��S���%���&�0�������B3�����H�� +�#�*����O�!� !�����"�9�� !-:��3� 9�������� G�� V��3%�8�&30���U'���3��������#�� G�����>�����%�����&��;|J���&3%��3��1�!�������)���� ������J���� �F������Y���6�>.Q����� �F$ ���.0 9��&�����$�B����M� ��

������,���13��\.0�����a3����')�&�&�/���=�!� !�����7�*;+h��V��RS�&3��&����U'83���X������/�� ��������N�.0�!� +�&�#�!�,���&3��Y��3��>�&�� � !��&�����9X*�9��9�����d�1������ ��N8')��'����#��3R���3��#�� *���0���#F��\<>g6� 8 nY:]s�t�t1vT�� �� ^ ~ hQ� 8 �Ws `�v������/�U��$�!��M�������� �F������B�����&3%��3��%�*�*N).0���&3��Z')���� *���J.0�������� W�+������,���13�����RS�\���+X)�3������1����X����>R$�#�/���3��>')���� $�����}')���� $���A����R$�# !�B�/��&3��%���� G��� ���B�! $��ZX)�&3f��-O �������$X)��3��1�%;T<�g6� 8 nY:(����'!�!����P�/������,���&3��� ��/���3� 3����')�� ��!�� !�Z���Z�Z��8�6�� H���!�J���� �F������@�����&3%��3��1�*�*N*.0������� ^ ~ hQ� 8 �M� ��!���� B��3%�!�&3��� !�@��-������P')���� *����-D3����.0�����%�B�Y����.A�&3T'���3�����-!��������� �F������A�����&3%��3��%�*�/���� \X)�Q�8���!�!����d;EgA�����U���#����3���������E-:�����$������3���� Z������6��-�������,���&3��E.0�����!�# Z������,���&3��T�� ��������f��3����A�!���&3%��3��%�*�/��� 8 �%���� !�P !�$�!���.0�����9�!���3���6�� !��;�|@��.A�RS�&3�N*���f���!3P��'�'!3������%���!�*�&� ����A3�������� +��'������#���)���&'���3%�������� H��-c�����Y������,���&3��N8X��8�P-D�*������&�6�� �!�1����&���� ��W����X����1���B.0�����q����.��� *��3��� ������=�8�#��& ������� ��������7�*NP���U���� �������9�8�����d.0�����G������������������;n@ !�����!�&3P�!� !�����"�$ "X��������\������,���&3��� !�\��1�����$�Z���f<>� 8 �#�!��s#t�b�vlN

.0�����%�b�&�'������!�BFS�&3� ��&�6�!� !�����7�_��,����9�������� q�� ��_��������8� ������"����!3��&�������#�8�P���/�!�1M� ��6���!�Y�&�#�!�,���&3��P���/X)�6-:���� ��c; 8 Uc�giJ{;Xqs ^�v)����\�!� !�����"�$ "X��������U��1�����$�B�������Q���� H�������B�8�&����&�A����X!��'����&��Q�����%��������A�!�����! "�8� ������7�Z������,���13��A�&C8���,�A�� U���!�V;E|@��.A�RS�&3�NS���A���A��3��#�$ X����������� ��B���$���P����������&�f�������P')���� *���P�����@�� 9RS��1����3P��'����&��;fz��!3� �����13����3���N 8 UO�MiJ{;X ��� ����#�!�&3����� ����?�*�8')�&3� l3���&�%�� ����!�#��3�����!�, ���&3��Y�� ��+'83��/9,��&������ !�@'���3%������������Z��������C!�&�;

�;�/ ��F*�!������ �A5$�%�������$"��� JhQ���&3��Z��3��\������Z��������3���������Y.0�����1���� �M� ��U������,���&3��A.0�!���1�H��3��@�!�& ����Y�# H�/'!3���9���1���#�� +��-O���!�0��3����� �� ������!���%�B��'������; ~ 3��*����!�Zs ��vT�� ��G< ^ 8 s �*t&v�������3��1�V���!����'�������->��C8��, �'���3%�����#�&�6'!3���9���&������ ��U���=M� ��K���*�$�_������,���&3��� ����U��-0���!��!���%�$;�ZG��3��\���!R��� ��&���H����%�� !�#o$�!��0���#F�� ^ 3��������s \�v��� ��G'83��/9,��& ����RS�

k ������ ��Bs�t&vA�� ������8���������& 8R������!�����-6���!X����&������-Q�����U�����%�

�� ��\���� \M� ��\��3�X!����3%��3��\���# !����3f'83��/9,��&������ !�NS�� Z.0�!�#�%�B')���� $���T��3���&�#�!�,���&3����d;������!����5$�Ffg�/�5�����*� & ���� 8 �� ���&'!������-��# *��3��� ������6�8���� ������� ����� ���"�Z-L3���r-D3%���1�%�����A����R��6X)�� U���!������,-D���������������Z�# U���!�0�����%��X������M���#�V-:��3> 8�!��&3����!�@'83���X!�#�&��Nd�����%�W���J !����3���,�� � !������$X)��3/o*�!�& 3������s�t���v��� ��+��'������#����o*���&3��9�������1���#R$���7�+��,����9�������� Ws u8N�t���vl;QmY�& �&� *�J3�����!�����\s�t�u�vf�8������������8���!X����� ��H�!���� !���#�� 4���>�������!3���-D��3�� *��3��� ������U�8���� ������� ��������7�*;/hQ�!�B'83���')������W���#����3��������.Q��3�F$�>�1-D M����� *�����*N8.0�!� G���!�>�� $��3��� !���#�/�8���� ������� ��������7�H���@X)���� ��!���d;gA��3�X���3Z�&�6���};ds d�vc'!3���')�����>�/������,���&3��� !�U��'!'!3������%�H�������Q�!����

���!�J-D3%���&�%�����!���� !���#�� W�}X)��C$ �����! *���# !�$�%;����0����'!�!����P�����J-L3%���& �%���J�8���� ������� b��-/�����1�b�� ��!��R$�#�!�����Y������,���&3

X�� ��q��-

X \ xi�� ��K'!�!���xi�# *���V���!��������,���&3\-:��3Z.0�!�#�%�K�������%���� ����H���\��� ���

9���};AhQ�!���Y3���o*�!��3��&�Y��������� ������#�������&���G������,���13��N�.0�����%�V9��HX)��8��y�������0���U��������;zE�� ��������*NAU ^ 8 �Ps ����v����T�� \���8�����#�13f�!�&����1���#�� B��&���!�$��X�������Z��

���!�P���*�����8�!���,��3���X��!������ \��-�'�����3�.0�����6�!���,�%�� ���������Z��������'����T����������;nY���������!���H������FS�&�9�&�� ��&�'!���Y��3��>3��&�L�������cN�U ^ 8 �f-:�*��!����@�� =�� �& $����3�����W�!��jd�&3��& $�\��'�'!�#������������ ?�� ��a�8�*��� ����/�����B���!�U��� ���'8���-T�� $��3��� !���#�/�8���� ������� ��������7�H�� =�� *�9.6��*;

3. OVERVIEW OF THE APPROACH�" ?������������&������ _.Q�G����RS�V�� b��RS�13�R8���&.���->���!3���1�����$�c;`nY�.A�V�8�#���&���������_X)�&-:��3���Nf�����G��1�����$�?�83%�.0�U�!')�� `�� ��?�&C$��� ��8�'83��R$�������G�!� !�����7�$ �X�������(��������3������!��N����+.Q�&�#�/���V��� ���'8���G��-�� *��3��� ������9�!���� !������ ��������"�*;9hQ���Z�7.Q�GFS�&�4��������!3�������\������/��3��<?>�@��A<�BS�FE��IC$G�H@�� ��]<?>�@��A<�BDC:���FE!�'C�>!E��A< C�G�H�;TgP�����H��3��@��X!�%���� �����X*�M!������ ��U�\���# !�>�� G�Z���!X����&�0��-E')���� *���6��-������1<?>�@��A<�K!LM>DNOGQP @�S�L7T��&;zE��3��,��Nc.Q�\3��R$�#�1.rX��������B-:���&���/��X)���8�>�����\ ������#�� a��-A�� *��3��� ������

�8���� ������� ��������7�*;AhQ��� cN!.A�\�!����&3���X)�����*�����E��3���.6���=��83�RS��N��� ��.A�G�&C8'!�L���� `�!��. ���*�����Y�!�& ������7�K�� ��?���*�����@�8���� ������� ��������7�_��3���&���'��8�����cNS�� ��B����.`�����&�B��3��Y�������\-:��3A������,���&3��� !�>�����Y�����%�����&��;

3.1 Background on intrinsic dimensionalitynY�J�� V�� ��!�&3����8�� ��UX��������J��-T���83J��&���!�$�cN8.Q�/���������!�\ !�������� ��-.@I>!L'L���<��!G�C$>!E B!CD���FE��IC$>DE�NS.0�!�#�%�9���Q�>��������!3��0��-c����� C�E�G�L7C�E!�IC$@BDC:���FE!�'C�>!E��A< C�G�H���-f���!���%�����1��;6�7 G���!�>-:���#����.0�� ��+�!������!�����#�� ON�.A�����������0�������P���!�@�!���%�����&�

X�#�A������X����1�A��-

Rm N8�� ��B-:��36�!�&M� ���

������ ='��!3�')������0.Q�\�������!��>�������0���!�\ $�!BX)�&36��-T')���� *���n��

X��'�'83��S���%���&�>�����B�� 8M� ����"�*; UO�&�d : X × X → R

X)�U�H�!���,�%�� !��-D�� !�&������ IX)�&�7.A�� 4'�����3��J��-P')���� *���>��-

XNO�� ��4���&�

C(r)X)�\���!�

��RS�13%�����Y-D3%���&������ G��-�'�����3��Q��-E')���� *���P.0�����!�# +�!���,�%�� ���rN*�������Q���N

C(r) = limn→∞

1

n2

X

x∈X

|B(x, r)|,

.0�!�&3��B(x, r) = {y | y ∈ X, d(x, y) ≤ r}

���\�����H����X����1�B��-')���� $�����&�� *�%���� ���W�� a�HX����#�T��-Q3%���8�#�!�

rNO�� *���&3���W���/')���� *�

x;

hQ�!�����3�3��&�L�������� 4�!���� !������ G���0����� G�!�&M� ����H���

dcorr = limr,r′→0

log[C(r)/C(r′)]

log[r/r′].

�,t��

ea�\������������������J�����������/����������@�&C8���,��;Yn@�����&3� �������RS�\�!�1M� ��������� !���-/�� $��3��� !���#�4�8���� ������� ��������7�`���� 5X)�G-:���� ��q�� b�����=�������&3%�����!3���N���!�1�9��� @��� 8�A@�C�G�HB��3��g>��1@I>!S�E�G�C�EAKRB!C:�U�FE��IC$>!E+�� ��_C�E��7>!L1�B�AG�C$>!EBDC:���FE!�'C�>!E�;��" *��3��# !�����6�!���� !���#�� ����#���"�Z�������!3��&�T��3��Q������&�������

��������������#�&�&����RS����+3��1-:�&3�3����H���������7L7�A@�G}�A<�B!C:���FE!�IC$>!E�;PhQ�!�>�� $���13� ��,�����a3�����!�13B���� KM� ��K�V����'83�����& �����RS�9�!�&RS�����'!�� *�/��-0���������'!�����# V�B�,�%�� �����3%�9���&C$��X)�*��F)N!��; �!;�N�m@����X��� ��4s ����vl;�7 a'!3%���1���#�&��N�.Q�H�!����P.0�����KM� ����������&���NT���V�����H�8�&M� !�������� K��-

���3�3���#�������� a�!���� ������� =�# Xfo*���������� `�,t��0���> !������'�'!�#������X�����;J�7 �������0��������N�.A�/�!�&M� ��J���!�J-:�! ��&������

C(r)���

C(r) =1

n2

X

x∈X

|B(x, r)|,�����

�� ��I�&�,���#9�����B�����B���3�3���#�����#�� ?�!���� !������ IX$�=���!�+�'<?>� !�>��-Q�����-:�! ��&������

C(r)�# +�����

log log

����������;AhQ���>3��������� V���6��������N����� !��log[C(r)/C(r′)]

log[r/r′]= log[C(r)]−log[C(r′)]

log r−log r′

N����!�P���3�3���#�������� Z�!���� !������ �&C8'!3��&������U�����V�� !�&3��������V3%�����V��-

log[C(r)]X)�&�".Q��&

log r�� ��

log r′;

hQ���9�� *������������ ?���B���!��.0 `�� _zE�����83��V� [9z���3U')���� *���/�������B��3����3�3%�� ������V�� 4�B���� ���Nd���Y������.0 =�� =zE�����83��B�$�����%N��� ��/�&C8')��&���6���M� ��4�".0����B�����Z $��BX)�13>��-A')���� *���>.0��� W�!����X!�#�� !�+�����\3%���8�#�!�;^ 9�����J�������&3Q���� ��cN*-D��30')���� *���A�������0��3��>�����������13����+�� H���!���� �<'��#�� ���NT���Z���!��.0 K�� ?zE�����!3��+�$�g@1�%NE.0��� K�!���!X����� ��G���!�U3%���8�#�!�N.Q�G�&C8')��&�B���!�G $��ZX)�&3Z��->')���� $���Z���W�� ��13��������=o*�����83%���������������*;hQ���H��3���.6���?3%�����&�U��-0�����H $��ZX)�&3\��-Y')���� *���B�� `zE�����!3��&���8������� ��I�8�g@1�Y���� =����� 4X)�\��,����9�������V-D3�������!�Z������')�Z��-f�����

C(r)��83�RS�G�� log log

����������N6����������.0 q�� bzE�#���!3���H�$���%�Z�� ��q�$�gB��%N3����')��1���#R�����*;VhQ�!����H��3��9������������=�� !�9�� ��W�7.A�!N�3����')��1���#R�����*;h��9� ���X����\R$�#�������E�&���'���3������� ON������/����������J��-T�����\zE�����83���/�8������� ��GzE�����83���J�8�gB��A��3��������>�������;

