Computer Aided Ship design -Part II. Hull Form Modeling- · 2018. 1. 30. · 2009 Fall, Computer...

SDAL@Advanced Ship Design Automation Lab.http://asdal.snu.ac.kr

Seoul NationalUniv.

2009 Fall, Computer Aided Ship Design – Part2. Hull Form Modeling

Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


Seoul NationalUniv.


Computer Aided Ship design

-Part II. Hull Form Modeling-

September, 2009

Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering,Seoul National University of College of Engineering

학부3학년 교과목“전산선박설계(Computer Aided ship design)”강의 교재


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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


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Ch 3. 곡면(Surfaces)

3.1 Parametric Surfaces

3.2 Bezier Surfaces

3.3 B-spline surfaces

- Chap3. Surface


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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


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- Chap3. Surface


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곡면

양함수

음함수

매개

변수

222 yxdz

2222 dzyx

sin

cossin

coscos

dz

dy

dx

)),(),,(),,(( zyxrr

구를 2개의 매개변수 로 표현하면 간단히 수식화 할 수 있다.

),(

- Chap3. Surface

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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


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3.2 Bezier surfaces

3.2.1 Generation of Bezier surfaces by de Casteljau algorithm

- Chap3. Surface


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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


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3.2.1 Generation of Bezier surfaces

by de Casteljau algorithm

3.2.1.1 Bi-linear Bezier Surface Patch

3.2.1.2 Bi-quadratic Bezier Surface Patch

3.2.1.3 Bi-Cubic Bezier Surface Patch

- Chap3. Surface


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3.2.1.1 Bi-linear Bezier Surface Patch- Given: 2x2 Bezier control point- Find: Points on bi-linear Bezier Surface Patch

00b

10b

11b

10b

u

v

uP

uq

u

u1

v

v1

u

v

0 1

1

u

v

u)1( u 00b 01bu

P

u)1( u 10b 11bu

q

v)1( v ),( vur u

P uq

.

)(

1 0 ,

1100

있다수얻을곡면을하는꼭지점으로

을점계산하면를

증가하며까지에서를

1010 b,b,b,br u,v

vu

2x2개의 Bezier 조정점을 이용하여 Bi-linear Interpolation 으로 곡면식을 구할 수 있다.

v

)1( v),( vur u)1( u 10b

11b

)1( u u00b 01b)1( v

v

11

00

10

10

bb

bb

u

u)1( vv)1( ),( vur

u

u1

방법: u, v 방향으로 ‘de Casteljau algorithm’ 사용

- Chap3. Surface7/52


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3.2.1.2 Bi-quadratic Bezier Surface Patch- Given: 3x3 Bezier control point- Find: Points on bi-quadratic Bezier Surface Patch

u

v


02b

12b

22bu

1 u u

1 uu 1 u

2

up 2

uq

2

ur

01b

11b

21bu

1 u u

1 uu 1 u

1

up 1

uq

1

ur

00b

10b

20bu

1 u u

1 uu 1 u

0

up 0

uq

0

ur

00 10

10 2

0

0 0

1

1

u

u

u u

u u

p

q

b b

b b

01 11

11 2

1

1 1

1

1

u

u

u u

u u

p

q

b b

b b

02 12

12 2

2

2 2

1

1

u

u

u u

u u

p

q

b b

b b

00 01 uu uu u p qr

2 2

00 10 20

2 2

01 11 21

2 2

02 12 22

0

1

2

1 2 1

1 2 1

1 2 1

u

u

u

u u u u

u u u u

u u u u

r

r

b b b

b b

b b br

b

2

00 10 20

01 11 21

2

02 12 22

0

1

2

1

2 1

u

u

u

u

u u

u

r

r

b b

b

r

b

b b

b b b

11 11 uu uu u p qr

22 21 uu uu u p qr

- Chap3. Surface

8/52


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3.2.1.2 Bi-quadratic Bezier Surface Patch- Given: 3x3 Bezier control point- Find: Points on bi-quadratic Bezier Surface Patch

