1

Complejidad sin Matematicas

Ecología

Biología

Psico

log

iaMeteorología

MacroEconomía

Geofisica

Dante R. Chialvo Northwestern University. Chicago, IL, USA.

Email: d-chialvo@northwestern.edu www.chialvo.net

2

● Motivación y elementos de redes● Conceptos básicos● Ejemplos de redes complejas

3

1. Simplemente Google por: Complex Networks o Redes Complejas!

2. Ricard Sole : http://complex.upf.es/

3. Albert Diaz-Guilera: http://www.ffn.ub.es/~albert

4. Albert Barabasi: http://www.nd.edu/~alb/

5. D. J. Watts, and S. Strogaz, Nature 393, 440–442 (1998).

6. A. L. Barabási, and R. Albert, Science 286, 509–512 (1999).

7. S. H. Strogatz, Nature 410, 268–276 (2001).

8. A. L. Barabási, and R. Albert, Review of Modern Physics 74, 47–97 (2002).

9. S. Dorogovtsev, and J. F. F. Mendes, Advances in Physics 51, 1079–1187 (2002).

10. M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167–256 (2003).

11. S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D.-U. Hwang, Physics Reports 424, 175–308 (2006).

12. S. Bornholdt, and H. G. Schuster, editors, Handbook of Graphs and Networks - From the Genome to the Internet,Wiley-VCH, Berlin, 2002.

13. R. Pastor-Satorras, M. Rubí, and A. Díaz-Guilera, editors, Statistical Mechanics of Complex Networks,

14. Springer, 2003.D. J. Watts y S. H. Strogatz (1998). “Collective Dynamics of ‘Small World’ Networks” Nature Vol. 393.

15. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, and Hilgetag CC. Organization, Development and Function of Complex Brain Networks. Trends in Cognitive Sciences, 8 (9): 387-433 (2004).

16. Sole et al, Selection, Tinkering, and Emergence in Complex Networks, Complexity vol. 8(1), 20-33 (2003)

Algunas referencias y sitios.

4

Una red compleja es el esqueleto de un sistema complejo

Vista de Satelite

Vista del usuario

New York New York

5

La incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas características básicas de las redes complejas.

Los avances recientes en computación y obtención de datos de sistemas reales produjo gran cantidad de información en diferentes sistemas complejos. Esto reveló una discordancia seria entre lo que se creia y lo que actualmente se veia en redes “reales”.

La red, en muchos casos, es una “forma comprimida” del sistema complejo, y entonces sintetiza y disminuye el monto de informacion a estudiar.

Que impulsó el estudio de redes complejas?

6

Milgram

El psicólogo S. Milgram (Yale U.) realizó un experimento que partía seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instruídos para enviar una carta a única persona “objetivo” en Boston.

Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación.

Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo mejor posible a esta información.

Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo.

7

Milgram

Milgram publicó los resultados (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta y que pasaron, en promedio, por seis conjuntos de manos hasta llegar a la persona correcta. (note que solo el 1/5 llego)

La conclusión de Milgram fue que las personas están mucho más cercanas entre si de lo que uno podria imaginar.

Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o los seis grados de Kevin Bacon que veremos en un momento en detalle.

8

Milgram

Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de información.

9

Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y sociales.

Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos. Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i

y j Cada nodo tiene un número de enlaces conectados que se lo

llama grado del nodo.

Que es una red?

enlace

Nodo con grado=2

10

Hay muchos modos de conectarse

Pinochet

11

Grado del nodo: k(n)

4)( kFriendship

Como caracterizar la red

12

Clustering Coefficient: C(n)

Friendship

13

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones: 2Friendship

14

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones: 2 Numero total posible:

➡ ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6

Friendship

15

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones : 2 Numero total posible:

➡ ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333

16

Clustering Coefficient: C(n)

Numero de conecciones: 2 Numero total posible:

➡ ½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6 Cn = 2 / 6 = 0.333

Dice cuan buena es la conectividad con el vecindario

Friendship

17

Distancia (pathlength)

Friendship

18

Distancia (pathlength)

i

j

Friendship

19

Distancia (pathlength)

i

j

Friendship

20

Distancia (pathlength)

i

j

Friendship

28

Matriz de distancia todos a todos:

Largo de la via mas corta

0

1

1

1

2

2

2

3

31 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 1 1 2 2 2 3 3 4

2 1 2 1 1 1 2 2 3 4

3 1 1 2 2 2 1 3 2 3

4 2 1 2 2 1 2 1 2 3

5 2 1 2 1 2 1 1 2 3

6 2 2 1 2 1 2 2 2 0

7 3 2 3 1 1 2 2 1 2

8 3 3 2 2 2 1 1 2 1

9 4 4 3 3 3 2 2 1 2

Lij =

Lij =

Grado?

