Department of Mathematics - The University of Manchester

145

Transcript of Department of Mathematics - The University of Manchester

Page 1: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � ������� � � �� � � � � ��� � ��� ��� ��� �

� �� � ��� ��� � � ��� � ��� ��� �!� �

"�#%$'&)(+*,(-(+.'/102*3#4#4&657#%8�#%$'&:9<;'*>=?&)@%(+*3#BAC8EDGFIHJ;JK1$J&)(L#%&)@DM8?@N#%$'&:5J&6O?@%&6&P8?DGQ-8EK1#%8E@I8?DGR2$'*,SM8?(+8ET6$1A

*,;7#%$'&VUBH%K4.'SW#BAC8ED:X4K1*,&6;'K4&YHJ;J5�Z[;JO?*,;J&)&)@%*,;'O

\^]`_badc6eWfhgididi

jlkmonqp^rhst uvr�w�uyx

z eW{}|�fv_ ~�e��M_�a����|!_b�}e�~-|_ �>]��

Page 2: Department of Mathematics - The University of Manchester

� �����������

� ������������� ���

��� � �!�"���#��$!%'& �)(

*+%-,/.0�1$!2'34� �)5

����60&7%)89� �): 2 �);<� &4��� � =

� >?&'����% :�@ ����$A%'& �)BCEDFC z e�G ��� _b� ad� D+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CKJCED g Lq� �v_ba�f k D+DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C�MCEDON ��|_ f �FP�Qqadfv~ DHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C�MCEDSR T {}{#U>�>]W|_b� ad�}� DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CKV

CEDSR"DWC XZY |� �F[ c}�>fy_b�\[^]}e |!_b�`_�f a ]We�� � e�� DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CKaCEDSR"D g XZY |b]}fb|_ �>]dc��WedeW� f|�U Y eI_ fvadc"U eW~ � D+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D g CCEDSR"DgN _��ve Y ]}a�� {6eW]�_ fb|<� adf XZY |�]}f |_b� ]Ic �WedeW� f|�U Y eI_�f adc"U eW~ � DHD+DHD+D g R

CEDgh \[_b�}e�fiQqad�"U �>�}eW|�f���|!_bf �jPkcml Y |_b� ad�}� DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D g MCEDgh\DWC � |_bfv�FPkn)l Y |�f eHo�a a�_ DHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D g MCEDgh\D g T Upede�c}fb|�>]do��>]�] |_ �0cml Y |_b� ad� DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D N gCEDgh\DgN � |_bfv�FP`_JaEU k �}a�~��>|�U DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D NbR

CEDOJ z eWfv�Wf|_b�Ffde2a�E_ �}eHQqad�"U �>�}eW|�f���|!_bf �jP`cml Y |_ �>ad� D+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D N�J

g

Page 3: Department of Mathematics - The University of Manchester

( � 3 � %'��.�� *+%'& : $ ��$A%4&7$!&72 ��& :�� ���1648 �"� :�� ����%-� 5��g DFC c P�� �v_ eW�}]�e |��#] c�� Y ~ eWf |_b� ad� a��mn aEUWf�eW� _b� D+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D N�a

g DFCEDWC � eW��eWfb|bU>���>�"e _ �}e��q� Y |�U� )a�f ~ Y U>|-� adf^_b�}e9o�a a�_ � a�� | n ] |bU3|�fXZY |b]}fb|_ �>]dcml Y |_ �>ad� DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D N�a

g DFCED g c P �>�y_be��}]We a��#n aEUFfde��M_ ����� _b��a Y _�� � fda�UWf �>�"e _ �}e XZY |�]}f |_b� ]mc��pede��\[f|�U Y eI_�f adc#U>eW~ D+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D R#C

g DFCEDgN \ f�eWf ]}|�~�{6e?] XZY |�]}f |_b� ]Ic��pede���f|�U Y eI_�f adc#U>eW~ DHD+DIDHD+DHD+D R gg DFCEDOR c P �>�y_be��}]We+ohe�� Y U _b� j |��ve?] ad� XdY |�]}fb|!_b�>]Zc �WedeW� f|�U Y eI_�f adc"U eW~ R�Rg DFCED h � �}|�fb|�]`_be�f �W|_b� ad� a��7n aEUFfde��M_ � f �3|^_b��e � eW�}e�fb|�U �We�] n ] � Y f z e [

]�ad~ {Bad�v� _ �>ad� DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D REJg D g z ad~ �>� |�� _ |��"]�� �>�}� ~-|bU n a�UWfde�� _b�ha���������� DHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D REVg DON � ad�"]}� _b� ad�`Q Y ~ cBe�f DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h ig DSR j |�]�����|�f ] c fvf adf DHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h g

5 �/. ; �m%'�!$ ���/%'� @ ��$A%4& ��& : � @7;<� �b$!�E����! � ��37% : � � �"� �): %4&�� 3 � %-�1$ � � "�"N#DFC n k ~ c6aEU>� ]In aEU Y _b� ad� DHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h�h

N#DFCEDWC g$#Gg ] |��ve DHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h�hN#DFCED g �h� � �"e��&%�')(*%,+.- � n k ~ c6aEU>� ] ��|_ �&/Ja aEU>c6aKP DHDHD+DIDHD+DHD+D hbJN#DFCEDgN �h� � �"e���|�]W� k ~-| DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h�MN#DFCEDOR c P {6eWf � ~�e�� _b� D+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h�M

N#D g c��pede���f|�U Y e � e`_b�}a)] DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D J\CN#DON n ] � Y f[� e�_ �}a\] DHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D J\C

= � � 8 ��%'&�0F�1! � ��37% : 89$ ��3 �32 ������4 $!& � � � �#�b�13 � � B"=R"DFC Qqe5� _bad�6- �[� e�_ �}a\] DHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D JbR

R"DFCEDWC n ] � Y f T Upedadfv� _ �}~ D+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D J�JR"DFCED g LheW�v� eW�Mc6eWf eb[ n ] � Y f T UWedadf � _b�}~ DHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D JEMR"DFCEDgN � a�~�{ |f �>�vad� a�� n ] � Y fq|��"] LqeW�v� e�� c6eWf eb[ n ] � Y f T UWedadf � _b�}~ � D+D J�V

N

Page 4: Department of Mathematics - The University of Manchester

R"DFCEDOR Qhe � _ ad�6- �2� e`_b�}a)] �>�koheW|�U T f � _ �}~ e�_b� ] D+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D J�aR"DFCED h � a���f�eWf edeW�}]�e a�� Qqe5� _bad� - �[� e�_ �}a)] DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D M)C

R"D g � �}]Wa�f {6adfb|_ �>�"e c P�|�]`_ � � �}eHn e |f ] �}e�� D+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D MbNR"D g DWC � � �}eHn e |f ] �}e�� D+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D MbNR"D g D g � a���f�eWf edeW�}]�e a�� � �>�}eHn e |�fv] � � e`_b�}a)]}� D+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D MbJR"D g DgN c P�|�]`_ � � �}eHn e |f ] �}e��q� adf ����� ��� i DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D V i

" � @ &7����$A%4& ��� > � � ���#��$A%'&�� ���h\DFC n ad~ e Y �}]�_ �>ad�}|�U � _ eWfb|!_b�>a��}� DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D V�Vh\D g j eWfv�}a Y UWU>�*� _beWf |_b� ad� DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D a i

h\D g DWC j eWf ��a Y UpU � � _ eWfb|!_b�>a�� � a�f n ] |�U>|�f _JaEU k �}ad~ �3|bU>� DHDHD+DIDHD+DHD+D a ih\D g D g j eWf ��a Y UpU � � _ eWfb|!_b�>a�� � a�f � � � � DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D a\C

h\DON \[_b�}e�f Y �}]`_b� ad� |�U � _ eWf |_b� ad�}�'� adf � ad~�{ Y _b� �"e z a�~�� � |�� _J|��"] � �>���>~�|�Un aEUFfdeW� _ � DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D abR

B ! $ &7$ ; $�� �#��$!%'& ! � ��37% : � ��

J#DFC \ fdeWf f �>e � a�� � �>�}� ~�� |_ �>ad�-� e�_ �}a)]}� DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D aEMJ#D g � f |�]}� eW� _�|��"] Lqe�� �v�3|�� � adf � eW�}e�fb|�U Qhad�"U>� �}e |f���|_ f �FP�cml Y |_b� ad� D+D a�aJ#DON � ad�� Y ed|_be � fb|�]��>eW� _q� e`_b�}a)] � adf � � � ��� i DHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i C

J#DON#DWC � fb|b]}�>e��M_h|�"]kLqeW�v� �>|�� a�� 5����� �� ��� DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i CJ#DON#D g T Upeda�f � _ �}~ DHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C idgJ#DON#DgN c P�|�]`_ � � �}eHn e |f ] �}e�� DHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i NJ#DON#DOR \2{6eWf |_b� ad� � a Y � _b� D+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i RJ#DON#D h � U>a�c |�U � a���f�eWf edeW�}]�e DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i JJ#DON#DgJ oh|_ e^a�� � a���f�eWf edeW�}]�e DHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC�CJ#DON#D M _�fveW]Wa��"]}� _ �>ad���>�"e DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC�C

J#DSR �q�v�>�"e���������� j |��ve?] ad� L k c}f �W] � e�_ �}a\] D+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC g

R

Page 5: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � @7;<� �1$ �E��� � 2 , � �1$ ;<� &4��� �'� =M\DFC c P}|~�{"U eW�.��� _b��� �og D+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC?RM\D g c P}|~�{"U eW�.��� _b����� N�D+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g CM\DON _�fb|�]`_b�>]W|�U0c P�|�~ {"U>e�� DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g R

� *+%4&7� � @ �K$A%'&�� ��& : � @ � @ � ��� %-�16 �\50�V#DFC � ad�}]�U Y �v�>ad�}� DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C�N\CV#D g Y _ Y fve��:a�f � DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C�NbR

� $A� �!$!%-2-���",�34. �\5�"

h

Page 6: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � ��� � ��� ���

g DFC � ad�"]}� _b� ad� � Y ~ c6eWf � � adf _ �}e e?l Y |_ �>ad� � g D g�i ����� _ � ]}�1e�f e��M_�� D D+DHD+D h gg D g j |�]�����|�f ] eWfvf adfv��|��"] f e�U3|_ �Wf�e2f e�� �p] Y |�U1� adfl_b�}e^e�l Y |_b� ad� � g D g�i��)��� _b�

]}� BeWfveW� _�� D\D+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D h1R

J#DFC Q Y ~ cBe�f a����}ad{}� � adf Y �v�>�"e ]Wad� Y e |_ ededfb|�]��>eW� _�~ e�_ �}a\] D D+DIDHD+DHD+D C i hJ#D g � ad~ { |�f � � ad�-a��Jad{Be�fb|_ �>ad�-]Wa Y � _ � � adf ��� _ � c |��"]�e?] |��"]�]}e��}� e ]�a e�� [

]W� eW� _�~-|!_bf � ]We�� D0DHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C i JM\DFC ohe�U3|_ �Wf�ePfveW� �W] Y |�U � adf {}f a�c"U>e�~ � N#D g � ��� _b� Qhe � _ ad�6- � ~�e`_b�}a)]o|��#]

Qqe5� _bad�6- � ~�e`_b�}a)] ��� _ ��e P�|�]`_ U �>�}e � eW|�f ] �}e�� ��� _b���y_ |�fy_b�>�#e ~-|_ f �jP� � D DHDHD+DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CECKJ

M\D g ohe�U3|_ �Wf�ePfveW� �W] Y |�U � adf {}f a�c"U>e�~ � N#D g � ��� _b� Qhe � _ ad�6- � ~�e`_b�}a)]o|��#]Qqe5� _bad�6- � ~�e`_b�}a)] ��� _ ��e P�|�]`_ U �>�}e � eW|�f ] �}e�� ��� _b���y_ |�fy_b�>�#e ~-|_ f �jPz e�� | Y U _ ��� D DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CECKJ

M\DON Q Y ~ cBe�f4a�� � _be�fb|_ �>ad���B� adf4]�ad� fde�f ede��}]We � adf%{}fvadc"U>e�~ � N#D g � ��� _ � j eWfv�}a Y UWU>�� _ eWfb|!_b�>a��}� D D+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC�M

M\DSR n aEUFfdeW� _ �<� a�f {}f a�c"U>e�~ � g DgJ � Y � � �"eG� _be�fb|_ �Wf�e ~�e`_b�}a)]}� ��� _b� �v_b|�fv_ �>�"e~-|!_bf � ]We�� � � |��"] z e�� | Y U _ ��� D DHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CEC�M

M\Dgh � ad� fde�f ede��}]Weqadc�_ |�>�}e�]<� a�f�{}f adc#U>eW~ � N#DSR � ��� _b� C idiZ]}�1e�f eW� _ �v_b|�fv_ �>�"e~-|!_bf � ]We�� D DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D CECKa

M\DOJ Q Y ~ cBe�f a�1� _beWf |_b� ad�}� � adf�]�ad� fde�f ede��}]We[� a�f {�f adc"U eW~ � N#DOJ � Y � � �"e+Qqe � [_bad� - ��~ e�_b��a\] ��� _ � |��"] ��� _ �}a Y _ U>� �}e2�ve |�fv] �}eW� DmD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g N

J

Page 7: Department of Mathematics - The University of Manchester

M\DgM Q Y ~ cBe�f�a��J� _ eWf |_b� ad�}� � adf�]�ad� fdeWf edeW��]We � adf�{}fvadc"U eW~ � N#DOJ � Y � �>�#e ~�� �\[�>~ �W|_b� ad�-~ e�_ �}a\]�� D DHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g N

M\DOV / �>~ e � adf ]�ad� fde�f ede��}]We � adf {}f a�c"U>e�~ � N#DOa � ��� _b�Y_b�}e��v_b|�fv_ �>�"e ~-|_ f �jP� � � � e�]Wad�#]�� D DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g R

M\DOa \ fdeWf ] |�~ {Be�] � a�f {}f adc#U>eW~ � M\DgM �,��� _b�`]}� BeWfveW� _ � D D+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g MM\DFC i Q Y ~ cBe�f[a�� � _beWf |_b� ad�}�h|��"] _ �>~ e � a�fq]�ad� fdeWf edeW��]We � adf ]}|�~�{6e?]�~-|��v� [

� {}fv�>�"e � k �v_be�~ {}f a�c"U>e�~ ��� _ �^_b�}e �v_b|�fv_ �>�"e ~�|_ f �FP ��� � � _ eWf |_b� ad����veW]Wa��"]�� D!C g MM\DFCEC Q Y ~ cBe�f�a��'� _beWf |_b� ad�}� � adf�]�ad� fde�f ede��}]We^� adfl~�a)]}e?U)� adf _b�}e2{6ad{ Y U3|_ �>ad�

a��J_b�}e c}�WU>c k ��� _b��� � i�� h |��"] _ �}e �v_ |fv_b� �"e<~-|!_bf �jP �� D"DHD+DIDHD+DHD+D C�N i

M

Page 8: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � ��� � ����� � �

CEDFC T ��� ]}e?e�f eWe a��J� f e�e?]}ad~ ] |�~ {Be�] ~�|��v� [ �v{}f � �"e<� k �v_ eW~ D D+DIDHD+DHD+D g�gR"DFC � ad�}a_bad�}� ] |�UWU k ]}eW]�f e |� �>�#eV� e�l Y eW�}]�eW� a��^� _be�fb|_ eW�<_b� |_9]}aP�}a�_�]Wad�\[

fde�f ede^_ba<_b��e ~ �>���>~ �We�f D DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D MbJR"D g T ]�]WeW{ _ |�c"U e f|�U Y eW�la���� Y �"]}e�f�_b��e T fv~�� va ]�ad�"]}� _b�>a�� � R#DWC�M � ��� _b� i�

�� � C�D�D+DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D M�MR"DON T ]�]WeW{ _ |�c"U e f|�U Y eW� a�� � Y �"]}e�f _ �}e ] Y f f�|!_ Y fve-]Wa��"]}� _ �>ad� � R"DWCKV � ��� _b�

�� � � � CED DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D M�MR"DSR T ]�]WeW{ _ |�c"U eZf|�U Y e�� a���� Y �#]}eWf _b��e��:aEU � e2]Wa��"]}� _ �>ad��� � R"DFC�a �)��� _b� i�

�� � � � CED DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D MbVR"Dgh / �}e�] Y c}� ] � Y �}]`_b� ad����� ��� �<� |��-a��"U k ad��e fve |�U We�f a |��#]I_b�}e l Y |�fv_ �>]

� Y �}]`_b�>a���� ��� ��� |�� _ �}eIeEU>adc}|�U1~ �>�}� ~ Y ~ |_ _b��e fve |�U��eWfva D-D+DIDHD+DHD+D V gR"DOJ / �}eh] Y c}� ]h� Y �}]�_ �>ad��� � ��� � � |� _ �}f e�e ]}�1e�f e��M_lf eW|�U�We�f ad����� � ��� � �����

|��"] _b�}eIl Y |�fy_b� ] � Y �}]�_ �>ad�� ��� � �}|��h_ �}eIU>a ] |�U1adfieEU>adc}|�U1~ �>�}� ~-| |_�� �adf���� DmDHD+DHD+DHDHDHDHDHD+DHD+DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D V�N

R"DgM U>a �C] � |�fy_ha���G}�"]}�>�#e-| eEU adc |�UB~�� �}�>~ ��eWf a�� � ��� � D�D+DHDHD+DIDHD+DHD+D VbR

M\DFC � ad� fde�f ede��}]We � adf {}f a�c"U>e�~ � N\D g �,��� _b� � � o |��"] � � _ o ~�e`_b�}a)]}� D D CECKJM\D g Q Y ~ cBe�f a��%_b� ~�e�� ]Wa���f�eWf edeW�}]�e adc�_ |�>�}e�] � adf {}fvadc"U>e�~ � N#DSR �)��� _b� C idi

]}� BeWfveW� _��v_b|�fv_ �>�"e<~�|_bfv�>]�eW� D�DHDHD+DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g�gM\DON / �}e[� Y ~ cBe�fla��4adc�_ |�>�}e�]-� a�UWfde�� _b��a�%{}f a�c"U>e�~ � N#DSR � Y � � �"e |�UWU ~�e`_b�}a)]}� D C g�gM\DSR � ad� fde�f ede��}]We � adf {}f a�c"U>e�~ � M)DOR �,��� _b� ]Wad� Y e |_ ededfb|�]��>eW� _�~ e�_ �}a\]�� D D C g h

V

Page 9: Department of Mathematics - The University of Manchester

M\Dgh � ad� fde�f ede��}]We � adf {}f adc#U>eW~ � M)DgJ � ��� _ � Qqe � _ ad�6- � ~�e`_b�}a)] |��#] Qqe � [_bad� - ��~ e�_b��a\] ��� _ �`U>�>��e2� eW|�f ] �}e�� D DHD+DIDHD+DHDHD+DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g J

M\DOJ c��pede���f|�U Y eW����� a�� _ �}e l Y |�]}f |_b� ] eW�WedeW� f|�U Y e {}f a�c"U>e�~ � adf ]}|�~�{6e?]~-|� � [ � {}fv�>�"e � k �v_be�~�� ��� _ � � � N i�� h i�� C idi�� g�idi D DHD+DHDHD+DIDHD+DHD+D C g V

a

Page 10: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � � ��� �

�Pel]�ad�}� �W]}eWfJ_b�}e�adf e`_b� ] |�UM|��#] � Y ~�e�f � ] |�U fveW� Y U _b�J� adf'� aEUFf �>�"eq| l Y |�]�fb|_ �>] ~-|!_bf �jP e?l Y |�[_b� ad�

����� �����3� ����� � � � i�� � � � � � ���� ��� � �/ �}e l Y |�]}f |_b� ] ~-|_ f �jP2e�l Y |_b� ad� |�f � � eW�'� � �ve�f�eWfb|bU |{}{"U>� ] |_ �>ad���4�>�}]�U Y ]��>�"e l Y |��v�F[ c}�>fy_b�\[]}eW|_b� {}f a ]We�� �veW�q|��"] _b�}eIl Y |�]}f |_b� ]^eW�WedeW� f|�U Y e {�f adc"U eW~

��� � ����� � � � � � � ���� ��� � i ��Pe ] � |�fb|]�_be�f � We _b��e e P �>�v_ eW�}]�e a��h� aEUFfdeW� _ � a�q_ �}e�l Y |�]}f |_b� ] ~-|!_bf �jPPe?l Y |_ �>ad� Y � [�>�#e _b�}e l Y |�]}f |_b� ] eW�WedeW� f|�U Y e {}f adc#U>eW~�|��"] _b��e e�eW�}e�fb|�U �We�]�n ] � Y f+]�eW]Wa�~�{6ad� � _b� ad� D�Pe�]}eWfv�Wfde | ]Wa��"]}� _ �>ad� � Y ~ cBe�f � adf _b�}e {�f adc"U eW~ |��"]N� �}a ����a � _ba ]�ad~�{ Y _be _b��ec |�]�����|�f ] eWfvf adf�a��?|�� |�{}{}fvaKP�� ~-|!_be^� a�UWfde�� _ D adf G �"]}� �"e � aEUFfde��M_ �la�B_ �}eil Y |�]}fb|!_b�>] ~�|_ f �FP e?l Y |_ �>ad�$�le�]Wad�}�v�p]}e�f � k ~ c6aEU>� ]�|�UF[

ede�c}fb| { |]��|bedeW��� FIH}#%S HJ/ - �in k ~ c6aEU>� ]^��|!_b� /Ja aEU cBaKP |��"] ��|]W� k ~�| D �Pe |�U>�va ]Wad�)[� �W]}eWfl� e fdeWf |�U4� Y ~ eWfv�>] |bUB~ e�_ �}a\]��l� adfl]Wad~ { Y _ �>�"e � aEUFfdeW� _ � D ?�>fv�v_ �#Qhe � _ba��6- � ~ e�_ �}a)]�>��]�ad�}� �W]}eWfve?] Y � �>�#e�_b��e ede��}eWf |�U>� We?] n ] � Y f^|bUpedadfv� _ �}~ ���}� ] ��� �q� Y eEede��v_be�] c k z |�f � �� C�V�� � |��"] _b��e LheW� �veW�Mc6eWf e1[ n ] � Y f |�UWedadfv� _b��~ D �Pe � �}]Wa�f {6adfb|_ e e P�|�]`_ U>� �}e � eW|�f ] ��eW��>� _ a Qqe � _ ad�6- �q~ e�_ �}a)] |�"] � �}a �o_ � |_ _b��eHU �>�}e[� e |f ] �}e��[|�fve f e?U>|_b�Ffde�U k �>�}e P�{6eW��� �Wf�e|��"]<� ~�{}fva�fde _b��e e�U>adc |bU�]Wa���f�eWf edeW�}]�e[{}fvad{6eWfv_ �>e���a�� Qhe � _ ad�6- �l~ e�_ �}a\] � � _b�}e�adf k |�"]�>� {�fb|�]`_b�>]�e D �PeZed�Ffde | _b��adf a Y ed� _bfve |_ ~�e��M_�a�%� Y �}]�_ �>ad�}|�U1� _beWf |_b� ad� ~ e�_ �}a\]�� c |��ve?]ad� j eWfv�}a Y UWU>� - � ~�e`_b�}a)] D � �>�}� ~�� |_ �>ad� ~ e�_ �}a)]}� �M� adf e P�|�~ {"U>e � _ �}eh]Wad�� Y e |_be edfb|b]}�F[eW� _[~�e`_b�}a)] � � | Y � � [ Qqe5� _bad� ~ e�_ �}a)]�|��#] � e�fde��McBe�f eb[ ��|�f l Y |f ]�_^~ e�_ �}a)] �1|f e |�U>�va

C i

Page 11: Department of Mathematics - The University of Manchester

e P�|�~ �>��e?] D ?� � |�UWU k � �le e P {6eWf � ~�e�� _ ��� _ �G|��"] ]�ad~�{}|�f e |�UpUJ~�e`_b�}a)]}�^|� ��e�UpU?|��[_b��eFIH}#4SMHJ/ � Y ��]�_b� ad� � ��� ����� � ���}� ] ���vaEUWf�eW� _b�}eIede��}eWf |�U%�}ad�#U>�>��e |�f e�l Y |_b� ad� D

CEC

Page 12: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � � � � � � � ���

Qqa {6adfv_ �>ad� a�J_ �}e �ladf ��f e`� eWf fve?] _ba � � _b�}� �l_ �}eW�v�>� � |�� c6eWe�� � Y c�~�� _ _be�] �>�� Y {}{6adfy_2a�� |�� |�{�{"U>� ] |_ �>ad� � adfh|��}a_b�}e�f ]}e�edf e�e adf l Y |�U �WG ]W|_b� ad� a��?_ �}�>�hadf|�� k a�_b�}e�f Y �}�FfdeWfv� � _ k adf a�_b��eWf��>�}�y_b� _ Y _ �>ad� a� U e |�fv�}�>�"e D

� n Y c}�veW]`_b�>a��Ng DWC�DOR � n eW]`_b� ad�}� g DgN |��"] g DOR |�"] � � |{�_be�f R |�fve�c}|�� e�]ad� _b�}e _ eW] �}�}� ] |�U f eW{6adfy_�� n aEUFf � �"e�| l Y |�]}f |_b� ]V~�|_bfv�FP e?l Y |_ �>ad�c k Qhe � _ba��6- �^~ e�_ �}a)]&��� _ ��e P}|]�_dU �>�}e � eW|�f ] �}e���� ����� _b� Qq�>] ��aEU3|���� DLq�Wed� |�~ � �1Q Y ~�e�f �>]W|�U T �}|�U k � � � o�eW{6adfy_ Qha D1NENEa ����|��}] ��eW�v_ eWf � e�� _bf e� adf � ad~ { Y _b|_b� ad� |�U?��|_ �}eW~�|_ �>]W���%��|�}] �}eW�y_be�f ��c �#eEU3|��#] ���d|�� Y |�f kC�aEaEa\D / �}� � �ladf � � �J_ a[|{}{BeW|�fJ�>���� �����������������������������! " ������$#&%'�(%����)* ,+-+��$�/.����0�/���1% D

� n Y c}�veW]`_b�>a��}� g DFCEDgN |��"]Gg DFCEDgh �0n eW]�_ �>ad���^g D g � N\D g-|�"] N#DON |��"] � � |�{\[_be�f h �E|f e<c |��ve?]:a��G_ �}e _be�] �}�}�>]W|�U f e�{Badfy_2� Q Y ~�e�f �>]W|�U�|��#U k � � �^a�� |l Y |�]}f |_b� ]�~-|_ f �jP2e�l Y |_b� ad�3� ����� _b�HQq� ] �}aEU>|���� D Lh�ped� |~ � ��Q Y ~ eWfv�>]W|�UT � |bU k � � � o�eW{6adfv_ Qha D N�R�M �1� |��}] �}e��v_be�f � eW� _ f e � a�f � a�~�{ Y _ |_ �>ad� |bU��|_ �}eW~�|_b� ]W���?� |��}] �}e��v_be�f �mc��"e�U3|��"] � T Y e Y �y_ CKaEaEa#D / �}� � �ladf � �>�_ba�|�{}{6e |�f � �2�4�5 6�����7�'�����8�:9";<�7=?>'���/.����� ������$#&%'�(% D

C g

Page 13: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� � ����� �

� ad{ k f �Wed� _ �>� _be P _ a� _ �}�>�q_b�}e�� �>� fveW�v_ � ��� _b� _ �}e T Y _b�}adf D � ad{}� eW�1� c k |�� k {}fva ]�eW� � �eW� _b�}e�f �>��� Y UWU �hadf a�� e P _bf |�]�_ � �2~�| k cBeG~�|�]}e %'&7�A. �>�C|�]�]Wadf ] |��}]�e ��� _b� � �}�v_ f Y ] [_b� ad�}� e��Wfde�� c k _b�}e T Y _b�}a�f�|��"]�U>a)]"ede�] �>� _ �}e ��ad�}�ko k U>|��"]}� �h�}�Wf�eWfv� � _ k � �>c}f |�f k a����|���] �}eW�y_beWf D z e�_b|��pU �h~�| k cBe adc�_ |�>�}e�] � f a�~ _ �}e � � c}fb|�fv�3|�� D / ���>�[{}|�ede ~ Y �v_q� adf ~{ |�fy_�a��?|�� k � Y ] � ]Wa�{}�>e��h~�|�]}e D Y fv_ �}eWf ]�ad{}�>e�� � c k |�� k {�f a ]WeW�v��� a��E]Wad{}� eW� ~�|�]}e^� �|�]�]Wadf ] |��}]�e ��� _b� � Y ] �G�>�}�y_bf Y ]�_ �>ad�}�[~-| k �}a�_2c6e ~�|�]}e ��� _b�}a Y _2_b��e {Be�f ~ �>�v� �>a�� � � ���f � _b� �"e �la��J_b��e T Y _b��adf D/ �}e a ���}eWfv� �}� {�a�� |�� k �>� _be�UpU>e�]�_ Y |�U�{}f a�{Be�fv_ k f �pe��M_ �����}� ] ��~-| k cBe ]}eW�v]Wfv�>c6e?]

�>� _ �}�>� _ �}eW�v�>� �>� f�eW�y_be?] �>� _ �}e �q�}�FfdeWfv� � _ k a�� ��|��}] ��eW�v_ eWf�� � Y c ve�]�_ _baN|�� k {}fv�>adf|�edfveWe�~�e��M_?_ba[_ �}e ]Wad� _ fb|�f k � |��#] ~-| k �}a�_�c6e ~�|�]}e |Kf|��WU3|�c"U e�� adf Y �ve c k _b���>f ] { |�fv_ �>e����� _ �}a Y _�_ �}e ��fv� _v_beW� {Be�f ~ �>�v� �>a�� a� _b�}e �q���Wfde�f �v� _ k �����}� ] �&���pUWU%{}f e�� ]�f �>c6e _b�}e _be�f ~ �|��"] ]Wa��"]}� _ �>ad��� a��?|�� k � Y ] ��|�edf e�eW~ eW� _ D Y fv_ �}eWf2� ��� adfv~-|_ �>ad� ad� _b�}e ]�ad�"]}� _b� ad�}� Y �"]}eWf3���}�>] � ]}� � ]�U>ad� Y f e��^|��"] e P�{#U>ad� _ |1[

_b� ad� ~-| k _ | ��e�{#U3|�]�el� �?|Kf|��pU>|�c"U e � f ad~o_ �}e Lhe |�] a��}_b��e z eW{}|�fv_ ~�e��M_Ea�� ��|_b��eW~�|_b� ]W� D

C�N

Page 14: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ��� � ��� ����� � ��� � ���

n � �}]We � � |Kfde |�f fv�Wfde�]�� � ��|���] �}eW�y_beWf��%|�U ~�ad�y_ h k e |�fv�2� |��h{ |��v� e?] D z Y fv�>�"e ~ k ~�|�� [_be�f ]Wa Y f � e � � |Kfde`eda_ edf eW|_ � Y ~ eWfv�>] |bU |�� |bU k � � � U>e�]�_ Y f eW� � fvad~ z f D � eW� f e�eW~�|�� �z f D�� e�adf e�e�L[|�UWU �m_�fva�� eW�v� adf Qh�>] �}aEU>|��� D Lq�pe�� |�~ � z f D z |�f �W] n �pUFfdeW�y_be�f � z f D o Y _ �/ �}ad~�|����I_ fva�� eW�v� adf ��a |�� �:|�U � � |��"] z f D �d|]�� � �WUpU �3|�~ � � ���}a�|f eY~�e�~ cBe�f � a����|���] �}eW�y_beWf � eW� _ f e � adf � a�~�{ Y _ |_ �>ad� |bU}��|!_b�}e�~-|_ �>]�� �M|��"] _ �}ad�ve U eW]`_ Y fveW���leWf e f�eWf k�}e�U>{�� Y U _b�}fva Y ed�}a Y _ ~ k _�� D z D �ladf � D �E|�~�|�U � a^{"U e |��ve?]<_ba^_b� |� � z f D )f |����]�ad�>�ve / �>� [� e Y f�� adf edf eW|_ |��#] �}e?U {�� Y U6� Y eEe�eW�v_ �>ad��� ad� ~ k ��a�f � � z f D � �}fv�>� _E| Y UB� a�f�]Wa�~�{ Y _b�>�#e� Y {}{Ba�fv_q|��"] ~ k |b]#f �>� a�fi_ fva�� eW�v� adf � �}fv�>�v_ ad{}�}e�f j | ��e�f D�l�}|�f�e^_ba e P {}fveW�v�q~ k edf |_b� _ Y ]}e[� {6eW]W�>|�UpU k _ba ~ k � Y {6eWf f � � adf���_�f a�� e�� �vadf Qq�>] ��aEU3|��

� D Lq�Wed� |�~ �}� adf��}�>�h� a9edf eW|_ e Y �p]}|��}]We |��"] � Y {�{Badfy_2|�"]�� ]�ad��� e�� �[_ � |_3� |�~ �>� c}�We]}e�c�_�_ba<�}�>~ �>� ~ k ����aEU>eI_�� D z D ��a�f � D�4_b� |� � � ad~ el� e�UpU>a � �y_ Y ]�eW� _b� |��#] � f � eW�"]}��� z f D j adc}c k � ��eW�"e�� z f D1T � _b�}a�� k � aKP �

_��}�pU �>{ z |Kf �>e�� ��Lq|�f � _E|_be�UE|�"] � |_ _ �}e � n ~�� _b� � � adf ~-| � � �"e ~ k �y_ | k |��"] �v_ Y ] k � ���|���] �}eW�y_beWfqeW��va k |�c"U>e D� ���>� � _ a-_b�}|�� � � |��}] �}e��v_be�f� a�f e |� � � Y f ] ��ohe f D n�|�~ Y e?U� eWa |��"] ~ eW~ cBe�f � D

/ �}e k U>e�_�~ e �M�}a � � a\] |��#] Lh�>� edfve |_ U>a�f�e D�h|�U>�va-_b� |� � _�f a� eW� �vadfI_?|f � ��ad�"eb[� eWa Y U �*���}a ��|��^~ k G fv�v_^~�|��v_ eWfZ]�e?edfveWe � Y [

{6eWf f � � adf � � _ Y � |�� Qq|_b� ad� |�U �q�}�Ffde�f � � _ k �}� adf ���>��eW�}]�a Y f |�edeW~ eW� _ D ?�>�}|�UpU k � �l�}|�f�e^_ba �b| k _ � |_ _ �}eWfve |�f e2��a �ladf ]}� _ba<e P {}fveW�v�q~ k edf |_b� _ Y ]}eq� adf ~ k

� |�~ �pU k ��~ k � |_b�}e�f � � ~ ���>�)[ � k Y � ~ k ~ a�_b�}e�f� Y \ �E[ ���>� � ~ k ��� � e \2� T e [ � k e�ad�"e��

CKR

Page 15: Department of Mathematics - The University of Manchester

~ k U a�fde?U k _ �la ]}| Y ed� _be�f � �^�>~ a Y �"eb[ c Y � |��#] �^� ~ Lqe�e [ c Y � �>��]?U Y ]}�>�"e ~ k { |�fveW� _b� [�>�)[ U3| � D � k { |�f e�� _b� e |Kf�e ~�e9edf eW|_ e��}]Wa Y fb|�e�eW~ eW� _<|��"]�G � |��}]��3|�U � Y {}{Ba�fv_ � �:~ k���}aEU e U � � el|��"] �v{Be�]W�3|bUpU k � � ~ k a�fde�f � eW|����v_ Y ]}e��M_ U � � e D � k ��� � e |��"] ]}| Y ed� _be�f � �v� |�fve?]��� _ � ~�e e�fde�f k {#U>e |� Y fve |��"]G� Y 1e�f �>�#e �>� a Y f U>� � e |��"]��i]}�W] f e |bU>��e �}a � ~ Y ] �G~ k� |�~ �pU k � � �>~ {Ba�fv_ |�M_�� adf ~�e D ��~ Y �v_ _b�}|�� �-_ �}eW~ �)|�e |�� � |��"] |�e |�� � D

C�h

Page 16: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � � � ��� � �

� ��� � � � � � � � ���

����� ������ ��� ����

n � �}]We2_ �}e^_beWfv~�~�|_bfv�FP�� |�� G fv�v_ ]}e G �}e?] c k n k UWfde��v_ eWfh�>� C�V h i � M�V � |��"] � | k U e k � |�]}e fde?U ad{6e?]�_ �}e ~�|_bfv�FP |�UWedeWc�fb|<�>� _ �}e CKV h i���� �le ]W|�� � a�UWfde |1���W]}e+f|�fv�>e�_ k a�� U>�>��e |�f� k �y_beW~ �6eW�pe�eW� f|�U Y e {}fvadc"U>e�~��h|��#]�~�|_bfv�FP e�l Y |_b� ad�}� D Qqad�"U �>�}eW|�f ~�|_bfv�FP e�l Y |_b� ad�}� ��}a �le�fde�f �6|�fve2f e�U3|_ �Wfde�U k Y �}e P {"U>adfve?] |�U _b�}a Y ed�-_b��e k a�,_beW� a ]W] Y f � � |�{}{"U �>] |!_b�>a��}��|�"]~ a\]}e�UpU �>�"e a��h� ]��>e��M_ �WG ]-{}f adc#U>eW~ � D � �V_ �}�>� ��adf � �le � {6eW]��3|�UWU k ]Wa��}� �W]}eWf a��}e a���_b��e� � ~�{#U>eW�y_ �}ad�"U �>�}eW|�f ~-|!_bf �jP e�l Y |_b� ad�}� �M_b��e l Y |�]�fb|_ �>] D T l Y |�]�fb|_ �>]�~-|!_bf �jP e�l Y |_b� ad�] |� c6ed]}e�G}�}e?] c k

����� �����3� ����� � � � i�� � � � � � ���� ��� � � � C�DWC �

T ~�|_ f �FP�� � � |_b� �v� k �>�#e � ���)� ��i �>� ]W|�UpU e?]:|�� aEUFfde��M_ ��adf ~ adfve-{}fveW]W� � e�U k � | f �pe��M_� a�UWfde�� _ a��.� � � �[_bak]}�>�y_b� �"e Y � � �G� _ � f a�~ |kU e��,_ �vaEUWf�eW� _�� ���}�>] �P�>� | �vaEU Y _b�>a��Ya��_b��ef e�U3|_ e?]`l Y |�]}f |_b� ]^~-|!_bf �jP e�l Y |_b� ad�

� � � � � ���� � i�� � � � � � ��� � � � � � C�D g �j Y _�_ fb|��}�v{Ba�� �>�#e<_ �}e e?l Y |_ �>ad� � CED g � k � e?UW]}�

��� ����� � � �� ����� �� � �CiC�J

Page 17: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

|��"] _b���>� e?l Y |!_b�>a�� � � ad�}e a��J_b�}e^� adfv~ � CEDWC � �va$��e ]Wad��� �p]�eWf�ad�"U k � C�DWC ��� � _b�}� �.��adf � DT �}a_b�}e�f �le?UWUF[ � ��a ���kl Y |�]}f |_b� ]^~-|!_bf �jP�e?l Y |_ �>ad� �>� _ �}e |�Upe�eWc}f |��>]do��>]�] |_ �4e?l Y |�[

_b� ad�� � � �� � � � ��� � i�� � C�DgN �

���}e�f e.� �>��� #�� |��#] � � � � � � |�fve � #�� ��� #�� � � #�� |��"]�� #����Mf eW�v{Be�]�_ �Wfde�U k Dn � �}]We<_b�}e-|�Upe�eWc}f |��>] o��>]�] |_ � e�l Y |_b� ad��� CEDON �^�>�IfdeWf k ]?U>a�� e?U k f e�U3|_ e?]P_ a a Y f � Y c ve�]�_� C�DWC � �}~ adf ed]}e`_ |��WU>� a�E_ �}�>��e?l Y |!_b�>a�� ���WUpUBcBe {}fveW� e�� _be?]��>� n eW]`_b� ad� CED h)D g D

��� � � � �����

/ �}e l Y |�]�fb|_ �>] ~�|_ f �FP e�l Y |_b� ad� � CEDFC ��� |��^|�U f eW|�] k cBe�eW� �>� f�eW�v_ �pe |!_be?]Gc k n k UWfde��v_ eWf�>���}�>�q� e�f�eWf |�U { |�{6eWfv�2{ Y c#U>�>�v�}e?]��>��_ �}e C�VEV i�� D n k UWfde��v_ eWf^]Wa��}� �W]}eWfve?] _b��e l Y |�]}f |_b� ]~�|_bfv�FP<e�l Y |_b� ad�-� �-�}� �l{ |{Be�f*�b\2� Lq|�~ �pU _ ad�6- �ml Y |�]}f |_b� ][e?l Y |!_b�>a�� |��"]�_b�}e edeW�}e�fb|�UY �}�WU3|_ eWf |�U e?l Y |_ �>ad� � � ~-|_ f � ]WeW� � { Y c#U>�>�v�}e?] � � C�VEV�R � M�a � D � � _b�}e-{ |�{6eWf �b\2�V_b��e_bfv�>�}a�~��>|�U Y ���pU3|!_beWf |�U l Y |�]}f |_b� ] e?l Y |_ �>ad� �>� ~�|_ f �>]�eW�'a��}_ �}e � eW]�ad�"] adf ]}eWf�� �dn k UWfde��v_ eWf�p]�eW� _b�FG e?] _b��e � Y ~ cBe�fha�?�vaEUWf�eW� _b�ha�� � � � ��� adf _b�}e ]W|�� e � � � � V i � D

����� � � ��� � � �����

n � �}]We ~-|!_bf �jP �}adfv~�� ���WUpU%c6e Y �ve?]�� fve?l Y e��M_ U k �>� a Y f ��a�f � �le �>� _bfva\] Y ]WeH]}e�G}�}� _ �>ad�}�|��"] �vad~ e2c |��v�>]2{}fvad{6eWfv_ �>e�� a��'_b�}e^��adf ~ � � NEa � � � R�h � DmT � Y �}]`_b�>a�� �� �� �� � � �"! �>�| ~-|!_bf �jP ��adf ~�� �

� �� i � � � � � �� � � i � � �Ci�� � ��� $# � � � � � � � � � � �

�� � �&% �'% � � � � � �� � � � �

C�M

Page 18: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

/ �}e f adc6eW��� Y � �}a�f ~�� � ]}e�G ��e?]�c k

� � ��� ����� � �� � � � %�� � � % �� �� � � �d_bf |�]We�� ��� � ��� �� � �

|��"]ked�FfdeW� | fde�]�_ba�f�� � � _b�}e � Y cBadf ]}�>�}|_be �#[ �}adfv~�� ]W|�� c6ed]}e G �}e?]�c k

� �� � ~�|1P���� � ���� �� ��� �� �

���}e�f e

���� �� ��� ����� �������

�� � � � � � � � � ������ � �� � � ��� �� ��� ��

��� � % ��� % � � ���� ��� C �

adf _b��e C [ �)g�[ |��"]�� [ �}adfv~���� _�] |� c6e e |��v�pU k � ��a ��� _b� |!_

� � � ~�|1P�! � � �� ��� � %�� � � % � � #" � ~�|1P�! � � �� � � � % � � � % �

� � � �%$ � � � � � � �� � �'&)(+*-, � � � ����}e�f e _b�}e � {6eW]`_bf |�U%fb|�]�� Y �

$ � � ���C~�|1P/.�% ��%��E]}e`_ � �10 � � ��� i32 �|��"] ���}e�f e4&)(+*-, � � � ]}e��}a�_ eW��_b�}eIU3|f ede��v_�� � �"e Y U>|�f f|�U Y e^a���� D

���65 798:8:; =< � � � � �/ �}e l Y |�]}f |_b� ]h~�|_ f �FP e?l Y |!_b�>a�� � CEDWC � |f �>�veW� �>�<�ve�fde�fb|�UB|�{}{#U>�>]W|_b� ad�}� D � �<_b�}� � � eW]`_b� ad��leH]��>� ] Y � ��_b��f eWe � {6eW]��3|�U4|�{}{"U �>] |!_b�>a��}� a��J_b�}eIl Y |�]�fb|_ �>]^~�|_bfv�FP-e?l Y |_ �>ad� � C�DWC � D

C�V

Page 19: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

��������� � p��}u s �^u������hs���������������� �!�"#���XZY |��v�F[ c��>fv_ �\[ ]�e |_ � {}fva ]�eW� �veW�Y|�fveV_ ��ab[^]}�>~ eW��� �>a�� |�U ��|�f �a�fo] � |�� �}� ��� _ � | c"U a ]��_bfv�p]}�>|�edad�}|�U6_ fb|���� � _ �>ad� {�f adc |c}�pU � _ k ~-|_ f �jP

$ �

%&&&&&&&&'

� � � � i i � � �� � � � � � i � � �i � � � � � � � � �i i � � � � � � �DDD DDD DDD DDD D D D

(*))))))))+� � C�DOR �

���}e�f e � ����� � � � � |��#] ��� |�fveh� l Y |�f eh~�|_bfv�>]We�� D / �}e k |�fve ���p]}e�U k Y �ve?]-|�� �v_ba ] � |��y_b� ]~ a\]}e�U>��� � _ e?U>e�]Wad~ ~ Y ���>] |!_b�>a��}� � ]�ad~�{ Y _be�f {6eWfy� adf ~�|��}]�eh|��"]-� � fdeW� _ adf k ]Wa��M_ f aEU D �Pe�}a � �v�}a � c}fv�>e�� k �}a �I_ �}e l Y |�]}f |_b� ] ~-|!_bf �jP e�l Y |_b� ad� |�{}{6e |�fv� �>� l Y |��v�F[ c��>fv_ �\[ ]�e |_ �{}fva ]�eW� �veW� D � e`_ . �-, � � � i32^c6e2| l Y |� �F[ c}�>fy_b�\[^]}e |!_b� {}f a ]We�� � ��� _b�-_ fb|��}�v� _ �>ad� ~-|!_bf �jP� C�DOR � D n Y {}{6ad�ve _ � |_�_b��e ~�|_ f �FP

. � � � $ � / � i�� � � 0 �2143 �65 � � i��87 ��% ��� � � C � � � � ����}e�f e $ � � % � � �>� _ �}e {}f a�c |�c}�WU>� _ k a���� ed�Wf�eW� � |�"]

/ � � ���C�>� �#.�� � C � �9, �;: � � � 2 � adf � � i��

���}e�f e-: � �6��� . � � � C � � � � � g � � � � � � � � � � ��2<� adf2|�UWU � � C |��"] {}|�fb|�~ e�_ eWf�� �'|��"] _b��e~�|_bfv�FP

< � � � $ � / � C � � / � i��=0 / � C � � � 0 � 143 � 5 � � C �87 ��% ��� � � C � � � � �/ �}e ~�|_bfv�>]We�� . �?> |��"] < � |_b� �v� k

. �"� @ � � <

@� � � > � � �

"� @ � � <@�

/ �}e �}e P _ _b�}e�adf e�~ � ��a ���<�vad~�e-�>~ {Badfy_ |�� _ f e�U3|_ �>ad�}� cBe`_ ��e�eW�N_b�}e ~�|_ f �>]�eW�2.��A>|��"] < D

C�a

Page 20: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

� 3 � %-� �); ���j= �!��� � J g � / ��~ D1J#D g DOa�� � 9 ����# ��� > �:9 ����> = ���0�'�/.4>4% .��?> ��� < �(%���� ��� ������>'�� > = ��# )7>'� >'�'=*� � ><����> ������>'� ��� � � # �'+-+��$# � ��� ��� > �:9<���> 9 ��� �(��� � ��� >�� �3���0�/���1%��

> � � � � � 0 < ��� � �. � � � 0 < ��� � ��� �< � � � � � � . �< � � � � > � � �

f ad~ / �}eWadfveW~ CEDSR"DFC ��e adc�_b|��>�

. ����� � � � . � � � . � � � C�D h �> ��� � � > � � � > � ��� � � C�DgJ �

� a _b�}eq~-|!_bf � ]We�� .�|��#] >o|�fveq�vaEUWf�eW� _b��a��1_ �}e l Y |�]�fb|_ �>]h~-|_ f �jP e?l Y |!_b�>a��}� � CEDgh � |�"]� C�DgJ � �}f e�� {6eW]`_b�Wf�e?U k D� 3 � %-� �); ���j= �W( � � J g �)/ �}~ D V#DWC�DOR ��� ��> = �������/.4>4%2. ����) > ��� > ���> >'�(>'=?>'����� �(% >=*� ��� = ��� % ���$���0�/���1%*� � ���> % >'�<�:9 � ����� >��-�������> = �������/.4>4%�� ��1��� �(%�� ��� � #�� �

�9 ��� ��� � �

����) 7 9 ��� ����# % ���$���0�/����� � i� 5�:9�� � >4% +�>4.'�����>'�$#!� ���> %'#&%'� >'= %

" � � � � � � � " � � � � " �� � � C�D M �" � � � � � " � � � � " �� � � � � C�DgV �

�#��>'� >" � �

"� @ � � �@� � � " � � � �

"� @ � � �@�

/ �}eW�veVe?U eW~ eW� _ ���>�veP~ �>���>~�|�U[�}a��}�}e?ed|_b�FfdeY� aEU Y _b� ad�}� a�� _ �}e�l Y |b]}fb|_ �>]Y~-|!_bf �jPe?l Y |!_b�>a��}��� C�D M ��|��"] � C�DgV � ] |���c6e Y � e�]�_ba ] � |�f |�]�_ eWfv�We ~ ad�y_ a�� _b��e � e |_ Y f e�� a��_b��e^��|�f ��a�f�] � |��>� D � adf ]}e�_b|��pU �l�veWe[_ �}e[fveW]�eW� _ c6a a � c k � |_ba Y ] �}e2|��#]�oq|~-|�� � |~��� J g � D �

g�i

Page 21: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

��������� � p��������� u6��� u�� �Jr�����yp� ����� ��6�Jx T � e�]Wad�"] |�{}{#U>�>]W|_b� ad� ]�ad~�e�� � f ad~�_ �}eIl Y |�]}f |_b� ]^eW�pe�eW� f|�U Y e^{�f adc"U eW~

� � �*� � � � � � � � � ���� ��� � i�� � � � � � � � � C�Dga �

/ �}e l Y |b]}fb|_ �>] eW�pe�eW� f|�U Y e {}f a�c"U>e�~ |f �>�veW���>�I_ �}e |�� |bU k � � ��a��I]}|�~�{6e?]I�v_bf Y ]�_ Y fb|bU� k �y_beW~ |�"] f � c}fb|!_b�>a�� {}f a�c"U>e�~�� � C�M � � � |�{ a#D � � � h�V � � � MEh � � � a i � D ?�We Y fve CEDFC �pUpU Y �v_ fb|_ eW�|^]Wad���}eW]`_be?]9] |�~ {Be�] ~-|� � [ � {}fv�>�"e � k �y_be�~ D / ��e � _b� ~-|� ��a�� ��e��ped� _�� �6�>�?]Wad�}��eW]�_ e?]_ba<_b��e � � � C � �v_h~-|� ��c k | �v{}f � �"e1��� _b� ]Wad���v_ |�M_�� �E|��"]k] |�~ {Be�f.��� _b� ]Wa��}�v_b|�� _� � �|��"]��>�q|�U>�va-]Wa��}�}eW]`_be�] _ba-_ �}e edfva Y �"]�c k |-�v{}f � �"e���� _b� ]�ad�}�y_ |�� _���� |��"] | ]}|�~�{6eWf]Wa��}�v_b|�� _�� � � VEN�� D / ��e`f � c}fb|_ �>ad�:a���_b�}� � � k �v_ eW~ e��Wfde��<| � e�]Wad�"])[ adf ]}eWf ]}�1e�f eW� _ �3|�Ue?l Y |!_b�>a��

� �� � � � ��� � ���

� � ��� � ��� � ��� � �Ci�� � CEDFC i��

���}e�f e _b�}e ~-|� ��~-|!_bf �jP � � ]}�3|�e � � � � � � � � � � � �>�i]}�3|bedad� |�U4|��"] _b�}eH] |�~ {}�>�#e ~-|1[_bfv�FP � |��"]Y�v_b�1��eW� � ~�|_bfv�FP � |f e � k ~ ~�e`_bfv�>] _ f �p]��3|�eda�� |�U D � � ���l|�fve ]}�>�y_b� �}]�_ |� k� a�U Y _ �>ad� a��J_b��eH]�� BeWf e�� _b�3|bU4e?l Y |_ �>ad� � CEDWC i���] |�� c6e ��fv� _v_beW� � � _ �}e^� adf ~

� ��� ��� � ����� � � � ������� , �

���}e�f e �� � � � � � � � � � |�fve |�fvc}� _ fb|�f k ]�ad�}�y_ |�� _b� |�"] � � � �� � |��"] � � � �� |_b� �v� k_b��e e?l Y |_ �>ad� � CEDga � D z e�G �}� �"e � � / � � / � � � � � � / � � � �6���}e�f e � / � � ���� � |�fve ] �}ad�veW�G� f ad~� ��� � ���� � � �le � |Kfde _b�}e e P {}fveW�v� �>a���a��J_b�}eIede��}eWf |�U%� a�U Y _ �>ad� a��E_b�}e e�l Y |_b� ad� � CEDFC i��

� ��� ��������� , � � � � � � � � � � � � � � � ! � ] |�pe ��" � � �

���}e�f e�_ �}e�{ |�>f � �#" � � � � � ���� � |�f el] �}ad� e�� � f ad~ _ �}e�{ |�>f � � � � � � � � � ���� � D f ad~o_ �}e�e�l Y |_b� ad�� C�DWC i �,��e ] |� � |Kf�e

� � � � � ��� � �$�

� � ��� � �$� � ��� � � � �%��! � � � , � ��� �&�'!�� � , � ��� �%��� � , �

� � � ��! � �$� �'! ��� � �(��� , � � CEDFCEC �

g C

Page 22: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

� � ��� � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � � � � �� � ��� � �

� � � � � �

?�pe Y f e CEDFC � T ��� ]}e�edf e�e a��J� f e�e?]}a�~ ] |�~ {Be�] ~-|��v� [ � {}fv�>�"e<� k �y_beW~ D

/ �}e e?l Y |!_b�>a�� � CEDWC�C � U>eW|�]}� _ba _ �}eIl Y |�]}fb|!_b�>]^e��pede�� f�|bU Y e {}fvadc"U>e�~

� � � � � � � �$� ����� i �

T �v_ |�"] |�f ] |�{�{}f a |] � � adf%�vaEUWf � �"e _b�}e l Y |�]�fb|_ �>] eW�WedeW� f|�U Y e�{}f adc#U>eW~ �>�4_ ah]�ad� fde�fv_� C�Dga � _ba |9ede��}eWf |�U>� We?]�eW�pe�eW� f|�U Y e {}fvadc"U>e�~ a�� _ ���>]�e _b��e ]}� ~�e��}� � ad� �Bg � D / �}eWfve |�fve� e fde�fb|�U {6ad� �v�>c"U e ��| k �l|��"] _b��f eWe �v{Be�]W�>|�U}f e�] Y ]`_b�>a��}��� |Kfde�c6eWeW� e P�|�~ �>��e?] c k / �>�v� e Y f� V g � D n e�_v_b�>�#e��� � �)� � ��eIede`_���� � � 0 �� � i��

� ���� � � ��� �� � i �|��"] _b��eW� _b�}e e?l Y |!_b�>a�� ]W|�� cBe e P {}fveW�v� e?]�c k

