Conception d’une lentille axicon à gradient d’indice de réfraction GLA (GRIN Lens Axicon)

Mémoire

Jason Guenette

Maîtrise en Physique

Maître sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Jason Guenette, 2018

Conception d’une lentille axicon à gradient d’indice de réfraction GLA (GRIN Lens Axicon)

Mémoire

Jason Guenette

Sous la direction de :

Simon Thibault, directeur de recherche

iii

Résumé

Les axicons sont principalement connus pour leur propriété à produire des faisceaux

Bessel. Cependant, certains ont également la propriété de produire une focalisation en

anneau soit directement ou avec l’ajout d’une lentille. Nous avons analysé la possibilité de

faire un axicon avec un profil d’indice de réfraction qui produirait un anneau. Plus

précisément, nous avons analysé la possibilité de faire une composante qui incorpore la

fonction linéaire d’une lentille conique et la fonction parabolique d'une lentille. Le profil

d’indice de réfraction analysé a une variation radiale et permet de produire une focalisation

annulaire périodique. Un profil similaire a déjà été étudié sommairement par E. Marchand

puis par Rosa M. Gonzalez. Cependant, les solutions proposées par eux sont des solutions

approximatives et leur analyse est limitée. Il existe déjà des fibres optiques avec des indices

de réfraction semblable à ce que l’on cherche, donc ces axicons ont le potentiel d’être

utilisés directement pour une fibre optique. Nous avons déterminé la solution exacte du

profil d’indice de réfraction qui permet la focalisation en anneau et nous avons démontré

théoriquement que l’anneau produit est de bonne qualité. Nous avons étudié la possibilité

de produire un faisceau Bessel à partir de cette composante optique que nous nommons

GLA (Grin Lens Axicon) et les simulations montrent que le Faisceau Bessel peut être de

très bonne qualité. Des tests expérimentaux ont été faits pour montrer qu’il est possible de

produire un faisceau Bessel avec le GLA.

iv

Abstract

Axicons are mostly known for their capacity to produce Bessel beam. However,

some axicon has the propriety to produce annular focusing whether directly or by adding a

lens. In this text we have study the possibility to produce an axicon with gradient index of

refraction that produce an annular focusing. More precisely we study the possibility to

produce a component which incorporates the linear function of a conical lens and the

parabolic function of a lens. The study refraction index profile has a radial variation and

allow to a periodic annular focalisation. A similar refractive index profile has already been

study by E. Marchand then by Rosa M. However, the solutions proposed by them are

approximate solutions and their studies are limited. Some optical fiber already has index

profile like the one we are interest so this axicon have the potential to be use for optical

fiber application. We have demonstrated theoretically the exact refractive index profile that

produce annular focusing and we have demonstrated theoretically that the ring produce is

of good quality. We have also studied the possibility to produce a Bessel beam with this

device that we name GLA (Grin Lens Axicon) and the simulation show that the beam could

be of excellent quality. Some experimental tests have been done to show that it is possible

to produce a Bessel beam with a GLA.

v

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières .............................................................................................................................. v

Liste des tableaux ............................................................................................................................. viii

Liste des figures .................................................................................................................................. ix

Introduction ........................................................................................................................................ 1

1 Chapitre 1 : Introduction théorique sur les axicons et les faisceaux Bessel ............................... 6

1.1 L’axicon ................................................................................................................................ 6

1.2 Le faisceau Bessel ................................................................................................................ 8

1.3 Faisceau Bessel-Gauss ......................................................................................................... 9

1.4 Utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier ................................ 10

1.5 Méthodes de productions de faisceau Bessel ................................................................... 11

1.6 Pointe de l’axicon conique ................................................................................................ 16

1.7 Technique de fabrication .................................................................................................. 18

2 Chapitre 2 : Propagation dans un milieu à gradient d’indice ....................................................20

2.1 Équation eikonale .............................................................................................................. 20

2.2 Équation des rayons lumineux .......................................................................................... 22

2.3 Propagation dans un milieu d’indice n(r) .......................................................................... 23

2.4 Profil d’indice de réfraction optimal ................................................................................. 25

2.5 Chemin optique ................................................................................................................. 30

2.6 Ajout d’une lentille ............................................................................................................ 32

2.7 Profil pour fabrication ....................................................................................................... 32

3 Chapitre 3 : Propagation dans la GLA en tenant compte de la diffraction ...............................35

3.1 Propagation dans le GLA ................................................................................................... 35

3.2 Solution onde plane .......................................................................................................... 36

3.2.1 Comparaison théorique vs simulation ....................................................................... 37

3.3 Solution faisceau gaussien ................................................................................................ 38

3.3.1 Comparaison théorique vs simulation ....................................................................... 39

vi

3.4 Ajout d’une lentille ............................................................................................................ 40

4 Chapitre 4 : Analyse des différentes situations .........................................................................42

4.1 Production de l’anneau ..................................................................................................... 42

4.2 GLA avec lentille ................................................................................................................ 43

4.2.1 Angle ........................................................................................................................... 45

4.2.2 Diamètre ..................................................................................................................... 45

4.3 Ajout d’une courbure à la dernière surface ...................................................................... 49

4.3.1 Position et valeur de la courbure ............................................................................... 50

4.3.2 Angle de sortie ........................................................................................................... 53

4.3.3 Angle ........................................................................................................................... 54

4.3.4 Diamètre ..................................................................................................................... 55

4.4 Autres cas .......................................................................................................................... 56

4.5 Utilisation du GLA dans un liquide .................................................................................... 57

4.6 Utilisation pour fibre optique ............................................................................................ 59

4.7 Aberration chromatique.................................................................................................... 60

5 Chapitre 5 : Simulation numérique avec CODE V ......................................................................64

5.1 Méthodologie .................................................................................................................... 64

5.2 La lentille conique ............................................................................................................. 65

5.3 GLA avec lentille ................................................................................................................ 68

5.4 GLA avec rayon de courbure ............................................................................................. 70

5.5 Analyse des résultats ......................................................................................................... 72

6 Chapitre 6 : Résultats expérimentaux .......................................................................................76

6.1 Fabrication du GLA ............................................................................................................ 76

6.2 Dimension du GLA ............................................................................................................. 77

6.3 Coupe de la préforme ....................................................................................................... 78

6.4 Montage ............................................................................................................................ 79

6.5 Prédiction théorique ......................................................................................................... 80

6.6 Mesures ............................................................................................................................. 80

6.7 Analyse .............................................................................................................................. 83

Conclusion .........................................................................................................................................85

Avantages et inconvénients du GLA ............................................................................................. 86

Perspectives ................................................................................................................................... 87

vii

Annexe...............................................................................................................................................89

A. Somme d’onde conique ......................................................................................................... 89

B. Démo τ0=tanh(ωa0) ................................................................................................................ 90

C. Solution pour l’indice de réfraction....................................................................................... 90

Preuve de la solution en sech..................................................................................................... 90

Autre solution ............................................................................................................................. 92

D. Production d’un anneau collimé avec le GLA ...................................................................... 95

E. Solution ponctuelle ................................................................................................................ 97

Bibliographie .....................................................................................................................................98

viii

1 Liste des tableaux

Tableau 1 : Paramètres choisis pour la comparaison théorique vs simulation........................................ 37

Tableau 2 : Dimension des lignes focales produites par les trois longueurs d’onde analysées. ........... 61

Tableau 3 : Résumé des dimensions du faisceau Bessel produit par les 3 axicons. ............................... 73

ix

2 Liste des figures

Figure 1 : Représentation transverse de la lentille conique et des rayons qui la traversent ................. 7

Figure 2 : Fonction Bessel J0 qui représente le champ électrique d’un faisceau Bessel et fonction

Bessel au carré J02 qui représente l’intensité d’un faisceau Bessel. ......................................................... 9

Figure 3 : Axicon traversé par une onde plane. ........................................................................................... 9

Figure 4 : Production de l’image en champ lointain avec une lentille. .................................................. 11

Figure 5 : Production d’un faisceau Bessel à l’aide d’une ouverture annulaire et d’une lentille. ...... 12

Figure 6 : Production d’un anneau à l’aide d’un axicon et d’une lentille.............................................. 12

Figure 7 : Schéma de l’axicon logarithmique. ........................................................................................... 13

Figure 8 : Axicon acoustique variable (TAG lens). .................................................................................. 14

Figure 9 : Schéma de l’AXIGRIN. ............................................................................................................. 14

Figure 10 : Axicon sur la pointe d’une fibre optique produit par polissage2 ........................................ 15

Figure 11 : Schéma d’un axicon produit à partir d’une fibre avec un cœur à anneau ......................... 15

Figure 12 : Schéma de la méthode de génération de faisceau non diffractant par génération de

modes. ............................................................................................................................................................. 16

Figure 13 : Intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec une lentille

conique parfaite et une onde d’entrée d’amplitude gaussienne. ............................................................. 17

Figure 14 : a) Lentille conique non parfaite (avec défaut sur la pointe). b) L’intensité du faisceau

Bessel le long de l’axe de propagation produit par cet axicon avec une onde d’entrée plane

d’amplitude gaussienne. ............................................................................................................................... 18

Figure 15 : Propagation dans le GLA. ........................................................................................................ 25

Figure 16 : Représentation de l’indice de réfraction selon l’équation (3.57). ....................................... 27

Figure 17 : Tracés de rayons pour le profil de la forme (3.75) et (3.57). ............................................ 30

Figure 18 : Propagation des rayons dans un GLA avec une lentille. ..................................................... 32

Figure 19 : Schéma du GLA avec les dimensions pour la fabrication. .................................................. 33

Figure 20 : Indice de réfraction en fonction de la distance radiale. ........................................................ 34

Figure 21 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique et selon la simulation, pour une

onde d’entrée plane. ...................................................................................................................................... 38

Figure 22 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique et selon la simulation, pour une

onde d’entrée gaussienne. ............................................................................................................................. 40

Figure 23 : Tracé de rayon dans le GLA pour une onde d’entrée plane (a) et pour une onde d’entrée

ponctuelle (b). ................................................................................................................................................ 43

Figure 24 : GLA avec lentilles..................................................................................................................... 44

Figure 25 : Positions des angles γ et β. ....................................................................................................... 46

Figure 26 : Les valeurs D, de L et l’angle θ sont présentées. .................................................................. 47

Figure 27 : Ligne focale complète et ligne focale incomplète. ............................................................... 49

Figure 28 : Propagation des rayons dans le GLA avec une courbure à la dernière surface. ............... 50

Figure 29 : Paramètres utilisés pour trouver le rayon de courbure des rayons se propageant dans le

GLA. ................................................................................................................................................................ 51

Figure 30 : GLA avec un rayon de courbure. ............................................................................................ 54

Figure 31 : GLA avec une GRIN lens et GLA avec un dioptre .............................................................. 56

Figure 32 : GLA avec rayon de courbure dans l’air et dans l’eau. ......................................................... 58

x

Figure 33 : GLA ajustée pour permettre au faisceau de sortir collimé dans l’eau. .............................. 58

Figure 34 : GLA avec une GRIN lens dans l’aire et dans l’eau.............................................................. 58

Figure 35 : Même lentille que la figure 32 a) suivie d’une couche d’air, d’un écran pour conserver la

couche d’air et se termine dans l’eau. ......................................................................................................... 59

Figure 36 : Schéma d’un axicon pour fibre optique fabriqué avec le GLA. ......................................... 60

Figure 37 : Propagation de rayons des raies C, d et F dans une lentille à gradient d’indice de

réfraction. ........................................................................................................................................................ 61

Figure 38 : Propagation de rayon dans le GLA pour les raies C, d et F. ............................................... 62

Figure 39 : Comparaison de la ligne focale produite par la raie C et F (en intensité). ........................ 62

Figure 40 : Comparaison des profils d’intensité du faisceau Bessel produit par les 3 raies. .............. 63

Figure 41 : Exemple d’ajustement de courbe pour le cas du GLA avec rayon de courbure. .............. 65

Figure 42 : Graphiques des simulation dans code V pour la lentille conique avec une onde d’entrée

plane et uniforme. .......................................................................................................................................... 67

Figure 43 : Graphiques des simulation dans code V pour la lentille conique avec une onde d’entrée

gaussienne....................................................................................................................................................... 67

Figure 44 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec lentille avec une onde

d’entrée plane et uniforme. .......................................................................................................................... 69

Figure 45 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec lentille avec une onde

d’entrée gaussienne. ...................................................................................................................................... 70

Figure 46 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec un rayon de courbure avec

une onde d’entrée plane et uniforme ........................................................................................................... 71

Figure 47 : Graphiques des simulation dans code V pour la GLA avec une onde d’entrée

gaussienne....................................................................................................................................................... 72

Figure 48 : Le schéma dans codeV des 3 cas sur une même échelle de grandeur. .............................. 74

Figure 49 : Comparaison des diamètres des faisceaux à mi-hauteur pour les 3 cas. ........................... 75

Figure 50 : Indice de réfraction de la préforme utilisée pour les tests expérimentaux. ....................... 77

Figure 51 : Tracé de rayon dans le GLA pour une longueur de 1,2mm et pour 2,4mm. .................... 78

Figure 52 : Image prise au microscope de la préforme coupée (non polis). ......................................... 79

Figure 53 : Photo du montage utilisé pour les tests expérimentaux. ...................................................... 79

Figure 54 : Intensité mesuré par la caméra et coupes transverses des images prises par la caméra. . 82

Figure 55 : Mesure de l’intensité du faisceau produit par l’expérience le long de l’axe z. ................. 83

Figure 56 : Onde conique et onde quelconque (avec une symétrie radiale).......................................... 90

Figure 57 : Décomposition de vecteur k en kr et kz. ................................................................................. 90

Figure 58 : Indice de refraction de la forme 𝑛1sinh3𝜔𝑟2/3cosh3𝜔𝑟. ................................................ 94

Figure 59 : Propagation dans un GRIN avec un indice de réfraction de la forme (9.30). ................... 95

Figure 60 : GLA dont le faisceau de sortie est divergent. ....................................................................... 96

Figure 61 : Tracé de l’équation 𝑧 = 𝑎2 − 𝑟 − 𝑅2 (la partie réelle). ...................................................... 96

Figure 62 : GLA avec une surface torique produisant un anneau collimé. ........................................... 96

Figure 63 : Tracé de rayon pour une onde d’entrée ponctuelle et intensité des faisceaux produits... 97

1

Introduction

En optique l’élément le plus commun est la lentille, elle est utilisée dans presque tous les

systèmes optiques. Son comportement a énormément été étudié et de nombreux types de lentilles

ont été développés. Il existe cependant beaucoup d’autres éléments importants en optique. Un de

ces éléments est l’axicon. L’axicon est beaucoup moins connu (il est tellement moins connu du

grand public qu’il n’est même pas dans le dictionnaire de Microsoft Word), mais même s’il est

moins connu, il n’en est pas moins important. Historiquement, l’axicon a été évoqué pour la

première fois en 1954 par J. H. McLeod1, mais certains types d’axicons ont été utilisés avant cette

date. Par exemple, le sténopé (camera obscura) ou bien la tache de Fresnel (the Poisson spot), (the

Arago spot) qui ont été utilisés avant 1954 sont considérés comme des axicons2. À partir de cette

date, la recherche sur les axicons s’est développée. En 1987, J. Durnin met en évidence dans un

article que les faisceaux Bessel, comme ceux produits par une lentille conique, sont ‘’non

diffractant’’3. Pour être vraiment non diffractant les ondes doivent être infinies, mais il démontre

que malgré cela, les systèmes finis peuvent se comporter comme un système non diffractant sur une

certaine distance. La possibilité de produire un faisceau Bessel était déjà connu avant 1987 de ceux

qui travaillaient sur le sujet4,5, mais aucun article n’avait traité spécifiquement du sujet,

l’information sur le sujet provenait d’ouvrage sur l’électromagnétisme et était présenté sous forme

de solutions de cas particuliers sans utiliser le terme faisceau Bessel et sans faire l’analyse des

propriétés de ce faisceau. Néanmoins, l’information n’était pas connue de tous, ce qui fait que

l’article de J. Durnin a eu un impact sur la recherche dans le domaine. Depuis ce temps, beaucoup

de recherches ont été faites sur les axicons et la recherche sur le sujet est d’ailleurs toujours active.

De nos jours, la technologie progresse très rapidement et l’on cherche sans cesse de nouvelles

façons de l’améliorer. L’optique occupe une place importante et en augmentation dans le domaine

des technologies. Donc, ce n’est pas surprenant que les axicons, grâce à leur propriété unique,

soient de plus en plus utilisés pour surmonter les défis technologiques. L’axicon peut être utilisé

entre autres pour augmenter la profondeur de champ6, produire des trappes/pinces optiques7, pour

améliorer les systèmes de microscopie8 et même pour accélérer des électrons9. C’est dans cette

optique d’amélioration des technologies que s’inscrit mon projet de maitrise.

Plus particulièrement, nous cherchons à concevoir un nouveau type d’axicon. Il existe déjà

beaucoup de types d’axicons, mais peu sont adaptés à être fabriqué à de petites dimensions. Être

capable de produire des axicons de petite taille est essentiel dans le contexte des technologies actuel

où l’on cherche constamment à miniaturiser. En particulier, cela est important pour tout ce qui a

2

trait aux systèmes tout-fibres qui sont de plus en plus utilisés. Il sera donc question dans ce mémoire

d’un type particulier d’axicon qui selon nous pourrait aider à répondre à certains problèmes

technologiques actuels.

En général, les axicons servent à produire une ligne focale, ce qui permet d’augmenter la

profondeur de champ. La ligne focale est souvent produite grâce au faisceau Bessel qui lui peut être

produit avec une lentille conique (axicon). Cependant, les axicons peuvent aussi servir à produire un

anneau focal. D’ailleurs, il est possible de passer d’un faisceau Bessel à un anneau focal et vice et

versa simplement en produisant une transformée de Fourier. Comme nous le verrons plus loin, la

transformée de Fourier peut être produite par une simple lentille (voir section 2.4 pour plus de

détail). Un faisceau Bessel peut d’ailleurs être produit à l’aide d’une ouverture annulaire en ajoutant

une lentille devant l’ouverture à une distance focale (Figure 5). Cette méthode est toutefois très peu

efficace d’un point de vue énergétique puisque la majorité de l’énergie est perdue, seulement une

très petite partie du faisceau incident passe par l’ouverture annulaire. Pour la production d’un

anneau, il est d’usage d’utiliser un axicon standard servant à produire un faisceau Bessel

(généralement une lentille conique) combiné avec une lentille (Figure 6). Outre la méthode qui

consiste à utiliser un axicon avec une lentille pour produire un anneau focal, il n’existe pas

beaucoup d’autres méthodes pour produire efficacement un anneau.

Alors pour arriver à l’idée du type d’axicon que nous allons étudier nous avons pris le

problème de la conception d’un axicon dans le sens inverse de ce qui est fait habituellement, c'est-à-

dire qu’au lieu de vouloir produire un axicon qui produit directement un faisceau Bessel nous allons

chercher à concevoir un axicon qui produit un anneau focal. Il existe déjà certaines lentilles qui

peuvent produire un anneau, entre autres la bilentille de Billet10 et la lentille excentrique11. On peut

envisager de faire la même chose qu’une lentille excentrique avec une lentille à gradient d’indice de

réfraction (GRIN). Nous avons donc décidé d’explorer la possibilité d’utiliser une GRIN pour

produire un anneau. Le principe est d’utiliser un profil comme celui d’une lentille à gradient

d’indice de réfraction, mais de le décentrer radialement de sorte que l’indice de réfraction maximal

est à une position r≠0. La possibilité de faire un axicon avec une lentille à gradient d’indice n’est

pas nouvelle et a d’abord été étudiée par E. Marchand12 puis détaillé par Rosa M. Gonzalez13. Ces

derniers ont utilisé un profil de la forme 𝑛2(𝑟) = 𝑛02(1 + 𝑎𝑟 − 𝑏𝑟2) qui est l’équivalent du profil

𝑛(𝑟) = 𝑛0(1 − 𝑏𝑟2) pour une lentille à gradient d’indice. Cependant, cette solution n’est pas la

solution exacte au même titre que la solution 𝑛(𝑟) = 𝑛0(1 − 𝑏𝑟2) n’est pas la solution exacte pour

une lentille à gradient d’indice (qui à une solution exacte de la forme 𝑛(𝑟) = 𝑛0 sech(𝛼𝑟)). Cela

3

permet de combiner la fonction linéaire de la lentille conique avec la fonction parabolique d’une

lentille comme un système axicon lentille qui produit en anneau.

L’anneau focal produit par un tel axicon pourrait être focalisé avec une lentille pour produire

un faisceau Bessel. Selon nos recherches, la possibilité de produire un faisceau Bessel avec un tel

axicon n’avait pas encore été étudiée même pour les profils de E.Marchand et de Rosa M.

Gonzalez. Un tel axicon pourrait avoir des avantages par rapport à un axicon conique. Par exemple,

il a l’avantage de ne pas avoir de pointe ce qui est un avantage important, car comme nous le

verrons plus loin la pointe de l’axicon peut être problématique. Cet axicon pourrait être fabriqué

avec les mêmes procédés que les fibres optiques, il serait donc possible de produire une préforme

d’une certaine dimension (avec le profil d’indice de réfraction voulu), puis l’étirer jusqu’à obtenir la

dimension voulue. Cela permettrait d’avoir un axicon de qualité même à de petites dimensions et

possiblement à un cout abordable (puisqu’une préforme pourrait produire une grande quantité

d’axicons une fois étirée). Cela pourrait également être pratique dans les systèmes tout-fibres qui

sont de plus en plus populaire, car peu d’axicons sont adaptés à ce type d’application.

Le projet de ma maîtrise consiste à analyser la possibilité de faire un tel axicon. Comme cela

n’a pas été fait, nous devrons trouver le profil d’indice de réfraction idéal et l’étudier plus en

profondeur. L’axicon ainsi produit est nommé GLA (Grin Lens Axicon). Nous allons démontrer

qu’il est possible d’utiliser la GLA pour produire un faisceau Bessel. Différentes méthodes seront

utilisées pour montrer la validité et la performance de l’axicon. Le lecteur devrait donc en lisant ce

mémoire comprendre le fonctionnement de l’axicon, avoir une bonne idée de la performance de

celui-ci comparé à celle d’une lentille conique, ainsi qu’avoir l’information nécessaire pour ça

fabrication.

