control2

Universidad de Costa RicaFacultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Electrica

Diseno de controladores PID digitales

utilizando el equipo de laboratorio de

control digital

Por:

Helber Jose Meneses Navarro

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica

Julio de 2013

JhonathantNotahttp://eie.ucr.ac.cr/uploads/file/proybach/pb2013/pb2013_015.pdf

Diseno de controladores PID digitales

utilizando el equipo de laboratorio de

control digital

Por:

Helber Jose Meneses Navarro

IE-0499 Proyecto electrico

Aprobado por el Tribunal:

Ing.a Mercedes Chacon VasquezProfesora gua

Dr. Orlando Arrieta Orozco Ing. Mauricio Espinoza BolanosProfesor lector Profesor lector

ResumenEn el presente proyecto se llevo a cabo el diseno de controladores PID

digitales, para procesos con modelos de primer orden mas tiempo muerto,segundo orden y segundo orden mas tiempo muerto.

Para el diseno de los controladores, se utilizo el algoritmo de control PIDde dos grados de libertad, pues permitio mantener un balance adecuado entreel desempeno del lazo de control y su robustez. La sintonizacion en tiempocontinuo se llevo a cabo mediante el metodo de sintonizacion optimo-robustosimple y unificado uSORT2, para los procesos que presentaron tiempo muerto,caso contrario se opto por la tecnica de sintonizacion analtica robusta ART2.

A partir de los parametros de los controladores, obtenidos en tiempo con-tinuo, se procedio a su implementacion digital. Para ello se utilizaron las apro-ximaciones del modo derivativo e integral, y se eligio aquella combinacion deaproximaciones que dio como resultado el mejor ndice de desempeno JIAE enel sistema de control, manteniendo a la vez un valor adecuado de la funcion desensibilidad maxima Ms. Estos objetivos en el diseno se desarrollaron a travesde simulaciones en MATLAB R.

Las pruebas realizadas con el simulador de control PID, modelo 610 nodieron los resultados deseados y por ende se implemento un controlador PIdigital que respondio satisfactoriamente.

Finalmente se realizo una gua de usuario utilizando la Interfaz de Si-mulacion de Plantas Virtuales existente, donde se muestra como utilizar elcontrolador PID digital de dos grados de libertad implementado, con el finde que pueda ser utilizado por estudiantes en futuras practicas durante unlaboratorio de control digital.

v

Indice general

Indice de figuras ix

Indice de cuadros x

Nomenclatura xi

1 Introduccion 1

1.1 Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Antecedentes 5

2.1 Sistema de control realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Algoritmo de control PID estandar de dos grados de libertad . 5

2.3 Desempeno de los lazos de control . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Robustez de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Sistema de control digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Sintonizacion del controlador PID digital 13

3.1 Seleccion del algoritmo de control PID . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Eleccion del metodo de sintonizacion . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Obtencion del controlador PID discreto . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Simulacion de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Prueba del controlador PID digital disenado utilizando el PCT610 28

3.6 Gua de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Conclusiones y recomendaciones 31

4.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografa 33

A Codigo y resultados 37

A.1 Discretizacion de C(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.2 Optimizacion del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . 38

vii

A.3 Medicion de la robustez y su variacion con Ts . . . . . . . . . . 39A.4 Indices de desempeno y robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.5 Implementacion del controlador PID digital en Arduino . . . . 43A.6 Diseno del controlador PI digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.7 Gua de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

viii

Indice de figuras

2.1 Sistema de control realimentado, (Kuo, 1996). . . . . . . . . . . . . 52.2 Control PID de uno y dos grados de libertad. (Visioli, 2006) . . . . 72.3 Sistema de control digital. (Fadali, 2009) . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Sistema de control discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Variacion de Ms con base en el cambio de Ts, empleando la apro-

ximacion cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Variacion de JIAE con base en el cambio de Ts, utilizando la apro-

ximacion cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Salida del sistema de control (POMTM) . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Salida del controlador para el proceso de POMTM . . . . . . . . . 203.6 Variacion de Ms, con base en el cambio de Ts (SO, aproximacion 4) 233.7 Variacion de JIAE , ante el cambio de Ts (SO, aproximacion 4) . . 233.8 Respuesta del sistema para el proceso de SO . . . . . . . . . . . . 243.9 Salida del controlador para el proceso de SO . . . . . . . . . . . . 243.10 Variacion de la robustez con el tiempo de muestreo (SOMTM) . . 263.11 Variacion del ndice de desempeno JIAE con el tiempo de muestreo

(SOMTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.12 Respuesta del sistema de control para el proceso de SOMTM . . . 273.13 Salida del controlador para el proceso de SOMTM . . . . . . . . . 273.14 Respuesta del sistema de control con el proceso PCT610 en servo-

control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.15 Respuesta del sistema de control con el proceso PCT610 en control

regulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

A.1 Respuesta del sistema de control utilizando PI digital (modelo dePOMTM) en servocontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A.2 Salida del controlador utilizando PI digital (modelo de POMTM)en servocontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.3 Respuesta del PTC610 ante cambio en r(t) del 10% . . . . . . . . 47A.4 Respuesta del sistema en control regulatorio utilizando el PI digital

(modelo de POMTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.5 Senal de control para contrarrestar la perturbacion utilizando PI

digital (modelo de POMTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.6 Respuesta del PCT610 ante cambio del 10% en d(t) utilizando el

PI digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ix

A.7 Interfaz de Simulacion de Plantas Virtuales adaptada para el usodel controlador PID digital de dos grados de libertad . . . . . . . . 50

A.8 Seleccion del puerto serial para establecer comunicacion con Ar-duino Mega 2560 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.9 Indicadores de la emision y recepcion de datos . . . . . . . . . . . 51A.10 Seleccion de parametros para el sistema de control . . . . . . . . . 52A.11 Cuadro para insertar parametros del modelo del proceso . . . . . . 52A.12 Eleccion del controlador PID de dos grados de libertad . . . . . . . 52A.13 Modo de control manual y de la referencia . . . . . . . . . . . . . . 53A.14 Interfaz grafica de la ISPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Indice de cuadros

3.1 Indices de desempeno y robustez para el modelo de POMTM . . . 183.2 Ms y JIAE , modelo de SO, c = 0, 7cmin . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Porcentaje de variacion maxima de la senal del controlador ante

cambio en el punto de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Indices de desempeno y robustez, modelo de SOMTM . . . . . . . 253.5 Indices de robustez para los procesos considerados, en tiempo con-

tinuo y discreto (Ms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.1 Indices de desempeno y robustez, modelo de POMTM . . . . . . . 41A.2 Indices de desempeno y robustez, modelo de SO, c = 0, 4cmin . . 41A.3 Indices de desempeno y robustez, modelo de SO, c = 0, 5cmin . . 42A.4 Indices de desempeno y robustez, modelo de SO, c = 0, 6cmin . . 42A.5 Ms y JIAE , modelo de SO, c = 0, 7cmin . . . . . . . . . . . . . . 43A.6 Indices de desempeno y robustez, modelo de SOMTM . . . . . . . 43A.7 Indices de desempeno y robustez del servocontrol para el modelo

del PCT610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.8 Indices de desempeno y robustez del control regulatorio para el

modelo de POMTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

x

Nomenclatura

a Razon entre las contantes de tiempo del proceso (modelo).

Inverso de la constante de tiempo del filtro derivativo.

Factor de peso del valor deseado en el controlador.

C(s) Funcion de transferencia del controlador.

d(s), d(t) Perturbacion de carga.

e(k) Error discreto del sistema de control.

E(s), e(t) Error del sistema controlado.

Factor de peso del modo derivativo en el valor deseado.

ISPV Interfaz de simulacion de plantas virtuales.

JIAE Criterio integral del valor absoluto del error.

JIAEd Indice JIAE ante cambio en d(t).

JIAEr Indice JIAE ante cambio en r(t).

K Ganancia del proceso (modelo).

Kc,Kp Ganancia proporcional del controlador.

L Tiempo muerto del proceso (modelo).

Ms Funcion de sensibilidad maxima.

M ts Robustez deseada en el sistema.

Myd(s) Funcion de transferencia del control regulatorio.

Myr(s) Funcion de transferencia del servocontrol.

PCT610 Simulador de control PID, modelo 610.

P (s) Funcion de transferencia de la planta.

PID Proporcional-Integral-Derivativo.

xi

POMTM Primer orden mas tiempo muerto.

r(s), r(t) Valor deseado de la variable controlada.

S(j) Funcion de sensibilidad en la frecuencia continua.

SO Segundo orden.

SOMTM Segundo orden mas tiempo muerto.

T Constante de tiempo del proceso (modelo).

Ti Constante de tiempo integral del controlador.

Td Constante de tiempo derivativo del controlador.

Ts Tiempo de muestreo.

c Relacion entre constantes de tiempo.

0 Constante de tiempo muerto normalizado.

u(k) Salida discreta de la senal de control.

ur(k) Salida discreta del controlador aplicado a la referencia.

uy(k) Salida discreta del controlador aplicado a realimentacion.

U(s), u(t) Senal de salida del controlador.

y(s), y(t) Senal realimentada o variable controlada.

ZOH Retenedor de orden cero.

xii

1 Introduccion

1.1 Alcances

En este proyecto se realizo el diseno de controladores PID digitales utilizandoel equipo de control automatico y digital existente en la Escuela de IngenieraElectrica en la Universidad de Costa Rica. Para ello se selecciono un algoritmode control PID debido a la simpleza de su estructura y a su gran uso a nivelindustrial (Alfaro y Vilanova, 2012a), y con base en este, se establecieron lasreglas de sintonizacion en tiempo continuo a utilizar en los controladores PIDy su implementacion digital para tres tipos de procesos fsicos y simulados:primer orden mas tiempo muerto (POMTM), segundo orden (SO) y segundoorden mas tiempo muerto (SOMTM), actuando como control regulatorio oservo control. Ademas se establecieron ndices para evaluar el desempeno yla robustez de los controladores continuos y discretos, ante cambios en laperturbacion y el valor deseado.

A partir de la informacion anterior se evaluo el comportamiento en lazocerrado del sistema de control mediante simulaciones en MATLAB R, y una vezfinalizado este punto, se desarrollo un programa en lenguaje Arduino R, conlas ecuaciones en diferencias que describen el comportamiento del controladordigital. Las pruebas respectivas se realizaron con el equipo PID Process ControlTrainer modelo 610, de Design Assistence Corporation c. Finalmente se realizouna gua de usuario, en la cual se explica como utilizar el controlador PIDdigital de dos grados de libertad agregado a la interfaz de simulacion de plantasvirtuales (ISPV) existente.

