Matematica e tecnologie: una sfida per l’insegnamento

Brunetto Piochi (Dipartimento di Matematica “U. Dini”,

Università di Firenze; piochi@math.unifi.it)Eleonora Faggiano

(Dipartimento di Matematica, Università “Aldo Moro” di Bari, efaggiano@dm.uniba.it)

Indice generaleMatematica e tecnologie: ........................................................................ 1una sfida per l’insegnamento ...................................................................1

Il senso dell’educazione matematica .....................................................1La matematica e il suo insegnamento.....................................................2L’approccio secondo la Realistic Mathematics Education (RME)...................3I contenuti del curriculum e la competenza matematica............................4La matematica e la società attuale......................................................... 5L’approccio laboratoriale all’insegnamento della matematica......................7Le tecnologie nella didattica della matematica.........................................9Integrare le tecnologie nella didattica: il quadro teorico...........................11Per un uso “sensato” ed “ecologico” delle LIM ......................................13Bibliografia....................................................................................... 15

Il senso dell’educazione matematica

Prima di interrogarsi sul ruolo, la rilevanza (e i limiti) della Tecnologia nell’insegnamento della matematica, vogliamo riflettere su quale sia il senso in generale dell’educazione matematica ed il suo ruolo nella proposta di una formazione complessiva ed equilibrata della persona. La riforma della Scuola secondaria di II grado in Italia individua infatti nella Matematica una delle “discipline cardine” (accanto a lingua e letteratura italiana, lingua e cultura straniera, storia, scienze) “al fine di garantire il raggiungimento di alcune conoscenze e competenze comuni (anche al fine di fornire a tutti gli strumenti culturali utili a esercitare la propria cittadinanza, ad accedere all’istruzione superiore, a poter continuare ad apprendere lungo l’intero arco della propria vita)” [RS 2010 - Licei]1.Viene così superata una dicotomia che ha attraversato la scuola italiana per quasi un secolo, relegando la cultura scientifica in secondo piano rispetto a quella umanistica. I

1 La citazione, come tutte quelle che seguiranno virgolettate con indicazione [RS 2010], è tratta dai documenti ufficiali della Riforma della Scuola secondaria di II grado 2010; questa in particolare è tratta dalla Nota introduttiva alle Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento per i Licei.

neoidealisti, rifacendosi alle posizioni di Croce e Gentile, ritenevano che la scienza avesse solo valore pratico per le applicazioni e la matematica garantisse sì una conoscenza perfetta (analitica a priori e dunque “vera conoscenza” secondo la terminologia kantiana), ma fosse comunque una disciplina arida e morta, inadatta a cooperare all’educazione di una persona.Di fatto tali principi restano (più o meno consapevolmente) validi per la maggioranza delle persone. La scienza è rispettata, ma solo in quanto è “utile” (si veda il tipo di interesse che suscitano i calcolatori o i cellulari, ma si veda anche il rifiuto ormai diffusissimo di studiare le istruzioni per l’uso di tali strumenti). Alcuni anni fa, sollecitata dal Ministero della Pubblica Istruzione, l’UMI2 avviò una riflessione sistematica sui programmi di Matematica per i diversi livelli scolastici in Italia e la loro traduzione in curriculi. La CIIM dell’UMI produsse una serie di documenti, a cui in varia misura si sono poi ispirati i successivi Ministri per la definizione dei documenti ufficiali in proposito. Una delle affermazioni di base è quella secondo cui “l’educazione matematica deve contribuire, insieme con tutte le altre discipline, alla formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli diformazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità criticapartecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica” ” (UMI-CIIM 2003). Se però l’insegnamento della Matematica ha una tale valenza culturale e sociale, allora il modo di insegnare Matematica deve essere determinato non solo dalla struttura interna delle conoscenze matematiche, ma anche dalla necessità di contribuire a obiettivi educativi generali, da legare allo sviluppo di capacità cognitive specifiche. Inoltre, si deve guardare ben al di là della proposta di pure tecniche: “la formazione del curricolo scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzionesia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematicastrumentale, sia quella culturale della matematica: […] priva del suo caratterepriva del suo carattere strumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senzastrumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senza una visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e diuna visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e di giustificazionegiustificazione” (UMI-CIIM 2003).

La matematica e il suo insegnamento

In un celebre testo sulla storia della matematica, Struik (1948) ricorda come “la matematica ha subìto l’influenza dell’agricoltura, del commercio, dell’industria, dell’ingegneria, come pure di questioni militari, filosofiche, fisiche, astronomiche”, eppure “per la maggior parte della gente la matematica significa lavorare con i numeri… una definizione priva di senso almeno da 2500 anni. Di fatto i matematici vedono il loro lavoro come lo studio di strutture (reali o immaginarie, visive o mentali) che nascono dal mondo naturale o dalla mente dell’uomo” (Devlin, 1997).La matematica, che è una scienza vitale e in continuo sviluppo, paradossalmente, appena raggiunge il livello dell’insegnamento-apprendimento formale, sembra costretta a presentarsi come teoria morta (CREM, 1999). L’idea della matematica come “scienza morta” è tuttora molto diffusa nel senso comune, e purtroppo anche nella didattica. Essa ha però degli effetti che non è riduttivo definire devastanti, in quanto scoraggia lo studente dall’assumere in proprio le responsabilità dell’apprendimento, spostando fuori da sé il locus of control (Rotter, 1966) del successo o dell’insuccesso, attivando un ragionamento del tipo: “se la matematica è 2 Unione Matematica Italiana, l’associazione che riunisce i matematici in Italia. Una sua commissione permanente, la CIIM (Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica) si occupa dei problemi connessi all’insegnamento e apprendimento della materia nei diversi livelli scolastici.

un insieme di formule ormai ben definito e io non posseggo la formula per risolvere questo esercizio non è colpa mia, ma della sfortuna (o della cattiveria dell’insegnante che tende tranelli) oppure della vastità eccessiva della materia che fa sì che solo chi ha il ‘bernoccolo’ possa riuscire a imparare tutto quel che serve”.Negli ultimi quaranta anni, l’approccio all’insegnamento della matematica è stato influenzato da due diverse “culture curriculari: un approccio formale e che pone il suo focus sull’astrazione, approccio che ha preso il nome di “nuova matematica” o “matematica moderna”, e un approccio più basato sul contesto, sulla realtà e sui problemi; quest’ultimo approccio fa riferimento a diverse teorie cognitive: dal costruttivismo piagetiano al cognitivismo alla cosiddetta ‘realistic mathematics education’ (RME)” (Conway & Sloane, 2006). É necessario ormai prendere atto del fallimento del primo tipo di approccio, che di fatto ha costituito negli anni passati la continuità didattica in matematica fra i diversi livelli scolastici. Nonostante una sua fondatezza sul piano teorico, esso si è rivelato negativo: “la matematica più astratta è sicuramente la più flessibile oggettivamente, ma non soggettivamente, dato che essa viene sprecata da soggetti che non riescono a valersi di tale flessibilità” (Freudenthal, 1968).

