บทที ่3 อนุพันธ ์และการประยุกต์ (Derivatives and Applications)

ในบทนี้จะกล่าวถึงนิยามหรือความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ต่างๆ ทฤษฎีของอนุพันธ์ ตลอดจนการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ ซึ่งรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง การหาค่าสูงสุดและต่ าสุด เป็นต้น

3.1 อนุพันธ์

นิยาม 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) นิยามดังนี้

f (x) =

h

)x(f)hx(flim

0h

โดเมนของ f คือจุดทุกจุดในโดเมน f ที่ท าให้ลิมิตดังกล่าวหาค่าได้

นิยาม 3.2 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (Differentiable) ที่จุด x ถ้า f (x) หาค่าได้

นิยาม 3.3 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ถ้า f (x) หาค่าได้ที่ทุกๆ จุดบนโดเมน f

ตัวอย่าง 3.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

1. f (x) = x2 2. f (x) = x

วิธีท า 1. f (x) = x2

จาก f (x) =

h

)x(f)hx(flim

0h

= h

x)hx(lim

22

0h

= h

xhxh2xlim

222

0h

= hx2lim0h

= 2x

21

2. f (x) = x

จาก f (x) =

h

)x(f)hx(flim

0h

= h

xhxlim

0h

= h

xhxlim

0h

.

xhx

xhx

= )xhx(h

xhxlim

0h

= x2

1

หมายเหต ุ ส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f (x) นอกจากจะใช้สัญลักษณ์ f (x) แล้วยังมีสัญลักษณ์

อ่ืนที่นิยมใช้อีกเช่น y , dxdy , dx

df หรือ dx)x(fd

ตัวอย่าง 3.2 ก าหนด f (x) = | x | จงหาว่า f มีอนุพันธ์ที่จุด x = 0 หรือไม่

วิธีท า จาก f (x) =

h

)x(f)hx(flim

0h

= h

|x||hx|lim

0h

ที่จุด x = 0

f (0) =

h

|0||h0|lim

0h

= h

|h|lim

0h

พิจารณา h

|h|lim

0h

= h

hlim

0h

= 1lim0h

= -1

h

|h|lim

0h

= h

hlim

0h

= 1lim0h

= 1

ดังนั้น h

|h|lim

0h = หาค่าไม่ได้

นั่นคือ f (0) = หาค่าไม่ได้

ดังนั้น f ไม่มีอนุพันธ์ที่จุด x = 0

3.1.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าคงตัว และฟังก์ชันพหุนาม

1. ถ้า f (x) = c, c เป็นจ านวนจริง แล้ว f (x) = 0

2. ถ้า f (x) = x n, n เป็นจ านวนเต็ม แล้ว f (x) = n x n - 1

22

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

1. ถ้า f (x) = a x, a เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว f (x) = a x

ln a

2. ถ้า f (x) = e x, แล้ว f (x) = e x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1. ถ้า f (x) = sin x, แล้ว f (x) = cos x 2. ถ้า f (x) = cos x, แล้ว f (x) = –sin x

3. ถ้า f (x) = tan x, แล้ว f (x) = sec 2x

4. ถ้า f (x) = cot x, แล้ว f (x) = –cosec 2x 5. ถ้า f (x) = sec x, แล้ว f (x) = sec x tan x

6. ถ้า f (x) = cosec x, แล้ว f (x) = –cosec 2x

3.1.2 กฎต่างๆ ส าหรับการหาอนุพันธ ์

ทฤษฎีบท 3.1 ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได ้

1. dx

)vu(d = dx

du + dx

dv กฎการบวก

2. dx

)vu(d = dx

du – dx

dv กฎการลบ

3. dx

)vu(d = dx

dvu +

dx

duv กฎการคูณ

4. dx

v

ud

= 2v

dx

dvu

dx

duv

กฎการหาร

5. dx

)cu(d = dx

cdu , c เป็นจ านวนจริง กฎการคูณด้วยค่าคงที่

ตัวอย่าง 3.3 จงหา dx

dy จาก y = f (x) ต่อไปนี้

1. y = 3x4 + 2x3 – 6x +5 2. y = x 2e x

3. y = x3

xsin

วิธีท า 1. y = 3x4 + 2x3 – 6x + 5

dx

dy = 12x 3 + 6x2 – 6

23

2. y = x 2e x

dx

dy = x 2 e x + e x(2x)

