Curso de Relatividad Especial

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Enfoquedelcurso

ElpresentecursodeRelatividadEspecialest dirigidoaalumnosuniversitariosqueestnenlaetapadeformacinbsica.Se presuponequeyatienenconocimientosdeMec nicadeNewton,ElectricidadyMagnetismo,yC lculoDiferencial,peronohan cursadoMecnicaAnalticaniClculoTensorial. Enconsecuencia,nosepresentar laTeoradeRelatividadEspecialenelespaciodeMinkowski(formulacintensorial),nise usar nherramientaspropiasdelamec nicaanalticaengeneral,salvoenciertostemasparticularesquesernincluidosenuna carpetaintituladaTemasEspeciales. Nopienseellectorqueesteenfoquerepresentaunap rdidaconceptualdelateor a.Enalgunosaspectospodr serms laboriosoparaobtenerconclusiones,peroelcontenidoprofundoycompletodelateor apuedeserdescritototalmenteconeste formalismo. EsopinindelautorquelaTeoradeRelatividadEspecialdebeserincorporadaenlaense anzasecundaria,paralocualeste cursopuedeservaliosoparalaelaboraci ndelabibliograf aadecuadaenesenivel.

BibliografaLasiguientebibliograf aeslarecomendadaparaprofundizarelestudiodelateora. 1. 2. 3. C.Mller"TheTheoryofRelativity",Oxford,1952. A.Logunov"CursodeTeoradelaRelatividadydelaGravitacin",URSS,Mosc,1998. W.Pauli"TheoryofRelativity",PergamonPress,NewYork,1958.

Contracci n espacialy Dilatacin temporal Cinem tica relativista Cantidadde movimiento Dinmica relativista TrabajoyEnerg a

Notaimportante.Enlosltimosveinteaossehageneradounadiscusi nentornoalusodela masarelativista.Enparticular,losfsicose investigadorescuyal neadetrabajoespart culaselementalessuelenrechazarelusodedichamagnitudrelativista,porlocual hayunatendenciageneralaevitarsuinclusi nenartculosdeinvestigacin. Locontradictoriodeestaposturaesqueparaevitarelusodelamasarelativistasedebemodificarladefinicindelacantidadde movimientoylimitarlavalidezdelPrincipiodeEquivalenciaentremasayenerga.Todoellopuedehacersevlidoperoresulta mscomplicadoy,sindudaalguna,esuncapricho. Estaposturaarbitrarianotienefundamentosyaqueelusoadecuadodelamasarelativistanoimplicaerroralguno,niconceptual nideclculo.Msan,encualquierformulacintericalavariacindelamasaconlavelocidad(masarelativista)surge naturalmenteparalaconservaci ndelacantidaddemovimiento(sinmodificarsudefinici n)ydavalidezgeneralalPrincipiode Equivalenciaentremasayenerga. EnlaCarpetadeTemasEspecialesseincorporarntrabajosin ditoscondesarrollosquemuestranlanecesidadyutilidad

Principiode Equivalencia

conceptualdelamasarelativista. Quedaclaroqueenestecursousaremosmasarelativistayladefinicinclsicadecantidaddemovimiento.

Complementosde Energa MasaPropiay Potencia Problemas TemasEspeciales

IntroduccinEn1905AlbertEinstein(18791955),queeraunempleadot cnicodeunaoficinadepatentesenSuiza,publicenunarevista cientficaalemanaeltrabajodenominado Sobrelaelectrodinmicadeloscuerposenmovimiento. EnestesingularyextraordinarioartculoseplantealainconsistenciaderesultadosobtenidosconlasecuacionesdeMaxwellen laresolucindeconocidosproblemaselectromagn ticosparacuerposenmovimiento. Lasolucinpropuestaparadilucidaresacuesti nconsistienunarevisincompletaylamodificacinprofundadelosconceptos msbsicosdelconocimiento,el espacioyeltiempo,yresultlaformulacininicialdelaTeoradeRelatividadEspecial. EstoscambiosconceptualesresultancomoconsecuenciadeldesarrollodelaTeora,elaboradaparasistemasinerciales,apartir dedosPostuladosbasadosenhechosexperimentales.Unoestablecequecualquierfen menonaturalrespondealamismaley entodoslossistemasinerciales,yelotropostulalaconstanciadelavelocidaddelaluzenelvacoparatodoslosobservadores. Elprimerpostuladoestablecelaimposibilidaddedistinguirentreelreposoyelmovimientorectilneouniforme,enelsentidoque sonestadosdemovimientonaturalesequivalentes,haciendoinconsistentelaexistenciadeunsistemadereferenciaabsoluto,y ademsproveelaherramientaoperativafundamentalparaencontraryvalidartodaslasleyesrelativistas. ElsegundopostuladoafectadirectamentelaTeor adeRelatividaddeGalileo,publicadaen1637yaceptadacomouna formulacindevalidezuniversal,conconsecuenciasdirectasenlamec nicadeNewton,madredetodaslasteor asfsicas existentes. LaTeoraformuladaenesetrabajocient ficoesdeunabellezainusualenlaF sicaTerica,particularmenteporlasencillezdel clculorequeridoysusconsecuenciasenlosconceptosm sarraigadosenelconocimientodelmomento.Estasimplezaenel clculonoesrepresentativadelasgrandesdificultadesconceptualesqueencierrasuestudio,querequieremodificarelconcepto previamenteadquiridosobreelespacioyeltiempo. Enelao1916Einsteinpresent laTeoradeRelatividadGeneral,luegodelfracasoporincorporarelcampogravitatorioenla RelatividadEspecial.Estetemasertratadoposteriormente. LaformulacinydesarrollodelaRelatividadGeneralconducenaunaecuacintensorialdesegundoordennolineal,parael campogravitatorio,sinlograrseunasoluci ngeneraldelamisma.Apesardeellosuaplicaci nencasosparticularesdio resultadosyprediccionesdetantaimportancia(conocidoscomo curvaturadelaluz,corrimientoalrojoydesplazamientodelperihelio deMercurio),queprcticaylamentablementeseabandonaronotraslneasdeinvestigacindelcampogravitatorio. LaTeoraGeneraldeRelatividaddeAlbertEinstein,queesencialmenteesunateor adegravitacin,hasidoelmodeloseguidopor variasTeorasCosmol gicasactuales.Noobstante,enlos ltimosaosresultadosexperimentalesnocompatiblesconlas prediccioneste ricashangeneradounaincipienteresistenciaaestemodelof sicomatemtico.Enestesentidoesinteresante reconocerlaexistenciadeotrasteor ascompetitivas,entrelasquesedestacalaTeoraRelativistadeGravitacin(2002)del notablef sicorusoAnatolyAlekseyevichLogunov.

resultadosyprediccionesdetantaimportancia(conocidoscomo curvaturadelaluz,corrimientoalrojoydesplazamientodelperihelio deMercurio),queprcticaylamentablementeseabandonaronotraslneasdeinvestigacindelcampogravitatorio. LaTeoraGeneraldeRelatividaddeAlbertEinstein,queesencialmenteesunateor adegravitacin,hasidoelmodeloseguidopor variasTeorasCosmol gicasactuales.Noobstante,enlos ltimosaosresultadosexperimentalesnocompatiblesconlas prediccioneste ricashangeneradounaincipienteresistenciaaestemodelof sicomatemtico.Enestesentidoesinteresante reconocerlaexistenciadeotrasteor ascompetitivas,entrelasquesedestacalaTeoraRelativistadeGravitacin(2002)del notablef sicorusoAnatolyAlekseyevichLogunov. ElpresentetrabajosobrelaTeoradeRelatividadEspecialest concebidocomounenfoquef sicoparalaense anzaenunprimer niveluniversitario,prestandoespecialatenci nalordenylaformaenquedebensertratadoslosdistintostemas,queenmuchos casosdifierendelabibliograf ausual. Porrazonesdid cticasvariosaspectossontratadosdemaneradistintaalenfoqueoriginal,incluyendodiscusionesconceptuales ydeduccionespropias. Lostemasatratarser n: 1SistemasInerciales 2RelatividaddeGalileo 3PostuladosdelaTeor adeRelatividadEspecial.Fundamentacin 4TransformacionesdeLorentz 5Simultaneidad.Causalidad 6ContraccinEspacialyDilatacinTemporal 7CinemticaRelativista.EfectoDoppler 8Cantidaddemovimiento.MasaRelativista 9DinmicaRelativista.Fuerzas 10TrabajoyEnerga 11PrincipiodeEquivalenciaentreMasayEnerga 12ComplementosdeEnerg a 13MasaPropiayPotencia Esteordenenlaformulaci ndelateor aesbeneficiosopues,comoveremos,evitaelaborarargumentacionescomplicadas usandovarillas,relojes,hacesluminososyespejos,comosuelefigurarenlabibliograf aconvencional,incluidoelgenialtrabajo originaldeEinstein,enunintentodeelaborarconceptosnuevossobreelespacioyeltiempo. ___________________________________ Sigue>SistemasInerciales