1.2 Justificacion

Segun Tocci y Widmer (2003), desde hace algunas decadas la implementacionde la mayora de aplicaciones que se utilizan en la vida cotidiana ha venidocambiando su estructura. Se ha dado una migracion de los sistemas de controlen tiempo continuo hacia los sistemas de control digital y esta, se ha debidoen gran parte al avance de las tecnologas utilizadas en el procesamiento ytransmision de datos. Tambien ha influido la flexibilidad que presentan loscontroladores digitales en lo que respecta al ajuste de sus parametros, unavez que se han implementado en hardware; pues, no es necesario efectuar unasustitucion total del controlador original, (Fadali, 2009).

1

2 1 Introduccion

Debido a esta evolucion tecnologica, y siendo el PID uno de los controla-dores mas utilizados en el diseno de sistemas de control de datos continuos,surgio la iniciativa de implementar controladores PID digitales basados en sis-temas en tiempo discreto, los cuales seran utilizados en un futuro laboratoriode control digital, que permita demostrar la funcionalidad de estos conceptosa los estudiantes.

1.3 Objetivos

Para el desarrollo de este proyecto se establecieron los siguientes objetivos:

Objetivo general

Disenar controladores Proporcionales Integrales Derivativos (PID) digitales,para implementarlos en un laboratorio de control digital de procesos fsicos ysimulados.

Objetivos especficos

Seleccionar algoritmos de control PID para la implementacion del con-trolador PID digital.

Definir las tecnicas de sintonizacion a utilizar para los controladores PIDdigitales.

Establecer los ndices para evaluar desempeno y robustez de los contro-ladores PID ante cambios en la perturbacion o el valor deseado.

Realizar el diseno de controladores PID digitales para tres tipos de pro-cesos: POMTM, SO y SOMTM, actuando como control regulatorio oservo control.

Validar los resultados obtenidos mediante simulaciones en MATLAB R.

Desarrollar un programa en lenguaje Arduino R, donde se sintonice uncontrolador PID digital, con base en los tres tipos de modelos de la plan-ta, y el tipo de funcionamiento del controlador, ya sea como reguladoro servomecanismo, utilizando para ello la interfaz de usuario existente:Interfaz de Simulacion Plantas Virtuales (ISPV).

Elaborar una gua de usuario que muestre como utilizar el controladorPID digital de dos grados de libertad en la ISPV.

1.4. Metodologa 3

1.4 Metodologa

El desarrollo del trabajo incluyo los siguientes pasos y procedimientos:

1. Revision bibliografica sobre conocimientos basicos de modelado y controlde sistemas en tiempo discreto.

2. Familiarizacion con el manejo del equipo construido para el laboratoriode control digital.

3. Investigacion sobre los antecedentes del controlador PID de tiempo con-tinuo y de los sistemas de control digital.

4. Seleccion del algoritmo de control PID a utilizar con base en caracters-ticas deseables del sistema de control, as como del metodo de sintoniza-cion del controlador actuando como regulador o servomecanismo y delcriterio para evaluar su desempeno y robustez.

5. Obtencion de un modelo digital del controlador PID de tiempo continuoy validacion de los procesos controlados en tiempo continuo y discreto,mediante simulaciones en MATLAB R.

6. Desarrollo de un programa en lenguaje Arduino R, donde se sintonice uncontrolador PID digital con base en los tres modelos de planta (POMTM,SO y SOMTM), haciendo uso de la ISPV.

7. Elaboracion de una gua de usuario donde se muestre como utilizar elcontrolador PID digital anadido a la ISPV.

2 Antecedentes

2.1 Sistema de control realimentado

Segun Kuo (1996), un sistema de control en lazo cerrado tiene la funcionde comparar la senal controlada (realimentada) con una senal de referencia,y con base en la diferencia entre ambas senales, debe transmitir una senalproporcional al error, de tal modo que se logre una correccion de este en elsistema.

La representacion de un sistema de control realimentado se muestra en eldiagrama de bloques de la figura 2.1. A partir de este, se puede encontrar larespuesta del sistema debida a cambios en sus entradas, dada por:

y(s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)r(s) +

P (s)

1 + C(s)P (s)d(s). (2.1)

De acuerdo con Alfaro (2002), (2.1) modela dos posibles modos de opera-cion del sistema de control. Por un lado actua como servocontrol; por el otropromueve una atenuacion a las perturbaciones.

2.2 Algoritmo de control PID estandar de dosgrados de libertad

Los grados de libertad se definen como el numero de funciones de transferenciadel sistema de control realimentado que pueden ser ajustadas independiente-mente (Araki y Taguchi, 2003).

Figura 2.1: Sistema de control realimentado, (Kuo, 1996).

5

6 2 Antecedentes

De este modo segun Alfaro y Vilanova (2010) se puede utilizar un algoritmode control de dos grados de libertad para sintonizar el controlador, con base encaractersticas deseables de la respuesta del sistema operando como reguladory considerando la robustez del sistema de control; por otra parte se puedehacer uso del parametro propio del segundo grado de libertad, para optimizarel desempeno del sistema en lazo cerrado como servocontrol.

Otra caracterstica deseable en un sistema de control es generar senalessuaves (sin cambios bruscos) a la salida del controlador, con el objetivo deatenuar el desgaste prematuro del actuador o elemento final de control y porconsiguiente, hacer que su tiempo de vida util, sea el maximo posible. Estacaracterstica se puede obtener haciendo uso del algoritmo PID de dos gradosde libertad, (Alfaro y Vilanova, 2010).

La salida de un controlador PID de dos grados de libertad, se modela en(2.2), donde representa el inverso de la constante de tiempo del filtro pasabajos agregado a la parte derivativa, el factor de peso del valor deseado dela ganancia proporcional, el factor de peso del valor deseado de la constantede tiempo derivativo, Ti la constante de tiempo integral, Td la constante detiempo derivativo, kp la ganancia proporcional, r(s) el punto de operacionnominal, y(s) la salida del proceso y U(s) la senal del controlador.

U(s) = Kp

( +

1

Tis+

Tds

Tds+ 1

)r(s)Kp

(1 +

1

Tis+

Tds

Tds+ 1

)y(s)

(2.2)Como se observa del diagrama de bloques mostrado en la figura 2.2 se tieneuna parte del controlador aplicada a la senal realimentada Cy(s) y la otraparte aplicada a la referencia Cr(s).

Segun Alfaro y Vilanova (2010), el parametro se utiliza para definir sise desea aplicar la accion derivativa a la senal de referencia o no, y de ahque sea conocido como selector, al tomar dos posibles valores: cero o uno.En caso de cambios abruptos en el punto de operacion, la accion derivativaprovocara un salto instantaneo en la senal de control y por ende, generalmenteeste parametro asume el valor de cero. De este modo (2.2) se simplifica a lasiguiente expresion:

U(s) = Kp

( +

1

Tis

)r(s)Kp

(1 +

1

Tis+

Tds

Tds+ 1

)y(s). (2.3)

Los controladores PID comerciales restringen el valor del parametro dentrodel rango 0 1, y este factor representa el segundo grado de libertad delcontrolador PID de dos grados de libertad. Su principal uso radica en evitarun excesivo efecto de la accion proporcional cuando ocurre un cambio en lasenal de referencia.

2.3. Desempeno de los lazos de control 7

Figura 2.2: Control PID de uno y dos grados de libertad. (Visioli, 2006)

El valor de usualmente es 0,1 y su uso se fundamenta en evitar la ampli-ficacion, principalmente del ruido de alta frecuencia, lo que podra ocasionardanos en el actuador, (Visioli, 2006).

2.3 Desempeno de los lazos de control

El desempeno de un sistema de control se refiere al comportamiento que pre-senta este, cuando se produce un cambio en sus entradas. Existen indicadorescomo el sobrepaso maximo y tiempo de asentamiento que evaluan la respuestatransitoria, otros se basan en ndices de error, tales como los criterios de errorintegral, (Bakshi, 2007).

De acuerdo con Alfaro y Vilanova (2012b), la integral absoluta del error(JIAE), es uno de los criterios mas utilizados para medir el desempeno del lazode control.

Integral del error absoluto:

JIAE =

0

|e(t)| dt, (2.4)

donde JIAE es el criterio integral del valor absoluto del error y e(t) es el errordel proceso controlado.

2.4 Robustez de los sistemas de control

Segun Astrom y Hagglund (1995), la robustez del lazo de control es un indica-dor de la estabilidad relativa que posee el controlador cuando sus parametros

8 2 Antecedentes

permanecen constantes y se toma en cuenta un proceso cuya dinamica es va-riable.

Astrom y Hagglund (1995), hacen uso de la funcion de sensibilidad maximapara evaluar la robustez del sistema controlado.

Sensibilidad maxima:

Ms = max

|S(j)| = max

11 + C(jf )P (jf ) , (2.5)

donde Ms es la funcion de maxima sensibilidad, C(jf ), P (jf ) son las fun-ciones de transferencia del controlador de realimentacion y del modelo de laplanta en el dominio de la frecuencia continua, respectivamente, y S(j) es lafuncion de sensibilidad en la frecuencia continua.

Ademas se ha definido un rango de valores para el cual se considera que elsistema es robusto, (Alfaro, 2011), dado por:

1,2 Ms 2,0, (2.6)

donde la robustez mnima del lazo de control se tiene con Ms = 2, mientrasque con Ms = 1, 2 se obtiene una robustez muy alta.

2.5 Sistema de control digital

Un sistema de control digital se compone de varios elementos: un controladordigital, encargado de recibir las mediciones de la variable controlada y com-pararlas con una senal de referencia, produciendo as una senal de control,que es enviada al actuador, el cual efectua la accion de control; un procesofsico, generalmente analogico; un sensor, encargado de monitorear la variablecontrolada y los convertidores analogico-digital y digital-analogico, encargadosde establecer una adecuada comunicacion entre los dispositivos analogicos ydigitales, (Fadali, 2009). El diagrama de bloques de este sistema se muestraen la figura 2.3.

La implementacion de un controlador PID digital en un microcomputador,requiere el uso de metodos que permitan el analisis de datos muestreados deuna manera mas simple. Por ende se utiliza la transformada Z, ya que lasmuestras se pueden representar de manera mas compacta en el dominio de lafrecuencia compleja, (Moudgalya, 2007). En el apartado de sintonizacion decontroladores PID digitales, se muestran las transformaciones generalmenteutilizadas para hallar el modelo discreto de un controlador PID analogico.