3 y = x3

xsin

dx

dy = 2x

xx

)3(

3ln3xsinxcos3

= x3

3lnxsinxcos

นิยาม 3.4 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนพุันธ์ได้ ส าหรับช่วงเปิดใดๆ ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ จุดบนช่วงเปิดน้ันๆ

นิยาม 3.5 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ส าหรับช่วงปิด [a, b] ถ้า f มีอนุพันธ์ที่ทุกๆ จุดบน

ช่วงเปิด (a, b) และ h

)a(f)ha(flim

0h

(อนุพันธ์ด้านขวาที่จุด a) และh

)b(f)hb(flim

0h

(อนุพันธ์

ด้านซ้ายที่จุด b) หาค่าได้

ตัวอย่าง 3.4 ก าหนด f (x) = x , x [0, ) f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง [0, ) หรือไม่เพราะเหตุใด

วิธีท า ส าหรับ x (0, )

f (x) =

h

xhxlim

0h

= )xhx(h

xhxlim

0h

= xhx

1lim

0h

= x2

1

ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง (0, ) ส าหรับที่ x = 0 (ต้องหาอนุพันธ์ด้านขวาที่จุด x = 0)

f (x) =

h

0h0lim

0h

=

h

hlim

0h

= h

1lim

0h = หาค่าไม่ได้

ดังนั้น f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ได้ ดังนั้น f ไม่เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง [0, ) เพราะ f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ได้

24

3.1.3 กฎลูกโซ่ (Chain Rule)

ทฤษฎีบท 3.2 ถ้า f (u) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ u = g(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ x ได้ ดังนั้นฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) (fog)(x) = f(g(x)) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x โดยที่ (fog)(x) = f (g(x)).g (x)

ดังนั้น ถ้า y = f (u) และ u = g(x) จะได้ว่า dx

dy = du

dy .dx

du

ตัวอย่าง 3.5 ให้ y = (x2 + 3x + 5)4 จงหา dx

dy

วิธีท า ให้ u = x2 + 3x + 5

จะได ้y = u4

จากกฎลูกโซ่ dx

dy = du

dy .dx

du

= 4u3 (2x + 3)

= 4(x2 + 3x + 3)3 (2x + 3)

ตัวอย่าง 3.6 ให้ y = sin (3t2 + 4) จงหา dt

dy

วิธีท า ให้ u = 3t2 + 4 จะได ้ y = sin (u)

จากฎลูกโซ่ dt

dy = du

dy .dt

du

= cos (u) (6t)

= 6t cos (3t2 + 4)

ตัวอย่าง 3.7 จงหา dx

dy จาก y = f(x) ต่อไปนี้

1. y = 72 )3x(e 2. y = ln (sin (3x))

วิธีท า 1. จาก y = 72 )3x(e

ให้ u = (x2+ 3)7

จะได ้ y = e u

dx

dy = du

dy .dx

du

= e u. dx

du = 72 )3x(e .dx

du

25

ให้ v = x2 + 3

ดังนั้น u = v7

dx

du = dv

du .dx

dv

= 7v6(2x)

= 7(x2+ 3)6(2x)

ดังนั้น dx

dy = 72 )3x(e (14 x) (x2+ 3)6

= 14 x (x2+ 3)6 72 )3x(e

เพื่อความง่ายอาจหา dx

dy ในรูปแบบดังนี้

y = 72 )3x(e

dx

dy = 72 )3x(e

dx

)3x(d 72

= 72 )3x(e 7(x2+ 3)6 dx

)3x(d 2

= 72 )3x(e 7(x2+ 3) 6(2x)

= 14 x (x2+ 3) 6 72 )3x(e

2. y = ln (sin (3x))

dx

dy = x3sin

1

dx

)x3(sind

= x3sin

1 cos (3x)dx

)x3(d

= x3sin

x3cos 3

= 3 cot (3x)

3.1.4 ฟังก์ชันโดยนัย (Implicit Functions)

