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5/13/2018 copules Lopez - slidepdf.com

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Chapitre III

Théorie des copules

Olivier Lopez

ISUP Université Paris VI

Année universitaire 2011-2012

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Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

Outline

1 Introduction2 Définition et Théorème de Sklar

Propriétés élémentaires des copules

Exemple : copule gaussienne3 Copules archimédiennes

Généralités et définitionExemples les plus classiques

4 Mesures de dépendance

Tau de Kendall

Dépendance de queue5 Inférence statistique

Méthode du maximum de vraisemblance

Méthodes basées sur des mesures de concordance

Estimation non paramétrique6

Tests d’adéquationTests basés sur la copule empirique

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Risques multiples

Généralement, un assureur possède plusieurs risques

dans son portefeuille :

S (t ) = S 1(t ) + S 2(t ),

avec

S 1(t ) = X 1 + ... + X N 1(t ),

S 2(t ) = Y 1 + ... + Y N 2(t ).

Peut-on traiter ces deux risques séparément ?Exemple :

Risque 1 : risque chômageRisque 2 : risque maladie

Conclusion : trouver une approche qui concilie1 facilité de la modélisation marginale de chacun des risques2 prise en compte de la dépendance

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Risques multiples



S (t ) = S 1(t ) + S 2(t ),

avec

S 1(t ) = X 1 + ... + X N 1(t ),

S 2(t ) = Y 1 + ... + Y N 2(t ).




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Risques multiples



S (t ) = S 1(t ) + S 2(t ),

avec

S 1(t ) = X 1 + ... + X N 1(t ),

S 2(t ) = Y 1 + ... + Y N 2(t ).




I t d ti Défi iti t Thé è d Skl C l hi édi M d dé d I fé t ti ti

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Outline






Tau de Kendall




Estimation non paramétrique6

Tests d’adéquationTests basés sur la copule empiriqueIntroduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

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Définition

Définition d’une copule

Une copule est une fonction C : [0, 1] → [0, 1], telle qu’il existe

deux variables aléatoires U et V uniformes sur [0, 1], telles que

C (u , v ) = P(U ≤ u , V ≤ v ).

Exemples simples :

En prenant U et V indépendants, C (u , v ) = uv est unecopule (copule indépendante)U = V , C (u , v ) = min(u , v )....


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Définition




C (u , v ) = P(U ≤ u , V ≤ v ).

Exemples simples :



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Théorème de Sklar

Théorème de Sklar

Soit (X , Y ) un vecteur aléatoire de fonction de répartition

F (x , y ), et soit F X (x ) et F Y (y ) les fonction de répartitions

marginales.

Il existe une fonction copule C telle que

F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).

En d’autres termes, la loi de (X , Y ) se déduit des lois

marginales, et d’une fonction de lien (C modélise ladépendance).

Remarque importante : Si F X et F Y sont continues, alors

on a l’unicité de C .

Réciproquement, si C est une copule, F X et F Y des fdr, F

est une fonction de répartition bivariée.


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p p q

Théorème de Sklar

Théorème de Sklar



marginales.


F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).








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Théorème de Sklar

Théorème de Sklar



marginales.


F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).








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Caractérisation des fonctions de répartition

bivariées

Définition (fonction 2-croissante)

Soit H définie sur R2. Soit B = [x 1, x 2] × [y 1, y 2]. On définit

V H (B ) = H (x 2, y 2) − H (x 2, y 1) − H (x 1, y 2) + H (x 1, y 1).

Une fonction H est 2-croissante si V H (B ) ≥ 0 pour tout

rectangle B de R2.

Fonction de répartition multivariéeUne fonction de répartition bivariée est une fonction

H : R2 → [0, 1]2 telle que

1 H est 2-croissante

2 H (x ,−∞) = H (−∞, y ) = 0, et H (∞,∞) = 1.


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Caractérisation des fonctions de répartition

bivariées

Définition (fonction 2-croissante)

Soit H définie sur R2. Soit B = [x 1, x 2] × [y 1, y 2]. On définit

V H (B ) = H (x 2, y 2) − H (x 2, y 1) − H (x 1, y 2) + H (x 1, y 1).

Une fonction H est 2-croissante si V H (B ) ≥ 0 pour tout

rectangle B de R2.