��� � � ii �� � � �� � � i 0 ���

� � � �� � i �

/ � Y � � �le a�c�_ |�� � | e�eW�}e�fb|�U �We�] eW�pe�eW� f|�U Y e^{�f adc"U eW~ �� i � �0 0 � ��� ��� � � ii �� � � CEDFC g �

gdg

Page 23: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

��� _ �� � � �

� � �� �}e�� ���>� ��ad�}� � �"e Y U>|�f _b��e {�f adc"U eW~ � CEDFC g ��]W|�� c6e^� Y fv_ �}eWf�]�ad� fdeWfy_be�]�_ba _b��e �y_ |��)[] |�f ] eW�pe�eW� f|�U Y e {}fvadc"U eW~� i ���0 � � � 0 � � � � ��� ��� � � i

i ��� � �� ��� � � |��#] |�f eILheWf ~ � _ �3|�� _b�}e�� _ �la<a�_b��eWf _bf |��}�y� adf ~�|_b� ad�}��|�f eILheWf ~ � _ �3|��9edeW�)[eWf |�U>� We�] e��pede�� f�|bU Y e^{}fvadc"U eW~ � �� 0 i

i �� ��� ��� � �� i � �� i

� ��� ��� ii 0 � � �

n Y {}{6ad�veh_ � |_ |^� aEUFfde��M_ �Pa�6_ �}eil Y |�]}f |_b� ] ~-|_ f �jP e�l Y |_b� ad� � CEDFC �E] |��c6e � a Y �"] D/ �}eY� aEUpU a ��� �"e f e�� Y U _ e��Wfde���|� �>~ {6adfv_b|�� _ f aEU eYa� |7�vaEUWf�eW� _ ���>� _b�}e l Y |�]}f |_b� ]eW�WedeW� f|�U Y e^{}f a�c"U>e�~ D

� 3 � %-� �); ���j= �W5 � � N M � � adf DmN#DOJ�� � � h�V ��/ ��~ DmN\DgN�� � ��>'�$� � �*� � � � CEDOa � �(%�)��� �0)7>�)*������> ��� ���7� � # � 0 � � ���> � >'= ��� ��)7>'�<�(% �3� � �� � � � ����) �#��>'� ��� � � �(% )��� �0)7>�)��� ���> �(> 9�� � # � 0 � � ���> � >'= ��� ��)7>'� �(% � � � � � ������

� ��% %�� D �Pe � |Kfde

� � �*��� � � � � � � ��� 0 � �$��� 0 � � � � � �3� � � ����� � � � 0 � � � � � 0 � � � � � ��� � � � ��� � 0 � � 0 �3� 0 � � ��� 0 � � � � �3� � �� � �� �

/ �}e�f e�� a�f e � ��� � �-�>�`]}�Ff �p]}e�]Ca��C_ �}eGf �pe��M_ c k � 0 � � ��� _ � fveW~�|��>�#]}eWf ����� � ��3� � �� � �� D

g N

Page 24: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

n �>~ �pU>|�f U k �.�le G}�"] ��� � � �>��]}�Ff �W]}e?]Cad� _b�}e U>e`�,_ c k � 0 � � ��� _b�Cf eW~�|�� �"]}eWf� � � � � ���� D f ad~�_ �}e / �}e�adf e�~ CEDSR"DON �)_b�}e+l Y |�]}fb|!_b�>] eW�WedeW� f|�U Y e {�f adc"U eW~ ��� � �h] |� cBe � |�] [

_ba�f ��e?] �>� | � � ~�{#U>e[� adfv~ |_h| � a�UWfde�� _ �Na���������� ���� � � � � � � � � ��� � 0 � � � � � � � � � � � 0 � � � � � CEDFC�N �

Lqe��}]We^_ �}e {}f adc#U>eW~ �>� fve?] Y ]We?] _ba<�vaEUWf �>�#e � # � e��pede��}{}f a�c"U>e�~�� � _b� |_ a����N|��"] _b��eede��}eWf |�U>� We?] eW�WedeW� f|�U Y eq{�f adc"U eW~ � � � � �)��� � 0 � � � D � / �}� ��|�{�{}f a |] �-] |� cBe Y �ve?]�>� _ �}e<� aEU Y _b� ad� a�� ]}�1e�f eW� _ �3|�UEeW�pe�eW�}{}fvadc"U eW~ � � a � D � / �}�>�^~ e |�}� � � �C]W|��YcBe � a Y �"]c k �ladf �M� �"e ad�"U k ��� _b� �&# � ~-|!_bf � ]We��l_b��eW� _b�}� � |�{�{}f a |] � a 1e�f � | {6a�_be�� _b�3|bUB� |�f � �"ea�� ��a�f � |��#] �y_badf |�ede D

��������� � #�Jp��� �� ��� ������� ��� � p���������}u6��� u�� �Jr�����yp� ����� ��6�Jx \ Y f G �}|�U%|�{}{#U>�>]W|_b� ad�-� ��_b��e^{}� e Y ]}ad�v{Be�]�_bf Y ~ a��'_b�}edl Y |b]}fb|_ �>]2e��pede�� f�|bU Y e2{�f adc"U eW~� C�Dga � D _�� e Y ]}ad�v{Be�]�_ fb| |�fveh| _ a aEU}� a�f��v_ Y ] k �>�"e _b�}eh� e��}� � _b�Ff � _ k a��6_b�}eheW�WedeW� f|�U Y eW� a��1|~�|_bfv�FP _ba {Be�fv_ Y f c |_ �>ad��� |��"] � |KfdehcBe�eW�-~ Y ] ���y_ Y ]��>e?] �>�<fveW]We�� _ k e |�fv� � V�R � D / �>�v� e Y f|��"] Lq�Wed� |�~ � VEN�� ]}e G �}e^_b�}e {}�ve Y ]�ad� {6eW]`_bf Y ~ a�� � � � � CEDOa ��c k

!���� � ��� . � � � � ��� � � �� ��� � � ����� i � adf � ad~ e ��� i |��"] � � � �*�

��� _b� � � �# � � � � � �# � � �� � $#�� / 2 �*� CEDFCKR ����}e�f e

� ��� � ��� � ��� � � � � ���� �/ �}e k {}f a�fde _b�}|_ � CEDFCKR ��� � e?l Y �Ff�|bU>eW� _ _ a

!�� � � ��� . � � � 5� � �*��� � �� ����� ��% ��% � ��� � 2 ����}e�f e�� � �*��� � � � � � � � / D adf^_b�}e�g�[ �}adf ~ � 5��� � � � � � � � &)(������ � � �*� � � � � ���}e�f e &)(���� ]�eW�}a�_ eW� _b�}e � ~�|�UWUF[

eW�y_ � � �"e Y U>|�f f|�U Y e D T FIH}#%S HJ/ � Y �}]�_ �>ad������� � �"!I{"U>a_b�<_b�}e ]�ad� _ba Y f-{}� ]�_ Y f eW��a��g R

Page 25: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

{}�ve Y ]}a�� {6eW]�_ fb|Va�fde�f | ed�Wf�eW� edf �W] D n Y {�{Bad�ve _ �}e e�f �p]N�>� " # "o|�"] &)(���� �>�<]�ad~ [{ Y _ e?] Y � � �"e _ �}e � a�U Y c\[ ohe��>�}�v] � n�� z |�Upeda�f � _ �}~ D / �}eW� _b�}e ���}aEU e ]Wad~ { Y _b|_b� ad� a��{}�ve Y ]}a�� {6eW]�_ fb| f e?l Y � f e��

g " � � R � ��� N � � � � � ad{}� ����}e�f e�| �}ad{�]�eW�}a�_ eW� | �}a |_b� �"e {6ad�>� _ ad{6eWf |_b� ad� � |�]#]}� _ �>ad���!� Y c�_ fb|�]`_b� ad� �4~ Y U _b� {"U>�j[] |!_b�>a�� adfi]}�Ff �>� � ad��� D �Pe �}a ��]Wad�}�v�p]}e�f _b�}e n ] � Y f2|�"] ede��}eWf |�U>� We�] n ] � Y f ]}eW]�ad~ {Bab[� � _b� ad�}� D� 3 � %-� �); ���j= �j=����0�13 @ � ��� �E% ; ,m%4�?$A��$A%'&�� � � NEa � / �}~ D'M\DFCEDON�� � 9 � � � � � � ���>'����>'�4>*> �(%'� % �?�7��� � ����# < � � � � %'� .�� ��1���

< � � < �� �

�#��>'� >� �(% � +-+�>'� �0���0��������� ��� �

� 3 � %-� �); ���j= � "�� � � & � �����!$�� �): �0�13 @ � ��� �E% ; ,m%'�K$ ��$A%'&�� � � NEa � / �}~ D M)D M\DFC � � 9� ����) � ��� >"� � � � � �8���>'�5���>'�4> > �(%'� ����� �/����# � ����) " %'� .�� ��1���6� � � " ��� ����)� � � " � < ��� >*� +-+�>'� �0���0��������� ��� � � 9 9 ��� % ��=?>�� � �

@ @����)��

@ @���4> �'�������>'� �!� ���>'�

� � � � � ��� . � � � ]�e�_ � � 0 � � � �Ci32 � ��� ���>'� � �(% >� � � � � ���1.�� � � � ��� � ����� ���Ci32 �

� ad�}�v�p]}e�f�_ �}e e?l Y |_ �>ad�

��� � ��� � � � � � � � � � ����� �

� _h] |�� c6e f e ��fv� _v_beW� |����� 0 � . � � �

� � � i0 � ����}e�f e

� � � i � �0 0 � � . � � ��� ii � �

g h

Page 26: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

Lqe��}]We

��� � ��� � � ��� � � ��� i � ��� 0 �?. ��� � � i0 � � � ��� i � ��� 0 �?. � � � � i0 ��� � �

n � �}]We^_b���>� e?l Y |!_b�>a�� ��aEUp]}� � a�f�|�UpU � ��_ �}e �>� fde�f �ve a�� ��� � � ]W|�� cBe ��fv� _ _ eW� |��

��� � ��� � � � � � i � ��� 0 � . ��� � � i0 ��� �jlk ]�ad~ { Y _b� �"e _b��eHe�eW�}e�fb|�U �We�] n ] � Y f ]�eW]Wa�~�{6ad� � _b� ad�

� � � " �� � �1� . " � < � � CEDFC�h �

���}e�f e � |��"] " |�f e Y ��� _ |f k |�"] ��|��"] < |�fve Y {}{6eWf _bfv�3|��"e Y U3|�f���e adc�_b|��>�

� � �*��� � � � ��� i � " � � � 0 � < ��� � � �1� � i0 ��� �/ �}� � e?l Y |_ �>ad� � �}a ��� _b�}|_ �le ] |�� ]�ad~ { Y _be � � �*� � � � c k � a�UWf �>�"e2|q_bfv�3|��"e Y U3|�f'� k �y_be�~�>� f�aEUWf �>�#e�_ �}e ~-|!_bf �jP � 0 � < D adf4_ �}e�g�[ �}a�f ~ �le ] |�� |�{}{}fva�P � ~-|_ e 5� � �*� � � � Y � � �"e_b��e {6a ��e�f ~�e`_b�}a)]Gadf2_b�}e � |��}] Wad� ~ e�_b��a\]Y|�{}{#U>�>e�] _ba ��� � � � � ��� � � �3� D / �}e<_ba_ |�U]Wa��v_ha��E]Wad~ { Y _b|_b� ad� a��E{}� e Y ]}ad�v{Be�]�_bf |-�>�

h g V � � � g V � " � � � ad{}� �

���}e�f e �Y�>�2_ �}e�|�f�eWf |�ede � Y ~ cBe�f a��{6a ��e�f ~ e�_b��a\]Gadf � |��}] Wad� � _ eWfb|!_b�>a��}�^{Be�fIedf �W]{6ad�>� _h|��"] _ �}e X � |�UWedadf � _b�}~ �>� Y � e?] � adf ]Wa�~�{ Y _b�>�#e � CEDFC�h � D� ad�}�v�p]}e�fq_b��e e?l Y |!_b�>a�� � CEDFC�N � D � � �I�>�q|-� a�UWfde�� _2a��)�������q|��"] ��e ]Wad~ { Y _ e _b��e

n ] � Y f ]}eW]�ad~ {Bad�v� _ �>ad�� � < � < �

|��"] _b��eHe�eW�}e�fb|�U �We�] n ] � Y f ]�eW]Wa�~�{6ad� � _b� ad�

�1� � ��� � �)� " � > � � � � � " � > �g J

Page 27: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

_b��eW���� � � � � � 0 < � � 0 � ��� � � � < � � " � > � � � > � � � � � � � � CEDFC�J �

adf _b�}e g�[ �}adfv~ � _ �}e2a Y _ eWf < |��#] � � � |�]�_ adf �l�>��� CEDWCKJ � ]W|�� c6e ]}fvad{}{6e?] c k Y �}� _b|�f k�>� f|�fv�3|��}]�e �}�va$��eH]}a �}a�_��}e�e?] _ a � adf ~ � D / ��e ]�ad�v_ha��J_b�}� � ~�e`_b�}a)] �>�

�� � MEM � � � C i � " � � � �}ad{}� �

���}e�f e �� �>�[_ �}e<]Wad�y_ a��l]Wad~ { Y _ �>�"e | �vaEUWf�eW� _ |��"]G� _^� � |�� � Y ~ e?]G_b� |_ < � " �>�[{}f e []Wa�~�{ Y _be?] D n a��}� �J| � aEUFfdeW� _�a�� ����� � ] |�� c6e^]Wad~ { Y _ e?] |_ | f e |� ad� |c"U>e2]�ad�v_ �le^� e�e_b�}|_ _b�}e ]�ad�v_ha��J_b�}� ��~�e`_b�}a)] �>� ~ Y ] �kU>a �leWf _b�}|�� _b� |_ha��J_b��e _ �la a�_b�}e�f�~�e`_b�}a)]}� D

����� � ��� � � � � �:; � ��� � � � ��� � ��� � �� ���� �

n e fdeWf |�U%�}ad�#U>�>��e |�fl~-|_ f �jP-e�l Y |_b� ad�}� |f e^]?U ad� e�U k ]Wad���}eW]`_be?] ��� _ � _b�}e l Y |�]}fb|!_b�>][~-|1[_bfv�FPVe?l Y |_ �>ad� � C�DWC � ��� adf e P�|�~ {"U>e ��_b�}e ~�|_bfv�FP:� l Y |�fve fva a_���_b�}e |�UWedeWc�fb|�� ]�oh� ]W]W|_b�e?l Y |!_b�>a�� |��"]V~�|_ f �FPY{6aEU k ��ad~��>|�U>� D � �:_b�}� � �veW]�_ �>ad� �le c}fv�>e�� k � � _bf a)] Y ]�e�_ �}eWadfv�>e��|��"]<� Y ~ eWfv�>] |bU�~ e�_b��a\]}� � a�f _b�}e�� e _b�}fveWe��}ad�#U>�>��e |�fEe?l Y |_ �>ad�}� _ a �}e?U { Y �"]}eWfv�v_b|��"]}� �"ea��Ea Y f � Y c veW]`_��)_b�}eIl Y |�]�fb|_ �>]^~�|_bfv�FP-e?l Y |_ �>ad� � C�DWC � D

���� ��� t �����)u������hp������� � �A�/ �}e ~�|_ f �FP � l Y |�fve f a a�_q�>�2| � {6eW]��3|�UJ] |��ve a�� _ �}e l Y |�]�fb|_ �>] ~-|_ f �jP e?l Y |_ �>ad� � CEDFC � D� e�_v_b�>�#e � � � � � � i |��"] � 0 � �le � |Kfde

����������� � 0 � i � CEDFC�M �

|��"] |P~-|_ f �jP ��� |_b� �v� k �>�#e � ���)� ��iV�>��] |�UWU>e�] |V~�|_bfv�FPN� l Y |f e fva a�_-a�� D T{ |�fy_b� ] Y U>|�f ~-|_ f �jPY� l Y |�fve f a a�_ �� � � �����>] � �>� | Y �}�Wl Y e-~�|_bfv�FPY� l Y |�f e fva a_ a�� � |Kf �>�"e<�}a �}ad��{Bad�v� _ �Wfde^fve |�U1eW�pe�eW� f|�U Y e�� � � � ]}e�G ��e?]�c k

� �� � � � � |��"] ohe �@� �� � ����i � adf�|�UWU � �

g M

Page 28: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

���}e�f e �@� � �>��|�� eW�WedeW� f|�U Y e^a�� D

/Ea:�>� _bfva\] Y ]We�_ �}e�e P�� �v_ eW�}]�eG|��"]�� Y ~ c6eWf�a�� ~-|!_bf �jPN� l Y |�fve f a a�_1��e ]�ad�}�v�p]}e�f_ �laYc}|�� � ] ]Wad�}]�eW{�_ � D � e`_ � ��� � � |Kfde� ]}� �v_b� �}]�_ eW�pe�eW� f|�U Y e�� � � � � � � � � � � � a��~ Y U _b� {"U>� ]W� _ �>e�� � � � � � � � � � � � � � a<_b� |_

� � � � � � � � � � � � � �/ �}e�� _b��eWf e e P�� �v_ �q| Y �}�Wl Y e �}ad�}�v�>�"e Y U3|�f ~�|_ f �FP ��� Y ] � _b� |!_

� ��� � � � � ��� � �

���}e�f e

� � ]}�>|�e���� � � � � � ��� � � � � � � � � � ���=� � � � � � � �@� �@� �

%&&&&&'

�@

C iD D D D D D

�@

Ci �

@(*)))))+� ��� � ��� �

|��"] _b�}e ~-|_ f �jP��V�>�h] |bUpU>e�] _ �}e*��adf ] |�� ]W|��}ad���>] |bU'� a�f ~ a�� |��"]�_ �}e ~�|_bfv�FP��@

�>�] |bUpU>e�] ��adf ]}|�� c#U>a ]�� D�:e[�}a � � � _bf a)] Y ]�eq_ �}eZ]}e G �}� _ �>ad��a��'~�|_bfv�FP � Y ��]�_b� ad� � ���}�>] � ]�e�G �}e���� � _ a c6e

|2{6aEU k �}ad~ �3|bU � � _b��e ~-|_ f �jP � N\C � � � h�a � � � D�h � D � � �}|���� # � ]}� �v_ �>�}]`_�eW�WedeW� f|�U Y eW� ��leH]�eW�}a�_ e

� � ��� ��@ � � � � 0 �@� � � �

���}e�f e �@�>� _ �}eI]}�>~ eW��� �>a�� a��E_ �}eIU3|�f edeW�y_"��adf ]}|�� c#U>a ]��-�>� ���}� ] � �

@D / ��eHf|�U Y eW�

3� 5 � � @ � � i�# 7 # � @ 0 C � C # � #�� �

|�fve^] |�UWU>e?] _ �}edf�|bU Y e�� a��E_ �}e^� Y �}]`_b�>a��� ad� _b��e �v{Be�]�_ f Y ~ a�� D����� &7$A��$!%'& ��� " �!� � � N#C �6{ D4a M ��� >'�� �'>*�<9��7� .'���/��� )7>�� � >�)2��� ����> % +�>4.'�0�'�7= �:9 ��� ��>'�

� ����� � � �

��V

Page 29: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

�#��>'� > � �(%���> ������� ��> � �!��� �����7> � # � ��>4%'� >'� � ��� >'� +���� �����/��� +����$# � ��=*�0��� �:9 )7>���� >4>�(>4%4%��1��� �� @ � � � @ � ] � e ��#�7�/.�� % ���0�(%��,>4% ���> � ���:>'� +���� ���0�/��� .4����)�� ���/���1%

� 3� 5 � � @ ���� 3 � 5 � � @ � � ��# 7 # � @ 0 C � C #�� #�� �

� � �v��� ��� ����� � � ����� ��� � P����������� � �FP�� l Y � ����� �������,����� � ��� ��� ����� ���� � �FP�! Y � � [�"�#�$��� % � � � Y � � �"� �'& � ��� ������()�EU & ���$���*�bU��+�#� D � � � P����("U � �

� ��� � � � � � C � � �0 C 0 � � � 0 � � � � �&$� � � ��� ����� ����,��()�EU & ����������U-�#� 0 � D

T � & ���$�����#�"e Y U�� � ���� � �FP��������.�/�0� � �jP�� l Y � ���1� �2������"]3�"� � � Y �4% �'� ��!5� l Y � ���� �2����� � ���+f� �6& ! � �$�7� �8�9�"�:���#G���#� & �;!<� �=� P�����(#U � ���� & ��� f$��U Y �"� ��& ���� � �FP��#�>�,�/�0� � �jP� l Y � ���?� �2��� ��!@�"� � �W] � �A�"�B� & ���� � �FP � D

4 �\;<; � � � " �W( � � R N � � � � D C �:C ��� �@�D� ����> ����� )-��� � �(� .�� �

@� �@� �1��% +�� >4.'�(% >'�$#

��� � �&+-+�>'� �0���0��������� ���<%�� �1���4> � � ��� %��

E3 � 5@ � E

3 � 5@ � � @ ��� %&&&&&'

�� �@� �

�� �@� � C$F � � � 3 � � � � 5�

� �@� � � �

@ 0 C � F�

�� �@� � � � 3 � � � � 5�

� �@� � � �

@ 0 � � F��� ��� � � � ���

� � � � � �� �@�

(*)))))+� 7 � C � � �

�#��>'� > �� � � � �

�� �� � � � � � C � � � � 0 C ����)*����>�� ��)7> 7�)7>'� ���:>4%"���> � � ��� .�� �:9����>

%�� �1���4> � � ��� � � ���> � >'� �����'��������� � )5�:9 �@�

� 3 � %-� �); ��� " �W5 � � R N ��/ ��� D R � � >'� �'> � ���1%'� ������� ��� ����) �1� ��> ����> ����� )-���2.���� ��� ��/.�����9 ����= �

@� �@�

� ��� � � � � ��� � ��#��>'� >

� � ]��*�be���� � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � � ���a

Page 30: Department of Mathematics - The University of Manchester

��� >�&4����% :7@ ����$!%'&

����) �(>'��� # � �'>����> ����= �'>'� �:9)��(%'�0� � .'��>'� �7>'� �����$� >4% �:9 �� � ��>'� �1��%�+�� >4.'�(% >'�$#��%�� �1���4> � � ��� % �#�7�/.��2��� > �"9��7� .'���/��� �:9 �#�����>'� � #

��� �]��*�be � E 3 � � 5� � E

3 � � 5� � � � � � E 3�� 5� � � � � � C # 7 # � � �

.4����� >4% +�����)�� ��� � � ��� � +�� %4%'��� �(> .������/.4>4% �:9 7 � � 7 � � � � � �87� ��7 @ ��� ����� � %'� ��� >4.'� �:� ���>.4����)�� �0�/��� ��1���!7 � � 7 @ �#��>'� > ��>'� ��� � �

@� � 9 �� � � � �1��% %�� �1��� > � � ��� %��#�7�/.�� ��� >

� ��� 9���� .'�0�/���1% �:9 � ���>'# 9 ���'= +1������=?>'� >'��� ��>�) 9 ��=*� �$�/>4%

��� < ��� � <�� �*�� � E 3 � � 5� � E

3 � � 5� � � � � � E 3�� 5� � < � � � � � � � �

��� # 7 # � � ��#��>'� >�7 @ �(%�� ����� � < �(% ��� ����� � �0� ����# � ���1%'� ������� ���= ���0���! �#�7�/.�� .4��=*=*�7�:>4% � � ��� � ����) 9 ��� >��7.�� 7 ���>'� >5> �(%'� � ����) � � )7> +�>'��)�� ��� ���=7�� %'� .�� ��1��� � � � �

@�#�7� �(>

7 ��� 7 @ �� ��� ���$�'� � �B! �"� � ���� � ��� ����� �������� �#�����#�! �"!#�� � � ��� � � �����6� � � � � ��!��%$&"�� ��� � �2�����

� � ( � � � �,�$����� � ��� � � ��� ��� � " � �'" ��� ��!@�"� �)('� � � � �* � � � �+#*" � � �

,.-0/21435/&6 7 �*8 �:9 � �<;=� �+> ��� ��?@�<A!�*� � � � >'� �'> %'� �����7� ��� ����) �1� ��> ����> � ��� )-���5.���� ��� ��/.�����9 ����= CB � � � � � ����) �(>'�

� B � � � � ED �GF�� � ED � � � D � �&� � �'> ����> %'� ������� ��� +1���'���:9 � � � ��� ���> � �(� .�� % �����������7>�)5� � � ����� � .'�4>���%'� ���2��� )7>'� �:9 %'� ��>� �IH �JF H � � � H � � H � �LK >�� � >

� � B � � 0 �JF � � � B � � 0 ��M � NONON�N

� ��>'� �1��% � %�� �3��� >�� � ��� � 9 ����)?�����$#*� 9 � � B � ���)�,9 ���QP BR� �TS�� ; �ONUNON ����)��8� 9 � �(%� )-)�� � � BR� �

V " � ��� � � � � � ���*#��>!<� � �"� � ��� � � ��& ��!)���� � ���4�'$2"� ����� �2���"� � ��� % � !<�+"�� � ��� �W��; � � �XA S � ��<;=� �4Y �'� �Z?@�<A � � �[;�A �4\+���( �L� � �

S$�

Page 31: Department of Mathematics - The University of Manchester

7 ������� 3�1���� � � 1 �

� "�� � � � � �+#�� � �"��� � � !<� � � �$��(@"��"�#�! ���� � ��� �%$2"� ��� � �2���"� � ��� � " � � �6�T" � � � � �> � ��� � �B� � � ��"�#�$����!<� � ��� � ���� � ��� �%$&"�� ���.� ����4%�� � � �$� � � � ���$��� �1� � �"��� � � ��� % ��$%��"����� � � � � � � �"����� �,�#� � � ��"�#�$�/!<� � � ��� B � �#� $� ��� ��% &���� � @ � @ ��� @ � @ B�� 0 � F@ �

�@��� B �

@� �

@N

� ���'"������@ 3�"� �.� �$��� "�� �0�"� � �B� & �@�@B �

@�@� ����� � � �#�4� � " � �#! ��� � ���"� � �����! �/���

� � ��� �"! � �$��� "�� � � ���#��� �$# A S � > ��� � �&% � � �8� ������(!#��(' � �)� � � ���$��� �4�#� � � ��"�#�$����� ����$%��"����� � �

�*! B�� � " ! B,+ ��� � �@��� B �F � �

@� � � �

@�. �

"@��� B �F � "

@� � " � �

@ �

� ����� -G

��� � '���+# # &/. � ���/�� ��� �10 � � ��� � � # � � % � � � � �$� � ��� �B� � � ��"�#�$� �����.��( �'� ���+# � �� � ��!8�� � �"��� � !<� � ����# � ���@ �"� � �+#* � % � ��� �32 � � � �0�"� � $&"���"�#�$� � ��� S �

$ ! B,� �54 ! B6+ ����� $ @ ��� B �F � $ @ � 4 � �@ �4@��� B �F � 4

@� $ � �@ N

� ����� 7G

8 � � ��� � �����*# & ������� �"���� �"� � � � $2" � � �'� � � � � � �� � � ! � �$� � �+�*� -� ��� � � ����� 7G � ������ #*�� � � % & $ @ B �

@� 4

@B "

@� � B � � � � NONON �

��� �"���� � ( � � � � � � � � ���,���$��()�$���B�"� ������� �+# � �* � � � �+#*" � �,��� � �+#*# �#� � � �� � � � � '� � � �$ @ � � � F � 4

@ � � � � F ���� � � N

� ����"� �'��� � � � # # � �A��� � ����� � !<� � ����# � �#�! 4���� � ��� �%$2"� ���9� �2���+�#�8��� � Y � �2" � � � ����� �#9-:% � \+����(!"��"���@ ��� � Y � �2" � � � � �$��()�$���#�"�#�$�.��! � ��� � ���*���� ;#<-��=% $� �$� �

� B 4 � 4 � �S �

Page 32: Department of Mathematics - The University of Manchester

7 ������� 3�1���� � � 1 �

��� �'��� 4 �#�I"����#� � ��& ��� � � ���Q"�(�( �'� � � �*���@ �"!#*� � ��� !0� ��� ��� '�� � ���J"�(�( � � � � �����! �"@#*� ����� � ��� < �'" � ���"��0� < F B �

�"� � � � � � ��� � �"� � ���� � ���/�'$2"� ��� � ��������!�� ���

� B 4 < 4 ��N� ��� � � � � � � ��� '� ��� "��6� �3�/�0� � �:� �'$2"� ��� � �2��� ��!,�� "�(�( � � � � �*���@ �"!#*� � ���� � ��� �� �* $���� # A S % � ��� � � � � � �"� � Y � �2" � � � ����� � !<� ��� ����(!"��"���@ 3� ��� �+# �%$&"�� ���.� ���� �!����� �+#+���� � ��� � > � � . � ������� ��� � 0 � � �$�'� �1�B� � � ��"�#�$� � ����� 7G � ��� % � � � � � �$� � � �*� �"� ����� � ��� ���* $�3! "�� � �"����� #XAG? ��� � � � � ���&%�� Y��$� � ����� � � � � �"��� � � !<� � ��� � ���� � ��� �'$2"� ���� �2����%�� � � �$� �"� � ��� $� ! "�� � �"�#�$� � ��� ��� � Y � �&"@# ( �#� � � �0�"����� ��� � �"� �� � ��� �#� �'� ������$�# AG?:%��

�� ����� �� ���� ��#���� ��� � # " � � � � ! "�� � �"������������!�� !<� � ����# � ���! �/�� � �:� �'$2"� ���.� �����! � ��� �� # � ���� �$�'� �����$� S � 2,�'� � � �'# & � � ����� #XA2�=% �'"@ � � �6� � � � � � � ������!�� � ����� � � ���%��� � � ��� �"� � Y � �2" � � � ����� ��� �#�?��� ��� ��� � � � " � �� � �"����� �"� � ( ����� ����"�� �$�'� �����$� �� � $� �$� �L"�� � ! "!# �#��!<� � ��������$�/��%-�+"�� �"� � �6� ��%��*#��B� & ��� � � �$� � �B�"���������! �

���� ��� � ����� ������6� ���6�!�!��� � � �"!��� �6��#> � ��� $2"������$� � �+� S �#� � �+#*# � � � ���$��� & ��� � � � � � �+#* � % � ��� � 2 � � � ��"� � $&"���"�#�$� �� � �B!$ B �&% ��� � � ��� ��� $2"������$� � ��� S ���1�"� � � & ��� � � � � � �+# � % � ��� � 2 � �'� ���� � $2"������$� �� ����� & ��� � � � � � 2 � � � ��"� � $2"������$��� � �'� " � �#� � � � � � � � & ��!-��(�(!#�� � ������$��� � �#� � #*" � ���@ � �$� �� � ��#�"� � � ��& #<;�;=% � #X? � % ��� � ��� � � � �����A�+�%"�%���(�� � � ( � � �T" � %������$���"� � � ��& #[��?:% � Y & ��� � � � � �2 � � � ��"� � $2"�0�"������� � � ��� � ��� ����# � ���@ � #��#� � � � � �(' �'��� � ���*�+#)� & �6� � � � ����� � � ���+��(��"�#�/�+# �#�� � ��� � ��!=�/�����#��� ( �#�! 4���$� � $2"� � � ���� � !<� � � #X? � %��8 � ����� % � � �*)�& � �$����� � � � ��� � � �����6� � � � � ��!9����# "��"����� �!:��� � � $2"������$� � ��� S � �

�+� & �"� ��(�( � �A� � � ��� � �"� � � �6& ��!5����#*"��"�#�$���:��� � �*�/��� �1� �* � ��� & ��� � � ��!8��� ������ � ���� � � � � � � �+#�� ( � � � � � � � �+#*" � ( � �$%!# � � � � � � � � ���$� # � % �� � � ����� � � #[� � % ��� � ��� ���1��� � � �A�T# &

S �

Page 33: Department of Mathematics - The University of Manchester

7�� ����� 3�1���� � � 1 �

� �+"�% #X? S % ��� ��� � ���6� � � ��� � 2 � � �/��� #<? � � > ��� �=����� � % �� � �5��� . �2� ��� � #9-G;�% � ������� � � ��� ��"� �?� ��� � � � � �'� � ( ��"�#�$� ��!=����#*"��"�#�$�����#� � � � ������!@�"� ��� � � ��� & ��� � � ��!@�"� � ���� � ���

� B � 05� 0��� $ N � ��� � �

V � � ��� &���� �/�� � �:� � ��� � +�� � � � � � '� � �"� � � ��(�� ��!� % &

L� � B � � � +��� �

��� �'��� � �"� B . � ��� ����� � 2 � 8 � �+##��� � �+#*# ���%"�%���(� � ��� � � � ��� � � � �*���A� !<� � �"� ����� � ��� � �<� � ���#��(@# & � � �#� � � � �*�� � �#! ��� � � !<� � ���$�'��& � � � �

� /=6 6�� 7�� 8 � 8 � #<? � � � � �$( � �=�������&% C����� "!�# �$�%'& "()�+*-, � � ( ��. � �/ �0 � �21 � *43� � *5! � "�+*6 "!�( � �#��. � .� *437*5! � ��� � � � * 17 "!98:��!�;<#=* 1 � *43> =3?��;<@A()*B��!C�21 � ��� S �

� 3�1 1 � � � !D L��� �#� � � ��� � � � �*���A� � �"� � ���E � E�

� $ � +��� B � +��� " � ��� � ��

!<� � ���$� � ���� � ��� " � V � �$� �"���#� � $2"������$�J� � ��%�� ���#�

� � $ � BE� � � � � � N

> � �'��� !<� ��� � � ���+# �$� � � ��� S �\+�$� �$�'� � � # & � �B! � ��� ����#*"��"�#�$� �! � ��� S � �"� � � �"� ��� $2"������$� � ��� � �� ����"�#� ' � �.���#���

" BE� � � � � �

> � � � � �#� � � � �*�� �5�%"�%���(�� � � L� � � ���.% � ��� ( ��� � � �A� � � ���8��� � ##��� � � � ��(��� �!@� � � ���!GF�� � � ��� � ����#��� ��! � � ��� � ��� �HF�� � � ��� � ������� ��! �"� � ���� � ��� ��������� � � � �'��� � � � ����!�$�'� ��� � � � � � � F � NONON ��I ���

�� �'" � � �"��� � � B �/�� � !<� � ���$� �?� �* � � � �+#*" �>J ! �! � �"� �

� $2"��#��#��� � �

� �E J ! +��� 2� � B � � � � E J ! +��G K� F BL� � � NONON � � � E J ! +��G K��IIBL��I � �

����# � � > � � !<��# ##�������! ��� �'"!#B� � ��� � � � � �'� � ('� �+��� �9� ������� � � �'� ��! �?����#*"��"�#�$�A�"����! �"� �9� $2"�=��"�#�$� � �+� S �

S�S

Page 34: Department of Mathematics - The University of Manchester

7�� ����� 3�1���� � � 1 �

,.-0/21435/&6 7�� 8 ��� � #X? � � > ��� �&�*��� � %���� @ "(6*B��! � ��� S �� �3> 3?��;<@A(6*B��! � * 1> "!98:��!�;<# * 1( � . � . *43 =3 . (��21� .� (K��� 3 � � � � F � NONUN � � � �C��� � � 1 ��� & *5!��� H3 . (������/8 "! � "*5! 3 1 ��� �� � . � . ��� B ��� �� ��� � � � �� � � � � � � � "!98 � � � � F � NONON � � � 1 ��� & �� �3�*43 1 ��� � � � C @A��( � . � & ��� .�! * 1" B # � � � F #$#$# � ��% � % B # � � � F #$#$# � � % �. � . �+#:3?��;<@A(6*B� & �21 � ��� S &� �3=( � . 1 ��� & � B % "(' � 1 ��� 3?� & . 3 . ( �21)�����/8 "! � "*5! 3� � � � F � NONON � � � 1 ���+* 3�@ � ( � "( " *43 ! ��! 3�*5!��"@A; "� �

V � � ���+# � ���! .��� � 2 � � � ��"� � $2"������$�������$� � ��� � � ' � � � � � �"��� � � ����� � � � �'��� �'"! �� � ��� � � % & ���$� � �+"������ � � #X?:% � #<��% � # A!�&%�� � Y � �2" � � � ����� � ���:�+#����/��(�(!#�� � ��%!# � �"�.����# ����"� �32 � � � ��"� � $&"���"�#�$� #X? S % ��� � !<� � #�� � � ��(� � � �;2 � �'� ���� � $2"��"�#�$����� �9� �$� � "! $�� � � ���� � � �A�,� � �"��� � ������% �'� � � �$����� � �'��� � % &-, �� � ����� �/. � ��� & ��� � � �+"�% # S A:% � 8 � ��(�(!# &�+#*#-�"� � � � � � �"��� � � !<� � ����# � �#�! �"� � 2 � �'� ���� � $2"������$� ������" � � $2"������$� � �+�*�� �

02143�165 7 8:9/; �4<>=-?A@4B #C?AD � 8 @� � � E

� � B � ! � � � � � � � ' � � #$#$# � � � B � � � ��� � �

��� �'��� � ! � � � � NUNON � � � ��� � � � ��� ��= � �$��(@# � ������ � � �'� � � > � � �E� � �#� � �+# # � � �

���� � ��� ()��# & ���������+# ��! � � ���'� � ��� � �#! � ! ���:���$�������! �"@#*� � �"� �4� $2"�0�"�����E� � QB �

� �� % ����� � " � � � �"�1��� � !<� � �F ��� B � � � $ � � � ' � � #$#$# � $ � B � � � ��� � S

��� �'��� $HG B � ' �! � G � !<� � P B � � NONON � � � ��� � � �.� �+# # F � � � ���$��� � ���� � ��� ()��# & ����$���*��# � Y&"�(�()�$���#�! ��� �/� � �JI�� � � � �4�/�0� � � � � � � G � ��� � � �+#�� � � � G BLK G + � �"� � �/�0� � �:�()��# & ���$���*��# � ��� � � ��� � " � � �,���K ! � � � K � � � ' � � #$#$# � K � B �=N � ��� � A2

S A

Page 35: Department of Mathematics - The University of Manchester

7�� ����� 3�1���� � � 1 �

, ���A�"��� � � � � # S �&% �6�T" � � � � �"� � ( � �$%!# � � � ��� � A2 �� !�� ��� � � �+#�� � ���� � ��� � � B J + ��� � �

E��� � $&"���"�#�$� � ��� � � % � � ��� � �:� J � ���� � ���E

� J B J � � ! � J � ' � � � � #$#$# � � !��� � �"� � ( � �$%!# � � E

� J � B �

�����% � � � � �+# # � � ��� � (-��# & ���$���*�+# � �* � � � �+# " � ( � ��%!# � � � > � � ()��# & ���$�����+# � � � � � �+# " �( � �$%!# � � �#���"��� � ��"! $�@# & �6�T" � � � � #<; -:% � #<- � % �� �'" I�� � � �A� � �$� � �#�"�#�$�.!<� � � ���#��� � � �'� ��!>�1����# �$� � �:������� � !<��# ##�������! �

,.-0/21435/&6 7�� 8 ��� � # � � � � � � ��A!���&%�� 1E� J � �3 ;<*5! . "��;<#�*5!98 . 0 . !98 . !�( . * � . ! � .� �

(K��� 3 ! � � � � F � NONON � � � ! ���+� . 3K0���!98"*5!��H(2� . * � . ! �� ";<@ . 3 J � � J F � NONON � J � ! ( � . !������ ' � *43 3?��; � . !�( �21 E � � ! � � . � . � B # � � � F #$#$# � ��% "!98� B � ���+ � J � � J F � NUNON J �G

� 14351�� �6�@3�� 7�� 8 ��� � # � � � \+� � � A!���&%�� 1

E� J �� �3 �� 8"*43�()*5! ( . * � . ! �� ";<@ . 3 ! "!98 ( � . 3 . (

�21 . * � . ! � .� (K��� 3 3 "()*43 1+# ( � .�� "� ��!98"*5(6*B��!�� ( � "( *43 ! . � . �+#:3�@/��3 . ( �21 �21 ( � . & *43;<*5! . "�+;<# *5!98 . 0 . !98 . !�(�� ! ( � . !( � . � . "� . . , (6;<#�� � ���� 8"* � . � . !�(D3?��; � . !�(53 �8 � ��� #*# ( � � �$� �"� � � � � �8� ��� �'"@##�"����#��� � B � � ����� � � �#�?��� � $&"�� � � �0�"� � �/�0� � �:�

� $2"�0�"����� � ��� Y �'� �"�#�$� � �����[A@� 8 � '���+# # & �#�A� � � � " �'� � �+� ����()� � �"���A� %!##� � � �/�� � � � � �������� � �*�0� � � ���B�"� �"� � ���� � ���/(-��# & ���$���*�+##� � ��� � � ��� � � ��� � S � ��� ��( � � �"� �$� # & �

� / � ���� � 1 � 7�� 8 ��� � # � � � . � ! � � � S %! * � . ! �7%& "(6�+* . 3 � � !*��F�! NONON ! � � ! ( � . � ;4� #"$ "!98 . � & ��!98 . & "(6�+*-,�*43

� � � � � ��F � NONON � � � B %&&&&&'

+ + #$#$# +� � � F #$#$# � ���� ��� � � � ���� � ' �� � � ' �F #$#$# � � ' ��

(*)))))+N � ��� � ;�

S ;

Page 36: Department of Mathematics - The University of Manchester

7�� ����� 3�1���� � � 1 �

� /�� ���� � 1 � 7�� 8 � 7�� � # � � � . � ! � S �*�&% * � . ! & "(6�+*-,�0���;<#�! � & *6 "; � ��� � S ! ( � . � ;4� #" � & 0 "!�*B��! & "(6�+*-,: �3 3?� *6 "( . 8 � *5( � *5( *43%&&&&&'

� � #$#$# �E$ �

+E$ � ' �� � � ���

+E$ �

( )))))+N

����� � �������������� �������� � ��!#"$�%!�&�'� ( ��������) *,+.-��0/

���$�1!

832Q�42 '�� 2 � �42 � � � �65�� � 287 !95"� 2 2 � 2 �;: #�� 7 �!##��� 2 :=< � : 5 < ��� 2 $2" : 5"� 7 � ��> ��� B@? � �BA 2 < 2> � �

�DC �FE � �DC � � �BA4GIH�A �BG #*#KJ 2 "ML 2U�ONP7 < 7 " <B:6QR: #TS�LUGIL �

� /�� ���� � 1 � 7���� � 7�� � 1 > � � � � E > � � IB > V � � � � > � � ! � � . � . > � � �DC � E� �DC � ! > V � � *43 ����@ !98 . 8 ;<*5! . "��� 0 . �/ "(2���H "!983W > � � W�XYW � W E ? �3ZW � W E ? �( � . 1+@A! (6*B��! > *43=3 "*68(K� � .�[ ��\.$ � . (^] 8"* � . � . !�()*6 � ; . "( � � *5( � [ ��\.$ � . ( 8 . �+* �� "(6* � .> V ��� � *5! ( � . 8"*5� .� (6*B��! � �� /�� ���� � 1 � 7���� �T_ ��` � . � � & 09; . , & "()�+*-,ba � � �DC � 3 "()*43 1+#�*5!�� > � a Bc? *43 ";5; . 8 3�* & 09; . * 1 ( � . [ ��\.$ � . ( 8 . �+* �� "(6* � . > V � a *437! ��! 3�*5!��"@ ; "� �8d2 Q 7 � �M2 < G � 2 5;A 2 V < 2 H�A 2 5 �42 < G �=: 5;G � 2 7=N 5;A 2 $2" : � <e: 5;GTH0f : 5 < G:� 2 $&" : 5;G 7 Q � ������ �

V < 7 fg5;A 2)�42 ' Q Gh5;G 7 Q 7=N 5eA 2 $&" : � <;: 5;GIH f : 5 < G�� 2 $2" : 5;G 7 Q � ������ � 2�7 JM5 : G Q

4 � � � � B � ��� � � F � $ ��� � � � �B 4 ��� � � � � � � � � � � $ � � � � F N � ���ji+?G

V < 7 fk5eA 2 . 2 ' Q GT5eG 7 Q ���[?@��� GT5lGILlHU# 2 :=< 5;A : 5m5;A 2 V < 2 H�A 2 5 �M2 < G �6: 5;G � 2�7=N 5;A 2 $2" : � <e: 5;GTHf : 5 < G�� 2 $2" : 5eG 7 Q � �+�*�� : 5 �nG Q 5eA 2)� G < 2 H�5;G 7 Q � GTL oG � 2 Q J�S

�'p � � BL� � � � � � � � $ � N � ���ji���

S ?

Page 37: Department of Mathematics - The University of Manchester

7�� ����� 3�1���� � � 1 �

> A 2 V < 2 H�A 2 5 �42 < G �6: 5;G � 2 7=N 5;A 2 f : 5 < G�� � 7 #TS Q 7 f1G : # � ��� i=i� GIL oG � 2 Q J�SEV ��� �# � % B

����� �

� ���

��� �� � ' � � � � ' � N

S �

Page 38: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ����

� � � ������� � ��� � ��������� ��� � ��� �

� ���! #" ���!� $ ���%���

� Q 5;A4GTL.H�A : � 5 2 <'& 2 H 7 Q LeG)( 2 < 5;A 2 2 �MGTLU5 2 Q H 2 :=Q ( 2 Q+* f 2 <;: 5eG 7 Q 7=N L 7-, � 2 Q 5eL 76N 5;A 2. *R: ( <e: 5;GTH0f : 5 < G:� 2 . *R: 5;G 7 Q�/1032406572 V G < L 5 � & 2 Q 7 5 2 5eA : 5B5;A 2 . *R: ( <;: 5eGIH�f : 5 < G:� 2 . *R: �5;G 7 Q H :6Q A :O� 2 Q 7 L 7-, � 2 Q 5;L � : ' Q GT5 2 � 7 LUGT5;G � 2 Q8* f'J 2 < � 7 < G Q ' Q Gh5 29, SFf :=Q S � : L NP7-,),T7 & LGIf1f 2 (4G : 5 2:, S N < 7 f 5;A 2 5eA 2$7 < S 7=N f : 5 < G:�bL . *R:=< 2 < 7�7 5eL /10-2;06<-5 G Q Y 2 H�5eG 7 Q=0-2?>@2;0-2

A A 2 . *R: ( <;: 5eGIH f : 5 < G�� 2 . *R: 5;G 7 Q GTL�G Q 5eGIf : 5 2:, S H 7 Q4Q 2 H�5 2 ( & GT5eA 5;A 2 . *R: ( <e: 5;GTH2 G4B 2 QG�6: , * 2 � < 7 J ,I2 f /C0-2 7 5D2�E 7 � 2 � GTLU5 2 Q H 2�7=N L 7-, � 2 Q 5;L H :=Q J 2 5 < 2 : 5 2 ( � G : 5;A 2 . *4: ( <;: 5;GIH2 G4B 2 QG�6: , * 2 � < 7 J ,T2 f 2GF 7 & 2 � 2 < � & 2 : , L 7 G Q 5 < 7 ( * H 2 L */I H$G 2 Q 5�H 7 Q (4GT5eG 7 Q L NP7 < 2 � GIL 5 2 Q H 27=N : L 7-, � 2 Q 5 5;A : 5H( 7 Q 7 5 G QG� 7-, � 2 � Q 7 & ,T2 (IB 2 76N 4 /)JJ58:6Q (ZH 7 Q LUG)( 2 < H�A :=<e: H�5 2 < G)K : 5;G 7 Q7=N L 7-, � 2 Q 5eLlJ�SL(MG < 2 H�5 , S : 5e5 : H ��G Q B 5;A 202 . *4: 5;G 7 QM2

N -

Page 39: Department of Mathematics - The University of Manchester

_ ���������� � ���� ��������������������� �� ������� ��� "!#���$��

%.� � * ) �'& �� !)(B �'!)* * !Z-)+ �������$�1! ���-,.�1"��1 !b��&

.�1 021 0 /10 # 0 ; 8 @ �32 � ##4 9�5#07618 ! 8 @:9C? ; D !�@ 8<; ? ; 9�5#0>= ? ? 9�8 ? ; 8?A@ 8 @ 8�;CB ! 8ED�; 8:9 � @GFIH ! 8:9 � ? #

J82�NP7 < 2 H 7 Q LUG)( 2 < G Q BF5;A 2 2 � GTLU5 2 Q H 2 76N L 7-, � 2 Q 5eL & 2 A :�� 2 :FQR: 5 *4<e: , . * 2 LU5eG 7 Q & A 2 5;A 2 <5;A 2 * L *R: , NP7 < f * , : NP7 < 5;A 2 < 7�7 5;L 7=N : LUH : , :=< . *4: ( <;: 5;GIH 2 . *R: 5eG 7 Q B 2 Q 2 <;: , G)K 2 Ll5 7 5;A 2. *R: ( <e: 5;GTH f : 5 < G:� 2 . *R: 5;G 7 Q /10-2;065D2 A A 2 :6Q L & 2 < GIL 7 Q , S S 2 L�G Q :�� 2 < S L � 2 H�G : , H : L 2 2K 2 5 �MLMNO $ H 7 f1f * 5 2 & GT5eA)P O :=Q ( $RQTSVU PcA :O� 2 : L . *R:=< 2 < 7�7 5 2 A A 2 Q=& 2 H :=QH 7 f � ,T2 5 2 5;A 2 L . *R:6< 2 G Q 5;A 2 * L *R: , &8: Sb5 717 JM5 : G Q 5eA 2 L 7-, � 2 Q 5

a L SXWQ $ZY[WQ / $�Q\S]U P 5 W_^ Qa` / i 24065& A 2 < 2 � W_^ Q ( 2 Q 7 5 2 L :6Q SbL . *R:=< 2 < 7 7 5 5;A : 5BGIL : N *4Q H�5;G 7 Q 7=N � 2 E@* � � 7 L 2 5;A : 5 � :6Q ($ :=< 2 G4( 2 Q 5;Gh5 S.f : 5 < GIH 2 L 2 A A 2 Q 5eA 202 . *R: 5eG 7 Q�/C0-240 5 H :=Q J 2 &B< GT5e5 2 Q

b Q YVbcY P L@? / i 2 i 5:=Q ( G N N QdSeU P GTL Q 7 Q LUG Q B * , :=< O 5;A 2'NP7 < f * , :=/ i 2;065 GTL : � � , GIH : J ,I2 2 K 2 5 N S"U P J 2 :F 2 < f1GT5eG :=Q � 7 LUGT5;G � 2 ( 2gf Q Gh5 2 f : 5 < G:� & 2 A :O� 2 : F 2 < f�Gh5;G :6Q L 7-, � 2 Q 5

a L ShWQ N Y[WQ / N S]U P 5 W_^ Qa`LeG Q H 2 / N SiU P 5 W_^ Q GTL 5;A 2 F 2 < f�Gh5;G :=Q � 7 LeGh5;G � 2 ( 2gf Q Gh5 2 :=Q (�5eA4GIL < 2 L * , 5�H :=Q J 2 7 JM5 : G Q 2 ((4G < 2 H�5 , S * LUG Q B 5;A 20NP73,),I7 & G Q B & 29,),kj Q 7 &BQ < 2 L * , 5 2�R������$�ml _on�pn�p�nrq U N OAs 7 <:2 N t � � . �+# �7. � & *5()*6 "! 0��?3�*5(6* � . 8 .�u !�*5( . & "(6��*-, � �3 @A!�* � @ .��7. � & *5()*6 "!H0��?3�*5(6* � . 8 .�u !�*5( . 3 � @ "� . � �?��( �

J * 5 ,I2 < O F 7 A Q L 7 Qb:=Q (iv 7-,wj=7 & GIH:K q 0 i t H 7 Q LUG)( 2 < 2 (�5;A : 5TP,GIL : F 2 < f1GT5eG :=Q f : 5 < G�� 2�R������$�ml _on�pnT_onyx @?0 0��?3 . ( � "( P *43 �"* � . ! �>. � & *5(6*6 "! & "()�+*-, � ` � . !=( � . . � @ "(6*B��!/ i 2 i 5 � �3 �7. � & *5()*6 "! 3?��;<@A()*B��! * 1 "!98 ��!�;<#=* 1

J / P 5 �/ S#zC` 0U t `N|{

Page 40: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �� ������� ��� "!#���$��

� � . � . J / P 5 *43 ( � . 3K0 .� ()�+@ & �21 P �� ���o��� 2 E G Q H 2 P L S / b Q#Y b 5 GTL : � 7-, S Q 7 f1G : , G Q b O P :=Q ( b H :=Q J 2

LeGTf * , 5 :=Q 2�7 * L , S (4G : B 7 QR: , G)K 2 ( 2 A A * LB5;A 2 < 2�2 � GTLU5;L : *4Q Gh5 :=< Sbf : 5 < G���� L * H�AO5;A : 5� b ��� L�� ` �#P�� L � `

& A 2 < 2 � :=Q ( � :=< 2 (4G : B 7 Q4: , f : 5 < GIH 2 L 7=N 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 7=Nmb :=Q (�P 2�� 7 & 5;A 2�2 . *4: 5;G 7 Q/ i 2 i 5 H :=Q J 2 &B< Gh5e5 2 Q

� Q Y � Y � L ?

:=Q (Z5;A 2 (MG : B 7 QR: ,K2:,I2 f 2 Q 5eLBL : 5eGIL N S QG Y G Y J G L@? ` � L 0 ` i ` #$#$# `����

� G QR: ,), S O NP7 < G L WQ / S 0���� 0 S U J G 5 5 7 J 2 < 2 : , & 2 A :O� 2J G�� 0

U �

� *F:=Q ( K * q���� t � < 7 � G)( 2 ( :=Q 2 � GIL 5 2 Q H 2 5;A 2�7 < 2 f 7=N L 73, � 2 Q 5;L & A 2 Q�� L1NO :=Q (� :=Q ( P :=< 2 LeGIf * , 5 :=Q 2$7 * L , Sb5 < G :=Q B * , :=< G)K : J ,I2 2 /!� 7 5 2 5eA : 5 5;A4GTLlH 7 Q (4Gh5;G 7 Q GTLlL : 5;GTL fR2 (G N :=Q (IP H 7 f�f * 5 2 q > ?�O A A4f 2 i 2 U 240 > t 2?5�R������$�ml _on�pn#"onrq$��� O A AMf i 2 i t x @?0 0��?3 . ( � "(>( � . � . *43 �! ��! 3�*5!��"@A; "� & "()�+*-, �3�@ � ( � "(&% L � '� ' W L /)(* G � 5 "!98+%P L �#P� ' W L / (, G � 5 "� . ����( � @ 0 0 . � (6�+*6 "!��"@ ; "� �� 1 ( � . � . "� . (� W W ` (� Q Q `-�.�-� (�0/./21+3 3 "(6*43 1+# *5!��/ G 5 (� QG G Y (* G G (� G G Y , G G L@? ` � L 0 ` i `-�-�.� `���`/ GTG 5 * 1 (� G G L (� � � ` ( � . ! (� QG G S (, G G54L ?7698 8;: 1 (� G G54L (� � � `=< � . 8 (� QG G Y (* � � (� G G�Y (, � � 4L ? `

�?>7@ !< �BAC8 b)Q�Y b Y P L@? �D60EFEHG0IKJ < : G08 " L � ' W %" � L � ' W / (� G � 5 � ` � �BACL�A %" : EJNMOMBACL< L : 698 � JPIQ69L �

U ?

Page 41: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

.�1 021 . F <�� 8�9�0�� @ 0 ? ; ? ?�@�� 0�A9�8� � 9�5 ? � 9���� ��?A@���� � 4 9�5#0]B � 8ED�; 8:9 � @F � 4 0� � 8 @�� 0 = ; ? ��@ 0 D

� GIL 2 Q NP2:, ( q i > t ( 2 < G � 2 ( : L */I H�G 2 Q 50H 7 Q (4Gh5;G 7 Q NP7 < 5eA 2'2 �MGTLU5 2 Q H 2176N : 5 ,T2 : L 5&5 & 7 L 7-,��� 2 Q 5;L * LeG Q B15eA 2 H 7 Q 5 <;: H�5;G 7 Q f : � � G Q B � < G Q H�G � ,T2 2�R������$�ml _on�pn���nrq i > O A A4f 2 >@2 U t�� A < � 698�� P � A 8 G08DE : 8 � JPIQ69L 698�� 60E ECJ���A

U W ' W � WFW ' W3P W > 0 �` �BAC8 < �BACL�A2A � : E < 6 < I A 60E < < � G2EHG0I � AC8 < EG"!$# / b 5 �

% LUGIf1G , :=< J * 5mLU5eG ,), < 2 L 5 < GIH�5eG � 2 H 7 Q (4GT5eG 7 Q NP7 < 2 � GTLU5 2 Q H 2 7=N : L 7-, � 2 Q 5 & : L ( 2 < G � 2 (J�S'& H � :6< , :6Q ( q)( > t 2�R������$�ml _on�pn+*onrq,( > O A A4f 2 N t-� A < � A 8 G08DE : 8 � JPIQ69L !

