CS 362: Computer DesignLecture 13: Addition

Mitchell TheysUniversity of Illinois at Chicago

October 9th, 2018

Announcements

Mealy vs Moore FSMS

• Moore FSMs– Output is associated with the state– Output changes on the rising edge of the clock

• Mealy FSMs– Output is associated with transitions– Output changes whenever input changes

Moore vs Mealy

x

y = 1

y

y = 0

bb’

b

b’

x y

b, y = 1b’, y = 0

b, y =1

b’, y = 0

clock

input

state

output

You have a mealy fsm that sends output to a clocked register.  Is every output guaranteed to be saved to your 

register?A. Yes

B. No

1‐bit Binary Adding

0 + 0 = 

1 + 0 = 

1 + 1 = 

1‐bit Binary Adding

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Need to account for two output bits!

Half Adder• Inputs a, b

• Outputs sum and carry out.

• Sum is the result of adding a and b.

• Carry out is the overflow bit.

Below is the truth table for the SUM output of a half adder.  What is the boolean algebra function that will give us this truth table?

A. a OR b

B. a XOR b

C. a AND b

D. a NOR b

a b Sum 

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Below is the truth table for the CARRY output of a half adder.  What is the boolean algebra function that will give us this truth table?

A. a OR b

B. a XOR b

C. a AND b

D. a NOR b

a b Carry out

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Half‐Adder

• co = ab

• s = a’b + ab’

Binary Addition with Arbitrary Number of Bits

• Just like regular, 3rd grade style addition – Make sure we carry the overflow to the next digit

• Now we need to be able to account for the carry‐in from the next least‐significant bit

Full Adder

ci a b co s

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

• co =

• s =

Full Adder• co = ab + cia + cib

• s =  cia’b’ + ci’a’b+ ci’ab’ +  ciab

Full Adder from Half Adders

• Need carry‐in, as well as carry‐out

What if both half adders have carry‐out?

A. We will get the wrong answer.

B. We will ignore it, the answer will still be correct.

C. That will never happen

Ripple‐Carry Adder

• Create adder for an arbitrary number of bits simply by connecting carry‐out from adder n‐1 to the carry‐in for adder n

• Carry bit “ripples” up

Can we add a3 + b3 and a0 + b0 at the same time?

A. Yes

B. No

Recall: ‐7 as a 4 bit two’s compliment number is

A. 0111

B. 1000

C. 1001

D. 1111

E. None of the above

Subtraction: a‐b

• Just add negative version of b!

• To negate operand, transform to two’s compliment– Invert each bit– Add one to least significant bit

We can use a NOT gate to invert the input.  To add one to the input, we should

A. Set the carry‐in for the least significant bit to 1.

B. Add a new “subtract” input that we set to 1 for subtraction.

C. Do something else.

Subtractor

• Invert bits of b

• Set cin to 1

Subtractor: 7 ‐ 5

Adder/Subtractor

• Use muxes to choose between regular/invert b• Sub input controls cin, muxes

Recall: Which of these will cause overflow in 4 bits?

A. 0011 + 0110

B. 1101 + 0110

C. 1100 + 1100

D. More than one of the above

E. None of the above 

If there is overflowA. cout = 1

B. cout != s3

C. cout != s3, a3 = b3

A. None of the above

Overflow in ripple‐carry: 3 + 6

Overflow in ripple‐carry: ‐3 + ‐6

Overflow in ripple‐carry: ‐3 + 6

Overflow in ripple‐carry: ‐2 + ‐4

Reminders

• Next Time: Comparators, N‐bit Muxes, Load Registers 5‐4‐5.6