Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8...

24

Transcript of Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8...

Page 1: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

����������������� ������������ �� ����������������������� ��� � � � �!� � ���"���$# �&%�' � �(�)� �+*-,.# � ��,��/�*

0�132547658:9<;=1�>@?59A4/B5CDE9A479AF�GH8IB7F@1�4@JLKM2525>NCOQP�RSP�TVU=W�X/YMW�ZSZ[W

\^]`_baSc�d�e`agf h�i3jkiblmiVnmoqpsrLi3lutLi3v�rkp lmibw:j)pxoyizrk{mp}|Lrk~���{mpsoq�k�}iEoy|�j`���}i�{[��|�nSlI�7|�w:�)~�nm~�oyiblmiVn� �k~�r�lu��o���n�|L���){��b|�n�n�i�{m�`|Lr�j)psr���lm|�lutLi���izrLiVnm~��g�xp�rLi�~�n�~�r�j�{m�`i��Vpx~��g�xpsr�i�~�n��[p}i�~��}��i��knm~�{�)� � ~�rkj�� � � ~�rkj&��n�i�{mizr�l5~��b|�oq�)�}iblmi�n�i�j`���Vpx�)px�xp}l:�&n�i�{��k� l�� �At�i�{�i � �k~�r�lu��o���n�|��k�){5tk~�¡�i~�rk~zlu��nm~��£¢Sw:j)pxoyizrk{mp}|Lr�~��/oy|�j`���xiy¤y�7h�i¥�kn�|z¡�i�~�r=~�rk~��}|�����i¥|��3¦k�§t��Ln¨w©h�ib�k�[j)�k~��xp lI�ªpsrlut�ps{3{�ibl�l�psr��`«=lutLi@�bizr�lmnm~��sp}¬ViVn3~��}��i���nm~­|��`lut�i � ��~�r�lu�ko ��n�|L���y~��§l�p}|Lr¥|�r¥lut�iA®�w:�¯|��xj^lmizrk{�|�n�`|�� iVn@|��3¤�ps{A~ � ��|�l�p}izr�lA|���~y°Ai��§±�i�~��}��i���nm~���|�nA~��x�²¢³~�r�j=px{5px{�|�oy|�nm�)tkpx�Nlm|ylut�i�°5i��u±�i~��}��i���nm~qpsrQ�V~�{�i�¢�´µ®²�

¶ >@B7472A·5¸A¹EBE8¨25>

ºq»y¼`½m¾M¿`À�¿�Á� U ÂLÀ R ÂLÃ�Â�À�¿�Ä�Ä©Å©Ã�Âk¿`ÀA¿�Ã�Æ T ¾ ÂLÇLÅÈ¿�Ä`Ä©ÅÈÃ�Â�¿`À@É P ¿�à UzP Á R Àz¼ P ¾ T »�ÂLÀz¥ũà U Àz¼/Æ P ÇLÂLÆÊ£Ë ºN¿`ÌS P ÇÎÍ�Å�Ï ºyÐ�Å©Ã ÑkÒSÒ Z/Ó(Ô=P ÀÕÅ©Ã U Â�Àz TVU Å©Ã U Í� T ÂÖÉ P ¿�à UÎP Á R Àz¼ P ¾ T ¿`Àz¼ T ÂØ×:ÀμSÁÙ¼ P ÀÅ©Ã[ÚS TVU Å R ¿ U Å©¼²Ã T Ï}Û�ÜÑ�Э¼�×^Æ�¼�»�Ã/½ P ¾ ¿�Ä R Â Ê Àο T ¿�Ã3Æ U Í�Â�ÅÝÀ�ÂLÁ Ê ÂLÆ�Æ�ÅÈà RST Å©Ã U ¼ÕÇLÂ�À U ¿SÅ©ÃßÞQ¼�¾�׿�Ä R Â Ê Àο TLÓ º�Í� T ÂqÞ�¼�¾3×E¿�Ä R Â Ê Àο T Æ�Â�¾ ÂLÃ3Æ�¼Sà U »y¼=¾M¿`Àο�Áà U Â�À T5á ¿�Ã�Æàâ Y ¿�Ã�Æ U Í�Âyã=ÀzÅÈÃg×IÂ�Ä�äxÆÆ�¼ P Ê Ä©Â�¼�× T�P ÇÎÍ ¿�ÞQ¼�¾�×�¿�Ä R Â Ê Àο�Å T  T�T ÂLà U ÅÈ¿SÄ©Ä Ë U Í� U »�¼�½m¾M¿`Àο�Áà U Â�ÀØÉ P ¿�à UÎP Á R Àz¼ P ¾å­æzç è)éÝêgëxì�í ¼�× ºN¿`ÌS P Ç�Í�Å é Æ�Â�î3Ã�Â�Æ Ê ÂLÄ©¼k» í Ó­ï ¼�ÀΠR ÂLÃ3Â�Àο�Ä©Ä Ë Y ¿ T^T Í�¼�»�ÃàÅ©Ã�Ï}Û�Ü W Ð Y åNæ�ç è)éÝêgë}ð3íÅ T ¿+ã=ÀzÅ©ÃgרÂLÄ�äxÆ Æ3¼ P Ê Ä©Â�¼S×y¿ñÛy¼�ÀzÂLÄ�½ U Ë ¾7 TzP Ê ¿�Ä R Â Ê Àο Y ¿�Ã3Æ U Í�ÂLÀzÂ�Å T ¿�Ã�òQ½�Áà¿ U ÀÎÅ�ó�»�Í�Å©Ç�ÍÇL¼SÁà T ×:ÀμSÁ U Í�³Æ�¼ P Ê Ä©Â³ÇL¼Sà T�U À P Ç U Å©¼SÃ+¿�Ã3Æô»�Í�Å©Ç�Í�ÀzÂLÆ P Ç� TQU ¼ U Í� TVU ¿SÃ�Æ3¿`ÀzÆôòQ½�Áà¿ U ÀzÅ�óר¼�À U Í�Âà¼SÃ�Â�½m¾M¿�Àο�Á� U Â�À&É P ¿Sà UzP Á R Àz¼ P ¾ åNõSéÝêgësðgíàé ¿ÖÉ P ¼ U ÅÈÂLà U ¼S× å õ�ç õ�ö[÷ éÝêgësð3í�í Ó�ø à U Í3¿�Ã3¿SÄ©¼ R ¼ P3T É P ¿Sà UzP Áù× P Ã�Ç U Å©¼SÃ�¿�Ä R Â Ê Àο T  U�U Å©Ã RgY ¿�ÄÈÄ©¼�»�Å©Ã RØU »�¼�¾M¿`À�¿�Á� U ÂLÀ T&P Ã�ÅÝîM TúU Í3Âã=ÀzÅ©Ã�×IÂLÄmäxÆ/½uûSÅ©Á Ê ¼³É P ¿Sà UzP Á R Àz¼ P ¾ T é áªü ý[þ â ü�ý[ÿAC í Ï ã Y û²ÅmÑ�Ð@»�Å U Í U Í�Â&ã&Åݾ3¾7ÂLÀV½�ã&¼SÃgÌ/Å©ÃÉ P ¿�à UzP Á R Àμ P ¾ T é áúü Ñ þ â ü�ý ÿ5C í Ï ã&ãQÐ Óø à U Í3Å T »y¼�À�Ì�»y T�UzP Æ Ë U Í3Â�ÀzÂ�¾3Àz T ÂLà U ¿ U Å©¼Sà T ¼�× U Í� U »�¼`½m¾E¿`Àο�Á� U Â�À¥É P ¿�à UzP Á R Àz¼ P ¾ T

�å ü åNæ�ç}èké � ë ð í ¿�Ã�Æ å ü å­æzç è)éÝêgëxð�í Y Æ�Â�îMÃ�ÂLÆ Å©Ã��/Â�Ç U Å©¼SÃ!Ñ Ó(Ô&P ÀàÞQ¼�¾�×ú¿�Ä R Â Ê Àο �å Å TÅ T ¼²Á�¼�À�¾3Í3Å©Ç�¿ T ¿�à ¿�Ä R Â Ê Àο U ¼ßºN¿`ÌS P ÇÎÍ�Åmä T É P ¿�à UzP Á R Àz¼ P ¾ å æ�ç èÎö[÷ é T ÂLÂ+Ï ºqÐ í Y Ê P�U ¿ T ¿ÞQ¼�¾�×ú¿�Ä R Â Ê Àο Y Å U Í3¿ TàU Í�Âß¼�¾3¾7¼ T Å U ÂØÇL¼�¾3Àz¼/Æ P Ç ULÓ�Ô=P ÀàÁà¿�Å©Ã R ¼²¿�Ä�Å T�U ¼�¾3Àz¼�ÚSÂñ¿ U »�¼`½¾M¿`À�¿�Á� U ÂLÀy¿�ÃM¿�Ä©¼ RSP Â�¼�×��/Ç�Í P ÀV½mÜ Â Ë Ä Æ P ¿�ÄÈÅ U Ë Y ר¼�Àq»�Í�ÅÈÇÎÍØ»yÂ&Ã�ÂLÂLÆß¿ ÀΠT�P Ä U ¼SÃ+ÇL¼SÁ�¾3ÄÈ U ÂÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê ÅÈÄ©Å U Ë ¼�×�Á�¼/Æ P Ä©Â T�Ó º­¼ U Í�Å T ÂLÃ�Æ Y Å©Ã��/ÂLÇ U ÅȼSà T�W ¿�Ã�Æ X »�ÂØ¿�Æ3¿`¾ UªU Í�µÁ� U Í�¼/Æ T¼�׳Ï}û²¿)ÐQ¿SÃ�Æ Ï � Ð U ¼ Ç�ÄÈ¿ T�T Å©× Ë U Í�ÂØî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T »�Í�ÂLà á â ÿAC Å T

������� �������� ����������� ��!"�#���%$'&( �)�)� *+�) ����,-/.10 nmpxoq~�n¨�32"45167498:2�;zh<6 � 8=2�;Îh<67>98@?@2�A%> � �B �AtLi�~��LlutL|�nm{@~��§±�r�|��5�}i�jk��iA�­p lutQ��nm~zl�p}lu��jki�{��k�k�`|�n¨lA��n�|�o�C­¦@DFENnm~�r�l%GIHKJú¦7L9MM4 � 22�M@8NCN¦@OPE�nm~�r�lG�JQHRORM �S w � 2uwT2uw �� ;74@8�~�rkj lutLiôtL|�{m�)p l�~��xp lI� |��úlutLiPJ&~ÎlutLi�oq~Îl�px�V~��=¦��Vp}izrk�bi�{UAAi�{�i�~�nm�§tWV¨r�{¨l�p}lu��lmi785EiVnm±�i��}ib�L�

�M�k�`i�{�iblA���YX[Z]\²wI�@^ _2

Page 2: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

� E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� CÃ�¼ U ¿ÖÀz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Ó Ü Â P�T ÂÕ¿ØÉ P ¿Sà UzP Á��q¿ T ÅÈÁ�ÅÝÀ&¼�¾ Â�Àο U ¼�À U ¼Ö¾�Àz¼kÚS U Í3¿ U ¿�Ä©Ä­î3Ã�Å U Â�½Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ¼SÃ�»�Í�Å©Ç�Í �å�� é U Í� T�P Ê ¿SÄ R Â Ê À�¿ R ÂLÃ�ÂLÀο U ÂLÆ Ê[Ë U Í� R Àz¼ P ¾3ÄÈÅÝÌSÂÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT í ¿�Ç UzT¥T ÂLÁ�Å T Å©Á�¾3Ä Ë ¿`ÀzÂ�ÇL¼²Á�¾3Ä©Â U ÂLÄ Ë ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê ÄÈÂ Ó º�Í� T ÂyÀz T�P Ä UzT Í�¼SÄÈÆ�ÂLÉ P ¿�Ä©Ä Ë »�ÂLÄÈÄר¼�À å Ó º�Í�ÂØÍ Ë ¾ ¼ U Í� T Å T ¼Sà �å�� Å T Ã�Â�ÇL T�T ¿�À Ë ø Ã���ÂLÁà¿�À�Ì X/Ó Ò Y »yµ¾�Àz T ÂLà U Â�ó�¿�Á�¾3Ä©Â T¼�×yî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�ÄAÁà¼£Æ P Ä©Â T=U ÍM¿ U ¿`ÀzÂÕÃ�¼ U ÇL¼²Á�¾3Ä©Â U ÂLÄ Ë ÀzÂ�Æ P ÇLÅ Ê Ä©Â Ó º�Í� T Â�Â�ó�¿�Á�¾3Ä©Â TÂ�ógÅ TVU Ê ÂLÇ�¿ P�T  U Í� U »�¼`½m¾E¿`Àο�Á� U Â�ÀqÉ P ¿�à UÎP Á R Àz¼ P ¾ T ÇL¼Sà U ¿�Å©ÃØÁ�¼SÀz R Àz¼ P ¾3Ä©ÅÝÌSÂ=ÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzTU Í3¿Sà U Í�ÂLÅÝÀ�¼²Ã�Â�½m¾M¿`À�¿�Á� U ÂLÀ�ÇL¼ P à U Â�À�¾M¿`À UzT�Óº�Í�ÂyÇL¼²Ã TVU À P Ç U Å©¼SÃ�¼�× U Í�ÂyòQ½�Áà¿ U ÀzÅÝó Y »�Í3Å©ÇÎÍ ¾�Àμ�Ú/Å©Æ� T ¿�Ã�Å T ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á ò� �� ç ������

��������� � ×I¼SÀ�¿SÃ Ë U »y¼ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T � þ � � ũóÇ�¿ U  R ¼�À Ë�� é Æ�Â�î3Ã�Â�Æ�Å©ÃU�/Â�Ç U Å©¼Sà X í Y Å TT�P ÁàÁà¿`ÀzÅ���ÂLƪũÃU�/Â�Ç U Å©¼SÃ� Ó¥Ô Ã U Í� U ÂLà T ¼�À­¾7¼k»yÂ�À"!�#%$�¼S× U Í�Â�Ã3¿ UÎP Àο�Ä[Á�¼/Æ P Ä©Â&! é »�Í�Å©Ç�ÍÅ T Æ� T ÇLÀzÅ Ê ÂLÆÖÅ©ÃP�/ÂLÇ U ÅȼSÃ�Ñ í YMU Í� U Àο�à T ×I¼�ÀÎÁà¿ U Å©¼²Ã T ò(' ü ø Æ #*) ' ÿAC,+ � ò�- ç - � ø Æ #*).$ ÿ ' ÿ5C,+é Ñ0/21�354 í ÇL¼SÁ�Á PgU ³»�Å U Í U Í�Â�¿�Ç U Å©¼SÃ�¼�× �å Y ¿�Ã�Æ T ¼ U Í�Â Ë R ÂLÃ�Â�À�¿ U Â�¿ T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àοà¼�×6 Ã3Æ�78 é !9#:$ í Ó º�Í3Å T Ë Å©ÂLÄ©Æ T ¿�Áà¿`¾ñ×:ÀμSÁ U Í3 U »�¼`½m¾E¿`Àο�Á� U Â�À�ÞQÂLÇzÌS³¿�Ä R Â Ê Àο<; $ é ákþ â í U ¼6 Ã3Æ�78 é ! #:$ í ÓNø à U Í�Â�î3ÃM¿�Ä T Â�Ç U Å©¼Só»yÂQ¾�Àz¼kÚSÂQ¿ U »y¼`½m¾M¿�Àο�Á� U Â�À^¿�Ã3¿SÄ©¼ RSP Â�¼�× �/ÇÎÍ P ÀV½mÜ�Â Ë ÄÆ P ¿SÄ©Å U Ë º�Í3 U À�¿�à T ר¼�ÀzÁà¿ U Å©¼Sà T ò ' R ÂLÃ�ÂLÀο U  U Í�Â�Ç�ÂLà U Àο�Ä©Å���Â�À�¿�Ä R Â Ê Àο 6 Ã�Æ�78 é !9#:$ í Y ¿�Ã3ÆÅ©Ã�Ç�¿ T Â>=@?A4 Y3U Í3Å T Ç�ÂLà U Àο�Ä©Å���Â�À�¿�Ä R Â Ê Àο�Å T Å T ¼SÁà¼�À�¾3Í�ÅÈÇ U ¼0; $ é ákþ â í Ó º�Í�Â�¾�Àz¼/¼�×�¼�× U Í�Å TÀz TzP Ä U Å T ÂLÄ©Â�Á�ÂLà U ¿`À Ë Y ÀzÂ�Ä Ë ÅÈà R ¼SÃ�Ä Ë ¼²Ã Ê ¿ T Å©Ç&×�¿�Ç UzT ¿ Ê ¼ PgU ÀÎÂ�¾�Àz T ÂLà U ¿ U Å©¼Sà T ¿SÃ�Æ+Â�ó/¾3Ä©ÅÈÇLÅ UÇL¼SÁ�¾ PgU ¿ U Å©¼Sà T ¿SÃ�Æ�Å T Ã�Â�» Å©Ã U Í3Â�¼²Ã�Â�½m¾M¿`À�¿�Á� U ÂLÀAÇ�¿ T Âq¿ T »yÂLÄ©Ä é Ç�¼SÁ�¾M¿`ÀÎÂQÏ ã�BI� Y ã P Y ûSÅ W/YC º Y �D�qÐ í Ó º�Í3Â�¾3Àz¼/¼�×@Å©Ã U Í�ÂE=F?G4ÕÇ�¿ T ÂQÅ T�T Å©Á�Å©ÄÈ¿�À U ¼³¼SÃ3Â�ר¼�ÀqÇLÄÈ¿ T�T Å©Ç�¿SÄ é Ã�¼SÃ3É P ¿Sà UzP Á í�/Ç�Í P ÀV½mÜ Â Ë Ä�Æ P ¿SÄ©Å U Ë R ÅÝÚSÂLÃ Ê£Ë ã&Â0�y¼SÃ�Ç�Å©Ã�Å�¿�Ã�ÆHB¥Àz¼/ÇL T ÅqÏ ã�B�Ð ÓAøuU Å T ¿ÖÇL¼Sà T ÂLÉ P ÂLÃ�ÇL ¼�×¼ P À�Àz T�P Ä ULY �5ÂLÁ�Áà¿JI Ó�W Ê ÂLÄ©¼k» Y/U Í3¿ U !�#%$�Å T ¿�Ç Ë ÇLÄ©ÅÈÇ �å ½�Á�¼/Æ P ÄÈÂ&Å©Ã U Í�Å T Çk¿ T  Ӻ�ÍgÀμ P�R Í�¼ PgU »yÂú»�Å©Ä©ÄE»�¼SÀ�ÌÖ¼�ÚSÂ�ÀQ¿�Ã+¿�Ä R Â Ê Àο�ÅÈÇ�¿�Ä©Ä Ë ÇLÄȼ T ÂLƵî3ÂLÄÈÆLK Ó

MONQPJR�4 1TS²8VU�8I> 9A4 8I13JW ÅÝÀ T�U »yÂyÀzÂLÇ�¿SÄ©Ä U Í�ÂyÆ�Â�î3Ã�Å U Å©¼Sà T ¼�× U Í3 U »y¼`½m¾M¿`ÀοSÁ� U Â�ÀNÉ P ¿�à UzP Á R Àz¼ P ¾ T ×:Àz¼²Á Ï}Û�Ü W Ð Y

¿�Ã�Æ T ¼SÁ�Â Ê ¿ T Å©Ç T ¿ Ê ¼ PgU�U Í�ÂLÅ©À�ÀÎÂ�¾�Àz T ÂLà U ¿ U Å©¼Sà T�Ó �A UEX C þZYZYZY)þ[X ð Æ�Â�Ã�¼ U Â=¿�ÃÖ¼�À U Í�¼SÃ�¼�ÀÎÁà¿�ÄÊ ¿ T Å T ¼�×@¿ 6 P Ç�Ä©Å©Æ�Â�¿Sà T ¾M¿�ÇLÂ]\$»�Å U ͵¿�ÃàÅ©Ã3Ã�Â�À�¾�Àμ£Æ P Ç U]^¥þ&_�Ó �5 Ua` ü�bOcedQüAX,dgfhXidkj Cmln ü Ñ þZYZYZYkþ = f Ñpoª¿�Ã�Ærq ü5bsX ' fFXid l Ñ�/t1]uü n0/@=�o Ó º�Í�ÂLÃhq!Å T ¿�î3Ã�Å U Â�Àz¼/¼ UqT Ë TVU ÂLÁ¼�× U Ë ¾ Â O ð ÿ5C »�Å U Í ` ¿ Ê ¿ T Â&¼�× T Å©Á�¾3Ä©Â=Àμ£¼ UzT�ÓW Å�óØÃ�¼SÃv�LÂLÀz¼³ÂLÄ©ÂLÁ�Â�à UzTyá)þ â�Å©ÃwK »�Å U Í á uü â Ó�A U �å ü åNæ�ç}èké � ëxð�í Ê Â U Í� P Ã�Å U ¿�Äg¿ T�T ¼/ÇLÅÈ¿ U ÅÝÚSÂ^¿SÄ R Â Ê À�¿�¼kÚSÂ�À*K R ÂLÃ�Â�À�¿ U ÂLÆ Ê[Ë ÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT

x d þ�y d þ é Ñ>/zn03@= í Y ¿�Ã�Æ|{~} C' þg� } C' é Ñ�/@1�/@= í Y »�Í�Å©Ç�Í T ¿ U Å T × Ë U Í�Â�ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã R ÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà T�Óé �ªÑ í º�Í3Â>{~} C' þm� } Cd ¿�Ä©Ä ÇL¼²Á�Á P�U Â=»�Å U ÍÖ¼²Ã�ª¿�Ã�¼ U Í�Â�À�¿�Ã�Æ�{ ' { ÿAC' ü���dO� ÿ5Cd ü Ñ þé � W í { ' x d�ü�á������ ç �p�[� x d { ' ¿�Ã�Æ { ' y�dQü�á/ÿD����� ç ����� y�d { ' þé � X í � ' x d�ü â ����� ç �p�[� x dO� ' ¿�Ã�Æ � ' y�d�ü â ÿ������ ç ����� y�d�� ' þé �] í Ï x ' þ[y�d Ð ü � ' ç dá�f â é { ' � ' j C f { ' j C � ' í þé �m� í Ï x ' þ x d Ð ü Ï y ' þ[y�d Ð ü Z Å©× l 1 f n l~� Ñ þé �EI í xO�' x ' j C f é á&� â í x ' x ' j C x ' � á â x ' j C xO�' ü�Z/þ

x ' x �' j C f é á�� â í x ' j C x ' x ' j C � á â x �' j C x ' ü�Zgþé �m� í y �' y ' j C f é á/ÿ5C�� â ÿAC í y ' y ' j C y ' ��á/ÿAC â ÿ5C[y ' j C y �' ü Z/þy ' y �' j C f é á/ÿACg� â ÿ5C í y ' j C y ' y ' j C � á/ÿ5C â ÿ5Cky �' j C y ' ü Z�Y

Page 3: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 6

Ü Âq»�Å©Ä©Ä Ê Â�Å©Ã U Â�Àz TVU ÂLƳũà U Í� T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àο å ü åNæ�ç}èké©êgëxð�í ¼�× �å ü å­æzç è)é � ëxðgí R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆÊ£Ë U Í�Â&ÂLÄ©ÂLÁàÂLà UÎT x d�þ[y�d`Y��:d�Y ¿�Ã�Æ � �d é Ñ�/Fn03 = í Y »�Í�Â�ÀzÂ

é Ñ Ó Ñ í �:d�ü { dO��dkj C ¿�Ã�Æ � �d ü { dkj C ��dpYº�Í� T Â&ÂLÄ©ÂLÁàÂLà UÎTqT ¿ U Å T × Ë é �m� í ½ é �m� í ¿SÄ©¼Sà R »�Å U Í U Í�Â=ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã R ÀzÂ�ÄÈ¿ U Å©¼²Ã T é ��Ñ�ä í º�Í3 � } C' þ�� } Cd ¿SÄ©Ä ÇL¼SÁ�Á PgU Â=»�Å U ÍÖ¼SÃ�Âú¿SÃ�¼ U Í�ÂLÀq¿SÃ�Æ � ' � ÿ5C' ü�� �d é � �d í ÿAC�ü Ñ þé � W ä í � ' x d�ü�áQ����� ç �p� � â ����� ÷ ç ����� x d�� ' ¿�Ã�Æ � ' y�d�ü�á/ÿD����� ç �p� � â ÿD����� ÷ ç ����� y�d�� ' þé � X ä í � �' x d�ü�áQ����� ÷ ç ����� â ����� ç ����� x d�� �' ¿�Ã�Æ � �' y�d�ü�á/ÿD����� ÷ ç ����� â ÿ������ ç ����� y�d�� �' Yé �E gä í Ï x ' þ[y�d Ð ü � ' ç dá�f â é � ' f�� �' í YÜ�Í�ÂLà áÕü ý ¿�Ã�Æ�â ü ý[ÿAC�Y U Í�Â�¿�Ä R Â Ê Àο å æ�ç}è é � ë ð í Á�¼/Æ P Ä©¼ U Í�³ũÆ�Âk¿�Ä R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆ Ê£Ë

U Í�Â=ÂLÄÈÂLÁ�ÂLà UzT&� ' f { ÿ5C' Y Ñ�/ 1a/ = Y Å T� �P�TVUyU Í�Â=É P ¿�à UzP Á R ÂLÃ�ÂLÀο�Ä3ÄÈÅ©Ã�Â�¿`À R Àz¼ P ¾ å�õSé � ësðgí Y¿�Ã�Æ å­æzç è)éÝêgëxð3í Á�¼/Æ P Ä©¼ U Í�ªÅÈÆ�Â�¿�Ä R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆ Ê£Ë U Í�Â�ÂLÄ©ÂLÁ�Â�à UzT�� �d f�� ÿACd Y Ñ</ nr3 = Y Å TåNõ²éÝêgëxð�í Óº�Í� ¿�Ä R Â Ê Àο T �å ¿�Ã�Æ å ¿`ÀÎÂ�ÞQ¼�¾�׳¿�Ä R Â Ê Àο T�Y »�Í�Â�Àz U Í3 {�} C' þ[� } C' ¿`Àz R Àz¼ P ¾g½�ÄÈÅÝÌSÂ

ÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT�Y ¿�Ã�Æ U Í3Â&ÀzÂLÁà¿SÅ©Ã�Å©Ã R ÞQ¼�¾�× TVU À P Ç UzP ÀzÂ=Å T�R ÅÝÚSÂLà ʣË