Les lignes qui suivent présente la structure du mémoire. Le chapitre 1 commencera par une

introduction sur les axicons et leurs histoires. Ensuite, il sera expliqué ce qu’est un faisceau Bessel,

un faisceau Bessel Gauss ainsi que l’utilisation de la lentille pour produire une transformée de

Fourier. Nous présenterons quelques axicons en lien avec celui dont il est question dans le mémoire.

Puis nous parlerons du problème de la pointe de la lentille conique ainsi que des méthodes possibles

de fabrication d’une composante à gradient d’indice de réfraction de style GLA.

Le chapitre 2 portera sur la propagation des rayons dans un milieu à gradient d’indice de

réfraction et de la solution exacte pour notre problème. Pour modéliser la propagation dans un

4

milieu à gradient d’indice, nous utiliserons l’équation eikonale et de cela, nous trouverons une

solution générale pour un milieu avec un gradient d’indice radial n(r). À partir de cette solution,

nous trouverons la solution exacte pour l’indice de réfraction de notre problème. Nous parlerons

ensuite du chemin optique puis de l’ajout d’une lentille et nous terminerons ce chapitre en

déterminant les paramètres qui serviront pour la fabrication.

Dans le chapitre 3, nous analyserons le problème du point de vue de la diffraction. Pour cela,

nous trouverons la formule qui permet de déterminer la valeur du champ électrique à la sortie du

GLA. De cette formule, nous calculerons la forme de l’anneau produit par l’axicon pour un faisceau

d’entré plan et pour un faisceau d’entré gaussien. Pour les deux cas, une comparaison avec une

simulation sera faite afin de s’assurer que les formules théoriques trouvées sont correctes. Ensuite,

nous évaluerons l’effet de l’ajout d’une lentille pour nous assurer que le faisceau Bessel est bien

produit.

Le chapitre 4 est consacré à l’étude des différents cas d’axicon qui peuvent être générés avec

le GLA. Le chapitre commence par présenter les différentes façons de produire un anneau grâce au

GLA. Ensuite, différentes configurations pour produire un faisceau Bessel sont étudiées. Le cas de

l’ajout d’une lentille et celui de l’ajout d’un rayon de courbure seront plus particulièrement étudiés.

Dans les deux cas, des formules seront trouvées pour permettre d’avoir un point de comparaisons

entre les axicons, mais également pour avoir un point de comparaison avec la lentille conique (ce

qui nous permettra plus tard (chapitre 5) de comparer les différents cas avec des simulations). Nous

étudierons ensuite l’effet de l’utilisation du GLA dans un liquide puis nous terminerons par l’étude

de la possibilité d’utiliser le GLA pour une fibre optique.

Dans le chapitre 5, nous allons étudier la qualité du faisceau Bessel produit par les différents

cas d’axicons soit, le GLA avec une lentille le GLA avec un rayon de courbure et ils seront

comparés à la lentille conique. Pour cela, nous allons utiliser des simulations numériques produites

par CodeV. Comme tous les trois produisent un faisceau Bessel de très bonne qualité, nous avons

comparé la qualité des faisceaux Bessel à partir de leur longueur, leur diamètre et leur uniformité le

long de l’axe z.

Dans le chapitre 6, nous présentons les résultats expérimentaux obtenus. Les mesures ont été

faites à partir d’une préforme de fibre optique qui avait un profil d’indice de réfraction

5

approximativement comme celui voulu. Nous présenterons les résultats puis nous les analyserons en

les comparant aux résultats attendus.

Puis, nous conclurons en résumant le contenu du mémoire. Nous en profiterons pour

récapituler les avantages et les inconvénients du GLA puis nous présenterons les perspectives de

développement sur le sujet.

6

1 Chapitre 1 : Introduction théorique sur les axicons et les faisceaux

Bessel

Avant de se lancer dans le vif du sujet, une introduction sur les sujets de base de ce mémoire

sera présentée. Comme il a déjà été mentionné, l’axicon est une composante importante en optique,

mais il est relativement peu connu, il est donc pertinent d’expliquer ce qu’est un axicon. La

première partie sera donc simplement sur les axicons afin d’assurer une bonne compréhension du

sujet et d’éviter les confusions. L’augmentation de la profondeur de champ est une des

caractéristiques les plus importantes de l’axicon et celle-ci est généralement obtenues en produisant

un faisceau Bessel. C’est pourquoi la partie suivante de ce chapitre sera sur la production de

faisceau Bessel et de faisceau Bessel-Gauss. Ensuite, une courte introduction au concept de

l’utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier sera présentée puisque ce

concept est important dans la conception de notre axicon. Nous présenterons ensuite différents types

d’axicons existants qui sont en lien avec ce que nous cherchons à faire afin de mieux comprendre la

place que notre axicon pourrait avoir parmi la panoplie d’axicons existants. Nous parlerons

également de l’effet que peuvent avoir les défauts de la pointe des lentilles coniques sur la qualité

du faisceau Bessel produit. Pour finir, nous parlerons de la fabrication d’un axicon à gradient

d’indice de réfraction afin de déterminer si c’est possible de le fabriquer et par quelle méthode.

1.1 L’axicon

Pour mettre les choses aux claires, dans cette section il sera expliqué ce qu’est un axicon.

Cela peut sembler simple à priori, mais il s’avère que la définition de ce qu’est un axicon peut être

différente selon les sources. Souvent, lorsqu’il est question d’axicon, le mot axicon est utilisé pour

désigner une lentille de forme conique Figure 1. Il est vrai que la lentille conique est un axicon,

mais le mot axicon a une signification plus large, il désigne un ensemble d’éléments optiques dont

la lentille conique fait partie. Il est important de prendre le temps de faire la distinction, car à

certains endroits l’erreur est faite de définir l’axicon comme une lentille conique. L’erreur était

d’ailleurs faite sur la page de Wikipédia, lorsque consultée (celle en anglais, 2018), ce qui n’est pas

pour aider à la confusion.

7

Le mot axicon a été utilisé pour la première fois dans la publication de John H. McLeod

parue en 1954 ayant pour titre ‘’The Axicon: A New Type of Optical Element’’1 . L’axicon y est

défini comme un élément ayant une symétrie de révolution qui image un point source sur son axe en

une série de points sur son axe. Cette définition est assez large et englobe beaucoup d’éléments

optiques. Par exemple, une lentille peut être vue comme un cas particulier d’axicon, où au lieu de

former des points repartis sur l’axe, tous les points se forment à la même place. Bien sûr, dû à cette

définition large, les axicons ont été utilisés avant même que le terme axicon soit inventé, mais c’est

avec la publication de McLeod que la recherche sur le sujet a vraiment commencé.

Depuis l’axicon est utilisé un peu partout principalement pour produire une ligne focale

(généralement des faisceaux Bessel) et aussi pour produire des anneaux focaux ce qui peut servir à

une panoplie d’applications. Nous nous n’attarderons pas plus sur le sujet, mais si le lecteur désire

avoir plus d’information sur l’historique de l’axicon il peut se référer à la publication de Zbigniew

Jaroszewicz2 .

Figure 1 : Représentation transverse de la lentille conique (en noir) et des rayons qui la traversent (en bleu)

8

1.2 Le faisceau Bessel

Un des concepts qui revient beaucoup lorsque lorsqu’il est sujet d’axicon est celui des

faisceaux Bessel. Cette section sera donc consacrée au faisceau Bessel. Il existe plusieurs types de

faisceaux lumineux, en général on les caractérise par le profil de leurs champs électriques. Les plus

communs sont l’onde plane qui a un profil de champ électrique constant sur toute sa largeur (l’onde

plane parfaite est infinie) et le faisceau gaussien qui a un profil de champ électrique de forme

gaussien. Pour ce qui est du faisceau Bessel, il a un profil de champ électrique qui suit une fonction

de Bessel de première espèce (Figure 2). Pour le produire, il est nécessaire d’avoir une onde

conique, c'est-à-dire une onde plane avec une symétrie de rotation se propageant avec un angle par

rapport à l’axe de symétrie (Figure 3). C’est l’interférence de l’onde conique qui produira un

faisceau Bessel.

Le champ électrique d’un faisceau Bessel peut être exprimé comme suit3:

𝐸(𝑟, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑖𝑘∥𝑧𝐽0(𝑘⊥𝑟). (1.1)

Où 𝑘∥2 + 𝑘⊥

2 = 𝑘2 avec k qui est le nombre d’onde, J0 est une fonction Bessel de première espèce

d’ordre 0 et A est l’amplitude. L’intensité du faisceau Bessel produit est donc :

𝐼(𝑟) = |𝐸(𝑟, 𝑧)|2 = |𝐴|2𝐽02(𝑘⊥𝑟). (1.2)

On note qu’il n’y a pas de composante en z dans l’intensité donc l’intensité reste toujours la

même le long de l’axe de propagation z, d’où la propriété non diffractant du faisceau Bessel.

Cependant, ce faisceau est produit par des fronts d’ondes infinies, il n’est donc pas réaliste.

D’ailleurs, si on calcule la puissance totale on trouve que la puissance du faisceau est infinie. Il peut

quand même exister des faisceaux qui se comporte comme les faisceaux Bessel dans une certaine

limite, dans ce cas on les appels parfois quasi-Bessel, un type de faisceaux quasi-Bessel bien

connue est le faisceau Bessel-Gauss.

9

Figure 2 : Fonction Bessel J0 qui représente le champ électrique d’un faisceau Bessel (en rouge) et fonction Bessel au

carré J02 qui représente l’intensité d’un faisceau Bessel (en bleu) pour des unités arbitraires.

Figure 3 : Axicon traversé par une onde plane (lignes rouges), l’axicon transforme l’onde plane en onde conique.

1.3 Faisceau Bessel-Gauss

Pour avoir un faisceau qui est réaliste, il est possible de remplacer l’onde plane et uniforme

par une onde plane d’amplitude gaussienne. L’onde plane est, par définition, infinie donc pas

10

réaliste, mais si son amplitude est gaussienne, son intensité diminue plus on s’éloigne du centre de

sorte qu’elle a une énergie finie. L’onde d’amplitude gaussienne est donc beaucoup plus réaliste et

c’est d’ailleurs ce type de faisceau qui est généralement produit par les lasers et les fibres optiques.

Lorsqu’on remplace l’onde plane et uniforme par une onde plane d’amplitude gaussienne, il est

possible d’obtenir une solution à équation d’onde de la forme :

𝐵𝐺0

𝑒(𝑟, 𝑧) = 𝐴0𝐽0 (ℎ𝑟

1 − 𝑗 𝑧 𝑧𝑅⁄) 𝑒

𝑗ℎ2𝑧

2𝑘(1−𝑗𝑧 𝑧𝑅⁄ )𝑗𝑧𝑅�̃�(𝑧)

𝑒𝑗𝑘𝑟2

2�̃�(𝑧) (1.3)

qui est l’équation d’un faisceau Bessel-Gauss14. Le faisceau Bessel-Gauss est une approximation

paraxiale contrairement au faisceau Bessel. Le faisceau Bessel-Gauss est en quelque sorte une

version du faisceau Bessel modulé par un faisceau gaussien. En fonction de la valeur de la

gaussienne, le faisceau peut ressembler plus à un faisceau Bessel, à un faisceau gaussien où un

mélange des deux. Cela permet d’avoir une solution réaliste tout en ayant un faisceau qui est très

proche du faisceau Bessel. D’ailleurs en remplaçant les ondes planes infinies par une onde

d’amplitude gaussienne, le problème de la puissance infini est réglé. Lorsque la taille du faisceau

gaussien est suffisamment grande, le faisceau se comporte comme un faisceau Bessel sur une

certaine distance. Dans ce cas, on parle de faisceau quasi-Bessel, car il est plus proche du faisceau

Bessel que du faisceau gaussien. D’ailleurs, la distinction ne saura pas faite dans ce texte, donc la

plupart du temps lorsqu’on parle de faisceau Bessel il est question de faisceau quasi-Bessel. Pour

plus de détails sur les faisceaux Bessel-Gauss voir14.

1.4 Utilisation de la lentille pour produire une transformée de Fourier

Un des concepts importants pour la compréhension du fonctionnement du GLA est qu’une

lentille peut produire une transformée de Fourier, en approximation paraxiale. Nous avons déjà

mentionné le concept dans ce texte, mais ici nous allons expliquer un peu plus le phénomène.

Le premier concept à savoir est que la lentille permet de reproduire le schéma de diffraction en

champ lointain. Plus précisément, lorsqu’un objet est placé à une distance focale de la lentille,

l’image de l’autre côté à une distance focale est l’équivalent du schéma de diffraction en champ

lointain (Figure 4).

11

Figure 4 : Illustration de la production de l’image en champ lointain avec une lentille, l’image produite par la lentille à la

position focale est l’équivalent de l’image en champ lointain de l’objet à la focale de l’autre côté.

Le schéma de diffraction en champ lointain peut être trouvé à l’aide de la diffraction de

Fraunhofer qui est une approximation pour les champs lointains. Il s’avère que la diffraction de

Fraunhofer produit par une ouverture est équivalente à une transformée de Fourier de l’ouverture

(une transformée de Fourier en 2D). Donc si un objet est placé au foyer d’une lentille, une

transformée de Fourier de l’objet sera produite de l’autre côté au foyer. Nous ne ferons pas la

démonstration de cela ici, mais pour plus de détails sur le sujet le lecteur peut se référer au livre

‘’Optics’’ de Eugene Hecht15 ou le livre ‘’Introduction to Fourier Optics’’ de Joseph W.

Goodman16.

1.5 Méthodes de productions de faisceau Bessel

Jusqu'à maintenant, nous avons vu ce qu’est un faisceau Bessel, mais nous n’avons pas

encore vues de façons concrètes de le produire. Pour produire un faisceau Bessel, il existe plusieurs

façons de faire, la plus simple est, comme nous l’avons déjà mentionné, à l’aide d’une lentille

conique. La lentille conique transforme un front d’onde plan en front d’onde conique, l’interférence

de cette onde conique produit un faisceau Bessel comme il a été démontré mathématiquement dans

la section 1.2.

Une autre façon de produire un faisceau Bessel est de produire un anneau lumineux

combiné avec une lentille17. La transformée de Fourier d’un anneau produit une fonction Bessel,

12

alors en plaçant la lentille à la bonne position, un faisceau Bessel est obtenu. La méthode la plus

simple pour produire cet anneau est d’utiliser un masque en forme d’anneau (Figure 5). Cependant,

cette méthode bloque la majorité du faisceau ce qui la rend très peu efficace d’un point de vue

énergétique. C’est une des raisons pour laquelle la plupart du temps on utilise une lentille conique

pour produire un faisceau Bessel.

Figure 5 : Production d’un faisceau Bessel à l’aide d’une ouverture annulaire et d’une lentille.

Cependant, il existe d’autres façons de produire un anneau focal. Une de ces façons est

d’utiliser une lentille conique avec une lentille convergente18 (Figure 6). C’est souvent cette

méthode qui est utilisée pour produire des anneaux focaux, mais elle n’est pas utilisée pour faire un

faisceau Bessel puisqu’on peut simplement utiliser une lentille conique.

Figure 6 : Production d’un anneau à l’aide d’un axicon et d’une lentille.

On peut aussi imaginer produire un anneau avec une lentille qui possède une forme

particulière (exemple : une bilentille de Billet10 ou une lentille excentrique11), mais ces lentilles sont

complexes et chères à fabriquer.

13

Il existe beaucoup de types d’axicon, nous ne les énumèrerons pas tous, car la liste est trop

longue. Dans notre cas, nous nous contenterons d’étudier un axicon à gradient d’indice semblable à

ceux déjà étudiés par E. Marchand12 et par Rosa M. Gonzalez13, mais nous allons pousser plus loin

l’analyse en démontrant leurs capacités à produire un faisceau Bessel et en faisant une analyse plus

complète de l’axicon. Avant de passer à la première étape de l’analyse, nous énumérons quelques

types d’axicons à avoir été étudiés et qui ont certaines ressemblances avec ce que nous cherchons à

faire.

Il existe entre autres un type d’axicon à gradient d’indice qui utilise un profil d’indice de

réfraction logarithmique19 (Figure 7). Ce type d’axicon est basé sur l’approximation des lentilles

minces ce qui fait qu’idéalement la variation d’indice doit être élevée pour permettre d’avoir une

lentille la plus mince possible. Un autre désavantage de cette technique est que la partie centrale est

perdue (ne produis pas de faisceau Bessel) donc c’est peu pratique lorsque le faisceau incident est

gaussien puisque le maximum d’intensité qui est au centre est perdu.

Figure 7 : Schéma de l’axicon logarithmique tiré de l’article19.

Il existe aussi une lentille acoustique variable (TAG lens, tunable acoustic gradient index of

refraction lens)20 (Figure 8). Cette lentille permet de varier l’indice de réfraction à l’aide d’onde

acoustique et peut entre-autres produire une focalisation en anneau. Les TAG produisent une

variation d’indice périodique (temporellement) donc il doit être utilisé avec un laser pulsé et être

synchronisé avec celui-ci. De plus, il est probablement difficilement à miniaturiser, voire

14

impossible, à cause de la longueur d’onde des ondes acoustique qui sont probablement trop grandes

pour une application sur une fibre optique. De plus, à cause de sa conception il serait probablement

dispendieux et complexe à utiliser.

Figure 8 : Axicon acoustique variable (TAG lens) l’image est tirée du brevet20.

Un autre type d’axicon qui est bien adapté pour les fibres optiques est l’AXIGRIN21 (Figure

9). Cet axicon consiste en une lentille à gradient d’indice ‘’GRIN lens’’ qui finit en forme de cône

(en forme de lentille conique). Cependant, lorsque l’on veut miniaturiser l’axicon on se retrouve

avec le même problème qu’avec l’axicon conique soit la fabrication de la pointe (voir section 1.6).

Figure 9 : Schéma de l’AXIGRIN tiré de l’article21.

15

Il est également possible de produire une pointe directement sur la fibre soit par polissage,

par ‘’etching’’ ou par d’autres processus 22–24(Figure 10). Le désavantage de cette méthode est que

l’on doit faire fabriquer directement sur la fibre optique et cela peut être compliqué (ça implique

d’envoyer la fibre au fabricant) et le résultat peut varier en fonction du type de fibre. Le problème

de la fabrication de la pointe est aussi un limitant de cette méthode.

Figure 10 : Axicon sur la pointe d’une fibre optique produit par polissage, l’image est tirée de l’article22.

Un autre type d’axicon est celui produit par une fibre optique à cœur en anneau25 (Figure

11). Dans cette méthode, on utilise l’anneau produit par la fibre qu’on transforme en faisceau

Bessel. Cela permet de produire facilement un faisceau Bessel avec un système que l’on peut

intégrer directement à la fibre. Cette méthode est très pratique pour les fibres à cœur en anneau,

mais n’est pas pratique pour une fibre normale.

Figure 11 : Schéma d’un axicon produit à partir d’une fibre avec un cœur à anneau, tiré de l’article25.

16

Il est également possible de simplement ajouter un bout de fibre multimode à la fin d’une

fibre monomode, il est alors possible de générer des modes qui vont produire des faisceaux Bessel

ou quelque chose qui s’en approche26 (Figure 12). Pour que le tout fonctionne, les dimensions du

bout de fibre doivent être soigneusement choisies, mais comme les modes dépendent de la longueur

d’onde, l’axicon produit seulement un faisceau Bessel pour une longueur d’onde ou du moins

autour de celle-ci.

Figure 12 : Schéma de la méthode de génération de faisceau non diffractant par génération de modes, figure tirée de

l’article26.

Donc en résumé, il y a déjà plusieurs manières de produire un axicon, mais lorsqu’il est

question de produire un axicon polyvalent et à faible cout pour mettre au bout d’une fibre optique il

semble y avoir un manque à combler.

1.6 Pointe de l’axicon conique

Un des avantages de notre axicon est qu’il n’a pas de pointe, cela a d’ailleurs été mentionné à

quelques reprises dans les sections précédentes. Puisque c’est un des avantages principaux de notre

axicon, nous allons prendre le temps d’expliquer pourquoi la pointe des lentilles coniques est

problématique. La fabrication de la pointe est en effet un problème majeur pour les lentilles

coniques. Il n’existe pas de méthode parfaite pour fabriquer la pointe de l’axicon et il va toujours

rester une imperfection sur celle-ci. En général, les lentilles coniques sont soumises à un polissage

afin d’obtenir un fini lisse, mais celui-ci ne permet pas d’avoir une pointe parfaite. Le polissage est

fait par rotation, la pointe de l’axicon se retrouve à la limite de la surface polie, elle peut donc

facilement être brisée ou arrondie par le polissage. D’autres façons de fabriquer une lentille conique

existent, mais il y aura toujours un défaut sur la pointe.

17

Un autre point à savoir est que, puisqu’on peut minimiser le défaut sur la pointe, si l’axicon

utilisé est assez gros, le défaut peut être négligeable. Cependant, il y a une limite à ce qu’on peut

faire pour minimiser le défaut sur la pointe et si l’on veut faire un axicon de petite taille on atteint

parfois un point où le défaut de la pointe affecte la qualité du faisceau Bessel de manière

importante.

Il est donc important de savoir l’effet que ce défaut peut avoir sur le faisceau Bessel. On peut

facilement imaginer que ce défaut réduira la longueur du faisceau Bessel, car la partie qui n’est pas

en pointe ne produira pas de faisceau Bessel, alors la partie du faisceau la plus près de l’axicon sera

perdue. Si c’était le seul inconvénient du défaut de la pointe, ce ne serait pas très grave, mais ce

n’est pas le cas. Le défaut produit une onde qui va interférer avec le faisceau Bessel ce qui va créer

une modulation de l’intensité du faisceau Bessel en z (dan la direction de propagation). Cette

modulation peut s’avérer problématique dans plusieurs cas, il existe toutefois un moyen de corriger

cela en filtrant le faisceau27, mais cela nécessite l’ajout de plusieurs pièces optiques. Dans la Figure

13 nous avons tracé l’intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec

une lentille conique parfaite et une onde d’entré d’amplitude gaussienne.

