Design and Estimation of Term Structure Models: An Introduction Marco Papi [email protected]...

Design and Estimation of Term Structure Models: An Introduction

Marco [email protected]

Istituto per le Applicazioni Istituto per le Applicazioni del Calcolo IAC - CNR del Calcolo IAC - CNR

Università di Varese Università di Varese Dipartimento di EconomiaDipartimento di Economia

Master in Calcolo Scientifico

Dipartimento di Matematica

Università degli Studi “La Sapienza” Roma

6 Maggio 2005

mailto:[email protected]

• Consideriamo un mercato in cui gli investitori comprano e vendono discount bond, ovvero titoli che pagano un certo valore nominale ad una determinata data futura.

• Uno zero coupon bond è un titolo per il quale, a fronte del pagamento in t0 del prezzo P (t0, tm), si acquisisce il diritto a ricevere l’importo K al tempo tm.

• Il tempo tm è detto scadenza (maturity) del titolo. • L’intervallo temporale tm – t0 è definito come la vita residua

dello stesso.• Titoli di questo genere vengono emessi generalmente da

istituzioni pubbliche (Stato, Regioni, etc.) o da organismi privati (società per azioni, banche).

• In quanto segue si farà sempre riferimento ad emittenti è un organo statale, escludendo in tal modo dalla trattazione ogni rischio connesso al rimborso.

Design and Estimation of Term Structure Models Marco Papi

• Al momento della emissione del titolo l’emittente riceve il

prezzo e si impegna a corrispondere a scadenza il valore nominale.

• Dunque secondo il suo particolare punto di vista l’operazione ha le stesse caratteristiche di quella consistente nell’accendere un debito da restituire alla scadenza.

• E’ nella prassi degli operatori del mercato associare a ciascuna operazione concernente uno zcb un indice di rendimento chiamato tasso di rendimento effettivo

a scadenza:


• Struttura per Scadenza dei Prezzi: Dato un mercato ove

siano negoziati zcb unitari, se all’istante t0 i prezzi rilevati per le scadenze t1, …..,tm , sono rispettivamente P(t0, t1), P(t0, t2), …. , P(t0, tm), questa sequenza costituisce la struttura per scadenza dei prezzi rilevata a quell’istante.

• E’ immediato, a partire dalla struttura per scadenza dei prezzi, costruire la struttura per scadenza dei rendimenti (effettivi):

i(t0, t1), i(t0, t2), …., i(t0, tm).

• Se la struttura per scadenza dei prezzi è lo strumento base nelle applicazioni, la struttura dei rendimenti fornisce all’operatore una immediata informazione sintetica sul tipo di relazione vigente in quel momento fra rendimento e durata dell’operazione.


• Nel mercato italiano esiste, fra i titoli emessi dallo Stato, un esempio di zcb: si tratta dei Buoni Ordinari del Tesoro (BOT) emessi dal Tesoro per fronteggiare temporanee esigenze di cassa da parte della Tesoreria dello Stato.

• La loro emissione avviene ogni quindici giorni ed hanno scadenza tre, sei o dodici mesi.

• Le modalità di emissione sono quelle di un’asta alla quale possono partecipare in qualità di potenziali acquirenti istituti bancari ed altri organismi o di intermediazione finanziaria riconosciuti come dealers.

• Fissato il valore di rimborso i valori d’asta sono i prezzi ai quali gli operatori sono disposti ad acquistare.

• il prezzo di emissione è un prezzo medio di aggiudicazione, cui fare riferimento per gli aspetti fiscali dell’operazione.



• Una volta acquistati dagli investitori istituzionali che hanno partecipato al collocamento i BOT vengono trattati sul mercato secondario in base alle quotazioni che sono il risultato dell’interazione fra domanda e offerta.• Le quotazioni riportate sui listini sono fatte su base 100, come se tale fosse il valore di rimborso.

• I bullet bonds emessi dallo Stato e circolanti sul mercato italiano sono i Buoni Poliennali del Tesoro (BTP) emessi dal Tesoro per fronteggiare impegni di spesa a lungo termine (opere pubbliche, interventi di sostegno a determinate categorie, ecc).

• I titoli in questione portano cedole che sono pagabili semestralmente con un rimborso finale del capitale.

• I titoli a cedola variabile di emissione pubblica negoziati sul mercato italiano sono i Certificati di Credito del Tesoro (CCT).

• tutto simili ai BTP si differenziano da questi per l’ammontare della cedola, variabile e scindibile in due componenti:

• 1. Lo spread, è una percentuale fissata all’emissione.

