Decisiones de Inversión Valor del dinero en el tiempo · El efecto de la inflación El efecto de...

Decisiones de Inversión

Valor del dinero en el tiempo

Ignacio Vélez Pareja

Profesor

Politécnico Grancolombiano

www.poligran.edu.co/decisiones

[email protected]/[email protected]

19/02/98 2Copyright Ignacio Vélez Pareja ©

CAPÍTULO 2

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO"Me inauguras el día con tus brazos

Que me acogen, me salvan, me consuelan

Del empuje del tiempo velocísimo Donde somos el mar y el navegante."

(Jorge Guillén, Más tiempo.)

"Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan."

(Quino. Manolo, en, ...y yo digo)


Análisis de rentabilidad

En este curso se estudiará el

problema que se plantea el

inversionista al enfrentarse con flujos

de dinero que ocurren en diferentes

períodos de tiempo.



Los individuos tienen preferencia por

consumir ahora y no aplazar ese consumo.

Cualquier individuo prefiere tener una

suma de dinero hoy y no tener que

esperar un cierto tiempo para poder contar

con la misma cantidad de dinero ofrecida

para hoy.



Sobre esta base se desarrolla lo que se conoce como Matemáticas Financieras. En realidad debe ser Aritmética Financiera Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario saber contar y aplicar las operaciones básicas de la aritmética y algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones.


Niveles de comprensión

Aquí se pueden presentar tres niveles de

comprensión:

�Conceptual. Entender conceptos

�Operativa o instrumental. Uso de los

instrumentos aritméticos o

computacionales

�Situacional. Descripción de la realidad


Ojos despiertos y oídos atentos

Esto indica que hay que agudizar la

vista y el oído. Hay que leer con

atención y escuchar al otro para

entender de qué se trata la situación a

analizar.


El Concepto de Equivalencia

A continuación se van a expresar unas ideas

que conducen a un mismo concepto:

equivalencia. Los individuos obtienen satisfacción al consumir y se puede cambiar

consumo actual por consumo futuro, siempre

que la utilidad o satisfacción de este último

sea al menos equivalente a la del consumo

actual.


Hagamos un trato...

Si usted tiene el derecho a recibir hoy $1

millón, (Le debo $1 millón y se lo debo pagar hoy. No

puedo hacerlo y le pido un plazo de un año.) ¿qué suma

de dinero dentro de un año estaría

dispuesto a recibir en lugar del $1 millón

hoy? Escriba en secreto la suma de dinero

que aceptaría.

Algunas respuestas típicas

25%1.250

6%1.060

100%2.000

15%1.150

60%1.600

35%1.350

10%1.1001.000

Suma adicional en %Dentro de un añoHoy

¿Qué se puede concluir?

1. Todos encuentran una suma equivalente a 1.000 de hoy.

2. Cada uno obtiene una suma equivalente, en general diferente.

3. Por lo tanto, es posible encontrar siempre el equivalente a una suma futura.

4. La suma adicional expresada en porcentaje es unatasa de equivalencia.

5. La relación entre suma presente y suma futura es F = P×(1 + tasa de equivalencia).


La tasa de equivalencia

La suma que se escribió es equivalente a $1

millón hoy. La suma adicional que se exige

sobre $1 millón medida como una fracción es la

tasa de equivalencia. Esa tasa de

equivalencia es personal y depende de la

información que tenga cada persona.


Olvídese de sumar en tiempos diferentes

Como la gente tiene una preferencia

subjetiva a consumir hoy, aplazar un

consumo actual, implica exigir una mayor

cantidad de consumo futuro, para alcanzar una

satisfacción equivalente. Así, se llega

fácilmente a la conclusión que ya no se

pueden sumar unidades monetarias de

diferentes períodos de tiempo, porque no son

comparables.


Cambio consumo actual por futuro

Cuando se introduce el concepto de

inversión, o sea sacrificar $1 hoy para obtener

más de $1 al final de un período, se invertirá

mientras la suma adicional que le paguen, sea

mayor que la asignada al sacrificio de

consumo actual, o sea, a la tasa a la cual se

está dispuesto a cambiar consumo actual por

consumo futuro.