u

v


02b

12b

22b2

ur

01b

11b

21b1

ur

00b

10b

20b0

ur

2

00 10 20

01 11 21

2

02 12 22

0

1

2

1

2 1

u

u

u

u

u u

u

r

r

b b

b

r

b

b b

b b b

1

vs

0

vs

v

1 v

v

1 v

,u vrv

1 v

0 1

1 2

0

1

1

1

u uv

v u u

v v

v v

s

s

r r

r r

0 1, 1 v vu v v v s sr

2

2

2

0 11 2 1, u u uv v v vu v r rr r

2 2

0

1

2

1 2, 1

u

u

u

v v vv vu

r

r

r

r

2

00 10 202 2

01 11 21

2

02 12 22

1

1 2 1 2 1,

u

v v v v u uu v

u

b b b

b b b

b b

r

b

3x3개의 조정점을 이용하여Bi-Quadratic Bezier Patch를 구할 수 있다.

- Chap3. Surface

9/52


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3.2.1.3 Bi-cubic Bezier Surface Patch- Given: 4x4 Bezier control point- Find: Points on bi-cubic Bezier Surface Patch

u

u1

u u1

u

u1

uu1 u

u1

u

v

4x4개의 조정점을 이용하여 Bi-Cubic Bezier Patch를 구할 수있다.

31 0 2 3 0 0

31 1 2 1 3 13 3 3 3 1

0 1 2 3 30 2 1 2 2 3 2 2

30 3 1 3 2 3 3 3 3

( )

( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

B v

B vu v B u B u B u B u

B v

B v

0,0 , ,0 ,

0, ,1 , ,

, , ,2 ,

, , , ,

b b b b

b b b bb

b b b b

b b b b


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3.2.1.3 Bi-cubic Bezier Surface Patch- Given: 4x4 Bezier control point- Find: Points on bi-cubic Bezier Surface Patch

u

v

4x4개의 조정점을 이용하여 Bi-Cubic Bezier Patch를 구할 수있다.

31 0 2 3 0 0

31 1 2 1 3 13 3 3 3 1

0 1 2 3 30 2 1 2 2 3 2 2

30 3 1 3 2 3 3 3 3

( )

( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

B v

B vu v B u B u B u B u

B v

B v

0,0 , ,0 ,

0, ,1 , ,

, , ,2 ,

, , , ,

b b b b

b b b bb

b b b b

b b b b


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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

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g


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3.2.2 Generation of Bezier surfaces

by tensor-product approach

3.2.2.1 Tensor-product approach

3.2.2.2 Tensor-product biquadratic Bezier surface

3.2.2.3 Tensor-product bicubic Bezier surface

- Chap3. Surface


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3.4.1 Tensor product approach (1)

매우 탄력적인 재질의고무 밀대라고 가정

나무판

End moving curve

Directional curve

Moving curve

makes a surface

Start moving curve

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3.4.1 Tensor product approach (2)

u

v

r(u) 곡선을 v 방향으로 sweeping

u

v

r(v) 곡선을 u 방향으로 sweeping

moving curve가 일정한 차수의 Bezier curve

이고, moving curve의Bezier control points의

궤적을 나타내는 directional curve도 Bezier

curve일 때, 이러한 방법으로 생성되는 곡면을

“Tensor product Bezier surface” 라고 한다.