é Ñ Ó�W í � é x ' í ü x ' � Ñ ��� ' � x ' þ � é y ' í ü Ñ � y ' � y ' � � �' þ� é x ' í ü � é y ' í ü�Z/þ � é x ' í ü f�� ÿ5C' x ' þ � é y ' í ü5fEy ' é � �' í ÿAC Y

�A U�� ü��]X C���������� �]X ð Y3U Í�Â=»yÂLÅ R Í U ÄÈ¿ U�U Å©ÇLÂQ¼�× � ësð Y ¿�Ã�Æ � ü�� q U Í3Â=Àz¼/¼ U ÄÈ¿ U�U Å©ÇL ÓÜ Â�¿ T�T�P Áà � Å T Â�É P Å©¾�¾ ÂLÆ�»�Å U Í U Í�ÂÖ¾M¿�À U ÅÈ¿�Äq¼SÀzÆ�Â�À�Å©Ã�»�Í�Å©Ç�Í"! /$#�ÅÝ×ú¿�Ã�Æ�¼SÃ�Ä Ë ÅÝ×# f !&%(' ð ÿAC'*) C �,+ � c ' Ó �y¼SÀ�Àz T ¾ ¼SÃ3Æ�Å©Ã R�U ¼-#.% � Å T ¿�õ¿�Ä R Â Ê Àο&Í�¼²Á�¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á$/#Õ×IÀz¼SÁU Í� TzP Ê ¿�Ä R Â Ê Àο �å � ¼S× �å R ÂLÃ�ÂLÀο U ÂLÆ Ê£Ë U Í3Â&ÂLÄ©ÂLÁ�Â�à UzT {�} C' þ[� } C' é Ñ�/ 1a/ = í U ¼<K R ÅÝÚSÂ�ÃÊ£Ë

é Ñ ÓsX í /# é { ' í ü!á ����� ç 0s� ¿�Ã�Æ /# é � ' í ü â ����� ç 0 � Yº�Í�Â^Àz T�U ÀzÅ©Ç U Å©¼Sà /# å �m� K�¼�× /# U ¼ U Í� TzP Ê ¿�Ä R Â Ê Àο å � ¼�× å R Â�Ã�Â�Àο U ÂLÆ Ê£Ë � } Cd þ é � �d í } Cé Ñ�/znJ3t= í T ¿ U Å T î3 T

é Ñ Ó í /# é �%d í ü�á ��� ��ç 0s� â ��� � ÷ ç 0s� ¿�Ã�Æ /# é � �d í ü�á ��� � ÷ ç 0 � â ��� ��ç 0s� Y�/Å©ÁàÅ©ÄÈ¿`ÀzÄ Ë ×I¼SÀ å ü åNæ�ç è)éÝêgë}ð3í Y »�Â�Ä©Â U1�32543ü���6 C7�������8� ��6 ð ÿ5C Y3U Í�Â&»yÂLÅ R Í U ÄÈ¿ U�U Å©ÇLÂ=¼�×êgëxð Y »�Í3Â�Àz 6 ' Å TqU Í�Â=× P Ã�Æ3¿SÁ�ÂLà U ¿�ÄE»�Â�Å R Í U

6 ' ü�X C � ����� � X ' f1=ð9d ) C

XidpY

Page 4: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

S E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� Cø ×3»yÂyîgó�= U Í Àz¼/¼ UÎTAá/C�� ð ¿�Ã�Æ�â C�� ð ¼�× á ¿�Ã�Æàâ Y Àz T ¾ ÂLÇ U ÅÝÚSÂLÄ Ë Y)U Í�Â�ê»yÂqÁà¿ Ë Æ�ÂLî3Ã�Ây¿�Ä R Â Ê ÀοÍ�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á T /# å �]� K Ê£Ë é Ñ Ó í ר¼�À�¿SÃ Ë # % � 254IÓ

�A U � Ê Â�¿�Á�¼/Æ P ÄÈÂq×I¼SÀ �å ü å­æzç è)é � ësð/í ¼�×@Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã��J3�� Ó�O�T K$Å T ¿�Ä R Â Ê Àο�Å©Ç�¿SÄ©Ä ËÇLÄ©¼ T ÂLÆ Y »yÂúÍ3¿�ÚSÂ

� ü�� � þ»�Í�ÂLÀzÂ�Â�¿�Ç�Í�� �å�� � K Å T ¿�Ã�¿�Ä R Â Ê ÀοµÍ�¼²Á�¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á Y ¿SÃ�Æ � Å T=U Í� R Â�Ã�Â�Àο�ÄÈÅ��LÂLÆÂLÅ R ÂLà T ¾M¿SÇL R ÅÝÚSÂLà ʣË

é Ñ Ó � í � ü�b� % � l é { ' f � é { ' í Ñ í�� ü Zªü é � ' f � é � ' í Ñ í�� þ ×I¼�ÀQ¿�Ä©Ä 1 o YÜ�Í�ÂLà � uü�Z »� T ¿ Ë U Í3¿ U ��Å T ¿�����������M¿�Ã3Æ � Å T�U Í�Â�Ç�¼�À�Àz T ¾7¼²Ã�Æ�Å©Ã R ������������! #"%$&� Óé ø × � Æ�ÂLÇL¼SÁ�¾7¼ T  T Å©Ã U ¼ R Â�à P ÅÈÃ�Â&ÂLÅ R Â�à T ¾M¿�Ç� T ÀzÂLÄÈ¿ U ÅÝÚS U ¼ �å��Õé Àz T ¾ Ó å(�kí Y3U Í3ÂLÃÖ»y T ¿ ËU Í3¿ U �å(�àé Àz T ¾ Ó å���í "'$(�)�*�+�+,-�.�/�0,1 32547698 � Ó íW ÀμSÁ ÀzÂLÄ:¿ U Å©¼Sà T é � W í ¿�Ã�Æ é � X í »yÂúÆ�Â�Æ P ÇL U ÍM¿ U

é Ñ Ó I í x d �7: � #;=<�p�

y�d � 7: � >; )&?ÿ �p� + þ»�Í�ÂLÀzÂA@ c�d Å T ¿ T ÅÈà é Ñ ÓsX í Y ¿�Ã3ÆB� �DC Å T=U Í�³Í�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á »�Å U ÍôÚ�¿�Ä P  T é � �EC í�é { ' í ü� é { ' í C é { ' í ¿�Ã�Æ é � �9C í�é � ' í ü � é � ' í C é � ' í Ó+ø à ר¿�Ç ULY ÅÝ× é { ' f � é { ' í Ñ í $ �ü Z/Y�U Í�Â�ÿ`¾�¾MÄ Ë ÅÈà R ÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà é � W í Ë Å©ÂLÄ©Æ T é { ' f � é { ' í á ����� ç �p� � Ñ í $ x d+ ü Z/Y ¿�Ã�Æ T ÅÈÁ�Å©ÄÈ¿`ÀÎÄ Ë ×I¼SÀ � '¿�Ã�Æ�×I¼�À y�d`Ó º�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz Y@U Í� T�P Á"¼�×qÂLÅ R Â�à T ¾M¿�Ç� T Å T ¿ TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈ ¼S× � Y ¿�Ã�Æ�Å©× � Å TT Å©Á�¾3Ä©Â YMU Í�Å TQT�P Á Á P�TVU Ê Â � Å UzT ÂLÄÝ× Ó º�Í P�T Å©Ã é Ñ Ó � í Y »y³Áà¿ Ë ÀzÂ�¾3Ä:¿�ÇL U Í�Âú¾ ¼k»�Â�ÀF� Ê£ËÑÕ»�Í�ÂLÃ�ÂLÚSÂ�À � Å T�T ÅÈÁ�¾3Ä©Â Y ¿�Ã�Æ �å � Á P3TVU ¿SÇ U�T Â�Á�Å T Å©Á�¾3Ä Ë Å©Ã U Í�Å T Çk¿ T Â Ó Ü ÂÖ¿�Ä T ¼+Ç�¿SÃT ÂL ×IÀz¼SÁ é Ñ Ó I í U ÍM¿ U ר¼�À&Â�¿�Ç�Í T Å©Á�¾MÄ©Â � U Í�Â�ÀÎÂ�Å T ¿µÍ�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T ÁG� T ¼ U Í3¿ U ¿�ÄÈÄ U Í3»yÂLÅ R Í UzT ¼�× � ¿`ÀzÂú¼�× U Í�Â=ר¼�ÀzÁH� � /I Y »�Í�Â�Àz I %.� Óø§U Å TúT Í�¼k»�à ũÃ<Ï}Û�Ü W£Y B�Àz¼S¾ Ó�X/Ó �kÐ U Í3¿ U Å©× /I ü /J YAU Í�Â�à I ü J é I þ J % � í ¾3Àz¼�Ú/Å©Æ�Â�Æ

á â ÿ5C Å T Ã3¼ U ¿³Àz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Ó�OQT ¿³ÀΠT�P Ä U�Y »yªÍM¿LÚS U Í�Â=×I¼²Ä©Ä©¼k»�Å©Ã R ¾�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ã Ó

KFLEMONPMRQDS.TES0M3UWVRX)Y3X�Z)[�\7]'^B_ 69`�aFb�a)c�d�e7fg�+� � h �i"kjP8l�)�!�+m�no�0,��+8#�&�p698R"o2q,r6Dn9s�2t�vu�6o`å æzç è éÝêgë ð í 69`qu�6o` å æ�ç è é � ë ð í axw0u á â ÿ5C �0�r8R6'�*"�`y6(6o�*6yu�s�8>�)�z4 ^ �)�#�+8{�)�#�|�+2��+,���8l�)� x ' þ[y 'é Ñ�/ 1a3@= í "'$(�}8>�)2 #6o�!�+8l�z2~476o8 � aÜ�Í�ÂLà á â ÿ5C Å T Ã�¼ U ¿�Àz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Y ¿�î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä T Å©Á�¾MÄ©ÂØÁ�¼/Æ P Ä©Â � Å T ¿�%����>�/���F���+���9���qÁ�¼/Æ P ÄÈÂ Ê£Ë B�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ã�Ñ Ó � ¿�Ã�Æ é Ñ Ó I í Ó º�Í P�T�U Í�ÂLÀzÂØÅ T�T ¼SÁàÂÖ»�Â�Å R Í U

C ¿�Ã�Æ�¿�Ã�¼²Ãv�LÂ�Àz¼�ÚSÂLÇ U ¼�Àr� � % ��� T�P Ç�Í U ÍM¿ U x d � � ü Z ×I¼SÀµ¿�Ä©Ä�n ü Ñ þZYZYZY5þ = f Ñ Y¿�Ã�Æ � ü �å Y � � Ó$øuU ר¼SÄ©Ä©¼k» T ×IÀz¼SÁ U Í3ÂñÆ�ÂLî3Ã�Å©Ã R ÀzÂLÄÈ¿ U Å©¼Sà T�U Í3¿ U �å ÍM¿ T ¿ U ÀÎÅÈ¿�à RSP ÄÈ¿`ÀÆ�ÂLÇ�¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà �å ü å ÿ �å � å j Y »�Í�Â�Àz å j é Àz T ¾ ÓÝY å ÿ í Å T�U Í� T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àο R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆÊ£Ë U Í�Â�ÂLÄ©ÂLÁàÂLà UÎT x ' é ÀΠT ¾ ÓÝYEy ' í Ó$O ¾�¾3Ä Ë Å©Ã R U Í�Å T Æ�ÂLÇL¼²Á�¾ ¼ T Å U ÅȼSà U ¼�� � Y »� T ÂL U Í3¿ U� ü������'� � � ; )

<ÿ � + Y »�Í�ÂLÀz � j ü ' ð ÿAC'*) C �,+ � c ' Ó

Ü�Í�ÂLÃô¿�Ä©Ä U Í�Â�»yÂLÅ R Í UzT ¼�×^¿ØÁ�¼/Æ P Ä©Â � ¿`Àz ¼�× U Í�ªר¼�ÀzÁ /# Y »�Í�ÂLÀz # % ��Y U Í�ÂLÃñ×I¼�ÀÊ ÀzÂLڣŠU Ë »y T ¿ Ë U Í3¿ U � Í3¿ T »yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Ó ��¿ U Í�Â�À U Í3¿SÃñ»�ÀzÅ U Å©Ã R ���0 ×I¼�À U Í�³»�Â�Å R Í U

Page 5: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ >

T ¾M¿SÇL Y »y T Å©Á�¾MÄ©ÅÝ× Ë U Í�³Ã�¼ U ¿ U Å©¼SÃ Ê£Ë »�ÀÎÅ U Å©Ã R � 0 Ó�� ¼ U  U Í3ÂLà é Ñ Ó I í Ç�¿SÃ Ê Â³ÀÎÂ�»�ÀzÅ UzU ÂLÿ T x d � 0

: � 0 j �p� ¿�Ã�Æ y�d � 0 : � 0 ÿ ��� Ó&O Ã Ë T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Áà¼£Æ P ĩªÍM¿LÚ/Å©Ã R ¼SÃ�Â�»�Â�Å R Í UÅ©Ã � Í3¿ T ¿�Ä©Ä Å UzT »yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Ó� Â�ó U »� R ÅÝÚS ¿�Ã+Â�óg¿�Á�¾3Ä©Âú¼�×�¿ T Å©Á�¾MÄ©Â �å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â&»�Å U ÍÖ»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Y »�Í�ÅÈÇÎÍñÅ T�U Í3Â

¿�Ã3¿SÄ©¼ RSP Â=¼�× U Í�Â&ÃM¿ UzP ÀοSÄMÀÎÂ�¾�Àz T ÂLà U ¿ U Å©¼SÃà×I¼SÀ � ë ð Ó

����� U��#T L����L � N L � Q � UOT �>TDS)MOU�� MRL å æ�ç}è é � ë ð í �lU�� å æ�ç}è éÝêgë ð í X�y¼Sà T Å©Æ�Â�À=¿�à =7½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä ÚSÂLÇ U ¼�À T ¾M¿�Ç�Â<! ¼�ÚSÂ�À�K »�Å U Í Ê ¿ T Å T>b � d l Ñ0/Gn /�=�o ÓÜ Â&Æ�ÂLî3Ã�Â=¿�ÃÖ¿�Ç U Å©¼²ÃÕ¼�× U Í� R ÂLÃ�ÂLÀο U ¼�À T ¼�× �å ü åNæ�ç è)é � ëxð�í Ê£Ë T ¾ ÂLÇLÅÝ× Ë ÅÈà R&U Í�Â�ÅÝÀ�ÁÕ¿ U ÀzÅ©Ç� T

ÀzÂLÄ:¿ U ÅÝÚS U ¼ U Í�Å T Ê ¿ T Å T x dQü \ d ç dkj C þ y�d�ü \ dkj C ç dSþ é Ñ�/zn03@= í{ ' ü!á \ ' ç ' � 9

$��)�'\ $ ç $ þ é Ñ�/@1�/ = í

� ' ü â�\ ' ç ' � 9$��)e'

\ $ ç $ é Ñ�/t1a/@= í Y

ø§U ×I¼²Ä©Ä©¼k» TNU Í3¿ U�� d ü { d � dkj C ü!á \ d ç d � â�\ dkj C ç dkj C � ' $��) d ç dkj C \ $ ç $ ¿�Ã�Æ � �d ü { dkj C � d üâ�\ d ç d�µá \ dkj C ç dkj C � ' $��) d ç d[j C \ $ ç $ Ó­ø§U Áà¿ Ë³Ê ÂyÚSÂ�ÀzÅÝî3Â�Æ U Í3¿ UNU Í�Å T Â�ó U ÂLÃ�Æ TNU ¼ú¿SÃà¿�Ç U ÅȼSü�× �å é Í�ÂLÃ�ÇLÂ=¼�× å ü å­æzç è)éÝêgëxð�í�í�� U Í3¿ U Å T�Y ÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà T é �ªÑ í��7é �m� í Í3¼SÄ©Æ Óø§U ר¼SÄ©Äȼ�» T ×IÀz¼SÁ U Í�ÂQ×�¿�Ç U�U Í3¿ U { 'z� d ü�á ����� ç � ��� � d ¿�Ã�Æ � 'z� d ü â ����� ç � � � � d ×I¼�À�¿�ÄÈÄT1 þ n U Í3¿ U� d ÇL¼SÀ�Àz T ¾ ¼SÃ3Æ TqU ¼ U Í�Â�»�Â�Å R Í U�X,d�ü X C f é c C � ����� �Gc�d ÿAC í Ó º�Í P3T�Y ! ü � ðd ) C ! � � Å TU Í�ÂQÃ3¿ UÎP Àο�ÄE¿�Ã3¿�Ä©¼ RSP Â�¼S× U Í�ÂE=7½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�ÄgÀzÂ�¾3Àz T ÂLà U ¿ U Å©¼SÃ�¼�× � ëxð ¿SÃ�Æ êgësð Y ¿SÃ�ÆØÅ U Å T ¿

T Å©Á�¾3ĩªÁà¼£Æ P Ä©Â&ר¼�À Ê ¼ U Í �å ¿SÃ�Æ å Ó Ü�Í�Â�à á�ü$ý ¿�Ã�Æ â ü$ý[ÿ5CLY%� ' ¿�Ç UzT ¿ T { ÿAC' ¼SÃH! Y¿�Ã�Æ T ¼�!$Å T ¿ Á�¼/Æ P Ä©Â�×I¼�À U Í�ÂQÉ P ¼ U Å©Â�à U åNõ�é � ësðgí ¼�× å õ�ç õ�ö[÷ é � ëxð�í Ê£Ë U Í�Â�Å©Æ3Â�¿�Ä R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆÊ£Ë � ' f { ÿAC' é Ñ�/@1a/ = í Ó º�Í�Å T Å T�U Í�Â�ÃM¿ UzP ÀοSÄ£Áà¼£Æ P Ä©Âyר¼�À U Í�Â�¼SÃ�Â�½m¾M¿�Àο�Á� U Â�À�É P ¿Sà UzP ÁR Àz¼ P ¾ åNõSé � ëxðgí Y ¿�Ã�Æß¿SÃ+¿�Ã3¿�Äȼ R ¼ P�TyTVU ¿ U ÂLÁ�Â�à U Å TqU À P Â=ר¼�À åNõ�é©êgëxð�í Ó

M��P���SS95JkJL8��/8I¹M9�B78I25>�2����£8I>@8IB71��z·A8VU�13>AJL8¨2A>@9%SÖJL8VU�KvS[1 UQ25·A¸:S[13JÔ × U ÂLÃ+Àz T�P Ä UzT »�Å©ÄÈÄ Ê Â TVU ¿ U ÂLÆß¼SÃ3Ä Ë ×I¼SÀ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â TLY Ê PgUQR ÂLÃ�Â�À�¿�Ä©Ä Ë Â�ÚSÂ�À Ë U Í�Å©Ã R Í�¼SÄ©Æ T

¿ T »yÂLÄ©Ä7ר¼�À å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T�Ó Ü Â&»�ÅÈÄ©Ä7Å©Ã�Æ�Å©Çk¿ U Â�»�Í�Â�Àz U Í�Â�ÀzÂú¿`ÀÎÂúÆ�Å!  Â�ÀzÂLÃ3ÇL T Å©Ã U Í� U Í�ÂL¼�À Ë Ó�A U �å + � Æ�ÂLÃ�¼ U  U Í� T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àο�¼�× �å R ÂLÃ3Â�Àο U Â�Æ Ê£Ë { ' þ[� ' é Ñ�/@1a/ = í ¿�Ã�Æ x ' é Ñ�/

1�3 = í Ó �5 U C Ê Â�¿SÃ Ë ¿�Ä R Â Ê ÀοÕÍ�¼SÁ�¼²Á�¼�À�¾3Í3Å T Á ×:ÀμSÁ �å(� U ¼wK ¿SÃ�Æz! � Ê Â U Í�Â�¼SÃ�Â�½Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä �å + � ½�Á�¼/Æ P ÄÈÂú¼SÃñ»�Í�Å©Ç�Í x ' ¿�Ç UzT ¿ T Á P Ä U ÅݾMÄ©Å©Ç�¿ U Å©¼Sà Ê[Ë Z é Ñ</ 1�3G= í Y ¿�Ã3Æ�å � ¿�Ç UzT Ú/ÅÈ¿ C Ó Ü Â�Æ3Â�î3Ã� U Í�Â#"l��`�,r"A,r6Dn9s�2t� � é C í »�Å U ͵Í�Å R Í3 TVU »yÂLÅ R Í U C U ¼ Ê Â U Í3Â�å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â&Å©Ã�Æ P ÇLÂLƵ×IÀz¼SÁ ! � Y�U Í3¿ U Å T

� é C í ü �å � 78%$'& !� Y

�A U � � ü Ñ � � % � é C í Y »�Í�Â�ÀzÂq�àÅ T ¿�Ã Ë Ã�¼SÃT�LÂ�Àz¼ªÚSÂLÇ U ¼�Ày¼�×D! � Ó º�Í�Â�à x ' Y � � ü�Z é Ñ�/1a3 = í ¿�Ã�Ær{ Y � � ü C é { í � � ×I¼�ÀQ¿�Ã Ë { % �å�� Ê[Ë ÇL¼²Ã TVU À P Ç U Å©¼Sà Ó� ¼ U Å©ÇL U Í3¿ U �å � ¿�Ç UzT�T Â�Á�Å T Å©Á�¾3Ä Ë ¼²Ã � é C í Ê[Ë ÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà T é � W í ¿�Ã�Æ é � X í Ó�ø ×)( Å T ¿�å ½ TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈÂ�¼�× � é C í Y­U Í�ÂLÃ*( Å T ¿�Ä T ¼+¿ �å � ½ T�P Ê Áà¼£Æ P Ä©Â�¼�× U Í� �å � ½�Á�¼/Æ P Ä©Â � é C í Y

Page 6: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

; E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� C¿�Ã�Æ T ¼ �å � ¿�Ç UzT�T ÂLÁàÅ T Å©Á�¾MÄ Ë ¼Sà ( ¿ T »yÂLÄ©Ä Ó(ø × ( Å T ¿x O`y6� >��` T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y Å U Á P�TVUÊ Â U Í3¿ U ( � '�� �o� ���� �� � é C í � ; ) <ÿ � + Ê£Ë é Ñ Ó I í Y ¿ T � é C í � ü K � � R Â�Ã�Â�Àο U  T � é C í Óº�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz � é C í Í3¿ T ¿ P Ã�Å©É P Â�Áà¿`ó/Å©ÁÕ¿�Ä T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y Ã3¿�Á�Â�Ä Ë U Í3 T�P Á ¼�×y¿�Ä©ÄN¾�Àμ�¾ Â�ÀT�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â TLY ¿�Ã�Æ�¿ P Ã�Å©É P  T Å©Á�¾3Ä©ÂÖÉ P ¼ U Å©Â�à ULY� é C í Ó�ø à ×�¿�Ç ULY ¿�Ä©ÄyîMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�ÄT Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â T ¿`ÀÎÂ&¼�× U Í�Å T ר¼�ÀzÁ Y ¿ T�U Í�Â=ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã RªU Í3ÂL¼�ÀzÂLÁ Æ3ÂLÁ�¼Sà T�U Àο U  T�Ó

����� MRL � � � X)VOX f �+� C �å(� � K h �|"o8 "92=�%� h `y"x�#69,r69,r6o` R�%�0�&,raif �+� � h � " �å m,r6(nos�2�� ^ 6o8i� ���z$+� �å � "'$��)� �+�+,-�.�/�0,1 3254 "o8Rn7� ���z$+�x$ 6o8l� "9�)8#��"78R6o8��(�+`y6x�+2��+,���8l� %� � �/s#$+�r�)��"'� x ' Y= ü Z u�6o` "92)2p1 é Ñ�/ 1�3@= í a��g�#�+8 �)�>��` �q�.�q" s�8>���+sl� ��6o,r69,r6o`! O�%�0�&,6�u �å m�,r6(n9s�2t�/��� ~� é C í ��� �P�)�)��� é � � í ü a w&8 #"o`+�z�z$�s�2�"9` ^ � u á â ÿ5C �0�F8R6o��" `y6(6'�6�u s�8>�z�z4 "o8Rn � �0� "qjP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"923�/�0,1 32�� �å m�,r6(nos�2�� ^ �)�>��8 ���ü é C í u+69` �+69,�����+���9��� C a� `y6D6�u+aQÛ Ë U Í�ÂÕÍ Ë ¾7¼ U Í� T Å T ¼Sà Y K Å T ¿ñ¼SÃ�Â�½�Æ�ÅÈÁ�ÂLà T ÅȼSÃ3¿�Ä �å + � ½ T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Âà¼�× � YÇL¼Sà T Å©Æ�Â�ÀÎÂLÆ-¿ T ¿ �å + � ½�Á�¼/Æ P ÄÈÂ Ê£Ë Àz T�U ÀzÅ©Ç U Å©¼SÃ Ó ø à ר¿SÇ ULY ÁÕ¿`¾�¾3Å©Ã R � � U ¼ Ë Å©ÂLÄ©Æ T¿ �å + � ½�Í�¼SÁ�¼²Á�¼�À�¾3Í3Å T Á ×IÀz¼SÁ�! � U ¼tK Ó Û Ë U Í3Â�Æ�ÂLî3Ã�Å U ÅȼSÃ�¼�× � é C í Y »yÂ�Í3¿LÚSÂÞQ¼SÁ 78 é � é C í þ � í �ü ÞQ¼SÁ 78%$'& é ! � þ � í Y^T ¼ U Í3Â�ÀzÂØÅ T ¿ P Ã3Å©É P  �å ½�Á�¼/Æ P ÄȵÍ3¼SÁ�¼SÁ�¼SÀV½¾3Í�Å T Á�� � é C í � � »�Å U Í�� é � � í ü Y Ã3¿�Á�ÂLÄ Ë � é�� � � í ü � Y= ×I¼SÀ�¿�Ä©Ä � % �å ÓW ¼SÀ U Í� î3Ã3¿�ÄN¿ T�T ÂLÀ U Å©¼Sà Y Ã�¼ U  U Í3¿ U �å(� ¿�Ç UÎTQT ÂLÁ�Å T ÅÈÁ�¾3Ä Ë ¼Sà ¿�Ã Ë îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä

T Å©Á�¾3Ä©ÂúÁ�¼/Æ P Ä©Â � Y ¿SÃ�Æ Ê£Ë é Ñ Ó I í ¿�Ã�Æ B�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ã Ñ Ó � Y3U Í�Â�ÀzÂ�Å T�T ¼²Á�Â�Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ�ÚSÂLÇ U ¼SÀ % ��� T�P Ç�Í U Í3¿ U x ' Y= �ü Z é Ñr/ 1<3 = í Ó Û Ë U Í3Â�î�À TVU ¾M¿`À U�Y � Å T ¿ßÉ P ¼ U Å©ÂLà U ¼�×� é C í Y ¿�Ã�Æ T ¼ � �ü é C í Y ¿ T� é C í Å TqU Í� P Ã�Å©É P  T Å©Á�¾MÄ©Â&É P ¼ U Å©ÂLà U ¼�× � é C í Ó��OQT ¿ T ¾ ÂLÇ�ÅÈ¿�Ä@Ç�¿ T  Y »� »�Å©ÄÈÄAÇL¼Sà T Å©Æ�Â�À U Í� Á�¼/Æ P Ä©Â T é # í ü! é /# í »�Í3Â�Àz # % ��Ó �A U

� j � � Ê Â U Í� T�P Ê T  U ¼�× n'6o,-�08O"98l� »yÂLÅ R Í UzTLY£U Í3¿ U Å T� j ü5b #&% � l ^ c ' þ # _ ? Z ×I¼SÀªÑ�/ 1a3 =�o Y

�/Å©ÁàÅ©ÄÈ¿`ÀzÄ Ë Y[U Í3 T  U ¼�×NÆ�¼SÁàÅ©Ã3¿�à U »�ÂLÅ R Í UÎT ×I¼SÀ êgë ð Å T

� j254 ü5b # % � 254 l ^ c ' þ # _ ? Z ר¼�ÀªÑ>/ 1"3t=�o ü" ð ÿAC9'*) C$# ' 6 ' l # ' % �,+ �&% Y

Ü Â�»�Å©Ä©Ä T Í�¼k» U Í3¿ U Å©× é # í Å T î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä Y/U Í�Â�Ã(#�Å T Æ�¼SÁ�ÅÈÃ3¿�à ULÓ º�Í�Å T ÀzÂLÉ P ÅÝÀΠT¿�ÃßÅÈÆ�ÂLà U Å U Ë ×I¼SÀ�ÇL¼SÁ�Á PgU ÅÈà R x ' ¾E¿ TVU ¾ ¼�»yÂ�À T ¼�× y ' Ó W ¼�Àm4w? Ñ Y Ä©Â Ué W£Ó�W í Ï 4[Ð ü á $ f â $á�f â Y

º�Í�Â�à U Í�Â=ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã R Ä©Â�Á�Á࿳Áà¿ ËØÊ Â=¾3Àz¼�ÚSÂ�à Ê[Ë Å©Ã3Æ P Ç U ÅȼSà Ó' ���(� � � X*) X w0um4L? Ñ ^ �)�#��8x ' y $' ü�y $' x ' � Ï 4[Ð y $ ÿAC' á/C�ÿ $ � ' f â C�ÿ $ � �'

á�f âx $' y ' ü�y ' x $' � Ï 4[Ð x $ ÿ5C' â Czÿ $ � ' f á/C�ÿ $ � �'

á�f â Y

Page 7: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 4' ���(� � � X��gX�� � �/s�,�� á â ÿ5C �0� 8R6'�-" `y6(6o�A6�uBs�8>�)�z4oa fg��� � h � " 8R698 �(��`y6kj}8>�)�!�+mn9�),���8>�&�p698R"o2R,r6Dn9s�2�� u�6o` �å ü å­æzç è)é � ë ð í 6o8|� ���z$+� �å(� "%$��)� ����,-�0�&�),1 O2~4 ^ "o8RnA2t�+��#.% � a� sD ' >6�����)�>��` �A�0�A��69,��-8R698 �(��`y6��� $�� 69`*��% � 0 �P�z�)� x ' Y � üHZ u+69`�"92)2�1 é ÑJ/�1E3A= í a�g�#�+8 # % � j a � �/�0,-�)2�"9`1�/� "'�!��,���8R�P�0� �z`�sl� u+69` å ü å­æzç è)éÝêgë}ð3í �P�z�)� � ` � 32�"%$&� n h 4 �3254"98On � j h 4 � j254 a� `y6D6�u+aEB¥Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼SÃ<Ñ Ó �+ÅÈÁ�¾3Ä©Å©Â TúU Í3¿ U ר¼�À�¿�Ã Ë R ÅÝÚSÂLÃ�Ú�¿�Ä P µ¼�×�1 U Í�ÂLÀzÂÕÅ T T ¼SÁ�Âw4t? ZT�P Ç�Í U Í3¿ U�y $ j C' Y � ü Z ¿�Ã3Æ y $' Y �zuü Z/Ó�O ¾�¾3Ä Ë Å©Ã R x ' U ¼ y $ j C' Y � ü Z ¿�Ã3Æ P�T Å©Ã R �5ÂLÁ�Áà¿W£ÓsX ¿SÃ�Æ U Í�Â=×�¿�Ç UqU Í3¿ U x ' Y � ü-Z/Y »�ªÍ3¿LÚSÂ

Z�ü Ï 4 � Ñ�Ð y $' á ÿ $ � ' f â ÿ $ � �'á(f â Y � ü Ï 4 � Ñ�Ðá�f â é á ÿ $ /# é � ' í f â ÿ $ /# é � �' ízí y $' Y � Y� ¼�» Ï 4 � Ñ�Ð�� é á�f â í uü$Z ¿ TQá â ÿAC Å T Ã�¼ U ¿ÕÀz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Ó º�Í3Â�ÀzÂ�ר¼�Àz YMT Å©Ã�ÇL y $' Y �zuüZgY»yÂúÍ3¿�ÚS á/ÿ $ /# é � ' í ü â ÿ $ /# é � �' í Ó 6 É P Å©Ú`¿�ÄÈÂLà U Ä Ë Y

á ÿ $)á ����� ç 0 � â ����� ÷ ç 0s� ü â ÿ $)á ����� ÷ ç 0 � â ����� ç 0 � þ ¼�À á ÿ $ j � � � ç 0s� ü â ÿ $ j � � � ç 0 � YOQR ¿�Å©Ã Y Ê ÂLÇ�¿ P�T  á â ÿAC Å T Ã�¼ U ¿qÀz¼/¼ U ¼S× P Ã�Å U Ë Y�U Í�Å T ×I¼SÀzÇL T"^ c ' þ # _¥ü 4w? Z/Y`T ¼ #.% � j Ó � MOLDM � ���>L� � X � X \ �#�+8 á â ÿAC �0��8R6o� "x`y6(6o�16�u-s�8>�z�z4 ^ "o8>4 jP8l�)�!�+m�no�0,��+8#�&�p698R"o2P�/�0,1 32���å m�,r6(nos�2��F�P�z�)�����+���9���)� �08 � �.� �.�+69,r6o`! O�%�p$*� 6 é # í u+69`1��6o,��1#.% � j a � 8�"98R"o2�6&�'69s��` �/�/s�2�� ��6o2�n9� u+69` å �P�)�)� � ` �� O2�"'$&� n h 4 � 254 "o8Rn � j h 4 � j254 a� Â�ó U »�Â�»�Å©Ä©Ä T Í�¼k» U Í3¿ U ¿�Ä©Ä�Á�¼/Æ P ÄÈ T é # í »�Å U Í #&% � j ¿�ÀzÂ�Å©Ã�Æ�Â�ÂLÆQî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ Y

¿�Ã�Æ U ÍM¿ U ¿SÄ©Ä5¼ U Í�Â�ÀQî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä T Å©Á�¾3ÄÈ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ¿`Àz T Í3ÅÝ× UÎT ¼�× U Í� T Â Ê£Ë ¼SÃ�Â�½Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä�Á�¼/Æ P Ä©Â T�Ó�ø Ã�Æ�¼²Å©Ã RßU Í�Å T�Y Å U Í�ÂLÄ©¾ TªU ¼�Ç�¼Sà T Å©Æ3Â�Àªî�À TVU�U Í� T ¾7Â�ÇLÅÈ¿�Ä^Ç�¿ T µ¼�×T Å©Á�¾3Ä©Â å­æzç è)éÝêgë � í ½�Á�¼/Æ P Ä©Â TLÓ�BS�� ��� Q+T�� � S�� � T � M �%�� � Q �!MOL å ü å æ�ç}è é©êgë � í XW ¼SÀ T ÅÈÁ�¾3Ä©Å©Ç�Å U Ë »yÂ=ÆgÀz¼�¾ U Í� T�P Ê T Ç�ÀzÅݾ UÎT ¿�Ã�Æ �P�TVU »�ÀzÅ U  x þ[yMþ ��þ � � ×I¼�À U Í3 R Â�Ã�Â�Àο U ¼�À T¼�× å ü åNæ�ç è)éÝêgë � í Ó�O Ã Ë Í�¼SÁ�¼SÁà¼�À�¾3Í�Å T Á�� å�� � K Å T Æ3 U Â�ÀzÁàÅ©Ã�ÂLÆ Ê£Ë Å UzT Ú�¿�Ä P  T ¼Sà �¿�Ã�Æ � � Ó Û Ë ¿ Ê P�T Â&¼S×­Ã�¼ U ¿ U Å©¼²Ã Y »yÂ�¿�Æ3¼�¾ UqU Í� T Í�¼�À U ÍM¿�Ã�Æ�� ü � é � í ¿�Ã3Æ�� � ü � é � �Èí Ó�y¼�ÀzÀz T ¾ ¼SÃ�Æ3Å©Ã RqU ¼&Âk¿�ÇÎÍ TzP ÇÎÍ�� Y²U Í�Â�ÀzÂyÅ T ¿���Â�ÀzÁà¿&Áà¼£Æ P Ä©Â � é � í ü å � 8 $ & K �µ»�Å U ÍÊ ¿ T Å T � d�ü2y d � � é Z /zn03 � í TzP ÇÎÍ U Í3¿ UqU Í3Â å ½u¿�Ç U Å©¼SÃÖÅ TqR Å©ÚSÂLà ʣË

é W£Ó I í

yY � d�ü � dkj Cx Y � d�ü Ï n�Ð � á/ÿ dkj C�f � � â ÿ dkj Cá(f â � d ÿ5C é � ÿAC ü-Z í��Y � d=ü � á ÿ d ��� ÷ ç � ÷ � â ÿ d ����� ç � ÷ � � d=ü � á ÿ d â d � d� � Y � d ü � � á ÿ d ����� ç � ÷ � â ÿ d ��� ÷ ç � ÷ � � d ü � � á d â ÿ d � d Y

� ¼ U  U Í3¿ U � é � í Å T ¿ T ÅÈÁ�¾3Ä©Â å ½�Á�¼/Æ P ĩ³ÅÝ×�¿�Ã3Æ�¼²Ã�Ä Ë Å©×�Ï n�Ð � á/ÿd[j Caf � � â ÿ dkj Cá�f â uü�Z ×I¼�À

¿�Ã Ë nJ? Ñ Ó

Page 8: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

? E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� C

� P ¾3¾7¼ T Â�Ï # � Ñ�Ð � á ÿ�� f � � â ÿ��á�f â ü�Z ר¼�À T ¼SÁ� # ? Z/Ó º�Í�Â�Ã�ÂLÅ U Í�Â�À á�� j C�ü â � j CLY »�Í�Å©Ç�ÍÅ©Á�¾MÄ©Å©Â T�á â ÿAC Å T ¿ÕÀz¼/¼ U ¼�× P Ã3Å U Ë Y ¼�À � � ü � á/ÿ�� â �LÓúOQT�T�P ÁàÅ©Ã RµU Í3¿ UQá â ÿ5C Å T Ã�¼ U ¿µÀz¼/¼ U¼�× P Ã3Å U Ë ¿SÃ�Æ � � ü � á/ÿ�� â �LY »� T ÂL U Í3¿ U�U Í� ÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT � ' þ 1]? # � Ñ YET ¾E¿�Ã�¿ÕÁà¿)ógÅ©Áà¿SÄT�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Ó º�Í�Â=É P ¼ U ÅÈÂLà U Å T�U Í� é # � Ñ í ½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä T Å©Á�¾3ÄÈÂ�Á�¼/Æ P Ä©Â é � í Y »�Í�Å©Ç�͵»�ÂÇ�¿�à TzP ¾�¾ ¼ T Â&Å T�T ¾M¿�Ã�Ã3ÂLÆ Ê[Ë � � þ � C þZYZYZY)þ � � ¿�Ã�ÆßÍM¿ T å ½u¿SÇ U Å©¼Sà R Å©ÚSÂLà ʣË

é W£Ó � íyY � d�ü � dkj C þ é � � j C ü Z íx Y � dQü � á ÿ�� Ï nSÐuÏ # � Ñ f nSÐt� d ÿAC é � ÿ5C ü�Z í��Y � dQü � á ÿ d â d � d� � Y � dQü � á ÿ�� jd â �zÿ d � dpY

Ü�Í�ÂLà � é � í Å T Ã3¼ U^T ÅÈÁ�¾3Ä©ÂQ¿�Ã�Æ á â ÿAC Å T Ã3¼ U ¿ªÀz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Y n ü # � Ñ�Å T�U Í� P Ã3Å©É P ÂÚ�¿�Ä P  T�P Ç�Í U ÍM¿ U Ï nSÐ � á/ÿdkj Caf � � â ÿ d[j Cá�f â ü�ZgÓ�ø à U Í3Å T Ç�¿ T  Y � é � í Í3¿ T ¿ P Ã�Å©É P Âú¾�Àμ�¾ Â�À

T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y Ã3¿�ÁàÂLÄ Ë U Í�Â&Áà¿)ógÅ©Áà¿�Ä TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈ R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆ Ê[Ë � � j C ¿ T ¿ Ê ¼kÚS ÓÜ ÂúÃ3¼�»-ÍM¿LÚS U Í�Â=ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã R ÇLÄ:¿ T�T ÅÝîMÇ�¿ U Å©¼²Ã�¼�× T Å©Á�¾3ÄÈÂ&Á�¼/Æ P Ä©Â T ר¼�À åNæ�ç è)éÝêgë � í ÓKFLEMONPMRQDS.TES0M3U � X��gXé Å í � � �/s�,�� å ü å­æzç è)éÝêgë � í ^ � �>��` � á â ÿAC �0� 8O6o� "|`�6D6o� 6yu s�8>�z�z4oaAf �+� � å�� � Kh �x"98 "o2 ��� h `�" ��6o,r69,r69` O�%�0�&, �&s>$�� �)��"'� � é � � í ü � é � í á ÿ�� â � u+69`k�+69,�� # ?Z a �g�#�+8��)�#�+`y���.�B"o8 é # � Ñ í m�n9�),���8#�/�z6o8R"92��/�0,1 32�� å m�,r6(n9s�2t� é � í � >"98>83�ynh 4��9�y$�� 6o`/�F� � þ � C þZYZYZYkþ � � "98RnB�#" �D�08%� å m�"%$��z�p698i�9����+8 h 4�� ] a��a � 8>4 é # � Ñ í mno�0,��+8#�&�p698O"92 �/�0,1 32�� å m ,r6Dn9s�2�� �0�F�.�+69,r6o`! O�%�p$ � 6��+69,��F�&s>$+� é � í aé Å©Å í w0u ! ü ! C X C � ! � X � % � j ^ �)�#�+8(! C f ! � ü # u�6o` �+69,�� # % �,+ � ^ "98Rn ! é � � í üá � � â � ÷ ü á � ÷ ÿ�� â � � j � ü ! é � í á ÿ�� â � �08 �)���.�|$ "9�+�(a!�g��s�� ^ �)�#�|,r6(nos�2�� é ! í �0�é # � Ñ í m�n9�),���8#�/�z6o8R"92 "o8Rn���"9� å m�"'$��z�p698{�o� �9��8 h 4�� ] a�����P�z�)� � ü á � ÷ â � � üá � ÷ â � ÷ ÿ�� a

� SzU�S.T � � � S �*� UgQDS0M3U����zS.T M � é # í �!MOL #.% � j XÜ Â T Í�¼k» Ê ÂLÄ©¼k» U ÍM¿ UúU Í� T Å©Á�¾MÄ©Â�Á�¼/Æ P ÄÈ T é # í ×I¼�À �å ü å­æzç è)é � ë ð í »�Å U Í #"% � j

¿`ÀzÂ�î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä Ó W ¼SÀ U Í�Å T Å UQTzP�� ÇL TQU ¼Õ¾�Àz¼kÚS U Í3¿ U � é # í Í3¿ T ¿ �å ½ T�P Ê Á�¼/Æ P ĩ¼�×Nî3Ã�Å U ÂúÇL¼/Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã Y ¿ T é # í Å T�U Í�ÂúÉ P ¼ U Å©Â�à U ¼�× � é # í Ê£Ë Å UzT�P Ã�Å©É P ÂúÁà¿`ó/Å©ÁÕ¿�Ä T�P Ê ½Á�¼/Æ P ÄÈ ÓOQT # Å T Æ�¼SÁ�Å©ÃM¿�à U�Y 4 ' ü ^ c ' þ # _ ×I¼�À91 ü Ñ þZYZYZY5þ = f Ñ Y ¿`ÀzµÃ�¼SÃ3Ã� R ¿ U ÅÝÚSÂ�Å©Ã U  R ÂLÀ T�Ó

ã&Â�î3Ã3Âú¿ �å ½ T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â ��� é # í ¼�× � é # í Ê[Ëé W£Ó Ò í � � é # í ü

ð ÿAC9'*) C

�å y $ � j C' Y � 0 YÔ=P À R ¼[¿�ÄMÅ T^U ¼�¾3Àz¼�ÚS U ÍM¿ U^U Í�Â=Á�¼/Æ P Ä©Â � é # í ü � é # í � ��� é # í Å T Ã�¼SÃT�LÂ�Àz¼³¿�Ã�ÆÕî3Ã�Å U Â�½Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä ÓÛ Ë �AÂ�Á�Áà¿ W£ÓsX »�Â=Í3¿�ÚS x ' y $ � j C' Y � 0 ü�Z/Ó�ø ×nruü 1 Y x dOy $ � j C' Y � 0 üAy $ � j C' x d�Y � 0 ü-Z Ê£Ë

U Í�Â�Æ�Â�î3Ã�ÅÈà R ÀzÂLÄÈ¿ U Å©¼Sà T�Ó �y¼Sà T Â�É P Â�à U Ä Ë Y Ê[Ë º�Í3ÂL¼�ÀzÂLÁ W/Ó Ñ Y �å y $ � j C' Y � 0 Å T ¿úÍ�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å©ÇÅ©Áà¿ R Â�¼�× � é # f é 4 ' � Ñ í c ' í Y ¿�Ã�Æ T ¼ ¿�ÄÈÄ�Å UzT »yÂLÅ R Í UzT ¿`ÀzÂ�Ä©Â T�T�U Í3¿�Ãà¼SÀ^ÂLÉ P ¿�Ä U ¼-# f é 4 ' �Ñ í c ' Ó º�Í3Å T Å©Á�¾3ÄÈÅ©Â T�U Í3¿ U � 0 u% � �mé # í Y Í�ÂLÃ3ÇL ��é # í uü Z/Ó

Page 9: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ M' ���(� � � XzV��gX �g�>�v�+2��+,���8l�)� x d�þ[y�d é Ñ�/�nJ3 = í "%$�� 2�6D$ "92)2~4�8>�)2 #6o�!�+8l�z2~4k6o8 � é # í a� `y6D6�u+a OQT=U Í� ��Â�ÀÎÁà¿ØÁ�¼/Æ P Ä©Â � é # í Å T=T ¾E¿�Ã�Ã�ÂLÆ�¼kÚSÂ�À�K Ê[Ë ¿�Ä©Ä­ÂLÄ©ÂLÁàÂLà UÎT�� C ����� ����Y � 0»�Í�ÂLÀz � C þZYZYZY5þ���� % bsy C þZYZYZY5þ[y ð ÿAC o þ�� % �,+ � Y Å U Å T ÂLÃ�¼ P3R Í U ¼Õ¿�À RSP Â Ê£Ë Å©Ã�Æ P Ç U Å©¼SÃؼSÃ�=U Í3¿ U ¿ T�P�� ÇLÅ©ÂLà U Ä Ë Í�Å R Í ¾ ¼k»�ÂLÀª¼�× x d é Àz T ¾ ÓÝY�y�d í U ¿`ÌS TªT�P Ç�Í�¿�Ã�ÂLÄ©ÂLÁ�Â�à U&U ¼ � � é # í Óø × ��ü Z/Y�U Í�ÂLà x d�Y � 0 ü Z % ��� é # í Y ¿�Ã�Æ y $ � j Cd Y � 0 % �2� é # í Ê£Ë ÇL¼Sà T�U À P Ç U Å©¼SÃ Ó � ¼�»¿ T�TzP Á� U ÍM¿ UyU Í�Â�ÀzÂú¿�ÀzÂ&¾ ¼ T Å U ÅÝÚSÂ�ÅÈà U  R Â�À T ( dªT�P Ç�Í U Í3¿ U

x �d � � ����� ���[Y � 0 % � � é # í ¿SÃ�Æ y �d � � ����� ����Y � 0 % � � é # í Y� P ¾3¾7¼ T  U Í3¿ U�� C ü y ' Ó�ø ×gn uü 1 YAU Í�Â�à x

�d � C������ ����Y � 0 ü y ' x �d � � ����� ���[Y � 0 % � �mé # í ÓÔQU Í3Â�À�»�Å T Â Ê£Ë �AÂLÁàÁà¿ W£ÓsX/Y

x � j C' � C������ ���kY � 0 ü�y ' x � j C' � � ����� ����Y � 0 � Ï ( ' � Ñ�Ð x �' â ÿ � � ' f á/ÿ � � �'á�f â � � ����� ���[Y � 0 YO ¾�¾3Ä Ë Å©Ã R ÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà é � W ä í ¿�Ã�Æ U Í�ÂúÅ©Ã�Æ P Ç U Å©¼²ÃµÍ Ë ¾7¼ U Í� T Å T�Y »� T ÂL U Í3¿ U�U Í3 T  U Â�ÀÎÁ T ¿`ÀÎÂÊ ¼ U ÍÖÅ©Ã � �mé # í Ó� ¼�» y �uÿAC' � C ����� ����Y � 0 ü y �' � � ����� ���kY � 0 % � ��é # í Y ¿SÃ�Æ ÅÝ× l 1 f n l�� Ñ Y »yÂ+¿�Ä T ¼Í3¿�ÚS y �d � C������ ���kY � 0 ü y ' y �d � � ����� ����Y � 0 % ��� é # í Ó W Å©ÃM¿�Ä©Ä Ë Y »�µÃ�ÂLÂLÆ U ¼ T Í�¼�» U Í3¿ UÅÝ× l 1 f n l ü Ñ YEU Í�ÂLà y

� j Cd � C ����� ���[Y � 0 % �2� é # í Ó º�Í�Å T »�Å©Ä©ÄA×I¼²Ä©Ä©¼k»-×IÀz¼SÁ U Í�ªÅÈÃ�Æ P Ç U Å©¼SÃÍ Ë ¾ ¼ U Í3 T Å T ¼SÃ�Ç�Â=»�Â&Ì/Ã�¼k» U ÍM¿ UEy � j Cd y ' %wK y�d~y ' y �d � K y ' y � j Cd ÓÜ Âª¿�À RSP Â Ê£Ë Å©Ã�Æ P Ç U Å©¼SÃÕ¼Sà ? Ñ U Í3¿ U

y� j Cd y ' %wK y�d~y ' y d � K y ' y� j Cd Yø Ã�Æ�ÂLÂLÆ�ÅÝ× ü Ñ Y7U Í3Å T ×I¼SÄÈÄ©¼�» T ×IÀz¼SÁ ÀzÂLÄ:¿ U Å©¼Sà é �m� í�� Ê PgU ÅÝ× � Ñ Y U Í3ÂLÃ Ê£Ë ÅÈÃ�Æ P Ç U Å©¼Sÿ�Ã�Æ é �m� í Y

y j Cd y ' % y�d é K y�d�y ' y ÿACd � K y ' y d í: K y�d~y ' y d � K y ' y j Cd Y �

' ���(� � � XzVRVOX�� �&�&s�,�� á â ÿAC �.�B8R6o�-" `y6(6'�v6yu|s�8>�)�z4 ^ "o8Rn 2�����! h �i" ,r6(n9s�2t� u�6o`å ü å æzç è éÝêgë � í 6o8x�P�%�p$�� å � "'$(�)�F�+�+,-�.�/�0,1 3254oa � s( % #69�+��! ü � d ���

$'&! 0 ÿ d � u+69`*�+69,�����+���9��� # % ��� �y"%$��7���+���9��� �! #"%$&�A6�u]! �0� jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92 � "o8Rn x "98Rn y "%$�� 2�6D$ "92)2~48>�)2 >6o�!�+8l�z254 698�! a �g�#�+8L!H�.� jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92 ^ "98Rnr�)�#�*����������)� 6�u�! "9` �} 3`y���+�+` �9�yns�8Rn%�+` �)�#� �/�0,1 32�� ` ��� � $��z�p698 � "��E�08�� c � 6 f]c a� `y6D6�u+a��5 U�� ü�� C X C ��� � X � Ê Â³¿à»yÂLÅ R Í U ¼�×�! Y ¿�Ã�ÆB�(%F! ��� bkZ o Ó=OQT x ¿�Ç UzT Ä©¼/Ç�¿�Ä©Ä ËÃ�Å©Ä©¾7¼ U ÂLà U Ä Ë ¼SÃ<! Y`U Í3Â�ÀzÂ�Å T ¿�Ã3¼SÃ�Ã� R ¿ U ÅÝÚSÂ�Å©Ã U  R Â�ÀD4 TzP ÇÎÍ U Í3¿ U x $ j C Y � ü Z ¿�Ã3Æ x $ Y � uü ZgÓ