Dans la Figure 14 nous avons utilisé une lentille conique, mais nous avons utilisé un

paramètre conique fini de sorte que la pointe n’est pas parfaite, on peut voir dans la Figure 14 a) que

la pointe est arrondie. On voit dans la Figure 14 b) qu’en plus d’être modulé, la ligne focale est plus

courte (car elle aurait commencé à 0 si l’axicon était parfait).

Figure 13 : Intensité d’un faisceau Bessel le long de l’axe de propagation produit avec une lentille conique parfaite et une

onde d’entrée d’amplitude gaussienne.

18

a) b)

Figure 14 : Figure 14 a) Lentille conique non parfaite (avec défaut sur la pointe). Figure 14 b) L’intensité du faisceau

Bessel le long de l’axe de propagation produit par cet axicon avec une onde d’entrée plane d’amplitude gaussienne.

1.7 Technique de fabrication

Dans cette section, nous allons explorer les façons possibles de fabriquer un axicon à gradient

d’indice de réfraction. Nous ne cherchons pas à expliquer précisément comment faire l’axicon à

gradient d’indice, mais plutôt à explorer les méthodes de fabrications possibles et de déterminer la

ou les plus appropriées. Nous ne savons d’ailleurs pas encore la forme du profil parfait, mais nous

savons qu’il doit avoir approximativement la forme de celui présenté par González 13.

Nous allons donc commencer par définir nos besoins en termes d’indice de réfraction. Nous

cherchons à faire un axicon de petite taille, le genre qui pourrait être mis sur une fibre optique. Il y a

trois choses principales à regarder lorsqu’on choisit un mode de fabrication pour un objet à gradient

d’indice.

La première chose est la variation d’indice maximal. Plus la variation du gradient est faible,

plus l’axicon devra être long, mais puisque l’on veut l’utiliser sur une fibre, ce n’est pas très grave

si elle est plus longue, donc ce critère n’est pas le plus important.

La deuxième est la taille à laquelle l’objet peut être fabriqué. Dans ce cas si on voudrait

qu’il puisse être de taille comparable à une fibre optique.

L’autre aspect à regarder est la forme du profil d’indice de réfraction qu’il est possible de

faire. Dans notre cas comme nous le verrons dans le chapitre 3, on veut un profil de la forme de la

Figure 16, la complexité de ce profil est surtout la pointe au centre.

15:08:04

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 57.00 01-Dec-17

0.44 MM

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

Intensité axiale

19

Pour produire la pointe, il faut être capable d’avoir un changement très précis de l’indice de

réfraction. La plupart des méthodes auraient tendance à produire une forme arrondie au lieu d’une

pointe bien nette, c’est le cas de la méthode par échange ionique28 et du dopage ionique29. Si l’on

considère aussi la taille, il reste seulement quelques méthodes possibles dont le dépôt chimique en

phase vapeur30 (CVD ou MCVD), l'irradiation neutronique31 et par écriture laser directe32. De ces 3

méthodes, celle du MCVD se démarque plus que les autres. Déjà, cette méthode est utilisée pour la

fabrication de fibre optique, donc il y a de bonnes chances qu’elle soit la plus appropriée pour ce

que l’on veut. Avec cette méthode la dimension de la fibre (ou de l’axicon) peut-être contrôlée en

étirant la fibre. De plus, comme l’indice de réfraction est fait couche par couche et en géométrie

cylindrique, il est possible de faire le profil voulu. En plus de ça, cette méthode a tendance à

produire un ‘’défaut’’ au centre qui est un pique d’indice vers le bas qui est dû à la présence d’un

espace d’aire dans la fibre (les couches sont faites de l’extérieur vers le centre donc le centre ne peut

pas être complètement remplie, en étirant la fibre la couche d’air vient presque à disparaitre). Or, ce

défaut produit justement la pointe que l’on cherche à produire au centre qui est la partie la plus

complexe à produire. Il serait donc possible de se servir de ce défaut à notre avantage pour fabriquer

l’axicon à gradient d’indice de réfraction.

20

2 Chapitre 2 : Propagation dans un milieu à gradient d’indice

Dans le chapitre précédent, quelques types d’axicons ont été présentés. Maintenant, nous nous

attaquons à l’analyse du cas qui nous intéresse soit de l’axicon à gradient d’indice de réfraction de

la forme similaire à ceux de E. Marchand12 et par Rosa M. Gonzalez13. Dans la publication de Rosa

M. Gonzalez, il est démontré qu’un profil de la forme 𝑛2(𝑟) = 𝑛02(1 − 𝑎𝑟 + 𝑏2𝑟2) peu produire

une focalisation partielle en forme d’anneau. Cependant, cette formule n’est pas la formule exacte

pour la valeur de n(r) ce qui engendre des aberrations. Dans ce chapitre, nous démonterons donc la

solution exacte qui permet d’obtenir un anneau parfait du point de vue de l’optique géométrique.

Pour cela, nous aurons à nous familiariser avec les équations qui régissent la propagation dans un

milieu à gradient d’indice. À partir de ces équations, une solution exacte pour le profil d’indice de

réfraction sera trouvée.

2.1 Équation eikonale

Nous cherchons maintenant à modéliser la propagation des rayons dans un milieu ayant un

indice de réfraction variable. Pour modéliser cela, l’équation eikonale sera utilisée. Cette équation

est une approximation de la propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu avec un

indice de réfraction n (qui peut être variable). L’approximation consiste à considérer la longueur

d’onde très petite par rapport aux variations du milieu. L’équation eikonale peut être considérée

comme l’équation fondamentale de propagation de rayon en optique géométrique, car toutes les lois

d’optique géométrique peuvent être trouvées à partir de celle-ci. L’équation eikonale est trouvée à

partir des équations de Maxwell :

∇⃗⃗ × �⃗� = −

𝜕�⃗�

𝜕𝑡

(2.1)

∇⃗⃗ × �⃗⃗� = 𝐽 +

𝜕�⃗⃗�

𝜕𝑡.

(2.2)

Puisque nous cherchons la formule qui régit la propagation des rayons, les équations peuvent être

réécrites sous la forme qui ne dépend plus du temps. Pour cela, nous supposons une variation

harmonique du champ électrique et magnétique. Les équations de maxwell peuvent alors être

exprimées seulement à l’aide de la partie vectorielle du phaseur �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) et �⃗⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧). La densité

21

de courant est supposée nulle donc 𝐽 =0 et si le milieu est linéaire et isotrope �⃗⃗� = 𝜖�⃗� et �⃗⃗� =1

𝜇�⃗� ,

les équations (2.1) et (2.2) deviennent :

Nous cherchons une solution de la forme :

(𝜗 est une fonction qui représente un front d’onde de phase constante). Avec ces solutions, les

équations (2.3) et (2.4) deviennent :

Avec l’identité vectorielle ∇⃗⃗ × (𝜑𝐴 ) = 𝜑∇⃗⃗ × 𝐴 + ∇⃗⃗ 𝜑 × 𝐴 , les équations (2.7) et (2.8) peuvent être

réécrites :

À cette étape, pour simplifier l’équation, une approximation est faite, soit que la longueur d’onde

est très petite λ→0 donc k0→∞. Cette approximation est équivalente à supposer que la longueur

d’onde est beaucoup plus petite que la variation du milieu, c’est l’approximation fondamentale

l’équation eikonale. Les équations (2.9) et (2.10) deviennent :

En isolant �⃗⃗� 0 dans l’équation (2.11) et en le mettant dans l’équation (2.12), l’équation suivante est

obtenue :

Qui peut aussi s’écrire comme suit :

∇⃗⃗ × �⃗� = −𝑗𝜔𝜇�⃗⃗� (2.3)

∇⃗⃗ × �⃗⃗� = 𝑗𝜔𝜖�⃗� . (2.4)

�⃗� = �⃗� 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 (2.5)

�⃗⃗� = �⃗⃗� 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 (2.6)

∇⃗⃗ × �⃗� 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 = −𝑗𝜔𝜇�⃗⃗� 0𝑒

−𝑗𝑘0𝜗 (2.7)

∇⃗⃗ × �⃗⃗� 0𝑒−𝑗𝑘0𝜗 = 𝑗𝜔𝜖�⃗� 0𝑒

−𝑗𝑘0𝜗. (2.8)

1

𝑗𝑘0∇⃗⃗ × �⃗� 0 − ∇⃗⃗ ϑ × �⃗� 0 = −𝑐𝑛𝜇�⃗⃗� 0 (2.9)

1

𝑗𝑘0∇⃗⃗ × �⃗⃗� 0 + ∇⃗⃗ ϑ × �⃗⃗� 0 = 𝑐𝑛𝜖�⃗� 0 .

(2.10)

∇⃗⃗ ϑ× �⃗� 0 − 𝑐𝑛𝜇�⃗⃗� 0 = 0 (2.11)

∇⃗⃗ ϑ× �⃗⃗� 0 + 𝑐𝑛𝜖�⃗� 0 = 0 . (2.12)

∇⃗⃗ ϑ× (∇⃗⃗ ϑ× �⃗� 0) + 𝑛2�⃗� 0 = 0 (2.13)

∇⃗⃗ ϑ(∇⃗⃗ ϑ ∙ �⃗� 0) − ∇⃗⃗ ϑ ∙ ∇⃗⃗ ϑ�⃗� 0 + 𝑛2�⃗� 0 = 0 .

(2.14)

22

Il est possible de montrer que ∇⃗⃗ 𝜗 ∙ �⃗� 0 = 0, puisque le gradient de 𝜗 est dans la direction de

propagation et que �⃗� 0 est perpendiculaire à la direction de propagation (dans le cas d’un milieu

isotrope). Alors, l’équation (2.14) devient :

|∇⃗⃗ ϑ|2= 𝑛2.

(2.15)

Cette dernière équation est l’équation eikonale.

2.2 Équation des rayons lumineux

Nous avons trouvé l’équation eikonale, mais sous cette forme il est difficile de trouver la

trajectoire des rayons. Nous allons donc trouver une forme plus pratique qui permettra de modéliser

plus facilement la propagation des rayons. Posons la trajectoire des rayons comme étant S, et 𝑟 étant

la distance d’un point sur la courbe S à partir de l’origine. Il est alors possible d'écrire un vecteur

unitaire tangentiel à la courbe comme :

𝑎 𝑠 =

𝑑𝑟

𝑑𝑠.

(2.16)

Le gradient de la fonction ϑ est perpendiculaire au plan de phase constante, donc il pointe dans la

direction de propagation. Le vecteur unitaire peut donc être exprimé comme suit :

𝑎 𝑠 =

∇⃗⃗ ϑ

|∇⃗⃗ ϑ|=∇⃗⃗ ϑ

n (2.17)

(|∇⃗⃗ ϑ| a été remplacé par n grâce à l’équation eikonale). Les équations (2.16) et (2.17) sont

combinées pour obtenir l’équation :

∇⃗⃗ ϑ = n

𝑑𝑟

𝑑𝑠.

(2.18)

Nous cherchons maintenant à éliminer le terme en ϑ, pour cela il faut trouver une autre expression

avec le terme ϑ. Il est possible pour cela de prendre le gradient de l’équation eikonale pour obtenir :

2∇⃗⃗ 𝜗 ∙ ∇⃗⃗ (∇⃗⃗ 𝜗) = 2𝑛∇⃗⃗ 𝑛 . (2.19)

Si l’on met les deux équations ensemble, on obtient :

𝑑𝑟

𝑑𝑠∙ ∇⃗⃗ (n

𝑑𝑟

𝑑𝑠) = ∇⃗⃗ 𝑛 (2.20)

et puisque 𝑑

𝑑𝑠=𝑑𝑟

𝑑𝑠∙ ∇⃗⃗ , il est possible de réécrire l’équation comme suit :

𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑟

𝑑𝑠) = ∇⃗⃗ 𝑛 . (2.21)

23

Cette équation est l’équation de la propagation des rayons. Elle est l’équivalent de l’équation

eikonale, mais cette forme-ci sera plus pratique dans notre cas.

2.3 Propagation dans un milieu d’indice n(r)

Nous allons nous intéresser au profil d’indice de réfraction dont la variation est radiale et de

géométrie cylindrique. Ce profil est particulièrement intéressant, car il est relativement simple à

produire et plusieurs composantes optiques utilisent déjà un tel profil (exemple : lentille à gradient

d’indice et fibre optique). La solution recherchée est une solution ou les rayons se propageant dans

la GRIN sont méridionaux et puisque la géométrie du problème est de forme cylindrique un vecteur

quelconque perpendiculaire à la trajectoire d’un rayon peut être écrit comme suit :

𝑟 = 𝑟𝑎 𝑟 + 𝑧𝑎 𝑧 . (2.22)

La composante angulaire est omise, car elle est toujours constante puisque les rayons sont

méridionaux. La variation de vecteur 𝑟 le long de la courbe S peut alors être écrite:

𝑑𝑟

𝑑𝑠=𝑑𝑟

𝑑𝑠𝑎 𝑟 + 𝑟

𝑑𝜙

𝑑𝑠𝑎 𝜙 +

𝑑𝑧

𝑑𝑠𝑎 𝑧 .

(2.23)

Avec cela, l’équation (2.21) est réécrite comme suit :

∇⃗⃗ 𝑛 =

𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑟

𝑑𝑠)𝑎 𝑟 +

𝑑𝑎 𝑟𝑑𝑠n𝑑𝑟

𝑑𝑠+𝑑

𝑑𝑠(nr

𝑑𝜙

𝑑𝑠)𝑎 𝜙 +

𝑑𝑎 𝜙

𝑑𝑠nr𝑑𝜙

𝑑𝑠+𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑧

𝑑𝑠)𝑎 𝑧

+𝑑𝑎 𝑧𝑑𝑠n𝑑𝑧

𝑑𝑠 .

(2.24)

Pour simplifier l’équation, les relations suivantes sont utilisées :

𝑑𝑎 𝑟𝑑𝑠

=𝑑𝑎 𝑟𝑑𝜙

𝑑𝜙

𝑑𝑠=𝑑𝜙

𝑑𝑠𝑎 𝜙 ,

(2.25)

𝑑𝑎 𝜙

𝑑𝑠= −

𝑑𝜙

𝑑𝑠𝑎 𝑟 ,

(2.26)

𝑑𝑎 𝑧𝑑𝑠

= 0 (2.27)

et

∇⃗⃗ 𝑛 =

𝑑𝑛

𝑑𝑟𝑎 𝑟

(2.28)

puisque n dépend seulement de r. L’équation (2.24) peut alors être réécrite comme suit :

24

∇⃗⃗ 𝑛 = [

𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑟

𝑑𝑠) − nr (

𝑑𝜙

𝑑𝑠)2

] 𝑎 𝑟 + [𝑑

𝑑𝑠(nr

𝑑𝜙

𝑑𝑠) + 𝑛

𝑑𝜙

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠] 𝑎 𝜙 +

𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑧

𝑑𝑠) 𝑎 𝑧

=𝑑𝑛

𝑑𝑟𝑎 𝑟 .

(2.29)

Puisque le profil d’indice de réfraction est radial, la composante de 𝑎 𝜙 doit être nulle donc :

𝑑

𝑑𝑠(nr

𝑑𝜙

𝑑𝑠) + 𝑛

𝑑𝜙

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠= 0

(2.30)

d’où

nr2

𝑑𝜙

𝑑𝑠= 𝑐1 .

(2.31)

C’est la même chose pour 𝑎 𝑧, puisque le profil d’indice de réfraction est radial, la composante 𝑎 𝑧

doit être nulle d’où :

n𝑑𝑧

𝑑𝑠= 𝑐2 .

(2.32)

L’équation (2.29) peut donc s’écrire :

𝑑

𝑑𝑠(n𝑑𝑟

𝑑𝑠) − nr (

𝑑𝜙

𝑑𝑠)2

=𝑑𝑛

𝑑𝑟.

(2.33)

Avec l’expression pour l’équation 𝑐1 (2.31), l’équation (2.33) devient :

𝑛𝑑𝑛

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠+ 𝑛2

𝑑2𝑟

𝑑𝑠2−𝑐12

r3−1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟= 0 .

(2.34)

De l’équation (2.32) on peut trouver :

n𝑑

𝑑𝑠= 𝑐2

𝑑

𝑑𝑧 ,

(2.35)

ce qui permet, après quelques manipulations, de réécrire l’équation (2.34)

𝑐22𝑑2𝑟

𝑑2𝑧−𝑐12

r3−1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟= 0 .

(2.36)

On intègre ensuite par rapport à r pour obtenir :

𝑑𝑟

𝑑𝑧=1

𝑐2[𝑛2 −

𝑐12

r2− 𝑐3]

12⁄

. (2.37)

On peut montrer que 𝑐3 = 𝑐22. Pour les rayons méridionaux, les valeurs des constantes 𝑐1 et 𝑐2 de

l’équation (2.37) sont les suivantes :

𝑐1 = 0 (2.38)

𝑐2 = 𝑛1 cos 𝛾0 (2.39)

où 𝛾0 est l’angle maximal du rayon. Donc les équations (2.36) et (2.37) deviennent

25

𝑐22𝑑2𝑟

𝑑𝑧2−1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟= 0

(2.40)

(𝑑𝑟

𝑑𝑧)2

=𝑛2

𝑐22 − 1 .

(2.41)

Nous avons donc une équation pour le trajet des rayons en fonction de l’indice de réfraction.

2.4 Profil d’indice de réfraction optimal

Nous cherchons à trouver un profil d’indice qui permet au faisceau de se propager en ayant

une oscillation et ne dépendant pas de l’angle d’entrée comme sur la Figure 15. Les rayons seront

donc des rayons méridionaux. On pose que, en se propageant, les rayons suivent une trajectoire

G(z)=r(z), on peut donc écrire :

𝑑𝐺

𝑑𝑧=𝜕𝐺

𝜕𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑧

(2.42)

et en mettant le tout au carré, on obtient :

𝑑2𝐺

𝑑𝑧2=𝜕2𝐺

𝜕𝑟2(𝑑𝑟

𝑑𝑧)2

+𝜕𝐺

𝜕𝑟

𝑑2𝑟

𝑑𝑧2 .

(2.43)

Si on multiplie l’équation (2.40) par 𝜕𝐺

𝜕𝑟, on obtient :

𝑐22𝜕𝐺

𝜕𝑟

𝑑2𝑟

𝑑𝑧2−1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟

𝜕𝐺

𝜕𝑟= 0 .

(2.44)

Figure 15 : Propagation dans le GLA, on voit que peu importe l’angle d’entrée 𝜸𝟎 les rayons ont toujours la même

périodicité.

26

Si l’on met dans l’équation (2.43) dans celle-ci, on trouve :

𝑐22 [𝑑2𝐺

𝑑𝑧2−𝜕2𝐺

𝜕𝑟2(𝑑𝑟

𝑑𝑧)2

] −1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟

𝜕𝐺

𝜕𝑟= 0 .

(2.45)

Avec l’équation (2.41) on obtient :

𝑐22 [𝑑2𝐺

𝑑𝑧2−𝜕2𝐺

𝜕𝑟2(𝑛2(𝑟)

𝑐22 − 1)] −

1

2

𝑑𝑛2

𝑑𝑟

𝜕𝐺

𝜕𝑟= 0

(2.46)

et avec quelques manipulations on obtient :

𝑐22 [𝑑2𝐺

𝑑𝑧2+𝜕2𝐺

𝜕𝑟2] = 𝑛 [

𝜕

𝜕𝑟(𝑛𝜕𝐺

𝜕𝑟)]. (2.47)

On cherche une distribution n(r) telle que la propagation des rayons soit périodique et ne dépende

pas de 𝑐22. Donc, il faut que :

𝑑2𝐺

𝑑𝑧2= −𝛼2𝐺

(2.48)

et que :

𝑑2𝐺

𝑑𝑧2+𝜕2𝐺

𝜕𝑟2= 0 .

(2.49)

Cela implique que :

𝜕2𝐺

𝜕𝑟2= 𝛼2𝐺

(2.50)

et :

𝜕

𝜕𝑟(𝑛𝜕𝐺

𝜕𝑟) = 0 .

(2.51)

De l’équation (2.50) on trouve que :

𝐺(𝑟) = 𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟) (2.52)

et de l’équation (2.51) on trouve :

𝑛𝜕𝐺

𝜕𝑟= 𝑐𝑡𝑒.

(2.53)

On trouve donc :

𝑛(𝑟) =

𝑛0𝑏

𝑎 sinh(𝛼𝑟) + 𝑏 cosh(𝛼𝑟) . (2.54)

On veut que 𝑑𝑛

𝑑𝑟= 0 à r=a0, donc :

𝑎 cosh(𝛼𝑎0) + 𝑏 sinh(𝛼𝑎0) = 0, (2.55)

d’où :

27

𝑎 = −𝑏 tanh(𝛼𝑎0). (2.56)

Si on réécrit l’équation (2.54) avec cela, on obtient :

𝑛(𝑟) = 𝑛1 sech(𝛼(𝑟 − 𝑎0)) (2.57)

avec 𝑛0 = 𝑛1 sech(𝛼𝑎0). L’équation (2.57) est la formule pour l’indice de réfraction idéal (Figure

16), il est à noter que la démonstration pour le profil en sech (pour a0=0) a été faite par33–35 et que la

démonstration ici est faite de façon différente. Cependant, la démonstration n’avait pas été faite

pour le profil décentré comme celui que nous avons obtenu (avec une valeur a0≠0). Nous

appellerons les axicons qui utilisent ce profil d’indice de réfraction des GLA (Grin Lens Axicon).

Avec cet indice de réfraction, on devrait donc obtenir des faisceaux qui se propagent de façon

périodique avec une périodicité qui ne dépend pas de l’angle γ0.

Figure 16 : Représentation de l’indice de réfraction selon l’équation (2.57). Les valeurs de l’indice de réfraction ne sont

pas très réalistes, ici nous avons seulement tracé pour bien voir la forme en sech de la courbe.

Nous allons maintenant déterminer la trajectoire ce qui nous assurera de la validité de

l’équation (2.57). À partir de l’équation (2.52) on trouve que :

𝑑2𝐺

𝑑𝑧2= −

𝜕2𝐺

𝜕𝑟2= −𝛼2𝐺.

