Curso C++ (J. Seixas)

Uma classe para vectoresUma classe para vectores#ifndef __SIMPLEARRAY__#define __SIMPLEARRAY__#include <iostream>

using namespace std;

template<class T>class SimpleArray {template<class U> friend ostream &operator <<(ostream&, const SimpleArray<U>&);public:

SimpleArray(int n); // Create array of n elements SimpleArray(); // Create array of 0 elements SimpleArray(const SimpleArray<T>&); // Copy array ~SimpleArray(); // Destroy array T& operator[](int i); // Subscripting int numElts(); // Number of elements SimpleArray<T>& operator=(const SimpleArray<T>&); // Array assignment SimpleArray<T>& operator=(T); // Scalar assignment void setSize(int n); // Change sizeprivate: int num_elts; // Number of elements T* ptr_to_data; // Pointer to built-in array of elements void copy(const SimpleArray<T>& a); // Copy in elements of a

};#endif

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Overloading de operadoresOverloading de operadoresPrimeiro: nem todos os operadores são passíveis de overloading.

Segundo: não é possível alterar nem a precedência, nem a associatividade

dos operadores.

Terceiro: Os operadores iniciais ficam inacessíveis! Não há garantia

quanto à ordem segundo a qual os operandos são avaliados.

Quarto: O significado dos operadores para os tipos pré-definidos não pode

ser alterado. Não alterar operadores como , &, && ou ||

Operadores que podem ser overloaded

+ - * / = < > += -= *= /= << >> <<= >>= == != <= >= ++ -- % & ^ ! | ~ &= ^= |= && || %= [] () , ->* -> new delete new[] delete[]

Operadores que não podem ser overloaded

:: .* . ?:

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresOverloading do operador []:template<class T>

SimpleArray<T>::~SimpleArray() {

delete [] ptr_to_data;

}

template<class T>

T& SimpleArray<T>::operator[](int i) {

return ptr_to_data[i];

}

template<class T>

int SimpleArray<T>::numElts() {

return num_elts;

}

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresOverloading do operador =: (assignment)

template<class T>

SimpleArray<T>& SimpleArray<T>::operator=(const SimpleArray<T>& rhs) {

if ( ptr_to_data != rhs.ptr_to_data ) {

setSize( rhs.num_elts );

copy(rhs);

}

return *this;

}

Os operadores = retornam uma referência: não é necessário criar e

destruir uma cópia temporária do resultado. Como retornam uma

referência ao objecto da esquerda permitem pôr

a=b=c;

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresUma função com o qualificativo friend, seja ela membro de outra classe ou global, pode aceder a membros não públicos da classe que a classificou como friend.A classificação de friend a uma dada função só se aplica a essa função, não a todas com o mesmo nome!Se se declarar uma classe como friend todas as suas funções serão friend.A posição onde a declaração de friend está na definição da classe é irrelevante. Os especificadores de acesso private e public não têm qualquer efeito em friend.

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresOverloading do operador <<: (assignment)

template<class T>

ostream &operator <<(ostream& stream, const SimpleArray<T>& v){

for(int i=0; i < v.num_elts ;++i)

stream << v.ptr_to_data[i] << " ";

return stream;

}

Os operadores << retornam uma referência a ostream e

assim podemos por cout << v << u << endl;

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresImplementação (I):template<class T>SimpleArray<T>::SimpleArray(int n) { num_elts = n; ptr_to_data = new T[n];}

template<class T>SimpleArray<T>::SimpleArray() { num_elts = 0; ptr_to_data = 0;}

template<class T>SimpleArray<T>::SimpleArray(const SimpleArray<T>& a) { num_elts = a.num_elts; ptr_to_data = new T[num_elts]; copy(a); // Copy a's elements}

template<class T>void SimpleArray<T>::copy(const SimpleArray<T>& a) { // Copy a's elements into the elements of *this T* p = ptr_to_data + num_elts; T* q = a.ptr_to_data + num_elts; while (p > ptr_to_data) *--p = *--q;}

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresImplementação (II):template<class T>

SimpleArray<T>::~SimpleArray() {

delete [] ptr_to_data;

}

template<class T>

T& SimpleArray<T>::operator[](int i) {

return ptr_to_data[i];

}

template<class T>

int SimpleArray<T>::numElts() {

return num_elts;

}

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresImplementação (III):template<class T>

