D:/ Thesis/Presentation/nov ITA · 2005-12-05 · Exotic Options UnderL¶evy Processes Introduzione...

ExoticOptions

Under LevyProcesses

Introduzione

Processi diLevy

Algoritmisulla formuladi Spitzer

Wiener - Hopf

Risultatinumerici

Conclusione

Exotic Options Under Levy Processes

Giuseppe Gabriel Cardi

Universita di Bergamo

30 Novembre 2005

(Universita di Bergamo) Exotic Options Under Levy Processes 30 Novembre 2005 1 / 40

ExoticOptions

Under LevyProcesses

Introduzione

Processi diLevy


Wiener - Hopf

Risultatinumerici

Conclusione

Di cosa stiamo parlando?

1 Perche Opzioni Discrete?

2 Perche Processi di Levy?

3 Casi Semplici ed Algoritmi

4 Perche NON per i Processi di Levy?

5 Una Estensione

6 Risultati numerici . . . future ricerche


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Introduzione

Processi diLevy


Wiener - Hopf

Risultatinumerici

Conclusione

La letteratura

Broadie, M. Kou, S. Numerical pricing of discrete barrier and lookback

options via Laplace transforms, Mathematical Finance, 1997, 7, 325-49

Broadie, M. Glasserman, P. Kou, S.G. Connecting discrete and

continuous path dependent options Finance and Stochastic, 1999, 3,

55-82

Ohgren, A. A remark on the pricing of discrete barrier options Journal

of Computational Finance, 2001, Volume 4

Petrella, G. Kou, S. Numerical pricing of discrete barrier and lookback

options via Laplace transforms, The Journal of Computational

Finance, 2004, 8

Boyarchenco, S. Levendorkii, S. Non-Gaussian Merton–Black–Scholes

Theory, World Scientific Press, 2002

Spitzer, F. Principles of randon walks, Van Nostrand, 1961


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Processi diLevy


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Risultatinumerici

Conclusione

Opzioni esotiche

Lookback:

t

St

K

T

Strike

Floating


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Conclusione

Opzioni Esotiche

Barrier (Up and Out):

t

St

H

K


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Conclusione

Opzioni esotiche

Discrete Lookback:

t

St


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Conclusione

Perche opzioni discrete?

1 Broadie, Glasserman, Kou(Math. Finance 1997, Finance Stochastic 1999)

“In practice most of the lookback and barrier optionsare discretely monitored

for some (regulatory and practical) reasons”

2 Real Options

3 ...


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Risultatinumerici

Conclusione

Modellare il sottostante

Modelli di Diffusione(Black Scholes)

Modelli di Diffusione + numero finito di salti(Merton, Kou, ...)

Modelli di Diffusione + numero finito di salti + . . .


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Conclusione

Perche Processi di Levy?

1 il lnS e asimmetrico;

2 il lnS presenta code larghe;

3 gli incrementi di ln S sono stazionari;

4 gli incrementi di ln S su intervalli disgiunti sono incorrelati;

5 caratteristiche della volatilita;

6 il modello e arbitrage free;


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Conclusione

Perche i processi di Levy?

1 2 3 4 5 6 7

BS - - + + - + 2

(1) + + + + - + 3/4

(2) + + + + + + 6/7

Tabella delle proprieta dei processi di Levy.L’ultima colonna da il numero di parametri del modello

(da [Vanini, 2004]).

1 Kou, NIG, VG, CGMY-2001, Meixner, Stable, GH ...

2 Kou, NIG, VG, CGMY-2003, Meixner, Stable, GH ... (+SV)


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Conclusione

Definizioni...

Un processo e detto di Levy

1 X0 = 0 q.c.

2 Incrementi stazionari ed indipendenti

3 c.a.d.l.a.g.

RLPE

Processi Regolari di Tipo EsponenzialeRegular Levy Processes of Exponential Type


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Conclusione

Cosa sappiamo...

Un processo di Levy puo essere definito

1 funzione caratteristica

2 densita di probabilita

3 processo gaussiano subordinato

Xt = σWγt + µγt

4 e ...