El Concepto de Equivalencia

En forma matemática:F=P(1+i)n

donde:F = Suma futura poseída al final de n

períodos.i = Tasa de equivalencia, fracción, mayor

que cero y menor que 1 definida para el período (año, mes, día,...)

P = Suma de capital colocada en el período cero.

n = Número de períodos

Este es el concepto bEste es el concepto báásicosico


Soy indiferente entre P y F

Este modelo y los párrafos anteriores permiten

expresar de otro modo el concepto de

equivalencia. Se dice que dos sumas son

equivalentes, aunque no iguales, cuando la

persona es indiferente entre recibir una suma

de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) -

mayor- al final de un período de tiempo.


La diferencia es por el sacrificio

Esta diferencia entre P y F responde por

el “valor” que le asigna el individuo al

sacrificio de consumo actual y al riesgo que

percibe y asume al posponer el ingreso. Al

hablar de equivalencia se ha involucrado -

en forma implícita- una tasa de

equivalencia i%, en general, diferente de

cero.


Un peso hoy vale más

El concepto de equivalencia, implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. Más aun, un peso hoy vale más que un peso futuro.


La tasa de descuento

La tasa que establece esta

equivalencia se llama tasa de

descuento (discount rate o hurdle rate, en

inglés) o tasa de rentabilidad mínima

aceptable; algunos autores prefieren

utilizar el nombre de costo o tasa de

oportunidad


... nadie dice qué interés te pagan

El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente

arraigado en la mentalidad de

quienes viven en un sistema

capitalista.


Interés, ¿es lo justo?

No se necesita formación académica

para entender que cuando se recibe

dinero en calidad de préstamo, es

"justo" pagar una suma adicional al

devolverlo. La aceptación de esta

realidad económica, es común a todos los

estratos socio-económicos.


Interés: Lo que me gano

Se puede definir el interés, en forma muy

simple como:

�Lucro producido por el capital.

�Provecho, ganancia, utilidad.

El interés puede definirse, también, como el

precio pagado en dinero, por el uso del dinero

de otro.


... capital, tiempo y riesgo

“En economía, el interés se liga a los

conceptos de capital, tiempo y riesgo; por lo

tanto, puede ser considerado como la

compensación que el poseedor del dinero

recibe, .. por la cesión a otros, (y) por la

utilización (por ese tercero) durante un

período de tiempo ... (de) un capital

determinado, empleo que en sí mismo, es

siempre arriesgado".

Evangelio de Mateo: la parábola de los

talentos

En aquel tiempo, dijo Jesús a sus discípulos esta parábola: un hombre que se iba al extranjero llamó a sus siervos y les encomendó su hacienda: a uno dio cinco talentos, a otro dos y a otro uno, a cada cual según su capacidad; y se ausentó. Enseguida, el que había recibido cinco talentos se puso a negociar con ellos y ganó otros cinco. Igualmente el que había recibido dos ganó otros dos. En cambio el que había recibido uno se fue, cavó un hoyo en tierra y escondió el dinero de su señor. Al cabo de mucho tiempo, vuelve el señor de aquellos siervos y ajusta cuentas con ellos. Llegándose el que había recibido cinco talentos, presentó otros cinco, diciendo: señor, cinco talentos me entregaste; aquí tienes otros cinco que he ganado. Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido fiel, al frente de lo mucho te pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el de los dos talentos dijo: señor, dos talentos me entregaste; aquítienes otros dos que he ganado. Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido fiel, al frente de lo mucho te pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el que había recibido un talento dijo: señor, sé que eres un hombre duro, que cosechas donde no sembraste y recoges donde no esparciste. Por eso me dio miedo, y fui y escondí en tierra tu talento. Mira, aquí tienes lo que es tuyo. Mas su señor le respondió: siervo malo y perezoso, sabías que yo cosecho donde no sembré y recojo donde no esparcí; debías, pues, haber entregado mi dinero a los banqueros, y así, al volver yo, habría cobrado lo mío con los intereses. Quitadle, por tanto, su talento y dádselo al que tiene los diez talentos. Porque a todo el que tiene, se le daráy le sobrará; pero al que no tiene, aun lo que tiene se le quitará. Y a ese siervo inútil, echadle a las tinieblas de fuera. Allí será el llanto y el rechinar de dientes. (Mateo 25, 14-30)


Interés

En otras palabras, el interés, I, es la

compensación que reciben los individuos, firmas

o personas naturales, por el sacrificio en que

incurren al ahorrar una suma P. El mercado

brinda la posibilidad de invertir o la de recibir en

préstamo; el hecho de que existan oportunidades

de inversión o de financiación, hace que exista el

interés.