3.2 Local Correlation DimensionhQ���9-:�! ��&������ C(r)

�����8�&M� !���a�� �XPo*���������� 2���S������'!�!���������W��RS�&3%�����W-L3%���&������ ���-Z ��&�#���$X)���!3��+��-B�`')���� $�+.0�������� ��8���, �%�� !��

rNf.0���&3��H�����+��R��&3%�����V���B�%��FS�& `��RS�13=�A<�<O')���� *���B��-@�����

�����%�����&��;+|J��.A�RS�&3�NE�!���U���V��R��&3%�����# !�!N���-6���!�������%�����&�Z���\ !�� 8 ���������� �������N)���!�Z��,����9�������=���3�3���#�����#�� K�8�#��& ������� V.0�����T ����3��&k���&�������Uw7��3����1xG�!���� !������ ��������"�_��-@�����=�!���%�8;qzE�����83�� \W���� �����,��3%���������������')���� *��;�zE�����83�� \!�����>���!��.0�/�V�����%�����&��.0�����W�".Q��!���,���� ��1�/����X����1������-Q')���� $����[>�# I�����\M�3��,�/����X!���&�������Z')���� *�������#��� 4�Vt1 "<r��83�RS��N!.0�������\���!�\���&��� ��V����X����1�J��� ������,���>��-A�U�&�#�������-A�� "< ')���� $���;Qn@�@�U��� !����o*��� !�����-T�%��F8�� !�9��R��&3%������N��������� 8 ��3��� ������6�8�#��& ������� \��-!�����P.0�!�����0�����%�����&�T����������&.0���&3��AX)�&�7.A�� �� !�U�� ��V�7.A�!;ZzE�����!3��1\!���%�Y���!��.0�>�����\�#�� !�BM��������V���9�����

C(r)��83�RS���� ��cN8-:��3@�&���'���3������� ON!���� ���0.0�����G������')��Y�� !�/�� ��H�7.A�!;hQ���13��&-:��3���Nf�# W�������������9�������B�V�����%�����&�B��� !�����,���Z��-0����X����1���

.0�������8��jd�&3�� *�=�� *��3��# !�����?�!���� !���#�� ����#���"�*NJ�����I���3�3���#�������� �8�� �� !���#�� G��-T�U�����%�����&�@�8�*��0 ����0�&��3�3���&�����+�1����3%���&���&3�������������8�� �� !���#�� ����#���"�W��-A���!�������%�����&��;Uh��G��RS�&3��&����Z���!����'!3���X!��� .Q��&C$��� ��Z�����0�8�&M� !�������� ���-d���3�3���#�������� +�!���� !���#�� B-:��3Q�����1��')���� $��� G�����>�����%�����&��;

������������� �"!#�%$ &(')!+*-,�.�/0213!-4�� 576�8�1:9#�-;=<?>0>DLQ���A@7P@ *>!C-E�Gx A NP�(BS�CBVE)� GQP!�@���*������ "��3���.6���I�&�!3�RS� A G$>D���(GQP!�)�7S�E�@�G�C$>DE]>E� r AGx : R → N

GQP8�AG @I>��F �S*Gl�&� GQP!�G�7L,�!@�G�C$>!E >E�=E��FC KP��g>!L%� >E�xC�E

�D���!<�<�>(� L7�AB!C�S$�r A

Gx(r) = limn→∞

1

n|B(x, r)|.

hQ���B�#�*����T��3���.6���a�&�!3�RS�Gx

�!�&���&3���X)��>�����B�!� !�����"�=��-P�����Z�#�� �����A ��&�#���$X)��3����*�$�W��-

x-D��3B�����Q�8���,�%�� ��&��

r;9�" K�����!�������� cNE�����

Gx�&�!3�RS�Y��� *�%���# !�Q�� !-D��3�9�������� V��X)���!�P�����J��3���.6���H3%�����J��-O�����

$��ZX)�&39��-/ !������$X)��3��+��-x; ea�=���� ( !��. �8�&M� !�V����� <?>�@��A<IH

@I>!L'L���<��AG�C$>DE B!CD���FE��IC$>DE_�}��3Y���*�������!���� ������� d�P��-E')���� *�x;

������������� �"!#�KJ &(')!+*-,�.�/6�!+1L1L�M.N,O� ��!+�7�P��Q@��� R��"!#�+;�<TSZ�

log r

log

C(r

)

log−log neighbor count for 1−D data

log r

log

C(r

)

log−log neighbor count for 2−D data

�l�*� �}X)� �}��� �l���

�Y�������/��0 ���"#���%������ �"�) *�%�$"%� ����]�$"0�F�D�$"����$�_�%�$34*"%���� �"���5$���'6��g�! ���/*5������� �" �%�$34*"%���� �"���

A Bslope = 1

slope = 2

log r

log

C(r

) A

B

log|B(A,r)| and log|B(B,r)| vs. log r

log r

log

C(r

)

�l�S� �}X)� �}���

���������/�0 � ����������*�1�������R�! �"#�����$"%�R�'& 4����) ������( �+ ���-,.��/*"0�(�$"0�F�D�$"����$�_�%�$34*"%���� �"���5$���'6

BS�CBVE)�(GQP!�@���*������ ����3�3���#�������� W�!���� !������ dx

>E� *>!C�E�Gx A ���

dx = limr,r′→0

log[Gx(r)/Gx(r′)]

log[r/r′].

� \S�

nY���� Z�����P�������6��-)���3�3���#�������� ��8���� ������� cN�.0�!� U�8�������� ��@.0�����M� ������B���1���Nc.A���!�1M� ��/�����\���*�����f��3���.6���I��!3�R��\���HX)�

Gx(r) =1n|B(x, r)|

N��� ��H.Q���&���'��8���J�����J�#�*����� ����3�3���#�����#�� I�!���� ������� dx

��-J�4')���� *�xX*�K�����9������')�+��-

Gx��83�RS�9�#

log log

�������#��;:@��������V��������-:��39M� ������V���1���9���!�

Gx��83�RS�V���9�,���'! l.0�������?�����

R������!�I�%���� ���&�+�� ����q.0�!� q�����=3%���!�����H��3���.0�+���?�� !������!�=���!� !�&C$�f �������$X)��3P��-c�J')���� *��;TnY�P�Y3����������NS���!�6�#�*����� ���3���.6������!3�R����� �X)�Q3��'83����� *�����Z.0���������!�P�������f��-c�� !-:��3�9�������� BX$�Z��')����-L�!�� !�������R��������\�� W�HM� ������\���&����-P3%���8�#�

Dx ⊂ RNd.0�����%�I.A�B�������T���!�

B!>��U�!C-E4��-Gx;

3.3 Local representationea�� ���. �8����&3���X)�/����.��������������������*�����E��3���.6���4��!3�R���Y�� �����!�?���*������ ����3�3��&�L�������� ]�!���� ������� �� ��3%�8�&3W���b3��'!3�����& $�4���!��!���%�����&��;Uc�&�

X = {x1, . . . , xn}X)�G�4�����%�����&�B��-

n')���# *���\�� `������

��1��3��#�B��'����&��;�z���3/�����%�K')���# *�xi.A���!�1M� ��Z�����Z�8��9���#

Dxi

N�� ��G.A�\�&���'��8���J�����/���*�����E��3���.6���4��!3�R��

Gxi

;QeK�>���!� G�%��F�����!�

Gxi

��!3�R��>�� log log

����������N)�� ��H.A�>M� ��9���!�>���# !�>�������6M�������JX)��,��N)�� 4���#����,�>��o*����3���@��� �����;0ea�\�!���

Lxi

���+�8� ������������������ ���N)�� ��H.A�������������0�����1< C�E)���!L�K!L >!NVGQP=�1>�B*��<�-:��3Y')���� *�

xi;

�P�M���"� ��� ��!+�� & ' �"� � ,�1K0 1�!-4P� 5��K!�����. ;�< SZ�OL,�C��FL G$>GQP8�1< C�E)�

Lxi(log r) = di log r + bi��� GQP!�RUc�# !����3��@3���.6��� ZG�$�!�&�L�F>!L GQP8�F *>!C�E�G

xi �hQ�!�9���#��')�di��-6���!���#�� !�

Lxi

���Z�� ?��,����9�����H��-6�����9���*������ �&��3�3���#�������� =�!���� !���#�� 9��-E')���� $�

xi;fhQ���@R����#�!�

bi�#�P�����Y��*�&yU

�&�#�& $�@����'��!����GX*�+���!���#�� !�\M!�����# !�!;6{@���� ��U���������� ����3>��3���.6���

��$�!�&�lNA.Q�V���� q !��.[3��'83����� *�������+')���� *�xi������ ��h9����,���".Q�

$��ZX)�&3��;rhQ���=M!3��,�G $��ZX)�&39���+���!�IR������!�diN0����� <?>�@��A<WB!CCH

���FE!�IC$>!E9��-����!��')���� *�xi;6hQ���/����&�� ��+ 8�!BX)�&30���@�!� !�������+X$�

ci = Lxi(log r∗)

NP�� ��_�����&��3�3����')�� ��!�Z���4���!�G�8� ������"�?��-Y����������%�����&�H�� 5�WX������0��-J3%���!���!�

r∗NQ��& $���13����b��

xi���2C$G C:�=�&�H

G�C:�B�AGl�gB?X$�4���!�H���� ����3U��3���.6���?��$�!��Lxi

-:��3U')���� *�xi;4z���3

�&C!���'!����N!-D��3r∗ = 1

Nci = bi

;Pea���!�1-:�&3Y�����/�8�#���&���������� 4��X)���!������@�1�!������>��-ER��������0-:��3

r∗���U�8��1���#�� 2^8N�UO��9�Ut�;�ea�J�������

ci�����(<?>�@��A<�B*�FE��IC$G�H@��-O�����Y')���� *�xi;�eK�0.63������

l(xi) = (di, ci)���

�!�& ������>���!�J3��'83����� *�%�������� G��-xiX*����������>�".Q�U'���3%����&���&3��;

������������� �"!#��� &(')!+*-,�.D1L���M1L��R��M�L�N,O� ��!+�+;=<��0P8�A�U�� O �C�E Kl(xi) = (di, ci)

C:�Y@��A<�<��gB GQP!�6���*�����)3��'83����� *�%�������� >E�xi A N%P!�FL,�

ci = Lxi(log r∗) �

h��6���������,��3%�����f�������� *������������ �X)��!�� ��>���*������3��'!3�����& $�%�������� ON���� ! ���#�!�&3/�".Q�G��')�&���M���')���� *���

A�� ��

B�������/�����Z-D3��� �����B�".Q�

�!��jd�&3��& $�+����X!���&���G�� 5���!�W�&C!���'����4��-ZzE�����!3�� \8; ~ �� !�� \8�g@1�������.0�

Gx(r)-:��3

x = A�� ��

x = B�������&���!�&3J.0�����=������M�������

���� ���;f�7 9���!36�&C!���'�����N*�����Y���*�����O�!���� !������ ��������"����-�')���� *�A���

1.20�� ��V�������J��-A')���� $�

B���

1.98;>hQ���&3��1-:��3���Nc.A�B��3��B��X����/���

�!���,���� ����������V�����/���!X����&���0.0�����4�!��jd�&3�� *�@�# *��3��� ������\�!���� !������ ����� ���7�H������ !�B�����>���*�������!���� !������ ��������"�

di;

n@�P.Q�>.0�����O�&C8'!�L���� +�� +���!�> ��1C8�A����&������ cN����0���0����� !�� ���-D����������� !��3��Q�����A'���3�������-����!�Q���*�����!��3���.6���B��83�RS�P�������T���3�3����')�� ��\���RS�&3��\��9���#�!�� ��BRS�&3��\�#��3����63%���!���};fhQ���Q3�������� ����T��������N�-D��3P��9�����rNS�����0R��������6��-

Gx(r)���A��� !�������#R��0�������*�����) ����#���Y�&jd��1���;ThQ�$���N

���� !��3��� ��Y��9������3%���!���*���'!3���RS��)�����T3���X!���,�� !�������-!���!�f�&�,���#9��������!���� !������ O; ^ G���!���������13@���� ��cN�-D��3@�#��3����

r���*��9�� *�9')���� *���

��� $��3���X!�!���9���4���!�9R����#�!�+��-Gx(r)

;ahQ���13��&-:��3���NGx

�!�*��B ��������'!���!3��=���*������ " !������$X)��3��!�*�$�5�,��3����&���83��=��3����� ��

x�� *�`���3����

����,�P��83�RS��f�#�*��F��#�!� *���������};fz���3P���!����03��������� ��A.A�Y3���,��3����&�P������!��9����

Dx��-

Gx(r)���B�/��9�������&36���!X����&�

Fx ⊆ DxN8.0�!���1��.Q�

�����#�!������BOG$G�C-E KZ�1��G���-Gx(r)

N*�� ��B���P�#�f'!3��&���������B�����Q3%�� ����Y��RS�13

.0�!���1�U.A�QM��T�����6���� �����3� ���3���.6������$�!��Lx;ThQ���0�8�&�%�������P��-d����.