U W ' W W�W � WFW ' W3P W �/.> 0698��

0 S /C0 S U0. 5 W_^ Q � i W ' W � b21 W > 0 �` �BAC8 < �BACL�A2A � : E < E56'EHG0I � AC8 < a G"!3# / b 5 ECJ � < �D6 <

, GIf46537

b / L a `� �BACL�A b / L / Y � b / 5 ' W P �K :=Q H : LU5 2 < :=Q (98 7|j Q 2 q,( 0 t : , L 7 � < 2 L 2 Q 5 2 ( �6:=< G 7 * L L * I H�G 2 Q 50H 7 Q (4Gh5;G 7 Q L NP7 < 5;A 2

2 � GTLU5 2 Q H 2l7=N : L 73, � 2 Q 5 * LUG Q B05;A 2 . :=Q 5 7 < 7 � GIH�A�5eA 2$7 < 2 f 7 Q H 7 Q2� 2 < B 2 Q H 2&7=N � 2 & 5 7 Q;: Lf 2 5;A 7 ( 2 / v 2 L 5 : 5 2 5eA 2 . :=Q 5 7 < 7 � GTH�AZ5eA 2$7 < 2 f G Q E 2 H�5;G 7 Q U 240-2?>@2?5�R������$�ml _on�pn+<onrq,( 0 O A A4f 2 i t-� A < � A 8 G08DE : 8 � JPIQ69L 698�� ECJHMOMBGHEHA

= L U W ' W � W�W ' W P W � 0 `U 0

Page 42: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

698�� �PA u 8 A

� � L 0i W ' W � W /10 S � 0 S i = 5 ` / i 2 N : 5

� � � L 0i W ' W � W /10 Y � 0 S i = 5 � / i 2 N J 5

` �BAC8 # / b 5 L ? �D60E562EHG0I � AC8 < : 8 < �BAE M �BACL A a L�� b�� W b W � � ��� � � : � : E J 8 : �.JBA: 8 < �BA&E M �BACL�A * L�� b�� W b W > � � ��� ��R������$�ml _on�pn���nrq,( 0 O A A4f 2 N t-� A < � 698�� � A 8 G08DE : 8 � J IQ69L � x JNMOMBGHEHA

= L U W ' W � WFW � ' W3P5 ' W � W � 0698�� � � 698�� � � � 69L�A �PA u 8 A � �� / i 2 N 5 � ` �BAC8 # / b 5 L ? �D60E26 EHG0I � AC8 < : 8 < �BA E M �BACL�Aa L� b � W b Y � ' W W � � ��� � � : � : E J 8 : �.JBA : 8 < �BA E M �BACL�A * L�� b � W b Y� ' W W > � � � � �� N a W :=Q ( a Q :=< 2 L 7-, � 2 Q 5;L 7=N # / b 50:=Q ( a W S a Q A : L : J 7 *4Q ( 2 ( G QG� 2 < L 2 5;A 2 Q

/ a W ` a Q 5 GTLFH : ,),T2 ( : H 7 f � ,I2 5 2 � : G <92 A A 2 Q 2 � 5F5;A 2�7 < 2 f LUA 7 & LF5;A : 5F5;A 2 L 7-, � 2 Q 5eL7 JM5 : G Q 2 ( N < 7 f A A 2$7 < 2 f i 240-2 ( :=Q ( A A 2$7 < 2 f i 240-2?< NP7 < f : H 7 f � ,I2 5 2 � : G <92�R������$�ml _on�pn��onrq,( 0 O A A4f 2 U t-� A < � LZN 698�� � A 8 G08DE : 8 � JPIQ69L � � !

= L U W ' W W f : � � W ' W P W ` W P ' W W � > 0 `< �BAC8 < �BA�EHG0I � AC8 < E2G"! ` �BA G0L�A6�ci 2;0-2 ( 698�� ` �BA G0L�A6� i 240-2?< !-G0L � 6 G �M I A < A MD6 : L �

% ,4, 5;A 2 L 2 < 2 L * , 5eL < 2 . * G < 2 7 < ' W 5 7 A :O� 2 Lef : ,), Q 7 < fkH 7 f � :=< 2 ( & Gh5;A � :6Q (P O L 7 5;A 2 S :=< 2 76NG, GIf1GT5 2 ( � <e: H�5eGIH : , : � � , GIH : J4G , GT5 S 2

.�1 02165 � 0 ;�D�8 D�� 0�D B � 8ED�; 8:9 � @ F � 4 0� � 8 @�� 0 = ; ? ��@ 0 D� 5 & 7 * , ( J 2 ( 2 LeG <;: J ,T2 5;A : 5 . *R: ( <;: 5eGIH f : 5 < G:� 2 . *R: 5;G 7 Q L :=< GILeG Q B G Q : � � , GIH : 5;G 7 Q L& 7 * , (�A :O� 2 � < 7 � 2 < 5eG 2 L�5;A : 5 B *4:=<;:=Q 5 2$2 5;A 2 2 � GILU5 2 Q H 2l76N : L 7-, � 2 Q 5 2�� *R: ( <e: 5;GTH 2 G4B 2 Q ��6: , * 2 � < 7 J ,I2 f�L :=< GTLeG Q BFG Q � GTJ <;: 5;G 7 Q � < 7 J ,I2 f�L & GT5;A#L 5 < 7 Q BL( : f � G Q B :=< 2 :=Q G Q 5 2 < �2 L 5;G Q B�H , : LeL 7=N � < 7 J ,I2 f1L 2

U i

Page 43: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

� ���������a����� _on�p�n��knrq i U t ` �BA��.JD6 �9L 6 < : A : � AC8 � 69IKJ�A M L�G � I A6� /C0-2 { 5 : E G � ACL �O6 �MBA � : !� 698�� 69L�A E � ��A < L : MBGHE : < : � A'�PA u 8 : < A ! P : E E � ��A < L : MBGHE : < : � A�EHA6� : �PA u 8 : < A698��

/���� �J5 Q�� U /���� ���J59/��� P �J5 !-G0L569I I � 4L ? � / i 2 U 5A A 2�7 � 2 < ( : f � 2 ( . *R: ( <;: 5eGIH 2 G4B 2 QG�6: , * 2 � < 7 J ,I2 fkA : LBL 2 � 2 <;: , � < 7 � 2 < 5eG 2 L 2

�R������$�ml _on�pn�pD�knrq > � O A AMf 2 <@2 i t � ! <� A��.JD6 �9L 6 < : � A :�� AC8��069IKJ�A5M L G � I A6� /10-2 { 5 : EG��9ACL �O6 �MBA � < AC8 69I I�A :�� AC8��069IKJBA E569L�A L A 69I 698�� 8 G089MBGHE : < : �9A ��R������$�ml _on�pn�pp�nrq > � O A AMf 2 <@2?< t � ! <� A��.JD6 �9L 6 < : � A :�� AC8��069IKJ�A5M L G � I A6� /10-2 { 5 : EG��9ACL �O6 �MBA � < AC8 <� ACL�A : E�6 � 6CM � A <�� A AC8 < A � IQ69L � A E < � < A&M L : �'69L A :�� AC8��069IKJBA E �698�� < A � E6�'69I I A E < � < A&EHA � G08��O69L A :�� AC8��069IKJBA E � ��R������$�ml _on�pn�p�_onrq > � O A A4f 2H<@2 U t � ! < A��.JD6 �9L 6 < : � A :�� AC8��069IKJ�A M L�G � I A6� /10-2 { 5 : EG��9ACL �O6 �MBA � < AC8 <� ACL�A69L�A � I : 8 A 69L I : 8��PA MBAC8��PAC8 < A :�� AC8��9A � < G0L�E 60E EHG �C: 6 < A � � : <�'< AM L : �'69L A :�� AC8��069IKJBA E5698�� I : " A � : EHA !-G0L < A&EHA � G08��O69L A :�� AC8��069IKJ�A E �

A A 2 L : f 2 < 2 L * , 5;L :=< 2 LUA 7 &BQ J�S . < 2 G QO:=Q ( K :=Q B 2 < q >-< t G Q 5;A 2 H : L 2 � LZN 2� Q B 2 Q 2 <;: , O 5eA 2 H 7 Q (4Gh5;G 7 Q�/ i 2 U 5 GIL Q 7 5 2 : LUSO5 7 H�A 2 H j 2 J * 5&5;A 2 NP7-,),T7 & G Q B < 2 L * , 5

BoG � 2 L : LeGTf � ,I2 &8: S.5 7 H�A 2 H j Gh5BG Q � <e: H�5eGIH 2 2�R������$�ml _on�pn�pP"onrq N O A AMf 2 { 2 >+240 t � A < � � A 6+E � ��A < L : � ��� � �'6 < L : � �� GHEHAA :�� AC8��069IKJBA E 69L�A�� W�� � Q � #$#$# � � / � � ! � : E � G08DE < L 6 : 8 A � EHG <� 6 < W � W Q L 0 < AC8

� W�� � � ��� � � / �

A A 2 H 7 Q (MGT5;G 7 Q�/ i 2 U 5 GTL H 2 < 5 : G Q , SbL : 5;GIL fR2 (OG N�����! / 5 Q � U ���#" $ /!� 5 ���#" $ / P 5 `

& A 2 < 2 �����! :6Q ( ���#" $ ( 2 Q 7 5 2 5;A 2 Lef : ,4,I2 L 5 :=Q ( , :6< B 2 LU5 2 G)B 2 Q2�6: , * 2 O < 2 L � 2 H�5;G � 2:, S 2

U N

Page 44: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

.�1 021�� F <�� 8�9�0�� @ 0 = 0�8 ��@ 9�8�� 8E8�0�D ? � B � 8ED�; 8:9 � @ F �34 0� � 8 @ � 0= ; ? ��@ 0 Dv 2 f < LU5 L * � � 7 L 2 5;A : 5 � G Q # / � 5 GTL Q 7 Q LUG Q B * , :=<:2 A A 2 Q

( 2 5 / # / � 5 5 L ( 2 5 /!� 5 ( 2 5 / � Q N Y � ' W � Y � ' W3P 5 �� < 7 f

( 2 5 / � Q N Y � ' W � Y � ' W3P 5 L ( 2 5 � � ? NS � ' W P S � ' W � S �

� N ?? N ��� `

( 2 5 / # / � 5 5 A : L ( 2 B < 2�2 2 � : H�5 , S i � :=Q ( A 2 Q H 2 # / � 5 A : L 2 � : H�5 , S i � f Q GT5 2 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 2� N � GTL LUG Q B * , :=< 5;A 2 Q ( 2 5 / # / � 5 5 A : L ( 2 B < 2�2 ,T2 LUL 5eA :=Q i � :=Q (1A 2 Q H 2 # / � 5 A : L 2 Gh5;A 2 <,I2 LeL 5;A :=Q i �)f Q GT5 2 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 7 < G Q f Q GT5 29, SFf :=Q S.G N ( 2 5 / # / � 5 5�� ? 2

A A 2 Q 2 ��5 < 2 L * , 5FLUA 7 & L.A 7 & L 7-, � 2 Q 5eLbH :=Q J 2 H 7 Q L 5 < * H�5 2 ( N < 7 f 2 G)B 2 Q � : G < L 7=N# / � 5 GT5 L � 2 H$G : , G4K 2 L A A 2$7 < 2 f 0-2?>@2?<@2�R������$�ml _on�pn�p ��nrq U { O s 7 <92 i 2 i t � ! <� A �.JD6 �9L 6 < : � A :�� AC8��069IKJ�A M L�G � I A6� /C0-2 { 5 60E� I : 8 A 69LCI : 8��PA MBAC8��PAC8 < A :�� AC8��9A � < G0L�E ��� G � /G � W � G0LCL�A E MBG08�� : 8 � < G�A :�� AC8��069IKJ�A E � � G � /G � W !< AC8 6 EHG0I �9AC8 < : E �9: �9AC8 ��

a L � � � ' W ` � L q � W `-�.�-� ` � / t ` � L (4G : B / � G 5 � / i 2 >-5� ���o��� 2 E G Q H 2 / � QG � Y � G Y P 5 � G L ? & 2 A :O� 2

� ��� Q Y ��� Y P � L ? �

7 LU5 � f * , 5;G � , S�G Q B JDS � ' W / 5;A 2 ( 2 f Q Gh5;G 7 Q 7=N � � < 7 � G4( 2 L 5eA : 5 � GIL Q 7 Q LeG Q B * , :6< 5 & 27 JM5 : G Q

� � � Q � ' W Y ��� � ' W Y P L@? �A A4GTL LUA 7 & L 5eA : 5 a L ��� � ' W GTL : L 7-, � 2 Q 5 7=N # / b 5D2

A A 20NP7-,),T7 & G Q B 5eA 2$7 < 2 f�BoG � 2 L G Q NP7 < f : 5eG 7 Q 7 Q 5eA 2 Q8* f'J 2 < 7=N L 7-, � 2 Q 5eL 7=N # / b 5GT5 : , L 7 L � 2 H$G : , G4K 2 L s 7 < 7-,4, :=< S 0-2?>@2 � 2

U|U

Page 45: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

�R������$�ml _on�pn�p�*onrq U { O A A4f 2 i 2;0 t x JNMOMBGHEHA # / � 5 60E��'� : E < : 8 � < A :�� AC8��069IKJBA E � � G ��� G � W !� : <2� � � � i � ! 698�� <� A � G0LCL�A E MBG08�� : 8 � EHA < G"!�� A :�� AC8��9A � < G0L�E ��� G � � G � W E.6 < : E u A E < A� 6O69L � G08�� : < : G08 � ` AC8 < ACL A 69L�A'6 < I A 60E < � � / � � : � ACL�AC8 < EHG0I �9AC8 < E�G"! # / b 5 ! 698�� A � ]6 � < I < : E �'698 : !��XL i � ! �� : � 69L�A �9: �9AC8 ��

a L�� (MG : B /� G 5 � ' W ` � L q� W `-�-�-� ` / t `

�� ACL�A <� A A :�� AC89MD6 : L E /� G ` G 5 /G � W 69L�A � GHEHAC8 ! L G � 6 ��G08 � <� A'A :�� AC89MD6 : L�E / � G ` � G 5 � G � WG"!3# / � 5 �

� ���o��� 2 A A 2 < 2 :=< 2 H ,I2 :=< , S � �/ � H�A 7 GIH 2 L 76N L 73, � 2 Q 5;Ll5eA : 5 A : LB5;A 2�NP7 < f / i 2?>-572 v 2Q 2�2 (�5 7 LUA 7 & 5;A : 5 (4G � 2 < 2 Q H 2'7=N 5;A 2 L 7-, � 2 Q 5eL 2 A A : 5m5;A 2 � � / � L 7-, � 2 Q 5eL :=< 2 (MG � 2 < 2 Q 5NP7-,4,I7 & L N < 7 fk5;A 2 N : H�5 5;A : 5 Q 7 5 & 7 A :O� 2 5;A 2 L : f 2 2 G)B 2 QG�=: , * 2 L 2 � 7 & L * � � 7 L 2 5;A : 5�VL i � 2 � < 7 f /C0-240 N 5 O 2 � 2 < S 2 G4B 2 Q � : G < 7=N a GTL : , L 7 :=Q 2 G)B 2 Q � : G < 7=N # / � 5 O :=Q (dGT5NP7-,4,I7 & L85;A : 5 a GILH(MG : B 7 QR: , G4K : J ,I2 :=Q ( 7=N 5eA 2 NP7 < f / i 2?>-572

A A 2 Q 7 Q LeG Q B * , :=< Gh5 S < 2 . * G < 2 f 2 Q 5m5 7 H 7 Q LU5 < * H�5&L 73, � 2 Q 5;L&H 7 f � , GIH : 5 2 L 5;A 2 5;A 2�7 < SJ 2 H : * L 2�NP7 < 5eA 2 . *4: ( <;: 5;GIH 2 G)B 2 QG�=: , * 2 � < 7 J ,T2 f Gh5 GIL Q 7 5 Q 2 H 2 LUL :=< G , S 5;A 2 H : L 2 5;A : 52 G4B 2 QG� 2 H�5 7 < L H 7 <U< 2 L � 7 Q (4G Q B�5 7 (MGILU5eG Q H�5 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L :=< 2 , G Q 2 :6< , S�G Q ( 2 � 2 Q ( 2 Q 5 2 s 7 Q �LeG4( 2 < 5eA 202 � : f � ,I2 q ioi t

# W / b 5 L b Q Y� S 0 S (

i S { � bcY� ? 0 iS i 0 U � L@? � / i 2 ( 5

# W / � 5 A : L NP7 *4< (4GTLU5eG Q H�5 2 G)B 2 QG�6: , * 2 L O & Gh5;A 2 G4B 2 Q � : G < L / � G ` � G 5 BoG � 2 Q J�S� 0 i N U� G 0 i N U� G � W1�� � 1 W � � WW � � WW �

v 2 f * L 585 : j=2 � L N O G Q � G 2 & 7=N 5;A 2 Fm:=:=< H 7 Q (4Gh5;G 7 QM2 � N & 2 5 : j62 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 0 ORi O N5;A 2 Q 5eA 2 5eA 2$7 < 2 f BoG � 2 L 5;A < 2$2 L 7-, � 2 Q 5;L O A :O� G Q B 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 0 :=Q ( imO 0m:=Q ( N O :=Q ( i:=Q ( N 2 J * 5l5;A 2�2 G4B 2 QG� 2 H�5 7 < LmH 7 <U< 2 L � 7 Q (4G Q B�5 7�2 G4B 2 QG�6: , * 2 L 0 O imO U : , L 7 L : 5;GTL N SZ5;A 2

U >

Page 46: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

Fm:=:=< H 7 Q (4Gh5;G 7 QO:=Q ( 5eA4GIL BoG � 2 L * L :=Q 7 5eA 2 < 5 & 7 L 7-, � 2 Q 5eL O A :�� G Q B 2 G)B 2 Q2�6: , * 2 L 0':6Q (U O :6Q ( i :=Q ( U 2 A A 2 H 7 f � ,I2 5 2 L 2 5 76N L 7-, � 2 Q 5;L GIL

a W L� 0 ?? i � ` a Q L

� 0 i? N � ` a�� L

� N ?0 i � ` / i 2?<=: 5

a�� L� 0 N? U � ` a�� L

� U ?i i � � / i 2 < J 5

A A 2B2 G4B 2 QG� 2 H�5 7 < L � � :=Q ( � � :6< 2 Q 7 5 , G Q 2 :=< , S G Q ( 2 � 2 Q ( 2 Q 5 2 � 2 Q G N 5eA 2 H 7 <U< 2 L � 7 Q (4G Q B2 G4B 2 QG�6: , * 2 L � � L N :6Q ( � � L U :=< 2 (4G � 2 < 2 Q 5 2

.�1 02143 � 5C8�; 8 @ 9�0 ; �32 8:9 � ? � ? ; ? ?�@"� 0�A9�8 ��� 8 9�5#0]/10�#0 ; 8 @�� 2 0�D ?A@ 5 � ;� 0 @ ?�D �&? 8 � 9 � ? �

v 2 : ( : � 5m5eA 2 :=Q4: , S�LeGTL 76N 5;A 2 : , B 2 J <e: GIH 8BGIH$H : 5;G 2 . *4: 5;G 7 Q!/1032 N 5 O K 2 f�f : 032 >@2?>�:6Q (A A 2�7 < 2 f 032 >@2 ( O 5 7�7 *4< 2 . *R: 5eG 7 Q # / b 5 L@? 2 v 2 J 2 BoG Q & GT5;A ,I2 f�f : 5;A : 5 H�A :=<e: H�5 2 < �G)K 2 LBL 73, � 2 Q 5;L 2� � l l �3_kn�p�n�p�<knrq U � O K 2 f 2 i t a : E 6 EHG0I �9AC8 < G"!3# / b 5 : 8 /10-2;065 : !5698�� G08BI : !

�� N /a � L >

� N /a � a ` / i 2 � 5

�� ACL�A� L

� ? N /S P S � ` > L

� N / ?? � � �

� ���o��� 2 % (4G < 2 H�5BH 7 f � * 5 : 5eG 7 QM2A A 2�NP73,),I7 & G Q B < 2 L * , 5 LUA 7 & L�5;A : 5 : ,), L 7-, � 2 Q 5;L 76N # / b 5 H :=Q J 2 H 7 Q LU5 < * H�5 2 (dJDS

5;A 2 H 7 f � * 5 : 5;G 7 QR: ,4, S1L : 5eGIL N : H�5 7 < S B 2 Q 2 <;: , G)K 2 ( E H�A *4< ( 2 H 7 f � 7 LUGT5eG 7 QM2 A A4GIL < 2 L * , 5 GILH ,T7 L 2:, S < 2:, : 5 2 (�5 7 5eA 2 : , B 2 J <e: GIH 8BGIH$H : 5;G 2 . *R: 5eG 7 Q :6Q ( GIL 7 Q 2 7=N 5;A 2 f : 7 < H 7 Q 5 < G �J * 5eG 7 Q L 7=N 5eA4GIL 5eA 2 LUGIL 2�R������$�ml _on�pn�p ��nrq U � O A A4f 2 N t�� I I EHG0I �9AC8 < EG"!$# / b 5 69L�AG"! < A-!-G0L6�

a L % Q W % ' WW W L # W W * W W � ' WW W # ' WW W `U (

Page 47: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

�� ACL�A# � � % L * ` # � > % L �

: E'6 � AC8 ACL 69I :�� A � x � JPL �PA � G �MBGHE : < : G08 � : < # 698�� % JP8 : < 69L 698�� * 698�� � JNMOMBACL< L : 698 � JPIQ69L ! 698�� 69I I �'6 < L : � A E 69L�A MD69L < : < : G08 A � 60E � I G � " i � i �'6 < L : � A E � : <�;���7�� I G � " E �

� ���o��� 2 � G < LU5 & 2 LUA 7 & 5eA : 5 a L % Q W % ' WW W / & Gh5;A Q 7 Q LeG Q B * , :=< % W W 5 GIL : L 7-, � 2 Q 5 2A A 2 f < LU5 J ,I7 H j H 7-, * f Q L 7=N � % L # * :=Q ( >&% L # � BoG � 2% Q W L # W W * W W ` / i 2 { 5

S P % W W S % Q W L # Q W * W W ` / i 2;0 ? 5% W W L # W W � W W ` / i 2;0-065� % Q W L # Q W � W W � / i 2;0 i 5

7 LU5;f * , 5eG � , S G Q B / i 240 ? 5 J�S % ' WW W :=Q ( * LeG Q B / i 2 { 5 :=Q (Z5;A 2 Q / i 2;0-065 :=Q ( / i 2;0 i 5 BoG � 2 LS P S % Q W % ' WW W L # Q W * W W % ' WW W

L # Q W / # ' WW W % Q W 5 % ' WW WL � % Q W % ' WW W % Q W % ' WW W `

& A4GTH�A LUA 7 & L 5eA : 5 a L % Q W % ' WW W GIL : L 7-, � 2 Q 5 2�R7 < 5;A 2 H 7 QG� 2 < L 2 O ,T2 5 a J 2 : L 7-, � 2 Q 5 2 A A 2 Q J�S K 2 f�f : i 2;0-2;0 ( GT5 L : 5;GTL fR2 L / i 2 � 5D2

K 2 5 � N /a � L

� % W W % W Q% Q W % Q Q � ���? � L % ���

? � / i 2;0 N 5J 2 : # � N : H�5 7 < G)K : 5;G 7 QM2 � 5�GIL 2 : LUS 5 7 L 2$2 5;A : 5 � :=Q ( % W W :=< 2 Q 7 Q LeG Q B * , :6<�:6Q (a L % Q W � L % Q W % ' WW W 2 K 2 5� N / ?

? � � % L� # W W # W Q# Q W # Q Q � � � W W � W Q

? � Q Q �U <

Page 48: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

J 2 : � 8 N : H�5 7 < G4K : 5eG 7 QM2��&Q � < 2 f * , 5eG � , S G Q B / i 2 � 5 J�S # � :=Q ( * LeG Q B / i 2;0 N 5G& 2l7 J 5 : G Q� * W W * W Q* Q W * Q Q � � �? � � L # �

� ? N /S P S � % � �

? �L # �

� N / ?? � � % � �

? � aL

� � W W � W Q? � Q Q � � �

? � a �� . *R: 5;G 7 Q / i ` 0 5 J ,I7 H j L B=G � 2 L * Q W � L ?�O & A4GIH�A GIf � , G 2 L * Q W L ? 2 � 5�GIL 2 : LUS#5 7 L 2�25;A : 5 5;A 202 . *4: 5;G 7 Q * L # � � % :=Q (+� L # � > % H :=Q J 2 H 7 f � ,I2 5 2 (Z5 7 : B 2 Q 2 <e: , G4K 2 (E H�A *4< ( 2 H 7 f � 7 LUGT5;G 7 Q & A4G ,T2 < 2 5 : G Q G Q B a L % Q W % ' WW W 2 � G Q4: ,), S O & 2 Q 7 5 2 5eA : 5 % Q W % ' WW W L# W W * W W � ' WW W # ' WW W NP7-,4,I7 & L N < 7 f / i 2 { 5 :=Q ( / i 2;0-06572

v 2 Q 7 & BoG � 2 :=Q 2 � : f � ,I2 5 7 LeA 7 & 5;A : 58G N : L 7-, � 2 Q 5 2 � GIL 5;L 5eA 2 Q GT58GIL � 7 LULeGIJ ,I2 5 7H�A 7�7 L 2 : B 2 Q 2 <;: , G)K 2 ( E H�A *M< ( 2 H 7 f � 7 LUGT5;G 7 Q G Q & A4GTH�A � W W :=Q ( % W W :=< 2 Q 7 Q LUG Q B * , :=</ 5eA4GIL0GTL&5;A 2 H 7 QG� 2 < L 2 � :6< 5 7=N 5eA 2 � < 7�7=N 5D2 � N � L P L ? :=Q ( L NO L 7 5eA : 505;A 2K 2 < 7 f : 5 < G:�bGTL 5;A 207 Q , SbL 7-, � 2 Q 5 O & 2 H :=Q 5 : j62 #GL % L1N :=Q ( � W W L % W W L1N 2

� G Q4: ,), S O & 2 < 2 H : ,), 5;A 2 . *R: ( <e: 5;GTH 2 G4B 2 QG�6: , * 2 � < 7 J ,T2 f H :=Q J 2 &B< GT5e5 2 Q G Q 5eA 2 NP7 < f/103240 i 5D2 A A 2�NP7-,4,I7 & G Q B3LUA 7 & LZ5eA 2 H 7 Q4Q 2 H�5;G 7 Q J 2 5 & 2�2 Q A A 2$7 < 2 f i 2;0-240 <d:=Q ( 5;A 2H 7 Q LU5 < * H�5;G 7 Q 7=N : L 7-, � 2 Q 5 � G : 5eA 2 . *4: ( <;: 5;GIH 2 G)B 2 Q2�6: , * 2 � < 7 J ,I2 f �

� � L� ? N /S P S � � L �

� N / ?? � � � L � > � ` � L

� �� � � �

� N � GIL Q 7 Q LeG Q B * , :=< O : L NP7 < :6Q 7 � 2 < ( : f � 2 ( � < 7 J ,T2 f O 5;A 2 Q�& 2 H :=Q 7 JM5 : G Q :=Q:=QR: ,I7 B * 2&7=N�A A 2$7 < 2 f i 2;0-2;06< J : L 2 ( 7 Q : E H�A *4< ( 2 H 7 f � 7 LeGT5eG 7 Q 76N 5eA 2 f : 5 < G:�� ? N /

S � ' W P S � ' W � �%.� % ��i+ �$!��'!b� �'!)* ( �%!#�'+ � " ,.��"���&!.��& �1������� �

v 2 : LUL * f 2 � G Q 5eA 2F2 . *R: 5;G 7 Q /C0-2;065 GTL Q 7 Q LeG Q B * , :=<92 A A 2 Q # / � 5 G Q /10-2 { 5 A : L i �2 G4B 2 QG�6: , * 2 L O : ,),�f Q GT5 2 O & AMGIH�A & 207 < ( 2 < J�S : J4L 7-, * 5 2 �=: , * 2 �

!� W � � Q � #$#$# � � Q / � / i 2;0 U 5U �

Page 49: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

A A 2 L 73, � 2 Q 5;L�G Q 5;A 2 NP7-,),T7 & G Q B ( 2 f Q GT5;G 7 Q � , : S :=Q GIf � 7 < 5 :6Q 5 < 7-,I2 G Q & A : 5 NP7-,4,I7 & L 2� ���������a����� _onT_on�pn � EHG0I �9AC8 < a W G"!# / b 5 : E 6 �PG � : 8 698 < EHG0I �9AC8 < : ! � / a W 5 L � � W `-�.�-� ` � / �698�� !� / � � /

� W ! �� ACL�A < A+A :�� AC8��9A � < G0L E � G G"!2# / � 5 69L�A+G0L �PACL�A �76 � � G0L � : 8 � < G/ i 240 U 5 � � EHG0I �9AC8 < a Q G"!�# / b 5 : E6 � : 8 : �'69I EHG0I �9AC8 < : ! � / a Q 5 L�� � / � W `.�-�-� ` � Q / � 698��

� / � � /� W

�% f 7 < 2 2:,I2 B :=Q 5 J * 5 ,I2 LUL 5 <;:=Q L � :=< 2 Q 5 ( 2 f Q GT5;G 7 Q GIL�5;A : 5 : ( 7 f1G QR:6Q 5�L 7-, � 2 Q 5 a 7=N

# / b 5 GIL 7 Q 2lNP7 < & A4GTH�A 2 � 2 < S 2 G4B 2 QG�6: , * 2m7=N a 2 � H 2$2 (4L G Q f 7 ( * , * L 2 � 2 < S 2 G)B 2 QG�6: , * 27=N 5;A 2 . * 7 5eG 2 Q 5 # / � 59/ �N S a 5 ' W q N < O � 2M0 i ( t O :=Q (OLUGIf1G , :=< , S NP7 <B: f1G Q GIf : , L 7-, � 2 Q 5 2� 7 5 2 5;A : 5BG N a W GTL : ( 7 f�G QR:=Q 5 L 7-, � 2 Q 5 :=Q ( a Q GTL : f1G Q GIf : , L 7-, � 2 Q 5B5;A 2 Q

f1G Q � � � � 1 � / a W 5 � � f : � � !� � � 1 � / a Q 5 � �% L & 2 f 2 Q 5eG 7 Q 2 ( G Q E@* J4L 2 H�5;G 7 Q i 2;0-2 N O K :=Q H : L 5 2 < A : L LeA 7 &BQ 5;A : 5 5eA 287 � 2 < ( : f � �

G Q BbH 7 Q (4GT5eG 7 Q!/�� 2 f Q GT5;G 7 Q i 2;0-2 { 5 GTL&L */I H�G 2 Q 5 5 7O2 Q L *M< 2 5;A 2 2 � GIL 5 2 Q H 2�7=N ( 7 f1G QR:6Q 5:=Q ( f1G Q GIf : , L 73, � 2 Q 5;L 2 A A 2 Q 2 ��5.5;A 2�7 < 2 f BoG � 2 L : L * I H�G 2 Q 5ZH 7 Q (4Gh5;G 7 Q 7=N f 7 < 2B 2 Q 2 <e: , : � � , GIH : J4G , GT5 S 2�R������$�ml _onT_knT_on � E ECJ ��A < 6 <?<� A A :�� AC8��069IKJ�A E G"!3# / � 5 ! G0L �PACL�A ��60E : 8 / i 240 U 5 E.6 < ]: E ! !� / � � / � W �698�� < 6 < � G0L L�A E MBG08�� : 8 � < G � � G � /G � W 698�� � � G � Q /G � / � W <� ACL�A69L�A <�� GEHA < E2G"!&I : 8 A 69L I : 8��PA MBAC8��PAC8 < A :�� AC8��9A � < G0L�E

��� W `.�-�-� ` � / � ` ��� /� W `.�-�-� ` � Q / � �

` AC8 < ACL A&A � : E < E6 �PG � : 8 698 < EHG0I �9AC8 < 698��26 � : 8 : �'69I EHG0I �9AC8 < G"!�# / b 5 � � ! ! ! JPL <� ACL !< AA :�� AC8��069IKJ�A E5G"!$# / � 5 69L�A � : E < : 8 � <�< AC8 < A �PG � : 8 698 < 698���� : 8 : �'69I EHG0I �9AC8 < E 69L�AJP8 : �.J�A �

� ���o��� 2 K 2 5 � W L q � W `-�-�.� ` � / t :=Q ( � Q L q � / � W `-�-�-�g` � Q / t 2 E G Q H 2 � W :=Q ( � Q :=< 2Q 7 Q LeG Q B * , :6< O & 2 H :=Q ( 2 f Q 2

a W L�� W (4G : B / � W `-�-�-�g` � / 5 � ' WW ` a Q L�� Q (4G : B / � / � W `-�.�-� ` � Q / 5 � ' WQ �U {

Page 50: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on��������� � ���� ��������������������� �������������� "!#���$��

� 5 GIL 2 : LUG , S L 2�2 Q 5eA : 5 a W GTL : ( 7 f1G QR:6Q 5 L 7-, � 2 Q 5 7=N # / b 5 :=Q ( a Q : f�G Q GIf : , L 7-, � 2 Q 5 2 � Na GTL : L 7-, � 2 Q 5 7=N # / b 5 5eA 2 Q /10-2;0 N 5 A 7-, (4L :=Q (FL 7 :=Q S 2 G)B 2 Q � : G < 7=N a GTL :=Q 2 G4B 2 Q � : G <7=N # / � 572�F 2 Q H 2 G N # A : L (4GIL 5;G Q H�5 2 G4B 2 QG�6: , * 2 L :=Q ( a W GIL : ( 7 f�G QR:=Q 5�L 73, � 2 Q 5 5eA 2 Q a WA : L 2 G)B 2 Q � : G < L / � G ` � G 5 /G � W O & A4GTH�A *4Q G . * 29, SL( 2 5 2 < f�G Q 2 L a W 2 E GIf1G , :=< , S NP7 <B: f1G Q GIf : ,L 73, � 2 Q 5 2

%.��� �g�1!)*#��������! ��-)+ �3 �

� Q 5;A4GTL�L 2 H�5;G 7 Q�& 2 H 7 Q LUG)( 2 < 5eA 2 H 7 Q (MGT5;G 7 Q Q8* f'J 2 < NP7 <�: L 7-, � 2 Q 5 7=N 5eA 2 . *R: ( <e: 5;GTHf : 5 < G�� 2 . *R: 5eG 7 QM2 � :O� GIL � < 7 � G)( 2 ( : H 7 Q (4GT5eG 7 Q G Q B :=Q4: , S�LeGTL 7=N L 7-, � 2 Q 5 2�R������$�ml _on#"kn�p�nrq 0 � t [ G0LECJ�� �C: AC8 < E6�'69I I�� ! : !

W � ' Wp W�W� � p W �� > 0 `�� ACL�AF� p : E < A [ L \A � A < �PACL : �06 < : �9AG"!3# / b 5 � <� AC8 W� b W ��� � � �� ACL�A

� L i0 S� W ��� Wp W � W � W�W b W Q Y W W�W b W � �

� L 0 Y �0 S� W � � Wp W�W � W `

� L i �0 Y � 0 S]U � � �

L � Y�� / � 5 �A A4GIL�GIL : � 2 < 5 *4< J : 5eG 7 Q < 2 L * , 5 J * 5'GIL Q 7 5 LUA :=< � L 7 ( 7 2 L Q 7 5�S�G 2:, ( : H 7 Q (4Gh5;G 7 Q

Q8* f'J 2 <:2v 2 ( 2 < G � 2 : H 7 Q (4Gh5;G 7 QZQ+* f'J 2 < NP7 <B: L 7-, � 2 Q 5 7=N 5;A 2 . *R: ( <e: 5;GTH f : 5 < G:� 2 . *4: 5;G 7 Q

/10324065 J�S * LeG Q B :6QR: , S�LUGIL NP7 < E S , � 2 LU5 2 <m:6Q ( : , B 2 J <;: GIH 8BGIH�H : 5eG 2 . *R: 5;G 7 Q LBG Q q N > t O q U ? t Oq U N t O q U U t 2

s 7 Q LUG)( 2 < 5eA 2 � 2 < 5 *4< J 2 ( 2 . *R: 5eG 7 Q/!� Y � � 59/ b Y � b 5 Q Y / Y � 5:/ bcY � b 5 Y P Y � P L@? � / i 2;06>-5

v 2 & G ,), f 2 : L *4< 2 5;A 2 � 2 < 5 *4< J : 5;G 7 Q L Q 7 < f & GIL 2 JDS�\L W q � � W � � � � W � � � W � P tMW�� `

> ?

Page 51: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on������������������ ��������������������� �������������� "!#���$��

& A 2 < 2 � O � :=Q ( � :6< 2 Q 7 Q4Q 2 B : 5eG � 2 � :=<;: f 2 5 2 < L 2 % K 2 < 7 �6: , * 2�7=N � O L : S O LeGTf � , S NP7 < H 2 L5;A 2 H 7 <e< 2 L � 7 Q (4G Q B � 2 < 5 *4< J : 5;G 7 Q � � 5 7 J 2 K 2 < 7 2 � � � :=Q (MG Q B / i 2;06>-5 & 207 JM5 : G Q

� b � bcY � � b b Y � b L S � � b Q S � b S � P Y � / � Q 5 � / i 2;0 ( 5v 2 Q 7 & * L 2 5eA 2 � 2 H 7 � 2 <;: 5 7 < O & A4GIH�A�LU5 : H j L85;A 2 H 7-, * f Q L 7=N : f : 5 < G��'G Q 5 7�7 Q 2 ,I7 Q B� 2 H�5 7 < O :=Q ( 5;A 2�� < 7 Q 2 H j=2 < � < 7 ( * H�5 ��� L /�� � 5 O :=Q ( & 2 * L 2 5;A 2 � < 7 � 2 < 5 S� 2 H /!� b 5 L / � � � 5=� 2 H / b 5 q >@0 O�s A 2 U t 2 % � � , S�G Q BF5;A 2 � 2 H 7 � 2 <;: 5 7 < 5 7 / i 2;0 ( 5& 2�7 JM5 : G Q� � 2 H / � b 5 L S / / b Q 5 � � N / 5=� 2 H / � � 5 S / b � � N / 5=� 2 H / � 5 S � 2 H / � P 5 Y � / � Q 5

L S q � / b Q 5 � � N / � b � � N / � N /�� t����� 2 H / � � 5 X �� 2 H / � 5 X �� 2 H / � P 5 X �

����� Y � / � Q 5 `

& A 2 < 2 � L1N / � � bcYVb � � � Y N / � �& * , 5;G � , S�G Q BbJ�S � � W O 5 : j G Q B i � Q 7 < f1L O :=Q ( * LUG Q B W � 2 H / b 5 W Q L W b W�� O & 2�7 J 5 : G Q5;A 2 J 7 *4Q ( W� b W��

W b W�� ��� / b 5 � Y � / � Q 5 ` / i 2;06<-5& A 2 < 2 � / b 5 L W � � W q � / b Q 5 � � N / � b � � N / � NC/�� t4W Q XYW b W�� �A A4GTL GIL : LUA :=< � J 7 *4Q ( O 5 7�f < L 5 7 < ( 2 < G Q � O L 7�� / b 5 GIL 5;A 2 H 7 Q (4Gh5;G 7 QbQ8* f'J 2 < 7=N�b 2

% Q * � � 2 < J 7 *4Q ( NP7 < � / b 5 G QG� 7-, � G Q B W � � W W Q H :=Q 76N H 7 *4< L 2 J 2 7 JM5 : G Q 2 ( JDSJ 7 *4Q (4G Q B�5;A 2 Q 7 < f 76N 5;A 2 � < 7 ( * H�5lJDSZ5eA 2 � < 7 ( * H�5 7=N 5eA 2 Q 7 < f1L O J * 5 5;AMGIL J 7 *MQ (H :6Q J 2 :=< J4Gh5 <e:=< G , S & 2 : j=2 < 5eA :=Q / i 2;06<-572 � < 7 f A A 2$7 < 2 f i 2 N 2;0m: � 2 < 5 *4< J : 5;G 7 Q J 7 *MQ (H 7 Q 5 : G Q L : N : H�5 7 < W � � Wp W�� O :=Q (OGh5BGIL 2 : LUS.5 7 LUA 7 & 5;A : 5

W � � W W Q L W � � Wp W�� �

>@0

Page 52: Department of Mathematics - The University of Manchester

_on������������������ ��������������������� �������������� "!#���$��

A : J ,T2 i 240 � s 7 Q (4GT5eG 7 Q.Q8* f J 2 < L NP7 < 5;A 202 . *4: 5;G 7 Q�/ i 2 i=? 5 & Gh5;A'(4G � 2 < 2 Q 5 � 2� 0 ? � W 0 ? � Q 0 ? � � 0 ? � � 0 ? � � 0 ? ���� / b 5 >+2 ? < 2aY ?�i >+240 � 2aY ? U >+240 { 2aY ? ( >+2 i=? 2aY ? � >+2 i=? 2aY 0 ? >+2 i=? 2aY 0 i

�R7 < 5;A 2 L � 2 H�G : , H : L 217=N 5eA 2 f : 5 < G���L . *R:=< 2 < 7 7 5 & 2 A :�� 2 � L7NO L ? O � L� L ?�O :=Q (Z5;A 2 H 7 Q (4Gh5;G 7 Q.Q8* f'J 2 < � LUGIf � , G fR2 L85 7

� / b 5 L W � � W W Q �W b W�� ` � LZN / � b Y b � � N / `

& A4GTH�A GTL 5;A 2 f : 5 < G��FL . *R:=< 2 < 7 7 5BH 7 Q (4Gh5;G 7 Q.Q8* f'J 2 < G)( 2 Q 5;G f42 (ZG Q q U N$t 2� G Q4: ,), S & 2 BoG � 2 G ,), * LU5 <;: 5eG � 2&2 � : f � ,I2 L N < 7 f q N < O � � 2 U 2 U t O & GT5eA

# Q / b 5 L b Q Y��� �0 ��� b7Y

� S 0 �S 0 ��� L � � /��@2;0 � 5

A4202�� B 2� ��� , * 2������ # Q / � 5���� 2 S 0 O � O � O 0�� (�� 42 � 2 ��� 2 � � 2$2����3, � 2� � ���� W L � 0 S 0� S 0 � ` � Q L � 0 �� � � ` � � L � S 0 �S � � � � /��@2;0 { 5

A42����-, � 2� � � � Q � (�� � ��� 2� !� � F2 � ���),#"$�e2�2� � �% �O� 2&���' B * , ��� � � ( 42� )($2&�' �f* +� � 2(��� ( � � �'�, � *)- 2 � � O & 42 � 2 � � � / � W 5 L N � ( U 2A42.�e2�(��, ( 2 � ��-0/ ,I21�2�� L

� 0 S 00 S 0 � ` L � S �

� 0 Y � �� 0 � ` � ( P L S /!� Y 5 ` /��@23� � 5& � � � 4282 � � ( � �4�-, � 2� � N Q 2 A � I,I2 �@2;0 ��+� & � � � � & 42� � �'� ( 2�( � 2 � ���2 B&� 425(��, ( � � �'�� *)- Y2 � �6�2� �7��/ � ( ,#"8�' +( � 2 � ���2 B 2%�9;: <>=R(5?A@B=DC * EFCGCIH0Cv 2 ( 2 f* 42 � M2. � ( j &���� ( 2 ��� � � ��� � ��/+/)� � � � -J� � 21�4�-, * � �'�� �K � � /10-2;065 L"M / K 5 L - �' ON � � / � Y � � 5 K Q Y / Y � 5 KZY P Y � P L � `P q � � W � � � � W � � � W � P t P � � �RQ � /��@23�@065

>,�

Page 53: Department of Mathematics - The University of Manchester

� n������������������ ��������������������� �������������� "!#���$��

� 2 f) )�' B� L � K Q Y K1Y P `� M2.(��, )� � �7� �' � 2 . **� � �'�, �' / �@2 �+065 ( � Y2 &�� � �4� 2�

S � L � � K Q Y � KZY � P

L q � � W � � � � W � � � W � P t����� K Q� K� N /

� ��� � /��@23�,�-5

A � j �' B � � �, Y2� +� * � )� ��- �H,I2 � ( � � � � 42 ,2� & 2 � !� * ( � � � � 42� � ( j &5��� ( 2 ��� � �M / K 5 � P � P �

/ � Q P K Q P Q� Y � Q P K P Q� Y � � Q 5 W_^ Q �% /+/ ,2"��' B$� 42��o2�(�� / 2 ��� � � � � � /��@23�,�-5 B ���o2��

q � / K Q 5 � � N / � K � � N / � N /�� t�����=2�( / � � 5�� ��o2�( / � 5�� ��o2�( / � P 5�� �

����� L S��o2�( / � 5 ` /��@23� N 5

& )�2( & 2 &�� � � 2 � ���� L ` � 1�� / � � � / � �

v 2 � ��� *+- 2 � � � � �'�1���5� * ,4, �7� �j O & )�2( B **���7� � 2�2�� � � � / �@23� N 5 � � � ���-, * � �2�, O� � � �2� O � � �.� M2A � ( j &5��� ( 2 ��� � � �2� f) )� � 2 2 A42A � ( j &���� ( 2 �4� � � �'� � 42 - �2 )� - *)-� � )� ��- ���-, * � �2�, � � � )�'� * ( 2 � ( 2 � 2 ��- �' M2 ( �;"�� � 2 - �M / K 5 L P � � P Q `

& 42 � 2 � � *)/ 2 � ��( � � / ��� Y�� ( 2� +� � 2�� � M2 / �U2 * ( � � �' ��=2 � �U2 2 A �A�, � � �' � *)/)/ 2 � � * (� � � M / K 5 & 2 * �e2 M / K 5 � P � � P Q P�!P Q L P�!P Q��� �! / � 5 `

& 42 � 2 ��� �! ( 2� )� � 2�� � M2.� -A� ,),I2�� � �4�' B * , ��� � � , * 2 O & +�'( �'� )�, K 2 � �A L" � �4� *)-0/ � �2�, 2� � &

> N

Page 54: Department of Mathematics - The University of Manchester

� n������������������ ��������������������� �������������� "!#���$��

��� �! / � 5 Q L � � �! / � � � 5L � � �! / � Q / K Q 5 � K Q � N / Y � Q K � K � N / Y�� Q N / � 5L � � �! / � Q / K Q 5 � K Q � N / Y � Q K � K � N / Y � Q N /�� 5� � Q ��� �! / K Q 5 Q Y � Q ��� �! / K 5 Q Y � Q �

A * � M / K 5 � P � P �/ � Q ��� �! / K Q 5 Q Y � Q ��� �! / K 5 Q Y�� Q 5 W_^ Q �

v 2.(��� )(9, * ( 2�� � � - � )�'� � � ,#"����'� � � � � � -A� ,4, � 2:, � � ���o2 � 2���� ( **� , ( ��2��6 )� � 42�($2��"�� ��� �),#" � -0/ ,#" � � -A� ,4,* � ( j &5��� ( 2 ��� � � � � � � 42 . **� ( ��� � �2( -J� � � � � 2 . **� � �2�, O & 42 � 2 � M2� 2:, � � ���=2 � 2��4� ( *)� , �'� ( 2 f* 42 ( L"� / K 5 L P���� / # / K 5 5 P �P � P � P K P Q� Y P P � P K P � Y P P P � � /��@23� U 5

A42� ��- 25�'� � � * 25� � � � 42 E "@, �o2�� � 2 � 2 . **� � �'�, q U|U t � ( O - � � 2 B 2� M2 �7� ,),2" O � 42 � , B 2� ��� �'(8 �'(�( � � �=2 . **� � �'�, q N > t 2 �*� � 2 � ��-J/ ,T2 O & 2 (��, )�4� ( 2 � � 42�2 . **� � �'�, /��+2 � � 5 � B � �2 � * � & � � � M2A���3,��o2� �0� L 0 � � � N Q 2 A � I,I2 �@23� ��+� & � � � � � , � )� * B K � � � � -A� ,), � 2:, � � ���o2� 2���� ( **� ,I� � �1 � ( j &5��� ( 2 ��� � � �'�1 )� � 2 / F 2 � 2 O K �'�1(�� -0/I* � 2 ( L" � 2 & � �� : � - 2 � )� ( O& )�2( & �4,), Y2�(��, +��� ( 2 � 2 ( �2 s ��/ � 2 � U 2 5A � I,I2 �@23� � J � ( j &5��� ( 2 ��� � � � � ( � 29, � � ���=2 � 2��4� ( **� ,6� � � � 42 2 . **� � �'�, /��@23� � 5 & � � ( � � 2 � 2� � � 2

� P � � !P Q � / K 50 � � W �@2?> � 2�� 06< 0-2 { < 2� 06<0 � � Q � 2 N Uo2�� 0 ( >@2?> � 2� 06<0 � � � �@2?> � 2�� 0 U >@2?<-> 2� 06<0 � � � �@2?< Uo2�� 0 U 0-2 � ( 2� 06<0 � � � �@2?> Uo2�� 0 N 0-2 U � 2� 06<0 � ��� 0-2;0 Uo2�� 0 � U 2 �0( 2� 0 {

> U

Page 55: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ����

� � � � ������� ��������������� ��� � � � � �� ���!���

�"��� �#� $ % �&$'�(� ��� ) � �*�+� ���,$

-42 � 2 ��� 2 �/. �10o2� 42 ���32O��/)/)� � � ( 42�� � �54) 76 � ��� 2 �o2� � ����8:9 � 6 ��� � �2( -A� � � � � 2;8<9 � � �2�, =?>3@A>CBD@�E 42�2�R�4" - !� 2 �2( �32A2 " � F6 � )� � M2 � �'�� <9 - 2 � �'( �32G2 " @IH � )�2�R( ��/ � 2 � . 26(��, )�4�G642 �� M2J�;" - � 2 �'($��� 2 9 � �'�, J9)���2 70 � �4" - !� 2 �'( �32 0=2� ��� /*� (LK � 0o2 � F6 :9 - 2 � �2( �32 �4� 2 9 � �'�, 9)�4�' 70 � M2 - 2 � )�<6 ��� � � 42M8:9 � 6 ��� � �2( 2��G0=2� �� �32 942 /+� �, 2 2 - � 76 � 42ON ( :9 �6- 2 � )�<6 @P�9RQ SUTWV X H5Y[Z]\ S�H^Y]_a`�Z�H5bcedgfhdgf ikj(imlon�prq

s @ut�@wv � �<6 = �' /)� ��� � � 2 (�� -J- 9) )�'( � � �2�, B �x9F0y0o2�� � 2;6 � �32 0,� � � � - � � � �;" - � 2 �'(��� 2 9 � �'�, � � �wz|{F� . 42� U} {!~;��� F6U� �'�G )�, +���' F0y9 2 ��� @ N��' )(�2 � 42�8:9 � 6 �7� � �'( -A� � � � �2]8:9 � � �'�� ( � 2 . � � ��� 2� � L"

� ����� =���� ��B�� {m~;�R�� L"��4� 2 �=2� � �2� )�, )�4�' 7039 2 ��� @�� 2 �4� �' F0� { �:� �� � � � � ��� {�� ��� � � � �

� � � � ��y�

Page 56: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,. &6 � 6 � {87#91: = � B { � � � � ��; � 76

� {�#< => 7 � � � {

� 9 �

? @ � �. 6. � �A6 � 2 �2 &6 ��� �4"�� � 6 - ; � � � - � � �m� � � ��� { �B;

CED {8F<�. &6 � 6GD {IH � � � �$JLK ; F {MH � < � = � > � 7 JLK � 76

C {NOOOOOP

> � � � � � 9 � �� � � � > � = 9 � � B �� > � = @ � � B � ? � �@ � � � � ? � � >

QSRRRRRTU

-&6��4"�� � 6 - ( � �6���� 2 �%6;6 �;" - � 2 �'( �32G2 " ; "��V6 2 6+�' 70WD � � � �7� � �'�, �32 ��9) +( � �2�, ��� � @X�8:9 � � �2 70 � B6D :9 - 6 �7� � � � �&�' � { � � � � � 2 6 � 6)� � � � �Y6 � � �'(Z6;8:9 � � �2�, �' � @ E )([6� B6 � ��� � � ��� 6 � �y9) 76 � &6�"�( � � �61�g9) )� � � � 9 � 6;6 � (LK8�' � �\D � ��6&6 � 6 �4- �2 &61��� 2 �%6� � � � @-)�2� ��/)/)� � � ( ��2� ; ���O(��y9 � �Y6 ; ��/)/72 �'( � 2 6��, 2 " � � � &6 �^] � ( � �_6 @�v 6 ( � �� -J/F2 6 - 6� �� +�'� ��/)/+� � � ( W9)�4�' 70W`ba&ced*a�f � 76 . 6�( �32G2 � )�'�Ggih�j k$lAh @cedgfhdnm o"pBp_q\rts uwvyxzu5{}|�p8~G���I���(��p?l)s n��������G�(���5���`ba&c�d#a�f�� � N " - � 2 �'( t � � �-���� 2 !� � H��%� J ; �A6 � ���'�� � @A>J= sy6 2 6 � �Y6 >y>CB -J� KA6���9)�_68���t ��/F2 6�� sG6 2 6 � �Y6 � @ `ba&c�d#a�f'6)�26��& +� � � �A6 � �4�' 70 2 6.�x9)� � � 2 6�(�� -0-A� 76 ; �x9)( � �k*�#�i�Bj��2�����$���$�*�# ��$�2�#¡2¢2£z�¥¤ @w¦�§%¨ za{ª© . 6(«­¬i®0¯ § 2 �%6�°²±&6 8<9&¬36 ¨ ¬$°²³´«�µ�¬i° ¨ ³ � 6;8<9&¬i°²³ § ®¶*·k$lAh¸k�¹»º¼lª½�8¢¿¾À¹»ºÂÁ�l¼½#ÃÂÁÄ ¢8���$���$�*�* ��i�2�#¡�Ákb¢Åk*�#�i�Bj�� Ä �­Æ�Ç[Æ%¤�Ç Ä �Y�zÇ[Æ*¤�Ç Ä �1Æ�Ç_��¤�Ç Ä �Y�zÇ_��¤�Ç�¹�ÇȺ�ÇÈlÂÇȽ�¤v 6É«1¬ 2G2 °²±&³V¯GgAh�j k$lAh�� @