* CAGD, Ch14.3, Tensor Product Approach

moving Curve

directional

Curve

directional

Curve

moving Curve

- Chap3. Surface

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)(1 vb

3.4.2 Tensor-product bi-quadratic Bezier surface (1)- Given: Control Points of bi-quadratic Bezier Surface- Find: Points on bi-quadratic Bezier Surface

10b

00b

20b

u

0v

1v

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

2

2

1

2

0

222120

121110

020100

2

1

0

vB

vB

vB

v

v

v

bbb

bbb

bbb

b

b

b

02b

01b

21b

22b11b

)()()()( 2

220

2

110

2

000 uBuBuBuS bbbb

Given 3x3 Points bij,

Generate start/end moving curves and directional curves in quadratic Bezier form

12b

0u

1u

)()()()( 2

222

2

112

2

002 uBuBuBuE bbbb

)(uSb

)(uEb

)(0 vb

)(2 vb

)()()()( 2

202

2

101

2

0000 vBvBvBv bbbb

)()()()( 2

212

2

111

2

0101 vBvBvBv bbbb

)()()()( 2

222

2

121

2

0202 vBvBvBv bbbb

- Chap3. Surface

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2009 Fall, Computer Aided Ship Design – Part2. Hull Form Modeling- Chap3. Surface

3.4.2 Tensor-product bi-quadratic Bezier surface (2)- Given: Control Points of bi-quadratic Bezier Surface- Find: Points on bi-quadratic Bezier Surface

10b

00b

20b

u

0v

1v

02b

01b

21b

22b11b


Moving curve can be represented in the following form:

12b

0u

1u

)(uSb

)(uEb

)(0 vb

)(1 vb

)(2 vb),( vub )()()()()()(),( 2

22

2

11

2

00 uBvuBvuBvvu bbbb

)(

)(

)(

)()()(

2

1

0

2

2

2

1

2

0

v

v

v

uBuBuB

b

b

b

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

2

2

1

2

0

222120

121110

020100

2

1

0

vB

vB

vB

v

v

v

bbb

bbb

bbb

b

b

b

)(

)(

)(

)()()(),(2

2

2

1

2

0

222120

121110

020100

2

2

2

1

2

0

vB

vB

vB

uBuBuBvu

bbb

bbb

bbb

b

2

0

2

0

22 )()(j i

jiij vBuBb Bezier surface

control points

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3.4.2 Tensor-product bi-cubic Bezier surface (1)- Given: Control Points of bi-cubic Bezier Surface- Find: Points on bi-cubic Bezier Surface

10b

00b

30b

u

0v

1v

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

3

3

3

2

3

1

3

0

33323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

vB

vB

vB

vB

v

v

v

v

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

b

b

b

b

03b

01b31b

33b


Generate start/end moving curves and directional curves in cubic Bezier form

13b

0u

1u

)()()()()( 3

333

3

223

3

113

3

003 uBuBuBuBuE bbbbb

)(uSb

)(uEb

)(0 vb

)(3 vb

)()()()()( 3

303

3

202

3

101

3

0000 vBvBvBvBv bbbbb

)(1 vb)(2 vb02b

23b

20b

32b

)()()()()( 3

330

3

220

3

110

3

000 uBuBuBuBuS bbbbb

)()()()()( 3

313

3

212

3

111

3


)()()()()( 3

323

3

222

3

121

3


)()()()()( 3

333

3

232

3

131

3


- Chap3. Surface

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3.4.2 Tensor-product bi-cubic Bezier surface (2)- Given: Control Points of bi-cubic Bezier Surface- Find: Points on bi-cubic Bezier Surface

10b

00b

30b

u

0v

1v

03b

01b31b

33b11b

13b

0u

1u

)(uSb

)(uEb

)(0 vb

)(1 vb

)(3 vb

)(2 vb02b

23b

20b

32b

),( vub



)()()()()()()()(),( 3

33

3

22

3

11

3

00 uBvuBvuBvuBvvu bbbbb

)(

)(

)(

)(

)()()()(

3

2

1

0

3

3

3

2

3

1

3

0

v

v

v

v

uBuBuBuB

b

b

b

b

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

3

3

3

2

3

1

3

0

33323130

23222120

13121110

03020100

3

2

1

0

vB

vB

vB

vB

v

v

v

v

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

b

b

b

b

)(

)(

)(

)(

)()()()(),(

3

3

3

2

3

1

3

0

33323130

23222120

13121110

03020100

3

3

3

2

3

1

3

0

vB

vB

vB

vB

uBuBuBuBvu

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

b

3

0

3

0

33 )()(j i

jiij vBuBb

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Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


Seoul NationalUniv.


