Copy of Zbirka DMS 2008-9

8/6/2019 Copy of Zbirka DMS 2008-9

1/182

Vladimir Balti

DISKRETNEMATEMATIQKE

STRUKTUREzbirka ispitnih i domaih zadataka

iz 2008. i 2009.

Fakultet organizacionih nauka

B E O G R A D 2010.


2/182

Autor: mr Vladimir Balti,

DISKRETNE MATEMATIQKE STRUKTURE - zbirka ispitnih idomaih zadataka iz 2008. i 2009.

Izdavaq: Fakultet organizacionih nauka,Beograd, Jove Ilia 154

Recenzenti: dr Mirjana Qangalovidr Vera Vujqi

Crtei i slog: autor

CIP Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

51-74:004(075.8)BALTI, Vladimir, 1973

Diskretne matematiqke strukture / VladimirBalti. Beograd : Fakultet organizacionihnauka, 2010 (Smederevo : Newpress). 182 str. :graf. prikazi, tabele ; 24 cm.

Tira 300. Bibliografija: str. 181-182.

ISBN 9788676801855

a) Diskretna matematika

COBISS.SRID 167436812

ISBN: 9788676801855Fakultet organizacionih nauka, 2010.

Tira: 300 primeraka

Xtampa: Newpress, Smederevo


3/182

Sadraj

PREDGOVOR 6

1. PISMENI ISPITI 2008-9. 71.1. Jun 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Septembar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Oktobar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Oktobar II 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Decembar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Januar 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. A pril 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. M art 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. PISMENI ISPITI 2009-10. 182.1. Jun 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Septembar 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Oktobar 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Oktobar II 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Januar 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6. A pril 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. KOLOKVIJUMI 2008. 273.1. Probni prvi kolokvijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Prvi kolokvijum 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Probni drugi kolokvijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. Drugi kolokvijum 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. KOLOKVIJUMI 2009. 404.1. Prvi kolokvijum 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Drugi kolokvijum 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. DOMAI ZADACI 2008. 515.1. Iskazni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Predikatski raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3. Relacijske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5. Konaqni automati i formalne gramatike . . . . . . . . . . . . 61

3


4/182

4

6. DOMAI ZADACI 2009. 64

6.1. Iskazni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2. Predikatski raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3. Relacijske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4. Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5. Konaqni automati i formalne gramatike . . . . . . . . . . . . 74

7. REXEA ZADATAKA 77

7.1. Pismeni ispiti 2008-9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Jun 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Septembar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Oktobar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Oktobar II 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Decembar 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

J a n u a r 2 0 0 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

April 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Mart 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2. Pismeni ispiti 2009-10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Jun 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Septembar 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Oktobar 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Oktobar II 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

J a n u a r 2 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

April 2010. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3. Kolokvijumi 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Probni prvi kolokvijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Prvi kolokvijum 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Probni drugi kolokvijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Drugi kolokvijum 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4. Kolokvijumi 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Prvi kolokvijum 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Drugi kolokvijum 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.5. Domai zadaci 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Iskazni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Predikatski raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Relacijske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Konaqni automati i formalne gramatike . . . . . . . . . . . 173

7.6. Domai zadaci 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Iskazni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Predikatski raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Relacijske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Konaqni automati i formalne gramatike . . . . . . . . . . . 175


5/182

5

8. NAPOMENE 1778.1. Iskazni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2. Predikatski raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.3. Relacijske strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.4. Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

LITERATURA 181


6/182

6 PREDGOVOR

Predgovor

Objasniti strukturu ispita, kolokvijuma i domaih zadataka.PROMENITI SVE STARE OZNAKE KOD AUTOMATA IZ 2008.

da bi bili usaglaxeni sa ubenikom!PROMENITI DA SVE SLIKE izgledaju isto: qvorove oznaqiti

plavom bojom...U zbirci su sve stare oznake za gramatiku, G = (N, , P , S ), koje su se

javale na ispitima tokom xkolske 2008-9. godine usaglaxene sa novimoznakama, G = (N, T, , ), koje se koriste od 2009. godine (da bi zadacibili usaglaxeni sa ubenikom). Takoe, i praznu req vixe ne oznaqavamosa e nego sa .

Na pismenom ispitu i kolokvijumu svaki zadatak nosi 25 poena (semautomata na II kolokvijumu koji nosi 35 poena). Vreme za izradu i pis-menog ispita, kao i kolokvijuma iznosi 135 minuta (2 sata i 15 minutaili 3 xkolska qasa).

Domai zadaci:

Radite po jedan zadatak koji vam generixe program na osnovu bro-ja indeksa (ostali zadaci mogu vam posluiti za vebu pri spremaukolokvijuma, odnosno pismenog dela ispita). Svaki zadatak nosi 2 poena(mogue je dobiti i npr. 0.8 poena). Potrebno je detano obrazloitirexea.


7/182

1.1. JUN 2008. 7

1. Pismeni ispiti 2008-9.

1.1 Jun 2008. 17.06.2008.

Grupa A

1. Ana, Beba, Cica i Daca su drugarice koji qesto izlaze zajedno uposlastiqarnicu. Poznato je da svaka od ih jede uvek isti kolaq i toili baklavu ili orasnicu (samo jedno od toga). U vezi toga koja od ihxta jede, poznati su sledei iskazi:

1 Ako Ana jede orasnice, onda Beba jede isti kolaq kao i Daca.

2 Ako Cica jede baklave, onda Ana i Beba jedu razliqite kolaqe.

3 Ako Cica i Daca jedu isti kolaq, onda Ana jede baklavu.

4 Beba i Cica jedu isti kolaq.

Da li su ove izjave neprotivreqne?

Za koje od ih sa sigurnoxu moete da tvrdite koji kolaq jedu?

2. Neka je binarna relacija definisana na skupu N tako da za svex, y N vai

x ydef (k N) x + y = 2k x.

a) Dokazati da li relacija predstava jedno ureee (relaciju poret-

ka) na skupu N.b) Ispitati da li je to relacija totalnog ili relacija parcijalnogporetka. Da li je to rexetka?

v) Dokazati da ne postoji najmai i najvei element skupa N. Dokazatida su svi brojevi oblika 2k, k N0 maksimalni elementi skupa N.g) Ispitati da li relacija predstava jednu relaciju ekvivalencijena skupu N.

3. Graf G = (V, E) je zadat svojom matricom incidencije qvorova i granaR:

R =

1 1 1 0 0 0 0 02 1 0 1 1 0 0 0

3 0 0 1 0 1 0 04 0 1 0 0 0 1 15 0 0 0 1 0 1 06 0 0 0 0 1 0 1


8/182

8 1. PISMENI ISPITI 2008-9.

a) Napisati matricu susedstva A, kao i matricu rastojaa D.

b) Odrediti skup qvorova V i skup grana E. Nacrtati dati graf. Od-rediti stepene d(v) svih qvorova.

v) Da li dati graf ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovukonturu, Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

g) Odrediti matricu A3. Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 doqvora 2? Navesti sve te puteve.

4. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom {a, b}koje poqiu sa aab i sadre abb.

a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.

b) Odrediti regularnu gramatiku (N, T, , ) koja odgovara optimalnomautomatu.

Grupa B

5. Ana, Beba, Cica i Daca su drugarice koji qesto izlaze zajedno uposlastiqarnicu. Poznato je da svaka od ih jede uvek isti kolaq i toili baklavu ili orasnicu (samo jedno od toga). U vezi toga koja od ihxta jede, poznati su sledei iskazi:

1 Ako Ana jede orasnice, onda Beba jede isti kolaq kao i Daca.

2 Ako Cica jede orasnice, onda Ana i Daca jedu razliqite kolaqe.

3 Ako Beba i Cica jedu razliqite kolaqe, onda Ana jede baklavu.

4 Cica i Daca jedu razliqite kolaqe.

Da li su ove izjave neprotivreqne?Za koje od ih sa sigurnoxu moete da tvrdite koji kolaq jedu?


x ydef (k N) x + y = 2k y.

a) Dokazati da li relacija predstava jedno ureee (relaciju poret-ka) na skupu N.

b) Ispitati da li je to relacija totalnog ili relacija parcijalnogporetka. Da li je to rexetka?

v) Dokazati da ne postoji najmai i najvei element skupa N. Dokazatida su svi brojevi oblika 2k, k N0 minimalni elementi skupa N.g) Ispitati da li relacija predstava jednu relaciju ekvivalencijena skupu N.