� �

Page 57: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,cedgfhd c o"pBp_q\rts n�lop2� � nt ¬A«[¯ · µ�¬ ¬ 2 ¯ § 6 § 6[¯�® § ° ±&¬ �A60¬}¯Y³V®70 2 6�« § µ�µ�¬A®76 � §%¨ ¯ § 2 �2³´®F0/°Y±&6O8:9�¬ 6 ¨ ¬i°Y³´«Éµ ¬$° ¨ ³ �6]8:9�¬$°²³ § ® @ -w±&6y« § µ/µ�¬A®76�� ����k$l�k�¯ § 2 �%6[¯�� § 2 · ® § µ/³ ¬ 2 6;8<9&¬i°²³ § ®&¯ @�t ¬A«1¯ · µ ¬ � §%¨ ¯ § 2 ��³´®F0�8<9&¬36 ¨ ¬$°²³´«�µ�¬i° ¨ ³ � 6]8:9�¬i°Y³ § ® «1¬A® ¶ 6�6 � 61«;9B°²6;6�� �#¾nº�Æ�Ç º � Á º���Ç�º�#Ã� �#¾���Æ�Ç��#� Á�����Ç����#à �#¾���Æ�Ç��&� Á�����Ç����#á��#¾ �BÆ�Ç!�A� Á��"��Ç#�$�#Ã� �"��k$l�k�����% � % � �8  % �»�¼¡#¢ £zÇ ¾ º�Æ�Ç�º �zÇ�º���Ç�º�#Ã�¤v 6É® § . «­¬ 2A2 °²±B³´¯Ggih�j k$l%h&� @cedgfhd(' ) �+* q-,�p�� q�q(�7pv 6y6/.B¬Aµ�³V®&6w°²±&6y¯ · µ ¶ § 2 ³´«G¬ 2 0%6 ¶ ¨ ¬0��¬A«LK$¬30%6[¯ ; `ba&ced*a�f ¬A®76 t ¬A«1¯ · µ ¬ ; . ³V°Y±}¯Y621A6 ¨ ¬ 28:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«^µ ¬$° ¨ ³3.W6;8:9�¬i°²³ § ® 64.B¬Aµ5� 2 6[¯ ; . ±&³V« ±�¬ ¨ 6 � ¨Y§ µ H >76 J ; H >98 J ; H�©%© J @v 6w4 ¨ ¯_°-« § ®&¯_³G6&6 ¨ °Y±&6�6]8:9�¬i°Y³ § ® = © @ � B ; . ±&³V« ±5±�¬i¯I4&1A6 ¨ 6­¬ 2 ¯ § 2 1%6[®*°²¯�³V® = © @;:yB ¬A®765¬ 2G2¬ ¨ 6y® § ®&¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ ¯Y³V®&«16 } {m~ ¬A®76^�)³´¯Â® § ®B¯Y³´®F0y9 2 ¬ ¨]@=< ¯Y³V®700gih�j k$lAh��Z¬A®F6 gih�j k$lAh>�

. 6 § ¶ ° ¬i³´®&6;6 ¬ 2G2 4&1%6^¯ § 2 1A61®*°²¯ ¶ 9B°ygih�j k$l%h 0*¬71%6 � § 9 ¨ ¯ § 2 1%6[®#°Y¯ ¶ 9B°w® § °@? � ³´® = © @A: ¬ B @B § . ; . 6 ¨ 6 §%¨ 6&6 ¨ °²±&6�« § 62C/«1³V61®*° µ�¬i° ¨ ³´«[61¯ § � = © @ � B ³´® ¨ 641%6 ¨ ¯Y6\°Y±&61® °Y±&6 6;8:9�¬i°²³ § ®W«1¬A®¶ 6 . ¨ ³V°_°²61® ¶*·D � =(E�B { FHG > ©

� © >7I=J E � � F � > � �© � 8KJ Em� ~;�u{ G � =MLr@A>CB. ±&6 ¨ 6 E { � ��� @�H ®ª°Y±&³´¯È«­¬A¯_6 gih�j kilAh»³´¯ ® § ° ¬��&� 2 ³´«­¬ ¶ 2 6 ¶ 9B° gAh�j k$lAh��¼¬i®76gih�j k$l%h&�N� ¨Y§ 679&«16;6 ¬ 2A2 4&1A6�¯ § 2 1A61®*°²¯y³´® E5@-w±&60¯_61« § ®7664.B¬Aµ5� 2 6�³´¯ D � = �JB ³´® = © @ >96 B ; . ±&6 ¨ 6 � ¬i®76'�t¬ ¨ 6�¯Y³´®F0y9 2 ¬ ¨]@ D � =�O B±�¬A¯G6[³G0%6[®1i¬ 2 9&61¯ � > � G � G � > ¬A®76 « §%¨Y¨ 61¯P� § ®76B³´®70/61³A0%61®�1%6[«[° §%¨ ¯F >

© J � F�G> J � FG

> J � F >G J U� :

Page 58: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,-w±&6ɯY6 ° § � °²± ¨ 616É61³A0%61®�1A61«[° §%¨ ¯�¯²¬i°Y³´¯?4�61¯w°²±B6���¬%¬ ¨ « § ®76&³V°Y³ § ® ; °²±&6 ¨ 6 � §%¨ 6 ; . 6É«­¬A® « § ®��¯_° ¨ 9&« ° °Y± ¨ 6[6 6&³V¯_°Y³´®&« ° ¯ § 2 1A61®*°²¯ ? � ; ? � ¬A®76 ?��(³V® = © @A>78 B @ -w±B6y° . § µ/6[°²± § 6&¯�gih�j k$lAh��¬A®76 gih�j k$lAh&��� ¨_§ 679B«16]6 °Y±&6\°²± ¨ 616^¯ § 2 1A61®*°²¯ . ±&6 ¨ 6 ? � � � ; ? � ¬A®76�?��G¬ ¨ 6\¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨]@-w±&³V¯y¯_± § . ¯y°Y±�¬i°G³ � } {!~;� ¬i®76a�M³´¯w¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ °Y±&61® � ¨Y§ µ

= ��� ��B/� { � �

. 6ɱ&¬91A6 � §%¨u��� � ³´¯w¯_³´®7039 2 ¬ ¨;@-w±&6É®&64.2°y64.B¬Aµ5� 2 6^±&¬A¯w°²±&6 � §%¨ µ

D � =��JB { � � �k��� F � � � �G � � J { G � =MLr@ © B� ¨Y§ µ H >96 J @ -w±&6�8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V« 61³A0%61®�1i¬ 2 9&6 � ¨Y§ ¶ 2 61µ D � =�O B ±�¬i¯(61³A0%61®�1i¬ 2 9&61¯ ; © ; © ; � L ¬i®76� L ; « §%¨_¨ 6[¯P� § ®76&³V®70}61³G0A61®�1%6[«[° §A¨ ¯F >G J � F >G J � F >G J � F >G J U< ¯_³´®70 -w±B6 §%¨ 61µ © @A>y@ >7I . 6w«­¬A®}® § °�« § ®B¯_° ¨ 9&«[°�¬i® · ¯ § 2 1%6[®#° ¶ 61«1¬39&¯Y6 °Y±&6 ° . § 6[³G0%6[®�1%61«/�° §A¨ ¯Â¬ ¨ 6 6B6 ��61®76&6[®*° @ � § . 621A6 ¨ ; . ±&61® . 6 ¬���� 2 ³V6]6}gih�j k$l%h ; gih�j k$l%h��5¬i®76/gAh�j k$lAh&� ;6­¬i« ±Èµ/6[°Y± § 6 � ¨_§ 6F9&«16;6È° . § ¯ § 2 1A61®*°²¯? � { F © >G © J � ? �u{ F � L � >G � L=J � =MLr@;L B. ±&³V« ± ¬ ¨ 6/µ/³´®&³Vµ ¬ 2 ¬A®76 6 § µ�³V®�¬A®*°É¯ § 2 1%6[®#°Y¯ ; ¨ 61¯ ��6[«[°²³ 1%6 2 · @Ȧ�¨Y§ µ¿°Y±&³´¯É64.B¬Aµ5� 2 6 . 6® § °Y6 °²±&¬i°(°Y±&6\« § ®76&³V°Y³ § ®B¯ § � -w±&6 §%¨ 6[µ © @A>y@ >7I ¬ ¨ 6\¯g9�C/«1³´6[®*° � §%¨ 6/.B³V¯_°Y61®&«[6 § � ¯ § 2 1%6[®#°Y¯¶ 9B°W® § °W®B61«16[¯Y¯Y¬ ¨ · ; ¬A®76�°²±&6 « § ®76&³L°²³ § ®&¯ § � -w±&6 §%¨ 61µ © @ © @ © ¬ ¨ 6¬ 2 ¯ § ¯x9�C/«[³´61®*° � §%¨64. ³V¯_°²6[®&«16 § � °²±&6M6 § µ�³V®�¬A®*°G¬A®76 µ/³´®&³Vµ ¬ 2 ¯ § 2 1A61®*°²¯ ¶ 9B°y® § °y®&6[«16[¯Y¯²¬ ¨ · @-w±&6É®&64.2° 8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«^µ ¬i° ¨ ³3. 6]8:9�¬$°²³ § ® ±&¬A¯w°²±&6 � §%¨ µ

D�� =��JB { � � ����� F � 6 � > ©� >96 � ©A� J { G � =MLr@ I:B

¬30*¬i³´® � ¨Y§ µ H >98 J ; ¬A®76 D�� =MO B ±&¬A¯ � § 9 ¨ 6&³´¯�°²³V®&«[°w6[³G0%6[®�1A¬ 2 9&6[¯ . ±B³´« ±È¬ ¨ 6� © � � L�L© � �

:© � � L�L© U� 6

Page 59: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,� 2A2 µ/6[°²± § 6&¯e0%¬91A6 � § 9 ¨ ¯ § 2 1%6[®#°Y¯? � { F > ©L I J � ? � { F � © � ©

� L � � J � =MLF@ � ¬ B?�� { F � �� ����� � ��/� � � � ��/�

� � � ��/� � �� � ��� � � ��/� J � ? � { F � �� � ��� � ��/� � � � � ��/�� � � � ��/� � �� � ��� � � ��/� J =MLr@ � ¶ B

¶ 9B° . ³L°²± 6&³��6 ¨ 61®*°y64.�� ¨ 61¯Y¯_³ § ®B¯�³V®�?���¬A®76�? � ³´® =MLr@ � ¶ B @v 6�® § . « § ®&¯_³G6&6 ¨ °²±&6M8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«�µ ¬i° ¨ ³3.W6;8<9&¬i°²³ § ®

D � =��JB { � � �F � > � >> � >�J �&� F�G >

� > G J { G � =MLr@ � B. ±&³V« ±È±�¬i¯G° . §/¨ 6­¬ 2 ¯ § 2 1%61®*°Y¯? � {!~]� { F > GG > J � ? � { F G � >

� > G J =MLr@A:yB¬A®76 ³´®r4�®&³V°Y6 2 · µ�¬A® · « § µ�� 2 64.W¯ § 2 1%6[®#°Y¯ ; . ±&³V« ±È±�¬71A6É°Y±&6 � §%¨ µ/¯

?�� { F �� � � ��> � = � >CB��O� > J � ? � { F �� � � �m> ��� = M� >CB

���� � > J =MLr@;6 B� §%¨ ¬ 2A2 ���� @ D � =�O B ±�¬A¯ °Y± ¨ 6[6J6B³´¯_°Y³´®&« ° 61³A0%61®�1i¬ 2 9B61¯ > ¬A®76 � � @ -w±&6 µ/6[°Y± § 6gih�j k$l%h . ¬A¯ ® § °�¯x9&«[«16[¯Y¯ � 9 2 ¯Y³V®&«16y³V°�� ¨_§ 679B«16]6/° . §5¨ 6­¬ 2 ¯ § 2 1%61®*°Y¯ ? � ¬A®F6 ? � ³V® =MLF@;:yB ;¬A®76 � § 9 ¨ « § µ5� 2 6/. ¯ § 2 1%6[®#°Y¯ . ±&³V« ± «­¬A® ¶ 6�64.�� ¨ 6[¯Y¯_6]6 ¶#· ?��Z¬i®76 ? � ³V® =MLr@;6 BD@ -w±&6§ °Y±&6 ¨ µ/6[°²± § 6&¯ ; gih�j k$lAh�� ¬A®76�gAh�j kilAh&� ; 0*¬71%6 6[³G0%±*°/¯ § 2 1%6[®#°Y¯�61¬A« ±b³V®&« 2 976&³V®70 ?��¬A®76�? � @v 6�® § . « § ®&¯_³G6&6 ¨ °²±&6M8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«�µ ¬i° ¨ ³3.W6;8<9&¬i°²³ § ®

D � =��JB { � � ����� � { G � =MLr@;8 B. ±&³V« ± ³´¯M0%6[®&6 ¨ ¬i°²6;6 ³´® ¯x9&« ± ¬ . ¬ · °²±&¬i°�°Y±&6 ©W]E© ��³ 2 ¶ 6 ¨ °�µ�¬i° ¨ ³ .³´¯�¯ § 2 1%6[®#° H >76 J @-w±&6 ��³ 2 ¶ 6 ¨ °\µ�¬i° ¨ ³ .�±�¬A¯\°²±B6 � §A¨ µ�� { = @���� B ; . ±&6 ¨ 6 @���� { >��F=�M��� � >RB ; ¯ § °²±B6µ�¬i° ¨ ³ .U�I«­¬A® ¶ 6 6B6;4�®&6;6 ¶*·

� { � = � � � � B {F � 8��"I � : � �� : � � � © � ��L � J U

� 8

Page 60: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,� 2A2 µ/6[°²± § 6&¯ . 6 ¨ 6�¯g9&«1«[61¯_¯ � 9 2 ¬A®76�� ¨Y§ 679&«[6]6 °²±&6 � § 2A2 § . ³´®F0 � § 9 ¨ ¯ § 2 1%6[®*°²¯ ? � { F � © � >�� ©

� >�� © � I ��LKJ � ? � { F > > � ©>�� © > ��LKJ �?�� { F � �� � � � � �� � � � � �� �

� � � �� � � �� � � � ����

J � ? � { F � �� � � � � �� � � � � � �� �� � � � �� � � �� � � � �

���J UH ®È°Y±&65« § µ�� 2 64. ��³ 2 ¶ 6 ¨ °Gµ�¬i° ¨ ³ . . ±&³´« ± ±&¬A¯�6 2 6[µ�6[®#°Y¯ @�� � { =?> � � B �7= � � � � >CB ;°²±B6É6;8:9�¬i°²³ § ® ³´¯D � =��JB { � � �����

F � > � =�: � © B � � > � © � =?>y>�� � B �� >�� © � =?>3>�� � B � � >��"L � =?>98��<>96 B � J { G

¬A®76Ȭ 2A2 °²± ¨ 616�µ/6[°Y± § 6B¯@� ¨Y§ 679&«16;6 � § 9 ¨ « § µ5� 2 64. ¯ § 2 1A61®*°²¯? � { F > � � >�� © �!=?>�� © B �>�� © �!=?>�� © B � >���L �!=?>��"L B � J � =MLF@ > G ¬ B

? � { F � © � � � >�� © � =�>�� © B �� >�� © � =?>�� © B � � I ��L � =�>���L B � J � =MLF@ > G ¶ B

?�� { F � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � ��� � �

� � � �� � � � � ��� � � � �� � � � �

���� ��� � �

��� � J � =MLF@ > G « B? � { F � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� � � � � �

�� � �

� � � � �� � � � � ��� � � � �� � � � �

��� � ��� � ���� � J U =MLF@ > G 6 B

¦�§%¨ z�� L . 6W±&¬91A6 ¶ 6161® ¬ ¶ 2 6}° § 4�®76 ¯ § 2 1A61®*°²¯ . ³L°²±!gAh�j k$lAh��¬A®76 gih�j k$lAh>�§ ® 2 · � §A¨ 1%6 ¨ · ¯ ��6[«1³ ¬ 2 } ; � ¬i®76J� ; � §A¨ 64.B¬Aµ5� 2 6 } ; � ¬A®76 � 6&³ ¬30 § ®�¬ 2 @ -w±&6�4�®�¬ 264.B¬Aµ5� 2 6^³´¯ °²±B6 L ] L 8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«^µ ¬$° ¨ ³3.W6;8:9�¬i°²³ § ®D � =��JB { � � ����� NOO

P� � G GG � © G GG G � I ©

Q RRT { G

UD � =�O B ±�¬A¯�¯Y³3.'6&³V¯_°²³V®&«[°�6[³G0%6[®�1A¬ 2 9&6[¯ © ; � L ; I ; � � ; � ¬A®76 � : « §%¨Y¨ 61¯P� § ®76B³´®70 61³A0%61®��1%6[«[° §%¨ ¯NOOP� >�� �GG

QSRRT �

NOOP� � >��r> GGG

QSRRT �

NOOP

G� > �r> :G

QSRRT �

NOOP

G� >�� ©A�G

QSRRT �

NOOP

GG� >���L�:

QSRRT �

NOOP

GG� � >�� � G

QSRRT U

v 6 «1¬A® « § ®B¯_° ¨ 9&«[° 61³A0%±*° ¯ § 2 1%6[®#°Y¯ � ¨_§ µ -w±B6 §%¨ 61µ © @ >y@ > � @ ¦�¨Y§ µ gih�j k$lAh��»¬i®76gih�j k$l%h&� . 6 § ¶ ° ¬i³´®&6;6Ȭ 2G2 6[³G0%±*°G¯ § 2 1A61®*°²¯ @

� G

Page 61: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,P���� � Z���� b���Y� �� � � `������

Nr9&��� § ¯_6 . 6�¯ § 2 1A6/°Y±&658<9&¬36 ¨ ¬$°²³´«/61³A0%61®�1i¬ 2 9&6 � ¨Y§ ¶ 2 61µ =?>y@ 8 B ¬A®76 § ¶ ° ¬i³´® 61³G0A61®&��¬i³ ¨ ¯=�O�� ��� � B�� ��� � ; . ³V°Y± z�� D �t© z @ - § « § ®&¯_° ¨ 9&« °Z¬ ¯ § 2 1%6[®#° � ¨Y§ µ °²±&6[¯Y6 6[³G0%6[®�1A¬ 2 9&6[¯ . 6®&6[6]6�° § ³G6&6[®#°Y³ � · ¬ 2 ³´®&61¬ ¨ 2 · ³V®76&62��6[®76&61®*° ¯Y6 ° § � z 1%6[«[° §A¨ ¯ � � @ -w±&³´¯Â«1¬A® ¶ 6y¬i°Y°Y61µ5�B°²6;6¶*· « § µ��79 °²³´®F0}°Y±&6�� s � ¬A«[° §%¨ ³! ­¬i°Y³ § ® . ³V°²± « § 2 9&µ/® �&³ 1 § °²³V®70 H L�8 ; N 6[« � @ I7@ > J

H"� �$# U­U­U ��&% J- { H"� � U­U­U � �

J$' { D H)( �/� ( � � J � D �*( �/� � �,+.-/+ �. ±&6 ¨ 60' ³´¯ ¬ ��6 ¨ µ 9B° ¬i°Y³ § ®bµ ¬i° ¨ ³3. ; D ³V¯ 9&®&³L° ¬ ¨ · ¬A®F6 ( �/� ³V¯ 9&�&��6 ¨ ° ¨ ³ ¬A®F0y9 2 ¬ ¨]@1 ¨Y§ 12³G6&6;6 °Y±�¬i° ( �/� ³´¯w® § ®&¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ °²±B6ɵ�¬i° ¨ ³ .32 {MH4� �$# U­U­U �

�65 Je³V¯w® § ®&¯_³´®70y9 2 ¬ ¨ ¬A®F6? { 2 6&³ ¬ 0 =�O�� # � U1U­U � O�� 5 B 2,���³´¯Â¬^¯ § 2 1A61®*° @ -w±&³V¯Âµ�6 °²± § 6 � ¬A³ 2 ¯ . ±&61®/® § 2 ³V®&6­¬ ¨ 2 · ³´®F6&6 ��61®76B61®*°(¯_6[° § � z 61³G0A61®�1%6[«[° §A¨ ¯� � 6/. ³´¯_°Y¯ @P��LP S \7�� 98:� � `������

-w±&6 §%¨ 6[µ © @ >y@A>9: ¯Y± § . ¯Â°²±�¬i°7; �/� ³´¯z® § ®&¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ °Y±&61®N? { ; � � ;M����/� { D �/�=<I�/�?> ����/� D ����/�³´¯(¬0¯ § 2 1%6[®#° @ - §Z§ ¶ ° ¬A³V® ¬0® § ®B¯Y³´®F0y9 2 ¬ ¨ ; �/� . 6^µ�¬ · ±&¬91A6\° §0¨ 6 §%¨ 6&6 ¨ °²±&6 0%6[®&6 ¨ ¬ 2 ³! 16;6N « ±:9 ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ® ; . ±&³´« ± «­¬i® ¶ 6 6 § ®&6M9&¯_³´®70}°²±B6ɵ/6[°Y± § 6&¯ § � ��¬A®A@ §2§%¨ 61® H 6 � J @-w±&6 0A61®&6 ¨ ¬ 2 ³$ 16;6'N « ±:9 ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ® «­¬A® ¶ 6�« § µ5�79B°Y6]6 ¶#· °Y±&6B�DC ¬ 2 0 §%¨ ³V°Y±&µ

H L�8 ; N 6[« @�:r@;: J @ -w±&³´¯�¬���� ¨Y§ ¬i« ±�³V¯�®:9&µ/6 ¨ ³´«1¬ 2G2 · ¯�° ¬ ¶ 2 6G³´®Z°²±�¬$°�°²±&6y« § µ5�79B°Y6]6 D ¬A®76E;¬ ¨ 6(®&61¬ ¨ 2 · 9B®&³V°²¬ ¨ · ¬A®760°Y±&6 « § µ��F9B°²6;6 < ¬A®76 > ¬ ¨ 6 64.B¬A«[° § ®&61¯ � §%¨ ¬ ¯_µ ¬ 2G2 ® §%¨ µ . ³´¯_6��6 ¨ °x9 ¨ ¶ ¬i°²³ § ® § �GF ¬A®76IH @ -w±&6[¯Y65��6 ¨ °x9 ¨ ¶ ¬$°²³ § ®&¯ . ³ 2G2 ® § ° ; ³V®'0%61®B6 ¨ ¬ 2 ; ¨ 6[¯P��61«[°É°²±B6¯_° ¨ 9&« ° 9 ¨ 6 § ��F ¬A®76�H ; ¯ § µ ¬ · ® § ° « §%¨_¨ 6[¯P� § ®76�° § ¬ ¯Yµ�¬ 2G2 ��6 ¨ °x9 ¨ ¶ ¬$°²³ § ® § � °²±B68:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«5µ�¬i° ¨ ³ . 6;8<9&¬i°²³ § ® @ � § . 621A6 ¨ ; ¬ µ/³ . 6;6 � §%¨ . ¬ ¨ 6�� ¶ ¬i«LK . ¬ ¨ 6 ¯�° ¬ ¶ ³ 2 ³L° · ¨ 6[¯x9 2 °� §%¨ °Y±&6w8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«zµ ¬$° ¨ ³3.\6;8:9�¬i°²³ § ®�«­¬A® ¶ 6�6&6]6F9&«16;65³´®\°Y±&6�¯P��61«[³ ¬ 2 «­¬A¯_6 . ±B6 ¨ 6,JD}KJ �u{J � J � { J �3J �u{ > ; ¬i¯ ¬�« § ®&¯_6]8:9&61®B«16 § � ¬ ¨ 61¯g9 2 ° § � -w³´¯_¯x9 ¨ H 6 © ; -w±&µ @ : J�« § ®&«16 ¨ ®&³V®70¯ § 2 9B°Y³ § ® § � °²±&6h8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«�6[³G0%6[®�1A¬ 2 9&6 � ¨_§ ¶ 2 6[µ 12³ ¬y¬ 0%6[®&6 ¨ ¬ 2 ³! 16;6�6[³G0%6[®1i¬ 2 9&6 � ¨Y§ ¶ 2 6[µ @

� >

Page 62: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,-w±&6!¯�°²62� § � °Y±&6 N2« ±<9 ¨ µ�6 °²± § 6 °²±�¬i°È³´¯ ®:9&µ/6 ¨ ³V«­¬ 2A2 · °²±&6 µ § ¯_°|6�¬A®70%6 ¨Y§ 9B¯�³´¯°²±B6 ³´®�1%6 ¨ ¯Y³ § ® § � ; �/� @ � § . 641%6 ¨ ; °Y±&6 � § ¯Y¯Y³ ¶ ³ 2 ³V° · § � ¬A®E³ 2A2 � « § ®76B³V°²³ § ®&6;6 ; �/� «­¬A® ¶ 6¬71 § ³A6&6]6 = � ¨Y§ 12³G6B6]6W°²±&¬i° ; �/� ³´¯�® § ®&¯_³´®7039 2 ¬ ¨ B ¶*· ¯Y«­¬ 2 ³´®F0�°²±B6 8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V« µ�¬i° ¨ ³ ./6]8:9�¬ �°²³ § ® ; ¬36�¬��B°Y³´®705³G6&61¬A¯ � ¨Y§ µ��^61®&®B6 · ; � ¬39 ¶ ¬i®76 v 6 °Y°²6 H � L J � §%¨ °Y±&6Msy³V«1«1¬i°²³�6]8:9�¬i°Y³ § ® @

v 6w®&616;6/°Y±&6 � § 2G2 § . ³´®70 2 61µ/µ ¬ ; ³´® . ±B³´« ±Z°²±&6w« § ®76&³L°²³ § ®Z®:9&µ ¶ 6 ¨�� = } B { JD} J JD} ��� J @� �!�!� �e�V������� H I�6 ; � 61µ @ I J�� � ? { ; � � ; ����/��� ����������� ����� �!�"�# �$�!�%�!&�'(��� )*�+',-&�.���/ ) © @A>y@ > : ���10E; � 2�!&�435���!�6��� 78)����"� �:9;' �.��)*�<&�>=5 �? �@�����BA�@0DC-E.&535�205.E.��)4FG ��� �!���H���I�+' F ���10 HKJL,-&� � � � = ; �/� B � > � J2? J �� UM "����ON @ -w±&6 � ¨Y§2§ � ³´¯=1%6 ¨ · ¯_³´µ/³ 2 ¬ ¨ ° § °Y±�¬i° § � ��6[®&®&6 · ; � ¬ 9 ¶ ¬A®76 v 6 °Y°²6 H � L ; � 61µ> J @ N ³´®B«16K; ³´¯ 9&®&³L° ¬ ¨ · ; ;QP�/� ; �/� � ;RP� � ; � � { ~ + ; . ±&³V« ± ³Vµ�� 2 ³´6[¯ J ; �/� J �B� >y@ < ¯Y³V®70°²±B6É® § ®&¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ ³L° · § � ; �/� ;

~ + { ; P�/� ; �/� � ; P�/� = ; � � ; ����/� B P ; � � ; ����/� ; �/�{ ; P�/� ; �/� � ; P�/� ? P ? ; �/�{ ; P�/� = ~ + � ? P ? B ; �/� U

��6[®&«16;M����/� { ; P�/� = ~ + � ? P ? B ; ¬i®76 °Y±&6 ¨ 61¯g9 2 ° � § 2A2 § . ¯ § ® ° ¬3K#³V®70È® §%¨ µ/¯É¬A®76J9&¯Y³V®70J ; �/� J � � >3@-w±&6 2 61µ/µ�¬0¯Y± § . ¯�°Y±�¬i° ; �/� . ³ 2G2 ¶ 6 . 6 2G2 « § ®F6&³V°Y³ § ®&6;6 ³ � J2? J �TS >y@ -w±&³´¯G«­¬i® ¶ 6¬A« ±&³V621A6]6 ¶*· °Y±&6�¯Y«1¬ 2 ³V®70

} � � � �O��� � �VU W} =�� � J � J � B � � W� = � � J � J � Bo� W� �. ±&6 ¨ 6 W} { J � J �� } ; W� { J � J � � ¬A®76 W� { � @�¦�¨_§ µ °Y±&6 ¨ 6 2 ¬i°Y³ § ®

F � O H { F G ~ +� � � � J � O F ~ + GG } J

{F > GG X ��� J Y5F G ~ +

� � � X �!J � O X ��� F ~ GG X � } J-Z F[X GG > J�*©

Page 63: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������ ��������� ����������������������! #"$���%�& (') *��+����-,/.0��,1 2�3����45+� #��"$�� 2,. 6\¯Y6[6 °²±�¬$°(6[³G0%6[®1i¬ 2 9&61¯ § � °²±B6 ¯Y«1¬ 2 6;6 ��61®&«[³ 2 « §%¨_¨ 61¯ � § ®76&³´®F05° § W} ; W� ¬A®76 W�Ŭ ¨ 6 X ���°²³Vµ�6[¯\°²± § ¯Y6 § � §A¨ ³G0A³´®�¬ 2 @ -w±&6 ¨ 6 � §A¨ 6 ; °²±B6�¯Y¬Aµ�6 §A¨ 6&6 ¨ ³´®F0 § � °²±B61N2« ±<9 ¨ � §%¨ µ¿«­¬A® ¶ 69&¯_6]6 � §A¨ °²±&6�¯Y«1¬ 2 6;6 ��6[®&«1³ 2 ¬A¯ � §%¨ °²±&6 §%¨ ³G0%³V®�¬ 2 ��6[®&«1³ 2 @< ® � §A¨ ° 9B®�¬i°²6 2 · ; °²±&6 ¨ 6Z³´¯ ® § 0%61®B6 ¨ ¬ 2G2 · ¬��&� 2 ³´«1¬ ¶ 2 6 . ¬ · ° § 61¯�°²³Vµ ¬i°Y60¬A® · ® §%¨ µ § �� ³´®/¬36�1i¬A®&«[6 @hE ®&6@� § ¯Y¯Y³ ¶ ³ 2 ³V° · ³´¯z° § « § µ��F9B°²6 � ¬A®76 ; ³ � J � J�� ³´¯ � § 9B®76�° § ¶ 6 2 ¬ ¨ 0%6 ;° §}¨ 6 ��6­¬i°G°²±B6É« § µ5�79B° ¬$°²³ § ® § ® °²±&6�¯Y«1¬ 2 6;6�� ¨Y§ ¶ 2 61µ @

� L

Page 64: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ����

� ��� �� �� � $ ����� #� � ����� � � �����

� ��� � ���������� �,$

H ® �(±�¬��B°Y6 ¨@L . 6�« § ®B¯Y³G6B6 ¨ 6;6È° . § 6B³ ¨ 6[«[°yµ/6[°²± § 6&¯ � §A¨ ¯ § 2 12³V®700°²±&6M8:9�¬36 ¨ ¬i°Y³´«�µ ¬$° ¨ ³3.6]8:9�¬$°²³ § ® =?>y@ >CBD@ � § . 621%6 ¨ ; °Y±&61¯_6Zµ�6 °²± § 6&¯ ¨ 6]8:9&³ ¨ 6 © z!] © z µ�¬i° ¨ ³ . 621i¬ 2 9�¬i°Y³ § ® @ N § ;³V° ³´¯ ®�¬i°x9 ¨ ¬ 2 ° § « § ®&¯_³G6&6 ¨ ¯ § µ�6�³V°Y6 ¨ ¬$°²³ 1A6 µ/6[°Y± § 6B¯ ; . ±B³´« ± ¨ 6]8:9&³ ¨ 6 § ® 2 · z ]Uz µ ¬$° ¨ ³3.621i¬ 2 9�¬i°Y³ § ®&¯ @B�6 . ° § ®���¯wµ/6[°²± § 6 ³V¯ °²±B6\µ § ¯_° . 6 2A2 � K2® § . ® ¬i®76�� § . 6 ¨ � 9 2 ®:9&µ/6 ¨ ³V«­¬ 2 µ/6[°²± § 6 � §%¨¯ § 2 12³´®70y® § ® 2 ³´®B6­¬ ¨ 6]8:9�¬$°²³ § ®&¯ @-¦�§%¨ °Y±&³´¯ ¨ 61¬A¯ § ®5³V°�³V¯�¬y®�¬i° 9 ¨ ¬ 2 ¬��&� ¨Y§ ¬A« ±É°²±�¬$° . 6 ¬���� 2 ·B�6 . ° § ®¸� ¯Éµ�6 °²± § 6° § ¯ § 2 1%6Z°Y±&6^8:9�¬ 6 ¨ ¬i°Y³´«Zµ�¬i° ¨ ³ .�6]8:9�¬i°Y³ § ® =�>y@A>RB @ H ® °Y±&³´¯^« ±&¬��B°²6 ¨. 6�« § ®&¯Y³A6&6 ¨ B�6 . ° § ®¸� ¯Éµ�6 °²± § 6 ¬A®76 ¯Y± § . ± § . ° § ³V®&« §%¨ � §A¨ ¬i°Y6Z64.B¬A«[° 2 ³V®&6Z¯Y61¬ ¨ « ±B61¯. ±&6[®�¯ § 2 12³´®70}¬�8:9�¬36 ¨ ¬i°Y³´«�µ ¬$° ¨ ³3.W6;8:9�¬i°²³ § ® =?>y@ >CBD@!��RQ " �$#+` �5b�%'& � � `������

B�6 . ° § ®¸� ¯W³L°²6 ¨ ¬i°Y³ § ® � §%¨ ¯ § 2 12³V®70 8:9�¬36 ¨ ¬i°Y³´«�µ�¬i° ¨ ³ . 6;8:9�¬i°²³ § ® =�>y@A>RB «­¬i® ¶ 6a6&6;4�®B6]6¨ 6[«]9 ¨ ¯Y³ 1%6 2 · ¶*· ¬�0%³ 1A61® ¯_° ¬ ¨ °²³V®70}µ ¬$° ¨ ³3. �)( ¬A®76 °²±B6ɳL°²6 ¨ ¬i°Y³ § ®

� �+* � { � � ��, ���-�. = D =�� � BgB � � { G � > �¥©r� U1U­U �� I

Page 65: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,. ±&6 ¨ 6 , - . =� � B � + -/+ U � +.-/+ ³´¯\°Y±&6 ¦�¨ �61« ±B6[° 6&6 ¨ ³ 1i¬i°Y³ 1%6Z³V® =?>y@ © :yBD@�� · 6&6 4�®&³V®70 ¬A¯\°Y±&6}¯ § 2 9B°²³ § ® § ��D = �JB � , - =��B { G ¬i®76 � ¨_§ µ =?>y@ © :yB By6 . ° § ®�� ¯�µ/6[°Y± § 6 � §%¨¯ § 2 12³´®700°Y±&6M8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«Éµ�¬i° ¨ ³ . 6]8:9�¬$°²³ § ® =�>y@ >CB «­¬A® ¶ 6 6B6;4�®&6;6 ¶*·

�)( 0%³ 1A61® �} � � � �"= } � � � ��B� � { � D =�� � B� � * � { � � �� �

���

�� � { G � > �¥©r� U1U­U[U =(IF@A>CB

-w±:9&¯ ; 61¬A« ±�¯�°²6 � § � B�6 . ° § ®���¯yµ�6 °²± § 6 ³´®�1 § 2 1%6[¯ 4&®76&³´®F0/°Y±&6�¯ § 2 9B°²³ § ® § �} M�&�!= } �&� ��B� { � D =��JB � =(IF@ © B

. ±&³V« ±È³V¯G¬}¯ ��6[«1³´¬ 2 «­¬A¯_6 § � °Y±&6M0%61®&6 ¨ ¬ 2 ³$ [6]6|N · 2 1A61¯_°Y6 ¨ 6]8:9�¬i°Y³ § ®} O�!� � , { F

U=(IF@;L B

v 65® § . ±�¬71%6Z¬ ®&¬i° 9 ¨ ¬ 2 8<9B61¯_°Y³ § ® . ±&61®³V¯�°²±B6 ¦�¨ �6[« ±&6[° 6B6 ¨ ³ 1i¬i°²³ 1%6 , - ® § ®&¯_³´®��0y9 2 ¬ ¨ ; ¶ § °²±È¬i°y¬Z¯ § 2 1%61®*° ¬A®76 ¬A® ³V°Y6 ¨ ¬$°²6 ; ¯ § °²±�¬$° = I7@ © B ±�¬A¯y¬�9&®&³A8<9B6ɯ § 2 9 °²³ § ®��45+� #��"$ 2� ����������� ,-&���?����E.&� � 05 � �!�������!�� , - � �;�?��� � �!�5=�35�B��� � '����108������7�� '� ��� �<&� G ���!� = } ��� � � � } B � ���/H=�3 �B��� �6�<& ���V� �"!76B6[° =g= } ��� ��Bx� O } B � ���?���V��05 ���"�HE@���!��7A� �/�2�!� O$# !� ���%� OI= } ��� � � � } B'&�O�= �JB {)( JM "����ON @ � �&� 2 · �(±<9¸� ¯ ¨ 6[¯x9 2 ° H >9L ; -w±&µ @ > J § ®�°²±&65® § ®&¯_³´®70y9 2 ¬ ¨ ³V° · § � °Y±&6�0%6[®&6 ¨ �¬ 2 ³$ 16;6WN · 2 1A61¯_°Y6 ¨ 6]8:9�¬i°Y³ § ® =(IF@;L BD@H � } ³V¯\® § ®B¯Y³´®F0y9 2 ¬ ¨ °²±&6 ¨ 6]0y9 2 ¬ ¨ ³V° · « § ®76B³V°²³ § ® ± § 2 6&¯ @ v ±&61® � ³´¯\¬ ¯ § 2 1A61®*° ; . 6¯Y6[6 � ¨Y§ µ =?>y@ >9L B °Y±�¬i°^°²±B6Z¯Y61« § ®76 « § ®76B³V°²³ § ® § � -w±&6 §A¨ 61µ I7@A>3@A> ³´¯^6;8:9&³ 1i¬ 2 61®*°^° § °²±B661³A0%61®�1i¬ 2 9&61¯ § � � ¶ 61³V®70W6&³´¯�°²³´®B«[° � ¨Y§ µ¿°Y±&6 ¨ 61µ�¬A³´®&³V®70 z 6[³G0%6[®1i¬ 2 9&61¯ § � D =�O B @ v 6

«­¬i® °Y±&6 ¨ 6 � §%¨ 6 ³A6&61®*°Y³ � · ¯ § µ�6 ¯g9�C/«1³V61®*° « § ®76&³L°²³ § ®&¯ � §%¨ ® § ®&¯Y³V®70y9 2 ¬ ¨ ³L° · § � , - ¬i°/¬¯ § 2 1%6[®*° @

� �

Page 66: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� �!�!� ����������� H I�8 ; � 6[µ @ Lr@A> J��!' } � �;�?��� � �!�5=�35�B��� �<&� � , - � �;�?��� � �!�5=�35�B���>���� ��� � 05��)4�!�1����� ��� )4�!���!)����1�������� ��� ? !� ���%� ���!�?�������� ���!� ?�� ';�!&�4 �B=5 ��������3O.���+' D =MO B ���/ 0�� � �"�!�?E �HJ- § ¯ § 2 1A6 =(I7@ © B . 6«­¬A®É¬36�¬"�B°�¯Y641%6 ¨ ¬ 2 µ/6[°²± § 6&¯ � §A¨ ¯ § 2 12³´®70 °Y±&6�0%61®B6 ¨ ¬ 2 ³$ [6]6 N · 2 1%61¯�°²6 ¨6]8:9�¬$°²³ § ®J6B61¯Y« ¨ ³ ¶ 6;6 ¶*· �(±:9 H >9L J ; X �B° § ® H�©A� J ;�� ¬ ¨ 6&³´®B6 ¨ ; � ¬39 ¶ ; � µ�¬i° § ¬A®F6 tȧ 2 6 ¨

H L © J�¬A®F6 � § 2 9 ¶ ; B�¬A¯Y±È¬A®76 ��¬A® �e§ ¬A® H L�6 J @'��gf�gf ~ l��� , �8��r ��,�p ���^�H ®!°Y±&³´¯É¯x9 ¶ ¯Y61« °²³ § ® ; . 6 « § ®&¯Y³A6&6 ¨ ¬ N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §A¨ ³V°Y±&µ ¶ ¬i¯Y6]6 § ® -w±&6 §%¨ 6[µ >3@ I7@ � ¬i®76-w±&6 §%¨ 6[µ >y@ IF@ I7@E¦ ³ ¨ ¯�° ; « § µ��79 °²6 °²±&6 0A61®&6 ¨ ¬ 2 ³$ 16;6 N « ±:9 ¨ 6B61« § µ�� § ¯Y³L°²³ § ® § � } ¬i®76} ��� � ;

2 P },; { < � 2 P = } ��� ��B ; { ? � =(IF@ I:B. ±&6 ¨ 632 ¬i®76 ; ¬ ¨ 659&®&³V°²¬ ¨ · ¬i®76 < ¬A®F6 ?»¬ ¨ 6^9&����6 ¨ ° ¨ ³ ¬A®F0y9 2 ¬ ¨ ; ¬A®76 °²±&6UN « ±:9 ¨6&6[« § µ5� § ¯Y³V°Y³ § ® § � � ;

> P � > { (��. ±&6 ¨ 6 > ³´¯M9&®&³L° ¬ ¨ · ¬A®76 ( ³´¯M9&����6 ¨ ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨]@ -w±&6[® ; � ¨ 64�\¬A®76 � § ¯_°Yµ�9 2 °Y³ � 2 · ³´®70=(IF@ © B ¶*· 2 P ¬A®76 > ; ¨ 61¯ ��6[«[°Y³ 1%6 2 · ; ° ¨ ¬A®B¯ � §%¨ µ�¯ °Y±&6�¯ · ¯_°Y61µ ° §

< E ( � ? E { F � F { � 2 P D =�� B > � E { ; P > U =(IF@ � BX�8:9�¬i°²³V®70 � °²± « § 2 9&µ/®&¯e0%³ 1%61¯ ? � � � < ��

��� ���� � � � {�� � �

. ±&³V« ±È«1¬A® ¶ 6 ¨ 61¬ ¨Y¨ ¬A®70%6;6Ȭi¯= ? �

�� � < B � � {�� � �

� ������� � �

� � < � � � E {IH � � � � �[� U­U1U � � +JU

=(IF@ � B� · ¯ § 2 12³´®70/°²±&6[¯Y6�9��&��6 ¨ ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨ ¯ · ¯_°Y61µ/¯\³´® °²±&6 §%¨ 6&6 ¨ � { > z ; E «1¬A® ¶ 65« § µ ��79B°Y6]6Ȭ/« § 2 9Bµ�® ¬i°y¬Z°²³Vµ�6 @ -w±&³V¯G¬ 2 0 §A¨ ³V°Y±&µt±�¬A¯ ¶ 6[61®W9&¯Y6;6 ¶*· @^¬712³´¯ H >96 J ; H >78 J @

�%�

Page 67: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,'��gf�nm � q pFpFq�qG� q-,�r��#~ l�� , �¼��r���,�pn�&�^�� 6 � §%¨ 6�« § ®&¯Y³A6&6 ¨ ³´®700°Y±&6 ��61¯_¯Y6[® ¶ 6 ¨ 0"�?N2« ±<9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ . 6�³V®#° ¨Y§ 679&«[6\°²±&6 ��6[¯Y¯_61® ¶ 6 ¨ 0µ�¬i° ¨ ³ . @� ��z����� ����� �������V�e� ,-&��)������ �:95} { = < � � B � � +.-/+ � �;� ����0D�+� � 2��� 3 G G ���>.�.�� ��F� �"=L)������ �:9D� ' < � � { G '(��� �� � �!>

} {

NOOOOOOOOP

< �/� < � � �� < � � + ��� < � +< � � < �/� �� < � � + ��� < � +G < � � J J J JJJ JJJJJJ JJJ J J J < + ��� � + ��� < + ��� � +G G �� < + � + ��� < +�+

Q RRRRRRRRT

=(IF@A:yB���10L�!&�>)����"� �:9�}�� � E@���!� @0L� ���T ����.�.�� � � �"=L� 'u} K � �>3 G G ���>.�.�� � � �"= J-w±&6 ®B64.2° °Y±&6 §A¨ 61µ ¯_± § . ¯ °²±B6�6/.B³V¯_°Y61®&«[6 § � °Y±&6 ��61¯_¯Y6[® ¶ 6 ¨ 0"� ° ¨ ³´¬A®70y9 2 ¬ ¨ 6&61« § µ5� § �

¯Y³L°²³ § ® @45+� #��"$ 2� ������� ��� ��� ,1,1 2�¸� #"����_� "$���&������ ��&" � �%��������,­� ������� � H L�8 ; N 61« @#:r@A:<@ I J�<' } ���10 � ���/2�!� � + -/+ �<&� �/D 9 � � � 35���!�6��� 7 D ���10E; � 3�E.& �!& ��� D Px} ; { < ���10D>P � ; { � ! � &� �/ < � �>3 G G � �"� �����5=�35�B��� ���10 � � �;3 G G ���>.�.�� � � �"= J

� ¯Â® § °Y6]6 ¶*· � § 2 9 ¶ ; B ¬A¯_±�¬i®76/��¬i® �e§ ¬i® H L�6 J ; X �B° § ® H�©A� J ; ¬A®76 � ¬ ¨ 6&³V®&6 ¨ ; � ¬39 ¶ ;� µ�¬i° § ¬A®76 tȧ 2 6 ¨ H L © J ; § ®&6 § � °²±B6aN2« ±<9 ¨ 6B61« § µ�� § ¯Y³L°²³ § ®&¯Z«­¬i® ¶ 6 ¨ 62� 2 ¬A«[6]6 ¶*· ¬��6[¯Y¯_61® ¶ 6 ¨ 0��*° ¨ ³´¬A®70y9 2 ¬ ¨ 6B61« § µ�� § ¯Y³L°²³ § ® . ³L°²± ¬ � § °²6[®#°Y³ ¬ 2A2 · ¯g9 ¶ ¯_°²¬A®*°²³´¬ 2 « § µ��F9B° ¬$�°²³ § ®�¬ 2 ¯Y¬912³V®70 @ Nr9&�&� § ¯Y6 . 6 ¨ 6 � 2 ¬A«16 =(I7@ I:B ¶#· °²±B6 ��6[¯Y¯_61® ¶ 6 ¨ 0��*° ¨ ³´¬A®70y9 2 ¬ ¨ 6&61« § µ �� § ¯Y³L°²³ § ® H L�8 ; N 61« @ :r@;:r@ I J

2 P },; { < � 2 P = } ��� ��B ; { � �. ±&6 ¨ 6�°Y±&6 § ® 2 · 6&³��6 ¨ 61®&«[6 � ¨Y§ µ =(I7@ I:B ³´¯w°Y±�¬i°�� ³V¯ 9��&��6 ¨ �y61¯_¯Y61® ¶ 6 ¨ 0 = °²±B³´¯ 6&61« § µ �� § ¯Y³L°²³ § ® ³´¯/¬ � ¨ 6 2 ³´µ/³´®�¬ ¨ · ¯_°²62��° § « § µ��F9B°²³V®70 =(I7@ I:B ¶*· °²±&6A�DC8¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ B @ -w±&6¬A®�¬ 2 § 0y9B6 § � =(I7@ � B ³´¯

= � ��� � < B � � { � � �

� ������� � �

� � < � � � =(IF@;6 B� :

Page 68: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,. ±&³V« ±È³V¯G¬A®|9��&��6 ¨ ��61¯_¯Y6[® ¶ 6 ¨ 0 ¯ · ¯�°²6[µ @'��gf� c � � � * n ,�p?p �(q ���ª~ l��� , nÂq�� � q pFprq-qG� q-,�r��#~ l��� , �8��r ���,�pn�&�^� p-w±&6 N « ±:9 ¨ ¬A®76 �y61¯_¯Y61® ¶ 6 ¨ 0"�?N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ/¯(¬ ¨ 6^® § . « § µ5��¬ ¨ 6]6 ³´®W°Y6 ¨ µ�¯ § � « § µ ��79B°²¬i°²³ § ®�¬ 2 « § ¯�° @-w±&6É« § ¯�° § � °Y±&6ON « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³V°Y±&µ ³´¯G¬A¯ � § 2A2 § . ¯ @�$� � 61®B6 ¨ ¬ 2 ³$ [6]6|N « ±:9 ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ® § � }ŬA®76 } ��� � H L�8 ; N261« @�:r@;:r@ � J�2 P } ; { < � 2 P = } ��� ��B ; { ? �%�3z ��� § �&¯

� � N2« ±<9 ¨ 6&6[« § µ5� § ¯Y³L°²³ § ® § � � H L�8 ; N 6[« @ :r@ � @ � J�> P � > { ( © � z � � § �&¯

� � ¦�§%¨ µ�³V®70 F F { � 2 P D =��JB > I z ��� § �&¯

� � - ¨ ¬i®&¯ � §%¨ µ�³V®70 � ¨Y§ µ E ° § E { ; P > I z ��� § �&¯� � N § 2 12³´®F00°²±&6M9&�&��6 ¨ ° ¨ ³ ¬A®F0y9 2 ¬ ¨ ¯ · ¯�°²61µ�

= ? ��� � < B � � { � � �

� ������� � �

� � < � � L z � � § �&¯�������� �

> G © z � � § �&¯ @-w±&6 �y61¯_¯Y61® ¶ 6 ¨ 0"�?N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³V°²±Bµ « § ¯_°²¯ ¬A¯ � § 2G2 § . ¯ @M= B § °²6�°²±&¬i°�°Y±&6 § ® 2 · 6B³��6 ¨ �61®B«161¯�¬ ¨ 6 >RB ¬A®76 � B @ B�$� �y61¯_¯Y61® ¶ 6 ¨ 0"� ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ® § � }ŬA®76 } �&� � H L�8 ; N261« @�:r@;:r@ � J�2 Px} ; { < � 2 P = } ��� ��B ; { � > � z � � § �&¯

� 6

Page 69: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� � N2« ±<9 ¨ 6&6[« § µ5� § ¯Y³L°²³ § ® § � � H L�8 ; N 6[« @ :r@ � @ � J�

> P � > { ( © � z ��� § �&¯� � ¦�§%¨ µ�³V®70 F

F { � 2 P D =��JB > I z ��� § �&¯� � - ¨ ¬i®&¯ � §%¨ µ�³V®70 � ¨Y§ µ E ° § E { ;RP > I z � � § �&¯� � N § 2 12³´®F00°²±&6M9&�&��6 ¨ ��6[¯Y¯_61® ¶ 6 ¨ 0�¯ · ¯_°Y61µ/¯

= � ��� � < B � � { � � �

� �����6� � �

� � < � � I z � � § �&¯�������� �

� © z � � § �&¯ @� § µ5��¬ ¨ ³V®70�°Y±&6 ° . §Z§ ��6 ¨ ¬$°²³ § ®�« § 9&®*°²¯ . 6 4�®76W°Y±�¬i° °²±&6��y61¯_¯Y61® ¶ 6 ¨ 0"�?N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 § �¨ ³L°²±&µ ³´¯ � > ��6 ¨ «161®*° 2 6[¯Y¯G64.���61®&¯_³ 1%6�°²±&¬A® °Y±&6M0%61®B6 ¨ ¬ 2 ³$ [6]6|N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ @

'��gf�(' � q�� �B�(qZ|�p3s qe�&�\��� p_q�� qInÂ� � ,�p ���^� q���p�l� 1A6 ¨ ¯_³ § ® § � °Y±&6 N « ±:9 ¨ ¬ 2 0 §%¨ ³V°²±Bµ °²±�¬i° 61µ5� 2 § · ¯ ¨ 6­¬ 2 N « ±:9 ¨ 6&61« § µ�� § ¯_³V°²³ § ®3¬i®76¯ § 9&¯_61¯ § ® 2 · ¨ 6­¬ 2 ¬ ¨ ³L°²±&µ/6[°Y³´«0«1¬A® ¶ 6 6&641%6 2 § ��6]6 @ � ¬ ¨ 6&³´®B6 ¨ ; � ¬39 ¶ ; v 6 °Y°²6 ; � µ ¬$° § ;¬A®76 tȧ 2 6 ¨ H L © J ; H L�L JG±�¬71%6 6&641%6 2 § ��6]6�¬A® ¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ ° § ¯ § 2 1A6 °²±&6 0%6[®&6 ¨ ¬ 2 ³! 16;6 ¨ 6­¬ 2N · 2 1A61¯�°²6 ¨ 6;8<9&¬i°²³ § ® @ v 6 ¬���� 2 · °²±&³V¯0µ�6 °²± § 6 � §%¨ ¯ § 2 12³V®70�°²±B6 6]8:9�¬i°Y³ § ® =(IF@ © BD@!¦�§%¨°²±B³´¯ ¬ 2 0 §A¨ ³V°Y±&µ § ®B6 ¯P��61«[³ ¬ 2 «1¬A¯Y6 § � °²±&6 ¶ 2 § «LKZ° ¨ ³ ¬A®7039 2 ¬ ¨ µ�¬i° ¨ ³ . ; . ±&³V« ±W³´¯�«­¬ 2A2 6;6�°²±B68:9�¬A¯_³ � ° ¨ ³´¬A®70y9 2 ¬ ¨ µ�¬i° ¨ ³ . ; ³´¯w®&6[6]6&6;6 @� ��z����� ����� ������� �e� ,-&�D)����"� �:9 } � � +.-/+ � � � � ��E�� 3 G G �D�"� �����5=�35�B���D� 'D�!� E@��� � G ��� �"�!���H���?@0L�!�$�!&� '(��� )

} {

NOOOOOP

} �/� } � � �� } � +G } �/� �� } � +JJJ JJJ J J J JJJG G �� } + +

QSRRRRRT �

� 8

Page 70: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� &� �/;@�5E.& 0�����=5���1��� � � ��E���} � � � � ��� 3 ���/ J �!' @�5E.& 0�����=5���1��� � � ��E���� �;�+' ��� 05 � ��� )K��� ����T� !��<&� �U}�� � � ����0L�#� � ���%3 G G ��� 3 ��� �!F#�"� �����5=�35�B��� )����"� �:9[J-w±&6 ¨ 6­¬ 2 N « ±:9 ¨ ¬A®763°Y±&6a0A61®&6 ¨ ¬ 2 ³$ 16;6 ¨ 61¬ 2 N « ±:9 ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ®&¯/«­¬i® ¶ 6�¬ 2 ¯ §« § ®&¯Y³A6&6 ¨ 6]6 @

45+� #��"$ 2� ��������� ��� #�� G���i+¸��" � 2�%��������,­� ����������� H L�8 ; -w±Bµ @K:r@ I7@ > J �!'o} ��� +.-/+ !�!&� �$�<&� �/ 9 � � �!� ���I��� �<&��@=5���1��� D ��� +.-/+ � 3�E.& �!& ���D K } D { (��� &� �/ ( � �>3 G G �� 3 ��� �!F#��� �����5=�3 �B��� J

45+� #��"$ 2� �������� � � 2�� #"��� ����* 2� � #�� y���i+���" � 2�%��������,­� ����������� H L�8 ; -w±Bµ :r@;:r@ © J�<' } � � ��� + -/+ � �<&� �I�<&� �/D 9 � � �Q��� �!&��@=5���1��� )������ �HE..� D ���10E; � 3OE.& �!& ��� D K } ;� �;3 G G ��� 3 ��� �!F#��� �����5=�3 �B�������10 D K � ;�� �>3 G G � �"� �����5=�35�B��� Jv 6 4 ¨ ¯_° « § µ5�79B°²6G°²±B6�0%6[®&6 ¨ ¬ 2 ³! 16;6 ¨ 6­¬ 2 N « ±:9 ¨ 6B61« § µ�� § ¯Y³L°²³ § ® § � }8¬A®76^} �*�'� ;

2 K },; { < � 2 K = } � � ��B ; { ? �. ±&6 ¨ 6 2 ¬A®76 ;�¬ ¨ 6 §%¨ °Y± § 0 § ®�¬ 2 ; < ³´¯19��&��6 ¨ ° ¨ ³ ¬A®F0y9 2 ¬ ¨ ¬A®76 ? ³´¯^9&�&��6 ¨ 8:9�¬i¯Y³ �° ¨ ³ ¬A®F0y9 2 ¬ ¨ ; ¬A®76 °²±&6 ¨ 61¬ 2 N « ±:9 ¨ 6&61« § µ5� § ¯_³V°Y³ § ® § � � ;

> K � > { (��

. ±&6 ¨ 6 > ³´¯ §%¨ °Y± § 0 § ®�¬ 2 ¬A®76 ( ³V¯O9&����6 ¨ 8:9�¬A¯Y³3� ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨]@ N ³Vµ�³ 2 ¬ ¨ 2 · ° § =(I7@ � B ¬i®76=(IF@;6 B ; . 6�±�¬71A6

