DA2PGS Span 774 fm 3rd08 - Seattle Public Schools · En el pasado, y probablemente en su propia...

Discovering

AlgebraAn Investigative Approach

Una guía para los padres

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Teacher’s Materials Project Editor: Elizabeth DeCarli

Project Administrator: Aaron Madrigal

Contributing Writers: Larry Copes, Kendra Lockman

Accuracy Checker: Dudley Brooks

Editorial Production Supervisor: Christine Osborne

Production Supervisor: Ann Rothenbuhler

Text Designer: Jenny Somerville

Translation, Composition: Publication Services

Cover Designers: Jill Kongabel, Marilyn Perry, Jensen Barnes

Printer: Data Reproductions

Textbook Product Manager: James Ryan

Executive Editor: Casey FitzSimons

Publisher: Steven Rasmussen

© 2007 by Key Curriculum Press. All rights reserved.

Cover Photo Credits: Background image: Pat O’Hara/DRK Photo. Bottom image:Marc Epstein/DRK Photo. All other images: Ken Karp Photography.

Permiso limitado de reproducciónEl editor otorga al profesor cuya escuela ha adoptado Discovering Algebra, y quienha recibido Discovering Algebra: An Investigative Approach, Una guía para los padres como parte del paquete de Teaching Resources para el libro, el derecho areproducir el material para su uso en el salón de clases. La reproducción noautorizada de Discovering Algebra: An Investigative Approach, Una guía para lospadres constituye una violación de los derechos de reproducción y de la ley federal.

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Key Curriculum Press1150 65th StreetEmeryville, CA 94608510-595-7000editorial @keypress.comwww.keypress.com

Printed in the United States of America

10 9 8 7 6 5 4 3 11 10 09 08 ISBN 978-1-55953-774-2

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El método Discovering Algebra para aprender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Trabajar con su estudiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Visión general de los temas en Discovering Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

Capítulo 0: Fracciones y fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Problema de resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Ejercicios de repaso del Capítulo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Soluciones a los ejercicios de repaso del Capítulo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Capítulo 1: Exploración de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Problema de resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Ejercicios de repaso del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Soluciones a los ejercicios de repaso del Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Capítulo 2: Razonamiento proporcionado y variación . . . . . . . . . . . . . . . 11

Resumen del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Problema de resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ejercicios de repaso del Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


Capítulo 3: Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15





Capítulo 4: Ajustar una recta a los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19





Capítulo 5: Sistemas de ecuaciones y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . 23





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Contenido

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Capítulo 6: Exponentes y modelos exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27





Capítulo 7: Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31





Capítulo 8: Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37





Capítulo 9: Modelos cuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43





Capítulo 10: Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47



Ejercicios de repaso del Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Soluciones a los ejercicios de repaso del Capítulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Capítulo 11: Introducción a la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53



Ejercicios de repaso del Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Soluciones a los ejercicios de repaso del Capítulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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Discovering Algebra: An Investigative Approach cubre temas ofrecidos en los cursosde algebra tradicionales, pero el estilo de enseñanza al igual que la experiencia deaprendizaje puede ser diferente de lo que usted recuerda de su propio curso deálgebra de escuela superior.

En el pasado, y probablemente en su propia experiencia escolar, a los estudiantesse les pedía que pasaran mucho tiempo manipulando símbolos—moviendo x’s, y’sy números alrededor en las expresiones y las ecuaciones—antes de que tuviesenuna oportunidad de entender lo que hacían. Por ejemplo, usted puede reconoceresta situación: Después de revisar las tareas, su profesor le mostró un nuevo tipode problema y un método para resolverlo. Usted trabajó a solas con lápiz y papely practicó resolver problemas de ese tipo. Para las tareas, trabajó en másproblemas del mismo tipo. El día siguiente, la clase repitió el mismo proceso conun nuevo tipo de problemas. En algún punto, usted tomó un examen con muchosproblemas. Usted tenía que recordarse de los métodos y descifrar cuál métodousar para cada problema. Si le fue bien en todos los exámenes, usted era “buenoen matemáticas”. Si no le fue bien, usted puede haber pensado que “simplementeno puedo hacer matemáticas”.

Muchos estudiantes no pueden tener éxito en un ambiente así. Quizás ustedmismo tuvo una experiencia difícil. El profesor y el libro de texto no puedenofrecer suficientes ejemplos para aplicar a cada situación o problema nuevo.Como resultado, muchos estudiantes están limitados en su entendimiento,incapaces de hacer más que meras manipulaciones matemáticas. Ellos no sabencuándo aplicar una estrategia particular para resolver problemas. No salen de sucurso de matemáticas con un conjunto de ideas que se unen para formar una“idea general”. Ellos dudan que las matemáticas serán relevantes a sus carreras yno ven qué le gusta a las otras personas acerca de ellas. Aún los estudiantes queaprueban están renuentes a continuar con matemáticas. Algunos desarrollan“fobia matemática”—un temor de las matemáticas—y evitan cursos en ciencias onegocios que requieren matemáticas. Últimamente, su temor limita sus opcionesde carrera y sus ingresos durante su vida.

Pero todos los estudiantes pueden aprender matemáticas mejor, disfrutar máshaciéndolas y salir con una apreciación de su valor como una herramienta paraciencias, negocios y la vida cotidiana. Discovering Algebra es un programa queayuda a todos los estudiantes a alcanzar un entendimiento profundo de lasmatemáticas animándolos a investigar problemas interesantes en gruposcooperativos, a usar tecnología donde es apropiado y a practicar destrezas quehacen automáticos los problemas de rutina.

Todos los estudiantes se benefician

De su propia experiencia de enseñanza, los autores de Discovering Algebra sabenque todos los estudiantes pueden experimentar más éxito en las matemáticas.Cuando el enfoque está en entender conceptos y estrategias para resolverproblemas en lugar de simplemente memorizar fórmulas y procedimientos, losestudiantes con problemas de concentración, de atención y de memoria pueden

El método Discovering Algebrapara aprender

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tener más éxito. Los estudiantes pasivos o renuentes aprenderán a comunicarsemejor. Decir que todos los estudiantes pueden aprender matemáticas mejor nosignifica que el curso ha sido aguado. De hecho, aún los estudiantes muy exitososhallarán que serán desafiados, aprenderán más y se recordarán por más tiempocon el método de Discovering Algebra. Esto es porque los conceptos y métodos noestán aislados de las aplicaciones reales, o de las ideas aprendidas anteriormente ode la información que están recibiendo de otras clases. Las matemáticas que losalumnos estudian son más cercanas a lo que es necesario tanto para los alumnosque buscarán empleos después de la escuela superior como para aquellos que sepreparan para asistir a la universidad.

Entendimiento profundo es importante

En sus propias clases de matemáticas, le pueden haber dicho: “Sólo hazlo—nopreguntes por qué”. Pero hay razones lógicas detrás de los métodos e ideasmatemáticas, y las personas que entienden estas razones tienen éxito enmatemáticas y, últimamente, en ciencias y negocios. Discovering Algebra ayuda aque más estudiantes entiendan estas razones. Debido a que los conceptos tienensentido para los estudiantes, los estudiantes se acuerdan de los métodos (o losreinventan si se les olvidan) y pueden aplicarlos a problemas nuevos. Para ayudara desarrollar esa clase de entendimiento flexible, Discovering Algebra ofrece unmétodo más visual, con ilustraciones y gráficas claras y más frecuentes, y con laintegración más juiciosa de anotaciones para guiar a los estudiantes a través delos ejemplos. Discovering Algebra también reconoce la necesidad del desarrollogradual de las ideas matemáticas. Los estudiantes son ayudados para ver haciadónde los lleva el texto, y las explicaciones extensas se retrasan hasta que elfundamento se haya establecido. Una vez que un tema se ha vuelto parte de loque se espera que los estudiantes sepan, se revisa y se hace referencia a él cuandoes apropiado. El entender las matemáticas puede hacer las matemáticas másdivertidas, aumentará el orgullo y la confianza, reforzará la capacidad depensamiento crítico y abstracto y aumentará la probabilidad de que losestudiantes usarán las matemáticas en sus vidas.

Estudiantes aprenden mejor en grupos cooperativos

No se espera que los estudiantes hagan todo este aprendizaje por sí mismos.Muchos estudiantes hacen mejor sentido de las ideas matemáticas en lainteracción con otras personas, usando un lenguaje informal. Ellos piensan mejoren voz alta u obtienen ideas de otros, y entienden mejor al ver los puntos de vistade los otros estudiantes. Ellos aprenden que nada malo sucede si ellos cometenerrores o aplican incorrectamente un procedimiento y que el tanteo es unaestrategia respetada. Esto ayuda a los estudiantes callados e inseguros a aprender acontribuir. Cuando los estudiantes trabajan en grupos, el profesor circula yobserva, presenta preguntas e interviene cuando es necesario para ayudar. Él o ellatrabaja como un compañero de los grupos de estudiantes, monitorea elintercambio, modela la buena comunicación y busca indicios de que losestudiantes están confundidos o están en el camino correcto. El trabajo en gruposayuda a los estudiantes a aprender mejor, y también les enseña destrezasesenciales de trabajo en grupo. En sus grupos, se les pedirá a los estudiantes quedemuestren su entendimiento tanto oralmente como por escrito.

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Investigación es motivante

Algunos estudiantes aprenden mejor al ver, otros al escuchar y algunos al leer, asíque una explicación que le hace sentido a un estudiante puede que no le hagasentido a otro. Estos diferentes “estilos de aprendizaje” son tratados por lasinvestigaciones en Discovering Algebra. Debido a que la mayoría de los estudiantesestán más interesados en la clase si los problemas que ellos investigan estánrelacionados con la vida real, muchas de las investigaciones prácticas conciernenproblemas que los estudiantes podrían encontrar en sus vidas fuera de la escuela.Algunas investigaciones usan situaciones muy familiares y otras son orientadas alas carreras. Algunas investigaciones les permiten a los estudiantes levantarse ymoverse, muchas usan las calculadoras gráficas u otra tecnología, y algunasconciernen ideas puramente matemáticas. En el libro de texto Discovering Algebrade su estudiante hay una investigación orientada a las carreras en la página 103,una investigación en tus pies en la página 172 que usa sensores de movimiento yuna actividad que usa un objeto familiar—la bicicleta—en la página 132. LaInvestigación Multiplica y Conquista en la página 97 es un ejemplo de unaactividad de matemáticas puras. El profesor puede hacer que los estudiantestrabajen en grupos en la investigación, y más tarde puede dirigir a toda la clase endiscusión. Cada estudiante desarrolla su propio entendimiento y se beneficia delcompartir ideas y sugerencias ofrecidas por otros. Los estudiantes aprenden quehay más métodos para resolver problemas. Ellos también aprenden que sonindividualmente responsables por describir oralmente o por escrito lo que hanaprendido.

Resolver problemas es importante

En la vida, todos necesitamos ser fuertes en resolver problemas que no encajanexactamente con el modelo que conocemos. Esto es una destreza importante en eltrabajo al igual que un valor para la carrera: Las personas que “piensan fuera dela caja” para resolver problemas en el trabajo avanzan más rápido y son vistoscomo líderes. Para ayudar a preparar a los estudiantes para usar matemáticas ensus vidas, muchas de las investigaciones en Discovering Algebra planteanproblemas que a los estudiantes no se les ha dicho cómo resolver. Ellos aprendena generar ideas, a considerar subproblemas, a atacar un problema desde ángulosúnicos y a hacer diagramas y modelos. De esta manera, ellos aprenden destrezaspara resolver problemas en lugar de aprender cómo resolver sólo tiposparticulares de problemas.

Usar la tecnología ayuda

Las computadoras y las calculadoras nos rodean, y los estudiantes las usarán en eltrabajo, a veces con software diseñado a la medida, así que el trabajar con ellas enestas clases enseña a los estudiantes destrezas que les serán útiles más adelante.Aunque usted sea competente en computadoras o estrictamente “bajo entecnología”, su estudiante probablemente esté fascinado con la tecnología, y el usartecnología en la clase ayudará a mantener el interés de su estudiante.

La tecnología no se usa como un sustituto para aprender aritmética básica.Cuando se usa apropiadamente, la tecnología puede hacer las matemáticas másvisuales, más lógicas y más divertidas. Más importantemente, las herramientas detecnología les permiten a los estudiantes investigar muchas más situaciones yejemplos que los que pueden explorar usando lápiz y papel. Obtener resultados

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rápidos en numerosos ejemplos ayuda a los estudiantes ver patrones, formargeneralizaciones y probar conclusiones. Esto lleva a un entendimiento másprofundo de los conceptos y una mayor disposición a explorar más y tratarproblemas más grandes. Si el profesor de su estudiante no tiene acceso atecnología, o no tiene acceso en ciertos días, Discovering Algebra Teacher’s Editionsugiere alternativas bajas en tecnología para las investigaciones que dependen dela tecnología. Calculator Notes para varios modelos de calculadoras estándisponibles en línea en www.keymath.com. Estas notas dan instrucciones deteclazos para llevar a cabo las funciones necesarias para las actividades de la clase.Los ejercicios de tarea que requieren una calculadora gráfica están marcados en eltexto. El profesor puede darle consejos acerca de cuál calculadora gráfica comprarsi usted decide comprar una para su estudiante.

Practicar las destrezas es esencial

A medida que los estudiantes investigan un concepto nuevo, ellos desarrollan ypractican destrezas nuevas. Después que los estudiantes aprenden por qué unproceso funciona, ellos aplican sus nuevas destrezas en los ejercicios de PracticeYour Skills (Practica Tus Destrezas) en el libro de texto del estudiante. Ellosextienden estas destrezas en los ejercicios de Reason and Apply (Razona y Aplica).Finalmente, cada lección tiene ejercicios de Repaso para que los estudiantesretengan y extiendan su entendimiento de las destrezas y conceptos que hanaprendido en las lecciones previas. Para práctica adicional, el profesor de suestudiante probablemente ha recibido una copia de Discovering Algebra: MorePractice Your Skills. Usted puede tener acceso a estas hojas de trabajo en línea enwww.keymath.com/DA.

Discovering Algebra apoya un acercamiento a las matemáticas que da lugar a unmejor entendimiento de conceptos y destrezas. En lugar de resolver un tipo deproblema tras otro, los estudiantes se ocupan con investigaciones, ejemplos yejercicios que los ayudan a aumentar su propio conjunto de destrezas y conceptos.Los estudiantes aprenden a describir cómo y por qué algo es cierto. En lugar detrabajar a solas, los estudiantes rebotan ideas de sus compañeros. Debido a quelos estudiantes están involucrados activamente en adquirir destrezas y conceptos,ellos pueden atacar exitosamente y tratar con problemas de prueba aún si se lesolvida un proceso o una fórmula. El profesor de su estudiante también tieneacceso a un amplio rango de materiales de apoyo que le ayudarán a responder alpaso, asuntos de lenguaje y necesidades individuales para asistencia oenriquecimiento del estudiante.

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Comience por tomar en cuenta cómo su estudiante usa su tiempo después de laescuela. Evalúe si hay un lugar adecuado con buena luz para hacer las tareas unaactividad cómoda, y si las distracciones en el ambiente de tareas son manejables.Su apoyo y sus elogios son tan importantes al éxito de su estudiante como ladirección del profesor y la calidad de los materiales de aprendizaje. Usted querráhacer su esfuerzo de apoyo tan juicioso como sea posible.

Su propia experiencia con matemáticas es una gran influencia

¿Usted salió bien en matemáticas cuando estaba en la escuela? Si las matemáticasfueron difíciles para usted, podría hallar más fácil el ayudar a su estudiante que sile hubiesen sido fáciles, porque usted sería especialmente comprensivo. Ustedprobablemente también ha desarrollado algún entendimiento práctico desde quesalió de la escuela. Lo importante es esforzarse por evitar pasar ideas negativasacerca de las matemáticas. Usted tiene la oportunidad de ayudar a su estudiante atener una mejor actitud hacia las matemáticas. Su mensaje debería ser: “Lasmatemáticas son importantes para todos”. Para ser exitosos en nuestra sociedad,todos debemos ser capaces de reconocer cuándo una situación necesita unasolución matemática, de decir qué cantidades están involucradas y de entendercómo trabajar hacia una solución. Su estudiante tiene el beneficio de un métodomejor y mejores materiales que usted probablemente tuvo.

¿Y si usted salió bien en matemáticas? Usted tal vez tenga que esforzarse porevitar dominar el aprendizaje de su estudiante. A veces es muy difícil resistirexplicar una idea o dar una respuesta que usted entiende, pero el refrenarse esnecesario si su estudiante va a recordar la idea y finalmente convertirse en unaprendiz independiente. Elogie todos los esfuerzos sinceros de su estudiante yapoye sus intentos de explicar, cuestionar o desglosar un problema.

No importa lo cómodo que usted está con las matemáticas, usted puede ayudar asu estudiante a alcanzar las metas del método Discovering Algebra y a aprenderálgebra. Intente establecer dos hábitos cuando usted trabaja con su estudiante.

Primero, sea un estudiante para su estudiante. Siga pidiéndoles explicaciones. Hagapreguntas como si usted fuese el estudiante que quiere aprender. No importa cuánbien usted entienda las cosas, el preguntar “¿Por qué eso funciona?” es mejor quedecir “Así es que se hace eso”.

Segundo, sea curioso y entusiasmado. Ofrezca cumplidas como “Yo no he visto estaidea antes, pero se ve interesante” en lugar de “¡Esto está mas allá de lo que yosé!” o “Esto no es importante”. Pregunte qué sucedió en la clase, pregunte quécontribuyó su estudiante y cuán bien él o ella entendió, y sea curioso acerca de lastareas. El mostrar este tipo de interés señala que usted espera que su estudianteparticipe activamente en la clase y que trabaje en sus tareas diariamente.

Aprenda acerca de otros recursos y aprenda a usarlos

Lo animamos a que use esta guía en combinación con el libro de textoDiscovering Algebra. Refiérase a las notas en los capítulos individuales. Se hacenreferencias a ejemplos específicos y a ejercicios en el texto. De todas formas, estéconsciente de los recursos que su estudiante tiene en la escuelas y los que él o ellapuede acceder desde la casa.

Trabajar con su estudiante

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Use estrategias fiables

Algunas estrategias clásicas de resolver problemas pueden ayudar a su estudiante,y usted puede ayudarle a usarlas.

1. Haga una lista organizada. El declarar los hechos dados en un problemauno tras otro es especialmente útil para un estudiante con destrezaspobres de lectura, un trastorno de déficit de atención o un simple caso deimpaciencia. Asegúrese de que su estudiante entienda qué se le pide. Hagaque su estudiante escriba. Otro método es construir una tabla de valores,precios o números correspondientes. Esto ayudará a su estudiante a buscarpatrones que dan una clave acerca de la respuesta o que llevan a unproceso de solución. Los organigramas también ayudan a un estudiante atrabajar paso a paso.

2. Dibuje un diagrama. Esto es muy útil para problemas reales o problemasque tienen figuras geométricas o una cuadrícula de coordenadas.Asegúrese de que su estudiante es quien dibuja. Usted puede orientar,hacer preguntas o hacer sugerencias: “¿Por qué no dibujas una línea parala pared?” “¿Dónde está parada la persona?” Anime a su estudiante arotular las partes del diagrama con cantidades que representan distancia uotra medida y a usar flechas para movimiento. Use figuras de palos ocaritas felices para representar personas.