• 2. La parte variabile calcolata in relazione ai tassi di rendimento dei BOT nel periodo precedente la maturazione della cedola.

• Titoli di questo tipo sono in grado di adeguarsi alle variazioni L’investimento in questa delle condizioni del mercato in virtù del loro legame con i rendimenti prevalenti nel periodo.

• L’investimento in questa tipologia di titoli assume dunque caratteri di aleatorietà che intervengono sia sulle modalità di valutazione che sulla determinazione degli indici di redditività.


Un Semplice Modello di Equilibrio del Mercato

• Si ponga dunque che su di un mercato siano negoziabili n titoli i cui flussi cui danno origine siano articolati sullo scadenziario t = (t1, t2, ..., tm).

• I prezzi, quotati all’istante iniziale t0, siano rappresentati dal vettore (p1, p2, ..., pn).

• Il mercato può essere sintetizzato in una matrice X nella quale le colonne rappresentano i flussi generati dei diversi titoli:

• Si definisce poi un portafoglio come un vettore (α1, α 2, ..., α n).


• Il flusso y generato dal portafoglio α lo si ottiene moltiplicando la matrice X per il vettore α :

• Definizione Dato un mercato definito al tempo t dal paniere fondamentale X e dal vettore dei prezzi p, si ha un arbitraggio di tipo A se esiste un portafoglio α che genera il flusso y = X α, per il quale è:

< α,p> = 0 e y ≥ 0 con almeno una disuguaglianza stretta,

mentre si ha un arbitraggio di tipo B se esiste α per il quale è

< α,p> < 0 e y ≥ 0.


• Imporre la condizione che il flusso generato dal portafoglio non

comporti esborsi equivale a porre l’insieme di disequazioni di vincolo:

• Si formula il problema di minimo vincolato: ricercare il portafoglio che abbia costo minimo e che verifichi i vincoli


• In primo luogo l’origine appartiene alla regione delle soluzioni ammissibili definita dal sistema di disequazioni.

• Se questa è anche una soluzione ottima del problema, in tal caso il portafoglio di costo minimo ha componenti nulle: αi = 0.• Da ciò consegue che non vi sono opportunità di arbitraggio: il

costo di tale portafoglio è nullo e nulli sono anche tutti gli elementi del flusso futuro.

• Un qualunque altro portafoglio ammissibile che prevedesse componenti positive non può costituire una soluzione di minimo: il suo costo sarebbe maggiore di zero.

• Resta da chiedersi se una soluzione ammissibile β, con componenti solo negative o nulle, può essere ottima.

• Si ha < β,p><0, mentre yβ≥ 0, quindi β è un arbitraggio.• La situazione può essere migliorata scegliendo il portafoglio

k β, con k > 0.• Se esiste un portafoglio α di arbitraggio questo non e’ di

minimo. Il problema non ha soluzioni finite.


Conclusioni• Una volta impostato il problema e richiesta la sua

soluzione, si possono avere le alternative:• 1. Si ottiene α = 0.• 2. Non si ottiene alcuna soluzione (caso illimitato). • Nella prima ipotesi il mercato definito da (X,p) risulta

in equilibrio, nella seconda sono presenti opportunità di arbitraggio.

• Teorema (Assenza di Arbitraggi) Il mercato definito da (X,p) non presenta opportunità di arbitraggio, se e solo se esiste un vettore v>0 t.c: p = vTX.


Metodologie di Stima della Struttura per Scadenza

• La quasi totalità delle applicazioni che riguardano il mercato delle obbligazioni ed i modelli cui queste fanno riferimento hanno come necessario punto di partenza la conoscenza della struttura per scadenza.

• Qualsiasi attualizzazione debba essere fatta in relazione a flussi futuri richiede questo strumento con il quale risulta anche definito il concetto di equilibrio.

• Tutti i metodi di cercano di estrarre dalle quotazioni effettive dei titoli la sottostante struttura


Criteri si selezione dei Titoli• La prima difficoltà che si incontra riguarda la scelta dei titoli dai quali partire per effettuare le elaborazioni. • Il criterio della massima omogeneità è il principio base al quale

far ricorso se si vogliono evitare risultati fortemente distorti. • Omogeneità significa che i titoli selezionati devono essere

quanto più possibile “simili” secondo diversi criteri.• Quello principale riguarda la rischiosità degli stessi.• Mescolare obbligazioni emesse da società private e titoli del debito pubblico darebbe certamente luogo a modelli

fortemente distorti.• Il diverso rischio intrinseco (legato alla solvibilità degli

emittenti) ne influenza certamente il rendimento e di riflesso il prezzo corrente.