Fonction de répartition multivariéeUne fonction de répartition bivariée est une fonction

H : R2 → [0, 1]2 telle que

1 H est 2-croissante

2 H (x ,−∞) = H (−∞, y ) = 0, et H (∞,∞) = 1.Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

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Copules

Remarque : si H est C 2, le fait d’être 2-croissante équivaut

à ∂ 2H ∂ x ∂ y

≥ 0.

Caractérisation d’une copule

Une copule doit satisfaire les mêmes conditions qu’une fonction

de répartition, mais doit en plus avoir des marginales uniformes

sur [0, 1]. Donc il faut en plus :

1 C (u , v ) = 0 pour u ≤ 0 ou v ≤ 0, C (u , v ) = 1 pour u et v supérieurs à 1

2 C (u , 1) = u , et C (1, v ) = v .


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Quelques propriétés

Propriétés

On a les propriétés suivantes :

1

Borne de Fréchet-Hoeffding :

W (u , v ) := max(u +v −1, 0) ≤ C (u , v ) ≤ M (u , v ) := min(u , v ).

2 On a |C (u 2, v 2) − C (u 1, v 1)| ≤ |u 2 − u 1| + |v 2 − v 1|.

3

Si la dérivée partielle de C par rapport à u existe, alors

0 ≤∂ C (u , v )

∂ u ≤ 1.


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Exemple : copule gaussienne


Soit Φ la fonction de répartition d’une N (0, 1), φρ la densité

d’une N

0,

1 ρρ 1

, avec ρ ∈]− 1; 1[.

Copule gaussienne

On définit la copule gaussienne

C ρ(u , v ) = φρ Φ−1(u ), Φ−1(v ) .

Exercice : montrer que C ρ tend vers W quand ρ → −1, que

C ρ tend vers uv si ρ → 0, et C ρ → M si ρ tend vers 1.


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d’une N

0,

1 ρρ 1

, avec ρ ∈]− 1; 1[.

Copule gaussienne


C ρ(u , v ) = φρ Φ−1(u ), Φ−1(v ) .




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Simulations suivant la copule gaussienne


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Outline






Tau de Kendall

Dépendance de queue

5 Inférence statistiqueMéthode du maximum de vraisemblance


Estimation non paramétrique6 Tests d’adéquation

Tests basés sur la copule empiriqueIntroduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

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Généralités et définition

Idée générale

Si X et Y sont deux variables indépendantes,

F (x , y ) = F X (x )F Y (y ), ou encore

log C (u , v ) = log u + log v .

Idée : pour une fonction φ quelconque, peut-on construire

une copule telle que φ "sépare" x et y .

Réponse : pas toujours, mais possible si φ satisfait

notamment une condition de convexité.Intérêt : à partir de familles de fonctions {φθ : θ ∈ Θ}satisfaisant ces conditions, on définit simplement des

familles de copules.


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Idée générale










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Résultat fondamental

Définition

Soit φ une fonction continue, strictement décroissante positive

telle que φ(1) = 0. On définit la pseudo-inverse de φ par

φ[−1](t ) =

φ−1

(t ), 0 ≤ t ≤ φ(0)0, φ(0) ≤ t ≤ ∞ .

Théorème

Soit φ une fonction continue, strictement décroissante, positive,

telle que φ(1) = 0. La fonction

C (u , v ) = φ[−1](φ(u ) + φ(v )),

est une copule ssi φ est convexe.


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Résultat fondamental

Définition

Soit φ une fonction continue, strictement décroissante positive

telle que φ(1) = 0. On définit la pseudo-inverse de φ par

φ[−1](t ) =

φ−1

(t ), 0 ≤ t ≤ φ(0)0, φ(0) ≤ t ≤ ∞ .

Théorème

Soit φ une fonction continue, strictement décroissante, positive,

telle que φ(1) = 0. La fonction

C (u , v ) = φ[−1](φ(u ) + φ(v )),

est une copule ssi φ est convexe.


Gé é lité t défi iti

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Définition

Définition - copule archimédienne

1 Une copule de la forme du Théorème précédent est dite

archimédienne.

2

La fonction φ est appelée générateur de la copule.3 Si φ(0) = ∞, alors φ[−1] = φ−1 est on parle de générateur

strict (et de copule archimédienne stricte).

Exemples simples :1 φ(t ) = − log(t ), fournit la copule indépendante.2 φ(t ) = 1− t , fournit la copule W (voir inégalité de

Fréchet-Hoeffding).3 La copule M dans Fréchet-Hoeffding n’est pas

archimédienne.



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Définition



archimédienne.

2





archimédienne.



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Définition



archimédienne.