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SistemasInerciales

Ladescripcindelmovimientodeuncuerporequiereineludiblementelaintroduccindeunsistemadecoordenadasespaciales quepermitanidentificarunvocamentecadapuntodelespaciofsicodeinters,yunacoordenadatemporalquepermita determinarelordencronolgicodesucesosencualquierpuntodelespacio.Aesteconjuntodecoordenadasespaciotemporalse lodenominasistemadereferencia. Elnmerodecoordenadasespacialesnecesariasdepender delosvnculosdelsistemafsico.Porejemplo,cuandoel movimientoestlimitadoaunasuperficie,talcomosucedeconobjetossobreunamesa,bastar con2coordenadasespaciales. Histricamente,hastaeladvenimientodelaTeoradeRelatividadEspecial,seaceptquelacoordenadatemporaleralamisma paratodoslossistemasdereferenciaposibles,loquelahacaindependientedelaposicinydelestadodemovimientorelativo entrediferentessistemasdereferencia. Porotrolado,ladescripcindelosfen menos(leyes)yelvalordelasmagnitudesinvolucradasresultabandiferentes dependiendodelsistemadereferenciaelegido,dandolugaradistintosgradosdedificultad. FuelaobradeGalileo( DilogosacercadeDosNuevasCiencias)laquepermitiasumirlaexistenciadeungrupoparticularde sistemasdereferencia,llamados inercialesogalileanos,enlosquelosfenmenosmecnicossucedandelamismamaneraylas leyestomabanlaformamatemticamssimpleposible. Galileoestableci ,atravsdesusnotablesobservacionessobrereposoymovimientorectilneouniformedecuerposlibresde fuerza,queerandosestadosdemovimientoequivalentes,relativosalobservador. Supongamostenerdoscuerpos,unoenreposoyelsegundoenmovimientorectil neouniforme,respectodeunobservadorO. ParaotroobservadorO'quesemovieraconlamismavelocidaddelsegundoobjeto, steestar aenreposoyelprimero,que supusimosenreposo,ahoratendr aunmovimientorectilneouniforme. Adems,postulqueenestosprivilegiadossistemassecumplaquelosfen menosmecnicossuced andelamismaforma, respondiendoalasmismas(id nticas)leyes,porlocualnoeraposibledistinguirmedianteexperienciasmecnicascualdeellos estabaenreposoycualenmovimiento. IsaacNewtonledioformaaestosconceptosatravsdelPrincipiodeInercia,cuyosignificadoprofundoespostularla equivalenciaentresistemasinerciales. Existendosdefinicionesdesistemasinercialesdeusocotidianoquesonaceptadasenformarecurrente.Laprimeradeellas (histricamente)eslaqueestablecequecualquiersistemadereferenciaqueestenreposorespectodelasestrellasfijasesun sistemainercial.Lasegundapostulaqueun sistemainercialesaquelenelquelasleyesdelafsicaadoptanlaformamssimple posible.Ambasdefinicionesadolecendeinconsistenciasy/ofaltaderigorcient fico. Analicemosbrevementeambasdefinicionestratandodeestablecersisonoperativasyfuncionales. Laprimerahacemencindeestrellasfijas.Obviamenteestoesunareminiscenciadelmodelodelteryelsistemaabsoluto,que tuvovigenciahastaeliniciodelsigloXX.Asumiremoscomoestrellasfijasaaquellasqueest ntanalejadasquesu movimientorelativosehaceimperceptibleasimplevista,esdecirqueladistanciaaparenteentreellaspermaneceinvariable. Enestecasoladefinicinresultaadecuadaparalossistemasdereferenciaquerotanrespectodeellas,dadoquetodosellos sonnoinercialespuesaparecenfuerzas,denominadasficticias(centrfugaycoriolis),queprovocanquenosecumplaninguno delostresPrincipiosdelaMecnicadeNewton. Sinembargo,ladefinicinfallasisetratadediscriminarentredossistemasdereferenciaque,sinrotarrespectodelasestrellas alejadas,tienenaceleraci nrelativarectilneaentreellos,pueslaposicinaparentedelasestrellasalejadasnosufrealteraci n perceptible,salvoquelasvelocidadrelativaentrelossistemasdereferenciaseamuyelevadaocercanaalavelocidaddelaluz, encuyocasosedetectar nmodificacionesdeposici ndelasestrellasalejadas. Enresumen,conestadefinici nnoesposibledeterminar(operativamente)siunsistemaesinercialono. Laotradefinicinhacereferenciaaunconceptosubjetivo,talcualeslodelaformam ssimpleposible.Estemerohechohace queladefinicinnoseaprecisaaunque,desdeunpuntodevistadid ctico,talvezsealamsrecomendablesiselaexpone adecuadamente. Engenerallasimplezaqueadoptanlasleyesdependedelfen menoparticularalcualseapliquen.Ntese,porejemploen fuerzascentrales,elcl sicoproblemadedoscuerposqueseatraen.Porconservaci ndemomentoangularelmovimientode amboscuerpossucedeenunplano.Siusamosunsistemadereferencia(noinercial)querotaconunaadecuadavelocidad angularyconsuorigenenelcentrodemasadelsistemadedoscuerpos,seobtieneunproblemaunidimensionaldeuna nica masaenuncampodefuerzascentrales,mucho mssimplederesolveryanalizar(v aseGoldstein. MecnicaClsica,Cap. III). Unadefinicinmsprecisaeslasiguiente:sistemadereferenciainercialestodosistemaqueestenreposoocon movimientorectilneouniformerespectodeunobjetomaterialsobreelcualnoactafuerzaalguna,cualquieraseasu posicinenelespacio.Ladificultad(insalvable)deestadefinicinest enlaimposibilidadfsicadedisponerdeuncuerpolibre deinteracciones. Alnocontarconunadefinicinqueoperativamentepermitadeterminarsinambig edadsiundadosistemadereferenciaes inercialono,debeconsiderarsequelaexistenciadesistemasdereferenciainercialesesunaabstracci nquenopuedeser demostradaexperimentalmente. ElPrincipiodeInerciafueelaboradoenuna pocaenqueseasum aquelasinteraccionesentrecuerposeranporcontactoopor accionesadistancia ,avelocidadinfinita.NoestabadesarrolladalaTeor aelectromagn ticadeMaxwellnilanocindecampo comounentefsicoreal. LosexperimentossobrefriccinrealizadosporGalileomostraronquesiunaesferasehacarodarsobreunatablahorizontalella llegaramslejossilassuperficiesestabanpulidasylustradas. PorelloGalileo,contradiciendolasideasaristotlicas,asever quelafriccineralaquefrenabaalaesfera,quesinohubiera rozamientonoser anecesarioestarempuj ndolaparamantenersuvelocidadyelcuerposeguir aconmovimientorectilneo uniformeeternamente.Peroenestecasotendr amosunmovimientosinquehubieraunaacci naplicadaenladirecci ndel movimiento,condicinidnticaaladeloscuerposenreposo.

comounentefsicoreal. LosexperimentossobrefriccinrealizadosporGalileomostraronquesiunaesferasehacarodarsobreunatablahorizontalella llegaramslejossilassuperficiesestabanpulidasylustradas. PorelloGalileo,contradiciendolasideasaristotlicas,asever quelafriccineralaquefrenabaalaesfera,quesinohubiera rozamientonoser anecesarioestarempuj ndolaparamantenersuvelocidadyelcuerposeguir aconmovimientorectilneo uniformeeternamente.Peroenestecasotendr amosunmovimientosinquehubieraunaacci naplicadaenladirecci ndel movimiento,condicinidnticaaladeloscuerposenreposo. Siaestosconceptosleagregamossusdisquisicionessobrec mosucedenlosfen menosmecnicos(cadadeloscuerpos) sobreunbarcoquesedesplazasuavementeenl nearectaysinaceleraciones,obtenemoselsignificadodelPrincipiodeInercia, estoesquelossistemasinercialessonequivalentesyquenohaymaneramecnicadedistinguircualdelosdosestenreposo oenmovimiento.Todaslasleyesdelamec nicatienenlamismaformaendichossistemasylasmagnitudesinvolucradas,cuyo valorpuedeserdistintoendossistemasinerciales,serelacionanatrav sdelasTransformacionesdeGalileo. ActualmenteelPrincipiodeInerciatieneunasignificacinmsgeneralenvirtuddelconocimientoqueseagregdurante400 aos.EnprimerlugarEinsteinloextendi atodoslosfen menos,esdecirquetodaslasleyesdelaf sicatienenlamismaforma enlossistemasinerciales.Adem s,luegodelaincorporacindelaaccinatravsdecampos,debidaaMaxwell,ylaconstancia delavelocidaddelaluzenelvac oparatodoslossistemasinerciales,semodific larelacinentreestossistemasqueahorase vinculanconlasTransformacionesdeLorentz. Lossistemasinercialespuedenserconsideradosunaproposici narbitrariayartificialgeneradaporeldesconocimientosobrelas leyesquecumplenlasinteraccionesdetipogravitatorio.Sisedispusieradeunmodelomatem ticoquedescribieraalcampo gravitatorioenunsistemainercialyseconocieranloscamposquegeneranlosobjetosmaterialesenmovimiento,lasfuerzas inercialestalescomolacentrfugayladecoriolis,queaparecenenlossistemasdereferenciaquerotanrespectodelasestrellas alejadas,podr ansertratadoscomoefectosprovocadosporlarotaci ndelamateria. Correspondeaclararqueelltimoenfoqueest encontradiccinaparenteconlaTeor aGeneraldeRelatividadpuesenellala gravitacinest ntimamenteligadaconelespacioyeltiempo,relaci nquesepierdealtrataralcampogravitatoriocomoun campoclsicocomoelelctrico.Noobstante,nodebemosolvidarquelasteorassonmodeloselaboradosparadescribirla realidadlomejorposible,quesernreemplazadospormodelossuperiores. Porltimo,cabepreguntarsesielconceptodeequivalenciadesistemasinercialesnopuedegeneralizarseatodoslossistemas dereferencia,inclusolosacelerados,postulandoquedossistemassonequivalentessielmovimientorelativoentreellosesa velocidadconstante,yenelloslasleyesconservanlaformaasumiendoquelossistemasserelacionanatravsdelas TransformacionesdeLorentz(uotrasadecuadas). Paraellodeber adisponersedelasecuaciones(leyes)quecorrespondenalasdistintasinteraccionesyloscampos correspondientes,incluidoslosgravitatorios,v lidasenunsistemayqueconservenlaformaanteTransformacionesdeLorentz. Lamentablementetenemosunadescripci ncompletasloparaelcasoelectromagntico(ecuacionesdeMaxwell). Laidearesultamuyinteresantepues,sifueraconsistente,permitiraaplicarlafsicarelativistadelaTeoradeRelatividad Especialencualquiersistemadereferencia. ___________________________________ Sigue>RelatividaddeGalileo

