Un  corrigé  du  Devoir  Surveillé  n°2  (Sujet  NE)  

Exercice  1    

1. Affirmation  1  :  Les  diviseurs  communs  à  12  et  18  sont  les  mêmes  que  les  diviseurs  de  6.  On  dresse  les  listes  des  diviseurs  de  12  et  de  18,  et  on  surligne  les  diviseurs  communs  :    Diviseurs  de  12  :  1,  2,  3,  4,  6  et  12       Diviseurs  de  18  :  1,  2,  3,  6,  9  et  18.  On  constate  que  les  diviseurs  communs  de  12  et  18  sont  les  diviseurs  de  6.  Affirmation  VRAIE.  

2. Affirmation  2  :  −19  est  un  antécédent  de  −7  la  fonction  g  définie  par  𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 2.  1ère  méthode        On  calcule  l’image  de  – 19  par  la  fonction  𝑔  :      𝑔 −19 = 3  ×   −19 + 2 = −55  

                   −19  est  un  antécédent  de  −55  par  la  fonction  𝑔.  Affirmation  FAUSSE.  OU  

2ème  méthode        On  cherche  quel  est  un  antécédent  de  −7  par  la  fonction  𝑔.                          On  «  remonte  »  le  prgm  de  calculs  à  l’envers  :          −7 →  −7− 2 = −9 → −9÷ 3 = −3  

                     −3  est  un  antécédent  de  −7  par  la  fonction  𝑔.  Affirmation  FAUSSE.  

3. Affirmation  3  :  L’expression   25  ×   3!  est  égale  à  45.  

25  ×   3!= 5  ×  3 = 15.  Affirmation  FAUSSE.  

4. Affirmation  4  :  pgcd(𝑎,  𝑏)  =  𝑎 − 𝑏  avec  𝑎  et  𝑏  deux  nombres  entiers  positifs    tels  que  𝑎 > 𝑏.  Prenons  𝑎 = 6  et  𝑏 = 1.  𝑎  et  𝑏  sont  deux  nombres  entiers  positifs  tels  que  𝑎 > 𝑏.  pgcd(𝑎,  𝑏)  =  1  et  𝑎 − 𝑏 = 6− 1 = 5          donc          pgcd(𝑎,  𝑏)  ≠  𝑎 − 𝑏  On  vient  de  trouver  un  exemple  pour  lequel  l’égalité  était  fausse.  Affirmation  FAUSSE  

Exercice  2      

La  copie  d’écran  ci-­‐dessous  montre  le  travail  effectué  par  Léa  pour  étudier  trois  fonctions  𝑓,  𝑔  et  ℎ  telles  que  :    �    𝑓 ∶ 𝑥  ⟼ 3𝑥 + 7  �    𝑔 ∶ 𝑥  ⟼ 𝑥! + 3𝑥 − 7    �    ℎ  est  une  fonction  dont  Léa  a  oublié  d’écrire  l’expression  dans  la  cellule  A4.  

 1. −2  a  pour  image  1  par  la  fonction  𝑓  (encadré  orange).  

2. Vérifie  à  l’aide  d’un  calcul  détaillé  que  g −1 = −9.  (Vous  devez  donc  obtenir  −9  comme  résultat  !)  𝑔 −1 = −1 ! + 3  ×   −1 − 7 = 1− 3− 7 =  −9.  On  obtient  bien  𝑔 −1 = −9.  

3. La  cellule  B4  est  sélectionnée,  on  peut  ainsi  voir  la  formule  saisie  (encadré  bleu).    On  a    alors,  ℎ 𝑥 =  −2𝑥 + 5.  

Exercice  3      

Remarque  –  Pensez  à  faire  les  pointillés  de  lecture  graphique  !!  

1. a)  À  une  distance  de  100  mètres  de  la  tondeuse,  le  niveau  de  bruit  est  d’environ  50  décibels.  b)  Le  niveau  de  bruit  est  de  60  décibels  à  une  distance  de  30  mètres  de  la  tondeuse.    