Clustering?

Distancia (Pathlength)?

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

Reconectar un enlace con probabilidad p

Modelo de WATTS - STROGATZ

Modelos de redes aleatorias

Modelo de WATTS - STROGATZ

Modelos de redes aleatorias

SMALL - WORLD = Clustering alto Distancia corta

Watts, Strogatz. Nature 393/4, 1998

Modelo de WATTS - STROGATZ

Medir L y C en cada caso

Modelos de redes aleatorias

34

Grilla Regular Red Small-World Aleatorio

Distribucion de Grado

Modelos de redes aleatorias

35

Scale-freeHomogeneas

P(k) ~ k -

Mirando el grado de las redes en laMirando el grado de las redes en la Natur Naturaleza se ve que aleza se ve que estas estas no no son son homogenehomogeneaass, , son son no uniformesno uniformes

En redes aleatorias la mayoria de los nodos estan enlazados por mas o menos el mismo numero de nodos, mientras que en redes scale-free ( o libres de escala) hay unos pocos muy bien conectados (hubs)Libre de escala (o scale-free) “mucho de poco y poco de mucho”

36

Ejemplos de redes scale-free

actores

semantica

www

internetproteina

metabolica

37“Complex networks: Statics and Dynamics” Diaz-Guilera, (2006)

“El rico se vuelve mas rico, al final unos pocos tienen mucho y muchos poco”

Como se originan las redes no uniformes (libres de escala)

38

Resumiendo

Aleatoria

De pequeño mundo

The “

few

well

connect

ed”

Distancia minima promedio: L (distancia mas corta entre dos nodos)

Clustering: C(k) (cuantos de tus enlaces estan tambien mutualmente enlazados)

Es de pequeño mundo si

C >> Crand

L ~ Lrand

No Uniforme Homogeneas

39

La red de carreteras es uniforme

Las consecuencias de borrar un nodo (ciudad o aeropuerto) es muy diferente en cada caso

La red de aerolineas es NO uniforme

Red robusta al daño aleatorio pero fragil al daño selectivo

Algunos consecuencias importantes de la no-uniformidad

40

Nature July 27, 2000

41

“¿A cuántos saludos estás tú

de Bill Clinton?”

“Seis grados de separacion”

“Los números de Kevin Bacon y de Paul Erdös”

1 1

1

PE-0

22

3

Acerca de expresiones Populares de Redes de Small Worlds

42

El oraculo

Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin Bacon” y es posible jugarlo on-line en una página de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB)

( http://oracleofbacon.org/) El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base

de datos de películas de Virginia U.

43

•The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3.

•Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni

•Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach

•Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon

•The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3.

•Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta

•Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach

•Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon

El oraculo

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La Topología de Redes Reales: Números de Erdös

Números de Erdös Erdös (1919-1996), el matemático

actualmente con más publicaciones y con más co-autores es el origen de una red y tiene número de Erdös 0, sus co-autores tienen número 1, los co-autores de éstos tiene número 2, y así sucesivamente.

Veamos la distribución de los números de Erdös considerando solamente aquellos autores que han colaborado y que además están a una distancia finita de Erdös. Existen (a la fecha del estudio) 268.000 de estos autores.

45

La Topología de Redes Reales: Números de Erdös

Número de Erdös

Número de Autores

0 1

1 504

2 6593

3 33605

4 83642

5 87760

6 40014

7 11591

8 3146

9 819

10 244

11 68

12 23

13 5

Dante Chialvo

tiene número 4

Dante Chialvo

tiene número 4

Media:4.65

Mediana : 5

Media:4.65

Mediana : 5

46

47

Ejemplos (con referencias) de redes complejas se pueden ver accediendo a la WWW red:

http://www.visualcomplexity.com/vc/

Un poupurri incompleto y desactualizado de redes

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Internet es una red compleja donde los nodos son computadoras y routers y los enlaces comunican computadoras.