De acuerdo con Meenakshi (2008), algunos de los aspectos que hacen deun controlador digital mas atractivo respecto a uno analogico son: mejoraen la sensibilidad al ser mas preciso; es mas confiable puesto que el numero

2.5. Sistema de control digital 9

Figura 2.3: Sistema de control digital. (Fadali, 2009)

de componentes se reduce y el ruido en el sistema puede ser tratado de unamanera mas eficiente; se pueden emplear satisfactoriamente tecnicas de controlavanzadas; es mas liviano, pequeno y barato; es posible optimizar el consumode energa y ofrece la gran ventaja de permitirle al disenador, cambiar losparametros del controlador e incluso el algoritmo de control empleado, sinnecesidad de realizar variaciones en el hardware.

Guo (2007), tambien menciona las ventajas anteriores, pero, ademas agregala alta inmunidad que presentan los dispositivos digitales a cambios ambienta-les y recalca tambien que el deterioro de los componentes por envejecimientoes mucho menor en relacion con el experimentado por un sistema analogico.Otros autores como Subasri et al. (2006), Xu et al. (2009), Tajuddin et al.(2009), Behnam y Mansouryar (2011), tambien mencionan las ventajas pre-sentadas anteriormente.

Dentro de las desventajas que puede presentar un sistema digital se en-cuentran el uso de palabras digitales de longitud fija para el procesamiento delos datos, as como el retraso presente en la ejecucion del algoritmo de control,(Meenakshi, 2008).

El uso de controladores PID digitales a nivel industrial es amplio, algunosde sus usos se presentan a continuacion:

En convertidores DC-DC, por ejemplo, Guo (2007) y Tajuddin et al. (2009),hacen uso de un controlador PID digital para mantener constante la salida detension de un convertidor Buck. Ademas, Guo (2007) senala que un controla-dor digital puede ser utilizado para optimizar la eficiencia de un convertidorDC-DC en un amplio rango de cargas, as como integrar las funciones de ma-nejo termico en un solo chip.

En el control de la velocidad de motores DC, se pueden citar por ejemplo:Behnam y Mansouryar (2011), quienes realizaron dicho diseno sobre una FieldProgrammable Gate Array (FPGA) y Meenakshi (2008), quien lo implementosobre el microprocesador Intel 8085.

En las funciones de control que ejecuta un sistema de alimentacion ininte-

10 2 Antecedentes

rrumpible (UPS), por ejemplo en el control del factor de potencia, regulacionde tension y control de apagado, que implementaron Feng et al. (2001).

Otro tipo de aplicaciones, incluyen el diseno de un sistema de robot mo-vil, como el disenado por Gao et al. (2008); as mismo en la elaboracion decalentadores, como mencionan Zhihong y Peng (2009).

Sintonizacion de controladores PID digitales

En las ultimas decadas se han realizado diversas tecnicas de sintonizacionpara controladores digitales. El metodo de sintonizacion utilizado con mayorfrecuencia se muestra a continuacion.

Sintonizacion convencional de controladores PID digitales

De acuerdo con Tong y Bobis (1992), el metodo de sintonizacion convencio-nal, utiliza una conversion directa del controlador analogico PID, previamentedisenado en el dominio del tiempo, utilizando para ello la transformada Z.

Las dos estructuras mas comunes que se utilizan para representar la formadiscreta de un controlador PID, son el algoritmo de posicion o absoluto y elalgoritmo de velocidad o incremental, mostrados respectivamente en (2.7) y(2.8).

u(k) = Kp

[e(k) +

TsTi

ki=1

e(i) +TdTs

(e(k) e(k 1))], (2.7)

u(k) = Kp

[e(k) e(k 1) + Ts

Tie(k) +

TdTs

(e(k) 2e(k 1) + e(k 2))],

(2.8)donde Ts representa el tiempo de muestreo de la senal, u(k) la senal de controlemitida por el microcontrolador, u(k) el cambio en la senal del controladory e(k i) los valores discretos presentes y anteriores del error en el proceso decontrol.

Segun Bobal et al. (2005), el algoritmo mostrado en (2.7) es poco practico,pues, sera necesario almacenar todos los valores del error en la memoria delcomputador que ejecuta la senal de control. Por otro lado presenta la des-ventaja de que un cambio en los parametros del controlador Kp o Ti, podraprovocar un cambio grande y brusco en la senal de control, por lo tanto parael proyecto se utilizo el algoritmo incremental.

Para la obtension de un controlador PID digital, Bobal et al. (2005), mues-tra transformaciones que pueden ser utilizadas para pasar de la funcion detransferencia en tiempo continuo del controlador, a su respectiva funcion detransferencia en tiempo discreto, dadas por (2.9), (2.10) y (2.11). Estas se utili-zan para aproximar la accion integral y derivativa, haciendo uso del algoritmode velocidad.

2.5. Sistema de control digital 11

Transformacion rectangular hacia adelante

s =1 z1Tsz1

(2.9)

Transformacion rectangular hacia atras

s =1 z1Ts

(2.10)

Transformacion trapezoidal, bilineal o de Tustin

s =2

Ts 1 z

1

1 + z1(2.11)

Influencia del tiempo de muestreo

La eleccion del tiempo de muestreo es una de las etapas mas importantesen el diseno de controladores digitales, puesto que influye en el desempenoy las propiedades de robustez del sistema de control digital, como recalcanPapadopoulos et al. (2012) y Feng et al. (2001). Segun Feng et al. (2001), unode los principales objetivos al disenar sistemas de control digital, es cumplircon las especificaciones de diseno, empleando el menor tiempo de muestreoposible.

Bobal et al. (2005), sugieren algunas caractersticas que se deben considerardel proceso, para elegir la frecuencia de muestreo adecuadamente, entre lasprincipales se encuentran:

La respuesta dinamica del sistema, caracterizada por su constante detiempo dominante y el retardo presente en el proceso.

La capacidad de procesamiento de datos del computador, la velocidadque dispone para ejecutar el algoritmo de control y el numero de lazosde control.

Las propiedades del actuador, contactores o interruptores, tal es el casodel tiempo de respuesta y el numero permitido de interrupciones porhora (esto limita el tiempo mnimo de muestreo).

Tambien se puede utilizar un tiempo de muestreo que optimice una carac-terstica del sistema controlado, por ejemplo la robustez o algun criterio dedesempeno integral.

3 Sintonizacion del controladorPID digital

El proceso de diseno de un controlador PID digital, presentado en este pro-yecto, conlleva el mismo desarrollo que el de uno continuo, mas la posteriordiscretizacion de la funcion de transferencia del controlador, haciendo uso delas aproximaciones mostradas en la seccion 2.5. En el presente captulo sepresentan las etapas a seguir para la obtencion del controlador digital.

3.1 Seleccion del algoritmo de control PID

Con base en los criterios mencionados en el apartado 2.2 y dado que son pocaslas reglas de sintonizacion desarrolladas que contemplan la robustez, as comoel desempeno optimo en servocontrol y control regulatorio, sumado a que lasencontradas en la literatura, hacen uso del algoritmo PID estandar de dosgrados de libertad, se opto por emplear este algoritmo, mostrado en (3.1).

U(s) = Kp

( +

1

Tis

)r(s)Kp

(1 +

1

Tis+

Tds

Tds+ 1

)y(s). (3.1)

3.2 Eleccion del metodo de sintonizacion

Para la eleccion de la regla de sintonizacion se tomo en consideracion, queesta contemplara el compromiso desempeno-robustez en el sistema de control,as como el desempeno optimo en servocontrol y control regulatorio, haciendouso de los beneficios que aporta el PID estandar de dos grados de libertad,mencionados en la seccion 2.2. A continuacion se presenta una descripcionde los metodos de sintonizacion que cumplen las caractersticas deseadas y semuestran las ecuaciones de sintonizacion utilizadas en el proyecto.

Sintonizacion analtica robusta (ART2)

Este metodo de sintonizacion desarrollado por Vilanova et al. (2011), utiliza elalgoritmo de control PID de dos grados de libertad, para implementar el com-promiso desempeno-robustez en el lazo de control realimentado de procesos,cuyo modelo se presenta en (3.2). Como caracterstica de desempeno, especifi-ca una respuesta en lazo cerrado con la menor oscilacion posible y empleando

13

14 3 Sintonizacion del controlador PID digital

el menor numero de parametros de diseno. Asimismo hace uso de la funcionde sensibilidad maxima Ms para evaluar la robustez del lazo de control.

P (s) =KeLs

(Ts+ 1)(aTs+ 1), 0 a 1, (3.2)

El parametro de diseno c especifica la relacion entre la constante de tiempode lazo cerrado y las constantes de tiempo del proceso (modelo). Un valorpequeno para este parametro (cercano al lmite inferior permitido) hace queel proceso controlado responda rapidamente, pero decrecentando su robustez.

En el presente proyecto se utilizo ART2, como metodo de sintonizacionpara el modelo de segundo orden. Las ecuaciones de sintonizacion para esteproceso se muestran en (3.3), (3.4), (3.5) y (3.6),

KpK =21a 2c

2c, (3.3)

TiT

=c(21a 2c )

10a, (3.4)

TdT

=c[12a (1 + a)c]

21a 2c, (3.5)

= min

{cT

Ti, 1

}, (3.6)

0 c min(4, 58

a,

12a

1 + a

), (3.7)

donde K representa la ganancia de la planta, c la relacion entre la constantede tiempo en lazo cerrado y la constante de tiempo del modelo, y a la relacionentre las constantes de tiempo del modelo.

Sintonizacion optima-robusta, simple y unificada (uSORT2)

Esta tecnica de sintonizacion realizada por Alfaro y Vilanova (2012c), fue desa-rrollada para controladores PID de dos grados de libertad, cuya estructura semostro en (2.3) con = 0,1, considerando el compromiso desempeno-robustezen el proceso controlado, as como el desempeno optimo funcionando en ser-vocontrol y en control regulatorio, para procesos cuyo modelo esta dado por(3.8),

P (s) =KeLs

(Ts+ 1)(aTs+ 1), 0 a 1, 0 = L

T(3.8)

donde P (s) representa la funcion de transferencia de la planta, K la gananciade planta, T la constante de tiempo del proceso, a la relacion entre las cons-tantes de tiempo del sistema, L su tiempo muerto y 0 la constante de tiempomuerto normalizado.

3.3. Obtencion del controlador PID discreto 15

Para evaluar la robustez del sistema, hace uso de la funcion de sensibilidadmaxima Ms y utiliza la funcion de costo JIAE como ndice de desempeno anteel cambio en la referencia y perturbacion.