3. Elimine las posibilidades. El decidir qué clase de solución es improbable ototalmente imposible puede activar el proceso pensativo de su estudiante.Si los “ingredientes” para un proceso que él o ella quiere aplicar no estánpresentes en el problema, o si no hay suficiente información disponible, esnecesaria una nueva línea de razonamiento.

4. Resuelva un problema relacionado y más fácil. Sustituya números másfáciles en el problema dado para hacer el proceso más claro. Luego vuelvaa colocar los números “más difíciles” o “más regados” y aplique el mismoproceso. O, simplemente trabaje en una etapa del problema. Esto puedeayudar al estudiante a reconocer un proceso que él o ella recuerda yentiende. Esto también reestablece un clima de éxito. Asegúrese de elogiarel éxito en los problemas más fáciles o el éxito con respuestas parcialespara demostrar su apoyo y probarle a su estudiante que él o ella tienealgún nivel de habilidad y de logro.

5. Trabaje hacia atrás. Comience al final de una serie de pasos y vea cómo sesiente trabajar hacia el comienzo. Ésta es una buena manera de verificar siuna respuesta adivinada es correcta y entender por qué fue una buenaadivinanza. Adivinar y verificar es una buena estrategia de por sí, si elestudiante se acerca más y más a la respuesta correcta en pasos sucesivos.

Si su estudiante continúa teniendo problemas con sus tareas aún cuando usted haintentado ayudar, usted puede guiarlo a hacer una lista de preguntas para elprofesor. Esta lista ayudará al profesor a saber si el estudiante cree quebásicamente entendió la lección y está simplemente atascado en un soloproblema, o si el estudiante se siente completamente descarriado y no haentendido la lección o incluso las últimas lecciones. ¿Hay símbolos en particularque su estudiante no entiende? ¿Hay un ejemplo en el libro que él o ella no puedeseguir? Ayudar a su estudiante a escribir las preguntas al profesor reducirá laansiedad o la timidez acerca del pedir ayuda. Si, finalmente, su estudiante se

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siente incapaz de pedir ayuda, usted debería intervenir con una nota o unallamada al profesor.

Su estudiante estará usando una calculadora gráfica en la clase. Usted puedecomprar una calculadora gráfica para que su estudiante use en casa. Pregúntele alprofesor de su estudiante por consejos acerca de la clase de calculadora a comprary dónde comprarla. A menos que el profesor recomienda otra calculadora, unabuena opción es la TI-83 Plus o TI-84 Plus manufacturadas por TexasInstruments.

Si tiene acceso al Internet, usted puede enriquecer la experiencia de su estudiantehaciendo que su estudiante siga los enlaces de Web y vea Dynamic AlgebraExplorations disponible para Discovering Algebra. Usted también puede descargarlos calculator notes, lecciones condesadas (en inglés o español), y las hojas detrabajo de práctica. Éstos se hallan en www.keymath.com/DA.

Si el profesor se ha registrado, usted puede tener acceso a la versión en línea deDiscovering Algebra. Discovering Algebra Online es un servicio que provee a losestudiantes acceso a todo el contenido de su libro impreso, página por página, enun formato fácil de usar. El libro de texto en línea tiene un glosario interactivo yun índice, y enlaces directos a los recursos específicos a los capítulos antesmencionados.

Discovering Algebra ha sido diseñado con un acercamiento investigativo paracautivar a su estudiante a hacer matemáticas—entender, aprender, recordar yaplicar las destrezas de álgebra. Con el creciente sentido de responsabilidad de suestudiante por su propio aprendizaje, la instrucción profesional de un profesor ysu apoyo fervoroso, su estudiante tendrá ganancias en las matemáticas y tendráuna experiencia positiva con el álgebra.

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El arreglo de temas en Discovering Algebra: An Investigative Approach está planeadocuidadosamente para ayudar a los estudiantes a desarrollar conexiones entre elmaterial nuevo y el aprendido anteriormente y para edificar su entendimiento.

En el Capítulo 0, los estudiantes revisan y aumentan su facilidad con algunas destrezasde aritmética usándolas para resolver problemas. Los estudiantes son introducidos a laidea de recursión, un procedimiento intuitivo de hacer un proceso una y otra vez, cadavez edificando sobre el último paso. La recursión se usará a través del curso.

En los Capítulos 1 al 5, los estudiantes aprenden a establecer y resolver ecuacioneslineales—ecuaciones cuyas gráficas son rectas—lo cual es el corazón de un cursoinicial de álgebra.

• En el Capítulo 1, los estudiantes usan gráficas y medidas estadísticas paraorganizar y hacer sentido de los datos.

• En el Capítulo 2, los estudiantes trabajan en el razonamiento proporcionado yaprenden cómo resolver las ecuaciones deshaciéndolas, un método poderosoque funciona para muchos tipos de ecuaciones.

• El Capítulo 3 permite que la idea de expresiones lineales crezca delrazonamiento proporcionado. Los estudiantes también son introducidos almétodo de balanceo para resolver ecuaciones.

• En los Capítulos 4 y 5, los estudiantes ven las ecuaciones lineales en otros contextos.En el Capítulo 4 los estudiantes profundizan su entendimiento de las ecuacioneslineales ajustando rectas a los datos (edificando sobre las ideas del Capítulo 1). ElCapítulo 5 se enfoca en expandir las ideas de las ecuaciones lineales a través desistemas de estas ecuaciones y a través de la introducción de desigualdades.

En los Capítulos 6 al 9, los estudiantes estudian el crecimiento no lineal.

• En el Capítulo 6, los estudiantes aprenden acerca del crecimiento y lasecuaciones exponenciales.

• El Capítulo 7 generaliza el crecimiento lineal y exponencial a la idea de la función.

• El Capítulo 8 muestra cómo se pueden transformar las gráficas de funciones.

• En el Capítulo 9, los estudiantes investigan las relaciones entre las funcionescuadráticas y sus gráficas y ecuaciones.

• El Capítulo 10 introduce técnicas de probabilidad y de conteo.

• El Capítulo 11 da una vista preliminar de la geometría.

Resúmenes de capítulos

En los resúmenes de capítulos, se resume brevemente el contenido del capítulo, y laspalabras importantes nuevas están en letras cursivas. Se presenta un problema deresumen, junto con preguntas que usted puede usar para poner a su estudiante apensar. El problema de resumen es un problema comprehensivo que le dará a ustedy a su estudiante mucho de qué hablar. Las preguntas son seguidas por respuestasejemplares. Se proveen ejercicios de repaso y soluciones al final del material de cadacapítulo.

Visión general de los temas en Discovering Algebra

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(continuado)

©2007 Key Curriculum Press Discovering Algebra: Una guía para los padres 1

Fracciones y fractalesC A P Í T U L O

0Resumen del contenidoEl tema del Capítulo 0 es la investigación de patrones en el diseño fractal. No seintimide si no ha visto fractales anteriormente. El propósito principal del Capítulo 0es añadir interés visual e ideas nuevas a la revisión de fracciones, decimales, númeroscon signos y exponentes. Las destrezas matemáticas de los estudiantes serán másfuertes, y ellos podrán entender mejor las ideas detrás de ellas, luego de aplicarlas alos fractales. El Capítulo 0 también introduce las ideas de recursión, los procesosaleatorios (random) y el evaluar las expresiones algebraicas, las cuales seránimportantes a través del estudio del álgebra y en los cursos de matemáticas futuros.

El profesor de su estudiante puede seleccionar lecciones del Capítulo 0 para revisar lasdestrezas e ideas que la clase necesita entender mejor a medida que los estudiantescomienzan su estudio formal del álgebra. Los estudiantes pueden llegar a este cursocon varios niveles de preparación y el Capítulo 0 se provee para ayudar a emparejar lasdestrezas de los estudiantes. No se alarme si el profesor decide que no es necesarioestudiar algunas de las lecciones en la clase de su estudiante. El profesor también puedeusar el tiempo que él gasta en el Capítulo 0 para ayudar a los estudiantes a ajustarse alos métodos de enseñanza y aprendizaje de Discovering Algebra: hacer investigaciones,trabajar en grupos y usar calculadoras gráficas. Mientras tanto, usted puede usar estetiempo para establecer patrones en la manera que usted trabajará con su estudiante.Este capítulo provee un problema de resumen para que lo discuta con su estudiante.

He aquí un resumen de las ideas principales nuevas del Capítulo 0.

RecursiónUsar un ejemplo es la manera más fácil de entender la recursión:

El primer número impar es el 1; el segundo es 3; el tercero es 5; y así sucesivamente.Usted puede hallar el decimoquinto número impar multiplicando 2 por 15 (paraobtener 30) y luego restándole 1. O, puede hallar el decimoquinto número imparpor la manera larga contando 1, 3, 5, 7, 9 y así sucesivamente, hasta llegar al 29.

Encontrar el decimoquinto número impar sumando 2 repetidamente, comenzando desdeel 1, se llama recursión, porque se halla el resultado en cada paso a partir del resultado delpaso anterior. Con la tecnología, se pueden hallar resultados recursivos rápidamente. Elmétodo recursivo que los estudiantes ven en el Capítulo 0 será útil a medida que estudianel crecimiento lineal en los Capítulos 2 y 3 y el crecimiento exponencial en el Capítulo 6.

Procesos aleatorios y las calculadoras gráficasUn proceso es aleatorio si los resultados individuales son impredecibles. Ejemploscomunes de procesos aleatorios son el lanzar una moneda y el lanzar un dado.

Las calculadoras gráficas pueden generar números aleatorios. Si no tiene un dado, puedehacer que la calculadora le muestre un número entero aleatorio entre el 1 y 6 parasimular el lanzar de un dado. O puede simular el lanzar una moneda haciendo que lacalculadora escoja 1 ó 2 al azar. Si una clase de 30 estudiantes cuentan uno tras otro en

Etapa 3

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2 Discovering Algebra: Una guía para los padres ©2007 Key Curriculum Press

Capítulo 0 • Fracciones y fractales (continuado)

voz alta, el profesor puede seleccionar al azar un miembro de la clase haciendo que lacalculadora muestre un número entero aleatorio entre 1 y 30. Pero las calculadoras sonmás flexibles que esto. Por ejemplo, éstas pueden mostrar un número entero aleatorioentre 1 y 100 para simular el escoger a una persona al azar de entre cien.

Evaluar expresionesSu estudiante puede que ya sepa que una expresión matemática es una combinaciónde números y letras que juntas representan un solo número. Para evaluar unaexpresión, se reemplaza cada letra con un número. Por ejemplo 3t � 5a � 4 es unaexpresión que significa (3 por t) más (5 por a) menos 4. Si se reemplaza t con 4 y acon 1, la expresión se vuelve (3 � 4) � (5 � 1) � 4. Esto es equivalente al número 13,el cual es a su vez una expresión. Algunas personas erróneamente usan la palabraecuación para referirse a una expresión. Una ecuación tiene dos expresiones, una acada lado de un signo de igualdad (�). Las expresiones por sí mismas no incluyensignos de igualdad y no son ecuaciones.

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden discutir el ejemplo en las páginas 15 y 16 en el libro detexto Discovering Algebra y usar Dynamic Algebra Exploration enwww.keymath.com/DA para explorar la curva de sombrero más a fondo.

¿Qué procedimiento recursivo generará la última columna en la tabla mostrada?

Largo total(Número de segmentos por el

largo de los segmentos)

Número Número de Largo de cadade etapa segmentos segmento Forma fraccional Forma decimal

0 1 1 1 � 1 1.00

1 1 � 5 � 51 1 � �13� � ��

13��

1

51 � ��13��

1

� ��53��

1

1.67

2 5 � 5 � 52 �13� � �

13� � ��

13��

2

52 � ��13��

2

� ��53��

2

2.78

17 517 ��13��

17

517 � ��13��

17

� ��53��

17

5907.84

...............

(continuado)

Discuta estas preguntas con su estudiante desde el punto de vista de un estudiantepara su estudiante:

● ¿A cuál columna se refiere el problema?

● ¿Qué significa una regla o un procedimiento recursivo?

● ¿Cuál puede ser un valor de comienzo para esta columna?

● ¿Cómo puedes llegar de una fila a la próxima en la tabla?



● ¿Qué regla recursiva captura ese cambio?

● Si entras esa regla recursiva en tu calculadora gráfica, ¿obtienes los mismosvalores que los mostrados en la tabla?

● ¿Puedes hacer que la calculadora dé la respuesta en una forma fraccional aligual que en una forma decimal? ¿Cómo?

● ¿La regla recursiva refleja cómo se hizo el fractal? ¿Cuál es la conexión?

● ¿Qué pasaría si el segmento original en la Etapa 0 fuese sólo �23� de largo?¿Cambiaría eso la tabla y la fórmula?

● ¿Qué otros cambios en el problema original puedes explorar?

Algunas de estas preguntas tienen varias posibles respuestas válidas. No esimportante que usted sepa todas las respuestas. En cambio, a medida que habla delas respuestas, asegúrese de que su estudiante dé una buena explicación de por quéuna respuesta es razonable. En particular, una respuesta de “sí” o “no” no essuficiente. Anime a su estudiante a hacer preguntas también.

Respuestas ejemplaresLas preguntas se refieren a las columnas acerca del largo total del fractal en lasdiferentes etapas. Un procedimiento recursivo da la primera etapa y describe cómollegar de una etapa a la próxima. Aquí, para llegar del largo de una etapa a lapróxima, multiplica por 5 y divide por 3, o multiplica por �53�. La multiplicación por 5refleja el hecho que cada segmento es reemplazado por cinco segmentos; dividir por3 refleja el hecho que cada segmento es �13� del largo de cada segmento viejo.

Si el fractal comenzó más corto pero siguió la misma regla para obtener la próximaetapa, el largo total en cada etapa cambiaría, pero cada etapa aún sería �53� del largo dela etapa anterior.

Calculator Note 0A da información acerca de trabajar con fracciones en unacalculadora.

Anime a su estudiante a ser imaginativo al sugerir otras maneras de cambiar elproblema original.

Capítulo 0 • Fracciones y fractales (continuado)



Capítulo 0 • Ejercicios de repaso

Nombre Periodo Fecha

1. (Lección 0.1) Usa este patrón fractal para contestar las preguntas. Asumeque el área del cuadrado de la Etapa 0 es 1.

a. Describe el patrón y dibuja la Etapa 3.

b. ¿Cuál es el área del cuadrado más pequeño en la Etapa 3? Escríbelo enforma exponencial.

c. ¿Cuál es el área total de los cuadrados sin sombrear en la Etapa 2? ¿En laEtapa 3?

2. (Lecciones 0.1, 0.2) Haz los siguientes cálculos. Deja tu respuesta enforma fraccional.

a. �25� � �2

30�

b. 1 � ��13� � �1

52��

c. �23� � �

15�

d. �23� � �

12� � ��

16� � �

19��

3. (Lección 0.2) Reescribe la expresión 35 como una multiplicación repetida,y halla su valor.

4. (Lección 0.4) Haz los siguientes cálculos. Verifica tus resultados en tucalculadora.

a. 2 � �4 � 1

b. 3 � 5 � (1 � 4)

c. 6 � �2 � 4

d. 2 � (2 � 3 � 2)

Etapa 0 Etapa 2Etapa 1


b. 1 � ��192�� Haz los cálculos en el paréntesis

primero.

�14� Resta y reduce.

c. �32 •

•15� Multiplica numeradores y

denominadores.

�125� Multiplica.

d. �23� � �

12� � ��1

38� � �1

28�� Halla un denominador

común.

�23� � �

12� � ��1

58�� Suma.

�11

28� � �1

98� � �1

58� Halla un denominador

común.

�11

68� � �

89� Simplifica la expresión y

reduce la fracción.

3. 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 243

4. a. 2 � �4 � 1 � �8 � 1 � �7

b. 3 � 5 � (1 � 4) � 3 � 5 � �3 � 3 � (�15) � 18

c. 6 � �2 � 4 � �3 � 4 � �12

d. 2 � (2 � 3 � 2) � 2 � (6 � 2) � 2 � 4 � �2

1. a. Para crear la Etapa 3, divide cada cuadrado blancode la Etapa 2 en cuatro cuadrados y sombrea elcuadrado superior derecho.

b. En cada etapa, el área del cuadrado más pequeño es�14� por el área del cuadrado más pequeño en laetapa anterior. En la Etapa 1, el área del cuadradomás pequeño es �

14�; en la Etapa 2, es

�14� � �

14�, ó ��

14��

2; y en la Etapa 3, es �

14� � �

14� � �

14� , ó ��

14��

3.

c. El buscar un patrón en las etapas anteriores te ayu-dará. El área de la región sin sombrear en la Etapa0 es 1. El área de la región sin sombrear en la Etapa1 es �

34�.

En la Etapa 2, el área de la región sin sombrear es �34� � �

34� , ó �1

96�. De este patrón, el área de la región sin

sombrear en cada etapa es �34� por el área de la

región sin sombrear en la etapa anterior. En la

Etapa 3, el área es ��34��

3, ó �

26

74�.

2. a. �25� � �

44� � �2

30� Multiplica para obtener un

denominador común.

�280� � �2

30� Multiplica.

�12

10� Suma los numeradores.

Etapa 3


S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 0


(continuado)


Exploración de datosC A P Í T U L O

1Resumen del contenidoEn el Capítulo 1, los estudiantes se acostumbrarán a organizar y analizarinformación. Muchas situaciones de problemas en Discovering Algebra son realistas.Representar estas situaciones usando expresiones matemáticas, ecuaciones, gráficas otablas se llama modelado matemático (mathematical modeling).

En este capítulo, los estudiantes piensan acerca de colecciones de números comoentidades individuales, lo cual ayuda a entender la idea de una variable algebraicamás a fondo. En la Lección 1.6, el capítulo hace una transición de información deuna variable a relaciones que contienen información de dos variables.

Los datos son pedazos de información, los cuales pueden o no ser números. En estecapítulo, una colección de datos numéricos, también llamada un conjunto de datos(data set), está representada en la calculadora como una entidad individual llamadauna lista (list) o una matriz (matrix). Hay varias maneras para resumir una colecciónde datos o un conjunto de datos.

EstadísticasAlgunos resúmenes de conjuntos de datos usan números, llamados estadísticas. Laestadística más familiar es la media, a menudo llamada el promedio. Ésta es una manerade describir el centro de un conjunto de datos. Sin embargo, otras estadísticas, talescomo la mediana o el modo, son a veces más útiles que la media para describir los datos.

Frecuentemente, se quiere saber más acerca de un conjunto de datos que lo quecualquiera de las estadísticas de centro, o medidas centrales (measure of center), lepueden decir. El rango (range) y los cuartiles (quartiles) son estadísticas que ayudan adescribir cuán disperso es un conjunto de datos.

Gráficas estadísticasLas gráficas estadísticas son representaciones pictóricas de conjuntos de datos.

A veces un conjunto de datos provee números de artículos que caen bajo variascategorías no numéricas. Los pictogramas y los diagramas de barras muestranilustraciones de estos conjuntos de datos, según se muestra en las páginas 39, 40 y 42del libro de texto de estudiante.

Si las categorías mismas son números individuales o intervalos (rangos) de números,las gráficas más comunes son los histogramas, las gráficas de puntos, las gráficas de tallosy hojas y las gráficas de caja y bigotes. Vea los ejemplos en las páginas 41, 53, 59, 61 y 63.