• La relazione di partenza sul Teorema di non Arbitraggio:

• Una prima, sommaria classificazione, relativa ai tipi di struttura che si possono ottenere è quella che distingue fra strutture di tipo discreto e continuo.

• Le prime consentono di ottenere fattori di attualizzazione riferiti a specifiche scadenze: v(t0,t1), v(t0,t2),….., v(t0,tm).

• Le seconde intendono fornire funzioni continue nella variabile

scadenza, v(t0,s), in grado di fornire fattori di attualizzazione per qualsiasi epoca futura s.


).,(),(1

00

m

jmjj ttKvttvCP

Strutture Discrete: Il Bootstrapping• Si ponga ora che per le scadenze più vicine, ad esempio le prime

k, sul mercato siano trattati zcb unitari. I prezzi di questi titoli forniscono parte della struttura per scadenza:

P(t0,t1), P(t0,t2),….., P(t0,tm).• Il primo titolo con cedola abbia scadenza in tk+1, prezzo pk+1. • Poniamo yk+1 = v(t0,tk+1), sia Ck+1 la cedola corrispondente, è

sufficiente a risolvere rispetto a yk+1 la semplice equazione:

• Una volta individuato v(t0,tk+1), si passa al titolo con la scadenza successiva utilizzando i fattori di sconto già calcolati, e così via fino al completamento dello scadenziario.


k

jkk

kkj

k pyKCttvC1

1111

01 0)(),(

Strutture Discrete: Il Bootstrapping• Il metodo del bootstrapping ha una valenza essenzialmente

esplicativa: il problema principale è quello di ottenere l’effetto di sincronia e la riduzione dello scadenziario ad un numero di epoche pari al numero dei titoli esistenti.

• Il modo più diretto per avere uno scadenziario ben fatto (cioè con le poste equiintervallate) è quello di scegliere solo titoli che verificano tale condizione.

• Questa drastica soluzione spesso non è praticabile perchè in genere contrasta con gli obiettivi per i quali si vuole determinare la struttura, ed inoltre impone una scelta che potrebbe essere in conflitto con altri criteri (tipo l’omogeneità).

• Fra le soluzioni approssimate una che trova largo uso presso gli operatori del mercato, è quella che fa ricorso alla interpolazione lineare.


Strutture Discrete: Il Metodo del TIR• Si ricorda che il TIR di un flusso x il cui prezzo sia P è il tasso

tale che, in regime di capitalizzazione composta, rende il prezzo del flusso uguale al valore attualizzato delle sue poste:

• Con questa metodologia, si associa ad ogni scadenza tj il rispettivo TIR del titolo con cedole, ottenendo la struttura per scadenza dei rendimenti:

• i(t0, t1) = TIR1 , i(t0, t2) = TIR2 ,………, i(t0, tm) = TIRm

• Per aggirare il calcolo del TIR, si possono utilizzare titoli che quotano alla pari (par bonds), per cui i*= C/K.


Strutture Continue: Metodi Polinomiali• Lo schema più generale al quale si possono ricondurre tutti i

metodi maggiormente utilizzati, esprime la generica struttura w(t0, s) nel modo seguente:

• Essendo i coefficienti ah dei parametri che devono essere determinati.

• Considerando un paniere di titoli rappresentativo del mercato (X,p), definiamo l’errore ε = p – vT X.

• L’individuazione del vettore dei parametri a avviene attraverso un procedimento di minimizzazione di una qualche funzione degli errori εi, ad esempio || ε ||2.


)(),(1

00

k

hhh tsfastw

Strutture Continue: Metodi Polinomiali• La via più semplice per ottenere la funzione v(0,t) è quella di

porre fh(τ) = τh-1 in modo da ottenere una forma polinomiale:

• Si costruisca la matrice T:

• Per cui si ha v(0,tj) = < b, Tj>, Tj riga j-esima di T.

• In tal caso, posto si ottiene facilmente lo stimatore

b = Q-1 h, essendo h = pTXTT.


kkv 10)(

Strutture Continue: Un Esempio• Consideriamo 8 BTP (i dati sono tratti dal listino dell’11

maggio 2001):

• Lo scadenziario è t = (0.09, 0.17, 0.22, 0.38, 0.42, 0.59, 0.67, 0.72, 0.88, 0.92, 1.09, 1.22, 1.38, 1.59, 1.72, 1.88, 2.09, 2.22, 2.38, 2.59, 2.88, 3.09, 3.59).