���!�>M������� ��Z���&�Y���@�8�&���&3���� ���+��3��/�!�������������G�� 4�8��1���#�� ^!; �*;

3.4 Overall clusteringhQ�!�QM� ������,���&'U��-d���!3f��&�����$�\���f�����8�&����&�f����!�,���&3��P��-d')���� *����������/-:��3� �#��.6 "�!���� !������ ����A9�� ���-:���L�8�Z�� a���!�9��ZX���� *�/��'�������-����!�J�!���%�����1��;fhE��F$�� ��Z���8R��� $�%�����Y��-O�����Y���#�'!���#�&���"����-c�����@���� �����3��'83����� *�%��������

l(xi) = (di, ci)N�.A�Z��� =')�&3�-D��3�����!���@�,���'

�!���� ��4�V�,�%�� �����3%�a������,���&3��� !�4��������3������!V;=nY��������� ��H�������/���!����*�����@3��'83����� *�%�������� 59���� *�%���� ��U.A����@���!�V�� !-:��3�9�������� 5��X)���8����!�>���*�����O�!�& ������7�H�� ��H���!�J���*�����E�!���� !������ ��������"�9��-E���!�J')���# *���N���!��������,���&3��� !�U'!3��*��&���@���63���#������RS����+�����,�+���� ���/���0���J�� V��')�13%�� ������ G�� 9�7.A�� "�!���� !������ ����d�����%�8;fz���30���!3Q�&C8')�&3����� *���P.Q�@����������!�G�,�%�� �����3%��XOZ ���#����3������� .0�����_-:�!���Y�&��R���3��#�� ���+9����3������;z!�!3������13����3���NT�����V�� �<[3��'!3�����& $�%�������� q��jd�&3����� b�� !-D��3�9�����#R��R$�����������#��������� W��-T�����Z�����%�����&��;@�7 4�������13� "�� *���&3%���&����RS�Z�,�8�,����������/�������������a����,�4���=�!�1���&3���� ��Z���!�U�� ��!�&3����8�� ��+������,���&3��/�� W���!��!���%�����&��;zE�� ��������*N�.Q�/ ��������������Y�����/���!��'��8�Y��-T���83>��������3������! ���� =X)�

-D�!3����!�&3�'!3��*�&��������W���+�!�������RS�&3\�8���� ������� !�>��-A�� $���13���,��;UzE��3��,��N�� V��������������Y���!����������3�������['��#�����0�7.Q��9�� ���-:���#�!�0��-T��������!�� ��& ������� 9�� ����!�& ������7�B�# *���/�� !�@�&�#�!�,���&3�N$X��8�T�����6�7.A�\9�� ���-:���#�!��8�+ !���J�# *���&3����&�&��N)����� =���!�&�V���� 4X)�Z���'���3%�������IX*�+�����\���# !�����& ���� �F������0������,���&3��� ��8;f�8�&��� ��cNS�� U������6��-c��C8�#�f���#���� ����U���!X���'������N.A�A���� Z����������\�!�������RS�&3E���!�A������3���X��!���&�E��-!�� $���13���,�EX*����������!3��� �����!��R���3��#�� ��&�Z������ �������%�=�!���� !���#�� O;AzE�� ��������*N��� V��������������Y.A���3��B�� *���&3���,�����V�� 4���� �����3�����X!��'����&��N)3��� ! ��� �� ~ 8 n .0�#���E3��R���������!�H�!��3���&������ !�Z��-0�� $���13���,��;4n@���P��-6�����&���9���83���U�%����F$�\X)������������ ���M����� *�����B���������&3A�� !��Q�����0��'�'!3���'!3��#�����0���!X����&�f��-d')���� $���f�����X)�&� V�#�!� *����M���+X*�9���83@��1�����$�c;

4. ANALYSIS OF OUR METHOD�" B�������T����&������ U.Q�Y�!������!���T���!�6'!3���')�&3�������P��-d���83Q�8�&M� !�������� ��N�� ��B���!���3A���'������������#�� ��P�# U���!�0��R��&3%�����)��'�'!3������%�O;TnY�P���!3A�����#�8��� /�������T�!������!�������� Z.A�A��� ����#�!�13������f���#�'!���A��������T��-!')���� *�������8�� ���� =���� "<���3��#�V�� ��+�� =�+t& �< ���� ���;

4.1 Discussion and ExampleshQ�!�V�8�&M� !�������� b��->���3�3���#�������� (�8���� ������� _�� q�8��&������ \W���, ���!���@�������@�����B������Z��-f�����Z���&�

X�#�J�# 8M� !������;/z���3��� 4�� !M� !�����

3�����f�#�� !���� ��a�� I�� !M� ������B3������f'!�#�� ��Z�������8�#��& ������� !����3��U'83��& �&�#���&���qtH�� ��K�$N�3����')��1���#R�����*;V�7 ?'83%���&�������NT����.Q�R��&3�NE.Q�H�8�����.0�����\M� ������P���&����.0�����/M� !�����Q�&C$��� *��N����@.Q�A���� Z�� ����/����'��8���Q�� �&�,���#9�����J��-O���!�@���&�������d�!���� !���#�� O;Eea�Y.0�����d ���.(�,�����8�B���!�@�1-D -D��&�6��-dM� ������ !����A�� U�����Y���*������3��'83����� *�%�������� H��-O���!�0')���� *���AX*��� $RS��,������������ ����7.A�9���#�'!������������;JhQ����M!3��,�>�!���%�����1�

L��� ������,���

��-n�� ��1 7�8���� ������� �����')���# *���/��o*���������I��'�������I�� a�+���� ���;HhQ�!�

���&��� ��`�!���%�����&�G��� !���#�,���Z��-

n�".Q�� "�8�#��& ������� ����A')���� $���B��3�

3%�� ������H�� H�/��3��#�c;T�,�8���������*N*�����Y�� *��3��# !�����J�8�#��& ������� ��������7����-O���!����� ��6���!���!�L�\X)�Q�� !��N*�� ��/�����6�8�#��& ������� ��������7�\��-����!�Q��3��#�B���!���!�L�X)�/�7.A�!;0|@��.A�RS�&3�N)�!�������U���!�/M� ������/������Z��-T�����\�����%�����&���N)���!��&�,���#9�������V�8�#��& ������� ����������#�&�@��3��/�!��jd�&3�� *��;8 �� ����#�!�13������f')���� *�����# ����!�A���&�

L�� ��\����������f�������������P')���� *�

xi�#�����*���������a����')������������

i��-P�����Z3�����T���# !��; 8 �� !���L�8�&3/�� !�B��-

���!�B� ��!')���# *���@��-f�����\�#�� !��N���; �8;�Nc���!�B���&-L������,��')���# *�x1��-P���!�

���� ���;(hQ���G�#�*����Y��3���.6���q��83�RS�G��-x1

�#�Gx1

(r) = rn

�:.0��� �&���'��8���� ��

|B(x1, r)|.A�Z�8�U ����J�&���� *�0������')���� $�Y���������-1�%;Yz���3

���!�U')���� *�xm

�# I�����U��#�!�!���B��-Q�����U���� ��m = n/2

NO�����U���*�������3���.6���?��!3�RS�����

Gxm(r) = 2rn

;+�7 WX)�����K��-6����������������N����!����*�����)�!���� !������ ��������"�\��-)')���# *���

x1�� ��

xm���f�� ���NS���T�&C8')��&����c;

|@��.Q�RS�13�NS��� ����#�!�&3f�����A')���� *�xp�������f������P�� U')���������#��

p = n/4;

z!��3Y3%���!���r = 1..n

4

NGxp(r) = 2r

n

N�.0��������-:��3J3%���8���r = n

4... 3n

4

NGxp(r) = r

n

;Y<>���������������Y�1���� !���\�# V���!�/�#�*�������3���.6���4��83�RS��N

0 100 200 300 400 5000.8

0.85

0.9

0.95

1Estimated dimension for points on a 1−D line segment

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Estimated dimension for points on a 2−D grid

1.4003

1.835

�l�S� �}Xd�

���������/��� ��( ���"%�����/6 ,.*�!��� �"����� *�����$34������ �"4 �+������! ��/�/*5������� �" �%�$34*"%���� �" �

.0���& GM������� ��U�U�#�� !��N����!�>���*�������8���� ������� ��������7�+��-����!��')���� *�xp���J�! ��!�13���,����9�������d;6z���3J�&C!���'�����N8-:��3>���#�� !�/.0����� `=�N��')���� *���N

�����A�#�*������8���� ������� ��������7�\���T��,����9�������/���>X)�6��3����� ����8; u!d$;fhQ���diR����#�!��Q-:��3>������')���� *���0��3��/���!��.0 +�� =zE�����!3�� ^8;<>�&���13���# !�� ��Z���!�>���3�3���&�@���#��')�����@�R�� G����3%�!�13Y-D��30�����>�".Q��

�!���� !������ ����A��3��L�d; 8 �� !���#�!�&3\������')���# *�xm

�� K��������#�!�!������-�����H��3��#�d;qz!��3U�����'!�#������"�?.Q�+.0�����Y�������!��H�������U���!�G�8�#�,�%�� ���X)�&�".Q�� a')���� *���Z���\��������83����W�!���# !�V�����

L∞

���3�V;+�"�\���\ ��������3%�q���_����W�������H�����4���*�����/��3���.6���2��83�RS�=-:��3G�������+')���� $�G���Gxm(r) = 1

n((2r + 1)2 − 1) = 1

n(4r2 + 4r)

�l���S���� cN������J')���� *�xm

���Q ����Q����� *�������� ������Y����'!�!�%�������� d�%;�<>�!�Y�������!�J�����!������RS����&3�

4r.A�Q ����\���J����RS�

r → ∞�# Z��3%�8�&3T-:��3T���!�A���*�������!���� 8

������ dm

��-xm

���J���& ��������$;E�7 \'!3%���1���#�&��N����!�#�E3��&������������ B�� ��!�&3� ��,����9������ !�J�����6�8���� ������� Z��-����!�Q')���� *��;Tz���3P�

50×50��3��#�Z���!�

���*�����d�8���� ������� B��-)�����0��#���8���6')���� *���P���f��,����9�������B����X)�6�����������at�; u$;Hz��!3����!�&3����3���N������'����U�&���'��8�%�������� !��������.r��������-:��3Z�')���� *�

xs�� Z�����0���#�!�0��-)���!�6��3��#�cN

Gxs(r) = 1n(2r2 +3r)

N�.0�������-:��3P�J')���� *�

xc�� B���!�Q���3� !�&3T��-)���!�Q��3��#�dN

Gxc(r) = 1n(r2+2r)

;n@������ ONd���!�B���*�����f��3���.6���I��!3�R��Z�� I���!�BX)���! ��!��3��=��-A�����\��3��#����\�!��jd�&3�� *�>-L3��� �������/�� ����#�!�B���!�U��3��#�d;9hQ���&3��1-:��3���NE.0��� I�������83�RS�A�!�����E���!�AX)���� ��!��3��>���!�&3��Q���T�@�%���� ����A�� Z���!�A���*�����8��3���.6�����83�RS��N�.0�!���1�V3�����!�����J�� G-:�83������&3@�� ��!�&3��&�,���#9�������� =��-����!�/�#�*�����!���� !������ O;inY 5�&C!���'!�#�+.0�����5�

50 × 50��3��#�5�#�9���!��.6 (�#

zE�����83��R^!;UhQ���B�&�� *�����83/�#�� !���������.r����. ���!�B���*�����P�!���� !������ �%���� !����0-:��3>�8��jd�&3�� *�Y')���� *���@��-������/��3��#�c;QhQ���/9��C8��B�!��� ����� ���B�!]R������!��Y��3���������.0 V�� G�����J'�������;eK�Y ��1C8�P��� ����#�!�&3A�����0�������@��-��Z�!���%�����&�Q��� ������,���� ��Z��-��/���� ��

�ZX)�����8���K�� q�I��3��#�c;_eK�G�������!��+�������U�����+���# !�G��� ������,���9��-��3��#�q')���� $���U.0�!���1�q��3��V3��'!�#�����������

µ�������;2hQ�!�=R����#�!�

µ���

�����\�8� ������7�+��-����!�/�#�� !��;0z���3J�����'���������7�*N��������!��>�������Y���������� ��������Z�� a���!�U��#���8�#�B��-6�����B��3��#�K�� ��a���/���Z'���3%��������f���V�� !�9��C8�����-����!�=��3��#�c;�z��83������&3����3���N6�� 5��3%�8�&39���?��RS���#�5�8�������� ��K.0�����X)���! ��!��3��Z')���� *���N8����������6�������f�����0��3��#�U�&C$��� ��!�T���\�� 8M� ����"�B�� �����A�!��3���&������ !�;=z���3Z�V')���� *�Z�� a�����B�#�� !�

x`���\���Z !���\����3%�I���

������.(�������6�����@���*�����O��3���.6���G��83�RS�J���Gx`

(r) = 1n((2r + 1)2 +

µ(2r + 1)− 1);�e5��� 9�����@R����#�!�

µ���6�#��3������ ��������H����'���3���

���r�����/��3���.6���4��-

Gx`(r)

���>�8����� ��������VX*�+���!�/�#�� !����3@���&3�V;^ -O����83��������

r → ∞N*�����Jo$�����$3%�������J'���3��6X)��&�����6�8����� ��� *��;

z���36����3��#��')���� *��N*�����Y��3���.6���9���P�����Y������@���PX)�&-:��3��>���A���� !�B��������fX������!��3����! ��>�����f')���� *�E�����E !���E3������1�!���>�����P�#�� !��;�e(�!� ���������� ������Q3������%����cN8�����J���*��������3���.6���+��!3�R��>X)�������Q�����@����������-:��3Y�\���� ��J')���� *���:�������Q���6���#���U�!���0���/�����@-:���&�6�������Q.A�J��� ����#�!�13�����

L∞

�!���,�%�� ����N��� ��H�����J�#�� !���#�0'���3%������������\�����/��C!���1�%;�7 >���!�T ��&C$�O����X����&�&������ �.Q�f.0�#���*����f����.W���@�����$3�����O���!�P���������&�

3%���������UX*�/�����A'!3��R$�����!�f�1C����'�����;EhQ���6�#�!���>�������>����'��8���A��������*�����O�!���� !������ ��������"�

dx��-E�����1�+')���� *�6X*�UM������� !�Z�\���# !�J !���Q���

�����@� *����3��J���*�����d��3���.6���+��!3�R��GxN$X!�!�A�� ����9�� H���!�@M������� !�\���1�

Fx;fea���!������!���0����.2�����!�&���13���# !�

Fx !�&C$��;

4.2 Determining the fitting setnY Z���')��3��%�� *�E���������6�� /�����A�!�&M� ��������� B��-����*�����!��3���.6���Z��!3�R������J���!�\�!��9���� =��-f3%���!���E��RS�13J.0�����%�V�����&�V��3��Z�!�&M� ����d;@n@ =��U ���!�#�����6�#�!��J���f�����8�&M� !�A�����6�&�!3�RS��T��RS�&3T���!�Q�� $���13�R����83%�� ����� !�-L3�������!�P��� !�#9���S'�����3�.0�#���Q�!���,�%�� !��A�!'/���0�����P�!�#����&���&3���-!���!��!���%�����&��;4Uc�&�

R�!�& ����������!�#�\�� *���&3�R����};ahQ�!���B���Z���!�H9��C8�#9���

�� *���&3�R����E��RS�[email protected]�!�#�%�=�����/���*�����T��3���.6���4��83�RS��Y���� 4X)�Z�!�&M� ����d;|@��.Q�RS�13�N����!������'!'!3��S���1�/���E�&C$��3�����N����# !��T-:��3E����,�E')���� $���N����!�����.]'���3��\��-6��������83�RS�U.0���#�PX)����&3��?�}X��������\.0�����K��9���#�f3%���8�#�!��&�� *�%���� _ ��=')���# *���1�%NT.0�������9�����9��'!')�&3B'���3��Z��-Y�����9��83�RS�U.0���#�X)�Z�� !�G�}X������#�>.0�����I�#��3����Z3%���!���!�>��� *�%���# 4�����/.0�������������%�����&�&�%;hQ�!���0.0�����O3��&�������0�� G')�*��3Y��,����9������6-:��30���!�>���*�����O�!���� !���#�� G��-���!�����')���� *���;^ !�/��'!'!3��S���1�V-D��3J�!�������# !��.0�����V���!���Y'83���X!�#�&����0���U3���,��3����&�

���!�I�!�&M� ��������� 5��-\���!�4�#�*����>��3���.6���2��83�RS��9��RS�&3G�� (�� *���&3�R����[rmin, rmax] ⊂ R

N!.0�!�#�%�G�� ��>������$�QX)����#�&RS�J�������0����'8���!3���Q���!��!���&-:�!���� !-D��3�9�����#�� =��-����!���#�*����E��3���.6���=�&�!3�RS��;P|J��.A�RS�&3�N!���������'�'83��S���%�B���f�������>'83���X!�#�&9�������P.0�!� Z���!�Q�!�& ������7�/��-������A�����%�����&��8��jd�&3��9�# q�!��jd�&3�� *�U3��&������ !�H��->�����G��'����&��;�z��!3����!�&3����3���NP-D��3')���� $���O�����������#�P�� Z�#��3����Q�8�#��& ������� ����*��'������N������f��� ���B�!2�� ��9��C8�#Z����!���,�%�� !������� $RS�&3�����N����+���/�����%�����#��� !���� ��+���+M� ��4����� ��� !��-:�!�O�� *���&3�R����};hO�K���!�83�����U���!����V���������&�NQ.Q�=�%���*�����G���K�8�&M� !�V�a�8��jd�&3�� *�

�8��9���# Dx

-D��3������1�?')���� $�B�� _���!�H�����%�����&��;ahQ�����U�8��9���� ?����8�&M� !���4X$�4��3���.0�# !�=�GX������f��3����! ��

x�����%�I�������\���/�����%�a�,���'

.A�Z�1C8���& ��H���!�/X������c���H�� !������!���l���J�������,�&�0�� ��/���3��� !������$X)��3�;�" W�������&3J.Q��3%�8�NO���!�U�8��9����

Dx����'83�����������4�����B���1����-P3%���!���

{r1, r2, ..., rn}NS.0���&3��

rk���P���!�@�8���,�%�� ��&�Y��-

x���/�����

k l���U !����3�

�&�,�@ !������$X)��3�;z!��������.0�� !�V�������8�#���&���������� K�� K�8��&������ 4^!;�t�N����ZX)�&��������&�#���3

�������/��������X)� !�&M���#���T���H3���,��3����&�������B�!��9���� Dx

X*�4��� !���L�8�&3� �� !�\���!�>�!���,�%�� ����A�� ������!'����Z������

kmax

l���9 �����3���,�6 !������$X)��3�N�� !�,�������H��-T���#�c')��������X!�#�� !������$X)��3��;PhQ�!�#�6�����Q���!�J-:���#����.0�� ��9���8 R��� *�%������;IzE��3��,��Nf���B����'!���83���ZX)�&�,�Z���!�H�#�8���V��-Y���*���������7�K��')�� .0�!���1�9���83Q��'�'83��S���%�����AX��������d;Tn@�f���A.6���Q�8���� !�,��3%�������B�� U���!�������Y��-)�����6���� ��0�ZX)�����8���/�# Z�����6��3��#�dNS�������f���� U�!���'��!�����&3������ ������@X)�&�7.A�� 9')���� *���P�������Q�����J�� H�!��jd�&3�� *�Q9�� ���-:���#�!�;P�8�&��� ��cN���f���&�#'!���� ���RS���#�!�� !�>�,��3��� !�>X)���! �����3��/�&jd��&���N����� ���6������f')���� *����!���B�����9X)���� ��!��3�����Nf�� ��a���$���/.Q�H���� ?X)�1�����&3B�&�,���#9�����H���!���3w73������ x9�!���� !������ O;+hQ�!�#�/���/������.0 K�� ?zE�����83���1`�������N�� ����N��� ��� @���N�.0�!�&3��>X*��3���,��3����&���� ��Z�����>�� *���&3�R����)-D3���[��X)��RS��N$.Q����X!�%���# �UX)�1�����&3Y��,����9�������� =��-������/�!���� !������ G-D��3@���3���')���� *���0��-����!����� ��/�� ��+���!�>��3��#�d;ea�6-:�!3����!�&3T3���,��3����&�A���!�6�� $���13�R����

Rx-L3���pX)�����.�N$X*�Z��� !���#�8

�13��# !�B�� ����������Y �������8X)��3��Q�������0��3��@ ��\��������&36������ 9�����kmin

l��� !����3��&�,�U ��&�#���$X)��3�;In@�Z�!������!�������K�� `�8��1���#�� ^!;�t�Nf�� K�����9���������-����!�@��3��L���������Q�!���'��Q��X!�%���# +�/X)�&�����&36��,����9�����J��-c�����@�!���� 8 ������ O;PhQ�����QX)��&�����Q��X$R8�������A.0�!� +�&���'���3��� ��/�����0�����@M����83���� ���6�� ���� @��Q�� 9zE�����83��;`*;TzE�����!3���� @��Q���A��X!�%���� !���UX*�Z3���,��3����&���� !����!�>�� *���&3�R����

Rx-L3����X)�&�#��.�N8.0���&3��@.Q�>��X!�%���� G�� H��,����9�����>��-

���!�/�!���� !���#�� G��������&30���9�$;z!�!3������13����3���N!-:��3>��9�����ER���������@��-

k�}�}; ��;�Nc-D��3>���!�/RS�&3��GM!3��,�

!����3��&�,�@ !������$X)��3��1�P���!�>3%���!���!�rk������*�0X)����jd�&�&�����GX*�H��9�����

���*�����6R���3��#�������� !�B��-6���!�H�!� !�����"�a��-0������')���� *���;W�8�!�1�K�!� !�����"�R���3��#�����#�� ���������*�@�� �������8�Z�������L�������W')���� $���@��3��! $�������������=�!� !�����3������; ^ �!3V')���� $�G���V���#���!�,��3%�������(�� �zE�#���!3��4`� B���;�eK�I���& ! �13%�������qt:�N�V')���� *���/�� !��-D��3�����a���/3%�� ��!�� �� ?�

d "�8�#��& ������� ����

�*�8')�&3���!X)��NQ-D��3d = 2

N `$NY�� ��it:�8;rgP�`3��')�������� ��K�����='83��� �&����G��-\3%�� ��8�� ')���� *�+��� !�&3%�������� t:�N�N�K�������N0.Q�4��,����9��������!�B�&C8')��1�����W�8���,�%�� ��&���� ��4���!�BR���3��#�� !��U��-P�����

k l���4 �����3���,�

!������$X)��36-L3���[�/3%�� ��8������9�������&����+')���� *�Y���0�/-:�! ��&������ +��-k;

zE�����83��R`� B���������.0�J�������J���!�\R���3��#�� ���\��-f�����\�!���,�%�� ����@��-f�����RS�&3��HM�3��,�Y !����3���,�@ ��&�#���$X)��3��Y�#�@�#��3�����;0hQ���&3��1-:��3���NdX$�H���� !��3��� �������

k l���B !����3��&�,�P !������$X)��3���-D��3

k < kmin.Q�6��X!�%���� ��@���3��A3���

X��!�,�T��,����9�������� B��-����!�Q���*�������!���� ������� O;�ea�6��3��6 !��.`3�����8�/��������9��3�����/���!3J��X!���&3�R��������� ��@.0�����=���!�\-D��������.0�� !�V�����'����B�8�&M� ��������� c;

������������� �"!#� � &��G���L� �"�� R�� �+;�< �0P!�V�1��G(>(�_L,�AB!C-CFx =

{rk ∈ Dx | r(x)kmin

≤ rk ≤ r(x)kmax

} A N%P!�FL,� r(x)kmin

�!E�Br(x)kmax

�!L,�GQP!�;B!CD�7G}�DE�@%�&� >(�YGQP!�

kminH GQPH�!E�B

kmaxH GQP E)���!L��&�'G E)�FC?KP��g>!L1�W>E�

xC:�;@��A<-<��IBhGQP!�ZM!������ ��B���1� �

�7 4���!3��&C8')�&3����� *���N�.A�B����R��Z-:���� ��=�������>���!�B��������3������! ��� ����T'���3����#�&���#��3����Z��� ���������RS�6�� Z���!�Q�1�!������6��-

kmin�� ��

kmax;�z���3

�&C!���'!����N������/R��������&�kmin = 0.01 · n

�� ��kmax = 0.1 · n

���#R�����*�$�=o*���������7�H��-E3��&���������0�# V�Z.0�#�!��R���3����&�7�H��-f�����%�����&���;

4.3 Estimating local density�7 ��������4'���3%����3%��'�� .A�b�8�&3���RS�?�� ��,����9�������� �-D��3I�����K3%�� �!���!�

r∗N�.0�����%�I���@�������G-D��3>�&���'��8���� ��U�����/���*�����T�!� !�����"�

ci =Lxi

(log r∗)-D��3f�����1�

xi;�z���3f�����'���������7�\��-� ����%�������� U.Q�Q3��1.63������

Xfo$���������� `� \*�Y���Y = diX + bi

;/eK�B�������G.63������X∗ = log r∗�� ��

Y ∗ = diX∗ +bi = ci

; :@��������Q�������fX$�\M������� !���>���# !�Q���>�������83�RS�

Gxi

.A�6��X!�%���� Z�����P'���3%����&���&3��di�� ��

bi;ThQ���A���S���!���E���

����'��!���Y�����0w,X)��,�,x@�%�����#�&����-�'���3%����1���&3log r∗

�������Y���%�����RS�&������J�#�*�����3��'83����� *�%��������

l(xi) = (di, ci)-:��3Y�����1�

xi;

hQ���B9���� 4��X����13�R������#�� a���>�������/X*�=���&������ ��log r∗ = +∞

�� Xfo$���������� 2� \S�%NP���!�H3�����!�����# !�4R����#�!��

ci��-@���*�����Y�!�& ��������������3��

')�&3�-D��&�����2')����������RS����(���3�3���#�������(.0�����(�����IR����#�!��di��-Z�#�*����

�!���� !������ ��;JhQ���/3��������� 4���J�������@-D��3log r∗ = +∞

�����\��3%�8�&3� �� �����-

ci ��0���Y����'!�#�1������V�8�&���&3���� ����HX*�H���!����3%�8�&3��� �����-

di ��;

�8������#��3����*N*-:��3log r∗ → −∞

N*�����ci ��0��3��J')�&3�-:��1�����9 !��S������RS����

���3�3���#��������.0�����di ��;P�8�� ��&�@���!3Q���S���)�#�P���\�!���Y���!�@'�����3

(di, ci)�������/����'8���!3���/����B�!�1�4�� !-D��3�9�������� a-:��3Z����%�xi����')��������X�����N

.Q�9.Q�����#�K����FS�H���=�%���*�����r∗���V�������\�����9'���3%����&���&3��

di�� ��

ci��3��J�� ��&��3�3���#������c;PgQ������+�� H�������6�#�!���\.Q�>���� G��,����9�����J�����

��'8����9���Q3%���8�����r∗-:��3U�����H���*�����03��'83����� *�%��������

l(xi); :@�����

�������Y���Y9��FS��Y�B��� ����#�!�&3%��X����Z�!��jd�&3�� !��>-:��3@���!��R8���������������������� ���6.A����O���6-:��3@���!����9�������9������,���&3��� ��B��������3���������N8.0���&���!�&36������7.A�� "�!���� !������ ������!���%�

(di, ci)��3������3�3��&�L�������V��3Y !����;

')��Q@QG,�t�; �0P!�WT��!< S��W>E�r∗

�F>DLYN%P�C�@7Pdi�!E�B

ci�!L��WS�E�@'>DL H

L���<��!Gl�IBhC:� K!C-T��FE �FH

log r∗ = −

P

(di − d̄)(bi − b̄)P

(di − d̄)2

�@13!#!+�-<@hQ���B�&��3�3���#�������� aX)�&�".Q�� =���!�BR���3��#��X!�#�&�di�� ��

ci���� VX)�>��,����9������GX*����������*�&yU���� *�

rdc =

P

i(di − d̄)(ci − c̄)q

P

i(di − d̄)2P

i(ci − c̄)2,

.0���13��d̄ = E[di]

�� ��c̄ = E[ci]

��3��B�����Z�&C8')��&�%�������� ��>��-di ��

�� ��ci ��N$3����')�&�&����RS����*;Th��Z9��FS�6�����Y���3�3���#�������� V�&�&3��\.A�J !����

���0�1�!�*�����r∗���0�������c�����T $����&3%������3O��-

rdc�#�O��o*���������0��&3��8; UO�&�

b̄ = E[bi]X)�A���!�Q�&C8')��&�%�������� U��-

bi ��;P�8�� ��&�

ci = diX∗+di

N�X$����� �����3����"�4��-P�&C8')��&�%�����#�� =.Q�B���&�

c̄ = E[ci] = E[bi + X∗di] =b̄ + X∗d̄

;GhQ���� $����13%������3/��-6���������3�3���#�������� _��*�1y����� *�\����

0 100 200 300 400 5000.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1Estimated dimension for points on a 1−D line segment

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Estimated dimension for points on a 2−D grid

1.2722

1.7539

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Estimated dimension for points on a 2−D grid

1.0881

1.8749

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

6

7x 10

−3

k

Variance of k−NN distance

d=2d=5d=10

�l�*� �}X)� �}��� �l���

�Y�������/��0 �� *������$�!���$"��4������ �����$"��4�$"0������*��5

!��.iX)�>.63�������� V���X

(di − d̄)(ci − c̄)

=X

(di − d̄)(bi + X∗di − b̄ − X∗d̄)

=X

(di − d̄)(X∗(di − d̄) + (bi − b̄))

= X∗X

(di − d̄)2 +X

(di − d̄)(bi − b̄).