Tierra

Venus

Mercurio

Marte

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

Plutón

Número de satélites

Pla

net

a

2520 35 4030151050

(Solar System Dynamics Group, ssd.jpl.nasa.gov)

Número de satélites naturales nombrados(identificados y confirmados hasta mayo 2004)

DA2PGS774_Ch01_k1.qxd 10/19/06 5:36 PM Page 7


Capítulo 1 • Exploración de datos (continuado)

Muchos conjuntos de datos contienen pares de números. Estos pares generalmente segrafican en una gráfica de dispersión (scatter plot). Los estudiantes trazan líneas rectas, orectas de tendencias, a través de algunas gráficas de dispersión para ayudarles a hacerpredicciones, como en la página 79. (Esto también se conecta con las ecuacioneslineales en el Capítulo 3). En la Investigación Estimación Conjetural, en la página 77 y78, los estudiantes usan la ecuación y � x para modelar puntos de datos que tienen laforma (real, estimado). La ecuación y � x es la madre de todas las ecuaciones lineales.

MatricesOtra manera de representar los conjuntos de datos de pares de números u otrainformación es en una tabla. La forma matemática de una tabla es una matriz. Lasmatrices son especialmente útiles cuando se combinan conjuntos de datos. Las matricesse usarán nuevamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el Capítulo 5 ypara representar transformaciones en el Capítulo 8. Si los estándares de su estado noincluyen matrices, el profesor de su estudiante podría saltar las lecciones de matrices.

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden discutir este problema de resumen del Capítulo 1. Es unbuen problema para volver a visitarlo varias veces mientras trabajan a través del capítulo.

¿Qué estadísticas y gráficas podrían usarse para describir los datos de Jurassic Parkde la página 77?

Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen:

● ¿Qué medidas centrales podrías usar tanto para los datos reales como para losdatos estimados?

● ¿Qué medidas de dispersión podrías usar para cualquiera de estas columnas?

● ¿Qué gráficas podrías usar para cualquiera de estas columnas?

● ¿Cómo puedes usar tu calculadora gráfica para medir cualquiera de estasestadísticas o para crear una gráfica para comparar las dos columnas?

● ¿Qué observaciones puedes hacer al comparar los números estimados y reales?

● ¿Qué sucede con las varias estadísticas y las gráficas si cambias los datos un poco?

Anime a su estudiante a hacer otras preguntas.

Respuestas ejemplaresEl centro del conjunto de datos puede medirse usando la media, la mediana y el modo. Sudispersión puede medirse usando el rango, el mínimo, el máximo, los cuartiles, el rangointercuartil (interquartile range, abreviado IQR) y los externos (outliers). Para estos datos, lamedia (19.5 real, 15.8 estimado) o la mediana (17 ó 18) serían buenas medidas centrales.

Un diagrama de barras o un histograma mostraría claramente el centro y la dispersión deuna columna. Un par de diagramas de barras sirve bien para comparar dos conjuntos dedatos, tales como las dos columnas.

Calculator Notes para el Capítulo 1 describe las gráficas de calculadora, incluyendo lagráfica de dispersión, que pueden mostrar los números reales y los estimados.

Algunas observaciones: Los estimados fueron generalmente cercanos a los númerosreales. Los velociraptors y los procompsognathids fueron subestimados grandemente.

Para ayudar a su estudiante a pensar acerca de qué les sucede a las estadísticas cuando secambian los datos, puede preguntarle acerca de remover los externos. (¿Cómo cambia lamedia? ¿La mediana? ¿Cuál cambia más?) También puede explorar esta idea usandoDynamic Algebra Explorations Finding the Center y The Box Plotter en www.keymath.com.

x

y

2 4 6 8 10

2

0

4

6

8

10

y � x



Capítulo 1 • Ejercicios de Repaso


1. (Lecciones 1.1, 1.2) Algunos estudiantes en un picnic de la clase reunierondatos acerca de cuántas uvas cada uno tenía en su plato. Los resultadosaparecen aquí en una gráfica de puntos.

a. ¿Cuántos estudiantes tenían más de seis uvas en su plato?

b. ¿Cuál es el rango de los datos?

c. Halla la media, la mediana y el modo de los datos.

2. (Lecciones 1.3, 1.4) Las puntuaciones en un examen de medio semestre en unaclase de historia fueron 98, 65, 77, 83, 77, 79, 92, 41, 84, 71, 73, 90, 77, 92, 64 y 83.

a. Crea una gráfica de tallos y hojas para los datos.

b. Crea un histograma para las puntuaciones del examen de medio semestre.

c. Da un resumen de cinco números para las puntuaciones del examende medio semestre y dibuja una gráfica de caja.

d. ¿Cuál es el rango intercuartil (IQR) de las puntuaciones del examen demedio semestre?

3. (Lecciones 1.6, 1.7) Annie y Sonia fueron de compras al mercado y estimaron elprecio de cada artículo en su lista de compras antes de comprarlo. La siguientetabla muestra su precio estimado y el precio real para cada artículo.

0 2 4 6 8 141210

Precio estimado Precio real

Huevos $1.50 $2.19

Pan $2.00 $2.69

Queso $5.50 $3.57

Té $4.00 $2.60

Servilletas $2.50 $4.29

Ketchup $3.00 $1.59

Aceite $1.50 $1.69

Vinagre $2.50 $1.59

Lechuga $0.50 $0.99

a. Construye una gráfica de dispersión de (precio estimado, precio real). Rotulacada punto con una abreviación apropiada. También construye la recta y � x.

b. ¿Cuáles artículos están por encima de la recta y � x? ¿Qué significa esto?

c. ¿Cuáles artículos están por debajo de la recta y � x? ¿Qué significa esto?


los dos valores centrales. Q1 es la mediana detodos los datos por debajo de la mediana y Q3 es lamediana de todos los datos por encima de la medi-ana. El resumen de cinco números es mínimo, Q1,mediana, Q3, máximo.

Por lo tanto, el resumen de cinco números es 41,72, 78, 87, 98.

d. IQR � Q3 � Q1 � 87 � 72 � 15

3. a.

b. Lechuga, aceite, huevos, pan y servilletas; éstos sonlos artículos cuyos precios reales fueron más altosque el precio estimado.

c. Vinagre, ketchup, té, queso; éstos son los artículoscuyos precios reales fueron más bajos que el precio estimado.

1

0 1 2 3 4x

65

2

3

4

y

5

6

Precio estimado

Pre

cio

real

L

E

O

B

N

C

T

KV

806040200 100

Puntuaciones del examen de medio semestre

Puntuaciones

41

41

Min

64 65 71 73 77 77 77 79 83 83 84 90 92 92 98

98

Max

72

Q1

78

Med

87

Q3

1. a. Suma el número de puntos sobre cada númeromayor de seis; 6 � 2 � 1 � 9 estudiantes.

b. 12 � 0 � 12.

c. Media:

� 4.88; mediana: 5; modo: 7.

2. Comienza por escribir los datos en orden: 41, 64, 65,71, 73, 77, 77, 77, 79, 83, 83, 84, 90, 92, 92, 98.

a. Coloca los dígitos de las décimas en el “tallo” y losdígitos de las unidades en las “hojas”. Crea una claveque muestra cómo interpretar una de las entradas.

b.

c. Comienza con los datos en orden ascendente. Lamediana es el valor central. Si hay un número parde puntos de datos, la mediana es el promedio de

0 20 40 1008060

Frec

uen

cia

de

pu

ntu

acio

nes

0

1

2

3

4

5

Puntuaciones

456789

1 4 51 3 7 7 7 93 3 40 2 2 8

1 significa 717

Clave

3(0) � 1(2) � 4(3) � 3(4) � 4(5) � 1(6) � 6(7) � 2(8) � 1(12)��3 � 1 � 4 � 3 � 4 � 1 � 6 � 2 � 1




(continuado)


Razonamiento proporcionado y variación

C A P Í T U L O

2Muchos problemas reales no tienen respuesta o tienen más de una respuesta válida.En Discovering Algebra, los estudiantes ven algunos ejercicios con más de unarespuesta. Por ejemplo, en la Lección 2.1, el Ejercicio 7 instruye “Escribe otras tresproporciones verdaderas usando estos cuatro números enteros”. Continúeenfocándose en hacer que su estudiante explique su razonamiento en lugar de hallar“la respuesta correcta”. Si el razonamiento es bueno, le seguirán respuestas buenas.

En el Capítulo 2, los estudiantes se vuelven más cómodos con resolver problemas a losque no se les ha dicho cómo resolver. Por ejemplo, en la Investigación ¡A deshacerlo! de laLección 2.8, se les pide a los estudiantes que expliquen un truco numérico en lugar dedarles explicaciones. Este método desarrolla destrezas y confianza en resolver problemas.

Resumen del contenidoEl Capítulo 2 continúa por el sendero del modelado. Los estudiantes se enfocan enescribir ecuaciones y en resolverlas para hallar un número desconocido. Lasecuaciones del Capítulo 2 son proporciones las cuales consisten en razones. Losestudiantes aprenden acerca de la variación directa e indirecta y aprenden a resolverecuaciones deshaciendo operaciones.

RazonesUna razón (ratio) es una comparación de una cantidad relativa a otra por medio dedivisión, así que Discovering Algebra muestra la mayoría de las razones comofracciones. Puede que los estudiantes ya piensen acerca de las fracciones como partesde un entero (2 de 3 partes iguales), como una división implícita (2 dividido por 3) ocomo números (un valor entre 0.5 y 1). El pensar acerca de las razones puede serdesafiante. De hecho, cuando los matemáticos están en desacuerdo acerca de algo, talcomo una pregunta de probabilidad, una razón frecuentemente está involucrada.

ProporcionesUna proporción es una ecuación que declara que dos razones son iguales. Hay cuatrocantidades involucradas en una proporción, dos en cada razón. Cuando una de estascantidades es desconocida, se puede resolver la proporción para hallarla. En su libro,los estudiantes ven cómo las proporciones pueden representar varias situaciones,incluyendo la conversión de unidades de medida y los estudios de captura-recaptura.

Si usted resolvió proporciones en la escuela, puede que haya usado un métodollamado “multiplicación cruzada”. Éste es un método eficiente cuando se usacorrectamente, pero los estudiantes tienden a aferrarse a él sin entender por quéfunciona, y luego frecuentemente lo usan en situaciones donde no aplica. Paradesarrollar un entendimiento y reforzar el pensamiento, Discovering Algebra evita lamultiplicación cruzada. Se pueden resolver las ecuaciones de proporción en estenivel al multiplicar para deshacer la división, quizás después de invertir laproporción. Vea la Investigación Multiplica y Conquista en las páginas 97 y 98.

Análisis dimensionalEl hacer conversiones entre unidades en diferentes sistemas de medidas es unadestreza importante para la escuela y para la vida cotidiana. Por ejemplo, ustedpuede necesitar comparar unidades métricas con unidades inglesas, medidas delíquidos con medidas de tasas o millas por hora con pies por segundo. El análisisdimensional es una estrategia que no deja duda de si se debe multiplicar o dividirpor un factor de conversión. Vea el Ejemplo B en las páginas 109 y 110.



Capítulo 2 • Razonamiento proporcionado y variación (continuado)

Variación directaEl estudiar la variación directa es una manera excelente de profundizar elentendimiento de los estudiantes acerca de las relaciones lineales y para prepararlospara el estudio futuro de las ecuaciones lineales en los Capítulos 3 al 5.

Una variación directa es una ecuación tal como y � �32�x o y � –5x. Estas ecuacionesson equivalentes a las proporciones �x

y� � �32� y �x

y� � �

–15�. En general, una variación directa

es una ecuación de la forma y � kx, donde k es un número.

Si el número constante (invariable) k se considera como una razón con denominador1, este número se llama una tasa (rate). Muchos factores de conversión, tal como 5280�mpi

iellsa

�, son tasas. De igual manera lo son las velocidades, en �mh

iolrlaas

� o �segpuiensdo

�. Cuando lavelocidad (tasa) es constante, la ecuación que relaciona la distancia y el tiempoviajado es una variación directa. Una gráfica de (tiempo, distancia) de un objeto quese mueve a una velocidad constante es una recta.

Variación inversaEl Capítulo 2 también considera la variación inversa, aunque una variación inversano es una ecuación lineal. Más bien, una variación inversa es una ecuación de laforma y � �x

k�, donde k es un número constante. Estas ecuaciones y sus gráficasreaparecerán en el Capítulo 8.

Gráficas de variacionesLas variaciones son ecuaciones, por lo tanto tienen gráficas. Los estudiantes ven lasgráficas de ambas las variaciones directas e indirectas en este capítulo, aunque sólolas gráficas de las variaciones directas son rectas. Los estudiantes aprenden que k, laconstante de variación, está relacionada con la pendiente de la recta. Para mantener alos estudiantes enfocados en el concepto de tasa de cambio, la explicación deltérmino matemático pendiente es pospuesto hasta el Capítulo 4.

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden discutir el siguiente problema. Es un buen problemapara volver a visitar varias veces mientras trabajan a través del capítulo.

¿Qué situaciones problema puedes representar por la proporción �15x

0� � �1270�, o por

una inversión de uno o ambos lados de la proporción?


● ¿Podría esta proporción representar un problema de captura-recaptura?

● ¿Puedes cambiar la proporción para representar un problema de por cientos?

● ¿Puedes cambiar la proporción para representar un problema acerca de medidas?

● ¿Puedes presentar varios métodos para resolver el problema?

Respuestas ejemplaresHay muchas respuestas diferentes posibles. Anime a los estudiantes a ser creativos y adiscutir la interpretación de cada número en la proporción mediante contextosdiferentes. La proporción podría representar un problema de captura-recaptura. Enuna muestra de 20 peces, 17 fueron hallados marcados. Si un científico predijo quehay un total de 150 peces en el lago, ¿cuántos peces marcó el científico? Pararepresentar un problema de por cientos, la razón �12

70� puede interpretarse como la

puntuación de una prueba corta, mientras que �15x

0� es el equivalente de la puntuaciónen el exámen final. La razón �1

8050�, ó 85%, es equivalente a ambas puntuaciones. Para

medidas, la escala en un mapa puede mostrar que 20 cm representa 150 km. Si dosciudades están separadas por 17 cm en el mapa, ¿por cuántos km están separadas?

Acuérdeles a los estudiantes de multiplicar por 150 para deshacer la división por 150.





1. (Lecciones 2.1, 2,2) Escribe una proporción para contestar cada pregunta.Luego resuelve la proporción.

a. ¿Qué número es 30% de 75?

b. ¿Qué por ciento de 16 es 125?

c. ¿13 es 0.5% de qué número?

2. (Lección 2.3) Un kilogramo (kg) es aproximadamente 2.2 libras (lb).¿Cuál es más pesado—un objeto de 17 lb o un objeto de 8 kg?

3. (Lecciones 2.4, 2.5) Determina si cada relación describe una variacióndirecta o inversa. En cada caso, escribe una ecuación en la forma y �, yluego grafícala en tu calculadora.

a. xy � 0.5

b. y � 0.5x

c. La relación entre el número de páginas en un libro que Ari lee y lacantidad de tiempo que le toma leerlo, si lo lee a una tasa constante de2 minutos por página.

d. La relación entre la velocidad a la que viaja un auto y la cantidad detiempo que le toma cubrir una distancia de 30 millas.

4. (Lecciones 2.7, 2.8) Identifica el orden de las operaciones. Luego crea unatabla de deshacer y úsala para resolver la ecuación.

�2x3– 1� � 5 � 8

5. (Lección 2.8) Una compañía de alquiler de autos carga una tarifa fija de$30, más $0.20 por cada milla manejada.

a. Escribe una ecuación que relaciona el precio de alquilar un auto alnúmero de millas manejadas.

b. Gloria alquiló un auto de esta compañía para un viaje de fin desemana y su cuenta fue de $58.40. ¿Cuántas millas manejó Gloria?


c. Variación directa; y = 2x, donde x es el número depáginas que Ari lee, y y es el número de minutosque le toma leerlas.

[0, 40, 5, 0, 30, 5]

d. Variación inversa; y � �3x0�, donde x es la velocidad

del auto en mi/h, y y es el número de horas que letoma al auto cubrir 30 mi.

[0, 90, 10, 0, 5, 1]

4. x � 5

5. a. y � 30 � 0.2x, donde x es el número de millasmanejadas y y es el precio del alquiler del auto.

b. 142 mi

142

28.40

58.40

Descripción Deshacer Resultado

� (0.2)

� (30)

/ (0.2)

� (30)

Ecuación: 30 � 0.2x � 58.40

Escoge x.

8

5

10

3

9

Descripción Deshacer Resultado

� (5)

� (2)

� (1)

/ (3)

� (5)

/ (2)

� (1)

� (3)

�Ecuación: 2x � 13

� 5 � 8

Escoge x.

1. a. �7x5� � �1

3000� La proporción.

x � �13000� � 75 Multiplica por 75 para deshacer

la división.

x � 22.5 Multiplica y divide.

22.5 es 30% de 75.

b. �10x

0� � �11265

� La proporción.

x � �11265

� � 100 Multiplica por 100 para deshacerla división.


125 es 781.25% de 16.

c. �1x3� � �1

00.50� La proporción.

�1x3� � �

100.50

� Invierte la proporción.

x � �100.50

� � 13 Multiplica por 13 para deshacerla división.

x � 2600 Multiplica y divide.

13 es 0.5% de 2600.

2. Usa proporciones para convertir ambos pesos a lamisma unidad. Por ejemplo, convierte 8 kilogramos alibras. Asignemos x al peso en lb del objeto de 8 kg.

�21.2

klgb

� � �8x

klbg� La proporción.

(8 kg) � �21.2

klgb

� � x lb Multiplica por 8 para deshacerla división.


El objeto de 8 kg es más pesado.

3. a. Variación inversa; y � �0x.5�.

[0, 5, 1, 0, 2, 1]

b. Variación directa; y � 0.5x.

[0, 12, 1, 0, 8, 1]




(continuado)


Ecuaciones linealesC A P Í T U L O

3En este punto, usted puede pensar acerca de cómo usted y su estudiante interactúan.Por ejemplo, ¿está usted siendo un estudiante para su estudiante? ¿Explica usted tanpoco como es posible o justo lo suficiente para que su estudiante se esté convirtiendoen un aprendiz y pensador independiente? ¿Está el lápiz o la calculadora en las manosde su estudiante? ¿Intenta usted retenerse de contestar las preguntas que su estudianteno ha hecho? Decirle a su estudiante demasiado puede ser una pérdida de tiempo,porque puede que su estudiante no entienda. Esto puede llevar a que su estudiante sesienta abrumado. Un entendimiento más profundo puede resultar cuando le permitea su estudiante enseñarle el concepto o la destreza a usted y a otros.

Resumen del contenido El Capítulo 3 se enfoca en las ecuaciones de rectas. Los estudiantes expanden susideas de linealidad y aprenden a trabajar hacia atrás.

LinealidadUsted puede pensar acerca de la linealidad en varias maneras. Linealidad como una tasaconstante de cambio. Una manera de pensar acerca de la linealidad es que la tasa decambio de una variable en relación con la otra es constante. Se comienza en un lugar yse avanza por la misma cantidad en cada paso. Esta clase de cambio se llama crecimientolineal (linear growth), aunque los valores se reduzcan en vez de crecer cuando la tasa decambio es negativa. Con la variación en el Capítulo 2, el crecimiento siempre comenzóen 0; en este capítulo, el crecimiento puede comenzar en cualquier valor.