PIi =

Interés es la compensación

Este fenómeno económico real, se mide con la

tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa

por un porcentaje. Este porcentaje se calcula

dividiendo el interés I recibido o pagado por un

período, por el monto inicial, P; de modo que la

tasa de interés será:


Los componentes de la tasa de interés

Se puede considerar que la magnitud de la tasa

de interés corriente, o sea la que se encuentra en

el mercado (la que usan los bancos o cualquier

otra entidad financiera) tiene tres componentes o

causas

�La inflación

�El riesgo

�El interés real


El efecto de la inflación

El efecto de la inflación o mejor, las expectativas

de inflación, que es propio de la economía donde

se presenta el problema de inversión. La

inflación mide el aumento del nivel general de

precios, a través de la canasta familiar; su efecto

se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la

moneda.

A mayor inflación, mayor tasa de interés.


¿Cómo se relacionan interés e inflación?

Una rápida exploración a los valores de las

tasas de interés del mercado de algunos países,

muestra la influencia de la inflación sobre la tasa

de interés (cifras de 1997, The Economist May

28th-June 3rd 2005, pp 100-102 ).


En países desarrollados

Unión Europea

1,40%0,75%Suiza

0,30%1,86%Suecia

13,40%13,00%Rusia

-0,20%0,02%Japón

0,50%3,36%Hong Kong

1,90%4,81%Gran Bretaña

3,50%3,17%Estados Unidos

1,80%2,18%Dinamarca

2,40%2,47%Canadá

2,40%5,68%Australia

1,70%2,00%Alemania

InflaciónTasa de interésPaís


... y no tan desarrollados

15,80%11,85%Venezuela

3,60%2,65%Tailandia

2,00%3,02%Perú

4,60%9,69%México

2,70%2,84%Malasia

8,10%8,07%Indonesia

4,20%5,15%India

3,90%7,31%Hungría

8,50%4,88%Filipinas

0,40%3,51%Corea del Sur

5,00%7,17%Colombia

1,80%2,00%China

2,90%3,96%Chile

8,10%19,75%Brasil

8,80%5,50%Argentina

InflaciónTasa de interésPaís

Gráficamente…

Tasa de inflación vs Tasa de interés de corto plazo

y = 0,9001x + 0,0181

R2 = 0,5587

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18%

Tasa de inflación

Tasa de interés


El efecto del riesgo

El efecto del riesgo, que es intrínseco al negocio

o inversión en que se coloca el dinero o capital.

A mayor riesgo, mayor tasa de interés


El interés real

El interés real o la productividad en su uso, que

es un efecto intrínseco del capital, independiente

de la existencia de inflación o riesgo. Refleja

también la abundancia o escasez de dinero en el

mercado (grado de liquidez del mercado).

Tiende a ser constante y con un valor cercano al

3%-6% anual.

Datos para Colombia: 1995-1999

A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años

Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%

Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%

Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%

Desviaciónestándar

8,75% 6,80% 1,91% 1,40%

Coeficientede variación

1,19 1,61 5,12 7,39

Tasas reales

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

sep-94 abr-95 oct-95 may-96 dic-96 jun-97 ene-98 jul-98 feb-99 ago-99

Mes

Tasa

1 año

2 años

3 años

6 meses


Relación multiplicativa

La relación de estos componentes para determinar la tasa de

interés, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de

interés, se puede expresar según lo que se conoce como la

relación de Fisher.