Internet

49

Internet

50

Internet

51

WWW es una red virtual compleja donde los nodos son las páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de páginas.

www.chialvo.net

www.ucm.es www.ucla.edu/~dchialvo/

La WWW

52

Redes Lingüísticas : palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas o casi consecutivas en un texto.

En otras redes lingüísticas los nodos son palabras pero las enlaces son los sinónimos, antónimos, etc.

En otras redes los enlaces puedenser las asociaciones libres evocadas por una palabra (perfume flor; futbol Madrid, etc).

Redes Lingüísticas

53

54http://www.expasy.ch/cgi-bin/show_thumbnails.pl

Redes Metabólicas

los nodos son substratos y los enlaces las reacciones entre los substratos.

55

Redes Metabólicas

56

Redes Metabólicas

E. Almaas, B. Kovacs, T. Vicsek, Z.N. Oltvai and A.-L. Barabási Global organization of metabolic fluxes in the bacterium Escherichia coli. Nature 427, 839-843 (2004).

57

Interacciones entre proteínas : los nodos son proteínas y los enlaces conectan aquellas proteínas que a través de experimentos se demuestra su interacción

Una motivación es determinar patrones mas típicos de interacción en salud y enfermedad, interferir y manipularlos en aplicaciones de diagnostico y tratamiento, diseños de nuevas drogas etc.

Proteoma

58

Nature 408 307 (2000)

…“One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free

network’.”

Redes de genes

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Red Social: Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad Complutense, o generales; por ejemplo, el mundo entero.

Redes Sociales

Una motivación para su estudio es conocer los patrones de interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones para la difusión de información, dinámica de formación de opiniones , contagio de ideas o enfermedades.

60http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/

Amarillo- Raza BlancaVerde – AfroamericanosRosa - Otros

Red de amistades (niños de escuela)

61

Red Social:

62

Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper.

El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al matemático Paul Erdös (número de Erdös).

63

Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo publicado. (no debería tener ciclos dirigidos)

(Physical Review Letters 1975-94, ISI)

Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una enlace representa una participación conjunta de actores en una película.

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Ejemplos de Redes Complejas

Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada.(duró el experimento un día - USA)

Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida]

Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces conectan dos personas que se han relacionado sexualmente.

(Experimento conducido en Suecia )

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Sex-web

Nodos: Personas Enlaces: relation sexual

Liljeros et al. Nature 2001

4781 Suecos; 18-74; 59% respondio.

66

Food Web (red troficas)Nodes: trophic species Links: trophic interactions

R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)

R. Sole (cond-mat/0011195)

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Ejemplos de Redes Complejas

Redes Neuronales en las cuales los nodos son neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas.

[C elegans, Corteza Cerebral, Fmri]

Redes de Potencia donde los nodos son generadores, transformadores y subestaciones, y los enlaces son líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ]

Otras Redes

Circuitos Electrónicos Evolución Viral

68

Mapa del sistema nervioso del C. Elegans

69

Nature July 27, 2000

70

La Topología de Redes Reales: varios casos

Red n <k> l lrand C Crand

WWW 153127 35.21 3.1 3.35 0.1078 0.00023

Internetdomain

3015-6209

3.52-4.11

3.7-3.76 6.36-6.18

0.18-0.3 0.001

Actores 225226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027

Medline coautorí

a

1520251 18.1 4.6 4.91 0.066 1.1·10-5

NCSTRL coautorí

a

11994 3.59 9.7 7.34 0.496 3·10-4

Neurosc.

coautoría

209293 11.5 6 5.01 0.76 5.5·10-5

E. Coli grafo sub

282 7.35 2.9 3.04 0.32 0.026

Co-ocurr.

palabras

460902 70.13 2.67 3.03 0.437 0.0001

71

Net n <k>

γout γin lreal lrand

WWW 2·108 7.5 2.72 2.1 16 8.85

WWW site

26000 1.94

Internet domain

3015-4389

3.42-3.76

2.1-2.2 2.1-2.2 4 6.3

Internet router

3888 2.57 2.48 2.48 12.15 9.75

Coauth. Math.

70975 3.9 2.5 2.5 9.5 8.2

PhoneCall

53·106 3.16 2.1 2.1

Co-ocur words

460902 70.13 2.7 2.7

La Topología de Redes Reales: varios casos