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Sumário DETERMINANTE ........................................................... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
TEOREMA DE LAPLACE ................................................. 2
COFATOR ............................................................................................................................................................. 2
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 2
TEOREMA DE LAPLACE ........................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Propriedades ................................................................ 2
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em todos os casos a seguir. ................................................... 2
FILA NULA ............................................................................................................................................................ 2
FILAS PARALELAS ................................................................................................................................................. 2
TROCA DE FILAS PARALELAS ............................................................................................................................... 2
MATRIZ TRANSPOSTA ......................................................................................................................................... 2
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL ................................................................................... 3
TEOREMA DE JACOBI .......................................................................................................................................... 3
MATRIZ TRIANGULAR .......................................................................................................................................... 3
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 é o produto dos elementos da diagonal principal. ......................... 3
Exemplo............................................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 3
TEOREMA DE BINET ............................................................................................................................................ 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 3
Regra de Chió ............................................................... 3
REGRA DE CHIÓ ................................................................................................................................................... 3
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
MATRIZ DE VANDERMONDE ............................................................................................................................... 4
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 DETERMINANTE
A toda matriz quadrada pode ser associado um
número real, chamado de determinante.
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. O
determinante de 𝐴, 𝐝𝐞𝐭 𝑨, é calculado por diferentes
técnicas que variam de acordo com a ordem da
matriz.
ORDEM 𝟏
O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao
único elemento que compõe essa matriz.
Exemplo 1
𝐴 = [−2], então det 𝐴 = −2.
𝐴 = [𝜋], então det 𝐴 = 𝜋.
𝐴 = [0], então det 𝐴 = 0.
ORDEM 𝟐
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal secundária.
Se 𝐴 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22), então
det 𝐴 = |𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21
Exemplo 2
Se 𝐴 = (1 32 7
), então det 𝐴 = |1 32 7
| = 7 − 6 = 1
Obs.1: O determinante da matriz pode ser denotado
por | |.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule os determinantes a seguir.
a) | − 7|
b) |2 93 7
|
c) |1 −13 −2
|
d) |5 4
−2 −1|
e) |𝑠𝑒𝑛 𝑎 − cos 𝑎cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎
|
1.2. Resolva, em ℝ, a equação |2𝑥 3𝑥 − 21 𝑥
| = 1.
ORDEM 𝟑
O determinante da matriz de ordem 3 é calculado
utilizando a Regra de Sarrus.
Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir.
Exemplo 3
Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [1 0 20 3 1
−1 2 3].
1) Copie ao lado da matriz 𝑨 as suas duas primeiras
colunas.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
2) Multiplique os elementos da diagonal principal.
Faça o mesmo, separadamente, para cada
“diagonal paralela”.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
3) Multiplique os elementos da diagonal
secundária, trocando o sinal do produto obtido.
Faça o mesmo, separadamente com as suas
“diagonais paralelas”.
|1 0 20 3 1
−1 2 3|
1 00 3
−1 2
4) Some os valores obtidos.
det 𝐴 = 9 + 0 + 0 + 6 − 2 + 0 = 13
6 − 2 0
9 0 0
3 ⋅ 2 1 ⋅ 7
𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.3. Calcule
A) |3 2 11 2 51 −1 0
|
B) |1 −1 25 7 −44 0 1
|
AULA 02 TEOREMA DE LAPLACE
COFATOR Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 e seja
𝑎𝑖𝑗 um elemento de 𝐴. A cada elemento da matriz 𝑎𝑖𝑗
está associado um número real chamado de cofator.
O cofator de 𝑎𝑖𝑗, denotado por Δ𝑖𝑗 , é tal que
𝚫𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 ⋅ 𝑫𝒊𝒋,
em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante da matriz que se obtém
de 𝐴, eliminando a 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna.
Exemplo 1
Na matriz 𝑨 = [𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒], qual o cofator do
elemento 𝒂𝟏𝟑?
Para determinar o cofator de 𝒂𝟏𝟑 precisamos calcular
𝑫𝟏𝟑 que é obtido eliminando a primeira linha e
terceira coluna.
[𝟎 𝟏 −𝟏𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒] ⇒ 𝐃𝟏𝟑 = |
𝟐 𝟑−𝟐 𝟎
| = 𝟎 + 𝟔 = 𝟔
E assim,
Δ13 = (−1)1+3 ⋅ 𝐷13 = (−1)4 ⋅ 6 = 6.
TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada de ordem
𝑛 ≤ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de
uma fila com os seus respectivos cofatores.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Calcule
a) |
3 15 0
−2 1 1 2
4 02 1
1 −10 3
|
b)
1 4 1 1
2 0 4 3
5 0 2 1
3 0 7 1
Obs.2: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da
matriz.
AULA 03
Propriedades
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em
todos os casos a seguir.