111 −+×+=

fiii

rsr

Relación de Fisher

111 −+×+=

fiii

rsr

Donde isr es la tasa de interés libre de riesgo, ir es la

tasa de interés real y if es la tasa de inflación


Relación de Fisher extendida

1111 −+×+×+=

θiiii

fc r

donde:

ic = tasa de interés corriente

ir = tasa de interés real

if = tasa de inflación

iθ = componente de riesgo

O combinada…

Donde ic es la tasa de interés corriente, ir es la tasa de

interés real, if es la tasa de inflación y CR es la prima o

componente de riesgo

( ) ( ) CR111 +−+×+= frc iii


Componentes de la tasa de interés

Hoy Hoy + un año

$1,000,000 1,320,000

1,000/US$ idev =20% 1,200/US$

US$1,000 idura=10% US$1,100

Interés obtenido por el inversionista 32%Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior


Componentes de la tasa de interés

Como la devaluación y el interés en dólares

son simultáneos, el interés ganado en moneda

blanda no es idev + idura sino

iblanda=(1+idev)x(1+idura)-1

=1.2x1.1-1=.32-=.32 ó 32%

Esto es similar al esquema de los

componentes de la tasa de interés


Diagrama de Flujo de Caja

El eje del tiempo

0 1 2 3 4 5 6............ .....n



Los egresos

0 1 2 3

120

450



Los ingresos

250

350

0 1 2 3



Una inversión: 1,350

1,000

00

1



Un préstamo:

00

1,000

1,350

1


Interés Simple y Compuesto

La tasa de interés puede considerarse simple o

compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial,

a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos

intereses no pagados, que ingresan o se suman al

capital inicial.


Aritmética financiera

La sencillez de este tema permite llamarlo

aritmética financiera. Aquí se trata de encontrar

una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de

las cuales una es el número de períodos (n) o

la tasa de interés (i). La condición para hallar esa variable desconocida es que se mantenga

válida la equivalencia entre flujos de caja.


Número de períodos

Las variables son:

n = número de períodos que se

analizan (año, mes, día, trimestre,

semana, etc.). Los períodos deben ser

iguales. En Excel se llama nper.


Tasa de interés de equivalencia (tasa)

i = tasa de interés de equivalencia,

expresada en porcentaje por unidad de

tiempo (año, mes, día, trimestre, semana,

etc.). Este interés debe ser estipulado por

unidad de tiempo igual al período indicado

en n. Se supone interés compuesto.

Nombre en Excel, tasa.


Suma presente (VA)

P = Suma presente, situada al final del

período cero. Nombre en Excel, VA.

00 n

P


Suma futura (VF)

F = Suma futura, situada al final del

período n. Nombre en Excel, VF.

00 n

F


Cuota uniforme

C = Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el período 1

y el n. Nombre en Excel, pago.

0 1 2 3 4

C C C C


Suma presente y suma futura

Se puede transformar una suma de dinero

presente P en el período, en una suma de

dinero mayor equivalente, F en el período n y viceversa.

n00n00⇔

P F


Suma presente y suma futura

Lo anterior responde a preguntas como:

�¿Si se deposita una suma de dinero hoy en una

cuenta de ahorros al i% por período, cuánto se

tendrá al final de n períodos?

o

�¿Cuánto se debe depositar hoy para tener una

suma F al final n períodos, a la tasa i%?


Suma presente y cuota


presente P, en 0, en una serie de cuotas

uniformes C equivalente, desde 1 hasta n y viceversa.

00 n

C C C C

⇔n0 1 20 1 2


Suma presente y cuota

Esto responde a preguntas como:

�¿Si se tiene un préstamo P a la tasa de i%,

cuánto valen las cuotas iguales para pagarlo en n

períodos?

o

�¿Cuánto se debe pagar hoy por un préstamo a

cuotas C a la tasa de i% y faltan n cuotas?


Suma futura y cuota


futura F, n, en una serie de cuotas uniformes C

equivalente y viceversa.

00 n 00 n

⇔

C C C CF


Suma futura y cuota

Esto responde a preguntas como:

�¿Cuánto se debe ahorrar por período para

obtener una suma F al final de n períodos si la

tasa de interés es i%?

o

�¿Cuánto se tendrá al final de n períodos si se

ahorra C por período al i%?


F (VF) equivalente a P

Para hallar el valor de una suma futura -F- al

final de n períodos, equivalente a una suma

presente, a una tasa de interés compuesto i%, se

utiliza la siguiente fórmula de Excel

=VF(i;n;C;P;tipo)


P (VA) equivalente a F

Para hallar la suma presente en el período cero,

equivalente a una suma futura situada en n, a una

tasa de interés compuesto, i%, se utiliza la

siguiente fórmula de Excel.