(2.58)

Puisqu’on cherche une solution périodique, cela implique :

𝐺(𝑧) = 𝐴 cos(𝛼𝑟)+𝐵 sin(𝛼𝑟), (2.59)

donc avec la condition (2.58) on obtient :

-3 -2 -1 0 1 2 30.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Distance radiale (a0)

Ind

ice

de

réfr

acti

on

28

𝑑2𝐺

𝑑𝑧2= −𝛼2[𝐴 cos(𝛼𝑟)+𝐵 sin(𝛼𝑟)] = −𝛼2[𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)]

(2.60)

d’où

[𝐴 cos(𝛼𝑟)+𝐵 sin(𝛼𝑟)] = [𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)]. (2.61)

On dérive l’équation (2.61) par rapport à z pour obtenir :

−𝛼𝐴 sin(𝛼𝑟)+𝛼𝐵 cos(𝛼𝑟) = [𝛼𝑎 sinh(𝛼𝑟) + 𝛼𝑏 cosh(𝛼𝑟)]

𝑑𝑟

𝑑𝑧.

(2.62)

On pose les conditions initiales :

𝑟 = 0, 𝑑𝑟

𝑑𝑧= 0 à = 0 . (2.63)

Avec ces conditions initiales, on obtient B=0, donc l’équation (2.61) devient :

𝐴 cos(𝛼𝑟) = [𝑎 cosh(𝛼𝑟) + 𝑏 sinh(𝛼𝑟)] . (2.64)

Avec la valeur trouvée précédemment pour ‘’a’’ (équation (2.56)) l’équation devient :

𝐴 cos(𝛼𝑟) = 𝑏[sinh(𝛼𝑟) − tanh(𝛼𝑎0) cosh(𝛼𝑟)] . (2.65)

Puis avec quelques manipulations, on trouve :

𝐴 cos(𝛼𝑧) =

𝑏

cosh(𝛼𝑎0)sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑟0).

(2.66)

Avec 𝑛0 = 𝑛1 sech𝛼𝑎0 l’équation (2.66) devient :

𝑛1𝐴 cos(𝛼𝑧) = 𝑛0𝑏 sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0). (2.67)

Avec les conditions initiales 𝑧 = 0 et 𝑟 = 𝑟0 on obtient :

𝑛1𝐴 = 𝑛0𝑏 sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0), (2.68)

donc en utilisant (2.68) l’équation (2.67) devient :

cos(𝛼𝑧) =

sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0)

sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0). (2.69)

Pour trouver la valeur de sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0) on dérive par rapport à z pour obtenir :

−αsinh(𝛼𝑧) =

𝛼 cosh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0)

sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0)(𝑑𝑟

𝑑𝑧). (2.70)

On évalue ensuite à 𝛼𝑧 =𝜋

2 pour obtenir :

(𝑑𝑟

𝑑𝑧)𝛼𝑧=𝜋 2⁄

= −sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0) (2.71)

qui est la pente maximale. On peut aussi l’écrire en fonction de 𝛾0 :

29

tan 𝛾0 = sinh(𝛼𝑟0 − 𝛼𝑎0) (2.72)

où 𝛾0 est l’angle maximal du rayon (donc l’angle à 𝛼𝑧 = 𝜋 2⁄ ), alors la formule (2.69) peut

également être écrite comme suis :

cos(𝛼𝑧) =

sinh(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0)

tan 𝛾0. (2.73)

Si on isole r, on obtient :

𝑟(𝑧) =

1

𝛼sinh−1(tan 𝛾0 cos(𝛼𝑧)) − 𝑎0 .

(2.74)

Cette formule représente la trajectoire des rayons dans un milieu avec un indice de réfraction de la

forme (2.57). On voit que la périodicité en z dépend seulement de la constante α, comme nous le

voulions.

Pour comparer cette solution (qui est la solution exacte) à la solution de Rosa M.

Gonzalez13, nous allons faire le tracé de rayon pour un indice de réfraction de la forme

𝑛2(𝑟) = 𝑛12(1 + 𝑎𝑟 − 𝑏𝑟2) (2.75)

et nous allons le comparer à la solution trouvée. La Figure 17 a), b) et c) sont les tracés de rayons

pour un indice de réfraction de la forme (2.75) pour différentes valeurs de variation d’indice ∆𝑛. On

voit que si le ∆𝑛 est élevé, il y a beaucoup d’aberrations, mais pour le profil d’indice de réfraction

trouvé, qui est représenté à la Figure 17 d), peu importe la valeur de ∆𝑛, le profil est toujours exact.

a) b)

0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

c) d) Figure 17 : Les figures a), b) et c) sont les tracés de rayons pour le profil de la forme (2.75) avec une variation d’indice de

réfraction de 0.03, 0.1 et 0.3 respectivement. La figure d) est celui pour la forme exacte (2.57) avec une variation d’indice

de réfraction de 0.3.

2.5 Chemin optique

Il existe une autre façon de voir le problème, au lieu de résoudre le problème en termes de

tracé de rayon, il est possible de le voir en termes de chemin optique. Le chemin optique est défini

comme la distance parcourue entre deux points, multipliée par l’indice de réfraction. Deux rayons

de même phase qui parcourent un chemin optique de même valeur auront la même phase à leurs

arrivées, en fait ils auront fait exactement le même nombre d’oscillations. Selon le principe de

Fermat, le parcours de la lumière entre deux points est le parcours qui prend le moins de temps.

Donc puisque dans notre cas la propagation est périodique, les rayons qui partent de l’anneau focal

(à 0 sur la Figure 15) arrivent tous au même point après une distance de π/α. Dans cet intervalle les

rayons ont forcément le même chemin optique, car selon le principe de Fermat ils ont tous pris le

parcours le plus cours, donc ils arrivent tous en même temps et en phase sur l’anneau. Il aurait donc

pu être exigé dans la démarche pour trouver le profil d’indice de réfraction idéal que la longueur du

chemin optique soit constante peu importe la trajectoire des rayons. Cela aurait permis de s’assurer

que les rayons produisent bien un anneau. Cependant, en exigent que le tracer de rayon soit

périodique et que la périodicité ne soit pas dépendante de γ0, on a de façon indirecte exigée que la

longueur du chemin optique soit constante, peu importe la trajectoire des rayons du point z=0 à π/α.

Puisque que les rayons entre l’intervalle z=0 à π/2α et z= π/2α à π/α sont symétriques, nous pouvons

également dire que la longueur du chemin optique entre z=0 et π/2α est constante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

31

Nous allons donc démontrer que le chemin optique est effectivement constant. La longueur optique

peut s’écrire comme suit :

𝐿𝑜𝑝 = ∫𝑛𝑑𝑠

(2.76)

et à l’aide des formules trouvées précédemment (2.32) et (2.39) on trouve la valeur pour ds :

𝑑𝑠 =

𝑛𝑑𝑧

𝑛1 cos 𝛾0. (2.77)

Donc le chemin optique peut être réécrit avec une intégrale en fonction de z :

𝐿𝑜𝑝 =

1

𝑛1 cos 𝛾0∫𝑛2 𝑑𝑧. (2.78)

Si on remplace n par sa valeur trouvée (2.57), on peut trouver après quelques étapes

mathématiques :

𝐿𝑜𝑝 =

𝑛1cos 𝛾0

∫𝑑𝑧

1 + sinh2(𝛼𝑟 − 𝛼𝑎0)

(2.79)

et avec la formule (2.74) :

𝐿𝑜𝑝 =

𝑛1cos 𝛾0

∫𝑑𝑧

1 + tan 𝛾02 sin2(𝛼𝑧 + 𝜑)

. (2.80)

On trouve dans les tables :

∫𝑑𝑥

𝑎 + 𝑏 sin2(𝑥)=

1

√𝑎(𝑎 + 𝑏)tan−1 [√

𝑎 + 𝑏

𝑎tan 𝑥], (2.81)

donc

𝐿𝑜𝑝 =

𝑛1𝛼tan−1 (√1 + tan 𝛾0

2 tan(𝛼𝑧 + 𝜑))|0

𝑧0. (2.82)

Si (𝛼𝑧 + 𝜑) = 𝑛𝜋 où n est un entier, le parcours optique ne dépend plus de l’angle 𝛾0 :

𝐿𝑜𝑝 =𝑛1𝛼tan−1(0) =

𝑛1𝜋

𝛼. (2.83)

Si (𝛼𝑧 + 𝜑) = 𝑛 +𝜋

2 on a :

𝐿𝑜𝑝 = =𝑛1𝜋

2𝛼. (2.84)

On conclut donc que pour 𝜑 = 0 entre z=0 et 𝑧 =𝜋

2𝛼 le chemin optique est le même peu importe la

valeur de 𝛾0. C’est exactement ce à quoi on s’attendait, cela permet donc de valider les équations

trouvées précédemment.

32

2.6 Ajout d’une lentille

Nous avons maintenant ce qu’il faut pour commencer à vérifier s’il est possible de produire

un faisceau Bessel avec ce profil. Comme nous l’avons vue, il suffit d’ajouter une lentille à une

distance focale de l’anneau pour produire un faisceau Bessel. On s’attend donc qu’après la lentille

une onde conique soit produite. Pour vérifier cela, nous avons fait le tracé de rayon à l’aide du

logiciel de conception optique Code V. Dans la Figure 18, une lentille parfaite (représenté par une

ligne), est placée à une distance focale de l’anneau produit par le GLA. Une onde conique est

effectivement produite après la lentille ce qui devrait en théorie produire un faisceau Bessel. Pour

l’instant, nous allons nous contenter de cette preuve, mais dans le chapitre 3 une preuve

mathématique sera faite. D’autres dispositions sont également possibles, on peut par exemple avoir

un faisceau d’entré ponctuel ou bien on peut remplacer la lentille par un rayon de courbure sur la

dernière surface. Les différents cas seront présentés plus loin soit au chapitre 4.

Figure 18 : Propagation des rayons dans un GLA avec une lentille. On y voit que les rayons sortent bien collimés comme

prévu ce qui suppose la production d’un faisceau Bessel.

2.7 Profil pour fabrication

Nous avons trouvé dans la section 2.4 la formule qui régit la valeur de l’indice de réfraction.

Cependant, si on veut fabriquer ou modéliser un GLA on doit avoir des informations

supplémentaires à commencer par la valeur de 𝛼. Pour trouver la valeur de 𝛼 on doit fixer certains

paramètres. Le diamètre D (Figure 19) du GLA est de D=4a0 (il peut être plus petit, mais ce n’est

pas optimal) donc en fixant le diamètre on fixe la valeur de a0. On doit également fixer les valeurs

de l’indice de réfraction, soit la valeur minimale n0, la valeur maximal n1. Avec ces paramètres fixés

on peut trouver que la valeur de 𝛼 est :

11:35:05

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 19.00 08-Sep-17

1.32 MM

33

𝛼 =sech−1 (

𝑛0𝑛1)

𝑎0=sech−1 (1 −

∆𝑛𝑛1)

𝑎0.

(2.85)

Où ∆𝑛 = 𝑛1 − 𝑛0. Pour ce qui est de la longueur du GLA, elle peut être trouvée grâce à la

fréquence 𝛼. Par exemple, si on veut que le faisceau d’entré soit collimé et qu’il sorte en anneau, la

longueur L (Figure 19) doit être d’un quart de période donc:

𝐿 =𝜋

2𝛼 . (2.86)

Il est également possible d’approximer la valeur de l’indice de réfraction comme suit :

𝑛(𝑟) = 𝑛1 sech(𝛼(𝑟 − 𝑎0)) ≅ 𝑛1 (1 −

𝛼2(𝑟 − 𝑎0)2

2) . (2.87)

En général, l’approximation (2.87) est très bonne, car la valeur de ∆𝑛 est généralement faible. Sur la

Figure 20 on voit que les deux courbes sont à peu près égales pour une valeur d’environ ∆𝑛 = 0.18.

Dans un cas réel, la valeur de ∆𝑛 est en général autour de 0.03, à cette valeur les deux courbes sont

presque identiques dans l’intervalle de r=0 à 2a0.

Figure 19 : Schéma du GLA avec les dimensions pour la fabrication.

34

Figure 20 : Indice de réfraction en fonction de la distance radiale, la courbe en bleu est la valeur exacte et la courbe en

rouge est l’approximation (2.87).

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 21.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

Distance radiale (ao)

Indic

e d

e r

éfr

action

35

3 Chapitre 3 : Propagation dans la GLA en tenant compte de la

diffraction

Dans le chapitre précédent, il a été démontré qu’il est possible d’avoir un profil d’indice de

réfraction qui permet de focaliser parfaitement en anneau (2.57) du point de vue de l’optique

géométrique. Cependant, les équations de propagation des rayons ne sont pas exactes, pour avoir un

portrait plus juste, il faut aussi tenir compte des effets de la diffraction. Dans ce chapitre, nous

analyserons le problème du point de vue de la diffraction, cela nous permettra d’avoir un meilleur

portrait des caractéristiques de l’axicon. Entre autres, cela nous permettra de trouver les dimensions

de l’anneau et aussi de montrer sa capacité à produire un faisceau Bessel lorsqu’on ajoute une

lentille.

3.1 Propagation dans le GLA

Nous cherchons à modéliser l’effet de la propagation de la lumière (ou une onde

électromagnétique quelconque) dans le GLA. Pour cela, nous voulons trouver une équation qui

permet d’exprimer le champ électrique après propagation dans le GLA. Cela peut être trouvé à

partir de l’équation (1.1) du chapitre 1 qui permet d’écrire la propagation d’une onde

électromagnétique en coordonnée cylindrique (une onde conique) comme suit :

𝐸(𝑟, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽0 (𝑘𝑟𝑟). (3.1)

Cette formule est valable pour une onde conique, cependant il est possible de généraliser cette

formule en faisant une ‘’somme d’onde conique’’ pour obtenir l’équation (annexe A) :

𝐸(𝑟, 𝑧) = ∫ 𝑆(𝑘𝑟)𝑒

𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽0 (𝑘𝑟𝑟)∞

0

𝑘𝑟𝑑𝑘𝑟. (3.2)

On peut réécrire l’équation (3.2) en faisant le changement de variable 𝜏 = sin𝜃 où θ est l’angle

entre l’axe z et le vecteur k:

𝐸(𝑟, 𝑧) = ∫ 𝑆(𝜏)𝑒𝑖𝑘𝑧√1−𝜏

2𝐽0 (𝑘𝑟𝜏)

𝜏0

0

𝜏𝑑𝜏. (3.3)

On peut montrer que dans notre cas la valeur de 𝜏0 est (annexe B) :

𝜏0 = tanh(𝛼𝑎0). (3.4)

36

En trouvant la valeur du spectre angulaire 𝑆(𝜏), il sera possible de résoudre l’équation (3.3) ce qui

nous permettra de trouver la valeur du champ électrique après propagation dans la GLA.

3.2 Solution onde plane

Maintenant, que nous avons une équation pour trouver le champ électrique lors de la

propagation dans la GLA nous pouvons commencer à analyser les différents cas. Nous

commencerons par le cas simple où l’onde d’entrée est plane et uniforme. On cherche à résoudre

l’équation (3.3), pour résoudre cette équation, nous devons trouver la valeur du spectre angulaire

𝑆(𝜏). On cherche à trouver la valeur du champ électrique à la position r=a0 et z=z0 (la position de

l’anneau focal), à cette position chaque onde conique apporte une contribution de la forme :

𝑆(𝜏) = 𝐴(𝜏)𝐽0 (𝑘𝑎0𝜏). (3.5)

La valeur de 𝐴(𝜏) est constante puisque l’onde d’entrée est plane. Si on définit la valeur z0=0 et

avec (3.5) on peut réécrire l’équation (3.3) :

𝐸(𝑟, 𝑧0) = 𝐴∫ 𝐽0 (𝑘𝑎0𝜏)𝐽0 (𝑘𝑟𝜏)

𝜏0

0

𝜏𝑑𝜏. (3.6)

L’intégrale peut être faite et donne36 :

𝐸(𝑟, 𝑧0) =

𝐴𝜏0𝑘

𝑎0𝐽1 (𝑘𝑎0𝜏0)𝐽0 (𝑘𝑟𝜏0) − 𝑟𝐽1 (𝑘𝑟𝜏0)𝐽0 (𝑘𝑎0𝜏0)

𝑎02 − 𝑟2

. (3.7)

Cette fonction a un maximum centré sur r=a0 comme voulu. Il est possible d’obtenir une solution

plus simple en faisant quelques approximations. En effet, on note que la valeur de k est, en général,

très élevée dans l’équation (3.7). Il est donc possible de développer les fonctions Bessel avec leurs

valeurs asymptotiques et si l’on pose également que 𝑟 ≅ 𝑎0 (puisque l’on cherche la solution autour

de r=a0) on obtient :

𝐸(𝑟, 𝑧0) ≅ 𝐴

2

𝜋𝑘2sin(𝑘𝜏0(𝑎0 − 𝑟))

𝑎02 − 𝑟2

≅ 𝐴2

𝜋𝑘2sin(𝑘𝜏0(𝑎0 − 𝑟))

𝑎0 − 𝑟. (3.8)

Où nous avons utilisé le fait que si 𝑟 ≅ 𝑎0 , 𝑎02 − 𝑟2 ≅ 𝑎0 − 𝑟. Cette équation est en général une

très bonne approximation au tour du point a0, mais à cause de l’approximation 𝑟 ≅ 𝑎0 elle n’est pas

valable plus loin. Cela dit, dans ce cas puisqu’on s’intéresse à l’anneau centré sur a0 elle peut être

utilisée sans problème. Maintenant que nous avons une formule pour le champ électrique de

l’anneau, on peut trouver l’épaisseur de l’anneau. Nous allons définir l’épaisseur comme la partie

37

centrale entre les deux premiers minimums (autour de a0). On peut montrer que la valeur des

premiers minimums de l’équation (3.8) sont à 𝑟 = 𝑎0 ±𝜋

𝑘𝜏0, donc l’épaisseur est de :

∆≅ 4𝑛1𝜆𝑓

𝐷, (3.9)

où D est le diamètre du GLA et f est la focal du GLA. Comme point de comparaison, on peut

utiliser, la tache d’Airy d’un faisceau équivalent soit :

∆𝐴𝑖𝑟𝑦= 2,44

𝜆𝑓

𝐷. (3.10)

On constate donc que l’anneau produit par la GRIN est de très bonne qualité, car il est environ le

double de la tache d’Airy pour un même diamètre.

3.2.1 Comparaison théorique vs simulation

Pour démontrer la validité de la valeur théorique du champ trouvé (3.7) nous allons

comparer avec des simulations numériques. Pour cela, nous allons utiliser le logiciel Code V, plus

précisément la partie appelée BSP37 (plus de détails sur le logiciel sont donnés dans le chapitre 5).

Nous allons donc déterminer des conditions similaires pour les deux cas. Dans les deux cas, l’onde

d’entrée sera une onde plane et uniforme de même longueur d’onde qui rentrera dans un axicon

identique. Nous allons comparer la forme du profil d’intensité à la position de l’anneau focal. Nous

allons seulement nous intéresser à la forme de la courbe de l’intensité et non à son amplitude (donc

nous allons normaliser les courbes). Les valeurs choisies pour l’onde et pour l’axicon

sont présentées dans le Tableau 1 (toutes les autres valeurs peuvent être trouvées à partir de ceux-

ci):

Paramètres Valeurs

λ 500nm

α π/8

𝒂𝟎 0.5𝑚𝑚

n 1.45

Tableau 1 : Paramètres choisis pour la comparaison théorique vs simulation.

38

Pour comparer nous avons pris la valeur de l’intensité en fonction de r autour de a0, les

courbes ont été tracées dans la (Figure 21). Les deux courbes sont très semblables, mais on voit que

dans la courbe de la simulation elle est légèrement plus large et que les lobes secondaires sont

moins bien définis. La différence entre les deux n’est pas nécessairement à cause des

approximations de notre modèle, cela peut aussi venir d’erreur du logiciel. L’épaisseur peut être

trouvée avec l’équation (3.9) et est de ∆= 3,6𝜆 = 1777𝑛𝑚.

Figure 21 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique (courbe bleue) et selon la simulation (courbe noire),

pour une onde d’entrée plane.

3.3 Solution faisceau gaussien

Dans la section précédente, nous avons vu le cas du faisceau d’entré qui est une onde plane.

Nous allons maintenant étudier le cas du faisceau d’entré gaussien, car c’est un des cas les plus

rencontrés. Il est entre autres associé au laser et à la fibre optique, car ceux-ci produisent souvent ce

type de faisceau. La démarche pour trouver le champ électrique à la focale du GLA est semblable à

celle pour l’onde d’entrée plane. Encore une fois nous cherchons à résoudre l’équation (3.3). Dans

ce cas-ci, puisque l’onde d’entrée est gaussienne, chaque onde conique apporte une contribution de

la forme :

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.495 0.497 0.499 0.501 0.503 0.505

Distance radiale (mm)

Théorique

Simulation

39

𝑆(𝜏) = 𝑒

−𝑟2

𝜔02𝐽0 (𝑘𝑎0𝜏),

(3.11)

où 𝜔02 est la largeur du faisceau (qui est définie comme la distance entre le centre du faisceau et la

position où la valeur du faisceau est de 1/e2). La valeur de r doit être remplacée par sa valeur en

fonction de τ, on peut trouver cette valeur à partir de:

𝜏 = sin 𝜃 = tanh(𝛼(𝑟 − 𝑎0)), (3.12)

donc :

𝑟 =

tanh−1 𝜏

𝛼+ 𝑎0.

(3.13)

On peut alors réécrire l’équation (3.3) (avec z0=0) :

𝐸(𝑟, 𝑧0) = ∫ 𝑒−(tanh−1 𝜏

𝛼+𝑎0)

2

𝜔02

𝐽0 (𝑘𝑎0𝜏)𝐽0 (𝑘𝑟𝜏)𝜏0

0

𝜏𝑑𝜏. (3.14)

Cette intégrale devra être résolue numériquement. Comme nous le verrons dans la section suivante,

cette fonction produit bien un anneau à la position r=a0.

3.3.1 Comparaison théorique vs simulation

Nous avons, comme pour le cas de l’onde plane, fait une simulation avec code V pour

comparer avec la valeur théorique trouvée. Les conditions choisies sont les mêmes que l’autre cas

(voir Tableau 1). Dans ce cas si nous avons dû résoudre l’équation (3.14) numériquement. Les

résultats sont présentés sur la Figure 22. On voit sur cette figure qu’encore une fois les résultats des

simulations sont vraiment près de la valeur théorique calculée. L’épaisseur pour la courbe théorique

reste essentiellement la même que celle avec l’onde d’entrée plane.