= ? ��� � < B � � � �

� * � � � < � � * � {�� � �� ������� � �

� � < � � U=(IF@;8 B

H ���+* � � � ³´¯ [6 ¨_§ ; °²±&6[® . 6ɱ�¬71%6�¬A® 9&�&��6 ¨ 8:9�¬A¯Y³3� ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨ ¯ · ¯�°²6[µ

= ? ��� � < B � � {�� � �

� ������� � �

� � < � � U=(I7@ > G B

: G

Page 71: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,H ���+* � � ���{ GB; °²±&6[®

��+* � � � { G ¶ 61«­¬ 9&¯Y6 ( ³V¯O9��&��6 ¨ 8:9�¬A¯_³ �À° ¨ ³´¬A®70y9 2 ¬ ¨;@ ¦�¨Y§ µ =(IF@;8 B

. ³V°Y± � ¨ 6 � 2 ¬A«16;6 ¶*· �M�m> . 6�±&¬91A6 = I7@ 8 B -w±:9&¯= ? �

�� * � � �+* � < B � �+* � { � � * � �

� ������� � �

� � �+* � < � � � �� � �+* � < � � U

=(I7@ >y>CB< ¯_³´®70 = I7@;8yB ¬A®76 =(IF@A>y>RB . 6�«­¬i® § ¶ ° ¬A³V®W°²±&6 © z ]© z ¶ 2 § «LK�¯_° ¨ 9&«[°x9 ¨ 6;6 2 ³´®&61¬ ¨ ¯ · ¯�°²6[µH ? �

�� � < �

�+* � � � < �� � �+* � < ? �

��+* � � �+* � < J F � �

� �+* � J { F � � ��� � ������ � �� � � < � �

� � * � ��� � ������ � �� � �+* � < � � J U=(I7@ > © B

1-6 ¨ µ�9 °²³´®F0È°²±B6 ¨Y§ . ¯5¬A®76!« § 2 9Bµ�®&¯ § � °Y±&³´¯É¯ · ¯�°²61µ ³´® 6­¬A« ±!«­¬A¯_6�°²±B6 ®�¬i°x9 ¨ ¬ 2 §A¨ 6&6 ¨=?> �¥©r� U­U1U �¥© z

B ³V¯ ¨ 6 � 2 ¬A«[6]6 ¶*· °²±&6 §%¨ 6&6 ¨ =�> � z � > � ©r� z � ©r� U­U1U �¥© z B ; . 6�±�¬71%6ɬ ¶ 2 § «LK9&�&��6 ¨ ° ¨ ³ ¬i®70y9 2 ¬ ¨ µ�¬i° ¨ ³ . . ³V°Y± ©Z] © ¬A®76 L ] L 6&³ ¬30 § ®�¬ 2 ¶ 2 § «LK#¯ @-w±&³´¯ 2 ³V®&6­¬ ¨ ¯ · ¯�°²6[µ�¯ § � 6]8:9�¬i°Y³ § ®B¯�«1¬A® ¶ 6�¯ § 2 1%6;6 9&¯_³´®70 � ¬39B¯Y¯Y³´¬A®b6 2 ³Vµ�³V®�¬i°²³ § ®

. ³V°Y± ��¬ ¨ °Y³ ¬ 2 �&³ 1 § °²³V®70 @'��gf��� � � q�� q-,�rhq�q loqM��� � q �E�B�(qZ|�p3s q��&�\���v 6+� ¨ 61¯Y6[®*° °²±&6Q��¬A®*° §%¨_§ 12³V« ± °²±&6 §%¨ 6[µ § ®�°Y±&6 « § ®�1%6 ¨ 0%61®B«16 § � By6 . ° § ®�� ¯(µ�6 °²± § 6 � §%¨¯ § 2 12³´®700°Y±&6�6]8:9�¬i°Y³ § ® D =��JB { G @45+� #��"$ 2� �������� �� �����­��"�� �����$+���� �!' �<&� �/4 9 � � �!��� � 3�E.& �<& ���

J , - ��,�� J � � J � � E J � '(���>���!� � � E � � +.-/+�!� ����)K�E � ����@0 � ���!� > = � ( � � B {�� � � � + -/+ J � � �)( J � � � ���10 @ ( { �$(�� ( � � ����!�!& J , ���-�� J � � ( ���10 J � � � �)( J � � ( !��!&� �$�<&���> ��+��� �� � 3� �?E."! � �H��� �"�!�5=Q' �/��)�)( ��!�!� E.������ �"=5 �#� �D�������� ��� ? �+' D = �JB { G � &5�HE.& 9 � � �<� �!� > =��)( � �

B ! G �/������05@0�!& ������( { > � � > � © @ (@ ( � (

UM "����ON @ N2616 H � © ; N 61« @ � @ � J ; H :"I ; � @o>9L � J @:r>

Page 72: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� ¨ ¬i°� ¬A®76�N#°²³´«LKi6 2}H � � J � ¨ 61¯Y6[®*°²6]68¬ By6 . ° § ®�µ�6 °²± § 6b° § 4&®76�¯ § 2 1%6[®#°Y¯ § � °²±B6µ�¬i° ¨ ³ .N� § 2 · ® § µ/³ ¬ 2 =?>3@ ©%© B ¬A®76 � ¨Y§ 1A6]6È°Y±�¬i°w°Y±&6�¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ « § ®1A6 ¨ 0%61¯�8<9&¬36 ¨ ¬$°²³´«1¬ 2G2 ·®&61¬ ¨ ¬}¯_³´µ5� 2 6 ¯ § 2 1%61®*° @wv 6ɬ��&� 2 · °²±B6É« § ®�1%6 ¨ 0%6[®&«16É°²±&6 §%¨ 6[µ ° § °²±B6É6;8:9�¬i°²³ § ® =?>y@ >CB @

45+� #��"$ 2� ����������� CO3 G G ����2�<& ����? � � +.-/+ � �L�8� �!) G � �������� ���Q�+' � >3@A> # J ,-&� �$! � '�!&� � �6��� ���!�5=K)����"� �:9 �)( � ����� ��� .�J �)( � ? J {�� (�� � { µ/³´® ��R� > ( � JD} J � �� &� �/

> ( { ³´® � � J , - =� B J J J { > � J � � ? J �� � � G �'(��� � 3�� E �H ������7 � )����!� � � = G � > J � �T & ����� ��� �<&� �� � 3� �?E. � � + � + � ( E.������ �"=5.�;�#� ? � 3 � 0�� �����HE@���!��7"

J � �+* � � ? J � JD}KJ> ( J � � � ? J � � '(��� � { G � > �¥©r� U1U­U �� ���%� J � � � ? J �� ( F � ��!�!& FM{ JD} J> ( � (��!> !O'(��� � { G � > �¥©<� U­U­U �� ������� 2 ³Vµ��� � � { ? JM "����ON @ v 6 4 ¨ ¯_°y¯Y± § . °²±&6ɬA¯_¯Y6 ¨ °²³ § ® = ³ BD@

J � �+* � � ? J { J � � ��, ���- . = D = � � B � ? J{ J =�� � � ? B ��, ���-�. = D =�� � B � D = ? BxB J� J , ���- . J J , -�. =�� � � ? B � = D =�� � B � D = ? BxB J� >> ( J , - . =�� � � ? B � = D = � � B � D = ? BxB J{ >> ( J = } � � � ��B]=�� � � ? Bo� } =�� � � ? B�� �

� = } =�� �� � ? � B � �U=�� � � ? BxB J{ >> ( JD} � �� � } � � ? � }0? � � � } ? � J{ >> ( JD} =�� �� � � � ? � ? � � � ? � B J

: ©

Page 73: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� JD} J> ( J � �� � � � ? � ? � � � ? � J{ JD} J> ( J =�� � � ? B � J� JD} J> ( J � � � ? J �

UB § .!. 6 § ¶ °²¬A³´® = ³´³ B ¶#· ³´®7679B«[°²³ § ®��³ �J � � � ? J �� ( F �

°²±B61®J � �+* � � ? J � JD} J> ( J � � � ? J � � JD} J> ( � ( F � J � � � ? J ��F �+* � J � � � ? J

� J � � � ? J �� ( F � � � ( � � U!���� � b'\ �K8�� �K8 � `�Z[b�� ��� � \ `���Z[b�� S3� � 8w\ ��� &

'��nm �gf �/p_q q ~ q n ,�l�� qIpH ®ª°Y±&6!¯ § 2 9B°Y³ § ® § � 9&®B« § ®&¯�° ¨ ¬A³´®&6;6 § �B°Y³´µ/³$ 1¬i°²³ § ® � ¨Y§ ¶ 2 6[µ�¯ ¶*· By6 . ° § ® §%¨ 8:9�¬i¯Y³ �B�6 . ° § ® µ/6[°²± § 6&¯(³V°w³V¯w« § µ/µ § ® ° § 9&¯_6�°Y±&6 B�6 . ° § ®W6&³ ¨ 61« °²³ § ® ¬A¯G¬Z¯Y61¬ ¨ « ±W6&³ ¨ 61« °²³ § ®¬A®76 ° § 6&6;4�®B65°²±&6�®&64.2° ³V°²6 ¨ ¬i°Y6 ¶*· = ¬"�&� ¨Y§ . ³´µ�¬i°Y6 2 · §%¨ 6/.B¬A«[° 2 · B µ/³´®&³Vµ�³! 1³V®705°²±B6 § ¶ � 61« °²³ 1%6 � 9&®&«[°Y³ § ® ¬ 2 § ®70 °²±B³´¯ 6&³ ¨ 61« °²³ § ® H�� 6 ; �(±&¬�� @ L J��°²±&6/µ/³´®&³Vµ�³! ­¬i°Y³ § ® ³´¯^«1¬ 2G2 6]6 ¬2 ³V®&6w¯Y61¬ ¨ « ± @w� ³V®&6G¯Y61¬ ¨ « ±&6[¯ «­¬i® ¬ 2 ¯ § ¶ 6�9&¯_6]6 § ® ® § ® 2 ³V®&6­¬ ¨ 6]8:9�¬i°Y³ § ®5� ¨Y§ ¶ 2 6[µ�¯ ; 0A³ 1%6[®¬Z¯Y61¬ ¨ « ±|6&³ ¨ 61«[°Y³ § ® ¬A®F6Ȭ}¯x9B³V° ¬ ¶ 2 6 � 9B®&«[°Y³ § ® � §%¨ °Y±&6 2 ³´®B6­¬ ¨ ¯_6­¬ ¨ « ±È° § µ/³´®B³´µ/³$ 16 @¦�§%¨ µ §%¨ 6u6B6[° ¬i³ 2 ¯ ; . 6w« § ®&¯_³G6&6 ¨ °²±&6e0A61®&6 ¨ ¬ 2 ® § ® 2 ³V®&6­¬ ¨ 6]8:9�¬$°²³ § ® � � = � B { GB; . ±&6 ¨ 6� � � + U � + @wv 6�«­¬A® ® § . 6B6;4�®&6�°²±B6 § ¶ 61« °²³ 1A6 � 9&®&«[°Y³ § ®

� � = � B { �� J ��� = � B J �� �. ±&6 ¨ 6 � � � + U � @ev 6�® § . « § ®B¯Y³G6B6 ¨ °²±B6 � ¨Y§ ¶ 2 61µ

µ/³´®�����

5 � � = � B U=(I7@ >9L B

:�L

Page 74: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� 2 ³V®&6\¯Y61¬ ¨ « ±�¬ 2 0 §%¨ ³L°²±&µ «­¬i® ¶ 6�« § ®&¯_³G6&6 ¨ 6;6 . ³L°²± ¬A® ³V°²6 ¨ ¬i°Y³ § ®

� �+* � { � � � : � 7 � � =(I7@ >7I:B. ±&6 ¨ 6 7 � � � + ³´¯�¬W¯_6­¬ ¨ « ±�6B³ ¨ 6[«[°Y³ § ®¬i®76 : � � �

* ³V¯^«­¬ 2A2 6;6�°²±&6Z¯�°²62� 2 61®70A°Y± @ -w±&6®&6/. ° ¬ 2 0 §%¨ ³V°²±BµÅ¯_± § . ¯(± § . 2 ³´®B6 ¯Y61¬ ¨ « ±�µ�6 °²± § 6Z«­¬A® ¶ 6y³Vµ�� 2 61µ/61®*°Y6]6 . ³V°Y±/¬M6B61¯Y«[61®*°6&³ ¨ 61« °²³ § ® 7 � . ±&³´« ± ¯²¬i°Y³´¯?4�61¯

� � � = � � B K 7 � � G � =(I7@ > � B. ±&6 ¨ 6�°²±&6M0 ¨ ¬36&³´6[®*° § � ��� ³V¯

� ��� = � B { � � ���� � �= � B � U1U­U �

� � �� � += � B�� K

U� ����"$� ��+-� ��� ������� H © > ; N 61« � @ L J� �!�� � � ( � � +E@��� E 3 �B���# �D05.��E. ��� 0��!�/.E �"�H��� 7 � !�� � � � * � { � � � : � 7 � !O'(���Q����)K : � � G �!& ��� )�� � .� � �+* ���� �5E.E. G �6� � � �? 9 � �!�# � ���+ JB § . °Y±&6 8:9&61¯�°²³ § ®/³V¯�± § . . 6G«­¬A®}« ± §2§ ¯Y6w°Y±&6G¯_°²62� 2 61®70i°²± : � ° § 0%³ 1%6G¬^¯x9 ¶ ¯_° ¬i®#°Y³ ¬ 2¨ 6;679&« °²³ § ® § � °²±&6�6]8:9�¬i°Y³ § ® ��� ¶ 9B° . ³L°²± § 9 °0¯P��61®F6&³´®70 ° § § µ�9&« ± °²³Vµ�6}° § « § µ5�79B°Y6

: � @ - . § « ± § ³´«[61¯ ; 0 2 § ¶ ¬ 2 ¬i®76 2 § «­¬ 2 µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨ ¯ ; «1¬A® ¶ 6�« § ®&¯Y³A6&6 ¨ 6]6 @ -w±&6 0 2 § ¶ ¬ 2µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨ «­¬i® ¶ 6M6&6;4�®B6]6 ¶*·� � § ³´®*° � Py³´¯G¬�0 2 § ¶ ¬ 2 µ/³´®B³´µ/³$ 16 ¨ ³ � ��� = � P B � � � = � B � §A¨ ¬ 2G2 � ��� +.-/+ @

¦�§%¨ ¬ 2 § «­¬ 2 µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨ ; °Y±&6 ¨ 6É6/. ³´¯_°G°Y± ¨ 6[6 6B³��6 ¨ 6[®*° 2 § «1¬ 2 µ/³´®B³´µ/³$ 16 ¨ ¯ H�� 6 ; N 61« @ © @A> J @� � � § ³´®*° � P�³´¯\¬ = . 61¬3K B 2 § «­¬ 2 µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨ ³ � °²±B6 ¨ 6Z6/. ³´¯_°Y¯É¬ ®B61³G0A± ¶ § 9 ¨ ± §2§ 6��§ � � PG¯x9&« ± °²±�¬i°

��� = � P B � � � = � B � §%¨ � � � U� � � § ³´®*° � P ³´¯ ¬}¯�° ¨ ³´«[° 2 § «1¬ 2 µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨ = ¬ 2 ¯ § «­¬ 2G2 6;6 ¬Z¯_° ¨_§ ®70 2 § «­¬ 2 µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨LB³ � °Y±&6 ¨ 6�64. ³´¯�°²¯�¬}®B61³G0A± ¶ § 9 ¨ ± §2§ 6� § � � PG¯x9&« ± °²±�¬i°��� = � P B � ��� = � B � §%¨ ¬ 2G2 � � � . ³V°Y± � �{ � P U:"I

Page 75: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� � � § ³V®*° � P(³V¯(¬i®W³´¯ § 2 ¬i°Y6]6 2 § «­¬ 2 µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨ ³ � °Y±&6 ¨ 6\64. ³V¯_°²¯(¬5®&6[³G0%± ¶ § 9 ¨ ± § § 6 �§ � � P ¯x9&« ± °²±�¬i° � P ³´¯ °Y±&6 § ® 2 · 2 § «­¬ 2 µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨ ³´®� @

v 6 6B6;4�®&6�¬ � 9&®&« °²³ § ®� = : B { � � = � � � :�7 � B � : � G

U-w±&6 0 2 § ¶ ¬ 2 µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨Â§ � °Y±&6 � 9&®&« °²³ § ® � ³´¯(¬}®&¬i° 9 ¨ ¬ 2 « ± § ³´«[6^¬A¯ °²±B6^¯_°²62� 2 61®F0A°²± ¶ 9 °³´®|0%61®B6 ¨ ¬ 2 ³V°y³V¯ 64.���61®&¯_³ 1A60° § « § µ��F9B°²6 @ -w±&65¯Y61« § ®76 « ± § ³V«16�³´¯�¬ 2 § «­¬ 2 µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨ § �°²±B6 � 9&®B«[°²³ § ® � @�H °�³´¯ ¬ 2 ¯ §�¨ 6]8:9&³ ¨ 6]6/° § 4�®76�°Y±&6@� § ³V®*° . ±&³V« ± ¯Y¬i°²³V¯g4�6[¯ � ��� = � B { G @ �µ §%¨ 6 � ¨ ¬A«[°Y³´«­¬ 2 ¬"�&� ¨Y§ ¬A« ±W³´¯�¬A® ³´®&6/.&¬i«[° 2 ³´®B6y¯_6­¬ ¨ « ± ; . ±B³´« ±W¯Y¬i°²³V¯g4�6[¯(¯ § µ�6y« § ®F6&³V°Y³ § ®&¯° § ³A6&61®*°Y³ � · °²±&6Z¯�°²62� 2 61®70i°²± @ � ¯_³´µ5� 2 6�« § ®76B³V°²³ § ®È°Y±�¬i°^¯_616[µ�¯\° § ¶ 60« § µ/µ § ®�¯Y61®B¯Y6«­¬i® ¶ 6 6&6;4&®&6]6 ¶*·

� � = � � � : � 7 � B � � � = � � B U=(I7@ > � B

-w±&6/« § ®F6&³V°Y³ § ® =(IF@A> � B � ¨Y§ 12³G6&6[¯5¬ ¨ 6;679&« °²³ § ® ³V® ��� ¶ 9B°É³V° 6 § 61¯�® § °O039�¬ ¨ ¬i®#°Y616}°²±�¬$°� � � � « § ®�1%6 ¨ 0%6[¯Â° § ¬ µ/³´®&³Vµ�³! 16 ¨e§ � ��� @ � § ®&¯_³G6&6 ¨ °²±B6u8:9�¬36 ¨ ¬i°²³V«(6]8:9�¬$°²³ § ® � � = � B { � � @H �w. 6}« ± §2§ ¯_6 � ( { © ; 7 � { = � >CB � * � ¬A®76 : � {I© � L�= © ��� �+* ��� B ; � §%¨ ¬ 2A2 � { G � > � U1U­U �°²±B61® � � { = � >CB � =?>u� © � � B � 61¬A« ± 7 � ³´¯ ¬U6&61¯_«16[®#°M6B³ ¨ 6[«[°Y³ § ® � ¨_§ µ � � ; ¬i®76 � � = � � B ³´¯µ § ® § ° § ®&³´«1¬ 2G2 · 6&61« ¨ 61¬A¯Y³V®70 . ³L°²±

2 ³Vµ��� � � = � � B { > �. ±&³V« ±!³´¯�³ 2G2 9B¯_° ¨ ¬i°²6;6 ³´® ¦ ³G0y9 ¨ 6 I7@ >y@ -w±&³V¯�³V¯�® § °�¬Èµ/³´®&³Vµ�9&µ § � ��� ¬A®76 � � � � 6 § 6[¯® § °G« § ®�1%6 ¨ 0%6 ; ¯_³´®&«[6 � � � � ±&¬A¯G¯x9 ¶ ¯_6]8:9&6[®&«16[¯ . ³V°²± 2 ³´µ/³V° � § ³V®*°²¯ > ¬A®76 � >3@

� . 6 2G2 � K#® § . ®È³V®&64.B¬A« ° 2 ³´®B6^¯Y6­¬ ¨ « ± « § ®76B³V°²³ § ® ³´¯ °Y±&6 � § 2G2 § . ³V®70&� � = � � � :�7 � B � ��� = � � Bo� > � : � � � = � � B K 7 � � =(I7@ > :yB� §%¨ ¯ § µ/6�« § ®&¯�° ¬A®*° > � � = G � >CB @ -w±&6(³V®&6]8:9�¬ 2 ³V° · = I7@ > :yB ³´¯-«­¬ 2A2 6]6�°²±B6 � ¨ µ�³ § « § ®76B³V°²³ § ® @

-w±&6 � ¨ µ�³ § « § ®F6&³V°Y³ § ® ³V¯w³ 2G2 9&¯_° ¨ ¬i°Y6]6 ³V® ¦ ³G0y9 ¨ 6 I7@ © @N ³´®B«16�°Y±&6 � ¨ µ/³ § « § ®F6&³V°Y³ § ®/³´¯ ¯²¬i°Y³´¯g4&6]6 � §%¨ ¬ 2A2 ¯g9�C/«1³V61®*° 2 · ¯_µ ¬ 2A2 1i¬ 2 9&6[¯ § � : = ¯Y6[6¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@ © B ; °²±B6 � ¨ µ/³ § « § ®76&³L°²³ § ®0³´¯�® § °Â61® § 970%± ¶#· ³V°²¯_6 2 � @ N § . 6G« § ®&¯_³G6&6 ¨ ¬�¯_61« § ®76: �

Page 76: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,� � = � B � �

�©>� © � >� � � (

¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@ > tȧ ® § ° § ®&³´«1¬ 2G2 · 6&61« ¨ 61¬A¯Y³V®70W¯Y6;8:9&61®&«[61¯ § � ³L°²6 ¨ ¬i°Y61¯�°Y±�¬i°�6 § ® § ° « § ®�1%6 ¨ 0%6° § °Y±&6�µ�³V®&³´µ/³$ [6 ¨]@« § ®76&³V°Y³ § ® ; . ±&³V« ±È³V¯e6&6;4�®B6]6 ¶*·

� � � = � � � :�7 � B K 7 � � > � � ��� = � � B K 7 � � =(I7@ >96 B� §%¨ ¯ § µ/6 « § ®&¯_°²¬A®*° > � � = > � � >CB ; . ±&6 ¨ 6 > � ³´¯�°²±&6 « § ®&¯�° ¬A®*° � ¨Y§ µ = I7@A>9:yB ¬A®F63°²±&³V¯³´®B6]8:9�¬ 2 ³V° · ³´¯w«­¬ 2G2 6;6 °²±&6�«]9 ¨ 1i¬i° 9 ¨ 6�« § ®F6&³V°Y³ § ® @z¦ ³G0y9 ¨ 6 I7@ L ¯Y± § . ¯G°²±&6�«]9 ¨ 1i¬i° 9 ¨ 6�« § ®��6&³L°²³ § ® @-w±&6^¯x9�C�«[³´6[®#° 6B61« ¨ 6­¬A¯_6�¬A®76 «;9 ¨ 1i¬i°x9 ¨ 6\« § ®76&³L°²³ § ®&¯ ¬ ¨ 6 K#® § . ® ¬A¯ °Y±&6 v § 2 � 6�« § ®��

6&³L°²³ § ®&¯ � � = � � � : � 7 � B � � � = � � B � > � : � � � � = � � B K 7 � � =(I7@ >98 ¬ B

� � � = � � � : � 7 � B K 7 � � > � � � � = � � B K 7 � � =(I7@ >98 ¶ B. ³V°Y± G � > � � > � �!>y@�v 6�³ 2A2 9&¯�° ¨ ¬i°²6y°²±&6 v § 2 � 6^« § ®76&³L°²³ § ®&¯ ³´® ¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@ IF@'��nm �nm � � q�� q-,�rhq�q loqM��� ��p�q q ~ q n ,�l��¿s q����\��� pv 6�® § . « § ®&¯Y³A6&6 ¨ ¯ § µ�6É« § ®�1A6 ¨ 0A61®&«[6 ¨ 61¯g9 2 °Y¯ § � 2 ³V®&6�¯Y61¬ ¨ « ±&6[¯ @ -w±&6 � § 2G2 § . ³V®70 ¨ 6[¯x9 2 °¯Y± § . ¯G°²±&¬i° 0%³ 1A61®È¬A® · 6&6[¯Y«16[®*° 6&³ ¨ 61« °²³ § ® 7 � ; °²±B6 ¨ 6�6/.B³V¯_°@� § ³´®*°²¯w¯Y¬i°²³V¯ � · ³´®F0 =(I7@ >98 BD@: �

Page 77: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,

Acceptable

� = : B

:

� = : B { � � = � � � :�7 � B

� = : B { � � = � � Bo� > � : � ��� = � � B K 7 �

� = : B { � � = � � Bo� : � � � = � � B K 7 �

� � = � � B

¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@ © � «[«16 � ° ¬ ¶ 2 6�1i¬ 2 9&61¯ § � : 9&®76&6 ¨ °²±B6 � ¨ µ/³ § « § ®F6&³V°Y³ § ® =(IF@A> :3B . ³L°²± G �> � � >3@

Acceptable

� = : B

:

� = : B { � � = � � � :�7 � B

��� = : B { � � � = � � � :�7 � B K 7 � { > � � � � = � � B K 7 �

¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@;L � «[«162�B° ¬ ¶ 2 6�1i¬ 2 9&6[¯ § � : 9B®76&6 ¨ °Y±&6«]9 ¨ 1i¬i° 9 ¨ 6 « § ®76B³V°²³ § ® = I7@A>76 B . ³V°Y±> � � > � �">y@

:�:

Page 78: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,

Acceptable

� = : B

:

� = : B { � � = � � � :�7 � B

� = : B { � � = � � Bo� > � : � ��� = � � B K 7 �� � = : B { > � � � � = � � B K 7 �

¦ ³A0y9 ¨ 6 I7@ I � «[«162�B° ¬ ¶ 2 6N1i¬ 2 9&61¯ § � : 9&®76&6 ¨ °²±B6 v § 2 � 6�« § ®76B³V°²³ § ®&¯ =(I7@ >98 B . ³V°Y± G �> � � > � �">y@� �!�!� ����������� �� � � � � + U � � E.�������!��3O��3 � ��7 0�� � �/ ������� � � ��� � + J �� �� � �²7 � � � + �!� =(IF@A>7I B � ����� �<' 7

� � � = � � B K 7 � � G ����10D���.� 35)K� � � = � � � :�7 � B : � G �� � � ��35�105@0 � � ����JI,-&� �I� ' G � > � � > � � > �!&� �/K 9 � � � :�� � :�� � G � 3�E.&$�!& ��� �!&��!�# �@�����H��� =(IF@A>7I B � ����� ��� .� =(IF@A>98yB � ' : � � = :�� �_:�� B JM "����ON @ N2616 H © > ; -w±&µ @ � @;LF@ © J @< ¯_³´®70 � 61µ/µ ¬ IF@ © @ © § ®&6 «1¬A® � ¨Y§ 1%6 °²±B6 � § 2G2 § . ³V®70�°Y±&6 §%¨ 61µ . ±B³´« ±E¯Y± § . ¯}°²±�¬$°³ � ¬A® · ¯Y6;8<9B61®&«[6 � � � � ; . ±&³´« ± ±�¬A¯�°²±&6 � §%¨ µ =(I7@ >7I:B ; ³V¯M0%61®&6 ¨ ¬i°Y6]6 ¯Y¬i°²³V¯ � · ³´®F0 = I7@A>78 B ;

°²±B61® ; 9&® 2 61¯_¯w°²±&6ɬA®70 2 6�� � ¶ 6 ° . 6[61® � � � = � � B ¬A®76 � �+* � � � � ; 6B6;4�®&6;6 ¶*·« § ¯�� � { � � � � = � � B K = � �+* � � � � BJ � �+* � � � � J � �

« § ®1A6 ¨ 0%61¯y° §� � © ; 61³V°Y±&6 ¨ � � � = � � B « § ®�1%6 ¨ 0%6[¯�° § G ; §%¨ � � ³´¯e9&® ¶ § 9&®76&6;6 ¶ 6 2 § . @:�6

Page 79: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,45+� #��"$ 2� �����e�V��� � � � � � + U � � E.�������!��3O��3 � ��7 0�� � �/ ������� � � $��� � + !L���10���.� 35)K;�<&� �/4 9 � � �!��� � � � 3�E.& �<& ���

J � ��� = B � � ��� = � B J � � � J � � J �]� =(I7@ © G B'(���� �� � 7 � � � � + J%,-&� �$!=��!�� �I����7 � ( � � + !Q �!�!&� � ��� � � 3 � � ��35�105@0 � � ��� ! ����!&� �.4 9 � � �!������ � 3� �?E. � � � � �!� =(I7@ >7I:B ! � { G � > � U­U­U � � ����� �<' 7 �!�5= = I7@ >98 B !����108 �!�<&� �� ��� = � � B K = � �+* � � � � B � G

���� ��� = � � B { G ���10 � �+* � � � � { G �'(��� @�5E.& � � G J �?3 � �!&� � )K���."! '(��������72� 3�E.& �� � 3O �?E."! �!�<&� �

� ��� � � � = � � B { G !O'(���Q����)K � � G ! ���� ���%� 2 ³Vµ� � ��� = � � B { ��� ! ���� ������� 2 ³Vµ��� � ��� = � � B K = � �+* � � � � BJ � �+* � � � � J � { G

UM "����ON @ N2616 H © > ; -w±&µ � @ LF@ L J @¦�¨Y§ µ -w±&6 §%¨ 6[µ I7@ © @ L . 6Z«1¬A® « § ®&¯Y³A6&6 ¨ °²±&6 ¨ 61¯g9 2 ° § � 0 2 § ¶ ¬ 2 « § ®�1%6 ¨ 0%6[®&«16 § � 2 ³´®&6¯Y61¬ ¨ « ±B61¯ @45+� #��"$ 2� �����e� ����� ��� � ��05 �T����7Q�!�# �@�����H���D�+'T�!&�1'(��� )�� I��7I � !?� &� �/ � � � � � � � K 7 � �G ���10 : � � ����� ��� .���<&���%��� '(�E.���10��!���H��� ��� I��98�� J CO3 G G ���� �!& ��� ��� � � � ��3 �105@0 � � ������10 E.�������!��3���3[� ��7K0�� � �/ ���"��� � � >��� � + J��Q�.� 35)K ��� ���4�!& ��� � � � � ����� ��� .� �!&� E.���10��!F���H����� I� © G � ���10

��� � � � � � � � � (�� � '(���>���!� � ��� + �� &� �/ � ( � �;�!&� � �6��� ���!�5= G ���!��� �+' �<&�>�!�# � ���"�H���1JL,-&� � �� � (

« § ¯ � � � J � � � � � � � J �� � GU:�8

Page 80: Department of Mathematics - The University of Manchester

���z� ��}� �����L,�') *��+��e��������+���e���A� � ���� �¸ #�&"$�i+� 2,�?3 � �!&� � )K���/"! � ' �<&� �/>� � � G ��� �!���!�� E.��� � �6����� � � 3OE.& �!& ���

« § ¯ � � �� � G � '(�������!� � ��!&� �� ³Vµ� �

J � ��� � � � � J � { GU'��nm � c ) ��n�l¸� ��p�q q ~ q n ,�l�� q p �¥��,����������

� 6[®&®&6 ¨ ¬A®� � · 6 ¨ ¯ H�� J#³V®�1%61¯�°²³��*¬i°²6�°Y±&6��B¯Y6 § � 6/.&¬i«[° � ³´®&6�¯_6­¬ ¨ « ±&61¯-³´® B�6��w° § ®���¯�µ��[°Y± § � §%¨ ¯ § � 12³´®��/°²±��5¬ � ��� ¶ ¨ ¬i³´«��y³V«1«­¬$°²³�������¬i°Y³ § ® � �! �¬A®#" � I%$ ±�¬% &�1¬ ¨ � ³'� ¨ �B¯(�� )�/.&¬i«[° � ³´®��¯(�1¬ ¨ « ±*�1¯z³V®5¬+�,�&¬A¯Y³3� B-���w° § ®�µ.� °²± § � §A¨ °Y±��(¯Y¬Aµ���� ¨Y§ ¶�� �1µ0/ ¶ �B°1 B³' 5® § °2�%³ 1%�(¬A® · ��/�° ¬i³ � ¯ � � �-� ¨ �3/��4�G¬���� �V· �4.B¬A« ° � ³V®��(¯5�­¬ ¨ « ±��1¯6�G³V°Y± B-���w° § ®¸� ¯Âµ��[°²± § � §A¨ °²±*�7����¬% ¨ ¬i°²³V«µ�¬i° ¨ ³ .8������¬i°Y³ § ® �

9w±��(µ § °Y³ 1i¬i°²³ § ® � §%¨ � ³´®���¯5�­¬ ¨ « ±��1¯z³V¯e°²±�¬i°�/ � ¬ ¨ � ¨_§ µ)¬G¯ § � �B°²³ § ®:/ °²±*� � ³´®��1¬ ¨ µ § �� � § �D �<; ��§ ®=�G±&³V« ±NB+�>�w° § ®�� ¯�µ��[°²± § }³´¯ ¶ ¬i¯(�� /µ�¬ ·0¶ �G³´®&¬A«1«>� ¨ ¬i°(�%/#¬A®* �¯ § °Y±��@B-�>�w° § ®¯_°(� � µ�¬ · ® § ° ¶ ��¬.� §2§ § ®*� �+? ³´®���¯(�1¬ ¨ « ±*�1¯^¬ ¨ ���/.��@�[«[°A�> ° § �%³ 1%� ¶ �[°_°A� ¨ � � § ¶ ¬ �« § ®1%� ¨ ���1®&«>� ��°²±&¬i°0³V¯�/�« § ®�1�� ¨ ���[®&«�� � ¨Y§ µ ¬ ¨ ¶ ³L° ¨ ¬ ¨ · ¯_°²¬ ¨ °Y³´®���� § ³´®*°²¯ ��� � ®B�4.B¬Aµ5� � �¬% �¬"�B°A�> � ¨_§ µC" � $ ³ ��� �&¯�° ¨ ¬i°A�[¯(°²±�� � § ³´®*° � � § ®&¯_³' �� ¨ °Y±��D����¬% ¨ ¬i°²³V«^µ ¬i° ¨ ³3.E�>�,�&¬i°²³ § ®

;&FHGF GG ��I!J F JLK G*M G � �DN M

�G±&³V« ±»±�¬A¯ ¯ § � � °²³ § ®&¯0; K &³ ¬%� � � M � � I!J � � �PO ³V°Y±�; ( K &³´¬%� � M � � / B-�>�w° § ®:Q�¯µ��[°²± § &�A³ 1��[¯ K B³ ¬%� � G*M � �SR I!J F�T � � � © � /�¯ § °Y±�¬i°U; I K ; (6V ³´¯ ¬ µ�&« ±&� §%¨ ¯5�¬��&� ¨Y§ . ³´µ�¬i°A�ɯ § � 1��[®#° °²±�¬A®W; ( � � § ���21�� ¨ /�³V°�³´¯�« � �­¬ ¨ °²±�¬$°U; (XVZY ³V¯\¬/¯ § � 1��1®*° � §%¨¯(�B³V° ¬ ¶�� �^« ± § ³´«�� § � °²±*�ɯ_«­¬ � ¬ ¨4Y �

[n® § � ¨ B-���w° § ® µ��[°²± § L�G³V°Y± � ³´®*�5¯(�1¬ ¨ « ±*�1¯����Z° ¬%\3�/¬ µ]� � °Y³ � � � § � °²±*� B-�>�w° § ®¯_°(� � °²±�¬$°�µ/³´®B³´µ/³$ ��[¯�°Y±���µ.� ¨ ³L° � �&®&«[°Y³ § ®

^ � Y � K J D �<; VBY � J F� M � I� © �6 G

Page 81: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ������������������������������ � �������� �"!#�$���%�

�'&��)((�+*,&*�.-�(0/21 �43"5��"6738/2(09 J;: J�� K �<*,(0=�>�� ��: P0: � � I!J F �@? *0&��4(7>A&"/25B>>�46C/�D�9��4(E5F*@D<�"3">;G*,5F/23H>4/%� � I1 �J*,(05��� ��D�/�( �LK8=�9NM � �3/�1�=�6(�> O/�3�/$*,&��)(.3"/2(09N6./�D7P � /�1��8*.*,&85B6./23���&�=$660/�9.�@*,&��)/2((�L*,5B>4= � 1"=�> \ 5B3���/2=�61�;K8M � =�5F3��� Q1 � � / � �SR /�*(�T*0&�=$* ^ 5F6U*0&��V6(�89W/�DX65����=�((�)6Y/�DPZ=�3� [=\60/ � ] �43�*C/$D�PZ5F67= � � /�1�= � 9�5F3"5B9N5$ >�4(�/$D ^ � � �4>^= �'� 5F3��.*,&�=#* R ���C*,/23 Q_6V9��)*0&"/, ��L`�3��46 1�abP � ; � V , - � � Kdc /8D�(0/�9 � �fe � � �4�\&�= ] �3/XD�/�(V*,&"5F6 /

P � ; VBY � K P �<; � V#Y , - � � V#Y F : F

K � T Y � P �<; � VBY F : F4g �ih �fe2e �9C&��"6

^ � Y � K � T Y � F JLP �<; � J F� V#Ykj J;: F J F�V � T Y � Y F�*,(,=$>���lkP �<; � P : F V �i: F � P P � ; �Em

npo � T Y � F Vrq Ykj Vts � T Y � Y F

K q Y j T s Yvu1V � o Vws � Y F T e o Y:V o g �ih �fe�x��[yD q K J;: F J�� KZc *,&��)3 ^ � Y � K o � T Y � F / �'&"5F>A&I=$*0*,=�5B386z5 *,6+� � /21"= � 9�5F3"5B9]�"9

=$* Y K /�a%5'� � "5F3���*0&��Q6E*,=�3� �=$(( R ���C*,/23I6{*A�4M � [yD o K|c *,&��)3&; 5B6.=}6E/ �F] �43�* �DO �>^=$3�*0&��4(5�)D�/2(5�~=$606(�89.�.*,&"=$* q � c =�3� o � c �O �'&�= ] ��= ����=�({*,5B>CM�/ � a�38/29�5B= � ^ /�D �'&"5F>A&���� �'5B60&�*,/.`�3* N*0&�� � � /21"= � 9N5B3"5F9�"9 �� ����=�(E*05B>C&�=$67=$*�9N/26{*Y* �7/~9�5F3"5B9�=*/�/$D@�'&"5F>A&�/�3��z5F6�*,&�� � � /21�= � 9�5F3"5B9�89 �:O �z&"= ] �

^ � � Y � K e o � Y T � Vts � e Y T x3Y F � V h q Y u g�-�)3">��

^ � � c � K T e o � c M �ih �fe h �=�3�

^ � � e � K e � o T h sEV � q �

K e *,(,=$>�� l P �<; �{� P �<; � T h �iP � ; �E� : F V ��: F �E� P �<; � � V � �i: F �E� : F m

K e *,(,=$>���l �iP � ; � T h2: F �E� ��P �<; � T h2: F �{m� c g

Page 82: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

global minimunglobal minimum

global minimum

^ � � Y �^ � � Y � ^ � � Y �

YYY

YYY

ccc

ccc

eee

eee

^ � Y �^ � Y �

^ � Y �

-S5����"((�Yh ����� 9C&*�@>>�"1"5F>�D<�83">)*05B/23 ^ � � Y � &�=�6�/23 � a+/23*�@(5�^= �� �4(E/�=�3* \*0&��X�,�"=�(E*05B>YD<�"3">L*,5B/�3^ � Y � &�=�6C*,&��D� � /21�= � 9�5F3"5B9�89 =#*C*,&�� ((�4= �� �)(0/ �

� 5F3">�� ^ � � c � � c =�3� ^ � � e � � c / ^ � &�=�6~= (5�^= ��� �4(0/ 5B3I*,&��N5B3�*(�4( ] = � � c M e $ /U=�3� I*,&"5F6� �)(0/�>4/�(0((�)60M�/23� "6V*0/�=J9�5F3"5B9]�"9 /2(C=JM�/25B3�*7/�D 5B3 � �)>)*05B/23[/�D ^ � [yD ^ � � Y � &"=�6C/23 � a /23*�((�4= �� �)(0/ ��-S5����"(5�+h � � � /8*0&��\((�^= ��� �)(0/N5B6V*,&*� � � /21�= � 9�5F3"5B9N5 � �4(@/�D *,&�� 9��4(05 *CD<�"3">L*,5B/�3^ � Y � 5B3 �ih �fe�x�� �

[yD ^ � � Y � &�=$6z*,&8((���� "5��@�4(5�43�*+(5�^= ��� �)(0/26 ��-S5����"(5�~h � � � /2(( *�4((�> :/�� I � � F � � u /X*,&*�43� I /2(�� u 5F6~*0&��E� � /21�= � 9N5B3"5F9�5 � �4(./$D ^ � Y � � 9C&,�86�/6�4�[>4=�3 `�3� w=W� � /21"= � 9�5F3"5B9N5 � �4(Y������� � T � M � � /�D ^ � Y � 1�a[*,&�� M"(E/�>>�� ��"(5�D�LK�M � =$5B3��> �5F3�-S5'���8((�.h � � �

� � *A�4(E3�=$*05 ] � � a%/8605F3">�� Y K >4/�(0((�)60M�/23� "6C*0/�=�M*�"((� R �>�C*,/�3�6{*A�)M:/�5F*C5F6V((�4=�60/�3�=�1 � �*,/~((�)6E*,(E5B>L*V/��"(7=$*0*(�43�*,5F/23 *0/~*,&*��5B3�*(�4( ] = � " c M e $ /8= � *,&8/����2&N*,&��)((��5F673"/]����=�(0=�3�*A��� *,&�=#**,&*�4((�Q5F6.=}9N5B3"5F9�"9 /�D ^ 5B3 *0&"5B6�5B3�*A�)( ] = � �'&*�43L�4�N=�(5� Di=�(�D�(E/29 =}60/ � �8*,5F/23 � 9C&��"6

� e

Page 83: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

localglobal

local

global

local

global

^ � � Y �^ � � Y �^ � � Y �

YYY

YYY

ccc

ccc

e ee

eee

^ � Y �^ � Y �

^ � Y �

-S5����"((� h � � � 9C&���>��"185B>JD<�"3">L*,5F/23 ^ � � Y � &�=�6.*,&8((��� 85��@�4((�)3�*~(5�^= � � �4(E/26�/�� I � � F � � u=�3� b*,&*� ����=$(E*,5F>+D<�"3">L*,5B/�3 ^ � Y � &�=�6V*0&�� � /%>^= � /�( � � /21"= � 9N5B3"5F9 = =$* � I /�( � u �

� x

Page 84: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

Are all zeros real ?

Choose

Yes

No

No

Yes

Find zeros of

Choose Choose the real zero

Order the zeros

^ � � Y �

� I � � F � � u

^ � � I � � ^ � � u �

� I � u

-S5'�%�"((�.h � ��� - � / � >A&�=$(E* /�D `�3� "5F3��N==� � /21�= � 9N5B3"5F9�5 � �4(T/�D ^ � Y � �

� h

Page 85: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

��� *�)`�3�� Y 1�a^ � Y � K 9N5B3

����� ( � F�� ^��� � g �ih �fe � �

9C&��)((�~=�((�+* �T/ >4=�6(�)6'*0/�>)/23"6E5' ��)( �� � [yD ^ � &�=�6~/23��N((�^= � � �4(0/ =�3� r= �i3"/�3�Gk(5�^= � � >)/29NM � �;K�>4/23 �*��=$*A�NM�=�5F(~/$DV(0/%/�*06

*,&*�43b*,&�� ((�4= �� �)(0/�/��'&85B>A&�9�"6E* � 5'�+5F3�� c M e $ 5B6V*0&��D ��46E5B((�> � � /21�= � 9�5F3"5B9]�"9 �� e � [yD ^ � &�=�6'*,&"(5���~((�^= � � �4(0/�6z*,&*�43H=$* 9N/26E* * �T/[=�((�\9N5B3"5F9 =J/�D ^ � [yD�*,&�� � � /21�= �

9N5B3"5F9�"9 � 5��46J/%�8*,6E5' ���� c M e $ *,&��)3 Y K e 3��>�� "6Q*,/H1 �[>A&��)> \%�� /C=�6Q5F* 9 =^aOa�5�� � r=609�= ��� �4( ] = � ���./$D ^ *,&�=$3�*0&�� � �4(E/�/$D ^ � 5F3 � c M e $ ��.3"/ �'5B3��[*,&*�46(�N>^=$6(�46>/S5 *.5B6 �4=�6EaH*0/�5F9�M � �49��43�*+*0&���>A&"/25F>���/�D Y 5B3 ��h �fe � � /�6E5B3">>�

*,&*� � �4(E/26'/�DU*0&�� >��"185B> ^ � =�3� b*,&�� ] = � ���46C/�D ^ =$*C*,&��)6(� � �)(0/26 =�(5� �4=�605 � a�>4/29NM��8*(�� �9C&��#�����46{*,5B/�3W=$(05B65�46 /$D��'&*�)*,&*�4(H*,&��B�;K8=�>)* � 5F3�� 65�^=�(E>A&��46�5B3�*(�4(ED<�)((� �'5 *,&�*,&*�

����=% "(0=$*,5F>Q>4/23 ] �4((�%�43">>� /�D R ���C*,/23:Q 6 9.�L*,&"/, :/�3��)>��)60605 *A=$*05B3��b*,&*���;K�M � 5F>45F*�6(�L*0*,5F3��b/�DY K /�3">���>4/�3 ] �4(5���43">>�75F6�=�M"M"(E/�=�>A&��> � 9C&��@=�3865���4( 5B6�3"/�/ �"3� *�4( =C9�5 � =�6E6(�"9NM8*,5F/23:/=�6X�4�z3"/ � 60&"/ � � � 606(�89.� *,&�=$*H;�V5B6X�'5F*0&"5B3�=\(5���25F/23=�'&��4(5� ����=% "(0=$*,5F> >)/23 ] �)((���)3">��*,/L; /%>4>��8(06�/T=�3� � �)* ;� * I K ;� V �}=$3� �;�� * I K ;� V�Y � 1@�}*0&��b6E*,=�3� �=�(5 R ���C*,/23 �"M@ "=$*A� =�3� *0&�� �"M �=$*(�W�'5 *,& �;K8=�>)* � 5B3*��65�^=�(E>A&:/'((�)60M �4>)*05 ] � � a �� �L`�3"5B3*�� � K ; T ;� /��4� &�= ] �

� � � * I � K�� l � � � � F m g9C&��D ��L`�3"5F*05B/23b/�D Y �)3"6(�8((�46'*,&"=$* / �"6E5B3�� ��h � e�e � /

� � T Y � P � ;� � VBY F : F� � K � P �<;� VBY � ������� P � ;� V � ���

K � P �<;� * I ��� K � P �<; T � � * I ���

K � P �<; ���1V � � � � � * I � �

K�� l � � � � F m g �ih �fe � �

R / � � K T � � * I V � � /�60/ � � � K�� � � � � � � =�3� :/�1�a � � e � � /

P � ;�� � K P �<; T � � � K T , - � � � � V � � � � � � F � g

� �

Page 86: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

�-�)3">��3/�=$6 � /23��N=�6'*,&��~-�( ��4>A&*�)*- ��4(E5 ] =$*,5 ] � 5B6'3"/�3"605F3���� � =�( =$* ;B/ �ih �fe � � 5F9�M � 5'�)67*,&�=#*� T Y�� K � � � � � � ��� 9C&��"6

; T ;� * I K ; T ;� * I V ;�� * I T ;�� * I K�� l � � � � F m V � T Y �� � K�� l � � � � F m M

=�6'((�>���"5B(5�� �9C&��X� � /�1�= � >4/23 ] �)((���)3">��TM"(0/�M@�)(E*,5��46�/�D R �>�C*,/�3:Q_6�9��)*0&"/ �'5 *,&D�LK8=�>L* � 5F3���6(�4=�(0>A&*�46

>^=$3 1 � /�18*A=�5F3��� ND�(0/29 6E*A=$3� �=�(5 �*,&*�4/2({a � O �z=$((�+� �@�4>)*05 ] � � a�6E/ �F] 5F3�� = 3"/23 � 5B3*�^=�(Y6{a�6vG*A�)9 � ��� � K c 1 a R ���C*,/23 Q_6J9��)*0&"/, :/ �'&��)((� � ��������� ���� /1 "/25F3�� � 5B3��N6(�4=�(0>A&*�46/23 *0&�� D<�"38>)*,5F/23� ��� � K � ��� � � � ��� � /�=�6Q=% ] /%>^=$*(�� r1�a �)3"3"5F6Q=�3� � >A&"3�=�1 � � " e /� �)> � � � � $ =�3� - � �)*,>A&*�4(#" e�� / � �4> � � �fe $ � 9C&*�B� � /21"= � >)/23 ] �)((���)3">��w((�)6(� � *,6H/�DW" e /� �)> � � �_x3$ /-" e�� / � �4> �Ye ��� $ =�M"M � a M8(0/ ] 5' ��> w*0&�=$*Q>>�4({*A=�5F3r((�46{*,(E5B>)*05B/2386J*,&�� O / � D<��>4/23%G "5 *,5B/�3"6 �ih � �� ��� [k3�/��"(C3"/�*,=$*,5F/23}*,&*�46(�\>4/�3� "5F*05B/2386C9 =^a}1 � �'(05 *0*A�)3�=�6

^ � Y � � ^ � c � V�� I Y ^ � � c � M �ih �fe � = �^ � � Y � � � F ^ � � c � M �ih �fe � 1 �

�'&��)((� � I =�3� � F =�(5�zM"=�(,=�9��)*(�4(E6��'5F*0& c ��� I ��� F � � 9C&*��`�(06{*C>4/�3� "5F*05B/23��4386(�"(5�46*,&"=$*V*,&*�+((�> ��">)*05B/23[5F3 ^ 5B6V=$* � �^=�6{*'=�6V1"5��Q=�67*0&�=$*CM8((�� 85B>)*(�� [1�a[= `"(06E*V/2(( ��)(C9�/, �� � /�'&"5 � � *0&��b6(�4>)/23� Z�43"65�"((�)6�*0&�=$*Q*,&*�[6E*A�)M 5F6Q3"/�*Q*0/�/I609�= ��� /�1�ar(5�����"5B(E5B3��H*0&�=$*Q*,&*� ��)(05 ] =$*05 ] �Q=$* Y 1@��=#* � �^=$6E*.6E/29.�JD�(0=�>)*05B/23 /�D�*,&�� ��)(05 ] =#*,5 ] ��=$* c � [y* 5B6 �4=�6Ea *,/[6(�>��"6E5B3�� �ih � e h � *,&�=$* ��h �fe � = � 5F6 �����"5 ] = � �43�*C*,/

� P �<; V#Y ��� F� � � T e�� I Y ��� P �<; ��� F� M

�'&"5F>A&H((�����"5F((�)6 =}6(���N>45��43�*D ��)>4((�4=�6(��5F3 *,&��Q9��4(E5F* D<�"3">L*,5B/�3 � 9C&�� �"6(�Q/$DX�LK8=�>)* � 5B3��6(�4=�(0>A&*�46 "/,�46T3"/�*T3��4>>�46060=�(05 � aN5B9NM � aJ*,&�=#*T*0&���>)/23� "5 *,5B/�3"6 ��h �fe � � =�((�z6,=$*05B6{` �� � � / �VG� ] �4(>/ ��h �fe � 1 � >��4({*A=�5F3 � a~&"/ � "6�5F3 *,&�� �86(��= � >^=�65�7�'&��43�*,&*�V/2M8*05B9�= � Y 5F6Y= � �)(0/ /�D ^ � � Y � /605F3">�� ^ � � c ��� c � � /�*0&H>4/23* "5F*05B/23"6 &�= ] � 1@�>�43H>A&��)> \%�� O=�3� D�/%�"3� *0/}1@�~6,=$*05B6{` �� H5F3= ��� /��"('3��"9��4(05F>^= � *(�46{*,6�� �'5F*0& � I K �� h�/ � F K ��2e � /"60/��4�\&�= ] �~3"/�* >4/�3"605� ��4(5�� =$3 a9N/ "5 `�>^=#*,5B/�3"6T*0/�*0&�� �LK8=�>)* � 5B3��+65�^=�(E>A& �

� �

Page 87: Department of Mathematics - The University of Manchester

��������������� ���������������������������������@�������� �"!#�$���%�

9C&�� � 5B3���6(�4=�(0>A& ((�����"5F((�)6�*,&8((��� 9 =#*,(05 Kw9� � *,5FM � 5F>^=$*05B/23"6\*,/O>4/29NM��8*(� *,&*� >4/,�)D G`�>)5'�43�*06J/�D ^ 5B3 �ih �fe�x�� ��P �<; � 5B6J= � ((�4=% 8aO= ] =�5 � =�1 � � � /�*,&�� ((�49�=�5F3"5B3���>4/�9�M���*A=$*05B/23"61 �45B3*��6E>^= � =�('/23��46 � 9C&��\*,/�*,= � >4/26{*�/$DS*,&*� � 5B3��.65�^=�(E>A& 5B6 ��� u � /2M86�/ �'&"5B>A& 5B6'3���� � 5'��5 G1 � �\>)/29NM�=�((�> 0�'5 *,&�*,&��\>4/26{*�/$D�>4/�9�M���*,5B3*��*0&�� R �>�C*0/23& "5F((�)>)*,5F/23 �i=$* � �4=�6E* �2e�� u� /2M86 ���

� �

Page 88: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ����

� � � ����� ��� �������������� �

����� ���! " #%$'&'(*),+-�.&0/21435)6"87,/9),+-�.&':

� 3�=#*A�"(0=<;@�7=^a *,/�=#*0*A�)9�M�*V*,/Q6E/=; ] ��*,&�� ����=3 "(,=$*05B>+9�=$*0(05 K��>����=$*,5F/23[5B6T*,/Q((���'(05 *A�+5F3*,&*� D�/�(09 ; K .><;@?V=�3� b*,&��)3W ��L`�3��~=�3b5F*(�4(,=#*,5B/�3

;!ACB I K .><;!AD? g

9C&"5F6.>^=�3I1 � "/23��Q5F3H9 =�3�aW�V=^a%6.D�/2(+*,&�� ����=3 "(,=$*05B>J9�=$*0(05 K ������=#*,5B/�3E>GF=HIFJ?�/ ��5 ] 5B3��5F*(�4(0=$*,5F/23"6V65�">A& =�6

;!ACB I K > T : R I >LK�;!A V4M ?N? I!J F M;!ACB I K T K R I >i:+;LFA V4M ? M;!ACB I K T : R I >OK VEM ; R IA ? g > � HPFJ?

9C&��)6(�b5F*(�4(,=#*,5B/�3"6~>4=�3w3"/�*Q5F3 ���)3��4(0=<;71 �}*,(0=�3"6ED�/�(09��� *0/I= 605B9NMQ;��4(~D�/�(09 >i65�">A& =$6 "5B=%�2/23�=R; D�/2(E9�?7=$3� 5 *'5B6 "5 �N>��Q; *V*,/N/218*,=�5B3[>)/23 ] �4(5���438>�� (5�465�Q;F*06 /$DSM"(0=�>)*05B>4=<;:�"65�<H

9U/b9N/�*,5 ] =$*A� *,&���=$3�=<;Fa%6E5B6U���Q`�(06{* >4/23"6E5' ��)(.1"(05��-S"a�*,&*�Q60>^=R; =�( ����=3 "(,=$*05B>UT � F VV � V � Kdc /��'5 *,&%T0WKdc H6[y*A�4(0=$*,5F/23�> � HIFJ?7>4=�3 1 � �'(05 *0*A�)3�=�6

�XACB I KZY >��XAD? M Y > �[? K T > � � � V V ?T g > � H e ?