=VA(i;n;C;F;tipo)


P (VA) equivalente a C

A su vez, para hallar la suma P a la tasa de

interés compuesto i%, que sea equivalente a

una suma uniforme durante n períodos al final

de cada uno, 1, 2,..., n, se utiliza la fórmula de

Excel

=VA(i;n;C;F;tipo)


Costo Capitalizado

Cuando n es muy grande, entonces la

anterior expresión se llama Costo

Capitalizado. Esto significa que se tiene una

serie perpetua de ingresos iguales a C y se

desea calcular la suma presente P equivalente.

iCP=


... con crecimiento

Cuando las sumas de dinero futuras

experimentan un crecimiento porcentual de g,

a partir de una suma uniforme C, entonces

esta expresión queda modificada así:

Esto será de utilidad para calcular el valor

residual o de salvamento de un proyecto (cap.6)

gi

CP

−=


C (pago) equivalente a P

Para hallar la suma uniforme durante

determinado número de períodos 1,2,..., n,

equivalente a una suma presente en cero a una

tasa de interés compuesto i%, se utiliza la

fórmula de Excel:

=PAGO(i;n;P;F;tipo)


Perpetuidades

Cuando n es muy grande, o sea que se desea

calcular la cuota C perpetua equivalente a P

PxiC =


F (VF) equivalente a C

Para calcular la suma futura al final del

período n equivalente a una serie uniforme

durante n períodos, a la tasa de interés

compuesto i%, al final de cada uno, 1, 2....n, se

utiliza la fórmula de Excel

=VF(i;n;C;P;tipo)


C (pago) equivalente a F

Para obtener el valor de la serie uniforme al

final de cada período 1,2 ...n, equivalente a una

suma futura al final del período n, a la tasa de

interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de

Excel

=PAGO(i;n;P;F;tipo)


Cálculo de número de períodos (nper)

En estos factores sólo se ha trabajado en el

cálculo de P, F o C, pero se puede también

calcular las otras variables n e i. Para calcular n,

se utiliza la función de Excel

=NPER(i;C;P;F;tipo)

Esto permite responder preguntas como

¿cuánto tiempo hay que esperar para duplicar

una inversión?


Cálculo de tasa de interés (Tasa y TIR)

Cálculo de tasa de interés

i es aquella tasa de interés que hace

equivalentes los flujos de caja positivos con los

negativos. Cuando se trabaja con Excel, se

utiliza:

=TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) para flujos

constantes y =TIR(rango;i semilla) para flujos

no constantes.


“Estimar” o i semilla

En el Asistente de Funciones, para la

función TIR, aparece “estimar” en

lugar de i semilla; cuando no se

escribe ningún valor, el programa

supone que es 0.1.


Cálculo de tasa de interés

Con este cálculo se puede responder preguntas

como ¿cuánto se ganó en esta inversión?


P equivalente a flujo no uniforme (VNA)

¿Cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor

actual o valor presente) de un flujo de caja cuando

no son constantes?

En Excel se utiliza =VNA(i;rango). Esta suma en

0 se expresa en pesos descontados del período

anterior al que inicia el rango. El rango debe

seleccionarse desde el período 1 hasta el n.


Sólo tres funciones

En Excel sólo se requieren tres funciones para

manejar los casos de transformación entre sumas

de dinero P, F y C. Estas son:

=VF(i;n;C;P;tipo) para transformar P y/o C a F.

=VA(i;n;C;F;tipo) para transformar F y/o C a P.

=PAGO(i;n;P;F;tipo) para transformar P y/o F a C.


Tabla resumen

Patrón típico

("datos": P, F, C,

nper y/o i%)

Patrón no típico

(irregular, real;

"datos": rango)

A suma presente VA VNA

A suma futura VF No hay

A cuota uniforme PAGO No hay

Tasa de interés TASA TIR

Número de

períodos

NPER No hay

Mejoras a VNA

Luciano Machain, profesor de la Universidad Nacional de Rosario, Argentina, ha desarrollado funciones financieras adicionales para Microsoft Excel. Es un Add-in que calcula el VPN de un flujo no constante, (no el VP de los flujos como VNA) con tasas únicas y variables y con períodos iguales y desiguales; el VP de un flujo no constante con tasas fijas (comoel VNA) y variables y con períodos iguales y desiguales Es un aporte muy útil. Para bajar manual y add-in. Para bajar el add-in se recomienda hacer click derecho y guardar en disco.