2





archimédienne.


Exemples les plus classiques

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Copule de Clayton

Soit θ ∈ [−1;∞[−{0}.

Copule de Clayton

Une copule de Clayton est une copule archimédienne degénérateur

φθ(t ) =t −θ − 1

θ,

soit

C θ(u , v ) = 1(u −θ + v −θ − 1)

1/θ .

Que se passe-t-il quand θ tend vers 0 ? +∞?



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Copule de Clayton

Soit θ ∈ [−1;∞[−{0}.

Copule de Clayton

Une copule de Clayton est une copule archimédienne de

générateur

φθ(t ) =t −θ − 1

θ,

soit

C θ(u , v ) = 1(u −θ + v −θ − 1)

1/θ .

Que se passe-t-il quand θ tend vers 0 ? +∞?



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p p q

Copule de Gumbel

Soit θ ∈ [1;∞[.

Copule de Gumbel

Une copule de Gumbel est une copule archimédienne de

générateur du type

φθ(t ) = −(log t )θ,

i.e.

C θ(u , v ) = exp−−(log u )θ − (log v )θ

1/θ

.

Que se passe-t-il quand θ tend vers +∞? 1 ?



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p p q

Copule de Gumbel

Soit θ ∈ [1;∞[.

Copule de Gumbel

Une copule de Gumbel est une copule archimédienne de


φθ(t ) = −(log t )θ,

i.e.

C θ(u , v ) = exp−−(log u )θ − (log v )θ

1/θ

.

Que se passe-t-il quand θ tend vers +∞? 1 ?



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Copule de Frank

Soit θ ∈ R− {0}.

Copule de Frank

Une copule de Frank est une copule archimédienne de


φθ(t ) = − log

exp(−θt ) − 1

exp(−θ) − 1

,

i.e.C θ(u , v ) = −

1

θlog

1 +

(e −θu − 1)(e −θv − 1)

e −θ − 1

.

Que se passe-t-il quand θ tend vers 0 ? +∞? −∞ ?



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Illustration

Voir script R.



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Résumé sur ces trois familles de copules

Copule de Clayton : que des dépendances positives.

Gumbel : que des dépendances positives, plus accentuées

dans la queue supérieure de la distribution.

Frank : tous les types de dépendance.



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Outline





Exemples les plus classiques4 Mesures de dépendance

Tau de Kendall


5 Inférence statistiqueMéthode du maximum de vraisemblance



Tests basés sur la copule empirique


Tau de Kendall

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Définition du τ de Kendall

τ de Kendall

Soit (X , Y ) un vecteur aléatoire, et (X 1, Y 1, X 2, Y 2) deux

réalisations indépendantes de ce vecteur. On définit

τ =P

((X 1 − X 2)(Y 1 − Y 2) > 0) −P

((X 1 − X 2)(Y 1 − Y 2) < 0) .

Version empirique : on dispose de n paires (X i , Y i ).

C n = nombre de paires concordantes, i.e. (X i − X j ) demême signe que (Y i − Y j ),

D n = nombre de paires discordantes.

τ =C n − D n

C n + D n .


Tau de Kendall

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τ de Kendall



τ =P

((X 1 − X 2)(Y 1 − Y 2) > 0) −P

((X 1 − X 2)(Y 1 − Y 2) < 0) .




τ =C n − D n

C n + D n .


Tau de Kendall

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Lien avec les copules

Théorème (τ de Kendall)Soit (X 1, Y 1) et (X 2, Y 2) deux vecteurs aléatoires i.i.d. Soit F la

f.d.r. jointe de (X , Y ) et F X et F Y les fdr marginales. Soit C une

copule telle que

F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).

Alors

τ = 4

C (u , v )dC (u , v ) − 1.

On utilise la notation dC (u , v ) pour d P(u , v ) où P est la loi

(de marginales uniformes) définie par C .

Si C est C 2, et que la densité de copule est c , alors

dC (u , v ) = c (u , v )dudv .Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

Tau de Kendall

Li l l

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copule telle que

F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).

Alors

τ = 4

C (u , v )dC (u , v ) − 1.




dC (u , v ) = c (u , v )dudv .Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

Tau de Kendall

Li l l

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copule telle que

F (x , y ) = C (F X (x ), F Y (y )).