Esta sintonizacion admite un conjunto de valores, correspondiente a la rela-cion entre las constantes de tiempo de la planta, a {0; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 1, 0}y cinco niveles de robustez Ms {1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8; 2, 0}. Ademas presentala gran ventaja de que se puede ajustar la robustez del sistema controlado,variando solamente la ganancia proporcional del controlador.

Las ecuaciones de sintonizacion se presentan a continuacion:

KpK = a0 + a1a20 (3.9)

TiT

= b0 + b1b20 (3.10)

TdT

= c0 + c1c20 (3.11)

= d0 + d1d20 (3.12)

Para efectos de este trabajo se considerara uSORT2, como metodo desintonizacion en el control de los procesos de POMTM y SOMTM.

Seleccion de ndices para evaluar el desempeno y la robustezdel sistema de control

Para medir el desempeno del sistema controlado se considero la funcion decosto JIAE definida en (2.4), pues, como se observo en el apartado 3.2, losmetodos de sintonizacion considerados utilizan dicho criterio de error integral,con exepcion del metodo de sintonizacion analtica robusta ART2.

En cuanto al ndice para medir la robustez del lazo realimentado, se utilizola funcion de sensibilidad maximaMs, pues, este garantiza de manera conjuntavalores aceptables para el margen de fase y ganancia del sistema, situacion queno ocurre de manera inversa. Ademas simplifica el analisis de la estabilidaddel proceso, ya que, solo se considera un criterio (Ms).

3.3 Obtencion del controlador PID discreto

Como se menciono en la seccion 2.5, la obtencion de la forma discreta de lafuncion de transferencia del controlador mostrado en (2.3), se puede realizarsustituyendo el termino s de la accion derivativa y el factor 1

sdel modo integral

por cada una de la aproximaciones mostradas en las ecuaciones (2.9), (2.10)y (2.11).

En la literatura no se ha encontrado cual es la combinacion de aproxima-ciones para el modo integral y derivativo que brinda los mejores resultados en


la discretizacion de un controlador PID y por ende se debe realizar un analisisde todas las posibles combinaciones para una aplicacion en particular. En esteproyecto, se empleo la combinacion que minimizara el ndice JIAE ante cam-bios en sus entradas y que permitiera tener un ndice de robustez adecuado enel sistema de control. Las formas discretas de la funcion de transferencia delcontrolador (2.3) se muestran en el apendice A.1.

Eleccion del tiempo de muestreo

Para la eleccion del tiempo de muestreo, se utilizo el criterio de emplear aquelTs que minimizara la funcion de costo JIAE en el sistema discreto, y que a suvez, mantuviese un valor adecuado del margen de sensibilidadMs. Ademas, setomo en consideracion las restricciones impuestas por el sistema de adquisicionde datos (8 bits) y de la interfaz ISPV, que permita tiempos de muestreo desde0,01 s hasta 2,55 s, en incrementos de 0,01 s, esto determinado por los 8 bitsdisponibles para procesar la informacion.

3.4 Simulacion de los sistemas de control

Para el analisis del sistema de control digital, se implemento en SIMULINK R

el diagrama de bloques mostrado en la figura 3.1. Este muestra el equivalenteretenedor-planta (utilizando un retenedor de orden cero: ZOH), controlador derealimentacion y el controlador aplicado a la referencia, as como las entradas alsistema de control (referencia y perturbacion). La ejecucion de dicho diagramade bloques esta condicionada por el codigo escrito en MATLAB R, presentadoen la seccion A.2, (codigo para el proceso de POMTM). Dicho codigo muestrael calculo del tiempo de muestreo que minimiza el ndice JIAE ante cambiosen las entradas del proceso.

Para medir el margen de sensibilidad maxima y determinar la robustez delos procesos de POMTM, SO y SOMTM considerados, se hizo uso del codigoescrito en MATLAB R, presentado en la seccion A.3, (codigo para el procesode POMTM). Este tambien permite determinar como vara la robustez delsistema al modificar el tiempo de muestreo.

Los resultados obtenidos a partir de la simulacion de los sistemas de con-trol, cuyos procesos tenan un modelo de POMTM, SO y SOMTM se muestrana continuacion.

Modelo de primer orden mas tiempo muerto

Los parametros del modelo considerado para el proceso de POMTM se mues-tran en (3.13). Este modelo corresponde al PCT610 (Simulador de controlPID modelo 610) y se obtuvo mediante un punto de operacion del 70% de la

3.4. Simulacion de los sistemas de control 17

Figura 3.1: Sistema de control discreto.

senal de salida del proceso, en el cual, se utilizo una valvula de llenado rapidoy capacidad del tanque mnima, (Chacon et al., 2012a).

P (s) =9, 22e3,17s

34, 31s+ 1(3.13)

En el cuadro 3.1, se muestran los valores obtenidos para los ndices JIAEr,JIAEd, JIAE ; la funcion de sensibilidad maxima Ms y el respectivo tiempo demuestreo que minimizo la funcion de costo JIAE , ante cambios en las entradasdel proceso, utilizando para ello, las aproximaciones cuatro y cinco del modointegral y derivativo. Se muestran dichas aproximaciones, pues, fueron lasque presentan los mejores resultados para el proceso, cuyo modelo se mostroen 3.13. El cuadro A.1, muestra todas las aproximaciones analizadas para eldiseno del controlador digital.

De acuerdo con la informacion mostrada en el cuadro A.1, la aproximacionrectangular hacia atras en el modo integral y derivativo (aproximacion cuatro),presento el mejor ndice de desempeno, sin embargo, tambien se observa que sufuncion de sensibilidad Ms esta por encima del valor, en que se considera queel sistema tiene una buena estabilidad relativa (Ms = 2). Ademas, se puede


Cuadro 3.1: Indices de desempeno y robustez para el modelo de POMTM

Discretizacion JIAEr/r JIAEd/d JIAE Ms Ts

Aproximacion 4 9,74 15,04 24,78 2,69 2,5Aproximacion 5 10,31 16,25 26,56 2,00 2,5

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.50 1.75 2 2.25 2.51.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

X: 1.32Y: 2.001

tiempo de muestreo (s)

Ms

Figura 3.2: Variacion de Ms con base en el cambio de Ts, empleando la apro-ximacion cuatro

notar que existen aproximaciones, que se encuentran dentro del rango de Msaceptado, pero que tienen un desempeno menor al que posee la aproximacioncuatro.

Como en el presente trabajo se busca que exista un compromiso desempeno-robustez en el lazo de control, se realizo una grafica del comportamiento dela robustez (figura 3.2) y del desempeno (figura 3.3) del sistema, al variar eltiempo de muestreo para la aproximacion cuatro, esto con el fin de determinarsi ajustando suMs a dos, existe o no, una aproximacion que presente un ndicede desempeno mejor que esta.

Como se observa en la figura 3.2, para un Ms = 2, se requiere de untiempo de muestreo de 1, 32 s. La figura 3.3, muestra que para dicho tiempode muestreo se tiene un ndice JIAE = 27, 2. Al comparar este resultado conlos mostrados en la tabla 3.1, se observa que la aproximacion cinco, presentaun mejor ndice de desempeno JIAE = 26, 56 con un Ms = 2. Como estaaproximacion presenta el mejor balance entre desempeno y robustez, se utilizopara el diseno del PID digital del proceso de POMTM.


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.524

25

26

27

28

29

30

X: 1.32Y: 27.2

t muestreo (s)

J IA

E

Figura 3.3: Variacion de JIAE con base en el cambio de Ts, utilizando laaproximacion cuatro

5 10 30 50 70 90 110 13068

72

76

80

84

88

tiempo (s)

y(t), r

(t), d

(t) (%

)

r(t)y(t)d(t)

Figura 3.4: Salida del sistema de control (POMTM)


5 10 30 50 70 90 110 130

64

66

68

70

72

74

76

78

tiempo (s)

u(t)

(%)

u(t)

Figura 3.5: Salida del controlador para el proceso de POMTM

Al calcular la degradacion del ndice de desempeno del lazo de control,producto de utlizar la aproximacion cinco en lugar de la cuatro, se tiene unincremento del ndice JIAE del 7, 18%.

De manera general, se puede decir, atraves de la figura 3.2, que el incre-mentar el tiempo de muestreo, provoca una perdida de robustez en el lazo decontrol, mientras que mediante la figura 3.3, se deduce que un incremento enTs en algunos intervalos tiende a mejorar el desempeno del sistema (ndiceJIAE).

La simulacion mostrada en la figura 3.4, se realizo utilizando la aproxi-macion cinco. Esta muestra que la salida del sistema de control necesito untiempo de 47,3 s para alcanzar el estado estable, ante un cambio en el puntode operacion del 10% y de 55, 1 s ante un cambio en la perturbacion del 5%.

La salida del controlador obtenida para el proceso mostrado en (3.13), semuestra en la figura 3.5. De esta se observa que la salida del controlador haceun cambio maximo del 7, 4% ante el cambio en el punto de operacion y otro del7, 15% debido a la perturbacion. Esto demuestra que es una senal de controlaceptable para el actuador, al no presentar cambios bruscos.

Modelo de segundo orden

La funcion de transferencia del modelo de segundo orden utilizado se muestraen (3.14). Este presenta un punto de operacion nominal del 70% en la salidadel proceso.

P (s) =1

(2s+ 1)2(3.14)


Como se menciono en la seccion 3.2, la sintonizacion del controlador PID,mediante el metodo ART2, tiene un parametro de diseno adimensional c,que permite seleccionar que tan rapido responde el sistema de control antecambios en sus entradas. Para la eleccion del modelo mostrado en (3.14), seconsidero un valor fijo para la constante de tiempo (T = 2) y para la gananciadel proceso (K = 1). A partir de esta informacion se vario la relacion entre lasconstantes de tiempo del modelo en el intervalo 0, 1 a 1, utilizando lasaproximaciones mostradas en la seccion A.1, con un valor especfico de c (serealizaron los casos c = 0, 4cmin c = 0, 5cmin c = 0, 6cmin c = 0, 7cmin)y se determino para que valores de a y c, utilizados en una aproximacionespecifica, se minimizaba el ndice de desempeno JIAE . De las tablas A.2, A.3,A.4 y A.5, se manifiesta que esto se cumplio en la mayora de casos para a = 1y de ah el por que del modelo mostrado en (3.14).