FILA NULA
Se 𝐴 possui uma fila na qual todos os elementos são
nulos, então det 𝐴 = 0.
FILAS PARALELAS
Se 𝐴 possui filas paralelas iguais ou proporcionais,
então det 𝐴 = 0.
TROCA DE FILAS PARALELAS
Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de 𝐴,
obtendo uma matriz 𝐴′, então
det 𝐴′ = − det 𝐴.
MATRIZ TRANSPOSTA
Seja 𝐴𝑡 a transposta da matriz 𝐴 então
TAREFA 1 – Página 10, exercícios propostos 1(a, b,
c, d, e, f), 2(a, b) e 4.
TAREFA 2 – Página 10, exercícios propostos 1(g, h,
i).
Teorema de Laplace
Observe que no teorema de Laplace cada cofator é
multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso
caso o elemento seja nulo não é necessário calcular
seu cofator.
Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade
de elementos nulos para simplificar o cálculo.
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det 𝐴 = det 𝐴𝑡
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM
NÚMERO REAL
Quando todos os elementos de uma fila de 𝐴 são
multiplicados por um número 𝑘 obtendo uma matriz
𝐴′, então det 𝐴′ = 𝑘 ∙ det 𝐴.
TEOREMA DE JACOBI
Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de
uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo
de outra fila paralela a ela não altera o determinante,
ou seja, det 𝐴 = det 𝐴′
MATRIZ TRIANGULAR
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 é o produto
dos elementos da diagonal principal.
Exemplo
|
3 50 1
1 0 2 3
0 00 0
2 10 4
| = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 24.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Calcule.
a) |7 8 90 0 0
−1 2 −3|
b) |
1 12 2
0 40 6
3 14 2
0 70 8
|
c) |2 3 14 5 −22 3 1
|
3.2. Sabendo que |𝑥 𝑦𝑧 𝑤
| = 7, calcule os
determinantes.
a) |𝑧 𝑤𝑥 𝑦 |
b) |5𝑥 5𝑦𝑧 𝑤
|
c) |5𝑥 5𝑦5𝑧 5𝑤
|
3.3. Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 2 e
det 𝐴 = 7, qual o valor de det 3𝐴?
TEOREMA DE BINET
Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem,
então
det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.4. Prove que uma matriz invertível possui
determinante diferente de zero.
AULA 04
Regra de Chió
REGRA DE CHIÓ A regra de Chió nos permite calcular o determinante
de uma matriz de ordem 𝑛, utilizando uma matriz de
ordem menor.
Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento 𝒂𝟏𝟏
deve ser igual a 𝟏.
(1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
)
PASSO A PASSO
1. Suprima a 1º linha e 1º coluna.
2. Dos elementos restantes, subtraia o produto
dos dois elementos suprimidos
correspondentes a mesma linha e coluna.
3. A nova matriz tem o mesmo determinante
da matriz original
Exemplo 2
|
𝟏 23 7
4 2 5 6
1 103 8
−4 52 3
| = |7 − 2 ⋅ 3 5 − 4 ⋅ 3 6 − 3 ⋅ 2
10 − 2 ⋅ 1 −4 − 4 ⋅ 1 5 − 1 ⋅ 28 − 2 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 3 − 3 ⋅ 2
|
= |1 −7 08 −8 32 −10 −3
|
= |−8 − (−7) ⋅ 8 3 − 8 ⋅ 0
−10 − (−7) ⋅ 2 −3 − 2 ⋅ 0|
= |56 34 −3
| = −144 − 12 = −156
TAREFA 2 – Página 10, exercícios propostos 3, 5, 6,
7, 8
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Calcule
a) |
1 22 −3
0 4 5 1
1 63 2
3 −11 4
|
b) |
4 13 1
2 00 2
5 31 0
2 22 1
|
MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é
uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 do tipo
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
n n n n
n n x n
a a a a
a a a aA
a a a a
Obs.4: Os elementos da segunda linha da matriz de
Vandermode são chamados de elementos
característicos.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao
produto de todas as diferenças entre os seus
elementos característicos (𝑎𝑖 − 𝑎𝑘), com 𝑖 > 𝑘.
4.2. Calcule
a)|
1 12 3
1 15 7
4 98 27
25 49125 343
|
b) |
1 11 −2
1 15 3
1 41 −8
25 9125 27
|
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1. O valor de
𝐴 = | −3 1−2 1
| + | 2 3 −1
4 5 √2−4 −6 2
| −
(A) √2 − 1 .
(B) −5.
(C) 5.
(D) −3.
(E) 3 .
2. O valor do determinante
é igual a
(A) −720.
(B) 720.
(C) −2160.
(D) 2160.
(E) −240 .
3. Considere a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)4𝑥4
em que
det 𝐵 = 5. É correto afirmar que
(A) det 2𝐵 = 2 ∙ det 𝐵 .