Alors

τ = 4

C (u , v )dC (u , v ) − 1.




dC (u

,v

) =c

(u

,v

)dudv

.Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique

Tau de Kendall

E l

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Exemple

On considère la famille dite de

"Farlie-Gumbel-Morgenstern" :

C θ(u , v ) = uv + θuv (1 − u )(1 − v ),

pour θ ∈ [−1, 1].

Calculer τ.

Réponse : τ θ = 2θ/9.


Tau de Kendall

E l

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Exemple

On considère la famille dite de

"Farlie-Gumbel-Morgenstern" :

C θ(u , v ) = uv + θuv (1 − u )(1 − v ),

pour θ ∈ [−1, 1].

Calculer τ.

Réponse : τ θ = 2θ/9.


Tau de Kendall

Cas des familles archimédiennes

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Cas d’une famille archimédienne

Soit C une copule archimédienne de générateur φ. Alors

τ = 1 + 4 1

0

φ(t )dt

φ(t )

.

Lemme

Soit U et V deux variables aléatoires uniformes de fonction de

répartition jointe C . On définit K C

la fonction de répartition de la

variable aléatoire Z = C (U , V ). Alors

K C (t ) = t −φ(t )

φ(t ).


Tau de Kendall


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Cas d’une famille archimédienne

Soit C une copule archimédienne de générateur φ. Alors

τ = 1 + 4 1

0

φ(t )dt

φ(t )

.

Lemme

Soit U et V deux variables aléatoires uniformes de fonction de

répartition jointe C . On définit K C la fonction de répartition de la

variable aléatoire Z = C (U , V ). Alors

K C (t ) = t −φ(t )

φ(t ).


Tau de Kendall

Exemples

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Exemples

1 Calculer τ pour une copule de Clayton.

2 Calculer τ pour une copule de Gumbel.

1 Réponse :

τ θ =θ

θ + 2.

2 Réponse :

τ θ =θ − 1

θ .


Tau de Kendall

Exemples

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Exemples



1 Réponse :

τ θ =θ

θ + 2.

2 Réponse :

τ θ =θ − 1

θ .


Tau de Kendall

Exemples

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Exemples



1 Réponse :

τ θ =θ

θ + 2.

2 Réponse :

τ θ =θ − 1

θ .




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Dépendance dans la queue supérieureSoit X et Y deux v.a. de fdr respectives F X et F Y . Le paramètre

de dépendance de queue supérieure est défini comme

λU = limt →1−

PY > F −1Y (t )|X > F −1

X (t ) ,

si cette limite existe.

Dépendance dans la queue inférieure

Soit X et Y deux v.a. de fdr respectives F X et F Y . Le paramètrede dépendance de queue supérieure est défini comme

λL = limt →0+

P

Y ≤ F −1

Y (t )|X ≤ F −1X (t )

,

si cette limite existe.Introduction Définition et Théorème de Sklar Copules archimédiennes Mesures de dépendance Inférence statistique



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ThéorèmeAvec les notations précédentes, soit C la copule qui unit X et

Y , les paramètres λU et λL ne dépendent que de la copule C

de la façon suivante :

λU = 2− limt →1−

1− C (t , t )1− t

,

λL = limt →0+

C (t , t )

t .

Formule pour les archimédiennes

Soit φ le générateur archimédien de la copule. Alors

λU = 2− lim

x →0+

1− φ[−1](2x )

1 − φ[−1]

(x)

,




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ThéorèmeAvec les notations précédentes, soit C la copule qui unit X et

Y , les paramètres λU et λL ne dépendent que de la copule C

de la façon suivante :

λU = 2− limt →1−

1− C (t , t )1− t

,

λL = limt →0+

C (t , t )

t .

Formule pour les archimédiennes

Soit φ le générateur archimédien de la copule. Alors

λU = 2− lim

x →0+

1− φ[−1](2x )

1 − φ[−1]

(x)

,



Quelques exemples

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Quelques exemples

Copule de Gumbel : λU = 2− 2

1/θ

, λL = 0.Copule de Frank : λU = λL = 0.

Copule de Clayton : λL = 2−1/θ, λU = 0.


Outline

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Outline

1 Introduction

2 Définition et Théorème de SklarPropriétés élémentaires des copules




Tau de Kendall

Dépendance de queue5

Inférence statistiqueMéthode du maximum de vraisemblance





Modèle paramétrique

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odè e pa a ét que

On dispose de (X i , Y i )1≤i ≤n i.i.d. de copule inconnuappartenant à une famille {C θ : θ ∈ Θ}, où Θ ⊂ R

k .