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RelatividaddeGalileo

LaprimeraTeoradeRelatividadfuedesarrolladaporGalileoGalilei(15641642),creadordelmtodocientfico,comoresultado desusestudiossobremovimientodecuerpos,rozamientoycadalibre. Ensusobras Dilogosobrelosprincipalessistemasdelmundo"(1632)yDilogosacercadeDosNuevasCiencias(1636),diolas caractersticasdelossistemasdereferenciainercialeso galileanos ,conunanotabledescripcindeexperimentosysu interpretaci nparadosobservadoresenmovimientorelativo,unodeellossobreunbarcoquesedesplazasuavemente(sin aceleracin),yelotroentierrafirme. Lasconclusionesobtenidaspermitenpostularensistemasinercialeslaequivalenciaentrereposoymovimientorectil neo uniformeparadosobservadoresenmovimientorelativo,sentandolasbasesdel PrincipiodeInercia. Asimismo,enuncilarelatividaddelastrayectoriasydelasvelocidadesdeobjetosrespectodelobservador.Veamoscomose desarrollaestaTeor a:

CadadeloscuerposLaprimerademostracinrigurosasobrequetodosloscuerposcaenconlamismavelocidadladioGalileomedianteun razonamientoporelabsurdo. Supongamostenerdoscuerposdedistintopeso,materialyforma,quelosdejamoscaerpartiendodelreposoenunsistema inercial.Deacuerdoalasideasaristot licaselmspesadocaer amsrpido,comomuestralafigura.

Ahorarealicemoslamismaexperienciaperoagregandounnuevocuerpoformadopordosobjetosid nticosalosiniciales, ligadosentresi(pegados).Paraestenuevoobjetodurantesuca daeldemayorpesoest siendofrenadoporelpeque o,que caemsdespacio,mientrasqueelpeque oest siendoaceleradoporelgrande,quecaemsrpido.Enconsecuenciaelnuevo cuerpocaerubicadoentreloscuerposoriginales,resultandounacontradiccinpueseselmspesado.La nicasolucinlgica posibleesquetodoscaiganconlamismavelocidad. Resueltoeltemaanterior,Galileoencardescubrirlaleydecada,esdecirencontrarlafuncinquepermitarelacionarlaposici n coneltiempodurantelacada. Paraello,siendoProfesorenlaUniversidaddePisa(1589),dise unmodeloexperimentalquecontemplabaobtenerun conjuntodeparesdedatoscorrespondientesaposici nytiempo,queobtendrasoltandoobjetosdesdelosdistintospisosdela TorredePisa.Ladificultadprincipalresultlamedicindeltiempodecada,queeraobtenidaconelpulsodeunabate.Los resultadosnoeranprecisosnirepetitivosynopermitieronobtenerlaley. Luegodelfracasoinicialdecidi determinarlostiemposutilizandouna clepsidra,queesunrecipienteconaguaquetieneuna canilladesalida(tapncnicodemadera).Elprocesodemedicindetiemposconsist aenabrirlacanillacuandosoltabael cuerpoycerrarlacuandoelobjetollegabaalpiso.Lamasadelvolumendeaguarecogidalodeterminabaconunabalanzayera proporcionalaltiempotranscurrido.Lamentablemente,estemtodotampocoresult losuficientementeprecisoparaasegurarun comportamiento,porlocualGalileoconcluyqueladificultadcentraldeesteproyectoeralarapidezconquecaanloscuerpos. Eranecesarioentoncesretrasarlaca dadeloscuerpos,esdecirlograrquecaiganmsdespacio.Luegodeunosimportantes estudiossobrefriccin,conesferasdemaderasobreunatablalustrada,desarroll elplanoinclinadocomodispositivopara retrasarlarapidezdelaca dadeloscuerpos.Noresultapretenciosoasegurarqueel PlanoInclinadodeGalileofueelprimer aceleradordepart culasenlahistoria,yelmsimportante. Conesteavanceexperimentalobtuvounconjuntodepares( x,t)quepermitenhacerungrficodepuntos(x,t)yajustarleun polinomio,resultandoqueunapar bolaesadecuadaparadichoajuste.LaleyobtenidaporGalileofue: Siendoeelespaciorecorridoenuntiempo t,conaceleracinconstante a. Nota:Sugieroallectorqueanaliceporqu elpolinomiodeajustenopuedeserdegradoimpar. Esmuyinteresantedescribir,deacuerdocondatoshistricos,algunosaspectossobrec moGalileoobtuvolaleydecadadelos cuerposconelplanoinclinado(actividadesrealizadasenlaUniversidaddePaduaapartirde1592). Sibienestedispositivopermiteretardarlaca dadisminuyendoal nguloqueelplanoformaconlahorizontal,dicho ngulono pod asermuychicopues,enesecaso,elrozamientosehar aimportanteynopodr adespreciarse. Porotrolado,ladeterminacindelosintervalosnoerasimple,yaquela clepsidranobrindabalaprecisi nsuficienteylosdatos depruebasrepetidaspresentabangranvariabilidad,noresultandoadecuadoparaelobjetivopropuesto. Aunqueresulteincre ble,Galileodecidiusarunpnduloparamedirlostiempos...,yunametodologagenial. Determinarconprecisinlapsosbrevesconunp ndulosuenaadisparate,amenosquedichoslapsosseinicienyterminen exactamentecoincidentesconlabolitadelpnduloenunextremodelaoscilacin,pueselloesunacondici nfcilmente distinguibleyprecisa. Porejemplo,siconelpndulooscilandosesueltalaesferaenelplanoinclinado(iniciodelacada)exactamenteenelinstante

depruebasrepetidaspresentabangranvariabilidad,noresultandoadecuadoparaelobjetivopropuesto. Aunqueresulteincre ble,Galileodecidiusarunpnduloparamedirlostiempos...,yunametodologagenial. Determinarconprecisinlapsosbrevesconunp ndulosuenaadisparate,amenosquedichoslapsosseinicienyterminen exactamentecoincidentesconlabolitadelpnduloenunextremodelaoscilacin,pueselloesunacondici nfcilmente distinguibleyprecisa. Porejemplo,siconelpndulooscilandosesueltalaesferaenelplanoinclinado(iniciodelacada)exactamenteenelinstante enquelaoscilacincambiadesentido,yluegoselograquelaca dadelaesferaconcluyaconelpnduloenidnticaposicinal cabodeunper odocompleto,elerrordemedici nseminimiza. Luegoserepiteelm todoparadosper odos,yas sucesivamente. Obviamente,sedebenseleccionarlosespaciosrecorridosenelplanoinclinadoparaquesecumplalacondici nanterior,para1, 2,3,...,noscilaciones.ParaelloGalileousuntopemvildemaderayajustsuposicincorrectadelfinaldelacadaque corresponda,conelsonidodelchoqueentrelaesferayeltope,coincidenteconlaposicindelpnduloenunextremodela oscilacin. Asobtuvolaleydeca dadeloscuerpos,queinicialmentesellamlaLeydelosnmerosimpares,debidoaquelosespacios recorridosencadaoscilaci ndelpnduloten anesasucesi nnumrica(verfigura).

Dadoquelasumadelos nprimerostrminosdelasucesindenmerosimpareses n 2,seobtienequeelespaciorecorridoes directamenteproporcionalalcuadradodeltiempo.

TransformacionesdeGalileoSeandossistemasdereferenciainerciales(OyO ).LlamaremosV(enmayscula)alavelocidadrelativaentreellos, v (en minscula)lavelocidaddeunobjetorespectodeO,yv lavelocidadrespectodeO .Lascoordenadasespaciales x,y,zse refierenalsistemadeO,siendo x,y,zlascorrespondientesalsistemadelobservadorO. Engeneral,todaslasvariablesnoprimadascorrespondernalsistemaOylasprimadasalO . Supongamosqueenelinstanteinicialambossistemascoinciden.Paraunamejorvisualizaci nlosesquemastendr nalsistema OdebajodelO,yporsimplicidadsupondremosarbitrariamentequeelOestenreposoyelO convelocidadconstante Venla direccindelejex. SupongamosunobjetoenreposoenO.ParaunobservadorfijoenO esteobjetosemueveconvelocidad v'= Vconmovimiento rectilneouniformeseg nelejex. LaposicindelobjetoparaO irvariandoseg nlarelacinx'=xVtpuesVesconstante. Engeneral,larelacinfuncionalentrelascoordenadasdeambossistemas,conocidascomoTransformacionesdeGalileo,ser n:

Lacoordenadatemporaleslamismaenambossistemas. EstastransformacionessonlabaseconceptualquefundamentanlaDinmicadelpuntomaterial,desarrolladaporNewton.