3.3 B-spline surfaces

3.3.1 Generation of B-spline surfaces by tensor-product approach

3.3.2 B-spline surface Interpolation

- Chap3. Surface


Seoul NationalUniv.


Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


Seoul NationalUniv.


3.3.1 Generation of B-spline surfaces

by tensor-product approach

3.3.1.1 Tensor-product bicubic B-spline surface

3.3.1.2 Programming Guide of Tensor-product bicubic B-spline surface

- Chap3. Surface


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3.3.1.1 Tensor-product bicubic B-spline surface (1)- Given: Control Points of bicubic B-spline surface- Find: Points on bicubic B-spline surface

Given 5x5 Control Points dij, u-knots, v-knots, u-degree(=3), v-degree(=3),

Generate start/end moving curves and directional curves in cubic B-spline form:

10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

11d

12d

)(1 vd

23d

22d

21d

)(2 vd

33d

32d

31d

)(3 vd

43d

42d

41d )(4 vd

3 3 3 3 3

00 0 01 1 02 2 03 3 04 40 N v N v N v N v N vv d d dd d d

3 3 3 3 3


3 3 3 3 3


3 3 3 3 3


3 3 3 3 3


3

00 01 02 03 04 0

3

10 11 12 13 14 1

3

20 21 22 23 24 2

3

30 31 32 33 34 3

3

40 41 42 43 44

0

2

4 4

1

3

N v

N v

N v

N v

N v

v

v

v

v

v

d

d

d

d d d d d

d d d d d

d

d

d

d d d d

d d d d d

d d d d d

- Chap3. Surface

21/52


Seoul NationalUniv.



3.3.1.1 Tensor-product bicubic B-spline surface (1)- Given: Control Points of bicubic B-spline surface- Find: Points on bicubic B-spline surface

Given 5x5 Control Points dij, u-knots, v-knots, u-degree(=3), v-degree(=3),


10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

)(1 vd)(2 vd

)(3 vd

43d

42d

41d

)(4 vd

),( vur

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()()(),(

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

4443424140

3433323130

2423222120

1413121110

0403020100

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

vN

vN

vN

vN

vN

uNuNuNuNuNvu

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

r

5

0

5

0

33 )()(j i

jiij vNuNd

0 1 2

3 3 3 3 3

0 1 2 33 4 4, v v v vN u N u N u N uu N uv v d dr d d d

0

3 3 3 3 3

0 4

1

21 2

3

4

3N u N u N u N u N u

v

v

v

v

v

d

d

d

d

d

3

00 01 02 03 04 0

3

10 11 12 13 14 1

3

20 21 22 23 24 2

3

30 31 32 33 34 3

3

40 41 42 43 44

0

2

4 4

1

3

N v

N v

N v

N v

N v

v

v

v

v

v

d

d

d

d d d d d

d d d d d

d

d

d

d d d d

d d d d d

d d d d d- Chap3. Surface

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3.3.1.2 Programming Guide of Tensor-product bicubic B-spline surface - Member Variables of Class

class CBsplineSurface

{

public:

// member variables

int m_nDegree;

double* m_pKnot_U;

int m_nNumOfKnot_U;

double* m_pKnot_V;

int m_nNumOfKnot_V;

Vector** m_pCP;

int m_nNumOfCP_U;

int m_nNumOfCP_V;

// member functions

…

};

차수

u 방향 Knot와 개수

v 방향 Knot와 개수

Control Point, u, v 방향 개수

10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

)(1 vd)(2 vd

)(3 vd

43d

42d

41d

)(4 vd

),( vur

(3차)

(9개)

(9개)

(u 방향 5개, v 방향 5개)

- Chap3. Surface

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3.3.1.2 Programming Guide of Tensor-product bicubic B-spline surface - Member Functions of Class


{

public:

// member variables

…

// member functions

…

void SetKnot(double* pKnot_U, int nNumOfKnot_U, double* pKnot_V, int

nNumOfKnot_V);

double N(int n, int i, double u, int uv);

Vector GetPoint(double u, double v);

};

Knot 설정

10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

)(1 vd)(2 vd

)(3 vd

43d

42d

41d

)(4 vd

),( vur

u 방향 Knot

v 방향 Knot

- Chap3. Surface

24/52


Seoul NationalUniv.




