Παραδείγματα Αναγωγών

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

ΣΗΜΜΥ

27 Φεβρουαρίου 2014

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 1 / 10

MAXSAT

Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10

MAXSAT

Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K

Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10

MAXSAT

Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K

Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;

Θεώρημα

Το MAXSAT είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10

MAXSAT

Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K

Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;

Θεώρημα

Το MAXSAT είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Ανάθεση αληθοτιμών στις μεταβλητές. ΑραMAXSAT∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10

MAXSAT

Είσοδος: Λογική Πρόταση σε CNF μορφή και φυσικός αριθμός K

Ερώτηση: Μπορούν να ικανοποιηθούν ≥ K clauses;

Θεώρημα

Το MAXSAT είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Ανάθεση αληθοτιμών στις μεταβλητές. ΑραMAXSAT∈ NP

MAXSAT γενίκευση SAT

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 2 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);

Θεώρημα

Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);

Θεώρημα

Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete

Απόδειξη

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);

Θεώρημα

Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Hamilton Path. Αρα HP∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G

Ερώτηση: Υπάρχει μονοπάτι που καλύπτει όλες τις κορυφές(HP);

Θεώρημα

Το HAMILTON PATH είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Hamilton Path. Αρα HP∈ NP

HAMILTON CYCLE ≤ HAMILTON PATH

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 3 / 10

HAMILTON PATH reduction

Σχήμα: Reduction

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10

HAMILTON PATH reduction

Σχήμα: Reduction

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10

HAMILTON PATH reduction

Σχήμα: Reduction

Αν έχουμε HC:u-y -P-x-u, τότε έχουμε HP w -u-y -P-x-u′-z

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10

HAMILTON PATH reduction

Σχήμα: Reduction

Αν έχουμε HC:u-y -P-x-u, τότε έχουμε HP w -u-y -P-x-u′-zΑν έχουμε HP τότε θα είναι της μορφής w -u-y -P ′-x-u′-z . Αρα ο HCu-y -P ′-x-u

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 4 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;

Θεώρημα

Το MLST είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;

Θεώρημα

Το MLST είναι NP-Complete

Απόδειξη

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;

Θεώρημα

Το MLST είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το συνδετικό δέντρο. Αρα MLST∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

Min Leaf Spanning Tree

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK , 2 ≤ K ≤ |V |

Ερώτηση: ΄Εχει το G συνδετικό δέντρο με K ή λιγότερα φύλλα;

Θεώρημα

Το MLST είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το συνδετικό δέντρο. Αρα MLST∈ NP

MLST γενίκευση HP (K = 2)

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 5 / 10

LONGEST PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10

LONGEST PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )

Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10

LONGEST PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )

Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;

Θεώρημα

Το LONGEST PATH είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10

LONGEST PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )

Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;

Θεώρημα

Το LONGEST PATH είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το μονοπάτι. Αρα LONGEST PATH∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10

LONGEST PATH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό γράφημα G (V ,E )

Ερώτηση: Υπάρχει στο G μονοπάτι τουλάχιστον |V |/4;

Θεώρημα

Το LONGEST PATH είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το μονοπάτι. Αρα LONGEST PATH∈ NP

HAMILTON PATH ≤ LONGEST PATH

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 6 / 10

Longest Path REDUCTION

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10

Longest Path REDUCTION

Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10

Longest Path REDUCTION

Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.

Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10

Longest Path REDUCTION

Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.

Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′

Θέλουμε αυτό να είναι τουλάχιστον το 1/4 του συνολικού αριθμούτων κορυφών του G ′

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10

Longest Path REDUCTION

Προσθέτουμε σε κάθε κορυφή γείτονες βαθμού 1.

Αν έχουμε μονοπάτι Hamilton στο G , τότε θα υπάρχει μονοπάτιμήκους |V |+ 2 στο G ′

Θέλουμε αυτό να είναι τουλάχιστον το 1/4 του συνολικού αριθμούτων κορυφών του G ′

Θα προσθέσουμε αρκετές καινούργιες κορυφές ώστε να έχουμε|V ′| = 4|V |+ 8

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 7 / 10

DENSE SUBGRAPH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10

DENSE SUBGRAPH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10

DENSE SUBGRAPH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;

Θεώρημα

Το DS είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10

DENSE SUBGRAPH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;

Θεώρημα

Το DS είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το S . Αρα DS∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10

DENSE SUBGRAPH

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικοί αριθμοίK , B

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο S ⊂ V ώστε το επαγόμενο υπογράφηματου G που ορίζεται απ΄ τις κορυφές του S να έχει τουλάχιστον Bακμές;

Θεώρημα

Το DS είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Το S . Αρα DS∈ NP

DS γενίκευση του Clique (B = K(K−1)2 )

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 8 / 10

FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10

FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10

FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;

Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.

Θεώρημα

Το FVC-U είναι NP-Complete

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10

FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;

Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.

Θεώρημα

Το FVC-U είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Σύνολο κορυφών ανάδρασης. Αρα FVC-U∈ NP

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10

FEEDBACK VERTEX SET - UNDIRECTED

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών ανάδρασης με Κ ή λιγότερεςκορυφές;

Σύνολο κορυφών ανάδρασης: είναι υποσύνολο των κορυφών τουγραφήματος που αν αφαιρεθούν κάνουν το γράφημα ακυκλικό.

Θεώρημα

Το FVC-U είναι NP-Complete

Απόδειξη

Πιστοποιητικό: Σύνολο κορυφών ανάδρασης. Αρα FVC-U∈ NP

VERTEX COVER ≤ FVC-U

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 9 / 10

FVC-U reduction

VERTEX COVER

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10

FVC-U reduction

VERTEX COVER

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών που καλύπτουν όλες τις ακμέςμε Κ ή λιγότερες κορυφές;

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10

FVC-U reduction

VERTEX COVER

Είσοδος: Μη κατευθυνόμενο γράφημα G (V ,E ) και φυσικός αριθμόςK

Ερώτηση: Υπάρχει σύνολο κορυφών που καλύπτουν όλες τις ακμέςμε Κ ή λιγότερες κορυφές;

Σχήμα: Reduction

(ΣΗΜΜΥ) Παραδείγματα Αναγωγών 27 Φεβρουαρίου 2014 10 / 10