9/182

1.2. SEPTEMBAR 2008. 9

7. Na sledeoj slici je predstaven graf G = (V, E).

2

3

1 5

6

4

a) Odrediti skup qvorova V i skup grana E. Odrediti stepene d(v) svihqvorova.

b) Napisati matricu susedstva A, matricu incidencije qvorova i granaR i matricu rastojaa D.



8. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom {a, b}koje se zavrxavaju sa baa i ne sadre abb.



1.2 Septembar 2008. 25.08.2008.

9. Odrediti istinitosnu vrednost predikatske formule

(x) (z, a) (z)

f(x, y), z

(y) x, f(y, z)za interpretaciju D = N, : = , f : mnoee, a : 1.

10. Data je relacija

: x ydef x4y2 + y2 = y4x2 + x2

na skupu {5, 2, 15 , 12 , 2}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji

i koji nisu u relaciji

.

b) Predstaviti datu relaciju tabliqno i preko grafa.

v) Da li je data relacija refleksivna, simetriqna, antisimetriqna,tranzitivna?


10/182


g) Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i/ili relacija poretka.

d) Ukoliko je to relacija ekvivalencije odrediti sve klase ekvivalenci-je, a ukoliko je to relacija poretka predstaviti je preko Haseovog dija-grama i ispitati da li je to relacija totalnog ili parcijalnog poretka.

11. Dat je izraz

a (b + c) : (b a + d) + e d

u infiksnoj notaciji.

a) Odrediti binarno stablo T koje odgovara ovom izrazu. Kolika je visi-na stabla T? Odrediti nivo svakog lista u stablu T. Da li je stablo Tbalansirano? Da li je stablo T potpuno binarno stablo?

b) Napisati u prefiksnoj i postfiksnoj (poskoj i inverznoj poskoj)notaciji dati izraz.

v) Odrediti graf G koji se dobija od stabla T kada qvor koji odgovarasimbolu c spojimo granama sa qvorovima koji odgovaraju simbolima b,

zatim qvor koji odgovara simbolue

spojimo granama sa qvorovima kojiodgovaraju simbolima d i kada obrixemo qvor koji odgovara operaciji :sa svim granama koje polaze iz tog qvora. Da li je graf G stablo?

g) Da li graf G ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovu kon-turu, Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

12. Nai konaqan automat koji prepoznaje reqi nad azbukom {a, b} koje sezavrxavaju sa bab i izmeu svaka dva slova a (ako postoje) se ne nalazitaqno jedno slovo b.


b) Odrediti regularnu gramatiku (N, T, , ) koja odgovara optimalnom

automatu.

1.3 Oktobar 2008. 17.09.2008.

13. Data je skupovna formula F:

(A \ C) (D \ B) (A D) \ (C B).a) Predstaviti levu i desnu stranu formule F preko Venovih dijagrama.

b) Predstaviti F preko iskaznih formula.

v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je F uvektaqna).


11/182

1.3. OKTOBAR 2008. 11


: x ydef x4y2 y4x2 + y2 x2 = 0

na skupu R.

a) Da li je data relacija refleksivna, simetriqna, antisimetriqna,tranzitivna?

b) Ispitati da li je to relacija ekvivalencije i/ili relacija poretka.

v) Ukoliko je to relacija ekvivalencije odrediti koliko elemenata imajuklase ekvivalencije, a ukoliko je to relacija poretka odrediti najmaii najvei, kao i minimalni i maksimalni element (ako postoje) skupa{5, 2, 15 , 12 , 2}

15. Graf G = (V, E) je zadat svojom matricom susedstva A:

A =

1 2 3 4 5 61 0 1 0 1 0 02 1 0 1 0 1 03 0 1 0 0 0 14 1 0 0 0 0 15 0 1 0 0 0 06 0 0 1 1 0 0

a) Napisati matricu incidencije qvorova i grana R, kao i matricu ras-tojaa D.




16. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje se zavrxavaju na aab i ne sadre abb.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.



12/182


1.4 Oktobar II 2008. 11.10.2008.

17. Odrediti istinitosnu vrednost predikatskih formula:

a) x(x Z 3x = 0); b) x(x Q 3x = 0); v) (x N)(y N)(xy);g) (y N)(x N)(x y); d) (x, y, z R)(x = y xz = yz);) (x, y, z R)(xz = yz x = y).


= {(a, b) | (a b) (ab 1) = 0}

na skupu {1, 1, 2, 12}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .





19. a) Odrediti koliko ima neizomorfnih stabala sa 8 qvorova.Nacrtati sva ta stabla.

b) Odrediti koja od tih stabala imaju Ojlerovu konturu, Ojlerov put,Hamiltonovu konturu, Hamiltonov put?

v) Nai dva neizomorfna stabla sa istim nizom stepena qvorova.

g) Odrediti dijametar i centar za svako stablo odreeno u delu pod v).

d) Odrediti matricu susedstva A za svako stablo odreeno u delu podv).

20. Nai konaqan automat koji prepoznaje one reqi nad azbukom {a, b}koje poqiu sa baba i sadre taqno tri a ili najmae pet a i sadrenajmae dva b.




13/182

1.6. JANUAR 2009. 13

1.5 Decembar 2008. 11.12.2008.

21. Odrediti istinitosnu vrednost predikatskih formula:

a) x(x Z 3x = 8); b) x(x Q 3x = 8); v) (x N)(y N)(x y);g) (y N)(x N)(x y); d) (x, y, z R)(x = y xz = yz);) (x, y, z R)(xz = yz x = y).


= {(a, b) | (a2 b2) (ab 1) = 0}






23. a) Odrediti koliko ima neizomorfnih stabala sa 7 qvorova.Nacrtati sva ta stabla.


v) Nai dva neizomorfna stabla sa istim nizom stepena qvorova.

g) Odrediti dijametar i centar za svako stablo odreeno u delu pod v).

d) Odrediti matricu susedstva A za svako stablo odreeno u delu podv).

24. Nai konaqan automat koji prepoznaje one reqi nad azbukom {a, b}koje poqiu sa baba i sadre taqno tri b ili najmae pet b i sadrenajmae dva a.


b) Odrediti regularnu gramatiku (N, T, ,

) koja odgovara optimalnomautomatu.


14/182


1.6 Januar 2009. 16.01.2009.

25. Data je skupovna formula

(A B) \ (C D) (A \ B) (B \ C) D.a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.

b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.

v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polaznaskupovna formula uvek taqna).

26. Ispitati da li je relacija definisana kao

x y xy y2

relacija poretka na skupu: a) N prirodnih brojeva; b) Z celih brojeva.

27. Graf G = (V, E) je zadat svojom matricom rastojaa D:

D =

1 2 3 4 5 61 0 1 2 1 2 32 1 0 1 1 1 23 2 1 0 2 1 14 1 1 2 0 2 35 2 1 1 2 0 16 3 2 1 3 1 0

a) Napisati matricu susedstva A, kao i matricu incidencije qvorova igrana R.




28. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje poqiu sa aab i ne sadre aba.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.

b) Odrediti regularnu gramatiku (N, T, ,

) koja odgovara optimalnomautomatu.