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Conclusione

La formula di Spitzer

Ohgren (2001)

Petrella-Kou (2004)

Formula di Spitzer

Ee iζX+k 7−→ Ee iζMk


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Conclusione

Formula di Spitzer

Spitzer (1956):

1 La relazione tra Massimo e Parte Positiva X+k

∞∑

n=0

qnE

[

e iζMn

]

= exp

{

∞∑

k=1

qk

kEe iζX+

k

}

2 La distribuzione congiunta di Xn e max[0,X1, . . . ,Xn].Denota la funzione caratteristica congiunta: φn(α, β)

∞∑

n=0

tnφn(α, β) = exp

[

∞∑

k=1

tk

k

(

Ee iαX+k + Ee iβX−

k − 1)

]


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Conclusione

Ohgren, 2001

Ohgren, 2001

Il prezzo neutrale al rischio Vn ad emissione (t = 0) diun’opzione che paga

max0≤j≤n

S(tj) − S(T )

dove tj = jT/n per j = 0, . . . , n e:

Vn = S(0)(e−rT xn − 1)

...


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Conclusione

Ohgren, 2001

... dove x0 = 1 and

xk+1 =1

k + 1

K∑

j=0

ak+1−jxj

ak = E[eX+k ]

Nota espliciamente:

ak = N

(

− r− 12σ2

σ

√tk

)

+ exp(rtk)N

(

r+ 12σ2

σ

√tk

)

k = 1, . . . , n


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Risultatinumerici

Conclusione

Petrella-Kou, 2004

Petrella-Kou, 2004

al ,k(u) = E[euX+l,k ]

al ,k(u) = E[e(u+v)X+l,k ] + E[e−vX−

l,k ] − 1

xl ,k =1

k − l + 1

k−1∑

j=0

al ,k+1−jxl ,l+j

xl ,k =1

k − l + 1

k−1∑

j=0

al ,k+1−j xl ,l+j


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Conclusione

Petrella-Kou, 2004

Prezzo per una opzione Lookback:

A(u, t) = xl ,kE

[

euXt,t(l)

]

LB

P(t,T ) = e−r(T−t)

[

S(t)A(1, t)

+ L−1ε

(

(S(t))−(ε−1)

ε(ε − 1)A(1 − ε; t)

)]

− S(t)


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Conclusione

Petrella-Kou, 2004

o per opzioni con Barriera

C (u, v ; t) = xl ,kE

[

e(u+v)Xt,t(l)

]

UO

P(t,T ) = e−r(T−t)L−1ε,z

(

(S(t))−(ε+z−1)

ε(ε − 1)zC (−z , 1 − ε; t)

)


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Conclusione

Petrella-Kou, 2004

Le quantita

al ,k(u) = E[euX+l,k ]

al ,k(u, v) = E[e(u+v)X+l,k ] + E[e−vX−

l,k ] − 1

sono note nei casi:

1 Black-Sholes

2 Merton

3 Kou DEJD


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Conclusione

Algoritmi basati su Spitzer

Ohgren (2001):

“Unfortunately, the method above does not seem to adjusteasily to more general cases... ”

Petrella-Kou (2004):

“However, analytical formulae may not be available forgeneral Levy-process models...”


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Conclusione

La Formula Finale!

E

[

e iξX+k

]

=

[

∫

Im η=ω−

1

η − ξp(−η)kdη−

∫

Im η=ω+

1

ηp(−η)kdη

]


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Conclusione

1− e−rψ(z) sull’asse immaginario

Imz

Rez

σ+

σ−


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Conclusione

Zeri di: 1− e−rψ(z)

−5 0 5 10 15−0.1

0

0.1

Gaussian: σ+ = 10

−4 −2 0 2 4−0.6−0.4−0.2

0

NIG: σ+ = 1.4808

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

Meixner: σ+ = 1.6995

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

Variance Gamma: σ+ = 1.923

−50 0 50 100 150−1

012

CGMY: σ+ = 117.211

−4 −2 0 2 4−0.2

0

0.2

Merton Jump Diffusion: σ+ = 1.1111

−2 0 2−0.3−0.2−0.1

0

DEJD (Kou): σ+ = 0.77744


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Conclusione

La Fattorizzazione di Wiener-Hopf in Probabilita

Equazioni Integrali e WH

... = φ−(z) · φ+(z)Im z

Re z

φ+

φ−


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Conclusione

WH e Probabilita

Processi stoppati stocasticamente {Xτ(q)}:

E[e iξXτ(q) ] =∞∑

n=0

qnE

[

e iξXn

]