2. À  moins  de  5  mètres  de  la  machine  A,  le  bruit  est  de  85  décibels  et  plus.  Pour  la  machine  B,  ce  niveau  de  bruit  est  atteint  à  10  mètres  et  moins  de  distance.      

Exercice  4  

 À  quelle  hauteur  Emmy  doit-­‐elle  placer  le  repère  sur  son  mur  pour  pouvoir  régler  correctement  ses  feux  de  croisement  ?    Toute  trace  de  recherche,  même  incomplète,  ou  d’initiative,  même  infructueuse,  sera  prise  en  compte.  

�  On  utilise  le  doc.  1  pour  connaître  la  distance  de  porté  des  feux  de  croisement.  Cette  dernière  est  de  30  m.  �  On  peut  modéliser  la  situation  par  le  schéma  ci-­‐dessous  :  

 avec  SL  =  30  m  

�  Les  droites  (PH)  et  (SM)  sont  sécantes  en  L  et  les  droites  (PS)  et  (MH)  sont  parallèles  (car,  elles  sont  toutes  deux  perpendiculaires  à  (SL)).  Donc  d’après  le  théorème  de  Thalès,  les  longueurs  des  côtés  des  triangles  SPL  et  HML  sont  proportionnelles.    

ATTENTION  !        SM  =  1,5  m  ne  correspond  pas  à  la  longueur  d’un  côté  d’un  des  2  triangles  cités  ci-­‐dessous.      Veillez  à  travailler  avec  les  mêmes  unités.  Ici,  PS  =  60  cm  soit  0,6  mètres.  

 Longueurs  des  côtés  du  triangle  SPL   LP   LS  

30  m  (document  1)  PS  

0,6  m  Longueurs  des  côtés  du  triangle  HML   LH   LM  

30  m  -­‐  1,5  m  =  28,5  m  HM  

Ce  que  l’on  cherche    À  l’aide  de  la  méthode  de  votre  choix,  on  obtient  :  HM  =  0,57  m  soit  57  cm.  Le  repère  sur  le  mur  doit  donc  être  placé  à  57  cm  de  hauteur.  

Remarque  :  Certains  ont  obtenu  une  hauteur  de  plus  de  3  mètres…  Posez  vous  des  questions  sur  la  cohérence  de  votre  résultat.    

 

Document  1        Extraits  du  code  de  la  route  (articles  R313_2  et  R313  –  3)  

�Feux  de  route  (article  R313-­‐2)  […]  Sauf  dispositions  différentes  prévues  au  présent  article,  tout  véhicule  à  moteur  doit  être  muni  à  l'avant  de  deux  ou  de  quatre  feux  de  route  émettant  vers  l'avant  une  lumière  jaune  ou  blanche  permettant  d'éclairer  efficacement  la  route  la  nuit,  par  temps  clair,  sur  une  distance  minimale  de  100  mètres.  […]    

�Feux  de  croisement  (article  R313-­‐3)  […]  Sauf  dispositions  différentes  prévues  au  présent  article,  tout  véhicule  à  moteur  doit  être  muni  à  l'avant  de  deux  feux  de  croisement,  émettant  vers  l'avant  une  lumière  jaune  ou  blanche  permettant  d'éclairer  efficacement  la  route  la  nuit,  par  temps  clair,  sur  une  distance  minimale  de  30  mètres  sans  éblouir  les  autres  conducteurs.  […]    

 

Document  2        Schéma  de  la  situation  

Afin  de  contrôler  régulièrement  la  porté  des  feux  de  croisement  de  sa  voiture,  Emmy  veut  tracer  un  repère  sur  le  mur  au  fond  de  son  garage.    La  figure  ci-­‐contre  n’est  pas  à  l’échelle.    Les  feux  de  croisement  sont  à  60  cm  du  sol.