�$�&������ ��rdc = 0

����RS��6�����J��'!����9���cR������!����-log r∗

;

5. THE ALGORITHMea�@ !��.5'!3��&��� *�A�����0<>���� !������ 9�7 ��!���&��� 8 �����,���&3��� !�+�}<>� 8 ���������3������!V;ThQ���A��������3������! .Q��3�F8���� /�����P3��&'!3����� *�%�����#�� Z��-����!��!���%�����&�0�!�1M� ���U�# +�$��&������ h\8;fhQ�!�@��X�9,��&����RS�@��-c�����@��������3������!���>���+'���3����������� I')���� *�������+��������')���� $���J�# 4�����Z������Z������,���&3/������� =�!�& ����>9�� ���-:���L�8�0��-������J������/�!���� !������ O;

5.1 The DIC algorithmhQ�!�Q���8�����# !�Q��-!�����P<>� 8 ��������3������! �#�����!��.0 B�� BnY������3������!�t�;hQ�!���� �'��8�����G�����U��������3������! �#�Z�G���&�

X��-

n�&�#�&�� *���N��������

.A�>.6�� $�0���U�&�#�!�,���&30�� b�&�#�!�,���&3��;f�7 HM�3��,�Y�,���'ON$���!�/��������3������!

�&���'��8����Q-:��3J����%�=������ *�xiN!���!�/�!���,�%�� !�����-

xi���U�����

k l���

!����3��&�,�Z !������$X)��3/-D��3Z�����k = kmin, . . . , kmax

;HhQ���U�!���,�%�� !�����-6������ !����3���,�Z ��&�#���$X)��3��\��-

xi��')����-D�a����'!���&������4���������*�����

��3���.6���K��!3�R��Gxi

;�gP�4M!�����# !�+���!�B���� �����3Z��3���.6���K��$�!��Lxi��

Gxi

�� ��\X*�Z�&�,���#9������ ��>�����A�#�*����)�8� ������7�*N����f�� U����&������ R^!; \8N.A�J����'��8���Y���!�@���*�����c3��'83����� *�%��������

l(xi) = (di, ci)-D��30�����1�

xi;�hQ�8�!�NS.Q�09��'B�����0���&�

X�# *���/�J�".Q�/�!���� !������ ��������&�

XLR�������f��� $�%���� ��������Q���*�����!3��'83����� *�%�������� U��-d������')���� *���;ThQ�!�Q�%����F !��.2X)������&�A���Z�&�#�!�,���&3Q���!�@�7.A�� "�!���� !������ ����)')���� *���6��

XLR;

8 ���!�,���&3��� ��G�� 4�7.A�G�8�#��& ������� !�J���>��� ���'8�������#���4Z���%�=���#�'!���&3������ �����!�,���&3��� ��0�� ��������8 7�8���� ������� �������'����&��;ThQ���T���3�3���&��������, ���13��# !�>���� U��-L��� �X)�6�!�1���&3���� ����/�RS� BX$�/�����'!�#�6R$���������!�� !��')��& ������ O;��" V�����Z���!����9�������=�������U��'�'����8�� ��H�� XOZ � X�C!')�&�&�%�������� ZV��C8�#������������� d�/��������3������� s#t�`�vQ-D��3ZM������� ��

b�>���������#�� `�!���,��3���

X!�!������ !�J�� 4���!�B�!���%�U.Q��3�F$�@.Q�&�#���� 4����,�J�������&�;��"-T�����/���&�X�&�� ������,���@��-

b���8y����� *�����V�8� ��������!X����&���0�������@�����/�� V9�� ���-:���#�!�

��-P�!��jd�&3�� *�J�!���� ������� ON�.0�!���1�4��3��Z���8y����� *�����V���'���3%������cN����!���������3������![.0������X)�/��X����>���U���'���3%�����>������������!X����&���;

5.2 Efficiency of the DIC algorithmhQ�!�W�&���'����&C8���7�b��-/���!�I<J� 8 ��������3������! ���V�8����� ��������5X*����!�@�&���'����&C8���7�U��-O����'!�!���� ��>-D��30�RS�13���')���� *�

xi�����@�!���,�%�� !��

���H�����kmin

���kmax

!������$X)��3�����-Q�����U')���� $�xi;�hQ���B���#�'!���

�������!������ B���0��������'83���X������#�E���Y����'��!���f�����A�!���,�%�� !����X)�&�".Q�� �����c')���� $���P�� 9���!�@���1�

XN8�� ��U-:��3Q�����%�+')���� $�

xi����3��Q�����Y')���� *���

.0�����B3��&��')��&�����@���!���3P�!���,�%�� !��A-D3��� ')���� *�xiNS�� ��/3��&��3����RS�A���!�

�h5��� �������%3 �HhQ����<>� 8 ��������3������!��"�� ���! �<>���%�����1�

X��-

n')���� *���N� $��ZX)�&3Q��-T������,���&3��

b� �� ���D 8 �����,���&3��� �����-X�� *���

b����!�,���&3��

tD[�+ ��h��5$5i ∈ {1, . . . , n �� � [ 8 ���'��8���

k ����2: :i��-

xiN8-:��3

k = kmin . . . kmax\�[ 8 ���'��8���J�����J�#�*�����3��'83����� *�%�������� (di, ci)

��-xi;

^*[�*"%� + ��` [

XLR = {(d1, c1), . . . , (dn, cn)}b�[ 8 �����,���&30�����J���&�XLR

�� *���b�&�#�!�,���&3��;

��&��������3��+�� !-D��3�9�������� O;fhQ���>������Y-:��3Y����'��8���# !�B�����O'�����3�.0������!���,�%�� ����0���

O(n2);

n �8��jd�13�� *�>��'�'!3������%�=���Y���9��� ��,��3����1�>�� =�# ��!�&CH-:��3J���!������& �� *���A��

X�������Q���!'�')��3����P-}���,�Y�&C8��&�!������ 9��-

k � !����3���,�0 !������8

X)��3>o*���&3�����;@�7 =�������Z�������X��� ������,���>��-ARS�&�&����3>�����%�$N)��'������#���

�� ��8�&C��,��3����1���!3���O���� \X)�A�!�����>-:��3������f�&y����� *������������#�������� B�����%����Qs b$N"�$Nlt/d�vl;f�7 /�������6��-���&��3����Q�����%�Y���!� ^ Z_:J�d-D3%����&.Q��3�F�s#t�\�vlN��3B�����%�V�,��3����&���83���/���#F��9���!�hZ+ l��3���=s#t:��v6��� KX)�9������c;4�$�� ��������6�&���'��8�%�������� Z��-)���!�Q���*������3��&'!3����� *�%�����#�� U���P�� !���&3�� *�����Z��'8 '!3���C8��9������N������\�����\��-A��'�'83���C!��9�����#R��\��1�����$�!�0-:��3

k " !����3��&�,�

��&�#���$X)��3+o*���&3���������!�1�(���9�#�*��������7�$ ���� ���������RS�=���������� ��bs#tF^�vlNY�����������')�������#X!����;�7 $RS�&�,���#�������� ������!�Z��� ��,��3��!�&������ I��-f�����\��'!'!3���'83��#�����B !����3��&�,�

��&�#���$X)��3��� ��8�&C>���EX)�1�*�� ��J�����f�����')�P��-����!����'���')�&3�;�ea�A�����������������>���!�1�I�� I�� ��8�&CV�&C8���,���NO�� ��=.A�B�!���Z���/�����HX!�#���%FVX)��CV-:��3��X8�%���� ��� !�Z�����J�!���,�%�� !���6��-������

k l���9 ����3���,�� � ��&�#���$X)��3Yo*���&3�����

-:��3k = kmin, . . . , kmax

;AhQ�����&y��&�#�& ��&�H��-����!��<>� 8 ��������3������!���Y�!�&���&3���� !���+X*�������J�&y����� !�&�G��-E�������0�� ��8�&Cd;

6. EXPERIMENTS�7 /������������1���#�� Z.A�6�,�����8�>�&C8')�&3����� *�%�������������Q'83���')�&3�������T�� �������J')�&3�-:��3�9�� ��&����-������J<>� 8 ���#����3�������V;

6.1 Applications and DatasetseK�f��'�'����@���83E���#����3���������O�� >���!�T-D��������.0�# !�Y�"�8')��O��-!�����%�����&���;

� 3 ) �����*�mf �%�����! 8 �� !���#�!�&3U�V���&�

X��-

n')���� *���\�#

Rd

�������B��� ?X)�9�!�&����')�������K�� K�7.Q�=���!X����&���NNf�� ��

FN���-Y���#�&�

s�� ��

f3����')��&����RS�&���*Nf.0���13��

n = s + f;`hQ�!�G')���� *���U��

N��3��B�!���,��3���X��8�����I�! ���-:��3�����4���@3%�� ��8����# (0, 1)d ;\hQ���\')���� *���

�� F�%��FS�@R������!��A !��3�9���������8���,��3��#X!�!�����9��3����� ��2�8; `$N$.0�����9R���3���

�� !��P�$; �8tU�� 4�����\M�3��,�d − m

��*��3%�8�# �������;\�" 4���!�Z�#���,�m���

��3%�8�� ������&�Nf���!�&�I�%��FS��R��������&�Z�! ���-:��3�����a�!���,��3���X��8�����K�� (0, 1)

;n@�

s, f → ∞�������� *��3��� ������\�!���� !���#�� ����#���"�G��-f���!�����&���

N�� ��

F��'!'!3��S���1�!��

d�� ��

m3����')��1���#R�����*;Hea���������f���������&�

F��

mH �Q�AG:;PhQ���YR��������

m���A���!�J�8���� ������� ���-����!�

m �k�����;ThQ�!�@���1�

N��� GX)�@�������!���*�0��-����Y��

m lk)���6��-T�8���� �������

dN8���B.Q������

�������N����� �7S*<�<#B!C:���FE!�IC$>!E�;

hQ�!�Z��X�9,��&����RS�\��-f�����\��������3���������>���Y���H'���3����������� =�����\���&�X�� *���?���&���

N�� ��

F;2eK�4��'�'����`�����=<>� 8 ��������3������! ��

XN

3��o$�!��,���� ��K�W������,���&3��;qeK�+.0�����>�8���� !�,��3%�����H�������B�����V<>� 8��������3������!VN$�#�A��X!�#�0���>3��&���83� U�����0���&���

F�� ��

N���P���!�0������,���&3��

�&RS� B.0�!� m�� ��

d��3��63���#������RS�&���B���������;fhQ�!�6k)���

F���T�����0���&�

��-T ��$�8��6.0�����H��������9���#���&3@��RS�&3%�������� *��3��� ������/�!���� !���#�� ����#���"�*;

�a��"%��+ �5$�%� &R�����%�$" 34��"%��+ �5$�%�! 4hQ�!�G���&������ ��W�������#����#��3�������!�G'83��R$�#�����U�� ���NP�� !���?�������B������H���!�G���&�

X��� $�%���� ��U���3��

������ _�� !�m lk)�����\��-J�!��jd�&3��& $�U�!���� !���#�� ��; :>�������*N������H���&�

X���� HX)�>�8�����')�������9�# *���\���&���

NNF1, . . . , Fp

N*.0���13��N�����

-D�����d�!���� !������ dN8�� ��

F1, F2, . . . , Fp��3��

m lk������P.0�����H�!���� 8

������ ��m1 < m2 < . . . < mp

3����')��&����RS�&���*;=hQ���m lk)�����Z��3��

�&�� ��,��3��!�&�����?���B�8����&3���X)���?��X)��RS��; :J�����9�������Z���� ����-:��3U�R��&3��k����

Fi.Q�B����.6��8�0w7M�C*x����!�\M!3��,�

d − mi��*��3%�!�� �������NO���!�

m

k������Q.0�����G����.Q�13Y�!���� ������� G��3��>�BX)����!���.0�����!�# 9�����m lk)�����

��-A�!�������13��!���� !������ ��;@hQ�!�#�@3�����������J�� 4�&3��������� ��H���1������ 4�����&3� ��3��1�*�H��-E9�� ���-D���#�!�6.0���13����RS�&3��99�� ���-:���L�H���Y�&BX)���!�!���9�� V��������!��'!3���&���!�� ��Z�� !��0�# +�����>�%�����# c;nY�S���# cNS.Q�@��'!'����\�����0<>� 8 ��������3�������VNS3��o$�!��,���� ��

p+1������,

���13��;�e(���& 2���!�a�8���� ������� �������������V��-\�����m lk������V��3��W���8yU

�&�#�& $�����a���'���3%�������dNf���!�9��������3������� 3��1���!3� ��\���B������,���13��Z�������pk������T�� ��������Q���&�

N;ThQ���Q��R��&3%�����6��,����9�������\�!���� !���#�� ZR������!��

-D��3\�����1�W���&�\��3��U��3%�!�&3���a���&���3%�8�# !�G���+���!�U���&�������P�8���� ������� ��-������Jk������;