Û Ë º�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á W£Ó Ñ Y å x $ Y ��Å T ¿µÍ�¼SÁ�¼SÁà¼�À�¾3Í�ÅÈǪũÁà¿ R Â�¼S× � é ��� 4 c í Ó Û PgU&T Å©Ã3ÇL y ¿�Ç UÎTÄ©¼/Ç�¿�ÄÈÄ Ë Ã3Å©Äݾ ¼ U ÂLà U Ä Ë ¼Sà å x $ Y � YgU Í�Å T Å©ÁÕ¿ R Â�Çk¿�Ã�Ã�¼ U Ê Â�Å T ¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å©Ç U ¼ � é ��� 4 c í Ó º�Í P�TÊ ÂLÇ�¿ P3T  � é �L� 4 c í Í3¿ T ¿ P Ã3Å©É P ³¾�Àz¼�¾ Â�À T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y å x $ Y � �ü é �L� 4 c í Y ¿�Ã�Æ T ¼Å U Å T î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä Ó �y¼�Àz¼²Ä©ÄÈ¿`À Ë W£Ó �ÖÅ©Á�¾3Ä©Å©Â T=U Í3¿ U��r� 4 c Å T Æ�¼SÁ�Å©ÃM¿�à U�ÓàO�TªU Í�Â�Àο`ÀzÂ�¼²Ã�Ä Ë îMÃ�Å U ÂLÄ Ë Áà¿�Ã Ë Æ�¼²Á�Å©Ã3¿�à U »�Â�Å R Í UzT Ä©Â T�T=U ÍM¿�à ¼�ÀúÂLÉ P ¿�Ä U ¼ U Í3 R ÅÝÚSÂLÃô»yÂLÅ R Í U #é P Ã3Æ�Â�À U Í�ÂQ¾M¿`À U ÅÈ¿�Ä3¼SÀzÆ�Â�À�!w/�#ÖÅÝ×N¿�Ã�ÆؼSÃ�Ä Ë ÅÝ× # f ! % �,+ � c í Y ¿�Ã3ƵÂk¿�ÇÎ͵»yÂLÅ R Í UqT ¾M¿�Ç�ÂÅ T îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä Y Å U Á P�TVU Ê Â U Í3¿ U !HÅ UzT ÂLÄÝ×5Å T î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä Ó

Page 10: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

2 � E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� Cø Ãú¾M¿`À U Å©Ç P Ä:¿`À Y !�Í3¿ T ¿�ÇL¼²Á�¾ ¼ T Å U ÅȼSà T Â�ÀzÅ©Â T »�Å U Íúר¿�Ç U ¼�À T Å T ¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å©Ç U ¼ é ! í ×I¼�À T ¼SÁ�Â

! % � j ÓNO Ã Ë »yÂLÅ R Í U � ¼S×!!Å T ¿�»yÂLÅ R Í U ¼�× T ¼SÁ� T�P Ç�Í é ! í »�Å U Í ! ü ! C X C � ! � X � % � j ÓÛ Ë é Å©Å í ¼�×gB�Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà W£Ó � Y é ! í Í3¿ T »yÂLÅ R Í UzT ! þ ! fFc�þZYZYZY)þ ! f # c »�Í�Â�Àz # ü ! C f ! � Óº�Í P�T�Y ��ü ! f n c ר¼�À T ¼SÁ�Â(n % bkZgþ Ñ þZYZYZY�þ # o Ó Û PgU�U Í�ÂLà �hf ^ �Nþ�c�_�c ü ! f é # f n í cÅ T ¿�»yÂLÅ R Í U ¼S× é ! í T Å©Ã�Ç� # f n % bkZ/þ Ñ þZYZYZY�þ # o Y Í3ÂLÃ�ÇLÂ�Å U Å T ¿�»yÂLÅ R Í U ¼S×a! Ó º�Í P�TLYMU Í3»yÂLÅ R Í UzT ¼�×*! ¿`ÀzÂ&¾�ÀΠT Â�À�ÚSÂ�Æ P Ã�Æ�Â�À U Í� T Å©Á�¾MÄ©Â=ÀzÂ��3Â�Ç U Å©¼Sà U ¿`Ì/Å©Ã R c�U ¼ fEc�Ó �' ���(� � � XzV � X�� � �/s�,�� á â ÿAC �.�78R6'� "�`y6(6o� 6�uks�8>�)�z4 ^ "98Rn�2t�+�,# % � j a �g�>��8��)�#�,r6(nos�2�� é # í u+69` �å ü å­æzç è)é � ëxð�í �.� jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92�a � �&�),-�02�"9` ��� "o�!�+,���8l�P��692�n��u�6o`å ü å æzç è éÝêgë ð í ^ � �>��` � � j �0�F` � O2�"'$/�yn h 4 � j2�4 a� `y6D6�u+a�º�Í�Å T ×I¼²Ä©Ä©¼k» T ¼SÃ3ÇLÂà»y T Í�¼k» U Í3¿ U� � é # í ü � é # í � ��� é # í Y »�Í�Â�Àz ��� é # í Å T ¿ TÅ©Ã é W£Ó Ò í Y Å T î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä Ó Ü Â+»�Å©Ä©Ä�¾�Àμ�ÚS U Í3¿ U³U Í� T  U ¼�×Q»�Â�Å R Í UzT ¼�× � é # í Å T¾�Àz T Â�À�ÚSÂLÆ P Ã�Æ�Â�À U Í3Â�¿�Ç U Å©¼²Ã ¼S× U Í3 T Ë Á�Á� U ÀÎÅ©Ç R Àz¼ P ¾ � ðßé U Í�ÂyÜ Â Ë Ä R Àz¼ P ¾�¼�× � ëxð�í ¼²Ã �»�Í�ÅÈÇÎͳŠTNR ÂLÃ3Â�Àο U Â�Æ Ê£Ë U Í3 T ÅÈÁ�¾3Ä©Â�ÀzÂ��MÂLÇ U Å©¼²Ã T â ' � � �Ef�^ �Nþ�c ' _ c ' é Ñ�/t1a3@= í Ó 6 ¿�ÇÎÍ� ð ½�¼�À Ê Å U ÇL¼²Ã U ¿SÅ©Ã T ¿+Æ�¼SÁ�Å©ÃM¿�à U »�ÂLÅ R Í U�Y ¿�Ã3Æ U Í�ÂLÀzÂà¿`ÀzÂÕ¼SÃ�Ä Ë î3Ã3Å U ÂLÄ Ë Áà¿�Ã Ë Æ�¼SÁàÅ©Ã3¿�à U»yÂLÅ R Í UzT Ä©Â T�T�U Í3¿SÃ�¼�À¥ÂLÉ P ¿�Ä U ¼ # Ó�O�T^U Í�Âq»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã � é # í ¿`ÀzÂ�¿SÄ©ÄgÄ©Â T�T¥U Í3¿�Ã�¼SÀ^ÂLÉ P ¿�Ä U ¼# Y ¿�Ã�Æ U Í�Â�»yÂLÅ R Í U�T ¾M¿�Ç� T ¿`ÀzÂ�î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä Y�U Í� T ¿SÁ�ÂyÅ TNU À P Ây¼�× ��é # í Ó º�Í�Â�ÀÎÂ�×I¼SÀz � é # í Å T î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä Óº­¼ T ÂL U Í3¿ U â ' ¾�Àz T Â�À�ÚS T�U Í� T  U ¼S×M»yÂLÅ R Í UzT ¼S× � é # í Y Ä©Â U ��ü � C X C � ����� � � ð X ð Ê Â�¿»yÂLÅ R Í U ¼�× � é # í Ó �y¼Sà T Å©Æ�Â�À � é # í ¿ T ¿�Á�¼/Æ P Ä©ÂQ×I¼�À U Í�Â&ÇL¼�¾ Ë å ' ¼�× å­æzç è)éÝêgë � í R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆÊ£Ë x ' þ[y ' þ � ' þ � �' Y ¿�Ã�Æ�Ä©Â U �' é � í Ê Â U Í3 å ' ½ T�P Ê Á�¼/Æ P ĩ³¼�× � é # í R ÂLÃ�Â�À�¿ U ÂLÆ Ê[Ë � é # í � Ó

OQT ¿�Ä©Ä7»yÂLÅ R Í UzT ¼S× � é # í ¿`ÀzÂ&Ä©Â T�TyU Í3¿�Ã+¼�À�ÂLÉ P ¿�Ä U ¼ # Y »yªÍ3¿�ÚS �' é � í ü �d ���

$ &

�' é � í 0 � ÿ d � �ר¼�À T ¼SÁ�Â^»�Â�Å R Í U # � / # Ó Û Ë �AÂ�Á�Áà¿ T�W£Ó Ñ Z ¿�Ã�Æ W£Ó Ñ²Ñ Y`U Í� T Å©Á�¾3ÄÈÂ¥ÀzÂ��3ÂLÇ U ÅȼSêâ ' ¾�ÀΠT Â�À�ÚS TU Í�Â=»yÂLÅ R Í UzT ¼S× �' é � í Y�T ¼àÅ©ÃÖ¾M¿`À U Å©Ç P Ä:¿`À Y â ' é � í Å T ¿�Ä T ¼�¿³»yÂLÅ R Í U ¼S× � é # í Ó��� ��� �>L�� � XzV ) X øuU »�Å©Ä©Ä`ר¼SÄ©Ä©¼k»�×IÀz¼SÁ �AÂLÁ�ÁÕ¿ X/Ó ��Å©Ã U Í�Â�Ã�Â�ó U5T ÂLÇ U Å©¼²Ã U Í3¿ U é # í �ü � é # í YT Å©Ã3ÇL é # í Å TµU Í3 P Ã3Å©É P  T ÅÈÁ�¾3Ä©ÂñÉ P ¼ U Å©ÂLà U ¼�× � é # í Y � é # í Å T ¿ îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�ÄÉ P ¼ U Å©Â�à U ¼�× � é # í Y ¿SÃ�Æ Ê£Ë U Í3¿ U Ä©ÂLÁ�Áà¿ Y Â�ÚSÂ�À Ë î3Ã3Å U Â�½�Æ�ÅÈÁ�ÂLà T ÅȼSÃ3¿�ÄEÉ P ¼ U Å©ÂLà U Å T�T Å©Á�¾3ÄÈ Ӻ�Í P�T�Y »yÂúÍ3¿�ÚSÂ

MOLDM � ���>L� � X)V � X \ �#�+8 á â ÿ5C �0� 8R6'� "7`y6(6'� 6�uvs�8l�)�z4 ^ �)�#� jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92��/�0,1 32���å m�,r6(nos�2����x�#" �D�08%� ���+���9���)���08 � "9` �k O` �y$��.����2~4 �)�#��,r6(nos�2���� é # í � �#�+` �.# % � j a� 6o` �y6 �9��` ^ é # í �ü é � í � u|"98On�6o8>254 � u # ü � a � �),-�02�"9`k��� "o�!�+,���8l�)�k��6o2�nru+69` å üå­æzç è)éÝêgë}ð3í ^ �P�#��` � � �0�F` � O2�"'$/�yn h 4 �32�4 "98Rn � j h 4 � j254 a� `y6D6�u+a�º�Í�Âúî�À TVU�TVU ¿ U ÂLÁ�ÂLà U Å T ¿�ÇL¼²Ã T ÂLÉ P ÂLÃ�Ç�ÂQ¼S×*�q¼�Àz¼SÄ©Ä:¿`À Ë W/Ó ��¿�Ã�Æ �AÂLÁàÁà¿ W£Ó Ñ W é T Â�¿�Ä T ¼r��Â�Áà¿`À�Ì W£Ó Ñ X í ÓßO�TzT�P Á� U Í�Â�ÀÎÂàÅ T ¿�Ã�Å T ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á ¼S× �å ½�Á�¼/Æ P ÄÈ T ×IÀz¼SÁ é # í U ¼ é � í Ó º�Í3ªÍ�Å R Í� TVU »�ÂLÅ R Í U ÚSÂLÇ U ¼SÀ�¼�× é # í Á P�TVU Ê Â T ÂLà UQU ¼µ¿à»yÂLÅ R Í U ÚSÂ�Ç U ¼�ÀQ¼�× é � í YT ¼ # / �NÓ^O�T ¿ T Å©Á�ÅÈÄÈ¿`À�¿`À RSP Á�ÂLà U�T Í�¼k» TqU Í3¿ U�� /�# Y »�ªÍ3¿LÚS # ü �NÓ �

Page 11: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 22

� � S�� TDQ�� M3U � � � S � � UgQ(S)M3U�� � � M �% � � Q9X� P ¾3¾7¼ T Â�Ã�¼k» U Í3¿ U »yÂ=Í3¿�ÚSÂ=¿�¼SÃ�Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ£Áà¼£Æ P ĩ ר¼�À �å ü åNæ�ç}èké � ëxð�í Ó º�Í�Â�Ã

Ê£Ë º�Í�ÂL¼�ÀÎÂLÁ W£Ó Ñ Y <ü é � í ר¼�À T ¼SÁàÂ�¿�Ä R Â Ê Àο³Í�¼²Á�¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á � �å�� � K Y »�Å U Í U Í3ÂÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT x ' þ[y ' é Ñ�/@1a3t= í ¿�Ç U ÅÈà R ¿ T Á P Ä U Å©¾3Ä©Å©Ç�¿ U Å©¼SÃ Ê£Ë Z/Ó ��Â�ÄÈ¿ U Å©¼²Ã é �] í Ë Å©ÂLÄ©Æ Té W£Ó Ñs� í � é � ' í ü � é { ' � ' j C í ü � é { ' j C � ' í ü � é � �' í é Ñ>/@1a3@= í Y�y¼SÃ[ÚSÂ�À T ÂLÄ Ë Y ÅÝת¿SÃ�¿�Ä R Â Ê Àο�Í�¼SÁ�¼SÁà¼�À�¾3Í�Å T Á � T ¿ U Å T î3 TàU Í�Å T ÂLÉ P ¿ U Å©¼²Ã YyU Í�ÂLà é � í Å T¼SÃ�Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ Ê£Ë ÀzÂLÄÈ¿ U Å©¼Sà é �E í Ó Ü�Âú»�Å©ÄÈÄ »�ÀzÅ U  ü é � í U ¼�ÂLÁ�¾3ÍM¿ T Å��L U Í3¿ U�U Í3ÂÁ�¼/Æ P ÄÈÂQÅ T ¼SÃ�Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä ÓKFLEMONPMRQDS.TES0M3U � XzV��gX�� �&�&s�,�� á â ÿ5C �0� 8R6'�v"�`y6(6'�v6yu|s�8>�z�z4 "o8Rn é C í �0� �)�#� j}8>�)�!�+mn9�),���8>�&�p698R"o2}�/�0,1 32��7,r6(n9s�2t�1u+69` �å ü å­æ�ç}è)é � ëxð�í �P�z�)�������9�#�/��� ���������� C a!�g�#��8 �)�#��` ����o�.���)� "-�#69,r6o,r69` R���.�/, � �å �E� KG�&s>$��7�)��"'� � ] a)c�� v��6o2�n9�*"o8Rn�"o8 �+2��+,���8l��#&% � j��6 �)��"'� C ü � � /# a �g��s%� ^ �)�>�A���+���9���)�-6�u é C í h ��2�698�� � 6�� � /� a � �/�0,-�)2�"o`v�/� "o�!�+,���8l���6o2�n9� u�6o` å ü å­æ�ç}è)éÝêgëxð3í �P�)�)� � ` �� O2�"'$&� n h 4 � 254 "o8Rn � j h 4 � j254 a� `y6D6�u+a�Ü�Í�Â�à é C í Å T Ú£ÅÈÂ�»�Â�Æ<¿ T ¿ôÁ�¼/Æ P ĩµר¼�À U Í�ÂØÇL¼S¾ Ë å ' ¼�× å­æzç è)éÝêgë � í R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆÊ£Ë x ' þ[y ' þ � ' þ � �' Y Å U Í3¿ T ¿�ÇL¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà T Â�ÀzÅÈ T »�Í�¼ T ÂÖ×�¿�Ç U ¼�À T ¿`Àz T ÅÈÁ�¾3Ä©Â å ' ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T¿ T Æ� T Ç�ÀzÅ Ê ÂLÆ Ê[Ë B�Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà W£Ó � ÓHOQTØU Í�Â�Í�Å R Í3 TVU »�ÂLÅ R Í U ÚSÂLÇ U ¼�ÀÖ¼�× é C í R ÅÝÚS T ¿Í�Å R Í� TVU »yÂLÅ R Í U ÚSÂ�Ç U ¼�ÀQ¼�× T ¼SÁ� ÇL¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sõ×�¿�Ç U ¼SÀ YgU Í�Â�ÀÎÂúÅ T ¿�»yÂLÅ R Í U � ' ¼�× å ' ¿�Ã�Æñ¿Ã�¼SÃ3Ã� R ¿ U ÅÝÚS¥ũà U  R Â�À # ' T ¼ U ÍM¿ U C é � ' í ü � ' é � ' í ¿SÃ�Æ C é � �' í ü � ' é � �' í ü � ' é � ' í á/ÿ��,� â � �NüC é � ' í á ÿ��,� â �,� ÓW ¼SÀ U Í�Â^Ç�¿ T  �å ü å æ�ç}è é � ë ð í Y�T  U # ð ü-Z ¿SÃ�ƪÆ�ÂLî3Ã� #T' ü # ' � ����� � # ð ×I¼SÀD1 ü Ñ þZYZYZY�þ = Ó�A U # ü ' ð'*) C #v' X ' Y »�Í�ÅÈÇÎÍ Ê ÂLÄ©¼²Ã RST�U ¼ �

j Ó � ¼�» Æ�Â�î3Ã3 � �å � � K Ê[Ë U Í�Â=ר¼�ÀzÁ P ÄÈ¿ T� é { ' í ü C é { ' í á ÿD����� ç 0 � ü C é { ' í á ÿ ) �,� j

; ; ; j ��+� é � ' í ü C é � ' í â ÿD��� � ç 0 � ü C é � ' í â ÿ ) � � j

; ; ; j � + Yº�Í�Â�ÃÖÅ U ר¼SÄ©Ä©¼k» TyU Í3¿ U � é � �' í ü � é � ' í ר¼�À&1 ü Ñ þZYZYZY�þ = f Ñ Y ¿�Ã�Æ C ü � � /#�¿ T Æ� T ÅÝÀzÂLÆ ÓW ¼SÀ U Í� Ç�¿ T  å ü å­æzç è)éÝêgë}ð3í Y îgó ¿�Ã|= U Í!Àμ£¼ U é á â í C�� ð ¼�× á â�Å©Ã|K ÓùOQT ¿ Ê ¼�ÚS YU Í�ÂLÀzÂ�Â�ó/Å T�U Ã3¼SÃ�Ã� R ¿ U ÅÝÚSÂúÅÈà U  R Â�À T # ' é Ñ0/�1m3�= í T ¼ U Í3¿ U C é � �' í ü C é � ' í á/ÿ��,� â �,�zÓ �A U# ü ' ð ÿ5C'*) C # ' 6 ' % � j254 Ó ã&ÂLî3Ã� � å �E� K Ê£Ë

� é � ' í ü C é � ' í á ÿ ) � � j; ;5; j � ö[÷ + â ÿ ) � � ÷ j ;5; ; j � ö[÷ + é á â í )�� � ð +

� é � �' í ü C é � �' í á ÿ ) �,� ÷ j; ; ; j � ö[÷ + â ÿ ) � � j ;5; ; j � ö[÷ + é á â í )�� � ð +

»�Í�ÂLÀzÂ� ü ' ð ÿ5Cd ) C n # d Ó º�Í�Â�à é W£Ó ÑO� í Í�¼SÄ©Æ TLY ¿SÃ�Æ C ü � � /# Ó��� ��� �>L�� � XzVlY3X ø × � Å T ¿SÃ Ë î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�ÄLÁ�¼/Æ P Ä©Â Y�U Í�Â�à � ü � '*) C � 0 ��� � � � ; �0ר¼�À T ¼SÁ�Â�»yÂLÅ R Í UzT C ' T�P ÇÎÍ U Í3¿ U C ' � /� é Ñ�/@1a/ í ¿`ÀÎÂ¥Æ�Å T�U Å©Ã�Ç U Ç�¼ T  UzT ũêÞQ¼SÁ é �å(� þ K í � /�é Ú/Å©Â�»yÂLÆØ¿ T ¿ � ½�Á�¼/Æ P Ä©Â P Ã3Æ�Â�À U Í�Â&¿�Ç U ÅȼSÃL4 �&C ü C $ í Ó º�Í�Â�à � ' ü � 0 ��� � � � ; �0 Å T ¿T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y ¿�Ã�Æ � ü � '*) C � ' Ó º�Í3Â�ÀzÂ�ר¼�Àz Y ÅÝ× � Å T ¿�Ã�Å©Ã�Æ�ÂLÇ�¼SÁ�¾ ¼ T ¿ Ê Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P ÄÈ Y� ü � 0 ��� � � ; �0 ×I¼�À T ¼²Á� C % Þ�¼²Á é �å(� þ K í Ó�O T ÅÈÁ�¾3Ä©Â T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â � ¼�× � Í3¿ T»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã C � /��Ó Û Ë ÀzÂ�¾3Ä:¿�ÇLÅ©Ã R C »�Å U Í U Í�Â&Í�¼SÁ�¼²Á�¼�À�¾3Í3Å T Á � ר¼�À �<R ÅÝÚSÂLà Ê[Ë B�Àμ�¾ ¼`½T Å U Å©¼Sà W£Ó Ñ�I Y »�Â�ÁÕ¿ Ë ¿ T�TzP Á� U Í3¿ U ×I¼�À ¿�Ã Ë Å©Ã�Æ3ÂLÇL¼SÁ�¾ ¼ T ¿ Ê Ä©ÂúÁà¼£Æ P Ä©Â � YAU Í�ÂLÀz³ŠT ¿k�T ¿ U Å T × Ë Å©Ã R é W£Ó ÑO� í T ¼ U Í3¿ U � ü � 0 ��� � #; �0 Ó

Page 12: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

2 � E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� C' ���(� � � XzV�� X f �+�-� �å ��� K h � "98 "o2 ��� h `y" �#69,r6o,r69` R���.�/, �P�z�)� � é � ' í ü� é � �' í é Ñ�/t1�3t= í a fg��� � h �A"1jP8l�)�!�+m�no�0,��+8#�&�p698R"o2 �å m ,r6Dn9s�2�� �P��6��� ����������)� "9` �A"92)2�)8 � � /� a w0u �å � "'$(�)�*�+�+,-�.�/�0,1 32547698 � ^ �)�#��8���ü � (

u+69`-�+69,�� �å m�,r6(nos�2���( �P��6���r����������)� "9` � "92)2P�)8 � a � �&�),-�02�"9`r�/� "o�!�+,���8l�q�#692�n� u�6o`å ü å æzç è éÝêgë ð í �P�)�)� � `y�� O2�"'$/�yn h 4 � 254 a� `y6D6�u+a��5 U � ÿAC �å(� � K Ê Â U Í�Âß¿�Ä R Â Ê ÀοñÍ�¼SÁ�¼²Á�¼�À�¾3Í3Å T Á Æ�Â�î3Ã3ÂLÆ Ê[Ë � ÿ5C é { ' í ü� é { ÿ5C' í ü é � é { ' í�í ÿAC ¿SÃ�Æ � ÿ5C é � ' í ü � é � ÿAC' í ü é � é � ' í�í ÿ5C ×I¼SÀàÑw/51>/5= Ó � ¼ U  U Í3¿ U � ö²÷�Å T Å T ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å©Ç U ¼ U Í� U ÀzÅ©Ú£ÅÈ¿SÄMÁ�¼/Æ P Ä©Â �� ÇL¼�À�Àz T ¾ ¼SÃ�Æ�Å©Ã R&U ¼ U Í�Â=ÇL¼ P Ã�Å ULÓ �A U

( ü� ö[÷ �@� Yº�Í�Â�à � �ü � ( ¿ T� � Å T ¿ Á P Ä U ÅݾMÄ©Å©Ç�¿ U ÅÝÚSÂÖÅ©Æ�ÂLà U Å U Ë é P ¾ U ¼�Å T ¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á í ×I¼�À�å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â T�Ó º�Í3Â&»�Â�Å R Í UzT ¼�×%( ¿�Àzª¿�Ä©Ä7Å©Ã|� ÿAC � � � /�<ü /�QÓ �Ü Â Ã�¼k» Í3¿�ÚSÂ<¿!ÇLÄÈ¿ TzT ÅÝî3Ç�¿ U Å©¼SÃ�¼�×Õî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä T Å©Á�¾MÄ©Â�Áà¼£Æ P Ä©Â T ×I¼SÀ �å ü

å­æzç è)é � ë ð í ¿�Ã�ÆØר¼�À å ü å­æzç è)éÝêgëxð�í Ó����� MRL � � � XzV��gX�� � �/s�,�� á â ÿ5C �0��8R6'� "F`�6D6o�g6yu s�8>�z�z4oa �g�#� jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92��/�0,1 32���å m�,r6(nos�2���� "9` � O` �y$��.����2~4 �)�>�F,r6Dn9s�2t�/� � é # í þ� �>��` �*� �å(� � K �0�r"98 "o2 ��� h `�"|��6o,r69,r6o`! O�%�0�&, �P�z�)� � é � ' í ü � é � �' í�é Ñ�/A1�32= í ^"98On #.% � j a � 8i"o8R"92�6 �%69s��*�/� "'�!��,���8R�P�#692�n�Pu+69` å �P�z�)� � j ` � 32�"%$&� n h 4 � j254 a� `y6D6�u+a��5 U � Ê Â�¿µîMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Ó Û Ë º�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á W/Ó Ñ Y B�Àμ�¾ ¼`½T Å U Å©¼Sà W£Ó ÑOI Y ¿SÃ�Æ �5ÂLÁ�Áà¿ W£Ó Ñ � Y � �ü � ( ר¼�À T ¼SÁ� � T ¿ U Å T × Ë Å©Ã R é W£Ó ÑO� í ¿�Ã�Æ T ¼SÁ�ÂT Å©Á�¾3Ä©Â�Áà¼£Æ P Ä©Â (ù»�Å U ÍÕ»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Ó Û Ë �q¼�Àz¼SÄ©Ä:¿`À Ë W£Ó � Y ( �ü é # í ×I¼SÀ T ¼SÁ� # % � j Ó�y¼SÃ[ÚSÂ�À T ÂLÄ Ë Y ¿�Ã Ë �å ½�Á�¼/Æ P ĩµ¼�× U Í3Å T ר¼�ÀzÁ Å T î3Ã3Å U Â�½�Æ�ÅÈÁ�ÂLà T ÅȼSÃ3¿�Ä Ê£Ë �5ÂLÁ�Áà¿ W£Ó Ñ W ¿�Ã3ÆT Å©Á�¾3Ä©Â Ê£Ë Å UÎT ÇL¼Sà T�U À P Ç U Å©¼SÃ Ó �� ��� �>L�� � X � � X ø × áØü�ý ¿�Ã�Æ â ü�ý ÿAC ר¼�À T ¼SÁà ý %�K Y¥U Í3Â�ÇLÄÈ¿ T�T ÅÝî3Ç�¿ U Å©¼SÃß¼�×^î3Ã�Å U Â�½Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä T Å©Á�¾3ÄÈ åNõSéÝêgësðgí ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T Å T ¿ßÇL¼²Ã T ÂLÉ P ÂLÃ�Ç� ¼S×yº�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á W£Ó Ñ�Òß¿`¾3¾3Ä©Å©ÂLÆ U ¼å õ�ç õ�ö[÷ éÝêgëxð�í º�Í� T Å©Á�¾3Ä©Â åNõSé©êgë}ð3í ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ¿�ÀzÂؾ�ÀzÂLÇ�Å T ÂLÄ Ë U Í�¼ T  T ÅÈÁ�¾3Ä©Â å õ�ç õ�ö[÷ éÝêgë}ð3í ½Á�¼/Æ P ÄÈ T ¼SÃÖ»�Í�ÅÈÇÎÍ � �' ¿�Ç UzT ¿ T�� ÿAC' Y�T ¼ U Í3¿ U� é � ' í ü � é � �' í ü � é � ÿAC' í Yº�Í�Å T Å©Á�¾MÄ©Å©Â T � é � ' í ü�� Ñ é Ñ / 1r3 = í Ó 6 ¿�Ç�Í�Ç�Í�¼SÅÈÇLÂ+¼�×ú¿�Ä R Â Ê Àο�Í�¼SÁ�¼SÁà¼�À�¾3Í�Å T Á� å �(� K�»�Å U Í|� é � ' í ü � é � �' í ü�� Ñ Ë ÅÈÂLÄ©Æ T ¿à¼SÃ�Â�½�Æ�ÅÈÁ�ÂLà T ÅȼSÃ3¿�Ä å õ�ç õ ö²÷ éÝêgë}ð3í ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Y ¿�Ã�Æ T ¼ U Í� T Å©Á�¾3Ä©Â åNõSé©êgë}ð3í ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ¿�Àz U Í� � é # í »�Å U Í�# % � j254 ¿�Ã3Æ ��¿ T¿ Ê ¼kÚSÂ Ó Ü ÂªÍM¿LÚSÂ