40

Figure 22 : Profil d’intensité de l’anneau selon l’équation théorique (courbe bleue) et selon la simulation (courbe noire),

pour une onde d’entrée gaussienne.

3.4 Ajout d’une lentille

On sait maintenant que le profil d’indice de réfraction permet bien de produire un anneau,

nous allons alors poursuive en calculant le champ électrique du faisceau produit lorsqu’on ajoute

une lentille au GLA. Pour cela, nous allons utiliser l’intégral de propagation de Huygens combiné

avec les matrices ABCD. On peut montrer que38 :

𝐸(𝑟2, 𝑧) = ∫

𝑗𝑘

𝐵𝐸(𝑟0, 𝑧0)𝑒𝑥𝑝 (−𝑗

𝑘

2𝐵(𝐴𝑟1

2 + 𝐷𝑟22)) 𝐽0 (

𝑘𝑟1𝑟2𝐵) 𝑟1𝑑𝑟1

∞

0

. (3.15)

Pour une lentille placée à la distance focale f et dans l’aire (n=1), les valeurs de la matrice ABCD à

la position f après la lentille sont: A=0, B=f, C=-1/f, D=0. On a donc :

𝐸(𝑟2, 𝑧) = ∫

𝑗𝑘

𝑓𝐸(𝑟0, 𝑧0)𝐽0 (

𝑘𝑟1𝑟2𝑓) 𝑟1𝑑𝑟1

∞

0

. (3.16)

On sait que :

𝐸(𝑟0, 𝑧0) = ∫ 𝑆(𝜏)𝐽0 (𝑘𝑟1𝜏)

𝜏0

0

𝜏𝑑𝜏. (3.17)

On a donc :

𝐸(𝑟2, 𝑧) =

𝑗𝑘

𝑓∫ 𝑆(𝜏)𝜏0

0

∫ 𝐽0 (𝑘𝑟1𝜏)𝐽0 (𝑘𝑟1𝑟2𝑓)𝑟1𝑑𝑟1

∞

0

𝜏𝑑𝜏 , (3.18)

Où :

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.495 0.497 0.499 0.501 0.503 0.505

SimulationThéorique

41

∫ 𝐽0 (𝑘𝑟1𝜏)𝐽0 (𝑘𝑟1𝑟2𝑓) 𝑟1𝑑𝑟1

∞

0

=𝛿 (𝑘𝜏 −

𝑘𝑟2𝑓)

𝑘𝜏 .

(3.19)

Où δ est le delta de Kronecker. On a donc :

𝐸(𝑟2, 𝑧) =

𝑗

𝑓∫ 𝑆(𝜏)𝜏0

0

𝛿 (𝑘𝜏 −𝑘𝑟2𝑓) 𝑑𝜏 =

𝑗

𝑓 𝑆 (𝑟2𝑓). (3.20)

Nous obtenons alors pour un faisceau plan :

𝐸(𝑟2, 𝑧) =

𝑗

𝑓 𝐽0 (𝑘𝑎0

𝑟2𝑓) (3.21)

et pour un faisceau d’entré gaussien :

𝐸(𝑟2, 𝑧) =𝑗

𝑓 𝑒−

(tanh−1(

𝑟2𝑓)

𝛼+𝑎0)

2

𝜔02

𝐽0 (𝑘𝑎0𝑟2𝑓).

(3.22)

Qui est environ égale à un faisceau Bessel Gauss (si k et grand) :

𝐸(𝑟2, 𝑧) ≅

𝑗

𝑓4𝑒

−𝑎02

𝜔02 𝐽0 (𝑘𝑎0 (

𝑟2𝑓)).

(3.23)

De l’équation (3.21) on en déduit qu’avec une onde d’entrée plane (infinie) on aurait un faisceau

Bessel parfait. Des équations (3.22) et (3.23) on peut conclure qu’avec une onde d’entrée

gaussienne on aurait un faisceau Bessel Gauss. Le GLA se comporte donc comme prévu et peut

donc être utilisé pour produire un faisceau Bessel.

42

4 Chapitre 4 : Analyse des différentes situations

Dans le chapitre précédent, nous avons démontré que le profil d’indice de réfraction de la

forme 𝑛(𝑟) = 𝑛1 sech(𝛼(𝑟 − 𝑎0)) permet de produire un anneau focal. Il a aussi été démontré

qu’en ajoutant une lentille il est possible de produire un faisceau Bessel. Il existe toutefois plusieurs

autres façons de produire un faisceau Bessel à partir de ce profil. Dans cette section, nous

élaborerons sur le sujet afin d’avoir une meilleure vue d’ensemble des différentes configurations qui

sont possibles avec le profil d’indice de réfraction trouvé. Nous développerons également des

équations qui vont nous permettre de comparer les différents axicons, cela nous permettra dans le

chapitre 5 de faire des simulations numériques pour comparer les performances.

4.1 Production de l’anneau

Comme il a déjà été montré, il est possible de produire un faisceau Bessel à partir d’un

anneau focal. C’est d’ailleurs sur ce principe que nous avons élaboré le GLA. Nous allons donc

commencer par élaborer sur les façons de produire cet anneau à partir du profil d’indice de

réfraction trouvé.

Jusqu'à présent, nous avons considéré que le faisceau d’entré est une onde plane, dans ce cas

nous obtenons un anneau focal aux positions 𝑧 =𝜋

𝛼(𝑛 −

1

2) comme sur la Figure 23a. Cependant,

une autre configuration qui serait intéressante est le cas où le faisceau d’entré est un point source

placer directement au début du GLA. Lorsque tous les rayons passent par le centre, chaque rayon

va se propager de telle sorte qu’ils ont chacun une amplitude différente et une position z0 différente.

Cependant, ils ont tous une fréquence α, donc s’ils partent tous du même point à z=0 ils vont arriver

tous au même point à la position 𝑧 =𝜋

𝛼. Il y a donc un anneau focal produit à la position 𝑧 =

𝜋

𝛼,

r=2a0 comme on peut le voir sur la Figure 23b. Le tracé de rayons est fait sur la Figure 23b, nous y

voyons clairement que le point focal est transformé en anneau. Cependant, contrairement au cas où

l’onde est plane, le point focal ne se répète pas. Cela est dû au fait que les rayons dans ce cas si

croise l’axe central ce qui n’est pas le cas pour l’onde plane.

Nous avons donc deux configurations simples qui permettent de produire un anneau grâce

au profil d’indice de réfraction analysé. Nous cherchons maintenant à trouver différentes façons de

43

produire un faisceau Bessel à partir de ces anneaux. Par simplicité, les axicons présentés sont faits

seulement avec le cas d’une onde d’entrée plane, mais il serait également possible de les faire avec

le cas où l’onde d’entrée est ponctuelle. Une autre raison de privilégier le cas de l’onde d’entrée

plane est que, d’un point de vue pratique, le centre de la lentille est difficile à faire, car il demande

un changement d’indice de réfraction abrupt, donc puisque pour le cas du point source tous les

rayons passent par le centre, on risquerait d’avoir de grandes déformations du faisceau si l’on

utilisait ce cas.

a)

b)

Figure 23 : Tracé de rayon dans le GLA pour une onde d’entrée plane (a) et pour une onde d’entrée ponctuelle (b) (avec

𝑭 = 𝝅 𝟐𝜶⁄ ).

4.2 GLA avec lentille

Pour produire un faisceau Bessel, outre l’ajout d’une lentille, il est possible d’envisager des

solutions comme de mettre un rayon de courbure directement à la sortie ou bien utiliser une lentille

à gradient d’indice. Nous en présentons ici quelques-unes des solutions possibles et nous trouverons

des équations pour pouvoir comparer les différents types d’axicons.

44

Le premier cas étudié est le cas le plus évident, soit celui de l’ajout d’une lentille comme on

peut voir sur la Figure 24a. L’avantage de cette méthode réside surtout dans sa simplicité, on

produit un anneau et on rajoute simplement une lentille pour produit la transformée de Fourier, ce

qui donne le faisceau Bessel. Cependant, nous ne sommes pas limités à utiliser seulement une

lentille, il est possible d’utiliser un système de lentilles comme sur la Figure 24b. Afin de pouvoir

comparer les axicons que nous concevons avec ceux qui existent, nous allons utiliser comme point

de comparaison la lentille conique. Pour cela, nous devons d’abord déterminer les caractéristiques

importantes de la lentille conique. En général, la lentille conique est caractérisée par son diamètre,

par son angle et par son indice de réfraction (nous n’allons pas étudier les défauts de surface et

autre). Donc pour comparer, nous allons trouver les valeurs équivalentes à celles de la lentille

conique pour chaque des axicons étudiés. L’indice de réfraction de la lentille conique va être

considéré comme connu, on cherche alors les valeurs équivalentes pour le diamètre et l’angle.

a)

b) Figure 24 : La figure a) est un GLA avec une lentille et la figure b) est avec un système de lentilles (ici avec 2 lentilles)

45

4.2.1 Angle

Commençons par trouver la valeur de l’angle γ (voir Figure 25). La valeur de cet angle ne

peut pas être mesurée sur le GLA, mais cette valeur est reliée avec la valeur de l’angle β de la

lentille conique, qui elle, peut être mesurée (voir Figure 25). Nous allons donc utiliser l’angle β du

GLA pour la comparaison puis trouver la valeur équivalente de l’angle γ. On peut montrer que pour

la lentille conique 𝛽 = sin−1(𝑛 sin γ) − γ où n est l’indice de réfraction de l’axicon, donc que :

γ = sin−1 (

sin𝛽

𝑛 − 1). (4.1)

Alors, si on trouve l’angle β pour le GLA on peut trouver l’angle γ équivalent avec l’équation (4.1).

Pour trouver l’angle β du GLA avec une lentille, il suffit de prendre le rayon qui se propage en ligne

droite dans la GLA (celui qui est à r=a0). Puisqu’il sort de la GLA horizontalement, il va être

focalisé au point focal f, alors avec le triangle formé par la hauteur a0 et la distance focale f, il est

facile de trouver la valeur de β qui est le petit angle formé par ce triangle :

𝛽 = tan−1 (𝑎0𝑓). (4.2)

En mettant l’équation (4.2) dans l’équation (4.1) on peut trouver l’angle équivalent :

γ = sin−1(sin (tan−1 (

𝑎0𝑓))

𝑛 − 1). (4.3)

Si β est petit, l’équation devient :

γ ≅𝑎0

𝑓(𝑛 − 1). (4.4)

Alors, les équations (4.3) et (4.4) permettent de trouver l’angle γ équivalent du GLA même si celui-

ci n’a pas réellement d’angle γ.

4.2.2 Diamètre

Nous cherchons maintenant à trouver la valeur du diamètre pour le GLA. La valeur du

diamètre de la lentille n’est pas la même chose que la valeur du diamètre de la lentille conique.

Nous devons donc, comme pour l’angle γ, trouver une façon de trouver la valeur équivalente au

diamètre D de la lentille conique. Pour cela, nous définissons la distance L qui est la hauteur du

faisceau comme sur la Figure 26. La valeur de la hauteur du faisceau pour la lentille conique peut-

être trouvée en faisant un peu de géométrie, on obtient :

46

𝐿 =

𝐷

2(1 − sinγ sin𝛽). (4.5)

En remplaçant par les équations des angles trouvés précédemment, on obtient :

𝐿 =𝐷

2(1 −

sin2 (tan−1 (𝑎0𝑓))

𝑛 − 1). (4.6)

a)

b)

Figure 25 : Dans la figure a), les positions des angles γ et β sont présentées pour la lentille conique et dans la figure b) la

position de l’angle β est présentée pour le GLA avec une lentille.

a)

47

b)

Figure 26 : Dans la figure a), les valeurs D et de L sont présentées pour la lentille conique et dans la figure b) la position

de l’angle θ et la valeur L sont présentées pour le GLA avec une lentille.

Mais dans le cas où l’angle est faible (donc tan−1 (𝑎0

𝑓) est faible) nous retrouvons

𝐿 ≅

𝐷

2. (4.7)

La valeur de L pour le GLA peut-être approximé (approximation de lentille mince) comme étant la

dimension du faisceau sur la lentille (Figure 26b). On trouve alors la valeur 𝐿 = 2𝑓 tan𝜃 avec θ qui

est l’angle de sortie maximale. La valeur du diamètre est donc :

𝐷 ≅

4𝑓 tan 𝜃

(1 −sin2 (tan−1 (

𝑎0𝑓))

𝑛 − 1 )

. (4.8)

Ou avec l’approximation 𝐿 ≅𝐷

2

𝐷 ≅ 4𝑓 tan 𝜃 . (4.9)

Pour trouver la valeur θ on commence par trouver la valeur de l’angle de sortie θ1 dans le GLA.

Pour cela, nous utilisons l’équation (2.74) pour trouver :

θ1 = tan−1(sinh(α𝑎0)). (4.10)

La valeur de θ peut être trouvée à partir de θ1 avec la loi de Snell-Descartes :

𝜃 = sin−1 (𝑛1𝑛2sin 𝜃1). (4.11)

D’où

𝜃 = sin−1 (𝑛1𝑛2sin(tan−1(sinh(α𝑎0)))) (4.12)

48

où n1 est l’indice de réfraction dans le GLA1 et n2 est celui à l’extérieur. Si l’on remplace dans

l’équation (4.9) on obtient :

On peut remplacer α𝑎0 = sech−1 (1 −

∆𝑛

𝑛0) grâce à l’équation (2.85) :

𝐷 ≅ 4𝑓 tan (sin−1 (

𝑛1𝑛2sin (tan−1 (sinh (sech−1 (1 −

∆𝑛

𝑛0)))))). (4.14)

Si α𝑎0 est petit, on peut approximer D comme suit :

𝐷 ≅ 4𝑓

𝑛1𝑛2α𝑎0 = 4𝑓

𝑛1𝑛2sech−1 (1 −

∆𝑛

𝑛0) . (4.15)

Avec ces équations, il est possible de comparer un GLA avec lentille à une lentille conique ce qui

va nous être utile pour faire des simulations.

Cette méthode comporte toutefois un défaut majeur qui est que la ligne focale n’est pas

toujours complète. La ligne focale est dite incomplète lorsque, pour le tracé de rayon, les rayons ont

déjà commencé à ce croisé avant même la lentille (voir Figure 27). Pour avoir une ligne focale

complète on doit avoir 𝑓 ≤𝑎0

tan𝜃. Cette condition est difficile à respecter, pour donner un exemple,

prenons un système GLA avec une lentille avec les valeurs Δn=0.03, n0=1.45 et a0=0.5mm. La

focale doit être au maximum de :

𝑓 ≅𝑎0

𝑛1𝑛2sech−1 (1 −

∆𝑛𝑛0) . (4.16)

À la focale maximale, le diamètre de la lentille doit être de :

𝐷𝐿 = 4𝑎0 , (4.17)

donc l’ouverture (le f number) de la lentille doit être de :

𝑓/# =

𝑓

𝐷𝐿≅

𝑎0

4𝑎0𝑛1𝑛2sech−1 (1 −

∆𝑛𝑛0)= 0,81 . (4.18)

On voit que l’ouverture ne dépend pas de a0. L’ouverture est beaucoup trop petite pour que ce soit

réalisable, on doit donc, soit diminuer le diamètre ce qui fait qu’une partie du faisceau ne sera pas

dans la lentille et diminuera la longueur de ligne focale, ou augmenter la focale ce qui fait que les

faisceaux se croisent avant la lentille et donc diminue la longueur de la ligne focale. Cependant,

1 Note : n1 dépend de la position radiale, mais en général la variation de n1 est assez faible et on peut alors

l’approximer comme constante. De plus, dans notre cas n1 est la valeur maximale du profil d’indice soit n0.

𝐷 ≅ 4𝑓 tan (sin−1 (𝑛1𝑛2sin(tan−1(sinh(α𝑎0))))). (4.13)

49

d’un point de vu géométrique, il est possible de montrer que la longueur de la ligne focale est

toujours plus grande ou égale à ½ de la ligne focale complète.

a)

b) Figure 27 : Sur la figure a) un exemple de ligne focale complète est présenté (ligne pointillée) et sur la figure b) un

exemple de ligne focale incomplète est présenté (la ligne pointillée en rouge est la partie couper de la ligne focale).

4.3 Ajout d’une courbure à la dernière surface

Nous avons vu qu’il est possible de produire un faisceau Bessel en ajoutant une lentille,

maintenant nous allons explorer une autre possibilité soit de remplacer la lentille par une courbure à

la dernière surface du GLA (Figure 28). Cette méthode est particulièrement intéressante, car elle

permet de n’avoir aucune pièce mobile. Cependant, cette méthode est un peu plus complexe, on doit

donc se questionner sur la façon de faire, c'est-à-dire, où placer la courbure et quelle valeur le rayon

de courbure doit-il avoir (nous utilisons une courbure sphérique).

50

Figure 28 : Propagation des rayons (en rouge) dans le GLA avec une courbure à la dernière surface.

4.3.1 Position et valeur de la courbure

Nous allons commencer par déterminer la position de la courbure. Si on place la courbure à

la position de l’anneau focal, il ne sera pas possible d’avoir une courbure qui va collimer le faisceau

(le rayon de courbure devrait être de 0). Nous devons donc soit placer la courbure avant l’anneau ou

après l’anneau. Si la courbure est avant l’anneau, la courbure devra être concave tandis que s’il est

après, la courbure devra être convexe. Nous choisirons la courbure après l’anneau focal, car si on

utilisait le cas avant on aurait deux faisceaux collimés qui s’éloignent sans ce croisé (donc pas de

faisceau Bessel).

Nous devons aussi déterminer la valeur du rayon de courbure en fonction de la position de

la courbure. Pour produire un faisceau Bessel, le faisceau à la sortie doit être collimé, alors pour

cela, la focale produite par la courbure doit être égale au rayon de courbure du faisceau à l’interface.

La position de la focale du dioptre peut se trouver avec la formule suivante39 :

f =

𝑅𝑛2𝑛2 − 𝑛1(𝑟)

(4.19)

où R est le rayon de courbure de la surface, n1 est l’indice de réfraction dans le GLA et n2 est celui à

l’extérieur. La valeur de n1 dépend de la position radiale, mais la variation d’indice de réfraction est

en général faible (moins de 2%) de sorte que n1 peut être approximé comme constant.

Pour ce qui est du rayon de courbure du faisceau à l’interface, il n’est pas situé à l’anneau focal, car

le faisceau dans le milieu ne se propage pas en ligne droite. On doit donc trouve une façon d’avoir

le rayon de courbure du faisceau à l’interface. Pour cela, on pose que, dans la Figure 29,

l’hypoténuse du triangle est tangentielle à un rayon situé à une position (z, r) (r étant la position

14:46:36

GrinAxicon Scale: 22.00 01-Jun-16

1.14 MM

51

radiale et z la distance axiale par rapport à la position de l’anneau). À cette position le rayon de

courbure du faisceau sur la figure peut être représenté par ρ. Par trigonométrie on trouve :

𝜌 =𝑟

𝑡𝑎𝑛𝜃 . (4.20)

Figure 29 : Figure représentant les différents paramètres utilisés pour trouver le rayon de courbure (ρ) des

rayons se propageant dans le GLA (en rouge) pour une position (z).

Nous devons donc trouver un moyen d’exprimer r et θ en fonction de z. La valeur r(z) peut être

trouvée à l’aide de l’équation (2.74):

𝑟(𝑧) =

1

αsinh−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧)). (4.21)

Le terme tanθ dans l’équation (4.20) est simplement la pente du rayon. On a donc :

tan 𝜃 =

𝑑𝑟

𝑑𝑧=

tan 𝛾0 cos(α𝑧)

√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))2 + 1

. (4.22)

Le rayon de courbure du faisceau est donc :

𝜌 =

1α sinh

−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧))

(tan 𝛾0 cos(α𝑧)

√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))2 + 1

)

. (4.23)

Puisque la focale produite par la courbure (4.19) doit être égale à la position du rayon de courbure

du faisceau (4.23), il est possible de trouver la valeur du rayon de courbure R(z) en posant que les

deux équations soient égale :

1α sinh

−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧))

(tan 𝛾0 cos(α𝑧)

√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))2 + 1

)

=𝑅𝑛2

𝑛2 − 𝑛1 . (4.24)

On isole R pour trouver :

ρ

52

𝑅(𝑧) =

1αsinh−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧))√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))

2 + 1

tan 𝛾0 cos(α𝑧)

(𝑛2 − 𝑛1)

𝑛2.

(4.25)

Cette formule est un peu problématique, car elle dépend de l’angle 𝛾0, cependant il est possible de

la simplifier. Pour cela, commençons par démontrer que, dans notre cas, la valeur de tan 𝛾0 est

faible. Pour montrer que tan𝛾0 est faible, nous partons de l’équation (2.74) :

sinh(α(𝑟 − 𝑎0)) = tan 𝛾0 sin(α𝑧). (4.26)

On trouve donc que :

tan 𝛾0 =

sinh(α(𝑟 − 𝑎0))

sin(α𝑧) . (4.27)

La valeur maximale de tan 𝛾0 est pour le rayon extérieur, à la position où les rayons sont collimés,

donc le rayon sera à 𝑟 = 2𝑎0 et la valeur du sinus sera maximale (sin(α𝑧) = 1), on a alors :

tan 𝛾0𝑚𝑎𝑥 = sinh(α𝑎0) (4.28)

et avec l’équation (2.85) :

tan 𝛾0𝑚𝑎𝑥 = sinh (sech

−1 (1 −∆𝑛

𝑛0)). (4.29)

Si l’on prend comme exemple n=1,48 et Δn=0,1 (ce qui est beaucoup pour Δn) la valeur maximale

de tan 𝛾0 est de 0,38, mais en réalité elle devrait rarement dépasser 0,2. Avec cela, on peut

simplifier l’équation (4.25) puisque sinh−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧)) ≅ tan 𝛾0 sin(α𝑧) et

√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))2 + 1 ≅ 1 d’où :

𝑅(𝑧) ≅

1α tan 𝛾0 sin

(α𝑧)

tan 𝛾0 cos(α𝑧)

(𝑛2 − 𝑛1)

𝑛2=1

αtan(α𝑧)

(𝑛2 − 𝑛1)

𝑛2.