�2�

Page 89: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� U�������� �����L�^�%!��8��i�� �

9C&�� D�/<; ;B/ �'5F3�� 6{*A=�3* �=�(( *0&��4/�(EaO/�DCD<�"3">L*,5B/�3�=<;@5F*A�)(,=$*05B/23O60&"/ �'6J*0&�=$* *0&��}>)/23� "5 *,5B/�3D�/2(C>)/23 ] �4(5���438>��~D�/�(C6E*A=$(E*,5F3�� ] =<;'���)6C6(���N>)5'�43�*N;Fab> ;F/26(�+*0/N=N(E/�/�* o 5F6 � Y > o ? �� F=H

� ��� �X!#�� � ���X����� " � � / ? �4><H x $���� o������������! "� � �#%$'&(�!&%)*��&($+�,�-$+.0/1�, ��2�!&43 >��[? K ��,&65

� 3 > o ? �� F M

�#%$7&8 9#%$7��$:���;�,&<��&% =$7�?>!�,)%@0A K " o<BDC M o V C $ �7/FEG#H �#1�, I 9#%$J�� =$7�K�, L�2�!&

�XACB I K 3 >��XAD?

EG�!&%>,$7�LM�$G�: =�~oONP#%$7&($7>,$7�" �#%$"�7 Q�,�? ���&�M�>!�,)*/F$ �FR � @SA�T

�43"/$*A�.*,&��.*=UT/�(E/�/$*,6C1�a o I =�3�V o F =$3�V 38/�*�W.*,&"=$* o I o F K � � T H R /�U

Y > o I ? K�T o F I K

o Fo Ig

9C&�X"6YUZW�&"= ] W�;B/%>^=<;@>4/�3 ] W4(K[\W43">SW[*,/ *,&1W�; =�(K[\W4(\(0/%/�*QM"(E/ ] 5]V�W0V *0&�=$*J*0&�W}(E/�/�*06Q=�(KW/�D^V"5B6{*,5F3">)*�9N/_V1XQ;�X"6>/`U'&"5B>A&t(+WSa�X85B(+W)6�/T5B3wM�=�({*,5B>SXQ; =$(�/�*,&"=$*Q*,&�WHV"5F60>)(05B9N5B3"=�3�*J*,/I16WM�/2605 *,5 ] W<H6[y*+W4(,=#*,5B/�3 > � H e ?V>^=�3b16W"U'(05F*E*�W)3

>LT �XA V V ? �XA V�� K c=�3�V =Q605F9�5P; =�(T=�3�=<; a%605B6C6E&"/�U'6 *0&�=$* 5F*+W4(0=$*,5F/23bV�WL`�3�W0V 1�a

>LT �XA V V ? �XACB I V�� K c>4/�3 ] W4(K[\W46 *,/[*,&1WQ(0/%/�* /�D@609�=<; ;]W4(z9�/�V�XQ;]X"6 H�[y*~5F6+> ;]W^=�(+*0&�=$*.*0&�WQ9 =#*,(05 KH=$3�=<;B/,[\X�W46/�DU*,&�W)6+W\5F*�W)(,=$*05B/23b>4=�3 >)/23 ] W)(+[\W~/23Q;Fa D�/2('M"(0/21 ;�W49N6C6,=#*,5B6{D<a%5B3�[�60/�9-W\6+X"5 *A=�1 ;�W"[\W)3�W4(vG=<;F5 � =#*,5B/�3}/�D *,&�W (0/%/�*06C/�DPV85B6E*05B3">L*'9�/�V�XQ;]X"6V>)/23�V"5 *,5B/�35H

O W+=�606KX"9-Wz*,&"(E/\X�[2&"/,X8*7*0&�W+(+W)6E*C/$D�*,&"5F67>A&�=�M�*�W4(V*0&�=$*7:p5B30>GF=HIFJ?@5F673"/�3"605F3�[\XQ;B=�( H

� �

Page 90: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� U�������� �����L�^�%!��8��i�� �

����� � " 7 &0�!$'1D1 +435) " 7 / ),+ �!&

�������� ��� ������������������ �!�������#"$�% '&)(*�+�,�- /.0���,12����34�,�+��56�W)(03"/\X ; ;B5!Q_6\9 W)*,&8/_V 5F6J=�3r/<;�V 9 W)*0&"/_VOD�/2(~`�31V"5B3�[ *,&�WbV8/29�5F3�=�3�* � W4(E/E>i5FD7*,&�W)(+W[5B6/23�WD?V/�D�=Q6E>^=<;B=�(CM /<;Fa%3"/29N5 =<;�/�D V�W0[�(+W0W87

^ >��[?+9 T R � : V T<; � : R ; V>=?=?= V T :2@U'&�W)(+W9T�R @ T<; @ g^g^g @ T : �BA C h eEDGF &�=�M5H �IHJD�C � �KD � W4><H � H �LH H-M W:V�WL`�3�W\=�3�5F*+W4(,=#*,5B/�3

T R � �)N T�; � �LO ; N =?=?= N T : � �LO : 9 c @U'&"5F>A& &�=$6z= [\W)3�W4(0=<;�60/<;�X8*05B/23

� � 9 � ; � � ; N �$P � � P N =?=?= N � : � �: @U'&�W)(+W � ; @ �$P @ g^g^g @ � : =�(KW+6+X"5 *A=�1 ;�W�>)/23"6{*A=�3�*,6'=$3�V �Q; @ � P @ g^g4g @ � : =�(+W V"5B6{*,5B38>)* � W4(0/�6V/�DR > �[? H � 6E6+X"9N5B3�[Q*0&�W M /=; a%3"/29N5 =<;�&�=�6 = � W)(0/ �Q;V60=$*,5F6ED<a%5B3�[

� �Q; �ES � �XA � @ T 9 e @ x @ g^g^g @ 7 > � H x ?=�3�V � ;8W9 c UZW\>^=�3�/218*,=�5B3

� � BU;� �

9 � ; � � BU;; N ��P � � BU;P N =?=?= N � : � � BU;:� ; � � ; N ��P � � P N =?=?= N � : � �:9 �Q; F NWV �VYX Z � �� X\[ �

BU; N =?=?= N V^]VYX Z � ]� X<[ �BU;

F NWV �VYX Z � �� X$[ � N =?=?= N V^]VYX Z � ]� X<[ �g

6Ta}*0&�W >4/231V"5F*05B/23 > � H x ?ZU�W\&�= ] W� �XA � �Q; �� F @ D�/�( T 9 e @ x @ g^g4g @ 7

=�3�Vb*,&1W43�5F*VD�/=;P;B/�U'6V*,&"=$*;F5B9�`_)a � � BU;

� �9 �Q; g

6�X"6E1 a =�3�VH-X=�5F( C F c HJD W43"3"5F6 DUb (0=,X"1I=�3�VcM W)1 W)( C_e$xLH =�3�Ved./2& 1 W)(+[ DUf =�3">^=$6E*�W)(=�3�Vhg'/�V"9 =$3 C x�KD � W4><H�hQH eLH &�= ] W =�3"=<;Fa%6+WSV[*,&�W [,W43�W)(,=<;F5 � =#*,5B/�3N*0/Q9 =$*0(05 KNM /=; a%3"/29N5 G=<;F6 HiM W\>)/23"6E5�V�W)('*0&�W45F('=�M"M"(E/�=�>A&�W)6C*,/�*,&�W:a�X�=,V"(0=$*,5F>.9 =#*,(05 KbWSa�X�=$*,5F/235H

� c

Page 91: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� � ������� � ��������%!������ � ���������� ��� ������������������ �!�������#"$�% ��������F�������� V�W��! #"�W%$�=& #� � K'�+W4>SX��(�KW � >SW

:*),+ BU; N K-).+ N M ),+ O ;-9 c @ )6R @ )Q; [ � ] W � g > � H_h ? W)` � W /.>10�; @ 0 P ?-9 2 @ � @ �0�; 0 P�3 g

�54 �6�,78�� ���:9;���.� C h � D b "�$%H �LH �9� 0�; �,&65 0 P �,��$ ���!)*>,$7&% �� � � P >=< ? � �!� NP#��2EG#/ >>0�; @ 0 P ? ���:&(�!&1�7��&�M,/_) �,�" �#%$7& ).+Q9�0 +;@? ; N 0 +P ? P > � H � ?

���- 9#%$ M�$7&($7�K�,)P���!)*/_ ��2�!& � > � H h ?#A NP#%$7��$ ? ; �,&65 ? P �,��$ 5�$7 =$7�CB ��&($+5EDGF< �#%$b��&%�� ����,)

EG�!&65,�� ��2�!&1�0TH 7I���,J HLK � �M).+�V�WL` � W0VON�a�> � H � ?ZUZWP".Q ] WR ).+ BU; N K-).+ N M ).+ O ;i9 > R 0 P; N KS0�; N M ?�0 + O ;; ? ; N > R 0 PP N KS0 P N M ?(0 + O ;P ? P9 c @�(� ).+ �T� Q �(� ;]X �:��� � > � H_h ? HLK � �VU 9 c Q � VWU 9F D > � H � ?�[ � ] W �

2 @ � @ �0�; 0 P 3 2 ? ;? P 3 9 2 )FR)Q; 3Q � V ���T��X WY #"�W XG� W � X�� W � M$ZQ& #� �\[ / >>0�; @ 0 P ? �:�!���������T� [\X ;]Q�� ? ;!Q � V ? P Q��KW"X ��� a�X�W-;FaV�W� �WG��$ �:� W0V^N a^)FR%Q � VE)Q; H_K �:� Q<;P;Fa D,� X�`�` ��� W5 (".Q& _ab+ �:� Q ��� ;�Xc �T���O��d > � H h ?eQ � V';�W� ).+fN W_ #"1W ��� ;�Xc �T��� > � H � ?ZU � ("W)6R 9ga`ReQ � V^)Q;-9ha ; H b "�W �R ) P 9 B K5)*; B M )6R 9 B KSa ; B M a R 9 R a P g� �:��X W R �T�!������(�:� [\XQ;TQ�� D a P 9�) P H%6Ta �:� V�X X �T���QD ai+ 9�).+ d�� �MQ<; ;jUNH

Re� +WW (".Q& k/ >>0�; @ 0 P ? �T� Q � ` W XG� Q<; X Q � W ��d QlNQ; �cX@mln Q � V�W��($ ��� V�WW$'Q8 #� �o[ H 6TaQ � QR; � [�a U � ("E #"�W �(X Q<;]Q&� n Q � V�W��($ ��� V�W D � %$ � [�"p _N6Wq (" � X�[�"6 _ (".Q& d�� �"[\W � WG�(Q<;i< ;� F

Page 92: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� ����� ��� ������ 7 � ����� � �Q � V�< P ("�W XG��� V � �T����� >=< ; ? � >�< P ?c9�� U � X ;�V W �� X��KW #"�W ������(�:� [\XQ;TQ�� � � ��d/ >=< ; @ < P ? H b ".Q8 � V � W �M��� �:�!� " � U � N� ("�W:W [ Q�$ `Q;�W C����IH< ;-9 2 � �

B � F 3 @ < P 9 2�� �� x 3 @ > � H�� ?d�� ��UM" �:X "�V�W� J>>/�>�< ; @ < P ? ?+9OV�W� >�< P B <h;G?%9 V�W� �� 2 � �� � 3�� 9 ��� b "�W � W [ �+W � XQ;\ >9UM" �TX " ".Q � U�WGQ m W��-"� ` � ("�W � W � #"�Q � W ����T�\D!b �#Q,X�N Q � V M WGN6WG� C����KD!b "�$ H�� HIF H ?� " � U � #".Q& #"1W W � [\W ��� Q<;]X�W X���� V � �T���Z�:� � X�� XG� W � � � W ��� X��+W ������(�:� [\XQ;TQ�� � � ��d UM"1W �< ;!Q � V < P Q��KW ��� ; � W � � ��d Q a�X�Q,V��#Q8 �TX $ZQ& #� �\[ W0a�X.Q& �T��� H�54 �6�,78�� ���:9;�:9�� C � � D�b "�$%H � H��9� 0�; �,&65 0 P �,�G$;���!)*>,$7&% 9�b� ��� >�<@? N`�� �# � >>0�; ? � >10 P ?+9!� �#%$7& / >>0�; @ 0 P ? ���:&(�!&1�7��&�M,/_) �,�STH 7I���,J H � X`�` ��� W #".Q8 / >>0�; @ 0 P ? �:�-�(�:� [\XQ;TQ�� H f W� #" �%$ � 9 � XQ; ; >1/ >10�; @ 0 P ?N? Hb "�W � C 0�;M0 P H "�9 � Q � VW ("�W � V�W � � �

C R O ; M R O ; K H 2 @ � @ �0�; 0 P.3 9 B C 0 P; 0 PP H� $ `Q; � W ��C 0 P; 0 PP H " 9 �<D Q � V ���

� 9 2 0�; 0 P0 P; 0 PP 3 "�9 2 @ � @ �0�; 0 P 3 2 0�; �� 0 P 3 " � > � H � ?

b "�X � V � Q [X>10�; @ 0 P ?&" �'$ D UM" �TX "%$ WQ ��� (".Q& $ �:� Q �_�T��� Q�� � Q � � X�N � `�Q X W d�� � V � Q,[X>>0�; @ 0 P ? H�^W ��X W $ XG��� #Q �T�� Q � W � [\W ��� W X � �)( ��d V � Q,[X>10�; @ 0 P ? H � �T��X Wq ("�W W � [\W ��� Q<;]X�W �%��d 0�;Q��KW;V �:� �:��X d � � $ #" ��� W ��d 0 P?D ( ".Q � ("�W d�� ��$*( 9 C ( � ; � H � � � C+� ( �P H � H-, � W � #"�W��X Q � W � 9g/ >>0�; @ 0 P ?.(>9 2 @ � @ �0�; 0 P 3 (� $ `Q; � W � (>9 �<D UM" �TX " �T� Q XG��� #�(Q,V �:X �:��� H b "�X � /�>>0�; @ 0 P ? �T�!������(�:� [\XQ;TQ�� Hb � � N @Q �:� Q X������ W��+[\W ��X Wq�+W � XQ;\ d�� � 6�WG� ��� XQ;P; �0/ � $-W� #" � V�UZW � WSW0V #"1W d�� ; ; � U �T� [;�W�$Z$ZQ H

���

Page 93: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� ����� ��� ������ 7 � ����� � ��L�_ � �;�:9�������� $7 a�; �,&65 a P D7$"�0.0/��,��$%B �, ��?�2EG$G� �7/FEG# �#1�, $ �:��� �+� �� � � � >1a ; ?�� S $ZQ [�� � � �� � � � >>a P ?�� �� #%$7& a ; ���J&(�!&1�7��&�M,/�) �,�:�,&65 A � �!�J�,&.FZB �, ��?�b&(�!�CB A

; � $+ _ a � a +P � � a O +; � 9 ���H 7I���,J H � W0W C��� D f WG$%H � H � H H

�54 �6�,78�� ���:9;� f� C � � D!b "$ H F � H�� /����%����$ 9#1�, � >�<@? #1�!�b�85��8B ��&6�,&% ���!)*>,$7&% 0�;�,&65 � B ��&%�=B �,)����!)*>,$7&% 0 P �,&65 )�$7 ).+ D7$ �#%$;���!)*/� L�2�!& �b 9#%$ �G$GE7/��?��$7&(EG$ > � H � ? N`�� �#)FR�9 � �,&65 )Q;+9 @ � T � #%$7& ),+ ���:&(�!&1�7��&�M,/�) �,� � �!�"�7/�� E7�2$7&% L) F ) �,�LM�$ U �,&65

; � $+ _)a ).+]) O ;+ O ; 9g0�; �H 7I���,J H b "�W � �+W�$ � H � H � � $ `Q; � W � #"�Q& S/.>10�; @ 0 P ? �:�P�������(�:� [\XQ;TQ�� Q � V ��� > � H � ? �T� #"1WJ[,W � W��#Q<; ��� ;�X �T��� � > � H � ? H b "1W �:��� � Q<; XG��� V � �T���� [ � � W? ; N ? P 9 � @ 0�; ? ; N 0 P ? P 9 @ � @

UM" �:X " � $Z`Q; >>0�; B 0 P ? ? ;+9 @ � �

�^W ��X W ? ; �:�5������(�T� [\XQ;]Q&� HEK � � � D UZW � " � U #".Q8 q),+ �T�-������(�:� [\XQ;TQ�� d�� � � X�� XG� W � ; ;]Q&�+[\WYU H K,� � $ > � H � ? D����T��X WP0�; �:�!���������T� [\X ;]Q�� D

).+ 9h0 +; > ? ; N 0 O +; 0 +P ? P ? �� �:��X W 0 O +; 0 +P � � N� f W�$Z$ZQ � H � H �-� d�� ;P; � U � #"�Q& ),+ �:�V������(�T� [\XQ;]Q&� d�� � � X�� XG� W � ; ;]Q&�+[\WYU H�� �(�:� [ > � H � ?VQ,[�Q �T� UZWP"�Q � W).+=) O ;+ O ; 9 >>0 +; ? ; N 0 +P ? P ? >>0 + O ;; ? ; N 0 + O ;P ? P ? O ;

9 >>0�; N 0 +P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; ? >>0 + O ;; ? ;N?��C> @ �)N 0 + O ;P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; ?->10 + O ;; ? ;N?�� O ;9 >>0�; N 0 +P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; ? > @ �)N 0 + O ;P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; ? O ; �

���

Page 94: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� ����� ��� ������ 7 � ����� � �K.� � $ f WG$ $'Q � H � H � U�WJV�W0V1X X W

; � $+ _ a 0 +P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; 9 � @ ; � $+ _ a 0 + O ;P ? P ? O ;; 0 O�� + O ;��; 9 � @UM" �:X " � $Z`Q; � W � #"1W �KW � XQ;: H

M W"[ � � W XG������� V�W��� #"1W"W0a�X.Q& �T��� > � HPF � ?L �S� ; ;]X � (�#Q& +We" � U'6�W�� ��� X ; ; � � +WG�(Q& �:���'X Q �d Q � ; � `�� � V�X X WMQ �(� ; � W � DH b "�W�W � [\W ��� QR;�X�W �i��d �8P > � ? Q��+W B F D �KD��<D FMQ � VqQ V � $ �T� Q � �(� ; � W � �:� 0�; �T� > � HIF � ? HV� � UZW � WG� D #"�W��+W �T�M���'��� ; � W � U � #" W � [\W ��� Q<;�X1W � �<D �<D "�W ��X W��� $ �T��� $'Q<; �(� ; � W � DH-M � ("O)FR 9 � Q � VW)*;-9 @ D ("�W%�+W X X��(�KW ��X W�> � H � ?�[ � � W �) P 9 2 � �B F � 3 @ )�� 9 2 F �

F � 3 @Q � V #"1W � ) P � 9 ) P D ) P � BU;-9�)�� d�� ��� � F<H��^W �X WPQ<; ; ("�W ),+ Q&�+W �(�:� [\XQ;TQ�� H����� � )�0"87 #%$'&'(*),+-�.&0/21 35)6"87,/9),+-�.&':�=�!7 � �! '$ ) +D&��

� �. + &0/ &�) / &�� � +D&'+D /21 ���.1��." &�) :

M W ��� U �KWSUM� � �W #"�WO�+W X X����+W �X W > � H � ? U � #" )6R09 � Q � V�)Q; 9 @ �T� #"1W d�� ��$ ��d� +WG�(Q& �:����� #".Q& �V � �KW X ; X�� $Z`1X �WEQ �(� ; � W � H�� ��� #$YXQ;\ � `Q; �T� [ > � H � ? N� �) O ;+ O ; D UZW".Q � W R ),+ BU; ) O ;+ O ; N K5),+T) O ;+ O ; N M 9 � @UM" �:X " X Q � N6W%�+W7UM� � � �W � Q �

> R ).+ BU;�) O ;+ N KU?�).+=) O ;+ O ; N M 9 ��� W�� ���T� [S<q+ 9�).+ BU;�) O ;+ D U�W ".Q � W% #"1W � �W��#Q& �T���

> R <q+ N KU? < + O ; N M 9 � @ <h;-9 B R O ; K � > � H�� ?

� � $ � ;]Q�� ; D ` ��� #$YXQ;\ � `Q; �T� [ >�� H � ?�N� ) O ;+ BU; Q � V ;�W� ( �:� [ � +Q9�),+]) O ;+ BU; D U�W � N #Q �T�R N >LK N M � + O ;N?!�E+U9 � @ �4R 9 � � >�� H�" ?" �

Page 95: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� ����� ��� ������ 7 � ����� � �� � �W #".Q& W #" �T� � +WG�#Q8 �T��� �:� Q& ( +WG$ ` �:� [ � ��� ; � W M < P N KP< N R 9 �<D UM" ��� W������(�T� [\XQ;]Q&� �(� ; � W � � Q&�+W_ #"�W �:� � WG� � W � ��d �(� ; � W � �e�&d � >�< ?+9 � HM W V�W0V1X X W d � � $ b "�W � �+WG$ � H � H � #"�Q& �\d � >�< ?M".Q � Q-V � $ �T� Q � ��� ; � W � %0�; Q � VQS$ �:��� $ZQ<; �(� ; � W � *0 P #"�W �

; � $+ _ a <q+ 9h0�; @ ; � $+ _ a � + 9g0 O ;; �� � �W d � � $ #"1WW`� � ��d*�&d b "�W � �+W�$ � H � H � (".Q& S ("�W � � ;]W ��d )6RZQ � V )Q; �:�-�(� $Z`Q; l �W �� X��KWO #"�Q& ? ; �T�q������(�T� [\XQ;]Q&� H�� ��� X " ���:X W � ��d )FRZQ � V�)Q;YU � ; ;V"�Q � WO ("�W � Q�$ WW�� W X YQ � V ��� UZW X Q � #� HV � � WG�+W � � @Q��� �:� [q$'Q& (� �:X W �!�:� > � H � ?VQ � V >�� H " ? D Q � $ZQ N6W� W X W ��� Q��& �:d Q � � +WG�(Q& �:��� N�+WQ m � V � U � > ��� +W5 #".Q8 b "�W � �+W�$ � H � H � ��� ; [\X.Q��(Q � �W0W �W [c�:� �W ��X W ��d #"�W � �WG�(Q& �W � <q+ Q � V�� + d�� � � X�� X�� W � N; �;TQ��+[,WYU ? H, �W��#Q& �T����� > � H � ?*Q � V4> � H�"=?*Q��+W � [ WSVl` ���:� � �W��#Q& �T����Y� N #Q �T� Q&NQ;�W �T� Q � � N � �T� X �U�Q� d � � $ R < P N KP< N M 9 � H��`a�X.Q<; ; k`Q;TQ,X ��� NQ;]W � Q�� � Q � � Q��KW

> R <q+ O ; N K ? <q+ N M 9 � @ < R�9 ��� >�� HIF � ?� � $ � ;]Q�� ; D ` ��� #$YXQ;\ � `Q; �T� [ >�� H � ?�N� ) O ;+ BU; Q � V ;�W� ( �:� [ � +Q9�),+]) O ;+ BU; D U�W � N #Q �T�R N >LK N M � + ?!�E+ O ;-9 � @ � ;-9 B M O ; K � >�� HIF=FJ?b "�W � WPQ��+W%�+W-;]Q& +W0V � ("�W86�WG� ��� XQ;P; � �KW X X�(�+W ��X W

R ai+ O ; N K-ab+ N M ai+ BU;-9 � @ a`R 9 � @ a�;-9 @ � >�� HIF � ?b "�W_Q � Q<; ���T� Q&N ��� W X Q � N6WYQ,V.Q&` �WSVk �S� " � U (".Q& �\d � >=< ? ".Q � Q;V � $ �T� Q � ��� ; � W � 0�;ZQ � V Q ������(�:� [\XQ;TQ��'$ �T�� $ZQ<; �(� ; � W � O0 P ("�W � ("�W �(� ;]X �:��� � >�� HIF � ? �T� ai+ 90 O +;E? ; N 0 O +P ? P?D U � (" ? ;eQ � V ? P V�W� +WG��$ �:� W0VEN� ^ ("�W �:��� � Q<; X���� V � �T����� D Q � V #"1W � #"�Q&

; � $+ _ a ab+ BU;(a O ;+ 9�0 O ;P ��^W ��X W

; � $+ _ a <q+ 9h0 P @ ; � $+ _ a � + 9g0 O ;P �" �

Page 96: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� ����� ��� ������ 7 � ����� � �b "�W XG����� W��+[\W ��X W ��d Q<; ; #"�W � W � �W��#Q& �T��� �:� ; �:� WQ�� D U � #"HWG��� � � V�W X �KWQ ���T� [ZQ ��� 0 +P �

� 0 O +; �ID Q � VW ("�WG�KW d�� �KW"U � #"WQ � $Z` � �:X WG��� � � X������ #Q � �&d � �KV�WG�� 9 � � BU; >�� HIF � ?

>�[ � � W � ("�W � �+V1WG� �:� [%> � HPF � ?N? HM W W [ ` ;]Q �:� Q X������ W X �:��� U � #" X���� �T� X�WSV d �(Q X �T����)C F �LHJDUC F=F H DUC ���IH H F������(� V�WG�b #"1WW0a�X.Q8 �T��� < P

B KP< B M 9 � �� ��� X�$ �T� [q (".Q& !< �T�!�������(�:� [\XQ;TQ���UZWP".Q � W < 9 K N M < O ; Q � V #"1W �

< 9 K N M >OK N M < O ; ? O ; �� � �+W X X���� �T� [^ #" �:� `�� �cX W �(� UZW � N #Q �T� Q $'Q8 #� �o[ XG��� �T� X�W0V d �(Q X �T��� U � #" Q&`�`�� �[c���$ZQ � � <!A29 A0 O ;A [\W � WG�(Q& �WSVON�

ACBU;+9 K� A N M A O ; @ R�9 K @ ;%9 K P N M @0 ACBU;+9 KS0 A N M 0 A O ; @ 0(R�9 @� @ 0�;+9 K �F ;�WGQ��N; D A�9 0 ACBU;*Q � V d�� �_)XA V�W�� � W0V �:�Bb "�W � �+WG$�� H � H � UZWZ".Q � W'0 A 9 )XACBU; D ��� #"1WPQ&`�`�� �[c� $ZQ � <.A)9�) ACB P ) O ;A BU; �b "�X � #"�W XG��� �T� X�WSV d �(Q X �T��� [\W � WG�(Q& �W � ("�W � Q�$ W � WSa�X1W ��X W-Q � #"1W � �W��#Q& �T��� > � H��=? H

"��

Page 97: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ���� �

� ��� ��� ������� � ��� ��� �

� ��� � �!"87�%+ "� � � +D&'+D +� / ),+ �!& � " ) �0� �':

, � #" �:� X "�Q�` �W�� UZW X�������� V�W�� � X�$ WG� �TX Q<;;$-W� #" � V � N.Q � W0V ���O���� ; �:� WQ&�!$ �:��� $ � � Q& �:��� � ��� ; � Wk #"�WHa�X.Q,V��(Q& �:X $'Q8 #� �o[ WSa�X.Q& �:��� >GF=HIFJ? H � � $ W $ �T��� $ ��� Q& �T��� $ W� #" � V �Sd�� � #"1W [\W � WG�(Q<; ���� ; �:� WQ&�IWSa�X.Q& �:�����\Dcd�� �IW [ Q�$ `Q;�W D ("�W X������ X�[�Q& �W^[��#Q,V � W � $-W� #" � V C�� " DF ".Q�` H � H D8C � � D)F ".Q&`5H � HJD8C � � D � W X H � H �LH Q � V ����� ; �:� WQ�� ;]WQ � � � a�X.Q��+W � `�� � NQ;�W�$ �C�� F D2F ".Q�`5H F � H D C � � D�F "�Q�`5H F � H ".Q � W N WSW � $YX X " � �X�V � W0V H 6�W d�� �+W X�������� V�W�� �T� [ #"1W � W $ W� #" � V �_d�� � ��� ; � �T� [ ("�W'a�X.Q,V��(Q& �:X $ZQ& (� �\[ W0a�X.Q8 �T��� M W X�������� V�W��% =U ��� � @Q<;a�X�W � �:����� UM" �TX "OQ�� �T� W �:� #"�W%`�� � NQ;�W�$ > � HPF � ?��

� M ".Q8 m �:� V ��d $ �T�� $ � � W�� �&d 3�� >��[? X Q � U�W � � V��� , � #"1W $ �T�� $ � � W�� �&d 3�� >��[?!Q ��� ; � W � ��d 3�� >��[?��K � �_ #"�W'Q ��� U�W�� ��d ("�W �.� � Ya�X�W � �:��� UZW X Q � XG�����(� V�WG� #"�W [=; � N.Q<;LQ � V�; � X Q<;b$ �T����$ � � W�� �\D UM" �TX " UZWP$ W � �T��� WSV �T� � X�N � W X �:��� � H � HIF=H b "�W:[=; � N.Q<;j$ �:��� $ � � WG� U � XQ;�V N6W #"1W N6W � ��� WqN�X � X Q � N6W'V � � X XQ;: _ � � � V D N W X Q,X � W � X�� �T�d�� ��$'Q8 �T���^��d 3�� >��[? �T�

X � X.Q<; ; �+W � #� �TX +W0V5H b "�W � W XG��� V X " ���TX W�U � XQ;�V N6W' ("�W�; � X QR; $ �T�� $ � � W�� H b "�W � W [ #"1W � �KWG$ [ � � W � Q � W X W ��� Q��& XG��� V � �T��� d�� �MQU; � X QR; $ �T��� $ ��� WG�-H" �

Page 98: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� ��54 �6�,78�� �����,���.� C � � D�b "�$%H � H �LH ��� ��� ��� �-)���E+�,)jB ��&%�=B �!$7�:�,&65;3�� >��[? ��� EG�!&% L��&%/���!/ �7) Fb5,� $7��$7&% ����pD0)�$:��&4�,& � �%$7&<&($7� M!#D7�!/���#%���05 � � � � A �#%$7&

� 3�� >�� � ?%9 � @NP#%$7��$ � 3�� >��[?+9�� C 3��

C �.+������ �� � +W_ #".Q& �� 3�� >��[?%9 �S�T� Q � W X W �(� Q�� XG��� V � �T��� d�� � QU; � X QR;�$ �:��� $ � � WG� N�X � �T���� � X � XG� W � DH-M W X Q<;P; �^Q � @Q& �T��� Q�� Z` ���T� �:d � 3�� >��[?+9 � H F������(� V�WG�V ("�W d X ��X �T���

3�� >��[?+9 >�� � � N FJ? P d�� � ��� B F �b " �:�*d X ��X �T��� ".Q � Qb[<; � N.QR; $ �T�� $YX�$ Q8 �e9 B F-N�Xc 3 � > � ?)9 � Q � V 3�� > � ? 9 F �T���� VQ5$ �T��� $YX�$ � ��Q5$ZQ [c� $YX�$%H b " �T� W [ Q�$ `Q;�W � " � U � #"�Q& !Q5` ���:� � ��� X Q � N W*Q� #Q& �:��� Q��& ` ���:� VN�X ��� !Q9; � X Q<; $ �:��� $ � � WG�-H b "1W � W [ M�+W � XQ;\ � " � U � #".Q& �UM"�W � #"1W� N � W X � � W d X �X �:��� 3�� >��[? �:�!XG����� W [UD Q � �; �cX Q<;�$ �T��� $ ��� W�� �:� Q'[<; � N.QR;�$ �:��� $ � � WG�-H� ��� � ������� � �����.�:9;� ��� 9#%$ 5��8B �,��& � � �#%$ � /�&(E7 L�2�!&O3�� A! > 3�� ?#A �0�, �����"�$G� � �!� �,&.F� @$# ��� �,&65 �&%(')% F

' � N >GF B ' ? # � > 3�� ? @ �#%$7& 9#%$ ��$7 > 3�� ? ���"E+�,)�)�$+5 � EG�!&%>,$ ��$7 QT+* &65; 9#%$ � /�&(E7 L�2�!& 3��H��� �0�,��5; =�-D7$"EG�!&%>,$ � �

3�� > ' � N >GF B ' ? # ? %(' 3�� >��[? N >GF B ' ? 3�� > # ?� �!� �,)�) � @$# � > 3�� ? �,&65 �&%,'-% F T�54 �6�,78�� �����,����� C � � D!b "$ H � H�� H/. #%$7& 3��D��� EG�!&%>,$ A �,&.F )���E+�,)bB ��&%�=B �!$7� � � ���� M,)���DG�,) B ��&%�=B �!$7� � � 3��6T ��� ��& � 5 5,�� ��2�!&�3�� ��� 5,� $7��$7&% L���pD0)�$ A �#%$7& �,&.F-�7 2�, ��2�!&6�,��F�%�!��&% ��� ���;�YM,)���DG�,)�B ��&%�=B �!$7�;� � 3��FT

" �

Page 99: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �b "�WMQ ��� U�W�� ��d ("�W � W XG��� V a�X�W � �T���-�:� �\d #"�W�[\W � W��#Q<; ����� ; �T� WGQ�� W0a�X.Q& �T��� 3�� >��[?+9� ".Q � Q �(� ;]X �:��� � � ("�W �

3�� >�� � ?-9 ;P � 3�� >�� � ? � PP 9 �Q � VO #"�W [=; � N�Q<;f$ �:��� $ � � WG� �T� X ;]WQ�� ; � � H � � U�W � W�� D #"1WG�+W5$'Q WN W9; � X Q<;f$ �T��� $'Q d�� �UM" �:X " 3�� S�� H� ��� � 7,/ �'+ " &�)Z/2&�� � "8:6: + / & =�!7�� "8&0"87,/ 1�� �.&'1 +D&0" / 7

� /9) 7 +�� ���0/ ),+ �!&

, � #" �:� � W X �T��� UZW-V�W�� � W #"�W'[��(Q,V � W � 5Q � V � W �(��� Q � d�� �:[\W � WG�(Q<; ����� ; �T� WGQ��_$'Q8 #� �o[W0a�X.Q8 �T��� � >�<@? 9 �KD UM"1WG�+W � � � �� �� � �� H � X�`` ��� W U�W U �T� " � �(� ; � W #"1W����� ; �T� WQ��!$ZQ& #� �\[ W0a�X.Q& �T���QD�� >�<@?%9 � H � � W Q�`�`�� � Q X " �T� � Q�`�`Q; Qq$ �:��� $ � � Q& �:���$ W� #" � V � ("�W d X ��X �T���

Y >=< ?-9 ;P ��� >�< ? � P� @UM"�W��+W Y � � �� � � H M W X Q � QR; �(� �+W0[�Q��+V Y Q � Qk$'Q&`�` �T� [ � �� � � �:d U�WYUM� � +W #"1W � Q�� � Q�N ;�W � Q ��� 9 � W X >�< ? D UM"�W��+W� W X >=< ?+9 C �Q;�; @ � � � @ � ; @ �Q; P @ � � � @ � P @ � � � @ �Q; @ � � � @ � � H�� ��� � �b "�W:[��(Q,V � W � ��d Y X Q � N6W:UM� � � �W � Q � ("�W%$'Q& (� �o[� Y >=< ?-9 � C YC �.+�� � ��� �� Q � V #"1W � W ���(� Q � � P Y >=< ?-9 � C

PYC � + C � � � ��� � � � �M W ��� U � N #Q �T� Q � W [ `�+W ���(�:���Zd�� � #"�W [��(Q,V � W � ��d #"�W d X �X �:��� Y >�< ? H � �(� X$ �:� [ #"�Q& ���T� =U �:X W XG��� �T� X � X � ; V � � WG�+W � � Q&NQ;�W UZW ".Q � W_ #"�W:W [ `�Q ���(�:���

� >�< N�� ?+9 � >�< ? N � > � ? N $ > � ? @ >0� HPFJ?" "

Page 100: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �UM"�W��+W � > � ? � � �� � � �� �:� ("�WYK.� �W X "�W� V�WG� � � Q& � � W ��d � Q& < �T� #"�W^V � �KW X �T���� Q � V $ > � ?-9���> � � � ? P H � `�` ; �T� [S ("�W � W X � `6WG�(Q& � � [ � � W �� W X > � >�< N�� ?N?+9�� N�� N� @UM"�W��+W� 9 � W X > � ? D � 9 � W X > � > � ? ?!Q � V � 9 � W X > $ > � ?N? H b "�X �

Y >�< N � ?+9 ;P ��� >=< N � ? � P�9 ;P >�� N���N�� ? � > � N��N� ? >0� H � ?9 ;P >�� � � N � � � � N � > � � � ? P ? �b " �:� W [ `.Q �����T��� $YX � Q,[��+WSW"U � #" ("�W b Q ; � � � WG� � W �

Y >=< N � ?�9 Y >�<@? N > � W X > � Y >�<@?N? � � W X > � ? N > � W X > � ?N? � � P Y >�< ? � W X > � ? N ��> � � � ? �9 Y >�<@? N (�#Q X W > � Y >=< ? � � ? N > � W X > � ?N? � � P Y >�< ? � W X > � ? N ��> � � � ? � � >0� H � ?b "�W��+W d�� �+W #�#Q X W > � Y >�<@? � � ?���� � � 9 > � W X > � >�<@?N?N? �-� W X > � > � ?N? @UM" �:X " X Q � N6W%�+W7UM� � � �W � Q � #�(Q X W > � � � Y ?-9 #�(Q X W > � >�< ? � � > � ?N? �M W X Q � X � W (" �T� WSa�X.Q& �:��� � V�W� �W��($ �T� W-� Y N� � W� � �T� [ � 9 � + � �� Q � V�X �(�:� [ #�(Q X W=> R KU?+9 #�(Q X W=>OK R ?��

> � Y ? + � 9 #�(Q X W=> � � � � + � Y ?9 #�(Q X W=> � >�< ? � � > � + � �� ?N? � >0� H � ?6 8WSa�X�Q& �:� [W ("�W � W XG��� V � �+V1WG�_ �W��($ � �:� >0� H � ?YQ � V >0� H � ?^UZW � � V #".Q& D UM� � �T� [a�X.Q,V > # ? d�� �V #"�W:a�X.Q,V��(Q& �:X `.Q��� �&d # �T� � Q�� � Q�NQ;�W � D

> � W X > � ? ? � � P Y >=< ? � W X > � ?+9 ;P > � � � N � � � a�X.Q,V >��J?N?9 ;P #�(Q X W�� � > � ? � � > � ?N � � >=< ? � a�X.Q,V > $ > � ?N? � � >0� H �=?

F � �

Page 101: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �M W U � ;P; ��� YQ& ( +WG$ ` e �'��� $ `Q; �\d ' #" �T� W [ `��+W �(�(�:��� d X��� #"�W�� d�� � [\W � WG�#QR; � H � � U�W � WG� DUZW X Q � Q �� UZWG�V #"1W � $ ` � �� @Q � Za�X�W � �T��� ��d UM"�W� ("�WG�V ("�W �^W �(�(� Q � �T� ` ���(� � � W V�W�� ��� +WQ& Q �(� ;�X �T��� H � *Q �(� ;�X �T��� < UZWP".Q � W � >10 ?+9 � Q � V ���

> � W X > � ?N? � � P Y >�<@? � W X > � ?%9 ;P (�#Q X W > � > � ? � � > � ?N? ��^W ��X Wb ("�W��^W �(�(� Q �%��d Y �:� ` ���(� � � W�V�W�� ��� +WLQ& �< �:d Q � V ��� ; �:d #�(Q X W=> � > � ? � � > � ? ? S�-d�� �MQ<;P; ����� � WG� � � D #".Q8 �:� D��\d Q � V ��� ; �:d � �T�M���������T� [,XQ;]Q��-H

� ���T� [ #"�W^[��#Q,V � W � ��d Y >=< ?-9 ��� >�< ? � P� D � Y >�<@? D U�W X Q � Q�`�`Q; � W � WG�(Q<; � X�$ WG� ��TX Q<;�$ W� (" � V � N.Q � WSV ��� $ �T��� $ ��� Q& �T��� H� ��� � �!&�� �� /9)6" � 7,/ �'+ " &�) � " ) �0� � =�!7������ � �

b "�W XG����� X1[pQ& �W [��#Q V � W � e$ W� #" � V d�� � �(� ; �c�:� [ZQ ����� ; �T� WQ�� W0a�X.Q8 �T��� UVQ �*�T� (� � V�X X WSVN� K6;�W� X "�W��%Q � V g WSW � W � C�� � H H b " �T�_���� ; �:� WQ&� XG����� X1[pQ& �W'[��(Q,V � W � %$-W� #" � V X Q � N6WQ,V.Q&` �WSVW � ��� ; � W_ #"�W:a�X.Q,V��(Q& �:X $'Q8 #� �o[ WSa�X.Q& �:��� >GF=HIFJ?ZU � (" #"�W d X ��X �:��� >0� H � ?3 >=< ?-9 ;P � � >�< ? � P� @ >0� H�� ?

UM"�W��+W 3 � � �� � � D Q � V X � W_ ("�W XG����� X1[pQ& �W:[��(Q,V � W � M$-W� #" � V � � � V$ �T� ��������� 3 >=< ? �b � Q,V.Q�` +W0VE #"1W XG����� X1[pQ& �W [��#Q,V � W � _$ W� (" � V d�� � �(� ; � �T� [ � >�<@? U�W �.� � :V�W�� � WS #"1W[��(Q,V � W � Q � V �^W ���(� Q �O�&d ("�W � N � W X � � W d X ��X �T��� 3 >�< ? H� ��� �� � ��� ����� � �+����� ��5K5��,�+�#�%"�� ���������! "M W � ` W XG� Q<; ��� W � X��%�KW � X ;: �%�:� � W X �T��� � H � � #"�W'a�X.Q,V��(Q& �:X $'Q& (� �o[ WSa�X�Q& �:��� >GF=HIFJ? H6 -W [ `.Q � V �T� [ � >�< N � ?IU�W � � Vk #".Q8 $# > � ?+9 R � < N > R < N KU? � H b "�W��+W d�� �+W Dd � � $ >0� H � ?

> � 3 ? +���9 (�#Q X W > � >�<@? � > R � + � �� < N > R < N KU? � + � �� ?N?9 � �� < � >�<@? � R � + N � �� � >=< ? � > R < N KU? � +F � F

Page 102: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �Q � VW"�W ��X W

� 3 >=< ?-9 R � � >=< ? < � N > R < N K ? � � >�< ? � >0� H � ?� ; �(��DId � � $ Q �KW � XQ;: ��d F "�X C F �IH ��� ("�WI[\W � W��#Q<; � � W0V � ; � W � +WG�PWSa�X.Q& �:��� � d�� ;P; � U � #".Q8 # �T�b������(�:� [\XQ;TQ�� �\d #"�WM`.Q � � > R @ R < N KU? �:� �+WS[\XQ;]Q&� >� (".Q& �:� D V�W� > R B � > R < N KU? ?�T�M��� � V�W � �TX QR; ; � W�� �Z�T� � ?!Q � V #"1W W � [\W � � Q<;]X�W �M��d #"�W `.Q � �MQ��+WJV �:� �:��X d � � $ #"1WW � [\W ��� Q<;]X�W �!��d B < Hb �%� Nc @Q �:� #"�W � W ���(� Q � U�W ��� +W� #"�Q& $ > � ?%9 R � P Q � V �(� >0� H �=? X Q � N6W�UM� � ( �W �> � W X > � ?N? � � P 3 >=< ? � W X > � ?9 ;P (�#Q X W � > R � < N > R < N KU? � ? � > R � < N > R < N KU? � ? N � � >�<@? �,R � P � �� W� ( �:� [ � 9 � + � �� Q � V � 9 > � B FJ? � N U�UZWP".Q � W� � � � P 3 >�< ? � � 9 ;P #�#Q X W � C < � � � � � + R � N � � � � + > R < N KU? � H�C R � + � �� < N > R < N KU? � + � �� H

N � � >�<@? � R � + � �� > � �� � + ?��9 ;P #�#Q X W >=< � � �R> � � + R � R � +L? � �� < N � < � � � � � + R � > R < N KU? � + � ��N � � � � + > R < N KU? � > R < N K ? � + � �� N � > � �� � + ? � �� � >=< ? � R � +L?9 ;P � > R � R ? + +G>�< < � ? � � N � > R � > R < N K ?N? + + � � �

N >N> R < N KU? � > R < N KU?N? + + N � > � �� � + ?-> � >�< ? � R ? � + � � > � H � ?b " �:� V1W� �W��($ �T� W � #"�W:V � Q,[ ��� Q<; W ;]WG$ W � �!�&d #"1W � W ���(� Q � HLK.� � $ ("�W � V�W � � �

> � + N � � ? � R > � + N � �-?%9 T�+ + N � T�+ � N T � � >0� H�" ?� d�� ; ; � U � #".Q& ;U�W X Q � V�W� �W��($ �T� W' ("�W � � � V � Q,[ ��� QR;ZW � (� � W �S��d � P 3 N� W � QR;�X.Q& �T� [> � + N � � ? � � P 3 >=< ? > � + N � �-? d�� �MQ<;P; U W9 � H� ��� ��� � ���%�� ��Y����3b "�W X������ X�[�Q& �W^[��#Q,V � W � $-W� #" � VkQR;�[ � � � ("�$ d�� � �(� ; � �T� [ #"�W^a�X�Q,V��#Q8 �TX $ZQ& #� �\[ W0a�X.Q � �:��� >GF<HPFJ? X Q � N W �(� $Z` ; -V�W�� � W0V Q �Md�� ; ; � U � H

F ���

Page 103: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �� ��� �,7 �=� 4 ��� �����.��� ��>,$7& < R ��� �� �,&65 3 � � �� �� � �#����;�,) M��!�7�� �# B �, � $�B �6 �� =� B ��&%�=B �!$ 3 >=< ? T� >!�,)*/��, =$ 3 R 9 3 >=<-RC?@A � 3 R�9 � 3 >=< R ?T 9 ��� R�9 B � 3 >�< R ?� 4 ����� � 3 A W9 �

3 U � � A ���� �� � T $ �:���� � � >=<!A N� A 9A�? � P��� " � � T���� A ���<.A BU;-9 <.A N� A 9A 2ACBU;i9 B � 3 ACBU; N�� A 2A >0� HIF � ?� � �b "�W XG����� #Q � � A �T� � ;�[ � � � ("�$ � H � HIF ".Q � =U � ` ���(�(� NQ;�W d�� �($ �^� X�[\[\W � �WSV N K6;]W� X "1WG� Q � V g W0W � W � C � � H Q � V�� � ;TQ m Q � V0g � N � �WG�KW C � " H D �+W � ` W X � � W-; D

� K!gA 9 � � 3 ACBU; � P�� � 3 A � P� @ >0� HIF=FJ?

� �%gA 9 #�(Q X W >N> � 3 ACBU; B � 3 AD? � � 3 ACBU; ?� � 3 A � P� � >0� HIF � ?

M W ��� U X Q<; ;i ("�W X������ X�[�Q& �W [��#Q V � W � $ W� (" � V4U � (" � KigA #"�W F d K!g $-W� #" � V Q � V #"1W X������ X�[�Q& �W:[��(Q,V � W � M$-W� #" � V U � #" � �+gA ("�W F d �+g $ W� (" � V H� ��� ��� ���2�-( � � ����� &)���- ( ����5� � �W! #".Q8 � ;�[ � � � ("�$ � H � HPF X Q � N6W � $Z` ;�WG$ W � +W0V U � ("-W [ Q X ; �T� W � WQ&� X "�W � d�� �LQ � +WG`;�W � [� (" ARH�g W X Q<;P; �:� [' #"1WS$-W�� � d X ��X �T���Ed�� � � WSU! ����/ � $ W� (" � V8U � #"@; �:� W � WGQ�� X "1W �R > ? �T� > � H � F�? Q � V d � � $ � >�< N! .?-9 � >�< ? N! # > .? N! P R P UZWY".Q � W_Q a�X.Q��� �:X` � ; ��� $ � QR;

R F d > ?+9 � � >�< N� .? � P�9 T#" " N T � � N T P P N T<; *N T R @F ���

Page 104: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �UM"�W��+W

T " 9 � R P � P� @T ��9 (�#Q X W > # >� .? � R P N > R P ? � # >� .? ? @T P 9 (�#Q X W > � � R P N > R P ? � � ? N � # >� .? � P� @T�;+9 (�#Q X W > � � # > .? N # > .? � � ? @T�R�9 � � >�< ? � P� �

� �:��X W R F d > ? �:� a�X.Q&�� �:X Q � V^ #"1W XG� W�� X�� W � T " �:� ` ����� � � W:U�W X Q � Q&`�`Q; ("�W � Q�$ W� (�#Q& +W0[ D UM" �:X " �T� X � WSV d�� � � � V �T� [e #"1W�[=; � N.Q<;p$ �T��� $YX�$ ��d R > ? �T� > � H ��� ? > � WSW!K � [\X��+W� H � ? D � � � V #"�W:[=; � N.Q<; $ �:��� $YX$ �&d R F d > ? HK �T� Q<; ; D ��� �W_ (".Q& W [ Q X ; �T� W � WQ&� X "�W � Q<; UVQ �M� Q& �T��d Z #"�W:WSa�X�Q& �:��� (�#Q X W >N> � 3 ACBU; ? � 9A ?%9 � W X > � 3 ACBU; ? � � W X > 2A ?+9 ��� >0� HIF � ?

6 Q�`�`Q; �T� [ � W X � ("�W�WSa�X�Q& �:��� >0� HPF � ?PQ � V `��+W�$YXQ;: � `Q; �T� [ N� � W X > � 3 A BU; ? � UZW".Q � W� W X > � 3 ACBU; ? � � W X > 2ACBU;G?%9 B � � 3 ACBU; � P� N�� A � W X > � 3 ACBU; ? �-� W X > 2A ?Q � V%"�W ��X WLN� Y ("�W`W [ Q X ; �T� W � WGQ�� X "% #"�W X���� V � �:��� >0� HPF � ?6U�WL".Q � W � W X > � 3 ACBU; ? � � W X >� 9ACBU; ? �<D UM" �TX "W$-WGQ ��� #".Q8 2ACBU; �T� Q V�W �(X W � V � �+W X �:��� H

� ��� � � ��� �� �!� �,� ��� �������<5, � (" �T� � W X �T��� UZW X�� $ `.Q��+W � `6WG�(Q& �:���ZX�� X � � d�� � �^WSU! ����/ � $ W� #" � VZQ � V' ("�W XG����� X �[pQ& +W [��#Q,V � W � $-W� #" � V d�� �! #"�W a�X�Q,V��#Q8 �TX $ZQ& #� �\[ WSa�X.Q& �:��� H �LQ X " � �W�` ��d �^WSU! ����/ �$ W� #" � V �+WSa�X � �+W � F ��� � � S � ` � X �(�:� [ #"�W [\W � WG�#QR; � � W0V � X "�X���V1W XG� $Z` ���(� �:��� Q � V �\d�^W �(� W � N W��+[ � #� � Q � [,XQ;]Q��ZV�W X�� $ ` ����� �T���Z�T� X � W0V #"1W � ��� ; � � � � S � ` � HLK � ��W [ Q X *; �T� W� WGQ�� X "1W � UZW � W0WSV � � � S � ` � $ � �+WRH �LQ X " X������ X�[pQ8 �W�[��#Q,V � W � -$ W� (" � V � XN � +WG` �+W �a�X � �KW � #"�WZW � Q<;�X�Q& �:���P�&d #"�WZ[��#Q V � W � D � 3 D Q � V5 #"�WZW [ Q X ; �:� W � WQ&� X "�W � H b � W � Q<;]X.Q& �W

F � �

Page 105: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �b Q�NQ;]W)� HPF ���^X�$-N6WG� ��d S � ` �Md�� � X �(�:� [ X������ X�[�Q& �W"[��(Q,V � W � M$-W� #" � V5H

S � ` �� 3 � �� S � ` �R P � � � S � ` �# >� .?-9 R S< N > R < N K ? � � � S � ` �f;�T� W � WQ�� X " # >� .? � R P N > R P ? � # > .? �� S � ` �� � R P N > R P ? � � �� S � ` �� � # > .? N # >� .? � � �� S � ` �b � @Q<; F " � � S � ` �

#"1W XG� W�� X�� W � �5��d R F d > R D R P D R S< D > R < N KU? D # > .? � R P D � � R P D� � # >� .? ? � $ZQ& (� �\[ $YXQ;: � `Q; �TX Q& �:����� Q��KW��KW0a�X � �KW0V5H � � +W (".Q& PUZW � WSW0V- ("�W�$YX ;: � `Q; � �X Q8 �T���5��d R Q � V5< d�� � XG� $Z`�Xc �T� [�# > .? D UM" �TX "qQ�`` WGQ�� �i�:�5X�� $Z`1X �:� [ X�� W� X�� W � ���d R F d D T�; D T P Q � V�T#" D N�X R < �T� QR;T�+WGQ,V� Q � Q � ;]Q�N ;�W d � � $ ("�W'W � Q<;�X�Q& �:��� ��d � 3 Hb "�W��+WSQ��KWP ("��+WSW � $ $-W� #� �:X $ZQ& (� �TX W � �(�kd�� �M #"1W � W5$'Q& (� �o[ $YXQ;: � `Q; �TX Q& �:����� UZW � WSW0V�� S � ` � WQ X "5H b Q�NQ;]W#� HIF [ � � W � #"�W � `6WG�(Q& �:���^X�� X � �Yd�� � WQ X " � X�N � +WG` ��d #"1W XG��� �

� X�[pQ8 �W [��#Q,V � W � P$-W� #" � V5H M W X Q � � W0WZ (".Q& W [ Q X ; �:� W � WGQ�� X "�W �-d�� �_ #"�W XG��� � X�[pQ& +W[��(Q,V � W � e$ W� (" � VW�KW0a�X � �+W � F=F � � S � ` � D UM" �:X " �T� �KW ;]Q8 � � W ; k$ � �+W:W [ `6W ����� � WP #"�Q �Od�� ��^W7U! ��� / � $-W� #" � V5H, � �(� $ WS`��#Q X �:X Q<; W [ Q�$ `Q;�W �_��d a�X.Q,V��(Q& �:X $'Q& (� �o[ WSa�X.Q& �:��� #"�W X�� W� XG� W � %$'Q � #� �TX W �*X Q � N6W ;]Q��K[\WPQ � V � `�Q�� � W D d�� � �T��� @Q �X W Djd�� � ("�WYV.Q&$Z`6W0V $ZQ ��� � � `�� �:� [ � � �W�$R �T� V � Q,[ ��� Q<;!Q � V4K Q � V M Q��+W � $ $-W� #� �TX #� � V � Q,[ ��� Q<; H � X�`�` ��� W R D K Q � V MQ��KWSN.Q � V�WSV D " � U�W � WG� Di��� ; ^ ("�Wq$'Q& (� �o[ R Q � W X � �+WSV�X XG�:� [�S � ` � U � #" N.Q � V�WSV � W �(�V�X�� �T� [*$YXQ;: � `Q; �TX Q& �:����� H f W� i #"�W�$'Q& (� �o[ R N W!N.Q � V�W0V U � #"-N.Q � V1U � Vc #"�� H b "1W ��b Q �NQ;]W)� H �-� " � U � ("�W XG� $ `.Q�� �T�(���W�&d � `6WG�(Q& �:��� XG� X � � ��d N�Q � V�WSV^Q � V�V�W ��� W $ZQ& #� �TX W � HK.� � $ b Q�NQ;�W � H �5�\d ��� � >9UM" �TX " �T� Q-�KWQ ����� Q�N ;�W%Q ��� X�$ ` �:��� N6W X Q X � WY ("�W"V.Q�$ ` WSV$ZQ �(� � � `� �T� [ � � �W�$ [ � � W �M��� ; �� 9 FJ? D U�W X Q �O� Q � W

F " � � B F � � �F " � �9 � � �F " � �

9 �����F � �

Page 106: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �b Q�NQ;�W � H � � F�� $ `.Q�� �T�(���'��d;� ` W��#Q& �T���ZXG� X � ��d�� �ZU � #"kN�Q � V�WSV Q � VbV�W ��� W XG� W�� XG� W � $ZQ& #� �TX W � H

� W �� W 6VQ � V�W0VHU � (" N.Q � V1U � V #" �� 3 � �� � � � P N � � �f;�T� W � WQ�� X "�W � F=F � � � � � P N " � �b � @Q<; F " � � � � � P N F � � �

#"�Q � �T� V�W �� W X Q � W<H � � #"�W XG����� X�[pQ& +W:[��#Q,V � W � M$ W� (" � V U � #" N.Q � V1W0V R X Q �W� Q � WF ��� � � B F � � �F ��� � � 9 � " �

F ��� � � 9 � � � #"�Q � � X "�X��*QR;�[ � � � ("�$ �&d � WSU! ����/ � $ W� #" � VWQ � V� � � � B F � � �� � � � � " �

� � � � 9 � " �

#"�Q � �^W ��� W � N6WG�K[ � � X "�X�!Q<;�[ � � � #"�$ ��d �^W7U! ����/ � $-W� #" � V5H � ;: (" � X�[�"S ("�WMN.Q � V�WSV � W �(��T� Q<;T$ ��� V�W � #� � \W0V V�X�� �T� [ XG� $ `�X �T� [ � 3 Q � V ("�W XG� W�� X�� W � �_��d R F d d�� � W [ Q X ; �:� W � WQ&� X "�W � D #"�W XG����� X1[pQ& �W�[��#Q,V � W � 5$-W� #" � V U � (" N.Q � V�W0V X�� W� X�� W � -$'Q& (� �o[ R� Q � W �*� ` W��#Q& �T��� X�� X � � �(� [ ��� � X Q � ; X�� $ `.Q�� �:� [YU � (" �^WSU! ����/ � $ W� (" � V5H� ��� ��� �'�������+� � �������� �������(*�� � UZW ;P; C � �LH W � #Q�NQ; �:� "�WSV #"�W�[=; � N�Q<; X������ W��+[\W ��X W d�� � #"�W F d Kig $-W� #" � V U � #" #"1W[\W � WG�(Q<; ����� ; �T� WQ�� W0a�X.Q& �T���QD 3�� � � � � D Q �(� X�$ �T� [8W [ Q X ; �:� W � WQ�� X "5H � �(�:� [�(� $ � ;]Q�� Q��+[,X�$-W � `U�W X Q � `�� ��� W*Q:[=; � N.Q<; X������ W��+[\W ��X WY�KW � XQ;: d�� �b #"1W F d Kig $ W� (" � VU � (" ("�W d X ��X �T��� 3 >�<@? � � �� � � �T� >0� H�� ? H M W � @Q��� U � #" =U � �+W � XQ;: � UM" �TX "`Q;TQ� X �KX XG� Q<;;� � ;]W �!�:� ("�W%`�� ��� �T� [ �&d [=; � N.Q<; XG����� WG�+[,W ��X W<H� �_ � �;�����:9�� C � " D b "�$ H � HIF=HPF H � #%$ 5�$G��EG$7&% P5,����$GE7 ��2�!&1� 9A �,&65 � 3 ��& * ) M��!�?�� �# B� H � HIF �0�, ���� � F- �#%$ � �!)�)��!N`��&�M ��$G�7/�)* ��� W X > � 3 A�? � � W X > 2A ?