φ+q (ξ) = E[e iξMτ(q)] and φ−q (ξ) = E[e iξNτ(q)]

Possiamo scrivere:

E[e iξXτ(q) ] = φ+q (ξ)φ−q (ξ)


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Conclusione

WH e probabilita

[Spitzer, 1961]

Le identita Spitzer :

E[e iξMτ(q) ] = exp

[

∞∑

k=1

qk

k

∫ ∞

0(e ixξ − 1)dP(Xk < x)

]

E[e iξNτ(q) ] = exp

[

∞∑

k=1

qk

k

∫ 0

−∞

(e ixξ − 1)dP(Xk < x)

]


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Conclusione

E[e iξMτ(q) ] = exp

[

∞∑

k=1

qk

k

∫ ∞


]

∞∑

n=0

qnE

[

e iζMn

]

= exp

{

∞∑

k=1

qk

kEe iζX+

k

}


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Conclusione

Integrali su linee parallele all’asse reale

z = e−r :

E

[

e iξX+k

]

=

∫ ∞


Processi di Levy

⇓Incrementi stazionari e indipendenti

=

∫ ∞

0(e iξx − 1)

[

1

2π

∫ ∞

−∞

e ix(−η)p(−η)kdη]

dx


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Conclusione

1− e−rψ(z)

Imz

Rez

σ+

σ−

ω+

ω−

Figure: Questa e la caption alla figura 2


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Conclusione

Integrali su linee parallele all’asse reale

=

∫ ∞

0

[

1

2π

∫

Im η=ω−

e iξxe−ixηp(−η)kdη−

− 1

2π

∫

Im η=ω+

e−ixηp(−η)kdη]

dx

scambiando gli integrali

=1

2π

∫

Im η=ω−

∫ ∞

0e iξxe−ixηp(−η)kdxdη−

− 1

2π

∫

Im η=ω+

∫ ∞

0e−ixηp(−η)kdxdη


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Conclusione

La Formula Finale!

E

[

e iξX+k

]

=

[

∫

Im η=ω−

1

η − ξp(−η)kdη−

∫

Im η=ω+

1

ηp(−η)kdη

]


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Conclusione

La Formula Finale!

E

[

e iξX+k

]

=

[

∫

Im η=ω−

1

η − ξψ(η)kdη −

∫

Im η=ω+

1

ηψ(η)kdη

]

E

[

e iξX−k

]

=

[

−∫

Im η=ω+

1

η − ξψ(η)kdη+

∫

Im η=ω−

1

ηψ(η)kdη

]

[Boyarchenco and Levendorkii, 2002] [Broadie et al., 1999][Broadie and Kou, 1997] [Lewis, 2004] [Lewis, 2001][Ohgren, 2001] [Petrella, 2004] [Petrella and Kou, 2004][Spitzer, 1961] [Vanini, 2004] [Cardi, 2005] [Fusai et al., 2004]


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Conclusione

k analytic E[e iξB+k ] numerical E[e iξB+

k ] difference

1 0.87782278343426 0.87782278343455 -0.000000000000292 0.83577757446810 0.83577757446854 -0.000000000000443 0.80617190033133 0.80617190033890 -0.000000000007574 0.78278141617820 0.78278141617848 -0.000000000000285 0.76324280370859 0.76324280370965 -0.00000000000106

Table: ak(ξ) = E[e iξB+k ] for the Gaussian case. Input: T = 0.5,

Number of monitoring points 5 , σ = 0.3, ξ = 1− log(110).


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Conclusione

k analytic E[e iξB− ] numerical E[e iξB− ] difference

1 0.89352598535555 0.89352598535557 -0.000000000000022 0.86429456378550 0.86429456378548 0.000000000000023 0.84604480173344 0.84604480173329 0.000000000000144 0.83300614419979 0.83300614419965 0.000000000000145 0.82305636322408 0.82305636322406 0.00000000000002

Table: E[e iξB− ] for the Gaussian case. Input: T = 0.5, Number ofmonitoring points 5 , σ = 0.3, ξ = 1− log(110).