L’approccio secondo la Realistic Mathematics Education (RME)

La RME, legata alle idee di Freudenthal, propone di partire da problemi veri in contesti non-matematici, ricchi e aperti alla matematizzazione. Si parla di qualcosa di ben diverso dai “problemi scolastici” nei quali il contesto è più che altro un “vestito” (magari poco attraente o, come accade soprattutto nella nostra lingua, con costrutti complessi e/o forme desuete) per la matematica in esso proposta. Si pensi a conferma di ciò ai “problemi” di geometria della scuola primaria o secondaria di I grado oppure ai “problemi” dei libri di testo per il biennio della scuola secondaria di II grado, i quali sono di solito semplici “pretesti” per applicazioni di formule e per calcoli aritmetici o algebrici. Si pensi allo studio delle coniche nella Scuola Secondaria di II grado, generalmente trattato dal punto di vista della geometria analitica, tanto da perdere di vista la stessa origine etimologica del nome che indica l’oggetto dello studio. Sulla linea proposta dalla RME si tratterà allora di abbandonare un approccio alla matematica come scienza esaustiva, formale e sintattica, trasmessa già univocamente e definitivamente strutturata, per muoversi verso una modalità didattica che trovi i suoi punti fermi in un approccio laboratoriale, più legato alla semantica, in grado di fare appello alle molteplici forme dell’intelligenza individuale (H. Gardner, 1983). D’altra parte l’OCSE si ispira chiaramente alla teoria della RME nel definire la mathematical literacy (che si propone di valutare con i test PISA) come “la capacità degli studenti di analizzare, di ragionare e di comunicare idee in modo efficace nel momento in cui essi pongono, formulano e risolvono problemi matematici e ne spiegano la soluzione in una molteplicità di situazioni” (OCSE, 2003). È allora ovvio

che quei Paesi che affronteranno l’insegnamento della matematica attraverso attività rivolte in questa direzione avranno risultati migliori nei test tipo PISA e nei dati OCSE rispetto a paesi che privilegino approcci diversi.Sia le Indicazioni Ministeriali che gli Assi culturali per il biennio della scuola secondaria di II grado3 si orientano in maniera esplicita in questa direzione sia nella scelta dei temi da trattare che nelle considerazioni generali e nella ricerca di modalità personali di avvicinarsi alla proposta. La Riforma della Scuola secondaria di secondo grado 2010, pur precisando di non dettare alcun indirizzo pedagogico, per “favorire la sperimentazione e lo scambio di esperienze metodologiche, valorizzare il ruolo dei docenti e delle autonomie scolastiche nella loro libera progettazione e negare diritto di cittadinanza, in questo delicatissimo ambito, a qualunque tentativo di prescrittivismo” [RS 2010 – Licei], tuttavia fa una scelta precisa nella direzione di cui stiamo parlando: “Conoscere non è un processo meccanico, implica la scoperta di qualcosa che entra nell’orizzonte di senso della persona che “vede” , si “accorge”, “prova”, “verifica”, per capire. Non è (non è mai stata) la scuola del nozionismo a poter essere considerata una buona scuola. Ma è la scuola della conoscenza a fornire gli strumenti atti a consentire a ciascun cittadino di munirsi della cassetta degli attrezzi e ad offrirgli la possibilità di sceglierli e utilizzarli nella realizzazione del proprio progetto di vita.” [RS 2010 – Licei]“Una competenza sia generale, sia di studio, sia di lavoro si sviluppa in un contesto nel quale lo studente è coinvolto, personalmente o collettivamente, nell’affrontare situazioni, nel portare a termine compiti, nel realizzare prodotti, nel risolvere problemi, che implicano l’attivazione e il coordinamento operativo di quanto sa, sa fare, sa essere o sa collaborare con gli altri” [RS 2010 – Ist. Tecnici]“Le metodologie didattiche sono improntate alla valorizzazione del metodo laboratoriale e del pensiero operativo, all'analisi e alla soluzione dei problemi, al lavoro cooperativo per progetti, per consentire agli studenti di cogliere concretamente l'interdipendenza tra cultura professionale, tecnologie e dimensione operativa della conoscenza.” [RS 2010 – Ist. Prof.li]

I contenuti del curriculum e la competenza matematica

È ormai internazionalmente condivisa una traccia definita di curricoli di apprendimento matematico. Una commissione della European Mathematical Society (EMS) ha lavorato per vari anni allo scopo di raccogliere i “dati strutturali sulle varie situazioni di insegnamento nei paesi esaminati, con particolare rilievo alle questioni, di qualsivoglia natura, che potevano maggiormente incidere sull’insegnamento della matematica, […] descritta ‘ingombrante ma ineludibile in ogni curriculum’ per il posto che essa occupa nella cultura quotidiana per il cittadino comune e per l’impatto che la ‘modellizzazione’ e la ‘scelta decisionale’ hanno assunto per ogni scienziato […] Le big

3 “La competenza matematica, che non si esaurisce nel sapere disciplinare e neppure riguarda soltanto gli ambiti operativi di riferimento, consiste nell’abilità di individuare e applicare le procedure che consentono di esprimere e affrontare situazioni problematiche attraverso linguaggi formalizzati. […] Finalità dell’asse matematico è l’acquisizione al termine dell’obbligo d’istruzione delle abilità necessarie per applicare i principi e i processi matematici di base nel contesto quotidiano della sfera domestica e sul lavoro, nonché per seguire e vagliare la coerenza logica delle argomentazioni proprie e altrui in molteplici contesti di indagine conoscitiva e di decisione” (Assi culturali: asse matematico).

ideas evidenziate come strutture portanti dei vari curricula dalla commissione Education della EMS, ovvero Numbers and quantities, Shape and forms, Relationship, Incertainty, sono esattamente le stesse dei nuclei fondanti individuati dall’UMI” (Anichini, 2001) e corrispondono ai temi citati nei documenti ufficiai del MIUR: sia pure con denominazioni leggermente diverse, si tratta di Numeri, Spazio e figure, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni.Tuttavia l’uniformità si attenua molto, laddove si cerchi di riferirsi non tanto ai “titoli” degli argomenti o ai traguardi, ma ci si sforzi di andare a esaminare la metodologia didattica o la proporzione reciproca degli apprendimenti. Il rapporto PISA dell’OCSE, a proposito di competenza matematica nota esplicitamente che essa “non può essere ridotta alla conoscenza della terminologia matematica, ai fatti e ai procedimenti, né tantomeno alle abilità necessarie per svolgere certe operazioni e applicare certi metodi, sebbene presupponga tutto ciò”. Il rapporto fa riferimenti a quattro temi o “idee chiave” (come sopra notavamo cambiano i nomi, ma non gli argomenti; si tratta ancora di Quantità, Spazio e forma, Cambiamento e relazioni, Incertezza) a cui riferirsi per valutare, e di conseguenza per orientare l’insegnamento-apprendimento: “Un’idea chiave può essere concepita come un insieme coerente di fenomeni e di concetti che si possono incontrare in una molteplicità di situazioni differenti. Per sua natura, ciascuna idea chiave può essere considerata come una sorta di nozione generale che ha a che fare con un qualche ambito generale di contenuto. Questo implica che le idee chiave non possano essere delineate con precisione una in rapporto all’altra. Ciascuna di esse rappresenta piuttosto una particolare prospettiva, o punto di vista, che può essere concepito come dotato di un nucleo, di un centro di gravità, e di contorni in un certo senso indistinti che consentono l’intersezione con altre idee chiave. In teoria, ogni idea chiave si interseca con tutte le altre” (OCSE, 2003). Rimandando il lettore interessato alla bibliografia per quanto riguarda le indicazioni dell’OCSE relative alle varie idee-chiave, vogliamo però notare come il riferimento stesso a una idea-chiave e non a un “contenitore di argomenti relativi al programma” cambia completamente l’approccio teorico-pratico all’insegnamento: non si tratta più di trasmettere dei contenuti standard, ma di guidare l’allievo alla scoperta e all’appropriazione personale di tali idee-chiave e del modo di operare con e attraverso di esse.

