DISEÑO E IMPLEMENTACION DEL CONTROL DIGITAL.

DEBER #1

PROFESOR: ING. ISMAEL MINCHALA Msc.

GRUPO DE TRABAJO:

Paúl Mata Quevedo. Diego Verdugo Ormaza.

Cuenca, mayo de 2014

Ejercicio 1:

A machine for making paper is diagrammed in Figure 1. There are two main parameters under feedback control: the density of fibers as controlled by the consistency of the thick stock that flows from the head box onto the wire, and the moisture content of the final product that comes out of the dryers. Stock from the machine chest is diluted by white water returning from under the wire as controlled by a control valve (CV). A meter supplies a reading of the consistency.

At the "dry end" of the machine, there is a moisture sensor. Draw a block diagram for each of the following processes:

Figure 1. A paper making machine

RESOLUCIÓN:

a. Control of consistency.

b. Control of moisture.

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 2

Ejercicio 2:

The equation of motion for the DC motor shown in figure 4 is given by:

Assume that:

Figure 4. DC motor circuit and free body diagram.

RESOLUCIÓN:

a. Find the transfer function between the applied voltage 𝑣a and the motor speedθ̇m.

Si utilizamos la ecuación de movimiento para el motor DC dada anteriormente tendríamos lo siguiente:

Jm ¨θm+(b+ Kt . KeRa ) ˙θm=¿ Kt

Ra.Va¿

Jm ¨θm+(b+ Kt . KeRa ) ˙θm=¿Kt .ia ¿

Luego si esta ecuación pasamos a función de Laplace se tiene como resultado lo siguiente:

Jm.S2. θm ( s )+(b+ Kt . KeRa )S .θm (s )=Kt . Ia (s) [1]

Ahora, si analizamos el circuito eléctrico del motor DC obtenemos la siguiente ecuación:

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 3

Va=Ra . ia+VLa+e

Va=Ra . ia+L . diadt

+Ke . ˙θm

Si esta ecuación la transformamos a función de Laplace obtendríamos lo siguiente:

Va (s )=Ra . Ia (s )+S .L . Ia (s )+Ke .S .θm ( s)

Luego, si despejamos Ia(s) se tiene lo siguiente:

Ia ( s)=Va ( s)−Ke . S .θm (s )L .S+Ra

[2]Reemplazando [2] en [1] obtenemos:

Jm.S2. θm ( s )+(b+ Kt . KeRa )S .θm (s )=Kt .(Va (s )−Ke .S .θm ( s )L .S+Ra )

Resolviendo:

(L .S+Ra ) . Jm .S2. θm (s )+(L .S+Ra ) .(b+Kt . KeRa ) S .θm (s )=Kt . (Va (s )−Ke .S .θm (s ) )

Jm. L. S3 .θm (s )+Ra. Jm.S2 . θm ( s)+(b+ Kt . KeRa )L. S2 .θm (s )+(b+Kt . KeRa )Ra .S .θm (s )=Kt . (Va (s )−Ke . S .θm (s ) )

[3]

Si sabemos que: ωm (s )=S .θ(s)

Y reemplazando en [3] obtenemos:

Jm. L. S2 .ωm ( s )+Ra .Jm .S .ωm (s )+(b+Kt . KeRa )L .S .ωm (s )+(b+ Kt .KeRa )Ra .ωm ( s )=Kt . (Va ( s )−Ke .ωm ( s ))

Luego despejando obtenemos nuestra función de transferencia:

ωm(s)Va(s)

=˙ΘmVa

= Kt

Jm. L .S2+(Ra .Jm+L .b+ L. Kt . KeRa ) . S+ (Ra .b+2.Kt . Ke )

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 4

Una vez conocida la F.T. reemplazamos los valores dados en el problema y asumimos una L=1[H] y tenemos lo siguiente:

ωm(s)Va(s)

=˙ΘmVa

= 0.020,01 s2+0,10104 s+0,0108

[4]

b. What is the steady-state speed of the motor after a voltage Va=10V has been applied?

Step

0.02

0.01s +0.10104s+0.01082

Transfer FcnScope

Para encontrar el error en estado estable aplicamos la siguiente ecuación:

ess= A1+Kp

[5]Luego hallamos Kp de la forma siguiente:

kp=lims→0

G(s)

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 5

kp=lims→0

0.02

0,01 s2+0,10104 s+0,0108

kp= 0.020.0108

kp=1.85

Reemplazando en la ecuación [5] nos sale:

ess= A1+Kp

ess= 101+1.85

ess=3.5

Comprobando en MATLAB usando simulink obtenemos lo siguiente:

0.02

0.01s +0.10104s+0.01082

Transfer Fcn2Step2

3.507

ERROR1

Scope1

c. Find the transfer function between the applied voltaje Va and the shaft angle θm.

Si partimos de la ecuación [4]:

ωm(s)Va(s)

=˙ΘmVa

= 0.020,01 s2+0,10104 s+0,0108

Sabiendo que:

˙θm (s )=ωm (s )=S .θm(s)

Entonces tenemos:

s .θmVa

= 0.02

0,01 s2+0,10104 s+0,0108

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 6

θmVa

= 0.02

0,01 s3+0,10104 s2+0,0108 s

d. Suppose feedback is added to the system in part (c) so that it becomes a position servo device such that the applied voltaje is given by

Va = K(θr - θm)

where K is the feedback gain. Find the transfer function between θr and θm.