15/182

1.7. APRIL 2009. 15

1.7 April 2009. 08.02.2009.

29. Mislei da je atraktivan izgled dovoan za karijeru pevaqice, petmojih mladih sugraanki (Kristina, Jelena, Taa, Radica, Violeta) idu

sa audicije na audiciju i doivava neuspeh za neuspehom. Koliko kojaima godina (18,19,20,21,22), na koliko su audicija bile do sada (4,5,6,7,8)i xta su pevale na posledoj (Plava lampa treperi, Kroz xivikei livade, Mirno spavaj, nano, Xta e mi ivot i Kukavica)otkriete iz ovog zadatka.

Kristina ima godinu dana vixe od interpretatorke pesme Mirnospavaj, nano, a godinu dana je mlaa od devojke sa najmaim brojempokuxaja.

Devojka koja ima 21 godinu, bila je na audicijama jednom vixe negoJelena, a jednom mae od one koja je pokuxala sa Kukavicom.

Jednu godinu vixe i jednu audiciju vixe od Radice ima devojka qijaje pesma na audiciji bila Xta e mi ivot.

Taa, koja se okuxala sa Kroz xivike i livade, mlaa je godinudana od devojke sa 6 neuspelih audicija.

Plavu lampu je pevala dvadesetogodixakia.(Ako postavite taqno tablicu sa 0 i 1 za ove iskaze dobijate 5 poena, azatim za svaki taqan iskaz poput ,,Devojka koja ima 18 godina nije bilana taqno 5 audicija sa obrazloeem kako ste do toga doxli dobijate po 1poen do ukupno 20 poena i za kompletirae zadatka jox 5 poena ukupno25 poena)

30. Ispitati da li je relacija

definisana kao

x ydef (x2 y2)(x2y2 1) = 0

jedna relacija ekvivalencije na skupu realnih brojeva. Ukoliko jeste,odrediti klase ekvivalencije [0], [1] i [2].

31. Neka su frekvencije pojavivaa nekih simbola date u sledeojtablici

simbol a i k m o t ufrekvencija 26 20 4 8 2 17 1

a) Odrediti odgovarajue Hafmanovo stablo S (tj. binarno stablo mi-nimalne srede duine puta kod koga su dati simboli listovi), kao iodgovarajui Hafmanov kod.

b) Kolika je visina dobijenog stabla S? Odrediti nivo svakog lista u


16/182


stablu S. Da li je stablo S balansirano? Da li je stablo S potpunobinarno stablo?

v) Kodirati req ,,automatika.

g) Da li je neki od sledeih kodova ispravan (tj. predstava neku odreqi gore azbuke):

01, 101, 00100, 00011101, 001100111, 010000100111?

32. Nai konaqan automat koji prepoznaje one reqi nad azbukom {a, b}koje poqiu sa ababa i sadre taqno dva b ili najmae pet b i sadrenajmae tri a.



1.8 Mart 2009. 13.03.2009.


(B D) (C\ A) B \ (A D).

a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.



34. Neka je binarna relacija definisana na S R+ tako da za svex, y S vai

x ydef x + 5y

3y 2.

a) Dokazati da je (S, ) parcijalno ureen skup.

b) Predstaviti relaciju grafom i tabliqno, ako je S =

12

, 1,

3, , 5

.

v) Nai supremum i infimum podskupa T = {1, 3, 5}.g) Da li je (S, ) rexetka, gde je S =

12 , 1,

3, , 5

?


17/182

1.8. MART 2009. 17


D =

1 2 3 4 5 61 0 1 2 3 2 32 1 0 1 2 1 23 2 1 0 2 1 1

4 3 2 2 0 1 25 2 1 1 1 0 16 3 2 1 2 1 0

a) Napisati matricu susedstva A, kao i matricu incidencije qvorova igrana R.



g) Odrediti matricu A3. Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 do

qvora 2? Navesti sve te puteve.

36. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje poqiu sa bab i ne sadre abba.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.



18/182


2. Pismeni ispiti 2009-10.

2.1 Jun 2009. 30.05.2009.

37. Odrediti istinitosnu vrednost formule

(x) (a, x) (x, y) f(x, y), g(x, y),gde je a simbol konstante, binarni relacijski znak, f, g binarnifunkcijski (operacijski) znaci, pri interpretaciji D = R, a : 5, : =,f: mnoee, g(x, y) = x + y 1, u zavisnosti od valuacije slobodnihpromenivih.


: x ydef razlika zbira cifara broja x i zbira cifara

broja y je deiva sa 5

na skupu {11, 27, 38, 46, 58}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .






19/182

2.1. JUN 2009. 19

39. Dato je korensko stablo RT = (T, r). egov koren je qvor r = 8.Svaki potomak d1 qija je oznaka maa od oznake pretka p nalazi se u levompodstablu od p, a svaki potomak d2 qija je oznaka vea od oznake pretka

p nalazi se u desnom podstablu od p.Stablo T = (V, E) je zadato matricom rastojaa D:

D =

1 3 5 6 8 9 13 15 16 181 0 1 2 2 3 5 6 4 6 53 1 0 1 1 2 4 5 3 5 45 2 1 0 2 3 5 6 4 6 56 2 1 2 0 1 3 4 2 4 38 3 2 3 1 0 2 3 1 3 29 5 4 5 3 2 0 1 1 3 213 6 5 6 4 3 1 0 2 4 315 4 3 4 2 1 1 2 0 2 116 6 5 6 4 3 3 4 2 0 118 5 4 5 3 2 2 3 1 1 0

a) Napisati matricu susedstva A stabla T. Nacrtati korensko stablo

RT. Odrediti stepene d(v) svih qvorova.b) Odrediti skup qvorova V i skup grana E. Odrediti broj qvorova n ibroj grana m. Da li vai veza izmeu m i n u stablu?

v) Kolika je visina dobijenog stabla RT? Odrediti nivo svakog listau stablu RT. Da li je stablo RT balansirano? Da li je stablo RTstriktno binarno stablo? Da li je stablo RT potpuno binarno stablo?Da li je stablo RT binarno stablo pretraivaa?

g) Odrediti redosled obilazaka qvorova stabla RT pri KLD, LKD iLDK obilasku.

40. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom

{a, b

}koje poqiu sa bba i ne sadre paran broj slova a.


b) Odrediti regularnu gramatiku G = (N, T, , ) koja odgovara opti-malnom automatu.


20/182


2.2 Septembar 2009. 22.08.2009.


A

B

C

(A

B

C)\ A \ (B C) B \ (C A) C\ (A B).

a) Predstaviti levu i desnu stranu formule F preko Venovih dijagrama.

b) Predstaviti F preko iskaznih formula.


42. Data je relacija :

(a, b) (c, d)def a d = b c

na skupu NN.



v) Ukoliko je to relacija ekvivalencije odrediti klasu ekvivalencijeelementa (22, 8), a ukoliko je to relacija poretka odrediti najmai inajvei, kao i minimalni i maksimalni element (ako postoje) skupa NN.

43. a) Da li postoji regularan graf stepena 3 sa 9 qvorova?

b) Nacrtati 2 neizomorfna regularna grafa stepena 3 sa 8 qvorova.

Za SVAKI od ta 2 grafa odrediti sledee:

v) Koliko ima grana?g) Da li je povezan?

d) Da li ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovu konturu,Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

) Kolika je duina najkrae konture?

e) Da li je bipartitan?

44. Nai konaqan automat koji prepoznaje reqi duine vee od 2 nadazbukom {a, b} koje imaju a na treoj poziciji od kraja.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.

b) Odrediti regularnu gramatiku G = (N, T, ,

) koja odgovara opti-malnom automatu.


21/182

2.3. OKTOBAR 2009. 21

2.3 Oktobar 2009. 13.09.2009.

45. Grupa studenata radi na projektu koji sadri pisae programa zamer sort (eng. merge sort). Jovica i Marica su nezavisno jedan od drugog

napisali algoritme za procedure koje uzimaju 2 liste, List1 i List2duina p i q, i spajaju ih u treu listu List3. Deo Jovicinog algoritmaje:

if

(i +jp + q) && (ip) &&

(j q) || (List1(i)List2(j))

List3(k) := List1(i)

i := i + 1

else

List3(k) := List2(j)

j := j + 1

end if

k := k + 1Return List3

Odgovarajui deo Maricinog algoritma je:

if

(i +jp + q) && (ip) && (jq)

||

(i +jp + q) && (ip)

&& (List1(i) List2(j))

List3(k) := List1(i)

i := i + 1

else

List3(k) := List2(j)

j := j + 1end if

k := k + 1

Return List3

Da li Jovicin i Maricin algoritam rade isto?