En los cuadros A.2, A.3, A.4 y A.5, se observa que el tomar los valores dea, c y Ts que minimicen el ndice de desempeno JIAE , provoca que el ndice derobustez Ms, tenga valores no deseados en la mayora de las aproximaciones,con excepcion de la tres, seis y nueve, que mantenan la funcion de sensibilidadmaxima Ms menor a dos. Estas tres combinaciones tienen en comun que uti-lizan la aproximacion rectangular hacia adelante para aproximar la derivada.El cuadro 3.2, presenta un resumen de los resultados obtenidos con estas tresaproximaciones para c = 0, 7cmin.

Cuadro 3.2: Ms y JIAE , modelo de SO, c = 0, 7cmin

Discretizacion JIAEr/r JIAEd/d JIAE a c Ms Ts

Aproximacion 3 6,36 4,36 10,72 1 2,8 1,37 0,49Aproximacion 4 4,97 4,34 9,31 1 2,8 4,25 2,5Aproximacion 6 6,36 4,35 10,71 1 2,8 1,37 0,49Aproximacion 9 6,36 4,37 10,74 1 2,8 1,37 0,49

Como se observa en las tablas A.2, A.3, A.4 y A.5, un aumento en elporcentaje del c mnimo a considerar, hace que el ndice de desempeno tiendaa empeorar, mientras que el Ms mejora.

Tal y como se menciono anteriormente para cada c, las aproximacionestres, seis y nueve eran las unicas que presentan un Ms menor a dos, pero a suvez presentaban el ndice de desempeno JIAE menos optimo. Por ende de estastres, se elegio aquella combinacion que tuviese la senal de control mas suave. Enel cuadro 3.3, se muestra el cambio total de la senal emitida por el controladorinmediatamente despues de aplicar un cambio en la referencia del 10%. Deeste se evidencia que para cada c dicho valor vario considerablemente. A


Cuadro 3.3: Porcentaje de variacion maxima de la senal del controlador antecambio en el punto de operacion

Discretizacion c = 0, 4cmin c = 0, 5cmin c = 0, 6cmin c = 0, 7cmin

Aprox. 3 (%u) 40,59% 26% 18,08% 13,31%Aprox. 6 (%u) 42,11% 27% 18,81% 13,87%Aprox. 9 (%u) 39,06% 25% 17,36% 12,76%

partir de esta tabla se decide utilizar un c = 0, 7cmin, pues la senal delcontrolador presenta un cambio menos brusco en comparacion con las senalesobtenidas para los otros valores de este parametro. El cuadro 3.2, muestra quela aproximacion seis, presenta el mejor ndice JIAE , por consiguiente se eligioesta ultima.

Luego, la opcion elegida (aproximacion seis), se comparo con aquella delas restantes, que presentase el mejor ndice de desempeno para c = 0, 7cmin;efectuando a esta ultima una degradacion del desempeno al restringir su valorde la funcion de sensibilidad al presentado por la aproximacion seis (Ms =1, 37).

La aproximacion que presento el mejor ndice de desempeno integral fuela cuatro, y los resultados obtenidos con esta, se presentan en el cuadro 3.2.La variacion de su ndice Ms, respecto al tiempo de muestreo se presenta enla figura 3.6.

De la figura 3.6, es evidente que para un Ms = 1, 37, con un c = 0, 7cmin,se requiere un tiempo de muestreo de 0, 35 s utilizando la aproximacion cuatro.Por ende tambien se realizo una grafica del cambio en el criterio integral JIAE ,ante variaciones en el tiempo de muestreo, con el objetivo de determinar dichondice para Ts = 0, 35 s. Dicha grafica se muestra en la figura 3.7.

De la figura 3.7, se puede apreciar que para un Ts = 0, 35 s, se tiene unndice JIAE = 10, 44, el cual es mejor que el presentado por la aproximacionseis (JIAE = 10, 71). Tambien se observa de esta grafica que para Ts = 0, 25 sse tiene un mejor ndice JIAE , que a su vez presenta un mayor grado derobustez observando la figura 3.6, (Ms = 1, 31). Por estos motivos se utilizola aproximacion cuatro (c = 0, 7, Ts = 0, 25 s), para el diseno del controladordel proceso de SO.

Utilizando los resultados anteriores se simulo la respuesta del sistema decontrol, ante un cambio del 10% en la referencia y del 5% en la perturbaciony se muestra en la figura 3.8.

Tal y como se observa en la figura 3.8, la salida del proceso solo presento


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

X: 0.35Y: 1.376


Ms

X: 1.02Y: 1.993

Figura 3.6: Variacion de Ms, con base en el cambio de Ts (SO, aproximacion4)

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.59

9.5

10

10.5

11

11.5

12

X: 0.35Y: 10.44

X: 0.25Y: 10.39

tiempo de muestreo(s)

J IA

E

Figura 3.7: Variacion de JIAE , ante el cambio de Ts (SO, aproximacion 4)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10066

68

70

72

74

76

78

80

82

84

tiempo(s)

y(t), r

(t), d

(t) (%

)

r(t)y(t)d(t)

Figura 3.8: Respuesta del sistema para el proceso de SO

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10068

70

72

74

76

78

80

82

84

86

tiempo (s)

u(t)

(%)

u(t)

Figura 3.9: Salida del controlador para el proceso de SO

un sobrepaso ante el cambio en la perturbacion, requieriendo de un tiempode 35 s para alcanzar su valor en regimen permanente. Ante el cambio en lareferencia ocupo un tiempo de 30, 8 s para llegar a su estado estacionario.

En la figura 3.9 se muestra la senal a la salida del controlador. De esta seevidencia un cambio maximo del 13, 31% en la senal del controlador, ante elcambio en el punto de operacion y de un 4, 98% ante el cambio en la pertur-bacion. Nuevamente se obtuvo una senal adecuada para efectuar la accion decontrol.


Modelo de segundo orden mas tiempo muerto

El modelo del proceso de SOMTM se muestra en (3.15), con un punto deoperacion nominal del 70%. Dicho modelo, fue empleado por Alfaro y Vilanova(2012c), para validar el metodo de sintonizacion uSORT2.

P (s) =1, 2e1,5s

(2s+ 1)(s+ 1)(3.15)

En el cuadro A.6, se presenta el valor mnimo de los ndices de desempenoJIAEr, JIAEd, JIAE , obtenido para cada una de las aproximaciones de la accionintegral y derivativa; as como el tiempo de muestreo que optimizo dichoscriterios y el valor de Ms asociado al Ts.

De la tabla A.6, se evidencia que la aproximacion cuatro, minimizo elndice de desempeno JIAE , a causa de cambios en las entradas del proceso(JIAE = 7, 14), y que ademas, el tiempo de muestreo que permitio cumplirdicho objetivo (Ts = 0, 4 s), permitio tener un ndice de sensibilidad maximaadecuado (Ms = 1, 92). Por ende se hizo uso de esta aproximacion para elmodelo de segundo orden mas tiempo muerto. Un fragmento con los resultadosobtenidos haciendo uso de la aproximacion cuatro se muestran en el cuadro3.4.

Cuadro 3.4: Indices de desempeno y robustez, modelo de SOMTM


Aproximacion 4 4,31 2,83 7,14 1,92 0,4

Es importante tomar en consideracion la forma en que el tiempo de mues-treo modifica la robustez del sistema realimentado. Esta variacion se realizopara la aproximacion cuatro y se muestra en la figura 3.10.

De la figura 3.10 se puede concluir, que un aumento en el tiempo de mues-treo, provoca una perdida en la estabilidad relativa del proceso controlado.

Resulta interesante conocer que tanto se degradara el ndice de desempenoJIAE de la aproximacion cuatro, si se incrementa su robustez, por ejemplo,para un valor de Ms = 1, 87, que fue el presentado por la aproximacion cinco,que tuvo el segundo mejor ndice de desempeno JIAE .

De la figura 3.10, se observa que para que la aproximacion cuatro tengaun Ms = 1, 87, se requiere de un tiempo de muestreo de 0, 35 s. Al realizarla grafica mostrada en la figura 3.11, se observa que para este Ts se tiene unndice de desempeno JIAE = 7, 16, el cual es todava menor al presentado porla aproximacion cinco. Esto demuestra que para este proceso de SOMTM se


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.50

2.5

5

7.5

10

12.5

15


Ms

Figura 3.10: Variacion de la robustez con el tiempo de muestreo (SOMTM)

0.5 1 1.5 2 2.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

X: 0.35Y: 7.162

tiempo de muestreo

J IA

E

Figura 3.11: Variacion del ndice de desempeno JIAE con el tiempo de muestreo(SOMTM)


0 10 20 30 40 50 6068

70

72

74

76

78

80

82

84

tiempo(s)

y(t), r

(t), d

(t) (%

)

r(t)y(t)d(t)

Figura 3.12: Respuesta del sistema de control para el proceso de SOMTM

0 10 20 30 40 50 6070

72

74

76

78

80

82

84

86

tiempo(s)

u(t)

(%)

u(t)

Figura 3.13: Salida del controlador para el proceso de SOMTM

pudo cumplir con el compromiso desempeno-robustez planteado en el proyecto,utilizando la aproximacion rectangular hacia atras en el modo derivativo eintegral (aproximacion cuatro).

La figura 3.12 muestra la respuesta del lazo de control ante una variaciondel 10% en la referencia y de un 5% en la perturbacion, utilizando la aproxi-macion mencionada anteriormente. De esta figura, tambien se puede observarque el sistema alcanza el estado estable 19, 1 s despues de aplicado el cambioen el punto de operacion y 18, 4 s posteriores al cambio en la perturbacion.

La salida del controlador respondio de la forma mostrada en la figura 3.13,con un cambio maximo del 16, 2% de su senal ante la modificacion en el punto


de operacion y de un 6, 3% cuando se introdujo la perturbacion. Nuevamentese obtuvo una senal adecuada para ser aplicada al elemento final de control.

Finalmente el cuadro 3.5, permite observar con facilidad los margenes desensibilidad obtenidos para los procesos de POMTM, SO y SOMTM. De estese observa que los procesos (POMTM y SOMTM) en tiempo continuo cumplencon elM ts = 1, 6, para el cual se realizo la sintonizacion. En el caso del procesode SO, en tiempo continuo es muy robusto (no tiene tiempo muerto), y porende, generalmente, las tecnicas de sintonizacion, no consideran este criterioen su diseno. Al observar graficas de como vara la robustez y el desempenode un sistema en funcion del tiempo de muestreo, utilizando un controladordigital, se llega a la determinacion de que se pueden disenar controladoresque hagan que el proceso opere dentro de margenes de estabilidad relativaaceptables, manteniendo a la vez un ndice de desempeno adecuado a dichosistema.