Usando nuestra función de transferencia encontrada en el punto anterior (θm/Va) y colocando K como la ganancia de retroalimentación, nuestro grafico de lazo cerrado quedaría de la siguiente manera:

Donde la F.T. del lazo cerrado seria:

θmθr

=G(s)

G ( s) . K+1

Ahora, de nuestro diagrama encontramos las ecuaciones siguientes:

e (s )=θr−B (s ) [6]

B (s )=K .θm [7]

Reemplazando la ecuación [7] en [6] obtenemos lo siguiente:

e (s )=θr−K .θm [8]

Nuestra función de transferencia encontrada en el punto anterior la vamos a designar como G(s)= θm/Va para facilitar los cálculos; entonces de nuestro diagrama obtenemos:

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 7

θm=G (s ) . e (s ) [9]

Entonces reemplazamos [8] en [9] y obtenemos:

θm=G (s ) .(θ ¿¿ r−K .θm)¿

G (s ) .θ r=θm (G ( s) .K+1 )

θmθr

=G(s)

G ( s) K+1

Ahora remplazamos la función de transferencia encontrada anteriormente por G(s) y obtenemos nuestro sistema con retroalimentación:

θmθr

=K t

JmLS3+S2 .(Jm Ra+Lb+L K t K e

Ra )+S . (Rab+2K t K e)+K K t

Una vez conocida la F.T. reemplazamos los valores dados en el problema y asumimos una L=1[H] y tenemos lo siguiente:

θmθr

= 0.020.01. S3+0.10104 . S2+0.0108 . S+0.02K

e. ¿What is the maximum value of K that can be used i fan overshoot Mp<20% is desired?Hint. Use:

f. ¿What values of K will provide a rise time of less tan 4 seconds? Hint. Use:

g. Use MATLAB to plot the step response of the position servo system for values of the gain K =0.5, 1 and 2. Find the overshoot and rise time for each of the

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 8

three step responses by examining your plots. ¿Are the plots consistent with your calculations in part (e) and (f)?

K=0.5.

0.02

0.01s +0.10104s +0.0108s3 2

Transfer Fcn2Step2

-2.271

ERROR1

1

2

Transfer Fcn3

Scope2

K=1.

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 9

0.02

0.01s +0.10104s +0.0108s3 2

Transfer Fcn2Step2

2.178

ERROR1

1

1

Transfer Fcn3

Scope2

K=2

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 10

0.02

0.01s +0.10104s +0.0108s3 2

Transfer Fcn2Step2

3.616

ERROR1

2

1

Transfer Fcn3

Scope2

Ejercicio 3:

The linearized longitudinal motion of a helicopter near hover can be modeled by the normalized third-order system.

Suppose our sensor measures the horizontal velocity u as the output; that is y=u

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 11

a. Find the open-loop pole locations.

PROGRAMA:

A = [-0.4 0 -0.1; 1 0 0; -1.4 9.8 -0.02]B = [6.3; 0; 9.8];C = [0 0 0];D = [1];%Determinar los polos del sistema en lazo abierto.eig (A)

RESULTADO:

>> EJERCICIO3

A =

-0.4000 0 -0.1000 1.0000 0 0 -1.4000 9.8000 -0.0200

ans =

-1.2048 + 0.0000i 0.3924 + 0.8121i 0.3924 - 0.8121i

Se puede concluir que los autovalores que se encontraron de la matriz A, son los polos del sistema en lazo abierto.

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 12

b. ¿Is the system controllable?

PROGRAMA:

A = [-0.4 0 -0.1; 1 0 0; -1.4 9.8 -0.02];B = [6.3; 0; 9.8];C = [0 0 0];D = [1];%Determinar la controlabilidad.mat_cont=ctrb(A,B)rango=rank(mat_cont)

RESULTADO:

>> EJERCICIO3

mat_cont =

6.3000 -3.5000 2.3016 0 6.3000 -3.5000 9.8000 -9.0160 66.8203

rango =

3

Se puede concluir que como el rango es igual al orden del sistema, entonces el sistema es controlable.

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 13

c. Find the feedback gain that places the poles of the system at s = –1 ± j and s =-2

PROGRAMA:

A = [-0.4 0 -0.1; 1 0 0; -1.4 9.8 -0.02];B = [6.3; 0; 9.8];C = [0 0 0];D = [1];%Determinar KK=place(A,B,[-1-j -1+j -2])

RESULTADO:

>> EJERCICIO3

K =

0.4688 1.0866 0.0639

>>

El comando place en MATLAB “K = place(A,B,p)” calcula los polos en lazo cerrado deseados (p) calculando una matriz de ganancia de realimentación del estado K. Todas las entradas de la planta se supone que son las entradas de control.

DISEÑO E IMPLEMTACIÓN DEL CONTROL DIGITAL. Página 14