Deferensiasi Parsial
Transcript of Deferensiasi Parsial
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
1/26
Deferensiasi Parsial
h
r
Volume silinder V = r2 hHarga V tergantung pada dua besaran r dan h.
Bila r tetap dan h bertambah V bertambah
Koefisien deferensial V terhadap h dengan
r tetap :
h
V
dh
dV
r
konstan
(koefisien deferensial parsial V terhadap h
dengan r tetap)
22 1. rrh
V
V
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
2/26
Bila h tetap dan V tergantung
pada perubahan r maka :
rhhrr
V 2.2.
V = r2 h V = f(r, h) berarti ada dua koefisien deferensial
Yang satu terhadap r dan satu yang lain terhadap h.
Tinjaulah luas silinder : A = 2 r h maka :
dan rh
Ah
r
A 22
Contoh : z = f (x, y) z = x2 y3
223 32 yx
y
zxy
x
z
dan
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
3/26
u = x2 + xy + y2Deferensial u terhadap x dengan y konstan :
yxx
u
2
Deferensial u terhadap y dengan x konstan :yx
y
u2
z = x3 + y3 2x2y
22
2
23
43
xyy
z
xyx
x
z
Z = (2x y)(x + 3y)
yxyxyxy
z
yxyxyxx
z
65)3)(1()3)(2(
54)2)(3()1)(2(
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
4/26
z = (4x -2y)(3x + 5y)
yxyxyxy
z
yxyxyxx
z
2014)2)(53()5)(24(
1424)4)(53()3)(24(
22
22
)(
3
)(
)1)(2()1)((
)(
3
)(
)1)(2()2)((
2
yx
x
yx
yxyx
y
z
yx
y
yx
yxyx
x
z
yx
yxz
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
5/26
z = sin (3x + 2y)
)23cos(22)23cos(
)23cos(33)23cos(
yxyxy
z
yxyxx
z
Soal Latihan :
z = 4x2 + 3xy + 5y2
z = (3x + 2y)(4x 5y)
z = tan (3x + 4y)z = (sin (3x + 2y)) / (xy)
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
6/26
z = 3x2 + 4xy 5y2
maka :
yx
y
zyx
x
z10446
dan
Hasilnya masih merupakan f(x) dapat dicari
koefisien deferensialnya terhadap x maupun y.
4)46(
.
6)46(
2
2
2
2
2
yx
yxy
z
yx
xx
z
xz
xz
x
:yterhadapialkandideferens
4.
10)104(
2
2
2
2
2
yx
z
yx
yy
z
yz
yz
y
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
7/26
z = 3x2 + 4xy 5y2
4.
4.
106
10446
22
2
2
2
2
yxz
xyz
y
z
x
z
yxy
zyx
x
z
dan
yx
z
xy
z
berlakuinihaldalam
..
:
22
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
8/26
z = 5x3 + 3x2y + 4y3
xyx
zx
xy
z
y
y
zyx
x
z
yxy
zxyxx
z
6.
6.
24630
123615
22
2
2
2
2
222
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
9/26
z = x cos y y cos x
xyyx
zxy
xy
z
yx
y
zxy
x
z
xyxyzxyy
xz
sinsin.
sinsin.
coscos
cossinsincos
22
2
2
2
2
yx
z
xy
z
..
22
Berlaku pula :
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
10/26
02
2
2
2
y
V
x
VJika V = ln (x2 + y2) buktikan bahwa :
222
22
222
22
2
2
2222
)(
22
)(
)2(22)(
221
yx
xy
yx
xxyx
x
V
yx
xxyxx
V
222
22
222
22
2
2
2222
)(
22
)(
)2(22)(
)(
22
)(
1
yx
yx
yx
yyyx
y
z
yx
yy
yxy
z
02
2
2
2
y
V
x
V
terbukti
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
11/26
Jika V = f (x2 + y2) buktikan : 0
x
Vy
y
Vx
V adalah fungsi dari (x2 + y2), tetapi bentuk fungsinya tidak didefinisikan,
tetapi dapat diberlakukan sebagai fungs i dar i fungsidan koefisien
Diferensialnya terhadap variabel gabungan (x2 + y2) dinyatakan dengan:
f (x2 + y2).
0)('.2)('.2
2).('.2).('.