RelatividaddelastrayectoriasSedejacaerunobjetopartiendodelreposoyconcoordenadasiniciales(x0 ,y0 ,0),enelsistemaO. Sutrayectoriaesrectilneaendichosistema,comomuestralafigura,ysepretendedeterminarc moesparaunobservadoren O.

EnelsistemaOelmovimientodelcuerpocumplecon

EnelsistemaO latrayectoriaestardadaenformaparam trica,luegoderesolverlasrelaciones

EnelsistemaOelmovimientodelcuerpocumplecon

EnelsistemaO latrayectoriaestardadaenformaparam trica,luegoderesolverlasrelaciones

Resolviendoestesistemadedosecuacionesseobtienelaformaexplcita

Estaeslaecuaci ndeunapar bolainvertidacomomuestraelgr fico.

Laconclusinesquelatrayectoriadeunobjetoesrelativaalsistemadereferencia.Loqueesunaca dalibrerectilneaparaun observadorser unarcodepar bolaparaotroenmovimientorespectodelprimero. Unejemplointeresanteycotidianoloofrecelalluvia.Asumamosqueest lloviendoynohayviento.Paraunobservador en reposo lalluviacaeverticalmente,mientrasqueparaunobservadorenmovimientoconvelocidadconstantelastrayectoriasde lasgotasdeaguasonrectasinclinadascomomuestralafigura.

SedejaplanteadodemostrarquelastrayectoriasparaO nosonarcosdepar boladebidoaquelasgotasnocaenenca da libre(MRUV)sinoavelocidadconstanteporlafriccinconelaire.

TeoremadeadicindevelocidadesEsteimportanteTeoremafuedemostradoporGalileoenuna pocaenquea nnoseconocanlasderivadas. Elproblemaconsisteendeterminar,paraunmismoobjeto,comoserelacionanlasvelocidadesquelemidendosobservadores inercialesenmovimientorelativo.Sudemostracinesmuysimpleysusconsecuenciaseranmuyconocidaspuesseloaplicaba cotidianamente.Porejemplo,parasubirseauncarroenmovimientolomejorescorrerhastaponerseenreposorespectodel carro. LaimportanciadeesteTeoremaradicaenqueGalileomostrmatemticamentesuvalidezentodoslossistemasinerciales. ConlasTransformacionesdeGalileopodemosrelacionarfcilmentelasvelocidadesdeunmismoobjetomedidasdesdeOyO , resultando: TeoremadeAdicindevelocidades

Esdecir:

Laconclusinesquelavelocidaddeunmvilesdiferenteparados observadoresenmovimientorelativo.

LasaceleracionessonabsolutasSiendolaaceleraci ndeunpuntomaterialladerivadadesuvelocidadrespectodeltiempo,resultamuysimpleencontrarqu valortendrendossistemasinercialesenmovimientorelativo.DerivandolaexpresinobtenidaenelTeoremadeadicinde velocidades,obtenemos:

Siendolaaceleraci ndeunpuntomaterialladerivadadesuvelocidadrespectodeltiempo,resultamuysimpleencontrarqu valortendrendossistemasinercialesenmovimientorelativo.DerivandolaexpresinobtenidaenelTeoremadeadicinde velocidades,obtenemos:

Laaceleracindeunpuntomateriales absoluta,esdecirquesuvaloreselmismomedidoencualquiersistemadereferencia inercial. Esteresultadojuntoalainvarianciadelamasadeunpuntomaterialfundamentalaaseveracindequenohayposibilidadde determinarcualsistemaest enreposoycualenmovimientomedianteexperimentosmec nicos,pueslasmagnitudesFuerza, MasayAceleracinsonabsolutas. ___________________________________ Sigue>PostuladosdelaTeor adeRelatividad

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PostuladosdelaTeoradeRelatividadFundamentacin

SupongamostenerunafuenteluminosaenreposorespectodeunobservadorO 1 enunsistemainercial,yotrosdos observadoresenmovimientorelativoconstanterespectodelprimero,talqueelO 2 seacercayelO 3 sealeja,comomuestrala figura.

LostresobservadoresmidenlavelocidaddelaluzprovenientedeS. Asumiendoqueest nenelvacoelobservadorO 1 midec(300.000Km/seg). DeacuerdoalaTeoradeRelatividaddeGalileo,aplicandoelteoremadeadici ndevelocidades,elobservadorO 2 deber amedir c+V,yelO 3 mediracV. Unaseriedeexperimentospticosmuyprecisos,realizadosconuninterfermetroporlosinvestigadoresnorteamericanos MichelsonyMorley,dieronreiteradamentecomoresultadoquelostresobservadoresmidenlamismavelocidadC. Anteestehechoseplanteandossolucionesposibles: 1Lamedicinest malrealizada. 2LastransformacionesdeGalileosonincorrectas. Resultaobvioqueloscient ficosespecialistasdela pocaseinclinaronmasivamenteporlaopci n1,pueslaotraimplicala invalidezdelsoportedelamecnicadeNewton. Unodelosintentosm selaboradoquetuvoaceptaci nparcialfuehechoporH.Lorentz(18531928),quepropusoquedado quecualquierequipamientoqueseuseparamedirvelocidaddebeinexorablementemedirespacioytiempo,elmovimiento relativoentreobservadores,respectodel" ter"enunsistemadereferencia"absoluto",provocabamodificacionesf sicasensus respectivosequipos,talesquelosespaciosrecorridosylostiemposempleadossedeterminabanconerror.Completsus argumentosfundament ndolosconsuTeor adelelectrn(publicadauntiempodespu s)yhaciendoelclculodelas modificacionesespacialesytemporalesquedeb asufrireldispositivo,encontrandolasrelacionesdeespacioytiempoenfuncin delavelocidaddelobservadorrespectodelafuente.EstasleyesseconocieroncomoTransformacionesdeLorentz. Notodosloscient ficoscompartanestapostura.Existeunaan cdotaatribuidaalgranf sicomatemticofrancsHenriPoincar (18541912),quehabradicho:Esmsprobablequeseaunerrordecuentacadavezquelahicieron,queseaciertalapropuestade Lorentzdeerroresinteligentes. Enelao1900Poincarhaceconocersuan lisissobrelaproposici ndeLorentz,indicandoque"silaTeoradeLorentzes correctahabraqueabandonarprobablementealgunosprincipiosdelamecnicanewtoniana".Agrega:"lateoradelelectrnnoslo violaelprincipiodeaccinyreaccinsinolaconservacindelmomento"(Berkson,1981).Estoltimoeslaprincipaleinsalvable inconsistenciapueslaconservacindelmomentoera(ysiguesiendo)unprincipiouniversal.Sobreestetemavolveremosm s adelante. AlbertEinstein,queaparentementedesconoc alasTransformacionesdeLorentz,eligilaopcin2. Ensutrabajocientfico"SobrelaElectrodinmicadeCuerposenMovimiento",luegorebautizadocomoTeoradeRelatividad(por sugerenciadeMaxPlanck),dedujolastransformacionesespaciotemporalesquevinculabanadossistemasinerciales,que parad jicamenteresultaronserlasTransformacionesdeLorentz,aunqueconunainterpretacinabsolutamentediferente.

PostuladosdelaTeoradeRelatividadEspecialEnsutrabajooriginalEinsteinhaceinicialmenteunan lisissobresimultaneidaddeeventosylovinculaconlamedicinde distanciasytiempos,detallandounmtodoadecuadoparasincronizarrelojesendistintospuntosdeunsistemainercial,vlido bajocondicionesdeisotrop ayhomogeneidaddelespacioyuniformidaddeltiempo. Porrazonesdid cticasunanlisissobreespacioytiempolotrataremosporseparadoenestemismocaptulo. Aceptemos,porelmomento,queenunsistemainerciallamtricaestestablecidayeltiempoest sincronizado.Unobjetoen reposomidelomismoencualquierposici ndelespacioyorientaci ndelobjeto(homogeneidadeisotrop a),yuneventoo fenmenobajolasmismascondicionestardalomismoencualquierlugarymomentoenqueocurra(uniformidad). Lospostuladosde LaTeoradeRelatividadEspecialenunciadosporEinsteinson: 1. PrincipiodeRelatividad. Lasleyesquedescribenloscambiosdelossistemasfsicosnoresultanafectadassiestoscambiosdeestadoestnreferidosa unouotrodedossistemasdecoordenadasentraslacinconmovimientouniforme. 2. Principiodeinvarianciadelavelocidaddelaluz. Cualquierrayodeluzsemueveenelsistemaestacionarioconvelocidad"c",tantosielrayoesemitidoporuncuerpoenreposoo enmovimiento. Elprimerpostuladoest indicandoqueentodoslossistemasinercialestodoslosfen menosocurrendelamismaforma,esdecir quetienenelmismocomportamiento,porlocualtodoslossistemasinercialesresultanabsolutamenteequivalentese indistinguibles. Nohayposibilidadalgunadedeterminarcualestenreposooenmovimiento.Sinduda,esteenunciadohaceinnecesarioe inclusocontradictoriolaexistenciadeunsistemadereferenciaabsoluto.Asimismo,incorporaimplcitamenteelPrincipiode Inercia. Nodebeconfundirseloanteriorconqueunamagnitudf sicatomarelmismovalorentodoslossistemasinerciales,puesuna