จากที่กล่าวมาข้างต้น ส าหรับ y = f (x) การหา dx

dy นั้นสามารถท าได้โดยไม่ยากนัก อย่างไรก็

ตาม มีความสัมพันธ์ระหว่าง y กับ x ที่ไม่สามารถเขียนในรูปดังกล่าวได้ หรือเขียนได้แต่ก็ไม่ง่ายนัก

อย่างเช่น x2 + y2 = sin (y) หรือ x3 – y3 = 2 x2y2 เป็นต้น จะเรียก y ดังกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัย

การหา dx

dy ของฟังก์ชันโดยนัยนั้น สามารถท าได้โดยให้ถือว่า y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

ของ x ดังตัวอย่างดังนี้

26

ตัวอย่าง 3.8 จงหา dx

dy จากสมการต่อไปนี้

1. x2 + y2 = 9 2. x3 + y3 = 3xy

3. x3 + sin y = x2y3

วิธีท า 1. x2 + y2 = 9 หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้

2x + 2ydx

dy = 0

dx

dy = y2

x2

= –y

x

2. x3 + y3 = 3 xy หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้

3x2 + 3y2 dx

dy = 3(xdx

dy + y)

y2 dx

dy – x dx

dy = y – x2

dx

dy = xy

xy2

2

3. x3 + sin y = x2y3 หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้างจะได้

3x 2 + cos y dx

dy = x2 (3y2) dx

dy + y3 (2x)

cos y dx

dy – 3x2y2 dx

dy = 2 xy3 – 3 x2

dx

dy = 22

23

yx3ycos

x3xy2

27

3.1.5 ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

เมื่อพิจารณานิยามของการหาอนุพันธ์ที่จุดที่ x = x0 และจากรูปที่ 3.1 จะเห็นได้ว่า ความชัน

ของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุด x0 จะเท่ากับ h

)x(f)hx(flim 00

0h

= f (x0)

รูปที่ 3.1 แสดงเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด x0

ตัวอย่าง 3.9 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x2 – 2x ที่จุด x = 3

วิธีท า จาก y = x2 – 2x

dx

dy = 2x – 2

ที่จุด x = 3, dx

dy = 2 (3) – 2 = 4

ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด x = 3 มีค่าเท่ากับ 4

ตัวอย่าง 3.10 จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง xy = 4 ที่จุด (1, 4)

วิธีท า จาก xy = 4

y = x

4

dx

dy = 2x

4

ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1, 4) = 21

4 = – 4

จากสมการเส้นตรง y = ax + b, a = ความชัน

X

Y

O x0 x0 + h

f(x)

28

ดังนั้น y = – 4x + b เน่ืองจากเส้นตรงผ่านจุด (1, 4) จะได้ 4 = –4 (1) + b ดังนั้น b = 8

ดังนั้น สมการของเส้นตรงดังกล่าวคือ y = – 4x + 8

ตัวอย่าง 3.11 จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y2 + x2 = y4 – 2x ที่จุด (–2, 1)

วิธีท า จาก y2 + x2 = y4 – 2x

จะได้ 2ydx

dy + 2x = 4y3dx

dy – 2

2ydx

dy – 4y3dx

dy = – 2 – 2x

dx

dy = )y21(y

)x1(

2

ที่จุด (– 2, 1) จะได้ dx

dy = 1

1

= – 1

ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y2 + x2 = y4 – 2x ที่จุด (–2, 1) เท่ากับ – 1

3.1.6 อนุพันธ์อันดับสองและมากกว่าอันดับสอง

อนุพันธ์ y = dx

dy เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (first-order derivative) ของ y เทียบกับ x ถ้า

อนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =

dx

dy

dx

d = 2

2

dx

yd

จะเรียก y เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสอง (second-order derivative) ของ y เทียบกับ x และถ้า

y เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า y =

2

2

dx

yd

dx

d = 3

3

dx

yd เรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสาม (third-

order derivative) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับ n (nth-order derivative) ของ y เทียบกับ x ส าหรับจ านวนเต็มบวก n