La matematica e la società attuale

Alcune capacità matematiche, ritenute centrali e irrinunciabili fino a ieri (e forse ancora oggi, almeno a giudicare da prove e test assai diffusi) sono state di fatto negli ultimi anni prepotentemente marginalizzate dall’avvento di strumenti automatici di calcolo: ad esempio la capacità di effettuare diligentemente calcoli faticosi e complicati (numerici, trigonometrici, di derivate e integrali, ecc.) o il saper “studiare una funzione” con procedimenti standard. Si sente invece sempre più il bisogno di educare studenti capaci di modellizzare situazioni, controllare la sensatezza dei risultati dei calcoli effettuati con l’uso degli strumenti, interpretare grafici o dati statistici, stimare ordini di grandezza, e così via. Se vogliamo riferirci a un quadro più generale, le Indicazioni Nazionali ricordano come “in un tempo molto breve, abbiamo vissuto il passaggio da una società relativamente stabile a una società caratterizzata da molteplici cambiamenti e discontinuità […]

Anche ogni singola persona, nella sua esperienza quotidiana, deve tener conto di informazioni sempre più numerose ed eterogenee e si confronta con la pluralità delle culture […] Ogni persona si trova ricorrentemente nella necessità di riorganizzare e reinventare i propri saperi, le proprie competenze e persino il proprio stesso lavoro. Le tecniche e le competenze diventano obsolete nel volgere di pochi anni. Le trasmissioni standardizzate e normative delle conoscenze, che comunicano contenuti invarianti pensati per individui medi, non sono più adeguate” (Indicazioni Ministeriali 2007)In tale scenario, occorre offrire agli studenti occasioni di apprendimento che promuovano in loro la capacità di elaborare metodi e categorie in grado di fare da bussola negli itinerari personali, al fine di raggiungere quella “solida base di conoscenze e competenze [che], di là dal valore legale del titolo di studio, è requisito indispensabile non solo per raggiungere le “competenze chiave di cittadinanza”, [oltre che] per avere la possibilità effettiva di proseguire proficuamente il proprio percorso di istruzione” [RS 2010 – Licei], percorso destinato nei fatti a proseguire lungo l’arco di tutta la vita. Questo significa favorire l’autonomia di pensiero, orientando la didattica alla costruzione creativa di saperi a partire da concreti bisogni. “È azione creativa qualsiasi atto che produca una “sorpresa produttiva”, cioè una modificazione concreta inaspettata nelle diverse attività in cui l’uomo si trova coinvolto” (Bruner, 1964).Se la scuola deve porre le basi del percorso formativo personale, aiutando a elaborare gli strumenti di conoscenza necessari per comprendere e operare in quei contesti (naturali, sociali, culturali, antropologici) nei quali gli studenti si troveranno a vivere e a operare, questo riguarda ogni disciplina ed ogni disciplina è chiamata in maniera esplicita a concorrervi. Per la matematica, i processi in atto invitano a spostare l’attenzione da alcuni temi “classici” ad altri non sempre sufficientemente curati, almeno nel segmento scolastico a cui ci stiamo riferendo, invitando l’insegnante a ricalibrare il “focus” dell’insegnamento. Si rimanda il lettore a (Piochi, 2009) per alcuni esempi riferiti alla scuola primaria e secondaria di I grado. Relativamente alla scuola secondaria di II grado, vogliamo citarne soprattutto due, che ci sembrano cruciali anche nell’ottica dell’intervento didattico attraverso le tecnologie.

• I risultati di apprendimento comuni ai vari Licei individuano una specifica area metodologica logico-argomentativa, in cui gli studenti dovranno al termine del percorso liceale “saper sostenere una propria tesi e saper ascoltare e valutare criticamente le argomentazioni altrui ; acquisire l’abitudine a ragionare con rigore logico, a identificare i problemi e a individuare possibili soluzioni” [RS 2010 – Licei]. Il tema è ripreso in particolare per gli studenti del Liceo Scientifico i quali dovranno “comprendere le strutture portanti dei procedimenti argomentativi e dimostrativi della matematica, anche attraverso la padronanza del linguaggio logico-formale; usarle in particolare nell’individuare e risolvere problemi di varia natura; saper utilizzare strumenti di calcolo e di rappresentazione per la modellizzazione e la risoluzione di problemi” [RS 2010 – Liceo Scientifico]. Dunque la matematica è chiamata a concorrere a una cruciale competenza trasversale mediante proprie specifiche caratteristica: il rigore logico, la capacitò di identificare e modellizzare problemi4 . Questo

4 I Programmi della Scuola Superiore della Spagna hanno a questo proposito una bella espressione, sostenendo che il fine del processo di apprendimento della matematica è raggiungere il possesso della “forma di fare” propria di tale disciplina.

inevitabilmente dovrà spingere a un diverso modo di considerare i problemi scolastici, che non potranno più essere semplici enunciati (più o meno coerenti e sensati5) finalizzati a una standardizzata rappresentazione numerica o algebrica (calcolo, equazione o sistema di equazioni) la quale inevitabilmente, anche al di là delle intenzioni del docente, finisce per diventare l’aspetto importante, relegando in secondo piano il problema da cui si parte. Dovranno invece diventare occasioni di riflessione, verbalizzazione6, modellizzazione su cui gli studenti potranno impostare un percorso laboratoriale in senso lato ed esercitare e affinare le proprie competenze logiche, tirando in ballo intuizione, progettualità, capacità di proporre ipotesi e verificarle o smentirle…

• Sempre nei Licei “ferma restando l’importanza dell’acquisizione delle tecniche, verranno evitate dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi” [RS 2010 – Licei]. Oltre a confermare quanto sopra, questa affermazione relega una volta per tutte nella soffitta delle cose inutili le “espressioni a più piani”, certe pesantissime trasformazioni trigonometriche, oppure certi calcoli con radicali… tutte tecniche ovviamente utili a sviluppare (nei pochi studenti in grado di eseguirli) una alta “manualità” di calcolo algebrica, ma che sottraggono tempo e attenzione a contenuti culturalmente ben più significativi. Si dovrà essere più consapevoli di quale apprendimento si stia cercando di promuovere e agire di conseguenza: la capacità di rispettare le regole di calcolo o di risolvere una equazione si verificano anche (e forse meglio…) su esercizi brevi e snelli, in cui lo studente e l’insegnanti possono individuare meglio le procedure e gli eventuali errori su cui intervenire.

• Quanto sopra resta altrettanto valido se si guardano le indicazioni relative agli Istituti Tecnici (nel primo biennio di vari indirizzi si citano, fra le competenze di base da acquisire relative alla Matematica, “individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi; analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico” [RS 2010 – Ist. Tecnici]) e Professionali (ad es “al termine del percorso quinquennale di istruzione professionale del settore “Servizi” lo studente deve essere in grado di: utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative; utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni problematiche, elaborando opportune soluzioni” [RS 2010 – Ist. Prof.li]).

L’approccio laboratoriale all’insegnamento della matematica

Le riflessioni svolte fino qui conducono quasi inevitabilmente verso un “approccio laboratoriale”, intendendo tale espressione nel più vasto senso possibile. Già nella scuola secondaria di I grado si considera “fondamentale il laboratorio di matematica,

5 Da un testo per il biennio “Giovanni apre una scatola di cioccolatini, ne prende i 3/8 e di questi mangia i 2/7. Che frazione dei cioccolatini totali ha mangiato ?”…. 6 il “parlare” di matematica che tante difficoltà crea ai nostri studenti nei test internazionali

