Cours 4 Methodes Operationnelles. Retour aux impedances Impedance: generalisation de resistance...

Cours 4

Methodes Operationnelles

Retour aux impedances

• Impedance: generalisation de resistance

• S’oppose au courant

• Peut changer avec la frequence

• Applicable au regime permanent sinusoidal (pas de condition initiale)

sCZC

1 sLZL

Comment ca marche?

• Impedance oppose le courant.

• Presence de courant des 2 bords

• Courant NE TRAVERSE PAS le condensateur

Comment ca marche?

• Courant arrive d’un bord

• Accumulation de charges positives

• Positif attire negatif

• Arrivee de negatif = depart de positif+Q

Q-

Q Q +

Q +

Comment ca marche?

+-VDD

C

R +-VDD

C

R

Q+

+-VDD

C

R

Q+ Q-

+-

C

R

Q+ Q+

+-

C

R

+

-

VR I

Resume: condensateur

VS

IS

QS+

-

QOUT=-QS

IOUT

VOUT

-

+

VS IS QS QOUT IOUT VOUT

Haute vitesse Vite Fort + + Fort Elevee

Basse vitesse Lent Faible - - Faible Faible

Application: filtre passe haut

• Microphone et amplificateur

• Microphone: microvolts

• Amplificateur: 5v + signal

• Comment?

+/- uV 5v +/- uV

???

10v


• Isoler niveau DC

• Laisser passer la voix

• Comment?• Condensateur

+/- uV

?? +/- uV


• Niveau DC isole

• Comment mettre 5v?• Diviseur de tension

0v +/- uV

R

R

5v +/- uV


• Analyse du circuit

• Circuit 2 sources: superposition• Sources v1 et v2• Sortie f(v1) et f(v2)• f(v1) + f(v2) = f(v1+v2)• Explicitement: f(v1,v2=0) + f(v2, v1=0) = f(v1+v2)

+-

R

R

C


• Note: Source DC n’est PAS fonction echelon.

• Regime permanent

• Condensateur est circuit ouvert

• Source AC est mis a 0 pour l’analyse.

+-

R

R


• Source DC=0

• Resistance parallele

• Se simplifie en filtre passe haut

• Remplacer par impedance

R/2

C

R/2

1/sC


• Diviseur de tension:

• Avec de l’algebre:

• Si on stimulait avec sinus

VINRsC

RVOUT

2//1

2/

VINsCR

sCRVOUT

)2(

)()2( 22

ssCR

sCRVOUT


• En prenant la transformee inverse:

• Exponentielle est transitoire.

• Eventuellement, ca devient:

222

222

4

sincos2Re2 2/

RC

tRCtCRC RCt

222

222

4

sincos2

RC

tRCtCR


• On veut un signal avec grande amplitude

• Prenons un exemple simple

• Diviseur de tension

R1

R2VIN VOUT

+

-

VINRR

RVOUT

21

2


• Regle du pouce: chute de tension de 10%

• Donc: R2 > 9 * R1

• S: frequence complexe.

• Simplifions (pas tout a fait vrai!): prenons s=2*pi*300

sC

R 19

2

2 CR

s1

183002

118

CR

Concretement

• On parle de filtres passe-haut/passe bas.

• Qu’est-ce que ca fait CONCRETEMENT?

• Prendre une section de musique• On va le filtrer avec passe haut• On va le filtrer avec passe bas

• On va ecouter la difference

Piano.wav piano_low.wav piano_high.wav

Concretement

• Pour filtrer, on peut utiliser des circuits avec R, L et C.