Linealidad como ecuaciones de la forma y � a � bx. Otra manera de pensar acerca de lalinealidad es a través de ecuaciones que relacionan variables. En este libro, las ecuacioneslineales tienen la forma de intersección (intersection form) y � a � bx. Esta forma indica elpunto de comienzo, a, y lo que se le añade, b, cada vez que x aumenta por una unidad. Laforma pendiente-intersección (slope-intercept form) y � mx � b tradicional que ustedpuede recordar se menciona en el Capítulo 4, pero la forma intersección introducida eneste capítulo mejor refleja la idea de crecimiento a una tasa constante desde un punto decomienzo.

Linealidad como gráficas de rectas. Usted también puede entender linealidad a través degráficas. La ecuación y � a � bx se grafica comenzando en el punto (0, a) ymoviéndose verticalmente por la cantidad b por cada unidad que se mueve deizquierda a derecha.

Trabajar hacia atrásMuchas situaciones reales requieren predecir cuándo una cantidad crecerá hastacierto valor. Las maneras de hacer esa predicción reflejan las tres maneras de pensaracerca de la linealidad. Desde la perspectiva de crecimiento, se puede pensar encontar los pasos a medida que se le suma repetidamente a un punto de comienzohasta llegar al valor deseado. Esto puede hacerse a mano o puede usarse unarecursión o secuencias de home-screen en una calculadora gráfica.

Si la situación se representa por una ecuación,puede que hayan dos métodos para resolverla: elmétodo de deshacer (undoing) y el método de balanceo. Si sabe que 3x � 2 � 17,entonces sepuede usar el método de deshacer y pensar:“Yo multiplico x por 3 y sumo 2 para obtener 17.Para hallar x,puedo deshacer ese proceso,comenzando con 17.Le resto 2 (para obtener 15) yluego divido por 3 (para obtener 5)”.Usted necesitará el método de balanceo si el desconocidoaparece más de una vez.Al aplicar el método de balanceo a la ecuación 3x � 2 � 17, le resta 2 aambos lados para obtener 3x � 15,y luego divide ambos lados por 3 para obtener x � 5.



Capítulo 3 • Ecuaciones lineales (continuado)

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden discutir este problema de resumen del Capítulo 3.Es un buen problema para volver a visitar varias veces mientras trabajan a través del capítulo.

Aquí tiene una tabla que muestra las alturas por encima y por debajo del suelo dedistintos pisos en un edificio de 25 pisos (tomado de la página 158):

¿Qué piso tiene una altura de 282 pies?


● ¿Cuán aparte están los pisos?

● ¿Qué puede significar un número negativo?

● ¿Podrías resolver este problema por recursión en tu calculadora gráfica?

● ¿Es posible representar la altura a través de una expresión algebraica?

● ¿La distancia entre pisos aparece en la expresión?

● ¿La altura del sótano aparece en la expresión?

● ¿Puede representarse el problema completo a través de una ecuación?

● ¿Puedes graficar la ecuación?

● ¿Cuáles son varias maneras de resolver la ecuación?

● ¿Puedes hacer una ecuación que dice cuánto le toma a un elevador alcanzarvarios pisos?

● En el Empire State Building en la ciudad de New York, los pisos varían enaltura. ¿Podrías aún así escribir una ecuación que podría ser útil para las alturaso para el tiempo del elevador?

Respuestas ejemplaresLos pisos, que comienzan con un número negativo (posiblemente indicando que elsótano está por debajo del nivel del suelo), están separados por 13 pies. Para resolverel problema en una calculadora gráfica, podría empezar con �4 y sumar 13repetidamente hasta alcanzar 282. Podría ser más eficiente usar recursión en unalista [vea Calculator Notes 3A] para llevar cuenta de tanto el número del piso y laaltura.

O puede resolver la ecuación altura � �4 � 13 � número del piso, ó 282 � �4 � 13x.Usando el método de balanceo o de deshacer, puedes resolver la ecuación paraobtener x � 22. Pregunte qué representa el 22 (el piso con una altura de 282 pies). Sisabe el tiempo que le toma al elevador viajar un piso, lo puede usar en lugar del 13para hallar el tiempo que le toma al elevador viajar desde el sótano hasta cualquierotro piso.

Para edificios con alturas de pisos irregulares, podría usar una ecuación quecontenga la altura promedio para hacer estimados de la altura o del tiempo. O puedeusar ecuaciones diferentes para diferentes partes del edificio.

Número de piso Sótano (0) 1 2 3 4 … 10 … … 25

Altura (pies) �4 9 22 35 … … 217 …





1. (Lecciones 3.1, 3.2) Grafica los primeros seis puntos representados porcada rutina recursiva.

a. {�4, 2}

{Ans(1) � 1, Ans(2) � 3}

b. {0, 1.5}

{Ans(1) � 1, Ans(2) � 0.25}

c. {2, �2}

{Ans(1) � 1, Ans(2) � 0.5}

2. (Lecciones 3.3, 3.4) La tabla a la derecha muestra la distancia de unapersona hasta un sensor de movimiento en varios momentos.

a. Describe el caminar mostrado en la tabla. Incluye dóndecomenzó el caminante, cuán rápido caminó y en qué direccióncaminó.

b. Escribe una ecuación lineal para el caminar, en la forma deintersección. Grafica la ecuación y grafica los puntos de la tabla.

3. (Lecciones 3.5, 3.6) Una compañía de teatro local tiene un honorarioanual de membresía, y los miembros pagan un precio reducido porboleto. La ecuación C � 25 � 8n expresa el precio total C por comprar nboletos en un solo año.

a. Según la ecuación de arriba, ¿cuál es la cuota anual de membresía?¿Cuál es el precio de un boleto?

b. Si una persona no quiere comprar una membresía, los boletos delteatro cuestan $10 cada uno. Escribe una ecuación para el precio totalC de comprar n boletos para una persona sin membresía.

c. Grafica ambas ecuaciones para el precio de n boletos. ¿Cuál es la tasa decambio del precio para un miembro? ¿Para uno que no es miembro?

d. Cristina buscó el itinerario para el próximo año teatral y encontró 12espectáculos que le gustaría asistir. ¿Debería ella comprar una membresía?

e. El año pasado, Cristina compró una membresía y gastó un total de$137 en el honorario de membresía y los boletos del teatro. ¿Cuántosboletos compró?

4. (Lección 3.6) Da el inverso aditivo de cada número.

a. 1 b. �1.25 c. �34� d. ��

65�

5. (Lección 3.6) Da el inverso multiplicativo de cada número en el Ejercicio 4.

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

Tiempo (s) Distancia (m)

0 0.3

1 0.7

2 1.1

3 1.5

4 1.9


3. a. $25; $8. El precio total es (cuota de membresía) �(precio por boleto) � (número de boletos).

b. C � 10n

c. Grafica y � 25 � 8x y y � 10x; La tasa de cambiopara un miembro: $8 por boleto; para uno que noes miembro: $10 por boleto.

[0, 20, 2, 0, 200, 20]

d. Cristina no debería comprar una membresía.Compara el precio total bajo cada opción. Conmembresía, C � 25 � 8 � 12 � 25 + 96 � 121; sinmembresía, C � 10 � 12 � 120. Se ahorrará $1 sino compra la membresía.

e. 14 boletos. Resuelve la ecuación 25 � 8n � 137.Esta solución usa el método de balanceo; los estu-diantes también pueden resolverlo por el métodode deshacer.

25 � 8n � 137 Ecuación original.

25 � 8n � 25 � 137 � 25 Resta 25 a cada lado.

8n � 112 Combina términos

iguales.

n � 14 Divide ambos lados

por 8.

4. Toma el opuesto de cada número. El inverso aditivo esel número que se le suma al número dado paraobtener 0.

a. �1 b. 1.25 c. ��34� d. �

65�

5. Halla el recíproco de cada número. El inverso multi-plicativo es el número que se multiplica con elnúmero dado para obtener 1.

a. 1 b. �0.8 c. �43� d. ��

56�

1. a. La gráfica debería incluir los puntos (�4, 2),(�3, 5), (�2, 8), (�1, 11), (0, 14), y (1, 17).

[�5, 2, 1, 0, 20, 5]

b. La gráfica debería incluir los puntos (0, 1.5),(1, 1.25), (2, 1), (3, 0.75), (4, 0.5), y (5, 0.25).

[�1, 6, 1, �0.5, 2, 0.5]

c. La gráfica debería incluir los puntos (2, �2),(3, �1.5), (4, �1), (5, �0.5), (6, 0), y (7, 0.5).

[0, 8, 1, �3, 2, 1]

2. a. El caminante comenzó a 0.3 metros del sensor, y ca-minó hacia el otro lado del sensor a una tasa de 0.4m/s.

b. y � 0.3 � 0.4x

[0, 6, 1, 0, 4, 1]




(continuado)


Ajustar una recta a los datosC A P Í T U L O

4El aprender involucra lo que los psicólogos llaman disonancia: A menos que laspersonas vean que no entienden, no pueden aprender verdaderamente. Aprenderuna idea nueva conlleva ajustar sus conceptos para que la idea nueva encaje. Debidoa que queremos que nuestros estudiantes entiendan, podemos apresurarnos aexplicar conceptos en lugar de dejar que los estudiantes se den cuenta por sí mismosde que no entienden. Trate de reducir la frustración de su estudiante por noentender un concepto rápidamente. Muéstrele cómo su propia curiosidad le permiteaceptar las preguntas y la confusión iniciales como una oportunidad para aprender.

Resumen del contenidoEl Capítulo 4 edifica sobre las ideas del Capítulo 3. Así que los estudiantes pueden encontrarque no entienden esas ideas anteriores tan bien como pensaban. En este capítulo, la nociónde pendiente se formaliza (se define más estrictamente), y su estudiante aprende cómoderivar otra forma de ecuaciones lineales. Desafíe a su estudiante a ser paciente a medidaque éste trabaja para entender cómo hacer predicciones de los puntos de datos que parecenser un poco lineales pero no caen todos sobre una sola recta.

Pendiente de una rectaEn el Capítulo 3, los estudiantes aprendieron que la ecuación y � a � bxrepresenta una recta que pasa por el punto (0, a) y sube b unidades por cadaunidad horizontal. Por lo tanto, b mide cuán empinada es la recta. Puede serdifícil medir cuánto una recta sube en una unidad; a menudo es más fácil hallarcuánto sube a través de un número grande de unidades, y luego dividir. Elresultado es la cantidad que sube por cada unidad. El número b es la pendiente(slope) de la recta, el término matemático que dice cuán empinada es la recta.

Para calcular la pendiente de una recta, los estudiantes dibujan un triángulode pendiente para hallar cuánto sube la recta a través de una distanciahorizontal conveniente. De esta idea viene la fórmula para la pendiente deuna recta a través de dos puntos; la pendiente es el cambio en distancia verticaldividido por el cambio en la distancia horizontal.

Forma punto-pendiente de una ecuación linealUna razón por la que el texto enfatiza la forma intersección de lasecuaciones lineales (y � a � bx) en el Capítulo 3 en lugar de la formapendiente-intersección (y � mx � b) es para comunicar la idea de que elcrecimiento lineal comienza en a y sube b unidades por cada unidad decambio en x. Otra razón es que, si el crecimiento comienza en valores de xdiferentes de 0, la ecuación se generaliza naturalmente. Por ejemplo, si elcrecimiento comienza en el punto(x1, y1), la ecuación es y � y1 � b(x – x1).Ésta es la forma punto-pendiente (point-slope form) de una ecuaciónlineal.

En la Lección 4.4, los estudiantes usan la propiedad distributiva para reescribir ecuacionesen la forma punto-pendiente como ecuaciones equivalentes en la forma intersección.

Rectas de ajusteUna razón principal para estudiar las ecuaciones de rectas es para aprender a hacerpredicciones. Si hay varios puntos de datos que caen sobre una recta y se desea haceruna predicción de dónde caerá otro punto (x, y), se puede hallar la ecuación de larecta y evaluarla para hallar y para un valor de x dado, o viceversa.

Tiempo (años)

punto 2(x, y)

punto 1(9, 307650)

Pob

laci

ón

x

y

Pendiente = 850

Gráfica de y � 307, 650 � 850(x � 9)

y

x

El triángulo de pendiente muestra el cambiovertical y horizontal de un punto a otro.



Capítulo 4 • Ajustar una recta a los datos (continuado)

La mayoría de los puntos para un conjunto de datos de la vida real no caen sobreuna sola recta, no importa cuán lineal se vean. El error de medida y otros factoresde la realidad pueden entrar en juego. Así que para hacer predicciones, ustednecesita hallar una recta que se acerque lo más posible a los puntos de datos. Estaclase de recta se llama una recta de ajuste (line of fit) para los datos. El hallar estasrectas de ajuste le da a su estudiante un contexto para practicar el hallarpendientes y ecuaciones, y tiene aplicaciones útiles en ciencia y en negocios.

El hallar una recta de ajuste ajustando una gráfica en la calculadora hasta quela recta parezca ajustarse bien les da a los estudiantes experiencia pararelacionar la pendiente de una recta y la intersección y con su ecuación.Hallar una recta de ajuste calculando la ecuación de la recta a través de dos puntosde datos particulares les da a los estudiantes experiencia con usar la fórmula dependiente y la forma punto-pendiente de una ecuación lineal.

Este capítulo también le muestra a los estudiantes cómo hallar una recta de ajusteusando puntos Q, lo cual edifica sobre las estadísticas del Capítulo 1. Más adelante,en Discovering Advanced Algebra, los estudiantes aprenderán el método de regresiónlineal para hallar lo que a menudo se llama la recta de mejor ajuste.

Problema de resumenAquí tiene una tabla que muestra el salario mínimo federal en varios años (tomado delEjercicio 10 en el Resumen del Capítulo). Predice cuál será el salario mínimo en el año2020.


● Si dibujas una recta que se ajusta bien a los tres puntos, ¿cuál sería la pendientey la intersección y de la recta? ¿Qué predicción puedes hacer?

● Si dibujas rectas a través de dos de los tres puntos, ¿cuáles serían las ecuacionesde las rectas? ¿A qué predicciones te llevarían?

● Si dibujas una recta usando los puntos Q de todos los datos en el Ejercicio 10,¿cuál sería la ecuación de la recta? ¿A qué predicción te llevaría?

● ¿Cuáles, si algunas, de esas rectas crees que llevará a la mejor predicción?

Respuestas ejemplaresEl usar diferentes pares de puntos de datos dará diferentes rectas. Por ejemplo, laecuación de la recta entre (1975, 2.00) y (1990, 3.80) es aproximadamente y � 2 � 0.12(x � 1975). Esa ecuación predeciría un valor de $7.40 para el 2020. Unarecta de ajuste para los tres puntos de datos podría tener aproximadamente la mismapendiente pero una intersección y un poco más alta.

Para hallar la ecuación para la recta a través de los puntos Q usando todos los datosde la página 270, hay que hallar los cuartiles de las coordenadas x y las coordenadasy. El primer y el tercer cuartil de las coordenadas x son 1976.5 y 1990.5; los de lascoordenadas y son alrededor de 2.25 y 4.03. Así que los puntos Q a través de loscuales pasará la recta de ajuste son (1976.5, 2.25) y (1990.5, 4.03). La ecuación parala recta a través de esos puntos tiene una pendiente �19

49

.00.35

��

21

.92756.5�, ó 0.13. La ecuación

y � 2.25 � 0.13(x � 1976.5) da un estimado de $7.90 en el 2020. Su estudiantepuede tener varias razones para preferir una recta en particular.

10 20 30 40 50

Grasa saturada (g)

Gra

sa to

tal (

g)

40

20

60

80

100

x

y

y � 2.3x � 3.5

Año 1975 1980 1990

Salario ($) 2.00 3.10 3.80





1. (Lecciones 4.1, 4.3) Considera la recta que pasa a través de los puntos (2, 4)y (5, –0.5).

a. Halla la pendiente de la recta.

b. Usa la pendiente para hallar otros dos puntos más en la recta.

c. Escribe la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

2. (Lección 4.2) Sidney fue a dar una vuelta en su auto y luego que comenzó decidió usar su odómetro de viaje para llevar cuenta de ladistancia que había viajado. Él reunió los datos mostrados en la tabla.

a. Grafica los datos en tu calculadora. ¿Los datos parecen seraproximadamente lineales?

b. Observa tu gráfica de dispersión y escoge dos puntos que parecenser representativos de la pendiente de los datos. Halla la pendientede la recta que pasa a través de estos dos puntos. ¿Cuál es elsignificado real de la pendiente en esta situación?

c. Con la pendiente que hallaste en 2b, ajusta la intersección y parahallar la recta de ajuste para los datos. ¿Cuál es el significado real de la intersección y en esta situación?

3. (Lección 4.4) Usa la propiedad distributiva para escribir unaecuación equivalente en la forma intersección y.

a. y � 3 � 2(x � 1) b. y � 1 � 3(x � 5) c. y � �5 � (x � 8)

4. (Lección 4.4) Factoriza cada expresión de manera que el coeficiente de xsea 1.

a. 4x � 36 b. �2x � 10 c. �3x � 15 d. 2x � 7

5. (Lecciones 4.6, 4.7) Considera el siguiente conjunto de datos.

a. Halla los resúmenes de cinco números para los valores de x y losvalores de y.

b. Crea una gráfica de dispersión para los datos y determina cuálespuntos Q deberían usarse para modelar estos datos.

c. Halla la recta de ajuste basada en los puntos Q para los datos. Añadela gráfica de esta recta a tu gráfica para 5b.

Tiempo (h) Distancia (m)

0.4 75.2

1.5 103.9

1.7 117.3

2.0 130.9

2.7 158.8

3.1 147.0

3.6 179.6

4.9 222.4

5.8 271.3

x 1.0 1.7 2.3 3.2 3.5 4.1 4.9 6.2 7.1 7.4

y 35 31 31 28 27 24 25 17 20 18


4. a. 4x � 36 � 4(x) � 4(9) Factoriza 4 fuerade cada término.

� 4(x � 9) Factoriza.

b. �2x � 10 � �2(x) � �2(�5) Factoriza �2 fuerade cada término.

� �2(x � 5) Factoriza.

c. �3x � 15 � �3(x) � �3(5) Factoriza �3 fuerade cada término.

� �3(x � 5) Factoriza.

d. 2x � 7 � 2(x) � 2(3.5) Factoriza 2 fuerade cada término.

� 2(x � 3.5) Factoriza.

5. a. 1.0, 2.3, 3.8, 6.2, 7.4; 17, 20, 26, 31, 35. Vea la solu-ción del Ejercicio 2c del Capítulo 1 en esta guía paraayuda de cómo hallar resúmenes de cinco números.

b. Los puntos Q que deberías usar son (2.3, 31) y (6.2,20). Para hallar los puntos Q, grafica rectas verticalesque se extienden desde los valores de Q1 y Q3 paralos valores de x 2.3 y 6.2, y grafica rectas horizontalesque se extienden desde los valores de Q1 y Q3 paralos valores de y 20 y 31. Esto creará una caja rectan-gular. Los puntos Q son las esquinas de la caja. Usalos dos puntos Q que crean la mejor recta de ajustepara los datos, en este caso (2.3, 31) y (6.2, 20).

c. La pendiente de la recta es �62.02

��

32

1.3� � ��3

1.19� �

�2.82. Usa la forma punto-pendiente de laecuación, con la pendiente y cualquiera de los dos puntos Q hallados en 5b. La ecuación es y � 31 � 2.82(x � 2.3) ó y � 20 � 2.82(x � 6.2).