22/182


46. Date su sledee 2 relacijske strukture (X, ):

1 je data sa x 1 ydef x | (x + y) na skupu X = N;

2 je data sa x 2 ydef x | (x + y) na skupu X = Z

(relacija deivosti | je zadata sa: a | b (k Z) b = k a).a) Za svaku od ove 2 relacije ispitati da li je relacija ekvivalencijei/ili relacija poretka.

b) Ukoliko je relacija ekvivalencije odrediti klase ekvivalencije, aukoliko je to relacija poretka odrediti najmai i najvei, kao i mini-malni i maksimalni element (ako postoje) skupa X.

47. Permutaciji p skupa N = {1, 2, . . . , n} pridruujemo korensko stabloT(p) na sledei naqin. Za koren r korenskog stabla T(p) uzimamo qvoroznaqen sa n, najveim brojem u permutaciji p. Ako je a najvei elementpermutacije p koji se nalazi levo od n i b najvei element p koji je desnood n, tada e koren r imati dvoje dece, pri qemu je levo oznaqeno sa a,a desno sa b. Ako je n posledi element permutacije p, tada e koren rimati samo levo dete oznaqeno sa n 1 (jer je to najvei broj od pre-ostalih elemenata permutacije). Ako je n prvi element permutacije p,tada e koren r imati samo desno dete oznaqeno sa n 1. Ostatak stablaT(p) pravimo rekurzivno, tako xto emo podstabla T(p) i T(p), gde su

p i p podreqi od p sa leve i desne strane od n, pridruiti qvorovimaa i b.

a) Nacrtati korensko stablo T = T(263498175). Odrediti stepene d(v)svih qvorova.

b) Kolika je visina stabla T? Odrediti nivo svakog lista u stablu T.Da li je stablo T balansirano? Da li je stablo T striktno binarnostablo? Da li je stablo T potpuno binarno stablo? Da li je stablo T

binarno stablo pretraivaa?

v) Odrediti redosled obilazaka qvorova stabla T pri KLD, LKD i LDKobilasku.

g) Uspon (eng. ascent) u permutaciji je svaka pozicija i za koju vaipi < pi+1. Odrediti broj uspona a u permutaciji 263498175. Odreditibroj grana m u T(263498175) koje povezuju qvor sa egovim levim detetom.Pokazati da i u opxtem sluqaju vai a = m.

48. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje imaju 5k + 3, k N0, simbola a i koje ne sadre req baba.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.

b) Odrediti regularnu gramatiku G = (N, T, ,

) koja odgovara opti-malnom automatu.


23/182

2.4. OKTOBAR II 2009. 23

2.4 Oktobar II 2009. 03.10.2009.


(A C) (B D) (A \ B) A (D \ C) (C\ A).a) Predstaviti levu i desnu stranu formule F preko Venovih dijagrama.b) Predstaviti F preko iskaznih formula.


50. na skupu Z Data je relacija : x ydef 2 | x y.



v) Ukoliko je to relacija ekvivalencije odrediti klasu ekvivalencije

elemenata 0 i 8, a ukoliko je to relacija poretka odrediti najmai inajvei, kao i minimalni i maksimalni element (ako postoje) skupa N.

51. a) Ispitati koji od sledeih grafova su izomorfni?

G1 G2 G3 G4

G5 G6 G7

Za SVAKI od tih grafova odrediti sledee:

b) Koliko ima qvorova i grana?

v) Xta je niz stepena qvorova?

g) Da li je povezan?

d) Da li ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovu konturu,Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

) Kolika je duina najkrae konture?

e) Da li je bipartitan?


24/182


52. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} kojima je broj pojavivaa simbola b deiv sa 4 ili koje se nezavrxavaju na baa.



2.5 Januar 2010. 21.01.2010.


(x)

(y) x, f(y, z) x, a) (x, y)za interpretaciju

D= N, : = , f : mnoee, a : 8.

54. Neka je dat skup A = {a,ab, bab,d, dac,dccab} i na emu relacije 1 , 2 A2 su date sa

x 1 ydef reqi x i y su iste duine,

x 2 ydef reqi x i y poqiu istim slovom.

a) Predstaviti obe relacije tabliqno i preko grafa.

v) Da li su date relacije refleksivne, simetriqne, antisimetriqne,tranzitivne?

g) Ispitati da li su one relacije ekvivalencije i/ili relacije poretka.

d) Ukoliko je neka od ih relacija ekvivalencije odrediti sve klase ek-vivalencije, a ukoliko relacija poretka predstaviti je preko Haseovogdijagrama i ispitati da li je to relacija totalnog ili parcijalnogporetka.

55. a) Odrediti koliko ima razliqitih ureenih korenskih stabala sa6 qvorova kod kojih su svi listovi na istom nivou. Nacrtati sva tastabla.


v) Odrediti dijametar i centar za jedno od tih stabala.g) Odrediti matricu susedstva A za stablo odreeno u delu pod v).


25/182

2.6. April 2010. 25

56. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje imaju taqno 3k + 1 slova a (k N0) i ne poqiu sa baa.a) Da li je dobijeni automat optimalan? Ako nije optimizovati ga.

b) Odrediti regularnu gramatiku G = (N, , P , S ) koja odgovara optimal-nom automatu.

2.6 APRIL 2010. 09.02.2010.


(y)

(x) x, f(y, z) x, a) (x, y)za interpretaciju D = P(A), : = , f: , a : .

58. Neka je dat skup A = {a, abbc, bab, daabcb, dacdb,dc} i na emu relacije 1 , 2 A2 su date sa

x 1 ydef reqi x i y su iste duine,

x 2 ydef reqi x i y poqiu istim slovom.

a) Predstaviti obe relacije tabliqno i preko grafa.

b) Da li su date relacije refleksivne, simetriqne, antisimetriqne,tranzitivne?

v) Ispitati da li su one relacije ekvivalencije i/ili relacije poretka.

g) Ukoliko je neka od ih relacija ekvivalencije odrediti sve klase ek-vivalencije, a ukoliko relacija poretka predstaviti je preko Haseovogdijagrama i ispitati da li je to relacija totalnog ili parcijalnogporetka.


26/182


59. Dato je korensko stablo RT = (T, e). egov koren je qvor e.Svaki potomak d1 qija je oznaka pre po abecednom redosledu u odnosu naoznaku pretka p nalazi se u levom podstablu od p, a svaki potomak d2qija je oznaka posle po abecednom redosledu u odnosu na oznaku pretka pnalazi se u desnom podstablu od p.Stablo T = (V, E) je zadato matricom rastojaa D:

D =

a b c d e f g h i j k

a 0 1 2 2 3 4 7 6 7 5 6b 1 0 1 1 2 3 6 5 6 4 5c 2 1 0 2 3 4 7 6 7 5 6d 2 1 2 0 1 2 5 4 5 3 4e 3 2 3 1 0 1 4 3 4 2 3f 4 3 4 2 1 0 3 2 3 1 2g 7 6 7 5 4 3 0 1 2 2 3h 6 5 6 4 3 2 1 0 1 1 2i 7 6 7 5 4 3 2 1 0 2 3

j 5 4 5 3 2 1 2 1 2 0 1k 6 5 6 4 3 2 3 2 3 1 0

a) Napisati matricu susedstva A stabla T. Nacrtati korensko stabloRT. Odrediti stepene d(v) svih qvorova.

b) Odrediti skup qvorova V i skup grana E. Odrediti broj qvorova n ibroj grana m. Da li vai veza izmeu m i n u stablu?

v) Kolika je visina dobijenog stabla RT? Odrediti nivo svakog listau stablu RT. Da li je stablo RT balansirano? Da li je stablo RTstriktno binarno stablo? Da li je stablo RT potpuno binarno stablo?Da li je stablo RT binarno stablo pretraivaa?

g) Odrediti redosled obilazaka qvorova stabla RT pri KLD, LKD iLDK obilasku.