che permetterà agli allievi non solo di eseguire ma anche di progettare, discutere, fare ipotesi, costruire e manipolare con materiali diversi, sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte.” (dalle Indicazioni Nazionali, 2007), ma alcune affermazioni relative alla scuola secondaria di secondo grado sono ben più impegnative. Se nel Profilo educativo culturale e professionale dello studente liceale si chiama innanzitutto in causa “l’uso costante del laboratorio per l’insegnamento delle discipline scientifiche; la pratica dell’argomentazione e del confronto; […]; l‘uso degli strumenti multimediali a supporto dello studio e della ricerca” [RS 2010 – Licei], le Linee guida per gli istituti Tecnici vanno ancora oltre: “Il laboratorio è concepito, nei nuovi ordinamenti dell’istruzione tecnica, non solo come il luogo nel quale gli studenti mettono in pratica quanto hanno appreso a livello teorico attraverso la sperimentazione di protocolli standardizzati, tipici delle discipline scientifiche, ma soprattutto come una metodologia didattica innovativa, che coinvolge tutte le discipline, in quanto facilita la personalizzazione del processo di insegnamento/apprendimento che consente agli studenti di acquisire il “sapere” attraverso il “fare”, dando forza all’idea che la scuola è il posto in cui si “impara ad imparare” per tutta la vita. Tutte le discipline possono, quindi, giovarsi di momenti laboratoriali, in quanto tutte le aule possono diventare laboratori” [RS 2010 – Ist. Tecnici]Apprendere un metodo che permetta di avvalersi della matematica nelle sue potenzialità coinvolge un processo lento e laborioso, che prevede ovviamente anche fasi di trasmissione delle conoscenze necessarie. Tuttavia alla base di tutto deve esserci una prolungata attività di lavoro su opportuni campi, a partire da esempi ed elementi concreti, i quali saranno esaminati, discussi, rappresentati in forme adeguate al livello di maturazione e conoscenza di ciascuno. In tal modo offriremo agli studenti esperienze cognitive significative, meglio se collegate ad altri contesti: linguistici, storici, sperimentali, motori, figurativi... L'uso del linguaggio e il ragionamento matematico emergeranno in modo naturale come potenti “strumenti per l'interpretazione del reale e non come bagaglio astratto di nozioni” (UMI-CIIM 2003), permettendo anche allo studente di sperimentare la “sorpresa produttiva” di cui parla Bruner: “Tutte le forme di sorpresa produttiva hanno la loro origine in una particolare forma di attività combinatoria, in un disporre i dati in prospettive nuove. Qualsiasi atto creativo si avvale perciò del procedimento euristico che ha come momento essenziale l’atto della scoperta: un’operazione di riordinamento e di trasformazione di fatti evidenti che permette di procedere al di là di quei fatti verso una nuova intuizione” (Bruner, 1964). La creatività, come capacità di prefigurare il nuovo al di là dei confini dell’esistente, permette di legare e interconnettere elementi conflittuali e antinomici, “ricombinando” l’esistente fino a scoprire prospettive diverse collegate alla individuazione e soluzione di problemi della vita e alla ristrutturazione e rielaborazione continua dell’esperienza (cfr. Frabboni e Pinto Minerva, 2006).Ci sembra opportuno insistere sull’aspetto della creatività (e del ri-disporre dati noti in prospettive nuove) non solo perché il senso comune difficilmente lo associa alla matematica, ma anche perché esso si pone come ottimo antidoto alla repulsione e al disinteresse verso la “matematica - scienza morta” e perché in questo la tecnologia può essere un potente alleato per l’insegnante che voglia offrire ai propri ragazzi l’opportunità di “pensare matematicamente” la realtà.

Il processo che conduce a questo può però essere attivato solo se si riesce ad attivare una effettiva “devoluzione dell’apprendimento” (D’Amore 1999, pag. 236) laddove gli alunni sono chiamati ad essere pienamente protagonisti. Questo, a sua volta, è possibile solo se li metteremo davanti a situazioni per loro significative e stimolanti, che pongano dei problemi e provochino il desiderio di risolverli. La proposta didattica deve inoltre concentrarsi sul metodo e sulla componente metacognitiva dell’apprendimento oltre che su quella cognitiva, coinvolgendo l’allievo in una serie di scoperte e riflessioni collegate ai concetti e alle competenze che l’insegnante intende promuovere. L’attività si strutturerà allora attraverso percorsi che incoraggino e stimolino gli allievi ad una continua verbalizzazione di idee, intuizioni e proposte: bisogna rimuovere la convinzione (erronea !) che fare matematica consista nel trovare l’unica soluzione corretta e che questa si possa trovare solo mediante l’applicazione di procedimenti standard e formule di cui l’insegnante è depositario ed evitando assolutamente errori e ripensamenti (da nascondere ovviamente col bianchetto…).Vivere in classe un clima di “laboratorio” non significa dunque avere a disposizione strumenti e materiali opportunamente pensati, o meglio non significa solo questo. Il punto centrale è costituito dalla metodologia laboratoriale, che prevede come assolutamente lecito, anzi quasi obbligatorio e comunque naturale e apprezzato, esporre a tutti le proprie idee, giuste o sbagliate che si rivelino, in una situazione di rispetto, condivisione e ascolto. Se la classe lavorerà così, si scoprirà ben presto come la frase o la proposta apparentemente stravagante di qualcuno (non di rado uno dei non-considerati, proprio perché dotato di una capacità di pensiero divergente) può essere davvero la chiave per far compiere a tutti un passo avanti. È chiaro come questo sia, fra l’altro, un buon antidoto all’insorgere di atteggiamenti di disistima personale e una strada per superare nella pratica quotidiana il dilemma integrazione-differenza: piuttosto che guardare alle debolezze concentriamoci sulle forze e sfruttiamo il fatto che esse sono diverse in bambini diversi.Numerose sono le indicazioni di esperienze concrete che sono state da più parte proposte e sperimentate: basta citare le proposte di (UMI-CIIM 2003) attualmente rivisitate e arricchite all’interno dei Progetti M@t.abel e M@t.abel PON. Su questa strada, l’aiuto che può venire da un uso opportuno delle diverse tecnologie può essere davvero prezioso.

Le tecnologie nella didattica della matematica

Da alcuni anni si assiste a considerevoli sforzi rivolti alla promozione dell’uso delle nuove tecnologie nella didattica.È utile sottolineare che oggi quando parliamo di strumenti tecnologici ci limitiamo a considerare gli sviluppi tecnico digitali in relazione ai computer e alle connessioni in rete, ovvero le applicazioni dell’informatica e della telematica alle diverse attività umane; tuttavia non è strettamente così.Storicamente gli strumenti hanno avuto ampio spazio all’interno della matematica: la geometria di Euclide è la geometria della riga e del compasso; fino dall’antichità, e poi in particolare nel ‘600, alcuni tracciatori di curve sono stati studiati come strumenti di soluzione di problemi (si veda per esempio il Laboratorio delle Macchine Matematiche, http://www.mmlab.unimore.it, situato nei locali del Dipartimento di Matematica

dell’Università di Modena e Reggio Emilia); le “vetrine” di alcuni scaffali nei Dipartimenti di Matematica conservano ancora oggi modelli statici e dinamici. A queste tradizioni di origine didattica ed epistemologica, si sono aggiunti, in anni più recenti, ma comunque molto prima che i computer facessero il loro ingresso nella scuola, gli studi cognitivi sui processi di pensiero, che hanno mostrato l’importanza della manipolazione diretta, dei segni e dei gesti nella costruzione dei significati matematici (si vedano per esempio Radford et al., 2003 e Lakoff & Nùñez, 2000). In particolare, nell’interazione tra gli allievi e le tecnologie è stata osservata e studiata la produzione collettiva di segni come parole, azioni, gesti, sguardi, come indicatori di costruzione di pensiero (Goldin-Meadow, 2003). Il sistema educativo oggi è impegnato ad individuare nuove opportunità di insegnamento/apprendimento e la didattica con le tecnologie digitali e di rete negli ultimi anni ha creato aspettative elevate: la denominazione di “e-learning”, spesso per la sola presenza del prefisso “e”, nell’immaginario collettivo rappresenta infatti qualcosa di particolarmente innovativo. Dopo i primi approcci, sostanzialmente caratterizzati dall’accesso a contenuti multimediali ed ipertestuali via internet, però, si sono avviate riflessioni e ricerche che hanno portato a nuove pratiche di usi didattici delle tecnologie, caratterizzate dalla focalizzazione sull’apprendimento più che sulla tecnologia (Marconato, 2009). La crescente attenzione nei confronti delle tecnologie si va comunque via via diffondendo e si riflette anche nei singoli settori didattico disciplinari tra i quali, ovviamente, quello della matematica.Nell’”International handbook of mathematics education”, pubblicato nel 1996, per esempio, si legge che probabilmente nessuno degli sviluppi che hanno implicazioni nel campo della didattica della matematica è “più importante, urgente e controverso” dell’utilizzo delle nuove tecnologie (Bishop et al, 1996, p.522). “Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico” [RS 2010 – Licei]. Tuttavia, l’uso delle Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione (TIC) nelle classi sembra essere, nella maggior parte dei casi, ancora basato sul modello tradizionale di trasferimento caratterizzato da un approccio centrato sul docente (si veda per esempio Midoro, 2005). Con una visione semplificata dei processi di apprendimento spesso non si è fatto altro che replicare il modello tradizionale di scuola, quello basato sui contenuti e sulla loro trasmissione utilizzando lo strumento digitale al posto di quello analogico. Se si utilizzano le tecnologie solo per organizzare, con maggiore ricchezza informatica, multimediale ed ipertestuale, i contenuti, per renderli più attraenti e/o accessibili via Internet ci si limita a farne un uso cieco (il cui unico risultato è l’effetto “wow”) e non si incide sulla qualità culturale dell’insegnamento e dell’apprendimento. Se invece si vedono le tecnologie come ambienti di formazione dell’esperienza e della conoscenza, il ruolo che esse svolgeranno tenderà ad essere ben più impegnativo, anche e soprattutto a livello epistemologico. Ciò incide notevolmente anche sulle scelte metodologico/didattiche implicando nuovi approcci improntati alla logica della costruzione sociale della conoscenza, dei significati da costruire e ricostruire continuamente.