10

0 1 2 3 4 5

20

30

40

y

50

6x

7

1. a. �1.5. Para hallar la pendiente, divide la diferenciaen valores de y por la diferencia en valores de x.

��

50.

�5 �

24

� � ��

34.5� � �1.5

b. Las respuestas variarán. Respuesta de ejemplo:Comienza con el punto (2, 4); suma 1.5 al valor dey y resta 1 del valor de x. Repite este proceso con elnuevo punto que obtengas. Los puntos resultantesson (1, 5.5) y (0, 7).

c. Las respuestas variarán. Usando el punto (2, 4), laecuación es y � 4 � 1.5(x � 2). Usando el punto(5, –0.5), la ecuación es y � �0.5 � 1.5(x � 5).

2. a. Sí, los datos parecen ser aproximadamente lineales.Vea la solución para 2c.

b. Las respuestas variarán. Utilizando el primer puntoy el último punto, se obtiene una pendiente deaproximadamente 36.3. La pendiente es la veloci-dad promedio de Sidney en mi/h.

c. Las respuestas variarán. La recta y � 52.2 � 36.3xparece ser un buen ajuste. La intersección y es unestimado de la lectura del odómetro cuandoSidney comenzó a medir su viaje.

[0, 6, 1, 0, 280, 50]

3. a. y � 3 � 2(x) � 2(1) Usa la propiedad dis-tributiva.

y � 3 � 2x � 2 Multiplica.

y � 5 � 2x Suma.

b. y � 1 � 3(x) � 3(�5) Usa la propiedad dis-tributiva.

y � 1 � 3x � �15 Multiplica.

y � �14 � 3x Suma.

c. y � �5 � 1(x) � 1(�8) Usa la propiedad dis-tributiva.

y � �5 � x � 8 Multiplica.

y � 3 � x Suma.




(continuado)


Sistemas de ecuaciones ydesigualdades

C A P Í T U L O

5Continúe pensando acerca de su interacción con su estudiante con respecto a lasmatemáticas. Acuérdese de animar a su estudiante a volverse un aprendiz y un pensadormás independiente pidiéndole que dé explicaciones. Si usted le está explicando, no leestá dando a su estudiante la oportunidad de ver lo que él o ella no entiende.

Resumen del contenidoEl Capítulo 5 refuerza las ideas de linealidad del Capítulo 3. El Capítulo 5 presentaproblemas modelados por más de una ecuación lineal a la vez y luego consideraproblemas representados por desigualdades lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales Muchos problemas reales tienen que ver con situaciones en las cuales dos o másvalores cambian linealmente a la misma vez. A menudo, se desea hallar cuándo estosvalores serán iguales. Por ejemplo, los valores pueden ser la ubicación de doscaminantes y se desea determinar cuándo se encontrarán los caminantes.

Cada valor creciente se representa por una ecuación lineal. Así que varios valores quecambian linealmente se representan por varias ecuaciones lineales, llamadas unsistema de ecuaciones lineales. Identificar dónde los valores serán iguales requiereresolver el sistema, esto es, hallar los valores de las variables que hacen ciertas todas lasecuaciones lineales en el sistema.

Discovering Algebra incluye cuatro métodos para resolver sistemas de dos ecuacioneslineales: por gráficas, por sustitución, por eliminación y por matrices.

Desigualdades linealesOtra manera de extender los conceptos de una ecuación lineal es cambiar el signo deigualdad por un signo de menor o de mayor. Si hace esto, está expresando que lasdos expresiones no son equivalentes.

Este capítulo introduce las desigualdades (inequalities) lineales en las cuales una delas variables tiene un valor conocido, tal como 5 � 2a � 21. Tal desigualdad tiene unnúmero infinito de soluciones y usted lo puede visualizar en una recta numérica. Losestudiantes hallan las soluciones usando los mismos métodos que usaron pararesolver ecuaciones lineales en el Capítulo 3.

Luego este capítulo considera una desigualdad lineal en dos variables. Aligual que el par de números que satisface una ecuación puede representarsepor una recta en una gráfica, los pares de números que satisfacen unadesigualdad pueden representarse en una gráfica. Estos aparecen comotodos los puntos a un lado de la recta que representan la ecuacióncorrespondiente. Para una desigualdad estricta, tal como y � 2x �1, lospuntos en la recta fronteriza y � 2x � 1 hacen falsa la desigualdad, así quela recta está entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada dela gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.

Sistema de desigualdades linealesLos métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming)aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdadeslineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la regiónque contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.

�5

�5

y

10

10x



Capítulo 5 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades (continuado)

Problema de resumenEste problema de resumen está basado en el Ejercicio 10 de la Lección 5.4. Will estáhorneando pan. Él tiene dos clases diferentes de harina. La Harina X está enriquecida con0.12 mg de calcio por gramo; la Harina Y está enriquecida con 0.04 mg de calcio porgramo. Cada barra de pan tiene 300 g de harina y Will quiere que cada barra de pan tenga30 mg de calcio. ¿Cuánto de cada tipo de harina debería usar para cada barra de pan?

Si el profesor de su estudiante cubrió la Lección 5.7, añada la siguiente modificación:Will ha comenzado a vender su pan y tiene problemas en sacar ganancias. Paramantener sus gastos generales bajos, cada barra de pan puede contener a lo máximo300 g de harina. A él le gustaría al menos 25 g de calcio por barra de pan.

Discuta estas preguntas y situaciones con su estudiante en su papel de estudiantepara su estudiante:

● Escribe un sistema de ecuaciones que representa el problema y explica elsignificado de cada variable y cada ecuación en el contexto del problema.

● ¿Cuál método de resolver sistemas de ecuaciones escogerías para resolver elsistema?

● Resuelve el sistema usando un método. Luego verifica resolviendo el sistemausando el segundo método.

● Supón que Will está casi sin harina. A él sólo le quedan 275 g de harina. Aúnasí, ¿puede hornear una barra de pan con 30 mg de calcio?

Respuestas ejemplaresUn sistema de ecuaciones posible es:

�La variable x representa la cantidad de Harina X en gramos, y y representa la cantidad deHarina Y en gramos. La primera ecuación representa la restricción de que cada barra depan tiene 300 g de harina. 0.12x representa la cantidad de calcio que contribuye la Harina X, y 0.04y representa la cantidad de calcio que contribuye la Harina Y. La segunda ecuación representa la cantidad total de calcio en la barra de pan.

Sustitución, eliminación y matrices probablemente son las mejores opciones para resolvereste sistema. Los estudiantes también pueden escoger resolverlo graficándolo en sucalculadora. Usted puede pedirle a su estudiante que resuelva este sistema por diferentesmétodos a medida que usted revisa diferentes lecciones. Ellos deberían hallar que la barrade pan requiere 225 g de Harina X y 75 g de Harina Y. Si el problema se cambia para usarsólo 275 g de harina, la solución será 237.5 g de Harina X y 37.5 g de Harina Y.

Si Will no puede usar más de 300 g de harina, y cada barra de pan debetener al menos 25 g de calcio, el sistema de desigualdades que puederepresentar la nueva situación es:

�Los estudiantes deberían probar puntos para determinar cómo sombrearcada desigualdad y luego hallar varios puntos que satisfacen ambasdesigualdades. Algunas soluciones de ejemplos son (180, 100), querepresenta 180 g de Harina X y 100 g de Harina Y, (215, 16) y (290, 0).

x � y � 3000.12x � 0.04y � 25

x � y � 3000.12x � 0.04y � 30

0 100 200 300

200

100

400

300

600

x

y

500



Chapter 5 • Ejercicios de repaso


1. (Lección 5.1) Determina si el par ordenado es una solución del sistema deecuaciones. Grafica ambas rectas en el sistema y grafica el punto.

a. (1, �2) �

b. (3, 1) �2. (Lección 5.2) Resuelve este sistema de ecuaciones usando el método de

sustitución y luego verifica tu respuesta.

�3. (Lección 5.3) Resuelve este sistema por eliminación y luego verifica tu

trabajo.

�4. (Lecciones 5.1–5.3) Jenna compró melocotones y peras en el mercado

local. Los melocotones costaron $2.90 por libra y las peras costaron $1.10por libra. Jenna compró un total de 8 libras de frutas, las cuales costaron$18.34. ¿Cuántas libras de cada fruta compró Jenna?

5. (Lección 5.5) Resuelve la desigualdad 3 � 5x � 8 y grafica las solucionesen una recta numérica.

6. (Lecciones 5.6, 5.7) Considera el sistema de desigualdades � .

a. Determina si cada uno de los siguientes pares ordenados es unasolución a este sistema de desigualdades.

i. (0, 2) ii. (4, 2) iii. (�3, 1) iv. (3, �2)

b. Grafica el sistema de desigualdades y grafica cada uno de los puntosde 6a.

y � 2x � 3y � �x � 1

2x � 3y � �25x � 2y � �5

2x � 3y � 7x � 4y � �2

y � ��23�x � 3

y � �23�x � 2

y � 2x � 4y � �x � 1


3. (�1, 0)

2(2x � 3y) � 2(�2) → 4x � 6y � �4 Multiplicaamboslados por2.

3(5x � 2y) � 3(�5) → 15x � 6y � �15 Multiplicaamboslados por3.

19x � �19 Suma laecuación.

x � �1Divide ambos lados por 19.

Sustituye este valor de x en cualquiera de las ecua-ciones originales y resuelve para hallar y. Usando laprimera ecuación 2(�1) � 3y � �2; y � 0.

Verifica tu solución en ambas ecuaciones.

4. 5.3 lb de melocotones, 2.7 lb de peras. Sea x elnúmero de libras de melocotones y y el número de li-bras de peras que Jenna compró. Sumar las libras pro-duce la ecuación x � y � 8, y sumar los preciosproduce la ecuación 2.90x � 1.10y � 18.34. Este sis-tema puede resolverse más fácil por sustitución.

5. 3 � 5x � 8 Desigualdad original.

�5x � 5 Resta 3 de ambos lados.

x � �1 Divide ambos lados por �5 e invierte ladesigualdad.

6. a. Sustituye los valores para x y y en cada desigualdady verifica si resulta en una aseveración cierta.

i. No. El par ordenado satisface la segunda de-sigualdad pero no la primera.

ii. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.

iii. No el par ordenado no satisface ninguna de lasdesigualdades.

iv. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.

b. Grafica las ecuaciones y � 2x � 3 y y � 1 � x.Debido a que laprimera desigualdadtiene � en lugar de �,la recta y � 2x � 3debería ser entre-cortada para indicarque no está incluidaen la solución. Laotra recta deberíaser sólida. Graficalos puntos y sombrea el área que contiene las soluciones.

50–5 10–10

5

y

5

–5

x–5

iiiiii

iv

1. a. Sí. El par ordenado (1,�2) satisface ambas ecuaciones.

y � 2x � 4 y � �x � 1

�2 �? 2(1) � 4 �2 �

?�1 � 1

�2 � �2 �2 � �2

b. No. El para ordenado (3, 1) no satisface la segundaecuación.

y � ��23�x � 3 y � �

23�x � 2

1 �?

��23�(3) � 3 1 �

? �23�(3) � 2

1 �?

�2 � 3 1 �? 2 � 2

1 � 1 1 � 0

2. (2, 1). Resuelve la segunda ecuación para x, y sustituyela expresión en la primera ecuación.

x � 4y � �2 Segunda ecuación.

x � 4y � 2 Suma 4y a ambos lados.

2(4y � 2) � 3y � 7 Sustituye 4y � 2 por x enla primera ecuación.

8y � 4 � 3y � 7 Usa la propiedad distributiva.

11y � 4 � 7 Combina términos iguales.

11y � 11 Suma 4 a ambos lados.

y � 1 Divide ambos lados por 11.

Sustituye 1 por y en una de las ecuaciones originales y re-suelve para x: x � 4(1) � �2; x � 2. La solución es (2, 1).

Verifica tu solución.

2x � 3y � 7 x � 4y � �2

2(2) � 3(1) �? 7 2 � 4(1) �

?�2

7 � 7 �2 � �2

4

y

5

�5

x�4

(3, 1)

5

y

5

x�5

(1, �2)




(continuado)


Exponentes y modelosexponenciales

C A P Í T U L O

6

Resumen del contenidoLos estudiantes entienden un concepto no sólo al ver ejemplos del concepto sinotambién al ver ejemplos falsos o contraejemplos de ese concepto. Por ejemplo, si intentaenseñarle a un bebé el concepto del color azul señalando solamente a una variedad deobjetos azules y diciendo “azul”, el niño puede pensar que “azul” describe todo. Ustednecesitaría señalar a algunos objetos que no son azules y decir sus colores también.

Similarmente, hay muchas clases de crecimientos que no son lineales. El entendimientode los estudiantes del crecimiento lineal se volverá más profundo a medida que estudianotras clases de crecimientos. Ellos comienzan a estudiar el crecimiento no lineal en elCapítulo 6, donde aprenden acerca del crecimiento exponencial. Luego de comparar elcrecimiento lineal y el exponencial en el Capítulo 7, se encontrarán con otros tipos decrecimientos no lineales en los Capítulos 8 y 9. Aún aquellas personas que consideranque el corazón del álgebra elemental son las ecuaciones lineales admiten la importanciade estos temas.

Crecimiento exponencialPara hallar valores que crecen linealmente, se suma la misma cantidadrepetidamente. En contraste, para hallar muchos valores de reales, se multiplican porla misma cantidad repetidamente. Por ejemplo, para hallar el precio de pan a travésde varios años, se multiplica 1.02 por cada año para representar una tasa de inflacióndel 2%. O para hallar la altura de una pelota de un rebote a otro, puede multiplicarsepor 0.85 para representar la pérdida de altura de rebote a rebote. Este tipo decrecimiento se llama crecimiento (o decaimiento) exponencial.

Para hallar la altura de la pelota después de 9 rebotes, dada una altura inicial de 2metros, puede multiplicar 2 por 0.85 repetidamente.

(2)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85) � 0.4632

Este método usa recursión, el cual los estudiantes vieron por primera vez en elCapítulo 0. En contraste, si usa el método rápido para hallar el valor sustituyendo 9por x en y � 2(0.85)x, está usando una ecuación exponencial. La variable x es elnúmero de veces que usa 0.85 como factor.

ExponentesEl trabajar con ecuaciones exponenciales requiere entender las reglas de losexponentes. Si la pelota rebota dos veces más después de los nueve rebotes, puedehallar su altura evaluando 2(0.85)11 ó 2(0.85)9 (0.85)2. El hecho que estos dos valores

y

y � 2(0.85)x

4

�1x

10�1



Capítulo 6 • Exponentes y modelos exponenciales (continuado)

son iguales ilustra la propiedad multiplicativa de los exponentes: (0.85)m � (0.85)n �(0.85)m�n. Más generalmente, si b es cualquier base, bm � bn � bm�n.

También puede hallar la altura de la pelota tres rebotes antes del noveno rebote endos maneras. Puede simplemente evaluar 2(0.85)6, o puede evaluar �

2((00..8855))3

9

�. Lapropiedad de la división de los exponentes correspondiente es �

bb

m

n� � bm�n.

Si m � n, en el lado izquierdo de la ecuación anterior, está dividiendo un númeropor sí mismo para obtener 1. En el lado derecho obtiene b0. Por eso cualquiernúmero (excepto 0) a la potencia 0 se define como 1. Si m � n, el exponente en ellado derecho es un número negativo, y en el lado izquierdo, después de cancelar,quedaría una potencia positiva en el denominador. Estas ideas se exploran en laInvestigación Más Exponentes en la Lección 6.6.

Estas propiedades de exponentes son la razón por la cual la notación científica es tanútil al trabajar con números muy grandes y muy pequeños.

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden discutir este problema, expandido del Ejercicio 13 de laLección 6.2.

Tu amigo acaba de comprar un auto antiguo por $5000. ¿Cuál puede ser el valor delauto dentro de 10 años?


● ¿Cuál será el valor del auto para las varias tasas en las cuales el valor puedeapreciar (aumentar exponencialmente)?

● ¿Cuál será el valor del auto para las varias tasas en las cuales el valor puededepreciar (disminuir exponencialmente)?

● Para hallar el valor del auto dentro de 12 años con una de estas tasas decrecimiento, ¿puedes usar la propiedad multiplicativa de los exponentes?

● Para hallar el valor del auto dentro de 20 años con una de estas tasas decrecimiento, ¿puedes usar la propiedad de potencias de los exponentes?

● Para hallar el valor del auto dentro de 8 años con una de estas tasas decrecimiento, ¿puedes usar la propiedad de la división de los exponentes?

Respuestas ejemplaresSi se asume un aumento de 6%, la ecuación y � 5000(1 � 0.06)x muestra el valordentro de 10 años de y � 5000(1 � 0.06)10, ó $8954. Puedes tomar esta respuesta ymultiplicarla por la tasa de crecimiento (1 � 0.06)2 para obtener el valor después de12 años, usando la propiedad multiplicativa de los exponentes. O puede dividirlopor (1 � 0.06)2 para obtener el valor después de 8 años, usando la propiedad de ladivisión de los exponentes. La propiedad de potencias de los exponentes indicaríaque el multiplicador para 20 años es el cuadrado del multiplicador para 10 años, asíque 5000[(1 � 0.06)10]2 � 5000(1 � 0.06)20.

Si en cambio el auto deprecia a 1% por año por 10 años, su valor de y sería 5000(1 � 0.01)10, o alrededor de $4522.





1. (Lecciones 6.1, 6.2) Yossi comenzó un nuevo empleo. Su salario inicial es$34,500 y tiene garantizado un aumento de 5% cada año que su trabajopermanece satisfactorio.

a. Determina el multiplicador usado para calcular el salario de Yossi cadaaño.

b. Escribe una rutina recursiva y úsala para hallar el salario de Yossidespués de cinco años.

c. ¿Cuándo Yossi estará ganando más de $50,000 por año?

d. Escribe una ecuación exponencial para modelar el salario de Yossi.

2. (Lección 6.2) Para la siguiente tabla, halla los valores de las constantes a yb tal que y � a � bx.

3. (Lecciones 6.3, 6.5) Usa las propiedades de los exponentes para reescribircada expresión.

a. 2�3x3�2�x5� b. ��237xx

2�3

4

� c. ��2x4y2�3�3x5y�

4. (Lecciones 6.4, 6.6) Reescribe cada número en notación científica.

a. 12,300,000 b. 0.00004 c. 314 � 104

5. (Lecciones 6.6, 6.7) Sandra monitoreó cada horala cantidad que tenía de cierto isótoporadiactivo y registró los datos en la tablamostrada a la derecha.

a. Estima el porcentaje de disminución en lacantidad del isótopo por hora.

b. Escribe una ecuación exponencial paramodelar la cantidad del isótopo. Grafica laecuación junto con una gráfica de dispersiónde los datos.

c. Usa tu modelo de 5b para estimar la cantidaddel isótopo 7 horas antes de que Sandra comenzara a registrar sus datos.

x y

1 12.5

2 2.5

4 0.1

5 0.02

8 0.00016

Tiempo transcurrido (h) Cantidad (g)

0 68.3

1 57.7

2 52.1

3 43.2

4 38.1

5 31.4

6 26.9


c. ��2x 4y 2�3�3x5y� Expresión original.

��8x12y 6��3x5y� Usa las propiedades de las potencias de los exponentes.