ใดๆ นั้นสามารถเขียนแทนได้ y(n) ทั้งนี้ y(n) =

1n

1n

dx

yd

dx

d = n

n

dx

yd

ตัวอย่าง 3.12 ก าหนด y = 2x 3 + 3x 2 + 4x – 5 y = 6x 2 + 6x + 4 y = 12x + 6 y = 12

y(4) = 0 และ y(n) = 0 ทุกค่า n 5

29

3.2 การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

3.2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง (Rate of Changes)

ในการศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของสิ่งต่างๆ อย่างเช่นการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับเวลา อัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนของสินค้าเมื่อเทียบกับจ านวนที่ผลิต อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคาสินค้าเมื่อเทียบกับราคาน้ ามัน สิ่งเหล่านี้ได้มีการน าเอาอนุพันธ์เข้าไปประยุกต์ใช้กันอย่างมาก

นิยาม 3.6 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทียบกับ x ที่ a เขียนแทนด้วย f (a) =

h

)a(f)ha(flim

0h

ตัวอย่าง 3.13 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ 5 ซม.

วิธีท า ถ้า A = พื้นที่วงกลม และ r = รัศมีของวงกลม ดังนั้น A = r2

dr

dA = 2r

เมื่อ r = 5 ซม. ดังนั้น dr

dA = 2 (5) = 10 ตารางซม./ ซม.

นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเมื่อรัศมีเท่ากับ 5 ซม. เท่ากับ 10 ตารางซม./ ซม.

ตัวอย่าง 3.14 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ตามแกน s (หน่วยเป็นเมตร) โดยมีสมการระยะทางตามเวลา t ใดๆ

(หน่วยเป็นวินาที) คือ s = t2 + 2t + 3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางในแกน s ดังกล่าวที่เวลา t = 3

วิธีท า จาก s = t2 + 2t + 3

dt

ds = 2t + 2

เมื่อ t = 3 ดังนั้น dt

ds = 8

นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางในแกน s ที่วินาทีที่ 3 เท่ากับ 8 เมตรต่อวินาที

หมายเหตุ อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเทียบกับเวลา กค็ือความเร็ว

30

3.2.2 ค่าสุงสุด และค่าต่ าสุด

ในการน าเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ในเร่ืองต่างๆ นั้น ส่วนหน่ึงที่มีความส าคัญอย่างมากก็คือเร่ืองของการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุดของฟังก์ชันซึ่งพิจารณา รูปที่ 3.2 ดังนี้

รูปที่ 3.2 จุดสูงสุด และจุดต่ าสุด

จากรูป เมื่อพิจารณา f (x) ในช่วง [a, b] จะเห็นได้ว่า ที่จุด x = e มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum value) ที่จุด x = b มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ (Absolute minimum value) ที่จุด x = a และ c, e มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum value) ที่จุด x = b, d มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (Relative minimum value)

นิยาม 3.7 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต D ส าหรับค่า c ที่อยู่ใน D จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f 2. ค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f

นิยาม 3.8 ก าหนด f เป็นฟังก์ชัน และ c เป็นจุดที่อยู่ภายในโดเมนของ f จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c กต็่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c 2. ค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c

จากนิยามดังกล่าวนี้ สามารถที่จะขยายในการนิยามค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์ ที่จุดปลายของช่วงโดเมน f ที่ก าหนด ดังนี้

a b c d e f

31

จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงคร่ึงเปิดที่รวมจุด c

และ f (c) จะเป็นค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิดที่รวมจุด c

ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ f และถ้าอนุพันธ์ของ f ที่จุด c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0

จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f ในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ที่จุด c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้

f (x) = | x – 3 | , 2 x 6

รูปที่ 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที่ 2 ≤ x ≤ 6

จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 และ f มีค่าสงูสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 6 f มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 3 แต่ที่จุดน้ี f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้

ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่ าสุดที่จุด c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f

ตัวอย่าง 3.15 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 2

วิธีท า จาก f (x) = x3– 3x2 – 24x + 2 จะได้ f (x) = 3x 2 – 6x – 24 จะเห็นได้ว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนโดเมนของ f

ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 3x2 – 6x – 24 = 0

นั่นคือ x2 – 2x – 8 = 0 หรือ (x – 4)(x + 2) = 0 และจะได้ว่า x = 4, – 2

ดังนั้นจุดที่ x = 4 กับจุดที่ x = –2 เป็นจุดวิกฤตของ f (x) ดังกล่าว

4

1

2 3 6

32

ตัวอย่าง 3.16 จงหาจุดวิกฤตของ f (x) = 3

2

x

วิธีท า จาก f (x) = 3

2

x จะได้ว่า f (x) = 3

2 3

1

x

= 3

2 .3 x

1

จะเห็นได้ว่า ไม่มีค่า x ที่ท าให้ f (x) มีค่าเป็นศูนย์ และจุด x = 0 ท าให้ f(x) หาค่าไม่ได้ ดังนั้นจุดวิกฤตของ f(x) คือ x = 0

3.2.3 การทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ จากตัวอย่างที่ 3.15 และตัวอย่าง 3.16 นั้น ถึงแม้ว่าจะหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) ได้ แต่ไม่สามารถทราบได้ว่า จุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดที่ท าให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ าสุด

รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นตรงที่สัมผัสจุดที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต

รูปที่ 3.4 ก รูปที่ 3.4 ข

รูปที่ 3.4 ค

รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นสัมผัส

y = f(x)

c c

y = f(x)

c

y = f(x)

33

จากรูปที่ 3.4 ก 3.4 ข และ 3.4 ค สามารถสรุปได้ว่า ส าหรับจุดวิกฤตที่ x = c ของฟังก์ชัน f

1. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก – เป็น + ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 2. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก + เป็น – ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 3. ถ้า f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมายที่ทั้งสองด้านของจุด c จะได้ว่า f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์

พิจารณาตัวอย่าง 3.15 ซึ่ง f (x) = x3 – 3x2 – 24x + 2

จะได้ f (x) = 3x2 – 6x – 24 = 3(x2 – 2x – 8)

= 3(x – 4) (x + 2)

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้

ช่วง x < –2 –2 < x < 4 x > 4 เคร่ืองหมายของ f (x) + – +

จะเห็นได้ว่า ที่จดุ x = – 2 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก + เป็น –

ดังนั้น f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = – 2 และที่จุด x = 4 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจาก – เป็น +

ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 4

และจากตัวอย่าง 3.16 f (x) = 3

2

x

ซึ่งได้ f (x) = 3

2 3 x

1

โดยมี x = 0 เป็นจุดวิกฤต

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้

ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f (x) - +

จะเห็นได้ว่า ที่จุด x = 0 ค่าของ f (x) เปลี่ยนจากเคร่ืองหมาย – เป็น +

ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ ที่จุด x = 0

34

ตัวอย่าง 3.17 ก าหนด f (x) = x3 จงหาจุดวิกฤต และตรวจสอบว่าจุดวิกฤตน้ัน ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์หรือไม่

วิธีท า จาก f (x) = x3

f (x) = 3x2

จะเห็นได้ว่า f (x) หาค่าได้เสมอทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง

ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 3x2 = 0

และจะได้ x = 0 ดังนั้น x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้

ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f

(x) + +

เน่ืองจาก f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมาย แสดงว่าที่จุด x = 0 ไม่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุด

สัมพัทธ์

3.2.4 การใช้อนุพันธ์อันดับสองในการทดสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์

ในการทดสอบจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์นั้น นอกจากการพิจารณาการเปรียบเทียบของอนุพันธ์ที่จุดวิกฤตน้ัน สามารถใช้อนุพันธ์อันดับสองมาช่วยในการทดสอบดังกล่าวได้ดังนี้

ทฤษฎีบท 3.4 ก าหนด f (x) และจุดที่อยู่ในโดเมน f ที่ท าให้ f (c) = 0 ถ้า 1. f (x) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสมัพัทธ์ที่จุด c 2. f (x) > 0 แล้ว f มีค่าสุดสัมพทัธ์ที่จุด c

จากทฤษฏีดังกล่าว จะเห็นได้ว่าการพิจารณาจุดวิกฤตว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์นั้น พิจารณาจากอนุพันธ์อันดับสองที่จุด c โดยตรง ท าให้การทดสอบไม่ยุ่งยากเหมือนการพิจารณาช่วงการเปรียบเคร่ืองหมายส าหรับอนุพันธ์อนุพันธ์อันดับหนึ่ง อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ไม่สามารถทดสอบได้ว่าจุดวิกฤตน้ันเป็นจุดที่ได้มาจากอนุพันธ์อันดับหนึ่งหาค่าไม่ได้ และไม่สามารถทดสอบได้ในกรณีที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์หรือหาค่าไม่ได้

