Diff Zadaca

8/17/2019 Diff Zadaca

http://slidepdf.com/reader/full/diff-zadaca 1/5

Sveuciliste u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje

Domaca zadaca iz kolegija Racunalna matematika:

M A T L A B R

(Diferencijalne jednadzbe)

Dominik Zinic



Opis zadatka

Funkcija za numericko rjesavanje (koristene interne Matlab-ove funkcije ode23() i ode45()) diferencijalne

jednadzbe....y − 5y + 4y = 10 cos(t) (1)

svedena je na sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda. Diferencijalna jednadzba cetvrtog reda svedena

je na sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda tako da je uvedena zamjena varijabli, y1 = y, y2 = y,

y3 = y i y4 = ...y . Time je dobiven sljedeci sustav:

y1 = y2

y2 = y3

y3 = y4

y4 = 10 cos(t) + 5y3 − 4y1

Pocetni uvjeti su: ...y (0) = 0, y(0) = 0, y(0) = 0 te y(0) = 2.

1 Numericka izvedba zadatka u Matlabu

Funkcija ’djedna.m’ koja sadrzi diferencijalne jednadzbe je:

1 function d y = d j e dn a ( t , y )

2 dy = zeros ( 4 , 1 ) ;

3 dy ( 1 ) = y ( 2 ) ;

4 dy ( 2 ) = y ( 3 ) ;

5 dy ( 3 ) = y ( 4 ) ;

6 dy ( 4) = 10∗cos ( t)+5∗y(3)−4∗y ( 1 ) ;

Skripte koje pozivaju funkciju ’djedna.m’:

1 [ T ,Y]=ode23 ( @djedna , [ 0 1 0 ] , [ 2 0 0 0 ] ) ;

2 plot ( T, Y ( : , 1 ) )

3 axis ( [ 0 10 0 1 5 00 0 ] );

Graficki prikazan odziv sustava (posljedica naredbe plot(T,Y(:,1))), rijesenog RK-2 metodom, u vre-

menu od 10 sekundi prikazuje Slika 1.

2



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5000

10000

15000

Slika 1: RK-2 numericka metoda: Odziv sustava opisanog jednadzbama 1 i 2

1 [ T ,Y]=ode45 ( @djedna , [ 0 1 0 ] , [ 2 0 0 0 ] ) ;

2 plot ( T, Y ( : , 1 ) )

3 axis ( [ 0 10 0 1 5 00 0 ] );

Graficki prikazan odziv sustava (posljedica naredbe plot(T,Y(:,1))), rijesenog RK-4 metodom, u vre-

menu od 10 sekundi prikazuje Slika 2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5000

10000

15000

Slika 2: RK-4 numericka metoda: Odziv sustava opisanog jednadzbama 1 i 2

3



Grafickom usporedbom RK-2 i RK-4 metode rjesavanja diferencijalnih jednadzbi moze se ustanoviti

da odzivi nisu jednaki.

2 Simbolicka izvedba zadatka u Matlabu

1 y = d s o lv e ( ’D4y−5∗D2y+4∗y=10∗co s ( t ) ’ , ’D3y(0)=0 ’ , . . .

2 ’D2y(0)=0 ’ , ’Dy(0)=0 ’ , ’y (0)=2 ’ )

3 e z pl o t ( y , [ 0 1 0 ])

4 axis ( [ 0 10 0 1 5 00 0 ] );

Graficki prikazan odziv sustava (posljedica naredbe ezplot(y,[0 10])), u vremenu od 10 sekundi pri-

kazuje Slika 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5000

10000

15000

t

1/(2 exp(t)) + cos(t) + exp(t)/2

Slika 3: Odziv sustava opisanog jednadzbom 1, rijesen internom Matlab-ovom funkcijom dsolve()

1 t=sym( ’ t ’ ) ;

2 y=sym( ’ y ( t ) ’ ) ;

3 Ys=sym( ’ Ys ’ ) ;

4 F= l a p l a c e ( d i f f ( d i f f ( d i f f ( d i f f ( y ) ) ) ) − 5∗ di f f ( d i f f ( y ) ) + 4∗y − 10∗cos ( t ) )

5 Fs=subs (F,{ ’ (D@@3)( y ) ( 0 ) ’ , ’ (D@@2)( y ) ( 0 ) ’ , ’D( y ) ( 0 ) ’ , ’ y ( 0 ) ’ , . . .

6 ’ l ap la ce (y ( t ) , t , s ) ’ } , {0 ,0 ,0 ,2 , ’ Ys ’ })

7 y s= s o l v e ( F s , Y s )

8 y f=i l a p l a c e ( y s )

4



9 e z pl o t ( y f , [ 0 1 0 ])

10 axis ( [ 0 10 0 1 5 00 0 ] );

Graficki prikazan odziv sustava (posljedica naredbe ezplot(y,[0 10])), u vremenu od 10 sekundi pri-

kazuje Slika 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5000

10000

15000

t

1/(2 exp(t)) + cos(t) + exp(t)/2

Slika 4: Odziv sustava opisanog jednadzbom 1, rijesen Laplace-ovom transformacijom

Grafickom usporedbom rjesenja diferencijalne jednadzbe preko interne Matlab-ove naredbe dsolve()

i preko Laplace-ove transformacije moze se zakljuciti da su odzivi jednaki. Grafickom usporedbom nu-

merickih i analitickih rjesenja vidi se da rjesenje RK-2 numericke metode previse odstupa od analitickog

rjesenja u odnosu na RK-4 numericku metodu, pa se moze zakljuciti da RK-4 numericka metoda daje

bolji rezultat.

5

Diff Zadaca

Documents

Transcript of Diff Zadaca