Se encuentra en el programa del curso, en la página webwww.poligran.edu.co/decisiones dentro del material para la primera y segunda semanas.


Tablas de amortización

Una tabla de amortización muestra cómo un

pago de una deuda se divide entre interés y

abono o amortización de la deuda; o, en el caso

que así fuera, cómo un determinado esquema de

abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los

intereses, a una cierta cuota o pago.


Amortización y capitalización

Con una tabla de amortización se puede

también determinar el saldo pendiente al

final de cada período. Algo similar puede

hacerse con una tabla de capitalización; la

diferencia radica en que en lugar de

amortizar (disminuir una deuda), se

capitalizan los ahorros y los intereses que

ellos producen y, por ende, se puede calcular

el saldo acumulado del capital ahorrado con

sus intereses.


Dos grandes tipos de tablas

�Cuota o pago determinados

y

�Abono o amortización determinados

Sólo se necesita definir de cuál caso se

trata y crear la estructura.


Regla general

Cuota = abono más intereses

Abono = Cuota menos intereses

La cuota uniforme es sólo un caso

particular donde todas las cuotas son

iguales


Estructura con cuota o pago

Saldo inicial

Interés Amorti-zación

Pago o cuota

Saldo final

Saldo final del período anterior

Saldo inicial por tasa de interés

Pago menos interés

Definido a voluntad

Saldo inicial menos amortiza- ción


Estructura con amortización

Saldo inicial

Interés Amorti-zación o abono

Pago o cuota

Saldo final

Saldo final del período anterior

Saldo inicial por tasa de interés

Definida a Voluntad

Abono más interés

Saldo inicial menos amortiza- ción


Tasas de Interés Equivalentes

En muchos casos es necesario hacer

transformaciones a las tasas de interés estipuladas para

poderlas comparar. En particular, esto se refiere a los

casos en que los intereses se pagan en forma anticipada

y en los casos en que los intereses se estipulan para un

determinado período, pero se liquidan en períodos

inferiores al que se estipuló inicialmente.

Definamos diferentes tasas

Podemos identificar las siguientes tasas de

interés, en términos de equivalencia de tasas:

1.Tasa de interés periódica

2.Tasa de interés nominal

3.Tasa de interés efectiva

Tasa de interés periódica

Esta es la más importante. Con esa tasa se liquidan los pagos o los ingresos de intereses. Se define para un período específico (mes, año, trimestre, etc.).

Para las tasas de interés periódicas podemos tener dos modalidades: vencidas o anticipadas.

Está relacionada con la tasa de interés nominal, como veremos más adelante.


Tasa de interés nominal

Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por

ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada,

en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.

Se estipula para un período y se indica cómo se

liquida (o se capitaliza). Por ejemplo, se puede decir

que la tasa nominal es de 36% nominal anual, liquidada

trimestre vencido, 36% N.A.T.V.


Tasa de interés efectiva

Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés

nominal en períodos menores al estipulado

inicialmente para ella. Dicha tasa puede

calcularse en virtud de que el interés es

compuesto, ya que las liquidaciones del mismo

se han acumulado.


Interés Anticipado

Cuando se estipula un pago de interés anticipado (ia),

en realidad ello significa que (en el caso de un

préstamo) se recibe un monto menor al solicitado.

P

Pia P

110


Interés Anticipado

Es decir que hoy se recibe P-Pia y al final del

año se debe pagar P. Nuevamente, la suma

adicional que se paga es Pia, pero la suma

recibida es P-Pia. Por lo tanto, el interés I, que se

paga, es Pia.


Tasa de interés vencida

a

av

i

ii

−=1

Esta es la tasa de interés vencida, a partir de la anticipada

donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipada

Esta relación sólo aplica para tasas periódicas.


Tasa de interés anticipada

vivi

ai+

=1

Esta es la tasa de interés anticipada, a partir de la vencida

donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipadaEsta relación sólo aplica para tasas periódicas.

Ejemplo

Supongamos un préstamo de $1.000 que se

puede pagar de dos maneras

1. La primera es pagar a los 4 trimestres la

suma de $1.360

2. A la tasa nominal de 36% nominal anual,

liquidada trimestre vencido, 36% N.A.T.V.