� � 3 A � P� 9 B F �F � �

Page 107: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �H 7I���,J H K.� � $ #"�W � +WG�(Q& �:��� >0� HIF � ? Q � V #"�W:W0a�X.Q8 �T��� > � HIF � ? D� W X > � 3 AD? � � W X > 2AD?

� � 3 A � P� 9 � W X > � 3 A�? � � W X > B � 3 A N�� A O ;� 9A O ; ?� � 3 A � P�9 B � � 3 A � P� N�� A � W X > � 3 AD? � � W X >� 9A O ; ?� � 3 A � P�9 B F �

� �_ � �;��������� C � � D b "�$%H � H �IH�� �!&1�7��5�$7�/* ) M��!�?�� 9# B � H � HIF T � /����%����$8 �#1�, ;3 ���

EG�!&% ���&%/F�!/ �7) Fb5,� $7��$7&% ����pD0)�$"��& �,& � �%$7& ��$7 �� EG�!&% Q�,��&%��&�M' 9#%$J)�$7>,$7)(��$7

� � 9 � < � 3 >�< ? % 3 >=< R ?�� @ >0� HIF � ?NP#%$7��$ < R ���"�7 2�,�7 ���&�M'B �, ��7��T * �G�7/ B�$;�,) ���' �#1�, � �#%$7�G$"���;� EG�!&1�7 Q�,&% ? �7/FEG# 9#1�,

� � P 3 >�<@? � � % ? @ � �!�J�,)�) < � � � >0� HIF �=?� #%$7& a�

A���R� � W X > � 3 A ? � � W X >� 9A�? � P

� 9A � P� � � >0� HIF�� ?H 7I���,J H b "�W XG��� V � �T��� >0� HPF �<?Z[ � � W � #"1W �:� W0a�X.QR; � �

3 >=< ? % 3 A N � W X > � 3 AD? � � W X >=< B <!AD? N ;P ? � < B <!A � P� � >0� HIF � ?K.� � $ �T� WSa�X.Q<; � � '> � HIF � ?ZUZWP".Q � W

3 ACBU; % $ �T�� �� 3 A N� A � W X > � 3 AD? � � W X >� 9AD? N ;P ? PA � 9A � P� �9 3 A B � � W X > � 3 A�? � � W X > 2AD? � P� ? � 9A � P� �

6 � X�$ $ �:� [- #" �:�!�T� WSa�X.Q<; � � ��� W�� Q<; ; �:� V �:X W � ;]W ��� (".Q �W� � W0a�X.QR;� � T D UZWP".Q � W� % 3 A BU; % 3 R BA�����R

� � W X > � 3 � ? � � W X >� �-? � P� ? � � � P� � >0� HIF � ?K �:� Q<; ; D @Q m6�:� [ ; � $ � � �:� >0� HIF � ?ZUZW � N @Q �T�a�

A���R� � W X > � 3 A�? � � W X > 2AD? � P

� 2A � P� �� �F ���

Page 108: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � �� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �, � W0a�X.QR; � � @>0� HIF�� ? �:�hf W�$Z$ZQ � H � H �SX Q � N6W_�+W7UM� � ( �W � N� a�

A ��R XG��� P � A � � 3 A � P� @UM"�W��+W X���� � A)9 B � W X > � 3 AD? � � W X >� 9A�?

� � 3 A � � � 9A � �Q � V � �T�!X QR; ;�WSV #"�W�� � X +W � V � ��m'X���� V � �:���eC " F H HM W ��� U �+W�$ �:� V% #".Q& �\d #"1W ;]W � W-; � W� � �:� > � HIF � ? �T� N � X � V�WSVSQ � V #"�WI[��(Q,V � W � �� 3� Q8 �T� �%W � Q ff� ` �(X " � �*XG��� V � �:���'�:� Q � � `6W � � W� � D UM" �TX " �T� �T�k��� $ W � W � [�"6N � X��(" � � V��d � D (".Q& �T�\D #"�W��+W:W [c�:� � Q XG���� @Q � �� S��q� X X "O (".Q& � � 3 >�<@? B � 3 >��< ? � � % � � < B �< � � @ d�� �MQ<; ; < @ �< � � @ >0� HIF " ? #"1W � #"�W��+W:W [c�T� � Q XG����� @Q � � � X X "O (".Q&

� � 3 >�<@? � � % � @ d�� �MQ<;P; < � � � >0� H � � ?�54 �6�,78�� �����;� f� C ���<D � W X H � H � /����%����$J 9#1�, �,)�)P�!�G�7/ B �6 ��2�!&1�J��& � $�BSB � � H � H � �,&65� $�BSB � � H � H � #%�!) 5-�,&65 �#%$ )�$7>,$7)%��$7 � ��& > � HPF � ? ���%D7�!/�&65�$+5 T * �G�7/cB�$"�,) ���; 9#1�, 3 ���� � �%��EG#��� EG�!&% ���&%/%�!/��7) F 5,� $7�G$7&% ����pD0)�$ ��&;���8B�$I&($7� M!#D7�!/���#%���05 � � � � �,&65 * ) M��!�?�� �# B� H � HIF ���J�=B �6)�$�B�$7&% =$+5'DGF � �� � B�$7 9#%�05 T � #%$7&

; � $A _ a �:�d � � 3 A � � 9 ��� >0� H � FJ?H 7I���,J H b "�We`� � ��d �:� N� XG��� #�(Q,V �:X �:��� H � �(� X�$ W (".Q& b #"1WG�+W �T� Q XG����� #Q � ��� � X X " #"�Q& � � 3 A � � ���� d�� �MQ<;P; � X�� X�� W � N; �;TQ��+[,W T � >0� H ��� ?

b "�W �QD�d � � $ #"�W � �WG�(Q& �:��� U � #" F d K!g $ W� (" � V Q � V #"�W X���� V � �T��� >0� HIF � ? D UZW "�Q � W� 9A � P� 9 � B � 3 A N�� KigA O ; 2A O ; � P�% � � 3 A � P� B � � KigA O ; (�#Q X W >N> � 3 A ? � 9A O ; ? N > � KigA O ; ? P � 2A O ; � P9 � � 3 A � P� N > � KigA O ; ? P � 9A O ; � P% A� � ��R

� A O ;�� � ��� � Kig� � P�� � ��� � � P� �

� � �

Page 109: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � ��� ��� � ����� � � �p� 4 ��� �� ���T��� ("��_ �� � ���.Q& �T���� � � � � � � Q ��� � ��� ��� �

� �� ���� % �� � ���� ������� � �

� ��� ����� � " �� ��� � � " � � � ��� � ����

��� � ���� ����� � " �� � � � � ��% � "�� � � � � � �"!

�M" �:X " � $Z`�# � � � #"�Q& $������

�� �� " �� � � % $�

� ����

� %� � �� �K.� � $'&(�G$ $'Q � � � � � Q ��� &)��$Z$ZQ � � � � �� * $�

����� � � � X � ����� � � � � X � %� � � �� %� � �� �$������ � � � X � � �+� � � � � X � %� � � �� �� � �� � ���+� � " � � ����� � " �

�$������

� � �+� � " �� �� � ��Q ���W�(�:��X � � � �+� � � % � �T� � � � � � � $�

������

� �� � ��-, � �.!" �:� �:� Q XG��� #�(Q ���:X �:��� �0/ $����� �� � � Q ��� #"��%`�� �c�&d �:�MXG� $ `�#1�� 2� � �34� �� 2�k (".Q& 5.!"�� � �6��$ � � � � � Q�`�`�# � � � � Q � � � � ���#Q7# ����� # �T� �GQ��5$ZQ& #� �\[ ���.Q � �:��� � � � �8� � �G��9 � Y$ZQ ^N:�5 � � � [ `:� ��(� � �S � Q�``�# W #"��%� [ Q X # �T� � � �GQ�� X "�� �_d�� �* #" �

� � � �G�(Q7# ����� # �T� �GQ��;���.Q& �T��� � � � 9� ("�� � # � N.Q<# XG����� ��� � � ��X � d�� � X������ � Q& 2� � �#Q ��� � � $=�� #" ��� � � (" �:� � [ Q X =# �T� � � �Q&� X "�� �'X Q � N:� X��������1� ���6� � � .!"�� � # � N.Q7# X������ ��� � � ��X ���d #"��0>@? KBA $=�� (" ��� � � #" �T� � [ Q X C# �:� � � �GQ�� X " � � ��Q � XG����(�1� �G�6� �ld�� �Y ("�� � � � ���#Q7#����� # �T� �Q��D���E�Q& �:��� N� � # �GF Q�Q<# �(H ��I Q ��� �J� X Q � Q�`�`�# S #" �:� � ("�� � � � ���#Q7# ����� # �:� �Q��$ZQ& #� �\[ ���.Q8 �T��� � K � � � K9B�8� XG�����(�L� �G�- ("�� � (� ��� � 3 � # d � XG������� �T���� 9M�M" �:X " Q �����1��� � X � � �+� � � � � X � �� � * � ��+�N��� % �+� � O� � ��� �� %� ! � � � ��� Q �P � � � X � ���+�2��� � � � � � X � %� � P�% � P � � � X � ����� ��� �-� � X � �� � P ! � � � ��� N �� � "

Page 110: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � ��� ��� ��� ��� � ��� � 4 ��������� 6� � , O� , � , �� � &(�����ZQ�� � � � � � Q�� � � � � � �SX Q��ON:�� 6���� ������2���WQ�� d�� #L# � ��� �� ���4� � ����������� ��� ���! #"#$&%�'�(�%+**),+- /.102%�' B � � � � � 03"40=B �5)3$�B6$87!%9$;:=<>02%2'?(@"8%9$ �A)3$87-+�%2'

� %�'�(�%B"�(�%C03"�"D$E"�%�'!$*"8%F.G /7-+ . /) HI$&JE /75:�02%C0K /7�" � ��� ��� ��L � '!$87M%�'!$%B6$8%2'! �:&+-$87N$8.�(�%9$E"O(:-$E"#JE$87!%P:�02.G$EJ8%F0K /7 �� %2'�(�%>"�(�%F03"�"D$E"�%2'!$O027N$;Q � (�)R02%F0K$E"

S�� S � % � � X � ����� � � � � X � �� �� ����� � �� % � � S �� S � ! HI /.T(�)2) � � � ! � ! � � � �H 7U���,J � � ��� H � 9 .V�W� ���I Q�� �4H � �E9 &(��� � � � �+I

� ���4� � ������� ��� H � ��9 .V�W� � � � � I ��� ���! #"#$�%2'�(�%�**),+- /.102%�' B � � � � � 03"X0=B �5)3$�B6$87!%9$;:O<>02%2'(Y"8%9$ �Z)3$87-+�%2' � %2'�(�%["�(�%C03"�"D$E"6%�'!$\"8%C.G /7-+ . /) HI$]JE /75:�02%C0K /7�" � � � � � ��L **"E" � B6$M(�)^"# %2'�(�%X027_"# 8B6$47N$80`+/'D8 � .G'! # �: � aH � 027 � � � � � � � "�(�%C03"�"D$E"b%�'!$ � 0 �!"#JE'-02% cJE /75:�02%C0K /7� ��� � " ��L � '!$87

$������

� � � X � � �+� � � � � X � �� � � �� �� � �� , � �H 7U���,J � K! � �d�;��� ���.Q��;� � � � � � ��� N � �J���.Q � �� � X � � �+�N��� S � �+� � � � � X � %� � � � � S � � � � X � � �+� � � � � X � %� � � � � � � � �

�e���3� � �;���C&f�:`W� X ����� �%X�� � � �`�G� � � � � � � � � �8� � N��@Q��3�� � � X � �����N��� S ���+� � � � � � X � %� � % � � � X � ���+�2��� S � �+� � � � � � � X � �� � � �

� � ���+�2��� S � �+� � � � �� � �% � � <=�N��� S <=� � � � %� � �� � � � %� ���� � � � � � �

F X�� �-NW���W�3� � ��� � ���.Q��;� � ��� � � � � � � Q�� � � � � � � � �J�O�.Q � � � S �� � � � X � � �+� ��� � � � X � �� �� %� � �� % � � � � � � � �.V���� 6����� ��d `W �-��d �3� � �� @���3�g�1#]Q� h� � &(�����ZQ � � � � � �Ki�3��Q7#1# 9 d � � ��� � #L���g�'Q�� �8�j�.Q � �k�G��� � # � N.Q7# X�� � � �� � ��� X � d�� =�;��� >@? KBA�=���G� ��� �����;�@�3��� [ Q X � #3�����l�6�GQ� X � ��� �

� � �

Page 111: Department of Mathematics - The University of Manchester

����� � � ��� ��� ��� ��� � ��� � 4 ����54 � �,7/�E� ��������� � ��� ���! #"#$&%2'�(�%�(�)2) %�'!$4(/"E" � B �5%C0K /7�" aH � $�BSBg( � � � � � (�75: � $�BSBg(� � � � � '! /)`: A (�75: %�'�(�% **),+- /.102%�' B ��� � � � 03"[0=B �5)3$�B6$87!%a$;:ZDGFg%2'!$ � � � B6$8%2'! �:�<>02%2'M()R027N$l"#$;(�.GJE'@%2'�(�%h"�(�%C03"�"D$E"�%2'!$["8%F.G /7-+ . /) HI$4JE /75:�02%F0K /7�" � � � ��� ��L � '!$87

#3������ $��� d � � �+� � � � ���

H 7U���,J � � ��� H � 9 .V�W� � � I Q�� �4H � �E9�.V�W� � � � � I ���������� ��� ����� ���������������������

.V���[ ����2� ������� � � �� � ��� � � � ����� � � � �/�2� � �� � �L��� �V�=���G� ��� �8�!��� ��� �W��� � �� !"$# > � � � �� ��� � 3 � # � � H �O��I �����;� �&%'� � �=#��3�����6�(�� � ����� � .V���)# ��� �W��� � �� 6� � �;���\��� � ��� ��� ���W�;� � �*�7#�*� � ����G� ��� W� � �G� � �

�,+ � � � ��� � �.- � !

������ 6� - ���/��� �10 � �2#-���=���; ;� �435� �����G�65 � � ���!�W�`�2�[�7���G ��6% � .V���)# � "���������� � �;���� 8���6�� �9��� �$57�� � ��� � �������;� ��� � � � ���2� � �� � �L��� ��� �8�G� �E�

�,+ � � �N��� �;: ��+ � � � � % H � <>= � ��: � < � � � I � !������ 6� < ���h�;��� ��� � � �`�G� � �6�W�?":�� � � �G���e�@�/�G ;�A% - �CB � �;� � ��� �;�*��� �;��� ��� �$5 �� � ��� � �� � �;��� ��� � � � ���6� � 8� � �1��� �\� �8�G� �E� �3�0#3�3� �(�� �ED � ��;�W�3�\ ��(��� � �Z���6�3� � ���;�� 8� " #1�M� ���� �W�;� � �� 3 �� ��� � � ���;� � ���3� �F��� X��� 3 � 5-�3� � �;���� 8���;� � �

�������HG IJ�*���������LKH KM�N�4K2� �

� �������G� � �5���W� � � � � �6���O�� ��3�6���B�3�&�;��� ��� � � � ���6� � �� � �1��� �>� �8�G� �E� �3�i� � � �8� � ��� ��� �3 � 57�[�6�P�� � � � �3 �� � �G� � �W�J�����;� � �� �3� � 6�P���;��� � �G���*��� � 8� � �[ ����W�� 6���=��� �;��9W���3� � �[�6�(�� � �� �� 6� � �G� � �W� � � >@? D A ��� � >@? � A � �8�G� �E� �[�2��� � � � ":� 3 �-� �#Q#M� � �<#1� � ��� � �G� �=#��3����6�P�� � �O� W� � 3 �� ��� �� � ��� � �� � 6� � �� � �;� � � �&5 �<#1*���;� � ���N� �V� " �������L�D�6W�`��� "�#L�B���6� 3 #L��� � �G�

� H � � I � � �X�@���$# 3 � �R3 #1�[�� � � �����6� � �8� ��� �W��� � �� ��6�(�� � � � �3 6� � �;� � �W� ��� �;��� ��� ;�

#5� � =TS � ����� � � � ������ !� � �

Page 112: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� � ��������� � ��� � ��� ��� ��������� 6� S �]���@� �;#-���=���; ;� � 35� �;�`�G�65 � � ���!�����2�M�@�/�G ;�A% � B � �8�]�����7�M�;��� ��� � #1� � ��� ��;� ��� ��� S � �J�@�g� � � � ���;�8��#L#�� 3 3 #Q# � ���V� � �,���=���;� ��� � � � � � � � � 9 ��� %����� � ��G� �\��� � 8� � �\ 6���E��3 6��� ��� �G� �� ��6�;�����L#��� � D � � W 3 � "�#L��� 9�� � � � ��� 9M�8� � 3 3 #��1� ��G� � � ��� � � �*�7#i�7���; ;�6%M�G� ���O�*��� � ��� � � �*�7# ��#L���=��� �G� � � �G��� � ���;������� 9�� � � � � � 9(������ ��� � � � � �

� � � � � � � �� 9 ��� S � ��� 3 6� ��� � � ���;� � �W��� � � D � � ���*���;� � � � ����� � �8� � ��� �(��� ��1#6# � ���6�� ��������*�G� � � ��� � � �*�7#:��#L���=��� �G�!��� 3 �� ��� � � ���;� � � �� !��� � �J� � % 3 �� ;�3�=��� �6� � �����;�� � � � �&%'��� 3 #1���N"���P�G���&# ��� �$5 �� � � � ��� �7#�� � ���h�G���e�8���=�*�W�?":�� � � ���6�� ����G� � �W����� ����G� �C�� 3 6� ��� � � ���;� � ��� � � ������� � � ��� � � �3� � �4�6W�`��� " #1� 3 �� ��� � � �`�G� � ���� S � ���`�G� � �V� �-�� � � �&% 3 ���W���b ����7���3�W�!��� � 3 ��� 3 � "�#L��� �

����� ����� �"! #%$'&)(*# +-,.�0/21 3%� �547698:� 1 ; /=<�>"3�1B � �8� ��� �W�;� � �� X�G��� � W� � �;� � � � � � � � � ��� � � � � ��#3�����(�� ���*���G� � �W�T" # � � � �W�3� � � �@? � �5 � � � � � � � � �����;� � � 5��� ���� "�#L����9 ���W� � � �� 6� ?BA � ��� DC !FE � � !HGE! I I I"! � 9 �J� � ��� W����g�3�W�����KJ(���;� � �e� �8�G� �E� ��"*���6� �&� �O�G���J? �<W�;�MLMN �"�V� � �?��� � �;���8&)�&5 ��� ":�� � L�O �� 6�*�� � ��=���G� ��� � �ND � D�;���%? �7��;��LFN �"�V� � �M� �8�G� �E� ��� � �;���C&(�)5 ��� "��� � LMO �� 6�*�� � �[�=���;� �E��G� � � �3 6� � �;� � � � � � ��� ":� � "������3��� � "$#c� � #Q5-��� �PRQ� P � S � � = PRQ��T � !������ 6�UP �[�3�D�;���WVR� ��� "������ � � T �X? �P �@? � �ZY\[ T^][ ?BA`_ ��� aC !bE � � !cI I I�d � Iegfihkjml�hon � W� � �G� � � 9qpsrut�vwp 9 ��� � � #Q5-��� � �X�;#-���6��� � �Bx � � ��#3�����(�� )���E ���G� � �b��� x5��� ;� � "�#L���M��;�3� � �;��� ?L�7W�;�MLMN ���V� � �g�=���;� �E� ��� � �G��� &(�&5 ��� ":�� � L�O �� 6�*�� � � �=���;� �E��N��� ��� 3 #L���=��� �2� � " # A ��� � ����#`�N��� �Dy � ��� 3 �3��� � .V��� � W� � �;� � �Upsr�t�vwp��3� "*����� �\� ���G� �D � ��; 8��� 3 � � 8����za{ F A)| � � � O � ��79 ?L�� �" � � ��� � zX�1#1#����; � � ����� � �A�3� � ;� � �3�*�<#1#Q#"*����� �=� �@�G��� 3 � � 8��� > e & D�} N � ��~ � �J��#1# H�� � 9:> �*� 3 � � I �F ��h�G�����6�e� �8�G� �E� � ��� � �P� � �)5��7#L*���6���;���=VR� ��� "������g�@�/�G ;�A% ���W� � �6��� d � 0 d � ��� �

� � G

Page 113: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� � ��������� � ��� � ��� ��� ������e�=�(���W�X�G�*�/� ��� #��� � � d �G���3�*�=���;� �E� �3�X� � �T5 �� ;# ��W���8� "�#L�79 ��� �8�%���1#L#��;� � � �����;�� � � � � % ��� 3 #L�����3�c�;�������&%-� � �*� 3 �6�� �

� ���

Page 114: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ����

� � ���������� � � � ���� �������

� ��� �! 7,#" $&%c/2�(' � <�> ) * +B � �G���3�l��� � �;� � � �8�4�;� � � ��� � ��� � 3 �� 6�T� � �=� � % 3 �� ��3�=��� ���<#i 6���6�#`�G� ��;�3� � N ���V� � �,��=���G� ��� ���`�G� ��� � ���`�G� � � #3�����j�6�P�� � � ����94�;��� F �� �� � �#L#3�O���6�� 8�/�G� � �W��9��G��� >@? D A�=���G� ��� 9 >@? ~ A �=���;� �E� ��� � � fih jml�h n � W� � �G� � � ��� &� � #Q5-��� � � ������ ��7# � � ��#3�����(�� ���*�/�G� � � 9 psrut vwp �-, � � % 3 �� ;�3�=��� �;� �8�� �� ��� �����3� fih jl h n �, W � � � �7 #������8�� ��;�3� � �7���; ;�6%6�3��9*�����3� H � �<I 9| � � �7�#`� �=� � Y/.102.43 �65 .107. �3 �98 .4:;.43<.1=>.43G .4:;.43 _ ? !���W� � � �3� � ���;� � ��� � � � � � 57�]� � ;� � � ��#6# � � �;���]�����=� � � �� � � �@� � �W���6 � � ���7�

� � #Q5 ��� � � .V��� � ;� � 3 #1��V�;� � � � 5 � � � �D�G�������8�� ��;�3� � 5 �<#1�� �=� � � ��� � �G� �[�6� ��� � � 3 #1���;� � �=�3�V� � �(5 � � � �;��� 35� ���;� "��1#3�`�H# ��� � ��� � 3 #1� %D�=� �NB �6�� ����G� � �W� ��� )N �"�V� � �,�*�=���;� �E������;�1��� � �����;� � �� #3�3� �&�6�P�� � �����F��� � >@? D A ��� � >@? ~ A �=���G� ��� ���� 6�&�6�� ;�g�3� ���2� ��������6�G���e 6���;� � *�7#R� � �=� � �3� � � �G� �*�8��� � � � �� � � �7� � �W�`�2 � � ���h�G���e � �� � �3� � �� ; � �3� ��� � 3 ��G��� � ����9W�*���=��#6# �������M�;���� 6��# ���G�65 �[ ����;� � *�7#A@ � �=� � �8�/�G�3� � ���@ � �=� � � . �CB � � � �=� � � .43.4:;.43-. �=� . �3 � .102.43D. �=� .43 � .1=E.43!F dHG)! � � � � ������� 6� G � G �JILK�M � I � 0 � � ���ON �3� ��W���6 � W� �W�QP � F �� ;� � �#1#��e�`�2�� ����G� � �W� W�6�Y�G� �

� � 8

Page 115: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

��� �R3 3 ��� � �2����� ���# � � P � � � � � . �=� = �=����� . �. �=� . � F

dCG I � � � G �z � �8�)57�� �9��G� �O�`�2�� 8���;� � � ��� *psrut�vwp@�3�D�6�� ;�g�3� ���2� � ���`�G�c� � #1�� ���� � �. 57� � � � � � � � � . � � . � � � � � .43 F � I � 0 � � �JN � � � � �

��� � �7�,% �3� W� � W� � �G� � � �)5��7#1 ���G� � �W� G �w� 0 � d �M� � � �D � ��� � �1��� �6#Q# 9 � � � � �;� � �# � ":� � �<# � #����6� � "$#c�������6� � � �#`�G� 3 #3� � ���G� � �O��� � : � �

0 � � � = 9������ � �@ 6���E��3 6��� ��� � �7���; ;�6%g�%�#��;� 3 #�� � �/�G� � �W�B�3�����2�P� �c� � �;���l�G�W ����l� � � � �3��&% 3 #�� � ���2#6# ��� ;�=� � ��� � 3 � 5-� � � � �G� � ��� ��� � �L��� � �7���G ��6% : � � 0 �3� � 8 � G � ��� � � � � � � ����7"$#�L 3 �E� � � � , W fih jl h n ���E� � ��� =N ���V� � � �*� �8�G� �E� �*��� ��� �R3 �G� � �@� �@� � � � ��������8�G���� h� � ��6� �&%'� � � #��3���V���(�� � ����� � 3 � ���=�&%'� � �8#3�����D���(�� � �����N�� 6��":����� � W�6� � 9-�;���)#�� ��g�6W ;��� �k�QPA� � � � @ � � �=� � F � � ����� �G���3���3��� � �T��� � �����8�� 2#k���?�;��� � ;# 9�"���T�3� �W� � �� � �8�(5 � � � �O��� � ��� 3 6� � �7��;� � �g� � �(5 � � � � W� � �3� � �� � � �� � �����; � #-�3� � �G��� �*� � ����G� ���� � 57�� � ��� � � �.V��� � ���� �&%'��� 3 #L�D�3� �G���@�*� � 8���;� � �7���G ��6%����*�/�G� � �U� K � � � ��� � � � G � � D � � y " L

�6� � �;� � � ��� � � 8 �8� � � � � �G�*�/�P�;�W�3�8���*���;� � ���*��� ��� � 6�P�7#5� � #65 ��� �;��� ����� � � � �3� � � � � � �3 ���;�Y���8�� ��;�3� � �7���G �� � ���/? � ��� � �G��� � � � �7�#`�[���8�� ��;�3� � �7���; ;�6% | � � �7�#�� �=� N ���V� � �,��=���G� ��� ���`�G�1��� � �����G� � �� � % � � � #3�����b���(�� � ������9 >@? D A ��� � >@? ~ A �=���;� �E� ��9���� �psrut vwp ��� � 57�� � �e� � �;���e�g�3���3�7�7# � � #Q57��� �K9�� � � , ��#6#&�G��� F �� ;� � #1#3�����2�� 8���;� � � ��� ��� �UL�3� ��� �b� � #Q57��� � � �65 ���O�G����� � #65 ��� ��� � � .9� "�#L��� � � � ��� � � � G �;� � ���UN �"�V� � � �&�=���;� �E������;� �&%'� � � #3�����O�6�(�� � ����� ��� �$5 �� � ��� � �����6�� e�;�*���9N ���V� � �,�[� �8�G� �E� �����;�]��� � ������ �� L�3� � �@���; ;� � ����9 ? � ��� � | � � �7�#�� �=� � D � � W �� � � � �L#1#LW���; 8���6���e�;�*���[�;���=>@? ~ A �=���;� �E�� �65 ��� � �����2�� ��� �$57�� � ��� � �T�G� ���c�G���C>@? D A � �8�G� �E� �����;� " � �;�c������ ��G��� � �7���G �� � ����9 ? ���� � | � � �7 #�� �=� � .�� " #1� � � � ��� � �����7#L#����2�� 8���;� � ����"*���6� �]� �=�G��� F �� ;� � #1#3�N���2�� 8���;� � ���� � 57�� � � � � ��� �����*��� �@��� � �g�3�W���@�<#D� � #65 ��� �;� ��� � �;������ ����$5 �� ��6�Y�7���G �� � ���g�3� � �w����6�� ����G� � �W� �

B � �G���b���&%-� � % ��� 3 #L� ��� �W�;� � �� X�G��� �*� � 8���;� � �7���; ;�6% ���*���G� � �9� � � � � �3� � G � � � �� � � � � �*��� � 57�l� � #65 ��� �;��9�� ��9�� � 9��CKO9����/��� � �CI ��� � G � � � ��� � .9� "�#L� � � 8 �;� � ���8����� � �� ���

Page 116: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

.9� "�#1� � � ��� A ��# ���G�65 �& ����;� � *�7# ��� 3 � "�#L��� � � � G � ���`�G� N ���V� � � ���=���;� ��� ��� � N �"� L� � � ���=���;� ��� ���`�G� �&%'� � � #��3���[���(�� � ����� �����;�M� ���� �G��� � �@�/�G ;�A% ? � �

� N ���V� � �M�=���;� ��� N �"�V� � � �����;� #��3���[���(�� � ������ � I 8 � � = � � � I � G � = � GG � I 8 � � = � G 8 I � � � = � 8� � I �u� � = � � G I ��� � = � �8 G I � � � = � � � I ��� � = �O�� � I �u� � � �u� � I �u� � � �u�

.9� "�#1� � � G � A ��# ���G�65 �& ����;� � *�7# ��� 3 � "�#L��� � � � G � ���`�G� N ���V� � � ���=���;� ��� ��� � N �"� L� � � ���=���;� ��� ���`�G� �&%'� � � #��3���[���(�� � ����� �����;�M� ���� �G��� � �@�/�G ;�A%D| � � �7�#`� �=� �

� N ���V� � �M�=���;� ��� N �"�V� � � �����;� #��3���[���(�� � ������ � I ��� � = � G � I ��� � = � GG 8 I 8 � � = � � 8 I 8 G � = � �� � I G � � = � � � I � � � = � �8 8 I � � � = � � � I �u� � � �u�� � I �u� � � �u� � I �u� � � �u�

0 5 10 15 20 25 3010

−20

10−15

10−10

10−5

100

Number of iterations.

Fro

beni

us n

orm

of Q

(X)

Starting matrix I2

CGFR

methodCG

PR method

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

−20

10−15

10−10

10−5

100

Number of iterations

Fro

beni

us n

orm

of Q

(X)

Starting matrix Default_X0

CGFR

methodCG

PR method

D � � � 6� � � ��� > � �$57�� � ��� � � ��� 3 � "�#1��� � � � G � �����G� >@? D A ��� � >@? ~ A �=���G� ��� � �

� �K�

Page 117: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

.9� "�#1� � � � � N ��?"��� � � �`�2�� ����G� � �W� ��� ��� �$5 �� � ��� � � ��� 3 � "�#L��� � ��� G � �����;� F �� �� � �#L#3����6�� ����G� � �W� � y-� #Q57��� �G� � � �3� � ��� � � � ���� � � �3� � � � � � � ����B �6�� 8�/�G� � �W� � � � �u� �u� � �

.9� "�#1� � � 8 � y � #Q57��� �G� ��� 3 � "�#1��� � G � � � ��;�3� � ���6�� 8�/�G�Q57�b�=���;� ��� � �����;� ���8�� ��;�3� � �@�qL�G �� � ��� ? � ��� � | � � �<�#�� �=� �

y-� #Q57��� �G� ? � | � � �7 #�� �=�� � �3� � G � � � >@? D A 9:>@? ~ A� � �3� � G � � � N �"�V� � � 9 psrut�vup�CKX�3� � G � � ����e�3� � G � � � N ���V� � � ���`�G� #3�����l���(�� � ����� >@? D A 9:>@? ~ A�CIX�3� � G � � � N ���V� � � ���`�G� ��� � �����;� � �� #��3���l���(�� � �����

�=���G� ��� ��� � 57�� � ���h� � ���W� � ��� � #65 ��� � � � N � �2�V�;�*����psr�t�vwp �W� ��� � � � ��� �$5 �� � � �����G� �G� �� � � �7�#��e���8�� ��;�3� � �7���G ��6%7| � � �7�#�� �=� � � 3 � � ��� � " ������� �7#L#�� � #65 ��� �;� �&% � � 3 � �CK W�;��� �� W V�`�2�� 8���;�Q5 �[�=���;� �E� � �.V���� ��N�� 6� � � �W� �g�3�*��� ����� � �����W�3�7�7#U� � #65 ��� �;�� � �;��� F �� �� � �#L#3�����2�� 8���;� � ������ 6�>� � �

� 3 3 #3� � � "�#L� � 3 � ��� �W��� � �� l�G���5�*� � 8���;� � �7���G ��6% ���*�/�G� � � � � � � � ���W� � �_�3�l �� � � �� �� ��G� � ��� ��� � �1��� �6�@���; ;� � ��� � � � G � � � �3� ��)57�� ;��� � y � #Q57��� �G� � � �G� � ���*�/�G� � � � ��� � � �� ���G� ����� 57�� ��6��� � � �G���g� � #65 ��� �;� ��� � G � � � � .V� ��� � #Q57��� ��� ���� �3� � G � � � �3� ��� �����*��� �K9�"� ��G� �� 6�*�3�D� � �����W�3�7�7#!� � #Q5 ��� � � .V��� � 6��� ��� G � 8 �3�P�;���� �� ��� ��l� � ��� 3 3 #�� � ��"�#1� � e 3'3 #Q#-�3� ����6�� ����G� � � � ����� � �8� ��� W� � �G�*���!� � �2�� � G ���6�� 8�/�G� � �W� . �=� = �CK . � � � I � 8 0 � � ��� 9E������ ��� ���� �3� � G � � � � .V� �� 6�P� � �2�� b�G� �\ 6��#����;�Q5 � � �*��� � ��� � � � G � �3� � 6�P���6� � W� �G�1# � �k�;��� �u� �;����6�� ����G� � �j�G���&# ���8�� ��6� � � � � 6�P���;��� � � � ���3� � e � �6�� � � � ���6�� ����G� � �W�b�;���@���2�� 8���;� � � � � ���� � 57�� � � � � � � ���� � y �� 3 � � � � W�T�;�*���&�;�W�3�?":��� � 5-� � W ��N��� � �7W�6� � " # �G���0� P � � �;� � � � W� � ��� � �� ; � �9��J�h 8���O�;���P�`�2�� 8���;� � �[����� % � � ���� ;�`�G�W�=���;� � W���3� � fih jml�h n ,� y # �F" � #�� �. � � #Q" � % � .V�W�3�[�G��� �&�;���g���2�� 8���;� � � ��� �$5 �� � � � � � � ���� �����;� � � � � � � �W� � � � � 6�P���6� � ��G� �T ���#��/�G�Q57� � � ��� � ��� � � � G � � .V�W�*�G� � ��� � � ���;� � �c�;�*���T" � �;� �W� �����*��� �T��� � �g�3���3�7�7#

� � �

Page 118: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

� � #Q5 ��� �G�J� % �3���h���h���� � �L��� �!"� � � � �P� � � ���;���� ;# ��� ��� �$57�� � ��� � � � � �`�2�� 8���;� � � � ����� � ��� ��������J� �W� �g�3�*��� �*� � #65 ��� �4" ��[� � �4�6�����W�3�7�7# � � � �&% �3� �G� ��� �$5 �� � ��� � � � ��� ":�b� � �� � � L �W� �g�3� ��� �V� � #65 ��� � �, W >�G�W�� � �&%'��� 3 #L�V�3�>�G���@�*� � 8���;� � �7���G ��6%%���*���;� � �%� � � � � ��� � � � 8 � � 34� � � � ������8�� ��;�3� � �7���G �� � ���

� � � � � ?� ��� ! = � �w�u� F ? ! � F � �u�u� !�����;�@���0���*�<#1#Q#&� 3 � � � � � ;� ��� � � �u� 3 � �3� �G��� ? ! ��� � 3 � � ����N� 3 3 #6#%N �"�V� � �,� �=���;� �E������;� ��� � �����G� � ��)#3�����B���(�� � ������9>@? D A ��� � >@? ~ A � �8�G� �E� ��9 ��� � psrut�vwp � N ���V� � �,��=���G� ��� �����;� ��� � �����;� � ��)#��3���>���(�� � ����� �3���7#L# � �8� � � �u� ���6�� ����G� � �W� ��D � ��;��� ��� ��� � ���6�� �� � �1��� �6�=���;� ��� � � �w� ���6�� ����G� � �W�O�� 6� �7#1# � �J� � � .�� " #1� � � � �;� � ���0����� � � �=���;� ��� ���� � 57�� � �C���`�G� � �u� � � P �� 6��� �X� ���� �G�3� � �7���; ;� � ��� �.V��� >@? D A �=���;� �E� ��� �$57�� � ���c� � � � ���� � � � � � ��#Q# � ��� �;�3�=� ���`�G� �;��� 8 � �;�

���8�� ��;�3� � �7���G ��6% � � = � �u�u��� �= � �u�u� � � � �

��� � �3�?�G�W��� � ���6�@�7#1# � �;���� O�=���G� ��� � ��� � 57�� � � � .V��� >@? ~ A � �8�G� �E����� �$5 �� � ��� � 8�G��� ��� ��D � ��G�W���f 6�(��� � �C�J� ��� ���;� � �� � ���h� 3 � � � �7# �=���G� ��� �G�*�/� � ;����� 3 3 #3�1�����G���J>@? ~ A�=���G� ��� � ��� G ���2�� 8���;� � ���4��� � �G� ���_�����`� � �����O� � N ���V� � �,�O�=���;� �E� ���[�G���4� ���� �G�3� ��7���G ��6% � 34� � �7#L#V�G�W�����=���;� ��� �G��� >@? ~ A�� N �"�V� � � � �8�G� �E� � .V���� �� �� �� � � ���6����G� ���*N ���V� � � � � �8�G� �E� ���`�G� ��� � �����;� � ��8#3�����e���(�� � ������" � �;� �W� � � � ��� � 57�� � � �����;����8�� ��;�3� � �7���G �� � ���� � � �u�u��� �� �w�u� � � ! � � � �w�u��� �

= � �w�u��� � � � ! � � � �u�u�= � �u�u� � � � � !

���W� � � �� �� � � �G� 9 � � �G� ��� � � � �;� � e #1#l�G�� 6��� � ������� ��� �$57�� � � � �����;� �;���4>@? ~ A��N �"�V� � �?�=���G� ��� � � �8�)57�� �9 psr�t�vwp � ���L#1� � � � ��� �$57�� � �=���`�G� � � �;�J��� � � � �G�_� ���� �G�3� ��7���G �� � ��� � D � � W 6� � � G ��� � ���[� � � �@��� #c�;�3�=���T��� � #Q57��� �[�3� 3 ��� � � � �����G���3� � � 9 � ���� � � �u� ���6�� 8�/�G� � �W�5�����G� N �"�V� � � �\�=���;� �E� ���`�G� ��� � ���`�G� � � #��3���@���(�� � ����� ��� �

� � �

Page 119: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

.9� "�#1� � � � � > � �$5 �� � ��� � � � "������3��� � ��� 3 � "�#L��� � � � 8 � �����;� � �w� � � P �� 6��� �g� ���� �G�3� ��7���G �� � ��� �

��� ������� � ������� ����� ��������������������������� � "!$# � "%&# � "%&#('��)����� � ������*+�� , , , ,

� , , ,K , , , ,� , , ,I , , ,N , , , ,� , , , ,- , , ,. , , ,��� , , ,��� , , ,� � , , , ,�OK , , , ,� � , , ,�OI , , ,�ON , , ,� � , , ,� - , , ,� . , , , ,

� � , , ,

� � , , ,��� , ,

� K , , , ,

� � , , , ,

� I , , ,

� N , , ,

� � , , ,

� - , , , ,� . , , ,K�� , , , ,K6� , , , ,K � , , ,KLK , , ,K � , , , ,KLI , , , ,KLN , , ,K � , , , ,K - , , ,K . , , ,�G� , , ,�2� , , ,� � , ,� K , , ,� � , , , ,� I , , , , , ,� N , , , ,� � , , ,� - , , ,� . , , , ,I�� ,

� � �

Page 120: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

��� ������� � ������� ����� ��������������������������� � ! # � %&# � %&# '��)����� � ������*+�I6� , , ,I � , , ,ILK , , ,I � , , , ,ILI , , , ,ILN , , , ,I � , , , ,I - , , , ,I . , , ,N�� , , , ,N6� , , ,N � , , ,NLK , , ,N � , , ,NLI , , ,NLN , , , ,N � , , , , ,N - , , , ,N . , , , ,� � , , , ,��� , , , ,� � , , ,� K , , , ,� � , , ,� I , ,� N , , , ,� � , , , ,� - , , , , ,� . , , , ,- � , , , ,- � , , ,- � , , , ,- K , , ,- � , ,- I , ,- N , , , ,- � , , ,- - , , , ,- . , , , , ,. � , , , ,. � , , ,. � , , , ,. K , , ,. � , , ,. I ,. N , , , ,. � , , , ,. - , , , ,. . , , , ,����� , , , , ,

� �� ��� I � - - � � � . K . �

� G �

Page 121: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� �k���q���u��� ���>���q���k� � �

>@? ~ A�� N ���V� � � �=���G� ��� � .V� � fih jml�h n � W� � �;� � ��psr�t�vwp ��� �$5 �� � ��� ��� T�7#3� � � � �&5�L�� 2#g������ ��G��� � �7���; ;�6% � � � �G�3�=��� � ��D � N ���V� � � � � �8�G� �E� ���`�G� ��� � ���`�G� � �J� % � � � #��3����6�P�� � � ��� �&%'� � � #3�����l���(�� � �����X 6���6�#`���3�@� � 6� � 6������� � ��� �$5 �� � ��� � �<95�;� � � �=��� � � � ��G� � � ������� ��� �$5 �� � ��� � �g�3� � "���������� � ���`�G� � �� #��3���T�6�(�� � ����� " ��[� � � �����G�M�G����� 9���� ��3�1��� � �G� �� GuG � ������� ������ 6�O" � �;� � �Q57� ��� �$5 �� � ��� � � � �����6�� ��� � 57�� � ��� � �6��� � "������3��� ������;� � ����&%'� � � #��3���4���(�� � ����� � .V�W� � % � � � #��3���4���(�� � ����� ��� � � ��#1�P� � � � ��W� ��� �� #6#":���;�6�� ��� �$57�� � ��� � ���G� ��� �������k� � �&%'� � �%#��3���4���(�� � �����%W�6� � � e �k�3� �6�� 6�����;�3� � 3 ���HL� � �=��� � �k���O�;�*���T�3� 8 � � ���6���%�������4�&%'� � � #3�3� �g���(�� � �����?�� 6�g� � �%W�6� � �G���� 6��#����;�Q5 � 6���;� � *�7# @ �@�=� � �3� � � � � � �3�*�����G��� � � � �����;�W�3� � �u� �`�2�� 8���;� � �W��9 "��� ���`�G� . � .43 � G ��� 9� � �G�*��� � �N��� � �� � � � � � #Q57��� �����;������� � ���6���!�� 6� ��� W� �6� � ��� � ���1#1� 6�V� �?��� �$5 �� � � ��� �G� �*���8���G�����;� � � � � .V���3�!":���*�(5-� � W �W� � � �P�*� 3 3 ��� ���`�G� � % � � �@#��3�����6�P�� � � ��� � �G� � �&%'� � �#3�����4�6�P�� � � ��� ��� � � . � �X�=� � .43 � � ":�@� � � � 6�P���;��� � ��������� � �79B����� � � �6��� � �T� � �7��� 3�=� � � � ":� ��� �g�3� � #��� � ��� � �G� �� 6�O�3��� � #��� � ��� � #Q5 ��� � � > � �$57�� � ��� � � � � �<#1#��=���;� ��� ��3� � "��8���3��� � � � �7#1# ��� � � � #Q5 ��� �G��9 � � 3 ��� � ��� �&� ���G���l� ���� �G��� � �7���G ��6%�9 ��� � � � � P �� 6��� �� � #Q5 ��� �����4� � �=���;�3�=��� � " ��������� � �����;� �&%'� � �=#��3���c���(�� � ����� �G�*��� ���`�G� � � � .V��� 3 �L�� �*�� �[�3� D � � W 6� � � � �1#L#1W� �G 8�/�2���X� � � �@��� #@�;�3�=��� �8� � " ��������� � �P� � �Y� � #Q5 ��� � � �"9 � � 9�CKT��� � ���e��� � � � � � 9 ���w�<��� � 57�� T�7#1# � �8�G� �E� � � .V� �O� � ���7#N�E��?"��� ��3� � 8 �E�.V��� ��� W ��;� � % ��� 3 #L���3�V�G���C�*� � ����G� � �7���; ;�6% ���*���;� � � � ��� � � � e 3 3 #Q#-��� � �<#1# � �

�=���G� ��� �B���`�G� �G��� � � � �7�#`� ������ ��G��� � �7���G ��6%U| � � �7�#`� �=����� � �=� � � � ] ?:9 E � � ! � ! � � !� �65 ���O�G���� 6���6�#`�&�3� .���"�#1��� � � � ��� � � � � 9 ���W� � �j�;� � � �;���6�� "W���8��� �G� �7#P �� � � �G� � �j������6�� ����G� � � � � N ���V� � �,�"O �8�G� �E� ���`�G� �&%'� � � #��3���Y���(�� � �����=�G�*��� �����;� � �� ��� � �G� �>@? ~ A �=���;� �E� �;�*��� �;��� >@? D A � �8�G� �E� � N � �2�@�G�*�/�Upsrut�vwp ��� ���6� � � ��� �$5 �� � ������;�D� � � � � ��� ? �� ��� �! 7,#" $&%c/2�(' � <�> ) � �

B � �;�W�3����� � �;� � ��� ��� �W�;��� �� ���� � �&%'��� 3 � �������`�G� d�� ����� � � � ;� ��� %'��� 3�� � �3�[�G��������*�/�G� � � � ��� � � ��� �`�G� d � � ��! G ��! � ��! 8 ��! � ��! � �u��" � � " � � � ��� �;� � ���P� � � �3� ��#T�`�h�8�w�$���

� G �

Page 122: Department of Mathematics - The University of Manchester

������� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������

Newton

Newton with line searches

CGpp/Newton

475256

73

8893

100N

umbe

r of

tim

es c

onve

rgen

ce

30 iterations allowed 50 iterations allowed 100 iterations allowed

D� # � � � � � G � N � �?" ����� ��� � ��� � ���$5 ��� # ��� � ���R" � � � � � � ��� 3 ���R" � ��� � ��� 8 � � ��� � �w�� P ��� ��� � � � ��� � � #��7� � � � ��� �

S1: 5%

S2: 5%

S3: 62%

S4: 28%

D� # � � � � � � � � � ����� �?" ����� � �R" � � � ��� �!� � 5$��� � ��� ��3 �!�R" � ��� � ��� 8 � � � � # � � � � � ��� � � � �� GwG

Page 123: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������� � " � � � ��� � N � �?" ��� � � � ���8� � ��� � � ��� � ���$5 ����# ��� � � � ��� 3 ��� " � ��� � ����� � � � � # N � � � ��� �� � ��� ��� � ��� ��� � � ��� � � � � � � ���(��� � � ��� ���� � ��� � � � � � ��� �P��� � � ��� � ��� �&%'� � � � � � ���(��� � � ���| � � �$� � � ��� � �

� � ? � �� � I ? G � �

� ��� � ? �u� �

� � " � � � � � � N � �F" ����� � � ���8� � ��� � � ��� � ��� 5$����# ��� � � � ��� 3 ���R" � ��� � ����� � � � ��# � � L� J(� � ��� � � ��� � � � � ��� � D�� � ~ � pRrut�vwp| � � �$� � � ��� � � � �

� � ? � � � � �� � I ? � 8 � 8 �

� ��� � ? ��� � � L� ��� � ���$5 ����# ��� � ��� ��� ��� � � � ��� � ��#��7� � � % C ? �7D ����� d �-G � psrut�vup � �w�$���F� � � �P�$�'#� 5 ��� � �u� � � � ����� � � e ��� � � ��� � � � � ��� d � � ��! G ��! � ��! 8 ��! � ��! � �w� � ��� 5$����# ��� � � ��� �� ��� 3 � �&%Dz � " ��� � �7� � � � ��� �N � � ��� � 3 ��� " � ��� �

: � ���

� � �� G �� � �

����� ! 0 �

���� � �� � = �� = � �

����� ! = �

���

G = � �= � � �� � � �

����� ! � � � 8 �

� ����� � �w� " 3 � ��� ��� � e � � � � ��� � � � �&% � � 3 ��� ���!� � � ��� � � � ��� � � � � ���$5 ��� # � � � � ��� ���� � 5 ��� � ��

�= � I �w�u�u��� � I �u� ��� C = � I � G � � = � I ��� G � C � I � 8 ��� = � I �u� ��� C� I � � 8 � = � I � ��� � C = � I � � �w��� � I � � � � C � I G � 8 � � � I � � � G C= � I �u� ��� = � I �u�u� � C � I � ��� G � � I � � � � C = � I � �u�u��� � I�G � � � C

� ��� � � � � �

� ��� ��� � � � ��� � � # �7� � � �� C ? � � � � � ��� 3 � � ������� � 5 ��� � � � � ��� � � # ���$5�� � �����

�� "!# %$�&�' �)( !+*-,. %/10 !� G �

Page 124: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ������������� � � � ��� � �� � ��� ���������$��� #$����� � � ����� �!� � � ��� � ��� � � � ������� � � � � � � � # � � � � � C ?� ��������� � � � O � ��� � � d � � � d � G � d � � � d � 8 � d � � � d � � �w�N � � � ��� � � � � � � � �N � � � ��� � ��� � ����� � � ��� � ��� � � � � � G � � �� D�� � � � � � �u� � � 8 � 8 �� ~ � G � � 8 G � � � � 8 �psrut vwp � � G �

�� "!���,%/- � "!#$�,���' 0 !�� "!#, ( *�* �)( ! &�*-'�� 0 I

� � � ������� ��� # � � ��� � ��� ��� � � # ���� � � ����� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � �� ����� � � ��� � B � ��� �� � � � ��� � � ~ � � � ��� ��� � � ���������� ��� # ����� � � � ��� ��� � � ��� � � D�� � � ��� ��� � � y � �D� # � � � � � 8 � �� ��� � 8�,��a<����),#% �! 7, " $&%c/ �D� � � � ��� " ��� � � ��� � � � � � � � � � � ��� � ��� � ��������� � � ������� � � � � � �!� � ����� � �!� � � � ��� �

��� � � � � � � � #$���� � � � �"� �!� � � ���#� ����� � � ��" y ��� � � � � � � � " � ��� ��� � ��� � � � � � � ��� � � � L� � � � � � � �w� " y ��� � � � � � " � ����� � � � # ����� ��� � � ��� � � � � � �����$� � � � � � � # �: �

���

� � I � � I G � G I ���� I G � � I � G 8 � I 8 ���G I ��� � I 8 � � � I � G �

����� ! 0 �

���� I � � G I 8 � G I �� I G � � I � 8 � I GuG �� I � � I � � � � I � ���

����� ! � � ���$� �

= � ���

� G � � � I � � � I �� G I � � I � 8 �� � I � � I � 8 � � I �

� ��� I � � ����� �

� � ��� � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � ��� � � ��� ��� � � � # ���� � � � ���%����� � � � �����&� � � � �������� # � � �� �� ��� � ��� � � � �!� � $��� � � � � � � � $� � � # ���� � � � ���'� � �������(� �!��� ��� � ��� y�� � � � � #%N � � L� ��� � � � ��� ��� � ��� � � � � ��� � � � � � ��� � � ��� � ��� � ��� C ? � � � Cb| �)� � � � � � � � � � � � �� �

� G 8

Page 125: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������

0 20 40 60 80 100 120 14010

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Number of iterations

The

rel

ativ

e re

sidu

al ρ

(X)

Starting matrix i I

CGFR

methodCG

PR method

D� # � � � � � 8 � � ����$����# ����� �� ��� � ��� � � ��� � � � 8 � � ��� ����� ��� # � � � #�� � � ��� � � � ��� � � � ���� � ������� � � � ��� � � � ��� � D� # � ��� � � � �

� D � � � � � ~ � � � ��� ��� � � � ��� � $��� � �u�u� � ��� � � ��� � � ��� � � � � � � � � � ��#� � � � ����� � e � � � � ��� ��� � ��� � � � � # psrut�vup ������ ����# � � � ��� � � � � � �!� � $��� � � ��� ��� �� # ���� � � � ������� ��� � �����&��� � � ���!� � $��� � � � �

�%$ !#$%*�$./ t �. . ( � $ !+*.* ( , t � . . 0 !� ! * ��&.& t �. . .& � &"! ,.&.&�� t � . . 0 !���"! ( $� . t �. . ( �)( ! ��'. .' t � . . 0 I

� � � � ����� ��� # � � ��� � � � ��� � � # ���� � � ��������� ��� � ��� � � � � � � � # ���� � � ��� � ��� � � ��� �

� G �

Page 126: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������

1 2 3 4 5 6 7 810

−15

10−10

10−5

100

105

Number of iterationsT

he r

elat

ive

resi

dual

ρ(X

)