Elprimerpostuladoest indicandoqueentodoslossistemasinercialestodoslosfen menosocurrendelamismaforma,esdecir quetienenelmismocomportamiento,porlocualtodoslossistemasinercialesresultanabsolutamenteequivalentese indistinguibles. Nohayposibilidadalgunadedeterminarcualestenreposooenmovimiento.Sinduda,esteenunciadohaceinnecesarioe inclusocontradictoriolaexistenciadeunsistemadereferenciaabsoluto.Asimismo,incorporaimplcitamenteelPrincipiode Inercia. Nodebeconfundirseloanteriorconqueunamagnitudf sicatomarelmismovalorentodoslossistemasinerciales,puesuna magnitudnoesunaley.Supongamos,porejemplo,unfenmenoelctricosimple,unacargapuntualenreposoenelorigende coordenadasdeunsistemainercial. Enestesistemaunobservadormedir uncampoelctricoEestacionarioyuncampomagnticoB=0,dadoquenohaycorrientes niimanes.Otroobservadorenmovimientorelativoconstantemedir uncampoelctricoEquenoesestacionario,puespara esteobservadorlacargaseest moviendo,yuncampomagnticoBdistintodecerodebidoaquelacargaqueest en movimientoesunacorriente. Osea,lasmagnitudesinvolucradastienendiferentevalorparadosobservadoresenmovimientorelativo.Sinembargo,lasleyes (EcuacionesdeMaxwell)quedescribenelfen menosonlasmismasenlosdossistemas. Suaplicacinencadaunodelossistemasdar elresultadocorrecto,siendodiferenteencadasistemalosvaloresdelas magnitudesqueintervienen. ElsegundoPostuladoaceptalaconstanciadelavelocidaddelaluzcomounPrincipioUniversal,sustentadoenresultados experimentales,resultandolaclaveparavinculardossistemasinercialesyaquepermiteencontrarlastransformacionesde coordenadasnecesariasparaquelavelocidaddelaluzsealamismaenambossistemas.

EspacioyTiempoLaTeoradeRelatividadnoesunmodelosobreelmovimientodeloscuerpos,odelaMec nicaodelElectromagnetismo,nisobre algunadisciplinaparticulardelaFsica. Esunateor asobreelespacioyeltiempo,quetratasobresuspropiedadesydequ maneraellasincidenyregulanlasleyes sobreelcomportamientodelosfen menosnaturales. Tratemosdedescribirbrevementealgunosaspectosdeinter ssobrelaevoluci nquesufrieronestosconceptosb sicos fundamentales. Laexperienciamostrqueelespaciof sico(tridimensional)poseeuna simetraparticularporlacualeltamaoylaformadelos objetosmaterialesenreposorespectodeunobservadornodependendelaposici nnidelaorientacindelobjeto. Estesimplehechopermitedeterminaremp ricamenteunaunidaddemedidaespacialeintroducirelconceptode distancia, requisitonecesarioparareconocerlageometracorrespondientealespacio,queresult laeucldea,vlidaparatodoobservador. Estaspropiedadesseconocenhoycomo homogeneidadeisotropadelespacio. Anlogamente,porobservaci ndelosfen menosnaturalesperi dicosseasumi queeltiempofsico,conceptoquepermite ordenarlaocurrenciadesucesos(antes ydespu s),eraunamagnitudunidimensionalmensurablequeadmiteunadefinicin similaraladedistancia,llamadaintervalooduracin.Laexperienciamostrtambinqueeltiempofsicopose aunasimetra particularporlacualladuraci ndeundadoeventocausal,bajoid nticascondiciones,nodepend adellugardeocurrencianidel instantedeinicio. Estapropiedadactualmentesedenomina uniformidaddeltiempo. HastafinesdelsigloXIXsesuponaqueelespacioyeltiempoeranmagnitudesindependientesconvaloresabsolutos,porlo cualtodamedicindedistanciaodeintervaloeraid nticaparatodoobservador.NuestroUniversoeratridimensional,de geometr aeucldea,ysolamentesuevolucinrequeraelanlisistemporal,sinqueelloincidieraenlaspropiedadesdelespacio. Lamtricadelespacio(eucldeotridimensional)erainvariante,condicinquepuedeexpresarseencoordenadascartesianas mediante: ds 2=dx 2+dy 2+dz 2Invariante Estainterpretacin,aceptadadurantem sdedosmilenios,puedeserentendidaconunejemplocotidiano.Supongamostener unadadasecuenciadefotosdeunmvil,obtenidasaintervalosconocidosyc marafija,talqueelmovimientodelobjetopuede estudiarseporcomparaci nyasconocerlaevolucindelfenmenodinmico. Cadafotoser distintaperoellassiguensiendobidimensionales,sum tricaespacialeslamisma(ysuescalaseconserva). LostrabajosdeLorentzyPoincar ,aparecidosalrededordela o1900,mostraronquelas distancias eintervalos,medidos sobreunmismofenmenoporobservadoresenmovimientorelativo,dabanresultadosdistintosydependientesdelavelocidad entreobservadores.Lageometr aespacialsegu asiendoeucl deaparacadaobservadorperolasdistanciasylosintervalos medidosnoeranid nticos(nacalarelatividadpostGalileo),esdecirque lamtricaeucldeatridimensionalnoerainvariante. ConeladvenimientodelaTeoradeRelatividaddeEinstein(1905)qued claramenteestablecidoqueparatodoobservador inercialelespacioyeltiempoconservabanlashist ricaspropiedades,perosusmtricas(espacialytemporal)difer anentre sistemasdereferenciaconmovimientorelativoconstante.LastransformacionesdeLorentzeranlasrelacionesfuncionalesque vinculabandossistemasdereferenciainerciales. Sinembargo,inicialmentenoseentendi queestarelaci nfuncional(Lorentz)entresistemasdereferenciainercialesimplicaba algomuchomsprofundo:elUniversoeraesencialmentedecuatrodimensiones. Estedescubrimientosedebi aMinkowski(1908)quiensepercat quelaprdidadeinvarianciadelamtricaeucldeaespacial eradebidaalarelaci nexistenteentreelespacioyeltiempo,porlocuallam tricacorrectadebaconteneraltiempo. Laadecuadam tricainvarianteencuatrodimensionessededucefcilmentedelasTransformacionesdeLorentz,resultando: ds 2=c 2dt 2(dx2+dy2+dz2)Invariante Debidoalossignosdistintosdelaspartesespacialytemporalenelsegundomiembro,estam tricasedenomin seudoeucldea apropuestadeKleinyHilbert. Importantesestudioscontempor neoshanmostradoquelaspropiedadesdesimetr adelespacioyeltiempo,representadas mediantesumtricaenunespaciodecuatrodimensiones(ysuinvariancia),sonsuficientesparafundamentarlaTeor ade RelatividadEspecial,sinnecesidadderecurriralospostuladospropuestosporEinstein. Espec ficamentesehademostradoquesiaceptamosquelosfenmenosqueocurrenennuestroUniversorespondenauna mtricacuadridimensionalseudoeucl deadelespacio tiempo,entonceselPrincipiodeRelatividadylaexistenciadeuna velocidadtopeyabsolutapuedenserobtenidoscomoconsecuencias. DeacuerdoconelnotablefsicorusoA.Logunov,laTeor adeRelatividadquedarigurosamenteestablecidapostulandoquelos fenmenosfsicossucedenenunespaciocuadridimensionalcuyageometraesseudoeucldea.

ConsecuenciasEstaformulacinmodernadelaRelatividadEspecial(Logunov,1996)revisteunaextraordinariaimportanciayaqueestablece rigurosamentequelascondicionesdevalidezdelateor adependen nicayexclusivamentedelaspropiedadesdelespacioyel

mtricacuadridimensionalseudoeucl deadelespacio tiempo,entonceselPrincipiodeRelatividadylaexistenciadeuna velocidadtopeyabsolutapuedenserobtenidoscomoconsecuencias. DeacuerdoconelnotablefsicorusoA.Logunov,laTeor adeRelatividadquedarigurosamenteestablecidapostulandoquelos fenmenosfsicossucedenenunespaciocuadridimensionalcuyageometraesseudoeucldea.