60. Nai konaqan automat koji prepoznaje neprazne reqi nad azbukom{a, b} koje nakon drugog pojavivaa slova a sadre bar jox 3 (bilo ko-

ja) slova.




27/182

3.2. Probni prvi kolokvijum 27

3. Kolokvijumi 2008.

3.1 Probni prvi kolokvijum

61. Da li je ispravno zakuqivae:

Ako je Milan dobio dobru ocenu, onda nije grexio ili su bili lakizadaci i znao je sve formule.

Milan je dobio dobru ocenu. Bilo je texkih zadataka. Na osnovu svega prethodnog sledi da Milan nije grexio.


(A \ B) (C\ D) (A C) \ (B D).





(x) (y)((x, y) (y, z)) (z, a) (z) y, f(x, z)za interpretaciju D = Z, : = , f : mnoee, a : 0.


: x ydef 2 | x y






28/182

28 3. KOLOKVIJUMI 2008.


3.2 Prvi kolokvijum 2008.

Grupa A

65. Qetvoro prijatea Aca, Boki, Ceca i Duda su osumiqeni za ubis-tvo. Mogue je da je vixe osoba istovremeno krivo za ubistvo. Predistranim sudijom oni su izjavili sledee:

Aca: Ako je Boki kriv, kriva je i Duda. Boki: Ako Aca nije kriv, onda je kriva Ceca.

Ceca: Ja nisam kriva, ali je ili Aca kriv ili je Duda kriva. Duda: Ja nisam kriva.

Da li su ove qetiri izjave neprotivreqne? Ako svako govori istinu koje kriv?

(Ukoliko ima vixe moguih rexea navesti ih sva!)


(A \ B) A \ (A \ C) A \ (B \ C).a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.

b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.v) Ispitati da li je iskazna formula tautologija (tj. da li je polaznaskupovna formula uvek taqna).


(x)

(z) f(x, z), y (x, y) (z, a)za interpretaciju D = P(A), : = , f: , a : .


29/182

3.2. Prvi kolokvijum 2008. 29




na skupu {11, 22, 34, 36, 56}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .b) Predstaviti datu relaciju tabliqno i preko grafa.




Grupa B

69. Qetvoro prijatea Aca, Boki, Ceca i Duda su osumiqeni za ubis-tvo. Mogue je da je vixe osoba istovremeno krivo za ubistvo. Predistranim sudijom oni su izjavili sledee:

Aca: Ako Boki nije kriv, onda je Duda kriva. Boki: Ceca i Duda nisu krive. Ceca: Ja nisam kriva, a kriv je Boki. Duda: Ja nisam kriva, ali je Aca kriv.




A \ (B \ C) = (A \ B) (A C).





(x)

(z) x, f(y, z) (y, a) (y) y, f(x, z)za interpretaciju D = N, : = , f : mnoee, a : 1.


30/182



= {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 5)}






Grupa G

73. Qetvoro prijatea Aca, Boki, Ceca i Duda su osumiqeni za ubis-

tvo. Mogue je da je vixe osoba istovremeno krivo za ubistvo. Predistranim sudijom oni su izjavili sledee:

Aca: Ja nisam kriv, a kriv je Boki. Boki: Aca i Ceca nisu krivi. Ceca: Ja nisam kriva, ali je Duda kriva. Duda: Ako Boki nije kriv, onda je Ceca kriva.




(A B) C = A (B C) C A.

a) Predstaviti (A B) C i A (B C) preko Venovih dijagrama.b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.



(x)

(y) x, f(x, y) (x, y) (y, a)za interpretaciju D = P(A), : = , f: , a : , gde je A neprazan skup.


31/182



= {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (c, e), (d, b), (d, d), (e, a), (e, b), (e, d), (e, e)}

na skupu {a,b,c,d,e}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .





Grupa D

77. Qetvoro prijatea Aca, Boki, Ceca i Duda su osumiqeni za ubis-

tvo. Mogue je da je vixe osoba istovremeno krivo za ubistvo. Predistranim sudijom oni su izjavili sledee:

Aca: Ja nisam kriv. Boki: Ako Aca nije kriv, onda je kriva Duda. Ceca: Ako je Boki kriv, kriv je i Aca. Duda: Ili je Aca kriv ili je Ceca kriva. Naravno, ja nisam kriva.




A C (A B) C = (A C) (A B).

a) Predstaviti (A B) C i (A C) (A B) preko Venovih dijagrama.b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.



(x)

(y) x, f(y, z) x, a) (x, y)za interpretaciju D = N, : = , f : mnoee, a : 5.


32/182



: x ydef x | y






3.3 Probni drugi kolokvijum

81. Data je relacija uslovom

x ydef x(y2 + 1) y(x2 + 1)

na skupu S R.a) Dokazati da relacija ne zadovoava osobinu antisimetriqnosti nacelom skupu R.

b) Dokazati da relacija predstava relaciju poretka na skupu S =[1, +).v) Da li je to relacija totalnog ili relacija parcijalnog poretka? Dali je to rexetka?

g) Pokazati da je 1 najvei element skupa S = [1, +).d) Odrediti (ako postoje) najmai, najvei, minimalan i maksimalanelement skupa T = {2, 0, 12 , 1, 32 , 3}.

82. Na sledeoj slici je predstaven graf G = (V, E).1

2 3 4

56

a) Odrediti skup qvorova V i skup grana E.


v) Da li je graf G povezan?g) Izraqunati matrice A2 i A3. Koje zakuqke moemo izvui iz ovihmatrica?


33/182

3.4. Drugi kolokvijum 2008. 33


simbol a d e f g m r sfrekvencija 16 10 12 1 5 7 8 3

a) Odrediti odgovarajue Hafmanovo stablo T (tj. binarno stablo mi-nimalne srede duine puta kod koga su dati simboli listovi), kao iodgovarajui Hafmanov kod.

b) Kolika je visina dobijenog stabla T? Odrediti nivo svakog lista ustablu T. Da li je stablo T balansirano? Da li je stablo T potpunobinarno stablo?

v) Koliki je sredi broj pristupa pri uspexnom traeu za ovo stablo?

g) Kodirati req ,,graf.

d) Da li je neki od sledeih kodova ispravan (tj. predstava neku odreqi gore azbuke):

10, 001, 01000, 110111, 01110010, 01111001001?

84. Na sledeim slikama su predstavena 2 konaqna automata A1 i A2.

A1: a

a,b

a a,b

b a b

b

0 1 2 3

4

A2:

b b a,b

a a0 1 2

a) Ispitati koje od narednih reqi

, a, b, abba, baba, aaab, abb, baaab, aabaabb, bbabbb

prepoznaje automat A1, a koje automat A2.

v) Odrediti regularnu gramatiku G1 = (N1, T1, 1, 1 ) koja odgovarakonaqnom automatu A1, kao i regularnu gramatiku G2 = (N2, T2, 2, 2 )koja odgovara konaqnom automatu A2.

g) Odrediti automat koji prepoznaje sve neprazne reqi koje ne prepoznajeautomat A1.

d) Odrediti automat koji prepoznaje sve reqi koje prepoznaje automat A1ili automat A2. Da li je takav automat optimalan?


34/182


3.4 Drugi kolokvijum 2008.

Grupa A

85. Neka je binarna relacija definisana podskupu SR+ tako da za

sve x, y S vaix y

def x + 5y

3y 2.

a) Dokazati da relacija predstava relaciju poretka na skupu S.

b) Da li je to relacija totalnog ili relacija parcijalnog poretka? Dali je to rexetka?

v) Odrediti (ako postoje) najmai, najvei, minimalan i maksimalanelement skupa T = {1, 3, 5}.