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Conclusione

Put

n σ = 0.10 σ = 0.20 σ = 0.30

10 4.20468056525336 10.59460313333327 17.34910882375562

30 4.86792952368156 12.03367817596059 19.65941471775765

100 5.31985169541340 13.01165129340483 21.23460658865779

300 5.56402591814908 13.53937513293022 22.08631083500791

Call

n σ = 0.10 σ = 0.20 σ = 0.30

10 8.83518721626445 14.46609906269501 19.95764301546442

30 9.40970410920419 15.55524746635460 21.48235237352177

100 9.79749056593374 16.28195801471793 22.49384538258913

300 10.00582824163011 16.66978681300572 23.03180762445684

Table: Put and Call prices for floating lookback options. This table isthe same of Ohgren [Ohgren, 2001], Pg.142. Input:S0 = 100; r = .05;T = 1;


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Put

n Black-Scholes Merton Kou DEJD

10 17.34910882671792 16.39613923407135 18.35260723016699

30 19.65941471927584 18.27011379734931 20.27819269349862

100 21.23460658988514 19.47602651445994 21.51111543092870

300 22.08631083665928 20.10240569863853 22.15001377332033

Call

n Black-Scholes Merton Kou DEJD

10 19.95764301535237 19.24576600265106 20.82120430733122

30 21.48235237345197 20.50269865247775 22.05799484586167

100 22.49384538252234 21.29590701093257 22.83662777861054

300 23.03180762437372 21.70354250271478 23.23650206759529

Table: Floating Lookback prices for jump diffusion models:Black-Scholes , Merton and Kou (see [Petrella and Kou, 2004]).


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Model Parameters

C G M Y

CGMY 0.0244 0.0765 7.5515 1.2945

C G M

VG 1.3574 5.8704 14.2699

α β δ

NIG 6.1882 3.8941 0.1622

σ

Black-Scholes 0.165

Table: Calibration for the Table 6


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Put

n Black-Scholes NIG CGMY

5 9.26080651558372 9.34060131449836 9.27271680665255

10 9.85167798704070 9.61912467407674 9.59885022297349

100 10.97935297302969 9.98209750748292 10.10135246078903

300 11.22250621309046 10.02426611438069 10.17799769838034

Call

n Black-Scholes NIG CGMY

5 4.63122490703527 4.68769701758904 4.02397064400120

10 5.32100048373392 5.02142452933487 4.40677395882931

100 6.66048075670684 5.45633541894355 4.99849839945070

300 6.95314475686211 5.50667990687024 5.08877824404426

Table: Floating Lookback prices for Levy processes:Black-Scholes ,NIG and CGMY calibrated as in the Table 5


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Conclusione

Opzioni Esotiche e WH

P.I.D.EEquazioni Integrali

Algoritmi Ricorsivi Approccio di Lewis

W-H


Boyarchenco, S. and Levendorkii, S. (2002).

Non-Gaussian Merton-Black-Scholes Theory.

Advanced series in statistical science and applied probability.World Scientific Press.

Broadie, M., G. P. and Kou, S. (1997).

A continuity correction for discrete barrier.

Mathematical Finance, 7:325–49.

Broadie, M., Glasserman, P., and Kou, S. G. (1999).

Connecting discrete and continuous path dependent options.

Finance and Stochastic, 3:55–82.

Cardi, G. G. (2005).

Exotic Options Under Levy Processes.

Ph.D. Dissertation.

41

Fusai, G., Abrahams, D. I., and Sgarra, C. (2004).

An exact analytical solution for discrete barrier options.

(Forthcoming: Finance and Stochastic).

Lewis, A. (2001).

A simple option formula for general jump-diffusion and otherexponential Levy processes.

Wilmott Magazine.

Lewis, A. (2004).

Wiener-Hopf factorization and the Baxter-Donkster formula.

Wilmott Magazine.

Ohgren, A. (2001).

A remark on the pricing of discrete barrier options.

Journal of Computational Finance, Volume 4(3).

42

Petrella, G. (2004).

An extension of the Euler Laplace transform inversion algorithmwith applications in option pricing.

Operations Research Letters, 32:380–389.

Petrella, G. and Kou, S. (2004).

Numerical pricing of discrete barrier and lookback options viaLaplace transforms.

The Journal of Computational Finance, 8(1).

Spitzer, F. (1961).

Principles of randon walks.

Van Nostrand, Princeton.

Vanini, P. (2004).

Mathematical Methods for Stochastic Volatility Modelling.

FINRISK - University of Southern Switzerland.

43

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