/# é � ' í ü-ý ��� � ç 0s� ý ÿD��� � ÷ ç 0 � ü-ý � � � ç 0 � Yº�Í P�T�Y »yÂ&ÀzÂ�ÇL¼�ÚSÂLÀ U Í�Â=Àz T�P Ä UzT ¼�×qÏ}û²¿ Y � Ó�W ¿�Ã3Æ � Ó Ñ Z Ð Ó� ��� �>L�� � X � VOX Ü ÂàÇk¿�Ã�Å©Ã U Â�À�¾3Àz U B�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ã W£Ó �+Å©Ã�Ä©Å R Í U ¼�×�º�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á W£Ó Ñ�Ò �A U é � í Ê Â U Í� T Å©Á�¾MÄ©Â å æ�ç}è éÝêgë � í ½�Á�¼/Æ P Ä©ÂyÆ� T Ç�ÀÎÅ Ê ÂLÆ�ÅÈà U Í�Ây¾�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ã Ó �A U # ü é # � W í c %� j2�4 ¿�Ã�Æ Æ�Â�î3Ã�Âr� å � � K Ê£Ë � é � í ü � é � í á ÿ���� � â ��� � Y � é � � í ü � é � � í á ��� � â ÿ���� � ü� é � í á ÿ���� � â ��� � ü � é � í Ó º�Í�ÂLÃ�� ü � � /#�¿�Ã�Æ é � í �ü � é # í Ó

Page 13: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 2�6

M���P��&2DU�KTS²1�B71ô4 1�·A¸5¹M8��M8 S[8:B��ø à U Í�Å T³T ÂLÇ U Å©¼Sà »yÂØ»�Å©Ä©Äy TVU ¿ Ê Ä©Å T Í�ÇL¼²Á�¾3Ä©Â U ÂàÀzÂ�Æ P ÇLÅ Ê Å©Ä©Å U Ë ¼S×=¿�ÄÈÄ^îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�Ä

Á�¼/Æ P ÄÈ T ר¼�À �å-é ÀΠT ¾ ÓÝY å&í ¼SÃ�»�Í�Å©Ç�Í �å��=é Àz T ¾ ÓÝY å���í ¿SÇ UzTAT ÂLÁ�Å T ÅÈÁ�¾3Ä Ë Ó � U ¿ U Â�Á�ÂLà UzT Áà¿�Æ3Âר¼�À �å Í�¼²Ä©ÆÖÂLÉ P ¿�Ä©Ä Ë »yÂLÄ©Ä7ר¼�À å Y ¿�Ã�ÆØ»yÂ&»�Å©ÄÈÄ3¾ ¼SÅ©Ã U ¼ PgU »�Í3Â�Àz U Í�Â�ÀÎÂ=¿�ÀzÂ&Æ�Å!  Â�ÀzÂLÃ3ÇL T�Ó­øuUÅ T Í3ÂLÄݾ�× P Ä U ¼³»y¼�À�ÌÖÅ©Ãß¿�Á�¼SÀz R ÂLÃ3Â�Àο�Ä7ÇL¼Sà U Â�ó ULÓ

�A U � Æ�ÂLÃ�¼ U  U Í�µÇ�¿ U  R ¼�À Ë ¼�×�Áà¼£Æ P Ä©Â T � ×I¼SÀ �å ü å­æzç è)é � ësð/í »�Í�ÅÈÇÎÍ T ¿ U Å T × Ë U Í3ÂÇL¼SÃ3Æ�Å U Å©¼²Ã T é � Ñ í �å � ¿�Ç UzT�T ÂLÁ�Å T Å©Á�¾3Ä Ë ¼Sà � Y ¿�Ã�Æ U Í3 T  U » U é � í ¼�×7»�Â�Å R Í UzT ¼�× � Ê Â�Ä©¼Sà RSTNU ¼ �

� ü � 0 ����� ) + � 0 Y »�Í�ÂLÀz � 0 ü b� % � l { ' Y= ü á ����� ç 0 � þ � ' Y= ü â ����� ç 0 �ר¼�À�¿�ÄÈÄ�1 o �é � W í Æ�ÅÈÁ � 0 3 ��×I¼�ÀQ¿�Ä©Ä�# %ß» U é � í��é � X í » U é � í : � � � � é �Lf � j í ר¼�À T ¼SÁàÂ&î3Ã�Å U  T  U � � ��Óº�Í�µÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á T Å©Ã � ¿`Àz �å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â�Í�¼²Á�¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á T�ÓØø à Æ�Â�î3Ã3Å©Ã R Ç�¿ U  R ¼�À ËH� ×I¼�Àå ü å­æzç è)éÝêgëxð�í Y »yÂ&ÀzÂL¾3ÄÈ¿�ÇL � Ê£Ë U Í3Â&»�Â�Å R Í U ÄÈ¿ U�U ÅÈÇL �3254 ¼�× êgësð ÓO Ä©Ägî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T »�Í�Å©Ç�Í T ¿ U Å T × Ë é � Ñ í Ê Â�Ä©¼Sà RQU ¼�Ç�¿ U  R ¼�À Ë9� Y ¿ T Æ�¼

¿�Ä©Ä Í3Å R Í� T�U »yÂLÅ R Í U Á�¼/Æ P Ä©Â T »�Å U ÍØ»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã �!T�P Ç�Í+¿ TqU Í3 ��Â�ÀzÁà¿àÁ�¼/Æ P Ä©Â T � é # í ÓÜ Â&ÀÎÂLÇ�¿�Ä©Ä U Í3Â&Æ�Â�î3Ã�Å U Å©¼Sõ¼�× U Í�ÂúÉ P ¿�à UzP Á��q¿ T Å©Á�ÅÝÀ�¼S¾7ÂLÀο U ¼�À&Ï}Û�Ü W£Y �/Â�Ç Ó `Ð Ó�ø§U Å T ¿

ÇL¼Sà T ÂLÉ P ÂLÃ�ÇLÂ�¼�× é � W í ¿�Ã�Æ é � X í U Í3¿ UQU Í� T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àο å j ¼�× �å é ¼�ÀQ¼S× å ü å­æzç è)éÝêgëxð3ízíR ÂLÃ3Â�Àο U Â�Æ Ê£Ë Ñª¿�Ã�Æ x ' é Ñ�/ 1a3@= í ÍM¿ TqU Í�Â&Æ3ÂLÇL¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà å j ü � �+�'� å j� »�Í�Â�ÀÎÂ

å j�-ü b�� % å j l { ' ��ü!á ����� ç � � � {�' þm� ' ��ü â ����� ç � � ��� ' é Ñ�/@1�3@= í o Yº�Í�Âà»�Â�Å R Í U�T ¾M¿SÇL å j� Å T�T ¾M¿�Ã�Ã3ÂLÆ Ê£Ë ¿�Ä©Ä U Í�Â�Á�¼SÃ3¼SÁ�ÅÈ¿�Ä T x ' ÷ ����� x '�� T�P ÇÎÍ U Í3¿ U<c ' ÷ ������ �Ac '�� ü I Ó �/ÅÈÁ�Å©ÄÈ¿`ÀÎÄ Ë Y�U Í� T�P Ê ¿�Ä R Â Ê Àο å ÿ R ÂLÃ�Â�Àο U ÂLÆ Ê[Ë Ñ+¿�Ã�Æ U Í� y ' Í3¿ T�U Í3ÂÆ�ÂLÇ�¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà å ÿ ü �����'� å ÿÿ � Ó º�Í� T ¾M¿�ÇL T å j� ¿�Ã�Æ å ÿÿ � ¿�ÀzÂàÃ�¼²Ã�Æ� R Â�Ã�Â�Àο U ÂLÄ Ë¾M¿�Å©ÀzÂLÆ Ê[Ë U Í3Â&Þ�¼�¾3×­¾E¿�ÅÝÀzÅ©Ã R�T ¾ ÂLÇ�ÅÝî3ÂLÆ Ê£Ë

é X/Ó Ñ íé y ' þ x d í ü � ' ç dâ f áé � �' þ �%d í ü!á ��� � ç � � � â ��� � ÷ ç � � �é � ð þ { ð3í ü Ñ þ é � ð þ �%d í ü â ÿD��� ç �p�[� þ é � �' þ { ð3í ü�á ��� ç � � � Y

é �/Â�ÂÕÏ}Û�Ü W£Y �/ÂLÇ Ó&W Ð Ó í º�Í�Â�ÞQ¼�¾�×�¿�Ä R Â Ê Àο T �å ¿�Ã3Æ å ¿`ÀΪã=ÀzÅ©Ã�×IÂLÄmäxÆ+Æ�¼ P Ê Ä©Â T ¼S×�ÇLÂ�À U ¿SÅ©ÃÞQ¼�¾�× TzP Ê ¿�Ä R Â Ê Àο T »�Å U Í�ÀΠT ¾ ÂLÇ U­U ¼ U Í�Å T ¾M¿SÅÝÀzÅ©Ã R Ï}Û�Ü W£Y º�Í3Á Ó¥W£Ó �kÐ Ó �A U � � ü Æ�Å©Á� å j� ÓOQT�T�P Á� b � �$ o ���$ ) C Å T ¿ Ê ¿ T Å T ×I¼SÀ å j�³Y ¿�Ã�Æ b � �$ o ���$ ) C Å T U Í�Â�Æ P ¿�Ä Ê ¿ T Å T ר¼�À å ÿÿ � »�Å U Í=Àz T ¾7Â�Ç UU ¼ U Í�Â=¾M¿�ÅÝÀÎÅ©Ã RgÓ� ¼�» Ä©Â U

é X/Ó�W í � ü 9���o� ���9$ ) C� é � �$ í � �$ þ

»�Í�ÂLÀz � Æ�ÂLÃ�¼ U  TyU Í� ¿�à U Åݾ ¼£Æ3 ӥO Ä©Ä Ê P�U î3Ã�Å U ÂLÄ Ë ÁÕ¿�Ã Ë U Â�ÀzÁ T Å©Ã U Í�Å T�T�P Á »�Å©Ä©Ä5¿�Ç U ¿ TÁ P Ä U ÅݾMÄ©Å©Ç�¿ U Å©¼Sà Ê[Ë Z ¼Só¿�Ã Ë »�Â�Å R Í U­T ¾E¿�ÇL � 0 ¼�× � % � Ó º�Í3Â�ÀzÂ�ר¼�Àz � Å T ¿�»�ÂLÄÈÄ�½�Æ�Â�î3Ã3ÂLƼ�¾ Â�Àο U ¼�Ày¼Sà T�P Ç�Í+¿�Áà¼£Æ P Ä©Â � Ó

Page 14: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

2 S E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� Cº�Í� T ÂLÇ�¼SÃ�Æ�¾E¿`À U ¼�× U Í�Â��q¿ T ÅÈÁ�ÅÝÀ^¼S¾7ÂLÀο U ¼�À^ũòÚS¼²ÄÝÚS T ¿ª× P Ã�Ç U Å©¼SÃ�� � � K�� Æ�Â�î3Ã3ÂLÆ

¿ T ר¼SÄ©Ä©¼k» T�ÓNø ×��àÆ�ÂLÃ3¼ U  T Í3¿�ÄÝ× U Í� TzP Á ¼�× U Í�ÂQ¾ ¼ T Å U ÅÝÚSÂ�Àμ£¼ UzT�Y²U Í�ÂLà W � ü ' ðd ) C é = � Ñ fW n í Xid % ��Ó W ¼�À #.% ��YET  U

é X/ÓsX í � é # í ü é á â ÿAC í ÷� � 0 j ��� ç 0 � Y

Ü�Í�ÂLà � Å T ¿ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â=Å©Ã � Y »yÂúÆ�Â�îMÃ� U Í�Â&Ä©ÅÈÃ�Â�¿`Àq¼�¾ Â�Àο U ¼�À� ��� � Ê£Ë� é í ü � é # í

ר¼�À�¿�Ä©Ä % � 0 þ #�% ��Ó º�Í�Â�Ã� Å T »yÂLÄ©Ä�½�Æ�ÂLî3Ã�ÂLÆ Y ¿ T /# ü /� ÅÝ×�¿�Ã3Æ ¼²Ã�Ä Ë ÅÝ× # ü �é # þ � % � í Ï}Û�Ü W£Y B�Àz¼�¾ Ó3X/Ó �kÐ Ó é Ü!Í3ÂLà å ü å­æzç è)éÝêgëxð3í Y Å U Å T Ã�Â�ÇL T�T ¿�À Ë U ¼�î�À TVU î�óØÀμ£¼ UzTá/C�� � ð ¿�Ã�Æßâ C�� � ð ¼�× á ¿SÃ�Æßâ&Å©Ã�K Ó í º�Í�ÂLÃ�� Y ¿ TqR Å©ÚSÂLÃÖ¿ Ê ¼�ÚS Y Å T »yÂLÄ©Äݽ�Æ�Â�î3Ã�Â�Æ Ó Ü�Â&Í3¿LÚSÂU Í�Â=ר¼SÄ©Äȼ�»�ÅÈà R Àz T�P Ä U ×IÀz¼SÁ"Ï}Û�Ü W Ð Ó

KFLEMONPMRQDS.TES0M3U )gX � X�Zz[�\7]o^ �g��,ra dOa ] � e �g�#� 6/ l��`y"o� 6o` � � ������ $ 6o,-,-s��!���1�}�)�)��)�#�A"%$��z�p698 6�u �å 6o8�"o8>4 �å m�,r6(n9s�2t� � % � aÜ Â&ÀÎÂLÉ P ÅÝÀz U Í�ÂúÃ3Â�ó U ÄÈÂLÁ�Á࿳ũÃ+¼�ÀzÆ�Â�À U ¼³¾�Àz¼kÚSªÇL¼SÁ�¾3Ä©Â U Â�ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê ÅÈÄ©Å U Ë Ó

' ���(� � )gX � X�� � �/s�,�� á â ÿAC �0�*8R6o��"�`y6D6o�}6yu1s�8>�z�z4 ^ "98On�2t�+��# þ � % � j a w0u #r? � "98Rn� é # í ü � é � í ^ �)�>��8.# ü � a� `y6D6�u+a ÛyÂ�Ç�¿ P�T  #2? �NY »�ÂßÁÕ¿ Ë T�P ¾�¾ ¼ T  # ü � ��� »�Í�Â�Àz � ü ' ð ÿ5C'*) C 4 ' c ' ¿�Ã3Æ4 ' % �,+ � Ó Û Ë ¿ T�T�P Á�¾ U Å©¼Sõ»yÂúÍ3¿�ÚSÂ

é á â ÿ5C í ÷� � 0 j ��� ç 0s� ü � é # í ü � é � í ü é á â ÿAC í ÷� � � j ��� ç � � þ¿�Ã�Æ�¿ T�á â ÿ5C Å T Ã�¼ U ¿ñÀz¼/¼ U ¼S× P Ã�Å U Ë Y Å U Á P�TVU Ê Â U Í3¿ U�^ # � W � þ # _ ü�^��r� W � þ �%_�Y ¼�ÀÂLÉ P ÅÝÚ�¿�Ä©ÂLà U Ä Ë Y3WQ^ �J� � þ���_%�A^��¥þ���_¥ü Z/Ó �gÅ©Ã�ÇL � % � j Y���ü � C X C � � � X � � ����� � � ð X ð»�Í�ÂLÀz � ' % � ר¼�À�¿SÄ©Ä�1�¿�Ã3Æ � C ? � � ? ����� ? � ð Ó^O Çk¿�Ä©Ç P Ä:¿ U Å©¼SÃ Ë ÅÈÂLÄ©Æ T

Zªü5^uW��(�ôW � þ��g_���^��¥þ���_Aüð ÿAC9'*) CW 4 '�� � ' f � ' j C � Ñ�� �

ð9'*) Cé 4 ' f 4 ' ÿ5C í � þ é 4 � ü�Z�ü 4 ðgí Y

º�Í�ª¼SÃ�Ä Ë »y¿ Ë U Í�Å T Ç�¿SÃßÍ3¿`¾�¾ ÂLÃØÅ T ÅÝ×�4 ' ü�Z ר¼�À�¿SÄ©Ä�1�¿�Ã3Æ # ü �NÓ �' ���(� � )gX � X � �&�&s�,�� á â ÿ5C �0� 8R6'��"�`y6(6'� 6�u s�8l�)�z4oaé Å í � � "'$(�)� "9� ,-s�2��z� 325�p$ "'�z�z6o8 h 4 �)�>���+$ "o2�"o`�� é # í ü é á â ÿAC í ÷� � 0 j ��� ç 0s� 6o8r�)�#��"l�+`/,r",r6Dn9s�2t� � é # í �P�)�)� # % � ^ �>��8R$/�A698 "98>4r�&s h ,r6Dn9s�2��A6o` �+s>6'�z�p�+8l��6yu � é # í aé Å©Å í �g�>�q�+������8 �"92~sl�/� 6�u��)�#� 6� >�+`�"'� 69` � � ��� � "o`y� �08R�!� �9`y"o2( >69���+`/��6�u é á â ÿ5C í ÷�6o8�"98>4 jP8l�)�!�+m�no�0,��+8#�&�p698R"o2 � % � a ���g6o` å ü å­æ�ç}è)éÝêgëxð3í ^ �)�>�������%�+8 �E"o25sl���A"9` ��)8l�!�!�9`y"92> #69����`/� 6�u é á â ÿAC í C�� � ð � a

Page 15: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 2">� `y6D6�u+aQÛ Ë Å UzT ÇL¼Sà TVU À P Ç U Å©¼Sà Y � � ¿�Ç UzT Ê[Ë Á P Ä U Å©¾3Ä©Å©Ç�¿ U Å©¼Sà Ê[Ë � é # í ü é á â ÿ5C í ÷� � 0 j ��� ç 0 � ¼SÃU Í�³Áà¿`ó/Å©ÁÕ¿�ÄAÚSÂ�Ç U ¼�À1� 0 ¼�× � é # í Ó Û PgU=T Å©Ã3ÇL � é # í ü �å Y � 0 ¿�Ã3Æ � �!ÇL¼SÁ�Á PgU  T »�Å U Í�å ¼SÃßÁ�¼/Æ P ÄÈ T Å©Ã � Y � �(¿�Ç UzT ¿ T Á P Ä U Åݾ3Ä©ÅÈÇ�¿ U Å©¼²Ã Ê[Ë é á â ÿAC í ÷� � 0 j ��� ç 0s� ¼²Ã+¿�Ä©Ä ¼�× � é # í Óø × � % � Å T î3Ã3Å U Â�½�Æ�ÅÈÁ�ÂLà T ÅȼSÃ3¿�Ä Y Å U Í3¿ T ¿�ÇL¼SÁ�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà T ÂLÀzÅ©Â T�Ó 6 ¿�Ç�Í�ר¿�Ç U ¼�À5Å T ¿�î3Ã�Å U Â�½

Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â�»�Å U Í »�ÂLÅ R Í UÎT Å©Ã ��Y ¿SÃ�Æ�ÅÈÃ�¾M¿`À U Å©Ç P Ä:¿`À Y Å T ¿ñÉ P ¼ U Å©ÂLà U¼�× � é # í ר¼�À T ¼SÁà # % ��Ó�Ô Ã T�P ÇÎÍ<¿ô×�¿�Ç U ¼�À Y � �¿�Ç UzT ¿ T Á P Ä U ÅݾMÄ©Å©Ç�¿ U Å©¼SÃ Ê£Ë � é # í Óº�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz U Í�Â&¿�Ç U ÅȼSÃÕ¼S× � ��¼Sà � Áà¿ ËÕÊ Â=Â�ó/¾�Àz TzT ÂLÆ Ê[Ë ¿�à P ¾�¾ Â�À U ÀzÅ:¿�à RSP Ä:¿`À^Áà¿ U ÀzÅ�ó»�Å U ÍÖÂ�¿�Ç�ÍÖÆ�ÅÈ¿ R ¼²Ã3¿�Ä7ÂLà U À Ë ÂLÉ P ¿�Ä U ¼ � é # í ר¼�À T ¼²Á� #.% ��Ó �' ���(� � ) X)Y3X�� �&�&s�,�� á â ÿ5C �.�F8R6'� " `�6D6o��6�u*s�8>�z�z4oa1f �+� #.% � "o8Rn � h �-"�8R698��D��`y6jP8>�z�!��m�n9�),���8>�&�p698R"o2 �+s>6o�z� ��8R��6yuF�)�#�#"l�+`�,r"�,r6Dn9s�2�� � é # í a �g�#�+8 � �.�*�/�0,1 32��(a� `y6D6�u+a W Å©À TVU ¼ Ê T Â�À�ÚS U ÍM¿ U Ê[Ë �5ÂLÁ�Áà¿ W/Ó Y #.% � j ÓNO�TzT�P Á� �2� Å T ¿y¾�Àμ�¾ Â�À T�P Ê Á�¼/Æ P ĩ¼�× � Ó�O�T � Å TÖR ÂLÃ3Â�Àο U Â�Æ Ê£Ë Å UzT ¼SÃ3Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�Ä T�P Ê T ¾M¿�ÇL � 0 Y »y Á P�T�U Í3¿LÚSÂ� �0 ü Z/Ó �A U � % � Ê ÂQÁà¿)ógÅ©Áà¿�Ä T�P Ç�Í U Í3¿ U � �� uü�Z/Y ¿�Ã�ƵÃ�¼ U  U Í3¿ U � 3 # Ó �A U} � Ê Â¿�Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ³ÚSÂLÇ U ¼�À�¼S× ���� Ó¥ø§U ר¼SÄ©Äȼ�» T ×IÀz¼SÁ U Í�ÂúÁÕ¿)ó/ÅÈÁà¿�Ä©Å U Ë ¼S× ��U Í3¿ U x ' Y= � ü-Z ר¼�À�¿�ÄÈÄ1 é Ñ�/ 1a3 = í Ó �A UzU Å©Ã R ��� � ü �å Y= � Y ¿�Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ�îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�ÄMÉ P ¼ U Å©ÂLà U ¼�× � é � í Y»y T ÂL U ÍM¿ U � % � j ¿ T »yÂLÄ©Ä Ó Û Ë �AÂLÁ�ÁÕ¿ X/Ó I é Å í Y � �!¿�Ç UÎT ¿ T Á P Ä U Åݾ3ÄÈÅ©Ç�¿ U ÅȼSà Ê[Ë � é # í¼Sà � Y ¿�Ã3Æ Ê[Ë � é � í ¼Sà � � � Ó º�Í�Å T ר¼�ÀzÇL T � é # í ü � é � í Y »�Í�Å©Ç�ÍÖÇL¼Sà U ÀοSÆ�Å©Ç UzT �AÂ�Á�Áà¿ X/Ó �¿ T�� 3�# Ó �W Å©Ã3¿SÄ©Ä Ë »y T�U ¿ U  U Í3ÂàÃ�ÂLÂ�Æ�ÂLÆ ÇL¼SÁ�¾3Ä©Â U ³ÀÎÂLÆ P ÇLÅ Ê Å©Ä©Å U Ë Àz TzP Ä ULY »�Í�¼ T Â�¾3Àz¼/¼�×^¾E¿`Àο�Ä©ÄÈÂLÄ T

U Í3¿ U ¼�×yÏ � Y º�Í�Á Ó I Ó�W£Ó�W Ð Ó����� MRL � � ) X��gX�� � �&s�,�� á â ÿAC �0��8R6'�*"�`y6(6o�*6yurs�8>�z�z49aif �+� � h � "�8R698 �(��`y6Aj}8>�)�!�+mn9�),���8>�&�p698R"o2 �å m�,r6(n9s�2t� 6o8 � ���z$+� �å � "%$��)�k�+�+,-�.�/�0,1 3254oa �g�#��8 � �0�|$&69,1 32����!��2~4i` ��mn9s>$�� h 2��(a� `y6D6�u+a � P ¾�¾ ¼ T ÂNî�À TVUAU ÍM¿ U � Í3¿ T »�ÂLÅ R Í UÎT Å©Ã ��Ó º�Í�ÂLà � Å T ¿�Æ3ÅÝÀzÂLÇ U@TzP Á-¼�× R Â�Ã�Â�Àο�ÄÈÅ��LÂLÆÂLÅ R ÂLà T ¾M¿SÇL T ×I¼�À � � Y »�Í�Å©Ç�Í Ê[Ë B¥Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà X/Ó Y Å T ¿�Æ�ÅÝÀzÂ�Ç U�T�P Á Æ�ÂLÇL¼SÁ�¾7¼ T Å U Å©¼²Ãà¼�× �¿ T ¿ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Ó º�Í�Â�ÀzÂ�ר¼�Àz Y »y ÁÕ¿ Ë ¿ T�T�P Áà � Å T Å UzT ÂLÄÝ×�¿ R ÂLÃ3Â�Àο�Ä©Å �LÂLÆØÂLÅ R Â�à T ¾M¿�Ç�Âú¼�×� � Y/T ¼ U Í3¿ U é � � f é á â ÿAC í �Îí � é � í ü-Z ר¼�À T ¼SÁ� ,% C� �=þ � ü Æ�ÅÈÁ � Y Ê[Ë �AÂLÁ�ÁÕ¿ X/Ó Ié Å©Å í Ó