�V �& � ��"+������)�f��c���F�D�$�D��! 6hQ���>�� �'!�!�6���Y�� n × m

9����3���C�������0�%��F���6R���������0��

[0, 1];fe5�����!�� +������9����3���CH���!�&3��>���Y�B�����

����1���#�� ���-k3���.0�P�� ��

`�&������� !�N����!�1�B�����������!�6���ZX��� �������3��#���

k × `���!X! �9����3���CH�����@����.�3%�� �F);0hQ���\��X 9��&�&����RS�/�#�Y�����#�!� *����-D�

���!�>3���.0�@�� ��H�������� !�6��-����!�#�0���!X! �9����3���Cd;ea�U���& ��&3%�����������%�K�����%�����&���\���/-D��������.0�;VzE��3��,�/.Q����� ��&3%�����

�k × `

9����3���CS��-P3%�� �F=�&C!���&�����

rNd.0�!�&3��

r � min{n, m};

ea�J�����& G'��#�� $�0���0�� +���!�>9����3���CM;PhQ���J3��9���� ��� ��Z������ *���

��-M��3��J���& ��&3%�������H�! ���-:��3�����9���P3%�� ��8��VN$�����������H���/�������A���!�

���� =���J��13��+�� ��G���!�\�,�%�� ��!��3%�=�!�&R8�#�����#�� 4�#�@�� !��;@hQ���&3��&-D��3���N��-P.Q�Z3��&���R��\�&�����!�&3>���!�

k3���.0�Nc��3>���!�

`�������� ��@��-A9����3���C

S-L3���

MNd.Q�Z��X!�%���� a�99����3���C=��-A3%�� !F

min{n − k, m}�� ��

min{n, m− `}3��&��')��&����RS����*;fh��/�������Q9����3���C�.A�>�����H�Jw, ��������1x

9����3���CX.0�����4� *��3�����J�!���,��3���X��!����V ���3�9�������V��3����� ��T�$N).0�����

R���3��#�� ��� �$; �!`$;�" _��3%�!�13B���I�&C$��3%���&�

S-D3��� �����H9����3���C

M.A�V��'!'����K���!�

<J� 8 ���#����3������� �� 4�7.A�+�,���'!�;ZzE��3��,��.A�U')�&3�-D��3� �9������,���&3��� !���-T�����>3���.0�Nd�� ��+.Q�/�#�!�& $����-L�G�����>3���.0�@��-�������9����3���C

S;0hQ�!�

�8���� ������� ���-O���!����03���.0�P���m− `+ r

N*���Q��'!')�������U���m.0�����%�

���T-:��3P���!�Q3���,�f��-)�����Q3���.0�N*�������P���f����,�B-D��3f�����6<>� 8 ��������3������!���+�#�!� *����-D�=���!�V;>eK�\����� 4����!�,���&3������Z�������� !�J��-

M;UhQ�!�

�8���� ������� \��-������A�&������� !�E�� S���

n−k+r������'�')�������\���

n-:��3

���!�>3���,�Y��-����!���������� !�N8���9���S���� =<>� 8 9�� �������6���U'���3����������� ���!�f3���.0�; �J��RS�& /���!�f3���.0�T�� ���������!� ��d.Q�A��� \�&C$��3%���&��9����3���CS;

6.2 Experiments with the DIC algorithm�" U�������f����&������ �.Q�Y'!3��&��� *�P�1C!')�13��#��& $����.0�����������0<>� 8 ���#���� 3������!��� IR���3��������>�!���%�����&���;>�" W������3��� !�J��-f�����\���#����3�������VN).A����1�

kmin = 10N!�� ��

kmax = 100N!�".Q�\R���������A�������Q.A�J��X����&3�RS��

�������0�����1��.Q��3�F9.Q�&�#�O�� V'!3%���&�������;ea���,�%��3��\X*�I�&C8')�&3����� *���# !�+.0�����?�!���%�����1���\�������\��� *�%���# K�

���� !�����m �k����

FN*�BX)����!��B�� +�/��'�����Y��-O�������!�&36�8�#��& �������

dN

�������&���!�&3Y.0�����4�U���1�N��-P !�������/')���� *���J�8���,��3��#X!�!�����+�� ���-D��3�����

����3%�� ��!��V;bhQ�!�=�����%�����&���H��3��G��� !�,��3����&�����`���9�8����&3���X)���`�# ���&�&������ b$;#t�;2�$�# !��+���!�G��X�9,��&����RS�=���U���a���'���3%�����G�����+���&���

F

�� ��NN�.A�\�&R����#�������/���83����#����3��������X*�G���*��F8�� !�H�� *���U����� G$>AG}�!<

@�<������IC BO@��AG�C�>!E=�FL'LM>!LJ��-d�����0��������3������!V;ThQ���6�����%������#��������M����������� �&3�3���3

Etot

���V����'��8�����(���G-D��������.0��[5eK�4M�3��,�G����'!�!���=�������� !-:�!������ q9����3���C

C.0�������

Cij� *��3��?�&�� *�%���� ��U���!�G $��ZX)�&3

��-O��RS�&3��#��'!'��� ��\')���� *���QX)�&�".Q��& 9���!�i l���9������,���&3Q��-����!�@��3����! ��

��3��!���q�� ��b�����j l���q�&�#�!�,���&3+��-������G������,���&3��� ��K-D���! ��qX*�_�����

��������3�������V;PhQ���& Etot = 1 − (

P

i maxj Cij)/n;

^ �!3G�&C8')�&3����� *���+�� ��!���������I�������G�����I<>� 8 ��������3������� ')�13� -:��3���G�&C8��&'!������ ��������5.Q������� (�������G���1�����# !�!NJ�RS� (�� (�����I��������������P���!�0�!���� !���#�� U��-)���!�0�����,�P��'�����Y�� ��Z�����

m lk����f��3��YRS�&3��

���������N0��3H��->�����m lk)���9���9�ZX)�����8���?�# q�a�������5�!���� !������ ����

��'������;fzE�����83��;b8�l�*�f'!�#�����A�����Y���*�����)3��'83����� *�%�������� H��-O���!�J�!���%�')���� *���/.0���

d = 3�� ��

m = 2Nf�� ��I�������3Z������,���&3��� ��8;4zE����

�!3��1b!�}X)�0������.0�>���!�\���!�Z�������B.0���13��d = 50

�� ��m = 40

;/�7 X)�����=�������N)���!�\������\��-T���!�Z�!���%�����&�>���Zt�N �N�N�9')���� *���N)��-P.0�!�#�%�`����WX)����� ��W���4�����

m lk)����;KeK�+��X!���&3�RS�+�������U���!�G��������3������!

9�� �������Q���Z�#�8� *����-L�������m lk)�����Q������&����,-:�!�#���*;fhQ�!�J�����%���c�&�L���,

����M����������� (�&3�3���3G���Hu8;�t�� �� q�����+M�3��,�H��������NJ�� ��it�; ��� �� q����������� ��G�������;�7 B��3%�!�13f����X)�1�����&3f�� ��8�&3��,�%�� ��\���!�6')�&3�-:��3�9�� ��&�Y��-d<>� 8 N�.Q�

')�&3�-D��3�����=�U���3��Z�8�&�%���������V�&C8')�&3����� *��N���� !�&3%������ ��H�!���%�����1���.0�����H���!�J�8���� ������� 9��-O���!�@�!���,�6��'�����@X)��� ��

d = 2 . . . 10N��� ��

�����\�8�#��& ������� =��-f���!�m lk)���@3%�� ����� !�9-L3��� t\���

d − 1;J�" 4�����

��������N����!�/�����%�����&�Y��� !�����,���@��-6t�N `����U')���� *���N#`����U��-E.0�!���1�VX)�1 ���� !�/���>���!�

m lk)����;ThE��X!���/t03��')��3����P���!�@��RS�13%�����Y��#��������M�����������

�&3�3���3A-:��3Y���>3��! ��f��-c�����Y��������3������� �:���!�0 8�!BX)�&3��f��3��@')�&3��&� *�� ������1�%;TeK�0��X!���&3�RS�0�������P���!�@��#��������M����������� +�&3�3���36���A !�RS�&3P���3�������� _\����HN!�� ��U�������Q�*��&�!3��6�� H���!�@������J�������Q���!�J�8�#��& ������� H��-�����J�����,�Y��'�����/�� ��+�������0��-������

m lk����0�8��jd�13@X*� 9��!�,�0�� !��;

eK�@ ���.(���!3� 9���!3Y�������& $������ H���Z��������Q.0�!�&3��J���!�&3��>��3��>���3�������� =�� !�

m lk)�����Y�� V�����\�����%�����&��;@zE�����83���;b8�}���6�� ��K�l���6���!��.

�����H'��������B��-Y�����H���*�����Q3��&'!3����� *�%�����#�� ��U��-@�".Q�I�����%�����&���Z���������� $�%���� qk)�����+��-\�!��jd�&3�� *�H�!���� !������ O;i�7 `�����VM!3��,�+������=������!���� !������ ���-d���!�Y�!���,�P��'�����@���

d = 10�� ��B���!�6�7.Q�/9�� ���-:���L�8�

����RS�9�8���� ������� m1 = 3

Nf�� ��m2 = 6

;=�7 a���!�������� ��K�������.Q�H����RS�

(m1, m2, d) = (10, 20, 30)NA�" ?X)�����?��������������Q���83���

���&���f��-c')���� *���F1, F2, N

��� *�%���� h`����/')���� $���f�����1�c;EeK�0��X!���&3�RS��������>�����B<>� 8 ��������3������! 9�� �������>���G�!�����&3������ ������B�����\���!3������&���;GhQ���9��RS�&3%��������#��������M����������� `�13�3���3\���Ht�; `\�� -:��3/�����UM�3��,���������NP�� ��7�$; `$t�� -:��3B�����9����&�� ��?��������NT.0���&3��9�����H��RS�&3%�����H����%��F�� +��RS�13Y���/3��� ��;T<>���%�����1���Q.0�����+���3��0������ H���83���Jk)�����6��3���&C!����� !���+�� +���!�J-:�!����RS�&3������� V��-E���!�>'���')�&3�;eK�J�������B�1C!')�13��#��& $�P.0�����G����.(3%�� �F�9����3������N$��3��8�# !�\���Z�!�1

����&�A�U�}���BX��� �������3��#���:�100×100

����X�9����3���CB��-)3%�� �FB�$N�.0�����!�� �

1000 × 10009����3���Cd;2hQ���4��������3������! '!3���RS��U���aX)�=o*�������

�����&�����,-:�!�}NQ��X8�%���� ��� !�I�&�L��������M��������#�� 5�&3�3���3W9��!�,�2�$;#t�b��HNP.0���&3�������/��RS�13%�����\���Y�%��FS� V��RS�13\t:�B3��� !�;Q�7 +�������@��������������#��3����B�8�� �� !���#�� +��-����!�J9����3���CU.A��3�F$�6�� +-:��R���36��-����830��������3�������V;fhQ�����������3�������]��-D���& +���1�!���RS��A�/')�13�-:��&�Q'���3����������� 9��-c���!�@9����3���CG�$^���8�Y��-E���!�Bt��B3��! ��1�%;hQ���H'!3���X���� ��-YM� ��8�� ��=����.�3%�� !FK����X8 "9����3������\�����BX)��

��'!'��������H���Z����&3��S��3�3%���+�!���%�8;�eK�� !�B�&��;f���l;cs �D\�vO3��')��3��Y�Z�����#�8 ������ H-:��363%�� �F* �tJ���!X! �9����3�����&�;�eK�J�1C!')�13��#��& $�P.0�����+�����@����������&3��S��3�3%��`�����%�4������_�� 2s �D\�v�;_hQ�!�V�����%�I�&�� *�%���� ��Z�����H�&C$ '!3��&�����#�� V���RS����6��-f��u�uD^U��� ���/�:3���.0�1�f-:��3/t/dZ�8��jd�&3�� *�0'������#�& $����}����#�!� ��1�%;EzE�# ��!�� ��J���ZX��� �������3��#���8����.6 l3%�� �F\9����3������T�� U�����%��7�8')��Z��-J�����%�4���U���')��3��%�� *�B���� !��H���!�&�K3��'83����� *�U���!X����&���Z��-���& ���E�������T��3��Q��� l3�������#������Z�� \������P����X!���&������-�'�������� *���;EzE�#�� �!3��;d8�l�S�f������.0�0�/'������6��-����!�J���*�����)3��'83����� *�%�������� +��-������Y3���.0��}���& ���1����-Y�����H9����3���Cd;KhQ�!�+�����������&3U'!���������!��.0�B ��4��X$R$�������������,���13��# !�K�&C8��'8�9�I-D�&.[���8�����#�13��;2n����3��V�8�&�%���������q�8� ������"� hQ�!�9�����%�+���� aX)�B��X!�%���# !���a������ � ��������������������������� ����!"�����������# ��$�%�&�'(#�)� "����%(*�+���,�����)� ��-���� �� %�.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

7

8

9

10

11

12

10 15 20 25 30 3510

12

14

16

18

20

22

2 4 6 8 10 12 14 16 186

8

10

12

14

16

18

20

22

5 10 15 20 25 30 3510

15

20

25

30

35

�l�*�6��<@ �k����0�� \�< �}Xd�O^N��< k����0�� ]`���< �}���.\�<r�� ��_b�< k)�����Y�� It���< �l�)�Yt���<r�� ��V����< k)�����Y�� _\N��<

�Y�������/��0 =e_�$���D ������$"��mf � �����R& ������e������ ��� =�%�$34*"%���� �"���5$���'6��#6V =���"������76 �

t � \ ^ ` b d u �� �$; �\ t�\$; � ���8;�tF^^ t�^8; � t�; `\ ���$; ��u` t�b$;�t �8; �b b8; d/^ �Db$; ^S�b t/`*; ^ �8; ��u �8; b�u b$; ��� \8t�;�td d*;#t �8; ��� �8;�t�d t�; �D` t�\$; d \!\$; ^u t��$; ` �8; ��� �8; ��� �$; ^8t �*;#t t�^8; b \Db8; \� t�; ^ � �8; �$t �$; ��u �$; b �$; � tu8; d \!d$; �t:� d*; ^ �8; �$t �8; �$t �$; �^ �$; � �8; � ^!; � �=�8; d \�u$; \

��) 5�4�� �(5�������� � �!������ �"���/�/ ��2 �+ �%�$���D ������$"��mf � ��� �A5$�%���F*��

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14Yeast Data

Den

sity

Dimensionality

Den

sity

Dimensionality

Yeast Data, Density Contours

2 3 4 5 6 7 8 9

5

6

7

8

9

10

11

12

13

�l�*� �}X)�

�����������# ��2"���5�6����$�] �+ 3 �$�!�/ ����/�/��6 �����F� � �M� �]�%�$34*"�f���� �"���5$���'6���"%� ��*"%�����'6 + ��h*���D� �/ *&�� �M) �R��*"%�����'6 �! �"�f�F ����� �$" ���� �/*�!� � ���/��c �+ �M� � �/M�����5(�'&( c�A5$�%������� �

�&�,���#9�������� =��-����!�Z��<r�����%�B3��RS�������Y�".Q�����#�!�!� V�&�#�!�,���&3��;0hQ�!�M����83��Rd$�}Xd�0���!��.0�J�����Z�!� !�����7�=��� *�����!3J���# !��Nd��,����9������4X*�V�30 × 30

�!���,������3%�� �}�#�����$�Z��3%��W����� !���������K�!� !�����"���%;+hQ���&3�����9�� !�V��9�����Y������,���&3����!�G3���.0�9��->.0�!�#�%�q�����9�8�#��& ������� ��������7���3����! ��

3�� ��+�#��.A�&3@�!� !�����"�9������ H�����>X!�������13J����!�,���&30.0�����+�� !

