Cours Ondes – ASINSA 2A T.M 2010

PARTIE 1 : INTRODUCTION AUX PHENOMENES ONDULATOIRES

Plan du cours

I. IntroductionDéfinitions, vocabulaire, exemples d'ondes

II. Ondes acoustiques

Equation de propagation, grandeurs acoustiques

ONDE : Phénomène constitué par la propagation d'une perturbation dans un milieu

Perturbation : variation locale d'un paramètre caractérisant l'état physique du milieu : pression, champ électrique, champ magnétique, température, contrainte mécanique, vitesse des particules, charge électrique, etc.

Une onde ne transporte pas de matière, mais de l'énergie

(vent / son)

I. INTRODUCTION : Définitions

Elles transportent de l’énergie

Elles permettent la transmission d’information

Leurs manifestations (perturbations) se déplacent à une vitesse finie qui dépend de leur nature et de celle du milieu de propagation

Caractéristiques fondamentales des ondes

4

Exemples d'ondes

• Ondes élastiques ou mécaniques (support matériel)• ondes sur l ’eau• corde vibrante• son, ultrasons…• ondes sismiques

• Ondes électromagnétiques (pas de support matériel)• radio, micro-ondes, IR, lumière visible, UV, rayons X...

• Ondes corpusculaires

- E = hν : Énergie associée à une onde électromagnétique de fréquence ν )

- λ = h/p : Longueur d’onde associée à une particule de quantité de mouvement p)

5

• Introduction d ’une perturbation• existence d ’une source : excitation

• rupture des conditions d ’équilibre

• Mécanisme de couplageOndes sonores : force de rappel induite par les variations de pressionOndes à la surface d’un liquide : force de rappel induite par les forces

de gravité ou de tension superficielle

• Milieu de propagation peu dissipatif (Peu d’absorption d’énergie)

Conditions d’existence

la boule A vient frapper l’extrémité de la tige : énergie mécanique injectée dans la barre métallique (excitation)A

Le choc met en mouvement autour de leur position d’équilibre les atomes du matériauconstitutif de la barre

B

Onde de choc B

Les liaisons entre atomes (couplage) induisent le transfert de proche en proche de leur mouvement :

Propagation d’une onde de choc

A l’extrémité de la barre, l’énergie est transférée à la boule B, initialement immobile

Exemple 1 : onde de choc

7

Pas de transport de matière à grande distance : mouvement local puis retour à l'équilibre

Propagation d’énergied’énergie le long du ressort

Exemple 2 : Système masses-ressorts

8

Définition :

• Agent extérieur permettant d’introduire localement une perturbation dans le milieu de propagation

• La source fournit de l’énergie au système ou au milieu

La source

9

Deux grands types d’excitation • Impulsionnelle

• la source est activée pendant une courte durée• l ’onde est dite pulsée

• Entretenue• la source fonctionne en permanence.• l’onde est dite entretenue• cas particulier important : excitation entretenue

harmonique (sinusoïdale)

La source

10

• Milieu à N dimensions (N=1, 2, 3…)

• nombre de directions permises pour la propagation

• 1D : tube acoustique, corde vibrante• 2D : peau de tambour, surface de l ’eau• 3D : son dans une salle de concert, ondes électro-

magnétiques, radar, sonar…

Le milieu de propagation

Le nombre de dimensions N du milieu entraîne une écriture mathématique de l'onde en fonction de :N variables d'espace + 1 variable temporelle

11

Le milieu de propagation

Milieu ou système ouvert pas de frontières les ondes s’éloignent

indéfiniment de la source

Milieu ou système ferméfrontières infranchissables les ondes sont

confinées pas d ’échange d’énergie avec l ’extérieur

Milieu ou système limitéfrontières franchissables les ondes sont

partiellement réfléchies ou transmises

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La polarisation de l’onde Définition : direction de la perturbation

Perturbation perpendiculaire à l'axe de propagation

≡ polarisation transversale

Perturbation parallèle à l'axe de propagation

≡ polarisation longitudinale

NB: ici, la polarisation reste forcément constante dans le temps (polarisation rectiligne)

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• Polarisation rectiligne • le vecteur polarisation garde une direction constante au

cours du temps

• Polarisation elliptique • le vecteur polarisation change de direction au cours du

temps en décrivant une ellipse (cet état de polarisation peut être vu comme la superposition de deux états de polarisation rectilignes orthogonaux et déphasés dans le temps)

• cas particulier : polarisation circulaire

• Polarisation aléatoire (« onde non polarisée »)• le vecteur polarisation change de direction au cours du

temps en prenant une direction aléatoire (cas de la lumière naturelle provenant du soleil)

Etats de polarisation = f°(temps)

Propagation d’une ola (onde transversale) dans un stade

Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique)

EXEMPLES : ondes impulsionnelles

Propagation d’un ébranlement transversal le long d’une corde

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Propagation d’ondes sur l’eau (combinaison d’ondes longitudinale et

transversale)

Propagation d’une onde de cisaillement transversale (onde élastique)

EXEMPLES : ondes entretenues

Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique)

16

Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives

Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.

u(x2,t2) = u(x1,t1)

x2 = x1 + V(t2 - t1)

x2 - V t2 = x1 - V t1

L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps :

u(x,t) = fx (x - V t) (directe)

0

0

V

Instant t1

Instant t2

x1

u

u

x

x

x2

Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives

Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.

u(x2,t2) = u(x1,t1)

x2 = x1 - V(t2 - t1)

x2 + V t2 = x1 + V t1

L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps :

u(x,t) = gx (x + V t) (rétrograde)