(4.30)

On trouve donc une formule simple pour le rayon de courbure qui permet de produire un faisceau

Bessel. Si l’on se situe dans l’air, la formule est encore plus simple

𝑅(𝑧) ≅

1

αtan(α𝑧) (1 − 𝑛). (4.31)

On peut donc déterminer la valeur du rayon de courbure avec l’équation (4.30). Cependant, celle-ci

est en fonction de z, on doit donc choisir de façon aléatoire la valeur de z pour trouver R. Il faut

donc trouver une façon de déterminer l’angle de sortie en fonction de R ou z.

53

4.3.2 Angle de sortie

Nous avons trouvé l’équation qui permet de trouver le rayon de courbure adéquat en

fonction de la distance z, mais nous n’avons pas encore parlé de l’angle de sortie des rayons. Cela

est important, car c’est une des caractéristiques principales de l’axicon. Habituellement, les valeurs

de R ou z vont être choisies en fonction de l’angle voulu. Pour trouver l’angle, nous utilisons encore

le rayon qui se propage en ligne droite dans le GLA. Pour trouver l’angle de sortie 𝜃𝑠 nous

commençons par exprimer celui-ci en fonction de 𝜃1et 𝜃2 (voir Figure 30):

𝜃𝑠 = 𝜃2 − 𝜃1 . (4.32)

Avec un peu de trigonométrie, on trouve que :

𝜃1 = tan

−1 (𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02)

(4.33)

et que :

𝜃2 = sin

−1 (𝑛1 sin𝜃1𝑛2

). (4.34)

Alors la valeur de l’angle de sortie est :

𝜃𝑠 = sin

−1

(

𝑛1 sin (tan

−1 (𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02))

𝑛2

)

− tan−1 (

𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02) ≅

𝑎0𝑅(𝑛1𝑛2− 1).

(4.35)

On peut inverser l’équation (4.35) pour obtenir :

𝑅 = √(𝑎0 (

𝑛1𝑛2− cos 𝜃𝑠)

sin 𝜃𝑠)

2

+ 𝑎02 .

(4.36)

À l’aide de ces formules, il est possible de déterminer quel rayon de courbure et quelle doit être la

longueur pour obtenir un angle voulu, mais maintenant il faut le comparer avec l’axicon conique

pour avoir un point de comparaison. Pour cela, nous allons faire comme pour le cas avec la lentille,

soit comparer avec l’angle γ et le diamètre D de la lentille conique.

54

Figure 30 : Figure du GLA avec un rayon de courbure où les paramètres pour trouver l’angle de sortie sont représentés.

4.3.3 Angle

Nous avons déjà trouvé l’angle de sortie 𝜃𝑠 (4.35) il suffit donc de remplacer l’angle dans

l’équation (4.1) pour obtenir l’angle γ:

γ = sin−1

(

sin

(

sin−1

(

𝑛1 sin(tan

−1 (𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02))

𝑛2

)

− tan−1 (

𝑎0√𝑅2 − 𝑎0

2)

)

𝑛 − 1

)

≅

𝑎0𝑅 (𝑛1𝑛2− 1)

𝑛 − 1 .

(4.37)

On peut aussi exprimer en fonction de 𝜃𝑠 en utilisant l’équation (4.36) :

55

γ = sin−1

(

sin

(

sin−1

(

n1 sin(tan

−1 (sin θs

n1n2− cos θs

))

n2

)

− tan−1 (sin θs

n1n2− cos θs

)

)

n − 1

)

≅sin θs (

n1n2− 1)

(n1n2− cos θs) (n − 1)

.

(4.38)

4.3.4 Diamètre

Pour trouver le diamètre équivalent, c’est le même principe que pour l’angle, nous partons

de l’équation (4.5) :

𝐿 =

𝐷

2(1 − sinγ sin𝛽). (4.39)

On remplace γ et β par leurs valeurs, on trouve :

𝐿 =𝐷

2

(

1 −

sin2

(

sin−1

(

𝑛1 sin (tan

−1 (𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02))

𝑛2

)

− tan−1 (

𝑎0√𝑅2 − 𝑎0

2)

)

𝑛 − 1

)

≅𝐷

2

(

1 −

(𝑎0𝑅(𝑛1𝑛2− 1))

2

𝑛 − 1

)

.

(4.40)

Nous cherchons la valeur D, il est facile de la trouver avec l’équation (4.40), mais elle dépend de L

qui est inconnu. La valeur de L peut être trouvé de façon exacte avec l’équation de propagation des

rayons, mais si le rayon de courbure est grand on peut tout simplement l’approximer comme suis:

𝐿 ≅ 2𝑎0 (4.41)

Donc :

56

𝐷 ≅4𝑎0

(

1 −

sin2

(

sin−1

(

𝑛1 sin (tan

−1 (𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02))

𝑛2

)

− tan−1 (

𝑎0

√𝑅2 − 𝑎02)

)

𝑛 − 1

)

≅4𝑎0

(

1 −

(𝑎0𝑅(𝑛1𝑛2− 1))

2

𝑛 − 1

)

≅ 4𝑎0 .

(4.42)

4.4 Autres cas

Il existe plusieurs autres cas, par exemple il est possible de remplacer la lentille par une

lentille à gradient d’indice de réfraction (Figure 31a) ou de placer un dioptre après le GLA (Figure

31b). On pourrait également utiliser un point source au lieu d’une onde plane à l’entrée. Cependant,

nous n’élaborerons pas sur tous ces cas, les deux cas que nous avons élaborés semblent les plus

prometteurs et les plus réalistes.

a)

b)

Figure 31 : GLA avec une GRIN lens (figure a) et GLA avec un dioptre (figure b)

11:51:35

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 12.00 31-Aug-16

2.08 MM

11:37:09

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 15.00 01-Dec-17

1.67 MM

57

4.5 Utilisation du GLA dans un liquide

Nous allons analyser l’effet que peut avoir l’utilisation du GLA dans un liquide sur sa

capacité à produire un faisceau Bessel. Comme un liquide change l’indice de réfraction, il va

changer l’allure du faisceau. Il est possible de concevoir un GLA pour un liquide en particulier,

mais dans certains cas il est nécessaire que l’on puisse passer d’un milieu à l’autre en ayant toujours

un faisceau Bessel à la sortie.

Commençons par analyser la GLA avec un rayon de courbure comme sur la Figure 32. Les

équations pour cette lentille sont (4.19) et (4.23):

f =

𝑅𝑛2𝑛2 − 𝑛1

(4.43)

et

𝜌 =

1α sinh

−1(tan 𝛾0 sin(α𝑧))

(tan 𝛾0 cos(α𝑧)

√(tan 𝛾0 sin(α𝑧))2 + 1

)

. (4.44)

On constate que si la valeur de n1 augmente (l’indice de réfraction à l’extérieur de la lentille), le

rayon de courbure nécessaire pour collimer le faisceau diminue. Dans la Figure 32 a) et b) la même

lentille est illustrée dans l’air et dans l’eau. Dans la Figure 32 b il est clair que le faisceau de sortie

n’est plus collimé. Il est toutefois possible de compenser cela soit en diminuant le rayon de

courbure ou en augmentant z. Puisque le rayon de courbure est déjà petit nous avons plutôt

augmenté la distance z pour compenser (Figure 33). En augmentent z, on diminue l’angle de sortie,

cela a pour effet d’augmenter la longueur de la ligne focale, ce qui entraine une diminution de

l’intensité et une augmentation de la largeur de la ligne focale. Il est donc peu pratique d’utiliser ce

type d’axicon si l’on a l’intention de l’utiliser dans plusieurs matériaux avec des indices de

réfractions différentes, car elle produit un faisceau Bessel seulement aux environs d’un indice de

réfraction choisi. Si l’indice de réfraction change trop, elle perd complètement sa capacité à

produire un faisceau Bessel. L’utilisation de cet axicon uniquement dans un milieu liquide est aussi

plus complexe, car l’augmentation de l’indice de réfraction du milieu diminue la liberté sur la

longueur focale ce qui influence également sur l’intensité et la largeur du faisceau Bessel. On

observe le même phénomène si l’on utilise le GLA avec une lentille.

58

a)

b) Figure 32 : La figure a) est un GLA dans l’air qui est ajusté pour produire un faisceau Bessel, la figure b) est le même,

mais dans l’eau.

Figure 33 : GLA semblable à la Figure 32, mais plus longue, la longueur a été ajustée pour permettre au faisceau de sortir

collimé dans l’eau.

Un type particulièrement intéressant dans ce cas est lorsque la lentille utilisée est une

lentille à gradient d’indice (Figure 34). La puissance de la GRIN lens ne varie pas avec l’indice du

milieu qui l’entoure puisque la focalisation n’est pas produite par les rayons de courbure. Donc si la

lentille produit un faisceau Bessel dans l’air elle produira également un faisceau Bessel dans

n’importe quel autre milieu, mais la longueur de la ligne focale va être changée. L’effet du

changement de milieu est illustré dans les Figure 34 a et b.

a)

b) Figure 34 : La figure a) est un GLA avec une GRIN lens dans l’aire et la figure b) est la même lentille dans l’eau.

10:14:19

GrinAxicon Scale: 19.00 22-Aug-16

1.32 MM

10:14:52

GrinAxicon Scale: 19.00 22-Aug-16

1.32 MM

10:15:59

GrinAxicon Scale: 17.00 22-Aug-16

1.47 MM

11:51:35

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 12.00 31-Aug-16

2.08 MM

11:57:24

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 12.00 31-Aug-16

2.08 MM

59

Il est également possible d’ajouter un écran afin de conserver une couche d’air comme sur

la Figure 35. Cela permet d’éviter que la puissance de la lentille change avec la présence d’un

liquide. Cette méthode peut être adaptée à tous les types de GLA, mais elle implique l’ajout de

pièces ce qui peut être un inconvénient.

Il est donc possible de produire un GLA qui peut passer d’un milieu à un autre sans trop de

difficultés, il faut simplement ajuster la conception en conséquence.

Figure 35 : La première partie de la lentille est la même lentille que la figure 32 a suivie d’une couche d’air, d’un écran

pour conserver la couche d’air et se termine dans l’eau.

4.6 Utilisation pour fibre optique

Nous avons déjà fait remarquer que le GLA est particulièrement bien adapté pour les fibres

optiques. Nous avons aussi déterminé que la meilleure façon de la fabriquer serait probablement par

MCVD. Un axicon comme sur la Figure 28 est très pratique, mais ne pourrait pas nécessairement

être utilisé directement sur une fibre optique. Pour que cet axicon fonctionne il faut une onde

d’entrée plane, or si la fibre est monomode, il faudrait que l’axicon soit plus petit que le cœur de la

fibre pour que l’onde qui rentre dans l’axicon soit considéré plane. Dans ce cas, la propagation de

rayon ne serait plus correcte, ce serait plutôt des modes qui se propageraient dans l’axicon, il n’y

aurait donc pas de faisceau Bessel de produits. On pourrait résoudre ce problème soit en utilisant

une fibre plus grosse et avoir une onde d’entrée ponctuelle comme sur la Figure 23 b).

On pourrait aussi utiliser une lentille à gradient d’indice de réfraction pour transformer le point

source en onde plane comme sur la Figure 36. Cette solution comporte un élément de plus que la

première, mais elle est quand même plus avantageuse, car elle est plus simple. Pour la première

solution comme le faisceau d’entré dans l’axicon est ponctuel le moindre défaut dans la partie

centrale de l’axicon (qui est la partie la plus dure à faire) ou bien un mauvais alignement pourrait

détériorer grandement la qualité du faisceau Bessel. Dans la deuxième solution, le point source

15:41:35

GrinAxicon Scale: 19.00 30-Aug-16

1.32 MM

60

passe par la lentille à gradient d’indice de réfraction qui est beaucoup moins sensible (le point

source arrive au centre de la lentille où le l’indice de réfraction ne varie presque pas).Il est donc

possible de concevoir un axicon qui irait directement sur une fibre optique (même monomode) et en

plus comme on le voit sur la Figure 36 il serait possible de la faire pour qu’il soit de même diamètre

que la gaine de la fibre optique.

Figure 36 : Schéma d’un axicon pour fibre optique fabriqué avec le GLA.

4.7 Aberration chromatique

Le GLA pourrait avoir à être utilisé avec plusieurs longueurs d’onde, par exemple on

pourrait vouloir l’utiliser avec les raies C, d et F séparément, et vouloir des résultats similaires pour

les trois. Il est alors important d’analyser l’aberration chromatique de cet axicon.

Pour avoir une idée de l’aberration chromatique, commençons par regarder le cas d’une

lentille à gradient d’indice qui focalise un faisceau collimé (Figure 37). Dans ce cas, les rayons vont

être focalisés à une distance P=π/2α. L’aberration chromatique est produite par la variation de la

valeur α puisque celle-ci varie en fonction de la longueur d’onde comme suit (équation (2.85)):

𝛼(𝜆) =sech−1 (1 −

𝑛1(𝜆) − 𝑛0(𝜆)𝑛1(𝜆)

)

𝑟0.

Pour avoir une idée plus spécifique de l’aberration chromatique produite dans notre cas,

nous allons regarder l’aberration chromatique d’une lentille à gradient d’indice de réfraction

produite par MCVD. Pour cela, on suppose que la lentille est composée de verre de quartz (fused

silica) (SiO2) et d’un verre de germanium (GeO2), qui sont les matériaux habituels pour le MCVD.

On choisit une variation maximale d’indice de réfraction de 0.03. Dans ce cas, on trouve que la

variation de position entre la longueur d’onde F (486,2µm) et C (656,3µm) est d’environ 2% de la

longueur de la lentille à gradient d’indice de réfraction (Figure 37).

61

Figure 37 : Propagation de rayons des raies C (rouge), d (vert) et F (bleu) dans une lentille à gradient d’indice de

réfraction.

On veut maintenant analyser un cas où nous avons un GLA. Nous allons utiliser le GLA

pour produire un faisceau Bessel puis nous allons calculer la longueur de la ligne focale pour les

raies C, d et F ce qui nous donnera une idée de l’aberration chromatique. Pour cela, on utilise le

GLA avec un rayon de courbure (Figure 38). On voit sur la Figure 38 qu’il y a bien une variation de

la longueur de la ligne focale, on utilise la longueur de la partie ou les rayons ce croise comme

longueur de la ligne focale, les dimensions sont résumées dans le Tableau 2. Plus la longueur

d’onde est courte, plus les rayons vont sortir avec un grand angle ce qui va diminuer la longueur du

faisceau, mais aussi sont diamètre, on peut d’ailleurs le constater dans la Figure 39 et dans les

données du Tableau 2. On voit sur la Figure 39 que la ligne focale reste similaire. Le profil

d’intensité des faisceaux Bessel produit pour chaque cas est représenté dans la Figure 40.

Longueur d’onde C (656,3μm) d (587.6μm) F (486.1μm)

Longueur de la ligne

focale

4,13mm 3.96mm 3.68mm

Diamètre 0.0013 mm 0.0012mm 0.0010mm

Tableau 2 : Dimension des lignes focales produites par les trois longueurs d’onde analysées.

62

C

d

F

Figure 38 : Propagation de rayon dans le GLA pour les raies C, d et F.

C F

Figure 39 : Comparaison de la ligne focale produite par la raie C et F (en intensité).

21:48:18

GrinAxicon Scale: 16.00 10-Jul-18

1.56 MM

21:44:05

GrinAxicon Scale: 16.00 10-Jul-18

1.56 MM

21:39:37

GrinAxicon Scale: 16.00 10-Jul-18

1.56 MM

63

Figure 40 : Comparaison des profils d’intensité du faisceau Bessel produit par les 3 raies.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

F

C

d

64

5 Chapitre 5 : Simulation numérique avec CODE V

Comme nous l’avons vue dans le chapitre précédent, il existe de nombreuses configurations

pour produire un faisceau Bessel avec le profil d’indice de réfraction trouvé. Chaque configuration

produira un faisceau Bessel légèrement différent qui va dépendre de toute sorte de facteurs. Nous

devrons donc trouver une façon de comparer la qualité des faisceaux. Pour cela, nous allons utiliser

les équations qui ont été trouvées dans le chapitre précédent pour permettre de construire des

axicons de différents types qui sont équivalents. Nous allons alors pouvoir comparer les

performances des GLA avec celles de la lentille conique.

5.1 Méthodologie

Les cas étudiés seront ceux du GLA avec une lentille, du GLA avec un rayon de courbure à

la dernière surface et le cas de la lentille conique qui servira de point de comparaison. Pour

comparer, nous utiliserons des simulations numériques afin de caractériser les performances des

différents cas. Pour faire les simulations, nous utiliserons le logiciel CODE V37. Le logiciel CODE

V est un logiciel de conception optique qui comprend une partie appelée BSP (beam synthesis

propagation) que nous utiliserons pour faire les simulations. Le BSP tient en compte la diffraction et

l’interférence des faisceaux, nous pourrons donc obtenir le faisceau Bessel produit par les axicons.

Le programme permet d’obtenir le profil d’intensité à un plan z voulu, mais il ne permet pas de le

faire le long de l’axe z. Nous avons donc créé une macro commande qui permet de faire plusieurs

mesures pour différents plans z et de les compiler pour produire un graphique avec l’intensité pour

un plan situé sur l’axe de symétrie (comme sur la Figure 42b). Nous pourrons donc voir l’allure du

faisceau Bessel le long de l’axe. Grâce à cela, nous allons pouvoir comparer les simulations pour

voir la qualité des faisceaux Bessel produits pour les trois cas étudiés.

La lentille conique sera le premier cas étudié et servira de référence. Les paramètres choisis

pour caractériser l’axicon sont les mêmes que dans la section précédente soit l’angle α, le diamètre

D et l’indice de réfraction n. La lentille conique choisie est représentée à la Figure 42a, les valeurs

des paramètres sont : γ =50, D=2.4mm et n=1.45. Les valeurs ont été choisies afin de représenter un

type d’axicon qui pourrait être remplacé par le GLA. La simulation sera faite avec une onde plane et

avec une onde gaussienne. Pour l’onde gaussienne, la forme de celle-ci est choisie de telle sorte que

la valeur d’intensité sur l’ouverture soit de 1/e2 (donc le diamètre en 1/e2 du faisceau gaussien va

65

être égal au diamètre de l’ouverture). La longueur d’onde sera la même pour tous les cas soit

500 nm.

Pour analyser la qualité des faisceaux, nous pouvons calculer le profil d’intensité radial et

faire un ajustement de courbe (‘’curve fitting’’) avec une fonction Bessel. Cela a été fait et les 3

types d’axicons produisent un excellent ajustement avec une fonction Bessel, à tel point qu’il est

difficile d’en retirer de l’information (voir la Figure 41). Nous n’utiliserons donc pas cette méthode

pour la comparaison. Puisque les trois méthodes produisent bien un faisceau Bessel, pour comparer

les performances, nous utiliserons la valeur de l’intensité axiale afin de trouver la longueur du

faisceau ainsi que l’intensité radiale qui permettra de trouver le diamètre du faisceau.

Figure 41 : Exemple d’ajustement de courbe pour le cas du GLA avec rayon de courbure.

5.2 La lentille conique

Nous commencerons donc par présenter les simulations de la lentille conique qui servira de

point de comparaison. La lentille conique utilisée est représentée dans la Figure 42a, les lignes

noires sont les contours de l’axicon et les lignes rouges sont les trajectoires des rayons. Avec le

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

-0.05 -0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05

Intensité

Distance radiale (mm)

Valeurs de la simulation

Ajustement de courbe

66

logiciel codeV, nous avons produit la Figure 42b qui représente l’intensité en 2D le long de l’axe de

propagation. L’intensité est calculée directement à la sortie de l’axicon sur une longueur de 30 mm

et sur une largeur de 100μm, la même chose sera faite pour tous les cas afin de faciliter la

comparaison (et comme les autres axicons sont faits pour produire l’équivalent de cet axicon les

donné seront du même ordre de grandeur). Pour chaque cas, le profil d’intensité axial et le diamètre

du faisceau seront tracés. Les valeurs d’intensité sont normalisées. La valeur du diamètre du

faisceau Bessel est déterminée à partir de la valeur de l’intensité qui est ½ de la valeur maximale.

Dans ce cas-ci, on voit que le profil d’intensité axial est bien ce dont on s’attend pour une

lentille conique (Figure 42c). Dans la Figure 42d on voit que le diamètre reste constant pour la

partie centrale du faisceau soit un diamètre de 5.7μm. Le diamètre du faisceau reste le même, peu

importe si le faisceau est une onde plane ou gaussienne donc le graphique de la Figure 42d est fait

une seule fois.

Dans la Figure 43 on voit le profil d’intensité pour le cas où l’onde d’entrée est gaussienne.

On remarque que la distribution de l’intensité est plus élevée à la fin du faisceau lorsque l’onde est

une onde plane et uniforme (cela équivaut à une gaussienne de grande dimension) et que plus la

dimension de la gaussienne est petit plus le maximum d’intensité ce déplacé vers le début.

a) b)

10:52:36

Lentille Conique Scale: 20.00 28-Apr-17

1.25 MM

67

c) d)

Figure 42 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée plane et uniforme. La figure a) est la lentille telle que vue

dans codeV. La figure b) représente l’intensité en 2D le long de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de propagation

(l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au centre de l’axe). La figure c) représente l’intensité sur l’axe z.

La figure d) est le diamètre du faisceau en fonction de la distance z.

a) b)

Figure 43 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée gaussienne. La figure a) représente l’intensité en 2D le long

de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de propagation (l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au

centre de l’axe). La figure b) représente l’intensité sur l’axe z.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

55.25.45.65.8

66.26.4

0 10 20 30

Diamètre à 1/2 hauteur

(μm)

distance axiale (mm)

Diamètre du faisceau à mi hauteur

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

68

5.3 GLA avec lentille

Pour ce cas-ci, une lentille est placée au bout du GLA pour former un faisceau Bessel (Figure

44a). La lentille utilisée est une lentille parfaite et est représentée par une ligne. Dans ce cas-ci, la

méthode ne permet pas d’avoir la totalité du faisceau Bessel (Figure 44b et Figure 44c), c’est l’un

des principaux désavantages de cette méthode. Dans certains cas, il est possible d’avoir la totalité

du faisceau, mais pour cela il faut un axicon avec un grand angle α et la plupart du temps ce n’est

pas le cas. Cependant, pour un même cas le diamètre de la lentille peut être plus petit que celui de la

lentille conique, d’ailleurs le diamètre de la lentille dans la Figure 44a est le même que celui de la

lentille conique et l’on voit qu’il pourrait être diminué de moitié.