• Il vettore dei prezzi èp = (102.034, 101.232, 100.542, 99.393, 108.525, 110.662, 116.971, 103.992)• La matrice Q = TTXXTT assume la forma:

• mentre il vettore h = pTXTT è: h = (96589.467, 180380.072, 419914.079, 1122957.184) .

• risolvendo il sistema Qb=h, si ha b=Q-1h, e dunque:


• La struttura per scadenza dei prezzi assume così la forma seguente:

• Il primo termine, 0.9950787 è relativamente prossimo ad uno e pertanto non si ritiene necessario risolvere il problema vincolato associato.

• La funzione del tasso forward istantaneo è:

• Il cui grafico è


• L’andamento presenta una inversione di tendenza in corrispondenzaal tempo τ = 2.245.

• Ciò significa che il mercato dovrebbe considerare quell’epoca come una sorta di momento critico in corrispondenza al quale le remunerazioni per impieghi di durata istantanea subiscono un radicale mutamento.

• Alla base di ciò non vi è alcuna ragione di tipo economico.

• Si tratta dell’effetto da attribuire alla particolare forma scelta per la rappresentazione della curva dei fattori v(τ).

• La forma analitica delle fh finisce con l’avere conseguenze che vanno ben al di là degli aspetti computazionali.


• Infine, per avere un’idea di come la curva individuata si adatti ai dati originari, cioè ai prezzi di listino degli otto BTP, costruiamo il vettore V = (v (0,t1) , ..., v (0,t23)) dei fattori di attualizzazione relativi allo scadenziario completo.• Il vettore dei prezzi teorici è: P*= VT X.• Il vettore d=P-P*, fornisce l’errore nel prezzaggio di ciascun titolo, ed effettuando i calcoli si ottiene:

d=(0.0120, 0.0488, 0.0834, 0.05184, 0.0013, 0.1901, 0.1200, 0.0287)

• I valori sono accettabili, dato che il massimo scarto è dell’uno per mille.•Il metodo polinomiale dà risultati buoni se ci si limita ad impiegarlo su di un orizzonte temporale non troppo esteso e comunque mai oltre la data della scadenza più lontana fra quelle dei titoli che compongono il paniere di base.

Strutture Continue: Metodi Esponenziali

• Verso la fine degli anni ottanta Nelson e Siegel hanno suggerito di modellare direttamente la curva dei tassi forward istantanei.

• Scegliendo una forma funzionale sufficientemente liscia, viene eliminato il problema del repentino cambiamento dell’andamento dei tassi forward.

• La famiglia di funzioni di Nelson e Siegel è:

• E’ possibile risalire alla struttura v(τ):

• Le difficoltà si spostano dalla parte implementativa del metodo.


Strutture Continue con Modelli Diffusivi• Seguendo la legge di capitalizzazione composta continua il

prezzo al tempo t di un discount bond con time-to-maturity T, dove t+T=s, è definito come il valore nominale scontato al tasso spot R(t,T):

• Definiamo il tasso spot istantaneo come

• Assumiamo che il tasso istantaneo si evolva secondo un processo stocastico markoviano a tempo continuo e spazio degli stati continuo.


TttvT

TtR ,ln1

,

),(lim0,0

TtRtRtrT

• Questi processi di diffusione possono essere descritti dalla seguente equazione differenziale stocastica:

• Data l’ipotesi sull’evoluzione markoviana del tasso di interesse, il prezzo sarà funzione del tasso istantaneo spot al periodo iniziale:

• Infine si assume che il mercato sia efficiente, ovvero che non ci siano costi di transazione, che l’informazione sia disponibile simultaneamente a tutti e gli investitori siano razionali.


dztrdttrfdr ,,

trstvstv ,,,

L’equazione della Term Structure• Poiché il prezzo del discount bond è funzione del tasso di

interesse istantaneo, possiamo applicare il lemma di Ito:

• I parametri sono dati dalle espressioni

• L’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio implica che consente di definire il premio per il rischio di un discount bond


dzstvdtstvdv ,,

rstvrr

ftrstv

rst ,,2

1

,,

1,,

2

22

rstvrrstv

rst ,,,,

1,,

rst

rrstrtq

,,

,,,

L’equazione della Term Structure• La funzione di prezzo risolve l’equazione differenziale:

• Questa equazione alle derivate parziali può essere risolta considerando la condizione al contorno .

• La soluzione è data dalla seguente espressione:


02

12

22

rvr

v

r

vqf

t

v st

1,, rssv

s

t

s

t

s

t

t dzrqdrqdrEtrstv ,,2

1exp)(,, 2

Un caso specifico: il modello di Vasicek (1977)• Il premio per il rischio è indipendente dalla data e dal livello del

tasso spot ed è posto pari alla costante q.