�24x17y7 Multiplica los coeficientes y usala propiedad multiplicativa de losexponentes.

4. a. 12,300,000 � 1.23 � 107

b. 0.00004 � 4.0 � 10�5

c. 314 � 104 � 3.14 � 102 � 104 � 3.14 � 106

5. a. Halla las razones de cada valor de y al próximo y halla su media. La media de las razones esaproximadamente 0.86, lo cual es 1 � 0.14.Esto significa que la cantidad de la sustancia se redujo aproximadamente 14% cada hora.

b. y � 68.3(1 � 0.14)x, donde y es el número degramos del isótopo x horas después que Sandracomenzó a registrar los datos.

[0, 10, 1, 0, 75, 10]

c. Usa el modelo de 5b con x � �7.y � 68.3(1 � 0.14)�7 � 196.3. Había aproximada-mente 196.3 gramos del isótopo 7 horas antes queSandra comenzara a registrar sus datos.

1. a. (1 � 0.05), ó 1.05.

b. {0, 34500}

Ans(1) � 1, Ans(2) � (1 � 0.05)} , , . . .

Después de cinco años, el salario de Yossi será $44,031.71.

c. Después de ocho años su salario excederá $50,000.

d. y � 34,500(1 � 0.05)x, donde y es el salario deYossi después de x años. En la ecuación exponencial y � A(1 � r)x, el valor r es la tasa de crecimiento,y A es el valor inicial, o el valor de y cuando x � 0.

2. y � 62.5 � 0.2x. Usa el valor de y correspondiente avalores de x consecutivos para hallar el multiplicador:�122.5.5� � 0.2 y �

00.0.1

2� � 0.2, así que b � 0.2. El valor de a es

el valor de y cuando x � 0. Para hallar esto, divide12.5 por el multiplicador: �

102..25

� � 62.5, así que a � 62.5.

3. a. 2�3x3�2�x5� Expresión original.

2 � 32x3�2 � x5 Usa las propiedades de las potencias de los exponentes.

2 � 9x6 � x5 Multiplica.

18x6�5 Usa la propiedad multiplicativade los exponentes.

18x11 Suma.

b. ��237xx

2�3

4

� Expresión original.

�33

4x3x

2

3

• 4� Usa las propiedades de las poten-

cias de los exponentes.

3x8�3 Usa la propiedad de la divisiónde los exponentes.

3x5 Resta.

ENTERENTER

ENTER

ENTER




(continuado)

Empleado Tiempo en el empleo Paga

Jack 6 meses $8.50

Jason 12 meses $9.00

Jim 18 meses $9.50

Julie 24 meses $10.00

June 12 meses $9.00


FuncionesC A P Í T U L O

7Resumen del contenidoEn el Capítulo 7, los estudiantes aumentan su entendimiento del crecimiento lineal yde las ecuaciones observando en detalle una clase especial de relación llamada unafunción. Esta sección ayuda a los estudiantes a volverse más conscientes de lasfunciones a través de la creación, la lectura y la descripción de códigos. Losestudiantes también son introducidos a otros tipos de crecimientos no lineales:valores absolutos, cuadráticos y raíces cuadradas.

Funciones y gráficasEn la conversación ordinaria, podemos decir algo como “Su paga es una función decuánto tiempo lleva en el empleo”. En este sentido, la frase es una función de significaríadepende de. En matemáticas, la dependencia se toma literalmente; si la paga fuese unafunción del tiempo en el empleo, entonces cualquier dos personas que han pasado lamisma cantidad de tiempo en el mismo empleo ganarían exactamente la misma paga.

Si considera las últimas dos columnas en la tabla anterior como una tabla de datos,ningún par de números que tiene el mismo primer número tendrá un segundo númerodiferente. Cuando convierte estos números en puntos con el par de números como suscoordenadas, encontrará que no hay dos puntos que caen sobre la misma recta vertical.Esto es, ninguna recta vertical cruzará la gráfica de una función más de una vez.

Las ecuaciones en las cuales se expresa una variable en términos de una segundavariable pueden definir una función. En lugar de escribir y � 3 � 5x, puede escribirf(x) � 3 � 5x. El lado izquierdo, leído “f de x”, es el nombre que se le da a la funcióncon x como la variable independiente. Si quiere hallar el valor de la función cuando x � 7, usted escribe f(7) � 3 � 5(7), o f(7) � 38. La gráfica de esta función incluiríael punto con coordenadas (7, 38).

Funciones del valor absolutoLa función del valor absoluto extiende el entendimiento de linealidad de losestudiantes. El valor absoluto (absolute value) de un número es, informalmente, su“valor positivo”. Si el número es positivo ó 0, entonces su valor absoluto es sí mismo.Si un número es negativo, entonces su valor absoluto es su opuesto, el valor positivo



Capítulo 7 • Funciones (continuado)

correspondiente. Por ejemplo, el valor absoluto de 3, escrito 3, es 3 mismo porque3 es positivo. El valor absoluto de �3, sin embargo, escrito �3, es 3.

La gráfica de la función del valor absoluto f(x) � x consiste en dos rayos queforman la letra V, con su punto inferior en el origen. El darse cuenta de por qué lafunción del valor absoluto tiene esta gráfica ayuda a los estudiantes a entender tantolas funciones como los valores absolutos.

Funciones cuadráticas y raíces cuadradasLas funciones cuadráticas y raíces cuadradas también son funciones no linealesimportantes que proveen un contraste con las funciones lineales. La funcióncuadrática simplemente cuadra un número, multiplicándolo por sí mismo. Es unafunción porque ningún número tiene dos cuadrados diferentes. Su grafica es unaparábola que abre hacia arriba con su punto más bajo (vértice) en el origen.

Pero el intercambiar las dos columnas de la tabla de datos cuadráticos no produceuna función. Por ejemplo, el número 4 en la primera columna aparecería una vezcon 2 en la segunda columna y una vez con �2. Esto es porque tanto 22 como (�2)2

son 4. En otras palabras, 4 tiene dos raíces cuadradas: 2 y �2. En este sentido eltomar la raíz cuadrada no es una función.

Una función asociada, sin embargo, frecuentemente llamada la función raízcuadrada, produce la raíz cuadrada positiva. El símbolo estándar para la raízcuadrada �� significa raíz cuadrada positiva. La gráfica de la función raízcuadrada es la mitad superior de una parábola que abre hacia la derecha.

20 4 6 8

4

2

6

8

x

y

y � x��

(continuado)



Problema de resumenHaz un código de esta manera: Cambia cada letra del alfabeto a un número entero entre1 y 26. Cuadra el número y réstale 26 repetidamente hasta que obtengas un númeroentre 1 y 26. Cambia ese número nuevamente a su letra correspondiente. ¿Cómo laasignación de cada letra a otra letra se relaciona con las ideas de este capítulo?


● ¿La asignación del código crea una función?

● ¿Cómo funciona la decodificación?

● ¿Hay algún sentido en el cual algunos números enteros del 1 al 26 son losopuestos de otros números enteros del 1 al 26?

● ¿Se podrían interpretar las ideas de positivo y de valor absoluto para losnúmeros enteros del 1 al 26 de manera que la raíz cuadrada positiva de unnúmero sea el valor absoluto de cualquiera de sus raíces cuadradas?

● ¿Puedes hacer aritmética similar con números enteros del 1 a algún otronúmero entero diferente de 26?

Respuestas ejemplaresUsted y su estudiante pueden comenzar con una tabla que muestra en qué seconvierte cada letra en el código.

A medida que observa la tabla y piensa de cómo funcionaría la decodificación,puede ver que para muchas letras en el mensaje codificado hay dos maneras dedecodificar la palabra. La palabra codificada NAWJ podría ser NAGF, NAST, NAGT,LAST, etc. Sólo una de éstas es una palabra, así que podría ser posible decodificar unmensaje, pero sería una tarea complicada.

Su estudiante podría reconocer que la segunda mitad del alfabeto es un reflejo de laprimera mitad, al igual que los números enteros positivos y negativos son reflejos decada uno alrededor del cero. Si estamos de acuerdo con el emisor en usar sólo laprimera mitad o sólo la ultima mitad del alfabeto, entonces la decodificación seríaúnica. Esto sería como usar sólo las raíces cuadradas positivas.

El mismo fenómeno es cierto con los números enteros del 1 a cualquier número.

Capítulo 7 • Funciones (continuado)

Letra A B C D E F G H I J K L M

Código A D I P Y J W L C V Q N M

Letra N O P Q R S T U V W X Y Z

Código N Q V C L W J Y P I D A Z





1. (Lección 7.1) Usa la cuadrícula de codificacióndada para contestar 1a�c.

a. Codifica la palabra ALGEBRA.

b. Decodifica la palabra KSMHSNC.

c. ¿Este código es una función? Explica por quésí o por qué no.

2. (Lección 7.2) Determina si cada una de lassiguientes relaciones representa una función. Porcada relación que representa una función,determina el dominio y rango.

a. b. c. d.

3. (Lecciones 7.2–7.4) Ted manejó directo hasta la tienda de artículosde pintura, compró un poco de pintura y luego manejó directohasta su casa. La gráfica de la función y � f(x) muestra la distanciade Ted desde su casa como función del tiempo.

a. ¿Qué es f(20)? ¿Cuál es el significado real de f(20)?

b. ¿Cuán lejos queda la tienda de artículos de pintura de la casa de Ted?

c. ¿Cuánto tiempo estuvo Ted en la tienda de artículos de pintura?

d. En el camino a la tienda, todas las luces de tráfico estaban verdes.¿Cuántas luces de tráfico rojas encontró Ted en su camino a casa?¿Cuánto tiempo estuvo Ted detenido en cada luz roja?

4. (Lecciones 7.4, 7.6) Considera la función f(x) �x � 2� 1.

a. Grafica la función.

b. Halla los valores f(1) y f(�4). ¿Qué puntos estos valores dan en lagráfica de f(x)?

c. Halla todos los valores de x para los cuales f(x) � 1.

A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U VWX Y ZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Entrada original

Sali

da

cod

ific

ada

Entrada Salidax y

2 10

7 9

3 8

2 7

8 6

7 5

Entrada Salidax y

1 1

3 2

5 3

8 2

2 3

7 4

y

3

x54321

�2

2

1

�1

5

y

5

�5

x�5

4 8 12 16 20 24

1

0

2

3

4

Tiempo (min)

Dis

tan

cia

(mi)


4. a.

b. f(1) � 1 � 2� 1 Sustituye 1 por x.

f(1) � 3 � 1 Suma.

f(1) � 3 � 1 Toma el valor absoluto.

f(1) � 2 Resta.

f(�4) � �4 � 2 � 1 Sustituye �4 por x.

f(�4) � �2� 1 Suma.

f(�4) � 2 � 1 Toma el valor absoluto.

f(�4) � 1 Resta.

Los puntos (1, 2) y (�4, 1) están en la gráfica de lafunción.

c. x � �4 y x � 0. Puedes resolver esto gráficamentehallando la intersección de la gráfica de f(x) con larecta horizontal y � 1. La solución simbólica semuestra a continuación.

x � 2 � 1 � 1 Ecuación aresolver.

x � 2 � 1 � 1 � 1 � 1 Suma 1 aambos lados.

x � 2 � 2 Suma.

x � 2 � 2 or Halla dosx � 2 � �2 números

cuyo valorabsoluto es 2.

x � 2 � 2 � 2 � 2 or Resta 2 x � 2 � 2 � �2 � 2 de ambos

lados de cadaecuación.

x � 0 or x � �4 Resta.

�3

y

6

6x

�6

1. a. Halla cada letra en la parte inferior de la cuadrícula ysube por la columna hasta el cuadrado sombreado.Entonces sigue a la izquierda del cuadrado para hallarla letra codificada. ALGEBRA codifica en GLYSJHG.

b. Halla cada letra codificada en la izquierda de lacuadrícula y sigue horizontalmente hasta elcuadrado sombreado. Entonces baja desde elcuadrado para hallar la letra de entrada. KSMHSNCdecodifica en SECRETO.

c. Sí, es una función. Cada letra de entrada está asig-nada a sólo una letra codificada. Esto es, sólo hayun cuadrado sombreado en cada columna.

2. El dominio es el conjunto de todos los posibles valoresde entrada, o los valores de x; y el rango es el conjuntode todos los posibles valores de salidas, o los valores de y.

a. No es una función. El valor de x 2 corresponde ados valores de y diferentes, 10 y 7.

b. Ésta es una función. Cada valor de x corresponde aun sólo valor de y. Dominio: {1, 2, 3, 5, 7, 8};Rango: {1, 2, 3, 4}.

c. Ésta es una función. Cada valor de x corresponde aun sólo valor de y. Cualquier línea vertical cruza lagráfica de la función sólo una vez. Dominio:0 � x � 4; Rango: �1 � y � 3.

d. No es una función. El valor x � 0 corresponde amás de un valor de y. Una línea vertical a través de0 cruza la gráfica de la función más de una vez.

3. a. Observa cuál punto en la gráfica tiene 20 como suprimera coordenada. El punto (20, 2) está en lagráfica, así que f(20) � 2.

b. Nota de la gráfica que lo más lejos que Ted llegódesde su casa fue 4 millas. Por lo tanto, la tiendaestá a 4 millas de la casa de Ted.

c. Ted estuvo en la tienda desde la marca de 8 minu-tos hasta la marca de 15 minutos, así que él estuvoallí por 7 minutos.

d. Las partes de la gráfica que son planas indican queTed no está en movimiento. Hay tres de éstas en sucamino a casa y duran un minuto cada una.




(continuado)


TransformacionesC A P Í T U L O

8Resumen de contenidoEn el Capítulo 8, los estudiantes continúan su trabajo con funciones, especialmentefunciones no lineales a través del estudio adicional de las gráficas de funciones. Enparticular, consideran tres maneras de cambiar la localización, la orientación y eltamaño de esas gráficas. (Nota: Usted puede querer saltar el material de matrices si elprofesor de su estudiante no cubre la Lección 8.7; las matrices frecuentemente secubren como parte del currículo de álgebra avanzada.)

TraslacionesUna traslación traslada puntos o gráficas en un plano. Si un punto (x, y) se traslada hacia laderecha h unidades y hacia arriba k unidades, el punto resultante es (x � h, y � k).

La gráfica de una función puede trasladarse en la misma manera, reemplazando x con x � h en cada ocurrencia de x en la ecuación de la gráfica y reemplazando y con y � ken cada ocurrencia de y.

Como un ejemplo, considere la función racional f(x) � �1x�, la cual el libro introduce en

este capítulo. Si se traslada la gráfica de y � �1x� 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades

hacia arriba, el resultado tiene la ecuación y � 3 � �x �1

2�. También puede pensar de laecuación resultante como la gráfica de la función g(x) � �x �

12� � 3. Aunque f(x) � �

1x�

está indefinida para x � 0 y tiene la línea y � 0 como una asíntota (asymptote) (unarecta a la que la gráfica se acerca pero nunca toca), g(x) está indefinida 2 unidades a laizquierda, donde x � �2, y tiene una asíntota 3 unidades más arriba, en y � 3.

Es posible representar las transformaciones con matrices. En particular, unatranslación puede representarse con la suma de matrices. Para hacerlo, puederepresentar el punto (x, y)

por la matriz � � y la translación por � �. Luego el punto imagen se

representa por la suma de estas matrices: � � � � � � � �.De hecho, este método de matrices puede representar la traslación de más de un punto.Discovering Algebra muestra cómo una matriz puede representar los vértices (esquinas)de un polígono, con cada columna como las coordenadas de un vértice. Por ejemplo, la

matriz � � representa el pentágono dibujado en la próxima página.

Una translación hacia la izquierda de 3 unidades y 2 unidades hacia arriba puede

representarse por la matriz � �.3 3 3 3 32 2 2 2 2

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

x � hy � k

hk

xy

hk

xy

5

y

6

�4

x�5

y � 1_

x � 2 � 35

y

5

�5

x�5

y � 1_x



Capítulo 8 • Transformaciones (continuado)

El polígono resultante está representado por la suma de las matrices:

� � � � � � � �Éste está mostrado como el polígono entrecortado en la gráfica.

ReflexionesEl libro examina las reflexiones (o vueltas) de puntos o gráficas alrededor de los ejes.

Cuando se refleja un punto (x, y) alrededor del eje y, el resultado es el punto (�x, y). Reflejar el punto (x, y) alrededor del eje x produce una imagen de (x, �y).

Para reflejar una gráfica alrededor del eje y, se reemplaza cada ocurrencia de x en su ecuacióncon �x. Para reflejar una gráfica alrededor del eje x, se reemplaza y con �y. Por ejemplo, lareflexión de la gráfica y � �x �

12� alrededor del eje y tiene la ecuación f (x) � �

�x1� 2�.

La reflexión de y � �x �1

2� alrededor del eje x tiene la ecuación �y � �x �1

2�, ó y � ��x �

12�.

Las reflexiones también se pueden representar a través de la multiplicación de matrices.

Por ejemplo, para reflejar el pentágono representado por � �alrededor del eje y, multiplica la matriz por � � para obtener

� � � � � � � �

Estiramientos y encogimientosUn estiramiento (stretch) vertical por un factor positivo a cambia (x, y) a (x, ay). Si aes menor de 1 (pero aún positivo), el estiramiento es un encogimiento (shrink).

Para estirar o encoger una gráfica verticalmente por un factor positivo a, sereemplaza cada ocurrencia de y con �a

y� en la ecuación de la gráfica. Por ejemplo, el

reemplazar y con �2y

� en la ecuación f(x) � �1x� crea un estiramiento vertical por

un factor de 2. Ésta es la ecuación de la función g(x) � �2x�.

�6

�6

y

6

x6

�3 �1 2 1 �22 �1 0 2 4

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

�1 00 1

�1 00 1

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

6 4 1 2 54 1 2 4 6

3 3 3 3 32 2 2 2 2

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

�6

�6

y

6

x6

(continuado)



Los estiramientos y encogimientos también pueden representarse por lamultiplicación de matrices. Se puede hallar la imagen del pentágono

� � después de ser estirado verticalmente por un factor de

�13� si multiplica la matriz por la matriz � � para obtener

� � � � � � � �.Problema de resumen

Usa las trasformaciones de la función f(x) � x para ajustar los datos en la tablaanterior tan bien como puedas.


● ¿Por qué diferentes translaciones dan el mismo resultado?

● ¿Por qué diferentes reflexiones dan el mismo resultado?

● ¿Por qué diferentes combinaciones de estiramientos y encogimientos dan elmismo resultado?

● ¿Importa el orden en que se hacen las transformaciones?

● ¿Puede transformarse otra función diferente de f(x) � x para ajustar los puntosde datos mejor?

Repuestas ejemplaresPara una recta con ecuación y � a � bx, reemplazar x con x � h da y � a � bx � bh,o y � bh � a � bx. Así que una traslación horizontal por h es lo mismo que unatraslación vertical por �bh. El álgebra también muestra que una reflexión de unarecta alrededor del eje x puede lograrse por una reflexión alrededor del eje y,combinado con una traslación, y que estirar una recta en una dirección esequivalente a encogerla en la dirección perpendicular. Una función no linealprobablemente se ajustará mejor a los datos.