Come sottolineato da varie ricerche, infatti, ambienti di apprendimento innovativi possono emergere dalla integrazione tra teorie pedagogiche e cognitive, nuovi strumenti tecnologici e bisogni di insegnamento ed apprendimento (Bottino, 2000). L’avvento delle nuove tecnologie ha generato, quindi, anche una attenzione pedagogica alle implicazioni e alle opportunità da queste offerte al miglioramento dei processi di apprendimento ed è proprio in questa direzione che le tecnologie stanno riconquistando una immagine positiva ed un senso di utilità didattica (Marconato, 2009).Nella già citata “Nota introduttiva alle Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento” per i Licei si legge: “Il percorso, quando ciò si rivelerà opportuno, favorirà l’uso degli strumenti informatici, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline scientifiche. L’uso di tali strumenti è una risorsa importante che sarà introdotta in modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di problemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale” [RS 2010 – Licei].Se nel campo specifico della ricerca in didattica della matematica si è oggi concordi nell’affermare che gli strumenti tecnologici “possono” assumere un ruolo cruciale nei processi di insegnamento ed apprendimento, quello che si ritiene essere quanto mai importante è comprendere, come e quando essi possano mediare/supportare/forgiare la costruzione delle conoscenze matematiche da parte degli allievi (Arzarello et al., 2006).Secondo quanto affermato da Hoyles et al. (2006), infatti, una situazione di apprendimento ha una sua economia, ovvero una specifica organizzazione delle varie differenti componenti che intervengono nella classe, e la tecnologia apporta cambiamenti e specificità; per esempio, gli strumenti tecnologici hanno un forte impatto sul “contratto didattico” (Brousseau 1986). Una classe tecnologicamente ricca, cioè, è una realtà complessa che necessita di osservazioni ed interventi di vario tipo e portare la tecnologia nella didattica “aggiunge complessità ad un processo già di per sé complesso” (Lagrange et al., 2003). Inoltre, come da più parti sottolineato (si veda per esempio Mously et al., 2003), le nuove tecnologie forniscono delle opportunità di cambiamento per le pratiche didattiche ma di per sé non possono cambiare aspetti essenziali della didattica.

Integrare le tecnologie nella didattica: il quadro teorico

Integrare le tecnologie nella didattica richiede tempo poiché gli insegnanti devono anzitutto comprendere che, e come, l’apprendimento può svilupparsi in situazioni tecnologicamente ricche, e poi diventare in grado di creare situazioni di apprendimento adeguate. I risultati delle ricerche in didattica, con i costrutti teorici, offrono in tal senso un importante aiuto per interpretare e gestire le dinamiche di classe. Tra questi “strumenti”, per esempio, vi sono:

- il costrutto di “mediazione semiotica” introdotto da Vygotsky (1987) e recentemente ripreso e ulteriormente sviluppato (si veda per esempio Mariotti, 2002 e Bartolini Bussi et al., 2005); - l’idea che un ambiente di apprendimento tecnologico possa promuovere la costruzione di “situated abstraction” (Noss e Hoyles, 1996);

- l’”instrumental approach” sviluppato a partire dagli studi di Vérillon e Rabardel (1995);- e l’idea dell”embodied cognition” dei già citati Lakoff & Nùñez (2000).

Negli ultimi anni diversi studi hanno adottato una prospettiva “semiotica”, focalizzando l’attenzione sul ruolo dei segni, dei simboli, dei loro usi e delle loro interpretazioni.Il costrutto di “mediazione semiotica” risulta essere particolarmente utile e molto utilizzato per studiare le dinamiche legate all’integrazione delle tecnologie nella didattica.Le nuove tecnologie offrono un ricco potenziale in termini di mediazione semiotica in quanto possono promuovere un processo di internalizzazione che trasforma l’uso di uno strumento (= mezzo orientato esternamente, la cui funzione è quella di dirigere l’influenza dell’uomo sull’oggetto dell’attività) nell’uso di un segno (= mezzo orientato internamente, diretto a controllare se stessi) concorrendo a definire nuovi significati. Ciò che però è importante sottolineare è che il sapere matematico al quale un artefatto fa riferimento diventa accessibile all’allievo soprattutto grazie all’intervento dell’insegnante. È l’insegnante infatti che guida lo sviluppo dei significati che emergono durante l’attività verso significati esplicitamente riconoscibili come matematici (Mariotti, 2005).La costruzione di significati matematici a partire dall’uso di artefatti (siano essi classici strumenti come il compasso o nuovi ambienti tecnologici come i software di Geometria Dinamica) è, cioè, il risultato di un processo sociale basato sull’interazione della classe e sulla fondamentale guida dell’insegnante.

La nozione di “situated abstraction”, introdotta da Noss e Hoyles e ripresa poi, fra gli altri, anche da Hershkowitz, Shwarz e Dreyfus (2001), fa riferimento al modo in cui gli allievi costruiscono le idee matematiche operando sulla struttura di un particolare ambiente d’apprendimento che, a sua volta, condiziona il modo in cui le idee vengono espresse: la matematica precedentemente costruita si va così a riorganizzare in una nuova, più complessa e completa, struttura.

Nell’ambito dell’”instrumental approach”, invece, l’espressione “instrumental genesis” è stata coniata per indicare il lungo processo durante il quale un allievo elabora uno strumento da un artefatto sviluppando tecniche e schemi mentali che gli consentono di utilizzare l’artefatto per uno scopo ben preciso. Si tratta di un processo complesso, allo stesso tempo sociale ed individuale, legato ai limiti e alle potenzialità dell’artefatto e alle caratteristiche dell’allievo, che si articola in due aspetti duali: l’”instrumentation” e l’”instrumentalization”. Il primo riguarda gli schemi di utilizzazione dell’artefatto (in genere rivolti alla soluzione di particolari classi di problemi) e si riferisce al modo in cui l’artefatto influenza il comportamento e il pensiero dell’allievo, mentre il secondo riguarda il modo in cui le conoscenze dell’allievo influiscono sull’artefatto e lo portano ad appropriarsi delle modalità e potenzialità di funzionamento. Se l’allievo, secondo l’”instrumental approach”, ha bisogno di acquisire non ovvie conoscenze e consapevolezza per beneficiare delle potenzialità di uno strumento, affinché l’azione didattica risulti efficace a loro volta gli insegnanti hanno bisogno di tener conto di tale genesi (Trouche, 2000).

Un esempio relativo alle calcolatrici grafico simboliche e ai Computer Algebra System (CAS) come quello nel Riquadro 2 può evidenziare la complessità dell’”instrumental genesis.Altro importante concetto è quello di “instrumental orchestration” proposto da Trouche (2003) con l’obiettivo di promuovere l’integrazione di artefatti nella pratica didattica. In particolare Trouche sottolinea che occorre tener conto della complessità dell’integrazione a tre diversi livelli:

- quello matematico (nuovi ambienti richiedono nuovi problemi matematici);- quello tecnologico (capire limiti e potenzialità di ciascun artefatto);- quello psicologico (capire e gestire l’”instrumental genesis”).