ConsecuenciasEstaformulacinmodernadelaRelatividadEspecial(Logunov,1996)revisteunaextraordinariaimportanciayaqueestablece rigurosamentequelascondicionesdevalidezdelateor adependen nicayexclusivamentedelaspropiedadesdelespacioyel tiempoasignadas.NoesnecesariopostularlaconstanciadelavelocidaddelaluznielPrincipiodeRelatividad. Esfundamentalresaltarquelahomogeneidadeisotropadelespacio,launiformidaddeltiempo,ylamtricaseudoeucldea invariante,queconvalidanlaTeoraEspecialdeRelatividad,sonexactamentelosmismospostuladosquefundamentanlos llamadosPrincipiosUniversalesdeconservaci n(TeoremadeEmmyNoether,1915),porlocualtodaslasleyesv lidasenesta teoraposeenlamismajerarqu aquelasleyesdeconservaci ndelaenerg a,delacantidaddemovimientoydelmomento angular. Enconsecuencia,elextraordinariodescubrimientohechoporA.Logunovnosponefrenteaunaintegraci nhistricadelasleyes relativistasdelaF sicaylosPrincipiosUniversales,generandounasituacincrtica,yaqueelincumplimientodecualquierade estasleyesrelativistasquesignifiqueinvalidarsusfundamentosobligararevisartodoelconjunto,puestodasellassederivan delosmismospostuladosb sicos. Asimismo,laexistenciadeunavelocidadm ximaposible,nicayabsoluta,obtenidacomoconsecuenciadeasumirunageometr a seudoeucl deadelespacio tiempoysumtricainvariante,clarificaquecualquiermodelotericoquepropongaotraalternativa, talcomoatribuirvelocidadesmximasdiferentesparalagravedadyelelectromagnetismo(T.vanFlandern, "Thespeedofgravity Whattheexperimentssay",1998S.Kopeikin,"Bimetrictheoryofgravity",2006,etc.),poseerunamtricaespaciotemporal diferentealaseudoeucl dea. Dadoquelaformamatemticadeunaleytieneimplcitalageometrautilizada,lasleyesquedescribenelcomportamientodelos fenmenosser ndistintasenmarcostericosqueusendiferentesm tricas. Destaquemoslaevidenteincompatibilidadentrelasteor asGeneralyEspecial,debidaaquelaspropiedadesestablecidasen cadacasoparaelespacioyeltiemposoncontradictoriasyantag nicasentres.Antelapresenciademasaambasteor astienen mtricasespaciotemporalesdistintas,loqueimplicaquelosfen menosseinterpretandemaneradistintay,porsupuesto, respondenaleyesdiferentes. Comovemos,existeunaprofundasutildiferenciaentrecambiardesistemadereferenciaespaciotemporal,procedimientousual, tilylcito,amodificarsuspropiedadescambiandolam trica. Nodebemosextra arnos,entonces,queenlaTeoraGeneraldeRelatividadnosecumplannilosPrincipiosUniversalesnila RelatividadEspecial,dadoquelamtrica(espaciocurvo)esdependientedeladistribucindemateria.Msan,ningunaley relativistaenelespaciodeMinkowskiesv lidaenlaTeoraGeneral,yelloincluyealElectromagnetismodeMaxwell.Eneste sentidodigamosquehayunadiscusi ncentenariarespectodelavalidezdelamaldenominadaParadojadeBorn ,sobrequeun electrnenmovimientohiperbliconoirradiaenelespaciocurvodelaTeoraGeneralysilohaceenelespaciodeMinkowskide laTeoradeMaxwell. Estetemapuedeserprofundizadoconlossiguientestrabajos: 1A.Logunov(CursodeTeoradelaRelatividadydelaGravitacin,Lecciones1y2,1998) 2N.Mermin("Relativitywithoutlight",Am.J.Phys.52(2),1984) 3S.Cacciatori,V.Gorini,A.Kamenshchik("SpecialRelativityinthe21stcentury",2008) 4MitchellJ.Feigenbaum("TheTheoryofRelativityGalileo'sChild",2008) ___________________________________ Sigue>TransformacionesdeLorentz

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TransformacionesdeLorentz

LosPostuladosdeEinsteinnosonconsistentesconlasTransformacionesdeGalileo,yaquelaconstanciadelavelocidaddela luzparatodoslosobservadoresinercialesresultaincompatibleconelTeoremadeadici ndevelocidadesdeGalileo. Considerandoquelamedici ndevelocidadesimplicamedirespaciorecorridoytiempoempleado,nodebemosanticiparo prejuzgarcaracter sticasespacialesy/otemporalesparalastransformacionesdecoordenadasentresistemasinerciales. Resultainteresanteremarcarqueelprimerdesarrollol gicocomocontinuacininmediatadelaTeoracuyosPostulados acabamosdever,ser aencontrar,siesposible,lasTransformacionesquesatisfaceneserequerimiento.Debetenersemuy presentequelastransformacionesquevinculanalossistemasinercialesser nlabasefundamentalysoportedetodaslasleyes fsicas,dadoquelasleyesdebernconservarsuformaanteesastransformaciones. Adems,dadoquelastransformacionesbuscadassonrelacionesfuncionalesentrelascoordenadas(espacioytiempo)dedos sistemasinercialescualesquiera,veremosquesuanlisiseinterpretaci npermitirnobtenerunmayorconocimientosobreestos dosconceptosfundamentales. Consecuentemente,correspondeestablecerlaship tesisnecesariasparaencontrartalestransformacionesparadossistemas inercialesenmovimientorelativo,yqueposeanlapropiedaddequeenlossistemaselvalordelavelocidaddelaluzenelvaco seaelmismo. Existenvariasdeduccionesdistintasdeestastransformacionesdecoordenadasenlabibliograf aespec fica,condistintosgrados dedificultadyenfoque.Deacuerdoamilargaexperienciadocente,cualquieradeestasdeduccionesresultamuycomplicadaal alumnotipo. Alrespecto,hedesarrolladounademostraci nque,enmiopininyporrazonesdid cticas,resultaserlamssimplesinperder rigorogeneralidad,queveremosacontinuaci n. Hiptesis(fundamentadasporexperimentos) Entodosistemainercialsecumple: 1.Elespacioesistropoyhomogneo 2.Eltiempoesuniforme 3.Lavelocidaddelaluzenelvacoesabsolutayvale300000Km/seg(PostuladodeEinstein) Lasprimerasdoship tesisgarantizanqueeltama odeunobjetoidealr gidoenrepososeaelmismoencualquierposici ny orientacindelespacio,yqueladuracindeunfenmenobajoid nticascondicionesseaindependientedelmomentoylugaren queocurre. Estaship tesis,quedeber anserelevadasalacategor adepostuladosuniversales,est nfundamentadasen400a osde experiencias.Suimportanciasehacenotoriaconlossiguientesrazonamientos:1)siunobjetoconservasutamaoellopermite definirunaunidaddelongitud2)siladuracindeundeterminadofen menocausalnodependedelinstanteinicialdelmismo, podremosdefinirunaunidaddetiempo. Estasdospropiedadesdelespacioyeltiemposonlasquedefinenla" m trica"delsistemadereferencia. Ellonoslimitaaquelastransformacionesdecoordenadas(x,y,z,t)entredossistemasinercialesdebenserlineales,puesdelo contrarioseperder alahomogeneidady/olauniformidad. Aclaremosunpocomsesta ltimaaseveracin. Lastransformacionesdecoordenadasquepermitenpasardeunsistemadereferencia( x,y,z,t)aotro(x,y,z,t)est ndadaspor 4relacionesfuncionales,queenelcasom sgeneralpuedenexpresarsepor: x=f1(x,y,z,t)y=f2(x,y,z,t)z=f3(x,y,z,t)t=f4(x,y,z,t)

Tratemosdeanalizarcmodebenserestasfuncionesparaqueelespacioyeltiempoposeanlosmismosatributosenambos sistemas. Supongamosquelafuncinx=f (x,y,z,t)eslasiguienterelacincuadrtica:x=a.x 2,siendoaunaconstante. 1

Enestecasounobjetor gidodelongitudL=x 2x1enelsistemaO,cuyotamaoeselmismoencualquierposici nsobreelejex, enelsistemaOtendrunalongituddadapor L=(x2x1)=a(x 22 x12),cuyovalordependedelaposicinenqueest ubicado sobreeleje x.Ntesequesidesplazoelobjetoenladirecci ndelejexsulongitudcambia.Esdecirqueenelsistemaprimado elespacionoeshomog neo. Elmismoanlisispuedehacerseconlasotrascoordenadas,llegandoalaconclusi ndequelanicamanerademantener similarespropiedadesdelespacioyeltiempoenambossistemasesquelastransformacionesseanlineales,cuyaexpresi nms generalparalacoordenada x'es: x=a1x+a 2y+a 3z+a 4t+a 5 Nota:Muchasdeestasconstantespodr nanularseconlaeleccinparticulardeambossistemas.Porejemplo,siestablecemos queenelinstante t=t'=0lossistemascoinciden,lostrminosindependientes(a5)seanularn. Seandossistemasdereferenciainerciales(OyO ),inicialmentecoincidentes.LlamaremosV(enmayscula)alavelocidad relativaentreellos.Cuandoexistaunobjetoenmovimiento,serv(enminscula)suvelocidadmedidaenelsistemaO,y vsu velocidadrespectodeO . Lascoordenadas( x,y,z,t)serefierenalsistemadeOylascoordenadas( x,y,z,t)sonlascorrespondientesalsistemaO . Engeneral,todaslasvariablesnoprimadascorrespondernalsistemaOylasprimadasalO. Supongamosqueenelinstanteinicialambossistemascoinciden.Paraunamejorvisualizaci nlosesquemastendr nalsistema OdebajodelO. PorsimplicidadsupondremosarbitrariamentequeelOestenreposoyelO convelocidadconstanteVenladireccindelejex, comomuestralafigura.

Engeneral,todaslasvariablesnoprimadascorrespondernalsistemaOylasprimadasalO. Supongamosqueenelinstanteinicialambossistemascoinciden.Paraunamejorvisualizaci nlosesquemastendr nalsistema OdebajodelO. PorsimplicidadsupondremosarbitrariamentequeelOestenreposoyelO convelocidadconstanteVenladireccindelejex, comomuestralafigura.

Estaseleccindemovimientorelativosegnelejexhacequelascoordenadas( yz)seanid nticasalas(yz),deacuerdocon lashiptesisestablecidas. Lastransformacioneslinealesdecoordenadaspararelacionarambossistemassondelaforma:

Medianteunc lculosimplepodemoshallarlarelacindevelocidades(deunobjeto)entresistemas,obteniendo:

Siendo

constantesarbitrariasquedeterminaremosmediantecuatro(4)experimentospensados.

Experimento1ObjetoenreposoenOParaunobservadorenO esteobjetosemueveconvelocidad v=V,conmovimientorectilneouniformeseg nelejex.

Experimento2Objetoconv x=VenOParaunobservadorfijoenO esteobjetoest enreposo.

Experimento3UnhazdeluzsepropagasegnelejexenOEnambossistemaslavelocidadmedidaresultac.

Experimento3UnhazdeluzsepropagasegnelejexenOEnambossistemaslavelocidadmedidaresultac.