�A U � ü b� % � l x ' Y= ü Z é Ñ / 1h3 = í o Y ¿�Ã�Æ<Ã�¼ U  U Í3¿ U � ü � 0 ��� � 0 Y� 0 ü ��� � 0 Ó�ø × % � 0 f bkZ o YgU Í� �å ½ TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈ �å Y= ¼�× � Å T ¿³Ã�¼SÃv�LÂLÀz¼³É P ¼ U Å©ÂLà U¼�× � é # í Ê£Ë º�Í�ÂL¼�ÀÎÂLÁ W£Ó Ñ Ó Û Ë �5ÂLÁ�Áà¿ X/Ó � Y Â�¿�Ç�Í T�P Ç�Í �å Y= Å T ¿ T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P ÄÈ Y¿�Ã�Æ T ¼ U Í� �å ½ TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈ ��� ¼S× � R Â�Ã�Â�Àο U ÂLÆ Ê£Ë � Å T ¿ TzP Á ¼�× T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T�Óº�Í3¿ U Å T�Y � � Å T Ç�¼SÁ�¾3Ä©Â U ÂLÄ Ë ÀzÂ�Æ P ÇLÅ Ê Ä©Â Ó �A U � � � ü � � � � ÓOQT�T�P Á�ÅÈà R � � � uü Z/Y^U Í�Â�ÀεŠT ¿ô»�Â�Å R Í U � % � Áà¿)ógÅ©Áà¿�Ä T�P Ç�Í U Í3¿ U � � �� uü Z/Ó øuU

ר¼SÄ©Ä©¼k» T ×IÀz¼SÁ U Í�Â�Áà¿)ógÅ©Áà¿�ÄÈÅ U Ë ¼�× � U Í3¿ U x ' Y= � � ü Z ×I¼SÀ � � % ��� �� f|bkZ oµ¿�Ã�Æ ×¨¼�À�¿�ÄÈÄ1 é ÑF/ 1�3 = í Ó Û Ë �AÂLÁ�ÁÕ¿ W£Ó Y � % � j Y ¿�Ã�Æ Ê[Ë º�Í�Â�¼�ÀzÂLÁ W£Ó Ñ+¿SÃ�Æ �AÂ�Á�Áà¿ X/Ó I Y� �!¿�Ç UÎT ¿ T Á P Ä U Åݾ3Ä©Å©Çk¿ U Å©¼SÃ Ê£Ë � é � í ¼²Ã U Í�Â å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â å Y= � � R ÂLÃ�Â�À�¿ U ÂLÆ Ê[Ë � � Ó º�Í�Å TÅ©Á�¾MÄ©Å©Â T � é � í ü é á â ÿAC í � Ó

�A U % � � Ê ÂØ¿�ÀzÂ�¾�ÀΠT ÂLà U ¿ U Å©ÚSÂ�×I¼SÀ � � % é � � ��� í � Y ¿SÃ�Æ � C ü �å Y= Ó º�Í�Â�ÃU Í�ÂLÀzÂ�Å T ¿ú»yÂLÅ R Í U J % � Áà¿)ógÅ©Áà¿�Ä T�P Ç�Í U Í3¿ U � C � ��� uü�Z/Ó �5 U C % � C � ��� f bkZ o Y

Page 16: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

2�; E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� CT ¼ U Í3¿ U x ' Y= C ü Z ר¼�À&¿�Ä©Äe1 é Ñ9/ 1&3G= í Ó�O�R ¿SÅ©Ãñ¿`¾3¾3Ä Ë Å©Ã R º�Í3ÂL¼�ÀzÂLÁ W£Ó Ñ ¿SÃ�Æ<�5ÂLÁ�Áà¿ TW£Ó à¿SÃ�Æ X/Ó I Y »yªÍM¿LÚS J % � j ¿SÃ�Æ � � é C í ü � é J í C Ó º�Í�Â�ÀÎÂ�×I¼SÀzÂ�� é J í ü é á â ÿAC í � ÓÜ ÂµÃ�¼k» ÍM¿LÚS � é � í ü � é J í Y »�Í�Â�Àz J þ � % � j Y ¿�Ã�Æ J ? � Ê[Ë ÇL¼Sà TVU À P Ç U ÅȼSÃ Ó Û Ë

�AÂ�Á�Áà¿ X/Ó � Y J ü �NY3T ¼ � C Å TyU Í�Âú¼²Ã�Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä T ¾M¿�ÇL T ¾E¿�Ã�Ã�ÂLÆ Ê£Ë Y ¿�Ã�Æ x ' Y= üZ é Ñ / 1 3 = í Y�U Í3¿ U Å T % � Ó º�Í�Å T Å©Á�¾MÄ©Å©Â Tr � � ü Z/Y ¿�Ç�¼Sà U Àο�Æ�Å©Ç U Å©¼Sà U ¼ U Í3¿ T�TzP Á�¾ U ÅȼSà U Í3¿ U ��� � uü�ZgÓ º�Í�Â�ÀzÂ�ר¼�Àz ��� � ü-Z/Y ¿�Ã�Æ � ü ��� Å T ÇL¼SÁ�¾3ÄÈ U ÂLÄ Ë ÀÎÂLÆ P ÇLÅ Ê Ä©Â ÓW Å©Ã3¿SÄ©Ä Ë Y »�Í�Â�à � Æ�¼/ T Ã�¼ U Í3¿�ÚSÂ�»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Y »�ÂÕÁà¿ Ë ¿ T�T�P Áà U Í3¿ U � Å T Å©Ã�Æ3Â�½

ÇL¼SÁ�¾7¼ T ¿ Ê Ä©Â Ó Û Ë ��ÂLÁà¿`À�Ì W£Ó Ñs� Y � ÍM¿ T ¿SÄ©Ä@Å UzT »�Â�Å R Í UzT Å©Ã � � /� ר¼�À T ¼²Á� � T ¿ U Å T × Ë ÅÈà Ré W£Ó Ñs� í Ó Û Ë �AÂLÁàÁà¿ W/Ó Ñ � Y � �ü � (�×I¼SÀ T ¼SÁà �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â ( »�Í�¼ T Âà»�Â�Å R Í UzT ¿`Àο�Ä©Ä�Å©Ã ��Ó � ¼ U  U ÍM¿ U �å � ¿�Ç UzT T ÂLÁàÅ T Å©Á�¾MÄ Ë ¼Sà ( ¿ T »yÂLÄ©Ä é ( ü ö[÷ ��� í Y ¿�Ã�Æ T ¼(.Å T ÇL¼²Á�¾3Ä©Â U ÂLÄ Ë ÀzÂLÆ P Ç�Å Ê Ä©Â Ê£Ë U Í�µ¿ Ê ¼kÚSÂØ¿`À RSP ÁàÂLà U�Ó º�Í3Å T ÅÈÁ�¾3Ä©Å©Â TúU Í3¿ U � Å UzT ÂLÄÝ×qÅ TÇL¼SÁ�¾3Ä©Â U Â�Ä Ë ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê Ä©Â Ó �� ��� �>L�� )gX � X øuU Å T Ã�Â�ÇL T�T ¿�À Ë U ¼+Å©Ã�Ç�Ä P Æ� U Í�ÂÕÍ Ë ¾ ¼ U Í� T Å T=U Í3¿ U �å(� ¿�Ç UzT�T ÂLÁ�Å T Å©Á�¾3Ä ËÅ©Ã º�Í3ÂL¼�ÀzÂLÁ X/Ó � Y ¿ T&U Í�³Ã�Â�ó U Â�ó�¿�Á�¾MÄ©Â T Å©Ä©Ä P�T�U Àο U Â Ó é ��ÂLÇk¿�Ä©Ä U Í3¿ U �å � Æ3¼£Â T Å©Ã�Æ�ÂLÂ�Æ�¿�Ç UT ÂLÁàÅ T Å©Á�¾MÄ Ë ¼SÃñ¿�Ã Ë T ÅÈÁ�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Y ¿ T ÀzÂLÁÕ¿`À�ÌSÂLÆßÅÈà U Í� U Â�ó U ×I¼SÄÈÄ©¼�»�Å©Ã R é Ñ Ó I í Ó í �A U! ü K ר¼�À ? W ¿�Ã3Æ�� þ � � % K � bkZ o Ó Ü Â³Æ�Â�îMÃ�Â�¿ �å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â T�U À P Ç UÎP ÀzÂú¼SÃH! Ê£ËÀzÂLÉ P ÅÝÀÎÅ©Ã R�U Í3¿ U x ' þ[y ' ¿�Ç U ¿ T Á P Ä U Åݾ3Ä©ÅÈÇ�¿ U Å©¼²Ã Ê[Ë Z ¿SÃ�Æh{ ' þ[� ' ¿�Ç U Ú/ÅÈ¿ U Í� ��7 û²¼�ÀzÆ3¿SÃÊ Ä©¼/ÇÎÌ T »�Å U ÍØÆ�ÅÈ¿ R ¼²Ã3¿�ÄEÂLà U ÀzÅ©Â T � þ � � Y Àz T ¾ ÂLÇ U ÅÝÚSÂLÄ Ë Ó º�Í�Â�ÃÕÀÎÂLÄÈ¿ U ÅȼSà T é �ªÑ í ½ é �m� í ¼�× �å Í�¼SÄÈƼSà ! Ó º�Í� T Ç�¿�ÄÈ¿�À T � þ � � Áà¿ Ë�Ê ÂØÇÎÍ�¼ T ÂLà T ¼ U Í3¿ U ! Í3¿ T »yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Y ×I¼�À³Â�ó�¿�Á�¾3ÄÈÂÇ�Í�¼/¼ T Â�¿�ÃàÅ©Ã U  R Â�À Y Ä©Â U # ü é X C � ����� � X ð3í Y ¿�Ã�Æ T  U � ü�á � ü /# é { ' í þ � � ü â � ü /# é � ' í Ó�yÄ©Âk¿`ÀzÄ Ë ! Å T Ã�¼ U ÇL¼SÁ�¾3ÄÈ U ÂLÄ Ë ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê Ä©Â Ó^O ÀzÂ�ÄÈ¿ U ÂLÆÖÂ�óg¿�Á�¾3Ä©Âúר¼�À å­æzç è)éÝêgë}ð3í Å T�R Å©ÚSÂLà ʣËT ÂLÃ3Æ�Å©Ã R Â�¿�Ç�Í � ' þ � �' U ¼ U Í�Â�û²¼�ÀzÆ3¿�Ã Ê Ä©¼/ÇzÌ�»�Å U ÍÖÑ T ¼Sà U Í3ÂqÆ�ÅÈ¿ R ¼²Ã3¿�Ä Y`U Í P�T ÇL¼SÀ�Àz T ¾ ¼SÃ3Æ�Å©Ã RU ¼ U Í�Â=»�Â�Å R Í U�Z/Ó

M��eP��ªFA1 ò ��U�9�B74 8�ø à U Í3Å T�T Â�Ç U Å©¼SÃß»�Â�ÀzÂLÇ�¿SÄ©Ä U Í�Â�Æ�Â�î3Ã3Å U Å©¼SÃÖ¼S× U Í� òQ½�Áà¿ U ÀzÅÝóØ×IÀz¼SÁ Ï}Û�Ü W£Y �/ÂLÇ Ó �Ð�¿�Ã3Æ

P�T Â�Å U&U ¼Ø¾�Àz¼kÚSÂ�¿ÖÁ�¼�ÀΠR ÂLÃ�Â�À�¿�ÄAÀΠT�P Ä U ¼Sà U Í�³ÇL¼SÁ�Á PgU ¿ U ÅÝڣŠU Ë ¼�× U Í� U Â�à T ¼�À=¾�Àz¼/Æ P Ç U¼�×�îMÃ�Å U Â�½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�ÄNÁ�¼/Æ P Ä©Â TúU Í3¿�Ã�»y¿ T³R Å©ÚSÂLà U Í�Â�Àz é ÇL¼SÁ�¾M¿`ÀzÂ�Ï}Û�Ü W/Y º�Í�Á Ó Ó ÑSÑ�л�Å U Í<º�Í�ÂL¼SÀzÂLÁ Ó�W Ê Â�Ä©¼�» í Ó �5 U � þ � � Ê Â �å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â T Å©Ã(Ç�¿ U  R ¼�À Ë@� Ó Ü ÂñÆ�Â�î3Ã3¿�à ŠT ¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á"¼�× �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ò � ç "� � ��� � � �A� � ¿ T ר¼SÄ©Äȼ�» TLÓ ø × # ü' ð'*) C # ' c ' % ��Y »�Í�Â�Àz c ð üAX ð Y�T  U

� 0 ü�� 0 ÷C ����� �0 ö[÷ð ÿAC {

0 ð ¿SÃ�Æ � �0 ü é � � C í0 ÷ ����� é � �ð ÿAC í

0 ö[÷ � 0 ð YO Ä T ¼�Ä©Â U

ü 9�+�'� ���9$ ) C

� �$ � � �$ þ»�Í�ÂLÀz U Í�Â&Ã�¼ U ¿ U Å©¼²ÃµÅ T ¿ T Å©Ã U Í�Â=¾M¿`Àο R Àο`¾3͵ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã R é X/Ó Ñ í Ó ã&Â�îMÃ�Â

ò� � ç ü �� �y � �»�Í�ÂLÀz �Õé � � í ü� � � Y �y é � �:í ü é � �� þ � 0gí ÿ5C é � �Èí »�Í�ÂLà % � 0 ¿�Ã3Æ � % ����MY ¿SÃ�Æ U Í�ÂàÞ�¼�¾3×�¾E¿�ÅÝÀzÅ©Ã R é þ í Å T Æ�Â�îMÃ�ÂLÆ�Å©Ã é X/Ó Ñ í Ó é º�Í�ÂLÀzÂ�Å T ¿SÃ�ÂLÉ P ÅÝÚ�¿�Ä©ÂLà U

Page 17: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 2"4

Æ�Â�îMÃ�Å U Å©¼²Ãñ¼�× �y�U ÍM¿ U »y¼�À�Ì T Å©Ã U Í�Â�Ç�¿ T  å ü åNæ�ç è)éÝêgësðgí Y­R Å©ÚSÂLÃ�Å©Ã�Ï}Û�Ü W Ðy¿`× U Â�À é ÓsX í Ó íº�Í�Â�Ã<ò � ç Å T ¿�Ã(Å T ¼SÁà¼�À�¾3Í�Å T Á ¼�× �å ½�Á�¼/Æ P ÄÈ T³U Í3¿ UÕT ¿ U Å T î3 T³U Í�Â+É P ¿Sà UzP Á��^¿�à R ½Ûq¿)ó U Â�À�ÂLÉ P ¿ U Å©¼SÃÖ¿�Ã�Æ U Í3ÂúÍ�Â�ó�¿ R ¼SÃØÅ©Æ3ÂLà U Å U Å©Â T Ï}Û�Ü W£Y º�Í�Á T�Ó Ó ÑSÑ Y � Ó Y ¿�Ã3Ær� Ó �kÐ ÓÜ Â »�Å©ÄÈÄ T Í�¼k» U Í3¿ U�U Í3 U Â�à T ¼�ÀQ¾�Àz¼/Æ P Ç U ¼�×q"o8>4 U »y¼Øî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T

Å©Ã � Å T ÇL¼SÁ�Á PgU ¿ U ÅÝÚS é P ¾ U ¼ñÁ�¼/Æ P Ä©Â�Å T ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á í YATVU ¿�À U Å©Ã R î3À TVU »�Å U Í U Í� T ¾ ÂLÇ�ÅÈ¿�ÄÇ�¿ T  U ÍM¿ U ¼SÃ3Â�¼�× U Í�Â�Áà¼£Æ P Ä©Â T Å T ¿ ¼SÃ�Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ£Áà¼£Æ P Ä©Â ü� é � í Y ¿ T Æ�Â�îMÃ�ÂLÆàÅÈÃ�/ÂLÇ U Å©¼Sà W£Ó' ���(� ���gXzVOX fg��� � h �q" �å m�,r6(nos�2�� �087$ "'�!� �'6o`�4 ��^ "98Rn 2t�+� h �1"v698O�+m�no�0,��+8#�&�p698O"92�å m�,r6(nos�2��(a �g�#��8 � � �ü � � Y� `y6D6�u+a W ÅÝó�¿ Ê ¿ T Å T ÂLÄ©Â�Á�ÂLà U ��¼�× Ó ã&Â�îMÃ�Â�¿�Ä©Å©Ã�Â�¿�À�× P Ã3Ç U Å©¼Sà � � ����� � ¿ T ר¼SÄ©Äȼ�» TLÓ­ø × % � 0 ¿�Ã�Æ # ü f ' ð'*) C ' c ' YgU Í�Â�Ã� é � � í ü � � ÷C ����� � � ð � � þ»�Í�ÂLÀz � ' ü � é � ' í ü � é � �' í&é Ñ>/t1a3t= í ¿�Ã�Æ7� ð ü � é { ðgí Ó �yÄ©Âk¿`ÀzÄ Ë �HÅ T Ê Å Â�Ç U ÅÝÚS Y ¿�Ã3Æ»yÂúÇÎÍ3ÂLÇzÌ U ÍM¿ U �HÅ T ¿ �å ½�Í�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á

x ' Y � é � � í ü � � ÷C ����� � � ð é x ' � Ñ ��� ' � x ' íLé � � í ü � � ÷C ����� � � ð x ' Y= � �Ô Ã U Í�Â&¼ U Í�ÂLÀ�Í3¿�Ã�Æ Y ¿ T x ' Y= % � 0 j � � Y »�ªÍ3¿LÚSÂ� é x ' Y é � � í�í ü � ' � é � � x ' í ü � ' é � � ÷C ����� � � ��ÿAC' ����� � � ð í x ' Y= � � ü x ' Y � é � � í Y�/Å©ÁàÅ©ÄÈ¿`ÀzÄ Ë Y �$ÇL¼SÁ�Á PgU  T »�Å U Í y ' Ó�O�TyU Í3ÂQ¿�Ç U Å©¼Sà Ê[Ë { ' þ[� ' ¾�Àz T Â�À�ÚS T^U Í�ÂQ»yÂLÅ R Í UyT ¾M¿�ÇL T�Y� ÇL¼SÁàÁ PgU  T »�Å U Í@{ ' þ[� ' é ÑH/ 1J/ = í ¿ T »yÂLÄ©Ä Ó º�Í�Â�ÀzÂL×I¼�ÀÎÂ�� Å T ¿�à ŠT ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å T Á"¼�×�å ½�Áà¼£Æ P Ä©Â T�Ó ������ MRL � � � X � X f �+� � "98Rn ���Ph � jP8>�z�!��m�n9�),���8#�/�z6o8R"92O,r6(nos�2t�/� u+69` �å �!`y��� a ^ å �}�)�)��å � �!`y��� a ^ å � �"'$(�z�08����+��,-�0�&�),1 O2~4oa��g�#�+8

� �t� � �ü � � �@� Y� `y6D6�u+a OQT�U Í� U ÂLà T ¼�À³¾�Àz¼/Æ P Ç U Æ3Å TVU ÀzÅ Ê PgU  T ¼kÚSÂ�ÀÕÆ�Å©ÀzÂLÇ U�T�P Á T�Y »yÂ+ÁÕ¿ Ë ¿ T�TzP Á� U Í3¿ U� ¿SÃ�Æ � � ¿`ÀzÂØÅ©Ã3Æ�ÂLÇL¼SÁ�¾7¼ T ¿ Ê Ä©Â Ó º�Í�Â�ÀzÂL×I¼�ÀΠU Í�ÂÕ»yÂLÅ R Í UzT ¼�× � ¿`ÀzÂØ¿�Ä©Ä�Å©Ã � � /� ×I¼�ÀT ¼SÁિ�Ä R Â Ê Àο³Í�¼SÁà¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å T Á � �å�� � KH»�Å U Í7� é � ' í ü � é � �' í Ó é �gÂLÂ���Â�Áà¿`À�Ì W£Ó ÑO� Ó íÛ Ë �AÂLÁ�ÁÕ¿ W£Ó Ñ � Y � �ü � ( ×I¼SÀ T ¼SÁ�ÂàÁ�¼/Æ P Ä©Â ( »�Å U Íô»yÂLÅ R Í UzT Å©Ã ��Ó �gÅ©Á�Å©ÄÈ¿�ÀzÄ Ë Y��� �ü � � ( � ×I¼SÀ T ¼SÁ�ÂF� � Ó Û Ë �AÂ�Á�Áà¿ Ó Ñ�¿�Ã�Æ�Ï}Û�Ü W£Y º�Í3Á Ó Ó ÑSÑ�Ð Y� � � � �ü é � ( í � é � � ( � í �ü é � � í � é ( � ( � í�ü é � � í � é ( � � ( í�ü é � � ( � í � é � ( í �ü � � �@� Y��

Page 18: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

2�? E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� CM��P��ª1�>AJk2A4�K32��Õ1�4@J�2��ñB7F@1ô> 9�B7¸@479%SrUQ25·A¸:S[1

ø à U Í�Å T­T ÂLÇ U ÅȼSÃú»yÂqÇL¼Sà T Å©Æ�Â�À U ÂLà T ¼SÀ5¾ ¼k»�Â�À T ! #:$ ü ! � ! � ����� � ! é 4&×�¿�Ç U ¼�À T í ¼�× U Í3ÂÃ3¿ UÎP Àο�Ä@Áà¼£Æ P Ä©Â�! ×I¼�À �å é Æ�ÂLî3Ã�ÂLÆßÅÈÃP�/Â�Ç U Å©¼SÃ Ñ í Ó �/ U ò ü ò - ç - Y ¿�Ã�Æñר¼�À Ñ</|1]3A4 YÄ©Â U ò(' Ê Â U Í3 �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â&Å T ¼SÁà¼�À�¾3Í�Å T Á ¼SÃr! #:$ Æ�Â�îMÃ�ÂLÆ Ê£Ë

ò(' é � C � � � � ����� � � $ í ü � C � ����� � � ' ÿAC � ò é � ' � � ' j C í � � ' j � � ����� � � $ Yº�Í�Â�Ã�Å U Å T ¿ ÇL¼Sà T ÂLÉ P ÂLÃ�ÇLÂñ¼�× U Í3ÂñÉ P ¿�à UzP Á �^¿�à R ½uÛq¿)ó U Â�ÀµÂ�É P ¿ U Å©¼Sà U Í3¿ UµU Í�Â Ê Àο�ÅÈÆÀzÂLÄ:¿ U Å©¼Sà T Í�¼²Ä©Æ

é � Ó Ñ í ò ' � ò ' j C � ò ' ü ò ' j C � ò ' � ò ' j C ×I¼�À Ñ>/@1�3G4ò ' � ò d�ü ò d � ò ' ר¼�À l 1 f n l ? W~Y

Ü Â&»y¼ P ÄÈÆÖÄ©ÅÝÌS U ¼�¿�À RSP  U ÍM¿ U

é � Ó�W í ò �' ü é Ñ f�á â ÿAC í ò ' ��á â ÿAC ø Æר¼�Àú¿�Ä©ÄD1 ü Ñ þZYZYZYkþ 4 f Ñ Ó W ¼�À U Í�Å T Å U=T�P�� ÇL T�U ¼µ»y¼�À�Ìß»�Å U Í U Í� W ½mר¼SÄ©Æ U ÂLà T ¼SÀ�¾�Àz¼/Æ P Ç U! � ! ÓKFLEMONPMRQDS.TES0M3U � X*)gX \ �>��8O� ���`�âHuü f�á ^ �)�#� �å m ,r6Dn9s�2��<! � ! n%� $ 6o,1 #6���/���)8l� 6��z� 6�&�),1 O2t� �å m!�/s h ,r6(nos�2���� ^ � �æzç è é ! í �!�)�#� é á)þ â í m �&4,-,����z`/�p$ �!�+8#��6o`/��F"98Rn�� �æ�ç}è é ! í � �)�#� é ákþ â í m"98R�z�.�/4E,-,����z`��z$A�!�+8#��6o`&�a��g�>�/��� ,r6(n9s�2t�/� "o`y�vn��zjP8O� n7"�Pu+692)2�6o� ���é Å í � �æ�ç è é ! í �.���)�#� �! #"98r6yu b � ' � � ' l Ñ�/@1�/ =�o� b � ' � � ds� â�� d � � ' l Ñ�/@1�3zn0/@=�o%aé Å©Å í � �æ�ç}è é ! í �0� �)�#�F� >"98�6yu b ��' � � d f á � d � ��' l Ñ�/@1a3�nJ/ =�o Y� `y6D6�u+a O Ç�¼SÁ�¾ PgU ¿ U Å©¼Sà T Í�¼k» T¥U Í3¿ U � �æzç è é ! í ¿�Ã�Æ � �æzç è é ! í ¿`Àz �å ½ T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â T ¼S×e! � ! Ó