{

public:

// member variables

…

// member functions

…


nNumOfKnot_V);



};

B-spline Basis Function 계산

10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

)(1 vd)(2 vd

)(3 vd

43d

42d

41d

)(4 vd

),( vur

B-spline Basis Function 계산(Cox-de Boor Recurrence Formula)

)()()( 1

1

1

11

1 uNuu

uuuN

uu

uuuN n

i

ini

nin

i

ini

in

i

else 0

if 1)(

10 ii

i

uuuuN

u, v 방향을 구분하는 flag

- Chap3. Surface

25/52


Seoul NationalUniv.




{

public:

// member variables

…

// member functions

…


nNumOfKnot_V);



};

Parameter u, v에 대한 곡면 상의 점 계산

10d

40d

00d20d

30d

00 u 15 u4.04 u

2u1u

3u7u6u

8u

u

14d

44d

04d

24d

34d

00 v

2v1v

3v

15 v

7v6v

8v

4v

03d

02d

01d

)(0 vd

)(1 vd)(2 vd

)(3 vd

43d

42d

41d

)(4 vd

),( vur

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()()(),(

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

4443424140

3433323130

2423222120

1413121110

0403020100

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

vN

vN

vN

vN

vN

uNuNuNuNuNvu

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

r

5

0

5

0

33 )()(j i

jiij vNuNd26/52


Seoul NationalUniv.


3.3.1.2 Programming Guide of Tensor-product bicubic B-spline surface - Member Function Example ‘GetPoint’

Vector CBsplineSurface::GetPoint(double u, double v){// return valueVector r_u_v(0.0, 0.0, 0.0);

// get curvefor (int i=0; i<m_nNumOfCP_U; i++){Vector r_v(0.0, 0.0, 0.0);

for (int j=0; j<m_nNumOfCP_V; j++){r_v = r_v + m_pCP[i][j] * N(m_nDegree, j, v, ID_V);

}

r_u_v = r_u_v + N(m_nDegree, i, u, ID_U) * r_v;}

return r_u_v;}

)(

)(

)(

)(

)(

)()()()()(),(

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

4443424140

3433323130

2423222120

1413121110

0403020100

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

vN

vN

vN

vN

vN

uNuNuNuNuNvu

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

ddddd

r

5

0

5

0

33 )()(j i

jiij vNuNd

Parameter u, v에 대한 곡면 상의 점 계산

)(d)(d)(d)(d)(d)(d 3

404

3

303

3

202

3

101

3

0000 vNvNvNvNvNv

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Seoul NationalUniv.


Naval A

rch

itectu

re &

Ocean

En

gin

eerin

g


Seoul NationalUniv.


3.3.2 B-spline surfaces

Interpolation

3.3.2.1 bicubic B-spline surface interpolation 개요

3.3.2.2 bicubic B-spline surface interpolation 상세 과정

3.3.2.3 Sequences of Finding knots

3.3.2.4 Knot 간격차이가 주는 영향

3.3.2.5 Example of bicubic B-spline Surface Interpolation

- Chap3. Surface


Seoul NationalUniv.


p21

p00

p01

p02

p20

p22p10

p12

u

v

3.3.2.1 bicubic B-spline Surface Interpolation (1)- Given: 곡면상의 9개 점과 4 꼭지점에서의 u, v방향의 접선벡터- Find: Control Points of bicubic B-spline Surface