35

ตัวอย่าง 3.18 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ของ f (x) = x3 – 3x + 7

วิธีท า จาก f (x) = x3 – 3x + 7

จะได ้ f (x) = 3x2 – 3 จะเหน็ได้ว่า f (x) หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ ค่า x ที่เป็นจ านวนจริง

ให้ f (x) = 0 จะได้ 3x2– 3 = 0

นั่นคือ x2 = 1 หรือ x = 1 ดังนั้น ที่จุด x = 1 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)

พิจารณา f (x) = 6x ที่จุด x = 1, f (1) = 6 > 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 1 ที่จุด x = –1, f (–1) = –6 < 0 ดังนั้น f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = –1

ตัวอย่าง 3.19 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ของ f (x) = x4

วิธีท า จาก f (x) = x4

f (x) = 4x3

f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง

ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 4 x3 = 0 และจะได้ x = 0

ดังนั้น ที่จุด x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)

พิจารณา f x) = 12 x2 ที่จุด x = 0, จะได้ว่า f 0) = 0 ดังนั้น ยังสรุปไม่ได้ว่าที่จุด x = 0 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์หรือไม่

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้

ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f

(x) - +

เคร่ืองหมายของ f (x) เปลี่ยนจาก – เป็น + ที่จุด x = 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 0

36

ตัวอย่าง 3.20 จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f (x) = 3x4 – 8x3 + 2 และทดสอบว่าจุดวิกฤตดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ ์

วิธีท า จาก f (x) = 3x4 – 8x3 + 2

f (x) = 12x3 – 24x2

f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง ให้ f

(x) = 0

12x3 – 24x2 = 0

12x2(x – 2) = 0 x = 0, 2

พิจารณา f (x) = 36x2 – 48x ที่จุด x = 0, f

(0) = 0 x = 2, f

(2) = 144 – 96 > 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 แต่ที่จุด x = 0 ยังสรุปไม่ได้

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้

ช่วง x < 0 0 < x < 2 x > 2 เคร่ืองหมายของ f

(x) - - +

ซึ่งเห็นได้ว่าที่จุด x = 0 เคร่ืองหมายของ f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมาย แต่ที่จุด x = 2 f

(x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก – เป็น +

ดังนั้นสรุปได้ว่า f มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 แต่ที่ x = 0 ไม่ใช่จุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์

3.2.5 การประยุกต์ใช้ค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุด

ในการน าเอาเร่ืองของอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้กับงานจริงนั้น เร่ืองของการหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุด เป็นเรื่องหนึ่งที่มีความส าคัญมาก และถูกน าไปประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลาย เพื่อให้เกิดความเข้าใจ พิจารณาดังตัวอย่างต่อไปนี้

37

ตัวอย่าง 3.21 ถ้านายสรยุทธ์ต้องการน าเชือกที่มีความยาว 100 เมตร มากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้มีพื้นที่มากที่สุดแล้ว นายสรยุทธ์ควรจะต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นให้มีความกว้าง และความยาวเท่าใด

จากรูป ถ้าให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉาก = x จะได้ความยาวของสี่เหลี่ยมดังกล่าว = 50 – x ดังในรูป ให้ A = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะได้ A = x (50 – x)

A = 50 x – x2

จะได้ว่า dx

dA หาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริงใดๆ

ให้ dx

dA = 0

ดังนั้น 50 – 2x = 0, x = 25

พิจารณา 2

2

dx

Ad = –2 < 0

ดังนั้น x = 25 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

นัน่คือ นายสรยุทธ์ต้องน าเชือกดังกล่าวมากั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีแต่ละด้านยาวเท่ากับ 25 เมตร จึงจะท าให้ได้พื้นที่มากที่สุด