SimpleArray<T>& SimpleArray<T>::operator=(const SimpleArray<T>& rhs) {

if ( ptr_to_data != rhs.ptr_to_data ) {

setSize( rhs.num_elts );

copy(rhs);

}

return *this;

}

template<class T>

void SimpleArray<T>::setSize(int n) {

if (n != num_elts) {

delete [] ptr_to_data; // Delete old elements,

num_elts = n; // set new count,

ptr_to_data = new T[n]; // and allocate new elements

}

}

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Uma classe para vectoresUma classe para vectoresImplementação (IV):

template<class T>

SimpleArray<T>& SimpleArray<T>::operator=(T rhs) {

T* p = ptr_to_data + num_elts;

while (p > ptr_to_data) *--p = rhs;

return *this;

}

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

O modelo de Ising (estudado inicialmente pelo físico Ernst Ising por sugestão do seu orientador de doutoramento Wilhelm Lenz) é um modelo matemático em Física Estatística, muito importante para estudar fenómenos como o ferromagnetismo. Teve e tem um papel fundamental na moderna teoria das transições de fase e fenómenos críticos.

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

O modelo mais simples consiste numa cadeia de “spins” Si cada um só podendo tomar os valores ±1.A energia do sistema para uma dada configuração de spins é dada por

Cada configuração de spins é uma “fotografia” do sistema num dado instante

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

O objectivo da Física Estatística é determinar o valor das grandezas termodinâmicas macroscópicas a partir da dinâmica microscópica do sistema.

A energia do sistema em cada instante é dada pela expressão anterior. A energia média ao longo do tempo é dada por

confN

nn

conf

EN

E1

1

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

Calcular <E> para todas as possíveis configurações é possível, mas:

Será que todas as configurações têm a mesma importância no processo?

Será que no intervalo de tempo (mesmo longo) em que estamos a observar todas elas aparecem?

Se não, como determinar <E> tendo em vista a distribuição de configurações mais frequentes?

Como determinar a frequência com que as configurações aparecem?

…

O objectivo da Física Estatística é dar respostas a estas perguntas

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (1ª parte): Há muitas configurações que têm a mesma energia associada sobretudo se há simetrias no sistema. Exemplo (modelo de Ising ferromagnético):

Existe uma simetria Z2: trocar s→-s fornece o mesmo resultado para E. Existem configurações com energia menor do que outras. Em física temos sempre de tender para um mínimo de energia.

sN

iiissJE

11

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (2ª parte): Configurações todos os spins para baixo excepto 1: N;

Configurações todos os spins para baixo excepto 2: N(N-1); desordenado N(N-1)/2!

Configurações todos os spins para baixo excepto k: N!/(N-k)!; desordenado N!/k!(N-k)!

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (2ª parte): A probabilidade de ter N spins e colocá-los N1 na caixa 1, N2 na caixa 2, … Nk na caixa k é

Se houver degenerescência, o número de maneiras de preencher uma caixa i é gi então a expressão anterior é

k

i ik

k

NN

NN

NNNNNN

NNNN

W1212

1

11 !

1!

!0!

!...

)!(

)!(

)!(

!

k

i i

Ni

Ng

NWi

1 !!

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (3ª parte):Qual é o valor máximo da probabilidade, ou seja, qual o conjunto {Ni} para os quais W é máxima? Na realidade, essa é a configuração mais provável, ou seja, a que aparecerá mais vezes. Resposta: Usar multiplicadores de Lagrange minimizando

)()()ln()( iiii NENNWNf

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (3ª parte):Usando a aproximação de Stirling

e pondo igual a 0 a derivada em ordem a Ni temos

N

N

eN

NN 2!

kTii

i ii eg

eg

N/)(

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

1ª pergunta: Como calcular a frequência (probabilidade) com que aparece uma dada configuração?

Resposta (3ª parte):Função de partição:

e logo

iNN

kT

ii

kTi

ii

i

egZ Z

egNN /

/

;

Função de partição

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Exemplo: O modelo de IsingExemplo: O modelo de Ising

2ª pergunta: O comportamento do sistema não é portanto possível de seguir em detalhe analiticamente. Se as configurações não são todas equiprováveis, como escolher as melhores de forma a não perder tempo com as que são mais improváveis?

Resposta (entre outras): Algoritmo de Metropolis