Starting matrix i I3

Newton’s method Exact line searches

1 2 3 4 5 610

−15

10−10

10−5

100

105

Number of iterations

Fro

beni

us n

orm

of Q

(X)

Starting matrix i Default_X0

Newton’s method Exact line searches

D� # � � � � � � � � ���� ��� # �������� ���'� ��� � � ��� � � ��� � � ��� N � � � ��� � � � ��� ��� � � � N � � � ��� �� � ��� ��� � ��� � ��� � � � ��� � ��� �

� � � � � � � � � � ��� � � � � � �!� �!� � � � ��� � ��� � � � � � � � #$���� � � � � � ��� � � ��� � ���

: � ? ! 0 �

�������������

G � = � �= � � � � = � �

= � � � � = � �= � � � � � � � �

� � � � � = � �= � � G �

� �������������! � � � � � �

= � ���������

��� = �= � � � = �

= � � � � � � �� � � � � � = �

= � ���

� ���������

I � � � � � �� � � � ��� �&� � � ����� ��� � ����� � � � ��� � � � � �!��L � � � � #�� � � � ��� � � � � � � � � � � � ��� ������ � ��� � � � � � � ��� � # � � � � � � � � � � � � # � ��� � � � ��� ��� � � � � � ��� � � ��� ��#��!� � � � � �� ��� � ��# � � � � � � ��� � ����� � � G � � ��� ��� � � � � �� � � � � � � � � � d � � ��! � ��! � �w��! G �u� � � � �

� G �

Page 127: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ������������� � � � � � �<, ��� � � �&� ��� � ��� � �!� � � ��� � � � � � � ��� � P ��� ��� � d �d � � � d � � � d � � �w� d � G �u�

��� ��� � 0 ��� = 8 .4:;. � .1=>. � � I G�� � ���1� � I � � � �� � � I � � � ��� � 8 I � � � �� K����� � � � � � � � N � � � ��� ��� � ��� � � ��� � � ��� � � � � ���������� ��� # �������(� ��� � � �&� ��� � � ����L��� � ��# � � � � ��� � ��� � � ��� � ��� ��� � � � � � � � # � � � � �� ?� � � ��� � � ��� � � � ����� � � �O � ��� � � d � � � d � � � d � � �u� d � G �u�N � � � ��� � � � � � � � � G � 8 � G � �N � � � ��� � ��� � � � y � � � � � ��� 8 � � 8 � � 8 � � � 8 � G � �� D�� ��� � � � � � � � 8 � �u� � � � � 8 �� ~ � ��� � � ��� � � � 8 � � � � � � �u� 8� ���!� � � ��� � ��� � � ��� � ����� � ��� � � � � � � ��� � � � � � G ���� � � ��� � � � ��� ��� � ��� � � � � � ��� # ���� � � � ��� �!� � � ��� � � ����� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � ������ � � ��� � � � � ��� ��� ��� ��� � 0 ���� 8 .4: . � .1=E. � � ����� ��� � $� � � z ����� � � � � � # ���� � � � ��� ������ � ��� � � � � � � � # ���� � � ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � � � � � ����� ��� � � " ��� � ��� � � � � � � � � � � ������ � � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � �!� � $��� � � " � � � � � � ��� ��� � � ����� � � � � � ��� � � ��� �������$����# � � D� #$� � � � ��� � ��� � � � � ��� ��� # ���� � � � � � � � � � � � ��� � ����� P ��� ��� � d � ����� � �� � � � � � � ��� ��� ����� � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � ���%������ ����# ��� ��� � ��� � � � � � # � � � � �? � D ��� d � � �w� ��� � � ����� � � � � � ��� � � ��� � � #�� � � � � � ��� � � � � ��� ��� � � ��� � � ��� ���� � ��� ��� � � � � ��� � pRrut�vwp � � � � � ���Wpsrut vwp � � � � � ��� ��� � � � ������� � � ��� ��� � � d� � � �e ��� � � ��� ��� � ������ ��� # � � � ��� � � � � � � �!� � $��� � �� � � � � ����� � � ��� � � � � � � � ��� ��� � � �$� � � � � ��� ��� ��� � � � � � � ����� � ����� " � � # � � "

� � � �$��� � � " ~ � � � ��� " ~ � � � � ��� � ��� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � # ������� e � � � � � � � �� � ������� � � � | � � � � ��� � � � � � � � � ��

� ��� ! ? � � ���������

� ? � � � � � ? � � � �� ? � � � � � � ? � � �� ? K � � � � � � ? K �� ? � � � � � � � � ? �� ? I � � � � � � � ? I

�����������

I� G �

Page 128: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������

0 20 40 60

−50

−40

−30

−20

−10

0

i

λ i

n =30

0 20 40 60 80 100

−50

−40

−30

−20

−10

0

i

λ i

n =50

0 50 100 150 200

−50

−40

−30

−20

−10

0

i

λ i

n =100

0 100 200 300 400

−50

−40

−30

−20

−10

0

i

λ i

n =200

� # � � � � ��� ��� # ���� � � � ��� � A ��� ��� � ��� � � � � � � � # ���� � � ��� � ��� � � ��� � ��� � � �&� ��� � � ����L��� � ��# � � � � ��� � � ��� d � � ��! � ��! � �u��! G �u� �

� G �

Page 129: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ��������� � ��� � � � � � � ��� � � L � � ��� L � � � ��� � �!� � ���!� ����� � ��� � � ��� �.�$� � � �!�$� ��� � ��� � � �� � � L� � � ��� � � ��� � � � ��� ��� � � � � � � � � � ��� � � � ����� � ��� ��� ��� � ����� � � ���

� ��� � : � � � : � � � � : � � ! : � � � � � !�� � ! : � � � ��� !�� � S � ! : � � � � � � ! S � � !� � ��� � � � � �WS � ��� $��� � ���!� ��� � ��� �!��� � � ��� � � � � � ��� � � � � ��� ��� ������� ��� � � � � � � � ���� � � � � ��� ��� ��� � � � ��� � � � � � ��� � � � �� ����� � � ���

: � � � 0 � � = � ��! : ��� : Q � ! 0 ��� : Q � ? I ! = ��� : Q � I� �"� � � �����

� � � I�G ! � � � � !Z� I 8 ! � I�G � ! � I � ! � � ! S � � ��!Z� I � ! � I � � ! � I � ! � � !� � � � � � � ��� � � � I ��� � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � �� ����� � � ��� � ���

: � ���������

� � I � � � I � � � � I � � � I �� � � � �� � I G � � �� � � I GuG � �� � � � I � G � I 8

�����������! � � ���$� �

0 � ���������

� � I � � � I � G � I � � �� � � � �� � I � 8 � � �� � � I � � � �� � � � I � 8 �

�����������! � � ����� �

= � ���������

� I � � I � 8 � I � G � � I � � �� I 8 � � � �� � I ��� � � �� � � I � � �� � � � I � 8 �

� ���������

I � � ��� � �y ����� : � � � = � � $� � ��� � � � � ����J ���!��� : � � � = � � ��� � #$� � � � � � � � � � � � � � � �������� ��� � � ����� �$� � � � � ��� � � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � " �� � � � � ��������� � � � ��� � � � � � � � #

� G �

Page 130: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� ��� �q���u��� ��� � �q� ������������� � � � � � ��� N � � � ��� ��� � ��� � � ��� � � ��� ������ ��� # ������� � ��� � � � � � � ��� ��� � � �$� � � � � ��� ������ � � � � � � ��� � � � I � � � � ��� � � � � � � � #�� � � � �� ? I �O � ��� ��� � � � � ~ � N � � � ��� N � � � ��� � ��� � ����� � � ��� � ��� pRrut�vwp

� � ��� � �u�u� G � � � � 8

� � � ? I � � � � � �� � � � � � ����� � � ��� : � � � � G : � 0 � � � � : � 0 � = � � ��"� � � : � 0 � = � � ��� � � #$� � � � � � ����� �$� � � � � ��� � � ��� � ��� ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � �� ��� � � ��� � � � � � � ������ ��� # ��� � � � � ��� ? I " � � ��� �

� � ��� �

���������

� I � � � � � I � 8 � � � I � G � � � I � � � � �� I 8 � � � �� I � G 8 � � I ��� � � � I �w� GuG � I �u�u� � �� I � � � � � I � ��� 8 � I � �u� � � I �u�u� � �� I �u� � � � I �u� � � � I �w� ��� � I � 8 � � �

� ���������

� � � � � ��� � � ��� � � N � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � ��� � ��� ��� ��� �HL� � � � � � � � � � � #�� � � � �� � � ������ ��� # � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � ��� � � ��� � "� ����� ��� � $� ��� " � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ~ � � � ��� ��� � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � L ��# � � � � �� | �)� � � � � � � ������ ��� # � � � ��� � � � � � � � � � �� � � ��� ? I $��� � � � � � � � � N � � ���� � � pRrut�vwp � ����� � � � ������ ��� # � � z � ��) ��� " � ��� � � ��� ��� � " N � � � ��� � � � ��� ��� � ��� � � �� ��� � � � � � � � � � ��� � ��� " � � � � ��� � ~ � � � ��� ��� � " � � �7psrut�vup � ��� ��� � � � � � � ��#� � � � �� ? I ������$����# � � � ��� ��� � � � � ��� � ��� � � � ��� � � y ��� ����� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � ��� � � ��� � ��� � ��� � ��� ������$��� #$����� � � �

� � �

Page 131: Department of Mathematics - The University of Manchester

� � ��� ���� �

� ��� � � � ����� � � �(� � � � � � ��� � ���

���� ��� � %��������� ��� � ��� � ����� � ����� � # � � � � � � � � � ��� �$� � � ����� � � � � � �"������� � ��� � � � ��� � ��� � � � � ��� � � � � �� � � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � ��� � � � � � � � � ����� � ����� � � ��� � � � � ��� � " � ���� � � �UL

� � � " ��� � ��� � � L � � ��� L � � � ��� � ��� ����������� " ��� � ��� � � � � � � � # ���� � � ��� � ��� � � ��� � � �$� � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � ������ � � � � � � � # ���� � � � � � ��� � � ��� � y � ��� � ��� � " � ��� ��� � ��� � � � � � �� # ���� � � � � � ��� � � ��� " � � � � � � � � � �!� � $��� � � ��� � # ��� ��� � � J�� � � #$���� � � � � � ��� � � ������ � � � � ��� � � � ��� � ��� " G�d " � �� � � ��� � � � ��� � ��� � ����� ��� � ��� " � ����� ��� � ����� � L� ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � # ���� � � � �'� ��� � � ��� � � � � � ����� � ����� � � �!� � ��# � � � d �%d� # ��� � ��� � � ��� � �

� � � � � � � ��� G � � � ������� � ��� � � � � ����� � ��� ����� ��� ��� ��� ��� � ��� � ����� ��� � ��� � � � � � �� � � � �� ����� � � ��� � � � � � � � � # ��� � ��� � � � � � � � # ���� � � � � � �!� � � ��� � � � ��� � # ��� ��� � � J�� �y � � � � � � ����������� � ��� ��� � �'� � � � � � � ��� J � � ������� ��� � ��� � � � � ����� � ��� ��� � # ��� ��� � � J�� �y � � � � � � ����������� � ��� � � � � � � ��� ��� � � � � � � � � ����� ��� � � � ����� � � ��� ��� � � ��� � ������ �� �!� � � ��� � ��� � � � � ��� � � � � ��������� � � � ��� � ��� ��� � � ��� ���!��������� � � � � � ��� � � � � ���� � � � ��� �

� � � � � � � ��� � � � ����� � ����� � � ��� � � # ��� � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � ����� � � # � � ��L� � � � � � #$� � � � � � ��� � # ��� � � � � � � � � � ��� � ��� � ���� ��� fihkjml�hon�� � y � � � � � �%O � ���

� � �

Page 132: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� � � � � ��� � � ��� � � � � � � ��� � ��

� � � � � � �(� � � O � ��� � � ��� z � ��) ��� " � � � ��� ��� � � ������� ��� ��� � ��� � �"� ��� G � G � � � � ����� �� ��� d � � ��� ��� � ���"$��� � ��� ��� � � : " 0 � � � = � � ���$� � � � � � �!� � $��� � ��� ������� ������ ��� ��� � � � ��� � � � � � ��� ����� � � ������� ��� ��� � ��� � � � ��� � � � ��� ��� ��� � � � � � � ��� #$���� � � � �� �!� � � ��� � � � ��� � # ������� � � J ��� y � � � �����������&� ��� � ��� � � � � � � ��� ��� �!� ����� ��� ��� �# ��� ��� � � J���� y � � � � � � ������� ��� � ��� ��� ��� � ��� � � � � ������� � � � � � � ��� � ��� � �!� ��� � � �� � � ��� � � � � ��� �!� � � � � ������� � � # ��� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� �

� �)� � � � � ��� 8 � � � � � � ��� � � � N � � � ��� � � � � ��� ��� � � � � � � ��� � � � � � �!� � ��#��� � � � � � � � � � � �� � ��� � � ��� � � N � � � ��� � � � � ��� ����� � � ��� # # ��� � ��� � � | � � � ��� � � � � #��� ��# ��� ��� � � J���� y � � � � � � #���� ��� �#� ������� � � # ��� � ����� � � ��� � 8 � G � � � � ������ # # ��� � ������ �Dz ����� ��� � ��� #�L y � � � � � � #���� ��� � � ��� � 8 � G � � � � ���� ��� � � N � � � ��� � ��� � ��� � � � ���

� � � � � � ��� � � � � � � � ��������� ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � ��� � � ��N � � � ��� � � � ��� ��� � z �������� � � � � � � � ��� � � � ��� � ��� ���� ����� � � � $� ��� � � � � ��� � $� � ��� � � ������� � ��� ��� � � � d K�� �$� � �� � � ��� �!� $��� ��� � # � � �!� � ������ ����# ��� ��� � �!�$� ��� � ��� ���*N � � � ��� � � � � ��� � � � ��� ����� � �N � � � ��� � ��� � ��� ��� � � ��� � � � � ��� �$� � � ��� � � � � � � � � ��� � ����� ����� � � � #�� � � � � � � � ��#� � � � �� � ��� ��� � � ������ ����# ��� ��� �z � � � ��� " � � � � � � ��� � � � # � � � ��� ����� ��# � � ��� � � � ��� � ��� � � ��� � ��� � � � ��� � � ���� � ��� ��� � �!� ����� ��� � ���!� � � ��� � ��� � � ��� " � � � � � � � � � � ������ ��� # � � � ��� ��� � � � � � � �� � � � � �!� � $��� � � � ��� � ����� � �� � � � � � � � # � � � � � " � ��� � � � � � � ��� � ��� ��� � � ��� ������ � � � � � � � # ���� � � � � � �!� � � ��� " � � � � � � � �&� ��� � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � ��� ���� �!� � � ��� � " � � � � � � � � � � � ��� � � ��� ����� � � ��� � �!� ��� � � ���!� � � ��� � ��� � � ��� � � � � � � � ��� � �� ������� �'� �!� � � ��� �� � � � ���!� � � ��� � ��� � � ��� � � � � � � �&� � ��� ��� � � � � � � � �'������ ���ML# ������� � � � � ����� � � � � � � � �

� � � � � � � ��� � � �'����� � ����� � � ��� ��� � � J � � ��� � ��� �!� � � � � � � ��� �� � � � � ��� ��� �� � ��� ���� � � � � � J � # ��� �&� � ��� � ����� ��� � � � ����� � � � ��� � " � ������� � � ��� � #�� � L� ��� � � � �"z ���!� � � ��� ��� ��# ������� � � � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � ��� ��� ��� ��� � � J�� ���� � � ����� � � ��� ��� � � � � � � � � ��� � � � �� ����� � � ��� � ��� � ��} � ��# ��� � #�� � � ��� � ����� � �

� � G

Page 133: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� � � � � ��� � � ��� � � � � � � ��� � ��

��� � ��� ��� � � � ��� � �������� # � � ��#�� � � ��� � � � ��� � � � � � � �& � � � � ��� � " � � � � � � � � � � � ���ML� ��� $��� � � � ~ � � � ��L � � ����� � " � � � � � $� � �$� � � ��� � ������ ��� # ������� � ��� � � � � � ��� � � � � �� � � � � � ��� � ��� � � � � � ��� � � � ��� ��� � � � � ��� � � � �!��LMN � � � ��� � � ��� ��� � � � � �) ��� � ����#�LO � ����� � � � � � � ��� � � � ����� � � ��� ����� � � ������� � � � �� � � ��� � ����� � fih jml�h n � � ��� � ���psrut vwp �!� � ������� ��� ��� � � � � � � ��� ��� � �

� � � � � � � ��� � �� � � � ��� � ��� � ��� � ��� �!��� � � � � ��� � ��� ��� � � � ��# � � � � � � � � ��� ��� �N � � � ��� � � � � ��� � � � � � � � ��� � ��� � � � �)� � � � � � � � � � ������$����# ��� ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� � ��� � � � � � � � � � � ��� � � �

� N � � � ��� � � � � ��� � � � ���9y � � � � � � #���� ��� � � y � � � � � � ��� 8 � � � � ������� � ��� � ��G�d K� ��� �'� ��� � � � � �

� N � � � ��� � � � � ��� ��� � ��� z ��������� � ��� #qL y � � � � � � #���� ��� � � y � � � � � � ��� 8 � �$� G � �HL��� � ��� � Gqd K � �$� �'� ����� � ��� �

� � � � � ����� �$� � � � ��� � � ��� � � � � � ��� 8 d K � �$� �'� ����� � ��� �� � � � ����� ����# � � � #�� � � ��� � � � ��� � � ������� � ��� � � d K � �$� � � ����� � � � � � � � : � � �$� � � � �!� ��� ��� � ��� �!� � � ��� � ���!����� d ��� � � � ��� � � � � ��� ����� � � d K � ��� � � ��� � � ��� �N � � � ��� � � � � ��� ��� � ��� � � � � � � � � � � � ��� � ���"� ������� ��� � � � ����� � ����� ��� ����� � � ������� � L

��� � � ��� � � � � ��� �"� � � � � � � � � � � �&� � � � � � � � ��� � � ���!� � � ��� � ��� � � ��� � � � � #�� �!� � � � � �� � � � ��� ��� � � � ��� ��� � � ��� � � � ��� � � ��� � � ��� � � ��� � � � �&����� ��� # � � � #�� � � ��� � � � ��� � �� � ��� ����� � ���!� �$� ��� � � ��� � ��� � � N � � � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � #������"������$��� #$����� � � ��� � � ���� ������� � � � ��� � � � ��� � � � � � � � � ������ ��� # ������� � � � � �!� ������ ��� # � � $��� � � � � � � � � � � � ��� ������ ��� # � � � #�� � � ��� � � � ��� � � � � � � ��� ��� � � � � � #$��� ��� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� � � � � ��� � � � � # � ����� ��� �� � � � � � � � � � ��� � ��� ��� � � ~ � � � ��� � �� � � � � �!� ����������� � � � ��� � � ��� � � � � � � ��� ��� ��� � � fih jl h n � � � � � ��� psrut vwp # � $�� � � � � � ��� � � ����� � � ��� ��� ��� � � � d � � � � � � � ��� � � ��# � d � ��� � � ��� ��� � � � ��� ��� � � � � � ������ ���) � � � � � ��� ��� ��� �WV � ��� � � � � � � � �� P�� � ��� �� �

� � �

Page 134: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ����� � � � � ��� � � ��� � � � � � � ��� � ��

���� ���� ������� ���

e ��� � � ������� � ����� � ��� � ����� �� � � ��� � � � � ��� � ��� � �� � ���2N � � � ��� � � � � ��� � � ���� � ��� � � � � � ����� � � ��� � � � � � #$� � � � � � ��� ������ ���ML# ������� � ��� � � � � ��� � � ��� � � � � � # � � � � � ��� � � �� � � ���!� � � � � � � � � ��� � ��� � ��� �� � ��� ��� � � � ������ ��� # � �

� � ���WN � � � ��� � ��� � ��� ����� � � ��� � � ��� ��� $� ��� � ������$����# ����� � � � �!� � $��� � � � �� � � ����� � � � ���� � � � � ��� � � � ��� ��# � � � � �

� � ��� �&� �!� � #�� � � � ������$��� #$����� � ��� ��� �"�������� # � � ��#�� � � ��� � � � ��� � � � � �� � ������ � � ��� � ��� � � � � � �!� � ��� � � ��� � ��� ��� � � � ��� � � � � G � " � � � � � � � � � � � J ��� � $��� �T � � � � � � � � ����� T��gd � � � 8 � " � 8 � �

� � � � � $� ��� � � � � ��� ����# � ��� � � � � #�� ��������� � � ��� ���!� � ��� ��� � ����� ����# � � � #�� � � ��� �� � ��� ��� � ��� ��� � � # ��� � ��� � � � � � � � � � � �� ����� � � ��� � ��� ��� � # ��� ��� � � � ��� � � � � �� � � � �� ����� � � ��� �

� � � � ��� " �� � � � � � � ��� � � � �) � � �$� � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � L� ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � �� ����� � � ��� � ��� � � ��� ������� � � � � ��� � � � � � � � � � ������ � � ��� � " � ��� � � � � ����� " � � � � � � ��� � ��� ����� � " � � � � � ��� � � � ��� � � � � � ��� ��� � � �� �$� � ��� � ����� � � ��� � # $��� � � � � � � ��� � � # $� � � � ��� ��� � �!� ��� � ��� ��� ������ �!� � � ��� � �

� � 8

Page 135: Department of Mathematics - The University of Manchester

� ��� � ����� � ��� ���

� � ��� � � � � � e �#� �$� � � | ��� ����� � � ���$� ��� ��� � � � # � � �!� � ������ ����# ��� ������� ��� � � � � � � � ��� � ��� $��� � � ��� ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � ��� � ���� ������������������ �"!$#&%� " � � �(' ��) �*' 8 "

� � � ���

� ' � � � � � | ��, � e ��� ���!����� � y � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � ����� � � ��� � �,+-%.�0/�12��34!$�5 ��1216� " ' � � � ��) � � ' " � �������

� � � z � � � � � e � � ��� � � � � � � � � � � ���!� ��� �7+-%.������!816#&�:9 5 ; !<�=#&�>�"%@?��BAB�C#D�FEGE$% ; /=#&1 ; 34!H ����I ; 34! � � � � � "KJ � � { ��� � " � ��� � � � ��� " � ��� 8 � � � �w� � ��� � � y � J � 8 � � � � � 8 � ���

� 8 � ~ � � � � � � � � � �ML � y�� � ��� ��, � ��� � ��� � � � ��� � � � � ����� ��� � � � � � � � ����� � � � ��� � � �������$����# ����� � � ���$� ��� � ��� ��� � � � .N�� � ��� � � #���� ��� � � " ~ � � � � � � e ��� � � � � ��� � ��"�O����� ; I*/0P8�Q R#&1SP8���T#&1 ;.U " ' � � ��� � ) ���G' " � � �u� �

� � � J � � � � � � " � � � � # � � " � � � � � ��� � � " � � � � � � ~ � � ����� " ~ �WV � ~ � ��� � ��� " � � �~ � � ��� � � ��� � � � ����� � � � � � � ��� � � � � � � � ��� ��� ��� � � � � ���O ��� � ��� � �!� � ���!� ��� �X P8�"�"!8!$#&%YIZ3\[7�]EGE$% ; �=^T_-��3&A0#GA ; % ; 129 " � � � � � � � 8 ) � � � " � ��� � �

� � � ~ � � ��� � ��� � ��� � ��� � � � � � � � ����� � e � � � � � �� � � ��� � � � � � � ��� ��� � ��� �!� � � # # ��� ��� � � `N � ������� � � � � � � � � � � � # � � � �� � � ��� � � � ��� � � ��� � �a�0+b+b+ X �C#&!cIB���"��1\34�T#&16�d 34!81e�034%� " 8 � � � � ��) � � � " � ��� ���

� ��� ~ � � ��� � ��� � ��� " � � � � � � � ���!� " � � � � ��� y �gf � � � � � � , � � �h " � � � ����#���� �� � �

Page 136: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

f � � � � � � , � � �h � y � � ��# � � # � � � �� � � ��� � � � � � � � ��� � ��� � � � � ��� � � ������� � � ���!�� � � # J � � � ��� � � � � ��� � � � ��� � � � � � � � � � � � ��� � � _F#&�C#&% %.��% d 34�"E$��1 ; !�? " ' � � � � 8 �*)

� ��� � " ' � � � �� � ���e � � � ������ ��� � � � y � z � � � � � � ��# � e y � � � � � � ��� � �&� ��� ��� � ��� � � � � ��� � � � � � �� �

5 ; !<�=#&�>�"%@?��BAB�=#�#&!$^Z�FEGE$%� " �&' � � � � �(' � ) � 8 � " � � � ���

� � � � � L � � � � # ��� � ��� ~ � L � � ����� � � | P ������� � � � � # ���� � � � �'� ��� � � ��� � � � � � � ��� �� � � � � � � ��� � ��� � � �!��� ��� � � � � � ��� �]�c� d 34�"E<� _bP�9*IB� " � � � 8 � � ) 8 � � " � � � 8 �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � �!� � � � ��� ��� � � � � � � � � ��� ��� � � ��� � � � � � ��� � ������ � � ��� � � � � � � � � � � ��� ����� � ��� ��� � � � � � ��� �$�c�c #&1 Pc���"!$#&%���FEGE$%� " � � � � � �() ��� 8 "

� � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �bf � � � � � � ���$� ��� � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� ��� ���$� ���

� � ��� ����� � ��� ��� � � � � � ��� � �-��� d 34�"E$��16�a�FEGE$%� R#&1SP " � 8 � � �u� ) � � � " � ��� 8 �� �(' � � L � � � � � ��� " � � � � L�� � � ����� " � � ��z � � � � ��� � � N$� J ��� � � # � � � ��� � � � ��� � ���

� ��� � � � � � � � � � � � ����� � � ��� � � � ��#�� �!��� ������� � � ����� ��� ��������� � � ��� � � � � � �� �=�" ���a�"%@?G��� ; I*/B� ��1 Pc� " � � � � � 8 � )�� � " � � � ���

� � � � V� � # � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� ��� ��� � � � � � �� ����� � � ��� : � 0 = ��� ���

� � � � � : ��� ! � = 0 � � � � � ! � � � 5 ; !<�=#&�7�"%@?��BAB�C# #&!$^Z�]EGE$%� " � � � � �() � � � "� � � � �

� � 8 � e � ��� � � � � � � � ��� � � � � � ��� ������$��� #$����� � ��� � �) ��� � � �������� # � � � #�� � � ��� � � � #�� � ��� � � � � �C�� �c� �����������a�"!$#&%� " � � ' � �Y' 8 �()O' ��� " L$� � � � � � ' �

� � � � ��� � � ������� � ��� ~ � � ��� � � ��� � � � ��� � y ��� � ��� �!� � � � ��� ������� � � � � � � � ����� � 5 ; !<�=#&�#&!$^T �O% 1 ; % ; !<�=#&�>�"%@?��BAB�=# " ��� ' ���()c'�� � " � � � 8 �

� ��� � z � ~ � � �!� � � ��� � � � ~ � � � � � � � � � � � � ������$��� #$����� � ��� ��� � ����� ��� # � � � #�� � � ��� �� � ��� ��� � �"!F � 34���:!$#&% 3\[$# �0I*�=#&��/0P #&!$^%�Z�'&&��%.30E$����!81 " ��� � 8 � ��) 8 � � " � � � '��

� � �

Page 137: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� � ��� � ��� � J � ��� | � �!� �����"�O����� ; /=#&% 5 ; !<�=#&�W�"%@?��BAB�C#�#&!$^ �]EGE$% ; /=#&1 ; 34!cI � � �!� � ��� � � � � �~ � � � � � � #�� ����� � � � " ~ � � �!� �!� � " � e " } y e " � ��� ��� �.� � � � � ��� � � y � J � � � 8 � � 8 ��� ���

� � � � ������# ��L � | � � � J � � ��� � � � ��� � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � �� ����� � � ��� � � �C�� �c� � / ; � � 1 #&16� d 34�"E$��1 � " ' � ' � � ��� 8 ) � � � " � � � � �

� � � � ������# �TL � | � � � e � #���� ��� � � � � � e � � � #���� ��� � � � �����&��� � ���!� � $��� � � ��� ��� �� � � � �� ����� � � ��� : � � � 0 � � = � � �$� d X �C#&!cIB�� R#&1SPc� � 3\[:1�� #&��� " � � ' � �Y' 8 �*)' � 8 " � � � ���

� ' � � � � | � | ��� � � � � � � e � J � � � � $����� " L�� � � � ��� � � � �� � #�� � � ��� � ��� � � � ������� � � � � ��� � � � � � � ��� � �]�]EGE$%� #&1 Pc�b#&!$^ d 34�"E$��1 � " ' ��� �*) � 8 " � � � ���

� ' � � L � � � | ��� � � " L�� � " � ��� � � � ��� � � � y � � � ��� � � � �"�O����� ; /=#&% ��1 P83B^4IF[ 34��� !</034!��I�1e�=# ; !<�=^�� E$1 ; � ;� #&1 ; 34! #&!$^M��34!8% ; !<�=#&�Z+�B��#&1 ; 34!cI � ~ � ��� � ��� z � ��� " � � # � � � � � �� � P � "8J L " } y e " � � � ��� � y-� J � � � �G' � ' ��� ���

� ' ' � L � � � | ��� � � " L�� � " L � � � � � � � � " � ��� ��� ~ � � � � ��� � � � � � � # � � � �� � ��� ����� � ���� � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � �C�� �c� �����������a�"!$#&%� " � � � � � � � � �:) � 8 � " � � � ���

� ' � � L � � � | ��� � � " L�� � " L � � � � � � � � " � � � ��� ~ � � � � ��� � e � #���� ��� � � � ��� �!� � $��� � � ���� � � � �� ��� ��� � ��� � � � � � �C�� �c� �����������a�"!$#&%� " � � � � � � � ' �*)�� � � " � � � ���

� ' 8 � � � L � | ��� � � e � � � ��� ��� ����� � � ��� � $����� � ��� � � � � � � ��� ��� � �c� #F#&16�] g�0/0Pc��"!$#&%� " 8 �Y' ' �:)c' � � " � � � � �

� ' � � L$���!��� � � � ��� � � � � � , � ��� � � ��� � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � # ����� � � � � � � ��� � ��� � � ��� � �F�c� � ��!</�1 ; 34!$#&%��"!$#&% 9(I ; I " �(' � 8 � �*) 8 � � " � � � ���

� ' � ��� � � � � � e � � � � ��� � � � ��� � � � � ��� ��� � ��� � � � ��� ��� : � � 0 � = � � � ��� � � � � � � � � � ��� � ��� ����� � ��� � � � ��� � � � ������� �&� � � � ����� � � � � � P ������� � � � � � � � � ��� � �!-� X " ' � � � 8 ��) � 8 � " � � � � �

� � �

Page 138: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� ' ��� � � � �� � � J ��������� ��� � � � $� ����� � ��� ��� � � � � � ��� � � � �=�" ����8 #&1 Pc���"!$#&%� " ' �Y' ' �*)' �G' " � � � �$�

� ' � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � $��� � � � ��� � ��� � � � .N�� � ��� � � ����� ��� # � � � #�� � � ��� � � �d 34�"E$��1\���Q�c� " � � � 8 �() ��� 8 " � ��� 8 �

� '�� � � � # ��� � � � � � � ��� �7_-�C#�/�1 ; /=#&%< g��1SP83B^4I 3\[ � E$1 ; � ;� #&1 ; 34! � � � � � " � � � � ��� � ��� " }>V "' � � ��� � ��� " � � � � � � y-� J � 8 � � � ��� 8 �( ���

� � � � � � e � � � �&N ��� " � � L � | � ��� � � " � � � e � ��� � � ��� � � �g+-%.������!81 #&�:9 R#&1e� ; /0�0I�#&!$^� 34���-�]EGE$% ; /=#&1 ; 34!cIK1\3 � 94!$#&� ; /0I7#&!$^ � ; � ������!81 ; #&% + B�c#&1 ; 34!cI � � � � � � � # � } � ����� ���7~ � ����� " � � ��� ��� � ��� " � � � ��� � � � � � � � � � # �

� � � � � � � �� ��� � � � � � � � ��� � X P8� X P8�034�:9 3\[� #&1e� ; /0�0I " �� � � � � � " � � � � � � � ��� � "aJ � �{ ��� � " � � ������� � � � � " � � � � 8 ��� ��� � � � � � " �� � ' � � ��� �

� �G' � L$� � ��� | � � � � � ��� " e � � � L � � � � � " L � � ��� L � e � � � � " � � � � � �) � � � � � � ��� �y � � � � ��� ��� ��� � y � � ��� � ����� � � � �� ����� � � ��� : � 0 � � = � � � � � ��� d X �C#&!cIB� R#&1 Pc� � 3\[:1 � #&��� " � � � ' � � ' ' �()c' � � " � ���G'��

� � � � L$� � ��� | � � � � � ��� " � � �!��� � � ��� � � ��� � " e � � � L � � � � � " L � � ��� L � e � � � � " � � �� � �) � � � � � � ��� � e � #���� ��� � � � � � e � ��� � � � � M�u� �!��� � � � � � � � ��� � #$��� ��� �!� � ��#��� � y � � $��� � ����� � � � �� � � � � � ��� : � 0 � � = � � � � � �R� d X �C#&!cIB�- #&1 Pc�� 3\[:1�� #&�0� " � � � ' � �Y' �G'*)c' � � " � ���G'��

� � 8 � e � 1� � � � � " � � � � � ��� V ��� � � � " � ��� e � � � L � � � � � � � � � � � ������ ����# ��� ��� � � � �� � � ��� ����� ����# � � � #�� � � ��� � � � ��� � � �"� ��� �!� � � # � � # � � � �� � � ��� � � � � � � � ��� � ��0+b+b+ X �C#&!cIB� �"��1\34�T#&16� d 34!81e�034%� " e � � � � � � � � � � '*) � � � � " � ���G'��

� � � � e � � � � � � � � � e � � �gL � � � � � � � � ��� � � � � ���!����� " � ��� � � ��� " � � � � � � � � � ��� � ��� �����&��� � � ����� � � � ��� ����� � � # � � � � � � ��� � � ����� � � ��� � � �"�O����� ; /=#&% 5 ; !<�=#&��"%@?��BAB�C# � ; 1SPT�FEGE$% ; /=#&1 ; 34!cI " ' �Y'��() 8 � " � ��� ���

� � �

Page 139: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� ��� � ~ � � � � � � � " � � � � ��� � � ��� � � " � � � � � � # � ��� � z � � � # � � � _-�C#�/�1 ; /=#&% � E$1 ; � ;� # �1 ; 34! � e � � ����� � ~ � ����� " � ��� � ��� " � � � � � � y � J � �(' ' � ��� �&' � � � � � ��� �!� ��� � �

� � ��� � � �� � � ��� # " ~ � � � ��� � � � ��� " � � � � � � ��� � � � � R#&1e� ;�� _734% 94!<34� ; #&%YI � e � � � ��� �~ � ����� " J � � { ��� � " � � �G'�� � � 8 � � ��� � � y � J � �(' ' � � ��� � �� �� � � � � z � �� � � � " y � J � � � " � � � � � � � � � � � � � � � e z ��������� � ��� # My � � � ��� � ��� � � � ���

��� � � ��� � � ��� : � � � 0 � = �8��+b+ + X �C#&!cIB� �"�O1 34�T#&1 � d 34!812��34%� " e � ' 8 � � � � � � �*)� � � " � � � ���

� ��� � ��� �9z � �� � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � R#&12� ;�� d 34�"E$�O16#&1 ; 34!cI � L�� � � �z ��� � � � } � ����� ���2~ ������� " � � � � � ��� � " � | " } y e " � ��� ��� � ��� " � ������� �.� � ��� 8��� � � y-� J � � � ��� � 8 � � �� �

� 8 � � � � ��� �$� � � � � ��� � � �!����� " � � � � � ��� y �OV ��� � � " � � � e � � ��L � � � � � � y � � � � # ��� ��� �� ������� � � � � � � � # � � � �� � � ��� � � ����� � � ��� � � ��� � � ��� � � � ��� � ��� ��� ��� � y � � � ���� � � � ��� � � ��� ��� � �0+b+b+ X �C#&!cIB� �"�O1 34�T#&16� d 34!812��34%� " � � � � ���()�� � � " � ���G'��

� 8 � � � � � � z � � � � � J � � � ��� � � � � ��� ��� � ��� � � ����� � � � � # � � � �� � � ��� � � � � � � � ���� � ��� ��� � � � ������� � ���$� � � � � � � � � � # ���� � � � ��� ��� ��� � � � � � ��� � � � � �=�" �c� R#&12� ;�� �"!$#&%� �]EGE$%� " ' � � ' � �Y' � �()O'�� 8 " � ��� ���

� 8 ' � ~ � z ��� � � �]+-%.������!81SI 3\[���������� ; /=#&% �"!$#&% 9(I ; I � � � � � "8J � � { ��� � " � ��� 8 �� 8 � � J � � � � � � L � z # � � � � � ���&��� � � # � � � � ��� � � � ���!� � � � ��� � � � � � � � � � �� � 5 ; !<�=#&�

�"%@?��BAB�C# #&!$^Z�]EGE$%� " � � � ��� � 8 � �*) 8 � � " � � � � �� 8 8 � J � � � � � � L � z # � � � � ~ ��� � � � ��� � ��� ��� ����� � � � � �!� ��� � � � � ���!����� � ��� : � � 0 �

= � ! � X " � � � �*' 8 ) � � � " � ��� ���

� 8 � � J � � � � � �>L � z # � � � � ��/0/����C#�/�9 #&!$^ � 16#GA ; % ; 129�3\[���������� ; /=#&%$�"%@?�34� ; 1 P�� I � y � � � ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � e ��� � ��� � � ��� ��� � � ��� " ~ � � � ��� � � � � " ~ e " } y e " � ��������.� � � � � ��� � � y � J � ��� � � � � � � ' �

� ���

Page 140: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� 8 � � J � � � � � �FL � z # � � � � y�� ��� � � � ��� � � ��� �%� ��� ��� � � � � � � � ��� � � � �!� � � � �"�O����� ; /=#&%�"%@?�34� ; 1SP�� I " � � �Y' ' � )c' 8 ' " � ��� � �

� 8 ��� J � � � � � �KL � z # � � � � e � � ����v������ � ��� � h jml�h n � J � � ��� � � � e � � � � � � � ��� ��� �J � � � � � " � � ��� � ��� � ��� ���� � ��� � ��� � ���&��� � � � ��� � � � � ��� ��� � � ��� " � � � � � ��� � ��� "� � # � � � � " L � ��� � � � � �������

� 8 � � J � � � � � �>L � z # � � � � � � z � � � \� � V� � � J � � ��� � � � � � � � � � ����� � ��� � � � � � �� � � � �� ����� � � ��� � J � � ��� � � � e � � � � � � � � ����� � J � ��� 8 � " � � ��� � ��� � ��� ���� � ���� ��� � ����� � � � � ��� � �7� � ��� ��� � � ��� " � � ��� � ��� � ��� " � � # � � � � " e � # � � � � ������� � �� ��� � � � � � � e L�� � ��� � � ��� J � � ��� � � � e � � � � � � �

� 8 � � J � � � � � � L � z # � � � � ���.z � � � � � V� � � y � � ��# � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � J � � � ��� � ��� � ��� ���� ��� � � � � � � � � � � � ��� � ��� � J � � ��� � � � e � � � � � � � ��� ��� �J � � � ��� " � � ��� � ��� � ��� ���� � ��� � ��� � ���&��� � � � ��� � � � � ��� ��� � � ��� " � � � � � ��� � ��� "� � # � � � � " L � ��� � � � � ������� � � � ��� � � � � y � e � L�� � ��� � � ��� � � � � �� e � � ��� � � � � �e � � � � � � ��� � �

� � � � � � # ��� e � z ���!� � � � � � � � � ��� � � L�� � � ����� �� #&1e� ;�� �"!$#&% 9*I ; I � � � � � � � # � } � ����� ���7~ � ����� " � � � ��� � � � � � ��� � � y � J � � ' � � � � ��� � �

� � � � � � # ��� e � z ����� � � � � � � � � ��� � � L�� � � �!��� � X 30E ; /0I ; ! R#&12� ;�� �"!$#&% 9*I ; I � � � � � � � # � } � $���!� ���7~ ������� " � ��� � � � � � � ��� � � y-� J � � ' � � � � � �( � �

� � ' � � � � �aV � ��� � � ����1 ���C#&1 ; &&�Z g��1 P83B^4IF[ 34� 5 ; !<�=#&� #&!$^ ��34!8% ; !<�=#&��+�B�c#&1 ; 34!cI � y � � � ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � e ��� � ��� � � ��� ��� � � ��� " ~ � � � ��� � � � � " ~ e " } y e " � ��� ���� � ��� � � � � � y � J � ��� � � � � � ' ���

� � � � � �$V ��� � � � " e � L � � � � � " � � � � � � � ��� � � e � � ��� � ���G ��� � � ��� � #���� � � � # � ��� ��� � � ��� � ��� y � � � � �� � � � � ��� � ����� � R#&1SPc� d 34!812��34% � ; ?&!$#&%YI � 9*I�1\��� I " �(' �Y' 8 ��)c' � � "

� � �����

� 8 �

Page 141: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� � 8 � z � � � � � V � � � ����� � � � # y ��� � � � � ��� � � ��� � � � � � �� � � � y � � ��� ��� � " | � � � � � � ��� � ��� � � ��� ��� � � ��� " } � ����� ��� ��� � � ��� � ��� � ��� " � � ��� � ��� � ��� " � � # � � � � "y � � � ��� � ��� � ��� � �

� � � � ~ � � � � � � �KV � � � � � ��� � e �� � � � � ����� � � ��� � ��� � � � ��� � � #���� � � .N�� � ��� ��� �������� � � ������� � � � � ��� �-�0+b+b+ X �C#&!cIB� �"�O1 34�T#&16� d 34!812��34%� " e � ' � � � �('*) � � 8 " � � � ���

� � � � � � V � � � N � � � � � y � ��� � � � J � � ��� � � � �!� � � � ������� � � � � �� ��� ��� � ��� � � ����� � � ��� �� � J � � � ��� � � � � ��� � � � �0 � ��� �"�������B�a�"!$#&%� " � � � � �*) ����� " � � � � �

� � ����� � ��V � � � � � � z � � N � � � #$��� � , � ����� � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � ��� ����� � ��� � � �&� ��� ��� � � � � � ��� � ��� ����� � � � � � � � ��!81 �6?&�=#&%�+ B�c#&1 ; 34!cI � E8���C#&1\34�X P8�034�:9 " � � 8 � � � ���()�� ��� " � � � ���

� � � � ~ � � ��� � � ��� � � � ��� � 5 #&�TA0^G# �6 R#&12� ; /0�0IQ#&!$^ Ha; AB�C#&1 ; !�? � 9(I�1 ��� I � ~ ��� # � � ��� ~ ������� ", � � ��� � " � ������� � � � ��� ��� �

� ��� � ~ � � ��� � � ��� � � � ��� � X P8�034�:9 3\[" R#&12� ; /0�0I � e � � � ��� � ~ ������� "$J � � { ��� � " � � ������ � � � ~ � � ��� � � ��� � � � ��� � � � � � �!� � � � � � � �R�"%@?��BAB�C# ; /%# ; /0/=#&1 ; +�B�c#&1 ; 34!cI �&, � � �����} � ����� ���7~ � ����� " � ��� ��� � � 8 � � ��� � � y � J � � � � � � � � � ���� � � � ~ � � ����� � ��� � � � ��� � ��� L���� � � � ����� � y � � � � ��� � ����� ��� � ��� � � �$� ��� � � ��������� �

� ��� � � � �=�" �c� R#&1SPc�a�"!$#&%� " � � � � � 8 8 �() 8 � � " � � �w� �� �G' � � � � � � �$��� � � � � � � �.� � � � ��� � � �$��!81e��3B^&� /�1 ; 34! 1 3 #&1e� ;�� �"!$#&% 9 1 ; /K ��1 P83B^4I

; ! � 1\3*/0Pc#4I�1 ; /� 3B^���% ; !�?$� y � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � e ��� � ��� � � ��� ��� � � ��� "~ � � � � � � � � � " ~ e " } y e " � ������� � � � � 8 ��� � � y � J � ��� � � � 8 ' � M� �� � � � e � � �TL � � � � � � e y � � � � � � ��� � � � ��� ��� � � # � � # � � � � � �� � � � � � � � � � ��� � � ��+ +b+

X �C#&!cIB� �"��1\34�T#&16� d 34!81e��34%� " e � ' 8 � � � �() � ' � " � � � ��� y � � � � ��� ~ �!� � � � � � � � ��� � �| ��� � ��� � ��� � �!� � " ��� � � � )�� ���

� 8 �

Page 142: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� � 8 � � ��� � � � � � � � �2| � � ��� � � ��� ��� ��� �!� � � � ��� ��� ��� � � � # � � � �� � � � � � �� � ��� � � ����� � � ��� �-��!816� �c� d 34!812��34% " � � � � ���() � � � " � �������

� � � � L � � � � � � � � � � � � � e � � ��� � � $����� � � � ��� ��� ��� � ��� � � � � � � ����� � � ��� � � � � � � ���� � ��� � _-��3*/B�a�"�T� R#&1SPc� � 3*/B� " � � � � � �G' 8 ) � � � " � � � ���

� ��� � � � �) � � � � ��� � � � ~ � � ����L � � ��� � ��� � 94�TA�34% ; /� #&1 P X 3*34%A�3 � H ����I ; 34!���� �aI*����� I� � ; ^�� � � � � � � ��� � ��� ��� " � ��� "$J � � ��� " � e " } y e " � ��� ���

� � ��� L�����# � J � ��� � � � � � ��� ��� # � � � #�� � � ��� � � � ��� � � � � ����� ��� � � � � � �$� � � .N�� � ��� � � �

� � � � � e � � � � � � � L � � � J �&N�� � � ��� " ��� � ���!� " 5 ; !<�=#&� #&!$^ ��34!8% ; !<�=#&� d 34!��:� ?G#&1 �� �C#G^ ; ��!81 � # ��%#&1 �=^� g��1 P83B^4I " � � #$��� �*)c' � " ~ � � � � � � � � � " ~ e " } y e " � ������� y � � � ���� ��� � � ��� � � � � � � � � e ��� � � � � � ��� ��� � � ��� �

� � � � L�����# � J � � ��� � � � � � y�� � � � ��� L � � � # � � � �"�O����� ; /=#&% � E$1 ; � ;� #&1 ; 34! � y � � � #$��� � ��� � � # "8J � � { ��� � " � ������� �.� � � ��� ��� � � y � J � � � �* � � � � � ' �

� ��� � � � ~ � � � � � � �� �%�� � ������� � J � � ����� � � � ������$����# ����� � � ��� � �� ��� � � ��� ��� � � � � � ��� ������ ��� # �� ��� � # �'&*� � �<��� ��! [�� #7�0/0Pc� � E8���B� " ��� � ��� � �*) 8 � " � �������

� � � � L � � ��� � � ~ � �!� ��� � � � � � � ��� � � � � � � ��� � � � ��� � � � �=�" �c���]EGE$%� R#&1SPc� "� 8 � � � � 8 ���*)�� � � " � �������

� � � ��� � L � | � ~ � � � ��� � e � ��� � � � � � � � ��� � � ��� � ��� ��� � � # � � � � ��� � ��� � ��� � � � � �� � # � � � �� ������� � � ��� � � � � ~ � � � � ��� � � � � N " ��� � ��� " ��������� ; /=#&%- ��1 P83B^4IQ[ 34���34!8% ; !<�=#&�Z�"%@?��BAB�C# ; /Z+�B�c#&1 ; 34!cI " � � # ��� � ���*) ��� � " � ��� � ��� " � � � � � ���� � ��� � � �� ��� � � �"y � ����� � �

� � ' ��� � L � | � ~ � �� � � � � ��� � � � � � ��� ������� � ��� � ��� ��� ���������� # � � � #�� � � ��� � � � ��� � � � R#&1SPc� _-��3=?&�=#&�D� ; !�? " �(' �Y' 8 ��)O' � 8 " � � �u� �

� � � ��� � L � | � ~ � � � � � � J ����������$� � � � � `N�� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � ��� � �������� # � � �#�� � � ��� � � � ��� ��� � � � | � � � � � ��� � " � � � ��� " �"�O����� ; /=#&%-�"!$#&% 9*I ; I�� ��!$^��0�

� 8 '

Page 143: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

������� " � � # ��� �(' '*) � 8 � � � ��� � � � � J � � ��� � � � ��� ��� � � ��� " � � � � " y � � � # ��� " � ��� � � J � � { ��� � " � � � 8 �

� � 8 � � � � � � � � � ��� � d 34�"E$��1 #&1 ; 34!$#&% � 34% �O1 ; 34! 3\[M��34!8% ; !<�=#&� � E8���C#&1 34��+�B�c#&1 ; 34!cI �� � � � "8J � � { ��� � " � �������

� � � � z � e � y � ��� " � � V � y � # � " � � ��| � � � y ��� ��� � ��� � � ���!� � � � � ��� � � � �!� � � � ������ ��� � � ��� � ��� � � " � � ��� � � � # ���� � � � � � ��� � � ��� � ��� � �$� � � � � � � � � � ��� � �M�:!81 �-�c��"�O������� ��1 P83B^4I�+-!�?G� " � � � � � � ��) � � � � " � ��� ���

� � � � � � ��� � � � y�� � � � � � � � ���!��� � � � � ��� � � � �!� � ��� � � � ��� � � ��� ��� � ��� � ����� � ����� � � � � �� ��� � ��� � �� � � # ���� � � � � � �!� � � ��� � � � �=�" # �'& ; � � " � � � � ' � ) � � 8 " � � � ���

� �u��� � � ��� � � � y�� � � � � � �c�W[:1 ���:!<341\�0I734!Z��������� ; /=#&% �"!$#&% 9*I ; I � y � � � ��� � ��� � � � � � � � � �� � � e ��� � ��� � � ��� ��� � � ��� " ~ � � � � � � � � � " ~ e " } y e " � ������� � � ' � � ��� � � y-� J� ��� � � � ���G' ���

� � � � L � � ���]L � y � � $��� � ��� � e � � � ��� � � � ��� � � � � � � ��� "�� , � � � � � � � � �!� ��� ��� ��������� � "�� � � � ��� ~ � ��� � � � � ��� ����� ��� � � �]_bP ; %.3*I*30E8P ; /=#&%$ R#*?G# �B; !<� " � � � ��� �() � � � " � � � � �

� � � � L � � ���gL � y���� ��� � ��� � , � z � � � � ��� � � � � � � � � � � ����� � � ��� � � � ��� � # ��� ��� � �� � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � ����� � _bP ; %.3*I*30E8P ; /=#&% R#*?G# �B; !<� " � � � 8 � 8 ) 8 � � " ��� � 8 �� ��� � � � � � � � � � " ��� �$' � �:)c' � � � �

� � � � L � � ����L � y � � $��� � ��� �E, � ��� � � � � ��� � � � � � � � ��� � � ��� � � � � � � ����� � � ��� � � � � � � ��� ��� ��� � ��������� � ����� ��� ��F�c#&��1 ���:% 9 �834����!$#&%F3\[Z R#&1SP8���T#&1 ; /0I " ' � � � � �*) � �(' "

� � � ���"� � � � � � ��� � � � � " � � �$' � '*)O' �u��� �� � � � � � � � � � � ��� � ��� � � ��� ��� � � � � � ~ � � ���!� ���QL � � ��� L���� � � � y � � ��� � ��� " �� � � � � 8� ��� �G' � ��� � � � � � � � � � � "�J � � { ��� � " � � � ��� �.�.� � � � � ��� � � ��������� � ��� ����� � � � "

� � � � � � ��� � � � � � �� � � � ��� " ��� � ��� �&� � � � � � ��� � � � � � �� � � � ��� � � � � � � � � # �} � ����� ���7~ � ����� � � � 8 ) � � �('��

� 8 �

Page 144: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� �G' � � � � ������ � � �� �!� ��� � � � � ����� � ��� ���!����� � � � ������� � ��� ��� ��� ��� � ��� � � � #$���� � � � �� �!� � � ��� � � 5 ; !<�=#&�7�"%@?��BAB�=# #&!$^ �FEGE$%� " � � � � � ���() � � � " ' � � � �

� � � � � � � ������ � � �� ������� � � � � J � � � � � ��L � z # � � � � y�� � ��� � � ����� � ����� � ����� ��� � � � � ���

� � � � � ��� � � � # ���� � � � � � �!� � � ��� � " � ��� � ��� � � � � ��� � � J � � ��� � � � e � � � � � � � � � ��� � J � � � � � " � � � � � ��� � ��� ���� � � � � ��� � ����� � � � � ��� � ��� � ��� ��� � � ��� " � � � � �O��� � ��� " � � # � � � � " e � � � ' � � � �

� � 8 � � � J � � ��� � � ��� ��� � � �%| � � � � �<��������� ; /=#&% 5 ; !<�=#&�b�"%@?��BAB�C#$� y � e � " ~ � � � � � � � � � "~ e " } y e " � ��� � �� � � � ~ � � � � � � | ����� ��� � e # ��� ��� � � `N ��� � #$���� � � � � � ��� �!� � � � � �����!� � ��# � ��� � �

����� � � ��� � � � �=�" ��� � / ; � � 1 #&16� d 34�"E$�O16� " ' � �(' ��) � � � " � � � �$�

� ��� � ~ � � � � � � | � ��� ��� � e � #���� ��� � � � � � | y } �*yk~ � � � � � � z f�� � � , ����� e J� � � ��� � � ����� � ��� ������� � � � # � � � � � � #�� � � ��� � � ��� � ��� ��� ��� � � � ��� ��� � ��� � ��� d X �C#&!cIB� R#&1 Pc� � 3\[:1 � #&��� " � � � � �*) � �G' " � � �G' �

� � ��� L � � ���)z ��� � � � ����� � X P8�>�"%@?��BAB�C# ; /�+ ; ?���! &4#&% � �"_]��3&AB%.��� � , � � ����� } � $���!� ���~ � ����� " � ��� ��� � � ���G' ��� � � y � J � � � � � � 8 � � ���

� � � � z ��� # #$� � � � � � � � � N � � � # � � � ~ ����� ��� � ������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � ��� � �!� � � � ��� ��� ��� � ����� � ��� � � � � � � � � # � � � �� � � ��� � � � ��� � � ��� � 5 ; !<�=#&��"%@?��BAB�C# #&!$^Z�]EGE$%� " ' ' ' � �(' � ) � 8 � " � ��� � �

� ��� � | � � � { � � ��# � � � � � � � �� � #���� � � � � ��� &&��9 3\[ �"������� ; /=#&%7 #&1 P8���T#&1 ; /0I "�� � � � � '�� e � � ����� � ��� � � � " � � � � ��# " � e " � � � ��� � ��� � � � � � � � | � $��� " J � �{ ��� � " � � � ���

� � � � � � � ��� � ����# " � � � � ��� " � � � � � L � � � � # � e � ������� � ��� � � ��� ��� � ��� � � � # ���� � � � � � � � � � � � � � � # ���� � � � � � �!� � � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � 34���:!$#&%-3\[� 34��!$^ #&!$^ H ; AB�C#&1 ; 34! " � ��� �Y' � �*)c' � � " � ��� � �

� 8Q8

Page 145: Department of Mathematics - The University of Manchester

������������� �����

� � � � � � �$� � ��� � � � � J ��� � ��� � � � �!� #�� � � � ��# " ������� � � � � ��� � � � � ��� � � � � � �

L � e �!� � � " � � � ��� " ��!81 �6?�����#&!$^D��34!8% ; !<�=#&�"_]��3=?&�C#&�D� ; !�? " � � # ��� � � ) ��� "cJ ��� ���Oz � � � � � � " e � � � ��� � � � " � � � � �

� 8 