00 01 02 03 04

10 11 12 13 14

20 21 22 23 24

30 31 32 33 34

40 41 42 43 44

d d d d d

d d d d d

d d d d d

d d d d d

d d d d d

)(

)(

)(

)(

)(

3

4

3

3

3

2

3

1

3

0

vN

vN

vN

vN

vN

)()()()()( 3

4

3

3

3

2

3

1

3

0uNuNuNuNuN),( vur

5x5 개의 조정점을 구하면 곡면을 생성할 수 있다.- Chap3. Surface

29/52


Seoul NationalUniv.



곡선상의 점(Pi,j)과 접선벡터 (ti,j) 으로부터

중간 조정점(Ci,j)을 구한다.p21

p00

p01

p02

p20

p22p10

p12C01

C02

C03

u

v

00 00

01 00

02 01

03 02

04 02

1 0 0 0 0

3 30 0 0

0 0

3 30 0 0

0 0 0 0 1

s s

E E

C P

C t

C P

C t

C P

p00

p01

p02 t02

t00


p10

p11

p12 t12

t01

Bessel end condition으로 접선벡터(ti,j)를 구한다

Bessel end condition:

곡선을 지난는 3점을 2차식으로 보간(interpolation)

한 후, 곡선의 끝점에서의 1차미분값을 구하는 방법

- Chap3. Surface

p20

p21

p22 t22

t20

30/52


Seoul NationalUniv.



중간 조정점(Ci,j)과 접선 벡터 (ti,j)

으로부터 B-spline조정점(di,j)을 구한다.


02 02

12 02

22 12

32 22

42 22

1 0 0 0 0

d C3 30 0 0

d t

d C0 0

d t3 30 0 0

d C

0 0 0 0 1

s s

E E

p21

p00

p01

p02

p20

p22p10

p12C01

C02

C03

u

v

C22

C02

C12

t22

t02

- Chap3. Surface

p00

p10

p20

t00

t20

p02

p12

p22

t24

t04

C11

C01

C21

C23

C13

C03

t01

t03

t21

t23

Bessel end condition으로 접선벡터(ti,j)를 구한다 31/52


Seoul NationalUniv.



p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v

4 6

66

3.65.4

Given 곡면이 지나야할 점들의 좌표 점들은 사각형 grid 형태여야 함 (예, 2x2)

1. u 방향 knot를 결정 주어진 점들의 u방향 거리를 계산한다

- Chap3. Surface

32/52


Seoul NationalUniv.



p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v

04

10

0 6

12

5.40

9


1. u 방향 knot를 결정 주어진 점들의 u방향 거리를 계산한다 계산한 거리를 각 점별로 누적한다. 이 거리를 곡면의

u방향 knot라고 부른다

4 6

66

3.65.4

- Chap3. Surface

33/52


Seoul NationalUniv.



p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v

1

1

1

0.4

0.5

0.6



u방향 knot라고 부른다 마지막 점의 knot값으로 각 점의 knot값을 나누어 정

규화된 knot값을 계산한다

04

10

0 6

12

5.40

9

- Chap3. Surface

34/52


Seoul NationalUniv.



p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v

00.5

1




규화된 knot값을 계산한다 정규화된 knot값들을 v방향으로 평균 u방향 knot값

을 계산한다

0

0

0

1

1

10.4

0.5

0.6

- Chap3. Surface

35/52


Seoul NationalUniv.



p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v




규화된 knot값을 계산한다 정규화된 knot값들으로 v방향으로 평균 u방향 knot

값을 계산한다

2. u 방향 점들을 보간하는 B-spline 곡선을 계산 최종적인 u방향 knot와 점들을 지나는 B-spline 곡선

과 그 조정점을 계산한다

3. v 방향 knot 간격을 u뱡향과 동일한 방법으로 구함

4. u 방향 B-spline 곡선의 조정점을 보간하는 v방향B-spline 곡선을 계산 u방향 B-spline 곡선의 조점정에 대해서 1번과 같은