Une des caractéristiques intéressantes est que plus la gaussienne est petite, plus le maximum

d’intensité va se déplacer vers la fin du faisceau Figure 45. Alors, cela donne la possibilité d’avoir

un faisceau Bessel plus intense à la fin, tout en permettant d’utiliser presque toute la puissance.

Comme nous l’avons vue cela n’est pas le cas pour la lentille conique qui, pour avoir une intensité

plus élevée à la fin, doit avoir un faisceau d’entré presque plat donc une gaussienne large, ce qui

implique la perte d’une grande partie de l’énergie. La possibilité d’avoir plus d’intensité à la fin

peut être pratique pour certaines applications où l’on veut mesurer en profondeur avec le faisceau

Bessel, car si le milieu est absorbant on peut quand même avoir une quantité de lumière équivalente

tout le long du faisceau (la partie plus profonde du faisceau aura une plus grande partie absorbée,

mais cela est compensé par une plus grande quantité de photons).

Pour ce qui est du diamètre du faisceau, il varie en fonction de la position. Cependant, pour

l’intervalle ou le faisceau Bessel se situe, le diamètre ne varie pas beaucoup et il est plus petit que

celui de la lentille conique, sa valeur moyenne sur cet intervalle est de 4.2μm.

69

a) b)

c) d)

Figure 44 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée plane et uniforme. La figure a) est la lentille telle que vue

dans CODE V. La figure b) représente l’intensité en 2D le long de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de

propagation (l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au centre de l’axe). La figure c) représente l’intensité

sur l’axe z. La figure d) est le diamètre du faisceau en fonction de la distance z.

10:50:44

GRIN avec lentille Scale: 20.00 28-Apr-17

1.25 MM

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

4

6

8

10

12

0 10 20 30

Diamètre à 1/2 hauteur

(μm)

distance axiale (mm)

Diamètre du faisceau à mi hauteur

70

a) b)

Figure 45 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée gaussienne. La figure a) représente l’intensité en 2D le long

de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de propagation (l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au

centre de l’axe). La figure b) représente l’intensité sur l’axe z.

5.4 GLA avec rayon de courbure

Dans ce cas si on a utilisé un rayon de courbure à la fin du GLA pour remplacer la lentille

(Figure 46a). Le remplacement de la lentille par un rayon de courbure permet d’assurer que, les

rayons se croisent seulement après l’axicon, donc le faisceau Bessel devrait être complet (Figure

46b). Le diamètre de cet axicon est le même que celui de la lentille conique.

Comme le cas précédent, plus la dimension de la gaussienne est petite, plus le maximum

d’intensité va se déplacer vers l’arrière. Sa valeur moyenne est de 4.3μm pour l’onde plane et de

4.5μm pour l’onde gaussienne. Également, le diamètre du faisceau Bessel varie en fonction de la

position, mais pour l’intervalle où le faisceau Bessel se situe, le diamètre est plus petit que celui de

la lentille conique.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

71

a) b)

c) d)

Figure 46 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée plane et uniforme. La figure a) est la lentille telle que vue

dans codeV. La figure b) représente l’intensité en 2D le long de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de propagation

(l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au centre de l’axe). La figure c) représente l’intensité sur l’axe z.

La figure d) est le diamètre du faisceau en fonction de la distance z.

15:21:52

GRIN avec rayon de courbure Scale: 10.00 03-May-17

2.50 MM

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

0 10 20 30

Diamètre à 1/2 hauteur

(μm)

distance axiale (mm)

Diamètre du faisceau à mi hauteur

72

a) b)

Figure 47 : Les graphiques sont faits avec une onde d’entrée gaussienne. La figure a) représente l’intensité en 2D le long

de l’axe de propagation, l’axe du bas est l’axe de propagation (l’axe z) et l’axe de côté est la distance radiale (le 0 est au

centre de l’axe). La figure b) représente l’intensité sur l’axe z.

5.5 Analyse des résultats

Après analyse des résultats, on en conclut que le GLA avec un rayon de courbure semble la

meilleure des solutions. Premièrement, il a le même diamètre que la lentille conique (voir Figure 48

pour la comparaison des dimensions des 3 lentilles), il est environ de la même longueur de ligne

focale (voir Tableau 3), et il a l’avantage de produire un pique d’intensité plus élevé vers la fin du

faisceau lorsque le faisceau d’entré est gaussien. Également, il ne comporte pas de pièces mobiles

contrairement au cas avec la lentille et comme pour le cas avec la lentille, le diamètre du faisceau

Bessel est plus petit que celui de la lentille conique (voir Figure 49).

Le fait d’avoir un diamètre plus petit pour une ligne focale de même longueur et une lentille

de mêmes diamètres semble étrange à première vue. On pourrait penser que les rayons sortent à un

angle plus prononcé puisque les calculs pour les valeurs de la lentille sont des approximations. En

fait, selon le tracé de rayon, les rayons centraux ont un angle plus prononcé que ceux de la lentille

conique et les rayons extérieurs le sont moins, mais la majorité des rayons ont un angle plus élevé.

Cela expliquerait que le diamètre du faisceau soit plus petit, cependant on pourrait s’attendre à ce

que la longueur du faisceau Bessel soit plus petite, mais ce n’est pas le cas. Une hypothèse serait

que l’équation pour le diamètre équivalent soit à l’origine de cela. Les deux lentilles ont le même

diamètre, mais l’équation exacte prévoit un diamètre légèrement différent. Si le diamètre de la

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30

Inte

nsi

té

Distance (mm)

Intensité axiale

73

GRIN était trop grand, la ligne focale serait agrandie. Cependant, on peut vérifier que

l’approximation sous-évalue la valeur du diamètre de la GLA dans ce cas-ci, alors ce ne peut pas

être la cause.

L’allongement de la focale pourrait s’expliquer par l’aberration, les faisceaux sont peut-être

légèrement divergents à cause de l’aberration ce qui allongerait la ligne focale. En vérifiant, on

s’aperçoit que le faisceau de sorties est effectivement légèrement divergent. La distribution de

l’énergie pourrait aussi être la cause, car la longueur de la ligne focale dépend aussi de la

distribution de l’intensité, alors possiblement qu’une meilleure distribution de l’intensité pourrait

allonger le faisceau. Une meilleure distribution d’intensité semble plausible comme explication

puisque le type d’axicon utilisé est complètement différent de la lentille conique. Le GLA inverse

en quelque sorte le faisceau ou du moins lui fait une transformation additionnelle de sorte que le

profil d’intensité sur le rayon de courbure n’est plus gaussien ce qui explique la différence de la

distribution d’intensité entre les méthodes.

On conclut donc que, malgré les aberrations, le GLA avec un rayon de courbure peut, selon

les simulations, produire un faisceau Bessel de meilleure qualité. Cela est dû entre autres à sa

capacité à mieux distribuer l’énergie ce qui permet d’avoir un faisceau plus mince pour une même

longueur. Le seul désavantage par rapport à une lentille conique semble la non-uniformité du

diamètre du faisceau, la variation dans ce cas-ci était d’environ 13%.

Types d’axicons Types d’ondes

d’entrées

Longueur

à ½

Longueur

à 1/e2

Diamètre

moyen à ½

Variation

du diamètre

à ½

Lentille conique Onde plane 13.8 mm 25.7 mm 5.7 μm ~0

Onde gaussienne 12.3 mm 19.8 mm 5.7 μm ~0

GRIN avec

lentille

Onde plane 6.9 mm 12.5 mm 4.2 μm 0.11μm

Onde gaussienne 7.6 mm 11.2 mm 4.2 μm 0.16 μm

GRIN avec rayon

de courbure

Onde plane 15.3 mm 24.1 mm 4.3 μm 0.14 μm

Onde gaussienne 14.7 mm 23.8 mm 4.5 μm 0.58 μm

Tableau 3 : Résumé des dimensions du faisceau Bessel produit par les 3 axicons, soit la longueur du faisceau Bessel à ½

hauteur et à 1/e2 hauteur, le diamètre moyen à ½ hauteur du faisceau Bessel (à ½ hauteur) et la variation du diamètre.

74

a) b)

c)

Figure 48 : Le schéma dans codeV des 3 cas sur une même échelle de grandeur.

10:52:36

Lentille Conique Scale: 20.00 28-Apr-17

1.25 MM

10:50:44

GRIN avec lentille Scale: 20.00 28-Apr-17

1.25 MM

15:21:19

GRIN avec rayon de courbure Scale: 20.00 03-May-17

1.25 MM

75

Figure 49 : Comparaison des diamètres des faisceaux à mi-hauteur pour les 3 cas.

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

0 5 10 15 20 25 30

Dia

mè

tre

à m

i hau

teu

r (μ

m)

Distance axiale (mm)

Diamètre du faisceau à mi-hauteur

Lentille conique

GRIN avec lentille

GRIN avec rayon decourbure

Lentille conique

GLA avec lentille

GLA avec rayon de courbure

76

6 Chapitre 6 : Résultats expérimentaux

Nous avons vu dans les chapitres 2 et 3 que le GLA fonctionne du point de vue

mathématique. Dans le chapitre 5, nous avons vu qu’il fonctionne aussi dans les simulations.

Maintenant, l’étape finale est de le tester expérimentalement. Pour cela, nous voulons concevoir un

test qui permet de démontrer que le GLA fonctionne, mais aussi avoir une idée de la robustesse de

la méthode. En effet, lorsqu’on utilise le GLA pour faire un faisceau Bessel par exemple, il est

possible que le système soit très sensible, donc une petite erreur pourrait avoir des conséquences

importantes sur la qualité du faisceau produit. Nous voulons donc prouver que l’axicon est

réalisable et avoir une idée de sa robustesse.

6.1 Fabrication du GLA

Pour tester le GLA, nous allons l’utiliser pour produire un faisceau Bessel et nous évaluerons

la qualité du faisceau Bessel produit. La façon la plus simple de procéder est d’utiliser un GLA puis

de la jumeler à une lentille pour produire un faisceau Bessel comme dans la Figure 24 a). Nous

utiliserons cette méthode pour évaluer les performances du GLA.

Le principal défi du test expérimental est la fabrication de la partie avec un gradient

d’indice de réfraction. Il existe plusieurs façons de fabriquer une GRIN, mais une des manières qui

semble la plus appropriée pour notre cas est la méthode par MCVD (modified chemical vapor

deposition) et c’est aussi celle qui nous est le plus facilement accessible (car on a les équipements et

l’expertise pour faire cela à l’Université Laval). Pour obtenir un GLA, il suffit de fabriquer une

préforme avec l’indice de réfraction voulue et de l’étirer pour obtenir la dimension voulue.

Cependant, pour obtenir le profil voulu, plusieurs préformes doivent être fabriquées avant d’obtenir

de bons résultats et chaque préforme coute cher. Nous avons donc fait des recherches et nous avons

trouvé une préforme dont le profil d’indice de réfraction est approximativement celui que l’on veut.

Le profil d’indice de réfraction de cette préforme est représenté sur la Figure 50. On note au centre

du profil d’indice de réfraction une dépression, cela est dû à la méthode de fabrication. Cela est

typique de la méthode MCVD, parfois cela est un défaut, mais pour nous c’est un avantage, car

cette méthode peut facilement produire le pique central ce qui ne serait pas le cas pour la méthode

d’échange d’ions ‘’ion exchange’’ souvent utilisé pour fabriquer les lentilles à gradient d’indice de

réfraction.

77

Figure 50 : Indice de réfraction de la préforme utilisée pour les tests expérimentaux.

Cette préforme sera utilisée ici comme test, le profil n’est pas tout à fait de la forme voulue,

mais cela va permettre de tester la robustesse de la méthode. Les résultats obtenus seront donc loin

d’être parfaits à cause de cette préforme, mais si les résultats sont bons malgré cela, nous pourrons

conclure que la méthode est robuste.

6.2 Dimension du GLA

Comme on le voit sur la Figure 50, la position de a0 (la position où l’indice de réfraction est

maximal donc la position de l’anneau) est d’environ 0,2mm. Pour ce qui est de la longueur de la

préforme, elle est 1,2mm. Pour la déterminer, nous avons utilisé les simulations, car la forme

particulière de ce profil fait que la formule (2.86) n’est plus tout à fait valable. Nous avons simulé la

propagation des rayons Figure 51 a), cependant à cause d’une erreur, elle est plus courte que voulu.

La longueur voulue est du double soit 2,4mm, mais comme on le voit sur les Figure 51 a) et b) cela

n’affecte pas trop la qualité de l’anneau produit.

1.46

1.47

1.48

1.49

1.5

1.51

1.52

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Ind

ice

de

ré

frac

tio

n

Distance radiale (mm)

78

a)

b)

Figure 51 : Tracé de rayon dans le GLA pour une longueur de 1,2mm (figure a) et pour 2,4mm (figure b).

6.3 Coupe de la préforme

La coupe de la préforme a été un peu problématique, car lorsqu’on coupe la préforme elle a

tendance à se fracturer. La fracture se produit au point où la variation d’indice de réfraction est

maximale. C’est d’ailleurs cela qui a causé l’erreur de la longueur, car initialement on croyait

qu’elle se fracturait à la jonction du cœur (qui se situe à environ 0.8mm), mais ce n’est pas le cas.

La Figure 52 est une image de la préforme qui a fracturé après la coupe. Cependant, le centre reste

intact donc nous avons pu l’utiliser quand même.

79

Figure 52 : Image prise au microscope de la préforme coupée (non polis), on y voit que le tour du cœur est fracturé, mais

le centre est intact.

6.4 Montage

Le montage utilisé est représenté sur la Figure 53, il est composé, de gauche à droite, d’un

laser He-Ne, d’un filtre spatial, d’un atténuateur, du GLA (la préforme), une lentille et une

caméra/détecteur. Le laser émet à une longueur d’onde de 632,8nm et le faisceau de sorties est filtré

par le filtre spatial pour s’assurer que le faisceau soit de bonne qualité. Le faisceau sort collimé du

filtre, passe par l’atténuateur (pour éviter qu’il fasse saturer le détecteur) puis est injecté dans le

GLA. Ensuite, le faisceau sortant du GLA passe par la lentille qui est placée à une distance focale

du GLA puis la caméra prend une image de l’intensité du faisceau produit.

Figure 53 : Photo du montage utilisé pour les tests expérimentaux, il est composé, de gauche à droite, d’un laser He-Ne,

d’un filtre spatial, d’un atténuateur, du GLA (la préforme), une lentille et une caméra/détecteur.

80

6.5 Prédiction théorique

Nous cherchons donc à montrer qu’un faisceau Bessel sera produit après la lentille et que le

faisceau Bessel a bien les dimensions prévues. Pour cela, nous allons devoir trouver la valeur de la

fonction Bessel. Comme nous l’avons vue au début, la fonction Bessel produite par une onde

conique est de la forme (1.1)(1.2) :

𝐸(𝑟, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑖𝑘∥𝑧𝐽0(𝑘⊥𝑟) (6.1)

𝐼(𝑟) = |𝐸(𝑟, 𝑧)|2 = |𝐴|2𝐽02(𝑘⊥𝑟). (6.2)

Donc, il suffit de trouver la valeur de 𝑘⊥ pour obtenir la forme théorique du faisceau Bessel (la

valeur de l’amplitude sera seulement ajustée pour correspondre à la valeur mesurée). La valeur de

𝑘⊥ peut s’écrire 𝑘⊥ = 𝑘𝑠𝑖𝑛𝜃, où k est le nombre d’ondes, qui peut être trouvé avec la longueur

d’onde. Il reste donc à trouver la valeur de l’angle, elle peut simplement être exprimée avec la

formule trouvée précédemment (4.2) :

𝜃 = tan−1 (𝑎0𝑓), (6.3)

donc

𝐸(𝑟, 𝑧) = |𝐴|2𝐽02 (𝑘𝑠𝑖𝑛 (tan−1 (

𝑎0𝑓)) 𝑟). (6.4)

Les valeurs de cette équation sont tous connues sauf pour l’amplitude A, on aura donc simplement à

ajuster l’amplitude pour comparer avec les mesures prissent.

6.6 Mesures

La première série de mesures consiste à mesurer l’intensité du faisceau produit afin de la

comparer avec la valeur théorique. Les mesures ont été faites pour 4 lentilles différentes afin de

s’assurer de la validité des résultats. La raison pour cela est que si nous prenions seulement les

mesures pour une lentille ils pourraient être corrects par hasard, mais en changeant la lentille le

faisceau produit change (équation (6.4)) donc si les mesures correspondent à la théorie pour les 4

lentilles, c’est très peu probable que ce soit seulement un hasard.

Les lentilles ont respectivement 30, 60, 100, 250 mm de focale. Pour chaque lentille, nous

avons placé la lentille à une distance équivalente à leur focale du GLA puis la mesure a été prise de

l’autre côté près de la lentille à l’aide de la caméra (Figure 54 a), c), e) et g)). Pour chacune des

images, une coupe transverse a été prise et portée en graphique (Figure 54 b), d), f) et h)).

81

Nous allons également vérifier qu’une ligne focale est bien produite. Pour cela, une série

d’images ont été prises le long de l’axe z puis elles ont été combinées de façon à obtenir le profil le

long de l’axe z. Nous avons utilisé la lentille de 100 mm pour faire ces mesures. Pour un certain

nombre de positions espacées de façon régulière, nous avons pris des images de l’intensité du

faisceau. En refaisant le même procédé pour avoir la coupe transverse puis en combinant pour

toutes les positions z, nous obtenons la propagation en z (Figure 55). Cela a été fait sur une

longueur de 0,9 m à des intervalles de 2,54 cm (1 pouce). Il est à noter que le centre des faisceaux

Bessel a été déterminé manuellement pour chaque série de points, car le fait de déplacer la caméra

manuellement à chaque fois pouvait changer la position du zéro. Les dimensions de la Figure 55

sont de 0,9 m par 3mm donc le faisceau est beaucoup plus long que large. Il est à noter que l’image

dans la Figure 55 a un facteur de correction γ de 1.5 pour permettre de mieux voir les lobes

secondaires (ce n’est donc pas tout à fait l’intensité observée). La valeur réelle de l’intensité est

donc la valeur de la Figure 55 exposant 1,5.

a) b)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

-0.6 -0.4 -0.2 -1E-15 0.2 0.4 0.6

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

30mm

Théorique

82

c) d)

e) f)

g) h)

Figure 54 : Les figures a), c), e) et g) sont des images de l’intensité prises par la caméra pour des lentilles de 30, 60, 100 et

250mm. Les figures b), d), f) et g) sont les coupes transverses des images prises par la caméra (les points bleus) et la ligne

noire est la courbe théorique (avec l’amplitude ajustée à la valeur expérimentale à r=0).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

-0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

60mm

Théorique

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

-1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

100mm

Théorique

0

500

1000

1500

2000

2500

-2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2

Inte

nsi

té

Distance radiale (mm)

250mm

Théorique

83

Figure 55 : Mesure de l’intensité du faisceau produit par l’expérience le long de l’axe z. Les dimensions de la figure sont

de 0,9m de long (en z) par 3mm de diamètre (en r). La valeur de l’intensité est modifiée d’un facteur γ de 1.5.

6.7 Analyse

Nous allons maintenant analyser les résultats. Commençons par la série de mesures faites

avec différentes lentilles. En observant les points pour les 4 lentilles différentes, on voit que le profil

ressemble dans tous les cas à celui d’un faisceau Bessel. Pour vérifier que les mesures

correspondent bien aux faisceaux Bessel théoriques, la courbe théorique a été tracée à l’aide des

formules trouvées précédemment (6.4). Pour les 4 cas, la correspondance est bonne,

particulièrement pour la position de lobe. Pour ce qui est de l’intensité, elle a été ajustée au pique

central, mais on voit que pour les lobes secondaires il y a une correspondance partielle. Puisque

dans les 4 cas le faisceau Bessel correspond bien avec le faisceau qui devrait théoriquement être

produit, on en conclut que le faisceau Bessel produit est bien produit de la façon prédite.

On s’intéresse ensuite aux résultats pour la propagation en z (Figure 55). On y voit qu’il y a

production d’une ligne focale bien définie. On y voit aussi le point où les faisceaux cessent de se

croiser. Une autre chose qu’on remarque est que, les anneaux se rapprochent si l’on s’éloigne de la

84

lentille, cela peut être expliqué (du moins en partie) par l’aberration sphérique de la lentille. En

effet, le début du faisceau Bessel est fait par l’interférence des faisceaux qui passent au centre de la

lentille tandis que la fin est produite par ceux du bord où il y a plus d’aberrations sphériques.

L’aberration sphérique va augmenter l’angle des faisceaux ce qui diminue la taille du faisceau

Bessel. On pourrait donc dans une expérience future utiliser une lentille (ou un système de lentilles)

qui corrige l’aberration sphérique, le résultat pourrait alors nous indiquer plus précisément si c’est

vraiment causé par l’aberration. Cependant, il peut également avoir de l’aberration dû au GLA

puisque le profil d’indice de réfraction n’est pas parfait.

Les résultats obtenus sont donc très satisfaisants considérant toutes les causes d’erreurs

possibles. Les causes d’erreurs sont entre autres, le profil d’indice de réfraction, la fracture du cœur,

l’aberration de la lentille, mais aussi possiblement l’alignement, l’injection ainsi que des choses

comme les défauts de surface. La prochaine étape serait de fabriquer un GLA avec le bon profil

d’indice de réfraction et aussi de faire un rayon de courbure pour avoir un axicon de la forme de la

Figure 28.

Pour arriver à un axicon plus pratique, il faudrait également trouver une façon d’éviter que

le cœur se fracture. Peut-être que de produire le bon profil d’indice de réfraction serait suffisant, car

il est moins abrupt que celui utilisé. Pour éviter la fracture, un moyen simple serait de diminuer le

Δn ce qui rallongerait le GLA. Cela pourrait diminuer le stresse mécanique dans la préforme et de

plus, nous avons observé que si on coupait plus épais le GLA il ne fracturait pas. Il y aurait donc un

ajustement à faire pour avoir un compromis entre un GLA court et un cœur non fracturé. Les

matériaux utilisés dans la fabrication de la préforme pourraient également être changés ce qui aurait

un effet sur le stress mécanique. Une autre solution est de la couper plus longue et de la polir pour

la rapetisser à la bonne longueur, mais ce n’est pas très pratique. D’autres méthodes de coupes

pourraient également être utilisées (nous avons utilisé une scie Disco à substrat de haute précision).