Cuadro 3.5: Indices de robustez para los procesos considerados, en tiempocontinuo y discreto (Ms)

Proceso Tiempo continuo Tiempo discreto

POMTM 1,59 2SO 1,22 1,31SOMTM 1,59 1,92

3.5 Prueba del controlador PID digital disenadoutilizando el PCT610

Una vez implementada la ecuacion en diferencias mostrada en (A.10) y (A.11)en el arduino Uno R, se realizo la respectiva prueba con el proceso fsicoPCT610. De manera manual se llevo este proceso a un punto de operacioncercano al valor nominal del 70% (especficamente al 68,3%) y posteriormen-te se aplico un cambio en la referencia del 10%. Los resultados obtenidos semuestran en la figura 3.14.

De la figura 3.14, se aprecia que los resultados obtenidos no fueron losdeseados, puesto que la senal del controlador, provoco un efecto de saturacionen el actuador, evitando de esta forma la correccion del error en el sistema.Una forma de evitar la saturacion del elemento de control sera disenar unesquema de control antiwindup que inhabilite la accion integral antes de quese alcance la saturacion del actuador. Asimismo se realizo un cambio en la

3.5. Prueba del controlador PID digital disenado utilizando el PCT610 29

0 5 10 15 20 25 30 35

0

20

40

60

80

100

tiempo (s)

r(t), y

(t), u

(t) %

r(t)y(t)u(t)

Figura 3.14: Respuesta del sistema de control con el proceso PCT610 en ser-vocontrol

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

20

40

60

80

100

tiempo (s)

r(t), y

(t), u

(t), d

(t) %

r(t)y(t)u(t)d(t)

Figura 3.15: Respuesta del sistema de control con el proceso PCT610 en controlregulatorio

perturbacion del 10% con el proceso operando a un valor cercano al 70%(especficamente 68,3%) y se obtuvieron los resultados mostrados en la figura3.15. En este caso tambien la senal de control provoco un efecto de saturacionen el actuador.

Debido a los resultados anteriores, se realizo una inspeccion de las posiblescausas de error (que conllevaron al desbordamiento de la accion integral),debido a que las simulaciones mostradas en la figuras 3.4 y 3.5, senalaban que elesquema de control se haba implementado de manera adecuada. Como causa


principal se consideraron las caractersticas que posea el PCT610 al momentode realizar las pruebas, una banda muerta que solo permita el llenado deltanque cuando la valvula se abra alrededor de un 70%, as como una respuestalenta ante cambio en la senal de control. Asimismo llevar el proceso a su puntode operacion nominal de manera manual presentaba dificultades, ya que lavariable controlada del proceso no permaneca en un valor constante. Porotra parte, el cambio en la perturbacion no se pudo llevar a cabo de maneraprecisa, debido a que se realizaba a traves del giro manual de una perilla,con marcaciones de cambio del 0%, 25%, 50% y 75%. Ademas dentro delas limitaciones del control PID se encuentran los procesos que presentan nolinealidades grandes, como ocurrio en este caso. Tambien resulta evidente queeste tipo de situaciones, no se pueden modelar a traves de un programa desoftware como MATLAB R.

Se realizaron diversas pruebas utilizando la misma aproximacion (apro-ximacion cinco), con diferentes de tiempos de muestreo que mantuviesen unvalor adecuado de la funcion de sensibilidad maxima y del ndice de desem-peno, no obstante los resultados fueron iguales, incluso ejecutando lo mismocon la aproximacion cuatro, que era la segunda que mejores resultados dio enMATLAB R, para este proceso.

Debido a esta situacion se realizo el diseno de un controlador PI digital,para observar su comportamiento en el lazo de control y con este, si se ob-tuvieron los resultados deseados. El diseno del controlador se muestra en elapendice A.6.

3.6 Gua de usuario

En el presente proyecto se utilizo como referencia el manual de usuario parala Interfaz de Simulacion de Plantas Virtuales (ISPV), ver (Chacon et al.,2012b). A. La gua de usuario elaborada muestra como utilizar el controladorPID digital de dos grados de libertad agregado a la ISPV. Dicha gua semuestra en el apendice A.7.

4 Conclusiones y recomendaciones

4.1 Conclusiones

La aproximacion rectangular hacia atras en el modo integral y la trape-zoidal en el modo derivativo, brindaron el mejor compromiso desempeno-robustez, para el proceso de POMTM analizado.

Para el modelo de segundo orden, la aproximacion rectangular haciaatras en el modo integral y derivativo, dieron el mejor balance entre eldesempeno y la robustez del sistema controlado.

En el caso del modelo de SOMTM, el mejor equilibrio entre el desem-peno y la robustez del proceso controlado, se logro haciendo uso de laaproximacion rectangular hacia atras en la accion integral y derivativa.

El incremento en el tiempo de muestreo disminuye la robustez del sistemade control, utilizando las aproximaciones mencionadas en la seccion A.1.

El ndice de error integral JIAE presenta un comportamiento irregular,pues, aunque se tengan tiempos de muestreo cercanos entre s, la ubica-cion de los polos y ceros en lazo cerrado, vara significativamente.

Apesar de que la robustez de un proceso disenado con controladores di-gitales, generalmente es menor a la que presenta uno disenado en tiempocontinuo, se puede lograr un ndice alto de esta, eligiendo adecuadamenteel tiempo de muestreo.

Al no existir una regla general para la escogencia del tiempo de muestreo,se puede elegir este, considerando un valor adecuado del desempeno, larobustez, o ambas caractersticas en el sistema de control.

El controlador PI digital disenado para el servocontrol llevo la variablecontrolada del PCT610 al valor deseado, incluso mejorando el ndiceJIAEr y la funcion de sensibilidad maxima Ms obtenidos con el PIDdigital.

En el caso del control regulatorio, el PI digital implementado, presentoun ndice de desempeno menor al obtenido con el PI disenado para el ser-vocontrol, pero cumplio su funcion de atenuar la perturbacion presenteen el lazo de control del PCT610.

31

32 4 Conclusiones y recomendaciones

EL PTC610 presento no linealidades como una banda muerta de opera-cion que no permita la apertura de la valvula de llenado hasta que seaplicase un valor igual o superior al 70% del valor maximo de la senalde control.

La dinamica que presento el PCT610, hizo difcl mantener la variablecontrolada en su punto de operacion nominal, lo cual introdujo erroresen las pruebas respectivas.

La tarjeta de adquisicion de datos se descalibro con el aumento de sutemperatura, por ende, se utilizo el arduino Uno R como metodo alter-nativo para obtener datos.

4.2 Recomendaciones

Utilizar un controlador PI digital para controlar el proceso fsico dadopor el PTC610.

Realizar la calibracion de las tarjetas de adquisicion de datos a utilizar,antes de iniciar las pruebas con los controladores digitales implementa-dos.

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A Codigo y resultados

A.1 Discretizacion de C(s)

1. Aproximacion trapezoidal para la accion integral y rectangular haciaatras para la derivada. Sustituyendo (2.10) y (2.11) en (2.3) se obtiene:

U(z) = Kp

[ +

Ts(z + 1)

2Ti(z 1)]r(s)Kp

[1 +

Ts(z + 1)

2Ti(z 1) +Td

(z1)Tsz

Td(z1)Tsz

+ 1

]y(s)

(A.1)

2. Aproximacion trapezoidal para la accion integral y derivativa. Si se sus-tituye (2.10) en (2.3), el resultado es:

U(z) = Kp

[ +

Ts(z + 1)

2Ti(z 1)]r(s)Kp

1 + Ts(z + 1)

2Ti(z 1) +Td

2(z1)Ts(z+1)

Td2(z1)Ts(z+1)

+ 1

y(s)

(A.2)

3. Aproximacion trapezoidal para la accion integral y rectangular haciaadelante en la derivada. Sustituir (2.11) y (2.9) en (2.3), da como resul-tado:

U(z) = Kp

[ +

Ts(z + 1)

2Ti(z 1)]r(s)Kp

[1 +

Ts(z + 1)

2Ti(z 1) +Td

(z1)Ts

Td(z1)Ts

+ 1

]y(s)

(A.3)

4. Aproximacion rectangular hacia atras para el modo integral y derivativo.Usando (2.10) en (2.3) se obtiene:

U(z) = Kp

[ +

Tsz

Ti(z 1)]r(s)Kp

[1 +

Tsz

Ti(z 1) +Td

(z1)Tsz

Td(z1)Tsz

+ 1

]y(s)

(A.4)

5. Aproximacion rectangular hacia atras en la accion integral y trapezoidalen la derivativa. Sustituyendo (2.10) y (2.11) en (2.3), se concluye que:

U(z) = Kp

[ +

Tsz

Ti(z 1)]r(s)Kp

1 + Tsz

Ti(z 1) +Td

2(z1)Ts(z+1)

Td2(z1)Ts(z+1)

+ 1

y(s)

(A.5)

37

38 A Codigo y resultados

6. Aproximacion rectangular hacia atras para el modo integral y rectangu-lar hacia adelante para la derivada. Empleando (2.10) y (2.9) en (2.3),se llega a que:

U(z) = Kp

[ +

Tsz

Ti(z 1)]r(s)Kp

[1 +

Tsz

Ti(z 1) +Td

(z1)Ts

Td(z1)Ts

+ 1

]y(s)

(A.6)

7. Aproximacion rectangular hacia adelante en la accion integral y rectan-gular hacia atras en la accion derivativa. Usando (2.9) y (2.10) en (2.3),se obtiene que:

U(z) = Kp

[ +

TsTi(z 1)

]r(s)Kp

[1 +

TsTi(z 1) +

Td(z1)Tsz

Td(z1)Tsz

+ 1

]y(s)

(A.7)

8. Aproximacion rectangular hacia adelante para el modo integral y tra-pezoidal para el derivativo. Sustituir (2.9) y (2.11) en (2.3), da comoresultado:

U(z) = Kp

[ +

TsTi(z 1)

]r(s)Kp

1 + Ts

Ti(z 1) +Td

2(z1)Ts(z+1)

Td2(z1)Ts(z+1)

+ 1

y(s)

(A.8)

9. Aproximacion rectangular hacia adelante para la accion integral y deri-vativa. Usando (2.9) en (2.3), se obtiene:

U(z) = Kp

[ +

TsTi(z 1)

]r(s)Kp

[1 +

TsTi(z 1) +

Td(z1)Ts

Td(z1)Ts

+ 1

]y(s)

(A.9)

A.2 Optimizacion del tiempo de muestreo

Optimizacion del tiempo de muestreo (POMTM) %Ca lcu lo d e l Ts que minimiza n d i c e J IAE ante un cambio%en l a r e f e r en c i a y per turbac i on .clear ; clc ;%Parametros d e l modelo de l a p l an taL = 3 . 1 7 ; K = 9 . 2 2 ; T = 34 . 3 1 ; a = 0 ; tao 0 = L / T;