방법으로 v방향 knot를 결정한 후, 이를 이용하여 v방향 B-spline 곡선 (보라색점선) 을 생성한다. 이 곡선의 조정점 (빨간점) 이 최종 B-spline 곡면의 조정점이다

00.5

1

- Chap3. Surface

36/52


Seoul NationalUniv.


p12

00.5

1


p00

p10

p20

p02

p22

p01

p21

p11

u

v




규화된 knot값을 계산한다 정규화된 knot값들을 v방향으로 평균하여 최종적인 u

방향 knot값을 계산한다

2. u 방향 점들을 보간하는 B-spline 곡선을 계산 최종적인 u방향 knot와 점들을 지나는 B-spline 곡선

과 그 조정점을 계산한다

3. v 방향 knot 간격을 u뱡향과 동일한 방법으로 구함

4. u 방향 B-spline 곡선의 조정점을 보간하는 v방향B-spline 곡선을 계산 u방향 B-spline 곡선의 조점정에 대해서 1번과 같은

방법으로 v방향 knot를 결정한 후, 이를 이용하여 v방향 B-spline 곡선 (보라색점선) 을 생성한다. 이 곡선의 조정점 (빨간점) 이 최종 B-spline 곡면의 조정점이다

- Chap3. Surface

37/52


Seoul NationalUniv.


곡선상의 점,접선벡터와 위의 Knot

간격을 이용하여 B-spline 조정점을구할 수 있음

주어진 곡선상의 점들로부터 Chord

Length를 구함

3.3.2.3 Sequences of Finding Knot

B-spline 곡선에서의Knot 간격 예측

)2,....,3,2(,1

21

1

nipp

pp

ii

ii

i

i

즉, 주어진 곡선들의 Knot 간격이 모두 일정해야 함.

주어지는 곡면상의 점이 GRID와 같이 균일하게 주어져야 이상적인 곡면재현 가능

Tensor Product방식으로 정의된spline 곡면에서의 Knot 간격예측

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점과 점 사이의 knot 간격은 그 점 사이를 지나가는 데 걸리는 시간과 같은 개념이다.

3.3.2.4 Knot 간격 차이가 주는 영향

0 0.5 1.5 6.5

곡선상의 점

Knot 간격

1

2

3

그러므로 knot간격비가 비슷할 수록 곡면의 왜곡이 적다.39/52


Seoul NationalUniv.


점과 점 사이의 knot 간격은 그 점 사이를 지나가는 데 걸리는 시간과 같은 개념이다.

3.3.2.4 Knot 간격 차이가 주는 영향

0 0.5 1.5 6.5

곡선상의 점

Knot 간격

1

2

3

그러므로 knot간격비가 비슷할 수록 곡면의 왜곡이 적다.40/52


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3.3.2.5 Example of bicubic B-spline Surface Interpolation (1)- Given: Points on Surface- Find: bicubic B-spline Surface (Control Points of bicubic B-spline Surface)

일반 3차원 곡면 형상 예시

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3.3.2.5 Example of bicubic B-spline Surface Interpolation (2)- Given: Points on Surface- Find: bicubic B-spline Surface (Control Points of bicubic B-spline Surface)

선박 선형 곡면 예시

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3.3.2.5 Sample code of bicubic B-spline Surface Interpolation (1)

void BicubicBsplineSurface::Interpolate(Vector **pFittingPoint, int nU, int nV) {

// Generate u-Knot

if(m_UKnot) delete[] m_UKnot;

m_nUKnot = (m_nU - 2) + 2*(3+1);

m_UKnot = new double [m_nUKnot];