La teoria dell’”embodied cognition”, infine, sostiene che il pensiero e il modo di comunicarlo attraverso la lingua hanno strutture che sono profondamente connesse con il nostro essere fisico e corporeo: con la postura, il movimento, la nostra orientazione nello spazio, l’interazione che abbiamo con gli oggetti esterni. Poiché anche il nostro pensiero matematico si forma allo stesso modo in cui si formano le idee che riguardano la vita matematica, esso risulta fondato sui meccanismi legati al corpo e all’esperienza. I risultati di tale teoria, ottenuti in un ambiente estraneo alla matematica, sono oggi molto utilizzati nella ricerca didattica per descrivere ed interpretare i processi cognitivi coinvolti in attività di comunicazione basate sulla nostra lingua e sulla nostra attività di matematizzazione (si veda per esempio Arzarello e Robutti, 2008): nello studio della formazione dei concetti si tiene così in particolare considerazione il carattere intrinsecamente multimodale con cui gli esseri umani effettuano esperienze e costruiscono conoscenze.

Per un uso “sensato” ed “ecologico” delle LIM

Il numero delle LIM installate nelle aule scolastiche negli ultimi anni è cresciuto notevolmente. Parallelamente sembra essere cresciuto l’interesse e l’entusiasmo di insegnanti e studenti verso questa nuova tecnologia. I sondaggi e monitoraggi effettuati, in Italia come in altri paesi europei, hanno rivelato un alto livello di soddisfazione da parte degli insegnanti che fanno uso delle LIM. Alcune indagini (si veda per esempio Moss et al., 2007) però hanno messo in evidenza che, contrariamente alla percezione di beneficio rilevata, l’uso abituale della LIM non è in grado di per sé di garantire migliori risultati nell’apprendimento. D’altro canto è ben noto che l’uso di un qualunque strumento in classe, sebbene possa aiutare alcuni allievi a trovare motivazioni, non è sufficiente in generale né a garantire la permanenza della motivazione né tantomeno a favorire un apprendimento riflessivo e consapevole.Perché la LIM (come una qualunque altra tecnologia) possa essere utilizzata come mediatore del processo di acquisizione di conoscenza matematica occorre che l’ambiente d’apprendimento sia opportunamente costruito e che le attività didattiche siano accuratamente progettate, a partire da campi di esperienza ricchi di significato per gli allievi, per condurre gradatamente all’appropriazione dei significati istituzionali.È necessario, cioè, costruire un ambiente di insegnamento-apprendimento che sia “sensato” in una duplice accezione: 1) legato ai sensi e agli aspetti percettivi e al tempo stesso guidato dalle teorie e dalla ragione; 2) ragionevole poiché, attento alle

condizioni al contorno, consente di cogliere un significato e una ragione in quel che si fa (Paola, 2010).Se lo strumento è utilizzato in modo “sensato”, esaltandone le potenzialità e minimizzando i rischi legati alla sua utilizzazione, esso può consentire esperienze significative, offrire la possibilità di esplorare un ambiente consonante con l’oggetto di studio, motivare gli studenti a chiedersi il perché di ciò che osservano e, infine, favorire il passaggio da una conoscenza implicita e tacita a una conoscenza esplicita e consapevole. Per esempio, prestando particolare attenzione al ruolo di mediazione semiotica giocato dagli ambienti di Geometria Dinamica e all’interazione sociale nel processo di acquisizione e costruzione di conoscenza, è possibile favorire la transizione dai fatti alle dimostrazioni e dagli oggetti empirici agli oggetti generici, avviando così gli studenti al sapere teorico e, in particolare, all’acquisizione del senso e del significato dei concetti di dimostrazione e di teoria (si vedano per esempio ).Le attività di costruzione forniscono in tal senso un campo di esperienza ricco e significativo per lo sviluppo di una prospettiva teorica in geometria e la funzione di trascinamento, ovvero la possibilità di manipolare dinamicamente e direttamente sullo schermo le figure geometriche costruite, costituisce la differenza più significativa della geometria dinamica rispetto all’ambiente carta e matita.È evidente, dunque, che una utilizzazione “sensata” delle nuove tecnologie, non è affatto immediata e, per dirla in termini strumentali, richiede, prima ancora di una opportuna “instrumental orchestration”, una vera e propria “instrumental genesis” anche da parte dell’insegnante, che deve quindi anzitutto decidere di mettersi in gioco in prima persona.Alcuni studi (Miller et al, 2004) suggeriscono che il processo attraverso il quale l’insegnante giunge ad utilizzare le LIM in modo consapevolmente “sensato” passa attraverso tre fasi: quella “di supporto didattico” in cui l’insegnante usa la LIM solo come supporto visuale alle sue lezioni e non per lo sviluppo di concetti e significati; quella “interattiva” in cui l’insegnante inizia a far uso di alcune potenzialità delle LIM per stimolare l’intervento degli allievi durante la lezione e per rendere più chiari alcuni concetti; quella “altamente interattiva” caratterizzata dalla messa in atto di strategie di insegnamento-apprendimento che spostano il focus dall’insegnante alla LIM per un apprendimento centrato sullo studente.Vale infine la pena soffermare l’attenzione su due ulteriori aspetti: l’enorme quantità di risorse per le LIM oggi reperibili in rete e la differenza tra l’uso della LIM in classe e l’opportunità di far lavorare gli studenti, eventualmente in coppia o in piccoli gruppi con i “classici” PC dei laboratori.Entrambi gli aspetti possono essere messi a fuoco ripensando all’idea di laboratorio di matematica per la costruzione di significati e all’approccio “sensato” all’uso delle tecnologie, suggerendo che tale approccio sia anche “ecologico”, ovvero attento alle risorse disponibili, che non abusi delle tecnologie, sia meno invadente e più convincente (Paola, 2005).È sufficiente fare una ricerca in rete utilizzando le parole chiave “IWB” (Interactive WhiteBoard, sigla anglosassone per LIM) e “mathematics”, per ritrovarsi sommersi da risorse (software) utilizzabili con le LIM. I contenuti ricoprono praticamente l’intero curriculum scolastico e alcuni di tali software risultano essere anche particolarmente “gradevoli” per gli studenti perché realizzati con grafiche “vincenti”, o particolarmente

graditi agli insegnanti perché spesso costituisco una enorme fonte di “esercizi” da far fare ai ragazzi. Non essendoci però, come già sottolineato, alcuna evidenza dell’efficacia dell’utilizzo di tali applicazioni in termini di apprendimento significativo, sembra opportuno ribadire ancora una volta quanto l’utilizzo di tali strumenti possa essere opportuno solo se fatto all’interno di un progetto educativo “sensato”, “ecologico” e finalizzato alla costruzione di significati. In quest’ottica, è evidente che l’utilizzo di applicazioni e/o ambienti di apprendimento non può esaurirsi nelle attività condotte in classe con la LIM ma deve richiedere anche ulteriori momenti in cui gli studenti abbiano l’opportunità di riflettere da soli, in coppia o al più in piccoli gruppi, su quello che è stato fatto, eventualmente potendo riutilizzare alcune risorse (di qui l’importanza di non dismettere i PC nei “normali” laboratori di informatica delle scuole).Per offrire una idea di come la LIM (o se vogliamo più in generale l’informatica) possa intervenire nel lavoro con la classe ponendosi come mediatore e facilitatore nel momento dell’elaborazione collettiva (mentre i soggetti continueranno a operare anche in maniera autonoma e tradizionale), vogliamo, infine, far riferimento a tre possibili tipologie di attività. Una tipologia di uso più elementare è quella in cui la LIM può essere usata come catalizzatore dell’attenzione, per aiutare il gruppo classe a focalizzarsi su un tema. Una figura geometrica tracciata dall’insegnante passo passo con un software di Geometria Dinamica; una tabella o un grafico statistico analizzato su un foglio elettronico; un software che simuli eventi casuali (come il lancio di un dado, o di una o più monete) sono sicuramente più efficaci se operati davanti alla classe. Esistono poi situazioni in cui l’uso della LIM può porsi come facilitatore della discussione e strumento sperimentale di verifica delle ipotesi di lavoro. Una terza tipologia di utilizzo potrebbe essere quella in cui la LIM consente di accelerare e fluidificare le fasi di un lavoro collettivo sia di scoperta che di verifica.Ribadiamo, comunque, che la scelta di utilizzare la LIM (o in generale un qualunque altro strumento tecnologico) in una situazione “tradizionale”, seppur nello spirito dell’approccio laboratoriale (e creativo nel senso di Bruner), è una importante responsabilità del docente al quale spetta il compito di individuare ambienti di apprendimento, attività, modalità e strumenti che consentano di favorire una “instrumental genesis” adeguata a produrre negli studenti i comportamenti attesi, nonché di promuovere e sostenere i processi di socializzazione necessari per la costruzione dei significati matematici.