On suppose que X suit une loi de f.d.r. F X ,λ et Y de fdr

F Y ,µ où λ et µ sont des paramètres inconnus. On souhaite

estimer (θ,λ,µ).

Soit

c θ(u , v ) =∂ 2C θ(u , v )

∂ u ∂ v ,

i.e. la densité associée à la fdr C θ.

La densité de (X , Y ) s’exprime comme

f X ,Y |θ,λ,µ(x , y ) = c θ(F X ,λ(x ), F Y ,µ(y ))f X ,λ(x )f Y ,µ(y ).

On en déduit l’écriture de la vraisemblance, et on estime θpar maximisation de cette vraisemblance.




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p q


k .



estimer (θ,λ,µ).

Soit

c θ(u , v ) =∂ 2C θ(u , v )

∂ u ∂ v ,








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p q


k .



estimer (θ,λ,µ).

Soit

c θ(u , v ) =∂ 2C θ(u , v )

∂ u ∂ v ,







Modèle semi-paramétrique

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p q

On ne s’intéresse plus qu’à l’estimation de θ, les lois

marginales ne sont pas modélisées.

La pseudo-vraisemblance s’obtient de la façon suivante :

Ln (θ) =n

i =1

c (F X (X i ), F Y (Y i )),

où F X et F Y désignent les f.d.r. empiriques de X et Y .



Modèle semi-paramétrique

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On ne s’intéresse plus qu’à l’estimation de θ, les lois

marginales ne sont pas modélisées.

La pseudo-vraisemblance s’obtient de la façon suivante :

Ln (θ) =n

i =1

c (F X (X i ), F Y (Y i )),

où F X et F Y désignent les f.d.r. empiriques de X et Y .



Exemple : τ de Kendall

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1 Par exemple, on a vu que dans la famille de Clayton,

τ θ = θ[θ + 2]−1.

2 On estime le τ de Kendall sur les données avec la formuledonnée précédemment (avec C n et D n ).

3 On définit θ tel que

τ =θ

ˆθ +

2.




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τ θ = θ[θ + 2]−1.

2

On estime le τ de Kendall sur les données avec la formuledonnée précédemment (avec C n et D n ).


τ =θ

ˆθ +

2.




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τ θ = θ[θ + 2]−1.

2

On estime le τ de Kendall sur les données avec la formuledonnée précédemment (avec C n et D n ).


τ =θ

θ + 2.


Estimation non paramétrique

Copule empirique de Deheuvels (1979)

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Notation : on définit la i −ème statistique d’ordre d’un

échantillon (X 1, ..., X n ) comme X (i ) la i −ème valeur de

l’échantillon trié.

Copule empiriqueLa copule empirique d’un échantillon (X i , Y i )1≤i ≤n est une fdr

multivariée discrète telle que

C i

n ,

j

n

=

#{(X k , Y k ) : X k ≤ X (i ), Y k ≤ Y ( j )}

n ,

pour 1 ≤ (i , j ) ≤ n .



Copule empirique de Deheuvels (1979)

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Notation : on définit la i −ème statistique d’ordre d’un

échantillon (X 1, ..., X n ) comme X (i ) la i −ème valeur de

l’échantillon trié.

Copule empiriqueLa copule empirique d’un échantillon (X i , Y i )1≤i ≤n est une fdr

multivariée discrète telle que

C i

n ,

j

n

=

#{(X k , Y k ) : X k ≤ X (i ), Y k ≤ Y ( j )}

n ,

pour 1 ≤ (i , j ) ≤ n .



Avantages et inconvénients

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Numériquement : long à calculer, spécialement si on

généralise à k variables aléatoires avec k > 2.

Ne nécessite pas d’hypothèses sur la distribution(estimateur non paramétrique).

Difficile à interpréter.

Permet la construction de tests d’adéquation (voir section

suivante)




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suivante)




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suivante)


Outline

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1 Introduction

2 Définition et Théorème de SklarPropriétés élémentaires des copules




Tau de Kendall







Comparaison copule empirique / copule

paramétrique 1/2

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paramétrique 1/2

On souhaite tester :

H 0 : C ∈ CΘ,

où CΘ est une famille de copules paramétriques (par

exemple Clayton, Frank, Gumbel...) contre

H 1 : C /∈ CΘ.

On estime C non paramétriquement par C . Que l’on soit

sous H 1 ou H 0,ˆC converge vers C .

On suppose H 0 et on estime C par C θ, qui converge vers

C sous H 0 mais pas sous H 1.