Experimento4UnhazdeluzsepropagasegnelejeyenOEnambossistemaslavelocidadmedidaresultac.

Halladaslasconstantesquedandeterminadaslastransformacionesdecoordenadasquevinculanambossistemas,resultando serlasTransformacionesdeLorentz,perocondiferentesignificado,yaquesonlastransformacioneslinealesquerelacionanla mtricadedossistemasdereferenciainerciales. Tienenlapropiedaddequelavelocidaddelaluzresultalamisma(c)entodoslossistemasinerciales.Estadeduccintienela ventajaqueutilizacomoargumentoprincipallaconstanciadelavelocidaddelaluzyelTeoremadePit goras. LasmismasnospermitenpasardelsistemaOalO.SiquisiramosencontrarlastransformacionesquepermitenpasardelO alO bastar acondespejarlasvariables( x,y,z,t)enfuncinde(x,y,z,t).

TransformacionesdeLorentz

Estastransformacionesnosongeneralespuescorrespondenalcasoparticularenquelavelocidadrelativaentresistemases colinealconelejex.Algunostemasparticularesrequierenqueladireccindelavelocidadentresistemasdereferenciainerciales seacualquiera.EnestecasolasTransformacionesdeLorentzgeneralessonmscomplicadas,resultandounaexpresinsimple siseusanlascoordenadastangencialytransversalalavelocidadV,respectivamente(Pauli, TheoryofRelativity,pg.10):

Estastransformacionesnosongeneralespuescorrespondenalcasoparticularenquelavelocidadrelativaentresistemases colinealconelejex.Algunostemasparticularesrequierenqueladireccindelavelocidadentresistemasdereferenciainerciales seacualquiera.EnestecasolasTransformacionesdeLorentzgeneralessonmscomplicadas,resultandounaexpresinsimple siseusanlascoordenadastangencialytransversalalavelocidadV,respectivamente(Pauli, TheoryofRelativity,pg.10):

Importante: Ntesequesilavelocidadrelativaentresistemasesmayorquecseobtienenvaloresimaginariosdeespacioytiempo, perdiendosusignificadof sico.Asimismo,hacerlavelocidaddelsistemaiguala cgeneraunaindeterminaci npuesel denominadorseanulaenlasTransformacionesde xyt. Enconsecuencia, asignaraunsistemadereferenciainercialunavelocidadrelativaVmayoroigualalavelocidaddelaluz carecedesignificadoynopuedesertratadoenelmarcodeestaTeora. Sepodrapensarerr neamentequeesto ltimoconformaunalimitacindevalidezdelaTeor adeRelatividadEspecial.Sise analizacuidadosamenteseconcluyequeproponerunavelocidadinvariantetienecomoconsecuenciaquedichavelocidad( c)es unacotamximaparaunespaciotiemporeal,puesfijaeldominiodelpar metroVtalque cContraccinespacialyDilatacintemporal

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ContraccinespacialyDilatacintemporal

Hemosestablecidoatrav sdelasTransformacionesdeLorentzquelasm tricasdedossistemasinercialesenmovimiento relativosondiferentes. Enconsecuencia,debemosanalizarqu pasaconeltamaodelosobjetosyladuracindelosfen menos,cuandoest no sucedenenmovimientorespectodenosotros. Porconvencinpondremosunsub ndice0atodaslasmagnitudesquemidamosenreposorespectonuestro,ylasllamaremos propias.Porejemplo,unalongitudpropiaserlaquemidamosenreposorespectodelobjeto.

ContraccindelongitudesUnobservadorinercialmideellargo(longitudpropia)deunobjetoenreposo,determinandolascoordenadasespacialesdesus extremosseg nindicalafigura,resultandol0=x 2x1.

Sepretendedeterminarqu longitudlemediraotroobservadorO enmovimientorelativoconvelocidadconstante. Debemoseliminarocorregirlasilusiones pticasproducidasporlavelocidadfinitadelaluz. Porejemplo,siquisiramosdeterminarlalongituddeunobjetoenmovimientosacndoleunafotocuandoseest acercandoo alejando,tendr amosquecorregirlasmedidasobtenidaspuesunafoto,enesascondiciones,daruntamaoaparente(ilusi n ptica).Seproponeallectorquemuestrequelafotodar untamaomayorcuandoseacercaymenorcuandosealeja. Comoelobjetoest enmovimientoparaelobservadorO debemossercuidadososyadoptaruncriteriodemedici nadecuado, comoseradeterminarambascoordenadas simultneamente enelsistemaO,loqueimplicat1=t2. Luegodebemoscompararlalongitudl=x2x1conlalongitudpropiamediantelasTransformacionesdeLorentz. Aquaparecealgointeresanteparalaresoluci ndeproblemas.ConsiderandoquelasTransformacionesdeLorentzdirectaso inversassonconceptualmentelamismacosa,podemoselegirusarlasquenosconvengan. Ennuestrocasousaremoslasinversasporqueellosimplificalosclculosdebidoaquet1=t2,resultando:

Despejando lobtenemos:

Conclusin: Lalongituddeunobjetoenmovimientoesmenorquecuandoelmismoobjetoest enreposopues V/cessiempremenorque1. Nodebeentenderseestocomounefecto pticooaparente,sinocomoeltama odelobjetomedidoenmovimiento,queresulta tantomenorcuantomsrpidosemuevarespectodelobservador. staesunaadecuadaocasi nparadiscutiraqusellamarealidadenf sica. EnprimerlugardigamosquelaF sicacomocienciaintentaexplicarcmosucedenlascosasynoporqusuceden.Todoloque estamoselaborandoytodaslasteor asyadesarrolladassonmodelosqueprocurandescribirelcomportamientodelosdistintos fenmenosnaturaleslomejorposible,perolosmodelosnosonelfen meno.Estaposturaeslacientficayquedplasmado desdeeliniciomismodelmtodocientfico,creadoporGalileo,cuandodistingui quelafilosofanaturalnoincluyelosmitos. ElgranfsicomatemticoargentinoJorgeStaricco,enlaintroducci ndelmagistralcursodeMecnicaquedioenlaFacultadde Ingenier adelaUniversidaddeBuenosAiresen1965,alcualasist comoalumno,dijo:laimportanciadelaLeydeatraccin universalenunciadaporNewtonnoeslarelacinfuncionalentrelafuerzayladistancia,queporotroladohubierasidoresueltapor Cavendishunratitodespus,sinocmolaintrodujo:Todopasacomosiexistieraunafuerza Ahorapermtanmequehagaunapreguntadirectasobrerealidad: Existelafuerzadegravedad? RecordemosqueconelconocimientofuncionaldelafuerzagravitatoriaNewtondemostr lasLeyesdeKepler.Todoparece indicarquedudardelaexistenciadelafuerzadegravedadesdemencial.

universalenunciadaporNewtonnoeslarelacinfuncionalentrelafuerzayladistancia,queporotroladohubierasidoresueltapor Cavendishunratitodespus,sinocmolaintrodujo:Todopasacomosiexistieraunafuerza Ahorapermtanmequehagaunapreguntadirectasobrerealidad: Existelafuerzadegravedad? RecordemosqueconelconocimientofuncionaldelafuerzagravitatoriaNewtondemostr lasLeyesdeKepler.Todoparece indicarquedudardelaexistenciadelafuerzadegravedadesdemencial. Enelao1916apareciotraTeor aquepostulabaquelafuerzagravitatorianoexiste,quelasmasasnoseatraenperotienen lapropiedaddealterarlam tricaespaciotemporal.ConellatambinsedemostraronlasLeyesdeKepler.SuautorfueAlbert EinsteinylaTeoraesladeRelatividadGeneral. Alnotenerunarespuestal gicanica,elconceptoderealidadenlafsicasemodificduranteelsigloXX,principalmenteporel desarrollodelaMecnicaCunticaylaTeoradeRelatividad,detalmaneraquesuinterpretaci nfueranica. Elconceptoderealidadesuntemafilos ficoquedependedelalneadepensamientoparticular. Realidad,paralaciencia,esloquemuestranlasmedicionesyesvlidasolamenteenelmarcodelateoracorrespondiente,cuya bondadyalcancenodependedelascreenciasdellector. Enconsecuencia,digamosque todopasacomosieltamaorealdeunobjetofueramayorcuandoest enreposoquecuando est enmovimiento,puesesoesloquesemide.EnelmarcodelaTeor adeRelatividadEspeciallosobjetosenmovimiento tienenuntamaomenorqueenreposo.

DilatacintemporalUnobservadorinercialmideladuraci n(tiempopropio)dedossucesosqueocurrenenunpuntofijo(x 0 y 0 z 0 ),comopor ejemploprenderunalmparaenelinstante t1yapagarlaen t2,estandoenreposorespectodelal mpara. Estaduraci nresultaT0=t 2t1,ysepretendedeterminarqu valorTlemedirotroobservadorO enmovimientorelativocon velocidadconstante. EnestecasousaremoslasTransformadasdirectasporqueellosimplificalosc lculosdebidoaquex1=x 2=x 0resultando:

Resultaevidenteque T>T0pueslavelocidadrelativaVdebesermenorque c Conclusin: Cualquierlapsomedido (t 2t1)dedossucesosesrelativoalsistemadereferencia. Asimismo,sedemuestraqueeltiempopropiodecualquierfen menoeselmenorvalorposibledeladuracindedichoevento. Dadoqueesterazonamientoesv lidoparatodoslosfenmenosnaturales,todoobservadorver quelosprocesostranscurren mslentamentecuandosucedenenmovimientorespectodel,yestehechoser tantomspronunciadocuantomayorseala velocidadrelativaentreelsistemadondeocurreelfen menoyelobservador. Nota: Hemoscalculadolacontraccindelalongituddeunobjetoyladilataci ntemporaldeunreloj,ambosenreposoenelsistemaO. PorsupuestoquesiestuvieranenreposoenelsistemaOobtendr amosidnticasconclusionessimtricaspuestodoslos sistemasinercialessonequivalentes.