� ¼ U  U Í3¿ U Â�¿SÇÎÍà»�ÂLÅ R Í U^T ¾M¿�ÇLÂ�¼�× � �æ�ç}è é ! í Å T ¼²Ã�Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä/¿�Ã�ÆàÅ T¥T ¾M¿SÃ�Ã�ÂLÆ Ê£Ë ¼SÃ�Â�¼�×U Í�ª»�Â�Å R Í U ÚSÂLÇ U ¼�À T ÄÈÅ TVU ÂLÆ+Å©Ã é Å í Ó º�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�ÀzÂú¿�Ã Ë T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â&¼�× � �æ�ç è é ! í Á P�T�U ÇL¼²Ã U ¿SũüSÃ�³¼�× U Í� T ªÚSÂLÇ U ¼�À T�Ó&ø§U Áà¿ Ë+Ê Â³ÇÎÍ3ÂLÇzÌSÂ�Æ U Í3¿ U ¿�Ã Ë ¼�× U Í� T  ÚSÂLÇ U ¼�À T=R ÂLÃ�ÂLÀο U  T ¿�Ä©Ä­¼�×� �æzç è é ! í Å©ÃÖÇ�¿ T ÂúâJuü5fqá/Ó�ø ÃÖ¾M¿`À U Å©Ç P Ä:¿`À Y � C � � C Å T ¿³Í�Å R Í� TVU »yÂLÅ R Í U ÚSÂLÇ U ¼SÀ Y ¿�Ã�Æ R ÅÝÚSÂ�ÿ�Ã Ë ¼ U Í3Â�ÀúÚSÂLÇ U ¼�À ÅÈà é Å í Y5U Í3Â�ÀzÂàÅ T ¿�à ÂLÄ©Â�Á�ÂLà U ¼�× å U ¿`Ì/Å©Ã R Å UªU ¼ � C � � C Ó º�Í�Â�ÀÎÂ�×I¼SÀzÂ� �æzç è é ! í Å T=T ÅÈÁ�¾3Ä©Â ÓQOHT ÅÈÁ�Å©ÄÈ¿`À=¿`À RSP Á�ÂLà U ¾�Àz¼kÚS TQU Í3¿ U � �æ�ç}è é ! í Å T=T Å©Á�¾MÄ©Â Y »�Å U Í�Í�Å R Í� TVU»yÂLÅ R Í U ÚSÂLÇ U ¼SÀ � C � � � f á � � � � C Ó �� ��� �>L�� � X�� X º�Í�Âôâ ü fqá Ç�¿ T ÂñÅ T� Ã�¼Sà R Â�Ã�Â�ÀzÅ©Ç Y � ¿�Ã�Æ�Å©Ã U Í�Å T Â�ó/Ç�Â�¾ U Å©¼²Ã3¿�ÄyÇ�¿ T  Y! � ! Ã3ÂLÂLÆßÃ�¼ U Ê ÂªÇL¼SÁ�¾3Ä©Â U Â�Ä Ë ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê ÄÈÂ Ó W ¼�ÀQÂ�ó�¿�Á�¾3Ä©Â Y »�Í�ÂLÃh= ü W »�ÍM¿ U Í3¿`¾3¾7Â�à TÅ T�U Í3¿ U � C � � � f á � � � � C T ¾M¿�à T ¿+¼SÃ3Â�½�Æ�Å©Á�Â�à T Å©¼SÃM¿�ÄNÁ�¼/Æ P Ä©Â é ¿ T Å U Æ�¼/ T ר¼�À�= ü WR ÂLÃ3Â�ÀzÅ©Ç í U ÍM¿ U Å T Ã3¼ U ÇL¼SÁ�¾3Ä©ÂLÁ�Â�à U Â�Æ ÅÈÃG! � ! Ó!ï ¼£Æ P Ä©¼ U Í3¿ U�T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â Y � C � � CT ¾M¿Sà T ¿ñ¼SÃ�Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ�Á�¼/Æ P Ä©Â Ó�ï ¼/Æ P Ä©¼ U Í�ÂàÀz T�P Ä U Å©Ã RßU »y¼`½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä�Á�¼/Æ P Ä©Â Y� C � � � � á � � � � C ¿�Ã�Æ|� � � � � T ¾M¿SÃ+¿ U »�¼`½�Æ3Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿�ÄEÁ�¼/Æ P ÄÈ Ó

Page 19: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ 2�M

KFLEMONPMRQDS.TES0M3U � X � X �g�>�*,-�)8>�),-s�, #6o2548R6o,-�z"o2 6yuqò ü ò - ç - 6o8L! � !G�0� é �:f Ñ í�é �v�á â ÿ5C í � u�â0uü fqá a� `y6D6�u+a ø§U ר¼SÄ©Äȼ�» T ×:Àz¼²Á U Í�Â�Æ�Â�î3Ã�Å U Å©¼Só¼�×@ò U Í3¿ U ò é � C � � C í ü � C � � C ¿�Ã�Æàò é � C � � � fá � � � � C í ü fqá â ÿAC é � C � � � f�á � � � � C í Ó Û Ë B¥Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà � ÓsX/Y�� �æzç è é ! í ¿�Ã�Æ � �æ�ç}è é ! í¿`Àz T Å©Á�¾3Ä©Â Y ¿�Ã3Æ(Å©Ã(×�¿�Ç ULY � C � � C ¿�Ã�Æ � C � � � f!á � � � � C ¿`ÀΠU Í3ÂñÍ�Å R Í� TVU »�Â�Å R Í UÚSÂLÇ U ¼�À T�Óø Ã�¾M¿`À U ÅÈÇ P ÄÈ¿`À Y Âk¿�ÇÎÍ!Å T ¿ Ç Ë ÇLÄ©Å©Ç�Á�¼/Æ P ÄÈ R ÂLÃ3Â�Àο U Â�Æ Ê£Ë Å UzT Í�Å R Í� TVU »�Â�Å R Í UÚSÂLÇ U ¼�À Ó�OQT ò�{ é � C � � C í ü {[ò é � C � � C í ü { é � C � � C í ר¼�Àà¿�Ä©Ä&{ % �å Y¥U Í3Å T Å©Á�¾3Ä©ÅÈ TU Í3¿ U � �æ�ç}è é ! í Å T Å©Ã U Í�ÂúÂLÅ R ÂLà T ¾M¿SÇLÂ�¼S×NòHÇL¼�À�Àz T ¾ ¼SÃ�Æ�Å©Ã RúU ¼�Â�Å R ÂLÃ[Ú`¿SÄ P Â³Ñ Ó^O Ã3¿�Äȼ R ¼ P�T Ä Ë Y� �æzç è é ! í Ç�¼�À�Àz T ¾7¼²Ã�Æ T�U ¼ U Í�Â=ÂLÅ R ÂLÃ[Ú�¿�Ä P  fqá â ÿ5C�Y ¿�Ã�Æ T Å©Ã�Ç�Â�! � ! Å TyU Í�Â=Æ�ÅÝÀÎÂLÇ U^TzP Á ¼�×U Í�¼ T  T�P Ê Áà¼£Æ P Ä©Â T�Y »yÂúÍ3¿�ÚS U Í�Â&Æ3 T ÅÝÀzÂ�ÆØÀz T�P Ä ULÓ �W ÀμSÁ B�Àμ�¾ ¼ T Å U ÅȼSÃ�� Ó ��Å U ר¼SÄ©Ä©¼k» TyU Í3¿ U ò�¿�Ç UzT ¿ T

é � Ó I í á 9 '�� d \ d ç ' � \E' ç d � âÿAC 9'�� d \]' ç d � \ d ç ' � é Ñ f�á â

ÿAC í 9 '�� d \ d ç d � \E' ç ' �9' \]' ç ' � \E' ç '

¼Sà ! � ! Ó�ø Ã�Æ�Â�ÂLÆ Y é � Ó I í Å T ¿�Ä©ÅÈÃ�Â�¿`Àq¼�¾ Â�Àο U ¼�À U Í3¿ U ¿�Ç UzT ¼Sà � �æzç è é ! í ¿ T Á P Ä U Åݾ3Ä©Å©Çk¿ U Å©¼SÃÊ£Ë Ñ Y ¿�Ã�Æ�¼²Ã � �æzç è é ! í ¿ T Á P Ä U Å©¾3Ä©Å©Ç�¿ U Å©¼SÃ Ê£Ë fqá â ÿ5C�Ó Û Ë B�Àz¼�¾ ¼ T Å U Å©¼Sà � Ó � Y ò Í3¿ T&U Í3ÂT ¿�ÁàÂ&¾�Àz¼�¾ Â�À U Å©Â T�Y ¿�Ã�Æ T ¼ÕòÅ T ÂLÉ P ¿�Ä U ¼ U Í�Å TqTzP Á ¼Sà ! � ! Ó

M���P��³¸ 95>@B7¸:U D7¹EF@¸A4 ��GH1 �DSÖ·5¸ 9%S²8IB��OQT�T�P Á� ákþ â�%AK Ó �A U ; $ é ákþ â í Ê Â U Í3 P Ã�Å U ¿SÄy¿ T�T ¼/ÇLÅÈ¿ U ÅÝÚSÂÖ¿�Ä R Â Ê Àο�¼�ÚSÂ�ÀJKù»�Å U ÍR ÂLÃ3Â�Àο U ¼SÀ T�� ' Y Ñ>/ 1a3 4 Y�T�P Ê ÂLÇ UqU ¼ U Í�Â=ÀzÂ�ÄÈ¿ U Å©¼²Ã T é Þ Ñ í � ' � ' j C � ' ü�� ' j C � ' � ' j C þ Ñ>/ 1a3 4é Þ W í � ' �d�ü�Td� ' Y l 1 f n l ? Wé Þ X í � �' ü é â f á í � ' ��á âSÑ ÓÜ�Í�ÂLà á uü"Z/Y�U Í�ÂÖÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT�� ' ü á ÿAC � ' T ¿ U Å T × Ë U Í�Â Ê Àο�ÅÈÆ�ÀzÂLÄÈ¿ U Å©¼Sà T é Þ Ñ í Y é Þ W í Y

¿�Ä©¼²Ã R »�Å U Í U Í�Â=ÀzÂLÄÈ¿ U Å©¼SÃ

é Þ X ä í � �' ü é ýmf Ñ í � ' �<ý Ñ þ»�Í�ÂLÀz ý=ü�á ÿAC â Ó º�Í�Â��v�y$ �o�v"92=�%� h `y"�; $ é ý íQé ¼�× U Ë ¾7 O $ ÿ5C í Å TqR ÂLÃ�ÂLÀο U ÂLÆ Ê[Ë ÂLÄ©Â�Á�ÂLà UzT� ' Y Ñ�/@1�3G4 Y »�Í�Å©Ç�Í T ¿ U Å T × Ë é Þ�Ñ í Y é Þ W í Y é Þ X ä í ÓNø§U Í3¿ T Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã 4� �¿SÃ�Æ�Å T�T ÂLÁàÅ T Å©Á�¾Mĩ»�Í�Â�Ã�Â�ÚSÂ�À ý Å T Ã�¼ U ¿ Àz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Ó�OyU�ýúü Ñ YgU Í�Â=Þ�ÂLÇÎÌSª¿�Ä R Â Ê Àο�; $ é ý í Å T Å T ¼SÁ�¼�À�¾MÍ�Å©ÇU ¼rK � $ Y�U Í� R Àz¼ P ¾�¿�Ä R Â Ê Àοּ�× U Í� T Ë Á�Á� U ÀzÅ©Ç R Àz¼ P ¾ � $ Y »�Í�Â�ÀzÂà»�ÂØÁà¿ Ë Å©Æ�Â�à U Å©× Ë � '»�Å U Í U Í� U ÀοSà T ¾ ¼ T Å U Å©¼Sà é 1*1 � Ñ í Óº�Í� U »y¼`½m¾M¿`ÀοSÁ� U Â�À ÞQÂLÇÎÌSÂ^¿�Ä R Â Ê Àο�; $ é á)þ â í Æ�Â�î3Ã3ÂLÆ&¿ Ê ¼�ÚSÂ�Å T Å T ¼SÁà¼�À�¾3Í�ÅÈÇ U ¼&; $ é á/ÿAC â í»�Í�Â�Ã�Â�ÚSÂ�À á uüZ/Ó º�Í P�T�Y Å U Å T=T ÂLÁ�Å T Å©Á�¾3ĩª»�Í�ÂLÃ3Â�ÚSÂ�À á/ÿ5C â³Å T Ã�¼ U ¿ÕÀz¼/¼ U ¼�× P Ã�Å U Ë Ó W ¼�À

¿�à Ë�� % � $ Y »yÂ=Áà¿ Ë Æ�Â�îMÃ� ����ü�� ' ÷ ����� � '�� »�Í3Â�Àz � ü � ' ÷ YZYZY � '�� Å T ¿úÀÎÂLÆ P ÇLÂ�ÆàÂ�ó/¾�Àz T ½T Å©¼²ÃØ×I¼�À � ¿ T ¿³¾3Àz¼/Æ P Ç U ¼�× U Àο�à T ¾ ¼ T Å U ÅȼSà T�Ó@ø§U ר¼SÄ©Ä©¼k» T ×IÀz¼SÁ é Þ�Ñ í ¿SÃ�Æ é Þ W í U Í3¿ U���� Å TÅ©Ã�Æ3Â�¾ ÂLÃ�Æ�ÂLà U ¼�× U Í�Â=ÀzÂLÆ P ÇLÂLÆØÂ�ó/¾�Àz T�T Å©¼SÃÖ¿�Ã�Æ U Í� T Â&ÂLÄÈÂLÁ�ÂLà UzTyR ÅÝÚSª¿ Ê ¿ T Å TLÓº�Í� Àz T�P Ä UzT ¼�×��/ÂLÇ U Å©¼Sà � T Í�¼�» U Í3¿ U=U Í� �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â ! #:$ ¿  ¼�ÀzÆ T ¿µÀzÂL¾�Àz T Â�à U ¿ U Å©¼SÃ

¼�× U Í�Â&ÞQÂLÇÎÌSÂ�¿�Ä R Â Ê Àο9; $ é á)þ â í

Page 20: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�� E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� C

é I Ó Ñ í ; $ é ákþ â í � 6 Ã�Æ�78 é ! #%$ í� '��� âLò(' é Ñ�/@1�3G4 í Y

Ü�Í�ÂLà 4 ü W ¿�Ã�Æ�â uü fqá/Y ! # � ü � �æzç è é ! í � � �æzç è é ! í Å T ¿ØÆ�ÂLÇL¼SÁ�¾7¼ T Å U Å©¼²ÃÖ¼�× ! # �Å©Ã U ¼ T Å©Á�¾3ÄÈ �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T Ê[Ë B�Àz¼S¾7¼ T Å U Å©¼²Ãr� ÓsX/Ó º�Í� Áà¿`¾ T�� C ü é â�ò C �<á í � é â �<á í ¿�Ã3Æ� � ü é â f âLò C í � é â ��á í Y é ò C ü ò - ç - í Y ¿`Àz U Í�Â�ÇL¼SÀ�Àz T ¾ ¼SÃ3Æ�Å©Ã R ¾3Àz¼ ÂLÇ U Å©¼²Ã T ¼Sà U ¼ U Í3ÂT Å©Á�¾3Ä©Â T�P Á�ÁÕ¿�Ã�Æ T�Ó º�Í P�TLY^U Í3ÂÖÁà¿`¾<Å©Ã é I Ó Ñ í Å T ¿�Ã�Å T ¼SÁ�¼SÀ�¾3Í�Å T Á"ר¼�À04 ü"W£Ó�ï ¼�ÀÎÂR ÂLÃ3Â�Àο�Ä©Ä Ë Y »yÂÖ»�ÅÈÄ©Ä T Í�¼�» Ã�Â�ó U U Í3¿ U Å U Å T�T�P À ÂLÇ U ÅÝÚSÂÕ»�Í�ÂLÃ�ÂLÚSÂ�À á â ÿAC Å T Ã�¼ U ¿ôÀz¼/¼ U ¼�×P Ã�Å U Ë Y ¿�Ã3Æ�Å U Å T ¿�à ŠT ¼SÁ�¼SÀ�¾3Í�Å T Á »�Í�Â�ÃF=�? 4 Ó º�Í3Å T Å TªU Í3 U »�¼�½m¾M¿`Àο�Áà U Â�À�ÚSÂ�À T Å©¼²Ã¼�× U Í�µ»�ÂLÄÈÄ�½mÌ£Ã3¼�»�Ã�Àz TzP Ä U ¼�×�ûSÅÈÁ Ê ¼ Ï}ûSÅ�Ð U ÍM¿ U ; $ é ý í �ü 6 Ã�Æ 8�� )�� 4 + é ! #:$ í ¿�Ã�Æ�Å T U Í3¿�Ã3¿SÄ©¼ RSP Â�¼�×^Ç�ÄÈ¿ T�T ÅÈÇ�¿�ÄR�/Ç�Í P ÀV½mÜ Â Ë ÄNÆ P ¿�ÄÈÅ U Ë Y K � $ �ü 6 Ã�Æ � 4 é ! #:$ í ר¼�À�=t? 4 Ó Ü Â³»�ÅÈÄ©Ä¿`¾�¾MÄ Ë U Í�Â�ר¼SÄ©Äȼ�»�ÅÈà R Ä©ÂLÁ�ÁÕ¿ Ó º�Í�Â�Çk¿ T Â�= 3 4�Å T Æ�Â�¿�Ä U »�Å U Í T Â�¾M¿�Àο U ÂLÄ Ë Y ¿�Ã�ÆàÅ U^P�T  T¥U Í3ÂÅ T ¼²Á�¼�À�¾3Í3Å T Á ; $ é á)þ â í �ü 6 Ã3Æ�78 é ! #:$ í ÅÈà U Í�Â(= ü 4ÖÇ�¿ T  Ó' ���(� � �gX � X w0u�=2? 4 "98Rnh! �.� �)�#��8R"'�zs�`y"o2}` � 3`y���+�+8l� "o�z�p698 6yu �å ^ �)�#�+8z!9#%$i�0� "$+4o$�25�p$ �å m�,r6(nos�2��1�%�+8O��`y"'�!�yn h 4 � C � ����� � � $ a� `y6D6�u+a��5 U � ü � C � ����� � � $ Ó Ü Â Ê Â R ÅÈÃ Ê£Ë T Í�¼k»�Å©Ã RÖU Í3¿ U Å©× � % � $ Y5U Í�ÂLà � � ) C,+ ������ � � � ).$ + % �å Y � Ó

� P ¾3¾7¼ T Âú»yÂ�Í3¿�ÚSÂ�¿�à ¿`À Ê Å U Àο`À Ë ¾ Â�ÀzÁ PgU ¿ U Å©¼Sà � C � ����� � � $ é � ' % b � C þZYZYZYkþ � $ o³×I¼�À¿�Ä©Äg1 í ¼�× U Í�Â�×�¿�Ç U ¼�À T ¼�×�� Ó W ¼�À T ¼SÁ� # 3 Y ¿ T�T�P Áà U Í3¿ U � � ü � d ¿�Ã�Æ � ü � dkj C Óº�Í�Â�Ã Ê Â�Ç�¿ P�T Â=¼�× U Í�Âú×I¼�ÀÎÁ P Ä:¿ T

é I ÓsX í� $ ÿAC é x d í ü

$9'*) C�%d � ����� � �%d� � �' ÿAC

� x d � Ñ � ����� � Ñ� � �$ ÿ '

� $ ÿ5C é y�d í ü$9'*) CÑ � ����� � Ñ� � �$ ÿ '

� y�d � � �d � ����� � � �d� � �' ÿAC

þ

U Í�ÂLÀzÂú¿`ÀzÂ&Ã�¼²Ãv�LÂ�Àz¼ T Çk¿�ÄÈ¿`À T &¿SÃ�Æ � T�P Ç�Í U ÍM¿ Ué x d�y�da� � í Y é � C � ����� � � $ í ü � C � ����� � � � ����� � � � � ����� � � $ Y

�/Å©ÁàÅ©ÄÈ¿`ÀzÄ Ë Y[U Í3Â�ÀzÂú¿`ÀzÂ&Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ T Ç�¿�ÄÈ¿`À T �Õ¿�Ã3Æ � � TzP ÇÎÍ U Í3¿ Ué � x d�y�da� � � í Y é � C � ����� � � � ����� � � � � ����� � � $ í ü � C � ����� � � $ Y

OQTyU Í� U Àο�à T ¾7¼ T Å U Å©¼²Ã T é n�n � Ñ í R ÂLÃ�Â�Àο U  � $ Y � � ) C + � ����� � � � ).$ + % �å Y � ר¼�Àq¿�Ä©Ä � % � $ Ó� Â�ó U »� »�Å©Ä©Ä P�T  ÅÈÃ�Æ P Ç U Å©¼SÃ�¼SÃ�4 U ¼� T�U ¿ Ê Ä©Å T Í U Í� ר¼SÄ©Ä©¼k»�Å©Ã RgÓ W ¼SÀ�¿�Ã Ë 4�ÂLÄÈÂ�½

Á�ÂLà UzT 1 C þZYZYZY­þ 1 $ % b Ñ þZYZYZYAþ =�o T ¿ U Å T × Ë Å©Ã R 1 C /�1 � / ����� / 1 $ þ^U Í�Â�ÀzÂ�Å T ¿ � % �åT�P Ç�Í U Í3¿ U � Y � ü � ' ÷ � ����� � � '� ¿�Ã3Æ � Æ�¼/ T Ã�¼ U Ç�¼Sà U ¿�Å©Ã<¿�Ã Ë U Â�ÀÎÁ T »�Å U Í<×�¿�Ç U ¼SÀ T¼�× x þ x j C þZYZYZY­þ x ð ÿ5C þ[y j C þ[y j � þZYZYZY5þ[y ð ÿ � þ ¼�À y ð ÿAC »�Í�Â�Àz ü ÁÕ¿)ó b 1 $ þ 4 o Ó<ø ×4 ü Ñ Y »�ÂúÁÕ¿ Ë ¿`¾�¾3Ä Ë y ÿAC������ y C U ¼A� ü � C U ¼�¼ Ê U ¿�Å©Ã � ×I¼�À�¿SÃ Ë % b Ñ þZYZYZYAþ =�o Ó�ø ×

Page 21: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ � 2

4 � Ñ Y ÄÈ U # Ê Â TzP ÇÎÍ U Í3¿ U 1 � 3 1 $ Y 1 � j C ü 1 � j � ü ����� ü 1 $ Ó é ø ×�Ã�¼ TzP ÇÎÍ # Â�ógÅ TVUzTLY3U Í3¿ UÅ T Å©×"1 C ü ����� ü 1 $ Y5U Í�ÂLà T  U # ü Z ¿�Ã�Æ�¿`¾�¾3Ä Ë � � ×IÀz¼SÁ é I Ó � í Ê ÂLÄ©¼k» U ¼7� C � ����� � � $U ¼ñ¼ Ê U ¿�ÅÈÃ�¿ßÃ�¼SÃT�LÂ�Àz¼ T Çk¿�ÄÈ¿`ÀªÁ P Ä U Åݾ3ĩ³¼�×�� ' ÷ � ����� � � '� Ó í Û Ë Å©Ã�Æ P Ç U Å©¼²Ã Y U Í�Â�ÀÎÂ�Å T ¿�ÃÂLÄ©Â�Á�ÂLà U � % �å T�P Ç�Í U Í3¿ U

é I Ó í � Y é � C � ����� � � � í ü � ' ÷ � ����� � � '�� þ»�Í�ÂLÀz � Í3¿ T Ã�¼ U Â�ÀzÁ T »�Å U Í+×�¿�Ç U ¼SÀ T ¼S× x � þ x � j C þZYZYZY­þ x ð ÿ5C þ[y � j C þZYZYZY5þ[y ð ÿAC é � üÁà¿)ó b 1 � þ # o í Ó� P ¾3¾7¼ T Â�ÅÈÃ�Å U ÅÈ¿SÄ©Ä Ë U Í3¿ U 1 � / # Ó º�Í�ÂLà � ü # Y ¿�Ã�Æ T ¼ � Y é � C � ����� � � $ í Å T ¿³Ã�¼SÃv�LÂLÀz¼T Ç�¿SÄÈ¿`À�Á P Ä U ÅݾMÄ©Â�¼S× é � ' ÷ � ����� � � '�� í � é � � j C � ����� � � $ í Ó � ¼k» ¿`¾3¾3Ä Ëé I Ó � í� � ü ��� ��

é y ' ÿ5C y '� ÿ � � � y � j C í ����� é y '� ÿ5C y '� ÿ � í�é y '� ÿAC íLé x ' x '� j C3�8� x $ ÿ5C í ����� é x '� x ' j C í�é x '� íÅ©×z1 $ 3G4é y ' ÿ5C y '� ÿ � ����� y � j C í ����� é y ' ÿ5C y '� ÿ � ����� y $ ÿ5C í�é y '� ÿAC y '� ÿ � ����� y $ í ÅÝ×�1 $ ?G4

U ¼³¼ Ê U ¿�Å©ÃØ¿�Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ T Çk¿�ÄÈ¿`ÀyÁ P Ä U Åݾ3ÄÈÂ�¼�× � ' ÷ � ����� � ��'� Y ¿ T Æ� T ÅÝÀzÂLÆ Ó é � ¼ U  U ÍM¿ U »�Â&Æ�ÅÈÆÃ�¼ U�P3T ª¿�Ã Ë ×¨¿�Ç U ¼�À T ¼�× x þ x j C þZYZYZY­þ x ð ÿ5C þ[y j C þZYZYZY­þ[y ð ÿAC ×I¼SÀ ü Áà¿)ó b 1 $ þ 4�o Ó íø ×5¼Sà U Í3Â&¼ U Í�Â�ÀqÍ3¿SÃ�Æ Y 1 �E� # é T ¼ U Í3¿ U� � ü 1 � ¿�Ã�ÆL1 $ � # � Ñ í Y î�À TVU ¿`¾�¾3Ä Ë �� ×IÀz¼SÁé I Ó � í U ¼-� C � ����� � � $ U ¼�¼ Ê U ¿�Å©ÃÖ¿�Ã�¼²Ãv�LÂ�Àz¼ T Çk¿�ÄÈ¿`À�Á P Ä U Å©¾3Ä©Â=¼�×

é � C � ����� � � � í � é � '� � ����� � � '� í þ¿�Ã�Æ U Í�ÂLÃñ¿`¾�¾3Ä Ë � ×IÀz¼SÁ é I Ó í U ¼Õ¼ Ê U ¿SÅ©Ã+¿�Ã3¼SÃv�LÂ�Àμ T Ç�¿�Ä:¿`À�Á P Ä U ÅݾMÄ©Â&¼�× � ' ÷ � ����� � � ' Y¿ T Æ3 T ÅÝÀzÂ�Æ ÓW Å©Ã3¿SÄ©Ä Ë Y Å©×�1 C þZYZYZY5þ 1 $ % b Ñ þZYZYZYAþ =�oà¿`ÀzÂk"98l4 4+ÂLÄ©ÂLÁàÂLà UÎT é Ã�¼ U Ã�Â�ÇL T�T ¿�ÀzÅ©Ä Ë Å©ÃôÃ�¼SÃ�Æ3Â�½Ç�ÀzÂk¿ T Å©Ã R à P Á�Â�ÀÎÅ©Ç�¿�Ä7¼�ÀzÆ3Â�À í Y Ä©Â U � % � $ Ê Âú¿³¾ Â�ÀzÁ PgU ¿ U Å©¼Sà T�P Ç�Í U Í3¿ U