(B) det (−𝐵 ) = det 𝐵 .
(C) det 3𝐵 < 400 .
(D) det 𝐵2 = 10 .
(E) det 𝐵𝑡 = − det 𝐵 , em que 𝐵𝑡 é a matriz
transposta de 𝐵.
4. Considere a matriz 𝐴 = [2 3 −10 2 01 2 1
] e julgue os
itens a seguir.
1. det(2𝐴) = 8 ⋅ det (𝐴).
2. Seja 𝐵 = [4 6 −20 2 01 2 1
]. Então, é correto
afirmar que det(𝐵) = 2 ⋅ det (𝐴).
3. Sendo 𝐴𝑡 a matriz transposta da matriz 𝐴,
tem-se que det(𝐴𝑡) = det (𝐴).
4. Sendo 𝐴−1 a inversa da matriz 𝐴, tem-se que
det(𝐴−1) =1
6.
5. A matriz 𝐴 é inversível.
5. Resolva a equação
|1 2 𝑥
−1 𝑥 (𝑥 + 1)3 2 𝑥
| = 6 e
determine, em ℝ, o seu conjunto-solução.
1 -2 4 -3
0 -1 2 √2
0 0 2 5
0 0 0 2
3 3 3 3
2 -2 4 -1
4 4 16 1
8 -8 64 -1
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6. Considere a matriz 𝐴 = (
1 20 0
2 22 2
2 22 2
3 22 4
). Calcule o
determinante da matriz inversa de 𝐴.
7. O conjunto-solução, em ℝ, da equação
|1 𝑥 12 13 𝑥1 3 0
| = |3 02 𝑥
| é
(A) 𝑆 = {−2; 3}.
(B) 𝑆 = {2; −3}.
(C) 𝑆 = {7}.
(D) 𝑆 = {−1;7}.
(E) 𝑆 = {1;-7}.
8. Dada a matriz 𝐴 = [𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝𝑥 𝑦 𝑧
], em que
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são números reais, é
correto afirmar que
(A) det(5𝐴) = 5 ⋅ det(𝐴).
(B) |𝑥 𝑦 5𝑧
2𝑎 2𝑏 10𝑐𝑚 𝑛 5𝑝
| = −10 ⋅ det 𝐴.
(C) |
𝑎 𝑥 𝑚𝑏 𝑦 𝑛𝑐 𝑧 𝑝
| = det 𝐴.
(D) |2𝑎 2𝑏 2𝑐3𝑥 3𝑦 3𝑧𝑚 𝑛 𝑝
| = 6 ⋅ det 𝐴.
(E) | 𝑎 𝑐 𝑏𝑚 𝑝 𝑛
𝑥 + 2𝑚 𝑧 + 2𝑝 𝑦 + 2𝑛| = − det 𝐴.
9. O determinante da matriz 𝐴 = [
0 11 −1
1 02 1
2 00 0
1 03 0
] é
igual a
(A) -6.
(B) -4.
(C) 0.
(D) 4.
(E) 6.
CAIU NO VEST 1. Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 −
𝑗. Calcule det(𝐴 ⋅ 𝐴𝑡).
2. Calcule |𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 |.
3. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3
em que 𝑎𝑖𝑗 = {1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
.
Calcule det 𝐴.
4. Sabendo-se que 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de
ordem 2, det 𝐴 = 12 e det 𝐵𝑡 = −6, qual é o valor de
det (𝐴 ⋅ 𝐵)?
5. Resolva, em ℝ, a equação|
𝑥 00 0
1 2−1 1
−3 −11 2
2 01 3
| =
−31
6. Calcule o valor da expressão
|2 56 15
| + 2 |
4 −11 3
2 57 9
0 −12 6
4 514 18
| + |3 −2 35 0 5
1 √3 1
|
7. (UnB – 2012) Dada uma matriz quadrada 𝐴, define-
se o traço de 𝐴, simbolizado por 𝑡𝑟(𝐴), como a soma
dos elementos de sua diagonal principal. A partir
dessas informações. A partir dessas informações e
considerando as matrizes
𝐴 = (0,7 0,20,3 0,8
) ; 𝑄 = (2 −13 1
)
e
𝑅 = 100𝑄−1𝑃𝑄,
Determine o valor do quociente det(𝑅)
𝑡𝑟(𝑅), em que det (𝑅)
é o determinante da matriz 𝑅. Despreze, caso exista, a
parte fracionária do resultado final obtido, após ter
efetuado todos os cálculos solicitados.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. a) 7 b) −6 c) 1 d) 3 e) 1
1.2. 𝑆 = {1
2; 1}
1.3. a) 22 b) −28
2.1. a) 47 b) −452
3.1. a) 0 b) 0 c) 0
3.2. a) −7 b) 35 c) 175
3.3. 63
3.4. Demonstração