• il tasso spot segue un processo di Ornstein-Uhlenbeck:

• con α >0 e momenti

• L’equazione della term structure ammette la soluzione

dove


dzdtrdr

tst etrsrE

tst esrVar

22

12

st

st

2

3

2

14

11

exp,, tsts eRtsrRerstv

2

2

1qR

Il Modello di Vasicek• Dalla relazione , possiamo ricavare

• La forma della curva dipenderà dal valore assunto al tempo t dal tasso r. Possiamo distinguere tre casi:

• la funzione è monotona crescente.

• la funzione è monotona decrescente.

• la funzione ha una “gobba”.


trTttvT

TtR ,,ln1

,

2

3

2

14

11

, TT eT

eT

RtrRTtR

RTtR

T,lim

2

2

2

1

Rr

2

2

4

1

Rr

rR

2

2

4

1 2

2

2

1

R


0 50 100 150 2000.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09Term Structure

Time to Maturity

Inte

rest R

ate


0 50 100 150 2000.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

0.125

0.13

0.135Term Structure

Time to Maturity

Inte

rest R

ate


0 50 100 150 2000.09

0.091

0.092

0.093

0.094

0.095Term Structure

Time to Maturity

Inte

rest R

ate

Il Modello di Vasicek• La differenza tra i tassi forward ed i tassi spot attesi definisce il

premio per la liquidità. • Date le relazioni

• il premio per la liquidità implicito nella term structure è dato dalla seguente espressione:

• L’andamento di questa differenza è definito da q: monotona crescente , per è monotona decrescente, per ha una forma a “gobba”.


tstRtss

stf

,),( tst etrsrE

TTt eeRTtrETttft

1

2

1,

2

2

/q 0q /0 q


Metodi di Stima: Regressione Non-lineare

• E’ possibile utilizzare tecniche di regressione multipla applicate alla relazione p(t) = vT(t,t+T)X + ε(t).

• L’errore ε riflette la presenza di costi di transazione, l’imposizione fiscale, l’asincronia dei prezzi rilevati e le altre imperfezioni di mercato.

• I residui sono assunti indipendenti e normalmente distribuiti, con media zero.


Metodi di Stima: Regressione Non-lineare• La varianza dei residui è proporzionale alle derivate dei prezzi

dei titoli rispetto ai rendimenti a scadenza (ossia ai prodotti tra le duration e i rispettivi corsi tel quel).

• La duration [Macaulay (1938)] è una misura che riassume la distribuzione dei cash-flows attesi da un titolo a cedola prefissata:

• Gli errori nei prezzi dei titoli con scadenza molto ravvicinata hanno un ordine di grandezza inferiore a quelli dei titoli a lunga scadenza.

,),(

),()()(

0

01

k

M

kk

k

M

kkk

ttvC

ttvCtttD


Metodi di Stima: Il filtro di Kalman• Il tasso spot è una combinazione lineare

di k variabili di stato:

• Le variabili seguono un CIR univariato:

• La soluzione dell’equazione differenziale per la struttura a temrine prende la forma seguente:

• I coefficienti Ai e Bi hanno una forma esplicita uguale a quella del modello CIR ad un fattore (r).


Metodi di Stima: Il filtro di Kalman• Discretizzando le equazioni, otteniamo il sistema:

dove y,v sono vettori Kx1, R ed A sono vettori m x 1, Φ è una matrice diagonale K x K, B è una matrice m x K, mentre Rt=(Rt(t+Ti))i, per i=1,….,m.


Metodi di Stima: Il filtro di Kalman• L’errore vj,t ha un’aspettazione condizionata nulla e varianza

condizionata uguale a

• Il sistema è una esatta versione discreta del modello CIR.• Nella stima si aggiunge un errore di misurazione ε al termine

Rt.

• I parametri fissi del modello sono stimati con il metodo della massima verosimiglianza, utilizzando il filtro di Kalman per calcolare le stime dei fattori non osservabili del modello.


Metodi di Stima: Il filtro di Kalman• Le innovazioni dei tassi sono definiti dalle quantità:

dove è una stima di yt-1 basata su ut-1 e su

• Le innovazioni delle variabili di stato sono definite da

• Il filtro di Kalman è un modello lineare per calcolare stime delle variabili di stato


Metodi di Stima: MLE• Lo stimatore ML è ottenuto massimizzando la funzione:

• Il vettore β contiene tutti i parametri fissi del modello da stimare.

• Le stime dei parametri vengono ottenute risolvendo le condizioni del primo ordine

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