El capital se paga al final.


Primera forma de pagar el préstamo

Primera opción para pagar el préstamo de

$1,000: pagar todo a los 4 trimestres:

00 11 22 33 44

1,3601,360


Segunda forma de pagar el préstamo

La segunda es pagar intereses trimestrales

vencidos y los $1,000 al final:

0 1 2 3 4

9090 9090 9090 1,0901,090

¿Cuál prefiere?

1. Pagar todo al final

2. Pagar intereses trimestrales vencidos y el

monto del préstamo al final de los 4

trimestres.


¿Qué escogieron?

Lo más probable es que todos hubieran preferido la

primera. Si hay esa preferencia significa que la segunda

debe ser más costosa. Si se tuviera el dinero para pagar

de la segunda manera, pero en lugar de hacerlo se

escoge la primera y se ahorran los $90 al 9% trimestral,

se tendrá a final la suma de $411.58. O sea, que se deja

de recibir esa suma en el caso de pagar de la primera

forma..


¿A quién le cuesta más?

Tasa de

ahorro

Valor

futuro

Tasa de

interés

anual

0.0% $ 360.00 36.00%

3.0% $ 376.53 37.65%

6.0% $ 393.72 39.37%

9.0% $ 411.58 41.16%

12.0% $ 430.14 43.01%


Si no tuviera que prestar el dinero...

Podría ahorrarlo y obtendría justamente, el valor

futuro de los intereses que debo pagar al dueño

del dinero. Y todo sería mío. Pero como debo

pagar los intereses, sólo queda para mí la

diferencia entre los intereses y el valor

acumulado del ahorro.


¡No es una paradoja!

A quien tenga una posibilidad de ahorrar a

mayor tasa, le va a costar más pagar intereses

liquidados cada trimestre en lugar de pagarlos

todo al final. ¿Sorpresa? No. Ya se había intuido

con el concepto de equivalencia; y es de la tasa

de interés de equivalencia (de ahorro) que

depende el valor hoy de un dinero en el futuro.


¿Cómo se mide este costo?

Este mayor costo debe poderse reflejar de alguna

manera. Una forma de hacerlo es por medio de

la tasa de interés efectiva.

El préstamo de este ejemplo se pactó al 36%

anual liquidado por trimestre vencido.


Tasa de interés efectiva y nominal

Dependiendo de la forma como se liquiden los

intereses estipulados en una transacción,

entonces se presentarán diferencias entre el

interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se

llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales.


La efectiva depende de la nominal

La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés

nominal.

Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva

(tasa periódica) anual anual

�1.0% 12% 12.68%

�1.5% 18% 19.56%

�2.0% 24% 26.82%

�2.5% 30% 34.49%

�3.0% 36% 42.58%


... y de la frecuencia de liquidación

La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir de una tasa anual nominal 24% :

Período i por período Períodos ieaAño 24.00% 1 24.00%

Semestre 12.00% 2 25.44%

Cuatrimestre 8.00% 3 25.97%

Trimestre 6.00% 4 26.25%

Bimestre 4.00% 6 26.53%

Mes 2.00% 12 26.82%

Día 0.0658% 365 27.11%


Condiciones para la tasa de interés efectiva

Para estos ejemplos, es importante reiterar que

un interés efectivo implica:

�liquidación de intereses en períodos de

tiempo menores al estipulado para la tasa de

interés nominal;

�acumulación (real o virtual) de los intereses

generados durante el período indicado; y

�interés compuesto.


Ejemplo

Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000

al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se

considera que 2% mensual es lo mismo que

decir 24% anual liquidado mensualmente

vencido, entonces esta expresión se puede

escribir como 1,000(1+0.24/12) 12


Tasa de interés efectiva y nominal

Si se generaliza y se piensa que el 24% anual

liquidado mensualmente vencido es la tasa de

interés nominal, entonces el valor acumulado es

P(1+inom/n)n

El valor de los intereses en el ejemplo es

$268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es

268.24/1,000=26.82%


Tasa de interés efectiva

Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es:

Donde:

ief = tasa de interés efectiva

n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el período

inom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido

11 −+=

n

nomef n

ii


Tasa de interés efectiva en Excel

En Excel se utiliza la función

=INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año)


Tasa de interés continua

Cuando n es muy grande se dice que tiende a ∞ (infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida a

donde:

e = base de logaritmos naturales

inom = tasa de interés nominal anual

A esta expresión se llama tasa de interés continua.