En conclusion, même si les tests expérimentaux sont assez sommaires, ils nous ont appris

plusieurs choses intéressantes. D’abord, nous avons constaté que le système fonctionne comme

prévu par la théorie. Nous avons également appris que le système est assez robuste et donc qu’il est

relativement facile de produire un faisceau Bessel avec le GLA. Nous avons aussi appris plusieurs

choses sur sa fabrication qui pourront être utiles pour une éventuelle fabrication du GLA.

85

Conclusion

L’objectif de ce mémoire était de démontrer qu’il est possible de produire un axicon avec

une composante à gradient d’indice de réfraction. Plus particulièrement, nous volions trouver un

profil d’indice de réfraction qui produirait une focalisation en anneau. À partir de ce profil, nous

voulions concevoir un axicon capable de produire un faisceau Bessel puis analyser celui-ci afin de

connaitre ces caractéristiques.

Le premier chapitre présentait la matière utile pour la compréhension du sujet entre autres

les sujets de l’axicon et du faisceau Bessel. Il présentait également des sujets qui permettent de

mieux comprendre l’utilité et la motivation à faire ce projet par exemple, la prestation des divers

axicons et l’effet des défauts sur la pointe de la lentille conique.

Le chapitre 2 a essentiellement pour but de trouver l’indice de réfraction idéal. Pour cela,

nous abordons le sujet de la propagation de rayon dans les milieux à gradient d’indice de réfraction.

À l’aide des équations de propagation dans un milieu à gradient d’indice de réfraction, nous avons

pu trouver le profil parfait ce qui n’avait pas été fait auparavant.

Dans le chapitre 3, nous avons analysé le problème du point de vue de la diffraction. En

utilisant la diffraction, nous avons trouvé la valeur du champ électrique lors de la propagation dans

le GLA. Nous avons déterminé la valeur du champ électrique à la focale (à l’anneau) pour une onde

d’entrée plane et uniforme et pour une onde plane d’amplitude gaussienne. Nous avons pu constater

que l’anneau produit est très mince donc de bonne qualité (il est limité par la diffraction). Nous

avons également montré que l’ajout d’une lentille produit un faisceau Bessel.

Dans le chapitre 4, nous avons analysé les différentes façons d’utiliser l’axicon produit par

le profil d’indice de réfraction trouvé. Nous avons vu que l’on peut aussi produire un anneau si

l’onde d’entrée est au centre et est ponctuelle. Nous avons vu que l’ajout d’une lentille n’est pas la

seule solution pour produire un faisceau Bessel, on peut entre-autres faire une courbure directement

sur l’axicon. Des équations pour les différents cas ont été trouvées pour permettre la conception

d’axicon en fonction des paramètres voulus. Nous avons aussi regardé le cas où l’axicon peut être

dans un milieu autre que l’aire, cela peut affecter les propriétés de l’axicon, mais des solutions ont

été proposées pour régler le problème. Avec toutes ces informations, nous avons pu proposer un

prototype d’axicon qui peut aller sur une fibre optique.

86

Le chapitre 5 porte sur les simulations numériques. Plus précisément, nous avons utilisé les

équations du chapitre 4 pour faire des comparaisons des faisceaux Bessel produits par les différents

axicons. De cela, nous avons pu constater que, non seulement le faisceau Bessel produit par le GLA

est aussi bon que celui de la lentille conique, même que dans certains cas il est meilleur. Nous avons

constaté que le GLA permet d’inverser l’intensité axiale du faisceau Bessel ce qui peut être

avantageux. Dans le cas du faisceau d’entrées gaussien, la distribution de l’intensité en z est

meilleure que celle d’une lentille conique ce qui fait que le faisceau produit est de meilleure qualité.

Et finalement, dans le chapitre 6, nous avons fait des tests expérimentaux. Les tests faits

sont assez limités, mais ils ont permis quand même d’obtenir des résultats encourageants. Nous

avons utilisé un profil d’indice de réfraction qui n’était pas tout à fait le bon et les résultats obtenus

correspondaient quand même à ce que la théorie prédisait. Nous avons donc montré que le GLA

peut être assez robuste et qu’il serait donc probablement facile d’en faire de bonne qualité.

Avantages et inconvénients du GLA

Beaucoup d’informations ont été présentées concernant le GLA, nous allons donc résumer

de façon concise l’information sur le sujet. Pour cela, nous avons fait une liste des avantages et des

inconvénients.

Avantages

-L’axicon n’a pas de pointe.

-Petite taille.

-Meilleure distribution de l’énergie du faisceau Bessel le long de l’axe de propagation.

-Bien adapté à la fabrication par MCVD.

-Simple et compacte.

Désavantages

-Aberration, l’ajout d’une lentille créé de l’aberration.

87

-Limité aux petites tailles, il pourrait être fait plus gros, mais dans ce cas la lentille conique serait

plus appropriée.

-Long, il est plus long que large (environ 2 à 3 fois plus long que large) ce qui n’est pas le cas de la

lentille conique.

-Plus complexe que la lentille conique

Donc nous avons développé un axicon qui est particulièrement bien adapter pour des

applications qui nécessite de petit axicon. Il est particulièrement bien adapté pour les fibres optiques

car il peut être fabriqué de la même façon. Le fait qu’il peut être étiré à la dimension voulue et qu’il

n’a pas de pointe permet de conserver une bonne qualité à de petit dimension (ce qui n’est pas

possible avec une lentille conique). Il permet aussi de mieux distribuer l’énergie du faisceau Bessel

ce qui résulte à une meilleure qualité de faisceau. Le GLA est donc supérieur à la lentille conique

lorsqu’il est utilisé à de petite dimension.

Perspectives

Bien que nous ayons fait plusieurs développements sur le sujet, il reste encore du travail à

faire. Nous allons conclure en présentant les perspectives de développement sur le sujet.

Un des points qui pourraient être élaborés est celui où l’onde d’entrée dans le GLA est

ponctuelle. Une des raisons pour laquelle ce cas a été moins étudié est que nous avons jugé qu’il

serait possiblement plus complexe à produire. Le fait que l’onde d’entrée soit ponctuelle pourrait

être problématique, car l’indice de réfraction à ce point est la partie la plus complexe à faire. Un

défaut au centre pourrait engendrer beaucoup de problèmes sur la qualité du faisceau. Cependant,

nous n’avons pas fait de tests en ce sens, il se pourrait que cela s’avère moins problématique que

nous l’envisagions. Dans ce cas, l’utilisation du point source pourrait être plus avantageuse qu’un

axicon de la forme de la Figure 36. Il y aurait donc un travail de tests par des simulations, mais

aussi expérimentaux qui pourraient être faits.

Pour que notre axicon produise un faisceau Bessel, une lentille ou un rayon de courbure doit

être ajouté. Cela a donc pour effet d’introduire de l’aberration, nous l’avons d’ailleurs observé dans

les simulations. Cependant, nous n’avons pas porté d’attention particulière à ce sujet. Il pourrait être

88

intéressant de mieux comprendre comment ces aberrations affectent le faisceau Bessel. Peut-être

que le sujet a déjà été traité ailleurs pour certains cas similaires, car l’utilisation d’un anneau

lumineux combiné avec une lentille pour produire un faisceau Bessel est connue depuis longtemps.

Il y a aussi du travail à faire pour ce qui est de la fabrication. Notre test a permis de se

convaincre de la possibilité de fabrication, mais nous n’avons pas essayé de fabriquer l’axicon, nous

avons seulement utilisé un restant de préforme d’un autre projet avec un indice de réfraction

semblable à ce que nous voulions. Il y aurait donc un processus d’optimisation de la fabrication à

faire afin d’obtenir le profil voulu (par MCVD plusieurs préformes peuvent être nécessaires avant

d’arriver à la bonne recette pour obtenir la précision souhaitée).

Il y aurait aussi des tests expérimentaux à faire à partir d’un GLA de qualité. Avec un GLA

de meilleure qualité les résultats devraient être beaucoup mieux que ceux obtenus (qui était déjà

étonnamment bien). Des tests pourraient donc être faits pour voir la qualité de l’anneau et du

faisceau Bessel produit afin de les comparer à la performance d’autre dispositif similaire. Des tests

au niveau de l’alignement et aussi au niveau de la robustesse pourraient également être faits.

Nous avons montré que cet axicon est particulièrement bien adapté pour être utilisé sur une

fibre optique, mais nous ne l’avons pas testé. Il faudrait donc fabriquer un axicon comme sur la

Figure 36 pour pouvoir la comparer à ce qui se fait pour les fibres optiques (ou faire des simulations

plus poussées qui tiennent en compte les erreurs possibles).

Bien sûr, on peut imaginer beaucoup d’autres utilités pour le GLA, entre autres sa capacité

à produire un anneau pourrait servir dans certaines applications. Il pourrait également être utile pour

tout ce qui est des fibres optiques OAM (orbital angular momentum) car ceux-ci ont généralement

un profil d’indice de réfraction en anneau.

89

Annexe

A. Somme d’onde conique

Lorsque nous avons une seule onde conique, comme sur la Figure 56 a), nous pouvons

simplement écrire l’équation comme suit :

𝐸(𝑟, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽0 (𝑘𝑟𝑟). (A.1)

Lorsque l’onde a une symétrie cylindrique, mais que chaque position a un vecteur k différent, nous

devons faire la somme de toutes les ondes coniques (la somme de toutes les positions, chacun ayant

un vecteur k différent) (Figure 56 b). La somme peut alors être écrite sous forme d’intégrale comme

suit :

𝐸(𝑟, 𝑧) = ∫ 𝑆(𝑘𝑟)𝑒

𝑖𝑘𝑧𝑧𝐽0 (𝑘𝑟𝑟)∞

0

𝑘𝑟𝑑𝑘𝑟 . (A.2)

Le vecteur k peut être décomposé en kr et kz Figure 57. Dans ce cas-ci 𝑘𝑟 est une variable, chacun

des 𝑘𝑟 est une onde conique de direction différente et d’amplitude 𝑆(𝑘𝑟) (Lorsque 𝑘𝑟 = 0 le

vecteur k est dans la direction z et lorsque 𝑘𝑟 = ∞ il est dans la direction radiale).

90

a) b)

Figure 56 : La figure a) représente une onde conique et la figure b) est une onde quelconque (avec une symétrie radiale)

qui peut être représenté avec une somme d’onde conique.

Figure 57 : Décomposition de vecteur k en kr et kz.

B. Démo τ0=tanh(ωa0)

On cherche à démontrer que 𝜏0 = tanh(𝜔𝑎0). On sait que 𝜏 = sin 𝜃, donc on doit trouver

la valeur maximale 𝜃 pour trouver 𝜏0. On part de l’équation (2.74) :

𝑟 =

1

𝜔sinh−1(tan 𝛾0 sin(𝜔(𝑧 − 𝑧0))) + 𝑎𝑜 .

(B.3)

La valeur 𝛾0 est la valeur maximale de l’angle, on trouve donc :

tan 𝛾0 = sinh(𝜔𝑎0) (B.4)

𝛾0 = tan−1(sinh(𝜔𝑎0)). (B.5)

Puisque 𝜃 = 𝛾0 et que 𝜏 = sin𝜃 :

𝜏 = sin(tan−1(sinh(𝜔𝑎0))). (B.6)

On peut montrer que tan−1(sinh(𝜔𝑎0)) = sin−1(tanh(𝜔𝑎0))(voir fonction de Gudermann), donc

on peut conclure que :

𝜏0 = tanh(𝜔𝑎0). (B.7)

C. Solution pour l’indice de réfraction

Preuve de la solution en sech

Il existe plusieurs façons de trouver la solution idéale qui est en sech, nous en présentons ici

une différente de celle présentée dans le chapitre 2. On sait que pour les rayons méridionaux (2.41):

𝑧 = 𝑐0∫

𝑑𝑟

√𝑛(𝑟)2 − 𝑐02 (C.8)

où 𝑐0 = 𝑛1 cos 𝛾0. On cherche une solution de la forme (à noter que la fonction inverse est utilisée

pour alléger les calculs qui vont suivent) :

91

𝑟 =

1

𝜔𝑓−1(tan𝛾0 sin(𝜔𝑧)).

(C.9)

La valeur sin(𝜔𝑧) est pour assurer la périodicité de la fonction, la valeur tan 𝛾0et 1/ω sont pour que

la dériver de dr/dz à z=0 donne bien la valeur de la pente initiale (pour les rayons qui parte au centre

(les rayons méridionaux)). On a donc les conditions suivantes à respecter :

𝑟(𝑧 = 0) = 0 et 𝑑𝑟(𝑧=0)

𝑑𝑧= tan 𝛾0.

(C.10)

Pour trouver la valeur de f-1 nous allons chercher à exprimer la solution (C.9) sous la forme de

l’équation (C.8). De cela nous cherchons à déterminer la solution de la fonction inconnue f. On peut

inverser l’équation (C.9) pour obtenir :

𝑧 =

1

𝜔sin−1 (

𝑓(𝜔𝑟)

tan 𝛾0)

(C.11)

On veut exprimer cette fonction sous la forme de l’équation (C.8). Pour cela on réécrit le sin-1 sous

forme d’intégrale sin−1 𝑢 = ∫𝑑𝑢

√1−𝑢2 :

𝑧 =1

𝜔∫

𝑑 (𝑓(𝜔𝑟)tan 𝛾0

)

𝑑𝑟𝑑𝑟

√1 −𝑓2

tan2 𝛾0

=1

𝜔 tan 𝛾0∫

𝑑𝑓𝑑𝑟𝑑𝑟

√1 −𝑓2

tan2 𝛾0

. (C.12)

On insert la valeur de 𝑑𝑓

𝑑𝑟 dans la racine carrée :

𝑧 =

1

𝜔 tan 𝛾0∫

𝑑𝑟

√1

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝑓2

tan2 𝛾0 (𝑑𝑓𝑑𝑟)2

. (C.13)

On multiplie par 𝑛1 sin𝛾0

𝑛1 sin𝛾0 :

𝑧 = 𝑐0∫

𝑑𝑟

√𝜔2𝑛1

2 sin2 𝛾0

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝜔2𝑐02𝑓2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2

. (C.14)

On pourrait résoudre pour f mais il y a encore un terme en 𝛾0, nous pouvons le faire disparaitre

ainsi :

𝑧 = 𝑐0∫𝑑𝑟

√𝜔2𝑛1

2(1 − cos2(𝛾0))

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝜔2𝑐02𝑓2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2

𝑧 = 𝑐0∫𝑑𝑟

√𝜔2𝑛1

2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝜔2𝑐02

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝜔2𝑐02𝑓2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2

= 𝑐0∫𝑑𝑟

√𝜔2𝑛1

2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

𝜔2𝑐02

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 (1 + 𝑓

2)

. (C.15)

On doit donc résoudre :

92

(𝑑𝑓

𝑑𝑟)2

= 𝜔2(1 + 𝑓2) (C.16)

afin d’avoir une équation de la forme de l’équation (C.8). La solution à cette équation est 𝑓 =

𝑐1 sinh(𝜔𝑟). Pour satisfaire la condition r(z=0)=0 on doit avoir 𝑓−1(𝑧 = 0) = 0 on a donc aussi

𝑓(𝑟 = 0) = 0 donc la condition est satisfaite. On doit aussi avoir dr(z=0)/dz= tan 𝛾0, pour imposer

cela on commence par insérer la valeur de 𝑓−1 dans l’équation (C.9) :

𝑟 =

1

𝜔𝑓−1(tan𝛾0 sin(𝜔𝑧)) =

1

𝜔sinh−1 (

tan𝛾0 sin(𝜔𝑧)

𝑐1).

(C.17)

Puis on pose la dérivée égale à tan 𝛾0 :

tan 𝛾0 =

𝑑𝑟(𝑧 = 0)

𝑑𝑧=𝜔

𝜔𝑐1tan 𝛾0 cos(𝜔𝑧)

1

√(𝜔𝑧)2 + 1|

𝑧=0

=tan 𝛾0𝑐1

. (C.18)

Donc on doit avoir 𝑐1 = 1, on a alors :

𝑟 =

1

𝜔sinh−1(tan 𝛾0 sin(𝜔𝑧))

(C.19)

et

𝑐0∫

𝑑𝑟

√𝜔2𝑛1

2

(𝜔 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔𝑟))2− 𝑐0

2

= 𝑐0∫𝑑𝑟

√𝑛12

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝜔𝑟)− 𝑐0

2

. (C.20)

Donc en comparent avec l’équation (C.8) on trouve :

𝑛(𝑟) = 𝑛1 sech(𝜔𝑟). (C.21)

Ce qui est bien la réponse attendue.

Autre solution

On peut aussi imaginer d’autres cas, par exemple une onde d’entrée ponctuelle qui sort en

anneau collimé. Dans ce cas-ci, si on utilise la même méthode que dans la section précédant, on

peut supposer que la valeur de sin(𝜔𝑧) dans la solution de départ doit être remplacée par sin3(𝜔𝑧).

On refait le même calcul avec la solution de la forme :

𝑟 =

1

𝜔𝑓−1(tan𝛾0 sin

3(𝜔𝑧)). (C.22)

On inverse :

𝑧 =1

𝜔sin−1 √

𝑓(𝜔𝑟)

tan 𝛾0

3

. (C.23)

On transforme sous forme d’intégral :

𝑧 =1

𝜔∫

13 tan 𝛾0

(𝑓

tan 𝛾0)

−23⁄ 𝑑𝑓𝑑𝑟𝑑𝑟

√1 − (𝑓

tan 𝛾0)

23⁄

. (C.24)

Puis après quelque manipulation on obtient :

93

𝑧 =

𝑐0𝜔∫

𝑑𝑟

√9𝑛1

2 sin2 𝛾0 (𝑓

tan 𝛾0)

43⁄

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2 −

9𝑐02𝑓2

(𝑑𝑓𝑑𝑟)2

.

(C.25)

On doit résoudre :

(𝑑𝑓

𝑑𝑟)2

= 9𝜔2𝑐02𝑓2 ,

(C.26)

qui a une solution :

𝑓 = 𝑐1𝑒3𝜔𝑟 + 𝑐2𝑒

−3𝜔𝑟. (C.27)

Comme précédemment on pose la condition 𝑓(0) = 0 donc on trouve la condition 𝑐1 = −𝑐2 et on

peut réécrire :

𝑓 = 𝑐1 sinh(3𝜔𝑟) . (C.28)

On a donc

𝑧 = 𝑐0∫

𝑑𝑟

√𝑛12 sin2 𝛾0(tan 𝛾0)

43⁄

(𝑐1 sinh(3𝜔𝑟))4/3

𝑐12 cosh2(3𝜔𝑟)

− 𝑐02

. (C.29)

On peut choisir 𝑐1 de tel sorte que les termes avec 𝛾0 disparaissent, on a donc un indice de

réfraction de la forme suivante (Figure 58) :

𝑛(𝑟) = 𝑛1

(sinh(3𝜔𝑟))2/3

cosh(3𝜔𝑟) .

(C.30)

Si on fait la propagation de rayon on obtient les Figure 59 a) et b). La solution n’est pas réaliste, car

l’indice de réfraction est moins que 1, mais le tracé de rayon montre qu’elle fonctionne comme

voulu.

94

Figure 58 : Indice de refraction de la forme 𝑛1(sinh(3𝜔𝑟))

2/3

cosh(3𝜔𝑟).

a)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

r

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6

z

r

95

b)

Figure 59 : Propagation dans un GRIN avec un indice de réfraction de la forme (C.30). La figure b est le même tracé de

rayon que la figure a, mais elle est tracée sur moins long pour mieux voir le comportement des rayons.

D. Production d’un anneau collimé avec le GLA

On cherche à produire un faisceau en forme d’anneau collimé à partir du GLA. Pour cela,

on peut utiliser le fait que l’anneau divergeant comme sur la Figure 60 à une focale en anneau. Par

analogie aux surfaces sphériques utilisées pour les lentilles on peut déduire qu’une surface toroïdale

permettrait d’agir comme une lentille sur le faisceau, donc si on utilise le bon rayon de courbure il

sera possible de collimer le faisceau. Pour démontrer cela, nous avons utilisé une surface qui a la

forme:

𝑧 = √𝑎2 − (𝑟 − 𝑅)2 . (D.31)

Cette équation représente la moitié d’un tore comme on le voit sur la Figure 61. Si on utilise cette

surface sur la GLA on obtient la Figure 62, on y voit que le faisceau est bien collimé (même s’il y a

un peu d’aberrations sphériques).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

z

r

96

Figure 60 : GLA dont le faisceau de sortie est divergent.

Figure 61 : Tracé de l’équation 𝒛 = √𝒂𝟐 − (𝒓 − 𝑹)𝟐 (la partie réelle).

Figure 62 : GLA avec une surface torique produisant un anneau collimé.

11:08:21

GrinAxicon Scale: 39.00 01-Sep-16

0.64 MM

15:35:16

GrinAxicon Scale: 22.00 30-Aug-16

1.14 MM

97

E. Solution ponctuelle

Nous avons vu que le GLA peut transformer un point en un anneau. Cependant dans le cas où

l’onde d’entrée est ponctuelle on peut envisager de produire un faisceau Bessel sans même ajouter

une lentille. On voit dans la Figure 63 a) et c) que le faisceau à la sortie du GLA n’est pas

parfaitement collimé, mais il sort quand même de façon à interférer ce qui permet de produire un

faisceau Bessel Figure 63 b) et d). Bien sûr comme le faisceau n’est pas collimé le faisceau Bessel

ne sera pas parfait et son diamètre va varier le long de l’axe de propagation, mais cette solution a

l’avantage d’être très simple.

a) b)

c) d)

Figure 63 : Les figures a) et c) sont le tracé de rayon pour une onde d’entrée ponctuelle et les figures b) et d) sont

l’intensité des faisceaux produits à l’image (la ligne noire sur les figures a) et c)).

14:08:01

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 10.00 12-May-16

2.50 MM

14:16:39

New lens from CVMACRO:cvnewlens.seq Scale: 10.00 12-May-16

2.50 MM

98

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