• Systeme de son ont des fonctions de type “BASS” et “TREBLE”

SonOriginal

Filtre Passe Bas

S

Concretement

• BLEU: Signal Original

• VERT: Signal filtre

• Gauche: passe bas

• Droite: passe haut

Concretement

• Domaine frequentiel (vert et bleu)

• Gauche: Passe bas

• Droite Passe haut

Impedance

• Impedance s’applique aux systemes en regime permanent sinusoidal

• SANS condition initiale

• Pour condition initiale, il faut changer les regles:

• Condensateur: ajouter tension en serie• Inductance: ajouter courant en parallele

Solution: technique 1

• Ecrire equations de noeuds ou de mailles• Equation differentielles• Convertir en Laplace• Isoler la variable voulue• (Fractions partielles)• Transformee inverse

InputTemps

InputFrequence

OutputTemps

OutputFrequence

Solution equation

differentielle

TransformeeLaplace

TransformeeInverseLaplace

Algebre

Solution: technique 2

• Remplacer elements par impedance• Remplacer condition initiale par sources• Ecrire equation dans le domaine LAPLACE• Isoler la variable voulue• (Fractions partielles)• Transformee inverse

InputTemps

InputFrequence

OutputTemps

OutputFrequence

Solution equation

differentielle

TransformeeLaplace

TransformeeInverseLaplace

Algebre

Definition: Fonction de transfert

• Avec tout systeme:• Gain de tension

• Gain de courant

• Gain transimpedance

• Gain transconductance

• En bout de ligne: Gain=OUTPUT/INPUT

Vin

VoutGVOLT

Iin

IoutGCOUR

Iin

VoutGTRANSIMP

Vin

IoutGTRANSCOND


• Par exemple

• Concept de gain fonctionne bien avec systemes a resistance.

+-

R

RVIN

VOUT 2

1

)(

RR

R

Vin

VoutGVOLT


• Impedance: resistance generalisee

• Fonction de transfert • Gain generalise• Change avec frequence• Dans le domaine Laplace• Avec impedance et/ou admittance


• Trouvons sa fonction de transfert (voltage-voltage)

+-

R

CVINVOUT

)()(

)(1

1

sVinR

sVoutsC

sC

)()(

)(1

1

sVinsVoutsCsCR

sC

)(1

1)( sVinsCR

sVout

1

1

)(

)()(

sCRsVin

sVoutsG

Fonction de transfert: exemple

• Trouver la fonction de transfert VOUT/IIN:

R

C

IINVOUT

L

+

-


• Quelques facons possibles:• Trouver impedance totale et multiplier par IIN pour

trouver VOUT

• Diviseur de courant pour trouver courant dans 1 branche. Multiplier par impedance de cette branche pour trouver VOUT.

• On va choisir le premier (semble plus simple)


• On commence avec la branche de droite:

• On combine avec le condensateur:

• Meme denominateur

• Apres manipulations:

sLRZ D

sLR

sCZ EQ

1

1

1

sLR

sLRsCZ EQ

1

1

12

sCRCLs

sLRZ EQ


• VOUT est donc:

• On cherche fonction de transfert VOUT/IIN:

INEQINOUT IsCRCLs

sLRZIV

12

1)(

2

sCRCLs

sLRZ

I

VsG EQ

IN

OUT

Fonction de transfert

• Normalement:• On trouve laplace du systeme• On isole• On trouve l’inverse de la transformee• Reponse du systeme a un input

• Fonction de transfert n’a PAS de input

• Si on prenait son inverse, ca donnerait quoi?

Fonction de transfert

• Inverse de fonction de transfert: h(t)• Reponse impulsionnelle du systeme• Qu’est-ce qui arriverait si on avait une fonction

percussion a l’entrée?• h(t) est la reponse a cette question.

VOUT

???

Approche structuree: matrices

• Solutions usuelles aux problemes:• Ecrire l’equations de noeuds/mailles• Resoudre

• Solutions aux gros problemes:• Ecrire les equations des noeuds/mailles• Resoudre n equations de n variables

• Introduction d’une approche structuree: Les matrices


• Contrastons les approches.• Prenons un systeme de 2 equations 2

variables.

CL

+-

i1 i2

R

VDD

CL

+-

i1 i2

R

VDD

+ -

+

-

+

-


• 1re maille:

• 2e maille:

• On prend 1re maille, on isole I1

• L’equation sera en termes de I2

• On substitue I1 dans 2e maille

• Resultat: 1 equation a 1 variable

021

1

sC

IIRI

s

VDD

0)(

221

sLI

sC

II


• On va laisser ca de cote.