86. Na sledeoj slici je predstaven graf G = (V, E).

1

4 5 6

32



v) Da li je graf G povezan?

g) Koliko ima puteva duine 3 od qvora 1 do qvora 5? Koliko ima putevaduine 3 od qvora 1 do qvora 3? Odrediti elemente matrica A2 i A3

potrebne za proveru ovog rezultata.


simbol a e p r s tfrekvencija 10 9 4 6 2 1



v) Kodirati req ,,prase.

g) Da li je neki od sledeih kodova ispravan (tj. predstava neku od


35/182


reqi gore azbuke):

011, 100, 000101, 1011001, 010010010011?


A1:

a,b

a,b

b b

aa

0 1 2

4

A2:

a,b

a,b

a b

b

a

0 1 2

4




b) Ispitati koje sve reqi prepoznaje automat A1, a koje automat A2.

v) Odrediti regularnu gramatiku G1 = (N1, T1, 1, 1 ) koja odgovara

konaqnom automatu A1, kao i regularnu gramatiku G2 = (N2, T2, 2, 2 )koja odgovara konaqnom automatu A2.

g) Odrediti automat koji prepoznaje sve reqi koje ne prepoznaje automatA1.


Grupa B

89. Neka je binarna relacija definisana na nekom podskupu S skupa R

tako da za sve x, y S vai

x ydef x + 2y

3y T,

gde je T skup neparnih prirodnih brojeva.

a) Dokazati da je relacija relacija poretka na skupu R. Da li je torelacija parcijalnog ili totalnog poretka?

b) Da li je relacija relacija ekvivalencije na skupu R?

v) Ako postoje odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan ele-ment skupa S, kao i supremum i infimum podskupa S1 = {7, 13, 49, 91}.

90. Na sledeoj slici je predstaven graf G = (V, E).1

4 5 6

32


b) Napisati matricu susedstva A,matricu incidencije qvorova i grana S


36/182


i matricu rastojaa D.

v) Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 do qvora 3? Koliko imaputeva duine 3 od qvora 3 do qvora 3? Odrediti elemente matrica A2

i A3 potrebne za proveru ovog rezultata.


simbol a d e n r sfrekvencija 11 2 12 3 8 4



v) Kodirati req ,,danas.


011, 1000, 01101000, 010000101, 0100011011010?


A1:

a a a,b

b b0 1 2

A2: a,ba,b

a a b

bb a

0 1 2 3

4






konaqnom automatu A1, kao i regularnu gramatiku G2 = (N2, T2, 2, 2 )

koja odgovara konaqnom automatu A2.


d) Odrediti automat koji prepoznaje sve reqi koje prepoznaju i automatA1 i automat A2. Da li je takav automat optimalan?


37/182


Grupa G

93. Neka je relacija data na sledei naqin:

(x, y R) x ydef x2y x = y2x y.

a) Ispitati da li je relacija ekvivalencije na skupu R.Ako jeste, odrediti klase ekvivalencije elemenata 0, 1, 3, 2 i 12 .b) Ispitati da li je relacija poretka (kao i totalnog ili parcijalnogporetka) na skupu R.

Ako jeste odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan elementskupa (R, ).


D =

12

3456

1 2 3 4 5 6

0 1 1 1 3 21 0 1 2 4 3

1 1 0 2 4 31 2 2 0 2 13 4 4 2 0 12 3 3 1 1 0

a) Napisati matricu susedstva A,kao i matricu incidencije qvorova i grana R.

b) Nacrtati dati graf.

v) Odrediti skup qvorova V i skup grana E.

g) Da li je graf G povezan?

d) Koliko ima puteva duine 3 od qvora 4 do qvora 2? Koliko imaputeva duine 3 od qvora 4 do qvora 6? Odrediti elemente matrica A2

i A3

potrebne za proveru ovog rezultata.95. Neka su frekvencije pojavivaa nekih simbola date u sledeojtablici

simbol a e k m o tfrekvencija 13 9 4 5 6 3



v) Kodirati req ,,kometa.


011, 100, 000101, 00110100, 00011001?


38/182


39/182


duine 3 od qvora 1 do qvora 3? Odrediti elemente matrica A2 i A3

potrebne za proveru ovog rezultata.


simbol a k m o s tfrekvencija 33 4 25 6 7 5



v) Kodirati req ,,koska.


011, 100, 000101, 101101001, 010000101?


A1:

a a a a,b

b b b0 1 2 3

A2:

a b a,b

b a0 1 2









40/182


4. Kolokvijumi 2009.

4.1 Prvi kolokvijum 2009.

Grupa A

101. Pred studentske lige u fudbalu i koxarci razgovaraju qetvoricastudenta FON-a.

Acko kae: ,,Ako pobedimo u fudbalu, pobediemo ili u koxarci ili urukometu.

Bocko kae: ,,Ako ne pobedimo u koxarci, pobediemo i u fudbalu i urukometu.

Cicko kae: ,,Pobediemo u bar jednom od ova 3 sporta.

Dacko kae: ,,Ako Bocko nije u pravu onda je bar jedan od Acka i Cickau pravu.

Da li su ihove izjave neprotivreqne? Da li je Dacko u pravu? Ukolikosvi studenti govore istinu za koji sport moemo sa sigurnoxu rei dae FON pobediti u emu?


A B A C A C\ (C\ B).

a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.b) Predstaviti ovu formulu preko iskaznih formula.



(z)

a, f(z, x) b, g(y, z) (x, y),

gde su a, b simboli konstanti, , binarni relacijski znaci, f, g binarnifunkcijski (operacijski) znaci, pri interpretaciji D = P(A), a : , b : A, : =, : , f: , g : , u zavisnosti od valuacije slobodnih promenivih.


41/182









Grupa B

105. Pred studentske lige u fudbalu, koxarci i rukometu razgovarajuqetvorica studenta FON-a.

Acko kae: ,,Pobediemo u bar jednom od ova 3 sporta.

Bocko kae: ,,Ako pobedimo u fudbalu, neemo pobediti i u rukometu.

Cicko kae: ,,Ako ne pobedimo u koxarci, pobediemo i u fudbalu i urukometu.

Dacko kae: ,,Ako Cicko nije u pravu onda je bar jedan od Acka i Bockau pravu.



A B B C A C\ (A \ C).a) Predstaviti levu i desnu stranu formule preko Venovih dijagrama.




(

x) (z, x) (y, x) f(y, z), g(y, z),

gde su , binarni relacijski znaci, f, g binarni funkcijski (opera-cijski) znaci, pri interpretaciji D = N, : |, : =, f: mnoee,g(y, z) = y + z 1, u zavisnosti od valuacije slobodnih promenivih.


42/182



= {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}na skupu {1, 2, 3, 4, 5}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .





Grupa G


Acko kae: ,,Pobediemo u bar jednom od ova 3 sporta.Bocko kae: ,,Ako pobedimo u rukometu, pobediemo ili u fudbalu iliu koxarci.

Cicko kae: ,,Ako ne pobedimo u koxarci, pobediemo i u fudbalu i urukometu.

Dacko kae: ,,Ako Cicko nije u pravu onda je bar jedan od Acka i Bockau pravu.


110. Data je skupovna formula(A B) D \ (C\ D) (B \ C) D,

gde A B predstava simetriqnu razliku skupova A i B.





(z) a, f(z, x) (x, y),gde je a simbol konstante, , binarni relacijski znaci, f binaran

funkcijski (operacijski) znak, pri interpretaciji D = R, a : 0, : =,: , f je mnoee realnih brojeva, u zavisnosti od valuacije slobod-nih promenivih.


43/182



= {(a, a), (a, c), (b, b), (b, e), (c, a), (c, c), (d, d), (e, b), (e, e)}na skupu {a,b,c,d,e}.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .

b) Predstaviti datu relaciju tabliqno i preko grafa.v) Da li je data relacija refleksivna, simetriqna, antisimetriqna,tranzitivna?