3 1 �2 �1 2

�23� �

�31� 0 �

23� �

43�

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

1 0

0 �13�

1 0

0 �13�

3 1 �2 �1 22 �1 0 2 4

Capítulo 8 • Transformaciones (continuado)

x �1.5 �0.7 �0.2 0 1 3

y �3.0 �1.2 �0.8 �0.7 �0.5 �0.3





1. (Lecciones 8.1, 8.3, 8.4) Dibuja este triángulo en papel de gráficas o en tucalculadora. Luego dibuja la imagen bajo cada una de las siguientestransformaciones. Describe cada transformación.

a. (x � 2, y � 1) b. (�x, y) c. (x, �y) d. (0.5x, 3y)

2. (Lecciones 8.2–8.4) La gráfica de la función y � x � 3 se muestraabajo. Nombra las funciones que dan las siguientes transformaciones dela gráfica. Verifica cada contestación graficándola en tu calculadora.

a. Traslada hacia la derecha 2 unidades.

b. Refleja alrededor del eje y y traslada 1 unidad hacia arriba.

c. Refleja alrededor del eje x, encoge verticalmente por un factor de 0.5,traslada 1 unidad hacia la izquierda y traslada 3 unidades hacia arriba.

3. (Lección 8.6) Reduce cada expresión a sus términos más bajos. Declaracualquier restricción sobre la variable.

a. ��2x2

4��x130x4�

� b. ��2x2

6�x

4x� c. �

42x(x(x

��

33)2)

� d. �6 �

2x2x2�

�5 �1

y

6

x10

f(x) � |x � 3|

�5

x5

y

7

�7


2y � �x � 3 Reemplaza y con �0y.5�, ó

2y, para encoger lagráfica verticalmentepor un factor de 0.5.

y � �0.5x � 3 Resuelve para y.

y � �0.5(x � 1) � 3 Reemplaza x con x � 1para trasladar la grá-fica 1 unidad hacia laizquierda.

y � 3 � �0.5x � 2 Reemplaza y con y � 3para trasladar la grá-fica 3 unidades haciaarriba.

y � �0.5x � 2 � 3

[�4.4, 14.4, 1, �6.2, 6.2, 1]

3. a. ��2x2�

4�x13

0x4��

� 5x3, donde x � 0

La restricción x � 0 es necesaria porque el valor de x 0 haría el denominador de la expresión originalcero.

b. �2x 2

6�x

4x� � �

2x2(•x3�

• x2)

�

� �x �

32

�, donde x � 0

La restricción x � 0 es necesaria porque el valor dex 0 haría el denominador de la expresión originalcero.

c. �42x(x(x

��

33)2)

� � �x2�x

3�, donde x � 3.

d. �6 �

2x2x2� � �

2�32�• x

x 2��

� �3 �

xx2

�, donde x � 0.

2 • 2 • 5 • x6

�2 • 2 • x3

1. a. Traslada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidadhacia arriba.

b. Refleja alrededor del eje y.

c. Refleja alrededor del eje x.

d. Encoge horizontalmente por un factor de 0.5;estira verticalmente por un factor de 3.

2. a. y �x � 3 Función original.

y �(x � 2) � 3 Reemplaza x con x � 2 paratrasladar la gráfica 2 unidadeshacia la derecha

y �x � 5

[�9.4, 9.4, 1, �6.2, 6.2, 1]

b. y � x � 3 Función original.

y � (�x) � 3 Reemplaza x con �x parareflejar la gráfica alrededordel eje y.

y � 1 � �x � 3 Reemplaza y con y � 1 paratrasladar la gráfica 1 unidadhacia arriba.

y � �x � 3 � 1

c. y � x � 3 Función original.

�y � x � 3 Reemplaza y con �ypara reflejar alrededordel eje x.

y � �x � 3 Resuelve para y.

�5

x5

y

7

�7

a

d

b

c




(continuado)


Modelos cuadráticosC A P Í T U L O

9Resumen del contenidoEn el Capítulo 9 el texto de Discovering Algebra continúa profundizando elentendimiento de los estudiantes de las funciones lineales a través del estudio defunciones no lineales. Este capítulo se enfoca en las funciones cuadráticas y llegaeventualmente a las funciones cúbicas.

Formas de las ecuaciones cuadráticasLas ecuaciones cuadráticas pueden tomar tres formas útiles:

● La forma de vértice es y � a(x � h)2 � k. Esta forma es útil para decir cómo lagráfica madre y � x2 ha sido transformada. El vértice (h, k) de la parábola es elpunto más alto o más bajo. El factor a dice la cantidad de estiramiento vertical,y un valor negativo de a revela una reflexión alrededor del eje x.

● La forma factorizada es y � a(x � x1)(x � x2). De esta forma es fácil decir que lasraíces de la ecuación son x1 y x2 y que la gráfica tiene intersecciones x en x1 y x2.

● La forma general es y � ax2 � bx � c. Esta forma es útil para hallar que laintersección y es c—la parábola cruza el eje y en (0, c). Si la ecuación describe laaltura de un objeto que sube o cae, entonces �a es la mitad de la aceleracióndebida a la gravedad, b es la velocidad inicial y c es la altura inicial por encimadel nivel del suelo.

Aquí tiene una ecuación escrita en estas tres formas y su gráfica.

Forma de vértice: y � 2(x � 1)2 � 8

Formal factorizada: y � 2(x � 3)(x � 1)

Forma general: y � 2x2 � 4x � 6

Cambiar de formasDebido a que las tres formas sirven diferentes propósitos, el convertirentre ellas es común. Las formas de vértice y factorizada puedencambiarse a la forma general multiplicando binomios y combinandotérminos iguales. La forma general puede cambiarse a la forma devértice completando el cuadrado. La forma general puede cambiarse a la formafactorizada por factorización. Tanto el multiplicar como el factorizar puede ser ayudadopor un diagrama de rectángulo.

Este diagrama de rectángulo muestra que (x � 3)(x � 5) � x2 � 8x � 15.

Puede que usted haya aprendido un procedimiento abreviado F.O.I.L.—siglas en ingléspara Primero, Afuera, Adentro, Último—para multiplicar binomios. No empuje a suestudiante a usar este método. El diagrama de rectángulo provee un organizador visualpara ayudar a los estudiantes a factorizar y multiplicar expresiones. Es fácil expandirlopara multiplicar binomios y trinomios. (Usa un rectángulo 2 por 3). La razón primariapara cambiar a la forma factorizada es para resolver la ecuación—para hallar sus raíces.

x 3

x x2 3x

5 5x 15

–5

–10

y

6

x5

(1, �8)

(0, �6)

(3, 0)(�1, 0)

Las intersecciones xson �1 y 3.

La intersección yes �6.

El vértice es (1, �8).



Capítulo 9 • Modelos cuadráticos (continuado)

Frecuentemente factorizar es muy difícil o aún imposible. Un método de resolver lasecuaciones cuadráticas, independientemente de si la ecuación puede ser factorizada, esusar la fórmula cuadrática, la cual se introduce en la Lección 9.7.

Tenga cuidado—los estudiantes tienden a confundir los términos ecuacióncuadrática y fórmula cuadrática.

Funciones cúbicasLas funciones cúbicas (con la forma general y � ax3 � b2 � cx � d) surgenfrecuentemente en problemas reales. Para hallar las raíces de estas ecuaciones,Discovering Algebra usa gráficas. Una vez que se hallan las raíces, se puede derivar laforma factorizada de la ecuación cúbica. Más adelante, en Discovering AdvancedAlgebra, los estudiantes verán cómo factorizar las ecuaciones cúbicas a partir de laforma general.

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden volver a visitar este problema de resumen varias vecesmientras trabajan a través de este capítulo.

La altura de un cohete modelo particular está descrita por la función cuadráticah(t) � �

12�(�9.8)t2 � 49t � 2.5, donde t representa el número de segundos después

del despegue. ¿Qué puedes aprender acerca de la altura del cohete de esta ecuación yotras formas de esta ecuación?


● ¿Qué representan los coeficientes �9.8, 49 y 2.5?

● ¿Cuáles son las unidades usadas para describir la altura del cohete?

● ¿Cuál es la forma de vértice de la ecuación?

● ¿Qué puedes aprender de la forma de vértice?

● ¿A qué tiempos la altura es 0?

● ¿Cuándo el cohete alcanza el nivel del suelo?

● ¿Cómo se relacionan los ceros de una función cuadrática o cúbica a su formafactorizada?

● ¿Cuál es la forma factorizada de la ecuación?

● ¿Qué puedes aprender de la forma factorizada?

● ¿En qué tiempos el cohete está a 20 metros por encima del nivel de suelo?

● ¿Hay otras formas útiles de las ecuaciones cuadráticas?

Repuestas ejemplaresLos coeficientes representan el opuesto de la mitad de la fuerza debida a gravedad, lavelocidad inicial y la altura inicial en metros. Los estudiantes pueden hallar la formade vértice completando el cuadrado para obtener h(t) � �4.9(t � 5)2 � 125, de lacual ellos pueden notar que el cohete alcanza su altura máxima de 125 metros cuandot � 5. Los ceros pueden hallarse mejor usando la fórmula cuadrática para resolver laecuación �4.9t2 � 49t � 2.5 � 0. Los ceros están aproximadamente en �0.05 y10.05, así que la forma factorizada de la función es h(t) � �4.9(t � 0.05)(t � 10.05).Los ceros muestran dónde la gráfica cruza el eje horizontal, o alcanza el nivel delsuelo. El cohete choca con el suelo después de 10.05 segundos. Para hallar cuándo laaltura es 20 metros, resuelve la ecuación 20 � �4.9t2 � 49t � 2.5 para t. (t es alrededorde 0.4 y 9.6.)





1. (Lección 9.1) Usa un método simbólico para hallar la solución exacta dela ecuación 2(x � 1)2 � 5 � 9. Expresa las soluciones en forma radical.

2. (Lección 9.2) Nombra el vértice de la parábola dada por cada funcióncuadrática. Luego grafica cada ecuación para verificar tu respuesta.

a. y � (x � 6)2 � 3 b. y � 2(x � 1)2 � 3

3. (Lección 9.3) Convierte la ecuación y � 2(x � 4)2 � 7 a la forma general.Para verificar tu respuesta, entra ambas ecuaciones en la pantalla de Y�en tu calculadora gráfica y compara sus gráficas.

4. (Lección 9.4) Escribe la ecuación y � x2 � 2x � 8 en forma factorizada yluego usa la propiedad del producto del cero para hallar lasintersecciones x de la parábola descrita por la gráfica.

5. (Lección 9.6) Completa el cuadrado para reescribir cada ecuación en laforma de vértice, y nombra el vértice de la parábola descrita por la ecuación.

a. y � x2 � 6x � 4 b. y � 3x2 � 6x � 4

6. (Lección 9.7) Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 2x2 � 6x � 3 � 0. Expresa las soluciones en forma radical.

7. (Lección 9.8) Resta las siguientes expresiones racionales y expresa turespuesta en forma reducida. Declara cualquier restricción sobre lavariable.

�x �3

1� � �x2 �9xx

� 2�


5. a. y � x2 � 6x � 4 Ecuación original.

Suma (�3)2, ó 9, para crear un trinomio decuadrado perfecto. También debes restar 9 paramantener la ecuación balanceada.

y � x2 � 6x � 9 � 9 � 4 Suma cero en la forma9 � 9.

y � (x � 3)2 � 9 � 4 Factoriza el trinomio.

y � (x � 3)2 � 5 Combina términosiguales.

El vértice está en (3, �5).

b. y � 3x2 � 6x � 4

y � 3(x2 � 2x) � 4

y � 3�x2 � 2x � 1 � 1� � 4

y � 3�x2 � 2x � 1� � 3(�1) � 4

y � 3(x � 1)2 � 3 � 4

y � 3(x � 1)2 � 7

El vértice está en (�1, �7).

6. Las soluciones a la ecuación cuadrática

ax2 � bx � c � 0 son x � . Para la

ecuación dada 2x2 � 6x � 3 � 0, a � 2,

b � �6, y c � 3. Por lo tanto las soluciones son

x � , or x � .

7. Factoriza x2 � x � 2 para hallar un denominadorcomún: x2 � x � 2 � (x � 2)(x � 1).

�x �3

1� � �x2 �9xx

� 2� Expresiónoriginal.

� �x �3

1� � �xx

��

22� ��(x � 1

9)(xx � 2)� Multiplica por

1 para obtenerun denomi-nador común.

� �(x �3(x

1)�(x

2�)

2)��(x � 19)(xx � 2)� Multiplica.

� �(x �3x

1)�(x

6� 2)��(x � 1

9)(xx � 2)� Usa la

propiedad distributiva.

� �(x3x

��

1)6(x�

�9x

2)� Suma los numeradores.

� �(x ��6

1x)(

�x �

62)� Combina términos iguales.

��(x��

61(x

)(�x �

1)2)� Factoriza el numerador.

� �(x��

62)�, donde x � 1 y x � �2 Reduce la

expresión.

La restricción x � 1 es necesaria porque el valor de xde 1 hace al denominador de la expresión originalcero.

6 � �12��4�(�6) � �(�6)2�� 4(2)�(3)��2(2)

�b � �b2 � 4�ac��2a

1. 2(x � 1)2 � 5 � 9 Ecuación original.

2(x � 1)2 � 4 Resta 5 de ambos lados.

(x � 1)2 � 2 Divide ambos lados por 2.

�(x � 1�)2� � �2� Toma la raíz cuadrada deambos lados.

x � 1 � �2� Definición de raíz cuadrada.

x � 1 � ��2� Usa � para deshacer elvalor absoluto.

x � 1 ��2� Suma 1 a ambos lados.

Las dos soluciones son 1 � �2�, o aproximadamente2.4; y 1 � �2�, o aproximadamente �0.4.

2. Para una parábola dada por una ecuación en formade vértice y � a(x � h)2 � k, el vértice está en (h, k).

a. El vértice es (6, �3).

[�1, 13, 1, �5, 5, 1]



b. El vértice es (�1, 3).

[�10, 8, 1, �1, 10, 1]

3. Primero usa un diagrama de rec-tángulo para cuadrar el binomio(x � 4)2.

(x � 4)2 � x2 � 8x � 16

y � 2(x � 4)2 � 7 Ecuación original.

y � 2(x2 � 8x � 16) � 7 Cuadra el binomio.

y � 2x2 � 16x � 32 � 7 Usa la propiedad dis-tributiva.

y � 2x2 � 16x � 25 Combina términosiguales.

Grafica ambas la forma de vértice, y � 2(x � 4)2 � 7,y la forma general, y � 2x2 � 16x � 25, en tu calcu-ladora para ver que producen la misma gráfica.

4. Usa un diagrama de rectángulo paraayudarte a factorizar el polinomio.

Halla dos números cuyo productoes �8 y cuya suma es �2. Estosnúmeros son �4 y 2, así que laforma factorizada de x2 � 2x � 8 es(x � 4)(x � 2). Para hallar las inter-secciones x, resuelve la ecuación (x � 4)(x � 2) � 0.

(x � 4)(x � 2) � 0 Ecuación.

x � 4 � 0 or x � 2 � 0 Usa la propiedad del pro-ducto del cero.

x � 4 or x � �2 Resuelve cada ecuación.

Las intersecciones x son 4 y �2.

�4x

x x2 �4x

�4 �4x 16

x

x x2

�8


(continued)


ProbabilidadC A P Í T U L O

10Resumen del contenidoEl Capítulo 10 presenta unos conceptos básicos de probabilidad, incluyendo clasesespeciales de eventos, valores esperados y permutaciones y combinaciones de conteo.

Gráficas de frecuencia relativa y probabilidadEl Capítulo 10 presenta las gráficas de frecuencia relativa, las cuales muestran datoscategóricos. Los diagramas de barras y de círculos de frecuencia relativa muestran elpor ciento o la fracción de cada categoría relativa al total para todas las categorías.

La posibilidad de que algo ocurra, o la probabilidad de un resultado, puededeterminarse de una gráfica de probabilidad relativa. Por ejemplo, para un artículoescogido al azar de la colección de la biblioteca, la probabilidad que ese artículo seade literatura de ficción para adultos es 24% ó 0.24. Una probabilidad experimental oprobabilidad observada está basada en datos o experimentos y se define como

. Una probabilidad teórica, definida como

, usa cantidades conocidas. Para una

moneda imparcial, la probabilidad teórica de obtener cara es 50%, porque las carasson igualmente probables que las cruces. Sin embargo, al lanzar una moneda, unapersona puede obtener una corrida de caras o cruces que los puede llevar a unaprobabilidad experimental diferente para caras. Luego de muchos lanzamientos de lamoneda, la probabilidad experimental para las caras se acercaría al 50%.

número de diferentes maneras que un evento puede ocurrir��

número total de resultados posibles igualmente probables

número de ocurrencias del evento��

número total de intentos

Categoría

Por

cie

nto

Colección de la biblioteca

10

0

20

30

Otras

Litera

ture

de

ficció

n par

a níñ

os

Litera

ture

de n

o

ficció

n par

a níñ

os

Litera

ture

de

ficció

n par

a adulto

s

Litera

ture

de n

o

ficció

n par

a adulto

s

Med

ios d

e

com

unicació

n

Air emissions (69%)

Otras

Literature de ficción para níños

Literature de no ficción para níños

Literature de ficción para adultos

Literature de no ficción para adultos

Colección de la biblioteca

24%

35% 14%

18%

3%6%

Medios decomunicación



Capítulo 10 • Probabilidad (continuado)

Eventos independientesSi usted lanza una moneda repetidamente y obtiene caras 5 veces corridas, podría decirque la posibilidad, o probabilidad, de obtener cara en el próximo lanzamiento es muypequeña. Después de todo, la posibilidad de obtener 6 caras corridas es muy pequeña.O, usted puede pensar que la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento esgrande; hay una “corrida” de caras. De hecho, sin embargo, la moneda no tienememoria; la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento es 0.5, al igual quelo ha sido todo el tiempo. Se podría decir que los eventos son independientes; elresultado del sexto lanzamiento no depende del resultado del quinto lanzamiento.

En el caso de eventos independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es elproducto de las probabilidades de los eventos individuales. La probabilidad deobtener caras cinco veces corridas es �

12� � �

12� � �

12� � �

12� � �

12� � �3

12�. Esto también es la

probabilidad de obtener cualquier serie de caras o cruces. En otras palabras, laprobabilidad de obtener Cr Cr Ca Cr Cr también es �3

12�.

No todos los eventos son independientes de los eventos anteriores. Suponga queusted tiene una bolsa con seis billetes, cinco billetes de 1 dólar y un billete de 100dólares. La probabilidad de seleccionar el billete de 100 dólares es 1 en 6, o alrededorde 0.17. Sin embargo, si alguien selecciona un billete de 1 dólar y lo remueve la bolsa,la próxima persona tiene una probabilidad de 1 en 5, ó 0.2, de escoger el billete de100 dólares. Por supuesto, si la primera persona selecciona el billete de 100 dólares,entonces la próxima persona no tiene ninguna posibilidad, o una probabilidad de 0,de escoger el billete de 100 dólares.

Permutaciones y combinacionesEl determinar números para calcular probabilidades teóricas puede ser desafiante.

A veces, los resultados a contarse son arreglos de cosas o de personas. Por ejemplo,suponga que diez personas asisten a una reunión, y usted escoge al azar tres de ellaspara ganarse diferentes premios de entrada. Cualquiera de los diez podría recibir elpremio de entrada A, el más valioso. Cualquiera de los que quedan podría ganarse elpremio de entrada B, el próximo más valioso. Y cualquiera de los ocho restantespodría ganarse el tercer premio de entrada, C. Hay 10 � 9 � 8 � 720 maneras que tresde las diez personas podrían arreglarse para obtener estos premios de entrada. Losarreglos se llaman permutaciones; el número de permutaciones de diez personas, tresa la vez, se abrevia 10P3.