TiempopropioCuandouncuerpoosistemafsicosemuevearbitrariamente,eltiempopropiodeunprocesoqueocurraendichoobjetodebe calcularseasumiendoquesetieneunrelojfijoenelobjeto. Unsistemadereferenciafijoauncuerpoquesemuevearbitrariamentepuedenoserinercial,porlocualengeneralno podremosaplicarlasTransformacionesdeLorentzparacompararlasmtricas. Sinembargo,siaceptamosquelaaceleracinnotieneinfluenciaenlaevolucintemporalendichosistemanoinercial,veremos queesposiblecalculareltiempopropiobuscado. Destaquemosqueestasuposici nnotienerespaldote ricoalguno(verMllerTheTheoryofRelativity,pg.49)ynoes verificadapordeterminacionesexperimentalesincuestionables(GPS),porlocualestetemaser tratadoendetallepor separado. Loquesigueeseltratamientousualdeltemaenlabibliograf aclsicatradicional,sinqueelloimpliquequeseacorrecto rigurosamente. Deacuerdoconlasuposici nhistricamenteaceptadapodemosasumirqueencadainstantehayunsistemainercialcuya velocidadrelativacoincideconlavelocidaddelcuerpoosistemafsico,loquepermitircalculareltiempopropiocomolasumade lasvariacionesinfinitesimales( dt)endichosistema. LasTransformacionesdeLorentzquehemosdeducidooportunamentenosongeneralespuestoquehemospuesto arbitrariamentelavelocidadrelativaentresistemascoincidenteconeleje x.Dadoqueestacondici nnosecumplirparaun movimientoarbitrario,debemosusarlasTransformacionesdeLorentz generales,cuyaexpresi nparalacoordenadatemporal es:

Teniendoencuentaqueelprocesocuyotiempopropioestamosmidiendoest sobreelobjetoenmovimientoyquelavelocidad delcuerpocorresponder encadainstantealavelocidaddelsistemainercialquelefijemos,ser v=V.Enconsecuencia, diferenciandolaexpresi nanteriorllegamosa:

Eltiempoelementaldtquemedirunrelojfijoalobjetoser menorqueelcorrespondiente dtquemedimosennuestrosistema inercial.Integrandoobtenemoseltiempopropiomediante:

Eltiempoelementaldtquemedirunrelojfijoalobjetoser menorqueelcorrespondiente dtquemedimosennuestrosistema inercial.Integrandoobtenemoseltiempopropiomediante:

Esimportantedestacarqueenestaexpresinlavelocidadcorrespondealadelobjetoypuedeserfunci ndeltiempo dependiendodelmovimientoquerealiceelobjeto. Adems,dadoqueelintegrandoessiempremenorque1,eltiempopropiosiempreeselmenorvalorposible,cualquieraseael movimientodelobjeto. Debetenerseencuentaquenopodemoscompararlasm tricasentresistemaspuessolamenterequerimosqueunoseainercial, sinoquehallamoslaexpresi ngeneralparaelclculodetiempopropiodeunobjeto,cualquieraseasumovimiento,atrav sde medicionestemporaleshechasdesdeelsistemainercial. Veamosunejemplosimple: Unobjetorotaalrededordeunobservadorinercialconmovimientocircularuniforme.Sesincronizandosrelojesent=t=0,uno (t)fijoalobjetoyelotro( t)enelsistemainercial.Alcabodeunavueltasecomparanlostiemposresultandoqueelrelojfijoal cuerpoatras .Elclculoessimplepueselmdulodelavelocidadvesconstante.

Esteatraso(cualitativo)noesrelativoalsistema,esabsoluto,yelloocurrir sobrecualquierrelojaceleradorespectodeuno inercial. Unavezcomprendidoelconcepto(hist rico)detiempopropioylaformadecalcularlo,lamaltratada"Paradojadelosgemelos" dejadeserunmisterioypuedeseranalizadasindificultad.Recomiendosuan lisisaunqueadviertoqueestetratamientoes incompletopuesnoconsideralosefectostemporalesdebidosalaaceleracin. Nota: Lascorreccionestemporalesqueseprogramanenel SistemadePosicionamientoGlobal(GPS)paramantenerelsincronismo entresat litesdedicadosylaTierra,suelendescribirsecomoefectosdebidosal" cambiotemporal"delaRelatividadEspecialyal "retrasotemporal"causadoporelcampogravitatorio,predichoporlaTeoraGeneral. EnmiopininestamaneradeenfocareltemaescondeelerrorcometidoenestetemadentrodelaTeoradeRelatividad Especial,cualesasumirquelasaceleracionesnotieneninfluenciaenlamarchadelosrelojes. ___________________________________ Sigue>Cinemticarelativista.EfectoDoppler

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Cinemticarelativista.EfectoDopplerloesenlamecnicanewtoniana.

Lacinemticarelativistanopresentagrandificultadenlaparteoperativadebidoaquelosclculossonsimilaresalosquese realizanencinemticaclsica.Siundadoproblemademovimientodeuncuerpoescomplicadoenelmodelorelativista,tambin

Nosucedelomismodesdeelpuntodevistaconceptualcuandosepretendecompararundeterminadomovimientodeuncuerpo desdedossistemasdereferenciainercialesenmovimientorelativo.Laraz ndequeelloocurraesqueencinemticarelativista lavelocidaddelaluzesunvalorfinito. Laprimeragrandificultadestconlaposicindeunpuntomaterialquesedesplazarespectodeunobservadorinercial.Lo vemosenunpuntodelespacioperosabemosqueest enotro,debidoaltiempoquetardenllegarnoslainformacin.Es decirquetenemosdospanoramasposibles:el aparente ,queeselquevemos,yelquellaman real,queser aelque correspondealasupuestaposicincalculada,teniendoencuentaeltiempoquetardaenllegarnoslainformaci n.Enrealidadel queconocemosconcertezaeselaparente,queeselquemedimos. Lamayoradelosclculossehacenconlasposicionesquedenominamosreales,enrazndequelasTransformacionesde Lorentzrelacionanlamtricaespaciotemporaldedossistemasinercialessincontemplarloquemedir aunobservadorqueno tuvoencuentalascorreccionesrelacionadasconlavelocidaddelaluz. Estehechopareceresolverlacuesti nestableciendouncriterioparaladescripci ndelosmovimientos,haciendoreferencia siempreaposicionesreales. Sinembargo,veremosqueelloresultainadecuadoendeterminadoscasos. Enladinmicarelativistalasinteraccionesentrecuerposmaterialesocurrenatrav sdecamposcuyadescripcincorrespondea laposicinaparentedeloscuerposynoalasposicionesreales,debidoaqueloscampossepropagantambi navelocidad finita,queasumimosidnticaaladelaluz.Enconsecuencia,sisuponemosconocidaslasposicionesreales,debemoscalcularlas aparentesparaobtenerelresultadocorrecto. Enelectromagnetismolasinteraccionesentrepartculascargadasenmovimientosecalculanutilizandolospotenciales retardados ,quesonfuncionesrelacionadasconelcampoquecorrespondealasposicionesaparentes,resolviendoelplanteo anterior,yellopodemoshacerloporquedisponemosdelasecuacionesdeMaxwell. Enlosotrostiposdeinteracciones(fuerzasgravitatoriasynucleares),notenemoslasecuacionesdecampovlidasensistemas inerciales,simplementeporquenohemoslogradodesarrollaranunmodelotericoadecuado,porlocualnisiquierasabemossi esposibleobtenerlaexpresi ntericadelospotencialesretardadoscorrespondientes. Enparticular,losproblemasquepresentaninteraccionesgravitatoriassuelentratarseconlaLeydeNewtonenelmarcodela RelatividadGeneral,aunqueenrigordichaleyesv lidasolamenteparacuerposenreposo. Otroaspectocomplicado,queextraamentelabibliografausualnotrata,serefierealaposicinrealdeunobjetoen movimientorespectodedossistemasinerciales.Analicemosuncasoparticular: DosobservadoresinercialesOyO est nenmovimientorelativo.Supongamosquesussistemasdereferenciaestnalineadosy susor genesdecoordenadasespacialescoincidenenelinstantet=t=0.Cadaobservadortienesincronizadosusistema,loque significaqueenuninstantecualquierasucoordenadatemporaltieneelmismovalorentodoelespacio,peroambosobservan queenelotrosistemadereferenciaeltiempoindicadoporelotroobservadortienevaloresdistintosendiferentespuntosdel espacio,esdecirquenoest sincronizado. AsumamosarbitrariamentequeOestenreposoyO enmovimientouniformesegnelejex,convelocidadVrespectodeO,y quetenemosuncuerpoquesemueveconvelocidad vrespectodeO,seg nmuestralafigura.Seax0lacoordenada xdelcuerpo enelinstante t=0.

Sepretendesabercu leslaposicinxdelobjetoparaO enelinstante t=0. UsandolasTransformacionesdeLorentzobtenemosloquemedir aO:

Sepretendesabercu leslaposicinxdelobjetoparaO enelinstante t=0. UsandolasTransformacionesdeLorentzobtenemosloquemedir aO:

Ntesequelaposici ndelobjetoennuestrocasoest determinadapara t0