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APPENDICE: Esempi di attività

RIQUADRO 1

Il compassoPer chiarire meglio come uno strumento (anche assolutamente non digitale come il compasso) possa essere mediatore semiotico per la costruzione di un significato matematico presentiamo qui un importante esempio, tratto da Chassapis (1999), di sviluppo del concetto formale di circonferenza, attraverso l’uso di vari strumenti, nel contesto di un ambiente di apprendimento progettato con un obiettivo preciso: condurre gli allievi alla costruzione del significato di circonferenza come insieme di punti equidistanti dal centro.

L’esperienza di cui racconta Chassapis è stata effettuata con bambini di otto anni che non avevano mai usato in classe il compasso. Anzitutto è stato chiesto ai bambini di disegnare dei cerchi senza usare altro che carta e matita. Il fatto che i bambini abbiano considerato insoddisfacenti i loro disegni ha confermato che essi possedessero il concetto spontaneo di cerchio. Successivamente è stato chiesto loro di disegnare dei cerchi utilizzando oggetti e mascherine circolari: i disegni questa volta sono stati considerati soddisfacenti ma l’uso di tali strumenti non ha contribuito a modificare le competenze dei bambini e non li ha portati alla costruzione del concetto di circonferenza. Particolare attenzione è stata poi posta al passaggio successivo, quello dell’uso del compasso: l’analisi dei dati ha dimostrato che l’utilizzo del compasso conduce allo sviluppo di un pensiero guidato dall’azione pratica. Usando il compasso il bambino vede generarsi dinamicamente la traccia che ha in mente e, guidato dall’adulto, riesce a comprendere il ruolo strategico del centro e del raggio per descrivere la circonferenza: a questo punto l’obiettivo della costruzione del significato è stato raggiunto e all’insegnante non resta che richiamare l’attenzione dei bambini e prestare loro la voce del sapere matematico.

In questo ambiente di apprendimento lo strumento compasso diventa mediatore fra i sensi personali e il significato istituzionale e il compito dell’insegnante è quello di rendere possibile e di accelerare l’azione mediatrice dello strumento attraverso il suggerimento di attività e lo stimolo alla riflessione (Paola, 2001).

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I sensori di movimentoUn altro esempio di strumento “non tradizionale” che può essere utilizzato come mediatore semiotico per la costruzione di un significato matematico, in particolare

del concetto di funzione, è quello dei sensori di movimento i quali, collegati ad una calcolatrice tascabile grafico-simbolica, consentono di generare in tempo reale diversi tipi di grafici in relazione a movimenti eseguiti dagli studenti.

Utilizzando tali strumenti in opportune attività come quelle ampiamente descritte da Domingo Paola (2003), gli studenti possono essere incoraggiati a testare le loro congetture controllando direttamente i loro movimenti. In accordo con le teorie “dell’embodiment”, a partire dalle esperienze sensibili e dalle percezioni del nostro apparato senso-motorio, è possibile costruire le metafore sulle quali basare la conoscenza. In un interessante lavoro Arzarello et al. (2004) osservano come in percorsi di questo tipo le attività cognitive degli studenti seguono una complessa evoluzione che parte con le loro esperienze corporee, procede con una rievocazione delle esperienze appena vissute utilizzando gesti e parole, continua collegando le esperienze corporee con la rappresentazione dei dati e culmina con l’uso del linguaggio algebrico per scrivere le relazioni tra la quantità coinvolte. Le calcolatrici tascabili grafico-simboliche collegate a sensori di movimento costituiscono dunque degli strumenti che, nel caso specifico presentato, “incorporano il sapere istituzionale relativo al concetto di funzione e lo mettono a disposizione dello studente consentendo di evidenziare quegli aspetti dinamici che dovrebbero risultare particolarmente adatti a introdurre il concetto di funzione a studenti di un primo biennio di scuola secondaria” (Paola, 2003).

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Paola D., (2003). Introduzione al concetto di funzione in un primo anno di scuola secondaria, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol 26 B n.5, pp.547-575.

RIQUADRO 2

Le calcolatrici grafico simboliche ed i Computer Algebra System (CAS)Le calcolatrici grafico simboliche ed i Computer Algebra System sono comunemente ritenute tecnologie in grado di favorire l’apprendimento della matematica in quanto possibili mediatori di significati. È importante però ribadire che la mediazione che essi possono offrire non è neutrale: perché l’utilizzo di tali artefatti/strumenti possa promuovere la costruzione di significati e “sapere” matematico è necessario che ciascuno studente elabori degli opportuni schemi di utilizzazione. Tali schemi influiscono sul comportamento dello studente in relazione ad una determinata classe di problemi e sono alla base della costruzione della conoscenza. Numerosi sono gli studi che mettono in evidenza la complessità dell’elaborazione di tali schemi di utilizzazione, ovvero dell’”instrumental genesis”, anche perché sebbene avvenga soprattutto in contesti sociali la genesis è essenzialmente individuale.Ad esempio, come ben descritto da Lagrange (1999), nello studio del comportamento di una funzione come (x2+x+0,01)/x con una calcolatrice grafico simbolica come la TI-92 gli studenti possono sviluppare schemi di utilizzazione molto vari (algebrici, grafici, simbolici, orientati da e per lo strumento o meno, decisionali, pragmatici, interpretativi…).Lo schema prevalente è quello che prevede la produzione e l’osservazione del grafico nella finestra standard. Difficilmente uno studente alle prime armi con tale “artefatto” è in grado da subito di sviluppare schemi che colleghino gli aspetti grafici con le interpretazioni algebriche ed analitiche.Il grafico risultante della funzione considerata nella finestra standard della TI-92 si presenta come una retta. Ma lo studente con adeguate conoscenze (algebriche) dovrebbe essere in grado di osservare che la funzione non è lineare. A questo punto però ciascuno studente mette in atto strategie diverse (anche a seconda di quelli che sono gli schemi d’uso che già possiede). Solitamente gli studenti agiscono utilizzando i comandi di zoom: alcuni di loro li usano da subito abbastanza opportunamente, altri procedono per prove ed errori riuscendo ad ottenere un “buon” grafico, ma ce ne possono essere anche alcuni che non riescono a venire a capo della situazione. Altri schemi d’uso più complessi e meno spontanei (come quello di calcolare ed osservare il comportamento della derivata o di richiedere alla calcolatrice di calcolare il limite per x che tende a 0 e accorgersi che esso non esiste e che in 0 c’è una discontinuità) sono stati osservati nei casi in cui c’era stata una voluta attenzione all’”instrumental genesis” degli studenti.

Con questo esempio vogliamo qui ribadire la complessità dell’”instrumental genesis” e l’assoluta importanza di tenerne conto in ogni intervento didattico che si proponga di utilizzare un artefatto in qualità di strumento (mediatore) per l’apprendimento della matematica.

Per ulteriori approfondimenti specifici rispetto all’uso delle calcolatrici grafico simboliche e dei CAS si consiglia di far riferimento ai lavori di Domingo Paola e ai risultati di ricerca a livello internazionale come ad esempio:

Lagrange J.B., (1999). Complex Calculators in the Classroom: Theoretical and Practical Reflections on Teaching Pre-Calculus. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Springer, v.4 n.1 pp. 51-81.