On compare C et C θ, en calculant une distance d (C , C θ),par exemple la norme infinie.




paramétrique 1/2

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paramétrique 1/2


H 0 : C ∈ CΘ,



H 1 : C /∈ CΘ.









paramétrique 1/2

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paramétrique 1/2


H 0 : C ∈ CΘ,



H 1 : C /∈ CΘ.









paramétrique 2/2

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paramétrique 2/2

On rejetter H 0 si d (C , C θ) > s α.

s α doit satisfaire :

supθ∈Θ

PC θ

d (C , C θ) > s α

= α.

Soit s α est tabulé (cas simples), soit on met en œuvre une

méthode numérique.




paramétrique 2/2

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paramétrique 2/2



supθ∈Θ

PC θ

d (C , C θ) > s α

= α.






paramétrique 2/2

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paramétrique 2/2



supθ∈Θ

PC θ

d (C , C θ) > s α

= α.





Exemple de méthode numérique

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Etape 1 : on estime les paramètres du modèle (θ,λ,µ).

Etape 2 : on simule N échantillons de taille n en utilisant

les paramètres estimés (θ, λ, µ) pour générer les variables

aléatoires.

Etape 3 : pour chaque échantillon simulé, on calcule la

statistique de test, notée T j , j = 1, ..., N .

Etape 4 : on trie le vecteur des T j . On utilise s α tel qu’une

proportion α des T j soit supérieure à s α.




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aléatoires.








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aléatoires.






Un test pour les familles archimédiennes

Test d’adéquation à une famille archimédienne

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On considère une copule C archimédienne de générateur

φ.

Fonction K C

Soient U et V deux v.a. uniforme de loi jointe de f.d.r. C . On

rappelle la définition de

K C (t ) = P(Z ≤ t ),

où Z = C (U , V ). On rappelle que

K C (t ) = t −φ(t )

φ(t ).

On va estimer K C .



Test d’adéquation à une famille archimédienne

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On considère une copule C archimédienne de générateur

φ.

Fonction K C

Soient U et V deux v.a. uniforme de loi jointe de f.d.r. C . On

rappelle la définition de

K C (t ) = P(Z ≤ t ),

où Z = C (U , V ). On rappelle que

K C (t ) = t −φ(t )

φ(t ).

On va estimer K C .



Estimation de K C 1/2

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On dispose de X et Y de f.d.r. F X et F Y , liée par la copule

C .

Quelle est la loi de F X (X )? de F Y (Y ) ?

Réponse : lois uniformes sur [0, 1].

On a K C (t ) = P(C (F X (X ), F Y (Y )) ≤ t ) = P(F (X , Y ) ≤ t ).




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C .







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C .







On estime F (x y) non paramétriquement par

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On estime F (x , y ) non paramétriquement, par

F (x , y ) =1

n

n i =1

1X i ≤x ,Y i ≤y ,

K C

(t ) =1

n

n

i =1

1F (X i ,Y i )≤t

.

Proposition

On peut montrer que

supt |K C (t ) − K C (t )| → 0, p .s .,

et n 1/2

K C (t )− K C (t )

=⇒ N (0, σ2t ).





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F (x , y ) =1

n

n i =1

1X i ≤x ,Y i ≤y ,

K C

(t ) =1

n

n

i =1

1ˆF (X i ,Y i )≤t

.

Proposition

On peut montrer que

supt |K C (t ) − K C (t )| → 0, p .s .,

et n 1/2

K C (t )− K C (t )

=⇒ N (0, σ2t ).





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F (x , y ) =1

n

n i =1

1X i ≤x ,Y i ≤y ,

K C (t ) =1

n

n

i =1

1ˆF (X i ,Y i )≤t

.

Proposition

On peut montrer que

supt |K C (t ) − K C (t )| → 0, p .s .,

et n 1/2

K C (t )− K C (t )

=⇒ N (0, σ2t ).



Procédure de test

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On se place dans un modèle paramétrique {φθ, θ ∈ Θ}.

On estime θ (et éventuellement les autres paramètres)

On compare la fonctionˆλ(t ) = t −

ˆK C (t ) etλ(t ) = φθ(t )/φ

θ(t ).

On calcule T n = supt |λ(t ) − λ(t )|.

Si T n > s α, rejet du modèle.

Question : comment déterminer s α ?



Procédure de test

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θ(t ).






Procédure de test

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θ(t ).




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copules Lopez

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