Si los premios de entrada fueran todos iguales, no importaría quién se llevara cuálpremio. Todo lo que importa es el número de tríos de personas que ganan. Estascolecciones se llaman combinaciones. Las seis permutaciones ABC, ACB, BAC, BCA,CAB y CBA contarían como una combinación, porque A, B y C sonel mismo premio. El número de combinaciones de tres personas dediez, escrito 10C3, es sólo �

16� de 10P3, ó 120.

Experimentos de múltiples etapasLos diagramas de árbol pueden ser útiles para determinarprobabilidades de experimentos más complicados. Para doslanzamientos de una moneda, los resultados posibles y susprobabilidades pueden mostrarse en un diagrama de árbol.

1er Lanzamiento 2do Lanzamiento

1_2

P (H) =

P (H) =

P (T) =

P (H) =

P (T) =

P (T) =

1_2 P(H y H) =

1_4

P(H y T) = 1_4

P(T y H) = 1_4

P(T y T) = 1_4

1_2

1_2

1_2

1_2

(continued)



El valor esperado de un evento es el valor promedio hallado al multiplicar elvalor de cada evento posible por su probabilidad y sumar los productos. Por ejemplo,el valor esperado en la aguja giratoria mostrada se hallaría como se muestra acontinuación:

�12�(�5) � �

14�(2) � �

14�(6) � �2.5 � 0.5 � 1.5 � �0.5

El valor esperado de la aguja giratoria es �$0.50.

Problema de resumenImagínate que tienes una bolsa con bloques de colores, tres azules y cuatro rojos.¿Qué clases de preguntas pueden hacerse y responderse acerca del escoger bloques dela bolsa?


● ¿Cuál es la probabilidad de sacar un bloque rojo? ¿Un bloque azul?

● ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos? ¿Necesitas másinformación?

● Si los bloques rojos valen $2 y los bloques azules valen $5, ¿cuál es el valoresperado de un sorteo?

● ¿Qué valores para cada bloque de color darían un valor esperado de $2 para unsorteo? Trata de hallar varias posibilidades.

Respuestas ejemplaresLa probabilidad de sacar un bloque rojo es �

47�; la probabilidad de sacar un bloque azul

es �37�. Para hallar la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos, necesitas saber siel bloque se repondrá después de sacarlo. La probabilidad de sacar dos bloques rojosreemplazándolos es �

47� � �

47� � �

14

69�, mientras que la probabilidad de sacar dos bloques rojos

sin reemplazarlos es �47� � �

36� � �

14

22�, ó �

27�. Si los bloques rojos valen $2 y los bloques azules

valen $5, el valor esperado de un sorteo es �47�(2) � �

37�(5) � �

87� � �

175� � �

272� � 3.14, ó $3.14.

Para tener un valor esperado de $2 por sorteo, hay muchas posibles combinaciones.Algunas son $3.50 por los rojos, $0 por los azules; $2.75 por los rojos, $1.00 por losazules; �$2.50 por los rojos, $8.00 por los azules.

$2

$6

�$5

Capítulo 10 • Probabilidad (continuado)





1. (Lecciones 10.1, 10.2) Sharon compró una bolsa de globos de colores parauna fiesta. La bolsa tenía 9 globos blancos, 39 azules, 24 rosados, 21verdes y 57 amarillos.

a. Determina el porcentaje de cada color de globo y usa esa informaciónpara hacer un diagrama de círculo y un diagrama de barras de frecuenciarelativa.

b. ¿Qué porcentaje de globos no son rosados ni blancos?

c. Si Sharon busca dentro de la bolsa y saca un globo al azar, ¿cuál es laprobabilidad de que será verde?

2. (Lección 10.3) Considera la figura a la derecha.

a. Si se coloca un punto al azar en el rectángulo grande, ¿cuál es laprobabilidad teórica de que éste caiga dentro de la región sombreada?

b. Supón que colocas muchos puntos al azar, y 40 de ellos caen en laregión sombreada. Estima el total de puntos colocados.

3. (Lección 10.4) Una escuela superior llevará a cabo una lotería en la cualse escogen tres dígitos diferentes entre los dígitos 0�9 para crear elnúmero ganador. Para ganar, debes adivinar correctamente el númeroganador.

a. Supón que el número ganador adivinado debe tener los mismos tresdígitos, en el mismo orden, que el número ganador. ¿Cuántos númerosde tres dígitos pueden hacerse de los dígitos 0 al 9, donde ningúndígito se usa dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este caso?

b. Ahora supón que el número ganador adivinado debe tener los mismostres dígitos que el número ganador, pero los dígitos pueden estar encualquier orden. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este caso?

4. (Lecciones 10.5, 10.6) Brigham tiene una bolsa que contiene siete fichasnumeradas. Hay cinco fichas rotuladas con el número 7 y dos fichas conel número 4. Él busca en la bolsa y saca una ficha, pone la ficha a un ladoy luego saca otra ficha de la bolsa.

a. ¿Qué es P�7271�? ¿Qué es P�4241�?

b. Crea un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de losdiferentes resultados de los experimentos de los dos sorteos de Brigham.

c. ¿Qué es P�41 y 72�?

d. Los números que Brigham saca pueden sumar 8, 11 ó 14. ¿Cuál es laprobabilidad que la suma sea un número par?

e. Halla el valor esperado de la suma.


3. a. Hay 10 opciones para el primer dígito, 9 opcionespara el segundo y 8 opciones para el tercero así queel número total de números de tres dígitos forma-dos del 0 al 9 sin repetición es 10 � 9 � 8 � 720.También puedes calcular 10P3. La probabilidad deadivinar el número ganador es �7

120� � 0.001.

b. Para cada número de tres dígitos hay 3 � 2 � 1 � 6maneras de arreglar los dígitos. Debido a que elorden de los dígitos no importa, divide el número depermutaciones que hallaste en 3a por 6, para obtener �7260

� � 120. También puedes calcular 10C3. La probabil-idad de adivinar el número ganador es �1

120� � 0.008.

4. a. P�7271� significa “la probabilidad que Brighamsaque un 7 en su segundo sorteo, dado que sacó un 7en su primer sorteo”. Si Brigham sacó un 7 en elprimer sorteo, entonces quedarían cuatro 7 y dos 4en la bolsa, para un total de 6 fichas. Por lo tanto,P�7271� � �

46�, ó �

23�. Si Brigham sacó un 4 en el primer

sorteo, entonces quedarían cinco 7 y un 4 en la bolsapara su segundo sorteo, así que P�4241� � �

16�.

b. La primera rama de este diagrama de árbol indicalas probabilidades de los resultados posibles delprimer sorteo de Brigham, y la segunda ramamuestra las probabilidades de su segundo sorteo.

c. Multiplica las probabilidades a lo largo de los ra-males que llevan al resultado 41 y 72. P�41 y 72� �

�27� � �

56� � �

14

02�, ó �2

51�.

d. Suma las probabilidades de los resultados que dansumas pares. P(suma es par) � P�71 y 72� �

P�41 y 42� � �12

01� � �2

11� � �

12

11�.

e. Para cada resultado, multiplica la suma de losnúmeros por la probabilidad del resultado, y luegohalla la suma de los resultados. Valor esperado �

P�71 y 72� � 14 � P�71 y 42� � 11 �

P�71 y 42� � 11 � P�41 y 42� � 8 �

201� � 14 � �2

51� � 11 � �2

51� � 11 � �2

11� � 8 � �

876�

El valor esperado de la suma de los dos sorteos deBrigham es de �

876�, o aproximadamente 12.3.

1er Sorteo 2do Sorteo

5_7P (71) =

P (41) =

P(71 y 72) =

P(71 y 42) = 5__21

10__21

5__21P(41 y 72) =

2_7

P (72 | 71) = 2_3

P (42 | 71) = 1_3

P (72 | 41) = 5_6

P (42 | 41) = 1_6

P(41 y 42) = 1__21

1. a. Hay 150 globos en total. Halla el porcentaje de cadacolor dividiendo el número de ese color por

150. Por ejemplo,�núnmúemro

erdoetvoetardles

� � �12510� � 0.14, así

que 14% de los globos son verdes. Multiplica elporcentaje por 360 para hallar la medida del án-gulo de cada sector. Por ejemplo, 0.14 � 360 �50.4, así que el ángulo del sector que representa elnúmero relativo de globos verdes es 50.4°. Gráficasejemplares se muestran abajo.

b. Los globos rosados y blancos juntos forman 6% � 16% � 22% del total, así que el porcentajede globos que no son rosados ni blancos es 100% � 22% � 78%.

c. 14% de los globos son verdes, así que la probabili-dad de que ella saque uno verde es 14%, ó 0.14.

2. a. El área sombreada es 21 cuadrados, y el área delrectángulo completo es 8 � 14 � 112 cuadrados.Por lo tanto, la probabilidad de que un puntotrazado al azar caiga en la región sombreada es �12112�, ó 0.1875.

b. Resuelve la proporción

� .

�12112

� � �4x0� Invierte la proporción.

�12112

� � 40 � �4x0� � 40 Multiplica ambos lados por 40.

x � 213.3� Multiplica.

Aproximadamente 213 puntos fueron trazados.

40 puntos en el área sombreada��

x puntos totales21 cuadrados sombreados��

112 cuadrados totales

Color

Porc

enta

je

Azul AmarilloVerdeRosadoBlanco

5

0

10

20

25

30

35

15

40

Azul26%

Amarillo38%

Verde14%

Rosado16% Verde

14%

6%

Blanco

Rosado16%


S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 1 0


(continuado)


Introducción a la geometríaC A P Í T U L O

11Resumen del contenidoEl Capítulo 11 es una vista previa de geometría. Aún así, en algunos lugares éstautiliza ecuaciones lineales. Los estudiantes también se enfocan en las expresionesradicales y las operaciones con radicales.

Geometría sintéticaEl estudio original de la geometría ahora se llama sintética para distinguirla de lageometría analítica de los sistemas de coordenadas, la cual se desarrolló mucho mástarde. En el área de la geometría sintética, el libro se enfoca en el Teorema dePitágoras y en figuras similares—figuras que son estiramientos o encogimientos decada una por el mismo factor en cada dirección.

Geometría analíticaLa geometría analítica es la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usanecuaciones algebraicas para representar figuras geométricas. Los estudiantes hanestado trabajando con geometría analítica a lo largo de este curso. Ya han visto cómolas rectas paralelas tienen la misma pendiente, y cómo esa pendiente aparece en lasecuaciones de las rectas. En este capítulo verán cómo se relacionan las pendientes ylas ecuaciones de rectas perpendiculares. También verán cómo hallar lascoordenadas de los puntos medios de segmentos de rectas. Al considerar cómo elTeorema de Pitágoras se traslada a la geometría de coordenadas, los estudiantesaprenden a trabajar con raíces cuadradas.

TrigonometríaCuando una figura geométrica se estira o encoje uniformemente, todos los ángulosmantienen sus medidas y todos los lados se multiplican por la misma cantidad; por lotanto, la razón del largo de un lado a otro permanece igual. Este estiramiento yencogimiento produce figuras similares, las cuales tienen ángulos correspondientesiguales y largos de lados correspondientes proporcionales. El estudio de las relacionesentre los lados y los ángulos de triángulos rectos similares es parte de la trigonometría.En particular, en triángulos rectos similares, la razón de, por ejemplo, el largo del ladoopuesto a un ángulo agudo particular al largo de la hipotenusa es el mismo, noimporta cuál sea el agrandamiento. Cada ángulo agudo de un triángulo recto tienevarias de estas razones asociadas con él. Éstas se llaman razones trigonométricas.

El libro considera tres tales razones: el seno, el coseno y la tangente. Los estudiantesusan calculadoras para hallar los valores de estas razones para varios ángulos y, a lainversa, los ángulos que corresponden a varias razones dadas. Ellos, por lo tanto,tienen una vista previa de las consideraciones de trigonometría más profundas quese encuentran en Discovering Advanced Algebra.

3

318

202

4



Capítulo 11 • Introducción a la geometría (continuado)

Problema de resumenUsted y su estudiante pueden volver a visitar este problema, adaptado del Ejercicio 7en la Lección 11.1, varias veces mientras trabajan a través del capítulo.

¿Qué puedes decir acerca del cuadrilátero con vértices (�5, 0), (1, 4), (6, 3) y (�3, �3)?


● ¿Algunos de los lados parecen ser paralelos?

● ¿Algunos de los lados parecen ser perpendiculares?

● ¿Puedes confirmar tus conjeturas?

● ¿Cuáles son las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen los lados delcuadrilátero?

● ¿Las diagonales se encuentran en sus puntos medio?

● ¿Puedes hallar los largos de las diagonales?

● ¿Puedes hallar las medidas de los ángulos?

Repuestas ejemplaresDos de los lados son paralelos �y � �1 � �

23�x y 3y � 10 � 2x tienen

pendiente de �23��, y un tercer lado es perpendicular a ellos �2y � �15 � 3x con

una pendiente de ��32��. El cuarto lado está contenido en la ecuación de la recta

5y � 21 � x. Las diagonales caen sobre las rectas con ecuaciones y � �

74�(x � 1) � 4 y y � �1

31�(x � 5). Graficar y trazar indica que las diagonales se

encuentran en aproximadamente (�0.6, 1.2), lo cual no es ninguno de los puntosmedios (�1, 0.5) o (0.5, 1.5). Las diagonales tienen largos de �65� y �130�. Si se hace untriángulo recto bajando una perpendicular desde el vértice (1, 4) hasta el lado paralelo

opuesto, puede hallar que el seno del ángulo en el vértice (6, 3) es � .

Resuelve la ecuación sen�1� � � x para hallar que el ángulo es 45°. Por lo tanto,

el ángulo en (1, 4) será 135°.

1��2�

1��2�

�13��26�

Funciones trigonométricas

Para un ángulo agudo A en un triángulo recto, las funciones trigonométricas son

seno del ángulo A � o sen A � �ho

�

coseno del ángulo A � o cos A � �ha

�

tangente del ángulo A � o tan A � �ao

�

a

oh

A

largo de lado opuesto��largo de lado adyacente

largo de lado adyacente��largo de hipotenusa

largo de lado opuesto��largo de hipotenusa





1. (Lecciones 11.1–11.3, 11.6) Traza los puntos A(0, �2), B(�3, 1) y C(3, 4).

a. Halla la ecuación de la recta a través de B que es paralela a AC�.

b. Halla el punto medio AB�.

c. Halla la ecuación de la recta que contiene la mediana del triángulo através de C, y muestra que es perpendicular a la bisectriz de AB�.

d. Halla el largo de cada lado.

e. ¿Qué clase de triángulo es ABC?

f. Halla el área del triángulo ABC.

2. (Lección 11.5) Reescribe cada expresión con tan pocos símbolos de raízcuadrada como sea posible, y sin paréntesis. Tu resultado final no deberíatener ningún cuadrado perfecto como factor dentro del radical.

a. �2�6��3�2�� b. 5�3� � 2�12� c. �23��

1

2�8��

3. (Lección 11.7) Los dos triángulos mostrados abajo son similares. Escribeuna proporción y resuélvela para hallar w.

4. (Lecciones 11.4, 11.8) Usa el Teorema de Pitágoras para hallar x. Luegohalla las siguientes razones:

a. tan A b. senB c. cosB

C B

A

13

x

5

w

4

3

5


2. a. �2�6��3�2�� 2 � 3 � �6� � �2� Propiedadconmutativade la multi-plicación.

� 2 � 3�6 • 2� Multipli-cación de ex-presionesradicales.

� 6�12� Multiplica.

� 6�4��3� 4 es uncuadrado per-fecto factor de12.

� 6 � 2�3� Toma la raízcuadrada.

� 12�3� Multiplica.

b. 5�3� � 2�12� � 5�3� �2�4��3� 4 es uncuadradoperfecto fac-tor de 12.

� 5�3� � 4�3� Toma la raízcuadrada ymultiplica.

� (5 � 4)�3� Suma de ex-presionesradicales.

� �3� Resta.

c. �2

3��

1

2�8��

2�3�

9��2�

2�� 9 es uncuadrado per-fecto factor de18.

� �2

3

•

�3�

2�2�� Toma la raíz

cuadrada.

� 2 Reduce.

3. Las proporciones pueden variar.

�w4� � �

5 �3

3� Proporción a resolver.

4 � �w4� � 4 � �

83� Multiplica ambos lados por 4.

w � �332�, ó 10�

23� Multiplica.

4. 52 � x 2 � 132 Ecuación a resolver.

25 � x2 � 169 Cuadra cada término.

x 2 � 144 Resta 25 de ambos lados.

x � 12 Toma la raíz cuadrada de 144.

Sólo la raíz cuadrada positiva es una solución porquex es el largo de un segmento.

a. tan A � � �152�

b. sen B � � �153�

c. cos B � � �11

23�

adyacente��hipotenusa

opuesto��hipotenusa

opuesto��adyacente

1.

a. El segmento AC� tiene una pendiente de 2, así queescribe la ecuación de la recta con pendiente 2 quepasa a través del punto (�3, 1). En la formapunto-pendiente, esto es y � 1 � 2(x � 3),ó y � 2(x � 3) � 1.

b. La coordenada x del punto medio de AB� es �0 �

2�3� � �1.5, y la coordenada y es

��2

2� 1� � �0.5. El punto medio es (�1.5, �0.5).

c. Halla la ecuación de la recta a través de los puntos(3, 4) y (�1.5, �0.5). La pendiente es ��

01

.

.55

��

43� �

��

44

.

.55� � 1, así que la ecuación es y � 4 � 1(x � 3),

ó y � x � 1. La pendiente de AB� is �1 y la pen-diente de la mediana es 1, así que el producto delas pendientes es �1. Por lo tanto las dos rectas sonperpendiculares. La recta y � x � 1 es la bisectrizperpendicular de AB� porque es perpendicular aAB� y pasa a través del punto medio de AB�.

d. (Lección 11.6) Usa la fórmula de distancia d � ��x2 ��x1�2 ��y2��y1�2� para calcular cadalargo. Por ejemplo:

AB � �(�3 �� 0)2 �� [1 � (��2)]2�AB � �(�3)2�� (3)2�AB � �18�, ó 3�2�

Para ayuda en cambiar �18� a 3�2�, mira más ade-lante en el Ejercicio 2.

Calcula los otros dos largos en una manera similar.Los largos son

AC � �45�, ó 3�5�; y BC � �45�, ó 3�5�.

e. El triángulo ABC es isósceles porque AC � BC.

f. Dibuja un rectángulo alrededor del triángulo ABCcomo se muestra en la gráfica para 1a. El rectán-gulo tiene un área de 36. Los triángulos rectángu-los con hipotenusas BC� y AC� tienen áreas de0.5(3)(6), ó 9 unidades cuadradas. El triángulomás pequeño en la derecha tiene un área de0.5(3)(3), ó 4.5 unidades cuadradas. Resta las áreasde los triángulos del área del rectángulo:36 � (9 � 9 � 4.5) � 13.5. El área del triánguloABC es 13.5 unidades cuadradas.

�5

�5

5

5

B

A

C


S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 1 1


DA2PGS Span 774 fm 3rd08 - Seattle Public Schools · En el pasado, y probablemente en su propia...

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