// Initial u-Knot

double** tmpUKnots;

tmpUKnots = new double*[nV];

for(int j = 0; j < nV; j++){

tmpUKnots[j] = new double[nU];

for(int i = 0; i < nU; i++){

tmpUKnot[j][i] = …; // chord length or centripetal

}

}

// generate average u-Knot

for(int i = 0; i < nU; i++){

m_UKnot[i] = 0;

for(int j=0; j<nV; j++) { m_UKnot[i] += tmpUKnot[j][i]; }

m_UKnot[i] = m_UKnot[i] / nV;

}

Chord length를 이용하여u, v 방향 Knot 생성

Knot간 간격의 평균값으로Knot 재 설정

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// Interpolate u-directional B-spline curve

CubicBsplineCurve* u_curve = new CubicBsplineCurve[nV];

for(int j = 0; j < nV; j++){

u_curve[j].SetKnot( m_UKnot );

u_curve[j].Interpolate( pFittingPoint[j], nU );

}

// Generate v-directional Fitting Point

int nvFittingPoint = u_curve[0].m_nControlPoint;

Vector** vFittingPoint = new Vector [ nvFittingPoint ];

for(int j=0; j < nvFittingPoint; j++){

vFittingPoint[j] = new Vector[ nV ];

for( int i = 0; i < nV; i++){

vFittingPoint[j][i] = u_curve[i].m_ControlPoint[j];

}

}

……………………..

p00

p10

p20

p02p12

p22

p01

p21

p11

u

v

00.5

1

u 방향 B-spline curve 생성

44/52


Seoul NationalUniv.



// Interpolate u-directional B-spline curve

CubicBsplineCurve* u_curve = new CubicBsplineCurve[nV];

for(int j = 0; j < nV; j++){

u_curve[j].SetKnot( m_UKnot );

u_curve[j].Interpolate( pFittingPoint[j], nU );

}

// Generate v-directional Fitting Point

int nvFittingPoint = u_curve[0].m_nControlPoint;

Vector** vFittingPoint = new Vector [ nvFittingPoint ];

for(int j=0; j < nvFittingPoint; j++){

vFittingPoint[j] = new Vector[ nV ];

for( int i = 0; i < nV; i++){

vFittingPoint[j][i] = u_curve[i].m_ControlPoint[j];

}

}

……………………..

p12

00.5

1

p00

p10

p20

p02

p22

p01

p21

p11

u

v

u 방향 B-spline curve 의 조정점을Fitting Point로 하여v 방향 B-spline Curve 생성

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rch

itectu

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Ocean

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g


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Ch 4. Term Project

Generation Ship hull surfaces by interpolating given points

- Given: Pi,j- Find : di,j

- Chap4. Term Project


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4.1 단일 B-spline 곡면 patch를 이용한 선형곡면 생성 프로그램 구현


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4.2 간단한 요트 형상의 선수부 곡선그물망 형상

* 출처 : 서울대 조선해양공학과 2005년 2학년 교과목『 조선해양공학계획』강좌 중에 학생들이 설계한 선형

사각형 패치의 꼭지점 결정


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4.3 요트 형상의 곡선그물망으로부터 선형곡면 생성결과 (1)

Offset table 형식으로 점을 추출한 후,

이 점들로 부터 bicubic B-spline 선형곡면을 생성한 결과

정보 부족으로 인한 형상왜곡문제가 있음

6x14 points


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4.3 요트 형상의 곡선그물망으로부터 선형곡면 생성결과 (2)

점들의 x좌표 사이의 거리가 일정하도록 점을 추출한 후,

이 점들로부터 bicubic B-spline 선형곡면을 생성한 결과

11x11 points

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4.4 구상선수를 갖는 단축선의 선수부 곡선그물망 형상

선수부


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4.5 구상선수부 곡선그물망으로부터 선수부 선형곡면 생성결과

주어진 곡선그물망 이외의 보조선을 생성하여 곡선 보간에 적합한

점 data를 생성한 후, 점 data로부터 선수부 선형곡면을 생성한 결과

왜곡 감소


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Computer Aided Ship design -Part II. Hull Form Modeling- · 2018. 1. 30. · 2009 Fall, Computer...

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