7/23/2019 derivada de Caratheodory en variable compleja

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Derivada de

Caratheodoryen variable

compleja

Yenny MarcelaCasanova

Rincon

Derivada usual

Sea Uabierto en C, f :U C y z0 U. La derivada de f enz0, que se denota por f (z0), se define como

f (z0) = lmzz0

f(z) f(zo)

z z0

Siempre que este lmite exista. cuando existe la derivada de fen z0 se dice que f es diferenciable en z0

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Derivada de Caratheodory

Sea Uabierto en C, f :U C y z0 U. Si existe una funcion: U C continua en z0 tal que

f(z) f(z0) =(z)(z z0)

para todo zU, entonces f es diferenciable en z0. En tal caso,

la derivada de f en z0 es (z0) , por tanto f es analtica en U.Escribimos f (z0) =(z0),

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Ejemplos

1 sea f : C C definida como f(z) =z, entonces f no esanaltica en ningun z0 C

2 sea f :C

Cdefinida como f(z) =e

z

, entonces

f(z0) =ez0

3 sea f : C C definida como f(z) =log(z), entonces

f(z0) = 1z0

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Unicidad de la derivada

Puede ocurrir que existen dos funciones , : U Ccontinuas en z0 tales que

f(z) f(z0) = (z)(z z0)

y

f(z) f(z0) = (z)(z z0)

Sin embargo, (z0) =(z0), es decir, la derivada de f en z0 esunica.

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Teorema

Sea Uabierto en C. Si f :U Ces analtica en U, entonces fes continua en U.

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Algebra de derivadas

Sea Uabierto en C y f, g :U C analticas en U, entoncesf +g :U C, f g :U C y f/g :U C (con g(z) = 0z U) son analticas en U ademas:

(f g)(z0) =f (z0) g

(z0)

(f g)(z0) =f (z0)g(z0) +f(z0)g

(z0)f

g

(z0) = f (z0)g(z0) f(z0)g(z0)

g(z0)2

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Regla de la cadena

Sen U, V abierto en C, f :U C analtica en U , g :V Canaltica en f(U) y f(u) V, entonces f g :U C es

diferenciable en U y

(f g)(z0) =g(f(z0))f

(z0)

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Ecuaciones de Cauchy-Riemann

sea f(z) =u(z) +iv(z) una funcion de variable compleja. Si fes analtica en U, entonces u(z) y v(z) son analticas en U yademas uy v satisfacen

u

x =

v

y

u

y =

v

x

Estas son conocidas como ecuaciones de Cauchy-Riemann

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