2).(')()('
2).(')()('
2222
2222
222222
222222
yxfxyyxfxy
x
Vy
y
Vx
xyxfyyyxfxx
Vy
y
Vx
yyxfyxy
yxfy
V
xyxfyxx
yxfx
V
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
12/26
0''
'1
''
'''
0
22
2
22
xyf
xxy
xyf
xxy
yzy
xzx
x
yf
xx
x
x
yf
x
y
yx
yf
y
z
x
yf
x
y
x
y
x
yf
x
y
xx
yf
x
zy
zy
x
zxbahwatunjukkan
x
yfzJika
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
13/26
Jika V = f (ax + by) tunjukkan bahwa : 0
y
Va
x
Vb
0)(')('
)(')(')()('
)(')(')()('
byaxfabbyaxfbay
V
ax
V
b
byaxfbbbyaxfbyaxy
byaxfyV
byaxfaabyaxfbyaxx
byaxfx
V
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
14/26
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
15/26
Pertambahan keci l
r
h
V = r2 h
)(
(
r tetapr
h
V
tetaphrhr
V
2
)2
Jika r dan h berubah bersama-sama,
r diubah menjadi r + (delta) r, h menjadi
h + h maka V akan menjadi V + V.
V + V = (r + r)2(h + h)
= (r2 + 2rr + r2)(h + h)
= (r2h + 2rr h + r2 h + r2 h + 2rrh + r2h)
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
16/26
V = (r2h + 2rr h + r2 h + r2 h + 2rrh + r2h) - r2 h
~ (2r h r + r2h)
karena r dan h kecil suku yang lain dapat diabaikan.
Jadi V = 2 r h r + r2h
h
h
Vr
r
VV
Contoh
Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm dan h = 10 cm.
Tentukanlah harga pendekatan pertambahan volume nya
jika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang 0,1 cm.
V = r2 h
22 r
h
Vdanrh
r
V
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
17/26
)(1,02,0
255
10010.52
2
2
2
berkuranghkarenahr
h
V
r
V
rh
Vdanrh
r
V
tanda
396,545,175,220
)1,0.(252,0.100
cmV
V
hh
Vr
r
VV
Pertambahan volume = 54,96 cm3
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
18/26
z = f (x, y), bila harga x dan y bertambah dengan
bilangan yang sangat kecil x dan y, maka harga
pertambahan harga z (z) akan kecil pula.
Jika kita jabarkan z dalam deret x dan y maka :
harga z = A x + B y + suku-suku x y dengan
pangkat yang lebih tinggi (A = f(x) dan B = f(y))
Jika y dijaga tetap, maka y = 0 sehingga :
z = A x + suku-suku x dengan pangkat
lebih tinggi.
x
zAxA
x
z
,0
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
19/26
yy
zx
x
zz
yxfz
y
zByx
),(
0 maka,dankonstanBila
wwzy
yzx
xzz
wyxfz
),,(
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
20/26
Diketahui I = V / R, dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm,
Tentukan perubahan I jika V bertambah besar 1 volt dan
R bertambah sebesar 0,5 ohm.
03,005,002,0)5,0(2500
250)1(
50
1
1
1
),(
2
2
I
RR
VV
RI
R
V
R
I
RV
I
RR
IV
V
II
R
VIRVfI
Harga I turun sebesar 0,03 Ampere
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
21/26
4
3
d
wsy
Tentukanlah persentasi pertambahan y:
jika w bertambah 2%, s berkurang 3% dan
d bertambah 1%.
y = f (w, s, d) maka :
dd
ws-
sd
ws
wd
s
y
d
ws-
d
y
d
ws
s
y
d
s
w
y
dd
ys
s
yw
w
yy
5
3
4
2
4
3
5
3
4
2
4
3
43
43
Tentukan harga w, s, d
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
22/26
yyy
dws
dws
dwsy
d
d
wss-
d
wsw
d
sy
dds-
sww
%11100
11
1004
1009
1002
100
14
100
33
100
2
100
1
100
3
100
2
4
3
4
3
4
3
5
3
4
2
4
3
y turun sebesar :11%
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
23/26
P = w2hd Jika kesalahan pengukuran w, h dan d dapat
mencapai sampai 1% (plus atau minus), tentukanlah
persentasi kesalahan maksimum yang akan diperoleh
untuk harga P.
100100100
...2
2
22
22
2
dd
hh
ww
dhwhdwwwhdP
hwd
Pdw
h
Pwhd
w
P
dd
P
hh
P
ww
P
P
hdwP
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
24/26
100
4
100
1
100
1
100
2
1001001002
1001001002
100100100
2
222
22
PhdwP
hdwhdwhdwP
dhw
hdw
wwhdP
dd
hh
ww
Kesalahan P terbesar apabila semua suku bertanda sama,
bila belawanan tanda cenderung mengecilkan hasilnya.
Kesalahan P terbesar = 4% dari P.
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
25/26
a
bh
Jika kesalahan pengukuran a dan
kesalahan maksimum yang akan
diperoleh dalam hasil perhitungan :
luas segitigapanjang sisi miring (h)
)10/1(20
1
20
1
2100
5
2100
5
2
1005
1005
22
2
.
Aabbaab
A
bbdanaa
a
b
Ab
a
A
bb
Aaa
AA
baA
-
7/27/2019 Deferensiasi Parsial
26/26