1 � ) C,+ / 1 � ) � + / ����� /@1 � ).$ + Y

Û Ë U Í�Â=î�À TVU ¾M¿`À�¿ R Àο`¾M͵¼S× U Í�Â=¾�Àz¼/¼�× YgU Í�Â�ÀÎÂ&Å T ¿�ÃßÂ�Ä©ÂLÁ�ÂLà U ¼�× �å U ¿`Ì£ÅÈà R � U ¼-� � ö[÷ ) C + ������ � � � ö[÷ ).$ + Ó � ¼k» »yÂ&Áà¿ Ë ¿`¾�¾3Ä Ë � ×IÀz¼SÁ é I Ó í ¿�Ã3Æ � � ×:ÀμSÁ é I Ó � í Å©Ã U Í�Â=¿`¾�¾3Àz¼�¾�ÀzÅ:¿ U ¼�ÀzÆ3Â�À é ¿ T ¿ Ê ¼�ÚS í U ¼|� � ö[÷ ) C,+ � ����� � � � ö²÷ ).$ + U ¼+¼ Ê U ¿�Å©Ã�¿+Ã�¼SÃv�LÂLÀz¼ T Ç�¿SÄÈ¿`ÀúÁ P Ä U ÅݾMÄ©Â�¼�×� ' ÷ � ����� � � '� Ó��º�Í�Å T Ä©Â�¿�Æ TyU ¼ U Í� U »�¼�½m¾M¿`Àο�Áà U Â�À�¿�Ã3¿SÄ©¼ RSP Â=¼�×��/Ç�Í P ÀV½mÜ Â Ë Ä Æ P ¿�ÄÈÅ U Ë Ó

����� MRL � � �gX � X�� � �/s�,�� á â ÿAC �0�F8R6o��"�`�6D6o��6�u*s�8>�z�z4oa��g�#�+8 �é Å í ; $ é ákþ â í ,r"/ O�1�/s�`����y$(�z� �9��2~4k6o8l� 6 6 Ã3Æ�78 é ! #:$Sí aé Å©Å í w0u]= ? 4 ^ �)�>��8w; $ é á)þ â í �0�F�.�+69,r6o`! O�%�p$ � 6 6 Ã�Æ�78 é !9#:$ í a� `y6D6�u+a�Ü�Âú TVU ¿ Ê Ä©Å T ÍÕ¾M¿`À U é Å©Å í î�À TVU�Ó�O�T�TzP Á� � % 6 Ã�Æ�78 é ! #:$ í ¿�Ã�Æ|� ü � C � ����� � � $ ÓOQT �-Ç�¼SÁ�Á PgU  T »�Å U Í U Í�Â�¿SÇ U Å©¼Só¼�× �å Y � é � í Á P3TVU Í3¿�ÚS U Í3 T ¿�Á�Âq»yÂLÅ R Í U ¿ T � Y[U Í3¿ U Å TLY

Page 22: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�� E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� CX C � ����� �FX $ Ó º�Í�Â=¼SÃ�Ä Ë ÚSÂ�Ç U ¼�À T ¼�×�! #%$ »�Å U Í U Í�Å T »�ÂLÅ R Í U ¿`Àz U Í�ÂQÄ©Å©Ã3Â�¿`À^Ç�¼SÁ Ê Å©Ã3¿ U ÅȼSà T¼�× U Í�Â=¾ Â�ÀzÁ PgU ¿ U Å©¼Sà T ¼�×�� C � ����� � � $ Y3T ¼ U ÍM¿ Ué I Ó � í � é � í ü 9

� ��� � � � ) C,+ � ����� � � � ).$ + þר¼�À T ¼SÁ� T Ç�¿�ÄÈ¿�À T � %�K Ó Ü Â�»�Å©Ä©Ä T Í�¼k» U ÍM¿ U=U Í�Â�Àz³ŠT ¿�Ã�ÂLÄ©Â�Á�ÂLà U ò � Å©Ã U Í�Â�Å©Áà¿ R ¼�×�; $ é á)þ â í ÅÈà 6 Ã3Æ�78 é ! #:$ í T�P Ç�Í U ÍM¿ U ò

� é � í ü � � ) C,+ � ����� � � � ).$ + Ó é B�ÀzÂLڣũ¼ P�T Ä Ë »�ÂÇL¼Sà TVU À P Ç U ÂLÆØ¿�ÃßÂLÄ©Â�Á�ÂLà U � % �å »�Å U Í U Í�Å T ¾�Àz¼S¾7ÂLÀ U Ë Ó íÜ Â Ê Â R Å©Ã »�Å U Í U Í� U ÀοSà T ¾ ¼ T Å U Å©¼SÃ�� ü � d+ü é nhn � Ñ í Ó W ¼SÀ�¿SÃ Ë U ÂLà T ¼SÀª¾�Àz¼/Æ P Ç U� ' ÷ � ����� � � '� ¼�×NÆ�Å TVU Å©Ã�Ç U Ê ¿ T Å T ÚSÂLÇ U ¼SÀ T�Y »�Â�Í3¿�ÚS Ê[Ë é � Ó I í U Í3¿ U� ' ��� ÷�� � ����� � � ' �� � ü á ÿAC ò d é � ' ÷ � ����� � � '� í ÅÝ× 1 d 3 1 d[j C

é â�ò d�� é á(f â í ø Æ í�é � ' ÷ � ����� � � '� í ÅÝ× 1 d � 1 d[j C Óº�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz Y Å©× � ü � d ÷ ����� � d�� Y ¿ ¾�Àz¼/Æ P Ç U ¼�× T�P ÇÎÍ U ÀοSà T ¾ ¼ T Å U Å©¼Sà T�Y »yÂ=Ç�¿�à T  U ò � � � üá ÿAC ò d � ¼�À5ò � � � ü â�ò d � � é áTf â í ø Æ Y Æ�ÂL¾7Â�Ã�Æ�Å©Ã R ¼²Ã U Í�¥à P ÁàÂ�ÀzÅ©Ç�¿SÄ�¼�ÀzÆ�Â�À5¼�× U Í�Â^¿�¾�¾�Àz¼�¾3ÀzÅ�½

¿ U ÂyÅ©Ã3Æ�Å©ÇL T 1 d � ¿�Ã3Æ�1 d � j C ũóò� � � ö²÷ � ����� � ò � � ÷ � Ó º�Í�Â�à Æ3Â�î3Ã�Å©Ã R ò � ü ò � � � � ����� � ò � � ÷ %6 Ã3Æ�78 é !9#:$ í Y »yªÍM¿LÚS U Í�Â&Æ� T Å©ÀzÂLÆÖÁà¿`¾ T�P Ç�Í U Í3¿ U ò

� é � í ü � � ) C,+ � ����� � � � ).$ + Ó� ¼�»$Ä©Â U � � ü � f ' � ��� � ò � % 6 Ã3Æ�78 é ! #:$ íªé »�Å U Í U Í� � ÇL¼²Á�Å©Ã R ×IÀz¼SÁ é I Ó � ízí Ó

Û Ë �5ÂLÁ�Áà¿wI Ó�W£Y � � é ! #:$ í ü � � é �å Y � í ü �å Y � � é � í üHZgÓ º�Í3Â�ÀzÂ�ר¼�Àz � ü ' � ��� � ò �Å T Å©Ã U Í�Â�Å©Áà¿ R Âñ¼S×�; $ é á)þ â í Ó �y¼Sà T ÂLÉ P ÂLà U Ä Ë Y�U Í�Â�Áà¿`¾ ; $ é ákþ â í � 6 Ã�Æg78 é ! #:$ í ÅÈÃé I Ó Ñ í Å T ¿ T�P À ÂLÇ U Å©¼Sà Y ¿SÃ�Æ 6 Ã�Æ�78 é !�#%$ í Å T�U Í�Â>Ky½�ÄÈÅ©Ã�Â�¿`À T ¾M¿SÃñ¼�× b ò � l � % � $ o Ó � ¼�»T�P ¾3¾7¼ T  U Í3¿ U ' � ��� � ò � ü Z ר¼�À T ¼²Á� T Ç�¿SÄÈ¿`À T � % K Ó º�Í�ÂLÃ�Å©Ã�¾M¿`À U ÅÈÇ P ÄÈ¿`À Y Zßü' � ��� � ò � é � í ü ' � ��� � � � ) C,+ � ����� � � � ) $ + þ »�Í�Å©Ç�Í Å©Á�¾3Ä©ÅÈ T � ü Z ר¼�À�¿�Ä©Ä � %� $ Ó º�Í�Â�ÀzÂ�ר¼�Àz b ò

� l � % � $ o Å T ¿ Ê ¿ T Å T ר¼�À U Í�Â�ÚSÂLÇ U ¼�À T ¾M¿�ÇL 6 Ã3Æ�78 é ! #:$Sí ¿�Ã3ÆÆ�Å©Á� 6 Ã�Æ�78 é !�#%$ í ü 4 ü Æ�Å©Á��; $ é á)þ â í ÓÖøuU ×I¼²Ä©Ä©¼k» T&U Í3¿ U ; $ é á)þ â í Å T Å T ¼SÁ�¼SÀ�¾3Í�Å©Ç U ¼6 Ã3Æ�78 é ! #:$Sí ר¼�À�= ? 4 Y ¿ T ¿ T�T Â�À U ÂLÆ Ó� Â�ó U »y UzP Àzà U ¼ U Í�µ¾�Àz¼/¼�×�¼�× é Å í ¿SÃ�Æ<¿ T�T�P Á�ÂÖÍ�Â�Àz U ÍM¿ U = 3 4 Ó W ¼SÀ 1 ü = þ 4 Y

Ä©Â U �å ' ü åNæ�ç è)é � ë ' í Y Ä©Â U � ' Ê Â U Í�ÂØ»yÂLÅ R Í U Ä:¿ U�U Å©Ç�ÂÕ¼�× � ë ' Y ¿�Ã3Æ<Ä©Â U ! ' Ê Â U Í3ÂÖÃ3¿ UzP À�¿�Ä�å '�½�Á�¼/Æ P Ä©Â Ó Û Ë é ÅÈÅ í Y »yÂ=Áà¿ Ë Å©Æ�ÂLà U ÅÝ× Ë ; $ é á)þ â í »�Å U Í 6 Ã�Æ�78 é ! #:$$ í Ó Ü ÂQ»�ÅÈÄ©Ä T Í3¼�» U Í3¿ U; $ é á)þ â í Áà¿`¾ T�T�P À ÂLÇ U Å©ÚSÂLÄ Ë ¼Sà U ¼ 6 Ã�Æg78 é ! #:$ð í Ó�y¼Sà T Å©Æ�Â�ÀE! #%$$ ¿ T ¿ �å­ð ½�Áà¼£Æ P Ä©Â&Ú/ÅÈ¿ U Í�ÂúÅ©Ã�Ç�Ä P�T Å©¼²Ãµ¼S× �å­ð Å©Ã U ¼ �å $ Y ¿SÃ�ÆßÀz R ¿`ÀzÆ ! #%$ð¿ T ¿ �åNð ½ T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â^¼S×�! #:$$ Å©Ã U Í3Â�¼ Ê Ú/Å©¼ P�T »q¿ Ë Ó � ¼k» !<#:$ð Å T ¿Qî3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©ÁàÂLà T Å©¼²Ã3¿�Ä �å­ð ½

Á�¼/Æ P ÄÈÂ�¼²Ã³»�Í�Å©Ç�Í �å �ð ¿SÇ UzT�T ÂLÁàÅ T Å©Á�¾MÄ Ë YST ¼ Ê£Ë º�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á X/Ó � Y Å U Å T ÇL¼SÁ�¾3ÄÈ U ÂLÄ Ë ÀÎÂLÆ P ÇLÅ Ê Ä©Â Óº�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz Y

é I Ó � í ! #:$ð ü� C ��������� �ר¼�À T ÅÈÁ�¾3Ä©Â �åNð ½�Á�¼/Æ P Ä©Â T ' Ó�øuUQT�P�� Ç� T�U ¼ T Í�¼k» U ÍM¿ UqU Í�ª¾�Àz¼ ÂLÇ U ÅȼSà T ¼Sà U ¼ U Í� T Å©Á�¾3ÄÈÂT�P ÁàÁà¿�Ã�Æ T ' Ç�¿SÃ Ê Â&¼ Ê U ¿�Å©Ã3ÂLƵ×:Àz¼²Á ; $ é á)þ â í Ó�y¼Sà T Å©Æ�Â�À

é I Ó Ò í �å $ Y ! #%$ð ü �å $ Y C � ����� � �å $ Y �zþ

Page 23: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

�7h � w 0 O%A O J ^ � ^ A����RO%C5���%J E�A � � 0 ¦ � 6

U Í� �å $ ½ T�P Ê Á�¼/Æ P Ä©Â=¼�×*! #:$$ R Â�Ã�Â�Àο U ÂLÆ Ê£Ë ! #:$ð Ó Û Ë �y¼�ÀμSÄ©ÄÈ¿`À Ë W£Ó � Y Âk¿�ÇÎÍ ' Å T Å T ¼SÁ�¼SÀV½¾3Í�ÅÈÇ U ¼ T ¼SÁ� é # ' í Y # ' % � jð Y ¿�Ã�Æ Å©Ã�¾E¿`À U Å©Ç P ÄÈ¿`À&Å T�R ÂLÃ�Â�À�¿ U ÂLÆ Ê£Ë ¿ßÍ3Å R Í� T�U »�Â�Å R Í UÚSÂLÇ U ¼�À ' »�Å U Í x d�Y= ' ü�Z ×I¼�À­¿�Ä©Ä�n é Ñ�/Fn03 = í Ó Ü Â�ÇLÄ:¿�Å©Á U Í3¿ U x d�Y= ' ü�Z ¿ T »�Â�Ä©Ä�»�Í�Â�Ã=t/ nr3 4 Ó º�Í�Å T ר¼SÄ©Ä©¼k» T ×IÀz¼SÁ U Í� Â�ó/¾�Àz T�T Å©¼SÃñ×I¼�À � $ ÿAC é x d í Å©Ã é I ÓsX í ¿�Ã�Æ U Í�³¿�Ç U ÅȼSü�× x d ¼Sà U Í� Ã3¿ UzP Àο�Ä@Á�¼/Æ P Ä©Â�! $ ר¼�À �å $ R ÅÝÚSÂLà Ê[Ë x d�Y � ' ü � ' ç dkj C � dSY Ê Â�Ç�¿ P�T  ' Á P�TVUÊ Â T ¼SÁ�³ĩũÃ�Âk¿`À�ÇL¼SÁ Ê Å©ÃM¿ U Å©¼SÃ+¼�×�ÚSÂLÇ U ¼�À T � ' ÷ � ����� � � '� »�Å U Ír1 C þZYZYZY5þ 1 $ % b Ñ þZYZYZYAþ =�o Óº�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz ' Å T ¿�Ä T ¼Ö¿µÍ�Å R Í3 TVU »�ÂLÅ R Í U ÚSÂLÇ U ¼�À=×I¼SÀ U Í� î3Ã�Å U Â�½�Æ�Å©Á�ÂLà T Å©¼SÃ3¿SÄ �å $ ½�Á�¼/Æ P ÄÈÂ�å $ Y ' Ó Û Ë º�Í�ÂL¼�ÀzÂ�Á W£Ó ÑØ¿�Ã�ÆW�AÂLÁàÁà¿ XgÓ � Y �å $ Y ' ü �å $ Y= 'QÅ T ¿ T ÅÈÁ�¾3Ä©Â �å $ ½�Á�¼/Æ P ÄÈ Ӻ�Í�ÂLÀzÂ�ר¼�Àz é I Ó Ò í Á P�TVU Ê Â�¿�Æ�ÅÝÀzÂ�Ç UqT�P Á

�å $ Y ! #%$ð ü �å $ Y C�� �����8� �å $ Y ��YÛyÂLÇ�¿ P�T Â�! #:$$ Å T ¿úÇL¼SÁ�¾3Ä©Â U Â�Ä Ë ÀzÂLÆ P ÇLÅ Ê ÄÈ �å $ ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Y²U Í�Â�ÀzÂqÅ T�T ¼SÁ�Â�ÇL¼SÁ�¾MÄ©ÂLÁ�ÂLà U ¿`À Ë�å $ ½ TzP Ê Á�¼/Æ P ÄÈÂ�� TzP ÇÎÍ U Í3¿ U

é I Ó Ñ Z í ! #%$$ ü �å $ Y C ������� � �å $ Y � � � Y�A U�� ' %h; $ é ákþ â í Ê Â U Í�Â�¾�Àz¼ ÂLÇ U ÅȼSê¼�×�! #%$$ ¼Sà U ¼ �å $ Y ' Ó º�Í3ÂLà Y�� ' ÇL¼²Á�Á P�U  T »�Å U Í U Í3Â�å $ ½u¿SÇ U Å©¼Sà Y ¿�Ã3ÆØ¿SÇ UzT ¿ TyU Í�Â=Å©Æ3ÂLà U Å U Ë Áà¿`¾Ö¼Sà �å $ Y ' ¿�Ã�Æß¿ T�Z ¼Sà U Í�Â=¼ U Í�Â�À T�P Á�Áà¿�Ã�Æ TÅ©Ã é I Ó Ñ Z í Ó �/Å©Ã�ÇL �d : �å $ Y �d ×I¼SÀÕ¿�Ä©Ä*n YyU Í�ÂßÁà¿�¾ � ' Àz TVU ÀÎÅ©Ç U ÂLÆ U ¼z!<#%$ð ÇL¼SÁ�Á PgU  T»�Å U Í U Í� �å­ð ½u¿�Ç U Å©¼SÃô¿�Ã�Æ Å TQU Í� ¾�Àμ Â�Ç U Å©¼SÃñ¼Sà U ¼ ' Ó º�Í P3T�Y ; $ é á)þ â í � 6 Ã�Æg78 é ! #:$ð íÅ T ¼²Ã U ¼ Ó��W Å©Ã3¿SÄ©Ä Ë Y »yÂ�Ã�¼ U  U ÍM¿ U Ê ÂLÇ�¿ P3T Â]!<#:$úÅ T ¿ T ÂLÁ�Å T Å©Á�¾3Ä©Â �å ½�Á�¼/Æ P Ä©Â Y Å U ר¼SÄ©Äȼ�» T ×:Àz¼²Á U Í3Â

Æ�¼ P Ê Ä©ÂNÇL¼SÁ�Á PgU ¿Sà U U Í3ÂL¼�ÀzÂLÁ é T ÂLÂN×I¼SÀAÂ�ó�¿�Á�¾3Ä©Â Y Ï��=Ü Y º�Í�Á ÓNX/ÓsXgÓ �kÐ í U Í3¿ U 6 Ã�Æ�� ) æ�ç}è + é !<#:$ íÅ T Å T ¼SÁ�¼�Àz¾3Í�Å©Ç U ¼ U Í3Â&Å©Áà¿ R Â&¼S× �å Å©Ã 6 Ã3Æ é !�#%$ í Ó

1 �/1�4 13>A¹E13J

5Mh 2��3Ey� 5Eizrk±z~�n¨l¥~�r�j�¦²�²h+p lut�iVnm{m�`|L|Lr/8� �� ,���� �)��� � ��� ���)��� ,����7,�� -�� ��� & �N�����# � 8 Jú~zlut²�! ��#"�$�%& ��� 2(' 8�> � 6Îw >>6)�

5Mh � �3Ey�/5Eizrk±z~�n¨l�~�r�jª¦²�`h+p lut�iVnm{m�`|L|Lr/8*) �+,+�,�@ ��# � � � ���.-��� -�� �9�/���#,��� �� -��10��T��-�����&32 �4�7,� �"& � � 8O­�}��i���nV��A@i��kn�i�{�izr�l��k�AtLiV|�n¨� & lm|�~��)�`i�~�n5'§�

H6� 7�� Ey��H­nmpsr��¯i���8 j:8:9 �� - ���9�;���#,��� � 8`psr 0 n�|��biVi�j)psrL��{ |��/lut�i V¨r�lmiVn�r�~Îl�p}|Lrk~��!<7|Lr���n�i�{m{ |�� J&~ÎlutLibwoq~Îl�px�Vpx~�rk{�8 5EiVnm±�i��}ib�N8/2�M?; 8@O^� J³��E��}i�~�{�|Lr & i�j²� ' 8k�)�²��4M?Îw ? �� 89O­oyiVnV� J&~Îlut²�`¦�|����/2�M?74k�

H H6� A¥� HNpx�)�`iVn5~�rkjQ¦²� H­|Lrk±Lpsr/8:9 �� - ���9�>=@? � 8 0 n�|����k�[|Lr�jk|LrQJ&~ÎlutS�`¦L|����BA�$ & 2�MM@2C' 8:2�;7>zw � 22�� H 0 � <N� H­i.<7|Lr��VpsrkpE~�rkjD<N� 0 n�|��bi�{mp�8# �T� ��# 7��� ���T���)�����@�5�)�)�Y ��E���#," 7�T� � ,Q��-BF �� � - � �����),��HG 8 O5jk¡S�

J&~Îlut²�B"!I & 2�M74;E' 8@66 � w 6> S � H 0 ¦E�/J)� H��=8=5­� 0 ~�nm{�tk~��x��8�~�r�j&�M�²¦��b|�l�l"8K9 � -�� �@�ML3��G&N�)�#��� ���#,"������GQ -��Y� ��& � ��-O��� ,C�� & � � 8P< |�oqo=�

J&~Îlut²� 0 t��k{��PI�Q�R & 2�MM?E' 8 6 � 2§w 67> � � H��O� J)�7H��=8S -=,� �K,-4-��� - ����T �U�VL3��G&��)�#��� ���#,"������G� �#�#,",� � ,U� �@-�� �WG 8NO­�}��i���nm~X<7|��x�}| � ��"ZY�[ & 2�MM>+' 8

6;6Îw 674 � � ENh\� A¥� EN|L|kjkoq~�r�~�rkjYC¥� A��Lh�~��x�x~��bt=8�] �^���)� ��� -�� � � ,-�� -��`_)-BF �� � -�� � ,U� ����� $ &( �T�)� �) &Ka*�#,��� �Hb

c -=��G�"&(,�� �U�� ,U� �� ����� � � � ���� -��._)� � �E�=& � �) ����,-�� 8S¡�|��©��;? 8P< ~�o���nmpxjk��i �Nrkp}¡�iVnm{mp lI� 0 n�i�{m{�82�MM?k�

Page 24: Department of Mathematics, Texas A&M Universitysarah.witherspoon/pub/schur...E ^ A EKV O 5 C KO%A K8 @O%A h

� S E ^�� A EKV O 5 ^ C��KO%A��K8 ¦@O%A O­° h<VI�@° ^ A5¦ 0 ��� C J�~�� J)�N<N�!J�~�r�lm¬Vizr/8�� �)��� ���)� � ,- 9 � -�� �9� a*�#,��� � 8[¡�|��Ý�:; 8 ENnm~�j)�k~Îlmi�¦�lu�kj)p}i�{¥psr J&~Îlut²� 8[O5oyiVnV�

J&~Îlut²�`¦�|���� 8=2�MM6)� J�p 2H� J³�EJ�pxo��`|�8E �� � �� �R���)� -=� �R -= &(,5�I,U��� & � ' -�� �������= -O�E� ��� ��� �5-�� � � ,- 8��²ibl�l��7J&~Îlut²� 0 t��k{V�

I� & 2�M?7>�' 8�;6Îw ;Mk� J�p � � J³� J�pxo^�`|�8 �� � - &(,H���� ,U��� & �`� � &���� 2C'3' b � �#���7� & �N���(� �b+ -�� ������� -��+�� ��� ��� �5-�� ����,- 8

�[ibl�l���Jú~zlut²� 0 t��){V��I�I & 2�M?;+' 8 � S 4zw � > � � J�|�� O^��J�|�{�i��)t/8!9 � -�� �@� a*�#,��� �% -�� ) ��� � ���K� � �I��� � F� _��N�# & � 8 ^ n���i��`r�px{�{�iAjkiVn1J&~Îlut�i�oq~Îl�px±q�krkj

pst�n�iVn%E�n�izrL¬V��i��)p}iblmi78k¦k��nmpsr���iVn¨wW73iVnm�s~Î��8�5EiVnm�xpsr/8 2�MM7>k� ��� � H����Nn�|��¥~�rkj J)� w������5t�px�`|Lr/8�� ,-=�),�I�I�9� ��� F� �HG �I� � ��� � �!�)�@- ��� � ,- ���! �N�W�9� -/���# � � F���T�T� ,-

,U���!" & �)� � ' 8�VIr�lmiVn�rk~Îl�� J)� O5�}��i��knm~ <7|�oq�)�Ll���Q & 2�MMME' 8 S7� >zw S 6 � � � A � A¥�k�[i�j)�k��~�r�j O^�@AA~�o 8 �T� �"�T,- � ,����� & �N���(� Y ��E���#," 7�T�Q� , �����K� ���)�U�� �����"& � �#� ���#����� -�� � � ,-��

,U��� � -����# & � T ��� & �N�"���# �# �����$ �# � ���Hb% � �T� -��(L3� -�T�& bK -��Q��G�� � _5�+ � ,�� � � � �#���N�� & �9�����# � 8O­j�¡²��J&~Îlut²�PI�"�R & 2�MM74+' 8/2§w M S �

�P� Ey�)�£�k{�¬bl�p}��8 _)-����#,C�� ������,- � , 9 � -�� �@� a*�#,��� � 8 57p}nm±�t'&~��k{�iVn�8:2�MM6)� � � J³�[�g~�±�iz�k�§tkp�8! �W�+,+�,�@ ��# � ��� ���.-��� - ����T � � ,- ,U�@=@? & ¢!' 8 0 n�|����!J�~��)~�r O­�V~�j²�²¦�iVnV�/O�J&~ÎlutS�

¦k�VpÝ��A�A & 2�MM � ' 8/22 � w)22 S �

(*)�+ d²c�a-, )�. a0/'132�d�a54 ) , d�a56¯e�_87:9 . 6<; ) cS_#6¯a>=?/@1BAC6¯_Ve5/ . _#6 . 7!2�dED-6�_F/ . 7GAH6¯_Ve5/ . _#6 .?I�JLK�M�N] )�.EO d²c�a@P�,@dLa54�f Q*6�_Ve/f ) DER(*)�+ d²c�a-, )�. aS/'1T2 dLa54 ) ,@dLa56¯e�_ßd . DVUW/', + RSa ) cVX`e>6 )�. e ) 7Q\*,Y4 ) cS_baZU�/'[8[ )�\G) 7Q\*,Y4 ) cS_ba]72�d²_V_bd�e>4-R[_ ) a�aS_ M'^_M�ML`_FabQBP^e�_�f dE,Y4 ) cS_bagf ) DER