A.3. Medicion de la robustez y su variacion con Ts 39

Optimizacion del tiempo de muestreo (POMTM), (continuacion) i = 1 ; vector IAE ( i ) = 0 ;%Tiempo de muestreo d e f i n i d o por ISPV .for t s = 0 . 1 : 0 .01 : 2 . 5 5%Metodo de s i n t on i z a c i o n uSORT 2 , considerando Ms t = 1.6a 0 = 0 . 1 7 9 ; a 1 = 0 . 6 2 6 ; a 2 = 0.921;b 0 = 0.198; b 1 = 1 . 2 9 1 ; b 2 = 0 . 4 8 5 ;c 0 = 0 . 0 0 4 ; c 1 = 0 . 3 8 9 ; c 2 = 0 . 8 6 9 ;d 0 = 0 . 2 5 5 ; d 1 = 0 . 7 2 7 ; d 2 = 0 . 4 7 6 ;%Los parametros d e l con t ro l ador son :alpha = 0 . 1 ;kp = ( a 0 + a 1 tao 0 a 2 )/K;Ti = T( b 0 + b 1 tao 0 b 2 ) ;Td = T( c 0 + c 1 tao 0 c 2 ) ;beta = d 0 + d 1 tao 0 d 2 ;%Se e j e cu t a e l modelo en SIMULINKsimOUT = sim ( POMTM ) ;

%Ind i ce de desempeno J IAE ante cambio en r ( t ) d e l 10%IAE r = ( error (1399)error ( 799 ) ) /10 ;%Ind i ce de desempeno J IAE ante cambio en d ( t ) d e l 5%IAE d = ( error (2101)error ( 1400 ) ) /5 ;%Ca lcu lo d e l n d i c e J IAEIAE = IAE r + IAE d ;vector IAE ( i ) = IAE ;i = i + 1 ;end

%Devuelve e l Ts que minimiza e l n d i c e IAE ante cambio%en l a r e f e r en c i a y l a per tu rbac i on .[ error min , cordenada ] = min( vector IAE ) ;ts min = ( cordenada 1)/100 + 0 . 1 ;

A.3 Medicion de la robustez y su variacion con Ts

Robustez del proceso (POMTM)

%Medicion de l a r o bu s t e z d e l s i s tema (Aproximacion cuatro )i =1;for Ts = 0 . 1 : 0 .01 : 2 . 5 5s = t f ( s ) ;z = t f ( z ,Ts ) ;%Parametros de l a p l an ta :%P( s ) = (1 .2 e(1.5 s ) )/ ( (2 s+1)( s+1))a=0; K=9.22; T1=34.31;


Robustez del proceso (POMTM) (continuacion) T2=aT1 ; L=3.17; tao 0 = L/T1 ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l proceso cont inuo%Aproximacion d e l tiempo muerto u t i l i z a n d o%pol inomio de Pade de orden 20.[ num, den ] = pade (L , 2 0 ) ;tm = t f (num, den ) ;P = (Ktm)/ ( (T1 s +1)(T2 s +1)) ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l ERP usando ZOH.Pd = c2d (P, Ts ) ;%Parametros u t i l i z a d o s por e l metodo de%s i n t on i z a c i o n uSORT 2 con Ms=1.6:a 0 =0.179; a 1 =0.626; a 2=0.921;b 0=0.198; b 1 =1.291; b 2 =0.485;c 0 =0.004; c 1 =0.389; c 2 =0.869;d 0 =0.255; d 1 =0.727; d 2 =0.476;%Los parametros d e l con t ro l ador son :kc=(a 0 + a 1 ( tao 0 ( a 2 ) ) ) /K;Ti=T1( b 0 + b 1 ( tao 0 ( b 2 ) ) ) ;Td=T1( c 0 + c 1 ( tao 0 ( c 2 ) ) ) ;beta=d 0 + d 1 ( tao 0 ( d 2 ) ) ;alpha = 0 . 1 ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l con t ro l ador%de rea l imentac i on cont inuo .Cy = kc (1 + 1/(Ti s ) + (Td s )/ ( alpha Td s +1)) ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l con t ro l ador d i c r e t i z a d a .Cy d = kc (1 + (Tsz )/ ( Ti ( z1)) +(Td( z1))/( z ( alpha Td+Ts)alpha Td ) ) ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l M s ( Sistema cont inuo )Ms continuo = 1/(1+PCy ) ;%Funcion de t r an s f e r en c i a d e l M s ( Sistema d i g i t a l )Ms disc re to = 1/(1+PdCy d ) ;%Obtenci on d e l bode de M s ( Sistema cont inuo )H continuo = bode (Ms continuo ) ;%Obtenci on d e l bode de M s ( Sistema d i g i t a l )H di s c r e to = bode ( Ms d i sc re to ) ;%Ca lcu lo d e l Ms ( Sistema cont inuo )Ms c = max( H continuo ) ;%Ca lcu lo d e l Ms ( Sistema d i g i t a l )Ms d = max( H d i s c r e to ) ;vector Ms ( i ) = Ms d ;T muestreo ( i ) = Ts ;i = i +1;end

A.4. Indices de desempeno y robustez 41

A.4 Indices de desempeno y robustez

Cuadro A.1: Indices de desempeno y robustez, modelo de POMTM


Aproximacion 1 12,24 17,51 29,75 1,61 0,1Aproximacion 2 12,27 17,55 29,82 1,59 0,1Aproximacion 3 12,31 17,58 29,89 1,58 0,1Aproximacion 4 9,74 15,04 24,78 2,69 2,5Aproximacion 5 10,31 16,25 26,56 2,00 2,5Aproximacion 6 12,05 17,39 29,44 1,90 0,25Aproximacion 7 12,38 17,67 30,05 1,61 0,1Aproximacion 8 12,42 17,71 30,13 1,59 0,1Aproximacion 9 12,67 18,54 31,21 1,57 0,1

Cuadro A.2: Indices de desempeno y robustez, modelo de SO, c = 0, 4cmin


Aproximacion 1 3,28 0,82 4,10 1 1,6 4,13 0,5Aproximacion 2 3,24 0,82 4,06 1 1,6 8,46 0,69Aproximacion 3 3,40 0,82 4,22 1 1,6 1,56 0,25Aproximacion 4 3,27 0,82 4,09 1 1,6 4,29 0,50Aproximacion 5 3,18 0,91 4,09 0,9 1,6 13,18 0,73Aproximacion 6 3,40 0,82 4,22 1 1,6 1,56 0,25Aproximacion 7 3,32 0,82 4,14 1 1,6 3,99 0,50Aproximacion 8 3,28 0,82 4,10 1 1,6 7,96 0,69Aproximacion 9 3,40 0,82 4,22 1 1,6 1,56 0,25




Aproximacion 1 4,02 1,60 5,62 1 2 4,02 0,8Aproximacion 2 3,91 1,60 5,51 1 2 6,57 1Aproximacion 3 4,40 1,60 6,00 1 2 1,48 0,32Aproximacion 4 4,00 1,60 5,60 1 2 4,24 0,8Aproximacion 5 3,90 1,60 5,50 1 2 6,95 1Aproximacion 6 4,40 1,60 6,00 1 2 1,48 0,32Aproximacion 7 4,10 1,60 5,70 1 2 3,82 0,8Aproximacion 8 3,99 1,60 5,59 1 2 6,22 1Aproximacion 9 4,40 1,60 6,00 1 2 1,48 0,32



Aproximacion 1 4,67 2,77 7,44 1 2,4 4 1,37Aproximacion 2 4,61 2,76 7,37 1 2,4 5,36 1,37Aproximacion 3 5,08 2,76 7,84 1 2,4 1,42 0,40Aproximacion 4 4,61 2,75 7,36 1 2,4 4,38 1,37Aproximacion 5 4,60 2,75 7,35 1 2,4 7,92 1,45Aproximacion 6 5,08 2,76 7,84 1 2,4 1,42 0,40Aproximacion 7 4,85 2,78 7,63 1 2,4 3,67 1,37Aproximacion 8 4,76 2,77 7,53 1 2,4 5,11 1,37Aproximacion 9 5,08 2,76 7,84 1 2,4 1,42 0,40

A.5. Implementacion del controlador PID digital en Arduino 43

Cuadro A.5: Ms y JIAE , modelo de SO, c = 0, 7cmin


Aproximacion 1 5,11 4,41 9,52 1 2,8 3,64 2,5Aproximacion 2 5,40 4,38 9,78 1 2,8 4 1,64Aproximacion 3 6,36 4,36 10,72 1 2,8 1,37 0,49Aproximacion 4 4,97 4,34 9,31 1 2,8 4,25 2,5Aproximacion 5 5,37 4,33 9,70 1 2,8 4,14 1,64Aproximacion 6 6,36 4,35 10,71 1 2,8 1,37 0,49Aproximacion 7 5,57 4,47 10,04 1 2,8 2,72 2,5Aproximacion 8 5,62 4,41 10,02 1 2,8 3,90 1,64Aproximacion 9 6,36 4,37 10,74 1 2,8 1,37 0,49

Cuadro A.6: Indices de desempeno y robustez, modelo de SOMTM


Aproximacion 1 4,41 3,06 7,47 1,65 0,1Aproximacion 2 4,43 3,08 7,51 1,61 0,1Aproximacion 3 4,45 3,10 7,55 1,57 0,1Aproximacion 4 4,31 2,83 7,14 1,92 0,4Aproximacion 5 4,30 2,91 7,21 1,87 0,7Aproximacion 6 4,38 3,04 7,42 1,58 0,2Aproximacion 7 4,93 3,64 8,57 1,64 0,1Aproximacion 8 4,50 3,14 7,64 1,60 0,1Aproximacion 9 5,01 3,69 8,7 1,56 0,1

A.5 Implementacion del controlador PID digitalen Arduino

La estructura de la ecuacion en diferencias obtenida para cada uno de losmodelos de POMTM, SO y SOMTM, se muestra respectivamente en (A.10),(A.11), (A.12), (A.13) y (A.14), (A.15).