• Exemple plus generique:

• Isole X1:

• Substitue

• Isole X2:

• Trouver X1:

2443 21 xx

57 21 xx

21 75 xx

244753 22 xx

25

92 x

25

188

25

631251 x


• Proposer nouvelle technique

• Base sur les matrices

• Plus structure et systematique

• Conseil: revisez vos notes sur determinants et loi de cramer


• Approche avec matrice.

• Comment trouver x1 et x2?

• Regle de Cramer

5

24

71

43

2

1

x

x


• Etapes pour resoudre avec Cramer:• Trouver determinant de la matrice coefficients DC.

• Substituer le vecteur reponse dans la 1re colonne

• Trouver ce determinant D1.

• X1 sera D1/DC.

• Repeter pour toutes les colonnes


• Determinant des coefficients:

• On remplace la premier colonne:

• On trouve x1:

18820168)4)(5()7)(24(75

424

25

188

25

18811

CD

Dx

25421)4)(1()7)(3(71

43


• On remplace la 2e colonne:

• On trouve x2:

92415)24)(1()5)(3(51

243

25

9

25

921

CD

Dx


• Contraster les approches.• En premier: resoudre par approche ad-hoc• En deuxieme: utiliser les matrices

CL

+-

i1 i2

R

VDD

+ -

+

-

+

-

021

1

sC

IIRI

s

VDD

0)(

221

sLI

sC

II


• Equation 1re maille:

• On garde les I1 a gauche

• On isole et on embellit:

021

1 sC

IIRI

s

VDD

sC

I

s

VDD

sCRI 2

1

1

12

1

sCR

ICVDDI


• Equation 2e maille (developpee)

• Substitution:

• Meme denominateur:

0221 sLIsC

I

sC

I

01 2

22

sLIsC

I

sCRsC

ICVDD

011 222 sCsCRsLIsCRIICVDD


• Reponse pour I2:

• On peut alors trouver I1:

][ 22 RsLLCRss

VDDI

12

1

sCR

ICVDDI

1][ 2

1

sCRsLLCRsRs

VDDCVDD

I

][1

1][2

2

1 sLLCRsRssCR

sLLCRsRsCVDDI


• Il faut commencer par la bonne forme:

• (??) * I1 + (??) * I2 = REPONSE

• Il faut re-ecrire les equations en regroupant les elements I1 et I2.

• Elements non-I1 et non-I2 vont a droite.

2

1

2

1

2221

1211

y

y

x

x

cc

cc


• On reforme les equations:

• On ecrit la matrice:

s

VDD

sC

I

sCRI

21

1 01)1(

21

sL

sCI

sCI

0

/

/1/1

/1/1

2

1 sVDD

I

I

sCsLsC

sCsCR

0

/

/1/1

/1/)1(

2

1

2

sVDD

I

I

sCCLssC

sCsCsCR


• Calculer le determinant de la matrice

• On aurait interet a le simplifier:

22

2

2

11)1(/1/1

/1/)1(

Cs

CLssCRsCCLssC

sCsCsCR

sC

sLRCLRs )( 2


• On remplace la 1re colonne:

• I1 est donne par:

Cs

VDDCLs

sCCLs

sCsVDD2

2

2

1

/10

/1/

)(

1

1

)(

1

)(

1

2

2

2

2

2

2

2

sLRCLRss

VDDCLssLRCLRs

s

VDDCLs

sC

sLRCLRsCs

VDDCLs


• On remplace la 2e colonne

• I2 est donne par:

Cs

VDDsVDDsCsCR20/1

//)1(

)(1

)()( 222

2

sLRCLRss

VDD

sLRCLRss

VDD

sCsLRCLRs

CsVDD


• Si on comparait I2, ils sont pareilles.