V

0

Instant t2x2

u

x

0

Instant t1

u

x

x1

Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V.

u(x2,t2) = u(x1,t1)

t2=t1+ (x2-x1)/ V

t2-x2/ V = t1-x1/ V

L’onde progressive peut être vue comme une fonction du temps retardée :

u(x,t) = ft (t - x/V) (directe)

ou u(x,t) = gt (t + x/V) (rétrograde)

0

0

V

Position x1

Position x2

t1

u

u

t

tt2 

Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives

Plan du cours

II. Ondes acoustiques

Equation de propagation, grandeurs acoustiques

Nature de la perturbation : surpression, déplacement d'une tranche d'airdomaine audible = fréquence de 20 Hz à 20kHz,

(f < 20 Hz infrasons, f > 20 kHz ultrasons)

Mécanisme de couplage Transmission de proche en proche des surpressions ou dépressions locales, grâce à la compressibilité du milieu de propagation

Milieu matériel nécessaire à la propagation le son ne se propage pas dans le vide

(Georges Lucas ne le sait pas!)

Ondes acoustiques : ce que l’on sait déjà

Sources sonore et audition

Source de vibration + structure résonnante

Audition des sons

1

Exemples de couplage dans différents milieux : Elasticité et Compressibilité

Coefficient de compressibilitéModule de compression

Module élastique E (d’Young)

P

Surpression locale

Variation relativelocale de volume

E

Contrainte(traction)

Déformation(allongement)

Élasticité (solides) Compressibilité (gaz)

volume

Établissement de l'équation de propagation d'une onde acoustique dans une colonne de fluide compressible (gaz)

HYPOTHESES- Gaz traité comme un milieu continu :Une « particule de fluide » grand nombre de particules microscopiques- Pression p0 à l’équilibre- Problème unidirectionnel : la surpression introduite par le mouvement du piston est de la forme p(x,t)

x

Piston en mouvement(source)

Gaz(milieu de propagation)

Equation de propagation des ondes acoustiques - Onde unidirectionnelle (1D)

u(x,t) u(x+dx,t)

x x+dx

d

d+(d)

Variation d) du volume d de la tranche initialement comprise entre x et x+dx.u(x,t) est le déplacement à l’abscisse x

)()( xudxxud

dxx

uxudxxu

x

u

d

d

dxx

ud

)(

.)(

x

u

d

dp

1)(1 Equation de couplage entre les champs

de surpression et de déplacement propagés par l’onde

Etape1 : expression du champ de surpression

est la dilatation de la tranche de fluide. C’est une des grandeurs propagée par l’onde

d

dS

)(

(Taylor)

On suit le mouvement d’une masse constante dm de gaz, initialement comprise entre deux sections d’abscisse x et x+dx

Position à t de la tranche en x au repos : x+u(x,t)Position à t de la tranche en x+dx au repos : x+dx+u(x+dx,t)

x x+u(x,t) x+dx x+dx+u(x+dx,t)

Force résultante sur la tranche

dF1dF2

))(())(( 0021 dxxudxxpPxuxpPdFdFdF

Etape 2 : Principe fondamental de la dynamique

1x

u

Approximation acoustique (dilatations négligeables devant 1)

amplitude de vibration des particules <<<

Principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse dm

2

2

02

2

t

udx

t

udmdx

x

pdF

dxx

u

x

pdF

1

Avec , on a : ) ( 1

ilitécompréssibdecoeffx

up

2

2

02

2

t

u

x

u Équation d’onde

))(())(( 0021 dxxudxxpPxuxpPdFdFdF

donne par développement en série de Taylor :

Equation de propagation appelée aussi équation de D'Alembert

Finalement

V est la vitesse de propagation 00

1

V

Dimension de ? 0

22

2

21

3

V1

T

L

TLM

LM

2

2

22

2

02

21

t

u

Vt

u

x

u

Equation d'onde

30

Etape 5 : Equation d'onde

2

2

22

2

02

21

t

p

Vt

p

x

p

2

2

22

2

02

21

t

u

Vt

u

x

u

.totoOn peut montrer que l'équation de D'Alembert est vérifiée à la fois par : le champ de surpression p, le champ de déplacement u, la vitesse des particules u, la dilatation S.

Toutes ces grandeurs peuvent représenter l'onde, elles se propagent à la même vitesse V

.

31

Solutions progressives dans un milieu illimité 1D

On cherche s ’il existe des solutions de l équation de d ’Alembert sous forme d ’ondes progressives

0

0

v

Instant t

t ’ > t

xx

x

),( txp

),( txp

Or, on sait qu'une onde progressive est de la forme la plus générale :

x'

x

x'avec

Instant

On note V la vitesse de propagation de l'onde

txgtxftxp ,,,

V

xttx ,

et V

xttx ,

32

Changement de variable

d

dg

d

df

t

txp

d

dg

t

tx

d

df

t

tx

t

txp

d

dg

Vd

df

Vx

txp

d

dg

x

tx

d

df

x

tx

x

txp

),(),(),(),(

11),(),(),(),(

2

2

2

2

22

22

2

22

2

2 1),(),(),(

d

gd

d

fd

Vd

gd

x

tx

d

fd

x

tx

x

txp

2

2

2

2

2

22

2

22

2

2 ),(),(),(

d

gd

d

fd

d

gd

t

tx

d

fd

t

tx

t

txp

0),(1),(

2

2

22

2

t

txp

Vx

txp

Les ondes progressives sont donc solutions de l’équation de d’Alembert, dans laquelle intervient la constante V