Grupa D


Acko kae: ,,Ako ne pobedimo u koxarci, pobediemo i u fudbalu i urukometu.

Bocko kae: ,,Pobediemo u bar jednom od ova 3 sporta.

Cicko kae: ,,Ako pobedimo u rukometu, neemo pobediti i u fudbalu.

Dacko kae: ,,Ako Bocko nije u pravu onda je bar jedan od Acka i Cickau pravu.


114. Data je skupovna formula(A B) C D = (B C D) \ A,

gde A B predstava simetriqnu razliku skupova A i B.





(

z)f(x, z), f(y, z)

(x, y),

gde je f binarni funkcijski (operacijski) znak, binarni relacijskiznak, pri interpretaciji D = P(A) : =, f: , u zavisnosti od valuacijeslobodnih promenivih.


44/182



: x ydef x | y






4.2 Drugi kolokvijum 2009.

Grupa A

117. Neka je binarna relacija definisana podskupu S R tako da zasve x, y S vai

x ydef x + 5y

2y 3.

a) Dokazati da relacija predstava relaciju poretka na skupu R+. Dali je relacija totalnog ili relacija parcijalnog poretka na skupu R+?Da li je (R+ , ) rexetka?

b) Odrediti (ako postoje) najmai, najvei, minimalan i maksimalanelement, kao i infimum i supremum skupa T = {1, , 3, 285 , 5}.v) Da li je relacija poretka na skupu S = {5, 0, 4, 13}?118. Na sledeoj slici je predstaven orijentisan graf G = (V, E).

1

4

5

2 3


b) Odrediti ulazni stepen d(v) i izlazni stepen d+(v) svakog qvora.

v) Napisati matricu susedstva A, matricu incidencije qvorova i granaS i matricu rastojaa D.

g) Da li dati graf ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovu


45/182


konturu, Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

d) Odrediti matricu A3. Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 doqvora 4, a koliko puteva duine 3 od qvora 3 do qvora 5? Navesti svete puteve.


simbol a e p r s frekvencija 28 10 4 9 2 1

a) Odrediti odgovarajue Hafmanovo stablo T (unutraxe qvorove pre-ma redosledu dobijaa oznaqavati sa T1, T2, T3, T4, T5), kao i odgovarajuiHafmanov kod.



g) Kodirati req ,,prasee.


011, 100, 000100, 1011001, 010010010011?


A1:

a,ba,b

a b a

b

a b

0 1 2 3

4

A2:

a b a.b

a

b a b0 1 2 3











46/182


Grupa B

121. Neka je binarna relacija definisana na nekom podskupu S skupaR tako da je

x ydef x2 xy 0.

a) Dokazati da je relacija relacija poretka na skupu N.Da li je to relacija parcijalnog ili totalnog poretka?

b) Da li je relacija relacija poretka na skupu Z?

v) Ako postoje odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan ele-ment (u odnosu na ) skupa N.

g) Ako postoje odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan ele-ment (u odnosu na ) skupa S = {2, 4, 6, 8, 10}, kao i supremum i infimumskupa S.

122. Na sledeoj slici je predstaven neorijentisan graf G = (V, E).

2

3 5

6

1

4

a) Odrediti skup qvorova V i skup grana E. Da li dati graf povezan?

b) Napisati matricu susedstva A, matricu incidencije qvorova i granaR i matricu rastojaa D. Odrediti stepene d(v) svih qvorova.


g) Odrediti matricu A3. Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 doqvora 3, a koliko puteva duine 3 od qvora 3 do qvora 6? Navesti svete puteve.


simbol a d e n r sfrekvencija 13 3 8 10 7 6

a) Odrediti odgovarajue Hafmanovo stablo T (unutraxe qvorove pre-ma redosledu dobijaa oznaqavati sa T1, T2, T3, T4, T5), kao i odgovarajui

Hafmanov kod.b) Kolika je visina dobijenog stabla T? Odrediti nivo svakog lista ustablu T. Da li je stablo T balansirano? Da li je stablo T potpunobinarno stablo?


47/182



g) Kodirati req ,,nasred.


011, 10001, 01101000, 010000101, 0100011011010?


A1:

b b b

aa

a

0 1 2 A2:a,b

a,b

a b

ba

0 1 2

4










Grupa G


(x, y R) x ydef 5x2 6xy + y2 = 0.

a) Ispitati da li je relacija ekvivalencije na skupu R.

b) Ispitati da li je relacija poretka (kao i totalnog ili parcijalnogporetka) na skupu R.

v) Da li je relacija ekvivalencije na skupu S = {5, 0, 1, 4, 8}?Ako jeste, odrediti klase ekvivalencije elemenata.

g) Da li je relacija poretka na skupu S = {5, 0, 1, 4, 8}?Ako jeste odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan elementskupa (S, ).


48/182


49/182



A1:

a a a,b

b b0 1 2 A2:

a,b

a,b

b a

ab

0 1 2

4










Grupa D


(x, y R) x ydef x2y xy2 = x y.


Ako jeste, odrediti klase ekvivalencije elemenata 0, 1, 3, 2 i 12 .b) Ispitati da li je relacija poretka (kao i totalnog ili parcijalnogporetka) na skupu R.

Ako jeste odrediti najmai, najvei, minimalan i maksimalan elementskupa (S, ), kao i supremum i infimum skupa S = {0, 1, 3, 2, 12}.

130. Dat je orijentisan graf G = (V, E) sa

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i E =

(1, 2), (1, 3), (2, 6), (3, 5), (4, 1), (5, 2), (6, 4)

.

a) Nacrtati graf G i odrediti ulazni stepen d(v) i izlazni stepen d+(v)svakog qvora.

b) Napisati matricu susedstva A, matricu incidencije qvorova i granaS i matricu rastojaa D.

v) Da li dati graf ima Ojlerovu konturu, Ojlerov put, Hamiltonovu


50/182


konturu, Hamiltonov put?Ukoliko je odgovor potvrdan navesti taj put, odnosno konturu.

g) Odrediti matricu A3. Koliko ima puteva duine 3 od qvora 5 doqvora 4, a koliko puteva duine 3 od qvora 3 do qvora 5? Navesti svete puteve.


simbol a d e n p rfrekvencija 12 9 8 11 10 7

a) Odrediti odgovarajue Hafmanovo stablo T (unutraxe qvorove pre-ma redosledu dobijaa oznaqavati sa T1, T2, T3, T4, T5), kao i odgovarajuiHafmanov kod.



g) Kodirati req ,,napred.


011, 100, 000101, 101101001, 010000101?


A1:

b a a

b

a

ba b

0 1 2 3 A2:

a a a,b

b b0 1 2







d) Odrediti automat koji prepoznaje sve reqi koje prepoznaje ili au-tomat A1 ili automat A2. Da li je takav automat optimalan?


51/182

5.1. Iskazni raqun 51

5. Domai zadaci 2008.

5.1 Iskazni raqun

133. Pera, Raka i Sava su drugari koji qesto izlaze zajedno na pie ukafanu. Poznato je da svako od ih pije uvek isto pie i to ili vinoili pivo (samo jedno od toga). U vezi toga ko od ih xta pije, poznatisu sledei iskazi:

1 Ako Pera pije pivo, onda Raka pije isto pie kao i Sava.

2 Ako Raka naruquje pivo, onda Sava pije drugaqije pie od Perinog.

3 Ako Sava naruquje vino, onda Pera pije isto pie kao i Sava.


Za koga od ih sa sigurnoxu moete da tvrdite xta pije?

134. Perica ivi u kui u Ulici Vrtirepa. Kada je Verica trebaloda doe kod ega pitala ga je za broj egove kue. Perica je odgovoriosledee:

,,Ako je moj broj kue deiv sa 3, onda je to broj izmeu 50 i 59. ,,Ako moj broj kue nije deiv sa 4, onda je to broj izmeu 60 i 69. ,,Ako je moj broj kue nije deiv sa 6, onda je to broj izmeu 70 i

79.