• Les I1 ne se ressemblent pas

• Le numerateur a gauche peut etre factorise:

][1

1][2

2

1 sLLCRsRssCR

sLLCRsRsCVDDI

)(

12

2

sLRCLRss

VDDCLs

1)1(1 2232 CLsLRCssCRCLssCR


• Ecrire les equations de mailles

• Regrouper les termes

• Ecrire la matrice

• Trouver le determinant

• Substituer les colonnes

• Trouver la valeur des variables avec le ratio des determinants.

Matrices par inspection

• Moyen d’ecrire la matrice en regardant le circuit

• On peut regrouper les 3 premieres etapes.

• Commencons par:• Dessiner le sens des courants• Mettre les signes aux bornes des elements


• Commencons par la 1re maille:• Traversons le circuit avec le courant

• Somme des elements passifs dans element C11.

• Elements actifs independants vont dans la matrice des reponses

• Elements qui touchent maille 1 et maille n vont aller dans element C1n

• Si I1 et In sont contraires, le signe est negatif.

• Repeter pour toutes les mailles• Somme des elements passifs dans element Cnn.


• On va reprendre ce circuit parce qu’on le connait:

• Suivons I1: Quels elements touche-t-il?

VDD, R et C

CL

+-

i1 i2

R

VDD

+ -

+

-

+

-


• Element actif: dans matrice des reponses

• Elements passifs entrent dans C11.

• Elements qui touchent I1 et I2: C

• Sens contraire:

sVDD

I

IsCR //1

2

1

sVDD

I

IsCsC

R /11

2

1


• Suivons I2. Quel element touche-t-il?

C, L et aucun element actif

• Elements qui touchent I1 et I2: C

• Sens contraire:

0

/1

11

2

1 sVDD

I

I

sLsC

sCsCR

0

/11

11

2

1 sVDD

I

I

sLsCsC

sCsCR


• Technique PEUT sauver du temps.

• Son utilite depend de votre experience.

• Ajoute a votre baggage de techniques.

• N’oubliez pas de revoir les notes sur les matrices.

• Matrice peut etre jusqu’a 3X3 dans ce cours.

Matrices d’Impedance

• Faites cet exercice vous-meme:• Les exercices en examen ne seront pas

beaucoup plus durs

C

L

+-

i1 i2

R1

v1

+ -

-

+

-

+

R2

+-

v2

+ -


• Suivons I1: v1, R1, C et L.

• L est commun avec I2 (sens oppose):

sV

I

IsLsC

R /111

2

1

sV

I

IsLsLsC

R /111

2

1


• Suivons I2: L, v2 et R2.

• L est commun.

sv

sV

I

I

sLRsL

sLsLsC

R/2

/1

2

11

2

1


• Calculons le determinant:

• On l’arrange pour le rendre beau:

222

2

211

2

11LssLR

sC

sCRCLs

sLRsL

sLsC

sCRCLs

sC

RLRCRsRRCLs 221212


• Substituons la 1re colonne:

• Une fois embelli (on aurait pu factoriser s)

svsLsLRsVsLRsv

sLsV/22/1

2/2

/1

s

sLvLsVRV 2121


• Trouvons I1:

• Passons au 2e.

22121

2121

22121

2121

22 RLRCRsRRCLs

CsLvLsVRV

sC

RLRCRsRRCLss

sLvLsVRV


• Substituons la 2e colonne:

• Rendons le plus beau:

svsLsvsC

sCRCLs

svsL

svsC

sCRCLs/1/2

11

/2

/111 2

2

Cs

vvsCRvvCLs2

2 22121


• Trouvons I2:

• Un bon exercice serait de verifier les reponses avec MATLAB (symbolique)

22121

221212

2

RLRCRsRRCLss

vvsCRvvCLs

Matiere couverte aujourd’hui

• Retour sur les impedances

• Exemples avec le son

• Fonctions de transfert

• Methode de resolution avec matrices (impedance)

• Formulation de matrice par inspection

• Ajout de difficulte: conditions initiales.

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