ตัวอย่าง 3.22 ชายคนหน่ึงพายเรืออยู่ในทะเล ณ จุดห่างจากชายฝั่ง OB 100 กม.ความยาวชายฝั่งจาก O ถึง B เท่ากับ 200 กม. ชายคนนี้จะต้องพายเรือเข้าชายฝั่ง หลังจากนั้นเขาจะขี่จักรยานเพื่อไปถึงจุด B ให้เร็วที่สุด ถ้าชายดังกล่าวพายเรือด้วยความเร็ว 10 กม.ต่อ ชม. และขี่จักรยานด้วยความเร็ว 20 กม.ต่อ ชม.จงหาว่าชายดังกล่าวควรพายเรือขึ้นฝั่ง ณ จุดใด

วิธีท า ให้ชายคนนั้นพายเรือเข้าฝั่ง ณ จุดที่ห่างจากจุด O เป็นระยะทาง x กม. ดังนั้นระยะทางที่เขาพายเรือ = 22 x100 กม. และระยะทางที่เขาขี่จักรยาน = 200 – x กม. ถ้าให้ T เป็นเวลาที่เขาใช้ทั้งหมด

T = 10

x100 22 + 20

x200

dx

dT = 20

1

22 x100

x2

– 20

1

50 – x

x

50 – x

x

A

C x 0

100

B

38

ให้ dx

dT = 0 จะได้ว่า

20

1

22 x100

x2

– 20

1 = 0

2 x = 22 x100

4 x2 = 1002 + x2

3 x2 = 1002

x = 3

100 = 57.735 กม.

พิจารณาช่วงต่างๆ ของ T(x) ดังนี้

ช่วง x < 3

100 x > 3

100

เคร่ืองหมายของ T(x) – +

ดังนั้นที่ x = 57.735 ท าให้ T มีค่าน้อยที่สุด

เพราะฉะนั้นชายคนนั้นควรพายเรือเข้าฝั่งที่ห่างจากจุด O เป็นระยะทางเท่ากับ 57.735 กม.

39

แบบฝึกหัด 1. จงหา

h

)x(f)hx(f

0hlim

ของ f(x) ต่อไปนี้

1.1 f(x) = 4

1.2 f(x) = x3 1.3 f(x) = |x|

2. ก าหนด f(x) ต่อไปนี้ จงหา f(x)

2.1 f(x) = x3 + 2x2 + 5x +4

2.2 f(x) = 3x + lnx 2.3 f(x) = sinx + cosx

3. ก าหนด y = f(x) ต่อไปนี้ จงหา dx

dy

3.1 y = x2 + 2x + 5

3.2 y = (x2 + 2x + 5) 7

3.3 y = (lnx)4

3.4 y = sin(x2 + 3) 3.5 y = 3

x42x

3.6 y = ln(x2 + 3)

3.7 y = exsinx

3.8 y = x3

2x

3.9 y = 4)52x(e

4. จงหา dx

dy ต่อไปนี้

4.1 x2 + y2 = 9

4.2 x2 + y2 = 3x2y + 4x + 3y + 7

4.3 x2y + 4x = 3y2 + 3y + 3

4.4 y2 = 3x2 + (lnxy)4

40

5. จงหาความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด x = c ต่อไปนี้

5.1 เส้นโค้ง y = x3 + 2x + 1 ที่จุด x = 2

5.2 เส้นโค้ง y = (x2 + 2) 3 ที่จุด x = 1

5.3 เส้นโค้ง x2 + y2 = 4 ที่จุด x = 3 5.4 เส้นโค้ง xy + 4x +3y + 3 = 1 ที่จุด x = 1

6. จงหาเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งที่จุด x = c ต่อไปนี้

6.1 เส้นโค้ง y = 4 - x2 ที่จุด (1, 3) 6.2 เส้นโค้ง xy = 1 ที่จุด (1, 1)

7. จงหาจุดสูงสุด หรือจุดต่ าสุดของฟังก์ชัน f(x) ต่อไปนี้

7.1 f(x) = x2 – 2x + 5

7.2 f(x) = x4 – 2x + 4

7.3 f(x) = x3+x2 – 8x + 3

7.4 f(x) = 3

2

x + 3 7.5 f(x) = |x – 4| 7.6 f(x) = |x – 2|, 0 ≤ x ≤ 9

7.7 f(x) = x2 – 2x + 5, -3 ≤ x ≤ 2