1−= nomi

ef ei


Otra vez el préstamo...

En el ejemplo se tenía entonces que el préstamo

se había hecho al 36% anual TV (trimestre

vencido). La tasa de interés efectiva es de

41.16% (verifique ese cálculo). Pero ese

resultado es el mismo para cualquier persona, ya

sea que ahorre al 0% o al 12%. ¿Qué supuesto

implícito hay aquí?


Supuesto implícito en ief...

¡La persona que recibe ese crédito, ahorra a la

misma tasa a la que le prestan! Tarea: averiguar

si el sistema financiero da en préstamo a la

misma tasa que paga por los depósitos que

recibe. ¿Qué es la tasa de captación? ¿Qué es la

tasa de colocación? ¿Qué es el margen de

intermediación? Ahora saque sus conclusiones.


Cuando la nominal es anticipada...

Cuando la tasa de interés nominal se liquida anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se convierte en

Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso.

11 −−

−=

n

n

ii nomef


Tasa de interés nominal

La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es:

Donde:ief = tasa de interés efectiva anualn = número de veces que se liquida durante el períodoinom = tasa de interés nominal por período, liquidada vencida

−+×= 111n

efnom ini


Tasa de interés nominal en Excel

En Excel

=TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos)

interés efectivo = tasa de interés efectiva anual

num. períodos = número de veces que se liquida

durante el año.

Esta tasa nominal anual, liquidada vencida.


Relación entre tasa periódica y nominal

Tasa de interés periódica es igual a tasa de

interés nominal dividida por el número de

períodos

ip = inom/n

y viceversa

inom =n x ip


Transformaciones entre tasas nominales

En las transformaciones entre tasas de interés

nominales debe distinguirse entre

transformaciones con períodos de liquidación

iguales y desiguales.

Para el caso de períodos de liquidación iguales:



Tasanominal

Cálculo detasaperiódica

Equivalencia Nueva tasanominal

Anticipada ia = inom/n iv = ia/(1-ia) n x iv

Vencida iv = inom/n ia = iv/(1+iv) n x ia



Para períodos de liquidación diferentes: Con la

inom v con período de liquidación n1 se calcula la

tasa efectiva y con esta última se calcula la

nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal

vencida si se tiene una anticipada se utiliza

primero el procedimiento para convertir de tasa

anticipada a vencida con igual período.



inom a n1 ⇓⇓⇓⇓ inom a n2 = iaxn2

ia = inom a/n1 ⇓⇓⇓⇓ ia = iv/(1+iv) ⇑⇑⇑⇑

iv = ia/(1-ia) ⇓⇓⇓⇓ iv = inom v/n2 ⇑⇑⇑⇑

inom v = ivxn1 ⇒⇒⇒⇒ ief ⇒⇒⇒⇒ inom v n2 ⇑⇑⇑⇑


Ejemplo

Tasa nominal anticipadade 24% anual trimestreanticipado 4 períodos

⇓⇓⇓⇓

Se convierte a tasa deinterés nominal antici-

pada n2 períodos inom a= 11,640%x2=23,280%

Tasa de interés periódicaanticipada

ia = 24% /4=6%

⇓⇓⇓⇓

⇑⇑⇑⇑

Se convierte a tasa deinterés periódic antici-

pada ia =

13,743%/(1+13,743% )=11,640%

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida

iv = 6%/(1-6% )=6,383%

⇓⇓⇓⇓

⇑⇑⇑⇑

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida2 períodos

iv = 26,347% /2=13,173%

Se convierte a nominalvencida

inom v =

6,383%x4=25,532%

⇒⇒⇒⇒

Se convierte ahora a tasade interés efectiva con la

fórmula o con la funciónde Excel

ief=28,082%

⇒⇒⇒⇒

⇑⇑⇑⇑

Se convierte a tasa no-minal vencida con la

fórmula o con la funciónde Excel con 2 períodos

26,347% semestre ven-cido

Decisiones de Inversión Valor del dinero en el tiempo · El efecto de la inflación El efecto de...

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