��3��� !���#�Y�8�#��& ������� ��������7�Z��-c��X)���!�6;%:J�����Q�������T�����Q�".Q�>�&�#�!�,���&3��

��� 5 !���HX)�G-:���� ��q������ ��a��������&3H�8� ������7�`��3+�� *��3��� ������4�!���� 8 ������ ��������7�*;>hQ�����J���!��.0�J�������J���BX!�# !�� ��9�!�& ������7�+.0�����4�� *��3��� �������8���� ������� ��������7�+���@�� G���'!3���RS�&�� *�Q��')�� G'83��R$�#�����0��&���!�$�!�;

6.3 Comparison with OPTICS�" b���!�#�9���!X�����&������ q.Q�=����'���3��=���!3H��������3������! .0����� ^ ~ hQ� 8 �V�� =�����/�%����FV��-TM� ��8�� ��

m lk������@.0�����!�# 4 !��������; ^ ~ hQ� 8 �

�%��FS��Z���\�� �'��8��������'���3%����1���&3εmax

.0�����1�a�#�/������9��C8�#Z������ �F������=�!���,�%�� ����NQ�� ��_����'83��$�!�!������ b��3%�!�&3����_R$�������������������#�� ��-P���!�/')���� *���J�� =�����\�����%�����&�@-D3����.0�����%�V�����\�#��.A�&3>'���3��>��-P��&�#�!�,���&3��!�#�13%��3��%�$�V���� 4X)�Z�!�&3���RS���d;J�" 4��3%�!�13J���H���&�@3��L�=��-P���!��8�')� ��!� !�&�K-D3���

εmax.Q�V���&�9������ b�����0�������&�9���4�����+9��C8��

Z�� �8���,�%�� ��&�H�� a���!��'���3����#�&���#��3B�����%�V���&��N����=������� ^ ~ hQ� 8 ��&���'��8����Q�����@.0�������/�����&3%��3��1�*�*;

hQ���Z'!3���9��3��V���!��'!�!����-A���!� ^ ~ hQ� 8 �4��������3������! �����+'!�#����;hQ���

x��C8���J��-f�����/'!�#���>���!��.0�@�����\�# ��!�����@��-f�����\�����%��')���� *���

�� 5�����=��3%�!�&3��� ��?'83��$�!�!����qX*� ^ ~ hQ� 8 �d;6hQ�!� y��C8�#�H�� 5�����

R$�������������������#�� b���B3�����%����X!���#���"�_�!���,�%�� !���NT.0�����%�?���U��9�����Q��-0������!�& ������7�a���/�������\')���� *�Z���\�������c;VhQ�!������'!�!�����I�����&3%��3��1�*�WX$�^ ~ hQ� 8 �a���Z��������#��3\���4�V���� ������H���# !F������9�����&3%��3��1�*�*;VhQ����'������'!3��$�8�����UX$� ^ ~ hQ� 8 ���!�&M� ���P������,���&3��A���QR��������&�8�;fn5R������#�1������!�1M� ���GX*�G�U�!��3������ $�%���E��8�����# !�U���� ���N�.0�!���1�V���@�1�!����� VX*�H����������13�;6�7 V������\��-f����X8 "�&�#�!�,���&3��0.0�����!�� =�L��3����&3J������,���&3��N�������'������X*� ^ ~ hQ� 8 �+��� ������,���@��-T�B�#��3�����R������#�1�*N8.0�!���1�V�� !������!�&�0���0�����X)�������� ��9�������&3YR������#�1�!�Y�8�#R$�#�!��+X*�9��9�����c�������#�;hQ��� ^ ~ hQ� 8 �=��������3���������������!���Y�������@�����%�=������,���13>�� V�����

��3����+�����&3%��3��1�*�?��� ������,������->�����������,���7.A�W���!X! �������,���&3��;_|@��.6 �RS�13�N��� G������/��-

m lk)�����6�&BX)���!�!���9�� G�����!�&3

m lk)�����6��-��!�������13

�!���� !������ ON8�������0���0 ����0��3��!��;PgA�!�Y�� !������ G�,���#���O�#�*��FH-D��3@F$ �������Y�����@3��#���*�J���#�!����-f�UR������#�1�G�� G���!��R8���������������������� 4'!�#���Y��- ^ ~ hQ� 8 �)Nc���>���J�#�J������.0 4�# IzE�����83��Uu8�l�*�%;/hQ�!�#�J��������.0�/���9��')��&��-L��4��!����j5R��������9-:��3U�����H�����&3%��3��1�!�#����Y��������3�������V;?hQ�!�G��8������ ������ ��U���!�����#�4X)�B���&�����H�����ZX)����� � !�� ��H��-A���!�BF$ ��&��;1:@�����\��������� +������J�������Q.A�J����RS�YB�!�����#'!���

m �k������N$�� ��J�&BX)���!�!���B.0��������

�����P�����!�&3����T���E ����T')��������X����A-D��3 ^ ~ hQ� 8 �>���J�#�!� *����-D�\����� m lk)����������� !���B���� ����#�/��8����j4R���������;�7 ����834����'���3������� �.0����� ^ ~ hQ� 8 �2.A�K��� ����#�!�&3W�!���%�����1���

.0���13����+���� ������m lk)�������\�&BX)���!�!���=�� a�+�������!�&3/�!���� !������ ����

��'������;fhQ�!�@�!���%�����&���A��� *�%���� Vt�N �N���\')���� $���N�.0�������YX)�����U�����m

k)����N����c.Q����$���c�����T ��������P���&�A�}��� *�%���# !�� ��0')���� *���N��� !��-D��3�������8���, ��3���X��8�����Z�� B���!�Q-:������ "�!���� !���#�� �������'����������� ������,���P��-�`����>')���� *��������1�c;6hQ���>-D��������.0�# !�G�!���%�U���&���Y��3��\��� ��13%�������#[6��<J lk)���Y�� \�<BN\�<@ �k������� 1`�<BN!`�<J lk)���E�# Bu�<BNDb�<J lk)������ +t���<BN^O��<J lk)���E�# R`���<BN�� �� ����<J lk)���Y�# It�����<B;zE�����83��/u!�l�*�Q������.0�0�����>'!�����@��� !�&3%�������+X$� ^ ~ hQ� 8 �H-D��3Y�����

��<@ �k����@�� \�<B;chQ���\F$ ���\���J�����/3������*�>���#�8�Z��-P���!�\����.Q�&�,��R����� ���&�I���\�&�#���3����IR8������X����9�� ��4���G.Q�U�%���*�����U�����U�&�!������ ��+R����#�!�Z���X)�P�$; �N�8;B|J��.Q�&RS�&3�Nd-:��3\�����%��.0�����K�8�#��& ������� 4�#��3����&3/������ _t��$N�������!�������W���!�U��������3������� '83��$�!���&��J�����Z���3�3��&�&�/��3%�8�&3��� ��+.0���������,�\��-6������')���� *���/��-6���!�

m lk)���ZX)�&�# !�V�� a������X)�&���� � !�# !�=��-

�����\��3%�8�&3��� ��8NO���!�ZF$ ��&�Z���> !�������� !���&3>R8������X�����;\nY 4�&C!���'����\���������.0 `�� _M����83��Gu8�}Xd�%;_hQ�!�&3��&-:��3���NA.A�+�&�����#�_ ����U����'��!���H�

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 200 400 600 800 1000

Rea

chab

ility

den

sity

Ordering of the data points

OPTICS -- 2D in 3D

0.09

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 200 400 600 800 1000

Rea

chab

ility

den

sity

Ordering of the data points

OPTICS -- 40D in 50D

�l�*� �}Xd�

�����������0 � � ��� � �%5� ���� + ����M� � ��ehf � ���]& �����%�$" �e"� ��$����M) � ����ehf �%��� & �������$" ����e "� ��$��

�����Etot(OPTICS) Etot(DIC)� � � ���� ��� ����� ��� �����

�� � ���� ��� ���� ��� � ����� � ���� ��� ����� ��� � � �� ��� ������ ��� ���� ��� � ���

���� � �!���� ��� �"� ��� � ���� �� � �#������ ��� �"� ��� ��� �

��) 5���0 �(5�������� � �!������ �" �Y�/� ��2 �+ � � � � ����"%� e � �

�&�#�!�,���&3��� ��V.0����� ^ ~ hQ� 8 �W-:��3Z���!���#���,�\�7.Q�=�!�����! "�8�#��& ������� �����!���%�G���1��;9n@ *�=R��������B���������o*���������I���*�$�cN�3��&���������� ��V�� K��3�X��� ��3%��3������+���*�$�dN���3YX�����3�����!�����;PhQ�!��������J'83���X!�#�& ��3�������0.0��� ��3��8�� ��Y���J�!��� ^ ~ hQ� 8 �/-D��3T�#�!� *����-D�8�� ��@����.6 l3%�� �F/����X8 "9����3������;�" HhE��X!�#����.A�>����'���3��0�����@��#��������M����������� V�&3�3���36��-O�����@������,

���13��# !���T-:���� ��ZX$� ^ ~ hQ� 8 �U�� ��Z���!�Q<>� 8 ���#����3�������V;fhQ�!�6��#���, ����M����������� q�&3�3���3��H��3��G���#����#��3�NA.0�����b<>� 8 X)�&�# !�K�I�#���������V���3�������83%������;PhQ���@9���� 9��� !����������� 9-D3�����������Q�1C!')�13��#��& $�P���A����������!�J�8� ������"�8 �X���������������,���13��# !�Z��1�����$� ^ ~ hQ� 8 �U-}�������Q-:��36�������! �8���� ������� ����$�!���%�8;��7 /�����%�\��������E�!� !�����"�/������ ��Q���E !���E���& ���������RS��& ����!���_���W3��R������Q���!�G�,��3����1���!3��G��-J���!�V�����%�8;bz��83������&3����3���N���!� ^ ~ hQ� 8 �q��������3������� 3���o*����3���9����3��&-:�!�YM� ��& l���! ��� ��W��->���!�'���3%����&���&3��J�� 4��3%�8�&3J���H'!3��$�8����\�9����� !�� ���-D���E�&�#�!�,���&3��� ��8Nc�����'�')�������4���9�����\<>� 8 ��������3������� .0�!���1�I�����>�� !���G-:�&.�NO�����,�=������1�>'���3%����&���13��;YzE�# ��������*N�.Q�\ ��������������Y�����/<>� 8 ��������3������!������3%�!�&3T�� ��!�')� ��!� *��N�������'�')�������/��� ^ ~ hQ� 8 �/.0�!�#�%�\�#�����& ���������RS����Z�����>��3%�!�&3Y�� G.0�����%�+���!��')���� *���@��3���R$�#���������d;hQ�!�J�������J��-�Z��������'����

m lk)�����f���Q��� ����#�!�&3%��X����9���3��@�!��y��&�����

-D��3 ^ ~ hQ� 8 �d;�ZG��������'���� m lk)�����Q.0���#�E��'�')���3@���@�B���� ����#�/R��������&�

���� !��>�����&�H�8��jd�&30�� !���9X*�H�8� ������7�+�� ��9 ����0X*�9���*�������#�� ON!.0�����1����� ��\���������� !�G�����B���4M� ��KZ��������'����HF8 !���;?|@��.Q�RS�13�NP���!�R$������X��������7�V��-E������F$ !���0�!�&��3%���8��@���6�����/�8�#��& ������� ��������7�H��-����!�m lk)�����6�� !�&3��������&�;

7. CONCLUSIONSea�U�����83��&���J�����Z'!3���X!��� ��-6�!�������RS�13��# !�+�&�#�!�,���&3�����-A')���� *����������/�������� W�#��.6 "�!���� !������ ����P9�� ���-:���#�!�; ^ �83/��'!'!3��S���1�W���/����1C8���& ��`���!�=�!�1M� ��������� b��-�-L3%���&�%���J���3�3���#�������� 2�8�#��& ������� q�� ���13��������H�G���*������ ���3���.6���_��$�8���-:��3Z�����1�K')���� $��;+gQ�������K�� W���������$�8��}Nd�����%�4')���� *�>�� =�����Z�����%�����&����� 4X)�Z9��'�')���H���G�����*�����3��&'!3����� *�%�����#�� b�&�� ������,���� ��I��-@�I�!� !�����7�K�&�*�&y����� *���� ��_�4�!�� ��& ������� ��������7�4��*�&yU���� *��;Zea�B��3������Z�������J�����\�#�*����T3��'!3�����& ! �%�������� q'83�����&3�RS�&�B.Q����6�����H�� !-D��3�9�������� 5��X)���!�U���!�+9�� ���-:���#�!��������/')���# *����X)����� ��G���8N��� ��a�8�#���&��R��&3��� ��+���!������9�� ���-:���L�8��X)�& �&�����Y�Z�".Q�� "�8�#��& ������� ����c������,���&3��� ��B'!3���X!���V;^ �83=��&���!�$�����I��X!�#�K���q�!�������RS�&34����.6 "�!���� !���#�� ����Z9�� ���

-D���#�!�4�������I��3��? !���I ���&�������3������ ���� �����3�N\���I���� �M� ����&�#�!�,���&3��.0�����!�# 2����!�,���&3��N>���+.A��������+������,���&3��H�������+�*���!'*�q�����4��������'������;�z��83������&3����3��\���!�B��&���!�$�I�8�*��� ����>3���o*����3����9RS��1����3�

��'�����@3��&'!3����� *�%�����#�� +��-O���!�J�!���%�$�$���Q���� 9X)�Y����������o*����������.A����-:��3B��1��3��#�9�!���%�����&���;VeK��')�13�-:��3� �&C8')�&3����� *������ K.0�����%�a.Q��!�&��� ��,��3%�����Q�����6�&jd�&�&����RS� ��&���P��-O���!3P��������3���������T-:��36�!�������RS�13� �� ��\����.6 "�8�#��& ������� ����

m lk)�����Q�� ��U-:��3Y�!�&����1���# !�Z����.6 l3%�� !FU����X8

9����3�����&�;�eK�>�������U������.5�������6���!36��&���!�$�����!��')�13�-:��3���6�������&3��'!'!3������%����Y�������J��3��\X��������V�� !���V�� 4�8� ������"�=�� ��=�!�� !���Y�%��FS��� *��������&���� *�6���!�� ��������� V��-T�8���� ������� ��������7�*;

8. REFERENCES$ %'&)(+*-,.*�/1032�46572�892�: ;=<>*�?>*"@=A B6CD2FEG2�*�HIKJMLN23:-BPO 4RQFSTLNU'CRV WLUN8 A-B6CRLN4TV : 0�* XY:[Z]\_^]`�a"O-230�LNBb%Fc�cNd-%fe�c�ahg3i3i�j�*

$ gf&lk1*"km*h/1030�234T57238Gahk1*"@n*�(o4TQ�UNQ�O V A-U3a�p *�q�*-rsQ�8 EYa-(+*"t�*�u�Aha-23:-;p *"t"*�(�234TH-*"v-2�B6C1238 0�Q34TV CRw-JMB7EGQ�4mO 4TQ3STLNU'CRLN;)UN8 A-B6CRLN4TV : 0�* XY:[ZPxyFz�{`�|N}]~�\_^>a�O 2�03LNB1e�%d��3g�*"/mkP@na�%F���3��*

$ �f&lk1*"km*h/1030�234T57238+23:-;�(+*�t"*-uoA"*-v�V : ; V :-0�0�LN: LN4R238 V �NLN;)O-4TQFSTLNU'CDLN;UN8 A-B6CRLN4TB_V :=w-V 0�w=; V JMLN: BRV Q�: 2�8"BTO 2�UNLNB*-XY:nZ7xy3z3{+`�|N}]~�\_^]a"O 2�03LNB�3iFd���%3*"/_kP@na�gFi�i�i�*

$ jF&)�]*�/10�4T2N572�8�ahp *"�bLNw 4RH3L3a-��*��bA :-Q3O-A 8 Q3B'a-23:-;�(+*-�m2�03w-2NWF2�:"*/1A CRQ3JM23CRV U]BTA-� BTO-23UNL>UN8 A-B6CRLN4TV :-0�Q3E�w-V 03w=; V JMLN:-BTV Q3:-238"; 23CR2.EGQ�4;-2FCD2MJMV :-V : 0.23O-O 8 V UN2FCDV Q�: B'*�XY:nZ7xy3z3{+`�|N}]~�\_^>a�O 2�03LNB1�3jfd-%Nic�a%F���3��*

$ cf&l@n*"/m:-H3LN4RB6C'a�@n*"@n*��P4TLNA :-V 0�a-?>* I�(+*�,]4RV LN0�LN8Ga 23:-;�p *"t 23:-; LN4*� (o�PX6kPt"� � 4T;-LN4TV : 0.O"Q3V :CRB_CRQMV ; LN:CRV E��MCDw L>UN8 A-B6CRLN4TV : 0�B6CR4RA U'CRA-4TL3*XY:nZ7xy3z3{9`�|N}]~�\_^]ahO 2�03LNBmj�Nd�eFi�a�%F�3����*

$ ef&lt"*�/146�2�a���*h@n*"@=Q3A-:C'a-<>*ht"*-<mL'CD23:�23w�Aha��]*"t�V 8 W�LN4RJM23:ha�2�: ;/>*-u�*-r�A"*�/1:=Q�O�CRV JM2�8h238 0�Q34TV CRw-J�EGQ�4_2�O O-4TQN��V JM23CRL]: LN2�4TLNB6C:-LNV 03w��"Q�4PBTLN2�4TUw V : 0�����LN;l;-V JMLN:-BTV Q3:-B*"�����7~�a�j�c ��e��D� �3��%'d���g3��a%F���3��*

$ �f&)��*-�P234T�-234R�M23:-;)(+*�k7w-LN:"* �1BTV : 0�CRw-LbEG4T2�U'CR2�8�;-V JMLN: BTV Q�:�CRQ.UN8 A B6CDLN4;-2FCD23BTL'CDB*�XY:nZ7xyFz�{9�>^]^>a"O 2�0�LNBmg�eFiFd�g3e3j�ahgFi�i3i�*

$ �f&)/>*��PLN8 A-BTBTV�2�: ;�k1*�v-2�8 Q3A CRBTQ�B*"t LN8 EGI�BTO-23UNV 2�8�STQ3V :�BTLN8 LNU'CRV W�V CK�LNBTCRV JM2FCRV Q�:lA-BTV : 0.EG4R23U'CR2�8hUNQ�: UNLNO�CDB*����P~¡ P\_|R`-a+%fe ��g��D� %fe�%d�g3i�%�a%F���3��*

$ �f&lt"*��7LN4TUwCRQ�8 ;"a-��*�/>*�,]LNV Jla-2�: ;=?>* I�(+*-,]4TV LN0�LN8G*-�Pw L�¢mIGCR4TLNL3�o/1:V :-; L'�)B6CD4TA U'CRA-4TLbEGQ�4Pw-V 03w I�; V JMLN:-BTV Q3:-238"; 23CR2�*�XY:nZ7xyFz�{b£9¤+^>¥_aO-230�LNB1g3�fd�����a�%f����e*

$ %fiF&)(+*�kPV 23UNUNV 2�a"@n*-(+23CRLN8 8 2�a"23:-;l(+*"¦"LN�NA-8 2�*�@�I�CR4TLNL3��/1:=L'§)UNV LN:C2�UNUNLNBTB_JML'CRw Q�;lEGQ�4_BTV JMV 8 234RV CY�)BRLN234TUw=V :�JML'CD4TV UbBTO 2�UNLNB*�XY:nZ7xy3z3{£9¤�^]¥ma�O 2�0�LNB_jg3efd�j���ca+%f�����*

$ %�%'&l@n*"¨oB6CRLN4a-?>* I�(+*�,>4TV LN03LN8Ga p *"t�2�: ;-LN4a-23:-;=¢]*"¢mAh*�/©;-LN: BTV CY��I��-23BTLN;2�8 03Q�4TV CRw-J�EGQ�4_;-V BRUNQNW�LN4RV :-0.UN8 A-B6CRLN4TV B_V :=8 2�4T03L�BTO 23CRV 2�8�; 23CR2�� 2�BTLNB5mV CRw=: Q�V BRL3*�XY:[ZPxyFz�{9�>^]^]a"O 2�03LNB1g3g�efd�g��%�a9%F���3e�*

$ %Fgf&lk1*�v�238 Q�A�CRBTQ�Bm23:-;�XR*�,>23JMLN8G*-�7L'�Q3:-;=A : V EGQ�4TJMV CY��23:-;V :-; LNO"LN: ;-LN: UNL3��/m:-238 ��BTV BmQFE�46I�CR4TLNLNBmA BTV : 0.CDw L>UNQ�: UNLNO CPQ3E+EG4R23U'CR2�8;-V JMLN: BTV Q�:"* XY:[ZPxyFz�{9Zb\_^]`�a"O-230�LNBmjfd-%f��a9%F���Fj�*

$ %F�f&)�]*�v7*"t�*"v+V 8 w Q�a-/>*�p *h@n*-�94R23V : 2�a�p *"kP23L'CR2�: QM�+4T2�V :-2�a"23:-;k1*�v�238 Q�A�CRBTQ�B*"t V JMV 8 2�4TV CY�)BTLN2�4TUDw�5mV CDw Q�A�CPCDLN234TB'�7�_w L]Q�JM: V�EG23JMV 8 �Q3E�238 8 I�O-A 4TO"Q�BTL]2�UNUNLNBTBPJML'CRw-Q�; B*-XY:nZ7xy3z3{9|N�o^]ªPa"O 2�0�LNBme�g3�fd�e3�3i�ag3i�i�%�*

$ %fjF&)/>*"�]V Q�: V Ba"(+*�XY: ;���H-a-2�: ;=�]*"@=Q3CK572�: VG*"t V JMV 8 2�4TV CY�)BTLN2�4TUDw�V :=w V 03w;-V JMLN: BTV Q�: B7W�V 2Mw-23BTw-V : 0�*-XK:nZ7x'yFz3{b£9¤�^]¥ma�O 2�0�LNBmc�%f�fd�c3g��a+%f�����*

$ %Fcf&)�b*�?123BTCRV L3a-�b*-�_V �-BTw V 4T2�: VGa-2�: ;�p *-?]*-v�4TV LN; JM2�:"*o 9«�¬�ª7­�¬'®�¬N¯"°G±�yR²`h°Y³°�´�±N°G´Kz'³3­�¤+¬'³3x'¯�´�¯ µ�*�t�O-4TV : 0�LN46IG¶oLN4T8 2�0�a-g3i3i�%3*

$ %Fef&)/>*�?1V : :-LN� A-4T0�2�: ;=��*�,>LNV Jl*-/1:=L'§)UNV LN:C_2�O O-4TQ�23Uw)CDQ�UN8 A B6CRLN4RV :-0V :�8 234T0�LbJ�A 8 CRV JMLN; V 2>;-2FCD23�-23BTLNBP5_V CRwl: Q�V BRL3*-XK:[Z7xy3z3{��>^>^]a-O 2�03LNBc��fd�e�ca9%f���3��*

$ %F�f&)<>* ,]23CR2N�23JM2�2�: ;)t"*�t 2FCRQ�w"* �_w Lbt��_IGCR4RLNL3��23:lV : ; L'�MB6CD4TA U'CRA-4TL_EGQ34w-V 03w I�; V JMLN:-BTV Q3:-238": LN2�4TLNB6Cm: LNV 0�w���Q�4P·�A-LN4TV LNB* XY:[`�|N}]~�\_^>a9%F�3���*

$ %F�f&)�]*�,]4R23A CRw 0�23JMLN4_23:-;=p�*"�b*�q9LNL3*-�Pw L�� 8 2�UDHIK��Qf�lUNQ�JMO 8 L'��V CK��Q3E:-LN234RLNB6CP: LNV 0�w��"Q34oBTLN2�4TUw"* XY:�ZPxyFz�{"|N���]¤�Z7a-O 2�0�LNB_��c3�fd���e��a�g3i3i�j�*

$ %F�f&)�1* IK�>*"(�230�LN8Ga-vo*�,1Q�4T:"a"23:-;=k1*�v�238 Q�A�CRBTQ�B*��bL'¸"23CRV : 0�CRw L;-V JMLN: BTV Q�: 2�8 V CY��UNA 4RBTL]A BRV :-0MJ�A-8 CRV O 8 L1EG4T2�U'CR2�8�; V JMLN: BRV Q�: B'*�XY:ZPxyFz�{9|N�o^]ª7a"O-230�LNB1c3���Nd�c��3��a"g3i3i�i�*

$ g3iF&lt"*�(�23O-23;-V JMV CR4RV Q�A"a ?>*�,]V CR2�0�2N572�ah(+*-�m*h�]V �-�"Q3:-Ba-23:-;k1*�v�238 Q�A�CRBTQ�B*�q � k7XR�"v�2�B6CmQ�A�CD8 V LN4_; L'CRLNU'CRV Q�:)A-BTV : 0.CRw-L]8 Q�UN238UNQ�4T4TLN8 23CRV Q3:�V :CRLN0�4T238G*-XY:nZ7xy3z3{9|N�o^]ª7ahO 2�03LNB1��%fcfd���g�ca"g3i�i���*

$ g�%'&lk1*"@n*�(o4TQ�UNQ�O V A-U3a @n*"p�Q�: LNB'a�(+*-,�*�/10�2346572�8Ga"2�: ;��1*�@n*"@=A 4T2�8 VG*/¹JMQ3:CRL>UN234T8 QM2�8 03Q�4TV CRw JºEGQ34_EG2�B6C1O 4TQ3STLNU'CRV W�L1UN8 A BTCRLN4TV : 0�* XK:nZ7x'yFz3{`�|N}]~�\_^>a�O 2�03LNBmj�%f�fdjg��*h/_kP@»(o4TLNBTB'a"gFi�ig*

$ g�gf&lt"*�<>*��m23BT�-23:-;"*o��«�³�y°G´Kz�^]¼�¯�³3®�´Kz'±)yR²>½�y3¯�­ ´�¯h¬'³3xM`�¼3±N°Y¬'®�±*r¾V 8 L'��IKXY:CRLN4TBTUNV LN: UNL3a-%f���3i�*

$ g��f&)?>*-r�23:-0�a�r¿*-r�23:-0�a-p *-uo2�: 0�a�23:-;l(+*ht�*-uoA"*�kP8 A B6CRLN4RV :-0M��O-2FCRCRLN4T:�BTV JMV 8 2�4TV CY�)V :�8 2�4T0�L>; 23CR2MBTL'CDB*�XY:nZ7xyFz�{+`�|N}b~�\_^]a�O-230�LNB���3jfd�j3ic�*"/_k_@À(o4TLNBRBa"g3i3ig*