Da li je Verica uspela da odredi broj Pericine kue? Ako nije pomozitejoj!

135. Pet studenata, Aca, Beba, Caca, Doki i Ema su odgovarali na testkoji se sastoji od 5 pitaa sa vixestrukim odgovorima. Prva dva pitaasu imala odgovore a, b i c, dok je na ostala odgovor taqnonetaqno ().Oni su odgovorili na pitaa na sledei naqin:

I II III IV VAca a a Beba b b Caca a b Doki b c Ema c a

Poznato je da na prva dva pitaa taqan odgovor nije pod a.1

1Ovaj uslov je vixak, ali olakxava rexavae zadatka!


52/182

52 5. DOMAI ZADACI 2008.

Poznato je da ne postoje dva studenta koji imaju jednak broj taqnih odgov-ora.

Odrediti koji su taqni odgovori. Ko je od studenata najboe uradiotest?

136. Aca, Bane i Cepi pripadaju porodicama Laetia i Istinoubia(svako pripada samo jednoj od te dve porodice). Kao xto im i prezime-na govore svaki Laeti uvek lae, a svaki Istinoubi uvek govoriistinu. Aca rekao sledee:

,,Ili ja ili Bane pripadamo razliqitoj porodici od ostale dvojice.

Da li ovaj iskaz moe da bude taqan? (Ako je odgovor potvrdan u kom jeto sluqaju?)

Qije prezime sa sigurnoxu moemo da utvrdimo?

137. Ana, Beba, Coka, Daca i Ema su drugarice. Prethodnu subotu suizdvojile za meusobna traqarea, ali kako je Ema imala slomenu nogu

rexile su da je sve posete, ali u razliqita vremena da bi slobodno mogleda razgovaraju (tj. jedna po jedna).

Za vreme svake od ovih poseta poznato je sledee:

Ana je posetila Emu u 8 sati,

Beba je posetila Emu u 9 sati,

Coka je posetila Emu u 10 sati,

Daca je posetila Emu u 11 sati,

ali nije poznato da li je to bilo ujutro ili uveqe.

Bar jedna ena je posetila Emu izmeu Ane i Bebe.

Ana nije posetila Emu i pre Coke i pre Dace.

Coka nije posetila Emu izmeu Bebe i Dace.Odrediti kojim redosledom su poseivali Emu.


A B A C A C\ (C\ B).





53/182

5.1. Iskazni raqun 53


A B A C A C\ (B \ C).




140. Data je skupovna formula(A \ D) (C\ D) B = (A B) (B C) \ D.




141. Data je skupovna formula(A B) \ (C\ D) D (A D) \ (B C).




142. Poznato je da su svi Plinkovi Plankovi i da su neki od PlonkovaPlinkovi. Predstaviti ovu situaciju preko Venovih dijagrama.

Dati su sledei iskazi:

a = ,,Neki Plankovi su Plonkovi.

b = ,,Neki Plinkovi nisu Plonkovi.

c = ,,Nijedan Plonk nije Plank.

Koji iskazi moraju biti taqni, a koji ne?

(Mogue je da za neki od ovih iskaza ne moemo da ustanovimo da li jetaqan ili ne!)


54/182


5.2 Predikatski raqun


(z) x, f(y, z) (x, z) (y, z)) (z, a) (x, y).za interpretaciju D = P(A), : , f: , a : A.


(x)

(z) f(x, y), z (y) x, f(y, z) (z, a)za interpretaciju D = N, : = , f : mnoee, a : 1.


(

y) (

x)(

z) f(x, z), y (z, a)

(x, y)

(y, z)za interpretaciju D = R, : = , f : mnoee, a : 0.


(x) (y)

(z) y, f(x, z) (y, z) (x, y) (x, z)za interpretaciju D = P(A), : = , f: .


(

x) (

y)(z) x, f(y, z) (x, z) (x, y) (x, a)

za interpretaciju D = R, : = , f : sabirae, a : 8.


(y)(z)z, f(x, y) (y, z) (y, a) (x, z) (x, y)

za interpretaciju D = P(A), : = , f: , a : A.


(x)

(z) x, f(y, z) (x, y) (x, z)za interpretaciju D = Z, : = , f : sabirae.


55/182

5.3. Relacijske strukture 55


(x)

x, a) (x, z)

(z) x, f(y, z)

za interpretaciju D = N, : = , f : mnoee, a : 3.


(y)

(z) x, f(y, z) (y, a) (x, y).za interpretaciju D = P(A), : = , f: , a : .


(x) (y)

(z) f(x, z), y (x, y) (z, a) (y, z)za interpretaciju

D= Z, : = , f : sabirae, a : 0.

5.3 Relacijske strukture


x ydef x + 5y

3y 2.

na skupu S = 12 , 1,

3, , 5.a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .b) Predstaviti datu relaciju tabliqno i preko grafa.





56/182



: x ydef razlika zbira cifara broja x

2 i zbira cifara

broja y2 je deiva sa 3






: x ydef

x y(tj. prave x i y su u relaciji ako i samo ako su ortogonalne) na skupupravih P = {p1, p2, p3, p4, p5} u ravni xOy. Te prave su zadate sa

p1 : y = x + 3, p2 : y = 3, p3 : y = 2 x, p4 : 2x + 2y 3 = 0, p5 : y-osa.

a) Nabrojati sve elemente koji su u relaciji i koji nisu u relaciji .






(x, y R) x ydef yx2 + y = xy2 + x.


Ako jeste, odrediti klase ekvivalencije elemenata 0, 1, , 7 i 17 .




57/182

5.3. Relacijske strukture 57

157. Binarna relacija definisana je na sledei naqin:

(x, y R) x ydef x2 3xy + 2y2 = 0.


Ako jeste, nai klase ekvivalencije elemenata 0, 1, 2 i 6.



158. Neka je T skup svih trouglova u ravni i a b akko a i b imaju jednakeuglove.

a) Ispitati da li je relacija ekvivalencije na skupu T.

Ako jeste, nai klasu ekvivalencije trougla sa stranicama 1, 1 i 1, kaoi klasu ekvivalencije trougla sa stranicama 1, 1 i

2.

b) Ispitati da li je relacija poretka (kao i totalnog ili parcijalnog

poretka) na skupu T.Ako jeste odrediti (ako postoje) najmai, najvei, minimalan i maksi-malan element skupa (T, ).

159. Na skupu S R data je relacija uslovom

x ydef x(4y2 + 1) y(4x2 + 1).

a) Ispitati da li relacija predstava jedno ureee (relacijuporetka) na svakom od skupova S1 = R; S2 = R+; S3 = [1, +);S4 = (, 12 ] [ 12 , +).b) Za svaki od ta 4 skupa (S1, S2, S3, S4) ako jeste relacija poretka ispi-

tati da li je to relacija totalnog ili relacija parcijalnog poretka. Dali je to rexetka?

v) Za svaki od ta 4 skupa (S1, S2, S3, S4) ako jeste relacija poretka od-rediti (ako postoje) najmai, najvei, minimalan i maksimalan elementskupa.


x ydef (k N) x + y = 2k x.

a) Ispitati da li relacija predstava jedno ureee (relaciju poret-ka) na skupu N.

b) Ako jeste relacija poretka ispitati da li je to relacija totalnog ilirelacija parcijalnog poretka. Da li je to rexetka?

v) Ako jeste relacija poretka odrediti (ako postoje) najmai, najvei,minimalan i maksimalan element skupa N.


58/182


161. Neka je binarna relacija definisana na nekom podskupu S skupaR tako da za sve x, y S vai

x ydef x + 2y

3y T,

gde je T skup neparnih prirodnih brojeva.a) Ispitati da li je relacija relacij

Copy of Zbirka DMS 2008-9

Documents

Transcript of Copy of Zbirka DMS 2008-9