Modelo de primer orden mas tiempo muerto.ur(k) = 0, 5265r(k) 0, 3072r(k 1) + ur(k 1) (A.10)


uy(k) = 1, 6468y(k) 1, 5947y(k 1) + 0, 3308y(k 2)+0, 2544uy(k 1) 0, 1272uy(k 2) (A.11)

Modelo de segundo orden.

ur(k) = 1, 25r(k) r(k 1) + ur(k 1) (A.12)


Modelo de segundo orden mas tiempo muerto.

ur(k) = 1, 1292r(k) 0, 8549r(k 1) + ur(k 1) (A.14)


A.6 Diseno del controlador PI digital

Para el diseno de este controlador se utilizo el metodo de sintonizacion USORT1(Sintonizacion Optima-Robusta, Simple y Unificada), creado por Vilanova yAlfaro (2012), puesto que tambien considera un balance entre el desempeno yla robustez del sistema de control. Ademas al igual que uSORT2, esta tecnicade sintonizacion permite ajustar la robustez del lazo realimentado variandosolamente la ganancia proporcional del controlador. En este caso el disenose realizo para un desempeno optimo en servocontrol y control regulatorio,utilizando un Ms = 1, 8.

Las ecuaciones de sintonizacion en servocontrol son:

KpK = a0 + a1a20 (A.16)

TiT

=b0 + b10 + b2

20

b3 + 0(A.17)

En el caso de control regulatorio se utilizaron las ecuaciones:

KpK = a0 + a1a20 (A.18)

TiT

= b0 + b1b20 (A.19)

Al igual que en el diseno de los controladores PID digitales, se hizo uso delas tres aproximaciones (rectangular hacia atras, rectangular hacia adelante y

A.6. Diseno del controlador PI digital 45

0 5 10 15 20 25 30 35 4060

65

70

75

80

85

90

tiempo (s)

r(t), y

(t) %

r(t)y(t)

Figura A.1: Respuesta del sistema de control utilizando PI digital (modelo dePOMTM) en servocontrol

trapezoidal) y se eligio aquella que minimizara el ndice JIAE ante un cambioen la referencia del 10% y ante un cambio en la perturbacion del mismo valor.En el caso del servocontrol se obtuvo que la aproximacion rectangular haciaatras, aplicada al modo integral minizaba el ndice JIAEr con un valor de6, 72. Para ello se empleo un tiempo de muestreo de 0,1 s como se observa enel cuadro A.7.

Cuadro A.7: Indices de desempeno y robustez del servocontrol para el modelodel PCT610

Aproximacion de 1s

JIAEr/r Ms Ts

Rectangular hacia adelante 6,732 1,82 0,1Rectangular hacia atras 6,728 1,82 0,1Trapezoidal 6,731 1,82 0,1

La respuesta del sistema ante el cambio del 10% en la referencia se muestraen la figura A.1. De esta se aprecia que el sistema necesito aproximadamente19, 9 s para llegar a su estado en regimen permanente. Este diseno presenta laventaja de que necesita un tiempo menor para llevar la variable controlada alvalor deseado (aproximadamente 27,4 s menos), con respecto al que requiereel PID digital mostrado en la seccion 3.4 y que explica el por que con este si seobtuvo un control adecuado sobre la variable controlada. Dicha situacion haceque la accion integral corrija el error existente en el proceso de manera rapida,


0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

tiempo(s)

u(t)

%

Figura A.2: Salida del controlador utilizando PI digital (modelo de POMTM)en servocontrol

sin provocar un efecto de saturacion en la valvula de llenado del PCT610, taly como suceda con el PID digital implementado.

En la figura A.2, se muestra la salida del controlador, notese que estapresenta un cambio maximo del 7, 88% para llevar el sistema al valor deseadoy muestra un tiempo corto para estabilizarse, con respecto a la salida delcontrolador PID digital realizado, para el proceso de POMTM.

Al obtener la funcion de maxima sensibilidad para el caso del sistema entiempo continuo y discreto se obtuvieron, respectivamente, los valores mos-trados en A.20 y A.21. Esto demuestra que el PI digital opero con una buenaestabilidad relativa.

Ms = 1, 80 (A.20)

Ms = 1, 82 (A.21)

Si se observa el cuadro A.1 (aproximacion cinco), se puede concluir, queincluso el PI digital mejoro el ndice de desempeno JIAEr y la robustez delsistema de control, obtenidos con el PID digital elaborado.

La ecuacion en diferencias implementada en el microcontrolador se muestraen (A.22).

u(k) = 0, 7228e(k) 0, 7206e(k 1) + u(k 1) (A.22)Los resultados obtenidos al utilizar el PI digital disenado en servocontrol

con el PCT610 se muestran en la figura A.3. Al igual que en el diseno realizadoen MATLAB R se aplico un cambio en la referencia del 10%. Al comparar lasfiguras A.1, A.2 y A.3, se evidencia que las senales obtenidas tuvieron formasde onda similares como se esperaba. Ademas de la figura A.3, se nota que el


0 5 10 15 20 25 30 35 4064

66

68

70

72

74

76

78

tiempo (s)

r(t), y

(t), u

(t) %

r(t)y(t)u(t)

Figura A.3: Respuesta del PTC610 ante cambio en r(t) del 10%

error en regimen permanente fue cercano a cero, esto debido principalmentea los errores introducidos por la tarjeta de adquisicion de datos, por la re-solucion empleada por el Arduino R en el procesamiento de datos, y por elfiltro analogico utilizado para la obtension de la senal de control a partir delas salidas PWM del microcontrolador. En cuanto al PI digital disenado parael control regulatorio, se obtuvo que el mejor balance entre el desempeno delsistema y la robustez del mismo, se llevo a cabo haciendo uso de la aproxima-cion rectangular hacia atras, con un tiempo de muestreo de 0, 91 s, como seobserva en el cuadro A.8.

Cuadro A.8: Indices de desempeno y robustez del control regulatorio para elmodelo de POMTM

Aproximacion de 1s

JIAEd/d Ms Ts

Rectangular hacia adelante 19,85 1,83 0,1Rectangular hacia atras 19,41 2 0,91Trapezoidal 19,79 1,83 0,1

Al obtener la funcion de maxima sensibilidad para el proceso utilizando uncontrolador PI disenado en tiempo continuo se obtuvo un Ms = 1, 8, teniendoas una diferencia de 0,2 con respecto al mostrado en el cuadro A.8 para laaproximacion rectangular hacia atras en el modo integral, pero manteniendoun valor adecuado de robustez.

La respuesta del proceso de POMTM ante el cambio en la perturbacion del


0 3 8 13 18 23 28 33 3860

65

70

75

80

85

90

tiempo (s)

y(t), r

(t), d

(t) (%

)

r(t)d(t)y(t)

Figura A.4: Respuesta del sistema en control regulatorio utilizando el PI digital(modelo de POMTM)

0 3 8 13 18 23 28 33 38

56

58

60

62

64

66

68

70

tiempo (s)

u(t)

(%)

u(t)

Figura A.5: Senal de control para contrarrestar la perturbacion utilizando PIdigital (modelo de POMTM)


0 5 10 15 20 25 30 3560

62

64

66

68

70

72

74

76

78

80

82

tiempo (s)

r(t), d

(t), y

(t), u

(t) %

r(t)y(t)u(t)d(t)

Figura A.6: Respuesta del PCT610 ante cambio del 10% en d(t) utilizando elPI digital

10% se muestra en la figura A.4. De esta se aprecia que el sistema de controlrequirio de aproximadamente 30 s para atenuar la perturbacion. La senal queefectuo la accion de control, presento un cambio maximo del 14%, tal y comose muestra en la figura A.5.

La ecuacion en diferencias implementada en el microcontrolador esta dadapor:

u(k) = 0, 6337e(k) 0, 5871e(k 1) + u(k 1) (A.23)La respuesta del PCT610 utilizando el PI digital disenado para el control

regulatorio se muestra en la figura A.6. Comparando esta con la mostradaen la figuras A.4 y A.5, se observa la similitud entre las diferentes senalesdel proceso controlado. Notese que en este caso se requirio de un tiempo deaproximadamente 30 s para reducir la perturbacion en la carga.


Figura A.7: Interfaz de Simulacion de Plantas Virtuales adaptada para el usodel controlador PID digital de dos grados de libertad

A.7 Gua de usuario

A la interfaz de simulacion de plantas virtuales (ISPV), elaborada por Chaconet al. (2012b), se le agrego la opcion para realizar el analisis de sistemas decontrol utilizando el algortimo de control del PID de dos grados de libertad.La Interfaz ISPV modificada se muestra en la figura A.7.

A continuacion se presentan los pasos para utilizar el controlador PIDdigital de dos grados de libertad, aplicado a los procesos de POMTM, SO ySOMTM.

Seleccionar el puerto de comunicacion con la placa Arduino Mega 2560 R.En la pestana llamada puerto Arduino se selecciona el puerto serial parala transmision de datos hacia el Arduino Mega 2560 R, tal y como semuestra en la figura A.8.

Verificar que la cantidad de datos enviados y recibidos sea la correcta.Una adecuada recepcion y transmision de datos mantiene las luces rojasmostradas en la figura A.9 apagadas, caso contrario estas se enciendeny la ISPV no permite la simulacion de las plantas virtuales.

A.7. Gua de usuario 51

Figura A.8: Seleccion del puerto serial para establecer comunicacion con Ar-duino Mega 2560 R

Figura A.9: Indicadores de la emision y recepcion de datos

Seleccionar el tipo de controlador digital a utilizar.En el cuadro Parametros de control, mostrado en la figura A.10 (pestanacontrolador), se selecciona la opcion PID digital (controlador implemen-tado en el proyecto), tambien se elige el modelo de planta (POMTM, SOy SOMTM) y en la pestana llamada planta se escoge la escala de unoa cinco volts en el caso de emplear el PCT610 o de cero a cinco volts sise usa una planta virtual. Dicha escala indica el rango de variacion dela tension en la salida del proceso y en la senal de control. La pestanaTmuestreo, permite seleccionar el tiempo de muestreo a utilizar en laspruebas.

Seleccionar los parametros del modelo del proceso.En el cuadro Parametros Planta, se introduce la ganancia de la planta(espacio etiquetado como Kp), las constantes de tiempo del modelo (T1 yT2 ) y el tiempo muerto presente en el proceso (Tmuerto). Dicho cuadrose muestra en la figura A.11. En el presente proyecto se utilizaron losparametros de los modelos mostrados en (3.13), (3.14) y (3.15).

Elegir el tipo de controlador PID digitalEn la pestana sintonizacion, se selecciona la opcion PID de dos gradosde libertad, tal y como se muestra en la figura A.12.

Optar por el tipo de operacion (manual o automatica).


Figura A.10: Seleccion de parametros para el sistema de control

Figura A.11: Cuadro para insertar parametros del modelo del proceso

Figura A.12: Eleccion del controlador PID de dos grados de libert

control2

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