Guin D., Trouche L., (1999). The Complex Process of Converting Tools into Mathematical Instruments: The Case of Calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Springer, v.3 n.3 pp. 195-227.

Kieran K., Drijivers P., (2006). The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: A study of CAS use in secondary school algebra. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Springer, v.11 pp. 205–263.

RIQUADRO 3

L’avvio al concetto di dimostrazione con i software di Geometria DinamicaE’ esperienza comune quanto di fronte ai primi teoremi e alla richiesta di fornire una dimostrazione i ragazzi incontrino difficoltà a passare dalle conoscenze intuitive della scuola secondaria inferiore ad un approccio a queste conoscenze secondo una prospettiva teorica. Diversi studi hanno evidenziato come i software di Geometria Dinamica (come ad esempio il micromondo Cabri Geometre o l’oggi molto diffuso open source GeoGebra) possano porsi come ambienti di mediazione per la costruzione del significato di teorema e di dimostrazione.L’uso di un software di Geometria Dinamica suggerisce di evidenziare il ruolo e la funzione della dimostrazione come attività volta a spiegare perché una determinata congettura vale, ossia a precisarne la relazione di conseguenza logica con gli assiomi della teoria. Come diceva Polya, “prima ci si convince e solo dopo si è pronti e motivati a dimostrare, ossia a spiegare perché”.Il contesto tematico nel quale organizzare le attività didattiche è quello delle costruzioni geometriche, mentre il contesto educativo che consente ai processi argomentativi di evolvere in processi dimostrativi è quello della discussione collettiva ad opera della mediazione consapevole dell’insegnante. Particolare attenzione deve essere posta agli schemi di utilizzazione della funzione di trascinamento come strumento per potenziare le capacità di esplorazione e osservazione e per validare congetture.

In percorsi didattici che propongano attività di esplorazione e osservazione, che favoriscano la produzione di congetture e motivino alla loro validazione la LIM può svolgere un ruolo di supporto nella fase fondamentale di verbalizzazione delle attività svolte da parte dei ragazzi, per spingerli a descrivere e commentare la soluzione dei problemi e per seguirli nel loro processo di crescita logico-deduttiva. Le definizioni, gli assiomi e le giustificazioni delle costruzioni (teoremi) concordati in classe durante le discussioni collettive, possono inoltre essere salvate in un file da poter visualizzare sulla LIM ogni volta che è necessario, oltre che essere riportate individualmente dagli allievi su un “quaderno” personale.

Alcuni interessanti esempi di attività da svolgere con software di Geometria Dinamica possono essere trovati in:

Paola, D.: 2004, Software di geometria dinamica per un sensato approccio alla dimostrazione in geometria: un esempio di Laboratorio di matematica, Progetto Alice, v. 5, n.13, 103 - 121. (http://www.matematica.it/paola/progettoalice1.pdf)

RIQUADRO 4

L’allevamento di troteLa tipologia di uso più elementare della LIM è quella in cui la lavagna interattiva è usata come catalizzatore dell’attenzione. Si pensi, per esempio, ad una attività come quella illustrata in http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?ID=L476, in cui a studenti di scuola superiore si sottopone il seguente problema su un allevamento di trote:

Ogni anno un allevamento di trote viene ripopolato: ovvero ogni anno la popolazione diminuisce, anche per cause naturali, e alla fine dell’anno vengono aggiunti dei nuovi pesci. In partenza nell’allevamento c’erano 3000 trote. Per la pesca, le morti naturali ed altre cause ogni anno la popolazione diminuisce del 20%. Alla fine di ogni anno vengono aggiunte 1000 trote. Come evolve il numero di trote nel tempo?

Per analizzare la situazione, dopo aver lasciato agli studenti il tempo necessario per riflettere e discutere in piccoli gruppi, può essere utile utilizzare la LIM per visualizzare e riempire collettivamente una tabella nella quale, con l’avanzare degli anni, si calcoli il numero di trote presenti nell’allevamento.In questa fase del lavoro la LIM può essere dunque di supporto alla discussione. Dopo un primo approccio essenzialmente numerico, eventualmente con l’utilizzo di un foglio Excel, l’insegnante può guidare la discussione evidenziando per esempio contributi legati alla rappresentazione dei valori della successione (che, si vede, cresce e cresce sempre meno convergendo verso il valore 5000). L’attività può essere poi approfondita ed estesa, sia studiando la dipendenza o meno dell’evoluzione del sistema dai diversi parametri del problema, sia costruendo programmi o definendo funzioni che calcolino iterativamente o per ricorsione i valori della successione. Quello che ci sembra importante sottolineare è che se, come sostiene Paola (2005), “man mano che aumenta l’esperienza matematica degli studenti acquista sempre più senso una profonda integrazione tra gli aspetti

numerici, grafici e formali”, allora tale integrazione “può” essere favorita dall’utilizzo della LIM.

Paola D., (2005). Un approccio ecologico agli strumenti di calcolo automatico nell’insegnamento – apprendimento della matematica, in Didattica della matematica e processi di apprendimento, (a cura di Bruno D'Amore e Silvia Sbaragli), Pitagora Editrice Bologna, pp. 35-42

La costruzione del concetto di funzione con il Motion Visualizer sulla LIMNell’attività didattica ampiamente descritta e analizzata nell’articolo di Ferrara et al. (2010) al quale si rimanda per i dettagli, è previsto l’utilizzo di un software, il Motion Visualizer, in grado di rilevare moti che avvengono in un piano e di disegnare i grafici delle due leggi orarie (che descrivono la variazione nel tempo delle ascisse e delle ordinate del punto che si muove nel piano). Più precisamente, il Motion Visualizer è un software che, collegando al computer una webcam, consente di raccogliere i dati del movimento di un oggetto colorato che si muove nel cono di azione della webcam. I dati vengono elaborati per restituire la traiettoria, la videoregistrazione del movimento e due a scelta delle seguenti rappresentazioni grafiche: - le leggi orarie della posizione dell’oggetto; - i grafici della variazione delle componenti della sua accelerazione nel tempo; - la velocità in funzione della posizione; - l’accelerazione in funzione della velocità.Agli studenti è stato richiesto: - di produrre un determinato movimento in un piano e di prevedere i grafici che il Motion Visualizer avrebbe proiettato;- di riprodurre su carta la traiettoria corrispondente alle leggi orarie disegnate sullo schermo o viceversa disegnare le leggi orarie relative ad una assegnata traiettoria di un oggetto.Tale attività, che non prevede necessariamente l’uso della LIM, si inserisce in un percorso che dà comunque grande spazio all’uso delle nuove tecnologie nella costruzione di significato per gli oggetti matematici, in particolare per quello di funzione, nei suoi aspetti globali e locali.Un aspetto che ci sembra importante sottolineare è che, volendo favorire la produzione di congetture, inizialmente si chiedeva sempre agli studenti di discutere in piccoli gruppi sull’attività da svolgere. I risultati venivano poi condivisi in discussioni collettive guidate dall’insegnante. Gli autori dell’articolo ribadiscono, infine, l’importanza della riflessione personale come fase conclusiva dell’attività. Il Motion Visualizer installato sulla LIM può consentire, in una attività come quella descritta nell’articolo citato sia di accelerare e fluidificare le fasi di un lavoro collettivo di scoperta e di verifica che di facilitare la discussione.Come ulteriore approfondimento si suggerisce, in particolar modo dopo aver letto la descrizione delle attività in Robutti (2006), di riflettere sui vantaggi che si potrebbero ottenere collegando sensori di movimento e computer, o software come il Motion Visualizer, alla LIM piuttosto che ad un videoproiettore.

Ferrara F., Laiolo P., Paola D., Savioli K., (2010). Movimento, visualizzazione e costruzione di significato nella scuola secondaria di secondo grado, L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, Vol 33 B n.2, 139-170.

Robutti O., (2006), Motion, Technology, Gesture in Interpreting Graphs, International Journal for Technology in Mathematics Education, Vol.13 n.3, pp. 117-125